A mozgás leírása azt jelenti, hogy minden időpillanatban meg tudjuk adni egyértelműen vizsgált test helyét és helyzetét

A mozgások leírása Kinematika 9. osztályosoknak Rudolf Zoltán

A MOZGÁSOK LEÍRÁSA KINEMATIKA

MOZGÁS A VONATKOZTATÁSI RENDSZER Minden test bármely időpillanatban helyet foglal el valahol a térben. Akkor mondjuk, hogy egy test mozog, ha helye vagy helyzete a térben megváltozik. A mozgás leírása azt jelenti, hogy minden időpillanatban meg tudjuk adni egyértelműen vizsgált test helyét és helyzetét. Ha a térben csak egyetlen test létezne, akkor nem lehetne megadni a helyzetét, - ugyanis nem áll rendelkezésre egy másik test, amihez a vizsgált testet viszonyítani lehetne -, ennél fogva azt sem lehetne eldönteni, hogy a test mozog-e. Ha egy test mozgását egyértelműen le akarjuk írni, választanunk kell egy másik testet, amelyhez a mozgást viszonyítjuk.

Bármely test mozgása csak más testhez viszonyítva jellemezhető. Ha egy test mozgását le akarjuk írni, választani kell egy másik testet, amelyhez a mozgást viszonyítjuk. Ezt a választott testet VONATKOZTATÁSI RENDSZERNEK nevezzük. Vonatkoztatási rendszer lehet Pl.: a Föld, a tanterem, egy vasúti kocsi stb.

A testek helyét, helyzetét a vonatkoztatási rendszer segítségével csak körülírni lehet. Pl.: A kedvesem háza a buszmegállótól jobbra a hatodik. Ebben a példában a vonatkoztatási rendszer a buszmegálló. A kedvesem házának a pontos helye nem ismert, csak az, hogy körülbelül hol található. Ahhoz, hogy egy test helyét a választott vonatkoztatási rendszerben számszaki adatokkal jellemezhessük, fel kell vennünk a vonatkoztatási rendszerben olyan pontokat, amelyektől a test pontjainak távolságát számítjuk, tehát a vonatkoztatási rendszerhez koordináta-rendszert kell rögzíteni.

1


A vonatkoztatási rendszerhez rögzített koordináta-rendszerben egy test helye, helyzete és mozgása, mennyiségek segítségével egyértelműen meghatározható.

Egy anyagi pont helyét a térben akkor ismerjük, ha a vonatkoztatási rendszerhez rögzített koordinátarendszerben a pont x, y, z koordinátáit ismerjük. Az anyagi pont mozgását akkor ismerjük, ha a pont koordinátáit a mozgás minden időpillanatában ismerjük.

HELYVEKTOR, PÁLYA Az előzőek alapján az anyagi pont helyét a térben egy vektormennyiség az ún. helyvektor írja le.

A helyvektor a vonatkoztatási rendszerhez rögzített koordinátarendszer origójából, a testhez húzott vektor. A helyvektor koordinátái a vizsgált test koordinátáival (x,y,z) egyezik meg.

2


Az előzőekben leírtak alapján egy test mozgását akkor ismerjük, ha a pont helyét bármely t időpillanatban meg tudjuk mondani, vagyis ha meg tudjuk adni a pont helyzetét leíró helyvektor koordinátáit, mint az idő függvényeit. A fentiek alapján egy egyenes vonalú mozgás esetén a testet leíró helyvektornak csak egy koordinátája változik (x) az idő függvényében, a másik két koordináta a mozgás folyamán állandó. Ha síkbeli mozgást vizsgálunk, akkor a helyvektor két (x,y) koordinátája, térbeli mozgás esetén három koordináta változik (x,y,z) az időben. Ez azt jelenti, hogy a mozgást egy kettő vagy három függvény írja le, annak bonyolultságától függően. Egyenes vonalú mozgás

Síkbeli mozgás

Térbeli mozgás

x = f(t) y = y0 z = z0

x = f(t) y = f(t) z = z0

x = f(t) y = f(t) z = f(t)

A fenti egyenletek egyértelműen meghatározzák a mozgó test által leírt görbét, a mozgás pályáját.

A mozgás pályája az a görbe, amit a mozgás során a helyvektor csúcsa bejár.

A MEGTETT ÚT ÉS AZ ELMOZDULÁS A megtett út, az a távolság, amit a test helyvektora a mozgás időtartalma alatt bejár. Ha egy test mozog, akkor nagy általánosságban t idő múlva a tér egy A pontjából egy másik B pontjába jut, tehát elmozdul. Az elmozdulás nagysága az A pontot a B ponttal összekötő szakasz hossza. Az elmozdulásnak iránya is van, tehát vektormennyiség.

A mozgás kezdő és végpontját leíró helyvektorok különbsége vektormennyiség és a neve elmozdulás. Jele: Δr.

r1 - r2 = Δr

3


GYAKORLÓ FELADATOK 1. Egy ember 8 km-t kerékpározott, amikor észrevette, hogy elhagyta a pumpáját. Visszafordult, és azt 2 km tekerés után találta meg. Mekkora volt az általa megtett összes út és mekkora volt az elmozdulása? 2. Egy futó 400 m-es körpályán edz. Az edzésen összesen, változó tempóban 30 kört futott. a) Mekkora volt az általa megtett összes út és mekkora volt az elmozdulása? b) Mekkora volt a megtett út és az elmozdulás, miután 10 és fél kört tett meg? c) Mekkora az elmozdulás 3 és negyed kör megtétele után? 3. Egy túrázó 8 km-t halad É-i irányban, majd 3 km-t nyugatnak. Mekkora volt az elmozdulása, mekkora utat tett meg összesen?

EGYENES VONALÚ EGYENLETES MOZGÁS KÍSÉRLET MIKOLA CSŐVEL Vizsgáljuk meg egy ferdén befogott vízzel telt üvegcsőben (Mikola-féle csőben) mozgó légbuborék mozgását!

4


Mérjük meg, hogy az üvegcsőben lévő buborék mekkora utakat tesz meg egyenlő időközök (pl.: 2 másodpercenként). A kapott értékeket rögzítsük táblázatban! t (s) 0 2 4 6 8 10

s (m) 0

A táblázat adatait elemezve arra a következtetésre jutunk, hogy a buborék egyenlő időközönként (2 másodpercenként) ugyanakkora utakat tett meg. Tehát a megtett út egyenesen arányos az eltelt idővel. Az ilyen mozgást egyenletes mozgásnak nevezzük.

Egyenes vonalú egyenletes mozgást végez az anyagi pont akkor, ha egyenes vonalú pályán állandóan ugyanabban az irányban halad, és egyenlő időközök alatt – bármilyen kicsinyek is ezek – egyenlő utakat tesz meg.

AZ EGYENES VONALÚ EGYENLETES MOZGÁS SEBESSÉGE Az egyenes vonalú egyenletes mozgás definíciója alapján belátható, hogy az út és az idő között egyenes arányosság van: 5


s ~ t s  állandó t Belátható, hogy az a test amelyik ugyanakkora Δt idők alatt nagyobb Δs utakat képes megtenni, az s gyorsabban mozog. Ez azt is jelenti, hogy a hányados értéke annál nagyobb, minél gyorsabban mozog a t s test. Ezek alapján, a hányados alkalmas az egyenes vonalú egyenletes mozgást végző test jellemzésére. t A

s hányados neve sebesség. Jele: v. A sebesség vektormennyiség. t

A sebesség megmutatja az egységnyi idő alatt megtett utat.

s t v  m , km s h v

ÚT – IDŐ, SEBESSÉG – IDŐ GRAFIKON

A sebesség – idő grafikon alatti terület a mozgás időtartalma alatt megtett utat.

6


KÉRDÉSEK 1. Válaszoljon az alábbi kérdésekre: a) Mi az elmozdulás? b) Miért mondjuk, hogy a nyugalom viszonylagos? c) Mikor nevezünk egy fizikai mennyiséget vektormennyiségnek? d) Mi a mozgási pálya? e) Milyen vonatkoztatási rendszerben látjuk nyugvónak a folyóba ejtett labdát? f) A testek mely mozgását mondjuk egyenletesnek? 2. Válassza ki a helyes állításokat! Ha egy test egyenes vonalú egyenletes mozgást végez, akkor: a) a sebesség nagysága egyenesen arányos az eltelt idővel. b) a megtett út egyenesen arányos az eltelt idővel. c) a gyorsulás állandó. d) a sebességváltozás egyenesen arányos a sebességváltozás időtartalmával. e) a sebesség nagysága egyenesen arányos az eltelt idővel. 3. Egyenletes sebességgel haladó hajón egy labdát dobunk függőlegesen felfelé. Hová érkezik vissza a labda? Miért? 4. Miért nem függőlegesek az egyenletesen haladó vonat ablakán az esőcseppek nyomai? 5. Egy akna a felrobban, a repeszek egyenlő sebességgel indulnak különböző irányokban. Milyen alakzaton lesznek egy rövid idő múlva?

7


GYAKORLÓ TESZT FELADATOK 1. Melyik mértékegységcsoportban találhatók csak SI mértékegységek? a) kg, s, oC, m, V

b) g, s, K, m, A

c) kg, A, m, K, s

d) g, s, cm, A, oC

2. Melyik állítás igaz? a) A megtett út nagyobb vagy egyenlő mint az elmozdulás. b) A megtett út és az elmozdulás mindig egyenlő. c) Az elmozdulás mindig nagyobb mint a megtett út. d) A megtett út mindig nagyobb mint az elmozdulás. 3. A grafikon egy egyenes vonalú mozgást végző jármű sebesség-idő grafikonja. Mekkora utat tett meg a jármű 9 másodperc alatt? v (m/s) a) 50 m b) 60 m

10

c) 54 m

6

d) 48 m

3

4

7

9

t (s)

4. Egy folyón úgy evezünk át a túlsó partra, hogy végig a folyás irányára merőlegesen evezünk. Melyik állítás igaz? a) A legrövidebb úton jutunk át. b) A legrövidebb idő alatt jutunk át. c) Az átjutás ideje független az evezés és folyás irányaitól. d) Az átjutás útja független az evezés és a folyás irányaitól.

5. Egy folyón a legrövidebb úton szeretnénk átjutni. A folyás irányához képest milyen irányban kell eveznünk? a) A folyásirányra merőlegesen. b) A folyásiránnyal éppen szemben.

8

A mozgások leírása Kinematika 9. osztályosoknak Rudolf Zoltán c) A folyásirány és az evezés irányának szöge 90o és 180o között van. d) A folyásirány és az evezésirányának szöge 0o és 90o között van.

6. Egy csónakban állandó erővel evezve ugyanazt a távolságot megtesszük oda-vissza először állóvízben, majd folyóvízben. Melyik állítás igaz? a) Állóvízben rövidebb ideig tart az utazás. b) Folyóvízben rövidebb ideig tart az utazás. c) Mindkét esetben azonos ideig tart az utazás. d) Az evezés sebességétől függ, hogy melyik esetben rövidebb az utazás.

GYAKORLÓ NUMERIKUS FELADATOK TK. 20. old. 2-9. 1. A budavári sikló eredetileg 3 m/s sebességűre építették ki; de a tempót 1988-ban az utasok kérésére a felére csökkentették. A pálya hosszúsága közel 100 méter. Az alsó és felső állomás közti szintkülönbség mintegy 50 méter. a) Mennyi idő alatt ér a sikló a célállomásra? b) Készítsük el a budavári sikló út-idő és sebesség-idő grafikonját! 2. Egy autó 30 percen át 40 km/h sebességgel haladt, majd 15 percen át 45 km/h sebességgel. Mekkora utat tett meg háromnegyed óra alatt? Ábrázolja a mozgást sebesség-idő grafikonon! 3. Egy gépkocsi először 3 óráig 90km/h , ezután 2 óráig 60 km/h sebességgel haladt. a) Hol van a gépkocsi az indulás után 4 óra múlva? b) Mikor van a gépkocsi az indulás helyétől 360 km-re? c) Mennyi utat tett meg összesen a gépkocsi? d) Ábrázoljuk a mozgást út-idő és sebesség-idő grafikonon! 4. Az ábra egy kerékpáros út-idő grafikonját mutatja.

9

A mozgások leírása Kinematika 9. osztályosoknak Rudolf Zoltán a) Határozd meg, hogy az egyes szakaszokhoz milyen mozgást tartozik!

b) Mekkora a megtett út? c) Ábrázoljuk a kerékpáros mozgását sebesség-idő grafikonon! 5. Az 5 km/h sebességgel túrázó társaság 2 km-t halad keleti irányban, majd 3 km-t dél felé és végül 6 kmt nyugat felé. a) Mekkora utat tettek meg? b) Mekkora az elmozdulásuk? c) Mennyi ideig tartott a túra, ha közben 20 percet pihentek? 6. Egyenes országúton egy személygépkocsi megelőz egy autóbuszt. A busz 60 km/h nagyságú, a személygépkocsi 90 km/h nagyságú egyenletes sebességgel halad. Milyen messze van az előzési ponttól 20 perc múlva a busz és a személygépkocsi? Mekkora a két jármű egymástól mért távolsága a megadott időpontban? 7. Béla 8 perc 20 másodperc alatt 15 km-t motorozik Gyulafirátótról indulva, de észreveszi, hogy elvesztette zsebkendőjét, így megfordul, és 6 percig halad 90 km/h sebességgel, míg meg nem találja. Mekkora utat tett meg? Mekkora volt az elmozdulása? 8. Béla és Johnie két fős bicikliversenyt rendeznek. Béla sebessége 45 km/h, Johnie-é pedig 40 km/h. a) Mekkora Béla sebessége Johniehoz képest? b) Mekkora Jonnie sebessége Bélához képest c) Mekkora az út sebessége Johniehoz képest? 9. Béla egy 5 km/h sebességű folyóban úszik a sodrással szemben a folyóhoz viszonyított 3 km/h sebességgel. Mekkora a) Béla sebessége a Földhöz képest, b) a Föld sebessége a folyóhoz képest?

10

A mozgások leírása Kinematika 9. osztályosoknak Rudolf Zoltán 10. Béla egy 6 km/h sebességű folyóban úszik a sodrásra merőlegesen 4,5 km/h sebességgel. Mekkora Béla sebessége a Földhöz képest? 11. PT 7. feladat 12. PT 8. feladat 13. PT 15. feladat 14. PT 20. feladat 15. PT 12. feladat 16. Hány másodperc alatt halad el a 40 km/h sebességű, 200 m hosszú vonat mellett a 60 km/h sebességű gépkocsi egy adott pontja, ha a a) vonattal azonos irányban halad? b) vonattal ellentétes irányban halad? 17. Egy utas 800 m hosszú és 72 km/h sebességű vonatban ül. A párhuzamos sínpályán a vonattal azonos irányban haladó 400 m hosszú másik vonatot 40 s-ig látja elhaladni. Mekkora a másik vonat sebessége? 18. PT 18. feladat 19. Két kerékpáros egymás felé halad 10 m/s sebességgel. Amikor a köztük lévő távolság 20 km, egy légy az első kerékpár kormányától elindul és az országúthoz viszonyítva 15 m/s sebességgel halad a második kerékpár kormánya felé. Elérve azt visszafordul és ugyanazzal a sebességgel repül az első felé és így folytatja a kerékpárosok találkozásáig. Mekkora utat repült a légy összesen? 20. Egy motorcsónak állóvízbeli sebessége négyszer akkora, mint a folyó sebessége. A motorcsónak a folyón szemközti kikötőbe, egyenes pályán egy perc alatt szokott átérni. Legutóbb elromlott a motorja és már nem húzott úgy, mint régen, ezért négy perc alatt ért csak át. Hányad részére csökkent a motorcsónak állóvízi sebessége?

VÁLTOZÓ MOZGÁSOK A természetben előforduló mozgások többsége változó mozgás. Először az autók is gyorsítanak, majd rövid egyenes vonalú egyenletes mozgás után lassítanak vagy kanyarodnak esetleg ideiglenesen megállnak. Az egyenes vonalú egyenletes mozgás sebességdefiníciója változó mozgásoknál nem állja meg a helyét, hiszen az út és az idő egyenes arányossága nem minden esetben áll fenn. 11


AZ ÁTLAGSEBESSÉG Egy gyorsvonat a 200 km hosszú utat 2,5 óra alatt teszi meg. Közben gyorsít, lassít, várakozik, szinte folyamatosan változtatja a sebességét. Ha ki akarjuk számolni a példaként felhozott gyorsvonat sebességét az egyenes vonalú egyenletes mozgásnál tanultak alapján, akkor nem a pontos sebességet kapjuk meg, hanem a pontos sebességek átlagát.

Átlagsebességen azt a sebességet értjük, amellyel a test egyenletesen mozogva ugyanazt az utat ugyanannyi idő alatt tenné meg, mint változó mozgással. átlagsebesség  v átl . 

összes _ megtett _ út a _ mozgás _ teljes _ ideje

sö tö

GYAKORLÓ FELADATOK 1. TK. 24. old. 1-4. 2. Egy gépkocsi a Budapest – Pécs közötti 210 km-es utat 3 óra alatt teszi meg. Az út első felében 60 km/h átlagsebességgel haladt. Mekkora az egész útra számított átlagsebesség? Mekkora az autó átlagsebessége az út második felében? 3. Egy autós a 6-os főútvonalon 40 percig 90 km/h sebességgel halad, majd utolér egy 72 km/h sebességgel haladó teherautót. 15 percig nem tudja megelőzni, így követi azt. a) Mekkora az összes megtett út? b) Mekkora az autó átlagsebessége a mozgás teljes ideje alatt? c) Rajzoljuk fel ugyanabban a koordinátarendszerben a sebesség-idő és az átlagsebesség-idő grafikont! d) Rajzoljuk fel az út-idő koordinátarendszerben mozgás grafikonját! 4. PT 17. 5. PT 26. 6. PT 28. 12


AZ EGYENLETESEN VÁLTOZÓ MOZGÁS Ha egy test sebessége, (tehát a sebességvektor hossza, iránya, vagy mindkettő egyszerre) változik, akkor változó mozgásról beszélünk. Ha a sebesség nagyságának változása egyenletes, tehát a változás időről időre megegyezik, akkor egyenletesen változó mozgásról beszélhetünk.

KÍSÉRLET (LEJTŐN LEGURULÓ GOLYÓ) Gurítsunk le egy kisautót kis hajlásszögű lejtőn. Kronométer segítségével rögzítsük, hogy a kiskocsi mennyi idő alatt tesz meg 20, 40, 60, 80 cm-t. A mért adatokat rögzítsük táblázatban és vizsgáljuk meg, hogy hogyan változik a megtett út és a sebesség az idő függvényében.

A GYORSULÁS A kísérletből láthattuk, hogy egyenes vonalú egyenletesen változó mozgás esetén a sebességváltozás és a közben eltelt idő között van egyenes arányosság.

v ~ t v  állandó t A

v hányados neve gyorsulás. Jele: a. A gyorsulás vektormennyiség, tehát nagysága és iránya van. t

A gyorsulás megmutatja az egységnyi idő alatti sebességváltozást.

v t v  m2 s a

13


A PILLANATNYI SEBESSÉG ÉS A MEGTETT ÚT KISZÁMOLÁSA A sebesség Tudjuk, hogy:

a

v v  t t

Ebből, ha a kezdősebesség zérus:

v  a t Ha a kezdősebesség v0:

v  v0  a  t A megtett út kiszámolása Már az egyenes vonalú egyenletes mozgásnál tanultuk, hogy a sebesség-idő grafikon alatti terület számértéke megegyezik a vizsgált test által megtett úttal. Ezt kihasználva könnyen meghatározható az egyenes vonalú egyenletes mozgást végző test útja. Ha a mozgást végző testnek nincs kezdősebessége, akkor a grafikon alatti terület egy háromszöget ad, ha van kezdősebesség, akkor trapézt:

14

A mozgások leírása Kinematika 9. osztályosoknak Rudolf Zoltán A háromszög területképletének ismeretében könnyen belátható, hogy a kezdősebesség nélküli egyenletesen gyorsuló test által megtett út az alábbi képlettel számolható:

s

1 a t2 2

A trapéz felbontható egy háromszögre és egy téglalapra. A területet a két síkidom területe adja, így a kezdősebességgel rendelkező gyorsuló mozgást végző test által megtett út:

s  v0t 

1 a  t2 2

GYAKORLÓ FELADATOK 1. TK. 29. old. 1-6. 2. PT. 41, 42, 43, 45, 46, 49, 52, 53, 54, 57, 58, 59, 61, 62, 66, 67, 68, 69, 72 3. PT. 75, 76, 77, 78, 79, 80, 89

SZABADESÉS A szabadesés bővebb leírását lásd külön. A megosztott dokumentumok között megtalálod! Ha egy követ, egy papírdarabot vagy egy tollpihét elejtünk mozgásuk, esésük különbözőképpen megy végbe. Ha ugyanezt a kísérletet egy vákuumcsőben végezzük el, akkor a mindhárom test ugyanolyan mozgást végez és ugyanannyi ideig esik. A testek esését tehát nagymértékben befolyásolja a levegő hatása. A kísérlet alapján azonban megállapíthatjuk, hogy légüres térben minden test egyformán esik.

A testek olyan esését, amely során csak a gravitációs hatás érvényesül (minden más, a test mozgását befolyásoló hatás elhanyagolható), szabadesésének nevezzük. A szabadesés egy kezdősebesség nélküli egyenes vonalú egyenletesen változó mozgás, melynek a gyorsulása állandó és megegyezik a Föld felszínén mérhető gravitációs gyorsulással g-vel. (g=9,81 ms-2, feladatokban kerekítve: 10 ms-2)

15


A szabadon eső test elmozdulása:

h

1  g t2 2

A szabadon eső test pillanatnyi sebessége:

v  g t FÜGGŐLEGES HAJÍTÁS A felemelt testet nem csak elengedhetjük, hanem felfele vagy lefele irányban kezdősebességet is adhatunk neki, tehát elhajíthatjuk. A függőleges hajítás kezdősebességgel rendelkező szabadesés.

A FÜGGŐLEGESEN LEFELE HAJÍTOTT TEST MOZGÁSA A függőlegesen lefele hajított test mozgásának ideje alatt folyamatosan gyorsul. Mozgásának leírása megegyezik a kezdősebességgel rendelkező egyenes vonalú egyenletesen változó mozgást végző testével.

A függőlegesen lefele hajított test elmozdulása:

h  v0  t 

1  g t2 2

A függőlegesen lefele hajított test pillanatnyi sebessége:

v  v0  g  t A FÜGGŐLEGESEN FELFELE HAJÍTOTT TEST MOZGÁSA A függőlegesen felfele hajított test mozgása bonyolultabb. A v0 kezdősebességgel felhajított labda először felfele emelkedik, de sebessége egyre kisebb lesz, lassul. Abban a pillanatban, amikor a pillanatnyi sebessége zérusra csökken, akkor éri el mozgásának legmagasabb pontját, a maximális emelkedési magasságot. Ettől kezdve a mozgás, mivel nincs már kezdősebesség, egy sima szabadesésként írható le.

16


A függőlegesen felfele hajított test elmozdulása:

h  v0  t 

1  g t2 2

A függőlegesen felfele hajított test pillanatnyi sebessége:

v  v0  g  t Mind a helyet, mind a pillanatnyi sebességet leíró függvények egy idő után negatív értéket vesznek fel. Ez matematikailag és fizikailag is helyes. Ha a mozgásunk koordináta rendszerét úgy rögzítettük, hogy a pozitív irány felfele nézzen, akkor a pillanatnyi sebesség negatív értéke azt jelzi, hogy a mozgást végző test sebessége már ellenkező irányban mutat, tehát lefele, vagyis a test már nem felfele emelkedik, hanem visszafele esik. Az elmozdulás zérus értéke azt jelzi, hogy a test pontosan visszatért az elhajítás magasságába, a negatív érték azt jelzi, hogy már lejjebb van, mint ahonnan elindult. Nagyon fontos megjegyezni, hogy a függőlegesen hajítás esetén a test által megtett út nem minden esetben egyezik meg az elmozdulással. Az egyezés csak a mozgás emelkedő szakaszában áll fenn. A megtett út meghatározásánál tehát tudnunk kell, hogy pontosan hogyan mozog a test a kérdéses időpontban. Ha még felfele tart, akkor az elmozdulást leíró függvény adott pillanatban felvett értéke adja meg a megtett utat. Ha lefele tart, akkor a megtett út a maximális emelkedési magasság és a lefele megtett út összege adja. Az emelkedési idő meghatározása Amikor a függőlegesen felfelé elhajított test pályájának legmagasabb pontján van, akkor a pillanatnyi sebessége zérus. Ebből a tényből kiindulva az alábbi egyenlet megoldásával meghatározható az emelkedési idő.

v  v0  g  t 0  v0  g  t v0  g  t tem 

v0 g

17

A mozgások leírása Kinematika 9. osztályosoknak Rudolf Zoltán Az emelkedési magasság meghatározása Belátható, hogy a maximális emelkedési magasság egyenlő a test elmozdulását leíró függvény, emelkedési időhöz tartozó helyettesítési értékével. (A test akkor van a legmagasabban amikor a pillanatnyi sebessége zérus.)

h max  v 0  t em 

1 2  g  t em 2

h max

v v 1  v 0  0   g   0 g 2  g

h max

v v  0  0 g 2g

h max

v  0 2g

2

  

2

2

2

VÍZSZINTES HAJÍTÁS Vízszintes hajítás olyan mozgás, amikor egy szabadon eső testnek van egy állandó vízszintes irányú sebessége. Tehát a kezdősebesség nem függőleges irányú, hanem vízszintes irányú. Mivel a légellenállástól és a gravitációs kölcsönhatáson kívül minden más hatástól eltekintünk a vízszintes irányú sebességkomponens állandó marad a mozgás teljes ideje alatt. A vízszintes hajítás síkbeli mozgás, tehát a koordináta rendszerünkben a test pontos helyének megadásához két adatra van szükség. Az y tengely mutatja a függőleges irányt, az x tengely a vízszintest.

A függőleges irányú pillanatnyi sebesség:

vy  g  t A vízszintes irányú pillanatnyi sebesség:

vx  v0 A függőleges irányú elmozdulás:

y

1  g t2 2

A vízszintes irányú elmozdulás:

x  v0  t 18

A mozgások leírása Kinematika 9. osztályosoknak Rudolf Zoltán Látható, hogy a vízszintesen elhajított test függőlegesen szabadesést, vízszintes irányban pedig egyenes vonalú egyenletes mozgást végez. A vízszintesen elhajított test pillanatnyi sebessége

Egy test sebességét a test sebességkomponenseinek összege adja meg. Egy vízszintesen elhajított testnek van függőleges irányú (ennek a nagysága állandóan változik) és van vízszintes irányú (ennek a nagysága és az irányai is változatlan) komponense. A két komponens vektoriális összege a test pillanatnyi sebessége. Mivel a függőleges és a vízszintes irányú sebességkomponensek egymásra merőlegesek, ezért a vektorok összeadási szabályainak megfelelően, az összegvektor hossza a sebességkomponensek hosszából Pitagorasz-tétel szerint számolható.

A vízszintesen elhajított test pillanatnyi sebessége: 2

v  vx  v y

2

GYAKORLÓ TESZTFELADATOK 1. Melyik képlet nem használható a szabadesésnél? A, v=gt B, t=v/g C, s=vt

D, s=gt2/2

2. Vákuumcsőben egyszerre ejtünk le egy tollpihét és egy ólomgolyót. Mekkora gyorsulással esik a tollpihe? A, A tollpihe egyenletesen esik B, A tollpihe g-nél kisebb gyorsulással esik C, A tollpihe g gyorsulással esik

D, A tollpihe g-nél nagyobb gyorsulással esik

3. Mekkora a g pontos értéke Budapesten? A, 9,81 m/s B, 9,95 m/s2 C, 10 m/s2

D, 9,81 m/s2

4. A szabadon eső test hány métert tesz meg az első másodpercben?

19

A mozgások leírása Kinematika 9. osztályosoknak Rudolf Zoltán A, 1 m

B, 5 m

C, 10 m

D, 25 m

5. Mekkora a pillanatnyi sebessége a 20 m magasságból leejtett szabadon eső kavicsnak földet éréskor (egészre kerekítve)? A, 10 m/s B, 20 m/s C, 30 m/s D, 40 m/s 6. Mekkora a pillanatnyi sebessége az 5 m magasságból függőlegesen ledobott vasgolyónak a földet éréskor (egészre kerekítve)? A, 5 m/s B, 10 m/s C, 15 m/s D, 20 m/s 7. Egy vízszintesen, egyenletesen haladó repülőgépből csomagot ejtenek ki. Ha a légellenállástól eltekintünk, melyik állítás helyes? A) A csomag a repülőgép előtt ér a talajra. B) A csomag a repülőgép alatt ér a talajra. C) A csomag a repülőgép mögött ér a talajra.

D) A csomag az elejtés helye alatt ér a talajra.

8. Melyik állítás helyes a szabadesésre (kerektett értékkel számolva)? A,1 másodperc múlva 10m/s a sebessége B, Másodpercenkénti sebességváltozása 10 m/s C, 10 m tesz meg 1 másodperc alatt

D, 1 másodperc alatt a gyorsulása 10 m/s

GYAKORLÓ FELADATOK 1. TK. 34.oldal 1-7. 2. PT. 112-126. 3. Függőlegesen felfele dobunk egy követ 20 m/s sebességgel. Mekkora lesz a kő sebessége 3 másodperc múlva? Hol lesz ekkor a test? Milyen irányban mozog ekkor? 4. Mekkora kezdősebességgel dobták fel azt a testet, amely 4 másodperc múlva ér vissza a földre? 5. Egy 50 m magas toronyból v0=20 m/s sebességgel függőlegesen felfelé dobunk egy testet. Mennyi idő múlva engedjük szabadon esni ugyanabból a pontból egy másik testet, hogy az elsővel együtt érjen földet? Mekkora lesz a testek sebessége a talajra érés pillanatában? 6. Egy követ függőlegesen felfelé, egy másikat lefelé hajítunk 12 m/s nagyságú sebességgel. Mennyi idő múlva lesznek egymástól 60 m távolságra? 7. 1,8 m magasból 5 m/s sebességgel vízszintesen elhajítunk egy testet. Mekkora a test sebessége és elmozdulása 0,2 másodperc múlva? Milyen messze ér földet az elhajítás helyétől? (A talaj teljesen vízszintes.) Mekkora lesz a sebessége a talajra érés pillanatában? 8. Milyen kezdősebességgel kell egy testet 1,8 m magasból vízszintesen elhajítani, hogy x=6 m távolságban érjen talajt? 9. Két követ függőlegesen felfele dobunk ugyanabból a pontból 3 másodperc időkülönbséggel, v1= 30 m/s, v2=40 m/s kezdősebességekkel. Határozzuk meg, hogy emelkedéskor vagy eséskor találkoztak! A feldobás helyétől milyen távolságra, és az első test feldobása után mennyi idővel találkoztak? 10. A talajtól mérve 400 m magasságból szabadon ejtünk egy testet. Ugyanabban a pillanatban elhajítunk vízszintesen is egy másik testet. 5 másodperc múlva a két test közötti távolság 40 m. Mekkora 20

A mozgások leírása Kinematika 9. osztályosoknak Rudolf Zoltán sebességgel hajították el vízszintesen a testet? Mekkora lesz a talajra éréskor a két test közötti távolság?

A KÖRMOZGÁS EGYENLETES KÖRMOZGÁS

A körmozgás periodikus mozgás.

Az olyan mozgást, amelyben a test ugyanazt a mozgásszakaszt folyamatosan ismételgeti periodikus mozgásnak nevezzük.

A körmozgáson kívül periodikus mozgás többek között még az ingamozgás és a rezgőmozgás. Periodikus mozgás pl.: a Föld mozgása a Nap körül, a rugóra akasztott test mozgása, a kis és nagymutató járása, stb. A rugóra akasztott test mozgása közben a rugó egyenlő időtartamok között nyúlik ki és húzódik össze, vagy az óra mutatói egyenlő időtartamok alatt tesznek meg egy teljes kört. Ez az időtartam a periodikus mozgások egyik fő jellemzője. Neve: periódusidő.

PERIÓDUSIDŐ: Az az időtartam, amely alatt egyszer játszódik le a mozgásszakasz ismétlődése. Körmozgásnál a periódusidő az az időtartam amely alatt a körmozgást végző test egy fordulatot megtesz. Körmozgásnál a periódusidőt köridőnek vagy keringési időnek is nevezhetjük. A periódusidő jele: T, mértékegysége: s (másodperc). A periódusidő ismerete megadja nekünk, hogy mennyi idő alatt tesz meg a körmozgást végző test egy kört. Tegyük fel azonban, hogy nem arra vagyunk kíváncsiak, hogy mennyi idő kell egy kör megtételéhez, hanem arra, hogy egy bizonyos idő alatt, pl.1 másodperc alatt, hány kört tesz meg a vizsgált test. A fizikai mennyiséget, amely megadja az egységnyi idő alatt bekövetkező ismétlődések számát, frekvenciának nevezzük.

21


Azt a mennyiséget, amely megmutatja a periodikus mozgás egységnyi idő alatt bekövetkező ismétlődéseinek számát, frekvenciának nevezzük. Jele: f Mértékegysége: 1/s = Hz (hertz)

A frekvencia kiszámolása, ill. gyakorlati meghatározása viszonylag egyszerű. Le kell mérni az ismétlődések számát és el kell osztani a vizsgált időintervallum hosszával.

f 

Z t

A képletben szereplő Z az ismétlődések számát a Δt pedig az eltelt időt jelenti. Vegyük észre, hogy Z=1 esetén, tehát egy körbefordulás esetén a Δt helyére a periódusidőt (T) írhatjuk. Ez alapján tudjuk, hogy a periódusidő ismeretében megadható a frekvencia és fordítva.

f 

Z 1  t T

A frekvencia megadható a periódusidő reciprokaként (és fordítva).

f 

1 T

T

1 f

Körmozgásnál a frekvenciát fordulatszámnak is szokás nevezni.

22

A mozgás leírása azt jelenti, hogy minden időpillanatban meg tudjuk adni egyértelműen vizsgált test helyét és helyzetét

Recommend Documents