A matematikai analízis elemei VI

A matematikai analízis elemei VI. (Sokaságok, Tenzormez®k, Pszeudo-Riemann- és Lorentz-sokaságok, Lie-csoportok és Lie-algebrák, Lie-csoportok folytonos unitér ábrázolásai)

Kristóf János

Tartalomjegyzék I. Sokaságok 1.

2.

3

Térképek, atlaszok és dierenciálható struktúrák

1.1. 1.2. 1.3. 1.4. 1.5. 1.6. 1.7. 1.8. 1.9. 1.10. 1.11. 1.12.

Térképek. . . . . . . . . . . . . . Atlaszok és sokaságok . . . . . . Sokaság dimenziója . . . . . . . Sokaság topológiája . . . . . . . Morzmusok sokaságok között . Sokaság érint®tere egy pontban Nyílt részsokaságok . . . . . . . Sokaságok szorzata. . . . . . . . Sokaság érint®tere . . . . . . . . Rétegez®dések . . . . . . . . . . Lineáris konnexiók . . . . . . . . Példák sokaságokra . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . és az érint®-operátorok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

7

7 8 11 11 14 16 21 23 26 30 31 33

Immerziók és részsokaságok

39

3.

Szubmerziók és faktorsokaságok

45

4.

Szubimmerziók és lokálisan linearizálható morzmusok

47

II.

Tenzormez®k

49

III.

2.1. 2.2. 2.3.

4.1.

Dierenciálható struktúra inverz képe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 Kvázirészsokaságok és részsokaságok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 Immerziók . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

Tenzormez®k értelmezése . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

Pszeudo-Riemann- és Lorentz-sokaságok

1

55

2

TARTALOMJEGYZÉK

I. rész Sokaságok

3

5

BEVEZETÉS Ez nem lesz könny¶ mulatság. Én szóltam :-)

6

1. fejezet Térképek, atlaszok és dierenciálható struktúrák Megállapodunk abban, hogy ebben a fejezetben S mindenütt ugyanazon test feletti normált terek nem üres halmazát jelöli, valamint az r és s szimbólumok 0-nál nagyobb természetes számokat, vagy a ∞ szimbólumot jelölik. Továbbá, a "normált tér" elnevezés a "normálható topologikus vektortér" szinonímájaként szerepel, tehát normált tér esetében a vektortéren nincs kijelölt norma, hanem csak egy linéris topológia, amely normából származtatható. Hasonlóan, a "Banach-tér" elnevezés a "teljes és normálható topologikus vektortér" szinonímájaként szerepel.

1.1.

Térképek

1.1.1. Deníció. A (ϕ, E) párt térképnek nevezzük, ha ϕ injektív függvény, E normált

tér, és Im(ϕ) ⊆ E nyílt halmaz. Ha (ϕ, E) térkép, akkor az E normált teret az (ϕ, E) térkép érkezési terének nevezzük. Ha (ϕ, E) térkép, akkor egyedül a ϕ függvény nem határozza meg az E normált teret. Ez triviális akkor, ha Dom(ϕ) = ∅, vagy Im(ϕ) = E . Azonban a jelölések egyszer¶sítése céljából megállapodunk abban, hogy a továbbiakban minden térképet egyetlen szimbólummal, a benne szerepl® függvény jelével jelölünk, és ha ϕ térkép, akkor Eϕ jelöli a ϕ térkép érkezési terét.

1.1.2. Deníció. A ϕ térképet S-típusúnak nevezzük, ha Eϕ ∈ S. Az M halmaz térképeinek nevezzük azokat a ϕ térképeket, amelyekre Dom(ϕ) ⊆ M . Ha M halmaz, akkor nem létezik az M halmaz összes térképeinek halmaza. De ha M mellett még a térképek típusát is korlátozzuk egy S normált tér halmazzal, akkor 7

8

1. TÉRKÉPEK, ATLASZOK ÉS DIFFERENCIÁLHATÓ STRUKTÚRÁK

már beszélhetünk az M halmaz S-típusú térképeinek halmazáról. Err®l szól a következ® állítás.

1.1.3. Állítás. Ha M halmaz, akkor az 00

ϕ térkép, és Dom(ϕ) ⊆ M , és Eϕ ∈ S

00

kijelentés kollektivizáló ϕ-ben. Bizonyítás. Ha ϕ térkép, és Dom(ϕ) ⊆ M , és Eϕ ∈ S, akkor Eϕ ⊆

ϕ ⊆ Dom(ϕ) × Im(ϕ) ⊆ M × Eϕ ⊆ M ×

vagyis ϕ ∈ P M ×

[

[

[

S miatt

S,

S , tehát elegend® a részhalmaz-axiómasémára hivatkozni.

1.1.4. Deníció. Ha M halmaz, akkor a Ch(M, S) := { ϕ | (00 ϕ térkép 00 ) ∧ (Dom(ϕ) ⊆ M ) ∧ (Eϕ ∈ S) } jelölést alkalmazzuk, tehát Ch(M, S) az összes M feletti S-típusú térképek halmaza. Ha ϕ és ψ térképek, akkor

Dom(ψ ◦ ϕ−1 ) = ϕhDom(ϕ) ∩ Dom(ψ)i ⊆ Eϕ , Dom(ϕ ◦ ψ −1 ) = ψhDom(ϕ) ∩ Dom(ψ)i ⊆ Eψ , −1

−1

és világos, hogy ψ ◦ ϕ−1 = (ϕ ◦ ψ −1 ) , valamint ϕ ◦ ψ −1 = (ψ ◦ ϕ−1 ) .

1.1.5. Deníció. Azt mondjuk, hogy a ϕ és ψ térképek Cr -konzisztensek, ha a ψ ◦ ϕ−1 : Eϕ Eψ és a ϕ ◦ ψ −1 : Eψ Eϕ függvények Cr -osztályúak.

Legyen S normált terek halmaza, M halmaz, és r ∈ N∗ vagy r = ∞. Jelölje ≈r azt a relációt ChS (M ) felett, amelyre (ϕ, E), (ψ, F ) ∈ (M, S) esetén (ϕ, E) ≈r (ψ, F ) pontosan akkor teljesül, ha a (ϕ, E) és (ψ, F ) K-térképek Cr -konzisztensek.

1.2.

Atlaszok és sokaságok

1.2.1. Deníció. Legyen M halmaz. Az A ⊆ Ch(M, S) halmazt Cr -osztályú, M feletti, S-típusú atlasznak nevezzük, ha

M=

[ ϕ∈A

Dom(ϕ),

9

1.2. ATLASZOK ÉS SOKASÁGOK

és minden ϕ ∈ A és ψ ∈ A esetén a ϕ és ψ térképek Cr -konzisztensek. A tartalmazás tekintetében maximális Cr -osztályú, M feletti, S-típusú atlaszokat úgy nevezzük, hogy Cr -osztályú, M feletti, S-típusú dierenciálható struktúrák. Az (M, D) párt Cr -osztályú, S-típusú sokaságnak nevezzük, ha D Cr -osztályú, M feletti, S-típusú dierenciálható struktúra. A szokásos jelölési konvenciónak megfelel®en, minden sokaságot egyetlen szimbólummal, az alaphalmaz jelével jelöljük, és ha M dierenciálható sokaság, akkor Ch(M ) jelöli a kijelölt M feletti dierenciálható struktúrát, és minden a ∈ M esetén

Cha (M ) := { ϕ ∈ Ch(M ) | a ∈ Dom(ϕ) }.

1.2.2. Deníció. Ha E normált tér, akkor a Cr -osztályú, {E}-típusú sokaságokat Cr osztályú, tiszta E -típusú sokaságoknak nevezzük. Az alkalmazásokban leggyakrabban C∞ -osztályú, tiszta Kn -típusú sokaságok fordulnak el®. Ezeket szokták egyszer¶en dierenciálható sokaságoknak nevezni.

1.2.3. Állítás. Ha M halmaz, és A Cr -osztályú, M feletti, S-típusú atlasz, akkor a AÓ:= { ψ ∈ Ch(M, S) | (∀ϕ ∈ A ) :

00

ψ és ϕ Cr -konzisztens térképek

00

}

halmaz a tartalmazás tekintetében legnagyobb olyan Cr -osztályú, M feletti, S-típusú dierenciálható struktúra, amelyre A ⊆ AÓ. Bizonyítás. Nyilvánvaló, hogy AÓ⊆ Ch(M, S) olyan halmaz, hogy A ⊆ AÓ, hiszen az r atlaszok deníciója szerint minden A -hoz tartozó térkép C -konzisztens minden A -hoz [ [ tartozó térképpel. Ebb®l azonnal következik, hogy M = Dom(ϕ) ⊆ Dom(ψ) ⊆

M , ezért M =

[

ϕ∈A

Dom(ψ). Tehát annak bizonyításához, hogy

ψ∈AÒ Ó A Cr -osztályú,

M

ψ∈AÒ

feletti, S-típusú atlasz, elegend® azt igazolni, hogy bármely két AÓ-hoz tartozó térkép Cr -konzisztens. Legyenek ψ1 ∈ AÓés ψ2 ∈ AÓrögzítettek, és vegyünk egy a1 ∈ ψ1 hDom(ψ1 ) ∩ Dom(ψ2 )i pontot. Meg fogjuk mutatni, hogy létezik a1 -nek olyan U1 nyílt környezete Eψ1 -ben, amelyre U1 ⊆ ψ1 hDom(ψ1 ) ∩ Dom(ψ2 )i, és a ψ2 ◦ ψ1−1 függvény Cr -osztályú az U1 halmazon. Ebb®l a magasabb rend¶ folytonos dierenciálhatóság lokalitása alapján következni fog, hogy a ψ2 ◦ ψ1−1 : Eψ1 Eψ2 függvény is Cr -osztályú. Legyen a ∈ Dom(ψ1 ) ∩ Dom(ψ2 ) az a pont, amelyre ψ1 (a) = a1 , és M =

S

Dom(ϕ)

ϕ∈A

alapján rögzítsünk egy olyan ϕ ∈ A térképet, amelyre a ∈ Dom(ϕ). Ekkor AÓdeníciója

10


alapján a ϕ és ψ2 térképek Cr -konzisztensek, így ϕhDom(ϕ) ∩ Dom(ψ2 )i nyílt halmaz Eϕ -ben. Továbbá, (ψ1 ◦ ϕ−1 )hϕhDom(ϕ) ∩ Dom(ψ2 )ii nyílt részhalmaza Eψ1 -nek, és ez nyilvánvalóan egyenl® a ψ1 hDom(ψ1 ) ∩ Dom(ψ2 ) ∩ Dom(ϕ)i halmazzal, amelynek eleme a ψ1 (a) pont. Tehát U1 := ψ1 hDom(ψ1 ) ∩ Dom(ψ2 ) ∩ Dom(ϕ)i olyan nyílt környezete a1 -nek Eψ1 -ben, amelyre U1 ⊆ ψ1 hDom(ψ1 ) ∩ Dom(ψ2 )i. Továbbá, a ψ2 ◦ ψ1−1 függvény nyilvánvalóan egyenl® (ψ2 ◦ ϕ−1 ) ◦ (ϕ ◦ ψ1−1 )-gyel az U1 halmazon, és a ψ2 ◦ ϕ−1 és ϕ ◦ ψ1−1 függvények Cr -osztályúak, így ψ2 ◦ ψ1−1 is Cr -osztályú az U1 halmazon. Ez azt jelenti, hogy a ψ2 ◦ ψ1−1 : Eψ1 Eψ2 függvény Cr -osztályú. Teljesen hasonló megfontolásokkal kapjuk, hogy ha a2 ∈ ψ2 hDom(ψ1 ) ∩ Dom(ψ2 )i, és a ∈ Dom(ψ1 ) ∩ Dom(ψ2 ) az a pont, amelyre ψ2 (a) = a2 , valamint ϕ ∈ A olyan térkép, hogy a ∈ Dom(ϕ), akkor U2 := ψ2 hDom(ψ1 ) ∩ Dom(ψ2 ) ∩ Dom(ϕ)i olyan nyílt környezete a2 -nek Eψ2 -ben, amelyre U2 ⊆ ψ2 hDom(ψ1 )∩Dom(ψ2 )i, és a ψ1 ◦ψ2−1 függvény egyenl® (ψ1 ◦ ϕ−1 ) ◦ (ϕ ◦ ψ2−1 )-gyel az U2 halmazon. Ebb®l a magasabb rend¶ folytonos dierenciálhatóság lokalitása alapján következik, hogy a ψ1 ◦ ψ2−1 : Eψ2 Eψ1 függvény is Cr -osztályú. Ezzel igazoltuk, hogy a ψ1 és ψ2 térképek Cr -konzisztensek, következésképpen AÓolyan Cr -osztályú, M feletti, S-típusú atlasz, amelyre A ⊆ AÓ. Ha B olyan Cr -osztályú, M feletti, S-típusú atlasz, amelyre A ⊆ B , akkor minden ψ ∈ B és ϕ ∈ A esetén a ψ és ϕ térképek Cr -konzisztensek, tehát AÓdeníciója alapján ψ ∈ AÓ. Ezért B ⊆ AÓ, vagyis AÓ a tartalmazás tekintetében legnagyobb olyan Cr osztályú, M feletti, S-típusú atlasz, amelyre A ⊆ AÓ. Ebb®l azonnal következik, hogy AÓ Cr -osztályú, M feletti, S-típusú dierenciálható struktúra, hiszen ha C olyan Cr -osztályú, M feletti, S-típusú atlasz, hogy AÓ ⊆ C , akkor A ⊆ C , így az el®z® bekezdés alapján C ⊆ AÓis teljesül, vagyis C = AÓ.

1.2.4. Következmény. Legyen M halmaz, és A ⊆ Ch(M, S). Az A halmaz pontosan akkor Cr -osztályú, M feletti, S-típusú dierenciálható struktúra, ha teljesülnek rá a következ®k. (i) Fennáll az M =

[

Dom(ϕ) egyenl®ség.

ϕ∈A

(ii) Minden ϕ ∈ A és ψ ∈ A esetén a ϕ és ψ térképek Cr -konzisztensek. (iii) Minden ψ ∈ Ch(M, S) esetén, ha minden ϕ ∈ A térképre ϕ és ψ Cr -konzisztensek, akkor ψ ∈ A .

Bizonyítás. Az (i) és (ii) kijelentés együtt azt jelenti, hogy A Cr -osztályú, M feletti, S-típusú atlasz. Ez a (iii) kijelentéssel együtt éppen azt jelenti, hogy A = AÓ, tehát A Cr -osztályú, M feletti, S-típusú dierenciálható struktúra.

11

1.3. SOKASÁG DIMENZIÓJA

1.3.

Sokaság dimenziója

Emlékeztetünk arra, hogy ha E vektortér, akkor dim(E) jelöli az E algebrai dimenzióját.

1.3.1. Állítás. Ha M Cr -osztályú, S-típusú sokaság, akkor egyértelm¶en létezik olyan dimM : M → {dim(E) | E ∈ S} függvény, amelyre teljesül az, hogy minden a ∈ M és ϕ ∈ Ch(M ) esetén, ha a ∈ Dom(ϕ), akkor dimM (a) = dim(Eϕ ). Bizonyítás. Elegend® azt igazolni, hogy ha a ∈ M , és ϕ, ψ ∈ Cha (M ), akkor dim(Eϕ ) = dim(Eψ ). Ez viszont nyilvánvaló, mert a ϕ és ψ térképek Cr -konzistensek, így a ψ ◦ ϕ−1 : Eϕ Eψ függvény Cr -dieomorzmus Dom(ψ ◦ ϕ−1 ) és Im(ψ ◦ ϕ−1 ) között, továbbá ϕ(a) ∈ Dom(ψ ◦ ϕ−1 ), így a (D(ψ ◦ ϕ−1 ))(ϕ(a)) : Eϕ → Eψ folytonos lineáris operátor lineáris homeomorzmus, tehát az Eϕ és Eψ vektorterek algebrailag is izomorfak, vagyis az algebrai dimenzióik egyenl®ek.

1.3.2. Deníció. Ha M Cr -osztályú, S-típusú sokaság, akkor az el®z® állításban

értelmezett

dimM : M → {dim(E) | E ∈ S} függvényt az M sokaság dimenzió-függvényének nevezzük, és a ∈ M esetén a dimM (a) kardinális számot az M sokaság dimenziójának nevezzük az a pontban. Azt mondjuk, hogy az M Cr -osztályú, S-típusú sokaság lokálisan végesdimenziós, ha minden a ∈ M esetén a dimM (a) kardinális szám véges.

1.4.

Sokaság topológiája

1.4.1. Állítás. Legyen M Cr -osztályú, S-típusú sokaság. Ha ϕ ∈ Ch(M ) és Ω0 ⊆ Eϕ −1

nyílt halmaz, akkor a ϕ|−1

ϕ hΩ0 i

: ϕ hΩ0 i → Eϕ lesz¶kített függvény eleme Ch(M )-nek.

Bizonyítás. Természetesen a ϕ|−1

ϕ hΩ0 i

függvény injektív és Im ϕ|−1

ϕ hΩ0 i

halmaz Eϕ -ben, hiszen Im(ϕ) is és Ω0 is nyílt Eϕ -ben. Ezért a ϕ|−1

ϕ hΩ0 i

= Ω0 ∩ Im(ϕ) nyílt

∈ Ch(M ) kijelentés

bizonyításához elég azt igazolni, hogy minden ψ ∈ Ch(M ) esetén a ϕ|−1 0 és ψ térképek ϕ hΩ i Cr -konzisztensek. Ez viszont nyilvánvaló, mert

ψ ◦ ϕ|−1

ϕ hΩ0 i

−1

= ψ ◦ ϕ−1 |Ω0 ∩ϕ(Dom(ϕ)∩Dom(ψ)) ,

12


és Ω0 ∩ ϕhDom(ϕ) ∩ Dom(ψ)i nyílt részhalmaza Eϕ -nek, valamint

ϕ|−1

ϕ hΩ0 i

◦ ψ −1 = ϕ ◦ ψ −1 |(ψ◦ϕ−1 )hΩ0 ∩Im(ϕ)i ,

és (ψ ◦ ϕ−1 )hΩ0 ∩ Im(ϕ)i nyílt részhalmaza Eψ -nek, így a ϕ|−1 0 és ψ térképek Cr ϕ hΩ i konzisztenciája azért teljesül, mert normált terek között ható Cr -osztályú függvény lesz¶kítése a deníciós tartományának nyílt részhalmazára szintén Cr -osztályú.

1.4.2. Következmény. Ha M Cr -osztályú, S-típusú sokaság, és ϕ ∈ Ch(M ) és ψ ∈ Ch(M ), akkor ϕ|Dom(ϕ)∩Dom(ψ) ∈ Ch(M ) és ψ|Dom(ϕ)∩Dom(ψ) ∈ Ch(M ).

Bizonyítás. Az Ω0 := ϕhDom(ϕ) ∩ Dom(ψ)i halmaz nyílt Eϕ -ben, és ϕ|Dom(ϕ)∩Dom(ψ) = ϕ|−1 0 , így az el®z® állítás alapján ϕ|Dom(ϕ)∩Dom(ψ) ∈ Ch(M ). ϕ hΩ i 00

Az Ω := ψhDom(ϕ) ∩ Dom(ψ)i halmaz nyílt Eψ -ben, és ψ|Dom(ϕ)∩Dom(ψ) = ψ|−1 az el®z® állítás alapján ψ|Dom(ϕ)∩Dom(ψ) ∈ Ch(M ).

ψ hΩ00 i

, így

1.4.3. Tétel. Ha M Cr -osztályú, S-típusú sokaság, akkor létezik egyetlen olyan topoló-

gia az M halmaz felett, amelynek topologikus bázisa a {Dom(ϕ)|ϕ ∈ Ch(M )} halmaz.

Bizonyítás. Elegend® azt igazolni, hogy a B := {Dom(ϕ)|ϕ ∈ Ch(M )} halmaz olyan befedése M -nek, amely zárt a véges metszetképzésre. Mivel Ch(M ) atlasz M felett, így {Dom(ϕ)|ϕ ∈ Ch(M )} befedése M -nek. Ha ϕ, ψ ∈ Ch(M ), akkor az el®z® állítás szerint ϕ|Dom(ϕ)∩Dom(ψ) ∈ Ch(M ), tehát Dom(ϕ) ∩ Dom(ψ) ∈ B.

1.4.4. Deníció. Ha M Cr -osztályú, S-típusú sokaság, akkor M sokaság-topológiájának nevezzük azt az M feletti topológiát, amelynek {Dom(ϕ)|ϕ ∈ Ch(M )} topologikus bázisa.

Legyen M Cr -osztályú, S-típusú sokaság. A deníció szerint minden ϕ ∈ Ch(M ) térképre Dom(ϕ) nyílt halmaz a sokaság-topológia szerint, és ha Ω ⊆ M nyílt halmaz a sokaság-topológia szerint, akkor létezik olyan Ch(M )-ben haladó (ϕi )i∈I rendszer, hogy [ Ω= Dom(ϕi ). i∈I

1.4.5. Állítás. Ha M Cr -osztályú, S-típusú sokaság, akkor a dimM dimenzió-függvény lokálisan állandó.

Bizonyítás. Ha a ∈ M , akkor létezik olyan ϕ ∈ Ch(M ), hogy a ∈ Dom(ϕ), így a dimenzió-függvény értelmezése alapján minden x ∈ Dom(ϕ) esetén dimM (x) = dimM (a), és Dom(ϕ) nyílt környezete a-nak a sokaság-topológia szerint.

13

1.4. SOKASÁG TOPOLÓGIÁJA

1.4.6. Állítás. Ha M Cr -osztályú, S-típusú sokaság, és ϕ ∈ Ch(M ), akkor ϕ homeomorzmus a sokaság-topológia Dom(ϕ)-re vett lesz¶kítése és az Eϕ normált tér topológiájának Im(ϕ)-re vett lesz¶kítése szerint. Bizonyítás. Jelölje T az M feletti sokaság-toplógiát, és TEϕ az Eϕ normált tér topológiáját. Legyen Ω ∈ T , és vegyünk olyan Ch(M )-ben haladó (ϕi )i∈I rendszert, amelyre Ω = [ Dom(ϕi ). Ekkor i∈I

ϕhΩi = ϕhΩ ∩ Dom(ϕ)i = ϕh

[

(Dom(ϕi ) ∩ Dom(ϕ)i =

i∈I

[

ϕhDom(ϕi ) ∩ Dom(ϕ)i,

i∈I

és minden i ∈ I esetén ϕhDom(ϕi ) ∩ Dom(ϕ)i ∈ TEϕ , tehát ϕhΩi ∈ TEϕ . Ez azt jelenti, hogy ϕ nyílt leképezés a szóbanforgó altértopológiák szerint, tehát ϕ−1 folytonos a TEϕ |Im(ϕ) és T |Dom(ϕ) topológiák szerint. Ha Ω0 ∈ TEϕ , akkor ϕ|−1

ϕ hΩ0 i

−1

∈ Ch(M ), tehát ϕ hΩ0 i ∈ T , ezért ϕ folytonos a T |Dom(ϕ)

és TEϕ |Im(ϕ) topológiák szerint.

1.4.7. Állítás. Legyen M Cr -osztályú, S-típusú sokaság és Ω ⊆ M . A következ®

állítások ekvivalensek.

(i) Ω nyílt a sokaság-topológia szerint. (ii) Minden ϕ ∈ Ch(M ) térképre a ϕ|Ω∩Dom(ϕ) : Ω ∩ Dom(ϕ) → Eϕ lesz¶kített függvény eleme Ch(M )-nek. (iii) Létezik olyan A ⊆ Ch(M ) atlasz, hogy minden ϕ ∈ A térképre a ϕ|Ω∩Dom(ϕ) : Ω ∩ Dom(ϕ) → Eϕ lesz¶kített függvény eleme Ch(M )-nek. (iv) Létezik olyan A ⊆ Ch(M ) atlasz, hogy minden ϕ ∈ A térképre az Ω ∩ Dom(ϕ) halmaz nyílt a sokaság-topológia szerint. (v) Minden ϕ ∈ Ch(M ) térképre az Ω∩Dom(ϕ) halmaz nyílt a sokaság-topológia szerint.

Bizonyítás. (iii)⇒(iv) Nyilvánvaló, mert minden térkép deníciós tartománya nyílt a sokaság-topológia szerint. (iv)⇒(v) (v)⇒(i)

1.4.8. Tétel. Legyen M Cr -osztályú, S-típusú sokaság. Ekkor az M topologikus tér lokálisan ívszer¶en összefügg®, és ha S minden eleme Banach-tér, akkor M Baire-tér.

Bizonyítás. (I) Legyen a ∈ M és V környezete a-nak a sokaság-topológia szerint. Létezik olyan Ω ⊆ M halmaz, amely nyílt a sokaság-topológia szerint, és amelyre a ∈ Ω ⊆ V . A

14


sokaság-topológia deníciója szerint létezik olyan ϕ ∈ Ch(M ), hogy a ∈ Dom(ϕ) ⊆ Ω. Legyen r > 0 olyan valós szám, hogy a Br (ϕ(a)) nyílt gömb az Eϕ normált térben részhalmaza Im(ϕ)-nek. Ilyen létezik, mert Im(ϕ) nyílt környezete ϕ(a)-nak az Eϕ normált térben. A ϕ függvény homeomorzmus a Dom(ϕ) és Im(ϕ) nyílt topologikus alterek között, és a Br (ϕ(a)) gömb ívszer¶en összefügg® nyílt környezete ϕ(a)-nak az −1 Im(ϕ) topologikus altérben. Ezért a ϕ hBr (ϕ(a))i halmaz ívszer¶en összefügg® nyílt környezete a-nak a Dom(ϕ) topologikus altérben, tehát a sokaság-topológia szerint is, −1 hiszen Dom(ϕ) nyílt környezete a-nak M -ben. Ugyanakkor világos, hogy ϕ hBr (ϕ(a))i ⊆ V . Tehát M minden pontjának minden környezete tartalmazza a pontnak ívszer¶en összefügg® környezetét, vagyis az M topologikus tér lokálisan ívszer¶en összefügg®. (II) Tegyük fel, hogy S minden eleme Banach-tér, és legyen a ∈ M . Létezik olyan ϕ ∈ Ch(M ), hogy a ∈ Dom(ϕ). Legyen r > 0 olyan valós szám, hogy a Br (ϕ(a)) ⊆ Im(ϕ). Ez a zárt gömb az Eϕ Banach-tér altértopológiájával ellátva Baire-tér, mert teljesen metrizálható, így elég a Baire-féle kategóriatételt alkalmazni. Mivel a ϕ függvény −1 homeomorzmus a Dom(ϕ) és Im(ϕ) nyílt topologikus alterek között, így ϕ hBr (ϕ(a))i olyan környezete a-nak a Dom(ϕ) topologikus altérben, amely ebben az altérben Baire−1 tér. Mivel Dom(ϕ) nyílt M -ben a sokaság-topológia szerint, így ϕ hBr (ϕ(a))i Baire-tér a sokaság-topológia lesz¶kítése szerint is (??), és ez a halmaz környezete a-nak a sokaságtopológia szerint is. Tehát az M topologikus tér minden pontjának van olyan környezete, amely a sokaság-topológia lesz¶kítése szerint Baire-tér, ezért M is Baire-tér (??).

1.4.9. Következmény. Ha M Cr -osztályú, S-típusú sokaság, és Ω ⊆ M sokaságtopológia szerint nyílt halmaz, akkor az Ω halmaz pontosan összefügg® a sokaság-topológia szerint, ha ívszer¶en összefügg®. Bizonyítás. Az állítás nyilvánvalóan következik M lokális ívszer¶ összefügg®ségéb®l és a ?? tételb®l.

1.4.10. Állítás. Ha M Cr -osztályú, S-típusú sokaság, akkor az M topologikus tér M1 tér.

Bizonyítás.

1.5.

Morzmusok sokaságok között

1.5.1. Deníció. Legyen M Cr -osztályú, S-típusú sokaság, és N Cs -osztályú, T-típusú sokaság. Az f : M → N függvényt Ck -osztályú morzmusnak nevezzük M és N

között, ha k ≤ min(r, s), és minden ϕ ∈ Ch(M ) és ψ ∈ Ch(N ) esetén a ψ ◦f ◦ϕ−1 : Eϕ Eψ függvény Ck -osztályú. Az M Cr -osztályú, S-típusú sokaság, és az N Cs -osztályú, Ttípusú sokaság között ható Ck -osztályú morzmusok halmazát Ck (M ; N ) jelöli.

15

1.5. MORFIZMUSOK SOKASÁGOK KÖZÖTT

1.5.2. Állítás. Ha M Cr -osztályú, S-típusú sokaság, és N Cs -osztályú, T-típusú sokaság, akkor minden M → N Ck -osztályú morzmus folytonos az M és N feletti sokaság-topológiák szerint.

Bizonyítás. Legyen az f : M → N függvény Ck -osztályú morzmus M és N között. Ha ϕ ∈ Ch(M ) és ψ ∈ Ch(N ), akkor a ψ ◦ f ◦ ϕ−1 : Eϕ Eψ függvény Ck -osztályú, tehát k ≥ 1 miatt a deníciós tartománya nyílt halmaz az Eϕ normált térben. Ugyanakkor, ϕ ∈ Ch(M ) és ψ ∈ Ch(N ) esetén nyilvánvalóan −1

Dom(ψ ◦ f ◦ ϕ−1 ) = {z ∈ Im(ϕ)|f (ϕ−1 (z)) ∈ Dom(ψ)} = ϕh f hDom(ψ)ii, −1

tehát a ϕh f hDom(ψ)i halmaz nyílt az Im(ϕ) topologikus altérben, és mivel a ϕ függvény homeomorzmus a Dom(ϕ) és Im(ϕ) nyílt topologikus alterek között, így −1

Dom(ϕ) ∩ f hDom(ψ)i nyílt a Dom(ϕ) nyílt topologikus altérben, tehát M -ben is a sokaság-topológia szerint. Tehát ψ ∈ Ch(N ) esetén [

−1

f hDom(ψ)i =

−1

(Dom(ϕ) ∩ f hDom(ψ)i)

ϕ∈Ch(M )

is nyílt halmaz M -ben a sokaság-topológia szerint. A {Dom(ψ)|ψ ∈ Ch(N )} halmaz nyílt bázisa az N feletti sokaság-topológiának, ezért ebb®l következik, hogy minden Ω ⊆ N −1

nyílt halmazra f hΩi nyílt M -ben.

1.5.3. Állítás. Legyen M Cr -osztályú, S-típusú sokaság, és N Cs -osztályú, T-típusú

sokaság. Az f : M → N függvény pontosan akkor Ck -osztályú morzmus M és N között, ha k ≤ min(r, s), és létezik olyan A ⊆ Ch(M ) Cr -osztályú, M feletti, S-típusú atlasz, és létezik olyan B ⊆ Ch(N ) Cs -osztályú, N feletti, T-típusú atlasz, hogy minden ϕ ∈ A és minden ψ ∈ B esetén a ψ ◦ f ◦ ϕ−1 : Eϕ Eψ függvény Ck -osztályú. Bizonyítás. A feltétel a deníció alapján nyilvánvalóan szükséges. Az elégségesség bizonyításához tegyük fel, hogy k ≤ min(r, s), és A ⊆ Ch(M ) és B ⊆ Ch(N ) olyan atlaszok, amelyekre minden ϕ ∈ A és minden ψ ∈ B esetén a ψ ◦ f ◦ ϕ−1 : Eϕ Eψ függvény Ck -osztályú. Legyenek ϕ ∈ Ch(M ) és ψ ∈ Ch(N ) tetsz®leges térképek. Azt kell igazolni, hogy a ψ ◦ f ◦ ϕ−1 : Eϕ Eψ függvény Ck -osztályú. Legyen z ∈ Dom(ψ ◦ f ◦ ϕ−1 ) rögzített pont, és vegyünk olyan ϕ0 ∈ A és ψ 0 ∈ B térképeket, amelyekre ϕ−1 (z) ∈ Dom(ϕ0 ) és f (ϕ−1 (z)) ∈ Dom(ψ 0 ). A hipotézis szerint a ψ 0 ◦ f ◦ ϕ0 −1 : Eϕ0 Eψ0 függvény Ck osztályú. Ugyanakkor a ϕ és ϕ0 térképek Cr -konzisztensek, valamint a ψ és ψ 0 térképek Cs -konzisztensek, következésképpen a ϕ0 ◦ ϕ−1 : Eϕ Eϕ0 függvény Cr -osztályú, és a ψ ◦ ψ 0 −1 : Eψ0 Eψ függvény Cs -osztályúak. Ebb®l k ≤ min(r, s) alapján következik, hogy a −1 0 −1 0 ◦ ϕ ◦ ϕ−1 : Eϕ Eψ ◦ ψ ◦ f ◦ ϕ0 ψ ◦ ψ0

16


függvény Ck -osztályú. Ez a függvény nyilvánvalóan egyenl® a ψ ◦ f ◦ ϕ−1 függvénnyel −1

az U := ϕhDom(ϕ0 ) ∩ f hDom(ψ) ∩ Dom(ψ 0 )ii halmazon, és az U halmaz z -nek nyílt −1

környezete Eϕ -ben, mert Dom(ϕ0 ) ∩ f hDom(ψ) ∩ Dom(ψ 0 )i nyílt környezete ϕ−1 (z)-nek az M sokaság-topológiája szerint, és ϕ homeomorzmus a Dom(ϕ) és Im(ϕ) topologikus alterek között. Ezért a Ck -osztályú függvényekre vonatkozó lokalitási tétel szerint a ψ ◦ f ◦ ϕ−1 : Eϕ Eψ függvény Ck -osztályú.

1.6.

Sokaság érint®tere egy pontban és az érint®operátorok

1.6.1. Állítás. Legyen M Cr -osztályú, S-típusú sokaság és a ∈ M . Értelmezzük a Ta (M ) := { (ϕ, z) | (ϕ ∈ Ch(M )) ∧ (a ∈ Dom(ϕ)) ∧ (z ∈ Eϕ ) } halmazt, és vezessük be azt a ≈a relációt a Ta (M ) halmaz felett, amelyre (ϕ, z), (ϕ0 , z 0 ) ∈ Ta (M ) esetén def (ϕ, z) ≈a (ϕ0 , z 0 ) ⇔ (D(ϕ0 ◦ ϕ−1 ))(ϕ(a))z = z 0 . a) A ≈a reláció ekvivalencia Ta (M ) felett, és ha ϕ ∈ Cha (M ), akkor a

Θϕ,a : Eϕ → Ta (M )/ ≈a ;

z 7→ Class((ϕ, z)) ≈a

leképezés bijekció. b) Ha ϕ, ϕ0 ∈ Cha (M ), akkor

(D(ϕ0 ◦ ϕ−1 ))(ϕ(a)) = Θ−1 ϕ0 ,a ◦ Θϕ,a . c) Létezik egyetlen olyan vektortér-struktúra a Ta (M )/ ≈a faktorhalmaz felett, amelyre teljesül az, hogy minden ϕ ∈ Cha (M ) esetén az a)-ban értelmezett Θϕ,a : Eϕ → Ta (M )/ ≈a függvény lineáris operátor. d) Létezik egyetlen olyan lineáris topológia a c) pontban értelmezett Ta (M )/ ≈a vektortér felett, amelyre teljesül az, hogy minden ϕ ∈ Cha (M ) térképre, az a)-ban értelmezett Θϕ,a : Eϕ → Ta (M )/ ≈a függvény homeomorzmus.

Bizonyítás. a) Ha (ϕ, z) ∈ Ta (M ), akkor (D(ϕ ◦ ϕ−1 ))(ϕ(a)) = idEϕ , ezért a ≈a reláció reexív a Ta (M ) halmazon. Legyenek (ϕ, z), (ϕ0 , z 0 ) ∈ Ta (M ) olyanok, hogy (ϕ, z) ≈a (ϕ0 , z 0 ). Ekkor a deníció szerint (D(ϕ0 ◦ ϕ−1 ))(ϕ(a))z = z 0 , tehát ((D(ϕ0 ◦ ϕ−1 ))(ϕ(a)))−1 z 0 = z , továbbá világos, hogy −1 ((D(ϕ0 ◦ ϕ−1 ))(ϕ(a)))−1 = (D(ϕ ◦ ϕ0 ))(ϕ0 (a)),

1.6. SOKASÁG ÉRINTTERE EGY PONTBAN ÉS AZ ÉRINT-OPERÁTOROK

17

ezért (ϕ0 , z 0 ) ≈a (ϕ, z), ami azt jelenti, hogy a ≈a reláció szimmetrikus. Legyenek (ϕ, z), (ϕ0 , z 0 ), (ϕ00 , z 00 ) ∈ Ta (M ) olyanok, hogy (ϕ, z) ≈a (ϕ0 , z 0 ) és (ϕ0 , z 0 ) ≈a (ϕ00 , z 00 ). Ekkor a deníció szerint (D(ϕ0 ◦ ϕ−1 ))(ϕ(a))z = z 0 és (D(ϕ00 ◦ ϕ0 −1 ))(ϕ0 (a))z 0 = z 00 , tehát −1 ((D(ϕ00 ◦ ϕ0 ))(ϕ0 (a)) ◦ (D(ϕ0 ◦ ϕ−1 ))(ϕ(a)))z = z 00 . Ugyanakkor világos, hogy −1

((D(ϕ00 ◦ ϕ0 ))(ϕ0 (a)) ◦ (D(ϕ0 ◦ ϕ−1 ))(ϕ(a))) = −1

= (D((ϕ00 ◦ ϕ0 ) ◦ (ϕ0 ◦ ϕ−1 )))(ϕ(a))) = (D(ϕ00 ◦ ϕ−1 ))(ϕ(a)), tehát (D(ϕ00 ◦ ϕ−1 ))(ϕ(a))z = z 00 , vagyis (ϕ, z) ≈a (ϕ00 , z 00 ), ami azt jelenti, hogy a ≈a reláció tranzitív. Tehát a ≈a reláció ekvivalencia Ta (M ) felett. Legyen

Ta (M ) := Ta (M )/ ≈a , és rögzítsünk egy ϕ ∈ Cha (M ) térképet. A Θϕ,a : Eϕ → Ta (M ) leképezés injektív, mert ha z, z 0 ∈ Eϕ és Θϕ,a (z) = Θϕ,a (z 0 ), akkor (ϕ, z) ≈a (ϕ, z 0 ), tehát z 0 = (D(ϕ ◦ ϕ−1 ))(ϕ(a))z = (D idIm(ϕ) )(ϕ(a))z = z . A Θϕ,a : Eϕ → Ta (M ) leképezés szürjektivitásának bizonyításához legyen t ∈ Ta (M ) −1 rögzített elem, és legyen (ϕ0 , z 0 ) ∈ t. Ekkor z := (D(ϕ0 ◦ ϕ−1 )(ϕ(a)) z 0 olyan vektor Eϕ -ben, amelyre (D(ϕ0 ◦ ϕ−1 ))(ϕ(a))z = z 0 , tehát (ϕ, z) ≈a (ϕ0 , z 0 ), vagyis Θϕ,a (z) = Class((ϕ, z)) = Class((ϕ0 , z 0 )) = t. Ezért a Θϕ,a : Eϕ → Ta (M ) leképezés szürjektív. ≈a

≈a

b) Ha z ∈ Eϕ , akkor a ≈a ekvivalencia értelmezése alapján triviális, hogy

(ϕ, z) ≈a (ϕ0 , (D(ϕ0 ◦ ϕ−1 ))(ϕ(a))z), ami azzal ekvivalens, hogy

Θϕ,a (z) = Θϕ0 ,a (D(ϕ0 ◦ ϕ−1 ))(ϕ(a))z , tehát Θϕ,a = Θϕ0 ,a ◦ (D(ϕ0 ◦ ϕ−1 ))(ϕ(a)), vagyis (D(ϕ0 ◦ ϕ−1 ))(ϕ(a)) = Θ−1 ϕ0 ,a ◦ Θϕ,a . c) Ha ϕ ∈ Cha (M ), akkor legyen sEϕ : Eϕ × Eϕ → Eϕ az Eϕ vektortér összedás-függvénye és mEϕ :K × Eϕ → Eϕ az Eϕ vektortér skalárral vett szorzás-függvénye, továbbá vezessük be az −1 sϕ := Θϕ,a ◦ sEϕ ◦ (Θ−1 ϕ,a × Θϕ,a ) : Ta (M ) × Ta (M ) → Ta (M ),

mϕ := Θϕ,a ◦ mEϕ ◦ (idK × Θ−1 ϕ,a ) : K × Ta (M ) → Ta (M ) leképezéseket, ahol K az a test, amely felett Eϕ vektortér. Triviális az, hogy minden ϕ ∈ Cha (M ) esetén a (Ta (M ), sEϕ , mEϕ ) hármas vektortér a K test felett, és Θϕ,a lineáris

18


operátor, mert sϕ ◦ (Θϕ,a × Θϕ,a ) = Θϕ,a ◦ sEϕ miatt Θϕ,a additív, és mϕ ◦ (idK × Θϕ,a ) = Θϕ,a ◦ mEϕ miatt Θϕ,a homogén. Megmutatjuk, hogy ϕ, ψ ∈ Cha (M ) esetén sϕ = sψ és mϕ = mψ . Valóban,

(∗)

−1 −1 −1 −1 sψ = Θψ,a ◦ sEψ ◦ (Θ−1 ψ,a × Θψ,a ) = Θϕ,a ◦ (Θϕ,a ◦ Θψ,a ) ◦ sEψ ◦ (Θψ,a × Θψ,a ) = (∗)

−1 −1 −1 = Θϕ,a ◦ sEϕ ◦ ((Θ−1 ϕ,a ◦ Θψ,a ) × (Θϕ,a ◦ Θψ,a ) ◦ (Θψ,a × Θψ,a ) = −1 = Θϕ,a ◦ sEϕ ◦ (Θ−1 ϕ,a × Θϕ,a ) = sϕ ,

(∗)

−1 ahol a = egyenl®ségnél azt használtuk ki, hogy b) szerint Θ−1 ϕ,a ◦ Θψ,a = D(ϕ ◦ ψ )(ψ(a)), és itt a jobb oldalon álló leképezés additív az Eψ és Eϕ vektorterek között, azaz

−1 −1 (Θ−1 ϕ,a ◦ Θψ,a ) ◦ sEψ = sEϕ ◦ (Θϕ,a ◦ Θψ,a ) × (Θϕ,a ◦ Θψ,a ) .

Továbbá,

(∗∗)

−1 −1 mψ = Θψ,a ◦ mEψ ◦ (idK × Θ−1 ψ,a ) = Θϕ,a ◦ (Θϕ,a ◦ Θψ,a ) ◦ mEψ ◦ (idK × Θψ,a ) =

(∗∗)

−1 −1 = Θϕ,a ◦ mEϕ ◦ (idK × (Θ−1 ϕ,a ◦ Θψ,a )) ◦ (idK × Θψ,a ) = Θϕ,a ◦ mEϕ ◦ (idK × Θϕ,a ) = mϕ , (∗∗)

−1 ahol a = egyenl®ségnél azt használtuk ki, hogy b) szerint Θ−1 ϕ,a ◦Θψ,a = D(ϕ◦ψ )(ψ(a)), és itt a jobb oldalon álló leképezés homogén az Eψ és Eϕ vektorterek között, azaz

−1 (Θ−1 ϕ,a ◦ Θψ,a ) ◦ mEψ = mEϕ ◦ idK × (Θϕ,a ◦ Θψ,a ) .

Tehát jól értelmezettek azok az

s : Ta (M ) × Ta (M ) → Ta (M ), m : K × Ta (M ) → Ta (M ) függvények, amelyekre teljesül az, hogy minden ϕ ∈ Cha (M ) esetén s = sϕ és m = mϕ . Világos, hogy ekkor a (Ta (M ), s, m) hármas vektortér K felett, és minden ϕ ∈ Ch(M ) esetén, ha a ∈ Dom(ϕ), akkor a Θϕ,a : Eϕ → Ta (M ) függvény lineáris operátor. d) Ha ϕ ∈ Cha (M ), akkor jelölje Tϕ az Eϕ normája által meghatározott lineáris topológia Θϕ,a által létesített képét, tehát Tϕ az a normálható lineáris topológia Ta (M ) felett, −1

amelyre Ω ∈ Tϕ pontosan akkor teljesül, ha Ω ⊆ Ta (M ) és Θ ϕ,a hΩi (= Θ−1 ϕ,a hΩi) nyílt halmaz az Eϕ normált térben. Megmutatjuk, hogy ha ϕ, ψ ∈ Cha (M ), akkor Tϕ = Tψ . Valóban, ha Ω ∈ Tϕ , akkor

19

1.6. SOKASÁG ÉRINTTERE EGY PONTBAN ÉS AZ ÉRINT-OPERÁTOROK

−1 Θ−1 ϕ,a hΩi nyílt részhalmaz az Eϕ normált térben, és b) szerint a Θψ,a ◦ Θϕ,a : Eϕ → Eψ leképezés lineáris homemorzmus, így a

−1 −1 Θ−1 ψ,a ◦ Θϕ,a hΘϕ,a hΩii = Θψ,a hΩi

halmaz nyílt az Eψ normált térben, vagyis Ω ∈ Tψ . Ez azt jelenti, hogy Tϕ ⊆ Tψ . A ϕ és ψ térképeket egymással felcserélve az el®z® érvelésben kapjuk, hogy Tψ ⊆ Tϕ is teljesül, tehát Tϕ = Tψ . Tehát jól értelmezett az a Ta (M ) feletti T topológia, amelyre minden ϕ ∈ Cha (M ) esetén T = Tϕ . Ez éppen az a normálható lineáris topológia Ta (M ) felett, amely szerint minden ϕ ∈ Cha (M ) esetén a Θϕ,a : Eϕ → Ta (M ) leképezés homeomorzmus.

1.6.2. Deníció. Ha M Cr -osztályú, S-típusú sokaság és a ∈ M , akkor az el®z® tételben

bevezetett Ta (M )/ ≈a faktorhalmazt a c) pontban bevezetett vektortér struktúrával, valamint a d) pontban bevezetett lineáris topológiával ellátva az M sokaság érint®terének nevezzük az a pontban, és a Ta (M ) szimbólummal jelöljük, továbbá minden ϕ ∈ Cha (M ) esetén a Θϕ,a : Eϕ → Ta (M ); z 7→ Class ((ϕ, z)) ≈ a

függvényt az Eϕ és Ta (M ) vektorterek közötti kanonikus leképezésnek nevezzük.

1.6.3. Állítás. Legyen M Cr -osztályú, S-típusú sokaság, N Cs -osztályú, T-típusú sokaság, f : M → N Ck -osztályú morzmus M és N között, és a ∈ M . ϕ, ϕ0 ∈ Cha (M ) és ψ, ψ 0 ∈ Chf (a) (N ) tetsz®leges térképek, akkor

Ha

−1

0 0 Θψ,f (a) ◦ D(ψ ◦ f ◦ ϕ−1 ) (ϕ(a)) ◦ Θ−1 ) (ϕ0 (a)) ◦ Θ−1 ϕ,a = Θψ 0 ,f (a) ◦ D(ψ ◦ f ◦ ϕ ϕ0 ,a .

Bizonyítás. Triviális az, hogy

= Θψ,f (a) ◦

−1

Θψ0 ,f (a) ◦ D(ψ 0 ◦ f ◦ ϕ0 ) (ϕ0 (a)) ◦ Θ−1 ϕ0 ,a =

−1

0 0 Θ−1 ) (ϕ0 (a)) ◦ Θ−1 ϕ0 ,a ◦ Θϕ,a ψ,f (a) ◦ Θψ 0 ,f (a) ◦ D(ψ ◦ f ◦ ϕ

és tudjuk, hogy

◦ Θ−1 ϕ,a ,

−1

0 Θ−1 ) (ψ 0 (f (a))), ψ,f (a) ◦ Θψ 0 ,f (a) = D(ψ ◦ ψ

0 −1 Θ−1 ϕ0 ,a ◦ Θϕ,a = D(ϕ ◦ ϕ ) (ϕ(a)).

Ebb®l következik, hogy

−1

0 0 ) (ϕ0 (a)) ◦ Θ−1 Θ−1 ϕ0 ,a ◦ Θϕ,a = ψ,f (a) ◦ Θψ 0 ,f (a) ◦ D(ψ ◦ f ◦ ϕ

−1

−1

= D(ψ ◦ ψ 0 ) (ψ 0 (f (a))) ◦ D(ψ 0 ◦ f ◦ ϕ0 ) (ϕ0 (a)) ◦ D(ϕ0 ◦ ϕ−1 ) (ϕ(a)) =

= D

ψ ◦ ψ0

−1

◦ ψ 0 ◦ f ◦ ϕ0

−1

◦ ϕ0 ◦ ϕ−1

(ϕ(a)) = D ψ ◦ f ◦ ϕ−1

(ϕ(a)),

ahol kétszer alkalmaztuk a függvénykompozíció dierenciálási szabályát. Ezt behelyettesítve az els® egyenl®ség jobb oldalába, kapjuk a bizonyítandó egyenl®séget.

20


1.6.4. Deníció. Legyen M Cr -osztályú, S-típusú sokaság, N Cs -osztályú, T-típusú sokaság, és f : M → N Ck -osztályú morzmus M és N között. Ekkor minden a ∈ M esetén Ta (f ) := Θψ,f (a) ◦ D(ψ ◦ f ◦ ϕ−1 ) (ϕ(a)) ◦ Θ−1 ϕ,a , ahol ϕ ∈ Cha (M ) és ψ ∈ Chf (a) (N ) tetsz®leges térképek; továbbá azt mondjuk, hogy a

Ta (f ) : Ta (M ) → Tf (a) (N ) folytonos lineáris operátor az f függvény érint®-operátora (vagy derivált-operátora) az a pontban.

1.6.5. Állítás. Legyen M Cr -osztályú, S-típusú sokaság, N Cs -osztályú, T-típusú

sokaság, és L Ct -osztályú, U-típusú sokaság. Ha f : M → N Cj -osztályú morzmus és g : N → L Ck -osztályú morzmus, akkor a g ◦ f : M → L függvény Cmin(j,k) -osztályú morzmus, és minden a ∈ M esetén

Ta (g ◦ f ) = Tf (a) (g) ◦ Ta (f ). Bizonyítás. Legyenek ϕ ∈ Ch(M ) és χ ∈ Ch(L) tetsz®leges térképek. Azt kell igazolni, hogy a χ ◦ (g ◦ f ) ◦ ϕ−1 : Eϕ Eχ függvény Cmin(j,k) -osztályú. Legyen z ∈ Dom (χ ◦ (g ◦ f ) ◦ ϕ−1 ) rögzített, vagyis az a := ϕ−1 (z) ∈ M pontra a ∈ Dom(ϕ) és (g ◦ f )(a)) ∈ Dom(χ) teljesül. Rögzítsünk olyan ψ ∈ Ch(N ) térképet, amelyre f (a) ∈ Dom(ψ). A hipotézis szerint a χ ◦ g ◦ ψ −1 : Eψ Eχ és ψ ◦ f ◦ ϕ−1 : Eϕ Eψ függvények mindketten Cmin(j,k) -osztályúak, ezért a (χ ◦ g ◦ ψ −1 ) ◦ (ψ ◦ f ◦ ϕ−1 ) : Eϕ Eχ függvény is Cmin(j,k) -osztályú. Könnyen látható, hogy

−1

−1 Dom χ ◦ (g ◦ f ) ◦ ϕ−1 = ϕhDom(ϕ) ∩ f h g hDom(χ)iii,

Dom

χ ◦ g ◦ ψ −1 ◦ ψ ◦ f ◦ ϕ−1

tehát

a ∈ Dom

−1

−1

= ϕhDom(ϕ) ∩ f hDom(ψ) ◦ g hDom(χ)iii,

χ ◦ g ◦ ψ −1 ◦ ψ ◦ f ◦ ϕ−1

⊆ Dom χ ◦ (g ◦ f ) ◦ ϕ−1 .

Az f : M → N és g : N → L függvények folytonossága miatt ez azt jelenti, hogy Dom ((χ ◦ g ◦ ψ −1 ) ◦ (ψ ◦ f ◦ ϕ−1 )) olyan nyílt környezete z -nek Eϕ -ben, amelyen a χ ◦ (g ◦ f ) ◦ ϕ−1 és (χ ◦ g ◦ ψ −1 ) ◦ (ψ ◦ f ◦ ϕ−1 ) függvények egyenl®ek. Ezért a folytonos dierenciálhatóság lokalitása miatt a χ ◦ (g ◦ f ) ◦ ϕ−1 függvény Cmin(j,k) -osztályú a z pontban. Legyen most a ∈ M rögzítve, és vegyünk olyan ϕ ∈ Ch(M ), ψ ∈ Ch(N ) és χ ∈ Ch(L) térképeket, amelyekre a ∈ Dom(ϕ), f (a) ∈ Dom(ψ) és g(f (a)) ∈ Dom(χ). Ekkor az érint®-operátorok deníciója szerint

Ta (f ) = Θψ,f (a) ◦ D(ψ ◦ f ◦ ϕ−1 ) (ϕ(a)) ◦ Θ−1 ϕ,a ,

21

1.7. NYÍLT RÉSZSOKASÁGOK

Tf (a) (g) = Θχ,g(f (a)) ◦ D(χ ◦ g ◦ ψ −1 )(ψ(f (a))) ◦ Θ−1 ψ,f (a) , amib®l következik, hogy

Tf (a) (g) ◦ Ta (f ) =

(1)

= Θχ,g(f (a)) ◦ D(χ ◦ g ◦ ψ −1 )(ψ(f (a))) ◦ D(ψ ◦ f ◦ ϕ−1 ) (ϕ(a)) ◦ Θ−1 ψ,f (a) = (1)

= Θχ,g(f (a)) ◦ D (χ ◦ g ◦ ψ −1 ) ◦ (ψ ◦ f ◦ ϕ−1 ) (2)

(2)

(ϕ(a)) ◦ Θ−1 ψ,f (a) =

= Θχ,g(f (a)) ◦ D(χ ◦ (g ◦ f ) ◦ ϕ−1 ) (ϕ(a)) ◦ Θ−1 ψ,f (a) = Ta (g ◦ f ),

(1) ahol az = egyenl®ségnél a ψ ◦ f ◦ ϕ−1 : Eϕ Eψ és χ ◦ g ◦ ψ −1 : Eψ Eχ függvényekre (2)

alkalmaztuk a függvénykompozíció dierenciálásának tételét, és a = egyenl®ségnél felhasználtuk azt, hogy a (χ ◦g◦ψ −1 )◦(ψ◦f ◦ϕ−1 ) és χ ◦(g◦f )◦ϕ−1 függvények egyenl®ek a ϕ(a) pont valamely környezetén, így a dierenciálás lokalitásának elve alapján

1.7.

D (χ ◦ g ◦ ψ −1 ) ◦ (ψ ◦ f ◦ ϕ−1 )

(ϕ(a)) = D(χ ◦ (g ◦ f ) ◦ ϕ−1 ) (ϕ(a)).

Nyílt részsokaságok

1.7.1. Állítás. Legyen M Cr -osztályú, S-típusú sokaság, és U ⊆ M nyílt halmaz a

sokaság-topológia szerint. Ekkor az

A := { ϕ ∈ Ch(M ) | Dom(ϕ) ⊆ U } halmaz U feletti Cr -osztályú, S-típusú dierenciálható struktúra. Bizonyítás. Az U halmaz a sokaság-topológia szerint nyílt, ezért van olyan (ϕi )i∈I [ rendszer Ch(M )-ben, hogy U = Dom(ϕi ), és ekkor világos, hogy minden i ∈ I i∈I

esetén ϕi ∈ A . Továbbá, bármely két ϕ, ψ ∈ A térképre ϕ és ψ Cr -konzisztensek, így A az U halmaz felett Cr -osztályú, S-típusú atlasz. Ha ϕ olyan S-típusú térképe az U halmaznak, amely minden A -hoz tartozó térképpel Cr -konzisztens, akkor ϕ minden Ch(M )-hez tartozó térképpel Cr -konzisztens, mert ψ ∈ Ch(M ) esetén ?? miatt ψ 0 := ψ|Dom(ψ)∩Dom(ϕ) ∈ Ch(M ), így ψ 0 ∈ A , tehát a ϕ és ψ 0 térképek Cr -konzisztensek, és nyilvánvalóan ψ ◦ ϕ−1 = ψ 0 ◦ ϕ−1 , valamint ϕ ◦ ψ −1 = ϕ ◦ ψ 0 −1 , így a ϕ és ψ térképek is Cr -konzisztensek. Ebb®l következik, hogy ha ϕ olyan S-típusú térképe az U halmaznak, amely minden A -hoz tartozó térképpel Cr -konzisztens, akkor ϕ ∈ Ch(M ) és Dom(ϕ) ⊆ U , vagyis ϕ ∈ A . Ez azt jelenti, hogy A egyenl® az A atlasz által generált U feletti, Cr -osztályú, S-típusú dierenciálható struktúrával.

22


1.7.2. Deníció. Ha M Cr -osztályú, S-típusú sokaság, és U ⊆ M nyílt halmaz a

sokaság-topológia szerint, akkor az U halmazt a Ch(U ) := {ϕ ∈ Ch(M )|Dom(ϕ) ⊆ U } Cr -osztályú, S-típusú struktúrával ellátva az M sokaság nyílt részsokaságának nevezzük. Megjegyezzük, hogy ha U nyílt részsokasága az M Cr -osztályú, S-típusú sokaságnak, akkor Ch(U ) = { ϕ|U ∩Dom(ϕ) ϕ ∈ Ch(M ) }, mert ϕ ∈ Ch(M ) esetén ?? alapján ϕ|U ∩Dom(ϕ) ∈ Ch(M ), így ez a térkép eleme Ch(U )nak.

1.7.3. Állítás. Ha U nyílt részsokasága az M Cr -osztályú, S-típusú sokaságnak, akkor

az inU,M : U → M kanonikus injekció olyan Cr -osztályú morzmus, amelyre teljesül az, hogy minden a ∈ U esetén a Ta inU,M : Ta (U ) → Ta (M ) érint®-operátor lineáris homeomorzmus; továbbá minden ψ ∈ Cha (M ) és ϕ ∈ Cha (U ) esetén

U Ta inU,M = ΘM ψ,a ◦ Θψ,a

−1

,

U ahol ΘM ψ,a : Eψ → Ta (M ) és Θϕ,a : Eϕ → Ta (U ) a kanonikus lineáris homeomorzmusok.

Bizonyítás. Legyen a ∈ U és vegyünk tetsz®leges ψ ∈ Cha (M ) és ϕ ∈ Cha (U ) térképeket, vagyis ϕ, ψ ∈ Ch(M ), és a ∈ Dom(ϕ) ∩ Dom(ψ), valamint Dom(ϕ) ⊆ U . Ekkor az érint®-operátor deníciója szerint

−1 U Ta inU,M = ΘM ψ,a ◦ D(ψ ◦ inU,M ◦ ϕ ) (ϕ(a)) ◦ Θϕ,a

−1 U = ΘM ψ,a ◦ D(ψ ◦ ϕ ) (ϕ(a)) ◦ Θϕ,a (2)

= ΘM ψ,a ◦

ΘM ψ,a

−1

U ◦ ΘM ϕ,a ◦ Θϕ,a

−1

−1 (1)

=

−1 (2)

=

U = ΘM ϕ,a ◦ Θϕ,a

−1

,

(1)

ahol az = egyenl®ségnél felhasználjuk a ψ ◦ inU,M ◦ ϕ−1 = ψ ◦ ϕ−1 triviális függvényegyen(2)

l®séget, és a = egyenl®ségnél a ?? állításra hivatkozunk. Ezzel igazoltuk az állításban szerepl® egyenl®séget, és az is látszik, hogy Ta inU,M lineáris homeomorzmus a Ta (U ) U és Ta (M ) érint®terek között, mert ΘM ϕ,a : Eϕ → Ta (M ) és Θϕ,a : Eϕ → Ta (U ) lineáris homeomorzmusok. Tehát ha U nyílt részsokasága az M Cr -osztályú, S-típusú sokaságnak, akkor minden a ∈ U esetén a Ta (U ) és Ta (M ) érint®terek kitüntetett módon azonosíthatók; így gyakran azt fogjuk írni, hogy Ta (U ) = Ta (M ).

23

1.8. SOKASÁGOK SZORZATA

1.8.

Sokaságok szorzata

Emlékeztetünk arra, hogy ha (fi )i∈I olyan rendszer, hogy minden i ∈ I esetén fi függvény, akkor × fi jelöli azt a függvényt, amelyre i∈I

Dom × fi := i∈I

és minden (xi )i∈I ∈

Y

Y

Dom(fi ),

i∈I

Dom(fi ) esetén

i∈I

× fi ((xi )i∈I ) := (fi (xi ))i∈I .

i∈I

1.8.1. Állítás. Legyen (Mi )i∈I olyan nem üres véges rendszer, hogy minden i ∈ I esetén Mi Cri -osztályú, Si -típusú sokaság. Legyen r := min ri , és i∈I

(

Y

× Si :=

i∈I

(

Ekkor a

i∈I

)

Si

)

Ch(Mi )

halmaz Cr -osztályú,

Bizonyítás. Ha (ϕi )i∈I ∈

Y

Ch(Mi ), akkor a × ϕi : i∈I

i∈I

injekció, amelyre Im × ϕi i∈I

=

térnek, ezért a × ϕi függvény a i∈I

Ha (ϕi )i∈I , (ψi )i∈I ∈

Y

Y

Mi feletti, × Si -típusú i∈I

i∈I

i∈I

atlasz.

.

i∈I

i∈I

Y

× ϕi (ϕi )i∈I ∈

Ei (Ei )i∈I ∈

Y

Y i∈I Y

Y

Mi

i∈I

Y

Eϕi függvény olyan

i∈I

Im(ϕi ) nyílt részhalmaza a

Y

Eϕi normált szorzat-

i∈I

Mi halmaznak × Si -típusú térképe. i∈I

i∈I

Ch(Mi ), akkor

i∈I

−1

× ψi ◦ × ϕ i

× ϕ i ◦ × ψi

i∈I

i∈I

i∈I

i∈I

i∈I

= × (ψi ◦ ϕi )−1 ,

−1

= × (ϕi ◦ ψi )−1 , i∈I

így a bal oldalakon álló függvények Cr -osztályúak, hiszen Cr -osztályú függvények direkt szorzata Cr -osztályú, ami azt jelenti, hogy a × ϕi és × ψi térképek Cr -konzisztensek. i∈I

Végül, ha (ai )i∈I ∈

Y i∈I

i∈I

Mi , akkor létezik olyan (ϕi )i∈I ∈

Y i∈I

Ch(Mi ) rendszer, hogy

24


minden i ∈ I esetén ai ∈ Dom(ϕi ), tehát (ai )i∈I ∈ (

következésképpen a


i∈I

Y

i∈I

halmaz Cr -osztályú,

i∈I

× Si -típusú atlasz.

Dom(ϕi ) = Dom × ϕi ,

i∈I

)

Ch(Mi )

Y

Y

Mi feletti,

i∈I

i∈I

1.8.2. Deníció. Legyen (Mi )i∈I olyan nem üres véges rendszer, hogy minden i ∈ I esetén Mi Cri -osztályú, Si -típusú sokaság. Legyen r := min ri , és i∈I

(

× Si :=

i∈I

Ekkor a

Y

Y

Ei (Ei )i∈I ∈

i∈I

(

Mi halmazt a

i∈I


i∈I

Y

)

Si

.

i∈I

Y

)

Ch(Mi ) Cr -osztályú,

i∈I

Y

Mi feletti, × Si i∈I

i∈I

típusú atlasz által generált dierenciálható struktúrával ellátva az (Mi )i∈I sokaságY rendszer szorzatának nevezzük. A továbbiakban az Mi szorzathalmazt mindig ezzel dierenciálható struktúrával látjuk el, tehát

Y

i∈I

Mi -t Cr -osztályú, × Si -típusú sokaságnak i∈I

i∈I

tekintjük.

Vigyázzunk arra, hogy ha (Mi )i∈I olyan nem üres véges rendszer, hogy minden Y i ∈ I esetén Mi Cri -osztályú, Si -típusú sokaság, akkor általában a Mi szorzatsokaság

nem minden térképe × ϕi alakú, ahol (ϕi )i∈I ∈ i∈I

Y

i∈I

Ch(Mi ). Csak arról van szó, hogy

i∈I

az ilyen alakú térképek, amelyeket szorzattérképeknek is nevezünk, atlaszát alkotják a szorzatsokaság dierenciálható struktúrájának.

1.8.3. Állítás. Legyen (Mi )i∈I olyan nem üres véges rendszer, hogy minden i ∈ I Y

esetén Mi Cri -osztályú, Si -típusú sokaság, r := min ri , és legyen M := i∈I r

Mi . Ekkor

i∈I

minden i ∈ I Y esetén a pri : M → Mi projekció C -osztályú morzmus, továbbá minden a := (ai )i∈I ∈ Mi pontra a i∈I

τa : Ta (M ) →

Y

Tai (Mi );

t 7→ ((Ta (pri )) (t))i∈I

i∈I

leképezés lineáris homeomorzmus. Bizonyítás. El®ször megmutatjuk, hogy i∗ ∈ I Y esetén a pri∗ : M → Mi∗ projekció Cr -osztályú morzmus. Ehhez legyen (ϕi )i∈I ∈ Ch(Mi ) és ψ ∈ Ch(Mi∗ ). Ekkor a i∈I

25

1.8. SOKASÁGOK SZORZATA

ϕ := × ϕi jelölést alkalmazva, valamint pri∗ ,ϕ -vel jelölve a i∈I

Y

Eϕi → Eϕi∗ kanonikus

i∈I

projekciót, könnyen látható, hogy

ϕi∗ ◦ pri∗ = pri∗ ,ϕ ◦ ϕ teljesül a Dom(ϕ) halmazon, következésképpen

pri∗ ◦ ϕ−1 = ϕ−1 i∗ ◦ pri∗ ,ϕ teljesül az Im(ϕ) halmazon. Ebb®l adódik, hogy

ψ ◦ pri∗ ◦ ϕ−1 = ψ ◦ ϕ−1 ◦ pri∗ ,ϕ . i∗ ri A ψ és ϕi∗ térképek Cri -konzisztensek, így a ψ ◦ ϕ−1 i∗ : Eϕi∗ Eψ függvény C osztályú, tehát még inkább Cr -osztályú. A pri∗ ,ϕ leképezés folytonos lineáris operátor Y a Eϕi normált szorzattér és az Eϕi∗ normált tér között, tehát ez is Cr -osztályú. i∈I

Ebb®l következik, hogy az egyenl®ség jobb oldalán Cr -osztályú függvény áll, tehát a ψ ◦ pri∗ ◦ ϕ−1 : Eϕ Eψ leképezés is Cr -osztályú. Mivel a szorzattérképek a deníció szerint az M szorzatsokaság dierenciálható strktúrájának atlaszát alkotják, így a pri∗ : M → Mi∗ kanonikus projekció Cr -osztályú morzmus. Most i∗ ∈ I és a = (ai )i∈I ∈ M esetén kiszámítjuk a Ta (pri∗ ) : Ta (M ) → Tpri∗ (a) (Mi∗ ) Y Ch(Mi ) olyan rendszer, hogy a ϕ := × ϕi érint®operátort. Ehhez legyen (ϕi )i∈I ∈ i∈I

i∈I

szorzattérképre a ∈ Dom(ϕ) teljesül, azaz minden i ∈ I esetén ai ∈ Dom(ϕi ). Ekkor pri∗ (a) = ai∗ ∈ Dom(ϕi∗ ), és ϕi∗ ∈ Ch(Mi∗ ), ezért az érint®-operátor deníciója szerint

Ta (pri∗ ) = Θϕi∗ ,ai∗ ◦ D ϕi∗ ◦ pri∗ ◦ ϕ−1

(ϕ(a)) ◦ Θ−1 ϕ,a .

Láttuk, hogy pri∗ ◦ ϕ−1 = ϕ−1 halmazon, tehát ϕi∗ ◦ pri∗ ◦ ϕ−1 = pri∗ ,ϕ i∗ ◦ pri∗ ,ϕ az Im(ϕ) Y teljesül az Im(ϕ) halmazon. Mivel pri∗ ,ϕ : Eϕi → Eϕi∗ folytonos lineáris operátor, így

következésképpen

i∈I

D ϕi∗ ◦ pri∗ ◦ ϕ−1

(ϕ(a)) = pri∗ ,ϕ ,

Ta (pri∗ ) = Θϕi∗ ,ai∗ ◦ pri∗ ,ϕ ◦ Θ−1 ϕ,a .

Ez minden i∗ ∈ I és a = (ai )i∈I ∈ M , valamint minden olyan (ϕi )i∈I ∈

Y

Ch(Mi )

i∈I

rendszer esetén érvényes, amelyre a ϕ := × ϕi szorzattérképre a ∈ Dom(ϕ) teljesül. i∈I

Most megmutatjuk, hogy ha a = (ai )i∈I ∈ M és (ϕi )i∈I ∈ hogy a ϕ := × ϕi szorzattérképre a ∈ Dom(ϕ) teljesül, akkor i∈I

τa = × Θϕi ,ai ◦ Θ−1 ϕ,a . i∈I

Y

i∈I

Ch(Mi ) olyan rendszer,

26


Ehhez legyen t ∈ Ta (M ) tetsz®leges, és z := (zi )i∈I ∈

Y

Eϕi az a rendszer, amelyre

i∈I

Θϕ,a (z) = t. Ekkor τa (t) = ((Ta (pri )) (t))i∈I =

Θϕi ,ai ◦ pri,ϕ ◦ Θ−1 ϕ,a (t)

i∈I

= (Θϕi ,ai (zi ))i∈I = × Θϕi ,ai ((zi )i∈I ) = × Θϕi ,ai tehát τa =

i∈I

i∈I

= Θϕi ,ai pri,ϕ (z)

i∈I

=

Θ−1 ϕ,a (t) ,

× Θϕi ,ai ◦ Θ−1 ϕ,a .

i∈I

Ezután nyilvánvaló, hogy minden a = (aY i )i∈I ∈ M esetén a τa leképezés lineáris homemorzmus a Ta (M ) normált tér és a Tai (Mi ) normált szorzattér, hiszen véve olyan (ϕi )i∈I ∈ teljesül, a

Y

i∈I

Ch(Mi ) rendszert, hogy a ϕ := × ϕi szorzattérképre a ∈ Dom(ϕ) i∈I

i∈I

× Θϕi ,ai :

i∈I

Y

Eϕi →

i∈I

Y

Tai (Mi )

i∈I

leképezés lineáris homeomorzmus, valamint a

Θϕ,a :

Y

Eϕi → Ta (M )

i∈I

leképezés is lineáris homeomorzmus, ezért a

τa = × Θϕi ,ai ◦ Θ−1 ϕ,a : Ta (M ) → i∈I

Y

Tai (Mi )

i∈I

leképezés is lineáris homeomorzmus. Tehát az el®z® állítás feltételei és jelölései mellett, a szorzatsokaság minden pontjában az érint®teret az állításban értelmezett leképezéssel azonosítjuk a pont komponenseiben vett érint®terek topologikus lineáris szorzatával.

1.9.

Sokaság érint®tere

1.9.1. Állítás. Legyen M Cr -osztályú, S-típusú sokaság, és T(S) := { E × E | E ∈ S }, T(M ) :=

∨ Tx(M ) ( x∈M

:=

[

({x} × Tx (M )) ),

x∈M

és minden ϕ ∈ Ch(M ) esetén legyen

ϕb : T(M ) Eϕ × Eϕ

27

1.9. SOKASÁG ÉRINTTERE

az a függvény, amelyre b := Dom(ϕ)

∨

[

Tx (M ) ( :=

x∈Dom(ϕ)

({x} × Tx (M )) ),

x∈Dom(ϕ)

b esetén és minden (x, t) ∈ Dom(ϕ) b ϕ(x, t) := (ϕ(x), Θ−1 ϕ,x (t)).

Ha r > 1, akkor a { ϕb | ϕ ∈ Ch(M ) } halmaz Cr−1 -osztályú, T(M ) feletti, T(S)-típusú atlasz. Bizonyítás. El®ször megmutatjuk, hogy ϕ ∈ Ch(M ) esetén a ϕb függvény a T(M ) halmaznak T(S)-típusú térképe. b és ϕ(x, b b 0 , t0 ), akkor ϕ(x) = ϕ(x0 ) és Θ−1 Ha (x, t), (x0 , t0 ) ∈ Dom(ϕ) t) = ϕ(x ϕ,x (t) = −1 0 0 −1 −1 0 Θϕ,x0 (t ), tehát ϕ injektivitása miatt x = x , ezért Θϕ,x (t) = Θϕ,x (t ), tehát Θ−1 ϕ,x injektivitása folytán t = t0 , vagyis (x, t) = (x0 , t0 ). Ez azt jelenti, hogy a ϕb : T(M ) Eϕ × Eϕ függvény injektív. b ⊆ Im(ϕ) × Eϕ . Itt valójában egyenl®ség van, mert ha Az nyilvánvaló, hogy Im(ϕ) b −1 (z), Θϕ,ϕ−1 (z) (v)) = (z, v). Tehát Im(ϕ) b = Im(ϕ) × Eϕ , (z, v) ∈ Im(ϕ) × Eϕ , akkor ϕ(ϕ és itt a jobb oldalon Eϕ × Eϕ -nek nyílt részhalmaza áll, mert Im(ϕ) nyílt halmaz Eϕ -ben. b esetén ϕ b−1 (z, v) = ϕ−1 (z), Θϕ,ϕ−1 (z) (v) . Az is könnyen látható, hogy (z, v) ∈ Im(ϕ) Tehát a ϕb függvény T(S)-típusú térképe T(M )-nek. Ò◦ ϕ b−1 ) = Dom(ψ ◦ ϕ−1 ) × Eϕ . Most megmutatjuk, hogy ϕ, ψ ∈ Ch(M ) esetén Dom(ψ Valóban Ò◦ ϕ Ò = b−1 ) = {(z, v) ∈ Im(ϕ) b | ϕ b−1 (z, v) ∈ Dom(ψ)} Dom(ψ

Ò = = {(z, v) ∈ Im(ϕ) × Eϕ | ϕ−1 (z), Θϕ,ϕ−1 (z) (v) ∈ Dom(ψ)}

= {(z, v) ∈ Im(ϕ) × Eϕ | ϕ−1 (z) ∈ Dom(ψ)} = Dom(ψ ◦ ϕ−1 ) × Eϕ . A ϕ és ψ térképek Cr -konziszenciája miatt a Dom(ψ ◦ ϕ−1 ) halmaz nyílt Eϕ -ben, ezért Ò◦ ϕ b−1 ) nyílt részhalmaza az Eϕ × Eϕ normált szorzattérnek. Dom(ψ Ò◦ ϕ b−1 : Dom(ψ ◦ ϕ−1 ) × Eϕ → Eψ × Eψ Most megmutatjuk, hogy ϕ, ψ ∈ Ch(M ) esetén a ψ r−1 függvény C -osztályú. Valóban, a ϕb függvény inverzének ismeretében írható, hogy minden (z, v) ∈ Dom(ψ ◦ ϕ−1 ) × Eϕ esetén

Ò ϕ−1 (z), Θ −1 (v) = (ψ ϕ−1 )(z) , Θ−1 Ò◦ ϕ b−1 (z, v) = ψ ψ ϕ,ϕ (z) ψ,ϕ−1 (z) Θϕ,ϕ−1 (z) (v)

−1 = (ψ ◦ ϕ−1 )(z), Θ−1 ψ,ϕ−1 (z) ◦ Θϕ,ϕ−1 (z) (v) = (ψ ◦ ϕ )(z),

=

D(ψ ◦ ϕ−1 ) (z) (v) ,

−1 −1 )) (z) egyenl®séget (??). Ebb®l ahol felhasználtuk a Θψ,ϕ −1 (z) ◦ Θϕ,ϕ−1 (z) = (D(ψ ◦ ϕ

Ò◦ ϕ b−1 függvény els® komponensfüggvénye ψ ◦ ϕ−1 , amely a ϕ és ψ látható, hogy a ψ

28


Ò◦ ϕ b−1 függvény els® térképek Cr -konziszenciája miatt Cr -osztályú. Ugyanakkor a ψ komponensfüggvénye a két következ® függvény kompozíciója:

α : Dom(ψ ◦ ϕ−1 ) × Eϕ → L (Eϕ ; Eψ ) × Eϕ ; β : L (Eϕ ; Eψ ) × Eϕ → Eψ ;

(z, v) 7→

D(ψ ◦ ϕ−1 ) (z), v ,

(u, v) 7→ u(v).

Az α függvény els® komponensfüggvénye egyenl® az Eϕ × Eϕ → Eϕ els® projekció-függvény Dom(ψ ◦ f ◦ ϕ−1 ) × Eϕ -re vett lesz¶kítésének, és a D(ψ ◦ ϕ−1 ) deriváltfüggvénynek a kompozíciójával, amely a ϕ és ψ térképek Cr -konzisztenciája miatt Cr−1 -osztályú. Tehát α els® komponens-függvénye Cr−1 -osztályú. Az α függvény második komponensfüggvénye egyenl® az Eϕ × Eϕ → Eϕ második projekció Dom(ψ ◦ ϕ−1 ) × Eϕ -re vett lesz¶kítésével, így ez analitikus függvény. Ezért az α függvény Cr−1 -osztályú. A β függvény folytonos bilineáris operátor, ezért analitikus. Ebb®l következik, hogy β ◦ α, vagyis Ò◦ ϕ b−1 függvény Cr−1 -osztályú. aψ Ò térképek Cr−1 -konzisztensek. Ezzel igazoltuk, hogy minden ϕ, ψ ∈ Ch(M ) esetén a ϕb és ψ Az világos, hogy [ b = T(M ), Dom(ϕ) ϕ∈Ch(M )

mert (x, t) ∈ T(M ) esetén van olyan ϕ ∈ Ch(M ), hogy x ∈ Dom(ϕ), és ekkor b . Tehát, ha r > 1, akkor a {ϕ|ϕ b (x, t) ∈ Dom(ϕ) ∈ Ch(M )} halmaz Cr−1 -osztályú T(M ) feletti atlasz, amely nyilvánvalóan {Eϕ ×Eϕ |ϕ ∈ Ch(M )}-típusú, következésképpen T(S)-típusú is.

1.9.2. Deníció. Legyen M Cr -osztályú, S-típusú sokaság. Ha r > 1, akkor a T(M ) :=

∨

Tx (M )

x∈M

halmazt az el®z® állításban értelmezett {ϕb | ϕ ∈ Ch(M )} Cr−1 -osztályú, T(M ) feletti, T(S) := {E × E | E ∈ S}-típusú atlasz által generált dierenciálható struktúrával ellátva az M sokaság érint®terének nevezzük. A továbbiakban a T(M ) halmazt mindig ezzel dierenciálható struktúrával látjuk el, tehát T(M )-t Cr−1 -osztályú, T(S)-típusú sokaságnak tekintjük. Megállapodunk továbbá abban, hogy minden ϕ ∈ Ch(M ) esetén ϕb b := jelöli azt a térképét a T(M ) sokaságnak, amelyre Dom(ϕ) ∨ Tx (M ) és minden x∈Dom(ϕ)

b esetén ϕ(x, b (x, t) ∈ Dom(ϕ) t) := (ϕ(x), Θ−1 ϕ,x (t)).

1.9.3. Deníció. Legyen M Cr -osztályú, S-típusú sokaság, N Cs -osztályú, T-típusú sokaság, és f : M → N Ck -osztályú morzmus M és N között. Ekkor a

T(f ) : T(M ) → T(N );

(a, t) 7→ (f (a), Ta (f )(t))

leképezést az f érint®-függvényének nevezzük.

29

1.9. SOKASÁG ÉRINTTERE


sokaság, és f : M → N Ck -osztályú morzmus M és N között. Ha k > 1, akkor a T(f ) : T(M ) → T(N ) érint®-függvény Ck−1 -osztályú függvény az T(M ) és T(N ) Cmin(r,s)−1 -osztályú sokaságok között. Ò ◦ T(f ) ◦ ϕ b−1 : Eϕ × Eϕ Bizonyítás. Elég azt igazolni, hogy ha ϕ, ψ ∈ Ch(M ), akkor a ψ Eψ ×Eψ függvény Ck−1 -osztályú, ha az f függvény Ck -osztályú morzmus M és N között. Nyilvánvaló, hogy

−1

Ò ◦ T(f ) ◦ ϕ Ò b−1 = {(z, v) ∈ Im(ϕ)| b ϕ b−1 (z, v) ∈ T(f )hDom(ψ)i} Dom ψ =

−1

Ò = {(z, v) ∈ Im(ϕ) × Eϕ | ϕ−1 (z), Θϕ,ϕ−1 (z) (v) ∈ T(f )hDom(ψ)i} =

= {(z, v) ∈ Im(ϕ) × Eϕ | f (ϕ−1 (z)), Tϕ−1 (z) (f ) Θϕ,ϕ−1 (z) (v)

Ò = ∈ Dom(ψ)}

= {(z, v) ∈ Im(ϕ) × Eϕ |f (ϕ−1 (z)) ∈ Dom(ψ)} = Dom(ψ ◦ f ◦ ϕ−1 ) × Eϕ , és a Dom (ψ ◦ f ◦ ϕ−1 ) halmaznyílt Eϕ -ben, mert az f függvény Ck -osztályú morzmus Ò ◦ T(f ) ◦ ϕ b−1 nyílt részhalmaza az Eϕ × Eϕ normált M és N között. Ezért Dom ψ

Ò ◦ T(f ) ◦ ϕ b−1 esetén szorzattérnek. Világos továbbá, hogy (z, v) ∈ Dom ψ

Ò ◦ T(f ) ◦ ϕ Ò f (ϕ−1 (z)), T −1 (f ) Θ −1 (v) b−1 (z, v) = ψ ψ ϕ (z) ϕ,ϕ (z)

= ψ f (ϕ−1 (z)) , Θψ,f (ϕ−1 (z)) Tϕ−1 (z) (f ) Θϕ,ϕ−1 (z) (v) =

=

=

ψ ◦ f ◦ ϕ−1 (z), Θψ,f (ϕ−1 (z)) ◦ Tϕ−1 (z) (f ) ◦ Θϕ,ϕ−1 (z) (v) = =

ψ ◦ f ◦ ϕ−1 (z),

D ψ ◦ f ◦ ϕ−1

(z) (v) .

Ò ◦ T(f ) ◦ ϕ b−1 függvény els® komponensfüggvénye egyenl® az Ebb®l látható, hogy a ψ Eϕ × Eϕ → Eϕ els® projekció Dom(ψ ◦ f ◦ ϕ−1 ) × Eϕ -re vett lesz¶kítésének, és a ψ ◦f ◦ϕ−1 Ck -osztályú függvénnyel vett kompozíciójával, tehát Ck -osztályú. Ugyanakkor Ò ◦ T(f ) ◦ ϕ b−1 függvény második komponensfüggvénye a két következ® függvény a ψ kompozíciója:

α : Dom(ψ ◦ f ◦ ϕ−1 ) × Eϕ → L (Eϕ ; Eψ ) × Eϕ ; β : L (Eϕ ; Eψ ) × Eϕ → Eψ ;

(z, v) 7→

D ψ ◦ f ◦ ϕ−1

(z), v ,

(u, v) 7→ u(v).

Az α függvény els® komponensfüggvénye egyenl® az Eϕ × Eϕ → Eϕ els® projekció Dom(ψ ◦ f ◦ ϕ−1 ) × Eϕ -re vett lesz¶kítésének, és a Ck−1 -osztályú D (ψ ◦ f ◦ ϕ−1 ) deriváltfüggvénynek a kompozíciójával, tehát Ck−1 -osztályú. Az α függvény második komponensfüggvénye egyenl® az Eϕ ×Eϕ → Eϕ második projekció Dom(ψ◦f ◦ϕ−1 )×Eϕ -re vett lesz¶kítésével, tehát analitikus. Ezért az α függvény Ck−1 -osztályú. A β függvény folytonos bilineáris operátor, ezért analitikus. Ebb®l következik, hogy β ◦ α, vagyis a Ò ◦ T(f ) ◦ ϕ b−1 függvény Ck−1 -osztályú. ψ

30



sokaság, és L Ct -osztályú, U-típusú sokaság. Ha f : M → N Cj -osztályú morzmus és g : N → L Ck -osztályú morzmus, akkor a T(f ) : T(M ) → T(N ), T(g) : T(N ) → T(L) és T(g ◦ f ) : T(M ) → T(L) függvényekre fennáll a

T(g ◦ f ) = T(g) ◦ T(f ) egyenl®ség. Bizonyítás. Ha (a, v) ∈ T(M ), akkor a deníciók és ?? alkalmazásával kapjuk, hogy

T(g) (T(f )(a, v)) = T(g) (f (a), Ta (f )(v)) = g(f (a)), Tf (a) (g) (Ta (f )(v)) = = ((g ◦ f )(a), Ta (g ◦ f )(v)) = T(g ◦ f )(a, v), tehát T(g) ◦ T(f ) = T(g ◦ f ).

1.10.

Rétegez®dések

1.10.1. Deníció. A (P, B, π) hármast Cr -osztályú rétegez®désnek nevezzük, ha P

és M Cr -osztályú sokaságok, és π : P → B szürjektív Cr -osztályú morzmus, és teljesül rá a következ® feltétel.

(LT) Minden b ∈ B esetén létezik b-nek olyan U nyílt környezete, és létezik olyan F Cr −1 osztályú sokaság, és létezik olyan σ : π hU i → U × F leképezés, hogy σ Cr -osztályú −1 izomorzmus a π hU i ⊆ P nyílt részsokaság és az U × F szorzatsokaság között, és pr1 ◦ σ = π|U , ahol pr1 : U × F → U az els® projekció.

Ha a (P, B, π) hármas Cr -osztályú rétegez®dés, akkor a P sokaságot a rétegez®dés terének, a B sokaságot a rétegez®dés bázisának, és minden b ∈ B esetén a −1 π h{b}i ⊆ P halmazt a rétegez®dés b feletti rétegének nevezzük.

1.10.2. Állítás. Legyen M Cr -osztályú sokaság, és tekintsük a (T(M ), M, π) hármast,

ahol π : T(M ) → M a kanonikus leképezés. Ekkor r > 1 esetén a (T(M ), M, π) hármas Cr−1 -osztályú rétegez®dés. Bizonyítás. Legyen a ∈ M rögzítve, és vegyünk olyan ϕ ∈ Ch(M ) térképet, amelyre −1 b = π hDom(ϕ)i, tehát U := Dom(ϕ) olyan nyílt környezete a ∈ Dom(ϕ). Ekkor Dom(ϕ) −1 a-nak M -ben és σ := ϕ−1 × idEϕ ◦ϕb : π hU i → U ×Eϕ olyan Cr−1 -osztályú izomorzmus −1

a π hU i ⊆ T(M ) nyílt részsokaság és az U × Eϕ szorzatsokaság között (az Eϕ normált téren a kanonikus Cr−1 -osztályú dierenciálható struktúrát véve), hogy pr1 ◦ σ = π|U , ahol pr1 : U × Eϕ → U az els® projekció.

1.10.3. Deníció. Ha M Cr -osztályú sokaság és r > 1, akkor az el®z® állításban értelmezett (T(M ), M, π) Cr−1 -osztályú rétegez®dést az M sokaság érint®-rétegez®désének nevezzük.

31

1.11. LINEÁRIS KONNEXIÓK

1.11.

Lineáris konnexiók

1.11.1. Állítás. Legyen M Cr -osztályú, S-típusú sokaság, és tekintsük a π : T(M ) → M ;

(x, t) 7→ x

leképezést. Ha r > 1, akkor teljesülnek a következ®k. a) A π függvény olyan szürjektív Cr−1 -osztályú morzmus a T(M ) és M sokaságok között, amely nyílt leképezés a sokaság-topológiák szerint. b) Minden (a, t) ∈ T(M ) esetén, ha ϕ ∈ Cha (M ), akkor

T(a,t) (π) = Θϕ,a ◦ pr1 ◦ Θϕb,(a,t)

−1

,

ahol pr1 : Eϕ × Eϕ → Eϕ az els® projekció. c) Minden (a, t) ∈ T(M ) esetén a T(a,t) (π) érint®-operátor olyan folytonos lineáris szürjekció a T(a,t) (T(M )) és Ta (M ) topologikus vektorterek között, amely nyílt leképezés és Ker(T(a,t) (π))-nek létezik topologikus algebrai komplementere. d) Minden (a, t) ∈ T(M ) és ϕ ∈ Cha (M ) esetén

Ker T(a,t) (π) = Θϕb,(a,t) h{0} × Eϕ i. Bizonyítás. a) Legyenek ϕ, ψ ∈ Ch(M ) térképek. Ekkor

Dom ψ ◦ π ◦ ϕb−1 = ϕhDom(ϕ) ∩ Dom(ψ)i × Eϕ nyílt részhalmaza az Eϕ × Eϕ normált szorzattérnek, és ha a (z, v) pár eleme ennek a halmaznak, akkor

ψ ◦ π ◦ ϕb−1 (z, v) = (ψ ◦ π) ϕ−1 (z), Θϕ,ϕ−1 (z) (v) = ψ ϕ−1 (z) = ψ ◦ ϕ−1 (pr1 (z, v)) ,

ahol pr1 : Eϕ × Eϕ → Eϕ az els® projekció. Ez azt jelenti, hogy fennáll a

ψ ◦ π ◦ ϕb−1 = ψ ◦ ϕ−1 ◦ pr1 függvény-egyenl®ség. A ϕ és ψ térképek Cr -konzisztensek, ezért a ψ ◦ ϕ−1 : Eϕ Eψ függvény Cr -osztályú, és a pr1 prokjekció folytonos lineáris operátor, így szintén Cr osztályú. Ezért ezek kompozíciója is Cr -osztályú, ami azt jelenti, hogy a ψ ◦ π ◦ ϕb−1 függvény Cr -osztályú. Ebb®l következik, hogy a π függvény Cr−1 -osztályú morzmus a T(M ) és M sokaságok között. (Itt vigyázzunk arra, hogy π -nek csak ilyen rend¶ simaságáról lehet beszélni, mert T(M ) csak Cr−1 -osztályú sokaság.) Megmutatjuk, hogy a π : T(M ) → M függvény nyílt leképezés a sokaság-topológiák szerint. Ehhez legyen Ω ⊆ T(M ) olyan halmaz, amely nyílt a T(M ) érint®tér sokaságtopológiája szerint, és legyen (a, t) ∈ Ω rögzítve. Azt kell igazolni, hogy πhΩi környezete

32


a-nak az M sokaság-topológiája szerint. Ehhez rögzítsünk olyan ϕ ∈ Ch(M ) térképet, b . Mivel ϕ b ∈ Ch(T(M )), így Dom(ϕ) b amelyre a ∈ Dom(ϕ), tehát (a, t) ∈ Dom(ϕ) b is nyílt részhalmaza nyílt T(M )-ben a sokaság-topológia szerint, tehát Ω ∩ Dom(ϕ) b b és T(M )-nek a sokaság-topológia szerint. Ugyanakkor ϕ homeomorzmus a Dom(ϕ) b topologikus alterek között, ezért ϕhΩ b b b = Im(ϕ) ∩ Dom(ϕ)i nyílt részhalmaz az Im(ϕ) b b nyílt az Eϕ × Eϕ normált szorzattérben. Im(ϕ) × Eϕ nyílt altérben, így ϕhΩ ∩ Dom(ϕ)i −1 b b b Továbbá természetesen (ϕ(a), Θϕb,a (t)) = ϕ(a, t) ∈ ϕhΩ ∩ Dom(ϕ)i ⊆ Eϕ × Eϕ . Ekkor a szorzattopológia deníciója szerint vehetünk olyan r > 0 valós számot, amelyre −1 b b , ahol k · kϕ olyan norma, amely Br ϕ(a); k · kϕ × Br Θϕb,a (t); k · kϕ ⊆ ϕhΩ ∩ Dom(ϕ)i

Eϕ lineáris topológiáját generálja, és z ∈ Eϕ esetén Br z; k · kϕ jelöli a z középpontú, r sugarú nyílt gömböt Eϕ -ben a k · kϕ norma szerint.

b) Legyen (a, t) ∈ T(M ) rögzítve, és vegyünk tetsz®leges olyan ϕ ∈ Ch(M ) térképet, b , vagyis a ∈ Dom(ϕ). Ekkor π(a, t) = a ∈ Dom(ϕ) is teljesül, és amelyre (a, t) ∈ Dom(ϕ) az a) állítás bizonyítása szerint

ϕ ◦ π ◦ ϕb−1 = ϕ ◦ ϕ−1 ◦ pr1 = pr1 |Im(ϕ)×Eϕ , ahol pr1 : Eϕ × Eϕ → Eϕ az els® projekció. Ebb®l következik, hogy

D ϕ ◦ π ◦ ϕb−1

b (ϕ(a, t)) = pr1 ,

tehát az érint®-operátor deníciója szerint

T(a,t) (π) = Θϕ,a ◦

D ϕ ◦ π ◦ ϕb−1

b (ϕ(a, t)) ◦ Θϕb,(a,t)

−1

= Θϕ,a ◦ pr1 ◦ Θϕb,(a,t)

−1

.

c) A b) állítás szerint, ha (a, t) ∈ T(M ) és ϕ ∈ Ch(M ) olyan, hogy a ∈ Dom(ϕ), −1 akkor T(a,t) (π) = Θϕ,a ◦ pr1 ◦ Θϕb,(a,t) , ahol pr1 : Eϕ × Eϕ → Eϕ az els® projekció. Mivel pedig a pr1 folytonos operátor szürjektív és nyílt leképezés, valamint a magjának létezik topologikus algebrai komplemenetere, így a T(a,t) (π) érint®-operátor is rendelkezik −1 ezekkel a tulajdonságokkal, mert a Θϕ,a : Eϕ → Ta (M ) és Θϕb,(a,t) : T(a,t) (T(M )) → Eϕ × Eϕ leképezések lineáris homeomorzmusok. d) A b) állítás szerint, ha (a, t) ∈ T(M ) és ϕ ∈ Ch(M ) olyan, hogy a ∈ Dom(ϕ), akkor −1 T(a,t) (π) = Θϕ,a ◦ pr1 ◦ Θϕb,(a,t) , ahol pr1 : Eϕ × Eϕ → Eϕ az els® projekció. Ezért

−1

−1

−1

Ker T(a,t) (π) = T(a,t) (π) h{0}i = Θϕb,(a,t) hpr1 hΘϕ,a h{0}iii = −1

= Θϕb,(a,t) hpr1 h{0}ii = Θϕb,(a,t) h{0} × Eϕ i, −1

−1

hiszen Θϕ,a injektivitása miatt Θϕ,a h{0}i = {0}, valamint pr1 h{0}i = {0} × Eϕ .

33

1.12. PÉLDÁK SOKASÁGOKRA

1.11.2. Deníció. Ha M Cr -osztályú, S-típusú sokaság (ahol r ≥ 2), akkor M feletti Christoel-szimbólumnak nevezünk minden olyan (Γϕ )ϕ∈Ch(M ) ∈

Y

Cr Im(ϕ); L2 E2ϕ ; Eϕ

ϕ∈Ch(M )

rendszert, amelyre teljesül az, hogy minden ϕ, ψ ∈ Ch(M ) és a ∈ Dom(ϕ) ∩ Dom(ψ) esetén (D(ψ ◦ ϕ−1 ))(ϕ(a)) ◦ Γϕ (ϕ(a)) =

= D2 (ψ ◦ ϕ−1 ) (ϕ(a)) + Γψ (ψ(a)) ◦ (D(ψ ◦ ϕ−1 ))(ϕ(a)) × (D(ψ ◦ ϕ−1 ))(ϕ(a)) , vagy ami ugyanaz:

−1 Θϕ,a ◦ Γϕ (ϕ(a)) ◦ Θ−1 ϕ,a × Θϕ,a =

−1 −1 −1 = Θψ,a ◦ D2 (ψ ◦ ϕ−1 ) (ϕ(a)) ◦ Θ−1 ϕ,a × Θϕ,a + Θψ,a ◦ Γψ (ψ(a)) ◦ Θψ,a × Θψ,a .

1.12.

Példák sokaságokra

Nyilvánvaló, hogy ha E normált tér, akkor az {idE } halmaz E feletti, C∞ -osztályú, tiszta E -típusú atlasz.

1.12.1. Deníció. Ha E normált tér, akkor az {idE } atlasz által generált E feletti, C∞ osztályú, tiszta E -típusú struktúrát az E normált tér feletti lineáris dierenciálható struktúrának nevezzük, és Ch(E) az E halmaz lineáris dierenciálható struktúrája szerinti térképeinek halmazát jelöli.

1.12.2. Állítás. Legyen E normált tér. a) Ha ϕ : E E függvény, akkor ϕ ∈ Ch(E) pontosan akkor teljesül, ha a ϕ függvény C∞ -osztályú dieomorzmus a Dom(ϕ) és Im(ϕ) nyílt halmazok között. b) Az E halmaz sokaság-topológiája egyenl® az E vektortér normája által generált topológiával. c) Minden a ∈ E esetén a ΘidE ,a : E → Ta (E) leképezés lineáris homeomorzmus.

Bizonyítás.

1.12.3. Állítás. Legyen E normált tér, és jelölje Gr(E) az E normált tér topologikus

algebrai komplementerrel rendelkez® lineáris altereinek halmazát. Minden X, Y ∈ Gr(E) esetén, ha X ⊕ Y = E , akkor jelölje sX,Y : X × Y → E az E vektortér összeadás(t)

függvényének X × Y -ra vett lesz¶kítését (amely lineáris homeomorzmus az X × Y szorzattér és E között). Továbbá, minden Y ∈ Gr(E) esetén legyen )

(

UY :=

Z ∈ Gr(E) Z ⊕ Y = E (t)

.

34


Végül, ha X, Y ∈ Gr(E) olyanok, hogy X ⊕ Y = E , akkor értelmezzük a (t)

ϕX,Y : UY → L (X; Y );

Z 7→ −pr2 ◦ s−1 Z,Y ◦ inX,E

leképezést, ahol pr2 : Z × Y → Y a második projekció. Ekkor az (

)

A := ϕX,Y (X ∈ Gr(E)) ∧ (Y ∈ Gr(E)) ∧ (X ⊕ Y = E) (t)

függvényhalmaz S-típusú, C∞ -osztályú atlasz Gr(E) felett, ahol (

)

S := L (X; Y ) (X ∈ Gr(E)) ∧ (Y ∈ Gr(E)) ∧ (X ⊕ Y = E) (t)

Bizonyítás. (I) El®ször megmutatjuk, hogy ha X, Y ∈ Gr(E) olyanok, hogy X ⊕ Y = E , akkor minden Z ∈ UY esetén

(t)

ϕX,Y (Z) = s−1 X,Y hZi.

Valóban, legyen (x, y) ∈ ϕX,Y (Z), vagyis x ∈ X és y = −pr2 s−1 Z,Y (x) . Ekkor van olyan −1 z ∈ Z , amelyre sZ,Y (x) = (z, −y), tehát z−y = x, vagyis sX,Y (x, y) = x+y = z ∈ Z , azaz −1 −1 (x, y) ∈ s−1 X,Y hZi. Ezért ϕX,Y (Z) ⊆ sX,Y hZi. Megfordítva, legyen (x, y) ∈ sX,Y hZi, vagyis x ∈ X , y ∈ Y és z := x+y ∈ Z . Ekkor sZ,Y (z, −y) = z −y = x, vagyis (z, −y) = s−1 Z,Y (x), −1 −1 így y = −pr2 sZ,Y (x) , azaz (x, y) ∈ ϕX,Y (Z). Ezért sX,Y hZi ⊆ ϕX,Y (Z). (II) Az (I) állításból azonnal következik, hogy ha X, Y ∈ Gr(E) olyanok, hogy X ⊕ Y = (t)

E , akkor a ϕX,Y : UY → L (X; Y ) leképezés injektív, hiszen az sX,Y : X × Y → E leképezés bijekció. Most igazoljuk, hogy ekkor Im (ϕX,Y ) = L (X; Y ) is teljesül. Legyen u ∈ L (X; Y ) és vezessük be a Z := sX,Y hui halmazt. Az nyilvánvaló, hogy u ⊆ X × Y zárt lineáris altér, ezért Z ⊆ E szintén zárt lineáris altér, hiszen az sX,Y : X × Y → E leképezés lineáris homeomorzmus. Ha igazolnánk azt, hogy Z ∈ UY , −1 akkor (I) alapján nyilvánvaló lenne, hogy ϕX,Y (Z) = s−1 X,Y hZi = sX,Y hsX,Y huii = u, amivel ϕX,Y szürjektivitása is igazolva lenne. A Z ∈ UY kijelentés bizonyításához el®ször legyen y ∈ Z ∩ Y . Ekkor van olyan x ∈ X , hogy y = sX,Y (x, u(x)) = x + u(x), tehát y − u(x) = x ∈ X ∩ Y = {0}, így x = 0 és y − u(x) = 0, azaz y = 0, ami azt jelenti, hogy Z ∩ Y = {0}. A Z + Y = E egyenl®ség bizonyításához legyen e ∈ E tetsz®leges. Mivel X ⊕ Y = E , így (egyértelm¶en) léteznek olyan x ∈ X és y ∈ Y , hogy e = x + y . Ekkor e = (x + u(x)) + (y − u(x)), és

35


x + u(x) = sX,Y (x, u(x)) ∈ Z , valamint y − u(x) ∈ Y , ami azt jelenti, hogy Z + Y = E . Tehát Z olyan zárt lineáris altere E -nek, hogy Z ⊕ Y = E . Az el®z®ekb®l látható, hogy e ∈ E esetén s−1 Z,Y (e) = (x + u(x), y − u(x)), ahol x ∈ X és y ∈ Y olyanok, hogy e = x + y , vagyis (x, y) = s−1 X,Y (e). Ez azt jelenti, hogy minden e ∈ E esetén s−1 Z,Y (e) =

−1 pr1 s−1 X,Y (e) + u pr1 sX,Y (e)

−1 , pr2 s−1 X,Y (e) − u pr2 sX,Y (e)

,

ahol pr1 : X × Y → X az els® projekció és pr2 : X × Y → Y a második projekció. Ebb®l látható, hogy az s−1 Z,Y : E → Z × Y függvény els® komponens-függvénye egyenl® a −1 pr1 ◦ s−1 X,Y + u ◦ pr1 ◦ sX,Y ∈ L (E; Z)

operátorral, és a második komponens-függvénye egyenl® a −1 pr2 ◦ s−1 X,Y − u ◦ pr1 ◦ sX,Y ∈ L (E; Y )

operátorral. (III) Tehát, ha X, Y ∈ Gr(E) olyanok, hogy X ⊕ Y = E , akkor a ϕX,Y : UY → L (X; Y ) (t)

függvény bijekció, továbbá minden Z ∈ UY és u ∈ L (X; Y ) esetén

ϕX,Y (Z) = s−1 X,Y hZi,

ϕ−1 X,Y (u) = sX,Y hui.

Ennek alapján most igazoljuk, hogy ha X1 , Y1 , X2 , Y2 ∈ Gr(E) olyanok, hogy X1 ⊕ Y1 =

E = X2 ⊕ Y2 , akkor a ϕX1 ,Y1 és ϕX2 ,Y2 térképek C∞ -konzisztensek. (t)

(t)

Valóban, ha

u ∈ L (X1 ; Y2 ), akkor

−1 −1 ϕX2 ,Y2 ◦ ϕ−1 X1 ,Y1 (u) = ϕX2 ,Y2 (sX1 ,Y1 hui) = sX2 ,Y2 hsX1 ,Y1 huii = sX2 ,Y2 ◦ sX1 ,Y1 hui,

és itt a

s−1 X2 ,Y2 ◦ sX1 ,Y1 : X1 × Y1 → X2 × Y2

leképezés lineáris homeomorzmus az X1 × Y1 és X2 × Y2 normált szorzatterek között.

1.12.4. Deníció. Az E Banach-tér Grassman-sokaságának nevezzük a Gr(E) halmazt, az el®z® állításban értelmezett A atlasz által meghatározott C∞ -osztályú differenciálható struktúrával ellátva.

1.12.5. Állítás. Legyen E prehilbert-tér, a ∈ E , r ∈ R∗+ és Sr (a) := {x ∈ E|kx − ak = r}. Jelölje S az E zárt homogén hipersíkjainak halmazát. Ekkor Sr (a)

36


Bizonyítás.

2. (Euklidészi gömbfelületek.) Ha E euklidészi tér, akkor minden a ∈ E és r ∈ R∗+ esetén az

Sr (a) := {x ∈ E|kx − ak = r} halmaz C∞ -osztályú hiperfelület E -ben, és x ∈ Sr (a) esetén

Tx (Sr (a)) = (x − a)⊥ . Adjuk meg az Sr (a)-nak két olyan paraméterezését, amelyek értékkészletei befedik Sr (a)t! (Útmutatás. Az 5. megjegyzés alapján ezt elegend® az a := 0 pontra igazolni, hiszen a σ : E → E; x 7→ a + x leképezés C∞ -dieomorzmus és σhSr (0)i = Sr (a). Legyen n ∈ E olyan rögzített vektor, amelyre knk = 1, és jelölje n⊥ a n-re ortogonális E -beli vektortok halmazát. A Riesz-féle felbontási tétel alapján az n⊥ halmaz dim(E) − 1 dimenziós lineáris altere E -nek és E = n⊥ ⊕ (R.n). Értelmezzük a következ® függvényeket: ⊥

Ψ± : n → E;

p 7→

2r2 kpk2 − r2 .p ± r .n. kpk2 + r2 kpk2 + r2

Könnyen látható, hogy a Ψ± függvények C∞ -osztályú injekciók, és Im(Ψ± ) = Sr (0) \ {±r.n}, valamint a Ψ± függvények inverzei a

Sr (0) \ {±r.n} → n⊥ ;

q 7→

q − (q|n).n (q|n) 1∓ r

függvények. Ebb®l látható, hogy a Ψ± függvények homeomorzmusok a deníciós és képtartományaik között. Ugyanakkor p ∈ n⊥ esetén minden n⊥ 3 z-re !

4r2 2r2 ((DΨ± )(p)) (z) = − .z ± (p|z).p + kpk2 + r2 (kpk2 + r2 )2 !

4r2 ± (p|z).n = (kpk2 + r2 )2

2r2 kpk2 + r2

2(p|z) z+ .(−p ± r.n) , kpk2 + r2

amib®l nyilvánvaló, hogy ((DΨ± )(p)) (z) = 0 esetén z = 0, vagyis a (DΨ± )(p) operátorok injektívek. Ha tehát u : Rdim(E)−1 → n⊥ tetsz®leges lineáris bijekció, akkor a Ψ± ◦ u : Rdim(E)−1 → E függvények dim(E) − 1 dimenziós C∞ osztályú paraméterezései az Sr (0) \ {±r.n} halamzoknak. Ugyanakkor

Sr (0) \ {±r.n} = Sr (0) ∩ (E \ {±r.n}) ,


37

tehát Sr (0) \ {±r.n} nyílt halmazok Sr (0)-ban, és természetesen

Sr (0) = (Sr (0) \ {r.n}) ∪ (Sr (0) \ {−r.n}) , így a Sr (0) halmaz C∞ -osztályú hiperfelület E -ben. Megemlítjük, hogy a Ψ± függvényeket ±r.n csúcspontú sztereograkus projekcióknak nevezzük.)

38


2. fejezet Immerziók és részsokaságok 2.1.

Dierenciálható struktúra inverz képe

2.1.1. Deníció. Ha N topologikus tér, M sokaság és f : N → M folytonos függvény, akkor a (V, ϕ, F ) hármast f -adaptáltnak (illetve szigorúan f -adaptáltnak)nevezzük, ha V ⊆ N nyílt halmaz, és ϕ ∈ Ch(M ), és F olyan zárt (illetve olyan topologikus algebrai komplementerrel rendelkez®) lineáris altere Eϕ -nek, hogy f hV i ⊆ Dom(ϕ), és a

(ϕ ◦ f )|V : V → F ∩ Im(ϕ) függvény homeomorzmus a V ⊆ N nyílt topologikus altér és az F ∩ Im(ϕ) ⊆ Eϕ topologikus altér között.

2.1.2. Deníció. Ha E normált tér, akkor M(E) jelöli az E zárt lineáris altereinek halmazát, és M∗ (E) jelöli az E topologikus algebrai komplementerrel rendelkez® lineáris altereinek halmazát. Ha S normált terek halmaza, akkor

M(S) := { F | (∃E ∈ S) F ∈ M(E) }, M∗ (S) := { F | (∃E ∈ S) F ∈ M∗ (E) }. A deníció szerint világos, hogy ha S normált terek halmaza, akkor

M(S) =

[

M(E),

M∗ (S) =

[

M∗ (E).

E∈S

E∈S

Továbbá nyilvánvaló, hogy M∗ (S) ⊆ M(S), és ha S minden eleme véges dimenziós, vagy Hilbert-tér, akkor itt egyenl®ség áll.

2.1.3. Lemma. Legyenek X és Y normált terek, X0 ⊆ X lineáris altér és Y0 ⊆ Y zárt lineáris altér, valamint f : X Y Cr -osztályú függvény, ahol r > 0 természetes szám, vagy r = ∞. Ha Ω ⊆ X0 ∩ Dom(f ) olyan halmaz, amely nyílt az X0 normált altérben és f hΩi ⊆ Y0 , akkor az f |Ω : Ω → Y0 függvény is Cr -osztályú. 39

40

2. IMMERZIÓK ÉS RÉSZSOKASÁGOK

Bizonyítás. Az állítás logikai szerkezetéb®l következik, hogy ha igaz minden r > 0 természetes számra, akkor igaz r = ∞ esetén is. Ezért elgend® 1-t®l indított teljes indukcióval igazolni a következ® A (r) állítást: "r ∈ N∗ , és minden X és Y normált térre, és minden X0 ⊆ X és Y0 ⊆ Y zárt lineáris altérre, és minden f : X Y Cr -osztályú függvényre, és minden Ω ⊆ X0 ∩ Dom(f ) halmazra, ha Ω nyílt az X0 normált altérben és f hΩi ⊆ Y0 , akkor az f |Ω : Ω → Y0 függvény Cr -osztályú." Feltesszük, hogy r = 1 és az A (1) kijelentésben megfogalmazott implikáció premisszája teljesül az X , Y , X0 , Y0 , f és Ω objektumokra. El®ször azt mutatjuk meg, hogy ekkor az f0 := f |Ω : X0 Y0 függvény minden a ∈ Ω pontban dierenciálható, és (Df )(a)hX0 i ⊆ Y0 , valamint (Df0 ) (a) = (Df )(a) ◦ inX0 ,X , ahol inX0 ,X : X0 → X a kanonikus injekció. Legyen a ∈ Ω rögzítve, és x0 ∈ X0 . Megmutatjuk, hogy ((Df )(a)) (x0 ) ∈ Y0 . Ehhez rögzítsük a-nak olyan V környezetét az X normált térben, amelyre X0 ∩ V ⊆ Ω. A deriváltértékek és az iránymenti deriváltak kapcsolatának ismeretében írható, hogy

((Df )(a)) (x0 ) = Dx0 f (a) = lim

λ→0

f (a + λ.x0 ) − f (a) . λ

A K → X; λ 7→ a + λ.x0 leképezés folytonos a 0-ban és V környezete a-nak X -ben, ezért van olyan δ ∈ R∗+ , amelyre minden λ ∈ Br (0; K) esetén a + λ.x0 ∈ V , tehát a + λ.x0 ∈ V ∩ X0 ⊆ Ω, hiszen X0 lineáris altere X -nek. A hipotézis szerint f hΩi ⊆ Y0 , f (a + λ.x0 ) − f (a) így minden λ ∈ Br (0; K) \ {0} számra ∈ Y0 . Ebb®l a határértékekre λ vonatkozó lokalizációs tétel alapján kapjuk, hogy ((Df )(a)) (x0 ) ∈ Y0 , tehát Y0 zártsága miatt ((Df )(a)) (x0 ) ∈ Y0 . Ez azt jelenti, hogy a ∈ Ω esetén ((Df )(a)) |X0 ∈ L (X0 ; Y0 ), és nyilvánvaló, hogy minden x ∈ Ω \ {a} pontra

f0 (x) − f0 (a) − ((Df )(a)) |X0 (x − a) f (x) − f (a) − ((Df )(a)) (x − a) = , kx − akX0 kx − akX ahol k · kX jelöli X normáját, és k · kX0 jelöli X normájának lesz¶kítését X0 -ra. Ebb®l azonnal következik (például az átviteli elv alkalmazásával), hogy

f0 (x) − f0 (a) − ((Df )(a)) |X0 (x − a) = 0, lim x→a X0 −ban kx − akX0 tehát f0 dierenciálható az a pontban és

(Df0 )(a) = ((Df )(a)) |X0 = ((Df )(a)) ◦ inX0 ,X .

2.1. DIFFERENCIÁLHATÓ STRUKTÚRA INVERZ KÉPE

41

Ebb®l következik, hogy, ha bevezetjük a

τ : L (X; Y ) → L (X0 ; Y );

u 7→ u ◦ inX0 ,X

folytonos lineáris operátort, akkor fennáll a

Df0 = τ ◦ (Df )|Ω , és a hipotézis szerint az f függvény C1 -osztályú, így a Df : Dom(f ) → L (X; Y ) függvény folytonos, tehát a (Df )|Ω : Ω → L (X; Y ) leképezés is folytonos. Ezért a Df0 : Ω → L (X0 ; Y0 ) leképezés folytonos, vagyis az f0 függvény C1 -osztályú. Ezzel az A (1) állítást igazoltuk Most tegyük fel, hogy A (r) teljesül, és legyenek X , Y , X0 , Y0 , f és Ω olyan objektumok, amelyekre az A (r + 1) kijelentésben megfogalmazott implikáció premisszája teljesül. A hipotézis szerint az f függvény Cr+1 -osztályú, ezért a Df : Dom(f ) → L (X; Y ) deriváltfüggvény Cr -osztályú. Mivel az imént bevezetett τ : L (X; Y ) → L (X0 ; Y ) leképezés folytonos lineáris operátor, tehát analitikus függvény, így a τ ◦ Df : Dom(f ) → L (X0 ; Y ) leképezés Cr -osztályú. Most alkalmazzuk az A (r) induciós hipotézist X -re, X0 -ra, Ω-ra, és Y helyére a L (X0 ; Y ) operátorteret, Y0 helyére az L (X0 ; Y0 ) ⊆ L (X0 ; Y ) lineáris alteret, és f helyére a τ ◦ Df : X L (X0 ; Y ) leképezést helyettesítve. Az A (r) kijelentésben megfogalmazott feltételek teljesülnek ezekre az objektumokra, mert: nyilvánvaló, hogy az Y0 ⊆ Y altér zártsága miatt L (X0 ; Y0 ) operátornormában zárt az L (X0 ; Y ) operátortérben (s®t még a pontonkénti konvergencia topológiájára nézve is zárt); az A (1) állítás bizonyításában láttuk, hogy (τ ◦ (Df )) hΩi ⊆ L (X0 ; Y0 ). Tehát a τ ◦ (Df )|Ω = (τ ◦ Df ) |Ω : Ω → L (X0 ; Y ) leképezés Cr -osztályú, és az A (1) állítás bizonyítása szerint τ ◦ (Df )|Ω = D (f |Ω ). Ez azt jelenti, hogy az f |Ω : Ω → Y0 függvény Cr+1 -osztályú, tehát A (r + 1) is igaz.

2.1.4. Tétel. Legyen N topologikus tér, M Cr -osztályú, S-típusú sokaság, és f : N → M folytonos függvény.

a) Ha a (V, ϕ, F ) és (W, ψ, G) hármasok f -adaptáltak (illetve szigorúan f -adaptáltak), akkor a (ϕ ◦ f )|V : N F és (ψ ◦ f )|W : N G függvények olyan M(S)-típusú (illetve M∗ (S)-típusú) térképei az N halmaznak, amelyek Cr -konzisztensek. b) Létezik az f -adaptált (illetve szigorúan f -adaptált) hármasok F (illetve F∗ ) halmaza. c) Ha minden a ∈ N esetén létezik olyan (V, ϕ, F ) hármas, amely f -adaptált (illetve szigorúan f -adaptált) és a ∈ V , akkor a {(ϕ◦f )|V | (V, ϕ, F ) ∈ F } (illetve a {(ϕ◦f )|V | (V, ϕ, F ) ∈ F∗ }) halmaz N feletti, Cr -osztályú, M(S)-típusú (illetve M∗ (S)-típusú) atlasz, az általa generált sokaság-strukúra szerint meghatározott N feletti topológia egyenl® az N eredeti topológiájával.

42


Bizonyítás. a) Ha a (V, ϕ, F ) hármas f -adaptált (illetve szigorúan f -adaptált), akkor deníció szerint a (ϕ ◦ f )|V : N F függvény injekció és Im ((ϕ ◦ f )|V ) = F ∩ Im(ϕ), tehát (ϕ ◦ f )|V értékkészlete nyílt halmaz F -ben, ami zárt (illetve topologikus algebrai komplementerrel rendelkez®) lineáris altere az Eϕ ∈ S normált térnek. Tehát minden (V, ϕ, F ) f -adaptált (illetve szigorúan f -adaptált) hármasra a (ϕ ◦ f )|V : N F függvény M(S-típusú (illetve M∗ (S-típusú) térképe az N halmaznak, és természetesen E(ϕ◦f )|V = F . Legyenek a (V, ϕ, F ) és (W, ψ, G) hármasok f -adaptáltak. Azt kell igazolni, hogy a (ψ ◦ f ) |W ◦ ((ϕ ◦ f ) |V )−1 : F G függvény Cr -osztályú. Világos, hogy

Ω := Dom (ψ ◦ f ) |W ◦ ((ϕ ◦ f ) |V )−1 = (ϕ ◦ f ) |V hV ∩ W i, és a (ϕ ◦ f )|V : V → F ∩ Im(ϕ) függvény homeomorzmus, és V ∩ W nyílt halmaz aV topologikus altérben, így (ϕ ◦ f ) |V hV ∩ W i nyílt az F ∩ Im(ϕ) topologikus altérben, így az F normált altérben is nyílt. Továbbá nyilvánvaló, hogy

(ψ ◦ f ) |W ◦ ((ϕ ◦ f ) |V )−1 = ψ ◦ ϕ−1 |Ω , továbbá a ϕ és ψ térképek Cr -konzisztenciája miatt a ψ ◦ ϕ−1 : Eϕ Eψ függvény Cr -osztályú. A hipotézis szerint G zárt lineáris altere Eψ -nek. Ez azt jelenti, hogy az el®z® lemma alkalmazható a következ® szereposztással: X := Eϕ , Y := Eψ , X0 := F és Y0 := G; f helyére ψ ◦ ϕ−1 kerül;

Ω := Dom (ψ ◦ f ) |W ◦ ((ϕ ◦ f ) |V )−1 = (ϕ ◦ f ) |V hV ∩W i ⊆ ϕhDom(ϕ)∩Dom(ψ)i = Dom(ψ ◦ ϕ−1 ), hiszen f hV ∩ W i ⊆ f hV i ∩ f hW i ⊆ Dom(ϕ) ∩ Dom(ψ). A lemmából azonnal kapjuk, hogy a (ψ ◦ f ) |W ◦ ((ϕ ◦ f ) |V )−1 : F G függvény Cr osztályú. b) Ha a (V, ϕ, F ) hármas f -adaptált, akkor

(V, ϕ, F ) ∈ TN × Ch(M ) × M(S), ahol TN jelöli az N topológiáját, ezért a részhalmaz-axióma alkalmazásával képezhet® az f -adaptált hármasok F halmaza. Mivel pedig M∗ (S) ⊆ M(S), így a szigorúan f -adaptált hármasok F∗ halmaza is (még inkább) képezhet®. Ezért léteznek a

A := { (ϕ ◦ f )|V | (V, ϕ, F ) ∈ F }, A∗ := { (ϕ ◦ f )|V | (V, ϕ, F ) ∈ F∗ } halmazok. c) Az a) állítás szerint A bármely két eleme Cr -konzisztens, és mivel A∗ ⊆ A , ez A∗

2.2. KVÁZIRÉSZSOKASÁGOK ÉS RÉSZSOKASÁGOK

43

elemeire is (még inkább) igaz. Tehát, ha minden a ∈ N ponthoz van olyan (V, ϕ, F ) hármas, amely f -adaptált (illetve szigorúan f -adaptált) és a ∈ V , akkor az A -hoz (illetve A∗ -hoz) tartozó térképek deníciós tartományai befedik az N halmazt, így A (illetve A∗ ) N feletti, Cr -osztályú, M(S)-típusú (illetve M∗ (S)-típusú) atlasz. Jelölje D (illetve D∗ ) az A (illetve A∗ ) atlasz által generált dierenciálható struktúrát. Mivel A ⊆ A∗ , így D ⊆ D∗ . Legyen T (illetve T∗ ) a D (illetve D∗ ) dierenciálható struktúra által meghatározott sokaság-topológiát. továbbá TN az N eredeti topológiáját. Azt kell igazolni, hogy T = TN (illetve T∗ = TN ). Legyen Ω ∈ T (illetve Ω ∈ T∗ ) és a ∈ Ω. Ekkor a sokaság-topológia deníciója szerint létezik olyan ψ ∈ D (illetve ψ ∈ D∗ ), amelyre a ∈ Dom(ψ) ⊆ Ω. Ugyanakkor létezik f -adaptált (illetve szigorúan f -adaptált) hármasoknak olyan ((Vi , ϕi , Fi ))i∈I rendszere, [ [ Vi , tehát Dom(ψ) = (Vi ∩ Dom(ψ)). Ezért van olyan i ∈ I , hogy hogy N = i∈I

i∈I

a ∈ Vi ∩ Dom(ψ) ⊆ Ω. Ekkor (ϕi ◦ f )|Vi ∈ D (illetve (ϕi ◦ f )|Vi ∈ D∗ ), tehát Vi ∈ T (illetve Vi ∈ T∗ ), következésképpen Vi ∩ Dom(ψ) ∈ T (illetve Vi ∩ Dom(ψ) ∈ T∗ ). Mivel a (ϕi ∩ f ) |Vi : Vi → F ∩ Im(ϕi ) függvény homeomorzmus a TN |Vi (illetve

2.1.5. Deníció. Legyen N topologikus tér, M Cr -osztályú, S-típusú sokaság és f :

N → M folytonos függvény. Tegyük , és minden a ∈ N esetén létezik olyan f -adaptált (illetve szigorúan f -adaptált) (V, ϕ, F ) hármas, hogy a ∈ V , akkor az el®z® tétel c) pontjában értelmezett N halmaz feletti, Cr -osztályú, M(S)-típusú (illetve M∗ (S)-típusú) atlasz által generált dierenciálható struktúrát az M dierenciálható struktúrája f által létesített inverz képének (illetve szigorú inverz képének) nevezzük.

2.2.

Kvázirészsokaságok és részsokaságok

A dierenciálható struktúrák inverz képének legfontosabb speciális esetei a kvázirészsokaságok és a részsokaságok dierenciálható struktúrái.

2.2.1. Deníció.

2.3.

Immerziók

2.3.1. Deníció. Legyenek M és N sokaságok. Az f : M → N morzmust az a ∈ M pontban immerziónak nevezzük, ha a Ta (f ) ∈ L (Ta (M ); Tf (a) (N )) érint®-operátornak létezik folytonos lineáris balinverze (vagyis létezik olyan v ∈ L (Tf (a) (N ); Ta (M )), hogy v ◦ Ta (f ) = idTa (M ) ).

44


3. fejezet Szubmerziók és faktorsokaságok

45

46

3. SZUBMERZIÓK ÉS FAKTORSOKASÁGOK

4. fejezet Szubimmerziók és lokálisan linearizálható morzmusok

47

48

4. SZUBIMMERZIÓK ÉS LOKÁLISAN LINEARIZÁLHATÓ MORFIZMUSOK

II. rész Tenzormez®k

49

4.1. TENZORMEZK ÉRTELMEZÉSE

4.1.

51

Tenzormez®k értelmezése

4.1.1. Deníció. Ha E normált tér és (m, n) ∈ N × N, akkor Y

E (m,n) :=

Ei ,

i∈J0,m+nJ

ahol minden i < m + n természetes számra 8 <

Ei := :

E0 E

, ha 0 ≤ i < m, , ha 0 ≤ i < m + n.

Néhány érdekes speciális eset:

E (0,n) = E n ,

E (m,0) = (E 0 )m ,

E (2,1) = E 0 × E 0 × E,

E (1,1) = E 0 × E,

E (3,1) = E 0 × E 0 × E 0 × E.

A következ® deníció el®tt emlékeztetünk arra, hogy ha E és E0 normált terek, valamint u : E0 → E lineáris homeomorzmus, akkor az

u0 : E 0 → E00 ;

φ 7→ φ ◦ u

duális operátor izometrikus lineáris bijekció, és az (u0 )−1 : E00 → E 0 inverzfüggvény szintén izometrikus lineáris bijekció.

4.1.2. Deníció. Ha E és E0 normált terek, u : E0 → E lineáris homeomorzmus, és (m, n) ∈ N × N, akkor

u(m,n) :=

× i∈J0,m+nJ

ui ,

ahol minden i < m + n természetes számra 8 <

ui := : (m,n)

tehát u(m,n) : E0

(u0 )−1 u

, ha 0 ≤ i < m, , ha 0 ≤ i < m + n,

→ E (m,n) izometrikus lineáris bijekció.

4.1.3. Lemma. Legyenek X és Y normált terek, w : X → Y lineáris homeomorzmus,

valamint (m, n) ∈ N × N. Értelmezzük a

τX : X 0 × X (m,n) → X (m+1,n)

52

leképezést úgy, hogy minden (x, (xi )0≤i<m+n ) ∈ X 0 × X (m,n) esetén τX (x, (xi )0≤i<m+n ) := (˜ xi )0≤i<m+n+1 , ahol (˜ xi )0≤i<m+n+1 ∈ X (m+1,n) az a rendszer, amelyre minden i < m+n+1 természetes szám esetén 8 <

x xi−1

x˜i := :

, ha i = 0, , ha 1 ≤ i < m + n + 1.

Hasonló formulával értelmezzük a

τY : Y 0 × Y (m,n) → Y (m+1,n) leképezést is. Ekkor a

τ

Y Y 0 × Y (m,n) −−− → Y (m,n)

x ? ?

x ? ?w(m+1,n) ?

(w0 )−1 ×w(m,n) ? τ

X X 0 × X (m,n) −−− → X (m,n)

diagram kommutatív. Bizonyítás. A deníciók alapján triviális.

4.1.4. Állítás. a) Ha E , E0 és E1 normált terek, valamint u : E0 → E és v : E1 → E0 lineáris homeomorzmus, akkor minden (m, n) ∈ N × N esetén

(u ◦ v)(m,n) = u(m,n) ◦ v (m,n) . b) Ha E és E0 normált terek, valamint u : E0 → E lineáris homeomorzmus, akkor (m,n) minden (m, n) ∈ N × N esetén u(m,n) : E0 → E (m,n) lineáris homeomorzmus és

u(m,n)

−1

= u−1

(m,n)

.

Bizonyítás. a) Legyen n ∈ N rögzítve, és jelölje A (m) a következ® kijelentést: m ∈ N, továbbá minden E , E0 és E1 normált térre, valamint minden u : E0 → E és v : E1 → E0 lineáris homeomorzmusra

(u ◦ v)(m,n) = u(m,n) ◦ v (m,n) teljesül. Teljes indukcióval igazoljuk, hogy (∀m ∈ N) : A (m) igaz. Az A (0) kijelentés bizonyításához legyenek E , E0 és E1 normált terek, valamint u : E0 → E és v : E1 → E0 lineáris homeomorzmusok. Azt kell igazolni, hogy

53

4.1. TENZORMEZK ÉRTELMEZÉSE

(u ◦ v)(0,n) = u(0,n) ◦ v (0,n) . A deníció alapján világos, hogy (u ◦ v)(0,n) : E1n → E n az a leképezés, amelyre minden (zi )i∈n ∈ E1n esetén

(u ◦ v)(0,n) ((zi )i∈n ) = ((u ◦ v)(zi ))i∈n = (u(v(zi )))i∈n = u(0,n) (v(zi ))i∈n =

= u(0,n) v (0,n) ((zi )i∈n ) = u(0,n) ◦ v (0,n) ((zi )i∈n ) , tehát (u ◦ v)(0,n) = u(0,n) ◦ v (0,n) . Tegyük fel, hogy az m ∈ N számra A (m) igaz. Az A (m + 1) kijelentés bizonyításához legyenek E , E0 és E1 normált terek, valamint u : E0 → E és v : E1 → E0 lineáris homeomorzmusok. Ekkor fennáll a következ® egyenl®ség-lánc:

(1)

(2)

(u ◦ v)(m+1,n) ◦ τE1 = τE ◦ ((u ◦ v)0 )−1 × (u ◦ v)(m,n) = (2)

= τE ◦

(4)

(u0 )−1 ◦ (v 0 )−1 × (u ◦ v)(m,n)

(3)

= τE ◦

(u0 )−1 ◦ (v 0 )−1 × u(m,n) ◦ v (m,n)

(5)

(4)

=

(6)

= τE ◦ (u0 )−1 × u(m,n) ◦ (v 0 )−1 × v (m,n) = u(m+1,n) ◦ τE0 ◦ (v 0 )−1 × v (m,n) = (6)

= u(m+1,n) ◦ v (m+1,n) ◦ τE1 ,

ahol τE , τE0 és τE1 az el®z® lemmában bevezetett függvények, rendre az E , E0 és E1 normált terekhez, valamint: (1)

az = egyenl®ségnél az el®z® lemmát alkalmaztuk az X := E1 , Y := E , w := u ◦ v szereposztással; (2)

a = egyenl®ségnél felhasználtuk a duális operátorokra jól ismert (u ◦ v)0 = v 0 ◦ u0 formulát, valamint a függvénykompozíció inverzére vonatkozó elemi halmazelméleti összefüggést; (3)

a = egyenl®ségnél az indukciós hipotézist alkalmaztuk; (4)

a = egyenl®ségnél felhasználtuk a függvényszorzatok kompozíciójának el®állítására vonatkozó ismert formulát; (5)

az = egyenl®ségnél ismét az el®z® lemmát alkalmaztuk az X := E0 , Y := E , w := u szereposztással; (6)

a = egyenl®ségnél még egyszer hivatkozunk az el®z® lemmára, ezúttal az X := E1 , Y := E0 és w := v szereposztással.

(m+1,n)

Ezzel megmutattuk, hogy (u◦v)(m+1,n) = u(m+1,n) ◦v (m+1,n) teljesül az Im τE1 ⊆ E1 (m+n)

(m+1,n)

halmazon, így a τE1 : (E1 )0 × E1 → E1 függvény szürjektivitása miatt (m+1,n) (m+1,n) (m+1,n) (u ◦ v) =u ◦v , amivel az indukciós lépést megtettük.

54 b) A deníció szerint triviális, hogy ha E normált tér, akkor minden (m, n) ∈ N × N esetén = idE(m,n) . id(m,n) E Ebb®l és a)-ból következik, ho E0 és E normált terek, valamint u : E0 → E lineáris homeomorzmus, akkor

u(m,n) ◦ u−1

vagyis u(m,n)

−1

u−1

(m,n)

(m,n)

(m,n)

(m,n)

◦ u(m,n) = u−1 ◦ u

(m,n)

= (u−1 )

= u ◦ u−1

= id(m,n) = idE(m,n) , E = id(m,n) = id E 0

(m,n) E 0

,

.

4.1.5. Deníció. Legyen M Cr -osztályú, S-típusú sokaság, F normált tér és (m, n) ∈ N × N. Ekkor a

Y a∈M

Lm+n (Ta (M ))(m,n) ; F

szorzathalmaz elemeit M feletti, F -érték¶, (m, n)-típusú (vagy m-szeresen kontravariáns és n-szeresen kovariáns) tenzormez®knek nevezzük. Ha τ egy M feletti, F -érték¶, (m, n)-típusú tenzormez®, akkor ϕ ∈ Ch(M ) esetén a

τϕ : Im(ϕ) → Lm+n ((Eϕ )(m,n) ; F );

z 7→ τ (ϕ−1 (z)) ◦ Θϕ,ϕ−1 (z)

(m,n)

leképezést a τ tenzormez® ϕ-vel térképezett formájának nevezzük. Azt mondjuk, hogy egy M feletti, F -érték¶, (m, n)-típusú τ tenzormez® Cs -osztályú, ha s ≤ r és minden ϕ ∈ Ch(M ) esetén a τ tenzormez® ϕ-vel térképezett formája Cs -osztályú függvény, vagyis τϕ ∈ Cs (Im(ϕ); Lm+n ((Eϕ )(m,n) ; F )).

4.1.6. Állítás. Legyen M Cr -osztályú, S-típusú sokaság, F normált tér és (m, n) ∈ N × N. Ha ϕ, ψ ∈ Ch(M ), akkor minden a ∈ Dom(ϕ) ∩ Dom(ψ) esetén

τϕ (ϕ(a)) = τψ (ψ(a)) ◦ Θ−1 ψ,a ◦ Θϕ,a Bizonyítás.

(m,n)

.

III. rész Pszeudo-Riemann- és Lorentz-sokaságok

55

57

4.1.7. Deníció. Legyen M Cr -osztályú, S-típusú valós sokaság, és g := (ga )a∈M ∈

Y a∈M

L2 (Ta (M )2 ; R).

Azt mondjuk, hogy a g függvény Cr -osztályú metrika M felett, ha minden ϕ ∈ Ch(M ) esetén a

gϕ : Im(ϕ) → L2 (E2ϕ ; R);

z 7→ gϕ−1 (z) ◦ (Θϕ,ϕ−1 (z) × Θϕ,ϕ−1 (z) )

leképezés Cr -osztályú.

4.1.8. Deníció. Az (M, g) párt Cr -osztályú, S-típusú pszeudo-Riemann sokaságnak nevezzük, ha M Cr -osztályú, S-típusú valós sokaság, és g = (ga )a∈M ∈

Y a∈M

L2 (Ta (M )2 ; R)

olyan Cr -osztályú metrika M felett, amelyre minden a ∈ M esetén a

ga : Ta (M ) × Ta (M ) → R folytonos bilineáris funkcionál szimmetrikus és nemelfajult, vagyis a

Ta (M ) → Ta (M )0 ; leképezés lineáris homemorzmus.

t 7→ ga (t, ·)

A matematikai analízis elemei VI

Recommend Documents