A mobil hírközlés alapjai

Dr. Pap László Dr. Imre Sándor

A mobil hírközlés alapjai

2007 Híradástechnikai Tanszék Dr. Pap László Dr. Imre Sándor

A mobil hírközlés alapjai

Dr. Pap László dr. Imre Sándor

2007.

Tartalomjegyzék TARTALOMJEGYZÉK BEVEZETÉS 1. A MOBIL RÁDIÓS RENDSZEREKKEL KAPCSOLATOS ALAPFOGALMAK 1.1 A mobil kommunikációs rendszerek felosztása és típusai 1.1.1 A távközlési hatóságok felosztása a felhasználói területek szerint 1.1.2 A rendszerek csoportosítása technikai/technológiai szempontok szerint 1.1.3 Harmadik generációs mobil rendszerek

I IV

1 1 1 3 4

1.2 A digitális mobil rendszerekben felvetõdõ alapkérdések 1.2.1 A hírközlõ csatornák átviteli tulajdonságai 1.2.2 A rendszerek spektrális hatékonysága 1.2.3 Forgalomelméleti alapok

6 6 10 10

1.3 A digitális mobil rendszerek felépítése

13

2. A TÖBBSZÖRÖS HOZZÁFÉRÉS MÓDSZEREI

15

2.1 Szervezett közeghozzáférési módszerek 2.1.1 Frekvenciaosztásos hozzáférés (FDMA, Frequency Division Multiple Access) 2.1.2 Idõosztásos hozzáférés (TDMA, Time Division Multiple Access) 2.1.3 Kódosztásos hozzáférés (CDMA, Code Division Multiple Access)

15 15 15 16

2.2 Kommunikációs irányok szétválasztása

16

2.3 Hibrid rendszerek

16

2.4 Véletlen hozzáférésû rendszerek 2.4.1 Az ALOHA eljárások összefoglalása

17 17

3. A MOBIL RÁDIÓCSATORNA JELLEMZÉSE

19

3.1 Sávhatárolt jelek ekvivalens alapsávi leírása, komplex alapsávi jelkezelés

19

3.2 Sávhatárolt átviteli rendszer

24

4. A TÖBBUTAS TERJEDÉS FIZIKAI MODELLJE 4.1 Az alapmodell 4.2

z m (t ) tulajdonságai

27 27 29

4.3 A mobil csatornák általános jellemzése, a Bello-függvények

30

4.4 A véletlenül változó paraméterû csatornák jellemzése

34

4.5 Rayleigh-fading

41

i

4.6 A z(t) komponenseinek autokorrelációs függvénye Rayleigh-fading esetén

42

4.7 A Rayleigh-fading amplitúdójának autokorrelációs függvénye

46

4.8 A Rayleigh-fading egyszerûsített leírása 4.8.1 Direkt terjedési úttal rendelkezõ csatorna (Rice-csatorna, Rice-fading) 4.8.2 Lognormál fading 4.8.3 Az eredõ fading eloszlás 4.8.4 A mobil csatornák típusai és paramétereik

46 48 49 50 54

5. A TERJEDÉSI CSILLAPÍTÁS BECSLÉSE

56

5.5 A terjedési csillapítás becslése sík terepen 5.5.1 Idealizált elméleti modell 5.5.2 A valóságos antennák vizsgálata 5.5.3 A hullámterjedés számítása N különbözõ környezetben

56 56 60 63

5.6 A térerõ becslése dombos, hegyes terepen 5.6.1 Akadálymentes eset 5.6.2 Reflexiós pontok dombos területen, az effektív antennamagasság fogalma 5.6.3 A térerõ becslése akadályok esetén (késél modell) 5.6.4 A terjedési csillapítást befolyásoló egyéb tényezõk 5.6.5 Terjedés a sûrûn lakott városokban (a mikrocellák problémája)

64 64 66 71 72 73

6. A LASSÚ, MULTIPLIKATÍV FADING HATÁSA A KLASSZIKUS DIGITÁLIS MODULÁCIÓS RENDSZEREK MINÕSÉGI PARAMÉTEREIRE.75 6.1 Lineáris modulációs rendszerek (ASK, PSK, QPSK, MPSK, QAM) 6.1.1 A lineáris modulációs rendszerek típusai 6.1.2 A modulált jel egy szimbólumra esõ átlagos energiájának meghatározása 6.1.3 A fehér Gauss-zaj alapsávi ekvivalense és a jel-zaj viszony 6.1.4 Optimális koherens vétel, hibaarány bináris esetben 6.1.5 Optimális, nemkoherens vétel, hibaarány bináris esetben 6.1.6 A hagyományos modulációs eljárások hibavalószínûségének függése a jel-zaj viszonytól 6.1.7 A fading hatásának analízise, Rayleigh- és Rice-fading

75 77 85 88 94 104 110 111

6.2 Nemlineáris modulációs rendszerek 6.2.1 Teljes válaszfüggvényû rendszerek 6.2.2 Részleges válaszfüggvényû rendszerek 6.2.3 A CPM vevõ

115 117 119 121

6.3 Az egyoldalsávos SSB moduláció módosított változata

123

7. DIVERZITI TECHNIKÁK

127

7.1 Az optimális lineáris kombájner analízise csatornainformáció esetén

129

7.2 Az optimális lineáris diverziti kombinációs eljárás hibaanalízise Rayleigh-fading esetén

134

7.3 Optimális kombinációs eljárás csatornainformáció nélkül

137

7.4 Lineáris szuboptimális kombájnerek

140

7.5 A diverziti eljárások határtulajdonságai

142

8. A SZÓRT SPEKTRUMÚ MODULÁCIÓ

145

ii

8.2 Szórt spektrumú távközlés alapelve

145

8.3 A szórt spektrumú modulációs rendszerek típusai 8.3.1 Direkt szekvenciális szórt spektrumú moduláció 8.3.2 Lassú frekvenciaugratásos moduláció 8.3.3 Frekvencia kódolt frekvenciaugratásos moduláció 8.3.4 Fázis kódolt frekvenciaugratásos moduláció

148 148 150 152 153

8.4 A direkt szekvenciális többszörös hozzáférésû rendszer hibaanalízise

154

9. A CELLÁS STRUKTÚRA ALAPJAI ÉS A KÜLÖNBÖZÕ RENDSZEREK ÖSSZEHASONLÍTÁSA 159 9.1 A szabályos cellás rendszerek felépítése 9.1.1 A 60°-os koordinátarendszer tulajdonságai 9.1.2 A klaszterek és a cellák lehetséges száma a klaszterekben

159 159 160

9.2 Interferenciák a cellás rendszerben 9.2.1 Alapösszefüggések az azonos csatornás interferenciára

163 163

9.3 A cellás rendszerek hatékonysága 9.3.1 Hatékonysági mutatók 9.3.2 Az egyes rendszerek elõnyei és hátrányai

165 168 170

10. DIGITÁLIS MODULÁLT JELEK ÁTVITELE DISZPERZÍV CSATORNÁN171 10.1 A szimbólumközi áthallás fogalma 10.1.1 Az alapmodell 10.1.2 Az ISI mentesség feltétele (Nyquist-feltétel)

171 171 173

10.2 Optimális koherens vétel diszperzív csatornában 10.2.1 A komplex alapsávi fehér Gauss zaj leírása a vektortérben és a jel energiája 10.2.2 Az optimális vevõszûrõ meghatározása 10.2.3 A szimbólumközi áthallással terhelt csatorna összefoglalása

174 174 175 177

1.3 A csatornakiegyenlítés módszerei 1.3.1 A zajfehérítõ szûrõ méretezése 1.3.2 Nullázó csatornakiegyenlítés (Zero Forcing, ZF) 1.3.3 Minimális négyzetes átlaghibájú csatornakiegyenlítés (Mean Square Error, MSE) 1.3.4 Döntésvisszacsatolt csatornakiegyenlítés (Decision Feedback, DF)

178 179 180 183 186

RÖVIDÍTÉSJEGYZÉK

188

JELÖLÉSEK JEGYZÉKE

191

IRODALOMJEGYZÉK

192

iii

1. A mobil rádiós rendszerekkel kapcsolatos alapfogalmak A mobil rádiós rendszerekkel való ismerkedést célszerű az alapfogalmak áttekintésével kezdeni. Ennek keretében bemutatjuk a mobil kommunikációs rendszerek különféle szempontok szerinti felosztásait majd a digitális mobil rendszerekben felvetődő alapkérdéseket vesszük sorba.

1.1 A mobil kommunikációs rendszerek felosztása és típusai A mobil kommunikációs rendszereket egyrészt csoportosíthatjuk a távközlési hatóságok felhasználói területek szerinti felosztása alapján, másfelől igen gyakori a technikai/technológiai szempontok szerinti rendszerezés is. A mobil távközlés rendkívül dinamikus fejlődését figyelembe véve külön alfejezetben tárgyaljuk a közeljövő mobil technológiáját. 1.1.1 A távközlési hatóságok felosztása a felhasználói területek szerint A hatóságok által alkalmazott csoportosítás alapvetően a rendszerhez való hozzáférés széleskörűsége alapján tesz különbséget. a.) Közcélú mobil rendszerek A közcélú mobil rendszerek a hálózat szolgáltatás-hozzáférési pontjain keresztül biztosítják - díj ellenében - a helyi, a belföldi távolsági és a nemzetközi hívások kezdeményezésének, továbbításának és fogadásának és a segélykérő hívások lehetőségét. A közcélú mobil rádiótelefon hálózat olyan, a földfelszíni rádiótávközlő hálózaton létesített közcélú távbeszélő hálózat, amely a nagy területen szabadon mozgó igénybevevők között lehetővé teszi a hangfrekvenciás jelek átvitelét. A hívott előfizető elérése a nemzeti, illetőleg nemzetközi számozási tervben rögzített választási eljárás útján lehetséges. A közcélú mobil rádiótelefon rendszerek egyik igen népes csoportja a cellás mobil rendszerek, ahol a szabad terület rádiós lefedése ún. bázisállomások segítségével történik. A legismertebb cellás rendszereket az alábbiakban soroltuk fel • NMT (Nordic Mobile Telephone) 450 MHz, 900MHz • TACS (Total Access Communication Service) • AMPS (Advanced Mobile Phone System) • GSM (Groupe Speciale Mobile; Global System for Mobile Comunications) • RCR-27 (japán rendszer, 800 MHz, 1500 MHz) • O-Netz (német rendszer) • D-Netz (német rendszer) • IS-54 (amerikai digitális rendszer) • IS-41 (amerikai digitális rendszer) • DCS-1800 (a GSM továbbfejlesztése az 1800 MHz-es sávban)

1

A ritkán lakott területek mobil lefedésére, illetve multinacionális vállalatok kommunikációs igényeinek kielégítésére születtek a globális mobil műholdas telefonrendszerek. Segítségükkel a Föld felszínének szinte teljes egésze alkalmassá válik a mobil kommunikációra. Hátrányuk a cellás rendszerekben alkalmazott készülékekkel szemben a lényegesen nagyobb adóteljesítmény, ami egyrészt nagyobb készülékméretet eredményez egyforma készenléti idő esetén, másrészt lényegesen nagyobb elektromágneses terhelést az előfizető számára. A két legismertebb közcélú globális mobil műholdas rendszer a GLOBSTAR és az IRIDIUM. A közcélú mobil rendszerek másik csoportját az ún. személyhívó rendszerek alkotják, melyek meghatározott címzett üzenetek közvetítését teszik lehetővé változó helyű előfizetők számára. A legismertebb megvalósítások a következők • ERMES (European Radio Messaging System) • Eurosignal (87 MHz) • Euromessage (460 MHz) • SMS (Short Message Service, GSM szolgáltatás) • FM műsorszóró rendszerek alkalmazása b.) Közcélú vezetékes rendszerek mobil kiterjesztése A vezetéknélküli előfizetői (helyi) hurok alkalmazása esetén a vezetékes előfizetői készülék egy olyan egységhez kapcsolódik vezetékesen, amely rádiós kapcsolatban áll a vezetékes központtal. Így kis népsűrűségű területek is gazdaságosan bevonhatók a vezetékes szolgáltatásba. A vezetékes rendszerek mobil kiegészítésének másik formája a vezeték (zsinór) nélküli telefonok. Ezek a készülékek rádiós úton kapcsolódnak az előfizetői terminálhoz, mintegy 100-200 méteres körzetben szabad mozgást biztosítva. Ilyen rendszerek az alábbiak • CT-1 (Cordless Telephone) • CT-2 • DECT (Digital European Cordless Telephone) c.) Nem közcélú rendszerek A nem nyilvános célú mobil rendszereket három csoportba szokás sorolni. A saját célú mobil rendszerek olyan hálózatok, melyeket egy adott vállalkozás vagy személy kizárólag saját távközlési igényeinek kielégítésére használ. A zártcélú rendszerek a kormányzati, nemzetbiztonsági és védelmi érdekeket szolgáló - rendeltetésük szerint elkülönült - hálózatok, amelyek kizárólagosan a speciális igények kielégítését, az e célra létrehozott szervezet és technika működését szolgálják. A különcélú rendszerek zárt felhasználói csoportot alkotó igénybevevők által használt hálózatok, amelyeken elsődlegesen azok belső forgalma bonyolódik.

2

A TETRA (Terrestial Trunked Radio) tipikus példája az utóbbi két rendszernek, mivel mindkét feltételrendszer biztosítására alkalmas. A nem közcélú rendszerek tipikus példáit az alábbiakban soroltuk fel: • Zsinórnélküli mikrofonok • Vezetéknélküli helyi hálózatok (Local Area Network, LAN) • DSRA (Digital Short Range Radio) • Légi és tengeri szolgálatok • Mobil adathálózatok mobilitás

lefedettség nemzeti

igen gyors (repülõ)

Személyhívó

Cellás

Airphone

telefon regionális gyors (jármû)

SMR µ-cellás telefon

lassú (korlátozott területen)

lokális

CT - 2 speciális körzetek

lassú (erõsen korlátozott területen)

CT - 1

otthoni, munkahelyi technológia

Egyirányú átvitel (vétel)

Kétirányú átvitel (csak hívás)

Kétirányú átvitel (broadcast)

Kétirányú átvitel

1.1 ábra Mobil rádiórendszerek 1.1.2 A szerint

rendszerek

csoportosítása

technikai/technológiai

szempontok

A mozgó állomások helyzete alapján: • földi mozgó rendszerek • tengeri mozgó rendszerek • repülőgépes mozgó rendszerek • hordozható rendszerek (CB, Walkie Talkie, katonai rendszerek, mozgó mérőeszközök, épületen belüli kommunikáció) A bázisállomás helyzete alapján: • földi hálózatok • műholdas hálózatok

3

A szolgáltatások típusa alapján: • kétirányú beszédátvitel • kétirányú adatátvitel • műsorszórás • személyhívás • navigáció és helymeghatározás Az átviteli mód és a hálózatszervezés alapján: • analóg és digitális átvitel • globális és cellás (lokális) rendszerek A frekvencia-felhasználás alapján: • VHF rendszerek (70-160 MHz) • UHF rendszerek (pl. 450 MHz) • cellás digitális rendszerek (pl. 900 MHz, 1800 MHz) • L sávú műholdas rendszerek (pl. 1800 MHz) • mikrohullámú mobil hálózatok (20-60 GHz) 1.1.3 Harmadik generációs mobil rendszerek Az elmúlt tíz esztendőben tanúi lehettünk a nyilvános mobil telefónia megszületésének, majd minden előrejelzést meghazudtoló dinamikus fejlődésének. Mára a különböző technológiai alapra épülő rendszerek kezdik elérni átviteli képességeik határait, miközben mind erősebb az igény a világszintű mobil távközlés megvalósítására. E kettős igény feloldására született meg az IMT2000 (International Mobile Telecommunications) rendszercsalád elve. A rendszercsaládhoz tartozó harmadik generációs mobil rendszerek lehetővé teszik a világszintű bolyongást multimédia átvitelt biztosítva. Jóllehet az egyes rendszerek számos technikai részletben eltérnek majd egymástól, de a CDMA (Code Division Multiple Access) elv alkalmazása közös vonásuk. A harmadik generációs mobil rendszerek fejlesztése gyakorlatilag három színtéren két irányvonal mentén zajlik. A színterek: Európa-ETSI, Japán-ARIB és az USA-TIA. A fejlesztők Európában és Japánban az ún. szélessávú CDMA rendszer mellett tették le a voksot, az USÁ-ban pedig a cdmaOne továbbfejlesztésén alapuló cdmaOne2000 lesz az IMT2000 család tagja. E kettősség nyilvánvaló oka az, hogy Európa és Japán esetében a fejlesztés tiszta lapról indult, míg az USÁ-ban igyekeznek minél többet átmenteni a meglévő CDMA alapú rendszerből. Természetesen Európában sem közömbös, hogy milyen módon lehet folytonos átmenetet biztosítani a jelenlegi GSM rendszer és az európai harmadik generációs rendszer az UMTS (Universal Mobile Telecommunications System) között. Az alábbi táblázatban az IMT2000-hez tartozó harmadik generációs mobil rendszerekkel szemben támasztott elvárásokat foglaltuk össze.

4

Előfizető sebessége

Maximális adatátviteli sebesség

Nagy mobilitású (<500 km/h)

144 kbps

Városi (<120 km/h)

384 kbps

Beltéri, gyalogos (<10 km/h)

2Mbps

1.2 ábra IMT2000 adatátviteli paraméterek Fontos kérdés a szabványosítás ütemezése is. Ezen a területen is különbségek mutatkoznak az egyes színterek között. A következő ábra az ütemezés fázisait tartalmazza az egyes régiókban. elsõ ETSI szabványok

elsõ kereskedelmi rendszerek

próbarendszerek

Európa 1998

1999

2000

2001

2002

2003

próbarendszerek elsõ ARIB szabványok

elsõ kereskedelmi rendszerek

Japán 1998

1999

2000

2001

2002

2003

próbarendszerek elsõ TIA szabványok

elsõ kereskedelmi rendszerek

USA 1998

1999

2000

2001

2002

2003

1.3 ábra Az IMT2000 rendszercsalád fejlesztésének ütemezése A harmadik generációs mobil távközléssel kapcsolatban felmerül egy igen fontos fogalom az univerzális személyi távközlés (UPT, Universal Personal Telecommunications). A fő cél a személyhez kötött hívószám alapján működő hívó/hívásfogadó szolgálat bevezetése. Az UPT távközlési szolgáltatást biztosít úgy, hogy lehetővé teszi a személyes mobilitást. Minden felhasználónak van egy egyedi, személyhez kötött, hálózatfüggetlen hívószáma, mellyel képes hívásokat kezdeményezni és fogadni az előfizetett szolgáltatások körében bármely állandó telephelyű vagy mozgó terminálról, függetlenül annak földrajzi helyzetétől. Ezt a lehetőséget csak a terminál és a hálózat kapacitása valamint a szolgáltató korlátozhatja.

5

1.2 A digitális mobil rendszerekben felvetődő alapkérdések A mindennapi gyakorlatban alkalmazott mobil távközlő rendszerekben működésének megértéséhez nélkülözhetetlen a témakörben felmerülő alapproblémák áttekintése. 1.2.1 A hírközlő csatornák átviteli tulajdonságai A hírközlő csatornák átviteli tulajdonságait a csatornákban keletkező zavarok és torzítások határozzák meg (ilyen például a vevő erősítőjében keletkező fehér zaj, vagy a vevő lineáris torzítása). A mobil hírközlő csatornák - a hagyományos additív fehér Gauss-zajjal terhelt rendszerekhez viszonyítva lényegesen bonyolultabbak. Itt az alábbi hatásokkal kell számolni:

• • • • • • •

többutas terjedés visszaverődés fading az átvitel teljes megszűnése impulzuszaj fehér Gauss-zaj interferencia

Vizsgáljuk meg, hogy milyen hatása van a rádióállomások (adó, vevő vagy mindkettő) mozgásának! A mobil rádiócsatorna átviteli függvénye (súlyfüggvénye) idővariáns (a tipikus távközlő csatorna idő-invariáns). Ezt a tulajdonságot a komplex idővariáns h(τ,t) súlyfüggvénnyel fejezhetjük ki a legjobban. Az 1.4 ábrán a mobil rádiócsatorna egy tipikus komplex idővariáns súlyfüggvényének abszolút értékét ábrázoltuk. Mint az jól megfigyelhető, a súlyfüggvény különböző időpillanatban felvett reprezentánsai eltérnek egymástól. 10 lg h(τ , t )

2

[dB]

-20 -30

10

-40

20 40

-50 60 -60

t [s]

80

-70

100 1

2

3

4

5

6

τ [ µs]

1.4 ábra Az idővariáns csatorna súlyfüggvénye

6

Legyen a csatorna bemeneti jele az alábbi általános alakú A a (t ) e j (ω 0t +ϕ ( t )) ,

a kimeneti időfüggvénye pedig Aa '(t ) e j (ω 0t +ϕ ( t )) .

Ekkor a csatorna jellemezhető az a '(t ) ; a (t )

20 lg

a '(t ) a (t )

hányados segítségével, amely időben változik. Mindez arra utal, hogy a rendszer kimeneti jelének a szintje véletlenszerűen ingadozik.

5 dB

a’(t) a(t) [dB]

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

t [s]

1.5 ábra Amplitúdóátvitel mobil rádiócsatornán A csatorna kimeneti jelének szintjét két alapvető paraméter határozza meg:

• A terjedés okozta csillapítás (ez az adó és a vevő távolságától, az alkalmazott frekvenciától és a terjedés útjába eső akadályoktól függ).

• A fading által okozott statisztikus ingadozás, mely hangsúlyozottan megkülönböztetendő az előző hatástól. Következményeképpen a rádiócsatorna egy adott pontján mért térerő értéke időben véletlenszerű ingadozásokat mutat. A fading elsődleges oka a rádiócsatornában véletlenszerűen mozgó tárgyak okozta reflexió. Korábbi tanulmányokból jól ismert jelenség a Doppler-effektus. Ennek lényege, hogy a hangforrás felé mozogva magasabb frekvenciájúnak halljuk a jelet, míg távolodva tőle a hang mélyül. Ez a frekvenciaeltolódási jelenség az elektromágneses hullámokra is érvényes. Emiatt a térerő időbeli ingadozásának mértéke függ a mobil terminál mozgási sebességétől. Az 1.6a és 1.6b ábrák ezt a jelenséget szemléltetik. A gyorsabban haladó mobil gyakrabban találkozik a

7

térerőleszívásokkal ezért úgy érzékeli, mintha a térerő gyorsabban változna a lassabban mozgóhoz képest. Az 1.7 ábrán egy grafikonon szemléltetjük a mozgó mobil által megtett utat és a térerő változását. Jól látható, hogy amikor a mobil gyorsabban halad (a görbe meredeksége nő) a térerő is gyorsabban változik. térerõ [dB]

térerõ [dB]

kisebb sebesség

nagyobb sebesség

idõ (távolság)

idõ (távolság)

1.6a és 1.6b ábrák A térerő ingadozása a mobil sebességének függvényében

térerõ [dB]

út

idõ

1.7 ábra A megtett út és térerő változása az idő függvényében mozgó mobil esetén A térerő változásának jellege nagy mértékben függ a környezettől is. Ez a függés tipikusan kétféle szempont szerint csoportosítható. Megkülönböztetünk természetes és mesterséges környezetet. A természetes környezet fogalma tovább bontható a domborzati viszonyok függvényében nyílt, sík, dombos és hegyes vidékre. A mesterséges környezet a beépítettségtől függően rurális (országút), kvázi városi, külvárosi, városi és épületen belüli lehet. Az 1.8a és 1.8b ábrák a városi és a rurális környezet közötti eltérést mutatják be. Városban a nagyszámú épület okozta reflexió miatt a térerő szinte minden szabályszerűség nélkül ingadozik, míg autópályán haladva a térerő jó közelítéssel konstans és csak egyes árnyékoló tereptárgyak okoznak időnkénti leszívásokat.

8

térerõ [dB]

térerõ [dB]

10

10

0

0

-10

-10

-20

-20

-30

-30 rurális (autópálya)

t idõ

városi

t idõ

1.8a ás 1.8b ábrák Térerő városi és rurális környezetben Vizsgáljuk meg milyen következménnyel járnak a rádiócsatornában véletlenszerűen fellépő térerőcsökkenések. Digitális átvitel esetén nyilvánvalóan a vételi oldalon a bitek hibás detektálását eredményezi a fading. Ez mennyiségileg a Pb bithibaarányal jellemezhető a csatorna jel-zaj viszonyának függvényében. Az 1.9 ábrán a fadingmentes átvitelt az erfc() függvénnyel írtuk le (ennek okát a jegyzet későbbi fejezeteiben kimerítően tárgyaljuk majd). Látható, hogy fadinges átvitel esetén ugyanakkora bithibaarány eléréséhez jelentősen növelni kell az adó teljesítményét. Pl. míg 10-2 bithibaarány fenntartásához elegendő 13-szoros teljesítménynövelés, addig 10-5 bithibaarányhoz már több mint 5000-szeres növelés szükséges. Pb 1 fading nélkül Q(x) erfc(x)

10-1 fadinges átvitel 1/x

10-2 10-3

10-2: 13-szoros adóteljesítmény 10-5: 5012-szeres adóteljesítmény

10-4 10-5 0

10

20

30

jel / zaj [dB]

1.9 ábra Fading hatása a bithibaarányra

9

1.2.2 A rendszerek spektrális hatékonysága A rádiós rendszerek vizsgálatának egyik kulcskérdése a spektrális hatékonyság, azaz annak meghatározása, hogy egységnyi frekvencián mennyi információ vihető át. Ezen rendszerek ugyanis egy korlátozottan rendelkezésre álló "természeti erőforrást", a frekvenciát (frekvenciasávot) használják. A rendszerek spektrális hatékonysága ezért igen fontos jellemző. A kiszolgált felhasználói populáció csak hatékony módszerekkel növelhető, melyeket az alábbiakban foglaltunk össze. • hatékony forráskódolás: az eredeti analóg jel digitalizálása és kódolása úgy, hogy elegendően kis torzítás mellett a lehető legkisebb sebességű digitális adatfolyamot kelljen átvinni a csatornán • sávtakarékos modulációs eljárások alkalmazása: olyan közvetlen digitális modulációs módok alkalmazása, melyeknél az egy felhasználóra (egy elemi átviteli csatornára) jutó frekvenciasáv elegendően kicsi • trönkölési eljárások alkalmazása: több átviteli csatorna együttes kezelése és szervezett megosztása nagy létszámú, kis forgalmi intenzitású felhasználók között • véletlen időosztású eljárások alkalmazása: egy közös csatorna véletlen megosztása nagy létszámú, kis forgalmi intenzitású felhasználók között pl. ALOHA elv, ütközéses-ismétléses csatorna • a cellás elv alkalmazása: nagy kiterjedésű földrajzi területek cellákra bontása és az egymástól távol eső cellákban a frekvenciák újra felhasználása makro, mikro és piko cellák segítségével 1.2.3 Forgalomelméleti alapok A beszédhívásokat kiszolgáló rendszerek leírására az alábbi jól bevált modellt alkalmazzák. Ha N számú csatorna áll rendelkezésünkre és végtelen számú forrásunk van, melyek együtt λ intenzitással (időegységben átlagosan λ-szor), exponenciális időközzel generálnak forgalmat, akkor a foglalt csatornák számát leíró valószínűségi változó Poisson-eloszlást követ. Ha igaz továbbá, hogy az üzenetek hossza (azaz a tartási idő) exponenciális eloszlású 1/µ átlagértékekkel, akkor annak az esélye, hogy egy üzenet olyankor érkezik, amikor minden csatorna foglalt, az alábbi születési-halálozási folyamat alapján számolható, ahol Pi=P{i db. csatorna foglalt egyidejűleg} 0

1

λ P0

µ

2

λ P1

2µ

N-1

λ

••• P2

N

PN-1

Nµ

PN

dP0 = − P0 λ + P1 µ dt

10

dP1 = P0 λ − P1 ( λ + µ ) + P2 2 µ dt dPi = Pi −1λ − Pi (λ + iµ ) + Pi +1 (i + 1) µ dt dPN −1 = PN − 2 λ − PN −1 ( λ + ( N − 1) µ ) + PN ⋅ N ⋅ µ dt

Ebből a stacioner eset megoldás λ µ

P1 = P0

P2 = − P0

Pi = P0

λ λ+µ λ2 + P1 = P0 2µ 2µ 2µ 2

λi i!µ i

λN PN = P0 N !µ N

Nyilvánvalóan N

∑ P = 1, i

i =0

így i

1  λ P0 ∑   = 1 i =0 i !  µ  N

Annak a valószínűsége, hogy mind az N csatorna foglalt egy új felhasználói igény megjelenésekor

PN =

 λ    µ

N

1 N! i

λ 1   ∑ i =0  µ  i ! N

,

melyet Erlang-B formulának hívunk. Az előfizetők által felajánlott teljes forgalom λ/µ alakban írható fel. Annak valószínűsége, hogy egy újabb hívást kezdeményező előfizetőt vissza kell λ utasítani PN, ezért a teljes blokkolt forgalom PN ⋅ , az átvitt forgalom µ λ pedig (1 − PN ) ⋅ . µ

11

Mikro cellás rendszerekben a felhasználók M száma azonban már nem tekinthető végtelennek. Ilyenkor a modell az alábbi formára módosul λ

λ

M −1 M

λ

M − ( N − 1) M

• • P0

µ

P1

2µ

M> N

P2

PN-1

Nµ

ahol az egy felhasználóra első felkínált forgalom α =

PN

λ 1 ⋅ . µ M

Írjuk fel ismét az állapotátmenet egyenleteit dP0 = − P0 λ + P1 µ dt dP1 M − 1  = − P0 λ − P1  µ + λ  + P2 ⋅ 2 µ  dt M  dP2 M −1 M − 2  = P1λ − P2  2 µ + λ  + P3 ⋅ 3µ  dt M M  dPi M − (i − 1) M − i  = Pi −1λ − Pi  iµ + λ  + Pi +1 (i + 1) µ  dt M M 

Ebből a stacioner megoldás P1 = P0

λ µ

λ 1 λ M −1 λ2 ( M − 1) P2 = − P0 + P1 + P1 = P0 2µ 2 2µ M M 2µ 2 2

λ3 ( M − 1)( M − 2) 1  λ  M ( M − 1)( M − 1)   P3 = P0 = P 0 3!  µ  6µ 3 M2 M3 1  λ PN = P0   N! µ

N

M ( M − 1)( M − 2)...( M − ( N − 1)) MN

Vagyis i

 λ   M λ P1 = P0 Pi = P0     µ  µM   i  i

 λ   M P0 = ∑     i = 0  µM   i  N

12

Így annak valószínűsége, hogy mind az N csatorna egyidejűleg foglalt N

PN =

 λ   M      µM   N  i

 λ   M     ∑ i = 0  µM   i  N

.

A blokkolási valószínűség számításához pedig figyelembe kell venni, hogy az λ 1 egy felhasználóra első felkínált forgalom ⋅ és blokkolás akkor következik µ M be, ha az új hívást kezdeményező előfizetőn kívüli (M-1) felhasználó már lefoglata mind az N csatornát, ezért blokkolás valószínűsége  λ   M − 1      µM   N  N

PB =

 λ   M − 1     ∑ i  i = 0  µM   N

i

.

Ez utóbbi két végeredményt Engset-formulákként ismeri a szakirodalom. Megjegyezzük azonban, hogy a harmadik generációs mobil rendszerekben, ahol nem csupán beszédátvitel fordul elő, hanem adat, kép és hang (multimédia) egyidejű átvitelére is sor kerülhet, jóval összetettebb modelleket alkalmazására van szükség a tartási idő és a kiszolgálási idő leírására.

1.3 A digitális mobil rendszerek felépítése A következőkben a digitális mobil rendszerek általános felépítését tekintjük át. Röviden ismertetjük az egyes blokkok feladatait. Vannak olyan blokkok, mint a mintavételezés, kvantálás, stb., melyek működéséről már előtanulmányai során részletes ismereteket szerezhetett az olvasó, ezért ezen jegyzetben csak röviden tárgyaljuk. Ugyanakkor olyan elemeknek, mint a modulátor, rádiócsatorna, stb. egész fejezetet szentelünk. A rendszer elemei az 1.10 ábrán láthatók. A mintavételt, kvantálást és kompressziót együttesen forráskódolásnak nevezzük. A forráskódolás feladata az analóg jel digitális alakra transzformálása és természetes redundanciájának csökkentése. A csatornakódoló hibavédelem céljából mesterséges redundanciát visz a digitális jelfolyamba. A keretszinkronizálás az adatfolyamok kezdetének kijelölését végzi. Az alapsávi kódolás feladata a spektrális hatékonyság növelése. A vivő- és szimbólumszinkronizálás a vett bitfolyam dekódolhatóságát biztosítja.

13

Keretszinkronizálás Analóg jel

Mintavétel

Kvantálás

Kompresszió

Csatornakódoló

Analóg csatorna

Demodulátor

Detektor

Vivõszinkronizáló

Szimbólum szinkronizáló

(Forrás) F or r áskódolás Alapsávi kódoló

Modulátor

Keretszinkronizálás

Csatorna dekóder

Dekompreszszor

D/A átalakító

Jel visszaállító

Analóg jel (Nyelõ)

1.10 ábra Digitális mobil rendszer felépítése A rendszer természetesen egyéb elemeket is tartalmazhat (multiplexer, pilot csatorna, visszairányú csatorna a hibaazonosításra, diverziti, stb.) A rendszerben jelentkező zavarokat két alapvető csoportba sorolhatjuk:

• A hasznos jeltől függő zavarok: ∗ ∗ ∗ ∗ ∗

sávkorlátozás szimbólumközi áthallás fading nemlineáris torzítás kvantálási zaj

• A hasznos jeltől független zavarok: ∗ ∗ ∗ ∗ ∗

termikus zaj impulzuszaj interferencia szándékos zavarás teljes kiesés (szinkronizáció kiesése)

14

2. A többszörös hozzáférés módszerei A mobil rádiós rendszerekben tipikus probléma, hogy sok felhasználót kell egyidejűleg kiszolgálni, akik hívásokat generálnak és fogadnak egymás között, illetve más mobil vagy fix telepítésű hálózathoz kapcsolódnak. Mindez azt jelenti, hogy szervezetten vagy véletlenszerűen meg kell osztani egymás között a rendelkezésre álló csatornát (frekvenciasávot). A közeghozzáférési megoldásokat alapvetően két csoportba szokás osztani szervezett és véletlen közeghozzáférési rendszerekre. Mielőtt azonban ismertetnénk a többszörös hozzáférés típusait fontos tisztázni a multiplexálás és a többszörös hozzáférés közötti különbséget, mert ennek hiánya megzavarhatja az olvasót. A multiplexálás azt a folyamatot jelöli, amikor egy központi helyről a beérkező közös jelfolyamot a felhasználók között szétosztjuk. A többszörös hozzáférés esetén pedig a földrajzilag szétszórt állomások igyekeznek ugyanahhoz a közeghez hozzáférni. Tehát mindkét esetben egyazon közös erőforrás megosztásáról van szó, de két különböző szemszögből.

2.1 Szervezett közeghozzáférési módszerek Jelenleg háromféle szervezett közeghozzáférési módszert ismerünk. 2.1.1 Frekvenciaosztásos hozzáférés (FDMA, Frequency Division Multiple Access) A teljes frekvenciasáv átlapolódás-mentes (ortogonális) elemi csatornákra bontása és azok kiosztása a felhasználók között. Az egyes frekvenciasávokat védősávok választják el egymástól, ami egyúttal csökkenti a spektrális hatékonyságot is. A rendszer minősége alapvetően • a jel torzulásától, • a szomszédos csatornákból származó interferenciától (determinisztikus jelenség) és • az intermodulációtól (az együtt nyalábolt csatornák okozta zajszerű, statisztikus jelenség) függ. 2.1.2 Időosztásos hozzáférés (TDMA, Time Division Multiple Access) A teljes időtartomány felosztása átlapolódás-mentes (ortogonális) elemi időrészekre, és azok kiosztása a felhasználók között. Az egyes időréseket védőrések választják el egymástól, ami szintén csökkenti a spektrális hatékonyságot. A rendszer minősége elsősorban • az időzítés pontosságától, • a késleltetés szórásától • és a szimbólumközi áthallástól függ. Az időosztásos rendszereknél kötött és lekérdezés (polling) megoldást különböztetünk meg. Kötött időosztás esetén az egyes felhasználók előre rögzített

15

időrésekhez férhetnek csak hozzá, míg lekérdezés alkalmazásakor valamilyen rögzített szabály szerint jár körbe az időrésekhez való hozzáférési jog. 2.1.3 Kódosztásos hozzáférés (CDMA, Code Division Multiple Access) A felhasználókhoz ortogonális kódokat rendelve ugyanazon frekvenciasávban, egyidejűleg kommunikálhat valamennyi előfizető. A vevő az egyes felhasználóktól érkező jelek összegét veszi, de a nem neki szánt (más kódot használó) jelet elnyomja. A kódosztásos rendszer előnyei: • Nincs szükség sem a frekvenciatartományban sem az időtartományban védőzónára. • A különböző kódok között jelentős elnyomás érhető el. • A saját kóddal érkező késleltetett jelek elnyomása is jelentős lehet. • A rendszer védett a frekvenciaszelektív fadinggel szemben. A kódosztásos rendszerekről a jegyzet későbbi fejezetében még részletesen szólunk a szórt spektrumú moduláció kapcsán.

2.2 Kommunikációs irányok szétválasztása A közös csatornához való hozzáférés szabályozása mellett fontos kérdés az adási és vételi irányok szétválasztása, mely háromféle módon történhet

• Szimplex: az adási és vételi irány között felváltva történik a kommunikáció. Egyfrekvenciás szimplex esetén az adás és vétel azonos frekvencián zajlik, míg kétfrekvenciás szimplexet alkalmazva eltérő frekvencián. • Duplex: Az adást és a vételt időben “párhuzamosan“ valósítják meg. Frekvencia duplex (FDD, Frequency Domain Duplex) esetén az adási és vételi irányt eltérő frekvenciasávban biztosítják (lásd uplink/downlink). Idő duplex (TDD, Time Domain Duplex) alkalmazásakor pedig az adási és vételi irányt eltérő időrésekbe szervezik. • Félduplex: elsősorban zártcélú rendszerekben alkalmazzák takarékossági okokból. A bázisállomás duplex üzemben, a mozgó állomás szimplex módon működik.

2.3 Hibrid rendszerek A gyakorlati életben ún. hibrid rendszereket azaz a fentiek ötvözetét alkalmazzák. A következőkben néhány tipikus hibrid rendszert mutatunk be. GSM (digitális mobil telefon): TDMA/FDM/FDD/CDM. • FDM: A frekvenciatartományt 200 KHz-es sávokra bontják • TDMA: minden sávot 8 időosztásos csatorna között osztanak fel • FDD: az adási és vételi irányokat 45 MHz távolságra helyezték egymástól

16

• CDM: opcionális frekvenciaugratási sorozat is rendelkezésre áll IS-54 (digitális mobil telefon): FDM/FDD/TDMA • FDM: 30 KHz-es sávok • TDMA: 3 időosztásos csatorna/sáv • FDD: adó és vevő között 45 MHz szeparáció CT2Plusz (zsinór nélküli telefon): FDMA/TDD/TDMA/FDM • FDM: 100 KHz-es sávok • TDMA: hozzáférési csatornák számára • FDMA: információs csatornák számára • TDD: adó és vevő között időosztás IS-95 (digitális mobil telefon): CDMA/FDMA/FDD • FDM: 1.25MHz-es sávok • CDMA: minden sávban 64 csatorna kódosztással • FDD: adó és vevő között 45 MHz szeparáció

2.4 Véletlen hozzáférésű rendszerek 2.4.1 Az ALOHA eljárások összefoglalása Az alapmodell A termináloknál L hosszúságú csomagok keletkeznek Poisson-eloszlással. A Poisson-eloszlás intenzitása λ, ami annyit jelent, hogy a csomaggenerálás átlagos gyakorisága egységnyi időtartam alatt éppen λ [1/sec]. P{k csomag generálódik T idő alatt} =

(λ T ) k exp( − λT ) k!

Réselt ALOHA –L

0

L

2L

P{egy adott időrésben sikeres csomagot szállítunk} = = λ L exp( − λ L) = σ exp( −σ ) ahol σ a forgalom, S az áteresztőképesség. Nem réselt ALOHA t t + dt

t

P{egy adott időrésben sikeres csomagot szállítunk}

17

= λ L exp( −2 λ L) = σ exp( −2 σ ) Javított változatok, a vivőérzékeléses ALOHA eljárás A vivőérzékeléses (CSMA, Collision Sense Multiple Access) rendszer fő meghatározója az, hogy a terminálok figyelik a csatornákat és foglaltság esetén nem küldenek üzenetet, hanem várakozó állapotba kerülnek. Típusai a következők: (i) Nem kitartó CSMA, ahol a terminál foglaltnak találva a csatornát nem vár annak megüresedéséig, hanem azonnal elhalasztja az üzenet továbbítását. (ii) A kitartó eljárásnál a terminál a foglaltság érzékelése után addig vár, míg a csatorna üressé válik. (iii) A p valószínűséggel kitartó eljárásnál a terminál a foglaltság érzékelése után addig vár, míg a csatorna üressé válik, és azután p valószínűséggel indítja az adását, illetve (1–p) valószínűséggel tovább vár. (iv) A CSMA/CD (Collision Detect) eljárásnál a terminál figyeli az ütközéseket a csatornában és az adást azonnal leállítja. A nem kitartó CSMA rendszer áteresztő képességét az S=

σ exp( −a σ ) σ (1 + 2 a ) + exp( −a σ )

kifejezés határozza meg, ahol S annak valószínűsége, hogy egy adott időrésben sikeres csomagot szállítunk, σ =λT, a =

∆t , T

ahol ∆t a közeg késleltetése.

18

3. A mobil rádiócsatorna jellemzése A mobil rendszerek vizsgálatának egyik alapvető kérdése az adó és vevő között elhelyezkedő rádiócsatorna megfelelő leírása, hiszen ennek segítségével határozhatjuk meg az adó jelének ismeretében a vett jelet. Az univerzális leírás érdekében célszerű azonban a rádiócsatorna leírását függetleníteni az adott rendszerben alkalmazott frekvenciasávtól és a vizsgálatokat az alapsávban végezni. Ehhez meg kell határozni, hogy miként lehet a vivőfrekvenciás jelek alapsávi ekvivalensét előállítani, illetve a mobil rádiócsatorna vivőfrekvenciás leírását transzformálni kell az alapsávba. A fenti feladat megoldásához ebben a fejezetben a mobil rádiócsatorna vivőfrekvencia-független leírásának módszerét ismertetjük két lépésben. Először bemutatjuk a sávhatárolt jelek ekvivalens alapsávi leírását, majd a sávhatárolt rendszerek alapsávba történő transzformációját.

3.1 Sávhatárolt jelek ekvivalens alapsávi leírása, komplex alapsávi jelkezelés A sávhatárolt jelek általános alakját az s(t ) = a (t ) cos( ω 0 t + ϕ (t ) )

kifejezés adja meg, ahol ω 0 a vivőfrekvencia s amely felbontható az s(t ) = s I (t ) cos(ω 0 t ) − sQ (t ) sin(ω 0 t )

összetevőkre, ahol s I (t ) = a (t ) cos( ϕ (t ) ) a normál ( in phase) komponens, sQ (t ) = a (t ) sin( ϕ (t ) ) a kvadratúra (a koszinuszos vivőre

merőleges szinuszos) komponens. Mivel sI(t) és sQ(t) tipikusan lassan változó (alapsávi) jelek az ω 0 vivőhöz képest, ezért az ekvivalens alapsávi komplex jel az sekv (t ) = s I (t ) + j sQ (t )

alakban írható fel, és igaz, hogy

{

}

s(t ) = Re sekv (t ) e jω 0t .

Vezessük be a következő elnevezéseket. Jelölje sekv (t ) a sávhatárolt jel komplex alapsávi ekvivalensét és sekv (t ) e jω t az s(t) függvény komplex előburkolóját. Ez a leírás nem jelent mást, mint a jel fazoros ábrázolását. Írjuk fel az sekv (t ) ekvivalens alapsávi jelet az a (t ) amplitúdójának és a ϕ (t ) fázisának segítségével 0

sekv (t ) = s I (t ) + j sQ (t ) = a (t ) ⋅ e jϕ ( t ) .

19

A jel amplitúdója és pillanatnyi fázisa a következőképpen számítható a (t ) = s I2 (t ) + sQ2 (t ) ,

ϕ (t ) = arctg

sQ ( t )

mod 2π .

s I (t )

A vivőfrekvenciás jelet és komplex alapsávi megfelelőjét mutatják a 3.1a és 3.1b ábrák. Jól látható az alapsávi jelkezelés előnye, hiszen a vivőfrekvenciás jel ábrázolásakor a komplex frekvencia sík ω 0 szögsebességgel forog, míg a 3.1b ábrán a vivőfrekvenciától megszabadulva a jelet leíró fazor áll. sekv (t ) e jω 0t

Im{}

sekv(t)

Im{}

a(t)

a(t) sQ(t)

a (t ) ⋅ sin(ω 0 t + ϕ (t )) (ω 0 t + ϕ (t )) mod 2π

ϕ(t)

s(t ) = a (t ) ⋅ cos(ω 0 t + ϕ (t )) Re{}

ω0 szögsebességgel

Re{}

sI(t) 0 szögsebességgel forgó sík

forgó sík

3.1a és 3.1b ábrák A vivőfrekvenciás és az alapsávi jel fazoros ábrázolása Tételezzük fel, hogy létezik az s(t) jel Fourier-transzformáltja S ( f ) = F { s(t )} ,

mely a következőképpen számítható S( f ) =

+∞

∫ s( t ) e

− j 2 πft

dt ,

−∞

illetve s(t) az inverz Fourier-transzformáció segítségével határozható meg s( t ) =

+∞

∫ S ( f )e

j 2 πft

df .

−∞

Amennyiben s(t) valós, akkor teljesül, hogy S ( f ) = S * (− f ) .

Vizsgáljuk meg az alapsávi ekvivalens jel Fourier-transzformáltját! Mivel az sekv(t) komplex, így nyilvánvalóan most már nem áll fenn a komplex konjugált szimmetria, azaz * S ekv ( f ) ≠ S exv (− f ) .

20

Térjünk vissza a korábbi egyenletünkhöz

{

s(t ) = Re sekv (t ) e j 2π f 0t

};

ω 0 = 2π f 0

Ismert, hogy komplex számok esetén a valós rész képzése a szám és komplex konjugáltjának segítségével az alábbi módon történik s( t ) =

[

]

1 * sekv (t ) e j 2π f 0t + sekv ( t ) e − j 2 π f 0t . 2

Képezzük mindkét oldal Fourier-transzformáltját az eltolási tétel alkalmazásával. A jobb oldal első tagjára +∞

F {sekv (t )} = ∫ ( u(t ) +

j v (t ) ) e − j 2π ft dt = S ekv ( f ) .

−∞

A második tag esetén a Fourier-transzformált az alábbi módon határozható meg

F

{s

* ekv

+∞

} ∫ ( u( t ) − j v ( t ) ) e

(t ) =

− j 2 π ft

dt =

−∞

*

 +∞  * =  ∫ ( u(t ) + j v (t ) ) e j 2π ft dt  = S ekv ( − f ).  −∞ 

Így az eltolási tétel alkalmazásával s(t) Fourier-transzformáltjára a következő eredményt kapjuk S( f ) =

[

]

1 * S ekv ( f − f 0 ) + S ekv ( − ( f + f 0 )) , 2

ha sekv ( t ) = 0 minden olyan f frekvencián amire | f | ≥ B , ahol B az alapsávi jel sávszélességét jelöli. A fentiek alapján a jelek a frekvenciatartományban a 3.2 ábrán látható módon kapcsolódnak egymáshoz. Sekv(f)

Im{}

Re{}

-B

B

f

S(f) 1 * Im{} S ekv ( − ( f + f 0 )) 2

-f0-B -f0

Re{}

-f0+B

1 S ekv ( f − f 0 ) 2 Re{}

Im{}

f0-B

f0

f0+B

f

3.2 ábra Az ekvivalens alapsávi jel frekvenciatartománybeli ábrázolása

21

A 3.2 ábrán jól látható, hogy az ekvivalens alapsávi jel spektruma az s(t) jel spektrumának pozitív frekvenciára eső részével áll közvetlen kapcsolatban (f0-lal eltolt spektrum). Ezért vezessük be azt az s+ (t ) komplex jelet, amely csak a pozitív spektrális összetevőket tartalmazza s+ (t ) ⇔ S + ( f ) = S ( f ) + sgn( f ) S ( f ) ,

illetve s+ (t ) Fourier-transzformáltja S + ( f ) = S ( f ) + j ( − j sgn( f ) ) S ( f ) .

A H ( f ) = - j sgn( f ) függvény nem más, mint az Hilbert-transzformálás átviteli függvénye, melyet a 3.3 ábrán látható Hilbert-szűrővel ír le a szakirodalom. s(t)

H {s(t)}

j -j

S(f)

f

S ( f ) ⋅ (- j sgn( f ))

H(f)

3.3 ábra A Hilbert-szűrő A Hilbert-szűrő súlyfüggvénye a következő −1

h (t ) = F

11

{− j sgn( f )} = π t ,

míg a konvolúciós integrál

H {s(t )} =

1

π

+∞

s(τ )

∫ t − τ dτ .

−∞

Visszatérve s+ (t ) meghatározásához, egyszerűen látható, hogy S + ( f ) = S ekv ( f − f 0 )

és S ekv ( f ) = S + ( f + f 0 ) .

Az időtartománybeli megfelelők pedig ezek alapján az alábbiak s+ (t ) = sekv (t ) e j 2π f 0 t , sekv (t ) = s+ (t ) e − j 2π f 0 t .

Korábban viszont láttuk, hogy

{

}

s(t ) = Re sekv (t )e j 2π f 0t = Re{s+ (t )} ,

azaz s+ (t ) nem más mint az s(t) komplex előburkolója. A következőkben megvizsgáljuk a komplex alapsávi jelek előállításának elméleti és gyakorlati lehetőségeit. Az elméleti előállításhoz nem kell mást tennünk, mint az s(t) jelet átvezetni egy Hilbert-szűrőn majd hozzáadni a szűrés

22

előtti s(t) jelhez. Így megkapjuk az s+ (t ) jelet, amit e − j 2π f t -vel szorozva jutunk a komplex alapsávi jelhez. A fenti műveleteknek a 3.4 ábrán látható struktúra feleltethető meg. 0

sI(t)

s(t) sekv(t)=sI(t)+jsQ(t) ej90°

H{}

e-j 2π f0t

sQ(t)

3.4 ábra A komplex alapsávi jel elméleti előállítása Nyilvánvaló, hogy Hilbert-szűrőt a valóságban nem lehet készíteni, ezért szükséges a komplex alapsávi ekvivalens előállításának gyakorlati módszerét is bemutatni. Mindenekelőtt tekintsük át egy f(x) függvény Dirac-függvénnyel való konvolúciójának szabályait f ( x )∗ δ ( x ) =

+∞

∫ f (σ ) δ ( x − σ ) dσ =

f ( x) ,

−∞

f ( x − x 0 )∗ δ ( x + x 0 ) =

+∞

∫ f (σ − x

0

) δ ( x + x 0 − σ ) dσ = f ( x ) ,

−∞

f ( x − x 0 )∗ δ ( x − x 0 ) =

+∞

∫ f (σ − x

0

) δ ( x − x 0 − σ ) dσ = f ( x − 2 x 0 ) .

−∞

A fentiek ismeretében moduláljuk az s(t) jellel a 2 cos(2π f 0 t ) vivőt. Ekkor a modulált jel Fourier-transzformáltja S ( f )∗[δ ( f − f 0) + δ ( f + f 0 )] =

alakú, figyelembe véve, hogy a koszinuszos jel Fourier-transzformáltja Diracfüggvény és az időtartománybeli szorzást frekvenciatartományban konvolúcióval írjuk le. Ez S ( f ) -et felbontva tovább írható 1  =  ( S ekv ( f − f 0 ) + S * ( − ( f + f 0 )) ∗ [δ ( f − f 0 ) + δ ( f + f0 )] = ekv 2 

alakban, amiből

=

1 [S ekv ( f − 2 f 0 ) + S ekv ( f ) + S ekv* (− f ) + S ekv* (− f − 2 f 0 )] . 2

Ha a jel sávkorlátozott, azaz S ( f ) = 0 , ha |f-f0|>B, akkor a kétszeres frekvenciás komponenseket kiszűrve a modulált jel Fourier-transzformáltja

23

S ( f ) ∗ [δ ( f − f 0) + δ ( f + f 0 )] ⇒

1 [Sekv ( f ) + S ekv* (− f )]. 2

Tudjuk azonban, hogy F 1 1 * Sekv ( f ) + S ekv ( − f ) ⇔ s I ( t ) + j sQ ( t ) + s I ( t ) − j s Q ( t ) = s I ( t ) . 2 2

[

[

]

]

A fentiekhez hasonlóan határozhatjuk meg az s(t) jellel modulált 2 sin(2π f 0 t ) vivő esetén a s(t ) 2 sin( −2π f 0 t ) ⇔ sQ (t ) szûré s

kapcsolatot. Összegezve eredményeinket a 3.5 ábrán a komplex alapsávi jel gyakorlati előállítását mutatjuk be. sI(t) -B

B

2 cos(2πf 0 t )

s(t)

−2 sin(2πf 0 t ) sQ(t) -B

B

3.5 ábra A kvadratúra komponensek előállítása a gyakorlatban

3.2 Sávhatárolt átviteli rendszer Az előző alfejezetben megismerhettük a vivőfrekvenciás jelek komplex alapsávi kezelését, illetve a komplex alapsávi jel előállításának módját. A mobil rádiócsatorna leírásához, azonban nem elegendő egyes jelek alapsávi leírása, szükség van az egész csatorna alapsávi megfelelőjének ismeretére. Ezért a következőkben sávhatárolt rendszerekre végzünk az előzőekhez hasonló vizsgálatokat. Célunk annak meghatározása, hogy miként rendelhető a 3.6a ábrán látható rendszerhez a 3.6b ábra ekvivalens alapsávi rendszere. A 3.6a ábrán s(t) és r(t) jelöli a rendszer bemenő illetve kimeneti jelét, valamit h(t) a rendszer súlyfüggvényét.

s(t)

h(t)

r(t)

⇔

sekv(t)

hekv(t)

rekv(t)

3.6a és 3.6b ábrák Sávhatárolt rendszer és ekvivalens alapsávi megfelelője Az előző fejezetben leírtakhoz hasonlóan a sávhatárolt átviteli rendszer H ( f ) átviteli függvényére is igaz, hogy * H ( f ) = H ekv ( f − f 0 ) + H ekv ( −( f + f 0 )) ,

24

amiből a súlyfüggvényre

{

h(t ) = 2 Re hekv (t ) e j 2π f 0 t

}

adódik. A rendszer hatása a bemenő jelre az alábbi módon írható le R( f ) = =

[

]

[

][

1 * Rekv ( f − f 0 ) + Rekv (− f − f 0 ) = 2

]

1 * * S ekv ( f − f 0 ) + S ekv ( − f − f 0 ) ⋅ H ekv ( f − f 0 ) + H ekv (− f − f 0 ) . 2

Az alapsávi sávhatárolás után a magasabb frekvenciás összetevőket kiszűrve a kimenő jel R( f ) = =

1 * 1 * S ekv ( f − f 0 ) H ekv ( f − f 0 ) + S ekv ( − f − f 0 ) H ekv (− f − f 0 ) = 2 2 1 * Rekv ( f − f 0 ) + Rekv (− f − f 0 ) , 2

amiből nyilvánvalóan következik, hogy Rekv ( f ) = S ekv ( f ) H ekv ( f ) .

Most már meg tudjuk határozni a kimenő jel rekv (t ) alapsávi ekvivalensét

[

][

]

rekv ( t ) = s ekv ( t )∗ hekv ( t ) = s I ( t ) + j s Q ( t ) ∗ h I ( t ) + j hQ ( t ) =

ami tovább alakítható a zárójelek felbontásával

[

]

= s I (t )∗ hI (t ) − sQ (t )∗ hQ (t ) + j s I (t )∗ hQ (t ) + sQ (t )∗ hI (t ) .

Ez utóbbi eredmény az alapsávi ekvivalens szűrést testesíti meg, aminek ismeretében a kimenő jel időfüggvénye egyszerűen meghatározható

{

}

r (t ) = Re rekv (t ) e j 2π f 0 t = rI (t ) cos(2π f 0 t ) − rQ (t ) sin(2π f 0 t ) .

A 3.7 ábrán az ekvivalens alapsávi átvitelt mutatjuk be. Az ábrán látható szűrők, mint azt korábban láttuk aluláteresztő típusúak. Az ábra három blokkra bontható. Az első valósítja meg a vivőfrekvenciás jel alapsávi ekvivalensének előállítását, a második blokk képviseli a rádiócsatorna alapsávi ekvivalensét, míg a harmadik a csatorna kimenet vivőfrekvenciás jelének visszaállítását biztosítja.

25

ekvivalens alapsávi csatorna

sI(t)

hI(t)

rI(t)

szűrő s(t)

hQ(t)

2 cos(ω 0 t ) −2 sin(ω 0 t )

sQ(t)

2 cos(ω 0 t ) −2 sin(ω 0 t )

r(t)

-hQ(t)

szűrő hI(t)

rQ(t)

3.7 ábra Az alapsávi ekvivalens átvitel vázlata (a szűrő aluláteresztő típusú)

26

4. A többutas terjedés fizikai modellje A mobil rádiórendszerekben központi kérdés a rádiócsatorna megfelelő leírása. Az előző fejezetben megvizsgáltuk miként képezhetjük le az ideális időinvariáns szűrőnek tekinthető rádiócsatornát az alapsávba. Ugyanakkor a rádiócsatorna valós fizikai tulajdonságaiból adódó hatások figyelembe vétele is vizsgálódásunk tárgyát kell képezze. A rádiócsatornában nyilvánvalóan az adó és a vevő között a jel a különféle tereptárgyakon és a talajon való reflexiók következményeképpen egyszerre több úton is terjed. Amennyiben akár a mobil, akár valamelyik tereptárgy mozog, úgy a vevő számára a rádiócsatorna időinvariánssá válik. Ezért ebben a fejezetben tovább közelítve vizsgálatainkat a valós élethez a többutas terjedés fizikai modelljére koncentrálunk.

4.1 Az alapmodell Minden modell elsődleges célja a fizikai világ azon jelenségeinek egyszerűsített leírása, melyek érdemi hatással bírnak vizsgálatunkra. A mobil rádiócsatorna esetében az alapmodell a bázisállomás és a mobil vevő között a rádiójelet ért hatásokat foglalja magában, ahogy azt a 4.1 ábra mutatja.

m=1 n=1

Bázisállomás

n = Nm 2 3 m=M

Mobil állomás

4.1 ábra A mobil rádiócsatorna alapmodellje Az alapmodellben a bázisállomástól ún. fő terjedési útvonalakon halad a jel addig, amíg valamilyen tereptárgynak ütközve szóródik. Ezután a szóródott, ún. mellék terjedési útvonalakon jut - természetesen egyszerre több irányból is - a mobil vevőbe. A jel valamennyi útvonalon az útvonaltól függő csillapítást és késleltetést szenved. A modellben fontos szerepet kap a mobil mozgásából adódó Doppler-csúszásnak nevezett frekvenciaeltolódás, melynek számításához figyelembe kell vennünk a mobil sebességét, a mozgás és a hullámterjedés iránya által bezárt szöget, valamint a vivőfrekvenciát.

27

Legyen az ekvivalens alapsávi jelünk a következő sekv (t ) =

2Es a (t ) e j ϕ ( t ) , T 123 A=$ 1

ahol Es a szimbólumenergia, T a szimbólumidő, a(t) a jel amplitúdója, ϕ (t ) a fázisa és a jel amplitúdóját önkényesen, de a kapott eredmények általánosságát semmiben sem korlátozva egynek választjuk. Ekkor a vivőfrekvenciás jel az alábbi módon írható fel s(t ) = Re{s+ (t )} = a (t ) cos(2π f 0 t + ϕ (t )) .

Vezessük be a következő jelöléseket m

fő terjedési útvonal sorszáma (m=1,...,M)

n

mellékútvonal sorszáma (n=1,...,NM)

rmn (t )

az mn útvonalon haladó jel a vevő helyén

α mn

a csillapítási tényező

τ mn

a késleltetés

f mn

a Doppler-csúszás

f 0v cosψ mn c

v

a mobil sebessége

ψ mn

a mozgás és a hullámterjedés iránya által bezárt szög

c

a fénysebesség

f0

vivőfrekvencia

Az alapmodell és a fenti jelölések alapján az mn útvonalon érkező jel komplex előburkolója az alábbi módon írható fel r+ mn (t ) = α mn sekv (t − τ mn ) e j 2π f 0 ( t −τ mn ) e j 2π f mn t ,

amiből a mobil vevő helyén a vett jel komplex előburkolója a valamennyi lehetséges útvonalra való összegzés segítségével állítható elő M Nm

r+ (t ) = ∑ ∑ α mn sekv (t − τ mn ) e j 2π f 0 ( t −τ mn ) + j 2π f mn t . m =1 n =1

Ha az mn útvonalon haladó jel τ mn késleltetése független a mellékútvonaltól, azaz a szóródás után az egyes mellékutakon közel azonos hosszúságú utat tesz meg a vevőig, vagy csak olyan kis mértékben tér el az egyes utakon, hogy a változás a szimbólumidőhöz képest kicsi, akkor az m-dik főútvonalat tartalmazó valamennyi adó-vevő útvonal késleltetése jó közelítéssel Tm =

1 Nm

N

∑τ

mn

,

n =1

28

amiből Nm

M

r+ (t ) = ∑ sekv (t − Tm ) e j 2π f 0 t ∑ α mn e − j 2π f 0 τ mn + j 2π f mn t m =1 n =1444 1 424444 3 zm (t )

alakban írható fel. Bevezetve a mellékútvonal-független komplex zm (t ) szorzófaktort, valamint alkalmazva a komplex előburkoló és az alapsávi ekvivalens közötti összefüggést, a komplex alapsávi ekvivalensre az alábbi kifejezés adódik M

rekv (t ) = ∑ sekv (t − Tm ) zm (t ) . m =1

4.2 zm (t ) tulajdonságai A következőkben vizsgáljuk meg a zm (t ) szorzófaktort. zm (t ) komplex szám, melynek általános alakja zm (t ) = x m (t ) + j y m (t ) ,

valós és képzetes része pedig az előzőek figyelembe vételével Nm

xm (t ) = Re{z m (t )} = ∑ α mn cos(2π f mn t − 2π f 0 τ mn ) , n =1 Nm

y m (t ) = Im{zm (t )} = ∑ α mn sin(2π f mn t − 2π f 0 τ mn ) . n =1

Nagyon fontos kiemelni, hogy csatornában α mn , f mn és τ mn időben nem állandók, így egy adott pillanatban valószínűségi változókkal írhatók le. Ha Nm elegendően nagy és a változók függetlenek és azonos eloszlásúak, akkor összegük a centrális határeloszlás tétel miatt Gauss-eloszlás követ. Emiatt zm (t ) valós és képzetes része is Gauss-eloszlású. Ha teljesül, hogy x m (t ) és y m (t ) egyformán nulla várható értékűek és azonos szórásúak, azaz

[

] [

]

[

] [

]

E xm (t ) = E y m (t ) = 0 ,

E x m2 (t ) = E y m2 (t ) =

[ ]

1 Nm 2 E α mn =σ2, ∑ 2 n =1

valamint az útvonalfüggő komponensek korrelálatlanok, azaz

[ E[ y E[ x

] (t ) ⋅ y ( t ) ] = 0 (t ) ⋅ y (t )] = 0

E x m (t ) ⋅ x l (t ) = 0 m

m

l

  m≠l 

l

29

akkor a csatorna modellje a 4.2 ábrán látható struktúrájú, ahol a Ti * késleltetési értékek az alábbi rekurzív formulával számíthatók i

T1* = T1 ; Ti * = ∑ T j* . j =0

sekv(t) T1*

T2*

T3*

z1(t)

z2(t)

z3(t)

• • •

TM* zM(t) rekv(t)

Σ

4.2 ábra A mobil rádiócsatorna alapsávi ekvivalens modellje

4.3 A mobil csatornák általános jellemzése, a Bello-függvények Az előző alfejezetben megállapítottuk, hogy a többutas terjedés megfelelő feltételek teljesülése esetén az egyes utakra jellemző késleltetés és egy komplex szorzófaktor segítségével jellemezhetjük. A most következőkben a mobil rádiócsatorna általános leírását mutatjuk be az ún. Bello-függvényekre támaszkodva. Először a Bello-függvények definícióját adjuk meg, majd szemléletes módon értelmezzük őket. A csatorna kimeneti jele lineáris idővariáns rendszerben az alábbi összefüggéssel adható meg r (t ) =

+∞

∫ h(τ , t ) s(t − τ ) dτ ,

−∞

ahol s(t) és r(t) az adóhoz és a vevőhöz tartozó komplex alapsávi ekvivalens jelek, tehát a jelölések egyszerűsítése végett a továbbiakban elhagyjuk az ekv alsó indexelést. h(τ , t ) pedig az idővariáns csatorna súlyfüggvénye. A mobil csatorna általános leírásához használt ún. Bello-függvények rendszere a 4.3 ábrán látható, definíciójuk pedig a következő H( f ,t) =

+∞

∫ h(τ , t ) e

− j 2π f τ

dτ ,

−∞

U (τ , ν ) =

+∞

∫ h(τ , t ) e

− j 2π ν t

dt ,

−∞

D( f , ν ) =

+∞ +∞

∫ ∫ h(τ , t ) ⋅ e

− j 2π ν t

⋅ e − j 2π f τ dt dτ ,

−∞ −∞

ahol az egyes függvények értelmezése az alábbi

30

h(τ,t)

idővariáns súlyfüggvény: a rendszer t időpillanatban h(τ,t) súllyal „emlékezik” a bemenő jel (t-τ) időben felvett értékére (Dirac-delta gerjesztés esetén ez a kimenő jel). Az idővariáns súlyfüggvény az 1.4 ábrán látható.

H(f,t)

idővariáns átviteli függvény: megadja, hogy a t időpillanatban milyen súlyozással viszi át a rendszer a ej2πft típusú periodikus összetevőket.

U(τ,ν)

késleltetés-Doppler-szórás függvény: felvilágosítást ad arról, hogy késleltetés és Doppler-szórás mentén a bemeneti jel milyen súlyozással vesz részt a kimeneti jel előállításában.

D(f,ν)

kimeneti Doppler-szórás függvény: a kimenő jel spektrumát állítja elő az alábbi összefüggés szerint R( f ) =

−∞

∫ D( f

− ν , ν ) S ( f − ν ) dν .

+∞

Idõvariáns súlyfüggvény h(t,τ)

F

F F

Idõvariáns átviteli függvény

- -1

F

- -1

U(τ,ν)

H(f,t)

F - -1

Késleltetés-Doppler szórás függvény

F - -1

F

F D(f, ν) Kimeneti Doppler szórás függvény

4.3 ábra A Bello-függvények rendszere A Bello-függvények szemléltetéséhez először lássuk be az R( f ) =

−∞

∫ D( f

− ν , ν ) S ( f − ν ) dν

+∞

állítást, mely a következő lépésekben történik R( f ) =

+∞

∫ r (t ) e

−∞

− j 2π f t

dt =

+∞ +∞

∫ ∫ h(τ , t ) s(t − τ ) dτ ⋅ e

− j 2π f t

dt =

−∞ −∞

31

=

+∞ +∞ +∞ +∞

∫ ∫ ∫ ∫ D( ρ,ν ) e

j 2π ρ t

e j 2π ν τ dρ dν s(t − τ ) dτ e − j 2π f t dt =

−∞ −∞ −∞ −∞

=

=

=

=

+∞ +∞

+∞ +∞

−∞ −∞

−∞ −∞

+∞ +∞

+∞ +∞

−∞ −∞

−∞ −∞

+∞ +∞

+∞

−∞ −∞

−∞

∫

∫ D( ρ ,ν ) ∫

∫ s( t − τ ) e

∫ ∫ D( ρ,ν ) ∫ ∫ s(t − τ ) e

∫

− j 2 π [ ft − ρτ −νt ]

− j 2 π ( f −ν ) t

dt dτ dρ dν =

e j 2πρτ dt dτ dρ dν =

j 2 π ( ρ +ν − f ) τ dτ dρ dν = ∫ D( ρ,ν ) ∫ S ( f − ν ) e

+∞ +∞

∫ ∫ D( ρ ,ν )S ( f − ν )δ ( ρ + ν − f )dρ dν =

−∞ −∞

=

+∞

∫ D( f

− ν , ν ) S ( f − ν ) dν .

−∞

A jelenséget a 4.4 ábrán látható módon úgy lehet értelmezni, hogy az átvitt jel spektruma a Doppler-csúszástól és a bemeneti jel frekvenciájától függő súlyozással adódik össze a kimeneten. ν ν + dν

S(f)

Frekvenciaeltoló mûvonal

D( f - ν , ν )dν ..... .....

R(f) Összegzõ sín

4.4 ábra A lineáris idővariáns csatorna spektruma előállításának szemléltetése Most pedig értelmezzük a lineáris idővariáns mobil rádiócsatorna kimeneti jelére adott r (t ) =

+∞

∫ h(τ , t ) s(t − τ ) dτ

−∞

kifejezést. A jelenség jól szemléltethető a 4.5 ábrán látható módon. A csatorna bemenő jelét vezessük egy késleltető művonalra, ahonnan minden (τ , τ + dτ ) időközben kivezetjük a késleltetett jelet és megszorozzuk az idővariáns csatorna súlyfüggvényének dτ-szorosával, majd összegezzük az így kicsatolt jeleket egy összegző sín segítségével. Jól átható, hogy a rendszer t időpillanatban h(τ,t)

32

súllyal veszi figyelembe a bemenő jel (t-τ) időben felvett értékét a kimenő jel kialakításakor. τ τ + dτ

Bemenet

Folytonos késleltetõ mûvonal

h(τ , t )dτ ..... .....

Kimenet Összegzõ sín

4.5 ábra A lineáris idővariáns csatorna időtartománybeli szemléltetése Határozzuk meg ezek után a kimeneti jel időfüggő spektrumát. Helyettesítsük a kiindulási képletünkben h(τ , t ) -t a H ( f , t ) idővariáns átviteli függvény segítségével r (t ) =

+∞ +∞

∫ ∫ H( f ,t) e

j2 π f τ

df s(t − τ ) dτ =

−∞ −∞

amiből az integrandusok csoportosításával =

+∞

+∞

−∞

−∞

∫ H ( f , t ) ∫ s( t − τ ) e

j 2 π fτ

dτ df =

elvégezve a t − τ = σ ; dτ = − dσ ; τ = t − σ helyettesítéseket +∞

+∞

−∞

−∞

= ∫ H ( f , t ) ∫ s(σ ) e j 2π f ( t −σ ) dσ df =

amiből a Fourier-transzformációs szabály ismeretében =

+∞

H( f , t) S( f ) e ∫1 4 4244 3

−∞

j 2π f t

df ,

R ( f ,t )

azaz az időfüggő spektrum az idővariáns átviteli függvény és a bemenő alapsávi ekvivalens jel Fourier-transzformáltjának ismeretében az R( f , t ) = H ( f , t ) S ( f )

módon határozható meg. A késleltetés-Doppler-szórás függvény és a kimeneti jel közötti kapcsolat az alábbi módon határozható meg r (t ) = =

+∞

∫

−∞

+∞

+∞ +∞

−∞

−∞ −∞

∫ h(τ , t ) s(t − τ ) dτ =

∫ ∫ U (τ ,ν ) e

j 2π ν t

dν ⋅ s(t − τ ) dτ =

+∞

e j 2π ν t ∫ U (τ , ν ) s(t − τ ) dτ dν . −∞

33

Nézzünk egy példát a fenti eredményre! Az idővariáns súlyfüggvény szélessávú csatorna esetén a Doppler-csúszást is figyelembe véve h(τ , t ) = δ (τ ) e j 2π ν 0 t

alakú, melynek t-szerinti Fourier-transzformációjával kapjuk a késleltetésDoppler-szórás függvényt U (τ ,ν ) = δ (τ ) δ (ν − ν 0 ) .

A kimeneti jel ezek alapján konvolúcióval egyszerűen meghatározható +∞

+∞

−∞

−∞

r (t ) = ∫ e j 2π ν t ∫ δ (τ ) δ (ν − ν 0 ) s(t − τ ) dτ dν = s(t ) e j 2π ν 0 t .

Jól látható, hogy a csatorna bemeneti jelének minden komponense ν0 frekvenciával eltolódik. Összefoglalva a Bello-függvényekre vonatkozó ismereteinket elmondhatjuk, hogy a Bello-függvények segítségével leírhatjuk a lineáris idővariáns csatorna tulajdonságait. Attól függően, hogy melyik jellemzőre vagyunk kíváncsiak más és más Bello-függvényt alkalmazunk. Például a frekvenciatartományban jelentkező véletlenszerű Doppler-csúszást a kimeneti Doppler-szórás függvény segítségével adhatjuk meg. A Bello-függvények további fontos jellemzője, hogy jól definiált egyértelmű kapcsolat áll fenn közöttük, így bármelyik függvény ismeretében a többi meghatározható. A továbbiakban csak a h(τ,t) és a H(f,t) függvényeket fogjuk alkalmazni a véletlenül változó paraméterű csatornák leírására.

4.4 A véletlenül változó paraméterű csatornák jellemzése A mobil rádiócsatornák esetén a csatornaparaméterek adott időpillanatbeli értékei valószínűségi változók, így a paraméterek időbeli viselkedése sztochasztikus folyamatok segítségével írható le. A sztochasztikus folyamatok jellemzésének egyik gyakori módja a korrelációs függvények alkalmazása. Vezessük be esetünkben az idővariáns súlyfüggvény korrelációs függvényét az alábbi módon

[

]

Rh (τ 1 , τ 2 , t1 , t 2 ) = E h(τ 1 , t 1 ) ⋅ h * (τ 2 , t 2 ) .

A várható érték képzés definícióját alkalmazva Rh =

+∞ +∞

∫ ∫xy f

−∞ −∞

h ( τ 1 ,t1 ), h * (τ 2 ,t 2 )

( x , y ) dx dy ,

ahol f(x,y) a h(τ 1 , t 1 ) és h * (τ 2 , t 2 ) minták együttes valószínűségi sűrűségfüggvényét jelöli. A rádiócsatornát az idővariáns súlyfüggvény korrelációs függvényének tulajdonságai alapján az alábbi kategóriákba csoportosítja a szakirodalom, ahol az egyest típusok értelmezéséhez segítséget nyújt az 1.4 ábra.

34

• Stacionárius csatornáról (WSS, Wide Sense Stationary Channel) beszélünk, ha a korrelációs függvény időben csak a ∆t = (t 2 - t 1 ) különbségtől függ, azaz Rh (τ 1 , τ 2 , t1 , t1 + ∆t ) = Rh (τ 1 , τ 2 , ∆t ) = E[h * (τ 1 , t ) h(τ 2 , t + ∆t )] .

• Korrelálatlan szórású csatornáról (US Channel, Uncorrelated Scattering Channel) beszélünk, ha

Rh (τ 1 ,τ 2 , t1 , t 2 ) = δ (τ 2 − τ 1 ) Ph (τ 1 , t1 , t 2 ) , azaz a késleltetés változásával a különböző jelutakon a jelek korrelálatlanul terjednek. Megjegyzendő, hogy a δ (τ 2 − τ 1 ) Diracfüggvény miatt a Ph (τ 1 , t1 , t 2 ) függvény értéke csak a τ 2 = τ 1 helyen lényeges.

• Stacioner korrelálatlan szórású csatornáról (WSSUS Channel, Wide Sence Stationary Uncorrelated Scattering Channel) beszélünk, ha a fenti két tulajdonság egyszerre teljesül, azaz Rh (τ 1 , τ 2 , t1 , t 2 ) = Rh (τ 1 , τ 2 , t , t + ∆t ) = δ (τ 2 − τ 1 ) Ph (τ 1 , ∆t ) =

= δ (∆τ )Ph (τ , ∆t )

Az idővariáns átviteli függvény korrelációfüggvénye a fentiek alapján az alábbi alakban adható meg

[

]

RH ( f 1 , f 2 , t1 , t 2 ) = E H * ( f 1 , t1 ) ⋅ H ( f 2 , t 2 ) ,

amely a WSSUS csatornában csak a frekvencia- és időkülönbségtől függ, azaz RH ( f 1 , f 2 , t1 , t 2 ) = RH ( ∆f , ∆t ) .

Most határozzuk meg WSSUS csatorna esetében az idővariáns átviteli függvény korrelációfüggvényét!

[

]

RH ( ∆f , ∆t ) = E H * ( f , t ) ⋅ H ( f + ∆f , t + ∆t ) = +∞ +∞  = E ∫ h * (τ , t ) e j 2π f τ dτ ∫ h( ρ , t + ∆t ) e − j 2π ( f + ∆f ) ρ dρ  = −∞ −∞ 

az integrálás és a várható érték képzés felcserélésével RH ( ∆f , ∆t ) =

+∞ +∞

∫ ∫ E[h

*

]

(τ , t ) h( ρ , t + ∆t ) e j 2π [ fτ − ( f + ∆f ) ρ ] dρ dτ .

−∞ −∞

WSSUS csatornáról lévén szó h * (τ , t ) és h( ρ , t + ∆t ) függetlenek ezért a szorzat várható értéke a várható értékek szorzatára bontható RH ( ∆f , ∆t ) =

+∞ +∞

∫ ∫ δ ( ρ − τ ) P (τ , ∆t ) e h

j 2 π [ f ( τ − ρ ) + ∆fρ ]

dρ dτ =

−∞ −∞

35

=

+∞

∫ P (τ , ∆t ) e

− j 2 π ∆f τ

h

dτ = F { Ph (τ , ∆t )} .

−∞

Az irodalom az RH ( ∆f , ∆t ) függvény felét idő-frekvencia autokorrelációs függvénynek nevezi és ϕ ( ∆f , ∆t ) -vel jelöli ϕ ( ∆f , ∆t ) =

1 R H ( ∆f , ∆t ) . 2

Az egyszerűbb jelölés érdekében legyen ∆f = ν ' és ∆t = τ ' . Az időfrekvencia autokorrelációs függvény a 4.6 ábrán látható módon értelmezhető. Amennyiben a minták közötti frekvenciakülönbséget nullának választjuk, azaz ν ' = 0 és elvégezzük az idő szerinti Fourier-transzformációt, akkor a fadingspektrumot kapjuk, melyet a 4.7 ábra szemléltet. A fadingspektrum a Doppler-jelenséget jellemzi többutas terjedés esetén. Ilyekor ugyanis a többszörös utak és visszaverődések miatt a mobil mozgásából adódó Doppler-csúszás nem a csatorna bemenő jelének egy konstans frekvenciával való eltolását jelenti, hanem a kimenő jel frekvenciája sávvá szélesedik. Azt, hogy adott pillanatban éppen mekkora a jel frekvenciája egy valószínűségi változóval adhatjuk meg, aminek a fadingspektrum a sűrűségfüggvénye.

ϕ (ν ', τ ' ) ν '= 0

τ '= 0

ϕ (τ ' )

Q(ν ' )

F -1

F Φ( f ' )

q (t ') Késleltetés-sûrûség függvény

Fadingspektrum

4.6 ábra Az idő-frekvencia korrelációs függvény értelmezése A 4.7 ábrán f ' 0 jelöli a Doppler-csúszás várható értékét és az ettől való átlagos eltérés négyzetének várható értékét, azaz az eloszlás szórását az irodalomban Doppler-szórásnak nevezett BF mennyiség. Φ( f ' )

BF

f '0

f’

36

4.7 ábra Fadingspektrum és Doppler-szórás Az előzőekhez hasonló módon értelmezhető az az eset, amikor a minták közötti időeltérést nullázzuk, azaz τ ' = 0 . Ekkor az inverz Fourier-transzformáció segítségével a késleltetés sűrűségfüggvényhez jutunk. Ennek fizikai magyarázata ugyancsak a többszörös utakra és visszaverődésekre vezethető vissza. Ilyenkor ugyanis a csatornán áthaladó jel késleltetése nem konstans, hanem egy valószínűségi változó szerint határozható meg. Ennek a változónak a sűrűségfüggvénye a q (t ' ) késleltetés sűrűségfüggvény, mely a 4.8 ábrán látható. q(t’)

TF t’

t' 0

4.8 ábra Késleltetés sűrűségfüggvény és késleltetés szórás A 4.8 ábrán t' 0 jelöli az átlagos késleltetést és TF a késleltetés szórását. Fontos megjegyezni, hogy a késleltetés szórás reciprokát a csatorna koherenciasávszélességének nevezi a szakirodalom csatorna koherencia sávszélesség =

1 . TF

A következőkben két példát vizsgálunk meg, az egyik az idővariáns korrelálatlan szórású csatorna a másik pedig a szélessávú idővariáns rendszer. Időinvariáns US csatorna Időinvariáns esetben a csatorna súlyfüggvénye időfüggetlen, azaz h(τ , t ) = h(τ ) .

Ebből az átviteli függvényre a Fourier-transzformáció elvégzése után +∞

H ( f , t ) = H ( f ) = ∫ h(τ ) e − j 2π f τ dτ −∞

adódik, amiből az átviteli függvény autokorrelációs függvénye már egyszerűen számítható RH ( f 1 , f 2 , t1 , t 2 ) = RH ( f 1 , f 2 ) .

Figyelembe véve a korrelálatlan szórású csatornát az US

∆f =ν '

R H ( f 1 , f 2 ) = R H ( ∆f ) = 2ϕ (ν ' ,0)

37

eredményt kapjuk, amiből a fadingspektrum függvény a korábbiaknak megfelelően Fourier-transzformáció útján kapható meg Φ( f ') = F {ϕ (ν ',0)|ν '= 0 } .

Ez pedig nem más, mint a Dirac-függvény, azaz időinvariáns korrelálatlan szórású csatornában a fadingspektrum várakozásainknak megfelelően egyetlen vonalra szűkül, ahogy az a 4.9 ábrán látható. Φ( f ') δ( f ')

f'

0

4.9 ábra Fadingspektrum időinvariáns korrelálatlan szórású csatornában A késleltetés sűrűségfüggvény meghatározásához induljuk ki az átviteli függvény autókorrelációs függvényéből, melyről tudjuk, hogy

[

]

R H ( ∆f ) = E H * ( f ) ⋅ H ( f + ∆f ) =

amelybe behelyettesítve az idővariáns súlyfüggvényt +∞ +∞ *  j 2π f τ = E ∫ h (τ ) e dτ ∫ h ( ρ ) e − j 2 π ( f + ∆ f ) ρ dρ  . −∞  −∞

Kihasználva az integrálás és a várható érték képzés felcserélhetőségét RH ( ∆f ) =

+∞ +∞

∫ ∫ E[h (τ ) h( ρ )] ⋅ e *

j 2 π (τ − ρ ) f

⋅ e − j 2π ∆f ρ dτ dρ =

−∞ −∞

amiből figyelembe véve a csatorna korrelálatlan szórását US +∞ +∞

=

∫ ∫ δ (τ − ρ) P (τ ) e

j 2π ( τ − ρ ) f

h

e − j 2π ∆f ρ dτ dρ =

−∞ −∞

=

+∞

∫ P (τ ) e h

− j 2 π ∆f τ

dτ = F ∆f { Ph (τ )} .

−∞

A következő lépésben meghatározzuk a késleltetés sűrűségfüggvény Fouriertranszformáltját Q(ν ' ) =

1 1 R H ( ∆f )|∆f =ν ' = Fν ' { Ph (τ )} , 2 2

amiből q (t ' ) =

1 -1 F t ' {Fν ' (τ )} = 1 Ph (t ' ) 2 2

38

adódik. Vagyis ilyenkor a két korrelációs függvény között az alábbi viszony áll fenn R H ( ∆f , ∆t ) = F { Ph (τ , ∆t )} .

Szélessávú idővariáns hálózat Szélessávú csatorna esetén az idővariáns átviteli függvény az időfüggést jellemző h(t) és a csatorna emlékezetét leíró δ (τ ) függvények szorzatára bontható h(τ , t ) = δ (τ ) h(t ) ,

amiből az idővariáns átviteli függvényre +∞

H ( f , t ) = ∫ δ (τ ) h(t ) e − j 2π f τ dτ = h(t ) −∞

adódik, azaz a csatorna szélessávú mivolta a H ( f , t ) frekvenciafüggetlenségében nyilvánul meg. Ebből következik, hogy az átviteli függvény autokorrelációs függvénye RH ( f 1 , f 2 , t1 , t 2 ) = R H (t1 , t 2 ) =

amiből figyelembe véve a WSS tulajdonságot WSS

∆t = τ '

= RH ( ∆t ) = 2ϕ (0, τ ')

eredményt kapjuk az idő-frekvencia autokorrelációs függvényre. A késleltetés sűrűségfüggvényt a már bevált módon számíthatjuk q (t ') = F t ' −1 {Q(ν ')} .

Behelyettesítve az előbb meghatározott ϕ (0, τ ' ) -t q (t ') = F {ϕ (0, τ ')|τ '= 0 } = δ (t ' 0 )

a Dirac-függvény kapjuk, vagyis a szélessávú idővariáns csatornában a jel konstans t ' 0 késleltetéssel terjed, ahogy az a 4.10 ábrán látható. q (t ' )

t 0'

t'

4.10 ábra Késleltetés sűrűségfüggvény szélessávú idővariáns csatornában Vizsgáljuk meg a csatorna fadingspektrumát! Az átviteli függvény autokorrelációs függvényére a megfelelő definíciót alkalmazva

39

[

]

R H ( ∆t ) = E H * (t ) H (t + ∆t ) ,

amibe behelyettesítve az átviteli függvényre kapott H (t ) = h(t ) eredményt

[

]

∆t =τ '

RH ( ∆t ) = E h * (t ) h(t + ∆t ) = 2ϕ (0, ∆t ) = 2ϕ (τ ')

adódik. Most pedig a fentiek figyelembe vételével írjuk fel a csatorna fadingspektrumát Φ( f ' ) = F {ϕ (τ ' )} =

{[

]}

1 F f ' E h * ( t ) h( t + τ ' ) . 2

Az eredmény önmagáért beszél. A 4.11 ábrán jól látható, hogy a szélessávú idővariáns csatornában a Doppler-eltolódás egy f ' 0 várható érték körül adott valószínűségeloszlás szerint történik. Φ( f ' )

f’

f '0

4.11 ábra Fadingspektrum függvény szélessávú idővariáns csatornában Láttuk, hogy szélessávú idővariáns csatornában az átviteli függvény H ( f , t ) = h(t ) alakú. Alkalmazzuk 4.1 fejezetben használt z (t ) jelölést, azaz H ( f , t ) = z(t ) = x (t ) + j y (t ) ,

amiből a h(τ , t ) = δ (τ ) z (t )

alakot kapjuk a csatorna súlyfüggvényére, az idő-frekvencia autokorrelációs függvény pedig 1 2

[

]

ϕ (ν ',τ ') = E z * (t ) z(t + τ ) = ϕ (τ ')

s így a fadingspektrum Φ( f ' ) = F {ϕ (τ ' )} .

A szélessávú idővariáns csatorna további elnevezései ezek alapján • multiplikatív fadinges csatorna, mert a fadinget leíró komplex z (t ) , mely nem más mint a csatorna átviteli függvénye a lineáris rendszerek komplex frekvenciatartománybeli leírásának

40

megfelelően szorozza a csatorna bemenő jelének Fouriertranszformáltját.

41

4.5 Rayleigh-fading Rayleigh-fadinges csatorna esetén z(t) valós és képzetes része, x(t) és y(t) független, 0 várható értékű, σ szórású Gauss-eloszlású valószínűségi változók. Ennek megfelelően a csatorna idő-frekvencia autokorrelációs függvénye ϕ (τ ' ) =

[

]

1 E ( x (t ) − j y (t ))( x (t + τ ' ) + j y (t + τ ' )) = 2

A várható érték képzésen belül elvégezve a szorzásokat az =

1 1 E[ x (t ) x (t + τ ' )] + E[ y (t ) y (t + τ ' )] 2 2

eredményt kapjuk, amiből nyilvánvalóan következik x(t) és y(t) függetlensége miatt, hogy ϕ x (τ ' ) = ϕ y (τ ' ) = ϕ (τ ' ) ,

ha a ϕ x (τ ' ) = E[ x (t ) x (t + τ ' )] ,

ϕ y (τ ') = E[ y (t ) y (t + τ ')]

jelöléseket alkalmazzuk. Állandó amplitúdójú bemeneti jel esetében, azaz ha x (t ) = x és y (t ) = y , a kimeneti jel amplitúdója és fázisa éppen A = x2 + y2 ,

 y  x

φ = artg   mod 2π .

A komplex z(t ) -vel jellemzett fading tehát kétféle módon is leírható. Attól függően, hogy milyen szempontok szerint kívánjuk vizsgálni megadhatjuk valós és képzetes részével, illetve az ezzel teljesen ekvivalens amplitúdójával és fázisával. Ismert, hogy két független Gauss-eloszlású valószínűségi változó vektoriális összegének az eloszlása Rayleigh-eloszlást követ. Így a csatornán áthaladó jel amplitúdójának sűrűségfüggvénye f A (a ) =

a

σ2

e

−

a2 2σ 2

alakú, fázisának eloszlása pedig egyenletes f φ (ϕ ) =

1 . 2π

Minden Rayleigh-eloszlású valószínűségi változót két paraméter segítségével adhatunk meg. Ezek a változó várható értéke és szórása. Esetünkben

41

a csatorna kimeneti jele amplitúdójának ezen paraméterei a következőképpen határozhatók meg E[ A] =

π 2

σ,

[ ]

E A2 = 2 σ 2 ,

[

E ( A − E[ A])

2

] = E[ A ] − ( E[ A]) 2

2

π  = 2 −  σ 2  2

Vegyük észre, hogy mindkét paraméter közvetlen kapcsolatban áll a z(t ) változó komponenseinek σ szórásával. A Rayleigh-fadinges csatorna modellje a 4.12 ábrán látható. A definíciónak megfelelően a csatorna (fading) multiplikatív hatású.

s(t)

{

Re s(t ) e j 2π f 0 t

}

z(t) r(t)

x(t) y(t)

Komplex

{

Re r ( t ) e j 2πf 0 t Σ

}

Valós

4.12 ábra Rayleigh-fadinges csatorna valós és komplex ekvivalens alapsávi modellje

4.6 A z(t) komponenseinek autokorrelációs függvénye Rayleigh-fading esetén A ϕ (τ ') autokorrelációs függvény függ az antenna típusától is, ezért először bevezetünk egy alapmodellt, majd három különböző antenna típusra végzünk számításokat. A 4.13 ábrán látható alapmodellünk a következő. A mobil készülék a vízszintes x tengely mentén mozog. A bázisállomástól érkező n-dik jel hullámterjedésének iránya α n valószínűségi változóval jellemzett szöget zár be a mozgás irányával. Az autokorrelációs függvény számításához szükséges két, τ ' időkülönbségű pont O és O’, melyek távolsága ξ . Feltételezzük, hogy a hullám függőleges polarizált, azaz rezgéssíkja a z tengellyel párhuzamos, mely a papír lapjából merőlegesen az olvasó felé mutat. Feltesszük továbbá, hogy a hullámterjedési utak N száma minden határon túl nő.

42

y A hullámterjedés iránya

ξ cos(α n )

αn α

O

ξ

x O’ A mozgás iránya

4.13. ábra Alapmodell az autokorrelációs függvény vizsgálatához Először írjuk fel az elektromágneses tér elektromos és mágneses komponenseit az egyes jelterjedési utakra E zn = E 0 e jϕ n , H xn = − H yn =

E0

η

E0

η

sin α n e jϕ n ,

cosα n e jϕ n ,

As ahol ε = ε 0 ⋅ ε r = ε r ⋅ 8.854 ⋅ 10 −12 Vm és µ = µ 0 ⋅ µ r = µ r ⋅ 1.256 ⋅ 10 −6

Vs Am

, η=

µ , E0 ε

pedig a szabadtéri térerő. Összegezve az egyes útvonalakon érkező jeleket a vevő helyén az eredő térerő N

E z = ∑ E zn , n =1 N

H y = ∑ H yn , n =1 N

H x = ∑ H xn . n =1

A vizsgálandó antenna típusok az alábbiak • Függőleges dipólantenna • Függőleges hurokantenna (a hurok az x irányra merőleges) • Függőleges hurokantenna (a hurok az x irányba esik) Jelölje E z a vételi térerőt a 4.13 ábra O pontjában, míg E z' az O’ pontban. Ekkor függőleges dipól antenna esetén az autokorrelációs függvényt az

43

 N  N  E E z* E z' = E ∑ E 0 e − jϕ n   ∑ E 0 e j (ϕ l + kξ cos α l )     l =1   n =1

[

]

alakban keressük, ahol k = 2π

f 2π = a szabadtéri terjedési állandó. Végrehajtva c λ

a várható érték képzésen belüli szorzást

[

* z

EE E

' z

]

 N N 2 j (ϕ l −ϕ n ) j kξ cos α l  = E∑ ∑ E 0 e e ,  n =1 l =1 

amiből az Euler-formula alkalmazása és az n-szerinti szummázás után N  E E z* E z' = E 02 E∑ e j kξ cos α l  .  l =1 

[

]

Felhasználva a várható érték képzés definícióját és azt a tényt, hogy az α l valószínűségi változók azonos eloszlásúak s így α l = α , a szummázásból N-nel való szorzás lesz és

[

]

E E z* E z' = NE 02

π

1

∫π 2π e

j kξ cos α

dα .

−

Elvégezve az integrálást az

[

]

E E z* E z' = NE 02 J 0 ( kξ )

végeredményt kapjuk, ahol J 0 ( x ) a 0-ad rendű első fajú Bessel-függvény, melynek definíciója a következő J0 ( x ) =

1 2π

2π

∫e

jx cos α

dα .

0

Ha a mobil mozgása x irányban v sebességű, akkor ξ = vτ ' . Figyelembe véve, hogy σ 2 ≅ NE 02 , mivel nulla várható érték mellett a szórásnégyzet a jel teljesítményével aranyos és N egyforma úton a vett jel teljesítménye NE 02 , ezért az autokorrelációs függvény közelítőleg  

ϕ (τ ' ) ≅ σ 2 J 0  2π

vτ '  v   2  = σ J 0  2π f τ ' ,  c  λ

amiből a fadingspektrumra az alábbi kifejezés adódik Φ( f ' ) ≅ F {ϕ (τ ' )} =

σ2 π fg

1  f ' 1 −    fg 

2

f ' < fg ,

ahol a maximális Doppler-csúszás fg =

f 0v v = c λ

44

és az f ' < f g megkötés a gyökjel alatti mennyiség pozitív voltához szükséges. A képletnek megfelelő függvényt a 4.14 ábrán rajzoltuk fel, melyen megfigyelhető, hogy Φ( f ' ) minimuma a Doppler-csúszás mentes esethez tartozik.

α

Doppler-csúszás

α=0°

v f0 c

α=90° α=180°

0 −

v f0 c

4.1 táblázat Nevezetes szögek és a hozzájuk tartozó Doppler-csúszás A nevezetes szögekhez tartozó Doppler-csúszás értékeket a 4.1 táblázatban foglaltuk össze. Fontos megjegyezni, hogy a hullámterjedés irányától függetlenül a vett jel teljesítménye mindig egyforma. Φ( f ')

σ2 π fg − fg

fg

f'

4.14 ábra Fadingspektrum függőleges dipólantenna esetén Függőleges, x irányra merőleges és x irányba eső hurokantennák esetén a levezetés a fentiekhez hasonló módon végezhető el. Itt csak a fadingspektrumra vonatkozó végeredményeket közöljük x irányra merőleges hurokantenna  f ' σ2 Φ( f ' ) = 1 −   π fg  fg 

2

x irányába eső hurokantenna σ2 Φ( f ' ) = π fg

 f '    fg 

2

 f ' 1 −    fg 

2

A 4.15 ábrán felrajzoltuk mindkét hurokantenna esetére a fadingspektrumot.

45

x irányba esõ hurokantenna

Φ( f ')

x irányra merõleges hurokantenna

− fg

fg

f'

4.15 ábra Fadingspektrum függőleges x irányba eső és x irányra merőleges hurokantenna esetén Értelmezve a 4.14 és 4.15 ábrákat megállapíthatjuk, hogy a nevezetes szögek és a hozzájuk tartozó Doppler-csúszás hasonlóan alakul a 4.1 táblázatban leírtakhoz. Ugyanakkor a vet jel teljesítménye hurokantenna esetén függ az antenna és a hullámterjedés iránya között bezárt szögtől. x irányba eső hurokantenna esetén α=90°-nál nincs vett jel. Az x irányra merőleges hurokantennát alkalmazva α=90°-nál nincs Doppler-csúszás és a vett jel szintje maximális. Ugyanakkor α=0°-nál a vett jelteljesítmény nulla.

4.7 A Rayleigh-fading amplitúdójának autokorrelációs függvénye Az előző fejezetben z(t ) -t valós és képzetes részével jellemeztük és ennek megfelelően ezek autokorrelációs függvényét kerestük. Most az amplitúdó és fázis segítségével leírt fadinget esetén mutatjuk meg az amplitúdó autokorrelációs függvényét. Ha ϕ x (τ ' ) = ϕ y (τ ' ) = ϕ (τ ' )

mint azt a 4.5 fejezet elején megmutattuk, akkor  1  ϕ (τ ')  2  ϕ A (τ ') ≅ ϕ (0) 1 +   , 2  4  ϕ (0)  

π

amiből az amplitúdó fadingspektruma 2 +∞  1  ϕ (τ ')  − j 2π f ' τ '  Φ A ( f ') ≅ ϕ (0) δ ( f ) + ∫  dτ ' .  e 2 4 −∞ ϕ (0)   

π

4.8 A Rayleigh-fading egyszerűsített leírása A következőkben a fading amplitúdóeloszlás segítségével történő leírásának egy egyenértékű alternatíváját mutatjuk be. A korábbiakból ismert, hogy az amplitúdó sűrűségfüggvénye az alábbi

46

f A (a ) =

a

σ2

e

−

a2 2σ 2

.

Vezessük be a jel-zaj viszonyt jellemző Γ=

A2 T E s = 2 N0 N0

új valószínűségi változót, melynek egy adott értékét γ-val jelöljük γ =

a2 T . 2N0

A fenti képletekben N0 a fehér Gauss-zaj teljesítménysűrűségét jelöli, míg Es a szimbólumenergiát, T pedig a szimbólumidőt. Határozzuk meg Γ várható értékét, vagyis az átlagos jel-zaj viszonyt γ 0 = E[Γ ] =

E  T E A 2 = E s  . 2N0  N0 

[ ]

Figyelembe véve, hogy x és y azonos eloszlású, nulla várható értékű és egyforma szórású valószínűségi változók, ezért

[ ] [ ]

σ 2 = E x2 = E y2 .

Mivel A = x2 + y2 ,

ezért

[ ] [

] [ ] [ ]

σ 2A = E A 2 = E x 2 + y 2 = E x 2 + E y 2 = 2σ 2 .

Felhasználva a fenti eredményt a jel-zaj viszony várható értéke az alábbi módon is kifejezhető γ0 =

Tσ 2 . N0

Alkalmazzuk valószínűségi változók transzformációs szabályát az amplitúdót leíró A és a jel-zaj viszonyt jellemző Γ valószínűségi változók között. A szabály a következő f A (a ) da = f Γ (γ ) dγ ,

amiből f Γ (γ ) -t kifejezve f Γ (γ ) = f A (a )

da dγ

γ=

2

a T 2 N0

= f A (a )

1 dγ da

. γ=

a 2T 2 N0

Helyettesítsük a fenti képletbe a két változó közötti összefüggést

47

f Γ (γ ) =

a

σ2

e

−

a 2T N

a2 2σ

γ

0 − N 2 1 1 −γ 0 = 02 e 2 N 0 Tσ = e aT Tσ γ0 N0

2

s így a jel-zaj viszonyra egyszerű, γ 0 paraméterű exponenciális eloszlást kaptunk végeredményül. 4.8.1 Direkt terjedési úttal rendelkező csatorna (Rice-csatorna, Rice-fading) Ha a csatornában van egy időtől független direkt terjedési út, akkor a fading leírásában a z = x 0 + x + j y alakhoz jutunk, ahol x0 a direkt átviteli útra jellemző átviteli konstans. x és y pedig a Rayleigh-fadinghez hasonlóan független Gauss-eloszlású valószínűségi változók. Ilyenkor a jel amplitúdója az A=

( x0 + x) 2 + y 2

kifejezés alapján számolható. sűrűségfüggvénye az f A (a ) =

a

σ

2

e

−

Ekkor a 2 + x02 2σ 2

az

amplitúdó

valószínűségi

ax  I 0  20  σ 

ún. Rice-eloszlással írható le. Vezessük be Rice-fading esetén is a jel-zaj viszonyt jellemző Γ=

A2 T 2 N0

valószínűségi változó, melynek egy adott értékét γ-val jelöljük γ =

a2 T . 2N0

Az átlagos jel-zaj viszony Rice-fading esetén az alábbi ( x 02 / 2 + σ 2 ) γ 0 = E[Γ ] = T. N0

Vezessük most be a x02 c= , 2σ 2

változót, mely a direkt és a fadinges terjedésből származó jelek átlagos teljesítményeinek a hányadosaként arra ad választ, hogy a mobil vevőbe érkező jelhez milyen mértékben járulnak hozzá a direkt jelúton illetve a szórt utakon érkező jelek. Az jel-zaj viszonyt leíró valószínűségi sűrűségfüggvényt nyilvánvalóan érdemes c függvényeként felírni

48

f Γ (γ ) =

1

γ0

(1 + c) e

 γ  −  c + (1+ c )  γ0 

 γ  I 0  2 c(1 + c)  , γ0 

ahol I 0 ( x ) -t a következő módon definiáljuk  x2 x4 1 + + + ... ha x << 1 4 64   ∞ x 2n I 0 ( x ) = ∑ 2 n általában 2  n=0 2 (n !)  ex  1  + ... ha x >> 1.  1 +   2π x  8 x

A 4.16 ábrán a jel-zaj viszony sűrűségfüggvényét rajzoltuk fel c-ben paraméterezve. A c=0 esetén a csatornában nincs direkt jelút s így a vevőbe csak a Rayleigh-fadingnek megfelelő szórt jelek érkeznek. Ahogy c tart a végtelenhez úgy egyre inkább a közvetlen út hatása dominál a szórt jelekkel szemben. c = ∞ -hez érve a sűrűségfüggvényből Dirac-függvény lesz a γ / γ 0 = 1 helyen. γ 0 f Γ (γ ) 1 c =0

c =10

c =5 c =2

γ γ0

c =1

1

2

3

4

5

6

7

4.16 ábra Jel-zaj viszony sűrűségfüggvénye c-ben paraméterezve Rice-fadinges csatornában 4.8.2 Lognormál fading Gyakorlati tapasztalatok azt mutatják, hogy Rayleigh-fadinges csatornában nemcsak a pillanatnyi, hanem az átlagos csillapítás is ingadozik például a terjedési út hosszának véletlen változásai miatt. Ezt a jelenséget szemlélteti a 4.17 ábra.

49

Térerõ [dB]

t [idõ] vagy x [út] .

4.17 ábra Az átlagos térerő ingadozásának szemléltetése A jelszint lokális átlaga Gauss-eloszlás szerint ingadozik. Miután a Rayleigh-fadinges csatornában a várható érték a σ -val (z(t) egyes komponenseinek a szórása) arányos, így az eloszlást a σ szórás (mely definíciójánál fogva a várható értéktől való eltérésre jellemző mennyiség) sztochasztikájával lehet leírni. Azaz esetünkben maga a szórás is valószínűségi változó lesz! Legyen S = 10 log

σ2 [dB], σ 20

ahol σ 20 az átlagos szórás négyzete, S statisztikája pedig f S ( s) =

−

1 2π λ D

e

( s − s0 )2 2 λ2D

,

ahol λ D az S szórását, s0 pedig a várható értékét jelöli. A lognormál fadinget az irodalomban Suzuki-fadingnek is szokás nevezni. 4.8.3 Az eredő fading eloszlás A fading eredő eloszlásának meghatározásakor azt vizsgálják, hogy az átlagos jel-zaj viszonnyal normalizált jel-zaj viszony milyen valószínűséggel van egy adott a érték felett, azaz γ  ∞  γ  dγ ∞ P > a  = ∫ f Γ   = ∫ f X ( x ) dx . γ 0  a γ0 γ 0  γ 0 a

Rayleigh-fading esetén, mivel γ

− γ  f Γ   = e γ 0 = f X ( x) = e − x , γ γ0  0

ezért egyszerű exponenciális eloszláshoz jutunk γ  P > a  = e − a . γ 0 

A szakirodalomban bevett megoldással ezt az összefüggést az ún. Rayleigh-papíron ábrázolják, melynek vízszintes tengelyén az

50

x = b + 10 log a ,

függőleges tengelyén pedig az  γ  y = c + 10 log − ln P > a  γ 0  

mennyiségeket ábrázolják. 99,9 %

99 %

Rayleigh-fading

90 %

50 %

10 % 1% 0,1 % –30

–20

–10

0 dB

10 dB

4.18 ábra Rayleigh-papír Rayleigh-fadinggel Rayleigh-fading esetén a fenti kifejezés lényegesen egyszerűsödik

[

]

y = c + 10 log − ln e − a = c + 10 log a ,

mely az

51

y = ( c − b) + x

alakra átírva nyilvánvalóvá válik, hogy a fenti kifejezés egyenes, miként az a 4.18 ábrán is látható. Hasonló módon lehet megadni a Rayleigh-lognormál és a Riceeloszlásra is, ahogy az a 4.19 és 4.20 ábrákon látható. 99,9 % 3

2

4 5

1 0

6 7

99 % 8

9 10 11

90 % 12 13 14 15

50 %

10 % 1% 0,1 % –40 dB

–30 dB

–20 dB

–10 dB

0 dB

10 dB

4.19 ábra Kumulatív Rayleigh-lognormál eloszlás λ D -vel paraméterezve

52

-10 -1 0 1 2 3 4 5

6

7

8

9 10

12 14 16 18 20

99,9 %

99 %

90 %

50 %

10 % 1% 0,1 % –30 dB

–20 dB

–10 dB

0 dB

10 dB

4.20 ábra Kumulatív Rice-eloszlás c-vel paraméterezve γ

Az eredő eloszlás szemléltetése a 4.21 ábrán látható, ahol a P

γ 0

 > a 

valószínűség a fekete a nem fekete intervallumok átlagos arányával jellemezhető. Jelszint [dB]

a

t

4.21 ábra Az eredő fadingeloszlás szemléltetése

53

4.8.4 A mobil csatornák típusai és paramétereik A korábbiakban bevezetett ϕ (ν ',τ ') idő-frekvencia függvényből két fontos adat függvényt származtattunk • a Φ( f ' ) fadingspektrumot és • a q (t ') késleltetés sűrűségfüggvényt,

korrelációs

melyeket két paraméterrel lehet jellemezni A fadingspektrum esetén ez a két paraméter az átlagos Doppler-csúszás +∞

f0'=

∫ f ' φ ( f ') df '

−∞ +∞

∫ φ ( f ') df '

−∞

és a Doppler-szórás +∞

BF = 2

∫ ( f ')

−∞

2

φ ( f ') df '

+∞

( )

− f 0'

∫ φ ( f ') df '

2

−∞

míg a késleltetés sűrűségfüggvény esetében az átlagos késleltetés +∞

t0 ' =

∫ t ' q(t ' ) dt '

−∞ +∞

∫ q(t ' ) dt '

−∞

és a késleltetés szórás +∞

TF = 2

∫ (t ')

−∞

+∞

2

q (t ') dt '

∫ q (t ') dt '

( )

− t 0'

2

.

−∞

A késleltetés szórás tipikus értékeit a 4.2 táblázatban foglaltuk össze.

54

hely épület nyílt terep külváros város

TF < 0,1 msec < 0,2 msec < 0,5 msec < 3 msec

4.2 táblázat A késleltetés szórás tipikus értékei A fenti paraméterek alapján a rádiócsatornákat két nagy csoportba oszthatjuk. • Időben diszperzív csatorna ha Ts << TF ;

W >>

1 ; TF

de BF <<

1 Ts

de TF <<

1 , W

• Frekvenciában diszperzív csatorna ha W << BF ;

Ts >>

1 BF

ahol Ts a szimbólumidő, W pedig a jel sávszélessége. A korábbiaknak megfelelően

1 az ún. koherencia sávszélesség, amely elsősorban szimbólumok TF

közötti áthallás esélyéről ad felvilágosítást.

55

5. A terjedési csillapítás becslése Az előző fejezetben a rádiócsatornában fellépő azon hatásokat vizsgáltuk (Doppler-csúszás, késleltetés szórás), melyek a vevő mozgása, illetve a rádiócsatornában mozgó tárgyak miatt jöttek létre. Ebben a fejezetben a terjedési csillapítás meghatározására koncentrálunk. Bemutatjuk azokat módszereket és modelleket, melyek segítségével a terjedési csillapítás megfelelő pontossággal becsülhető. A gyakorlatban sík terepre vonatkozó eredményeket általánosítják dombos terepre. Ennek megfelelően először sík föld feletti terjedést feltételezve kezdjük meg vizsgálódásunkat, majd a kapott eredményekre alapozva bemutatjuk a dombos terepre vonatkozó megoldásokat.

5.5 A terjedési csillapítás becslése sík terepen A sík föld feletti terjedési csillapítás meghatározásához először felállítjuk az alapmodellt. 5.5.1 Idealizált elméleti modell A sík föld feletti terjedési modell alapja az ún. kétutas terjedés feltételezése. Ez azt jelenti, hogy az adóból vevőbe a jel két úton jut el. Egy közvetlen (direkt) úton, melynek csillapítását a szabadtéri terjedésre vonatkozó elmélet határozza meg. A másik az ún. reflektált jel, mely a sík talajon egyetlen reflexió után jut a vevőbe. Az alapmodellt az 5.1 ábrán rajzoltuk fel. A direkt hullám által megtett út d0, míg a reflektált hullám először d1 utat tesz meg a visszaverődési pontig, majd onnan d2-t a vevőig. Ennek megfelelően a két jelút közötti különbség ∆d = d 1 + d 2 − d 0 .

A direkt úton terjedő hullám ϕ‘ szöget zár be a vízszintes síkkal, míg a reflektált jel ϕ-t. A modell szempontjából fontos paraméterek az adó és vevő antennák magassága, melyeket h1-gyel és h2-vel jelöltünk.

Direkt hullám h1

Reflektált hullám

∆d = d 1 + d 2 - d 0

d0 d1

ϕ’ ϕ

l1

d2

h2 l2

5.1 ábra Sík föld feletti kétutas terjedés modellje

56

A vevő és az adó közötti ún. d szakasztávolságot a reflexiós pont l1 és l2 szakaszokra bontja. Az 5.1 ábra modelljének megfelelően a vevőantenna helyén a térerő a direkt és a reflektált hullám eredőjeként írható fel

(

)

E eredõ = E + E ⋅ a v e j∆ψ = E ⋅ 1 + a v e j∆ψ ,

ahol ∆ψ = k ⋅ ∆d =

2π

λ

∆d a két különböző úton terjedő jel közötti fáziseltérés a 2π

mennyiséget fázistényezőnek hívja a λ szakirodalom s a jel λ hullámhosszához tartozó fázisváltozását adja meg. av a talaj reflexiós tényezőjét jelöli, E pedig a vételi térerőt adja meg szabadtéri terjedést feltételezve. vevőnél. Megjegyezzük, hogy a

A szabadtéri terjedésre általánosan igaz, hogy a vett teljesítmény 2

E PV = 2η 0

ahol η 0 a közeget és a vevőantennát jellemző konstans. A terjedési csillapítás meghatározásához írjuk fel a vett teljesítményt az adóteljesítmény segítségével! Izotróp adó- és vevőantennát feltételezve az adóantennából kisugárzott PA teljesítmény az adótól d távolságban egy 4π d 2 felületű gömbön egyenletesen oszlik el. Ebből a vevőantenna az AV hatásos felületének megfelelő teljesítményt “szűri” ki. Egy antenna adóantennaként való alkalmazhatóságát a GA nyereség jellemzi, mely megadja, hogy a főirányban kisugárzott teljesítménysűrűség hányszorosa az azonos bemenő teljesítményű izotróp antenna teljesítménysűrűségéhez képest. Egy antenna nyeresége és vevőantennaként jellemző hatásos felülete között az ún. reciprocitás tétel teremt kapcsolatot, mely kimondja, hogy G 4π = 2 . AV λ

Az izotróp antenna hatásos felülete figyelembe véve, hogy nyeresége 1, a reciprocitás tétel értelmében AV =

λ2 . 4π

Így tehát a vett teljesítmény felírható mint 2

 λ  PA PV = ⋅ AV = PA ⋅   , 2 4π d  4π d 

ahol az

57

 λ  a0 =    4π d 

2

szorzótényező a terjedési csillapítást méri. Ezzel meghatároztuk a direkt úton terjedő jel csillapítását jellemző szorzótényezőt. Vegyük most figyelembe a reflektált jelet is azzal a feltevéssel, hogy a föld reflexiós tényezője av = −1 . Ez a közelítés annál pontosabb, minél nagyobb a szakasztávolság. A mindennapi életben előforduló szakasztávolságok esetén megállja a helyét. A vett jel teljesítménye E eredõ

PV =

2

2η 0

2

 1  = PA ⋅   ⋅ 1 − cos ∆ψ − j sin ∆ψ  4π d / λ 

2

a komplex szorzófaktor abszolút értékét képezve 2

[

]

 1  2 2 PV = PA ⋅   ⋅ (1 − cos ∆ψ ) + (sin ∆ψ ) =  4π d / λ  2

 1  = PA ⋅   ⋅ (2 − 2 cos( ∆ψ )) .  4π d / λ 

Alkalmazva a cos x ≈ 1 −

x2 , x << 1 közelítést 2 2

 1  2  (∆ψ ) PV = PA ⋅   4π d / λ  nyilvánvalóvá válik, hogy a kétutas terjedés hatását a szabadtéri terjedéshez képest a ∆ψ fáziskülönbség hordozza. Kíséreljük meg kifejezni ∆ψ -t a modellünkben bevezetett kézzelfoghatóbb mennyiségekkel! 2π 2π 2h1h2 Mivel ∆ψ = ∆d ⋅ = , elegendő a ∆d = d 1 + d 2 - d 0 λ λ d meghatározása, azaz a ∆d útvonalkülönbség ismeretében és a fázistényező birtokában ∆ψ már könnyen számítható, ezért a következő lépésben meghatározzuk az egyes hullámterjedési utak hosszát. Az ábra alapján

(d

+ d 2 ) = (l1 + l 2 ) + (h1 + h2 ) , 2

1

2

2

amiből 2  1  h + h 2   h1 + h2  2  ≅ (l 2 + l 2 )1 +  1   d 1 + d 2 = (l1 + l 2 ) + (h1 + h2 ) = (l1 + l 2 ) 1 +   l + l 2 l + l  1 2   1 2    ha (l1 + l 2 ) jóval nagyobb (h1 + h2 ) -nél, és 2

2

d 0 = (l1 + l 2 ) + (h1 − h2 ) 2

2

2

58

amiből d0 =

(l

1

2  1  h − h 2   h1 − h2   ≅ (l 2 + l 2 )1 +  1 2   , 1 +   2  l1 + l 2   l + l  1 2   

+ l 2 ) + (h1 − h2 ) = (l1 + l 2 ) 2

2

ahol alkalmaztuk a 1 + x ≅ 1 + x / 2, ha x jóval kisebb 1-nél közelítést. Ebből  1  h + h 2 1  h − h  ∆d = d 1 + d 2 − d 0 ≅ (l2 + l 2 )  1 2  −  1 2   =  2  l1 + l 2  2  l1 − l 2     2 2 (h + h2 ) − (h1 − h2 ) = 1 4h1 h2 , 1 = (l1 − l 2 ) 1 2 2 l1 + l 2 (l1 + l 2 )2 ami alapján az útvonalkülönbség közelítőleg ∆d ≅

2h1h2 , d

ahol d = l1 + l 2 és így a fázistényező alkalmazásával a fáziskülönbség ∆ψ = ∆d ⋅

2π

λ

=

2π 2h1h2 . λ d

Végezetül a kétutas hullámterjedés esetén a terjedési csillapítás csak az adó- és vevőantenna magasságától és a szakasztávolságtól függ az alábbi módon h h  a sz ≅  1 22   d 

2

a vett jel teljesítménye pedig 2

h h  PV ≅ PA ⋅  1 22  .  d 

A fenti eredményből három fontos következtetés vonható le • a csillapítás a távolságtól 40 dB/dekád meredekséggel függ, • a bázisállomás antennájának magasságától 20 dB/dekád meredekséggel, • az üzemi frekvenciától pedig független a csillapítás. A fenti eredményt közelítések alkalmazásával kaptuk. A gyakorlatban két tapasztalati kiegészítést szoktak alkalmazni • a terjedés függ a frekvenciától, mely függést az f − n , (2 ≤ n ≤ 3) írja le közelítőleg, • a gyakorlati mérések azt mutatják, hogy a mobil antenna 3 m-es magassága alatt az antenna magasságától a csillapítás csak 10 dB/dekád meredekséggel függ.

59

5.5.2 A valóságos antennák vizsgálata Az előző alfejezetben izotróp antennák esetére végeztük vizsgálatainkat. A valóságos antennák nem egyenletesen sugároznak a tér minden irányába, hanem a tér egy szeletére koncentrálják a kisugárzott teljesítményt. Ezt a tulajdonságot jellemzi az antenna nyeresége az előző fejezetben leírt módon. Először a szabadtéri csillapításra vonatkozó képletünket egészítjük ki az antennák nyereségével 2

 λ  P a0 = V =   ⋅ G A GV . PA  4π d 

Kétutas terjedés esetén hasonlóan alakul a nyereségek hatása 2

h h  PV ≅ PA ⋅  1 22  ⋅ G A ⋅ GV .  d 

A tipikus terjedési modelleket az elméleti és mérési eredmények kombinációjából állították elő. Az általános képlet az alábbi γ

−n

d  f  PV = Pr 0     α 0 ,  dr   f r 

ahol Pr0 az fr frekvencián, dr távolságban vett referencia teljesítmény α 0 =1 érték esetén, γ a távolságfüggésre, n pedig a frekvenciafüggésre jellemző állandó. α 0 egy korrekciós tényező, mely több fizikai paraméter hatását tartalmazza és öt összetevő szorzataként állítható elő α 0 = α 1α 2α 3α 4α 5 h  α1 =  1   h1r 

2

Az adóantenna és a referencia adóantenna magassága hányadosának négyzete

 h2    h2 r 

α2 = 

ν

A mobil antenna és a referencia mobil antenna magassága hányadosának ν-dik hatványa

Pt Ptr G α4 = t Gtr

α3 =

Az adóteljesítmény és a referencia adóteljesítmény hányadosa Az adóantenna nyereségének és a referencia adóantenna nyereségének a hányadosa

α5 =

Gr Grr

A vevőantenna nyereségének és a referencia vevőantenna nyereségének a hányadosa

A ν paraméter a vevőantenna magasságától függ. h2r = 3m esetén

60

2 1

ν=

ha h2 > 10m ha h2 < 3m.

A gyakorlatban gyakran alkalmazzák Okumura javaslata szerint a következő számítási módot   h2  10 log   h2 r    h   10 log α 2 = 2h2 log 2   h2 r    h  20 log 2   h2 r  

h2 ≤ 5m 5m < h2 ≤ 10m 10m < h2 .

A frekvenciafüggést leíró γ tényező szerepét az 5.2 ábrán szemléltettük 900 MHz-es üzemi frekvenciát és különböző földrajzi területeket feltételezve. Az 5.2 ábra diagramjai az elméleti és mérési eredményekről adnak áttekintést. Fontos tapasztalat, hogy a nyílt terepen végzett mérések és a városi mérések γ értékei közelebb esnek egymáshoz, mint a szabadtéri csillapításhoz. A méréseknél alkalmazott referencia távolság 1 mérföld. A valós környezetben végzett mérések alapján a frekvenciafüggésre az jellemző, hogy 450 MHz alatt kb. 30 dB/dekád, 450 MHz felett pedig kb. 20 dB/dekád meredekségű a változás. A frekvenciafüggést a fenti közelítő paramétereknél pontosabban jellemzi az 5.3 ábrán látható görbesereg, ahol Okumura által a 60-as években Japánban mért adatokat ábrázoltunk. Okumura méréseihez a tokiói h1=200m magas tévétornyot és h2=3m mobil vevőantennát használt. Az ábra görbéit az adó- és a vevőantenna közötti távolságban paramétereztük. Az 5.3 ábra görbéi a csillapítás frekvenciafüggését jellemzik egy korrekciós tényező megadásával a szabadtéri csillapításhoz képest, melynek korábban ismertetett képlete a frekvenciafüggést jellemző alakra hozva az alábbi 2

2

 λ   c  a0 =   =  ,  4π d   4π d f 

azaz a szabadtéri csillapítás négyzetesen fordítottan arányos a távolsággal és a frekvenciával.

61

jelerősség [dBm] γ=2 –47.5 –50

szabad terület

4.3

nyílt terület –60 3.84 4.31 –70

–63,6 dB

külváros

3.68

Newark

–80 3.05 Philadelphia –90

–100

49.4 dB

japán külváros

Tokio, Japán

PA = 40 dBm (10 Watt) Ant. ny. GA = 6 dB/dipól Ant. ny. GV = 6 dB/dipól h1 = 100 m (bázis állomás) h2 = 10 m (mobil vevő)

–110

–113 dB

0.5

1

2

4

6

8 10 d [mérföld]

5.2 ábra Csillapítás különböző területeken, f0 = 900 MHz Az 5.3 ábra görbéi ezt a teoretikus frekvencia és távolságfüggést korrigálják. Az ábra értelmezésének megkönnyítéséhez tekintsünk két példát! • 900 MHz-en 10 mérföldnél a szabadtéri csillapítás elvi értéke -115,6 dB. Az 5.2 ábrán GA+GV=12dB eredő antennanyereség és 40 dBm adóteljesítmény miatt a vett jel szintje -63,6 dBm. Az antennamagasságok közötti különbség korrekciója 16,34 dB. Az 5.3 ábrából leolvasható korrekció 32 dB, így a teljes különbség 48,34 dB, ami egybecseng az 5.2 ábráról leolvasható ~49,4 dB-es többletcsillapítással (tokiói görbe). • Az 1 GHz és 2 GHz közötti szabadtéri csillapítás 6 dB értékű lenne, de 1 km távolságban itt van még egy járulékos kb. 3 dB, ami 9 dB/oktáv,

62

azaz 30 dB/dekád csillapításnövekedést jelent. 100 és 200 MHz között ez a növekedés alig éri el az 1 dB-t. Fontos megjegyezni, hogy a fenti adatok várható értékeket jelentenek, melyeknek szórása 3-8 dB is lehet. 70 városi terület h1 = 200 m h2 = 3 m

csillapítás [dB]

60 d [km] 100 50 80 70 60 40 50 40 32 dB

30 30 20

20

5 3 2

3 dB

1

10

70 100

~1 dB

200

300

500 700 1000

2000 3000 5000 Frekvencia f [MHz]

5.3 ábra A csillapítás frekvenciafüggése 5.5.3 A hullámterjedés számítása N különböző környezetben A terjedési csillapítás sík terepen történő becslésének utolsó lépése a csillapítást befolyásoló távolságfüggés földrajzi eltéréseinek figyelembe vétele. Ahogy az az 5.4 ábrán látható az adó és vevő közötti távolságot N db. olyan szakaszra bontottuk, melyeken belül a távolságfüggést leíró γ i állandónak tekinthető. Ennek megfelelően a vételi teljesítmény számítása az alábbi képletnek megfelelően módosul

63

−n

 f  d  PV = Pr 0 α 0    1   fr   dr 

−γ 1

 d2     d1 

−γ 2

d  ...  N −1   d N −2 

−γ

N −1

 d     d N −1 

−γ

N

,

ahol nyilvánvalóan teljesül, hogy d N −1 ≤ d < d N .

Jelszint [dBm]

γ1 γ2

dr

d1

d

elsõ szakasz

d2

d

második szakasz

5.4 ábra Hullámterjedés két különböző környezetben

5.6 A térerő becslése dombos, hegyes terepen Az előző alfejezetben részletesen tárgyaltuk a terjedési csillapítás sík terepen történő becslésére vonatkozó módszereket. Ezen ismeretekre támaszkodva most már rátérhetünk a hullámterjedés szempontjából összetettebb feladat, a csillapítás dombos, hegyes terepen való meghatározására. 5.6.1 Akadálymentes eset Mindenekelőtt egy fontos fogalmat definiálunk, az ún. akadálymentes terjedést. Akadálymentesnek nevezzük a rádiós összeköttetést ha a bázisállomás antennája és a mobil antenna „látja” egymást. Ilyenkor feltételezzük, hogy a két antenna között a láthatóságot semmilyen tereptárgy nem akadályozza. A későbbiekben majd külön tárgyaljuk azt az esetet, amikor valamely tereptárgy a direkt terjedés útjában áll. Nyilvánvaló, hogy sík terepen a Föld görbülete miatt a látótávolság korlátozott, melyet elsősorban a bázisállomás antennájának magassága határoz meg. Számítsuk ki az ún. optikai látóhatárt, azaz azt a h magasságú adóantennához tartozó a dh távolságot, melyre a vevőantennát elhelyezve, a Föld görbülete még nem akadályozza a közvetlen rálátást. Az 5.5 ábrán az elvégzendő feladat geometriáját szemléltettük. A optikai látóhatár egyszerű trigonometriai megfontolásból az alábbi módon számítható

d 2 h = (R + h ) − R 2 , 2

64

ahol R a Föld sugarát jelöli. Ebből

dh =

(R + h )

2

− R 2 = R 2 + 2 Rh + h 2 − R ≅ 2 Rh + h 2 ≅ 2hR .

Tehát az optikai látóhatár jó közelítéssel

d h ≅ 2h R ≅ 3,571 h[m] [km] . dh h R R ϕ

5.5 ábra Az optikai látóhatár meghatározása 5.6.2 Reflexiós pontok dombos területen, az effektív antennamagasság fogalma Sík föld feletti kétutas terjedést feltételezve, az antennák magassága nyilvánvalóan megegyezik fizikai méretükkel. Ugyanakkor dombos terepen felmerül az antenna magasságok értelmezésének kérdése. Elsődleges célunk a probléma kezelésében, hogy a számításokat valamilyen módon visszavezessük a sík föld feletti kétutas terjedésnél korábban megszerzett ismereteinkre. Ezért dombos terepen bevezetjük az ún. effektív magasság és az effektív szakasztávolság fogalmát. Az antennákhoz rendelt effektív magasság, és szakasztávolság segítségével már úgy számolhatunk, mintha sík terepen lennénk. A következőkben tipikus eseteket vizsgálunk meg. Egyszerű lejtő esete A Θ szögű lejtőt az 5.6 ábrán rajzoltuk fel. Az adó- és a vevőantenna fizikai magasságát az eddigiekhez hasonlóan h1-gyel és h2-vel jelöltük. Ebben az esetben csupán annyi a különbség, hogy a sík terepet Θ szöggel elforgattuk mobil vevőantenna talppontja körül, így az Θ szöget zár be a vízszintessel. Ezért nem kell mást tennünk, mint meghatározni az antennák lejtőre merőleges síkra bocsátott vetületét.

65

h1 ’ Θ

h1

d'

d

Θ h2

5.6 ábra Egyszerű lejtő Az adóantenna esetén ezért az effektív magasság h1' = h1 cos Θ ,

míg az effektív antennák talppontjai közötti effektív szakasztávolság d' =

d . cos Θ

A mobil készülék antennáját mindig a talaj síkjára merőlegesnek tekintjük, azaz h2' = h2 ,

így a csillapításra egyszerű lejtő esetén 2

 h' h  h h  a sz =  1 22  =  1 2 2 cos 3 Θ  d   (d ' ) 

2

adódik. Nyilvánvalóan kis Θ szögek esetében (ha cos Θ ~ 1), a csillapításváltozás mértéke minimális. Dombon álló bázisállomás antenna esete Az egyszerű lejtőhöz képest lépjünk tovább egy domb tetejére állítva a bázisállomás antennáját, ahogy az az 5.7 ábrán látható. h1'' h1 h1 '

1. reflexió direkt hullám 2. reflexió h2 = h2 '

h2''

66

5.7 ábra Dombon álló bázisállomás antenna Ebben az esetben a reflexió kétféleképpen is létrejöhet, melyeket 1. és 2. sorszámmal jelöltünk. Az ábrán az 1. reflexióhoz a h1’ effektív adóantenna magasság tartozik, míg a 2. reflexióhoz a h1’’. Hasonlóképpen egy, illetve két vessző jelöli a vevőantenna effektív magasságát a két különböző esetben. Az 5.7 ábrán berajzoltuk az effektív antennamagasságok értelmezését, ami alapján nyilvánvalóan teljesülnek az alábbi relációk h1' > h1 , h1'' < h1 , h2' = h2 , h2'' > h2 .

Ilyenkor lehetséges többszörös visszaverődés is, de ezek közül általában az dominál, amelyik a mobilhoz közelebb esik. Domb lábánál álló bázisállomás antenna esete Cseréljük meg a bázisállomás és a mobil helyét, azaz álljon a bázisállomás antennája a domb lábánál. Itt is kétféle reflexiós esettel állunk szemben. Az 5.8 ábrán berajzoltuk a reflexiós útvonalakat és a hozzájuk tartozó effektív antennamagasságokat is. A jelölésben használt vesszők száma továbbra is megegyezik a reflexiós utak sorszámával. h2 = h2 ' direkt hullám h2''

h1=h1' 1. reflexió 2. reflexió h1''

5.8 ábra Domb lábánál álló bázisállomás antenna Az 5.8 ábra alapján egyszerűen beláthatók az alábbi relációk h1' = h1 , h1'' > h1 , h2' = h2 , h2'' > h2 .

67

A következőkben számszerű példát mutatunk arra a két esetre, amikor az antenna effektív magassága nagyobb, illetve kisebb a fizikai méreténél. Vizsgáljuk meg a domb lábánál álló bázisállomást az 2. reflexióval és egy egyenes lejtő tetején álló bázisállomást. Az 5.9 ábra alapján egyértelműen megállapítható, hogy ebben az esetben h1' > h1 , azaz az adóantenna effektív magassága nagyobb, mint a tényleges magasság, míg az 5.10 ábra alapján h1' < h1 . Először alkalmazzuk az egyenes lejtőre kapott eredményünket. Ehhez hosszabbítsuk meg a lejtőt a bázisállomás irányában. Az 5.9 és 5.10 ábrákon látható módon meg kell hosszabbítanunk az adóantennát a képzeletbeli lejtő síkjáig, illetve le kell rövidítenünk azt. Ezek után h1e-t kell az antenna magasságának vennünk és így már alkalmazhatjuk az egyenes lejtőre kapott korábbi eredményt. Az 5.9 és 5.10 ábrák jelöléseivel 2

h h  a sz =  1e 2 2 cos 3 Θ .  d 

Ugyanakkor hasonló eredményre jutunk, ha közvetlenül alkalmazzuk az effektív antennamagasság és szakasztávolság meghatározásának definícióját. Az 5.9 és 5.10 ábrákon h1’ és d’ jelöli ezeket a mennyiségeket. Figyelembe véve, hogy d' =

és alkalmazva a szakaszcsillapításra

d cos Θ

kétutas

terjedésre

vonatkozó

eredményünket

a

2

2  '   h1' h2  h1 h2  2  a sz = =  2 cos Θ  d' 2  d   

( )

adódik, ami megegyezik az előző képlettel, mivel h1e =

h1' . cos Θ

68

h2 h1 ’

h1

Θ

h1e d'

d

5.9 ábra Domb lábánál álló adóantenna h1 h1e

h1 ’

d' d

Θ h2

5.10 ábra Domb tetején álló adóantenna Az 5.11 ábrán egy külvárosi környezetben elhelyezkedő összetett dombos terepet rajzoltunk fel. A bázisállomás antennája dombtetőn áll bal oldalon. A mobil vevő helyét a bekarikázott 1-6 számokkal jelöltük. A terjedési csillapítás meghatározásához mind a hat esetet az egyszerű lejtő esetére vezettük vissza. Ennek megfelelően jelöltük be a korrigált h1i magasságokat. Az alsó ábrán két görbét rajzoltunk fel. Az egyik az ideális görbe az alap antennamagasságokkal, azaz mintha sík terepnek tekintenénk a vizsgált területet. A másik görbe az effektív antennamagasságokkal számított s így az ideálishoz képest korrigált jelszint értékeket mutatja. Az eredmény jól érzékelteti, hogy az effektív antennák módszere alkalmas a becslési szórás jelentős csökkentésére.

69

6

h1

1

1

2

4

h1

3

2

3

h1

6

5

h1

5

h1

4

h1

külváros

Jelszint [dBm] -60 -70 ideális görbe alap antenna magasságokkal 38,4 dB/dekád

-80 -90 -100 1

2

3

4

5

6

7

8

9

5.11 ábra Az effektív antennamagasság alkalmazása külvárosi környezetben 5.6.3 A térerő becslése akadályok esetén (késél modell) Vizsgáljuk meg az adó- és vevőantennák között lévő akadályok hatását a hullámterjedésre abban az esetben, ha a két antenna között nincs optikai átlátás! Ebben az esetben a geometriai optika szerint az akadály mögötti holt térben található vevő bemenetén nincs vételi teljesítmény. Ugyanakkor a hullámoptikai

70

[km] d, távolság

modell értelmében az akadály minden pontja egy Huygens-hullámforrásnak tekintendő. Az árnyékban levő vevő bemenetére ezen források kisugározta jelek érkeznek, melyek fázishelyes összeadása után kapjuk az eredő vett jelet. A terepakadályokat általában az ún. késél modell segítségével veszik figyelembe, melyet az 5.12 ábrán mutatunk be. A késél akadály tökéletesen elnyeli a ráeső hullámokat, egyedül az él pontjai viselkednek Huygens-forrásként.

késél hp

d1

d2

5.12 ábra A késél modell szemléltetése Az adó és vevő közötti távolságot a késél (akadály) d1 és d2 szakaszokra bontja. Vezessük be az alábbi paramétert, mely az akadály elhelyezkedését és magasságát jellemzi az üzemi frekvenciának megfelelő hullámhosszban számítva 2  1 1 ⋅ +  . λ  d1 d 2 

v = −h p

A késél okozta járulékos csillapítást az 5.13 ábráról olvashatjuk le. A vízszintes tengelyen a v paraméter, a függőlegesen pedig az E0 szabadtéri térerőre normalizált E vételi térerő látható decibelben és arányszámban is kifejezve. Tekintsünk egy szemléletes példát az alábbi adatokkal f = 900 MHz,

d1=5 km, d2=5 km, h p = 20 m.

Ekkor v = −20

2 1   1 9 ⋅ 108  + ,  = −11313 8 3  5 ⋅ 10 3 ⋅ 103  3 ⋅ 10

a relatív térerő csökkenés az 5.13 ábra alapján pedig E = −14.5 dB . E0

71

1.2

teoretikus görbe

E [lineáris skála] E0

1.1 1.0

0.83 0

E E0

0.9

–0.9

megfigyelt görbe 0.8

L

0.7

–1.95

E (relatív térerõsség)= E 0

E [dB] E0

–3

0.6

–4.5

0.5 –6

–6

–8

–10.5

0.4

E [dB] E0

0.34

E [lineáris skála] E0

–14

0.2

–14.5 –20

0.1

v

–27 –5

–4

–3

–2

–1

0

1

2

3

4

5

–1.13

5.13 ábra Az antennák közötti akadály okozta járulékos csillapítás 5.6.4 A terjedési csillapítást befolyásoló egyéb tényezők A következőkben azon fizikai jelenségeket vesszük sorra, melyek mérhető hatást gyakorolnak a terjedési csillapításra. A növények lombkoronájának a hatása A növényzet hatására többlet csillapítás lép fel, mely elsősorban • a növények leveleinek típusától • a jel polarizációjától • természetesen az évszakoktól (a mérsékelt égövben) függ. Az alábbiakban néhány jellegzetes, dzsungelre vonatkozó adatot gyűjtöttünk össze

• kb. 4 dB/dekád növekedés jelentkezik a távolságfüggésben,

72

0

• a frekvenciafüggés 80 és 800 MHz között 20 dB/dekád a függőleges és 35 dB/dekád a vízszintes polarizáció esetén,

• a függőleges polarizáció és a vízszintes polarizáció között 50 MHz-en 8–25 dB, 800 MHz-en pedig 1-2 dB a különbség. Megjegyezzük, hogy a vízszintes polarizáció járulékos csillapítása kisebb. Az útirányok csatorna effektusa Ha a mobil közel van a bázisállomáshoz, akkor az épületek és útirányok erősen befolyásolják a vett jel teljesítményét. Tipikus eset, hogy városi környezetben a bázisállomás irányába eső úton 10 dB-lel nagyobb a jel szintje, mint a merőleges utakon. Az aluljárók és az alagutak hatása Az aluljárókban a tipikus járulékos csillapítás 5-10 dB (6-15 m hosszú aluljárókra). Az alagutak hatása igen jelentős lehet, pl. 4m magas 6 méter széles és 300 m hosszú alagútban • 100 MHz-en 60 dB, • 1 GHz-en 5 dB, • 10 GHz-en 1 dB-nél kisebb a járulékos csillapítás, ezért mobil telefon esetén külön belső adók elhelyezéséről is gondoskodni kell. 5.6.5 Terjedés a sűrűn lakott városokban (a mikrocellák problémája) A terjedési modelleket általában kísérleti alapokon hozzák létre. Ezeknél a vizsgálatoknál városi környezetben a legfontosabb az épületek árnyékoló hatásának a becslése. Ez annyit jelent, hogy meghatározzuk az adó- és a vevőantenna közötti egyenes terjedési út takartságának mértékét (Lee-modell). Az 5.14 ábrának megfelelően jelölje d a két antenna távolságát, az egyes épületek által képviselt takarást pedig bi. Ekkor az útvonalba eső épületek eredő takarása B = ∑ bi .

A Lee-modell alapján a vett teljesítmény két részből áll PV = P1 (d ) − α ( B )

[dB] ,

ahol P1 (d ) a takarásmentes esetben jelentkező távolságfüggő csillapítás és α ( B) a B árnyékolástól függő járulékos csillapítás, melynek jellege 0 ÷ 20 dB 0 < B < 160 m ~ 20 dB B > 300 m

α ( B ) jellege 

73

b3 b2 Vevõ b1

Adó

d

5.14 ábra Takarás városi környezetben

74

6. A lassú, multiplikatív fading hatása a klasszikus digitális modulációs rendszerek minőségi paramétereire. A 3., 4. és 5. fejezetekben több lépcsőben részletesen áttekintettük az analóg rádiócsatorna leírását. Először a lineáris időinvariáns csatorna modelljét vizsgáltuk, majd kiterjesztettük modellünket a csatorna időfüggésére is, bevezetve a csatorna statisztikus viselkedését jellemző fading fogalmát. Végezetül az idealizált modellt kiegészítettük a mobil rádiós összeköttetésre érdemi hatást gyakorló fizikai jelenségekkel. Ha most visszalapozunk az 1. fejezet 1.10 ábrájához, ahol a digitális mobil rendszerek általános felépítését rajzoltuk fel, megállapíthatjuk, hogy az analóg rádiócsatorna modellezésének ismeretében rátérhetünk a következő logikai egység, a modulációs eljárások vizsgálatára. Ennek során először bemutatjuk a klasszikus bináris modulációs rendszereket, majd a lassú multiplikatív fading ezek hibaarányára gyakorolt hatását tárgyaljuk. Itt kell megjegyezzük, a fading lassú volta csupán annyit jelent, hogy a vevőben egyetlen szimbólum ideje alatt a fading értéke nem változik. De azt, hogy a fading milyen értéket vesz fel egy adott szimbólum ideje alatt, természetesen valószínűségi változó határozza meg. Mindenekelőtt azonban a vizsgálatunk tárgyát képező, mobil hírközlő rendszerekben alkalmazott modulációs eljárásokat rendszerezzük. • Lineáris modulációs rendszerek optimális koherens és nemkoherens vétellel • Nemlineáris modulációs rendszerek • Speciális egyoldalsávos rendszerek, lineáris és nemlineáris változatban • Szórt spektrumú rendszerek

6.1 Lineáris modulációs rendszerek (ASK, PSK, QPSK, MPSK, QAM) A jelek lineáris modulációs rendszerekben történő általános előállítását a 6.1 ábrán mutatjuk be. Az 1.10 ábra alapsávi kódolóját egy olyan forrásnak tekintjük, mely a Ts szimbólumidő alatt b bitet ad ki sorosan a kimenetén. Ezek a bitek egy soros/párhuzamos átalakítóra kerülnek. Az így keletkező bináris szavak egy jelrendezőbe jutnak, mely a kvadratúra komponenseket vezérlő d In és d Qn jeleket állítja elő. Az n index a szimbólumidő sorszámát mutatja, míg az I és Q a kvadratúrakomponenseket. A következő lépés az elemi jelalakok megformálása. Ezt úgy modellezzük, hogy a jelútba egy olyan szűrőt helyezünk el, melynek g s (t ) súlyfüggvénye, azaz a Dirac-impulzusra adott válasza megegyezik a kívánt jelalakkal. A kvadratúra komponenseknek megfelelő vezérlő d In és d Qn jelek nTs idővel eltolt Dirac-függvényt szoroznak, majd az így kapott jelek kerülnek a elemi jelalak formáló szűrőkre. Ezt követi az f0 vivőfrekvenciára való ültetés,

75

majd az adószűrőre bocsátandó jel előállítása a kvadratúra komponensek összegzésével. A moduláció lineáris mivolta egyértelműen következik abból a tényből, hogy a vivőfrekvenciás jel amplitúdóját moduláljuk a továbbítandó információnak megfelelően. +∞

∑ δ (t − n T ) s

n = −∞

cos( 2π f 0 t )

dIn Bináris forrás

gs(t) b bites S/P

x(t)

Jelrendezõ

x’(t) gBP(t)

dQn gs(t) − sin(2π f 0 t ) +∞

∑ δ (t − n T ) s

n = −∞

6.1 ábra Jelek előállítása lineáris modulációs rendszerekben Az adószűrő bemenetére érkező jel a 6.1 ábra alapján egyszerűen felírható  +∞  x (t ) =  ∑ d In g s (t − n Ts )  cos(2π f 0 t ) − n =−∞   +∞  −  ∑ d Qn g s (t − n Ts )  sin(2π f 0 t ) . n =−∞ 

Most határozzuk, meg a fenti rendszer komplex alapsávi ekvivalensét! Ismert, hogy a komplex alapsávi ekvivalens jel a kvadratúrakomponensei összegeként írható fel x ekv (t ) = x I (t ) + j x Q (t ) .

Figyelembe véve, hogy a jel és komplex alapsávi ekvivalense közötti kapcsolat az alábbi x + (t ) = x ekv (t ) e j 2π f 0 t ,

amiből

{

}

x (t ) = Re{ x + (t )} = Re x ekv (t ) e j 2π f 0 t ,

s így a 6.1 ábra alapján x I (t ) =

+∞

∑d

In

g s (t − n Ts ) ,

n =−∞

76

+∞

∑d

x Q (t ) =

Qn

g s (t − n Ts ) ,

n =−∞

ahol tudjuk, hogy d n = d In + jd Qn ,

ezért x ekv (t ) =

+∞

∑d

n

g s (t − n Ts ) .

n =−∞

A fentiek alapján az előállítás egyszerűbben is illusztrálható a 6.2 ábrán látható módon, ha a jelöléseket komplex alakban adjuk meg. +∞

∑ δ (t − nT )

n =−∞

s

dn = d In + j dQn

xekv(t) gs(t)

gekvBP(t)

x’ekv(t)

6.2 ábra Jelek előállítása lineáris modulációs rendszerekben komplex leírással Végezetül megjegyezzük, hogy a jelalakformáló szűrőket természetesen nem szükséges feltétlenül szűrőként megvalósítani. Bevált megoldás, hogy a jelalakokat memóriában tárolják (GSM). 6.1.1 A lineáris modulációs rendszerek típusai A következőkben jellegzetes lineáris modulációs példákat mutatunk be, melyeket aszerint csoportosítottunk, hogy a soros/párhuzamos átalakító hány bites szavakat állít elő. Az egyes modulációs eljárásokat a szakirodalom a d In és d Qn értékek segítségével jellemezi és ún. konstellációs diagrammokon ábrázolja (lásd pl. 6.3b ábra). b=1 típusú modulációk Ki/be kapcsolás (On/Off Keying, OOK) Ez a legegyszerűbb lineáris modulációs eljárás. Lényege, hogy az adó vagy be van kapcsolva (On állapot) vagy ki van kapcsolva (Off állapot), azaz az adó Ts időközönként vagy a g s (t ) jelet adja vagy hallgat.

77

x(t)

t

Ts

6. 3a ábra On/Off Keying időfüggvény OOK

dQn

dIn

6.3b ábra On/Off Keying konstellációs diagram Amplitúdóbillentyűzés / bináris fázisbillentyűzés (Amplitude Shift Keying, ASK / Binary Phase Shift Keying, BPSK ) Az amplitúdóbillentyűzés-, illetve bináris fázisbillentyűzés elnevezés csak látszólag ellentmondás. Ha a 6.4a ábra konstellációs diagrammját nézzük, megértjük az azonosságot. Ugyanis nincs másról szó mint, hogy az adó szimbólumidőnként a g s (t ) elemi jelet vagy annak inverzét adja, ami felfogható amplitúdó modulációként is és fázisfordításként is. ASK, BPSK

dQn

dIn

6. 4a ábra ASK/BPSK konstellációs diagram

78

x(t)

t

Ts

6. 4b ábra ASK/BPSK időfüggvény b=2 típusú modulációk 4 kvadratúra amplitúdó moduláció / kvadratúra bináris fázisbillentyűzés (4 Quadrature Amplitude Modulation, 4QAM / Quadrature Phase Shift Keying, QPSK) QPSK esetében nincs másról szó, mint az ASK/BPSK modulációról mindkét kvadratúra ágban (lásd 6.5a ábra). A 4QAM modulációnál a két kvadratúrakomponensnek megfelelően négyféle amplitúdó érték lehetséges a 6.5b ábrán látható módon. Az elnevezésbeli kettősség az ábrák alapján nyilvánvaló, hiszen a két konstellációs diagram 45°-os elforgatással egymásba vihető át. QPSK

dQn

dIn

6. 5a ábra QPSK konstellációs diagram

79

4QAM

dQn

dIn

6. 5b ábra 4QAM konstellációs diagram A 6.5c és 6.5d ábrákon jellegzetes QPSK jelalakokat rajzoltunk fel. A két ábra közötti különbséget a g s (t ) elemi jelalak jelenti. A 6.5c ábrán ez egy egyszerű négyszögimpulzus, míg a 6.5d ábrán a simább szimbólumátmenet biztosítása érdekében ún. cos2-impulzust alkalmaztunk. x(t)

0-j

0+j

1+0j

-1+j0

dn

t

Ts

6. 5c ábra QPSK moduláció 0-j

x(t)

0+j

1+0j

-1+j0

dn

t

Ts

6. 5d ábra 4 Amplitúdóbillentyűzés (4 Amplitude Shift Keying, 4ASK) Az ASK moduláció egy másik lehetséges kiterjesztése, ha az egy szimbólumidő alatt átviendő bitek számának növelését, nem a másik kvadratúrakomponens bevonásával oldjuk meg, hanem a lehetséges amplitúdó szintek számát növeljük a 6.6 ábrának megfelelően.

80

4ASK

dQn

dIn

6. 6 ábra 4ASK konstellációs diagram b=3 típusú modulációk 8 fázisbillentyűzés (8 Phase Shift Keying, 8PSK ) A 8PSK moduláció tipikus esete a b=3 típusú rendszereknek. A 8PSK moduláció érdekessége, hogy annak ellenére lineáris, hogy valójában a jel fázisát moduláljuk, ami tipikusan nemlineáris művelet. A moduláció konstellációs diagramját a 6.7 ábrán rajzoltuk fel. 8PSK

dQn

dIn

6. 7 ábra 8PSK konstellációs diagram b=4 típusú modulációk Erre a típusra két tipikus modulációt mutatunk be példának. Az egyik a 6.8 ábrán látható 16QAM a másik a 6.9 ábrán felrajzolt 16PSK moduláció. Mindkét moduláció esetén szimbólumidőnként 16 bitet viszünk át, de a 16PSK előnyösebb a 16QAM modulációval szemben, mivel az egyes állapotok közötti távolság nagyobb, ezért kevésbé zavarérzékeny. Ezeket a modulációkat általában alapsávi fax modemekben alkalmazzák.

81

16QAM

dQn

dIn

6. 8 ábra 16QAM konstellációs diagram 16PSK

dQn

dIn

6. 9 ábra 16PSK konstellációs diagram Természetesen a szimbólumidőnként átvitt bitek száma tovább növelhető, léteznek 32-128-256-1024 QAM rendszerek is. Példaként a 6.10 ábrán a 32 QAM moduláció konstellációs diagramját rajzoltuk fel, megjegyezve, hogy az már a b=5 típushoz tartozik. 32QAM

dQn

dIn

6. 10 ábra 32QAM konstellációs diagram

82

A lineáris modulációkkal kapcsolatban fontos megjegyezni, hogy általában nem alkalmazzák őket közvetlenül mobil rendszerekben, mivel lineáris végfokot igényelnek. Az “A” osztályú végfok hatásfoka azonban legfeljebb 50%, ezért nem célszerű kis teljesítményű akkumulátorokkal ellátott mobil készülékben alkalmazni. Ugyanakkor azonban mikrocellás rendszerekben, ahol csak kis távolságokat kell áthidalni ez a probléma nem játszik szerepet. Ez az egyik oka annak, hogy a lineáris modulációs rendszereket is tárgyaljuk. A másik érv a lineáris modulációk mellett a mind jobban elterjedő szórt spektrumú modulációs rendszerekben keresendő, mivel ezeknél a modulációknál alapmodulációként gyakran alkalmaznak lineáris modulációkat (lásd később). A következőkben a PSK modulációk két módosított változatát ismertetjük. Offset QPSK (OQPSK) A hagyományos QPSK rendszerben a Ts szimbólumidő egész számú többszöröseinél tetszőleges átmenet jöhet létre az egyes állapotok között, aminek következtében a jelváltozás nagy lehet, tekintsük például a 6.11a ábra átlós állapot átmenetét.

QPSK

dQn

OQPSK

dQn

dIn

dIn

6. 11a ábra QPSK és OQPSK konstellációs diagramok Ugyanakkor az erősítőknél lehetőség szerint igyekszünk csökkenteni a dinamikatartományt. Ezért a jelamplitúdó változásának csökkentésére a QPSK-tól eltérően a kvadratúra fázisban levő jeleket Ts /2 idővel eltoljuk, azaz a kvadratúra  

csatornában gs(t) helyett g s  t −

Ts   súlyfüggvényű szűrőt használunk. Ekkor a 2

modulált jel x (t ) =

+∞

∑d

In

g s (t − nTs ) cos(2π f 0 t ) −

n =−∞ +∞  T  − ∑ d Qn g s  t − s − n Ts  sin(2π f 0 t )   2 n =−∞

83

alakú és kössük ki, hogy 1   1 d In , d Qn ∈ + ;− . 2  2

Ekkor a komplex alapsávi ekvivalens jel x ekv (t ) =

+∞

+∞  T  d g ( t − n T ) + j ∑ In s ∑ d Qn g s  t − 2s − n Ts  , s n =−∞ n =−∞

ami azt jelenti, hogy a kvadratúra komponens változása késleltetve követi a fázisban levő komponensét. Emiatt a jel csak a 6.11b ábrán szaggatott vonallal jelölt négyzet élei mentén változhat, azaz a jel dinamikáját jelentősen csökkentettük. Im{xekv(t)}

1 2

Re{xekv(t)} −

1 2

1 2

−

1 2

6. 11b ábra Állapotátmenet QPSK moduláció esetén Differenciális PSK (DPSK) A BPSK moduláció lényege, hogy a moduláló jel fázisa hordozza a továbbítandó információt, azaz a vételi oldalon a jel fázisát kell meghatározni. Ez megtehető oly módon is, hogy egy referencia rögzítése után csak a fázisváltozást továbbítjuk. Ehhez ún. differenciális kódolást alkalmazunk a BPSK moduláció előtt a 6.12a ábrán látható módon. d n = un ⋅ d n −1

un ∈{+1,−1} dn

Ts

DPSK modulátorhoz

dn-1

6. 12a ábra DPSK modulátor Nézzünk egy szemléletes példát a differenciális kódolásra! A 6.12b ábra oszlopai az egyes szimbólumidőknek felelnek meg. Az első oszlopban önkényesen rögzítettük a kezdeti feltételeket, azaz dn =1 és a fázis=0. A legelső sor tartalmazza a szimbólumforrás által generált un értékeket. Ennek ismeretében már képezhetjük a d n = un ⋅ d n −1 kódolási szabály szerint a kódoló kimeneti értékeit. Az ábrán nyilak mutatják, hogy mely értékekből, mely értékek

84

származnak. Ezután a dn értékek egy BPSK modulátorra kerülnek, aminek eredményeképpen a kimenő jel fázisa az 1 → 0, -1→π megfeleltetéssel számítható (természetesen fordítva is lehetséges a hozzárendelés, ez megállapodás kérdése). A jel fázisát a 6.12b ábra harmadik sora mutatja.

1 −1 −1 1 −1 1 −1 1 1 −1 1 1 −1 −1 1

un dn

0 0 π fázis 0 0 π u$n 1 −1 −1 1 −1

π

0

1 −1

6. 12b ábra Differenciális kódolási példa A vételi oldalon az u$n jel detektálása a fázisváltozás ismeretében történik, ahogy azt az ábra nyilai mutatják. Ha volt fázisváltozás, akkor -1-gyel , ha nem volt akkor +1-gyel becsüljük un -et. Látható, hogy a DPSK moduláció és demoduláció alkalmazásával visszakaptuk az eredeti un szimbólumokat. Vegyük észre, hogy a DPSK moduláció valójában nem más, mint a hagyományos BPSK moduláció egy előkódolással kiegészítve. Miért tekintjük mégis külön modulációként? Nos azért, mert a vételi oldalon speciális egyedi vevőstruktúrát alkalmazunk. A DPSK vevő a 6.12c ábrán látható. Ts

r~ (t )

u$n

∫ 6. 12c ábra DPSK vevő

A vevő működése rendkívül egyszerű. A bejövő jelet először egy szimbólumidőnyit késleltetjük, majd összeszorozzuk az eredeti jellel. Ezáltal zajmentes esetben a szorzás eredményeként létrejövő jel előjele megegyezik a 6.12b ábra negyedik sorában található u$n sorozat elemeinek előjelével. A 6.12c ábra integrátorának feladata a zajszűrés, melyet nullkomparálás követ az u$n sorozat előállítása érdekében. 6.1.2 A modulált meghatározása

jel

egy

szimbólumra

eső

átlagos

energiájának

A modulált x(t) jel energiájának meghatározásához induljunk ki ismét a 6.1 ábrán látható struktúrából. A modulált jel energiája E=

+∞

∫x

2

(t ) dt ,

−∞

mely első látásra végtelen nagy értéket ad, de tekintettel arra, hogy nem stacioner jelet vizsgálunk és a ±∞ határ csupán az elegendően nagy szimbólumidőt

85

jelképezi, ezért a alábbi levezetés során a fenti probléma nem okoz gondot. A jel energiája a komplex alapsávi ekvivalenssel kifejezve E=

+∞

∫ (Re{x

ekv

(t ) e j 2π f 0 t

−∞

})

2

dt ,

z + z* ahol a valós rész képzés Re{z} = szabályát alkalmazva 2

(

+∞

1 E = ∫ x ekv (t ) e j 2π f 0 t + x * (t ) e − j 2π f 0 t ekv 4 −∞

) dt , 2

melyben elvégezve a négyzetre emelést és figyelembe véve, hogy z ⋅ z * = z E=

(

+∞

2

)

2 1  2 2  x ekv (t ) e j 4π f 0 t + 2 x ekv (t ) + x * (t ) e − j 4π f 0 t  dt . ∫ ekv  4 −∞

Vezessük be a x ekv (t ) = x ekv (t ) ⋅ e j ϕ ( t ) jelölést és bontsuk két tagra az integrálást az alábbiak szerint +∞

+∞

(

)

1 1 2 2 E = ∫ x ekv (t ) dt + ∫ x ekv (t ) e j 2ϕ ( t ) e j 4π f 0 t + e − j 2ϕ ( t ) e − j 4π f 0 t dt , 2 −∞ 4 −∞

ahol felismerve a második tagban a cos() függvény exponenciális alakját +∞

+∞

1 1 2 2 E = ∫ x ekv (t ) dt + ∫ x ekv (t ) cos( 4π f 0 t + 2ϕ (t ))dt . 2 −∞ 2 −∞

Vegyük észre, hogy a második integrálban az alapsávi x ekv (t ) nagyon lassan változik a koszinuszos tényezőhöz képest, ezért a második integrál jó közelítéssel a koszinusz függvény integráljának tekinthető, ami nulla. Így a modulált jel energiája E≅

+∞

1 2 x ekv (t ) dt . ∫ 2 −∞

Figyelembe véve az +∞

∑d

x ekv (t ) =

n

g s (t − n Ts )

n =−∞

összefüggést, most már könnyen meghatározhatjuk az egy szimbólumra eső energiát +∞

1 E s = ∫ | d n |2 | g s (t )|2 dt , 2 −∞

amiből tekintettel arra, hogy egy szimbólumidő alatt dn nem változik Es =

+∞

1 | d n |2 ∫ | g s (t )|2 dt . 2 −∞

86

Az egy szimbólumra eső átlagos energia a fentiek alapján dn várható értékének ismeretében írható fel az alábbi módon

[

Most pedig nézzünk szimbólumenergia számítására!

+∞

] ∫ | g (t )|

dt .

néhány

szemléletes

1 E s = E | d n |2 2

2

s

−∞

példát

az

átlagos

OOK Ki/be kapcsolásos moduláció esetén a 6.3a ábrának megfelelően d Qn = 0 és d In ∈{0,1} . Ebből nyilvánvalóan következik, hogy a konstellációs diagram állapotainak száma M=2 és egyszerre csak b=1 bitet fogunk össze a b=log2M egyenlet alapján. Egyenletes eloszlást feltételezve d In -re

[

] [

]

E | d n |2 = E | d In |2 =

1 , 2

amiből az átlagos szimbólumenergia Es =

+∞

11 2 ∫ | g s (t )| dt . 2 2 −∞

Ha feltételezzük, hogy az elemi jelalak egyszerű négyszögjel az alábbi formában a; t ∈[0, Ts ) gs ( t ) =  , 0 ; egy é bk é nt 

akkor Es =

1 2 a Ts , 4

amiből az a paraméter értékére a=

4E s , Ts

adódik s így  4E s ; t ∈[0, Ts )  g s (t ) =  Ts  0; egyébként .

ASK (M szintű) M szintű ASK modulációt vizsgálva amennyiben M páros, akkor dQn=0 és d In ∈{± 2m − 1| m = 1,..., M / 2} , valamint b továbbra is a b=log2M egyenletnek megfelelően határozható meg. Ekkor az átlagos szimbólumenergia

87

+∞

1 E s = k ∫ | g s (t )|2 dt , 2 −∞

ahol k a d In -ek egyenletes eloszlása esetén az alábbi értékű k=

M2 −1 , 3

mivel

[

] [

]

M −1

1 2 M 2 −1 ⋅i = E | d n | = E | d In | = ∑ . 3 i = − ( M −1) M 2

2

i páratlan

PSK (M szintű) M szintű PSK moduláció esetén a 6.7 ábra konstellációs diagramját általánosítva  j 2π k + j ϕ 0  d n ∈ e M  ; k=0,1,2,...,M-1;  

és M = 2b . Egyenletes d In eloszlás esetén nyilvánvaló, hogy

[

]

E | d n |2 = 1 ,

s ezáltal +∞

1 E s = E s = ∫ | g s (t )|2 dt . 2 −∞

Ha gs(t) négyszögimpulzus, akkor  2 Es ; t ∈[0, Ts )  gs (t ) =  Ts 0; egyébként 

és az átlagos bitenergia E b = Eb =

Es Es = . b log 2 M

6.1.3 A fehér Gauss-zaj alapsávi ekvivalense és a jel-zaj viszony Mobil rádiós rendszerekben a fading mellett az additív fehér Gauss-zaj a másik olyan statisztikus tulajdonságokkal rendelkező környezeti jelenség, mely az ideális rendszerekben zavaró hatásként jelenik meg. Jellemzése az egy-, illetve kétoldalas teljesítménysűrűség spektrum segítségével történik. A kétoldalas teljesítménysűrűség spektrum leírására vagy az egységnyi körfrekvenciára eső zajteljesítményt

88

N0  W  2 ⋅ 2π  rad / sec 

vagy az egységnyi frekvenciára jutó zajteljesítményt N0  W  2  Hz 

használjuk. Jegyzetünkben a továbbiakban az W N0    Hz 

egyoldalas teljesítménysűrűség segítségével jellemezzük a fehér Gauss-zajt. Rádiós rendszerek vizsgálatakor nyilvánvalóan csak a hasznos jel sávjába eső zajt kell figyelembe venni, ezért a jel sávjába eső zajteljesítményt az ún. Nyquist-sávszélességre számolhatjuk, ahol Bs =

1 Ts

a zaj egyoldalas sávszélessége, a Bs sávba eső teljesítménye pedig N0 . Ts

Pz =

A 6.13 ábrán a hasznos jel sávjára sávhatárolt Gauss-zajt rajzoltuk fel. Φn ( f ) N0 2

-f0

f0

Bs

Bs

f

6. 13 ábra Sávhatárolt fehér Gauss-zaj teljesítménysűrűsége A hasznos jel teljesítménye, melyet az átlagos szimbólumenergia és a szimbólumidő hányadosaként definiálunk, az előző alfejezet alapján Pj =

E s log 2 M ⋅ E b = , Ts Ts

így a Gauss-zajra vonatkoztatott jel-zaj viszony γ =

Pj Pz

=

E s Ts E s log 2 M ⋅ E b = = . Ts N 0 N 0 N0

A következőkben a B sávra sávhatárolt Gauss-zaj részletes leírását mutatjuk be. Az alapsávi jelkezelésre vonatkozó ismereteink birtokában tudjuk,

89

hogy a sávhatárolt, valós értékű Gauss-zaj és alapsávi ekvivalense között fennáll az alábbi kapcsolat

{

}

n(t ) = Re nekv (t ) e j 2π f 0 t ,

ahol a komplex alapsávi ekvivalens valós és képzetes rész összegére bontható nekv (t ) = n I (t ) + jnQ (t ) .

Ebből következik, hogy a sávhatárolt Gauss-zaj felírható mint n(t ) = n I (t ) cos(ω 0 t ) + jnQ (t ) sin(ω 0 t ) .

Sztochasztikus folyamatok jellemzésének gyakori eszköze az autókorrelációs függvény, mivel belőle Fourier-transzformáció segítségével előállítható a folyamat teljesítménysűrűség függvénye. Határozzuk meg tehát a sávhatárolt zaj és alapsávi ekvivalensének autókorrelációs függvényét, illetve a közöttük fennálló kapcsolatot. Ismert, hogy a Gauss-zajt jellemző n(t) valós sztochasztikus folyamat stacioner. Ebből következően a szűrt (sávhatárolt) folyamat is stacioner tulajdonsággal bír vagyis a ϕ n (τ ) = E[n(t ) ⋅ n(t + τ )]

autókorrelációs függvény csak a minták közötti τ időkülönbségtől függ. Alkalmazzuk n(t)-re az alapsávi ekvivalens segítségével történő leírást. Ekkor

[

ϕ n (τ ) = E (n I (t ) cos(ω 0 t ) + jnQ (t ) sin(ω 0 t )) ⋅

)]

(

⋅ n I (t + τ ) cos(ω 0 (t + τ )) + jnQ (t + τ ) sin(ω 0 (t + τ )) ,

ahol elvégezve a beszorzást és a várható érték képzést tagonként felírva ϕ n (τ ) = E[n I (t ) ⋅ n I (t + τ )] ⋅ cos(ω 0 t ) ⋅ cos(ω 0 (t + τ )) +

[

]

[

]

[

]

+ E nQ (t ) ⋅ nQ (t + τ ) ⋅ sin(ω 0 t ) ⋅ sin(ω 0 (t + τ )) − − E n I (t ) ⋅ nQ (t + τ ) ⋅ cos(ω 0 t ) ⋅ sin(ω 0 (t + τ )) − − E nQ (t ) ⋅ n I (t + τ ) ⋅ sin(ω 0 t ) ⋅ cos(ω 0 (t + τ )),

ami a t és τ függés szeparálása érdekében tovább alakítható ϕ n (τ ) = E[n I (t ) ⋅ n I (t + τ )] ⋅

[

]

+ E nQ ( t ) ⋅ n Q ( t + τ ) ⋅

cos(ω 0 t ) + cos(2ω 0 t + ω 0τ )) + 2 cos(ω 0 t ) − cos(2ω 0 t + ω 0τ )) − 2

90

[

]

sin(ω 0 t ) + sin(2ω 0 t + ω 0τ )) − 2

[

]

sin(ω 0 t ) − sin(2ω 0 t + ω 0τ )) . 2

− E n I ( t ) ⋅ nQ ( t + τ ) ⋅ − E nQ ( t ) ⋅ n I ( t + τ ) ⋅

Vegyük észre hogy a fenti eredményben az egyes várhatóértékek auto- és keresztkorrelációs függvényeket adnak. Ezért bevezetjük a következő jelöléseket ϕ n (τ ) = E[ nI (t ) ⋅ nI (t + τ )] , I

[

]

ϕ nQ (τ ) = E nQ (t ) ⋅ nQ (t + τ ) ,

[

]

[

]

ϕ n n (τ ) = E nI (t ) ⋅ nQ (t + τ ) , I Q

ϕn

QnI

(τ ) = E nQ (t ) ⋅ nI (t + τ ) .

Tudjuk továbbá, hogy n(t) stacioner, tehát az autokorrelációs függvénye t független kell legyen. Ez csak úgy biztosítható a fentieket figyelembe véve, ha ϕ n (τ ) = ϕ n (τ ) I

és

Q

ϕ n n (τ ) = −ϕ n I Q

QnI

(τ ) .

Így a sávhatárolt Gauss-zaj autokorrelációs függvényére ϕ n (τ ) = ϕ n (τ ) cos(ω 0 t ) − ϕ n n (τ ) sin(ω 0 t ) I

I Q

adódik. Tudjuk továbbá, hogy a komplex nekv (t ) autokorrelációs függvénye definíció szerint ϕ n (t , τ ) = ekv

[

]

1 * E nekv (t ) ⋅ nekv (t + τ ) . 2

Így az autokorrelációs függvény az nekv (t ) = n I (t ) + jnQ (t )

helyettesítéssel ϕ n (t , τ ) = ekv

[

1 E n I (t ) ⋅ n I (t + τ ) − jnQ (t ) ⋅ n I (t + τ ) + 2

]

+ jn I (t ) ⋅ nQ (t + τ ) + nQ (t ) ⋅ nQ (t + τ ) ,

ahol az összeg tagjaira külön-külön elvégezve a várható érték képzést és figyelembe véve az auto- és keresztkorrelációs függvényekre vonatkozó jelöléseket az alapsávi ekvivalens zaj autokorrelációs függvénye az alábbi formában írható fel ϕ n (t , τ ) = ekv

(

)

1 ϕ nI (τ ) + ϕ nQ (τ ) − jϕ nI nQ (τ ) + jϕ nQnI (τ ) , 2

91

ami láthatóan független t-től, azaz ϕ n (t , τ ) = ϕ n (τ ) . ekv

ekv

Alkalmazva a sávhatárolt Gauss-zaj stacioner voltából adódó feltételeket az alapsávi ekvivalens autokorrelációs függvénye tovább egyszerűsödik ϕ n (τ ) = ϕ n (τ ) + jϕ n n (τ ) . ekv

I

I Q

Most már birtokában vagyunk a sávhatárolt Gauss-zaj és alapsávi ekvivalense autokorrelációs függvényeinek. A következő lépés a teljesítményspektrumok meghatározása. Ehhez azonban egy rövid kitérőt teszünk. Tudjuk, hogy sávhatárolt sztochasztikus folyamatokra fennáll az alábbi jól ismert összefüggés

{

}

x (t ) = Re x ekv (t ) e j 2π f 0 t ,

valamint x(t) Fourier-transzformáltja a következő

{ {

X ( f ) = F { x (t )} = F Re x ekv (t ) e j 2π f 0 t

}} .

A komplex z(t) szám valós része előállítható mint z(t ) + z * (t ) Re{z (t )} = , 2

ezért x(t) Fourier-transzformáltja tovább írható *  x (t ) e j 2π f 0 t + x ekv (t ) e − j 2π f 0 t  X ( f ) = F  ekv = 2  

=

1 2

(F {x

ekv

}

{

* (t ) e j 2π f 0 t + F x ekv (t ) e − j 2π f 0 t

}) .

Alkalmazva a Fourier-transzformáció eltolási tételét az alábbi eredményre jutunk X(f ) =

(

)

1 * X ekv ( f − f 0 ) + X ekv ( f + f0) . 2

Amennyiben X ekv ( f ) szimmetrikus tulajdonságú, azaz * X ekv ( f ) = X ekv (− f ) ,

akkor x ekv (t ) valós függvénye az időnek. Most térjünk vissza a sávhatárolt Gauss-zaj és alapsávi ekvivalense teljesítményspektrumának, illetve a spektrumok közötti kapcsolat meghatározásához. Ismert, hogy a teljesítményspektrum az autokorrelációs függvény Fourier-transzformációjával állítható elő, azaz Φ n ( f ) = F {ϕ n (τ )} ,

valamint a fennáll, hogy

{

ϕ n (τ ) = Re ϕ n (τ ) e j 2π f ekv

0τ

}. 92

Ezek alapján a fentiek analógiájára a t = τ megfeleltetéssel már könnyen felírhatjuk a teljesítménysűrűség függvények közötti kapcsolatot Φn ( f ) =

(

)

1 Φ nekv ( f − f 0 ) + Φ *nekv ( f + f 0 ) . 2

Tovább finomíthatjuk eredményünket, ha feltesszük, hogy ϕ n (τ ) = ϕ n (τ ) = ϕ n (τ ) , ekv

I

Q

aminek feltétele a Rayleigh-fadinget leíró komplex z(t) változó analógiájára, hogy az egyes kvadratúrakomponensek függetlenek legyenek, azaz ϕ n n (τ ) = 0 . I Q

Ekkor Φ n ( f ) valós és teljesül, hogy ekv

Φ nekv ( f ) = Φ n I ( f ) = Φ nQ ( f ) . Φ nekv ( f ) valós és szimmetrikus tulajdonságú lesz, azaz Φ nekv ( f ) = Φ nekv ( − f ) ,

amiből Φn ( f ) =

{

}

1 Φ nekv ( f − f 0 ) + Φ nekv ( f + f 0 ) . 2

Szűrjük a Gauss-zajt a 6.14a ábrának megfelelően B sávszélességgel az f0 vivőfrekvenciára szimmetrikusan, azaz  N0  Φn ( f ) =  2 0

| f | a B sávban van

.

egyébként

Φn ( f ) N0 2

-f0

f0

B

B

f

6. 14a ábra Vivőfrekvenciára szimmetrikusan szűrt fehér Gauss-zaj A teljesítménysűrűség függvények közötti kapcsolat alapján ekkor az alapsávi ekvivalens zaj is szimmetrikus lesz az egyenkomponensre, vagyis

93

 N Φ n ekv ( f ) =  0 0

B 2 . egyébként | f |<

A szimmetrikus, téglalap alakú spektrumhoz az inverz Fourier-transzformáció alapján sin(π B τ ) ϕ n (τ ) = ϕ n (τ ) = ϕ n (τ ) = N 0 B π Bτ ekv

I

Q

alakú autokorrelációs függvény tartozik, amiből világosan látszik, hogy τ = k TA = k B1 helyeken vett zajminták korrelálatlanok, azaz függetlenek egymástól és a B sávba eső zaj teljesítménye Pz = ϕ nekv (0) = B N 0 Φ n ekv ( f )

N0 f

B

6. 14b ábra Szimmetrikusan szűrt sávhatárolt fehér Gauss-zaj alapsávi ekvivalensének teljesítménysűrűsége 6.1.4 Optimális koherens vétel, hibaarány bináris esetben A sávhatárolt fehér Gauss-zaj részletes vizsgálata után most már rátérhetünk a lineáris modulációs rendszerek minőségi jellemzőinek vizsgálatára. Nyilvánvaló, hogy zaj- és fadingmentes körülmények között az adó modulátorának bemenetére érkező szimbólum megegyezik a vevő demodulátorának kimenetén megjelenő szimbólummal. Ehhez az ideális esethez képest mind a zaj, mind a fading jelenléte azt eredményezi, hogy a vevő bizonyos valószínűséggel tévesen becsli az elküldött szimbólumot. Ezért a moduláció jóságának jellemzésére az ún. bit-, illetve szimbólumhibaarányt alkalmazzák. Meghatározásához először csak a Gauss-zajt vesszük figyelembe, majd az így kapott eredményeket terjesztjük ki a fadinggel is terhelt mobil rádiós csatornára. A 6.1.1 fejezetben a modulációkat az adóstruktúrájuk segítségével mutattuk be. A hibaarány kiszámításához azonban szükség van a vevő ismeretére is. Értelemszerűen a vevőben ideális esetben a moduláció műveletének inverzét kell végrehajtani. Zaj és fading jelenlétében azonban a hibaarány függ a vevő struktúrájától is, ezért azt a vevő megfelelő megválasztásával minimalizálni lehet. Ennélfogva beszélhetünk optimális vevőstruktúráról. Nyilvánvaló, hogy a fentiek

94

tükrében a modulációs eljárások összehasonlítását az optimális vevőstruktúrára számított hibaarányok segítségével végezzük. Mielőtt az egyes modulációs rendszerek analízisébe kezdenénk még egy megjegyzést kell tegyünk a vevővel kapcsolatban. A vételt attól függően, hogy rendelkezésre áll-e a vevőben a vett jelre vonatkozó fázisinformáció vagy sem koherensnek, illetve nemkoherensnek nevezzük. A vétel módjától természetesen függ az optimális vevő felépítése is.

95

A következőkben koherens vételt feltételezve határozzuk meg az egyes modulációs rendszerekre az optimális vevőstruktúrát és a hibaarányt. Vizsgálatunkat a már megszokott módon az alapsávi ekvivalensek világában végezzük. Modellünk felépítése a következő. A modulátor jelrendezőjének bemenetére párhuzamosan érkező b db. bitet egy olyan M=2b elemű szimbólumforrás generálta biteknek feleltetjük meg, melynek szimbólumait az m=1,...,M sorszámmal azonosítjuk. Jelölje a komplex dm a jelrendező kimenetét az m-dik szimbólum esetén, mely szimbólum adó általi elküldésekor a 0 ≤ t < Ts intervallumban a komplex alapsávi jel x (t ) = d m g s (t ) = g m (t ) ,

0 ≤ t < Ts ,

ami a rádiós csatorna csillapítása és fázisforgatása után additív Gauss-zajjal terhelve az alábbi alakban érkezik a vevőbe r (t ) = h0 e − jϕ g m (t ) + n(t ) ,

ahol h0 és ϕ a csatorna amplitúdó- és fázisfüggvénye, n(t) pedig a B sávra határolt komplex alapsávi zaj ϕ n (τ ) = N 0 B ekv

sin(π Bτ ) π Bτ

korrelációs függvénnyel. Vegyünk I db. mintát a vett jelből TA =

1 időnként, és állítsuk elő a B

vevőben a komplex mintákból álló vektort. r = ( r (TA ), r (2TA ),..., r ( I ⋅ TA ) ) , T

ami az m-dik szimbólum küldése esetén nem más, mint rm = h0 e − jϕ g m + n

ahol g m az adó jeléből TA időközzel vett mintákból álló vektort jelöli g m = ( g m (TA ), g m (2TA ), ... , g m ( I ⋅ TA )) ,

hasonlóképpen az alapsávi zajminták vektora n = (n(TA ), n(2TA ), ... , n( I ⋅ TA ))

A mintaszámra egyértelmű kötést ad a mintavételi időköz és a szimbólumidő I=

Ts . TA

Fontos megjegyezni, hogy a TA =

1 időközű mintavétellel biztosítottuk a B

zajminták függetlenségét. Így a zajminták nulla várható értékű, azonos szórású Gauss-eloszlású valószínűségi változókkal írhatók le. Vajon milyen lesz a vett jel mintáinak eloszlása az m-dik szimbólum esetén? A koherens vétel miatt a

95

csatorna amplitúdó- és fázisfüggvényét időfüggetlennek tekintjük egy szimbólum vételének idejére, ezért h0 és ϕ konstans s így a vett jel mintái is Gauss-eloszlást követnek

[ ]

E ri m = h0 e − jϕ g m (i TA )

várható értékkel, σ szórással és f (ri | m) =

[ ]

 r −Er m i 1  i exp − 2 2σ 2π σ 

2

 .  

sűrűségfüggvénnyel. Megjegyezzük, hogy fadinges csatornában a csatornaparaméterek idővariánsak, de a lassú fading miatt egy szimbólum idejére a csatorna csillapítása és fázisforgatása továbbra is konstansnak tekinthető. Ugyanakkor a fading annyiban befolyásolja majd eredményeinket, hogy ezek a konstansok valamilyen eloszlás szerint sorsolódnak majd, tehát két egyforma szimbólum esetén is eltérőek lehetnek. A fenti modell alapján egy döntési feladat előtt állunk, mely a következőképpen fogalmazható meg. Adott vételi mintavektor mellett keressük azt az m-dik szimbólumot, amire max( P{m| r}) ;

m=1, ... ,M.

m

Sajnos a fenti feltételes valószínűséget közvetlenül nem ismerjük. Sokkal könnyebben meg tudjuk határozni annak feltételes valószínűségét, hogy ha az m-dik szimbólumot küldjük, akkor mi lesz a vételi mintavektor. Ezért az a posteriori valószínűségeket ennek segítségével írjuk fel P{m| r} =

f (r| m) P{m} f (r )

.

A fenti kifejezésben a szimbólumforrásra jellemző P{m} valószínűségre is szükség van, mely döntő szerepet játszik a döntési feladat értelmezésében. Tegyünk tehát egy rövid döntéselméleti kitérőt. Legyen egy szimbólumforrás, mely az A és B szimbólumokat P{B} és P{A} valószínűséggel generálja. Ezt a két valószínűséget ún. a priori valószínűségnek hívjuk. Küldjük át a forrás szimbólumait egy csatornán, aminek következtében a vevő P{ A B} valószínűséggel az elküldött B szimbólum helyett

A-ra dönt és P{ B A} valószínűséggel az elküldött A szimbólum helyett B-re. Ekkor a tévesztés valószínűsége a feltételes valószínűségekkel súlyozott a priori valószínűségek, azaz a P{ A B} ⋅ P{B} és P{ B A} ⋅ P{A} ún. a posteriori valószínűségnek összegeként kapható meg. Ha ismertek az a priori valószínűségek, akkor Bayes-féle döntési feladatról beszélünk és a döntés optimális, ha arra a vett minta alapján arra a szimbólumra

96

döntünk, amelyhez a legnagyobb a posteriori valószínűség tartozik. Ezért ezt a fajta optimális döntést MAP (maximum a posteriori) döntésnek hívjuk. Amennyiben nem ismertek az a priori, csak a feltételes valószínűségek vagy az a priori valószínűségek egyenletes eloszlásúak, akkor általános hipotézisvizsgálati feladatról beszélünk. Ilyenkor a döntés összetettebb, mivel nyilvánvalóan csak a feltételes valószínűségre lehet támaszkodni. Ezért első és másodfajú hibát különböztetnek meg és a döntéssel csak ezek lineárkombinációját lehet optimalizálni. Ezt a fajta optimális döntést a szakirodalom ML (maximum likelihood) döntésnek hívja. Esetünkben nincs különbség az első és másodfajú hibák között, hiszen egyformán rossz ha például az A szimbólum helyett a B-re döntünk vagy fordítva. Ilyenkor az optimális döntés egy olyan Bayes-feladatnak feleltethető meg, ahol az a priori valószínűségek egyformák. Az optimális döntést pedig az jelenti, ha a vett minta alapján a nagyobb feltételes valószínűségű szimbólumra döntünk. A fentiek tükrében kétféle vevőről beszélünk • MAP vevő, ha P{m} adott, • ML vevő, ha P{m} nem adott, vagy egyenletes valószínűségű a szimbólumok generálása. Mivel a konkrét távközlési alkalmazás során az a priori valószínűségek meghatározása nehéz feladat, ezért az ML értelemben optimális vevőstruktúrákat igyekszünk definiálni. ML vevő esetén, a szimbólumtévesztés valószínűsége a következőképpen számítható M

M

Ps = ∑ ∑ P{ j i} ⋅ P{i} , j =1 i =1 i≠ j

ahol P{i} annak az eseménynek a valószínűsége, hogy az i-dik szimbólumot küldtük P{ j i} pedig, hogy az i-dik szimbólum küldése esetén a j-diket detektáljuk. Mivel az a priori valószínűségek egyformák, ezért P{i} =

1 M

valamint feltételes valószínűségeket is egyformának tekinthetjük. Ekkor M

M

Ps = ∑ ∑ P{ j i} ⋅ j =1 i = 1 i≠ j

1 . M

A későbbiekre való tekintettel megjegyezzük, hogy bináris esetben, azaz ha M=2, akkor a fenti kifejezés az Ps = P{12} = P{ 21}

alakra egyszerűsödik. Visszatérve a kitűzött feladathoz, az ML értelemben optimális vevőstruktúra meghatározásához esetünkben az f (r| m) feltételes sűrűségfüggvény ismerete szükséges. Tekintettel a zajminták független voltára f (r| m) tényezők szorzatára bontható

97

I

f (r| m) = ∏ f (ri | m) , i =1

ahol az egyes tényezők, mint az már láttuk azonos σ szórású és E[ri m] várható értékű komplex Gauss-eloszlású valószínűségi változók sűrűségfüggvényei. Az optimális ML vételhez végre kell hajtanunk az alábbi maximum keresést   I  max[ln ( f (r| m))] = max ln ∏ f (ri | m)  , m m    i =1

ahol az f (r ) sűrűségfüggvényt elhagytuk, mivel nem függ m-től és bevezettük az ln() függvényt. Mivel a természetes alapú logaritmus függvény szigorúan monoton növekvő, ezért a maximum keresést nem befolyásolja, ugyanakkor a feltételes sűrűségfüggvények szorzása összeadásra egyszerűsödik, mivel  I  max[ln ( f (r| m))] = max ∑ ln( f (ri | m)) . m m   i =1

A továbblépéshez határozzuk meg az i-dik mintához tartozó feltételes sűrűségfüggvényt

[ ]

  r −Er m i i  1 ln( f (ri | m)) = ln exp − 2 2σ  2π σ  

2

[ ]

   = ln 1  − ri − E ri m   2σ 2  2π σ  

2

.

Nyilvánvaló, hogy a fenti végeredmény első tagja nem befolyásolja a maximum keresést, ezért a továbbiakban a

[ ]

 I −r −Er m 2 i i   max ∑ 2  m 2σ  i =1 

feladatot kell elvégeznünk, ami tovább egyszerűsíthető figyelembe véve, hogy

[ ]

ri − E ri m

2

(

[ ]) (

[ ])

= ri − E ri m ⋅ ri − E ri m

[ ][ ]

(

*

*

=

[ ]

*

[ ])

= ri ri* + E ri m E ri m − ri E ri m + ri* E ri m =

[ ]

=| ri |2 + E ri m

2

{

[ ] }.

− 2Re ri E ri m

*

| ri |2 nem függ m-től, ezért elegendő megvizsgálni a

[ ]

 I −Er m i  max ∑ m  i =1 

2

{

[ ] } 

+ 2Re ri E ri m 2σ 2

*

  

kifejezést, amibe behelyettesítve E[ri m] -t a

98

 1 max  2 m σ

∑ Re{r ⋅ h I

i

0 e

i =1

jϕ

}

h02 g m (i TA ) − 2σ 2

I

∑|g i =1

m

 (i TA )|2  

maximumot kell keresnünk az optimális vételhez. A vevőben nyilvánvalóan rendelkezésünkre állnak a lehetséges g m (t ) függvények, ezért az első tag a bejövő jel és a helyi mintajel komplex korrelációja, a második tag pedig a mintajel mintáinak négyzetösszege. Általánosítsuk most tovább a modellünket. Növeljük a zaj sávszélességét a végtelenbe. Ekkor a független zajminták érdekében a mintavételi időközt a nullához kell közelítenünk, aminek eredményeképpen a mintaszám a végtelenhez fog tartani. Emiatt az szummákat integrálokkal kell helyettesítenünk, azaz a továbbiakban azt az m értéket keressük, amire az alábbi kifejezés maximumot ad T  1 Ts  h02 1 s + jϕ * 2 max  Re r ( t ) h e g ( t ) dt − | g ( t )| dt , m m 0 ∫ m N 0 2 ∫0  N 0 0 

{

}

ahol felhasználtuk, hogy σ 2 TA = N 0 B

1 = N0 . B

Vegyük észre, hogy a fenti kifejezésben az m-dik szimbólumhoz tartózó jel energiájára ismerhetünk T

1 s E m = ∫ | g m (t )|2 dt . 20

Így a feladatot, az alábbi maximumkereséssel lehet megoldani  Ts  max ∫ Re r (t ) h0 e jϕ g m* (t ) dt − h02 E m  . m 0 

{

}

Eredményünk alapján a 6.15 ábrán rajzoltuk fel az ML értelemben optimális vevőstruktúra alapsávi ekvivalensét. Először visszaállítjuk a vevőbe érkező jel fázisát a csatornainformáció alapján, azaz szinkronizáljuk a jelet, majd a szimbólumok számának megfelelő számú jelutat hozunk létre. Minden jelúton a vett jelet korreláltatjuk az egyes mintajelekkel, a korreláltságra jellemző értéket egy Ts ütemezésű mintavevő kimenetén kapjuk. A Ts időre való integrálás feladata a zaj kiátlagolása. Ezután kompenzáljuk a csatorna és a vevő bemeneti blokkjának amplitúdó torzítását, valamint a szimbólumenergiák közötti különbséget is kiegyenlítjük. Nyilvánvalóan annak a legnagyobb a valószínűsége, hogy azon a jelúton kapunk maximális értéket, ahol az elküldött szimbólumnak megfelelő jelalakkal szorzunk. Itt azért beszélünk csupán valószínűségről és nem bizonyosságról, mert a rádiós csatornában fellépő Gauss-zaj annyira eltorzíthatja a jelet, hogy előfordulhat más jelútra kapunk maximális értéket. Vegyük észre, hogy a bemutatott vevőstruktúrában nem támaszkodtunk a Gauss-zaj teljesítménysűrűségének ismeretére, a vevő ettől függetlenül optimális döntést hoz. Ezen előny mellett azonban két hátránnyal is szembe kell néznünk.

99

Ismernünk kell ugyanis a csatorna okozta amplitúdó- és fázisváltozást. Az előbbihez a vivőre történő szinkronizálással juthatunk, míg az utóbbihoz AGC-re (Automatic Gain Control) beépítése szükséges a vevőbe. A struktúrával kapcsolatos másik fontos tanulság, hogy a zaj közömbösítésére elegendő egy elsőfokú RC tag. Hiába használnánk bonyolultabb szűrőket, a hatásuk nem lenne kedvezőbb, mivel a zaj mellett egyúttal a hasznos jelet is szűrnék. g1* (t )

h0 e jϕ

r(t)

n Ts

−h02 E1

n Ts

−h02 E m

Ts

∫ dt

Re

0

g m* (t ) Ts

∫ dt

Re

max

0

m$

g *M (t )

−h02 E M

n Ts Ts

∫ dt

Re

0

6.15 ábra ML értelemben optimális vevőstruktúra koherens vétel esetén A következőkben a jelen végbemenő változásokat szemléltetjük konstellációs diagramm és fazorok segítségével a 6.16 ábrán 4QAM moduláció esetében. Hangsúlyozzuk, hogy nem egzakt magyarázatról lesz szó - azt megtettük az előzőekben - hanem megpróbáljuk közelebb hozni az olvasóhoz a csatornában és a vevőben lejátszódó folyamatokat. Küldjük az 1. szimbólumnak megfelelő d1 komplex fazort a csatornába. Koherens vételről lévén szó a gs(t) elemi jelalak mind a négy szimbólum esetén ugyanaz, ezért az elemi jelalakot a fazoros ábrázolás szempontjából figyelmen kívül hagyhatjuk. A d1 fazort a rádiós csatorna elforgatja ϕ szöggel és hosszát h0-lal szorozza. Így kapjuk az r’1 fazort, melyhez a szintén komplex n Gauss-zajt reprezentáló fazor adódik. Az eredő vett jelet a r1 fazor mutatja. 4QAM

dQn n

2. r1

r'1

1.

ϕ

d1

dIn 3.

4.

6.16 ábra Gauss-zaj és a csatornaparaméterek hatása az alapsávi 4QAM jelre

100

A 6.16 ábrán jól látszik, hogy ha pusztán az r1 fazorhoz legközelebb eső szimbólumot keresnénk, akkor tévesen döntenénk. Koherens vételkor először visszaforgatjuk a vett jel fazorját a csatorna ϕ fázisforgatásával. Ezzel igyekszünk a vett jelet az eredeti fazorhoz minél közelebb hozni. Ezután minden egyes elemi jel komplex konjugáltjával beszorozzuk külön-külön a jelet. Nyilvánvaló, hogy abban az ágban, ahol a saját elemi jel komplex konjugáltjával szorzunk, ott ha nem lenne zaj, akkor egy valós pozitív számot kapnánk, míg a többi ágban vagy negatív valós számot, vagy olyan komplex számot kapunk, aminek csak képzetes része van. Ennek belátását a 6.16 ábra alapján az olvasóra bízzuk (segítségül annyit, hogy a komplex konjugálás a valós tengelyre való tükrözést jelenti, két komplex szám (fazor) összeszorzásakor pedig a fázisuk összeadódik). A szimbólum energiák most egyformák, ezért a valós rész képzés után nyilvánvalóan ha nincs zaj, akkor a saját jelúton levő fazor lesz a leghosszabb. A zaj ezt az ideális megközelítést rontja el azzal, hogy a fazorok hosszát megváltoztatja és ezért a maximum keresésnél a saját jelút fazorja esetleg alul marad egy másik úttal szemben. Ezért az integrálással a zajnak a hatását igyekszünk csökkenteni. Nézzünk most egy konkrét példát, vizsgáljuk meg BPSK moduláció esetén a vevőstruktúrát. Koherens vételről lévén szó az általánosság korlátozása nélkül feltehetjük, hogy h0 = 1 és ϕ = 0 . A BPSK modulációnál mindössze kétféle szimbólumot használunk ezért  2Es  g1 (t ) = − g 2 (t ) = g s (t ) =  Ts 0 

0 ≤ t < Ts egyébként ,

ahol T

1 s E s = ∫ | g s (t )|2 dt , 20

amiből következik, hogy a jelenergiák megegyeznek E1 = E 2 . A demodulátor két ágában a mintavétel előtt az Ts

∫ Re{r (t ) g

}

1

(t ) dt ,

2

(t ) dt

0

illetve Ts

∫ Re{r (t ) g

}

0

mennyiségeket kapjuk. Megjegyezzük, hogy a komplex konjugálás jelölését a gi(t) függvények valós volta miatt hagytuk el. Képezzük a fenti két integrál különbségét

∫ Re{r (t ) ( g

Ts

0

1

)}

(t ) − g 2 (t ) dt ,

101

ami nem más, mint Ts

{

}

y = ∫ Re r (t )2 g s (t ) dt . 0

A döntés ezek után az alábbi szabály alapján történik m=1

ha y > 0

m = 2 ha y < 0,

tehát a vevő mindössze egyetlen jelutat tartalmaz a 6.17 ábrán látható felépítésben. 2g s (t )

r(t)

n Ts

Ts

∫ dt

Re

0

6.17 ábra Koherens BPSK vevő ( h0 = 1 és ϕ = 0 ) Vizsgáljuk most meg az additív Gauss-zaj hatását a koherens BPSK rendszerre! A vevő akkor hibázik, ha az 1. szimbólumot küldtük, de a 2.-at detektálta, illetve fordítva. Helyettesítsük be az y döntési változónk képletébe a vett jelet, feltételezve, hogy az 1. szimbólumot generálta a forrás. Ts  y = Re ∫ [ g1 (t ) + n I (t )] 2 g1 (t )dt   0 

Tekintettel arra, hogy a zaj Gauss-eloszlású, ezért y is az lesz. A Gauss-eloszlás egyértelműen leírható a várható értéke és a szórása segítségével, ezért először ezt a két mennyiséget határozzuk meg. Tudjuk, hogy sávhatárolt fehér Gauss-zaj kvadratúrakomponenseinek várható értéke is nulla, E[n I ] = 0 , ezért a döntési változó várható értéke Ts

E[ y ] = ∫ g12 (t ) 2 dt , 0

amibe behelyettesítve az elemi jelalakot és figyelembe véve a szimbólumenergia definícióját Ts

E[ y ] = 2 ∫ g s2 (t ) dt = 4 E s . 0

A szórás meghatározásához induljunk ki a definícióból

[

σ = E ( y − E[ y ]) 2

2

]

2  Ts   = E 2 ∫ n I (t ) g s (t ) dt    0   

majd elvégezve a négyzetre emelést

102



Ts Ts





0 0



σ 2 = E4 ∫ ∫ n I (t ) n I (τ ) g s (t ) dt g s (τ ) dtdτ  ,

ahol figyelembe véve, hogy az elemi jelalak determinisztikus Ts Ts

[

]

σ = 4 ∫ ∫ E n I (t ) n I (τ ) g s (t ) dt g s (τ ) dtdτ . 2

0 0

A fenti képlet várható értéke nem más, mint a zaj alapsávi ekvivalensének autokorrelációs függvénye, azaz ϕ n ( t − τ ) = N 0δ ( t − τ ) , I

ezért Ts Ts

σ = 4 N 0 ∫ ∫ δ (t − τ ) g s (t ) dt g s (τ ) dtdτ , 2

0 0

amiből mivel tudjuk, hogy egy valós folytonos függvény Dirac-függvénnyel történő konvolúciója az eredeti függvényt adja eredményül így Ts

σ = 4 N 0 ∫ g s2 (t ) dt = 4 N 0 2 E s = 8 N 0 E s . 2

0

y statisztikájának ismeretében most már felírhatjuk a szimbólumtévesztés Ps valószínűségét, ami BPSK esetén megegyezik a Pb bithibavalószínűséggel. A vevő akkor téveszt, ha y<0 , ezért a hibavalószínűség 1 2π σ

Ps = Pb =

 ( y − E[ y ]) 2  ∫ exp − 2 σ 2  dy . −∞ ∞

Az integrál kiszámításához először alkalmazzuk a z=y- E[ y ] helyettesítést Pb =

majd az x =

z

σ

1 2π σ

− E[ y ]

∫

−∞

 z2  exp −  dz =  2σ 2 

helyettesítést −

Pb =

1 2π

E[ y ]

σ

∫

−∞

 x2  exp −  dx =  2σ 2 

1 2π

∞

 x2  exp ∫E y  − 2 σ 2  dx . [ ] σ

x standard normális eloszlású valószínűségi változó, ezért a feni integrál értéke a Q( v ) =

∞

∫ v

x2 1 exp( − )dx 2 2π

hibaintegrál segítségével számítható. Így

103

 4Es   E[ y ]  . Pb = Q  = Q  σ   8N0 Es 

Figyelembe véve, hogy a γ jel-zaj viszonyt γ =

Es N0

alapján számítjuk, a bithibavalószínűség a

(

Pb = Q

2γ

)

módon függ a jel-zaj viszonytól. A mobil irodalomban a hibaintegrál függvény helyett gyakori az ún. erfc(v) függvény használata, melynek definíciója erfc(v ) =

∞

2

e π ∫

− x2

dx ,

v

ezért Q(v) és erfc(v) között az

( 2v )

erfc(v ) = 2Q

kapcsolat áll fenn. Ezért a bithibavalószínűség BPSK moduláció esetén Pb =

( )

1 erfc γ 2

formában is felírható. 6.1.5 Optimális, nemkoherens vétel, hibaarány bináris esetben Nemkoherens esetben a csatorna ϕ fázistolása nem ismert a vevőben, ezért ϕ-t a [0,2π) tartományon egyenletes eloszlású valószínűségi változónak tekintjük. Ennek következtében azok az elemi jelalakok, amelyek fázistolással egymásba vihetőek, nem lesznek megkülönböztethetők a vételi oldalon. Ezért például BPSK modulációnál csak koherens vételt lehet alkalmazni, mert ott a fázis hordozza az információt. Mindenekelőtt vizsgáljuk meg, hogy milyen esetekben alkalmazható a nemkoherens vétel. Az alapvető megoldás az, hogy minden szimbólumhoz egyedi jelalakot rendelünk. Ez történhet úgy, az egyeses elemi jelalakok csak frekvenciában különböznek. Az ilyen típusú modulációkat frekvenciabillentyűzéses modulációknak hívjuk (Frequency Shift Keying, FSK). Ekkor minden egyes szimbólumidőben az éppen küldendő szimbólumnak megfelelően más és más frekvenciával sugározzuk ki ugyanazt a g s ( t ) elemi jelet. Az FSK moduláció azonban nyilvánvalóan nemlineáris moduláció, hiszen az információt a jel frekvenciája és nem amplitúdója hordozza. A másik megoldás az ortogonális elemi jelalakok alkalmazása, azaz minden szimbólumhoz külön elemi jeleket rendelünk, melyekre igaz, hogy

104

Ts

∫g

i

(t ) g *j (t ) dt = 0 ha i ≠ j .

0

Az adóoldal ennek megfelelően változik a koherens esethez képest, azaz az adó jelének alapsávi ekvivalense x (t ) = d m g m (t ) = sm (t ) ,

0 ≤ t < Ts

és a vevő bemenetére érkező komplex alapsávi jel r (t ) = h0 e − jϕ sm (t ) + n(t ) ,

ahol  21π ; f (ϕ ) =  0;

0 ≤ ϕ < 2π egyébként

és az egyszerűség kedvéért h0=1. Ortogonális jelkészlet esetén az ML értelemben optimális vevőstruktúra a 6.17 ábrán látható. n Ts

g1* (t ) Ts

2

∫ dt 0

n Ts

g m* (t )

r(t)

Ts

2

∫ dt 0

max

m$ n Ts

g *M (t ) Ts

2

∫ dt 0

6.17 ábra ML értelemben optimális vevőstruktúra nemkoherens vétel esetén A nemkoherens és koherens vevőstruktúrák összehasonlításakor néhány lényeges különbség ismerhető fel. Először is hiányzik a vevő bemenetéről a csatornainformációval való szorzás, aminek oka épp a nemkoherens vételben keresendő (ϕ nem ismert). A második eltérés az integrátor jelenti. Itt ugyanis komplex integrálást kell elvégezni és az integrálás szerepe is más. A fenti struktúrában az elemi jelek ortogonalitása miatt csak akkor lesz hasznos jel az integrátor kimenetén, ha a vett jel és a jelút elemi jelalakja megegyezik, egyébként csak a komplex alapsávi zaj jelenik meg. Ennek magyarázata a következő. Az m-dik szimbólum küldése esetén a mintavevő bemenetén a komplex hasznos jel a következő Ts

∫ r (t ) g 0

Ts

* j

(t ) dt = ∫ h0 e − jϕ sm (t ) g *j (t ) dt = 0

amibe behelyettesítve sm (t ) -t és figyelembe véve, az elemi jelek ortogonalitását

105

= h0 e

− jϕ

= 0 m = j d m ∫ g m (t ) g *j (t ) dt  . ≠ 0 m ≠ j 0 Ts

Gondoljunk most vissza a Rayleigh- és Rice-fadinget leíró valószínűségi változók definíciójára és vonatkoztassunk el a fizikai tartalomtól. A mintavevő utáni komplex jel abszolút értékének négyzetét véve a komplex jel amplitúdónégyzetét kapjuk, aminek eloszlása a Rice-eloszlást követi ha jelút elemi jele egyezik a küldött jellel és Rayleigh-eloszlást ha nem. Az optimális döntés ezek után egy maximumkeresővel biztosítható, hiszen annak a nagyobb a valószínűsége, hogy a Rice-eloszlású valószínűségi változó értéke nagyobb, mint az Rayleigh-eloszlásúé azonos paraméterek mellett. Vegyük észre, hogy az abszolút érték képzés nem csupán az alapsávi jel amplitúdójának meghatározását szolgálja, hanem függetlenné teszi a döntést a bejövő jel fázisától is, azaz valóban nemkoherens vételt valósítottunk meg. Szemléltető példánk legyen ismét a BPSK moduláció. Az ML értelemben optimális vevőstruktúrát a 6.18 ábrán rajzoltuk fel. g1* (t )

nTs Ts

2

∫ dt 0

y1

r (t g 2* (t )

nullkomparátor + -

nTs Ts

∫ dt 0

m=1

v1

2

m$

v2 m=2

y2

6.18 ábra ML értelemben optimális vevőstruktúra nemkoherens BPSK moduláció esetén Az általános struktúrához képest egyszerűsítést jelent a maximumkereső helyett nullkomparátor alkalmazása. Ez az összesen két jelút következtében vált lehetségessé. A Pb bithibaarány számításához meg kell határoznunk a 6.18 ábrán vm-mel jelölt döntési változók statisztikáját vm =

2 2 y mI + y mQ , m=1,2,

ami nyilvánvalóan az y mI és y mQ kvadratúrakomponensek ismeretében történhet. Tételezzük fel, hogy a g1(t) és a g2(t) jelek ortogonálisak, és hogy most a g1(t) jelet küldték. Először határozzuk meg y2 statisztikáját. Ekkor Ts

y 2 = ∫ r (t ) e jϕ ' g 2* (t )dt = 0

Ts

∫ [ g (t ) + n(t )]e 1

jϕ '

g 2* (t )dt =

0

Ts

= ∫ n(t ) e jϕ ' g 2* (t )dt = y 2 I + j y 2 Q . 0

106

Alkalmazzuk a β (t ) = e jϕ ' g 2* (t ) helyettesítést valamint az alapsávi ekvivalensek kvadratúra felbontását y2 =

Ts

∫ (n

I

)

(t ) + j nQ (t ) ( Re{β (t )} + j Im{β (t )}) dt ,

0

amiből y2 I =

Ts

∫ [n

I

]

(t ) Re{β (t )} − nQ (t ) Im{β (t )} dt .

0

y 2 I és y 2 Q egyformán Gauss-eloszlású, ezért nekünk csupán y 2 I várható értékére

és szórására van szükségünk. Először a várható értéket határozzuk meg Ts  E[ y 2 I ] = E ∫ n I (t ) Re{β (t )} − nQ (t ) Im{β (t )} dt  .  0 

[

]

A várható érték képzés felcserélhető az integrálással, ezért Ts

[

]

E[ y 2 I ] = ∫ E n I (t ) Re{β (t )} − nQ (t ) Im{β (t )} dt . 0

A Gauss-zaj független a csatorna fázistolásától, ezért Ts

[

]

E[ y 2 I ] = ∫ E[n I (t )] ⋅ E[Re{β (t )}] − E nQ (t ) ⋅ E[ Im{β (t )}]dt , 0

[

]

amiből figyelembe véve, hogy E[n I (t )] = E nQ (t ) = 0 a várható érték E[ y 2 I ] = 0 .

A szórás számításánál már felhasználjuk a várható értékre vonatkozó előző eredményt Ts Ts  E y 22I = E ∫ ∫ n I (t ) Re{β (t )} − nQ (t ) Im{β (t )} ⋅ n I (τ ) Re{β (τ )} − nQ (τ ) Im{β (τ )} dt dτ   0 0 

[

[ ]

][

]

. Tudjuk, hogy a zaj kvadratúrakomponensei függetlenek, azaz

[

]

E n I (t )nQ (τ ) = 0 ,

ezért

[ ] = ∫ ∫ [ E[n (t )n (τ )]Re{β (t )}Re{β (τ )} + E[n Ts Ts

Ey

2 2I

I

I

0 0

Q

]

]

(t )nQ (τ ) Im{β (t )} Im{β (τ )} dt dτ

ami tovább írható, mint Ts Ts

[ ] = ∫ ∫ N δ (t − τ )( Re{β (t )}Re{β (τ )} + Im{β (t )} Im{β (τ )})dt dτ

Ey

2 2I

0

0 0

figyelembe véve, hogy

107

[

]

E[n I (t )n I (τ )] = E nQ (t )nQ (τ ) = N 0δ (t − τ ) .

Mivel ∞

∫ δ ( x − x ) f ( x)dx = f ( x ) , 0

0

−∞

ezért Ts

[ ] = ∫ N δ (t − τ )(Re {β (t )} + Im {β (t )})dt .

Ey

2 2I

2

2

0

0

Így a szórásra az alábbi végeredményt kapjuk Ts

[ ] = N ∫ | g (t )|

σ =Ey 2

2 2I

0

2

2

dt = 2 N 0 E s

0

mindkét kvadratúra komponensre, ezért az y2I és az y2Q statisztikája y22 I

− 2 1 f ( y2 I ) = e 2σ , 2π σ y22Q

− 2 1 e 2σ , 2π σ

f ( y2Q ) =

amiből v2 statisztikája nyilvánvalóan Rayleigh-eloszlás f (v2 ) =

v2

σ

2

−

e

v22

2σ 2

.

Mielőtt rátérnénk a bithibaarány kiszámítására vizsgáljuk meg a v1 statisztikáját. Legyen most ϕ=0. Ez a megkötés azért lehetséges, mert a 6.18 ábra 2 abszolút érték négyzet képzői miatt az e − jϕ = 1 ϕ-től függetlenül. Ekkor y1 =

Ts

∫ ( g ( t ) + n( t ) ) g 1

* 1

(t )dt

; ϕ = 0,

0

az in phase kvadratúra komponens várható értéke pedig Ts

Ts

E[ y1I ] = ∫ g1 (t ) g (t )dt = ∫ | g1 (t )|2 dt = 2 E s . * 1

0

0

Mivel az 1. szimbólumot küldtük, ezért

[ ]

Ts

E y1Q = ∫ g1 (t ) g 2* (t )dt = 0 , 0

a szórásnégyzet pedig megegyezik az y2-re kapott eredménnyel σ 2 = 2 N0 Es .

Így a kvadratúrakomponensek statisztikája

108

f ( y1Q ) =

 y12Q  1 exp − 2  , 2π σ  2σ 

f ( y1 I ) =

 y −E y 1I 1Q 1  exp − 2 2σ 2π σ  

(

[ ])

2

   . 

A bithibaarány számításához az alábbi általános összefüggésből indulunk ki Pb =

+∞ +∞

∫ ∫ P(hiba| y

1I

y1Q ) f ( y1I ) f ( y1Q )dy1I dy1Q .

−∞ −∞

Hiba akkor keletkezik, ha az 1. üzenet küldésekor v1 v1| v1 ) =

∞

∫ f (v )dv 2

2

=

v1

=

∞

−

v2

∫σ

e

2

v 22 2σ

v1

∞

y1 I + y 1 Q v2  − v2 2  − − 12 2 2σ 2 σ  =e dv2 = − e = e 2σ .     v1 2

2

2

2

Behelyettesítve a fenti eredményt és az y1 kvadratúrakomponenseinek sűrűségfüggvényeit a bithibaarány képletébe +∞ +∞ − y1 I + y1Q 2σ 2 2

Pb =

2

y12Q

− 2 1 e 2σ 2π σ

∫ ∫e

−∞ −∞

− 1 e 2π σ

(y

1I

[ ])

− E y1Q 2σ 2

2

dy1I dy1Q ,

ami a konstansok kiemelése és az integrálások csoportosítása után 1 − Pb = e 2

[ ]

E y1 Q

4σ 2

[ ] 

2

+∞

y12Q

+∞

 E y1Q y −  1I 2 

2

 

1 − 2 σ2 e σ dy1Q ⋅ e dy1I = e ∫ ∫ 2 π σ −∞ π σ −∞ 144 42444 3 1444 4244443 1 1 1

−

1

−

[ ]

E y1Q

4σ 2

2

,

ahol kihasználjuk, hogy egy sűrűségfüggvény ±∞-re vett integrálja mindig 1. Ezért

[ ]

 Ey 1 1Q Pb = exp −  2 4σ 2 

2

 ,  

amibe behelyettesítve a várható értékre és szórásra kapott összefüggéseket  (2 E s ) 2  1  E  1 1  γ Pb = exp −  = exp − s  = exp −  .  2 2  2N0  2  4 ⋅ 2Es N 0  2

109

6.1.6 A hagyományos modulációs eljárások hibavalószínűségének függése a jel-zaj viszonytól A 6.1 táblázatban tipikus modulációkra foglaltuk össze a bithibaarány jelzaj viszonytól való függését. Koherens BPSK Pb =

Nemkoherens

( )

1 erfc γ 2

FSK

FSK Pb =

 γ 1 erfc  2  2

QPSK

Pb =

1  γ exp −   2 2

DPSK

( )

1 Pb ≅ erfc γ 2

Pb =

1 exp( −γ ) 2

6.1 táblázat Bithibaarány tipikus modulációk esetén A 6.19 ábrán koherens és nemkoherens BFSK modulációra rajzoltuk fel a bithibavalószínűséget. Az ábra görbéi jól mutatják, hogy nemkoherens esetben, amikor kénytelenek vagyunk csatornainformáció nélkül dönteni, ugyanakkora bithibavalószínűség biztosításához mintegy 2 dB-lel nagyobb adóteljesítményre van szükség. 1 Pb

P 10-1

10

10

-2

-3

PSK (koherens) koherens FSK 10

-4

nemkoherens FSK 10

10

-5

-6

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

22

24

26

28

30

γ 0 = E s / N 0 [dB]

6. 19 ábra Bithibaarány koherens és nemkoherens vétel esetén

110

6.1.7 A fading hatásának analízise, Rayleigh- és Rice-fading Az előzőekben a Gauss-zajnak a modulációt jellemző hibaarányra gyakorolt hatását vizsgáltuk koherens és nemkoherens vétel esetén. Most továbblépünk és a mobil rendszerekben jelentkező fading következményeit határozzuk meg. Vizsgálataink lassú, multiplikatív fadingre vonatkoznak, ami azt jelenti, hogy a vétel során egy szimbólum ideje alatt a fading értéke nem változik, de ez az érték minden egyes szimbólumra a fading típusától függő valószínűségi változó szerint sorsolódik. Ennek következtében a jel-zaj viszonyt leíró γ is valószínűségi változó lesz. Így a moduláció minőségét meghatározó hibavalószínűségeket sem tudjuk egzaktul megadni, hanem a várható értékükkel jellemezzük őket. A továbbiakban a Pb átlagos bithibaarányra koncentrálunk. Ha ismerjük a jel-zaj viszony statisztikáját, akkor az átlagos bithibaarány a ∞

Pb = E[ Pb ] = ∫ P{hiba|γ } f Γ (γ )dγ 0

módon határozható meg. A jel-zaj viszony sűrűségfüggvényét már korábban meghatároztuk, ami Rayleigh-fading esetében f Γ (γ ) =

 γ  exp −  , γ0  γ 0 1

ahol  Es  E s =  N0  N0

γ 0 = E

Rice-fading esetén pedig f Γ (γ ) =

  γ γ   γ  (1 + c) exp −  c + (1 + c)  I 0  2 c(1 + c)   , γ0 γ 0  γ 0   

ahol E 

Es

γ 0 = E s  =  N0  N0

és c=

a direkt jel teljesítménye . a diszperzív jel teljesítménye

A Pb kiszámításához szükséges integrálás Rayleigh-fadinges esetben mindig végrehajtható. Nézzük néhány tipikus példát! Koherens BPSK moduláció P{hiba|γ } =

( )

1 erfc γ 2

és

111

∞

Pb = ∫ 0

 γ  1 1 erfc γ ⋅ exp −  dγ 2 γ0  γ 0

( )

ahol parciális integrálást alkalmazva Pb =

γ0  1 1 − . 2 1+ γ 0 

Nemkoherens FSK moduláció P{hiba|γ } =

1  γ exp −   2 2

és Pb =

∞

 γ

1

1

∫ 2 exp − 2  ⋅ γ 0

0

 γ  exp −  dγ =  γ 0 ∞

=

=

1 2γ 0

∞



1

∫ exp −γ  2 0

  2+γ 0   exp −γ 2γ 0    1  1  +   dγ = =  2+γ 0 γ 0  2γ 0    2γ 0   0

1 2 +γ 0

A 6.2 táblázatban néhány tipikus modulációra foglaltuk össze az átlagos bithibaarányt Rayleigh- és Rice-fading esetén. Rayleigh DPSK

Rice DPSK

Pb =

1 2 + 2γ 0

Koherens FSK γ0  1  Pb =  1 − 2 2 +γ 0 



cγ 0



cγ 0



−  1 1+ c Pb = e  (1+ c ) +γ 0  2 (1 + c) + γ 0

Nem koherens FSK 

−  1+ c Pb = e  2 (1+ c ) +γ 0  2(1 + c) + γ 0

Nemkoherens FSK Pb =

1 2+γ 0

Koherens BPSK Pb =

γ0  1 1 −  2 1+ γ 0 

6.2 táblázat Átlagos bithibaarány Rayleigh- és Rice-fading esetén

112

A 6.20 ábrán a bithibaarányt tüntettük fel Rayleigh-fadinges és fadingmentes esetben. Jól látható, hogy a fading hatására a bithibaarány jelentősen megnövekedett, függetlenül az alkalmazott moduláció típusától. Ezért a rádiós rendszerek tervezésekor ún. fadingtartalékkal számolnak, ami azt jelenti, hogy az adóteljesítményt megnövelik, annak érdekében, hogy a leszívások esetén is fenntartható legyen a szükséges hibaarány. A 6.20 ábrán PSK moduláció esetére bejelöltük a 10-3 bithibavalószínűséghez szükséges fadingtartalékot. 1 Pb

10-1 fadinges 10

nemkoherens FSK

-2

PSK 10

DPSK

-3

PSK DPSK 10

-4

nemkoherens FSK 10

-5

fadingmentes 10

-6

2

4

6

8

10

12

14

16

18

fadingtartalék

20

22

24

26

28

30

γ 0 = E s / N 0 [dB]

6. 20 ábra Átlagos bithibarány Rayleigh-fadinges és Rayleigh-fading mentes csatornában Természetesen a valóságban igen ritkán fordul elő Rayleigh-fadinggel terhelt csatorna, hiszen szinte mindig van közvetlen jelterjedés is. A direkt jelút teljesítménye és a szóródott teljesítmény viszonya alapján a 6.22a és 6.22b ábrákon koherens PSK és nemkoherens FSK modulációkra rajzoltuk fel az átlagos bithibaarányt. A görbék két szélső helyzet között helyezkednek el. A c = 0 eset a teljesen szórt jeleket jelenti, azaz a Rayleigh-fadinges csatornát. A c = ∞ pedig a fadingmentes esetnek feleltethető meg. A kettő között a Riceeloszlásnak megfelelően alakulnak a görbék.

113

1

Pb

Koherens PSK

10-1

10

-2

c=0 (Rayleigh) 10

-3

c=2 (3 dB) 10

10

10

-4

c=5 (7 dB) c=∞ Gauss

-5

c = 10 (10 dB)

-6

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

22

24

26

28

30

γ 0 = E s / N 0 [dB]

6. 21 ábra Átlagos bithibarány Rice-fadinges csatornában koherens PSK moduláció esetén 1 Pb

10

10

10

10

10

10

Nemkoherens FSK -1

-2

c=0 (Rayleigh) -3

c=2 (3 dB) c=5 (7 dB)

-4

c=∞ Gauss

-5

c = 10 (10 dB)

-6

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

22

24

26

28

30

γ0 = (Es /N0) [dB]

6. 22b ábra Átlagos bithibarány Rice-fadinges csatornában nemkoherens FSKmoduláció esetén

114

6.2 Nemlineáris modulációs rendszerek A nemlineáris modulációs eljárások nagy családjából vizsgálódásunkat most a mobil rendszerekben alkalmazott nemlineáris modulációkra koncentráljuk. Ezek elsődleges jellemzője, hogy a modulált jel fázisa folytonos függvénye az időnek. Ennek magyarázata a következő. Ismert, hogy a frekvencia-, illetve fázismodulált jelek sávszélessége végtelen, szemben a lineáris modulált jelekkel. Ezért arra törekszünk, hogy olyan nemlineáris modulációkat keressünk, melyeknél minél kisebb sávszélességben koncentrálódik a jelteljesítmény. Az előző alfejezetben már szóltunk a nemlineáris FSK modulációról. Nyilvánvaló, hogy FSK esetén a szimbólumhatárokon bekövetkező frekvenciaugrás nagy sávszélességet eredményez. Ezért arra törekszünk, hogy a modulált jel fázisa folytonos legyen. A nemlineáris modulációknak nagy előnye a lineáris modulációkkal szemben az állandó burkoló. Állandó burkoló esetén ugyanis nagy hatásfokú nemlineáris erősítőket is alkalmazhatunk, ami rendkívül fontos olyan környezetben, ahol takarékoskodni kell az energiaforrással. Folytonos fázisú modulációs (Continuous Phase Modulation, CPM) rendszerekben az általános jelelőállítást a 6.23 ábrán mutatjuk be. A modulátor felépítése az általános lineáris modulátor struktúrához hasonlóan a bitfolyam soros/párhuzamos átalakításával kezdődik. De itt a jelrendező kimenetén egy valós értékű dn sorozat jelenik meg, melyre teljesül, hogy d n ∈[ − ( M − 1), ... ,−11 , , ... ,( M − 1)]

M páros.

A g(t) elemi frekvenciafüggvényt itt is egy Dirac-sorozat és egy g(t) súlyfüggvényű szűrő segítségével rendeljük a dn sorozathoz. Ezután egy 2πh értékkel való szorzás következik, ahol h a fázismodulációs indexet jelöli, ami megadja, hogy egy szimbólum a modulált jel fázisát a 2π teljes fázisforgatás hányad részével forgatja el. Végül a jel egy frekvenciamodulátorra kerül. 1 uk ∈{0,1}

b bites S/P

jelrendezõ

b

dn g(t )

2πh

FM mod

x(t )

∞

∑ δ (t − nT ) s

n =−∞

6.23 ábra Jelelőállítás CPM rendszerekben Vizsgáljuk meg a CPM modulációt az alapsávi ekvivalensek világában is. A szögmodulált jel vivőfrekvenciás alakja az alábbi x ( t ) = A cos( 2π f 0 t + ϕ 0 + ϕ ( t ) ) ,

115

ahol ϕ(t) hordozza a hasznos információt, ϕ0 a vivő konstans fázistolása. x(t) két tag különbségére bontható a következő módon x ( t ) = A cos(ϕ ( t ) ) cos(2π f 0 t + ϕ 0 ) − A sin(ϕ ( t ) ) sin(2π f 0 t + ϕ 0 ) .

Ismert, hogy az x(t)-nek megfelelő komplex alapsávi ekvivalens jel x ekv (t ) = x I (t ) + j x Q (t ) ,

ahol ϕ 0 = 0 választással x I (t ) = A cos(ϕ (t ) ) , x Q (t ) = A sin(ϕ (t ) )

s ezért az alapsávi jel felírható, mint x ekv (t ) = Ae j ϕ ( t ) ,

ahol a jel amplitúdója A=

2Es . Ts

A modulált jel fázisának időfüggvénye a 6.23 ábra alapján +∞

t

+∞

n =−∞

−∞

n =−∞

ϕ ( t ) = 2π h ∑ d n ∫ g (τ − n Ts ) dτ = 2π h ∑ d n q ( t − n Ts ) ,

ahol q(t) az elemi fázisfüggvény, melynek deriváltja g(t) az elemi frekvenciafüggvény t

q( t ) =

∫ g (τ ) dτ .

−∞

Hagyomány alapján a q (t )|t →∞ ≡

1 2

megkötést alkalmazzák a fázisfüggvényre, ezért egyetlen szimbólum ∆ϕ = 2π h d n

1 2

fázisváltozást okoz. A frekvenciaváltozás pedig +∞ dϕ ( t ) = 2π h ∑ d n g (t − n Ts ) . dt n =−∞

A CPM moduláció tehát mind a frekvenciát, mind a fázist változtatja. Ez egyben azt is jelenti, hogy a szimbólumok additív módon járulnak hozzá a modulált jel fázisához, illetve frekvenciájához.

116

A CPM modulációkat a q(t) elemi fázisfüggvények alapján különböztetjük meg egymástól. 6.2.1 Teljes válaszfüggvényű rendszerek A teljes válaszfüggvényű modulációk esetén a q(t) függvény Ts tartóval rendelkezik, azon kívül az elemi fázisfüggvény értéke nulla, ahogy az a 6.24 ábrán látható. g(t )

q(t ) 1 2

0

Ts

t

0

Ts

t

6.24 ábra Teljes válaszfüggvényű CPM rendszer elemi frekvencia- és fázis függvénye Lineáris fázisú rendszerek Az elemi frekvenciafüggvény az alábbi  1 ;  g (t ) =  2 Ts 0 ; 

t ∈[0, Ts ) egyébként

Bináris esetben, azaz ha M = 2, valamint a fázismodulációs tényező hagyományos h = 21 , akkor ún. Minimum Shift Keying (MSK) modulációról beszélünk, melynek lényege, hogy minden egyes új szimbólum a vivő alá vagy fölé hangolja 1 π a frekvenciát értékkel, illetve ± fázistolást okoz. Az MSK modulációhoz 2

2Ts

tartozó elemi frekvencia- és fázisfüggvény a 6.24a ábrán látható.

1 2Ts

q(t )

g(t )

0

1 2

Ts

t

0

Ts

t

6.24a ábra MSK moduláció elemi frekvencia- és fázis függvénye

117

Az MSK alkalmazhatóságának azonban határt szab a teljesítménysűrűség függvényének alakja, melyet a 6.24b ábrán rajzoltunk fel. Az ábra vízszintes tengelyén a relatív egység

1 Ts

[Hz]. A jel teljesítményét ugyanis jelentős

mértékben a melléknyalábok hordozzák, ezért a szomszédos csatornákat az

1 Ts

frekvencia többszörösére kell eltávolítani egymástól, ami gyenge sávkihasználást eredményez. Teljesítménysûrûség [dB]

0

-20

-70

0

0.75

1

1.25

f

6.24b ábra MSK moduláció spektruma Az MSK moduláció melléknyalábjaira jutó nagy teljesítmény azzal magyarázható, hogy bár a fázis folytonos, de a frekvencia ugrik a szimbólumhatáron. Természetesen felmerülhet a kérdés, hogy miért nem szűrjük ki a modulált jel melléknyalábjait? Nos azért, mert GHz körüli frekvenciákon ilyen kis sávszélességű szűrőt megfelelő mértékű csillapítással nem lehet készíteni. Ezen a problémán segítenek a simított teljes válaszfüggvényű rendszerek Simított teljes válaszfüggvényű rendszerek Az MSK modulációnál tapasztalt frekvenciaugrásból adódó sávszélességnövekedés kiküszöbölése érdekében tegyük a frekvenciafüggvényt is folytonossá. Példaként a 6.25 ábrán felrajzoltuk a  π  tπ  sin   g (t ) =  4 Ts  Ts  0 

t ∈[0, Ts ) egyébként

elemi frekvenciafüggvényű rendszer elemi fázis- és frekvenciafüggvényét. A q(t) elemi fázisfüggvény A’ és B’ pontjaiban a derivált 0 értékű, ezért az elemi frekvenciafüggvény is folytonos lesz a szimbólumátmenetkor. Azonban a C’ pontban q(t) meredeksége nagyobb lesz, mint MSK esetben. Ezt szemléltetendő a 6.25 ábrán szaggatott vonallal rajzoltuk be az MSK-hoz tartozó görbéket. Sajnos g(t) C pontbeli kiemelése csökkenti a folytonos

118

frekvenciaátmenet révén fellépő sávszélesség nyereséget. A probléma végleges megoldását a részleges válaszfüggvényű rendszerek jelentik. q(t )

g(t )

1 2Ts

B'

1 2

C

C' A B A'

0

t

Ts

0

Ts

t

6.25 ábra Simított teljes válaszfüggvényű moduláció elemi frekvenciaés fázis függvénye 6.2.2 Részleges válaszfüggvényű rendszerek Két alesetet különböztetünk meg, de mindkettőre egyaránt jellemző, hogy az elemi fázis-, illetve frekvenciafüggvény a Ts idő többszörösére terjed ki. Így a fázis és frekvencia változás lassabban megy végbe, ami a sávszélesség csökkenését eredményezi. Véges tartójú elemi jelekre az alábbiakban mutatunk néhány példát. Lineáris fázisú  1  g (t ) =  2 L Ts 0 

t ∈[0, L Ts ) egyébként

g(t )

q(t ) 1 2 0

Ts

2Ts

t

0

Ts

2Ts

t

6.26a ábra Lineáris fázisú részleges válaszfüggvényű moduláció elemi frekvencia- és fázisfüggvénye L=2 esetén Emelt koszinusz (RC) impulzus  1   2π t    1 − cos   g (t ) =  2 L Ts   L Ts    0

t ∈[0, L Ts ) egyébként

119

g(t )

q(t ) 1 2 0

Ts

2Ts

t

0

Ts

2Ts

t

6.26b ábra Emelt koszinusz impulzusos moduláció elemi frekvencia- és fázisfüggvénye L=2 esetén Konvolvált emelt koszinusz (CRC) impulzus  1   L Ts   1 g (t ) =   L Ts 0   

 2t  4π t   1  − sin   L Ts 2π  L Ts  

 LT  t ∈ 0, s   2 

  4π t   2t 1 2 − + sin  L Ts 2π  L Ts   

 LT  t ∈  s , L Ts    2 egyébként

Fél periódusú szinusz (HSC)  π  tπ  sin   g (t ) =  4 L Ts  L Ts  0 

t ∈[0, L Ts ) egyébként

Az igazi megoldást a mobil rendszerek számára elegendően kis sávszélesség biztosítására a végtelen tartójú elemi jelek jelentik, melyek közül a leggyakrabban alkalmazottakat az alábbiakban foglaltuk össze. Emelt koszinusz spektrumú Nyquist-impulzus (NYQ) 1  | f |< (1 − β ) 1 L Ts   1   LT  2π    1 1 G ( f ) =   1 − sin s  2π f − (1 − β ) ≤| f | < (1 + β )    L Ts    L Ts L Ts  4β  2  0 egyébként  

120

 2π t   2π t  sin  cos β   L Ts   L Ts  1 g (t ) = 2 2π t L Ts  4β  t 1−  L Ts  L Ts 

Gauss MSK pulzus (GMSK)   t  1 t2  exp − ∗ rect     Ts   2(σ Ts ) 2  2π σ

1 g (t ) = 2Ts2

T   t  1 ; | t | < rect   =  ; 2  Ts   0 ; egyébként

Ts B =

ln 2 2π σ

Tamed FM (TFM) g (t ) =

1 d  ∞ 1 1  d t − i T + T + d t − i T + d t − i T − T ( ) ( ) ( ) ∑ s s s s s    4 dt  i =1  2 2 

π t sin   Ts  d (t ) = πt Ts

6.2.3 A CPM vevő A CPM jelekhez kapcsolódóan alkalmazhatóságát vizsgáljuk.

három

lehetséges

vevőstruktúra

ML értelemben optimális koherens vevő A CPM típusú szögmodulált jel zajos környezetben történő vételére létezik ML értelemben optimális vevő. Azonban ennek felépítése annyira összetett, hogy a gyakorlatban nem alkalmazzák. A vevő komplexitásának érzékeltetésére induljunk ki az A=1, ϕ0=0 feltevésből és az elemi fázis-, illetve frekvenciafüggvény tartója legyen LTs. A modulált jel ekkor x (t ) = cos(2π f 0 t + ϕ (t )) ,

melynek fázisa +∞

ϕ (t ) = 2π h ∑ d i q (t − i Ts ) . i =−∞

Tegyük fel, hogy éppen az n-dik szimbólumot vesszük, azaz nTs ≤ t < (n + 1)Ts .

121

Ekkor a vett jel fázisa felírható, mint ϕ n (t ) = 2π h

n− L

n

∑d

i

q (t − i Ts ) + 2π h ∑ d i

i = n − L +1

i =−∞

1 , 2

ahol az első tag az n-dik szimbólumhoz tartozó elemi frekvenciafüggvény értékeket tartalmazza, míg a második tagban q (t ) =

1 . Ezért a második tag egy 2

Θn konstans fázistolásnak feleltethető meg. ϕ n (t ) a fenti képlet alapján bináris esetben k = 4 ⋅ 2 L −1 ⋅ 2 = 2 L +2

különböző értéket vehet fel, ahol a 4 a kezdeti fázisok lehetséges számát adja bináris esetben, 2 az n-dik időrésben érkező, 2 L−1 pedig a korábbi bitek száma. ML vétel esetén minden egyes lehetséges jelalakra külön illesztett szűrőt kell alkalmazni, ami a fentiek tükrében kivihetetlen. MSK típusú szuboptimális vevő A gyakorlatban a komplexitás csökkentését optimumközeli vétel révén biztosítják. Ennek egyik példája az MSK típusú vevő, melyet többek között a GSM rendszerben is alkalmaznak. A vevőstruktúra a 6.27 ábrán látható. cos(2πf 0 )

r(t)

Aluláteresztõ szûrõ

Ts

páros

sin(2πf 0 )

Ts

Aluláteresztõ szûrõ

kombinálás és döntés

d$n

páratlan

6.27 ábra MSK típusú szuboptimális vevőstruktúra koherens vétel esetén Az egyszerűsítés lényege, hogy először előállítjuk a kvadratúrakomponenseket, majd a két mintavetőt váltott ütemben működtetjük. Így egy adott szimbólumra vonatkozó döntés a kvadratúrakomponensek bizonyos megfigyelt értékeinek kombinálásával jön létre. Biztos, hogy ezáltal a döntés nem lesz optimális, de elegendő mindössze két jelutat megvalósítani. Nemkoherens optimális vevő: FM demodulátor Hagyományos FM demoduláció esetén a ϕ (t ) fázisfüggvény deriváltjával arányos jelet állítunk elő, azaz +∞ dϕ ( t ) = 2π h ∑ d i g (t − i Ts ) . dt i =−∞

122

A gondot a zaj jelenléte okozza. Ugyanis deriváláskor a nagyfrekvenciás zajt kiemeljük, amit analóg rendszerekben a preem és deem fázisok (előkiemelés és utóelnyomás) segítségével orvosolnak. Digitális rendszerekben azonban ilyen módon nem oldható meg a zajelnyomás, ezért ezt a fajta demodulálást nem is alkalmazzák mobil rendszerekben.

6.3 Az egyoldalsávos SSB moduláció módosított változata Az egyoldalsávos (Single Side Band, SSB) moduláció mobil rendszerekben való alkalmazásának fő előnye a sávtakarékosság, hátránya viszont az, hogy érzékeny a nemlineáris torzításokra és a fadingre. Ugyanakkor a mobil készülékek kis teljesítményű akkumolátorai jó hatásfokú nagy teljesítményű végfokozatokat igényelnek, ezek viszont nem lineárisak. A probléma megoldását a • lineáris visszacsatolt végfokozat alkalmazása és • pilot jel sáv közepén való elhelyezése jelenti. Innen ered a moduláció elnevezése is: SSB-TTiB, Single Side Band–Transparent Tone in Band, ahol a pilot jelenti a Tone in Band-et. A pilotjel nemcsak a csatorna torzításának a kiegyenlítésére alkalmas, hanem egyúttal a koherens detekció végrehajtását is lehetővé teszi. Az adóoldali alapsávi telefonjel spektrumát a 6.28a ábrán rajzoltuk fel, míg a TTiB feldolgozás utáni spektrum a 6.28b ábrán látható. Spektrum

300 Hz

1650 Hz

3000 Hz

f

6.28a ábra Alapsávi telefonjel Spektrum Φm ( f )

pilot

300 Hz

1650 Hz

2050 Hz 1850 Hz

3400 Hz

f

6.28b ábra Alapsávi telefonjel TTiB feldolgozás után A SSB-TTiB moduláció leírásához jelöljük a TTiB feldolgozás utáni hasznos jelet m(t ) -vel, spektrumát pedig Φ m ( f ) -fel. Az egyoldalsávos SSB

123

alapsávi jelet az ún. SSB szűrővel állíthatjuk elő, melynek átviteli függvénye az alábbi 1; ha f ≥ 0 H( f ) =  0 ; ha f < 0

vagy másképpen H( f ) =

1 1 1 + sgn( f )] = [1 + j ( − j ) sgn( f )] . [ 2 2

Az SSB alapsávi jel spektruma így az Φ SSB ( f ) = H ( f ) Φ m ( f ) =

1 [1 + j ( − j ) sgn( f )]Φ m ( f ) 2

alakban állítható elő, azaz a jel maga mSSB (t ) = F

−1

1

1

{Φ SSB ( f )} = 2 m(t ) + 2 j m$ (t )

ahol m$ (t ) =

1

π

+∞

m(τ )

∫ t − τ dτ

−∞

az alapsávi jel Hilbert-transzformáltját jelöli, mivel a Hilbert-transzformáló szűrő súlyfüggvénye

F −1 {− j sgn( f )} =

1 . πt

A fentiek alapján a modulált jel az alapsávi ekvivalens segítségével a következő alakban írható fel

{

}

s(t ) = Re mSSB (t ) e j 2π f 0 t =

1 [m(t ) cos(2π f 0 t ) − m$ (t ) sin(2π f 0 t )] . 2

Antenna m$ v (t )

Demodulátor

mv ( t )

–

m( t )

telefon jel

mn ( t )

+

TTiB jel

cos(2π f t )

m$ ( t )

Σ

Végfok

+ –

pilot

s(t)

m$ n (t )

− sin(2π f t )

6.29 ábra SSB-TTiB adó felépítése

124

A visszacsatolással kiegészített adó felépítését a 6.29 ábrán rajzoltuk fel. Az alapsávi telefonjelet először TTiB jellé alakítjuk a pilot segítségével. Ezután a TTiB jel kvadratúrakomponenseit a visszacsatoló ágból érkező jelekkel vetjük össze, majd a különbségképzés után két szorzó és egy összegző segítségével előállítjuk az SSB jelet. A visszacsatolás biztosítja azt, hogy a kimenő antennára jutó jel alapsávi kvadratúra összetevői megegyezzenek az m(t ) és m$ (t ) hasznos jelekkel, így valódi SSB jelet lehet előállítani akkor is, ha a végfokozat nemlineáris. Az ábra demodulátorának feladata nyilvánvalóan a vevőoldali jel előállítása a visszacsatoláshoz. Felépítése megegyezik az alábbiakban ismertetett vevőstruktúrában alkalmazottal. A 6.30 ábra vevőjének bemenetére érkező jelnek először a kvadratúrakomponenseit állítjuk elő, majd egy aluláteresztő szűrővel levágjuk a felharmónikusokat. Ezután leválasztjuk a pilotjelet, melynek segítségével koherens vételt valósítunk meg, azaz korrigáljuk a csatorna csillapítását és fázistolását. Végül a hangfrekvenciás sávok egyesítése következik. demodulátor LPF r (t )

A hangfrekvenciás sávok egyesítése

Amplitudó és fáziskorrekció

cos(2π f 0 t )

LPF − sin(2π f 0 t )

A pilot leválasztása

6.30 ábra SSB-TTiB vevő felépítése A fading SSB-TTiB modulációra gyakorolt hatásának vizsgálatához legyen m1 (t ) a hasznos jel és A p cos(2π f p t ) a pilot. Ekkor a TTiB feldolgozás utáni jel m(t ) = m1 (t ) + Ap cos(2π f 0 t )

és a Hilbert-transzformáltja m$ (t ) = m$ 1 (t ) + A p sin(2π f p t ) .

Így az adó komplex alapsávi ekvivalens jele: mSSB (t ) =

[

1 j 2π f p t m1 (t ) + j m$ 1 (t ) + A p e 2

] 125

A fading a vevő bemenetére jutó jelet torzítja egy z komplex szorzóval és a vivő fázisa sem ismert a vevőben, azaz a vet jel alapsávi ekvivalense rekv ( t ) = mSSB ( t ) z .

Állítsuk elő a vevőbe jutó jel alapsávi ekvivalensének valós és képzetes részét, ekkor rekv ( t ) =

[

]

1 j 2π f p t m( t ) − j m$ ( t ) + A p e z. 2

Mérjük meg a pilot amplitúdóját és fázisát, azaz állítsuk elő az A p | z| és arc( z )

értékeket. Segítségükkel az eredeti jel fadinges környezetben is visszaállítható az alábbi módon ' rekv (t ) =

[

]

rekv (t ) − j arc ( z ) 1 j 2π f p t e = m(t ) − j m$ (t ) + Ap e . 2 | z|

126

7. Diverziti technikák A diverziti nem jelent mást, mint azt, hogy a mobil vétel helyén két vagy több független (korrelálatlan) fadinggel terhelt jelet felhasználva (kombinálva) csökkentjük annak az esélyét, hogy az eredő (kombinált) jel szintje egy küszöbérték alatt marad. A diverziti rendszerek tehát többszörös (többutas) vevőből és kombináló rendszerből (algoritmusból) állnak. A diverziti rendszereket két alapcsoportba osztjuk • Makroszkopikus diverziti: itt az lassú fading hatásának csökkentéséről van szó azáltal, hogy a vételi minőség javítására például több különböző helyen elhelyezett bázisállomásról sugározzuk ugyanazt az adást, és a mobil vevőben tipikusan szelektív kombájnert alkalmazunk. • Mikroszkopikus diverziti: itt a mobil vevő helyén alkalmazunk valamilyen elven többszörös vételt elsősorban a gyors, dinamikusan változó fadingkomponensek hatásának csökkentésére. A továbbiakban vizsgálatainkat a mikroszkopikus diverzitire koncentráljuk, melynek típusai a következők • Térdiverziti: két vagy több antenna elhelyezése egymástól elkülönítve a mobil egységen • Frekvencia diverziti: a koherencia sávszélességnél nagyobb frekvencia távolságban az adás és a vétel megismétlése • Polarizáció diverziti: a vett jel tipikusan két polarizációs összetevőjének elválasztott vétele • Elektromágneses komponens diverziti: a vevőnél kialakuló elektromos és mágneses tér összetevőinek párhuzamos vétele • Szögdiverziti: nagyfrekvenciás (>10 GHz) átvitel esetén több irányú irányított antennák alkalmazásával többszörös vétel megvalósítása • Idődiverziti: azonos üzenetek adása és vétele különböző időintervallumokban, amelyekre már független fading hat A kombájnerek felépítése és típusai A következőkben a leggyakrabban alkalmazott kombájnereket ismertetjük. Az egyszerűség kedvéért valamennyinél csak a kétutas megoldást rajzoljuk fel. Az egyes kombájnertípusok bemutatása után először rátérünk a leírás szempontjából legösszetettebb lineáris kombinációs maximális jel-zaj viszonyú kombájner részletes analízisére, majd másik három, szuboptimális vételt biztosító megoldást vizsgálunk meg.

127

Szelektív kombájner Ez a legnagyobb szintű jelet választja ki az M különböző, párhuzamosan vett jelből.

V

V

7.1a ábra Szelektív kombájner Kapuzott kombájner Az alábbi algoritmus szerint működik (két út esetén): kiválasztjuk az egyik jelet, és addig vesszük, amíg az egy adott küszöbszint felett van, egyébként a másik jelre kapcsolunk át függetlenül attól, hogy annak milyen a szintje. Megvalósítástól függ, hogy mi történik, ha a második jel is éppen a küszöb alatt van ebben az időben.

V

7.1b ábra Kapuzott kombájner Azonos erősítésű kombájner Itt a súlyozó tényezőket úgy választjuk meg, hogy azok abszolút értéke mindig azonos (azonos erősítés), ugyanakkor a kimeneti jel-zaj viszony ilyen feltételek mellett a legnagyobb.

128

|súly|=K

|súly|=K

V

V

7.1c ábra Azonos erősítésű kombájner Lineáris kombinációs maximális jel-zaj viszonyú kombájner (optimális lineáris kombájner): Itt azt a súlyozó vektort választjuk, amelyik mellett a kimeneti jel-zaj viszony a legnagyobb. súly

súly

V

V

7.1d ábra Lineáris kombinációs maximális jel-zaj viszonyú kombájner

7.1 Az optimális lineáris kombájner analízise csatornainformáció esetén Az optimális lineáris kombájner analízisét először a csatornainformáció ismeretére alapozva végezzük el. Mindenekelőtt a kiindulási feltevéseket fogaljuk össze. Optimálisnak nevezzük a lineáris kombinációs kombájnert, ha a súlyok megfelelő megválasztásával maximalizáljuk a jel-zaj viszonyt. Feladatunk az optimális vételhez szükséges súlyok meghatározása. A kombájner valós kimeneti jelét az

{

}

r (t ) = Re rekv (t ) e j 2π f 0 t = Re{r+ (t )}

jelöli. A fadingről feltételezzük, hogy multiplikatív és lassú, ami azt jelenti, hogy csak szimbólumidőnként változik és a különböző diverziti ágba érkező jelhez

129

tartozó fadingminták függetlenek (a fading korrelálatlan). Jelölje zk (t ) a k-dik ágra ható fadinget, ekkor z k (t ) = z k

és

[

]

E z k zi* = 0, k ≠ i .

A csatornainformáció megléte azt jelenti, hogy ismerjük a zk fadingmintákat, azaz a csatorna csillapítását és fázistolását. Ennek biztosítása a gyakorlatban történhet például pilotjel segítségével. A csatornában fellépő nk (t ) zaj additív, Gauss-eloszlású és sávhatárolt. Az egyes kombájnerágakhoz tartozó zajminták pedig függetlenek

[

]

E n k (t ) ⋅ ni* (t ) = 0

és egyoldalas teljesítménysűrűség függvényük N0. A rádiócsatorna és a kombájner együttes modelljét a 7.2 ábrán rajzoltuk fel. Az ábrán sekv (t) jelöli az adó jelének alapsávi ekvivalensét, αk pedig a kombájner súlyozó paramétereit, melyek megfelelő megválasztásával biztosítható az optimális kombinálás. n1(t)

z1

nk(t) Lineáris kombináció

sekv (t) zk

nM(t)

rekv (t)

αk

zM

7.2 ábra A rádiócsatorna és a kombájner együttes modellje A 7.2 ábra modellje alapján a kombájner kimenő alapsávi jele M

rekv (t ) = ∑ α k ( sekv (t ) z k + n k (t )) . k =1

A jel-zaj viszony a k-dik csatornában az alábbi módon állítható elő Γk =

[

E | sekv (t ) z k |2

[

E | n k (t )|

2

]

],

ami figyelembe véve, hogy z k ismert s ezért kiemelhető a várható érték képzésből, valamint az egy szimbólumhoz tartozó átlagenergia (teljesítmény)

130

[

]

Es , Ts

Ps = E | sekv (t )|2 =

továbbá az

1 sávra eső zajteljesítmény Ts

[

]

1 , Ts

E | n k (t )|2 = N 0

ezért a jel-zaj viszony tovább írható a Es T E Γ k = s | z k | 2 = s | z k |2 N0 N0 Ts

formában. A teljes jel-zaj viszony pedig a következőképpen állítható elő 2 M   E sekv (t ) ∑ α k z k  k =1   Γ=  , 2  M  E ∑ α k n k (t )   k =1 

ahol figyelembe véve a zajminták függetlenségét 2

M

E Γ= s N0

∑α

k

zk

k =1 M

∑ |α

. k

|

2

k =1

Az optimális kombájner megvalósításához célunk a fenti kifejezés maximálása az αk paraméterek függvényében. Ehhez a Schwarz-egyenlőtlenséget hívjuk segítségül, mely kimondja, hogy tetszőleges ak és bk komplex számokra igaz az alábbi reláció 2

∑a

* k

bk

k

   ≤  ∑ | a k |2   ∑ | bk |2   k  k 

és az egyenlőség akkor áll fenn, ha a k = K bk , ahol K konstans. Esetünkre alkalmazva a Schwarz-egyenlőtlenséget M

2

 M  k =1

 M   k =1

 

∑ α k zk ≤  ∑ |α k |2   ∑ | zk |2  k =1

amiből a legjobb választás (az egyenlőség teljesülése) nyilvánvalóan az, ha α *k = K z k , α k = K z k* .

Próbáljunk meg most fizikai tartalommal kitölteni a fenti eredményt. Abból, hogy a kombájnerparamétereket a fading komplex konjugáltjára

131

választjuk, az következik, hogy a vett hasznos jelet jelképező fazor szögét minden ágban visszaforgatjuk annyival, amennyit a csatorna forgatott rajta s így a fazorok mind egy irányba mutatnak. Ezzel elérjük, hogy a hasznos jelet képviselő fazorok amplitúdóban adódnak össze, míg a rájuk ültetett zaj vektoriálisan. Ráadásul azt az ágat vesszük nagyobb erősítéssel figyelembe az összegzéskor, ahol a jel-zaj viszony nagyobb. Ezzel olyan vételt valósítunk meg, amelynél nem lehet jobbat csinálni. Megjegyezzük ugyanakkor, hogy ehhez a csatornainformáció ismerete szükséges. Mivel ismerjük zk értékeket, ezért α k -kat be tudjuk állítani a fenti szabálynak megfelelően. Ezért 2

M

∑α

 M  =  K ∑ | z k |2   k =1 

k

zk

k

|2 = K 2 ∑ | z k |2 ,

k =1

2

és M

∑ |α

M

k =1

k =1

amiből az eredő jel-zaj viszonyra Γ=

Es N0

M

M

k =1

k =1

∑ | zk |2 = ∑ Γk

adódik. Az eredményből jól látszik, hogy az eredő jel-zaj viszony kialakításában az összes kombájner ág részt vesz, tehát a legrosszabb jel-zaj viszonyú ág is javít a vételen. Tekintettel arra, hogy a fadinget valószínűségi változóval írjuk le, ezért a jel-zaj viszony is az lesz. Az eredő jel-zaj viszony valószínűségi sűrűségfüggvényét az egyes ágakra vonatkozó sűrűségfüggvények konvolúciójával határozhatjuk meg M

f Γ (γ ) = ∗ f Γk (γ ) ; γ ≥ 0 . k =1

Az eredő jel-zaj viszony számítása visszavezethető az sűrűségfüggvényének Laplace-transzformáltjára az alábbi módon

L { f Γ (γ )} = ∏ L { f Γ M

k

k =1

egyes

ágak

}

(γ ) .

Rayleigh-fading esetében f Γk (γ ) =

1

γ0

−

e

γ γ0

;

γ ≥ 0,

melynek Laplace-transzformáltja

L { fΓ

k

}

(γ ) = L

 1 − γγ  1 .  e 0=  γ 0  1 + s γ 0

132

Így az eredő jel-zaj viszony Laplace-transzformáltjára

L

 1  { f Γ (γ )} =  1 + s γ   0

M

adódik, amiből az eredő sűrűségfüggvény γ

1 γ M −1 − γ 0 f Γ (γ ) = e . ( M − 1)! γ 0M

Mivel nem minden esetben M darab egyforma csatornából érkezik a jel, ezért vezessük be a jel-zaj viszony pontosabb jellemzése és az egyes modulációk jobb összehasonlíthatósága érdekében az alábbi normálást Y=

Γ Teljes jel - zaj viszony a kimeneten = , A jel - zaj viszony átlagos értéke Mγ 0

melynek sűrűségfüggvénye f Y ( y) =

és y=

M ( M y ) M −1 e − M y ( M − 1)!

γ . Mγ 0

A 7.3 ábrán a normalizált eredő jel-zaj viszony sűrűségfüggvényét rajzoltuk fel M-ben paraméterezve. M=1 esetén visszakapjuk a diverzitimentes Rayleigh-fadinges csatornát, míg a diverziti ágak számának növelésével a sűrűségfüggvény a δ ( y − 1) függvényhez tart, azaz a konstans jel-zaj viszonyt jelentő esethez. Ez pedig azt jelenti, hogy elvben diverziti alkalmazásával biztosítható a fadingmentes vétel.

133

2

↑

f Y ( y)

Rayleigh M=1

2 4

8

16 32

0 0

y=

1

γ Mγ 0

→

2

7.3 ábra A normalizált eredő jel-zaj viszony sűrűségfüggvénye Az optimális vétellel kapcsolatban egy fontos kérdést nem érintettünk még. Az optimális lineáris kombájner igényli, hogy az α k = K zk* meghatározásához pontosan ismerjük a csatorna amplitúdó és fázis adatait. A probléma megoldására pilot jelet alkalmazunk. A kombájner k-dik ágának elvi felépítése a 7.4 ábrán látható. (k)

zk e

k-dik bemenet

j 2π f p t

Pilot

Pilotszûrõ

Jel

z k s( t )

Jelszûrõ Lineáris súlyozású kombájner

zk

α k (t )

Demodulátorhoz

7.4 ábra Az optimális lineáris kombájner elvi felépítése # Az adó jelének sekv alapsávi ekvivalense kiegészül az a amplitúdójú, fp frekvenciájú periodikus pilot jellel az alábbi módon # sekv = sekv ( t ) + a ⋅ e

j 2 πf p t

.

134

A k-dik kombájnerágba jutó alapsávi vett jel ez alapján

(

rk ( t ) = sekv ( t ) + a ⋅ e

j 2 πf p t

)⋅z

k

= sekv ( t ) ⋅ zk + a ⋅ e

j 2 πf p t

⋅ zk ,

amiből kiszűrve a pilotot közelítőleg az a ⋅e

j 2 πf p t

⋅ zk

mennyiséget kapjuk. Ezt mérve tudjuk azután a zk értéket számítani.

7.2 Az optimális lineáris diverziti kombinációs eljárás hibaanalízise Rayleigh-fading esetén A hibaanalízist most is a korábbiakhoz hasonló módon végezhetjük el. Először meghatározzuk az adott modulációs rendszerre jellemző Pb (γ ) bithibavalószínűség függvényt és a jel-zaj viszony f Γ (γ ) valószínűségi sűrűségfüggvényét. Majd ezek ismeretében kiszámoljuk az átlagos hibaarányt az alábbi módon v PbMR =

∞

∫f

Γ

(γ ) Pb (γ ) dγ ,

0

ahol az MR index a Maximum Ratio (maximális jel-zaj viszonyú) kifejezés rövidítése. A következőkben néhány tipikus modulációra meghatározzuk az M-utas diverzitit alkalmazó vevő bithibavalószínűségét majd összehasonlításul feltüntetjük a diverziti nélküli eredményeket is. BPSK PbPSK =

( )

1 erfc γ 2

∞ v 1 PbMRPSK = ∫ erfc γ f Γ (γ ) dγ = 20

( )

∞

γ

1 1 γ M −1 − γ 0 = ∫ erfc γ e dγ = 20 ( M − 1)! γ 0M

( )

M −1 2 r  1− µ2  1  = 1 − µ ∑     2 4  r =0  r  

r

 γ0  , ahol µ =  1+ γ 0 

v γ0  1  PbPSK =  1 − 2 1+ γ 0 

135

FSK (nemkoherens) PbFSK =

1  γ exp −   2 2 γ

∞ γ v 1 −2 1 γ M −1 − γ 0 1 1 PbMRFSK = ∫ e e dγ = M 20 ( M − 1)! γ 0 2  γ 0M 1 +   2

v PbFSK =

1 2+γ 0

PbDPSK =

1 exp( −γ ) 2

DPSK

γ

∞ v 1 −γ 1 γ M −1 − γ 0 1 1 PbMRDPSK = ∫ e e dγ = M 20 ( M − 1)! γ 0 2 (1 + γ 0 ) M

v PbDPSK =

1 2 + 2γ 0

A fenti eredményekből általánosítva megállapíthatjuk, hogy nemkoherens vétel esetében PbMR

1 M = ∏ 2 Pbk . 2 k =1

A 7.5a és 7.5b ábrákon BPSK és nemkoherens FSK moduláció esetére rajzoltuk fel az átlagos bithibaarányt az optimális lineáris kombájner ágai számában paraméterezve. Az M=1 eset felel meg a diverziti alkalmazása nélküli vételnek. A diverziti ágak számának növelésével várakozásunknak megfelelően az átlagos bithibavalószínűség csökkenő tendenciát mutat.

136

1

Pb 10

10

BPSK

-1

-2

M=1 10

-3

M=2 10

-4

M=4 10

-5

M=8 10

-6

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

22

24

26

28

30

γ 0 = E s / N 0 [dB]

7.5a ábra Átlagos bithibaarány BPSK moduláció esetén optimális lineáris kombájner alkalmazásakor 1

Pb 10

10

FSK

-1

-2

M=1 10

10

-3

M=2 M=4

-4

M=8 M =16

10

10

-5

-6

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

22

24

26

28

30

γ 0 = E s / N 0 [dB]

137

7.5b ábra Átlagos bithibaarány nemkoherens FSK moduláció esetén optimális lineáris kombájner alkalmazásakor

7.3 Optimális kombinációs eljárás csatornainformáció nélkül Nyilvánvaló, hogy az optimális vétel kérdése nemcsak koherens esetben vethető fel, ezért a következőkben feltételezzük, hogy semmilyen információval sem rendelkezünk a csatornáról. Nemkoherens csatornában azt vizsgáljuk, hogy milyen a legkisebb hibavalószínűséghez vezető kombináció. Analízisünk során az alábbi feltevésekből indulunk ki • a vétel bináris, • FSK modulációt alkalmazunk ortogonális jelekkel, • M db. független Rayleigh-fadinggel terhelt jelutat veszünk figyelembe, • a kombináció a vevőszűrő kimenetén történik és • az egyes diverziti csatornákon független Gauss-zaj és független fading hat. Induljunk ki a 6.18 ábra diverziti nélküli optimális vevőstruktúrájából. Gondolatban minden diverziti ághoz rendeljünk egy ilyen struktúrát, az alábbi gondolatmenettel pedig megmutatjuk, hogy milyen módosításra van szükség diverziti alkalmazása esetén. A fentiek figyelembe vételével a k-dik ág vevőszűrőjének bemenetén lévő alapsávi ekvivalens jel az alábbi módon írható fel rk (t ) = s j (t ) ⋅ z k + n k (t ); k = 1,2, ... , M

ahol s j (t ) az adó kimenő jelének alapsávi ekvivalense a j-dik szimbólum küldése esetén, nk (t ) pedig a k-dik diverziti csatorna független, N0 egyoldalas teljesítménysűrűségű, valós és képzetes résszel rendelkező Gauss-zaja. A bináris eset miatt j értéke csak 1 vagy 2 lehet. Az i-dik elemi jelhez tartozó vevőszűrő kimenetén Ts időnként megjelenő jel ezután a következőképpen számolható 1 rik = Ts

1 Ps

Ts

∫ r (t ) g (t ) dt ; i = 1,2 k

i

0

ahol Ps a szimbólum teljesítmény, ezért  P T z + nik ha i = j rik =  s s k nik ha i ≠ j ,

ahol nik i-ben és k-ban független Gauss-eloszlású valószínűségi változó N0 szórásnégyzettel. A zk pedig független komplex Gauss-eloszlású valószínűségi változó, mely valós és képzetes részei szórásnégyzete a következő módon határozható meg. A hasznos jel teljesítménye

[

]

[

]

E | Ps Ts z k |2 = Ps Ts E | z k |2 = Ps Ts 2σ 2 ,

mivel zk = x k + j y k és

138

[ ] [ ]

E x k2 = E y k2 = σ 2 .

Az átlagos jel-zaj viszony ezután γ0 =

[

E | Ps Ts z k |2

[

]

γ 0 N0

.

E | nik |2

] = P T 2σ s

s

N0

2

,

amiből σ2 =

2 Ps Ts

A fentiek tükrében a kombájner ágak együttes r vételi vektorának feltételes valószínűségi sűrűségfüggvénye az alábbi alakban adható meg 2

 rik2I + rik2Q    1     f r | j ( r| j ) = ∏   exp − 2 N  ⋅ 2 π N k =1  0   0  M

  ⋅   2π 

2

   2 2    r + r ik I ik Q 1  exp − ,    1 1 N0 + γ 0 N0   2 N0 + γ 0 N0     2 2

ahol i ≠ j , j = 1,2 és rik , rik az k-dik kombájner ágban az i-dik szimbólum I

Q

küldése esetén a vett jel kvadratúra komponenseit jelöli. Mivel a természetes alapú logaritmus függvény szigorúan monoton növekvő, ezért a 6.1.4 alfejezet döntéselméleti kitérőjében leírtak alapján maximum likelihood döntésnél a kritérium   I  max[ln ( f (r| j ))] = max ln ∏ f (ri | j )  , m m    i =1

ami bináris esetben a maximumkereső helyett nullkomparálást alkalmazva a következő  f r |1 (r|1)  > 0 ; akkor az 1- es  =  ln üzenetre döntünk .  f r |2 (r|2)  < 0; akkor a 2 - es

Behelyettesítve a feltételes sűrűségfüggvényre kapott eredményünket a döntési szabály az alábbi  f r |1 (r|1)  M  = ∑ − ln  f r |2 (r|2)  k =1

r12k I + r12k Q  γ  2 N 0 1 + 0   2

−

r22k I + r22kQ 2 N0

+

r12k I + r12kQ 2N0

+

r22k I + r22kQ

1

>0,  γ 0  <2 2 N 0 1 +   2

vagyis

139

∑ (r M

k =1

2 1k I

+ r12kQ

)

   1  M 1   − ∑ r22k I + r22kQ − γ  2 N 0 2 N  1 + 0   k =1 0   2  

   1 1 1 >0,  −  2 N 0 2 N  1 + γ 0   <2 0   2  

(

)

(

)

azaz

∑ (r

)

M

k =1

1

M

+ r12k Q > ∑ r22k I + r22k Q <2 k =1

2 1k I

amiből a végleges forma M

∑ r1k

1 M

> ∑ r2 k . <2 k =1

2

k =1

2

Az ML értelemben vett, csatornainformáció nélküli optimális döntésnek ezt az alakját kvadratikus kombinációnak hívják. A hozzá tartozó vevőstruktúrát a 7.6 ábrán rajzoltuk fel két kvadratúra ág esetére. M növelése esetén az abszolút érték képzők kimenetén elhelyezett összegzők bemeneteinek számát kell növelni. g1* (t )

nTs Ts

2

∫ dt 0

r1(t) g 2* (t )

j=1

nTs Ts

∫ dt

2

nullkomparátor

0

+ -

* 1

g (t )

$j

nTs Ts

2

∫ dt 0

j=2

y1

r2(t) g 2* (t )

nTs Ts

2

∫ dt 0

7.6 ábra ML értelemben optimális nemkoherens vevőstruktúra ortogonális elemi jelkészlet esetén M=2 kvadratúra ágat alkalmazva Kvadratikus kombináció alkalmazása esetén nemkoherens FSK moduláció átlagos bithibavalószínűségre az alábbi eredmény vonatkozik PbQK FSK

 1  =  1+ γ 0 

M

k

 M − 1 + k  1  ∑  k  1 − 2 + γ  , k =0 0

M −1

140

melyre a 7.5b és 7.7 ábrák összehasonlítása alapján várakozásainknak megfelelően fennáll, hogy PbQK FSK > PbMR FSK ,

hiszen a csatornainformáció hiánya rontja a helyes detektálás valószínűségét. 1

Pb 10-1

10

10

10

10

M=1 M=2

-2

M=4

-3

M=8

-4

M = 16

-5

M = 32 10

-6

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

22

24

26

28

30

γ 0 = E s / N 0 [dB]

7.7 ábra Átlagos bithibaarány nemkoherens FSK moduláció esetén csatorna információ nélküli kvadratikus kombinációjú (optimális) kombájner alkalmazásakor

7.4 Lineáris szuboptimális kombájnerek A következőkben szuboptimális vételt biztosító lineáris kombájnerek közül hármat vizsgálunk meg. Az első az azonos erősítésű kombájner csatornainformáció nélkül, ahol az azonos erősítés azt jelenti, hogy minden kombájner ágban ugyanazzal a súlyozó tényezővel szorozzuk a vett jelet. Természetesen ennek az egyszerűsítésnek következtében az eredő jel-zaj viszony romlani fog az optimális kombinációhoz képest. A korábbiakhoz hasonlóan most is igaz, hogy a kombájner eredő kimenő jele az M

rekv (t ) = ∑ α k ( sekv (t ) z k + n k (t )) k =1

alakban adható meg, de most univerzálisan |α k | állandó, vagyis α k = α , azaz minden úton ugyanazt a súlyozó tényezőt alkalmazzuk. Ekkor az M kombájner ág kimeneti eredő jel-zaj viszonya az alábbi módon határozható meg

141

2  M  α E ∑ s(t ) z k   k =1  PT Γ= = s s M M N0   α 2 E∑ | n k (t )|2   k =1  2

2

M

∑z

k

.

k =1

Tudjuk, hogy a fadinget reprezentáló komplex valószínűségi változó valós és képzetes rész összegére bontható a következőképpen 2

M

∑z

=

k

k =1

2

M

∑ (x k =1

k

+ j yk ) .

Az egyes összetevőkre Rayleigh-fading esetén a korábbiakkal összhangban igaz, hogy függetlenek

[

]

E xk ⋅ yk = 0 ,

várható értékük nulla

[ ] [ ]

E xk = E yk = 0

és

[ ] [ ]

E x k2 = E y k2 = σ 2 ,

ahol σ 2 a fadingösszetevők szórását jelöli, melyek mint tudjuk Gausseloszlásúak, azaz sűrűségfüggvényük az alábbi f Σxk ( x ) = f Σy k ( x ) =

1 2π

 x2  exp − .  2 Mσ2 Mσ 2

Az eredő jel-zaj viszony valószínűségi sűrűségfüggvénye ezek után f Γ (γ ) =

 γ  exp −  , γ0  γ 0 1

ahol a jel-zaj viszony várható értéke γ0 =

Mσ2 σ2 E = = s . M N0 N0 N0

Eredményül az eredő jel-zaj viszonyra szintén Rayleigh-eloszlást kaptunk. Ez úgy modellezhető, mintha az M db. diverziti ág helyett csak egyetlen egyet használnánk, tehát a kombájner nem javított semmit a jel-zaj viszonyon. Belegondolva a jelenség fizikai hátterébe világossá válik, hogy ugyan a többszörös vétel miatt javulás várható, de az azonos erősítés miatt a zajt is többszörösen vesszük. Második kísérletként tételezzük fel, hogy az egyes jelutakon az amplitúdó nem, de a fázis becsülhető, azaz a súlyozó tényezőket αk = K

z k* = K e − j arc ( zk ) | zk |

142

értékűre választjuk. Ezáltal |α k | = K minden k-ra. Ezt a megoldást azonos erősítésű fázisforgatásos kombinációnak hívják. Sajnos ebben az esetben sem jutunk megfelelő analitikus eredményre, mert az f Γ (γ ) sűrűségfüggvény nem adható meg zárt alakban. A harmadik az ún. azonos erősítésű szelektív diverziti módszer alkalmazásakor is egyforma a súlyozó tényezőket használunk, de mindig csak azt az ágat választjuk, ahol a legnagyobb a jel-zaj viszony, azaz 0 ; k ≠ k 0 1 ; k = k 0

αk = 

és γ k > γ k minden k ≠ k 0 esetén. A 7.1 táblázatban az utóbbi két szuboptimális diverziti módszert hasonlítottuk össze a diverziti ágak függvényében Rayleigh-fading és nemkoherens FSK moduláció esetén. Az egyes számértékek decibelben adják meg, hogy az adott módszer átlagos bithibaarány nyeresége mekkora az optimális vételhez képest. A fázisforgatásos megoldás segítségével hiába növeljük a diverziti ágak számát, látható módon nem érhetjük el a fadingmentes esetet, de elég jól közelítjük azt (-1.33 dB). Ugyanakkor szelektív diverziti alkalmazásával a bithibaarány még csak aszimptotikusan sem fut az optimális esettel. 0

M 2 4 8 ∞

Fázisbecslés -0.62 dB -0.97 dB -1.15 dB -1.33 dB

Szelektív -1.52 dB -3.45 dB -5.76 dB -∞

7.1 táblázat Szuboptimális kombájnerek összehasonlítása Rayleigh-fading és FSK moduláció esetén

7.5 A diverziti eljárások határtulajdonságai Eddigi vizsgálatainkban a bithibavalószínűség ábrázolása az átlagos jel-zaj viszony γ0 =

Es N0

függvényében történt. Ha M különböző csatornán érkezik a jel, akkor bináris esetben az egy bitre jutó energia átlagos értéke Eb = M E s ,

így célszerű referenciának a γb =

M Es Eb = N0 N0

143

értéket választani. Az egyes diverziti eljárások értékelésénél gyakran vizsgálják ezért az átlagos bitenergiára vonatkoztatva a bithibavalószínűség függését a diverziti utak számától. Példaként a nemkoherens FSK és DPSK modulációk esetében meghatározzuk a hibaarány alakulását a diverziti csatornák számának növekedése során Rayleigh-csatornát alapul véve. Kvadratikus kombinációt feltételezve FSK moduláció esetén az átlagos bithibaarány

PbMRFSK

 1  1 = 2 γ0 1+  2

M

    1  =  1 γb 2   1+   2M

M

   .   

Ha a diverziti utak száma minden határon túl nő, azaz M → ∞ , akkor

PbMRFSK

1 −γ2b = e 2

mivel x

x  lim  1 +  M →∞  M

M

M   x x   = lim   1 +   = e x . M →∞   M   

A 7.8 ábra alapján megállapíthatjuk, hogy bármely jel-zaj viszony és átlagos bithibaarány értékpárhoz rendelhető egy maximális M érték, amit még célszerű alkalmazni. 1

Pb 10-1

10

10

10

10

M=1

-2

M=2

-3

M=4

-4

-5

M=8 M = 16

10

-6

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

22

24

26

28

30

γ b = E b / N 0 [dB]

144

7.8 ábra Az átlagos bithibaarány aszimptotikus viselkedése nemkoherens FSK moduláció és kvadratikus kombinációjú kombájner alkalmazásakor Optimális lineáris kombinációt alkalmazó BPSK moduláció (koherens) esetében, ha M → ∞ , akkor a rendszer is konvergál a Gauss-csatornához (fadingmentes csatorna). Ennek belátása a következő módon történhet. Mint azt a 7.2 alfejezetben megmutattuk ∞ v 1 PbMRPSK = ∫ erfc γ f Γ (γ ) dγ = 20

( )

∞

γ

1 1 γ M −1 − γ 0 = ∫ erfc γ e dγ = 20 ( M − 1)! γ 0M

( )

Tudjuk, hogy γ b = Mγ 0 , ezért ha M → ∞ , akkor f Γ (γ ) a δ (γ − γ 0 ) Diracfüggvényhez tart, ezért v 1∞ 1 PbMRPSK = ∫ erfc γ δ (γ − γ 0 )dγ = erfc γ 0 20 2

( )

( )

10–1

Pb

10–2 M=1

M=2

10–3

M=4 10–4 M=8 M = 16 M = 32 10

–5

0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

γ b = E b / N 0 [dB]

7.9 ábra Az átlagos bithibaarány aszimptotikus viselkedése BPSK moduláció és optimális lineáris kombájner alkalmazásakor

145

8. A szórt spektrumú moduláció A mobil távközlő rendszerekben mind nagyobb teret hódítanak az ún. szórt spektrumú modulációs rendszerek, sőt a harmadik generációs mobil távközlésben meghatározó szerepet fognak betölteni. Mivel a szórt spektrumú moduláció és a kódosztásos többszörös hozzáférési technika szoros kapcsolatban áll egymással, ezért ezt a modulációs típust a többi moduláció közül kiemelve, a kódosztással együtt külön fejezetben ismertetjük.

8.2 Szórt spektrumú távközlés alapelve A szórt spektrumú távközlés eredete a II. világháborúig nyúlik vissza. Az ellenséges rádiólehallgatás elleni védelem fő eszköze a titkosítás mellett az összeköttetés frekvenciájának időbeli változtatása volt, mely arra késztette a lehallgatót, hogy az új sáv megkeresésének idejére szüneteltesse a megfigyelést. A frekvenciasáv időről-időre történő megváltoztatása megnehezítette a kommunikáció zavarását is. Idővel az elektronika fejlődése lehetővé tette, hogy a frekvenciákat nem manuálisan, hanem automatikus módon változtassák akár másodpercenként több ezerszer is. A frekvenciasávok gyors váltása együtt jár a jel sávszélességének jelentős növekedésével. Innen kapta a technológia a nevét is. Ez elsőre hátránynak tűnhet, de ha belegondolunk, hogy az adott jelteljesítmény egy jóval nagyobb sávban oszlik el, akkor nyilvánvalóvá válik, hogy keskenysávú zavarással a kommunikáció nem akadályozható meg. A hasznos jel sávjának kiterjesztésére az ún. frekvenciaugratáson kívül többféle technikát is kifejlesztettek, mint azt majd látni fogjuk s mindezen technikák gyűjtőneveként használják manapság a szórt spektrum elnevezést. A következőkben a szórt spektrumú moduláció elvét mutatjuk be szemléletesen. A modulációs rendszer általános felépítése az 8.1 ábrán látható. Φj( f )

~ Φ( f )

Φs( f )

Kóder

c(t) Álvéletlen zaj vagy álvéletlen kód

Φt ( f )

Φr ( f )

Szinkronizálás

Dekóder

$(f) Φ

Szûrõ

c(t)

8.1 ábra A szórt spektrumú rendszer általános felépítése A kódoló bemenetére érkező hasznos továbbítandó jelet, melynek sávszélessége Bs, a Φ s ( f ) teljesítményspektrummal jellemezzük. A kódoló a hasznos jelet egy előre definiált c(t) álvéletlen kóddal szorozza meg, ami azt

145

eredményezi, hogy a kódoló kimenetén megjelenő Φ t ( f ) jel sávszélessége (Bt) lényegesen nagyobb lesz, mint a hasznos jelé. Ebből a tulajdonságból ered a szórt spektrumú moduláció elnevezés is. Fontos megjegyezni, hogy a kódoló által végzett művelet azzal a speciális tulajdonsággal bír, hogy kétszer egymás után végrehajtva az eredeti jelet állítja vissza. A kódolóban alkalmazott kódsorozat elemeit chip-nek (csip) nevezik megkülönböztetésül a hasznos jel bitjeitől. A kódoló kimenetéről a jel a rádiócsatornába jut ahol keskenysávú zavaró jel ( Φ j ( f ) ) adódik hozzá teljesítménysűrűségben additív módon. A dekóder bemenetére érkező Φ r ( f ) jelen a dekóder ismét végrehajtja a kódolásnál alkalmazottal megegyező kódsorozattal a transzformációt, aminek eredményeképpen a hasznos jel sávszélessége visszacsökken az eredeti értékre, míg a zavaró jel esetében megnő. Ennek következtében a hasznos jel sávjába eső zajteljesítmény lényegesen kisebb lesz, mintha nem alkalmaztuk volna a kétszeri transzformációt. Φs( f )

Φj( f )

Φt ( f )

St 0 =

S s0

S j 0 Bs

S j0

Bt

f

f

f

Bs

Bj

Bt Φr ( f )

~ Φ( f )

$(f) Φ

Bs

Bj

S j0

S j0 St 0

Bj

S j0

S s0

Bt

f

Bj Bt

S s0

f

Bt

Bt

f

Bs

8.2 ábra Jelek teljesítményspektruma a modulációs rendszer különböző pontjain Határozzuk meg a szórt spektrumú moduláció alkalmazásával elérhető kimeneti jel-zaj viszony javulást. A 8.2 ábra jelöléseivel Pjel Pzavar

=

Ss 0 Bs = Bj S j0 Bs Bt

Ss 0 Bs Bt , S j 0 Bj Bs { 123 Processing P jel gain  P   zavar  eredeti

ahol azonos sávszélességű hasznos jelet és zavart feltételezve

146

Pjel Pzavar

B j = Bs

=

S s 0 Bt . S j 0 Bs

Az eredmény azt mutatja, hogy a spektrum kiterjesztése következtében a jel-zaj viszony éppen PG =

Bt Bs

mértékben javul ahhoz az esethez viszonyítva, ha a zavaró jel közvetlenül okozna interferenciát a csatornában, azaz a zavar elnyomása megegyezik a sávszélesség kiterjesztés mértékével. A PG mennyiséget Processing Gain-nek nevezi a szakirodalom. Mint azt láttuk, a sávkiterjesztés speciális kódsorozat segítségével történik. Ha ezeket a kódokat úgy választjuk meg, hogy egymástól egyértelműen megkülönböztethetők legyenek, akkor a szórt spektrumú modulációval egy új többszörös hozzáférési technika hozható létre. Az egyes felhasználók ugyanabban az időintervallumban és ugyanabban a frekvenciasávban kommunikálnak egymással, közöttük pedig a kódok alapján teszünk különbséget. Ezért ezt a fajta, szórt spektrumú modulációt alkalmazó többszörös hozzáférési rendszert kódosztásos hozzáférésnek (Code Division Multiple Access, CDMA) nevezik. A fentiek ismeretében a szórt spektrumú moduláció, illetve a kódosztásos rendszerek előnyeit az alábbiakban foglalhatjuk össze Pont-pont összeköttetés esetén

• Erős védettség a frekvenciaszelektív (kis sávszélességű) szándékos és természetes (fading) zavaró jelekkel szemben. • A sávkiterjesztés miatt lecsökken a jel spektrális sűrűsége, azaz adott frekvenciára eső teljesítménye. Ezáltal ♦ a jel egyrészt nehezebben fedezhető fel a rosszindulatú zavaró/lehallgató számára, másrészt ♦ csökken a jel által képviselt elektronikus szennyezés, azaz csökken a többi felhasználót érő zavaró hatás. Többszörös hozzáférésű csatorna esetén

• FDMA és TDMA rendszerekben adott sávszélességben egzaktul meghatározható a felhasználói csatornák száma. Szórt spektrumú esetben a felhasználók számának csupán lágy korlátozásáról beszélünk, ami azt jelenti, hogy mindaddig beléphetnek újabb felhasználók a csatornába amíg a belépésük okozta zajnövekedés a többi előfizető számára elviselhető. • Időosztásos (TDMA) rendszerekkel szemben nincs szükség szinkronizációra s így védőrésekre sem az egyes időrések között. • Hasonlóan az előzőkhöz, a frekvenciaosztásos (FDMA) rendszerekkel szemben nincs szükség védősávok alkalmazására.

147

• A cellás rendszerekben nincs szükség frekvencia tervezésre, hiszen minden cellában ugyanabban a sávban kommunikálnak, így nő a frekvenciasáv kihasználásának hatékonysága. • A kódolókban különböző kódokat használva lehetővé válik a kódmultiplexálás. Ugyanakkor fellép egy új, megoldásra váró feladat az ún. közel-távol hatás problémája, mely a jelenlegi rendszerekben nem okozott gondot. Ez a következőt jelenti. A bázisállomás minden mobil felé azonos teljesítménnyel sugároz, melyet minden mobil a bázisállomástól való távolságától függő csillapítással vesz. Ugyanakkor, ha minden mobil azonos teljesítménnyel adna a bázisállomás felé akkor a bázisállomás helyén a vett eredő jelben az egyes mobilok jelei az eltérő távolságok miatt különböző arányban szerepelnének, akár el is nyomhatnák egymást. Ezért elengedhetetlen, hogy a mobilok teljesítményüket folyamatosan úgy szabályozzák, hogy jelük a bázisállomásnál egyforma teljesítménnyel jelenjen meg.

8.3 A szórt spektrumú modulációs rendszerek típusai A spektrum kiterjesztése többféle módon is lehetséges attól függően, hogy a {ci} chipsorozatot miként használjuk. A következőkben a szórt spektrumú moduláció alaptípusait tekintjük át. 8.3.1 Direkt szekvenciális szórt spektrumú moduláció Ebben az esetben az üzenet minden egyes dn szimbólumát egy álvéletlen {ci} kódsorozat chipjeivel szorozzuk meg a 8.3a ábrán látható módon. Lényeges, hogy a chipidő lényegesen kisebb mint a szimbólumidő (Tchip<
gc (t )

Ts

Kimeneti jel s( t ) cos( 2π f 0 t )

Bináris kód {ci } Tchip

8.3a ábra A direkt szekvenciális adó felépítése Határozzuk meg a DS modulátor kimenő s(t) jelét. A 8.3a ábra alapján +∞

N −1

n =−∞

i =0

s(t ) = 2 P cos(2π f 0 t ) ∑ d n ∑ ci g c (t − n Ts − i Tchip ) ,

148

ahol P a vivő jel teljesítménye, N pedig a kódsorozat chipjeinek száma. A chipés szimbólumidő között nyilvánvalóan a Ts = N ⋅ Tchip kapcsolat áll fenn. Vegyük észre, hogy korábbi gyakorlatunk alapján a g (t ) =

N −1

∑c

i

g c (t − i Tchip )

i =0

mennyiséget úgy is tekinthetjük mint a dn szimbólumhoz tartozó elemi jelet, ahol g c (t ) az ún. chip elemi jel. A kimenő jelet tovább írhatjuk az +∞

s(t ) = 2 P cos(2π f 0 t ) ∑ d n g (t − n Ts ) , n =−∞

alakban, ahol az Al = d n ci ; l = n + i ; i = 0,1, ... , N − 1

helyettesítéseket alkalmazva a kimenő jel +∞

s(t ) = 2 P cos(2π f 0 t ) ∑ Al g c (t − l Tchip ) l =−∞

módon is felírható. Az utóbbi leírás azt fejezi ki, hogy egy bitet egy N elemű kódszóba kódolunk és a kódszó elemeit gc (t ) elemi jellel visszük át, míg a korábbi alak szerint egy bitet egy g (t ) elemi jellel viszünk át. Mindkét felfogáshoz fizikai megvalósítás is rendelhető. Ilyen speciális g(t) függvény felületi hullámú szűrőkel állítható elő, mely egyben a vivőfrekvenciára való ültetést is megoldja. Mindehhez elegendő bitenként egy keskeny impulzussal gerjeszteni a szűrőt. A g c (t ) alapú megoldást pedig memóriák és shiftregiszterek segítségével lehet előállítani DSP processzorokkal. A direkt szekvenciális modulált jel szemléltetéséhez a lehető legegyszerűbb g c (t ) négyszögjel elemi jelalakot alkalmazzuk 1 ; 0 ≤ t < Tchip g c (t ) =  . 0 ; egy é bk é nt 

Tegyük fel, hogy szimbólumforrás bináris (±1 értékeket ad) és a chipsorozat a 8.3b ábra szerinti. g( t )

1

c0 c1

cN-1 t

-1 Tc

Ts

8.3b ábra Az alkalmazott chipsorozat

149

Ekkor az adó jele a vivőfrekvenciás moduláció előtt a 8.3c ábrán látható módon szemléltethető. +∞

∑d

n

g (t − n Ts )

n = −∞

dn = 1

dn = -1

1 t

-1 n Ts

(n+2) Ts

(n+1) Ts

8.3c ábra Direkt szekvenciális alapsávi jel időtartománybeli ábrázolása 8.3.2 Lassú frekvenciaugratásos moduláció A frekvenciaugratásos technika lényege, hogy egy álvéletlen kódsorozat chipjeinek megfelelően változtatjuk a vivőjel frekvenciáját. Abban az esetben, ha a frekvenciaváltás több szimbólumot is átfog időben, lassú frekvenciaugratásról beszélünk, míg ha szimbólumonként többször változik a frekvencia, akkor gyors frekvenciaugratásról. Mielőtt rátérnénk a lassú frekvenciaugratásos adó felépítésének tárgyalására néhány jelölést rögzítünk L: a chip és a szimbólumidő arányát adja meg K: a szimbólum és a bitidő arányát jelöli Q: az alkalmazott frekvencialépcsők száma A 8.4a ábrán a lassú frekvenciaugratásos adó felépítése látható. {d n } Ts

Mod.

x(t )

2π f 0 t + 2π f ( t )

PM, FM Kódgenerátor

s(t )

ci

Frekv. szintézer

8.4a ábra Lassú frekvenciaugratásos adó felépítése A Ts időnként érkező dn szimbólumok valamilyen hagyományos moduláción mennek keresztül (pl. BPSK, stb.). A modulált jel vivőjének frekvenciáját a frekvenciaszintézer segítségével a kódgenerátor chipjeinek megfelelően elhangoljuk diszkrét lépcsőkben és egyben az f0 vivőfrekvenciára is ültetjük. A szintézer kimenetén a vivőfrekvencia nélkül az alábbi jel jelenik meg f (t ) =

+∞ L −1

∑∑c

i

∆f g c (t − i Tchip − l L Tchip ) ,

l =−∞ i = 0

150

ahol L a chipsorozat periódusa, ∆f pedig a frekvencialépcső értéke. Megjegyezzük, hogy ci általános esetben nem bináris szám, hanem tetszőleges pozitív egész értékeket vesz fel ci = 0,1, 2, ... , Q − 1 .

Az egyszerűség kedvéért legyen a chip elemi jelalak továbbra is négyszögjel 1 ; 0 ≤ t < Tchip g c (t ) =  . 0 ; egy é bk é nt 

A tényleges jel az x(t)-t előállító alapmodulációtól frekvenciaugratás miatt Tchip = L ⋅ Ts . BPSK moduláció esetén az adó kimenő jele

függ.

A

lassú

t   s(t ) = 2 P ∑ d n g (t − n Ts ) cos 2π f 0 t + 2π ∫ f (σ ) dσ  ,   n =−∞ −∞ +∞

ahol g(t) a BPSK modulációnál alkalmazott elemi jel. BFSK moduláció esetén látszólag bonyolultabb eredményt kapunk  +∞ s(t ) = 2 P cos(2π f 0 t + 2π ∫  ∑ d n ∆f m g (σ − n Ts ) +  −∞ n =−∞ t

+

+∞ L −1

∑∑c

i

l =−∞ i = 0

 ∆f g c (σ − i Tchip − l L Tchip ) dσ , 

ahol ∆f m frekvenciával hangoljuk a vivő alá vagy fölé a jel frekvenciáját a BFSK modulációnak megfelelően. A 8.4b ábra szemlélteti a lassú frekvenciaugratás lényegét. Jól megfigyelhető, hogy egy frekvencián (két frekvenciaugratás között) több szimbólum is adásra kerül. f (t ) ∆f

Q -1 Q -2

Tchip

∆ fm

i Ts =Tb

4 3 2 1 0

BFSK

t Tchip

0 1 2 3

L -2 L -1

8.4b ábra Lassú frekvenciaugratás szemléltetése

151

A következő alfejezetekben két gyors frekvenciaugratásos modulációs technikát mutatunk be. 8.3.3 Frekvencia kódolt frekvenciaugratásos moduláció A gyors frekvenciaugratásnak két alesetét fejlesztették ki. A frekvenciakódolt gyors frekvenciaugratás esetén egy szimbólum ideje alatt többször is változik a vivőfrekvencia. Minden szimbólumot tulajdonképpen egy kétdimenziós frekvenciaminta azonosít, hasonlóan a középkorban alkalmazott titkosítási rácsokhoz, ahol a megfelelő helyen kilukasztott rácsot ráhelyezve a papírlapra a kijelölt betűk hordozták az üzenetet. Ennél a technikánál is az tudja detektálni a vett jelből a küldött információt, aki birtokában van annak, hogy mikor, melyik frekvencián kell figyelnie.

Tb

MFSK–FFH

K bites

{dn}

Ts S/P átalakító

Bináris forrás

Kódoló

Frekv. szintézer

s(t)

Q = 2K Tchip {ci}

8.5a ábra Frekvenciakódolt gyors frekvenciaugratás adó felépítése Az adó felépítése MFSK moduláció esetén a 8.5a ábrán látható. A bináris forrásból érkező {dn} biteket egy soros/párhuzamos átalakító segítségével K bites szavakká fogjuk össze Ts időnként. Ezek a szavak egy 2 K × L méretű mátrix sorait címzik meg. A kódoló a beérkezett K bites szó alapján a mátrixból kiválasztott L hosszúságú K bites chipsorozattal vezérli a frekvenciaszintézert. Minden egyes chip az MFSK modulációnak megfelelően adott frekvencialépcső ci-szeresével hangolja el a vivőfrekvenciát. Q -1 Q -2

f (t ) ∆f

i

4 3 2 1 0 L -2 L -1

0 1 2 3

Tchip

Ts

t Tchip

8.5b ábra Frekvenciakódolt gyors frekvenciaugratás szemléltetése

152

A gyors frekvenciaugratás miatt Ts = L ⋅ Tchip és a frekvencialépcsők száma tipikusan Q = 2 K . A 8.5b ábrán a frekvenciakódolt gyors frekvenciaugratás szemléltetése látható. 8.3.4 Fázis kódolt frekvenciaugratásos moduláció A gyors frekvenciaugratás másik alesete amikor nem a frekvenciaminta, hanem a fázis hordozza az információt. Az adót a 8.6a ábrán rajzoltuk fel. A szimbólumforrás {dn} bitjei a frekvenciakódolt frekvenciaugratásos adóhoz hasonlóan itt is egy soros/párhuzamos átalakítóra kerülnek, amelynek kimenetén Ts szimbólumidőnként K bites szavakat állítunk elő. Ezek a szavak egy olyan 2 K × 2 Q méretű mátrix sorait címzik meg, melynek sorai ortogonálisak egymásra. A kódszó által megcímzett sor bitjeit chipidőnként kiolvasva egy, a DPSK modulációnál már megismert differenciális kódolóra kerülnek. Ezzel a bitsorozattal szorozzuk meg azután a {ci} chipsorozat által vezérelt fáziskoherens frekvenciaszintézer kimenő jelét A gyors frekvenciaugratás miatt Ts = L ⋅ Tchip , a szimbólum- és bitidő között pedig a Ts = K Tb kapcsolat áll fenn. Ebből következik, hogy 2 K = Q =$ L választás esetén Ts = 2 K Tchip és K Tb = 2 K Tchip , amiből Tchip =

K Tb 2K

adódik a chip- és bitidő közötti összefüggésre. A modulációhoz szükséges speciális tulajdonságú mátrixot (sorai ortogonálisak egymásra) Hadamard-mátrixnak hívják és az alábbi rekurzív szabály alapján állítható elő H0 = 1,

 H0 H1 =  − H 0

H0  , H 0 

 H i −1 Hi =   − H i −1

{ dn }

Tb Bináris forrás

H i −1  . Hi −1  Differenciális kódoló

K bites Ts S/P átalakító

Fázis- Tchip kódoló

Q = 2K {ci }

Tchip

Ts Frekv. szint.

s(t)

8.6a ábra Fáziskódolt gyors frekvenciaugratás adó felépítése

153

Összefoglalva a fentieket elmondhatjuk, hogy ennél a modulációs technikánál minden egyes szimbólumot ugyanazzal a frekvenciamintával továbbítanak, ahogy az a 8.6b ábrán is látható, de a két egymást követő szimbólum ugyanazon chipjének megfelelő vivőfrekvencián átvitt információk között differenciális kódolást alkalmaznak. f (t ) ∆f

differenciális fáziskódolás

Q -1 Q -2

i

4 3 2 1 0

t Tchip

0 1

L -1 0 1

L -1

8.6b ábra Fáziskódolt gyors frekvenciaugratás szemléltetése

8.4 A direkt hibaanalízise

szekvenciális

többszörös

hozzáférésű

rendszer

A következőkben a leginkább elterjedt direkt szekvenciális szórt spektrumú modulációra épülő többszörös hozzáférésű rendszer hibaanalízisét végezzük el. Modellünk a következő. A rendszerben M db. előfizető kommunikál egyidejűleg, melyeket a k futóindexszel azonosítunk. Tegyük fel, hogy az i-dik felhasználó adását a j-dik előfizetőnek küldi. A közös frekvenciasáv miatt a csatorna zaja mellett a többi előfizető adása is zavarólag hat az i és j közötti kommunikációra, ezért fellép az ún. rendszerzaj jelensége. Feladatunk tehát a termikus és rendszerzaj által befolyásolt jel-zaj viszony meghatározása. Tudjuk, hogy az i-dik felhasználónál a dn szimbólumot a g ( i ) (t ) =

N −1

∑c

(i ) l

g c (t − lTchip )

l=0

elemi jellel visszük át, ahol cl( i ) ∈ {+1,−1} jelöli a chipsorozat l-dik chipjét, N a chipsorozat hossza és feltesszük, hogy N>>1. Legyen a chip elemi jel a jól bevált négyszögjel 1; g c (t ) =  0;

0 ≤ t < Tchip egyébként

.

154

Ekkor a j-dik vevő bemenetén az M

r ( t ) = s ( t ) + ∑ s ( k ) ( t − τ k ) + n( t ) ( j)

k =1 k≠ j

eredő jelet vesszük. Az egyes előfizetőktől τk késleltetéssel érkeznek a jelek a vevőbe. Közelítésként feltételezzük, hogy a késleltetések a chipidő egész számú többszörösei, azaz τ k = lk Tc . Ezt bátran megtehetjük az N>>1 kikötés miatt. A csatorna n(t) zaját pedig N0 paraméterű Gauss-zajjal írjuk le. Korrelációs vevőt alkalmazva, ami a vett jelet külön-külön valamennyi (k) g (t ) elemi jellel beszorozza és a szimbólumidőre integrálja, az n-dik időrés végén az alábbi jelet kapjuk a j-dik vevőben teljes szinkron esetén ( τ k = 0 ) 1 r ' (t ) = Ts

+

1 Ts

Ts

N −1

0

l=0

( )

Pj ∫ d n( j ) ∑ cl( j ) M

∑

Ts

N −1

0

l=0

2

g c2 (t − l Tchip ) dt +

Pk ∫ d n( k ) ∑ cl( j ) cl( k ) g c2 (t − l Tchip ) dt +

k =1 j≠k

N −1 1 s + ∫ n(t ) ∑ cl( j ) g c (t − l Tchip ) dt . Ts 0 l =0 T

A fenti a kifejezés sorrendben az alábbi három tagból áll • a hasznos jel • a rendszerzaj • a termikus zaj. A jel-zaj viszony számításához, határozzuk meg külön-külön az egyes jeleket a korrelátor kimenetén. A hasznos jel 1 Ts

Ts

N −1

0

l =0

( )

Pj ∫ d n( j ) ∑ cl( j )

2

g c2 (t − l Tchip ) dt =

1 Ts

N −1

Pj ∑ d n( j ) l=0

Ts = d n( j ) Pj , N

ahol felhasználtuk, hogy Ts

∫g

és (c

)

( j) 2 l

2 c

(t − l Tchip ) dt =

0

Ts = Tchip N

= 1.

A rendszerzaj 1 Ts

M

∑ k =1 j≠k

N −1

Ts

Pk ∫ d 0

(k ) n

∑c

( j) (k ) l l

c

g c2 (t − l Tchip ) dt =

l =0

155

N −1

M

1 Ts

=

∑

Pk

k =1 k≠ j

∑ cl( j ) cl( k ) d n( k ) l=0

Ts 1 = N N

N −1

M

∑

Pk

k =1 k≠ j

∑c

( j) (k ) l l

c d n( k ) .

l=0

A termikus zaj N −1 1 s 1 s ( j) n(t ) ∑ cl g c (t − l Tchip ) dt = ∫ n(t ) g (t ) dt . Ts ∫0 Ts 0 l=0 T

T

A jel-zaj viszony ezek után az alábbi módon számolható: A jel teljesítménye

(d

( j) n

Pj

)

2

= Pj .

A termikus zaj teljesítménye 2

 1 Ts  1 E ∫ n(t ) g (t ) dt  = 2 Ts  Ts 0 

1 = 2 Ts

Ts Ts

∫ ∫ E[n(t ) n( ρ )] ⋅ g (t ) g ( ρ)dt dρ = 0 0

Ts Ts

∫∫N

0

⋅ δ (t − ρ ) ⋅ g (t ) g ( ρ )dt dρ =

0 0 T

s N 1 = 2 N 0 ∫ g 2 (t ) dt = 0 . Ts Ts 0

A rendszerzaj teljesítménye Jó közelítéssel feltehetjük, hogy cl( j )cl( k ) dn( k ) j-ben és k-ban független ±1 értékkészletű valószínűségi változó, ezért a rendszerzaj teljesítménye   1 E 2 N 

M   ∑ Pk  k =1  k≠ j

 ( j) (k ) (k )  cl cl d n  ∑  l =0  N −1

2

  1 = 2  N 

 N −1 ( j ) ( k ) ( k )  2  Pk E ∑ cl cl d n   = , ∑   k =1  l = 0 k≠ j M

ahol felhasználva, hogy az egyes előfizetőkhöz rendelt kódok chipjei valamint az egy kódon belüli chipek is függetlennek tekinthetők egymástól, azaz

[

]

[

]

E ci( j ) ct( k ) = 0 és E ci( j ) ct( j ) = 0 ,

ezért a rendszerzaj teljesítménye 1 N2

M

[(

∑ Pk N E cl( j ) cl( k ) d n( k ) k =1 k≠ j

)

2

]

=

1 N

M

∑P

k

.

k =1 k≠ j

A jel-zaj viszonyt most már könnyen fel tudjuk írni

156

γ =

Pjel Pzaj

=

Pj N0 1 + Ts N

M

∑P

=

k

k =1 k≠ j

E sj , 1 M N 0 + ∑ E sk N k =1 k≠ j

ahol a szimbólumenergiára az E sj = Pj Ts összefüggést alkalmaztuk. Ha N nagy, akkor alkalmazható a Gauss-i közelítés, azaz a bithibavalószínűség jó közelítéssel megegyezik a BPSK modulációra kapott eredménnyel    E sj 1 1 Pb ≅ erfc γ = erfc 1 M 2 2  N + ∑ E sk 0  N k =1  k≠ j 

( )

       1 E sj 1    = erfc ,  E 1 E I sj  N0  2   1+  N E N   sj 0  

ahol a teljes interferencia M

E I = ∑ E sk , k =1 k≠ j

az interferencia-jel arány pedig EI . E sj Pb

20 dB –1

10

15 dB –2

10

10 dB –3

10

–4

10

-∞ dB

–5

10

0

2

4

6

8

10

12

14

16 18 20 10 lg(Es / N0 ) [dB]

8.7 ábra Bithibaarány jel-zaj viszony függése az interferencia-jel arányban paraméterezve

157

A 8.7 ábrán a bithibaarány jel-zaj viszony függését ábrázoltuk az interferencia-jel arányban paraméterezve. Jól látható, hogy ha a jel teljesítményéhez képest az interferencia nagyon kicsi, akkor visszakapjuk a fadingmentes csatornára jellemző görbét. Ehhez képest az interferencia növekedése ront a bithibaarányon.

158

9. A cellás struktúra alapjai és a különböző rendszerek összehasonlítása A mobil távközlő rendszerekben a szükséges terület rádiós ellátása általában az ún. cellás elvre épül függetlenül attól, hogy földi vagy műholdas rendszerről beszélünk. Ez azt jelenti, hogy az ellátandó területen bázisállomások hálózatát építik ki. Minden bázisállomás egy adott sugarú környezetét látja el, melyet cellának nevezünk. A bázisállomásokat vezetékes vagy mikrohullámú kapcsolat köti össze a kapcsoló központokkal. A mobil hívás kezdeményezésekor a legkedvezőbb összeköttetést biztosító bázisállomással lép kapcsolatba, mely közvetve biztosítja a hívott féllel való összekapcsolását. A mobil mozgása során természetesen előbb vagy utóbb annyira eltávolodik a bázisállomásától, hogy már egy másik bázisállomással kedvezőbb összeköttetést tud létesíteni. Ekkor a mobil átkapcsol az új bázisállomásra. Ezt az átkapcsolási folyamatot hívja a szakirodalom átadásnak, angolul handover-nek vagy handoff-nak. Ebben a fejezetben a cellás rendszerek felépítését és a különböző többszörös hozzáférési technikák összehasonlítását vizsgáljuk meg közelebbről.

9.1 A szabályos cellás rendszerek felépítése A bázisállomások a terepviszonyoktól, lefedettségtől, időjárástól, stb. függően nyilvánvalóan nem szabályos kör alakú területeket fednek le. A hálózattervezés és modellezés szempontjából azonban az ilyen szabálytalan alakú területekkel való számolás meglehetősen körülményes, ezért első lépcsőben szabályos méhsejt alakú (szabályos hatszögletű) cellákkal fedik le az ellátandó területet, majd az így kapott eredményeket finomítják a helyi adatok alapján. A 9.1 ábrán ilyen típusú lefedésre rajzoltunk fel egy példát. 7 6

2 1

5

3 4

7 6

2 1

5

3

4

9.1 ábra Lefedés méhsejt alakú cellák segítségével 9.1.1 A 60°°-os koordinátarendszer tulajdonságai A szabályos hatszögletű cellákkal történő lefedés esetén a számítások sokkal egyszerűbben végezhetők el 60°-os koordinátarendszerben, mint derékszögű Descartes-rendszerben, ezért röviden bemutatjuk a 60°-os koordinátarendszer használatát.

159

(i, j ) y

x j i 60° i sin(30°) 30° i cos(30°)

x'

D2

9.2 ábra 60°-os koordinátarendszer A 60°-os koordinátarendszer azt jelenti, hogy az x és y tengelyek ekkora szöget zárnak be egymással. Egy ilyen koordináta rendszerben az (i,j) helyvektorú pont origótól való D távolsága az alábbi módon határozható meg. Helyezzünk egy képzeletbeli Descartes-koordinátarendszert a 60°-os koordinátarendszer origójába oly módon, hogy az y tengelyek egybe essenek. A 9.2 ábrán szaggatott vonallal rajzoltuk be a Descartes-rendszer x’ tengelyét. Ekkor Az (i,j) pont merőleges vetülete az x’ tengelyre i cos(α ) ,

az y tengelyre pedig j + i sin(α ) .

Alkalmazva a Pitagorasz-tételt az (i,j) helyvektor hosszának a négyzete D 2 = ( j + i sin(α ) ) + i 2 cos 2 (α ) = 2

= j 2 + 2 i j sin α + i 2 sin 2 α + i 2 cos 2 α = = j 2 + ij + i 2 .

A fentiek alapján az (u1 , v1 ) és az (u2 , v2 ) pontok távolsága tehát úgy adható meg, hogy i = u2 − u1 ;

j = v2 − v1

és a fenti összefüggést alkalmazzuk. 9.1.2 A klaszterek és a cellák lehetséges száma a klaszterekben Nyilvánvaló, hogy az egymással szomszédos cellákban nem alkalmazhatjuk ugyanazt a frekvenciasávot, mert zavarnák egymást. Ugyanakkor bármely mobil rendszer számára rendelkezésre álló frekvenciasáv véges, ezért nem rendelhetünk minden cellához külön frekvenciasávot. Így tetszőlegesen nagy területek csak úgy fedhetők le, ha egy adott cellában használt frekvenciát újra hasznosítjuk más cellákban. A cellákat ezért ún. klaszterekbe csoportosítják. Egy

160

klaszteren belül minden cella más frekvenciát használ. A cél természetesen az, hogy a klaszterek celláinak K számát úgy válasszuk meg, hogy az azonos frekvenciájú cellák minél távolabb kerüljenek egymástól és a klaszterek segítségével a sík hézagmentesen lefedhető legyen. Ez a két feltétel egyértelmű kötést K-ra. Legyenek a cellák szabályos méhsejt alakúak. Helyezzük el a 60°-os koordinátarendszer origóját az egyik bázisállomásra a 9.3 ábrán felrajzolt módon. Ekkor ha R a cella sugara, akkor a két szomszédos cella középpontjának a távolsága 3 R . y

x R R 3

9.3 ábra A 60°-os koordinátarendszer és a cellastruktúra összerendelése Egy cella területe 9.3 ábra geometriája alapján a = R2

3 3 . 2

Ha K elem van egy reguláris klaszterben, akkor annak a területe a cellaterület K-szorosa A = K a = K R2

3 3 . 2

Legyen két klaszter távolsága (az ekvivalens pontok távolsága) D. Képzeletben pedig minden klasztert helyettesítsünk egy szabályos hatszög alakú klaszterrel. Ekkor klaszterek középpontjainak távolsága is D. Fejezzük ki a klaszter területét D segítségével 2

3 2  D 1 A = 3 3  = D .  3 2 2

A klaszter mérete egyszerűen meghatározható a klaszter és a cella területének hányadosaként

161

2

 D  A 3 2 1 K= = D =  . a 2 3 3 2  3 R R 2

Ha a 60°-os koordinátarendszer tengelyein az egységet R 3 -nek választjuk, és az egyik klaszter középpontját az origóba helyezzük, akkor az origótól D távolságra levő másik klaszter középpontjának koordinátái (i,j), ezért K = i2 + i j + j2 .

Tehát csak olyan klasztereket lehet létrehozni, melyek két egész számból, i-ből és j-ből a fenti módon származtathatók, pl. 1, 3, 4, 7, 9, 12, 13, 16, 19, 21, stb. A 9.4 ábrán néhány példát mutatunk be klaszterek kialakítására. A klaszterek közötti távolság és a cellasugár között ezért az alábbi kötött kapcsolat áll fenn D = 3K . R 1 2 1 R

3

1

4 2

1

3

1

R

1

D

3

D

2

2

4 7

7

2 1

D

5

3

R

12

6

D

4

10 1

5

3

8

4

2 6

3 12

9 11 D

8

7 6

4

2

10

2

1 5

7

3

4

1

6

9

R

R

5

3

11

9.4 ábra Példák klaszterek kialakítására Cellás szerkezetben a frekvenciasáv hatékonyabb kihasználására két módszer kínálkozik • mikrocellák alkalmazásakor a cellát kisebb ún. mikrocellákra bontják, ezáltal növelve a frekvencia újrahasznosítás mértékét, • szektorizálás esetén a bázisállomásokon nem körsugárzó antennákat helyeznek el, hanem tipikusan 60°, 90° és 120°-os nyalábszögű

162

antennákat. A szomszédos szektorokban más és más frekvenciákat használva cellán belül is megvalósítható a frekvencia-újrafelhasználás.

9.2 Interferenciák a cellás rendszerben A hagyományos rádiócsatornákkal ellentétben, ahol az átviteli távolságot és az átviteli minőséget az adóteljesítmény, az eredő csillapítás és a környezetből származó zaj határozza meg, többfelhasználós rádiós rendszerekben a fentieken kívül (a zaj hatását néha teljesen háttérbe szorítva) a fő zavarforrás az interferencia. A cellás rendszerekben fellépő interferenciákat két csoportra oszthatjuk • Szomszéd csatornás interferenciák • Azonos csatornás interferenciák A szomszéd csatornás interferencia az egy cellán belüli frekvenciák között lép fel és elsősorban a készülékek korlátai (frekvenciastabilitás, szűrés, sávszélesség) határozzák meg. Az azonos csatornás interferencia pedig, mely két szomszédos klaszter azonos frekvenciasávot használó cellái között lép fel, elsősorban a frekvencia-újrafelhasználási klaszter szerkezetétől függ, azaz a D távolságtól. Az előbbi jelenség elsősorban berendezésfüggő, míg az utóbbi rendszertechnikai jellemző, ezért a következő alfejezetben az azonos csatornás interferenciára vonatkozó alapösszefüggéseket foglaljuk össze. 9.2.1 Alapösszefüggések az azonos csatornás interferenciára Az elnyomásra vonatkozó legfontosabb paraméter az a~ ún. azonos csatornás elnyomási tényező D a~ = = 3 K , R

mely egyenesen arányos a klaszterek közötti D távolsággal (az azonos frekvenciájú cellák távolsága), hiszen minél távolabb vannak az azonos frekvenciát használó cellák egymástól, annál kisebb lesz az általuk okozott zavaró hatás. Ugyanakkor az azonos csatornás elnyomási tényező fordítottan arányos az R cellasugárral, mivel a cellasugár növelésével csökken az azonos frekvenciájú cellák távolsága. Határozzuk meg most a 9.5 ábra referencia cellájában fellépő jel-zaj viszonyt, mely a saját Pj teljesítmény és a sávba eső Pz teljes zavaró teljesítmény hányadosaként az alábbi módon számolható

P 

P

E

S S , γ =  j  = = L L 1 1  Pz  N 0 + ∑ I i N0 + ∑ Ii

TS

ahol

Es

a

szimbólumenergia,

teljesítménysűrűsége, melyet

i =1

N0

TS

a

i =1

fehér

Gauss-zaj

egyoldalas

1 sávszélességgel veszünk fegyelembe. I i pedig Ts

163

az L db. interferáló cella közül az i-dik, Di távolságra levő cellából származó szimbólumenergia. (i)

i-dik interferáló cella

Di

R

Referencia cella

9.5 ábra Az azonos csatornás interferencia számításához Vegyük most a jel-zaj viszony szempontjából lehető legrosszabb esetet. Helyezzük a mobil vevőt a referencia bázisállomástól a lehető legmesszebb a cellahatárra. Ez egyben azt is jelenti, hogy a lehető legközelebb van az interferáló bázisállomáshoz. Nyilvánvalóan ezt csak egy interferáló cella viszonylatában tehetjük meg, hiszen azok jó közelítéssel körszimmetrikusan helyezkednek el a referencia cella körül, de a számítások egyszerűsítése érdekében, most feltételezzük, hogy a fenti elhelyezés egyszerre teljesül valamennyi interferáló cellára. A kétutas hullámterjedési modellt alkalmazva a jel teljesítménye a távolság negyedik hatványával fordítottan arányos. Ha minden adó azonos teljesítménnyel dolgozik, akkor Ii =

Es 4 R ; Di4

Es ~

1 ; R4

Ii ~

1 , Di 4

a jel-zaj viszony pedig az alábbi alakú  Pj  1 . = L R4  Pz  N 0 +∑ E s i =1 Di4

γ =

Körszimmetrikusan elhelyezkedő interferáló cellákat feltételezve Di = D s így a következő egyszerű kifejezés adódik γ =

amiből az

1 N0 R4 +L 4 Es D

,

N0 << 1 feltételezéssel Es

164

 D4   4  ~4 R  a γ≅ = . L L

Végeredményünkből jól látszik, hogy az azonos csatornás interferencia döntően befolyásolja a jel-zaj viszonyt. A szabályos méhsejt-típusú cellás rendszerben első közelítésben elegendő a hat legközelebbi azonos csatornás interferáló cella hatását figyelembe venni. Ennek alapján a jel-zaj viszony 4  Pj  a~ 4  D  1 γ =  ≅ =  , 6  R 6  Pz 

amiből D 4 = 6γ . R

Tudjuk, hogy egyúttal D = 3K , R

ezért megállapíthatjuk, hogy a jel-zaj viszony és a klaszterben lévő cellák K száma (mely egyben egyben a teljes frekvenciasáv szegmentálási száma is) között is az alábbi egyértelmű kapcsolat áll fenn K=

1 6γ = 3

2 γ . 3

9.3 A cellás rendszerek hatékonysága A cellás rendszerek geometriájának és interferenciaviszonyainak áttekintése után a különböző multiplexálási technikák alkalmazhatóságát, illetve hatékonyságát vizsgáljuk. Jelenleg három multiplexálási technika ismert • Frekvenciaosztásos rendszer (Frequency Division Multiplex, FDM) • Időosztásos rendszer (Time Division Multiplex, TDM) • Szórt spektrumú rendszer (Code Division Multiplex, CDM), melyek jellemzői megegyeznek a megfelelő, korábban ismertetett többszörös hozzáférési technika jellemzőivel. Mindenekelőtt vezessük be az alábbi jelöléseket: Bt=1.25 MHz a teljes rendelkezésre álló sávszélesség Bc

egy cella egy csatornájára eső sávszélesség

K

a frekvencia újrafelhasználás paramétere (a különböző frekvenciákat használó cellák száma, az egy klaszterben levő cellák száma)

L

a frekvenciasávok teljes száma

165

Z

a sávon belüli időosztásos részcsatornák száma (TDM)

n

az egy cellára jutó csatornák száma

k

az antennaszegmensek száma (tipikusan 3)

γ

jel-interferencia viszony

l

a beszédaktivitás mérőszáma, megadja, hogy az idő hány százalékában van valós átviendő információ a csatornában. Tipikus értéke 1/3.

Az egyes rendszereket az egy cellára jutó csatornák számára épülő hatékonysági mutatók alapján lehet összehasonlítani, ezért első feladatunk n meghatározása az egyes esetekben. Mielőtt a számításokba kezdenénk emlékeztetünk, hogy a jel-zaj viszony és a klaszter cellaszáma között a  3K    2 

2

γ =

összefüggés áll fenn. FDM analóg rendszer Bc = 25 kHz (FM) K = 7 (γ = 18,6 dB ) n=

Bt 1,25 ⋅ 103 = ≅7 Bc K 25 ⋅ 7

TDM digitális rendszer Bc = 25 kHz (FM) Z = 3 (~8 kbit/sec csatorna) K = 4 (γ = 13,8 dB ) n=

Bt 1,25 ⋅10 3 Z= ⋅ 3 ≅ 37 Bc K 25 ⋅ 4

CDM digitális rendszer Bt = Bc = 1.25 MHz (FM) PG = 156 K = 1; k = 1 vagy 3; l = 1/3 γ '=

Es E N = 7dB ; γ = s = −15dB ∑ Ii ∑ Ii

A CDM struktúrában elsősorban a rendszerzaj dominál, ezért a lehetséges csatornák számát a következőképpen célszerű kiszámítani:

166

A mobil → bázisállomás irányban (teljesítményszabályzás esetén) M db. mobil esetén a rendszerzajt az (M-1) mobil generálta interferencia határozza meg, ezért a jel-interferencia viszony jó közelítéssel  Pj  Es 1 = .  ≅  Pz  b ( M − 1) Es M − 1

γ b→ m = 

A bázisállomás → mobil irányban Az átlagos teljesítmény számítása az alábbi módon történhet. Annak a valószínűsége, hogy egy mobil egy R sugarú cellában a bázisállomástól számítva az r és r +dr tartományban található P{r ≤ x < r + dr} =

1 2r r dr 2π = 2 dr 2 Rπ R

abban az esetben, ha a mobilok eloszlása egyenletes a cellán belül. A bázisállomás egy mobilhoz küldött átlagos teljesítménye a távolság negyedik hatványával arányos   r 4 P1 = E Pj    ,   R  

ahol Pj a cellahatáron vett teljesítmény. A várható érték képzéshez helyettesítsük be r sűrűségfüggvényét 4

R

R

2  r  2r P1 = ∫ Pj   2 dr = Pj 6 ∫ r 5dr =  R R R 0 0 R

2 r 6  1 = Pj 6   = Pj . 3 R  6 0

Ezért az M különböző mobilhoz a leadott átlagteljesítmény Pt = M Pj

1 3

és nem Pj M , mint azt első pillanatban gondolnánk. A jel-interferencia viszony meghatározásához a 9.6 ábra cellastruktúrájából indulunk ki. A mobil három cella közös határán áll, ezek a közeli cellák. Ezeken kívül figyelembe vesszük az 1. és 2. távoli cellákat is. Ha minden cellában M db. mobil van, akkor a saját cellában levő interferencia teljesítmény 1 E s Ts ( M − 1) , 3

a két másik szomszédos cellából származó interferencia pedig 1 E s Ts 2 M . 3

167

A három darab 1. távoli cellákból érkező interferencia teljesítmény számításakor 1 értékkel vesszük figyelembe a távolságfüggést 24 E s Tj 3 M

1 1 , 3 24

a hat darab 2. távoli cellánál pedig 4

1 1  E s Ts 6 M   . 3  2,633

Az interferenciák összegzése után a jel-interferencia viszony  Pj  ≅   Pz  m→ b

γ m→b = 

=

Es 4  1 1 1 1 1 1    + 6M  E s  ( M − 1) + 2 M + 3 M   4    3 3 3 2 3 2 , 633 

=

1 . 1104 , M − 0,33

Esetünkben ha γ = –15 dB, M = 28 akkor 84 ha k = 1 n= Mkl = 252 ha k = 3

2. távoli cellák (D = 2,633R )

1. távoli cellák (D = 2R )

saját cella a mobil helyzete

közeli cellák (D = R )

9.6 ábra A jel-interferencia viszony számításához 9.3.1 Hatékonysági mutatók A következőkben a csatornaszám hatékonysági mutatókat foglaljuk össze.

felhasználásával

számítható

168

Területi hatékonyság Az egységnyi területre és egységnyi frekvenciára eső csatornák száma ηt =

 csatornaszám    R π Bt  km 2 MHz 

ηt =

7 1,78  csatornaszám  = 2   R π 1,25 R  km 2 MHz 

n

2

Pl. FDM esetben 2

Ellátottsági hatékonyság Megadja az ellátott felhasználók számát, a blokkolási valószínűség ismeretében Nf =

T M ( n, PB , t ) , π R2

ahol T a teljes lefedett terület, R a cellák sugara, n a cellánkénti rendelkezésre álló forgalmi csatornák száma, PB a blokkolási valószínűség, t pedig az átlagos hívási idő (egy óra perceiben) és F (n, PB )

M ( n, PB , t ) =

t

60

az egy cellában ellátott felhasználók száma, ahol F ( n, PB ) az Erlang B formula, λ mely a felajánlott forgalmat adja meg a csatornaszám és PB függvényében az µ alábbi egyenlőség alapján n

PB =

 λ 1    µ  n! i

 λ 1   ∑ i =0  µ  i ! n

.

Vegyünk egy hazai példát a fentiekre T = 100.000 km2 R = 01 . , 1, 10 km n=7 PB = 0.02 t = 176 . perc F (7;0.02) = 2,94 ≡ M=

l m

2,94 60 = 100 1,76

169

318 . ⋅ 108 ; 100000 107  . ⋅ 106 ; Nf = 100 = = 318 2 2 Rπ Rπ  . ⋅ 104 ; 318

. km R = 01 R = 1 km R = 10 km

9.3.2 Az egyes rendszerek előnyei és hátrányai FDM rendszer Előnyök: − keskeny sávú átvitel (nincs szükség csatornakiegyenlítésre) − a technológia ismert − a rendszer illeszkedik a meglévő analóg rádiós rendszerekhez Hátrányok: − szükség van keskenysávú szűrőkre (nem VLSI) − a bitsebesség rögzített TDM rendszer Előnyök: − a bitsebesség változtatható − a handoff eljárás jól támogatható a térerő mérésével és a hibaarány monitorozásával − a gyors fading ellen jól használható a csatornakiegyenlítési technika Hátrányok: − nagy csúcsteljesítmény kell (uplink) − nagy a vevő komplexitása CDM rendszer Előnyök: − − − −

kis teljesítménysűrűség zavarvédettség többutas terjedés elleni védettség adatvédelem

Hátrányok: − nagy sávszélesség

170

10. Digitális modulált jelek átvitele diszperzív csatornán A mobil rádiós rendszerekben a többutas terjedés és a véletlenül változó átviteli közeg miatt diszperzív fadinges csatornáról beszélünk. E csatornatípusban tipikusan többféle hibajelenség okoz eltérést az ideális rendszerhez viszonyítva, úgymint

• az időben változó lineáris torzítás (késleltetés szórás, Doppler-szórás, fading) • nemlineáris torzítás • additív zavaró jelek (termikus zaj, impulzus zaj, azonos csatornás interferencia, idegen csatornás interferencia) • fázis jitter, stb. Ebben a fejezetben az időben változó lineáris torzítások hatására létrejövő szimbólumközi áthallás (Inter Symbol Interference, ISI) jelenségével foglalkozunk. Ehhez szorosan kapcsolódik azon csatornakiegyenlítési eljárásoknak a tárgyalása, melyek alkalmasak az ISI hatásának csökkentésére.

10.1 A szimbólumközi áthallás fogalma 10.1.1 Az alapmodell A lineáris torzításos csatorna komplex alapsávi ekvivalens modellje a 10.1 ábrán látható. n( t )

∑ d δ (t − kT ) k

1

s

k

c( t )

g s (t )

Gs ( f )

C (f )

+

Ts

g r (t ) w(t )

y (t ) Gr ( f )

h(t ) = g s (t )∗ c(t )

10.1 ábra A lineáris torzításos csatorna komplex alapsávi ekvivalens modellje Az ábrán látható jelölések jelentése a következő: g s (t ) : az adó alapsávi elemi jele c(t ) : a csatorna súlyfüggvénye n(t ) : a komplex alapsávi zaj h(t ) : az adó és a csatorna eredő alapsávi elemi jele, h(t ) = g s (t )∗ c(t ) g r (t ) : a vevő szűrőjének súlyfüggvénye

171

yk

A csatornában a mintavevő előtti y (t ) jel az alábbi módon írható le: y (t ) =

+∞

∑d

k

f (t − kTs ) + ν (t ) ,

k =−∞

ahol f (t ) =

+∞

∫g

r

(τ )h(t − τ )dτ

−∞

és ν (t ) =

+∞

∫ g (τ ) ⋅ n(t − τ )dτ . r

−∞

A mintavevő kimenetén Ts időnként az alábbi jelet kapjuk: +∞

∑d

y n = y (nTs ) =

k

f (nTs − kTs ) + ν (nTs ) =

k =−∞

= dn f 0 +

+∞

∑d

k =−∞ k ≠0

k

f n−k + ν n ,

ahol az első tag a hasznos jelet, a második a szimbólumközi áthallást, a harmadik pedig a szűrt additív zajt írja le. A fentiek figyelembe vételével a szimbólumközi áthallás illusztrációja transzverzális szűrő segítségével történhet, mint az a 10.2 ábrán látható. A szimbólumközi áthallástól való mentesség nyilvánvaló feltétele, hogy fn=0, ha n≠0. Ilyenkor y n = d n f 0 + ν n . Fontos megjegyezni, hogy az ISI mentesség akkor fontos, ha egy mintából akarunk döntést hozni egy szimbólumra, tehát yn értékéből akarjuk dn értékét becsülni.

{d n } Ts

Ts

⊗

f−L

⊗ ⊕

f −2

Ts

⊗ ⊕

f −1

Ts

⊗ ⊕

f0

Ts

⊗ ⊕

f1

Ts

⊗ ⊕

f2

⊗ ⊕

fL

{ yn }

{ν n }

10.2 ábra Szimbólumközi áthallás illusztrálása transzverzális szűrő segítségével

172

10.1.2 Az ISI mentesség feltétele (Nyquist-feltétel) A Nyquist-feltétel az f (t ) = g s (t )∗ c(t )∗ g r (t ) eredő átvitelre ad megkötést a következő formában  f0 f n = f (nTs ) =  0

ha n = 0 ha n ≠ 0,

ami azt jelenti, hogy az f (t ) függvény Ts időnként vett mintái közül csak egy különbözhet nullától. Az f (t ) akkor teljesíti a fenti feltételt, ha +∞

1 Ts



∑ F  f

+

n =−∞

n 1 tartományon,  = f0 a f ≤ Ts  2Ts

ahol F ( f ) az f (t ) Fourier-transzformáltja. Ennek belátása a következő lépésekben történik f k = f ( kTs ) =

+∞

j 2 πfkT ∫ F ( f ) ⋅ e s df =

−∞

+∞



1/ 2 Ts

+∞ ( 2 n +1)/ 2 Ts

∑ ∫ F( f ) ⋅ e

j 2 πfkTs

df =

n =−∞( 2 n −1)/ 2 Ts

n

 n  j 2π  f ' +  kTs = ∑ ∫ F  f '+  ⋅ e  Ts  df ' = Ts   n =−∞ −1/ 2 Ts =

 +∞  n  j 2 πfkTs e ⋅ F f +   df .  ∑ ∫ Ts   −1/ 2 Ts n =−∞  1/ 2 Ts

Mivel 1/ 2 Ts

∫

e j 2πfkTs ⋅ Ts f 0 df =

−1/ 2 Ts

 f0 sin πk f0 =  πk 0

ha k = 0 ha k ≠ 0,

így teljesülnie kell, hogy FΣ ( f ) =

1 Ts

+∞



∑ F  f

n =−∞

+

n 1 ,  = f 0 , ha f ≤ Ts  2Ts

azaz az ún. Nyquist spektrumnak konstansnak kell lennie. Megjegyzendő, hogy az {fn} sorozat Z-transzformáltját az F ( z) =

+∞

∑f

n

z −n

n =−∞

kifejezés alapján számolhatjuk és F ( z)

z = exp( j 2 πfTs )

= FΣ ( f ) , f ≤

1 2Ts

a Nyquist spektrum értékét adja.

173

10.2 Optimális koherens vétel diszperzív csatornában A jelek vektoriális leírásához adjuk meg a vevőszűrő bemenetén megjelenő jelet az alábbi formában ∞

w( t ) = ∑ wn ϕ n ( t ) , n =1

+∞

∫ϕ

n

(t ) ⋅ ϕ *k (t )dt = δ kn ,

−∞

ahol {ϕ n (t )} a jelre nézve teljes ortonormált bázis és wn =

+∞

∑d

k

hnk + nn ,

k =−∞

ahol Ts

hnk = ∫ h(t − kTs ) ⋅ ϕ *n (t )dt 0

és Ts

nn = ∫ n(t ) ⋅ ϕ *n (t )dt . 0

Fontos kiemelni, hogy az

{nn }

jelsorozat nulla várható értékkel és

komplex Gauss-eloszlású független

[

]

1 E nk* ⋅ nm = N 0 ⋅ δ km 2

kovarianciával

rendelkezik. 10.2.1 A komplex alapsávi fehér Gauss zaj leírása a vektortérben és a jel energiája A zajvektor n-dik elemét a komplex vektortérben az Ts

nn = ∫ n(t ) ⋅ ϕ *n (t )dt 0

összefüggéssel állíthatjuk elő. Az {nn } sorozat Gauss-eloszlású, nulla várható érétkű valószínűségi változó sorozat, melynek korrelációs függvénye az alábbi módon számolható T   Ts  1 1  s * * E n k ⋅ nn = E ∫ n (t ) ⋅ ϕ k (t )dt  ⋅  ∫ n( ρ ) ⋅ ϕ *n (t )dρ   = 2 2  0  0  

[

]

T T  1 s s * = E ∫ ∫ n (t ) ⋅ n( ρ ) ⋅ ϕ k (t ) ⋅ ϕ *n (t )dtdρ  = 2  0 0  T T

[

]

1 s s = ∫ ∫ E n * (t ) ⋅ n( ρ ) ⋅ ϕ k (t ) ⋅ ϕ *n (t )dtdρ = 200

174

T T

T

s 1 s s = ∫ ∫ 2 N 0δ (t − ρ ) ⋅ ϕ k (t ) ⋅ ϕ *n (t )dtdρ = N 0 ∫ ϕ k (t ) ⋅ ϕ *n (t )dt = N 0 ⋅ δ kn . 200 0

A komplex alapsávi zajkomponens valós és képzetes része független, azonos eloszlású, nulla várható értékű és N0 szórásnégyzetű Gauss eloszlású valószínűségi változó. A hasznos komplex alapsávi jel Ts időre jutó energiáját vektortérben az alábbi kifejezéssel határozhatjuk meg Ts E ∫  0 =

 Ts  d k h(t − kTs ) dt  = E ∫ ∑ ∑ d k ⋅ d l* ⋅ h(t − kTs ) ⋅ h * (t − lTs )dt  = ∑ k =−∞  0 k l   2

+∞

∫ ∑ E[ d

Ts

0

k

[ ] 2

⋅

2

2

s

k

= E dk

] ⋅ h(t − kT ) dt = E[ d ] ⋅ ∫ ∑ h(t − kT ) dt = Ts

2

2

k

s

0

k

+∞

∫ h( t )

2

dt ,

−∞

ha E[d k ⋅ d l* ] = 0, l ≠ k , azaz a különböző időrésekben érkező komplex adatjelek korrelálatlanok. 10.2.2 Az optimális vevőszűrő meghatározása Vizsgáljuk meg a vett jel statisztikáját! A w = ( w1 , w2 ,..., w N ) jelvektor együttes valószínűségi sűrűségfüggvénye a +∞  1 1 P{ w d, H} = ∏ exp − ⋅ wn − ∑ d k hnk n =1 2πN 0 k =−∞  2N0 N

kifejezéssel

adható

meg,

H = (h 1 , h 2 ,..., h N ) T

ahol

2

   

alakú

és

[ ] = 2 N , azaz a zajkomponens valós

h i = (..., hi , −2 , hi , −1 , hi ,0 , hi ,1 , hi ,2 ...) , hiszen E nk

2

0

és képzetes részének szórásnégyzete egyaránt N0. Maximum likelihood értelemben optimális vevő esetében arra a d vektorra döntünk, amely a P( w d, H) feltételes valószínűségi sűrűségfüggvényt vagy annak

{

}

logaritmusát maximálja. Azaz d-re döntünk, ha log P{ w d, H} > log P w d$ , H minden d$ ≠ d -re. Fehér Gauss zajos csatornában ez annyit jelent, hogy a N

µ (d) = − ∑ wn − n =1

2

+∞

∑d

k

hnk

=

k =−∞

N N +∞ +∞   2 = − ∑ wn + ∑  wn* ⋅ ∑ d k hnk + wn ⋅ ∑ d k* hnk*  −  n =1 n =1  k =−∞ k =−∞

175

N  +∞   +∞ *  − ∑  ∑ d k hnk  ⋅  ∑ d m* hmk    m=−∞  n =1  k =−∞ N

kifejezést kell maximalizálni a d megválasztásával. Mivel

∑w

2

független

n

n =1

d-től, ezért elegendő a második két tag összegét maximalizálni 

+∞

 

 N  n =1

µ '(d) = 2Re ∑ d k* ⋅  ∑ wn hnk*   − k =−∞

+∞

∑

+∞

N

∑ d k ⋅ d m* ⋅∑ hnk ⋅ hnm* .

k =−∞ m =−∞

n =1

Tudjuk továbbá, hogy +∞

N

∑ wn ⋅ hnk* =

∫ w(τ ) ⋅ h

n =1

*

(τ − kTs )dτ = y k

−∞

és N

∑h

nk

⋅h

* nm

=

n =1

+∞

∫ h(τ − kT ) ⋅ h s

*

(τ − mTs )dτ = f k −m ,

−∞

amiből látszik, hogy optimális esetben a vevőszűrőnek a g r (t ) = h * ( −t ) feltételt kell teljesítenie. Ebben az esetben beszélünk illesztett szűrős vételről. Végezetül figyelembe véve a fentieket az optimális dekódolást a 

+∞



µ ' (d) = 2Re ∑ d k* ⋅ y k  − k =−∞



+∞

+∞

∑ ∑d

k =−∞ m=−∞

k

⋅ d m* ⋅ f k −m ,

kifejezés maximalizálásával lehet biztosítani. Az illesztett szűrő kimenetén a zajmintákat a +∞

+∞

−∞

−∞

ν n = ∫ n(nTs − τ ) ⋅ h * ( −τ )dτ = ∫ n(nTs + τ ) ⋅ h * (τ )dτ ,

kifejezés segítségével számolhatjuk. Ebből a sorozat diszkrét korrelációs függvényére

[

]

1 E ν *k + n ⋅ ν k = N 0 ⋅ f n adódik, mivel 2

+∞ +∞  1 1  * E ν k + n ⋅ ν k = E ∫ ∫ h(τ ) ⋅ n * (( k + n)Ts + τ ) ⋅ h * ( ρ ) ⋅ n( kTs + ρ )dτdρ  = 2 2 −∞−∞ 

[

]

=

+∞ +∞

[

]

1 h(τ ) ⋅ h * ( ρ ) ⋅ E n * ( ( k + n)Ts + τ ) ⋅ n( kTs + ρ ) dτdρ = ∫ ∫ 2 −∞−∞

= N0

+∞ +∞

∫ ∫ h(τ ) ⋅ h

*

( ρ ) ⋅ δ ( nTs + τ − ρ )dτdρ =

−∞ −∞ +∞

= N 0 ∫ h(τ ) ⋅ h * (τ + nTs )dτ = N 0 ⋅ f n (nTs ) = N 0 ⋅ f n . −∞

176

10.2.3 A szimbólumközi áthallással terhelt csatorna összefoglalása Az optimális vevőszűrővel rendelkező csatorna modellje a 10.3 ábrán látható. Az adószűrő és csatorna együttes átvitelét a h(t ) = g s (t )∗ c(t ) súlyfüggvénnyel jellemezzük. A bemenet és a mintavétel előtti y(t) jel között az f (t ) = g s (t )∗ c(t )∗ g s* ( − t )∗ c * ( − t ) = h(t )∗ h * ( − t ) függvény teremt kapcsolatot. n( t )

∑ d δ (t − kT ) k

1

s

k

g s (t )

Gs ( f )

c( t )

+

C (f )

{yk }

Ts

h ( −t ) *

w(t )

zajfehérítõ szûrõ

y (t )

{v k }

W ( z)

Gr ( f )

h(t ) = g s (t )∗ c(t ) f (t ) = g s (t )∗ c(t )∗ g s* ( − t )∗ c * ( − t ) = h(t )∗ h * ( − t )

10.3 ábra Az ideális vevőszűrővel rendelkező csatorna A mintavétel után y n = y (nTs ) =

+∞

∑ d k f (nTs − kTs ) + ν n = k =−∞

+∞

∑d k =−∞

k

f n−k + ν n

és f n− k =

+∞

* ∫ h(t − kTs ) ⋅ h (t − kTs )dt =

−∞

+∞

∫ h(τ ) ⋅ h ((n − k )T *

s

+ τ )dτ .

−∞

Az illesztett szűrő kimenetén a szimbólumközi áthallás mentesség általában nem teljesül. Ez jelentősen leronthatja az átvitel tulajdonságait (beszűkül a szemábra, jelentősen nő a hibaarány). Az illesztett szűrő kimenetén a zajminták nem korrelálatlanok, a mintasorozat autókorrelációs függvénye direkt módon kapcsolódik a vevőszűrő kimenetén mérhető { f n } jelminta sorozat értékeihez Az ISI megszűntetésére két alapvető lehetőség kínálkozik: • g s (t ) módosítása úgy, hogy az eredő f (t ) = g s (t )∗ c(t )∗ g r (t ) elemi jel teljesítse a Nyquist-feltételt. • A vevőszűrő után egy folytonos vagy diszkrét idejű ún. csatornakiegyenlítő szűrő elhelyezése. Jegyzetünkben az utóbbi megoldást tárgyaljuk részletesen.

177

10.3 A csatornakiegyenlítés módszerei A csatornakiegyenlítés célja tehát olyan diszkrét idejű szűrő méretezése, amely biztosítja, hogy a csatorna kimenetén a szimbólumközi áthallás mértéke az eredeti állapothoz - azaz az { yn } sorozatban érzékelhetőhöz - képest csökkenjen. A fenti általános feladat megoldásakor az alábbi problémákkal kell számolni: • A szimbólumközi áthallás alapvető oka a csatorna paramétereinek, nevezetesen a c(t) súlyfüggvénynek az állandó változása. Ez azt jelenti, hogy a csatornakiegyenlítés feladatát adaptív módon kell megvalósítani. • A csatornakiegyenlítő szűrő elsősorban a szimbólumközi áthallás hatásának csökkentésére szolgál, befolyásolja azonban az additív zaj hatását is. Az egyes csatornakiegyenlítési módszerek között éppen az a különbség, hogy azok a szimbólumközi áthallást és az additív zajt együttesen hogyan kezelik. A csatornakiegyenlítés típusai a következők: • Nullázó stratégia (Zero Forcing, ZF): a szimbólumközi áthallás értékét nullára állítjuk be. • Négyzetes átlaghibára optimális megoldás (Mean Square Error, MSE): a zaj és a szimbólumközi áthallás négyzetes összegének minimalizálásával alakítunk ki optimális rendszert. • Döntésvisszacsatolt kiegyenlítés (Decision Feedback, DF): a demodulálás és dekódolás után nyert szimbólumokat is felhasználjuk a csatorna kiegyenlítésére. • Maximum likelihood sorozat becslés (Maximum Likelihood Sequence Estimation, MLSE): közvetlenül a diszperzív csatornához tartozó optimális vételt valósítjuk meg az ún. Viterbi-algoritmus alkalmazásával anélkül, hogy a csatornakiegyenlítést külön szűrővel oldanánk meg. A csatornakiegyenlítő szűrő tervezése két lépésben történik. Először meghatározzuk a 10.3 ábrán feltüntetett ún. diszkrét zajfehérítő szűrőt. Ennek a valóságos rendszerekben nincs önálló szerepe, a konkrét megoldásban a csatornakiegyenlítő szűrő valósítja meg ezt a funkciót is. Bevezetése mindössze a rendszerparaméterek számítását támogatja. Az optimális vevőszűrővel és a zajfehérítő funkciót is tartalmazó csatornakiegyenlítő szűrővel rendelkező csatorna modellje a 10.4 ábrán látható.

178

n( t )

∑ d δ (t − kT ) k

1

s

k

c( t )

g s (t )

+

h ( −t )

w(t )

C (f )

Gs ( f )

{yk }

Ts

*

y (t )

csatornakiegyenlítõ szûrõ

{d$ } k

C'( z)

Gr ( f )

h(t ) = g s (t )∗ c(t ) f (t ) = h(t )∗ h * ( − t )

10.4 ábra Az optimális vevőszűrővel és csatornakiegyenlítő szűrővel rendelkező csatorna 10.3.1 A zajfehérítő szűrő méretezése Célunk egy olyan diszkrét idejű szűrő méretezése, amely a vevőszűrő kimenetén lévő { y n } mintasorozatot lineáris transzformáció segítségével (pl. egy transzverzális szűrő beiktatásával) olyan {v n } sorozattá alakítja, amely független (korrelálatlan) Gauss eloszlású additív zajösszetevőket tartalmaz. Mint korábban már láttuk az { y n } sorozat zajmentes esetben yn =

+∞

∑d

k

k =−∞

f n−k

alakban írható fel, amiből az egyenlet két oldalának Z-transzformációja után az Y ( z ) = D( z ) ⋅ F ( z )

egyenlethez jutunk, ahol F ( z) =

L

∑f

n

⋅ z − n és fn=0 ha n > L .

n =− L

Korábbi eredményekből tudjuk, hogy f n* = f − n , ezért fennáll az alábbi összefüggés  1 F ( z) = F *  *  , z 

mivel *

F ( z) = ∑ f n ⋅ z n

−n

=∑f n

* −n

*

−n    1  − n  1  ⋅  − n   = ∑ f − n ⋅  *   = ∑ f n  z    z    n  n

*

n 1  ⋅ *  .  z  

Mindebből az következik, hogy F ( z) minden gyökének van egy reciprok konjugált párja. Így az F ( z) biztosan két polinom szorzatára bontható, azaz

179

 1 F ( z ) = G( z ) ⋅ G *  *  . z 

Válasszuk a zajfehérítő szűrő W(z) átviteli függvényét G * 

1  értékűre,  z* 

ekkor V ( z ) = ( D( z ) ⋅ F ( z ) + ν ( z ) ) ⋅ W ( z ) = D( z ) ⋅ G ( z ) +

ν ( z)  1 G  * z 

.

*

A zaj teljesítménysűrűség függvénye a zaj diszkrét korrelációs függvényének Z-transzformációjával állítható elő, azaz Sνν ( z ) = N 0 ⋅

∞

∑f

n

⋅ z −n =N 0 ⋅ F ( z) ,

n =−∞

amiből

(

Sνν ( f ) = N 0 ⋅ F e j 2πfTs

) , ha

f ≤

1 . 2Ts

Tudjuk továbbá, hogy

(

)

F e j 2πfTs =

1 ∞  n ⋅ ∑ F f +  . Ts n =−∞  Ts 

A zajfehérítő szűrő kimenetén levő {η n } zajminták teljesítménysűrűség függvénye ebből az

(

)

Sηη ( f ) = N 0 ⋅ F e j 2πfTs ⋅

1

(

G * e j 2πfTs

)

2

= N0 , f ≤

1 2Ts

alakban adódik, azaz az {η n } sorozat fehér, vagyis független zajminták sorozata. Ezért a zajfehérítő szűrő kimenetén a jel a L

v k = ∑ g n d k −n + η k n =0

módon adható meg, ahol g = ( g 0 , g1 ,..., g L ) T az ún. csatornavektor. Az eredő jel/zaj viszony pedig a γ=

E = N0

[ ]

E dk

2

N

⋅ ∑ gi

2

i =0

2N0

értékkel jellemezhető. A zajfehérítő szűrő paramétereinek birtokában most már rátérhetünk a csatornakiegyenlítő szűrő meghatározására. 10.3.2 Nullázó csatornakiegyenlítés (Zero Forcing, ZF) A lineáris csatornakiegyenlítő szűrő modellje és az alkalmazott jelölések a 10.5 ábrán láthatóak. Célunk a C ( z) , illetve a C'( z) = C( z) ⋅ W ( z) transzverzális

180

szűrő méretezése oly módon, hogy a kimeneti jelsorozat minden eleme a bemeneti {d k } üzenetek közül csak egytől függjön. A kiegyenlítő C ( z) szűrő felépítését a 10.6 ábra mutatja. n( t )

∑ d δ (t − kT ) k

1

s

k

c( t )

g s (t )

Gs ( f )

+

Ts

h ( −t )

{ wn }

*

w(t )

C (f)

{yk } {ν k }

y (t ) Gr ( f )

{v k } {η k }

W ( z)

{cn }

{d$ } k

{ξ k }

C( z)

h(t ) = g s (t )∗ c(t ) f (t ) = g s (t )∗ c(t )∗ g ( − t )∗ c ( − t ) = h(t )∗ h ( − t ) * s

*

*

C'( z) = W ( z) ⋅ C( z )

F ( z ), { f n }

G ( z ), {g n }

10.5 ábra Az ideális vevőszűrővel rendelkező csatorna

{v n } Ts

Ts

⊗

c0

⊗

Ts

ck −2

⊗

ck −1

Ts

⊗

ck

Ts

⊗

ck +1

Ts

⊗

ck +2

⊗

c N −1

{d$ } n

⊕

⊕

⊕

⊕

⊕

⊕~

{d } n

10.6 ábra A kiegyenlítő szűrő felépítése A kiegyenlítő szűrő bemenetére a zajfehérítő szűrő kimenetén levő v k = ∑ gn d k −n + η k n

jelsorozat érkezik és a döntés előtt a kiegyenlítő szűrő kimenetén a jel a ~ d k = ∑ cn v k − n n

alakban adható meg. Feltételezve, hogy a C(z) szűrő fokszáma tetszőleges lehet, a feladat megoldása igen egyszerű, hiszen a rendszer kimenetén a hasznos jel zajmentes ~ esetben d k = d$k , ahol

181

d$k = ∑ q n d k −n n

alakban írható fel és q n = ∑ cn g n − j , j

azaz a két szűrő diszkrét súlyfüggvényének konvolúciója. Az egyenlet két oldalának Z-transzformálása után az eredő átvitelre a Q( z ) = C ( z ) ⋅ G ( z )

kifejezést kapjuk. A nullázó kiegyenlítés elhanyagolásával), hogy

feltétele

Q( z ) = 1 , C ( z ) =

(a

természetes

késleltetés

1 , G( z)

amiből a nullázó típusú csatornakiegyenlítő szűrő átvitelére a C' ( z) = C( z) ⋅ W ( z) = C( z) ⋅

1 1 1 = =  1  1  F ( z) G *  *  G ( z) ⋅ G *  *  z  z 

kifejezés adódik. A fenti eredmény egyszerűen magyarázható. A nullázó típusú csatornakiegyenlítésnél a csatorna diszperziójának eredményeképpen a csatornaszűrő kimenetén létrejövő szimbólumközi áthallást úgy lehet megszüntetni, ha a teljes átvitelre jellemző lineáris átviteli függvény inverzét valósítjuk meg a döntés előtt. A megoldás hátránya az, hogy a kiegyenlítő szűrő a zaj hatását jelentősen kiemelheti, mivel a kimeneti zaj teljesítménysűrűsége Sξξ ( f ) =

(

N0

F e

j 2 πfTs

)

, ha f ≤

1 , 2Ts

tehát az F() átviteli függvény zérusai környékén a zaj szintje jelentősen megemelkedhet. Adaptív megoldás esetén a c vektor elemeit, vagyis a kiegyenlítő szűrő paramétereit tanuló eljárással határozzuk meg. A eljárás az alábbi algoritmust alkalmazza (a késleltetések elhanyagolásával) c kj +1 = c kj + α ⋅ ε k ⋅ d k*− j ; j=0,...,N-1

ahol

{c } k j

a kiegyenlítő rendszer paramétereinek értéke a k-dik iterációs

lépésben,

182

N −1

~

ε k = d k − d k = d k − ∑ ci v k −i a hibasorozat, i =0

α pedig az iterációs lépés nagyságára jellemző paraméter, ami meghatározza az adaptív algoritmus konvergenciasebességét. Az eljárás során állandósult állapotban az ε k nulla étékűvé válik, amiből ~ zajmentes esetben a d k = d k eredmény adódik. Az algoritmus alkalmazásakor az alábbi egyéb szempontokat kell még figyelembe venni: • Zaj jelenléte esetén a tanulási folyamatot a külső véletlen hatások is alakíthatják, emiatt csak E[ε k ] válik nullává. • A rendszerben fellépő késleltetések miatt az ε k kalkulációjánál és a d k*− j meghatározásánál a bemeneti adatok késleltetett értékeivel kell számolni. • d k és d k*− j értékei csak egy ismert, ún. tréning sorozat esetén határozhatók meg pontosan. A rendszer valódi adatokkal történő működésekor ezek értékeit az adaptív kiegyenlítő kimenetén lévő d$k és d$k*− j értékekkel kell helyettesíteni (döntésvisszacsatolás). ~

Megjegyzendő, hogy d$k a d k -ból nullkomparálással (hard decision, előjelvizsgálat, szignumfüggvény alkalmazása) származik. 10.3.3 Minimális négyzetes átlaghibájú csatornakiegyenlítés (Mean Square Error, MSE) A kiegyenlítő rendszertechnikai modellje nem változik, csak az ~ alkalmazott algoritmus módosul. Az eljárás célja az ε k = d k − d k hiba négyzetes várható értékének minimalizálása, azaz annak elérése, hogy

[ ] = minimális,

E εk

2

c

azaz  E d k − ∑ cn v k − n  n

2

  = minimális, ahol v k = ∑ g m d k − m + η k .  c m

A minimalizálási eljárások elméletéből ismert, hogy a fenti egyenlet minimumhelyét akkor találjuk meg, ha {c j } -t úgy választjuk, hogy teljesüljenek az alábbi feltételek

[

]

[(

)

]

~ ~ E ε k ⋅ d k* = 0 , E d k − d k ⋅ v *k -l = 0 ,

azaz az ε k hiba ortogonális a {v *k -l } sorozat minden elemére. Innen a

183

   E d k − ∑ cn v k − n  ⋅ v *k -l  = 0  n  

egyenlethez jutunk, amiből ha E[d k ⋅ d l* ] = δ kl akkor  E d k ⋅ v *k-l = Ed k 

[

]

  ⋅  ∑ g m* ⋅ d k*−l − m ⋅ η *k − l   =  m 

  = Ed k ⋅ ∑ g m* ⋅ d k*−l − m  = m  

[

[ ]

]

= ∑ g m* ⋅ E d k ⋅ d k*−l −m = g −* l ⋅ E d k m

2

és   E v k -n ⋅ v *k -l = E∑ ∑ g h ⋅ g m* ⋅ d k −n − h ⋅ d k*− l −m + η k −n ⋅ η *k −l  = h m 

[

]

l+ m= n+ h m= n + h − l

=

∑g

h

[ ]+ N

⋅ g h*+n − l ⋅ E d k

h

2

0

⋅ δ nl .

A fentiek felhasználásával az alapegyenlet az alábbi formába írható át

[ ] = ∑ c ⋅  E[ d ] ⋅ ∑ g ⋅ g

g −* l ⋅ E d k

2

2

n

k

n

h

* h+n− l

h

 + N 0 ⋅ δ nl  . 

Képezzük most mindkét oldal Z-transzformáltját és legyen

[ ] = 1,

E dk

2

akkor a    1  1 G *  *  = C ( z) ⋅  G ( z) ⋅ G *  *  + N 0  z  z   

egyenlethez jutunk. Ebből  1 G* *  z  C( z) =  1 G( z) ⋅ G *  *  + N 0 z 

és a kiegyenlítő szűrő teljes átvitele C' ( z) =

1 . F ( z) + N 0

Az optimális munkapontban a hiba meghatározásához számoljuk ki az

[ ] = E[ ε ⋅ (d

E εk

2

k

* k

)] [

] [

]

~ ~ − d k* = E ε k ⋅ d k* − E ε k ⋅ d k* =

184

[

[ ] − E[d

]

= E ε k ⋅ d k* = E d k  = 1 − E∑ ck n

2

* k

]

  ~ ⋅ d k = 1 − E∑ cn ⋅ v k − n ⋅d k*  = n 

   ⋅  ∑ g m ⋅ d k − n −m + η k −n  ⋅ d k*  = 1 − ∑ cn ⋅ g − n  m  n 

összefüggést, ahol nyilvánvaló, hogy a második tag összege nem más, mint a F ( z) F ( z) + N 0

Q( z ) = C ( z ) ⋅ G ( z ) =

átviteli függvényhez rendelt diszkrét súlyfüggvény nulla késleltetéshez tartozó értéke. Mivel korábbiakból igaz, hogy q k = ∑ cn g k − n n

így q 0 = ∑ cn g − n . n

Alkalmazva az inverz Z-transzformált összefüggéseit 1 Q( z ) dz 2πj ∫ z

q0 =

és z = e j 2πfT , azaz dz = j 2πTs df , ezért s

1

q 0 = Ts

2 Ts

∫

(

F e

− 12 T s

(

F e j 2πfTs j 2 πfTs

)

)+ N

df 0

amiből optimális esetben

[ ]=T

E εk

2

s

1

2 Ts

∫

− 12 T s

(

F e

N0 j 2 πfTs

)+ N

df . 0

Adaptív eljárás esetén a c vektor elemeit, vagyis a kiegyenlítő szűrő paramétereit tanuló eljárással határozzuk meg. Az eljárás alapja az alábbi algoritmus (a késleltetések elhanyagolásával): c kj +1 = c kj + α ⋅ ε k ⋅ v k − j ; j=0,...,N-1 ,

ahol

{c } k j

a kiegyenlítő rendszer paramétereinek értéke a k-dik iterációs

lépésben, ~

N −1

ε k = d k − d k = d k − ∑ ci v k −i a hibasorozat, i =0

α pedig az iterációs lépés nagyságára jellemző paraméter, ami meghatározza az adaptív algoritmus konvergenciasebességét.

185

[

]

Az eljárás alkalmazásával teljesül az E ε k ⋅ v *k − j = 0 , j=0,...,N-1 feltétel. Az eljárás során a rendszer tréningsorozatok alkalmazásával iteraktív úton képes a paraméterek beállítására. Folyamatos működés esetén a d k ismét d$k értékkel helyettesíthető. 10.3.4 Döntésvisszacsatolt csatornakiegyenlítés (Decision Feedback, DF) A döntésvisszacsatolt csatornakiegyenlítő rendszer blokkvázlatát a 10.7 ábrán mutatjuk be. Ts

Ts

{v n }

⊗

c− ( N −1)

⊗

Ts

⊗

c− k

⊕

c− ( k −1)

⊕

⊗ ⊕

c0

{d$ }

{d~ }

n

n

Ts

⊗

cM

⊕

Ts

⊗

cj

Ts

⊗

c1

⊕

10.7 ábra Döntésvisszacsatolt csatornakiegyenlítő rendszer A döntésvisszacsatolt csatornakiegyenlítő esetében a döntés előtti jel a ~ dk =

0

∞

j =−∞

j =1

∑ c j v k − j + ∑ c j d$k − j

kifejezés szerint a zajfehérítő szűrő kimeneti jelének (vn) és a döntések eredményének ( d$n ) a függvénye. A kiegyenlítés lényege az, hogy a korábban detektált szimbólumokkal kíséreljük meg lemásolni az áthallást, azaz ~ dk =

=

  ∞ c g ⋅ d ⋅ η  ∑ j  ∑ m k − j −m k − j  + ∑ c j d$k − j = j =−∞ m j =1 0

0

∑ j =−∞

c j ∑ g l − j ⋅ d k −l + l

0

∞

j =−∞

j =1

∑ c j ⋅ η k − j + ∑ c j d$k − j =

186

 0  = ∑  ∑ c j ⋅ g l − j  ⋅ d k −l +  l  j =−∞

0

∞

j =−∞

j =1

∑ c j ⋅ η k − j + ∑ c j d$k − j .

Ha d$k = d k , valamint bevezetve a  0  c j ⋅ gl − j ql =  j∑ =−∞  − cl

l≤0 l>0

jelölést akkor ~ dk =

∞

∑q l =−∞

l

⋅ d k −l +

0

∑c j =−∞

j

⋅ηk− j .

Az algoritmus végtelen fokszámú kiegyenlítő szűrőt alkalmazva optimális esetben

[ ]

E εk

2

 12 Ts    N0    df  . = exp Ts ∫ ln j 2 πfTs   F e + N 0  − 12 Ts  

(

)

nagyságú négyzetes hiba elérése képes. Adaptív eljárás esetén a korábbiakhoz hasonlóan a c kj +1 = c kj + α ⋅ ε k ⋅ v *k − j ; j ≤ 0 c kj +1 = c kj + α ⋅ ε k ⋅ x$ *k − j ; j > 0

rekurziók alapján jutunk el az optimális megoldáshoz.

187

Rövidítésjegyzék 4QAM

4 Quadrature Modulation

Amplitude

AGC

Automatic Gain Control

ASK

Amplitude Shift Keying

BPSK

Binary Phase Shift Keying

CD

Collision Detect

CDM

Code Division Multiple

CDMA

Code Division Access

Multiple

CDMA

Code Division Access

Multiple

CPM

Continuous Modulation

CSMA

Collision Access

CT

Cordless Telephone

DECT

Digital European Cordless Telephone

DF

Decision Feedback

DPSK

Differenciális PSK

DS

Direct Sequence

DSRA

Digital Short Range Radio

ERMES

European Radio Messaging System

ETSI

European Institute

FDD

Frequency Domain Duplex

FDM

Frequency Multiplex

FDMA

Frequency Division Multiple Access

FFH

Fast Frequency Hopping

FH

Frequency Hopping

FSK

Frequency Shift Keying

GSM

Groupe

Phase Sense

Multiple

Standardisation

Division

Speciale

Mobile;

188

Global System for Mobile Comunications IMT2000

International Mobile Telecommunications 2000

IS

Interim Standard

ISI

Inter Symbol Interference

LAN

Local Area Network

MLSE

Maximum Likelihood Sequence Estimation

MR

Maximum Ratio

MSE

Mean Square Error

MSK

Minimum Shift Keying

NMT

Nordic Mobile Telephone

OOK

On/Off Keying

OQPSK

Offset QPSK

PG

Processing Gain

PSK

Phase Shift Keying

QPSK

Quadrature Keying

SHF

Slow Frequency Hopping

SMS

Short Message Service

SSB

Single Side Band

TACS

Total Access Communication Service

TDD

Time Domain Duplex

TDM

Time Division Multiplex

TDMA

Time Division Access

TETRA

Terrestial Trunked Radio

TIA

Telecommunications Industry Association

TTiB

Transparent Tone in Band

UHF

Ultra High Frequency

UMTS

Universal Mobile Telecommunications System

UPT

Universal Personal Telecommunications

Phase

Shift

Multiple

189

US Channel

Uncorrelated Channel

Scattering

VHF

Very High Frequency

WSS

Wide Sense Channel

Stationary

WSSUS Channel

Wide Sence Uncorrelated Channel

Stationary Scattering

ZF

Zero Forcing

190

Jelölések jegyzéke P{A}

Az A esemény bekövetkezésének valószínűsége

E[x]

Az x valószínűségi változó várható értéke

Re{z}

A z komplex szám valós része

Im{z}

A z komplex szám képzetes része

F{s(t)}

Az s(t) jel Fourier-transzformáltja

F-1{S(f)}

Az S(f) jel inverz Fourier-transzformáltja

H{s(t)}

Az s(t) jel Hilbert-transzformáltja

H {s(t )} = h(t)

1

π

+∞

s(τ )

∫ t − τ dτ

−∞

A Hilbert-szűrő súlyfüggvénye

h (t ) =

11 πt

erfc(v)

erfc(v ) =

∞

2

e π ∫

− x2

dx

v

Q(v)

A hibaintegrál függvény

Q( v ) =

∞

∫ v

J 0 ( x)

0-ad rendű első fajú Bessel függvény

J0 ( x ) =

L{s(t)}

1 x2 exp( − )dx 2 2π

1 2π

2π

∫e

jx cos α

dα

0

Az s(t) jel Laplace-transzformáltja

191

Irodalomjegyzék

192