A matematikai analízis elemei III

A matematikai analízis elemei III. (Holomorf függvények, A funkcionálanalízis elemei, Az analitikus geometria elemei)

Kristóf János

Tartalomjegyzék I. Holomorf függvények 1.

A Cauchy-Riemann egyenlet

1.1. 1.2. 1.3. 1.4.

2.

3.

4.

7

R-lineáris és C-lineáris operátorok . . . R-dierenciálható és C-dierenciálható függvények. . . . . . . . . . . . . . . . . . Cauchy-Riemann egyenlet . . . . . . . . Gyakorlatok . . . . . . . . . . . . . . . . .

13

. . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

Holomorf függvény primitív függvényei

2.1. 2.2. 2.3. 2.4. 2.5. 2.6. 2.7. 2.8.

Szakasz menti integrál . . . . . . . . . . . . . . . A NewtonLeibniz-tétel komplex formája . . . Goursat-lemma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Holomorf függvény lokális primitív függvényei Komplex logaritmus és kompex hatványozás . Végtelen numerikus szorzatok . . . . . . . . . . A szakasz menti integrál általánosítása. . . . . Gyakorlatok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Komplex vonalintegrál

3.1. 3.2. 3.3. 3.4.

A komplex vonalintegrál értelmezése Példák komplex vonalintegrálokra. . Indexfüggvény . . . . . . . . . . . . . Gyakorlatok . . . . . . . . . . . . . . .

Cauchy integráltétele

4.1. 4.2. 4.3. 4.4. 4.5.

Kontúrhomotóp ívek . . . . . . . . . Cauchy intergáltétele . . . . . . . . Cauchy els® integrálformulája . . . Cauchy második integrálformulája Gyakorlatok . . . . . . . . . . . . . . 1

. . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

és alaptulajdonságai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . . . . .

. . . . .

. . . . . . . .

. . . . .

. . . . . . . .

. . . . .

. . . . . . . .

. . . . .

. . . . . . . .

. . . . .

. . . . . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

21 21 26 28 34 35 39 44 49

51 51 57 58 62

67 67 68 72 73 75

2

5.

TARTALOMJEGYZÉK

A Cauchy integráltétel következményei

5.1. 5.2. 5.3. 5.4. 5.5.

5.6. 5.7. 5.8. 5.9. 5.10. 5.11. 5.12. 5.13.

6.

7.

Cauchy-transzformáció . . . . . . . . . . . . . . . . . Holomorf függvény analitikussága . . . . . . . . . . . A megszüntethet® szingularitások tétele . . . . . . . Holomorf függvény primitív függvényei. . . . . . . . A holomortás integrális jellemzése: Morera tétele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Cauchy-egyenl®tlenség. . . . . . . . . . . . . . . . . . Liouville tétele és az algebra alaptétele. . . . . . . . A paraméteres integrálfüggvények holomortása . . Holomorf függvények pontonkénti limeszfüggvénye. Holomorf függvény gyökei . . . . . . . . . . . . . . . A lokális maximum elve . . . . . . . . . . . . . . . . . A Riemann-féle zéta-függvény . . . . . . . . . . . . . Gyakorlatok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

Komplex normált terek között ható holomorf függvények

6.1. 6.2. 6.3. 6.4. 6.5. 6.6.

Hartogs-tétel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A holomortás jellemzései . . . . . . . . . . . . . . . Cauchy-féle maximum-elv . . . . . . . . . . . . . . . Az általános Cauchy-egyenl®tlenség. . . . . . . . . . Holomorf függvények pontonkénti limeszfüggvénye. Holomorf függvények terei . . . . . . . . . . . . . . .

Laurent-sorfejtés és meromorf függvények

7.1. 7.2. 7.3. 7.4. 7.5. 7.6.

Laurent-tétel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Laurent-sorfejtés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Pólusok és lényeges szingularitások . . . . . . . . Meromorf függvények és a reziduum-tétel . . . . A meromorf függvények speciális tulajdonságai. Gyakorlatok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

II.

A funkcionálanalízis elemei

8.

Folytonos lineáris operátor spektruma

8.1. 8.2. 8.3. 8.4. 8.5. 8.6.

A spektrum standard felbontása. . . . . . . . . Spektrálsugár . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A rezolvens-függvény analitikus tulajdonságai A spektrálsugár minimalitása . . . . . . . . . . Komplexikáció spektruma . . . . . . . . . . . . Sajátértékek és általánosított sajátértékek. . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

87 87 91 91 92

94 96 97 99 100 101 103 106 112

123 123 133 143 145 147 149

151 151 158 160 160 163 166

177 . . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

183 183 185 186 189 190 197

TARTALOMJEGYZÉK 8.7. 8.8. 8.9.

9.

10.

11.

12.

13.

14.

Teljesen folytonos lineáris operátorok spektruma. . . . . . . . . . . . . 199 Teljesen folytonos integráloperátorok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207 Gyakorlatok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211

Baire-féle kategóriatétel

9.1. 9.2. 9.3. 9.4.

3

Sehol sem s¶r¶, I. és II. kategóriájú halmazok Baire-féle kategóriatétel . . . . . . . . . . . . . . A Baire-féle kategóriatétel alkalmazásai . . . . Gyakorlatok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

223 223 224 226 227

BanachSteinhaus-tétel

235

Banach nyíltleképezés tétele

247

Hilbert-terek

253

10.1. 10.2. 10.3. 11.1. 11.2. 11.3. 12.1. 12.2. 12.3. 12.4. 12.5. 12.6.

Banach tétele az egyenletes korlátosságról . . . . . . . . . . . . . . . . . 235 BanachSteinhaus-tétel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236 Gyakorlatok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238 Banach nyíltleképezés tétele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247 Zártgráf-tétel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 250 Gyakorlatok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251 Paralelogramma-egyenl®ség és prehilbert-terek . . . . . . . . . . . Skalárszorzások és prehilbert-normák. . . . . . . . . . . . . . . . . Vektor ortogonális projekciója nem üres konvex teljes halmazra. Riesz-féle felbontási tétel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Hilbert-tér biduálisa: Riesz-féle reprezentációs tétel . . . . . . . . Gyakorlatok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Ortogonális rendszerek és ortogonális sorok

13.1. 13.2. 13.3. 13.4. 13.5.

Az ortogonális sorok kovergenciájának kritériuma Bessel egyenl®tlenség és Parseval-egyenl®ség . . . GramSchmidt-ortogonalizáció . . . . . . . . . . . Hilbert-tér szeparabilitásának jellemzése . . . . . . Gyakorlatok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Folytonos lineáris operátorok Hilbert-terek között

14.1. 14.2. 14.3. 14.4. 14.5. 14.6.

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

Folytonos lineáris operátor adjungáltja. . . . . . . . . . . . . . . . Az operátoradjungálás tulajdonságai . . . . . . . . . . . . . . . . . Folytonos önadjungált operátor és unitér operátor spektruma . . Klasszikus Fourier-transzformáció . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Hilbert-tér feletti folytonos lineáris operátorok spektruma . . . . Spektráltétel véges dimenziós Hilbert-tér normális operátoraira .

. . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . .

253 254 260 261 263 266

277 277 278 281 283 284

319 319 320 322 324 343 350

4

TARTALOMJEGYZÉK 14.7.

15.

Gyakorlatok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 352

Lineáris operátorok Hilbert-terek között

15.1. 15.2. 15.3. 15.4. 15.5.

A Heisenberg-féle felcserélési reláció . . . . . . . . . S¶r¶n értelmezett lineáris operátor adjungáltja. . . Zárt operátorok. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Önadjungált operátor folytonosságának jellemzése . Gyakorlatok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

III.

Az analitikus geometria elemei

16.

Véges dimenziós valós vektorterek részsokaságai

17.

16.1. 16.2. 16.3. 16.4. 16.5. 16.6. 16.7. 16.8. 16.9. 16.10.

Paraméterezések és részsokaságok . . . . . . . . Példák részsokaságokra . . . . . . . . . . . . . . Átviteli függvények és részsokaság dimenziója Részsokaság érint®tere. . . . . . . . . . . . . . . Cr -osztályú leképezések részsokaságok között . A szintfelületek kollektív paraméterezése . . . Részsokaság értelmezése normálegyenlettel . . Részsokaságok szorzata . . . . . . . . . . . . . . Az állandó rang tétele . . . . . . . . . . . . . . . Gyakorlatok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Riemann-sokaságok és felületi mértékek

17.1. 17.2. 17.3. 17.4. 17.5.

17.6. 17.7. 17.8. 17.9. 17.10. 17.11. 17.12. 17.13. 17.14.

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

361 361 363 364 366 367

381 . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

Riemann-sokaságok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Riemann-sokaság paraméterezésének modulusa. . . . . . . . . . . . . Riemann-sokaság paraméterezései modulusainak kapcsolata . . . . . Riemann-sokaság paraméterezése modulusának integrálelméleti jelent®sége . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Riemann-sokaság paraméterezése által meghatározott pozitív mérték . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Riemann-sokaság felületi mértéke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Euklidészi mérték . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Felületi mérték szerinti helyettesítéses integrálás tétele . . . . . . . . A felületi mérték szerinti integrálhatóság elemi kritériuma . . . . . . A felületi mérték szerinti integrálhatóság kritériuma . . . . . . . . . A szintfelületek kollektív paraméterezésének tétele euklidészi térre . Egységosztás-tétel sokaságokra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A térfogati és felületi integrálok kapcsolata: a Cavalieri-elv . . . . . Gyakorlatok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

389 389 391 392 394 395 397 400 403 404 408

419

. 419 . 421 . 423 . 423 . . . . . . . . . .

425 427 429 431 438 444 450 455 458 466

TARTALOMJEGYZÉK

18.

19.

5

Nyílt halmaz reguláris határa

18.1. 18.2. 18.3. 18.4.

A reguláris határ értelmezése és alaptulajdonságai. Példák reguláris határra. . . . . . . . . . . . . . . . . A reguláris határ simasága . . . . . . . . . . . . . . . Kimen® normálvektor-mez® a reguláris határon . .

GaussOsztrogradszkij-tétel

19.1. 19.2. 19.3. 19.4. 19.5. 19.6.

A GaussOsztrogradszkij-tételkör . . . . . . . . . A GaussOsztrogradszkij-tétel alapformája . . . Folytonosan dierenciálható függvények terei . . Green-formulák . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Alkalmazás: Elliptikus peremértékprobléma megoldásának unicitása . . . . . . . . . . . . . . . A GaussOsztrogradszkij-tétel általánosításairól

. . . .

. . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

475 475 476 476 477

481 481 482 489 490

. . . . . . . . . . . . . 491 . . . . . . . . . . . . . 493

6

TARTALOMJEGYZÉK

I. rész Holomorf függvények

7

9

BEVEZETÉS Ebben a fejezetben a komplex változós, komplex Banach-terekbe ható differenciálható (másnéven holomorf) függvények speciális tulajdonságaival foglalkozunk. Ennek a témakörnek és a többdimenziós általánosításainak fontos alkalmazásai vannak a matematikában (például a komplex Banach-terek között ható folytonos lineáris operátorok területén, vagy a parciális dierenciálegyenletek elméletében), és az elméleti zikában (például a hidrodinamikában, vagy a zikai térelméletekben). A többváltozós komplex függvénytan természetes folytatása az egyváltozós holomorf függvények elméletének, ezért a többdimenziós általánosítás feltételezi az egydimenziós speciális eset ismeretét. A VII. fejezetben láttuk, hogy a valós normált terek, illetve a komplex normált terek között ható függvények dierenciálhatóságának fogalma formálisan egyszerre megadható, és sok nemtriviális dierenciális tulajdonság ugyanúgy érvényes, a skalárterek választásától függetlenül. Ezért egyáltalán nem magától értet®d® az, hogy komplex Banachterek között ható függvényekre a dierenciálhatóság feltétele sokkal er®sebb, mint valós Banach-terek esetében. Látni fogjuk, hogy a X. fejezetben tárgyalt geometriai integrálelmélet egyfajta továbbfejlesztése (a komplex vonalintegrálás) szoltáltatja azt az eszközt, amely lehet®vé teszi a valós és a komplex dierenciálható függvények tulajdonságai között fennálló lényeges különbségek feltárását. Komplex normált terek között ható függvény egyben az alulfekv® valós normált terek között ható függvénynek is tekinthet®, ezért ilyen függvényre kétféle dierenciálásfogalom is értelmes. A C-dierenciálhatóság és az R-dierenciálhatóság közötti kapcsolatot vizsgáljuk meg az els® pontban. Az R-dierenciálható függvények C-dierenciálhatóságának szükséges és elégséges feltéletét fejezi ki a Cauchy-Riemann egyenlet. Látni fogjuk, hogy a holomorf függvények primitív függvényeinek létezése dönt® szerepet játszik a holomorf függvények speciális tulajdonságait illet®en. A második pontban bevezetjük a szakasz menti integrál fogalmát, és ennek segítségével bebizonyítjuk a NewtonLeibniz-tétel komplex formáját. A X. fejezet 2. pontjában igazoltuk, hogy az R egy nyílt intervallumán értelmezett, valós Banach-térbe ható folytonos függvénynek szükségképpen létezik primitív függvénye; ez a NewtonLeibniz-tétel valós formája. Ezzel szemben a C egy nyílt csillaghalmazán értelmezett, komplex Banach-térbe ható folytonos függvénynek csak egy rendkívül speciális integrális mellékfeltétel teljesülése esetén létezik primitív függvénye. Itt még nem látható világosan, hogy ez az integrális feltétel mennyire er®s követelmény; csak az nyilvánvaló, hogy ez nem teljesül automatikusan minden folytonos függvényre. Kés®bb kiderül (a Morera-tételb®l), hogy a NewtonLeibniz-tétel komplex formájában szerepl® integrális mellékfeltétel ekvivalens a függvény holomortásával a nyílt csillaghalmazon. A Goursat-lemma szerint a holomortás elégséges a szóbanforgó integrális feltétel teljesüléséhez. Ennek fontos következménye, hogy minden holomorf függvénynek lokálisan léteznek primitív függvényei.

10 A szakasz menti integrál alkalmazásával - közvetlenül - csak egészen speciális, lokális természet¶ állítások bizonyíthatók. A holomorf függvényekkel kapcsolatos er®sebb, globális eredmények származtatásához szükség van a szakasz menti integrál fogalmának általánosítására. Így jutunk el a komplex vonalintegrálhoz, amir®l a harmadik pontban lesz szó. E fogalom pontos értelmezése szempontjából egészen lényeges az "integrációs út" egzakt denícója. Az általunk választott általánosság szintjén mind elméleti, mind gyakorlati szempontból kielégít® a szakaszonként C1 -osztályú ívek menti vonalintegrálás fogalma. Itt vezetjük be az ilyen típusú ívek indexfüggvényét, ami gyakran el®fordul bizonyos vonalintegrálokkal kapcsolatos formulákban. A Cauchy-integráltétel és a Cauchy-integrálformulák centrális jelent®ség¶ek a holomorf függvények elméletében. A komplex függvénytan valamennyi nemtriviális tétele, legalábbis közvetve, hivatkozik ezekre. Az ötödik pontban bemutatjuk a Cauchy-integráltétel néhány elemi következményét. Ezek közül kiemelkedik az az elvi fontosságú állítás, hogy egy nyílt halmazon C-dierenciálható függvény C-analitikus az adott nyílt halmaz minden pontjában. Kiderül, hogy egy holomorf függvény adott pontbeli Taylorsorának összegfüggvénye a függvényt állítja el® a pontnak még azon a legnagyobb nyílt gömbi környezetén is, amely része a deníciós tartománynak; ez a Taylor-sorfejtés maximalitása, ami valós analitikus függvényekre általában nem igaz. Megmutatjuk, hogy egyszeresen összefügg® halmazon értelmezett holomorf függvénynek létezik primitív függvénye, és bebizonyítjuk a Morera-tételt, amely a holomortás integrálelméleti jellemzését adja. Az általános dierenciálelméletben (a VII. fejezetben) láttuk, hogy a véges növekmények formulája sok nemtriviális következménnyel jár. A véges növekmények formulája fels® becslést ad egy dierenciálható függvény értékeinek távolságára, a deváltfüggvény segítségével. Ezzel szemben, holomorf függvények deriváltjainak normáját felülr®l lehet becsülni a függvényértékek normájával; ennek a lényegesen nemtriviális állításnak a pontos formája a Cauchy-egyenl®tlenség. A Cauchy-egyenl®tlenség alapján könnyen igazolhatjuk a Liouville-tételt, amelyb®l az algebra alaptételének egészen rövid, és a korábbi bizonyítástól független, bizonyítása nyerhet®. Ugyancsak a Cauchy-egyenl®tlenség alkalmazása vezet arra az eredményre, hogy holomorf függvények lokálisan egyenletesen konvergens sorozatának limeszfüggvénye szükségképpen holomorf; ez a Weierstrass-féle konvergencia-tétel. Az utolsó pontban, a holomorf függvények Taylor-sorfejtésének általánosításaként, bevezetjük a Laurent-sorfejtés fogalmát, és ezzel kapcsolatban értelmezzük a meromorf függvényeket, amelyek a meromorf függvények legfontosabb speciális típusát képviselik. A meromorf függvények komplex vonalintegráljainak kiszámítása szempontjából érdekes a reziduum-tétel, amelynek egy viszonylag egyszer¶, de a gyakorlatban jól hasznosítható formáját mutatjuk be. Végül hangsúlyozzuk, hogy ebben a fejezetben a holomorf függvények elméletének

11 csak a legelemibb, bevezet® részét tárgyaljuk. A gyakorlatok anyagában megtalálható néhány könnyen származtatható eredmény, például a holomorf függvények gyökeinek izoláltságáról, a Mittag-Leer problámakörr®l, a holomorf függvények lokális maximumának elvér®l, valamint a Riemann-féle zéta-függvényr®l. Érintünk néhány feladattípust, amely jól szemlélteti a Cauchy-integrálformulák és a reziduum-tétel alkalmazhatóságát az improprius Lebesgue-integrálok kiszámítására. A többváltozós függvények igen nehéz elméletéb®l bemutatjuk a Hartogs-tételet, valamint ennek általánosításaként, a komplex normált térben értelmezett és komplex Banach-térbe ható függvények holomortásának, skaláris holomortásának, iránymenti holomortásának és analitikusságának ekvivalenciáját. Megadjuk a Cauchy-egyenl®tlenség végtelen dimenziós általánosítását, és annak következményeként bemutatjuk a Cauchy-féle maximum-elvet, valamint az általános Weierstrass-féle konvergencia-tételt. Mélyebb eredmények származtatásához az általános topológia, a geometriai integrálelmélet, és a funkcionálanalízis eddig nem érintett, lényegesen nemtriviális területeinek ismerete szükséges.

Irodalomjegyzék 1. L. Schwartz, Analyse mathématique, Hermann, Paris, 1967. 2. N. Bourbaki, Éléments de mathématique, Variétés diérentielles et analitiques, Fascicule de résultats, Hermann, Paris, 1967-1971.

3. J. Duncan, Bevezetés a komplex függvénytanba, M¶szaki Könyvkiadó, Budapest, 1974. 4. W. Rudin, Real and Complex Analysis, McGraw Hill Book, New-York, 1974. 5. J. Dieudonné, Éléments d'analyse, tome I, Gauthier-Villars, Paris, 1975. 6. G. E. Xilov, Matematiqeski$i analiz, Funkcii odnogo peremennogo, Nauka, Moskva, 1969. 7. E. H. Spanier, Algebraic Topology, McGraw-Hill Co., New-York, 1966.

12

1. fejezet A Cauchy-Riemann egyenlet 1.1.

R-lineáris és C-lineáris operátorok

Legyen E komplex vektortér. Az E halmaz az E feletti összeadás-függvénnyel, és a C × E → E leképezés R × E -re vett lesz¶kítésével ellátva valós vektortér; ezt nevezzük az E alatt fekv® valós vektortérnek és ER -rel jelöljük (VI. fejezet, 2. pont). Tehát az E és ER vektorterek alaphalmazai egyenl®k, továbbá az E bármely két elemének az összege ugyanaz mindkét vektortérben, és az E bármely elemének a szorzata bármelyik valós számmal megegyezik mindkét vektortérben. Legyenek E és F komplex vektorterek. Ekkor az alulfekv® valós vektorterek deníciója alapján világos, hogy L(E; F ) ⊆ L(ER ; FR ) teljesül. Az L(E; F ) elemeit gyakran C-lineáris, míg az L(ER ; FR ) elemeit R-lineáris operátoroknak nevezzük; tehát az mondható, hogy komplex vektorterek között ható C-lineáris operátor szükségképpen R-lineáris. Ez a következtetés nem fordítható meg. Például az C → C konjugálásfüggvény nyilvánvalóan R-lineáris, de nem C-lineáris. Az 1. gyakorlatban leírjuk az összes nem C-lineáris, de R-lineáris C → C függvényt. A következ® állításban szükséges és elégséges feltételt adunk ahhoz, hogy egy R-lineáris operátor C-lineáris legyen.

1.1.1. Állítás. Legyenek E és F komplex vektorterek. Egy u : E → F függvény pontosan akkor C-lineáris, ha R-lineáris, és minden x ∈ E esetén u(i.x) = i.u(x) teljesül. Ha (ej )j∈J algebrai bázis az E komplex vektortérben, akkor az u : E → F függvény pontosan akkor C-lineáris, ha R-lineáris, és minden j ∈ J esetén

u(i.ej ) = i.u(ej ) teljesül. 13

14

1. A CAUCHY-RIEMANN EGYENLET

Bizonyítás. Mindkét feltétel nyilvánvalóan szükséges. Az els® feltétel elégségességének bizonyításához legyenek α, β ∈ R és x ∈ E tetsz®legesek; ekkor az u additivitása, Rhomogenitása, és a feltétel alapján

u((α + iβ).x) = u(α.x + (iβ).x) = u(α.x) + u((iβ).x) = α.u(x) + u(β.(i.x)) = = α.u(x) + β.u(i.x) = α.u(x) + β.(i.u(x)) = α.u(x) + (iβ).u(x) = (α + iβ).u(x), tehát minden λ ∈ C és x ∈ E esetén u(λ.x) = λ.u(x), így az u leképezés Clineáris. Tegyük fel, hogy (ej )j∈J algebrai bázis az E komplex vektortérben, és minden j ∈ J esetén u(i.ej ) = i.u(ej ), továbbá legyen u R-lineáris. Az el®z® egyenl®ség-láncot alkalmazva j ∈ J esetén x helyére ej -t helyettesítve azt kapjuk, hogy minden λ ∈ C és j ∈ J esetén u(λ.ej )X= λ.u(ej ). Tehát ha x ∈ E tetsz®leges, és (λj )j∈J ∈ C(J) az a rendszer, amelyre x = λj .ej , akkor minden σ ∈ C esetén j∈J

„

u(σ.x) = u

σ.

X

Ž

λj .ej

„

=u

j∈J

=

X

σ.(λj .u(ej )) = σ.

j∈J

X

Ž

(σλj ).ej

λj .u(ej ) = σ

j∈J

X

u((σλj ).ej ) =

X j∈J

„

u(λj .ej ) = σ.u

X

(σλj )u(ej ) =

j∈J

j∈J

j∈J

X

=

X

Ž

λj .ej

= σ.u(x),

j∈J

tehát az u függvény C-lineáris. 

1.2.

R-dierenciálható és C-dierenciálható

függvények

Legyen E komplex normált tér, és jelölje k · k az E normáját. Az alulfekv® valós vektortér deníciója alapján nyilvánvaló, hogy ekkor k · k norma az ER valós vektortér felett is, tehát ER az E normájával ellátva valós normált tér; ezt nevezzük az E komplex normált tér alatt fekv® valós normált térnek, és ezt is az ER szimbólummal jelöljük. Tekintettel arra, hogy az E és ER vektorterek alaphalmazai és normái ugyanazok, a normák által generált metrikák is egyenl®k, így topológiai szempontból az E komplex normált tér és az alulfekv® ER valós normált tér azonosak. De vigyázzunk arra, hogy ha E komplex vektortér, akkor létezhet olyan ER feletti norma, amely nem norma az E komplex vektortér felett (2. gyakorlat). Legyenek most E és F komplex normált terek. Ha f : E  F függvény, akkor f : ER  FR függvény is, tehát van annak értelme, hogy f az a ∈ E pontban dierenciálható az E és F komplex normált terek között (vagyis f az a-ban C-dierenciálható), és az is

1.3. CAUCHY-RIEMANN EGYENLET

15

értelmes, hogy f az a pontban dierenciálható az ER és FR valós normált terek között (vagyis f az a-ban R-dierenciálható). Megállapodunk abban, hogy ha az f függvény R-dierenciálható az a pontban, akkor a deriváltját (Df )R (a) jelöli; tehát ez ER → FR folytonos lineáris operátor, vagyis E → F folytonos R-lineáris operátor. Ugyanakkor, ha az f függvény C-dierenciálható az a pontban, akkor a deriváltját (Df )C (a) jelöli; tehát ez E → F folytonos lineáris operátor, vagyis E → F folytonos C-lineáris operátor. Az adott pontbeli C-dierenciálhatóság és R-dierenciálhatóság kapcsolatát írja le a következ® állítás.

1.2.1. Állítás. Legyenek E és F komplex normált terek, f : E  F függvény, és a ∈ E .

Az f függvény pontosan akkor C-dierenciálható az a pontban, ha R-dierenciálható aban, és a (Df )R (a) operátor C-lineáris. Ha az f függvény C-dierenciálható az a pontban, akkor (Df )C (a) = (Df )R (a). Bizonyítás. El®ször megjegyezzük, hogy a Dom(f ) halmaz topologikus belseje ugyanaz az E komplex normált térben, mint az ER valós normált térben. Tegyük fel, hogy az f függvény C-dierenciálható az a pontban. Ekkor a (Df )C (a) : E → F leképezés folytonos C-lineáris operátor és

f (x) − f (a) − ((Df )C (a))(x − a) = 0. x→a kx − ak lim

Ekkor a (Df )C (a) : E → F leképezés folytonos R-lineáris operátor is, ezért a fenti határérték-egyenl®ség miatt az f függvény R-dierenciálható az a pontban, és láthatóan (Df )R (a) = (Df )C (a). Megfordítva, tegyük fel, hogy az f függvény R-dierenciálható az a pontban, és a (Df )R (a) operátor C-lineáris. Ekkor

f (x) − f (a) − ((Df )R (a))(x − a) = 0, x→a kx − ak lim

tehát az f függvény C-dierenciálható az a pontban. 

1.3.

Cauchy-Riemann egyenlet

1.3.1. Tétel. Legyenek E és F komplex normált terek. Az f : E  F függvény pontosan akkor C-dierenciálható az a ∈ E pontban, ha R-dierenciálható a-ban, és minden x ∈ E esetén ((Df )R (a))(i.x) = i.((Df )R (a))(x)

teljesül (Cauchy-Riemann egyenlet). Ha (ej )j∈J algebrai bázis az E komplex vektortérben, akkor az f : E  F függvény pontosan akkor C-dierenciálható az a ∈ E

16

1. A CAUCHY-RIEMANN EGYENLET

pontban, ha R-dierenciálható a-ban, és minden j ∈ J esetén

((Df )R (a))(i.ej ) = i.((Df )R (a))(ej ) teljesül. Bizonyítás. A két el®z® állítás alapján nyilvánvaló. 

1.3.2. Következmény. Legyen f : C  C függvény, és f1 := <◦f , valamint f2 := =◦f

(tehát f = f1 + i.f2 ). Az f függvény pontosan akkor C-dierenciálható az a ∈ C pontban, ha R-dierenciálható a-ban, és teljesülnek az

(∂1 f1 )(a) = (∂2 f2 )(a), (∂1 f2 )(a) = −(∂2 f1 )(a) egyenl®ségek. Bizonyítás. Ha f az a-ban R-dierenciálható, akkor (Df )R (a) azonosítható a ‚

Œ

(∂1 f1 )(a) (∂2 f1 )(a) (∂1 f2 )(a) (∂2 f2 )(a)

Jacobi-mátrixszal (VII. fejezet, 2. pont). Az els® állítás alapján ez a mátrix, mint R2 → R2 R-lineáris operátor, pontosan akkor C-lineáris, ha felcserélhet® az R2 → R2 ; z 7→ iz R-lineáris operátorral. Ez utóbbi mátrixa a ‚

Œ

0 −1 1 0

mátrix. Ezért az 1. gyakorlat eredménye és a Cauchy-Riemann egyenlet alapján az f függvény pontosan akkor C-dierenciálható az a ∈ C pontban, ha R-dierenciálható a-ban, és teljesülnek a (∂1 f1 )(a) = (∂2 f2 )(a) és (∂1 f2 )(a) = −(∂2 f1 )(a) egyenl®ségek.  Az el®z® állítás alkalmazásával könnyen felírhatók olyan C → C függvények, amelyek R-analitikusak (vagyis analitikusak a C alatt fekv® valós Banach-téren), de sehol sem C-dierenciálhatók (1. gyakorlat).

1.3.3. Deníció. A komplex normált terek között ható C-dierenciálható függvényeket holomorf függvényeknek nevezzük.

1.4. GYAKORLATOK

1.4.

17

Gyakorlatok ‚

Œ

a c mátrixot tekintsük R2 → R2 lineáris operátornak, 1. Legyenek a, b, c, d ∈ R, és az b d vagyis C → C R-lineáris operátornak. Ez pontosan akkor C-lineáris, ha a = d és c = −b. ‚ Œ a −b Ha a, b ∈ R, akkor az : C → C leképezés megegyezik a b a C → C;

z 7→ (a + ib)z

függvénnyel, tehát az a+ib komplex számmal való szorzás operátorával. Ha a, b, c, d ∈ R, ‚ Œ a c és a 6= d, vagy c 6= −b, akkor az : C → C függvény R-analitikus, de sehol sem b d C-dierenciálható.

2. Legyen E valós vektortér, és jelölje EC az E komplexikációját (IV. fejezet, 1. pont, 7. gyakorlat), tehát EC alaphalmaza az E × E szorzathalmaz, és minden (x, y), (x0 , y 0 ) ∈ E × E , valamint λ ∈ C esetén

(x, y) + (x0 , y 0 ) := (x + x0 , y + y 0 ), λ.(x, y) := (<(λ).x − =(λ).y, =(λ).x + <(λ).y). Ha k · k norma az E valós vektortér felett és E 6= {0}, akkor az

EC → R+ ;

(x, y) 7→ max(kxk, kyk)

leképezés nem norma az EC komplex vektortér felett, de norma az EC alatt fekv® valós vektortér (azaz (EC )R ) felett.

3. (Harmonikus függvények.) Legyen E véges dimenziós valós vektortér és g : E ×E → R olyan szimmetrikus bilineáris funkcionál, amelyre az E → E ∗ ; x 7→ g(x, ·) leképezés bijekció (vagyis injektív). Azt mondjuk, hogy az u : E  R függvény g -harmonikus az U ⊆ Dom(u) halmazon, ha u kétszer dierenciálható az U halmazon, és

div(gradg (u)) = 0 teljesül az U halmazon (VII. fejezet, 3. pont, 4. példa). Azt mondjuk, hogy az u : E  R függvény g -harmonikus, ha g -harmonikus a Dom(u) halmazon. Mutassuk meg, hogy ha f : C  C kétszer R-dierenciálható holomorf függvény, akkor a < ◦ f : Dom(f ) → R és = ◦ f : Dom(f ) → R függvények g -harmonikusak, ahol g az euklidészi skalárszorzás R2 felett. (Kés®bb megmutatjuk, hogy holomorf függvény szükségképpen kétszer Rdierenciálható, s®t R-analitikus is.)

18

1. A CAUCHY-RIEMANN EGYENLET

4. Legyen n ∈ N, és nevezzünk egy U ⊆ Rn halmazt primitívnek, ha minden X : U → Rn

dierenciálható függvényre teljesül az, hogy ha minden j, k ∈ n esetén ∂j Xk = ∂k Xj az U halmazon, akkor van olyan V : U → R dierenciálható függvény, hogy minden n 3 k ra Xk = ∂k V az U halmazon (ahol minden k ∈ n esetén Xk az X függvény k -adik komponens-függvénye, vagyis Xk := prk ◦ X ). Mutassuk meg, hogy ha f : C  C holomorf függvény, és U ⊆ Dom(f ) primitív nyílt halmaz, akkor létezik olyan g : U → C holomorf függvény, amelyre Dg ⊆ f . (Megjegyzés. Kés®bb bebizonyítjuk, hogy az Rn minden egyszeresen összefügg® nyílt részhalmaza primitív (5. pont, 28. gyakorlat).) (Útmutatás. Legyen f : C  C holomorf függvény és U ⊆ Dom(f ) primitív nyílt halmaz. Legyen f1 := < ◦ f , valamint f2 := = ◦ f . A Cauchy-Riemann egyenlet alapján ∂1 f1 = ∂2 f2 és ∂1 f2 = −∂2 f1 . Ekkor az

X : U → R2 ;

z 7→ (f1 (z), −f2 (z))

függvény R-dierenciálható, és

∂2 X1 = ∂2 f1 = −∂1 f2 = ∂1 X2 , tehát az U halmaz primitivitása folytán létezik olyan V1 : U → R dierenciálható függvény, amelyre ∂1 V1 = X1 = f1 és ∂2 V1 = X2 = −f2 az U halmazon. Továbbá, az Y : U → R2 ; z 7→ (f2 (z), f1 (z)) függvény R-dierenciálható, és

∂2 Y1 = ∂2 f2 = ∂1 f1 = ∂1 Y2 , tehát az U halmaz primitivitása folytán létezik olyan V2 : U → R dierenciálható függvény, amelyre ∂1 V2 = Y1 = f2 és ∂2 V2 = Y2 = f1 az U halmazon. Képezzük a g : R → C; z 7→ V1 (z) + iV2 (z) leképezést, amely nyilvánvalóan R-dierenciálható, és az el®z®ek alapján ∂1 V2 = f2 = −∂2 V1 és ∂1 V1 = f1 = ∂2 V2 , vagyis g -re teljesül az Cauchy-Riemann-egyenlet. Ezért g holomorf függvény, és a fentiek alapján f = Dg az U halmazon.)

5. Legyenek E és F komplex vektorterek, n ∈ N∗ , és u : E n → F olyan szimmetrikus valós n-lineáris operátor (azaz u ∈ Lsn (ERn ; FR )), hogy minden x ∈ E és λ ∈ C esetén u((λ.x)[n] ) = λn u(x[n] )

19

1.4. GYAKORLATOK

teljesül. Mutassuk meg, hogy ekkor u szimmetrikus komplex n-lineáris operátor (azaz u ∈ Lsn (E n ; F )). (Útmutatás. Vezessük be az

uC : E n → F ;

(xk )k∈n 7→

1 2n

X

függvényt, ahol ε ∈ {0, 1}n esetén |ε| :=

X

(−i)|ε| u((iεk xk )k∈n )

ε∈{0,1}n

εk . Ha σ : n → n bijekció, akkor a

k∈n

{0, 1}n → {0, 1}n ;

ε 7→ ε ◦ σ

leképezés szintén bijekció. Ebb®l egyszer¶ számolással kapjuk, hogy az uC leképezés szimmetrikus. Megmutatjuk, hogy az uC leképezés komplex n-lineáris operátor, tehát uC ∈ Lsn (E n ; F ). Az uC szimmetrikussága miatt ehhez elég azt igazolni, hogy minden a ∈ E n esetén az uC ◦ inn−1,a : E → F leképezés C-lineáris. Legyen tehát a := (ak )k∈n ∈ E n rögzített, és minden ε ∈ {0, 1}n esetén

a(ε) := (iεk ak )k∈n ∈ E n . Továbbá, minden η ∈ {0, 1}n−1 esetén legyen η ◦ ∈ {0, 1}n az a η függvény nullával vett kiterjesztése n-re. Ha x ∈ E , akkor

1 2n

(uC ◦ inn−1,a )(x) := =

1 2n

= +

1 2n

1 2n =

+ =

1 2n

η∈{0,1}n−1

(−i)|ε| u((iεk (inn−1,a (x))k )k∈n ) =

ε∈{0,1}n

(−i)|ε| (u ◦ inn−1,a(ε) )(iεn−1 x) =

ε∈{0,1}n

X

(−i)|ε| (u ◦ inn−1,a(ε) )(x)+

ε∈{0,1}n ; εn−1 =0

X

(−i)|ε| (u ◦ inn−1,a(ε) )(ix) =

ε∈{0,1}n ; εn−1 =1

1 2n

1 2n

X

X

X

X

(−i)|η| (u ◦ inn−1,a(η◦ ) )(x)+

η∈{0,1}n−1

X

(−i)|η|+1 (u ◦ inn−1,a(η◦ ) )(ix) =

η∈{0,1}n−1

€

Š

(−i)|η| (u ◦ inn−1,a(η◦ ) )(x) − i(u ◦ inn−1,a(η◦ ) )(ix) .

20

1. A CAUCHY-RIEMANN EGYENLET

Ebb®l azonnal látszik, hogy x ∈ E esetén (u ◦ inn−1,a )(ix) = i(u ◦ inn−1,a )(x), ezért az u ◦ inn−1,a : E → F leképezés C-lineáris. Ezután elég azt igazolni, hogy minden E 3 x-re u(x[n] ) = uC (x[n] ), hiszen akkor a VI. fejezet 3. pontjának utolsó állítása alapján u = uC , tehát az u leképezés C-multilineáris. Ehhez megmutatjuk, hogy x ∈ E és k ∈ N, k ≤ n esetén

u((x[k] , (ix)[n−k] )) = in−k u(x[n] ), ahol (x[k] , (ix)[n−k] ) ∈ E n az a rendszer, amelynek j -edik komponense x, ha j < k , és ix, ha k ≤ j < n. Valóban, az u-ra vonatkozó hipotézis alapján a

P : R → F;

t 7→ u(((t + i).x)[n] )

leképezés legfeljebb n-ed fokú polinomiális vektorfüggvény, ugyanis t ∈ R esetén n

[n]

P (t) = (t + i) u(x ) =

n X k=0

!

n k n−k t i u(x[n] ). k

Ugyanakkor az u leképezés R-multilinearitása és szimmetrikussága miatt t ∈ R esetén [n]

P (t) = u((t.x + i.x) ) =

n X k=0

!

n k t u((x[k] , (ix)[n−k] )). k

A polinomiális vektorfüggvények együtthatóinak egyértelm¶ségi tétele alapján ebb®l látható, hogy minden k ≤ n természetes számra u((x[k] , (ix)[n−k] )) = in−k u(x[n] ). Ezután már könnyen belátható, hogy minden x ∈ E esetén u(x[n] ) = uC (x[n] ), mert az u szimmetrikussága folytán

uC (x[n] ) := 1 = n 2 teljesül.)

n X k=0

!

1 2n

X

(−i)|ε| u((iεk x)k∈n ) =

ε∈{0,1}n

n (−i)n−k u((x[k] , (ix)[n−k] )) = u(x[n] ) k

2. fejezet Holomorf függvény primitív függvényei 2.1.

Szakasz menti integrál

2.1.1. Deníció. Legyen F komplex normált tér. Egy f : C  F leképezés primitív függvényének nevezünk minden olyan g : C  F holomorf függvényt, amelyre Dg ⊆ f . Az f : C  F leképezés globális primitív függvényének nevezzük az f minden olyan g primitív függvényét, amelyre Dom(g) = Dom(f ).

Legyen F komplex normált tér. Egy f : C  F leképezésnek sok primitív függvénye létezhet, de ha a Dom(f ) halmaz topologikus belseje üres, akkor az üres függvény az f egyetlen primitív függvénye. Az f : C  F függvénynek csakis akkor létezhet globális primitív függvénye, ha Dom(f ) nyílt halmaz C-ben, de a következ® pontban látni fogjuk, hogy van olyan C  C holomorf függvény, amelynek nem létezik globális primitív függvénye. Ha Dom(f ) összefügg® nyílt halmaz, akkor az f bármely két globális primitív függvénye csak egy additív konstansban különbözik (VII. fejezet, 4. pont).

2.1.2. Jelölés. Ha a, b ∈ C, akkor γJa,bK jelöli a [0, 1] → C;

t 7→ a + t(b − a)

leképezést. Legyenek a, b ∈ C rögzítettek, F komplex Banach-tér, és f : C  F olyan folytonos függvény, amelyre Ja, bK ⊆ Dom(f ), ahol

Ja, bK := { (1 − t)a + tb | t ∈ [0, 1] }. Ekkor az f ◦ γJa,bK : [0, 1] → F leképezés folytonos függvény, hiszen γJa,bK olyan C-ben haladó folytonos ív, amelyre Im(γJa,bK ) = Ja, bK ⊆ Dom(f ). Ezért az f ◦ γJa,bK függvény integrálható a µR egydimenziós Lebesgue-mérték szerint (X. fejezet, 1. pont), így értelmes a következ® deníció. 21

22

2. HOLOMORF FÜGGVÉNY PRIMITÍV FÜGGVÉNYEI

2.1.3. Deníció. Legyen F komplex Banach-tér és f : C  F folytonos függvény. Ekkor minden a, b ∈ C esetén, ha Ja, bK ⊆ Dom(f ), akkor Z

f := (b − a) Ja,bK

Z €

R

f ◦ γJa,bK

Š◦

dµR ,

és ezt az F -beli vektort az f függvény Ja, bK szakasz menti integráljának nevezzük. Természetesen a deníció feltételei mellett írhatjuk azt, hogy Z

Z

€

f = (b − a) Ja,bK

Z

= (b − a)

Š

f ◦ γJa,bK dµR =

[0,1]

€

Š

f ◦ γJa,bK dµR = (b − a)

Z1 €

Š

f ◦ γJa,bK dµR ,

0

]0,1[

mert az R minden véges (s®t megszámlálható) részhalmaza elt¶n® halmaz az egydimenziós Lebesgue-mérték szerint. A következ® állításban összefoglaljuk a szakasz menti integrál számunkra fontos tulajdonságait.

2.1.4. Állítás. Legyen F komplex Banach-tér. a) Ha f, g : C  F folytonos függvények, λ ∈ C, és a, b ∈ C olyan pontok, amelyekre Ja, bK ⊆ Dom(f ) ∩ Dom(g), akkor Z

Z

Z

(f + g) = Ja,bK

f+ Ja,bK

Ja,bK

Z

Z

(λ.f ) = λ. Ja,bK

Z



Ja,bK

f

g,





f,

Ja,bK

≤ |b − a| sup kf (z)k. z∈Ja,bK

b) Ha f : C  F folytonos függvény és a, b ∈ C olyan pontok, hogy Ja, bK ⊆ Dom(f ), akkor Z Z f =− f, Jb,aK

és minden c ∈ Ja, bK esetén

Z

Ja,bK

Z

f= Ja,bK

Z

f+ Ja,cK

f. Jc,bK

23

2.1. SZAKASZ MENTI INTEGRÁL

c) Ha f : C  F folytonos függvény, g : C  F primitív függvénye f -nek, és a, b ∈ C olyan pontok, amelyekre Ja, bK ⊆ Dom(g), akkor Z

f = g(b) − g(a). Ja,bK

Bizonyítás. a) Legyenek f, g : C  F folytonos függvények, λ ∈ C, és a, b ∈ C olyan pontok, amelyekre Ja, bK ⊆ Dom(f ) ∩ Dom(g). Nyilvánvaló. hogy (f + g) ◦ γJa,bK = f ◦ γJa,bK + g ◦ γJa,bK és (λ.f ) ◦ γJa,bK = λ.(f ◦ γJa,bK ), ezért €

(f + g) ◦ γJa,bK €

Š◦

€

= f ◦ γJa,bK

(λ.f ) ◦ γJa,bK

Š◦

Š◦

€

+ g ◦ γJa,bK

€

= λ. f ◦ γJa,bK

Š◦

Š◦

,

,

tehát az integrál linearitásából és a szakasz menti integrál deníciójából kapjuk, hogy Z

Z

Z

(f + g) = Ja,bK

f+ Ja,bK

Ja,bK

Z

Z

(λ.f ) = λ. Ja,bK

Továbbá nyilvánvaló, hogy

€

f

◦ γJa,bK

g,

f.

Ja,bK

Š◦

≤ χ[0,1] . sup kf (z)k, z∈Ja,bK

amib®l következik, hogy

Z



Ja,bK

f





=

Z

€ |b − a|

f

R

„ Z

≤ |b − a|

R

◦ γJa,bK

Š◦

dµR





≤

Z €

|b − a| f

R

◦ γJa,bK

Š◦

dµR

≤

Ž

χ[0,1] dµR

sup kf (z)k = |b − a| sup kf (z)k. z∈Ja,bK

z∈Ja,bK

b) Legyen f : C  F folytonos függvény és a, b ∈ C olyan pontok, amelyekre Ja, bK ⊆ Dom(f ). Vezessük be a

σ :]0, 1[→]0, 1[;

t 7→ 1 − t

leképezést, amely olyan C1 -dieomorzmus, amelyre γJb,aK ◦ σ = γJa,bK és Dσ = −1 a ]0, 1[ halmazon. Ezért a helyettesítéses integrálás tétele alapján Z

Z

f = (a − b) Jb,aK

]0,1[

€

Š

Z

f ◦ γJb,aK dµR = −(b − a) ]0,1[

€€

Š

Š

f ◦ γJb,aK ◦ σ |Dσ|dµR =

24

2. HOLOMORF FÜGGVÉNY PRIMITÍV FÜGGVÉNYEI

Z

€

= −(b − a)

Z

Š

f ◦ γJa,bK dµR = −

]0,1[

f.

Ja,bK

Legyen c ∈ Ja, bK rögzített pont. Ha c = a, akkor Z

Z

f= Ja,bK

Ha c = b, akkor

Z

Z

f+ Ja,aK

Z

f= Ja,bK

Z

f=

f+ Ja,cK

Z

Ja,bK

Z

f= Jb,bK

f. Jc,bK

Z

f+

Ja,bK

Z

f+ Ja,cK

f. Jc,bK

Tegyük fel, hogy c 6= a és c 6= b. Legyen

λ :=

c−a ; b−a

ekkor λ ∈]0, 1[ és c = a + λ(b − a). Tekintsük a

σ0 :]0, 1[→]0, λ[; σ1 :]0, 1[→]λ, 1[;

t 7→ λt,

t 7→ λ + (1 − λ)t

leképezéseket, amelyek nyilvánvalóan C1 -dieomorzmusok, és fennállnak a következ® összefüggések γJa,bK ◦ σ0 = γJa,cK , Dσ0 = λ,

γJa,bK ◦ σ1 = γJc,bK ,

Dσ1 = 1 − λ.

Ezért a helyettesítéses integrálás tétele alapján Z

€

Z

Š

]0,λ[

Z

€

]0,1[

Z

Š

Š

f ◦ γJa,bK ◦ σ0 (Dσ0 )dµR =

]0,1[

= λ. valamint

€€

f ◦ γJa,bK dµR =

€

Š 1 f ◦ γJa,cK dµR = b−a Z

Š

€€

f ◦ γJa,bK dµR =

]λ[,1

Z

f, Ja,cK

Š

Š

f ◦ γJa,bK ◦ σ1 (Dσ1 )dµR =

]0,1[

Z

= (1 − λ). ]0,1[

€

Š 1 f ◦ γJc,bK dµR = b−a

Z

f. Jc,bK

Ebb®l az integrál additivitása alapján összeadással kapjuk, hogy Z

Z

f = (b − a) Ja,bK

]0,1[

€

Š

f ◦ γJa,bK dµR =

25

2.1. SZAKASZ MENTI INTEGRÁL

Z

€

= (b − a)

Z

Š

€

f ◦ γJa,bK dµR + (b − a)

]0,λ[

Z

Š

Z

f ◦ γJa,bK dµR =

]λ,1[

f+ Ja,cK

f. Jc,bK

c) Legyen f : C  F folytonos függvény, g : C  F primitív függvénye f -nek, és a, b ∈ C olyan pontok, amelyekre Ja, bK ⊆ Dom(g). A függvénykompozíció dierenciálásának tétele alapján €

Š

€

Š

€

D g ◦ γJa,bK = (b − a). (Dg) ◦ γJa,bK = (b − a). f ◦ γJa,bK

Š

a ]0, 1[ intervallumon. Továbbá a €

€

D g ◦ γJa,bK

ŠŠ◦

:R→F

függvény €µR -integrálható, mert a {0, 1} halmazon kívül (amely µR -elt¶n® halmaz) egyenl® Š◦ a (b − a) f ◦ γJa,bK függvénnyel. Ezért az általánosított NewtonLeibniz-tétel alapján Z

Z

€

f = (b − a) Ja,bK

Z

f ◦ γJa,bK dµR =

]0,1[

€

=

Z

Š

€

€

(b − a) f ◦ γJa,bK

ŠŠ

dµR =

]0,1[

Š

€

Š

€

Š

D g ◦ γJa,bK dµR = lim g ◦ γJa,bK − lim g ◦ γJa,bK = g(b) − g(a).  1 0 ]0,1[

Megjegyezzük, hogy ha F komplex Banach-tér és f : C  F folytonos függvény, akkor az el®z® állítás b) pontja ekvivalens azzal, hogy minden a, b, c ∈ C esetén, ha c ∈ Ja, bK ⊆ Dom(f ), akkor Z

Z

f+ Ja,bK

Z

f+ Jb,cK

f = 0. Jc,aK

Valóban, ebb®l triviálisan következik a b)-ben szerepl® mindkét egyenl®ség, továbbá a b)-ben bizonyított egyenl®ségekb®l ez következik, mert Z

Z

f+ Ja,bK

Z

f+ Jb,cK

Z

Z

f= Jc,aK

Z

f− Ja,bK

f− Jc,bK

…

Z

f= Ja,cK

Z

f− Ja,bK

f+ Ja,cK



Z

f

= 0.

Jc,bK

Azonban vigyázni kell arra, hogy ha F komplex Banach-tér, f : C  F folytonos függvény, és a, b, c ∈ C olyan pontok, hogy Ja, bK, Jb, cK, Jc, aK ⊆ Dom(f ), de c ∈ / Ja, bK, akkor lehetséges az, hogy Z Z Z f+ f+ f 6= 0 Ja,bK

teljesül (1. gyakorlat).

Jb,cK

Jc,aK

26

2.2.

2. HOLOMORF FÜGGVÉNY PRIMITÍV FÜGGVÉNYEI

A NewtonLeibniz-tétel komplex formája

2.2.1. Jelölés. Ha a, b, c ∈ C, akkor T(a, b, c) := { αa + βb + γc | ((α, β, γ) ∈ [0, 1]3 ) ∧ (α + β + γ = 1) }, L(a, b, c) := |b − a| + |c − b| + |a − c|, és a T(a, b, c) ⊆ C halmazt {a, b, c} csúcspontú háromszögnek, és az L(a, b, c) ∈ R+ számot a T(a, b, c) háromszög kerületének nevezzük.

Megjegyzések. 1) Ha a, b, c ∈ C, akkor a T(a, b, c) halmaz kompakt és konvex Cben. Valóban, a T(a, b, c) halmaz konvexitása nyilvánvaló, míg a kompaktsága abból következik, hogy T(a, b, c) korlátos és zárt C-ben. 2) Létezik olyan C ∈ R∗+ , amelyre minden a, b, c ∈ C esetén

diam(T(a, b, c)) ≤ CL(a, b, c) teljesül, ahol diam(T(a, b, c)) a T(a, b, c) halmaz átmér®je az euklidészi metrika szerint. Valóban, ha (α, β, γ), (α0 , β 0 , γ 0 ) ∈ [0, 1]3 olyanok, hogy α + β + γ = 1 = α0 + β 0 + γ 0 , akkor könnyen látható, hogy

(αa + βb + γc) − (α0 a + β 0 b + γ 0 c) = (α − α0 )(a − b) + (γ 0 − γ)(b − c), ezért α − α0 , γ 0 − γ ∈ [−1, 1] miatt

|(αa + βb + γc) − (α0 a + β 0 b + γ 0 c)| ≤ |a − b| + |b − c| ≤ L(a, b, c), következésképpen diam(T(a, b, c)) ≤ L(a, b, c) teljesül.

2.2.2. Tétel. (A NewtonLeibniz-tétel komplex formája) Legyen F komplex

Banach-tér, f : C  F folytonos függvény, és U ⊆ Dom(f ) nyílt csillaghalmaz. Akkor és csak akkor létezik f -nek az U halmazon értelmezett primitív függvénye, ha minden a, b, c ∈ U pontra, T(a, b, c) ⊆ U esetén Z

Z

f+ Ja,bK

Z

f+ Jb,cK

f = 0. Jc,aK

Továbbá, ha teljesül ez a feltétel, és c ∈ U csillagcentruma az U halmaznak, akkor az Z

U → F;

z 7→

f Jc,zK

függvény U -n értelmezett primitív függvénye f -nek.

2.2. A NEWTONLEIBNIZ-TÉTEL KOMPLEX FORMÁJA

27

Bizonyítás. Legyen g : U → F primitív függvénye f -nek, és a, b, c ∈ U olyan pontok, hogy T(a, b, c) ⊆ U . Ekkor Ja, bK, Jb, cK, Jc, aK ⊆ T(a, b, c) ⊆ U = Dom(g), így az el®z® állítás c) pontja szerint Z

Z

f+ Ja,bK

Z

f+ Jb,cK

f = (g(b) − g(a)) + (g(c) − g(b)) + (g(a) − g(c)) = 0. Jc,aK

Megfordítva, tegyük fel, hogy minden a, b, c ∈ U pontra, T(a, b, c) ⊆ U esetén Z

Z

Z

f+ Ja,bK

f+ Jb,cK

f = 0. Jc,aK

Legyen c ∈ U csillagcentrum, és értelmezzük a Z

g : U → F;

z 7→

f Jc,zK

függvényt. Meg fogjuk mutatni, hogy z ∈ U esetén a g függvény C-dierenciálható a z pontban és (Dg)(z) = f (z). Legyen r ∈ R∗+ olyan, hogy Br (z; C) ⊆ U , és vegyünk tetsz®leges z 0 ∈ Br (z; C) pontot. Ekkor a Br (z; C) halmaz konvexitása miatt Jz, z 0 K ⊆ Br (z; C) ⊆ U , következésképpen [

T(c, z, z 0 ) =

Jc, z 00 K ⊆ U,

z 00 ∈Jz,z 0 K

hiszen c csillagcentruma U -nak. A hipotézisb®l kapjuk, hogy Z

Z

Z

f+

f+ Jz,z 0 K

Jc,zK

f = 0, Jz 0 ,cK

tehát g deníciója alapján

Z

0

g(z ) − g(z) =

f. Jz,z 0 K

Ebb®l a szakasz menti integrál tulajdonságait alkalmazva adódik, hogy

g(z 0 ) − g(z) − (z 0 − z).f (z) =

Z Jz,z 0 K

tehát

kg(z 0 ) − g(z) − (z 0 − z).f (z)k =

Z

Z

f−

Z

(f

Jz,z 0 K

f (z) = Jz,z 0 K

− f (z))





(f − f (z)), Jz,z 0 K

≤ |z 0 − z| sup kf (z 00 ) − f (z)k. z 00 ∈Jz,z 0 K

28

2. HOLOMORF FÜGGVÉNY PRIMITÍV FÜGGVÉNYEI

Ha ε ∈ R∗+ tetsz®leges, akkor az f függvény z pontbeli folytonossága miatt van olyan δ ∈ R∗+ , hogy δ < r és minden z 00 ∈ Bδ (z; C) esetén kf (z 00 ) − f (z)k < ε. Ezért az el®z® egyenl®tlenség alapján z 0 ∈ Bδ (z; C) \ {z} esetén

g(z 0 ) − g(z) − (z 0

|z 0 − z|

− z).f (z)





≤ ε.

Ez azt jelenti, hogy a g függvény C-dierenciálható a z pontban és (Dg)(z) = f (z). Tehát a g függvény U -n értelmezett primitív függvénye f -nek. 

2.3.

Goursat-lemma

A következ® lemma kapcsolatot teremt a NewtonLeibniz-tétel komplex formájában szerepl® integrális feltétel és a függvény C-dierenciálhatósága között.

2.3.1. Lemma. (Goursat-lemma) Legyen F komplex Banach-tér és f : C  F

olyan folytonos függvény, amely a Dom(f ) halmaz minden pontjában C-dierenciálható, legfeljebb egy pontot kivéve. Ekkor minden a, b, c ∈ C pontra, T(a, b, c) ⊆ Dom(f ) esetén Z

Z

f+ Ja,bK

Z

f+ Jb,cK

f = 0. Jc,aK

Bizonyítás. (I) A bizonyítás els® részében azt mutatjuk meg, hogy ha a, b, c ∈ C olyan pontok, hogy T(a, b, c) ⊆ Dom(f ) és az f függvény a T(a, b, c) halmaz minden pontjában C-dierenciálható, akkor Z Z Z f+ f+ f = 0. Ja,bK

Ehhez vezessük be az

M :=

Jb,cK

Z



Ja,bK

Jc,aK

Z

f+

Z

f+ Jb,cK

f Jc,aK





számot. Tehát azt kell bizonyítani, hogy M = 0. A kiválasztási axiómával kombinált rekurzióval igazoljuk olyan C3 -ban haladó ((an , bn , cn ))n∈N sorozat létezését, amelyre teljesülnek a következ®k:  (a0 , b0 , c0 ) = (a, b, c);  minden n ∈ N esetén

T(an+1 , bn+1 , cn+1 ) ⊆ T(an , bn , cn ),

1 L(an+1 , bn+1 , cn+1 ) = L(an , bn , cn ); 2

29

2.3. GOURSAT-LEMMA

 minden n ∈ N esetén

M ≤ 4n

Z



Jan ,bn K

Z



.

Z

f+

f+ Jbn ,cn K

f Jcn ,an K

Az (a0 , b0 , c0 ) pont (egyértelm¶en) megválasztható. Tegyük fel tehát, hogy n ∈ N és ((ak , bk , ck ))0≤k≤n olyan rendszer C3 -ban, hogy  (a0 , b0 , c0 ) = (a, b, c);  minden k < n természetes számra esetén

1 L(ak+1 , bk+1 , ck+1 ) = L(ak , bk , ck ); 2

T(ak+1 , bk+1 , ck+1 ) ⊆ T(ak , bk , ck ),  minden k ≤ n természetes számra

M ≤ 4k

Z



Ja ,b K k k

Z



.

Z

f+

f+ Jbk ,ck K

f Jck ,ak K

Vezessük be a

1 b 0 := (an + cn ), 2

1 a0 := (bn + cn ), 2

1 c 0 := (an + bn ) 2

pontokat. Nyilvánvaló, hogy a T(an , c 0 , b 0 ), T(bn , a0 , c 0 ), T(cn , b 0 , a0 ) és T(a0 , b 0 , c 0 ) háromszögek részhalmazai a T(an , bn , cn ) háromszögnek, valamint T(an , bn , cn ) ⊆ T(a, b, c) ⊆ Dom(f ), így képezhet®k a következ® vektorok Z

Z

z0 :=

Z

f+

Z

f+

f,

Ja0 ,b 0 K

Jb 0 ,c 0 K

Jc 0 ,a0 K

Z

Z

Z

z2 :=

f+ Jbn

,a0 K

Jan

f, Jc 0 ,b

Z

f+ ,c 0 K

z3 :=

nK

Jcn

f,

Jc 0 ,b 0 K

Jb 0 ,an K

Z

Z

f+ ,b 0 K

Z

f+

Z

f+ Ja0 ,c 0 K

z1 :=

f+ Jb 0 ,a0 K

f. Ja0 ,c

nK

0

Ekkor a szakasz menti integrál tulajdonságait, valamint a c ∈ Jan , bn K, a0 ∈ Jbn , cn K és b 0 ∈ Jcn , an K feltételeket kihasználva kapjuk, hogy

z0 + z1 + z2 + z3 = …

Z

=

Z

f+

f+

f

Ja0 ,b 0 K

Jb 0 ,c 0 K

Jc 0 ,a0 K

Z

Z

Z

…

+

f+ Jbn

,a0 K

f+ Ja0 ,c 0 K



Z

Z

+

Z

f+ Jan



f Jc 0 ,bn K

…

…

,c 0 K

Z

+

f+

Jcn

f

Jc 0 ,b 0 K

Jb 0 ,an K

Z

Z

f+ ,b 0 K



Z

f+ Jb 0 ,a0 K



f Ja0 ,c

nK

+

=

30

2. HOLOMORF FÜGGVÉNY PRIMITÍV FÜGGVÉNYEI

…

Z

=



Z

f+ Ja0 ,b 0 K

…



f+ Jan

f Jc 0 ,b



Z

f+ Jb 0 ,c 0 K

Z

,c 0 K

Z

+

Jb 0 ,a0 K

Z

+

f

…

…

f 

f+

nK

Jbn

f Ja0 ,c

Z

=

f

Z

f+ Jcn



Z

+

+

Ja0 ,c 0 K

,b 0 K

f

=

Jb 0 ,an K

Z

f+ Jan ,bn K

f+ …

nK

Z



Z

Jc 0 ,a0 K

Z

,a0 K

Z

+

Jc 0 ,b 0 K

Z

+

…

f+ Jbn ,cn K

f. Jcn ,an K

A hipotézis szerint

M ≤ 4n

Z



Jan ,bn K

Z

f+

Z

f+ Jbn ,cn K

f Jcn ,an K





= k z0 + z1 + z2 + z3 k ≤

3 X

kzj k,

j=0

következésképpen van olyan j ∈ {0, 1, 2, 3}, hogy

M ≤ kzj k. 4n+1 Legyen j a {0, 1, 2, 3} halmaz legkisebb ilyen tulajdonságú eleme, és vezessük be az (an+1 , bn+1 , cn+1 ) ∈ C3 elemet úgy, hogy 8 > > > > <

(an+1 , bn+1 , cn+1 ) := > > > > :

(a0 , b 0 , c 0 ) (an , c 0 , b 0 ) (bn , a0 , c 0 ) (cn , b 0 , a0 )

, , , ,

ha ha ha ha

j j j j

= 0; = 1; = 2; = 3;

Könnyen ellen®rizhet®, hogy

1 L(an+1 , bn+1 , cn+1 ) = L(an , bn , cn ), 2 továbbá T(an+1 , bn+1 , cn+1 ) ⊆ T(an , bn , cn ) triviálisan igaz, és a j szám választása szerint

M ≤ 4n+1

Z



Jan+1 ,bn+1 K

Z

f+

Z

f+ Jbn+1 ,cn+1 K

f Jcn+1 ,an+1 K

vagyis a C3 -ban haladó ((ak , bk , ck ))0≤k≤n+1 rendszer olyan, hogy  (a0 , b0 , c0 ) = (a, b, c);



,

31

2.3. GOURSAT-LEMMA

 minden k < n + 1 természetes számra esetén

1 L(ak+1 , bk+1 , ck+1 ) = L(ak , bk , ck ); 2

T(ak+1 , bk+1 , ck+1 ) ⊆ T(ak , bk , ck ),  minden k ≤ n + 1 természetes számra

M ≤ 4k

Z



Ja ,b K k k

Z

f+

Z

f+ Jbk ,ck K

f Jck ,ak K



.

Tehát a kiválasztási axiómával kombinált rekurzió tétel alkalmazásával kapjuk olyan C3 ban haladó ((an , bn , cn ))n∈N sorozat létezését, amelyre teljesülnek az el®írt feltételek. Az alábbiakban adottnak tekintünk egy ilyen sorozatot. Legyen továbbá C ∈ R∗+ egy olyan szám, amelyre minden (a0 , b 0 , c 0 ) ∈ C3 esetén diam(T(a0 , b 0 , c 0 )) ≤ CL(a0 , b 0 , c 0 ). A (T(an , bn , cn ))n∈N halmazsorozat monoton fogyó, és minden tagja nem üres kompakt halmaz C-ben, ezért a Cantor-féle közösrész-tétel alapján \

N

T(an , bn , cn ) 6= ∅.

n∈

Ha z és z 0 elemei ennek a metszethalmaznak, akkor minden n ∈ N esetén

|z − z 0 | ≤ diam(T(an , bn , cn )) ≤ CL(an , bn , cn ) = C

L(a, b, c) , 2n

és itt jobb oldal 0-hoz tart, ha n → ∞, ezért z = z 0 . Tehát egyértelm¶en létezik olyan z ∈ C pont, amelyre \ {z} = T(an , bn , cn ) ⊆ T(a, b, c).

N

n∈

Tehát z ∈ T(a, b, c), vagyis az f függvény C-dierenciálható a z pontban. Az

f (z) + (Df )(z)(idC − z) : C → F függvénynek létezik globális primitív függvénye; például az

1 f (z)idC + (Df )(z)(idC − z)2 : C → F 2 függvény ilyen, ezért minden (a0 , b 0 , c 0 ) ∈ C3 esetén Z

(f (z) + (Df )(z)(idC − z)) +

Ja0 ,b 0 K

Z

(f (z) + (Df )(z)(idC − z)) +

Jb 0 ,c 0 K

Z

+ Jc 0 ,a0 K

(f (z) + (Df )(z)(idC − z)) = 0.

32

2. HOLOMORF FÜGGVÉNY PRIMITÍV FÜGGVÉNYEI

Vezessük be a

g := f − f (z) − (Df )(z)(idC − z) : Dom(f ) → F

függvényt. Az el®z®ek alapján minden n ∈ N esetén Z

Z

Z

g+ Jan ,bn K

g+ Jbn ,cn K

Z

Z

g= Jcn ,an K

Z

f+ Jan ,bn K

f+ Jbn ,cn K

f. Jcn ,an K

Legyen ε ∈ R∗+ tetsz®leges. Az f függvény z pontbeli C-dierenciálhatósága alapján vehetünk olyan δ ∈ R∗+ számot, hogy Bδ (z; C) ⊆ Dom(f ) és minden z 0 ∈ Bδ (z; C) esetén

kf (z 0 ) − f (z) − (Df )(z)(z 0 − z)k ≤ ε|z 0 − z|. Tekintettel arra, hogy minden N 3 n-re z ∈ T(an , bn , cn ), valamint

lim diam (T(an , bn , cn )) = 0;

n→∞

vehetünk olyan N ∈ N számot, hogy minden n > N természetes számra T(an , bn , cn ) ⊆ Bδ (z; C). Ha n ∈ N és n > N , akkor

M ≤ 4n ≤ |bn − an |

Z



Jan ,bn K

Z

f+

sup z 0 ∈Jan ,bn K

Z

f+ Jbn ,cn K

f Jcn ,an K

kg(z 0 )k + |cn − bn |





=

sup z 0 ∈Jbn ,cn K

≤ (|bn − an | + |cn − bn | + |an − cn |) = L(an , bn , cn ) ≤ ≤

sup z 0 ∈Ja

Z



Jan ,bn K

Z

g+

Z

g+ Jbn ,cn K

kg(z 0 )k + |an − cn | sup

z 0 ∈Ja

g Jcn ,an K

sup





≤

kg(z 0 )k ≤

z 0 ∈Jcn ,an K

kg(z 0 )k =

n ,bn K∪Jbn ,cn K∪Jcn ,an K

kf (z 0 ) − f (z) − (Df )(z)(z 0 − z)k ≤

n ,bn K∪Jbn ,cn K∪Jcn ,an K

L(a, b, c) sup kf (z 0 ) − f (z) − (Df )(z)(z 0 − z)k ≤ n 0 2 z ∈T(an ,bn ,cn )

L(a, b, c) L(a, b, c) sup (ε|z 0 − z|) ≤ ε diam (T(an , bn , cn )) ≤ n 2 2n z 0 ∈T(an ,bn ,cn ) ≤ε

Tehát fennáll az

L(a, b, c) L(a, b, c)2 CL(a , b , c ) = ε C. n n n 2n 4n M ≤ εL(a, b, c)2 C

egyenl®tlenség, és itt ε ∈ R∗+ tetsz®leges, ezért M = 0. (II) Most legyenek a, b, c ∈ C olyan pontok, hogy T(a, b, c) ⊆ Dom(f ) és f a

33

2.3. GOURSAT-LEMMA

T(a, b, c) \ {a} halmaz minden pontjában C-dierenciálható. Legyen (εn )n∈N olyan zérussorozat R-ben, amelyre minden n ∈ N esetén εn ∈]0, 1[. Minden N 3 n-re legyen bn := a + εn (c − a),

cn := a + εn (b − a).

Ha n ∈ N, akkor cn ∈ Ja, bK és bn ∈ Jc, aK, ezért Z

Z

f+ Ja,bK

…

Z

f+ Jb,cK

f+ Ja,cn K

Z

Z

=

f

+

f

…

…

Z

f+ Jc,bn K

Jbn ,cn K



f

+

Jcn ,bK



f+

=

Jbn ,aK

f+ Jc,cn K

Z

f

Z

f+

Z

+

f+

Z

Jb,cK



Z

Jc,bn K

Z

+

Jbn ,aK

Z

f+ Jb,cK



f+ Jcn ,bn K

…

Z

Jcn ,bK

Z

f+ Ja,cn K



Z

f= Jc,aK

…

Z

f Jcn ,cK

Nyilvánvaló, hogy n ∈ N esetén T(b, c, cn ), T(c, bn , cn ) ⊆ Dom(f ) \ {a}, tehát az f függvény e háromszögek minden pontjában C-dierenciálható, így (I) alapján Z

Z

Z

f+ Jb,cK

Z

f+ Jc,cn K

Z

f =0= Jcn ,bK

Z

f+ Jc,bn K

f+

f,

Jbn ,cn K

Jcn ,cK

Z

Z

amib®l következik, hogy

Z



Ja,bK

Z

f+

Z

f+ Jb,cK

f Jc,aK







Z



Ja,cn K

=

f+

f+ Jcn ,bn K

f Jbn ,aK





≤

≤ |cn − a| sup kf (z)k + |bn − cn | sup kf (z)k + |a − bn | sup kf (z) ≤ z∈Ja,cn K

≤ L(a, cn , bn )

z∈Jcn ,bn K

sup z∈Ja,cn K∪Jcn ,bn K∪Jbn ,aK

z∈Jbn ,aK

kf (z)k ≤ εn L(a, b, c)

sup

kf (z)k,

z∈T(a,b,c)

ahol kihasználtuk azt, hogy a deníció alapján L(a, cn , bn ) = εn L(a, b, c), továbbá T(a, cn , bn ) ⊆ T(a, b, c). Az f függvény folytonos a T(a, b, c) halmazon, hiszen az a pontban is folytonos, ezért sup kf (z)k < +∞. Ebb®l és a lim εn = 0 feltételb®l következik, hogy

n→∞

z∈T(a,b,c)

Z

Z

f+ Ja,bK

Z

f+ Jb,cK

f = 0. Jc,aK

(III) Végül legyenek a, b, c ∈ C olyan pontok, hogy T(a, b, c) ⊆ Dom(f ), és az f függvény a T(a, b, c) halmaz minden pontjában C-dierenciálható, legfeljebb egy pontot kivéve.

34

2. HOLOMORF FÜGGVÉNY PRIMITÍV FÜGGVÉNYEI

Legyen p ∈ T(a, b, c) olyan pont, hogy f a T(a, b, c) \ {p} halmaz minden pontjában C-dierenciálható. (Nem zárjuk ki, hogy f a p pontban is C-dierenciálható, de nem követeljük meg. Ugyanakkor a hipotézis szerint f folytonos a p pontban.) Ekkor Z

Z

f+ Ja,bK

…

f+ Jb,cK

Z

+

Z

Z

f=

f+

Jc,aK

Z

f+ Jp,bK

…

Z

Jp,aK



Z

f+ Jb,cK

f

f

Z

f+ Jp,cK

+

Jb,pK

Z

+

Jc,pK

f+ Ja,bK

…



Z

f+ Jc,aK



Z

f

,

Ja,pK

és az f függvény C-dierenciálható a T(p, a, b) \ {p}, T(p, b, c) \ {p} és T(p, c, a) \ {p} halmazokon, tehát (II) alapján az egyenl®ség jobb oldalán zárójelek között álló vektorok nullák, ezért Z Z Z f+ f+ f = 0.  Ja,bK

2.4.

Jb,cK

Jc,aK

Holomorf függvény lokális primitív függvényei

2.4.1. Tétel. Ha F komplex Banach-tér és f : C  F olyan folytonos függvény, amely

a Dom(f ) halmaz minden pontjában C-dierenciálható, legfeljebb egy pontot kivéve, akkor minden U ⊆ Dom(f ) nyílt csillaghalmazhoz létezik f -nek U -n értelmezett primitív függvénye. Bizonyítás. A NewtonLeibniz-tétel komplex formája és a Goursat-lemma alapján nyilvánvaló. 

2.4.2. Következmény. Ha F komplex Banach-tér és f : C  F olyan folytonos

függvény, amely a Dom(f ) halmaz minden pontjában C-dierenciálható, legfeljebb egy pontot kivéve, akkor a Dom(f ) minden bels® pontjának van olyan nyílt környezete, hogy létezik f -nek ezen a környezeten értelmezett primitív függvénye. Bizonyítás. Legyen z ∈ Int(Dom(f )), és a z -nek vegyük olyan U nyílt környezetét, hogy U ⊆ Dom(f ) és U konvex. Ha a, b, c ∈ U tetsz®leges pontok, akkor U konvexitása folytán T(a, b, c) ⊆ U , így a Goursat-lemma alapján Z

Z

f+ Ja,bK

Z

f+ Jb,cK

f = 0. Jc,aK

Ezért a NewtonLeibniz-tétel komplex formája miatt létezik f -nek olyan primitív függvénye, amely az U halmazon értelmezett. 

2.5. KOMPLEX LOGARITMUS ÉS KOMPEX HATVÁNYOZÁS

2.5.

35

Komplex logaritmus és kompex hatványozás

2.5.1. Állítás. Az Ω := {z ∈ C| − z ∈/ R+ } halmaz nyílt csillaghalmaz C-ben és teljesülnek a következ®k.

a) Létezik egyetlen olyan Log : Ω → C holomorf függvény, amely primitív függvénye az 1/idC függvénynek és eleget tesz a Log(1) = 0 egyenl®ségnek. A Log függvényre fennáll a

Log(1 + z) =1 z→0 z lim

egyenl®ség. b) Az Exp : C → C komplex exponenciális függvény injektív a H := {z ∈ C|=(z) ∈ ] − π, π[} halmazon, ExphHi = Ω = Dom(Log), továbbá Im(Log) = H és

Log = (Exp|H )−1 . c) Fennáll a Log|R∗+ = log egyenl®ség, vagyis a komplex logaritmusfüggvény a valós logaritmus függvény holomorf kiterjesztése R∗+ -ról Ω-ra.

Bizonyítás. a) Az adott tulajdonságú Log függvény létezése a Goursat-lemma után álló tétel alapján nyilvánvaló, hiszen Ω nyílt csillaghalmaz (minden szigorúan pozitív valós szám csillagcentrum), és Ω ⊆ C \ {0} = Dom(1/idC ). A Log függvény a deníció alapján C-dierenciálható az 1 pontban és

Log(1 + z) Log(1 + z) − Log(1) = lim . z→0 z→0 z z

1 = (D(Log))(1) = lim

b) Egyszer¶en igazolható, hogy az Exp : C → C függvény injektív a H := {z ∈ C|=(z) ∈ ] − π, π[} halmazon, továbbá ExphHi = Ω = Dom(Log). Ugyanakkor, a Log függvény deníciója alapján D(Log ◦ Exp − idH ) = 0 és a Log ◦ Exp − idH függvény a 0-hoz 0-t rendel, ezért a H halmaz összefügg®sége miatt Log ◦ (Exp|H ) = idH . Ebb®l következik, hogy Log = (Exp|H )−1 . c) A b) állításból és a valós logaritmusfüggvény deníciójából következik. 

2.5.2. Deníció. A 2.5.1. állítás a) pontjában bevezetett Log függvényt komplex logaritmus függvénynek nevezzük. 2.5.3. Lemma. Ha z, z 0 ∈ C olyan számok, hogy −zz 0 ∈ R∗+ , akkor  vagy <(z) = 0 és <(z 0 ) = 0, valamint =(z)=(z 0 ) > 0,  vagy <(z)<(z 0 ) < 0, valamint =(z)=(z 0 ) > 0 vagy =(z) = 0 = =(z 0 ).

36

2. HOLOMORF FÜGGVÉNY PRIMITÍV FÜGGVÉNYEI

Bizonyítás. Legyenek x, y, x0 , y 0 ∈ R azok a számok, amelyekre z = x + iy és z 0 = x0 + iy 0 . Ekkor zz 0 = (xx0 − yy 0 ) + i(xy 0 + x0 y), tehát a −zz 0 ∈ R∗+ hipotézis alapján xx0 < yy 0 és xy 0 + x0 y = 0. Két eset lehetséges.  Ha x = 0, akkor y 6= 0, hiszen 0 6= z = x+iy , ugyanakkor x0 y = 0, így x0 = 0 is teljesül. Tehát ekkor <(z) = x = 0 és <(z 0 ) = x0 = 0, valamint =(z)=(z 0 ) = yy 0 > xx0 = 0. ‚ 0Œ ‚ 0Œ ‚ 0Œ x x x 0 0 0 2 2 2  Ha x 6= 0, akkor y = − y , tehát xx < yy = − y . Ekkor (x +y ) < x ‚x 0 Œ ‚x 0 Œ 0 x x x < 0. Ebb®l látható, hogy xx0 < 0 és yy 0 = − y 2 ≥ 0. Az y 0 = − y 0, tehát x x x egyenl®ségb®l következik, hogy y és y 0 egyszerre 0, vagy egyikük sem 0. Ez azt jelenti, hogy <(z)<(z 0 ) = xx0 < 0 és =(z)=(z 0 ) = yy 0 ≥ 0, továbbá =(z)=(z 0 ) > 0, vagy =(z) = 0 = =(z 0 ). 

2.5.4. Állítás. (A komplex logaritmus függvényre vonatkozó egyenl®ségek) a) Ha z, z 0 ∈ C olyan számok, hogy <(z) > 0 és <(z 0 ) > 0, akkor z, z 0 , zz 0 ∈ Dom(Log) és Log(zz 0 ) = Log(z) + Log(z 0 ). b) Ha z, z 0 ∈ Dom(Log) és zz 0 ∈ Dom(Log), akkor létezik egyetlen olyan k ∈ Z, hogy

Log(zz 0 ) = Log(z) + Log(z 0 ) + 2πik. Bizonyítás. a) A <(z) > 0 és <(z 0 ) > 0 feltételekb®l <(z)<(z 0 ) > 0 következik, így az el®z® lemma szerint −zz 0 ∈ R∗+ lehetetlen, vagyis zz 0 ∈ Dom(Log). Legyen z 0 ∈ C és <(z 0 ) > 0. Tekintsük a

{z ∈ C|<(z) > 0} → C; {z ∈ C|<(z) > 0} → C;

z 7→ Log(zz 0 ),

z 7→ Log(z) + Log(z 0 )

függvényeket. Világos, hogy ez a két holomorf függvény olyan primitív függvénye 1/idC nek, amelyek az 1-hez ugyanazt az értéket rendelik, így ezek a függvények egyenl®ek. Ezért minden z ∈ C esetén, ha <(z) > 0, akkor Log(zz 0 ) = Log(z) + Log(z 0 ). b) Ha z, z 0 ∈ Dom(Log) olyanok, hogy zz 0 ∈ Dom(Log), akkor Exp ◦ Log = idDom(Log) miatt Exp (Log(zz 0 ) − Log(z) − Log(z 0 )) = 1, ezért létezik olyan k ∈ Z, hogy Log(z1 z2 ) = Log(z1 ) + Log(z2 ) + 2πik . 

2.5.5. Állítás. A B1 (1; C) gömbön fennáll a Log = függvényegyenl®ség.

∞ X

(−1)k+1 (idC − 1)k k k=1

37

2.5. KOMPLEX LOGARITMUS ÉS KOMPEX HATVÁNYOZÁS

Bizonyítás. A deníció és a NewtonLeibniz-tétel komplex formája szerint minden z ∈ Dom(Log) esetén Z

Log(z) =

Z

1 = (z − 1) idC

D(Log) = J1,zK

Z

[0,1]

J1,zK

1 dµR (t), 1 + t(z − 1)

hiszen 1 csillagcentruma a Dom(Log) halmaznak. Ha z ∈ B1 (1; C), akkor

1

=

1 + id[0,1] .(z − 1) továbbá a

X

N

∞ X

(−1)k (z − 1)k idk[0,1] ,

k=0

(−1)k (z−1)k idk[0,1] függvénysor normálisan konvergens a [0, 1] intervallumon,

k∈

ezért a Lebesgue-tétel alapján Z

1 dµR (t) = 1 + t(z − 1)

[0,1] ∞ X

=

k

(−1) (z − 1)

k

k=0

Z

∞ X

[0,1]

k=0

idk[0,1]

dµR =

[0,1]

=

!

Z

k

k

(−1) (z − 1)

∞ X

idk[0,1]

k

k

Z1

(−1) (z − 1)

k=0

dµR =

idkR dµR =

0

∞ X

(−1)k (z − 1)k k=0 k + 1

amib®l következik, hogy fennáll a

Log(z) =

∞ X

∞ X (−1)k (−1)k−1 (z − 1)k+1 = (z − 1)k k + 1 k k=0 k=1

egyenl®ség. 

2.5.6. Deníció. Komplex hatványozás-függvénynek nevezzük a Dom(Log) × C → C;

(a, z) 7→ az := Exp(z · Log(a))

függvényt.

2.5.7. Állítás. (A komplex hatványozás tulajdonságai) a) Ha a ∈ Dom(Log), akkor a0 = 1 és a1 = a. b) Ha a ∈ Dom(Log) és z, z 0 ∈ C, akkor 0

0

az+z = az · az .

38

2. HOLOMORF FÜGGVÉNY PRIMITÍV FÜGGVÉNYEI

c) Ha a, b ∈ C olyan számok, hogy <(a) > 0 és <(b) > 0, akkor minden z ∈ C esetén

(a · b)z = az · bz . d) Ha a ∈ Dom(Log), akkor minden N 3 n-re Exp(n · Log(a)) megyezik az a ∈ C elem n-edik algebrai hatványával a C testben (ami azt jelenti, hogy az an jelölés nem vezet félreértésre). e) Ha a ∈ R∗+ , akkor minden z ∈ C esetén Exp(z · Log(a)) megegyezik az a > 0 szám z -edik (korábban értelmezett) hatványával.

Bizonyítás. a) Ha a ∈ Dom(Log), akkor Exp(0) = 1 miatt a0 = Exp(0 · Log(a)) = Exp(0) = 1, valamint a Log függvény deníciója alapján a1 = Exp(1 · Log(a)) = Exp(Log(a)) = a, hiszen Exp ◦ Log = idDom(Log) . b) Ha a ∈ Dom(Log) és z, z 0 ∈ C, akkor az Exp függvényre vonatkozó alapvet® függvényegyenl®ség alapján: 0

az+z = Exp((z + z 0 ) · Log(a)) = Exp(z · Log(a) + z 0 · Log(a)) = 0

= Exp(z · Log(a)) · Exp(z 0 · Log(a)) = az · az . c) Ha a, b ∈ Dom(Log) és z ∈ C, akkor a Log és Exp függvényekre vonatkozó függvényegyenletek alapján:

(a · b)z = Exp(z · Log(a · b)) = Exp(z · (Log(a) + Log(b))) = = Exp(z · Log(a)) · Exp(z · Log(b)) = az · bz . d) Legyen a ∈ Dom(Log), és értelmezzük az

s : N → R;

n 7→ Exp(n · Log(a))

sorozatot. Ekkor a) szerint s(0) = 1 és minden n ∈ N esetén, a) és b) szerint:

s(n + 1) = Exp((n + 1) · Log(a)) = Exp(n · Log(a)) · Exp(1 · Log(a)) = = Exp(n · Log(a)) · a = s(n) · a, ami azt jelenti, hogy s megegyezik az a ∈ C elem által iterációval meghatározott algebrai hatványsorozattal az C testben. e) Nyilvánvalóan következik a Log(a) = log(a) egyenl®ségb®l és a deníciókból. 

39

2.6. VÉGTELEN NUMERIKUS SZORZATOK

2.6.

Végtelen numerikus szorzatok

Legyen (zk )k∈N komplex számok sorozata. Emlékeztetünk arra, hogy a (zk )k∈N sorozathoz asszociált végtelen szorzatnak nevezzük és a P zk szimbólummal jelöljük k∈

n

N

azt a C-ben haladó sorozatot, amely minden N 3 n-hez P zk véges szorzatot rendeli (II. k=0

fejezet, 4. pont). Továbbá, azt mondjuk, hogy a P zk végtelen szorzat konvergens, ha ez k∈

N

a sorozat konvergens C-ben és a határértéke nem nulla. Ha a P zk sorozat konvergens k∈

N

C-ben, de a határértéke 0, akkor azt mondjuk, hogy a P zk végtelen szorzat nullához

N

k∈

divergál. Nyilvánvaló, hogy ha van olyan m ∈ N, hogy zm = 0, akkor minden n ≥ m n

természetes számra P zk = 0, tehát a P zk végtelen szorzat nullához divergál. Ezért a k=0

k∈

N

végtelen szorzatok konvergencia-vizsgálata során csak olyan számsorozatokhoz asszociált végtelen szorzatokat tekintünk, amelyek minden tagja nem nulla komplex szám.

2.6.1. Állítás. Ha (zk )k∈N olyan komplex számsorozat, amely C \ {0}-ban halad és a lim zk = 1. (Ez a numerikus végtelen szorzatok P zk végtelen szorzat konvergens, akkor k→∞ k∈N konvergenciájának természetes szükséges feltétele.)

Bizonyítás. Tegyük fel, hogy a P zk végtelen szorzat konvergens, és minden n ∈ N esetén

N

k∈

n

legyen pn := P zk . Ekkor létezik a p := lim pn határérték és p 6= 0. Legyen ε ∈ R∗+ n→∞ k=0

tetsz®leges. Létezik olyan N ∈ N, hogy minden n > N természetes számra

|p − pn | < |p|

ε . ε+2

Ha n ∈ N és n > N , akkor

|p| − |pn | ≤ ||p| − |pn || ≤ |p − pn | < |p|

ε , ε+2

amib®l következik, hogy

2 < |pn |. ε+2 Ez azt jelenti, hogy n ∈ N és n > N + 1 esetén |p|

|1 − zn | =

1 −

pn pn−1



ε 2|p| |pn−1 − p| + |p − pn | ε + 2 = ε, < ≤ 2 |pn−1 | |p| ε+2

40

2. HOLOMORF FÜGGVÉNY PRIMITÍV FÜGGVÉNYEI

ezért lim zk = 1.  k→∞

Azonban létezik olyan (zk )k∈N valós számsorozat, amelyre minden k ∈ N esetén zk > 0 és lim zk = 1 teljesül, de a P zk végtelen szorzat nem konvergens. Nyilvánvaló például,

N

k→∞

k∈

hogy a





1 P 1+ k+1 k∈N végtelen szorzat divergens, mert teljes indukcióval könnyen igazolható, hogy minden N 3 n-re  n  1 P 1 + k + 1 = n + 2, k=0 ugyanakkor természetesen





1 = 1, k→∞ k+1 így a végtelen szorzatok konvergenciájának természetes szükséges feltétele nem elégséges feltétel. lim

1+

2.6.2. Állítás. Ha (zk )k∈N olyan komplex számsorozat, amely C \ {0}-ban halad, akkor a P zk végtelen szorzat pontosan akkor konvergens, ha minden ε ∈ R∗+ esetén létezik k∈N olyan N ∈ N, hogy minden m, n > N természetes számra

P zk k=0 n z P k m

1 −

< ε.

k=0

(Ez a végtelen numerikus szorzatok konvergenciájának Cauchy-kritériuma.)

Bizonyítás. Tegyük fel, hogy a P zk végtelen szorzat konvergens, tehát ha minden n ∈ N

N

k∈

n

esetén pn := P zk , akkor létezik a p := lim pn határérték és p 6= 0. Legyen N 0 ∈ N n→∞ k=0

olyan, hogy minden n > N 0 természetes számra |pn | > |p|/2. Legyen ε ∈ R∗+ tetsz®leges. A (pn )n∈N sorozat Cauchy-sorozat, ezért létezik olyan N 00 ∈ N, hogy minden m, n > N 00 természetes számra |pn − pm | < ε|p|/2. Ekkor m, n ∈ N és m, n > max(N 0 , N 00 ) esetén

pm 1 − pn



=

ε|p|/2 |pn − pm | < = ε. |pn | |p|/2

Megfordítva, tegyük fel, hogy minden R∗+ 3 ε-hoz létezik olyan N ∈ N, hogy minden m, n > N természetes számra pm 1 − < ε. pn

2.6. VÉGTELEN NUMERIKUS SZORZATOK

41

Legyen N1 ∈ N olyan, hogy minden m, n > N1 természetes számra

pm 1 − pn



1 < . 2

Ha m ∈ N és m > N1 , akkor ||pN1 | − |pm || ≤ |pN1 − pm | < |pN1 |/2, tehát |pN1 |/2 < |pm | < 3|pN1 |/2. Ha ε ∈ R∗+ tetsz®leges és N2 ∈ N olyan, hogy minden m, n > N2 természetes számra pm 3|pN1 | 1 − <ε , pn 2 akkor minden m, n > max(N1 , N2 ) természetes számra



pm ε 3|pN1 | |pn − pm | = 1 − |pn | < = ε. pn 3|pN1 |/2 2 Ez azt jelenti, hogy (pn )n∈N Cauchy-sorozat, így konvergens C-ben. Továbbá, lim p n→∞ n

= n→∞ lim |pn | ≥ |pN1 |/2 > 0,

tehát lim pn 6= 0, így a P zk végtelen szorzat konvergens.  n→∞ k∈

N

2.6.3. Tétel. Legyen (zk )k∈N olyan komplex számsorozat, amely C \ {0}-ban halad. A P zk végtelen szorzat pontosan akkor konvergens, ha létezik olyan m ∈ N, hogy minden k∈N k ≥ m természetes számra zk ∈ Dom(Log) és a X

N

Log(zk )

k∈ k≥m

sor konvergens C-ben. Továbbá, ha a P zk végtelen szorzat konvergens és m ∈ N olyan,

N

k∈

hogy minden k ≥ m természetes számra zk ∈ Dom(Log), akkor ∞

m−1

k=0

k=0

P zk = P

!

zk Exp

∞ X

!

Log(zk ) ,

k=m m−1

azzal a konvencióval, hogy m = 0 esetén P zk := 1. k=0

n

Bizonyítás. Minden N 3 n-re legyen pn := P zk és p−1 := 1. k=0

42

2. HOLOMORF FÜGGVÉNY PRIMITÍV FÜGGVÉNYEI

(I) Legyen m ∈ N olyan, hogy minden k ≥ m természetes számra zk ∈ Dom(Log) és a X

N

Log(zk )

k∈ k≥m

sor konvergens C-ben. Ha n ∈ N, akkor Exp ◦ Log = idDom(Log) alapján m+n X

Exp

!

Log(zk ) =

k=m

pm+n , pm−1

tehát az Exp függvény folytonossága miatt a (pm+n )n∈N sorozat konvergens, így a (pn )n∈N sorozat is konvergens C-ben. Ugyanakkor ∞ X

0 6= Exp

!

Log(zk ) = lim Exp n→∞

k=m

=





lim pm+n /pm−1 = n→∞



m+n X

!

Log(zk ) =

k=m



lim pn /pm−1 , n→∞

vagyis lim pn 6= 0, így a P zk végtelen szorzat konvergens. n→∞

N

k∈

(II) Megfordítva, tegyük fel, hogy a P zk végtelen szorzat konvergens. Ekkor lim zk = 1, k→∞

N

k∈

és 1 bels® pontja Dom(Log)-nak, ezért van olyan m ∈ N, hogy minden k ≥ m természetes számra zk ∈ Dom(Log). Minden n ∈ N esetén legyen

sm,n :=

m+n X

Log(zk ).

k=m

A Cauchy-kritérium alapján vehetünk olyan N ∈ N számot, hogy N > m és minden k, n ≥ N természetes számra pn 1 1 − < , pk 2 következésképpen pn /pk ∈ Dom(Log). Ha n ∈ N és n > N , akkor

Exp(sm,N

Exp(sm,N ) = − sm,n ) = Exp(sm,n )

m+N

m+N

k=m m+n

k=0 m+n

P zk

=

P zk

k=m

tehát

‚

‚

pm+n Exp Log pm+N

P zk

P zk

k=0

Œ

Œ

− sm,n + sm,N

= 1.

=

pm+N , pm+n

43

2.6. VÉGTELEN NUMERIKUS SZORZATOK

Ezért minden N 3 n-hez van olyan k ∈ Z, hogy ‚

pm+n Log pm+N

Œ

− sm,n + sm,N = 2πik.

Tehát kiválaszthatunk olyan (kn )n∈N; n>N rendszert Z-ben, hogy minden n > N természetes számra Œ ‚ pm+n = sm,n − sm,N + 2πikn Log pm+N teljesüljön.

A P zk végtelen szorzat konvergenciája folytán a (pm+n )n∈N sorozat

N

k∈

konvergens. Ugyanakkor n ∈ N és n > N esetén

pm+n 1 − pm+N



1 < , 2

ezért teljesül az, hogy ‚

pm+n lim Log n→∞ pm+N

Œ

∈ B1/2 (1; C) ⊆ Dom(Log).

Tehát a Log függvény folytonossága miatt létezik a ‚

pm+n lim Log n→∞ pm+N

Œ

határérték, vagyis létezik a lim (sm,n − sm,N + 2πikn ) határérték is. Ebb®l következik, n→∞ hogy 0 = lim ((sm,n+1 − sm,N + 2πikn+1 ) − (sm,n − sm,N + 2πikn )) = n→∞

= lim (Log(zm+n ) + 2πi(kn+1 − kn )) . n→∞

Ugyanakkor lim zk = 1, ezért lim Log(zm+n ) = 1. Ebb®l kapjuk, hogy lim (kn+1 −kn ) = k→∞

n→∞

k→∞

0, tehát van olyan N 0 > N természetes szám, hogy minden n > N 0 természetes számra kn+1 = kn . Ezért az (sm,n )n∈N sorozat is konvergens C-ben, ami éppen azt jelenti, hogy X

N

Log(zk )

k∈ k≥m

konvergens sor C-ben. 

2.6.4. Következmény. Legyen (ak )k∈N olyan komplex számsorozat, hogy minden k ∈ N X ak sor abszolút konvergens C-ben, akkor a P (1 + ak ) végtelen esetén ak 6= −1. Ha a k∈N k∈N

szorzat konvergens.

44

2. HOLOMORF FÜGGVÉNY PRIMITÍV FÜGGVÉNYEI

Bizonyítás. Legyen C > 1 rögzített valós szám. A 2.5.1. állítás c) létezik pontja alapján Log(1 + z) olyan r ∈]0, 1[ valós szám, hogy minden z ∈ Br (0, C)\{0} esetén < C , tehát z X z ∈ C és |z| < r esetén |Log(1 + z)| ≤ C|z|. A ak sor abszolút konvergens C-ben,

N

k∈

ezért lim ak = 0, így vehetünk olyan m ∈ N számot, hogy minden k ≥ m természetes k→∞

számra |ak | < r. Ekkor k ∈ N és k ≥ m esetén |Log(1 + ak )| ≤ C|ak |, így a majoráns kritérium alapján a X Log(1 + ak )

N

k∈ k≥m

sor abszolút konvergens C-ben, tehát konvergens. Ezért az el®z® állításból következik, hogy a P (1 + ak ) végtelen szorzat konvergens. 

N

k∈

Speciálisan, ha z ∈ C és <(z) > 1, akkor a ‚

1 P 1 + (k + 1)z k∈N

Œ

‚

,

1 P 1 − (k + 2)z k∈N

Œ

végtelen szorzatok konvergensek, mert a X

1 , z k∈N (k + 1)

X

1 z k∈N (k + 2)

hiperharmonikus sorok abszolút konvergensek. Ugyanakkor a

(−1)k 1 + P k+1 k∈N végtelen szorzat konvergens, de a

!

(−1)k k∈N k + 1 X

numerikus sor nem abszolút konvergens C-ben, tehát az el®z® következményben megfogalmazott feltétel nem szükséges a végtelen szorzat konvergenciájához.

2.7.

A szakasz menti integrál általánosítása

2.7.1. Deníció. (A szakasz menti integrál általánosítása) Legyen E normált tér és F Banach-tér. Ha ω : E  L (E; F ) folytonos függvény (E feletti operátormez®) és a, b ∈ E olyan pontok, hogy Ja, bK ⊆ Dom(ω), akkor a

[0, 1] → F ;

t 7→ (ω(a + t.(b − a))) (b − a)

2.7. A SZAKASZ MENTI INTEGRÁL ÁLTALÁNOSÍTÁSA

45

függvény folytonos, ezért jól értelmezett az Z

Z

ω := Ja,bK

(ω(a + t.(b − a))) (b − a)dµR (t) ∈ F [0,1]

vektor; ezt nevezzük az ω operátormez® integráljának az Ja, bK szakasz mentén. Az ω : E  L (E; F ) operátormez® primitív függvényének nevezünk minden olyan f : E  F dierenciálható függvényt, amelyre Df ⊆ ω teljesül. Az ω globális primitív függvényének nevezzük azokat a primitív függvényeit, amelyek deníciós tartománya egyenl® Dom(ω)-val. Azt mondjuk, hogy az ω : E  L (E; F ) operátormez® egzakt, ha létezik ω -nak globális primitív függvénye.

a) Ha ω : E  L (E; F ) függvény, akkor legyen dω : E  L2a (E 2 ; F ) az a leképezés, amelyre Dom(dω) := Dom(Dω), és minden a ∈ Dom(dω) és x, x0 ∈ E esetén

((dω)(a)) (x, x0 ) :=

1 ((((Dω)(a)) (x)) (x0 ) − (((Dω)(a)) (x0 )) (x)) . 2

Azt mondjuk, hogy az ω : E  L (E; F ) operátormez® zárt, ha ω dierenciálható függvény és dω = 0 (VII. fejezet, 3. pont, 5. példa). Mutassuk meg, hogy minden dierenciálható egzakt operátormez® zárt, azonban zárt operátormez® nem szükségképpen egzakt. b) Legyen F komplex Banach-tér és f : C  F folytonos függvény. Ekkor az

z 7→ (z 0 7→ z 0 .f (z))

ωf : Dom(f ) → L (C; F );

függvény folytonos, és ha a, b ∈ C olyan pontok, hogy Ja, bK ⊆ Dom(ωf ), akkor Z

Z

ωf = Ja,bK

f, Ja,bK

tehát az operátormez®k imént bevezetett szakasz menti integrálja a korábban bevezetett szakasz menti integrál-fogalomnak általánosítása. Egy C  F függvény pontosan akkor primitív függvénye f -nek, ha primitív függvénye az ωf operátormez®nek. Továbbá, ha f holomorf, akkor ωf szükségképpen zárt. c) Tegyük fel, hogy E normált tér K felett, és legyen g : E × E → K olyan szimmetrikus, folytonos bilineáris funkcionál, amelyre az E → E 0 ; x 7→ g(x, ·) lineáris operátor bijekció. Ha ζ : E  E folytonos függvény (vagyis E feletti vektormez®), akkor az

ωg,ζ : Dom(ζ) → E 0 ;

x 7→ g(ζ(x), ·)

46

2. HOLOMORF FÜGGVÉNY PRIMITÍV FÜGGVÉNYEI

kovektormez® folytonos, és ha a, b ∈ E olyan pontok, hogy Ja, bK ⊆ Dom(ωg,ζ ), akkor Z

Z

ωg,ζ := Ja,bK

(ωg,ζ (a + t.(b − a))) (b − a) dµR (t) = [0,1]

Z

=

g(ζ(a + t.(b − a)), b − a) dµR (t). [0,1]

Ezt a K-beli elemet a ζ vektormez® g szerinti munkájának nevezzük az Ja, bK szakasz mentén, és ezt a Z (g) ζ Ja,bK

szimbólummal is jelöljük. Egy V : E  K függvényt a ζ : E  E vektormez® gpotenciáljának nevezünk, ha V dierenciálható függvény, és gradg V ⊆ ζ (VII. fejezet, 3. pont, 3. példa). Azt mondjuk, hogy a ζ : E  E vektormez® potenciálos (g szerint), ha létezik ζ -nak olyan g-potenciálja, amelynek deníciós tartománya egyenl® a Dom(ζ) halmazzal. Mutassuk meg, hogy ha ζ : E  E vektormez®, akkor (i) ζ pontosan akkor dierenciálható, ha az ωg,ζ kovektormez® dierenciálható; (ii) a V : E  K függvény pontosan akkor g-potenciálja ζ -nak, ha V primitív függvénye az ωg,ζ kovektormez®nek; (iii) az ωg,ζ kovektormez® pontosan akkor zárt, ha ζ dierenciálható és minden a ∈ Dom(ζ), valamint minden x, x0 ∈ E esetén

g(((Dζ)(a)) (x), x0 ) = g(((Dζ)(a)) (x0 ), x) teljesül, vagyis minden a ∈ Dom(ζ) pontra a (Dζ)(a) : E → E lineáris operátor gszimmetrikus; (iv) ζ pontosan akkor potenciálos g szerint, ha az ωg,ζ kovektormez® egzakt.

6. (Az általánosított szakasz menti integrál tulajdonságai.) Legyen E normált tér és F Banach-tér K felett.

a) Ha ω, ω 0 : E  L (E; F ) folytonos függvények, λ ∈ K, és a, b ∈ E olyan pontok, amelyekre Ja, bK ⊆ Dom(ω) ∩ Dom(ω 0 ), akkor Z

0

Z

Z

(ω + ω ) = Ja,bK

ω+ Ja,bK

Ja,bK

Z

Z

(λ.ω) = λ. Ja,bK

Ja,bK

ω,

ω0,

2.7. A SZAKASZ MENTI INTEGRÁL ÁLTALÁNOSÍTÁSA

Z



Ja,bK





ω

47

≤ kb − ak sup kω(x)k. x∈Ja,bK

b) Ha ω : E  L (E; F ) folytonos függvény és a, b ∈ E olyan pontok, amelyekre Ja, bK ⊆ Dom(ω), akkor Z Z

ω=− Jb,aK

és minden c ∈ Ja, bK esetén

ω,

Ja,bK

Z

Z

ω= Ja,bK

Z

ω+ Ja,cK

ω. Jc,bK

c) Ha ω : E  L (E; F ) folytonos függvény, g : E  F primitív függvénye f -nek, és a, b ∈ E olyan pontok, amelyekre Ja, bK ⊆ Dom(ω), akkor Z

ω = g(b) − g(a). Ja,bK

d) Legyen u : E × E → F folytonos bilineáris operátor, és

ωu : E → L (E; F );

x 7→ u(x, ·).

Ekkor minden a, b ∈ E esetén Z Ja,bK

1 1 ωu = (u(b, b) − u(a, a)) + (u(a, b) − u(b, a)). 2 2

7. (A NewtonLeibniz-tétel általánosított formája.) Legyen E normált tér és minden a, b, c ∈ E esetén T(a, b, c) := { αa + βb + γc | ((α, β, γ) ∈ [0, 1]3 ) ∧ (α + β + γ = 1) }. Legyen F Banach-tér, ω : E  L (E; F ) folytonos függvény, és U ⊆ Dom(ω) nyílt csillaghalmaz. Akkor és csak akkor létezik ω -nak az U halmazon értelmezett primitív függvénye, ha minden a, b, c ∈ U pontra, T(a, b, c) ⊆ U esetén Z

Z

ω+ Ja,bK

Z

ω+ Jb,cK

ω = 0. Jc,aK

Továbbá, ha teljesül ez az integrális feltétel, és c ∈ U csillagcentruma az U halmaznak, akkor az Z U → F ; z 7→ ω Jc,zK

48

2. HOLOMORF FÜGGVÉNY PRIMITÍV FÜGGVÉNYEI

függvény U -n értelmezett primitív függvénye ω -nak.

8. (A Goursat-lemma általánosítása.) Legyen E normált tér, és minden a, b, c ∈ E esetén L(a, b, c) := kb − ak + kc − bk + ka − ck. Létezik olyan C ∈ R∗+ , hogy minden a, b, c ∈ E esetén

diam(T(a, b, c)) ≤ C · L(a, b, c). Továbbá, ha ω : E  L (E; F ) olyan folytonos függvény, amely a Dom(ω) halmaz minden pontjában dierenciálható, legfeljebb egy pontot kivéve, és dω = 0, akkor minden a, b, c ∈ E pontra, T(a, b, c) ⊆ Dom(ω) esetén Z

Z

Z

ω+ Ja,bK

ω+ Jb,cK

ω = 0. Jc,aK

(Útmutatás. A bizonyításnak ugyanaz az elve, mint az egyváltozós függvényekre vonatkozó Goursat-lemma esetében. Tehát a T(a, b, c) ⊆ Dom(ω) feltevés mellett a kiválasztási axiómával kombinált rekurzió tételét alkalmazva igazoljuk olyan E 3 -ban haladó ((an , bn , cn ))n∈N sorozat létezését, hogy  (a0 , b0 , c0 ) = (a, b, c);  minden n ∈ N esetén

1 L(an+1 , bn+1 , cn+1 ) = L(an , bn , cn ); 2

T(an+1 , bn+1 , cn+1 ) ⊆ T(an , bn , cn ),  minden n ∈ N esetén

M ≤ 4n

Z



Jan ,bn K

ahol bevezettük az

M :=

Z

ω+

Z

ω+ Jbn ,cn K

Z



Ja,bK

Z

ω+

ω Jcn ,an K

Z

ω+ Jb,cK

ω Jc,aK



,







számot. Itt is kapjuk egyetlen olyan z ∈ E létezését, amelyre

{z} =

\

N

T(an , bn , cn ).

n∈

De most az ottani f (z) + (Df )(z)(idC − z) : C → F függvény helyett az

ω(z) + ((Dω)(z)) ◦ (idE − z) : E → L (E; F )

49

2.8. GYAKORLATOK

operátormez®t képezzük, és észrevesszük, hogy az

1 x 7→ (ω(z))(x) + (((Dω)(z))(x − z))(x − z) 2 függvény az E -n dierenciálható, és minden x ∈ E pontban a deriváltja egyenl® az E → F;

(ω(z))(x) + ((Dω)(z))(x − z) + ((dω)(z))(x − z, ·) operátorral, tehát (dω)(z) = 0 esetén a deriváltfüggvénye egyenl® az ω(z) + ((Dω)(z)) ◦ (idE −z) függvénnyel. A hipotézis szerint (dω)(z) = 0, ezért az ω(z)+((Dω)(z))◦(idE −z) függvénynek létezik primitív függvénye. Ezután képezzük a

g := ω − ω(z) − ((Dω)(z)) ◦ (idE − z) : Dom(ω) → L (E; F ) leképezést, amelyre minden n ∈ N esetén Z

Z

Z

g+ Jan ,bn K

g+ Jbn ,cn K

Z

g= Jcn ,an K

Z

ω+ Jan ,bn K

Z

ω+ Jbn ,cn K

ω Jcn ,an K

teljesül. A bizonyítást ugyanúgy fejezzük be, mint korábban, de itt az általánosított szakasz menti integrál 6. gyakorlatban megfogalmazott tulajdonságait kell alkalmazni.)

9. Legyen E normált tér, F Banach-tér, és ω : E  L (E; F ) olyan folytonos függvény, amely a Dom(ω) halmaz minden pontjában dierenciálható, legfeljebb egy pontot kivéve, és dω = 0. Ekkor a Dom(ω) minden bels® pontjának van olyan nyílt környezete, hogy létezik ω -nak ezen a környezeten értelmezett primitív függvénye.

2.8.

Gyakorlatok

1. Legyenek a, b, c, d ∈ R és értelmezzük a következ® leképezést f : C → C; Ez a függvény R-analitikus és Z

Z

f+ J−1,1K

z 7→ (a + ic)<(z) + (b + id)=(z). Z

f+ J1,iK

f = −(b + c) + i(a − d), Ji,−1K

tehát a bal oldalon álló szám pontosan akkor 0, ha a = d és c = −b.

4. Legyen T azon (a, b, c) ∈ C3 pontok halmaza, amelyekre |b − a| + |c − b| + |a − c| > 0 (vagyis a 6= b vagy b 6= c vagy c 6= a). Mutassuk meg, hogy

sup (a,b,c)∈T

1 diam(T(a, b, c)) = . L(a, b, c) 2

50

2. HOLOMORF FÜGGVÉNY PRIMITÍV FÜGGVÉNYEI

3. fejezet Komplex vonalintegrál 3.1.

A komplex vonalintegrál értelmezése és alaptulajdonságai

3.1.1. Deníció. Legyen E normált tér. Azt mondjuk, hogy az E -ben haladó γ folytonos ív szakaszonként C1 -osztályú, ha létezik olyan n ∈ N∗ és (tk )0≤k≤n szigorúan monoton

növ® rendszer R-ben, hogy Dom(γ) = [t0 , tn ], és minden k < n természetes számra a γ függvény folytonosan dierenciálható a ]tk , tk+1 [ intervallumon, és a Dγ függvénynek létezik tk -ban jobboldali és tk+1 -ben baloldali határértéke.

3.1.2. Lemma. Ha γ az E normált térben haladó szakaszonkét C1 -osztályú ív, akkor a kDγk : Dom(Dγ) → R;

t 7→ k(Dγ)(t)k

függvény 0-val vett kiterjesztése R-re integrálható a Lebesgue-mérték szerint. Ha F komplex Banach-tér, f : C  F folytonos függvény, és γ olyan C-ben haladó szakaszonként C1 -osztályú ív, hogy Im(γ) ⊆ Dom(f ), akkor az

(f ◦ γ)(Dγ) : Dom(Dγ) → F ;

t 7→ f (γ(t))(Dγ)(t)

függvény 0-val vett kiterjesztése R-re integrálható a Lebesgue-mérték szerint (vagyis az (f ◦ γ)(Dγ) függvény µR -integrálható a Dom(Dγ) halmazon). Bizonyítás. Legyen n ∈ N∗ és (tk )0≤k≤n olyan szigorúan monoton növ® rendszer R-ben, hogy Dom(γ) = [t0 , tn ], és minden k < n természetes számra a γ függvény folytonosan dierenciálható a ]tk , tk+1 [ intervallumon, és a Dγ függvénynek létezik tk -ban jobboldali és tk+1 -ben baloldali határértéke. Nyilvánvaló, hogy ◦

kDγk =

n−1 X

k(Dγ)|]tk ,tk+1 [ k◦

k=0

51

52

3. KOMPLEX VONALINTEGRÁL

teljesül az R \ {tk |k ∈ n + 1} halmazon, tehát µR -majdnem mindenütt. Minden k < n természetes számra k(Dγ)|]tk ,tk+1 [ k◦ ∈ LR1 (R, RR , µR ), mert a k(Dγ)|]tk ,tk+1 [ k :]tk , tk+1 [→ R függvény folytonos és létezik határértéke a tk és tk+1 pontokban (X. fejezet, 1. pont). Ezért a kDγk◦ függvény integrálható a Lebesgue-mérték szerint. Most tegyük fel, hogy E := C, továbbá F komplex Banach-tér és f : C  F olyan folytonos függvény, amelyre Im(γ) ⊆ Dom(f ). Ekkor ◦

((f ◦ γ)(Dγ)) =

n−1 X€

((f ◦ γ)(Dγ)) |]tk ,tk+1 [

Š◦

k=0

teljesül az R \ {tk |k €∈ n + 1} halmazon, tehát µR -majdnem mindenütt. Minden k < n Š◦ természetes számra ((f ◦ γ)(Dγ)) |]tk ,tk+1 [ ∈ LF1 (R, RR , µR ), mert az

((f ◦ γ)(Dγ)) |]tk ,tk+1 [ :]tk , tk+1 [→ F függvény folytonos és létezik határértéke a tk és tk+1 pontokban (X. fejezet, 1. pont). Ezért a kDγk◦ függvény integrálható a Lebesgue-mérték szerint. 

3.1.3. Deníció. Ha γ az E normált térben haladó szakaszonkét C1 -osztályú ív, akkor Z

L(γ) :=

R

kDγk◦ dµR ,

és ezt a számot a γ ív hosszának nevezzük. Ha F komplex Banach-tér, f : C  F folytonos függvény, és γ olyan C-ben haladó szakaszonkét C1 -osztályú ív, hogy Im(γ) ⊆ Dom(f ), akkor Z Z f := ((f ◦ γ)(Dγ))◦ dµR , γ

R

és ezt az F -beli vektort az f függvény γ ív menti komplex vonalintegráljának (vagy egyszerüen γ menti integráljának) nevezzük; továbbá, ha a γ ív zárt, akkor az f függvény γ menti vonalintegrálját a I f γ

szimbólummal is jelöljük. Megjegyezzük, hogy az el®z® deníció feltételei mellett az f függvény γ menti integrálját az Z I f (z) dz vagy f (z) dz γ

γ

szimbólummal is jelöljük, leginkább akkor, ha explicit formulánk van az f függvény értékeire. A következ® állításban összefoglaljuk a komplex vonalintegrál számunkra fontos tulajdonságait.

3.1. A KOMPLEX VONALINTEGRÁL ÉRTELMEZÉSE ÉS ALAPTULAJDONSÁGAI

53

3.1.4. Állítás. Legyen F komplex Banach-tér. a) Ha f, g : C  F folytonos függvények, λ ∈ C, és γ olyan C-ben haladó szakaszonként C1 -osztályú ív, hogy Im(γ) ⊆ Dom(f ) ∩ Dom(g), akkor Z

Z

Z

(f + g) = γ

f+ γ

Z

Z

(λ.f ) = λ. γ

Z



f

γ





g, γ

f, γ

≤ L(γ) sup kf (z)k. z∈Im(γ)

b) Ha f : C  F folytonos függvény, g : C  F primitív függvénye f -nek, és γ olyan C-ben haladó szakaszonként C1 -osztályú ív, hogy Im(γ) ⊆ Dom(f ), akkor Z

f = g(γ(b)) − g(γ(a)), γ

ahol a, b ∈ R azok a pontok, amelyekre Dom(γ) = [a, b]. c) Legyenek a, b, a0 , b 0 ∈ R, a ≤ b, a0 ≤ b 0 , és σ : [a0 , b 0 ] → [a, b] olyan szigorúan monoton növ® folytonos függvény, hogy a σ|]a0 ,b 0 [ :]a0 , b 0 [→]a, b[ függvény C1 -diffeomorzmus, valamint Dσ -nak létezik határértéke a0 -ben és b 0 -ben. Ha γ : [a, b] → C szakaszonként C1 -osztályú ív, akkor a γ ◦ σ függvény is szakaszonként C1 -osztályú ív, és ha f : C  F olyan folytonos függvény, hogy Im(γ) ⊆ Dom(f ), akkor Z

Z

f= γ◦σ

f. γ

d) Legyen U ⊆ C és (fn )n∈N olyan sorozat, amelynek minden tagja U → F folytonos függvény. Ha ez a függvénysorozat lokálisan egyenletesen konvergens az U halmazon, akkor minden U -ban haladó szakaszonként C1 -osztályú γ ívre Z  γ

Ha a

X

N

Z



lim fn = lim

n→∞

n→∞

fn γ

fn függvénysor lokálisan egyenletesen konvergens az U halmazon (például

n∈

normálisan konvergens az U halmazon), akkor minden U -ban haladó szakaszonként C1 osztályú γ ívre a XZ fn

Nγ

n∈

54

3. KOMPLEX VONALINTEGRÁL

vektorsor abszolút konvergens, és !

Z

∞ X

γ

n=0

fn =

∞ Z X

fn .

n=0 γ

Bizonyítás. a) Nyilvánvaló, hogy (f + g) ◦ γ = f ◦ γ + g ◦ γ és (λ.f ) ◦ γ = λ.(f ◦ γ), ezért

((f + g) ◦ γ)◦ = (f ◦ γ)◦ + (g ◦ γ)◦ , ((λ.f ) ◦ γ)◦ = λ.(f ◦ γ)◦ , tehát az integrál linearitásából és a komplex vonalintegrál deníciójából kapjuk, hogy Z

Z

Z

(f + g) = γ

f+ γ

g, γ

Z

Z

(λ.f ) = λ. γ

f. γ

Továbbá, ha h jelöli a Dom(Dγ) → F ; t 7→ f (γ(t)).(Dγ)(t) függvény 0-val való kiterjesztését R-re, akkor nyilvánvaló, hogy minden R 3 t-re

kh(t)k ≤ |Dγ|◦ (t)

sup

kf (γ(t0 ))k = |Dγ|◦ (t) sup kf (z)k,

t0 ∈Dom(γ)

tehát

Z



γ

f





=

Z



R

h dµR





z∈Im(γ)

„

Z

≤

R

khk dµR ≤

Z

R

Ž

|Dγ|◦ dµR

sup kf (z)k = z∈Im(γ)

= L(γ) sup kf (z)k, z∈Im(γ)

amivel az a) állítást igazoltuk. b) Legyen n ∈ N és (tk )0≤k≤n olyan szigorúan monoton növ® rendszer R-ben, hogy Dom(γ) = [t0 , tn ], és minden k < n természetes számra a γ függvény folytonosan dierenciálható a ]tk , tk+1 [ intervallumon, és a Dγ függvénynek létezik tk -ban jobboldali és tk+1 -ben baloldali határértéke. Legyen k < n rögzített természetes szám. Ekkor a (g ◦ γ)|]tk ,tk+1 [ :→ F függvény folytonosan dierenciálható és a D((g◦γ)|]tk ,tk+1 [ ) = (f ◦γ).(Dγ) a ]tk , tk+1 [ intervallumon. Ebb®l látszik, hogy a D((g ◦ γ)|]tk ,tk+1 [ ) deriváltfüggvénynek € Š◦ létezik tk -ban jobboldali és tk+1 -ben baloldali határértéke, így D((g ◦ γ)|]tk ,tk+1 [ ) ∈ LF1 (R, RR , µR ) (X. fejezet, 1. pont, 5. megjegyzés). Ezért a NewtonLeibniz-tétel X. fejezet, 2. pontbeli általánosítását alkalmazva Z

(f ◦ γ)(Dγ) dµR = ]tk ,tk+1 [

Z €

R

Š◦

D((g ◦ γ)|]tk ,tk+1 [ )

dµR =

3.1. A KOMPLEX VONALINTEGRÁL ÉRTELMEZÉSE ÉS ALAPTULAJDONSÁGAI

55

= lim((g ◦ γ)|]tk ,tk+1 [ ) − lim((g ◦ γ)|]tk ,tk+1 [ ) = g(γ(tk+1 )) − g(γ(tk )) tk+1

tk

adódik. Ebb®l kapjuk, hogy Z

f= n−1 X

Z

k=0]t ,t k k+1 [

γ

=

n−1 X

(f ◦ γ)(Dγ) dµR =

(g(γ(tk+1 )) − g(γ(tk ))) = g(γ(tn )) − g(γ(t0 )) = g(γ(b)) − g(γ(a)),

k=0

ahol a, b ∈ R azok a számok, amelyekre Dom(γ) = [a, b]. c) Legyen γ : [a, b] → C szakaszonként C1 -osztályú ív. Legyen n ∈ N és (tk )0≤k≤n olyan szigorúan monoton növ® rendszer R-ben, hogy Dom(γ) = [t0 , tn ], és minden k < n természetes számra a γ függvény folytonosan dierenciálható a ]tk , tk+1 [ intervallumon, és a Dγ függvénynek létezik tk -ban jobboldali és tk+1 -ben baloldali határértéke. Ekkor (σ −1 (tk ))0≤k≤n olyan szigorúan monoton növ® rendszer R-ben, hogy Dom(γ ◦ σ) = [a0 , b 0 ] = [σ −1 (t0 ), σ −1 (tn )], és minden k < n természetes számra a γ ◦ σ függvény folytonosan dierenciálható a ]σ −1 (tk ), σ −1 (tk+1 )[ intervallumon, továbbá a D(γ ◦ σ) = ((Dγ) ◦ σ).(Dσ) deriváltfüggvénynek létezik σ −1 (tk )-ban jobboldali és σ −1 (tk+1 )-ben baloldali határértéke, tehát γ ◦ σ szakaszonkénmt C1 -osztályú ív. Legyen f : C  F olyan folytonos függvény, hogy Im(γ) ⊆ Dom(f ). Nyilvánvaló, hogy minden k < n természetes számra az (f ◦ γ)(Dγ) függény lesz¶kítése a ]tk , tk+1 [ intervallumra folytonos és korlátos, tehát Lebesgue-integrálható, továbbá a σ|]σ−1 (tk ),σ−1 (tk+1 )[ : ]σ −1 (tk ), σ −1 (tk+1 )[→]tk , tk+1 [ függvény C1 -dieomorzmus, így a helyettesítéses integrálás tétele alapján az (((f ◦γ)(Dγ))◦σ)(Dσ) függvény Lebesgue-integrálható a ]tk , tk+1 [ intervallumon és Z

Z

(((f ◦ γ)(Dγ)) ◦ σ)(Dσ) dµR = ]σ −1 (tk ),σ −1 (tk+1 )[

(f ◦ γ)(Dγ) dµR , ]tk ,tk+1 [

amib®l következik, hogy Z

Z

(f ◦ γ)(Dγ) dµR =

(f ◦ (γ ◦ σ))(D(γ ◦ σ)) dµR . ]σ −1 (tk ),σ −1 (tk+1 )[

]tk ,tk+1 [

Ebb®l k szerinti összegzéssel kapjuk, hogy Z

f= γ◦σ

Z

n−1 X

k=0]σ −1 (t ),σ −1 (t k k+1 )[

=

n−1 X

(f ◦ (γ ◦ σ))(D(γ ◦ σ)) dµR =

Z

k=0]t ,t k k+1 [

Z

(f ◦ γ)(Dγ) dµR =

f. γ

56

3. KOMPLEX VONALINTEGRÁL

d) Ha az (fn )n∈N függvénysorozat lokálisan egyenletesen konvergens az U halmazon, akkor ez a függvénysorozat az U minden kompakt részhalmazán egyenletesen konvergens, továbbá az f := lim fn függvény folytonos az U halmazon. Tehát ha γ tetsz®leges n→∞ szakaszonként C1 -osztályú ív, akkor az (fn )n∈N függvénysorozat egyenletesen konvergens az Im(γ) kompakt halmazon, tehát lim sup kfn (z) − f (z)k = 0. Ezért n ∈ N esetén n→∞

z∈Im(γ)

az a) alapján

Z



Z

fn −

γ

tehát

Z

Z

f = lim

n→∞

γ

X

Ha a

f γ





=

Z



(fn − f )

γ





≤ L(γ) sup kfn (z) − f (z)k, z∈Im(γ)

fn .

γ

fk függvénysor lokálisan egyenletesen konvergens az U halmazon, és γ egy U -ban

N

k∈

haladó szakaszonként C1 -osztályú ív, akkor ez a függvénysor egyenletesen konvergens az Im(gamma) kompakt halmazon, vagyis

n−1

X lim sup

fk (z) − f (z) n→∞

z∈Im(γ) k=0

ahol f :=

∞ X





= 0,

fk . Az a) alapján minden n ∈ N∗ esetén

k=0

n−1 Z

X

k=0

Z

fk −

γ

tehát

Z

f = lim

n→∞

γ

Ha a

X

N

f γ

n−1 XZ k=0 γ





=

Z



fk =

γ

!

fk − f

k=0

n−1 X

∞ Z X

≤

n−1 X L(γ) sup

fk (z) − f (z) z∈Im(γ) k=0



,

fk .

k=0 γ

fk függvénysor az U minden kompakt részhalmazán normálisan konvergens és

k∈

γ egy U -ban haladó szakaszonként C1 -osztályú ív, akkor a sor konvergens, és az a) alapján minden N 3 k -ra

Z



γ



fk

így a majoráns kritérium szerint a

N

sup kfk (z)k numerikus

k∈ z∈Im(γ)

≤ L(γ) sup kfk (z)k, z∈Im(γ)

XZ

Nγ

k∈

térben. 

X

fk vektorsor abszolút konvergens az F Banach-

3.2. PÉLDÁK KOMPLEX VONALINTEGRÁLOKRA

3.2.

57

Példák komplex vonalintegrálokra

Példák komplex vonalintegrálokra. 1) Legyen n ∈ N∗ és (zk )0≤k≤n ∈ Cn+1 . Jelölje γ azt a [0, 1] → C függvényt, amelyre γ(1) := zn , és minden t ∈ [0, 1[ esetén

γ(t) := zk + (nt − k)(zk+1 − zk ), ahol 0 ≤ k < n az az egyértelm¶en meghatározott természetes szám, amelyre t ∈ [k/n, (k + 1)/n[. Könnyen belátható, hogy γ szakszonként C1 -osztályú ív, és

Im(γ) =

n−1 [

Jzk , zk+1 K.

k=0

Ha F komplex Banach-tér, és f :CF olyan folytonos függvény, hogy Im(γ) ⊆ Dom(f ), akkor Z

f=

n−1 X

Z

f.

k=0 Jz ,z k k+1 K

γ

Ebb®l következik, hogy a komplex vonalintegrál a szakasz menti integrál általánosítása. Az ilyen típusú íveket törtvonal-íveknek vagy poligonális íveknek nevezzük; ezek értékkészletei a törtvonalak vagy poligonok. A törtvonal-ívek mentén vett komplex vonalintegrálokat törtvonal-integráloknak vagy poligonális integráloknak nevezzük. 2) Legyen a ∈ C, R ∈ R∗+ , w ∈ U és m ∈ Z \ {0}. Ekkor a

[0, 1] → C;

t 7→ a + (wR)Exp(2πimt)

függvényt a γa,R,w,m szimbólummal jelöljük. Világos, hogy γa,R,w,m olyan C-ben haladó zárt, szakaszonként C1 -osztályú ív, amelyre

Im(γa,R,w,m ) = { z ∈ C | |z − a| = R }. A γa,R,1,1 ívet általában a rövidebb γa,R szimbólummal jelöljük. A γa,R,w,m alakú íveket köríveknek nevezzük; ezek értékkészletei a körvonalak. A körívek mentén vett komplex vonalintegrálokat körintegráloknak nevezzük. Nyilvánvaló, hogy Dom(Dγa,R,w,m ) =]0, 1[ és minden t ∈]0, 1[ esetén

(Dγa,R,w,m )(t) = (2πimwR)Exp(2πimt), ezért ha F komplex Banach-tér, és f : C  F olyan folytonos függvény, hogy {z ∈ C||z − a| = R} ⊆ Dom(f ), akkor Z

Z

f = (2πimwR) γa,R,w,m

]0,1[

f (a + (wR)Exp(2πimt)) Exp(2πimt)dµR (t).

58

3.3.

3. KOMPLEX VONALINTEGRÁL

Indexfüggvény

3.3.1. Deníció. Legyen γ C-ben haladó zárt, szakaszonként C1 -osztályú ív. Ekkor az 1 Z 1 z 7→ 2πi γ idC − z

Indγ : C \ Im(γ) → C;

függvényt a γ ív indexfüggvényének nevezzük és z ∈ C \ Im(γ) esetén az Indγ (z) számot a z pont γ szerinti indexének nevezzük.

Természetesen a deníció értelmes, mert z ∈ C \ Im(γ) esetén az

1 : C \ {z} → C idC − z függvény folytonos, és Im(γ) részhalmaza C \ {z}-nek.

Példa. (Körív indexfüggvénye.) Legyen a ∈ C, R ∈ R∗+ , w ∈ U és m ∈ Z \ {0}.

Ekkor

Dom(Indγa,R,w,m ) = { z ∈ C | |z − a| = 6 R }, és z ∈ C, |z − a| 6= R esetén 8 <

Indγa,R,w,m (z) = :

m , ha |z − a| < R, . 0 , ha |z − a| > R

Speciálisan, teljesül az, hogy 8 <

Indγa,R (z) = :

1 , ha |z − a| < R, . 0 , ha |z − a| > R

Legyen ugyanis z ∈ Dom(γa,R,w,m ) rögzített, tehát z ∈ C és |z − a| 6= R. Ekkor

1 Indγa,R,w,m (z) = 2πi γ

Z

a,R,w,m

= =

1 2πi

Z ]0,1[

1 2πi

Z ]0,1[

1 = idC − z

1 (Dγa,R,w,m )(t) dµR (t) = γa,R,w,m (t) − z

1 (2πimRw)Exp(2πimt) dµR (t) = a + RwExp(2πimt) − z

59

3.3. INDEXFÜGGVÉNY

Z

RwExp(2πimt) dµR (t). a + RwExp(2πimt) − z

=m ]0,1[

Ha |z − a| < R, akkor

z



− a < 1, tehát Rw Z 

]0,1[

Z

∞ X

=m



]0,1[ k=0

=m



∞ X k=0

z−a Rw

z−a Rw

1

dµR (t) = z−a 1− Exp(−2πimt) Rw

Indγa,R,w,m (z) = m



k

Exp(−2πimkt) dµR (t) =

k Z

Exp(−2πimkt) dµR (t) = m. ]0,1[





z−a k Itt felhasználtuk azt, hogy a Exp ◦ (−(2πimk).idR ) függvénysor az egész Rw k∈ N z − a < 1 egyenl®tlenség miatt, ezért az integrálás és a R-en normálisan konvergens a Rw szummázás sorrendje felcserélhet®, továbbá minden N 3 k -ra az elemi Newton-Leibniz formula alapján Z X

Exp(−2πimkt) dµR (t) = δk,0 ]0,1[

teljesül.





m z−a

Z

Rw Ha viszont |z − a| > R, akkor < 1, tehát z − a Indγa,R,w,m (z) = −

m =− z−a

Z

∞ X

]0,1[

k=0



Z

∞ X

]0,1[

k=0

= −m

= −m

∞ X k=0



Rw z−a 

]0,1[

!

k

Exp(2πmkt) RwExp(2πimt) dµR (t) =

Rw z−a

Rw z−a

RwExp(2πimt) dµR (t) =  Rw 1− Exp(2πimt) z−a 

k+1

!

Exp(2πim(k + 1)t) dµR (t) =

k+1 Z

Exp(2πim(k + 1)t) dµR (t) = 0. ]0,1[

60

3. KOMPLEX VONALINTEGRÁL





Rw k+1 Itt felhasználtuk azt, hogy a Exp ◦ ((2πim(k + 1)).idR ) függvénysor az k∈N z − a Rw < 1 egyenl®tlenség miatt, ezért az integrálás egész R-en normálisan konvergens az z − a és a szummázás sorrendje felcserélhet®, továbbá minden N 3 k -ra az elemi NewtonLeibniz formula alapján X

Z

Exp(−2πim(k + 1)t) dµR (t) = 0 ]0,1[

teljesül.

3.3.2. Állítás. Ha γ C-ben haladó zárt, szakaszonként C1 -osztályú ív, akkor Indγ olyan

folytonos függvény, hogy Im(Indγ ) ⊆ Z, (tehát a C \ Im(γ) halmaz minden pontjának γ szerinti indexe egész szám) továbbá minden R ∈ R∗+ esetén, ha Im(γ) ⊆ BR (0; C), akkor minden z ∈ C \ BR (0; C) pontra Indγ (z) = 0. Bizonyítás. (I) El®ször megmutatjuk, hogy Im(Indγ ) ⊆ Z. A γ ív szakaszonként C1 -osztályú, ezért vehetünk olyan n ∈ N számot és olyan (tk )0≤k≤n szigorúan monoton növ® rendszert R-ben, hogy Dom(γ) = [t0 , tn ], és minden k < n természetes számra a γ függvény folytonosan dierenciálható a ]tk , tk+1 [ intervallumon, és a Dγ deriváltfüggvénynek létezik tk -ban jobboldali és tk+1 -ben baloldali határértéke. Legyen z ∈ Dom(Indγ ) = C \ Im(γ) rögzített pont. Az index deníciója szerint Z

(2πi)Indγ (z) = γ

‚

Œ◦

Z 1 = idC − z

‚

R

Dγ γ−z

Œ◦

dµR ,

Dγ : R → C függvény µR -integrálható, tehát lokálisan is µR -integrálható (X. γ−z fejezet, 2. pont). Tekintsük most a és a

Zt

Φ : R → C;

t 7→ t0

Z 1 = idC − z

R

‚

Dγ γ−z

Œ◦

(s) dµR (s)

függvényt. A NewtonLeibniz-tétel (X. fejezet, 2. pont) ‚szerint ŒΦ folytonos függvény, ‚ Œ Dγ ◦ Dγ ◦ és DΦ = teljesül azon pontok halmazán, ahol a függvény folytonos. γ−z γ−z [ [ (Dγ)(t) ]tk , tk+1 [⊆ Dom(DΦ), és t ∈ ]tk , tk+1 [ esetén (DΦ)(t) = Speciálisan; . γ(t) − z k∈n k∈n Továbbá nyilvánvaló, hogy Φ(t0 ) = 0 és Φ(tn ) = (2πi)Indγ (z). Tekintsük most az

g :=

Exp ◦ Φ : Dom(γ) → C γ−z

61

3.3. INDEXFÜGGVÉNY

folytonos függvényt. Ez a függvény dierenciálható az [

[

]tk , tk+1 [ halmazon, és t ∈

k∈n

]tk , tk+1 [ esetén

k∈n

(Dg)(t) =

Exp(Φ(t))(DΦ)(t)(γ(t) − z) − Exp(Φ(t))(Dγ)(t) = 0, (γ(t) − z)2

hiszen (DΦ)(t)(γ(t) − z) = (Dγ)(t). Ebb®l következik, hogy minden k < n természetes számra a g függvény a ]tk , tk+1 [ intervallumon állandó. Ugyanakkor g mindegyik tk osztópontban is folytonos, ezért a g függvény a [t0 , tn ] = Dom(γ) intervallumon állandó. Ebb®l következik, hogy

Exp ((2πi)Indγ (z)) Φ(tn ) Φ(t0 ) Exp(0) 1 = = = = , γ(tn ) − z γ(tn ) − z γ(t0 ) − z γ(t0 ) − z γ(t0 ) − z vagyis fennáll az

Exp ((2πi)Indγ (z)) =

γ(tn ) − z γ(t0 ) − z

egyenl®ség. A γ ív zártsága folytán γ(t0 ) = γ(tn ), tehát Exp ((2πi)Indγ (z)) = 1, így Indγ (z) ∈ Z. (II) Megmutatjuk, hogy az Indγ : C \ Im(γ) → C függvény folytonos. Ehhez legyen z ∈ C \ Im(γ) rögzített pont, és (zn )n∈N tetsz®leges olyan sorozat C \ Im(γ)-ban, amely z -hez konvergál. Legyen r ∈ R∗+ olyan, hogy Br (z; C) ⊆ C \ Im(γ), továbbá legyen N ∈ N ‚‚ olysn, hogy minden n > N természetes számra zn ∈ Br (z; C). ‚ Nyilvánvaló, Œ Œ◦ Œ Dγ Dγ ◦ = hogy a függvénysorozat R-en pontonként konvergens és γ− z γ−z n∈N ‚ Œ◦ n Dγ lim . Ugyanakkor minden n > N természetes számra és Dom(γ) 3 t-re n→∞ γ − z n |γ(t) − zn | ≥ r, ezért ‚ Œ◦ Dγ γ − zn

1 ≤ r

!

sup t∈Dom(Dγ)

χDom(γ) ∈ LR1 (R, RR , µR ).

Ezért a Lebesgue-tétel alapján

1 Z 1 1 Z Indγ (z) := = 2πi γ idC − z 2πi

‚

R

Z ‚

= lim

n→∞

R

Dγ γ − zn

Dγ γ−z

Œ◦

dµR =

Œ◦

dµR = lim Indγ (zn ) n→∞

teljesül, ami az átviteli elv alapján azt jelenti, hogy Indγ folytonos a z pontban.

62

3. KOMPLEX VONALINTEGRÁL

(III) Legyen R ∈ R∗+ olyan, hogy Im(γ) ⊆ BR (0; C). Ha z ∈ C \ BR (0; C), akkor minden Im(γ) 3 z 0 -re |z 0 − z| ≥ ||z 0 | − |z|| ≥ |z| − |z 0 | ≥ |z| − R, ezért

1 |Indγ (z)| = 2π

Z γ



1 L(γ) 1 1 L(γ) sup ≤ . ≤ 0 idC − z 2π z0 ∈Im(γ) |z − z| 2π |z| − R

L(γ) szám olyan, hogy z ∈ C \ BR0 (0; C) esetén 2π |Indγ (z)| < 1, ezért Indγ (z) ∈ Z miatt Indγ (z) = 0. Könnyen látható, hogy a C \ BR (0; C) halmaz (ívszer¶en) összefügg®, ezért az Indγ függvény folytonossága miatt Indγ hC \ BR (0; C)i is összefügg® halmaz C-ben. Ugyanakkor Indγ (z) ∈ Z, ezért az Indγ függvény a C \ BR (0; C) halmazon állandó. De C \ BR0 (0; C) ⊆ C \ BR (0; C), és az el®z®ek szerint Indγ a C \ BR0 (0; C) halmazon azonosan 0. ezért Indγ hC \ BR (0; C)i = {0}.  Ez azt mutatja, hogy az R0 := R +

Az állításból következik, hogy az Indγ függvény a C\Im(γ) halmaz minden összefügg® komponensén állandó.

3.4.

Gyakorlatok

1. Legyen E normált tér, n ∈ N és (γk )0≤k≤n olyan rendszer, amelynek minden tagja

E -ben haladó szakaszonként C1 -osztályú ív. Feltesszük, hogy minden k < n természetes számra a γk ív végpontja egyenl® a γk+1 ív kezd®pontjával. Minden k ≤ n természetes számra legyenek ak , bk ∈ R azok a pontok, amelyekre Dom(γk ) = [ak , bk ]. Értelmezzük azt a γ : [0, 1] → E függvényt, amelyre γ(1) = γn (bn ) és minden t ∈ [0, 1[ esetén γ(t) := γk (ak + (nt − k)(bk − ak )), ahol k < n az az egyértelm¶en meghatározott természetes szám, amelyre t ∈ [k/n, (k + 1)/n[. Ekkor γ E -ben haladó szakaszonként C1 -osztályú ív és

Im(γ) =

n [

Im(γk ).

k=0 n

Ezt a γ ívet az ⊕ γk szimbólummal jelöljük. Ha E := C, F komplex Banach-tér és k=0



n



f : C  F olyan folytonos függvény, amelyre Im ⊕ γk ⊆ Dom(f ), akkor k=0

Z

f=

γ n

k=0

k

n Z X k=0 γk

f.

3.4. GYAKORLATOK

63

2. (A vonalintegrál általánosítása.) Legyen E normált tér és F Banach-tér. Ha

ω : E  L (E; F ) folytonos függvény (vagyis E feletti operátormez®) és γ olyan E ben haladó szakaszonként C1 -osztályú ív, amelyre Im(γ) ⊆ Dom(ω), akkor az (ω ◦ γ)(Dγ) : Dom(γ) → F ;

t 7→ ω(γ(t))((Dγ)(t))

függvény 0-val vett kiterjesztése R-re integrálható a Lebesgue-mérték szerint; ekkor az Z

Z

ω := γ

R

((ω ◦ γ)(Dγ))◦ dµR

F -beli vektort az ω operátormez® γ menti vonalintegráljának nevezzük. a) Legyen F Banach-tér K felett és f : K  F folytonos függvény. Ekkor az

ωf : Dom(f ) → L (K; F );

z 7→ (z 0 7→ z 0 .f (z))

függvény folytonos, és ha γ olyan K-ban haladó folytonos ív, hogy Im(γ) ⊆ Dom(f ) = Dom(ωf ), akkor Z Z

ωf = γ

f (γ(t))(Dγ)(t) dµR (t), Dom(Dγ)

tehát K := C esetén

Z

Z

ωf = γ

f, γ

vagyis az az operátormez®k imént bevezetett vonalintegrálja a komplex vonalintegrál általánosítása. b) Tegyük fel, hogy E normált tér K felett, és legyen g : E × E → K olyan szimmetrikus, folytonos bilineáris funkcionál, amelyre az E → E 0 ; x 7→ g(x, ·) lineáris operátor bijekció. Ha ζ : E  E folytonos függvény (vagyis E feletti vektormez®), akkor az

ωg,ζ : Dom(ζ) → E 0 ;

x 7→ g(ζ(x), ·)

kovektormez® folytonos, és ha γ olyan E -ben haladó szakaszonként C1 -osztályú ív, hogy Im(γ) ⊆ Dom(ζ) = Dom(ωg,ζ ), akkor Z

Z

ωg,ζ = γ

g(ζ(γ(t)), (Dγ)(t)) dµR (t). Dom(Dγ)

Ezt az F -beli vektort a ζ vektormez® g szerinti munkájának nevezzük a γ ív mentén, és ezt a Z (g) ζ γ

64

3. KOMPLEX VONALINTEGRÁL

szimbólummal is jelöljük.

3. (Az általános vonalintegrál tulajdonságai.) Legyen E normált tér és F Banach-tér K felett.

a) Ha ω, ω 0 : E  L (E; F ) folytonos függvények, λ ∈ K, és γ olyan E -ben haladó szakaszonként C1 -osztályú ív, hogy Im(γ) ⊆ Dom(ω), akkor Z

(ω + ω 0 ) =

γ

Z

Z

ω+ γ

γ

Z

Z

(λ.ω) = λ.

Z



γ





ω

γ

ω0,

ω, γ

≤ L(γ) sup kω(x)k. x∈Im(γ)

Ha g : E × E → K olyan szimmetrikus, folytonos bilineáris funkcionál, amelyre az E → E 0 ; x 7→ g(x, ·) lineáris operátor bijekció, továbbá ζ : E  E folytonos függvény, és γ olyan E -ben haladó szakaszonként C1 -osztályú ív, hogy Im(γ) ⊆ Dom(ω), akkor

Z

(g)

γ

ζ





≤ kgkL(γ) sup kζ(x)k. x∈Im(γ)

b) Ha ω : E  L (E; F ) folytonos függvény, g : E  F primitív függvénye ω -nak, és γ olyan E -ben haladó szakaszonként C1 -osztályú ív, hogy Im(γ) ⊆ Dom(g), akkor Z

ω = g(γ(b)) − g(γ(a)), γ

ahol a, b ∈ R azok a pontok, amelyekre Dom(γ) = [a, b]. c) Legyenek a, b, a0 , b 0 ∈ R, a ≤ b, a0 ≤ b 0 , és σ : [a0 , b 0 ] → [a, b] olyan szigorúan monoton növ® folytonos függvény, hogy a σ|]a0 ,b 0 [ :]a0 , b 0 [→]a, b[ függvény C1 -diffeomorzmus, valamint Dσ -nak létezik határértéke a0 -ben és b 0 -ben. Ha γ : [a, b] → E szakaszonként C1 -osztályú ív, akkor a γ ◦ σ függvény is E -ben haladó szakaszonként C1 -osztályú ív, és ha ω : E  L (E; F ) olyan folytonos függvény, hogy Im(γ) ⊆ Dom(ω), akkor Z

Z

ω= γ◦σ

ω. γ

d) Legyen U ⊆ E és (ωn )n∈N olyan sorozat, amelynek minden tagja U → L (E; F ) folytonos függvény. Ha ez a függvénysorozat lokálisan egyenletesen konvergens az U halmazon, akkor minden U -ban haladó szakaszonként C1 -osztályú γ ívre Z  γ



lim lim ωn = n→∞

n→∞

Z

ωn γ

65

3.4. GYAKORLATOK

Ha a

X

N

ωn függvénysor lokálisan egyenletesen konvergens az U halmazon (például

n∈

normálisan konvergens az U halmazon), akkor minden U -ban haladó szakaszonként C1 osztályú γ ívre a XZ ωn

Nγ

n∈

vektorsor abszolút konvergens, és Z γ

∞ X n=0

!

ωn =

∞ Z X n=0 γ

ωn .

66

3. KOMPLEX VONALINTEGRÁL

4. fejezet Cauchy integráltétele 4.1.

Kontúrhomotóp ívek

4.1.1. Deníció. Legyen M metrikus tér. Azt mondjuk, hogy a γ0 , γ1 : [0, 1] → M zárt folytonos ívek kontúrhomotópok az U ⊆ M halmazban, ha létezik olyan H : [0, 1] × [0, 1] → M folytonos függvény, hogy Im(H) ⊆ U , és minden t ∈ [0, 1] esetén H(0, t) = γ0 (t) és H(1, t) = γ1 (t), valamint minden p ∈ [0, 1] esetén H(p, 0) = H(p, 1).

4.1.2. Deníció. Legyen M metrikus tér. Egy U ⊆ M halmazt egyszeresen összefügg®nek nevezünk, ha U ívszer¶en összefügg® halmaz, és minden U -ban haladó,

[0, 1] intervallumon értelmezett, zárt folytonos ív konturhomotóp az U halmazban egy [0, 1] → U konstansfüggvénnyel. Az M metrikus tér egyszeresen összefügg®, ha az M halmaz egyszeresen összefügg®. Szemléletesen az mondható, hogy az U ⊆ M halmaz egyszeres összefügg®sége azt jelenti, hogy U ívszer¶en összefügg® és minden U -ban haladó zárt folytonos ív egy U beli pontba deformálható folytonosan, U -ban haladó zárt folytonos íveken keresztül. Az egyszeres összefügg®ség nyilvánvalóan topologikus tulajdonság. Megjegyezzük, hogy az általános topológiában megadható a folytonos függvények homotópiájának, és a metrikus (s®t topologikus) terek egyszeres összefügg®ségének általánosítása (3. és 5. gyakorlatok).

Példák. 1) Ha E normált tér, akkor minden U ⊆ E csillaghalmaz (így minden

konvex halmaz is) egyszeresen összefügg®. Valóban, ha c ∈ U csillagcentruma U -nak, és γ : [0, 1] → E olyan zárt folytonos ív, hogy Im(γ) ⊆ U , akkor a

H : [0, 1] × [0, 1] → E;

(p, t) 7→ pc + (1 − p)γ(t)

függvény folytonos, és minden t ∈ [0, 1] esetén H(0, t) = γ(t), H(1, t) =[ c, és minden p ∈ [0, 1] esetén H(p, 0) = H(p, 1), mert γ(0) = γ(1), továbbá Im(H) = Jc, γ(t)K ⊆ U , t∈[0,1]

67

68

4. CAUCHY INTEGRÁLTÉTELE

mert a γ ív U -ban halad és c csillagcentruma U -nak. 2) Legyenek a ∈ C, R ∈ R∗+ , w ∈ U és m ∈ Z \ {0}. Ekkor a a γa,R,1,m és γa,R,w,m és ívek kontúrhomotópok minden olyan U ⊆ C halmazban, amelyre {z ∈ C||z − a| = R} ⊆ U . Valóban, létezik olyan θ ∈ [0, 1[, hogy w = Exp(2πiθ), és ekkor a

H : [0, 1] × [0, 1] → E;

(p, t) 7→ a + R · Exp(2πi(pθ + mt))

függvény folytonos, és minden t ∈ [0, 1] esetén H(0, t) = γa,R,1,m (t), H(1, t) = γa,R,w,m (t), és minden p ∈ [0, 1] esetén H(p, 0) = H(p, 1), továbbá Im(H) = {z ∈ C||z−a| = R} ⊆ U .

4.2.

Cauchy intergáltétele

4.2.1. Tétel. (Cauchy intergáltétele) Legyen F komplex Banach-tér, és f : C  F

olyan folytonos függvény, hogy Dom(f ) nyílt halmaz és minden z ∈ Dom(f ) esetén van olyan g primitív függvénye f -nek, amelyre z ∈ Dom(g). Ha γ0 , γ1 : [0, 1] → C olyan zárt, szakaszonként C1 -osztályú ívek, amelyek kontúrhomotópok Dom(f )-ben, akkor Z

Z

f= γ0

f. γ1

Bizonyítás. Legyen H : [0, 1] × [0, 1] → C olyan folytonos függvény, hogy Im(H) ⊆ Dom(f ), és minden t ∈ [0, 1] esetén H(0, t) = γ0 (t) és H(1, t) = γ1 (t), valamint minden p ∈ [0, 1] esetén H(p, 0) = H(p, 1). Az f -re vonatkozó hipotézis alapján az Im(H) kompakt halmaznak van olyan (Ωi )i∈I nyílt befedése, hogy minden i ∈ I esetén Ωi ⊆ Dom(f ) és létezik f -nek Ωi -n értelmezett primitív függvénye. A Lebesgue-lemma szerint van olyan r ∈ R∗+ , hogy minden z ∈ Im(H) esetén létezik olyan i ∈ I , hogy Br (z; C) ⊆ Ωi . Ez azt jelenti, hogy az r szám olyan, amelyhez minden Im(H) 3 z -re f -nek létezik a Br (z; C) gömbön értelmezett primitív függvénye. Most a Heine-tételt alkalmazzuk, vagyis kihasználjuk a H egyenletes folytonosságát. Tehát az r-hez veszünk olyan δ ∈ R∗+ számot, hogy minden (p, t), (p0 , t0 ) ∈ [0, 1] × [0, 1] esetén, ha max(|p0 − p|, |t0 − t|) < δ , akkor |H(p0 , t0 ) − H(p, t)| < r. Legyen n ∈ N olyan szám, amelyre n > 1/δ , vagyis 1/n < δ . Minden j, k ≤ n természetes számra legyen pj := j/n és tk := k/n. Minden j ≤ n természetes számra értelmezzük a Γj : [0, 1] → C függvényt úgy, hogy Γ0 := γ0 , Γn := γ1 , és 0 < j < n esetén Γj a (H(pj , tk ))0≤k≤n rendszer által meghatározott törtvonal-ív. Megmutatjuk, hogy minden j ≤ n természetes számra Γj olyan Dom(f )ben haladó zárt, szakaszonként C1 -osztályú ív, amelyre minden k < n természetes szám esetében Γj h[tk , tk+1 ]i ⊆ Br (H(pj , tk ); C). A deníció szerint Γ0 := γ0 , tehát Γ0 olyan zárt, szakaszonként C1 -osztályú ív, amely

69

4.2. CAUCHY INTERGÁLTÉTELE

Dom(f )-ben halad. Ha k < n tetsz®leges természetes szám, akkor t ∈ [tk , tk+1 ] esetén |t − tk | ≤ 1/n < δ , tehát |Γ0 (t) − H(p0 , tk )| = |γ0 (t) − H(0, tk )| = |H(0, t) − H(0, tk )| < r, vagyis Γ0 (t) ∈ Br (H(p0 , tk ); C). A deníció szerint Γn := γ1 , tehát Γn olyan zárt, szakaszonként C1 -osztályú ív, amely Dom(f )-ben halad. Ha k < n tetsz®leges természetes szám, akkor t ∈ [tk , tk+1 ] esetén |t − tk | ≤ 1/n < δ , tehát

|Γn (t) − H(pn , tk )| = |γ1 (t) − H(1, tk )| = |H(1, t) − H(1, tk )| < r, vagyis Γn (t) ∈ Br (H(pn , tk ); C). Legyen 0 < j < n tetsz®leges természetes szám. Ekkor a deníció szerint Γj a (H(pj , tk ))0≤k≤n rendszer által meghatározott törtvonal-ív, tehát szakaszonként C1 osztályú ív, továbbá zárt is, mert Γj (0) := H(pj , t0 ) = H(pj , 0) = H(pj , 1) = H(pj , tn ) =: Γj (1). Legyen k < n természetes szám, és t ∈ [tk , tk+1 ], azaz k/n ≤ t ≤ (k + 1)/n. Ekkor |tk+1 − tk | = 1/n < δ és 0 ≤ nt − k ≤ 1, így a Γj deníciója alapján

|Γj (t) − H(pj , tk )| = |H(pj , tk ) + (nt − k)(H(pj , tk+1 ) − H(pj , tk )) − H(pj , tk )| = = (nt − k)|H(pj , tk+1 ) − H(pj , tk )| ≤ |H(pj , tk+1 ) − H(pj , tk )| < r, vagyis Γj (t) ∈ Br (H(pj , tk ); C). Ebb®l látható az is, hogy

Im(Γj ) =

[

Γj h[tk , tk+1 ]i ⊆

k∈n

[

Br (H(pj , tk ); C) ⊆ Dom(f ),

k∈n

vagyis Γj is a Dom(f ) halmazban halad. Most megmutatjuk, hogy minden j < n természetes számra Z

Z

f= Γj

f Γj+1

teljesül. Ha ez így volna, akkor a bizonyítás kész van, hiszen akkor Z

f= γ0

…

Z

f+ Γ0

n−1 X j=0

Z

f− Γj+1



Z

f Γj

Z

=

Z

f= Γn

f. γ1

A bizonyításhoz bevezetünk egyszer¶sített jelöléseket. Minden j, k ≤ n természetes számra legyen zj,k := H(pj , tk ) és Bj,k := Br (zj,k ; C), továbbá jelöljön gj,k egy olyan Bj,k → F holomorf függvényt, amely primitív függvénye f -nek, azaz Dgj,k = f a Bj,k gömbön.

70

4. CAUCHY INTEGRÁLTÉTELE

Ha j ≤ n természetes szám, akkor minden k < n természetes számra a Γj |[tk ,tk+1 ] ív Bj,k -ban halad, amelyen gj,k primitív függvénye f -nek, következésképpen Z

f=

X

Z

f=

k∈n Γ | j [tk ,tk+1 ]

Γj

=

X

(gj,k (Γj (tk+1 )) − gj,k (Γj (tk ))) =

k∈n

X

(gj,k (zj,k+1 ) − gj,k (zj,k )) .

k∈n

Legyen most j < n rögzített természetes szám és Z

∆j :=

Z

f− Γj+1

=

X

f= Γj

(gj+1,k (zj+1,k+1 ) − gj+1,k (zj+1,k ) − gj,k (zj,k+1 ) + gj,k (zj,k )) .

k∈n

Minden k ≤ n természetes számra a gj+1,k − gj,k : Bj+1,k ∩ Bj,k → F függvény holomorf, és D(gj+1,k − gj,k ) = 0 a deníciós tartományán, továbbá ez a deníciós tartomány összefügg® (s®t konvex) halmaz; ezért a gj+1,k − gj,k függvény állandó. Ugyanakkor k ∈ N, k < n esetén zj+1,k+1 ∈ Bj+1,k ∩ Bj,k . Valóban, a (pj+1 , tk+1 ) és (pj+1 , tk ) pontok távolsága [0, 1] × [0, 1]-ben a max-metrika szerint éppen 1/n, tehát δ -nál kisebb, így |H(pj+1 , tk+1 ) − H(pj+1 , tk )| < r, tehát zj+1,k+1 := H(pj+1 , tk+1 ) ∈ Br (H(pj+1 , tk ); C) =: Bj+1,k . Hasonlóan; a (pj+1 , tk+1 ) és (pj , tk ) pontok távolsága [0, 1] × [0, 1]-ben a maxmetrika szerint éppen 1/n, tehát δ -nál kisebb, így |H(pj+1 , tk+1 ) − H(pj , tk )| < r, tehát zj+1,k+1 := H(pj+1 , tk+1 ) ∈ Br (H(pj , tk ); C) =: Bj,k . Ez azt jelenti, hogy zj+1,k+1 ∈ Bj+1,k ∩ Bj,k . Teljesen hasonó érveléssel kapjuk, hogy zj+1,k ∈ Bj+1,k ∩ Bj,k is teljesül, ezért

gj+1,k (zj+1,k+1 ) − gj,k (zj+1,k+1 ) = gj+1,k (zj+1,k ) − gj,k (zj+1,k ), amib®l átrendezéssel adódik, hogy

gj+1,k (zj+1,k+1 ) − gj+1,k (zj+1,k ) = gj,k (zj+1,k+1 ) − gj,k (zj+1,k ). Ezt behelyettesítjük a ∆j -t kifejez® formulába, tehát azt kapjuk, hogy

∆j =

X

(gj,k (zj+1,k+1 ) − gj,k (zj+1,k ) − gj,k (zj,k+1 ) + gj,k (zj,k )) =

k∈n

=

X k∈n

(gj,k (zj+1,k+1 ) − gj,k (zj,k+1 )) −

X

(gj,k (zj+1,k ) − gj,k (zj,k )) .

k∈n

Ha 0 < k < n természetes szám, akkor |tk − tk−1 | = 1/n < δ és |pj+1 − pj | = 1/n < δ miatt zj,k , zj+1,k ∈ Bj,k ∩ Bj,k−1 , és a Bj,k ∩ Bj,k−1 halmaz nyílt és összefügg®, továbbá ezen a halmazon Dgj,k = f = Dgj,k−1 , tehát a gj,k − gj,k−1 függvény állandó, így

gj,k (zj+1,k ) − gj,k−1 (zj+1,k ) = gj,k (zj,k ) − gj,k−1 (zj,k ),

4.2. CAUCHY INTERGÁLTÉTELE

71

amib®l átrendezéssel adódik, hogy

gj,k (zj+1,k ) − gj,k (zj,k ) = gj,k−1 (zj+1,k ) − gj,k−1 (zj,k ). Ezt behelyettesítjük a ∆j -t kifejez® formulába, tehát azt kapjuk, hogy

∆j =

n−1 X

(gj,k (zj+1,k+1 ) − gj,k (zj+1,k ) − gj,k (zj,k+1 ) + gj,k (zj,k )) =

k=0

=

n−1 X

(gj,k (zj+1,k+1 ) − gj,k (zj,k+1 )) −

k=0

n−1 X

(gj,k (zj+1,k ) − gj,k (zj,k )) −

k=1

− (gj,0 (zj+1,0 ) − gj,0 (zj,0 )) = =

n−1 X

(gj,k (zj+1,k+1 ) − gj,k (zj,k+1 )) −

k=0

n−1 X

(gj,k−1 (zj+1,k ) − gj,k−1 (zj,k )) −

k=1

− (gj,0 (zj+1,0 ) − gj,0 (zj,0 )) = =

n−1 X

(gj,k (zj+1,k+1 ) − gj,k (zj,k+1 )) −

k=0

n−2 X

(gj,k (zj+1,k+1 ) − gj,k (zj,k+1 )) −

k=0

− (gj,0 (zj+1,0 ) − gj,0 (zj,0 )) = = (gj,n−1 (zj+1,n ) − gj,n−1 (zj,n )) − (gj,0 (zj+1,0 ) − gj,0 (zj,0 )) . De zj+1,n := H(pj+1 , 1) = H(pj+1 , 0) =: zj+1,0 és zj,n := H(pj , 1) = H(pj , 0) = zj,0 , így az írható, hogy

∆j = (gj,n−1 − gj,0 ) (zj+1,0 ) − (gj,n−1 − gj,0 ) (zj,0 ). A Bj,0 ∩ Bj,n−1 halmaz nyílt és összefügg®, továbbá ezen a halmazon Dgj,0 = f = Dgj,n−1 , így a gj,n−1 −gj,0 függvény állandó ezen a halmazon. Ugyanakkor zj,0 ∈ Bj,0 ∩Bj,n−1 , mert zj,0 a Bj,0 gömb középpontja, így zj,0 ∈ Bj,0 , továbbá zj,0 = zj,n és |tn−1 − tn | = 1/n < δ , tehát |H(pj , tn−1 ) − H(pj , tn )| < r, azaz zj,0 = zj,n := H(pj , tn ) ∈ Br (H(pj , tn−1 ); C) = Bj,n−1 . Hasonlóan kapjuk, hogy zj+1,0 = zj+1,n miatt zj+1,0 ∈ Bj,0 ∩ Bj,n−1 . Ezért

(gj,n−1 − gj,0 ) (zj+1,0 ) = (gj,n−1 − gj,0 ) (zj,0 ), vagyis ∆j = 0. 

72

4.3.

4. CAUCHY INTEGRÁLTÉTELE

Cauchy els® integrálformulája

4.3.1. Tétel. Legyen F komplex Banach-tér és f : C  F olyan folytonos függvény, amely a Dom(f ) minden pontjában C-dierenciálható, legfeljebb egy pontot kivéve. Ha γ zárt szakaszonként C1 -osztályú ív, és létezik olyan U ⊆ C egyszeresen összefügg® nyílt halmaz, amelyre Im(γ) ⊆ U ⊆ Dom(f ), akkor Z

f = 0. γ

(Cauchy els® integrálformulája) Bizonyítás. Ha γ konstansfüggvény, akkor az állítás nyilván igaz. Tegyük fel, hogy a, b ∈ R olyanok, hogy a < b és Dom(γ) = [a, b]. Legyen σ : [0, 1] → [a, b]; t 7→ a+t(b−a). Ekkor σ olyan szigorúan monoton növ® függvény, amely ]0, 1[ és ]a, b[ között C1 dieomorzmus, továbbá a deriváltfüggvényének van határértéke a-ban és b-ben. Ezért γ ◦ σ : [0, 1] → C szintén zárt szakaszonként C1 -osztályú ív és Z

Z

f= γ

f. γ◦σ

Ha U olyan egyszeresen összefügg® nyílt halmaz, amelyre Im(γ) ⊆ U ⊆ Dom(f ), akkor Im(γ) = Im(γ ◦ σ) miatt a γ ◦ σ ív az U halmazban halad, így annak egyszeres összefügg®sége miatt van olyan c ∈ U , hogy γ ◦ σ kontúrhomotóp a γc : [0, 1] → C; t 7→ c konstans ívvel az U halmazban. Az f |U : U → F függvény nyílt halmazon értelmezett, és a 2. pont utolsó állítása szerint a deníciós tartománya minden pontjának van olyan környezete, amelyen létezik neki primitív függvénye. Ezért a Cauchy-integráltételt alkalmazva az f |U függvényre kapjuk, hogy Z

Z

f= γ

Z

f= γ◦σ

Z

f |U = γ◦σ

f |U = 0 γc

teljesül. 

4.3.2. Következmény. Ha F komplex Banach-tér és f : C  F olyan holomorf

függvény, amelyre Dom(f ) egyszeresen összefügg® halmaz, akkor minden Dom(f )-ben haladó γ zárt szakaszonként C1 -osztályú ívre Z

f = 0. γ

Bizonyítás. Az el®z® állítás alapján nyilvánvaló. 

4.4. CAUCHY MÁSODIK INTEGRÁLFORMULÁJA

4.4.

73

Cauchy második integrálformulája

4.4.1. Tétel. Legyen F komplex Banach-tér és f : C  F holomorf függvény. Ha

U ⊆ Dom(f ) egyszeresen összefügg® nyílt halmaz és γ tetsz®leges U -ban haladó zárt szakaszonként C1 -osztályú ív, akkor minden z ∈ U \ Im(γ) esetén f (z)Indγ (z) =

1 Z f . 2πi γ idC − z

(Cauchy második integrálformulája) Bizonyítás. Legyen z ∈ U \ Im(γ) rögzített pont, és értelmezzük azt a g : U → F függvényt, amelyre minden z 0 ∈ U és z 0 6= z esetén

g(z 0 ) :=

f (z 0 ) − f (z) , z0 − z

ugyanakkor g(z) := (Df )(z). Az f függvény a z pontban C dierenciálható, ezért g nek z -ben létezik határártéke és az megegyezik g(z)-vel, vagyis g folytonos a z pontban. Ugyanakkor g az U \ {z} halmaz minden pontjában nyilvánvalóan C-differenciálható, hiszen ezen a halmazon f − f (z) g= idC − z teljesül. Ezért Cauchy els® integrálformuláját g -re alkalmazva kapjuk, hogy ha γ egy U -ban haladó zárt szakaszonként C1 -osztályú ív, akkor Z

0=

Z

g= γ

γ

Z Z Z f − f (z) Z f f (z) f 1 = − = − f (z) , idC − z idC − z γ idC − z γ idC − z idC − z γ γ

amit átrendezve és 1/2πi-vel szorozva, az index deníciója alapján kapjuk a bizonyítandó egyenl®séget.  Láthatjuk, hogy Cauchy els® integrálformulája a Cauchy-integráltétel, a Goursatlemma és a NewtonLeibniz-tétel komplex formájának összeillesztéséb®l adódik, míg a második integrálformula Cauchy els® integrálformulájának és az indexfüggvény deníciójának közvetlen következménye. A következ® állítás Cauchy második integrálformulájának speciális esete körívekre.

4.4.2. Következmény. Legyen F komplex Banach-tér és f : C  F holomorf függvény.

Ha a ∈ Dom(f ) és r ∈ R∗+ olyan, hogy Br (a; C) ⊆ Dom(f ), akkor minden z ∈ Br (a; C) esetén 1 Z f f (z) = . 2πi γ idC − z a,r

74

4. CAUCHY INTEGRÁLTÉTELE

Bizonyítás. El®ször megjegyezzük, hogy létezik olyan R ∈ R∗+ , amelyre r < R és BR (a; C) ⊆ Dom(f ). Valóban, ha Dom(f ) = C, akkor ez triviális, míg Dom(f ) 6= C esetén van olyan ε ∈ R∗+ , hogy

{z ∈ C | d(z, Br (a; C)) < ε} ∩ {z ∈ C | d(z, C \ Dom(f )) < ε} = ∅, ahol d jelöli a C feletti euklidészi metrikát. Nyilvánvaló, hogy {z ∈ C | d(z, Br (a; C)) < ε} = Br+ε (a; C), ezért R := r + ε ∈ R∗+ olyan, hogy r < R és BR (a; C) ⊆ Dom(f ). Most a γa,r körívre és az U := BR (a; C) egyszeresen összefügg® nyílt halmazra alkalmazva Cauchy második integrálformuláját kapjuk, hogy minden z ∈ Br (a; C) esetén

f (z) = f (z)Indγa,r (z) =

1 Z f , 2πi γ idC − z a,r

hiszen ha |z − a| < r, akkor Indγa,r (z) = 1. 

75

4.5. GYAKORLATOK

4.5.

Gyakorlatok

1. Legyen M metrikus tér és U ⊆ M . Ha γ0 , γ1 , γ2 : [0, 1] → M olyan zárt folytonos

ívek M -ben, hogy γ0 és γ1 kontúrhomotópok az U halmazban, valamint γ1 és γ2 kontúrhomotópok az U halmazban, akkor a γ0 és γ1 ívek is kontúrhomotópok az U halmazban. (Ez a kontúrhomotópia tranzitivitásának tétele.)

(Útmutatás. Legyenek H1 , H2 : [0, 1] × [0, 1] → M olyan folytonos függvények, hogy Im(H1 ), Im(H2 ) ⊆ U , és minden t ∈ [0, 1] esetén H1 (0, t) = γ0 (t), H1 (1, t) = γ1 (t) = H2 (0, t), H2 (1, t) = γ2 (t), valamint minden p ∈ [0, 1] esetén H1 (p, 0) = H1 (p, 1) és H2 (p, 0) = H2 (p, 1). Ekkor a

H : [0, 1] × [0, 1] → M ;

8 <

(p, t) 7→ :

H1 (2p, t) H2 (2p − 1, t)

; ha p ≤ 1/2; ; ha p > 1/2

függvény olyan, hogy Im(H) ⊆ Im(H1 ) ∪ Im(H2 ) ⊆ U , és minden t ∈ [0, 1] esetén H(0, t) := H1 (0, t) = γ0 (t), H(1, t) := H2 (1, t) = γ2 (t), valamint minden [0, 1/2] 3 p-re H(p, 0) := H1 (2p, 0) = H1 (2p, 1) =: H(p, 1) és [1/2, 1] 3 p-re H(p, 0) := H2 (2p − 1, 0) = H2 (2p − 1, 1) =: H(p, 1). Ugyanakkor H folytonos is, mert az F1 := [0, 1/2] × [0, 1] és F2 := [1/2, 1]×[0, 1] halmazok zártak [0, 1]×[0, 1]-ben, és [0, 1]×[0, 1] = F1 ∪F2 , továbbá H lesz¶kítése az F1 és F2 halmazokra folytonos (mert folytonos függvények kompozíciói), tehát elegend® az V. fejezet, 7. pontjának, 2. gyakorlatára hivatkozni. Ezért a γ0 és γ1 ívek is kontúrhomotópok az U halmazban.)

2. Legyenek a, b ∈ C és r, R ∈ R∗+ olyanok, hogy r < R és |b − a| < R − r. Ekkor a γa,R és γb,r ívek kontúrhomotópok a BR (a; C) halmazban.

(Útmutatás. El®ször könnyen beláthatjuk, hogy a γa,R és γa,r ívek kontúrhomotópok a BR (a; C) halmazban, majd igazolhatjuk, hogy a γa,r és γb,r ívek kontúrhomotópok a BR (a; C) halmazban. Ezután alkalmazzuk a kontúrhomotópia tranzitivitását (1. gyakorlat).)

3. Legyenek M és M 0 mertikus terek. Azt mondjuk, hogy az f0 , f1 : M → M 0 függvények

homotópok, ha létezik olyan H : [0, 1]×M → M 0 folytonos függvény, hogy minden x ∈ M esetén H(0, x) = f0 (x) és H(1, x) = f1 (x). Azt mondjuk, hogy az M és M 0 metrikus terek homotópok ha léteznek olyan f : M → M 0 és g : M 0 → M függvények, hogy a g ◦ f és idM függvények homotópok, valamint az f ◦ g és idM 0 függvények homotópok. a) Függvények és metrikus terek homotópiája topologikus tulajdonság. Homeomorf

76

4. CAUCHY INTEGRÁLTÉTELE

metrikus terek homotópok, de léteznek nem homeomorf homotóp metrikus terek. b) Ha f0 , f1 , f2 : M → M 0 függvények, és f0 és f1 homotópok, valamint f1 és f2 homotópok, akkor az f0 és f2 függvények is homotópok. (Ez a függvényhomotópia tranzitivitása.) Ha M 00 is metrikus tér, és az f0 , f1 : M → M 0 függvények homotópok, és a g0 , g1 : M 0 → M 00 függvények homotópok, akkor a g0 ◦ f0 és g1 ◦ f1 függvények is homotópok. c) Minden metrikus tér homotóp önmagával (vagyis a homotópia reexív). Ha az M és M 0 metrikus terek homotópok, akkor az M 0 és M metrikus terek homotópok (vagyis a homotópia szimmetrikus). Ha az M és M 0 metrikus terek homotópok, valamint az M 0 és M 00 metrikus terek homotópok, akkor az M és M 00 metrikus terek homotópok (vagyis a homotópia tranzitív). d) Az M metrikus teret összehúzhatónak nevezzük, ha az idM függvény homotóp egy M → M konstansfüggvénnyel. Ha M metrikus tér, akkor a következ® állítások ekvivalensek. (i) M összehúzható. (ii) M homotóp valamely egypontú metrikus térrel, vagyis egy olyannal, amelynek az alaphalmaza egy elem¶. (iii) Minden M 0 metrikus térre, bármely két M 0 → M folytonos függvény homotóp egymással. e) Ha E normált tér és M ⊆ E csillaghalmaz, akkor az M metrikus altér összehúzható. (Útmutatás. b) Legyenek f0 , f1 , f2 : M → M 0 függvények, és tegyük fel, hogy f0 és f1 homotópok, valamint f1 és f2 homotópok. Legyenek H1 , H2 : [0, 1] × M → M 0 olyan folytonos függvények, amelyekre minden x ∈ M esetén H1 (0, x) = f0 (x), H1 (1, x) = f1 (x) = H2 (0, x) és H2 (1, x) = f2 (x). Ekkor a

H : [0, 1] × M → M 0 ;

8 <

(p, t) 7→ :

H1 (2p, t) H2 (2p − 1, t)

; ha p ≤ 1/2; ; ha p > 1/2

függvény olyan, hogy minden x ∈ M esetén H(0, x) := H1 (0, x) = f0 (x) és H(1, x) := H2 (1, x) = f2 (x), ezért ha H folytonos volna, akkor f0 és f2 homotópok volnának. A deníció alapján nyilvánvaló, hogy az F1 := [0, 1/2] × M és F2 := [1/2, 1] × M olyan zárt halmazok [0, 1] × M -ben, hogy [0, 1] × M = F1 ∪ F2 és H|F1 , H|F2 folytonos függvények (mert folytonos függvények kompozíciói), tehát az V. fejezet, 7. pont, 2. gyakorlat szerint H folytonos. Legyenek M , M 0 és M 00 metrikus terek és f0 , f1 : M → M 0 , valamint g0 , g1 : M 0 → M 00 függvények. Legyen H 0 : [0, 1] × M → M 0 olyan folytonos függvény, hogy minden x ∈ M esetén H 0 (0, x) = f0 (x) és H 0 (1, x) = f1 (x). Legyen továbbá H 00 : [0, 1]×M 0 → M 00 olyan

4.5. GYAKORLATOK

77

folytonos függvény, hogy minden x0 ∈ M 0 esetén H 00 (0, x0 ) = g0 (x0 ) és H 00 (1, x0 ) = g1 (x0 ). Ekkor a H : [0, 1] × M → M 00 ; x 7→ H 00 (p, H 0 (p, x)) függvény folytonos, és minden x ∈ M esetén H(0, x) := H 00 (0, H 0 (0, x)) := g0 (f0 (x)) és H(1, x) := H 00 (1, H 0 (1, x)) := g1 (f1 (x)), így a g0 ◦ f0 és g1 ◦ f1 függvények homotópok. d) Ha M összehúzható metrikus tér, és c ∈ M olyan pont, hogy idM homotóp a c érték¶ M → M konstansfüggvénnyel, akkor az egyetlen f : M → {c} függvény és a g : {c} → M ; x 7→ c függvény olyan, hogy mindkett® folytonos, és g ◦ f egyenl® a c érték¶ M → M konstansfüggvénnyel (tehát g ◦ f és idM homotópok), ugyanakkor f ◦ g = id{c} (tehát f ◦ g és id{c} ) homotópok), ami azt jelenti, hogy az M és {c} metrikus terek homotópok. Ezért (i)⇒(ii) teljesül. A (ii)⇒(iii) bizonyításához legyen P olyan egypontú metrikus tér, hogy M homotóp P -vel. Jelölje p a P egyetlen elemét, és legyenek f : M → P , g : P → M olyan folytonos függvények, hogy g ◦ f és idM homotópok, valamint f ◦ g és idP homotópok. Legyen M 0 tetsz®leges metrikus tér, és h0 , h1 : M 0 → M tetsz®leges folytonos függvények. Ekkor h0 és h0 homotópok, valamint g ◦ f és idM homotópok, így a b) szerint a g ◦ f ◦ h0 és idM ◦ h0 = h0 függvények is homotópok. Továbbá h1 és h1 homotópok, valamint g ◦ f és idM homotópok, így a b) szerint a g ◦ f ◦ h1 és idM ◦ h1 = h1 függvények is homotópok. De g ◦ f ◦ h0 = g ◦ f ◦ h1 , hiszen mindkét függvény egyenl® a g(p) érték¶ M 0 → M konstansfüggvénnyel, ezért a függvényhomotópia tranzitivitása folytán h0 és h1 homotópok. A (iii)⇒(i) implikáció nyilvánvalóan igaz, mert ha c ∈ M tetsz®leges pont és f a c érték¶ M → M konstansfüggvény, akkor a (iii) alapján f homotóp az idM függvénnyel, tehát M összehúzható. e) Legyen M csillaghalmaz az E normált térben és c ∈ M csillagcentrum. Ha M 0 metrikus tér és f : M 0 → M folytonos függvény, akkor a

H : [0, 1] × M → M ;

(p, x) 7→ pc + (1 − p)f (x)

függvény folytonos, és minden x ∈ M 0 esetén H(0, x) := f (x) és H(1, x) := c, vagyis f homotóp a c érték¶ M 0 → M konstansfüggvénnyel. Ebb®l következik, hogy bármely két M 0 → M folyonos függvény homotóp egymással, tehát a c) szerint M összehúzható metrikus tér.)

4. Jelölje S1 a 0 középpontú, 1 sugarú körvonalat R2 -ben, és lássuk el S1 -t az R2 feletti euklidészi metrika lesz¶kítésével. Értelmezzük az

e : [0, 1] → S1 ;

t 7→ (cos(2πt), sin(2πt))

78

4. CAUCHY INTEGRÁLTÉTELE

függvényt. a) Az e|]0,1[ függvény homeomorzmus ]0, 1[ és S1 \ {(1, 0)} között. b) Ha (tn )n∈N olyan sorozat ]0, 1[-ben, hogy lim e(tn ) = (1, 0) az S1 metrikus térben, n→∞ akkor minden C ⊆]0, 1[ kompakt halmazhoz létezik olyan N ∈ N, hogy minden n > N természetes számra tn ∈ / C. c) Ha M metrikus tér, akkor minden γ : [0, 1] → M zárt folytonos ívhez létezik egyetlen olyan γ˜ : S1 → M folytonos függvény, hogy γ = γ˜ ◦ e. d) Legyen M metrikus tér, γ0 , γ1 : [0, 1] → M zárt folytonos ívek, és jelölje γ˜0 (illetve γ˜1 ) azt az S1 → M folytonos függvényt, amelyre γ0 = γ˜0 ◦ e (illetve γ1 = γ˜1 ◦ e). A γ0 és γ1 ívek pontosan kontúrhomotópok az U ⊆ M halmazban, ha a γ˜0 : S1 → U és γ˜1 : S1 → U függvények homotópok. (Ez azt mutatja, hogy a kontúrhomotópia a függvényhomotópia fogalmának speciális esete.) (Útmutatás. a) A valós trigonometrikus függvények tulajdonságai alapján nyilvánvaló, hogy az e|]0,1[ függvény folytonos bijekció a ]0, 1[ nyílt intervallum és S1 \ {(1, 0)} között. Az e|]0,1[ függvény inverzének folytonossága azon múlik, hogy minden t, t0 ∈]0, 1[ esetén 2

2

ke(t) − e(t0 )k2 = (cos(2πt) − cos(2πt0 )) + (sin(2πt) − sin(2πt0 )) = 4 sin2 (π(t − t0 )), ahol k · k jelöli az euklidészi normát R2 felett, tehát

ke(t) − e(t0 )k = 2| sin(π(t − t0 ))|. Ebb®l, és a sin függvény tulajdonságaiból könnyen kapjuk, hogy ha t ∈]0, 1[ és δ ∈ ]0, min(t, 1 − t)[, akkor

eh]t − δ, t + δ[i = (S1 \ {(1, 0)}) ∩ B2 sin(πδ) (e(t); dk·k ), tehát a t pont minden ]0, 1[-beli környezetének e által létesített képe az e(t) pontnak környezete az S1 \{(1, 0)} metrikus térben, azaz e|]0,1[ nyílt leképezés, így e|−1 ]0,1[ folytonos. b) Indirekt bizonyítunk, tehát feltesszük, hogy (tn )n∈N olyan sorozat ]0, 1[-ben, amelyre lim e(tn ) = (1, 0) az S1 metrikus térben, de C ⊆]0, 1[ olyan kompakt halmaz, hogy n→∞ minden N ∈ N esetén létezik n > N természetes szám, amelyre tn ∈ C . Ekkor egyszer¶ rekurzióval értelmezhetünk olyan σ : N → N indexsorozatot, hogy minden m ∈ N esetén tσ(m) ∈ C . A C kompaktsága miatt létezik olyan t ∈ C , és olyan σ 0 : N → N indexsorozat, hogy lim tσ(σ0 (n)) = t. Az e függvény folytonos, ezért lim e(t(σ◦σ0 )(n) ) = e(t), ugyanakkor n→∞ n→∞ t ∈ C ⊆]0, 1[, így e(t) 6= (1, 0). Azonban σ ◦ σ 0 : N → N indexsorozat, ezért lim e(t(σ◦σ0 )(n) ) = lim e(tn ) = (1, 0), ami ellentmondás. n→∞

n→∞

c) Ha γ : [0, 1] → M zárt folytonos ív, akkor az a) szerint a €

γ ◦ e|]0,1[

Š−1

: S1 \ {(1, 0)} → M

79

4.5. GYAKORLATOK

függvény folytonos. Ha ennek létezne határértéke az (1, 0) pontban, és γ˜ jelölné ennek a függvénynek a folytonos kiterjesztését S1 -re, akkor γ = γ˜ ◦ e teljesülne. Így  € Š−1  elegend® a lim γ ◦ e|]0,1[ határérték létezését vizsgálni. (Megjegyezzük, hogy (1,0)

€

Š−1

itt nem alkalmazható a függvénykompozíció határértékének tétele, mert az e|]0,1[ függvénynek nincs határértéke az (1, 0) pontban.) Legyen (zn )n∈N olyan sorozat S1 \ {(1, 0)}-ban, amelyre n→∞ lim zn = (1, 0). Jelölje d az M metrikáját, és legyen x := γ(0) = γ(1). Vegyünk tetsz®leges ε ∈ R∗+ számot. A γ függvény folyonos 0-ban és 1ben, valamint ezeken a helyeken ugyanazt az x értéket veszi föl, ezért ε-hoz létezik olyan δ ∈]0, 1/2[ valós szám, hogy minden t ∈ [0, δ[ esetén d(γ(t), x) = d(γ(t), γ(0)) < ε, valamint minden t ∈]1 − δ, 1] esetén d(γ(t), x) = d(γ(t), γ(1)) < ε. Tehát minden t ∈ [0, δ[∪]1 − δ, 1] esetén d(γ(t), x) < ε. A b) alapján a [δ, 1 − δ] ⊆]0, 1[ kompakt halmazhoz van olyan N ∈ N, hogy minden n > N természetes számra tn ∈ / [δ, 1 − δ], ahol tn ∈]0, 1[ az a pont, amelyre e(tn ) = zn . Ekkor n ∈ N és n > N esetén € € Š−1 Š−1 d(γ ◦ e|]0,1[ (zn ), x) = d(γ(tn ), x) < ε. Ez azt jelenti, hogy a γ ◦ e|]0,1[ függvénynek létezik határértéke (1, 0)-ban (és egyenl® x-szel). Ezzel igazoltuk olyan γ˜ : S1 → M folytonos függvény létezését, amelyre γ = γ˜ ◦ e. A γ˜ egyértelm¶sége abból következik, € Š−1 hogy ha γ = γ˜ ◦e, akkor γ˜ = γ◦ e|]0,1[ szükségképpen teljesül az S1 \{(1, 0)} halmazon, és ez a halmaz s¶r¶ S1 -ben, és γ˜ folytonos. d) Tegyük fel, hogy a γ0 , γ1 : [0, 1] → M zárt folytonos ívek kontúrhomotópok az U ⊆ M halmazban. Legyen H : [0, 1]×[0, 1] → M olyan folytonos függvény, hogy Im(H) ⊆ U , és minden t ∈ [0, 1] esetén H(0, t) = γ0 (t) és H(1, t) = γ1 (t), valamint minden [0, 1] 3 p-re H(p, 0) = H(p, 1). Értelmezzük a következ® függvényt

˜ : [0, 1] × S1 → M ; H

8 €
(p, z) 7→ :

Š−1 ]0,1[

; ha z = 6 (1, 0), ; ha z = (1, 0).

(z))

H(p, 0)

€

Š

˜ z) = H(0, e|]0,1[ −1 (z)) = Erre teljesül az, hogy z ∈ S1 \ {(1, 0)} esetén H(0, € Š−1 ˜ z) = γ˜1 (z). Továbbá - a deníció szerint γ0 ( e|]0,1[ (z)) = γ˜0 (z), és hasonlóan H(1, ˜ (1, 0)) = H(0, 0) = γ0 (0) = γ˜0 (e(0)) = γ˜0 ((1, 0)), és hasonlóan H(1, ˜ (1, 0)) = - H(0, ˜ ⊆ Im(H) ⊆ U , így H(1, 0) = γ1 (0) = γ˜1 (e(0)) = γ˜1 ((1, 0)). Világos továbbá, hogy Im(H) a γ˜0 : S1 → U és γ˜1 : S1 → U folytonos függvények homotopikusságának bizonyításához ˜ függvény folytonos. A [0, 1] × (S1 \ {(1, 0)}) halmaz nyílt elegend® azt igazolni, hogy a H ˜ folytonos, mert megegyezik a H a [0, 1] × S1 szorzattérben, és ezen a nyílt halmazon H folytonos függvény és a [0, 1] × (S1 \ {(1, 0)}) → [0, 1]×]0, 1[;



€

(p, z) 7→ p, e|]0,1[

Š−1



(z)

folytonos függvény kompozíciójával. Ezért elég azt igazolni, hogy minden p ∈ [0, 1] esetén ˜ folytonos a (p, (1, 0)) pontban. Ehhez legyen p ∈ [0, 1] rögzített, és ((pn , zn ))n∈N olyan H

80

4. CAUCHY INTEGRÁLTÉTELE

sorozat [0, 1] × S1 -ben, amely konvergál a (p, (1, 0)) ponthoz. Legyen ε ∈ R∗+ tetsz®leges, és minden n ∈ N esetén legyen tn ∈ [0, 1] olyan, hogy e(tn ) = zn . A H függvény folytonos a (p, 0) és (p, 1) pontokban, és ezekben ugyanazt az értéket veszi föl. Ezért ha d jelöli az M metrikáját, akkor az ε-hoz vehetünk olyan δ ∈]0, 1/2[ valós számot, hogy minden (p0 , t0 ) ∈ [0, 1] × [0, 1] esetén, ha |p0 − p| < δ és t ∈ [0, δ[∪]1 − δ, 1], akkor d(H(p0 , t0 ), H(p, 0)) < ε. Továbbá lim pn = p teljesül [0, 1]-ben, ezért létezik n→∞

olyan Nδ ∈ N, hogy minden n > Nδ természetes számra |pn − p| < δ . Értelmezzük most az A := {n ∈ N|zn 6= (1, 0)} halmazt. Ha A véges, akkor létezik olyan NA ∈ N, hogy minden n > NA természetes számra n ∈ / A, vagyis zn = (1, 0). ˜ n , zn ) = H(p, 0), Ekkor n ∈ N és n > max(Nδ , NA ) esetén |pn − p| < δ és H(p ˜ ˜ ezért d(H(pn , zn ), H(p, (1, 0))) = d(H(pn , 0), H(p, 0)) < ε, amib®l következik, hogy ˜ n , zn ), H(p, ˜ (1, 0))) = 0. Tegyük fel, hogy A végtelen; ekkor (egyértelm¶en) lim d(H(p n→∞ létezik olyan σ : N → A szigorúan monoton növ® függvény, amely bijekció. A (tσ(m) )m∈N sorozat olyan, hogy minden m ∈ N esetén e(tσ(m) ) = zσ(m) ∈ S1 \ {(1, 0)}, és lim e(tσ(m) ) = (1, 0) az S1 metrikus térben, ezért a b) alapján a [δ, 1−δ] ⊆]0, 1[ kompakt m→∞ halmazhoz van olyan N ∈ N, hogy minden m > N természetes számra tσ(m) ∈ / [δ, 1 − δ], tehát tσ(m) ∈ [0, δ[∪]1 − δ, 1]. Ezért n ∈ N és n > max(Nδ , N ) esetén ˜ n , zn ), H(p, ˜ (1, 0))) = - ha n ∈ / A, akkor |pn − p| < δ és zn = (1, 0), tehát d(H(p d(H(pn , 0), H(p, 0)) < ε; - ha n ∈ A, akkor van olyan m ∈ N, hogy n = σ(m), tehát tn = tσ(m) ∈ [0, δ[∪]1 − δ, 1] ˜ n , zn ), H(p, ˜ (1, 0))) = d(H(pn , tn ), H(p, 0)) < ε. miatt d(H(p ˜ n , zn ), H(p, ˜ (1, 0))) = 0 teljesül. Ez azt jelenti, hogy végtelen A esetében is lim d(H(p

˜ folytonos. Ezzel megmutattuk, hogy H

n→∞

Megfordítva; tegyük fel, hogy a γ˜0 : S1 → U és γ˜1 : S1 → U folytonos függvények ˜ : [0, 1] × S1 → U olyan folytonos függvény, hogy minden z ∈ S1 homotópok. Legyen H ˜ ˜ z) = γ˜1 (z). Ekkor a esetén H(0, z) = γ˜0 (z) és H(1,

H : [0, 1] × [0, 1] → M ;

˜ e(t)) (p, t) 7→ H(p,

˜ e(t)) = függvény nyilvánvalóan folytonos, és minden t ∈ [0, 1] esetén H(0, t) = H(0, ˜ γ˜0 (e(t)) = γ0 (t), és H(1, t) = H(1, e(t)) = γ˜1 (e(t)) = γ1 (t). Továbbá, minden ˜ e(0)) = H(p, ˜ e(1)) = H(p, 1), tehát a γ0 és γ1 ívek p ∈ [0, 1] esetén H(p, 0) = H(p, kontúrhomotópok az U halmazban.)

5. Minden k ∈ N esetén jelölje Bk (illetve Sk ) az euklidészi norma szerinti 0 középpontú,

1 sugarú zárt gömböt (illetve gömbfelületet) Rk -ban (illetve Rk+1 -ben). Minden k ∈ N esetén a Bk (illetve Sk ) halmazt ellátjuk az Rk (illetve Rk+1 ) feletti euklidészi metrika lesz¶kítésével, tehát ez kompakt metrikus tér. Világos, hogy k ∈ N esetén Sk metrikus altere Bk+1 -nek. Az M metrikus teret k -aszferikusnak nevezzük, ha k ∈ N, és minden

81

4.5. GYAKORLATOK

Sk → M folytonos függvény kiterjeszthet® Bk+1 → M folytonos függvénnyé. Az M metrikus terek n-szeresen összefügg®nek nevezzük, ha n ∈ N és M minden k ≤ n természetes számra k -aszferikus. a) A k -aszferikusság és az n-szeres összefügg®ség topologikus tulajdonságok. b) Tegyük fel, hogy M metrikus tér, k ∈ N és f : Sk → M folytonos függvény. Az f függvény pontosan akkor homotóp egy Sk → M konstansfüggvénnyel, ha kiterjeszthet® Bk+1 → M folytonos függvénnyé. c) Összehúzható metrikus tér minden n ∈ N esetén n-szeresen összefügg®. d) A 0-szorosan összefügg® (vagyis 0-aszferikus) metrikus terek azonosak az ívszer¶en összefügg® metrikus terekkel. Metrikus tér pontosan akkor egyszeresen összefügg®, ha 1szeresen összefügg®, vagyis a most bevezetett 1-szeres összefügg®ség-fogalom megegyezik a korábbi egyszeres összefügg®séggel. (Útmutatás. b) Legyen M metrikus tér, k ∈ N és f : Sk → M folytonos függvény. Ha f˜ : Bk+1 → M folytonos kiterjesztése f -nek, akkor a

H : [0, 1] × Sk → M ;

(p, x) 7→ f˜((1 − p)x)

függvény folytonos, és minden x ∈ Sk esetén H(0, x) = f˜(x) = f (x), valamint H(1, x) = f˜(0), vagyis az f függvény homotóp az f˜(0) érték¶ Sk → M konstansfüggvénnyel. Megfordítva, tegyük fel, hogy az f függvény homotóp a c ∈ M érték¶ Sk → M konstansfüggvénnyel. Legyen H : [0, 1] × Sk → M olyan folytonos függvény, amelyre minden x ∈ Sk esetén H(0, x) = f (x) és H(1, x) = c. Értelmezzük a következ® függvényt:

f˜ : Bk+1 → M ;

8
x 7→ :

c

; ha kxk ≥ 1/2; ; ha kxk < 1/2,

ahol k · k jelöli az euklidészi normát Rk+1 felett. Nyilvánvaló, hogy f˜ az f kiterjesztése, hiszen x ∈ Sk esetén kxk = 1, tehát f˜(x) = H(0, x) = f (x). Továbbá, az f˜ függvény folytonos, mert a lesz¶kítése a B1/2 (0) és Bk+1 \ B1/2 (0) zárt halmazokra folytonos, így elég az V. fejezet, 7. pont, 2. gyakorlat eredményét alkalmazni.)

6.

Cauchy els® integrálformulájának alkalmazásával igazoljuk a következ® egyenl®ségeket: →+∞ Z π sin(x) dx = , x 2 0

→+∞ Z ±ix

→+∞ Z

0←

0←

√ e √ dx = πe±iπ/4 , x

cos(x) √ dx = x

→+∞ Z 0←

sin(x) √ dx = x

r

π ; 2

82

4. CAUCHY INTEGRÁLTÉTELE →+∞ Z

√

±ix2

e 0

π ±iπ/4 dx = e , 2

→+∞ Z

√ π sin(x )dx = √ . 2 2

→+∞ Z

2

cos(x )dx = 0

0

2

(A két utóbbi összefüggést Fresnel-formulának nevezzük.) α ∈ R∗+ és β ∈ R, akkor r Z π − β2 −αx2 −iβx e 4α . e dx = α

Mutassuk meg, hogy ha

R

(Útmutatás. (I) legyenek r, R ∈ R∗+ olyanok, hogy r < R, és értelmezzük a következ® függvényt:

γ : [0, 1] → C;

8 > > > > <

t 7→ > > > > :

; ; ; ;

r + 4t(R − r) Reπi(4t−1)/2 i(R + (4t − 2)(r − R)) re2πi(1−t)

ha ha ha ha

t ∈ [0, 1/4[ t ∈ [1/4, 1/2[ t ∈ [1/2, 3/4[ t ∈ [3/4, 1].

Ez a függvény zárt, szakaszonként C1 -osztályú ív C-ben, és nyilvánvaló, hogy Im(γ) ⊆ U , ahol U := {z ∈ C|<(ze−iπ/4 ) > 0}. Az U halmaz nyílt és konvex (ez egy nyílt félsík), továbbá U ⊆ C \ {0}. Ebb®l Cauchy els® integrálformuláját alkalmazva kapjuk, hogy Z γ

eiz dz = 0. z

Ezt a vonalintegrált négy speciális vonalintegrál összegére bontva, és alkalmas helyettesítéses integrálásokat végrehajtva kapjuk, hogy ZR ix e

x

r

Ebb®l következik, hogy

dx =

r

ZR r

π/2 Z

=−

−R sin(θ)

e

ZR −x e

x

π/2 Z

dx − i

e

π/2 Z

sin(x) dx = = x

iθ

eire dθ.

dθ + i

0

0

„

ZR ix e

x

r

Ž

dx

=

π/2 Z

e−r sin(θ) cos(r cos(θ))dθ,

cos(R cos(θ))dθ +

0

ugyanakkor

iReiθ

0

ZR r

cos(x) dx = < x

„

ZR ix e r

x

Ž

dx

=

ZR −x e r

x

dx+

83

4.5. GYAKORLATOK

π/2 Z

+

−R sin(θ)

e

π/2 Z

e−r sin(θ) sin(r cos(θ))dθ.

sin(R cos(θ))dθ −

0

0

A Lebesgue-tétel alkalmazásával kapjuk, hogy π/2 Z

lim

R→+∞

e

π/2 Z R→+∞

lim

−r sin(θ)

e 0

e−R sin(θ) sin(R cos(θ))dθ = 0,

cos(R cos(θ))dθ = lim

0

π/2 Z r→0

−R sin(θ)

π cos(r cos(θ))dθ = , 2

0 π/2 Z

e−r sin(θ) sin(r cos(θ))dθ = 0.

lim

r→0

0

Ebb®l következik, hogy →+∞ Z 0←

R

Z sin(x) sin(x) π dx := lim dx = , r→0; R→+∞ x x 2 r

amib®l a

sin(x) x→0 x határérték létezésének ismeretében kapjuk az els® formulát. lim

(II) Legyen R ∈ R∗+ , és értelmezzük következ® függvényeket

γ± : [0, 1] → C;

8 > > <

3Rt ±iπ(3t−1)/4

t 7→ > Re > :3R(1 − t)e±iπ/4

; ha t ∈ [0, 1/3[ ; ha t ∈ [1/3, 2/3[ ; ha t ∈ [2/3, 1],

amelyek C-ben haladó zárt, szakaszonként C1 -osztályú ívek. formuláját alkalmazva kapjuk, hogy Z

Cauchy els® integrál-

2

e±iz dz = 0.

γ±

Ezeket a vonalintegrálokat három speciális vonalintegrál összegére bontva, és alkalmas helyettesítéses integrálásokat végrehajtva kapjuk, hogy ZR

±ix2

e

π/4 Z

dx = ∓iR

0

±iR2 e±2iθ ±iθ

e

e

dθ + e

±iπ/4

= ∓iR

±i(R2 cos(2θ)+θ) −R2 sin(2θ)

e 0

2 e±iπ/2

e±ix

dx =

0

0 π/4 Z

ZR

e

±iπ/4

ZR

dθ + e

0

2

e−x dx.

84

4. CAUCHY INTEGRÁLTÉTELE

Ha t ∈ [0, π/2], akkor sin(t) ≥ (2/π)t, ezért π/4 Z ±i(R2 cos(2θ)+θ) −R2 sin(2θ) ∓iR e e dθ 0 π/4 Z

≤R

−R2 sin(2θ)

e

π/4 Z

dθ ≤ R

0

e

−R2 (4/π)θ

0

így fennáll az

…

lim

1 − e−R R

π dθ = 4

2

!

,



π/4 Z

e±i(R

∓iR

R→+∞

≤

2

cos(2θ)+θ) −R2 sin(2θ)

e

dθ

=0

0

egyenl®ség. Ugyanakkor a X. fejezet, 3. pont, 4. gyakorlat szerint tudjuk, hogy ZR

lim

R→+∞

amib®l következik, hogy

e

−x2

√ π 1 Z −x2 , dx = e dx = 2 2

R

0

→+∞ Z

e

√ ±ix2

π ±iπ/4 e . 2

dx =

0

Ebb®l a Fresnel-formulák azonnal származtathatók. (III) Ha r, R ∈ R∗+ olyanok, hogy r < R, akkor egyszer¶ helyettesítéses integrálással kapjuk, hogy √

ZR ±ix e r

Ebb®l látszik, hogy

ZR

2

√ dx = 2 e±it dt. x √ r

→+∞ Z ±ix 0←

→+∞ Z

=2

R

Z ±ix e e √ dx = √ dx = lim r→0; R→+∞ x x r

e

±it2

→+∞ Z

0←

2

e±it dt =

dt = 2

√

πe±iπ/4 ,

0

amib®l az is következik, hogy →+∞ Z 0←

cos(x) √ dx = x

→+∞ Z 0←

sin(x) √ dx = x

r

π . 2

85

4.5. GYAKORLATOK

(IV) Megmutatjuk, hogy ha α ∈ R∗+ és β ∈ R, akkor Z

−αx2 −iβx

e

R

r

dx =

π − β2 e 4α . α

Ehhez el®ször megjegyezzük, hogy Z

R

e

−αx2 −iβx

Z

dx =

R

2

2

β −α(x+i 2α ) − β4α

e

dx = e

2

−β 4α

Z

R

2

e−α(x+i 2α ) dx, β

ezért elegend® az itt álló utolsó integrált meghatározni. Legyen r ∈ R∗+ , és értelmezzük a következ® függvényt:

γr : [0, 1] → C;

8 > > > > <

; ; ; ;

r(8t − 1) r + i β (4t − 1) t 7→ > β 2α i 2α + r(5 − 8t) > > > :−r + i β 4(1 − t) 2α

ha ha ha ha

t ∈ [0, 1/4[ t ∈ [1/4, 1/2[ t ∈ [1/2, 3/4[ t ∈ [3/4, 1].

Ekkor γr zárt, szakaszonként C1 -osztályú ív C-ben, így Cauchy els® integrálformulája szerint Z 2 e−αz dz = 0. γ

Ezt a vonalintegrált négy speciális vonalintegrál összegére bontva, és alkalmas helyettesítéses integrálásokat végrehajtva kapjuk, hogy Zr

e

2

β −α(x+i 2α )

−r

Zr

dx =

1

−αx2

e −r

1

2 2 β β β Z −α(−r+i 2α β Z −α(r+i 2α t) t) e dt − i e dt. dx + i 2α 2α

0

0

A X. fejezet, 3. pont, 4. gyakorlat szerint Zr

lim

r→+∞ −r

−αx2

e

Z

dx =

R

e

−αx2

r

dx =

Ugyanakkor minden t ∈ [0, 1] esetén −α ±r+i β t 2 e ( 2α )

2

β2 2

≤ e−αr e 4α t ,

következésképpen

2

lim e−α(±r+i 2α t) = 0, β

r→+∞

π . α

86

4. CAUCHY INTEGRÁLTÉTELE β

és a χ[0,1] .e 2α idR függvény (r-ben) közös integrálható majoráns, így a Lebesgue-tétel alapján 2

Z1

lim

r→+∞

amib®l következik az

Z

R

e

2

e−α(±r+i 2α t) dt = 0, β

0 2

β −α(x+i 2α )

r

dx =

π α

egyenl®ség.)

7. (A Cauchy integráltétel általánosítása.) Legyen E normált tér, F Banach-tér és ω : E  L (E; F ) olyan folytonos E feletti operátormez®, amelyre Dom(ω) nyílt halmaz, és a Dom(ω) minden pontjának van olyan környezete, amelyen létezik ω -nak primitív függvénye. Ha γ0 , γ1 : [0, 1] → E olyan zárt, szakaszonként C1 -osztályú ívek, amelyek kontúrhomotópok a Dom(ω) halmazban, akkor Z

Z

ω= γ0

ω. γ1

(Útmutatás. Kövessük a Cauchy integráltétel bizonyításának gondolatmenetét!)

8. (Cauchy els® integrálformulájának általánosítása.) Legyen E normált tér, F Banach-

tér és ω : E  L (E; F ) olyan folytonos E feletti operátormez®, amely a Dom(ω) minden pontjában dierenciálható, legfeljebb egy pontot kivéve. Ha dω = 0 és γ olyan E -ben haladó zárt, szakaszonként C1 -osztályú ív, amelyhez létezik olyan U ⊆ E egyszeresen összefügg® nyílt halmaz, hogy Im(γ) ⊆ U ⊆ Dom(ω), akkor Z

ω = 0. γ

(Útmutatás. A 2. pont 9. gyakorlatának eredményét alkalmazva kapjuk, hogy ω -ra teljesülnek a 7. gyakorlatban megkövetelt feltételek. Ezután ugyanúgy bizonyíthatunk, mint az els® Cauchy integrálformula esetében.)

5. fejezet A Cauchy integráltétel következményei 5.1.

Cauchy-transzformáció

5.1.1. Deníció. Legyen F komplex Banach-tér. Ha f : C  F folytonos függvény, és

γ egy Dom(f )-ben haladó szakaszonként C1 -osztályú ív, akkor az f függvény γ szerinti Cauchy-transzformáltjának nevezzük a Cγ (f ) : C \ Im(γ) → F ;

1 Z f z 7→ 2πi γ idC − z

leképezést. A deníció természetesen értelmes, mert z ∈ C \ Im(γ) esetén

f : Dom(f ) \ {z} → F idC − z olyan folytonos függvény, amelynek deníciós tartománya tartalmazza az Im(γ) halmazt. Figyeljük meg, hogy a Cauchy-transzformált deníciójában lényegtelen a γ ív zártsága.

5.1.2. Állítás. Legyen F komplex Banach-tér, f : C  F folytonos függvény, és γ egy

Dom(f )-ben haladó szakaszonként C1 -osztályú ív.

a) A Cγ (f ) : C \ Im(γ) → F Cauchy-transzformált C-analitikus függvény. b) Minden a ∈ C \ Im(γ) esetén a Cγ (f ) Cauchy-transzformált a centrumú Taylorsorának konvergencia-sugara nagyobb-egyenl® a d(a, Im(γ)) számnál, ahol d jelöli a C feletti euklidészi metrikát. c) Minden a ∈ C \ Im(γ) esetén az a középpontú, d(a, Im(γ)) sugarú nyílt körlapon a Cγ (f ) Cauchy-transzformált egyenl® a saját a centrumú Taylor-sorának összegfüggvényével. 87

88

5. A CAUCHY INTEGRÁLTÉTEL KÖVETKEZMÉNYEI

d) Minden a ∈ C \ Im(γ) és k ∈ N esetén €

k! Z f . 2πi γ (idC − a)k+1

Š

Dk Cγ (f ) (a) =

Bizonyítás. Legyen a ∈ C \ Im(γ) rözített pont és R := d(a, Im(γ)). Ekkor BR (a; C) ∩ Im(γ), és ha z ∈ BR (a; C) és z 0 ∈ Im(γ), akkor 

z−a f (z 0 ) f (z 0 ) f (z 0 ) 1− 0 = = 0 0 0 z −z (z − a) − (z − a) z −a z −a

−1

=

∞ X

f (z 0 ) (z − a)k , 0 − a)k+1 (z k=0

mert |z − a| < R ≤ |z 0 − a|, tehát |(z − a)/(z 0 − a)| < 1. Tehát minden z ∈ BR (a; C) esetén ∞ X f f = (z − a)k idC − z k=0 (idC − a)k+1 teljesül az Im(γ) halmazon. Továbbá, minden z ∈ BR (a; C) esetén a X

f (z − a)k k+1 (id − a) C k∈N függvénysor normálisan (ezért egyenletesen is) konvergens az Im(γ) halmazon, mert ha k ∈ N, akkor

f (z 0 ) sup

0 (z k+1 z 0 ∈Im(γ) (z − a)



k

− a)

=



f (z 0 ) z − a k



sup 0

0 − a

0 z − a z z ∈Im(γ) !‚

1 ≤ R

0

sup kf (z )k z 0 ∈Im(γ)

|z − a| R

≤

Œk

,

és |z − a|/R < 1. Ebb®l következik, hogy z ∈ BR (a; C) esetén a X

N

k∈

(z − a)k

Z γ

f (idC − a)k+1

vektorsor abszolút konvergens az F Banach térben, és ∞ X

(z − a)k

k=0

Z γ

Z f = (idC − a)k+1 γ Z

= γ

„

∞ X

(z − a)k

k=0

Z γ

f =: 2πi (Cγ (f )) (z). idC − a

f (idC − a)k+1

Ž

5.1. CAUCHY-TRANSZFORMÁCIÓ

Ez azt jelenti, hogy a

89

1 Z f (idC − a) 2πi γ (idC − a)k+1 k∈N X

k

hatványfüggvény-sor konvergencia-sugara nagyobb-egyenl® az R számnál, és az összegfüggvénye egyenl® Cγ (f )-fel a BR (a; C) halmazon. Tehát a Cγ (f ) Cauchy-transzformált az a pontban C-analitikus, és a VII. fejezet 10. pontjának eredményei alapján kapjuk, hogy a Cγ (f ) függvény a centrumú Taylor-sora egyenl® a X

N

k∈

(idC − a)k

1 Z f 2πi γ (idC − a)k+1

hatványfüggvény-sorral, és minden k ∈ N esetén €

Š

Dk Cγ (f ) (a) =

f k! Z 2πi γ (idC − a)k+1

teljesül. 

5.1.3. Tétel. (A Cauchy-transzformáció általánosítása) Legyen (T, R, θ) olyan

mértéktér, hogy θ : R → C korlátos komplex mérték, és T σ -véges R szerint. Legyen továbbá g : T → C tetsz®leges θ-mérhet® függvény. Ekkor minden z ∈ C \ Im(g) és k ∈ N esetén 1 ∈ LC1 (T, R, θ), (g − z)k+1 továbbá az

Z

fθ,g : C \ Im(g) → C;

z 7→ T

1 dθ(t) g(t) − z

függvényre teljesülnek a következ®k.  Az fθ,g függvény C-analitikus.  Minden a ∈ C \ Im(g) esetén az fθ,g függvény a középpontú Taylor-sorának konvergencia-sugara nagyobb-egyenl® az r := d(a, Im(g)) számnál, és fθ,g egyenl® az a középpontú Taylor-sorának összegfüggvényével a Br (a; C) halmazon.  Minden a ∈ C \ Im(g) és k ∈ N esetén

(Dk fθ,g )(a) = k!

Z T

1 dθ(t). (g(t) − a)k+1

Bizonyítás. Minden z ∈ C \ Im(g) és k ∈ N esetén az

1 :T →C (g − z)k+1

90

5. A CAUCHY INTEGRÁLTÉTEL KÖVETKEZMÉNYEI

függvény θ-mérhet® és korlátos, ezért θ-integrálható, hiszen θ korlátos mérték (IX. fejezet, 9. pont). Legyen a ∈ C \ Im(g) és r ∈ R∗+ olyan, hogy Br (a; C) ⊆ C \ Im(g). Ha z ∈ Br (a; C), akkor minden N 3 k -ra (z − a)k sup k+1 t∈T (g(t) − a)

1 ≤ r

‚

|z − a| r

Œk

és |z − a|/r < 1, következésképpen a

(z − a)k k+1 k∈N (g − a) X

függvénysor normálisan konvergens a T halmazon, és θ korlátos mérték, így Z

Z 1 1 dθ(t) = dθ(t) = g(t) − z (g(t) − a) − (z − a)

fθ,g (z) := T

T

Z ‚

= T

=

1 g(t) − a

Œ‚

Œ

1 dθ(t) = 1 − (z − a)/(g(t) − a)

Z X ∞ T

∞ Z X (z − a)k (z − a)k dθ(t) = dθ(t) = k+1 (g(t) − a)k+1 k=0 (g(t) − a) k=0 T

∞ X

=

(z − a)k

k=0

Ebb®l látszik, hogy a

X

N

k∈

Z

1 dθ(t). (g(t) − a)k+1

T

k

(idC − a)

Z

1 dθ(t) (g(t) − a)k+1

T

függvénysor a Br (a; C) gömb minden pontjában konvergens, és az összegfüggvénye egyenl® fθ,g -vel ezen a halmazon. Ezért fθ,g az a pontban C-analitikus és

Ta (fθ,g ) =

X

(idC − a)k

N

k∈

Z T

1 dθ(t), (g(t) − a)k+1

vagyis a Ta (fθ,g ) Taylor-sor konvergencia-sugara nagyobb-egyenl® a

sup{r ∈ R∗+ |Br (a; C) ⊆ C \ Im(g)} számnál, ami egyenl® d(a, Im(g))-val, és a Ta (fθ,g ) összegfüggvénye egyenl® fθ,g -vel az a centrumú, d(a, Im(g)) sugarú nyílt gömbön. Ebb®l kiolvasható, hogy minden N 3 k -ra

(Dk fθ,g )(a) = k!

Z T

teljesül. 

1 dθ(t) (g(t) − a)k+1

5.2. HOLOMORF FÜGGVÉNY ANALITIKUSSÁGA

5.2.

91

Holomorf függvény analitikussága

5.2.1. Tétel. Legyen F komplex Banach-tér és f : C  F holomorf függvény. Ekkor az

f függvény C-analitikus, és minden a ∈ Dom(f ) esetén az f függvény a centrumú Taylorsorának konvergencia-sugara nagyobb-egyenl® az ra := sup{r ∈ R∗+ |Br (a; C) ⊆ Dom(f )} számnál. Továbbá, ha a ∈ Dom(f ), akkor az f függvény a centrumú Taylor-sorának összegfüggvénye egyenl® f -fel a Bra (a; C) halmazon, és ha r ∈ R∗+ , r < ra , valamint k ∈ N, akkor minden z ∈ Br (a; C) esetén (Dk f )(z) =

k! Z f . 2πi γ (idC − z)k+1 a,r

Bizonyítás. Cauchy második integrálformulájának következménye szerint, ha r ∈ R∗+ olyan, hogy Br (a; C) ⊆ Dom(f ), akkor f = Cγa,r (f ) a Br (a; C) halmazon. Ezért az el®z® állításból kapjuk, hogy f az a pontban C-analitikus, és Ta (f ) = Ta (Cγa,r (f )) miatt az f függvény a centrumú Taylor-sorának konvergencia-sugara nagyobb-egyenl® a d(a, Im(γa,r )) = r számnál, így ra -nál is nagyobb-egyenl®. Továbbá, a Cγa,r (f ) függvény a centrumú Taylor-sorának összegfüggvénye egyenl® Cγa,r (f )-fel a Br (a; C) halmazon, következésképpen az f függvény a centrumú Taylor-sorának összegfüggvénye egyenl® f fel a Br (a; C) halmazon. Ezért az f függvény a centrumú Taylor-sorának összegfüggvénye egyenl® f -fel a Bra (a; C) halmazon is. Végül, az el®z® állítás végén álló integrálformula szerint, ha a ∈ Dom(f ), k ∈ N és r ∈ R∗+ olyan, hogy Br (a; C) ⊆ Dom(f ), akkor minden z ∈ Br (a; C) esetén

(Dk f )(z) = (Dk (Cγa,r (f )))(z) =

k! Z f 2πi γ (idC − z)k+1 a,r

teljesül.  Azonban vigyázzunk arra, hogy létezik olyan C → C függvény, amely C-dierenciálható a 0 pontban, de a C \ {0} halmaz egyetlen pontjában sem folytonos; például, ha E jelöli a racionális valós és képzetes rész¶ komplex számok halmazát (azaz E := Q × Q), akkor a χE .id2C függvény ilyen. Tehát egyetlen pontban a C-dierenciálhatóság ugyanúgy gyenge feltétel, mint az R-dierenciálhatóság. Ha azonban a függvény a pont valamely környezetének minden pontjában C-dierenciálható, akkor az el®z® tétel alapján az adott pontban C-analitikus is. Ennek az állításnak az analógja valós változós függvényekre egyáltalán nem igaz.

5.3.

A megszüntethet® szingularitások tétele

92

5. A CAUCHY INTEGRÁLTÉTEL KÖVETKEZMÉNYEI

A következ® állítás el®tt emlékeztetünk arra, hogy egy M metrikus tér A részhalmazát diszkrétnek nevezzük, ha minden a ∈ A pontnak van olyan U környezete M -ben, amelyre A ∩ (U \ {a}) = ∅. Vigyázunk arra, hogy a zártság és a diszkrétség logikailag független fogalmak, tehát diszkrét halmaz nem feltételenül zárt, és zárt halmaz nem feltétlenül diszkrét.

5.3.1. Állítás. (A megszüntethet® szingularitások tétele) Legyen F komplex

Banach-tér és f : C  F olyan függvény, amelyre Dom(f ) nyílt halmaz. Ha létezik olyan A ⊆ Dom(f ) diszkrét halmaz, hogy f a Dom(f )\A minden pontjában C-dierenciálható, és az A minden pontjában folytonos, akkor f holomorf függvény, tehát f az A halmaz minden pontjában C-dierenciálható.

Bizonyítás. Legyen a ∈ A, és vegyük a-nak olyan U nyílt konvex (például gömbi) környezetét C-ben, amelyre A ∩ (U \ {a}) = ∅ és U ⊆ Dom(f ). Ilyen környezet azért létezik, mert A diszkrét és Dom(f ) nyílt. Ekkor az f |U függvény az U \ {a} halmaz minden pontjában C dierenciálható, mert U \ {a} ⊆ Dom(f ) \ A, és az a pontban folytonos. Ezért a NewtonLeibniz-tétel komplex formája és a Goursat-lemma alapján létezik olyan g : U → F holomorf függvény, hogy f |U = Dg . De g kétszer Cdierenciálható az U halmazon, így f |U holomorf függvény, vagyis f |U az a pontban is C-dierenciálható. Ebb®l a dierenciálhatóság lokalitása alapján kapjuk, hogy f az a pontban C-dierenciálható. 

5.4.

Holomorf függvény primitív függvényei

5.4.1. Állítás. Ha F komplex Banach-tér és f : C  F holomorf függvény, akkor min-

den U ⊆ Dom(f ) egyszeresen összefügg® nyílt halmazhoz létezik f -nek U -n értelmezett primitív függvénye. Bizonyítás. Legyen c ∈ U rözített pont. Az U halmaz nyílt és összefügg® C-ben, így az V. fejezet 10. pontjának eredményei szerint minden z ∈ U esetén létezik olyan n ∈ N∗ és olyan (zk )0≤k≤n rendszer U -ban, hogy z0 = c, zn = z , és minden k < n természetes számra Jzk , zk+1 K ⊆ U ; tehát a (zk )0≤k≤n rendszer által meghatározott törtvonal-ív U ban halad, valamint összeköti a c és z pontokat. Tehát minden z ∈ U ponthoz létezik olyan U -ban haladó γ szakaszonként C1 -osztályú ív, amely a c és z pontokat összeköti. Jelölje minden z ∈ U esetén Γz a c és z pontokat összeköt®, [0, 1] intervallumon értelmezett, U -ban haladó, szakaszonként C1 -osztályú ívek nem üres halmazát. A kiválasztási axióma szerint P Γz 6= ∅. Legyen (γz )z∈U eleme z∈U

ennek a szorzathalmaznak, és képezzük a Z

g : U → F;

z 7→

f γz

93

5.4. HOLOMORF FÜGGVÉNY PRIMITÍV FÜGGVÉNYEI

leképezést. Megmutatjuk, hogy g holomorf, és minden z ∈ U esetén (Dg)(z) = f (z), vagyis g az f -nek U -n értelmezett primitív függvénye. Legyen z ∈ U rögzített pont, és r ∈ R∗+ olyan, amelyre Br (z; C) \ U . Ha z 0 ∈ Br (z; C), akkor a 8 > > <

; ha t ∈ [0, 1/3[, ; ha t ∈ [1/3, 2/3[, ; ha t ∈ [2/3, 1]

γz (3t) t 7→ >z + (3t − 1)(z 0 − z) > : γz0 (3(1 − t))

γz,z0 : [0, 1] → C;

függvény olyan zárt, szakaszonként C1 -osztályú ív, hogy Im(γz,z0 ) = Im(γz ) ∪ Im(γz0 ) ∪ Jz, z 0 K ⊆ U , tehát Cauchy els® integrálformulája szerint Z

0=

Z

f= γz,z0

Z

f+ γz

Z

f−

f, γz0

Jz,z 0 K

amib®l következik, hogy Z

g(z 0 ) − g(z) − (z 0 − z).f (z) =

Z

f− γz0

Z

=

γz

Z

f− Jz,z 0 K

f − (z 0 − z).f (z) =

Z

f (z) = Jz,z 0 K

(f − f (z)). Jz,z 0 K

Tehát minden z 0 ∈ Br (z; C) esetén

kg(z 0 ) − g(z) − (z 0 − z).f (z)k =

Z

(f

Jz,z 0 K

− f (z))





≤ |z 0 − z| sup kf (z 00 )k. z 00 ∈Jz,z 0 K

Ha ε ∈ R∗+ tetsz®leges, akkor az f függvény z pontbeli folytonossága miatt van olyan δ ∈ R∗+ , hogy δ < r és minden z 00 ∈ Bδ (z; C) esetén kf (z 00 ) − f (z)k < ε. Ezért az el®z® egyenl®tlenség alapján z 00 ∈ Bδ (z; C) \ {z} esetén

g(z 0 ) − g(z) − (z 0

|z 0 − z|

− z).f (z)





≤ ε.

Ez azt jelenti, hogy a g függvény C-dierenciálható a z pontban és (Dg)(z) = f (z). Tehát a g függvény U -n értelmezett primitív függvénye f -nek. 

5.4.2. Következmény. Legyen f : C  C holomorf függvény. Ha U ⊆ Dom(f ) olyan

egyszeresen összefügg® nyílt halmaz, hogy minden U 3 z -re f (z) 6= 0, vagyis f -nek nincs gyöke U -ban, akkor létezik olyan g : U → C holomorf függvény, amelyre f = Exp ◦ g az U halmazon.

94

5. A CAUCHY INTEGRÁLTÉTEL KÖVETKEZMÉNYEI

Bizonyítás. A (Df )/f : C  C függvény holomorf, és a deníciós tartománya tartalmazza U -t, tehát U egyszeres összefügg®sége következtében létezik olyan h : U → C holomorf függvény, hogy (Df )/f = Dh az U halmazon. Ekkor ‚

Exp ◦ h D f

Œ

=

(f (Dh) − Df )(Exp ◦ h) =0 f2

az U halmazon, így az U összefügg®sége folytán az (Exp ◦ h)/f függvény állandó, tehát létezik olyan c ∈ C \ {0}, hogy Exp ◦ h = cf az U halmazon. Ha b ∈ C olyan szám, hogy c = Exp(b), akkor a g := h − b függvény eleget tesz a követelményeknek. 

5.4.3. Állítás. Legyen F komplex Banach-tér és f : C  F holomorf függvény. Minden U ⊆ Dom(f ) egyszeresen összefügg® nyílt halmazhoz létezik olyan (fn )n∈N függvénysorozat, hogy minden N 3 n-re fn : U → F holomorf függvény és Dn fn ⊆ f .

Bizonyítás. Elemi rekurziót alkalmazhatunk olyan (fn )n∈N függvénysorozat létezésének bizonyításához, amelyre minden n ∈ N esetén fn : U → F holomorf függvény, f0 := f az U halmazon, és ha n > 0, akkor Dfn = fn−1 . Ehhez felhasználható az, hogy egy holomorf függvénynek a deníciós tartománya által tartalmazott egyszeresen összefügg® nyílt halmazon létezik primitív függvénye. 

5.5.

A holomortás integrális jellemzése: Morera tétele

A következ® állítás azért érdekes, mert a holomortás, tehát egy dierenciális tulajdonság integrális jellemzését adja. Ugyanakkor azt is megmutatja, hogy Cauchy els® integrálformulájának teljesülése nemcsak szükséges, hanem elégséges is egy nyílt halmazon értelmezett folytonos függvény holomortásához.

5.5.1. Tétel. (Morera tétele) Legyen F komplex Banach-tér és f : C  F olyan

folytonos függvény, amelyre Dom(f ) nyílt halmaz C-ben. Ekkor a következ® állítások ekvivalensek. (i) Az f függvény holomorf.

(ii) Minden U ⊆ Dom(f ) egyszeresen összefügg® nyílt halmazra, és minden U -ban haladó zárt, szakaszonként C1 -osztályú γ ívre Z

f = 0. γ

5.5. A HOLOMORFITÁS INTEGRÁLIS JELLEMZÉSE:

95

MORERA TÉTELE

(iii) Minden a, b, c ∈ Dom(f ) esetén, ha T(a, b, c) ⊆ Dom(f ), akkor Z

Z

Z Ja,bK

f = 0.

f+

f+

Jc,aK

Jb,cK

Bizonyítás. (i)⇒(ii) Cauchy els® integrálformulájából következik. (ii)⇒(iii) Legyenek a, b, c ∈ Dom(f ) olyan pontok, hogy T(a, b, c) ⊆ Dom(f ). Elég azt igazolni, hogy létezik olyan U egyszeresen összefügg® nyílt halmaz, amelyre T(a, b, c) ⊆ U ⊆ Dom(f ), hiszen akkor a

γ : [0, 1] → C;

8 > > <

a + 3t(b − a) t 7→ >b + (3t − 1)(c − b) > :c + (3t − 2)(a − c)

; ha t ∈ [0, 1/3[, ; ha t ∈ [1/3, 2/3[, ; ha t ∈ [2/3, 1]

ív zárt, szakaszonként C1 -osztályú, és Im(γ) = Ja, bK ∪ Jb, cK ∪ Jc, aK ⊆ T(a, b, c) miatt U -ban halad, így (ii) alapján Z

Z

f+ Ja,bK

Z

f+ Jb,cK

Z

f= Jc,aK

f =0 γ

teljesülne. Egy ilyen tulajdonságú U halmaz el®állításához el®ször megjegyezzük, hogy a T(a, b, c) halmaz kompakt és részhalmaza a Dom(f ) nyílt halmaznak, így ha Dom(f ) 6= C (természetesen csak ez az eset érdekes), akkor van olyan ε ∈ R∗+ , hogy

{z ∈ C | d(z, T(a, b, c)) < ε} ∩ {z ∈ C | d(z, C \ Dom(f )) < ε} = ∅ (V. fejezet, 8. pont, 1. gyakorlat). Legyen z := (a + b + c)/3 és a δ ∈ R∗+ számot válasszuk meg úgy, hogy (|a − z| + |b − z| + |c − z|)δ < ε teljesüljön. Ha most

aδ := z + (1 + δ)(a − z), bδ := z + (1 + δ)(b − z), cδ := z + (1 + δ)(c − z), akkor minden z 0 ∈ T(aδ , bδ , cδ ) esetén d(z 0 , T(a, b, c)) < ε teljesül, mert léteznek olyan α, β, γ ∈ [0, 1] valós zámok, hogy α + β + γ = 1 és z 0 = αaδ + βbδ + γcδ , tehát αa + βb + γc ∈ T(a, b, c) miatt

d(z 0 , T(a, b, c)) ≤ |z 0 − (αa + βb + γc)| = |(αa + βb + γc) − z|δ = = |α(a − z) + β(b − z) + γ(c − z)|δ ≤ (|a − z| + |b − z| + |c − z|)δ < ε. Ebb®l következik, hogy T(aδ , bδ , cδ ) ⊆ Dom(f ), és könnyen látható, hogy

T(a, b, c) ⊆ Int(T(aδ , bδ , cδ )),

96

5. A CAUCHY INTEGRÁLTÉTEL KÖVETKEZMÉNYEI

és az U := Int(T(aδ , bδ , cδ )) nyílt háromszög konvex, így egyszeresen összefügg®. (iii)⇒(i) Legyen z ∈ Dom(f ) és V a z pontnak olyan környezete, amely nyílt és konvex (például gömbi környezet), továbbá V ⊆ Dom(f ). A V halmaz konvexitása miatt minden a, b, c ∈ V esetén T(a, b, c) ⊆ V ⊆ Dom(f ), ezért (iii) alapján Z

Z

f+ Ja,bK

Z

f+ Jb,cK

f = 0, Jc,aK

így a NewtonLeibniz-tétel komplex formája szerint f -nek létezik V -n értelmezett primitív függvénye, vagyis van olyan g : V → F holomorf függvény, hogy Dg ⊆ f . A g holomorf függvény kétszer is C-dierenciálható (s®t C-analitikus), ezért f a V halmaz minden pontjában C-dierenciálható, így z -ben is. Ezért f holomorf függvény. 

5.6.

Cauchy-egyenl®tlenség

5.6.1. Tétel. Legyen F komplex Banach-tér, f : C  F holomorf függvény, a ∈

Dom(f ), és r ∈ R∗+ olyan szám, amelyre Br (a; C) ⊆ Dom(f ). Ekkor minden n ∈ N és z ∈ Br (a; C) esetén n! ‚ rn

k(Dn f )(z)k ≤

1 sup kf (z 0 )k Œ |z − a| n+1 0z0 ∈C 1− |z −a|=r r

teljesül. (Cauchy-egyenl®tlenség) Bizonyítás. Nyilvánvaló, hogy Cauchy második integrálformulája szerint minden n ∈ N és z ∈ Br (a; C) esetén 1

f n! Z n! Z f (a + re2πit )2πire2πit (D f )(z) = = dµR (t) = 2πit − z)n+1 2πi γ (idC − z)n+1 2πi (a + re 0 a,r n

n! = n r

Z1

f (a + re2πit )e−2πint dµ (t),    z − a −2πit n+1 R 1− e r

 0

amib®l következik, hogy

k(Dn f )(z)k ≤

n! rn

Z1 0

kf (a + re2πit )k n+1 dµR (t) ≤   z − a −2πit 1 − e r

5.7. LIOUVILLE TÉTELE ÉS AZ ALGEBRA ALAPTÉTELE

†

n! ≤ n r

97

 0

Z1

sup kf (z )k

C

z0 ∈ |z 0 −a|=r

 z 0 1 −

1 dµ (t).  − a −2πit n+1 R e r

Ha w ∈ C és |w| ≤ 1, akkor |1 − w| ≥ 1 − |w| ≥ 0, ezért minden t ∈ [0, 1] esetén minden N 3 n-re és Br (a; C) 3 z -re  z 1 −

1 ≤  − a −2πit n+1 e r

1 , Œ |z − a| n+1 1− r

‚

amib®l a fentiek alapján következik, hogy †

k(Dn f )(z)k ≤

n! rn



sup kf (z 0 )k

C

z0 ∈ |z 0 −a|=r

1 , Œ |z − a| n+1 1− r

‚

amit bizonyítani kellett.  Az el®z® állítás feltételei mellett minden n ∈ N esetén a Cauchy-egyenl®tlenségb®l a z := a választással n! k(Dn f )(a)k ≤ n sup kf (z 0 )k r z0 ∈C |z 0 −a|=r

következik. Gyakran ezt a  sokkal kevésbé általános  egyenl®tlenséget nevezik Cauchyegyenl®tlenségnek.

5.7.

Liouville tétele és az algebra alaptétele

A következ® állítás megfogalmazása el®tt emlékeztetünk arra, hogy ha F vektortér a K test felett, akkor egy P : K → F leképezést (legfeljebb n-ed fokú, egyváltozós) polinomiális függvénynek nevezünk, ha létezik olyan n ∈ N, (ck )0≤k≤n ∈ F n+1 és a ∈ K , hogy P =

n X

ck .(idK − a)k .

k=0

5.7.1. Tétel. (Liouville-tétel) Legyen F komplex Banach-tér és f : C → F holomorf

függvény. Tegyük fel, hogy létezik olyan P : C → F legfeljebb n-ed fokú polinomiális függvény és létezik olyan R ∈ R∗+ , amelyre minden z ∈ C esetén, ha |z| > R, akkor kf (z)k ≤ kP (z)k teljesül. Ekkor f is legfeljebb n-ed fokú polinomiális függvény.

98

5. A CAUCHY INTEGRÁLTÉTEL KÖVETKEZMÉNYEI

Bizonyítás. Legyen (ck )0≤k≤n ∈ F n+1 és a ∈ C olyan, hogy P =

n X k=0

ck .(idC − a)k , továbbá

rögzítsünk olyan R ∈ R∗+ számot, amelyre minden z ∈ C esetén, ha |z| > R, akkor kf (z)k ≤ kP (z)k. Ha r ∈]|a| + R, → [ és z 0 ∈ C olyan, hogy |z 0 − a| = r, akkor |z 0 | ≥ r − |a| > R, ezért a Cauchy-egyenl®tlenség alapján minden N 3 k -ra

k(Dk f )(a)k ≤ k! ≤ k r

k! rk

C

sup

z 0 ∈ ; |z 0 −a|=r

n X

kf (z 0 )k ≤

k! sup kcj k|z − a| = k 0 0 r z ∈C; |z −a|=r j=0 0

Ebb®l következik, hogy k > n esetén

j

„

k(Dk f )(a)k ≤ lim

r→∞

k!

n X

k! rk

n X

C

sup

z 0 ∈ ; |z 0 −a|=r j

kcj kr = k!

j=0

kP (z 0 )k ≤

n X

kcj krj−k .

j=0

Ž

kcj krj−k

= 0,

j=0

vagyis (Dk f )(a) = 0. Ugyanakkor az f függvény egyenl® a saját a pontbeli Taylorsorának összegfüggvényével az egész C-n, így ∞ X

n X (Dk f )(a) (Dk f )(a) k f= . (idC − a) = . (idC − a)k , k! k! k=0 k=0

tehát f legfeljebb n-ed fokú polinomiális függvény. 

5.7.2. Következmény. Ha F komplex Banach-tér és f : C → F korlátos holomorf függvény, akkor f állandó.

Bizonyítás. Az állítás a Liouville-tétel n = 0-ra vonatkozó speciális esete. 

5.7.3. Következmény. (Az algebra alaptétele) Ha P : C → C legalább els®fokú polinomiális függvény, akkor létezik olyan z ∈ C, hogy P (z) = 0.

Bizonyítás. Indirekt bizonyunk, tehát feltesszük, hogy P : C → C olyan legalább els®fokú polinomiális függvény, amelynek nincs gyöke. Ekkor az 1/P reciprok-függvény az egész C-n értelmezett holomorf függvény. Az V. fejezet 8. pontjában igazoltuk, hogy bármely C ∈ R∗+ esetén van olyan R ∈ R∗+ , hogy minden C 3 z -re, ha |z| > R, akkor |P (z)| > C . Rögzítve egy C ∈ R∗+ számot, és választva ehhez egy ilyen tulajdonságú R∗+ 3 R-t; azt kapjuk, hogy minden z ∈ C esetén, ha |z| > R, akkor |1/P (z)| < 1/C . Ugyanakkor a |P | : C → R függvény folytonos és seholsem nulla, ezért a Weierstrass-féle minimumelv alapján van olyan c ∈ R∗+ , hogy a BR (0; C) kompakt gömb minden z pontjában |P (z)| > c. Ebb®l következik, hogy minden C 3 z -re |1/P (z)| ≤ max(1/C, 1/c), vagyis az 1/P : C → C holomorf függvény korlátos. A Liouville-tétel alapján 1/P konstansfüggvény, ami természetesen nem igaz. 

5.8. A PARAMÉTERES INTEGRÁLFÜGGVÉNYEK HOLOMORFITÁSA

5.8.

99

A paraméteres integrálfüggvények holomortása

5.8.1. Tétel. Legyen F komplex Banach-tér, Ω ⊆ C nyílt halmaz, (T, R, θ) komplex

mértéktér, és (ft )t∈T olyan függvényrendszer, hogy minden t ∈ T esetén ft : Ω → F holomorf függvény. Tegyük fel, hogy minden Ω 3 z -re a T → F ; t 7→ ft (z) függvény Z θ-integrálható, tehát az ft dθ(t) paraméteres integrálfüggvény deníciós tartománya T

egyenl® Ω-val. Ha minden a ∈ Ω pontnak létezik olyan V környezete C-ben, hogy V ⊆ Ω és Z ∗ sup kft (z)k d|θ|(t) < +∞, akkor az

Z

z∈V

ft dθ(t) függvény holomorf, és minden N 3 n-re

T

„

D

n

Ž

Z

ft dθ(t)

Z

=

T

(Dn ft )dθ(t).

T

Bizonyítás. Legyen a ∈ Ω rögzített pont. A feltevés szerint van olyan r ∈ R∗+ , amelyre Br (a; C) ⊆ Ω és Z ∗

sup

C

kft (z)k d|θ|(t) < +∞.

z∈Br (a; )

Vezessük be a

h : T → R+ ;

t 7→

4 sup kft (z)k r z∈Br (a;C)

függvényt, amelyre az el®z®ek alapján

Z ∗

h d|θ| < +∞

teljesül. Ha t ∈ T , akkor Br (a; C) ⊆ Ω = Dom(ft ) miatt az ft függvényre felírható a Cauchy-egyenl®tlenség, amely szerint minden z ∈ Br/2 (a; C) esetén

k(Dft )(z)k ≤

1 1 r (1 − |z − a|/r)2

C

sup

z 0 ∈ ; |z 0 −a|=r

kf (z 0 )k ≤

4 sup kft (z)k =: h(t). r z∈Br (a;C)

Ezért a paraméteres Z integrálfüggvények dierenciálhatóságának tétele (IX. fejezet, 8. pont) alapján az

ft dθ(t) paraméteres integrálfüggvény C-dierenciálható a-ban

T

(gyelembe véve a IX. fejezet, 8. pont, 6. gyakorlat eredményét), továbbá a T → F ; t 7→ (Dft )(a) függvény θ-integrálható, és „

„

ŽŽ

Z

D

ft dθ(t) T

Z

(a) =

(Dft )(a) dθ(t). T

100

5. A CAUCHY INTEGRÁLTÉTEL KÖVETKEZMÉNYEI

Ebb®l kiindulva, n szerinti teljes indukcióval bizonyíthatunk a magasabb rend¶ deriváltakra. 

5.9.

Holomorf függvények pontonkénti limeszfüggvénye

5.9.1. Állítás. Legyen Ω ⊆ C nyílt halmaz, F komplex Banach-tér, és (fk )k∈N olyan

sorozat, hogy minden k ∈ N esetén fk : Ω → F holomorf függvény. Ha ez a függvénysorozat lokálisan egyenletesen konvergens az Ω halmazon, akkor a lim fk : Ω → k→∞

F limeszfüggvény szintén holomorf, és minden n ∈ Nesetén a‹ (Dn fk )k∈N függvénysorozat lokálisan egyenletesen konvergens Ω-n, valamint Dn lim fk = lim (Dn fk ). k→∞

Bizonyítás. Legyen f := lim fk . k→∞

Az V. fejezet 11.

k→∞

pontjának eredményei szerint

f folytonos függvény, továbbá az (fk )k∈N függvénysorozat az Ω minden kompakt részhalmazán egyenletesen konvergens. Legyen a ∈ Ω rögzített pont, és vegyünk olyan r ∈ R∗+ számot, amelyre Br (a; C). Ha z ∈ Br (a; C), akkor az Œ ‚ fk z − a k∈N függvénysorozat egyenletesen konvergens az Im(γa,r ) köríven, mert ha z 0 ∈ Im(γa,r ), vagyis |z 0 − a| = r, akkor |z 0 − z| ≥ |z 0 − a| − |z − a| = r − |z − a|, tehát minden k ∈ N esetén

sup kfk (z 0 ) − f (z 0 )k 0

f (z 0 ) 0 f (z ) z ∈Im(γa,r ) k sup

0 − 0

≤ ,

z − a r − |z − a| z 0 ∈Im(γa,r ) z − a és itt a jobb oldal 0-hoz tart, ha k → ∞. Ezért a vonalintegrál tulajdonságai szerint minden z ∈ Br (a; C) esetén €

Š

Cγa,r (f ) (z) =

Z € Š 1 Z f 1 fk = lim = lim Cγa,r (fk ) (z), 2πi γ idC − a 2πi k→∞γ idC − a k→∞ a,r

€

a,r

Š

ami azt jelenti, hogy a Cγa,r (fk ) k∈N függvénysorozat pontonként konvergál a Cγa,r (f ) függvényhez a Br (a; C) halmazon. Ugyanakkor minden N 3 k -ra fk holomorf függvény, így Cauchy második integrálformulája szerint fk = Cγa,r (fk ) a Br (a; C) halmazon. Továbbá, az (fk )k∈N függvénysorozat a Br (a; C) halmazon pontonként konvergál f -hez, az f deníciója alapján, ezért f = Cγa,r (f ) teljesül a Br (a; C) halmazon. Ebb®l a Cauchytranszformáltak analitikusságának ismeretében kapjuk, hogy f analitikus a Br (a; C) nyílt gömb minden pontjában. Ezzel megmutattuk, hogy f holomorf függvény.

5.10. HOLOMORF FÜGGVÉNY GYÖKEI

101

Legyen most n ∈ N rögzített. Megmutatjuk, hogy ha a ∈ Ω és r ∈ R∗+ olyan, hogy Br (a; C) ⊆ Ω, akkor minden r0 ∈]0, r[ valós számra a (Dn fk )k∈N függvénysorozat egyenletesen konvergál Dn f -hez a Br0 (a; C) halmazon. Valóban, legyen r0 ∈ R∗+ olyan, hogy r0 < r és z ∈ Br0 (a; C). A Cauchy-egyenl®tlenség szerint minden N 3 k -ra

k(Dn fk )(z) − (Dn f )(z)k ≤

≤

n! ‚ rn

1 sup kfk (z 0 ) − f (z 0 )k ≤ Œ |z − a| n+1 0z0 ∈C 1− |z −a|=r r

1 n! sup kfk (z 0 ) − f (z 0 )k, ‚ Œ n r r0 n+1 z0 ∈C 1− |z 0 −a|=r r

amib®l következik, hogy

sup

C

z∈Br0 (a; )

k(Dn fk )(z) − (Dn f )(z)k ≤

1 n! 0 0 ‚ Œn+1 sup kfk (z ) − f (z )k. n 0 0 r r z ∈C 1− |z 0 −a|=r r

Tekintettel arra, hogy

lim

k→∞

sup kfk (z 0 ) − f (z 0 )k = 0,

C

z0 ∈ |z 0 −a|=r

a (Dn fk )k∈N függvénysorozat egyenletesen konvergál Dn f -hez a Br0 (a; C) halmazon. Ezzel n megmutattuk,  hogy a‹ (D fk )k∈N függvénysorozat lokálisan egyenletesen konvergens Ω-n, valamint Dn

5.10.

lim fk = lim (Dn fk ). 

k→∞

k→∞

Holomorf függvény gyökei

5.10.1. Állítás. Legyen F komplex Banach-tér, f : C  F holomorf függvény és Nf := {z ∈ Dom(f ) | f (z) = 0}, vagyis Nf az f gyökeinek halmaza. Ha Dom(f ) összefügg® és f nem azonosan 0, akkor teljesülnek a következ®k. a) Az Nf halmaz diszkrét, tehát minden pontja izolált. b) Minden a ∈ Nf ponthoz egyértelm¶en létezik olyan m ∈ N∗ és olyan g : Dom(f ) → F holomorf függvény, hogy g(a) 6= 0 és minden Dom(f ) 3 z -re f (z) = (z − a)m g(z) (ezt az m számot nevezzük az a gyök multiplicitásának). c) Az Nf halmaz megszámlálható.

102

5. A CAUCHY INTEGRÁLTÉTEL KÖVETKEZMÉNYEI

Bizonyítás. Ha az a ∈ Nf pont nem volna izolált pontja Nf -nek, akkor létezne olyan Nf ben haladó injektív sorozat, amely a-hoz konvergál; ekkor az f függvény C-analitikussága és Dom(f ) összefügg®sége következtében f azonosan nulla volna (VII. fejezet, 10. pont, 9. gyakorlat). Ezzel az a) állítást igazoltuk. A b) állítás bizonyításához legyen a ∈ Nf rögzítve. Van olyan k ∈ N∗ , hogy (Dk f )(a) 6= 0, különben az f függvény a pontbeli C-analitikussága és f (a) = 0 folytán létezne a-nak olyan környezete, amely részhalmaza Nf -nek, ami az a) miatt lehetetlen. Ezért jól értelmezett az m := min{k ∈ N∗ |(Dk f )(a) 6= 0} természetes szám, így létezik a-nak olyan környezete, amelyen

f=

∞ X k=0

!

!

∞ X (Dk f )(a) (Dk f )(a) (idC − a)k = (idC − a)k = k! k! k=m

= (idC − a)

m

∞ X k=m

!

(Dk f )(a) (idC − a)k−m k!

teljesül. Értelmezzük a

g : Dom(f ) → F ;

8 > > > > <

z 7→ > > > > :

f (z) (z − a)m

; ha z 6= a,

(Dm f )(a) m!

; ha z = a

függvényt. Az el®z®ek alapján g folytonos az a pontban, és C-dierenciálható a Dom(f ) \ {a} halmaz minden pontjában, ezért a megszüntethet® szingularitások tétele alapján g holomorf. (Ez egyébként látszik abból is, hogy fennáll a

g=

∞ X k=m

!

(Dk f )(a) (idC − a)k−m k!

egyenl®ség az a valamely környezetén, ezért g az a pontban C-analitikus.) Továbbá, g(a) 6= 0 és minden z ∈ Dom(f ) esetén f (z) = (z −a)m g(z). Ha g 0 : Dom(f ) → F szintén olyan holomorf függvény, hogy g 0 (a) 6= 0 és minden Dom(f ) 3 z -re f (z) = (z − a)m g 0 (z), 0 akkor m0 < m esetén a Dom(f )\{a} halmazon (idC −a)m−m g = g 0 , így g 0 (a) = lim g 0 = 0, a ami nem igaz; és hasonlóan m < m0 is lehetetlen, így m = m0 , és akkor szükségképpen g = g 0 . Ezzel a b) állítást is igazoltuk. A c) állítás bizonyításához vegyünk a C kompakt részhalmazainak olyan (Kn )n∈N [ sorozatát, hogy Dom(f ) = Kn (II. fejezet, 2. pont, 5. gyakorlat). Ekkor

Nf =

[

N

n∈

N

n∈

(Kn ∩ Nf ), így az Nf megszámlálhatóságának bizonyításához elég volna azt

5.11. A LOKÁLIS MAXIMUM ELVE

103

megmutatni, hogy minden K ⊆ Dom(f ) kompakt halmazra K ∩ Nf véges. Ez viszont a Bolzano-Weierstrass-tétel és az Nf diszkrétsége miatt nyilvánvaló, hiszen ha K ∩ Nf végtelen volna, akkor létezne olyan ebben haladó injektív sorozat, amely a K valamely pontjához konvergálna; de egy ilyen limeszpont az f folytonossága miatt gyöke volna f -nek, így nem lehetne izolált pontja Nf -nek, ami ellentmond az a) állításnak. 

5.11.

A lokális maximum elve

5.11.1. Tétel. (A szigorú lokális maximum elve) Legyen F komplex Banach-tér és f : C  F holomorf függvény. Ekkor az kf k : Dom(f ) → R+ függvénynek a Dom(f ) halmaz egyetlen pontjában sincs szigorú lokális maximuma, vagyis minden a ∈ Dom(f ) pont minden V környezetéhez van olyan z ∈ (V \ {a}) ∩ Dom(f ) pont, amelyre kf (z)k ≥ kf (a)k. Bizonyítás. Azt kell megmutatni, hogy ha a ∈ Dom(f ) és V környezete a-nak, akkor létezik olyan z ∈ (V \ {a}) ∩ Dom(f ), amelyre kf (a)k ≤ kf (z)k. Ez így van, mert ha r ∈ R∗+ olyan, hogy Br (a; C) ⊆ V ∩ Dom(f ), akkor a Cauchy-egyenl®tlenség alapján

kf (a)k = k(D0 f )(a)k ≤ sup kf (z 0 )k,

C

z0 ∈ |z 0 −a|=r

továbbá az kf k függvény folytonossága és a {z 0 ∈ C||z 0 − a| = r} körvonal kompaktsága miatt létezik olyan z ∈ C, hogy |z − a| = r és

sup kf (z 0 )k = kf (z)k,

C

z0 ∈ |z 0 −a|=r

így a z ∈ (V \ {a}) ∩ Dom(f ) pontra kf (a)k ≤ kf (z)k teljesül. 

5.11.2. Állítás. Legyen f : C  C holomorf függvény, a ∈ Dom(f ), és r ∈ R∗+ olyan, hogy Br (a; C) ⊆ Dom(f ). Ekkor fennáll a ∞ X k=0

|(Dk f )(a)| k!

!2

r

2k

1 = 2π

Z2π

|f (a + reiθ )|2 dθ

0

egyenl®ség. (Megjegyzés. Ha F komplex Hilbert-tér (XII. fejezet, 5. pont), f : C  F holomorf függvény, és r ∈ R∗+ olyan, hogy Br (a; C) ⊆ Dom(f ), akkor fennáll a ∞ X k=0

k(Dk f )(a)k k!

!2

r

2k

1 = 2π

Z2π 0

kf (a + reiθ )k2 dθ

104

5. A CAUCHY INTEGRÁLTÉTEL KÖVETKEZMÉNYEI

egyenl®ség.)

Bizonyítás. Legyen z ∈ Br (a; C); ekkor a

(Dk f )(a) (z − a)k , k! k∈N X

X

(Dk f )(a) (z − a)k k! k∈N

numerikus sorok abszolút konvergensek, ezért ezek Cauchy-szorzata is abszolút konvergens és ∞ X

|f (z)|2 = f (z)f (z) =

„

k=0

k X

(Dj f )(a) (Dk−j f )(a) (z − a)j (z − a)k−j j! (k − j)! j=0

Ž

.

Ebb®l következik, hogy minden θ ∈ R esetén

|f (a + reiθ )|2 =

∞ X k=0

továbbá a

X k∈

N

„

rk

„

rk

k X

(D

j=0

j

f )(a) (Dk−j f )(a) j!

(k − j)!

Ž

e−i(k−2j)θ

k X

(Dj f )(a) (Dk−j f )(a) −i(k−2j).idR e j! (k − j)! j=0

,

Ž

függvénysor pontonként abszolút konvergens R-en. Megmutatjuk, hogy ez a függvénysor normálisan konvergens R-en. Valóban, jelölje R az f függvény a középpontú Taylorsorának konvergencia-sugarát, és legyen ρ ∈]r, R[ rögzített szám. Ekkor k ∈ N esetén minden R 3 θ-ra k X (Dj f )(a) (Dk−j f )(a) rk e−i(k−2j)θ = j! (k − j)! j=0

=

≤

‚ Œk k r X ρ j=0



(Dj f )(a) j (Dk−j f )(a) k−j −i(k−2j)θ ρ ρ e ≤ j! (k − j)!

‚ Œk k r X (Dj f )(a) j (Dk−j f )(a) k−j ρ ρ ρ j! (k − j)!

=

j=0

≤

Ž 2 ‚ Œk „ k j X r (D f )(a) j ρ ρ j!

≤

j=0

Ž 2 ‚ Œk „ ∞ X (Dj f )(a) r ρj , ρ j! j=0

tehát minden k ∈ N esetén „

sup θ∈

R

k X k r j=0

Ž

(Dj f )(a) (Dk−j f )(a) −i(k−2j)θ e j! (k − j)!

≤

Ž 2 ‚ Œk „ ∞ X (Dj f )(a) r ρj . ρ j! j=0

105

5.11. A LOKÁLIS MAXIMUM ELVE

Ebb®l r/ρ ∈]0, 1[ miatt kapjuk, hogy a X k∈

N

„

rk

k X

(Dj f )(a) (Dk−j f )(a) −i(k−2j).idR e j! (k − j)! j=0

Ž

függvénysor normálisan konvergens R-en, és az el®z®ek alapján

|f (a + rei.idR )|2 =

∞ X

„

rk

k=0

k X

(Dj f )(a) (Dk−j f )(a) −i(k−2j).idR e j! (k − j)! j=0

Ž

.

Ezért a Lebesgue-tétel alkalmazásával

1 2π

Z2π

∞ X

|f (a + reiθ )|2 dθ =

k=0

0

=

∞ X k=0

„

„

k X

(Dj f )(a) (Dk−j f )(a) 1 j! (k − j)! 2π j=0

k X

(Dj f )(a) (Dk−j f )(a) δ2j,k j! (k − j)! j=0

Ž

=

∞ X k=0

Z2π

Ž

e−i(k−2j)θ dθ

=

0

|(Dk f )(a)| k!

!2

r2k

adódik. 

5.11.3. Tétel. (A lokális maximum elve) Legyen f : C  C holomorf függvény

és a ∈ Dom(f ). Ha f nem állandó az a valamely környezetén, akkor az |f | függvénynek nincs lokális maximuma a-ban, vagyis az a pont minden környezetében van olyan z ∈ Dom(f ) pont, amelyre |f (z)| > |f (a)|. Bizonyítás. Legyen f : C  C holomorf függvény és a ∈ Dom(f ) olyan pont, amelyben |f |-nek lokális maximuma van. Megmutatjuk, hogy |f | az a pont valamely környezetén állandó. Legyen r ∈ R∗+ olyan, hogy Br (a; C) ⊆ Dom(f ) és minden z ∈ Br (a; C) esetén |f (z)| ≤ |f (a)|. Ekkor minden θ ∈ [0, 2π] esetén |f (a + reiθ )| ≤ |f (a)|, tehát az el®z® állítás alapján 2

|f (a)| +

∞ X k=1

|(Dk f )(a)| k!

!2

Ebb®l következik, hogy

r

2k

1 = 2π

∞ X k=1

Z2π 0

1 |f (a + re )| dθ ≤ 2π iθ

|(Dk f )(a)| k!

2

!2

r2k = 0,

∗

tehát minden k ∈ N esetén (Dk f )(a) = 0, vagyis

f=

∞ X k=0

teljesül a Br (a; C) halmazon. 

!

(Dk f )(a) (idC − a)k = f (a) k!

Z2π 0

|f (a)|2 dθ = |f (a)|2 .

106

5.12.

5. A CAUCHY INTEGRÁLTÉTEL KÖVETKEZMÉNYEI

A Riemann-féle zéta-függvény

5.12.1. Lemma. Teljesül az, hogy a X

N∗

k∈

1 k idC

függvénysor normálisan konvergens minden {z ∈ C|<(z) ≥ α} alakú halmazon, ahol α > 1 valós szám, továbbá a X (−1)k−1 k idC k∈N∗ függvénysor egyenletesen konvergens a {z ∈ C|<(z) > 0} nyílt halmaz minden kompakt részhalmazán. Bizonyítás. Legyen α > 1 rögzített valós szám. Ha k ∈ N∗ , akkor

sup

C

z∈ <(z)≥α

1 z k

= sup

C

z∈ <(z)≥α

1 k <(z)

=

1 , kα

X

1 hiperharmonikus sor α > 1 miatt konvergens, így a majoráns α k∈N∗ k kritérium alapján a X 1 idC k∈N∗ k és tudjuk, hogy a

függvénysor normálisan konvergens a {z ∈ C|<(z) ≥ α} halmazon. Legyen most z ∈ C olyan szám, amelyre <(z) > 0. A numerikus sorok feltételes konvergenciája Abel-kritériumának alkalmazásával megmutatjuk, hogy a

(−1)k−1 kz k∈N∗ X

sor konvergens C-ben, és minden N∗ 3 m-re teljesül a ∞ X



(−1)k−1 |z| 1 ≤ z <(z) k <(z) m k=m

egyenl®tlenség. Ehhez legyen minden k ∈ N∗ esetén ak := k −z és bk := (−1)k−1 , valamint a0 := 0 és b0 := 0. Nyilvánvaló, hogy a (bk )k∈N sorozat korlátos részletösszeg¶, és <(z) > 0 miatt az (ak )k∈N sorozat korlátos változású is, mert ha k ∈ N∗ , akkor a Newton-Leibniz-formula alkalmazásával kapjuk, hogy

1 1 − =z z k (k + 1)z

k+1 Z k

1 tz+1

dt,

107

5.12. A RIEMANN-FÉLE ZÉTA-FÜGGVÉNY

amib®l következik, hogy 1 kz



1 − ≤ |z| z (k + 1)

k+1 Z

1 t<(z)+1

k

dt,

így minden m, n ∈ N∗ esetén, ha n > m, akkor 1 kz

n−1 X k=m



n−1 X 1 ≤ |z| − (k + 1)z k=m

Z

k+1 Z

[m,→[

t<(z)+1

k

1

≤ |z|

t<(z)+1

Zn

1

dt =

dt = |z| m

1 t<(z)+1

dt ≤

|z| 1 <(z) <(z) m

(X. fejezet, 2. pont, 14. gyakorlat). Ez nemcsak azt mutatja, hogy az (ak )k∈N sorozat korlátos változású, hanem az is kiderül bel®le, hogy minden N∗ 3 m-re ∞ X 1 kz

k=m



1 1 |z| − . ≤ z <(z) (k + 1) <(z) m

Ezért a feltételes konvergencia Abel-kritériuma szerint a

(−1)k−1 ak bk = kz k∈N∗ k∈N∗ X

X

sor konvergens, és minden N∗ 3 m-re ∞ X



(−1)k−1 ≤ kz k=m

∞ X 1 kz

k=m

!

1 − z (k + 1)

n X k−1 sup (−1) n∈N; n≥m

≤

k=m

1 |z| . <(z) <(z) m

Ebb®l már következik, hogy a

ζa : {z ∈ C|<(z) > 0} → C;

z 7→

∞ X

(−1)k−1 kz k=1

függvény jól értelmezett. Legyen K ⊆ {z ∈ C|<(z) > 0} nem üres kompakt halmaz. A < függvény folytonos és szigorúan pozitív a K halmazon, ezért a Weierstrass-féle minimumelv alapján létezik olyan C(K) ∈ R∗+ , amelyre minden z ∈ K esetén <(z) ≥ C− (K). Ugyanakkor K korlátos, ezért van olyan C+ (K) ∈ R∗+ , amelyre minden z ∈ K esetén |z| ≤ C+ (K). Ilymódon minden m > 1 természetes számra m−1 X sup ζa (z) − z∈K k=1







∞ X (−1)k−1 (−1)k−1 = sup ≤ k z z∈K k=0 k z

108

5. A CAUCHY INTEGRÁLTÉTEL KÖVETKEZMÉNYEI

‚

1 |z| ≤ sup <(z) z∈K <(z) m

Œ

≤

C+ (K) 1 , C C− (K) m − (K)

m−1 X sup ζa (z) − z∈K

(−1)k−1 = 0, kz

amib®l következik, hogy

lim

m→∞

k=1

vagyis a

!

(−1)k−1 k idC k∈N∗ függvénysor egyenletesen konvergens a K halmazon.  X

5.12.2. Deníció. Riemann-féle zéta-függvénynek nevezzük és ζ -val jelöljük a 1 z→ 7 1 − 21−z

{z ∈ C|<(z) > 0} \ {1} → C;

∞ X

(−1)k−1 kz k=1

függvényt.

5.12.3. Állítás. A Riemann-féle zéta-függvény holomorf. Bizonyítás. Ezért ez a függvénysor lokálisan egyenletesen konvergens a {z ∈ C|<(z) > 0} nyílt halmazon, így ismét a holomorf függvények lokálisan egyenletes limeszének holomortása alapján a ζa függvény holomorf. 

5.12.4. Állítás. Ha z ∈ C és <(z) > 1, akkor ζ(z) =

∞ X

1 . z k k=1

Bizonyítás. Legyen z ∈ C olyan szám, amelyre <(z) > 1. Ekkor X

1 , z j∈N∗ (2j)

X

1 z j∈N (2j + 1)

(abszolút) konvergens sorok, ezért ∞ X

1 = lim z n→∞ k=1 k =

2n X

1 z k=1 k

„

!

= lim

n→∞

n X

n−1 X 1 1 + z z j=1 (2j) j=0 (2j + 1)

∞ X 1 1 1 + = z z z 2 j=0 (2j + 1) j=1 (2j) ∞ X

∞ X

Ž

∞ X 1 1 + , z z j=1 j j=0 (2j + 1)

=

109

5.12. A RIEMANN-FÉLE ZÉTA-FÜGGVÉNY

amib®l következik, hogy 

1 1− z 2

 ∞ X

∞ X 1 1 = . z z j=0 (2j + 1) k=1 k

Ugyanakkor teljesülnek a következ® egyenl®ségek is ∞ X

2n X

(−1)k−1 = lim n→∞ kz k=1 „

= n→∞ lim

1 1 − + z z j=0 (2j + 1) j=1 (2j)

1 =− z 2 tehát igaz a

n−1 X

n X

∞ X



1 1 + 1− z z 2 k=1 k

(−1)k−1 kz k=1 Ž

=

∞ X 1 1 =− + = z z j=0 (2j + 1) j=1 (2j)

 ∞ X

∞ X

!

∞ X



1 1 = 1 − z−1 z 2 k=1 k

1 1 = z 1 − 21−z k=1 k

 ∞ X

1 , z k=1 k

∞ X

(−1)k−1 = ζ(z) kz k=1

egyenl®ség is. 

5.12.5. Állítás. Jelölje (pk )k∈N azt a szigorúan monoton növ® sorozatot N-ben, amelyre {pk |k ∈ N} egyenl® a prímszámok halmazával. Minden z ∈ C esetén, ha <(z) > 1, akkor a 1 P 1 − p−z k k∈N

végtelen szorzat konvergens, és fennáll a ∞

ζ(z) =

1 −z k=0 1 − pk

P

egyenl®ség. Bizonyítás. Legyen z ∈ C és <(z) > 1. Ekkor a

1 −z k∈N 1 − pk

P

végtelen szorzat konvergenciája következik a 2.6.3. tételb®l és abból a nyilvánvaló tényb®l, hogy a X 1 z k∈N pk − 1

110

5. A CAUCHY INTEGRÁLTÉTEL KÖVETKEZMÉNYEI

sor abszolút konvergens. Legyen most z ∈ C olyan szám, amelyre <(z) > 1. Ha k ∈ N∗ , ∗ akkor |p−z k | < 1, tehát minden n ∈ N esetén n−1

n−1

1 −z = P k=0 1 − pk k=0

P

X

n−1

σ∈F (n;m)

k=0

= lim

m→∞

P

„

∞ X

1 zj j=0 pk

Ž

n−1

= m→∞ lim

!

1 zσ(k)

pk

X

= lim

m→∞

j∈Am,n

P

k=0

m−1 X j=0

X

n−1

σ∈F (n;m)

k=0

= lim

m→∞

„

P

1 pzj k

Ž

= !−z

σ(k) pk

=

1 , jz

∗

ahol m, n ∈ N esetén (

n−1

P

Am,n :=

) σ(k) pk

σ ∈ F (n; m)

.

k=0

Ezért minden n ∈ N∗ esetén n−1 ζ(z) −







X 1 1 = lim ζ(z) − P 1 − p−1 = m→∞ z j k k=0 j∈Am,n „

= lim

m→∞

k−1 X 1 lim z k→∞ j=1 j

Ž

X

−

j∈Am,n

1 j z

.

Megmutatjuk, hogy m, n ∈ N∗ esetén minden N \ Am,n 3 j -re j ≥ min(2m , pn ). Valóban, ha j ∈ N \ Am,n , akkor j > 1, és az Am,n halmaz értelmezése alapján:  vagy létezik olyan k ≥ n természetes szám, hogy pk prímosztója j -nek: ekkor pn ≤ pk ≤ j ;  vagy a j mindegyik prímosztója eleme a {pk |k ∈ n} halmaznak, de létezik olyan k ∈ n q és olyan q ≥ m természetes szám, hogy pqk osztója j -nek: ekkor 2m = pm 0 ≤ pk ≤ j . Ebb®l következik, hogy ha m, n ∈ N∗ , akkor minden k > max(Am,n ) természetes számra k−1 X 1 j=1 j z

ezért fennáll a

−

X j∈Am,n

1 j z

=

X j∈k j ∈A / m,n

k−1 X 1 lim z k→∞ j=1 j

−

1 j z

X j∈Am,n

X

≤

j∈k j ∈A / m,n

1 j z

≤

1 j <(z)

∞ X

≤

∞ X j=min(2m ,pn )

j=min(2m ,pn )

1 j <(z)

1 j <(z)

,

111

5.12. A RIEMANN-FÉLE ZÉTA-FÜGGVÉNY

egyenl®tlenség. Nyilvánvaló, hogy minden N∗ 3 n-re ∞ X

lim

m→∞

1

j=min(2m ,pn )

j <(z)

=

∞ X

1

j=pn

j <(z)

,

amib®l következik, hogy n−1 ζ(z) −

P

k=0

1 1 − p−z k

„

= lim

m→∞

k−1 X 1 lim z k→∞ j=1 j

ezért fennáll a

−

X j∈Am,n

Ž 1 j z

≤

∞ X

1

j=pn

j <(z)

,

∞

ζ(z) = egyenl®ség is, hiszen lim

n→∞

∞ X

1

j=pn

j <(z)

1 −z k=0 1 − pk

P

= 0. 

5.12.6. Következmény. Minden z ∈ C esetén, ha <(z) > 1, akkor ζ(z) 6= 0, vagyis a Riemann-féle zéta-függvénynek nincs gyöke a {z ∈ C|<(z) > 1} halmazban.

A ζ függvénnyel kapcsolatos kapcsolatos az a Riemanntól származó, máig sem bizonyított sejtés, hogy minden gyöke rajta van a {z ∈ C|<(z) = 1/2} egyenesen.

5.12.7. Következmény. Teljesül az, hogy a 1 −1 k∈N 1 − pk

P

végtelen szorzat, valamint a

X

1 k∈N pk

sor divergens. Bizonyítás.  A következ® állításban a ζ függvény z = 1 pont környezetében való viselkedésér®l lesz szó.

5.12.8. Állítás. Fennáll a

†

lim

z→1

egyenl®ség.



ζ(z) 1 z−1

=1

112

5. A CAUCHY INTEGRÁLTÉTEL KÖVETKEZMÉNYEI

Bizonyítás. A ζa leképezés az 1-ben folytonos, és a X. fejezet, 2. pont, 3. gyakorlat szerint ∞ X (−1)k−1 ζa (1) := = log(2), k k=1 tehát lim ζa (z) = ζa (1) = log(2). Ugyanakkor teljesül a z→1



lim

z→1

z−1 1 − 21−z



=

1 log(2)

elemi határérték-egyenl®ség is, ezért lim ((z − 1)ζ(z)) = 1.  z→1

Másfel®l, minden K ⊆ {z ∈ C|<(z) > 1} kompakt halmazhoz van olyan α > 1 valós szám, hogy K ⊆ {z ∈ C|<(z) ≥ α}, így ez a függvénysor normálisan konvergens a {z ∈ C|<(z) > 1} halmaz minden kompakt részhalmazán. Minden k ∈ N∗ esetén k −idC = Exp ◦ (−idC .log(k)), ezért az k −idC : C → C függvény holomorf, így a holomorf függvények lokálisan egyenletes limeszének holomortása miatt a ∞ X

1

k=1

k idC

összegfüggvény értelmezve van és holomorf a {z ∈ C|<(z) > 1} halmazon.

5.13.

Gyakorlatok

1. a) A Cauchy-integráltétel ekvivalens a következ® állítással: ha F komplex Banach-tér,

f : C  F holomorf függvény, és γ0 , γ1 : [0, 1] → C olyan zárt, szakaszonként C1 -osztályú ívek, amelyek kontúrhomotópok a Dom(f ) halmazban, akkor Z

Z

f= γ0

f. γ1

b) Az els® Cauchy integrálformulára vonatkozó tétel ekvivalens a következ® állítással: ha F komplex Banach-tér, f : C  F holomorf függvény, és γ olyan zárt, szakaszonként C1 -osztályú ív C-ben, amelyhez létezik U ⊆ C egyszeresen összefügg® nyílt halmaz úgy, hogy Im(γ) ⊆ U ⊆ Dom(f ), akkor Z

f = 0. γ

(Útmutatás. a) A Cauchy-integráltételben az f függvényre azt tesszük fel, hogy Dom(f ) nyílt halmaz és minden z ∈ Dom(f ) ponthoz létezik f -nek olyan g primitív függvénye,

113

5.13. GYAKORLATOK

hogy z ∈ Dom(f ). Ez a feltevés ekvivalens az f holomortásával, mert minden Cdierenciálható függvény kétszer is C-dierenciálható. b) Az els® Cauchy-integrálformuláról szóló tételben az f függvényre azt tesszük fel, hogy f folytonos és a Dom(f ) minden pontjában C-dierenciálható, legfeljebb egy pontot kivéve. Legyen f ilyen függvény, és a ∈ Dom(f ) olyan pont, hogy f folytonos a-ban és a Dom(f ) \ {a} minden pontjában C-dierenciálható. Legyen γ olyan zárt, szakaszonként C1 -osztályú ív, amelyhez létezik olyan U ⊆ Dom(f ) egyszeresen összefügg® nyítl halmaz, hogy Im(γ) ⊆ U . Ha a ∈ / U , akkor U ⊆ Dom(f ) \ {a} miatt az f |U függvény holomorf. Ha a ∈ U , akkor a megszüntethet® szingularitások tétele szerint f az a pontban is C-dierenciálható, tehát az f |U függvény holomorf. Ezért az f |U : U → F holomorf függvényre alkalmazva a b)-ben megfogalmazott állítást kapjuk, hogy Z

Z

f=

(f |U ) = 0

γ

γ

teljesül.)

2. Legyen F komplex Banach-tér és f : [0, 1] × [0, 1] → F folytonos függvény. Ekkor Z2π

Z

f (cos(t), sin(t))dt = −i γ0,1

0

1 f z

‚

Œ

z + z −1 z − z −1 , dz. 2 2i

Ennek, és a második Cauchy integrálformulának alkalmazásával igazoljuk, hogy minden ε ∈ [0, 1[ esetén Z2π 0

1 2π dt = , 1 − 2ε cos(t) + ε2 1 − ε2

Z2π 0

1 2π √ dt = . (1 + ε cos(t))2 1 − ε2

(Útmutatás. Bebizonyítjuk az utolsó formulát. Teljesülnek a következ® egyenl®ségek: Z2π 0

=−

Z 1/z 1 dt = −i dz = 2 1 − 2ε cos(t) + ε (1 + ε(z + z −1 )/2)2 γ 0,1

z idC 4i Z 4i Z , dz = − 2 2 2 ε γ (z 2 + (2/ε)z + 1) ε γ (idC − z+ )2 (idC − z− )2 0,1

0,1

ahol bevezettük a

z± :=

−1 ∓

√ ε

1 − ε2

114

5. A CAUCHY INTEGRÁLTÉTEL KÖVETKEZMÉNYEI

jelölést. Könnyen látható, hogy z+ ∈ B1 (0; C) és z− ∈ C \ B1 (0; C), ezért az idC /(idC − z− )2 : C \ {z− } → C függvény deníciós tartománya tartalmazza a B1 (0; C) gömböt, így Cauchy második integrálformuláját alkalmazva kapjuk, hogy ‚

‚

idC D (idC − z− )2

ŒŒ

(z+ ) =

1! Z idC . 2πi γ (idC − z+ )2 (idC − z− )2 0,1

Egyszer¶ számolással adódik, hogy itt a bal oldal egyenl® a

z− + z+ ε2 /4 √ = (z− − z+ )2 1 − ε2 számmal.) €

Š

5. Az f := 1/ 1 + id2R : R → R függvény R-analitikus és T0 (f ) =

X

(−1)k id2k R , tehát

N

k∈

az f függvény 0 kezd®pontú Taylor-sorának konvergencia-sugara 1, ami nem nagyobbegyenl® a sup{r ∈ R∗+ |Br (0; R) ⊆ Dom(f )} = +∞ számnál. Tehát a Taylor-sorfejtés maximalitása általában nem igaz valós analitikus függvényekre. Vizsgáljuk meg a 0 középpontú Taylor-sorfejtés maximalitását az 1/(1 + id2C ) : C \ {−i, i} → C holomorf függvényre!

8. Adjunk példát olyan F komplex Banach-térre és olyan f : C  F holomorf

függvényre, amely nem konstansfüggvény, de létezik az kf k : Dom(f ) → R+ függvénynek a Dom(f ) halmaz valamely pontjában (nem szigorú) lokális maximuma. Tudunk-e ilyen példát adni dim(F ) = 1 esetén? (Útmutatás. Legyen F := C2 a max-normával ellátva, u ∈ C olyan, hogy |u| = 1, továbbá értelmezzük az f : B1 (0; C) → F ; z 7→ (z, u) függvényt. Ekkor f nem állandó holomorf függvény, de minden z ∈ B1 (0; C) esetén kf (z)k = max(|z|, |u|) = 1, vagyis az kf k függvénynek a Dom(f ) minden pontjában lokális maximuma van. Ha dim(F ) = 1, akkor a 10. gyakorlat szerint ilyen függvény nem létezik.)

13. Legyen D ⊆ C diszkrét zárt halmaz és F komplex Banach-tér. Tegyük fel, hogy

f, g : C \ D → F olyan holomorf függvények, hogy az f − g függvénynek a D halmaz minden pontjában létezik határértéke, továbbá sup kf (z) − g(z)k < +∞ (vagyis az

C

z∈ \D

f − g függvény korlátos), és inf kf (z) − g(z)k = 0. Ekkor fennáll az f = g egyenl®ség.

C

z∈ \D

115

5.13. GYAKORLATOK

(Útmutatás. Jelölje h az f − g függvény holomorf kiterjesztését C-re. A megszüntethet® szingularitások tétele alapján h : C → F holomorf függvény, és az f − g korlátossága miatt korlátos is. A Liouville-tételt alkalmazva kapjuk, hogy h konstansfüggvény. Az inf kh(z)k ≤ inf kf (z) − g(z)k = 0 feltétel alapján h = 0, így f = g .)

C

z∈

C

z∈ \D

15. Bizonyítsuk be a következ®ket. a) Minden z ∈ C \ Z esetén ∞ ∞ X X π2 1 1 1 = + + , 2 2 2 2 z Sin (πz) k=1 (z − k) k=1 (z + k)

és minden C 3 z -re, ha z − (1/2) ∈ C \ Z, akkor ∞ ∞ X X π2 4 1 1 = + + . 2 1 (2z − 1)2 k=1 (z − k − 2 )2 k=1 (z + k − 12 )2 Cos (πz)

b) Minden z ∈ C \ Z esetén

Ctg(πz) =

1 2z + πz π

∞ X k=1

z2

1 , − k2

és minden C 3 z -re, ha z − (1/2) ∈ C \ Z, akkor

2z Tg(πz) = π

∞ X k=0

z2

€

1

− k+

Š . 1 2 2

c) Minden z ∈ C esetén, ha 0 < |z| < π , akkor

Ctg(z) =

∞ X ζ(2k) 2k−1 1 −2 z , 2k z k=1 π

ahol ζ a Riemann-féle zéta-függvény (14. gyakorlat). d) Minden z ∈ C esetén, ha 0 < |z| < π , akkor ∞ 1 1 1 X (−1)k+1 = − + Bk z 2k−1 , Exp(z) − 1 z 2 k=1 (2k)!

ahol k ∈ N∗ esetén, deníció szerint:

Bk := az ún. k -adik Bernoulli-szám.

2(2k)! ζ(2k) (2π)2k

116

5. A CAUCHY INTEGRÁLTÉTEL KÖVETKEZMÉNYEI

(Útmutatás. Legyen r ∈ R∗+ és Hr := {z ∈ C| − r ≤ <(z) ≤ r}. Könnyen látható, hogy k ∈ N és k ≥ 2r esetén fennáll a







1 1 2 1 sup sup ≤ sup ≤ ≤ k z∈{0}∪(Hr \Z) z ± k z∈{0}∪(Hr \Z) <(z) ± k z∈{0}∪(Hr \Z) k − |<(z)|

egyenl®tlenség. Ha C ⊆ {0} ∪ (C \ Z) nem üres kompakt halmaz, akkor létezik olyan r ∈ R∗+ , hogy C ⊆ Hr , és akkor k ∈ N, k ≥ 2r esetén az iménti egyenl®tlenségek alapján

sup z∈C



1 2 ≤ , z ± k k

míg k ∈ N és 1 ≤ k < 2r esetén

sup z∈C



1 1 < +∞ ≤ z±k d(±k, C)

teljesül. Ebb®l következik, hogy a X

1 , 2 k∈N; k≥1 (idC − k)

X

1 , 2 k∈N; k≥1 (idC + k)

X

1 2 k∈N; k≥1 idC − k 2

függvénysorok normálisan konvergensek a {0} ∪ (C \ Z) nyílt halmaz minden nem üres kompakt részhalmazán, ezért lokálisan egyenletesen konvergensek, így ezek összegfüggvényei a {0} ∪ (C \ Z) halmazon értelmezett holomorf függvények. Az a) bizonyításához értelmezzük az

f : C \ Z;

z 7→

∞ ∞ X X 1 π2 1 1 − − − 2 2 2 2 Sin (πz) z k=1 (z − k) k=1 (z + k)

függvényt. Ez holomorf, és könnyen látható, hogy minden C \ Z 3 z -re és Z 3 n-re f (z + n) = f (z). Ezért, ha f -nek létezik határértéke 0-ban, és ha f a {z ∈ C \ {0}|0 ≤ <(z) < 1} halmazon korlátos, akkor f -nek a Z minden pontjában létezik határértéke, és f korlátos a C \ Z halmazon. Az f -nek létezik határértéke a 0 pontban, mert minden z ∈ C \ Z esetén ‚

1 Sin(πz) 1 π2 − 2 = 2 1− 2 z πz Sin (πz) z

Œ‚

Sin(πz) 1+ πz

Œ‚

πz Sin(πz)

következésképpen a

Sin(πz) lim = 1, z→0 πz

‚

‚

1 Sin(πz) lim 2 1 − z→0 z πz

ŒŒ

=

π2 6

Œ2

,

117

5.13. GYAKORLATOK

elemi határérték-egyenl®ségek alapján ‚

π2 1 lim − 2 2 z→0 Sin (πz) z továbbá világos, hogy

=

π2 , 3

∞ X 1 1 = , 2 2 z→0 k=1 k k=1 (z ± k)

lim

hiszen a

Œ

∞ X

X

1 , 2 k∈N; k≥1 (idC − k)

X

1 2 k∈N; k≥1 (idC + k)

függvénysorok a 0 valamely környezetén egyenletesen konvergensek. Az könnyen ellen®rizhet®, hogy az f függvény korlátos a {z ∈ C \ {0}|0 ≤ <(z) < 1} halmazon. Ha t ∈ R∗+ tetsz®leges, akkor

f (it) = −

∞ ∞ X 1 1 1 X π2 + + + 2 2 2 2 sh (πt) t k=1 (t + ik) k=1 (t − ik)

és itt a két els® tag 0-hoz tart, ha t tart +∞-hez, ugyanakkor ∞ X

1 =0 2 t→+∞ k=1 (t ± ik) lim

is teljesül, ezért lim f (it) = 0, következésképpen inf |f (z)| = 0. A 13. gyakorlat

CZ

t→+∞

z∈ \

szerint f = 0 a C \ Z halmazon, ami azt jelenti, hogy az a) els® formulája teljesül. Az a) második formulája az els®b®l nyerhet®, ha abban a z helyére a z − (1/2) számot helyettesítjük. A b) els® formuláját szintén a 13. gyakorlat eredményének felhasználásával igazolhatjuk, ha azt az 1 , f : C \ Z; z 7→ Ctg(πz) − πz

f : C \ Z;

z 7→ 2z

∞ X k=1

z2

1 − k2

függvényekre alkalmazzuk. A b) második formulája az els®b®l nyerhet®. A c)-ben szerepl® formula szintén a b) els® formulájából származtatható, mert z ∈ C, 0 < |z| < π esetén z/π ∈ C \ Z, így a b) alapján 

∞ X z‹ 1 1 Ctg(z) = Ctg π = − 2z 2 2 π z k=1 π z

‚

1 1 − (z/(πk))2

Œ

=

118

5. A CAUCHY INTEGRÁLTÉTEL KÖVETKEZMÉNYEI

∞ X 1 1 = − 2z 2 2 z k=1 π z

„

∞ X

z 2j 1 2j 2j j=0 π k

Ž

∞ X 1 z 2j = − 2z 2j+2 z j=0 π

∞ X

1

k=1

k 2j+2

!

=

∞ ∞ X X 1 1 ζ(2k) 2k−1 z 2j ζ(2j + 2) = − 2z = −2 z , 2j+2 2k z π z j=0 k=1 π

ahol felhasználtuk azt, hogy 0 < |z| < π miatt minden N∗ 3 k -ra |z/(πk)| < 1, és a két sorösszegzés a diszkrét LebesgueFubini-tétel alapján felcserélhet® (VII. fejezet, 10. pont). Végül, ha z ∈ C és 0 < |z| < π , akkor 0 < |z/2| < π és 

 ‹ 1 1 1 z 1 i iz = − + Ctg = − + Ctg Exp(z) − 1 2 2 2 2 2 2



teljesül, ezért a d) bizonyításához elég a c)-t alkalmazni.)

16. Mutassuk meg, hogy minden k ∈ N∗ esetén ζ(2k)/π 2k ∈ Q, ahol ζ a Riemann-féle zéta-függvény (14. gyakorlat), és fennállnak a következ® egyenl®ségek ∞ X

1 π2 = , 2 6 k=1 k

∞ X

1 π4 = , 4 90 k=1 k

∞ X

1 π6 = , 6 945 k=1 k

∞ X

1 π8 = , 8 9450 k=1 k

1 1 1 1 B1 = , B2 = , B3 = , B4 = , 6 30 42 30 ahol k ∈ N∗ esetén Bk a k -adik Bernoulli-szám (15. gyakorlat).

27. Legyen E normált tér, F Banach-tér és ω : E  L (E; F ) dierenciálható operátormez® E felett. Legyen U ⊆ Dom(ω) egyszeresen összefügg® nyílt halmaz. Az ω pontosan akkor zárt az U halmazon, ha egzakt az U halmazon.

(Útmutatás. Tegyük fel, hogy ω zárt az U halmazon, és legyen c ∈ U rözített pont. Az U halmaz nyílt és összefügg® E -ben, így az V. fejezet 10. pontjának eredményei szerint (a kiválasztási axióma alkalmazásával) vehetünk olyan (γx )x∈U rendszert, hogy minden U 3 x-re γx olyan U -ban haladó szakaszonként C1 -osztályú ív, amely a c és x pontokat összeköti. Képezzük a Z

g : U → F;

x 7→

ω γx

leképezést. Megmutatjuk, hogy g dierenciálható függvény, és minden x ∈ U esetén (Dg)(x) = ω(x). Legyen x ∈ U rögzített pont, és r ∈ R∗+ olyan, amelyre Br (x) ⊆ U . Ha x0 ∈ Br (x), akkor

119

5.13. GYAKORLATOK

a

8 > > <

γx (3t) t 7→ >x + (3t − 1)(x0 − x) > : γx0 (3(1 − t))

γx,x0 : [0, 1] → E;

; ha t ∈ [0, 1/3[, ; ha t ∈ [1/3, 2/3[, ; ha t ∈ [2/3, 1]

függvény olyan zárt, szakaszonként C1 -osztályú ív, hogy Im(γx,x0 ) = Im(γx ) ∪ Im(γx0 ) ∪ Jx, x0 K ⊆ U , tehát ω zártsága, U egyszeres összefügg®sége és Cauchy általános els® integrálformulája szerint Z

Z

0=

ω= γx,x0

Z

Z

ω+ γx

ω−

ω, γx0

Jx,x0 K

amib®l következik, hogy 0

Z

0

g(x ) − g(x) − ω(x)(x − x) =

Z

ω− γx0

Z

=

Z

ω− Jx,x0 K

ω − ω(x)(x0 − x) =

γx

Z

ω(x) = Jx,x0 K

(ω − ω(x)). Jx,x0 K

Tehát minden x0 ∈ Br (x) esetén

kg(x0 ) − g(x) − ω(x)(x0 − x)k =

Z

(ω

Jx,x0 K



− ω(x))

≤ kx0 − xk sup kω(x00 ) − ω(x)k. x00 ∈Jx,x0 K

Ha ε ∈ R∗+ tetsz®leges, akkor az ω függvény x pontbeli folytonossága miatt van olyan δ ∈ R∗+ , hogy δ < r és minden x00 ∈ Bδ (x) esetén kω(x00 ) − ω(x)k < ε. Ezért az el®z® egyenl®tlenség alapján x0 ∈ Bδ (x) esetén

kg(x0 ) − g(x) − ω(x)(x0 − x)k ≤ εkx0 − xk, ami azt jelenti, hogy a g függvény dierenciálható az x pontban és (Dg)(x) = ω(x).)

28. Legyen n ∈ N∗ és X : Rn  Rn olyan dierenciálható függvény, hogy Dom(X)

egyszeresen összefügg®. Ekkor a következ® állítások ekvivalensek.

(i) Minden j, k < n természetes számra ∂j Xk = ∂k Xj , ahol k ∈ n esetén Xk := prk ◦ X . (ii) Létezik olyan V : Dom(X) → R dierenciálható függvény, hogy minden k < n természetes számra Xk = ∂k V . Ebb®l következik, hogy az Rn minden egyszeresen összefügg® nyílt részhalmaza primitív (1. pont, 4. gyakorlat).

120

5. A CAUCHY INTEGRÁLTÉTEL KÖVETKEZMÉNYEI

(Útmutatás. Az (i) feltétel ekvivalens azzal, hogy az

ωX,g : Dom(X) → L (Rn ; R);

x 7→ g(X(x), ·)

dierenciálható kovektormez® zárt (azaz dωX,g = 0), ahol g az euklidészi skalárszorzás Rn felett. Ugyanakkor (ii) azzal ekvivalens, hogy az ωX,g kovektormez® egzakt. Ezért Dom(X) egyszeres összefügg®sége és a 27. gyakorlat alapján (i) és (ii) ekvivalensek.)

29. (Egzakt dierenciálegyenletek.) Legyen Ω ⊆ R × R és legyenek P, Q : Ω → R dierenciálható függvények. Ha U ⊆ Ω egyszeresen összefügg® nyílt halmaz és minden (x, y) ∈ U esetén ∂P ∂Q (x, y) = (x, y), ∂y ∂x

akkor a P (x, y)dx + Q(x, y)dy = 0 derenciálegyenletnek létezik U -n értelmezett els® integrálja (VII fejezet, 12. pont, 4. gyakorlat). Ha U ⊆ Ω nyílt csillaghalmaz és (x0 , y0 ) ∈ U csillagcsentruma U -nak, akkor az

U 7→ R;

(x, y) 7→

Z1

7→ (x − x0 )

P (x0 + t(x − x0 ), y0 + t(y − y0 ))dt+ 0

Z1

+(y − y0 )

Q(x0 + t(x − x0 ), y0 + t(y − y0 ))dt 0

függvény els® integrálja a P (x, y)dx + Q(x, y)dy = 0 derenciálegyenletnek. (Útmutatás. Tekintsük a

(P, Q) : U → R2 ;

(x, y) 7→ (P (x, y), Q(x, y))

vektormez®t. Erre a 28. gyakorlat (i) feltétele teljesül, ezért van olyan V : U → R dierenciálható függvény, hogy minden (x, y) ∈ U esetén

∂V (x, y) = P (x, y); ∂x

∂V (x, y) = Q(x, y), ∂y

vagyis V els® integrálja a P (x, y)dx + Q(x, y)dy = 0 dierenciálegyenletnek. Ha U ⊆ Ω nyílt csillaghalmaz és (x0 , y0 ) ∈ U csillagcentruma U -nak, akkor a 2. pont 7. gyakorlata szerint az Z U → R; (x, y) 7→ (g) (P, Q) J(x0 ,y0 ),(x,y)K

121

5.13. GYAKORLATOK

függvény primitív függvénye a (P, Q) vektormez®nek, azaz U -n értelmezett els® integrálja a P (x, y)dx + Q(x, y)dy = 0 dierenciálegyenletnek, ahol g az euklidészi skalárszorzás R2 felett.)

30. (Schwarz-lemma.) Legyen F komplex Banach-tér, a ∈ C, r ∈ R∗+ , f : Br (a; C) → F

holomorf függvény, és C ∈ R+ olyan, hogy minden z ∈ Br (a; C) esetén kf (z)−f (a)k ≤ C . Ekkor minden Br (a; C) 3 z -re

kf (z) − f (a)k ≤ C

|z − a| r

teljesül. (Útmutatás. Legyen s ∈]0, r[ tetsz®leges valós szám, és értelmezzük a

gs : Bs (a; C) → F ;

8 > < f (z) − f (a)

z 7→ > :

z−a (Df )(a)

; ha z 6= a ; ha z = a

leképezést. A megszüntethet® szingularitások tétele alapján gs |Bs (a;C) holomorf függvény, és természetesen folytonos a Bs (a; C) gömbön. Ezért a Cauchy-féle maximum-elvet (22. gyakorlat) alkalmazva a gs függvényre kapjuk, hogy minden z ∈ Bs (a; C) \ {a} pontra

f (z) − f (a)



z−a

=

= kgs (z)k ≤

sup

C)

kgs (z 0 )k =

z 0 ∈Bs (a;



f (z 0 ) − f (a)

sup

0−a

0 z z ∈Fr(B (a;C)) s

≤

=

sup

C

z 0 ∈Fr(Bs (a; ))

kgs (z 0 )k =

1 sup kf (z 0 ) − f (a)k ≤ s z0 ∈Fr(Bs (a;C))

1 1 sup kf (z 0 ) − f (a)k ≤ C. s z0 ∈Br (a;C) s

Legyen (rn )n∈N olyan valós sorozat, hogy minden N 3 n-re 0 < rn < r és lim rn = r. n→∞ Ha z ∈ Br (a; C) \ {a}, akkor van olyan N ∈ N, hogy minden n > N természetes számra 0 < |z − a| < rn , vagyis z ∈ Brn (a; C) \ {a}; ekkor az el®z®ek szerint

f (z) − f (a)



z−a

≤

1 C rn

teljesül minden n > N természetes számra, amib®l következik a bizonyítandó egyenl®tlenség.)

122

5. A CAUCHY INTEGRÁLTÉTEL KÖVETKEZMÉNYEI

6. fejezet Komplex normált terek között ható holomorf függvények 6.1.

Hartogs-tétel

6.1.1. Lemma. Legyenek E és F normált terek K felett. Minden f : E → F függvényre, N∗ 3 n-re és (xk )k∈n ∈ E n rendszerre értelmezzük a ∆(xk )k∈n f : E → F ;

x 7→

X

(−1)n+|ε| f x +

ε∈{0,1}n

függvényt, ahol ε ∈ {0, 1}n esetén |ε| :=

X

X

!

εk xk

k∈n

εk . Ekkor teljesülnek a következ®k.

k∈n

a) Ha f : E → F függvény és x0 , x1 ∈ E , akkor minden E 3 x-re

(∆(x0 ) f )(x) = f (x + x0 ) − f (x), (∆(x0 ,x1 ) f )(x) = f (x + x0 + x1 ) − f (x + x0 ) − f (x + x1 ) + f (x). b) Ha m, n ∈ N∗ , m < n, (xk )k∈n ∈ E n és f : E → F függvény, akkor €

€

(∆(xk )k∈n f )(x) = ∆(xk )k∈m ∆(xk )k∈n−m f

ŠŠ

(x).

c) Ha n ∈ N∗ és f : E → F olyan folytonos függvény, hogy minden (xk )k∈n+1 ∈ E n+1 esetén ∆(xk )k∈n+1 f = 0,

továbbá minden k ≤ n természetes számra és E 3 x-re f (kx) = k n f (x), akkor az

u : En → F ;

(xk )k∈n 7→ 123

Š 1 € ∆(xk )k∈n f (0) n!

124

6. KOMPLEX NORMÁLT TEREK KÖZÖTT HATÓ HOLOMORF FÜGGVÉNYEK

függvény olyan szimmetrikus folytonos valós n-lineáris operátor (vagy ami ugyanaz: u ∈ Lns (ERn ; FR )), amelyre minden x ∈ E esetén

f (x) = u(x[n] ) teljesül. Ha K = C, és f -re még az is igaz, hogy minden C 3 z -re és E 3 x-re f (z.x) = z n .f (x), akkor u ∈ Lns (E n ; F ) is teljesül, vagyis u szimmetrikus folytonos komplex n-lineáris operátor. Bizonyítás. a) A deníció alapján triviális. b) A denícióból nyilvánvalóan következik, ha felhasználjuk azt a nyilvánvaló tényt, hogy m, n ∈ N∗ és m < n esetén a

{0, 1}n → {0, 1}m × {0, 1}n−m ;

(εk )k∈n 7→ ((εk )k∈m , (εm+k )k∈n−m )

leképezés bijekció, továbbá, ha (εk )k∈n ∈ {0, 1}n , akkor nyilvánvalóan |(εk )k∈n | = |(εk )k∈m | + |(εm+k )k∈n−m |. c) A denícióból triviálisan következik, mert minden σ : n → n bijekcióra a

{0, 1}n → {0, 1}n ;

(εk )k∈n 7→ (εσ(k) )k∈n

leképezés bijkeció. d) El®ször megmutatjuk, hogy x ∈ E esetén f (x) = u(x[n] ). Valóban !

X 1 1 X u(x ) = (∆x[n] f ) (0) = (−1)n+|ε| f 0 + εk x = n! n! ε∈{0,1}n k∈n [n]

(−1)n = n! (−1)n = n!

X

(−1)|ε|

ε∈{0,1}n

X

(−1) f

ε∈{0,1}n

X

!n

εk

k∈n

Ugyanakkor a

|ε|

X

! !

εk x =

k∈n

(−1)n f (x) = n!

{0, 1}n → P(n);

„

X

Ž

(−1)|ε| |ε|n

f (x).

ε∈{0,1}n

ε 7→ {k ∈ n|εk = 1}

leképezés bijekció, tehát X

(−1)|ε| |ε|n =

ε∈{0,1}n

=

n X k=0

„

X H∈P(n); Card(H)=k

X

(−1)Card(H) (Card(H))n =

H∈P(n)

Ž

(−1)

Card(H)

n

(Card(H))

=

n X k=0

!

n (−1)k k n = k

125

6.1. HARTOGS-TÉTEL

=

n X k=0

!

!

n X n n (−1)n−k (n − k)n = (−1)n (−1)k (n − k)n = (−1)n n!, n−k k k=0

ahol felhasználtuk az I. fejezet, 3. pont, 15. gyakorlat eredményét. Ebb®l következik, hogy u(x[n] ) = f (x). Ha (ak )k∈n , (xk )k∈n ∈ E n , akkor €

X

=

Š

€

Š

∆(xk )k∈n f (0) − ∆(ak )k∈n f (0) = n+|ε|

(−1)

X

f

ε∈{0,1}n

!

X

εk xk − f

!!

εk ak

,

k∈n

k∈n

amib®l nyilvánvalóan adódik a

1 X

ku((xk )k∈n ) − u((ak )k∈n )k ≤

f n! ε∈{0,1}n

2n

max n f ≤ n! ε∈{0,1}

X

X

!

X

ε k xk − f

k∈n

!

εk xk − f

k∈n

k∈n

X k∈n

! εk ak

≤

!

εk a k

egyenl®tlenség. Ebb®l látható, hogy az f függvény folytonossága maga után vonja az u folytonosságát. A c) alapján az u leképezés szimmetrikus, ezért az u valós n-linearitása ekvivalens azzal, hogy minden E n 3 a-ra az u ◦ inn−1,a leképezés R-lineáris. Azt tudjuk, hogy az u ◦ inn−1,a : E → F leképezés folytonos, ezért a VI. fejezet, 1. pont, 17. gyakorlat a) része szerint az R-linearitása ekvivalens az additivitásával. Ha x ∈ E , akkor az (xk )k∈n := inn−1,a (x) ∈ E n rendszerre teljesülnek a következ® egyenl®ségek: Š 1 € ∆(xk )k∈n f (0) = n!

(u ◦ inn−1,a )(x) = u((xk )k∈n ) = =

X ε∈{0,1}n

n+|ε|

(−1) n!

f

=

X

!

εk xk =

k∈n

ε∈{0,1}n

X

n+|ε|

ε∈{0,1}n ;

(−1) n! εn−1 =1

ε∈{0,1}n ;

=

(−1) n! „

f

x+

(−1)n+|ε| f n! εn−1 =0

X ε0 ∈{0,1}n−1

0

(−1)n+|ε |+1 f n!

f

εn−1 x+

„

Ž

X

X

εk ak

+

Ž

εk ak

=

k∈n−1

„

x+

X k∈n−1

k∈n−1

X

+

„

n+|ε|

X

X k∈n−1

Ž

ε0k ak

+

Ž

εk ak

=

126

6. KOMPLEX NORMÁLT TEREK KÖZÖTT HATÓ HOLOMORF FÜGGVÉNYEK

0

X

+

ε0 ∈{0,1}n−1

0

X

=

ε0 ∈{0,1}n−1

(−1)n−1+|ε | f n! 0

X

−

ε0 ∈{0,1}n−1

=

(−1)n+|ε | f n!

„

Ž

X

ε0k ak

=

k∈n−1

„

X

x+

Ž

ε0k ak

−

k∈n−1

(−1)n−1+|ε | f n!

„

X

Ž

ε0k ak

=

k∈n−1

Š € Š Š 1 €€ ∆(ak )k∈n−1 f (x) − ∆(ak )k∈n−1 f (0) , n

ami azt jelenti, hogy

u ◦ inn−1,a (·) =

Š € Š Š 1 €€ ∆(ak )k∈n−1 f (·) − ∆(ak )k∈n−1 f (0) . n

Tehát ha x0 , x1 ∈ E , akkor a b) alapján

∆(x0 ,x1 ) (u ◦ inn−1,a ) =

€ Š 1 1 ∆(x0 ,x1 ) ∆(ak )k∈n−1 f = ∆(xk )k∈n+1 f, n n

ahol (xk )k∈n+1 ∈ E n+1 az a rendszer, amelyre 2 ≤ k < n + 1 esetén xk := ak−2 . Ezért az f -re vonatkozó hipotézis alapján minden x0 , x1 ∈ E vektorra ∆(x0 ,x1 ) (u ◦ inn−1,a ) = 0, továbbá az u ◦ inn−1,a -ra imént levezetett formulából látható, hogy (u ◦ inn−1,a )(0) = 0. Tehát az a) alapján minden x0 , x1 ∈ E esetén €

Š

0 = ∆(x0 ,x1 ) (u ◦ inn−1,a ) (0) = = (u ◦ inn−1,a )(x0 + x1 ) − (u ◦ inn−1,a )(x0 ) − (u ◦ inn−1,a )(x1 ) + (u ◦ inn−1,a )(0), vagyis u ◦ inn−1,a additív. Ha minden λ ∈ C és x ∈ E esetén f (λx) = λn f (x), akkor minden λ ∈ C és x ∈ E esetén u((λx)[n] ) = λn u(x[n] ), tehát a XI. fejezet, 1. pont, 5. gyakorlat szerint u komplex n-lineáris operátor. 

6.1.2. Tétel. (Hartogs-tétel) Ha F komplex Banach-tér, n ∈ N∗ és f : Cn  F olyan függvény, hogy Dom(f ) nyílt halmaz, akkor a következ® állítások ekvivalensek. (i) Az f függvény holomorf. (ii) Az f függvény folytonos, és f -nek a Dom(f ) minden pontjában minden n 3 k -ra létezik vk irányú C-deriváltja, ahol (vk )k∈n a kanonikus bázis Cn -ben. (ii0 ) Az f függvény folytonos és Dom(f ) ⊆

\

k∈n

(iii) Az f függvény C-analitikus.

Dom(∂k f ).

127

6.1. HARTOGS-TÉTEL

Bizonyítás. Az (i)⇒(ii) és (iii)⇒(i) következtetések nyilvánvalóak, továbbá (ii) és (ii0 ) a VII. fejezet 2. pontjának utolsó állítása szerint ekvivalensek. Ezért csak a (ii)⇒(iii) következtetést kell bizonyítani. Y

Legyen a ∈ Dom(f ) és r ∈ R∗+ olyan, hogy Y

Br (ak ; C) ⊆ Dom(f ) és f korlátos a

k∈n

Br (ak ; C) halmazon. Ilyen r szám létezik, mert a (ii) szerint f az a pontban folytonos

k∈n

és a bels® pontja Dom(f )-nek. Most n szerinti teljes indukcióval igazoljuk, hogy z := (zk )k∈n ∈ (Br (0; C))n esetén a

f a+r n

[0, 1] → F ;

(tk )k∈n 7→



P 1

X

! 2πitk

e vk k∈n ‹ zk − e−2πitk r

k∈n

folytonos függvényre fennáll a Z

f (a + z) =

f a+r 

[0,1]n

P 1

X

! 2πitk

e vk k∈n zk −2πit ‹ k − e

dµn ((tk )k∈n )

r

k∈n

egyenl®ség. Ha n = 1, akkor a (ii) alapján f holomorf, és z0 ∈ Br (0; C) esetén Cauchy második integrálformulája szerint

f (a + z) = f (a + z0 ) =

1 Z f (a + z 0 ) 0 dz = 2πi γ z 0 − z0 0,r

Z [0,1]

f (a + re2πit0 ) dµR (t0 ), z0 1 − e−2πit0 r

ami azonos a bizonyítandó integrálformulával n = 1 esetében. Tegyük fel, hogy n > 1, és az állítás igaz minden n-nél kisebb dimenzió esetében. Legyen z := (zk )k∈n ∈ (Br (0; C))n rögzítve, és értelmezzük azt az f˜ : Cn−1  F függvényt, amelyre

Dom(f˜) := {(zk0 )k∈n−1 ∈ Cn−1 |

X

zk0 vk + (an−1 + zn−1 )vn−1 ∈ Dom(f )},

k∈n−1

és minden (zk0 )k∈n−1 ∈ Dom(f˜) esetén „

f˜((zk0 )k∈n−1 ) := f

X

k∈n−1

Ž

zk0 vk + (an−1 + zn−1 )vn−1

.

128

6. KOMPLEX NORMÁLT TEREK KÖZÖTT HATÓ HOLOMORF FÜGGVÉNYEK

Könnyen látható, hogy Dom(f˜) nyílt halmaz Cn−1 -ben, és az f -re vonatkozó (ii) feltétel alapján az f˜ : Cn−1  F függvény folytonos és a deníciós tartományának minden ˜ k irány mentén C-dierenciálható, pontjában, minden k ∈ n−1 esetén az v ahol (˜ vk )k∈n−1 Y a kanonikus bázis Cn−1 -ben. Továbbá, (ak )k∈n−1 ∈ Dom(f˜), s®t Br (ak ; C) ⊆ k∈n−1

Dom(f˜) is teljesül. Ezért az indukciós hipotézis alkalmazható az f˜ függvényre, az (ak )k∈n−1 ∈ Dom(f˜) pontra és a (zk )k∈n−1 ∈ (Br (0; C))n−1 elemre, vagyis f˜((ak )k∈n−1 + (zk )k∈n−1 ) = „

f˜ (ak )k∈n−1 + r

Z

=

P

[0,1]n−1

˜k e2πitk v

k∈n−1



k∈n−1

Ž

X

dµn−1 ((tk )k∈n−1 ).

‹ zk 1 − e−2πitk r

Ugyanakkor a deníció szerint

f˜((ak )k∈n−1 + (zk )k∈n−1 ) = f˜((ak + zk )k∈n−1 ) = „

X

=f

Ž

(ak + zk )vk + (an−1 + zn−1 )vn−1

= f (a + z),

k∈n−1

továbbá minden (tk )k∈n−1 ∈ [0, 1]n−1 esetén „

f˜ (ak )k∈n−1 + r

Ž

X

€

Š

= f˜ (ak + re2πitk )k∈n−1 =

˜k e2πitk v

k∈n−1

„

X

=f

Ž

(ak + re2πitk )vk + (an−1 + zn−1 )vn−1

k∈n−1

„

=f

X

a+r

=

Ž

e2πitk vk + zn−1 vn−1

,

k∈n−1

amib®l következik, hogy „ Z

f (a + z) =

f

a+r

X k∈n−1



[0,1]n

Ž

e2πitk vk + zn−1 vn−1 z

k P 1 − r e−2πitk k∈n

‹

dµn ((tk )k∈n ).

Legyen most (tk )k∈n−1 ∈ [0, 1]n−1 rögzítve, és értelmezzük azt a g : C  F függvényt, amelyre X e2πitk vk + zvn−1 ∈ Dom(f )}, Dom(g) := {z ∈ C | a + r k∈n−1

129

6.1. HARTOGS-TÉTEL

és minden z ∈ Dom(g) esetén „

g(z) := f

a+r

Ž

X

e2πitk vk + zvn−1

.

k∈n−1

Ekkor az f -re vonatkozó hipotézis alapján g holomorf függvény, és Br (0; C) ⊆ Dom(g), valamint zn−1 ∈ Br (0; C), ezért Cauchy második integrálformulája szerint „

f

Ž

X

a+r

e2πitk vk + zn−1 vn−1

=

k∈n−1

1 Z g(z) = g(zn−1 ) = dz = 2πi γ z − zn−1 0,r

„

f

Z

[0,1]

Š

g re2πitn−1 zn−1 −2πitn−1 dµR (tn−1 ) = 1− e r Ž

X

a+r

€

Z

e2πitk vk + re2πitn−1 vn−1

k∈n−1

=

dµR (tn−1 ). zn−1 −2πitn−1 e [0,1] r Ebb®l a LebesgueFubini-tétel alkalmazásával következik, hogy 1−

f (a + z) = „ Z Z

f

a+r

e2πitk vk +re2πitn−1 vn−1

k∈n−1

zn−1 −2πitn−1 e r  zk −2πit ‹ k P 1− r e k∈n−1

1−

[0,1]

=

Ž

X

[0,1]n−1

‰ Z

=



[0,1]n−1

[0,1]

P 1

=

dµR (tn−1 )

P 1

X

dµn−1 ((tk )k∈n−1 ) =

! 2πitk

vk e k∈n ‹ zk − e−2πitk

f a+r 

[0,1]n

“

r

k∈n

Z

!

dµn−1 ((tk )k∈n−1 )

2πitk

e vk k∈n ‹ zk − e−2πitk

f a+r

Z

X

dµR (tn−1 )

k∈n

Ezzel a teljes indukciót végrehajtottuk.

r

dµn ((tk )k∈n ).

130

6. KOMPLEX NORMÁLT TEREK KÖZÖTT HATÓ HOLOMORF FÜGGVÉNYEK

Legyen most z := (zk )k∈n ∈ (Br (0; C))n rögzítve. Minden k ∈ n esetén |zk | < r, ezért minden [0, 1]n 3 (tk )k∈n -re …



1

1  zk −2πit ‹ = P k k∈n 1 − e P r k∈n

=

zk −2πit k e r

1−

!

∞ X

zkm −2pimtk e , m m=0 r

P

k∈n

zkm −2πimtk e geometriai sor abszolút konvergens. Ezért a VI. m m∈N r fejezet, 3. pont, 12. gyakorlat szerint minden (tk )k∈n ∈ [0, 1]n esetén a és minden n 3 k -ra a

X

„

X

N

m∈

X α∈

Nn ; |α|1 =m

P

k∈n

zkαk −2πiαk tk e r αk

!Ž

numerikus sor is abszolút konvergens, és ∞ X

zkm −2πimtk e m m=0 r

P

k∈n

=

!

=

m=0

∞ X

1 rm

m=0

ahol α ∈ Nn esetén |α|1 :=

X

„

∞ X

„

X

Nn ; |α|1 =m

α∈

Z

f (a+z) = [0,1]n

∞ X

1 m m=0 r

Nn ; |α|1 =m

zα e−2πi(α|

X

k∈n

t)

,

αk tk , valamint zα := P zkαk . Ez azt k∈n

Ž

X α∈

=

α∈

αk , és (α| t) :=

„

P

k∈n

!Ž

Ž

X

k∈n

jelenti, hogy

zkαk −2πiαk tk e rαk

α −2πi(α| t)

Nn ; |α|1 =m

z e

f a+r

X

! 2πitk

e

vk

dµn (t).

k∈n

Megmutatjuk, hogy itt az integrálás és az összegzés sorrendje felcserélhet®. Ehhez elég azt igazolni, hogy az integrandus-függvény olyan függvénysor összegfüggvénye, amely a [0, 1]n halmazon normálisan konvergens. Valóban, ha m ∈ N, akkor

X

1 sup

m t∈[0,1]n r α∈Nn ; |α|1 =m „

X

≤ α∈

‚

≤

kzk∞ r

Œm

zα e−2πi(α| t) f

Nn

|α|1 =m

α z m

r

!

2πitk vk

e a+r

k∈n X

Ž

sup kf (x)k ≤ x∈Br (a)

Card({α ∈ Nn ||α|1 = m}) sup kf (x)k ≤ x∈Br (a)

≤

131

6.1. HARTOGS-TÉTEL

‚

≤

kzk∞ r

Œm

Card({α ∈ Nn ||α|∞ ≤ m}) sup kf (x)k, x∈Br (a)

n

ahol α ∈ N esetén |α|∞ := max αk . Nyilvánvaló, hogy m ∈ N esetén Card({α ∈ k∈n

Nn ||α|∞ ≤ m}) = (m + 1)n , és kzk∞ < r miatt a X

‚

Œm

kzk∞ r m∈N

(m + 1)n

numerikus sor konvergens, így a szóbanforgó függvénysor normálisan konvergens a [0, 1]n halmazon. Felcserélve az integrálás és a sorösszegzés sorrendjét, azt kapjuk, hogy ∞ X

1 f (a + z) = m m=0 r

X

Nn ; |α|1 =m

z

Z

α

α∈

−2πi(α|t)

e

f a+r

X

!

e

2πitk

vk

dµn (t).

k∈n

[0,1]n

Minden m ∈ N és α ∈ Nn esetén, ha |α|1 = m, akkor értelmezzük a

cm,α

1 := m r

Z

−2πi(α| t)

e

f a+r

X

! 2πitk

e

vk

dµn (t) ∈ F

k∈n

[0,1]n

vektort. Vezessük be továbbá minden N 3 m-re a

pm : Cm → F ;

X

z 7→ α∈

Nn ; |α|1 =m

zα cm,α

függvényt. Az imént bizonyítottak szerint minden z ∈ (Br (0; C))n esetén fennáll az

f (a + z) =

∞ X

pm (z)

m=0

egyenl®ség. Most megmutatjuk, hogy minden m ∈ N számhoz létezik olyan um ∈ Lms ((Cn )m ; F ) szimmetrikus multilineáris operátor, hogy minden Cn 3 z-re pm (z) = um (z[m] ) teljesül. Ehhez legyen m ∈ N rögzítve, és értelmezzük a

τm : F (m; n) → Nn ;

−1

σ 7→ (Card( σ h{k}i))k∈n

leképzést. Nyilvánvaló, hogy ha σ ∈ F (m; n), akkor Im(σ) ⊆ n miatt m = és ez diszjunkt unió, tehát m =

X k∈n

[ −1

σ h{k}i,

k∈n −1

Card( σ h{k}i) = |τm (σ)|1 . Ezért Im(τm ) ⊆ {α ∈

Nn ||α|1 = m}, ugyanakkor minden α ∈ Nn multiindexhez, |α|1 = m esetén könnyen

132

6. KOMPLEX NORMÁLT TEREK KÖZÖTT HATÓ HOLOMORF FÜGGVÉNYEK

magadható olyan σ : m → n függvény, amelyre τm (σ) = α; tehát Im(τm ) = {α ∈ Nn ||α|1 = m} teljesül. Most értelmezzük az

u0m

n m

: (C ) → F ;

!

X

cm,τm (σ)

σ∈F (m;n)

Card(τm h{τm (σ)}i)

(zk )k∈m 7→

P

−1

prσ(k) (zk )

k∈m

leképezést, ahol j ∈ n esetén prj : Cn → C a j -edik projekció-függvény. Nyilvánvaló, hogy u0m ∈ Lm ((Cn )m ; F ), és minden (zk )k∈m ∈ (Cn )m esetén

u0m ((zk )k∈m ) =

X

X

−1

Nn ; |α|1 =m σ∈τ−1m h{α}i Card(τm h{τm (σ)}i)

α∈

X

= α∈

α∈

P

prσ(k) (zk ) =

k∈m

!

X

cm,α −1

Nn ; |α|1 =m Card(τm h{α}i) σ∈τ−1m h{α}i [

hiszen F (m; n) =

!

cm,τm (σ)

P

prσ(k) (zk ) ,

k∈m

−1

Nn ; |α|1 =m

τm h{α}i, és itt diszjunkt unió áll. Világos, hogy ha z ∈ Cn ,

−1

α ∈ Nn , |α|1 = m és σ ∈ τm h{α}i, akkor P prσ(k) (zk ) = zα , következésképpen k∈m

X

u0m (z[m] ) =

X

cm,α

−1 −1 α∈ n ; |α|1 =m Card(τm h{α}i) σ∈τm h{α}i

N

=

X

Nn ; |α|1 =m

zα =

zα cm,α =: pm (z).

α∈

Ebb®l következik, hogy az u0m ∈ Lm ((Cn )m ; F ) m-lineáris operátor szimmetrizáltja, amit um fog jelölni; olyan lesz, hogy um ∈ Lms ((Cn )m ; F ) és minden z ∈ Cn esetén um (z[m] ) = pm (z) (VI. fejezet, 3. pont). Azt is tudjuk, hogy um ezekkel a tulajdonságokkal egyértelm¶en van meghatározva. Látjuk tehát, hogy minden z ∈ (Br (0; C))n esetén fennáll az

f (a + z) =

∞ X m=0

egyenl®ség, és (um )m∈N ∈ juk, hogy a

Y m∈

N

pm (z) =

∞ X

um (z[m] )

m=0

Lms ((Cn )m ; F ). A bizonyítás utolsó lépéseként megmutatX

N

m∈

um ◦ (idCn − a)[m]

hatványfüggvény-sor Cauchy-féle konvergencia-sugara nagyobb 0-nál. Ha ez igaz, akkor f egyenl® ennek a hatványfüggvény-sornak az összegfüggvényével az a pont valamely

133

6.2. A HOLOMORFITÁS JELLEMZÉSEI

környezetén, tehát f analitikus az a pontban. Legyen m ∈ N rögzített. A deníciók alapján, a VI. fejezet, 3. pont, 14. gyakorlat jelöléseit alkalmazva kapjuk, hogy

kum k∗ :=

sup

z∈

= ≤

Cn ; kzk∞ ≤1

kum (z[m] )k =

sup

X

Cn ; kzk∞ ≤1 α∈Nn ; |α|1 =m

X

sup

m

n z∈C ; kzk∞ ≤1 α∈Nn ; |α|1 =m r

[0,1]n

≤

|zα | Z

pm (z) =

Cn ; kzk∞ ≤1



X

α

z c sup m,α

z∈Cn ; kzk∞ ≤1 α∈Nn ; |α|1 =m

z∈

=

sup

z∈

≤

|zα |kcm,α k =

e−2πi(α| t) f a + r

X

!

e2πitk vk

k∈n



dµn (t)



≤

(m + 1)n 1 n kf (x)k ≤ Card({α ∈ N ||α| ≤ m}) sup sup kf (x)k. ∞ rm rm x∈Br (a) x∈Br (a)

Ugyanakkor a VI. fejezet, 3. pont, 14. gyakorlat szerint

kum k ≤

(2m)m kum k∗ , m!

következésképpen

2m (m + 1) kum k1/m ≤ √ m r m!

n/m

„

Ž1/m

sup kf (x)k

,

x∈Br (a)

2e , vagyis a r m→∞ hatványfüggvény-sor Cauchy-féle konvergencia-sugara nagyobb-

tehát a X. fejezet, 2. pont, 12. gyakorlat szerint lim sup kum k1/m ≤ X

m∈

N

um ◦ (idCn − a)[m]

egyenl® az

6.2.

r számnál.  2e

A holomortás jellemzései

6.2.1. Állítás. Legyenek E és F normált terek K felett, valamint f : E  F függvény.

Ha a ∈ Int(Dom(f )) olyan pont, hogy minden u ∈ F 0 funkcionálra az u ◦ f : E  K függvény dierenciálható a-ban, akkor f folytonos az a pontban.

134

6. KOMPLEX NORMÁLT TEREK KÖZÖTT HATÓ HOLOMORF FÜGGVÉNYEK

(Megjegyzés. Figyeljük meg, hogy itt E és F valós normált terek is lehetnek, vagyis ennek az állításnak az érvényessége független a K számtest választásától. Az állítás bizonyításában felhasználjuk a BanachSteinhaus-tételt, amit majd a XII. fejezet 3. pontjában igazolunk.)

Bizonyítás. Legyen (xn )n∈N olyan sorozat Dom(f ) \ {a}-ben, amely a-hoz konvergál. Ha u ∈ F 0 , akkor minden n ∈ N esetén ‚

f (xn ) − f (a) u kxn − ak

Œ

=

(u ◦ f )(xn ) − (u ◦ f )(a) − (D(u ◦ f ))(a)(xn − a) + kxn − ak ‚

Œ

xn − a +(D(u ◦ f ))(a) , kxn − ak és az u ◦ f : E  K függvény a pontbeli dierenciálhatósága miatt

lim

n→∞

(u ◦ f )(xn ) − (u ◦ f )(a) − (D(u ◦ f ))(a)(xn − a) = 0, kxn − ak

továbbá (D(u ◦ f ))(a) ∈ E 0 , így ‚ xn sup (D(u ◦ f ))(a) kxn n∈N

−a − ak

Œ

≤ k(D(u ◦ f ))(a)k < +∞.

Tehát ha n ∈ N esetén yn := (f (xn ) − f (a))/kxn − ak, akkor az (yn )n∈N sorozat olyan, hogy minden F 0 3 u-ra az (u(yn ))n∈N sorozat korlátos K-ban. Ezért az F 00 -ban haladó (jF (yn ))n∈N funkcionál-sorozat pontonként korlátos, és F 0 a funkcionálnormával ellátva Banach-tér, ezért a BanachSteinhaus-tétel (XII. fejezet, 3. pont) alapján sup kjF (yn )k < +∞. A Hahn-Banach-tételb®l (VI. fejezet, 2. pont) következik, hogy n∈

N

minden N 3 n-re kjF (yn )k = kyn k, tehát az (yn )n∈N sorozat korlátos az F normált térben. Ebb®l következik olyan C ∈ R∗+ létezése, amelyre minden n ∈ N esetén kf (xn ) − f (a)k ≤ Ckxn − ak, ezért lim f (xn ) = f (a), így f folytonos az a pontban.  n→∞

6.2.2. Tétel. Legyen E komplex normált tér, F komplex Banach-tér, és f : E  F olyan függvény, hogy Dom(f ) nyílt halmaz. A következ® állítások ekvivalensek. (i) Az f függvény C-analitikus. (ii) Az f függvény végtelenszer C-dierenciálható. (iii) Az f függvény holomorf. (iv) Minden u ∈ F 0 funkcionálra az u◦f : E  C függvény holomorf, vagyis f skalárisan holomorf. (v) Az f függvény folytonos, és létezik olyan H ⊆ F 0 halmaz, hogy minden u ∈ H funkcionálra az u ◦ f : E  C függvény holomorf, továbbá minden z ∈ F \ {0} vektorhoz

6.2. A HOLOMORFITÁS JELLEMZÉSEI

135

létezik olyan u ∈ H , hogy u(z) 6= 0. (vi) Az f függvény a deníciós tartományának minden pontjában minden irány mentén C-dierenciálható, és f lokálisan korlátos, vagyis minden a ∈ Dom(f ) pontnak van olyan U környezete E -ben, amelyre f hU i korlátos halmaz F -ben.

Ha E véges dimenziós, akkor (vi) ekvivalens a következ® állítással. (vi0 ) Az f függvény folytonos, és létezik olyan (ei )i∈I algebrai bázis E -ben, hogy f a Dom(f ) minden pontjában minden I 3 i-re az ei irány mentén C-dierenciálható.

Ha F véges dimenziós, akkor (iv) ekvivalens a következ® állítással. (iv0 ) Létezik olyan (ui )i∈I algebrai bázis F 0 -ben, hogy minden I 3 i-re az ui ◦ f : E  C függvény holomorf.

Bizonyítás. (i)⇒(ii)⇒(iii) triviális. A (iii)⇒(iv) következtetés azért igaz, mert holomorf függvények kompozíciója holomorf. Ezért csak a (iv)⇒(v), (v)⇒(vi) és (vi)⇒(i) implikációkat kell igazolni. (iv)⇒(v) A Hahn-Banach-tételb®l következik, hogy minden z ∈ F \{0} vektorhoz létezik olyan u ∈ F 0 , amelyre u(z) 6= 0 (VI. fejezet, 2. pont). Ezért a (iv)⇒(v) bizonyításához elég azt megmutatni, hogy a (iv) hipotézise mellett f folytonos is: ez pedig az el®z® állítás szerint igaz. (v)⇒(vi) Az (v) szerint f folytonos, tehát lokálisan korlátos, így csak azt kell igazolni, hogy az (v) hipotézise mellett minden a ∈ Dom(f ) és e ∈ E \ {0} esetén az

fa,e : {z ∈ C | a + ze ∈ Dom(f )} → F ;

z 7→ f (a + ze)

függvény a 0-ban C-dierenciálható. Legyenek tehát a ∈ Dom(f ) és e ∈ E \ {0} rögzítettek, továbbá H ⊆ F 0 olyan halmaz, hogy minden H 3 u-ra az u ◦ f : E  C függvény holomorf, valamint minden z ∈ F \ {0} esetén van olyan u ∈ H , hogy u(z) 6= 0. Legyen r ∈ R∗+ olyan, hogy Br (a) ⊆ Dom(f ); ekkor ρ ∈]0, r/kek[ esetén Bρ (0; C) ⊆ Dom(fa,e ). Ha u ∈ H , akkor az u ◦ fa,e : C  C függvény holomorf, mert ez megegyezik az u◦f : E  C és C → E; z 7→ a+ze holomorf függvények kompozíciójával. Cauchy els® integrálformulájából következik, hogy ha γ zárt, szakaszonként C1 -osztályú ív, és Im(γ) ⊆ Bρ (0; C), akkor minden u ∈ H esetén „

Z

0=

(u ◦ fa,e ) = u γ

f γ

ezért a H -ra vonatkozó hipotézis alapján Z

f =0 γ

Ž

Z

,

136

6. KOMPLEX NORMÁLT TEREK KÖZÖTT HATÓ HOLOMORF FÜGGVÉNYEK

is teljesül. Az fa,e |Bρ (0;C) : Bρ (0; C) → F folytonos függvényre alkalmazva a Morera-tételt kapjuk, hogy fa,e |Bρ (0;C) holomorf függvény, tehát fa,e a 0 pontban C-dierenciálható. Ezzel megmutattuk, hogy az f függvény a Dom(f ) minden pontjában, minden irány mentén C-dierenciálható. (vi)⇒(i) Minden a ∈ Dom(f ) és x ∈ E esetén jelölje fa,x azt a C  F függvényt, amelyre Dom(fa,x ) := {z ∈ C|a+zx ∈ Dom(f )}, és minden Dom(fa,x ) 3 z -re fa,x (z) := f (a+zx). A (vi) feltétele szerint minden a ∈ Dom(f ) és x ∈ E esetén az fa,x : C  F függvény holomorf, mert a Dom(f ) nyíltsága miatt a Dom(fa,x ) ⊆ C halmaz nyílt, és minden z ∈ Dom(fa,x ) pontra a + zx ∈ Dom(f ), továbbá f az a + zx pontban az x irány mentén C-dierenciálható, vagyis létezik a

f ((a + zx) + z 0 x) − f (a + zx) z →0 z0 határérték, ami azzal ekvivalens, hogy létezik a lim 0

fa,x (z + z 0 ) − fa,x (z) z →0 z0 a z pontban C-dierenciálható. lim 0

határérték, azaz fa,x

Most megmutatjuk, hogy a (vi) feltételei mellett f folytonos függvény. Ehhez legyen a ∈ Dom(f ) rögzítve, és a (vi) alapján vegyünk olyan r ∈ R∗+ számot, amelyre Br (a) ⊆ Dom(f ), és f hBr (a)i korlátos halmaz F -ben, vagyis sup kf (x)k < +∞. x∈Br (a)

Legyen (xn )n∈N olyan Br (a) \ {a}-ban haladó sorozat , amely a-hoz konvergál; azt kell xn − a megmutatni, hogy lim f (xn ) = f (a). Minden n ∈ N esetén legyen vn := . n→∞ kxn − ak \ Dom(fa,vn ), továbbá A Br (a) ⊆ Dom(f ) feltételb®l következik, hogy Br (0; C) ⊆

N

n∈

minden N 3 n-re az fa,vn függvény holomorf. Legyen most n ∈ N rögzített; ekkor az fa,vn függvényre alkalmazva Cauchy második integrálformuláját kapjuk, hogy minden z ∈ Br (0; C) esetén 1

Z 1 Z fa,vn f (a + re2πit vn ) f (a + zvn ) = fa,vn (z) = = z −2πit dt. 2πi γ idC − z e 1 − 0 0,r r

Speciálisan: kxn − ak ∈ Br (0; C), tehát Z1

f (a) = fa,vn (0) =

f (a + re2πit vn ) dt,

0

Z1

f (xn ) = fa,vn (kxn − ak) = 0

f (a + re2πit vn ) dt. kxn − ak −2πit e 1− r

137

6.2. A HOLOMORFITÁS JELLEMZÉSEI

Ebb®l következik, hogy minden n ∈ N esetén Z1

f (xn ) − f (a) = 0

1

Z f (a + re2πit vn ) dt − f (a + re2πit vn ) dt = kxn − ak −2πit 0 1− e r

‡

‘

Z1

f (a + re2πit vn ) kxn − ak −2πit e dt. kxn − ak −2πit r 0 1− e r Az (xn )n∈N sorozat Br (a) \ {a}-ban halad és a-hoz konvergál, ezért van olyan ρ ∈]0, r[ valós szám, hogy minden n ∈ N esetén kxn − ak ≤ ρ. Ezért minden t ∈ [0, 1] esetén =

‡ ‘

f (a + re2πit vn )

kxn − ak −2πit

1− e

r



kxn − ak −2πit

e

r

≤

kxn − ak  ρ ‹ sup kf (x)k, x∈Br (a) r 1− r

tehát teljesül az, hogy ‡

lim

n→∞

‡ ‘

f (a + re2πit vn ) sup

kxn − ak −2πit t∈[0,1]

1− e

r

‘

kxn − ak −2πit

e

r

= 0.

Ebb®l a Lebesgue-tétel alapján kapjuk, hogy ‘

‡ Z1

lim

n→∞ 0

f (a + re2πit vn ) kxn − ak −2πit 1− e r

kxn − ak −2πit e dt = 0, r

tehát lim f (xn ) = f (a), vagyis f folytonos az a pontban. n→∞

Legyen most a ∈ Dom(f ) rögzített pont, és minden m ∈ N számra értelmezzük a

pa,m : E → F ;

x 7→

1 (Dm fa,x )(0) m!

függvényt. Megmutatjuk, hogy m ∈ N esetén létezik egyetlen olyan ua,m ∈ Lms (E m ; F ), hogy minden E 3 x-re pa,m (x) = ua,m (x[m] ). A 18. gyakorlat d) pontja alapján ehhez elegend® azt igazolni, hogy pa,m folytonos, és minden (xk )k∈m+1 ∈ E m+1 esetén ∆(xk )k∈m+1 pa,m = 0, továbbá minden x ∈ E és λ ∈ C esetén pa,m (λx) = λm pa,m (x). A pa,m függvény folytonosságának bizonyításához el®ször vegyünk olyan r ∈ R∗+ számot,

138

6. KOMPLEX NORMÁLT TEREK KÖZÖTT HATÓ HOLOMORF FÜGGVÉNYEK

amelyre Br (a) ⊆ Dom(f ) és

sup kf (x)k < +∞, továbbá legyen x ∈ E és (xn )n∈N

x∈Br (a)

olyan sorozat E -ben, amely x-hez konvergál. Létezik olyan M ∈ R∗+ , hogy minden N 3 n-re kxn k < M és\kxk < M . Ha ρ ∈]0, r/M [ tetsz®leges valós szám, akkor Bρ (0; C) ⊆ Dom(fa,x ) ∩ Dom(fa,xn ), ezért minden n ∈ N esetén Cauchy második integrálformulája szerint

N

n∈

1 1 Z fa,xn 1 pa,m (xn ) := (Dm fa,xn )(0) = m+1 = m m! 2πi γ idC ρ 0,ρ

Z1

f (a + ρe2πit xn )e−2πimt dt,

0

és hasonlóan Z1

1 1 (Dm fa,x )(0) = m pa,m (x) := m! ρ

f (a + ρe2πit x)e−2πimt dt

0

is teljesül. Az f folytonossága miatt minden t ∈ [0, 1] esetén €

Š

lim f (a + ρe2πit xn )e−2πimt = f (a + ρe2πit x)e−2πimt ,

n→∞

továbbá természetesen minden N 3 n-re

sup kf (a + ρe2πit xn )e−2πimt k ≤ sup kf (x)k,

t∈[0,1]

x∈Br (a)

ezért a Lebesgue-tétel alapján Z1

lim

n→∞

f (a + ρe2πit xn )e−2πimt dt =

0

Z1

f (a + ρe2πit x)e−2πimt dt,

0

amib®l következik, hogy lim pa,m (xn ) = pa,m (x), vagyis pa,m folytonos az x pontban. n→∞

Legyen (xk )k∈m+1 ∈ E m+1 rögzített; megmutatjuk, hogy ∆(xk )k∈m+1 pa,m = 0. Ehhez legyen x ∈ E is rögzített; ekkor a 18. gyakorlatban bevezetett deníció alapján Š

€

X

∆(xk )k∈m+1 pa,m (x) :=

„

(−1)m+1+|ε|1 pa,m

x+



†

=

(−1) m!

X ε∈{0,1}m+1

(−1)|ε|1

ε k xk

k∈m+1

ε∈{0,1}m+1

m+1

Ž

X

Dm f

a,x+

X k∈m+1

ε k xk

(0).

=

139

6.2. A HOLOMORFITÁS JELLEMZÉSEI

Jelölje g : Cm+2  F azt a függvényt, amelyre X

Dom(g) := {(zk )k∈m+2 ∈ Cm+2 | a +

zk xk + zm+1 x ∈ Dom(f )},

k∈m+1

és minden (zk )k∈m+2 ∈ Dom(g) esetén „

g((zk )k∈m+2 ) := f

a+

X

Ž

zk xk + zm+1 x

.

k∈m+1

Legyen továbbá ε ∈ {0, 1}m+1 esetén ε ∈ {0, 1}m+2 az a rendszer, amelynek k -adik komponense: εk := εk , ha k ∈ m + 1, és εm+1 := 1. Vezessük be minden ε ∈ {0, 1}m+1 esetén a hε : C → Cm+2 ; z 7→ zε függvényt. Nyilvánvaló, hogy minden ε ∈ {0, 1}m+1 esetén

f

a,x+

X

= g ◦ hε .

εk xk

k∈m+1

Az f folytonossága miatt a g függvény folytonos, és Dom(f ) nyíltsága következtében Dom(g) nyílt. Azonkívül g a Dom(g) minden pontjában minden k ∈ m + 2 esetén a vk irány mentén C-dierenciálható, ahol (vk )k∈m+2 a kanonikus bázis Cm+2 -ben. Ez nyilvánvalóan következik a g deníciójából és abból, hogy f a Dom(f ) minden pontjában minden irány mentén C-dierenciálható. Ezért a Hartogs-tétel (19. gyakorlat) alapján g végtelenszer C-dierenciálható. Továbbá, ε ∈ {0, 1}m+1 esetén hε is végtelenszer Cdierenciálható, így „

Ž P

Dm fa,x+

εk xk

(0) = (Dm (g ◦ hε ))(0) = ((Dm g)(0)) (ε[m] ) =

k∈m+1

X

= α∈

Nm+2 ;

X m! α 1 α (∂ g)(0) P εαk k = (∂ g)(0) P εαk k α! α! k∈m+2 k∈m+1 |α|1 =m α∈Nm+2 ; |α|1 =m

Ezért írhatjuk, hogy

Š

€

∆(xk )k∈m+1 pa,m (x) =

X

= (−1)m+1

ε∈{0,1}m+1

X

m+1

= (−1)

α∈

Nm+2 ;

X

(−1)|ε|1 α∈

Nm+2 ;

1 α (∂ g)(0) α! |α|1 =m

1 α (∂ g)(0) P εαk k = α! k∈m+1 |α|1 =m

„

X

ε∈{0,1}m+1

Ž

(−1)

|ε|1

P

k∈m+1

εαk k

,

140

6. KOMPLEX NORMÁLT TEREK KÖZÖTT HATÓ HOLOMORF FÜGGVÉNYEK

€

Š

így a ∆(xk )k∈m+1 pa,m (x) = 0 egyenl®ség érvényessége azon múlik, hogy minden α ∈ Nm+2 multiindexre, |α|1 = m esetén X

P

(−1)|ε|1

εαk k = 0

k∈m+1

ε∈{0,1}m+1

teljesül, ami elemi úton igazolható. Legyen λ ∈ C és x ∈ E ; megmutatjuk, hogy pa,m (λx) = λm pa,m (x). Valóban, az fa,λx : C  F holomorf függvény egyenl® az fa,x : C  F és C → E; z 7→ λz holomorf függvények kompozíciójával, ezért a függvénykompozíció dierenciálási szabályának alkalmazásával nyerjük, hogy minden z ∈ Dom(fa,λx ) esetén (Dm fa,λx )(z) = λm (Dm fa,x )(z), ezért

pa,m (λx) =

1 1 m m (Dm fa,λx )(0) = λ (D fa,x )(z) = λm pa,m (x). m! m!

Tehát a ∈ Dom(f ) esetén vehetjük azt az (ua,m )m∈N ∈ [m]

Y m∈

N

Lms (E m ; F ) rendszert,

amelyre minden x ∈ X E és m ∈ N esetén ua,m (x ) = pa,m (x). Megmutatjuk, hogy a ∈ Dom(f ) esetén a um ◦(idE −a)[m] hatványfüggvény-sor Cauchy-féle konvergencia-

N

m∈

sugara nagyobb 0-nál, és az összegfüggvénye egyenl® f -fel az a valamely környezetén. Legyen tehát a ∈ Dom(f ) rögzítve; el®ször alsó becslést adunk a

X

m∈

N

um ◦ (idE − a)[m]

hatványfüggvény-sor konvergencia-sugarára. Legyen r ∈ R∗+ olyan, hogy Br (a) ⊆ Dom(f ) és sup kf (x)k < +∞. Legyen ρ ∈]0, r[ és x ∈ E olyan, hogy kxk ≤ 1. x∈Br (a)

Ekkor Bρ (0; C) ⊆ Dom(fa,x ) és fa,x : C  F holomorf függvény, tehát Cauchy második integrálformulája szerint minden N 3 m-re

kua,m (x[m] )k = kpa,m (x)k =

1 k(Dm fa,m )(0)k = m!



1 Z

2πi

γ0,ρ

fa,m

idm+1 C

≤



f

1 1

a,m (z) 2πρ sup

m+1

≤ m sup kf (x0 )k, ≤ 2π z ρ x0 ∈Br (a) z∈C; |z|=ρ

ezért fennáll az

kua,m (x[m] )k ≤

1 sup kf (x0 )k rm x0 ∈Br (a)

egyenl®tlenség. Ebb®l következik, hogy m ∈ N∗ esetén

1 m! kua,m k ≤ kua,m k∗ := sup kua,m (x[m] )k ≤ m sup kf (x0 )k m (2m) r x0 ∈Br (a) x∈E; kxk≤1

141

6.2. A HOLOMORFITÁS JELLEMZÉSEI

(VI. fejezet, 3. pont, 14. gyakorlat), tehát

kua,m k1/m

2m 1 ≤ √ m m! r

„

Ž1/m

sup kf (x0 )k

.

x0 ∈Br (a)

m = e, továbbá A X. fejezet, 2. pont, 12. gyakorlat szerint lim √ m→∞ m m! „

Ž1/m

sup kf (x0 )k

lim sup m→∞

ezért

lim sup kua,m k1/m ≤ tehát a

X

N

≤ 1,

x0 ∈Br (a)

m→∞

2e , r

um ◦ (idE − a)[m] hatványfüggvény-sor konvergencia-sugara nagyobb-egyenl®

m∈

r r -nél. (Megjegyezzük, hogy ez a konvergencia-sugár -nél is nagyobb-egyenl®, de itt 2e e csak az a lényeg, hogy nagyobb 0-nál.) Legyen most a ∈ Dom(f ) rögzítve, és r ∈ R∗+ olyan, hogy Br (a) ⊆ Dom(f ), valamint sup kf (x)k < +∞. Legyen x ∈ Br (a) \ {0} szintén rögzített vektor; megmutatjuk, x∈Br (a)

hogy a

X

N

um ◦ (idE − a)[m] hatványfüggvény-sor az a + x pontban konvergens, és

m∈

az összege egyenl® f (a + x)-szel. Ez már azt jelenti, hogy az f függvény az a pontban C-analitikus. (Megjegyezzük, hogy a + x nem feltétlenül eleme a szóbanforgó hatványfüggvény abszolútkonvergencia-tartományának, de ha x-et úgy választjuk meg, r hogy kxk < legyen, akkor igen.) 2e Legyen ρ ∈]1, r/kxk[ tetsz®leges valós szám. Ekkor 1 ∈ Bρ (0; C) ⊆ Bρ (0; C) ⊆ Dom(fa,x ), ezért Cauchy második integrálformulája szerint

f (a + x) = fa,x (1) =

fa,x 1 Z . 2πi γ idC − 1 0,ρ

Ugyanakkor minden N∗ 3 n-re n−1 X m=0

ua,m (x

[m]

n−1 X 1 Z (Dm fa,x )(0) fa,x )= = = m! idm+1 C m=0 m=0 2πi γ n−1 X

0,ρ

=

1 2πi γ

Z ‚

0,ρ

1−

1 idnC

Œ‚

Œ

fa,x , idC − 1

142

6. KOMPLEX NORMÁLT TEREK KÖZÖTT HATÓ HOLOMORF FÜGGVÉNYEK

következésképpen

f (a + x) −

n−1 X

ua,m (x

[m]

m=0

‚

‚

1 Z 1 )= 2πi γ idnC 0,ρ

‚

Œ

fa,x . idC − 1

ŒŒ

1 fa,x Az függvénysorozat egyenletesen konvergál 0-hoz az Im(γ0,ρ ) n idC idC − 1 n∈N halmazon, mert n ∈ N∗ esetén

1 ‚ f (z) Œ a,x

sup n

z−1 z∈C; |z|=ρ z

1 ≤ n ρ

‚

1 ρ−1

=

1 ρn

kf (a + zx)k ≤ |z − 1| z∈C; |z|=ρ sup

Œ

sup kf (x0 )k, x0 ∈B

r (a)

és ρ > 1. Ezért teljesül az, hogy

1 Z 1 lim n→∞ 2πi idnC γ0,ρ vagyis a

X

N

‚

fa,x idC − 1

Œ

= 0,

ua,m (x[m] ) sor konvergens F -ben és az összege egyenl® f (a + x)-szel. 

m∈

6.2.3. Következmény. Legyen E komplex normált tér, F komplex Banach-tér, és

f : E  F holomorf függvény. Ha a ∈ Dom(f ) és r ∈ R∗+ olyan, hogy Br (a) ⊆ Dom(f ), akkor az f függvény Ta (f ) Taylor-sora pontonként abszolút konvergens a Br (a) gömbön, és az összegfüggvénye egyenl® f -fel ezen a halmazon.

(Megjegyzés. Azonban nem állítjuk azt (ami egyváltozós függvényekre igaz), hogy az f függvény Ta (f ) Taylor-sorának Cauchy-féle konvergencia-sugara nagyobb-egyenl® az r számnál. Csak annyi igaz, hogy a Ta (f ) Taylor-sor Cauchy-féle konvergencia-sugara ρ nagyobb-egyenl® a számnál, ahol ρ ∈]0, r[ olyan valós szám, amelyre f korlátos a Bρ (a) e gömbön.)

Bizonyítás. Legyen x ∈ Br (a) \ {a} rögzített pont, és tekintsük az

fx : Br/kx−ak (0; C) → F ;

z 7→ f (a + z(x − a))

függvényt. Világos, hogy az fx : C  F függvény holomorf, ezért C-analitikus is, és a Ta (fx ) Taylor-sor konvergencia-sugara nagyobb-egyenl® az r/kx − ak számnál, valamint ennek a Taylor-sornak az összegfüggvénye egyenl® fx -szel a Br/kx−ak (0; C) gömbön. A 20. gyakorlat szerint f az a-ban végtelenszer C-dierenciálható, ezért minden k ∈ N esetén X 1 (Dk fx )(0) = ((Dk f )(a))((x − a)[k] ), tehát a ((Dk f )(a))((x − a)[k] )idkC függvénysor k! k∈N

143

6.3. CAUCHY-FÉLE MAXIMUM-ELV

pontonként abszolút konvergens a Br/kx−ak (0; C) gömbön, és minden Br/kx−ak (0; C) 3 z re ∞ X

∞ X 1 k 1 k f (a + z(x − a)) = fx (z) = (D fx )(0)z = ((Dk f )(a))((x − a)[k] )z k . k=0 k! k=0 k! ∞ X

1 ((Dk f )(a))((x − a)[k] ) k! k=0 teljesül. Ez azt jelenti, hogy a Ta (f ) Taylor-sor pontonként abszolút konvergens a Br (a) gömbön, és az összegfüggvénye egyenl® f -fel ezen a halmazon.  Speciálisan, r/kx − ak > 1 miatt a z := 1 pontra f (x) =

6.3.

Cauchy-féle maximum-elv

6.3.1. Tétel. (Cauchy-féle maximum-elv) Legyen E 6= {0} komplex normált tér, F

komplex Banach-tér és Ω ⊆ E nem üres korlátos nyílt halmaz. Ha f : Ω → F olyan folytonos függvény, hogy az f |Ω függvény holomorf, akkor

sup kf (x)k = sup kf (x)k = sup kf (x)k. x∈Ω

x∈Fr(Ω)

x∈Ω

(Megjegyzés. Ha E végtelen dimenziós, akkor Ω nem kompakt (V. fejezet, 5. pont, 6. gyakorlat), ezért f nem szükségképpen korlátos, így lehetséges az, hogy mindhárom szám +∞. Ha E véges dimenziós, akkor Fr(Ω) nem üres kompakt halmaz E -ben, ezért a Weierstrass-féle maximum-elv alapján az kf k függvény fölveszi maximális értékét az Fr(Ω) halmazon, és az állítás szerint a maximális értéke megegyezik az kf k függvény Ω kompakt halmazon felvett maximális értékével; ezért nevezik ezt a tételt maximumelvnek.)

Bizonyítás. El®ször megjegyezzük, hogy a sup kf (x)k = sup kf (x)k egyenl®ség még akkor x∈Ω

x∈Ω

is igaz, ha f |Ω nem holomorf függvény (de f folytonos), hiszen sup kf (x)k ≤ sup kf (x)k x∈Ω

x∈Ω

triviálisan igaz, ugyanakkor a ∈ Ω esetén van olyan (an )n∈N sorozat Ω-ban, amely a-hoz konvergál, és akkor

kf (a)k = n→∞ lim kf (an )k ≤ sup kf (an )k ≤ sup kf (x)k,

N

n∈

x∈Ω

tehát sup kf (x)k ≤ sup kf (x)k. x∈Ω

x∈Ω

Világos továbbá, hogy Fr(Ω) ⊆ Ω miatt

sup kf (x)k ≤ sup kf (x)k, ezért csak a

x∈Fr(Ω)

x∈Ω

sup kf (x)k ≤ sup kf (x)k egyenl®tlenséget kell bizonyítani. Ennek bizonyítását három x∈Ω

x∈Fr(Ω)

lépésben hajtjuk végre.

144

6. KOMPLEX NORMÁLT TEREK KÖZÖTT HATÓ HOLOMORF FÜGGVÉNYEK

(I) Tegyük fel, hogy E := C és Ω összefügg®. Legyen M := sup kf (x)k és Ω0 := {x ∈ x∈Ω

Ω|kf (x)k = M }. Az f folytonossága miatt Ω0 zárt az Ω metrikus altérben. Ha a ∈ Ω0 és r ∈ R∗+ olyan, hogy Br (a; C) ⊆ Ω, akkor minden ρ ∈]0, r[ valós számra Cauchy második integrálformulája szerint M = kf (a)k =

Z

1

2πi

γa,ρ

vagyis

Z1 €

f

idC − a

Š

=



Z1



f (a + ρe2πit )dt



kf (a + ρe2πit )k − M dt ≥ 0.

Z1

≤

0

kf (a + ρe2πit )kdt,

0

Az M szám deníciója alapján az itt álló

0

integrandus mindenütt kisebb-egyenl® 0-nál, ezért

Z1 €

Š

kf (a + ρe2πit )k − M dt = 0.

0

Ebb®l következik, hogy minden t ∈ [0, 1] esetén kf (a+ρe2πit )k = M . Ezért Br (a; C) ⊆ Ω0 , vagyis Ω0 nyílt halmaz C-ben. Az Ω halmaz összefügg®, ezért Ω0 = ∅ vagy Ω0 = Ω. Ugyanakkor az Ω halmaz nem üres és kompakt, ezért a Weierstass-féle maximum-elv és az kf k függvény folytonossága miatt létezik olyan a ∈ Ω, hogy kf (a)k = M . Ha Ω0 = ∅, akkor a ∈ / Ω, tehát a ∈ Ω \ Ω =: Fr(Ω), ezért

sup kf (x)k = kf (a)k ≤ sup kf (x)k, x∈Ω

x∈Fr(Ω)

és a bizonyítás kész. Ha viszont Ω0 = Ω, akkor kf k konstansfüggvény Ω-n, ezért az kf k folytonossága miatt kf k konstansfüggvény az Ω halmazon is, ezért sup kf (x)k = x∈Ω

sup kf (x)k.

x∈Fr(Ω)

(II) Legyen most E := C, de Ω nem feltétlenül összefügg®. Minden a ∈ Ω esetén legyen Ω(a) az a pontot tartalmazó és Ω által tartalmazott összefügg® nyílt halmazok uniója. Ekkor a ∈ Ω esetén Ω(a) nem üres, nyílt, korlátos, összefügg® halmaz C-ben (V. fejezet, 10. pont). Továbbá, ha a ∈ Ω, akkor Fr(Ω(a)) ⊆ Fr(Ω), mert x ∈ Fr(Ω(a)) esetén x ∈ Ω(a) ⊆ Ω, valamint x ∈ / Ω, különben létezne olyan r ∈ R∗+ , hogy Br (x; C) ⊆ Ω, és ekkor Br (x; C) ∪ Ω(a) olyan összefügg® nyílt halmaz volna, amelynek eleme az a és amely részhalmaza Ω-nak, tehát Br (x; C) ⊆ Ω(a) teljesülne, ami x ∈ Fr(Ω(a)) miatt lehetetlen. Ha most a ∈ Ω tetsz®leges, akkor az (I) állítást alkalmazhatjuk az f |Ω(a) holomorf függvényre, tehát azt kapjuk, hogy

kf (a)k = k(f |Ω(a) )(a)k ≤ sup k(f |Ω(a) )(x)k = x∈Ω(a)

=

sup

x∈Fr(Ω(a))

k(f |Ω(a) )(x)k ≤ sup k(f (x)k, x∈Fr(Ω)

145

6.4. AZ ÁLTALÁNOS CAUCHY-EGYENLŽTLENSÉG

következésképpen sup kf (x)k ≤ sup k(f (x)k, amit bizonyítani kellett. x∈Ω

x∈Fr(Ω)

(III) Áttérve az általános esetre; legyen e ∈ E \ {0} rögzített vektor és a ∈ Ω. Vezessük be az Ωa := {z ∈ C|a + ze ∈ Ω} halmazt, valamint az

fa : Ω a → F ;

z 7→ f (a + ze)

függvényt. A deníció jó, mert minden z ∈ Ωa esetén a + ze ∈ Ω =: Dom(f ). Világos, hogy fa |Ωa holomorf függvény, továbbá Ωa nem üres korlátos nyílt halmaz C-ben. Ezért a (II) alapján kf (a)k = kfa (0)k ≤ sup kfa (z)k = sup kfa (z)k. z∈Fr(Ωa )

z∈Ωa

Az Fr(Ωa ) halmaz nem üres és kompakt C-ben, ezért van olyan za ∈ Fr(Ωa ), hogy

kf (a + za e)k = kfa (za )k =

sup kfa (z)k,

z∈Fr(Ωa )

vagyis teljesül az, hogy kf (a)k ≤ kf (a + za e)k. Könnyen látható, hogy a + za e ∈ Fr(Ω). Valóban, léteznek olyan za -hoz konvergáló (zn )n∈N és (zn0 )n∈N sorozatok C-ben, amelyekre minden n ∈ N esetén zn ∈ Ωa és zn0 ∈ C \ Ωa . Ekkor a ∈ Ω, hiszen a = lim (a + zn e) és n→∞ minden N 3 n-re a + zn e ∈ Ω. Ugyanakkor a ∈ E \ Ω is igaz, mert a = lim (a + zn0 e) n→∞

és minden n ∈ N esetén a + zn0 e ∈ E \ Ω = E \ Ω. Tehát kf (a)k ≤ kf (a + za e)k ≤ sup kf (x)k, amit bizonyítani kellett.  x∈Fr(Ω)

Ha Ω nem korlátos, akkor ezek az egyenl®ségek nem feltétlenül igazak, még akkor sem, ha E = C. Habár az állítás nem korlátos Ω-ra általában nem igaz, de bizonyos (kf k növekedésére vonatkozó) feltételek teljesülése biztosíthatja az állítás érvényességét. Az ilyen típusú tételeket nevezzük Phragmen-Lindelöf-tételeknek.

6.4.

Az általános Cauchy-egyenl®tlenség

6.4.1. Tétel. Legyen E 6= {0} komplex normált tér, F komplex Banach-tér és Ω ⊆ E

nem üres korlátos nyílt halmaz. Ha f : Ω → F olyan folytonos függvény, hogy az f |Ω függvény holomorf, akkor minden k ∈ N és a ∈ Ω esetén ‚

k

k(D f )(a)k ≤

k d(a, Fr(Ω))

Œk

sup kf (x)k. x∈Fr(Ω)

Speciálisan, ha r ∈ R∗+ olyan, hogy Br (a) ⊆ Ω, akkor minden k ∈ N esetén k

k(D f )(a)k ≤ teljesül.

‚ Œk

k r

sup kf (x)k x∈E kx−ak=r

146

6. KOMPLEX NORMÁLT TEREK KÖZÖTT HATÓ HOLOMORF FÜGGVÉNYEK

(Megjegyzések. 1) Az els® egyenl®tlenség jobb oldalán álló formula értelmes, mert d(a, Fr(Ω)) > 0, hiszen ha r ∈ R∗+ olyan, hogy Br (a) ⊆ Ω, akkor d(a, Fr(Ω)) ≥ d(a, E\Ω) ≥ r, vagyis d(a, Fr(Ω)) > 0. Továbbá, k = 0 esetén a 00 := 1 konvenció alapján az kf (a)k ≤ sup kf (x)k egyenl®tlenségr®l van szó, ami a Cauchy-féle maximimum-elv x∈Fr(Ω)

alapján igaz.

2) Ha E végtelen dimenziós, akkor az a középpontú r sugarú gömbfelület nem kompakt halmaz, ezért lehetséges az, hogy sup kf (x)k = +∞. x∈E kx−ak=r

3) Ha E = C, akkor az egyváltozós függvényekre vonatkozó Cauchy-egyenl®tlenség (5.6.1.)alapján minden k ∈ N esetén ‚ k

k(D f )(a)k ≤

k! rk

Œ

sup kf (x)k x∈E kx−ak=r

is teljesül, ami nomabb becslés annál, amelyet itt felírtunk, mert ha k ≥ 2, akkor k! < k k .)

Bizonyítás. El®ször megmutatjuk, hogy ha r ∈ R∗+ olyan, hogy Br (a) ⊆ Ω, akkor minden k ∈ N esetén ‚ Œk k k k(D f )(a)k ≤ sup kf (x)k r x∈E; kx−ak=r teljesül. Ehhez minden x ∈ Br (a) \ {a} esetén tekintsük a

fx : Br/kx−ak (0; C) → F ;

z 7→ f (a + z(x − a))

holomorf függvényt. A 6.2.2. tétel szerint f végtelenszer C-dierenciálható, így ha k ∈ N és x ∈ Br (a) \ {a}, akkor (Dk fx )(0) = ((Dk f )(a))((x − a)[k] ). Ha x ∈ Br (a) \ {a}, akkor r/kx − ak > 1 miatt B1 (0; C) ⊆ Dom(fx ), így felírva a Cauchy-egyenl®tlenséget kapjuk, hogy minden k ∈ N esetén

k((Dk f )(a))((x − a)[k] )k = k(Dk fx )(0)k ≤ k! = k!

sup

C

sup

C

z∈ ; |z|=1

kfx (z)k =

kf (a + z(x − a))k

z∈ ; |z|=1

teljesül. Legyen e ∈ E olyan vektor, amelyre 0 < kek ≤ 1. Ha ρ ∈]0, r[ tetsz®leges valós szám, akkor az x := a + ρe ∈ Br (a) \ {a} pontra felírva az el®z® egyenl®tlenséget kapjuk, hogy minden k ∈ N esetén

ρk k((Dk f )(a))(e[k] )k = k((Dk f )(a))((ρe)[k] )k ≤ ≤ k!

sup

C

z∈ ; |z|=1

kf (a + zρe)k ≤ k!

sup

x∈E; kx−ak≤ρ

kf (x)k.

6.5. HOLOMORF FÜGGVÉNYEK PONTONKÉNTI LIMESZFÜGGVÉNYE

147

Ebb®l következik, hogy ρ ∈]0, r[, e ∈ E , kek ≤ 1 és k ∈ N esetén

k! ρk

k((Dk f )(a))(e[k] )k ≤

sup

x∈E; kx−ak≤ρ

kf (x)k ≤

k! ρk

x∈E; kx−ak≤r

kf (x)k =

k! rk

x∈ E; kx−ak=r

sup

kf (x)k,

sup

kf (x)k,

amib®l ρ → r határátmenettel kapjuk, hogy

k((Dk f )(a))(e[k] )k ≤

k! rk

sup

x∈E; kx−ak≤r

ahol felhasználtuk a Cauchy-féle maximum-elvet (6.3.1.) az f |Br (a) folytonos függvényre. Ebb®l következik, hogy k ∈ N∗ esetén

k! k(Dk f )(a)k ≤ k(Dk f )(a)k∗ := sup k((Dk f )(a))(e[m] )k ≤ kk e∈E; kek≤1 ≤

k! rk

sup

x∈E; kx−ak=r

kf (x)k

(VI. fejezet, 3. pont, 14. gyakorlat), tehát ‚ Œk

k

k(D f )(a)k ≤

k r

sup

x∈E; kx−ak=r

kf (x)k.

Legyen k ∈ N, a ∈ Ω és r ∈ R∗+ olyan, hogy r < d(a, Fr(Ω)). Ekkor Br (a) ⊆ Ω, mert x ∈ E \ Ω esetén az Ja, xK szakasz összefügg® halmaz, tehát van olyan z ∈ Fr(Ω), hogy z ∈ Ja, xK; ekkor kx − ak = kx − zk + kz − ak ≥ kx − zk + d(a, Fr(Ω)) > r, vagyis x ∈ E \ Br (a). Ezért az imént bizonyított egyenl®tlenséget alkalmazva ‚ Œk

k

k(D f )(a)k ≤

k r

‚ Œk

≤

k r

sup

x0 ∈E; kx−ak=r

kf (x)k ≤

‚ Œk

sup kf (x)k = x∈Ω

k r

sup kf (x)k x∈Fr(Ω)

adódik, ahol felhasználtuk a Cauchy-féle maximum-elvet. 

6.5.

Holomorf függvények pontonkénti limeszfüggvénye

6.5.1. Tétel. (Weierstrass konvergencia-tétele) Legyen E komplex normált tér, F komplex Banach-tér és Ω ⊆ E nem üres korlátos nyílt halmaz. Legyen (fn )n∈N olyan függvénysorozat, hogy minden n ∈ N esetén fn : Ω → F olyan folytonos függvény, hogy

148

6. KOMPLEX NORMÁLT TEREK KÖZÖTT HATÓ HOLOMORF FÜGGVÉNYEK

fn |Ω holomorf. Ha Fr(Ω) ⊆ Dom(n→∞ lim fn ) és az (fn )n∈N függvénysorozat egyenletesen konvergens az Fr(Ω) halmazon, akkor teljesülnek a következ®k. a) Dom( lim fn ) = Ω. n→∞

b) Az (fn )n∈N függvénysorozat egyenletesen konvergens az Ω halmazon. c) A lim fn : Ω → F függvény folytonos és az n→∞









lim fn |Ω függvény holomorf. n→∞

d) Minden k ∈ N esetén Dk lim fn = lim (Dk fn ). n→∞

n→∞

e) Minden k ∈ N esetén a (Dk fn )n∈N függvénysorozat egyenletesen konvergens az Ω halmazon.

Bizonyítás. Az állítás triviálisan igaz, ha E = {0}, ezért feltesszük, hogy E 6= {0}. Vezessük be az f := lim fn jelölést, és legyen ε ∈ R∗+ tetsz®leges. A feltevés szerint van n→∞ ε olyan N ∈ N, hogy minden n > N természetes számra sup kfn (x) − f (x)k < . Ha 2 x∈Fr(Ω) m, n ∈ N, akkor az fm − fn : Ω → F függvény folytonos és az (fm − fn ) |Ω : Ω → F függvény holomorf, így m, n > N esetén a Cauchy-féle maximum-elv (20. gyakorlat) alapján minden a ∈ Ω pontra

kfm (a) − fn (a)k ≤ sup kfm (x) − fn (x)k = sup kfm (x) − fn (x)k < ε, x∈Ω

x∈Fr(Ω)

tehát (fn (a))n∈N Cauchy-sorozat az F Banach-térben, így a) igaz. Az is látható, hogy n ∈ N és n > N esetén

sup kf (a) − fn (a)k ≤ sup a∈Ω



a∈Ω



lim kfm (a) − fn (a)k ≤ ε,

m→∞

tehát az (fn )n∈N függvénysorozat egyenletesen konvergens az Ω halmazon, így az Ω = Ω ∪ Fr(Ω) halmazon is egyenletesen konvergens, vagyis b) teljesül. Ezért az V. fejezet 11. pontjának eredményei alapján f folytonos függvény. Legyen a ∈ Ω és r ∈ R∗+ olyan, hogy r < d(a, Fr(Ω)). Ekkor Br (a) ⊆ Ω, és minden x ∈ Br (a) pontra d(x, Fr(Ω)) ≥ d(a, Fr(Ω)) − r, mert x0 ∈ Fr(Ω) esetén kx0 −xk+r > kx0 −xk+kx−ak ≥ kx0 −ak ≥ d(a, Fr(Ω)), tehát kx0 −xk > d(a, Fr(Ω))−r, így d(x, Fr(Ω)) = 0 inf kx0 − xk ≥ d(a, Fr(Ω)) − r. Ha m, n ∈ N, akkor fm − fn : Ω → F x ∈Fr(Ω)

folytonos függvény és az (fm − fn ) |Ω : Ω → F függvény holomorf, tehát a 20. gyakorlat szerint végtelenszer C-dierenciálható, így az általános Cauchy-egyenl®tlenség 21 alapján minden k ∈ N esetén sup k(Dk (fm − fn ))(x)k ≤ x∈Br (a)

‚

≤ sup

x∈Br (a)

k d(x, Fr(Ω))

!

Œk

0

sup k(fm − fn )(x )k ≤

x0 ∈Fr(Ω)

6.6. HOLOMORF FÜGGVÉNYEK TEREI

‚

≤

k d(a, Fr(Ω)) − r

Œk

149

sup kfm (x0 ) − fn (x0 )k.

x0 ∈Fr(Ω)

Ebb®l következik, hogy minden Ω 3 a-ra és N 3 k -ra ((Dk fn )(a)n∈N Cauchy-sorozat az Lk (E k ; F ) Banach-térben, vagyis minden N 3 k -ra a (Dk fn )n∈N deriváltfüggvénysorozat pontonként konvergens az Ω halmazon. Ugyanakkor minden k ∈ N, a ∈ Ω és n ∈ N esetén



k k

sup lim (D fm )(x) − (D fn )(x)

≤ x∈Br (a) m→∞

‚

≤

k d(a, Fr(Ω)) − r

Œk

sup kf (x0 ) − fn (x0 )k,

x0 ∈Fr(Ω)

tehát a (Dk fn )n∈N deriváltfüggvény-sorozat lokálisan egyenletesen konvergens az Ω halmazon. Ebb®l a VII. fejezet 6. pontjának utolsó tétele alapján kapjuk a c), d) és e) állításokat.  Konkrét példával igazolható, hogy az el®z® tétel nem feltétlenül igaz, ha Ω nem korlátos. Azonban nem korlátos Ω halmaz esetén is érvényes a következ® állítás.

6.5.2. Állítás. Legyen E komplex normált tér, F komplex Banach-tér és Ω ⊆ E (nem feltétlenül korlátos) nyílt halmaz. Ha (fn )n∈N olyan függvénysorozat, hogy minden n ∈ N esetén fn : Ω → F holomorf függvény, továbbá az (fn )n∈N függvénysorozat lokálisan egyenletesen konvergens az Ω halmazon, akkor a n→∞ lim fn : Ω → F függvény is holomorf, 



és minden k ∈ N esetén Dk lim fn = lim Dk fn , továbbá a (Dk fn )n∈N függvénysorozat n→∞ n→∞ lokálisan egyenletesen konvergens az Ω halmazon. Bizonyítás. Legyen a ∈ Ω és r ∈ R∗+ olyan, hogy Br (a) ⊆ Ω, és az (fn )n∈N függvénysorozat egyenletesen konvergens €a Br (a) Šhalmazon. A Weierstrass-féle konvergencia-tételt (24. gyakorlat) alkalmazva az fn |Br (a) n∈N függvénysorozatra kapjuk, hogy a lim fn függvény n→∞ holomorf a B (a) nem üres, korlátos és nyílt halmazon, továbbá minden N 3 k -ra r   k k k D lim fn = lim (D fn ) a Br (a) halmazon, valamint a (D fn )n∈N függvénysorozat n→∞ n→∞ lokálisan egyenletesen konvergens Br (a) halmazon. 

6.6.

Holomorf függvények terei

6.6.1. Tétel. Legyen E komplex normált tér, F komplex Banach-tér és Ω ⊆ E (nem feltétlenül korlátos) nyílt halmaz. a) Jelölje H b (Ω; F ) az Ω → F korlátos holomorf függvények halmazát. Ekkor H b (Ω; F ) sup-normában zárt lineáris altere az Ω→F korlátos folytonos függvények C b (Ω; F ) terének, így H b (Ω; F ) a sup-normával ellátva Banach-tér.

150

6. KOMPLEX NORMÁLT TEREK KÖZÖTT HATÓ HOLOMORF FÜGGVÉNYEK

b) Jelölje H b (Ω; F ) azon f ∈ C b (Ω; F ) függvények halmazát, amelyekre f |Ω holomorf. Ekkor H b (Ω; F ) sup-normában zárt lineáris altere C b (Ω; F )-nek, így H b (Ω; F ) a supnormával ellátva Banach-tér. c) Legyen m ∈ N és jelölje Hmb (Ω; F ) azon Ω → F holomorf függvények halmazát, amelyekre minden k ≤ m természetes számra Dk f korlátos függvény. Ekkor a

Hmb (Ω; F ) → R+ ;

f 7→

m X

sup k(Dk f )(x)k

k=0 x∈Ω

leképezés olyan norma Hmb (Ω; F ) felett, amellyel Hmb (Ω; F ) Banach-tér. d) Legyen m ∈ N és jelölje Hmb (Ω; F ) azon Ω → F korlátos folytonos függvények halmazát, amelyekre f |Ω holomorf, és minden k ≤ m természetes számra Dk (f |Ω ) korlátos függvény. Ekkor a

Hmb (Ω; F ) → R+ ;

f 7→

m X

sup k(Dk f )(x)k

k=0 x∈Ω

leképezés olyan norma Hmb (Ω; F ) felett, amellyel Hmb (Ω; F ) Banach-tér. Bizonyítás. a) Tudjuk, hogy az Ω → F korlátos, folytonos függvények C b (Ω; F ) tere a sup-normával ellátva Banach-tér (V. fejezet, 11. pont), ezért ha f ∈ C b (Ω; F ) és (fn )n∈N olyan sorozat H b (Ω; F )-ben, amely az f -hez konvergál a sup-norma szerint, akkor (fn )n∈N egyenletesen konvergens az Ω halmazon (így lokálisan egyenletesen konvergens is), tehát a 25. gyakorlat szerint f ∈ H b (Ω; F ), ami azt jelenti, hogy H b (Ω; F ) a sup-norma szerint zárt C b (Ω; F )-ben, tehát teljes is. 

7. fejezet Laurent-sorfejtés és meromorf függvények 7.1.

Laurent-tétel

7.1.1. Jelölés. Ha a ∈ C, R1 ∈ R+ , R2 ∈ R+ és R1 < R2 , akkor CR1 ,R2 (a) := {z ∈ C | R1 < |z − a| < R2 }, és ezt a halmazt a centrumú, R1 bels® és R2 küls® sugarú nyílt körgy¶r¶nek nevezzük.

7.1.2. Tétel. (Laurent-tétel) Legyen F komplex Banach-tér, f : C  F holomorf

függvény, a ∈ C, valamint R− , R+ ∈ R+ olyanok, hogy R− < R+ és CR− ,R+ (a) ⊆ Dom(f ). Ekkor egyértelm¶en létezik olyan F -ben haladó (ck )k∈Z rendszer, amelyre minden R1 , R2 ∈ R∗+ esetén, ha R− < R1 < R2 < R+ , akkor a X k∈

N

ck (idC − a)k ,

X k∈

N

∗

c−k (idC − a)−k

függvénysorok normálisan konvergensek a CR1 ,R2 (a) halmazon, és a CR− ,R+ (a) nyílt körgy¶r¶n fennáll a

f=

∞ X k=0

ck (idC − a)k +

∞ X k=1

c−k (idC − a)−k

egyenl®ség. Ha γ tetsz®leges olyan zárt, szakaszonként C1 -osztályú ív, amely a CR− ,R+ (a)ban halad, akkor minden n ∈ Z esetén

Indγ (a)cn =

1 Z f . 2πi γ (idC − a)n+1 151

152

7. LAURENT-SORFEJTÉS ÉS MEROMORF FÜGGVÉNYEK

Bizonyítás. (Egzisztencia.) Rögzítsünk olyan R1 , R2 ∈ R∗+ számokat, amelyekre R− < R1 < R2 < R+ , és legyen z ∈ CR1 ,R2 (a). Válasszunk egy olyan r ∈ R∗+ számot, amelyre r < min(R2 − |z − a|, |z − a| − R1 )[; ekkor Br (z; C) ⊆ CR1 ,R2 (a). Megmutatjuk, hogy Z γz,r

Z f = idC − z γ

a,R2

Z f − idC − z γ

a,R1

f . idC − z

Ehhez minden p ∈ [0, 1] valós számra legyen ρ := |z − a| és

z − a ∓iπp e , |z − a|

w± (p) := továbbá értelmezzük azt a

H : [0, 1] × [0, 1] → C függvényt, amelyre minden (p, t) ∈ [0, 1] × [0, 1] esetén 8 > a + R1 w− (p)e2πi(8t)(1−p) > > > > (1−(8t−1))(a+R1 w+ (p))+(8t−1)(a+(ρ−r)w+ (p)) > > > > a + ρw+ (p) − rw+ (p)eπi(8t−2) > > > <(1−(8t−3))(a+(ρ+r)w (p))+(8t−3)(a+R w (p))

; ; ; ; + 2 + H(p, t) : = > −2πi(8t−4)(1−p) a + R2 w+ (p)e ; > > > > (1−(8t−5))(a+R2 w− (p))+(8t−5)(a+(ρ+r)w− (p)) ; > > > > a + ρw− (p) + rw− (p)eπi(8t−6) ; > > > :(1−(8t−7))(a+(ρ−r)w (p))+(8t−7)(a+R w (p)) ; − 1 −

t ∈ [0, 1/8[, t ∈ [1/8, 2/8[, t ∈ [2/8, 3/8[, t ∈ [3/8, 4/8[, t ∈ [4/8, 5/8[, t ∈ [5/8, 6/8[, t ∈ [6/8, 7/8[, t ∈ [7/8, 1].

Könnyen látható, hogy minden k < 8 természetes számra a H lesz¶kítése a [k/8, (k+1)/8] intervallumra folytonos, ezért H folytonos függvény (V. fejezet, 7. pont, 2. gyakorlat), továbbá

Im(H) ⊆ {z 0 ∈ C | (z 0 6= z) ∧ (R1 ≤ |z 0 − a| ≤ R2 )} ⊆ Dom(f ) \ {z}. Minden p ∈ [0, 1] esetén a H(p, ·) : [0, 1] → C függvény zárt, szakaszonként C1 -osztályú ív, ezért a H(0, ·) és H(1, ·) ívek kontúrhomotópok a Dom(f ) \ {z} halmazban, ami egyenl® az f /(idC − z) holomorf függvény deníciós tartományával. Tehát Cauchy integráltétele alapján Z Z f f = . idC − z idC − z H(0,·)

H(1,·)

Egyszer¶ helyettesítéses integrálásokkal nyerjük, hogy Z H(0,·)

f = idC − z γ

Z

a,R1 ,w+ (0),1

f + idC − z γ

Z

z,r,w+ (0),1

f + idC − z γ

Z

a,R2 ,w+ (0),−1

f = idC − z

153

7.1. LAURENT-TÉTEL

Z

Z Z f f + − idC − z γ idC − z γ

= γa,R1

a,R2

z,r

f =. idC − z

Hasonlóan látható, hogy ha z 0 := 2a − z , akkor Z H(1,·)

Z

f = idC − z γ

z 0 ,r,w+ (1),1

Z f f = = 0, idC − z γ idC − z z 0 ,r

mert a γz0 ,r ív kontúrhomotóp a Dom(f ) \ {z} halmazban a z 0 érték¶ [0, 1] → C konstansfüggvénnyel. Ezzel megmutattuk, hogy Z

Z f = idC − z γ

γz,r

Z f − idC − z γ

a,R2

f . idC − z

a,R1

Ezt az egyenl®séget beszorozva 1/(2πi)-vel, és kihasználva azt, hogy Br (z; C) ⊆ CR1 ,R2 (a) ⊆ Dom(f ) \ {z}; a második Cauchy integrálformula alapján kapjuk, hogy

f 1 Z 1 Z = f (z) = 2πi γ idC − z 2πi γ

a,R2

z,r

f 1 Z − idC − z 2πi γ

f . idC − z

a,R1

Tehát megmutattuk, hogy ha R1 , R2 ∈ R∗+ olyanok, hogy R− < R1 < R2 < R+ , akkor minden z ∈ CR1 ,R2 (a) esetén

1 Z f (z) = 2πi γ

f 1 Z − idC − z 2πi γ

a,R2

a,R1

f . idC − z

Legyenek most R1 , R2 ∈ R∗+ olyan számok, amelyekre R− < R1 < R2 < R+ . Ekkor minden z ∈ CR1 ,R2 (a) esetén a X k∈

(z − a)k

N

f (idC − a)k+1

függvénysor normálisan konvergens az Im(γa,R2 ) halmazon, mert minden N 3 k -ra

sup

(z z 0 ∈C; |z 0 −a|=R2

f (z 0 )

= − a) 0 (z − a)k+1

‚

k

és |z − a| < R2 miatt a X

|z − a| R2

‚

|z − a| R2 k∈N

Œk 

1 R2

!



C

sup

z 0 ∈ ; |z 0 −a|=R2

Œk

numerikus sor konvergens. Ezért

1 Z 2πi γ

a,R2

f 1 Z = idC − z 2πi γ

∞ X

(z − a)k

a,R2 k=0

f = (idC − a)k+1

0

kf (z )k ,

154

7. LAURENT-SORFEJTÉS ÉS MEROMORF FÜGGVÉNYEK

…

=

∞ X

1 2πi γ

k=0



Z

f (idC − a)k+1

a,R2

(z − a)k ,

teljesül és az itt álló vektorsorok abszolút konvergensek az F Banach-térben. Ugyanakkor, minden z ∈ CR1 ,R2 (a) esetén a X

N

f (idC − a)−k

(z − a)−k−1

k∈

függvénysor normálisan konvergens az Im(γa,R1 ) halmazon, mert minden N 3 k -ra

‚

=



sup

(z 0 0 z ∈C; |z −a|=R1

− a)

Œk ‚

Œ

R1 |z − a|

−k−1

1 |z − a|

és R1 < |z − a| miatt a X

f (z 0 )

= (z 0 − a)−k !

C

0

sup

z 0 ∈ ; |z 0 −a|=R1

‚

R1 k∈N |z − a|

kf (z )k ,

Œk

numerikus sor konvergens. Ezért

1 Z 2πi γ

a,R1

f 1 Z =− idC − z 2πi γ

∞ X

(z − a)−k−1

a,R1 k=0

…

=−

∞ X

1 2πi γ

k=0

=−

∞ X

1 2πi γ

k=1



Z

f (idC − a)−k

a,R1

…

f = (idC − a)−k

(z − a)−k−1 = 

Z

f (idC − a)−k+1

a,R1

(z − a)−k ,

teljesül és az itt álló vektorsorok abszolút konvergensek az F Banach-térben. Tehát minden z ∈ CR1 ,R2 (a) esetén …

f (z) =

∞ X k=0

1 2πi γ

a,R2

…

+

∞ X k=1

Z

1 2πi γ

Z

a,R1



f (idC − a)k+1

(z − a)k +



f (idC − a)−k+1

(z − a)−k .

155

7.1. LAURENT-TÉTEL

Nyilvánvaló, hogy ha R, R0 ∈ R∗+ olyanok, hogy R− < R < R0 < R+ , akkor a γa,R és γa,R0 ívek kontúrhomotópok a CR− ,R+ (a) nyílt körgy¶r¶ben, ezért minden Z 3 k -ra Z γa,R

Z f = (idC − a)k+1 γ

a,R0

f . (idC − a)k+1

Tehát jól értelmezett az a (ck )k∈Z rendszer F -ben, amelyre minden k ∈ Z esetén

ck :=

1 Z f , 2πi γ (idC − a)k+1 a,R

ahol R ∈ R∗+ tetsz®leges olyan szám, amelyre R− < R < R+ . Ha z ∈ CR− ,R+ (a), akkor vehetünk olyan R1 , R2 ∈ R∗+ számokat, amelyekre R− < R1 < |z − a| < R2 < R+ , vagyis z ∈ CR1 ,R2 (a), így az el®z®ek alapján

f (z) =

∞ X

k

ck (z − a) +

k=0

∞ X

c−k (z − a)−k ,

k=1

és ezek a sorösszegek F -ben haladó abszolút konvergens sorok összegei. Ebb®l következik, hogy a CR− ,R+ (a) nyílt körgy¶r¶n fennáll a

f=

∞ X k=0

k

ck (idC − a) +

∞ X k=1

c−k (idC − a)−k

függvény-egyenl®ség. Most igazoljuk, hogy ha R1 , R2 ∈ R∗+ olyanok, hogy R− < R1 ≤ R2 < R+ , akkor a X

N

k∈

ck (idC − a)k ,

X

N

k∈ ; k≥1

c−k (idC − a)−k

függvénysorok normálisan konvergensek a CR1 ,R2 (a) halmazon. Tekintettel arra, hogy

CR1 ,R2 (a) = BR2 (a; C) ∩ (C \ BR1 (a; C)), elég azt igazolni, hogy a gönbön, és a halmazon. A

X

N

k∈

X

N c−k (idC − a)−k függvénysor normálisan konvergens a C \ BR1 (a; C) k∈

X

N

k∈ ; k≥1

ck (idC − a)k hatványsor normálisan konvergens a BR2 (a; C)

ck (idC −a)k hatványsor normálisan konvergens a BR2 (a; C) gönbön, mert ha R ∈ R∗+

olyan, hogy R2 < R < R+ , akkor minden k ∈ N esetén

sup

C

z∈BR2 (a; )

kck (z − a)k k ≤ R2k kck k =

Z

k 1 R2

2πi γa,R

(idC



f

− a)k+1

≤

156

7. LAURENT-SORFEJTÉS ÉS MEROMORF FÜGGVÉNYEK

≤ R2k



kf (z 0 )k 1 R2 L(γa,R ) sup = 0 k+1 2π R z 0 ∈C; |z 0 −a|=R |z − a|

és R2 < R miatt a X



R2 R k∈N

k

C;

z0 ∈

sup

|z 0 −a|=R

kf (z 0 )k,

k

numerikus sor konvergens. A

X

N

k∈ ; k≥1

c−k (idC − a)−k függvénysor normálisan konvergens a C \ BR1 (a; C) halmazon,

mert ha R ∈ R∗+ olyan, hogy R− < R < R1 , akkor minden k ∈ N∗ esetén

C

sup

C

z∈ \BR1 (a; )

≤ R1−k

kc−k (z − a)−k k ≤ R1−k kc−k k =

Z

−k 1 R1

2πi

γa,R 

kf (z 0 )k R 1 L(γa,R ) sup = 0 −k+1 2π R1 z 0 ∈C; |z 0 −a|=R |z − a|

és R < R1 miatt a X



R k∈N R1

(idC



f

− a)−k+1

k z0 ∈

C;

sup

|z 0 −a|=R

≤

kf (z 0 )k,

k

numerikus sor konvergens. (Unicitás.) Legyen (ck0 )k∈Z szintén olyan F -ben haladó rendszer, hogy minden R1 , R2 ∈ R∗+ esetén, ha R− < R1 < R2 < R+ , akkor a X

N

k∈

ck0 (idC − a)k ,

X

N

k∈ ; k≥1

0 c−k (idC − a)−k

függvénysorok normálisan konvergensek a CR1 ,R2 (a) halmazon, és a CR− ,R+ (a) nyílt körgy¶r¶n fennáll a

f=

∞ X k=0

ck0 (id

k

C − a) +

∞ X k=1

0 (idC − a)−k c−k

egyenl®ség. Legyen γ tetsz®leges olyan zárt, szakaszonként C1 -osztályú ív, amely a CR− ,R+ (a) nyílt körgy¶r¶ben halad. Az Im(γ) halmaz kompakt és része a CR− ,R+ (a) nyílt halmaznak, ezért léteznek olyan R1 , R2 ∈ R∗+ számok, amelyekre R− < R1 < R2 < R+ és Im(γ) ⊆ CR1 ,R2 (a). A hipotézis szerint a X

N

k∈

ck0 (idC − a)k ,

X

N

k∈ ; k≥1

0 (idC − a)−k c−k

157

7.1. LAURENT-TÉTEL

függvénysorok normálisan konvergensek a CR1 ,R2 (a) halmazon, ezért minden n ∈ Z esetén a X X 0 ck0 (idC − a)k−n−1 , c−k (idC − a)−k−n−1

N

N

k∈

k∈ ; k≥1

függvénysorok is normálisan konvergensek a CR1 ,R2 (a) halmazon, így az Im(γ) halmazon is normálisan konvergensek, és fennáll az ∞ ∞ X X f 0 k−n−1 0 (idC − a)−k−n−1 c−k (id − a) + c = C k n+1 (idC − a) k=1 k=0

egyenl®ség. Ebb®l következik, hogy minden Z 3 n-re: Z γ

∞ Z ∞ Z X X f 0 k−n−1 0 = c (idC − a) + c−k (idC − a)−k−n−1 = (idC − a)n+1 k=0 γ k k=1 γ

=

∞ X

ck0 δk,n 2πiIndγ (a) +

k=0

∞ X

0 c−k δ−k,n 2πiIndγ (a) = 2πiIndγ (a)cn0 ,

k=1

hiszen m ∈ Z \ {−1} esetén

‚

Œ

(idC − a)m+1 , (idC − a) = D m+1 vagyis (idC − a)m -nek létezik primitív függvénye C \ {a}, így m

Z

(idC − a)m = 0;

γ

ugyanakkor az index deníciója szerint Z

(idC − a)−1 = 2π · iIndγ (a),

γ

tehát minden Z 3 m-re

Z

(idC − a)m = δm,−1 2πi · Indγ (a).

γ

Speciálisan, ha R ∈ R∗+ olyan, hogy R1 < R < R2 , akkor γ := γa,R vaálasztással kapjuk, hogy minden n ∈ Z esetén f 1 Z cn0 = 2πi γ (idC − a)n+1 a,R

hiszen Indγa,R (a) = 1. Ez azt jelenti, hogy (ck0 )k∈Z ugyanaz a (ck )k∈Z rendszer, amelyet az egzisztencia bizonyításában értelmeztünk, tehát a (ck0 )k∈Z rendszer egyértelm¶en van meghatározva. Egyidej¶leg az is látható, hogy minden n ∈ Z esetén 1 Z f Indγ (a)cn = 2πi γ (idC − a)n+1 teljesül. 

158

7.2.

7. LAURENT-SORFEJTÉS ÉS MEROMORF FÜGGVÉNYEK

Laurent-sorfejtés

7.2.1. Deníció. Legyen F komplex Banach-tér, f : C  F holomorf függvény, és

a ∈ C olyan pont, amelynek létezik olyan V környezete C-ben, hogy V \ {a} ⊆ Dom(f ). Legyen r(a) := sup{r ∈ R∗+ | Br (a; C) \ {a} ⊆ Dom(f )}. Ekkor C0,r(a) (a) ⊆ Dom(f ), tehát a Laurent-tétel alapján egyértelm¶en létezik olyan (ck )k∈Z rendszer F -ben, hogy minden R1 , R2 ∈ R∗+ esetén, ha 0 < R1 < R2 < r(a), akkor a X X ck (idC − a)k , c−k (idC − a)−k

N

N

k∈

k∈ ; k≥1

függvénysorok normálisan konvergensek a CR1 ,R2 (a) halmazon, és a C0,r(a) (a) nyílt körgy¶r¶n fennáll a

f=

∞ X k=0

ck (idC − a)k +

∞ X k=1

c−k (idC − a)−k

egyenl®ség. Ekkor a „

X

N

k∈

X

k

ck (idC − a) ,

N

k∈ ; k≥1

Ž −k

c−k (idC − a)

függvénysor-párt az f függvény Laurent-sorfejtésének nevezzük az a pontban. Továbbá, X a ck (idC − a)k hatványfüggvény-sort az f függvény a pontbeli Laurent-sorfejtése k∈N reguláris részének, míg a

X

N

k∈ ; k≥1

c−k (idC − a)−k függvénysort az f függvény a pontbeli

Laurent-sorfejtése f®részének nevezzük. A c1 ∈ F vektort az f függvény a pontbeli reziduumának nevezzük és a Resa (f ) szimbólummal jelöljük, tehát

1 Z f, Resa (f ) = 2πi γ a,r

ahol r ∈ R∗+ tetsz®leges olyan szám, hogy Br (a; C) ⊆ Dom(f ).

7.2.2. Állítás. Legyen F komplex Banach-tér, f : C  F holomorf függvény, és a ∈ C olyan pont, amelynek létezik olyan V környezete C-ben, hogy V \ {a} ⊆ Dom(f ). Legyen r ∈ R∗+ olyan, hogy Br (a; C) \ {a} ⊆ Dom(f ), és minden k ∈ Z esetén ck :=

f 1 Z , 2πi γ (idC − a)k+1 a,r

159

7.2. LAURENT-SORFEJTÉS

akkor a

„

X

N

k∈

ck (idC − a)k ,

X

N

k∈ ; k≥1

Ž

c−k (idC − a)−k

függvénysor-pár megegyezik az f függvény Laurent-sorfejtésével az a pontban. Bizonyítás.  A következ® állítás megmutatja, hogy a Laurent-sorfejtés a Taylor-sorfejtés általánosítása.

7.2.3. Állítás. Legyen F komplex Banach-tér, f : C  F holomorf függvény, a ∈ Dom(f ), és

„

X

N

k∈

ck (idC − a)k ,

X

N

k∈ ; k≥1

Ž

c−k (idC − a)−k

az f függvény Laurent-sorfejtése az a pontban. Ekkor minden k ∈ N∗ esetén c−k = 0 és a Laurent-sorfejtés reguláris része egyenl® Ta (f )-fel, vagyis az f függvény a pontbeli Taylor-sorával. Bizonyítás. Legyen r ∈ R∗+ olyan, hogy Br (a; C) ⊆ Dom(f ). Ekkor Indγa,r (a) = 1 miatt minden Z 3 k -ra a Laurent-tétel szerint

ck =

f 1 Z , 2πi γ (idC − a)k+1 a,r

következésképpen k > 0 esetén Cauchy els® integrálformulája alapján

c−k

1 Z = (idC − a)k−1 .f = 0, 2πi γ a,r

hiszen az (idC − a)k−1 .f függvény holomorf Dom(f )-en, és Br (a; C) ⊆ Dom(f ). Ugyanakkor Cauchy második integrálformulája szerint minden k ∈ N esetén

f (Dk f )(a) 1 Z = , 2πi γ (idC − a)k+1 k! a,r

következésképpen

X k∈

N

ck (idC − a)k = Ta (f ). .

160

7. LAURENT-SORFEJTÉS ÉS MEROMORF FÜGGVÉNYEK

7.3.

Pólusok és lényeges szingularitások

A szerint, hogy egy holomorf függvény adott pontbeli Laurent-sorfejtésének f®része milyen speciális tulajdonságokkal rendelkezik; a következ® fogalmakat vezetjük be.

7.3.1. Deníció. Legyen F komplex Banach-tér, f : C  F holomorf függvény, és

a ∈ C olyan pont, amelynek létezik olyan V környezete C-ben, hogy V \ {a} ⊆ Dom(f ). Legyen „ Ž X

N

k∈

ck (idC − a)k ,

X

N

k∈ ; k≥1

c−k (idC − a)−k

az f függvény Laurent-sorfejtése az a pontban.  Azt mondjuk, hogy az f függvény az a pontban reguláris, ha minden k ∈ N∗ esetén c−k = 0 (vagyis a Laurent-sorfejtés f®része elt¶nik).  Azt mondjuk, hogy az f függvénynek az a pontban m-ed rend¶ pólusa van, ha m ∈ N∗ , c−m 6= 0, és minden k > m természetes számra c−k = 0. Azt mondjuk, hogy az f függvénynek az a pontban legfeljebb m-ed rend¶ pólusa van, ha m ∈ N∗ , és minden k > m természetes számra c−k = 0.  Azt mondjuk, hogy az f függvénynek az a pontban lényeges szingularitása van, ha a {k ∈ N∗ |c−k 6= 0} halmaz végtelen.

Példák. 1) Legyen F komplex Banach-tér, f : C  F holomorf függvény, és

Q : C → C nem azonosan nulla polinomiális függvény. Ekkor a [Q = 0] gyökhalmaz véges, és minden

7.4.

Meromorf függvények és a reziduum-tétel

7.4.1. Deníció. Legyen F komplex Banach-tér. Egy f : C  F holomorf függvényt meromorfnak nevezünk, ha létezik olyan Ω ⊆ C egyszeresen összefügg® nyílt halmaz és olyan D ⊆ Ω diszkrét zárt halmaz, hogy Dom(f ) = Ω \ D, és az f függvénynek a D halmaz minden pontjában pólusa van.

Az üres halmaz diszkrét és zárt, ezért minden F komplex Banach-térre, minden olyan C  F holomorf függvény meromorf, amelynek a deníciós tartománya egyszeresen összefügg® nyílt halmaz C-ben. Vigyázzunk arra, hogy ha a denícióban elhagyjuk az "egyszeresen összefügg®" jelz®t, akkor a meromorf és a holomorf függvények fogalma egybe esik.

7.4. MEROMORF FÜGGVÉNYEK ÉS A REZIDUUM-TÉTEL

161

7.4.2. Állítás. Ha F komplex Banach-tér, f : C → F olyan holomorf függvény,

amelynek deníciós tartománya egyszeresen összefügg® nyílt halmaz C-ben, és Q : C → C nem nulla polinomiális függvény, akkor az f /Q függvény meromorf. Bizonyítás. Világos, hogy Dom(f /Q) = Dom(f )\(Dom(f )∩[Q = 0]) és Dom(f )∩[Q = 0] halmaz véges (tehát diszkrét és zárt), továbbá minden a ∈ Dom(f ) ∩ [Q = 0] az f /Q függvénynek m-ed rend¶ pólusa van, ha az a pont m-szeres multiplicitású gyöke Q-nak. 

7.4.3. Tétel. (Reziduum-tétel) Legyen F komplex Banach-tér és f : C  F

holomorf függvény. Tegyük fel, hogy U ⊆ C olyan egyszeresen összefügg® nyílt halmaz, és A ⊆ U olyan véges halmaz, hogy U \A ⊆ Dom(f ), és f -nek az A minden pontjában pólusa van (vagyis az f |U \A függvény meromorf). Ha γ olyan zárt, szakaszonként C1 -osztályú ív, amely U \ A-ban halad, akkor Z

f = 2πi

X a∈A

γ

Indγ (a)Resa (f )

teljesül. Bizonyítás. Minden a ∈ A esetén legyen „

X

N

k∈

ca,k (idC − a)k ,

Ž

X

N

k∈ ; k≥1

ca,−k (idC − a)−k

az f függvény Laurent-sorfejtése az a pontban. A feltevés szerint minden a ∈ A esetén van olyan n(a) ∈ N, hogy minden k > n(a) természetes számra ca,−k = 0. értelmezzük most azt a g : U → F függvényt, amely U \ A-n egyenl® az

f−

X a∈A

„

n(a)

X

k=1

Ž

ca,−k (idC − a)−k

függvénnyel, és minden A 3 a-ra

g(a) := ca,0 −

X b∈A\{a}

„

n(b)

X

Ž

cb,−k (a − b)−k

.

k=1

Ekkor g az U \ A halmazon holomorf és az A minden pontjában folytonos, mert minden a ∈ A esetén létezik a-nak olyan V környezete, hogy a V \ {a} halmazon

f=

∞ X k=0

ca,k (idC − a)k +

n(a)

X

k=1

ca,−k (idC − a)−k

162

7. LAURENT-SORFEJTÉS ÉS MEROMORF FÜGGVÉNYEK

teljesül, tehát

„

lim g = lim a

„

= lim a

∞ X k=0

f−

a

∞ X

= lim a

k=0

„

b∈A n(a)

X

ca,k (idC − a)k + „

X

k=1

X

k=1

ŽŽ

cb,−k (idC − b)−k

ca,−k (idC −a)−k −

ca,k (idC − a)k −

= ca,0 −

n(b)

„

X b∈A\{a}

X

„

b∈A\{a}

n(b)

X

„

X b∈A

n(b)

X

k=1

n(b)

X

k=1

= ŽŽ

cb,−k (idC −b)−k

=

ŽŽ

cb,−k (idC −b)−k

=

Ž

cb,−k (a − b)−k

=: g(a).

k=1

Ezért a megszüntethet® szingularitások tétele alapján g holomorf a U halmazon, és U egyszeresen összefügg®, így Cauchy els® integrálformuláját alkalmazva kapjuk, hogy Z

g = 0. γ

Ebb®l következik, hogy Z

Z

„

f= γ

X

„

a∈A

γ

n(a)

X

k=1

ŽŽ

ca,−k (idC − a)−k

De a ∈ C és k ∈ N∗ esetén

Z

=

X

„

a∈A

Z

n(a)

X

ca,−k

k=1

Ž

(idC − a)−k

.

γ

(idC − a)−k = 0,

γ

mert

!

−k

(idC − a)

(idC − a)−k+1 , =D −k + 1

vagyis (idC −a)−k -nak létezik primitív függvénye a C\{a} halmazon. Ezért a reziduumok értelmezése alapján kapjuk, hogy Z

f= γ

teljesül. 

X a∈A

Z

ca,−1 γ

(idC − a)−1 = 2πi

X a∈A

Indγ (a)Resa (f )

7.5. A MEROMORF FÜGGVÉNYEK SPECIÁLIS TULAJDONSÁGAI

7.5.

163

A meromorf függvények speciális tulajdonságai

7.5.1. Állítás. Ha f : C  C nem azonosan nulla holomorf függvény, és Dom(f )

összefügg® halmaz, akkor az 1/f : C  C reciprok-függvény meromorf.

Bizonyítás. Jelölje Nf az f függvény gyökeinek halmazát, tehát Nf := {z ∈ Dom(f )|f (z) = 0}. Az f holomorf függvény nem azonosan 0 és Dom(f ) összefügg®, ezért az 5. pont, 11. gyakorlat szerint az Nf minden eleme izolált pontja Nf -nek. Továbbá, Dom(1/f ) = Dom(f ) \ Nf , és a ∈ Nf esetén egyértelm¶en létezik olyan ma ∈ N∗ és ga : Dom(f ) → C holomorf függvény, hogy ga (a) 6= 0 és f = (idC − a)ma ga . Legyen a ∈ Nf rögzített és ra az a legnagyobb elem R+ -ban, amelyre Bra (a; C) \ {a} ⊆ Dom(1/f ). Ekkor 1/f = (idC − a)−ma (1/ga ) a Bra (a; C) \ {a} halmazon, tehát ∞ X 1 (Dk (1/ga ))(a) = (idC − a)−ma (idC − a)k = f k! k=0

=

mX a −1 k=0

∞ X (Dk (1/ga ))(a) (Dk (1/ga ))(a) (idC − a)k−ma + (idC − a)k−ma = k! k! k=ma

ma X

∞ X (Dma +j (1/ga ))(a) (Dma −j (1/ga ))(a) −j = (idC − a) + (idC − a)j (ma − j)! (ma + j)! j=0 j=1

teljesül a Bra (a; C) \ {a} halmazon, amib®l látható, hogy 1/f -nek a-ban legfeljebb ma -ad rend¶ pólusa van. 

7.5.2. Lemma. Legyen F komplex Banach-tér, f : C  F holomorf függvény, és a ∈ C olyan pont, amelynek létezik olyan V környezete C-ben, hogy V \ {a} ⊆ Dom(f ). Legyen „

X

N

k∈

ck (idC − a)k ,

X

N

k∈ ; k≥1

Ž

c−k (idC − a)−k

az f függvény Laurent-sorfejtése az a pontban, és

r(a) := sup{r ∈ R∗+ |Br (a; C) \ {a} ⊆ Dom(f )}. Ekkor minden Z 3 n-re és ]0, r(a)[3 r-re

kcn k ≤

1 rn

C

sup

z∈ ; |z−a|=r

kf (z)k.

Bizonyítás. Ha r ∈]0, r(a)[, akkor a Laurent-tétel alapján minden Z 3 n-re

cn =

f 1 Z , 2πi γ (idC − a)n+1 a,r

164

7. LAURENT-SORFEJTÉS ÉS MEROMORF FÜGGVÉNYEK

amib®l következik, hogy

kcn k ≤

1 kf (z)k 1 L(γa,r ) sup = n n+1 2π | r z∈Im(γa,r ) |(z − a)

C

sup

z∈ ; |z−a|=r

kf (z)k. 

7.5.3. Tétel. Legyen F komplex Banach-tér, f : C  F holomorf függvény, és a ∈ C olyan pont, amelynek létezik olyan V környezete C-ben, hogy V \ {a} ⊆ Dom(f ). Legyen „

X

N

k∈

ck (idC − a)k ,

X

N

k∈ ; k≥1

Ž

c−k (idC − a)−k

az f függvény Laurent-sorfejtése az a pontban, és

r(a) := sup{r ∈ R∗+ |Br (a; C) \ {a} ⊆ Dom(f )}. a) Az f függvény pontosan akkor reguláris az a pontban, ha létezik a-nak olyan U környezete, hogy az f hU i halmaz korlátos F -ben. b) Az f függvénynek pontosan akkor van n-ed rend¶ pólusa a-ban (ahol n ∈ N∗ ), ha léteznek olyan r ∈]0, r(a)[ és C1 , C2 ∈ R∗+ számok, hogy minden z ∈ C esetén, ha 0 < |z − a| ≤ r, akkor C2 C1 ≤ kf (z)k ≤ . n |z − a| |z − a|n c) Az f függvénynek pontosan akkor van lényeges szingularitása az a pontban, ha minden α ∈ R∗+ számhoz van olyan Cα ∈ R∗+ és δα ∈ R∗+ , hogy δα ≤ r(a) és minden ]0, δα [3 r-re

Cα ≤ sup kf (z)k, rα z∈C; |z−a|=r amit úgy is megfogalmazhatunk, hogy r → 0 esetén az

C

sup

z∈ ; |z−a|=r

kf (z)k kifejezés

gyorsabban tart +∞-hez, mint az 1/r bármelyik pozitív exponens¶ hatványa. Bizonyítás. a) Ha ρ ∈]0, r(a)[ olyan valós szám, hogy minden r ∈]0, ρ[ valós számra és N 3 n-re

kc−n k ≤ rn

C

sup

z∈ ; |z−a|=r

kf (z)k ≤ rn

ezért n > 0 esetén

sup

C

z∈Bρ (a; )\{a}

sup

C

z∈Bρ (a; )\{a}

kf (z)k,

!

kc−n k ≤ lim r r→0

n

sup

C

z∈Bρ (a; )\{a}

kf (z)k < +∞, akkor

kf (z)k = 0,

165

7.5. A MEROMORF FÜGGVÉNYEK SPECIÁLIS TULAJDONSÁGAI

így c−n = 0, vagyis f reguláris az a pontban. Megfordítva, ha f reguláris az a pontban, akkor a Laurent-tétel alapján lim f létezik, ezért f korlátos az a pont valamely a környezetén. b) Ha f -nek n-ed rend¶ pólusa van az a pontban, akkor a Laurent-tétel alapján a Br(a) (a; C) \ {a} halmazon fennáll az

n

k(idC − a) f − c−n k ≤ |idC − a|

∞

X n



k=0



n−1

X c−k (idC

+

k

ck (idC − a)

− a)

k=1



n−k

egyenl®tlenség, és a jobb oldalon álló függvénynek az a pontban 0 a határértéke, ezért

lim ((idC − a)n f ) = c−n 6= 0. a

Ebb®l következik olyan r ∈]0, r(a)[ valós szám és C1 , C2 ∈ R∗+ számok létezése, hogy minden z ∈ C pontra, ha 0 < |z − a| ≤ r, akkor

C1 C2 ≤ kf (z)k ≤ . n |z − a| |z − a|n Megfordítva; legyenek r, C1 , C2 ∈ R∗+ ilyen tulajdonságú számok. Ekkor minden k > n természetes számra és ]0, r] 3 ρ-ra

kc−k k = ρk

C

sup

z∈ ; |z−a|=ρ

€

ezért kc−k k ≤ lim ρk−n C2

Š

ρ→0

kf (z)k = ρk−n

C

sup

z∈ ; |z−a|=ρ

k(z − a)n f (z)k ≤ ρk−n C2 ,

= 0. Ezért a Laurent-tétel alapján a Br(a) (a; C) \ {a}

halmazon fennáll az

(idC − a)n f =

∞ X k=0

ck (idC − a)n+k + c−n +

n−1 X k=1

c−k (idC − a)n−k

egyenl®ség. Ebb®l látható, hogy lim ((idC − a)n f ) = c−n , ezért c−n 6= 0, hiszen a feltevés a szerint (|z − a|n kf (z)k) ≥ C1 > 0. inf

C

z∈Br (a; )\{a}

Ezért f -nek az a pontban n-ed rend¶ pólusa van. c) Tegyük fel, hogy f -nek lényeges szingularitása van a-ban, és legyen α ∈ R∗+ tetsz®leges. Legyen m ∈ N∗ olyan, hogy c−m 6= 0 és m > α. Ha r ∈]0, min(r(a), 1)[ tetsz®leges valós szám, akkor    kc−m k 1 1 ≤ α sup kf (z)k = rα r r−m z∈C; |z−a|=r

= rm−α

C

sup

z∈ ; |z−a|=r

kf (z)k ≤

C

sup

z∈ ; |z−a|=r

kf (z)k,

166

7. LAURENT-SORFEJTÉS ÉS MEROMORF FÜGGVÉNYEK

tehát Cα := kc−m k ∈ R∗+ és δα := min(r(a), 1) olyan számok, amelyek létezését állítottuk. Megfordítva; tegyük fel, hogy f -nek nincs lényeges lényeges szingularitása a-ban. Ekkor van olyan m ∈ N, hogy minden n > m természetes számra c−n = 0. Ha r ∈]0, r(a)[ tetsz®leges valós szám, akkor z ∈ C, |z − a| = r esetén

f (z) =

∞ X

k

ck (z − a) +

m X

c−k (z − a)−k ,

k=0

k=1

ezért fennáll az

kf (z)k ≤

∞ X

kck krk +

k=1

m X

kc−k kr−k

k=0

egyenl®tlenség, vagyis minden α > m valós számra

rα

C

sup

z∈ ; |z−a|=r

kf (z)k ≤

∞ X

kck krα+k +

k=1

m X

kc−k krα−k .

k=0

Itt a jobb oldal α > m esetén 0-hoz tart, ha r tart 0-hoz, így ekkor !

lim r

α

C

r→0

sup

z∈ ; |z−a|=r

kf (z)k = 0,

következésképpen van olyan α ∈ R∗+ (ti. bármely α > m valós szám ilyen), hogy nem létezik olyan C ∈ R∗+ , amelyre minden r ∈]0, min(r(a), 1)[ valós szám esetében

C ≤ sup kf (z)k rα z∈C; |z−a|=r teljesül. 

7.6.

Gyakorlatok

3. Mutassuk meg, hogy minden C 3 a-ra az 



1 : C \ {a} → C Exp ◦ idC − a függvénynek lényeges szingularitása van az a pontban. Igazoljuk, hogy minden A ⊆ C véges halmazhoz létezik olyan f : C \ A → C holomorf függvény, amelynek az A minden pontjában lényeges szingularitása van. Milyen tulajdonságú A ⊆ C végtelen halmazokhoz létezik olyan f : C\A → C holomorf függvény, amelynek az A minden pontjában lényeges szingularitása van?

7.6. GYAKORLATOK

167

(Útmutatás. A C \ {a} halmazon 



∞ X 1 1 1 Exp ◦ = k idC − a k=0 k! (idC − a)

teljesül, tehát a bal oldalon álló függvény a pontbeli Laurent-sorfejtésének f®része a X 1 1 függvénysor.) k k∈N k! (idC − a)

4. (Weierstrass tétele a lényeges szingularitásokról.) Legyen f : C  C holomorf függvény és a ∈ C olyan pont, amelynek létezik olyan V környezete C-ben, hogy V \ {a} ⊆ Dom(f ). Ha f -nek lényeges szingularitása van az a pontban, akkor az a minden U környezetére f hU \ {a}i = C. (Útmutatás. Indirekt bizonyítunk, tehát feltesszük az a pont olyan U környezetének létezését, hogy f hU \ {a}i 6= C. Legyen r ∈ R∗+ olyan, hogy Br (a; C) ⊆ U és Br (a; C) \ {a} ⊆ Dom(f ), továbbá legyen c ∈ C \ f hBr (a; C) \ {a}i rögzített pont. Ekkor létezik olyan ε ∈ R∗+ , hogy z ∈ C és 0 < |z − a| < r esetén fennáll az |f (z) − c| ≥ ε 1 egyenl®tlenség, így az holomorf függvény értelmezve van a C0,r (a) körgy¶r¶n, f −c 1 függvény az és korlátos ezen a halmazon. A 2. gyakorlat a) pontja szerint az f −c a pontban reguláris; jelölje g ennek a függvénynek holomorf kiterjesztését a Br (a; C) gömbre. A Br (a; C) halmaz összefügg® és g nem konstansfüggvény, ezért g(a) = 0 esetén az 5. pont 11. gyakorlat szerint létezik olyan m ∈ N és olyan h : Br (a; C) → C holomorf függvény, hogy g = (idC − a)m h és h(a) 6= 0. Ha g(a) 6= 0, akkor ismét írható, hogy g = (idC − a)m h, ahol m := 0 és h := g , így h(a) 6= 0. Tehát vehetünk olyan m ∈ N számot és h : Br (a; C) → C holomorf függvényt, amelyre g = (idC − a)m h és 1 h(a) 6= 0. Ekkor z ∈ C és 0 < |z − a| < r esetén = (z − a)m h(z), ezért f (z) − c 1 h(z) 6= 0 és f (z) − c = (z − a)−m . Léteznek olyan ρ ∈]0, r[ és C ∈ R∗+ valós számok, h(z) hogy minden z ∈ Bρ (a; C) pontra |h(z)| ≥ C . Ekkor minden z ∈ Bρ (a; C) pontra 1 1 teljesül, tehát a 2. gyakorlat a) és b) pontja szerint: ha m = 0, |f (z) − c| ≤ C |z − a|m akkor f reguláris az a pontban, és ha m > 0, akkor f -nek legfeljebb m-ed rend¶ pólusa van az a pontban; ami ellentmond annak, hogy f -nek lényeges szingularitása van a-ban.)

5. Legyen F komplex Banach-tér, f : C  F holomorf függvény, és a ∈ C olyan pont, amelynek létezik olyan V környezete C-ben, hogy V \ {a} ⊆ Dom(f ). Ha az f függvénynek n-ed rend¶ pólusa van az a pontban, akkor

Resa (f ) =

€ Š 1 lim Dn−1 ((idC − a)n f ) . (n − 1)! a

168

7. LAURENT-SORFEJTÉS ÉS MEROMORF FÜGGVÉNYEK

(Útmutatás. A 2. gyakorlat b) pontja alapján az (idC − a)n f holomorf függvény korlátos az a pont valamely környezetén, így ugyanazon gyakorlat a) pontja szerint reguláris aban. Jelölje g azt a C  F holomorf függvényt, amelyre Dom(g) := Dom(f ) ∪ {a}, és g megegyezik az (idC − a)n f függvénnyel a Dom(f ) halmazon. Ha r ∈ R∗+ olyan, hogy Br (a; C) \ {a} ⊆ Dom(f ), akkor a reziduum értelmezése és Cauchy második integrálformulája szerint

Resa (f ) =

=

1 Z 1 Z (idC − a)n f f= = 2πi γ 2πi γ (idC − a)n a,r a,r

1 (n − 1)! Z g 1 = (Dn−1 g)(a) = (n−1)+1 (n − 1)! 2πi γ (idC − a) (n − 1)! a,r

=

1 1 lim(Dn−1 g) = lim(Dn−1 ((idC − a)n f )), a (n − 1)! (n − 1)! a

hiszen Dn−1 g folytonos függvény (s®t holomorf), és g megegyezik az (idC − a)n f függvénnyel a Br (a; C) \ {a} halmazon, tehát elég a határérték lokalitásának elvét alkalmazni.)

6. Legyen F komplex Banach-tér, f : C  F holomorf függvény, és Q : C → C legalább

els®fokú polinomiális függvény. Ha az a ∈ Dom(f ) pont m-szeres multiplicitású gyöke Q-nak és Qa : C → C az a polinomiális függvény, amelyre Q = (idC − a)m Qa , akkor fennáll a Dm−1 (f /Qa )(a) Resa (f /Q) = (m − 1)! egyenl®ség. (Útmutatás. Legyen r ∈ R∗+ olyan, hogy Br (a; C) \ {a} ⊆ Dom(f /Q). A Qa függvény deníciója és Cauchy második integraformulája szerint

f /Qa 1 Z = Resa (f /Q) = 2πi γ (idC − a)m a,r

1 f /Qa (Dm−1 (f /Qa ))(a) (m − 1)! Z = = (m − 1)! 2πi γ (idC − a)(m−1)+1 (m − 1)! a,r

teljesül.)

7. (Reziduum a végtelen távoli pontban.) Legyen F komplex Banach-tér és f : C  F

7.6. GYAKORLATOK

169

olyan holomorf függvény, amelyhez létezik olyan K ⊆ C kompakt halmaz, hogy C \ K ⊆ Dom(f ). Ekkor minden a ∈ C ponthoz egyértelm¶en létezik olyan F -ben haladó (ca,k )k∈Z rendszer, hogy minden r ∈ R∗+ esetén, ha C \ Br (a; C) ⊆ Dom(f ), akkor a X X ca,k (idC − a)k , ca,−k (idC − a)−k

N

N

k∈

k∈ ; k≥1

függvénysorok normálisan konvergensek a Cr,+∞ (a) halmazon és

f=

∞ X k=0

ca,k (idC − a)k +

∞ X k=1

ca,−k (idC − a)−k

teljesül a Cr,+∞ (a) nyílt körgy¶r¶n. Továbbá, ha r ∈ R∗+ olyan, hogy C \ Br (a; C) ⊆ Dom(f ), és γ tetsz®leges olyan zárt, szakaszonként C1 -osztályú ív, amely Cr,+∞ (a)-ben halad, akkor minden Z 3 n-re

Indγ (a)ca,n

f 1 Z . = 2πi γ (idC − a)n+1

Mutassuk meg, hogy a ca,−1 ∈ F vektor az a ∈ C pont választásától független. (A −ca,−1 vektort az f függvény reziduumának nevezzük a végtelen távoli pontban, és a Res∞ (f ) szimbólummal jelöljük. Tehát a deníció szerint

Res∞ (f ) = −

1 Z f, 2πi γ a,r

ahol r ∈ R∗+ olyan, hogy C \ Br (a; C) ⊆ Dom(f ). (Útmutatás. Legyen a ∈ C esetén R(a) := inf{r ∈ R∗+ |C \ Br (a; C) ⊆ Dom(f )}. Ekkor minden C 3 a-ra CR(a),+∞ (a) ⊆ Dom(f ), tehát elég a Laurent-tételt alkalmazni az f függvényre és a CR(a),+∞ (a) nyílt körgy¶r¶re.)

8. Ha F komplex Banach-tér, A ⊆ C véges halmaz, és f : C\A → F meromorf függvény, akkor X Res∞ (f ) + Resa (f ) = 0. a∈A

(Útmutatás. A feltevés szerint f -nek az A minden pontjában pólusa van, és C olyan egyszeresen összefügg® halmaz, amelyre C \ A ⊆ Dom(f ), ezért a reziduum-tétel alapján minden C \ A-ban haladó γ zárt, szakaszonként C1 -osztályú ívre Z

f = 2πi γ

X a∈A

Indγ (a)Resa (f ).

170

7. LAURENT-SORFEJTÉS ÉS MEROMORF FÜGGVÉNYEK

Ha r ∈ R∗+ olyan, hogy A ⊆ Br (0; C), akkor C \ Br (0; C) ⊆ Dom(f ), tehát a Res∞ (f ) vektor deníciója szerint X X 1 Z Res∞ (f ) = − f =− Indγa,r (a)Resa (f ) = − Resa (f ), 2πi γ a∈A a∈A a,r

mert minden a ∈ A esetén Indγa,r (a) = 1.)

9. (Mittag-Leer-tétel.) Legyen F komplex Banach-tér, (ak )k∈N olyan injektív sorozat C-ben, hogy {ak |k ∈ N} diszkrét zárt halmaz C-ben, és (Pk )k∈N olyan függvénysorozat,

hogy minden N 3 k -ra Pk : C → F polinomiális vektorfüggvény. Ekkor létezik olyan f : C \ {ak |k ∈ N} → F meromorf függvény, hogy minden k ∈ N esetén az f függvény  1 ak pontbeli Laurent-sorfejtése f®részének összegfüggvénye egyenl® a Pk ◦ idC − a függvénnyel. (Útmutatás. Legyen a ∈ C olyan pont, amelyre a ∈ / {ak |k ∈ N}. Vegyünk olyan (εk )k∈ N  X 1 sorozatot R∗+ -ban, amelyre a εk sor konvergens. Ha k ∈ N, akkor a Pk ◦ idC − ak k∈N függvény holomorf a a hözéppontú, |ak − a| sugarú nyílt gömbön, ezért létezik olyan Qk : 1 C → F polinomiális függvény, hogy minden z ∈ C esetén, ha |z − a| ≤ |ak − a|, akkor 2

 

1

P

− Qk (z) < εk . Kiválasztva egy ilyen (Qk )k∈N függvényrendszert, képezzük

k z− ak    X 1 − Qk függvénysort, és legyen f ennek az összegfüggvénye. a Pk ◦ idC − ak k∈N     X 1 − Qk függvénysor normálisan Könnyen ellen®rizhet®, hogy a Pk ◦ idC − ak k∈N konvergál a C \ {ak |k ∈ N} halmaz minden kompakt részhalmazán, tehát Dom(f ) = C \ {ak |k ∈ N}, és minden N 3 k -ra az f függvény ak pontbeli Laurent-sorfejtése  1 f®részének összegfüggvénye egyenl® a Pk ◦ függvénnyel.) idC − ak

10. (Jordan-lemma.) Legyen a ∈ C, w ∈ U és α ∈ [0, π/2]; ekkor a Sect(a, w, α) = {a + rweit | (r ∈ R+ ) ∧ (t ∈ [−α, α])} halmazt a csúcspontú, w irányú, α félnyílásszög¶ szektornak nevezzük. Legyen F komplex Banach-tér és f : C  F olyan holomorf függvény, amelyhez van olyan r0 ∈ R∗+ , hogy Sect(a, w, α) \ Br0 (a; C) ⊆ Dom(f ). Legyen minden r ∈ R∗+ esetén

γr : [−α, α] → C;

t 7→ a + rweit .

171

7.6. GYAKORLATOK

Ha λ ∈ R∗+ tetsz®leges, akkor minden r ≥ r0 valós számra

Z





−λwz f (z)e dz

γr

!

≤π

sup kf (z)k |e

−λwa

z∈Im(γr )

teljesül. Speciálisan, ha

1 − e−λr | λ

!

!

lim

r→+∞

akkor minden R∗+ 3 λ-ra

sup kf (z)k = 0, z∈Im(γr )

Z

lim

r→+∞

f (z)e−λwz dz = 0.

γr

(Megjegyzés. Az eredeti Jordan-lemmában az a := 0, w := i, α := π/2 speciális esetr®l van szó, tehát ekkor Sect(0, i, π/2) = {z ∈ C|<(z) ≥ 0} a zárt fels® félsík C-ben. Ebben a speciális esetben az f -re vonatkozó feltevések mellett minden r ≥ r0 valós számra és R∗+ 3 λ-ra

Z



γr



f (z)eiλz dz

!

sup kf (z)k

≤π

z∈Im(γr )

1 − e−λr λ

!

!



π‹ ≤ λ

sup kf (z)k z∈Im(γr )

teljesül.) (Útmutatás. Legyen r ≥ r0 valós szám és λ ∈ R∗+ . Ekkor Z

−λwz

f (z)e

Zα

dz =

γr

it

f (a + rweit )rwieit e−λw(a+rwe ) dt =

−α −λwa

Zα

= rwie

it

f (a + rweit )eit e−λre dt.

−α

Ebb®l következik, hogy

Z



γr



f (z)e−λwz dz

≤ r|e−λwa |

Zα

kf (a + rweit )ke−λr cos(t) dt ≤

−α

!

≤r

sup kf (z)k |e z∈Im(γr )

−λwa

Zα

||

e−λr cos(t) dt.

−α

Ezért elég azt megmutatni, hogy !

Zα

e −α

−λr cos(t)

1 − e−λr dt ≤ π , λr

172

7. LAURENT-SORFEJTÉS ÉS MEROMORF FÜGGVÉNYEK

2 ami könnyen megkapható, ha gyelembe vesszük, hogy t ∈ [0, π/2] esetén sin(t) ≥ t, π tehát Zα

−λr cos(t)

e

Zα

dt = 2

−α

e

−λr cos(t)

π/2 Z

dt = 2 π −α 2

0

‚ π/2 Z

≤2

−λr

e 0

e−λr sin(t) dt ≤

Œ

2 !  ‹ t 1 − e−λr π dt = 2 π 2 λr

teljesül.)

11. (A reziduum-tétel alkalmazása racionális törtfüggvények integrálására I.) Legyen F

komplex Banach-tér, P : C → F polinomiális vektorfüggvény, és Q : C → C polinomiális függvény. Ha Q-nak nincs valós gyöke és deg(Q) ≥ deg(P ) + 2, akkor a P/Q függvény R-re vett lesz¶kítése integrálható a Lebesue-mérték szerint és Z

R

(P (x)/Q(x)) dx = 2πi

X

Resa (P/Q) =

C

a∈ ; Q(a)=0, =(a)>0

X

= −2πi

C

Resa (P/Q).

a∈ ; Q(a)=0, =(a)<0

Ennek, és a 6. gyakorlat alkalmazásával igazoljuk, hogy minden a ∈ R∗+ esetén Z

R

π x2 dx = . (x2 + a2 )2 4a

(Útmutatás. Legyen NQ+ := {z ∈ C|(Q(z) = 0) ∧ (=(z) > 0)} és NQ− := {z ∈ C|(Q(z) = 0) ∧ (=(z) < 0)}. A Q-nak nincs valós gyöke, ezért NQ+ ∪ NQ− egyenl® a Q gyökeinek halmazával. Legyen r ∈ R∗+ olyan, hogy NQ+ ∪ NQ− ⊆ Br (0; C), és értelmezzük a

Γ± r : [0, 1] → C;

8
t 7→ : ±iπ(2t−1) re

; ha t ∈ [0, 1/2], ; ha t ∈]1/2, 1]

1 − függvényeket. Ekkor Γ+ r és Γr olyan zárt, szakaszonként C -osztályú ívek, amelyek a P/Q függvény deníciós tartományában haladnak, továbbá az U + := {z ∈ C|=(z) > max+ =(a)} és U − := {z ∈ C|=(z) < min+ =(a)} halmazok olyan nyílt konvex (tehát

a∈NQ

a∈NQ

egyszeresen összefügg®) halmazok, hogy

± ± Im(Γ± r ) ⊆ U \ NQ ⊆ Dom(P/Q).

173

7.6. GYAKORLATOK

Ezért a reziduum-tétel alkalmazható a P/Q meromorf függvényre és a Γ± r ívekre: Z Γ± r

X X P IndΓ±r (a)Resa (P/Q) = ±2πi Resa (P/Q), = 2πi Q ± ± a∈N a∈N Q

Q

ahol felhasználtuk azt, hogy a ∈ NQ± esetén IndΓ±r (a) = ±1, mert létezik olyan (a-tól 1 függ®) ρ ∈ R∗+ , hogy a Γ± függvény r ív kontúrhomotóp a γa,ρ,1,±1 körívvel az idC − a deníciós tartományában. Továbbá, könnyen látható, hogy r

Z Γ± r

Z Z P P P (x) = dx + , Q −r Q(x) Q ± γr

ahol bevezettük a γr± : [0, 1] → C; t 7→ re±iπt félkörív-függvényeket. Ez azt jelenti, hogy ha r ∈ R∗+ olyan, amelyre NQ+ ∪ NQ− ⊆ Br (0; C), akkor Zr −r

Z X P P (x) dx = − ± 2πi Resa (P/Q). Q(x) Q ± ± a∈N γr

Q

A deg(Q) ≥ 2 feltétel alapján létezik olyan Q0 : C → C polinomiális függvény, hogy Q = id2C Q0 , és ekkor deg(P ) + 2 ≤ deg(Q) miatt deg(P ) ≤ deg(Q0 ). Ebb®l látható, hogy ha r0 ∈ R∗+ olyan, hogy NQ+ ∪ NQ− ⊆ Br0 (0; C), akkor P/Q0 korlátos a C \ Br0 (0; C) halmazon, tehát minden r ≥ r0 valós számra

sup z∈Im(γr± )



P (z)



Q(z)



1

P (z)

1 = 2

≤ r Q0 (z) r2

vagyis fennáll a

„

lim

r→+∞

sup z∈Im(γr± )



P (z)

sup

,

z∈C\B (0;C) Q0 (z)

Ž

P (z)



Q(z)

r0

=0

egyenl®ség. Ezért a P/Q függvényre alkalmazható a Jordan lemma (10. gyakorlat), Z P = 0.) tehát lim r→+∞ Q ± γr

12. (A reziduum-tétel alkalmazása racionális törtfüggvények integrálására II.) Legyen

F komplex Banach-tér, P : C → F polinomiális vektorfüggvény, és Q : C → C polinomiális függvény. Tegyük fel, hogy deg(P ) + 1 ≤ deg(Q) és a Q minden valós gyöke egyszeres multiplicitású. Minden ε, r ∈ R∗+ esetén legyen Kε,r azon x ∈ R pontok

174

7. LAURENT-SORFEJTÉS ÉS MEROMORF FÜGGVÉNYEK

halmaza, amelyekre |x| ≤ r és a Q minden a valós gyökére |x − a| ≥ ε. Ha NQ jelöli a Q gyökeinek halmazát, akkor fennállnak a Z

lim

(ε,r)→(0,+∞) Kε,r

X

= 2πi

Resa (P/Q) + πiRes∞ (P/Q) =

a∈NQ , =(a)=0

a∈NQ , =(a)>0

−2πi

X

Resa (P/Q) + πi

X

(P (x)/Q(x)) dx =

X

Resa (P/Q) − πi

a∈NQ , =(a)<0

Resa (P/Q) − πiRes∞ (P/Q) =

a∈NQ , =(a)=0

„

X

= πi

Ž

X

Resa (P/Q) −

Resa (P/Q)

a∈NQ , =(a)<0

a∈NQ , =(a)>0

egyenl®ségek.

13. Legyen F komplex Banach-tér. Tegyük fel, hogy az f : R → F függvénynek létezik olyan f˜ : C  F holmorf kiterjesztése és létezik olyan A ⊆ {z ∈ C|=(z) > 0} véges halmaz, hogy {z ∈ C|=(z) ≥ 0} \ A ⊆ Dom(f˜), és f˜-nak az A egyetlen pontjában sincs lényeges szingularitása, valamint !

lim

r→+∞

sup

kf˜(reit )k = 0.

t∈[−π/2,π/2]

Ekkor minden λ ∈ R∗+ esetén Zr

lim

r→+∞ −r

f (x)eiλx dx = 2πi

X a∈A

Resa (f˜.eiλidC ).

Ennek felhasználásával igazoljuk, hogy minden a, b ∈ R∗+ esetén +∞ Z 0

cos(ax) eiaidC dx = πiRes ib b2 + x2 b2 + id2C

+∞ Z 0

eiaidC idC sin(ax) dx = πRes ib b2 + x2 b2 + id2C

!

=

πe−ab , 2b

=

πe−ab , 2

!

(Útmutatás. Az A halmaz korlátos C-ben, ezért van olyan r0 ∈ R∗+ , hogy A ⊆ Br0 (0; C). Ekkor {z ∈ C|=(z) ≥ 0} \ Br0 (0; C) ⊆ Dom(f˜), tehát a Jordan-lemmát (10. gyakorlat) alkalmazva az f˜ függvényre és a Sect(0, i, π/2) szektorra kapjuk, hogy minden λ ∈ R∗+ esetén Z lim f˜(z)eiλz dz = 0, r→+∞

γr

175

7.6. GYAKORLATOK

ahol γr jelöli a [−π/2, π/2] → C; t 7→ rei(t+ 2 ) félkörív-függvényt. Legyen r ≥ r0 rögzített valós szám, és értelmezzük a π

8 <(4t − 1)r

Γr : [0, 1] → C;

t 7→ :

re

; ha t ∈ [0, 1/2[, ; ha t ∈ [1/2, 1]

iπ(2t−1)

függvényt. Ekkor Γr olyan zárt. szakaszonként C1 -osztályú ív, hogy Im(Γr ) ⊆ Dom(f˜) \ A. Létezik továbbá olyan U ⊆ C egyszeresen összefügg® (s®t konvex) nyílt halmaz, hogy Im(Γr ) ⊆ U \ A ⊆ Dom(f˜) \ A. Ezért a reziduum-tétel alapján minden R∗+ 3 λ-ra Z

f˜(z)eiλz dz = 2πi

X a∈A

Γr

IndΓr (a)Resa (f˜eiλidC ).

Továbbá nyilvánvaló, hogy minden λ ∈ R∗+ esetén Z

f˜(z)e

iλz

Zr

dz =

f˜(z)eiλz dz,

γr

−r

Γr

Z

f (x)eiλx dx +

ami azt jelenti, hogy Zr

iλx

f (x)e −r

Z

dx = −

f˜(z)eiλz dz + 2πi

X a∈A

γr

IndΓr (a)Resa (f˜eiλidC ).

Az itt szerepl® összeg r-t®l független, mert minden A 3 a-ra IndΓr (a) = 1, és a Jordanlemma (10. gyakorlat) szerint lim

Z

r→+∞

f˜(z)eiλz dz = 0, ezért létezik a lim

Zr

r→+∞ −r

γr

határérték, és teljesül a bizonyítandó egyenl®ség.)

f (x)eiλx dx

14. Legyen F komplex Banach-tér. Tegyük fel, hogy az f : R → F függvénynek létezik

olyan f˜ : C  F holmorf kiterjesztése és létezik olyan A ⊆ {z ∈ C|=(z) > 0} véges halmaz, hogy {z ∈ C|=(z) ≥ 0} \ A ⊆ Dom(f˜), és f˜-nak az A minden pontjában pólusa van, továbbá léteznek olyan C, R, α ∈ R∗+ számok, hogy minden Dom(f˜) 3 z -re

kf˜(z)k ≤

C |z|α

teljesül, ha |z| ≥ R és =(z) ≥ 0. Ekkor f folytonos és Zr

lim

r→+∞ −r

f (x)dx = 2πi

X a∈A

Resa (f˜).

176

7. LAURENT-SORFEJTÉS ÉS MEROMORF FÜGGVÉNYEK

Ennek alkalmazásával mutassuk meg, hogy minden n > 2 természetes számra Z

1 π dx = n−1 2 n (1 + x ) 4

R

‚ n−2 Y k=0

Œ

n+k . n−k

(Útmutatás. Legyen r0 ∈ R∗+ , hogy A ⊆ Br0 (0; C), és rögzítsünk egy r > max(R, r0 ) valós számot. Tekintsük a 8 <(4t − 1)r

γr : [0, 1] → C;

t 7→ :

reiπ(2t−1)

; ha t ∈ [0, 1/2[, ; ha t ∈ [1/2, 1]

függvény, ami zárt, szakaszonként C1 -osztályú ív. Könnyen belátható olyan U ⊆ C egyszeresen összefügg® nyílt halmaz létezése, amelyre A∪Im(γr ) ⊆ U és U \A ⊆ Dom(f˜). Ezért a reziduum-tétel alapján Z

f˜ = 2πi

X a∈A

γr

Resa (f˜),

ugyanakkor könnyen látható, hogy Z

f˜ =

γr

Zr

Z1

f (x)dx + πir −r

f˜(reπit )eπit dt.

0

Az f˜ függény tulajdonságai alapján

Z1

˜(reπit )eπit dt

r f



0

„

tehát α > 1 miatt lim

r→+∞

Z1

r 0

Z1

≤r

kf˜(re )kdt ≤ r πit

0

0

Ž

f˜(reπit )eπit dt

Z1

= 0.)

C C dt = , rα rα+1

II. rész A funkcionálanalízis elemei

177

179

BEVEZETÉS A funkcionálanalízis (a legelemibb szinten) a normált terek között ható lineáris operátorok elmélete. Ennek az elméletnek bizonyos részeivel korábban foglalkoztunk. A VI. fejezetben érintettünk néhány alapfogalmat normált terek között ható folytonos lineáris és multilineáris operátorokkal kapcsolatban. Szó volt az operátornormáról, a Carl Neumann-sorokról, normált tér topologikus duálisáról és biduálisáról, valamint a funkcionálanalízis egyik legfontosabb tételér®l: a Hahn-Banach-tételr®l. Ezekre már a dierenciál- és integrálelmélet kell®en általános szint¶ tárgyalásához is szükség volt, amit a VII., VIII. és IX. fejezetben láthattunk. Az els® pontban a normált téren értelmezett folytonos lineáris operátorok spektrumával és rezolvens függvényével foglalkozunk. A kvantummechanikában egy valós érték¶ zikai mennyiség adekvát matematikai modellje bizonyos feltételeknek eleget tev® lineáris operátor (önadjungált operátor Hilbert-térben), amelynek spektruma modellezi a szóbanforgó zikai mennyiség lehetséges értékeinek halmazát. Az operátorok spektruma sok esetben szétvágható két olyan részre, amelyek közül az egyik diszkrét halmaz (vagyis minden pontja izolált), míg a másik intervallum (azaz "folytonos" halmaz). Ez tükrözi azt a meggyelt jelenséget, hogy bizonyos valós kvantummechanikai mennyiségek értékhalmaza diszkrét és folytonos részt egyaránt tartalmazhat; például egy kölcsönható protonelektron rendszerben az elektron energiája ilyen tulajdonságú zikai mennyiség. Másfel®l, a spektrum fogalma teljesen klasszikus feladatok megoldása szempontjából is lényeges. A klasszikus zika számos problémája vezet ún. sajátérték-feladatok megoldásához; például a deformálható testek mechanikájában, vagy a klasszikus mechanikai- és elektromágneses hullámjelenségek területén találkozunk ilyen problémákkal. Ilyenkor rendszerint bizonyos integrál- vagy dierenciáloperátorok spektrumának meghatározására van szükség. A gyakorlatok között bemutatjuk a Fredholm- és Volterra-típusú integráloperátorokat, és az ezekkel kapcsolatos sajátérték-probléma megoldását. Látjuk majd, hogy ebben dönt® jelent®ség¶ lesz a teljesen folytonos lineáris operátorok spektrális tulajdonságainak ismerete. Itt hangsúlyozzuk, hogy az alkalmazások megkövetelik a nem folytonos lineáris operátorok spektrálelméletének kidolgozását is. Az els® pontban csak a folytonos lineáris operátorok spektrális tulajdonságaival foglalkozunk. Ezután a funkcionálanalízis négy, alapvet®en fontos tételét tárgyaljuk: Banach egyenletes korlátosság tételét, a BanachSteinhaus-tételt, Banach nyíltleképezés tételét, és a zártgráf-tételt. Ezek alapjául két olyan nemtriviális állítás szolgál, amelyek tisztán metrikus terekre vonatkoznak; az egyik a Baire-féle kategóriatétel, a másik pedig egy olyan állítás, amely mertikus terek között ható folytonos függvények egy speciális tulajdonságáról szól. A Baire-féle kategóriatételnek egészen meghökkent® következményei vannak a metrikus terek elméletében is, a funkcionálanalízist®l függetlenül. Ezt jól szemléltetik

180 a második ponthoz tartozó gyakorlatok. A harmadik pontban bizonyított Banach-féle egyenletes korlátosság tételt és a BanachSteinhaus-tételt nagyon gyakran alkalmazzuk a funkcionálanalízis állításainak bizonyításában, de érdekes alkalmazásai vannak a klasszikus analízisben is, amint azt a gyakorlatok is mutatják. Például a korlátos numerikus sorozatok tere felett általánosított határték-fogalmakat lehet bevezetni, a Banach Steinhaus-tétel felhasználásával. A Banach-féle nyíltleképezés-tételnek legfontosabb következménye az, hogy Banach-terek között ható folytonos lineáris bijekció automatikusan homeomorzmus, tehát az inverze folytonos. Ennek alkalmazásával a funkcionálanalízis jó néhány tételének a feltétel-rendszere egyszer¶síthet®. Másfel®l, a zártgráf-tétel szinte triviálisan következik Banach nyíltleképezés-tételéb®l, és sok lineáris operátor folytonossága könnyen bizonyítható a zártgráf-tétel alkalmazásával. Az ötödik pontban vezetjük be a prehilbert-terek és a Hilbert-terek fogalmát. Látni fogjuk, hogy ezek annyiban speciális normált terek (illetve Banach-terek), amennyiben a normájuk eleget tesz az elemi síkgeometriából jól ismert paralelogramma-egyenl®ségnek. Kiderül, hogy ezek a normák éppen azok, amelyek skalárszorzásból származtathatók. Prehilbert-terek esetében bevezethet® a vektortok mer®legességének (ortogonalitásának) fogalma, és valós prehilbert-térben értelmezhet® a nem nulla vektorok által bezárt szög. Rámutatunk a prehilbert-terek teljes és konvex részhalmazainak egy speciális tulajdonságára, amelyb®l le tudjuk vezetni a Hilbert-terek elemi elméletének két legfontosabb tételét: a Riesz-féle felbontási tételt és a Riesz-féle reprezentációs tételt. Az utóbbi nagyon er®s egzisztencia-tétel, ezért igen fontos alkalmazásai vannak a végtelen dimenziós lineáris egyenletek megoldásában. Prehilbert-terekben lehetséges ortogonális sorozatokat és ortogonális sorokat értelmezni. Ezek általános tulajdonságaival foglalkozunk a hatodik pontban, különös hangsúllyal az ortogonális sorok konvergenciájára. A klasszikus Fourier-sorok, illetve az ortogonális polinomok szerinti sorfejtések speciális esetei az absztrakt Fourier-soroknak. A klasszikus ortogonális polinomok el®állítása szempontjából fontos a Gram-Schmidtortogonalizáció. Értelmezzük és jellemezzük az ortogonális bázissorozatokat, és megmu2 tatjuk, hogy az lK sorozattér a k · k2 normával ellátva lényegében az egyetlen végtelen dimenziós szeparábilis Hilbert-tér K felett. A gyakorlatok között megvizsgáljuk a klasszikus egyváltozós Fourier-sorok pontonkénti konvergenciájának problémáját, és bebizonyítjuk a Fourier-transzformációval kapcsolatos legfontosabb állítást: a Plancherel-tételt. A hetedik pontban a Riesz-féle reprezentációs tétel alkalmazásával értelmezzük a Hilbert-terek között ható folytonos lineáris operátorok adjungáltját, és megvizsgáljuk az adjungálás nevezetes tulajdonságait. Az adjungálás segítségével speciális operátortípusokat értelmezhetünk; ezek között a legfontosabbak az önadjungált, a normális és az unitér operátorok. Megmutatjuk, hogy folytonos önadjungált operátor spektruma része a valós számok halmazának, és a maradékspektruma üres. Befejezéképpen megvizsgálunk néhány általános problémát a Hilbert-terek nem foly-

181 tonos lineáris operátorainak elméletéb®l. Bevezetjük a s¶r¶n értelmezett lineáris operátorok adjungáltjának, és ezzel együtt a nem folytonos lineáris operátorok önadjungáltságának fogalmát. Bebizonyítjuk, hogy egy Hilbert-térben s¶r¶n értelmezett önadjungált operátor pontosan akkor folytonos, ha mindenütt értelmezett. Megmutatjuk továbbá, hogy a kvantummechanika jól ismert Heisenberg-féle felcserélései relációjának kielégíthet®ségével kapcsolatban milyen problémák jelentkeznek, és hogy e problémák megoldhatósága szempontjából miért fontos nem folytonos önadjungált operátorokkal foglalkozni. A nem folytonos operátorok elméletéb®l néhány egyszer¶bb tétel megtalálható a gyakorlatok anyagában, de a mélyebb eredmények származtatásához nélkülözhetetlen a metrikus terek elméletének és az funkcionálanalízisnek továbbfejlesztése. A funkcionálanalízis magasabb szint¶ megértéséhez feltétlenül szükséges az általános topológia, valamint a topologikus vektorterek elméletének bizonyos mélység¶ ismerete. A függelékben megtalálhatók azok a legelemibb fogalmak és tények az általános topológiából, amelyeket ismerni kell. A kés®bbi XIV. és XV. fejezetek tartalmazzák a topologikus vektorterekkel kapcsolatos minimális tudnivalókat. A fels®bb szint¶ funkcionálanalízis bizonyos eredményeit a normált algebrákat, illetve a harmonikus analízis elemeit bemutató XVI. és XVII. fejezetben tárgyaljuk.

Irodalomjegyzék 1. L. Schwartz, Analyse mathématique, Hermann, Paris, 1967. 2. W. Rudin, Functional Analysis, McGraw-Hill Co., New-York, 1973. 3. Sz®kefalvi-Nagy Béla, Valós függvények és függvénysorok, Tankönyvkiadó, Budapest,

1981.

4. Riesz F.-Sz®kefalvi-Nagy B., Funkcionálanalízis, Tankönyvkiadó, Budapest, 1988. 5.

Kato T., Perturbation Theory for Linear Operators, Sprinder-Verlag, BerlinHeidelberg, 1966.

6. H. Schaefer, Topological Vector Spaces, Macmillan Company., New-York, 1966. 7. G. E. Xilov, Matematiqeski$i analiz, Funkcii odnogo peremennogo, Nauka, Moskva, 1970. 8. 9.

L. V. Kantoroviq- G. P. Akilov, Funkcional~n$i analiz, Nauka, Moskva, 1977.

A. N. Kolmogorov- S. V. Fomin, lementy teorii funkci$i i funkcional~nogo analiza,, Nauka, Moskva, 1974.

10.

N. I. Ahi$ iezer- I. M. Glazman, Teori line$inyh operatorov v gil~bertovom prostranstve, izd. ”Viwa wkola” HGU, Har~kov, 1977.

182

8. fejezet Folytonos lineáris operátor spektruma 8.1.

A spektrum standard felbontása

8.1.1. Deníció. Legyen E normált tér K felett és u ∈ L (E). Ekkor Sp(u) := {λ ∈ K | λ.idE − u ∈ / GL(E)}, továbbá ezt a halmazt az u operátor spektrumának, a K \ Sp(u) halmazt az u operátor rezolvens halmazának, és a

K \ Sp(u) → GL(E);

λ 7→ R(u, λ) := (λ.idE − u)−1

leképezést az u operátor rezolvens függvényének nevezzük.

8.1.2. Lemma. Legyen E Banach-tér, F normált tér, és u ∈ L (E; F ) injektív operátor. Ha az u−1 : Im(u) → F operátor folytonos, akkor Im(u) zárt lineáris altér F -ben.

Bizonyítás. Az u−1 : Im(u) → F operátor folytonossága miatt létezik olyan C ∈ R∗+ , hogy minden y ∈ Im(u) esetén ku−1 (y)k ≤ Ckyk, tehát minden E 3 x-re kxk ≤ Cku(x)k. Legyen y ∈ Im(u) és (yn )n∈N olyan sorozat Im(u)-ban, hogy y = lim yn . Egyértelm¶en n→∞ létezik olyan (xn )n∈N sorozat E -ben, amelyre minden n ∈ N esetén u(xn ) = yn . Ekkor minden N 3 m, n-re kxm − xn k ≤ Cku(xm − xn )k = Ckym − yn k, ezért (xn )n∈N Cauchysorozat E -ben. Az E teljessége folytán létezik olyan x ∈ E , hogy x = lim xn , tehát n→∞ az u folytonossága és az átviteli elv alapján u(x) = lim u(xn ) = lim yn = y . Ezért n→∞ n→∞ y ∈ Im(u), ami azt jelenti, hogy Im(u) zárt lineáris altér F -ben. 

8.1.3. Állítás. Ha E Banach-tér és u ∈ L (E), akkor u ∈ GL(E) ekvivalens azzal, hogy u injektív, Im(u) s¶r¶ F -ben, és u−1 folytonos.

Bizonyítás. Azt kell igazolni, hogy ha u injektív, Im(u) s¶r¶ F -ben, és u−1 folytonos, akkor Im(u) = E . Ez viszont az el®z® lemma alapján nyilvánvaló, mert Im(u) zárt és s¶r¶ F -ben.  183

184

8. FOLYTONOS LINEÁRIS OPERÁTOR SPEKTRUMA

8.1.4. Deníció. Legyen E normált tér és u ∈ L (E).  Az u operátor pontspektrumának nevezzük az Sps (u) := {λ ∈ K | ”λ.idE − u nem injektív ”} halmazt. Az Sps (u) halmaz elemeit az u sajátértékeinek nevezzük.  Az u operátor folytonos spektrumának nevezzük az

Spc (u) := {λ ∈ K | ”λ.idE − u injektív és Im(λ.idE − u) = E és (λ.idE − u)−1 nem folytonos ”} halmazt.  Az u operátor maradékspektrumának nevezzük az

Spr (u) := {λ ∈ K | ”λ.idE − u injektív és Im(λ.idE − u) 6= E ”} halmazt.

8.1.5. Állítás. Legyen E normált tér és u ∈ L (E). Ekkor Sps (u) ∪ Spc (u) ∪ Spr (u) ⊆ Sp(u), és a bal oldalon álló halmazok páronként diszjunktak. Ha E Banach-tér, akkor

Sps (u) ∪ Spc (u) ∪ Spr (u) = Sp(u). Ha E véges dimenziós, akkor Sp(u) = Sps (u), tehát Spc (u) = Spr (u) = ∅ és Sp(u) véges halmaz. Bizonyítás. Ha λ ∈ Sps (u), akkor λ.idE − u nem injektív, így λ.idE − u ∈ / GL(E). Ha λ ∈ Spc (u), akkor a λ.idE − u operátor injektív, de az inverze nem folytonos, így λ.idE − u ∈ / GL(E). Ha λ ∈ Spr (u), akkor a λ.idE − u operátor injektív, de nem szürjektív (s®t az értékkészlete még csak nem is s¶r¶), ezért λ.idE − u ∈ / GL(E). Tehát λ ∈ Sps (u) ∪ Spc (u) ∪ Spr (u) esetén λ.idE − u ∈ / GL(E), vagyis λ ∈ Sp(u). A denícióból látható, hogy az Sps (u), Spc (u) és Spr (u) halmazok páronként diszjunktak. Ha λ ∈ K \ (Sps (u) ∪ Spc (u) ∪ Spr (u)) teljesül, akkor λ ∈ / Sps (u) miatt λ.idE − u injektív, és λ ∈ / Spr (u) miatt Im(λ.idE − u) s¶r¶ lineáris altere E -nek, valamint λ ∈ / Spc (u) miatt (λ.idE − u)−1 folytonos. Tehát ha E Banach-tér, akkor az el®z® állítás alapján λ.idE − u ∈ GL(E), vagyis λ ∈ / Sp(u), ami azt jelenti, hogy ekkor Sp(u) ⊆ Sps (u) ∪ Spc (u) ∪ Spr (u) = Sp(u). Ha E véges dimenziós, akkor λ ∈ K esetén λ.idE − u ∈ / GL(E) ekvivalens azzal, hogy λ.idE −u nem injektív, azaz λ ∈ Sps (u). Továbbá ekkor λ ∈ K esetén a λ.idE −u operátor

185

8.2. SPEKTRÁLSUGÁR

pontosan akkor nem injektív, ha det(λ.idE − u) = 0. Ez azt jelenti, hogy az u operátor sajátértékei megegyeznek a K → K; λ 7→ det(λ.idE − u) polinomiális függvény gyökeivel, és ennek a függvénynek a gyökhalmaza legfeljebb dim(E) számosságú, így Sps (u) véges halmaz.  Végtelen dimenziós Banach-tér felett létezhet olyan u folytonos lineáris operátor, hogy az Sps (u) = ∅, Spc (u) = ∅ és Spr (u) = ∅ egyenl®ségek bármelyike teljesül, s®t ezek közül bármely kett® is teljesíthet®. Még véges dimenziós valós Banach-tér esetében is el®fordulhat az, hogy Sp(u) = ∅ (2. gyakorlat). Azonban véges dimenziós komplex E normált tér esetében, ha E 6= {0}, akkor minden u ∈ L (E) operátorra az algebra alaptétele szerint Sp(u) 6= ∅. Kés®bb látni fogjuk, hogy ez az állítás végtelen dimenziós komplex normált terek folytonos lineáris operátoraira is igaz.

8.2.

Spektrálsugár

8.2.1. Deníció. Ha E normált tér, akkor minden u ∈ L (E) esetén ρ(u) := inf∗ kun k1/n , n∈

N

és a ρ(u) számot az u operátor spektrálsugarának nevezzük. Ha E normált tér, akkor az u ∈ L (E) operátort kvázinilpotensnek nevezzük, ha ρ(u) = 0. Ha E normált tér és u ∈ L (E), akkor minden n ∈ N∗ esetén kun k ≤ kukn , következésképpen ρ(u) ≤ kuk. Azonban itt általában nincs egyenl®ség; például, ha ‚ Œ 0 1 u := ∈ L (K2 ), akkor u2 = 0, ezért ρ(u) = 0, ugyanakkor u 6= 0 miatt kuk > 0 0 0 bármely L (K2 ) feletti normára. Az is könnyen látható, hogy ha E normált tér K felett, u ∈ L (E) és λ ∈ K, akkor ρ(λu) = |λ|ρ(u), hiszen €

Š

ρ(λ.u) = inf k(λ.u)n k1/n = inf |λ|kun k1/n = |λ| inf kun k1/n = |λ|ρ(u). n∈

N

N

N

n∈

n∈

8.2.2. Állítás. Ha E normált tér és u ∈ L (E), akkor az (kun k1/n )n∈N∗ sorozat konvergens R-ben, és

ρ(u) = lim kun k1/n . n→∞

Bizonyítás. Ha létezik olyan m ∈ N∗ , hogy um = 0, akkor minden n ≥ m természetes számra un = un−m ◦ um = 0, tehát ρ(u) = 0 és természetes az (kun k1/n )n∈N∗ sorozat 0-hoz konvergál, vagyis az állítás igaz. Ezért feltehet®, hogy minden n ∈ N∗ esetén un 6= 0, vagyis kun k > 0. Legyen minden n ∈ N∗ esetén cn := kun k; ekkor (cn )n∈N∗ olyan

186

8. FOLYTONOS LINEÁRIS OPERÁTOR SPEKTRUMA

sorozat R∗+ -ban, amelyre minden m, n ∈ N∗ esetén cm+n ≤ cm cn . Ezért a II. fejezet, 3. pont, 10. gyakorlat eredménye alapján a (c1/n n )n∈N∗ sorozat konvergens R-ben, és 1/n 1/n lim cn = inf∗ cn .  n→∞

N

n∈

Az el®z® állításból következik, hogy ha E normált tér és m ∈ N∗ , akkor minden u ∈ L (E) esetén ρ(um ) = ρ(u)m , hiszen €

ρ(um ) = n→∞ lim k(um )n k1/n = n→∞ lim k(umn k1/(mn) =



lim k(umn k1/(mn) n→∞

m

Šm

=

= ρ(u)m .

A spektrálsugár legfontosabb tulajdonságát fogalmazza meg a következ® állítás.

8.2.3. Állítás. Legyen E normált tér és u ∈ L (E). Ha ρ(u) < 1, akkor a

X

k∈

N

uk operá-

torsor abszolút konvergens az L (E) feletti operátornorma szerint, és ha E Banach-tér, akkor idE − u ∈ GL(E), valamint ∞ X

uk = (idE − u)−1 .

k=0

Bizonyítás. Legyen r ∈]ρ(u), 1[ rögzített valós szám. Ekkor van olyan n ∈ N∗ , hogy 1/k minden k>n természetes számra kuk kX
N

feletti operátornorma szerint. Ha E Banach-tér, akkor képezhet® a

∞ X

uk operátorsor-

k=0

összeg. Ezután a bizonyítást ugyanúgy lehet befejezni, mint a VI. fejezet 1. pontjában megfogalmazott analóg állítás esetében. 

8.3.

A rezolvens-függvény analitikus tulajdonságai

8.3.1. Tétel. Legyen E Banach-tér K-felett és u ∈ L (E). uk operátorsor abszolút konvergens az L (E) k k∈N λ ∞ 1X uk feletti operátornorma szerint, és λidE − u ∈ GL(E), valamint R(u, λ) = . λ k=0 λk a) Ha λ ∈ K és |λ| > ρ(u), akkor a

X

b) Az Sp(u) halmaz kompakt K-ban és Sp(u) ⊆ Bρ(u) (0; K). c) Az R(u, ·) : K \ Sp(u) → L (E) rezolvens-függvény K-analitikus és végtelenben elt¶n®, vagyis minden ε ∈ R∗+ esetén van olyan K ⊆ K kompakt halmaz, hogy K \ C ⊆ Dom(R(u, ·)) és minden K \ K 3 λ-ra kR(u, λ)k < ε.

8.3. A REZOLVENS-FÜGGVÉNY ANALITIKUS TULAJDONSÁGAI

187

Bizonyítás. Legyen λ∈K és |λ|>ρ(u).

Ekkor a λ−1 u∈L (E) operátorra ρ(λ−1 u) = X uk |λ|−1 ρ(u)<1, tehát az el®z® állításból kapjuk, hogy a operátorsor abszolút k k∈N λ konvergens az L (E) feletti operátornorma szerint, és λidE −u = λ(idE −λ−1 u) ∈ GL(E), valamint ∞ 1X uk R(u, λ) := (λidE − u)−1 = λ−1 (idE − λ−1 u)−1 = . λ k=0 λk Ebb®l következik a), és látható, hogy K \ Bρ(u) (0; K) ⊆ K \ Sp(u), tehát Sp(u) ⊆ Bρ(u) (0; K), így Sp(u) korlátos halmaz K-ban. Az Sp(u) kompaktságához elegend® azt igazolni, hogy Sp(u) zárt, vagyis K \ Sp(u) nyílt K-ban. Ehhez legyen λ0 ∈ K \ Sp(u) rögzített pont, és r ∈ R∗+ olyan szám, amelyre 1 1 r≤ . Ha λ ∈ Br (λ0 ; K), akkor |λ − λ0 |< , ezért −1 k(λ0 idE − u) k k(λ0 idE − u)−1 k

k(λidE − u) − (λ0 idE − u)k = |λ − λ0 |kidE k ≤ |λ − λ0 | <

1 , k(λ0 idE − u)−1 k

így λidE − u ∈ GL(E). (Itt azt használtuk ki, hogy ha E Banach-tér és v0 ∈ GL(E), 1 továbbá v ∈ L (E) olyan, hogy kv −v0 k < −1 , akkor v ∈ GL(E).) Tehát Br (λ0 ; K) ⊆ kv0 k K \ Sp(u), így λ0 bels® pontja az u rezolvens-halmazának. Ezzel igazoltuk az Sp(u) zártságát, tehát a b) állítást igazoltuk, ugyanakkor az is látható, hogy λ ∈ Br (λ0 ; K) esetén k − (λ − λ0 )(λ0 idE − u)−1 k < 1, ezért

(λidE − u)−1 = ((λ − λ0 )idE + (λ0 idE − u))−1 = = (idE − (−(λ − λ0 )(λ0 idE − u)−1 ))−1 (λ0 idE − u)−1 = =

∞ X

!

k

k

−1 k

(−1) (λ − λ0 ) ((λ0 idE − u) )

(λ0 idE − u)−1 =

k=0

=

∞ X

(−1)k (λ − λ0 )k ((λ0 idE − u)−1 )k+1 ,

k=0

továbbá az itt álló operátorsor-összegek abszolút konvergens sorok összegei. Br (λ0 ; K) ⊆ K \ Sp(u), és az u rezolvens-függvénye ezen a halmazon egyenl® a X

N

k∈

Tehát

(−1)k (idK − λ0 )k ((λ0 idE − u)−1 )k+1

hatványfüggvény-sor összegfüggvényével. Látjuk, hogy ez a hatványfuggvény-sor abszolút konvergens a Br (λ0 ; K) gömbön, ezért az egyváltozós hatványfüggvény-sorokra vonatkozó Cauchy-Hadamard-tétel alapján (V. fejezet, 11. pont) a konvergencia-sugara nagyobbegyenl® r-nél. Ez azt jelenti, hogy az u rezolvens-függvénye K-analitikus a λ0 pontban.

188

8. FOLYTONOS LINEÁRIS OPERÁTOR SPEKTRUMA

Ezért már csak azt kell iagzolni, hogy az u rezolvens-függvénye végtelenben elt¶n®. Legyenek r, R ∈ R∗+ tetsz®leges olyan számok, amelyekre R > r > ρ(u), és legyen N ∈ N olyan, hogy minden k > N természetes számra kuk k < rk . Ekkor λ ∈ K és |λ| ≥ R esetén az a) alapján

kR(u, λ)k ≤

1 ≤ |λ|

„

∞ X

k

1 ku k 1 = k |λ| k=0 |λ| |λ|

N X

∞ X kuk k rk + k k k=0 R k=N +1 R

Ž

„

N X

∞ X

k

k

ku k ku k + k k k=0 |λ| k=N +1 |λ|

…

kuk k  r ‹N +1 + k R k=0 R N X

1 = |λ|

Ž

≤

…



1 1−

r R

.

Ez azt jelenti, hogy a

C(r, R) :=

N X

k



ku k r + k R k=0 R

‹N +1



…

1 1−

r R

számra teljesül az, hogy minden λ ∈ K \ BR (0; K) esetén

kR(u, λ)k ≤

C(r, R) . |λ|

Ebb®l látható, hogy az u rezolvens-függvénye a végtelenben elt¶n®, amivel a c) állítást is igazoltuk.  Ò az E teljes burka. Ha u ∈ L (E) és u b jelöli 8.3.2. Lemma. Legyen E normált tér és E Ò-re, akkor Sp(u b) ⊆ Sp(u). az u folytonos lineáris kiterjesztését E

Ò . Ez valóban így Bizonyítás. Elegend® azt igazolni, hogy v ∈ GL(E) esetén vb ∈ GL(E) van, mert a v ∈ GL(E) feltétel miatt van olyan w ∈ GL(E), hogy v ◦ w = w ◦ v = idE , Ò .  Ò=w Ò◦v b = id b , így v b ∈ GL(E) ezért vb ◦ w E

8.3.3. Tétel. Ha E nem nulla dimenziós komplex normált tér, akkor minden u ∈ L (E) esetén Sp(u) 6= ∅.

Bizonyítás. El®ször tegyük fel, hogy E teljes. Tegyük fel, hogy az u ∈ L (E) operátor spektruma üres. Ekkor Dom(R(u, ·)) = C, vagyis R(u, ·) : C → L (E) holomorf függvény, és ez végtelenben elt¶n®, így korlátos is. A Liouville-tétel alapján R(u, ·) konstansfüggvény, és a végtelenben elt¶nés miatt R(u, ·) az azonosan 0 függvény. De R(u, ·) értékei GL(E)-ben vannak, ezért 0 ∈ GL(E), amib®l azonnal következik, hogy E = {0}. Tehát ha E nem nulla dimenziós, akkor minden u ∈ L (E) esetén Sp(u) 6= ∅.

189

8.4. A SPEKTRÁLSUGÁR MINIMALITÁSA

Ò az E teljes Legyen most E tetsz®leges nem nulla dimenziós komplex normált tér, és E Ò burka. Ekkor E nem nulla dimenziós komplex Banach-tér, tehát ha u ∈ L (E) és ub jelöli az u folytonos lineáris kiterjesztését, akkor az el®z® lemmából következik, hogy ∅ 6= Sp(ub) ⊆ Sp(u). 

Azonban még véges dimenziós valós Banach-téren is létezhet olyan lineáris operátor, amelynek a spektruma üres (2. gyakorlat).

8.4.

A spektrálsugár minimalitása

8.4.1. Tétel. Ha E komplex Banach-tér és u ∈ L (E), akkor ρ(u) = min{r ∈ R+ | Sp(u) ⊆ Br (0; C)}. (A spektrálsugár minimalitása)

Bizonyítás. Tudjuk, hogy Sp(u) ⊆ Bρ (0; C), ezért azt kell megmutatni, hogy ha r ∈ R+ olyan, amelyre Sp(u) ⊆ Br (0; C), akkor ρ(u) ≤ r. Indirekt bizonyítunk, tehát feltesszük, hogy az r ∈ R+ számra Sp(u) ⊆ Br (0; C), de r < ρ(u). Legyen R ∈]r, ρ(u)[ rögzített szám, és tekíntsük az 8 <

f : B1/R (0; C) → L (E);

z 7→ :

R(u, z −1 ) ; ha z 6= 0, 0 ; ha z = 0

függvényt, ami jól értelmezett, mert ha z ∈ C és 0 < |z| < 1/R, akkor z −1 ∈ C \ BR (0; C) ⊆ C\Br (0; C) ⊆ C\Sp(u). Az f függvény a B1/R (0; C)\{0} halmazon holomorf, mert ezen a halmazon két C-dierenciálható függvény kompozíciójaként állítható el®. Ha z ∈ C és 0 < |z| < 1/ρ(u), akkor |z −1 | > ρ(u), tehát a

X

N

z k uk operátorsor abszolút

k∈

konvergens az L (E) feletti operátornorma szerint, és z −1 idE − u ∈ GL(E), valamint €

f (z) := R(u, z −1 ) = z −1 idE − u

Š−1

=z

∞ X

z k uk .

k=0

Ez azt jelenti, hogy a

X k∈

N

k idk+1 C u hatványfüggvény-sor összegfüggvénye értelmezve van

a B1/ρ(u) (0; C) gömbön, és f (0) := 0 miatt f = hogy a

X

N

k∈

∞ X k=0

k idk+1 C u ezen a halmazon. Világos,

k idk+1 C u hatványfüggvény-sor konvergencia-sugara egyenl® a

1 1 = k−1 1/k lim sup ku k ρ(u) k→∞

190

8. FOLYTONOS LINEÁRIS OPERÁTOR SPEKTRUMA

számmal.

Tehát az f függvény a 0 pontban C-analitikus, és az

X

N

k∈

k idk+1 C u hat-

ványfüggvény-sor megegyezik az f függvény 0 pontbeli Taylor-sorával. A holomorf függvények Taylor-sorfejtésének maximalitási tulajdonságából adódik, hogy az f függvény 0 pontbeli Taylor-sorának konvergencia-sugara nagyobb-egyenl® a sup{s ∈ R+ |Bs (0; C) ⊆ Dom(f )} = 1/R számnál. Tehát 1/R ≤ 1/ρ(u), holott R < ρ(u), ami ellentmondás.  Az el®z® tétel érvényessége szempontjából egészen lényeges, hogy E komplex Banachtér legyen (2. gyakorlat).

8.5.

Komplexikáció spektruma

8.5.1. Állítás. Legyen E valós vektortér, és jelölje EC az E komplexikációját (IV. fejezet, 1. pont, 7. gyakorlat), tehát EC alaphalmaza az E × E szorzathalmaz, és ezen a lineáris m¶veletek a következ®k: minden (x, y), (x0 , y 0 ) ∈ EC × EC és λ ∈ C esetén (x, y) + (x0 , y 0 ) := (x + x0 , y + y 0 ), λ.(x, y) := (<(λ)x − =(λ)y, =(λ)x + <(λ)y). a) Minden u : E → E lineáris operátorra az

uC : EC → EC ;

(x, y) 7→ (u(x), u(y))

leképezés C-lineáris operátor, és u pontosan akkor injektív (illetve szürjektív), ha uC injektív (illetve szürjektív). b) Legyen k · k norma az E valós vektortér felett. Ekkor a

k · kC : EC → R+ ;

(x, y) 7→ sup kx cos(t) − y sin(t)k t∈

R

leképezés olyan norma az EC komplex vektortér felett, amelyre teljesül az, hogy minden (x, y) ∈ EC esetén

max(kxk, kyk) ≤ k(x, y)kC ≤ 2 max(kxk, kyk). Az (EC , k · kC ) komplex normált teret az (E, k · k) valós normált tér komplexikációjának nevezzük. Az R-en a k · k euklidészi abszolútérték-függvényt véve normaként, k · kC azonos a C feletti euklidészi abszolútérték-függvénnyel. Az (EC , k · kC ) komplex normált tér pontosan akkor teljes, ha az (E, k · k) valós normált tér teljes. c) Legyen k · k norma az E valós vektortér felett. Az u : E → E lineáris operátor pontosan akkor folytonos a k · k szerint, ha uC folytonos a k · kC szerint; és ha u folytonos,

8.5. KOMPLEXIFIKÁCIÓ SPEKTRUMA

191

akkor kuk = kuC k. Ha u : E → E lineáris operátor, akkor Im(u) pontosan akkor s¶r¶ E -ben a k · k szerint, ha uC s¶r¶ EC -ben a k · kC szerint.

d) Legyen k · k norma az E valós vektortér felett. Ha u : E → E lineáris operátor, akkor u ∈ GL(E) ekvivalens azzal, hogy uC ∈ GL(EC ). Ha u : E → E folytonos lineáris operátor, akkor R ∩ Sp(uC ) = Sp(u),

R ∩ Sps (uC ) = Sps (u),

R ∩ Spc (uC ) = Spc (u),

R ∩ Spr (uC ) = Spr (u).

(Azonban Sp(uC )-nek általában léteznek nem valós elemei is.) Bizonyítás. b) A norma-tulajdonságokat illet®en csak az nem nyilvánvaló, hogy k · kC -re (N OII ) teljesül. Ennek bizonyításához legyen (x, y) ∈ EC és a, b ∈ R. Feltehetjük, hogy a 6= 0 vagy b 6= 0, tehát létezik olyan t0 ∈ R, amelyre

cos(t0 ) = √

a , + b2

a2

sin(t0 ) = √

b . + b2

a2

Ekkor

k(a + ib)(x, y)kC = k(ax − by, bx + ay)kC = sup k(ax − by) cos(t) − (bx + ay) sin(t)k =

R

t∈

= sup k(a cos(t) − b sin(t))x − (b cos(t) + a sin(t))yk = =

√

=

t∈

R

a2 + b2 sup k(cos(t0 ) cos(t) − sin(t0 ) sin(t))x − (sin(t0 ) cos(t) + cos(t0 ) sin(t))yk =

√

R

t∈

a2 +b2 sup kx cos(t + t0 ) − y sin(t + t0 )k = t∈

R

√

a2 +b2 k(x, y)kC = |a + ib|k(x, y)kC ,

vagyis k(a + ib)(x, y)kC = |a + ib|k(x, y)kC . A deníció alapján nyilvánvaló, hogy ha (x, y) ∈ EC és t ∈ R, akkor kx cos(t)−y sin(t)k ≤ kxk + kyk ≤ 2 max(kxk, kyk), így k(x, y)kC ≤ 2 max(kxk, kyk). Ugyanakkor, (x, y) ∈ EC esetén kxk = kx cos(0) − y sin(0)k ≤ k(x, y)kC és kyk = kx cos(π/2) − y sin(π/2)k ≤ k(x, y)kC , így max(kxk, kyk) ≤ k(x, y)kC is teljesül. Az iménti egyenl®tlenségekb®l következik, hogy ha (xn )n∈N és (yn )n∈N sorozatok E -ben, akkor az EC -ben haladó ((xn , yn ))n∈N sorozat pontosan akkor konvergens (illetve Cauchysorozat) a k · kC szerint, ha (xn )n∈N és (yn )n∈N mindketten konvergensek (illetve Cauchysorozatok) E -ben a k · k szerint. Továbbá, ha (xn )n∈N és (yn )n∈N konvergens E -ben haladó sorozatok, akkor

lim (xn , yn ) = ( lim xn , lim yn )

n→∞

n→∞

n→∞

teljesül EC -ben k · kC szerint. Ebb®l azonnal következik, hogy az (EC , k · kC ) komplex normált tér pontosan akkor teljes, ha az (E, k · k) valós normált tér teljes.

192

8. FOLYTONOS LINEÁRIS OPERÁTOR SPEKTRUMA

c) Legyen u : E → E folytonos lineáris operátor. Ha (x, y) ∈ EC , akkor

kuC (x, y)kC = k(u(x), u(y))kC = sup ku(x) cos(t) − u(y) sin(t)k =

R

t∈

= sup ku(x cos(t) − y sin(t))k ≤ sup kukkx cos(t) − y sin(t)k = kukk(x, y)kC ,

R tehát uC : EC → EC folytonos és kuC k ≤ kuk. Ha x ∈ E és kxk ≤ 1, akkor k(x, 0)kC = kxk ≤ 1, tehát t∈

R

t∈

ku(x)k = k(u(x), 0)kC = kuC (x, 0)kC ≤ kuC k, így kuk ≤ kuC kC . Ha u : E → E lineáris operátor, akkor a denícióból következik, hogy Im(uC ) = Im(u) × Im(u), így Im(uC ) s¶r¶sége EC -ben ekvivalens az Im(u) altér E -beli s¶r¶ségével. d) Legyen u : E → E lineáris operátor. Ha u ∈ GL(E), akkor u−1 : E → E folytonos lineáris operátor és

uC ◦ (u−1 )C = (u ◦ u−1 )C = (idE )C = idEC = (u−1 ◦ u)C = (u−1 )C ◦ uC , tehát uC ∈ GL(EC ) és (uC )−1 = (u−1 )C . Megfordítva, legyen uC ∈ GL(EC ). Ekkor a v := (uC )−1 : EC → EC lineáris operátor folytonos és uC ◦ v = idEC = v ◦ uC . Világos, hogy az j1 : E → EC ; x 7→ (x, 0)

p1 : EC → E;

(x, y) 7→ x

leképezések folytonos R-lineáris operátorok, ezért a p1 ◦v ◦j1 : E → E leképezés folytonos lineáris operátor, és könnyen ellen®rizhet®, hogy

u ◦ (p1 ◦ v ◦ j1 ) = idE = (p1 ◦ v ◦ j1 ) ◦ u, tehát u ∈ GL(E). Ha λ ∈ R, akkor λ ∈ / Sp(u) azzal ekvivalens, hogy λidE − u ∈ GL(E), vagyis λidEC − uC = (λidE − u)C ∈ GL(EC ). Ez azt jelenti, hogy R \ Sp(u) = R \ Sp(uC ), vagyis R ∩ Sp(uC ) = Sp(u). Ha λ ∈ R, akkor az a) alapján a λidE − u operátor pontosan akkor nem injektív (azaz λ ∈ Sps (u)), ha a λidEC − uC operátor nem injektív (azaz λ ∈ Sps (uC )). Ez azt jelenti, hogy R \ Sps (u) = R \ Sps (uC ), vagyis R ∩ Sps (uC ) = Sps (u). Ha λ ∈ R, akkor az a) alapján a λidE − u operátor pontosan akkor injektív, ha a λidEC − uC operátor injektív, és a c) szerint Im(λidE − u) pontosan akkor nem s¶r¶ E ben, ha Im(λidEC − uC ) nem s¶r¶ EC -ben. Ez azt jelenti, hogy R \ Spr (u) = R \ Spr (uC ),

193

8.5. KOMPLEXIFIKÁCIÓ SPEKTRUMA

vagyis R ∩ Spr (uC ) = Spr (u). Legyen λ ∈ Spc (u). Ekkor λidE −u injektív, Im(λidE −u) s¶r¶ E -ben, és az (λidE −u)−1 : Im(λidE − u) → E operátor nem folytonos. Ekkor az a) szerint λidEC − uC injektív, és a c) szerint Im(λidEC − uC ) s¶r¶ EC -ben. Ha a (λidEC − uC )−1 : Im((λidEC − uC )) → EC operátor folytonos volna, akkor létezne olyan C ∈ R∗+ , hogy minden (x, y) ∈ EC esetén

k((λidE − u)(x), (λidE − u)(y))kC = k(λidE − u)C (x, y)kC ≥ Ck(x, y)kC . Ekkor minden E 3 x-re

k(λidE − u)(x)k = k(λidE − u)C (x, y0)kC ≥ Ck(x, y)kC = Ckxk teljesülne, tehát a (λidE − u)−1 operátor folytonos lenne. Ezért (λidEC − uC )−1 nem folytonos, így λ ∈ R ∩ Spc (uC ). Megfordítva, legyen λ ∈ R ∩ Spc (uC ). Ekkor λidEC − uC injektív, Im(λidEC − uC ) s¶r¶ EC -ben, és a (λidEC − uC )−1 : Im(λidEC − uC ) → EC operátor nem folytonos. Ekkor az a) szerint λidE − u injektív, és a c) alapján Im(λidE − u) s¶r¶ E -ben. Ha a (λidE − u)−1 : Im(λidE − u) → E operátor folytonos lenne, akkor létezne olyan C ∈ R∗+ , hogy minden x ∈ E esetén k(λidE − u)(x)k ≥ Ckxk. Ekkor minden EC 3 (x, y)-ra

k(λidE − u)C (x, y)kC = k((λidE − u)(x), (λidE − u)(y))kC ≥ C k(x, y)kC , 2 nem folytonos, így

≥ max(k(λidE − u)(x)k, k(λidE − u)(y)k) ≥ C max(kxk, kyk) ≥

tehát a (λidEC − uC )−1 operátor folytonos lenne. Ezért (λidE − u)−1 λ ∈ Spc (u).  1. Legyen E valós vektortér, és jelölje EC az E komplexikációját (IV. fejezet, 1. pont, 7. gyakorlat), tehát EC alaphalmaza az E × E szorzathalmaz, és ezen a lineáris m¶veletek a következ®k: minden (x, y), (x0 , y 0 ) ∈ EC × EC és λ ∈ C esetén

(x, y) + (x0 , y 0 ) := (x + x0 , y + y 0 ), λ.(x, y) := (<(λ)x − =(λ)y, =(λ)x + <(λ)y). a) Minden u : E → E lineáris operátorra az

uC : EC → EC ;

(x, y) 7→ (u(x), u(y))

leképezés C-lineáris operátor, és u pontosan akkor injektív (illetve szürjektív), ha uC injektív (illetve szürjektív).

194

8. FOLYTONOS LINEÁRIS OPERÁTOR SPEKTRUMA

b) Legyen k · k norma az E valós vektortér felett. Ekkor a

k · kC : EC → R+ ;

(x, y) 7→ sup kx cos(t) − y sin(t)k

R

t∈

leképezés olyan norma az EC komplex vektortér felett, amelyre teljesül az, hogy minden (x, y) ∈ EC esetén

max(kxk, kyk) ≤ k(x, y)kC ≤ 2 max(kxk, kyk). Az (EC , k · kC ) komplex normált teret az (E, k · k) valós normált tér komplexikációjának nevezzük. Az R-en a k · k euklidészi abszolútérték-függvényt véve normaként, k · kC azonos a C feletti euklidészi abszolútérték-függvénnyel. Az (EC , k · kC ) komplex normált tér pontosan akkor teljes, ha az (E, k · k) valós normált tér teljes. c) Legyen k · k norma az E valós vektortér felett. Az u : E → E lineáris operátor pontosan akkor folytonos a k · k szerint, ha uC folytonos a k · kC szerint; és ha u folytonos, akkor kuk = kuC k. Ha u : E → E lineáris operátor, akkor Im(u) pontosan akkor s¶r¶ E -ben a k · k szerint, ha uC s¶r¶ EC -ben a k · kC szerint.

d) Legyen k · k norma az E valós vektortér felett. Ha u : E → E lineáris operátor, akkor u ∈ GL(E) ekvivalens azzal, hogy uC ∈ GL(EC ). Ha u : E → E folytonos lineáris operátor, akkor R ∩ Sp(uC ) = Sp(u),

R ∩ Sps (uC ) = Sps (u),

R ∩ Spc (uC ) = Spc (u),

R ∩ Spr (uC ) = Spr (u).

(Azonban Sp(uC )-nek általában léteznek nem valós elemei is.) (Útmutatás. b) A norma-tulajdonságokat illet®en csak az nem nyilvánvaló, hogy k · kC -re (N OII ) teljesül. Ennek bizonyításához legyen (x, y) ∈ EC és a, b ∈ R. Feltehetjük, hogy a 6= 0 vagy b 6= 0, tehát létezik olyan t0 ∈ R, amelyre

cos(t0 ) = √

a , a 2 + b2

sin(t0 ) = √

b . a2 + b2

Ekkor

k(a + ib)(x, y)kC = k(ax − by, bx + ay)kC = sup k(ax − by) cos(t) − (bx + ay) sin(t)k =

R

t∈

= sup k(a cos(t) − b sin(t))x − (b cos(t) + a sin(t))yk = =

√

=

t∈

R

a2 + b2 sup k(cos(t0 ) cos(t) − sin(t0 ) sin(t))x − (sin(t0 ) cos(t) + cos(t0 ) sin(t))yk =

√

R

t∈

a2 +b2 sup kx cos(t + t0 ) − y sin(t + t0 )k = t∈

R

√

a2 +b2 k(x, y)kC = |a + ib|k(x, y)kC ,

8.5. KOMPLEXIFIKÁCIÓ SPEKTRUMA

195

vagyis k(a + ib)(x, y)kC = |a + ib|k(x, y)kC . A deníció alapján nyilvánvaló, hogy ha (x, y) ∈ EC és t ∈ R, akkor kx cos(t)−y sin(t)k ≤ kxk + kyk ≤ 2 max(kxk, kyk), így k(x, y)kC ≤ 2 max(kxk, kyk). Ugyanakkor, (x, y) ∈ EC esetén kxk = kx cos(0) − y sin(0)k ≤ k(x, y)kC és kyk = kx cos(π/2) − y sin(π/2)k ≤ k(x, y)kC , így max(kxk, kyk) ≤ k(x, y)kC is teljesül. Az iménti egyenl®tlenségekb®l következik, hogy ha (xn )n∈N és (yn )n∈N sorozatok E -ben, akkor az EC -ben haladó ((xn , yn ))n∈N sorozat pontosan akkor konvergens (illetve Cauchysorozat) a k · kC szerint, ha (xn )n∈N és (yn )n∈N mindketten konvergensek (illetve Cauchysorozatok) E -ben a k · k szerint. Továbbá, ha (xn )n∈N és (yn )n∈N konvergens E -ben haladó sorozatok, akkor

lim (xn , yn ) = ( lim xn , lim yn )

n→∞

n→∞

n→∞

teljesül EC -ben k · kC szerint. Ebb®l azonnal következik, hogy az (EC , k · kC ) komplex normált tér pontosan akkor teljes, ha az (E, k · k) valós normált tér teljes. c) Legyen u : E → E folytonos lineáris operátor. Ha (x, y) ∈ EC , akkor

kuC (x, y)kC = k(u(x), u(y))kC = sup ku(x) cos(t) − u(y) sin(t)k =

R

t∈

= sup ku(x cos(t) − y sin(t))k ≤ sup kukkx cos(t) − y sin(t)k = kukk(x, y)kC , t∈

R

t∈

R

tehát uC : EC → EC folytonos és kuC k ≤ kuk. k(x, 0)kC = kxk ≤ 1, tehát

Ha x ∈ E és kxk ≤ 1, akkor

ku(x)k = k(u(x), 0)kC = kuC (x, 0)kC ≤ kuC k, így kuk ≤ kuC kC . Ha u : E → E lineáris operátor, akkor a denícióból következik, hogy Im(uC ) = Im(u) × Im(u), így Im(uC ) s¶r¶sége EC -ben ekvivalens az Im(u) altér E -beli s¶r¶ségével. d) Legyen u : E → E lineáris operátor. Ha u ∈ GL(E), akkor u−1 : E → E folytonos lineáris operátor és

uC ◦ (u−1 )C = (u ◦ u−1 )C = (idE )C = idEC = (u−1 ◦ u)C = (u−1 )C ◦ uC , tehát uC ∈ GL(EC ) és (uC )−1 = (u−1 )C . Megfordítva, legyen uC ∈ GL(EC ). Ekkor a v := (uC )−1 : EC → EC lineáris operátor folytonos és uC ◦ v = idEC = v ◦ uC . Világos, hogy az j1 : E → EC ; x 7→ (x, 0)

p1 : EC → E;

(x, y) 7→ x

196

8. FOLYTONOS LINEÁRIS OPERÁTOR SPEKTRUMA

leképezések folytonos R-lineáris operátorok, ezért a p1 ◦v ◦j1 : E → E leképezés folytonos lineáris operátor, és könnyen ellen®rizhet®, hogy

u ◦ (p1 ◦ v ◦ j1 ) = idE = (p1 ◦ v ◦ j1 ) ◦ u, tehát u ∈ GL(E). Ha λ ∈ R, akkor λ ∈ / Sp(u) azzal ekvivalens, hogy λidE − u ∈ GL(E), vagyis λidEC − uC = (λidE − u)C ∈ GL(EC ). Ez azt jelenti, hogy R \ Sp(u) = R \ Sp(uC ), vagyis R ∩ Sp(uC ) = Sp(u). Ha λ ∈ R, akkor az a) alapján a λidE − u operátor pontosan akkor nem injektív (azaz λ ∈ Sps (u)), ha a λidEC − uC operátor nem injektív (azaz λ ∈ Sps (uC )). Ez azt jelenti, hogy R \ Sps (u) = R \ Sps (uC ), vagyis R ∩ Sps (uC ) = Sps (u). Ha λ ∈ R, akkor az a) alapján a λidE − u operátor pontosan akkor injektív, ha a λidEC − uC operátor injektív, és a c) szerint Im(λidE − u) pontosan akkor nem s¶r¶ E ben, ha Im(λidEC − uC ) nem s¶r¶ EC -ben. Ez azt jelenti, hogy R \ Spr (u) = R \ Spr (uC ), vagyis R ∩ Spr (uC ) = Spr (u). Legyen λ ∈ Spc (u). Ekkor λidE −u injektív, Im(λidE −u) s¶r¶ E -ben, és az (λidE −u)−1 : Im(λidE − u) → E operátor nem folytonos. Ekkor az a) szerint λidEC − uC injektív, és a c) szerint Im(λidEC − uC ) s¶r¶ EC -ben. Ha a (λidEC − uC )−1 : Im((λidEC − uC )) → EC operátor folytonos volna, akkor létezne olyan C ∈ R∗+ , hogy minden (x, y) ∈ EC esetén

k((λidE − u)(x), (λidE − u)(y))kC = k(λidE − u)C (x, y)kC ≥ Ck(x, y)kC . Ekkor minden E 3 x-re

k(λidE − u)(x)k = k(λidE − u)C (x, y0)kC ≥ Ck(x, y)kC = Ckxk teljesülne, tehát a (λidE − u)−1 operátor folytonos lenne. Ezért (λidEC − uC )−1 nem folytonos, így λ ∈ R ∩ Spc (uC ). Megfordítva, legyen λ ∈ R ∩ Spc (uC ). Ekkor λidEC − uC injektív, Im(λidEC − uC ) s¶r¶ EC -ben, és a (λidEC − uC )−1 : Im(λidEC − uC ) → EC operátor nem folytonos. Ekkor az a) szerint λidE − u injektív, és a c) alapján Im(λidE − u) s¶r¶ E -ben. Ha a (λidE − u)−1 : Im(λidE − u) → E operátor folytonos lenne, akkor létezne olyan C ∈ R∗+ , hogy minden x ∈ E esetén k(λidE − u)(x)k ≥ Ckxk. Ekkor minden EC 3 (x, y)-ra

k(λidE − u)C (x, y)kC = k((λidE − u)(x), (λidE − u)(y))kC ≥ C k(x, y)kC , 2 nem folytonos, így

≥ max(k(λidE − u)(x)k, k(λidE − u)(y)k) ≥ C max(kxk, kyk) ≥ tehát a (λidEC − uC )−1 operátor folytonos lenne. Ezért (λidE − u)−1 λ ∈ Spc (u).)

8.6. SAJÁTÉRTÉKEK ÉS ÁLTALÁNOSÍTOTT SAJÁTÉRTÉKEK

8.6.

197

Sajátértékek és általánosított sajátértékek

8.6.1. Deníció. Legyen E vektortér a K test felett és u : E → E lineáris operátor.  Az u operátor sajátértékének nevezünk minden olyan λ ∈ K elemet, amelyhez

létezik olyan x ∈ E \ {0}, hogy u(x) = λx teljesül (vagyis a λidE − u operátor nem injektív).  Az u sajátértékeinek halmazát S(u) jelöli, és minden λ ∈ S(u) esetén Eλ (u) := {x ∈ E|u(x) = λx} (= Ker(λidE − u)), amit a λ sajátértékhez tartozó sajátaltérnek nevezünk.

8.6.2. Állítás. Legyen E vektortér a K test felett, és u : E → E lineáris operátor. a) Legyen (λi )i∈I tetsz®leges nem üres injektív rendszer S(u)-ban, és (xi )i∈I olyan rendszer E -ben, amelyre minden i ∈ I esetén xi ∈ Eλi (u) \ {0}. Ekkor az (xi )i∈I rendszer lineárisan független E -ben. b) Ha λ, λ0 ∈ S(u) és λ 6= λ0 , akkor Eλ (u) ∩ Eλ0 (u) = {0}. c) Minden λ ∈ S(u) esetén Eλ (u) ∩

X

Eλ0 (u) = {0}.

λ0 ∈S(u)\{λ}

Bizonyítás. a) Indirekt bizonyítunk, tehát feltesszük, hogy az (xi )i∈I rendszer lineárisan összefügg E -ben, vagyis létezik olyan S ⊆ I nem üres véges halmaz, hogy az (xi )i∈S rendszer lineárisan összefügg®. Jelölje S azon S ⊆ I véges halmazok halmaza, amelyekre az (xi )i∈S rendszer lineárisan összefügg®, és legyen n := min{Card(S)|S ∈ S}. Legyen S ∈ S olyan halmaz, amelyre n = Card(S), és vegyünk olyan (αi )i∈S rendszert K -ban, X amelyre αi xi = 0 és van olyan i ∈ S , hogy αi 6= 0. Rögzítsünk olyan j ∈ S elemet, i∈S

amelyreX αj 6= 0, és legyen S 0 := S \ {j}, valamint minden S 3 i-re αi0 := αi /αj . Ekkor xj = − αi0 xi , így xj 6= 0 miatt van olyan i ∈ S 0 , hogy αi0 6= 0. Továbbá i∈S 0

−

X

(λj αi0 )xi = λj xj = u(xj ) = −

i∈S 0

tehát

X

X

αi0 u(xi ) = −

i∈S 0

X

(αi0 λi )xi ,

i∈S 0

αi0 (λi − λj )xi = 0. A (λi )i∈I rendszer injektivitása miatt minden S 0 3 i-re

i∈S 0

λi − λj 6= 0, és van olyan i ∈ S 0 , hogy αi0 6= 0. Ez azt jelenti, hogy az (xi )i∈S 0 rendszer lineárisan összefügg®, ami Card(S 0 ) = n − 1 miatt ellentmond az n szám minimalitásának. b) Ha λ, λ0 ∈ S(u) és λ 6= λ0 , akkor x ∈ Eλ ∩ Eλ0 esetén λx = u(x) = λ0 x, tehát (λ − λ0 )x = 0, ezért x = 0. c) Legyen λ ∈ S(u) és x ∈ Eλ (u) ∩

X

Eλ0 (u). Ekkor van olyan S ⊆ S(u) \ {λ}

λ0 ∈S(u)\{λ}

véges halmaz és olyan (xλ0 )λ0 ∈S rendszer, hogy x =

X λ0 ∈S

xλ0 és minden S 3 λ0 -re

198

8. FOLYTONOS LINEÁRIS OPERÁTOR SPEKTRUMA

xλ0 ∈ Eλ0 (u). Legyen xλ := x, és tekintsük az (xλ0 )λ0 ∈S∪{λ} rendszert, amely az el®z®ek szerint lineárisan összefügg® és a b) alapján nyilvánvalóan injektív. Ha x 6= 0 volna, akkor S megválasztható lenne úgy, hogy minden λ0 ∈ S esetén xλ0 6= 0, tehát az a) alapján az (xλ0 )λ0 ∈S∪{λ} rendszer lineárisan független lenne. Ezért x = 0. 

8.6.3. Deníció. Legyen E normált tér K felett és u ∈ L (E). A λ ∈ K számot az u operátor általánosított sajátértékének nevezzük, ha létezik olyan (xn )n∈N sorozat E -ben, amelyre inf kxn k > 0 és lim (λxn − u(xn )) = 0. n→∞ n∈N 8.6.4. Lemma. Legyen E Banach-tér és (un )n∈N olyan sorozat GL(E)-ben, amely

konvergens az operátornorma szerint. A n→∞ lim un operátor pontosan akkor eleme GL(E)−1 nek, ha az (un )n∈N sorozat operátornormában korlátos. Bizonyítás. Ha a lim un operátor eleme GL(E)-nek, akkor a GL(E)-beli inverzió operán→∞



−1

tornorma szerinti folytonossága miatt az (u−1 lim un -hoz az n )n∈N sorozat konvergál n→∞ −1 operátornormában, tehát az (un )n∈N sorozat szükségképpen korlátos az operátornorma szerint. Megfordítva, tegyük fel, hogy az (u−1 lim un . n )n∈N sorozat korlátos, és legyen u := n→∞ Ekkor természetesen lim (u−1 ◦ (un − u)) = 0 is teljesül az operátornorma szerint, vagyis n→∞ n −1 −1 lim u ◦u = idE . Létezik olyan n ∈ N, hogy ku−1 n ◦u−idE k < 1, tehát un ◦u ∈ GL(E), n→∞ n így az u = un ◦ (u−1 n ◦ u) operátor is eleme GL(E)-nek. 

8.6.5. Állítás. Legyen E normált tér K felett és u ∈ L (E). a) Az u operátor minden sajátéréke általánosított sajátérték, és ha λ általánosított sajátértéke az u operátornak, akkor van olyan (xn )n∈N korlátos sorozat E -ben, amelyre inf kxn k > 0 és lim (λxn − u(xn )) = 0.

N

n∈

n→∞

b) Az u operátor minden általánosított sajátértéke eleme Sp(u)-nak. c) Ha E Banach-tér, akkor az Fr(Sp(u)) halmaz minden eleme általánosított sajátértéke az u operátornak.

Bizonyítás. a) Legyen λ ∈ K általánosított sajátérértéke az u operátornak, és legyen (xn )n∈N olyan sorozat E -ben, amelyre inf kxn k > 0 és lim (λxn − u(xn )) = 0. Létezik n∈

N

n→∞

olyan σ:N→N szigorúan monoton növ® sorozat N-ben, hogy inf kxn k = lim kxσ(n) k. n∈

N

n→∞

Ekkor az (xσ(n) )n∈N sorozat korlátos és inf kxσ(n) k > 0, továbbá természetesen

lim (λxσ(n) − u(xσ(n) )) = 0 is teljesül. n→∞

n∈

N

b) Legyen λ ∈ K általánosított sajátérértéke az u operátornak; megmutatjuk, hogy λ ∈ Sp(u). Ha nem így volna, akkor λidE − u ∈ GL(E) teljesülne, ugyanakkor létezne

8.7. TELJESEN FOLYTONOS LINEÁRIS OPERÁTOROK SPEKTRUMA

199

olyan (xn )n∈N sorozat E -ben, amelyre inf kxn k > 0 és lim (λxn − u(xn )) = 0. Ekkor

0 = (λidE − u)

−1



 n∈N

n→∞

lim (λxn − u(xn )) = lim xn , ami inf kxn k > 0 miatt lehetetlen.

n→∞

n→∞

n∈

N

c) Tegyük fel, hogy E Banach-tér, és legyen λ ∈ Fr(Sp(u)), tehát az Sp(u) zártsága miatt λ ∈ Sp(u) és λ ∈ / Int(Sp(u)). Ekkor létezik olyan (λn )n∈N sorozat K \ Sp(u)-ban, hogy λ = n→∞ lim λn . A feltevés alapján minden N 3 n-re λn idE − u ∈ GL(E), és természetesen λidE − u = lim (λn idE − u) az operátornorma szerint. Tekintettel arra, hogy λidE − u ∈ / n→∞ −1 GL(E), az el®z® lemma szerint a ((λn idE − u) )n∈N operátorsorozat nem lehet korlátos operátornormában. Ezért létezik olyan σ:N→N szigorúan monoton növ® sorozat N-ben, 1 hogy minden N 3 n-re k(λσ(n) idE − u)−1 k > 0 és lim = 0. Legyen −1 n→∞ k(λ σ(n) idE − u) k minden n ∈ N esetén (λσ(n) idE − u)−1 vn := . k(λσ(n) idE − u)−1 k Nyilvánvaló hogy ha n ∈ N, akkor

k(λidE − u) ◦ vn k ≤ k((λidE − u) − (λσ(n) idE − u)) ◦ vn k + k(λσ(n) idE − u) ◦ vn k = = |λ − λσ(n) |kvn k +

1 , k(λσ(n) idE − u)−1 k

ezért lim ((λidE −u)◦vn ) = 0 az operátornorma szerint. Ha n ∈ N, akkor kvn k = 1, ezért n→∞ van olyan y ∈ E , hogy kyk = 1 és kvn (y)k > 1/2. Ezért kiválasztható olyan E -ben haladó (yn )n∈N sorozat, amelyre minden n ∈ N esetén kyn k = 1 és kvn (yn )k > 1/2. Ha tehát minden n ∈ N esetén xn := vn (yn ), akkor (xn )n∈N olyan E -ben haladó sorozat, amelyre inf kxn k = inf kvn (yn )k ≥ 1/2 > 0, és 0 = lim ((λidE −u)◦vn )(yn ) = lim (λidE −u)(xn ),

N

n∈

N

n∈

n→∞

tehát λ általánosított sajátértéke u-nak. 

n→∞

Azonban létezik olyan E Banach-tér és u ∈ L (E) operátor, hogy u-nak van olyan általánosított sajátértéke, amely nem sajátérték (15. gyakorlat).

8.7.

Teljesen folytonos lineáris operátorok spektruma

8.7.1. Deníció. Legyenek E és F normált terek. Az u : E → F lineáris operátort teljesen folytonosnak nevezzük, ha minden B ⊆ E korlátos halmazra uhBi ⊆ F teljesen korlátos halmaz.

8.7.2. Állítás. Minden teljesen folytonos lineáris operátor folytonos, és ha E végtelen

dimenziós normált tér, akkor az idE operátor nem teljesen folytonos. Ha E véges dimenziós normált tér és F normált tér, akkor minden E → F folytonos lineáris operátor teljesen folytonos.

200

8. FOLYTONOS LINEÁRIS OPERÁTOR SPEKTRUMA

Bizonyítás. Minden teljesen korlátos halmaz korlátos, és normált terek között egy lineáris operátor pontosan akkor folytonos, ha minden korlátos halmazt korlátos halmazra képez le. Ezért minden teljesen folytonos lineáris operátor folytonos. Legyen E véges dimenziós normált tér, F normált tér, és u : E → F lineáris operátor. Ha B ⊆ E korlátos halmaz, akkor B korlátos és zárt halmaz E -ben, tehát E véges dimenzióssága miatt kompakt, ugyanakkor u folytonos, így uhBi kompakt halmaz F -ben, ezért teljesen korlátos, tehát uhBi is teljesen korlátos, hiszen teljesen korlátos halmaz minden részhalmaza teljesen korlátos. Végül, végtelen dimenziós normált térben a 0 középpontú gömbök korlátosak, de nem teljesen korlátosak, ezért a tér identikus operátora folytonos ugyan, de nem teljesen folytonos. 

8.7.3. Állítás. Ha E , F normált terek és u : E → F lineáris operátor, akkor a következ® állítások ekvivalensek. (i)

Az u operátor teljesen folytonos.

(ii) Létezik a 0 vektornak olyan V környezete E -ben, amelyre uhV i ⊆ F teljesen korlátos halmaz. (iii) Minden E -ben haladó (xn )n∈N korlátos sorozatra, (u(xn ))n∈N -nek létezik Cauchyrészsorozata.

Ha F Banach-tér, akkor ezek ekvivalensek a következ® állítással. (iv) Létezik a 0 vektornak olyan V környezete E -ben, amelyre uhV i ⊆ F relatív kompakt halmaz.

Bizonyítás. (i)⇒(ii) Nyilvánvaló, mert normált térben a 0 vektornak létezik korlátos környezete. (ii)⇒(iii) Legyen V olyan környezete E -ben a 0-nak, hogy uhV i ⊆ F teljesen korlátos halmaz, és legyen (xn )n∈N tetsz®leges korlátos sorozat E -ben. Legyenek r, C ∈ R∗+ olyanok, hogy Br (0) ⊆ V és minden N 3 n-re kxn k ≤ C . Ekkor bármely λ ∈]0, r/C[ valós szám olyan, hogy a (λxn )n∈N sorozat V -ben halad, tehát a (λu(xn ))n∈N sorozat az uhV i teljesen korlátos halmazban halad, ezért a teljesen korlátos halmazok Hausdorféle jellemzése (V. fejezet, 9. pont, Hausdor-tétel) alapján van olyan σ : N → N szigorúan monoton növ® függvény, hogy (λu(xσ(m) ))m∈N Cauchy-sorozat F -ben. Ekkor természetesen is (u(xσ(m) ))m∈N is Cauchy-sorozat F -ben. (iii)⇒(i) Tegyük fel, hogy (i) nem teljesül, tehát van olyan B ⊆ E korlátos halmaz, hogy uhBi ⊆ F nem teljesen korlátos halmaz. A teljesen korlátos halmazok Hausdor-féle jellemzése (V. fejezet, 9. pont, Hausdor-tétel) alapján van olyan uhBi-ben haladó Y −1 (yn )n∈N sorozat, amelynek nincs Cauchy-részsorozata. Ha s ∈ ( u h{yn }i ∩ B)

N

n∈

tetsz®leges elem, akkor s olyan B -ben haladó (tehát korlátos) sorozat, hogy az u ◦ s

8.7. TELJESEN FOLYTONOS LINEÁRIS OPERÁTOROK SPEKTRUMA

201

sorozatnak nincs Cauchy-részsorozata, tehát (iii) nem igaz. Teljes metrikus térben a teljesen korlátos halmazok megegyeznek a relatív korlátos halmazokkal (V. fejezet, 5. pont, 2. gyakorlat), ezért F teljessége esetén (iv) és (ii) ekvivalensek. 

8.7.4. Deníció. Ha E és F normált terek, akkor az u : E → F lineáris operátort kompakt operátornak nevezzük, ha létezik a 0 vektornak olyan V környezete E -ben, amelyre uhV i ⊆ F relatív kompakt halmaz.

Tehát az el®z® állítás szerint, ha E normált tér és F Banach-tér, akkor egy u : E → F lineáris operátor pontosan akkor teljesen folytonos operátor, ha kompakt operátor. De ha F nem teljes, akkor létezhet u : E → F teljesen folytonos és nem kompakt operátor (XXXX gyakorlat).

8.7.5. Lemma. Ha M metrikus tér, akkor egy H ⊆ M halmaz pontosan akkor teljesen

korlátos, ha minden R∗+ 3 ε-hoz[létezik olyan Hε ⊆ M teljesen korlátos (de nem feltétlenül véges) halmaz, amelyre H ⊆ Bε (x). x∈Hε

Bizonyítás. Legyen ε ∈ R∗+ tetsz®leges, és az ε/4 számhoz legyen Hε/4 ⊆ H olyan teljesen [ korlátos halmaz, amelyre H ⊆ Bε/4 (x). A Hε/4 halmaz teljesen korlátos, ezért van x∈Hε/4

olyan S ⊆ Hε/4 véges halmaz, hogy Hε/4 ⊆

[

Bε/4 (x). Ha x ∈ H , akkor van olyan

x∈S

x0 ∈ Hε/4 , hogy x ∈ Bε/4 (x0 ), és az x0 -höz van olyan x00 ∈ S , hogy x0 ∈ Bε/4 (x00 ); ekkor d(x, x00 ) ≤ d(x, x0 ) + d(x0 , x00 ) < 2(ε/4) = ε/2, tehát x ∈

[

[

Bε/2 (x00 ). Ez azt jelenti, hogy H ⊆

x00 ∈S

Bε/2 (x00 ), de az S véges halmaz

x00 ∈S

nem szükségképpen része H -nak. Legyen H := {x ∈ S|H ∩ Bε/2 (x0 ) 6= ∅} és rögzítsünk [ egy f ∈ (H ∩ Bε/2 (x0 )) függvényt. Ha x ∈ H , akkor van olyan x0 ∈ S , hogy 0

0

x0 ∈H 0

x ∈ Bε/2 (x0 ), tehát x0 ∈ H 0 , így d(x, f (x0 )) ≤ d(x, x0 ) + d(x0 , f (x0 )) < 2(ε/2) = ε. Ez azt jelenti, hogy Im(f ) ⊆ H olyan véges halmaz, amelyre

H⊆

[

Bε (f (x0 )) =

x0 ∈H 0

vagyis H teljesen korlátos halmaz. 

[ x00 ∈Im(f )

Bε (x00 ),

202

8. FOLYTONOS LINEÁRIS OPERÁTOR SPEKTRUMA

8.7.6. Állítás. Ha E és F normált terek, akkor az E → F teljesen folytonos lineáris operátorok halmaza operátornormában zárt L (E; F )-ben.

Bizonyítás. Legyen u ∈ L (E; F ) olyan operátor, amely eleme az E → F teljesen folytonos lineáris operátorok halmaza operátornorma szerinti lezártjának. Legyen B ⊆ E korlátos halmaz; azt kell igazolni, hogy uhBi teljesen korlátos halmaz F -ben. Az el®z®ek alapján ehhez elegend® azt igazolni, hogy minden ε ∈ R∗+ esetén van olyan Hε ⊆ uhBi [ teljesen korlátos halmaz, amelyre uhBi ⊆ Bε (x). Legyen r ∈ R∗+ olyan, hogy x∈Hε

B ⊆ Br (0), és legyen ε ∈ R∗+ tetsz®leges. Vehetünk olyan v : E → F teljesen folytonos lineáris operátort, amelyre kv − uk < ε/r. Ekkor x ∈ B esetén kv(x) − u(x)k ≤ kv − ukkxk < (ε/r)r = ε, vagyis u(x) ∈ Bε (v(x)). Ebb®l következik, hogy uhBi ⊆

[

Bε (v(x)), ugyanakkor

x∈vhBi

vhBi teljesen korlátos halmaz F -ben, tehát a H := vhBi választás megfelel®. 

8.7.7. Lemma. Ha M és M 0 metrikus terek, valamint f : M → M 0 egyenletesen foly-

tonos függvény, akkor minden H ⊆ M teljesen korlátos halmazra f hHi ⊆ M 0 teljesen korlátos halmaz. Bizonyítás. Legyen ε ∈ R∗+ tetsz®leges, és vegyünk olyan δ ∈ R∗+ számot, amelyre minden x1 , x2 ∈ M esetén, ha d(x1 , x2 ) < δ[ , akkor d 0 (f (x1 ), f (x2 )) < ε. A δ -hoz legyen S ⊆ H Bδ (x; d). Ha x ∈ H , akkor van olyan x0 ∈ S , hogy olyan véges halmaz, amelyre H ⊆ x∈S

x ∈ Bδ (x0 ; d), tehát d(x, x0 ) < δ , így d 0 (f (x), f (x0 )) < ε, vagyis f (x) ∈ Bε (f (x0 ); d 0 ). Ebb®l következik, hogy f hSi ⊆ f hHi olyan véges halmaz, amelyre f hHi ⊆

[

Bε (f (x); d 0 ) =

x∈S

[

Bε (y; d 0 ),

y∈f hSi

vagyis f hHi teljesen korlátos halmaz M 0 -ben. 

8.7.8. Állítás. Ha E1 és F1 normált terek, v ∈ L (E1 ; E) és w ∈ L (F ; F1 ), akkor

minden u : E → F teljesen folytonos lineáris operátorra w ◦ u ◦ v : E1 → F1 teljesen folytonos operátor. Továbbá, az E → F teljesen folytonos lineáris operátorok halmaza lineáris altere L (E; F )-nek. Bizonyítás. Legyenek E1 és F1 normált terek, v ∈ L (E1 ; E), w ∈ L (F ; F1 ), és u : E → F teljesen folytonos lineáris operátor. Legyen B ⊆ E1 korlátos halmaz. Ekkor vhBi ⊆ E korlátos halmaz, ezért az u teljes folytonossága miatt az uhvhBii ⊆ F halmaz teljesen korlátos. Ugyanakkor a w : F → F1 függvény egyenletesen folytonos, így az iméntiek szerint a (w ◦ u ◦ v)hBi = whuhvhBiii halmaz teljesen korlátos F1 -ben. Ez azt jelenti,

8.7. TELJESEN FOLYTONOS LINEÁRIS OPERÁTOROK SPEKTRUMA

203

hogy w ◦ u ◦ v : E1 → F1 teljesen folytonos lineáris operátor. Ha H1 és H2 teljesen korlátos halmazok F -ben, akkor a H1 + H2 := {y1 + y2 |(y1 ∈ H1 ) ∧ (y2 ∈ H2 )} halmaz is teljesen korlátos. Valóban, a H1 × H2 halmaz teljesen korlátos az F × F szorzattérben (V. fejezet, 5. pont, 3. gyakorlat), és az s : F × F → F összeadás-függvény egyenletesen folytonos, így a H1 + H2 = shH1 × H2 i halmaz teljesen korlátos. Ha u1 , u2 : E → F teljesen folytonos lineáris operátorok, akkor u1 + u2 is teljesen folytonos, mert ha B ⊆ E korlátos halmaz, akkor (u1 + u2 )hBi ⊆ u1 hBi + u2 hBi, és az el®z®ek szerint u1 hBi + u2 hBi teljesen korlátos halmaz, így (u1 + u2 )hBi is teljesen korlátos, hiszen teljesen korlátos halmaz minden részhalmaza teljesen korlátos. Ha H ⊆ F teljesen korlátos halmaz és λ ∈ K, akkor a λH := {λx|x ∈ H} halmaz is teljesen korlátos, mert a hλ : F → F ; y 7→ λy függvény egyenletesen folytonos és λH = hλ hHi. Ebb®l következik, hogy ha u : E → F teljesen folytonos lineáris operátor és λ ∈ K, akkor λu is teljesen folytonos, mert ha B ⊆ E korlátos halmaz, akkor (λu)hBi = λuhBi is teljesen korlátos halmaz. 

8.7.9. Állítás. Ha E és F valós normált terek, akkor egy u : E → F lineáris operátor pontosan akkor teljesen folytonos, ha az uC : EC → FC operátor teljesen folytonos (1. gyakorlat).

Bizonyítás. Az 1. gyakorlat b) pontja szerint minden EC 3 (x, y)-ra max(kxk, kyk) ≤ k(x, y)kC ≤ 2 max(kxk, kyk), ezért léteznek olyan B1 , B2 ⊆ E korlátos halmazok, hogy B ⊆ B1 × B2 . Ekkor

uC hBi ⊆ uC hB1 × B2 i = uhB1 i × uhB2 i, és az u teljes folytonossága miatt az uhB1 i és uhB2 i halmazok teljesen korlátosak F -ben. De teljesen korlátos halmaz minden részhalmaza teljesen korlátos, ezért elég azt igazolni az E bármely két teljesen korlátos részhalmazának szorzata teljesen korlátos EC -ben a k · kC szerint. Ez viszont a k · kC -re imént felírt egyenl®tlenségekb®l, és az V. fejezet, 5. pont, 3. gyakorlat eredményéb®l következik. 

17. Legyen E normált tér. a) Ha H ⊆ E zárt lineáris altér és H 6= E , akkor minden r ∈]0, 1[ valós számhoz létezik olyan x ∈ E , hogy kxk = 1 és d(x, H) > r. b) Az E vektortér pontosan akkor véges dimenziós, ha a zárt egységgömb teljesen korlátos halmaz E -ben. (Útmutatás. a) Legyen y ∈ E \ H rögzített vektor. Ekkor d(y, H) > 0, különben a H zártsága miatt y ∈ H = H teljesülne. Ha r ∈]0, 1[ tetsz®leges valós szám, akkor 1 1 0 d(y, H) > inf kx − yk , tehát létezik olyan x ∈ F , hogy kx − yk < d(y, H). Ha r r x0 ∈H r r

204

x := tehát

8. FOLYTONOS LINEÁRIS OPERÁTOR SPEKTRUMA

xr − y , akkor kxk = 1 és minden H 3 x0 -re nyilvánvalóan xr − kxr − ykx0 ∈ H , kxr − yk 0

kx − x k =

x r

kxr



−y kxr − y − kxr − ykx0 k

− x0

= = − yk kxr − yk

k(xr − kxr − ykx0 ) − yk d(y, H) > = r. 1 kxr − yk d(y, H) r b) Ha E véges dimenziós, akkor az E zárt egységgömbje kompakt, ezért teljesen korlátos. =

Tegyük fel, hogy E végtelen dimenziós. A kiválasztási axiómával kombinált rekurzió tételét alkalmazva megmutatjuk olyan E -ben haladó (xn )n∈N sorozat létezését, amelyre minden n ∈ N esetén kxn k = 1 és ha Hn jelöli az {xk |k ∈ n} halmaz által generált lineáris alteret E -ben, akkor d(xn , Hn ) > 1/2. Legyen x0 ∈ E tetsz®leges olyan vektor, amelyre kx0 k = 1; ekkor H0 = {0}, tehát d(x0 , H0 ) = 1 > 1/2. Tegyük fel, hogy n ∈ N és (xk )k∈n olyan rendszer, hogy minden k < n természetes számra kxk k = 1 és d(xk , Hk ) > 1/2, ahol Hk az {xj |j ∈ k} halmaz által generált lineáris altér E -ben. Jelölje Hn az {xj |j ∈ n} halmaz által generált lineáris alteret E -ben. A Hn halmaz véges dimenziós lineáris altér, tehát Hn 6= E és Hn zárt, így az a) szerint van olyan xn ∈ E , amelyre kxn k = 1 és d(xn , Hn ) > 1/2. Ekkor az (xk )k∈n+1 rendszer olyan, hogy minden k < n + 1 természetes számra kxk k = 1 és d(xk , Hk ) > 1/2. Legyen (xn )n∈N olyan sorozat E -ben, hogy minden n ∈ N esetén kxn k = 1 és ha Hn jelöli az {xk |k ∈ n} halmaz által generált lineáris alteret E -ben, akkor d(xn , Hn ) > 1/2. Ha m, n ∈ N és m < n, akkor xm ∈ Hn , tehát kxn − xm k ≥ d(xn , Hn ) > 1/2. Ezért az (xn )n∈N sorozatnak nincs olyan részsorozata, amely Cauchy-sorozat, így a teljesen korlátos halmazokat jellemz® Hausdor-tétel alapján az E zárt egységgömbje nem teljesen korlátos halmaz.)

8.7.10. Tétel. (Teljesen folytonos lineáris operátor spektruma.) Legyen E Banach-tér K felett és u ∈ L (E) teljesen folytonos operátor. a) Az u operátor minden 0-tól különböz® általánosított sajátértéke u-nak sajátértéke. b) Minden r ∈ R∗+ esetén a K \ Br (0; K) halmaz u-nak csak véges sok sajátértékét tartalmazhatja. c) Minden r ∈ R∗+ esetén a Sp(u) \ Br (0; K) halmaz véges, és minden eleme sajátértéke u-nak. d) Sp(u) megszámlálható halmaz, Sp(u)\{0} minden eleme sajátérték, és λ ∈ Sp(u)\{0} esetén a λ-hoz tartozó sajátaltér (tehát az {x ∈ E|u(x) = λx} halmaz) véges dimenziós. Továbbá, λ ∈ Sp(u) \ {0} esetén λ izolált pontja Sp(u)-nak.

205

8.7. TELJESEN FOLYTONOS LINEÁRIS OPERÁTOROK SPEKTRUMA

Bizonyítás. a) Legyen λ ∈ K nem nulla általánosított sajátértéke u-nak, és (xn )n∈N olyan korlátos sorozat E -ben, amelyre inf kxn k > 0 és lim (λidE − u)(xn ) = 0 (15. gyakorlat

N

n→∞

n∈

a) pontja). Ekkor az {xn |n ∈ N} halmaz korlátos, ezért az u teljes folytonossága miatt az {u(xn )|n ∈ N} halmaz teljesen korlátos. A teljesen korlátos halmazok Hausdor-féle jellemzése (V. fejezet, 9. pont, Hausdor-tétel) alapján van olyan σ : N → N szigorúan monoton növ® függvény, hogy (u(xσ(n) ))n∈N Cauchy-sorozat E -ben, tehát az E teljessége miatt konvergens. Ha n ∈ N, akkor

xσ(n) = λ−1 (λidE − u)(xσ(n) ) + λ−1 u(xσ(n) ), és lim (λidE − u)(xσ(n) ) = 0. Ezért az (xσ(n) )n∈N sorozat konvergens E -ben; legyen n→∞ x := lim xσ(n) . Ekkor kxk = lim kxσ(n) k ≥ inf kxn k > 0, tehát x 6= 0. Ugyanakkor n→∞

n→∞

N

n∈

lim (λidE −u)(xσ(n) ) = 0, amib®l következik, hogy (λidE −u)(x) = 0, tehát λ sajátértéke n→∞ u-nak. b) Indirekt bizonyítunk, tehát feltesszük olyan r ∈ R∗+ létezését, amelyre a K \ Br (0; K) halmaz az u-nak végtelen sok sajátértékét tartalmazza. Legyen (λn )n∈N olyan injektív sorozat, amelyre minden n ∈ N esetén λn sajátértéke u-nak és |λn | > r. Legyen (xn )n∈N olyan sorozat E -ben, amelyre minden n ∈ N esetén u(xn ) = λn u(xn ) és xn 6= 0. A 13. gyakorlat szerint az (xn )n∈N sorozat lineárisan független. Minden N 3 n-re jelölje Hn az {xk |k ∈ n} halmaz által generált n-dimenziós lineáris alteret E -ben. Világos, hogy n∈N X n esetén uhHn i ⊆ Hn , hiszen ha x ∈ Hn , akkor van olyan (αk )k∈n ∈ K , hogy x = αk xk , tehát u(x) =

X

k∈n

αk λk xk ∈ Hn . Legyen n ∈ N rögzített. Ekkor Hn zárt lineáris altere a

k∈n

Hn+1 normált altérnek (mert Hn véges dimenziós), és xn ∈ Hn+1 \ Hn . A 17. gyakorlat a) pontja szerint létezik olyan yn ∈ Hn+1 , hogy kyn k = 1 és d(yn , Hn ) > 1/2. Ezért kiválasztható olyan E -ben haladó (yn )n∈N sorozat, hogy minden N 3 n-re kyn k = 1 és d(yn , Hn ) > 1/2. Megmutatjuk, hogy az (u(yn ))n∈N sorozatnak nincs Cauchy-részsorzata, ami ellentmond annak, hogy u teljesen folytonos. Minden n ∈ N esetén Hn+1 = Kxn ⊕ Hn , ezért egyértelm¶en létezik olyan (αn )n∈N sorozat K-ban, hogy zn := yn − αn xn ∈ Hn . Ha n ∈ N, akkor u(yn ) = u(zn + αn xn ) = u(zn ) + αn λn xn =

= u(zn ) + λn (yn − zn ) = λn yn − (λn idE − u)(zn ). Tehát m, n ∈ N és m < n esetén

ku(yn ) − u(ym )k = kλn yn − ((λn idE − u)(zn ) + u(ym ))k =

1 1

= |λn | yn − λ−1 n ((λn idE − u)(zn ) + u(ym )) > |λn | > r, 2 2

206

8. FOLYTONOS LINEÁRIS OPERÁTOR SPEKTRUMA

mert ym ∈ Hm+1 miatt u(ym ) ∈ Hm+1 ⊆ Hn , és (λn idE − u)(zn ) ∈ Hn . Ebb®l látható, hogy az (u(yn ))n∈N sorozatnak nincs Cauchy-részsorzata. c) Legyen r ∈ R∗+ rögzített szám. El®ször a K := C esetre bizonyítjuk, hogy az Sp(u) \ Br (0; C) halmaz véges, és minden eleme sajátértéke u-nak. A 15. gyakorlat c) pontja alapján az Fr(Sp(u)) \ Br (0; C) halmaz minden pontja általánosított sajátértéke u-nak, tehát az a) szerint sajátértéke is az u-nak, vagyis Fr(Sp(u))\Br (0; C) ⊆ Sps (u)\Br (0; C). A b) alapján Sps (u) \ Br (0; C) véges halmaz, ezért a H := Fr(Sp(u)) \ Br (0; C) halmaz is véges. Megmutatjuk, hogy Sp(u)\Br (0; C) ⊆ H . Ezt indirekt bizonyjuk, tehát feltesszük, hogy λ ∈ Sp(u) \ Br (0; C) és λ ∈ / H . A H halmaz végessége alapján egyszer¶ geometriai megfontolásokkal igazolható olyan z ∈ C létezése, amelyre |z| = 1 és az L := λ + Rz ⊆ C egyenes nem metszi a H ∪Br (0; C) halmazt. Az L∩Sp(u) halmaz kompakt C-ben és nem üres, mert λ ∈ L ∩ Sp(u), ezért a Weierstrass-féle maximum-elv alapján létezik olyan λ0 ∈ L ∩ Sp(u), hogy |λ0 − λ| = sup |λ0 − λ|. λ0 ∈L∩Sp(u)

Legyen t0 ∈ R az a szám, amelyre λ0 = λ+t0 z . Ha t0 6= 0, akkor λ0 ∈ Fr(Sp(u)), mert ha (εn )n∈N egy R∗+ -ban haladó zérussorozat, akkor lim (λ0 + sign(t0 )εn z) = λ0 , ugyanakkor n→∞ minden N 3 n − re

|λ0 + sign(t0 )εn z − λ| = (1 + εn )|λ0 − λ| > |λ0 − λ|, tehát λ0 + sign(t0 )εn z ∈ / Sp(u). Ha t0 = 0, akkor λ0 = λ és L ∩ Sp(u) = {λ0 }, tehát ∗ ha (εn )n∈N egy R+ -ban haladó zérussorozat, akkor lim (λ0 + εn z) = λ0 , ugyanakkor n→∞ minden N 3 n-re λ0 + εn z ∈ / Sp(u), így ekkor is teljesül az, hogy λ0 ∈ Fr(Sp(u)). Tehát λ0 ∈ Fr(Sp(u)) és λ0 ∈ L ⊆ C \ Br (0; C), vagyis λ0 ∈ H , ami H ∩ L = ∅ miatt lehetetlen. Legyen most K := R. Ekkor az 1. gyakorlat e) pontja szerint uC teljesen folytonos lineáris operátor az EC komplex Banach-tér felett, ezért az el®z®ek alapján az Sp(uC ) \ Br (0; C) halmaz véges és minden eleme sajátértéke uC -nek. Az 1. gyakorlat alapján Sp(u) = R ∩ Sp(uC ), ezért az Sp(u) \ Br (0; R) halmaz is véges. Ugyancsak az 1. gyakorlat szerint az u sajátértékei megegyeznek az uC valós sajátértékeivel, ezért az Sp(u)\Br (0; R) halmaz minden eleme sajátértéke u-nak. d) Legyen (rn )n∈N egy R∗+ -ban haladó zérussorozat. A c) szerint minden n ∈ N esetén Sp(u) \ Brn (0; K) véges halmaz és Sp(u) \ Brn (0; K) = Sps (u) \ Brn (0; K). Ezért

Sp(u) \ {0} = Sp(u) \

\

N

Brn (0; K) =

n∈

=

[ €

N

[ €

N

Š

Sp(u) \ Brn (0; K) =

n∈

Š

Sps (u) \ Brn (0; K) = Sps (u) \ {0},

n∈

és Sp(u) \ {0} megszámlálható, mert véges halmazok sorozatának az uniója. Ha λ ∈ Sp(u) \ {0}, akkor van olyan r ∈ R∗+ , hogy λ ∈ Sp(u) \ Br (0; K), és Sp(u) \ Br (0; K)

8.8. TELJESEN FOLYTONOS INTEGRÁLOPERÁTOROK

207

véges halmaz, tehát van olyan V környezete λ-nak K-ban, hogy V ⊆ K \ Br (0; K) és V ∩ (Sp(u) \ Br (0; K)) = {λ}; ekkor V ∩ Sp(u) = {λ}, vagyis λ izolált pontja az u spektrumának. Legyen λ ∈ Sp(u)\{0}; ekkor az Eλ (u) := {x ∈ E|u(x) = λx} sajátaltér véges dimenziós. Ha ugyananis B ⊆ Eλ (u) korlátos halmaz, akkor uhBi ⊆ E teljesen korlátos, ugyanakkor uhBi = λB , ezért B is teljesen korlátos halmaz. Speciálisan, az Eλ (u) zárt egységgömbje is teljesen korlátos E -ben, így az Eλ (u) normált altérben is teljesen korlátos, tehát a 17. gyakorlat b) pontja szerint Eλ (u) véges dimenziós. 

8.7.11. Tétel. (Absztrakt Fredholm-alternatíva.) Legyen E Banach-tér K felett és u ∈ L (E) teljesen folytonos operátor. Minden λ ∈ K esetén a két következ® eset közül pontosan az egyik alternatíva teljesül. (I) Minden E 3 y -hoz létezik egyetlen olyan x ∈ E , hogy x − λu(x) = y . (II) Létezik olyan x ∈ E , hogy x 6= 0 és x − λu(x) = 0.

Bizonyítás. Tegyük fel, hogy λ ∈ K. Ha λ = 0, akkor idE − λu = idE , tehát (I) teljesül. Ha λ 6= 0 és 1/λ ∈ / Sp(u), akkor (1/λ)idE − u ∈ GL(E), ezért idE − λu ∈ GL(E), így (I) teljesül. Ha λ 6= 0 és 1/λ ∈ Sp(u), akkor az el®z® tétel d) pontja szerint 1/λ ∈ Sps (u), ami ekvivalens (II)-vel. 

8.8.

Teljesen folytonos integráloperátorok

8.8.1. Tétel. (Fredholm-féle integráloperátor.) Legyen n ∈ N∗ és T ⊆ Rn kompakt halmaz. A T → K folytonos függvények C (T ; K) terét ellátjuk a sup-normával, és legyen K : T × T → K folytonos függvény. Ekkor minden x ∈ C (T ; K) és t ∈ T esetén a

T → K;

s 7→ K (t, s)x(s)

függvény folytonos, és a Z

T → K;

t 7→

K (t, s)x(s) dµn (s) T

függvény is folytonos. Továbbá, ha FK jelöli azt a C (T ; ZK) → C (T ; K) leképezést, amely minden C (T ; K) 3 x-hez hozzárendeli a T → K; s → 7 K (t, s)x(s) dµn (s) függvényt, T

akkor FK teljesen folytonos lineáris operátor a C (T ; K) Banach-tér felett. Bizonyítás. Legyen x ∈ C (T ; K) és t ∈ T rögzített. Ha (tk )k∈N olyan sorozat T -ben, amely t-hez konvergál, akkor a

T × T → K;

(t0 , s) 7→ K (t0 , s)x(s)

208

8. FOLYTONOS LINEÁRIS OPERÁTOR SPEKTRUMA

függvény folytonossága miatt a ((K (tk , ·)x(·))◦ )k∈N függvénysorozat pontonként konvergál Rn -en a (K (t, ·)x(·))◦ függvényhez, és e függvénysorozat minden tagját a µn ! integrálható

sup (t0 ,s0 )∈T ×T

|K (t0 , s0 )| kxkχT függvény sup-normában majorálja, ezért a

Lebesgue-tétel alapján

Z

lim

k→∞

Z

K (tk , s)x(s) dµn (s) = T

K (t, s)x(s) dµn (s), T

ami azt jelenti, hogy a Z

T → K;

t 7→

K (t, s)x(s) dµn (s) T

függvény folytonos. Ha x ∈ C (T ; K), akkor minden t ∈ T esetén !

Z

|FK (x)(t)| ≤

|K (t, s)||x(s)| dµn (s) ≤

sup (t0 ,s0 )∈T ×T

T

0

0

|K (t , s )| µ∗n (T )kxk,

!

ezért kFK k≤Ckxk, ahol C :=

|K (t , s )| µ∗n (T ), így az FK : C (T ; K) → 0

sup (t0 ,s0 )∈T ×T

0

C (T ; K) leképezés folytonos lineáris operátor. Megmutatjuk, hogy FK teljesen folytonos. Legyen ehhez B ⊆ C (T ; K) korlátos halmaz; azt kell igazolni, hogy FK hBi ⊆ C (T ; K) teljesen korlátos halmaz. Az el®z®ek alapján minden t ∈ T esetén sup |FK (x)(t)| ≤ sup kFK (x)k < +∞, vagyis az {FK (x)(t)|x ∈ x∈B

x∈B

B} ⊆ K halmaz korlátos, tehát teljesen korlátos K-ban. Ezért az Ascoli-tétel (V. fejezet, 11. pont, 11. gyakorlat) alapján elég volna azt megmutatni, hogy az FK hBi függvényhalmaz ekvifolytonos. Legyen‚ t0 ∈ T Œrögzített pont és ε ∈ R∗+ tetsz®leges. Legyen ε0 ∈ R∗+ olyan, hogy ε0 µ∗n (T ) sup kxk x∈B

< ε. A 19. gyakorlat eredményét

alkalmazva kapjuk a t0 -nak olyan V környezetét T -ben, hogy minden t ∈ V és s ∈ T esetén |K (t, s) − K (t0 , s)| < ε0 . Ekkor t ∈ V és x ∈ B esetén Z

|FK (x)(t) − FK (x)(t0 )| ≤

|K (t, s) − K (t0 , s)||x(s)|dµn (s) ≤ T

‚

≤

ε0 µ∗n (T )

Œ

sup kxk < ε, x∈B

tehát az FK hBi függvényhalmaz ekvifolytonos a t0 pontban. 

209

8.8. TELJESEN FOLYTONOS INTEGRÁLOPERÁTOROK

8.8.2. Deníció. Az el®z® tételben értelmezett

„

FK : C (T ; K) → C (T ; K);

x 7→

Ž

Z

s 7→

K (t, s)x(s) dµn (s) T

operátort a K magfüggvény által meghatározott Fredholm-féle integráloperátornak nevezzük.

Megjegyzés. Ha µ∗n (T ) = 0, akkor természetesen minden K : T × T → K folytonos

függvényre FK = 0; ez az eset nem érdekes. Ezért az érdektelen eset kisz¶rése céljából a T halmazt rendszerint Ω alakúnak választjuk, ahol Ω ⊆ Rn nem üres relatív kompakt nyílt halmaz.

8.8.3. Következmény. (Fredholm-alternatíva.) Legyen n ∈ N∗ és T ⊆ Rn kompakt

halmaz. A T → K folytonos függvények C (T ; K) terét ellátjuk a sup-normával, és legyen K : T × T → K folytonos függvény. Minden λ ∈ K esetén a két következ® eset közül pontosan az egyik teljesül. (I) Minden C (T ; K) 3 y -hoz létezik egyetlen olyan x ∈ C (T ; K), hogy minden T 3 t-re Z

x(t) − λ

K (t, s)x(s) dµn (s) = y(t). T

(II) Létezik olyan x ∈ C (T ; K), hogy x 6= 0 és minden T 3 t-re Z

x(t) − λ

K (t, s)x(s) dµn (s) = 0. T

Bizonyítás. Az el®z® állítás és az absztrakt Fredholm-alternatíva nyilvánvaló következménye. 

8.8.4. Állítás. (Volterra-féle integráloperátor.) Legyenek a, b ∈ R, a < b és K : {(t, s) ∈ [a, b] × [a, b]|s ≤ t} → K folytonos függvény. Ekkor minden x ∈ C ([a, b]; K) és t ∈ [a, b] esetén az

[a, t] → K;

s 7→ K (t, s)x(s)

függvény folytonos és az Zt

[a, b] → K;

t 7→

K (t, s)x(s) ds a

210

8. FOLYTONOS LINEÁRIS OPERÁTOR SPEKTRUMA

függvény is folytonos. Továbbá, ha VK jelöli azt a C ([a, b]; K) → C ([a, b]; K) leképezést, amely minden x ∈ C ([a, b]; K) függvényhez hozzárendeli az [a, b] → K; t 7→ Zt

K (t, s)x(s) ds függvényt, akkor VK olyan teljesen folytonos lineáris operátor a sup-

a

normával ellátott C ([a, b]; K) Banach-tér felett, hogy Sp(VK ) = {0}. Bizonyítás. Legyen x ∈ C ([a, b]; K). Ha (tk )k∈N olyan sorozat [a, b]-ben, amely   a ◦ t ∈ [a, b] ponthoz konvergál, akkor K folytonossága miatt a χ[a,tk ] (K (t, ·)x(·)) k∈N függvénysorozat pontonként konvergál a R\{t} halmazon (tehát µR -majdnem mindenütt) a χ[a,t] (K (t, ·)x(·))◦ függvényhez, és e függvénysorozat minden tagját a µR -integrálható (sup |K |)kxkχ[a,b] függvény sup-normában majorálja, ezért a Lebesgue-tétel alapján Z

lim

Z

k→∞ [a,tk ]

K (tk , s)x(s) dµR (s) =

K (tk , s)x(s) dµR (s), [a,t]

ami azt jelenti, hogy az Zt

[a, b] → K;

t 7→

K (t, s)x(s) ds a

függvény folytonos. A VK operátor folytonossága hasonlóan látható be, mint a 20. gyakorlat a) pontjában. A VK operátor teljes folytonosságának bizonyítása is ugyanúgy történhet, miután a K függvényt folytonosan kiterjesztjük az [a, b] × [a, b] téglára a Tietze-tétellel (TOP, 2. pont), és erre a kiterjesztésre alkalmazzuk a 19. gyakorlat eredményét. Legyen λ ∈ K \ {0}; megmutatjuk, hogy λ ∈ / Sp(u). Indirekt bizonyítunk, tehat feltesszük, hogy λ ∈ Sp(u), tehát a 18. gyakorlat d) pontja szerint λ ∈ Sps (u), így van olyan x0 ∈ C ([a, b]; K), hogy x0 6= 0 és VK (x0 ) = λx0 . Legyen t0 := sup{t ∈ −1 [a, b]|[a, t] ⊆ x0 h{0}i}. Az x0 függvény folytonossága miatt x0 (t0 ) = 0 is teljesül, és t0 < b, különben x0 = 0 lenne. Ha δ ∈]0, b−t0 [ tetsz®leges valós szám, akkor létezik olyan −1 t ∈]t0 , t0 + δ[, hogy x0 (t) 6= 0, különben [a, t] ⊆ x0 h{0}i, ami t0 < t és a t0 deníciója alapján lehetetlen. Legyen δ ∈]0, b − t0 [ rögzített. A Weierstrass-féle maximum-elv alapján van olyan tδ ∈ [t0 , t0 + δ], hogy |x0 (tδ )| = sup |x0 (t)| > 0; ekkor t∈[t0 ,t0 +δ]

!

|λ|

sup t∈[t0 ,t0 +δ]

Z

|x0 (t)| =|λ||x0 (tδ )|=|VK (x0 )(t0 )| ≤

|K (tδ , s)||x0 (s)| dµR (s)= [a,tδ ]

!

Z

=

|K (tδ , s)||x0 (s)| dµR (s) ≤ (sup |K |) [t0 ,tδ ]

sup |x0 (t)| (tδ − t0 ) ≤

t∈[t0 ,tδ ]

211

8.9. GYAKORLATOK

!

≤ (sup |K |)

sup |x0 (t)| δ,

t∈[t0 ,tδ ]

ezért |λ| ≤ (sup |K |)δ teljesül minden δ ∈]0, b − t0 [ számra, ami ellentmond annak, hogy λ 6= 0. Ezzel megmutattuk, hogy Sp(VK ) ⊆ {0}. Ugyanakkor a VK operátor nem eleme GL(C ([a, b]; K))-nak, hiszen még csak nem is szürjektív, mert minden y ∈ Im(VK ) esetén y(a) = 0. Ezért 0 ∈ Sp(VK ), amivel az Sp(VK ) = {0} egyenl®séget igazoltuk. 

8.8.5. Deníció. Legyenek a, b ∈ R, a < b és K : {(t, s) ∈ [a, b] × [a, b]|s ≤ t} → K folytonos függvény. Ekkor a „

VK : C ([a, b]; K) → C ([a, b]; K);

x 7→

Ž

Zt

t 7→

K (t, s)x(s) ds a

operátort a K magfüggvény által meghatározott Volterra-féle integráloperátornak nevezzük.

8.8.6. Következmény. Legyenek a, b ∈ R, a < b és K : {(t, s) ∈ [a, b] × [a, b]|s ≤ t} → K folytonos függvény. Ekkor minden λ ∈ K és y ∈ C ([a, b]; K) esetén létezik egyetlen olyan x ∈ C ([a, b]; K), hogy minden t ∈ [a, b] pontra Zt

x(t) − λ

K (t, s)x(s) ds = y(t). a

Bizonyítás. Ha λ = 0, akkor az állítás nyilvánvalóan igaz. Ha λ 6= 0, akkor az a) alapján 1/λ ∈ K \ {0} = K \ Sp(VK ), vagyis az 1/λ szám eleme a VK operátor rezolvens halmazának, így (1/λ)idC ([a,b];K) − VK ∈ GL(C ([a, b]; K)), tehát idC ([a,b];K) − λVK ∈ GL(C ([a, b]; K)) is teljesül, amib®l következik, hogy minden y ∈ C ([a, b]; K) esetén létezik egyetlen olyan x ∈ C ([a, b]; K), hogy x − λVK (x) = y . 

8.9.

Gyakorlatok

2. Tekintsük az R2 valós vektorteret az euklidészi normával ellátva, és legyen u ∈ L (R2 )

212

8. FOLYTONOS LINEÁRIS OPERÁTOR SPEKTRUMA

‚

Œ

0 −1 az a lineáris operátor, amelynek mátrixa . Ekkor Sp(u) = ∅ és természetesen 1 0 min{r ∈ R+ |Sp(u) ⊆ Br (0; R)} = 0 < 1 = ρ(u) = kuk. Ugyanakkor Sp(uC ) = {−i, i} = Sps (uC ).

3. Ha E normált tér és u, v ∈ L (E), akkor {0} ∪ Sp(v ◦ u) = {0} ∪ Sp(u ◦ v) (Jacobson-lemma). Igaz-e az Sp(v ◦ u) = Sp(u ◦ v) egyenl®ség? (Útmutatás. Legyen λ ∈ K\{0} olyan, hogy λ ∈ / Sp(u◦v). Ekkor a w := (λidE −u◦v)−1 ∈ L (E) operátorra

(idE + v ◦ w ◦ u) ◦ (λidE − v ◦ u) = (λidE − v ◦ u) ◦ (idE + v ◦ w ◦ u) = λidE teljesül, tehát λidE − v ◦ u ∈ GL(E), vagyis λ ∈ / Sp(v ◦ u). Ebb®l következik, hogy {0} ∪ Sp(v ◦ u) = {0} ∪ Sp(u ◦ v). p sorozatteret lássuk el a k · kp normával. Legyen p ≥ 1 tetsz®leges valós szám, és az lK p → lKp az a leképezés, amelyre s ∈ lKp és n ∈ N esetén u(s)(n) := s(n + 1). Legyen u : lK p → lKp az a leképezés, amelyre s ∈ lKp és n ∈ N∗ esetén Továbbá legyen v : lK v(s)(n) := s(n−1) és v(s)(0) := 0. Ekkor u, v ∈ L (lKp ) és u◦v = idlKp , tehát 0 ∈ / Sp(u◦v). Ugyanakkor v ◦ u nem injektív, tehát 0 ∈ Sp(v ◦ u).)

4. Legyen E normált tér és u ∈ L (E). Ha λ, σ ∈ K \ Sp(u), akkor R(u, σ) − R(u, λ) = (λ − σ)R(u, σ) ◦ R(u, λ) (rezolvens-egyenlet). Ebb®l következik, hogy az {R(u, λ)|λ ∈ K \ Sp(u)} operátorhalmaz kommutatív, és ha az R(u, ·) rezolvens-függvény a λ ∈ Int(K \ Sp(u)) pontban folytonos, akkor R(u, ·) a λ pontban er®sen dierenciálható, és (DR(u, ·))(λ) = −R(u, λ)2 (még akkor is, ha E nem Banach-tér).

5. Ha E normált tér és u, v ∈ L (E), akkor ρ(u ◦ v) = ρ(v ◦ u). (Útmutatás. Ha n ∈ N∗ , akkor (u ◦ v)n = u ◦ (v ◦ u)n−1 ◦ v .)

6. Adjunk példát olyan E (szükségképpen nem teljes) normált térre, hogy létezik olyan

u ∈ L (E), amelyre u injektív, Im(u) = E és u−1 : Im(u) → E folytonos, de u ∈ / GL(E), azaz Im(u) 6= E . (Útmutatás. Legyen E := K(N) és E normája a k · k∞ sup-norma. Értelmezzük azt az

213

8.9. GYAKORLATOK

u : E → E leképezést, amelyre s ∈ E esetén minden N 3 n-re 8 <

u(s)(n) := :

2s(0) ; ha n = 0, 2s(n) + s(n − 1) ; ha n = 6 0.

Ekkor u ∈ L (E), és u injektív, továbbá (

Im(u) = s ∈ K N 0

( )

∞ X

) k k 0

(−1) 2 s (k) = 0 = Ker(f ),

k=0

ahol f : E → K az a lineáris funkcionál, amelyre s0 ∈ E esetén

f (s0 ) :=

∞ X

(−1)k 2k s0 (k).

k=0

Az f funkcionál nem nulla és nem folytonos a k · k∞ szerint, ezért Ker(f ) nem zárt és s¶r¶ altér E -ben. Tehát u nem szürjektív, így u ∈ / GL(E), de Im(u) = E , és könnyen −1 látható, hogy az u : Im(u) → E operátor folytonos a k · k∞ szerint.)

7. Legyen E := K(N) és az E felett a k · k∞ normát vesszük normaként. Értelmezzük azt

az u : E → E leképezést, amelyre s ∈ E esetén minden N 3 n-re 8 <

(u(s))(n) := :

s(0) ; ha n = 0 s(n) − s(n − 1) ; ha n > 0.

Ekkor u ∈ L (E), és teljesülnek a következ®k. a) Sp(u) = K, ami azt jelenti, hogy az u rezolvens halmaza üres, és a spektruma nem korlátos halmaz. b) Sps (u) = ∅. c) Spr (u) = B1 (1; K). d) Spc (u) = {λ ∈ K||λ − 1| = 1}. e) Minden λ ∈ K \ B1 (1; K) pontra a λidE − u operátor injektív, Im(λidE − u) s¶r¶ E -ben, és (λidE − u)−1 folytonos, de λidE − u ∈ / GL(E). (Útmutatás. Könnyen látható, hogy minden λ ∈ K esetén a λidE − u operátor injektív; ebb®l azonnal következik a b) állítás. Továbbá, minden K 3 λ-ra egyszer¶en kiszámítható a λidE − u operátor inverze, és azt kapjuk, hogy Dom((λidE − u)−1 ) = Im(λidE − u) = Ker(fλ ), ahol fλ : E → K az a lineáris funkcionál, amelyre minden s0 ∈ E esetén

fλ (s0 ) :=

∞ X

(1 − λ)k s0 (k),

k=0

214

8. FOLYTONOS LINEÁRIS OPERÁTOR SPEKTRUMA

továbbá, ha λ 6= 1, akkor minden Dom((λidE − u)−1 ) 3 s0 -re −1

0

(λidE − u) (s ) =

(−1)n (λ − 1)n+1

n X

! k 0

(1 − λ) s (k)

k=0

N

.

n∈

Ha λ ∈ B1 (1; K), akkor az fλ lineáris funkcionál folytonos, ezért λ ∈ Spr (u), és a λ = 1 esetet külön kezelve kapjuk, hogy 1 ∈ Spr (u) is teljesül, így B1 (1; K) ⊆ Spr (u). Ha λ ∈ K \ B1 (1; K), akkor az fλ lineáris funkcionál nem folytonos. Valóban, legyen n ∈ N esetén sn ∈ E az a sorozat, amelyre k ∈ N és k > n esetén sn (k) = 0, ugyanakkor minden k ≤ n természetes számra sn (k) = 1. Ekkor az (sn )n∈N sorozat korlátos E -ben, de könnyen látható, hogy az (fλ (sn ))n∈N sorozat nem korlátos K-ban. Ezért λ ∈ K\B1 (1; K) esetén a λidE −u operátor injektív, és Im(λidE −u) s¶r¶ valódi altér E -ben. Ugyanakkor a (λidE − u)−1 operátor folytonos, mert ha s0 ∈ Dom((λidE − u)−1 ), akkor

k(λidE − u)−1 (s0 )k∞ ≤

1 ks0 k∞ . |λ − 1| − 1

Azonban λ ∈ K \ B1 (1; K) esetén (λidE − u)−1 ∈ / GL(E), mert Im((λidE − u)−1 ) 6= E . Ebb®l kapjuk az e) állítást. Végül legyen λ ∈ K olyan, hogy |λ−1| = 1. Ekkor az fλ lineáris funkcionál nem folytonos. Valóban, legyen z := λ − 1, és minden n ∈ N esetén sn ∈ E az az elem, amelyre k ∈ N és k > n esetén sn (k) = 0, ugyanakkor minden k ≤ n természetes számra sn (k) = z . Ekkor az (sn )n∈N sorozat korlátos E -ben, de minden N 3 n-re fλ (sn ) = n + 1, tehát az (fλ (sn ))n∈N sorozat nem korlátos K-ban. Ezért ismét azt kapjuk, hogy a λidE − u operátor injektív, és Im(λidE −u) s¶r¶ valódi altér E -ben. Azonban ekkor a (λidE −u)−1 operátor nem folytonos. Ha ugyanis minden n ∈ N esetén s0n ∈ E az az elem, amelyre minden N 3 k -ra 8 > 0 ; ha k = 0, > > > < zk ; ha 1 ≤ k ≤ n, s0n (k) := > k −n −z z ; ha n + 1 ≤ k ≤ 2n, > > > : 0 ; ha k > 2n, akkor az Im(λidE − u)-ban haladó (s0n )n∈N sorozat korlátos, de minden N 3 n-re k(λidE − u)−1 (s0n )k∞ ≥ n, vagyis az (fλ (sn ))n∈N sorozat nem korlátos K-ban. Ezért ebben az esetben λ ∈ Spc (u). Ebb®l, és az el®z®ekb®l már következik a), c) és d) is.)

8. Legyen p ≥ 1 valós szám, s ∈ lK∞ , és értelmezzük az us : lKp → lKp ;

s0 7→ s · s0

p lineáris operátort (VI. fejezet, 1. pont, 7. gyakorlat). Az lK sorozatteret ellátjuk a k · kp p normával. Ekkor us ∈ L (lK ) és teljesülnek a következ®k.

215

8.9. GYAKORLATOK

a) Sp(us ) = Im(s). b) Sps (us ) = Im(s). c) Spc (us ) = Im(s) \ Im(s). d) Spr (us ) = ∅. e) ρ(us ) = ksk∞ = kus k. p (Útmutatás. Minden n ∈ N esetén legyen en ∈ lK az a sorozat, amelyre minden N 3 m-re sn (m) = δm,n . Ha n ∈ N, akkor us (en ) := s · en = s(n)en , tehát s(n) ∈ Sps (us ). Ez azt jelenti, hogy Im(s) ⊆ Sps (us ) ⊆ Sp(us ), így Sp(us ) zártsága miatt Im(s) ⊆ Sp(us ).

Tegyük fel, hogy λ ∈ K \ Im(s), és vegyünk olyan ε ∈ R∗+ számot, amelyre Bε (λ; K) ∩ Im(s) = ∅, vagyis minden N 3 n-re |s(n) − λ| ≥ ε. Ekkor s0 ∈ Ker(λidlKp − us ) esetén (λ − s) · s0 = 0 és a λ − s sorozat értékkészletében nincs benne a 0, így s0 = 0. Ez azt jelenti, hogy λidlKp − us injektív operátor. Minden n ∈ N esetén (λ − s(n))en = (λidlKp − us )(en ) ∈ Im(λidlKp − us ), ezért {en |n ∈ N} ⊆ Im(λidlKp − us ). p -ban (V. fejezet, 3. Ugyanakkor tudjuk, hogy az {en |n ∈ N} halmaz lineáris burka s¶r¶ lK p pont, 3. gyakorlat), következésképpen Im(λidlKp − us ) is s¶r¶ lK -ban. Könnyen látható, p hogy s0 ∈ lK esetén

(λidlp

K

− us )(s0 )

p

=

∞ X

!1/p

|λ − s(k)|p |s0 (k)|p

k=0

≥ε

∞ X

!1/p

|s0 (k)|p

= εks0 kp ,

k=0

p ), ezért a (λidlKp − us )−1 operátor folytonos. Ebb®l következik, hogy λidlKp − us ∈ GL(lK vagyis λ ∈ K\Sp(us ). Ezzel beláttuk, hogy Sp(us ) ⊆ Im(us ), tehát az el®z®ek gyelembe vételével kapjuk, hogy Sp(us ) = Im(us ).

Ha λ ∈ K \ Im(s), akkor az iménti érvelés alapján látható, hogy a λidlKp − us operátor injektív, ezért λ ∈ / Sps (us ). Ebb®l következik, hogy Sps (us ) ⊆ Im(s), tehát az el®z®ek alapján Sps (us ) = Im(s). Ezzel az a) és b) állításokat igazoltuk. Most már nyilvánvaló, hogy ha d) teljesül, vagyis Spr (us ) = ∅, akkor c) is igaz (hiszen lKp Banach-tér). Ha λ ∈ Im(s), akkor a b) szerint λ ∈ Sps (us ), ezért λ ∈ / Spr (us ). Ha λ ∈ K \ Im(s), akkor a fentiekhez hasonló gondolatmenettel kapjuk, hogy {en |n ∈ N} ⊆ Im(λidlKp − us ), tehát Im(λidlKp − us ) s¶r¶ lKp -ban, ezért λ ∈ / Spr (us ). Ez azt jelenti, hogy Spr (us ) = ∅, tehát d) és c) igaz. Végül könnyen látható, hogy n ∈ N esetén uns = usn , ezért a VI. fejezet, 1. pont, 7. gyakorlat eredménye alapján kuns k = kusn k = ksn k∞ = kskn∞ , tehát ρ(us ) = lim kuns k1/n = ksk∞ .) n→∞

9. Legyen T kompakt metrikus tér, és a T → K folytonos függvények C (T ; K) vektorterét lássuk el a sup-normával. Legyen f ∈ C (T ; K) és értelmezzük az

uf : C (T ; K) → C (T ; K);

g 7→ f · g

216

8. FOLYTONOS LINEÁRIS OPERÁTOR SPEKTRUMA

lineáris operátort. Ekkor uf ∈ L (C (T ; K)) és teljesülnek a következ®k. a) Sp(uf ) = Im(f ). −1

b) Sps (uf ) = {λ ∈ K|Int( f h{λ}i) 6= ∅}. −1

c) Spr (uf ) = {λ ∈ Im(f )|Int( f h{λ}i) = ∅}. d) Spc (uf ) = ∅. e) ρ(uf ) = sup |f (t)| = kuf k. t∈T

(Útmutatás. Könnyen látható, hogy uf ∈ L (C (T ; K)) és kuf k = sup |f (t)|. Az is t∈T

nyilvánvaló, hogy n ∈ N∗ esetén unf = uf n , ezért ρ(uf ) = lim kunf k1/n = sup |f (t)|, n→∞

amivel e)-t igazoltuk.

t∈T

a) Legyen λ ∈ Im(f ) és t ∈ T olyan, hogy f (t) = λ. Legyen (rn )n∈N tetsz®leges R∗+ -ben haladó, monoton fogyó zérussorozat. Létezik olyan (gn )n∈N sorozat C (T ; K)-ban, hogy minden N 3 n-re Im(gn ) ⊆ [0, 1], gn (t) = 1 és [gn 6= 0] ⊆ Brn (t). Ha n ∈ N és t0 ∈ T , akkor - t0 ∈ Brn (t) esetén

|((λidC (T ;K) − uf )(gn ))(t0 )| = |(λ − f (t0 ))gn (t0 )| ≤ |f (t) − f (t0 )|χBrn (t) (t0 ); - t0 ∈ / Brn (t) esetén ((λidC (T ;K) − uf )(gn ))(t0 ) = 0. Ebb®l következik, hogy minden n ∈ N esetén

k(λidC (T ;K) − uf )(gn )k ≤

sup |f (t) − f (t0 )|. t0 ∈Brn (t)

Ha ε ∈ R∗+ tetsz®leges, akkor az f függvény t pontbeli folytonossága miatt van olyan r ∈ R∗+ , hogy minden t0 ∈ Br (t) esetén |f (t) − f (t0 )| < ε. Ekkor van olyan N ∈ N, hogy rN < r, tehát minden n > N természetes számra és t0 ∈ Brn (t) pontra |f (t) − f (t0 )| < ε, vagyis k(λidC (T ;K) − uf )(gn )k ≤ ε. Ez azt jelenti, hogy lim (λidC (T ;K) − uf )(gn ) = 0 a n→∞ C (T ; K) Banach-térben. Ezért a λidC (T ;K) −uf operátornak még folytonos balinverze sem létezhet, hiszen ha volna ilyen, akkor lim gn = 0 teljesülne C (T ; K)-ban a sup-norma n→∞ szerint, holott minden N 3 n-re kgn k = 1. Tehát λidC (T ;K) − uf ∈ / GL(C (T ; K)), azaz λ ∈ Sp(uf ). Ezzel igazoltuk az Im(f ) ⊆ Sp(uf ) összefüggést. Megfordítva, ha λ ∈ K \ Im(f ), akkor az Im(f ) ⊆ K halmaz kompaktsága miatt a

vλ : C (T ; K) → C (T ; K);

g 7→

g λ−f

leképezés olyan folytonos lineáris operátor, hogy

vλ ◦ (λidC (T ;K) − uf ) = (λidC (T ;K) − uf ) ◦ vλ = idC (T ;K) ,

217

8.9. GYAKORLATOK

tehát λidC (T ;K) − uf ∈ GL(C (T ; K)), azaz λ ∈ K \ Sp(uf ). Ezért Sp(uf ) ⊆ Im(f ) is teljesül, amivel az a) állítást igazoltuk. −1

−1

b) Legyen λ ∈ K olyan, hogy Int( f h{λ}i) 6= ∅, és legyen t ∈ Int( f h{λ}i) rögzített pont. −1

Létezik olyan g ∈ C (T ; K), hogy Im(g) ⊆ [0, 1], g(t) = 1 és [g 6= 0] ⊆ Int( f h{λ}i). Ekkor (λidC (T ;K) − uf )(g) = (λ − f ) · g = 0, tehát λ ∈ Sps (uf ). Megfordítva, legyen λ ∈ Sps (uf ) és g ∈ C (T ; K) olyan, hogy g 6= 0 és uf (g) = λg . Ekkor (λ − f ) · g = 0, és van olyan t ∈ T , hogy g(t) 6= 0. A g függvény t pontbeli folytonossága alapján létezik t-nek olyan V környezete T -ben, hogy minden t0 ∈ V esetén g(t0 ) 6= 0. −1

Ebb®l (λ − f ) · g = 0 miatt következik, hogy V ⊆ [f = λ], vagyis V ⊆ f h{λ}i, így −1

Int( f h{λ}i) 6= ∅. −1

c) Legyen λ ∈ Im(f ) olyan, hogy Int( f h{λ}i) = ∅, és vegyünk olyan t ∈ T pontot, amelyre f (t) = λ. Képezzük az

εt : C (T ; K) → K;

g 7→ g(t)

leképezést, amely nem nulla folytonos lineáris funkcionál C (T ; K) felett. g ∈ C (T ; K) esetén

Minden

εt ((λidC (T ;K) − uf )(g)) = εt ((λ − f ) · g) = (λ − f (t))g(t) = 0, tehát Im(λidC (T ;K) − uf ) ⊆ Ker(εt ), ugyanakkor Ker(εt ) zárt valódi altere C (T ; K)-nak. Ebb®l következik, hogy az Im(λidC (T ;K) − uf ) altér nem s¶r¶ C (T ; K)-ban. Továbbá, a b) alapján λ ∈ / Sps (uf ), vagyis a λidC (T ;K) − uf operátor injektív. Ez azt jelenti, hogy −1

λ ∈ Spr (uf ), vagyis {λ ∈ Im(f )|Int( f h{λ}i) = ∅} ⊆ Spr (uf ). Ebb®l a tartalmazásból, az a)-ból és b)-b®l adódik, hogy itt egyenl®ség áll. d) Az a), b) és c) állítások nyilvánvaló következménye.)

10. Minden T ⊆ K kompakt halmazhoz létezik olyan E Banach-tér K felett, és olyan

u ∈ L (E), hogy Sp(u) = T és Spc (T ) = ∅. Ha T -nek nincs izolált pontja, akkor E és u megválasztható úgy, hogy Sp(u) = T = Spr (u) és Spc (u) = Sps (u) = ∅ teljesül. (Útmutatás. Tekintsük a T → K folytonos függvények C (T ; K) terét a sup-normával ellátva, és legyen u : C (T ; K) → C (T ; K); g 7→ idT g . A 9. gyakorlat szerint Sp(u) = Im(idT ) = T és Spc (u) = ∅, továbbá −1

Sps (u) = {λ ∈ K|Int(idT h{λ}i) 6= ∅} = {λ ∈ K|Int({λ}) 6= ∅}, ahol Int a T kompakt altér szerinti bels®rész-képzés. Tehát ha T nem tartalmaz izolált pontot, akkor szükségképpen Sps (u) = ∅.)

218

8. FOLYTONOS LINEÁRIS OPERÁTOR SPEKTRUMA

11. Legyen T tetsz®leges metrikus tér, és a T → K korlátos folytonos függvények C b (T ; K) vektorterét ellátjuk a sup-normával. Legyen f ∈ C b (T ; K) és értelmezzük az uf : C b (T ; K) → C b (T ; K); lineáris operátort. Hogyan módosulnak a 9. spektrumát illet®en?

g 7→ f · g

gyakorlat eredményei az uf operátor

12. Ha E normált tér, akkor egy u ∈ L (E) operátort - nilpotensnek nevezünk, ha létezik olyan n ∈ N∗ , hogy un = 0; - kvázinilpotensnek nevezünk, ha ρ(u) = 0. Nyilvánvaló, hogy minden nilpotens operátor kvázinilpotens. a) Adjunk példát olyan E Banach-térre és u ∈ L (E) operátorra, hogy u kvázinilpotens, de nem nilpotens! Van-e ilyen operátor véges dimenziós E esetében? b) Adjunk példát olyan E Banach-térre és u ∈ L (E) operátorra, hogy u nem kvázinilpotens, de létezik nilpotens operátoroknak olyan sorozata L (E)-ben, amely u-hoz konvergál az operátornorma szerint! c) Mutassuk meg, hogy ha E normált tér, akkor a ρ : L (E) → R+ spektrálsugárfüggvény felülr®l félig folytonos (V. fejezet, 8. pont, 4. gyakorlat), de van olyan E Banach-tér, hogy ρ nem folytonos az operátornorma szerint! 2 (Útmutatás. Tekintsük az lK sorozatteret a k · k2 normával ellátva, és minden n ∈ N 2 esetén legyen en ∈ lK az a sorozat, amelyre minden N 3 m-re sn (m) = δm,n . Legyen s ∈ lK∞ rögzített sorozat. A s¶r¶ altéren folytonos lineáris operátorok kiterjesztési 2 tételének alkalmazásával könnyen belátható, hogy létezik egyetlen olyan vs ∈ L (lK ) operátor, amelyre minden n ∈ N esetén vs (en ) = s(n)en+1 . Erre a vs operátorra teljesül az, hogy ha n ∈ N∗ , akkor

kvsn k = sup

n−1 Y

N k=0

|s(m + k)|.

m∈

Ebb®l látható, hogy ha 0 ∈ / Im(s), akkor minden N∗ 3 n-re kvsn k ≥

n−1 Y

|s(k)| > 0, tehát

k=0

vs nem nilpotens operátor. Az is nyilvánvaló hogy vs pontosan akkor kvázinilpotens, ha „

lim

n→∞

sup

N

m∈

n−1 Y

!1/n Ž

|s(m + k)|

= 0.

k=0

∞ sorozatot, amelyre a vs operátor kvázinilpotens, de nem a) Most megadunk olyan s ∈ lK nilpotens. Ehhez vegyünk egy α ∈]0, 1[ valós számot, és legyen s : N → R az a sorozat,

219

8.9. GYAKORLATOK

amelyre minden N 3 m-re s(m) := αm . Ekkor minden N∗ 3 n-re

sup m∈

„

tehát lim

n→∞

sup

N

m∈

megfelel®.

n−1 Y

n−1 Y

N

!1/n

= α(n−1)/2 ,

|s(m + k)|

k=0

!1/n Ž

= 0, ugyanakkor 0 ∈ / Im(s), ezért az s sorozat

|s(m + k)|

k=0

b) Legyenek σ, τ : N → N azok az egyértelm¶en meghatározott sorozatok, amelyekre σ(0) = 0 = τ (0), és minden N∗ 3 n-re n = 2σ(n) τ (n) és τ (n) páratlan (tehát minden N∗ 3 n-re σ(n) az a legnagyobb természetes szám, amelyre 2σ(n) osztója n-nek, és n τ (n) := σ(n) ). Legyen ismét α ∈]0, 1[ tetsz®leges valós szám, és s : N → R az a 2 sorozat, amelyre minden N 3 m-re s(m) := ασ(m) . Megmutatjuk, hogy a vs operátor nem kvázinilpotens. Valóban, ha m, n ∈ N∗ , akkor n−1 Y

!1/n

|s(m + k)|

n−1 Y

=

k=0

!1/n

ασ(m+k)

=α

X 1 n−1 σ(m + k) n k=0

.

k=0

A j természetes szám szerinti teljes indukcióval könnyen belátható, hogy j −1 2X

σ(2j + k) = 2j − 1,

k=0

ezért minden r ∈ N esetén

1 2r

r −1 2X

k=0

1 σ(k) = r 2

r−1 X

r −1 2X

j=0

k=0

!

σ(2j + k) =

1 2r

r−1 X

(2j − 1) =

j=0

r+1 2r − r − 1 = 1 − r ≤ 1. r 2 2 Ebb®l α ∈]0, 1[ alapján kapjuk, hogy minden N 3 r-re =

r

r

kvs2 k1/2 = sup m∈

r −1 2Y

N k=0

!1/2r

|s(m + k)|

r −1 2Y

≥

!1/2r

|s(k)|

k=0

következésképpen fennáll a r

r

ρ(vs ) = lim kvs2 k1/2 ≥ α > 0 r→∞

=α

1 2r

r −1 2X

k=0

σ(k) ≥ α,

220

8. FOLYTONOS LINEÁRIS OPERÁTOR SPEKTRUMA

egyenl®tlenség, tehát vs nem kvázinilpotens (itt még nem lényeges az, hogy α < 1). ∞ Legyen minden N 3 n-re sn ∈ lK az a sorozat, amelyre minden m ∈ N esetén

8 <s(m)

sn (m) := :

; ha n 6= σ(m), ; ha n = σ(m).

0

Ha n ∈ N, akkor

kvs − vsn k = kvs−sn k = ks − sn k∞ = sup |s(m) − sn (m)| = αn ,

N

m∈

tehát α < 1 miatt lim vsn = vs az operátornorma szerint. n→∞

n+1

Megmutatjuk, hogy minden N 3 n-re vs2n = 0, tehát vsn nilpotens operátor. Ehhez n+1 legyen n ∈ N rögzített; ekkor a vs2n = 0 egyenl®ség azzal ekvivalens, hogy

0=

n+1 kvs2n k

= sup

2n+1 Y−1

N

m∈

|sn (m + k)|,

k=0

ami azt jelenti, hogy minden N 3 m-hez létezik olyan k < 2n+1 természetes szám, amelyre |sn (m + k)| = 0, vagyis (az sn és s deníciója szerint) fennáll a σ(m + k) = n egyenl®ség. Legyen m ∈ N tetsz®leges. - Ha σ(m) > n, akkor m+2n = 2σ(m) τ (m)+2n = 2n (2σ(m)−n τ (m)+1), és 2σ(m)−n τ (m)+1 páratlan szám, így σ(m + 2n ) = n, vagyis k := 2n < 2n+1 olyan természetes szám, hogy fennáll a σ(m + k) = n egyenl®ség. - Ha σ(m) = n, akkor k := 0 < 2n+1 olyan természetes szám, hogy fennáll a σ(m+k) = n egyenl®ség. - Ha σ(m) < n, akkor legyen p := min{j ∈ N|(j páratlan )∧(2n j > m))}, és k := 2n p−m. Ekkor m + k = 2n p és p páratlan, tehát σ(m + k) = n. Ugyanakkor p = 1 esetén k = 2n − m ≤ 2n < 2n+1 , míg p ≥ 3 esetén p − 2 páratlan, tehát a p minimalitása folytán 2n (p − 2) ≤ m, így k = 2n p − m ≤ 2n+1 , s®t k < 2n+1 is igaz, különben 2n+1 = 2n p − m teljesülne, azaz m = 2n (p − 2), tehát σ(m) = n teljesülne, holott σ(n) < n. Tehát k < 2n+1 olyan természetes szám, hogy fennáll a σ(m + k) = n egyenl®ség. c) Minden N∗ 3 n-re legyen

ρn : L (E) → R+ ;

u 7→ kun k1/n .

Ekkor ρn operátornormában folytonos függvény, és ρ = lim ρn , ezért a ρ : L (E) → R+ n→∞ 2 esetén ρ nem spektrálsugár-függvény felülr®l félig folytonos. A b) alapján E := lK folytonos az operátornorma szerint.)

221

8.9. GYAKORLATOK

15. Adjunk példát olyan E Banach-térre és u ∈ L (E) operátorra, hogy u-nak van olyan általánosított sajátértéke, amely nem sajátérték.

(Útmutatás. Legyen s olyan sorozat, amelyre Im(s) = Q∩]0, 1[. Legyen p ≥ 1 tetsz®leges valós szám, és az lRp sorozatteret lássuk el a k · kp normával. Értelmezzük az

us : lRp → lRp ;

s0 7→ s · s0

lineáris operátort. Err®l a 8. gyakorlat eredményei alapján tudjuk, hogy Sp(us ) = Im(s) = [0, 1], és Sps (s) = Im(s) = Q∩]0, 1[. A c) szerint az Fr(Sp(us )) = {0, 1} halmaz elemei az us -nek általánosított sajátértékei, de ezek nincsenek benne Q∩]0, 1[-ben, tehát nem sajátértékek.)

19. Legyen X metrikus tér, Y kompakt metrikus tér, F normált tér, és f : X × Y → F

folytonos függvény. Az Y → F folytonos függvények C (Y ; F ) terét ellátjuk a supnormával. Ekkor a X → C (Y ; F ); x 7→ f (x, ·) függvény folytonos. (Útmutatás. Az állítás nyilvánvalóan igaz, ha Y = ∅, ezért feltesszük, hogy Y 6= ∅. Legyen x0 ∈ X rögzített pont és ε ∈ R∗+ tetsz®leges. Minden y ∈ Y esetén az f függvény folytonos a (x0 , y) pontban, ezért létezik az x0 -nak olyan Uy környezete X -ben és létezik az y -nak olyan Vy környezete Y -ban, hogy

ε (∀ (x, y 0 ) ∈ Uy × Vy ) : kf (x, y 0 ) − f (x0 , y)k < . 2 Kiválasztunk ilyen tulajdonságú (Uy )y∈Y és (Vy )y∈Y környezet-rendszereket. Ekkor [ Y = Vy , tehát az Y kompaktsága folytán van olyan H ⊆ Y véges halmaz, hogy y∈Y

Y =

[

Vy . Ha H = ∅, akkor Y = ∅ volna, ezért H 6= ∅. Legyen U :=

\ y∈H

y∈H

Uy ;

ez az x0 -nak környezete X -ben. Ha x ∈ U és y ∈ Y , akkor van olyan z ∈ H , hogy y ∈ Vz , tehát (x, y) ∈ U × Vz ⊆ Uz × Vz , ezért kf (x, y) − f (x0 , z)k < ε/2; ugyanakkor (x0 , y) ∈ Uz × Vz is teljesül, tehát kf (x0 , y) − f (x0 , z)k < ε/2, amib®l következik, hogy kf (x, y) − f (x0 , y)k < ε. Ez azt jelenti, hogy

sup (x,y)∈U ×Y

kf (x, y) − f (x0 , y)k ≤ ε

teljesül, vagyis x ∈ U esetén 9f (x, ·) − f (x0 , ·)9Y ≤ ε.)

222

8. FOLYTONOS LINEÁRIS OPERÁTOR SPEKTRUMA

9. fejezet Baire-féle kategóriatétel 9.1.

Sehol sem s¶r¶, I. és II. kategóriájú halmazok

9.1.1. Deníció. Legyen M metrikus tér és H ⊆ M .  A H halmazt sehol sem s¶r¶nek nevezzük, ha Int(H) = ∅.  A H halmazt els® kategóriájúnak nevezzük, ha H el®áll az M megszámlálható sok sehol sem s¶r¶ részhalmazának uniójaként.

 A H halmazt második kategóriájúnak nevezzük, ha nem els® kategóriájú (vagyis H nem áll el® megszámlálható sok sehol sem s¶r¶ halmaz uniójaként).

Megjegyzések.

1) Sehol sem s¶r¶ (illetve els® kategóriájú) halmaz minden részhalmaza is sehol sem s¶r¶ (illetve els® kategóriájú). Egy halmaz pontosan akkor sehol sem s¶r¶, ha a lezártja sehol sem s¶r¶. Els® kategóriájú halmazok megszámlálható rendszerének az uniója szintén els® kategóriájú. Ezek az állítások a denícióból nyilvánvalóan következnek. 2) Ha M metrikus tér, akkor egy H ⊆ M halmaz pontosan akkor sehol sem s¶r¶, ha az M \H halmaz s¶r¶ M -ben. Valóban, Int(H) = M \(M \ H), ezért H sehol sem s¶r¶sége (azaz Int(H) = ∅) ekvivalens azzal, hogy (M \ H) = M (azaz M \ H s¶r¶). 3) Véges sok sehol sem s¶r¶ halmaz uniója sehol sem s¶r¶. Ezt elegend® két sehol sem s¶r¶ halmaz uniójára igazolni. Legyen M metrikus tér és legyenek H1 , H2 ⊆ M sehol sem s¶r¶ halmazok. Azt kell megmutatni, hogy az M \ H1 ∪ H2 halmaz s¶r¶ M -ben, vagyis H1 ∪ H2 = H1 ∪ H2 és a de-Morgan egyenl®ség alapján azt, hogy (M \ H1 ) ∩ (M \ H2 ) s¶r¶ halmaz. Ennek bizonyításához legyen x ∈ M és V nyílt környezete M -nek. A H1 halmaz sehol sem s¶r¶, ezért M \ H1 s¶r¶ M -ben, tehát (M \ H1 ) ∩ V 6= ∅; legyen x0 ∈ (M \ H1 ) ∩ V . Az (M \ H1 ) ∩ V halmaz nyílt környezete x0 -nek, ugyanakkor H2 sehol sem s¶r¶, tehát M \ H2 s¶r¶ M -ben, így (M \ H2 ) ∩ (M \ H1 ) ∩ V 6= ∅. Ez azt jelenti, hogy (M \ H1 ∪ H2 ) ∩ V 6= ∅, így M \ H1 ∪ H2 s¶r¶ halmaz, vagyis H1 ∪ H2 sehol 223

224

9. BAIRE-FÉLE KATEGÓRIATÉTEL

sem s¶r¶. 4) Megszámlálhatóan végtelen sok sehol sem s¶r¶ halmaz uniója nem szükségképpen sehol sem s¶r¶ (csak els® kategóriájú). Például R-ben az euklidészi metrika szerint minden egy elem¶ halmaz sehol sem s¶r¶ (1. gyakorlat), így Q els® kategóriájú halmaz, de természetesen Q nem sehol sem s¶r¶ R-ben. 5) Ha M metrikus tér, akkor egy H ⊆ M halmaz pontosan akkor els® kategóriájú, ha létezik az M zárt sehol sem s¶r¶ részhalmazainak olyan (Fn )n∈N sorozata, hogy [ H ⊆ Fn . Valóban, ha H els® kategóriájú, és (Hn )n∈N sehol sem s¶r¶ halmazok

N

n∈

olyan sorozata, hogy H =

[ n∈

N

Hn , akkor a (Hn )n∈N halmazsorozat mindegyik tagja sehol

sem s¶r¶ zárt halmaz, továbbá H ⊆

[

N

n∈

Hn . Megfordítva, ha (Fn )n∈N az M zárt sem [

s¶r¶ részhalmazainak olyan sorozata, hogy H ⊆

N

Fn , akkor H =

n∈

[

(H ∩ Fn ), és

N

n∈

minden N 3 n-re Fn ∩ H sehol sem s¶r¶ halmaz, tehát H els® kategóriájú.

9.2.

Baire-féle kategóriatétel

9.2.1. Tétel. (Baire-féle kategóriatétel) Teljes metrikus tér minden nem üres nyílt

részhalmaza második kategóriájú.

Bizonyítás. Legyen M teljes metrikus tér, Ω ⊆ M nem üres nyílt halmaz, és (Fn )n∈N az M zárt sehol sem s¶r¶ részhalmazainak tetsz®leges sorozata. Megmutatjuk, hogy ekkor [ Ω\ Fn 6= ∅, így Ω nem lehet els® kategóriájú.

N

n∈

n [

El®sz®r megjegyezzük, hogy minden n ∈ N esetén vagyis Int

Int

n [

n [

!

Fk

= ∅, így Ω \

!k=0

n [

Fk sehol sem s¶r¶ zárt halmaz,

k=0

Fk 6= ∅, különben ∅ 6= Ω ⊆

k=0

n [

Fk teljesülne, tehát

k=0

Fk 6= ∅ igaz volna.

k=0

Most a kiválasztási axiómával kombinált rekurzió tételét alkalmazva igazoljuk olyan M × R∗+ -ban haladó ((xn , rn ))n∈N sorozat létezését, amelyre

Br0 (x0 ) ⊆ Ω \ F0 , és minden n ∈ N esetén

Brn+1 (xn+1 ) ⊆ Brn (xn ) \

n+1 [ k=0

Fk ,

225

9.2. BAIRE-FÉLE KATEGÓRIATÉTEL

rn teljesül. 2 Az Ω \ F0 halmaz nyílt és nem üres, így van olyan x0 ∈ M és r0 ∈ R∗+ , hogy Br0 (x0 ) ⊆ Ω \ F0 . Legyen n ∈ N és ((xm , rm ))0≤m≤n olyan rendszer M × R∗+ -ban, hogy valamint rn+1 <

Br0 (x0 ) ⊆ Ω\F0 , és minden 0<m
m+1 [

Fk ,

k=0

valamint minden m < n természetes számra rm+1 <

n+1 [ rm . Ekkor Ω \ Fk 6= ∅ és ez 2 k=0

∗

nyílt halmaz, így van olyan x ∈ M és r ∈ R+ , hogy Br (x) ⊆ Ω \

n+1 [

Fk . Legyen

k=0

xn+1 := x és rn+1 ∈ R∗+ tetsz®leges olyan szám, amelyre rn+1 < min(r, rn /2). Ekkor az ((xm , rm ))0≤m≤n+1 rendszer M × R∗+ -ben halad, és minden m < n + 1 természetes számra Brm+1 (xm+1 ) ⊆ Brm (xm ) \

m+1 [

Fk , valamint minden m < n természetes számra rm+1 <

k=0

rm . Ezért a kiválasztási axiómával kombinált rekurzió tétele szerint vehetünk olyan 2 M ×R∗+ -ban haladó ((xn , rn ))n∈N sorozatot, amely rendelkezik az el®írt tulajdonságokkal. Könnyen látható, hogy m, n ∈ N és m ≤ n esetén xn ∈ Brn (xn ) ⊆ Brm (xm ), így dvel jelölve az M feletti metrikát; d(xm , xn ) ≤ rm teljesül. Ebb®l látszik, hogy minden r0 N 3 m, n-re d(xm , xn ) ≤ rmin(m,n) . Ugyanakkor minden n ∈ N∗ esetén rn < n , vagyis 2 az (rn )n∈N számsorozat 0-hoz tart R-ben. Ezért (xn )n∈N Cauchy-sorozat M -ben, így vehetjük azt az x ∈ M pontot, amelyre x := lim xn . Ha m ∈ N, akkor az (xm+n )n∈N n→∞

részsorozat az Brm (xm ) zárt halmazban halad, ezért x = lim xm+n ∈ Brm (xm ). Tehát n→∞

minden N 3 m-re x ∈ Brm (xm ), ugyanakkor Brm (xm ) ∩

x∈Ω\

[ k∈

N

m [

Fk = ∅. Ez azt jelenti, hogy

k=0

Fk teljesül. 

A Baire-féle kategóriatételb®l következik, hogy ha M nem üres[teljes metrikus tér és (Fn )n∈N az M zárt részhalmazainak olyan sorozata, hogy M = Fn , akkor létezik

N

n∈

olyan n ∈ N, hogy Fn belseje nem üres, hiszen ha nem így volna, akkor minden N 3 n-re Fn sehol sem s¶r¶ volna, tehát M els® kategóriájú halmaz lenne M -ben, holott M nem üres nyílt halmaz az M teljes metrikus térben. A Baire-féle kategóriatétel szerint egy metrikus tér teljessége elégséges ahhoz, hogy benne minden nem üres nyílt halmaz második kategóriájú legyen; azonban a teljesség nem szükséges ehhez (5. gyakorlat).

226

9.3.

9. BAIRE-FÉLE KATEGÓRIATÉTEL

A Baire-féle kategóriatétel alkalmazásai

A Baire-féle kategóriatétel itt bizonyított alakja a metrikus terek elméletéhez tartozik, és abban számos alkalmazása van, amit a gyakorlatok jól illusztrálnak. Most alkalmazni fogjuk a tétel a normált terek elméletében. Ehhez el®ször emlékeztetünk arra, hogy a K feletti E vektortér H részhalmazát elnyel®nek nevezzük, ha minden x ∈ E esetén létezik olyan α ∈ R∗+ , hogy x ∈ α.H (VI. fejezet, 2. pont, 4. példa). Világos, hogy normált térben a 0 vektor minden zárt gömbi környezete zárt, konvex és elnyel® halmaz; azonban létezik olyan normált tér, amelyben van olyan zárt, konvex és elnyel® halmaz, amely nem környezete a 0-nak. Azonban Banach-terek esetében ez lehetetlen; ezt mutatja a következ® tétel.

9.3.1. Tétel. Banach-térben minden zárt, konvex és elnyel® halmaz a 0 vektornak környezete.

Bizonyítás. El®ször megjegyezzük, hogy ha T olyan konvex halmaz az E vektortérben, hogy 0 ∈ T , akkor minden α ∈ [0, 1] valós számra α.T ⊆ T , hiszen minden x ∈ T pontra αx = (1 − α)0 + αx ∈ T . Továbbá, ha T olyan konvex halmaz az E vektortérben, hogy 0 ∈ T , akkor α, β ∈ R és 0 ≤ α < β esetén α.T ⊆ β.T teljesül, mert az el®z®ek szerint (α/β).T ⊆ T , így α.T = β.((α/β).T ) ⊆ β.T . Legyen most E Banach-tér és T ⊆ E zárt, konvex és elnyel® halmaz. Feltesszük, hogy T szimmetrikus is, vagyis −T ⊆ T teljesül. Az általános eset bizonyítását majd visszavezetjük erre a speciális esetre. Fennáll az E =

[

N∗

n.T egyenl®ség, hiszen x ∈ E esetén van olyan α ∈ R∗+ , hogy x ∈ α.T ,

n∈

hiszen T elnyel®, így véve bármely n > α természetes számot: x ∈ α.T ⊆ n.T teljesül. A Baire-féle kategóriatétel szerint van olyan n ∈ N∗ , hogy n.T nem sehol sem s¶r¶ halmaz, vagyis Int(n.T ) 6= ∅. Az E → E; x 7→ n.x leképezés (lineáris) homeomorzmus, ezért Int(n.T ) = n.Int(T ). Ebb®l következik, hogy Int(T ) 6= ∅; legyen x ∈ Int(T ) = Int(T ) rögzített pont, és vegyünk olyan r ∈ R∗+ számot, hogy Br (x) ⊆ T . Ekkor a T szimmetrikussága miatt Br (−x) ⊆ T is igaz, mert ha y ∈ Br (−x), akkor r > ky − (−x)k = kx − (−y)k, vagyis −y ∈ Br (x) ⊆ T , így y ∈ −T ⊆ T . Ha most y ∈ Br (0), akkor y + x ∈ Br (x) ⊆ T és y − x ∈ Br (−x) ⊆ T , tehát a T konvexitása 1 1 folytán y = (y + x) + (y − x) ∈ T . Ez azt jelenti, hogy Br (0) ⊆ T , tehát T környezete 2 2 a 0-nak. Ha a T ⊆ E halmaz zárt, konvex és elnyel®, de nem feltétlenül szimmetrikus, akkor vegyük a T ∩ (−T ) halmazt, amely nyilvánvalóan zárt, konvex és szimmetrikus. Ha ez elnyel® is volna, akkor az el®z®ek alapján környezete lenne a 0 vektornak, és akkor T még inkább környezete lenne 0-nak. Tehát elég azt igazolni, hogy a T ∩ (−T ) halmaz elnyel®.

227

9.4. GYAKORLATOK

Ehhez legyen x ∈ E rögzített vektor. A T halmaz elnyel®, így x-hez van olyan α+ ∈ R∗+ , hogy x ∈ α+ .T , ugyanakkor a −x vektorhoz van olyan α− ∈ R∗+ , hogy −x ∈ α− .T . Legyen α ∈ R∗+ tetsz®leges olyan szám, amelyre α > max(α+ , α− ). Ekkor α+ .T ⊆ α.T 1 1 és α− .T ⊆ α.T miatt x, −x ∈ α.T . Ez azt jelenti, hogy x ∈ T és (−x) ∈ T , azaz α α 1 1 x ∈ −T . Ez azt jelenti, hogy x ∈ T ∩ (−T ), azaz x ∈ α.(T ∩ (−T )), így T ∩ (−T ) α α elnyel® halmaz. 

9.4.

Gyakorlatok

1. Ha M metrikus tér, akkor x ∈ M esetén az {x} halmaz pontosan akkor sehol sem s¶r¶, ha x nem izolált pontja M -bek. Ha az M nem üres metrikus tér teljes és nincs izolált pontja, akkor az M halmaz nem megszámlálhatóan végtelen. (Útmutatás. Tegyük fel, hogy M 6= ∅ és M teljes. Világos, hogy M =

[

{x}, tehát

x∈M

ha az M halmaz megszámlálható volna, akkor a Baire-féle kategóriatétel alapján volna olyan x ∈ M , hogy {x} nem sehol sem s¶r¶, vagyis x izolált pontja M -nek.)

2. Az irracionális számok halmaza nem állítható el® megszámlálható sok R-beli zárt halmaz uniójaként. (Útmutatás.

R\Q =

[

N

Ha létezne R-ben zárt halmazoknak „ Ž olyan (Fn )n∈N sorozata, amelyre

Fn , akkor R =

n∈

[

n∈

N

!

Fn

∪

[

Q

{x} , tehát a Baire-féle kategóriatétel

x∈

alapján létezne olyan n ∈ N, hogy Int(Fn ) 6= ∅, ezért Int(R \ Q) 6= ∅, ami nem igaz.)

3. Ha E normált tér és F ⊆ E olyan zárt lineáris altér, hogy F 6= E , akkor F sehol sem s¶r¶ halmaz E -ben. Ha E végtelen dimenziós Banach-tér, akkor nem létezik olyan B ⊆ E megszámlálható halmaz, hogy az E minden eleme el®áll véges B -ben haladó rendszer lineáris kombinációjaként.

(Útmutatás. Indirekt bizonyítunk, tehát feltesszük, hogy az E végtelen dimenziós Banach-térben létezik olyan B megszámlálható halmaz, amelyre az E minden eleme el®áll véges B -ben haladó rendszer lineáris kombinációjaként. Ekkor B nem véges, különben E véges dimenziós lenne. Legyen σ : N → B bijekció. Minden n ∈ N esetén legyen

Fn := {

X

λk σ(k) | (λk )k∈n ∈ Kn }.

k∈n

Ekkor n ∈ N esetén Fn az E -nek n-dimenziós lineáris altere, így Fn zárt E -ben, és [ a hipotézis szerint E = Fn . Ugyanakkor minden N 3 n-re Fn 6= E , ezért Fn

N

n∈

228

9. BAIRE-FÉLE KATEGÓRIATÉTEL

sehol sem s¶r¶ E -ben, így E els® kategóriájú halmaz, ami ellentmond a Baire-féle kategóriatételnek.)

4. A K(N) vektortér felett egyáltalán nem létezik olyan norma, amellyel ellátva K(N) Banach-tér volna.

(Útmutatás. Minden n ∈ N esetén legyen

Fn := {s ∈ K(N) | (∀ k ∈ N) : (k > n) ⇒ (s(k) = 0)}}. [

Ekkor minden N 3 n-re Fn véges dimenziós lineáris altere K(N) -nek és K(N) =

N

Fn .

n∈

Ha volna olyan norma K(N) felett, amellyel K(N) Banach-tér, akkor minden n ∈ N esetén Fn zárt lineáris altere K(N) -nek és Fn 6= K(N) , tehát a 3. gyakorlat szerint K(N) els® kategóriájú halmaz lenne, ami ellentmond a Baire-féle kategóriatételnek.)

5. Legyen M a Q × {0} ⊆ R2 és {(1/n, k/n) ∈ R2 |(n ∈ N∗ ) ∧ (k ∈ Z)} halmazok uniója.

Az M halmazt ellátjuk az R2 feletti euklidészi metrika lesz¶kítésével. Ekkor M nem teljes metrikus tér, de az M minden nem üres nyílt részhalmaza második kategóriájú. (Útmutatás. Jellemezzük a sehol sem s¶r¶ halmazokat ebben a metrikus térben!)

6. Értelmezzük a következ® függvényhalmazt: E := { f ∈ C ([0, 1]; R) | (∃δ ∈ R∗+ )(∀t ∈ [0, δ[) : f (t) = 0 }, amely nyilvánvalóan lineáris altere a [0, 1] → R folytonos függvények C ([0, 1]; R) terének. Az E valós vektorteret ellátjuk a sup-normával. Ekkor a 

T :=



f ∈ E (∀ m ∈ N∗ ) : f

1 m



≤

1 m



halmaz olyan szimmetrikus, zárt, konvex és elnyel® részhalmaza E -nek, amely nem környezete a 0 ∈ E vektornak az E normált térben. Továbbá; az E halmaz els® kategóriájú az E metrikus térben. (Természetesen E nem Banach-tér.) (Útmutatás. Megmutatjuk, hogy ha r ∈ R∗+ tetsz®leges, akkor a Br (0) gömb nem részhalmaza T -nek. Legyen tehát r ∈ R∗+ rögzített, és minden N∗ 3 n-re értelmezzük a következ® függvényt:

fn : [0, 1] → R;

8 > > > <

0

2 t 7→ >6t − n > 1 > : n

1 ; ha t ∈ [0, 3n [, 1 1 ; ha t ∈ [ 3n , 2n [, 1 ; ha t ∈ [ 2n , 1].

229

9.4. GYAKORLATOK

1 Ekkor n ∈ N∗ esetén fn ∈ E , és ha n > , akkor fn ∈ Br (0); ugyanakkor minden     r 5n 1 1 m ∈ n, természetes számra fn > , tehát fn ∈ / T . Ezért Br (0) nem 2 m m részhalmaza T -nek, vagyis T nem környezete a 0-nak E -ben. Legyen (εn )n∈N tetsz®leges valós zérussorozat a ]0, 1] intervallumban, és minden n ∈ N esetén Fn := {f ∈ E|(∀ t ∈ [0, εn ]) : f (t) = 0}. Ekkor (Fn )n∈N az E valódi zárt lineáris altereinek olyan sorozata, amelyre E = ezért E els® kategóriájú halmaz.)

[

N

Fn ,

n∈

7. Ha M teljes metrikus tér és H ⊆ M els® kategóriájú halmaz, akkor Int(H) = ∅ és

M \ H s¶r¶ halmaz M -ben.

(Útmutatás. Tudjuk, hogy M \ H = M \ Int(M \ (M \ H)) = M \ Int(H), tehát M \ H pontosan akkor s¶r¶ M -ben, ha Int(H) = ∅. Ha Int(H) 6= ∅, akkor a Baireféle kategóriatétel szerint Int(H) második kategóriájú halmaz, ezért H nem lehet els® kategóriájú.)

8. Legyenek (M, d) és (M 0 , d 0 ) metrikus terek. Minden f : M → M 0 függvényre vezessük

be az

ωf : M → R+ ;

x 7→

inf

V ∈Td (x)

(diamd 0 (f hV i))

leképezést, amit az f ingadozás-függvényének nevezünk. a) Az f : M → M 0 függvény pontosan akkor folytonos az a ∈ M pontban, ha ωf (a) = 0; vagyis az f szakadási pontjainak halmaza egyenl® az {x ∈ M |ωf (x) > 0} halmazzal. b) Ha f : M → M 0 tetsz®leges függvény, akkor az ωf : M → R+ függvény felülr®l félig folytonos (V. fejezet, 8. pont, 4. gyakorlat). c) Legyen (fn )n∈N olyan sorozat, hogy minden N 3 n-re fn : M → M 0 folytonos függvény, és tegyük fel, hogy az (fn )n∈N függvénysorozat pontonként konvergens az M halmazon. Ekkor a lim fn pontonkénti limeszfüggvény szakadási pontjainak halmaza n→∞ els® kategóriájú halmaz M -ben, és ha az (M, d) metrikus tér teljes, akkor a n→∞ lim fn függvény folytonossági pontjainak halmaza s¶r¶ M -ben. d) A χQ : R → R Dirichlet-függvény nem állítható el® R → R folytonos függvények sorozatának pontonkénti limeszfüggvényeként, de létezik R → R függvényeknek olyan (fn )n∈N sorozata, hogy χQ = n→∞ lim fn , és minden N 3 n-re fn el®állítható R → R folytonos függvények sorozatának pontonkénti limeszfüggvényeként. (Útmutatás. a) Tegyük fel, hogy f folytonos az a ∈ M pontban. Ha ε ∈ R∗+ , akkor

230

9. BAIRE-FÉLE KATEGÓRIATÉTEL

létezik a-nak olyan V környezete, hogy f hV i ⊆ Bε (f (a); d 0 ); ekkor x1 , x2 ∈ V esetén

d 0 (f (x1 ), f (x2 )) ≤ d 0 (f (x1 ), f (a)) + d 0 (f (a), f (x2 )) < 2ε, vagyis ωf (a) ≤ diamd 0 (f hV i) ≤ 2ε. Ebb®l következik, hogy ωf (a) = 0. Megfordítva, legyen a ∈ M olyan, hogy ωf (a) = 0. Ekkor minden ε ∈ R∗+ esetén ωf (a) < ε, tehát létezik a-nak olyan V környezete M -ben, amelyre diamd 0 (f hV i) < ε; ekkor x ∈ V esetén d 0 (f (x), f (a)) ≤ diamd 0 (f hV i) < ε, vagyis f hV i ⊆ Bε (f (a); d 0 ). Ez azt jelenti, hogy f folytonos az a pontban. b) Legyen c ∈ R és a ∈ [ωf < c]. Ekkor ωf (a) < c, tehát van olyan V környezete a-nak M -ben, hogy diamd 0 (f hV i) < c. Legyen Ω ⊆ M olyan nyílt halmaz, hogy a ∈ Ω ⊆ V . Ha x ∈ Ω, akkor Ω környezete x-nek M -ben, ezért

ωf (x) ≤ diamd 0 (f hΩi) ≤ diamd 0 (f hV i) < c, vagyis x ∈ [ωf < c], azaz Ω ⊆ [ωf < c]. Ez azt jelenti, hogy a ∈ Int([ωf < c]), vagyis [ωf < c] nyílt halmaz M -ben, tehát ωf felülr®l félig folytonos függvény. c) Legyen f := lim fn , valamint minden R∗+ 3 ε-ra és N 3 n-re legyen n→∞

Fn (ε) :=

\

N N

{x ∈ M | d 0 (fp (x), fq (x)) ≤ ε}.

(p,q)∈ × , p,q≥n

ε , akkor az [ωf > ε] ∩ Fn (ε0 ) halmaz 3 € Š sehol sem s¶r¶, vagyis Int [ωf > ε] ∩ Fn (ε0 ) = ∅. Tegyük fel ugyanis, hogy n ∈ N és ε, ε0 ∈ R∗+ olyanok, hogy [ωf > ε] ∩ Fn (ε0 ) nem sehol sem s¶r¶, vagyis létezik olyan ε Ω ⊆ [ωf > ε] ∩ Fn (ε0 ) halmaz, amely nyílt és nem üres; bebizonyítjuk, hogy ekkor ε0 > . 3 Minden p, q ∈ N számra {x ∈ M |d 0 (fp (x), fq (x)) ≤ ε0 } zárt halmaz M -ben, ezért Fn (ε0 ) is zárt halmaz M -ben, tehát Ω ⊆ [ωf > ε] ∩ Fn (ε0 ) ⊆ Fn (ε0 ) = Fn (ε0 ). Ez azt jelenti, hogy x ∈ Ω esetén minden p, q ∈ N számra, ha p, q ≥ n, akkor d 0 (fp (x), fq (x)) ≤ ε0 , ezért Megmutatjuk, hogy ha n ∈ N, ε, ε0 ∈ R∗+ és ε0 ≤

d 0 (f (x), fn (x)) = p→∞ lim d 0 (fp (x), fn (x)) ≤ ε0 . Legyen a ∈ Ω rögzített pont. Az fn függvény folytonos a-ban, tehát az a) alapján ωfn (a) = 0, így az ε0 -höz létezik a-nak olyan V nyílt környezete, amelyre diamd 0 (fn hV i) ≤ ε0 , azaz minden x1 , x2 ∈ V eetén d 0 (fn (x1 ), fn (x2 )) ≤ ε0 . Tehát ha x1 , x2 ∈ V ∩ Ω, akkor

d 0 (f (x1 ), f (x2 )) ≤ d 0 (f (x1 ), fn (x1 )) + d 0 (fn (x1 ), fn (x2 )) + d 0 (fn (x2 ), f (x2 )) ≤ 3ε0 , tehát diamd 0 (f hV ∩ Ωi) ≤ 3ε0 , így minden x ∈ V ∩ Ω esetén V ∩ Ω ∈ Td (a) miatt

ωf (x) ≤ diamd 0 (f hV ∩ Ωi) ≤ 3ε0 .

231

9.4. GYAKORLATOK

Ugyanakkor a ∈ V ∩ Ω ⊆ [ωf > ε] ∩ Fn (ε0 ) ⊆ [ωf > ε] és V ∩ Ω nyílt halmaz, tehát V ∩ Ω ∩ [ωf > ε] 6= ∅. Ha x ∈ V ∩ Ω ∩ [ωf > ε], akkor

ε < ωf (x) ≤ 3ε0 , tehát ε < 3ε0 . Ezzel megmutattuk, hogy ha n ∈ N, ε, ε0 ∈ R∗+ és ε0 ≤

[ωf > ε] ∩ Fn (ε0 ) halmaz sehol sem s¶r¶ M -ben.

ε , akkor az 3

Legyen most ε ∈ R∗+ rögzített és ε0 ∈]0, ε/3] tetsz®leges valós szám. Minden x ∈ M esetén (fn (x))n∈N Cauchy-sorozat M 0 -ben, ezért ε0 -höz létezik olyan n ∈ N, hogy minden 0 0 p, q ∈ N számra, ha p, q ≥ n, akkor d 0 (f[ p (x), fq (x)) ≤ ε , így x ∈ Fn (ε ). Ez azt jelenti, [ hogy M = Fn (ε0 ), így [ωf > ε] = ([ωf > ε] ∩ Fn (ε0 )), és az el®z®ekben láttuk,

N

n∈

N

n∈

hogy minden N 3 n-re az [ωf > ε] ∩ Fn (ε0 ) halmaz sehol sem s¶r¶ M -ben. Ezért az [ωf > ε] halmaz els® kategóriájú M -ben. Legyen most (εn )n∈N tetsz®leges zárussorozat R∗+ -ban. Ekkor [ωf > 0] =

[

N

[ωf > εn ],

n∈

és az imént bizonyitottuk, hogy minden N 3 n-re az [ωf > εn halmaz els® kategóriájú M -ben, ezért az [ωf > 0] halmaz is els® kategóriájú M -ben. Ha (M, d) teljes metrikus tér, akkor az f folytonossági pontjai halmazának (vagyis az [ωf = 0] halmaznak) az M -re vonatkozó komplementuma els® kategóriájú, tehát a 7. gyakorlat eredménye szerint az f folytonossági pontjainak halmaza s¶r¶ M -ben. d) A Dirichlet-függvény sehol sem folytonos, ezért a c) miatt nem állítható el® folytonos függvények sorozatának pontonkénti limeszfüggvényeként. Minden m, n ∈ N esetén legyen fm,n : R → R; x 7→ | cos(πn!x)|m . Könnyen látható, hogy minden N 3 n-re az (fm,n ) függvénysorozat pontonként  m∈N konvergens az R halmazon, és χQ = lim lim fm,n .) n→∞ m→∞

9. Legyenek a, b ∈ R és a < b. Jelölje H azon f : [a, b] → R folytonos függvények halmazát, amelyekhez létezik olyan t ∈ [a, b[, hogy f (t0 ) − f (t) sup 0 t −t t0 ∈]t,b]

< +∞.

Ekkor H els® kategóriájú halmaz az [a, b] → R folytonos függvények sup-normával ellátott Banach-terében. Létezik olyan [a, b] → R folytonos függvény, amely az [a, b[ intervallum egyetlen pontjában sem dierenciálható jobbról. (Útmutatás. Ha a H halmaz els® kategóriájú volna a C ([a, b]; R) Banach-térben, akkor C ([a, b]; R) \ H nem üres (s®t s¶r¶ a sup-norma szerint), és f ∈ C ([a, b]; R) \ H esetén

232

9. BAIRE-FÉLE KATEGÓRIATÉTEL

minden t ∈ [a, b[ esetén

f (t0 ) − f (t) sup 0−t 0 t t ∈]t,b]

= +∞,

tehát f -nek t-ben nem létezhet jobboldali deriváltja, különben létezne olyan δ ∈]0, b − t[ valós szám, hogy f (t0 ) − f (t) sup < +∞, 0 t −t t0 ∈]t,t+δ] ugyanakkor a

[t + δ, b] → R;

t0 7→

f (t0 ) − f (t) t0 − t

függvény folytonos a [t + δ, b] kompakt intervallumon, így korlátos is, tehát f (t0 ) − f (t) sup 0−t 0 t t ∈]t,b]

≤ max

! f (t0 ) − f (t) f (t0 ) − f (t) sup , sup 0−t 0−t 0 0 t t t ∈]t,t+δ] t ∈]t+δ,b]

< +∞

is teljesülne. Megmutatjuk, hogy H els® kategóriájú a sup-normával ellátott C ([a, b]; R) Banach1 térben. Legyen N az szám egész része, és minden n > N természetes számra b−a legyen



f (t0 ) − f (t) 1 Hn := {f ∈ C ([a, b]; R) | (∃ t ∈ [a, b − ]) : sup ≤ n}. 0 n t −t t0 ∈]t,b]

Ha f ∈ H , akkor létezik olyan t ∈ [a, b[, hogy f (t0 ) − f (t) sup t0 − t t0 ∈]t,b]

< +∞,



f (t0 ) − f (t) 1 tehát van olyan n > N természetes szám, hogy t ≤ b − , és sup ≤ n, 0−t 0 n t t ∈]t,b] [ vagyis f ∈ Hn . Ez azt jelenti, hogy H ⊆ Hn , így elég azt igazolni, hogy minden

N

n∈ , n>N

n > N természetes számra Hn sehol sem s¶r¶.

Legyen n > N rögzített természetes szám. El®ször megmutatjuk, hogy Hn zárt a supnorma szerint. Ehhez legyen f ∈ C ([a, b]; R) és (fk )k∈N olyan sorozat Hn -ben, amely egyenletesen (vagyis a sup-normában) konvergál f -hez. Létezik olyan (tk )k∈N sorozat   f (t0 ) − f (t ) 1 k k k intervallumban, hogy minden k ∈ N esetén sup az a, b − ≤ n. n t0 − tk t0 ∈]tk ,b] A Bolzano-Weierstrass-tétel szerint van olyan σ : N → N szigorúan monoton növ®

233

9.4. GYAKORLATOK





1 függvény és t ∈ a, b − pont, hogy t = lim tσ(k) . Legyen t0 ∈]t, b] rögzített pont. k→∞ n 0 0 Van olyan k(t ) ∈ N , hogy minden k > k(t ) természetes számra t0 ∈]tσ(k) , b], ezért 0 f σ(k) (t ) − fσ(k) (tσ(k) ) ≤ n, következésképpen t0 − tσ(k) |f (t0 ) − f (t)| ≤ |f (t0 ) − fσ(k) (t0 )| + |fσ(k) (t0 ) − fσ(k) (tσ(k) )| + |fσ(k) (tσ(k) ) − f (tσ(k) )|+ +|f (tσ(k) ) − f (t)| ≤ kf − fσ(k) k + n|t0 − tσ(k) | + kfσ(k) − f k + |f (tσ(k) ) − f (t)|. Itt a jobb oldal határértéke k → ∞ esetén n|t − t|, ezért 0

f ∈ Hn .

f (t0 ) − f (t) 0 t −t

≤ n, vagyis

Ezért elég azt megmutatni, hogy Int(Hn ) 6= ∅, vagyis a C ([a, b]; R) \ Hn halmaz s¶r¶ C ([a, b]; R)-ben a sup-norma szerint. Ehhez legyen f ∈ C ([a, b]; R) rögzített függvény és ε ∈ R∗+ tetsz®leges. Olyan f 0 ∈ C ([a, b]; R) függvényt keresünk, amelyre f 0 ∈ / Hn és kf − f 0 k < ε. Az f egyenletes folytonosságát kihasználva veszünk olyan m ∈ N∗ számot és olyan (tk )0≤k≤m szigorúan monoton növ® rendszert az [a, b] intervallumban, amelyre t0 = a, tm = b, valamint minden k < m természetes számra és minden t, t0 ∈ [tk , tk+1 ] ε pontra |f (t0 ) − f (t)| < . Legyen h : [a, b] → R az a függvény, amelyre minden k ≤ m 4 természetes számra h(tk ) := f (tk ), és ha k < m, valamint t ∈]tk , tk+1 [, akkor Œ

‚

f (tk+1 ) − f (tk ) (t − tk ). h(t) := f (tk ) + tk+1 − tk ε , hiszen t ∈ [a, b] \ {tk |(k ∈ N) ∧ (k < m)} 2 esetén létezik egyetlen olyan k < m természetes szám, amelyre t ∈]tk , tk+1 [, tehát

Világos, hogy h ∈ C ([a, b]; R) és kf − hk ≤

|f (t) − h(t)| =

‚ Œ f (tk+1 ) − f (tk ) f (t) − f (tk ) − (t − t k ) tk+1 − tk ‚

t − tk ≤ |f (t) − f (tk )| + |f (tk+1 ) − f (tk )| tk+1 − tk Továbbá, a C :=

f (t k+1 ) − f (tk ) max k∈N, k<m tk+1 − tk

Œ

<

≤

ε ε ε + ·1= . 4 4 2

számra teljesül az, hogy minden t ∈ [a, b] \

{tk |(k ∈ N) ∧ (0 < k < m)} pontban h dierenciálható és |(Dh)(t)| ≤ C . Legyen most ε g ∈ C ([a, b]; R) olyan szakaszonként lineáris függvény, hogy kgk ≤ , és az [a, b] minden 2 olyan t pontjában, ahol g dierenciálható fennáll a |(Dg)(t)| > C + n egyenl®tlenség. Könnyen látható, hogy ekkor az f 0 := h+g függvényre f 0 ∈ C ([a, b]; R)\Hn és kf −f 0 k < ε teljesül.)

234

9. BAIRE-FÉLE KATEGÓRIATÉTEL

10. fejezet BanachSteinhaus-tétel 10.1.

Banach tétele az egyenletes korlátosságról

Ebben a pontban normált terek között ható folytonos lineáris operátorok sorozatainak pontonkénti konvergenciájával folgalkozunk.

10.1.1. Állítás. Legyenek E és F normált terek, u ∈ L (E; F ), és (un )n∈N olyan sorozat

L (E; F )-ben, hogy létezik olyan D ⊆ E halmaz, hogy D lineáris burka s¶r¶ E -ben és u = lim un a D halmazon. Ha sup kun k < +∞ (vagyis az (un )n∈N operátorsorozat operá-

N

n→∞

n∈

tornormában korlátos), akkor u = lim un , vagyis az (un )n∈N operátorsorozat pontonként n→∞ konvergens az E halmazon. Bizonyítás. Jelölje E0 a D halmaz lineáris burkát. Nyilvánvaló, hogy minden x ∈ E0 esetén u(x) = lim un (x), és a hipotézis szerint E0 s¶r¶ lineáris altere E -nek. Legyen n→∞ C ∈ R∗+ olyan szám, amelyre C > kuk + sup kun k teljesül.

N

n∈

Rögzítsünk egy x ∈ E pontot; megmutatjuk, hogy u(x) = lim un (x). Ehhez legyen n→∞ ε ∈ R∗+ tetsz®leges, és az E0 s¶r¶ségét kihasználva vegyünk olyan x ∈ E0 vektort, ε . Ekkor az u(x0 ) = lim un (x0 ) egyenl®ség miatt van olyan amelyre kx − x0 k < n→∞ 2C ε N ∈ N, hogy minden n > N természetes számra kun (x0 ) − u(x0 )k < . Ha most n > N 2 tetsz®leges természetes szám, akkor fennállnak a következ® egyenl®tlenségek

kun (x) − u(x)k ≤ kun (x) − un (x0 )k + kun (x0 ) − u(x0 )k + ku(x0 ) − u(x)k ≤ ≤ kun kkx − x0 k + kun (x0 ) − u(x0 )k + kukkx0 − xk ≤ Œ ε ε ≤ sup kum k + kuk kx − x0 k + kun (x0 ) − u(x0 )k < C + = ε, 2C 2 m∈N amib®l következik az állítás.  ‚

235

236

10. BANACHSTEINHAUS-TÉTEL

10.1.2. Tétel. (Banach egyenletes korlátosság tétele) Legyen E Banach-tér, F

normált tér, és H ⊆ L (E; F ) olyan operátorhalmaz, amelyre minden x ∈ E esetén az {u(x)|u ∈ H} ⊆ F halmaz korlátos F -ben (amit úgy fejezünk ki, hogy a H operátorhalmaz pontonként korlátos). Ekkor H az operátornormában is korlátos, vagyis sup kuk < +∞. u∈H

Bizonyítás. Természetesen feltehetjük, hogy H 6= ∅. Legyen

T :=

\ −1

u hB1 (0)i.

u∈H

Minden u ∈ H esetén u : E → F folytonos függvény, és B1 (0) ⊆ F zárt halmaz, ezért −1 u hB1 (0)i zárt halmaz E -ben, így T is zárt halmaz. Minden u ∈ H esetén u : E → F −1 lineáris függvény, és B1 (0) ⊆ F konvex halmaz F -ben, ezért u hB1 (0)i konvex halmaz E -ben, így T is konvex halmaz. Ha x ∈ E , akkor az {u(x)|u ∈ H} ⊆ F halmaz korlátos F -ben, tehát van olyan α ∈ R∗+ , amelyre minden H 3 u-ra ku(x)k ≤ α, vagyis −1

ku((1/α)x)k ≤ 1, azaz (1/α)x ∈ u hB1 (0)i; ez azt jelenti, hogy (1/α)x ∈ T , azaz x ∈ α.T . Tehát a T halmaz zárt, konvex és elnyel® az E Banach-térben, ezért T környezete a 0 vektornak, vagyis vehetünk olyan r ∈ R∗+ számot, amelyre Br (0) ⊆ T . Ekkor u ∈ H és 1 −1 x ∈ B1 (0) esetén rx ∈ Br (0) ⊆ T ⊆ u hB1 (0)i, így ku(rx)k ≤ 1, tehát ku(x)k ≤ . Ebb®l r 1 1 következik, hogy minden H 3 u-ra kuk := sup ku(x)k ≤ , tehát sup kuk ≤ < +∞. r r u∈H x∈B1 (0) 

10.2.

BanachSteinhaus-tétel

10.2.1. Tétel. (BanachSteinhaus-tétel) Legyen E Banach-tér, F normált tér, és (un )n∈N olyan sorozat L (E; F )-ben, amely pontonként konvergens az E halmazon. Legyen u := lim un . n→∞

a) Az (un )n∈N operátorsorozat operátornormában korlátos, vagyis sup kun k < +∞.

N

n∈

b) u ∈ L (E; F ) és kuk ≤ lim inf kun k. n→∞

c) Az (un )n∈N operátorsorozat az E minden relatív kompakt részhalmazán egyenletesen konvergens.

Bizonyítás. a) Az {un |n ∈ N} ⊆ L (E; F ) operátorhalmaz pontonként korlátos, mert minden x ∈ E esetén, a hipotézis alapján, az (un (x))n∈N sorozat konvergens, tehát az {un (x)|n ∈ N} halmaz korlátos F -ben. Ezért Banach egyenletes korlátosság tétele

237

10.2. BANACHSTEINHAUS-TÉTEL

alapján az {un |n ∈ N} operátorhalmaz korlátos az operátornorma szerint, vagyis sup kun k < +∞. n∈

N

b) Legyen x ∈ E ; ekkor minden N 3 n-re kun (x)k ≤ kun kkxk, ezért

ku(x)k = k lim un (x)k = lim kun (x)k = lim sup kun (x)k ≤ n→∞

n→∞

n→∞





≤ lim inf kun kkxk = lim inf kun k kxk. n→∞

n→∞

Az a) szerint lim inf kun k ≤ sup kun k < +∞, ezért az u lineáris operátor folytonos és n→∞

n∈

kuk ≤ lim inf kun k.

N

n→∞

Azt kell igazolni, hogy ha K ⊆ E kompakt halmaz, akkor az (un )n∈N operátorsorozat egyenletesen konvergens a K halmazon. Ehhez legyen C ∈ R∗+ olyan szám, amelyre C ≥ sup kun k, és vegyünk tetsz®leges ε ∈ R∗+ számot.

N

n∈

Minden x ∈ K esetén az u operátor folytonos x-ben, ezért van olyan δ ∈ R∗+ , hogy minden uhBδ (x)i ⊆ Bε/3 (u(x)); továbbá világos, hogy ekkor minden δ 0 ∈]0, δ[ számra uhBδ0 (x)i ⊆ Bε/3 (u(x)) teljesül. Ezért a kiválasztási axióma alkalmazásával vehetünk olyan (δx )x∈K ε és uhBδx (x)i ⊆ Bε/3 (u(x)). Ekkor rendszert R∗+ -ban, hogy minden K 3 x-re δx < 3C [ Bδx (x), és K kompakt, így van olyan A ⊆ K véges halmaz, hogy természetesen K ⊆

K ⊆

[

x∈K

Bδa (a). Ha a ∈ A, akkor u(a) = lim un (a), ezért van olyan N ∈ N, hogy n→∞

a∈A

minden n > N természetes számra kun (a) − u(a)k < ε/3. Tehát kiválaszthatunk olyan (Na )a∈A rendszert N-ben, hogy minden a ∈ A esetén, minden n > N természetes számra kun (a) − u(a)k < ε/3. Legyen N ∈ N olyan természetes szám, amelyre minden a ∈ A esetén Na ≤ N teljesül. Megmutatjuk, hogy minden n > N természetes számra és minden K 3 x-re [ kun (x) − Bδa (a) u(x)k < ε. Valóban, legyen n > N természetes szám és x ∈ K . Ekkor K ⊆ a∈A

miatt vehetünk olyan a ∈ A pontot, amelyre x ∈ Bδa (a), vagyis kx − ak < δa . Világos, hogy ekkor ku(x) − u(a)k < ε/3 és n > N ≥ Na miatt kun (a) − u(a)k < ε/3, valamint ε , így érvényesek a következ® egyenl®tlenségek δa < 3C

kun (x) − u(x)k ≤ kun (x) − un (a)k + kun (a) − u(a)k + ku(a) − u(x)k < ε ε 2 + ≤ Cδa + ε < ε. 3 3 3 Ezzel megmutattuk, hogy a K ⊆ E kompakt halmazra < kun kkx − ak +

(∀ε ∈ R∗+ )(∃N ∈ N)(∀x ∈ K)(∀n ∈ N) : (n > N ⇒ kun (x) − u(x)k < ε)

238

10. BANACHSTEINHAUS-TÉTEL

teljesül, ami éppen azt jelenti, hogy az (un )n∈N operátorsorozat egyenletesen konvergens a K halmazon.  A BanachSteinhaus-tétel feltételei mellett az (un )n∈N operátorsorozat nem szükségképpen konvergál a lim un folytonos lineáris operátorhoz az operátornorma szerint (6. n→∞ gyakorlat). A tétel c) pontja mindössze azt állítja, hogy az (un )n∈N operátorsorozat csak az E relatív kompakt részhalmazain konvergál egyenletesen, de a korlátos halmazokon már nem szükségképpen egyenletesen konvergens. Még az is el®fordulhat, hogy az (kun k)n∈N valós számsorozat nem konvergens, bár a tétel a) pontja szerint korlátos; ilyen esetben biztos az, hogy (un )n∈N nem konvergens az operátornorma szerint. Azonban véges dimenziós indulási tér esetében igaz a következ® állítás.

10.2.2. Következmény. Legyen E véges dimenziós normált tér és F normált tér. Az L (E; F )-ben haladó (un )n∈N operátorsorozat akkor és csak akkor konvergens pontonként az E halmazon, ha konvergens az operátornorma szerint.

Bizonyítás. A B1 (0) gömb E -ben korlátos és zárt, így kompakt, mert E véges dimenziós. Ezért a BanachSteinhaus-tétel alapján az (un )n∈N operátorsorozat a B1 (0) gömbön is egyenletesen konvergens, ami éppen azt jelenti, hogy konvergens az operátornorma szerint.  Megjegyezzük még, hogy a BanachSteinhaus-tétel b) pontjában felírt kuk ≤ lim inf kun k összefüggésben szigorú egyenl®tlenség is lehetséges (6. gyakorlat). n→∞

10.3.

Gyakorlatok

1. Legyenek E és F normált terek, valamint (un )n∈N olyan sorozat L (E; F )-ben, amely pontonként konvergens az E halmazon. Jelölje u az (un )n∈N operátorsorozat pontonkénti limeszfüggvényét. Ha sup kun k < +∞, akkor teljesülnek a BanachSteinhaus-tételben n∈

N

megfogalmazott a), b) és c) állítások. (Tehát itt nem az E teljességét, hanem az (un )n∈N sorozat operátornorma szerinti korlátosságát tesszük fel.) (Útmutatás. Figyeljük meg, hogy a BanachSteinhaus-tétel bizonyításában hol, és hogyan használtuk fel az E teljességét!)

2. Legyen E Banach-tér, F normált tér, és (un )n∈N olyan sorozat L (E; F )-ben, amely pontonként konvergens az E halmazon. Ha (xn )n∈N konvergens sorozat E -ben, akkor 

lim un

n→∞





lim xn = lim un (xn ).

n→∞

n→∞

239

10.3. GYAKORLATOK

(Útmutatás. Legyen u := lim un és x := lim xn . A BanachSteinhaus-tétel alapján n→∞ n→∞ u ∈ L (E; F ), és C := sup kun k < +∞. Az átviteli elvb®l következik, hogy u(x) = n∈

N

lim un (x), tehát tetsz®leges ε ∈ R∗+ esetén van olyan N ∈ N, hogy minden n > N n→∞ természetes számra kxn − xk < ε és kun (x) − u(x)k < ε, így kun (xn ) − u(x)k ≤ kun (xn ) − un (x)k + kun (x) − u(x)k < < kun kkxn − xk + ε ≤ (C + 1)ε, amib®l következik, hogy u(x) = lim un (xn ).) n→∞

3. Legyen s egy K-ban haladó sorozat. ∞ a) s ∈ lK pontosan akkor teljesül, ha minden s0 ∈ l1K esetén a

X

N

s(k)s0 (k) sor konvergens.

k∈

1 1 b) Ha p, q ∈ [1, → [ olyan valós számok, hogy + = 1, akkor s ∈ lqK ekvivalens azzal, p q X p 0 0 hogy minden s ∈ lK esetén a s(k)s (k) sor konvergens.

N

k∈

∞ (Útmutatás. a) A majoráns kritérium alapján az s ∈ lK feltételb®l még az is következik, X 0 0 1 hogy minden s ∈ lK esetén a s(k)s (k) sor abszolút konvergens. Az elégségesség

N

k∈

bizonyításához legyen minden n ∈ N esetén 1

0

un : lK → K;

s 7→

n X

s(k)s0 (k).

k=0

1 0

Ekkor (un )n∈N olyan sorozat (lK ) -ben, amely az s-re vonatkozó feltevés alapján 1 pontonkénk konvergens az lK halmazon, így az egyenletes korlátosság tétele szerint sup kun k < +∞. Ugyanakkor könnyen látható, hogy minden N 3 n-re kun k = n∈

N

max |s(k)|, ami azt jelenti, hogy

0≤k≤n





sup |s(n)| = sup n∈

N

N

n∈

max |s(k)| = sup kun k < +∞,

N

0≤k≤n

n∈

vagyis az s sorozat korlátos. q b) Az elemi Hölder-egyenl®tlenség alapján az s ∈ lK feltételb®l még az is következik, X p 0 0 s(k)s (k) sor abszolút konvergens. Az elégségességet hogy minden s ∈ lK esetén a

N

k∈

pontosan ugyanúgy bizonyítjuk, mint az a) pontban, felhasználva azt, hogy most a VI. fejezet, 1. pont, 6. gyakorlat alapján minden N∗ 3 n-re

kun k =

n−1 X k=0

!1/q

|s(k)|

q

240

10. BANACHSTEINHAUS-TÉTEL

teljesül.)

4. Legyenek p, q ∈ [1, → [ olyan valós számok, hogy p

∞ X

0

us : lK → K;

s 7→

1 1 + = 1, és minden s ∈ lKq esetén p q

s(k)s0 (k).

k=0

p 0

q

Tudjuk, hogy s ∈ lK esetén us ∈ (lK ) , és az lKq → (lKp )0 ;

s 7→ us

leképezés lineáris izometria (VI. fejezet, 1. pont, 6. gyakorlat). Mutassuk meg, hogy p 0 ez a leképezés szürjektív, vagyis minden u ∈ (lK ) funkcionálhoz van olyan s ∈ lKq , hogy us = u. (Ez azt jelenti, hogy az lKq normált sorozattér kitüntetett módon - a fenti lineáris p 0 ) duális térrel, tehát írható, hogy (lKp )0 = lKq .) Igazoljuk, izometria által - azonosul az (lK p Banach-tér reexív. hogy minden p ∈]1, → [ valós számra az lK

p (Útmutatás. Minden N 3 n-re legyen en az az elem lK -ban, amelyre minden m ∈ N 0 p esetén en (m) = δm,n . Legyen u ∈ (lK ) rögzített, és s az a sorozat, amelyre minden n ∈ N esetén s(n) := u(en ). Megmutatjuk, hogy s ∈ lKq és u = us . q Az nyilvánvaló, hogy ha s ∈ lK teljesülne, akkor minden N 3 n-re u(en ) = s(n) = us (en ), így u = us az {en |n ∈ N} halmaz által generált lineáris altéren (azaz K(N) -en), ami s¶r¶ lKp -ban, tehát az u és us folytonossága miatt u = us . Tehát csak azt kell igazolni, hogy s ∈ lKq .

Minden n ∈ N esetén legyen sn az a K-ban haladó sorozat, amelyre minden N 3 mre sn (m) := s(m), ha m < n, és sn (m) := 0, ha m ≥ n. Ha n ∈ N, akkor sn ∈ K(N) ⊆ lKq , tehát a VI. fejezet, 1. pont, 6. gyakorlat szerint usn ∈ (lKp )0 és n−1 X

kusn k = ksn kq =

!1/q

|s(k)|

p . Ha s0 ∈ lK , akkor minden n ∈ N∗ esetén

q

k=0 0

usn (s ) =

∞ X

0

sn (k)s (k) =

k=0

ugyanakkor s0 =

n−1 X

0

s(k)s (k) =

k=0

∞ X k=0

folytonossága miatt lim u k→∞

0

u(ek )s (k) = u

k=0

s0 (k)ek = n→∞ lim n−1 X

n−1 X

n−1 X k=0 !

s0 (k)ek

n−1 X

! 0

s (k)ek ,

k=0

s0 (k)ek az lKp -ban k · kp szerint, tehát az u létezik.

k=0

Ez azt jelenti, hogy az (usn )n∈N

p funkcionál-sorozat pontonként konvergens az lK sorozattéren. Ezért Banach egyenletes korlátosság tétele alapján sup kusn k < +∞, vagyis

N

n∈

sup

N

n∈

n−1 X k=0

!1/q

|s(k)|

q

= sup ksn kq < +∞, n∈

N

241

10.3. GYAKORLATOK q tehát s ∈ lK .)

5. Jelölje cK,0 a K-ban haladó zérussorozatok vektorterét a k · k∞ normával ellátva. 1 -ban. a) Mutassuk meg, hogy cK,0 egyenl® a K(N) altér k · k∞ szerinti lezártjával lK 1 b) Legyen minden lK 3 s-re us : cK,0 → K;

s0 7→

∞ X

s(k)s0 (k).

k=0

1 Bizonyítsuk be, hogy s ∈ lK esetén us ∈ (cK,0 )0 , és az

lK1 → (cK,0 )0 ;

s 7→ us

1 leképezés izometrikus lineáris bijekció (természetesen lK felett k · k1 normát, és a (cK,0 )0 duális tér felett a funkcionálnormát véve normaként).

(Útmutatás. a) Minden N 3 n-re legyen en az a sorozat, amelyre minden m ∈ N esetén X en (m) = δm,n . Megmutatjuk, hogy minden s ∈ cK,0 sorozatra a s(k)ek sor konvergens

cK,0 -ban a k · k∞ norma szerint és

N

k∈

∞ X k=0

s(k)ek = s; ebb®l már következik, hogy cK,0 része

∞ a K(N) altér k · k∞ szerinti lezártjának lK -ban. Valóban, minden n ∈ N∗ esetén

n−1

X

s − s(k)e k

k=0

∞

:=

n−1 X sup s(m) − s(k)ek (m) m∈N k=0

=

sup

N

|s(m)|,

m∈ , m≥n

tehát ha ε ∈ R∗+ , akkor lim(s) = 0 miatt van olyan N ∈ N, hogy minden m > N természetes számra |s(m)| < ε, így minden n > N természetes számra

n−1

X

s − s(k)ek

k=0

vagyis a

X

N

k∈

≤ ε,

∞

s(k)ek sor konvergens cK,0 -ban a k · k∞ norma szerint és

∞ X

s(k)ek = s.

k=0

∞ -ban része cK,0 -nak. Legyen Megmutatjuk, hogy a K(N) altér k · k∞ szerinti lezártja lK (N) ∞ ugyanis (sn )n∈N olyan sorozat K -ben és legyen s ∈ lK olyan sorozat, hogy s = lim sn a n→∞ k · k∞ szerint; azt kell igazolni, hogy lim(s) = 0. Legyen ε ∈ R∗+ rögzített. Létezik olyan n ∈ N, hogy ks − sn k∞ < ε/2. Természetesen lim(sn ) = 0, ezért van olyan N ∈ N, hogy minden m > N természetes számra |sn (m)| < ε/2. Ekkor minden m > N természetes számra

|s(m)| ≤ |s(m) − sn (m)| + |sn (m)| ≤ ks − sn k∞ + |sn (m)| < 2(ε/2) = ε,

242

10. BANACHSTEINHAUS-TÉTEL

tehát lim(s) = 0. 1 b) Az, hogy s ∈ lK esetén az us : cK,0 → K lineáris funkcionál a k · k∞ szerint folytonos és kus k = ksk1 , ugyanúgy bizonyítható, mint a VI. fejezet, 1. pont, 5. gyakorlatban. 1 Legyen u ∈ (cK,0 )0 ; megmutatjuk, hogy az s := (u(en )n∈N ) sorozat eleme lK -nak és us = u. n−1 X

Ehhez legyen minden n ∈ N∗ esetén sn :=

s(k)ek , valamint s0 := 0. Minden N 3 n-re

k=0

sn ∈ K N , ezért usn ∈ (cK,0 )0 és kusn k = ksn k1 = ( )

n ∈ N∗ esetén 0

usn (s ) =

∞ X

0

sn (k)s (k) =

k=0

n−1 X

X

N

k∈ 0

s =

s(k)s (k) =

k=0

és az a) bizonyítása alapján a ∞ X

0

n−1 X k=0

n−1 X

|s(k)|, ha n > 0. Ha s0 ∈ cK,0 , akkor

0

u(ek )s (k) = u

k=0

n−1 X

! 0

s (k)ek ,

k=0

s0 (k)ek sor konvergens cK,0 -ban a k · k∞ szerint és

0

s (k)ek . Ugyanakkor u folytonos a k · k∞ szerint, ezért az u

k=0

n−1 X

!! 0

s (k)ek

k=0

N∗

n∈

számsorozat konvergens. Ez azt jelenti, hogy az (usn )n∈N funkcionál-sorozat pontonként konvergens a cK,0 halmazon. Az a) alapján cK,0 Banach-tér a k · k∞ normával, ezért Banach egyenletes korlátosság tétele szerint

sup n∈

n−1 X

N∗ k=0

|s(k)| = sup kusn k < +∞.

N∗

n∈

1 Ezért s ∈ lK , tehát jól értelmezett az us : cK,0 → K lineáris funkcionál, amely az u-val együtt folytonos k · k∞ szerint, és nyilvánvalóan u = us a K(N) altéren, amely viszont s¶r¶ cK,0 -ban a k · k∞ szerint, így us = u teljesül.)

6. Adjunk példát olyan E Banach-térre, és olyan E 0 -ben haladó (un )n∈N sorozatra, amely

pontonként konvergens, de



lim u

n→∞ n

< lim inf kun k. n→∞

(Útmutatás. Tekintsük a K-ban haladó zérussorozatok cK,0 terét a k · k∞ normával ellátva, és legyen minden n ∈ N esetén un : cK,0 → K; s 7→ s(n). Ekkor minden N 3 n-re kun k = 1 és lim un = 0.) n→∞

7. Jelölje cK a K-ban haladó konvergens sorozatok vektorterét a k · k∞ normával ellátva. ∞ -nak a k · k∞ norma szerint. a) Mutassuk meg, hogy cK zárt lineáris altere lK

243

10.3. GYAKORLATOK

1 b) Legyen minden s ∈ lK esetén

us : cK → K;

0

s 7→

∞ X

s(k)s0 (k).

k=0

1 Bizonyítsuk be, hogy minden lK 3 s-re us ∈ (cK )0 , és az

lK1 → (cK )0 ;

s 7→ us

leképezés lineáris izometria, de a

lim : cK → K;

s0 7→ lim(s0 )

1 leképezés olyan eleme (cK )0 -nek, amelyhez nem létezik olyan s ∈ lK , hogy us = lim. 1 c) Minden (λ, s) ∈ K × lK párra az

u(λ,s) : cK → K;

s0 7→ λ. lim(s0 ) + us (s0 − lim(s0 ))

leképezés eleme (cK )0 -nek, és a

K × lK1 → (cK )0 ;

(λ, s) 7→ u(λ,s)

leképezés lineáris bijekció. (Útmutatás. a) Nyilvánvaló, hogy cK = cK,0 ⊕ K1, ahol 1 az azonosan 1 sorozat, ezért ∞ a VI. fejezet, 1. pont, 11. gyakorlat eredménye alapján cK zárt lK -ban a k · k∞ norma ∞ szerint, hiszen az 5. gyakorlat szerint cK,0 is zárt lK -ban a k · k∞ norma szerint.

b) Kövessük ugyanazt a gondolatmenetet, mint a VI. fejezet, 1. pont, 5. gyakorlat 1 állításának bizonyításában! Ha s ∈ lK olyan sorozat lenne, hogy lim = us , akkor cK,0 ⊆ Ker(us ), vagyis az us lesz¶kítése cK,0 -ra a 0 funkcionál, így az 5. gyakorlat b) pontja szerint s = 0, ami lehetetlen.)

8. (Általánosított határértékek.) Egy u : lK∞  K leképezést limeszoperációnak nevezünk, ∞ -nak, amely tartalmazza a K-ban haladó konvergens ha Dom(u) olyan lineáris altere lK

sorozatok halmazát, és u : Dom(u) → K olyan K-lineáris funkcionál, amely folytonos a k · k∞ norma szerint, és minden s ∈ cK sorozatra u(s) = lim(s), vagyis u a sup-norma szerint folytonos lineáris kiterjesztése a lim : cK → K; s 7→ lim(s) funkcionálnak. Azt ∞  K limeszoperáció nemtriviális, ha u 6= lim, vagyis a K-ban mondjuk, hogy az u : lK haladó konvergens sorozatok cK halmaza valódi részhalmaza Dom(u)-nak. ∞  K az a leképezés, amelyre a) Legyen C lim : lK

8 <

Dom(C lim) := :(xk )k∈N ∈ lK∞

n X

1 xk n + 1 k=0

9 =

!

N

k∈

konvergens sorozat K-ban , ;

244

10. BANACHSTEINHAUS-TÉTEL

és (xk )k∈N ∈ Dom(C lim) esetén n 1 X xk . n→∞ n + 1 k=0

(C lim) ((xk )k∈N ) := lim

Mutassuk meg, hogy ez a C lim leképezés nemtriviális limeszoperáció. A C lim funkcionált Cesáro-féle limeszoperációnak nevezzük.

∞ b) Legyen t = (tj,k )(j,k)∈N×N ∈ KN×N , és jelölje (t) lim : lK  K azt a leképezést, ∞ amelyre Dom((t) lim) azon (xk )k∈N ∈ lK sorozatok !halmaza, amelyekre minden j ∈ N

esetén a

X

N

∞ X

tj,k xk sor konvergens és a

k∈

tj,k xk

k=0

j∈

(xk )k∈N ∈ Dom((t) lim) esetén ((t) lim)((xk )k∈N ) := lim

j→∞

∞ X

N

sorozat konvergens, valamint

tj,k xk .

k=0

∞ Bizonyítsuk be, hogy Dom((t) lim) lineáris altere lK -nak, és (t) lim lineáris funkcionál, továbbá (t) lim pontosan akkor limeszoperáció, ha t-re teljesülnek a következ®k.

(i) Minden N 3 j -re a (ii) A

∞ X k=0

N

tj,k sor abszolút konvergens, és sup j∈

k∈

!

tj,k

X

N

sorozat konvergens, és lim

j→∞

j∈

∞ X

∞ X

N k=0

|tj,k | < +∞.

tj,k = 1.

k=0

(iii) Minden N 3 k -ra lim tj,k = 0. j→∞

(Ezt az állítást nevezzük Toeplitz-tételnek.) Ha t-re teljesülnek az (i), (ii) és (iii) feltételek, akkor azt mondjuk, hogy t Toeplitz-mátrix. Adjuk meg azokat a t ∈ KN×N Toeplitz-mátrixokat, amelyekre (t) lim egyenl® lim-mel, illetve C lim-mel. c) Legyen (pn )n∈N tetsz®leges olyan sorozat R+ -ban, hogy p0 > 0. Készítsük el azt a t = (tm,n )(m,n)∈N×N ∈ KN×N függvényt, amelyre (m, n) ∈ N × N esetén 8 > > <

pm−n m X

tm,n := >

; ha m ≥ n

pk

k=0 > :

; ha m < n.

0

Mutassuk meg, hogy t pontosan akkor Toeplitz-mátrix, ha

lim n→∞

pn n X

pk

k=0

= 0.

245

10.3. GYAKORLATOK

∞ d) Nem létezik olyan t∈KN×N Toeplitz-mátrix, amelyre Dom((t) lim) = lK . (Tehát a VI. fejezet, 2. pont, 11. gyakorlatban értelmezett Banach-limesz olyan limeszoperáció, amely semmilyen t ∈ RN×N Toeplitz-mátrixra nem egyezik meg a (t) lim limeszoperációval.)

(Útmutatás. a) Közvetlenül és könnyen belátható, de a b)-nek is következménye.

b) Tegyük fel, hogy t = (tj,k )(j,k)∈N×N ∈ KN×N Toeplitz-mátrix; megmutatjuk, hogy (t) lim limeszoperáció. Triviális az, hogy Dom((t) lim) lineáris altere lK∞ -nak, és (t) lim : Dom((t) lim) → K lineáris funkcionál, tehát csak azt kell igazolni, hogy lim ⊆ (t) lim és minden s ∈ cK esetén ((t) lim)(s) = lim(s). ∞ 1 , ezért minden (xk )k∈N ∈ lK Az (i) els® feltétele miatt j ∈ N esetén (tj,k )k∈N ∈ lK X sorozatra a tj,k xk sor abszolút konvergens. Ezért elegend® azt megmutatni, hogy k∈

N

ha (xk )k∈N ∈ cK , akkor a

!

∞ X

tj,k xk

k=0

N

sorozat konvergens és lim

j→∞

j∈

Ehhez minden j ∈ N esetén értelmezzük az

uj : cK,0 → K; leképezést.

Az 5.

sup

N k=0

j∈

∞ X

tj,k xk = lim xk . k→∞

k=0

tj,k xk

k=0

gyakorlat b) pontja szerint minden N 3 j -re uj ∈ (cK,0 )0 és

kuj k = k(tj,k )k∈N k1 = ∞ X

(xk )k∈N 7→

∞ X

∞ X

|tj,k |, tehát az (i) második feltétele alapján sup kuj k =

N

j∈

k=0

|tj,k | < +∞. Legyen (xk )k∈N ∈ K(N) és n ∈ N olyan, hogy minden k > n

természetes számra xk = 0. Ekkor minden N 3 j -re

uj ((xk )k∈N ) =

∞ X

tj,k xk =

k=0

n X

tj,k xk ,

k=0

ezért a (iii) feltétel alapján lim uj ((xk )k∈N ) = 0. j→∞

Ez azt jelenti, hogy az (uj )j∈N

funkcionál-sorozat (cK,0 )0 -ben halad, korlátos a funkcionálnorma szerint, és pontonként konvergál a 0 funkcionálhoz a K(N) ⊆ cK,0 altéren, amely az 5. gyakorlat a) pontja szerint s¶r¶ cK,0 -ban. Ezért az (uj )j∈N funkcionál-sorozat pontonként konvergál 0-hoz az egész cK,0 téren. Ezzel megmutattuk, hogy minden (xk )k∈N ∈ cK,0 esetén a

(uj ((xk )k∈N ))j∈N ) számsorozat konvergens és lim

j→∞

∞ X k=0

k=0

!

tj,k xk j∈

N

(vagyis az

tj,k xk = 0. Ha most (xk )k∈N ∈ cK

tetsz®leges és x := lim xk , akkor (xk −x)k∈N ∈ cK,0 , tehát a k→∞

∞ X

∞ X k=0

!

tj,k (xk − x)

N

j∈

sorozat

246

10. BANACHSTEINHAUS-TÉTEL

konvergens és lim

j→∞

∞ X

tj,k (xk − x) = 0, továbbá a (ii) feltétel alapján a

k=0

sorozat is konvergens és lim

∞ X

j→∞

és lim

j→∞

∞ X

∞ X

tj,k x = x, ezért a

k=0

tj,k xk

!

tj,k x

k=0

!

k=0

∞ X

N

j∈

N

sorozat is konvergens

j∈

tj,k xk = x = lim xk . Ez azt jelenti, hogy (t) lim limeszoperáció. k→∞

k=0

Megfordítva, tegyük fel, hogy t = (tj,k )(j,k)∈N×N ∈ KN×N olyan rendszer, amelyre (t) lim limeszoperáció; megmutatjuk, hogy ekkor t Toeplitz-mátrix. Jelölje 1 az azonosan 1 sorozatot, és minden n ∈ N esetén legyen en az a sorozat, amelyre minden X N 3 m-re tj,k sor en (m) = δm,n . Ekkor 1 ∈ cK ⊆ Dom((t) lim), ezért minden j ∈ N esetén a abszolút konvergens és lim

j→∞

∞ X

N

k∈

tj,k = ((t) lim)(1) = lim(1) = 1. Ez azt jelenti, hogy

k=0

t-re az (i) feltétel els® fele és a (ii) feltétel teljesül. Továbbá, minden j ∈ N esetén (tj,k )k∈N ∈ lK1 miatt jól értelmezett az uj : cK → K;

(xk )k∈N 7→

lineáris funkcionál és kuj k = k(tj,k )k∈N k1 =

∞ X k=0

∞ X

tj,k xk

k=0

|tj,k |. A cK ⊆ Dom((t) lim) feltétel

alapján a (cK )0 -ben haladó (uj )j∈N sorozat pontonként konvergens, és a pontonkénti limeszfüggvénye megegyezik a (t) lim limeszoperáció cK -ra vett lesz¶kítésével. Banach egyenletes korlátosság tétele alapján sup

∞ X

N k=0

j∈

|tj,k | = sup kuj k < +∞, így teljesül az (i)

N

j∈

feltétel második fele is. Végül, minden k ∈ N esetén ek ∈ cK ⊆ Dom((t) lim), tehát (t) lim(ek ) = lim(ek ) = 0, ugyanakkor (t) lim(ek ) = lim tj,k , tehát (iii) is teljesül. j→∞

d) Legyen t = (tj,k )(j,k)∈N×N ∈ KN×N Toeplitz-mátrix. Ekkor könnyen igazolható olyan (xk )! k∈N számsorozat létezése, amelyre minden k ∈ N esetén xk ∈ {0, 1} és a ∞ X

k=0

tj,k xk j∈

N

sorozat nem konvergens, ezért (xk )k∈N ∈ / Dom((t) lim).)

11. fejezet Banach nyíltleképezés tétele 11.1.

Banach nyíltleképezés tétele

11.1.1. Lemma. Legyenek E és F normált terek, valamint u ∈ L (E; F ) olyan, hogy Im(u) második kategóriájú halmaz F -ben. Ekkor a 0 ∈ E vektor minden W környezetére uhW i a 0 ∈ F vektornak környezete. Bizonyítás. Legyen W tetsz®leges környezete a 0 ∈ E vektornak, és r[∈ R∗+ olyan, hogy Br (0) ⊆ W . Minden k ∈ N∗ esetén k.Br (0) = Bkr (0), ezért E = k.Br (0). Ebb®l

N∗

k∈

következik, hogy

Im(u) = uh

[

N∗

k.Br (0)i =

k∈

[

N∗

uhk.Br (0)i =

k∈

[

N∗

k.uhBr (0)i.

k∈

A feltevés szerint Im(u) második kategóriájú halmaz F -ben, ezért létezik olyan k ∈ N∗ , hogy k.uhBr (0)i nem sehol sem s¶r¶ halmaz, azaz €

Š

∅ 6= Int k.uhBr (0)i = k.Int(uhBr (0)i) ahol kihasználtuk, hogy az F → F ; y 7→ k.y leképezés homeomormus. Ezért Int(uhBr (0)i) 6= ∅; legyen y ∈ Int(uhBr (0)i) és R ∈ R∗+ olyan, hogy BR (y) ⊆ uhBr (0)i. Nyilvánvaló, hogy az uhBr (0)i halmaz szimmetrikus és konvex, ezért ha y 0 ∈ BR (0), akkor y + y 0 ∈ BR (y) ⊆ uhBr (0)i és −y + y 0 ∈ BR (−y) = −BR (y) ⊆ −uhBr (0)i ⊆ uhBr (0)i, amib®l következik, hogy

1 1 y 0 = (y + y 0 ) + (−y + y 0 ) ∈ uhBr (0)i. 2 2 Tehát BR (0) ⊆ uhBr (0)i ⊆ uhW i, így uhW i a 0 ∈ F vektornak környezete.  247

248

11. BANACH NYÍLTLEKÉPEZÉS TÉTELE

11.1.2. Lemma. Legyen E teljes metrikus tér, F metrikus tér, és f : E → F olyan folytonos függvény, hogy

(∀r ∈ R∗+ )(∃s ∈ R∗+ )(∀x ∈ E) : Bs (f (x)) ⊆ f hBr (x)i. Ha (r, s) ∈ R∗+ × R∗+ olyan pár, hogy minden E 3 x-re Bs (f (x)) ⊆ f hBr (x)i, akkor minden r0 > r valós számra

(∀x ∈ E) : Bs (f (x)) ⊆ f hBr0 (x)i. Bizonyítás. Legyen (r, s) ∈ R∗+ × R∗+ olyan pár, hogy minden E 3 x-re Bs (f (x)) ⊆ f hBr (x)i, és rögzítsünk egy r0 > r valós számot, valamint egy x0 ∈ E pontot. Azt kell megmutatni, hogy Bs (f (x0 )) ⊆ f hBr0 (x0 )i. Ehhez válasszunk egy y ∈ Bs (f (x0 )) pontot. Olyan x ∈ Br0 (x0 ) elemet keresünk, amelyre f (x) = y teljesül. Legyen (rk )k∈N∗ olyan rendszer R∗+ -ban, amelyre a valamint

∞ X

X

k∈

N∗

rk sor konvergens R-ben, és r1 = r,

rk < r0 . Az f függvényre vonatkozó hipotézis alapján minden N∗ 3 k -

k=1

hoz létezik olyan sk ∈ R∗+ , hogy minden E 3 x0 -re Bsk (f (x0 )) ⊆ f hBrk (x0 )i. Ezért kiválaszthatunk olyan R∗+ -ban haladó (sk )k∈N∗ rendszert, hogy s1 = s, lim sk = 0 és k→∞

minden N∗ 3 k -ra és minden E 3 x0 -re Bsk (f (x0 )) ⊆ f hBrk (x0 )i. Most a kiválasztási axiómával kombinált rekurzió tételének alkalmazásával igazoljuk olyan E -ben haladó (xn )n∈N∗ rendszer létezését, hogy minden N∗ 3 n-re xn ∈ Brn (xn−1 ) és f (xn ) ∈ Bsn+1 (y). Az x1 ∈ E pontot úgy kell megválasztani, hogy x1 ∈ Br1 (x0 ) = Br (x0 ) valamint f (x1 ) ∈ Bs2 (y) teljesüljön. Ilyen választás lehetséges, mert y ∈ Bs (f (x0 )) ⊆ f hBr (x0 )i és Bs2 (y) az y -nak környezete, tehát

Bs2 (y) ∩ f hBr (x0 )i 6= ∅, így létezik olyan x1 ∈ Br (x0 ), hogy f (x1 ) ∈ Bs2 (y). Tegyük most fel, hogy n ∈ N∗ és (xk )1≤k≤n olyan rendszer E -ben, hogy minden 1 ≤ k ≤ n természetes számra xk ∈ Brk (xk−1 ) és f (xk ) ∈ Bsk+1 (y). Olyan xn+1 ∈ Brn+1 (xn ) pontot keresünk, amelyre f (xn+1 ) ∈ Bsn+2 (y). Ha xn+1 ilyen pont volna, akkor f (xn+1 ) ∈ Bsn+2 (y) ∩ f hBrn+1 (xn )i teljesülne, tehát

Bsn+2 (y) ∩ f hBrn+1 (xn )i 6= ∅. −1

Megfordítva, ha Bsn+2 (y) ∩ f hBrn+1 (xn )i 6= ∅, akkor f hBsn+2 (y)i ∩ Brn+1 (xn ) 6= ∅, és e halmaz bármely x elemére f (x) ∈ Bsn+2 (y) és x ∈ Brn+1 (xn ) teljesülne, tehát az xn+1 := x

249

11.1. BANACH NYÍLTLEKÉPEZÉS TÉTELE

választás megfelel® volna. Tehát azt kell igazolni, hogy Bsn+2 (y) ∩ f hBrn+1 (xn )i 6= ∅. A Bsn+2 (y) gömb környezete y -nak, ezért elég volna azt igazolni, hogy y ∈ f hBrn+1 (xn )i. Ez viszont igaz, mert Bsn+1 (f (xn )) ⊆ f hBrn+1 (xn )i és f (xn ) ∈ Bsn+1 (y), vagyis y ∈ Bsn+1 (f (xn )). Legyen tehát (xn )n∈N∗ olyan E -ben haladó rendszer, amelyre minden n ∈ N∗ esetén xn ∈ Brn (xn−1 ) és f (xn ) ∈ Bsn+1 (y). Ha m, n ∈ N és m < n, akkor d-vel jelölve az E feletti metrikát kapjuk, hogy

d(xm , xn ) ≤

n X

n X

d(xk−1 , xk ) <

k=m+1

rk <

k=m+1

∞ X

rk ,

k=m+1

amib®l következik, hogy minden N 3 m, n-re

d(xm , xn ) ≤

∞ X

rk .

k=min(m,n)

A

X k∈

N∗

rk sor konvergens R-ben, ezért lim

m→∞

∞ X k=m+1

rk = 0. Ebb®l adódik, hogy (xn )n∈N∗

Cauchy-sorozat E -ben. Az E metrikus tér teljessége folytán az (xn )n∈N∗ sorozat konvergens E -ben; legyen x := lim xn . n→∞

Ha n ∈ N∗ , akkor d(x0 , xn ) ≤

∞ X

rk , ezért d(x0 , x) = lim d(x0 , xn ) ≤

k=1

n→∞

∞ X

rk < r0 , vagyis

k=1

x ∈ Br0 (x0 ). Az f függvény folytonos, ezért f (x) = lim f (xn ). Ugyanakkor minden n→∞ N∗ 3 n-re f (xn ) ∈ Bsn+1 (y), és (sn )n∈N∗ zérussorozat R-ben, így y = lim f (xn ) = f (x). n→∞ Ezzel az el®írt tulajdonságú x pont létezését igazoltuk. 

11.1.3. Tétel. (Banach nyíltleképezés tétele) Legyenek E és F Banach-terek, valamint u ∈ L (E; F ). A következ® állítások ekvivalensek. (i)

u nyílt leképezés.

(ii) u szürjektív leképezés. (iii) Im(u) második kategóriájú részhalmaza F -nek.

Bizonyítás. (i)⇒(ii) Ha u nyílt leképezés, akkor Im(u) környezete a 0-nak F -ben, ezért elnyel® halmaz. Ugyanakkor az Im(u) halmaz zárt a skalárokkal vett szorzásra nézve, ezért Im(u) = F . (ii)⇒(iii) A Baire-féle kategóriatétel szerint F második kategóriájú részhalmaza az F Banach-térnek. (iii)⇒(i) A (iii) hipotézis, és az els® lemma alapján a 0 ∈ E vektor minden W

250

11. BANACH NYÍLTLEKÉPEZÉS TÉTELE

környezetére az uhW i halmaz környezete a 0 ∈ F vektornak. Ezért minden R∗+ 3 rhez van olyan s ∈ R∗+ , hogy Bs (0) ⊆ uhBr (0)i. Ha r, s ∈ R∗+ ilyen tulajdonságú számok, akkor az u additivitása folytán minden x ∈ E esetén

Bs (u(x)) = u(x) + Bs (0) ⊆ u(x) + uhBr (0)i = u(x) + uhBr (0)i = = uhx + Br (0)i = uhBr (x)i, ahol kihasználtuk azt, hogy bármely y ∈ F esetén az F → F ; y 0 7→ y + y 0 leképezés homeomorzmus. Ez azt jelenti, hogy az E és F teljes metrikus terek között ható u folytonos függvényre teljesül a második lemma hipotézise. Tehát az el®z®ek és a második lemma alapján kapjuk, hogy (r, s) ∈ R∗+ × R∗+ olyan pár, hogy Bs (0) ⊆ uhBr (0)i, akkor minden r0 > r valós számra és E 3 x-re Bs (u(x)) ⊆ uhBr0 (x)i. Legyen most Ω ⊆ E tetsz®leges nyílt halmaz és x ∈ Ω. Legyen r0 ∈ R∗+ olyan, hogy Br0 (x) ⊆ Ω, és rögzítsünk egy r ∈]0, r0 [ valós számot. Az el®z®ek alapján van olyan s ∈ R∗+ , hogy Bs (0) ⊆ uhBr (0)i, ezért Bs (u(x)) ⊆ uhBr0 (x)i ⊆ uhΩi teljesül. Ez azt jelenti, hogy uhΩi nyílt részhalmaza F -nek, vagyis (i) igaz. 

11.1.4. Következmény. Banach-terek között ható folytonos lineáris bijekció szükség-

képpen homeomorzmus, tehát az inverze is folytonos.

Bizonyítás. Egy ilyen operátor szürjektív, tehát Banach nyíltleképezés tétele alapján nyílt leképezés, ami azzal ekvivalens, hogy az inverze folytonos. 

11.2.

Zártgráf-tétel

11.2.1. Tétel. (Zártgráf-tétel) Legyenek E és F Banach-terek, valamint u : E → F

lineáris operátor. Ha u gráfja zárt halmaz az E × F normált szorzattérben, akkor u folytonos. Bizonyítás. Legyen G := {(x, u(x)) ∈ E × F |x ∈ E}, tehát G az u operátor gráfja. Ez lineáris altere az E × F szorzattérnek, és a hipotézis alapján zárt a szorzatnorma szerint. Az E és F normált terek teljesek, tehát az E × F normált szorzattér is teljes, így G a szorzatnorma lesz¶kítésével ellátva Banach-tér. Értelmezzük a következ® lineáris operátorokat v : E → G; x 7→ (x, u(x)),

w : G → F;

(x, y) 7→ y.

Ekkor u = w ◦ v , ezért u folytonosságához elegend® a v és w operátorok folytonossága. A w függvény nyilvánvalóan folytonos, mert a pr2 : E × F → F projekció folytonos és w := pr2 |G . A v operátor nyilvánvalóan lineáris bijekció és v −1 folytonos, mert a pr1 : E × F → E projekció folytonos és v −1 = pr1 |G. Banach nyíltleképezés tételének el®z® következményét alkalmazva kapjuk, hogy a v −1 : G → E operátor lineáris homeomorzmus, ezért v folytonos. 

251

11.3. GYAKORLATOK

11.3.

Gyakorlatok

1. Azt mondjuk, hogy az E valós vagy komplex vektortér feletti k · k1 és k · k2 normák

összehasonlíthatók, ha létezik olyan C1 ∈ R∗+ , hogy k · k2 ≤ C1 k · k1 , vagy létezik olyan C2 ∈ R∗+ , hogy k · k1 ≤ C2 k · k2 . Mutassuk meg, hogy ha k · k1 és k · k2 összehasonlítható normák az E valós vagy komplex vektortér felett, és E a k · k1 és k · k2 normákkal ellátva Banach-tér, akkor a k · k1 és k · k2 normák ekvivalensek.

(Útmutatás. Jelölje E1 (illetve E2 ) az E vektorteret a k · k1 (illetve k · k2 ) normával ellátva. Ekkor E1 és E2 Banach-terek, továbbá a k · k1 és k · k2 normák összehasonlíthatósága miatt az idE : E1 → E2 operátor, vagy az idE : E2 → E1 operátor folytonos. Bármelyik esetben a Banach nyíltleképezés-tétel alapján idE lineáris homeomorzmus E1 és E2 között, ezért a k · k1 és k · k2 normák ekvivalensek.)

2. Legyen E normált tér, F Banach-tér, és (T, R, θ) mértéktér. Azt mondjuk, hogy

az L (E; F )-ben haladó (ut )t∈T rendszer θ-integrálható, ha minden x ∈ E esetén a T → F ; t 7→ ut (x) függvény θ-integrálható, vagyis eleme LF1 (T, R, θ)-nak. Ha az (ut )t∈T rendszer θ-integrálható, akkor az Z

Z

ut dθ(t) : E → F ; T

x 7→

ut (x) dθ(t) T

leképezést az (ut )t∈T rendszer θ-integráljának nevezzük. Nyilvánvaló, hogy az

Z

ut dθ(t) T

függvény lineáris operátor. Mutassuk meg, hogy haZ E is Banach-tér és (ut )t∈T egy

L (E; F )-ben haladó θ-integrálható rendszer, akkor Z

ut dθ(t) ∈ L (E; F ), vagyis az

T

ut dθ(t) operátor folytonos.

T

(Útmutatás. Értelmezzük az

uθ : E → L1F (T, R, θ);

x 7→ (t 7→ ut (x))•

lineáris operátort, továbbá jelölje Iθ,F az L1F (T, R, θ) → F θ-szerinti integrált. Tudjuk, hogy L1F (T, R, θ) Banach-tér a k · kθ,1 normával, és az Iθ,F lineáris operátor folytonos. Nyilvánvaló továbbá, hogy Z

ut dθ(t) = Iθ,F ◦ uθ , T

ezért elég azt igazolni, hogy az uθ lineáris operátor folytonos. A zártgráf-tétel alapján elegend® azt megmutatni, hogy az uθ gráfja zárt az E × L1F (T, R, θ) normált szorzattérben.

252

11. BANACH NYÍLTLEKÉPEZÉS TÉTELE

Legyen (xn )n∈N olyan sorozat E -ben és (x, ξ) ∈ E × L1F (T, R, θ) olyan pár, hogy x = lim xn az E normája szerint és ξ = lim uθ (xn ) az L1F (T, R, θ) feletti k · kθ,1 n→∞ n→∞ norma szerint. Azt kell bizonyítani, hogy uθ (x) = ξ . Legyen minden n ∈ N esetén fn : T → F ; t 7→ ut (xn ); ekkor fn ∈ LF1 (T, R, θ), és az uθ deníciója alapján uθ (xn ) = fn• . Legyen f ∈ LF1 (T, R, θ) olyan, hogy ξ = f • . A hipotézis alapján az (fn )n∈N függvénysorozat konvergál f -hez LF1 (T, R, θ)-ban a k · kθ,1 félnorma szerint. A Riesz-Fischer tétel alapján létezik olyan σ : N → N szigorúan monoton növ® függvény, hogy az (fσ(m) )m∈N függvénysorozat θ-majdnem mindenütt konvergál f -hez. Tehát θmajdnem minden T 3 t-re

f (t) = m→∞ lim fσ(m) (t) = m→∞ lim ut (xσ(m) ) az F normája szerint, ugyanakkor t ∈ T esetén ut ∈ L (E; F ) és x = lim xσ(m) , tehát m→∞

lim ut (xσ(m) ) = ut (x).

m→∞

Ez azt jelenti, hogy ha g : T → F ; t 7→ ut (x), akkor g ∈ LF1 (T, R, θ) és θ-majdnem minden T 3 t-re g(t) = f (t). Ezért g • = f • = ξ , továbbá a deníció szerint uθ (x) = g • , tehát uθ (x) = ξ .)

12. fejezet Hilbert-terek 12.1.

Paralelogramma-egyenl®ség és prehilbert-terek

Ha n ∈ N, akkor k · k2 olyan norma Kn felett, hogy minden x, y ∈ Kn esetén

kx + yk22 + kx − yk22 = 2kxk22 + 2kyk22 teljesül; ez egyszer¶ összegzéssel belátható. Ugyanakkor minden p ≥ 1 valós számra; ha p 6= 2 és n > 1, akkor a Kn feletti k · kp norma olyan, hogy léteznek x, y ∈ Kn elemek, amelyekre kx + yk2p + kx − yk2p 6= 2kxk2p + 2kyk2p . 2 2 Az lK sorozattér felett a k · k2 norma olyan, hogy minden x, y ∈ lK esetén

kx + yk22 + kx − yk22 = 2kxk22 + 2kyk22 teljesül; ez egyszer¶ sorösszegzéssel belátható. Ugyanakkor minden p ≥ 1 valós számra; p p ha p 6= 2, akkor az lK sorozattér feletti k · kp norma olyan, hogy léteznek x, y ∈ lK elemek, amelyekre kx + yk2p + kx − yk2p 6= 2kxk2p + 2kyk2p . Ha (T, R, θ) mertéktér, akkor az L2K (T, R, θ) vektortér felett a k · kθ,2 norma olyan, hogy minden x, y ∈ L2K (T, R, θ) esetén

kx + yk2θ,2 + kx − yk2θ,2 = 2kxk2θ,2 + 2kyk2θ,2 teljesül; ez egyszer¶ integrálással belátható. A fenti példák mutatják, hogy tartalmas a következ® deníció. 253

254

12. HILBERT-TEREK

12.1.1. Deníció. Az E normált teret prehilbert-térnek nevezzük, ha minden x, y ∈ E esetén teljesül a

kx + yk2 + kx − yk2 = 2kxk2 + 2kyk2

paralelogramma-egyenl®ség. Az E normált teret Hilbert-térnek nevezzük, ha E teljes prehilbert-tér.

Tehát a prehilbert-terek (illetve Hilbert-terek) speciális normált (illetve Banach-) terek, amelyek pontosan annyiban speciálisak, hogy a normájukra teljesül a paralelogram2 ma-egyenl®ség. A Kn és lK vektorterek a k · k2 normával ellátva Hilbert-terek. Ugyanez 2 igaz az LK (T, R, θ) alakú vektorterekre, amelyek felett természetesen a k · kθ,2 normát vesszük normaként. Ha E prehilbert-tér és F ⊆ E lineáris altér, akkor az F normált altér nyilvánvalóan szintén prehilbert-tér. Ez azt mutatja, hogy sok nem teljes prehilbert-tér létezik; például minden Hilbert-tér mindegyik nem zárt lineáris altere, az altérnormával ellátva prehilbert-tér, de nem teljes, tehát nem Hilbert-tér.

12.2.

Skalárszorzások és prehilbert-normák

A következ® denícióban bevezetünk egy függvénytípust, amelynek segítségével könnyen el®állíthatunk prehilbert-tereket.

12.2.1. Deníció. Ha E vektortér a K test felett, akkor egy b : E × E → K függvényt E feletti skalárszorzásnak nevezünk, ha teljesülnek a következ®k:  minden y ∈ E esetén a b(·, y) : E → K parciális függvény K-lineáris;  minden x, y ∈ E esetén b(x, y) = b(y, x);  minden x ∈ E esetén b(x, x) ∈ R+ , továbbá b(x, x) = 0 pontosan akkor teljesül, ha x = 0. Ha b skalárszorzás E felett, akkor az x, y ∈ E vektorokat b-ortogonálisaknak vagy b-mer®legeseknek nevezzük, ha b(x, y) = 0; továbbá, minden H ⊆ E halmazra a

H ⊥ := {y ∈ E | (∀x ∈ H) : b(x, y) = 0} halmazt a H halmaz b-ortogonális komplementerének nevezzük.

Megjegyzések. Legyen E vektortér K felett. 1) Ha b skalárszorzás E felett, akkor minden x ∈ E vektorra a b(x, ·) : E → K parciális függvény olyan, hogy minden y, y1 , y2 ∈ E és λ ∈ K esetén

b(x, y1 + y2 ) = b(x, y1 ) + b(x, y2 ),

12.2. SKALÁRSZORZÁSOK ÉS PREHILBERT-NORMÁK

255

b(x, λy) = λb(x, y). Ez azonnal következik abból, hogy b(x, ·) = b(·, x), és a b(·, x) funkcionál K-lineáris. Az ilyen tulajdonságú E → K leképezéseket konjugált-lineáris funkcionáloknak nevezzük. 2) Ha K = R, akkor egy b : E × E → R leképezés pontosan akkor skalárszorzás E felett, ha b pozitív denit, szimmetrikus bilineáris funkcionál E felett. 3) Legyen b skalárszorzás E felett. Minden H ⊆ E halmazra H ⊥ lineáris altere E -nek, mert ha H 6= ∅, akkor \ H⊥ = Ker(b(·, y)), y∈H

továbbá nyilvánvalóan ∅⊥ = E . Az is világos, hogy ha H ⊆ E , akkor H ⊆ (H ⊥ )⊥ (a (H ⊥ )⊥ halmazt rendszerint a H ⊥⊥ szimbólummal jelöljük). Továbbá, ha H1 , H2 ⊆ E , akkor H1 ⊆ H2 esetén H2⊥ ⊆ H1⊥ . 4) Legyen b skalárszorzás E felett. Ekkor minden H ⊆ E esetén H ⊥ = (H ⊥⊥ )⊥ , mert a 3) alapján H ⊆ H ⊥⊥ miatt (H ⊥⊥ )⊥ ⊆ H ⊥ , ugyanakkor szintén a 3) alapján H ⊥ ⊆ (H ⊥ )⊥⊥ , és nyilvánvaló, hogy (H ⊥⊥ )⊥ = (H ⊥ )⊥⊥ . A továbbiakban a skalárszorzás-függvényekre az absztrakt jelölési konvenciót alkalmazzuk, tehát minden skalárszorzást ugyanazzal a (·|·) szimbólummal jelölünk, ha ez nem okoz félreértést.

12.2.2. Állítás. Legyen E vektortér K felett, és (·|·) skalárszorzás E felett. Ekkor a k · k : E → R+ ;

x 7→

È

(x|x)

leképezés olyan norma E felett, amelyre teljesül a paralelogramma-egyenl®ség, és minden x, y ∈ E esetén fennáll a |(x|y)| ≤ kxkkyk

(Cauchy-Schwartz-egyenl®tlenség). Továbbá,  ha K = R, akkor minden E 3 x, y -ra

1 (x|y) = (kx + yk2 − kx − yk2 ); 4  ha K = C, akkor minden E 3 x, y -ra

1 (x|y) = (kx + yk2 − kx − yk2 + ikx + iyk2 − ikx − iyk2 ) 4 teljesül (polarizációs formulák).

256

12. HILBERT-TEREK

Bizonyítás. Nyilvánvaló, hogy az itt értelmezett k · k függvényre (NOI ) és (NOII ) teljesül. A háromszög-egyenl®tlenség bizonyítása el®tt a Cauchy-Schwartz-egyenl®tlenséget igazoljuk. Ehhez legyenek x, y ∈ E rögzítettek, és tegyük fel, hogy (x|y) 6= 0. Értelmezzük a P : K → R+ ; λ 7→ (x + λy|x + λy) leképezést. A skalárszorzás tulajdonságai szerint minden K 3 λ-ra

P (λ) = (x|x) + λ(y|x) + λ(x|y) + |λ|2 (y|y) = kxk2 + λ(y|x) + λ(y|x) + |λ|2 kyk2 = = kxk2 + 2<(λ(y|x)) + |λ|2 kyk2 . Ebb®l következik, hogy minden t ∈ R esetén ‚

(x|y) 0≤P t |(x|y)|

Œ

‚

Œ



2

(x|y) (x|y) 2 = kxk + 2< t (y|x) + t2 kyk = |(x|y)| |(x|y)| 2

= kxk2 + 2t|(x|y)| + t2 kyk2 , tehát az

R → R;

t 7→ kxk2 + 2t|(x|y)| + t2 kyk2

leképezés olyan másodfokú valós polinomiális függvény, amely mindenütt pozitív értéket vesz föl, így a diszkriminánsa kisebb-egyenl® 0-nál, vagyis 4|(x|y)|2 − 4kxk2 kyk2 ≤ 0. Ebb®l azonnal kapjuk a Cauchy-Schwartz-egyenl®tlenséget. Ha x, y ∈ E , akkor a Cauchy-Schwartz-egyenl®tlenséget alkalmazva kapjuk, hogy

kx + yk2 = (x + y|x + y) = (x|x) + (x|y) + (y|x) + (y|y) = = kxk2 + 2<(x|y) + kyk2 ≤ kxk2 + 2|(x|y)| + kyk2 ≤ ≤ kxk2 + 2kxkkyk + kyk2 = (kxk + kyk)2 , tehát k · k-ra (NOIII ) is teljesül. Ez a norma eleget tesz a paralelogramma-egyenl®ségnek, mert x, y ∈ E esetén

kx + yk2 + kx − yk2 = (x + y|x + y) + (x − y|x − y) = = (x|x) + (x|y) + (y|x) + (y|y) + (x|x) − (x|y) − (y|x) + (y|y) = = 2(x|x) + 2(y|y) = 2kxk2 + 2kyk2 . Végül, a polarizációs formulák triviális következményei a skalárszorzás algebrai tulajdonságainak és a k · k deníciójának. 

257

12.2. SKALÁRSZORZÁSOK ÉS PREHILBERT-NORMÁK

12.2.3. Deníció. Ha E vektortér K felett, és (·|·) skalárszorzás E felett, akkor a k · k : E → R+ ;

x 7→

È

(x|x)

leképezést a (·|·) skalárszorzás által generált normának nevezzük. A polarizációs formulákból látható, hogy ha E normált tér, akkor legfeljebb egy olyan skalárszorzás létezik az E felett, amely az E normáját generálja. A következ® tétel teljes jellemzást ad azokra a normákra, amelyek skalárszorzásból származtathatók.

12.2.4. Tétel. Az E normált pontosan akkor prehilbert-tér, ha létezik olyan E feletti

skalárszorzás, amely az E normáját generálja.

Bizonyítás. (I) El®ször feltesszük, hogy E valós prehilbert-tér. Értelmezzük az

(·|·) : E × E → R;

1 (x, y) 7→ (kx + yk2 − kx − yk2 ) 4

leképezést. Nyilvánvalóan azt kell megmutatni, hogy (·|·) olyan skalárszorzás E felett, amely az E normáját generálja. Világos, hogy a k · k-ra vonatkozó (NOI ) és (NOII ) miatt minden E 3 x-re kxk2 = (x|x) teljesül, tehát elég azt igazolni, hogy (·|·) skalárszorzás E felett. Ebb®l az (NOI ) alapján kapjuk, hogy x ∈ E esetén (x|x) ∈ R+ és (x|x) = 0 pontosan akkor teljesül, ha x = 0. Az (NOII ) alapján a (·|·) függvény szimmetrikus, így csak az szorul bizonyításra, hogy minden E 3 y -ra az (·|y) : E → R parciális függvény lineáris. Legyen y ∈ E rögzített. Vegyünk tetsz®leges x1 , x2 ∈ E vektorokat, és írjuk fel a paralelogramma-egyenl®séget az x1 + y és x2 , valamint az x1 és x2 − y vektorokra:

kx1 + y + x2 k2 + kx1 + y − x2 k2 = 2kx1 + yk2 + 2kx2 k2 , kx1 + x2 − yk2 + kx1 − x2 + yk2 = 2kx1 k2 + 2kx2 − yk2 . Ezekb®l következik, hogy

4(x1 + x2 |y) := kx1 + x2 + yk2 − kx1 + x2 − yk2 = = −kx1 + y − x2 k2 + 2kx1 + yk2 + 2kx2 k2 + kx1 − x2 + yk2 − 2kx1 k2 − 2kx2 − yk2 = €

Š

= kx1 + yk2 − kx2 − yk2 + 2kx2 k2 − 2kx1 k2 + kx1 + yk2 − kx2 − yk2 . A paralelogramma-egyenl®ség alapján

kx1 + yk2 − kx2 − yk2 = −kx1 − yk2 + 2kx1 k2 + 2kyk2 + kx2 + yk2 − 2kx2 k2 − 2kyk2 , amit az el®z® egyenl®ségbe helyettesítve

4(x1 + x2 |y) = kx1 + yk2 − kx1 − yk2 + kx2 + yk2 − kx2 − yk2 =: 4(x1 |y) + 4(x2 |y)

258

12. HILBERT-TEREK

adódik. Ez azt jelenti, hogy a (·|y) : E → R parciális függvény additív. Megmutatjuk, hogy y ∈ E esetén a (·|y) : E → R parciális függvény folytonos a k · k szerint. Valóban, legyen x ∈ E és (xn )n∈N olyan sorozat E -ben, amely x-hez konvergál a k · k szerint. Ekkor minden N 3 n-re

1 |(xn |y) − (x|y)| = |(xn |y) + (−x|y)| = |(xn − y|y)| = |kxn − x + yk2 − kxn − x − yk2 |, 4 ahol kihasználtuk azt, hogy az (·|y) : E → R függvény additivitása miatt (−x|y) = −(x|y), hiszen (−x|y) + (x|y) = (−x + x|y) = (0|y) = 0. Tudjuk, hogy a k · k : E → R függvény folytonos a k · k szerint, és a feltevés alapján lim (xn − x + y) = y és n→∞ lim (xn − x − y) = −y a k · k szerint, így

n→∞

1 lim |(xn |y) − (x|y)| = |kyk2 − k − yk2 | = 0. 4

n→∞

Tehát y ∈ E esetén a (·|y) : E → R parciális függvény additív és folytonos a k · k szerint. Ebb®l a VI. fejezet, 1. pont. 17. gyakorlat a) része alapján következik, hogy minden E 3 y -ra a (·|y) : E → R parciális függvény lineáris. (II) Tegyük most fel, hogy E komplex prehilbert-tér. Az E alatt fekv® ER valós normált tér nyilvánvalóan valós prehilbert-tér, ezért az (I) alapján létezik olyan (·|·)R : ER ×ER → R skalárszorzás az ER valós vektortér felett (vagyis olyan pozitív denit szimmetrikus bilineáris funkcionál ER felett), amelyre minden x ∈ E esetén kxk2 = (x|x)R teljesül. Világos, hogy minden E 3 x, y -ra

1 (x|y)R = (kx + yk2 − kx − yk2 ). 4 Értelmezzük a

(·|·) : E × E → C;

(x, y) 7→ (x|y)R + i(x|iy)R

leképezést. Könnyen látható, hogy minden E 3 x, y -ra (x|iy)R = −(y|ix)R és (ix|iy)R = (x|y)R , mert

4(x|iy)R = kx + iyk2 − kx − iyk2 = ki(−ix + y)k2 − ki(−ix − y)k2 = = ky − ixk2 − ky + ixk2 = −4(y|ix)R , 4(ix|iy)R = kix + iyk2 − kix − iyk2 = kx + yk2 − kx − yk2 = 4(x|y)R . Ebb®l következik, hogy minden E 3 x-re (x|ix)R = 0, így

(x|x) := (x|x)R + i(x|ix)R = (x|x)R = kxk2 . Tehát elég azt igazolni, hogy a (·|·) függvényre teljesül az, hogy minden E 3 y -ra a (·|y) : E → C parciális függvény C-lineáris, és minden E 3 x, y -ra (x|y) = (y|x).

12.2. SKALÁRSZORZÁSOK ÉS PREHILBERT-NORMÁK

259

Legyen y ∈ E rögzített. Az (·|y) : E → C parciális függvény R-lineáris, mert a (·|y)R : ER → R és (·|iy)R : ER → R függvények R-lineárisak, és a deníció szerint (·|y) = (·|y)R + i(·|iy)R . Ha x ∈ E és α, β ∈ R, akkor

((α + iβ)x|y) := ((α + iβ)x|y)R + i((α + iβ)x|iy)R = = α(x|y)R + β(ix|y)R + iα(x|iy)R + βi(ix|iy)R = = α(x|y)R − β(x|iy)R + iα(x|iy)R + βi(x|y)R = = (α + iβ)(x|y)R + (α + iβ)i(x|iy)R = (α + iβ)(x|y). Ez azt jelenti, hogy a (·|y) : E → C parciális függvény C-lineáris. Végül, ha x, y ∈ E , akkor a (·|·)R függvény szimmetrikussága és (x|y)R , (x|iy)R ∈ R miatt

(x|y) := (x|y)R − i(x|iy)R = (y|x)R − i(iy|x)R = (y|x)R + i(y|ix)R = (y|x) tehát a (·|·) függvény skalárszorzás E felett.  Tehát a prehilbert-tereket úgy is lehetséges (és szokás) értelmezni, mint olyan (E, (·|·)) párok, amelyekre E vektortér K felett és (·|·) : E × E → K skalárszorzás E felett.

12.2.5. Állítás. Ha E és F prehilbert-terek és u : E → F lineáris operátor, akkor u pontosan akkor izometria (a skalárszorzások által generált normák szerint), ha minden E 3 x, y -ra (u(x)|u(y)) = (x|y) teljesül (vagyis u skalárszorzás-tartó). Bizonyítás. Ha u skalárszorzás-tartó, akkor nyilvánvalóan izometria, mert minden x ∈ E esetén ku(x)k2 = (u(x)|u(x)) = (x|x) = kxk2 , tehát ku(x)k = kxk. Megfordítva, tegyük fel, hogy u izometria. Ha E és F valós prehilbert-terek, akkor a polarizációs formula szerint minden E 3 x, y -ra

4(u(x)|u(y)) = ku(x) + u(y)k2 − ku(x) − u(y)k2 = ku(x + y)k2 − ku(x − y)k2 = = kxk2 − kyk2 = 4(x|y), tehát (u(x)|u(y)) = (x|y). Ha E és F komplex prehilbert-terek, akkor a polarizációs formula szerint minden E 3 x, y -ra

4(u(x)|u(y)) = ku(x)+u(y)k2 −ku(x)−u(y)k2 +iku(x)+iu(y)k2 −iku(x)−iu(y)k2 = = ku(x + y)k2 − ku(x − y)k2 + iku(x + iy)k2 − iku(x − iy)k2 = = kx + yk2 − kx − yk2 + ikx + iyk2 − ikx − iyk2 = 4(x|y), tehát (u(x)|u(y)) = (x|y). 

260

12. HILBERT-TEREK

12.2.6. Deníció. Ha E valós prehilbert-tér és x, y ∈ E nem nulla vektorok, akkor az ‚

(x|y) Arccos kxkkyk

Œ

∈ [0, π]

számot az x és y vektorok által bezárt szögnek nevezzük, ahol €

Arccos := cos|[0,π]

Š−1

.

Ha tehát E valós prehilbert-tér, x, y ∈ E nem nulla vektorok, továbbá θ jelöli az x és y vektorok által bezárt szöget, akkor az elemi geometriából ismert

(x|y) = kxkkykcos(θ) formula valójában a θ szög deníciója (a θ ∈ [0, π] mellékfeltétellel együtt). A prehilbert- (illetve Hilbert-) terek speciális normált (illetve Banach-terek), ezért várható, hogy ezekre sok olyan különleges állítás igaz, amely tetsz®leges normált- (illetve Banach-) terekre nem igaz. Most megfogalmazzuk a prehilbert-terek egyik legfontosabb speciális tulajdonságát.

12.3.

Vektor ortogonális projekciója nem üres konvex teljes halmazra

12.3.1. Állítás. Legyen E prehilbert-tér és H ⊆ E nem üres, teljes, konvex halmaz.

Ekkor minden x ∈ E esetén létezik egyetlen olyan xH ∈ H , hogy kx − xH k = d(x, H). Ha x ∈ E , akkor erre az xH vektorra teljesül az, hogy minden H 3 y -ra <(y−xH |x−xH ) ≤ 0. Bizonyítás. Legyen x ∈ E rögzített vektor. Ekkor d(x, H) := inf ky − xk miatt vehetünk y∈H

olyan H -ban haladó (xn )n∈N sorozatot, amelyre d(x, H) = lim kxn − xk. Minden n→∞ m, n ∈ N esetén az xm − x és xn − x vektorokra felírva a paralelogramma-egyenl®séget kapjuk, hogy

xm

4 d(x, H)2 + kxm − xn k2 ≤ 4



2 + xn − x

+ kxm − xn k2 = 2

= k(xm − x) + (xn − x)k2 + k(xm − x) − (xn − x)k2 = 2kxn − xk2 + 2kxm − xk2 , xm + xn ∈ H , ezért ahol kihasználtuk azt, hogy a H konvexitása és xm , xn ∈ H miatt 2

xm + xn

d(x, H) ≤

− x

. Tehát minden N 3 m, n-re 2 kxm − xn k2 ≤ 2kxn − xk2 + 2kxm − xk2 − 4 d(x, H)2 ,

12.4. RIESZ-FÉLE FELBONTÁSI TÉTEL

261

és itt a jobb oldal 0-hoz tart, ha m és n tart végtelenhez. Ebb®l következik, hogy (xn )n∈N Cauchy-sorozat, így a H teljessége miatt egyértelm¶en létezik az az xH ∈ H vektor, amelyre xH = lim xn . Nyilvánvaló, hogy n→∞

kxH − xk = n→∞ lim kxn − xk = d(x, H). Ha x0H ∈ H szintén olyan, hogy kx0H −xk = d(x, H), akkor az xH −x és x0H −x vektorokra felírva a paralelogramma-egyenl®séget kapjuk, hogy

kxH − x0H k2 = k(xH − x) − (x0H − x)k2 = = −k(xH − x) + (x0H − x)k2 + 2kxH − xk2 + 2kx0H − xk2 = =

x H −4



2

+ x0H − x

+ 4 d(x, H) ≤ 0,

2

hiszen a H konvexitása és xH , x0H ∈ H miatt

x

H



xH + x0H ∈ H , ezért d(x, H) ≤ 2

+ x0H − x

. Ezzel az adott tulajdonságú xH pont egyértelm¶ létezését igazoltuk.

2

Legyen most x ∈ E és xH ∈ H az a pont, amelyre kxH − xk = d(x, H), továbbá rögzítsünk egy y ∈ H pontot. Minden α ∈ [0, 1] valós számra, a H konvexitása miatt (1 − α)xH + αy ∈ H , ezért

kxH − xk2 ≤ k(1 − α)xH + αy − xk2 = kα(y − xH ) − (x − xH )k2 = = α2 ky − xH k2 − 2α<(y − xH |x − xH ) + kxH − xk2 . Ebb®l kapjuk, hogy minden α ∈]0, 1] valós számra

<(y − xH |x − xH ) ≤

α ky − xH k2 , 2

így α-val 0-hoz tartva <(y − xH |x − xH ) ≤ 0 adódik. 

12.3.2. Deníció. Ha E prehilbert-tér és H ⊆ E nem üres teljes konvex halmaz, akkor

PH jelöli azt az E → E függvényt, amely minden x ∈ E vektorhoz azt az xH ∈ H vektort rendeli, amelyre kx − xH k = d(x, H).

12.4.

Riesz-féle felbontási tétel

12.4.1. Tétel. (Riesz-féle felbontási tétel) Ha E prehilbert-tér és H ⊆ E teljes lineáris altér, akkor

E = H ⊕ H ⊥,

262

12. HILBERT-TEREK

H = H ⊥⊥ teljesül, továbbá a PH : E → E leképezés olyan folytonos lineáris operátor, amelyre PH ◦ PH = PH , H = Im(PH ) és H ⊥ = Ker(PH ). Bizonyítás. Legyen x ∈ E rögzített vektor. Nyilvánvaló, hogy legfeljebb egy olyan (x1 , x2 ) ∈ H × H ⊥ pár létezhet, amelyre x = x1 + x2 , hiszen ha (x01 , x02 ) ∈ H × H ⊥ is ilyen pár, akkor x1 − x01 = x02 − x2 és x1 − x01 ∈ H , valamint x02 − x2 ∈ H ⊥ , így x1 − x01 = x02 − x2 = 0, vagyis x1 = x01 és x2 = x02 . Világos továbbá, hogy x = PH (x) + (x − PH (x)) és PH (x) ∈ H , ezért ha x − PH (x) ∈ H ⊥ , akkor igazoltuk a E = H ⊕ H ⊥ egyenl®séget. Az x − PH (x) ∈ H ⊥ összefüggés bizonyításához el®ször megjegyezzük, hogy az el®z® állítás szerint minden y ∈ H esetén <(y − PH (x)|x − PH (x)) ≤ 0. Ha y ∈ H , akkor PH (x) ∈ H miatt PH (x) + y ∈ H + H ⊆ H is igaz, így az iménti egyenl®tlenségben az y helyére a PH (x) + y vektort helyettesítve kapjuk, hogy <(y|x − PH (x)) ≤ 0. Ha y ∈ H , akkor −y ∈ −H ⊆ H , tehát <(−y|x − PH (x)) ≤ 0, vagyis <(y|x − PH (x)) ≥ 0 is teljesül. Ez azt jelenti, hogy minden H 3 y -ra <(y|x − PH (x)) = 0. Ha E valós prehilbert-tér, akkor ebb®l kapjuk, hogy minden y ∈ H esetén (y|x − PH (x)) = <(y|x − PH (x)) = 0, vagyis x − PH (x) ∈ H ⊥ . Ha E komplex prehilbert-tér, akkor minden y ∈ H esetén iy ∈ iH ⊆ H , tehát −=(y|x − PH (x)) = <(i(y|x − PH (x))) = <(iy|x − PH (x)) = 0, azaz =(y|x − PH (x)) = 0 is teljesül, ami azt jelenti, hogy x − PH (x) ∈ H ⊥ . Ha x ∈ H ⊥⊥ , akkor x − PH (x) ∈ H ⊥⊥ , hiszen PH (x) ∈ H ⊆ H ⊥⊥ és H ⊥⊥ lineáris altér E -ben. Ugyanakkor x − PH (x) ∈ H ⊥ , ezért x − PH (x) = 0, vagyis x = PH (x) ∈ H . Ez azt jelenti, hogy H ⊥⊥ ⊆ H is igaz, így H = H ⊥⊥ . Ha x ∈ E , akkor kx − PH (x)k = d(x, H) miatt PH (x) = x azzal ekvivalens, hogy d(x, H) = 0, vagyis x ∈ H . A H altér teljes, ezért zárt is, tehát x ∈ E esetén PH (x) = x ekvivalens azzal, hogy x ∈ H . Ebb®l látható, hogy Im(PH ) = H , továbbá, ha x ∈ E , akkor PH (x) ∈ H miatt PH (PH (x)) = PH (x) teljesül, vagyis fennáll a PH ◦ PH = PH egyenl®ség. Ha x ∈ Ker(PH ), akkor x = x − PH (x) ∈ H ⊥ , tehát Ker(PH ) ⊆ H ⊥ . Megfordítva, ha x ∈ H ⊥ , akkor x = 0 + x és x = PH (x) + (x − PH (x)) az x két olyan el®állítása összeg alakban, amelyekre 0, PH (x) ∈ H és x, x − PH (x) ∈ H ⊥ , ezért 0 = PH (x) és x = x−PH (x), vagyis x ∈ Ker(PH ) is igaz. Ezzel igazoltuk a Ker(PH ) = H ⊥ egyenl®séget is. A PH függvény additív, mert ha x1 , x2 ∈ E , akkor

x1 + x2 = (PH (x1 ) + PH (x2 )) + ((x1 − PH (x1 )) + (x2 − PH (x2 ))) = = PH (x1 + x2 ) − (x1 + x2 − PH (x1 + x2 )), és PH (x1 ) + PH (x2 ), PH (x1 + x2 ) ∈ H , valamint (x1 − PH (x1 )) + (x2 − PH (x2 )), x1 + x2 − PH (x1 + x2 ) ∈ H ⊥ , ezért PH (x1 ) + PH (x2 ) = PH (x1 + x2 ). Ha x ∈ E és λ ∈ K, akkor

λx = λPH (x) + λ(x − PH (x)) = PH (λx) + (λx − PH (λx)),

12.5. HILBERT-TÉR BIDUÁLISA: RIESZ-FÉLE REPREZENTÁCIÓS TÉTEL

263

és λPH (x), PH (λx) ∈ H , valamint λ(x − PH (x)), λx − PH (λx) ∈ H ⊥ , ezért PH (λx) = λPH (x). Végül, a PH lineáris operátor folytonos is (s®t norma-nem-növel®), mert ha x ∈ E , akkor PH (x)⊥x − PH (x) miatt

kxk2 = kPH (x) + (x − PH (x))k2 = kPH (x)k2 + kx − PH (x)k2 ≥ kPH (x)k2 , vagyis kPH (x)k ≤ kxk.  Ha E Hilbert-tér, akkor egy H ⊆ E halmaz pontosan akkor teljes, ha zárt; ezért minden H ⊆ E zárt lineáris altér esetében

E = H ⊕ H ⊥, H = H ⊥⊥ teljesül, és PH ∈ L (E) olyan operátor, hogy PH ◦ PH = PH , H = Im(PH ) és H ⊥ = Ker(PH ). De ha E nem teljes prehilbert-tér, akkor létezhet olyan H ⊆ E zárt lineáris altér, hogy H 6= E és H ⊥ = {0}, tehát H ⊕ H ⊥ 6= E és H ⊥⊥ = {0}⊥ = E 6= H (7. gyakorlat).

12.4.2. Következmény. Ha E Hilbert-tér és A ⊆ E , akkor A⊥⊥ egyenl® az A által generált zárt lineáris altérrel, továbbá minden H ⊆ E lineáris altérre

H ⊥ = {0} ⇔ H ⊥⊥ = E ⇔ H = E teljesül. Bizonyítás. Az A⊥⊥ halmaz olyan zárt lineáris altér E -ben, amely tartalmazza az A halmazt, ezért csak azt kell igazolni, hogy ha H ⊆ E olyan zárt lineáris altér, amelyre A ⊆ H , akkor A⊥⊥ ⊆ H is teljesül. Ez viszont igaz, mert A ⊆ H miatt A⊥⊥ ⊆ H ⊥⊥ , és a Riesz-féle felbontási tétel alapján H ⊥⊥ = H , hiszen H zárt lineáris altér az E teljes normált térben, vagyis a H altér teljes is. Ha H ⊆ E lineáris altér, akkor természetesen H egyenl® a H által generált zárt lineáris altérrel, ezért az el®z®eket alkalmazva kapjuk, hogy H ⊥⊥ = H , így a H = E és H ⊥⊥ = E egyenl®ségek ekvivalensek. Továbbá, H ⊥ = {0} esetén H ⊥⊥ = {0}⊥ = E , és megfordítva, ha H ⊥⊥ = E , akkor a 4) megjegyzés alapján H ⊥ = (H ⊥ )⊥⊥ = (H ⊥⊥ )⊥ = E ⊥ = {0}. 

12.5.

Hilbert-tér biduálisa: Riesz-féle reprezentációs tétel

Most megmutatjuk, hogy prehilbert-térnek szoros kapcsolata van a saját topologikus duálisával.

264

12. HILBERT-TEREK

12.5.1. Állítás. Ha E prehilbert-tér, akkor minden x ∈ E esetén (·|x) ∈ E 0 , és a JE : E → E 0 ;

x 7→ (·|x)

leképezés konjugált-lineáris izometria, tehát minden E 3 x-re

kxk =

sup

|(y|x)|.

y∈E; kyk≤1

Bizonyítás. A skalárszorzás tulajdonságai alapján minden E 3 x-re a (·|x) : E → K parciális függvény lineáris funkcionál, és a Cauchy-Schwartz-egyenl®tlenség szerint folytonos is, mert minden y ∈ E esetén |(·, x)(y)| = |(y|x)| ≤ kxkkyk. Ebb®l még az is látszik, hogy x ∈ E esetén k(·|x)k ≤ kxk. Itt valójában egyenl®ség áll, mert ha x ∈ E és x x 6= 0, akkor ∈ E egységvektor, így a funkcionálnorma értelmezése alapján kxk

k(·|x)k ≥

Œ ‚ x (·|x) kxk

=

‚ x kxk

Πx

= kxk.

Tehát a JE : E → E 0 ; x 7→ (·|x) leképezés izometria, amelynek a konjugált-linearitása azonnal következik az E 0 feletti lineáris m¶veletek deníciójából, és abból, hogy minden y ∈ E esetén az (y|·) : E → K parciális függvény konjugált-lineáris funkcionál. 

12.5.2. Deníció. Ha E prehilbert-tér, akkor a JE : E → E 0 ;

x 7→ (·|x)

függvényt az E és E 0 közötti kanonikus leképezésnek nevezzük. Tehát egy prehilbert-tér és a topologikus duálisa közötti kanonikus leképezés konjugált-lineáris izometria, ezért szükségképpen injektív is. Azonban ez a leképezés általában nem szürjektív; err®l szól a következ® tétel.

12.5.3. Tétel. (Riesz-féle reprezentációs tétel) Az E prehilbert-tér pontosan akkor Hilbert-tér, ha a JE : E → E 0 kanonikus leképezés szürjektív, tehát ha minden f ∈ E 0 funkcionálhoz létezik olyan x ∈ E , hogy minden E 3 y -ra f (y) = (y|x).

Bizonyítás. Tegyük fel, hogy JE függvény szürjektív, és legyen (xn )n∈N Cauchy-sorozat E ben. Ekkor a JE izometrikussága miatt (JE (xn ))n∈N Cauchy-sorozat E 0 -ben, ugyanakkor E 0 teljes, tehát van olyan f ∈ E 0 , hogy a (JE (xn ))n∈N sorozat f -hez konvergál a funkcionálnorma szerint, vagyis lim kJE (xn ) − f k = 0. A JE szürjektivitása miatt n→∞ van olyan x ∈ E , hogy JE (x) = f . Ugyanakkor JE izometria is, így minden n ∈ N esetén kJE (xn ) − f k = kJE (xn ) − JE (x)k = kxn − xk, tehát az (xn )n∈N sorozat konvergál x-hez E -ben. Ez azt jelenti, hogy E Hilbert-tér.

12.5. HILBERT-TÉR BIDUÁLISA: RIESZ-FÉLE REPREZENTÁCIÓS TÉTEL

265

Megfordítva, tegyük fel, hogy E Hilbert-tér, és legyen f ∈ E 0 . Olyan x ∈ E vektort keresünk, amelyre JE (x) = f , vagyis minden E 3 y -ra f (y) = (y|x). Természetesen f 6= 0 feltehet®. Az E teljessége és a Riesz-féle felbontási tétel szerint E = Ker(f ) ⊕ (Ker(f ))⊥ , ezért (Ker(f ))⊥ 6= {0}, különben E = Ker(f ), azaz f = 0 teljesülne. Legyen z ∈ (Ker(f ))⊥ rögzített nem 0 vektor; természetesen ekkor z ∈ / Ker(f ), vagyis f (z) 6= 0. ŒHa y ∈ E ‚ f (y) f (y) tetsz®leges, akkor nyilvánvalóan y − z ∈ Ker(f ), ezért y − z z = 0. Ez f (z) f (z) f (y) f (z) azt jelenti, hogy minden y ∈ E esetén (y|z) = kzk2 , tehát az x := z vektorra f (z) kzk2 f (y) = (y|x) = JE (x)(y) teljesül, vagy ami ugyanaz f = JE (x).  Emlékeztetünk arra, hogy ha E normált tér, akkor létezik egy kitüntetett jE : E → E lineáris izometria (VI. fejezet, 1. és 2. pont). Megmutatjuk, hogy ha E Hilbert-tér, akkor ez az operátor két kitüntetett konjugált-lineáris izometria kompozíciójaként áll el®. 00

12.5.4. Következmény. Ha E Hilbert-tér, akkor E 0 a funkcionálnormával ellátva szintén Hilbert-tér, és jE = JE 0 ◦ JE . Minden Hilbert-tér reexív Banach-tér.

Bizonyítás. Ha E Hilbert-tér, akkor a Riesz-féle reprezentációs tétel alapján a JE operátor konjugált-lineáris izometrikus bijekció, tehát f, g ∈ E 0 esetén léteznek olyan x, y ∈ E , amelyekre f = JE (x) és g = JE (y), így

kf + gk2 + kf − gk2 = kJE (x) + JE (y)k2 + kJE (x) − JE (y)k2 = = kJE (x + y)k2 + kJE (x − y)k2 = kx + yk2 + kx − yk2 = 2kxk2 + 2kyk2 = = 2kJE (x)k2 + 2kJE (y)k2 = 2kf k2 + 2kgk2 , ami azt jelenti, hogy az E 0 feletti funkcionálnormára teljesül a paralelogrammaegyenl®ség. Ugyanakkor E 0 mindig teljes, még akkor is ha E nem teljes normált tér. Ezért ha E Hilbert-tér, akkor E 0 a funkcionálnormával ellátva szintén Hilbert-tér. Jelölje (·|·)0 az az E 0 feletti skalárszorzást, amely az E 0 feletti funkcionálnormát generálja. Ha x ∈ E és f ∈ E 0 , akkor a deníciók szerint

((JE 0 ◦ JE )(x))(f ) = (JE 0 (JE (x)))(f ) = (f |JE (x))0 = (JE (JE−1 (f ))|JE (x))0 = = (x|JE−1 (f )) = JE (JE−1 (f ))(x) = f (x) = (jE (x))(f ) teljesül, ahol kihasználtuk, hogy a JE : E → E 0 konjugált-lineáris izometriára minden x1 , x2 ∈ E esetén fennáll a (JE (x1 )|JE (x2 ))0 = (x2 |x1 ) egyenl®ség (12. gyakorlat). Ezzel megmutattuk, hogy jE = JE 0 ◦JE teljesül, és a Riesz-féle reprezentációs tétel szerint JE és JE0 mindketten szürjektívek, ezért jE is az, vagyis E reexív Banach-tér. 

266

12. HILBERT-TEREK

Azonban léteznek olyan reexív Banach-terek, amelyek nem Hilbert-terek; például minden véges dimenziós normált tér reexív Banach-tér, de nem szükségképpen Hilberttér. Természetesen olyan végtelen dimenziós reexív Banach-tereket is meg lehet adni, amelyek normájára nem teljesül a paralelogramma-egyenl®ség (XII. fejezet, 3. pont, 4. gyakorlat).

12.6.

Gyakorlatok

1. Ha (T, R, θ) K-mértéktér és F Hilbert-tér K felett, akkor L2F (T, R, θ) a k · kθ,2 normával ellátva Hilbert-tér. Írjuk fel azt az L2F (T, R, θ) feletti skalárszorzást, amely a k · kθ,2 normát generálja. (Útmutatás. Ha ξ, η ∈ L2F (T, R, θ) és f ∈ ξ , g ∈ η , akkor

kξ + ηk2θ,2 + kξ − ηk2θ,2 = kf + gk2θ,2 + kf − gk2θ,2 = = Z

=2

Z

kf + gk2 d|θ| +

T

Z €

Š

kf + gk2 + kf − gk2 d|θ| =

T

kf k2 d|θ| + 2

T

Z

Z €

Z

kf − gk2 d|θ| =

T

Š

2kf k2 + 2kgk2 d|θ| =

T

kgk2 d|θ| = 2kf k2θ,2 + 2kgk2θ,2 = 2kξk2θ,2 + 2kηk2θ,2 ,

T

ahol felhasználtuk azt, hogy f, g ∈ LF2 (T, R, θ) miatt kf + gk2 , kf − gk2 , kf k2 , kgk2 ∈ LR1 (T, R, θ), és az integrál lineáris operátor. Tehát a k · kθ,2 normára teljesül a paralelogramma-egyenl®ség, továbbá a Riesz-Fischer tétel szerint L2F (T, R, θ) a k · kθ,2 normával ellátva Banach-tér. Továbbá, az (f |g)Z : T → K; t 7→ (f (t)|g(t)) függvény eleme LK1 (T, R, θ)-nak, tehát jól értelmezett az

(f |g) d|θ| integrál, és ez csak a ξ és η

T

ekvivalencia-osztályoktól függ. Ebb®l könnyen kapható, hogy (ξ|η) =

Z

(f |g) d|θ|.)

T

2. Minden valós vagy komplex vektortér felett létezik olyan norma, amelyre teljesül a paralelogramma-egyenl®ség.

(Útmutatás. Legyen E vektortér K felett, és B algebrai bázishalmaz E -ben (IV. fejezet, 1. pont, 2. gyakorlat). Ekkor a (B)

k·k:K

→ R+ ;

f 7→

X

!1/2

|f (b)|

2

b∈B

függvény olyan norma a K(B) vektortér felett, amelyre teljesül a paralelogrammaegyenl®ség. Ha u : K(B) → E a kanonikus lineáris bijekció (IV. fejezet, 1. pont, 1.

267

12.6. GYAKORLATOK

és 2. gyakorlatok), akkor a k · k ◦ u−1 : E → R+ leképezés olyan norma E felett, amelyre teljesül a paralelogramma-egyenl®ség.)

3. Ha E prehilbert-tér K felett és x, y ∈ E , akkor az |(x|y)| = kxkkyk egyenl®ség

pontosan akkor teljesül, ha létezik olyan λ ∈ K, hogy y = λx vagy x = λy . (y|x) (Útmutatás. Ha x 6= 0 és |(x|y)| = kxkkyk, akkor y = x, ami azonnal belátható az kxk2

2

(y|x)

y − x szám értékének meghatározásával.)

kxk2

4. Legyen E komplex prehilbert-tér, n ∈ N, n ≥ 2, és z ∈ C olyan szám, hogy z n = 1

és minden k < n természetes számra z k 6= 1 (például z := Exp(2πi/n)). Ekkor x, y ∈ E esetén teljesül az X 1 n−1 (x|y) = z k kx + z k yk2 n k=0

általánosított polarizációs formula. (Útmutatás. Teljesülnek a

n−1 X k=0

zk = 0 =

n−1 X

z 2k egyen®ségek!)

k=0

5. Legyen E prehilbert-tér és H ⊆ E tetsz®leges halmaz. Ha x ∈ E és x0 ∈ H olyan vektorok, hogy minden H 3 y -ra <(y − x0 |x − x0 ) ≤ 0, akkor kx − x0 k = d(x, H).

(Útmutatás. Legyen y ∈ H tetsz®leges, és írjuk fel a paralelogramma-egyenl®séget az y − x0 és x − x0 vektorokra:

k(y − x0 ) + (x − x0 )k2 + k(y − x0 ) − (x − x0 )k2 = 2ky − x0 k2 + 2kx − x0 k2 . Ebb®l kapjuk, hogy

ky − x0 k2 + 2<(y − x0 |x − x0 ) + kx − x0 k2 + ky − xk2 = 2ky − x0 k2 + 2kx − x0 k2 , vagyis 2<(y − x0 |x − x0 ) + ky − xk2 = ky − x0 k2 + kx − x0 k2 . Ekkor <(y − x0 |x − x0 ) ≤ 0 miatt

ky − xk2 ≥ 2<(y − x0 |x − x0 ) + ky − xk2 = ky − x0 k2 + kx − x0 k2 ≥ kx − x0 k2 , tehát ky − xk ≥ kx − x0 k. Ebb®l következik, hogy d(x, H) := inf ky − xk ≥ kx − x0 k. y∈H

Ezért kx0 − xk = d(x, H), hiszen x0 ∈ H miatt kx − x0 k ≥ d(x, H) is igaz.)

6. Legyen E prehilbert-tér, és H ⊆ E olyan halmaz, amelyre H −H ⊆ H , vagyis minden

x1 , x2 ∈ H esetén x1 − x2 ∈ H . Ha x ∈ E és x0 ∈ H olyan vektorok, hogy x − x0 ∈ H ⊥ ,

268

12. HILBERT-TEREK

akkor kx − x0 k = d(x, H). (Útmutatás. A feltevés szerint x0 ∈ H , ezért kx − x0 k ≥ d(x, H). Ha y ∈ H tetsz®leges, akkor x − y = (x0 − y) + (x − x0 ), valamint x0 − y ∈ H − H ⊆ H és x − x0 ∈ H ⊥ , tehát

kx − yk2 = kx0 − yk2 + kx − x0 k2 ≥ kx − x0 k2 , így kx − yk ≥ kx − x0 k, következésképpen d(x, H) := inf kx − yk ≥ kx − x0 k.) y∈H

7. Legyen E := K(N) , és lássuk el E -t a k · k2 normával; ekkor E nem teljes prehilbert-tér. 2 Legyen c ∈ lK olyan sorozat, hogy minden N 3 k -ra c(k) 6= 0 (például legyen minden c := (1/(k + 1))k∈N ). Értelmezzük az fc : E → K;

s 7→

∞ X

c(k)s(k)

k=0

lineáris funkcionált. Itt minden E 3 s-re véges összeg áll. Bizonyítsuk be a következ®ket. a) Az fc leképezés nem nulla folytonos lineáris funkcionál E felett. b) (Ker(fc ))⊥ = {0}. c) Ker(fc ) ⊕ (Ker(fc ))⊥ 6= E , és (Ker(fc ))⊥⊥ 6= Ker(fc ). A Ker(fc ) halmaz nem teljes, zárt lineáris altér E -ben. d) Nem létezik olyan x ∈ E , hogy fc = JE (x), vagyis fc ∈ E 0 \ Im(JE ). (Útmutatás. a) Az általánosított Cauchy-Schwartz-egyenl®tlenségb®l (IV. fejezet, 1. pont) következik, hogy s ∈ E esetén |fc (s)| ≤ kck2 ksk2 , tehát fc folytonos lineáris funkcionál, és világos, hogy fc 6= 0. b) Minden k ∈ N esetén legyen ek ∈ E az az elem, amelyre minden N 3 j -re ek (j) = δj,k . Könnyen látható, hogy j, k ∈ N esetén c(j)−1 ej − c(k)−1 ek ∈ Ker(fc ), tehát ha s ∈ (Ker(fc ))⊥ , akkor minden N 3 j, k -ra 0 = (c(j)−1 ej − c(k)−1 ek |s) = c(j)−1 s(j) − c(k)−1 s(k). Ez azt jelenti, hogy létezik olyan λ ∈ K, hogy minden N 3 k -ra s(k) = λc(k), azaz s = λc. Ugyanakkor s ∈ K(N) , és minden N 3 k -ra c(k) 6= 0, ezért λ = 0, így s = 0. d) Ha s ∈ E olyan volna, hogy fs = JE (s), akkor minden k ∈ N esetén c(k) = fc (ek ) = (ek |s) = s(k) teljesülne, ami lehetetlen, mert s ∈ K(N) és minden N 3 k -ra s(k) 6= 0.)

8. Legyen E prehilbert-tér K felett, (xn )n∈N sorozat E -ben, és x ∈ E . Tekintsük a következ® állításokat.

(i) lim xn = x az E normált térben. n→∞

(ii) Minden E 3 y -ra lim (y|xn ) = (y|x) a K-ban, és lim kxn k = kxk az R-ben. n→∞

n→∞

269

12.6. GYAKORLATOK

(iii) Minden E 3 y -ra lim (y|xn ) = (y|x) a K-ban. n→∞

Mutassuk meg, hogy (i)⇔(ii) és (ii)⇒(iii). Ha E véges dimenziós, akkor (i), (ii) és (iii) ekvivalensek. Ha E végtelen dimenziós, akkor az x vektor és az (xn )n∈N sorozat megválasztható úgy, hogy (iii) teljesül, de (i) nem. (Útmutatás. Az (i)⇒(ii) és (ii)⇒(iii) következtetések nyilvánvalóan igazak. Minden n ∈ N esetén

kx − xn k2 = kxk2 + kxn k2 − 2<(x|xn ), ezért ha (ii) teljesül, akkor a jobb oldal 0-hoz tart, ha n tart végtelenhez, tehát (i) is igaz. Ha E véges dimenziós, és (ei )i∈I ortonormált bázis E -ben (XII. fejezet, 6. pont), akkor a (iii) teljesülése esetén minden I 3 i-re lim (ei |xn ) = (ei |x), így lim (xn |ei ) = (x|ei ) n→∞

is teljesül, ugyanakkor minden n ∈ N esetén xn =

X

n→∞

(xn |ei )ei , tehát (i) is igaz. Ha

i∈I

E végtelen dimenziós, akkor létezik E -ben (ek )k∈N ortonormált sorozat (XII. fejezet, 6. X pont), így minden y ∈ E vektorra lim (ek |y) = 0, hiszen a |(y|ek )|2 sor konvergens

N

k→∞

k∈

R-ben. Ugyanakkor az (ek )k∈N sorozat nem tart 0-hoz az E normája szerint.)

9. Legyen E Hilbert-tér K felett, és (xn )n∈N olyan sorozat E -ben, hogy minden E 3 y -ra az ((y|xn ))n∈N sorozat konvergens K-ban. Ekkor az (xn )n∈N sorozat korlátos E -ben, és

létezik egyetlen olyan x ∈ E , amelyre minden y ∈ E esetén lim (y|xn ) = (y|x). n→∞

(Útmutatás. A feltevés szerint a (JE (xn ))n∈N funkcionál-sorozat pontonként konvergens az E halmazon, ezért a BanachSteinhaus-tétel alapján az u := lim JE (xn ) funkcionál n→∞ folytonos, és fennállnak a sup kxn k = sup kJE (xn )k < +∞ összefüggések, vagyis az

N

n∈

n∈

N

(xn )n∈N sorozat korlátos az E normája szerint. A Riesz-féle reprezentációs tétel alapján létezik olyan x ∈ E , hogy u = JE (x). Ekkor x olyan elem, hogy minden y ∈ E esetén lim (y|xn ) = n→∞ lim JE (xn )(y) = u(y) = JE (x)(y) = (y|x). Ha x0 ∈ E szintén olyan vektor, n→∞ hogy minden E 3 y -ra lim (y|xn ) = (y|x0 ), akkor x − x0 ∈ E ⊥ = {0}, vagyis x0 = x.) n→∞

10. (Elemi Lebesgue-Radon-Nicodym tétel.) Legyen R halmazgy¶r¶ a T halmaz felett.

Ha θ, θ0 : R → K mértékek, akkor azt mondjuk, hogy θ0 abszolút folytonos θ szerint, ha a T minden θ-elt¶n® halmaza θ0 -elt¶n® halmaz. Mutassuk meg, hogy ha θ, θ0 : R → K olyan mértékek, hogy 1T ∈ LR1 (T, R, θ) ∩ LR1 (T, R, θ0 ) (ahol 1T az T → R azonosan 1 függvény), és θ0 abszolút folytonos θ szerint, akkor van olyan g ∈ LK1 (T, R, θ), hogy θ0 = g.θ. (Megjegyzés. Ha T σ -véges R szerint, akkor minden θ : R → K mértékre az 1T ∈ LR1 (T, R, θ) feltétel a IX. fejezet 9. pontja alapján ekvivalens azzal, hogy a θ mérték korlátos.)

270

12. HILBERT-TEREK

(Útmutatás. (I) Tegyük fel el®ször, hogy µ, ν : R → R+ olyan pozitív mértékek, hogy 1T ∈ LR1 (T, R, µ) ∩ LR1 (T, R, ν), és ν abszolút folytonos µ szerint. Bebizonyítjuk olyan g ∈ LR1 (T, R, µ) függvény létezését, amelyre g ≥ 0 és ν = g.µ.

El®ször megjegyezzük, hogy a µ-elt¶n® halmazok megegyeznek a µ + ν -elt¶n® halmazokkal. Ez azonnal következik a µ ≤ µ + ν mértékegyenl®tlenségb®l, a IX. fejezet, 1. pont, 10. gyakorlat c) pontjából, és abból, hogy ν abszolút folytonos µ szerint. Továbbá, a IX. fejezet, 5. pont, 8. gyakorlat szerint

LR1 (T, R, µ) ∩ LR1 (T, R, ν) = LR1 (T, R, µ + ν) teljesül, tehát a hipotézis alapján 12T = 1T ∈ LR1 (T, R, µ + ν), így a IX. fejezet, 6. pontja utolsó állításának c) része alapján 1T ∈ LR2 (T, R, µ + ν). Ebb®l következik, hogy f ∈ LR2 (T, R, µ + ν) esetén f = f · 1T ∈ LR1 (T, R, µ + ν), vagyis fennállnak a

LR2 (T, R, µ + ν) ⊆ LR1 (T, R, µ + ν) = LR1 (T, R, µ) ∩ LR1 (T, R, ν) relációk. Ezért jól értelmezett az Z

2

u : LR (T, R, µ + ν) → R;

f 7→

f dν T

leképezés, amely természetesen lineáris funkcionál. A Hölder-egyenl®tlenség alapján minden f ∈ LR2 (T, R, µ + ν) esetén

|u(f )| =

Z T

„

f

dν

≤

|f | dν =

1T dν

Z ∗

|f | dν ≤

Z ∗

12T

dν

‹1/2 Z ∗

2

|f | dν

‹1/2

≤

T

Ž1/2

Z

≤

Z

Z ∗

|f |2 d(µ + ν)

‹1/2

T

„

Ž1/2

Z

=

1T dν

kf kµ+ν,2 ,

T 2

tehát az u lineáris funkcionál folytonos az LR (T, R, µ + ν) függvénytér feletti k · kµ+ν,2 félnorma szerint. Ezért létezik egyetlen olyan

u• : L2R (T, R, µ + ν) → R lineáris funkcionál, amelyre teljesül az, hogy minden f ∈ LR2 (T, R, µ + ν) esetén

u• (f • ) = u(f ) :=

Z

f dν. T

Világos, hogy ez az u• funkcionál folytonos az L2R (T, R, µ + ν) valós Hilbert-tér felett. A Riesz-féle reprezentációs tétel alapján létezik olyan g0 ∈ LR2 (T, R, µ + ν), hogy minden

271

12.6. GYAKORLATOK

f ∈ LR2 (T, R, µ + ν) esetén u• (f • ) = (f • |g0• ), ahol (·|·) az L2R (T, R, µ + ν) Hilbert-tér skalárszorzása. Ez azt jelenti, hogy minden f ∈ LR2 (T, R, µ + ν) függvényre Z

Z

f dν = T

f g0 d(µ + ν). T

Megmutatjuk, hogy µ-majdnem minden t ∈ T esetén g0 (t) ≥ 0 teljesül. Valóban, a T halmaz µ + ν -integrálható, és g0 ∈ LR2 (T, R, µ + ν) ⊆ LR1 (T, R, µ + ν), ezért a IX. fejezet, 8. pont lemmája szerint a [g0 < 0] halmaz µ + ν -integrálható, vagyis χ2 = χ[g0 <0] ∈ LR1 (T, R, µ + ν). Tehát χ[g0 <0] ∈ LR2 (T, R, µ + ν) is teljesül, így [g <0] 0

Z

χ[g

0≤

Z 0 <0]

T

dν =

χ[g

0 <0]

g0 d(µ + ν) ≤ 0,

T

hiszen χ[g0 <0] g0 ≤ 0 a T halmazon mindenütt. Ezért Z ∗

(−χ[g0 <0] g0 ) d(µ + ν) =

Z

(−χ[g0 <0] g0 ) d(µ + ν) = 0,

T

és −χ[g0 <0] g0 ≥ 0 a T halmazon mindenütt, így −χ[g0 <0] g0 = 0 a T halmazon µ + ν majdnem mindenütt. Ez azzal ekvivalens, hogy a [−χ[g0 <0] g0 6= 0] = [g0 < 0] halmaz µ + ν -elt¶n® halmaz, vagyis g0 ≥ 0 a T halmazon µ + ν -majdnem mindenütt, tehát µ-majdnem mindenütt is. Most megmutatjuk, hogy µ-majdnem minden t ∈ T esetén g0 (t) < 1 teljesül. A IX. fejezet, 8. pont lemmája szerint a [g0 ≥ 1] halmaz µ + ν -integrálható, hiszen g0 ∈ LR1 (T, R, µ + ν). Ezért χ2[g ≥1] = χ[g0 ≥1] ∈ LR1 (T, R, µ + ν), így χ[g0 ≥1] ∈ LR2 (T, R, µ + ν), 0 tehát χ[g0 ≥1] g0 ∈ LR1 (T, R, µ + ν) = LR1 (T, R, µ) ∩ LR1 (T, R, ν), következésképpen: Z

χ[g

Z 0 ≥1]

dν =

T

Z

χ[g

0 ≥1]

g0 d(µ + ν) =

T

Z

χ[g

0 ≥1]

g0 dµ +

T

χ[g

0 ≥1]

g0 dν.

T

Ebb®l kapjuk, hogy Z

0≥

Z

χ[g

(1 − g0 ) dν = 0 ≥1]

T

χ[g

0 ≥1]

g0 dµ ≥ 0,

T

hiszen χ[g0 ≥1] (1 − g0 ) ≤ 0 és χ[g0 ≥1] g0 ≥ 0 a T halmazon mindenütt. Ezért Z ∗

χ[g

Z

g0 dµ = 0 ≥1]

χ[g

0 ≥1]

g0 dµ = 0,

T

ami azzal ekvivalens, hogy a [χ[g0 ≥1] g0 6= 0] = [g0 ≥ 1] halmaz µ-elt¶n® halmaz, vagyis µ-majdnem minden t ∈ T esetén g0 (t) < 1 teljesül.

272

12. HILBERT-TEREK

Legyen N := [g0 < 0] ∪ [g0 ≥ 1]. Az el®z®ek alapján N µ-elt¶n® halmaz, tehát a

g1 : T → R;

8
t 7→ :

0 (t)

0

; ha t ∈ T \ N, ; ha t ∈ N

függvény a g0 függvénnyel µ-majdnem mindenütt egyenl®, ezért g1 ∈ LR2 (T, R, µ + ν), és minden f ∈ LR2 (T, R, µ + ν) esetén Z

Z

f dν = T

f g1 d(µ + ν), T

ugyanakkor minden T 3 t-re g1 (t) ∈ [0, 1[. Vezessük most be a

g :=

g1 : T → R+ 1 − g1

függvényt. Megmutatjuk, hogy g ∈ LR1 (T, R, µ) és ν = g.µ, vagyis minden E ∈ R halmazra Z ν(E) = χE g dµ T

teljesül. Legyen f ∈ LR2 (T, R, µ+ν) rögzített pozitív függvény. Ha k ∈ N, akkor az f g1k függvény µ + ν -mérhet® és 0 ≤ f g1k ≤ f ∈ LR2 (T, R, µ + ν), ezért a négyzetes integrálhatóság kritériuma (IX. fejezet, 8. pont) alapján f g1k ∈ LR2 (T, R, µ + ν), következésképpen Z

f g1k dν =

T

Z

f g1k+1 d(µ + ν).

T

Ezért minden N∗ 3 n-re n−1 XZ

f g1k dν =

k=0 T

n−1 XZ

f g1k+1 d(µ + ν) =

k=0 T

n−1 XZ

f g1k+1 dµ +

k=0 T

n−1 XZ

f g1k+1 dν,

k=0 T

amib®l könnyen kapjuk, hogy Z

f dν = T

n−1 XZ k=0 T

f g1k+1 dµ +

Z

f g1n dν.

T

tagja Az (f g1n )n∈N függvénysorozat LR1 (T, R, ν)-ben halad, monoton fogyó, mindegyik Z

f g1n dν = 0,

pozitív függvény, és inf (f g1n ) = 0. Ezért a Beppo-Levi-tétel alapján lim

N

n∈

n→∞ T

273

12.6. GYAKORLATOK

vagyis a

XZ

N

k∈ T

hogy az f g =

f g1k+1 dµ sor konvergens. Ebb®l ismét a Beppo-Levi-tétel alapján kapjuk, ∞ X k=0

f g1k+1 függvény eleme LR1 (T, R, µ)-nek és

Z

f dν = n→∞ lim T

n−1 XZ

f g1k+1 dµ + n→∞ lim

k=0 T

Z

f g1n dν =

= T

∞ X

!

f g1k+1

f g1k+1 dµ =

k=0 T

T

Z

∞ Z X

Z

dµ =

k=0

f g dµ. T

Ezzel megmutattuk, hogy minden f ∈ LR2 (T, R, µ + ν) pozitív függvényre f g ∈ LR1 (T, R, µ) és Z

Z

f dν = T

f g dµ T

teljesül. A hipotézis szerint 1T ∈ LR2 (T, R, µ + ν), ezért g = 1T g ∈ LR1 (T, R, µ) is teljesül, és ha E ∈ R , akkor χE ∈ LR2 (T, R, µ + ν) miatt Z

ν(E) := T

χE dν =

Z

χE g dµ,

T

vagyis ν = g.µ. (II) Most megmutatjuk, hogy ha θ : R → K olyan mérték, hogy 1T ∈ LR1 (T, R, θ), akkor létezik olyan g ∈ LK1 (T, R, θ), hogy minden t ∈ T esetén |g(t)| = 1, valamint θ = g.|θ| és |θ| = g.θ. Ha K := R, akkor a valós mértékek elemi Hahn-Jordan felbontását (VIII. fejezet, 4. pont) alkalmazva írható, hogy θ = θ+ − θ− és θ+ , θ− : R → R+ olyan pozitív mértékek, hogy θ+ ≤ |θ| és θ− ≤ |θ|, így a θ+ és θ− mértékek nyilvánvalóan abszolút folytonosak a |θ| mérték szerint. Ugyanakkor a IX. fejezet, 5. pont, 8. gyakorlat alapján

1T ∈ LR1 (T, R, θ) ⊆ LR1 (T, R, θ+ ) ∩ LR1 (T, R, θ− ), így az (I) miatt léteznek olyan g+ , g− ∈ LR1 (T, R, |θ|) = LR1 (T, R, θ) függvények, amelyekre θ+ = g+ .|θ| és θ− = g− .|θ|. Ekkor g := g+ − g− ∈ LR1 (T, R, θ) nyilvánvalóan olyan függvény, hogy θ = g.|θ|. Ha K := C, akkor a komplex mértékek elemi Hahn-Jordan felbontását (VIII. fejezet, 4. pont) alkalmazva írható, hogy

θ = (<(θ))+ − (<(θ))− + i(=(θ))+ − i(=(θ))− ,

274

12. HILBERT-TEREK

ahol (<(θ))+ , (<(θ))− , (=(θ))+ , (=(θ))− : R → R+ olyan pozitív mértékek, amelyeket a |θ| mérték majorál, tehát ezek a pozitív mértékek mind abszolút folytonosak a |θ| mérték szerint. Ugyanakkor a IX. fejezet, 5. pont, 8. gyakorlat szerint

1T ∈ LC1 (T, R, θ) ⊆ LC1 (T, R, (<(θ))+ ) ∩ LC1 (T, R, (<(θ))− )∩ ∩LC1 (T, R, (=(θ))+ ) ∩ LC1 (T, R, (=(θ))− ) ezért az (I) miatt léteznek olyan g+ , g− , h+ , h− ∈ LR1 (T, R, |θ|) = LR1 (T, R, θ) függvények, amelyekre

(<(θ))+ = g+ .|θ|, (<(θ))− = g− .|θ|, =(θ))+ = h+ .|θ|, =(θ))− = h− .|θ|. Ekkor g := g+ − g− + i(h+ − h− ) ∈ LC1 (T, R, θ) nyilvánvalóan olyan függvény, hogy θ = g.|θ|. Ezzel igazoltuk olyan g ∈ LK1 (T, R, θ) létezését, amelyre θ = g.|θ|. Ebb®l az egyenl®ségb®l a IX. fejezet, 6. pont, 5. gyakorlat alapján kapjuk, hogy |θ| = |g.|θ|| = |g|.|θ|. Ebb®l könnyen belátható, hogy |g| = 1 teljesül T -n θ-majdnem mindenütt. Természetesen g megváltoztatható úgy, hogy minden T 3 t-re |g(t)| = 1 legyen. Nyilvánvaló, hogy ekkor g.θ = g.(g.|θ|) = |g|2 .|θ| = |θ| is teljesül. (III) Legyenek θ, θ0 : R → K olyan mértékek, hogy 1T ∈ LR1 (T, R, θ) ∩ LR1 (T, R, θ0 ), és θ0 abszolút folytonos θ szerint. Ekkor |θ0 | abszolút folytonos |θ| szerint, tehát az (I) alapján van olyan h ∈ LR1 (T, R, θ), hogy |θ0 | = h.|θ|. A (II) alapján léteznek olyan g1 ∈ LK1 (T, R, θ) és g2 ∈ LK1 (T, R, θ0 ) függvények, hogy |g1 | = 1 = |g2 |, valamint |θ| = g1 .θ és |θ0 | = g2 .θ0 . Ekkor g2 .θ0 = (hg1 ).θ, amib®l ugyanúgy, mint az el®bb θ0 = (g 2 hg1 ).θ adódik, tehát a g := g 2 hg1 ∈ LK1 (T, R, θ) függvény olyan, hogy θ0 = g.θ.)

11. Legyen E normált tér és F prehilbert-tér. Minden u ∈ L (E; F ) teljesen folytonos lineáris operátorhoz létezik olyan L (E; F )-ben haladó (un )n∈N sorozat, amely konvergál u-hoz az operátornorma szerint, és minden N 3 n-re az Im(un ) ⊆ F lineáris altér véges dimenziós.

(Megjegyzés. Ha F nem prehilbert-tér, akkor már létezhet olyan u ∈ L (E; F ) teljesen folytonos lineáris operátor, amely nem approximálható operátornormában véges dimenziós értékkészlet¶ folytonos lineáris operátorokkal.) (Útmutatás. Az u ∈ L (E; F ) operátor teljes folytonossága miatt az uhB1 (0)i ⊆ F halmaz teljesen korlátos. Legyen ε ∈ R∗+ tetsz®leges; ekkor van olyan H ⊆ B1 (0) véges halmaz, hogy [ Bε (u(x)). uhB1 (0)i ⊆ x∈H

Jelölje Fε az uhHi véges halmaz által generált lineáris alteret F -ben. Az Fε altér teljes, ezért tekinthetjük az Fε -ra vetít® PFε ortogonális projektort. Ha x ∈ B1 (0), akkor létezik

12.6. GYAKORLATOK

275

olyan x0 ∈ H , hogy u(x) ∈ Bε (u(x0 )), azaz ku(x) − u(x0 )k < ε. Ekkor a PFε operátor értelmezése alapján

ku(x) − (PFε ◦ u)(x)k = inf ku(x) − yk ≤ min ku(x) − u(z)k ≤ ku(x) − u(x0 )k < ε y∈Fε

z∈H

teljesül, ami azt jelenti, hogy ku−PFε ◦uk ≤ ε; ugyanakkor a PFε ◦u ∈ L (E; F ) operátor értékkészlete véges dimenziós altér F -ben.)

12.

Ha E és F prehilbert-terek és u : E → F konjugált lineáris operátor, akkor u izometrikussága ekvivalens azzal, hogy minden x1 , x2 ∈ E esetén fennáll az (u(x1 )|u(x2 )) = (x2 |x1 ) egyenl®ség. (Útmutatás. Hasonlóan járhatunk el, mint a lineáris operátorok izometrikusságának esetében.)

276

12. HILBERT-TEREK

13. fejezet Ortogonális rendszerek és ortogonális sorok 13.1.

Az ortogonális sorok kovergenciájának kritériuma

13.1.1. Deníció. Legyen E prehilbert-tér. Az E -ben haladó (xi )i∈I rendszert ortogonálisnak nevezzük, ha minden i, j ∈ I , i 6= j indexre (xi |xj ) = 0. Az E -ben haladó (xi )i∈I rendszert ortonormáltnak nevezzük, ha ortogonális, és minden I 3 i-re kxi k = 1. Az ortogonális sorozatokhoz asszociált sorokat ortogonális soroknak nevezzük.

Legyen E prehilbert-tér és (xi )i∈I E -ben haladó véges ortogonális rendszer. Ha I 6= ∅, akkor „ Ž

!

X 2

xi

i∈I

=

X i∈I

xi

X

xi =

i∈I

X

X

i∈I

j∈I

(xi |xj )

=

X

kxi k2 .

i∈I

Ha megállapodunk abban, hogy az üres rendszer összege 0 az E -ben, akkor ez az egyenl®ség-lánc I = ∅ esetén is igaz. Ezt az összefüggést elemi Pithagorász-tételnek nevezzük. Most megfogalmazzuk ennek általánosítását ortogonális sorokra.

13.1.2. Állítás. (Az ortogonális sorok kovergenciájának kritériuma) Legyen E X xk sor pontosan akkor konvergens Hilbert-tér és (xk )k∈N ortogonális sorozat E -ben. A k∈ N X X E -ben, ha a

k∈

N

kxk k2 sor konvergens R-ben. Ha a

k∈

2

∞

X

xk



k=0

=

∞ X k=0

(Pithagorász-tétel). 277

N

kxk k2

xk sor konvergens E -ben, akkor

278

13. ORTOGONÁLIS RENDSZEREK ÉS ORTOGONÁLIS SOROK

Bizonyítás. Minden n ∈ N∗ esetén, az elemi Pithagorász-tétel alapján

2

n−1

X

xk



n−1 X

=

k=0

X

tehát ha a

k∈

N

kxk k2 ,

k=0

xk sor konvergens E -ben, akkor

2

∞

X

xk



=

k=0

2

n−1

X

lim xk

n→∞ k=0

Megfordítva, ha a

X

N

=

2

n−1

X xk

lim

n→∞

= lim

k=0

n→∞

n−1 X

2

kxk k =

k=0

∞ X

kxk k2 .

k=0

kxk k2 sor konvergens R-ben, akkor m, n ∈ N és m 6= n esetén, az

k∈

elemi Pithagorász-tétel alapján

m

X

xk

k=0

−

n X k=0

2

xk



2

max(m,n)

X



x k

k=min(m,n)+1

=

X

amib®l látható, hogy a

k∈

N

max(m,n)

X

=

kxk k2 ≤

k=min(m,n)+1

∞ X

kxk k2 ,

k=min(m,n)+1

xk sor (mint sorozat) Cauchy-sorozat E -ben, tehát az E

teljessége miatt konvergens. 

13.2.

Bessel egyenl®tlenség és Parseval-egyenl®ség

13.2.1. Tétel. Legyen E Hilbert-tér, (ek )k∈N ortonormált sorozat E -ben, és H az {ek |k ∈ N} halmaz által generált zárt lineáris altér E -ben. a) Minden x ∈ E vektorra a

X

k∈

N

|(x|ek )|2 sor konvergens R-ben, és fennáll a ∞ X

|(x|ek )|2 ≤ kxk2

k=0

(Bessel-egyenl®tlenség). b) Minden E 3 x-re a

X

N

(x|ek )ek sor konvergens E -ben, és teljesülnek az

k∈

PH (x) =

∞ X

(x|ek )ek ,

k=0

kPH (x)k2 =

∞ X k=0

(Parseval-egyenl®ség).

|(x|ek )|2

279

13.2. BESSEL EGYENLŽTLENSÉG ÉS PARSEVAL-EGYENLŽSÉG

Bizonyítás. Legyen x ∈ E rögzített. Minden n ∈ N esetén, az elemi Pithagorász-tétel alapján

2

n

X

x − (x|e k )ek

n X

2

= kxk − 2< x

k=0

= kxk2 − 2<

n X

!

(x|ek )ek

k=0

(x|ek )(x|ek ) +

amib®l látható, hogy

n X

=

k=0

|(x|ek )|2 = kxk2 −

k=0

k=0

Ebb®l következik, hogy a

n X

2 n

X

+

(x|ek )ek

n X

|(x|ek )|2 ,

k=0

|(x|ek )|2 ≤ kxk2 .

k=0

X

N

|(x|ek )|2 sor konvergens R-ben, és fennáll a Bessel-

k∈

egyenl®tlenség, így az a) állítást igazoltuk. Ebb®l azt is kapjuk, hogy a

X k∈

(x|ek )ek

N

sor konvergens E -ben. Tehát a Pithagorász-tétel alapján a b) bizonyításához elgend® azt megmutatni, hogy PH (x) =

∞ X

(x|ek )ek .

k=0

Az nyilvánvaló, hogy

∞ X

(x|ek )ek = lim

n→∞

k=0

ezért a PH (x) =

y ∈ H esetén

∞ X

n X

(x|ek )ek ∈ H,

k=0

(x|ek )ek egyenl®ség bizonyítához elég azt megmutatni, hogy minden

k=0

kx − yk ≥

∞

X

(x|ek )ek

.

x −

k=0

Az E feletti norma-függvény folytonossága miatt ehhez elég igazolni, hogy minden n ∈ N∗ és (λk )k∈n ∈ Kn esetén



X

x − λk ek

k∈n

teljesül, hiszen

H=

(

[

N∗

n∈

X

≥

∞

X

x − (x|ek )ek

k=0

) n

λk ek (λk )k∈n ∈ K

.

k∈n

Nyilvánvaló, hogy

2

∞

X

(x|e )e

x − k k

k=0

2

= kxk − 2<

∞ X

!

(x|ek )ek x

k=0

2

∞

X

+

(x|ek )ek

k=0

=

280

13. ORTOGONÁLIS RENDSZEREK ÉS ORTOGONÁLIS SOROK

= kxk2 − 2<

∞ X

∞ X

(x|ek )(ek |x) +

k=0

|(x|ek )|2 = kxk2 −

k=0

∞ X

|(x|ek )|2 ,

k=0

ahol kihasználtuk a Pithagorász-tételt, és azt, hogy z ∈ E esetén a (·|z) : E → K függvény folytonos lineáris funkcionál, ezért ∞ X

!

(x|ek )ek z =

k=0

∞ X

(x|ek )(ek |z).

k=0

Ezért elegend® azt igazolni, hogy ha n ∈ N∗ és (λk )k∈n ∈ Kn , akkor

2

X

x − λk ek

≥ kxk2 −

k∈n

X

|(x|ek )|2 ,

k∈n

hiszen az el®z®ek szerint 2

kxk −

X

2

2

|(x|ek )| ≥ kxk −

k∈n

∞ X

2

|(x|ek )| =

k=0

2 ∞

X

x − (x|ek )ek .

k=0

Ez viszont nyilvánvalóan igaz, mert az elemi Pithagorász-tétel alapján

2

X

x − λk ek



− kxk2 +

k∈n

= kxk2 − 2< =

X€

X

λk (ek |x) +

k∈n

X

|(x|ek )|2 =

k∈n

X k∈n

|λk |2 − kxk2 + Š

|λk |2 − 2<(λk (ek |x)) + |(x|ek )|2 =

k∈n

X

|(x|ek )|2 =

k∈n

X

|λk − (x|ek )|2 ≥ 0. 

k∈n

13.2.2. Következmény. Legyen E Hilbert-tér és (ek )k∈N ortonormált sorozat E -ben. A következ® állítások ekvivalensek. (i)

Ha x ∈ E olyan, hogy minden k ∈ N esetén (x|ek ) = 0, akkor x = 0.

(ii) Az {ek |k ∈ N} halmaz által generált zárt lineáris altér egyenl® E -vel. ∞ X

(iii) Minden E 3 x-re kxk2 =

|(x|ek )|2 .

k=0

(iv) Minden E 3 x-re x =

∞ X

(x|ek )ek .

k=0

Bizonyítás. Legyen H az {ek |k ∈ N} halmaz által generált zárt lineáris altér E -ben. (i)⇒(ii) Az (i) állítás azt jelenti, hogy {ek |k ∈ N}⊥ = {0}, amib®l következik, hogy {ek |k ∈ N}⊥⊥ = {0}⊥ = E , és itt a bal oldalon H áll.

281

13.3. GRAMSCHMIDT-ORTOGONALIZÁCIÓ

(ii)⇒(iii) Ha H = E , akkor PH = idE , ezért a Parseval-egyenl®ség szerint minden E 3 xre ∞

kxk2 = kPH (x)k2 =

X

|(x|ek )|2 .

k=0 ∗

(iii)⇒(iv) Minden x ∈ E és n ∈ N esetén

2

n−1

X

x − (x|e )e k k

= kxk2 −

k=0

ezért ha (iii) igaz, akkor minden x ∈ E vektorra x =

n−1 X

|(x|ek )|2 ,

k=0 ∞ X

(x|ek )ek , vagyis (iv) teljesül.

k=0

(iv)⇒(i) Ha x ∈ E olyan, hogy minden k ∈ N esetén (x|ek ) = 0, és (iv) teljesül, akkor

x=

∞ X

(x|ek )ek = 0. 

k=0

13.2.3. Deníció. Legyen E Hilbert-tér. Az E -ben haladó (ek )k∈N ortonormált sorozatot ortonormált bázissorozatnak nevezzük, ha teljesül rá az el®z® állításban megfogalmazott (i), (ii), (iii) és (iv) állítások valamelyike (tehát mindegyike ). Ha (ek )k∈N X

ortonormált sorozat az E Hilbert-térben, akkor x ∈ E esetén a

(x|ek )ek vektorsort az

k∈

x vektor (ek )k∈N szerinti absztrakt Fourier-sorának nevezzük.

13.3.

N

GramSchmidt-ortogonalizáció

13.3.1. Állítás. (GramSchmidt-ortogonalizáció) Legyen E prehilbert-tér, valamint (xn )n∈N lineárisan független sorozat E -ben. Ekkor létezik egyetlen olyan (en )n∈N ortonormált sorozat E -ben, hogy minden N∗ 3 n-re az (xk )k∈n és (ek )k∈n rendszerek által generált lineáris alterek egyenl®k, és minden N 3 n-re (xn |en ) ∈ R∗+ .

Bizonyítás. Minden N 3 n-re legyen Hn az {xk |k ∈ n} halmaz által generált (ndimenziós) lineáris altér E -ben. Az (xn )n∈N rendszer lineáris függetlensége miatt minden n ∈ N∗ esetén xn ∈ / Hn , vagyis xn 6= PHn (xn ); legyen yn := xn − PHn (xn ). Ha n ∈ N, akkor (xn |yn ) = 0 lehetetlen, különben 0 = (xn |yn ) = (xn |xn − PHn (xn )), azaz (xn |PHn (xn )) = kxn k2 , így

0 ≤ kyn k2 = kxn − PHn (xn )k2 = kxn k2 − 2<(xn |PHn (xn )) + kPHn (xn )k2 = = kPHn (xn )k2 − kxn k2 ≤ 0, tehát yn = 0, holott yn 6= 0. Ha n ∈ N, akkor xn ∈ Hn+1 és PHn (xn ) ∈ Hn ⊆ Hn+1 , tehát yn ∈ Hn+1 . Ugyanakkor

282

13. ORTOGONÁLIS RENDSZEREK ÉS ORTOGONÁLIS SOROK

yn := xn − PHn (xn ) ∈ Hn⊥ , így K.yn ⊆ Hn+1 ∩ Hn⊥ . Tekintettel arra, hogy K.yn és Hn+1 ∩ Hn⊥ mindketten egydimenziós lineáris alterek E -ben, itt egyenl®ség áll, azaz K.yn = Hn+1 ∩ Hn⊥ . Most igazoljuk az (en )n∈N sorozat egyértelm¶ségét. Legyen tehát (en )n∈N olyan ortonormált sorozat, amelyre minden n ∈ N esetén az {ek |k ∈ n} halmaz által generált lineáris altér egyenl® Hn -nel és (xn |en ) ∈ R∗+ . Ekkor minden N 3 n-re en ∈ Hn+1 ∩ Hn⊥ = K.yn , így létezik egyetlen olyan λn ∈ K, amelyre en = λn yn ; ekkor 1 ken k = 1 miatt |λn | = . Ugyanakkor minden N 3 n-re λn (xn |yn ) = (xn |en ) ∈ R∗+ , kyn k amib®l egyszer¶ számolással nyerhet®, hogy

λn =

1 (xn |yn ) . . kyn k |(xn |yn )|

Ez azt jelenti, hogy az adott tulajdonságok az (en )n∈N sorozatot egyértelm¶en meghatározzák. Most világosan látszik, hogy a keresett (en )n∈N sorozatot úgy kell értelmezni, hogy minden n ∈ N esetén ‚ Œ 1 (xn |yn ) en := . yn . kyn k |(xn |yn )| Triviálisan ellen®rizhet®, hogy erre a sorozatra teljesülnek az el®írt feltételek.  Az el®z® állítás feltételei mellett minden n ∈ N∗ esetén

PHn (xn ) =

n−1 X

(xn |ek )ek ,

k=0

ahol Hn az (ek )k∈n rendszer által generált lineáris altér E -ben, ezért

xn − en =

n−1 X

(xk |ek )ek

Ì

k=0

kxn k2 −

n−1 X

, |(xk |ek )|2

k=0

valamint e0 = x0 /kx0 k. Ez rekurzív formula az (en )n∈N sorozatra.

Elnevezés. Ha E prehilbert-tér és (xn )n∈N lineárisan független sorozat E -ben, akkor az el®z® állásban értelmezett (en )n∈N ortonormált sorozatot az (xn )n∈N sorozat GramSchimdt-féle ortogonalizáltjának nevezzük.

283

13.4. HILBERT-TÉR SZEPARABILITÁSÁNAK JELLEMZÉSE

13.4.

Hilbert-tér szeparabilitásának jellemzése

13.4.1. Tétel. Ha E Hilbert-tér K felett, akkor a következ® állítások ekvivalensek. (i)

Létezik E -ben haladó ortonormált bázissorozat.

2 (ii) Létezik izometrikus lineáris bijekció az E és lK Hilbert-terek között.

(iii) E végtelen dimenziós és szeparábilis.

Bizonyítás. (i)⇒(ii) Legyen (ek )k∈N ortonormált bázissorozat az E Hilbert-térben. Ekkor a Parseval-egyenl®ség miatt az

u : E → lK2 ;

x 7→ ((x|ek ))k∈N

leképezés izometrikus lineáris operátor. X Az ortogonális sorok konvergenciájának kritéri2 uma alapján minden s ∈ lK sorozatra a s(j)ej sor konvergens E -ben és

N

j∈

„

u

∞ X j=0

Ž

s(j)ej

„„

=

∞ X j=0

ŽŽ

s(j)ej ek

„

=

N

k∈

∞ X j=0

Ž

s(j)(ej |ek )

= s, k∈

N

tehát az u operátor szürjektív is. 2 (ii)⇒(iii) Ha u : E → lK izometrikus lineáris bijekció, akkor E végtelen dimenziós, mert 2 lK is végtelen dimenziós, továbbá E szeparábilis is, mert az lK2 sorozattér szeparábilis és u homeomorzmus E és lK2 között.

(iii)⇒(i) Elegend® azt igazolni, hogy ha (iii) teljesül, akkor létezik olyan lineárisan független (xk )k∈N sorozat E -ben, amelyre az {xk |k ∈ N} halmaz által generált lineáris altér s¶r¶ E -ben. Ha ugyanis (xk )k∈N ilyen sorozat, akkor ennek Gram-Schmidt-féle ortogonalizáltja ortonormált bázissorozat E -ben. Vegyünk tetsz®leges olyan (zk )k∈N sorozatot E -ben, amelyre a {zk |k ∈ N} halmaz által generált lineáris altér s¶r¶ E -ben; ilyen az E szeparabilitása miatt létezik. Minden n ∈ N esetén jelölje En az {zk |k ∈ n} halmaz által generált (legfeljebb [ n-dimenziós) lineáris alteret E -ben. Világos, hogy n ∈ N esetén En ⊆ En+1 , így E∞ := En lineáris n∈

N

altér E -ben, és ez tartalmazza a {zk |k ∈ N} halmazt, tehát E∞ s¶r¶ lineáris altere E nek. Létezik olyan k ∈ N, hogy zk 6= 0, különben {zk |k ∈ N} = {0} volna, így E = {0}, holott E végtelen dimenziós. Ezért jól értelmezett az m := min{k ∈ N|zk 6= 0} természetes szám. Ha n ∈ N, akkor van olyan k > n természetes szám, hogy zk ∈ / En , különben {zk |(k ∈ N) ∧ (k > n)} ⊆ En , ezért {zk |k ∈ N} ⊆ En+1 teljesülne, amib®l E∞ = En+1

284

13. ORTOGONÁLIS RENDSZEREK ÉS ORTOGONÁLIS SOROK

következne, tehát az En+1 zártsága és E∞ s¶r¶sége folytán E = En+1 , ami lehetetlen, mert E végtelen dimenziós. Ezért jól értelmezett a

g : N → N;

n 7→ min{k ∈ N|(k > n) ∧ (zk ∈ / En )}

függvény. Jelölje σ a g függvény és az m kezd®pont által meghatározott iterációs sorozatot. Tehát σ : N → N az a függvény, amelyre σ(0) := m, és minden n ∈ N esetén σ(n + 1) = g(σ(n)). A deníciók alapján könnyen ellen®rizhet®, hogy a (zσ(n) )n∈N sorozat lineárisan független, és a {zσ(n) |n ∈ N} halmaz által generált lineáris altér egyenl® E∞ -vel, vagyis s¶r¶ E -ben. 

13.5.

Gyakorlatok

1. Legyen F valós vektortér. Egy f : R → F függvényt F -be ható trigonometrikus

polinom nevezünk, ha létezik olyan n ∈ N és léteznek olyan (sk )0≤k≤n , (ck )0≤k≤n rendszerek F -ben, hogy minden R 3 t-re

f (t) =

n X

(ck cos(kt) + sk sin(kt)).

k=0

a) Ha P : R → F poliniomiális vektorfüggvény, akkor a P ◦ cos : R → F függvény trigonometrikus polinom. b) Ha f : R → F trigonometrikus polinom, akkor az f. sin függvény, és minden R 3 t0 -ra az R → F ; t 7→ f (t + t0 ) függvény is trigonometrikus polinom. c) (Weierstrass approximációs tétele.) Legyen F valós normált tér és jelölje C• ([−π, π]; F ) azon f : [−π, π] → F folytonos függvények halmazát, amelyekre f (−π) = f (π). Az F -be ható trigonometrikus polinomok [−π, π]-re vett lesz¶kítéseinek halmaza s¶r¶ a C• ([−π, π]; F ) függvénytérben a sup-norma szerint, vagyis minden f : [−π, π] → F folytonos függvény esetében, ha f (−π) = f (π), akkor létezik F -be ható trigonometrikus polinomoknak olyan sorozata, amely egyenletesen konvergál f -hez a [−π, π] intervallumon. (Útmutatás. a) Legyen N ∈ N, (zn )0≤n≤N ∈ F N +1 , és tekintsük a P :=

N X n=0

nomiális vektorfüggvényt. Ekkor P ◦ cos =

N X

zn idnR poli-

zn cosn , ezért az a) bizonyításához elég

n=0

azt megmutatni, hogy minden n ∈ N esetén van olyan (cn,k )0≤k≤n ∈ Rn+1 , hogy minden R 3 t-re

cosn (t) =

n X

k=0

cn,k cos(kt).

285

13.5. GYAKORLATOK

Valóban, n ∈ N esetén minden R 3 t-re a binomiális formula alkalmazásával nyerjük, hogy !n ! n eit + e−it 1 X n i(n−2j)t n cos (t) = = n e = 2 2 j=0 j „

=<

1 2n

n X j=0

!

n i(n−2j)t e j

Ž

1 = n 2

n X j=0

!

n cos((n − 2j)t) j

adódik. Tehát ha minden k ≤ n természetes számra 8 > <

cn,k := > :

!

1 n n 2 (n − k)/2 0

akkor minden R 3 t-re cosn (t) =

n X

; ha n − k páros, ; ha n − k páratlan,

cn,k cos(kt) teljesül.

k=0

b) A trigonometrikus függvényekre vonatkozó addíciós formulák szerint minden k ∈ N és t ∈ R esetén 1 cos(kt) sin(t) = (sin((k + 1)t) − sin((k − 1)t)), 2 1 sin(kt) sin(t) = − (cos((k + 1)t) − cos((k − 1)t)), 2 ezért minden f : R → F trigonometrikus polinomra az f. sin függvény is trigonometrikus polinom. Továbbá, minden t, t0 ∈ R esetén

cos(k(t + t0 )) = cos(kt0 ) cos(kt) − sin(kt0 ) sin(kt), sin(k(t + t0 )) = cos(kt0 ) sin(kt) + sin(kt0 ) cos(kt), ezért minden f : R → F trigonometrikus polinomra az R → F ; t 7→ f (t + t0 ) függvény is trigonometrikus polinom. c) Legyen el®ször f : [−π, π] → F páros folytonos függvény, tehát minden t ∈ [−π, π] pontra f (−t) = f (t). Legyen ε ∈ R∗+ tetsz®leges. Az f ◦ Arccos : [−1, 1] → F € Š−1 függvény folytonos (ahol Arccos := cos |[0,π] ), ezért a Bernstein-féle approximációs tétel (V. fejezet, 8. pont) szerint van olyan P : R → F polinomiális függvény, hogy sup kf (Arccos(t)) − P (t)k < ε. Ebb®l következik, hogy t∈[−1,1]

sup kf (t) − P (cos(t))k = sup kf (Arccos(t)) − P (t)k < ε, t∈[0,π]

t∈[−1,1]

hiszen cosh[0, π]i = [−1, 1]. Az f és cos függvények párossága folytán

sup kf (t) − P (cos(t))k = sup kf (t) − P (cos(t))k, t∈[−π,0]

t∈[0,π]

286

13. ORTOGONÁLIS RENDSZEREK ÉS ORTOGONÁLIS SOROK

ezért fennáll a

sup kf (t) − P (cos(t))k < ε egyenl®tlenség, és a P ◦ cos függvény az

t∈[−π,π]

a) alapján trigonometrikus polinom. Ez azt jelenti, hogy minden [−π, π] → F páros folytonos függvény egyenletesen approximálható a [−π, π] intervallumon trigonometrikus polinomokkal. Most megmutatjuk, hogy ha f : [−π, π] → F tetsz®leges folytonos függvény, akkor az f. sin2 függvény egyenletesen approximálható a [−π, π] intervallumon trigonometrikus polinomokkal. Legyen ε ∈ R∗+ tetsz®leges, és értelmezzük a

f1 : [−π, π] → F ;

1 t 7→ (f (t) + f (−t)), 2

1 t 7→ (f (t) − f (−t)) sin(t) 2 függvényeket. Ezek folytonosak és párosak, tehát az el®z®ek szerint léteznek olyan g1 , g2 : R → F trigonometrikus polinomok, hogy sup kf1 (t) − g1 (t)k < ε/2 és f2 : [−π, π] → F ;

t∈[−π,π]

sup kf2 (t) − g2 (t)k < ε/2. Ekkor f. sin2 = f1 . sin2 +f2 . sin, következésképpen

t∈[−π,π]

sup kf (t) sin2 (t) − (g1 (t) sin(t) + g2 (t)) sin(t)k ≤

t∈[−π,π]

ε ε + = ε. 2 2

A b) alapján a (g1 . sin +g2 ). sin függvény is trigonometrikus polinom, tehát f. sin2 egyenletesen approximálható a [−π, π] intervallumon trigonometrikus polinomokkal. Végül bebizonyítjuk, hogy ha f : [−π, π] → F tetsz®leges folytonos függvény, akkor f (−π) = f (π) esetén létezik F -be ható trigonometrikus polinomoknak olyan sorozata, amely egyenletesen konvergál f. cos2 -hez a [−π, π] intervallumon. Ebb®l már következik a Weierstrass-féle approximációs tétel, mert ha f ∈ C• ([−π, π]; F ), akkor az f. sin2 és f. cos2 függvények egyenletesen approximálhatók a [−π, π] intervallumon trigonometrikus polinomokkal, tehát az f = f. sin2 +f. cos2 függvény is egyenletesen approximálható a [−π, π] intervallumon trigonometrikus polinomokkal. Legyen tehát f ∈ C• ([−π, π]; F ) rögzített, és terjesszük ki az f függvényt R-re 2π szerint periodikus függvénnyé. Ilyen kiterjesztés azért létezik, mert f (−π) = f (π), továbbá világos, hogy a kiterjesztett függvény is folytonos. Ezt a kiterjesztett függvényt szintén f fogja jelölni, és értelmezzük az 

f• : R → F ;

π‹ t 7→ f t + 2

leképezést. Legyen ε ∈ R∗+ tetsz®leges. Az el®z®ek szerint létezik olyan g• : R → F trigonometrikus polinom, hogy

sup kf• (t) sin2 (t) − g• (t)k < ε.

t∈[−π,π]

287

13.5. GYAKORLATOK

Az f• . sin2 és g• függvények 2π szerinti periodikussága miatt

sup kf• (t) sin2 (t) − g• (t)k = sup kf• (t) sin2 (t) − g• (t)k, t∈

t∈[−π,π]

R

amib®l következik, hogy

sup t∈[−π,π]

≤



sup

f• t − t∈

R



f (t) cos2 (t) − g t − •



π ‹

≤ 2

 π‹ 2  π‹ π ‹

= sup kf• (t) sin2 (t) − g• (t)k < ε. sin t − − g• t − 2 2 2 t∈R

Ez azt jelenti, hogy a



g : R → F; függvényre fennáll a

t 7→ g• t −

π‹ 2

sup kf (t) cos2 (t) − g(t)k < ε t∈[−π,π]

egyenl®tlenség.)

2. Legyen F komplex vektortér. Egy f : R → F függvényt F -be ható komplex trigonometrikus polinomnak nevezünk, ha létezik olyan n ∈ N és létezik olyan (ck )−n≤k≤n rendszer F -ben, hogy minden R 3 t-re

f (t) =

n X

ck eikt .

k=−n

Legyen F komplex normált tér, és jelölje C• ([−π, π]; F ) azon f : [−π, π] → F folytonos függvények halmazát, amelyekre f (−π) = f (π). Az F -be ható komplex trigonometrikus polinomok [−π, π]-re vett lesz¶kítéseinek halmaza s¶r¶ a C• ([−π, π]; F ) függvénytérben a sup-norma szerint, vagyis minden f : [−π, π] → F folytonos függvény esetében, ha f (−π) = f (π), akkor létezik F -be ható komplex trigonometrikus polinomoknak olyan sorozata, amely egyenletesen konvergál f -hez a [−π, π] intervallumon. (Útmutatás. Jelölje FR az F alatt fekv® valós normált teret (VI. fejezet, 2. pont), és alkalmazzuk az 1. gyakorlatban megfogalmazott Weierstrass-féle approximációs tételt FR -re! Ehhez vegyük észre, hogy az FR -be ható (valós) trigonometrikus polinomok egyben F -be ható komplex trigonometrikus polinomok is (az Euler- de Moivre formula szerint), továbbá C• ([−π, π]; F ) = C• ([−π, π]; FR ) nyilvánvalóan teljesül.)

3. Legyen T ∈ R∗+ rögzített szám és ω := 2π/T . Legyen továbbá F valós (illetve komplex)

Banach-tér, és jelölje C• ([−T /2, T /2]; F ) azon f : [−T /2, T /2] → F folytonos függvények

288

13. ORTOGONÁLIS RENDSZEREK ÉS ORTOGONÁLIS SOROK

halmazát, amelyekre f (−T /2) = f (T /2). Ekkor minden f ∈ C• ([−T /2, T /2]; F ) függvényhez létezik R → F valós (illetve komplex) trigonometrikus polinomoknak olyan (fn )n∈N sorozata, hogy az (fn ◦ (ω.idR ))n∈N függvénysorozat egyenletesen konvergál f -hez a [−T /2, T /2] intervallumon. (Útmutatás. Értelmezzük a σ : [−T /2, T /2] → [−π, π]; t 7→ ωt leképezést. Ha f ∈ C• ([−T /2, T /2]; F ), akkor f ◦ σ −1 ∈ C• ([−π, π]; F ), tehát az 1 (illetve 2.) gyakorlat szerint létezik R → F valós (illetve komplex) trigonometrikus polinomoknak olyan (fn )n∈N sorozata, hogy (fn ◦ (ωidR ))n∈N egyenletesen konvergál az f függvényhez a [−T /2, T /2] intervallumon.)

4. Legyen F Banach-tér és f ∈ LF1 (R, RR , µR ). a) Minden λ ∈ R esetén az

R → F;

t 7→ f (t) sin(λt),

R → F;

t 7→ f (t) cos(λt)

függvények µR -integrálhatók, és Z

lim

λ→±∞

R

f (t) sin(λt) dµR (t) = 0,

Z

lim

λ→±∞

R

f (t) cos(λt) dµR (t) = 0

teljesül. b) Ha F komplex Banach-tér, akkor minden λ ∈ R esetén az

R → F;

t 7→ f (t)eiλt

függvény µR -integrálható és Z

lim

λ→±∞

R

f (t)eiλt dµR (t) = 0

teljesül. (Útmutatás. a) Ha λ ∈ R, akkor az R → F ; t 7→ f (t) sin(λt) és R → F ; t 7→ f (t) cos(λt) függvények Lebesgue-mérhet®k és a normafüggvényüket kf (·)k majorálja, ezért az integrálhatóság kritériuma (IX. fejezet, 8. pont) alapján ezek a függvények Lebesgue-integrálhatók.

289

13.5. GYAKORLATOK

Legyenek a, b ∈ R olyanok, hogy a < b. Az elemi Newton-Leibniz-formula (X. fejezet, 2. pont) alkalmazásával könnyen belátható, hogy minden λ ∈ R esetén Z

R

χ[a,b[ (t) cos(λt) dµR (t) = ‚

Zb

cos(λt) dµR (t) =

a

Œ

‚

Œ

(b − a)λ (b + a)λ = (b − a)sinc cos , 2 2 valamint

Z

R

χ[a,b[ (t) sin(λt) dµR (t) =

Zb a

Œ

‚

sin(λt) dµR (t) = Œ

‚

(b − a)λ (b + a)λ sin , = (b − a)sinc 2 2 és a sinc (sinus cardinalis) függvény a ±∞-ben 0-hoz tart. Ebb®l következik, hogy minden f ∈ EF (R, RR ) lépcs®sfüggvényre Z

lim

λ→±∞

R

f (t) sin(λt) dµR (t) = 0,

Z

lim

λ→±∞

R

f (t) cos(λt) dµR (t) = 0

teljesül. Legyen f ∈ LF1 (R, RR , µR ) és ε ∈ R∗+ tetsz®leges. Létezik olyan g ∈ EF (R, RR ), hogy Z ∗

kf − gk dµR < ε/2. Az el®z® bekezdés alapján van olyan L ∈ R∗+ , hogy minden λ ∈ R esetén, ha |λ| > L, akkor

Z



R



dµR (t)

g(t) sin(λt)

ε < , 2

Z



R

g(t) cos(λt)



dµR (t)

ε < . 2

Tehát minden λ ∈ R esetén, ha |λ| > L, akkor

Z



R

Z

+

R

f (t) sin(λt)

g(t) sin(λt)



dµR (t)



dµR (t)

Z

≤

R

≤

Z



R

(f (t) − g(t)) sin(λt)

Z

kf (t) − g(t)kdµR (t) +

R



dµR (t)

+

g(t) sin(λt)



dµR (t)

< ε,

290

13. ORTOGONÁLIS RENDSZEREK ÉS ORTOGONÁLIS SOROK

és hasonlóan kapjuk, hogy

Z



f (t) cos(λt)

R



dµR (t)

< ε.

b) Elegend® alkalmazni az a) állítást az F alatt fekv® FR valós Banach-térre. De eljárhatunk úgy is, hogy megismételjük az a) bizonyításában követett gondolatmenetet, hivatkozva arra, hogy a, b ∈ R és a < b esetén minden R 3 λ-ra az elemi Newton-Leibnizformula szerint Z

R

χ[a,b[ (t)eiλt dµR (t) =

e a

Œ

‚

Zb

iλt

‚

(b − a)λ i(b + a)λ Exp dµR (t) = (b − a)sinc 2 2

Œ

teljesül.)

5. (Klasszikus egydimenziós valós Fourier-sorok.) Legyen T ∈ R∗+ rögzített szám és ω := 2π/T . Minden N 3 k -ra legyen

e2k+1 := χ[−T /2,T /2] sin ◦((k + 1)ωidR ), e2k := χ[−T /2,T /2] cos ◦(kωidR ). Az (em )m∈N függvénysorozatot (T paraméter¶) valós trigonometrikus rendszernek nevezzük. a) Az (em )m∈N függvénysorozat LR2 (R, RR , µR )-ben halad, és (e•m )m∈N ortogonális sorozat az L2R (R, RR , µR ) valós Hilbert-térben, továbbá az {e•m |m ∈ N} halmaz által generált zárt lineáris altér L2R (R, RR , µR )-ben egyenl® az

{f • | (f ∈ LR2 (R, RR , µR )) ∧ (µ∗R ([f 6= 0] ∩ (R \ [−T /2, T /2])) = 0)} halmazzal. (Itt, és a továbbiakban f ∈ LR2 (R, RR , µR ) esetén f • jelöli az f függvény ekvivalencia-osztályát L2R (R, RR , µR )-ben.)

b) Legyen f ∈ LR2 (R, RR , µR ) olyan függvény, hogy µ∗R ([f 6= 0] ∩ (R \ [−T /2, T /2])) = 0. Ekkor minden k ∈ N esetén jól értelmezettek a

2 ck (f ) := T számok, és a

T /2 Z

f (t) cos(kωt) dµR (t), −T /2

X

N∗

k∈

2 sk (f ) := T

T /2 Z

f (t) sin(kωt) dµR (t) −T /2

χ[−T /2,T /2] (ck (f ) cos ◦(kωidR ) + sk (f ) sin ◦(kωidR ))

függvénysor konvergens a k · kµ ,2 félnorma szerint, és R

f• =

∞ € Š X c0 (f ) • χ[−T /2,T /2] (ck (f ) cos ◦(kωidR ) + sk (f ) sin ◦(kωidR )) • χ + [−T /2,T /2] 2 k=1

291

13.5. GYAKORLATOK

teljesül az L2R (R, RR , µR ) normája szerint, vagyis T /2 Z f (t) − lim n→∞

! 2

n c0 (f ) X (ck (f ) cos(kωt) + sk (f ) sin(kωt)) + 2 k=1

−T /2

dµR (t) = 0.

Továbbá, létezik olyan σ : N → N szigorúan monoton növ® függvény, hogy µR -majdnem minden t ∈ [−T /2, T /2] esetén σ(n) X c0 (f ) f (t) = + lim (ck (f ) cos(kωt) + sk (f ) sin(kωt)) n→∞ 2 k=1

teljesül. Ezenkívül fennáll a

2 T

Z

R

|f |2 dµR =

∞ c0 (f )2 X + (ck (f )2 + sk (f )2 ) 2 k=1

egyenl®ség. (Megjegyezzük, hogy a X c0 (f ) + (ck (f ) cos ◦(kωidR ) + sk (f ) sin ◦(kωidR )) 2 k∈N; k≥1

függvénysort az f függvény valós trigonometrikus Fourier-sorának nevezzük.) c) Legyen F valós Banach-tér és f : R → F olyan T szerint periodikus függvény, hogy χ[−T /2,T /2] f ∈ LF1 (R, RR , µR ). Ekkor minden k ∈ N esetén jól értelmezettek a

2 ck (f ) := T

T /2 Z

f (t) cos(kωt) dµR (t), −T /2

2 sk (f ) := T

T /2 Z

f (t) sin(kωt) dµR (t) −T /2

vektorok. (Megjegyezzük, hogy ekkor is a X c0 (f ) (ck (f ) cos ◦(kωidR ) + sk (f ) sin ◦(kωidR )) + 2 k∈N; k≥1

vektorfüggvény-sort az f függvény valós trigonometrikus Fourier-sorának nevezzük.) Minden n ∈ N∗ és t ∈ R esetén n c0 (f ) X (ck (f ) cos(kωt) + sk (f ) sin(kωt)) = + 2 k=1

T /2 Z

f (t + s)Dn (s) µR (s), −T /2

292

13. ORTOGONÁLIS RENDSZEREK ÉS ORTOGONÁLIS SOROK

ahol Dn : R → R az a függvény, amelyre minden R 3 s-re 8 > 1 > <

Dn (s) := > T > :

€

sin (n + 21 )ωs €

1 ωs 2

sin 1 (2n + 1) T

Š

Š

s ∈ / Z, T s ; ha ∈ Z. T

; ha

(Ez az n-edik Dirichlet-féle magfüggvény.) d) Legyen F valós Banach-tér és f : R → F olyan T szerint periodikus függvény, hogy χ[−T /2,T /2] f ∈ LF1 (R, RR , µR ). Ha a t ∈ R ponthoz van olyan z ∈ F , hogy az

R → F;

8 > < f (t + s) + f (t − s) − 2z

s 7→ >

s 0

:

; ha s 6= 0, ; ha s = 0

függvény µR -integrálható a 0 valamely környezetén, akkor az f függvény valós trigonometrikus Fourier-sora konvergens a t pontban és ∞ c0 (f ) X + (ck (f ) cos(kωt) + sk (f ) sin(kωt)) = z. 2 k=1

e) Legyen F valós Banach-tér és f : R → F olyan T szerint periodikus függvény, hogy χ[−T /2,T /2] f ∈ LF1 (R, RR , µR ). Legyen t ∈ R rögzített, és tekintsük a következ® kijelentéseket. (i) f dierenciálható a t pontban. (ii) Léteznek olyan C, δ, α ∈ R∗+ számok, hogy minden s ∈] − δ, δ[ esetén

kf (t + s) − f (t)k ≤ C|s|α . (iii) Az

R → F;

8 > < f (t + s) − f (t)

s 7→ > :

s 0

; ha s 6= 0, ; ha s = 0

függvény µR -integrálható a 0 valamely környezetén (Dini-feltétel). (iv) Az f -nek létezik t-ben a jobboldali és a baloldali határértéke, és léteznek olyan C, δ, α ∈ R∗+ számok, hogy minden s ∈]0, δ[ esetén

kf (t + s) − f (t + 0)k ≤ C|s|α , kf (t − s) − f (t − 0)k ≤ C|s|α .

13.5. GYAKORLATOK

293

(v) Az f -nek létezik t-ben a jobboldali és a baloldali határértéke, és létezik olyan δ ∈ R∗+ , hogy az f (t + s) − f (t + 0) , R∗+ → F ; s 7→ s f (t − s) − f (t − 0) R∗+ → F ; s 7→ s függvények µR -integrálhatók a ]0, δ[ intervallumon (egyoldali Dini-feltétel). Ekkor igazak az (i)⇒(ii)⇒(iii), valamint (i)⇒(ii)⇒(iv)⇒(v) következtetések. Ha a Dinifeltétel (vagyis (iii)) teljesül, akkor az f függvény valós trigonometrikus Fourier-sora konvergens a t pontban és ∞ c0 (f ) X + (ck (f ) cos(kωt) + sk (f ) sin(kωt)) = f (t). 2 k=1

Ha az egyoldali Dini-feltétel (vagyis (v)) teljesül, akkor az f függvény valós trigonometrikus Fourier-sora konvergens a t pontban és ∞ c0 (f ) X f (t + 0) + f (t − 0) + (ck (f ) cos(kωt) + sk (f ) sin(kωt)) = . 2 2 k=1

(Útmutatás. a) Jelölje H az {e•m |m ∈ N} halmaz által generált zárt lineáris alteret L2R (R, RR , µR )-ben. Legyen f ∈ LR2 (R, RR , µR ) olyan függvény, hogy f • ∈ H ⊥ ; megmutatjuk, hogy ekkor

µ∗R ([f 6= 0] ∩ [−T /2, T /2]) = 0. A feltevés szerint minden N 3 m-re (f • |e•m ) = 0, ami azzal ekvivalens, hogy minden g : R → R trigonometrikus polinomra Z

R

(χ[−T /2,T /2] f )g dµR =

Z

R

f (χ[−T /2,T /2] g) dµR = 0.

Ha g : [−T /2, T /2] → R olyan folytonos függvény, hogy g(−T /2) = g(T /2), akkor a Weierstrass-féle approximációs tétel (3. gyakorlat) szerint létezik R → R trigonometrikus polinomoknak olyan (gm )m∈N sorozata, hogy a (gm ◦ (ωidR ))m∈N függvénysorozat egyenletesen konvergál g -hez a [−T /2, T /2] intervallumon; ekkor a Lebesgue-tétel alapján Z

R

f g ◦ dµR = m→∞ lim

Z

R

f (χ[−T /2,T /2] (gm ◦ (ωidR ))) dµR = 0.

Speciálisan, ha g : R Z → R olyan folytonos, kompakt tartójú függvény, hogy supp(g) ⊆

[−T /2, T /2], akkor

R

f g dµR = 0 teljesül. A X. fejezet, 3. pontjának eredményei szerint

294

13. ORTOGONÁLIS RENDSZEREK ÉS ORTOGONÁLIS SOROK

az f |[−T /2,T /2] függvényhez létezik olyan (gm )m∈N függvénysorozat, hogy minden N 3 m-re gm :] − T /2, T€/2[→ R folytonos, kompakt tartójú függvény, és supp(gm ) ⊆] − T /2, T /2[, Š◦ ◦ és lim gm = f |[−T /2,T /2] a k · kµ ,2 félnorma szerint. Ekkor m→∞ R

0 = m→∞ lim (f

•

◦ • |(gm ))

•

Z

◦ •

= (f |((f |[−T /2,T /2] ) ) ) =

hiszen az el®z®ek alapján minden N 3 m-re (f

•

◦ • |(gm ))

R

Z

=

R

χ[−T /2,T /2] |f |2 dµR , ◦ dµR = 0. Ez azt jelenti, f gm

hogy χ[−T /2,T /2] |f |2 = 0 az R-en µR -majdnem mindenütt, azaz [f 6= 0]∩] − T /2, T /2[ µR elt¶n® halmaz, így teljesül a µ∗R ([f 6= 0] ∩ [−T /2, T /2]) = 0 egyenl®ség.

Megfordítva, ha f ∈LR2 (R, RR , µR ) olyan függvény, hogy µ∗R ([f 6= 0] ∩ [−T /2, T /2]) = 0, akkor f = χR\[−T /2,T /2] f teljesül R-en µR -majdnem mindenütt, így minden N 3 m-re

(f • |e•m ) = 0, vagyis f • ∈ H ⊥ . Ez azt jelenti, hogy

H ⊥ = {f • |(f ∈ LR2 (R, RR , µR )) ∧ (µ∗R ([f 6= 0] ∩ [−T /2, T /2]) = 0)}. Ebb®l következik, hogy ha f ∈ LR2 (R, RR , µR ), akkor f • − (χ[−T /2,T /2] f )• ∈ H ⊥ , ezért az f • ∈ H = H ⊥⊥ reláció maga után vonja azt, hogy Z

R

2

|f | dµR =

kf • k2µ ,2 R

= (f |f ) = (f |(χ[−T /2,T /2] f )• ) = •

•

•

Z

R

χ[−T /2,T /2] |f |2 dµR ,

amib®l következik, hogy µ∗R ([f 6= 0] ∩ (R \ [−T /2, T /2])) = 0. Megfordítva, ha f ∈ LR2 (R, RR , µR ) és µ∗R ([f 6= 0]∩(R\[−T /2, T /2])) = 0, akkor f = χR\[−T /2,T /2] f teljesül R-en µR -majdnem mindenütt, és minden g • ∈ H ⊥ elemre µ∗R ([g 6= 0] ∩ [−T /2, T /2]) = 0, vagyis g = χ[−T /2,T /2] g teljesül R-en µR -majdnem mindenütt, így f g = 0 teljesül R-en µR -majdnem mindenütt, vagyis (f • |g • ) = 0, ami azt jelenti, hogy f • ∈ H ⊥⊥ = H . b) Ha H az {e•m |m ∈ N} halmaz által generált zárt lineáris altér L2R (R, RR , µR )-ben, akkor az a) alapján minden f ∈ LR2 (R, RR , µR ) esetén PH (f • ) = (χ[−T /2,T /2] f )• , így ha µ∗R ([f 6= 0]∩(R\[−T /2, T /2])) = 0, akkor f • = (χ[−T /2,T /2] f )• . Ebb®l már következik a b) állítás, ha a Riesz-Fischer-tételt és az absztrakt Fourier-sorokra vonatkozó ismereteket X (f • |e• ) m • e Fourier-sorra. alkalmazzuk a konrét • k2 m ke m m∈N s c) Legyen n ∈ N∗ rögzített. Ha s ∈ R olyan, hogy eiωs 6= 1 (vagyis ∈ / Z), akkor T n n n 1 X 1 X 1 X eikωs + e−ikωs cos(kωs) = − + cos(kωs) = − + + = 2 k=1 2 k=0 2 k=0 2

1 1 =− + 2 2

1 − ei(n+1)ωs 1 − e−i(n+1)ωs + 1 − eiωs 1 − e−iωs

!

€

Š

1 sin (n + 12 )ωs T € Š = = Dn (s), 1 2 sin 2 ωs 2

295

13.5. GYAKORLATOK

és ha eiωs = 1 (vagyis

s ∈ Z), akkor T n 1 X 1 T + cos(kωs) = n + = Dn (s). 2 k=1 2 2

Ez azt jelenti, hogy minden R 3 s-re

2 Dn (s) = T

!

n 1 X + cos(kωs) , 2 k=1

amib®l azonnal következik, hogy T /2 Z

Dn (s) dµR (s) = 1. −T /2

Nyilvánvaló továbbá, hogy a Dn függvény páros. Ezért minden R 3 t-re, a (ck (f ))k∈N és (sk (f ))k∈N vektorsorozatok értelmezése, a Lebesgue-mérték transzláció-invarianciája, és az f függvény T szerinti periodikussága alapján n c0 (f ) X + (ck (f ) cos(kωt) + sk (f ) sin(kωt)) = 2 k=1

2 = T

T /2 Z −T /2

!

n 1 X f (t ) + cos(kω(t − t0 )) dµR (t0 ) = 2 k=1 0

−t+T Z /2

=

T /2 Z

f (t0 )Dn (t − t0 ) dµR (t0 ) =

−T /2

T /2 Z

f (t + s)Dn (s) dµR (s) = −t−T /2

f (t + s)Dn (s) dµR (s). −T /2

d) Legyenek t ∈ R és z ∈ F olyanok, hogy a

gt : R → F ;

8 > < f (t + s) + f (t − s) − 2z

s 7→ > :

s 0

; ha s 6= 0, ; ha s = 0

függvény µR -integrálható a 0 valamely környezetén. Ha n ∈ N, akkor a Dn függvény párossága miatt T /2 Z

T /2 Z

f (t + s)Dn (s) dµR (s) = −T /2

f (t − s)Dn (s) dµR (s), −T /2

296

13. ORTOGONÁLIS RENDSZEREK ÉS ORTOGONÁLIS SOROK

ezért a c) és a Dirichlet-féle magfüggvény deníciója alapján n c0 (f ) X + (ck (f ) cos(kωt) + sk (f ) sin(kωt)) − z = 2 k=1

…

1 = 2

T /2 Z

T /2 Z

f (t + s)Dn (s) dµR (s) − z = −T /2

T /2 Z

f (t+s)Dn (s)dµR (s)+ −T /2

f (t−s)Dn (s)dµR (s)−

−T /2

1 = 2 1 = T



T /2 Z

2zDn (s)dµR (s)

−T /2

T /2 Z

(f (t + s) + f (t − s) − 2z)Dn (s)dµR (s) = −T /2 T /2 Z

−T /2

1 = T €

1

s Š sin gt (s) 1 sin 2 ωs



T /2 Z −T /2

gt (s) € Š sin sinc 12 ωs





1 n+ ωs dµR (s) = 2

€2







1 n+ ωs dµR (s). 2

Š

1 ωs 2 

függvény a [−T /2, T /2] intervallumon pozitív és ezen a π‹ halmazon majorálja a sinc > 0 számot. Ezért a gt -re vonatkozó integrálhatósági 2 hipotézis alapján az Az R → R; s 7→ sinc

R → F;

8 > <

gt (s) € Š s 7→ > sinc 21 ωs : 0

; ha s ∈ [−T /2, T /2], ; ha s ∈ / [−T /2, T /2]

függvény Lebesgue-integrálható. Ebb®l a 4. gyakorlat a) pontja szerint következik, hogy T /2 Z

lim

n→∞ −T /2

gt (s) € Š sin sinc 12 ωs







1 n+ ωs dµR (s) = 0, 2

amit bizonyítani kellett. e) Az (i)⇒(ii)⇒(iii), valamint (i)⇒(ii)⇒(iv)⇒(v) implikációk könnyen igazolhatók. Minden s ∈ R \ {0} esetén

f (t + s) + f (t − s) − 2f (t) f (t + s) − f (t) f (t − s) − f (t) = − , s s −s ezért a Dini-feltételb®l (vagyis a (iii)-ból) következik a d)-ben megfogalmazott tulajdonság a t ∈ R pontra és a z := f (t) vektorra.

297

13.5. GYAKORLATOK

Továbbá, minden s ∈ R \ {0} esetén ‚

f (t + 0) + f (t − 0) f (t + s) + f (t − s) − 2 2 s

Œ

=

f (t + s) − f (t + 0) f (t − s) − f (t − 0) + , s s ezért az egyoldali Dini-feltételb®l (vagyis (v)-b®l) következik a d)-ben megfogalmazott f (t + 0) + f (t − 0) tulajdonság a t ∈ R pontra és a z := vektorra.) 2 =

6. (Klasszikus egydimenziós komplex Fourier-sorok.) Legyen T ∈ R∗+ rögzített szám és ω := 2π/T . Minden N 3 k -ra legyen

e2k+1 := χ[−T /2,T /2] Exp ◦ (i(k + 1)ωidR ), e2k := χ[−T /2,T /2] Exp ◦ (−ikωidR ). Az (em )m∈N függvénysorozatot (T paraméter¶) komplex trigonometrikus rendszernek nevezzük. a) Az (em )m∈N függvénysorozat LC2 (R, RR , µR )-ben halad, és (e•m )m∈N ortogonális sorozat az L2C (R, RR , µR ) komplex Hilbert-térben, továbbá az {e•m |m ∈ N} halmaz által generált zárt lineáris altér L2C (R, RR , µR )-ben egyenl® az

{f • | (f ∈ LC2 (R, RR , µR )) ∧ (µ∗R ([f 6= 0] ∩ (R \ [−T /2, T /2])) = 0)} halmazzal. (Itt, és a továbbiakban f ∈ LC2 (R, RR , µR ) esetén f • jelöli az f függvény ekvivalencia-osztályát L2C (R, RR , µR )-ben.)

b) Legyen f ∈ LC2 (R, RR , µR ) olyan függvény, hogy µ∗R ([f 6= 0] ∩ (R \ [−T /2, T /2])) = 0. Ekkor minden k ∈ Z esetén jól értelmezett a

1 zk (f ) := T szám, és a

„

T /2 Z

f (t)e−ikωt dµR (t)

−T /2

Ž

n X k=−n

χ[−T /2,T /2] zk (f )Exp ◦ (ikω.idR ) n∈

N

függvénysorozat konvergens a k · kµ ,2 félnorma szerint, valamint R „

f • = n→∞ lim

n X k=−n

Ž•

χ[−T /2,T /2] zk (f )Exp ◦ (ikω.idR )

298

13. ORTOGONÁLIS RENDSZEREK ÉS ORTOGONÁLIS SOROK

teljesül az L2C (R, RR , µR ) normája szerint, vagyis 2 T /2 Z n X ikωt χ lim f (t) − z k (f )e [−T /2,T /2] n→∞ k=−n

dµR (t) = 0.

−T /2

Továbbá, létezik olyan σ : N → N szigorúan monoton növ® függvény, hogy µR -majdnem minden t ∈ [−T /2, T /2] esetén n X

f (t) = lim

n→∞

χ[−T /2,T /2] zk (f )eikωt

k=−n

teljesül. Ezenkívül fennáll a

1 T

Z

R

|f |2 dµR = n→∞ lim

n X

|zk (f )|2

k=−n

egyenl®ség. (Megjegyezzük, hogy a „

n X k=−n

Ž

zk (f )Exp ◦ (ikωidR )

N

n∈

függvénysorozatot az f függvény komplex trigonometrikus Fourier-sorának nevezzük.) c) Legyen F komplex Banach-tér és f : R → F olyan T szerint periodikus függvény, hogy χ[−T /2,T /2] f ∈ LF1 (R, RR , µR ). Ekkor minden k ∈ Z esetén jól értelmezett a

1 zk (f ) := T

T /2 Z

f (t)e−ikωt dµR (t)

−T /2

vektor. (Megjegyezzük, hogy ekkor is a „

n X k=−n

Ž

zk (f )Exp ◦ (ikωidR )

N

n∈

vektorfüggvény-sorozatot az f függvény komplex trigonometrikus Fourier-sorának nevezzük.) Minden n ∈ N és t ∈ R esetén n X k=−n

zk (f )e

ikωt

T /2 Z

=

f (t + s)Dn (s) µR (s), −T /2

299

13.5. GYAKORLATOK

ahol Dn : R → R az 5. magfüggvény.

gyakorlat c) pontjában bevezetett n-edik Dirichlet-féle

d) Legyen F komplex Banach-tér és f : R → F olyan T szerint periodikus függvény, hogy χ[−T /2,T /2] f ∈ LF1 (R, RR , µR ). Ha a t ∈ R ponthoz van olyan z ∈ F , hogy az

R → F;

8 > < f (t + s) + f (t − s) − 2z

s 7→ >

s 0

:

; ha s 6= 0, ; ha s = 0

függvény µR -integrálható a 0 valamely környezetén, akkor az f függvény komplex trigonometrikus Fourier-sora konvergens a t pontban és

lim n→∞

n X

zk (f )eikωt = z.

k=−n

e) Legyen F komplex Banach-tér és f : R → F olyan T szerint periodikus függvény, hogy χ[−T /2,T /2] f ∈ LF1 (R, RR , µR ). Ha t ∈ R és f -re teljesül a t pontban a Dini-feltétel (5. gyakorlat), akkor az f függvény komplex trigonometrikus Fourier-sora konvergens a t pontban és

lim n→∞

n X

zk (f )eikωt = f (t).

k=−n

Ha az egyoldali Dini-feltétel teljesül a t ∈ R pontban az f függvényre (5. gyakorlat), akkor az f függvény komplex trigonometrikus Fourier-sora konvergens a t pontban és

lim

n→∞

n X

zk (f )eikωt =

k=−n

f (t + 0) + f (t − 0) . 2

(Megjegyezzük, hogy t ∈ R esetén a

lim

n→∞

határértéket szokás a

n X

zk (f )eikωt

k=−n

∞ X

zk (f )eikωt

k=−∞

szimbólummal is jelölni minden olyan t ∈ R pontban, ahol létezik a határérték.)

7. (Klasszikus ortogonális polinomok.) Ha p ∈ LR1 (R, RR , µR ) olyan pozitív függvény, hogy minden N 3 k -ra idkR ∈ LR1 (R, RR , pµR ), akkor azt mondjuk, hogy p súlyfüggvény (a Lebesgue-mérték szerint).

300

13. ORTOGONÁLIS RENDSZEREK ÉS ORTOGONÁLIS SOROK

a) Egy p : R → R+ függvény pontosan akkor súlyfüggvény, ha minden N 3 k -ra idkR p ∈ LR1 (R, RR , µR ) (IX. fejezet, 8. pont, 11. gyakorlat). Ha p : R → R+ súlyfüggvény, akkor a pµR : RR → R+ mérték korlátos, és minden Q : R → R polinomiális függvényre Q ∈ LR2 (R, RR , pµR ). b) Legyen p : R → R+ súlyfüggvény. Ekkor az ((idkR )• )k∈N sorozat lineárisan független az L2R (R, RR , pµR ) valós Hilbert-térben. Továbbá, létezik olyan R → R polinomiális függvényekb®l álló (Pk )k∈N sorozat, hogy (Pk• )k∈N egyenl® az ((idkR )• )k∈N sorozat Gram-Schmidt-ortogonalizáltjával az L2R (R, RR , pµR ) Hilbert-térben; ezt a (Pk )k∈N polinomiálisfüggvény-sorozatot a p súlyfüggvény szerint ortogonális polinomsorozatnak nevezzük. c) A p súlyfüggvény választása szerint a következ® nevezetes klasszikus ortogonális polinomsorozatokat értelmezhetjük. - p := id]−1,1[ esetén a Legendre- vagy szférikus polinomok. €

Š

1

λ− 2 χ]−1,1[ esetén a λ-paraméter¶ Gegenbauer- vagy ultraszférikus polino- p := 1 − id2R mok, ahol λ ∈] − 1/2, → [ valós szám. - p := (1 − idR )α (1 − idR )β χ]−1,1[ esetén az (α, β)-paraméter¶ Jacobi-polinomok, ahol α, β ∈] − 1, → [.

€

Š

- p := exp ◦ −id2R esetén a Hermit-polinomok. 1 χ]−1,1[ esetén az els®fajú Csebisev-polinomok. - p := È 1 − id2R - p :=

È

1 − id2R χ]−1,1[ esetén az másodfajú Csebisev-polinomok.

Ellen®rizzük, hogy ezek valóban súlyfüggvények, vagyis olyan pozitív Lebesque-integrálható függvények, hogy minden N 3 k -ra idkR ∈ LR1 (R, RR , pµR ). Vegyük észre, hogy a Legendre-, Gegenbauer- és Csebisev-polinomok speciális Jacobi-polinomok!

8. Legyen E normált tér. Egy E -ben haladó (xi )i∈I rendszert szummálhatónak nevezünk, ha létezik olyan x ∈ E , hogy minden R∗+ 3 ε-hoz létezik olyan K ⊆ I véges halmaz,



amelyre minden J ⊆ I véges halmazra, ha K ⊆ J , akkor x −

X i∈J

xi

< ε.

a) Ha az E -ben haladó (xi )i∈I rendszer szummálható, akkor egyetlen olyan x ∈ E vektor K ⊆ I véges halmaz, amelyre minden létezik, hogy minden R∗+ 3 ε-hoz létezik olyan



J ⊆ I véges halmazra, ha K ⊆ J , akkor x −

X



xi < ε. Ezt az x vektort az (xi )i∈I

i∈J X

szummálható rendszer összegének nevezzük, és a

xi szimbólummal jelöljük.

i,I

b) Ha (xi )i∈I olyan rendszer E -ben, hogy az I0 := {i ∈ I|xi 6= 0} halmaz véges, akkor

301

13.5. GYAKORLATOK

az (xi )i∈I rendszer szummálható, és sorozat, hogy a

szummálható, és

N

X i∈I0

xi . Ha (xk )k∈N olyan E -ben haladó

xk sor abszolút konvergens és konvergens, akkor az (xk )k∈N rendszer

X k,

xi =

i,I

X k∈

X

N

xk =

∞ X

xk . Azonban egy szummálható sorozathoz asszociált sor

k=0

nem szükségképpen abszolút konvergens, még akkor sem, ha E teljes. c) Legyen (xi )i∈I egy E -ben haladó rendszer, és tekintsük a következ® állításokat. (i) Az (xi )i∈I rendszer szummálható. (ii) Minden R∗+ 3 ε-hoz létezik olyan K ⊆ I véges halmaz, hogy minden H ⊆ I véges

halmazra, ha K ∩ H = ∅, akkor

X



i∈H

0



xi

< ε.

∗

(ii) Minden R+ 3 ε-hoz létezik olyan K ⊆ I véges halmaz, hogy minden J, J 0 ⊆ I véges

0

halmazra, ha K ⊆ J és K ⊆ J , akkor

X

xi

i∈J

− xi

i∈J 0 X

< ε.

(iii) Minden R∗+ 3 ε-hoz létezik olyan K ⊆ I véges halmaz, hogy minden i ∈ I \ K esetén kxi k < ε. (iv) Az {i ∈ I|xi 6= 0} halmaz megszámlálható. Ekkor teljesülnek az (i)⇒(ii), (ii)⇔(ii)0 , (ii)⇒(iii)⇒(iv) következtetések. (Megjegyezzük, hogy az ekvivalens (ii) és (ii)0 állításokat a szummálhatóság Cauchy-kritériumának nevezzük.) A Cauchy-kritérium a szummálhatósághoz szükséges, és ha E teljes, akkor elégséges is. d) (A szummálhatóság kommutativitása.) Ha (xi )i∈I szummálható E -ben haladó rendszer, I 0X halmaz, és σ : I 0 → I bijekció, akkor az (xσ(i0 ) )i0 ∈I 0 rendszer is szummálható X E -ben, és xi = xσ(i0 ) . Speciálisan, egy E -ben haladó szummálható rendszer i,I

i0 ,I 0

bármely átrendezése szummálható, és ugyanaz az összege, mint az eredeti rendszeré. e) Legyen (xk )k∈N egy E -ben haladó sorozat. A következ® állítások ekvivalensek. (i) A

X

N

xk sor konvergens E -ben, és minden R∗+ 3 ε-hoz van olyan K ⊆ N véges halmaz,

k∈

hogy minden H ⊆ N véges halmazra, ha K∩H = ∅,

X

akkor

rendszerre teljesül a szummálhatóság Cauchy-kritériuma).

k∈H

xk

< ε (vagyis az (xk )k∈N

(ii) Az (xk )k∈N sorozat szummálható E -ben. (iii) A

X

k∈

N

xk sor feltétlen konvergens (vagyis minden átrendezése konvergens).

302

13. ORTOGONÁLIS RENDSZEREK ÉS ORTOGONÁLIS SOROK

Továbbá, ha az (i), (ii) vagy (iii) feltétel teljesül, akkor

∞ X

xk =

k=0

X k,

N

xk .

f) (A szummálhatóság asszociativitása.) Legyen (xi )i∈I szummálható rendszer az E Banach-térben. Ha (Iα )α∈A[az I halmaznak partíciója (vagyis olyan diszjunkt halmazrendszer, amelyre I = Iα ), akkor minden A 3 α-ra az (xi )i∈Iα rendszer „

szummálható E -

X i,Iα

α∈A

Ž

rendszer szummálható E -ben, és

xi α∈A

X

xi =

i,I

X

„

α,A

X

Ž

xi

.

i,Iα

Speciálisan, ha (xi )i∈I szummálható rendszer az E Banach-térben, és I 0 ⊆ I , akkor az (xi )i∈I 0 és (xi )i∈I\I 0 rendszerek szummálhatók E -ben és X

xi =

X

xi +

i,I 0

i,I

X

xi .

i,I\I 0

g) Legyen (xi )i∈I E -ben haladó rendszer, és (Iα )α∈A az I halmaznak olyan partíciója, hogy A véges. Ha minden A 3 α-ra az (xi )i∈Iα rendszer szummálható E -ben, akkor az (xi )i∈I rendszer szummálható E -ben. h) (A szummálhatóság linearitása.) Ha E , F normált terek, u : E → F folytonos Rlineáris operátor, és (xi )i∈I szummálható E -ben haladó rendszer, akkor az F -ben haladó (u(xi ))i∈I rendszer szummálható, és X

„

u(xi ) = u

X

i,I

Ž

xi

.

i,I

i) (A szummálhatóság disztributivitása.) Legyenek E , F normált terek, G Banach-tér, u : E × F → G folytonos R-bilineáris operátor, és (xi )i∈I szummálható rendszer E -ben, valamint (yj )j∈J szummálható rendszer F -ben. Ha a G-ben haladó (u(xi , yj ))(i,j)∈I×J rendszer szummálható G-ben, akkor „

X

u(xi , yj ) = u

X i,I

(i,j),I×J

xi ,

X

Ž

yj

.

j,J

j) Az R+ -ban haladó (xi )i∈I rendszer pontosan akkor szummálható R-ben, ha

sup

X

J⊆I, J véges i∈J

xi < +∞.

303

13.5. GYAKORLATOK

Ha az R+ -ban haladó (xi )i∈I rendszer szummálható R-ben, akkor X

xi =

i,I

X

sup

J⊆I, J véges i∈J

xi .

k) Legyen E prehilbert-tér. Ha az E -ben haladó (xi )i∈I ortogonális rendszer szummálható E -ben, akkor az (kxi k2 )i∈I rendszer szummálható R-ben és

2



X

xi

i,I

=

X

kxi k2

i,I

(általános Pithagorász-tétel). Ha E Hilbert-tér, akkor az E -ben haladó (xi )i∈I ortogonális rendszer pontosan akkor szummálható E -ben, ha a (kxi k2 )i∈I rendszer szummálható Rben. (Útmutatás. b) Legyen (xk )k∈N olyan E -ben haladó sorozat, hogy a

X

k∈

N

xk sor abszolút

konvergens és konvergens. Legyen ε ∈ R∗+ tetsz®leges, és vegyünk olyan N ∈ N számot, ∞ X ε amelyre kxk k < . Ekkor N olyan véges részhalmaza N-nek, hogy minden J ⊆ N 2 k=N +1 véges halmazra, ha N ⊆ J , akkor

∞

X

X

x x k− k

k=0



∞

N X X

X

xk + xk − xk

k=N +1

k=0 k∈J

=

k∈J

∞ X

≤

kxk k +

k=N +1

=



∞

X

X

xk − xk

k=N +1

k∈J, k≥N +1

≤

 ‹

X

ε = ε, 2

kxk k < 2

k∈J, k≥N +1

tehát az (xk )k∈N rendszer szummálható E -ben, és

X k,

N

xk =

∞ X

xk . Kés®bb - a k) pont

k=0

bizonyításának végén - látni fogjuk, hogy egy szummálható sorozathoz asszociált sor még Hilbert-térben sem szükségképpen abszolút konvergens. c) Legyen (xi )i∈I egy E -ben haladó rendszer. Ha az (xi )i∈I rendszer szummálható és x :=

X

xi , akkor ε ∈ R∗+ esetén létezik

i,I

olyan K ⊆ I véges halmaz, hogy minden J ⊆ I véges halmazra, ha K ⊆ J , akkor

X ε

x − x i < . Ekkor bármely H ⊆ I véges halmazra, ha K ∩ H = ∅, akkor

2 i∈J

X



i∈H



xi

=

≤

X



xi +

i∈H

X



i∈H∪K

X i∈K

xi −

X i∈K



xi



X

xi − x +

x −

i∈K

=

X



xi −

i∈H∪K

xi

 ‹

<2

X i∈K

ε = ε, 2



xi

≤

304

13. ORTOGONÁLIS RENDSZEREK ÉS ORTOGONÁLIS SOROK

ezért (i)⇒(ii) teljesül. A (ii)⇒(ii)0 következtetés nyilvánvaló, mert ha az ε ∈ R∗+ számhoz a K ⊆ I véges halmazt

X ε

úgy választjuk meg, hogy minden H ⊆ I véges halmazra, K ∩H = ∅ esetén xi

< ,

2 i∈H 0 0 akkor minden J, J ⊆ I véges halmazra: K ⊆ J és K ⊆ J esetén

X

xi

i∈J 0

−



xi

i∈J

X

=



X

xi

i∈J 0 \K



− xi

i∈J\K X

≤







X

X

xi

xi +

i∈J\K

i∈J 0 \K

<ε

teljesül, hiszen J 0 \ K és J \ K olyan véges részhalmazai I -nek, amelyek nem metszik a K halmazt. A (ii)0 -b®l következik a (ii), mert ha az ε ∈ R∗+ számhoz a K ⊆ I véges halmazt úgy választjuk meg, hogy minden J, J 0 ⊆ I véges halmazra: K ⊆ J és K ⊆ J 0 esetén

X

xi

i∈J 0

−

xi

i∈J

X

< ε, akkor minden H ⊆ I véges halmazra, ha K ∩ H = ∅, akkor

X



i∈H



xi

=

X



i∈K∪H

xi −

X i∈K



xi

< ε.

A (ii)-b®l triviálisan következik a (iii) állítás. Tegyük fel, hogy (iii) teljesül és legyen (εn )n∈N tetsz®leges zárussorozat R∗+ -ban. A (iii) alapján kiválasztható olyan (Kn )n∈N halmazsorozat, hogy minden N[3 n-re Kn ⊆ I véges halmaz, és minden i ∈ I \ Kn esetén kxi k < εn . Ekkor K := Kn ⊆ I olyan megszámlálható halmaz, hogy i ∈ I \ K

N

n∈

esetén minden N 3 n-re i ∈ I \ Kn , így kxi k < εn . Ez azt jelenti, hogy i ∈ I \ K esetén xi = 0, tehát {i ∈ I|xi 6= 0} ⊆ K , így {i ∈ I|xi 6= 0} megszámlálható halmaz, vagyis (iv) teljesül. Tegyük fel, hogy E Banach-tér, és az (xi )i∈I rendszerre teljesül a (ii) feltétel; megmutatjuk, hogy (xi )i∈I szummálható rendszer. Az el®z®ek alapján ekkor (iv) teljesül; legyen I0 := {i ∈ I|xi 6= 0}. Ha I0 véges halmaz, akkor a b) els® állítása szerint az (xi )i∈I rendszer szummálható. Ha I végtelen halmaz, akkor vehetünk egy σ : N → I0 bijekciót. BeX 0 xσ(k) sorra teljesül a (sorokra vonatkozó) Cauchy-féle konvergenbizonyítjuk, hogy a

N

k∈

olyan K⊆I ciakritérium. Valóban, legyen ε ∈ R∗+ tetsz®leges, és a (ii) alapján vegyünk

véges halmazt, hogy minden H ⊆ I véges halmazra, K ∩ H = ∅ esetén

X



i∈H

−1

−1

xi

< ε. Ek

kor σ hKi ⊆ N véges halmaz; legyen N ∈ N olyan szám, hogy σ hKi ⊆ N . Ha m, n ∈ N és m, n > N , akkor Nm,n := {k ∈ N| min(m, n) < k ≤ max(m, n)} olyan véges halmaz, hogy K ∩ σhNm,n i = ∅, hiszen N < min(m, n), ezért teljesül a

m

X

xσ(k)

k=0

−

n X k=0



xσ(k)

=



X

xσ(k)

k∈Nm,n

=



X

xi

i∈σhNm,n i

<ε

305

13.5. GYAKORLATOK

X

egyenl®tlenség. Tehát az E teljessége folytán a

x :=

∞ X

k∈

N

xσ(k) sor konvergens E -ben; legyen

xσ(k) . Megmutatjuk, hogy x az (xi )i∈I rendszer összege. Legyen ugyanis ε ∈ R∗+ ,

k=0

n−1

X

x − x σ(k)

ε . A (ii) 2 k=0 alkalmazásával vegyünk olyan K ⊆ I véges halmazt, hogy minden H ⊆ I véges halmazra,

X ε

K ∩ H = ∅ esetén xi < . Állítjuk, hogy minden J ⊆ I véges halmazra, ha K ⊆ J ,

2 i∈H és N ∈ N olyan, hogy minden n > N természetes számra

akkor



X

x − xi

<

< ε teljesül. Ha ugyanis J ⊆ I véges halmaz és K ⊆ J , továbbá az

i∈J

n ∈ N számot úgy választjuk meg, hogy n > N és J ∩ I0 ⊆ {σ(k)|(k ∈ N) ∧ (k < n)} teljesüljön, akkor



X

xi

x −

i∈J

≤



n−1

n−1 X

X

x − x

+

xσ(k) σ(k)



k=0 k=0



X

i∈J∩I0

=

x −

X

−

−1

k∈ σ hJi



xσ(k)

<



xi

≤

ε 2



+

X

N

−1

k∈ \ σ hJi, k


xσ(k)

< ε,

hiszen ha H := {σ(k)|(k ∈ N) ∧ (k < n)} \ J , akkor X

N

xσ(k) =

X

xi ,

i∈H

−1

k∈ \ σ hJi, k
és a H halmaz nem metszi J -t, így K ⊆ J miatt K -t sem metszi, tehát

X



i∈H



xi

d) Legyen (xi )i∈I szummálható rendszer E -ben, és σ : I 0 → I bijekció. Legyen x :=

< X

ε . 2 xi

i,I

és ε ∈ R∗+ tetsz®leges. Vegyünk olyan K ⊆ I véges halmazt, hogy minden J ⊆ I véges



X ε

halmazra, ha K ⊆ J , akkor x − xi

< . Ekkor minden H ⊆ I véges halmazra, ha

3 i∈J K ∩ H = ∅, akkor

X



i∈H



xi

=

X



i∈K∪H

xi −

X i∈K



xi

≤

X



i∈K∪H



X

xi − x + x −

i∈K



xi

−1

<

2ε . 3

Ezért σ hKi ⊆ I 0 olyan véges halmaz, hogy minden J 0 ⊆ I 0 véges halmazra, ha −1 σ hKi ⊆ J 0 , akkor



X

x − xσ(i0 )



i0 ∈J 0

=



X

x − xi

i∈K

−

X −1 i0 ∈J 0 \ σ hKi



xσ(i0 )

≤

306

13. ORTOGONÁLIS RENDSZEREK ÉS ORTOGONÁLIS SOROK

≤

ε 3



+

X −1

i0 ∈J 0 \ σ hKi



xσ(i0 )

=

ε 3



X

+ xi

i∈σhJ 0 i\K

vagyis az (xσ(i0 ) )i0 ∈I 0 rendszer szummálható E -ben, és

X

<

ε 2ε + = ε, 3 3

xσ(i0 ) =

i0 ,I 0

X

xi .

i,I

e) Legyen (xk )k∈N E -ben haladó sorozat. A d) alapján (ii)⇒(iii) teljesül. Az (i)⇒(ii) bizonyításához legyen ε ∈ R∗+ tetsz®leges, és vegyünk olyan K ⊆ N véges halmazt, hogy

X X ε

xi

< . Az (i) szerint a minden H ⊆ N véges halmazra, ha K ∩H = ∅, akkor xk

2 i∈H k∈N sor konvergens E -ben, ezért az ε-hoz van olyan N ∈ N, hogy minden n > N természetes

n ∞

X X ε

xk < , ahol x := számra x − xk . Ha N 0 ∈ N olyan, hogy N < N 0 és minden

2 k=0 k=0 k ∈ K esetén k < N 0 , akkor N 0 olyan véges részhalmaza N-nek, hogy minden J ⊆ N véges halmazra: N 0 + 1 ⊆ J esetén

X

x − xi

i∈J

≤





N0 X X



x −

xk + xk



k∈J, k>N 0

k=0

< ε,

mert K ∩ {k ∈ N|k > N 0 } = ∅. Ez azt jelenti, hogy az (xk )k∈N sorozat szummálható

E -ben, és

X k,

N

xk =

∞ X

xk .

k=0

A (iii)⇒(i) bizonyításához tegyük fel, hogy (i) nem igaz; megmutatjuk, hogy ekkor a X xk sor nem feltétlen konvergens, vagyis létezik olyan σ : N → N bijekció, hogy a

N

k∈ X k∈

N

xσ(k) sor nem konvergens.

Feltehetjük, hogy a

X

N

xk sor konvergens, de létezik olyan ε ∈ R∗+ , hogy minden K ⊆ N

k∈

véges halmazhoz van olyan H ⊆ N véges halmaz, hogy K ∩ H = ∅, de

X



i∈H



xi

≥ ε. Egy

ilyen ε-hoz a kiválasztási axiómával kombinált rekurzió tételének alkalmazásával könnyen el®állíthatjuk az N-nek olyan (Jm )m∈N partícióját, hogy minden m ∈ N számra Jm véges,

és



X

x i

i∈Jm

≥ ε végtelen sok N 3 m-re igaz. Minden N∗ 3 n-re legyen

π(n) :=

n−1 X

Card(Jm ),

m=0

és π(0) := 0. Ha n ∈ N, akkor az {k ∈ N|π(n) ≤ k < π(n + 1)} halmaz számossága egyenl® Card(Jn )-nel, ezért létezik {k ∈ N|π(n) ≤ k < π(n + 1)} → Jn bijekció. Ezért a

307

13.5. GYAKORLATOK

kiválasztási axiómát alkalmazva vehetünk olyan (σn )n∈N sorozatot, hogy minden N 3 nre σn : {k ∈ N|π(n) ≤ k < π(n + 1)} → Jn bijekció. Ekkor egyértelm¶en létezik az a σ : N → N függvény, amelyre teljesül az, hogy minden n ∈ N esetén σn egyenl® a σ függvény {k ∈ N|π(n) ≤ k < π(n + 1)}-re vett lesz¶kítésével. Ekkor σ az N-nek X xσ(k) sor azért nem konvergens, mert minden n ∈ N∗ esetén permutációja és a k∈

N

π(n+1)−1

X

xσ(m)

m=0

= „

ezért a

m=0

−

X



π(n+1)−1

X

xσn (m)

m=π(n)

=

=



π(n+1)−1

X

xσ(m)



m=π(n)

=





X

xi

,

i∈Jn

Ž

π(n)−1

X



xσ(m)

m=0

π(n)−1

xσ(m)

N

sorozat nem Cauchy-sorozat E -ben.

n∈

f) Tegyük fel, hogy E Banach-tér és (xi )i∈I szummálható rendszer E -ben. Ekkor (xi )i∈I -re teljesül a szummálhatóság Cauchy-kritériuma, amib®l azonnal következik, hogy minden I 0 ⊆ I halmaz esetében az (xi )i∈I 0 rendszerre is teljesül a szummálhatóság Cauchy-kritériuma, így az (xi )i∈I 0 rendszer is szummálható E -ben. Legyen (Ij )j∈J az I halmaznak partíciója; ekkor minden J 3 j re az (xi )i∈Ij rendszer szummálható E ben. Legyen ε ∈ R∗+ tetsz®leges. Az (xi )i∈I rendszer szummálhatósága miatt létezik olyan I 0 ⊆ I véges halmaz, hogy minden H ⊆ I véges halmazra, ha I 0 ⊆ H , akkor



X

X ε

xi

< . Legyen J 0 := {j ∈ J|Ij ∩ I 0 6= ∅}. Természetesen J 0 ⊆ J véges xi −

2

i∈H

i,I halmaz, mert (Ij )j∈J az I halmaznak partíciója. Megmutatjuk, hogy ha H ⊆ J olyan véges halmaz, hogy J 0 ⊆ H , akkor

„ Ž

X

X X

xi − xi

j∈H i,Ij

i,I

< ε.

ε Ehhez legyen ε0 ∈ R∗+ olyan, hogy ε0 Card(H) < . Ha j ∈ H , akkor az (xi )i∈Ij rendszer 2 szummálható, ezért az ε0 -höz van olyan Ij0 ⊆ Ij véges halmaz, hogy minden K ⊆ Ij véges halmazra, ha Ij0 ⊆ K , akkor



X

xi

i∈K

−



xi

i,Ij

X

≤ ε0 ; így aztán is

X

0

i∈Ij

xi −

xi

i,Ij

X

≤ ε0

is teljesül. Természetesen j ∈ H esetén az Ij0 halmaz megválasztható úgy, hogy [ Ij0 halmaz véges részhalmaza I -nek, és Ij ∩ I 0 ⊆ Ij0 teljesüljön. Ekkor az IH := j∈H

308

I0 =

13. ORTOGONÁLIS RENDSZEREK ÉS ORTOGONÁLIS SOROK



X X

ε 0 0

(Ij ∩ I ) ⊆ (Ij ∩ I ) ⊆ IH , következésképpen xi − xi

< , ezért 2

i∈IH

j∈H i,I j∈J 0

… 

„ „ Ž Ž



X X

X X X

X X



≤ x − x x − x

+ i i i i



j∈H i,Ij

0

j∈H i,Ij

i,I j∈H i∈Ij



 …





X

X X X X X X X





x x x x xi

≤ +

xi − i− i < i− i +



0 0

j∈H i∈IH i,I i,I j∈H i,Ij i∈Ij i∈Ij [

[

< ε0 Card(H) + amit bizonyítani kellett.

ε < ε, 2

g) Legyen (xi )i∈I E -ben haladó rendszer, és (Ij )j∈J az I halmaznak olyan partíciója, hogy J véges, és minden J 3 j -re az (xi )i∈Ij rendszer szummálható E -ben. Legyen ε ∈ R∗+ tetsz®leges, és az ε0 ∈ R∗+ számot válasszuk meg úgy, hogy ε0 Card(J) < ε legyen. Minden j ∈ J esetén vegyünk

olyan Kj ⊆ I j véges halmazt, hogy minden H ⊆ Ij véges halmazra, ha Kj ⊆ H , akkor

X

xi

i∈H

−

xi

i,Ij

X

< ε0 . Ekkor K :=

[

Kj véges részhalmaza I -nek,

j∈J

és ha H ⊆ I véges halmaz, valamint K ⊆ H , akkor minden J 3 j -re H ∩ Ij ⊆ Ij olyan véges halmaz, hogy Kj ⊆ H ∩ Ij , ezért

X

xi

i∈H

Ž „ „ Ž Ž

X X X

X

− xi = xi − xi

j∈J i∈H∩Ij

j∈J i,Ij j∈J i,Ij



X X X 0

≤ x − x i i ≤ ε Card(J) < ε,

j∈J i∈H∩Ij i,Ij [ X

„

X

ahol kihasználtuk azt, hogy H =

≤

(H ∩ Ij ), hiszen (Ij )j∈J az I halmaznak partíciója.

j∈J

Tehát az (xi )i∈I rendszer szummálható E -ben és

X

xi =

X j∈J

i,I

„

X

Ž

xi .

i,Ij

h) Legyenek E , F normált terek, u : E → F folytonos R-lineáris operátor, és (xi )i∈I szummálható rendszer E -ben. Legyen ε ∈ R∗+ tetsz®leges, és az ε0 ∈ R∗+ számot válasszuk meg úgy, hogy kukε0 < ε legyen. Az ε0 -höz legyen

K ⊆ I olyan

véges halmaz, hogy minden H ⊆ I véges halmazra, ha K ⊆ H , akkor

H ⊆ I véges halmazra, ha K ⊆ H , akkor

„ Ž

X

X

u(xi ) − u xi

i∈H

i,I

≤

X

xi

i∈I



X kuk

xi

i∈I

−

−



xi

i,I

X

xi

i,I

X

< ε0 . Ekkor minden

≤ kukε0 < ε,

309

13.5. GYAKORLATOK

tehát (u(xi ))i∈I szummálható rendszer F -ben, és

X

„

u(xi ) = u

X

i,I

Ž

xi .

i,I

i) Legyenek E , F normált terek, G Banach-tér, u : E × F → G folytonos R-bilineáris operátor, és (xi )i∈I szummálható rendszer E -ben, valamint (yj )j∈J szummálható rendszer F -ben. Tegyük fel, hogy az (u(xi , yj ))(i,j)∈I×J rendszer szummálható G-ben. Minden j ∈ J esetén legyen Aj := I × {j}; ekkor (Aj )j∈J az I × J halmaznak partíciója. A g) alapján minden J 3 j -re az (u(xi , yj ))((i,j)∈Aj rendszer szummálható G-ben, és fennáll a X

u(xi , yj ) =

X

„

j,J

(i,j),I×J

X

Ž

u(xi , yj )

(i,j),Aj

egyenl®ség. Ha j ∈ J , akkor az I → Aj ; i 7→ (i, j) leképezés bijekció, ezért a szummálhatóság kommutativitása miatt az (u(xi , yj ))i∈I rendszer szummálható GX X u(xi , yj ) = u(xi , yj ). A szummálhatóság linearitása folytán j ∈ J ben, és i,I

esetén

X

(i,j),Aj

„

u(xi , yj ) = u

X

i,I

Ž

xi , yj , hiszen az u(·, yj ) : E → G parciális függvény

i,I

folyonos R-lineáris „ „ ŽŽ operátor, továbbá (xi )i∈I szummálható rendszer E -ben. Tehát az

u

X

rendszer szummálható G-ben és

xi , y j

i,I

j∈J

X

u(xi , yj ) =

X

„

u

j,J

(i,j),I×J

X

Ž

xi , yj

.

i,I

Ezután ismét a szummálhatóság linearitásából nyerjük, hogy X

„

u

j,J

„

hiszen az u

X

X

Ž

xi , y j

i,I

„

=u

X i,I

xi ,

X

Ž

yj

,

j,J

Ž

xi , ·

: F → G leképezés folytonos és R-lineáris.

i,I

j) Tegyük fel, hogy az R+ -ban haladó (xi )i∈I rendszer szummálható R-ben (természetesen X az R euklidészi abszolútértéke szerint), és legyen x := xi . Minden R∗+ 3 ε-ra jelöljön i,I

K véges halmazt, hogy minden H ⊆ I véges halmazara, ha Kε ⊆ H , akkor ε ⊆ I olyan X x −

i∈H



xi < ε, vagyis x − ε <

minden R∗+ 3 ε-ra

X i∈J

xi ≤

X

xi < x + ε. Ekkor minden J ⊆ I véges halmazra i∈H X X xi < x + ε, tehát minden J ⊆ I véges halmazra xi i∈Kε ∪J i∈J

és

≤

310

13. ORTOGONÁLIS RENDSZEREK ÉS ORTOGONÁLIS SOROK

x is teljesül Ugyanakkor minden R∗+ 3 ε-ra x < ε + amib®l következik, hogy x ≤ sup J⊆I

és sup J⊆I

J véges

X

xi =

i∈J

X

J véges

X

X

X

xi ≤ ε + sup J⊆I

i∈Kε

J véges

i∈J

xi . Ezzel megmutattuk, hogy sup J⊆I

i∈J

J véges

xi is teljesül, X

xi < +∞

i∈J

xi .

i,I

Megfordítva, tegyük fel, hogy az R+ -ban haladó (xi )i∈I rendszerre x0 := sup

X

J⊆I

J véges

xi <

i∈J

+∞, és legyen ε ∈ R∗+ tetsz®leges. Ekkor van olyan K ⊆ I véges halmaz, hogy X X 0 0 xi . Ha J ⊆ I olyan véges halmaz, hogy K ⊆ J , akkor x < ε + xi még x < ε+ i∈K

inkább teljesül, mert az (xi )i∈I rendszer minden tagja pozitív szám, ezért

0 x

ami azt jelenti, hogy az (xi )i∈I rendszer szummálható R-ben.

i∈J

−

X i∈J

xi

< ε,

k) Legyen E prehilbert-tér, (xi )i∈I szummálható ortogonális rendszer E -ben, és x := xi . Ekkor j ∈ I esetén a (·|xj ) : E → K funkcionál folytonossága és linearitása miatt,

X i,I

a h) alapján

(x|xj ) =

„ X

Ž

xi xj

=

i,I

X

(xi |xj ) = kxj k2 ,

i,I

ahol kihasználtuk az (xi )i∈I rendszer ortogonalitását. Ezért minden J ⊆ I véges halmazra

0≤

2

X

x −

x j

j∈J

= kxk2 − 2<

„

= kxk2 − 2<

X

Ž

X

x

xj

j∈J

(x|xj ) +

j∈J

X

2

X +

xj

j∈J

kxj k2 = kxk2 −

j∈J

X

=

kxj k2 .

j∈J

Ez azt jelenti, hogy minden J ⊆ I véges halmazra

X

kxj k2 ≤ kxk2 , tehát a j) alapján

j∈J

az (kxi k2 )i∈I rendszer szummálható R-ben és fennáll a X

kxi k2 =

i,I

sup

X

J⊆I, J véges j∈J

kxj k2 ≤ kxk2

és K ⊆ I olyan véges halmaz, hogy minden J ⊆ I egyenl®tlenség. Ha ε ∈ R∗+ tetsz®leges,



X

j∈J

véges halmazra: K ⊆ J esetén

x − halmazra

kxk2 < ε2 +



xj

< ε, akkor a fentiek szerint bármely ilyen J

X j∈J

kxj k2 ≤ ε2 +

X i,I

kxi k2 .

311

13.5. GYAKORLATOK

Ebb®l következik, hogy kxk ≤

X

kxi k2 is teljesül, így kxk2 =

i,I

X

kxi k2 .

i,I

Megfordítva, tegyük fel, hogy (xi )i∈I olyan ortogonális rendszer az E prehilbert-térben, hogy az (kxi k2 )i∈I rendszer szummálható R-ben. A szummálhatóság Cauchy-kritériuma szerint minden ε ∈ R∗+ számhoz van olyan K ⊆ I véges halmaz, hogy minden J ⊆ I X

véges halmazra, ha K ∩ J = ∅, akkor X

2

kxi k miatt

i∈J



X

xi



2

kxi k

< ε; ekkor viszont

√

=

i∈J

i∈J

<



X 2

xi



ε is igaz. Ez azt jelenti, hogy az (xi )i∈I rendszerre is

i∈J

teljesül a szummálhatóság Cauchy-kritériuma, így ha E teljes, akkor az (xi )i∈I rendszer szummálható E -ben. Most könnyen el®állíthatunk olyan Hilbert-teret, és olyan abban haladó sorozatot, amely 2 szummálható, de a hozzá asszociált sor nem abszolút konvergens. Ha ugyanis c ∈ lK X 1 2 olyan sorozat, hogy c ∈ / lK , akkor a c(k)ek sor nem abszolút konvergens lK -ban a

N

k∈

k · k2 szerint (ahol k ∈ N esetén ek az a sorozat, amelyre minden N 3 j -re ek (j) = δj,k ), X X hiszen a kc(k)ek k2 = |c(k)| sor divergens. Ugyanakkor a (c(k)ek )k∈N rendszer

N

N

k∈

k∈

2 ortogonális lK -ban, és az (kc(k)ek k22 )k∈N = (|c(k)|2 )k∈N sorozat szummálható R-ben, így 2 a j) szerint a (c(k)ek )k∈N rendszer szummálható lK -ban.)

9. Legyen E prehilbert-tér és (ei )i∈I ortonormált rendszer E -ben. Ekkor minden E 3 xre a (|(x|ei )|2 )i∈I rendszer szummálható R-ben és fennáll a X

|(x|ei )|2 ≤ kxk2

i,I

Bessel-egyenl®tlenség. Ha E Hilbert-tér, akkor minden E 3 x-re az ((x|ei )ei )i∈I ortogonális rendszer szummálható E -ben és teljesülnek a

PH (x) =

X

(x|ei )ei ,

kPH (x)k2 =

i,I

X

|(x|ei )|2

i,I

Parseval-egyenl®ségek, ahol H az {ei |i ∈ I} halmaz által generált zárt lineáris altér E ben. (Útmutatás. Ha x ∈ E , akkor minden J ⊆ I véges halmazra

0≤

2

X

x − (x|ei )ei

i∈J

tehát

sup

X

J⊆I, J véges i∈J

= kxk2 −

X

|(x|ei )|2 ,

i∈J

|(x|ei )|2 ≤ kxk2 , így a 8. gyakorlat j) pontja szerint az (|(x|ei )|2 )i∈I

312

13. ORTOGONÁLIS RENDSZEREK ÉS ORTOGONÁLIS SOROK

rendszer szummálható R-ben, és X

|(x|ei )|2 =

i,I

vagyis a

X

X

sup

J⊆I, J véges i∈J

|(x|ei )|2 ,

|(x|ei )|2 ≤ kxk2 Bessel-egyenl®tlenség teljesül.

i,I

Ha x ∈ E , akkor (|(x|ei )|2 )i∈I = (k(x|ei )ei k2 )i∈I , tehát ha E teljes, akkor a 8. gyakorlat h) pontja alapján az ((x|ei )ei )i∈I rendszer szummálható E -ben, továbbá

2



X

(x|ei )ei

i,I

=

X

|(x|ei )|2 .

i,I

Ezért a Parseval-egyenl®ség bizonyításához elég azt igazolni, hogy az y :=

X

(x|ei )ei

i,I

vektorra y = PH (x) teljesül, ahol H az {ei |i ∈ I} halmaz által generált zárt lineáris altér E -ben. A szummálható rendszerek összegének deníciója szerint y ∈ H = H . Továbbá, k ∈ I esetén a 8. gyakorlat h) pontja alapján „

(x − y|ek ) = (x|ek ) −

X

(x|ei )ei ek

i,I

Ž

= (x|ek ) −

X

(x|ei )(ei |ek ) = 0,

i,I

tehát x − y ∈ {ei |i ∈ I}⊥ = H ⊥ . Az 5. pont 6. gyakorlata, valamint a PH operátor értelmezése szerint y = PH (x).)

10. Legyen E Hilbert-tér és (ei )i∈I ortonormált rendszer E -ben. A következ® állítások ekvivalensek.

(i) Ha x ∈ E olyan, hogy minden i ∈ I esetén (x|ei ) = 0, akkor x = 0. (ii) Az {ei |i ∈ I} halmaz által generált zárt lineáris altér E -ben egyenl® E -vel. (iii) Minden E 3 x-re

X

|(x|ei )|2 ≤ kxk2 .

i,I

(iv) Minden E 3 x-re x =

X

(x|ei )ei .

i,I

Ha (ei )i∈I olyan ortonormált rendszer E -ben, amelyre (i), (ii), (iii) és (iv) teljesül, akkor azt mondjuk, hogy (ei )i∈I ortonormált bázis E -ben. (Útmutatás. Ugyanúgy bizonyítunk, mint az ortonormált sorozatok esetében, de itt a 9. gyakorlat eredményeire kell hivatkozni.)

11.

Minden Hilbert-térben létezik ortonormált bázis, és bármely két ortonormált

313

13.5. GYAKORLATOK

bázisának az indexhalmazai ekvipotensek. (Ha E Hilbert-tér és (ei )i∈I ortonormált bázis E -ben, akkor a Card(I) számosságot az E Hilbert-dimenziójának nevezzük, és a dim(E) szimbólummal jelöljük.) (Útmutatás. (I) Nevezzünk egy H ⊆ E halmazt ortonormáltnak, ha minden x, y ∈ H és x 6= y esetén (x|y) = 0, valamint minden H 3 x-re kxk = 1. Megmutatjuk, hogy minden H ⊆ E ortonormált halmazhoz létezik olyan B ⊆ E , hogy H ⊆ B és a (b)b∈B rendszer ortonormált bázis E -ben. Valóban, legyen SH az E azon ortonormált részhalmazainak halmaza, amelyek tartalmazzák H -t, és rendezzük SH -t a ⊆ relációval. Ekkor SH induktívan rendezett halmaz, mert ha (Bi )i∈I olyan rendszer SH -ban, hogy [ minden I 3 i, j -re Bi ⊆ Bj vagy Bj ⊆ Bi , akkor nyilvánvaló, hogy Bi olyan eleme i∈I

SH -nak, amely fels® korlátja (s®t szuprémuma) a (Bi )i∈I rendszernek. A Zorn-lemma alapján van olyan B ∈ SH , amely az SH -nak maximális eleme. Ha a (b)b∈B ortonormált rendszer nem volna ortonormált bázis, akkor a 10. gyakorlat szerint létezne olyan b 0 ∈ E , hogy kb 0 k = 1 és b 0 ortogonális a B minden elemére; ekkor B ∪ {b 0 } ∈ SH olyan halmaz volna, amely valódi részként tartalmazza B -t, ami ellentmond a B maximalitásának. (II) Az ∅ ortonormált részhalmaza E -nek, ezért az (I) alapján van olyan B ortonormált halmaz E -ben, amelyre (b)b∈B ortonormált bázis. Ezért létezik E -ben ortonormált bázis. (III) Legyenek (ei )i∈I és (fj )j∈J ortonormált bázisok E -ben. Ha I vagy J véges, akkor E véges dimenziós, és (ei )i∈I , (fj )j∈J mindketten algebrai bázisok E -ben, így I és J végesek, és Card(I) = dim(E) = Card(J). Ezért feltehet®, hogy I és J végtelenek. Minden i ∈ I esetén legyen Ji := {j ∈ J|(ei |fj ) 6= 0}. Ha i ∈ I , akkor az (|(ei |fj )|2 )j∈J rendszer szummálható R-ben (9. gyakorlat), ezért a 8. gyakorlat c) pontja szerint Ji megszámlálható halmaz. Ha j ∈ J , akkor fj 6= 0, ezért a 10. gyakorlat szerint [ van olyan i ∈ I , hogy (ei |fj ) 6= 0, vagyis j ∈ Ji . Ez azt jelenti, hogy J = Ji . Ugyanakkor az

[

Ji halmaz nyilvánvalóan kisebb-egyenl® számosságú az

i∈I

diszjunkt uniónál, hiszen könnyen képezhet®

[ i∈I

({i}×Ji ) →

[

[

i∈I

({i} × Ji )

i∈I

Ji szürjekció. Az I. fejezet

i∈I [

3. pontjának 25. gyakorlata szerint az I halmaz ekvipotens

({i} × Ji )-vel, hiszen I

i∈I

végtelen. Tehát J kisebb-egyenl® számosságú I -nél. Az I és J szerepét felcserélve, az iménti érveléssel kapjuk, hogy I is kisebb-egyenl® számosságú J -nél, így a SchröderBernstein-tétel alapján I és J ekvipotensek.)

12. Legyen I halmaz, RI az I véges részhalmazainak halmaza, és µI : RI → R+ a

számláló mérték I felett (VIII. fejezet, 1. pont, 1. példa). Minden I 3 i-re legyen ei ∈ K(I) = EK (I, RI ) az a függvény, amelyre ei (i) = 1, és minden j ∈ I \ {i} esetén ei (j) = 0. Ekkor LK2 (I, RI , µI ) felett a k · kµI ,2 félnorma norma, és LK2 (I, RI , µI ) a

314

13. ORTOGONÁLIS RENDSZEREK ÉS ORTOGONÁLIS SOROK

k · kµI ,2 normával ellátva olyan Hilbert-tér, amelyben az (ei )i∈I rendszer ortonormált bázis. Minden n számossághoz létezik olyan Hilbert-tér, amelynek Hilbert-dimenziója egyenl® n-nel. (Útmutatás. Az ∅ az egyetlen µI -elt¶n® halmaz I -ben (IX. fejezet, 1. pont, 8. gyakorlat), ezért a k · kµI ,2 félnorma norma, így LK2 (I, RI , µI ) a k · kµI ,2 normával ellátva Hilberttér. Nyilvánvaló, hogy az (ei )i∈I rendszer ortonormált az LK2 (I, RI , µI ) Hilbert-térben, továbbá az általa generált lineáris altér egyenl® a K(I) = EK (I, RI ) függvénytérrel, amely az LK2 (I, RI , µI ) deníciója alapján s¶r¶ ebben a Hilbert-térben a k · kµI ,2 norma szerint.)

13. Ha E Hilbert-tér K felett és (ei )i∈I ortonormált bázis E -ben, akkor az E Hilbert-tér és a 12. gyakorlatban értelmezett LK2 (I, RI , µI ) Hilbert-tér izomorfak. Két Hilbert-tér pontosan akkor izomorf, ha a Hilbert-dimenzióik megegyeznek.

(Útmutatás. (I) Tegyük fel, hogy f : I → K olyan függvény, hogy az (|f (i)|2 )i∈I rendszer szummálható R-ben. Ekkor a 8. gyakorlat j) pontja és a IX. fejezet, 1. pont, 8. gyakorlat szerint Z ∗ X |f |2 dµI = sup |f (i)|2 < +∞, J⊆I, J véges i∈J

2

vagyis f ∈ FK (I, RI , µI ). Ugyanakkor {i ∈ I|f (i) 6= 0} megszámlálható halmaz, ezért létezik olyan sorozat EK (I, RI )-ben, amely az I halmazon mindenütt pontonként konvergál f -hez, így f mérhet® a µI mérték szerint. A négyzetes integrálhatóság kritériuma szerint f ∈ LK2 (I, RI , µI ).

(II) Ha x ∈ E , akkor az (|(x|ei )|2 )i∈I rendszer szummálható R-ben, ezért az (I) alapján ((x|ei ))i∈I ∈ LK2 (I, RI , µI ). Értelmezzük az

u : E → LK2 (I, RI , µI );

x 7→ ((x|ei ))i∈I

lineáris operátort. Az általános Parseval-egyenl®ség szerint u izometria, amib®l következik, hogy Im(u) zárt lineáris altér az LK2 (I, RI , µI ) Hilbert-térben. Ha (λi )i∈I ∈ K(I) = X EK (I, RI ), akkor az x := λi xi vektorra u(x) = (λi )i∈I teljesül, ezért EK (I, RI ) ⊆ i∈I

Im(u), így Im(u) s¶r¶ az LK2 (I, RI , µI ) Hilbert-térben, vagyis u szürjektív is. Ez azt jelenti, hogy az E és LK2 (I, RI , µI ) Hilbert-terek izomorfak.

(III) Ha E és F olyan Hilbert-terek, amelyek Hilbert-dimenziója ugyanaz a n kardinális szám, akkor a (II) alapján E és F mindketten izomorfak az LK2 (n, Rn , µn ) Hilbert-térrel, tehát egymással is izomorfak.)

14. (Hilbert-terek Hilbert-összege.) Legyen (Ei )i∈I Hilbert-terek tetsz®leges rendszere, és minden I 3 i-re jelölje k · ki az Ei normáját. Legyen (

E := (xi )i∈I ∈

Y i∈I

Ei

sup

X

J⊆I, J véges i∈J

)

kxi k2i

< +∞ .

315

13.5. GYAKORLATOK

Ekkor E lineáris altere a

Y

Ei lineáris szorzattérnek, és az

i∈I

E → R+ ;

(xi )i∈I 7→

sX

kxi k2i

i,I

leképezés olyan norma E felett, amellyel ellátva E Hilbert-tér. Továbbá, a (

⊕ Ei := (xi )i∈I ∈

i∈I

Y

)

Ei {i ∈ I|xi 6= 0} véges halmaz

i∈I

halmaz s¶r¶ lineáris altere az E Hilbert-térnek. Fennáll a

dim(E) =

X

dim(Ei )

i∈I

egyenl®ség, ahol a jobb oldalon kardinális számok kardinális összege áll (I. fejezet, 3. pont, 41. gyakorlat). (Megjegyzés. Az itt értelmezett E Hilbert-teret az (Ei )i∈I Hilbert-tér-rendszer Hilbertösszegének nevezzük, és a Ó ⊕ Ei szimbólummal jelöljük.) i∈I

15. Legyen H Hilbert-tér, valamint (Hi )i∈I és (Ki )i∈I a H zárt lineáris altereinek ortogonális rendszerei. Ha a

X

(

Ki :=

i∈I

X

)

ζi (ζi )i∈I ∈ ⊕ Ki i∈I

i∈I

halmaz s¶r¶ H -ban és minden i ∈ I esetén Ki ⊆ Hi , akkor minden I 3 i-re Ki = Hi .

16. (A klasszikus valós trigonometrikus Fourier-sorok pontonkénti divergenciájáról.) Jelölje C• ([−π, π]; K) azon [−π, π] → K folytonos függvények terét, amelyek a −π és π pontban ugyanazt az értéket veszik fel. a) Ha g ∈ C• ([−π, π]; K), akkor az Zπ

ug : C• ([−π, π]; K) → K;

f 7→

f g dµR −π

leképezés olyan lineáris funkcionál, amely a sup-normában folytonos és Zπ

kug k =

|g| dµR . −π

316

13. ORTOGONÁLIS RENDSZEREK ÉS ORTOGONÁLIS SOROK

b) Ha n ∈ N+ esetén Dn az n-edik Dirichlet-féle magfüggvény, akkor Zπ

lim

n→∞ −π

|Dn | dµR = +∞

teljesül. c) Létezik olyan f ∈ C• ([−π, π]; R) függvény, amelynek a klasszikus valós trigonometrikus Fourier-sora a 0 pontban divergens. (Útmutatás. a) Legyen g ∈ C• ([−π, π]; K) rözítve. Ha f ∈ C• ([−π, π]; K) tetsz®leges, akkor |f g| ≤ |||f 9 g miatt

|ug (f )| =

Zπ

fg

−π

dµR

Zπ

Zπ

≤

|f g| dµR ≤ 9f 9 −π

|g| dµR , −π

amib®l látszik, hogy az ug lineáris funkcionál a sup-normában folytonos és Zπ

kug k ≤

|g| dµR . −π

A fordított egyenl®ség bizonyításához elegend® megmutatni olyan C• ([−π, π]; K)-ben haladó (hn )n∈N sorozat létezését, hogy minden n ∈ N esetén |hn | ≤ 1 és a (ghn )n∈N függvénysorozat egyenletesen konvergál a [−π, π] intervallumon a |g| függvényhez. Ha ugyanis (hn )n∈N ilyen függvénysorozat, akkor Zπ

lim

n→∞ −π

Zπ

ghn dµR =

|g| dµR , −π

következésképpen Zπ

|g| dµR ≤ −π

sup

K

h∈C• ([−π,π]; ); |h|≤1

|ug (h)| =: kug k.

Legyen (εn )n∈N rögzített zérussorozat R+ -ban, és minden n ∈ N esetén tekintsük a {t ∈ [−π, π] | |g(t)| ≥ εn } kompakt halmazt és az ezt tartalmazó {t ∈ [−π, π] | g(t) 6= 0} nyílt halmazt. Az Uriszon-tétel alapján kiválaszthatunk olyan (ϕn )n∈N sorozatot, hogy minden n ∈ N esetén, ϕn ∈ C ([−π, π]; R), 0 ≤ ϕ ≤ 1, {t ∈ [−π, π] | |g(t)| ≥ εn } ⊆ {t ∈ [−π, π] | ϕn (t) = 1}, és supp(ϕn ) ⊆ {t ∈ [−π, π] | g(t) 6= 0}. Minden N 3 n-re értelmezzük a következ® függvényt:

hn : [−π, π] → K;

8 > <

ϕn (t)

t 7→ > :

|g(t)| , ha g(t) = 6 0, g(t) 0 , ha g(t) = 0.

317

13.5. GYAKORLATOK

Könnyen ellen®rizhet®, hogy minden n ∈ N esetén hn : [−π, π] → K folytonos függvény és a (ghn )n∈N függvénysorozat egyenletesen konvergál a [−π, π] intervallumon a |g| függvényhez. Ha g(π) = g(−π) = 0, akkor a deníció szerint minden N 3 n-re hn (−π) = 0 = hn (π), tehát hn ∈ C• ([−π, π]; K), így (hn )n∈N olyan függvénysorozat, amelynek a létezését állítottuk. Ha g(π) = g(−π) 6= 0, akkor vehetünk olyan N ∈ N számot, hogy minden n ∈ N, n ≥ N számra εn ≤ |g(π)| = |g(−π)|. Ekkor n ∈ N és n ≥ N esetén −π, π ∈ {t ∈ [−π, π] | |g(t)| ≥ εn }, így ϕn (−π) = 1 = ϕn (π), következésképpen hn (−π) = hn (π), tehát hn ∈ C• ([−π, π]; K), így (hN +n )n∈N olyan függvénysorozat, amelynek a létezését állítottuk. b) Legyen n ∈ N+ rögzített. 0 ≤ sin(t/2) ≤ t/2, ezért Zπ

Zπ

|Dn | dµR = 2 −π

0

2 ≥ π

A Dn függvény páros és minden t ∈ [0, π] számra

1 |Dn | dµR = π

Š Š €€ Zπ sin n + 1 t 2

t

0

Š Š €€ Zπ sin n + 1 t 2 € Š dµR (t) t 2

sin

0

2 dµR (t) = π

1 π (n+ Z 2)

0

≥

| sin(s)| dµR (s). s

A jobb oldal +∞-hez tart, ha n → ∞ (a sinus cardinalis függvény nem Lebesgueintegrálható a ]0, → [ intervallumon). c) Minden n ∈ N+ esetén értelmezzük a következ® függvényt: Zπ

un : C• ([−π, π]; R) → R;

f 7→

f Dn dµR . −π

Az a) alapján minden N+ 3 n-re un sup-normában folytonos lineáris funkcionál a C• ([−π, π]; R) valós Banach-téren, ezért ha pontonként konvergens volna, akkor Banach egyenletes korlátosság tétele alapján funkcionálnormában is korlátos volna, holott az a) és b) alapján sup kun k = +∞. n∈

N+

Tehát van olyan f ∈ C• ([−π, π]; R), hogy az (un (f ))n∈N+ számsorozat nem konvergens. Ugynakkor világos, hogy minden f ∈ C• ([−π, π]; R) és n ∈ N+ esetén Zπ

un (f ) :=

f (0 + s)Dn (s) dµR (s) = −π

n c0 (f ) X + ck (f ), 2 k=1

vagyis un (f ) az f függvény klasszikus valós trigonometrikus Fourier-sora n-edik részletösszegének 0 pontban fölvett értéke.)

318

13. ORTOGONÁLIS RENDSZEREK ÉS ORTOGONÁLIS SOROK

14. fejezet Folytonos lineáris operátorok Hilbert-terek között 14.1.

Folytonos lineáris operátor adjungáltja

14.1.1. Állítás. Legyen E Hilbert-tér, F prehilbert-tér és u ∈ L (E; F ). Egyértelm¶en létezik olyan u∗ : F → E függvény, amelyre

(∀x ∈ E)(∀y ∈ F ) : (u(x)|y) = (x|u∗ (y)) teljesül. Az u∗ függvény olyan folytonos lineáris operátor, amelyre

ku∗ k = kuk,

ku∗ ◦ uk = kuk2 .

Bizonyítás. Ha y ∈ F , akkor az

E → K;

x 7→ (u(x)|y)

függvény folytonos lineáris funkcionál E felett, ezért a Riesz-féle reprezentációs tétel alapján létezik egyetlen olyan z ∈ E , amelyre (·|z) megegyezik ezzel a funkcionállal, vagyis minden E 3 x-re (u(x)|y) = (x|z). Ezért egyértelm¶en létezik olyan u∗ : F → E függvény, amelyre (∀x ∈ E)(∀y ∈ F ) : (u(x)|y) = (x|u∗ (y)) teljesül. Az u∗ függvény additív, mert ha y1 , y2 ∈ F , akkor tetsz®leges x ∈ E esetén (u(x)|y1 ) = (x|u∗ (y1 )) és (u(x)|y2 ) = (x|u∗ (y2 )), ezért

(x|u∗ (y1 + y2 )) = (u(x)|y1 + y2 ) = (u(x)|y1 ) + (u(x)|y2 ) = = (x|u∗ (y1 )) + (x|u∗ (y2 )) = (x|u∗ (y1 ) + u∗ (y2 )), 319

320

14. FOLYTONOS LINEÁRIS OPERÁTOROK HILBERT-TEREK KÖZÖTT

amib®l következik, hogy u∗ (y1 )+u∗ (y2 )−u∗ (y1 +y2 ) ∈ E ⊥ = {0}, vagyis u∗ (y1 )+u∗ (y2 ) = u∗ (y1 + y2 ). Az u∗ függvény K-homogén, mert ha y ∈ F és λ ∈ K, akkor minden x ∈ E esetén (u(x)|y) = (x|u∗ (y)), ezért

(x|u∗ (λy)) = (u(x)|λy) = λ(u(x)|y) = λ(x|u∗ (y)) = (x|λu∗ (y)), amib®l következik, hogy u∗ (λy) − λu∗ (y) ∈ E ⊥ = {0}, vagyis u∗ (λy) = λu∗ (y). Az u∗ : F → E lineáris operátor folytonosságának bizonyításához elég felírni a következ® egyenl®ségeket !

∗

sup

ku (y)k =

y∈F ; kyk≤1

∗

sup

sup

y∈F ; kyk≤1

x∈E; kxk≤1

|(x|u (y))| =

!

=

sup

sup

y∈F ; kyk≤1

x∈E; kxk≤1

!

|(u(x)|y)| = =

sup

sup

sup

x∈E; kxk≤1

y∈F ; kyk≤1

|(u(x)|y)| =

ku(x)k =: kuk.

x∈E; kxk≤1

Ebb®l láthatjuk, hogy u∗ folytonos, és kiolvasható bel®le az ku∗ k = kuk egyenl®ség is. Ebb®l következik, hogy ku∗ ◦ uk ≤ ku∗ kkuk = kuk2 . Ha kuk = 0, akkor ebb®l azonnal következik az egyenl®ség. Ezért a fordított egyenl®tlenség bizonyításánál feltehetjük, hogy kuk > 0. Legyen c ∈ R+ tetsz®leges olyan szám, amelyre c < kuk2 . Ekkor √ √ c < kuk = sup ku(x)k, tehát van olyan x ∈ E , hogy kxk ≤ 1 és c < ku(x)k, x∈E; kxk≤1

tehát a Cauchy-Schwartz-egyenl®tlenséget alkalmazva

c < ku(x)k2 = |(u(x)|u(x)| = |(x|u∗ (u(x))| ≤ kxkku∗ ◦ ukkxk ≤ ku∗ ◦ uk. Ez azt jelenti, hogy kuk2 ≤ ku∗ ◦ uk is teljesül. 

14.1.2. Deníció. Ha E Hilbert-tér, F prehilbert-tér és u ∈ L (E; F ), akkor az u adjungáltjának nevezzük azt az u∗ ∈ L (F ; E) operátort, amelyre minden x ∈ E és y ∈ F esetén (u(x)|y) = (x|u∗ (y)) teljesül.

14.2.

Az operátoradjungálás tulajdonságai

14.2.1. Állítás. Legyen E Hilbert-tér és F prehilbert-tér. a) Az L (E; F ) → L (F ; E); u 7→ u∗ leképezés konjugált-lineáris izometria. b) Ha F Hilbert-tér, akkor az L (E; F ) → L (F ; E); u 7→ u∗ leképezés olyan bijekció, amelynek inverze az L (F ; E) → L (E; F ); v 7→ v ∗ leképezés, vagyis minden L (E; F ) 3 u-ra (u∗ )∗ = u. c) Ha F Hilbert-tér, G prehilbert-tér, u ∈ L (E; F ) és v ∈ L (F ; G), akkor (v ◦ u)∗ = u∗ ◦ v ∗ .

321

14.2. AZ OPERÁTORADJUNGÁLÁS TULAJDONSÁGAI

Bizonyítás. a) Ha u1 , u2 ∈ L (E; F ), akkor minden x ∈ E és y ∈ F esetén

(x|(u∗1 + u∗2 )(y)) = (x|u∗1 (y) + u∗2 (y)) = (x|u∗1 (y)) + (x|u∗2 (y)) = = (u1 (x)|y)+(u2 (x)|y) = (u1 (x)+u2 (x)|y) = ((u1 + u2 )(x)|y) = (x|(u1 + u2 )∗ (y)), amib®l következik, hogy (u1 + u2 )∗ = u∗1 + u∗2 . Ha u ∈ L (E; F ) és λ ∈ K, akkor minden x ∈ E és y ∈ F esetén

(x|(λu)∗ (y)) = ((λu)(x)|y) = (λu(x)|y) = λ(u(x)|y) = = λ(x|u∗ (y)) = (x|λu∗ (y)) = (x|(λu∗ )(y)). amib®l következik, hogy (λu)∗ = λu∗ . Tehát az L (E; F ) → L (F ; E); u 7→ u∗ leképezés konjugált-lineáris, és az el®z® állítás szerint izometria. b) Tegyük fel, hogy F is Hilbert-tér. Ekkor u ∈ L (E; F ) esetén u∗ ∈ L (F ; E), így van értelme az (u∗ )∗ ∈ L (E; F ) operátornak, amelyre minden y ∈ F és x ∈ E esetén

(y|(u∗ )∗ (x)) = (u∗ (y)|x) = (x|u∗ (y)) = (u(x)|y) = (y|u(x)), amib®l következik, hogy (u∗ )∗ =u. Ebb®l látható, hogy az L (E; F )→L (F ; E); u 7→ u∗ leképezés olyan bijekció, amelynek inverze az L (F ; E) → L (E; F ); v 7→ v ∗ leképezés. c) Tegyük fel, hogy F Hilbert-tér, G prehilbert-tér, u ∈ L (E; F ) és v ∈ L (F ; G). Ha x ∈ E és z ∈ G, akkor

(x|(v ◦ u)∗ (z)) = ((v ◦ u)(x)|z) = (v(u(x))|z) = (u(x)|v ∗ (z)) = (x|u∗ (v ∗ (z))), amib®l látható, hogy (v ◦ u)∗ = u∗ ◦ v ∗ . 

14.2.2. Deníció. Legyen E Hilbert-tér és u ∈ L (E). Azt mondjuk, hogy az u operátor  normális, ha u∗ ◦ u = u ◦ u∗ , vagyis u és u∗ felcserélhet®k egymással;  önadjungált, ha u∗ = u;  pozitív, ha létezik olyan véges (vi )i∈I rendszer L (E)-ben, amelyre u =

X i∈I

 unitér, ha u∗ ◦ u = u ◦ u∗ = idE , vagyis u ∈ GL(E) és u−1 = u∗ ;  projektor, ha u∗ = u = u2 , vagyis u önadjungált és idempotens.

vi∗ ◦ vi ;

322

14. FOLYTONOS LINEÁRIS OPERÁTOROK HILBERT-TEREK KÖZÖTT

Természetesen minden projektor pozitív operátor, minden pozitív operátor önadjungált, és és minden önadjungált vagy unitér operátor normális. Továbbá, ha E Hilberttér, akkor egy u : E → E lineáris operátor pontosan akkor unitér, ha izometrikus lineáris bijekció. Ez azonnal következik az adjungált operátorok értelmezéséb®l és abból, hogy prehilbert-terek közötti lineáris operátor pontosan akkor izometria, ha skalárszorzás-tartó (a polarizációs formulák alapján). Azonban vigyázzunk arra, hogy ha E Hilbert-tér és u : E → E lineáris izometria, akkor u nem szükségképpen szürjektív, ezért u nem feltétlenül unitér operátor.

14.2.3. Állítás. Legyen E Hilbert-tér és F prehilbert-tér. Minden u ∈ L (E; F ) esetén (Im(u))⊥ = Ker(u∗ ), és ha F is Hilbert-tér, akkor

Im(u) = (Ker(u∗ ))⊥ .

Bizonyítás. Ha u ∈ L (E; F ), akkor minden y ∈ F esetén nyilvánvalóan teljesülnek a következ®k

y ∈ (Im(u))⊥ ⇔ (∀x ∈ E) : (u(x)|y) = 0 ⇔ (∀x ∈ E) : (x|u∗ (y)) = 0 ⇔ ⇔ u∗ (y) ∈ E ⊥ = {0} ⇔ u∗ (y) = 0 ⇔ y ∈ Ker(u∗ ), ami azt jelenti, hogy (Im(u))⊥ = Ker(u∗ ). Ha F is Hilbert-tér, akkor u ∈ L (E; F ) esetén Im(u)⊥⊥ megegyezik az Im(u) ⊆ F lineáris altér által generált zárt lineáris altérrel, vagyis Im(u)-val, tehát az imént igazolt összefüggés alapján Im(u) = (Ker(u∗ ))⊥ . 

14.2.4. Következmény. Ha E és F Hilbert-terek, és u ∈ L (E; F ), akkor Im(u) pontosan akkor s¶r¶ F -ben, ha u∗ injektív. Bizonyítás. Az el®z® állítás alapján nyilvánvaló.  Speciálisan, ha E Hilbert-tér és u ∈ L (E) önadjungált operátor, akkor u pontosan akkor injektív, ha Im(u) s¶r¶ E -ben.

14.3.

Folytonos önadjungált operátor és unitér operátor spektruma

14.3.1. Állítás. Legyen E komplex Hilbert-tér és u ∈ L (E) önadjungált operátor. Ekkor Sp(u) ⊆ R, Spr (u) = ∅, és minden λ ∈ C \ R esetén

kR(u, λ)k ≤

1 . |=(λ)|

14.3. FOLYTONOS ÖNADJUNGÁLT OPERÁTOR ÉS UNITÉR OPERÁTOR SPEKTRUMA

323

Bizonyítás. Legyen λ ∈ C és x ∈ E . Ekkor u∗ = u miatt (x|u(x)) ∈ R, hiszen

(x|u(x)) = (u(x)|x) = (x|u∗ (x)) = (x|u(x)), ezért teljesülnek a következ®k

k(λidE − u)(x)k2 = kλx − u(x)k2 = |λ|2 kxk2 − 2< (λ(x|u(x))) + ku(x)k2 = = (=(λ))2 kxk2 + (<(λ))2 kxk2 − 2< (λ) (x|u(x)) + ku(x)k2 = = (=(λ))2 kxk2 + k<(λ)x − u(x)k2 ≥ (=(λ))2 kxk2 . Tehát k(λidE −u)(x)k ≥ |=(λ)|kxk, ezért ha λ ∈ C\R, akkor a λidE −u operátor injektív és az (λidE − u)−1 : Im(λidE − u) → E inverzoperátor folytonos, s®t az is látható, hogy

k(λidE − u)−1 k ≤

1 . |=(λ)|

Ha λ ∈ C \ R, akkor λ ∈ C \ R, így az el®z®ek szerint a λidE − u operátor injektív, és ez u∗ = u miatt egyenl® a (λidE − u)∗ adjungált operátorral. Az el®z® állítás alapján ez azt jelenti, hogy λ ∈ C \ R esetén Im(λidE − u) = (Ker((λidE − u)∗ ))⊥ = {0}⊥ = E , vagyis Im(λidE −u) s¶r¶ altere E -nek. De a XII. fejezet 1. pontjának els® állása szerint λ ∈ C\R esetén az Im(λidE − u) altér zárt E -ben, mert λidE − u injektív és az inverze folytonos. Ez azt jelenti, hogy ha λ ∈ C \ R, akkor λidE − u ∈ GL(E), vagyis λ ∈ C \ Sp(u). Ezzel megmutattuk, hogy Sp(u) ⊆ R, és azt is látjuk, hogy λ ∈ C \ R esetén

kR(u, λ)k = k(λidE − u)−1 k ≤

1 . |=(λ)|

Ha λ ∈ Sp(u) és λidE − u injektív operátor, akkor az λidE − u önadjungáltsága miatt Im(λidE − u) s¶r¶ altér E -ben, ezért λ ∈ Spr (u) lehetetlen. Ez azt jelenti, hogy Spr (u) = ∅. 

14.3.2. Állítás. Ha E Hilbert-tér K felett és u ∈ L (E) unitér operátor, akkor Sp(u) ⊆ {λ ∈ K||λ| = 1}.

Bizonyítás. Világos, hogy kuk2 = ku∗ ◦ uk = kidE k ≤ 1, ezért ρ(u) ≤ kuk ≤ 1, így Sp(u) ⊆ Bρ(u) (0; K) ⊆ B1 (0; K). Ez azt jelenti, hogy λ ∈ Sp(u) esetén |λ| ≤ 1. Továbbá, ha λ ∈ Sp(u), akkor λ 6= 0, hiszen u ∈ GL(E), és

λ−1 idE − u−1 = (λidE − u) ◦ (−λ−1 u−1 ) = (−λ−1 u−1 ) ◦ (λidE − u), ugyanakkor a −λ−1 u−1 , a λidE −u és a λ−1 idE −u−1 operátorok páronként felcserélhet®k, így λidE − u ∈ / GL(E) esetén λ−1 idE − u−1 ∈ / GL(E). Ez azt jelenti, hogy ha λ ∈ Sp(u), −1 −1 akkor λ ∈ Sp(u), így |λ | ≤ 1 is teljesül, tehát |λ| = 1. 

324

14. FOLYTONOS LINEÁRIS OPERÁTOROK HILBERT-TEREK KÖZÖTT

14.4.

Klasszikus Fourier-transzformáció

14.4.1. Jelölés. Ha n ∈ N∗ , akkor minden p ∈ Rn esetén χp : Rn → C;

x 7→ ei(p|x) ,

ahol (·|·) az Rn feletti euklidészi skalárszorzás.

14.4.2. Állítás. Legyen n ∈ N∗ és F komplex Banach-tér. Ha f ∈ LF1 (Rn , Rn , µn ),

akkor minden Rn 3 p-re f χp , f χ−p ∈ LF1 (Rn , Rn , µn ) és az

F f : Rn → F ; n

p 7→

Ff : R → F;

1 (2π)n/2

Z

Rn

1 p 7→ (2π)n/2

f χ−p dµn =

1 (2π)n/2

f χp dµn =

1 (2π)n/2

Z

Rn

függvények folytonosak, végtelenben elt¶n®k, továbbá

9F f 9 ≤ kf kµn ,1 ,

Z

Rn Z

Rn

f (x)e−i(p|x) dµn (x), f (x)ei(p|x) dµn (x),

9F f 9 ≤ kf kµn ,1

teljesül, ahol 9 · 9 a sup-normát jelöli az Rn → F korlátos függvények terén. Bizonyítás. Legyen f ∈ LF1 (Rn , Rn , µn ). Ha p ∈ Rn , akkor a χp és χp függvények µn -mérhet®k (mert folytonosak), ezért f χp ésZ f χp mindketten µn -mérhet®k, továbbá a ∗

norma-függvényüket kf k majorálja, amelyre kf k dµn < +∞, így az integrálhatóság kritériuma alapján f χp , f χp ∈ LF1 (Rn , Rn , µn ), vagyis az F f, F f : Rn → F függvények jól értelmezettek. Triviális az, hogy F f és F f korlátosak és 9F f 9, 9F f 9 ≤ kf kµn ,1 . Továbbá, a denícióból látható, hogy p ∈ Rn esetén (F f )(p) = (F f )(−p), ezért F f folytonosságából és végtelenben elt¶néséb®l következik F f folytonossága és végtelenben elt¶nése. Az F f függvény folytonosságának bizonyításához legyen p ∈ Rn rögzített és (pk )k∈N olyan sorozat Rn -ben, amely p-hez konvergál. Ekkor az (f χ−pk )k∈N függvénysorozat pontonként konvergál f χ−p -hez Rn -en, és minden k ∈ N esetén kf χ−pk k ≤ kf k valamint Z ∗ Z Z kf k dµn < +∞, ezért a Lebesgue-tétel alapján lim f χ−pk dµn = f χ−p dµn , k→∞

Rn

vagyis F f a p pontban folytonos.

Rn

Az F f függvény végtelenben elt¶nésének bizonyításához el®ször megmutatjuk, hogy minden g ∈ EF (Rn Rn ) lépcs®sfüggvényre az F g Fourier-transzformált végtelenben elt¶n®. Valóban, a g lépcs®sfüggvényhez létezik olyan (zα )α∈A véges rendszer F -ben X χE zα . Ekkor p ∈ Rn esetén és olyan (Eα )α∈A rendszer Sn -ben, hogy g = α α∈A

(F g)(p) :=

1 (2π)n/2

Z

Rn

g(x)e−i(p|x) dµn (x) =

325

14.4. KLASSZIKUS FOURIER-TRANSZFORMÁCIÓ

1 = (2π)n/2

X α∈A

„

Z

Rn

Ž

χE (x)e−i(p|x) dµn (x) α

zα =

X

(F χEα )(p)zα ,

α∈A

ezért F g végtelenben elt¶n®, ha minden E ∈ Sn esetén az F χE : Rn → C Fouriertranszformált végtelenben elt¶n®. Ha (akY )k∈n , (bk )k∈n ∈ Rn olyan rendszerek, hogy minden n 3 k -ra ak < bk , akkor az E := [ak , bk [∈ Sn halmazra a Lebesgue-Fubinik∈n

tétel, valamint a Newton-Leibniz-formula alkalmazásával könnyen kapható, hogy minden p := (pk )k∈n ∈ Rn pontra

(F χE )(p) :=

1 (2π)n/2

1 = (2π)n/2 i

e− 2 (p|a+b) = (2π)n/2

Y

Z

Rn

bk YZ

χE (x)e−i(p|x) dµn (x) =

e−ipk xk dµ1 (xk ) =

k∈nak

!

(bk − ak )

k∈n

Y



1 pk (bk − ak ) sinc 2 k∈n

!

,

amib®l látható, hogy az F χE függvény végtelenben elt¶n® Rn felett, mert a sinus cardinalis függvény végtelenben elt¶n® R felett. Tehát minden g ∈ EF (Rn Rn ) lépcs®sfüggvényre az F g Fourier-transzformált végtelenben elt¶n®. Ha f ∈ LF1 (Rn , Rn , µn ) tetsz®leges, akkor létezik olyan (fk )k∈N sorozat EF (Rn Rn )-ben, amelyre lim kf − fk kµ,1 = 0. Ekkor k→∞

lim 9F f − F fk 9 = 0 még inkább teljesül, tehát az (F fk )k∈N függvénysorozat egyenlek→∞ tesen konvergál F f -hez Rn -en, és láttuk, hogy minden N 3 k -re F fk végtelenben elt¶n®, ezért F f is végtelenben elt¶n®. 

14.4.3. Deníció. Ha n ∈ N∗ , és F komplex Banach-tér, és f ∈ LF1 (Rn , Rn , µn ), akkor

az

n

Ff : R → F;

1 p 7→ (2π)n/2

Z

f χ−p dµn =

1 (2π)n/2

Z

f χp dµn =

1 (2π)n/2

Z

Rn Rn függvényt az f függvény Fourier-transzformáltjának, és az n

Ff : R → F;

1 p 7→ (2π)n/2

Z

Rn

Rn

f (x)e−i(p|x) dµn (x)

f (x)ei(p|x) dµn (x)

függvényt az f függvény konjugált Fourier-transzformáltjának nevezzük.

14.4.4. Állítás. Legyen n ∈ N∗ és F komplex Banach-tér. Minden a ∈ Rn esetén legyen τa : Rn → Rn ; x 7→ x − a, és jelölje iRn az Rn → Rn ; x 7→ −x leképezést. Ekkor f ∈ LF1 (Rn , Rn , µn ) esetén minden a ∈ Rn elemre teljesülnek a következ® egyenl®ségek: F (χa f ) = (F f ) ◦ τa ,

F (f ◦ τa ) = χ−a F f,

326

14. FOLYTONOS LINEÁRIS OPERÁTOROK HILBERT-TEREK KÖZÖTT

F (χa f ) = (F f ) ◦ τ−a , F (f ◦ iRn ) = F f,

F (f ◦ τa ) = χa F f, F (f ◦ iRn ) = F f.

Bizonyítás. A bizonyítandó formulák egyszer¶ számolással kaphatók, felhasználva a Lebesgue-mérték szerinti integrál invariancia-tulajdonságait (X. fejezet, 3. pont) és a Fourier-transzformáció denícióját. 

14.4.5. Tétel. (Felcserélési tétel.) Legyen n ∈ N∗ és F komplex Banach-tér. Ha f ∈ LF1 (Rn , Rn , µn ) és g ∈ LC1 (Rn , Rn , µn ), akkor f (F g), (F f )g, f (F g), (F f )g ∈ LF1 (Rn , Rn , µn ), továbbá fennállnak az Z

R

Z

f (F g) dµn =

n

R

Z

(F f )g dµn , n

R

Z

f (F g) dµn = n

R

(F f )g dµn

n

felcserélési formulák. Bizonyítás. Legyenek f ∈ LF1 (Rn , Rn , µn ) és g ∈ LC1 (Rn , Rn , µn ). A 14.4.2. állítás alapján F g és F f korlátos folytonos függvények, ezért az integrálhatóság kritériuma szerint f (F g), (F f )g ∈ LF1 (Rn , Rn , µn ). Továbbá, az

Rn × Rn → F ;

(x, p) 7→ f (x)g(p)e−i(p|x)

függvény µn ⊗ µn -integrálható, hiszen a X. fejezet, 7. pont, 3. gyakorlat szerint az Rn × Rn → F ; (x, p) 7→ f (x)g(p) függvény µn ⊗ µn -integrálható, és az Rn × Rn → C; (x, p) 7→ e−i(p|x) függvény korlátos és folytonos (így µn ⊗ µn -mérhet®). Tehát a Lebesgue-Fubini-tétel alapján Z

Rn

Z

f (F g) dµn =

1 = (2π)n/2

R

1 = (2π)n/2 =

1 (2π)n/2 Z

=

Rn

„

Z

f (x) n

Z

Rn ×Rn Z

„

Z

Rn Rn

Rn

Z

R

f (x)(F g)(x) dµn (x) = Ž

g(p)e−i(x|p) dµn (p)

dµn (x) =

n

f (x)g(p)e−i(p|x) d(µn ⊗ µn )(x, p) = Ž

f (x)e−i(p|x) dµn (x)

(F f )(p)g(p) dµn (p) =

g(p) dµn (p) =

Z

Rn

(F f )g dµn ,

327

14.4. KLASSZIKUS FOURIER-TRANSZFORMÁCIÓ

ami azt jelenti, hogy

Z

Z

f (F g) dµn =

R

n

R

(F f )g dµn .

n

Ezt az egyenl®séget felírhatjuk g helyett a g ◦ iRn ∈ LC1 (Rn , Rn , µn ) függvényre is, ahol iRn jelenti az additív inverziót, vagyis az Rn → Rn ; x 7→ −x függvényt. Ebb®l a helyettesítéses integrálás tétele, valamint b) alapján kapjuk, hogy Z

R Z

=

Rn

Z

f (F g) dµn = n

R

f (F (g ◦ iRn )) dµn =

n

Z

R

(F f )(g ◦ iRn ) dµn =

n

(((F f ) ◦ iRn )g) ◦ iRn dµn =

Z

Rn

((F f ) ◦ iRn ) g dµn =

Z

Rn

(F f )g dµn ,

amit bizonyítani kellett. 

14.4.6. Lemma. Legyen n ∈ N∗ és tekintsük a következ® függvényt 



1 x 7→ exp − kxk2 , 2

n

Ψ : R → R;

ahol k · k az euklidészi norma Rn felett. Ekkor Ψ ∈ LC1 (Rn , Rn , µn ) és F Ψ = Ψ, valamint Z 1 Ψ(0) = F Ψ dµn . (2π)n/2 n

R

Bizonyítás. A X. fejezet, 3. pont, 4. és 7. gyakorlat szerint a Ψ függvény µn -integrálható, továbbá p ∈ Rn esetén

1 (F Ψ)(p) = (2π)n/2

Z

R

1 dµn (x) = (2π)n/2

−i(p|x)

Ψ(x)e

n

=

1 (2π)n/2

YZ k∈n

R

Z

R

1

2 −i(p|x)

e− 2 kxk

dµn (x) =

n

1 2

e− 2 xk −ipk xk dµ1 (xk ).

A XI. fejezet, 4. pont, 6. gyakorlat szerint: ha α ∈ R∗+ és β ∈ R, akkor Z

R

e−αx

2 −iβx

r

dµ1 (x) =

π − β2 e 4α . α

Ebb®l a Ψ függvény Fourier-transzformáltjára azt kapjuk, hogy minden p ∈ Rn esetén

1 (F Ψ)(p) = (2π)n/2

YZ k∈n

R

1 2

e− 2 xk −ipk xk dµ1 (xk ) =

328

14. FOLYTONOS LINEÁRIS OPERÁTOROK HILBERT-TEREK KÖZÖTT

=

1 (2π)n/2

Y

√

Z

R

n

2

k∈n

tehát F Ψ = Ψ. Ebb®l az is látható, hogy

1 (2π)n/2

1

1 2

2πe− 2 pk = e− 2 kpk = Ψ(p),

1 F Ψ dµn = (2π)n/2

Z

R

Ψ dµn = (F Ψ)(0) = Ψ(0),

n

amit bizonyítani kellett. 

14.4.7. Tétel. (Fourier-féle inverziós tétel I.) Legyen n ∈ N∗ , és F komplex

Banach-tér, és f ∈ LF1 (Rn , Rn , µn ) olyan függvény, hogy F f ∈ LF1 (Rn , Rn , µn ) (illetve F f ∈ LF1 (Rn , Rn , µn )). Ekkor F f ∈ LF1 (Rn , Rn , µn ) (illetve F f ∈ LF1 (Rn , Rn , µn )) is teljesül, és a következ® állítások ekvivalensek. (i)

f = F (F f ), vagyis minden x ∈ Rn esetén 1 f (x) = (2π)n

Z

„

Z

f (x0 )e

−i(p|x0 )

Rn Rn teljesül (Fourier-féle inverziós formula). (i)0

f = F (F f ), vagyis minden x ∈ Rn esetén f (x) =

1 (2π)n

Z

„

Z

0

Ž

dµn (x0 )

Ž

f (x0 )ei(p|x ) dµn (x0 )

Rn Rn teljesül (Fourier-féle inverziós formula).

ei(p|x) dµn (p)

e−i(p|x) dµn (p)

(ii) f folytonos és végtelenben elt¶n®. (iii) f folytonos és korlátos.

Bizonyítás. Az (i) és (i)0 állítások ekvivalenciája a b)-ben feírt harmadik formulapárosból azonnal következik. Az a) alapján egy integrálható függvény konjugált Fouriertranszformáltja szükségképpen folytonos és végtelenben elt¶n®, ezért (i)⇒(ii) igaz, továbbá (ii)⇒(iii) triviális, ezért elég azt igazolni, hogy ha f : Rn → F olyan folytonos és korlátos függvény, hogy f ∈ LF1 (Rn , Rn , µn ) és F f ∈ LF1 (Rn , Rn , µn ), akkor f = F (F f ) teljesül. Jelölje Ψ az el®z® lemmában bevezetett függvényt, és minden k ∈ N∗ esetén értelmezzük a  ‹ x Ψk : Rn → R; x 7→ Ψ k függvényt. A helyettesítéses integrálás tételéb®l következik, hogy minden N∗ 3 k -ra Ψk ∈ LR1 (Rn , Rn , µn ), és a c) eredményeit alkalmazva kapjuk, hogy minden p ∈ Rn esetén Z Z  ‹ 1 1 x −i(p|x) −i(p|x) (F Ψk )(p) = Ψk (x)e dµn (x) = Ψ e dµn (x)= n/2 n/2 (2π) (2π) k n n

R

R

14.4. KLASSZIKUS FOURIER-TRANSZFORMÁCIÓ

Z

1 = (2π)n/2

Rn

329

Ψ(x)e−ik(p|x) k n dµn (x) = k n (F Ψk )(kp).

∗

Most adott k ∈ N esetén az els® felcserélési formulát alkalmazzuk a g := Ψk választással (14.4.5.), és helyettesítéses integrálást hajtunk végre: Z

Z

=k

n

Z

Rn

R

(F f )Ψk dµn = n

R

f (F Ψk ) dµn = n

Z

f (p)(F Ψ)(kp) dµn (p) =

Rn

 ‹

f

p Ψ(p) dµn (p). k

A (Ψk )k∈N∗ függvénysorozat pontonként konvergál az Rn halmazon a Ψ(0) érték¶ konstansfüggvényhez, tehát lim Ψk = 1. Ugyanakkor minden N∗ 3 k -ra k(F f )Ψk k ≤ k→∞

kF f k és a feltevés alapján F f ∈ LF1 (Rn , Rn , µn ), vagyis a Lebesgue-tétel alapján Z

lim

k→∞

R

Z ∗

kF f k dµn < +∞. Ezért

Z

(F f )Ψk dµn = n

R

F f dµn . n

A feltevés szerint f folytonos, ezért minden Rn 3 p-re lim (f (k −1 p)Ψ(p)) = f (0)Ψ(p). k→∞

Továbbá, f korlátos is, ezért k ∈Z N∗ és p ∈ Rn esetén kf (k −1 p)Ψ(p)k ≤ 9f 9 Ψ(p)

és Ψ ∈ LR1 (Rn , Rn , µn ), vagyis eredményeit alkalmazva Z

lim

k→∞

Rn

∗

Ψ dµn < +∞. Ismét a Lebesgue-tételt és a d)

Z p Ψ(p) dµn (p) = f (0) Ψ(p) dµn (p) = (2π)n/2 f (0) f k n  ‹

R

adódik. Ez azt jelenti, hogy

f (0) =

1 (2π)n/2

Z

R

F f dµn = (F (F f ))(0). n

Ezzel megmutattuk, hogy ha f : Rn → F olyan folytonos és korlátos függvény, hogy f ∈ LF1 (Rn , Rn , µn ) és F f ∈ LF1 (Rn , Rn , µn ), akkor f (0) = (F (F f ))(0) teljesül. De ha f ilyen függvény, akkor minden a ∈ Rn esetén az f ◦ τ−a : Rn → F függvény is folytonos, korlátos, és a Lebesgue-mérték transzláció-invarianciája folytán f ◦ τ−a ∈ LF1 (Rn , Rn , µn ), továbbá 14.4.4. alapján F (f ◦τ−a ) = χa (F f ) ∈ LF1 (Rn , Rn , µn ), hiszen F f ∈ LF1 (Rn , Rn , µn ). Ezért minden a ∈ Rn pontra

f (a) = (f ◦ τ−a )(0) = (F (F (f ◦ τ−a )))(0) = (F (χa (F f )))(0) = (F (F f ))(a), ahol ismét alkalmaztuk a 14.4.4. állításban felírt formulákat. 

330

14. FOLYTONOS LINEÁRIS OPERÁTOROK HILBERT-TEREK KÖZÖTT

14.4.8. Tétel. Legyen n ∈ N∗ , F komplex Hilbert-tér, f ∈ LF1 (Rn , Rn , µn ), és g : Rn →

F olyan folytonos korlátos függvény, hogy g ∈ LF1 (Rn , Rn , µn ) és F g ∈ LF1 (Rn , Rn , µn ). Ekkor az (f |g) : Rn → C; x → 7 (f (x)|g(x)), (F f |F g) : Rn → C;

p 7→ ((F f )(p)|(F g)(p)),

(F f |F g) : Rn → C;

p 7→ ((F f )(p)|(F g)(p))

függvények µn -integrálhatók és Z

R

Z

(f |g) dµn =

R

Z

(F f |F g) dµn =

n

n

R

(F f |F g) dµn n

teljesül (Parseval-formula). Bizonyítás. El®ször megmutatjuk, hogy az

Rn × Rn → C;

(x, p) 7→ (f (x)|(F g)(p))e−i(p|x)

függvény µn ⊗µn -integrálható. Valóban, a feltevések alapján az f, g : Rn → F függvények µn -integrálhatók, és az F feletti skalárszorzás F ×F → C folytonos R-bilineáris operátor, ezért a X. fejezet, 7. pont, 3. gyakorlat szerint az Rn ×Rn → C; (x, p) 7→ (f (x)|(F g)(p)) függvény µn ⊗ µn -integrálható. Továbbá, az Rn × Rn → C; (x, p) 7→ e−i(p|x) függvény folytonos, ezért µn ⊗ µn -mérhet®, és korlátos, ezért a X. fejezet, 8. pont, 2. gyakorlat szerint az Rn × Rn → C; (x, p) 7→ (f (x)|(F g)(p))e−i(p|x) függvény µn ⊗ µn -integrálható. Most a Lebesgue-Fubini-tételt alkalmazzuk erre a µn ⊗ µn -integrálható függvényre. El®ször is az adódik, hogy µn -majdnem minden x ∈ Rn pontra az

Rn → C;

p 7→ (f (x)|(F g)(p))e−i(p|x)

függvény szintén µn -integrálható, és az Rn -ben µn -majdnem mindenütt értelmezett Z

n

R  C; x 7→

Rn

(f (x)|(F g)(p))e−i(p|x) dµn (p)

függvény is µn -integrálható, és fennáll az Z

Rn ×Rn Z

=

(f (x)|(F g)(p))e−i(p|x) d(µn ⊗ µn )(x, p) =

„

Z

Rn Rn

Ž

(f (x)|(F g)(p))e−i(p|x) dµn (p)

dµn (x)

331

14.4. KLASSZIKUS FOURIER-TRANSZFORMÁCIÓ

egyenl®ség. Azonban ebben a konkrét esetben minden x ∈ Rn esetén az Rn → C; p 7→ (f (x)|(F g)(p))e−i(p|x) függvény µn -integrálható, mert az Rn → F ; p 7→ (F g)(p)ei(p|x) függvény µn -integrálható, és világos, hogy az (f (x)|·) : F → C függvény folytonos Rlineáris funkcionál. Ebb®l még az is következik, hogy minden Rn 3 x-re „

Z

R

(f (x)|(F g)(p))e−i(p|x) dµn (p) =

Z

f (x)

n

R

Ž

(F g)(p)ei(p|x) dµn (p)

=

n

= (2π)n/2 (f (x)|(F (F g))(x)), ami a g -re vonatkozó Fourier-féle inverziós formula alapján azt jelenti, hogy

(f (x)|g(x)) =

1 (2π)n/2

Z

Rn

(f (x)|(F g)(p))e−i(p|x) dµn (p).

Tehát az (f |g) : Rn → C; x 7→ (f (x)|g(x)) függvény µn -integrálható (ami egyébként is nyilvánvaló), és teljesül az Z

Rn

(f |g) dµn =

1 (2π)n/2

Z

Rn ×Rn

(f (x)|(F g)(p))e−i(p|x) d(µn ⊗ µn )(x, p)

egyenl®ség (ami egyáltalán nem nyilvánvaló). Másfel®l, a Lebesgue-Fubini-tételb®l következik, hogy µn -majdnem minden p ∈ Rn esetén az Rn → C; x 7→ (f (x)|(F g)(p))e−i(p|x) függvény µn -integrálható, és az Rn -ben µn -majdnem mindenütt értelmezett Z

n

R  C;

p 7→

Rn

(f (x)|(F g)(p))e−i(p|x) dµn (x)

függvény szintén µn -integrálható, és fennáll az Z

Rn ×Rn Z

=

R

n

(f (x)|(F g)(p))e−i(p|x) d(µn ⊗ µn )(x, p) =

„

Z

R

Ž

(f (x)|(F g)(p))e−i(p|x) dµn (x)

dµn (p)

n

egyenl®ség. Azonban ebben a konkrét esetben minden p ∈ Rn esetén az Rn → C; x 7→ (f (x)|(F g)(p))e−i(p|x) függvény µn -integrálható, mert az Rn → F ; x 7→ f (x)e−i(p|x)

332

14. FOLYTONOS LINEÁRIS OPERÁTOROK HILBERT-TEREK KÖZÖTT

függvény µn -integrálható, és világos, hogy az (·|(F g)(p)) : F → C függvény folytonos R-lineáris funkcionál. Ebb®l még az is következik, hogy minden Rn 3 x-re „

Z

Rn

−i(p|x)

(f (x)|(F g)(p))e

dµn (x) =

Z

Rn

Ž −i(p|x)

f (x)e

dµn (x) (F g)(p)

=

= (2π)n/2 ((F f )(p)|(F g)(p)), ami azt jelenti, hogy az (F f |F g) : Rn → C; p 7→ ((F f )(p)|(F g)(p)) függvény µn integrálható, és Z

Z

R

Rn

1 (F f |F g) dµn = (2π)n/2 n

(f (x)|(F g)(p))e−i(p|x) dµn (p)

teljesül. Ebb®l következik az Z

R

Z

(f |g) dµn =

n

R

(F f |F g) dµn

n

Parseval-formula. Ugyanakkor a helyettesítéses integrálás tétele alapján Z

R

Z

(F f |F g) dµn = n

R

(F f |F g) ◦ iRn dµn =

n

Z

R

(F f |F g) dµn

n

is teljesül, következésképpen Z

R

Z

(f |g) dµn = n

R

(F f |F g) dµn .  n

Emlékeztetünk arra, hogy a ∂ α f parciális deriváltfüggvények értelmezése megtalálható a VII. fejezet, 3. pontjának, 3. gyakorlatában.

14.4.9. Lemma. Legyen n ∈ N∗ rögzített, r ∈ N∗ és f : Rn → F olyan r-szer

folytonosan dierenciálható függvény, hogy minden α ∈ Nn multiindexre, |α|1 := X α(k) ≤ r esetén ∂ α f ∈ LF1 (Rn , Rn , µn ) és ∂ α f végtelenben elt¶n® függvény. Ekkor k∈n

minden α ∈ Nn multiindexre, ha |α|1 ≤ r és p ∈ Rn , akkor

(F (∂ α f ))(p) = i|α|1 pα (F f )(p), ahol pα :=

Y k∈n

α(k)

pk

.

14.4. KLASSZIKUS FOURIER-TRANSZFORMÁCIÓ

333

Bizonyítás. Az állítást r szerinti teljes indukcióval bizonyítjuk. El®ször legyen f : Rn → F olyan folytonosan dierenciálható és végtelenben elt¶n® függvény, hogy f ∈ LF1 (Rn , Rn , µn ), és minden n 3 k -ra ∂k f ∈ LF1 (Rn , Rn , µn ), valamint ∂k f végtelenben elt¶n®. Legyen k ∈ n rögzített szám, és p ∈ Rn tetsz®leges. Ekkor (∂k f )χ−p = ∂k (f χ−p ) − f (∂k χ−p ) és ∂k χ−p = −ipk χ−p , tehát

(F (∂k f ))(p) = = 1 = (2π)n/2

1 (2π)n/2 Z

Rn

Z

R

1 (2π)n/2

Z

R

(∂k f )χ−p dµn =

n

1 (2π)n/2

∂k (f χ−p ) dµn −

n

Z

R

f (∂k χ−p ) dµn =

n

Z 1 (−ip ) ∂k (f χ−p ) dµn − f χ−p dµn = ipk (F f )(p), k (2π)n/2 n

R

mert az f χ−p függvény is végtelenben elt¶n®, ezért a a Lebesgue-Fubibi-tétel és a NewtonLeibniz formula szerint esetén.

Z

Rn

∂k (f χ−p ) dµn = 0. Ez azt jelenti, hogy az állítás igaz r = 1

Tegyük fel, hogy az állítás igaz az r ∈ N∗ számra, és legyen f : Rn → F olyan r + 1-szer folytonosan dierenciálható függvény, hogy f ∈ LF1 (Rn , Rn , µn ), és minden α ∈ Nn multiindexre, ha |α|1 ≤ r + 1, akkor ∂ α f ∈ LF1 (Rn , Rn , µn ), valamint ∂ α f végtelenben elt¶n®. Legyen α ∈ Nn olyan, hogy |α|1 ≤ r + 1. Ha |α|1 < r + 1, akkor az indukciós hipotézis szerint F (∂ α f ) = i|α|1 idαRn F f teljesül, hiszen az f függvény rszer is folytonosan dierenciálható, és minden β ∈ Nn multiindexre, ha |β|1 ≤ r, akkor ∂ β f ∈ LF1 (Rn , Rn , µn ), valamint ∂ β f végtelenben elt¶n®. Ezért elegend® az |α|1 = r + 1 esetet vizsgálni. Ekkor van olyan k ∈ n és β ∈ Nn , hogy |β|1 = r és ∂ α f = ∂k (∂ β f ). Ha p ∈ Rn , akkor

(∂ α f )χ−p = ∂k (∂ β f )χ−p = ∂k ((∂ β f )χ−p ) + ipk (∂ β f )χ−p , és az indukciós hipotézis szerint (F (∂ β f ))(p) = i|β|1 pβ (F f )(p), így

(F (∂ α f ))(p) = =

1 (2π)n/2

Z

Rn

1 (2π)n/2

Z

Rn

(∂ α f )χ−p dµn =

∂k ((∂ β f )χ−p ) dµn + €

β

= ipk (F (∂ f ))(p) = ipk i

1 (2π)n/2

Z

Rn

∂k (∂ β f )χ−p dµn =

Z 1 (ip ) (∂ β f )χ−p dµn = k (2π)n/2 n

|β|1 β

Š

R

p (F f )(p) = i|α|1 pα (F f )(p),

mert a (∂ β f )χ−p függvény is végtelenben elt¶n®, ezért a LebesgueFubini-tétel és a Z Newton-Leibniz formula alapján ∂k ((∂ β f )χ−p ) dµn = 0. Ez azt jelenti, hogy az állítás teljesül az r + 1 számra is. 

Rn

334

14. FOLYTONOS LINEÁRIS OPERÁTOROK HILBERT-TEREK KÖZÖTT

14.4.10. Állítás. Legyen n ∈ N∗ és F komplex Banach-tér. Ha f : Rn → F kompakt tartójú végtelenszer dierenciálható függvény, akkor minden q ∈ [1, → [ valós számra F f ∈ LFq (Rn , Rn , µn ) és f = F (F f ) = F (F f ) teljesül.

Bizonyítás. Legyen f : Rn → F kompakt tartójú végtelenszer dierenciálható függvény. Bármely α ∈ Nn multiindexre és p ∈ Rn pontra k(F (∂ α f ))(p)k = |pα |k(F f )(p)k, tehát α

|p |k(F f )(p)k =

Y

!

|pk |

αk

k(F f )(p)k ≤ 9∂ α f 9 .

k∈n

Ebb®l következik, hogy minden P : Rn → R polinomiális függvényre (VI. fejezet, 3. pont, 1. gyakorlat) a P F f függvény korlátos. Az n dimenzió szerinti teljes indukcióval 1 n könnyen igazolható, hogy minden N∗ 3 n-re az 2 n : R → R függvény µn (1 + k · k ) integrálható, ahol k · k az euklidészi norma Rn felett. Ugyanakkor az (1 + k · k2 )n függvény éppen 2n-ed fokú polinomiális függvény, tehát van olyan Cn (f ) ∈ R∗+ , amelyre Cn (f ) (1 + k · k2 )n kF f k ≤ Cn (f ), vagyis kF f k ≤ . Ha q ∈ [1, → [ tetsz®leges (1 + k · k2 )n Cn (f )q Cn (f )q valós szám, akkor ebb®l kF f kq ≤ ≤ adódik, tehát a q -adik (1 + k · k2 )qn (1 + k · k2 )n hatványon integrálhatóság kritériuma alapján F f ∈ LFq (Rn , Rn , µn ). Ugyanakkor f folytonos és végtelenben elt¶n®, ezért e) szerint f = F (F f ) = F (F f ) is teljesül. 

14.4.11. Deníció. Legyen (T, R, θ) K-mértéktéktér és F normált tér K felett. Azt mondjuk, hogy az f : T → F függvény skalárisan θ-elt¶n®, ha minden u ∈ F 0 funkcionálra a u ◦ f : T → K függvény θ-elt¶n®.

Nyilvánvaló, hogy ha (T, R, θ) K-mértéktéktér, F normált tér és az f : T → F függvény θ-elt¶n®, akkor f skalárisan θ-elt¶n®, mert minden u ∈ F 0 esetén

{t ∈ T |(u ◦ f )(t) 6= 0} ⊆ {t ∈ T |f (t) 6= 0}. De el®fordulhat, hogy egy függvény skalárisan θ-elt¶n®, de nem θ-elt¶n® (7. gyakorlat). Azonban szeparábilis (például véges dimenziós F normált tér esetén a T → F skalárisan θ-elt¶n® és a θ-elt¶n® függvények halmaza ugyanaz (8. gyakorlat).

14.4.12. Állítás. Legyen (T, R, θ) K-mértéktéktér és F normált K felett. Ekkor minden f : T → F skalárisan θ-elt¶n® és θ-mérhet® függvény θ-elt¶n®.

Bizonyítás. Az f függvény θ-mérhet®sége miatt létezik olyan (fk )k∈N sorozat EF (T, R)ben, hogy f = lim fk a T halmazon θ-majdnem-mindenütt. Ekkor van olyan N ⊆ T k→∞

θ-elt¶n® halmaz, hogy f hT \ N i ⊆

[

N

k∈

Im(fk ). Jelölje F0 az

[

k∈

N

Im(fk ) megszámlálható

335

14.4. KLASSZIKUS FOURIER-TRANSZFORMÁCIÓ

halmaz által generált zárt lineáris alteret F -ben. Ekkor F0 szeparábilis Banach-tér és Im(χT \N f ) ⊆ F0 . A XIV. fejezetben majd igazoljuk, hogy ha E szeparábilis normált tér, akkor létezik olyan H ⊆ E 0 megszámlálható halmaz, hogy minden z1 , z2 ∈ E esetén, ha z1 6= z2 , akkor létezik u ∈ H úgy, hogy u(z1 ) 6= u(z2 ); vagyis a H funkcionál-halmaz szétválasztó E felett. (Itt megjegyezzük, hogy ha E véges dimenziós, vagy szeparábilis Hilbert-tér, akkor ilyen H létezése azonnal következik abból, hogy E 0 is szeparábilis a funkcionálnorma szerint.) Tehát az F0 -hoz vehetünk olyan H ⊆ F00 megszámlálható halmazt, amely szétválasztó F0 felett. Minden u ∈ H esetén a Hahn-Banach-tétel alapján {˜ uY∈ F 0 |u ⊆ u˜} 6= ∅, ezért a kiválasztási axióma alkalmazásával vehetünk ˜ := Im(τ ) ⊆ F 0 olyan egy τ ∈ {˜ u ∈ F 0 |u ⊆ u˜} kiválasztó függvényt. Ekkor H u∈H

˜ nem szétválasztó megszámlálható halmaz, amely szétválasztó F0 felett (de lehet, hogy H F felett, mert el®fordulhat, hogy F nem szeparábilis). Ekkor Im(χT \N f ) ⊆ F0 miatt (T \ N ) ∩ {t ∈ T |f (t) 6= 0} ⊆

[

{t ∈ T |(˜ u ◦ f )(t) 6= 0},

˜ u ˜∈H

és itt a jobb oldalon θ-elt¶n® halmaz áll, ha f skalárisan θ-elt¶n®. Ugyanakkor

{t ∈ T |f (t) 6= 0} = ((T \ N ) ∩ {t ∈ T |f (t) 6= 0}) ∪ (N ∩ {t ∈ T |f (t) 6= 0}) , ezért ha f skalárisan θ-elt¶n®, akkor {t ∈ T |f (t) 6= 0} is θ-elt¶n® halmaz, így az f függvény θ-elt¶n®.  Megjegyezzük, hogy az el®z® állításban az f függvény θ-mérhet®sége helyett elég lett volna azt feltenni, hogy létezik olyan S ⊆ F megszámlálható halmaz, és olyan N ⊆ T θ-elt¶n® halmaz, hogy f hT \ N i részhalmaza az S által generált F -beli zárt lineáris altérnek.

14.4.13. Állítás. (Klasszikus du-Bois-Reymond lemma.) Legyen n ∈ N∗ , θ :

Rn → K mérték, és F Banach-tér K felett. Ha f : Rn → F olyan függvény, hogy minden ϕ : Rn → K kompakt tartójú C∞ -osztályú függvényre f ϕ ∈ LF1 (Rn , Rn , θ) és Z f ϕ dθ = 0, akkor az f függvény θ-elt¶n®.

Rn

Bizonyítás. Jelölje C0∞ (Rn ; K) az Rn → K kompakt tartójú C∞ -osztályú függvények terét. El®ször azt mutatjuk meg, hogy ha f ∈ LK1 (Rn , Rn , θ) olyan függvény, hogy Z minden ϕ ∈ C0∞ (Rn ; K) esetén f ϕ dθ = 0, akkor az f függvény θ-elt¶n®. Ehhez elég

Rn

azt igazolni, hogy az adott feltevések mellett minden E ∈ Rn halmazra

Z

Rn

f χE dθ = 0,

336

14. FOLYTONOS LINEÁRIS OPERÁTOROK HILBERT-TEREK KÖZÖTT

hiszen ha ez igaz, akkor minden ψ ∈ EK (Rn , Rn ) esetén a IX. fejezet, 6. pont, 3. gyakorlat szerint Z ∗

Z

|f | d|θ| =

R

|f | d|θ| =

n

Z

R

Z sup n ψ∈EK (R ,Rn ) n |ψ|≤1

f ψ dθ = 0, következésképpen

n

R

fψ

dθ

= 0,

így az f függvény θ-elt¶n®. Legyen tehát E ∈ Rn rögzített halmaz. A sima függvényekkel p-edik hatványon való approximáció tételének bizonyításában (X. fejezet, 3. pont) láttuk, hogy létezik olyan (ϕk )k∈N sorozat C0∞ (Rn ; R)-ben, hogy minden N 3 k -ra 0 ≤ ϕk ≤ 1 és χE = lim ϕk . Ekkor f χE = lim (f ϕk ), és minden N 3 k -ra |f ϕk | ≤ |f |, és természetesen Z ∗ Z

R

n

k→∞

k→∞

|f | d|θ| < +∞. Tehát a Lebesgue-tétel és az f -re vonatkozó hipotézis alapján

f χE dθ = lim

Z

k→∞

R

f ϕk dθ = 0.

n

Legyen most F Banach-tér K felett és f : Rn Z → F olyan függvény, hogy minden ϕ ∈ C0∞ (Rn ; K) esetén f ϕ ∈ LF1 (Rn , Rn , θ) és f ϕ dθ = 0. Legyen (ϕk )k∈N olyan

Rn

sorozat C0∞ (Rn ; R)-ban, hogy lim ϕk = 1. Legyenek u ∈ F 0 és k ∈ N rögzítettek. Ekkor k→∞

f ϕk ∈ LF1 (Rn , Rn , θ), tehát az integrál linearitása folytán u ◦ (f ϕk ) ∈ LK1 (Rn , Rn , θ), és minden C0∞ (Rn ; K) 3 ϕ-re (f ϕk )ϕ = f (ϕk ϕ) ∈ LF1 (Rn , Rn , θ), így (u ◦ (f ϕk ))ϕ = u ◦ (f (ϕk ϕ)) ∈ LK1 (Rn , Rn , θ), és fennáll az „

Z

R

(u ◦ (f ϕk ))ϕ dθ = u n

Ž

Z

R

(f ϕk )ϕ dθ

=0

n

egyenl®ség. Ebb®l az el®z®ek alapján kapjuk, hogy az u ◦ (f ϕk ) függvény θ-elt¶n®. Tehát ha u ∈ F 0 , akkor f = lim (f ϕk ) miatt u ◦ f = lim (u ◦ (f ϕk )), következésképpen k→∞

{x ∈ Rn |(u ◦ f )(x) 6= 0} ⊆

k→∞

[

N

{x ∈ Rn |(u ◦ (f ϕk ))(x) 6= 0},

k∈

és itt a jobb oldalon az el®z®ek szerint θ-elt¶n® halmaz áll, vagyis az f -re vonatkozó feltételb®l következik, hogy minden F 0 3 u-ra az u◦f függvény θ-elt¶n®, így az f függvény skalárisan θ-elt¶n®. De f = lim (f ϕk ), és minden N 3 k -ra f ϕk ∈ LF1 (Rn , Rn , θ), tehát k→∞ az f ϕk függvény θ-mérhet®, és θ-mérhet® függvények pontonkénti limeszfüggvénye is θmérhet® (IX. fejezet, 8. pont, 3. gyakorlat), ezért az f függvény is θ-mérhet®. Ebb®l az a) alapján kapjuk, hogy az f függvény θ-elt¶n®. 

Megjegyzés. Látjuk, hogy a du-Bois-Reymond lemma viszonylag könnyen következik

14.4. KLASSZIKUS FOURIER-TRANSZFORMÁCIÓ

337

az azt megel®z® állításból. A du-Bois-Reymond lemmára a Fourier-féle inverziós tétel II. formájának alébbi bizonyításában lesz szükségünk. Az a) állítás bizonyításában felhasználunk egy olyan tételt, amelyet csak kés®bb, a XIV. fejezetben igazolunk. Természetesen a XIV. fejezet eredményeinek származtatásához sem az a) állítást, sem annak következményeit nem használjuk fel.

14.4.14. Tétel. (Fourier-féle inverziós tétel II.) Ha f ∈ LF1 (Rn , Rn , µn ) olyan függ-

vény, hogy F f ∈ LF1 (Rn , Rn , µn ), akkor F f ∈ LF1 (Rn , Rn , µn ) és

f = F (F f ),

f = F (F f )

teljesül Rn -en µn -majdnem mindenütt, és

F (F f ) = F (F f ) Rn -en mindenütt. Bizonyítás. Legyen f ∈ LF1 (Rn , Rn , µn ) olyan függvény, hogy F f ∈ LF1 (Rn , Rn , µn ). Ekkor F f = (F f ) ◦ iRn , így a helyettesítéses integrálás tétele alapján F f ∈ LF1 (Rn , Rn , µn ) is teljesül. Legyen ϕ : Rn → C tetsz®leges kompakt tartójú végtelenszer dierenciálható függvény. A g) szerint F ϕ ∈ LF1 (Rn , Rn , µn ) és f ∈ LF1 (Rn , Rn , µn ), tehát az els® felcserélési formulát (14.4.5.) alkalmazva a g := F ϕ választással Z

R

Z

f (F (F ϕ)) dµn =

n

R

(F f )(F ϕ) dµn .

n

Ugyanakkor a hipotézis szerint F f ∈ LF1 (Rn , Rn , µn ), és tudjuk, hogy F ϕ ∈ LC1 (Rn , Rn , µn ), tehát a második felcserélési formulát (14.4.5.) alkalmazva f helyett F f -re és a g := ϕ függvényre Z

Rn

Z

(F f )(F ϕ) dµn =

Rn

(F (F f ))ϕ dµn

adódik. A ϕ függvényre alkalmazhatjuk a Fourier-féle inverziós tétel I. formáját (14.4.7.), tehát ϕ = F (F ϕ). Ezekb®l az egyenl®ségekb®l következik, hogy Z

Z

Rn

f ϕ dµn =

Rn

(F (F f ))ϕ dµn .

Tehát az f − F (F f ) : Rn → F különbség-függvény olyan, hogy mindenŠ ϕ : € n R → C kompakt tartójú végtelenszer dierenciálható függvényre f − F (F f ) ϕ ∈ LF1 (Rn , Rn , µn ) és Z €

Rn

Š

f − F (F f ) ϕ dµn = 0,

338

14. FOLYTONOS LINEÁRIS OPERÁTOROK HILBERT-TEREK KÖZÖTT

így a du Bois-Reymond lemma szerint f = F (F f ) teljesül Rn -en µn -majdnem mindenütt. Az el®z® érvelést megismételve az F és F szimbólumok felcserélésével azt kapjuk, hogy f = F (F f ) teljesül Rn -en µn -majdnem mindenütt. Ebb®l következik, hogy F (F f ) = F (F f ) teljesül Rn -en µn -majdnem mindenütt. De ezek folytonos függvények és supp(µn ) = Rn , ezért F (F f ) = F (F f ) teljesül Rn -en mindenütt. 

14.4.15. Tétel. (Plancherel-tétel.) Legyen n ∈ N∗ és F komplex Hilbert-tér. Egyér-

telm¶en léteznek olyan

F, F : L2F (Rn , Rn , µn ) → L2F (Rn , Rn , µn ) unitér operátorok, amelyekre minden f : Rn → F kompakt tartójú végtelenszer differenciálható függvény esetében F(f • ) = (F f )• és F(f • ) = (F f )• teljesül. Bizonyítás. Legyen F komplex Hilbert-tér és C0∞ (Rn ; F )• := {f • |f ∈ C0∞ (Rn ; F )}, ahol f ∈ LF2 (Rn , Rn , µn ) esetén f • az f függvény ekvivalencia-osztálya L2F (Rn , Rn , µn )-ben. A sima függvénykkel p-edik hatványon való approximáció tétele (X. fejezet, 3. pont) alapján C0∞ (Rn ; F )• s¶r¶ lineáris altere az L2F (Rn , Rn , µn ) Hilbert-térnek. A g) szerint f ∈ C0∞ (Rn ; F ) esetén F f ∈ LF2 (Rn , Rn , µn ), ezért supp(µn ) = Rn miatt jól értelmezett a F0 : C0∞ (Rn ; F )• → L2F (Rn , Rn , µn ); f • 7→ (F f )• leképezés, amely a Parseval-formula alapján lineáris izometria a k · kµn ,2 norma szerint. A s¶r¶n értelmezett folytonos lineáris operátorok kiterjesztési tétele alapján egyértelm¶en létezik olyan F : L2F (Rn , Rn , µn ) → L2F (Rn , Rn , µn ) folytonos lineáris operátor, amely F0 -nak kiterjesztése, vagyis f ∈ C0∞ (Rn ; F ) esetén F(f • ) = (F f )• teljesül. Az egyenl®ségek folytatásának elve alapján az F operátor is izometria, ezért F pontosan akkor unitér, ha Im(F) s¶r¶ L2F (Rn , Rn , µn )-ben, hiszen Banach-téren értelmezett lineáris izometria értékkészlete szükségképpen zárt. Megmutatjuk, hogy f ∈ C0∞ (Rn ; F ) esetén f • ∈ Im(F0 ). Valóban, a g) szerint C0∞ (Rn ; F )-ben, amelyre F f ∈ LF2 (Rn , Rn , µn ), ezért létezik olyan (gk )k∈N sorozat Z

F f = lim gk a k · kµn ,2 félnorma szerint, vagyis lim k→∞

∗

k→∞

kF f − gk k2 dµn = 0. Ha

k ∈ N, akkor gk = F (F gk ), és az f − F gk : Rn → F függvény folytonos, korlátos, µn -integrálható, és a konjugált Fourier-transzformáltja is µn -integrálható, így a Parsevalformula szerint Z ∗

kF f − gk k2 dµn =

Z ∗

kF f − F (F gk )k2 dµn =

Z ∗

kf − F gk k2 dµn .

Ez azt jelenti, hogy az LF2 (Rn , Rn , µn ) térben haladó (F gk )k∈N függvénysorozat f hez konvergál a k · kµn ,2 félnorma szerint. Ezért f • = lim (F gk )• = lim F0 (gk• ) az k→∞

k→∞

339

14.4. KLASSZIKUS FOURIER-TRANSZFORMÁCIÓ

L2F (Rn , Rn , µn ) Hilbert-tér normája szerint, ezért f • ∈ Im(F0 ). Tehát még Im(F0 ) is s¶r¶ az L2F (Rn , Rn , µn ) Hilbert-térben, így F unitér operátor. Teljesen hasonlóan látható be az F unitér operátor létezése. 

14.4.16. Deníció. Ha n ∈ N∗ és F komplex Hilbert-tér, akkor az el®z® tételben értel-

mezett

F, F : L2F (Rn , Rn , µn ) → L2F (Rn , Rn , µn )

unitér operátorokat az L2F (Rn , Rn , µn ) Hilbert-tér feletti Fourier-transzformációnak, illetve konjugált Fourier-transzformációnak nevezzük.

14.4.17. Tétel. Legyen n ∈ N∗ és F komplex Hilbert-tér. a) Ha f ∈ LF1 (Rn , Rn , µn ) ∩ LF2 (Rn , Rn , µn ), akkor F f ∈ LF2 (Rn , Rn , µn ) és F(f • ) = (F f )• . b) Ha (ϕk )k∈N olyan függvénysorozat, hogy minden k ∈ N esetén ϕk ∈ LR1 (Rn , Rn , µn ), 0 ≤ ϕk ≤ 1, supp(ϕk ) kompakt és lim ϕk = 1 az Rn halmazon, akkor minden k→∞

f ∈ LF2 (Rn , Rn , µn ) és k ∈ N esetén f ϕk ∈ LF1 (Rn , Rn , µn ) ∩ LF2 (Rn , Rn , µn ), és az (F (f ϕk ))k∈N függvénysorozat konvergens a k · kµn ,2 félnorma szerint és F(f • ) = lim (F (f ϕk ))• k→∞

teljesül az L2F (Rn , Rn , µn ) Hilbert-térben a k · kµn ,2 norma szerint. c) Fennáll az F−1 = F egyenl®ség.

Bizonyítás. (I) El®ször feltesszük, hogy f ∈ LF2 (Rn , Rn , µn ) és f kompakt tartójú. Ekkor f ∈ LF1 (Rn , Rn , µn ) is igaz, mert f = f χsupp(f ) és f, χsupp(f ) ∈ LF2 (Rn , Rn , µn ). Megmutatjuk, hogy ekkor F f ∈ LF2 (Rn , Rn , µn ) és F(f • ) = (F f )• . Legyen ugyanis (fk )k∈N olyan sorozat C0∞ (Rn ; F )-ben, amely a k · kµn ,2 félnorma szerint konvergál f -hez. Legyen ϕ ∈ C0∞ (Rn ; R) olyan függvény, amelyre 0 ≤ ϕ ≤ 1 és supp(f ) ⊆ [ϕ = 1]. Ekkor az (fk ϕ)k∈N függvénysorozat is konvergál f -hez a k · kµn ,2 félnorma szerint, mert f = f ϕ, tehát minden N 3 k -ra Z ∗

2

kf − fk ϕk dµn =

Z ∗

2

kf ϕ − fk ϕk dµn ≤

Z ∗

kf − fk k2 dµn .

Ugyanakkor minden N 3 k -ra supp(fk ϕ) ⊆ supp(ϕ) és fk ϕ ∈ C0∞ (Rn ; F ). Megmutatjuk, hogy az (F (fk ϕ))k∈N függvénysorozat az Rn -en pontonként (s®t egyenletesen) konvergál F f -hez. Valóban, p ∈ Rn esetén f = f ϕ és ϕχ−p ∈ C0∞ (Rn ; F ) ⊆ LF2 (Rn , Rn , µn ), tehát a Hölder-egyenl®tlenség alapján minden N 3 k -ra

k(F f )(p) − (F (fk ϕ))(p)k =

Z

1

(f (2π)n/2

n

R



χ − fk ϕ) −p dµn

=

340

14. FOLYTONOS LINEÁRIS OPERÁTOROK HILBERT-TEREK KÖZÖTT

1 = (2π)n/2

Z

(f

n



χ − fk )ϕ −p dµn

R

=

≤

1 kf − fk kµn ,2 kϕχ−p kµn ,2 = (2π)n/2

1 kf − fk kµn ,2 kϕkµn ,2 . (2π)n/2

Ebb®l látható, hogy !

lim

sup k(F f )(p) − (F (fk ϕ))(p)k = 0,

Rn

k→∞

p∈

amint azt állítottuk. Ebb®l következik, hogy kF f k2 = lim kF (fk ϕ)k2 az Rn -en k→∞ pontonként, tehát a Fatou-lemma szerint Z ∗

kF f k2 dµn =

Z ∗

lim inf kF (fk ϕ)k2 dµn ≤ lim inf k→∞

k→∞

Z ∗

kF (fk ϕ)k2 dµn .

Minden k ∈ N esetén az fk ϕ ∈ C0∞ (Rn ; F ) függvényre felírható a Parseval-formula, vagyis Z ∗ Z ∗ kF (fk ϕ)k2 dµn = kfk ϕk2 dµn = kfk ϕk2µn ,2 . De az (kfk ϕkµn ,2 )k∈N számsorozat korlátos (s®t konvergens), mert az (fk ϕ)k∈N függvénysorozat is konvergál f -hez a k · kµn ,2 félnorma szerint. Ezért

lim inf

Z ∗

k→∞

következésképpen

Z ∗

kF (fk ϕ)k2 dµn < +∞,

kF f k2 dµn < +∞.

A négyzetes integrálhatóság kritériuma szerint, ebb®l F f ∈ LF2 (Rn , Rn , µn ) adódik, mert a F f függvény µn -mérhet® is, hiszen folytonos. Az is látszik, hogy

kF f kµn ,2 =

Z ∗

kF f k2 dµn

‹1/2

≤ lim inf

Z ∗

k→∞

kF (fk ϕ)k2 dµn

‹1/2

=

= lim kfk ϕkµn ,2 = kf kµn ,2 , k→∞

ezért minden k ∈ N esetén

kF f − F (fk ϕ)k2µn ,2 = kF f k2µn ,2 + kF (fk ϕ)k2µn ,2 − 2<(F f |F (fk ϕ))µn ,2 = =

kF f k2µn ,2 =

+

kfk ϕk2µn ,2

kF f k2µn ,2

+

Z

− 2<

kfk ϕk2µn ,2

Rn

(F f |F (fk ϕ)) dµn = Z

− 2<

Rn

(f |fk ϕ) dµn =

341

14.4. KLASSZIKUS FOURIER-TRANSZFORMÁCIÓ

= kF f k2µn ,2 + kfk ϕk2µn ,2 − 2<(f |fk ϕ)µn ,2 , ahol (·|·)µn ,2 jelöli a skalárszorzást LF2 (Rn , Rn , µn ) felett. Ismét felhasználjuk azt, hogy az (fk ϕ)k∈N függvénysorozat is konvergál f -hez a k · kµn ,2 félnorma szerint, így €

Š

lim kF f k2µn ,2 + kfk ϕk2µn ,2 − 2<(f |fk ϕ)µn ,2 =

k→∞

= kF f k2µn ,2 + kf k2µn ,2 − 2<(f |f )µn ,2 = kF f k2µn ,2 − kf k2µn ,2 ≤ 0. Ebb®l következik, hogy az (F (fk ϕ))k∈N függvénysorozat konvergál F f -hez a k · kµn ,2 félnorma szerint. Ezért az F Fourier-transzformáció alapvet® tulajdonságai szerint

(F f )• = lim (F (fk ϕ))• = lim F((fk ϕ)• ) = F(f • ). k→∞

k→∞

(II) Legyen (ϕk )k∈N olyan függvénysorozat, hogy minden N 3 k -ra ϕk ∈ LR1 (Rn , Rn , µn ), 0 ≤ ϕk ≤ 1, supp(ϕk ) kompakt és lim ϕk = 1 az Rn halmazon. Megmutatjuk, hogy k→∞

minden f ∈ LF2 (Rn , Rn , µn ) és k ∈ N esetén f ϕk ∈ LF1 (Rn , Rn , µn ) ∩ LF2 (Rn , Rn , µn ) és az (F (f ϕk ))k∈N függvénysorozat konvergens a k · kµn ,2 félnorma szerint, és

F(f • ) = lim (F (f ϕk ))• . k→∞

Valóban, az (f ϕk )k∈N függvénysorozat minden tagja eleme LF2 (Rn , Rn , µn )-nek, és 1 n 2 n ϕk ∈ LF2 (Rn , Rn , µn ) is igaz, ezért Z f ϕk ∈LF (R , Rn , µn ) ∩ LF (R , Rn , µn ). Továbbá,

k ∈ N esetén kf ϕk k ≤ kf k és

∗

kf k2 dµn < +∞, azonkívül f = lim (f ϕk ) az Rn k→∞

en pontonként, tehát a Lebesgue-tétel alapján az (f ϕk )k∈N függvénysorozat konvergál f -hez a k · kµn ,2 félnorma szerint. Ebb®l következik, hogy az L2F (Rn , Rn , µn )-ben haladó ((f ϕk )• )k∈N sorozat konvergál f • -hoz a k · kµn ,2 norma szerint, így az F Fouriertranszformáció folytonossága miatt F(f • ) = lim F((f ϕk )• ) teljesül az L2F (Rn , Rn , µn ) k→∞

Hilbert-térben. De minden k ∈ N esetén az f ϕk ∈ LF2 (Rn , Rn , µn ) függvény kompakt tartójú, ezért az (I) miatt F((f ϕk )• ) = (F (f ϕk ))• . Ezért az (F (f ϕk ))k∈N függvénysorozat konvergens a k · kµn ,2 félnorma szerint, és F(f • ) = lim (F (f ϕk ))• az k→∞

L2F (Rn , Rn , µn ) Hilbert-térben.

(III) Legyen most f ∈ LF1 (Rn , Rn , µn ) ∩ LF2 (Rn , Rn , µn ); megmutatjuk, hogy F f ∈ LF2 (Rn , Rn , µn ) és F(f • ) = (F f )• . Ehhez legyen (ϕk )k∈N olyan függvénysorozat, hogy minden k ∈ N esetén ϕk ∈ LR1 (Rn , Rn , µn ), 0 ≤ ϕk ≤ 1, supp(ϕk ) kompakt és lim ϕk = 1 az Rn halmazon. A (III)-ban láttuk, hogy az (f ϕk )k∈N függvénysorozat k→∞

konvergál f -hez a k · kµn ,2 félnorma szerint, így

kf k2µn ,2 = lim kf ϕk k2µn ,2 k→∞

342

14. FOLYTONOS LINEÁRIS OPERÁTOROK HILBERT-TEREK KÖZÖTT

is teljesül. Ugyanakkor p ∈ Rn esetén f χ−p = lim (f ϕχp ) az Rn -en mindenütt, és minden Z ∗

k→∞

N 3 k -ra kf ϕχ−p k ≤ kf k, valamint kf k dµn < +∞. Ezért a Lebesgue-tételb®l azt kapjuk, hogy minden p ∈ Rn esetén az (f ϕχ−p )k∈N függvénysorozat konvergál f χ−p -hez a k · kµn ,1 félnorma szerint, így (F f )(p)=

1 (2π)n/2

Z

Rn

f χ−p dµn =

Z 1 f ϕk χ−p dµn = lim (F (f ϕk ))(p) lim k→∞ (2π)n/2 k→∞ n

R

is teljesül. Ebb®l következik, hogy kF f k2 = lim kF (f ϕk )k2 az Rn -en pontonként. k→∞

Ugyanakkor minden k ∈ N esetén a (II) miatt kF (f ϕk )k2µn ,2 = kf ϕk k2µn ,2 , így a Fatoulemma alkalmazásával Z ∗

2

kF f k dµn ≤ lim inf k→∞

Z ∗

kF (f ϕk )k2 dµn = lim inf kf ϕk k2µn ,2 = kf k2µn ,2 k→∞

adódik. A négyzetes integrálhatóság kritériuma alapján F f ∈ LF2 (Rn , Rn , µn ) és kF f k2µn ,2 − kf k2µn ,2 ≤ 0 is látható. Ezután az F(f • ) = (F f )• egyenl®séget ugyanazzal az érveléssel kapjuk, mint az (I) bizonyításának a végén. (IV) Végül megmutatjuk, hogy F−1 = F. Ehhez legyen f ∈ C0∞ (Rn ; F ) tetsz®leges. Ekkor a g) szerint F f ∈ LF1 (Rn , Rn , µn ) ∩ LF2 (Rn , Rn , µn ), tehát a (III) alapján F (F f ) ∈ LF2 (Rn , Rn , µn ) (ami másképpen is következik a Fourier-féle inverziós formulából, hiszen F (F f ) = f ∈ C0∞ (Rn ; F ))), továbbá

F((F f )• ) = (F (F f ))• = f • . De az F deníciójából következik, hogy F (f • )=(F f )• , tehát fennáll az (F ◦ F)(f • ) = f • egyenl®ség. Ez azt jelenti, hogy F ◦ F egyenl® az L2F (Rn , Rn , µn ) Hilbert-tér identikus operátorával az {f • |f ∈ C0∞ (Rn ; F )} s¶r¶ altéren, tehát mindenütt, így F−1 = F. 

Megjegyzések. 1) Ha F komplex Hilbert-tér és f ∈LF2 (Rn , Rn , µn ), akkor az F f

függvényt nem értelmeztük, hiszen ekkor lehetséges az, / LF1 (Rn , Rn , µn ) és Z hogy f ∈ minden p ∈ Rn esetén f χ−p ∈ / LF1 (Rn , Rn , µn ), így a f χ−p dµn szimbólum egyetlen

Rn

p ∈ Rn pontra sem értelmes. Azonban a Plancherel-tétel alapján ekkor is jól értelmezett az F(f • ) ∈ L2F (Rn , Rn , µn ) elem, és ha g ∈ LF2 (Rn , Rn , µn ) olyan függvény, hogy g • = F(f • ), akkor a g függvényt nevezhetjük az f függvény Fourier-transzformáltjának. De vigyázzunk arra, hogy g nincs egyértelm¶en meghatározva (hanem csak µn -majdnem mindenütt), ezért nincs értelme az f Fourier-transzformáltjának adott pontbeli értékér®l beszélni. 2) Ha (Ek )k∈N az Rn relatív[kompakt µn -integrálható részhalmazainak olyan monoton Ek , akkor a (ϕk )k∈N := (χEk )k∈N függvénysorozat eleget növ® sorozata, hogy Rn = k∈

N

14.5. HILBERT-TÉR FELETTI FOLYTONOS LINEÁRIS OPERÁTOROK SPEKTRUMA

343

tesz az el®z® állításban megfogalmazott feltételeknek. (Konkrét példa: minden N 3 k ra Ek := [−k, k[n .) Ha (Ck )k∈N olyan halmazsorozat, hogy minden k ∈ N esetén [ n n Ck ⊆ R kompakt halmaz, Ck ⊆ Int(Ck+1 ) és R = Ck , akkor Dieudonné-féle k∈

N

egységosztás-tétel alapján kiválasztható olyan (ϕk )k∈N sorozat, hogy minden k ∈ N esetén ϕk : Rn → R kompakt tartójú, C∞ -osztályú függvény, 0 ≤ ϕk ≤ 1, Ck ⊆ [ϕk = 1] és supp(ϕk ) ⊆ Int(Ck+1 ). Ekkor a (ϕk )k∈N függvénysorozatra szintén teljesülnek az el®z® állításban megfogalmazott feltételek. Ezek az állítások azt mutatják, hogy léteznek olyan (ϕk )k∈N függvénysorozatok, amelyek eleget tesznek az el®z® állításban megkövetelt feltételeknek. 3) Ha F komplex Hilbert-tér, f ∈ LF2 (Rn , Rn , µn ), és (ϕk )k∈N olyan függvénysorozat, hogy minden N 3 k -ra ϕk ∈ LF1 (Rn , Rn , µn ), 0 ≤ ϕk ≤ 1, supp(ϕk ) kompakt halmaz Rn ben és lim ϕk = 1 az Rn halmazon, akkor az el®z® tétel b) pontja szerint az (F (f ϕk ))k∈N k→∞

függvénysorozat az LF2 (Rn , Rn , µn ) térben halad, és konvergens a k · kµn ,2 félnorma szerint, és F(f • ) = lim (F (f ϕk ))• teljesül az L2F (Rn , Rn , µn ) Hilbert-térben a k · kµn ,2 k→∞

norma szerint. Azonban az (F (f ϕk ))k∈N függvénysorozat nem feltétlenül konvergens pontonként Rn -en. A Riesz-Fischer-tétel alapján csak annyit állíthatunk, hogy ennek a függvénysorozatnak van olyan részsorozata, amely µn -majdnem mindenütt konvergens Rn -en. 4) Ebben a pontban a klasszikus Fourier-transzformációról van szó. Ennek létezik általánosítása arra az esetre, amikor az euklidészi topológiával és az összeadással ellátott Rn additív csoport helyére tetsz®leges kommutatív lokálisan kompakt csoportot teszünk. A Fourier-transzformáció ilyen irányú ("nemklasszikus") általánosításáról a XVII. fejezet 8. pontjában, a harmonikus analízisben lesz szó. Az Rn additív csoportjával kapcsolatos klasszikus Fourier-transzformációnak létezik más irányú általánosítása is; bevezethet®k a gyorsan fogyó alapfüggvények, a csillapított disztribúciók, és a csillapított disztribúciók terén természetes módon értelmezhet® egy olyan lineáris operátor, amely a klasszikus Fourier-transzformáció (bizonyos értelm¶) kiterjesztése.

14.5.

Hilbert-tér feletti folytonos lineáris operátorok spektruma

14.5.1. Deníció. Legyen E pehilbert-tér. Egy u ∈ L (E) operátort formálisan szimmetrikusnak nevezünk, ha minden x, y ∈ E esetén (u(x)|y) = (x|u(y)) teljesül.

Ha E Hilbert-tér, akkor az u ∈ L (E) operátor formális szimmetrikussága ekvivalens az u önadjungáltságával, de a formális szimmetrikusság nem teljes prehilbert-tér esetén is

344

14. FOLYTONOS LINEÁRIS OPERÁTOROK HILBERT-TEREK KÖZÖTT

értelmezhet®, míg az adjungált operátorokat csak Hilbert-téren értelmezett operátorokra értelmezzük.

14.5.2. Állítás. Legyen E pehilbert-tér. Ha u ∈ L (E) formálisan szimmetrikus operátor, akkor

kuk =

sup

|(u(x)|x)|,

x∈E; kxk≤1

és u 6= 0 esetén kuk vagy −kuk általánosított sajátértéke u-nak. Bizonyítás. Legyen u ∈ L (E) formálisan szimmetrikus operátor. Jelölje C a bizonyítandó egyenl®tlenség jobb oldalán álló valós számot, amely az Cauchy-Schwartzegyenl®tlenség alapján nyilvánvalóan kisebb-egyenl® kuk-nál (még akkor is, ha u nem formálisan szimmetrikus). A deníció alapján az is világos, hogy minden E 3 x-re |(u(x)|x)| ≤ Ckxk2 . Legyenek x ∈ E és λ ∈ R∗+ tetsz®legesek. Ekkor

(u(λx ± λ−1 u(x))|λx ± λ−1 u(x)) = = λ2 (u(x)|x) + λ−2 (u(u(x))|u(x)) ± (u(x)|u(x)) ± (u(u(x))|x) = = λ2 (u(x)|x) + λ−2 (u(u(x))|u(x)) ± 2ku(x)k2 , amib®l következik, hogy

(u(λx + λ−1 u(x))|λx + λ−1 u(x)) − (u(λx − λ−1 u(x))|λx − λ−1 u(x)) = 4ku(x)k2 . Ebb®l a paralelogramma-egyenl®tlenség alkalmazásával kapjuk, hogy x ∈ E és λ ∈ R∗+ esetén

4ku(x)k2 ≤ Ckλx + λ−1 u(x)k2 + Ckλx − λ−1 u(x)k2 = 2C(λ2 kxk2 + λ−2 ku(x)k2 ). Ez azt jelenti, hogy minden E 3 x-re

ku(x)k2 ≤

C inf (λ2 kxk2 + λ−2 ku(x)k2 ). 2 λ∈R∗+

Könnyen látható, hogy a, b ∈ R∗+ esetén az

R∗+ → R; Ê

függvénynek a

λ 7→ λ2 a2 + λ−2 b2

b helyen globális minimuma van és a

b a inf∗ (λ2 a2 + λ−2 b2 ) = min∗ (λ2 a2 + λ−2 b2 ) = a2 + b2 = 2ba. R+ λ∈R+ a b

λ∈

14.5. HILBERT-TÉR FELETTI FOLYTONOS LINEÁRIS OPERÁTOROK SPEKTRUMA

345

Tehát ha x ∈ E olyan, hogy u(x) 6= 0, akkor

ku(x)k2 ≤

C 2ku(x)kkxk = Cku(x)kkxk, 2

vagyis ku(x)k ≤ Ckxk. Természetesen ez az egyenl®tlenség akkor is igaz, ha u(x) = 0, így azt kapjuk, hogy kuk ≤ C . Tegyük fel, hogy u 6= 0; ekkor E 6= {0}. Ha x ∈ E és 0 < kxk ≤ 1, akkor

|(u(x)|x)| =

‚ ‚ Œ x u kxk

x kxk

Π2 kxk

≤

sup

|(u(e)|e)|,

e∈E, kek=1

amib®l következik, hogy

kuk =

sup x∈E, kxk≤1

|(u(x)|x)| =

sup

|(u(e)|e)|.

e∈E, kek=1

Ezért létezik olyan (en )n∈N sorozat E -ben, hogy minden n ∈ N esetén ken k = 1, és kuk = lim |(u(en )|en )|. Ekkor az ((u(en )|en ))n∈N valós számsorozat korlátos, tehát n→∞ a Bolzano-Weierstrass kiválasztási tétel alapján van olyan σ : N → N szigorúan monoton növ® függvény, hogy az ((u(eσ(m) )|eσ(m) ))m∈N részsorozat konvergens; legyen λ := m→∞ lim (u(eσ(m) )|eσ(m) ). Természetesen ekkor |λ| = m→∞ lim |(u(eσ(m) )|eσ(m) )| = lim |(u(en )|en )| = kuk, tehát λ = kuk vagy λ = −kuk. Ha k ∈ N, akkor n→∞

kλeσ(k) − u(eσ(k) )k2 = λ2 + ku(eσ(k) )k2 − 2λ(u(eσ(k) )|eσ(k) ) ≤ ≤ λ2 + kuk2 − 2λ(u(eσ(k) )|eσ(k) ), €

Š

amib®l λ2 =kuk2 és λ= lim (u(eσ(k) )|eσ(k) ) miatt lim λeσ(k) − u(eσ(k) ) =0 következik. k→∞ k→∞ Ez azt jelenti, hogy λ általánosított sajátértéke u-nak. 

14.5.3. Állítás. Legyen E pehilbert-tér. Ha u ∈ L (E) formálisan szimmetrikus operá-

tor, továbbá e ∈ E olyan vektor, hogy kek = 1 és |(u(e)|e)| = kuk, akkor u(e) = (u(e)|e)e, vagyis az (u(e)|e) ∈ K szám sajátértéke u-nak és e ∈ E ehhez a sajátértékhez tartozó sajátvektor. Bizonyítás. Tegyük fel, hogy u ∈ L (E) formálisan szimmetrikus operátor, valamint e ∈ E olyan vektor, amelyre kek = 1 és |(u(e)|e)| = kuk. Ekkor

k(u(e)|e)e − u(e)k2 = |(u(e)|e)|2 + ku(e)k2 − 2(u(e)|e)(e|u(e)) = 0, tehát u(e) = (u(e)|e)e. 

346

14. FOLYTONOS LINEÁRIS OPERÁTOROK HILBERT-TEREK KÖZÖTT

14.5.4. Lemma. Legyen E pehilbert-tér. Ha u ∈ L (E) formálisan szimmetrikus kom-

pakt operátor, akkor u 6= 0 esetén van olyan e ∈ E , hogy kek = 1 és |(u(e)|e)| = kuk. Speciálisan: prehilbert-tér nem nulla, formálisan szimmetrikus, kompakt operátorának létezik sajátértéke, (még akkor is, ha valós prehilbert-térr®l van szó).

Bizonyítás. Tegyük fel, hogy u 6= 0 formálisan szimmetrikus kompakt operátor. 14.5.2. bizonyításában láttuk olyan (ek )k∈N sorozat létezését, hogy minden k ∈ N esetén kek k = 1 és 0 = lim (λek − u(ek )), ahol λ = kuk vagy λ = −kuk. Az u operátor kompakt, ezért k→∞

az (u(ek ))k∈N sorozat benne halad az E egy kompakt részhalmazában, tehát a BolzanoWeierstrass-tétel alapján létezik olyan σ : N → N szigorúan monoton növ® függvény, hogy az (u(eσ(k) ))k∈N részsorozat konvergens E -ben. Ekkor a (λeσ(k) )k∈N sorozat is konvergens E -ben, tehát |λ| = kuk 6= 0 miatt van olyan e ∈ E , hogy e = lim eσ(k) . Az u operátor €

k→∞

Š

folytonossága alapján u(e) = lim u(eσ(k) ) = lim λeσ(k) − (λeσ(k) − u(eσ(k) )) = λe. De k→∞

k→∞

kek = 1, tehát λ sajátértéke u-nak, ezért |(u(e)|e)| = |λ| = kuk is teljesül.  A XII. fejezet, 1. pont, 16. gyakorlat szerint normált terek között ható kompakt operátor teljesen folytonos, és ennek megfordítása is igaz, ha az érkezési tér teljes. De ha E nem teljes prehilbert-tér, akkor létezhet olyan u ∈ L (E) teljesen folytonos lineáris operátor, amely nem kompakt operátor. Ha E nem teljes, akkor az el®z® állításban nem elegend® az u teljes folytonosságát feltenni (a formális szimmetrikusság mellett), hanem az er®sebb kompaktságot tesszük fel.

14.5.5. Tétel. Legyen E pehilbert-tér. Ha u ∈ L (E) formálisan szimmetrikus kompakt operátor és Im(u) végtelen dimenziós altér E -ben, akkor létezik olyan (en )n∈N ortonormált sorozat E -ben, hogy minden N 3 n-re en sajátvektora u-nak, és minden x ∈ E vektorhoz létezik olyan (λk )k∈N ∈ lK2 sorozat, hogy u(x) = halmaz által generált zárt lineáris altérnek).

∞ X

λk ek (tehát Im(u) része az {ek |k ∈ N}

k=0

Bizonyítás. El®ször megjegyezzük, hogy ha u ∈ L (E) formálisan szimmetrikus kompakt operátor és H ⊆ E olyan zárt lineáris altér, hogy uhHi ⊆ H , akkor u|H ∈ L (H) is formálisan szimmetrikus és kompakt operátor. Valóban, az u|H operátor formális szimmetrikussága nyilvánvaló, és ha V olyan környezete a 0 ∈ E vektornak, hogy uhV i relatív kompakt E -ben, akkor a V ∩ H halmaz olyan környezete H -ban a 0-nak, hogy uhV ∩Hi ⊆ uhV i∩H és uhV i kompakt E -ben és H zárt E -ben, így uhV i∩H kompakt E ben és része H -nak, tehát kompakt a H normált altérben is, így (u|H )hV ∩Hi = uhV ∩Hi relatív kompakt H -ban, vagyis u|H ∈ L (H) kompakt operátor. Megjegyezzük továbbá azt, hogy ha u ∈ L (E) formálisan szimmetrikus operátor, akkor Im(u) ⊆ (Ker(u))⊥ , hiszen x ∈ E és y ∈ Ker(u) esetén (u(x)|y) = (x|u(y)) = 0, vagyis minden E 3 x-re u(x) ∈ (Ker(u))⊥ .

14.5. HILBERT-TÉR FELETTI FOLYTONOS LINEÁRIS OPERÁTOROK SPEKTRUMA

347

Legyen most u ∈ L (E) formálisan szimmetrikus kompakt operátor és Im(u) végtelen dimenziós altér E -ben. A kiválasztási axiómával kombinált rekurzió tételét alkalmazva megmutatjuk olyan (en )n∈N ortonormált sorozat létezését E -ben, hogy minden N 3 n-re |(u(en )|en )| = ku|En k, ahol En := {ek |k ∈ n}⊥ . Az u operátor formálisan szimmetrikus, kompakt és nem nulla, ezért az el®z® lemmát alapján van olyan e0 ∈ E , hogy ke0 k = 1 és |(u(e0 )|e0 )| = kuk. Természetesen E0 = ∅⊥ = E , vagyis kuk = ku|E0 k. Legyen most n ∈ N∗ és tegyük fel, hogy (ek )k∈n olyan ortonormált rendszer E -ben, amelyre minden k ∈ n esetén |(u(ek )|ek )| = ku|Ek k teljesül, ahol Ek := {ej |j ∈ N}⊥ . Legyen En := {ek |k ∈ n}⊥ ; ekkor uhEn i ⊆ En és u|En 6= 0, különben En ⊆ Ker(u), azaz Im(u) ⊆ (Ker(u))⊥ ⊆ En⊥ = ⊕ Kek teljesülne, tehát dim(Im(u)) ≤ n volna, holott Im(u) k∈n

végtelen dimenziós altér E -ben. Ugyanakkor u|En kompakt és formálisan szimmetrikus operátor, ezért az el®z® lemmát alkalmazva u|En -re kapjuk olyan en ∈ En vektor létezését, hogy ken k = 1 és |((u|En )(en )|en )| = ku|En k, vagyis |(u(en )|en )| = ku|En k. Ekkor (ek )k∈n+1 olyan ortonormált rendszer E -ben, hogy minden k ∈ n + 1 esetén |(u(ek )|ek )| = ku|Ek k teljesül, ahol minden n + 1 3 k -ra Ek := {ej |j ∈ k}⊥ . Legyen tehát (en )n∈N olyan ortonormált sorozat E -ben, hogy minden N 3 n-re |(u(en )|en )| = ku|En k, ahol En := {ek |k ∈ n}⊥ . 14.5.3. alapján minden N 3 n-re en sajátvektora u|En -nek, így u-nak is, és a hozzá tartozó sajátérték az (u(en )|en ) valós szám. Nyilvánvaló, hogy az (ku|En k)n∈N valós számsorozat monoton fogyó, hiszen minden N 3 n-re En+1 ⊆ En . Állítjuk, hogy lim ku|En k = 0. Ha ugyanis nem így volna, akkor n→∞ létezne olyan c ∈ R∗+ , hogy minden N 3 n-re ku|En k ≥ c. Tehát ha minden n ∈ N esetén en , akkor az (xn )n∈N sorozat korlátos volna E -ben, így az u kompaktsága miatt x := ku|En k az (u(xn ))n∈N sorozatnak létezne konvergens részsorozata. De minden N 3 n-re fennáll az en (u(en )|en )en u(xn ) = = = εn en , ku|En k |(u(en )|en )| összefüggés, ahol εn := sign((u(en )|en )). Ezért m, n ∈ N és m 6= n esetén ku(xm ) − u(xn )k2 = kεm em − εn en k2 = 2, így az (u(xn ))n∈N sorozatnak még Cauchy-részsorozata sem létezik, ami ellentmondás. Ha most x ∈ E tetsz®leges, akkor minden N 3 n-re x − így

X

(x|ek )ek ∈ {ek |k ∈ n}⊥ = En ,

k∈n



X

(x|ek )(u(ek )|ek )ek

u(x) −

k∈n

≤

=



u



X

ku|En k x − (x|ek )ek

k∈n

x−

X k∈n

!

(x|ek )ek

≤ ku|En kkxk,

≤

348

14. FOLYTONOS LINEÁRIS OPERÁTOROK HILBERT-TEREK KÖZÖTT

hiszen az (ek )k∈n rendszer ortonormáltsága folytán nyilvánvalóan

2

X

x − (x|ek )ek



= kxk2 −

k∈n

és u(x) =

∞ X

|(x|ek )|2 ≤ kxk2 .

k∈n

Ezért x ∈ E esetén lim ku|En k = 0 miatt a n→∞

X

X k∈

(x|ek )(u(ek )|ek )ek sor konvergens E -ben,

N

(x|ek )(u(ek )|ek )ek . 

k=0

14.5.6. Állítás. Legyen E Hilbert-tér és u ∈ L (E). a) u ∈ GL(E) pontosan akkor teljesül, ha u∗ ∈ GL(E). Ha u ∈ GL(E), akkor (u−1 )∗ = (u∗ )−1 . b) Sp(u∗ ) = {λ|λ ∈ Sp(u)}.

Bizonyítás. a) Ha u ∈ GL(E), akkor az u ◦ u−1 = idE = u−1 ◦ u egyenl®ségb®l következik, hogy (u−1 )∗ ◦ u∗ = idE = u∗ ◦ (u−1 )∗ . b) Ha λ ∈ K, akkor λ ∈ / Sp(u) ekvivalens azzal, hogy λidE − u ∈ GL(E), vagyis az a) állítás alapján azzal, hogy λidE − u∗ ∈ GL(E). Ezért K \ Sp(u∗ ) = K \ {λ|λ ∈ Sp(u)} teljesül. 

14.5.7. Állítás. Ha E Hilbert-tér, akkor az u ∈ L (E) operátor pontosan akkor normális, ha minden x ∈ E esetén ku∗ (x)k = ku(x)k.

Bizonyítás. Ha u normális operátor, akkor minden x ∈ E esetén

ku(x)k2 = (u(x)|u(x)) = (u∗ (u(x))|x) = (u(u∗ (x))|x) = (u∗ (x)|u∗ (x)) = ku∗ (x)k2 . Megfordítva, tegyük fel, hogy minden x ∈ E vektorra ku∗ (x)k = ku(x)k teljesül. Ekkor K := C esetén a polarizációs formulát alkalmazva kapjuk, hogy minden x, y ∈ E vektorra: 3 3 1X 1X k k 2 ((u ◦ u)(x)|y) = (u(x)|u(y)) = i ku(x) + i u(y)k = ik ku(x + ik y)k2 = 4 k=0 4 k=0 ∗

=

3 3 1X 1X ik ku∗ (x + ik y)k2 = ik ku∗ (x) + ik u∗ (y)k2 = 4 k=0 4 k=0

= (u∗ (x)|u∗ (y)) = ((u ◦ u∗ )(x)|y), tehát u∗ ◦ u = u ◦ u∗ . A K := R esetben szintén a polarizációs formulát alkalmazva kapjuk, hogy minden x, y ∈ E vektorra:

((u∗ ◦ u)(x)|y) = (u(x)|u(y)) =

1 1X (−1)k ku(x) + (−1)k u(y)k2 = 2 k=0

14.5. HILBERT-TÉR FELETTI FOLYTONOS LINEÁRIS OPERÁTOROK SPEKTRUMA

= =

349

1 1 1X 1X (−1)k ku(x + (−1)k y)k2 = (−1)k ku∗ (x + (−1)k y)k2 = 2 k=0 2 k=0

1 1X (−1)k ku∗ (x) + (−1)k u∗ (y)k2 = (u∗ (x)|u∗ (y)) = ((u ◦ u∗ )(x)|y), 2 k=0

tehát u∗ ◦ u = u ◦ u∗ . 

14.5.8. Állítás. Legyen E Hilbert-tér és u ∈ L (E) normális operátor. a) Sps (u∗ ) = {λ|λ ∈ Sps (u)}, továbbá λ ∈ Sps (u) esetén az Eλ (u) és Eλ (u∗ ) sajátalterek megegyeznek. b) Ha λ, λ0 ∈ Sps (u) olyanok, hogy λ 6= λ0 , akkor az Eλ (u) és Eλ0 (u) sajátalterek ortogonálisak egymásra.

Bizonyítás. a) Legyen λ ∈ Sps (u) és x ∈ E \ {0} olyan, hogy u(x) = λx. Ekkor az u normálisságát kihasználva az el®z® állítás alapján kapjuk, hogy

kλx − u∗ (x)k2 = |λ|2 kxk2 + ku∗ (x)k2 − 2<(λ(x|u∗ (x))) = = |λ|2 kxk2 + ku(x)k2 − 2<(λ(u(x)|x)) = |λ|2 kxk2 + kλxk2 − 2<(λ(λx|x)) = 0, tehát u∗ (x) = λx. Ez azt jelenti, hogy {λ|λ ∈ Sps (u)} ⊆ Sps (u∗ ), és λ ∈ Sps (u) esetén Eλ (u) ⊆ Eλ (u∗ ). Ebb®l az u helyére u∗ -t téve kapjuk, hogy {λ|λ ∈ Sps (u∗ )} ⊆ Sps ((u∗ )∗ ) = Sps (u), és λ ∈ Sps (u∗ ) esetén Eλ (u∗ ) ⊆ Eλ ((u∗ )∗ ) = Eλ (u). b) Legyenek λ, λ0 ∈ Sps (u) és x, x0 ∈ E olyanok, hogy u(x) = λx és u(x0 ) = λ0 x0 . Az a) állítás szerint u∗ (x) = λx, ezért

λ0 (x0 |x) = (λ0 x0 |x) = (u(x0 )|x) = (x0 |u∗ (x)) = (x0 |λx) = λ(x0 |x), tehát (λ0 − λ)(x0 |x) = 0, így λ 6= λ0 esetén (x0 |x) = 0.  Ha u nem normális, akkor lehetséges az, hogy Sps (u∗ ) 6= {λ|λ ∈ Sps (u)}. Példaként 2 2 → lK2 az a leképezés, sorozatteret a k · k2 normával ellátva. Legyen u : lK tekintsük az lK 2 2 ) és esetén minden N 3 n-re (u(s))(n) := s(n + 1). Ekkor u ∈ L (lK amelyre s ∈ lK ∗ 2 2 ∗ 2 könnyen látható, hogy u : lK → lK az a leképezés, amelyre s ∈ lK esetén (u (s))(0) := 0 és minden N∗ 3 n-re (u(s))(n) := s(n − 1). Ekkor u ◦ u∗ = idlK2 , míg (u∗ ◦ u)(e0 ) = 0, ahol e0 az a számsorozat, amelyre minden n ∈ N esetén e0 (n) := δ0,n . Ezért u nem normális operátor, és 0 ∈ Sps (u), hiszen u(e0 ) = 0, azonban 0 ∈ / Sps (u∗ ), hiszen u∗ injektív operátor (s®t izometria).

14.5.9. Tétel. Ha E szeparábilis és végtelen dimenziós Hilbert-tér, továbbá u ∈ L (E) teljesen folytonos önadjungált operátor, akkor létezik E -ben olyan ortonormált bázissorozat, amelynek minden tagja sajátvektora u-nak.

350

14. FOLYTONOS LINEÁRIS OPERÁTOROK HILBERT-TEREK KÖZÖTT

Bizonyítás. Legyen E szeparábilis és végtelen dimenziós Hilbert-tér, továbbá u ∈ L (E) teljesen folytonos önadjungált operátor. A XII. fejezet, 1. pont, 18. gyakorlat szerint Sp(u) megszámlálható halmaz, és λ ∈ Sp(u) \ {0} esetén λ sajátértéke u-nak, továbbá az Eλ (u) sajátaltér véges dimenziós. Minden λ ∈ Sp(u) \ {0} esetén legyen nλ := dim(Eλ (u)), továbbá legyen (eλ,i )i∈nλ ortonormált bázis Eλ (u)-ban. Jelölje H az {eλ,i |(λ ∈ Sp(u) \ {0}) ∧ (i ∈ nλ )} halmaz által generált zárt lineáris alteret E -ben. Világos, hogy

{eλ,i |(λ ∈ Sp(u) \ {0}) ∧ (i ∈ nλ )} ⊆ Im(u) ⊆ Im(u) = (Im(u))⊥⊥ = = (Ker(u∗ ))⊥ = (Ker(u))⊥ . Ebb®l következik, hogy H ⊆ (Ker(u))⊥ . Ha Im(u) végtelen dimenziós, akkor a 4. gyakorlat d) pontja szerint Im(u) ⊆ H , ezért (Ker(u))⊥ = Im(u) ⊆ H , vagyis H = (Ker(u))⊥ teljesül. Ezért a Riesz-féle felbontási tétel alapján E = Ker(u) ⊕ (Ker(u))⊥ = Ker(u) ⊕ H . Ha most Ker(u) = {0} (vagyis u injektív operátor), akkor E = H , így (eλ,i )λ∈Sp(u)\{0}, i∈nλ olyan ortonormált rendszer, amelynek létezését állítottuk. (Itt megjegyezzük, hogy szeparábilis végtelen dimenziós Hilbert-térben létezik injektív teljesen folytonos operátor, amit majd a XII. fejezet, 8. pont, 3. gyakorlatban fogunk igazolni.) Ha viszont Ker(u) 6= {0}, akkor a 0 szám sajátértéke u-nak és E0 (u) = Ker(u). Ebben az esetben a Ker(u) normált altér szeparábilis Hilberttér (ugyanis szeparábilis metrikus tér metrikus alterének szeparabilitása nyilvánvalóan következik az V. fejezet, 3. pontjának utolsó állításából), ezért a 6. pont utolsó állítása alapján van olyan A megszámlálható (esetleg véges) halmaz és olyan (eα )α∈A ortonormált rendszer Ker(u)-ban, amely ortonormált bázis a Ker(u) Hilbert-altérben. Ekkor az (eα )α∈A és (eλ,i )λ∈Sp(u)\{0}, i∈nλ rendszerekb®l könnyen el®állítható E -ben ortonormált bázis (elég "összef¶zni" ezeket a rendszereket); és ennek a rendszernek minden tagja sajátvektora u-nak. 

14.6.

Spektráltétel véges dimenziós Hilbert-tér normális operátoraira

14.6.1. Lemma. Ha E nem nulla dimenziós, véges dimenziós, komplex vektortér, akkor minden E → E lineáris operátornak létezik sajátértéke.

Bizonyítás. Ha u : E → E lineáris operátor, akkor z ∈ C esetén a "z sajátértéke u-nak" kijelentés azzal ekvivalens, hogy z.idE − u nem injektív, ami azzal egyenérték¶, hogy det(z.idE − u) = 0. De minden u : E → E lineáris operátorra a

C → C;

z 7→ det(z.idE − u)

14.6. SPEKTRÁLTÉTEL VÉGES DIMENZIÓS HILBERT-TÉR NORMÁLIS OPERÁTORAIRA

351

leképezés dim(E)-ed fokú polinomiális függvény, így dim(E) ≥ 1 miatt az algebra alaptétele szerint ennek létezik gyöke, vagyis létezik olyan z ∈ C, amelyre hogy det(z.idE − u) = 0. 

14.6.2. Lemma. Legyen E Hilbert-tér, u ∈ L (E) normális operátor és X

H :=

Eλ (u) :=

λ∈Sps (u)

8 <

:= :

X

„

xλ |

(xλ )λ∈Sps (u) ∈

λ∈Sps (u)

9 =

Ž

Y

Eλ (u)

λ∈Sps (u)

∧ ({λ ∈ Sps (u)(u)|xλ 6= 0} véges); .

Ekkor fennállnak a következ® összefüggések:

uhHi ⊆ H,

u∗ hHi ⊆ H,

uhH ⊥ i ⊆ H ⊥ .

Bizonyítás. Nyilvánvaló, hogy λ ∈ Sps (u) esetén uhEλ (u)i = λ.Eλ (u) ⊆ Eλ (u), amib®l u additivitása folytán azonnal következik, hogy uhHi ⊆ H . (Ez akkor is igaz, ha u nem normális operátor.) Ha λ ∈ Sps (u) és x ∈ Eλ (u), akkor u(x) = λ.x, ezért kihasználva u normálisságát kapjuk, hogy u(u∗ (x)) = u∗ (u(x)) = u∗ (λ.x) = λ.u∗ (x), ezért u∗ (x) ∈ Eλ (u), ami azt jelenti, hogy u∗ hEλ (u)i ⊆ hEλ (u)i. Ebb®l u∗ additivitása folytán azonnal következik, hogy u∗ hHi ⊆ H . Ha x ∈ H ⊥ és y ∈ H , akkor az el®z® bekezdés szerint u∗ (y) ∈ H , ezért (u(x)|y) = (x|u∗ (y)) = 0, így u(x) ∈ H ⊥ , vagyis uhH ⊥ i ⊆ H ⊥ . 

14.6.3. Tétel. (Spektráltétel véges dimenziós Hilbert-tér normális operátoraira.) Ha E nem nulla dimenziós, véges dimenziós, komplex Hilbert-tér, és u ∈ L (E)

normális operátor, akkor

X

Ez (u) = E

z∈Sps (u)

és

X

u=

z.PEz (u) .

z∈Sps (u)

Bizonyítás. Az Sps (u) halmaz megegyezik a

C → C;

z 7→ det(z.idE − u)

polinomiális függvény gyökeinek halmazával, tehát nem üres és véges. Legyen

H :=

X λ∈Sps (u)

Eλ (u),

352

14. FOLYTONOS LINEÁRIS OPERÁTOROK HILBERT-TEREK KÖZÖTT

amelyr®l 14.6.2. alapján tudjuk, hogy uhH ⊥ i ⊆ H ⊥ . Ha H 6= E , akkor H ⊥ nem nulla dimenziós komplex vektortér és u|H ⊥ : H ⊥ → H ⊥ lineáris operátor, így 14.6.1. szerint az u|H ⊥ operátornak létezik sajátértéke, vagyis létezik olyan z ∈ C és x ∈ H ⊥ , hogy x 6= 0 és (u|H ⊥ )(x) = z.x; ekkor x a z sajátértékhez tartozó sajátvektora u-nak is, ezért z ∈ Sps (u), és x ∈ Ez (u) ⊆ H , így x ∈ H ⊥ miatt x = 0, ami lehetelen. Ezért H = E , ami azt jelenti, hogy X Ez (u) = E. z∈Sps (u)

Ha x ∈ E tetsz®leges, akkor az imént bizonyított egyenl®ségb®l következik olyan X Y (xz )z∈Sps (u) ∈ Ez (u) rendszer létezése, hogy x = xz , következésképpen z∈Sps (u)

z∈Sps (u)

u(x) =

X

X

u(xz ) =

z∈Sps (u)

z.xz ,

z∈Sps (u)

ugyanakkor z, z 0 ∈ Sps (u) és z 6= z 0 esetén Ez (u)⊥Ez0 (u) (14.5.8.), ezért minden z ∈ Sps (u) esetén PEz (u) (x) = xz , így X

u(x) =

z.PEz (u) (x),

z∈Sps (u)

ami azt jelenti, hogy u =

X

z.PEz (u) . 

z∈Sps (u)

14.6.4. Következmény. Ha E véges dimenziós, komplex Hilbert-tér, és u ∈ L (E) normális operátor, akkor Sps (u) ⊆ {1} esetén u = idE .

Bizonyítás. Ha E nulla dimenziós, akkor az állítás triviálisan igaz. Ha E nem nulla dimenziós, akkor 14.6.1. alapján Sps (u) = {1}, ezért 14.6.3. szerint X

E1 (u) =

Ez (u) = E,

z∈Sps (u)

tehát PE1 (u) = idE , és

u=

X

z.PEz (u) = PE1 (u) ,

z∈Sps (u)

tehát u = idE . 

14.7.

Gyakorlatok

1. Legyenek E , F normált terek és u ∈ L (E; F ). Ekkor képezhet® az u operátor topologikus transzponáltja, vagyis az az u0 ∈ L (F 0 ; E 0 ) operátor, amelyre minden f ∈ F 0 esetén u0 (f ) := f ◦ u (VI. fejezet, 2. pont, 16. gyakorlat). Ha E Hilbert-tér és F

353

14.7. GYAKORLATOK

prehilbert-tér, akkor u∗ = JE−1 ◦ u0 ◦ JF . (Útmutatás. Ha y ∈ F , akkor a deníciók alapján minden E 3 x-re

(x|(JE−1 ◦ u0 ◦ JF )(y)) = (x|JE−1 (u0 (JF (y))) = = (u0 (JF (y))|x) = (JF (y))(u(x)) = (u(x)|y), ezért az u∗ értelmezése szerint u∗ = JE−1 ◦ u0 ◦ JF .)

2. Legyen E normált tér és F prehilbert-tér K felett. Ha u ∈ L (E; F ), akkor a bu : E × F → K;

(x, y) 7→ (u(x)|y)

leképezés folytonos konjugált-bilineáris funkcionál. Ha F teljes, akkor minden b : E × F → K folytonos konjugált-bilineáris funkcionálhoz létezik egyetlen olyan u ∈ L (E; F ), amelyre bu = b. Ebb®l kiindulva adjunk új bizonyítást arra, hogy ha E Hilbert-tér, F prehilbert-tér, és u ∈ L (E; F ), akkor létezik egyetlen olyan u∗ ∈ L (F ; E) operátor, amelyre minden x ∈ E és y ∈ F esetén (u(x)|y) = (x|u∗ (y)) teljesül. (Útmutatás. Legyen b : E × F → K folytonos konjugált bilineáris funkcionál, és x ∈ E rögzített. Tekintsük az F → K; y 7→ b(x, y) leképezést, ami folytonos lineáris funkcionál F felett. A Riesz-féle reprezentációs tétel alapján létezik egyetlen olyan z ∈ F vektor, hogy JF (z) egyenl® ezzel a funkcionállal, vagyis minden F 3 y -ra (y|z) = (JF (z))(y) = b(x, y); ezért jól értelmezett az az u : E → F függvény, amelyre x ∈ E és y ∈ F esetén (u(x)|y) = b(x, y) teljesül. Az u leképezés lineáris operátor, mert ha x1 , x2 ∈ E , akkor u(x1 ) + u(x2 ) ∈ F olyan vektor, hogy minden F 3 y -ra

(u(x1 ) + u(x2 )|y) = (u(x1 )|y) + (u(x2 )|y) = b(x1 , y) + b(x2 , y) = = b(x1 + x2 , y) = (u(x1 + x2 )|y), tehát u(x1 ) + u(x2 ) = u(x1 + x2 ), továbbá, ha x ∈ E és λ ∈ K, akkor λu(x) ∈ F olyan vektor, hogy minden F 3 y -ra

(λu(x)|y) = λ(u(x)|y) = λb(x, y) = b(λx, y) = (u(λx)|y), tehát λu(x) = u(λx). Az u : E → F lineáris operátor folytonos, mert a b konjugált bilineáris leképezés folytonossága miatt létezik olyan C ∈ R+ , hogy minden (x, y) ∈ E × F esetén |b(x, y)| ≤ Ckxkkyk, tehát minden E 3 x-re

ku(x)k =

sup y∈F, kyk≤1

|(u(x)|y)| =

sup y∈F, kyk≤1

|b(x, y)| ≤ Ckxk.

354

14. FOLYTONOS LINEÁRIS OPERÁTOROK HILBERT-TEREK KÖZÖTT

Végül, a deníció alapján triviális, hogy fennáll a bu = b egyenl®ség. Ha E Hilbert-tér és F prehilbert-tér, akkor nyilvánvaló, hogy az

F × E → K;

(y, x) 7→ (y|u(x))

leképezés konjugált-bilineáris funkcionál, és folytonos is, mert a Cauchy-Schwartzegyenl®tlenség alapján x ∈ E és y ∈ F esetén |(y|u(x))| ≤ kukkxkkyk. Az el®z® tétel alapján létezik egyetlen olyan u∗ ∈ L(F ; E), hogy minden y ∈ F és x ∈ E esetén (y|u(x)) = (u∗ (y)|x) teljesül, vagy ami ugyanaz: (u(x)|y) = (x|u∗ (y)).)

5. Legyen E Hilbert-tér és F prehilbert-tér. Ha u ∈ L (E; F ) olyan operátor, hogy u∗ ◦u

teljesen folytonos, akkor u is teljesen folytonos. Ha F is Hilbert-tér és u ∈ L (E; F ) teljesen folytonos operátor, akkor u∗ ∈ L (F ; E) is teljesen folytonos operátor. (Útmutatás. Tegyük fel, hogy az u∗ ◦ u ∈ L (E) operátor teljesen folytonos. Legyen (xn )n∈N korlátos sorozat E -ben és C ∈ R∗+ olyan, hogy minden N 3 n-re kxn k ≤ C . A XII. fejezet, 1. pont, 16. gyakorlat b) része szerint létezik olyan σ : N → N szigorúan monoton növ® függvény, hogy ((u∗ ◦ u)(xσ(m) ))m∈N Cauchy-sorozat E -ben. Ha j, k ∈ N, akkor ku(xσ(j) ) − u(xσ(k) )k2 = ((u∗ ◦ u)(xσ(j) − xσ(k) )|xσ(j) − xσ(k) ) =

= |((u∗ ◦ u)(xσ(j) − xσ(k) )|xσ(j) − xσ(k) )| ≤ ≤ k(u∗ ◦ u)(xσ(j) ) − (u∗ ◦ u)(xσ(k) )kkxσ(j) − xσ(k) )k ≤ ≤ 2Ck(u∗ ◦ u)(xσ(j) ) − (u∗ ◦ u)(xσ(k) )k, amib®l látható, hogy (u(xσ(m) ))m∈N Cauchy-sorozat F -ben. Ebb®l a XII. fejezet, 1. pont, 16. gyakorlat b) része alapján kapjuk, hogy u is teljesen folytonos operátor. Ha F teljes és u ∈ L (E; F ) teljesen folytonos operátor, akkor XII. fejezet, 1. pont, 16. gyakorlat c) része szerint u ◦ u∗ ∈ L (F ) is teljesen folytonos, és ez az operátor egyenl® az (u∗ )∗ ◦ u∗ operátorral. Az el®z® állítást alkalmazva u helyett az u∗ operátorra (E -t és F -t felcserélve) kapjuk, hogy u∗ is teljesen folytonos.)

7. Megmutatjuk, hogy létezik olyan (T, R, θ) K-mértéktér, F Hilbert-tér K felett

és olyan f : T → K függvény, amely skalárisan θ-elt¶n®, de nem θ-elt¶n® (és akkor f szükségképpen nem θ-mérhet®). Ehhez jelölje R az R véges részhalmazainak halmazgy¶r¶jét, legyen µ : R → R+ a számláló mérték, és jelölje F az LC2 (R, R, µ) Hilbert-teret (XII. fejezet, 6. pont, 12. gyakorlat). Minden t ∈ R esetén legyen et ∈ F az a függvény, amelyre minden R 3 s-re et (s) := δs,t ; ekkor (et )t∈R ortonormált bázis az F Hilbert-térben. Tekintsük az (R, RR , µR ) mértékteret, és értelmezzük az f : R → F ; t 7→ et függvényt. Ha u ∈ F 0 , akkor a Riesz-féle reprezentációs tétel szerint egyértelm¶en létezik az a gu ∈ F függvény, amelyre minden F 3 h-ra (h|gu ) = u(h),

355

14.7. GYAKORLATOK

ahol (·|·) az F Hilbert-tér skalárszorzása. Tehát u ∈ F 0 esetén minden R 3 t-re (u ◦ f )(t) = u(et ) = (et |gu ) = gu (t), vagyis gu = u ◦ f . De a XII. fejezet, 6. pont, 9. gyakorlat szerint minden F 0 3 u-ra az ((et |gu ))t∈R rendszer szummálható C-ben, így a XII. fejezet, 6. pont, 8. gyakorlat c) része alapján a {t ∈ R|(et |gu ) 6= 0} halmaz megszámlálható, tehát µR -elt¶n® halmaz. Ez azt jelenti, hogy minden F 0 3 u-ra az u ◦ f függvény µR -elt¶n®, vagyis f skalárisan µR -elt¶n®, ugyanakkor minden R 3 t-re f (t) := et 6= 0, vagyis f nem µR -elt¶n®.

8. Ha (T, R, θ) K-mértéktér és F szeparábilis normált tér, akkor bármely f : T → F

függvényre: f pontosan akkor skalárisan θ-elt¶n®, ha θ-elt¶n®. Speciálisan, ha F véges dimenziós, akkor a T → F skalárisan θ-elt¶n® függvények halmaza egyenl® a T → F θ-elt¶n® függvények halmazával.

9. Legyen (T, R, µ) pozitív mértéktér és F Hilbert-tér. Legyen σ : T → T olyan −1

−1

függvény, hogy minden E ∈ R esetén a σ hEi halmaz µ-integrálható és µ( σ hEi) = µ(E) (itt az egyenl®ség bal oldalán a µ mérték kiterjesztése áll a µ-integrálható halmazok δ gy¶r¶jére). Legyen w ∈ L (F ) tetsz®leges operátor. a) Minden ψ ∈ LF2 (T, R, µ) esetén w ◦ ψ ◦ σ ∈ LF2 (T, R, µ), és egyértelm¶en létezik olyan uw,σ : L2F (T, R, µ) → L2F (T, R, µ) lineáris operátor, amelyre minden ψ ∈ LF2 (T, R, µ) esetén

uw,σ (ψ • ) = (w ◦ ψ ◦ σ)• . Továbbá, az uw,σ operátor folytonos és kuw,σ k ≤ kwk. b) Ha a w operátor izometria, akkor az uw,σ operátor is izometria. c) Ha σ bijekció és minden R 3 E -re a σhEi halmaz µ-integrálható, akkor jól értelmezett az uw∗ ,σ−1 operátor is, és uw∗ ,σ−1 = (uw,σ )∗ . d) Ha a w operátor önadjungált, akkor az uw,idT operátor önadjungált. Ha a w operátor unitér és σ olyan bijekció, hogy minden R 3 E -re a σhEi halmaz µ-integrálható, akkor az uw,σ operátor unitér. (Megjegyzés. A nemrelativisztikus kvantummechanikában az adott térirányú spinoperátorok uw,idT alakúak, ahol w önadjungált operátor és F véges dimenziós. Megjegyezzük még, hogy a σ és µ kapcsolatára megfogalmazott feltételt a µ mérték σ invarianciájának nevezzük.) (Útmutatás. Legyen ψ ∈ EF (T, R), és X (Ei )i∈I olyan véges diszjunkt rendszer R -ben és X (zi )i∈I olyan rendszer F -ben, hogy ψ = zi χEi . Ekkor w◦ψ◦σ = w(zi )χ−1 és a hii∈I

i∈I

−1

potézis szerint minden I 3 i-re a σ hEi i halmaz µ-integrálható, így χ−1

σ hEi i

σ hEi i

∈ LR2 (T, R, µ),

356

14. FOLYTONOS LINEÁRIS OPERÁTOROK HILBERT-TEREK KÖZÖTT −1

tehát w ◦ ψ ◦ σ ∈ LF2 (T, R, µ). Továbbá, a ( σ hEi i)i∈I halmazrendszer diszjunkt, ezért X

kw ◦ ψ ◦ σk2 =

kw(zi )k2 χ−1

,

σ hEi i

i∈I

így a µ mérték σ -invarianciája következtében fennállnak a

kw ◦ ψ ◦ σk2µ,2 =

Z

kw ◦ ψ ◦ σk2 dµ =

=

i∈I

2

µ(Ei )kw(zi )k =

Z X T

−1

µ( σ hEi i)kw(zi )k2 =

i∈I

T

X

X

i∈I

2χ

kw(zi )k

Ei

Z

dµ =

kw ◦ ψk2 dµ ≤ kwk2 kψk2µ,2

T

összefüggések. Ebb®l azonnal látható, hogy az EF (T, R)• := {ψ • |ψ ∈ EF (T, R)} ⊆ L2F (T, R, µ) lineáris altéren egyértelm¶en értelmezhet® az az L2F (T, R, µ)-be ható lineáris operátor, amely minden ψ ∈ EF (T, R) esetén ψ • -hoz a (w ◦ ψσ)• értéket rendeli. S®t azt is látjuk, hogy ha w izometria, akkor ez az operátor is izometria. Az általános esetben ez a lineáris operátor folytonos és a normája kisebb-egyenl® a kwk számnál. Ezért a s¶r¶ altéren folytonos lineáris operátorok kiterjesztési tétele alapján ez az operátor egyértelm¶en kiterjeszthet® L2F (T, R, µ) → L2F (T, R, µ) folytonos lineáris operátorrá, amelynek a normája szintén kisebb-egyenl® a kwk számnál; jelölje uw,σ ezt a kiterjesztést. Az egyenl®ségek folytatásának elvéb®l következik, hogy ha w izometria, akkor uw,σ is izometria. Megmutatjuk, hogy minden ψ ∈ LF2 (T, R, µ) esetén w ◦ ψ ◦ σ ∈ LF2 (T, R, µ), és fennáll az uw,σ (ψ • ) = (w ◦ ψ ◦ σ)• egyenl®ség. Legyen ψ ∈ LF2 (T, R, µ) rögzített, és vegyünk olyan (ψk )k∈N sorozatot EF (T, R)-ben, amely a k · kµ,2 félnorma szerint konvergál ψ -hez és a T halmazon µ-majdnem mindenütt is konvergál ψ -hez (ilyen a Riesz-Fischer-tétel alapján létezik). Ekkor (w ◦ ψk ◦ σ)k∈N Cauchy-sorozat a k · kµ,2 félnorma szerint, mert az imént bizonyított egyenl®tlenséget minden j, k ∈ N esetében felírva ψ helyett a ψj − ψk lépcs®sfüggvényre

kw ◦ ψj ◦ σ − w ◦ ψk ◦ σkµ,2 = kw ◦ (ψj − ψk ) ◦ σkµ,2 ≤ kwkkψj − ψk kµ,2 adódik. Tehát a Riesz-Fischer-tétel alapján létezik olyan ψ 0 ∈ LF2 (T, R, µ) és olyan π : N → N szigorúan monoton növ® függvény, hogy a (w ◦ ψπ(j) ◦ σ)j∈N függvénysorozat konvergál ϕ0 -höz a k · kµ,2 félnorma szerint és a T halmazon µ-majdnem mindenütt. A (w◦ψπ(j) )j∈N függvénysorozat µ-majdnem mindenütt konvergál a w◦ψ függvényhez, mert w folytonos és (ψπ(j) )j∈N konvergál ψ -hez µ-majdnem mindenütt. Tehát ha N azon t ∈ T € Š pontok halmaza, amelyekre a (w ◦ ψπ(j) )(t) j∈N vektorsorozat nem konvergál (w ◦ ψ)(t)€

Š

hez F -ben, akkor µ∗ (N ) = 0. Ha t ∈ T olyan pont, hogy a (w ◦ ψπ(j) ◦ σ)(t) −1

j∈

N

vektorsorozat nem konvergál (w ◦ ψσ)(t)-hez F -ben, akkor σ(t) ∈ N , azaz t ∈ σ hN i. −1 Ugyanakkor a σ hN i halmaz µ-elt¶n® halmaz, mert a µ-elt¶n® halmazok mértékelméleti

357

14.7. GYAKORLATOK

jellemzése (IX. fejezet, 2. pont utolsó állítása) alapján minden R∗+ 3 ε-hoz létezik olyan (Ek )k∈N sorozat R -ben, hogy N ⊆

σ -invarianciája miatt 

−1

‹

[ −1

µ∗ σ hN i ≤ µ∗

N

k∈

[

k∈

!

σ hEk i ≤

N

∞ X

Ek és

µ(Ek ) < ε; ekkor a µ mérték

k=0

∞ X

−1

µ∗ ( σ hEk i) =

k=0

∞ X

µ(Ek ) < ε,

k=0

−1

tehát µ∗ ( σ hN i) = 0. Ebb®l következik, hogy a (w ◦ ψπ(j) ◦ σ)j∈N függvénysorozat µmajdnem mindenütt konvergál w ◦ ψ ◦ σ -hoz, így w ◦ ψ ◦ σ = ψ 0 ∈ LF2 (T, R, µ) a T halmazon µ-majdnem mindenütt, tehát w ◦ ψ ◦ σ ∈ LF2 (T, R, µ). Ugyanakkor

(w ◦ ψ ◦ σ)• = (ψ 0 )• = lim (w ◦ ψπ(j) ◦ σ)• = lim uw,σ ((ψπ(j) )• ) = uw,σ (ψ • ) j→∞

j→∞

teljesül L2F (T, R, µ)-ben, mert a (w ◦ ψπ(j) ◦ σ)j∈N függvénysorozat konvergál ψ 0 -höz a k · kµ,2 félnorma szerint, és uw,σ folytonos. Ezzel az a) és b) állításokat igazoltuk. −1

Legyen σ olyan bijekció, hogy minden R 3 E -re a σhEi és σ hEi halmazok µintegrálhatók. Ha ϕ, ψ ∈ LF2 (T, R, µ), akkor

(uw,σ (ψ • )|ϕ• )µ,2 =

Z

Z

(w ◦ ψ ◦ σ|ϕ) dµ = T

Z

=

(ψ|w∗ ◦ ϕ ◦ σ −1 ) ◦ σ dµ =

T

(ψ|w∗ ◦ ϕ ◦ σ −1 ) dµ = (ψ • |uw∗ ,σ−1 (ϕ• ))µ,2 ,

T

mert könnyen látható, hogy (ψ|w∗ ◦ ϕ ◦ σ −1 ) ∈ LK1 (T, R, µ), és minden f ∈ LK1 (T, R, µ) esetén a µ mérték σ -invarianciája miatt f ◦ σ ∈ LK1 (T, R, µ) és Z

Z

(f ◦ σ) dµ = T

f dµ T

teljesül, hiszen a IX. fejezet, 6. pont, 8. gyakorlat eredményeit alkalmazhatjuk, mivel σ(µ) = µ és f ∈ LK1 (T, R, σ(µ)). Ezért uw∗ ,σ−1 = (uw,σ )∗ teljesül, vagyis c)-t igazoltuk. A d) bizonyításához elég c)-re és a)-ra hivatkozni, gyelembe véve azt a könnyen igazolható állítást, hogy ha w1 , w2 ∈ L (F ) és σ1 , σ2 : T → T olyan függvények, hogy E ∈ −1 −1 −1 −1 R esetén a σ1 hEi és σ2 hEi halmazok µ-integrálhatók és µ(σ1 hEi) = µ(E) = µ(σ2 hEi), akkor uw1 ,σ1 ◦ uw2 ,σ2 = uw1 ◦w2 ,σ1 ◦σ2 .)

10. Legyen E Hilbert-tér és u ∈ L (E) idempotens operátor, vagyis u = u2 . Ekkor Im(u) zárt lineáris altér E -ben, és a következ® állítások ekvivalensek.

358

14. FOLYTONOS LINEÁRIS OPERÁTOROK HILBERT-TEREK KÖZÖTT

(i) u = u∗ (így u projektor). (ii) (Im(u))⊥ = Ker(u). (iii) (Ker(u))⊥ = Im(u). (iv) Im(u)⊥Ker(u). (v) u = PIm(u) . Megfordítva, minden H ⊆ E zárt lineáris altérre PH ∈ L (E) projektor, és ha P(E) jelöli az E projektorainak halmazát, és M(E) jelöli az E zárt lineáris altereinek halmazát, akkor a P(E) → M(E); u 7→ Im(u),

M(E) → P(E);

H 7→ PH

leképezések olyan bijekciók, amelyek egymás inverzei. (Megjegyzés. Ez az állítás azért fontos, mert megmutatja, hogy Hilbert-tér zárt lineáris altereinek halmaza és a projektorainak halmaza kitüntetett módon (kanonikusan) azonosítható. Ezáltal a Hilbert-terek zárt lineáris altereivel kapcsolatos (tehát geometriai) állítások lefordíthatók a projektorokkal kapcsolatos (tehát algebrai) kijelentésekre, és fordítva.) (Útmutatás. Az Im(u) altér zárt, mert ha y ∈ Im(u), akkor van olyan (xn )n∈N sorozat E -ben, hogy y = lim u(xn ), tehát az u folytonossága és idempotenciája miatt n→∞ u(y) = lim u(u(xn )) = lim u(xn ) = y , vagyis y = u(y) ∈ Im(u). n→∞

n→∞

Az (i)⇒(ii) következtetés nyilván helyes, mert (Im(u))⊥ = Ker(u∗ ). A (ii)⇒(iii) implikáció azért igaz, mert Im(u) zárt, tehát Im(u) = Im(u) = (Im(u))⊥⊥, tehát ha (Im(u))⊥ = Ker(u), akkor (Ker(u))⊥ = Im(u). A (iii)⇒(iv) állítás triviális. A (iv)⇒(v) következtetés bizonyítához legyen x ∈ E tetsz®leges. Azt kell igazolni, hogy

ku(x) − xk =

inf ky − xk,

y∈Im(u)

hiszen a PIm(u) operátor deníciója alapján ez az egyenl®ség azt jelenti, hogy u(x) = PIm(u) (x). Ha y ∈ Im(u) tetsz®leges, akkor y − u(x) ∈ Im(u) és u(x) − x ∈ Ker(u), ezért a (iv) miatt (y − u(x)|u(x) − x) = 0, így

ky − xk2 = k(y − u(x)) + (u(x) − x)k2 = ky − u(x)k2 + ku(x) − xk2 ≥ ku(x) − xk2 , ezért ky − xk ≥ ku(x) − xk, amib®l u(x) ∈ Im(u) alapján következik a bizonyítandó egyenl®ség. Az (v)⇒(i) következtetés bizonyítához megmutatjuk, hogy minden H ⊆ E zárt lineáris altérre a PH operátor önadjungált. Valóban, ha x, y ∈ E , akkor PH (x) ∈ H és a Riesz-féle felbontási tétel szerint y − PH (y) ∈ H ⊥ , ezért

(PH (x)|y) = (PH (x)|y − PH (y)) + (PH (x)|PH (y)) = (PH (x)|PH (y)).

14.7. GYAKORLATOK

359

Ugyanakkor x, y ∈ E esetén PH (y) ∈ H és a Riesz-féle felbontási tétel szerint x−PH (x) ∈ H ⊥ , ezért

(x|PH (y)) = (x − PH (x)|PH (y)) + (PH (x)|PH (y)) = (PH (x)|PH (y)), amib®l következik, hogy (PH (x)|y) = (PH (x)|PH (y)) = (x|PH (y)), így PH = PH∗ . Ezzel az öt állítás ekvivalenciáját igazoltuk, és megmutattuk, hogy minden H ⊆ E zárt lineáris altérre a PH operátor önadjungált, továbbá folytonos és idempotens is, tehát projektor. Azt is tudjuk, hogy minden H ⊆ E zárt lineáris altérre H = Im(PH ), amib®l azonnal következik az utolsó állítás.)

360

14. FOLYTONOS LINEÁRIS OPERÁTOROK HILBERT-TEREK KÖZÖTT

15. fejezet Lineáris operátorok Hilbert-terek között 15.1.

A Heisenberg-féle felcserélési reláció

A kvantummechanika heurisztikus megalapozásában dönt® jelent®sége van a Heisenberg-féle felcserelési relációnak eleget tev® operátorok el®állításának. Pontosabban, olyan E 6= {0} komplex Hilbert-teret (esetleg prehilbert-teret) keresünk, amelyben léteznek olyan q és p önadjungált operátorok, amelyekre [q, p] = i~.idE teljesül, ahol ~ egy 0-nál nagyobb valós szám, és [q, p] a q és p operátorok kommutátora, tehát [q, p] := q ◦ p − p ◦ q . Ha itt q és p mindketten E → E lineáris operátorok, akkor [q, p] szintén E → E lineáris operátor, tehát ilyenkor azt várjuk el, hogy a [q, p] kommutátor az identikus operátor nem nulla számszorosa legyen. A következ® állítás megmutatja, hogy a Heisenberg-féle felcserélési reláció nem elégíthet® ki nemtriviálisan folytonos lineáris operátorokkal.

15.1.1. Állítás. Legyen E normált tér K felett, és legyenek q, p ∈ L (E) olyan

operátorok, valamint λ ∈ K olyan szám, hogy

[q, p] = λ.idE , ahol [q, p] := q ◦ p − p ◦ q . Ekkor E 6= {0} esetén λ = 0, tehát [q, p] = 0, azaz q ◦ p = p ◦ q . Bizonyítás. El®ször teljes indukcióval igazoljuk, hogy minden n ∈ N∗ esetén [q, pn ] = nλpn−1 . Ez n := 1 esetén a [q, p] = λ.idE feltétel alapján igaz. Ha n ∈ N∗ és az állítás igaz n-re, akkor az indukciós hipotézis alkalmazásával

[q, pn+1 ] = q ◦ pn+1 − pn+1 ◦ q = (q ◦ pn ) ◦ p − pn+1 ◦ q = 361

362

15. LINEÁRIS OPERÁTOROK HILBERT-TEREK KÖZÖTT

= (pn ◦ q + nλpn−1 ) ◦ p − pn+1 ◦ q = (pn ◦ q) ◦ p + nλpn − pn+1 ◦ q = = pn ◦ (q ◦ p) + nλpn − pn+1 ◦ q = pn ◦ (p ◦ q + λ.idE ) + nλpn − pn+1 ◦ q = = pn+1 ◦ q + λpn + nλpn − pn+1 ◦ q = (n + 1)λp(n+1)−1 adódik. Tehát ha n ∈ N∗ , akkor

n|λ|kpn−1 k = k[q, pn ]k = k(q ◦ p) ◦ pn−1 − pn−1 ◦ (p ◦ q)k ≤ ≤ (kq ◦ pk + kp ◦ qk)kpn−1 k. Feltesszük, hogy E 6= {0}; ekkor két kizáró eset lehetséges. (I) p nilpotens operátor, tehát van olyan n ∈ N∗ , hogy pn = 0; ekkor legyen m := min{n ∈ N∗ |pn = 0}. Ha m > 1, akkor pm−1 6= 0 és pm = 0, így 0 = [q, pm ] = mλpm−1 , tehát λ = 0. Ha m = 1, akkor p = p1 = 0, ezért 0 = [q, p] = λ.idE , tehát idE 6= 0 miatt λ = 0 (itt használtuk ki, hogy E 6= {0}). (II) p nem nilpotens operátor, tehát minden n ∈ N∗ esetén pn 6= 0. Ekkor minden N∗ 3 n-re az imént bizonyított egyenl®tlenségb®l

|λ| ≤

1 (kq ◦ pk + kp ◦ qk) n

következik, tehát λ = 0. 

Példa. Legyen n ∈ N∗ és jelölje C0∞ (Rn ; C) az Rn → C kompakt tartójú, végtelenszer

dierenciálható függvények terét. Minden k ∈ n esetén legyen

qk : C0∞ (Rn ; C) → C0∞ (Rn ; C);

ϕ 7→ prk · ϕ,

ahol prk : Rn → R a k -adik projekció-függvény, és legyen

pk : C0∞ (Rn ; C) → C0∞ (Rn ; C);

ϕ 7→ −i~∂k ϕ,

ahol ~ ∈ R∗+ egy rögzített szám. Nyilvánvaló, hogy minden n 3 k -ra qk és pk lineáris operátorok, és triviális számolással belátható, hogy minden j, k ∈ n esetén

[qj , pk ] = i~δj,k idC0∞ (Rn ;C) , tehát minden n 3 k -ra a qk és pk operátorok kielégítik a Heisenberg-féle felcserélési relációt. Az el®z® állításból következik, hogy nem létezik olyan norma a C0∞ (Rn ; C) függvénytér felett, amely szerint minden n 3 k -ra a qk és pk operátorok folytonosak.

15.2. S–R–N ÉRTELMEZETT LINEÁRIS OPERÁTOR ADJUNGÁLTJA

15.2.

363

S¶r¶n értelmezett lineáris operátor adjungáltja

15.2.1. Állítás. Legyen E Hilbert-tér, F prehilbert-tér, és u : E  F olyan lineáris

operátor, amelyre Dom(u) s¶r¶ lineáris altere E -nek (ilyenkor azt mondjuk, hogy u

s¶r¶n értelmezett ). Ekkor létezik egyetlen olyan u∗ : F  E függvény, amelyre Dom(u∗ ) = {y ∈ F | (u(·)|y) : Dom(u) → K folytonos lineáris funkcionál}, és teljesül az, hogy

(∀x ∈ Dom(u))(∀y ∈ Dom(u∗ )) : (u(x)|y) = (x|u∗ (y)). Ez az u∗ : F  E leképezés lineáris operátor, és ha u ∈ L (E; F ), akkor az így értelmezett u∗ operátor megegyezik az u (korábban értelmezett) adjungáltjával. Bizonyítás. A JF : F → F 0 leképezés konjugált-linearitásából következik, hogy a Dom(u∗ ) halmaz lineáris altere F -bek. Legyen y ∈ Dom(u∗ ) rögzített. Ekkor az (u(·)|y) : Dom(u) → K lineáris funkcionál folytonos, és Dom(u) s¶r¶ E -ben, ezért a folytonos lineáris operátorok kiterjesztési tétele (VI. fejezet, 2. pont) alapján létezik egyetlen olyan f ∈ E 0 , amely az (u(·)|y)-nak kiterjesztése. A Riesz-féle reprezentációs tétel alapján létezik egyetlen olyan z ∈E vektor, hogy (·|z) = f . Ekkor z az a vektor E -ben, amelyre minden x ∈ Dom(u) esetén (u(x)|y) = f (x) = (x|z) teljesül. Ezzel megmutattuk, hogy

(∀y ∈ Dom(u∗ ))(∃z ∈ E)(∀x ∈ Dom(u))(∀y ∈ Dom(u∗ )) : (u(x)|y) = (x|u∗ (y)). Ha y ∈ Dom(u∗ ) és z1 , z2 ∈ E olyanok, hogy minden Dom(u) 3 x-re (x|z1 ) = (u(x)|y) = (x|z2 ), akkor az E feletti (·|z1 ) és (·|z2 ) folytonos lineáris funkcionálok megegyeznek a Dom(u) s¶r¶ halmazon, így az egyenl®ségek folytatásának elve alapján (·|z1 ) = (·|z2 ), tehát z1 = z2 . Ezért jól értelmezett az az u∗ : Dom(u∗ ) → E függvény, amelyre minden y ∈ Dom(u∗ ) és x ∈ Dom(u) esetén (u(x)|y) = (x|u∗ (y)). Az u∗ függvény additív, mert ha y1 , y2 ∈ Dom(u∗ ), akkor tetsz®leges x ∈ Dom(u) esetén (u(x)|y1 ) = (x|u∗ (y1 )) és (u(x)|y2 ) = (x|u∗ (y2 )), ezért

(x|u∗ (y1 + y2 )) = (u(x)|y1 + y2 ) = (u(x)|y1 ) + (u(x)|y2 ) = = (x|u∗ (y1 )) + (x|u∗ (y2 )) = (x|u∗ (y1 ) + u∗ (y2 )), amib®l következik, hogy u∗ (y1 ) + u∗ (y2 ) − u∗ (y1 + y2 ) ∈ Dom(u)⊥ = {0}, vagyis u∗ (y1 ) + u∗ (y2 ) = u∗ (y1 + y2 ). Az u∗ függvény K-homogén, mert ha y ∈ Dom(u∗ ) és λ ∈ K, akkor minden x ∈ Dom(u) esetén (u(x)|y) = (x|u∗ (y)), ezért

(x|u∗ (λy)) = (u(x)|λy) = λ(u(x)|y) = λ(x|u∗ (y)) = (x|λu∗ (y)),

364

15. LINEÁRIS OPERÁTOROK HILBERT-TEREK KÖZÖTT

amib®l következik, hogy u∗ (λy) − λu∗ (y) ∈ Dom(u)⊥ = {0}, vagyis u∗ (λy) = λu∗ (y). Ez azt jelenti, hogy u∗ : F  E lineáris operátor. Ha u ∈ L (E; F ), akkor minden y ∈ F esetén (u(·)|y) ∈ E 0 , tehát Dom(u∗ ) = F , és az u∗ operátor itteni deníciója szerint minden E = Dom(u) 3 x-re (u(x)|y2 ) = (x|u∗ (y2 )), ezért u∗ egyenl® a korábban értelmezett adjungált operátorral. 

15.2.2. Deníció. Legyen E Hilbert-tér, F prehilbert-tér, és u : E  F s¶r¶n értelmezett lineáris operátor. Ekkor az u operátor adjungáltjának nevezzük és u∗ -gal jelöljük azt az u∗ : F  E lineáris operátort, amelyre

Dom(u∗ ) = {y ∈ F | (u(·)|y) : Dom(u) → K folytonos lineáris funkcionál}, és minden (x, y) ∈ Dom(u) × Dom(u∗ ) esetén (u(x)|y) = (x|u∗ (y)). Ha E Hilbert-tér, akkor egy u : E  E s¶r¶n értelmezett lineáris operátort önadjungáltnak (illetve szimmetrikusnak) nevezünk, ha u = u∗ (illetve u ⊆ u∗ ). Vigyázzunk arra, hogy E Hilbert-tér, F prehilbert-tér, és u : E  F nem s¶r¶n értelmezett lineáris operátor (vagyis Dom(u) 6= E ), akkor az iménti denícióval adott Dom(u∗ ) ⊆ F lineáris altér értelmezhet® ugyan, de létezik olyan y ∈ Dom(u∗ ), hogy vannak olyan x1 , x2 ∈ E vektorok, amelyekre x1 6= x2 , de minden Dom(u) 3 x-re (x|x1 ) = (u(x)|y) = (x|x2 ), így az u∗ (y) ∈ E vektor nem értelmezhet® egyértelm¶en. Ezért csakis s¶r¶n értelmezett lineáris operátorok adjungáltjáról beszélünk. Egy s¶r¶n (s®t akár mindenütt) értelmezett lineáris operátor adjungáltjának deníciós tartománya lehet a {0} altér (2. gyakorlat). Ha viszont az adjungált operátor is s¶r¶n értelmezett, akkor beszélhetünk az operátor második adjungáltjáról.

15.3.

Zárt operátorok

15.3.1. Állítás. Legyenek E és F prehilbert-terek (illetve Hilbert-terek). Az E × F lineáris szorzattér az

E × F → R+ ;

(x, y) 7→

È

kxk2 + kyk2

normával ellátva szintén prehilbert-tér (illetve Hilbert-tér). Ezt a normát az

(E × F ) × (E × F ) → K;

((x, y), (x0 , y 0 )) 7→ (x|x0 ) + (y|y 0 )

skalárszorzás generálja. Bizonyítás. Az V. fejezet 4. pontja szerint ez a függvény olyan norma az E × F lineáris szorzattér felett, amely ekvivalens a szorzatnormával, továbbá egyszer¶ számolással

15.3. ZÁRT OPERÁTOROK

365

ellen®rizhet®, hogy teljesül rá a paralelogramma-egyenl®ség. Ha E és F teljesek, akkor az E × F lineáris szorzattér is teljes a szorzatnormával ellátva, ezért ezzel a normával ellátva is teljes.  Megállapodunk abban, hogy ha E és F prehilbert-terek (illetve Hilbert-terek), akkor az E × F lineáris szorzatteret a továbbiakban mindig az el®z® állításban értelmezett normával látjuk el, tehát E × F prehilbert-tér (illetve Hilbert-tér) lesz.

15.3.2. Deníció. Legyenek E és F normált terek. Egy u : E  F lineáris operátort zártnak nevezünk, ha a gr(u) := {(x, u(x))|x ∈ Dom(u)} halmaz zárt az E × F szorzattérben a

E × F → R+ ;

(x, y) 7→

È

kxk2 + kyk2

norma szerint. Megjegyezzük, hogy ha E és F normált terek, akkor egy u : E  F lineáris operátor pontosan akkor zárt, ha minden Dom(u)-ban haladó (xn )n∈N konvergens sorozatra teljesül az, hogy ha lim xn ∈ Dom(u), akkor az (u(xn ))n∈N sorozat konvergens F -ben és 



n→∞

u lim xn = lim u(xn ). Valóban, ez a feltétel ekvivalens azzal, hogy minden gr(u)-ban n→∞ n→∞ haladó, E × F -ben konvergens sorozat határértéke eleme gr(u)-nak, ami a zárt halmazok sorozatokkal való jellemzése alapján éppen azt jelenti, hogy gr(u) zárt E × F -ben.

15.3.3. Lemma. Legyenek E és F Hilbert-terek. Ekkor az UE,F : E × F → F × E;

(x, y) 7→ (y, −x),

VF,E : F × E → E × F ;

(y, x) 7→ (−x, y)

leképezések unitér operátorok, és minden u : E  F s¶r¶n értelmezett lineáris operátorra

UE,F h(gr(u))⊥ i = gr(u∗ ),

VF,E hgr(u∗ )i = (gr(u))⊥ .

Bizonyítás. Könnyen ellen®rizhet®, hogy VF,E ◦ UE,F = idE×F és UE,F ◦ VF,E = idF ×E , tehát UE,F és VF,E lineáris bijekciók, továbbá természetesen izometriák, ezért mindketten −1 unitér operátorok, és UE,F = VF,E . Ebb®l következik, hogy a két bizonyítandó egyenl®ség ekvivalens egymással; a másodikat fogjuk igazolni. Legyen (x0 , y 0 ) ∈ E × F . Ekkor a deníciók alapján

(x0 , y 0 ) ∈ (gr(u))⊥ ⇔ (∀x ∈ Dom(u)) : ((x0 , y 0 )|(x, u(x))) = 0 ⇔ ⇔ (∀x ∈ Dom(u)) : (x0 |x) + (y 0 |u(x)) = 0 ⇔ ⇔ (∀x ∈ Dom(u)) : (u(x)|y 0 ) = (x| − x0 ) ⇔ (y 0 ∈ Dom(u∗ )) ∧ (u∗ (y 0 ) = −x0 ) ⇔

366

15. LINEÁRIS OPERÁTOROK HILBERT-TEREK KÖZÖTT

⇔ (y 0 ∈ Dom(u∗ )) ∧ ((x0 , y 0 ) = (−u∗ (y 0 ), y 0 )) ⇔ ⇔ (y 0 ∈ Dom(u∗ )) ∧ ((x0 , y 0 ) = VF,E (y 0 , u∗ (y 0 ))). Ezért (gr(u))⊥ ⊆ VF,E hgr(u∗ )i teljesül. Ha (x0 , y 0 ) ∈ VF,E hgr(u∗ )i, akkor van olyan y ∈ Dom(u∗ ), hogy fennáll az

(x0 , y 0 ) = VF,E (y, u∗ (y)) = (−u∗ (y), y) egyenl®ség, így y 0 = y és (x0 , y 0 ) = VF,E (y 0 , u∗ (y 0 )), tehát az iménti ekvivalenciák szerint (x0 , y 0 ) ∈ (gr(u))⊥ , következésképpen VF,E hgr(u∗ )i ⊆ (gr(u))⊥ . 

15.3.4. Állítás. Ha E , F Hilbert-terek, és u : E  F s¶r¶n értelmezett lineáris operátor, akkor u∗ zárt operátor. Hilbert-térben önadjungált operátor zárt operátor.

Bizonyítás. Az el®z® lemma alapján gr(u∗ ) = UE,F h(gr(u))⊥ i és (gr(u))⊥ zárt halmaz E × F -ben, továbbá az UE,F : E × F → F × E operátor unitér, tehát homeomorzmus, így UE,F h(gr(u))⊥ i is zárt F × E -ben. 

15.4.

Önadjungált operátor folytonosságának jellemzése

15.4.1. Állítás. Ha E Hilbert-tér és u : E  E önadjungált operátor, akkor Dom(u) = E ekvivalens azzal, hogy u folytonos.

Bizonyítás. Ha Dom(u) = E , akkor az el®z® állítás alapján u : E → E zárt lineáris operátor az E Banach-téren, tehát a zártgráf-tétel szerint u folytonos. Megfordítva, ha u folytonos, akkor nyilvánvaló, hogy Dom(u∗ ) = E , tehát u = u∗ miatt Dom(u) = E . 

15.4.2. Következmény. Ha E Hilbert-tér K felett és q, p : E  E önadjungált

operátorok, valamint λ ∈ K \ {0} olyan szám, hogy

[q, p] ⊆ λ.idE , (ahol [q, p] := q ◦ p − p ◦ q a q és p operátorok kommutátora), akkor E 6= {0} esetén q vagy p nem folytonos operátor (vagy ami ugyanaz: q vagy p nem mindenütt értelmezett operátor).

(Megjegyzés. A deníció szerint [q, p] : E  E az a lineáris operátor, amelyre −1

−1

Dom([q, p]) := q hDom(p)i ∩ p hDom(q)i, és minden Dom([q, p]) 3 x-re [q, p](x) := q(p(x)) − p(q(x)). Tehát, ha q vagy p nem mindenütt értelmezett, akkor [q, p] sem mindenütt értelmezett, ezért biztosan nem teljesülhet a [q, p] = λ.idE operátor-egyenl®ség, hiszen itt a jobb oldalon E -n mindenütt értelmezett operátor áll.)

367

15.5. GYAKORLATOK

Bizonyítás. Ha q és p folyonosak (vagy ami az el®z® álliás alapján ugyanaz: mindenütt értelmezve vannak), akkor a [q, p] ⊆ λ.idE tartalmazásból [q, p] = λ.idE következne, tehát E 6= {0} miatt λ = 0.  A 10. gyakorlatban megvilágítjuk, hogy a Heisenberg-féle felcserélési reláció milyen értelemben elégíthet® ki Hilbert-tér önadjungált operátoraival. Jóval kés®bb, a XVII. fejezet 12. pontjában szó lesz a Heisenberg-féle felcserélési reláció alternatív formájáról, a Weyl-féle felcserélési relációról, amely matematikai szempontból sokkal könnyebben kezelhet®, mint Heisenberg eredeti formulája.

15.5.

Gyakorlatok

1. Legyen E véges dimenziós vektortér a 0 karakterisztikájú K test felett, és legyenek q, p : E → E olyan lineáris operátorok, valamint λ ∈ K olyan elem, hogy [q, p] = λidE , (ahol [q, p] := q ◦ p − p ◦ q a q és p operátorok kommutátora). Ekkor E 6= {0} esetén λ = 0, tehát [q, p] = 0, vagyis q ◦ p = p ◦ q . (Útmutatás. Ha [q, p] = λ.idE , akkor Tr([q, p]) = Tr(λidE ) = λdim(E), és könnyen igazolható, hogy Tr([q, p]) = Tr(q ◦ p) − Tr(p ◦ q) = 0, tehát ha dim(E) 6= 0, akkor λ = 0.)

2. Legyen E Hilbert-tér K felett, és u : E → K lineáris funkcionál E felett. Ekkor az

u∗ : K  E jól értelmezett lineáris operátor, és

- ha u folytonos, akkor Dom(u∗ ) = K és u∗ (1) = JE−1 (u); - ha u nem folytonos, akkor Dom(u∗ ) = {0}, tehát az u∗ : K  E adjungált operátor nem s¶r¶ értelmezett.

3.

2 sorozattérben.) Az lK2 sorozatteret ellátjuk a k · k2 (Lineáris operátorok az lK 2 2 az a sorozat, normával: ekkor lK Hilbert-tér. Minden n ∈ N esetén legyen en ∈ lK amelyre minden m ∈ N esetén en (m) = δm,n . Jelölje továbbá MN (K) az N × N → K függvények halmazát, amelynek elemeit "végtelen" mátrixoknak tekinthetjük. Minden t := (tjk )(j,k)∈N×N ∈ MN (K) esetén értelmezzük az ut : lK2  lK2 függvényt úgy, hogy

Dom(ut ) := {(xk )k∈N ∈ lK2 „

∧

∞ X k=0

€

Š

(∀j ∈ N) : (tjk xk )k∈N ∈ lK2 ∧ Ž

!

tjk xk j∈

N

∈ lK2 },

368

15. LINEÁRIS OPERÁTOROK HILBERT-TEREK KÖZÖTT

és minden (xk )k∈N ∈ Dom(ut ) esetén ∞ X

ut ((xk )k∈N ) :=

!

tjk xk

k=0

N

.

j∈

2 a) Mutassuk meg, hogy ut : lK  lK2 lineáris operátor, és a következ® állítások ekvivalensek.

(i) K(N) ⊆ Dom(ut ).

(ii) Minden k ∈ N esetén ek ∈ Dom(ut ). 2 (iii) Minden k ∈ N esetén (tjk )j∈N ∈ lK , vagyis a t mátrix mindegyik oszlopában álló sorozat négyzetesen abszolút szummálható.

Továbbá, a

(K(N) ⊆ Dom(ut )) ∧ (ut hK(N) i ⊆ K(N) )

kijelentés ekvivalens azzal, hogy minden N 3 k -hoz van olyan nk ∈ N, hogy minden j > nk természetes számra tjk = 0, vagyis a t mátrix mindegyik oszlopában álló sorozat eleme K(N) -nek. b) Legyen t := (tjk )(j,k)∈N×N ∈ MN (K), és deníció szerint t∗ := (tkj )(j,k)∈N×N . Tegyük ! 2 fel, hogy minden j ∈ N esetén (tjk )k∈N ∈ lK és a

X

N

j∈

∞ X

|tjk |2

sor konvergens. Ekkor

k=0 u∗t =

2 2 ut : l K → lK teljesen folytonos lineáris operátor és ut∗ . Mutassuk meg, hogy szeparábilis Hilbert-tér felett létezik injektív teljesen folytonos önadjungált operátor! 2 c) Legyen t := (tjk )(j,k)∈N×N ∈ MN (K) olyan, hogy ut ∈ L (lK ). Ekkor minden j ∈ N 2 esetén (tjk )k∈N ∈ lK és sup j∈

és sup

∞ X

N j=0

k∈

∞ X

N k=0

2 |tjk |2 < +∞, továbbá minden k ∈ N esetén (tjk )j∈N ∈ lK

|tjk |2 < +∞.

(Útmutatás. a) Az (i)⇒(ii) következtetés nyilvánvaló, mert minden n ∈ N esetén en ∈ K(N) . Ha (ii) teljesül, akkor minden N 3 !j, k -ra ek ∈ Dom(ut ) miatt (tj,m ek (m))m∈N =

tj,k ek ∈ lK1 , és (tj,k )j∈N = igaz és k ∈ N, akkor

∞ X m=0

∞ X

m=0

tj,m ek (m)

tj,m ek (m)

N

j∈

!

N

j∈

∈ lK2 , vagyis (iii) teljesül. Végül, ha (iii)

= (tj,k )j∈N ∈ lK2 , tehát a Dom(ut ) értelmezése

alapján ek ∈ Dom(ut ), ezért K(N) ⊆ Dom(ut ), hiszen K(N) egyen® az {ek |k ∈ N} halmaz 2 -ben, így (i) teljesül. által generált lineáris altérrel lK

Ha a

(K(N) ⊆ Dom(ut )) ∧ (ut hK(N) i ⊆ K(N) )

369

15.5. GYAKORLATOK

kijelentés teljesül, akkor k ∈ N esetén (tj,k )j∈N = ut (ek ) ∈ K(N) , tehát létezik olyan nk ∈ N, hogy minden j > nk természetes számra tj,k = 0. A fordított következtetés hasonlóan igazolható. b) Jelölje n ∈ N esetén tn ∈ MN (K) azt az elemet, amely minden (j, k) ∈ N × N párhoz a 0 értéket rendeli, ha j > n, míg a tj,k értéket rendeli, ha j ≤ n. Ekkor n ∈ N esetén utn : lK2 → lK2 véges dimenziós érték¶ folytonos lineáris operátor, és ha (xk )k∈N ∈ lK2 , akkor az elemi Cauchy-Schwartz-egyenl®tlenség alapján

k(ut − utn )((xk )k∈N )k22 = „

≤

2 ∞ ∞ X X tj,k xk

≤

j=n+1 k=0

∞ X

∞ X

j=n+1

k=0

∞ X

∞ X

j=n+1

k=0

!

∞ X

|tj,k |2

!

|xk |2 ≤

k=0

!Ž

|tj,k |2

k(xk )k∈N k22 ,

következésképpen fennáll az Ì

!

∞ X

∞ X

j=n+1

k=0

kut − utn k ≤

|tj,k

|2

egyenl®tlenség. A (ii) alapján ez azt jelenti, hogy az (utn )n∈N operátorsorozat konvergál ut -hez az operátornorma szerint. Ugyanakkor minden N 3 n-re utn teljesen folytonos operátor, ezért a XII. fejezet, 1. pont, 16. gyakorlat c) pontja szerint ut is teljesen folytonos operátor. Legyenek x := (xk )k∈NX , y := (yk )k∈N ∈ lK2 tetsz®legesek. Az (i)X alapján minden N 3 j -re 2 (tj,k )k∈N ∈ lK , tehát a tj,k xk sor abszolút konvergens, így a tj,k xk y j sor is abszolút

N

N

k∈

k∈

konvergens. Továbbá, j ∈ N esetén az elemi Cauchy-Schwartz-egyenl®tlenség alapján ∞ X k=0

és a

X

N „Ì

j∈

hogy

„Ì

∞ X

k=0 ∞ X

|tj,k xk y j | ≤

∞ X

|tj,k |2 kxk2 |yj |,

k=0

Ž

|tj,k |2

|tj,k |

k=0

Ì

|yj | sor konvergens, hiszen y ∈ lK2 , és a feltevés szerint teljesül az is,

Ž 2

∈ lK . Ez azt jelenti, hogy a 2

j∈

N

X

∞ X

N

k=0

j∈

!

|tj,k xk y j |

sor konvergens,

ezért a (tj,k xk y j )(j,k)∈N×N kett®s sorozatra alkalmazhatjuk a diszkrét Lebesgue-FubiniX tételt (VII. fejezet, 10. pont). Az adódik, hogy minden N 3 k -ra a tj,k xk y j sor j∈

N

370

15. LINEÁRIS OPERÁTOROK HILBERT-TEREK KÖZÖTT

abszolút konvergens, és a

X k∈

∞ X

„

N

„

∞ X

Ž

sor konvergens, és fennáll a

|tj,k xk y j |

j=0 ∞ X

Ž

tj,k xk y j

=

j=0

k=0

∞ X

∞ X

j=0

k=0

!

tj,k xk y j

egyenl®ség. Ez bármely két x, y ∈X lK2 elemre teljesül, tehát ha y ∈ lK2 rögzített, akkor, tj,k y j sor abszolút konvergens (ehhez elég olyan akkor minden k ∈ N esetén a j∈ 2

N

lK 3 x-et választani, amelyre xk = 1), így a „

a

∞ X j=0

Ž

tj,k yj

N

X j∈

N

tj,k yj sor is abszolút konvergens, és

2 sorozat eleme lK -nak, mert az elemi Cauchy-Schwartz-egyenl®tlenség

k∈

alapján minden N 3 k -ra 2 ∞ X tj,k yj j=0

és a feltevés szerint a

X k∈

„Ì

N

∞ X

„

≤

∞ X

Ž

|tj,k |

2

kyk22 ,

j=0

Ž

|tj,k |2

sor is konvergens, ami látható a diszkrét

j=0

Lebesgue-Fubini-tételb®l, ha azt alkalmazzuk a (|tj,k |2 )(j,k)∈N×N kett®s sorozatra. Ez azt 2 jelenti, hogy lK = Dom(ut ). Ha x, y ∈ lK2 tetsz®legesek, akkor az el®z®ek alapján

(x|ut∗ (y)) =

∞ X

„

k=0

∞ X

Ž

tj,k xk y j

=

j=0

∞ X

∞ X

j=0

k=0

!

tj,k xk y j

= (ut (x)|y) = (x| (ut )∗ (y)),

ezért ut∗ = (ut )∗ . 2 Ha (ck )k∈N ∈ lK olyan sorozat, hogy minden k ∈ N esetén ck 6= 0, és t := (ck δj,k )(j,k)∈N×N , 2 akkor az el®z®ek szerint ut ∈ L (lK ) teljesen folytonos operátor (amely még önadjungált is, ha minden N 3 k -ra ck ∈ R), és könnyen látható, hogy ut injektív. Ebb®l a XII. fejezet 6. pontjának utolsó állítása alapján kapjuk, hogy minden szeparábilis Hilberttérben létezik injektív teljesen folytonos önadjungált operátor. 2 ). Az ut operátorra c) Legyen t := (tj,k )(j,k)∈N×N ∈ MN (K) olyan, hogy ut ∈ L (lK (N) 2 (tj,k )j∈N ∈ lK2 . Ha K ⊆ lK = Dom(ut ), ezért az a) alapján minden k ∈ N esetén X 2 tj,k xk sor (abszolút) (xk )k∈N ∈ lK , akkor (xk )k∈N ∈ Dom(ut ), tehát minden N 3 j -re a

N

k∈

2 . konvergens, így a XII. fejezet, 3. pontja, 3. gyaakorlat b) része alapján (tj,k )k∈N ∈ lK Minden N 3 k -ra ek ∈ Dom(ut ) és kek k2 = 1, ezért ∞ X j=0

2

|tj,k | =

2 ∞ X ∞ X tj,m ek (m)

j=0 m=0

= kut (ek )k2≤ kut k2 ,

371

15.5. GYAKORLATOK

tehát fennáll a

sup

∞ X

N j=0

k∈

|tj,k |2 ≤ kut k2 < +∞

egyenl®tlenség. Legyen most j ∈ N rögzített, és x az a numerikus sorozat, amelyre k(tj,m )m∈N k2 = 0 esetén x := 0, míg k(tj,m )m∈N k2 > 0 esetén minden N 3 k -ra tj,k 2 . Ekkor x ∈ lK és kxk2 ≤ 1, tehát xk := k(tj,m )m∈N k2

kut k ≥ kut (x)k2 ≥ |(ut (x))j | =

∞ X tj,k xk k=0

= k(tj,m )m∈N k2 .

Ez minden j ∈ N esetén igaz, tehát teljesül a

+∞ > kut k2 ≥ sup k(tj,m )m∈N k22 = sup

N

∞ X

N k=0

j∈

j∈

|tj,k |2

egyenl®tlenség is.)

4. Legyen E Hilbert-tér K felett. Egy u : E  E (nem feltétlenül s¶r¶n értelmezett)

lineáris operátort formálisan szimmetrikusnak nevezünk, ha minden x, y ∈ Dom(u) esetén (u(x)|y) = (x|u(y)). a) Ha K := C, akkor egy u : E  E lineáris operátor pontosan akkor formálisan szimmetrikus, ha minden x ∈ Dom(u) esetén (u(x)|x) ∈ R, b) Az u : E  E lineáris operátor pontosan akkor szimmetrikus, ha formálisan szimmetrikus és s¶r¶n értelmezett. c) Az u : E  E lineáris operátor formálisan pozitívnak nevezzük, ha minden x ∈ Dom(u) esetén (u(x)|x) ∈ R+ . Minden formálisan pozitív operátor formálisan szimmetrikus. Ha u : E  E s¶r¶n értelmezett formálisan pozitív operátor, és x ∈ Dom(u), valamint y ∈ E , akkor az u(x) = y egyenl®ség ekvivalens azzal, hogy a Dom(u) → R; x0 7→ (u(x0 )|x0 ) − 2<(x0 |y) függvénynek globális minimuma van az x pontban. (Megjegyezzük, hogy a s¶r¶n értelmezett formálisan pozitív operátorokat pozitív operátoroknak nevezzük.) n n → C kompakt tartójú, C∞ -osztályú d) Legyen n ∈ N∗ és jelölje C∞ 0 (R ; C) az R n n 2 függvények terét. Ha f ∈ C∞ 0 (R ; C) és g ∈ LC (R , Rn , µn ), akkor a

4f = g teljesül Rn -en µn -majdnem mindenütt kijelentés ekvivalens azzal, hogy a n C∞ 0 (R ; C)

Z

→ R;

ψ 7→

Rn

Z 1 2 kgrad(ψ)k dµn + < ψg dµn 2 n

R

372

15. LINEÁRIS OPERÁTOROK HILBERT-TEREK KÖZÖTT

n energia-funkcionálnak globális minimuma van az f pontban. (Itt f, ψ ∈ C∞ 0 (R ; C) X X 2 2 2 esetén 4f := ∂k f és kgrad(ψ)k := |∂k ψ| .) k∈n

k∈n

(Útmutatás. a) Tegyük fel, hogy minden x ∈ Dom(u) esetén (u(x)|x) ∈ R. Legyenek x, y ∈ Dom(u). Ekkor minden λ ∈ C számra teljesül az, hogy (u(λx + y)|λx + y) ∈ R, tehát |λ|2 (u(x)|x) + λ(u(x)|y) + λ(u(y)|x) + (u(y)|y) ∈ R, így (u(x)|x), (u(y)|y) ∈ R miatt minden λ ∈ C esetén

=(λ(u(x)|y) + λ(u(y)|x)) = 0. Ebb®l a λ := 1 választással kapjuk, hogy =(u(x)|y) = =(x|u(y)), és a λ := i választással <(u(x)|y) = <(x|u(y)) adódik, tehát (u(x)|y) = (x|u(y)). Ezért u formálisan szimmetrikus operátor. b) Ha u formálisan szimmetrikus és Dom(u) s¶r¶ E -ben, akkor y ∈ Dom(u) esetén JE (y) ◦ u : Dom(u) → K olyan lineáris funkcionál, amelyre bármely x ∈ Dom(u) esetén (JE (y) ◦ u)(x) = (u(x)|y) = (x|u(y)) = JE (u(y))(x), vagyis JE (y) ◦ u = JE (u(y))|Dom(u) , így JE (y) ◦ u folytonos, azaz y ∈ Dom(u∗ ). Ez azt jelenti, hogy Dom(u) ⊆ Dom(u∗ ), és minden x, y ∈ Dom(u) esetén (x|u∗ (y)) = (u(x)|y) = (x|u(y)), tehát u∗ (y) = u(y). Ezért az u operátor szimmetrikus. c) Legyen u : E  E s¶r¶n értelmezett, formálisan pozitív operátor és x ∈ Dom(u), y ∈ E . Tegyük fel, hogy u(x) = y . Ekkor könnyen látható, hogy minden Dom(u) 3 z -re az u formális pozitivitása folytán

(u(x + z)|x + z) − 2<(x + z|y) = (u(x)|x) − 2<(x|y) + (u(z)|z) ≥ (u(x)|x) − 2<(x|y), tehát a

Dom(u) → R;

x0 7→ (u(x0 )|x0 ) − 2<(x0 |y)

függvénynek x-ben globális minimuma van. Megfordítva, tegyük fel, hogy ennek a függvénynek x-ben globális minimuma van; megmutatjuk, hogy az u(x) − y vektor ortogonális a Dom(u) altérre, tehát u(x) = y . Ehhez legyen z ∈ Dom(u) rögzített. Ekkor az x-re vonatkozó feltevés és az u formális pozitivitása (tehát formális szimmetrikussága) folytán

0 ≤ (u(x + z)|x + z) − 2<(x + z|y) − (u(x)|x) + 2<(x|y) = = (u(z)|z) + (u(x)|z) + (u(z)|x) − 2<(z|y)=(u(z)|z) + (u(x)|z) + (z|u(x)) − 2<(z|y) = = (u(z)|z) + 2<(z|u(x) − y). Ide z helyére a −z vektort téve 0 ≤ (u(z)|z) − 2<(z|u(x) − y) adódik, ezért minden Dom(u) 3 z -re 1 |<(z|u(x) − y)| ≤ (u(z)|z). 2

373

15.5. GYAKORLATOK

Ha z ∈ Dom(u) rögzített, akkor minden ε ∈ R∗+ esetén felírva ezt az egyenl®tlenséget z 1 helyett az εz vektorra azt kapjuk, hogy ε|<(z|u(x) − y)| ≤ ε2 (u(z)|z), tehát minden 2 Dom(u) 3 z -re és R 3 ε-ra

1 |<(z|u(x) − y)| ≤ ε(u(z)|z) 2 teljesül. Adott z ∈ Dom(u) esetén itt ε-nal 0-hoz tartva kapjuk, hogy <(z|u(x) − y) = 0. Ha z ∈ Dom(u), akkor iz ∈ Dom(u), ezért 0 = <(iz|u(x) − y) = −=(z|u(x) − y), tehát (z|u(x) − y) = 0, amit bizonyítani kellett. d) Tekintsük az L2C (Rn , Rn , µn ) komplex Hilbert-teret, és legyen

u : L2C (Rn , Rn , µn )  L2C (Rn , Rn , µn ) az a lineáris operátor, amelyre Dom(u) := {f • |f ∈ C0∞ (Rn ; C)}, és minden f ∈ C0∞ (Rn ; C) esetén u(f • ) := (−4f )• . Ekkor u s¶r¶n értelmezett, formálisan pozitív operátor L2C (Rn , Rn , µn )-ben, mert ha f ∈ C0∞ (Rn ; C), akkor a LebesgueFubini-tétel és a Newton-Leibniz formula alapján •

•

•

Z

•

(u(f )|f )µn ,2 = ((−4f ) |f )µn ,2 = =−

Z X€

R

∂k ((∂k f )f ) − |∂k f |

n

k∈n

Z

+

2

Š

kgrad(f )k2 dµn =

R

− n

dµn = − Z

X

!

∂k2 f

f dµn =

k∈n

XZ

R

k∈n

∂k ((∂k f )f ) dµn +

n

kgrad(f )k2 dµn ≥ 0,

Rn Rn jelöli az L2C (Rn , Rn , µn ) Hilbert-tér skalárszorzását. Ezért f ∈ C0∞ (Rn ; C)

ahol (·|·)µn ,2 és g ∈ LC2 (Rn , Rn , µn ) esetén a c) pontból kapjuk, hogy az u(f • ) = (−g)• egyenl®ség ekvivalens azzal, hogy az

ψ • 7→ (u(ψ • )|ψ • )µn ,2 − 2<(ψ • |(−g)• )µn ,2

E : Dom(u) → R;

leképezésnek globális minimuma van f • -ban. Ugyanakkor az u(f • ) = (−g)• egyenl®ség ekvivalens azzal, hogy 4f = g teljesül Rn -en µn -majdnem mindenütt. Ugyanakkor ψ ∈ C0∞ (Rn ; C) esetén „

E (ψ • ) = 2

Z

R

n

Z 1 kgrad(ψ)k2 dµn + < ψg dµn 2 n

R

Ž

,

tehát az E függvénynek pontosan akkor van globális minimuma van f • -ban, ha a

C0∞ (Rn ; C)

Z

→ R;

ψ 7→

Rn

Z 1 2 kgrad(ψ)k dµn + < ψg dµn 2 n

R

374

15. LINEÁRIS OPERÁTOROK HILBERT-TEREK KÖZÖTT

leképezésnek az f helyen globális minimuma van.)

5. Legyenek E és F Hilbert-terek. Ha u : E  F s¶r¶n értelmezett lineáris operátor,

akkor

(Im(u))⊥ = Ker(u∗ ),

és u értékkészlete pontosan akkor s¶r¶ F -ben, ha u∗ injektív. Ha u : E  E önadjungált operátor, akkor Im(u) pontosan akkor s¶r¶ E -ben, ha u injektív.

6. Legyenek E és F Hilbert-terek. Ha u : E  F s¶r¶n értelmezett zárt operátor, akkor az u∗ : F  E operátor is s¶r¶n értelmezett és u = (u∗ )∗ . (Útmutatás. Legyen y ∈ (Dom(u∗ ))⊥ . következésképpen

Ekkor y 0 ∈ Dom(u∗ ) esetén (y|y 0 ) = 0,

0 = ((0, y)|(−u∗ (y 0 ), y 0 )) = ((0, y)|VF,E (y 0 , u∗ (y 0 ))), tehát az u zártsága miatt (0, y) ∈ (VF,E hgr(u∗ )i)⊥ = (gr(u))⊥⊥ = gr(u) = gr(u). Ezért van olyan x ∈ Dom(u), hogy (0, y) = (x, u(x)), vagyis x = 0 és y = u(x) = 0. Ez azt jelenti, hogy az u∗ : F  E operátor is s¶r¶n értelmezett. Ezért írható, hogy

VE,F hgr(u∗∗ )i = (gr(u∗ ))⊥ , így u zártsága miatt fennállnak a

gr(u) = gr(u) = (gr(u))⊥⊥ = (VF,E hgr(u∗ )i)⊥ = VF,E h(gr(u∗ ))⊥ i = = VF,E hVE,F hgr(u∗∗ )ii = −gr(u∗∗ ) = gr(u∗∗ ) egyenl®ségek, hiszen VF,E ◦ VE,F = −idE×F .)

7. Legyenek E és F Hilbert-terek. Egy u : E  F (nem feltétlenül s¶r¶n értelmezett)

lineáris operátort lezárhatónak nevezünk, ha létezik olyan v : E  F zárt operátor, hogy u ⊆ v. a) Ha u : E  F s¶r¶n értelmezett lezárható operátor, akkor u (tehát az u ⊆ E × F halmaz lezártja az E × F normált szorzattérben) az egyetlen olyan E  F zárt lineáris operátor, amely az u-nak kiterjesztése; ezt az u : E  F (szintén s¶r¶n értelmezett) zárt lineáris operátort nevezzük az u lezártjának. b) Minden u : E  E szimmetrikus operátor lezárható, de lehetséges az, hogy u nem önadjungált operátor. c) Az u : E  E s¶r¶n értelmezett lineáris operátor pontosan akkor lezárható, ha u∗ is s¶r¶n értelmezett. Ha u : E  E s¶r¶n értelmezett lezárható lineáris operátor, akkor

375

15.5. GYAKORLATOK

u = (u∗ )∗ . (Útmutatás. c) Tegyük fel, hogy az u : E  F s¶r¶n értelmezett lineáris operátor lezárható. Ekkor u : E  F is s¶r¶n értelmezett és zárt operátor, tehát a 6. gyakorlat szerint az u∗ : F  E operátor is s¶r¶n értelmezett és u∗ ⊆ u∗ . Ezért u∗ is s¶r¶n értelmezett és u ⊆ u∗∗ ⊆ u∗∗ = u. De u∗∗ zárt operátor, tehát az u deníciója szerint u ⊆ u∗∗ , így u = u∗∗ . Megfordítva, ha u : E  F s¶r¶n értelmezett lineáris operátor és u∗ is s¶r¶n értelmezett, akkor u ⊆ u∗∗ és u∗∗ zárt operátor, tehát u lezárható.)

8. Legyen (T, R, µ) pozitív mértéktér, F Hilbert-tér K felett, és f : T → K µ-mérhet® függvény. Értelmezzük azt a Qf : L2F (T, R, µ)  L2F (T, R, µ) leképezést, amelyre

Dom(Qf ) := {ψ • ∈ L2F (T, R, µ) | f ψ ∈ LF2 (T, R, µ)}, és minden ψ • ∈ Dom(Qf ) esetén

Qf (ψ • ) := (f ψ)• . a) Qf s¶r¶n értelmezett lineáris operátor az L2F (T, R, µ) Hilbert-térben, és (Qf )∗ = Qf . b) Ha µ-majdnem minden t ∈ T esetén f (t) ∈ R, akkor Qf önadjungált operátor. c) Ha f korlátos, akkor Dom(Qf ) = L2F (T, R, µ) és Qf folytonos normális operátor, valamint kQf k ≤ 9f 9. d) Ha µ-majdnem minden t ∈ T esetén |f (t)| = 1, akkor Qf unitér operátor. (Útmutatás. a) Legyen ψ ∈ LF2 (T, R, µ) rögzített, és vegyünk olyan (En )n∈N monoton [ növ® halmazsorozatot R -ben, amelyre [ψ 6= 0] ⊆ En , valamint legyen minden N 3 n-

N

n∈

re Hn := En ∩ [|f | ≤ n]. Ekkor az (Hn )n∈N halmazsorozat [ is monoton növ® és minden tagja µ-integrálható, továbbá természetesen [ψ 6= 0] ⊆ Hn . Ha n ∈ N, akkor n∈

N

χH ψ ∈ LF2 (T, R, µ) és f χH ψ ∈ LF2 (T, R, µ), mert f χH : T → C korlátos µ-mérhet® n n n függvény. Ez azt jelenti, hogy minden n ∈ N esetén (χHn ψ)• ∈ Dom(Qf ). Továbbá ψ • = lim (χHn ψ)• a k · kµ,2 szerint, mert lim kψ− χHn ψk2 = 0 a T halmazon pontonként, n→∞ n→∞ és minden N 3 n-re kψ − χHn ψk2 = χT \Hn kψk2 ≤ kψk2 , és

Z ∗

kψk2 dµ < +∞, tehát a Lebesgue-tétel alapján €

lim kψ − χHn ψ •

n→∞

Š•

k2µ,2

= lim

n→∞

Z ∗

kψ − χHn ψk2 dµ = 0.

376

15. LINEÁRIS OPERÁTOROK HILBERT-TEREK KÖZÖTT

Ezért a Dom(Qf ) altér s¶r¶ az L2F (T, R, µ) Hilbert-térben. Megmutatjuk, hogy (Qf )∗ = Qf . Ha ψ ∈ LF2 (T, R, µ), akkor az f ψ függvény µmérhet®sége és a négyzetes integrálhatóság kritériuma szerint teljesülnek a következ® ekvivalenciák: •

ψ ∈ Dom(Qf ) ⇔ f ψ ∈ ⇔

Z ∗

LF2 (T, R, µ)

⇔

Z ∗

kf ψk2 dµ < +∞ ⇔

kf ψk2 dµ < +∞ ⇔ f ψ ∈ LF2 (T, R, µ) ⇔ ψ • ∈ Dom(Qf ),

ami azt jelenti, hogy Dom(Qf ) = Dom(Qf ). Tehát ha ϕ, ψ ∈ LF2 (T, R, µ) olyanok, hogy ϕ• , ψ • ∈ Dom(Qf ), akkor

(Qf (ϕ• )|ψ • ) =

Z

Z

(ϕ|f ψ) dµ = (ϕ• |Qf (ψ • )).

(f ϕ|ψ) dµ = T

T

Ebb®l következik, hogy ψ • ∈ Dom(Qf ) esetén a

Dom(Qf ) → C;

ψ • 7→ (Qf (ϕ• )|ψ • )

lineáris funkcionál folytonos, tehát ψ • ∈ Dom((Qf )∗ ), és (Qf )∗ (ψ • ) = Qf (ψ • ), vagyis Qf ⊆ (Qf )∗ . Megfordítva, legyen ψ ∈ LF2 (T, R, µ) olyan, hogy ψ • ∈ Dom((Qf )∗ ). Legyen ψ 0 ∈ LF2 (T, R, µ) olyan, hogy (ψ 0 )• = (Qf )∗ (ψ • ), vagyis minden Dom(Qf ) 3 ϕ• esetén (Qf (ϕ• )|ψ • )µ,2 = (ϕ• |(ψ 0 )• )µ,2 . Legyen (E[ n )n∈N olyan monoton növ® halmazsorozat 0 R -ben, amelyre [ψ 6= 0] ∪ [ψ 6= 0] ⊆ En , továbbá legyen minden N 3 n-re n∈

N

Hn := En ∩ [|f | ≤ n]. Minden N 3 n-re legyen

ψn := χHn (ψ 0 − f ψ). Ha n ∈ N, akkor a ψn függvény µ-mérhet®, továbbá Z ∗

kχHn f ψk2 dµ ≤ n2

Z ∗

kψk2 dµ < +∞,

tehát a négyzetes integrálhatóság kritériuma szerint χHn f ψ ∈ LF2 (T, R, µ), azonkívül természetesen χHn ψ 0 ∈ LF2 (T, R, µ) is teljesül, így ψn ∈ LF2 (T, R, µ). Ha n ∈ N, akkor f χHn ψ 0 ∈ LF2 (T, R, µ), mert f χHn korlátos µ-mérhet® függvény. Ha n ∈ N, akkor f χHn f ψ = |f |2 χHn ψ ∈ LF2 (T, R, µ), mert |f |2 χHn is korlátos µ-mérhet® függvény. Ebb®l következik, hogy minden n ∈ N esetén f ψn ∈ LF2 (T, R, µ), vagyis ψn• ∈ Dom(Qf ). Ezért minden N 3 n-re Z

(f ψn |ψ) dµ = T

(Qf (ψn• )|ψ • )µ,2

=

(ψn• |(ψ 0 )• )µ,2

Z

= T

(ψn |ψn0 ) dµ,

377

15.5. GYAKORLATOK

ami azzal ekvivalens, hogy Z

0=

Z

0

(ψn |ψ ) dµ − T

Z

(f ψn |ψ) dµ = T

0

(ψn |ψ − f ψ) dµ =

Z ∗

χH kψ 0 − f ψk2 dµ. n

T

Ebb®l a fels® integrál monoton σ -folytonossága és [

[kψ 0 − f ψk2 6= 0] ⊆ [ψ 6= 0] ∪ [ψ 0 6= 0] ⊆

n∈

N

Hn

alapján kapjuk, hogy Z ∗

0

2

kψ − f ψk dµ =

Z ∗

χ[

0

Hn

N

2

kψ − f ψk dµ =

Z ∗‚

Œ

sup χHn kψ 0 − f ψk2 dµ =

N

n∈

n∈

= sup

N

n∈

Z ∗

χH kψ 0 − f ψk2 dµ = 0. n

Ezért f ψ = ψ 0 teljesül a T halmazon µ-majdnem mindenütt, így f ψ ∈ LF2 (T, R, µ), azaz ψ • ∈ Dom(Qf ) és Qf (ψ • ) := (f ψ)• = (ψ 0 )• = (Qf )∗ (ψ • ). Ez azt jelenti, hogy (Qf )∗ ⊆ Qf is teljesül. b) Ha µ-majdnem minden t ∈ T esetén f (t) ∈ R, akkor f = f a T halmazon µ-majdnem mindenütt, ezért Qf = Qf , így az a)-ból azonnal kapjuk, hogy Qf = (Qf )∗ . c) Ha f korlátos, akkor a négyzetes integrálhatóság kritériuma szerint minden ψ ∈ LF2 (T, R, µ) esetén f ψ ∈ LF2 (T, R, µ), vagyis Dom(Qf ) = LF2 (T, R, µ). Továbbá, ha ψ ∈ LF2 (T, R, µ), akkor

kQf (ψ

•

)k2µ,2

=

kf ψk2µ,2

Z

=

|f |2 kψk2 dµ ≤ 9f 92 kψk2µ,2 ,

T

tehát Qf folytonos és kQf k ≤ 9f 92 k. Ekkor a Qf operátor nyilvánvalóan normális, mert az a) alkalmazásával (Qf )∗ ◦ Qf = Qf ◦ Qf = Q|f |2 = Qf ◦ Qf = Qf ◦ (Qf )∗ adódik. d) Ha µ-majdnem minden t ∈ T esetén |f (t)| = 1, akkor |f |2 = 1 a T halmazon µmajdnem mindenütt, tehát a c)-ben feírt operátoregyenl®ségek alapján (Qf )∗ ◦ Qf = Qf ◦ (Qf )∗ = Q|f |2 = Q1T = idL2F (T,R,µ) , ahol 1T a T → C azonosan 1 függvény. Ezért Qf unitér operátor.)

9. Legyen E Hilbert-tér és u ∈ L (E) unitér operátor. Ha v : E  E s¶r¶n értelmezett lineáris operátor, akkor u−1 ◦ v ◦ u : E  E szintén s¶r¶n értelmezett lineáris operátor és (u−1 ◦ v ◦ u)∗ = u−1 ◦ v ∗ ◦ u.

378

15. LINEÁRIS OPERÁTOROK HILBERT-TEREK KÖZÖTT

Speciálisan, ha v : E  E önadjungált operátor, akkor u−1 ◦v◦u is önadjungált operátor.

10. (A Heisenberg-féle felcserélési reláció teljesítése önadjungált operátorokkal.) Legyen

n ∈ N∗ , F komplex Hilbert-tér, és minden k ∈ n esetén

qk : L2F (Rn , Rn , µn )  L2F (Rn , Rn , µn ) az a leképezés, amelyre

Dom(qk ) := {ψ • ∈ L2F (Rn , Rn , µn ) | prk ψ ∈ LF2 (Rn , Rn , µn )}, és minden ψ • ∈ Dom(qk ) esetén

qk (ψ • ) := (prk ψ)• , ahol prk : Rn → R a k -adik projekció-függvény. Legyen továbbá ~ ∈ R∗+ rögzített szám és minden n 3 k -ra pk := ~ F−1 ◦ qk ◦ F, ahol F az L2F (Rn , Rn , µn ) Hilbert-tér feletti Fourier-transzformáció (XII. fejezet, 7. pont, 8. gyakorlat). Ekkor minden k ∈ n esetén n {ψ • |ψ ∈ C∞ 0 (R ; F )} ⊆ Dom(qk ) ∩ Dom(pk ), n és ψ ∈ C∞ 0 (R ; F ) esetén

pk (ψ • ) = (−i~∂k ψ)• .

Továbbá, minden k ∈ n esetén qk és pk nem folytonos (vagyis nem mindenütt értelmezett) önadjungált operátorok az L2F (Rn , Rn , µn ) Hilbert-térben, és ha j, k ∈ n, akkor

[qj , pk ] = i~δjk idL2F (Rn ,Rn ,µn ) n 2 n teljesül az {ψ • |ψ ∈ C∞ 0 (R ; F )} ⊆ LF (R , Rn , µn ) s¶r¶ lineáris altéren.

(Útmutatás. Minden n 3 k -ra qk = Qprk (8. gyakorlat), ezért qk önadjungált operátor az L2F (Rn , Rn , µn ) Hilbert-térben, így a 9. gyakorlat szerint pk is önadjungált operátor az L2F (Rn , Rn , µn ) Hilbert-térben, hiszen az L2F (Rn , Rn , µn ) tér feletti Fouriern n ∞ transzformáció unitér operátor. Ha ψ ∈ C∞ 0 (R ; F ) és k ∈ n, akkor prk ψ ∈ C0 (R ; F ), n tehát {ψ • |ψ ∈ C∞ 0 (R ; F )} ⊆ Dom(qk ). n Legyen most k ∈ n rögzítve. Megmutatjuk, hogy {ψ • |ψ ∈ C∞ 0 (R ; F )} ⊆ Dom(pk ), és n n • • ∞ minden C0 (R ; F ) 3 ψ -re pk (ψ ) = (−i~∂k ψ) . Valóban, ha ψ ∈ C∞ 0 (R ; F ), akkor n minden p ∈ Rn esetén (∂k ψ)χ−p = ∂k (ψ χ−p ) + ipk ψ χ−p és ψ χ−p ∈ C∞ 0 (R ; F ), ezért a LebesgueFubini-tétel és a Newton-Leibniz formula alapján

1 (F (∂k ψ))(p) = (2π)n/2

Z

Rn

(∂k ψ)χ−p dµn =

1 (2π)n/2

Z

Rn

∂k (ψ χ−p ) dµn +

15.5. GYAKORLATOK

379

Z 1 + (ipk ) ψ χ−p dµn = ipk (F ψ)(p). (2π)n/2 n

R

n Ez azt jelenti, hogy ψ ∈ C∞ 0 (R ; F ) esetén prk F ψ = −iF (∂k ψ), és természetesen ∞ n ∂k ψ ∈ C0 (R ; F ), tehát a XII. fejezet, 7. pont, 8. gyakorlat szerint prk F ψ ∈ n • LF1 (Rn , Rn , µn ) ∩ LF2 (Rn , Rn , µn ). Ezért minden ψ ∈ C∞ 0 (R ; F ) függvényre F(ψ ) = −1

n (F ψ)• ∈ Dom(qk ), vagyis ψ • ∈ F hDom(qk )i = Dom(pk ). Továbbá, ha ψ ∈ C∞ 0 (R ; F ), akkor a XII. fejezet, 7. pont, 8. gyakorlat szerint

pk (ψ • ) = ~(F−1 ◦ qk ◦ F)(ψ • ) = ~F−1 (qk ((F ψ)• )) = ~F−1 ((prk F ψ)• ) = = ~((F (prk F ψ))• = −i~(F (F (∂k ψ)))• = (−i~∂k ψ)• . n Ha j, k ∈ n, akkor minden ψ ∈ C∞ 0 (R ; F ) függvényre a

[qj , pk ](ψ • ) = i~δj,k ψ • egyenl®ség az el®z®ek alapján egyszer¶ számolással belátható.)

380

15. LINEÁRIS OPERÁTOROK HILBERT-TEREK KÖZÖTT

III. rész Az analitikus geometria elemei

381

383

BEVEZETÉS Az analitikus geometria a "geometriai természet¶ objektumok" analitikus tulajdonságaival foglalkozik. Geometriai természet¶ objektumok a különféle "felületek" véges dimenziós valós vektorterekben. Habár a felületek fogalma intuitíve eléggé tisztának t¶nik, korántsem triviális olyan szigorú deníciót adni rájuk, amely összhangban van a róluk alkotott intuitív képünkkel, ugyanakkor tartalmas analitikus elméletük is létezik. Ennek indoklásaként elegend® a "vonalak" (vagyis az "egydimenziós felületek") esetét tekinteni. Els® közelítésben ezek folytonos függvények értékkészleteiként értelmezhet®k, de az V. fejezet 11. pontjának 13. gyakorlatában láttuk, hogy ez a deníció nincs összhangban a (folytonos) vonalakról kialakult szemléletünkkel. Az analitikus geometriának három, viszonylag jól megkülönböztethet® ága van. A topologikus geometria (másnéven topologikus sokaságok elmélete) azoknak a topologikus tereknek a speciális tulajdonságaival foglalkozik, amelyek minden pontjának van olyan környezete, amely homeomorf egy véges dimenziós valós vektortér nyílt részhalmazával. Az ilyen tulajdonságú topologikus terek lokálisan euklidészi tereknek is nevezzük. A dierenciálgeometria (másnéven dierenciálható sokaságok elmélete) azokkal a topologikus terekkel foglalkozik, amelyek minden pontjához hozzárendelhet® egy Banach-tér (a pont érint®tere) olymódon, hogy a pont valamely környezete homeomorf az érint®tér valamely nyílt részhalmazával, továbbá az a függvény, amely a halmaz minden pontjához a érint®teret rendeli (bizonyos értelemben) dierenciálható. Az ilyen típusú terekkel kapcsolatban olyan objektumokat lehet értelmezni (els®sorban a tenzormez®ket), amelyek legegyszer¶bb speciális esetét (ti. a Banach-terek között ható folytonosan differenciálható függvények esetét) a VII. fejezetben részletesen megvizsgáltuk. Végül, az integrálgeometria nem más, mint az általános geometriai integrálelmélet, amelyr®l a X. fejezet bevezetésében volt szó. Tehát az integrálgeometriában a speciális dierenciálható sokaságokkal (például Riemann-sokaságokkal), valamint a speciális feltételeknek eleget tev® dierenciálformákkal kapcsolatban bevezethet® kitüntetett mértékeket, valamint az integrálelméleti és dierenciálelméleti tulajdonságok közötti összefüggéseket elemezzük. Az integrálgeometria nevezetes része a Stokes-tételkör, amelynek fontos reprezentánsa az itt bemutatásra kerül® Gauss-Osztrogradszkij tétel. Az analitikus geometriának rendkívüli jelent®sége van az analízis alkalmazásai szempontjából. Ennek szemléltetéseként felsoroljuk az elméleti zikának néhány fejezetét, amelyekben az analitikus geometria fogalmainak és tételeinek alkalmazása nekülözhetetlennek t¶nik.  A klasszikus mechanikában, a sok szabadsági fokkal rendelkez® mechanikai rendszerek fázistere egy speciális dierenciálható sokaság-típussal modellezhet®: a szimplektikus sokaságok ko-érint®terével. A klasszikus statisztikus mechanikában szintén megjelennek (lokálisan véges dimenziós) dierenciálható sokaságok, a klasszikus Fock-terek.

384  A klasszikus dinamikai rendszerek elméletében, és a termodinamikában nélkülözhetetlenek a közönséges dierenciálegyenlet-rendszerek, és azok megoldásainak tere, ami rendszerint olyan speciális dierenciálható sokaság, amelynek analitikus geometriai tulajdonságai jól tükrözik a rendszer egyensúlyi, stabilitási, illetve kaotikus vonásait. A termodinamikában a fázisok és a fázisátmenetek egzakt leírásában felhasználjuk az analitikus geometria fogalmait.  A klasszikus elektrodinamika integrális alapegyenleteinek (a Maxwell-egyenletek) megfogalmazása elképzelhetetlen a tenzormez®kkel kapcsolatos elemi dierenciáloperációk (divergencia, rotáció, Laplace-operátor, küls® derivált, stb.), és a Riemann-sokaságokon bevezethet® felületi mértékek ismerete nélkül.  A gravitációs terek klasszikus elméletében, és különösen az általános relativitáselméletben alapvet®en fontos a Lorentz-sokaságok fogalma, valamint az ezeken bevezethet® konnexió, párhuzamos eltolás, torzió-tenzor és Ricci-tenzor értelmezése. Ezek nélkül fel sem lehet írni a gravitációs terek alapegyenletét, az Einstein-egyenletet.  A speciális relativisztikus kvantumelméletben fontos bizonyos Lie-csoportok folytonos unitér ábrázolásainak ismerete. A Lie-csoportok olyan csoportok, amelyek egyben dierenciálható sokaságok is, és a csoportm¶velet dierenciálható függvény.  A gravitációs terek kvantumelméletében és a kvantumtéreleméletben határozott jele van annak, hogy a kifogástalan elméleti modellezésben különös szerepe lehet a holomorf (vagyis komplex dierenciálható) sokaságoknak. Magától értet®d®, hogy egy ennyire szerteágazó és alkalmazásokban ilyen gazdag elméletet gyakorlatilag lehetetlen bemutatni a teljesség igényével. Ezért ebben a fejezetben csak egy olyan bevezet® elméletet tárgyalunk, amely segítséget nyújthat az analitikus geometria mélyebb problémáinak megértéséhez. Az analízisnek ez a fejezete az általánosságnak különösen sokféle szintjén tárgyalható. A legelemibb szinten aritmetikai terek (vagyis a Kn terek) részsokaságait kellene tárgyalni. Az aritmetikai terekben létezik egy kitüntetett algebrai bázis, és ez meghatároz egy kitüntetett koordinátázást. Ez a tény kifejezetten zavaró lehet abban a gyakran el®forduló esetben, amikor olyan dierenciálgeometriai probémát vizsgálunk, amelynek megoldásához ez a kitüntetett koordinátázás nem megfelel®. Ilyen esetben más koordinátázás, vagyis másféle bázis választása válik szükségessé (vagy néha semmiféle koordinátázás nem célszer¶); ekkor viszont lényegtelen az, hogy a vizsgált részsokaság aritmetikai térbe van beágyazva, vagyis csak az számít, hogy egy véges dimenziós valós vektortér részsokaságáról van szó. Ezért a sokaságelmélet legelemibb szintjén is érdemes véges dimenziós valós vektorterek részsokaságait tekinteni. Az ilyen típusú részsokaságok azért különösen egyszer¶ek, mert a velük kapcsolatban bevezethet® legfontosabb differenciálgeometriai objektumok viszonylag konkrét formában értelmezhet®k; például az érint®terek a tartalmazó vektortér lineáris alterei. A véges dimenziós valós vektorterek részsokaságainak vannak olyan küls® objektumai, illetve tulajdonságai, amelyek attól függenek, hogy szóbanforgó sokaság melyik

385 vektortér részsokasága. Például a harmadik pontban részletesen tárgyaljuk a folytonos normálvektor-mez®k létezésének problémáját euklidészi tér bizonyos hiperfelületein; ez tipikus példája az euklidészi terekbe ágyazott sokaságok küls® objektumának. Azonban a dierenciálgeometriában különösen fontos kérdés a sokaságok bels®, tehát csak a sokaság-struktúra által meghatározott jellemz®inek kiderítése. Ez a probléma vezetett el az absztrakt sokaságok értelmezéséhez, és azok analíziséhez. Ebben a fejezetben nem foglalkozunk absztrakt sokaságokkal, de az 1. pont 9. gyakorlatában bemutatjuk azt a természetes gondolatmenetet, amelynek mentén eljuthatunk a részsokaságok fogalmától az absztrakt sokaságokig. Az els® pontban értelmezzük a véges dimenziós valós vektorterek részsokaságait és ezek érint®tereit. Az érint®terek segítségével vezethet®k be sokaságok felett a tenzormez®k (speciálisan a dierenciálformák). Ugyancsak az érint®terek létezése teszi lehet®vé sokaságok között ható függvények dierenciálhatóságának és deriváltfüggvényének értelmezését. Ezután bemutatjuk azokat a legfontosabb eljárásokat, amelyek segítségével részsokaságok konstruálhatók. E módszerek közül kiemelkedik a részsokaságok normálegyenletekkel való maghatározása, amelyr®l kiderül, hogy ez egyben (lokálisan) a legáltalánosabb módja részsokaságok értelmezésének. A normálegyenletekkel kapcsolatos a szintfelületek kollektív paraméterezésének tétele, amelynek fontos alkalmazása lesz az integrálgeometriában. Gyakori konstrukció a részsokaságok szorzása, valamint aritmetikai terek nyílt részhalmazainak (bizonyos) dierenciálható függvények általi képek el®állítása. Ez utóbbi nehéz probléma megoldásában fontos az állandó rang tétele. A második pontban értelmezzük a végesdimenziós valós vektorterekbe ágyazott Riemann-sokaságokat és bemutatunk néhány nemtriviális példát. Itt csak azokról az alaptulajdonságokról lesz szó, amelyek nélkülözhetetlenek lesznek a felületi mértékek értelmezéséhez. A Riemann-sokaságokkal kapcsolatban bevezethet® geometriai fogalmakra (például a Levi-Civita konnexió, görbületi tenzormez®, Gauss-görbület, stb.) nem térünk ki. A Riemann-geometria részletes tárgyalása megtalálható a felsorolt szakirodalomban. Ezután a Riemann-sokaságok feletti felületi mértékek pontos deníciója következik, majd megvizsgáljuk a felületi mértékek szerinti integrálás kritériumait. Megmutatjuk, hogyan lehet folytonosan dierenciálható függvényekb®l álló egységosztást el®állítani sokaságok esetében, és megvizsgáljuk a térfogati és felületi mértékek szerinti integrálok kapcsolatát, amit a Cavalieri-elv fejez ki. A harmadik pontban megadjuk az euklidészi terek nyílt részhalmazai topologikus határának felbontását a reguláris, illetve irreguláris határra. Látni fogjuk, hogy a reguláris határ olyan Riemann-sokaság lesz, amelyen bevezethet a kimen® normálvektormez®. Ennek, és a felületi mértéknek segítségével értelmezhet® a reguláris határon adott vektorfüggvények uxusa. Az utolsó pontban bebizonyítjuk a GaussOsztrogradszkij-tétel alapformáját, és annak közvetlen kövtkezményeit: a Green-formulákat. A tétel alkalmazhatóságát az ellip-

386 tikus parciális dierenciálegyenletek megoldásával kapcsolatban illusztráljuk. A Gauss Osztrogradszkij-tétel feltételeib®l és bizonyításából látható, hogy az érvényessége lényegében azon múlik, hogy a tételben szerepl® vektormez® tartója a nyílt halmaz irreguláris határát bizonyos értelemben "kicsi" halmazban metszi. Megjegyezzük, hogy a fejezet után álló függelék által tartalmazott, topologikus terekkel kapcsolatos ismeretek nagyon hasznosak a fejezet anyagának megértése szempontjából, de nem nekülözhetetlenek. Azonban az absztrakt sokaságok elmélete feltételezi az általános topológia bizonyos mélység¶ ismeretét, s®t ennek az elméletnek van olyan speciális területe (a globális analitikus geometria), amelyben a sokaságok topologikus tulajdonságai különös hangsúlyt kapnak. A topologikus geometria pedig kifejezetten a lokálisan euklidészi topologikus terek elméletének tekinthet®. Ebben a fejezetben a következ® megállapodásokhoz tartjuk magunkat.  Az E bet¶ mindenütt véges dimenziós valós vektorteret jelöl, továbbá dim(E) az E dimenziója.  Az m és n szimbólumok természetes számokat jelölnek. Továbbá, r és s nullánál nagyobb természetes számokat, vagy a ∞ szimbólumot jelölik.  Euklidészi téren véges dimenziós valós Hilbert-teret értünk, amelynek skalárszorzását a (·|·), és normáját a k · k szimbólum jelöli.  Minden m ∈ N∗ esetén Rm jelöli a standard halmazgy¶r¶t Rm felett, és µm jelöli az m-dimenziós Lebesgue-mértéket.

Irodalomjegyzék 1. L. Schwartz, Analyse mathématique, Hermann, Paris, 1967. 2. S. Kobayashi - K. Nomizu, Foundations of Dierential Geometry, vols. I-II, Interscience Pub., New York-London-Sydney, 1969.

3. D. Gromoll - W. Klingenberg - W. Meyer, Riemannsche Geometrie im Groβ en, Springer-Verlag, Berlin-Heidelberg-New York, 1968.

4. J. Beem - P. Ehrlich, Global Lorentzian Geometry, Marcel Dekker Inc., New YorkBasel, 1981.

5. M. M. Postnikov, Vvedenie v teori Morsa, Nauka, Moskva, 1971. 6. L. Hörmander, The Analysis of Linear Partial Dierential Operators, Vol. I, Distribution Theory and Fourier Analysis, Springer-Verlag, Berlin-Heidelberg-New YorkTokyo, 1983.

7. M. Berger, Géometrie, I-II, CEDIC, Paris, 1977-1978. 8. N. Bourbaki, Éléments de mathématique, Variétés diérentielles és analytiques,

387

Fascicule de résultats, Hermann, Paris, 1967-1971.

9. S. Lang, Dierential Manifolds, Springer P.C., New York-Berlin-Heidelberg, 1985. 10. H. Whitney, Geometric Integration Theory, Princeton Univ. Press, 1957. 11. H. Federer, Geometric Measure Theory, Springer-Verlag, 1969. 12. S. Sternberg, Lectures on Dierential Geometry, Prentice Hall, Inc., Englewood

Clis, N.J., 1964.

388

16. fejezet Véges dimenziós valós vektorterek részsokaságai 16.1.

Paraméterezések és részsokaságok

16.1.1. Deníció. Az M ⊆ E halmaz m-dimenziós, Cr -osztályú lokális paraméterezésének nevezünk minden olyan Φ : Rm  E függvényt, amely rendelkezik a következ® tulajdonságokkal.

 Az Im(Φ) halmaz nyílt M -ben, vagyis létezik olyan Ω ⊆ E nyílt halmaz, amelyre Im(Φ) = M ∩ Ω.  A Φ függvény homeomorzmus Dom(Φ) és Im(Φ) között.  A Φ : Rm  E függvény Cr -osztályú (ezért Dom(Φ) nyílt halmaz Rm -ben), és minden p ∈ Dom(Φ) esetén a (DΦ)(p) : Rm → E lineáris operátor injektív. Az M ⊆ E halmaz Φ lokális paraméterezését globálisnak mondjuk, ha Im(Φ) = M . Megállapodunk abban, hogy a továbbiakban a "paraméterezés" szó mindenütt "lokális paraméterezést" jelent; ahol globális paraméterezésr®l van szó, ott ezt külön megemlítjük.

16.1.2. Deníció. Azt mondjuk, hogy az M ⊆ E halmaz m-dimenziós, Cr -osztályú részsokasága E -nek, ha létezik az M halmaz m-dimenziós, Cr -osztályú paramétere[ zéseinek olyan (Φi )i∈I rendszere, amelyre M =

Im(Φi ).

Azt mondjuk, hogy az

i∈I

M ⊆ E halmaz m-dimenziós, Cr -osztályú elemi részsokasága E -nek, ha létezik az M halmaznak m-dimenziós, Cr -osztályú globális paraméterezése. Az E vektortér dim(E)−1 dimenziós részsokaságait hiperfelületeknek, és az E egydimenziós részsokaságait vonalaknak nevezzük E -ben. Tehát az M ⊆ E halmaz pontosan akkor m-dimenziós, Cr -osztályú részsokasága E -nek, ha az M halmaz m-dimenziós, Cr -osztályú paraméterezéseinek értékkészletei 389

390

16. VÉGES DIMENZIÓS VALÓS VEKTORTEREK RÉSZSOKASÁGAI

befedik M -et, vagyis ha minden a ∈ M esetén van olyan V nyílt környezete a-nak E ben, hogy létezik M -nek olyan Φ m-dimenziós, Cr -osztályú paraméterezése, amelyre Im(Φ) = M ∩ V .

Megjegyzések. 1) Nyilvánvaló, hogy egy M ⊆ E m-dimenziós, Cr -osztályú paraméte-

rezése egyben m-dimenziós, Cs -osztályú paraméterezése is, ha s ≤ r. Ezért m-dimenziós, Cr -osztályú (elemi) részsokaság egyben m-dimenziós, Cs -osztályú (elemi) részsokaság is, ha s ≤ r. 2) Ha Φ m-dimenziós, Cr -osztályú paraméterezése az M ⊆ E halmaznak, és Ω ⊆ E nyílt halmaz, akkor a Φ −1 függvény szintén m-dimenziós, Cr -osztályú paraméterezése M Φ hΩi



nek, és természetesen Im Φ külön hivatkozás nélkül.



−1

Φ hΩi

= M ∩ Ω. Ezt az elemi tényt gyakran alkalmazzuk,

3) Ha M nem üres m-dimenziós, Cr -osztályú részsokasága E -nek, akkor m ≤ dim(E), hiszen ha a ∈ M és V olyan nyílt környezete a-nak E -ben, hogy a Φ : Rm  E függvény m-dimenziós, Cr -osztályú paraméterezése M -nek és Im(Φ) = M ∩ V , akkor a (DΦ)(Φ−1 (a)) : Rm → E lineáris operátor injektív, ezért m = dim(Rm ) ≤ dim(E). 4) Legyen M ⊆ E legalább két elem¶ kompakt halmaz. Ekkor nem létezik olyan m ∈ N és r ∈ N∗ ∪ {∞}, hogy M m-dimenziós, Cr -osztályú elemi részsokasága volna E -nek, vagyis M -nek nem létezhet m-dimenziós, Cr -osztályú globális paraméterezése. Ha ugyanis a Φ : Rm  E függvény m-dimenziós, Cr -osztályú globális paraméterezése M -nek, akkor Φ homeomorzmus a Dom(Φ) ⊆ Rm nyílt halmaz és Im(Φ) = M között; ekkor Dom(Φ) nem üres kompakt (ezért zárt) és nyílt részhalmaza Rm -nek, tehát az Rm összefügg®sége miatt Dom(Φ) = Rm . Következésképpen m = 0, hiszen m > 0 esetén Rm nem kompakt. Ekkor viszont M = Im(Φ) = {Φ(0)}, vagyis M egy elem¶. 5) Tegyük fel, hogy Ω, Ω0 ⊆ E nyílt halmazok, és σ : Ω → Ω0 Cr -dieomorzmus Ω és Ω0 között. Ha M m-dimenziós, Cr -osztályú részsokasága E -nek és M ⊆ Ω, akkor σhM i szintén m-dimenziós, Cr -osztályú részsokasága E -nek. Valóban, ha a ∈ σhM i és V olyan nyílt környezete σ −1 (a)-nak E -ben, amelyre a Φ : Rm  E függvény olyan m-dimenziós, Cr -osztályú paraméterezése M -nek, hogy Im(Φ) = M ∩ V , akkor nyilvánvaló, hogy a σhΩ ∩ V i halmaz olyan nyílt környezete a-nak E -ben, hogy a σ ◦ Φ függvény m dimenziós, Cr -osztályú paraméterezése σhM i-nek és Im(σ ◦ Φ) = σhM i ∩ σhΩ ∩ V i. 6) Az elemi részsokaságok el®állításának standard módja az, hogy tekintünk egy Φ : Rm  E Cr -osztályú függvényt, amely homeomorzmus Dom(Φ) és Im(Φ) között, és minden p ∈ Dom(Φ) esetén a (DΦ)(p) : Rm → E lineáris operátor injektív. Ekkor az Im(Φ) halmaz m-dimenziós, Cr -osztályú elemi részsokasága E -nek, és természetesen Φ az Im(Φ)-nek globális m-dimenziós, Cr -osztályú paraméterezése.

391

16.2. PÉLDÁK RÉSZSOKASÁGOKRA

16.2.

Példák részsokaságokra

Példák részsokaságokra 1) Az E minden nem üres diszkrét részhalmaza 0-dimenziós,

C∞ -osztályú részsokasága E -nek. Az E minden egy elem¶ részhalmaza 0-dimenziós, C∞ -osztályú elemi részsokasága E -nek. Minden M ⊆ E nyílt halmaz dim(E)-dimenziós, C∞ -osztályú elemi részsokasága E -nek, és ha u : Rdim(E) → E lineáris bijekció, akkor : Rdim(E)  E függvény az M -nek globális dim(E)-dimenziós, C∞ -osztályú az u −1 u hM i paraméterezése. 2) Legyen F is véges dimenziós valós vektortér, U ⊆ E nem üres nyílt halmaz, és f ∈ Cr (U ; F ) tetsz®leges függvény. Ekkor a

Ψf : U → E × F ;

x 7→ (x, f (x))

függvény Cr -osztályú, és homeomorzmus az U és gr(f ) := Im(Ψf ) halmazok között, valamint minden x ∈ U esetén a (DΨf )(x) : E → E × F deriváltoperátor injektív. Ezért minden u : Rdim(E) → E lineáris bijekcióra a Ψf ◦ u : Rdim(E) → gr(f ) leképezés dim(E)dimenziós, Cr -osztályú globális paraméterezése az gr(f ) halmaznak, tehát gr(f ) (vagyis az f függvény gráfja) dim(E)-dimenziós, Cr -osztályú elemi részsokasága E × F -nek. Valóban, a Ψf függvény nyilvánvalóan injektív, tehát Ψf bijekció az U := Dom(Ψf ) és a gr(f ) halmaz között. Továbbá, a Ψf függvény mindkét komponens-függvénye Cr osztályú, így Ψf is Cr -osztályú. A Cr -osztályú inverze az E × F → E els® projekciófüggvény gr(f )-re vett lesz¶kítése, tehát Ψf homeomorzmus U és gr(f ) között. Végül, x ∈ U esetén minden E 3 z -re ((DΨf )(x)) (z) = (z, ((Df )(x)) (z)), amib®l látható, hogy a (DΨf )(x) : E → E × F deriváltoperátor injektív. 3) Tekintsük a következ® leképezést ‚ 2

Φ:R→R ;

p 7→

Œ

p(1 + p2 ) p(1 − p2 ) , , 1 + p4 1 + p4

és legyen M := Im(Φ). Ezt az M halmazt Bernoulli-lemniszkátának nevezzük. A Φ függvény folytonos bijekció R és M között, továbbá C∞ osztályú, és minden p ∈ R esetén a (DΦ)(p) : R → R2 operátor injektív. Azonban a Φ inverze nem folytonos a (0, 0) pontban, tehát Φ nem 1-dimenziós, C∞ -osztályú globális paraméterezése M -nek. Könnyen látható, hogy M végtelen kompakt halmaz R2 -ben, tehát a 4) megjegyzés alapján M -nek egyáltalán nem létezhet 1-dimenziós, C∞ -osztályú globális paraméterezése. 4) Legyen E euklidészi tér. Minden a ∈ E és r ∈ R∗+ esetén az

Sr (a) := { x ∈ E | kx − ak = r } gömbfelület C∞ osztályú hiperfelület E -ben (2. gyakorlat).

392

16. VÉGES DIMENZIÓS VALÓS VEKTORTEREK RÉSZSOKASÁGAI

5) Legyen E euklidészi tér. Ha a ∈ E , n ∈ E és knk = 1, valamint λ ∈] − 1, 1[ valós szám, akkor a Cn,λ (a) := { x ∈ E \ {a} | (x − a|n) = λkx − ak }

kúpfelület C∞ osztályú elemi hiperfelület E -ben (3. gyakorlat). 6) Legyen E euklidészi tér. Minden m ∈ R∗+ esetén a ¨

Pm :=

kpk2 (p0 , p) ∈ R × E p0 = 2m

«

forgási paraboloid C∞ osztályú elemi hiperfelület R × E -ben (4. gyakorlat). 7) Legyen E euklidészi tér és m ∈ R+ . Értelmezzük a következ® halmazokat È

± Xm := { (p0 , p) ∈ R × E | p0 = ± kpk2 + m2 },

ha m > 0, míg

X0± := { (p0 , p) ∈ R × (E \ {0}) | p0 = ±kpk }.

± Ekkor az Xm halmazok C∞ osztályú elemi hiperfelület R × E -ben (5. gyakorlat).

16.3.

Átviteli függvények és részsokaság dimenziója

Legyen a Φ függvény m-dimenziós, Cr -osztályú paraméterezése az M ⊆ E halmaznak. Ekkor Φ injekció, tehát beszélhetünk a Φ−1 : E  Rm inverzfüggvényr®l, de ha az Im(Φ) (= Dom(Φ−1 )) halmaz nem nyílt részhalmaza E -nek (és látni fogjuk, hogy m < dim(E) esetén mindig ez a helyzet), akkor a Φ−1 függvény a deníciós tartományának egyetlen pontjában sem lehet dierenciálható, hiszen a Dom(Φ−1 ) halmaz belseje üres. Még az sem állítható, hogy Φ−1 kiterjeszthet® egy E  Rm Cr -osztályú függvénnyé. Az viszont igaz, hogy Φ−1 lokálisan kiterjeszthet® Cr -osztályú E  Rm függvénnyé. A pontos állítás a következ®.

16.3.1. Lemma. Legyen a Φ függvény m-dimenziós, Cr -osztályú paraméterezése az

M ⊆ E halmaznak. Minden a ∈ Im(Φ) pontnak létezik olyan V nyílt környezete E ben, és létezik olyan h ∈ Cr (V ; Rm ) függvény, hogy h ◦ Φ = id−1

Φ hV i

,

hhV ∩ Im(Φ)i ⊆ Dom(Φ),

Φ(h(a)) = a

teljesül, ami ekvivalens azzal, hogy (Φ−1 ) V ∩Im(Φ) ⊆ h és Φ(h(a)) = a. Bizonyítás. Jelölje p ∈ Dom(Φ) azt a pontot, amelyre Φ(p) = a. A (DΦ)(p) ∈ L (Rm ; E) operátor injektív, ezért vehetünk olyan v ∈ L (E; Rm ) operátort, amelyre v ◦ (DΦ)(p) =

16.3. ÁTVITELI FÜGGVÉNYEK ÉS RÉSZSOKASÁG DIMENZIÓJA

393

idRm . Ekkor a v ◦ Φ : Rm  Rm függvény deníciós tartománya egyenl® Dom(Φ)-vel, Cr -osztályú, és D(v ◦ Φ)(p) = v ◦ (DΦ)(p) = idRm lineáris homeomozmus. Ezért az inverzfüggvény-tétel alapján létezik a p-nek olyan U ⊆ Dom(Φ) nyílt környezete Rm ben, hogy a (v ◦ Φ)|U függvény injektív, a W := (v ◦ Φ)hU i halmaz nyílt környezete Rm -ben a v(Φ(p)) = v(a) pontnak, és a ((v ◦ Φ)|U )−1 : W → U függvény Cr -osztályú. −1 Nyilvánvaló, hogy a V := v hW i halmaz nyílt E -ben, vhV i ⊆ W és a ∈ V . Legyen h := ((v ◦ Φ)|U )−1 ◦ v V . Ekkor h ∈ Cr (V ; Rm ) és €

h ◦ Φ = ((v ◦ Φ)|U )−1 ◦ v

Š V

◦ Φ = ((v ◦ Φ)|U )−1 ◦ (v|V ◦ Φ) =

= ((v ◦ Φ)|U )−1 ◦ (v ◦ Φ) −1

Φ hV i

= id−1

Φ hV i

.

Továbbá nyilvánvaló, hogy €

hhV ∩ Im(Φ)i= ((v ◦ Φ)|U )−1 ◦ v

Š V

hV ∩ Im(Φ)i= ((v ◦ Φ)|U )−1 hvhV ∩ Im(Φ)ii⊆

⊆ ((v ◦ Φ)|U )−1 hW i ⊆ U ⊆ Dom(Φ). Végül, h(a) = ((v ◦ Φ)|U )−1 (v(a)) = p, mert Φ(p) = a, így Φ(h(a)) = Φ(p) = a. Ez azt jelenti, hogy h olyan függvény, amelynek a létezését állítottuk. 

16.3.2. Tétel. Ha a Φ függvény m-dimenziós és a Ψ függvény n-dimenziós, Cr -osztályú

paraméterezése az M ⊆ E halmaznak, akkor a Φ−1 ◦Ψ : Rn  Rm és Ψ−1 ◦Φ : Rm  Rn függvények (amelyek egymás inverzei) Cr -dieomorzmusok, tehát Im(Φ) ∩ Im(Ψ) 6= ∅ esetén m = n. Bizonyítás. Elég azt igazolni, hogy a Φ−1 ◦ Ψ : Rn  Rm függvény Cr -osztályú. Legyen −1

p ∈ Dom (Φ−1 ◦ Ψ) = ΨhIm(Φ) ∩ Im(Ψ)i rögzített pont. Az el®z® lemma alapján a Ψ(p) ∈ Im(Φ) pontban létezik olyan V nyílt környezete E -ben, és létezik olyan h ∈ Cr (V ; Rm ), hogy Φ−1 = h a V ∩ Im(Φ) halmazon. Ekkor Φ−1 ◦ Ψ = h ◦ Ψ az −1

U := ΨhV ∩ Im(Φ)i ∩ Dom(Φ−1 ◦ Ψ) halmazon. Az U halmaz nyílt Rn -ben, mert Im(Φ) és Im(Ψ) nyíltak M -ben, vagyis léteznek olyan ΩΦ és ΩΨ nyílt halmazok E -ben, hogy Im(Φ) = M ∩ ΩΦ és Im(Ψ) = M ∩ Im(Ψ), így −1

−1

−1

U = ΨhV ∩ Im(Φ) ∩ Im(Ψ)i = ΨhV ∩ M ∩ ΩΦ ∩ M ∩ ΩΨ i = ΨhV ∩ ΩΦ ∩ ΩΨ i nyílt Rn -ben, hiszen Ψ : Rn  E folytonos és V ∩ ΩΦ ∩ ΩΨ nyílt E -ben. Ezért a Ψ|U : U → E függvény Cr -osztályú, és a h : V → Rm függvény is Cr -osztályú, valamint Im (Ψ|U ) = ΨhU i ⊆ V ⊆ Dom(h), következésképpen a h ◦ (Ψ|U ) : U → Rm függvény Cr osztályú. De ez a függvény egyenl® a Φ−1 ◦Ψ függvénnyel az U halmazon, és természetesen

394

16. VÉGES DIMENZIÓS VALÓS VEKTORTEREK RÉSZSOKASÁGAI

p ∈ U . Ezzel megmutattuk, hogy Dom(Φ−1 ◦ Ψ) nyílt halmaz Rn -ben, és a Φ−1 ◦ Ψ függvény a deníciós tartományának minden pontjának valamely környezetén egyenl® egy Cr -osztályú függvénnyel, ezért a magasabb rendben való folytonos dierenciálhatóság lokalitása miatt a Φ−1 ◦ Ψ függvény Cr -osztályú. Ha Im(Φ) ∩ Im(Ψ) 6= ∅, akkor a Φ−1 ◦ Ψ : Rn  Rm függvény Cr -dieomorzmus a −1

−1

ΨhIm(Φ) ∩ Im(Ψ)i ⊆ Rn és ΦhIm(Φ) ∩ Im(Ψ)i ⊆ Rm nem üres nyílt halmazok között, −1

tehát ha p ∈ ΨhIm(Φ) ∩ Im(Ψ)i, akkor D(Φ−1 ◦ Ψ)(p) : Rn → Rm lineáris bijekció, így m = n. 

16.3.3. Tétel. Ha M nem üres m-dimenziós és n-dimenziós részsokasága E -nek, akkor

m = n.

Bizonyítás. Legyen a ∈ M rögzített pont. Az M -nek létezik olyan Φ m-dimenziós Cr osztályú paraméterezése, és létezik olyan Ψ n-dimenziós Cr -osztályú paraméterezése, hogy a ∈ Im(Φ) ∩ Im(Ψ). Ekkor Im(Φ) ∩ Im(Ψ) 6= ∅, tehát az el®z® állítás alapján m = n. 

16.3.4. Deníció. Ha M nem üres m-dimenziós, Cr -osztályú részsokasága E -nek,

akkor az el®z® állítás szerint egyértelm¶en meghatározott m számot dim(M ) jelöli, és ezt az M részsokaság dimenziójának nevezzük.

16.4.

Részsokaság érint®tere

16.4.1. Állítás. Ha a Φ és Ψ függvények m-dimenziós, Cr -osztályú paraméterezései az M ⊆ E halmaznak, akkor minden a ∈ Im(Φ) ∩ Im(Ψ) esetén

Im((DΦ)(Φ−1 (a))) = Im((DΨ)(Ψ−1 (a))). −1

Bizonyítás. Legyen a ∈ Im(Φ)∩Im(Ψ). Nyilvánvaló, hogy Ψ = Φ◦(Φ−1 ◦Ψ) a ΨhIm(Φ)∩ Im(Ψ) halmazon. Láttuk, hogy a Φ−1 ◦ Ψ : Rm  Rm függvény Cr -dieomorzmus, −1

továbbá a Φ : Rm  E függvény Cr -osztályú, és Ψ−1 (a) ∈ ΨhIm(Φ) ∩ Im(Ψ)i. Ezért a függvénykompozíció dierenciálási szabálya szerint

(DΨ)(Ψ−1 (a)) = (DΦ)(Φ−1 (a)) ◦ (D(Φ−1 ◦ Ψ))(Ψ−1 (a)). Ebb®l az egyenl®ségb®l következik, hogy Im((DΨ)(Ψ−1 (a))) ⊆ Im((DΦ)(Φ−1 (a))). A Φ és Ψ paraméterezések szerepét felcserélve kapjuk, hogy Im((DΦ)(Φ−1 (a))) ⊆ Im((DΨ)(Ψ−1 (a))) is igaz, amib®l következik az állítás.  Az iménti állítás azt mutatja, hogy ha M m-dimenziós, Cr -osztályú részsokasága

395

16.5. CR -OSZTÁLYÚ LEKÉPEZÉSEK RÉSZSOKASÁGOK KÖZÖTT

E -nek, a ∈ M és Φ tetsz®leges olyan m-dimenziós, Cr -osztályú paraméterezése M -nek, hogy a ∈ Im(Φ), akkor a Im((DΦ)(Φ−1 (a))) ⊆ E m-dimenziós lineáris altér független a Φ választásától. deníció.

Ezért értelmes a következ®

16.4.2. Deníció. Legyen M m-dimenziós, Cr -osztályú részsokasága E -nek és a ∈ M . Ekkor

Ta (M ) := Im((DΦ)(Φ−1 (a))),

ahol Φ tetsz®leges olyan m-dimenziós, Cr -osztályú paraméterezése M -nek, amelyre a ∈ Im(Φ). A Ta (M ) ⊆ E m-dimenziós lineáris alteret az M sokaság a pontbeli érint®terének nevezzük.

16.5.

Cr -osztályú leképezések részsokaságok között

16.5.1. Deníció. Legyen M1 m1 -dimenziós, Cr1 -osztályú részsokasága az E1 véges

dimenziós valós vektortérnek és M2 m2 -dimenziós, Cr2 -osztályú részsokasága az E2 véges dimenziós valós vektortérnek. Azt mondjuk, hogy az f : M1 → M2 függvény Cr -osztályú, ha r ≤ min(r1 , r2 ) és az M1 minden Φ1 m1 -dimenziós, Cr1 -osztályú paraméterezésére és az M2 minden Φ2 m2 -dimenziós, Cr2 -osztályú paraméterezésére a m1 Φ−1  Rm2 2 ◦ f ◦ Φ1 : R

függvény Cr -osztályú. Figyeljük meg, hogy Cr1 -osztályú sokaságból Cr2 -osztályú sokaságba vezet® függvénynek csak olyan Cr -osztályú simaságát értelmeztük, amelyre r ≤ min(r1 , r2 ) (holott logikailag lehetne magasabb simaságot is értelmezni)!

16.5.2. Állítás. Legyen M1 m1 -dimenziós, Cr1 -osztályú részsokasága az E1 véges di-

menziós valós vektortérnek és M2 m2 -dimenziós, Cr2 -osztályú részsokasága az E2 véges dimenziós valós vektortérnek. Legyen f : M1 → M2 Cr -osztályú függvény. Ha Φ1 , Ψ1 az M1 -nek m1 -dimenziós, Cr1 -osztályú paraméterezései, valamint Φ2 , Ψ2 az M2 nek m2 -dimenziós, Cr2 -osztályú paraméterezései, továbbá a ∈ Im(Φ1 ) ∩ Im(Ψ1 ) és f (a) ∈ Im(Φ2 ) ∩ Im(Ψ2 ), akkor €

Š

Š

€

€

−1 −1 −1 (DΨ2 )(Ψ−1 2 (f (a)) ◦ (D(Ψ2 ◦ f ◦ Ψ1 ))(Ψ1 (a)) ◦ (DΨ1 )(Ψ1 (a))

€

Š

€

Š

€

Š−1

Š−1

−1 −1 −1 = (DΦ2 )(Φ−1 2 (f (a)) ◦ (D(Φ2 ◦ f ◦ Φ1 ))(Φ1 (a)) ◦ (DΦ1 )(Φ1 (a))

teljesül.

=

396

16. VÉGES DIMENZIÓS VALÓS VEKTORTEREK RÉSZSOKASÁGAI

Bizonyítás. Tegyük fel, hogy Φ1 és Ψ1 paraméterezései M1 -nek, valamint Φ2 és Ψ2 paraméterezései M2 -nek. Legyen a ∈ Im(Φ1 ) ∩ Im(Ψ1 ) olyan pont, hogy f (a) ∈ r Im(Φ2 ) ∩ Im(Ψ2 ). A Ψ−1 2 ◦ f ◦ Ψ1 függvény C -osztályú, ezért a −1 −1

−1

−1

Dom(Ψ−1 2 ◦ f ◦ Ψ1 ) = Ψ1 h f hIm(Ψ2 )ii = Ψ1 hIm(Ψ1 ) ∩ f hIm(Ψ2 )ii halmaz nyílt Rm1 -ben. és Ψ1 homeomorzmus Dom(Ψ1 ) és Im(Ψ1 ) között, így az −1

−1

−1

Im(Ψ1 ) ∩ f hIm(Ψ2 )i = Ψ1 hΨ1 hIm(Ψ1 ) ∩ f hIm(Ψ2 )iii halmaz nyílt Im(Ψ1 )-ben, amely viszont nyílt az M1 topologikus altérben. −1

Ebb®l

következik, hogy az Im(Ψ1 ) ∩ f hIm(Ψ2 )i halmaz nyílt M1 -ben. Hasonlóan kapjuk, hogy −1

az Im(Φ1 ) ∩ f hIm(Φ2 )i halmaz is nyílt M1 -ben. Ezért ezek metszete, vagyis az −1

Ω := (Im(Φ1 ) ∩ Im(Ψ1 )) ∩ f hIm(Φ2 ) ∩ Im(Ψ2 )i halmaz is nyílt M1 -ben, és ez mind Im(Φ1 )-nek, mind Im(Ψ1 )-nek részhalmaza, valamint a ∈ Ω. Ezért −1 −1 Ψ2 ◦ (Ψ−1 2 ◦ f ◦ Ψ1 ) = Φ2 ◦ (Φ2 ◦ f ◦ Φ1 ) ◦ (Φ1 ◦ Ψ1 ) −1

−1

teljesül a Ψ1 hΩi halmazon, és Ψ1 hΩi nyílt környezete Rm1 -ben a Ψ−1 1 (a) pontnak. A −1 r Φ−1 ◦ Ψ függvény C -osztályú, és a feltevés alapján a Φ ◦ f ◦ Φ függvény Cr -osztályú, 1 1 1 2 ezért a függvénykompozíció dierenciálási szabálya szerint € €

Š

€

Š

−1 −1 (DΨ2 )(Ψ−1 2 (f (a)) ◦ (D(Ψ2 ◦ f ◦ Ψ1 ))(Ψ1 (a)) =

Š

€

Š

€

Š

−1 −1 −1 −1 = (DΦ2 )(Φ−1 2 (f (a)) ◦ (D(Φ2 ◦ f ◦ Φ1 ))(Φ1 (a)) ◦ (D(Φ1 ◦ Ψ1 ))(Ψ1 (a)) . −1

m1 Ugyanakkor Ψ1 = Φ1 ◦ (Φ−1 nyílt halmazon, 1 ◦ Ψ1 ) teljesül a Ψ1 hIm(Φ1 ) ∩ Im(Ψ1 )i ⊆ R tehát € Š € Š −1 −1 −1 (DΨ1 )(Ψ−1 (a)) = (DΦ )(Φ (a)) ◦ (D(Φ ◦ Ψ ))(Ψ (a)) , 1 1 1 1 1 1

vagyis fennáll a €

Š−1

−1 −1 (D(Φ−1 1 ◦ Ψ1 ))(Ψ1 (a)) = (DΦ1 )(Φ1 (a))

Š

€

◦ (DΨ1 )(Ψ−1 1 (a))

összefüggés is. Ezt az el®z® egyenl®ségbe helyettesítve és a (DΨ1 )(Ψ−1 1 (a)) operátor inverzével jobbról komponálva kapjuk, hogy €

Š

€

Š

€

−1 −1 −1 (DΨ2 )(Ψ−1 2 (f (a)) ◦ (D(Ψ2 ◦ f ◦ Ψ1 ))(Ψ1 (a)) ◦ (DΨ1 )(Ψ1 (a))

€

Š

€

Š

€

Š−1

Š−1

−1 −1 −1 = (DΦ2 )(Φ−1 2 (f (a)) ◦ (D(Φ2 ◦ f ◦ Φ1 ))(Φ1 (a)) ◦ (DΦ1 )(Φ1 (a))

amit bizonyítani kellett. 

=

397

16.6. A SZINTFELÜLETEK KOLLEKTÍV PARAMÉTEREZÉSE

16.5.3. Deníció. Legyen M1 m1 -dimenziós, Cr1 -osztályú részsokasága az E1 véges

dimenziós valós vektortérnek és M2 m2 -dimenziós, Cr2 -osztályú részsokasága az E2 véges dimenziós valós vektortérnek, valamint f : M1 → M2 Cr -osztályú függvény. Minden a ∈ M1 esetén €

Š

€

Š

€

Š−1

−1 −1 −1 Ta (f ) := (DΦ2 )(Φ−1 2 (f (a)) ◦ (D(Φ2 ◦ f ◦ Φ1 ))(Φ1 (a)) ◦ (DΦ1 )(Φ1 (a))

,

ahol Φ1 az M1 -nek olyan m1 -dimenziós, Cr1 -osztályú paraméterezései, valamint Φ2 az M2 -nek olyan m2 -dimenziós, Cr2 -osztályú paraméterezései, hogy a ∈ Im(Φ1 ) és f (a) ∈ Im(Φ2 ). A Ta (f ) ∈ L (Ta (M1 ); Tf (a) (M2 )) lineáris operátort az f függvény a pontbeli érint® operátorának, vagy deriváltjának nevezzük, valmint a

T (f ) := (Ta (f ))a∈M1 ∈

Y a∈M1

L (Ta (M1 ); Tf (a) (M2 ))

leképezést az f érint® függvényének, vagy deriváltfüggvényének nevezzük.

16.6.

A szintfelületek kollektív paraméterezése

Az E véges dimenziós valós vektortér részsokaságainak szokásos el®állítási módja az, hogy veszünk egy n ∈ N számot, valamint egy h : E  Rn függvényt, és −1

minden w ∈ Im(h) esetén képezzük a [h = w] szintfelületet, vagyis a h h{w}i halmazt. Kiderül, hogy bizonyos h-ra vonatkozó simasági és a h deriválfüggvényére vonatkozó nemelfajultsági feltételek teljesülése esetén ezek a szintfelületek valóban részsokaságok lesznek.

16.6.1. Tétel. (A szintfelületek kollektív paraméterezésének tétele) Legyen m ∈ N, m ≤ dim(E) és h : E  Rdim(E)−m Cr -osztályú függvény. Ha a ∈ Dom(h) olyan pont, hogy a (Dh)(a) ∈ L (E; Rdim(E)−m ) operátor szürjektív, akkor létezik anak olyan Va ⊆ Dom(h) nyílt környezete E -ben, és létezik h(a)-nak olyan Uh(a) nyílt környezete Rdim(E)−m -ben, és létezik a 0-nak olyan U0 nyílt környezete Rm -ben, és létezik olyan Φ : U0 × Uh(a) → Va függvény, amely Cr -dieomorzmus, és Φ(0, h(a)) = a, valamint minden w ∈ Uh(a) esetén a Φ(·, w) : U0 → E függvény m-dimenziós, Cr -osztályú paraméterezése a [h = w] ∩ Va halmaznak (tehát [h = w] ∩ Va m-dimenziós, Cr -osztályú elemi részsokasága E -nek). Bizonyítás. A (Dh)(a) ∈ L (E; Rdim(E)−m ) operátor szürjektivitása miatt vehetünk olyan v ∈ L (Rdim(E)−m ; E) lineáris operátort, amelyre ((Dh)(a)) ◦ v = idRdim(E)−m .

398

16. VÉGES DIMENZIÓS VALÓS VEKTORTEREK RÉSZSOKASÁGAI

A v operátor injektív, ezért dim(Im(v)) = dim(E) − m, továbbá könnyen látható, hogy Ker((Dh)(a)) ⊕ Im(v) = E , ezért dim(Ker((Dh)(a))) = m. Legyen u : Rm → Ker((Dh)(a)) tetsz®leges lineáris bijekció, és képezzük azt az

f : (Rm × Rdim(E)−m ) × Rdim(E)−m  Rdim(E)−m függvényt, amelyre

Dom(f ) := {((p, w), q) ∈ (Rm × Rdim(E)−m ) × Rdim(E)−m |a + u(p) + v(q) ∈ Dom(h)}, és minden ((p, w), q) ∈ Dom(f ) esetén

f ((p, w), q) := h(a + u(p) + v(q)) − w. Világos, hogy ((0, h(a)), 0) ∈ Dom(f ) és f ((0, h(a)), 0) = 0. Továbbá, Dom(f ) nyílt részhalmaza (Rm × Rdim(E)−m ) × Rdim(E)−m -nek, mert a

g : (Rm × Rdim(E)−m ) × Rdim(E)−m → E;

((p, w), q) 7→ a + u(p) + v(q) −1

leképezés an függvény, tehát folytonos, és Dom(f ) = g hDom(h)i, és Dom(h) nyílt halmaz E -ben. Ugyanakkor az f függvény Cr -osztályú, mert f = h ◦ g − j , ahol

j : (Rm × Rdim(E)−m ) × Rdim(E)−m → Rdim(E)−m ;

((p, w), q) 7→ w,

és a j függvény C∞ -osztályú (mert lineáris), és a g függvény C∞ -osztályú (mert an), és h a hipotézis szerint Cr -osztályú. Könnyen látható, hogy ((p, w), q) ∈ Dom(f ) esetén az f ((p, w), ·) : Rdim(E)−m  Rdim(E)−m parciális függvényre

(D(f ((p, w), ·)))(q) = ((Dh)(a + u(p) + v(q))) ◦ v, amib®l következik, hogy

(D(f ((0, h(a)), ·)))(0) = ((Dh)(a)) ◦ v = idRdim(E)−m , vagyis (D(f ((0, h(a)), ·)))(0) lineáris homeomorzmus. Ezért az implicitfüggvény-tétel alapján létezik a (0, h(a)) pontnak olyan U 0 nyílt környezete Rm × Rdim(E)−m -ben, és létezik olyan ϕ : U 0 → Rdim(E)−m Cr -osztályú függvény, hogy ϕ(0, h(a)) = 0, és minden (p, w) ∈ Dom(ϕ) = U 0 pontra ((p, w), ϕ(p, w)) ∈ Dom(f ), valamint f ((p, w), ϕ(p, w)) = f ((0, h(a)), 0) = 0. Az f deníciója alapján ez azt jelenti, hogy minden (p, w) ∈ U 0 esetén a + u(p) + v(ϕ(p, w)) ∈ Dom(h) és

h(a + u(p) + v(ϕ(p, w))) = w. Értelmezzük most a következ® függvényt

Φ0 : U 0 → E;

(p, w) 7→ a + u(p) + v(ϕ(p, w)).

399

16.6. A SZINTFELÜLETEK KOLLEKTÍV PARAMÉTEREZÉSE

Világos, hogy a Φ0 függvény Cr -osztályú, Im(Φ0 ) ⊆ Dom(h), Φ0 (0, h(a)) = a, és minden (p, w) ∈ U 0 esetén h(Φ0 (p, w)) = w. Megmutatjuk, hogy Im(Φ0 ) nyílt halmaz E -ben, továbbá Φ0 Cr -dieomorzmus a Dom(Φ0 ) = U 0 és Im(Φ0 ) halmazok között. Ha (p, w) ∈ U 0 , akkor (Dh)(a)◦v = idRdim(E)−m miatt ((Dh)(a)) (Φ0 (p, w) − a) = ((Dh)(a)) (u(p) + v(ϕ(p, w))) = ϕ(p, w), tehát v(ϕ(p, w)) = (v ◦ (Dh)(a))(Φ0 (p, w) − a), így

u(p) = Φ0 (p, w) − a − (v ◦ (Dh)(a))(Φ0 (p, w) − a) teljesül. Az u operátor injektív, ezért (p, w) ∈ U 0 esetén

p = u−1 (Φ0 (p, w) − a − (v ◦ (Dh)(a))(Φ0 (p, w) − a)) . Ugyanakkor minden U 0 3 (p, w)-re

w = h(Φ0 (p, w)), ami azt jelenti, hogy €

Š

(p, w) = u−1 (Φ0 (p, w) − a − (v ◦ (Dh)(a))(Φ0 (p, w) − a)) , h(Φ0 (p, w)) . Könnyen látható, hogy minden x ∈ E esetén

x − a − (v ◦ (Dh)(a))(x − a) ∈ Ker((Dh)(a)) = Im(u), mert (Dh)(a) ◦ v = idRdim(E)−m , tehát jól értelmezett az

E → Rm ;

x 7→ u−1 (x − a − (v ◦ (Dh)(a))(x − a))

leképezés, amely nyilvánvalóan C∞ -osztályú, hiszen an függvény (és E véges dimenziós). Ebb®l következik, hogy a

Ψ : Dom(h) → Rm × Rdim(E)−m ;

€

Š

x 7→ u−1 (x − a − (v ◦ (Dh)(a))(x − a)) , h(x)

függvény Cr -osztályú, és Ψ ◦ Φ0 = idU 0 , vagyis Ψ a Φ0 -nek Cr -osztályú balinverze. Ezért Φ0 injektív, és minden (p, w) ∈ U 0 esetén a függvénykompozíció dierenciálási szabálya szerint

idRm ×Rdim(E)−m =(DidU 0 )(p, w) = (D(Ψ ◦ Φ0 ))(p, w)=(DΨ)(Φ0 (p, w)) ◦ (DΦ0 )(p, w), vagyis a (DΨ)(Φ0 (p, w)) operátor balinverze a (DΦ0 )(p, w) : Rm × Rdim(E)−m → E lineáris operátornak, tehát ez utóbbi operátor injektív, így dim(Rm ×Rdim(E)−m ) = dim(E) miatt bijekció. Az inverzfüggvény-tételb®l következik, hogy Im(Φ0 ) nyílt halmaz E -ben, és Φ0

400

16. VÉGES DIMENZIÓS VALÓS VEKTORTEREK RÉSZSOKASÁGAI

Cr -dieomorzmus a Dom(Φ0 ) = U 0 és Im(Φ0 ) halmazok között. Az U 0 halmaz nyílt környezete a (0, h(a)) pontnak Rm × Rdim(E)−m -ben, ezért a 0-nak van olyan U0 nyílt környezete Rm -ben és h(a)-nak olyan Uh(a) nyílt környezete Rdim(E)−m ben, hogy U0 × Uh(a) ⊆ U 0 . Értelmezzük a Va halmazt úgy, hogy Va := Φ0 hU0 × Uh(a) i; ekkor Va nyílt környezete a-nak E -ben és Va ⊆ Im(Φ0 ) ⊆ Dom(h). Világos, hogy a Φ := Φ0 |U0 ×Uh(a) : U0 × Uh(a) → Va függvény Cr -dieomorzmus. A bizonyítás befejezéseként megmutatjuk, hogy minden w ∈ Uh(a) pontra a Φ(·, w) : U0 → E függvény m-dimenziós Cr -osztályú paraméterezése a [h = w] ∩ Va halmaznak. Ehhez legyen w ∈ Uh(a) rögzített. Minden p ∈ U0 esetén

(DΦ(·, w))(p) = (DΦ)(p, w) ◦ j, ahol j : Rm → Rm × Rdim(E)−m ; p 7→ (p, 0), ezért a (DΦ(·, w))(p) : Rm → E operátor injektív, hiszen j nyilvánvalóan injekció és (DΦ)(p, w) bijekció Rm × Rdim(E)−m és E között. Az is világos, hogy Φ(·, w) homeomorzmus U0 és Im(Φ(·, w)) között, hiszen Φ(·, w)−1 = Φ−1 Im(Φ(·,w)) , és tudjuk, hogy a Φ−1 : Va → Rm × Rdim(E)−m függvény folytonos. Ezért elegend® az Im(Φ(·, w)) = [h = w] ∩ Va egyenl®séget igazolni. Ha p ∈ U0 , akkor a Φ0 és Φ értelmezése alapján h(Φ(p, w)) = h(Φ0 (p, w)) = w, tehát fennáll az Im(Φ(·, w)) ⊆ [h = w] ∩ Va tartalmazás. Megfordítva, legyen x ∈ [h = w] ∩ Va tetsz®leges. Ekkor Va := Φ0 hU0 × Uh(a) i miatt van olyan (p0 , w0 ) ∈ U0 × Uh(a) , hogy x = Φ0 (p0 , w0 ). Ekkor w = h(x) = h(Φ0 (p0 , w0 )) = w0 , tehát w = w0 , továbbá (Φ(·, w))(p0 ) = Φ(p0 , w) = Φ0 (p0 , w0 ) = x, amib®l következik, hogy x ∈ Im(Φ(·, w)). Ezért [h = w] ∩ Va ⊆ Im(Φ(·, w)) is teljesül. 

16.7.

Részsokaság értelmezése normálegyenlettel

16.7.1. Tétel. (Részsokaság értelmezése normálegyenlettel) Legyen m ∈ N, m ≤

dim(E) és h : E  Rdim(E)−m olyan Cr -osztályú függvény, hogy minden x ∈ Dom(h) esetén a (Dh)(x) ∈ L (E; Rdim(E)−m ) operátor szürjektív. Ekkor minden w ∈ Im(h) esetén a [h = w] halmaz m-dimenziós, Cr -osztályú részsokasága E -nek, és minden a ∈ [h = w] esetén Ta ([h = w]) = Ker((Dh)(a)). Bizonyítás. Legyenek w∈Im(h) és a∈[h=w] rögzített pontok. A feltevés szerint a (Dh)(a) ∈ L (E; Rdim(E)−m ) operátor szürjektív, ezért a szintfelületek kollektív paraméterezésének tétele alapján létezik a-nak olyan Va ⊆ E nyílt környezete, és létezik w = h(a)-nak olyan Uw nyílt környezete Rdim(E)−m -ben, és létezik a 0-nak olyan U0 nyílt környezete Rm -ben, valamint létezik olyan Φ : U0 × Uw → Va függvény, amely Cr -dieomorzmus, Φ(0, w) = a, és minden w0 ∈ Uw esetén a Φ(·, w0 ) : U0 → E függvény m-dimenziós Cr -osztályú paraméterezése a [h = w0 ] ∩ Va halmaznak és Im(Φ(·, w0 )) = [h = w0 ] ∩ Va . Ha a Va , Uw , U0 halmazokat és a Φ függvényt így választjuk

401

16.7. RÉSZSOKASÁG ÉRTELMEZÉSE NORMÁLEGYENLETTEL

meg, akkor a Φ(·, w) : U0 → E függvény is m-dimenziós Cr -osztályú paraméterezése a [h = w] ∩ Va halmaznak és Im(Φ(·, w)) = [h = w] ∩ Va teljesül, vagyis Im(Φ(·, w)) nyílt részhalmaza a [h = w] halmaznak és a ∈ Im(Φ(·, w)). Ez azt jelenti, hogy a [h = w] halmaz m-dimenziós Cr -osztályú részsokasága E -nek. Világos továbbá, hogy a h ◦ Φ(·, w) : U0 → Rdim(E)−m függvény a w érték¶ konstansfüggvény (mert Im(Φ(·, w)) ⊆ [h = w]), ezért a függvénykompozíció dierenciálási szabálya szerint €

Š

0 = (Dh)(a) ◦ (DΦ(·, w)) Φ(·, w)−1 (a) , így teljesül a €

Š

Ta ([h = w]) = Im (DΦ(·, w))(Φ(·, w)−1 (a)) ⊆ Ker((Dh)(a)) tartalmazás. A (Dh)(a)∈L (E; Rdim(E)−m ) operátor szürjektivitásából következik, hogy dim(Ker((Dh)(a))) = m, és persze dim(Ta ([h = w])) = m, ezért ebb®l Ta ([h = w]) = Ker((Dh)(a)) adódik.  Az el®z® tétel hatékony eljárást ad részsokaságok el®állítására. Nem minden részsokaság állítható el® globálisan ezzel a módszerrel, de lokálisan igen. A pontos állítás a következ®.

16.7.2. Tétel. Legyen M m-dimenziós, Cr -osztályú részsokasága E -nek.

Minden a ∈ M esetén létezik a-nak olyan Va nyílt környezete E -ben, és létezik olyan h ∈ Cr (Va ; Rdim(E)−m ) függvény, hogy [h = h(a)] = M ∩ Va , és minden Dom(h) 3 x-re a (Dh)(x) ∈ L (E; Rdim(E)−m ) operátor szürjektív. Bizonyítás. Legyen V olyan nyílt környezete a-nak E -ben és Φ olyan m-dimenziós Cr osztályú paraméterezése M -nek, hogy Im(Φ) = M ∩ V . A (DΦ)(Φ−1 (a)) ∈ L (Rm ; E) lineáris injekcióhoz legyen v ∈ L (E; Rm ) olyan, hogy v ◦(DΦ)(Φ−1 (a)) = idRm . Könnyen látható, hogy ekkor E = Ker(v) ⊕ Ta (M ) teljesül. A v ◦ Φ : Rm  Rm leképezés Cr osztályú és

(D(v ◦ Φ))(Φ−1 (a)) = v ◦ (DΦ)(Φ−1 (a)) = idRm ∈ GL(m, R). Ezért az inverzfüggvény-tétel alapján létezik olyan U nyílt környezete Φ−1 (a)-nak Rm ben, hogy U ⊆ Dom(Φ), és (v ◦ Φ)hU i nyílt környezete v(a)-nak Rm -ben, valamint a (v ◦ Φ)|U függvény Cr -dieomorzmus U és (v ◦ Φ)hU i között. −1

Értelmezzük most azt a g : E  E függvényt, amelyre Dom(g) = v h(v ◦ Φ)hU ii, és minden x ∈ Dom(g) esetén €

Š

g(x) := x − Φ ((v ◦ Φ)|U )−1 (v(x)) ,

402

16. VÉGES DIMENZIÓS VALÓS VEKTORTEREK RÉSZSOKASÁGAI −1

vagyis g egyenl® az idE −Φ◦((v ◦ Φ)|U )−1 ◦v függvény v h(v◦Φ)hU ii-re vett lesz¶kítésével. Világos, hogy Dom(g) nyílt halmaz E -ben, a ∈ Dom(g), és Im(g) ⊆ Ker(v), mert ha x ∈ Dom(g), akkor v(x) ∈ (v ◦ Φ)hU i, tehát létezik olyan p ∈ U , amelyre v(x) = v(Φ(p)), így € Š € Š g(x) := x − Φ ((v ◦ Φ)|U )−1 (v(x)) = x − Φ ((v ◦ Φ)|U )−1 (v(Φ(p))) =

= x − Φ(p) ∈ Ker(v). Az E = Ker(v) ⊕ Ta (M ) egyenl®ség miatt dim(Ker(v)) = dim(E) − m. Legyen u : Rdim(E)−m → Ker(v) tetsz®leges lineáris bijekció, és vezessük be a H := u−1 ◦ g függvényt. Ekkor H : E  Rdim(E)−m olyan Cr -osztályú függvény, amelyre Dom(H) = −1 Dom(g) = v h(v ◦ Φ)hU ii. Megmutatjuk, hogy [H = 0] = ΦhU i ∩ Dom(H). Valóban, ha x ∈ [H = 0], akkor €x ∈ Dom(H) = Dom(g) és 0 = H(x) = u−1 (g(x)), ezért g(x) = 0, így Š x = Φ ((v ◦ Φ)|U )−1 (v(x)) ∈ ΦhU i, ami azt jelenti, hogy [H = 0] ⊆ ΦhU i ∩ Dom(H). Megfordítva, ha x ∈ ΦhU i ∩ Dom(H), akkor létezik olyan p ∈ U , hogy x = Φ(p), ezért €

€

ŠŠ

H(x) := u−1 (g(x)) = u−1 x − Φ ((v ◦ Φ)|U )−1 (v(x)) €

€

ŠŠ

= u−1 x − Φ ((v ◦ Φ)|U )−1 (v(Φ(p)))

=

= u−1 (x − Φ(p)) = 0,

tehát ΦhU i ∩ Dom(H) ⊆ [H = 0]. Az U halmaz nyílt Rm -ben, U ⊆ Dom(Φ), és Φ homeomorzmus Dom(Φ) és Im(Φ) között, ezért ΦhU i nyílt részhalmaza Im(Φ)-nek. Ez azt jelenti, hogy létezik olyan Ω ⊆ E nyílt halmaz, amelyre ΦhU i = Ω ∩ Im(Φ) teljesül. Ugyanakkor Im(Φ) nyílt részhalmaz M -ben, tehát létezik olyan Ω0 ⊆ E nyílt halmaz, amelyre Im(Φ) = Ω0 ∩ M . Ebb®l következik, hogy a Va := Ω ∩ Ω0 ∩ Dom(H) halmaz olyan nyílt környezete a-nak E -ben, hogy a h := H|Va függvényre

[h = 0] = [H = 0] ∩ Va = (ΦhU i ∩ Dom(H)) ∩ (Ω ∩ Ω0 ∩ Dom(H)) = = (Im(Φ) ∩ Ω) ∩ Dom(H) ∩ Ω ∩ Ω0 = M ∩ Ω0 ∩ Ω ∩ Dom(H) ∩ Ω ∩ Ω0 = M ∩ Va teljesül, továbbá természetesen h ∈ Cr (Va ; Rdim(E)−m ). Azt kell még igazolni, hogy minden x ∈ Va esetén a (Dh)(x) ∈ L (E; Rdim(E)−m ) operátor szürjektív. A deníció szerint x ∈ Va esetén h(x) = u−1 (g(x)), ezért (Dh)(x) = u−1 ◦ (Dg)(x). Az u−1 : Ker(v) → Rdim(E)−m leképezés lineáris bijekció, ezért x ∈ Va esetén a (Dh)(x) : E → Rdim(E)−m operátor szürjektivitása ekvivalens a (Dg)(x) : E → Ker(v) operátor szürjektivitásával. Legyen x ∈ Va rögzített; ekkor −1 x ∈ Dom(H) = Dom(g) = v h(v ◦ Φ)hU ii miatt vehetünk olyan p ∈ U pontot, hogy v(x) = v(Φ(p)). A g deníciója és a függvénykompozíció dierenciálási szabálya szerint €

Š

(Dg)(x) = idE − (DΦ) ((v ◦ Φ)|U )−1 (v(x)) ◦

€€

Š

Š

D ((v ◦ Φ)|U )−1 (v(x)) ◦ v =

403

16.8. RÉSZSOKASÁGOK SZORZATA

€€

Š

Š

D ((v ◦ Φ)|U )−1 (v(x)) ◦ v,

= idE − (DΦ)(p) ◦ €

Š

mert v(x) = v(Φ(p)) miatt ((v ◦ Φ)|U )−1 (v(x)) = p. Ez azt jelenti, hogy

idE − (Dg)(x) = (DΦ)(p) ◦

€€

Š

Š

D ((v ◦ Φ)|U )−1 (v(x)) ◦ v.

Ebb®l kapjuk, hogy Im (idE − (Dg)(x)) ⊆ Im((DΦ)(p)) és

((DΦ)(p))−1 ◦ (idE − (Dg)(x)) =

€€

Š

Š

D ((v ◦ Φ)|U )−1 (v(x)) ◦ v,

hiszen a (DΦ)(p):Rm →E operátor injektív. Ebb®l az egyenl®ségb®l, valamint a ((DΦ)(p))−1 injektivitásából kapjuk, hogy z∈Ker(v) esetén (idE − (Dg)(x)) (z) = 0, vagyis z = ((Dg)(x))(z) ∈ Im((Dg)(x)). Tehát Ker(v) ⊆ Im((Dg)(x)), vagyis a (Dg)(x) : E → Ker(v) operátor szürjektív. 

16.8.

Részsokaságok szorzata

16.8.1. Állítás. (Részsokaságok szorzata) Legyen (Ei )i∈I véges dimenziós valós

vektorterek nem üres véges rendszere, és minden I 3 i-re Mi mi -dimenziós Cri -osztályú Y részsokasága Ei -nek. Ekkor a Mi halmaz m-dimenziós, Cr -osztályú részsokasága a Y

i∈I

Ei lineáris szorzattérnek, ahol m :=

i∈I

X

mi és r := min ri . i∈I

i∈I

Bizonyítás. Legyen (ai )i∈I ∈

Y

Mi rögzített. Minden I 3 i-hez létezik ai -nek olyan Vi

i∈I

nyílt környezete Ei -ben, hogy az Mi halmaznak van olyan Φi : Rmi  Ei mi -dimenziós Cri -osztályú paraméterezése, amelyre Im(Φi ) = Mi ∩ Vi . Ekkor a

Φ:

Y

Dom(Φi ) →

i∈I

Y

Ei ;

(pi )i∈I 7→ (Φi (pi ))i∈I

i∈I

leképezés nyilvánvalóan homeomorzmus Dom(Φ) és Im(Φ) = Továbbá, ez a függvény Cr -osztályú, és (pi )i∈I ∈ Dom(P hi) esetén a

Y

Im(Φi ) között.

i∈I

(DΦ) ((pi )i∈I ) = ((DΦi )(pi ))i∈I operátor injektív. Azonkívül,

Y

Vi nyílt környezete a (ai )i∈I pontnak

i∈I

könnyen látható, hogy Im(Φ) =

Rm →

Y

Y i∈I

!

Mi ∩

Y

Ei -ben, és

i∈I

!

Vi . Ezért ha u jelöl egy tetsz®leges

i∈I

Rmi lineáris bijekciót, akkor a Φ ◦ u függvény nyilvánvalóan olyan m-dimenziós

i∈I

C -osztályú paraméterezése r

Y

Y i∈I

Mi -nek, hogy Im(Φ ◦ u) =

Y i∈I

!

Mi ∩

Y i∈I

!

Vi . 

404

16.9.

16. VÉGES DIMENZIÓS VALÓS VEKTORTEREK RÉSZSOKASÁGAI

Az állandó rang tétele

Most azt a problémát vizsgáljuk meg, hogy ha n ∈ N és f : Rn  E Cr -osztályú függvény, akkor az Im(f ) halmaz részsokasága lesz-e E -nek? Erre a kérdésre a Bernoullilemniszkáta példája (3. példa) alapján könnyen kapjuk azt a választ, hogy nem (13. gyakorlat). Ezért az érdekes kérdés az, hogy milyen f -re vonatkozó feltételek biztosítják azt, hogy Im(f ) részsokasága legyen E -nek? Erre a kérdésre ad választ az állandó rang tétele. Ehhez el®ször értelmezzük differenciálható függvény rangjának fogalmát.

16.9.1. Deníció. Ha E és F véges dimenziós valós vektorterek és f : E  F dierenciálható függvény, akkor minden a ∈ Dom(f ) esetén a dim(Im((Df )(a))) természetes számot az f függvény rangjának nevezzük az a pontban, és az rga (f ) szimbólummal jelöljük. 16.9.2. Tétel. (Az állandó rang tétele) Legyen n ∈ N és f : Rn  E Cr -

osztályú függvény. Ha az a ∈ Dom(f ) pontnak létezik olyan környezete Rn -ben, hogy annak minden x pontjában rgx (f ) = rga (f ) (vagyis f állandó rangú az a pont valamely környezetén), akkor létezik a-nak olyan Ua nyílt környezete Rn -ben, hogy Ua ⊆ Dom(f ) és az f hUa i halmaz rga (f )-dimenziós, Cr -osztályú részsokasága E -nek.

Bizonyítás. (I) Legyen a ∈ Dom(f ) olyan pont, amelynek valamely környezetén a f függvény állandó rangú. Legyenek Q ∈ L (E) és P ∈ L (Rn ) olyan operátorok, hogy Q ◦ Q = Q, Im(Q) = Im((Df )(a)), P ◦ P = P és Im(P ) = Ker((Df )(a)) (VII. fejezet, 11. pont, 2. gyakorlat). Vezessük be az X := Ker(P ) és Y := Ker(Q) jelöléseket; ekkor X ⊕ Ker((Df )(a)) = Rn és Y ⊕ Im((Df )(a)) = E . Könnyen látható, hogy a (Df )(a)|X : X → Im((Df )(a)) = Im(Q) leképezés lineáris bijekció X és Im((Df )(a)) között, ezért dim(X) = rga (f ) is teljesül. Az is könnyen igazolható, hogy

((Df )(a)|X )−1 ◦ ((Df )(a)) + P = idRn . Képezzük most a

Φ := ((Df )(a)|X )−1 ◦ Q ◦ f + P : Dom(f ) → Rn leképezést, amely nyilvánvalóan Cr -osztályú, és a függvénykompozíció dierenciálási szabálya, valamint Q ◦ (Df )(a) = (Df )(a) miatt

(DΦ)(a) = ((Df )(a)|X )−1 ◦ Q ◦ (Df )(a) + P = ((Df )(a)|X )−1 ◦ (Df )(a) + P = idRn . Ezért az inverzfüggvény-tétel alapján létezik a-nak olyan U 0 ⊆ Dom(f ) nyílt környezete, hogy ΦhU 0 i ⊆ Rn nyílt halmaz, és a Φ|U 0 függvény Cr -dieomorzmus U 0 és ΦhU 0 i között. Az U 0 halmaz nyilvánvalóan megválasztható úgy, hogy minden U 0 3 x-re rgx (f ) = rga (f ).

405

16.9. AZ ÁLLANDÓ RANG TÉTELE

A Φ(a) ∈ ΦhU 0 i pontnak létezik olyan W nyílt környezete Rn -ben, amely konvex és −1

W ⊆ ΦhU 0 i. Ekkor az U := ΦhW i halmaz is nyílt környezete a-nak, és a ϕ := Φ|U függvény Cr -dieomorzmus az U és W nyílt halmazok között, valamint W = ϕhU i, tehát a ϕhU i halmaz konvex. (Kés®bb kiderül, hogy miért fontos a ϕ értékkészletének konvexitása.) Ekkor a Φ és ϕ függvények deníciója alapján idϕhU i = ϕ ◦ ϕ−1 = Φ ◦ ϕ−1 = ((Df )(a)|X )−1 ◦ Q ◦ f ◦ ϕ−1 + P ◦ ϕ−1 teljesül, és ezt az egyenl®séget a (Df )(a) operátorral balról komponálva

(Df )(a)|ϕhU i = Q ◦ f ◦ ϕ−1 adódik, hiszen (Df )(a) ◦ P = 0 és (Df )(a) ◦ ((Df )(a)|X )−1 = idIm((Df )(a)) = idIm(Q) . (II) Megmutatjuk, hogy z ∈ ϕhU i, z0 ∈ Ker((Df )(a)) és z + z0 ∈ ϕhU i esetén (f ◦ ϕ−1 )(z + z0 ) = (f ◦ ϕ−1 )(z) teljesül. Valóban, a (Df )(a)|ϕhU i = Q ◦ f ◦ ϕ−1 függvényegyenl®ség alapján minden z 0 ∈ ϕhU i esetén

(Df )(a) = (D(Q ◦ f ◦ ϕ−1 ))(z 0 ) = Q ◦ ((D(f ◦ ϕ−1 ))(z 0 )) = €

Š

€

Š

= Q ◦ (Df )(ϕ−1 (z 0 )) ◦ (Dϕ−1 )(z 0 ) . Itt z 0 ∈ ϕhU i esetén (Dϕ−1 )(z 0 ) ∈ GL(n, R), ezért

Im((Df )(a)) = QhIm((D(f ◦ ϕ−1 ))(z 0 ))i = QhIm((Df )(ϕ−1 (z 0 )))i, és a feltevés szerint

dim(Im((Df )(ϕ−1 (z 0 )))) = rgϕ−1 (z0 ) (f ) = rga (f ) = dim(Im((Df )(a))), következésképpen a Q operátor szükségképpen injektív az Im((D(f ◦ ϕ−1 ))(z 0 )) ⊆ E lineáris altéren. Ugyanakkor z0 ∈ Ker((Df )(a)) és z 0 ∈ ϕhU i esetén €

Š

0 = ((Df )(a)) (z0 ) = Q ◦ ((D(f ◦ ϕ−1 ))(z 0 )) (z0 ) = Q

€€

Š

Š

(D(f ◦ ϕ−1 ))(z 0 ) (z0 ) ,

így (D(f ◦ ϕ−1 ))(z 0 )) (z0 ) = 0. Ez azt jelenti, hogy az f ◦ ϕ−1 függvény tetsz®leges z0 ∈ Ker((Df )(a)) irány menti deriváltja bármely z 0 ∈ ϕhU i pontban nulla. Legyenek most z ∈ ϕhU i és z0 ∈ Ker((Df )(a)) olyanok, hogy z + z0 ∈ ϕhU i. Tekintsük a

g : [0, 1] → E;

t 7→ (f ◦ ϕ−1 )(z + t.z0 )

leképezést. Ez jól értelmezett, mert t ∈ [0, 1] esetén z + t.z0 = (1 − t).z + t.(z + z0 ) és z ∈ ϕhU i, valamint ϕhU i konvex halmaz, tehát z + t.z0 ∈ ϕhU i. Világos, hogy a g függvény folytonos és a ]0, 1[ intervallum minden pontjában diereneciálható (s®t Cr -osztályú). Ugyanakkor t ∈]0, 1[ esetén az el®z®ek alapján €

Š

(Dg)(t) = (D(f ◦ ϕ−1 ))(z + t.z0 ) (z0 ) = 0.

406

16. VÉGES DIMENZIÓS VALÓS VEKTORTEREK RÉSZSOKASÁGAI

Ebb®l következik, hogy g a ]0, 1[ intervallumon állandó, tehát a g folytossága miatt

(f ◦ ϕ−1 )(z + z0 ) = g(1) = g(0) = (f ◦ ϕ−1 )(z) is teljesül, amint azt állítottuk. (III) Most megmutatjuk, hogy f (a)-nak létezik olyan V nyílt környezete E -ben, és létezik olyan ψ : V → V függvény, amely Cr -dieomorzmus, valamint létezik az a-nak olyan Ua nyílt környezete Rn -ben, hogy Ua ⊆ U , f hUa i ⊆ V , és fennáll a

(Df )(a) = ψ ◦ f ◦ ϕ−1 egyenl®ség a ϕhUa i halmazon, vagy ami ezzel ekvivalens: ((Df )(a)) hϕhUa ii ⊆ ψhV i = V és f = ψ −1 ◦ ((Df )(a)) ◦ ϕ teljesül az Ua halmazon. Ehhez el®ször megjegyezzük, hogy (Q ◦ f )|U = ((Df )(a)) ◦ ϕ és ϕ homeomorzmus U és ϕhU i között, míg a (Df )(a) : Rn → Im((Df )(a)) operátor folytonos és szürjektív, ezért Banach nyíltleképezés-tétele alapján nyílt leképezés, így a (Q ◦ f )|U : U → Im((Df )(a)) függvény szintén nyílt leképezés, vagyis bármely U 0 ⊆ U nyílt halmazra (Q ◦ f )hU 0 i nyílt halmaz az Im((Df )(a)) altérben (de az E -ben nem szükségképpen nyílt). Másfel®l, az

U → Rn ;

x 7→ ϕ(x) + P (a − x)

leképezés folytonos, és a-hoz a ϕ(a) ∈ ϕhU i értéket rendeli, ezért létezik a-nak olyan Ua nyílt környezete Rn -ben, hogy Ua ⊆ U és minden U 3 x-re ϕ(x) + P (a − x) ∈ ϕhU i. Az −1

Ua halmazt így választva teljesül az is, hogy y ∈ Qh(Q ◦ f )hUa ii esetén van olyan x ∈ Ua , hogy Q(y) = (Q ◦ f )(x), tehát a ϕ deníciója szerint €

Š

(((Df )(a)) X )−1 ◦ Q + P (a) (y) = (((Df )(a)) X )−1 (Q(y)) + P (a) =

= (((Df )(a)) X )−1 (Q(f (x))) + P (a) = ϕ(x) − P (x) + P (a) ∈ ϕhU i. −1

Ebb®l következik, hogy a V := Qh(Q ◦ f )hUa ii ⊆ E halmazon jól értelmezett a €

Š

ψ := idE − (idE − Q) ◦ (f ◦ ϕ−1 ) ◦ (((Df )(a)) X )−1 ◦ Q + P (a)

függvény. A (Q◦f )hUa i halmaz nyílt az Im((Df )(a)) altérben, és a Q : E → Im((Df )(a)) leképezés folytonos, ezért V nyílt részhalmaza E -nek. Ha y ∈ V , akkor Q(y) ∈ (Q◦f )hUa i −1

és Q ◦ (idE − Q) = 0 miatt Q(ψ(y)) = Q(y), tehát ψ(y) ∈ Qh(Q ◦ f )hUa ii =: V . ez azt jelenti, hogy ψhV i ⊆ V . Az nyilvánvaló, hogy a ψ függvény Cr -osztályú. Ha x ∈ U0 , akkor természetesen f (x) ∈ V és €

Š

€

Š

(((Df )(a)) X )−1 ◦ Q + P (a) (f (x)) = (((Df )(a)) X )−1 ◦ Q ◦ f (x) + P (a) =

407

16.9. AZ ÁLLANDÓ RANG TÉTELE

= ϕ(x) + P (a − x), következésképpen €

Š

ψ(f (x)) = f (x) − (idE − Q) (f ◦ ϕ−1 ) (ϕ(x) + P (a − x)) = €

Š

= f (x) − (idE − Q) (f ◦ ϕ−1 )(ϕ(x)) = (Q ◦ f )(x), mert ϕ(x) ∈ ϕhU i, P (a − x) ∈ Ker((Df )(a)) és ϕ(x) + P (a − x) ∈ ϕhU i, tehát a (II) alapján (f ◦ ϕ−1 )(ϕ(x) + P (a − x)) = (f ◦ ϕ−1 )(ϕ(x)) = f (x). Ez azt jelenti, hogy ψ ◦ f = Q ◦ f = ((Df )(a)) ◦ ϕ az Ua halmazon. Ha szintén a V halmazon értelmezzük a €

Š

ψ 0 := idE + (idE − Q) ◦ (((Df )(a)) X )−1 ◦ Q + P (a)

függvényt, akkor az el®z®ek mintájára kapjuk, hogy ψ 0 hV i ⊆ V , és egyszer¶ számolás mutatja, hogy ψ 0 ◦ ψ = ψ ◦ ψ 0 = idV , így a ψ : V → V függvény Cr -dieomorzmus. (IV) Nyilvánvaló, hogy a h := (idE − Q) ◦ ψ : V → Ker(Q) függvény Cr -osztályú, és minden y ∈ V pontra

(Dh)(y) = (idE − Q) ◦ ((Dψ)(y)) : E → Ker(Q) lineáris szürjekció, mert (Dψ)(y) : E → E lineáris bijekció, és idE − Q : E → Ker(Q) lineáris szürjekció. Továbbá, az Ua halmazon teljesülnek a következ® egyenl®ségek:

h ◦ f = (idE − Q) ◦ ψ ◦ f = (idE − Q) ◦ ((Df )(a)) ◦ ϕ = 0, mert Im((Df )(a)) = Im(Q) = Ker(idE − Q). Ez azt jelenti, hogy f hUa i ⊆ [h = 0]. Megfordítva, legyen y ∈ [h = 0] tetsz®leges. Ekkor 0 = h(y) = (idE − Q)(ψ(y)), vagyis ψ(y) ∈ Ker(idE − Q) = Im(Q), azaz ψ(y) = Q(ψ(y)) = Q(y), hiszen Q ◦ (idE − Q) = 0 −1

miatt, a ψ deníciója alapján Q ◦ ψ = Q|V . Ugyanakkor y ∈ V = Qh(Q ◦ f )hUa ii tehát van olyan x ∈ Ua , hogy Q(y) = Q(f (x)). Ezért ψ(y) = Q(f (x)) = ((Df )(a))(ϕ(x)) = ψ(f (x)), így ψ injektivitása folytán y = f (x) ∈ f hUa i. Ezzel megmutattuk, hogy f hUa i = [h = 0], tehát a részsokaságok normálegyenlettel való el®állításának tétele alapján az f hUa i halmaz dim(E) − dim(Ker(Q)) (= dim(Im(Q)) = rga (f )) dimenziós Cr -osztályú részsokasága E -nek.  A Bernoulli-lemniszkáta példája (3. példa) mutatja, hogy egy Cr -osztályú függvény értékkészlete még akkor sem szükségképpen részsokaság, ha f állandó rangú és injektív; tehát az állandó rang tétele szükségképpen lokális természet¶. Másfel®l, egyszer¶ példákon szemléltethet®, hogy ha az f Cr -osztályú függvény nem állandó rangú egy

408

16. VÉGES DIMENZIÓS VALÓS VEKTORTEREK RÉSZSOKASÁGAI

pont valamely környezetén, akkor el®fordulhat, hogy a pont minden U környezetére az f hU i halmaz nem részsokaság. Tekintsük például az

f : R2 → R3 ;

(r, ϕ) 7→ (r cos(ϕ), r sin(ϕ), r)

C∞ -osztályú függvényt, amelyre könnyen látható, hogy Im(f ) = {(x, y, z) ∈ R3 |x2 +y 2 = z 2 }. Minden (r, ϕ) ∈ R2 esetén …

(Df )(r, ϕ) =



cos(ϕ) −r sin(ϕ) sin(ϕ) r cos(ϕ) 1 0

,

ezért fennáll az

Im((Df )(r, ϕ)) = R.(cos(ϕ), sin(ϕ), 1) + R.(−r sin(ϕ), r cos(ϕ), 0) egyenl®ség, vagyis r 6= 0 esetén rg(r,ϕ) (f ) = 2, míg rg(0,ϕ) (f ) = 1. Ez azt jelenti, hogy minden ϕ ∈ R esetén a (0, ϕ) pont bármely környezetén f nem állandó rangú. Ugyanakkor belátható, hogy minden R 3 ϕ-re a (0, ϕ) pont bármely U környezetére a f hU i halmaz nem részsokasága R3 -nak (14. gyakorlat).

16.10.

Gyakorlatok

1. Legyen M ⊆ E nem üres halmaz. Az M halmaz pontosan akkor nyílt E -ben, ha M dim(E)-dimenziós C∞ -osztályú részsokasága E -nek. Az M halmaz pontosan akkor diszkrét E -ben, ha M 0-dimenziós C∞ -osztályú részsokasága E -nek.

2. (Euklidészi gömbfelületek.) Ha E euklidészi tér, akkor minden a ∈ E és r ∈ R∗+ esetén az

Sr (a) := {x ∈ E|kx − ak = r} halmaz C∞ -osztályú hiperfelület E -ben, és x ∈ Sr (a) esetén

Tx (Sr (a)) = (x − a)⊥ . Adjuk meg az Sr (a)-nak két olyan paraméterezését, amelyek értékkészletei befedik Sr (a)t! (Útmutatás. Az 5. megjegyzés alapján ezt elegend® az a := 0 pontra igazolni, hiszen a σ : E → E; x 7→ a + x leképezés C∞ -dieomorzmus és σhSr (0)i = Sr (a). Legyen n ∈ E olyan rögzített vektor, amelyre knk = 1, és jelölje n⊥ a n-re ortogonális E -beli vektortok halmazát. A Riesz-féle felbontási tétel alapján az n⊥ halmaz

409

16.10. GYAKORLATOK

dim(E) − 1 dimenziós lineáris altere E -nek és E = n⊥ ⊕ (R.n). Értelmezzük a következ® függvényeket: ‚ ⊥

Ψ± : n → E;

p 7→

Œ

‚

Œ

2r2 kpk2 − r2 .p ± r .n. kpk2 + r2 kpk2 + r2

Könnyen látható, hogy a Ψ± függvények C∞ -osztályú injekciók, és Im(Ψ± ) = Sr (0) \ {±r.n}, valamint a Ψ± függvények inverzei a

Sr (0) \ {±r.n} → n⊥ ;

q 7→

q − (q|n).n (q|n) 1∓ r

függvények. Ebb®l látható, hogy a Ψ± függvények homeomorzmusok a deníciós és képtartományaik között. Ugyanakkor p ∈ n⊥ esetén minden n⊥ 3 z-re !

‚

Œ

2r2 4r2 ((DΨ± )(p)) (z) = − (p|z).p + .z ± kpk2 + r2 (kpk2 + r2 )2 !

4r2 ± (p|z).n = (kpk2 + r2 )2

‚

2r2 kpk2 + r2

Œ‚

‚

Œ

Œ

2(p|z) z+ .(−p ± r.n) , kpk2 + r2

amib®l nyilvánvaló, hogy ((DΨ± )(p)) (z) = 0 esetén z = 0, vagyis a (DΨ± )(p) operátorok injektívek. Ha tehát u : Rdim(E)−1 → n⊥ tetsz®leges lineáris bijekció, akkor a Ψ± ◦ u : Rdim(E)−1 → E függvények dim(E) − 1 dimenziós C∞ osztályú paraméterezései az Sr (0) \ {±r.n} halamzoknak. Ugyanakkor

Sr (0) \ {±r.n} = Sr (0) ∩ (E \ {±r.n}) , tehát Sr (0) \ {±r.n} nyílt halmazok Sr (0)-ban, és természetesen

Sr (0) = (Sr (0) \ {r.n}) ∪ (Sr (0) \ {−r.n}) , így a Sr (0) halmaz C∞ -osztályú hiperfelület E -ben. Megemlítjük, hogy a Ψ± függvényeket ±r.n csúcspontú sztereograkus projekcióknak nevezzük.)

3. (Euklidészi kúpfelületek.) Ha E euklidészi tér, akkor minden a ∈ E , n ∈ E , knk = 1 és λ ∈] − 1, 1[ esetén a

Cn,λ (a) := {x ∈ E \ {a} | (x − a|n) = λkx − ak} halmaz C∞ -osztályú elemi hiperfelület E -ben, és x ∈ Cn,λ (a) esetén ‚

λ . (x − a − (x − a|n).n) Tx (Cn,λ (a)) = n − 2 (1 − λ) kx − ak

Œ⊥

.

410

16. VÉGES DIMENZIÓS VALÓS VEKTORTEREK RÉSZSOKASÁGAI

Adjuk meg Cn,λ (a)-nak globális paraméterezését! (Útmutatás. Jelölje n⊥ az n-re ortogonális vektortok halmazát E -ben. A Riesz-féle felbontási tétel alapján az n⊥ halmaz dim(E) − 1 dimenziós lineáris altere E -nek és E = n⊥ ⊕ (R.n). Értelmezzük a következ® függvényt:

Ψ : n⊥ \ {0} → E;

λkpk p 7→ a + p + √ .n. 1 − λ2

Könnyen látható, hogy a Ψ függvény C∞ -osztályú injekció, és Im(Ψ) = Cn,λ (a), továbbá Ψ−1 : Cn,λ (a) → n⊥ \ {0} az a leképezés, amelyre minden x ∈ Cn,λ (a) esetén

Ψ−1 (x) = x − a − λkx − akn, tehát Ψ−1 folytonos, így Ψ homeomorzmus n⊥ \ {0} és Cn,λ (a) között. Ha p ∈ n⊥ \ {0}, akkor minden n⊥ 3 z-re

((DΨ)(p)) (z) = z + √

(p|z) λ .n. 1 − λ2 kpk

Ebb®l látható, hogy minden n⊥ \ {0} 3 p-re a (DΨ)(p) : n⊥ → E lineáris operátor injektív. Ezért bármely u : Rdim(E)−1 → n⊥ lineáris bijekcióra a Ψ ◦ u : Rdim(E)−1 \ {0} → E leképezés dim(E) − 1 dimenziós C∞ -osztályú paraméterezése a Cn,λ (a) halmaznak.)

4. (Euklidészi paraboloidok.) Ha E euklidészi tér, akkor minden R∗+ 3 m-re a ¨

kpk2 Pm := (p0 , p) ∈ R × E | p0 = 2m

«

halmaz C∞ -osztályú elemi hiperfelület az R × E vektortérben, és (p0 , p) ∈ Pm esetén

T(p0 ,p) (Pm ) = {(µ, q) ∈ R × E | µ = m(p|q)}. Adjuk meg Pm -nek globális paraméterezését!

5. (Euklidészi hiperboloidok.) Legyen E euklidészi tér és m ∈ R+ rözített szám. Értelmezzük a következ® halmazokat

È

± Xm := { (p0 , p) ∈ R × E | p0 = ± kpk2 + m2 },

ha m > 0, míg

X0± := { (p0 , p) ∈ R × (E \ {0}) | p0 = ±kpk }.

± halmaz C∞ -osztályú elemi hiperfelület az R × E vektortérben. Adjuk meg Ekkor az Xm ± -nek globális paraméterezését! Xm

411

16.10. GYAKORLATOK

(Útmutatás. Ha m > 0, akkor a ± Ψ± m : E → Xm ;



È

p 7→ ± kpk2 + m2 , p



∞ leképezések bijekciók és a Ψ± m : E → R × E függvények C -osztályúak (hiszen a ± ± komponens-függvényeik is azok), továbbá Ψm homeomorzmus E és Xm között, mert ± −1 (Ψm ) = prE |Xm± , ahol prE az R × E → E kanonikus projekció (ami folytonos függvény, ± így az Xm -re vett lesz¶kítései is folytonosak). Ugyanakkor fennállnak a prE ◦ Ψ± m = idE összefüggések, ezért a függvénykompozíció dierenciálásai szabálya szerint minden p ∈ E ± esetén prE ◦ ((DΨ± m )(p)) = idE , ezért a (DΨm )(p) : E → R × E operátorok injektívek. dim(E) dim(E) Ezért bármely u : R → E lineáris bijekcióra a Ψ± → R × E függvények m ◦u : R ± dim(E) dimenziós C∞ -osztályú paraméterezései az Xm halmaznak.

Hasonló meggondolásokkal igazolható, hogy a ± Ψ± 0 : E \ {0} → X0 ;

p 7→ (±kpk, p)

leképezések olyanok, hogy bármely u : Rdim(E) → E lineáris bijekcióra a Ψ± 0 ◦ u : dim(E) ∞ R → R × E függvény dim(E) dimenziós C -osztályú paraméterezése az X0± halmaznak.)

6. (Möbius-szalag.) Legyenek a, r ∈ R∗+ olyanok, hogy a ≤ r. Jelölje Ma,r az 



ϕ ‹‹ r + ρ sin cos(ϕ), 2





 ‹‹ ϕ ‹‹ ϕ r + ρ sin sin(ϕ), ρ cos ∈ R3 2 2

pontok halmazát, ahol ϕ ∈ R és ρ ∈] − a, a[ tetsz®legesek. Ekkor az Ma,r halmaz C∞ -osztályú hiperfelület R3 -ban. (Az Ma,r halmazt (a, r)-paraméter¶ Möbius-szalagnak nevezzük.)

7. Legyen M1 m1 -dimenziós, Cr1 -osztályú részsokasága az E1 véges dimenziós valós

vektortérnek, M2 m2 -dimenziós, Cr2 -osztályú részsokasága az E2 véges dimenziós valós vektortérnek, és M3 m3 -dimenziós, Cr3 -osztályú részsokasága az E3 véges dimenziós valós vektortérnek. Ha f : M1 → M2 Cr -osztályú függvény és g : M2 → M3 Cr -osztályú függvény, akkor a g ◦ f : M1 → M3 függvény is Cr -osztályú, és minden a ∈ M1 esetén

Ta (g ◦ f ) = Tf (a) (g) ◦ Ta (f ) teljesül (a függvénykompozíció dierenciálásának szabálya).

8. (Részsokaság érint®tere.) Legyen M m-dimenziós, Cr -osztályú részsokasága E -nek, és tegyük fel, hogy r ≥ 2. Bevezetjük a

T (M ) :=

[ a∈M

({a} × Ta (M ))

412

16. VÉGES DIMENZIÓS VALÓS VEKTORTEREK RÉSZSOKASÁGAI

jelölést. Ekkor az M sokaság minden Φ paraméterezésére a

Dom(Φ) × Rm → E × E;

(p, v) 7→ (Φ(p), ((DΦ)(p))(v))

függvény 2m-dimenziós, Cr−1 -osztályú paraméterezése a T (M ) halmaznak. Igazoljuk, hogy a T (M ) halmaz 2m-dimenziós, Cr−1 -osztályú részsokasága az E × E valós vektortérnek. (Ezt a T (M ) sokaságot nevezzük az M érint®terének.)

9. (Absztrakt sokaságok.) a) Legyen M m-dimenziós, Cr -osztályú részsokasága E -nek és jelölje Par(M ) az M halmaz m-dimenziós, Cr -osztályú paraméterezéseinek halmazát. Legyen továbbá Ch(M ) := {Φ−1 |Φ ∈ Par(M )}; a Ch(M ) elemeit az M halmaz m-dimenziós, Cr -osztályú térképeinek nevezzük. Teljesülnek a következ® állítások. (i) Minden ϕ ∈ Ch(M ) függvény olyan M  Rm injekció, amelyre Im(ϕ) nyílt részhalmaza Rm -nek. (ii) Ha ϕ, ψ ∈ Ch(M ), akkor a ψ ◦ ϕ−1 , ϕ ◦ ψ −1 : Rm  Rm függvények Cr -osztályúak (tehát Cr -dieomorzmusok, hiszen ezek egymás inverzei). (iii) Fennáll az M =

[

Dom(ϕ) egyenl®ség.

ϕ∈Ch(M )

(iv) Ha ψ : M  Rm olyan injekció, hogy Im(ψ) ⊆ Rm nyílt halmaz, és minden Ch(M ) 3 ϕ-re a ψ ◦ ϕ−1 , ϕ ◦ ψ −1 : Rm  Rm függvények Cr -osztályúak, akkor ψ ∈ Ch(M ). b) Legyen M tetsz®leges halmaz. Ekkor M feletti m-dimenziós, Cr -osztályú struktúrának nevezünk M  Rm függvények tetsz®leges olyan Ch halmazát, amelyre az a) pont (i), (ii), (iii) és (iv) állításai teljesülnek, a Ch(M ) helyére Ch-t írva. Az (M, Ch) párt (absztrakt) m-dimenziós, Cr -osztályú sokaságnak nevezzük, ha Ch m-dimenziós, Cr osztályú struktúra az M halmaz felett. Tehát a deníció, és az a) alapján világos, hogy ha M m-dimenziós, Cr -osztályú részsokasága az E véges dimenziós valós vektortérnek, akkor az (M, Ch(M )) pár m-dimenziós, Cr -osztályú sokaság. c) Legyen M tetsz®leges halmaz. Ekkor M feletti m-dimenziós, Cr -osztályú atlasznak nevezünk M  Rm függvények tetsz®leges olyan A halmazát, amelyre az a) pont (i), (ii) és (iii) állításai teljesülnek, a Ch(M ) helyére A-t írva. Mutassuk meg, hogy ha A m-dimenziós, Cr -osztályú atlasz az M halmaz felett, és Ch jelöli azon ψ : M  Rm injekciók halmazát, amelyekre Im(ψ) nyílt halmaz Rm -ben, és minden A 3 ϕ-re a ψ ◦ ϕ−1 , ϕ ◦ ψ −1 : Rm  Rm függvények Cr -osztályúak, akkor Ch az az egyértelm¶en meghatározott m-dimenziós, Cr -osztályú struktúra M felett, amelyre A ⊆ Ch teljesül (ezt a Ch struktúrát nevezzük az A atlasz által generált struktúrának). d) Legyen (M, Ch) m-dimenziós, Cr -osztályú sokaság, és jelölje T azt a legkisebb M feletti topológiát, amelyre minden Ch 3 ϕ-re Dom(ϕ) ∈ T (tehát T a {Dom(ϕ)|ϕ ∈ Ch}

16.10. GYAKORLATOK

413

halmazt tartalmazó M feletti topológiák metszete). Ekkor minden ϕ ∈ Ch esetén a ϕ függvény homeomorzmus a Dom(ϕ) T -nyílt topologikus altér és az Im(ϕ) Rm -beli nyílt topologikus altér között (természetesen Rm felett az euklidészi topológiát véve). A T topológiát az (M, Ch) sokaság-topológiájának nevezzük. Mutassuk meg, hogy ha M m-dimenziós, Cr -osztályú részsokaság az E véges dimenziós valós vektortérben, akkor az (M, Ch(M )) sokaság-topológiája egyenl® az E euklidészi topológiájának M -re vett lesz¶kítésével. Azonban létezik olyan absztrakt sokaság, amelynek sokaság-topológiája nem Hausdor-féle. e) Legyen (M, Ch) m-dimenziós, Cr -osztályú sokaság, és a ∈ M . Legyen

Ta (M, Ch) := {(v, ϕ) ∈ Rm × Ch | a ∈ Dom(ϕ)}. A Ta (M, Ch) halmazon értelmezzük az ≈a relációt úgy, hogy (v1 , ϕ1 ), (v2 , ϕ2 ) ∈ Rm × Ch esetén € Š df (v1 , ϕ1 ) ≈a (v2 , ϕ2 ) ⇔ v2 = D(ϕ2 ◦ ϕ−1 1 ) (ϕ1 (a))v1 . Ekkor ≈a ekvivalecia-reláció Ta (M, Ch) felett; legyen

Ta (M, Ch) := Ta (M, Ch)/ ≈a , valamint jelölje πa a Ta (M, Ch) → Ta (M, Ch) kanonikus szürjekciót. Mutassuk meg, hogy ha ϕ ∈ Ch olyan, hogy a ∈ Dom(ϕ), akkor a

θϕ,a : Rm → Ta (M, Ch);

v 7→ πa (v, ϕ)

leképezés bijekció, és ha ψ ∈ Ch szintén olyan, hogy a ∈ Dom(ψ), akkor €

Š

−1 −1 θψ, a ◦ θϕ,a = D(ψ ◦ ϕ ) (ϕ(a)) ∈ GL(m, R).

f) Ha (M, Ch) m-dimenziós, Cr -osztályú sokaság és a ∈ M , akkor a Ta (M, Ch) halmazon létezik egyetlen olyan valós vektortér-struktúra, amelyre minden ϕ ∈ Ch esetén, ha a ∈ Dom(ϕ), akkor a θϕ,a : Rm → Ta (M, Ch) leképezés lineáris bijekció. A Ta (M, Ch) halmazt, ezzel a valós vektortér-struktúrával ellátva az (M, Ch) sokaság a pontbeli érint®terének nevezzük, és a Ta (M, Ch) halmaz elemei az (M, Ch) sokaságot a pontban érint® vektorok. Mutassuk meg, hogy ha M m-dimenziós, Cr -osztályú részsokaság az E véges dimenziós valós vektortérben, akkor minden a ∈ M esetén a Ta (M ) ⊆ E lineáris altér és a Ta (M, Ch(M )) érint®tér között létezik kitüntetett lineáris bijekció, amely által a Ta (M ) "konkrét" és a Ta (M, Ch(M )) "absztrakt" érint®terek kanonikusan azonosulnak.

10. (Absztrakt sokaságok szorzata.) Legyen ((Mi , Chi ))i∈I olyan nem üres véges rendszer,

ri hogy minden I 3 i-re (Mi , Chi ) mi -dimenziós, CY -osztályú (absztrakt) sokaság. Legyen X m := mi és r := max ri ; és minden (ϕi )i∈I ∈ Chi esetén értelmezzük a i∈I

i∈I

× ϕi :

i∈I

i∈I

Y i∈I

Dom(ϕi ) →

Y i∈I

Rmi ;

(ai )i∈I 7→ (ϕi (ai ))i∈I

414

16. VÉGES DIMENZIÓS VALÓS VEKTORTEREK RÉSZSOKASÁGAI

leképezést. Ekkor az

Y

Mi szorzathalmaz felett létezik egyetlen olyan Ch m-dimenziós,

i∈I

Cr -osztályú struktúra, hogy minden u : (ϕi )i∈I ∈

Y

Y

Rmi → Rm lineáris bijekcióra, és minden

i∈I

Chi rendszerre u ◦ × ϕi ∈ Ch teljesül. Ezt az i∈I

i∈I

Y

Mi feletti m-dimenziós,

i∈I

Cr -osztályú struktúrát nevezzük a (Chi )i∈I struktúra-rendszer szorzatának, és a × Chi i∈I

szimbólummal jelöljük. Továbbá, a Y

!

Mi , × Chi i∈I

i∈I

m-dimenziós, Cr -osztályú sokaságot az ((Mi , Ch i ))i∈I sokaság-rendszer szorzatának neY vezzük. Mutassuk meg, hogy minden (ai )i∈I ∈ Mi esetén a i∈I

T(ai )i∈I

Y

!

Mi , × Chi

i∈I

i∈I

absztrakt érint®tér kitüntetett módon lineárisan azonosítható a

Y

Tai (Mi , Chi ) lineáris

i∈I

szorzattérrel.

11. (Absztrakt sokaság érint®tere.) Legyen (M, Ch) m-dimenziós, Cr -osztályú sokaság, és tegyük fel, hogy r → 2. Legyen

T (M, Ch) :=

[ a∈M

({a} × Ta (M, Ch)) ,

és jelölje πM azt a T (M, Ch) → M függvényt, amely minden (a, t) ∈ T (M, Ch) párhoz az a pontot rendeli; világos, hogy πM szürjekció. Minden ϕ ∈ Ch esetén legyen −1

ϕˆ : π M hDom(ϕ)i → Rm × Rm ;

€

Š

−1 (a, t) 7→ ϕ(a), θϕ, a (t) .

Ekkor a T (M, Ch) halmaz felett létezik egyetlen olyan T (Ch) 2m-dimenziós, Cr−1 -osztályú struktúra, amelyre minden ϕ ∈ Ch esetén ϕˆ ∈ T (Ch). A (T (M, Ch), T (Ch)) 2mdimenziós, Cr−1 -osztályú sokaságot az (M, Ch) sokaság érint®terének nevezzük. Mutassuk meg, hogy ha M m-dimenziós, Cr -osztályú részsokaság az E véges dimenziós valós vektortérben, akkor a (T (M, Ch(M )), T (Ch(M ))) "absztrakt" és (T (M ), Ch(T (M ))) "konkrét" érint®terek kitüntetett módon azonosulnak egymással.

12. (Morzmusok absztrakt sokaságok között.) Legyen (M1 , Ch1 ) m1 -dimenziós, Cr1 osztályú sokaság, (M2 , Ch2 ) m2 -dimenziós, Cr2 -osztályú sokaság, és f : M1 → M2

415

16.10. GYAKORLATOK

függvény. Azt mondjuk, hogy az f függvény Cr -osztályú (a Ch1 és Ch2 struktúrák szerint), ha r ≤ min(r1 , r2 ), és minden ϕ1 ∈ Ch1 és ϕ2 ∈ Ch2 esetén a m1 ϕ2 ◦ f ◦ ϕ−1  Rm2 1 : R

leképezés Cr -osztályú. Mutassuk meg, hogy ha az f : M1 → M2 függvény Cr -osztályú, akkor minden a ∈ M1 , ϕ1 ∈ Ch1 és ϕ2 ∈ Ch2 esetén, ha a ∈ Dom(ϕ1 ) és f (a) ∈ Dom(ϕ2 ), akkor a €

Š

−1 θϕ2 ,f (a) ◦ D(ϕ2 ◦ f ◦ ϕ−1 1 ) (ϕ1 (a)) ◦ θϕ1 ,a ∈ L (Ta (M1 , Ch1 ); Tf (a) (M2 , Ch2 ))

lineáris operátor független a ϕ1 és ϕ2 térképek választásától, tehát ha ψ1 ∈ Ch1 és ψ2 ∈ Ch2 is olyan térképek, hogy a ∈ Dom(ψ1 ) és f (a) ∈ Dom(ψ2 ), akkor €

Š

€

Š

−1 −1 −1 θϕ2 ,f (a) ◦ D(ϕ2 ◦ f ◦ ϕ−1 1 ) (ϕ1 (a)) ◦ θϕ1 ,a =θψ2 ,f (a) ◦ D(ψ2 ◦ f ◦ ψ1 ) (ψ1 (a)) ◦ θψ1 ,a

teljesül. Ha az f : M1 → M2 függvény Cr -osztályú, akkor minden a ∈ M1 esetén a €

Š

−1 θϕ2 ,f (a) ◦ D(ϕ2 ◦ f ◦ ϕ−1 1 ) (ϕ1 (a)) ◦ θϕ1 ,a

operátort a Ta (f ) szimbólummal jelöljük (ahol ϕ1 ∈ Ch1 és ϕ2 ∈ Ch2 olyan térképek, hogy a ∈ Dom(ϕ1 ) és f (a) ∈ Dom(ϕ2 )), és a

Ta (f ) ∈ L (Ta (M1 , Ch1 ); Tf (a) (M2 , Ch2 )) operátort az f függvény érint®-operátorának, vagy deriváltjának nevezzük az a pontban (a Ch1 és Ch2 struktúrák szerint).

13. Jelölje M a Bernoulli-lemniszkátát (3. gyakorlat). Ekkor nem létezik olyan m ∈ N és r ∈ N∗ , hogy az M halmaz m-dimenziós, Cr -osztályú részsokasága R2 -nek.

(Útmutatás. Indirekt bizonyítunk, tehát feltesszük, hogy m ∈ N és r ∈ N∗ olyan számok, amelyekre az M halmaz m-dimenziós, Cr -osztályú részsokasága R2 -nek. Ekkor létezik olyan V nyílt környezete a 0 := (0, 0) ∈ M pontnak R2 -ben, és létezik olyan h : V → R2−m Cr -osztályú függvény, hogy minden V 3 x-re a (Dh)(x) operátor szürjektív és [h = 0] = M ∩ V ; továbbá, ha h ilyen függvény, akkor T0 (M ) = Ker((Dh)(0)). Tekintsük most a 3. példában értelmezett ‚ 2

Φ:R→R ;

p 7→

p(1 + p2 ) p(1 − p2 ) , 1 + p4 1 + p4

Œ

leképezést. Világos, hogy Φ(0) = 0, ezért létezik olyan δ ∈ R∗+ , hogy Φh]−δ, δ[i ⊆ M ∩V , vagyis h ◦ Φ = 0 a ] − δ, δ[ intervallumon. Ezért ((Dh)(0))((DΦ)(0)) = 0, és könnyen kiszámítható, hogy (DΦ)(0) = (1, 1), így (1, 1) ∈ Ker((Dh)(0)) = T0 (M ). Ugyanakkor

416

16. VÉGES DIMENZIÓS VALÓS VEKTORTEREK RÉSZSOKASÁGAI

lim Φ(p) = 0, ezért van olyan c ∈ R, hogy fennáll a Φh]c, → [i ⊆ M ∩ V tartalmazás,

p→+∞

azaz h ◦ Φ = 0 a ]c, → [ intervallumon. Ezért minden ]c, → [3 p-re €

Š

((Dh)(Φ(p))) p2 .(DΦ)(p) = p2 .(D(h ◦ Φ))(p) = 0. A Φ konkrét alakjából következik, hogy lim (p2 .(D(h ◦ Φ))(p)) = (−1, 1), ezért az el®z® p→+∞

egyenl®séget és Dh folytonosságát felhasználva kapjuk, hogy

((Dh)(0))(−1, 1) = lim

p→+∞

€

€

ŠŠ

((Dh)(Φ(p))) p2 .(DΦ)(p)

= 0,

vagyis (−1, 1) ∈ Ker((Dh)(0)) = T0 (M ). Ez azt jelenti, hogy a (−1, 1) és (1, 1) lineárisan független vektorok elemei T0 (M )-nek, tehát dim(T0 (M )) = 2, vagyis m = 2. Az 1. gyakorlat alapján ebb®l következik, hogy M nyílt halmaz R2 -ben, ami nem igaz.)

14. Tekintsük az f : R2 → R3 ;

(r, ϕ) 7→ (r cos(ϕ), r sin(ϕ), r)

C∞ -osztályú függvényt. Ha ϕ ∈ R és U a (0, ϕ) pontnak környezete R2 -ben, akkor nem létezik olyan m ∈ N és r ∈ N∗ , hogy az f hU i halmaz m-dimenziós, Cr -osztályú részsokasága R3 -nak. (Útmutatás. Indirekt bizonyítunk, tehát feltesszük, hogy ϕ ∈ R, U környezete a (0, ϕ) pontnak R2 -ben, m ∈ N és r ∈ N∗ , valamint az f hU i halmaz m-dimenziós, Cr -osztályú részsokasága R3 -nak. Létezik a 0 := (0, 0, 0) ∈ f hU i pontnak olyan V nyílt környezete R3 -ban, és létezik olyan h : V → R3−m Cr -osztályú függvény, hogy minden V 3 x-re a (Dh)(x) operátor szürjektív és [h = 0] = f hU i ∩ V ; továbbá, ha h ilyen függvény, akkor T0 (f hU i) = Ker((Dh)(0)). Az f függvény folytonos a (0, ϕ) pontban, ezért a (0, ϕ)-nek vehetjük olyan W nyílt környezetét R2 -ben, hogy W ⊆ U és f hW i ⊆ V . Legyenek r, δ ∈ R∗+ olyanok, hogy ] − r, r[×]ϕ − 2δ, ϕ + 2δ[⊆ W , és képezzük a

γ0 :] − r, r[→ R2 ;

p 7→ (p, ϕ),

γ+ :] − r, r[→ R2 ;

p 7→ (p, ϕ + δ),

γ− :] − r, r[→ R2 ;

p 7→ (p, ϕ − δ)

görbéket, amelyek mind W -ben haladnak és C∞ -osztályúak. Világos, hogy f (γ0 (0)) = f (γ+ (0)) = f (γ− (0)) = 0, és h ◦ f ◦ γ0 = h ◦ f ◦ γ+ = h ◦ f ◦ γ− a ] − r, r[ intervallumon. A függvénykompozíció dierenciálási szabályát alkalmazva ebb®l kapjuk, hogy a

(D(f ◦ γ0 ))(0) = (cos(ϕ), sin(ϕ), 1), (D(f ◦ γ+ ))(0) = (cos(ϕ + δ), sin(ϕ + δ), 1),

16.10. GYAKORLATOK

417

(D(f ◦ γ− ))(0) = (cos(ϕ − δ), sin(ϕ − δ), 1) vektorok elemei Ker((Dh)(0))-nak, vagyis a T0 (f hU i) érint®térnek. Azonban egyszer¶ lineáris algebrai megfontolásokkal belátható, hogy δ < π esetén ez három vektor lineárisan független R3 -ban, ezért m = 3. Az 1. gyakorlat alapján ebb®l következik, hogy f hU i nyílt halmaz R3 -ban, ami nem igaz, hiszen még az Im(f ) halmaznak sincs bels® pontja R3 -ban.)

418

16. VÉGES DIMENZIÓS VALÓS VEKTORTEREK RÉSZSOKASÁGAI

17. fejezet Riemann-sokaságok és felületi mértékek 17.1.

Riemann-sokaságok

17.1.1. Deníció. Az (M, g) párt m-dimenziós, Cr -osztályú Riemann-sokaságnak nevezzük E -ben, ha M m-dimenziós, Cr -osztályú részsokasága E -nek, és

g∈

Y a∈M

L2 (Ta (M )2 ; R)

olyan függvény, hogy minden a ∈ M esetén a g(a) ∈ L2 (Ta (M )2 ; R) bilineáris funkcionál skalárszorzás a Ta (M ) valós m-dimenziós vektortér felett, és az M minden Φ mdimenziós, Cr -osztályú paraméterezésére a

gΦ : Dom(Φ) → L2 ((Rm )2 ; R);

p 7→ g(Φ(p)) ◦ ((DΦ)(p) × (DΦ)(p))

függvény Cr−1 -osztályú.

Példák Riemann-sokaságokra. 1) Legyen E euklidészi tér. Ekkor az E halmaz dim(E)-dimenziós, C∞ -osztályú részsokasága E -nek, és ha g az az E -n értelmezett konstansfüggvény, amelynek értéke az E feletti (·|·) skalárszorzás, akkor az (E, g) pár dim(E)-dimenziós, C∞ -osztályú elemi Riemann-sokaság E -ben, mert ha Φ az E halmaznak dim(E)-dimenziós, C∞ -osztályú paraméterezése, akkor minden Dom(Φ) 3 p-re

gΦ (p) := g(Φ(p)) ◦ ((DΦ)(p) × (DΦ)(p)) = (·|·) ◦ ((DΦ)(p) × (DΦ)(p)) , tehát a gΦ függvény a

Dom(Φ) → L (Rdim(E) ; E) × L (Rdim(E) ; E);

p 7→ ((DΦ)(p), (DΦ)(p))

C∞ -osztályú, és az L (Rdim(E) ; E) × L (Rdim(E) ; E) → L (Rdim(E) × Rdim(E) ; E × E); 419

(u, v) 7→ u × v

420

17. RIEMANN-SOKASÁGOK ÉS FELÜLETI MÉRTÉKEK

C∞ -osztályú, valamint az L (Rdim(E) × Rdim(E) ; E × E) → L2 ((Rdim(E) )2 ; R);

w 7→ (·|·) ◦ w

C∞ -osztályú függvény kompozíciója, így C∞ -osztályú. 2) Az els® példa általánosításaként legyen E euklidészi tér és M m-dimenziós, Cr osztályú részsokasága E -nek. Minden M 3 a-ra Ta (M ) lineáris altere E -nek, ezért a (·|·) Ta (M )2 : Ta (M )2 → R függvény skalárszorzás a Ta (M ) m-dimenziós valós vektortér felett. Legyen g az az M -en értelmezett függvény, amelyre minden a ∈ M esetén g(a) := (·|·) Ta (M )2 . Ekkor (M, g) m-dimenziós, Cr -osztályú Riemann-sokaság E -ben. Valóban, ha Φ paraméterezése az M sokaságnak, akkor p ∈ Dom(Φ) esetén

gΦ (p) := g(Φ(p)) ◦ ((DΦ)(p) × (DΦ)(p)) := (·|·) Ta (M )2 ◦ ((DΦ)(p) × (DΦ)(p)) = = (·|·) ◦ ((DΦ)(p) × (DΦ)(p)) , tehát a gΦ függvény a

Dom(Φ) → L (Rdim(E) ; E) × L (Rdim(E) ; E);

p 7→ ((DΦ)(p), (DΦ)(p))

Cr−1 -osztályú, és az L (Rdim(E) ; E) × L (Rdim(E) ; E) → L (Rdim(E) × Rdim(E) ; E × E);

(u, v) 7→ u × v

C∞ -osztályú, valamint az L (Rdim(E) × Rdim(E) ; E × E) → L2 ((Rdim(E) )2 ; R);

w 7→ (·|·) ◦ w

C∞ -osztályú függvény kompozíciója, így Cr−1 -osztályú. Ez a példa jól mutatja, hogy a Cr -osztályú Riemann-sokaságok deníciójában miért azt kell megkövetelni, hogy a sokaság minden Φ paraméterezésére a gΦ függvény csak Cr−1 -osztályú legyen, és nem feltétlenül Cr -osztályú. Ha a gΦ alakú függvényekt®l azt követelnénk meg, hogy Cr -osztályúak legyenek, akkor a most értelmezett (M, g) pár csak Cr−1 osztályú Riemann-sokaság lenne, holott M Cr -osztályú részsokasága E -nek. 3) A második példa általánosításaként legyen M1 m1 -dimenziós, Cr1 -osztályú részsokasága az E1 véges dimenziós valós vektortérnek, és legyen (M2 , g2 ) m2 -dimenziós, Cr2 osztályú Riemann-sokaság az E2 véges dimenziós valós vektortérben. Legyen f : M1 → M2 olyan Cr -osztályú függvény, hogy minden a ∈ M1 esetén a Ta (f ) : Ta (M1 ) → Tf (a) (M2 ) operátor injektív (ilyenkor azt mondjuk, hogy f immerzió). Természetesen ekkor M1 6= ∅ esetén szükségképpen m1 ≤ m2 . Minden M1 3 a-ra legyen

g1 (a) := g2 (f (a)) ◦ (Ta (f ) × Ta (f )). Ekkor az (M1 , g1 ) pár m1 -dimenziós, Cr -osztályú Riemann-sokaság E1 -ben.

421

17.2. RIEMANN-SOKASÁG PARAMÉTEREZÉSÉNEK MODULUSA

17.2.

Riemann-sokaság paraméterezésének modulusa

17.2.1. Lemma. Legyen E valós prehilbert-tér, és jelölje (·|·) az E skalárszorzását. Ha

n ∈ N∗ és (fi )i∈n lineárisan független rendszer E -ben, akkor az ((fi |fj ))(i,j)∈n×n ∈ Mn (R) mátrix determinánsa 0-nál nagyobb valós szám. Bizonyítás. Legyen (ei )i∈n olyan ortonormált rendszer E -ben, amely ugyanazt az n dimenziós lineáris alteret generálja, mintX az (fi )i∈n rendszer. Egyértelm¶en létezik olyan Lj,i .ej . Ekkor minden (i, j) ∈ n × n párra az L ∈ Mn (R), hogy minden n 3 i-re fi = j∈n

(ei )i∈n rendszer ortonormáltsága folytán (fi |fj ) =

X

Lk,i .ek

k∈n

=

X

X

k∈n

l∈n

X

!

Ll,i .el =

l∈n

!

Lk,i Ll,j δk,l =

X

X

X

k∈n

l∈n

!

Lk,i Ll,j (ek |el ) =

Lk,i Lk,j = (LT · L)i,j ,

k∈n

ahol LT az L mátrix transzponáltját és · a mátrixszorzást jelöli Mn (R)-ben. Ez azt jelenti, hogy az ((fi |fj ))(i,j)∈n×n mátrix egyenl® az LT ·L mátrixszal, tehát a determinánsfüggvény ismert tulajdonságai szerint 



€

Š

det ((fi |fj ))(i,j)∈n×n = det LT · L = det(LT )det(L) = (det(L))2 . Ugyanakkor az (fi )i∈n rendszer lineárisan függetlensége miatt det(L) 6= 0, ezért (det(L))2 > 0. 

17.2.2. Állítás. Ha E euklidészi tér, F valós prehilbert-tér, és u ∈ L (E; F ) injekció,

akkor det(u∗ ◦ u) > 0.

Bizonyítás. Legyen n := dim(E) és (ei )i∈n algebrai bázis E -ben. Ekkor det(u∗ ◦ u) egyenl® az (((u∗ ◦ u)(ei )|ej ))(i,j)∈n×n ∈ Mn (R) mátrix determinánsával. Ha i, j ∈ n, akkor ((u∗ ◦ u)(ei )|ej ) = (u(ei )|u(ej ), és az u injektivitása folytán az (u(ei ))i∈n rendszer lineárisan független F -ben. Ezért az el®z® lemma alapján det(u∗ ◦ u) > 0.  Ha (M, g) m-dimenziós, Cr -osztályú Riemann-sokaság, és Φ paraméterezése M -nek, akkor minden p ∈ Dom(Φ) esetén a (DΦ)(p) : Rm → TΦ(p) (M ) lineáris operátor bijekció, és Rm az euklidészi skalárszorzással ellátva euklidészi tér, míg TΦ(p) (M ) a g(Φ(p)) skalárszorzással ellátva szintén euklidészi tér. Ilyen esetben a ((DΦ)(p))∗ szimbólum a (DΦ)(p) operátor adjungáltját jelenti e skalárszorzások szerint. Ezért az el®z® állítás alapján értelmes a következ® deníció.

422

17. RIEMANN-SOKASÁGOK ÉS FELÜLETI MÉRTÉKEK

17.2.3. Deníció. Legyen (M, g) m-dimenziós, Cr -osztályú Riemann-sokaság és Φ

paraméterezése M -nek. Ekkor

modg (Φ) : Dom(Φ) → R∗+ ;

p 7→

È

det(((DΦ)(p))∗ ◦ (DΦ)(p)),

és a modg (Φ) függvényt a Φ paraméterezés g -modulusának nevezzük. Vegyük észre, hogy ha (M, g) m-dimenziós, Cr -osztályú Riemann-sokaság és Φ paraméterezése M -nek, akkor modg (Φ) lényegesen függ a g Riemann-metrikától, hiszen p ∈ Dom(Φ) esetén

(modg (Φ)) (p) :=

È

det(((DΦ)(p))∗ ◦ (DΦ)(p)),

és itt a (DΦ)(p) : Rm → TΦ(p) (M ) lineáris operátor adjungáltja áll az Rm feletti euklidészi skalárszorzás és a TΦ(p) (M ) feletti g(Φ(p)) skalárszorzás szerint; ez az adjungált teljesen más lehet, ha a g(Φ(p)) skalárszorzást megváltoztatjuk.

17.2.4. Állítás. Ha (M, g) m-dimenziós, Cr -osztályú Riemann-sokaság és Φ para-

méterezése M -nek, akkor a modg (Φ) : Dom(Φ) → R∗+ függvény Cr−1 -osztályú (tehát legalább folytonos). Bizonyítás. Feltehet®, hogy m > 0 (1. gyakorlat). Legyen (ei )i∈m a kanonikus bázis Rm -ben, Φ paraméterezése M -nek és p ∈ Dom(Φ). Ekkor

(modg (Φ))2 (p) := det(((DΦ)(p))∗ ◦ (DΦ)(p)) = = det 

€

((((DΦ)(p))∗ ◦ (DΦ)(p)) (ei ) ej )Rm

Š (i,j)∈n×n



= 

= det ( g(Φ(p)) (((DΦ)(p))(ei ), ((DΦ)(p))(ej )) )(i,j)∈n×n = 



= det ( gΦ (p)(ei , ej ) )(i,j)∈n×n =

X σ∈Sm

εσ

Y

!

gΦ (p)(ei , eσ(i) ) ,

i∈m

ahol (·|·)Rm jelöli az Rm feletti eulidészi skalárszorzást. A feltevés szerint a gΦ : Dom(Φ) → L2 ((Rm )2 ; R) függvény Cr−1 -osztályú, és minden (e, f ) ∈ Rm × Rm esetén az L2 ((Rm )2 ; R) → R; b 7→ b(e, f ) leképezés lineáris, tehát C∞ -osztályú. Ezért minden i, j ∈ m indexre a Dom(Φ) → R; p 7→ gΦ (p)(ei , ej ) függvény Cr−1 -osztályú, így a (modg (Φ))2 függvény is Cr−1 -osztályú. Ezért modg (Φ) is Cr−1 -osztályú, hiszen ez az R∗+ → R négyzetgyökvonás-függvény és a (modg (Φ))2 kompozíciója, ugyanis az el®z® következmény szerint minden Dom(Φ) 3 p-re det(((DΦ)(p))∗ ◦ (DΦ)(p)) > 0. 

423

17.3. RIEMANN-SOKASÁG PARAMÉTEREZÉSEI MODULUSAINAK KAPCSOLATA

17.3.

Riemann-sokaság paraméterezései modulusainak kapcsolata

Most megvizsgáljuk Riemann-sokaság különböz® paraméterezései modulusainak egymással való kapcsolatait.

17.3.1. Állítás. Ha (M, g) m-dimenziós, Cr -osztályú Riemann-sokaság és Φ, Ψ paraméterezései M -nek, akkor

modg (Φ) = det(D(Ψ−1 ◦ Φ)) · (modg (Ψ)) ◦ (Ψ−1 ◦ Φ) −1

teljesül a ΦhIm(Φ) ∩ Im(Ψ)i halmazon. −1

Bizonyítás. Legyen p ∈ ΦhIm(Φ)∩Im(Ψ)i rögzített pont. Világos, hogy Φ = Ψ◦(Ψ−1 ◦Φ) −1

a ΦhIm(Φ) ∩ Im(Ψ)i ⊆ Rm nyílt halmazon, és a Ψ−1 ◦ Φ : Rm  Rm függvény dierenciálható p-ben (s®t Cr -osztályú), így a függvénykompozíció dierenciálási szabálya szerint €

Š

(DΦ)(p) = (D Ψ ◦ (Ψ−1 ◦ Φ) )(p) = (DΨ)((Ψ−1 ◦ Φ)(p)) ◦ (D(Ψ−1 ◦ Φ))(p), következésképpen

((DΦ)(p))∗ ◦ (DΦ)(p) =

= (D(Ψ−1 ◦ Φ))(p)∗ ◦ (DΨ)((Ψ−1 ◦ Φ)(p))∗ ◦ (DΨ)((Ψ−1 ◦ Φ)(p)) ◦ (D(Ψ−1 ◦ Φ))(p). Ebb®l kapjuk, hogy

(modg (Φ))2 (p) := det(((DΦ)(p))∗ ◦ (DΦ)(p)) = €

Š

€

Š

= det (D(Ψ−1 ◦ Φ))(p)∗ · det (DΨ)((Ψ−1 ◦ Φ)(p))∗ ◦ (DΨ)((Ψ−1 ◦ Φ)(p)) · €

Š

€

€

·det (D(Ψ−1 ◦ Φ))(p) = det (D(Ψ−1 ◦ Φ))(p)

ŠŠ2

€

Š

· (modg (Ψ))2 (Ψ−1 ◦ Φ)(p) ,

amib®l következik az állítás. 

17.4.

Riemann-sokaság paraméterezése modulusának integrálelméleti jelent®sége

A következ® állításból kiderül a paraméterezések modulusainak integrálelméleti jelent®sége.

424

17. RIEMANN-SOKASÁGOK ÉS FELÜLETI MÉRTÉKEK

17.4.1. Állítás. Ha (M, g) m-dimenziós, Cr -osztályú Riemann-sokaság, Φ, Ψ para-

méterezései M -nek, F Banach-tér és f : M → F olyan függvény, hogy [f 6=0] ⊆ Im(Φ) ∩ Im(Ψ). Ekkor az (f ◦ Φ)modg (Φ) : Dom(Φ) → F függvény pontosan akkor integrálható a Dom(Φ) halmazon a µm Lebesgue-mérték szerint, ha az (f ◦ Ψ)modg (Ψ) : Dom(Ψ) → F függvény integrálható a Dom(Ψ) halmazon a µm Lebesgue-mérték szerint. Továbbá, ha az (f ◦ Φ)modg (Φ) : Dom(Φ) → F függvény integrálható a Dom(Φ) halmazon µm szerint, akkor Z Z (f ◦ Φ)modg (Φ) dµm = (f ◦ Ψ)modg (Ψ) dµm . Dom(Φ)

Dom(Ψ) −1

−1

Bizonyítás. Legyen Ω := ΦhIm(Φ) ∩ Im(Ψ)i és Ω0 := ΨhIm(Φ) ∩ Im(Ψ)i; ezek nyílt halmazok Rm -ben. Az (f ◦ Ψ)modg (Ψ) függvény (a deníció szerint) pontosan integrálható a Dom(Ψ) halmazon a µm Lebesgue-mérték szerint, ha ((f ◦ Ψ)modg (Ψ))◦ ∈ LF1 (Rm , Rm , µm ). Az [f 6=0] ⊆ Im(Φ) ∩ Im(Ψ) feltétel alapján ((f ◦ Ψ)modg (Ψ))◦ = ((f ◦ Ψ)modg (Ψ) Ω0 )◦ , ezért az (f ◦Ψ)modg (Ψ) függvény pontosan integrálható a Dom(Ψ) halmazon a µm szerint, ha az (f ◦ Ψ)modg (Ψ) Ω0 : Ω0 → F függvény integrálható az Ω0 halmazon a µm mérték szerint. A Ψ−1 ◦ Φ : Ω → Ω0 leképezés Cr -dieomorzmus, ezért a helyettesítéses integrálás tétele alapján az (f ◦ Ψ)modg (Ψ) Ω0 : Ω0 → F függvény pontosan akkor integrálható az Ω0 halmazon a µm szerint, ha a

|det(D(Ψ−1 ◦ Φ))|. ((f ◦ Ψ)modg (Ψ)

Ω0 )

◦ (Ψ−1 ◦ Φ) : Ω → F

függvény integrálható az Ω halmazon a µm szerint. tulajdonsága alapján

|det(D(Ψ−1 ◦ Φ))|. ((f ◦ Ψ)modg (Ψ)

Ω0 )

De a modulus transzformációs

◦ (Ψ−1 ◦ Φ) = (f ◦ Φ)modg (Φ) Ω ,

tehát az (f ◦ Ψ)modg (Ψ) függvény pontosan integrálható a Dom(Ψ) halmazon a µm szerint, ha az (f ◦ Φ)modg (Φ) Ω : Ω → F függvény integrálható az Ω halmazon a µm szerint. Ez utóbbi állítás viszont az ((f ◦ Φ)modg (Φ))◦ = ((f ◦ Φ)modg (Φ) Ω )◦ miatt azzal ekvivalens, hogy az (f ◦ Φ)modg (Φ) : Dom(Φ) → F függvény integrálható a Dom(Φ) halmazon a µm szerint. Tehát az (f ◦ Ψ)modg (Ψ) és (f ◦ Φ)modg (Φ) függvények µm szerinti integrálhatósága ekvivalens tulajdonságok, és a helyettesítéses integrálás formuláját alkalmazva kapjuk, hogy ha (f ◦Ψ)modg (Ψ) integrálható a Dom(Φ) halmazon a µm szerint, akkor Z

Z

(f ◦ Ψ)modg (Ψ) dµm = Dom(Ψ)

Z

= Ω

|det(D(Ψ−1 ◦ Φ))|. ((f ◦ Ψ)modg (Ψ)|Ω0 ) ◦ (Ψ−1 ◦ Φ) dµm = Z

=

Z

((f ◦ Φ)modg (Φ)) |Ω dµm = Ω

teljesül. 

((f ◦ Ψ)modg (Ψ)) |Ω0 dµm = Ω0

(f ◦ Φ)modg (Φ) dµm Dom(Φ)

17.5. RIEMANN-SOKASÁG PARAMÉTEREZÉSE ÁLTAL MEGHATÁROZOTT POZITÍV MÉRTÉK

17.5.

425

Riemann-sokaság paraméterezése által meghatározott pozitív mérték

17.5.1. Deníció. Legyen (M, g) m-dimenziós, Cr -osztályú Riemann-sokaság. Az M

sokaság minden Φ paraméterezésére értelmezzük az Rg,Φ ⊆ P(Im(Φ)) halmazt és a µg,Φ : Rg,Φ → R+ halmazfüggvényt a következ®képpen: ¨

‚

Œ◦

χ−1

Rg,Φ := H ⊆ Im(Φ)

modg (Φ) Z

χ−1

H 7→

m

∈ LR (R , Rm , µm ) ,

Φ hHi

µg,Φ : Rg,Φ → R+ ;

« 1

modg (Φ) dµm ,

Φ hHi

Dom(Φ)

ahol ◦ a nullával való kiterjesztést jelöli Dom(Φ)-r®l Rm -re.

17.5.2. Állítás. Legyen (M, g) m-dimenziós, Cr -osztályú Riemann-sokaság.

paraméterezés az M sokaságnak, akkor a Rg,Φ halmaz δ -gy¶r¶ Im(Φ) felett, és µg,Φ mérték.

Ha Φ pozitív

Bizonyítás. Nyilvánvaló, hogy ∅ ∈ Rg,Φ . ‚Legyen (Hn )n∈NŒtetsz®leges sorozat Rg,Φ természetesen a H :=

\ n∈

N

◦

χ−1

ben. A feltevés szerint minden N 3 n-re

Φ hHn i

Hn halmazra

χ−1

= inf

modg (Φ)

Œ◦

‚

Œ◦

‚

n∈

Φ hHi

N

χ−1

modg (Φ)

Φ hHn i

‚

χ−1

teljesül. A Levi-tételb®l következik, hogy \

N

∈ LR1 (Rm , Rm , µm ), és

modg (Φ)

Œ◦

∈ LR1 (Rm , Rm , µm ), vagyis

modg (Φ)

Φ hHi

Hn ∈ Rg,Φ .

n∈

Legyenek H, H 0 ∈ Rg,Φ . Ekkor H ∩ H 0 ∈ Rg,Φ is teljesül, így a deníció szerint ‚

χ−1

Œ◦

modg (Φ)

‚

,

Œ◦

χ−1

Φ hH 0 i

Φ hHi

modg (Φ)

‚

Œ◦

χ−1

,

Φ hH∩H 0 i

modg (Φ)

függvények integrálhatók Rm -en a µm szerint. Ugyanakkor nyilvánvalóan ‚

Œ◦

χ−1

Φ hH∪H 0 i

modg (Φ)

‚

χ−1

Φ hH\H 0 i

‚‚

χ−1

= sup

Œ◦ ‚

modg (Φ)

Φ hHi

Œ◦

modg (Φ)

‚

= χ−1

Φ hHi

Œ◦

modg (Φ)

, χ−1

Œ◦ Œ

Φ hH 0 i

modg (Φ)

‚

− χ−1

Φ hH∩H 0 i

,

Œ◦

modg (Φ)

,

426

17. RIEMANN-SOKASÁGOK ÉS FELÜLETI MÉRTÉKEK

következésképpen H ∪ H 0 , H \ H 0 ∈ Rg,Φ . Ezzel megmutattuk, hogy a Rg,Φ halmaz δ -gy¶r¶. A µg,Φ : Rg,Φ → R+ halmazfüggvény σ -additivitásának bizonyításához legyen (Hk )k∈N [ tetsz®leges olyan diszjunkt sorozat Rg,Φ -ben, amelyre H := Hk ∈ Rg,Φ . A feltevés

N

k∈

!◦

χ−1

szerint minden N 3 k -ra diszjunktsága folytán ∞ X

!◦

χ−1

modg (Φ)

Φ hHk i

k=0

∈ LR1 (Rm , Rm , µm ), és a (Hk )k∈N rendszer

modg (Φ)

Φ hHk i

Œ◦

‚

= χ−1

∈ LR1 (Rm , Rm , µm ).

modg (Φ)

Φ hHi

Ezért a Levi-tétel és a µg,Φ deníciója alapján

µg,Φ

[

N

!

∞ Z X k=0

Rm

Z ‚

χ−1

Hk =

k∈

=

Z Dom(Φ)

modg (Φ) dµm =

Φ hHi

!◦

χ−1

R

m

dµm =

modg (Φ)

Φ hHk i

∞ X

Z

k=0 Dom(Φ)

=

∞ X

Œ◦

χ−1

modg (Φ)

χ−1

modg (Φ) dµm =

dµm =

Φ hHi

Φ hHk i

µg,Φ (Hk )

k=0

teljesül, vagyis a µg,Φ halmazfüggvény σ -additív. 

17.5.3. Lemma. (Szétvágási lemma) Legyen (M, g) m-dimenziós, Cr -osztályú Rie-

mann-sokaság és Φ paraméterezése M -nek. Ha H ∈ Rg,Φ és Ψ paraméterezése M -nek, akkor H ∩ Im(Ψ) ∈ Rg,Φ ∩ Rg,Ψ . Bizonyítás. (I) El®ször megmutatjuk, hogy ha F tetsz®leges Banach-tér és f ∈ LF1 (Rm , Rm , µm ), akkor minden Ω ⊆ Rm nyílt halmazra χΩ .f ∈ LF1 (Rm , Rm , µm ). Legyen ugyanis (Kn )n∈N olyan halmazsorozat, hogy minden n ∈ N esetén Kn ⊆ Rm [ kompakt halmaz, Kn ⊆ Kn+1 és Ω = Kn . Létezik olyan (ϕn )n∈N függvénysorozat,

N

n∈

hogy minden N 3 n-re ϕn : Rm → R kompakt tartójú foyltonos függvény, 0 ≤ ϕn ≤ 1, supp(ϕn ) ⊆ Ω és Kn ⊆ [ϕn = 1]. Ekkor n ∈ N esetén a ϕn függvény µm -mérhet®, tehát f ∈ LF1 (Rm , RZm , µm ) esetén a ϕn .f : Rm → F függvény is µm -mérhet®, továbbá

kϕn .f k ≤ kf k, és

∗

kf kdµm < +∞, ezért az integrálhatóság kritériuma szerint ϕn .f ∈ LF1 (Rm , Rm , µm ). Természetesen χΩ .f = lim (ϕn .f ), ezért a Lebesgue-tétel n→∞ alkalmazásával kapjuk, hogy χΩ .f ∈ LF1 (Rm , Rm , µm ). (II) Legyen H ∈ Rg,Φ és Ψ paraméterezése M -nek. Ekkor H ⊆ Im(Φ), ezért −1

−1

−1

−1

ΦhH ∩ Im(Ψ)i = ΦhIm(Φ) ∩ Im(Ψ) ∩ Hi = ΦhIm(Φ) ∩ Im(Ψ)i ∩ ΦhHi,

427

17.6. RIEMANN-SOKASÁG FELÜLETI MÉRTÉKE

amib®l következik, hogy Œ◦

‚

χ−1

modg (Φ)

Φ hH∩Im(Ψ)i

‚

= χ−1

Φ hIm(Φ)∩Im(Ψ)i

χ−1

Œ◦

modg (Φ)

,

Φ hHi

−1

és a jobb oldalon álló függvény az (I) alapjánŒ µm -integrálható, mert a ΦhIm(Φ) ∩ ‚ ◦

χ−1

Im(Ψ)i ⊆ Rm halmaz nyílt és

∈ LR1 (Rm , Rm , µm ). Ez azt jelenti,

modg (Φ)

Φ hHi

hogy H ∩ Im(Ψ) ∈ Rg,Φ . Ugyanakkor a χ−1 ”

—

: M → R függvényre teljesül az,

Φ hH∩Im(Ψ)i

hogy χH∩Im(Ψ) 6= 0 ⊆ Im(Φ) ∩ Im(Ψ), ezért a €€

Š

Š◦

χH∩Im(Ψ) ◦ Φ modg (Φ)

Œ◦

‚

= χ−1

modg (Φ)

Φ hH∩Im(Ψ)i

∈ LR1 (Rm , Rm , µm )

kijelentés ekvivalens azzal, hogy €€

Š

Š◦

χH∩Im(Ψ) ◦ Ψ modg (Ψ)

Œ◦

‚

= χ−1

modg (Ψ)

Ψ hH∩Im(Ψ)i

‚

Az imént láttuk, hogy Œ◦

‚

χ−1

modg (Ψ)

Ψ hH∩Im(Ψ)i

χ−1

∈ LR1 (Rm , Rm , µm ).

Œ◦

modg (Φ)

Φ hH∩Im(Ψ)i

∈LR1 (Rm , Rm , µm ), következésképpen

∈ LR1 (Rm , Rm , µm ) is teljesül, ami éppen azt jelenti, hogy

H ∩ Im(Ψ) ∈ Rg,Ψ . 

17.5.4. Következmény. Legyen (M, g) m-dimenziós, Cr -osztályú Riemann-sokaság és

Φ paraméterezése M -nek. Ha H ⊆ Im(Φ) és létezik M -nek olyan Ψ paraméterezése, hogy H ∈ Rg,Ψ , akkor H ∈ Rg,Φ .

Bizonyítás. A szétvágási lemma szerint H = H ∩ Im(Φ) ∈ Rg,Ψ ∩ Rg,Φ . 

17.6.

Riemann-sokaság felületi mértéke

17.6.1. Jelölés. Legyen (M, g) m-dimenziós, Cr -osztályú Riemann-sokaság és jelölje

Par(M ) az M paraméterezéseinek halmazát. Az Sg ⊆ P(M ) halmazt a következ®képpen értelmezzük [ Sg := Rg,Φ , Φ∈Par(M )

valamint Rg jelöli az Sg által generált halmazgy¶r¶t.

428

17. RIEMANN-SOKASÁGOK ÉS FELÜLETI MÉRTÉKEK

17.6.2. Állítás. Ha (M, g) m-dimenziós, Cr -osztályú Riemann-sokaság, akkor Sg fél-

gy¶r¶ M felett, és létezik egyetlen olyan

µg : Rg → R+ pozitív mérték, hogy az M minden Φ paraméterezésére

µg Rg,Φ = µg,Φ . Bizonyítás. Tegyük fel, hogy H1 , H2 ∈ Sg , és legyenek Φ1 , Φ2 olyan paraméterezései M -nek, hogy H1 ∈ Rg,Φ1 és H2 ∈ Rg,Φ2 . A szétvágási lemmából következik, hogy H1 ∩ Im(Φ2 ) ∈ Rg,Φ2 . Ugyanakkor H2 ∈ Rg,Φ2 és Rg,Φ2 halmazgy¶r¶, ezért H2 ⊆ Im(Φ2 ) és a szétvágási lemma alapján

H1 ∩ H2 = H1 ∩ (H2 ∩ Im(Φ2 )) = (H1 ∩ Im(Φ2 )) ∩ H2 ∈ Rg,Φ2 , így H1 ∩ H2 ∈ Rg,Φ2 ⊆ Sg . Tegyük fel, hogy H1 , H2 ∈ Sg és H1 ⊆ H2 ; megmutatjuk, hogy H2 \ H1 ∈ Sg . Legyenek Φ1 és Φ2 olyan paraméterezései M -nek, hogy H1 ∈ Rg,Φ1 és H2 ∈ Rg,Φ2 . A szétvágási lemma alapján H1 ∩ Im(Φ2 ) ∈ Rg,Φ2 , ezért H1 ⊆ H2 és H1 ⊆ Im(Φ2 ) miatt

H1 = H1 ∩ H2 = H1 ∩ (H2 ∩ Im(Φ2 )) = (H1 ∩ Im(Φ2 )) ∩ H2 ∈ Rg,Φ2 , hiszen Rg,Φ2 halmazgy¶r¶. Ezért H2 \ H1 ∈ Rg,Φ2 ⊆ Sg , hiszen Rg,Φ2 halmazgy¶r¶. Ezzel megmutattuk, hogy Sg félgy¶r¶. Jelölje most Par(M ) az M sokaság paraméterezéseinek halmazát, és tekintsük a (µg,Φ )Φ∈Par(M ) mérték-rendszert. Akkor és csak akkor létezik olyan µ : Sg → R+ függvény, amelyre minden Φ ∈ Par(M ) esetén µ Rg,Φ = µg,Φ , ha minden Φ, Ψ ∈ Par(M ) és H ∈ Rg,Φ ∩ Rg,Ψ esetén µg,Φ (H) = µg,Ψ (H) teljesül (I. fejezet, 2. pont, 20. gyakorlat). Tehát legyenek Φ, Ψ ∈ Par(M ) és H ∈ Rg,Φ ∩ Rg,Ψ . Ekkor a χH : M → R függvényre [χH 6= 0] ⊆ Im(Φ) ∩ Im(Ψ) teljesül, továbbá H ∈ Rg,Φ miatt a (χH ◦ Φ)modg (Φ) függvény integrálható a Dom(Φ) halmazon a µm Lebesgue-mérték szerint, ezért a (χH ◦Ψ)modg (Ψ) függvény is integrálható a Dom(Ψ) halmazon a µm Lebesgue-mérték szerint és Z

µg,Φ (H) := Dom(Φ)

Z

= Dom(Ψ)

χ−1

Z

(χH ◦ Φ)modg (Φ) dµm =

modg (Φ) dµm =

Φ hHi

(χH ◦ Ψ)modg (Ψ) dµm =

Dom(Φ)

Z Dom(Ψ)

χ−1

modg (Ψ) dµm =: µg,Ψ (H).

Ψ hHi

Ezzel megmutattuk, hogy egyértelm¶en képezhet® az a µ : Sg → R+ függvény, amelyre minden Φ ∈ Par(M ) esetén µ Rg,Φ = µg,Φ . Állítjuk, hogy ez a µ függvény σ -additív.

429

17.7. EUKLIDÉSZI MÉRTÉK

Ehhez legyen (Hk )k∈N olyan diszjunkt rendszer Sg -ben, hogy olyan paraméterezése M -nek, hogy

[ k∈

N

[

N

Hk ∈ Sg . Legyen Φ

k∈

Hk ∈ Rg,Φ . Ha k ∈ N, akkor Hk ⊆ Im(Φ) és

Hk ∈ Sg miatt létezik az M -nek olyan Φk paraméterezése, hogy Hk ∈ Rg,Φk , így a szétvágási lemma következménye szerint Hk ∈ Rg,Φ . Ezért a µ deníciója és a µg,Φ halmazfüggvény σ -additivitása folytán µ

[

N

!

Hk = µg,Φ

k∈

[

N

!

Hk =

k∈

∞ X

µg,Φ (Hk ) =

k=0

∞ X

µ(Hk ),

k=0

tehát a µ : Sg → R+ függvény σ -additív. Ebb®l a VIII. fejezet 1. és 6. pontjának eredményei alapján kapjuk egyetlen olyan µg : Rg → R+ mérték létezését, amely µ-nek kiterjesztése. Ez a µg egyben az az egyértelm¶en meghatározott pozitív mérték, amely Rg -n értelmezett, és amelyre teljesül az, hogy az M minden Φ paraméterezésére µg Rg,Φ = µ Rg,Φ = µg,Φ .  Megjegyezzük, hogy az el®z® állítás feltételei mellett Sg olyan félgy¶r¶ M felett, amely zárt a megszámlálható metszet-képzésre nézve és zárt a halmazkülönbség-képzésre is, de általában nem zárt a véges unió-képzésre nézve, ezért Sg nem feltétlenül halmazgy¶r¶, vagyis Sg 6= Rg lehetséges. Kés®bb megmutatjuk, hogy ha (M, g) elemi Riemann-sokaság és Φ globális paraméterezése M -nek, akkor Sg = Rg,Φ = Rg . Az is könnyen bizonyítható, hogy Rg valójában δ -gy¶r¶ (4. gyakorlat), azonban Rg általában nem zárt a megszámlálható unió-képzésre nézve, vagyis Rg nem feltétlenül σ -gy¶r¶.

17.6.3. Deníció. Ha (M, g) Riemann-sokaság, akkor az el®z® állításban értelmezett µg : Rg → R+ pozitív mértéket az (M, g) Riemann-sokaságZ felületi mértékének

χM dµg ∈ R+ számot

nevezzük, továbbá, ha az M halmaz µg -integrálható, akkor az az (M, g) Riemann-sokaság felszínének nevezzük.

17.7.

M

Euklidészi mérték

Példa. (Euklidészi mértékek.)

Legyen E euklidészi tér, m := dim(E), Ω ⊆ E nyílt halmaz, és jelölje g a (·|·) skalárszorzás által meghatározott Ω feletti Riemannmetrikát. Ekkor tekinthetjük az Rg halmazgy¶r¶t és a µg felületi mértéket, amit az E skalárszorzása által meghatározott Ω feletti euklidészi mértéknek nevezünk. Az µg euklidészi mérték szoros kapcsolatban áll az Rm feletti Lebesgue-mértékkel. A pontos kapcsolat meghatározása céljából legyen u : Rm → E tetsz®leges lineáris bijekció; −1 globális paraméterezése az Ω sokaságnak. Minden p ∈ u hΩi esetén ekkor u −1 u hΩi

430 

17. RIEMANN-SOKASÁGOK ÉS FELÜLETI MÉRTÉKEK



‹‹

D u a

È

−1

u hΩi



(p) = u, ezért a modg u

‹

−1

: u hΩi → R∗+ modulus-függvény egyenl®

−1

u hΩi

det(u∗ ◦ u) érték¶ konstansfüggvénnyel. Ebb®l következik, hogy 



u hHi



modg u

È

= H ⊆ Ω χ−1

det(u∗

u hHi



‹◦



χ−1

Rg = H ⊆ Ω

= H ⊆ Ω χ−1

u hHi

és H ∈ Rg esetén

µg (H) =

−1

u hΩi



∈ LR1 (Rm , Rm , µm ) = 

m

1

◦ u) ∈ LR (R , Rm , µm ) = 

m

1

∈ LR (R , Rm , µm ) , 

È

−1

‹

det(u∗ ◦ u) · µm u hHi .

Speciálisan, ha az u : Rm → E lineáris bijekció sklárszorzás-tartó az Rm feletti euklidészi skalárszorzás és az E felett adott skalárszorzás szerint, akkor minden H ∈ Rg esetén 

‹

−1

µg (H) = µm u hHi , È

hiszen ekkor u∗ ◦u = idRm , tehát det(u∗ ◦ u) = 1. Jól látható, hogy az Rg halmazgy¶r¶ független az u operátortól, s®t még az E feletti skalárszorzástól sem függ, ezért erre a halmazgy¶r¶re az RΩ jelölést alkalmazzuk. Tehát RΩ ⊆ P(Ω) az a halmaz, amelyre H ∈ RΩ pontosan akkor teljesül, ha H ⊆ Ω és van olyan u : Rm → E lineáris bijekció, −1 amelyre az u hHi ⊆ Rm halmaz Lebesgue-integrálható (ekkor minden u : Rm → E −1 lineáris bijekcióra az u hHi ⊆ Rm halmaz Lebesgue-integrálható). Azonban a µg felületi mérték lényegesen függ az E feletti skalárszorzástól, ami a µg re imént felírt formulákból látható. A pontos összefüggés meghatározása céljából legyen (·|·)0 szintén skalárszorzás E felett, és jelölje g 0 a (·|·)0 által meghatározott Ω feletti Riemann-metrikát. Legyenek u, u0 : Rm → E olyan lineáris bijekciók, hogy u megtartja az (·|·)m és (·|·) skalárszorzásokat, valamint u0 megtartja az (·|·)m és (·|·)0 skalárszorzásokat, ahol (·|·)m az euklidészi skalárszorzás Rm felett. Ha H ∈ RΩ , akkor a helyettesítéses integrálás tételét alkalmazva az u−1 ◦ u0 : Rm → Rm C1 -dieomorzmusra és a χH ◦ u ∈ LR1 (Rm , Rm , µm ) függvényre ‚

−1 0

Œ

µg0 (H) = µm u hHi = =

Z

1 |det(u−1

◦

u0 )|

R

Rm

χH ◦ u0 dµm =

χH ◦ u dµm =

m

adódik. Ez azt jelenti, hogy teljesül.

Z

Z

Rm

1 |det(u−1

(χH ◦ u) ◦ (u−1 ◦ u0 ) dµm = −1

◦

u0 )|

µm ( u hHi)=

µg = |det(u−1 ◦ u0 )|µg0

1 |det(u−1

◦ u0 )|

µg (H)

17.8. FELÜLETI MÉRTÉK SZERINTI HELYETTESÍTÉSES INTEGRÁLÁS TÉTELE

17.8.

431

Felületi mérték szerinti helyettesítéses integrálás tétele

17.8.1. Lemma. Legyen (M, g) m-dimenziós, Cr -osztályú Riemann-sokaság és Φ pa-

raméterezése M -nek.

a) Minden K ⊆ Im(Φ) kompakt halmazra K ∈ Rg,Φ . b) Ha f : Im(Φ) → R+ kompakt tartójú folytonos függvény, akkor

f ∈ E + (Im(Φ), Rg,Φ ) ∩ LR1 (Im(Φ), Rg,Φ , µg,Φ ). c) Ha F Banach-tér és f : Im(Φ) → F véges dimenziós érték¶, kompakt tartójú folytonos függvény, akkor f ∈ LF1 (Im(Φ), Rg,Φ , µg,Φ ).

Bizonyítás. a) Ha K ⊆ Im(Φ) kompakt halmaz, akkor ‚

Œ◦

χ−1

modg (Φ)

‚

= modg (Φ)

Φ hKi

és modg (Φ)

Œ◦ −1 Φ hKi

,

−1

−1 Φ hKi

: ΦhKi→R olyan folytonos függvény, amelynek modg (Φ) folytonos −1

kiterjesztése a Dom(Φ) ⊆ Rm nyílt halmazra, és ΦhKi kompakt halmaz Rm -ben, mert Φ homeomorzmus ‚ Dom(Φ) és Im(Φ) között, tehát a X. fejezet 1. pontjának eredményeib®l Œ következik, hogy

χ−1

◦

modg (Φ)

Φ hKi

∈ LR1 (Rm , Rm , µm ), azaz K ∈ Rg,Φ .

b) Legyen f : Im(Φ) → R+ kompakt tartójú folytonos függvény, és K ⊆ Im(Φ) olyan kompakt halmaz, amelyre [f 6= 0] ⊆ K . Megmutatjuk, hogy f ∈ E + (Im(Φ), Rg,Φ ) ∩ LR1 (Im(Φ), Rg,Φ , µg,Φ ). Ehhez legyen minden N∗ 3 n-re

fn :=

n −1 n2X

k=1

k χ−1 : Im(Φ) → R+ . 2n f h[k/2n ,(k+1)/2n [i

Az (fn )n∈N∗ függvényrendszer monoton növ®, és pontonként (s®t egyenletesen) konvergál f -hez az Im(Φ) halmazon (V. fejezet, 3. pont, 8. gyakorlat), továbbá minden N∗ 3 nre [fn 6= 0] ⊆ [f 6= 0] ⊆ K . Ha minden N∗ 3 n-re fn ∈ LR1 (Im(Φ), Rg,Φ , µg,Φ ) ) is igaz volna, hiszen teljesülne, akkor a Levi-tétel alapján f ∈ LR1 (Im(Φ), Rg,Φ , µg,Φ Z ∗ χK dµg,Φ < +∞, így n ∈ N∗ esetén 0 ≤ fn ≤ f ≤ 9f 9 χK , és az el®z®ek alapján

sup kfn kµg,Φ ,1 ≤ 9f 9 µ∗g,Φ (K) < +∞. Tehát elég volna azt igazolni, hogy a, b ∈ R,

N∗

n∈

−1

0 < a < b esetén az f h[a, b[i halmaz µg,Φ -integrálható. Ez viszont így van, ha (bk )k∈N olyan számsorozat, hogy minden N 3 k -ra a < bk < b, valamint b = lim bk , akkor k→∞

−1

f h[a, b[i =

[ −1 k∈

N

f h[a, bk ]i ⊆ K,

432

17. RIEMANN-SOKASÁGOK ÉS FELÜLETI MÉRTÉKEK −1

és a K halmaz, valamint az a) alapján minden N 3 k -ra az f h[a, bk ]i halmaz is µg,Φ integrálható, hiszen ez kompakt, így a IX. fejezet 5. pontjának eredményei alapján −1

f h[a, b[i is µg,Φ -integrálható halmaz. Az is látható, hogy χ−1

f h[a,b[i

a) miatt minden k ∈ N esetén χ−1

f h[a,bk ]i

= sup χ−1

N

k∈

f h[a,bk ]i

, és az

∈ E+ (Im(Φ), Rg,Φ ). Ezért minden N 3 n-re

fn ∈ E + (Im(Φ), Rg,Φ ), így f = sup fn ∈ E + (Im(Φ), Rg,Φ ). n∈

N

c) Legyen F Banach-tér és f : Im(Φ) → F olyan folytonos függvény, amelyhez létezik olyan K ⊆ Im(Φ) kompakt halmaz, hogy [f 6= 0] ⊆ K , és az Im(f ) által generált lineáris altér véges dimenziós F -ben. Megmutatjuk, hogy f ∈ LF1 (Im(Φ), Rg,Φ , µg,Φ ). Ekkor ugyanis létezik olyan (zi )i∈I véges rendszer F -ben és létezik Im(Φ) → R+ kompakt tartójú folytonos függvényeknek olyan (fi )i∈I rendszere, hogy minden I 3 i-re [fi 6= 0] ⊆ K és X f = zi ⊗ fi . A b)-b®l következik, hogy minden I 3 i-re fi ∈ LR1 (Im(Φ), Rg,Φ , µg,Φ ), ezért

i∈I

f=

X i∈I

zi .fi ∈ F ⊗ LR1 (Im(Φ), Rg,Φ , µg,Φ ) ⊆ LF1 (Im(Φ), Rg,Φ , µg,Φ ),

amit bizonyítani kellett. 

17.8.2. Lemma. Legyen (M, g) m-dimenziós, Cr -osztályú Riemann-sokaság és Φ pa-

raméterezése M -nek.

a) Ha F Banach-tér, akkor minden f ∈ EF (Im(Φ), Rg,Φ ) esetén az (f ◦ Φ)modg (Φ) függvény integrálható a Dom(Φ) halmazon a µm Lebesgue-mérték szerint és Z

Z

f dµg,Φ = Im(Φ)

(f ◦ Φ)modg (Φ) dµm . Dom(Φ)

b) Minden f ∈ E + (Im(Φ), Rg,Φ ) függvényre Z

∗

Z

f dµg,Φ =

Im(Φ)

∗

(f ◦ Φ)modg (Φ) dµm .

Dom(Φ)

c) Minden f : Im(Φ) → R+ függvényre Z Im(Φ)

∗

Z

f dµg,Φ ≥

∗

(f ◦ Φ)modg (Φ) dµm .

Dom(Φ) −1

d) Az N ⊆ Im(Φ) halmaz pontosan akkor µg,Φ -elt¶n® halmaz, ha a ΦhN i ⊆ Dom(Φ) halmaz µm -elt¶n® halmaz.

433

17.8. FELÜLETI MÉRTÉK SZERINTI HELYETTESÍTÉSES INTEGRÁLÁS TÉTELE

Bizonyítás. a) Legyen f ∈ EF (Im(Φ), Rg,Φ ). Létezik olyan (Hi )i∈I véges rendszer Rg,Φ X ben és olyan (zi )i∈I rendszer F -ben, hogy f = zi .χHi . Ekkor az Rg,Φ halmazgy¶r¶ i∈I

deníciója alapján ◦

((f ◦ Φ)modg (Φ)) =

X i∈I

€

Š◦

zi . (χHi ◦ Φ)modg (Φ)

=

X



◦

zi . χ−1

i∈I

Φ hHi i

modg (Φ)

∈ F ⊗ LK1 (Rm , Rm , µm ) ⊆ LF1 (Rm , Rm , µm ), tehát az (f ◦ Φ)modg (Φ) függvény integrálható a Dom(Φ) halmazon a µm Lebesguemérték szerint, és a µg,Φ mérték deníciója alapján Z

f dµg,Φ =

=

X

zi .µg,Φ (Hi ) =

X

Rm

i∈I

zi .

€

Š◦

Z €

Rm

i∈I

i∈I

Im(Φ)

Z

X

!

Z

zi . (χHi ◦ Φ)modg (Φ)

dµm =

Z

=

(χHi ◦ Φ)modg (Φ)

Rm

Š◦

dµm =

((f ◦ Φ)modg (Φ))◦ dµm =

(f ◦ Φ)modg (Φ) dµm . Dom(Φ)

b) Legyen f ∈ E + (Im(Φ), Rg,Φ ), és vegyünk olyan E+ (Im(Φ), Rg,Φ )-ben haladó (fk )k∈N W monoton növ® sorozatot, amelyre f = fk . Az a) alapján minden N 3 k -ra k∈

N

((fk ◦ Φ)modg (Φ))◦ ∈ LR1 (Rm , Rm , µm ), és (((fk ◦ Φ)modg (Φ))◦ )k∈N olyan monoton növ® függvénysorozat, hogy ((f ◦ Φ)modg (Φ))◦ =

_

N

((fk ◦ Φ)modg (Φ))◦

k∈

teljesül. Így a fels® integrál monoton σ -folytonosságát és a)-t alkalmazva kapjuk, hogy Z ∗

R

(f ◦ Φ)modg (Φ) dµm =

m

= sup

R

m

Z ∗

N Rm

k∈

Z ∗ _ k∈

N

((fk ◦ Φ)modg (Φ)) dµm = Z

(fk ◦ Φ)modg (Φ) dµm = sup

N Dom(Φ)

k∈

Z

= sup

N Im(Φ)

k∈

Z

fk dµg,Φ =

∗

(fk ◦ Φ)modg (Φ) dµm = f dµg,Φ .

Im(Φ)

c) Legyen f : Im(Φ) → R+ tetsz®leges függvény. Ha h ∈ E + (Im(Φ), Rg,Φ ) olyan, hogy f ≤ h, akkor természetesen ((f ◦ Φ)modg (Φ))◦ ≤ ((h ◦ Φ)modg (Φ))◦ , ezért az a) alapján Z ∗

((f ◦ Φ)modg (Φ))◦ dµm ≤

Z ∗

((h ◦ Φ)modg (Φ))◦ dµm =

Z Im(Φ)

∗

h dµg,Φ .

434

17. RIEMANN-SOKASÁGOK ÉS FELÜLETI MÉRTÉKEK

Ebb®l következik, hogy Z ∗

((f ◦ Φ)modg (Φ))◦ dµm ≤

Z

∗

inf h∈E + (Im(Φ),Rg,Φ ); f ≤h Im(Φ)

Z

∗

h dµg,Φ =

f dµg,Φ ,

Im(Φ)

amit bizonyítani kellett. d) Legyen az N ⊆ Im(Φ) halmaz µg,Φ -elt¶n® halmaz. Ekkor a c) alapján Z

0 = µ∗g,Φ (N ) :=

∗

χN dµg,Φ ≥

Z ∗

((χN ◦ Φ)modg (Φ))◦ dµm =

Im(Φ)

Z ∗

=

((χN ◦ Φ)modg (Φ))◦ dµm ,

ezért ((χN ◦ Φ)modg (Φ))◦ = 0 az Rm -en µm -majdnem mindenütt. −1

Ugyanakkor −1

nyilvánvaló, hogy a [((χN ◦ Φ)modg (Φ))◦ 6= 0] halmaz egyenl® ΦhN i-nel, tehát a ΦhN i halmaz µm -elt¶n® halmaz. −1

Megfordítva; tegyük fel, hogy N ⊆ Im(Φ) olyan halmaz, amelyre az ΦhN i halmaz µm elt¶n® halmaz. A X. fejezet 3. pontjában megmutattuk, hogy ekkor minden R∗+ 3 ε-hoz −1

van olyan Ωε ⊆ Rm nyílt halmaz, hogy ΦhN i ⊆ Ωε és µ∗m (Ωε ) < ε. A Dom(Φ) halmaz −1

nyílt Rm -ben és ΦhN i ⊆ Dom(Φ), ezért ε ∈ R∗+ esetén az Ωε ⊆ Rm nyílt halmaz −1

megválasztható úgy, hogy ΦhN i ⊆ Ωε ⊆ Dom(Φ) és µ∗m (Ωε ) < ε. Ekkor fennáll a

χN (modg (Φ)) ◦ Φ−1

≤

‚

χΦhΩ

εi

=

(modg (Φ)) ◦ Φ−1

Œ

χΩ

ε

modg (Φ)

◦ Φ−1

függvény-egyenl®tlenség Im(Φ)-n, következésképpen Z

∗

‚

Œ

χN

‚‚

∗

dµg,Φ ≤

(modg (Φ)) ◦ Φ−1

Im(Φ)

Z

Œ

χΩ

modg (Φ)

Im(Φ)

Œ −1

ε

◦Φ

dµg,Φ .

Ebb®l látható, hogy ha teljesülnének a Z

∗

‚‚

=

Z ∗

Rm

egyenl®ségek, akkor

−1

ε

modg (Φ)

Im(Φ)

Œ

Œ

χΩ

Z

Œ ε

modg (Φ)

Im(Φ)

‚‚‚‚

χΩ

∗

‚

◦Φ

Œ

◦Φ

−1

Œ

dµg,Φ = Œ◦

◦ Φ modg (Φ)

χN (modg (Φ)) ◦ Φ−1

dµm = µ∗m (Ωε )

Œ

dµg,Φ < ε

17.8. FELÜLETI MÉRTÉK SZERINTI HELYETTESÍTÉSES INTEGRÁLÁS TÉTELE

435

χN

adódna (minden ε ∈ R∗+ esetén), vagyis

= 0 teljesülne Im(Φ)-n µg,Φ (modg (Φ)) ◦ Φ−1 majdnem mindenütt, tehát az N halmaz µg,Φ -elt¶n® halmaz lenne. Tehát elég azt ‚ χΩ Œ igazolni, hogy ha Ω ⊆ Im(Φ) nyílt halmaz, akkor az f := ◦ Φ−1 : Im(Φ) → modg (Φ) R+ függvényre Z Z ∗

f dµg,Φ =

Im(Φ)

∗

Rm

((f ◦ Φ)modg (Φ))◦ dµm

teljesül. Ennek bizonyításához legyen (ϕk )k∈N olyan függvénysorozat, hogy minden N 3 k -ra ϕk : Rm → R kompakt tartójú folytonos függvény, és 0 ≤ ϕk‚≤ ϕk+1 ≤Œ1, ϕk ◦ supp(ϕk ) ⊆ Ω, valamint χΩ = sup ϕk . Legyen minden k ∈ N esetén fk := modg (Φ) k∈N Φ−1 . Ekkor k ∈ N esetén fk : Im(Φ) → R kompakt tartójú folytonos függvény, és az (fk )k∈N függvénysorozat monoton növ®, valamint f = sup fk az Im(Φ) halmazon. A µg,Φ szerinti fels® integrál monoton σ -folytonossága miatt Z

∗

Z

f dµg,Φ = sup

∗

N Im(Φ)

k∈

Im(Φ)

k∈

N

fk dµg,Φ .

Az el®z® lemma b) pontja szerint k ∈ N esetén fk ∈ E + (Im(Φ), µg,Φ ), tehát a b) alapján Z

∗

fk dµg,Φ =

Im(Φ)

Z ∗

Rm

((fk ◦ Φ)modg (Φ))◦ dµm .

Ugyanakkor k ∈ N esetén ((fk ◦ Φ)modg (Φ))◦ = ϕk , valamint ((f ◦ Φ)modg (Φ))◦ = χΩ , tehát a µm szerinti fels® integrál monoton σ -folytonossága következtében Z

∗

f dµg,Φ = sup

Z ∗

N Rm

k∈

Im(Φ)

=

Z ∗

Rm

χΩ dµm =

ϕk dµm =

Z ∗

Rm

Z ∗‚

Rm

Œ

sup ϕk dµm = k∈

N

((f ◦ Φ)modg (Φ))◦ dµm ,

amit bizonyítani kellett.  Most bebizonyítjuk a X. fejezet 3. pontjában igazolt helyettesítéses integrálás tételének természetes általánosítását (5. gyakorlat).

17.8.3. Tétel. (Felületi mérték szerinti helyettesítéses integrálás tétele) Legyen

(M, g) m-dimenziós, Cr -osztályú Riemann-sokaság, Φ paraméterezése M -nek és F Banach-tér. Ha f : Im(Φ) → F tetsz®leges függvény, akkor f ∈ LF1 (Im(Φ), Rg,Φ , µg,Φ )

436

17. RIEMANN-SOKASÁGOK ÉS FELÜLETI MÉRTÉKEK

ekvivalens azzal, hogy az (f ◦ Φ)modg (Φ) függvény integrálható a Dom(Φ) halmazon a µm Lebesgue-mérték szerint. Ha f ∈ LF1 (Im(Φ), Rg,Φ , µg,Φ ), akkor Z

Z

f dµg,Φ = Im(Φ)

(f ◦ Φ)modg (Φ) dµm . Dom(Φ)

Bizonyítás. (I) Tegyük fel, hogy f ∈ LF1 (Im(Φ), Rg,Φ , µg,Φ ). EF (Im(Φ), Rg,Φ )-ben haladó (fk )k∈N sorozat, hogy Z

∗

lim

k→∞ Im(Φ)

kf − fk k dµg,Φ = 0.

Z

Ekkor természetesen

Z

f dµg,Φ = lim

k→∞ Im(Φ)

Im(Φ)

Ekkor létezik olyan

fk dµg,Φ is teljesül. Az el®z® lemma a) és

c) pontja szerint minden k ∈ N esetén ((fk ◦ Φ)modg (Φ))◦ ∈ LF1 (Rm , Rm , µm ), és Z

∗

kf − fk k dµg,Φ ≥

Im(Φ)

=

Z ∗

Rm

Z ∗

Rm

((kf − fk k ◦ Φ)modg (Φ))◦ dµm =

k((f ◦ Φ)modg (Φ))◦ − ((fk ◦ Φ)modg (Φ))◦ k dµm ,

következésképpen

lim

Z ∗

k→∞

Rm

k((f ◦ Φ)modg (Φ))◦ − ((fk ◦ Φ)modg (Φ))◦ k dµm = 0.

Ebb®l kapjuk, hogy ((f ◦ Φ)modg (Φ))◦ ∈ LF1 (Rm , Rm , µm ), vagyis az (f ◦ Φ)modg (Φ) függvény integrálható a Dom(Φ) halmazon a µm szerint és Z

Z

(f ◦ Φ)modg (Φ) dµm = Dom(Φ)

Z

= lim

k→∞

R

Rm

((f ◦ Φ)modg (Φ))◦ dµm = Z

◦

((fk ◦ Φ)modg (Φ)) dµm = lim

m

Z

= lim

k→∞ Im(Φ)

k→∞ Dom(Φ)

(fk ◦ Φ)modg (Φ) dµm =

Z

fk dµg,Φ =

f dµg,Φ . Im(Φ)

(II) Tegyük fel, hogy az (f ◦ Φ)modg (Φ) függvény integrálható a Dom(Φ) halmazon a µm szerint, azaz ((f ◦ Φ)modg (Φ))◦ ∈ LF1 (Rm , Rm , µm ); megmutatjuk, hogy f ∈ LF1 (Im(Φ), Rg,Φ , µg,Φ ). A sima függvényekkel p-edik hatványon való approximáció tételének X. fejezet 3. pontjában bizonyított következménye alapján van olyan (gk )k∈N

17.8. FELÜLETI MÉRTÉK SZERINTI HELYETTESÍTÉSES INTEGRÁLÁS TÉTELE

437

függvénysorozat, hogy minden N 3 k -ra gk : Dom(Φ) → F véges dimenziós érték¶, C∞ osztályú, és van olyan Ck ⊆ Rm kompakt halmaz, hogy [gk 6= 0] ⊆ Ck , valamint fennáll a Z ∗ kgk◦ − ((f ◦ Φ)modg (Φ))◦ k dµm = 0 lim k→∞

Rm

egyenl®ség. Minden N 3 k -ra értelmezzük az ‚

fk :=

Œ

gk ◦ Φ−1 : Im(Φ) → F modg (Φ)

függvényt; világos, hogy ez folytonos, véges dimenziós érték¶, és kompakt tartójú, következésképpen µg,Φ -integrálható. Továbbá, k ∈ N esetén gk = (fk ◦ Φ)modg (Φ), tehát Z ∗ lim k ((fk ◦ Φ)modg (Φ))◦ − ((f ◦ Φ)modg (Φ))◦ k dµm = 0. k→∞

Rm

Ebb®l látható, hogy az (((fk ◦ Φ)modg (Φ))◦ )k∈N függvénysorozat Cauchy-sorozat az LF1 (Rm , Rm , µm ) függvénytérben a k · kµm ,1 félnorma szerint. Továbbá, j, k ∈ N esetén kfj − fk k : Im(Φ) → R+ kompakt tartójú folytonos függvény, így kfj − fk k ∈ E + (Im(Φ), µg,Φ ), tehát Z

∗

kfj − fk k dµg,Φ =

Im(Φ)

=

Z ∗

Rm

Z ∗

Rm

((kfj − fk k ◦ Φ) modg (Φ))◦ dµm =

k ((fj ◦ Φ)modg (Φ))◦ − ((fk ◦ Φ)modg (Φ))◦ k dµm .

Ezért az (fk )k∈N függvénysorozat Cauchy-sorozat LF1 (Im(Φ), Rg,Φ , µg,Φ )-ben a k · kµg,Φ ,1 félnorma szerint. A Riesz-Fischer tételb®l következik, olyan f 0 ∈ LF1 (Im(Φ), Rg,Φ , µg,Φ ) létezése, hogy az (fk )k∈N függvénysorozat konvergál f 0 -höz a k · kµg,Φ ,1 félnorma szerint, továbbá létezik olyan σ : N → N szigorúan monoton növ® függvény, hogy az (fσ(j) )j∈N részsorozat konvergál f 0 -höz az Im(Φ) halmazon µg,Φ -majdnem mindenütt. Legyen N azon x ∈ Im(Φ) pontok halmaza, amelyekre az (fσ(j) (x))j∈N vektorsorozat nem konvergál F -ben f 0 (x)-hez; ekkor µ∗g,Φ (N ) = 0, tehát az el®z® lemma d) pontja szerint −1

m az ΦhN i ⊆ halmaz. Az N halmaz és σ függvény deníciója €€ R halmaz µm -elt¶n® Š◦ Š szerint az (fσ(j) ◦ Φ)modg (Φ) j∈N függvénysorozat konvergál az ((f 0 ◦ Φ)modg (Φ))◦ −1

függvényhet az Rm \Š ΦhN i halmazon, tehát µm -majdnem mindenütt. Ugyanakkor az €€ ◦Š (fσ(j) ◦ Φ)modg (Φ) j∈N függvénysorozat konvergál az ((f ◦ Φ)modg (Φ))◦ függvényhez a k · kµm ,1 félnorma szerint, tehát ismét a Riesz-Fischer tételt alkalmazva kapjuk olyan σ 0 : €€ Š◦ Š N → N indexsorozat létezését, hogy az (fσ(σ0 (j)) ◦ Φ)modg (Φ) j∈N függvénysorozat Rm -en µm -majdnem mindenütt konvergál ((f ◦ Φ)modg (Φ))◦ -hoz. Ebb®l következik,

438

17. RIEMANN-SOKASÁGOK ÉS FELÜLETI MÉRTÉKEK

hogy az ((f 0 ◦ Φ)modg (Φ))◦ és ((f ◦ Φ)modg (Φ))◦ függvények µm -majdnem mindenütt egyenl®ek, ami azt jelenti, hogy a H := [((f 0 ◦ Φ)modg (Φ))◦ 6= ((f ◦ Φ)modg (Φ))◦ ] −1

halmaz µm -elt¶n® halmaz. Nyilvánvaló, hogy H ⊆ Dom(Φ) és H = Φh[f 0 6= f ]i, tehát az el®z® lemma d) pontja szerint a ΦhHi = [f 0 6= f ] halmaz µg,Φ -elt¶n® halmaz. Ez azt jelenti, hogy f 0 = f az Im(Φ) halmazon µg,Φ -majdnem mindenütt, tehát az is teljesül, hogy f ∈ LF1 (Im(Φ), Rg,Φ , µg,Φ ), hiszen f 0 ∈ LF1 (Im(Φ), Rg,Φ , µg,Φ ) az f 0 megválasztása miatt igaz. 

17.9.

A felületi mérték szerinti integrálhatóság elemi kritériuma

17.9.1. Tétel. (A felületi mérték szerinti integrálhatóság elemi kritériuma)

Legyen (M, g) m-dimenziós, Cr -osztályú elemi Riemann-sokaság. Az M sokaság minden Φ globális paraméterezésére Rg,Φ = Sg = Rg és µg,Φ = µg . Továbbá, ha F Banach-tér és f : M → F függvény, akkor a következ® állítások ekvivalensek. (i)

f ∈ LF1 (M, Rg , µg ).

(ii) Az M minden Φ globális paraméterezésére az (f ◦ Φ)modg (Φ) függvény integrálható a Dom(Φ) halmazon a µm Lebesgue-mérték szerint. (iii) Az M -nek létezik olyan Φ globális paraméterezése, amelyre az (f ◦ Φ)modg (Φ) függvény integrálható a Dom(Φ) halmazon a µm Lebesgue-mérték szerint.

Ha F Banach-tér, f ∈ LF1 (M, Rg , µg ) és Φ globális paraméterezése M -nek, akkor Z

Z

f dµg = M

(f ◦ Φ)modg (Φ) dµm . Dom(Φ)

Bizonyítás. Legyen Φ globális paraméterezése M -nek; ekkor a deníció szerint Rg,Φ ⊆ Sg ⊆ Rg . Legyen H ∈ Rg ; ekkor a félgy¶r¶ által generált halmazgy¶r¶ jellemzési tétele alapján létezik az M sokaság paraméterezéseinek olyan (Φi )i∈I véges rendszere, és [ létezik olyan (Hi )i∈I halmazrendszer, hogy H = Hi és minden I 3 i-re Hi ∈ Rg,Φi . A i∈I

szétvágási lemma szerint minden i ∈ I esetén Hi ∩ Im(Φ) ∈ Rg,Φ , és Rg,Φ halmazgy¶r¶, [ ezért H = H ∩ Im(Φ) = (Hi ∩ Im(Φ)) ∈ Rg,Φ , így Rg ⊆ Rg,Φ is teljesül. Ebb®l i∈I

következik, hogy Rg,Φ = Sg = Rg , tehát a µg deníciója szerint µg = µg Ezért az (i)⇒(ii) és (iii)⇒(i) implikációk, valamint az Z

= µg,Φ .

Z

f dµg = M

Rg,Φ

(f ◦ Φ)modg (Φ) dµm Dom(Φ)

egyenl®ség (ahol f ∈ LF1 (M, Rg , µg ) és Φ globális paraméterezése M -nek) közvetlenül adódik a felületi mérték szerinti helyettesítéses integrálás tételéb®l. A (ii)⇒(iii)

17.9. A FELÜLETI MÉRTÉK SZERINTI INTEGRÁLHATÓSÁG ELEMI KRITÉRIUMA

439

következtetés nyilvánvalóan helyes, mert M elemi sokaság, tehát M -nek létezik globális paraméterezése. 

17.9.2. Lemma. Legyen (M, g) Riemann-sokaság és Φ paraméterezése M -nek. Minden f : M → R+ függvényre

Z ∗

Z

χIm(Φ) f dµg =

M

∗

f |Im(Φ) dµg,Φ .

Im(Φ)

Bizonyítás. (I) El®ször mgmutatjuk, hogy ha F Banach-tér és f ∈ EF (M, Rg ), akkor az M minden Φ paraméterezésére χIm(Φ) f ∈ EF (M, Rg ) és f |Im(Φ) ∈ EF (Im(Φ), Rg,Φ ), valamint Z Z χIm(Φ) f dµg = f |Im(Φ) dµg,Φ . M

Im(Φ)

Valóban, létezik olyan (Hi )i∈I véges rendszer Sg -ben, és olyan (zi )i∈I olyan rendszer X (zi .χHi ). Létezik az M paraméterezéseinek olyan (Φi )i∈I rendszere, F -ben, hogy f = i∈I

hogy minden I 3 i-re Hi ∈ Rg,Φi . Ha Φ paraméterezése M -nek, akkor a szétvágási lemma alapján minden i ∈ I esetén Hi ∩ Im(Φ) ∈ Rg,Φ ⊆ Rg , ezért

χIm(Φ) f =

X i∈I

zi .χHi ∩Im(Φ) ∈ EF (M, Rg ),

valamint

f |Im(Φ) =

X i∈I

(zi .χHi )|Im(Φ) =

X i∈I

zi .χHi ∩Im(Φ) |Im(Φ) ∈ EF (Im(Φ), Rg,Φ ),

továbbá az elemi integrál deníciója alapján Z

Z

X

M

i∈I

f |Im(Φ) dµg,Φ = Im(Φ)

=

X

Z

zi .µg,Φ (Hi ∩ Im(Φ))=

i∈I

!

zi .χHi ∩Im(Φ) dµg = X

Im(Φ) i∈I

X

zi .µg (Hi ∩ Im(Φ)) =

i∈I

zi .χHi ∩Im(Φ) |Im(Φ) dµg,Φ =

Z

f |Im(Φ) dµg,Φ ,

Im(Φ)

amint azt állítottuk. Ebb®l az is következik, hogy ha f ∈ E+ (M, Rg ), akkor χIm(Φ) f ∈ E+ (M, Rg ) és f |Im(Φ) ∈ E+ (Im(Φ), Rg,Φ ), valamint Z ∗ M

χIm(Φ) f dµg =

Z

χIm(Φ) f dµg =

M

Z

Z

f |Im(Φ) dµg,Φ = Im(Φ)

∗

f |Im(Φ) dµg,Φ .

Im(Φ)

(II) Legyen most f ∈ E + (M, Rg ), és vegyünk olyan monoton növ® (ϕn )n∈N sorozatot W E+ (M, Rg )-ben, hogy f = ϕn . Legyen Φ rögzített paraméterezése M -nek. Az (I) n∈

N

440

17. RIEMANN-SOKASÁGOK ÉS FELÜLETI MÉRTÉKEK

alapján minden n ∈ N esetén χIm(Φ) ϕn ∈ E+ (M, Rg ), ϕn |Im(Φ) ∈ E+ (Im(Φ), Rg,Φ ), és Z ∗

Z

χIm(Φ) f dµg =

M

és f |Im(Φ) =

∗

f |Im(Φ) dµg,Φ . Nyilvánvaló továbbá, hogy χIm(Φ) f =

Im(Φ) W € n∈

Z ∗

Š

W €

N

n∈

χIm(Φ) ϕn

Š

ϕn |Im(Φ) , ezért

N

χIm(Φ) f dµg = sup

Z ∗

NM

n∈

M

Z

χIm(Φ) ϕn dµg = sup n∈

Z

∗

=

∗

NIm(Φ)

ϕn |Im(Φ) dµg,Φ =

f |Im(Φ) dµg,Φ .

Im(Φ)

(III) Legyen f : M → R+ tetsz®leges függvény. Ha h ∈ E + (M, Rg ) olyan függvény, hogy χIm(Φ) f ≤ h, akkor nyilvánvalóan f |Im(Φ) ≤ h|Im(Φ) , és a (II) alapján Z

∗

Z

∗

f |Im(Φ) dµg,Φ ≤

Im(Φ)

Z ∗

h|Im(Φ) dµg,Φ =

χIm(Φ) h dµg ≤

M

Im(Φ)

Z ∗

h dµg ,

M

következésképpen Z

∗

f |Im(Φ) dµg,Φ ≤

Im(Φ)

vagyis fennáll az

Z

∗

inf

Z ∗

h∈E + (M,Rg ) χIm(Φ) f ≤h M

f |Im(Φ) dµg,Φ ≤

h dµg =:

Z ∗

χIm(Φ) f dµg ,

M

Z ∗

χIm(Φ) f dµg

M

Im(Φ)

egyenl®tlenség. Ez triviálisan teljesül akkor is, ha nem létezik olyan h ∈ E + (M, Rg ), hogy χIm(Φ) f ≤ h, hiszen akkor a jobb oldalon (a deníció szerint) +∞ áll. Megfordítva, legyen h ∈ E + (Im(Φ), Rg,Φ ) olyan függvény, hogy f |Im(Φ) ≤ h. Ekkor € Š◦ χIm(Φ) f = f |Im(Φ) ≤ h◦ , ahol ◦ a 0-val vett kiterjesztést jelöli Im(Φ)-r®l M -re. Triviális az, hogy h◦ ∈ E + (M, Rg ), és h◦ = χIm(Φ) h◦ , valamint (h◦ ) |Im(Φ) = h, ezért a (II) alapján Z ∗

χIm(Φ) f dµg ≤

M

Z ∗ M

Z

=

∗

Z ∗

h◦ dµg =

χIm(Φ) h◦ dµg =

M

Z

(h◦ ) |Im(Φ) dµg,Φ =

Im(Φ)

∗

h dµg,Φ ,

Im(Φ)

következésképpen Z ∗ M

χIm(Φ) f dµg ≤

Z

inf h∈E + (Im(Φ),Rg,Φ ); f |Im(Φ) ≤h Im(Φ)

∗

Z

h dµg,Φ =: Im(Φ)

∗

f |Im(Φ) dµg,Φ ,

17.9. A FELÜLETI MÉRTÉK SZERINTI INTEGRÁLHATÓSÁG ELEMI KRITÉRIUMA

vagyis fennáll az

Z ∗

χIm(Φ) f dµg ≤

M

Z

∗

441

f |Im(Φ) dµg,Φ

Im(Φ)

egyenl®tlenség. Ez nyilván teljesül akkor is, ha nem létezik olyan h ∈ E + (Im(Φ), Rg,Φ ), hogy f |Im(Φ) ≤ h, hiszen akkor a jobb oldalon (a deníció szerint) +∞ áll. 

17.9.3. Állítás. Legyen (M, g) m-dimenziós, Cr -osztályú Riemann-sokaság és F Banach-tér. Ha f : M → F függvény és Φ paraméterezése M -nek, akkor a következ® állítások ekvivalensek. (i) χIm(Φ) f ∈ LF1 (M, Rg , µg ). (ii) f |Im(Φ) ∈ LF1 (Im(Φ), Rg,Φ , µg,Φ ). (iii) (f ◦ Φ)modg (Φ) integrálható a Dom(Φ) halmazon a µm Lebesgue-mérték szerint.

Ha az (i), (ii) és (iii) állítások közül valamelyik teljesül, akkor fennállnak a következ® egyenl®ségek: Z

Z

χIm(Φ) f dµg =

M

Z

f |Im(Φ) dµg,Φ = Im(Φ)

(f ◦ Φ)modg (Φ) dµm . Dom(Φ)

Bizonyítás. A felületi mérték szerinti helyettesítéses integrálás tétele alapján a (ii) és (iii) állítások ekvivalensek. (i)⇒(ii) Tegyük fel, hogy χIm(Φ) f ∈ LF1 (M, Rg , µg ). Létezik olyan (fk )k∈N sorozat EF (M, Rg )-ben, hogy fennáll a Z ∗

lim

k→∞

kχIm(Φ) f − fk k dµg = 0

M

egyenl®ség. Minden N 3 k -ra

kχIm(Φ) f − fk k ≥ χIm(Φ) kχIm(Φ) f − fk k = kχIm(Φ) f − χIm(Φ) fk k = χIm(Φ) kf − fk k, tehát az el®z® lemma szerint Z ∗

Z ∗

kχIm(Φ) f − fk k dµg ≥

M

χIm(Φ) kf − fk k dµg =

M

Z ∗

kf |Im(Φ) − fk |Im(Φ) k dµg ,

M

amib®l következik, hogy

lim

k→∞

Z ∗ M

kf |Im(Φ) − fk |Im(Φ) k dµg = 0.

442

17. RIEMANN-SOKASÁGOK ÉS FELÜLETI MÉRTÉKEK

Az el®z® lemma bizonyításának (I) része alapján nyilvánvaló, hogy minden k ∈ N esetén χIm(Φ) fk ∈ EF (M, Rg ) és fk |Im(Φ) ∈ EF (Im(Φ), Rg,Φ ), valamint Z

Z

χIm(Φ) fk dµg =

M

fk |Im(Φ) dµg,Φ . Im(Φ)

Ezért f |Im(Φ) ∈ LF1 (Im(Φ), Rg,Φ , µg,Φ ) és Z

Z

f |Im(Φ) dµg,Φ = lim

k→∞ Im(Φ)

Im(Φ)

Z

= lim

k→∞

χIm(Φ) fk dµg =

M

Z

fk |Im(Φ) dµg,Φ = χIm(Φ) f dµg .

M

(ii)⇒(i) Tegyük fel, hogy f |Im(Φ) ∈ EF (Im(Φ), Rg,Φ )-ben, hogy fennáll a

LF1 (Im(Φ), Rg,Φ , µg,Φ ).

Van olyan (fk )k∈N sorozat

Z

lim

k→∞ Im(Φ)

kf |Im(Φ) − fk k dµg,Φ = 0

egyenl®ség. Minden N 3 k -ra fk = (fk )◦ |Im(Φ) , ahol ◦ a 0-val vett kiterjesztést jelöli Im(Φ)-r®l M -re. Ezért az el®z® lemma alapján minden k ∈ N esetén Z

∗

Z

kf |Im(Φ) − fk k dµg,Φ =

Im(Φ)

∗

kf |Im(Φ) − (fk )◦ |Im(Φ) k dµg,Φ =

Im(Φ)

Z

∗

=

kf −

fk◦ kIm)Φ)

=

χIm(Φ) kf − fk◦ k dµg =

M

Im(Φ)

Z ∗

dµg,Φ =

Z ∗

kχIm(Φ) f − χIm(Φ) fk◦ k dµg =

M

Z ∗

kχIm(Φ) f − fk◦ k dµg ,

M

amib®l következik, hogy

lim

k→∞

Z ∗

kχIm(Φ) f − fk◦ k dµg = 0.

M

Triviális, hogy k ∈ N esetén fk◦ ∈ EF (M, Rg ), ezért χIm(Φ) f ∈ LF1 (M, Rg , µg ). 

17.9.4. Következmény. Legyen (M, g) m-dimenziós, Cr -osztályú Riemann-sokaság és

F Banach-tér. Ha f : M → F függvény és Φ olyan paraméterezése M -nek, hogy [f 6= 0] ⊆ Im(Φ), akkor a következ® állítások ekvivalensek. (i)

f ∈ LF1 (M, Rg , µg ).

443

17.9. A FELÜLETI MÉRTÉK SZERINTI INTEGRÁLHATÓSÁG ELEMI KRITÉRIUMA

(ii) f |Im(Φ) ∈ LF1 (Im(Φ), Rg,Φ , µg,Φ ). (iii) (f ◦ Φ)modg (Φ) integrálható a Dom(Φ) halmazon a µm Lebesgue-mérték szerint.

Ha az (i), (ii) és (iii) állítások közül valamelyik teljesül, akkor fennállnak a következ® egyenl®ségek: Z

Z

Z

f dµg = M

f |Im(Φ) dµg,Φ = Im(Φ)

(f ◦ Φ)modg (Φ) dµm . Dom(Φ)

Bizonyítás. Az [f 6= 0] ⊆ Im(Φ) feltétel alapján f = χIm(Φ) f , ezért az állítás nyilvánvalóan következik az el®z®b®l. 

17.9.5. Következmény. Legyen (M, g) m-dimenziós, Cr -osztályú Riemann-sokaság, F

Banach-tér és f ∈ LF1 (M, Rg , µg ). Ekkor az M minden Φ paraméterezésére χIm(Φ) f ∈ LF1 (M, Rg , µg ) és f |Im(Φ) ∈ LF1 (Im(Φ), Rg,Φ , µg,Φ ) teljesül, valamint Z

χIm(Φ) f dµg =

M

Z

f |Im(Φ) dµg,Φ , Im(Φ)

és fennáll a

Z

sup Φ∈Par(M ) Im(Φ)

∗



f |Im(Φ)

dµg,Φ < +∞

egyenl®tlenség, ahol Par(M ) az M sokaság paraméterezéseinek halmaza. Bizonyítás. Legyen f ∈ LF1 (M, Rg , µg ) és Φ az M -nek paraméterezése. Létezik olyan (Ck )k∈N halmazsorozat, hogy minden N 3 k -ra Ck ⊆ Dom(Φ) kompakt halmaz, Ck ⊆ [ Ck+1 és Dom(Φ) = Ck . Ekkor (ΦhCk i)k∈N olyan halmazsorozat, hogy minden k ∈ N

N

k∈

esetén ΦhCk i ⊆ Im(Φ) kompakt halmaz, ΦhCk i ⊆ ΦhCk+1 i, valamint Im(Φ) =

[

N

ΦhCk i.

k∈

Ha k ∈ N, akkor ΦhCk i ∈ Rg,Φ ⊆ Rg , így χΦhCk i ∈ ER (M, Rg ). Az f ∈ LF1 (M, Rg , µg ) feltételb®l következik, hogy minden N 3 k -ra χΦhCk i f ∈ LF1 (M, Rg , µg ), továbbá   természetesen χIm(Φ) f = lim χΦhC i f teljesül az M halmazon pontonként. Azonkívül, k→∞

k

k ∈ N esetén kχΦhCk i f k ≤ kf k az M halmazon mindenütt és

Z ∗

kf k dµg < +∞.

M

Ezért a Lebesgue-tétel alkalmazásával χIm(Φ) f ∈ LF1 (M, Rg , µg ) adódik, és az el®z® állítás alapján kapjuk, hogy f |Im(Φ) ∈ Z

LF1 (Im(Φ), Rg,Φ , µg,Φ ),

valamint

Z

M

f |Im(Φ) dµg,Φ . Ugyanakkor

Im(Φ)

Z

sup Φ∈Par(M ) Im(Φ)

∗



f |Im(Φ)

dµg,Φ =

sup Φ∈Par(M )

Z ∗ M

χIm(Φ) kf k dµg ≤

χIm(Φ) f dµg =

444

17. RIEMANN-SOKASÁGOK ÉS FELÜLETI MÉRTÉKEK

≤

Z ∗

kf k dµg < +∞

M

is teljesül. 

17.10.

A felületi mérték szerinti integrálhatóság kritériuma

17.10.1. Tétel. (A felületi mérték szerinti integrálhatóság kritériuma) Legyen

(M, g) m-dimenziós, Cr -osztályú Riemann-sokaság és F Banach-tér. Minden f : M → F függvényre az f ∈ LF1 (M, Rg , µg ) kijelentés ekvivalens azzal, hogy létezik az M paraméterezéseinek olyan (Φk )k∈N sorozata és létezik olyan (Hk )k∈N diszjunkt halmazsorozat, hogy teljesülnek a következ®k: a) minden N 3 k -ra Hk ∈ Rg,Φk ; b) minden N 3 k -ra χHk f |Im(Φk ) ∈ LF1 (Im(Φk ), Rg,Φk , µg,Φk ) (vagy ami ugyanaz: a χ−1 .(f ◦ Φk )modg (Φk ) függvény integrálható a Dom(Φk ) halmazon a µm LebesgueΦ k hHk i

mérték szerint); c)

∞ X

Z

k=0 Im(Φ ) k

d) [f 6= 0] ⊆

χH

k

[ k∈

N



f |Im(Φk )

dµg,Φk < +∞;

Hk .

Ha f ∈ LF1 (M, Rg , µg ) és (Φk )k∈N az M paraméterezéseinek olyan sorozata és (Hk )k∈N olyan diszjunkt halmazsorozat, amelyekre a), b), c) és d) teljesül, akkor a Z

X

N

k∈

€

Š

χH f |Im(Φk ) dµg,Φk k

Im(Φk )

sor abszolút konvergens F -ben és Z

f dµg = M

∞ X

Z

k=0 Im(Φ ) k

Bizonyítás. El®ször tegyük fel, hogy f ∈

€

Š

χH f |Im(Φk ) dµg,Φk . k

LF1 (M, Rg , µg ).

Ekkor

Z ∗

kf k dµg < +∞, ezért

M

létezik olyan (Hn0 )n∈N diszjunkt halmazsorozat Rg -ben, hogy [f 6= 0] ⊆

[

N

Hn0 . Minden

n∈

0 )i∈In véges diszjunkt rendszer Sg -ben, hogy Hn0 = N 3 n-hez van olyan (Hn,i

[ i∈In

0 Hn,i .

Az Sg deníciója alapján minden n ∈ N és i ∈ In esetén létezik M -nek olyan Φ0n,i

445

17.10. A FELÜLETI MÉRTÉK SZERINTI INTEGRÁLHATÓSÁG KRITÉRIUMA

0 paraméterezése, hogy Hn,i ∈ Rg,Φ0n,i . Vezessük be az A := {n ∈ N|In 6= ∅} jelölést. Ekkor két eset lehetséges.

[

1) Az A halmaz végtelen; ekkor az [

Legyen σ : N →

Φk := Φ0σ(k) .

({n} × In ) halmaz megszámlálhatóan végtelen.

n∈A 0 ({n} × In ) tetsz®leges bijekció, és minden N 3 k -ra Hk := Hσ(k) és

n∈A

2) Az A halmaz véges; ekkor az

[

({n} × In ) halmaz véges, így egyértelm¶en létezik

n∈A

[

olyan N ∈ N, hogy N ekvipotens az

({n} × In ) halmazzal. Legyen σ olyan N-en

n∈A

[

értelmezett függvény, hogy σ|N bijekció az N és

({n} × In ) között, továbbá minden

n∈A

0 és k ≥ N természetes számra σ(k) := ∅. Legyen minden k ∈ N esetén Hk := Hσ(k) 0 Φk := Φσ(k) , valamint minden k ≥ N természetes számra Hk := ∅ és Φk := ∅.

Mindkét esetben (Φk )k∈N és (Hk )k∈N olyan rendszerek, hogy minden N 3 k -ra Φk paraméterezése [ M -nek, Hk ∈ Rg,Φk , és a (Hk )k∈N halmazrendszer diszjunkt, valamint [f 6= 0] ⊆ Hk . Az el®z® állításból tudjuk, hogy minden k ∈ N esetén k∈

N

f |Im(Φk ) ∈ LF1 (Im(Φk ), Rg,Φk , µg,Φk ), ezért χHk ∈ ER (Im(Φk ), Rg,Φk ) miatt teljesül .(f ◦ Φk )modg (Φk ) az, hogy χHk f |Im(Φk ) ∈ LF1 (Im(Φk ), Rg,Φk , µg,Φk ), vagyis a χ−1 Φ k hHk i

függvény integrálható a Dom(Φk ) halmazon µm szerint. Ha k ∈ N, akkor χHk ∈ ER (M, Rg ) és f ∈ LF1 (M, Rg , µg ) miatt χHk f ∈ LF1 (M, Rg , µg ), továbbá [χHk f = 6 0] ⊆ Hk ⊆ Im(Φk ), ezért Z

Z

χH kf k dµg = k

M

χH kf |Im(Φk ) k dµg,Φk , k

Im(Φk )

így minden N 3 n-re a (Hk )k∈N halmazrendszer diszjunktságát kihasználva n−1 X

Z

k=0 Im(Φ ) k

Z

= M

χH kf |Im(Φk ) k dµg,Φk = k n−1 X k=0

!

χH kf k k

n−1 X Z k=0 M

χH kf k dµg = k

Z

dµg ≤

kf k dµg < +∞, M

tehát (iii) is teljesül. Megfordítva; tegyük fel, hogy (Φk )k∈N és (Hk )k∈N olyan rendszerek, amelyekre a), b), c) és d) teljesül. A (Hk )k∈N rendszer diszjunktsága és a d) alapján f =

∞ € X

k=0

Š

χH f . Minden k

k ∈ N esetén a χHk f : M → F függvény olyan, hogy [χHk f 6= 0] ⊆ Hk ⊆ Im(Φk ), és

446

17. RIEMANN-SOKASÁGOK ÉS FELÜLETI MÉRTÉKEK

a b) alapján (χHk f )|Im(Φk ) = χHk f |Im(Φk ) ∈ LF1 (Im(Φk ), Rg,Φk , µg,Φk ), következésképpen χH f ∈ LF1 (M, Rg , µg ) és k

Z

χH f dµg = k

M

Z

(χHk f )|Im(Φk ) dµg,Φk .

Im(Φk )

Ha n ∈ N∗ , akkor Z ∗

f

−

k=0

M

=

n−1 X

χH f

dµg k

∞ Z ∗ X k=n M

=

Z ∗ ∞

X



M

k=n

χH f

dµg k

χH kf |Im(Φk ) k dµg,Φk = k

∞ Z X k=n M

≤

∞ Z ∗ X k=n M

χH kf k dµg = k

χH kf |Im(Φk ) k dµg,Φk , k

és a c) szerint fennáll a

lim n→∞

∞ X

Z

χH

k

k=n Im(Φ ) k



f |Im(Φk )

dµg,Φk = 0

egyenl®ség. Ebb®l következik, hogy f ∈ LF1 (M, Rg , µg ) és a

∞ € X k∈

N

χH f k

Š

függvénysor

f -hez konvergál LF1 (M, Rg , µg )-ben a k · kµg ,1 félnorma szerint. Ezért Z

f dµg = X k∈ ∗

n ∈ N esetén

Z

€

k=0 Im(Φ ) k

M

is teljesül. Végül, a

∞ X

Z

N Im(Φk )

€

Š

χH f |Im(Φk ) dµg,Φk sor abszolút konvergens F -ben, mert k



Z

€ Š

χH f |Im(Φk ) dµg,Φk

k

k=0 Im(Φ ) k

n−1 X

=

n−1 X Z k=0 M

Š

χH f |Im(Φk ) dµg,Φk k

χH kf k dµg = k

Z M

n−1 X k=0

≤

Z

n−1 X

k=0 Im(Φ ) k

χH kf |Im(Φk ) k dµg,Φk = k

!

χH kf k k

Z

dµg ≤

kf k dµg < +∞ M

teljesül. 

17.10.2. Állítás. Legyen (M, g) m-dimenziós, Cr -osztályú Riemann-sokaság és (Φk )k∈N az M paraméterezéseinek olyan sorozata, hogy az (Im(Φk ))k∈N halmazrendszer diszjunkt,

17.10. A FELÜLETI MÉRTÉK SZERINTI INTEGRÁLHATÓSÁG KRITÉRIUMA

és az M \

[

N

447

Im(Φk ) halmaz µg -elt¶n® halmaz. Legyen F Banach-tér és f : M → F

k∈

függvény. Ekkor f ∈ LF1 (M, Rg , µg ) ekvivalens azzal, hogy minden N 3 k -ra f |Im(Φk ) ∈ LF1 (Im(Φk ), Rg,Φk , µg,Φk ) (vagy ami ezzel ekvivalens: az (f ◦ Φk )modg (Φk ) függvény integrálható a Dom(Φk ) halmazon a µm Lebesgue-mérték szerint) és ∞ X

Z



f |Im(Φk )

dµg,Φk < +∞.

k=0 Im(Φ ) k

Ha f ∈ LF1 (M, Rg , µg ), akkor a

k∈

és

N Im(Φk )

Z

f dµg = M

Z

X

∞ X

f |Im(Φk ) dµg,Φk sor abszolút konvergens F -ben Z

f |Im(Φk ) dµg,Φk .

k=0 Im(Φ ) k

Bizonyítás. Legyen f ∈ LF1 (M, Rg , µg ). Tudjuk, hogy ekkor az M minden Φ paraméterezésére f |Im(Φ) ∈ LF1 (Im(Φ), Rg,Im(Φ) , µg,Im(Φ) ), χIm(Φ) f ∈ LF1 (M, Rg , µg ), valamint Z Z χIm(Φ) f dµg = f |Im(Φ) µg,Im(Φ) , következésképpen minden N 3 k -ra f |Im(Φk ) ∈ M

Im(Φ)

LF1 (Im(Φk ), Rg,Im(Φk ) , µg,Im(Φk ) ), Z

χIm(Φ ) f ∈ LF1 (M, Rg , µg ), valamint k

Z

χIm(Φ ) f dµg = k

M

f |Im(Φk ) µg,Im(Φk ) . Ezért, és az (Im(Φk ))k∈N halmazrendszer diszjunktsága folytán

Im(Φk )

minden N∗ 3 n-re n−1 X

Z

∗

kf |Im(Φk ) k dµg,Φk =

k=0 Im(Φ ) k

=

n−1 X Z k=0 M

tehát

∞ X

Z

∗

kχIm(Φk ) f k dµg =

n−1 X

Z

kf |Im(Φk ) k dµg,Φk =

k=0 Im(Φ ) k

Z M

n−1 X k=0

!

χIm(Φ ) kf k k

Z

dµg ≤

kf k dµg , M

kf |Im(Φk ) k dµg,Φk < +∞.

k=0 Im(Φ ) k

Megfordítva, tegyük fel, hogy minden N3k -ra f |Im(Φk ) ∈ LF1 (Im(Φk ), Rg,Φk , µg,Φk ) és ∞ X

Z

k=0 Im(Φ ) k

és f =



f |Im(Φk )

∞ X k=0

dµg,Φk < +∞. Ekkor minden N 3 k -ra χIm(Φk ) f ∈ LF1 (M, Rg , µg )

χIm(Φ ) f az M halmazon µg -majdnem mindenütt, mert az (Im(Φk ))k∈N k

448

17. RIEMANN-SOKASÁGOK ÉS FELÜLETI MÉRTÉKEK

halmazrendszer diszjunkt és az M \

N

Im(Φk ) halmaz µg -elt¶n® halmaz. Minden n ∈ N∗

k∈

esetén

ezért ha

[



n−1

X χ

f

Im(Φk )

Z ∗

=

k=0

n−1 X k=0

kχIm(Φk ) f k ≤ kf k,

kf k dµg < +∞ teljesülne, akkor a Lebesgue-tétel alapján kapnánk, hogy

M

f ∈ LF1 (M, Rg , µg ). Ez viszont így van, mert a megszámlálható konvexitás tétele alapján Z ∗ M

Z ∗ X ∞

kf k dµg =

k

k=0

M

=

∞ X

χIm(Φ ) f k dµg ≤ k

Z

∗



f |Im(Φk )

∞ Z ∗ X k=0 M

χIm(Φ ) kf k dµg = k

dµg,Φk < +∞,

k=0 Im(Φ ) k

amivel a bizonyítást befejeztük. 

17.10.3. Állítás. Ha (M, g) Riemann-sokaság és F Banach-tér, akkor minden f : M → F kompakt tartójú folytonos függvényre f ∈ LF1 (M, Rg , µg ) teljesül, továbbá az M → F kompakt tartójú, végesdimenziós érték¶, folytonos függvények halmaza s¶r¶ LF1 (M, Rg , µg )-ben a k · kµg ,1 mérték szerint.

Bizonyítás. El®ször megmutatjuk, hogy minden K ⊆ M kompakt halmazhoz létezik az M paraméterezéseinek olyan (Φi )i∈I véges rendszere és létezik olyan (ϕi )i∈I rendszer, hogy minden I 3 i-re ϕi : M → "R kompakt # tartójú folytonos függvény, 0 ≤ ϕi ≤ 1,

supp(ϕi ) ⊆ Im(Φi ), továbbá K ⊆

X

ϕi = 1 .

i∈I

Valóban, jelölje Par(M ) az M paraméterezéseinek halmazát; ekkor nyilvánvalóan M = [ Im(Φ), és minden Par(M ) 3 Φ-re Φ∈Par(M )

[

Dom(Φ) =

◦

H,

H⊆Dom(Φ); H kompakt ◦

továbbá, ha H ⊆ Dom(Φ) kompakt halmaz, akkor ΦhHi nyílt halmaz M -ben. Ez azt jelenti, hogy

K⊆

[

◦

ΦhHi,

Φ∈Par(M ); H⊆Dom(Φ); H kompakt

így létezik olyan (Φi )i∈I véges rendszer Par(M )-ben, és létezik olyan (Hi )i∈I rendszer, hogy minden i ∈ I esetén Hi ⊆ Dom(Φi ) kompakt halmaz és K ⊆

[

i∈I

◦

Φi hH i i. Létezik

449

17.10. A FELÜLETI MÉRTÉK SZERINTI INTEGRÁLHATÓSÁG KRITÉRIUMA ◦

olyan (Ωi )i∈I rendszer, hogy minden I 3 i-re Ωi nyílt halmaz E -ben és Φi hH i i = Ωi ∩ M . A K halmaz E -ben is kompakt és (Ωi )i∈I a K -nak nyílt befedése E -ben, ezért a Dieudonné-féle egységosztás-tétel alapján létezik olyan (ϕ0i )i∈I rendszer, hogy minden i ∈ I esetén ϕ0i : E → R kompakt tartójú C∞ -osztályú függvény, és 0 ≤ ϕ0i ≤ 1, # "

supp(ϕ0i ) ⊆ Ωi , valamint K ⊆

X

ϕ0i = 1 . Legyen minden I 3 i-re ϕi := ϕ0i |M ; ekkor

i∈I

minden i ∈ I "esetén ϕi :#M → R folytonos (s®t Cr -osztályú) függvény, és 0 ≤ ϕi ≤ 1, továbbá K ⊆

X

ϕi = 1 . Ha i ∈ I , akkor

i∈I ◦

[ϕi 6= 0] = [ϕ0i 6= 0] ∩ M ⊆ supp(ϕ0i ) ∩ M ⊆ Ωi ∩ M = Φi hH i i ⊆ Φi hHi i ⊆ Im(Φi ), és a Φi hHi i halmaz kompakt, tehát zárt M -ben, így tartalmazza a ϕi függvény M -beli tartóját, vagyis ϕi kompakt tartójú és supp(ϕi ) ⊆ Im(Φi ). Legyen f : M → F kompakt tartójú folytonos függvény, és a supp(f ) ⊆ M kompakt halmazhoz vegyük az M paraméterezéseinek olyan (Φi )i∈I véges rendszerét és vegyünk olyan (ϕi )i∈I rendszert, hogy minden I 3 i-re ϕi : M → R kompakt tartójú foly" # tonos függvény, 0 ≤ ϕi ≤ 1, supp(ϕi ) ⊆ Im(Φi ), továbbá supp(f ) ⊆

X

ϕi = 1 .

i∈I

Ekkor i ∈ I esetén [ϕi f 6= 0] ⊆ supp(ϕi ) ⊆ Im(Φi ), tehát ϕi f ∈ LF1 (M, Rg , µg ) pontosan akkor teljesül, ha (ϕi f )|Im(Φi ) ∈ LF1 (Im(Φi ), Rg,Φi , µg,Φi ), vagy ami ugyanaz: ((ϕi f ) ◦ Φi ) modg (Φi ) : Dom(Φi ) → F függvény integrálható a Dom(Φi ) halmazon a µm mérték szerint. Ha i ∈ I , akkor a ((ϕi f ) ◦ Φi ) modg (Φi ) : Dom(Φi ) → F függvény folytonos és kompakt tartójú, ezért integrálható a Dom(Φi ) halmazon a µm mérték szerint, X vagyis ϕi f ∈ LF1 (M, Rg , µg ). Ezért f = (ϕi f ) miatt f ∈ LF1 (M, Rg , µg ). i∈I ∗

Legyen f ∈ EF (M, Rg ) és ε ∈ R+ tetsz®leges. Megmutatjuk, hogy létezik olyan h : M → F kompakt tartójú, folytonos és végesdimenziós érték¶ függvény, hogy kh − f kµg ,1 < ε. Ebb®l már következik, hogy az M → F kompakt tartójú, végesdimenziós érték¶, folytonos függvények halmaza s¶r¶ LF1 (M, Rg , µg )-ben a k · kµg ,1 mérték szerint. A félgy¶r¶k által generált halmazgy¶r¶k jellemzése (VIII. fejezet, 1. pont) alapján kapjuk, hogy létezik az M paraméterezéseinek olyan (Φi )i∈I véges rendszere és olyan (Hi )i∈I diszjunkt halmazrendszer, valamint olyan (zi )i∈I rendszer F -ben, hogy minX χ den I 3 i-re Hi ∈ Rg,Φi és f = (zi ⊗ Hi ). Rögzítsünk olyan ε0 ∈ R∗+ számot, hogy ε0

X i∈I

i∈I

kzi k < ε. Ha i ∈ I , akkor az Rg,Φi deníciója alapján a χ−1

Φ i hHi i

modg (Φi ) :

Dom(Φi ) → R függvény µm -integrálható a Dom(Φi ) halmazon, ezért a sima függvényekkel p-edik hatványon való approximáció tétele (X. fejezet, 3. pont) alapján vehetünk olyan ϕi : Rm → R kompakt tartójú, C∞ -osztályú függvényt, hogy supp(ϕi ) ⊆ Dom(Φi )

450

17. RIEMANN-SOKASÁGOK ÉS FELÜLETI MÉRTÉKEK

és

Z ∗ ϕ i

Rm

‚

− χ−1

Φ i hHi

Œ◦ modg (Φi ) i

dµm < ε0 .

Minden I 3 i-re a Φi függvény homeomorzmus Dom(Φi ) és Im(Φi ) között, ezért a Œ

‚

ϕi ◦ Φ−1 i : Im(Φi ) → R modg (Φi )

függvény kompakt tartójú és folytonos (s®t Cr−1 -osztályú); jelölje ψi ennek 0-val vett kiterjesztését M -re, tehát ψi : M → R kompakt tartójú folytonos függvény. Világos, hogy i ∈ I esetén (ψi ◦ Φi )modg (Φi ) = ϕi a Dom(Φi ) halmazon. Ebb®l következik, hogy

Z ∗

X

(zi .ψi ) − f



dµg =

i∈I

M

≤

Z ∗ X kzi k ψi i∈I

=

M

X

=

X i∈I

=

X i∈I

i∈I

M



− χHi dµg =

Z

kzi k

i∈I

Z ∗

X X

(zi .ψi ) − (zi .χHi )



 ψ i

− χHi

X

dµg ≤

i∈I

kzi k

i∈I

Z ψ i



− χHi dµg =

M

 ◦ Φi modg (Φi )

dµm =

Dom(Φi )

Z

kzi k

ϕ i

€

Dom(Φi )

Z ∗ kzi k ϕ i

R

Š



− χHi ◦ Φi modg (Φi ) dµm =

‚

− χ−1

Φ i hHi

m

Œ◦ modg (Φi ) i

dµm < ε,

ahol felhasználtuk azt, hogy i ∈ I esetén ψi − χHi ∈ LR1 (M, Rg , µg ) és [ψi − χHi 6= 0] ⊆ X (zi .ψi ) : M → F kompakt tartójú, folytonos és Im(Φi ). Ez azt jelenti, hogy a h := i∈I

végesdimenziós érték¶ függvényre kh − f kµg ,1 < ε teljesül. 

17.11.

A szintfelületek kollektív paraméterezésének tétele euklidészi térre

17.11.1. Lemma. Legyen E prehilbert-tér, F Hilbert-tér, u : F → E skalárszorzás-tar-

tó (vagy ami ugyanaz: izometrikus) lineáris operátor, és n ∈ E olyan, hogy knk = 1 és Im(u) = n⊥ . Ekkor u∗ ◦ u = idF és minden E 3 e-re

kek2 = |(e|n)|2 + ku∗ (e)k2 teljesül.

17.11. A SZINTFELÜLETEK KOLLEKTÍV PARAMÉTEREZÉSÉNEK TÉTELE EUKLIDÉSZI TÉRRE

451

Bizonyítás. Az u∗ ◦u = idF egyenl®ség azonnal következik abból, hogy az u skalárszorzástartó (s®t azzal ekvivalens). Legyen e ∈ E rögzített. Ekkor (e|n)n és e−(e|n)n egymásra mer®leges vektorok E -ben, ezért

kek2 = k(e|n)n + e − (e|n)nk2 = k(e|n)nk2 + ke − (e|n)nk2 = |(e|n)|2 + ke − (e|n)nk2 . Ugyanakkor e − (e|n)n ∈ n⊥ = Im(u), ezért van olyan f ∈ F , hogy u(f ) = e − (e|n)n; ekkor

ke − (e|n)nk2 = ku(f )k2 = kf k2 = k(u∗ ◦ u)(f )k2 = ku∗ (e − (e|n)n)k2 = ku∗ (e)k2 , mert u∗ (n) = 0, hiszen n ∈ (Im(u))⊥ = Ker(u∗ ). 

17.11.2. Lemma. Legyen E euklidészi tér, z ∈ E , és α ∈ R. Ekkor az E × R → E × R;

(p, w) 7→ (p, α · (w + (z|p)))

lineáris operátor determinánsa egyenl® α-val. Bizonyítás. Az állítás nyilvánvalóan igaz, ha dim(E) ≤ 1, ezért feltesszük, hogy n := dim(E) ≥ 2. Legyen (ei )i∈n algebrai bázis E -ben, és minden i ∈ n esetén jelölje zi az z vektor i-edik komponensét ebben a bázisban. Minden i ∈ n esetén legyen fi := (ei , 0), és legyen fn := (0, 1). Ekkor az (fi )i∈n+1 rendszer algebrai bázis az E × R szorzattérben, és az E × R → E × R; (p, w) 7→ (p, α · (w + (z|p))) lineáris operátor mátrixa az (fi )i∈n+1 bázisban könnyen kiszámítható. Az eredmény a következ® (n + 1) × (n + 1)-es mátrix: 0

1 0 B B 0 1 B B · · B B · B · B B · · B B 0 @ 0 αz0 αz1

... ... ... ... ... ... ...

0 0 · · · 1 αzn−1

1

0 C 0C C ·C C ·C C, C ·C C 0C A α

amelynek determinánsa nyilvánvalóan az α szám. (Az utolsó oszlop szerint lehet kifejteni a determinánst.) 

17.11.3. Lemma. Legyen E euklidészi tér és z ∈ E . Ekkor az E → E;

p 7→ p ± (p|z).z

lineáris operátor determinánsa egyenl® az 1 ± kzk2 számmal.

452

17. RIEMANN-SOKASÁGOK ÉS FELÜLETI MÉRTÉKEK

Bizonyítás. Jelölje u± ezt a lineáris operátort. Nyilvánvalóan csak a z = 6 0 és n := dim(E) ≥ 2 eset érdekes. Legyen az (ei )i∈n−1 rendszer algebrai bázis a z ⊥ lineáris altérben, és legyen minden i ∈ n − 1 esetén fi := ei , valamint fn−1 := z . Ekkor (fi )i∈n algebrai bázis E -ben, és u± (z) = (1 ± kzk2 ) z , továbbá minden i ∈ n − 1 esetén u± (ei ) = ei . Ezért az u± lineáris operátor mátrixa az (fi )i∈n bázisban a következ® n×n-es mátrix: 1 0 1 0 ... 0 0 C B C B0 1 . . . 0 0 C B C B· · . . . · · C B C B · C, B· · . . . · C B C B· · . . . · · C B C B 0 A @0 0 . . . 1 0 0 . . . 0 1 ± kzk2 amelynek determinánsa nyilvánvalóan az 1 ± kzk2 szám. (Az utolsó oszlop szerint lehet kifejteni a determinánst.) 

17.11.4. Tétel. (A szintfelületek kollektív paraméterezésének tétele euklidészi térre) Legyen E 6= {0} euklidészi tér, h : E  R C1 -osztályú függvény, és a ∈ Dom(h) olyan pont, amelyre (Dh)(a) 6= 0. Ekkor létezik olyan δ ∈ R∗+ , és létezik a 0-nak olyan U0 nyílt környezete Rdim(E)−1 -ben, és létezik az a-nak olyan Va ⊆ Dom(h) nyílt környezete, továbbá létezik olyan Φ : U0 ×]h(a) − δ, h(a) + δ[→ Va

C1 -dieomorzmus, hogy minden w ∈]h(a) − δ, h(a) + δ[ esetén a Φ(·, w) : U0 → E parciális függvény globális dim(E) − 1 dimenziós, C1 -osztályú paraméterezése a [h = w] ∩ Va halmaznak, és minden (p, w) ∈ U0 ×]h(a) − δ, h(a) + δ[ párra det (((DΦ(·, w))(p))∗ ◦ ((DΦ(·, w))(p))) = = k(grad(h))(Φ(p, w))k2 · det (((DΦ)(p, w))∗ ◦ ((DΦ)(p, w))) , vagyis fennáll a

(modgw (Φ(·, w))) (p) = k(grad(h))(Φ(p, w))k · (modg (Φ)) (p, w) egyenl®ség, ahol w ∈]h(a) − δ, h(a) + δ[ esetén gw jelöli az E skalárszorzása által indukált Riemann-metrikát [h = w] ∩ Va felett, és g jelöli az E skalárszorzása által indukált Riemann-metrikát Va felett.

(Megjegyzés. Ha (p, w) ∈ U0 ×]h(a) − δ, h(a) + δ[, akkor nyilvánvaló, hogy ((DΦ(·, w))(p))∗ ◦ ((DΦ(·, w))(p)) : Rdim(E)−1 → Rdim(E)−1 lineáris operátor, ugyanakkor

((DΦ)(p, w))∗ ◦ ((DΦ)(p, w)) : Rdim(E) → Rdim(E)

17.11. A SZINTFELÜLETEK KOLLEKTÍV PARAMÉTEREZÉSÉNEK TÉTELE EUKLIDÉSZI TÉRRE

453

lineáris operátor, tehát itt két különböz® dimenziójú mátrix determinánsának kapcsolatáról van szó.) Bizonyítás. A (Dh)(a) 6= 0 feltétel alapján a Ker((Dh)(a)) ⊆ E lineáris altér dim(E) − 1 dimenziós; legyen u : Rdim(E)−1 → Ker((Dh)(a)) olyan lineáris bijekció, amely megtartja az Rdim(E)−1 feletti euklidészi skalárszorzást és az E feletti skalárszorzás Ker((Dh)(a)) × (grad(h))(a) Ker((Dh)(a))-ra vett lesz¶kítését. Vezessük be az n := jelölést; ekkor k(grad(h))(a)k2 a grad dierenciáloperátor deníciója alapján Im(u) = Ker((Dh)(a)) = n⊥ , továbbá ((Dh)(a))(n) = ((grad(h))(a)|n) = 1. Megjegyezzük, hogy az n vektor nem 0, mert (Dh)(a) 6= 0, azonban knk = k(grad(h))(a)k nem feltételenül egyenl® 1-gyel. Az eddigiekb®l látható, hogy az R → E; λ 7→ λ.n lineáris operátor jobbinverze a (Dh)(a) operátornak. A szintfelületek kollektív paraméterezésének bizonyítása szerint létezik anak olyan Va ⊆ Dom(h) nyílt környezete E -ben, és létezik h(a)-nak olyan Uh(a) nyílt környezete R-ben, és létezik olyan ϕ : U0 × Uh(a) → R függvény, amely C1 -osztályú, ϕ(0, h(a)) = 0, és minden U0 × Uh(a) 3 (p, w)-re a + u(p) + ϕ(p, w).n ∈ Dom(h) és h(a + u(p) + ϕ(p, w).n) = w, valamint a

Φ : U0 × Uh(a) → Va ;

(p, w) 7→ a + u(p) + ϕ(p, w).n

függvény C1 -dieomorzmus, Φ(0, h(a)) = a, és minden Uh(a) 3 w-re a Φ(·, w) : U0 → E függvény dim(E) − 1 dimenziós C1 -osztályú globális paraméterezése a [h = w] ∩ Va halmaznak (tehát a [h = w] ∩ Va halmaz dim(E) − 1 dimenziós C1 -osztályú elemi részsokasága E -nek). Értelmezzük most a

Q : Rdim(E)−1 × R → E; (p, w) 7→ u(p) + w.n0 n . Nyilvánvaló, hogy Q lineáris operátor, és Im(Q) = leképezést, ahol n0 := knk Im(u) ⊕ (R.n) = n⊥ ⊕ (R.n) = E , tehát dim(Rdim(E)−1 × R) = dim(E) miatt Q bijekció. Az is triviális, hogy Q megtartja az Rdim(E)−1 × R feletti euklidészi skalárszorzást és az E feletti skalárszorzárst. Ugyanakkor a (grad(h)) ◦ Φ : U0 × Uh(a) → R;

(p, w) 7→ (((grad(h))(a))(Φ(p, w))|n0 )

függvény folytonos, és a (0, h(a)) ponthoz a ((grad(h))(a)|n0 ) = 1/knk > 0 értéket rendeli, ezért az U0 , Uh(a) és Va környezetek megválaszthatók úgy, hogy minden U0 × Uh(a) 3 (p, w)-re (((grad(h))(a))(Φ(p, w))|n0 ) 6= 0 (s®t > 0) teljesüljön. Kissé hosszadalmas, de teljesen elemi számolás után kapjuk, hogy minden (p, w) ∈ U0 × Uh(a) esetén a Q−1 ◦ (DΦ)(p, w) : Rdim(E)−1 × R → Rdim(E)−1 × R lineáris operátor olyan, hogy minden Rdim(E)−1 × R 3 (p, w)-re €

Q

−1

‚

w − (u∗ ((grad(h))(Φ(p, w)))|p)Rdim(E)−1 ◦ (DΦ)(p, w) (p, w) = p, ((grad(h))(Φ(p, w))|n0 ) Š

Œ

,

454

17. RIEMANN-SOKASÁGOK ÉS FELÜLETI MÉRTÉKEK

ahol (·|·)Rdim(E)−1 az euklidészi skalárszorzás Rdim(E)−1 felett, és (·|·) a skalárszorzás E felett, valamint u∗ az u : Rdim(E)−1 → E lineáris operátor adjungáltja a (·|·)Rdim(E)−1 és (·|·) a skalárszorzások szerint. Ebb®l és a 17.11.2. lemmából következik, hogy minden (p, w) ∈ U0 × Uh(a) esetén €

Š

det Q−1 ◦ (DΦ)(p, w) =

1 , ((grad(h))(Φ(p, w))|n0 )

ezért a (Q−1 )∗ = Q egyenl®ség alkalmazásával €

det (((DΦ)(p, w))∗ ◦ ((DΦ)(p, w))) =

Š

= det ((DΦ)(p, w))∗ ◦ (Q−1 )∗ ◦ Q−1 ◦ ((DΦ)(p, w)) = €€

Š∗

Q−1 ◦ (DΦ)(p, w)

€

ŠŠ

€

€

◦ Q−1 ◦ (DΦ)(p, w) = det Q−1 ◦ (DΦ)(p, w) 1 = ((grad(h))(Φ(p, w))|n0 )2 adódik, ami úgy is írható, hogy 1 (modg (Φ)) (p, w) = . | ((grad(h))(Φ(p, w))|n0 ) | = det

ŠŠ2

=

Elemi számolással kapjuk, hogy minden (p, w) ∈ U0 × Uh(a) pontra és p ∈ Rdim(E)−1 vektorra (((DΦ(·, w))(p))∗ ◦ ((DΦ(·, w))(p))) (p) = (u∗ ((grad(h))(Φ(p, w)))|p)Rdim(E)−1 .u∗ ((grad(h))(Φ(p, w))) , =p+ ((grad(h))(Φ(p, w))|n0 )2 amib®l az 17.11.3. lemma szerint adódik, hogy minden (p, w) ∈ U0 × Uh(a) pontra

ku∗ ((grad(h))(Φ(p, w)))k2 . det (((DΦ(·, w))(p)) ◦ ((DΦ(·, w))(p))) = 1 + |((grad(h))(Φ(p, w))|n0 )|2 ∗

Az 17.11.1. lemmát alkalmazva az u : Rdim(E)−1 → E lineáris izometriára és az n0 egységvektorra

k(grad(h))(Φ(p, w))k2 = |((grad(h))(Φ(p, w))|n0 )|2 + ku∗ ((grad(h))(Φ(p, w)))k2 adódik minden (p, w) ∈ U0 × Uh(a) pontra, tehát ∗

det (((DΦ(·, w))(p)) ◦ ((DΦ(·, w))(p))) =



(grad(h))(Φ(p, w)) 2



,

((grad(h))(Φ(p, w))|n0 )

vagy ami ugyanaz:

(modgw (Φ(·, w))) (p) =

k(grad(h))(Φ(p, w))k = |((grad(h))(Φ(p, w))|n0 )|

= k(grad(h))(Φ(p, w))k · (modg (Φ)) (p, w), amit bizonyítani kellett. 

455

17.12. EGYSÉGOSZTÁS-TÉTEL SOKASÁGOKRA

17.12.

Egységosztás-tétel sokaságokra

17.12.1. Állítás. (Egységosztás-tétel sokaságokra) Legyen M m-dimenziós, Cr osztályú részsokasága az E véges dimenziós valós vektortérnek, K ⊆ M kompakt halmaz, [ és (Ωi )i∈I az M nyílt részhalmazainak olyan véges rendszere, hogy K ⊆ Ωi . Ekkor i∈I

r létezik olyan (ϕi )i∈I rendszer, hogy minden I 3 i-re ϕi : M →" R kompakt # tartójú C -

osztályú függvény, és 0 ≤ ϕi ≤ 1, supp(ϕi ) ⊆ Ωi , valamint K ⊆

X

ϕi = 1 és

ϕi ≤ 1

i∈I

i∈I

az M halmazon.

X

Bizonyítás. Minden r ∈ R∗+ és p ∈ Rm esetén jelölje Br (p) (illetve Br (p)) a p középpontú, r sugarú nyílt (illetve zárt) gömböt bármely rögzített Rm feletti norma szerint. (I) El®ször megmutatjuk, hogy minden a ∈ M ponthoz és Ω ⊆ M nyílt halmazhoz, a ∈ Ω esetén létezik az M sokaságnak olyan Φ paraméterezése, hogy Im(Φ) ⊆ Ω, Dom(Φ) = B1 (0) és Φ(0) = a. Ehhez el®ször vegyük az M -nek olyan Ψ paraméterezését, amelyre a ∈ Im(Ψ). Az Ω és Im(Ψ) halmazok nyíltak M -ben, ezért az Ω ∩ Im(Ψ) halmaz −1

nyílt Im(Ψ)-ben, és Ψ homeomorzmus Dom(Ψ) és Im(Ψ) között, így ΨhΩ ∩ Im(Ψ)i olyan nyílt részhalmaza Dom(Ψ)-nek Rm -ben, amelynek eleme a Ψ−1 (a) pont. Ezért −1

van olyan r ∈ R∗+ , hogy Br (Ψ−1 (a)) ⊆ ΨhΩ ∩ Im(Ψ)i. Ekkor a σ : B1 (0) → Br (Ψ−1 (a)); p 7→ r.p + Ψ−1 (a) leképezés C∞ -dieomorzmus, és könnyen látható, hogy a Φ := Ψ ◦ σ : B1 (0) → M leképezés olyan paraméterezése az M sokaságnak, hogy Im(Φ) ⊆ Ω, Dom(Φ) = B1 (0) és Φ(0) = a. (II) Most azt igazoljuk, hogy ha K ⊆ M kompakt halmaz, Ω ⊆ M nyílt halmaz és K ⊆ Ω, akkor létezik olyan ϕ : M → R kompakt tartójú Cr -osztályú függvény, hogy 0 ≤ ϕ ≤ 1, supp(ϕ) ⊆ Ω és K ⊆ [ϕ = 1]. (Ez az állításnak az a speciális esete, amikor I egy elem¶.) Természetesen feltehet®, hogy K 6= ∅. Az (I) alapján, a kiválasztási axióma alkalmazásával veszünk olyan (Φa )a∈K rendszert, hogy minden a ∈ K esetén Φa paraméterezése az MŠ sokaságnak, és Im(Φa ) ⊆ Ω, € Dom(Φa ) = B1 (0) valamint Φa (0) = a. A Φa hB1/2 (0)i a∈K halmazrendszer mindegyik [ tagja nyílt M -ben és K ⊆ Φa hB1/2 (0)i, ezért K kompaktsága miatt vehetünk olyan a∈K

A ⊆ K véges halmazt, hogy K ⊆

[ a∈A

Φa hB1/2 (0)i; ekkor K 6= ∅ miatt A 6= ∅.

A Dieudonné-féle egységosztás-tétel (X. fejezet, 1. pont) alapján a B1/2 (0) ⊆ Rm kompakt halmazhoz és a B1 (0) ⊆ Rm nyílt halmazhoz van olyan ψ : Rm → R C∞ osztályú függvény, hogy 0 ≤ ψ ≤ 1, supp(ψ) ⊆ B1 (0) és B1/2 (0) ⊆ [ψ = 1].

: Im(Φa ) → R függvény 0-val vett Minden a ∈ A esetén jelölje ϕa a ψ ◦ Φ−1 a kiterjesztését M -re. Megmutatjuk, hogy minden A 3 a-ra a ϕa függvény Cr -osztályú. Ehhez legyen Φ tetsz®leges paraméterezése az M sokaságnak; azt kell igazolni, hogy

456

17. RIEMANN-SOKASÁGOK ÉS FELÜLETI MÉRTÉKEK −1

a ϕa ◦ Φ : Dom(Φ) → R függvény Cr -osztályú. A ΦhIm(Φa )i halmaz nyílt Dom(Φ)ben, tehát Rm -ben is, és ezen a halmazon a ϕa ◦ Φ függvény egyenl® a ψ ◦ (Φ−1 a ◦ Φ) −1

−1

függvénnyel, amely Cr -osztályú, hiszen a Φ−1 a ◦ Φ : ΦhIm(Φa )i → Φ a hIm(Φ)i függvény r r C -dieomorzmus és a ψ függvény C -osztályú. Másfel®l, a supp(ψ) kompaktsága miatt a Φa hsupp(ψ)i halmaz kompakt Im(Φa )-ban, így M -ben is, következésképpen az −1

M \Φa hsupp(ψ)i halmaz nyílt M -ben. Ezért a ΦhM \Φa hsupp(ψ)ii halmaz nyílt Dom(Φ)ben, tehát Rm -ben is, és ezen a halmazon a ϕa ◦ Φ függvény azonosan 0. Ugyanakkor −1

−1

Dom(Φ) = ΦhIm(Φa )i ∪ ΦhM \ Φa hsupp(ψ)ii, ami azt jelenti, hogy a ϕa ◦ Φ függvény a deníciós tartományának bármely pontjának valamely Rm -beli környezetén egyenl® egy −1

Cr -osztályú függvénnyel, ezért Cr -osztályú. (Megjegyezzük, hogy itt a ΦhIm(Φa )i és

−1

ΦhM \ Φa hsupp(ψ)ii halmazok általában nem diszjunktak.)

Értelmezzük most a ϕ := 1 −

Q

(1 − ϕa ) : M → R függvényt, amely az el®z®ek

a∈A

alapján Cr -osztályú. Nyilvánvaló, hogy 0 ≤ ϕ ≤ 1, és ha x ∈ K , akkor van olyan a ∈ A, hogy x ∈ Φa hB1/2 (0)i, tehát Φ−1 a (x) ∈ B1/2 (0) ⊆ B1/2 (0) ⊆ [ψ = 1], vagyis −1 ϕa (x) = ψ(Φa (x)) = 1, amib®l következik, hogy ϕ(x) = 1, tehát K ⊆ [ϕ = 1]. Világos továbbá, hogy

[ϕ 6= 0] ⊆

[

[ϕa 6= 0] ⊆

a∈A

és az

[ a∈A

[ a∈A

Φa hsupp(ψ)i ⊆

[ a∈A

Im(Φa ) ⊆ Ω,

Im(Φa ) ⊆ Ω halmaz kompakt M -ben, ezért ϕ kompakt tartójú és supp(ϕ) ⊆ Ω.

Ez azt jelenti, hogy ϕ olyan függvény, amelynek a létezését állítottuk. (III) Áttérve az általános eset bizonyítására, el®ször az (I) alapján és a kiválasztási axióma alkalmazásával veszünk olyan (Φa )a∈K rendszert, hogy minden a ∈ K esetén Φa paraméterezése az M €sokaságnak, ŠDom(Φa ) = B1 (0), Φa (0) = a, és van olyan i ∈ I , hogy Im(Φa ) ⊆ Ωi . A Φa hB1/2 (0)i a∈K halmazrendszer mindegyik tagja nyílt M -ben és [ K⊆ Φa hB1/2 (0)i, ezért K kompaktsága miatt vehetünk olyan A ⊆ K véges halmazt, a∈K

hogy K ⊆

[ a∈A

Φa hB1/2 (0)i.

Legyen τ : A → I olyan függvény, hogy minden a ∈ A esetén Im(Φa ) ⊆ Ωτ (a) , és minden I 3 i-re legyen Ai := {a ∈ A|τ (a) = i}. Minden i ∈ I esetén értelmezzük az

Ui :=

[ a∈Ai

Φa hB1/2 (0)i,

Ki :=

[ a∈Ai

Φa hB1/2 (0)i

halmazokat. Világos, hogy i ∈ I esetén Ui nyílt és Ki kompakt halmaz M -ben, valamint

Ui ⊆ K i ⊆

[ a∈Ai

Φa hB1 (0)i =

[ a∈Ai

Im(Φa ) ⊆

[ a∈Ai

Ωτ (a) = Ωi ,

457

17.12. EGYSÉGOSZTÁS-TÉTEL SOKASÁGOKRA

továbbá fennállnak a [

K⊆

a∈A

Φa hB1/2 (0)i =

[ [ i∈I a∈Ai

Φa hB1/2 (0)i =

[

Ui

i∈I

összefüggések. Most i ∈ I esetén a (II) állítást alkalmazva a Ki ⊆ M kompakt és Ωi ⊆ M nyílt halmazra, választunk olyan ψi : M → R függvényt, amely kompakt tartójú, Cr -osztályú, 0 ≤ ψi ≤ 1, Ki ⊆ [[ψi = 1] és supp(ψi ) ⊆ Ωi . Ismét a (II) állítást alkalmazva a K ⊆ M kompakt és Ui ⊆ M nyílt halmazra, választunk olyan ψ : M → R függvényt, i∈I

amely kompakt tartójú, Cr -osztályú, 0 ≤ ψ ≤ 1, K ⊆ [ψ = 1] és supp(ψ) ⊆ Ha x ∈

[

[

Ui .

i∈I

Ui , akkor van olyan i ∈ I , hogy x ∈ Ui , tehát van olyan a ∈ A, hogy

i∈I

x ∈ Φa hB1/2 (0)i ⊆ Φa hB1/2 (0)i ⊆ Ki ⊆ [ψi = 1], így szükségképpen azt jelenti, hogy

[

Ui ⊆

2 X 4 ψj

X

ψj (x) > 0. Ez

j∈I

3

6= 05 teljesül.

j∈I

i∈I

Minden i ∈ I esetén legyen ϕi : M → R az a függvény, amelyre minden x ∈ M esetén 8 > > > <

ϕi (x) := > > > :

ψi (x)ψ(x) X ψj (x)

, ha x ∈

[

Uj ;

j∈I

j∈I

[

, ha x ∈ M \

0

Uj .

j∈I

Megmutatjuk, hogy a (ϕi )i∈I rendszer olyan, amelynek a létezését állítottuk. Nyilvánvaló, hogy i ∈ I esetén 0 ≤ ϕi ≤ 1, és [ϕi 6= 0] ⊆ [ψi 6= 0] ⊆ supp(ψi ) ⊆ Ωi , valamint supp(ψi ) kompakt M -ben, így zárt is M -ben, ezért supp(ϕi ) ⊆ [ supp(ψi ), vagyis ϕi kompakt tartójú és supp(ϕi ) ⊆ Ωi . Továbbá, ha x ∈ K , akkor x ∈ Ui , ezért a deníció szerint i∈I

‡ X

ϕi (x) =

i∈I

X i∈I

‘

ψi (x)ψ(x) X ψj (x)

= ψ(x) = 1,

j∈I

mert K ⊆ [ψ = 1]. Ez azt jelenti, hogy K ⊆ X

" X

#

ϕi = 1 . Nyilvánvaló továbbá, hogy

i∈I

ϕi ≤ 1 az egész M halmazon.

i∈I

Tehát csak azt kell még igazolni, hogy i ∈ I esetén a ϕi : M → R függvény Cr -osztályú,

458

17. RIEMANN-SOKASÁGOK ÉS FELÜLETI MÉRTÉKEK

vagyis az M sokaság minden Φ paraméterezésére a ϕi ◦Φ : Rm  R függvény Cr -osztályú. −1 [

A Φh

Ui i halmaz nyílt a Dom(Φ) halmazban, tehát Rm -ben is, és ezen a halmazon

i∈I

ϕi ◦ Φ =

(ψi ◦ Φ) · (ψ ◦ Φ) X , (ψj ◦ Φ) j∈I −1

ezért ezen a halmazon a ϕi ◦ Φ függvény Cr -osztályú. A ΦhM \ supp(ψ)i halmaz nyílt a Dom(Φ) halmazban, tehát Rm -ben is, és ezen a halmazon ϕi ◦ Φ = 0, ezért ezen a halmazon a ϕi ◦ Φ függvény Cr -osztályú. Ugyanakkor −1 [

Dom(ϕi ◦ Φ) = Φh

−1

Ui i ∪ ΦhM \ supp(ψ)i

i∈I

teljesül, mert supp(ψ) ⊆

[

−1 [

Ui . (Megjegyezzük, hogy a Φh

−1

Ui i és ΦhM \ supp(ψ)i

i∈I

i∈I

halmazok általában nem diszjunktak.) Ebb®l következik, hogy a ϕi ◦ Φ függvény Cr osztályú. 

17.13.

A térfogati és felületi integrálok kapcsolata: a Cavalieri-elv

17.13.1. Tétel. (A térfogati és felületi integrálok kapcsolata: a Cavalieri-elv)

Legyen E 6= {0} euklidészi tér és h : E  R olyan C1 -osztályú függvény, hogy minden a ∈ Dom(h) esetén (Dh)(a) 6= 0. Jelölje g az E skalárszorzása által indukált Riemannmetrikát a Dom(h) ⊆ E nyílt halmaz felett, és minden w ∈ Im(h) esetén jelölje gw az E skalárszorzása által indukált Riemann-metrikát a [h = w] C1 -osztályú hiperfelület felett. Ha F Banach-tér és f : Dom(h) → F µg -integrálható függvény, akkor µ1 -majdnem f minden w ∈ Im(h) számra az függvény lesz¶kítése a [h = w] szintfelületre kgrad(h)k µgw -integrálható, és az fb : R → F 8 > > <

w7→ > > :

Z [h=w]

f |[h=w] dµgw kgrad(h)k 0

ha w∈Im(h) és

f |[h=w] ∈LF1 ([h = w], Rgw , µgw ) kgrad(h)k

egyébként

függvény µ1 -integrálható, és fennáll az Z

Z

f dµg = Dom(h)

R

fb dµ1

459

17.13. A TÉRFOGATI ÉS FELÜLETI INTEGRÁLOK KAPCSOLATA: A CAVALIERI-ELV

egyenl®ség, amit (kevésbé pontosan, de szemléletesen) úgy is írhatunk, hogy Z

Z

…

Z

f dµg = Dom(h)

Im(h)

[h=w]



f |[h=w] dµgw kgrad(h)k

dµ1 (w).

Bizonyítás. (I) El®ször feltesszük, hogy az f : Dom(h) → F függvény µg -integrálható és kompakt tartójú, tehát van olyan K ⊆ Dom(h) kompakt halmaz, hogy [f 6= 0] ⊆ K . Ha a ∈ Dom(h), akkor (Dh)(a) 6= 0, így a szintfelületek kollektív paraméterezésének tétele és a kiválasztási axióma alapján létezik olyan (Ua , Wa , Va , Φa )a∈Dom(h) rendszer, hogy minden a ∈ Dom(h) esetén  Ua nyílt környezete a 0-nak Rdim(E)−1 -ben;  Wa nyílt környezete h(a)-nak R-ben;  Va ⊆ Dom(h) nyílt környezete a-nak E -ben;  Φa : Ua × Wa → Va olyan függvény, amely C1 -dieomorzmus, Φa (0, h(a)) = a, minden Wa 3 w-re a Φa (·, w) parciális függvény paraméterezése a [h = w] C1 -osztályú hiperfelületnek, Im(Φa ) = [h = w] ∩ Va , és (p, w) ∈ Ua × Wa esetén

(modgw (Φa (·, w))) (p) = k(grad(h))(Φa (p, w))k (modg (Φa )) (p, w) teljesül. Ekkor a (Va )a∈supp(f ) rendszer E -ben nyílt befedése a supp(f ) ⊆ Dom(h) kompakt [ halmaznak, tehát vehetünk olyan A ⊆ supp(f ) véges halmazt, hogy supp(f ) ⊆ Va . a∈A

Az Dieudonné-féle egységosztás-tétel (X. fejezet, 1. pont) alapján van olyan (ϕa )a∈A rendszer, hogy minden A 3 a-ra ϕa : Dom(h) → R kompakt tartójú folytonos (s®t " #

C∞ -osztályú függvény), 0 ≤ ϕa ≤ 1, supp(ϕa ) ⊆ Va , továbbá supp(f ) ⊆ Nyilvánvaló, hogy f =

X a∈A

X

a∈A

ϕa = 1 .

(ϕa f ), és minden a ∈ A esetén [ϕa f 6= 0] ⊆ supp(ϕa ) ⊆

Va = Im(Φa ), és a Φa függvény C1 -osztályú paraméterezése Dom(h)-nak, továbbá a ϕa f függvény µg -integrálható, ezért a helyettesítéses integrálása tétele alapján Z

f dµg = Dom(h)

=

X

Z

a∈A Ua ×Wa

X

Z

a∈A Dom(h)

(ϕa f ) dµg = €

Š

((ϕa f ) ◦ Φa ) modg (Φa ) d µdim(E)−1 ⊗ µ1 .

Legyen a ∈ A rögzített. Tudjuk, hogy

(((ϕa f ) ◦ Φa ) modg (Φa ))◦ ∈ LF1 (Rdim(E)−1 × R, Rdim(E)−1 ⊗ R1 , µdim(E)−1 ⊗ µ1 ),

460

17. RIEMANN-SOKASÁGOK ÉS FELÜLETI MÉRTÉKEK

ezért a Lebesgue-Fubini tétel alapján az

Na :={w∈R| (((ϕa f )◦Φa )modg (Φa ))◦ (·, w)∈L / F1 (Rdim(E)−1 , Rdim(E)−1 , µdim(E)−1 )} halmaz µ1 -elt¶n® halmaz, és ha fba jelöli azt az R → F függvényt, amelyre w ∈ R \ Na esetén Z b fa (w) := (((ϕa f ) ◦ Φa ) modg (Φa ))◦ (p, w) dµdim(E)−1 (p),

Rdim(E)−1

míg w ∈ Na esetén fba (w) := 0, akkor fba ∈ LF1 (R, R1 , µ1 ), és Z

€

Š

Z

((ϕa f ) ◦ Φa ) modg (Φa ) d µdim(E)−1 ⊗ µ1 = Ua ×Wa

R

fba dµ1 .

Ha (p, w) ∈ Ua × Wa , akkor

(((ϕa f ) ◦ Φa ) modg (Φa ))◦ (p, w) = (((ϕa f ) ◦ Φa ) modg (Φa )) (p, w) = = ((ϕa f ) ◦ Φa ) (p, w) ‚‚‚

=

Œ

(modgw (Φa (·, w))) (p) = k(grad(h))(Φa (p, w))k Œ

Œ

ϕa f ◦ Φa (·, w) modgw (Φa (·, w)) (p), kgrad(h)k

ami azt jelenti, hogy w ∈ Wa esetén ‚‚‚ ◦

(((ϕa f ) ◦ Φa ) modg (Φa )) (·, w)=

Œ

Œ

Œ◦

ϕa f ◦ Φa (·, w) modgw (Φa (·, w)) kgrad(h)k

teljesül Rdim(E)−1 -en. Ezért w ∈ Wa \ Na esetén a jobb oldalon álló függvény µdim(E)−1 integrálható és

fba (w) :=

Z

Rdim(E)−1

Z ‚‚

= Ua

(((ϕa f ) ◦ Φa ) modg (Φa ))◦ (p, w) dµdim(E)−1 (p) = Œ

Œ

ϕa f ◦ Φa (·, w) modgw (Φa (·, w)) dµdim(E)−1 = kgrad(h)k Z

= [h=w]

(ϕa f ) [h=w] dµgw , kgrad(h)k

hiszen a Φa (·, w) : Ua → E függvény paraméterezése a [h = w] C1 -osztályú hiperfelületnek, továbbá –

™

(ϕa f ) [h=w] 6= 0 ⊆ [h = w] ∩ [ϕa 6= 0] ⊆ [h = w] ∩ Va = Im(Φa (·, w)). kgrad(h)k

17.13. A TÉRFOGATI ÉS FELÜLETI INTEGRÁLOK KAPCSOLATA: A CAVALIERI-ELV

461

Ugyanakkor triviális, hogy w ∈ R \ Wa esetén (((ϕa f ) ◦ Φa )modg (Φa ))◦ (·, w) = 0 ∈ LF1 (Rdim(E)−1 , Rdim(E)−1 , µdim(E)−1 ), így w ∈ R \ Na (tehát Na ⊆ Wa ) és fba (w) = 0. Összefoglalva: ha w ∈ Na vagy w ∈ R \ Wa , akkor fba (w) = 0, és ha w ∈ Wa \ Na , akkor Z (ϕa f ) [h=w] (ϕa f ) [h=w] 1 b ∈ LF ([h = w], Rgw , µgw ) és fa (w) = dµgw . kgrad(h)k kgrad(h)k Most megmutatjuk, hogy

fb

X

=

fb

a a∈A[

mindenütt. Ehhez legyen w ∈ R \ meg: w ∈ R \

[ a∈A

a∈A

[

Wa , vagy w ∈ [

Tegyük fel, hogy w ∈ R \

fba (w) = 0, vagyis

X a∈A

a∈A

a∈A

az R \

[h=w]

a∈A

Na halmazon, tehát R-en µ1 -majdnem

Na tetsz®leges; ekkor két esetet különböztethetünk !

[

Wa \

Wa .

fba (w) = 0.

[

a∈A

!

Na .

Ekkor minden a ∈ A esetén w ∈ / Wa , így Ugyanakkor fb(w) = 0 is teljesül.

Ha ugyanis

fb(w) 6= 0, akkor az fb értelmezéséséb®l közvetlenül kapjuk, hogy w ∈ Im(h) és Z f |[h=w] f |[h=w] ∈ LF1 ([h = w], Rgw , µgw ), valamint 0 6= fb(w) := dµgw , tehát kgrad(h)k kgrad(h)k [h=w]

vehetünk olyan x ∈ [h = w] pontot, hogy f (x) 6= 0. De [f 6= 0] ⊆

[ a∈A

Va , tehát ekkor

van olyan a ∈ A, hogy x ∈ [h = w] ∩ Va . A Va = Im(Φa ) egyenl®ség miatt létezik olyan (p, w0 ) ∈ Ua × Wa , hogy x = Φ(p, w0 ), így w = h(x) = h(Φ(p, w0 )) = w0 ∈ Wa , hiszen 0 Im(Φa (·, w )) = [h = [ w0 ] ∩ Va . De w ∈ / Wa , ami ellentmondás, ami azt jelenti, hogy X b b f =0= fa az R \ Wa halmazon. a∈A

a∈A

!

[

Tegyük fel, hogy w ∈

a∈A

[

Wa \

a∈A

!

Na . Ha a ∈ A olyan, hogy w ∈ / Wa , akkor

fba (w) = 0, míg w ∈ Wa esetén w ∈ Wa \ Na , következésképpen w], Rgw , µgw ) és fba (w) =

Z [h=w]

X a∈A

fb (w) a

=

(ϕa f ) [h=w] ∈ LF1 ([h = kgrad(h)k

(ϕa f ) [h=w] dµgw . Ebb®l kapjuk, hogy kgrad(h)k

X a∈A; w∈Wa

Z

= [h=w]

fb (w) a

((

X

=

Z

a∈A; w∈Wa [h=w]

P

a∈A; w∈Wa

(ϕa f ) [h=w] dµgw = kgrad(h)k

ϕa )f )|[h=w]

kgrad(h)k

dµgw .

462

17. RIEMANN-SOKASÁGOK ÉS FELÜLETI MÉRTÉKEK

„

Ž

X

Tehát ha f =

a∈A; w∈Wa

f teljesül a [h = w] halmazon, akkor ebb®l kapjuk, hogy

ϕa

w ∈ Im(h) (mert nyilvánvalóan X a∈A

ami azt jelenti, hogy X a∈A

⊆ Im(h)) és

a∈A

valamint

f =

[

fb

=

Z

fba (w) =

[h=w]

X

fb

a∈A

a

f |[h=w] dµgw =: fb(w), kgrad(h)k !

[

az

f |[h=w] ∈ LF1 ([h = w], Rgw , µgw ), kgrad(h)k

a∈A

Wa \

[ a∈A

!

halmazon. Azt tudjuk, hogy

Na

(ϕa f ), ezért már csak azt kell igazolni, hogy a ∈ A és a ∈ / Wa esetén f = 0 a

[h = w] halmazon. Ez viszont pontosan ugyanúgy bizonyítható (indirekt módon), mint az el®z® bekezdés végén. Tehát fb =

X

a∈A

fba teljesül az R-en µ1 -majdnem mindenütt, és minden A 3 a-ra

fba ∈ LF1 (R, R1 , µ1 ), továbbá az el®z®ek alapján Z

R

fb dµ

1

=

XZ a∈A

R

fb

a

dµ1 =

X

Z

€

a∈A Ua ×Wa

Š

((ϕa f ) ◦ Φa ) modg (Φa ) d µdim(E)−1 ⊗ µ1 = Z

=

f dµg , Dom(h)

amivel az állítást bebizonyítottuk, azzal a mellékfeltétellel, hogy f kompakt tartójú. (II) Megmutatjuk, hogy ha f ∈ LR1 (Dom(h), Rg , µg ) pozitív függvény, és fe jelöli azt az R → R+ függvényt, amelyre w ∈ Im(h) esetén

fe(w)

Z

:= [h=w]

∗

f |[h=w] dµgw , kgrad(h)k

míg w ∈ R \ Im(h) esetén fe(w) := 0, akkor

Z

f dµg = Dom(h)

Z ∗

R

fe dµ1 teljesül.

A Dom(h) halmaz nyílt E -ben, ezért vehetjük az E [ kompakt részhalmazainak olyan (Kn )n∈N monoton növ® sorozatát, amelyre Dom(h) = Kn . Legyen minden N 3 n-re

N

n∈

fn = χKn f ; ez a Dom(h) → R függvény pozitív, µg -integrálható és kompakt tartójú. Az (I) alapján teljesül az, hogy minden N 3 n-re a ¨

Nn :=

(fn )|[h=w] ∈ / LR1 ([h = w], Rgw , µgw ) w ∈ Im(h) kgrad(h)k

«

17.13. A TÉRFOGATI ÉS FELÜLETI INTEGRÁLOK KAPCSOLATA: A CAVALIERI-ELV

463

halmaz R-ben µ1 -elt¶n® halmaz, és az

fbn : R → R 8 > > <

w7→ > > :

Z [h=w]

(fn )|[h=w] dµgw kgrad(h)k

, ha w∈Im(h) és

(fn )|[h=w] ∈LR1 ([h = w], Rgw , µgw ) kgrad(h)k

, egyébként

0

Z

függvény µ1 -integrálható, valamint

fn dµg = Dom(h)

Z ∗

R

fen dµ1 . Világos továbbá, hogy az

(fn )n∈N függvénysorozat monoton növ® és f = sup fn , így a Lévi-tétel alapján az (fn )n∈N n∈

N

függvénysorozat konvergál f -hez a k · kµg ,1 félnorma szerint és Z

Z

f dµg = n→∞ lim Dom(h)

Z

fn dµg = sup

fn dµg .

n→∞ Dom(h)

Dom(h)

‚

[

Œ

(fn )|[h=w] Legyen w ∈ Im(h) \ Nn rögzített. Ekkor az függvénysorozat kgrad(h)k n∈N n∈N monoton növ®, és mindegyik tagja pozitív,‚ valamint eleme LR1 ([h=w], Rgw , µgw )-nek. Œ f |[h=w] (fn )|[h=w] W = egyenl®ség, ezért a µgw által Nyilvánvalóan fennáll a kgrad(h)k n∈N kgrad(h)k generált fels® integrál monoton σ -folytonossága alapján Z

sup fbn (w) = sup n∈

N

N

n∈

(fn )|[h=w] dµgw = sup kgrad(h)k n∈N

[h=w]

Z

∗

= [h=w]

Z

∗

[h=w]

(fn )|[h=w] dµgw = kgrad(h)k

f |[h=w] dµgw =: fe(w). kgrad(h)k

Ha w ∈ R \ Im(h), akkor minden N 3 n-re fbn (w) = 0, ugyanakkor fe(w) = 0, tehát [ b e Nn halmazon (tehát sup fn (w) = f (w) ismét igaz. Ez azt jelenti, hogy az R \ n∈

N

N

µ1 -majdnem mindenütt) monoton növ® az R \

Nn halmazon. A µ1 által generált fels® integrál monoton σ -

[ n∈N

N

n

fe,

n∈

sup fb

=

(fb

és nyilvánvaló, hogy az

N függvénysorozat

n )n∈

n∈

folytonossága alapján ebb®l kapjuk, hogy Z ∗

R

fe dµ

1

=

Z ∗‚

R

Œ

sup fb n∈

N

dµ1 = sup

n

Z

N

N R

n∈

= sup n∈

Z ∗

fbn dµ1 = sup

Dom(h)

N R

n∈

Z

fn dµg = Dom(h)

Z

fb dµg ,

fbn dµ1 =

464

17. RIEMANN-SOKASÁGOK ÉS FELÜLETI MÉRTÉKEK

amit bizonyítani akartunk. (III) Legyen most f : Dom(h) → F tetsz®leges µg -integrálható függvény. A Dom(h) halmaz nyílt E -ben, ezért (ugyanúgy, mint a (II)-ben) vehetjük az E kompakt részhal[ Kn . Ismét mazainak olyan (Kn )n∈N monoton növ® sorozatát, amelyre Dom(h) =

N

n∈

legyen minden N 3 n-re fn = χKn f ; ez a Dom(h) → F függvény µg -integrálható és kompakt tartójú, továbbá kfn k ≤ kf k a Dom(h) halmazon. Továbbá, f = lim fn a Z

Dom(h) halmazon, és a hipotézis alapján

∗

n→∞

kf k dµg < +∞. Ebb®l a Lebesgue-tétel

Dom(h)

alapján következik (mellesleg közvetlenül is belátható), hogy az (fn )Zn∈N függvénysorozat Z

konvergál f -hez a k · kµg ,1 félnorma szerint és

f dµg = lim

n→∞ Dom(h)

Dom(h)

Minden n ∈ N esetén legyen ¨

Nn :=

(fn )|[h=w] w ∈ Im(h) ∈ / LF1 ([h = w], Rgw , µgw ) kgrad(h)k

fn dµg .

«

.

Ha n ∈ N, akkor fn : Dom(h) → F kompakt tartójú µg -integrálható függvény, tehát az (I) alapján az Nn halmaz R-ben µ1 -elt¶n® halmaz, és az 8 > > <

w7→ > > :

fbn : R → F Z [h=w]

(fn )|[h=w] dµgw kgrad(h)k

ha w∈Im(h) és egyébként

0

függvény µ1 -integrálható, valamint fennáll az

(fn )|[h=w] ∈LF1 ([h = w], Rgw , µgw ) kgrad(h)k

Z

Z

fn dµg = Dom(h)

következik, hogy

Z

Z

f dµg = lim

n→∞

Dom(h)

R

R

fbn dµ1 egyenl®ség. Ebb®l

fbn dµ1

is teljesül. Jelölje kfbk azt a Dom(h) → R+ leképezést, amely minden w ∈ R \ Im(h) esetén a w-hez a 0 értéket rendeli, továbbá minden Im(h) 3 w-re Z

kfbk(w) :=

∗ kf k

[h=w]

Ekkor a (II) alapján

Z ∗

R

kfbk dµ1 =

Z

[h=w]

kgrad(h)k

dµgw .

kf k dµg < +∞, mert az kf k : Dom(h) → R

Dom(h)

függvény pozitív és µg -integrálható. Ezért az N := {w ∈ R|kfbk(w) = +∞} halmaz

465

17.13. A TÉRFOGATI ÉS FELÜLETI INTEGRÁLOK KAPCSOLATA: A CAVALIERI-ELV

µ1 -elt¶n® halmaz.

!

[

‚

Œ

f |[h=w] (fn )|[h=w] Legyen w ∈ Im(h) \ N ∪ Nn rögzítve. Ekkor = lim a n→∞ kgrad(h)k kgrad(h)k n∈N [h = w] halmazon, ugyanakkor n ∈ N esetén w ∈ Im(h) \ Nn , amib®l következik, hogy (fn )|[h=w] ∈ LF1 ([h = w], Rgw , µgw ). Ezenkívül, minden N 3 n-re kgrad(h)k

(f )|

n [h=w]

kgrad(h)k

=

kfn k [h=w] kf k [h=w] ≤ , kgrad(h)k kgrad(h)k

és w ∈ Im(h) \ N miatt Z

∗ kf k

[h=w]

[h=w]

kgrad(h)k

dµgw =: kfbk(w) < +∞. ‚

f |[h=w] (fn )|[h=w] ∈LF1 ([h=w], Rgw , µgw ), és az A Lebesgue-tétel alapján kgrad(h)k kgrad(h)k f |[h=w] vénysorozat konvergál -hoz a k · kµgw ,1 félnorma szerint és kgrad(h)k Z

fb(w) :=

[h=w]

f |[h=w] dµgw = n→∞ lim kgrad(h)k

Z

[h=w]

Œ n∈

N

függ-

(fn )|[h=w] dµgw = n→∞ lim fbn (w). kgrad(h)k

Ha w ∈ R \ Im(h), akkor a deníció szerint fb(w) = 0, és minden N 3 n-re fbn (w) = 0. Ez azt jelenti, hogy az (fbn )n∈N függvénysorozat pontonként konvergál fb! hoz az R \ N ∪

[

n∈

N

Nn halmazon, tehát µ1 -majdnem mindenütt, hiszen az N ∪

n∈

halmaz µ1 -elt¶n® halmaz. Ha w ∈ Im(h) \ N ∪

[ n∈

kfbn (w)k =

N

[

N

Nn

!

Nn , akkor minden N 3 n-re

Z



[h=w]



(fn )|[h=w]

dµgw

kgrad(h)k

Z

≤ [h=w]

∗ kf k

[h=w]

kgrad(h)k

Z

≤ [h=w]

kfn k [h=w] dµgw ≤ kgrad(h)k

dµgw =: kfbk(w),

azaz kfbn (w)k ≤ kfbk(w). Ha w ∈ R \ Im(h), akkor a deníció szerint! kfbn (w)k =

0 = kfbk(w).

Ez azt jelenti, hogy kfbn k ≤ kfbk az R \

N∪

[

n∈

N

Nn

halmazon,

466

17. RIEMANN-SOKASÁGOK ÉS FELÜLETI MÉRTÉKEK

tehát µ1 -majdnem mindenütt, és láttuk, hogy

Z ∗

R

kfbk dµ1 < +∞. Ismét a Lebesgue-

tételre hivatkozva kapjuk, hogy az fb : R → F függvény µ1 -integrálható, és az (fbn )n∈N függvénysorozat konvergál fb-hoz a k · kµ1 ,1 félnorma szerint, amib®l azonnal következik, hogy Z Z Z

f dµg = lim

n→∞

Dom(h)

fbn dµ1 =

R

R

fb dµ1 ,

amit bizonyítani kellett. 

17.14.

Gyakorlatok

1. Jellemezzük a 0-dimenziós és a dim(E)-dimenziós Riemann-sokaságokat az E véges dimenziós valós vektortérben!

(Útmutatás. (I) Legyen (M, g) tetsz®leges 0-dimenziós Cr -osztályú Riemann-sokaság E ben. Ekkor M diszkrét (de nem feltétlenül zárt) részhalmaza E -nek, és minden M 3 a-ra g(a) ∈ L2 (Ta (M )2 ; R) skalárszorzás. De ha a ∈ M , akkor Ta (M ) = R0 = {0}, tehát g(a) egyenl® a {0} × {0} → R azonosan 0 függvénnyel. Megfordítva, ha M ⊆ E tetsz®leges diszkrét halmaz, és minden M 3 a-ra g(a) : {0} × {0} → R az azonosan 0 függvény, akkor az (M, g) pár 0-dimenziós Cr -osztályú Riemann-sokaság E -ben. (II) Legyen (M, g) egy dim(E)-dimenziós Cr -osztályú Riemann-sokaság E -ben. Ekkor M nyílt részhalmaza E -nek, és minden a ∈ M esetén g(a) ∈ L2 (Ta (M )2 ; R) skalárszorzás. De ha a ∈ M , akkor Ta (M ) = E , tehát g(a) ∈ L2 (E 2 ; R) skalárszorzás. Ha −1 u : Rdim(E) → E tetsz®leges lineáris bijekció, akkor a Φ := u −1 : u hM i → M u hM i függvény globális paraméterezése M -nek, ezért a

gΦ : Dom(Φ) → L2 ((Rdim(E) )2 ; R);

p 7→ g(Φ(p)) ◦ ((DΦ)(p) × (DΦ)(p))

−1

−1

függvény Cr−1 -osztályú. De Dom(Φ) = u hM i, és minden p ∈ u hM i esetén (DΦ)(p) = u, ezért az −1

u hM i → L2 ((Rdim(E) )2 ; R); €

függvény Cr−1 -osztályú. Az u×u : Rdim(E) −1

Š2

p 7→ g(Φ(p)) ◦ (u × u)

→ E 2 függvény lineáris bijekció, ezért ebb®l

következik, hogy a g ◦ u : u hM i → L2 ((Rdim(E) )2 ; R) függvény Cr−1 -osztályú, tehát a g : M → L2 ((Rdim(E) )2 ; R) függvény is Cr−1 -osztályú. Tehát azt kaptuk, hogy ha (M, g) dim(E)-dimenziós Cr -osztályú Riemann-sokaság E -ben, akkor M ⊆ E nyílt halmaz, és g : M → L2 ((Rdim(E) )2 ; R) olyan Cr−1 -osztályú függvény, hogy minden M 3 a-ra g(a) ∈ L2 ((Rdim(E) )2 ; R) skalárszorzás. Hasonlóan könnyen kapható, hogy ha M nyílt részhalmaza E -nek és g : M → L2 ((Rdim(E) )2 ; R) olyan Cr−1 -osztályú függvény, hogy

467

17.14. GYAKORLATOK

minden M 3 a-ra g(a) ∈ L2 ((Rdim(E) )2 ; R) skalárszorzás, akkor (M, g) dim(E)-dimenziós Cr -osztályú Riemann-sokaság E -ben.)

2. Legyen E euklidészi tér és m ∈ R∗+ . Képezzük az Xm± dim(E)-dimenziós, C∞ -osztályú részsokaságot R × E -ben (1. pont, 5. gyakorlat). Jelölje gE az E skalárszorzása által

meghatározott R×E feletti kanonikus Lorentz-formát, tehát gE : (R×E)×(R×E) → R az a leképezés, amelyre (p0 , p), (p00 , p0 ) ∈ R × E esetén

gE ((p0 , p), (p00 , p0 )) := −p0 p00 + (p|p0 ). ± esetén legyen g(p0 , p) a gE szimmetrikus (de nem pozitív denit) Minden (p0 , p) ∈ Xm ± 2 bilineáris funkcionál lesz¶kítése a T(p0 ,p) (Xm ) ⊆ (R × E) × (R × E) halmazra. Ekkor az ± ∞ (Xm , g) pár dim(E)-dimenziós, C -osztályú Riemann-sokaság. Mi a probléma az m = 0 esettel?

(Útmutatás. Ha (p0 , p) ∈ X0± , akkor a gE bilineáris funkcionál lesz¶kítése T(p0 ,p) (X0± )2 -re nem pozitív denit, hanem csak pozitív szemidenit, ezért a fentiek alapján értelmezett g függvény értékei nem skalárszorzások. Ezért zártuk ki az m = 0 esetet.)

3. (Absztrakt Riemann- és Lorentz-sokaságok.) Legyen (M, Ch) m-dimenziós, Cr osztályú (absztrakt) sokaság (1. pont, 9. gyakorlat). Minden g∈

Y a∈M

L2 (Ta (M, Ch)2 ; R)

függvényre és Ch 3 ϕ-re legyen

gϕ : Im(ϕ) → L2 ((Rm )2 ; R);

€

Š

x 7→ g(ϕ−1 (x)) ◦ θϕ,ϕ−1 (x) × θϕ,ϕ−1 (x) .

a) Azt mondjuk, hogy g Riemann-metrika (M, Ch) felett, ha minden a ∈ M esetén a g(a) ∈ L2 (Ta (M, Ch)2 ; R) bilineáris funkcionál skalárszorzás a Ta (M, Ch) valós mdimenziós vektortér felett, és minden ϕ ∈ Ch esetén a gϕ : Rm  L2 ((Rm )2 ; R) függvény Cr−1 -osztályú. Az (M, Ch, g) hármast m-dimenziós, Cr -osztályú (absztrakt) Riemannsokaságnak nevezzük, ha (M, Ch) m-dimenziós, Cr -osztályú sokaság és g Riemannmetrika (M, Ch) felett. b) Azt mondjuk, hogy g Lorentz-metrika (M, Ch) felett, ha minden a ∈ M esetén a g(a) ∈ L2 (Ta (M, Ch)2 ; R) bilineáris funkcionál Lorentz-forma a Ta (M, Ch) valós mdimenziós vektortér felett, vagyis létezik olyan (ti )i∈m algebrai bázis Ta (M, Ch)-ben, hogy minden j, k ∈ m esetén g(a)(tj , tk ) = Gj,k , ahol (Gj,k )(j,k)∈m×m az a diagonális mátrix, amelyre G0,0 = −1 és ha 1 ≤ j ∈ m, akkor Gj,j = +1; továbbá minden ϕ ∈ Ch esetén a gϕ : Rm  L2 ((Rm )2 ; R) függvény Cr−1 -osztályú. Az (M, Ch, g) hármast m-dimenziós, Cr -osztályú (absztrakt) Lorentz-sokaságnak nevezzük, ha (M, Ch) m-dimenziós, Cr -osztályú sokaság és g Lorentz-metrika (M, Ch) felett.

468

17. RIEMANN-SOKASÁGOK ÉS FELÜLETI MÉRTÉKEK

4. Ha (M, g) Riemann-sokaság, akkor az Rg halmazgy¶r¶ δ -gy¶r¶. (Útmutatás. Legyen (Hk )k∈N tetsz®leges sorozat Rg -ben. Minden k ∈ N esetén létezik olyan (Hk,i )i∈Ik véges halmazrendszer és az M paraméterezéseinek olyan (Φk,i )i∈Ik [ Hk,i és minden Ik 3 i-re Hk,i ∈ Rg,Φk,i . Ha k ∈ N és i ∈ I0 , rendszere, hogy Hk = i∈Ik

akkor

[

Hk ∩ H0,i = (Hk ∩ Im(Φ0,i )) ∩ H0,i =

((Hk,j ∩ Im(Φ0,i )) ∩ H0,i ) ,

j∈Ik

és a szétvágási lemma szerint minden j ∈ Ik esetén Hk,j ∩ Im(Φ0,i ) ∈ Rg,Φ0,i , amib®l következik, hogy minden Ik 3 j -re (Hk,j ∩ Im(Φ0,i )) ∩ H0,i ∈ Rg,Φ0,i , hiszen Rg,Φ0,i \ halmazgy¶r¶. Ezért i ∈ I0 esetén (Hk ∩ H0,i ) ∈ Rg,Φ0,i ⊆ Rg , mert a Rg,Φ0,i

N

k∈

halmazgy¶r¶ δ -gy¶r¶. De Rg halmazgy¶r¶, ezért ebb®l következik, hogy \

N

k∈

Hk =

\ k∈

N

!

!

\

Hk ∩ H0 =

k∈

N

„

[

Hk ∩

Ž

H0,i

=

i∈I0

[ i∈I0

\

N

!

(Hk ∩ H0,i ) ∈Rg ,

k∈

amit bizonyítani kellett.)

5. Legyenek Ω és Ω0 nyílt halmazok Rm -ben, σ : Ω → Ω0 C1 -dieomorzmus, és jelölje

g 0 az Rm feletti euklidészi skalárszorzás által meghatározott Riemann-metrikát Ω0 felett. Ekkor σ globális m-dimenziós, C1 -osztályú paraméterezése az Ω0 nyílt részsokaságnak, és modg0 (σ) = |det(Dσ)|. Továbbá, ha F Banach-tér, akkor az f : Ω0 → F függvény pontosan akkor eleme LF1 (Ω0 , RΩ0 , µΩ0 )-nek, ha az f függvény integrálható Ω0 -n a µm Lebesgue-mérték szerint; továbbá, ha f ∈ LF1 (Ω0 , RΩ0 , µΩ0 ), akkor Z

Z

f dµ Ω0

g 0 ,σ

=

f dµm . Ω0

A felületi mértékekre vonatkozó helyettesítéses integrálás tétele alapján ebb®l következik, hogy ha F Banach-tér és az f : Ω0 → F függvény integrálható Ω0 -n a µm Lebesgue-mérték szerint, akkor Z Z f dµm = (f ◦ σ)|det(Dσ)| dµm Ω0

Ω

teljesül, vagyis visszakapjuk a helyettesítéses integrálás X. fejezet 3. pontjában igazolt tételét.

6. (n-dimenziós euklidészi gömbfelszín.) Legyen n ∈ N∗ és minden r ∈ R∗+ esetén 8 <

Sr (n) := :(xk )k∈n+1 ∈ Rn+1

Ì

n X k=0

9 =

x2k = r; .

469

17.14. GYAKORLATOK

Ekkor Sr (n) C∞ -osztályú hiperfelület Rn+1 -ben és Rn+1 az euklidészi skalárszorzással ellátva Riemann-sokaság, így Sr (n) n-dimenziós kompakt Riemann-sokaság Rn+1 -ben. Számítsuk ki az Sr (n) felületi mértékét (amit µSr (n) -nel jelölünk), és mutassuk meg, hogy az Sr (n) felszíne egyenl® a n+1

π 2 2r € n+1 Š Γ 2 n

számmal. (Útmutatás. Legyen 8 <

Ì

Br (n) := : (pk )k∈n ∈ Rn

n−1 X

p2k < r

k=0

9 = ;

,

és értelmezzük a Ì

„

Φ± : Br (n) → Sr (n);

p0 , · · · , pn−1 , ± r2 −

(pk )k∈n 7→

n−1 X

Ž

p2k

k=0

leképezéseket. Könnyen látható, hogy Φ+ és Φ− paraméterezései az Sr (n) C∞ -osztályú sokaságnak, továbbá

Im(Φ± ) = { (xk )k∈n+1 ∈ Sr (n) | ± xn > 0}. Ezért Im(Φ+ ) ∩ Im(Φ− ) = ∅ és Sr (n) \ (Im(Φ+ ) ∪ Im(Φ− )) = {(xk )k∈n+1 ∈ Sr (n)|xn = 0}, ami azt jelenti, hogy az Sr (n) \ (Im(Φ+ ) ∪ Im(Φ− )) halmaz µSr (n) -elt¶n® halmaz. Ezért minden F Banach-térre és minden f ∈ LF1 (Sr (n), RSr (n) , µSr (n) ) függvényre Z

Z

€

f dµSr (n) = Sr (n)

Š

Im(Φ+ )

€

Š

f d µSr (n) |Im(Φ− ) = Im(Φ− )

Z

=

Z

f d µSr (n) |Im(Φ+ ) + Z

(f ◦ Φ+ )mod(Φ+ ) dµn + Br (n)

(f ◦ Φ− )mod(Φ− ) dµn . Br (n)

Speciálisan, az Sr (n) felszínére Z

µSr (n) (Sr (n)) :=

Z

1 dµSr (n) = Sr (n)

Z

mod(Φ+ ) dµn + Br (n)

mod(Φ− ) dµn Br (n)

teljesül. Látható, hogy a µSr (n) mérték meghatározásához szükség van a mod(Φ± ) :

470

17. RIEMANN-SOKASÁGOK ÉS FELÜLETI MÉRTÉKEK

Br (n) → R∗+ függvények kiszámítására. Ha (pk )k∈n ∈ Br (n), akkor

0

(DΦ± ) ((pk )k∈n ) =

1 0 ··· 0

B B B B B B B B B B B B± Ì B B @ r2

0 1 ··· 0

p0 −

n−1 X

p1

±Ì p2k

... ... ··· ...

r2 −

k=0

n−1 X

... p2k

1

0 0 ··· 1

C C C C C C C C C C pn−1 C C ±Ì C n−1 X C 2A 2 r − p k

k=0

k=0

((n + 1) × n-es mátrix), és

0

((DΦ± ) ((pk )k∈n ))∗ =

1

B B B B B B B B 0 B B B B B B B· · · B B B B B 0 B B @

0

...

0

r2

−

n−1 X

...

0

··· ··· ··· 0

...

1

C

C p2k C C

C C C ±Ì C C n−1 X C 2 2 r − pk C C C k=0 C C C C C C pn−1 C ±Ì C n−1 C X 2A 2 k=0

1

1

p0

±Ì

p1

pk

r −

k=0

(n × (n + 1)-es mátrix), ezért ((DΦ± ) ((pk )k∈n ))∗ (DΦ± ) ((pk )k∈n ) a következ® n × n-es

471

17.14. GYAKORLATOK

mátrix:

0

p20

B1 + n−1 X B 2 B r − p2k B B k=0 B B B B B B B p1 p0 B B n−1 X B B r2 − p2k B B k=0 B B B B B B B ··· B B B B pn−1 p0 B B n−1 B X @ 2 2

r −

pk

p0 p1 r2

−

n−1 X

... p2k

r2

−

k=0

r2 −

n−1 X

p2k

···

r2 −

pn−1 p1

k=0

n−1 X

p2k

k=0

···

n−1 X

p2k

p1 pn−1

...

k=0

r2 −

n−1 X k=0

p21

1+

1

p0 pn−1

...

··· p2n−1

1+

p2k

r2 −

k=0

n−1 X

C C C C C C C C C C C C C C C C C. C C C C C C C C C C C C C C C 2A

pk

k=0 n

Ez azt jelenti, hogy ha v ∈ Rn esetén v ⊗ v jelöli az Rn → R ; x 7→ (x|v)n v lineáris operátort (ahol (·|·)n az euklidészi skalárszorzás Rn felett), akkor minden Br (n) 3 p-re „

((DΦ± )(p))∗ ((DΦ± )(p)) = idRn +

p È r2 − kpk2n

Ž

„

⊗

p È r2 − kpk2n

Ž

,

ahol k · kn az euklidészi norma Rn felett. Nyilvánvaló, hogy v ∈ Rn esetén

det (idRn + v ⊗ v) = 1 + kvk2n , mert v 6= 0 esetén a v⊥ n − 1-dimenziós és R.v egydimenziós sajátaltere az idRn + v ⊗ v operátornak, így az 1 szám n − 1-szeres multiplicitású sajátérték, és 1 + kvk2n a v vektorthoz tartozó sajátérték. Ebb®l kapjuk, hogy minden b ∈ Br (n) esetén Ì

1+

(mod(Φ± )) (p) =

kpk2n = r2 − kpk2n

È

r2

r . − kpk2n

Tehát ha F Banach-tér, akkor egy f : Sr (n) → F függvény pontosan akkor µSr (n) integrálható, ha a   È f p ± r2 − kpk2n È Br (n) → F ; p 7→ r2 − kpk2n függvények µn -integrálhatók, továbbá, ha f ∈ LF1 (Sr (n), RSr (n) , µSr (n) ), akkor Z

f dµSr (n) = Sr (n)

472

17. RIEMANN-SOKASÁGOK ÉS FELÜLETI MÉRTÉKEK

Z

=r



f p+

È

r2 − kpk2n

È



f p−

dµn (p) + r

r2 − kpk2n

Br (n)



Z

È

Br (n)

Speciálisan:

Z

µSr (n) (Sr (n)) = 2r

È

r2

Br (n)

È

r2 − kpk2n



r2 − kpk2n

dµn (p).

1 dµn (p). − kpk2n

A σ : B1 (n) → Br (n); q 7→ rq leképezés C1 -diffeomorzmus, ezért a helyettesítéses integrálás tételét alkalmazva Z

µSr (n) (Sr (n)) = 2r

È

r2

B1 (n)

Z

1 |det ((Dσ)(q)) | dµn (q) = − kσ(q)k2n

1 rn dµn (q) 2 r 1 − kqkn

= 2r

È

B1 (n)

adódik, vagyis µSr (n) (Sr (n)) = 2rn sn , ahol Z

sn :=

1 dµn (q). 1 − kqk2n

È B1 (n)

Most a Lebesgue-Fubini tétel alkalmazásával rekurzív formulát származtatunk az (sn )n∈N∗ renszerre. El®ször a ] − π/2, π/2[→] − 1, 1[; θ 7→ sin(θ) C1 -dieomorzmussal végrehajtott helyettesítéses integrálással könnyen kapjuk, hogy Z

s1 :=

È B1 (1)

Z

1 1−

kqk21

√

dµ1 (q) = ]−1,1[

1 dµ1 (q) = π. 1 − q2

Legyen most n ∈ N∗ tetsz®leges. Ekkor a Lebesgue-Fubini tételt alkalmazva Z

sn+1 =

1 dµn+1 (q) = 1 − kqk2n+1

È B1 (n+1)

1

0 B B Z B B Ì = B B √ (n) ]−1,1[ @B 2 Z

1−qn

1 1 − qn2 −

C C C dµn ((qk )k∈n )C C dµ1 (qn ) n−1 C X 2 A

qk

k=0

adódik. Ha qn ∈] − 1, 1[, akkor a

σ : B1 (n) → B√1−q2 (n); n

z 7→

È

1 − qn2 .z

473

17.14. GYAKORLATOK

leképezés C1 -dieomorzmus és det(Dσ) = tétele alapján kapjuk, hogy Z

2 1−qn

(n)

Šn

1 − qn2 , ezért a helyettesítéses integrálás

1

Ì B√

€È

1 − qn2 −

n−1 X

dµn ((qk )k∈n ) = qk2

k=0

Z

=

(1 − qn2 )n/2

Ì B1 (n)

dµn ((zk )k∈n ) =

n−1 X

(1 − qn2 )zk2

1 − qn2 −

k=0

= (1 − qn2 )

n−1 2

Z

1

Ì B1 (n)

1−

dµn ((zk )k∈n ) =: (1 − qn2 )

n−1 X

n−1 2

sn .

zk2

k=0

Ez azt jelenti, hogy fennáll az Z

sn+1 = sn

(1 − qn2 )

n−1 2

dµ1 (qn )

]−1,1[

egyenl®ség. Ebben az integrálban helyettesítést hajtunk végre a ] − π/2, π/2[→] − 1, 1[; θ 7→ sin(θ) C1 -dieomorzmussal. A gamma-függvény deníciója (X. fejezet, 3. pont, 2. gyakorlat) szerint kapjuk, hogy

sn+1 = sn

Z

(1 −

n−1 qn2 ) 2

Z

n

dµ1 (qn ) =

]−1,1[

cos (θ) dµ1 (θ) = ]−π/2,π/2[

√

π

€

Š

n+1 € 2 Š. Γ n+2 2

Γ

Ebb®l következik, hogy n > 1 esetén €

Š!

n−1 Y √ Γ k+1 sk+1 2 Š =π π € k+2 sn = s1 s Γ k k=1 k=1 2 n−1 Y

= ππ

tehát azt kapjuk, hogy

n−1 2

Γ(1) Γ

€

n+1 2

n+1

Š

π 2 = € n+1 Š , Γ 2

n+1

π 2 µSr (n) (Sr (n)) = 2r € n+1 Š Γ 2 n

teljesül. Ebb®l természetesen speciális esetként visszakapjuk a jól ismert µSr (1) (Sr (1)) = 2πr és µSr (2) (Sr (2)) = 4πr2 formulákat.)

7. Legyen E euklidészi tér, m ∈ R∗+ és tekintsük a 2. gyakorlatban értelmezett (Xm± , g)

dim(E)-dimenziós, C∞ -osztályú Riemann-sokaságot R × E -ben. Legyen F Banach-tér

474

17. RIEMANN-SOKASÁGOK ÉS FELÜLETI MÉRTÉKEK

± és f : Xm → F függvény. ± a) f ∈ LF1 (Xm , RXm± , µXm± ) pontosan akkor teljesül, ha az



E → F;

p 7→

È

f ± kpk2 + m2 , p



È

kpk2 + m2

függvény µE -integrálható, ahol µE az E euklidészi mértéke. ± , RXm± , µXm± ), akkor b) Ha f ∈ LF1 (Xm

Z



Z

f dµXm± = m

È

kpk2 + m2

E

± Xm

È

f ± kpk2 + m2 , p



dµE (p).

8. Legyenek Ω1 és Ω2 nyílt halmazok az E euklidészi térben, F Banach-tér és h : Ω1 ∩ Ω2 → F függvény. Jelölje h1 (illetve h2 ) a h nullával vett kiterjesztését Ω1 ∩ Ω2 -r®l Ω1 -re (illetve Ω2 -re). Ekkor h1 ∈LF1 (Ω1 , RΩ1 , µΩ1 )⇔h∈LF1 (Ω1 ∩ Ω2 , RΩ1 ∩Ω2 , µΩ1 ∩Ω2 )⇔h2 ∈LF1 (Ω2 , RΩ2 , µΩ2 ), és ha h ∈ LF1 (Ω1 ∩ Ω2 , RΩ1 ∩Ω2 , µΩ1 ∩Ω2 ), akkor Z

Z

h1 dµΩ1 = Ω1

Z

h dµΩ1 ∩Ω2 = Ω1 ∩Ω2

h2 dµΩ2 Ω2

teljesül. (Útmutatás. Legyen n := dim(E) és u : Rn → E tetsz®leges lineáris bijekció. Minden f : Rn → F függvényre jelölje f ◦ az f függvény nullával vett kiterjesztését Rn re. Tudjuk, hogy h1 ∈ LF1 (Ω1 , RΩ1 , µΩ1 ) pontosan akkor teljesül, ha (h1 ◦ u)◦ ∈ LF1 (Rn , Rn , µn ), és világos, hogy (h1 ◦ u)◦ = (h ◦ u)◦ , ezért h1 ∈ LF1 (Ω1 , RΩ1 , µΩ1 ) ekvivalens azzal, hogy (h ◦ u)◦ ∈ LF1 (Rn , Rn , µn ), ami viszont éppen azt jelenti, hogy h ∈ LF1 (Ω1 ∩ Ω2 , RΩ1 ∩Ω2 , µΩ1 ∩Ω2 ). Ugyanakkor h ∈ LF1 (Ω1 ∩ Ω2 , RΩ1 ∩Ω2 , µΩ1 ∩Ω2 ) esetén Z

h dµΩ1 ∩Ω2 = Ω1 ∩Ω2

=

È

È

Z

det(u∗ ◦ u)

R

Z

det(u∗

◦ u)

Rn

(h ◦ u)◦ dµn =

(h1 ◦ u)◦ dµn =

n

Z

h1 dµΩ1 . Ω1

Az iménti érvelésben a h1 -t h2 -vel felcserélve kapjuk, hogy h2 ∈ LF1 (Ω2 , RΩ2 , µΩ2 ) ekvivalens azzal, hogy h ∈ LF1 (Ω1 ∩ Ω2 , RΩ1 ∩Ω2 , µΩ1 ∩Ω2 ), továbbá, ha h ∈ LF1 (Ω1 ∩ Ω2 , RΩ1 ∩Ω2 , µΩ1 ∩Ω2 ), akkor Z

Z

h dµΩ1 ∩Ω2 = Ω1 ∩Ω2

teljesül.)

h2 dµΩ2 Ω2

18. fejezet Nyílt halmaz reguláris határa 18.1.

A reguláris határ értelmezése és alaptulajdonságai

18.1.1. Deníció. Az Ω ⊆ E nyílt halmaz reguláris határpontjának nevezünk minden olyan a ∈ Fr(Ω) pontot, amelynek létezik olyan V nyílt környezete E -ben és létezik olyan h : V → R függvény, amely C1 -osztályú és

(Dh)(a) 6= 0,

[h < 0] = Ω ∩ V,

[h = 0] = Fr(Ω) ∩ V.

Az Ω ⊆ E nyílt halmaz reguláris határának nevezzük és ∂Ω-val jelöljük az Ω halmaz reguláris határpontjainak halmazát. Azt mondjuk, hogy az Ω halmaz reguláris határú, ha Fr(Ω) = ∂Ω, vagyis az Ω minden határpontja reguláris határpont. Az Fr(Ω) \ ∂Ω halmazt az Ω irreguláris határának nevezzük és ∂irr Ω-val jelöljük. Ha Ω ⊆ E nyílt halmaz és a ∈ ∂Ω, akkor létezik a a pontnak olyan V nyílt környezete E -ben és létezik olyan h ∈ C1 (V ; R), hogy minden x ∈ V esetén (Dh)(x) 6= 0, valamint [h < 0] = Ω ∩ V és [h = 0] = Fr(Ω) ∩ V . Valóban, a deníció szerint van olyan ˜ ∈ C1 (V˜ ; R), hogy (Dh)(a) ˜ V˜ nyílt környezete a-nak és létezik olyan h 6= 0, valamint 0 ˜ ˜ ˜ ˜ ˜ ˜ [h < 0] = Ω ∩ V és [h = 0] = Fr(Ω) ∩ V . Ekkor a Dh : V → E deriváltfüggvény ˜ a pontbeli folytonossága és (Dh)(a) 6= 0 miatt létezik a-nak olyan V nyílt környezete ˜ ˜ V függvényre ˜ E -ben, hogy V ⊆ V és minden V 3 x-re (Dh)(x) 6= 0. Ekkor a h := h| 1 ˜ h ∈ C (V ; R) teljesül és minden x ∈ V esetén (Dh)(x) = (Dh)(x) 6= 0, valamint [h < 0] = ˜ ˜ ˜ [h < 0]∩V = (Ω∩ V )∩V = Ω∩V és [h = 0] = [h = 0]∩V = (Fr(Ω)∩ V˜ )∩V = Fr(Ω)∩V . ◦

18.1.2. Állítás. Ha Ω ⊆ E nyílt halmaz és a ∈ ∂Ω, akkor a ∈/ Ω. ◦

Bizonyítás. Indirekt bizonyítunk, tehát feltesszük, hogy a ∈ ∂Ω és a ∈ Ω. Legyen U olyan nyílt környezete a-nak, hogy U ⊆ Ω, továbbá legyen V olyan nyílt környezete anak és h ∈ C1 (V ; R) olyan függvény, hogy (Dh)(a) 6= 0 és [h < 0] = Ω ∩ V , valamint 475

476

18. NYÍLT HALMAZ REGULÁRIS HATÁRA

[h = 0] = Fr(Ω) ∩ V . Ekkor U ∩ V ⊆ Ω ∩ V = (Ω ∩ V ) ∪ (Fr(Ω) ∩ V ) = [h ≤ 0], és U ∩ V nyílt környezete a-nak, továbbá h(a) = 0. Ez azt jelenti, hogy h-nak lokális maximuma van a-ban, ezért (Dh)(a) = 0, ami ellentmond a (Dh)(a) 6= 0 feltételnek. 

18.1.3. Következmény. Ha az Ω ⊆ E nyílt halmaz s¶r¶ E -ben, akkor ∂Ω = ∅. ◦

◦

Bizonyítás. Ha a ∈ ∂Ω, akkor az el®z® állítás szerint a ∈ / Ω, holott Ω = E .  ◦

18.1.4. Következmény. Ha az Ω ⊆ E nyílt halmaz reguláris határú, akkor Ω = Ω. ◦

Bizonyítás. Az el®z® állítás alapján nyilvánvaló, hogy ha a ∈ Ω ⊆ Ω, akkor a ∈ / ∂Ω = ◦

Fr(Ω) = Ω \ Ω, tehát a ∈ Ω, így Ω ⊆ Ω. 

18.2.

Példák reguláris határra

Példák reguláris határra. 1) Legyen H ⊆ E véges halmaz. Ekkor Fr(E \ H) = H és ha dim(E) > 0, akkor ◦

∂(E \H) = ∅, vagyis E \H -nak egyáltalán nincs reguláris határpontja, hiszen E \ H = E . 2) Legyen u ∈ E ∗ nem nulla funkcionál és c ∈ R. Ekkor az [u < c] nyílt féltér olyan nyílt halmaz E -ben, hogy Fr([u < c]) = [u = c] = ∂[u < c]. Valóban, az h := u − c : E → R függvény C∞ -osztályú, és minden x ∈ E esetén (Dh)(x) = u 6= 0, továbbá [u < c] = [h < 0] és Fr([u < c]) = [u = c] = [h = 0]. Tehát minden a ∈ Fr([u < c]) esetén a h ∈ C∞ (E; R) függvény (az a-tól függetlenül) olyan, amelynek létezése maga után vonja, hogy az a pont reguláris határpont. 3) Legyen u ∈ E ∗ nem nulla funkcionál és c ∈ R. Ekkor az E \ [u = c] halmaz nyílt és Fr(E \ [u = c]) = [u = c], valamint ∂(E \ [u = c]) = ∅, vagyis E \ [u = c]-nek egyáltalán ◦

nincs reguláris határpontja, hiszen E \ [u = c] = E . 4) Legyen E euklidészi tér, a ∈ E és r ∈ R∗+ . Ekkor Br (a), vagyis az a középpontú, r sugarú nyílt gömb reguláris határú nyílt halmaz E -ben, mert a h : E → R; x 7→ kx − ak2 − r2 függvény C∞ -osztályú, és minden x ∈ Fr(Br (a)) = Sr (a) esetén (grad(h))(x) = 2(x − a) 6= 0 (így (Dh)(x) 6= 0) és [h < 0] = Br (a), valamint [h = 0] = Sr (a) = Fr(Br (a)).

18.3.

A reguláris határ simasága

18.3.1. Állítás. Ha Ω ⊆ E nyílt halmaz, akkor ∂Ω olyan nyílt halmaz Fr(Ω)-ban, amely C1 -osztályú hiperfelület E -ben, továbbá ∂irr Ω zárt halmaz E -ben.

18.4. KIMENŽ NORMÁLVEKTOR-MEZŽ A REGULÁRIS HATÁRON

477

Bizonyítás. Legyen a ∈ ∂Ω, továbbá V olyan nyílt környezete a-nak és h ∈ C1 (V ; R) olyan függvény, hogy minden V 3 x-re (Dh)(x) 6= 0 és [h < 0] = Ω ∩ V , valamint [h = 0] = Fr(Ω) ∩ V . Ekkor az Fr(Ω) ∩ V halmaz minden eleme nyilvánvalóan reguláris határpontja Ω-nak, így ∂Ω nyílt halmaz Fr(Ω)-ban. Ugyanakkor minden x ∈ V esetén a (Dh)(x) ∈ L (E; R) funkcionál szürjektív, így a [h = 0] halmaz C1 -osztályú hiperfelület E -ben, tehát létezik a [h = 0] halmaznak olyan dim(E) − 1 dimenziós C1 -osztályú Φ paraméterezése, hogy a ∈ Im(Φ) és Im(Φ) nyílt részhalmaza a [h = 0] = Fr(Ω) ∩ V = (∂Ω) ∩ V halmaznak. Ekkor Im(Φ) nyílt részhalmaza a ∂Ω reguláris határnak is, tehát ∂Ω C1 -osztályú hiperfelület E -ben. 

18.3.2. Következmény. Ha Ω ⊆ E nyílt halmaz, akkor ∂irr Ω zárt halmaz E -ben. Bizonyítás. A deníció szerint ∂irr Ω = Fr(Ω) \ ∂Ω, tehát az el®z® állítás szerint ∂irr Ω zárt halmaz Fr(Ω)-ban. Ugyanakkor Fr(Ω) zárt halmaz E -ben, ezért ∂irr Ω zárt E -ben. 

18.4.

Kimen® normálvektor-mez® a reguláris határon

18.4.1. Állítás. Legyen E euklidészi tér és Ω ⊆ E nyílt halmaz. Egyértelm¶en létezik olyan n∂Ω : ∂Ω → E függvény, hogy minden a ∈ ∂Ω pontra, és az a minden E -beli V nyílt környezetére, és minden h ∈ C1 (V ; R) függvényre: ha (Dh)(a) 6= 0, [h < 0] = Ω ∩ V és [h = 0] = Fr(Ω) ∩ V , akkor

n∂Ω (a) =

(grad(h))(a) . k(grad(h))(a)k

Ez az n∂Ω : ∂Ω → E függvény folytonos. Bizonyítás. Legyen a ∈ ∂Ω rögzített, és vegyünk az a-nak olyan V , V 0 nyílt környezeteit E -ben, és olyan h ∈ C1 (V ; R), h0 ∈ C1 (V 0 ; R) függvényeket, hogy (Dh)(a) 6= 0, [h < 0] = Ω ∩ V , [h = 0] = Fr(Ω) ∩ V , valamint (Dh0 )(a) 6= 0, [h0 < 0] = Ω ∩ V 0 , [h0 = 0] = Fr(Ω) ∩ V 0 . Képezzük az

n :=

(grad(h))(a) , k(grad(h))(a)k

n0 :=

(grad(h0 ))(a) k(grad(h0 ))(a)k

vektorokat. Meg fogjuk mutatni, hogy n = n0 . A deníció alapján n⊥Ker((Dh)(a)) és n0 ⊥Ker((Dh0 )(a)). Ugyanakkor tudjuk, hogy Ker((Dh)(a)) = Ta (∂Ω) = Ker((Dh0 )(a)), és Ta (∂Ω) az E -ben dim(E) − 1 dimenziós lineáris altér, ezért van olyan λ ∈ R, hogy n0 = λn. Ugyancsak a deníció alapján knk = 1 = kn0 k, ezért λ ∈ {−1, 1}. Ez azt jelenti, hogy az n = n0 egyenl®ség bizonyításához elég azt megmutatni, hogy λ = (n0 |n) ≥ 0.

478

18. NYÍLT HALMAZ REGULÁRIS HATÁRA

Értelmezzük a következ® függvényt:

ϕ : V \ {a} → R;

x 7→

h(x) − h(a) − ((grad(h))(a)|x − a) . kx − ak

A h függvény dierenciálható a-ban, és minden e ∈ E esetén (a gradiens deníciója alapján) ((Dh)(a)) (e) = ((grad(h))(a)|e), ezért a ϕ függvénynek létezik határértéke aban és lim ϕ = 0. a

Vegyünk most olyan r ∈ R∗+ számot, hogy Br (a) ⊆ V ∩ V 0 . Bebizonyítjuk, hogy minden δ ∈]0, r[ valós számhoz van olyan t ∈] − δ, 0[ valós szám, hogy h(a + tn) < 0. Indirekt bizonyítunk, tehát tegyük fel olyan δ ∈]0, r[ valós szám létezését, hogy minden t ∈] − δ, 0[ valós számra h(a + tn) ≥ 0. Ekkor bármely t ∈] − δ, 0[ valós számra

0 ≤ h(a + tn) = h(a) + ((grad(h))(a)|tn) + |t|ϕ(a + tn), amib®l az n deníciója, h(a) = 0 és t < 0 alapján

0 ≤ tk(grad(h))(a)k − tϕ(a + tn) következik, amit t-vel osztva (t < 0) kapjuk, hogy k(grad(h))(a)k ≤ ϕ(a+tn). Ez minden t ∈] − δ, 0[ valós számra igaz, ezért a lim ϕ = 0 egyenl®ség alapján k(grad(h))(a)k ≤ 0 a adódik, azaz (grad(h))(a) = 0, holott (Dh)(a) 6= 0, ami ellentmondás. Tehát minden δ ∈]0, r[ valós számhoz van olyan t ∈]−δ, 0[ valós szám, hogy h(a+tn) < 0, így létezik olyan (tk )k∈N zérussorozat R-ben, hogy minden N 3 k -ra tk ∈] − δ, 0[ és h(a + tk n) < 0. Ekkor k ∈ N esetén a + tk n ∈ [h < 0] = Ω ∩ V , azaz a + tk n ∈ Ω. Ugyanakkor k ∈ N esetén a + tk n ∈ Br (a) ⊆ V 0 , így a + tk n ∈ Ω ∩ V 0 = [h0 < 0], vagyis h0 (a + tk n) < 0. Értelmezzük most a következ® függvényt:

ϕ0 : V 0 \ {a} → R;

x 7→

h0 (x) − h0 (a) − ((grad(h0 ))(a)|x − a) . kx − ak

A h0 függvény dierenciálható a-ban, és minden e ∈ E esetén (a gradiens deníciója alapján) ((Dh0 )(a)) (e) = ((grad(h0 ))(a)|e), ezért a ϕ0 függvénynek létezik határértéke a-ban és lim ϕ0 = 0. a

Tehát ha k ∈ N, akkor

0 > h0 (a + tk n) = h0 (a) + ((grad(h0 ))(a)|tk n) + |tk |ϕ0 (a + tk n), tehát h0 (a) = 0 és az n0 deníciója alapján

0 > tk k(grad(h0 ))(a)k(n|n0 ) − tk ϕ0 (a + tk n).

18.4. KIMENŽ NORMÁLVEKTOR-MEZŽ A REGULÁRIS HATÁRON

479

Ebb®l tk -val osztva (tk < 0) kapjuk, hogy k(grad(h0 ))(a)k(n0 |n) ≥ ϕ0 (a + tk n). Innen k → ∞ esetén, lim ϕ0 = 0 alapján k(grad(h0 ))(a)k(n0 |n) ≥ 0 adódik, tehát (n0 |n) ≥ 0, a mivel k(grad(h0 ))(a)k > 0. Ezzel bebizonyítottuk, hogy n = n0 . Tehát jól értelmezett az az n∂Ω : ∂Ω → E függvény, amely minden a ∈ ∂Ω ponthoz az

n∂Ω (a) :=

(grad(h))(a) k(grad(h))(a)k

értéket rendeli, ahol h : E  R tetsz®leges olyan folytonosan dierenciálható függvény, amelyre a ∈ Dom(h), (Dh)(a) 6= 0, [h < 0] = Ω ∩ Dom(h) és [h = 0] = Fr(Ω) ∩ Dom(h). Az n∂Ω függvény folytonos, mert ha a ∈ ∂Ω, akkor van olyan h : E  R folytonosan dierenciálható függvény, amelyre a ∈ Dom(h), és minden x ∈ Dom(h) esetén (Dh)(x) 6= 0, valamint [h < 0] = Ω∩Dom(h) és [h = 0] = Fr(Ω)∩Dom(h); ekkor minden x ∈ Dom(h) pontra (grad(h))(x) n∂Ω (x) = , k(grad(h))(x)k vagyis n∂Ω a (∂Ω)∩Dom(h) halmazon egyenl® a környezete a a pontnak ∂Ω-ban, és

grad(h) függvénnyel, és (∂Ω)∩Dom(h) kgrad(h)k

grad(h) : Dom(h) → E folytonos függvény.  kgrad(h)k

18.4.2. Deníció. Legyen E euklidészi tér és Ω ⊆ E nyílt halmaz. Az el®z® állításban

értelmezett

n∂Ω : ∂Ω → E függvényt a ∂Ω hiperfelület kimen® normálvektor-mez®jének nevezzük, míg a −n∂Ω : ∂Ω → E függvényt a ∂Ω hiperfelület bemen® normálvektor-mez®jének nevezzük. Ha f : E  E olyan függvény, hogy ∂Ω ⊆ Dom(f ), akkor az

(f |n∂Ω ) : ∂Ω → R;

x 7→ (f (x)|n∂Ω (x))

leképezést az f vektormez® ∂Ω hiperfelületen kimen® uxus-s¶r¶ségének nevezzük. Ha f : E  E olyan függvény, hogy ∂Ω ⊆ Dom(f ) és a (f |n∂Ω ) függvény µ∂Ω -integrálható, akkor az Z (f |n∂Ω ) dµ∂Ω ∂Ω

valós számot az f vektormez® ∂Ω hiperfelületen kimen® uxusának nevezzük.

480

18. NYÍLT HALMAZ REGULÁRIS HATÁRA

19. fejezet GaussOsztrogradszkij-tétel 19.1.

A GaussOsztrogradszkij-tételkör

Legyen E euklidészi tér és Ω ⊆ E nyílt halmaz. Ekkor tekinthetjük:  a µΩ mértéket, vagyis az Ω feletti euklidészi mértéket, ami nem más, mint az E skalárszorzása által meghatározott Riemann-metrika szerinti felületi mérték az Ω dim(E)dimenziós, C∞ -osztályú Riemann-sokaságon;  a ∂Ω halmazt, vagyis az Ω halmaz reguláris határát, ami C1 -osztályú hiperfelület E ben, és az E skalárszorzása által meghatározott Riemann-metrikával ellátva dim(E) − 1 dimenziós, C1 -osztályú Riemann-sokaság;  a µ∂Ω mértéket, vagyis a ∂Ω Riemann-sokaság felületi mértékét;  az n∂Ω függvényt, vagyis a ∂Ω halmazon kimen® normálvektor-mez®t. Legyen f : E  E olyan függvény (vagyis vektormez® E felett), hogy Ω ∪ ∂Ω ⊆ Dom(f ) és az f |Ω függvény dierenciálható. Ekkor tekinthetjük:  a div(f ) : Ω → R; x 7→ Tr((Df )(x)) divergencia-függvényt;  az f |∂Ω : ∂Ω → E lesz¶kített függvényt;  az (f |n∂Ω ) : ∂Ω → R kimen® uxus-s¶r¶séget. Azt kérdezzük, hogy a div(f ) függvény µΩ (térfogati) mérték szerinti integrálhatósága milyen kapcsolatban van az (f |n∂Ω ) függvény µ∂Ω felületi mérték szerinti integrálhatóságával; és ha mindkét függvény integrálható a megfelel® mérték szerint, akkor teljesül-e az Z Z

div(f ) dµΩ = Ω

(f |n∂Ω ) dµ∂Ω ∂Ω

egyenl®ség? GaussOsztrogradszkij-tételnek nevezünk minden olyan állítást, amely választ ad ezekre a kérdésekre. 481

482

19. GAUSSOSZTROGRADSZKIJ-TÉTEL

19.2.

A GaussOsztrogradszkij-tétel alapformája

19.2.1. Tétel. (A GaussOsztrogradszkij-tétel alapformája) Legyen E euklidészi

tér, Ω ⊆ E nyílt halmaz, és f : Ω → E olyan kompakt tartójú folytonos függvény, hogy f |Ω : Ω → E folytonosan dierenciálható függvény. Ha a div(f ) : Ω → R függvény µΩ integrálható és ∂irr Ω∩supp(f ) = ∅, akkor az (f |n∂Ω ) : ∂Ω → R függvény µ∂Ω -integrálható és Z Z div(f ) dµΩ = (f |n∂Ω ) dµ∂Ω Ω

∂Ω

teljesül. Bizonyítás. A bizonyítás során az n := dim(E) jelölést alkalmazzuk, továbbá (·|·)n jelöli az euklidészi skalárszorzást Rn felett. (I) El®ször feltesszük, hogy supp(f ) ⊆ Ω. Világos, hogy ekkor f = 0 a ∂Ω halmazon, ezért Z (f |n∂Ω ) dµ∂Ω = 0. ∂Ω

Ugyanakkor az Ω \ supp(f ) halmaz nyílt E -ben, és f = 0 ezen a halmazon, ezért Ω \ supp(f ) ⊆ [div(f ) = 0], így supp(div(f )) ⊆ supp(f ) ⊆ Ω. Tehát div(f ) : Ω → R kompakt tartójú folytonos függvény, így szükségképpen div(f ) ∈ LR1 (Ω, RΩ , µΩ ), vagyis ekkor a div(f ) függvény µΩ -integrálhatóságának feltétele felesleges. Legyen (ei )i∈n ortonormált bázis az E euklidészi térben, és legyen u : Rn → E az a lineáris operátor, amelyre teljesül az, hogy minden i ∈ n esetén u(ei ) = ei , ahol (ei )i∈n a kanonikus bázis Rn -ben. Ekkor u megtartja az Rn és az E feletti skalárszorzást, így Z

Z

Z

div(f ) dµΩ = Ω

(div(f ) ◦ u) dµn = −1

u hΩi

=

=

X i∈n

=

X i∈n

u hΩi

Z

X i∈n

Z

Tr((Df )(u(p))) dµn (p) = −1

(((Df )(u(p)))(ei )|ei ) dµn (p) = −1

u hΩi

(((Df )(u(p)))(u(ei ))|u(ei )) dµn (p) = −1

u hΩi

Z

€

Š

((D(u−1 ◦ f ◦ u))(p))(ei )|ei dµn (p).

−1

u hΩi

Tehát ha i ∈ n esetén fi jelöli az u−1 ◦ f ◦ u : Rn  Rn függvény i-edik komponensét, akkor Z X Z (∂i fi )(p) dµn (p). div(f ) dµΩ = Ω

i∈n−1 u hΩi

19.2. A GAUSSOSZTROGRADSZKIJ-TÉTEL ALAPFORMÁJA

483

Ezért elég volna azt igazolni, hogy minden i ∈ n esetén Z

(∂i fi )(p) dµn (p) = 0. −1

u hΩi

Ezáltal a problémát a következ® feladat megoldására redukáltuk: igaz-e, hogy minden n ∈ N∗ számra, Ω ⊆ Rn nyílt halmazra, és ϕ : Ω → R kompakt tartójú C1 -osztályú függvényre Z (∂i ϕ) dµn = 0 Ω

teljesül minden n 3 i-re? Erre a kérdésre n-szerinti teljes indukcióval könnyen kaphatunk igenl® választ, ha felhasználjuk a NewtonLeibniz-tételt és a Lebesgue-Fubini tételt. (II) Most feltesszük, hogy a ∈ ∂Ω és Va olyan nyílt környezete a-nak E -ben, hogy supp(f ) ⊆ Va , valamint (ha , Ua , δa , Φa ) olyan négyes, amelyre teljesülnek a következ®k: a) ha : Va → R folytonosan dierenciálható függvény, és minden x ∈ Va esetén (Dha )(x) 6= 0, valamint

[ha < 0] = Ω ∩ Va ,

[ha = 0] = Fr(Ω) ∩ Va ;

b) Ua nyílt környezete a 0-nak Rn−1 -ben; c) δa ∈ R∗+ ; d) Φa : Ua ×] − δa , δa [→ Va olyan C1 -dieomorzmus, hogy Φa (0, 0) = a, és minden w ∈] − δa , δa [ esetén a Φa (·, w) függvény paraméterezése a [ha = w] C1 -osztályú hiperfelületnek, és Im(Φa (·, w)) = [ha = w] ∩ Va , és minden Ua ×] − δa , δa [3 (p, w)-re

(modgw (Φa (·, w))) (p) = k(grad(h)a )(Φa (p, w))k (modg (Φa )) (p, w), ahol g az E skalárszorzása által meghatározott Va feletti Riemann-metrika, és w ∈]−δa , δa [ esetén gw az E skalárszorzása által meghatározott Riemann-metrika a [ha = w] C1 osztályú hiperfelületen. Rögzítsünk olyan ψ : R → R folytonos függvényt, hogy ψ ≥ 0, supp(ψ) ⊆ [0, 1] és Z

R

ψ dµ1 = 1. Értelmezzük továbbá a

Zt

Ψ : R → R;

t 7→

ψ dµ1 0

függvényt. A NewtonLeibniz-tétel alapján a Ψ függvény C1 -osztályú, továbbá nyilvánvaló, hogy t ∈ R és t ≤ 0 esetén Ψ(t) = 0, és t ∈ [0, 1] esetén 0 ≤ Ψ(t) ≤ 1, valamint

484

19. GAUSSOSZTROGRADSZKIJ-TÉTEL

t ≥ 1 esetén Ψ(t) = 1. Rögzítsünk tetsz®leges (εk )k∈N zérussorozatot R∗+ -ban. Világos, hogy minden N 3 k -ra a Š € Ψ ◦ −ε−1 h − ε : Va → R a k k függvény C1 -osztályú, továbbá, ha χΩ∩Va : Va → R jelöli az Ω∩Va halmaz karakterisztikus függvényét Va -ban, akkor teljesülnek a következ®k: € Š χ  ha x ∈ Ω ∩ Va , akkor ha (x) < 0, ezért lim Ψ −ε−1 k ha (x) − εk = 1 = Ω∩V (x); k→∞

€

Š

a

 ha x ∈ Fr(Ω) ∩ Va , akkor ha (x) = 0, ezért lim Ψ −ε−1 k ha (x) − εk = Ψ(0) = 0 = k→∞ χΩ∩V (x); a

€

Š

χ  ha x ∈ Va \ Ω, akkor ha (x) > 0, ezért lim Ψ −ε−1 k ha (x) − εk = 0 = Ω∩Va (x). k→∞

Ez azt jelenti, hogy a Va halmazon fennáll a €

Š

χ lim Ψ ◦ −ε−1 k ha − εk = Ω∩Va

k→∞

függvény-egyenl®ség. Az (Ω ∩ Va ) \ supp(f ) halmaz nyílt E -ben, és f = 0 ezen a halmazon, ezért (Ω ∩ Va ) \ supp(f ) ⊆ [div(f ) = 0], így [div(f ) 6= 0] ⊆ Ω ∩ supp(f ) ⊆ Ω ∩ Va . Ez azt jelenti, hogy a div(f ) : Ω → R függvény egyenl® a (div(f )) Ω∩Va függvény 0-val vett kiterjesztésével Ω-ra. Ugyanakkor a hipotézis szerint div(f ) ∈ LR1 (Ω, RΩ , µΩ ), így a 2. pont 8. gyakorlatának eredményét alkalmazhatjuk az Ω1 := Ω, Ω2 := Va nyílt halmazokra, és a (div(f )) Ω∩Va függvény 0-val vett kiterjesztésére Va -ra, amit ((div(f )) Ω∩Va )◦ fog jelölni. Tehát azt kapjuk, hogy ((div(f )) Ω∩Va )◦ ∈ LR1 (Va , RVa , µVa ) és Z

Z

div(f ) dµΩ = Ω

((div(f ))

◦

Ω∩Va )

Z

dµVa =

Z 

€

€

lim Ψ ◦ −ε−1 k ha − εk

ŠŠ‹

k→∞

Va

◦ Ω∩Va )

Va

Va

=

χΩ∩V ((div(f )) a

((div(f ))

◦ Ω∩Va )

dµVa .

Ha k ∈ N, akkor 0 ≤ Ψ ≤ 1 miatt € € −1 Ψ ◦ −εk ha

ugyanakkor ((div(f )) €

− εk

◦ Ω∩Va )

ŠŠ

((div(f ))



◦ Ω∩Va )

≤ |((div(f ))

◦ Ω∩Va ) | ,

∈ LR1 (Va , RVa , µVa ), ezért

€

Ψ ◦ −ε−1 k ha − εk

ŠŠ

((div(f ))

◦ Ω∩Va )

∈ LR1 (Va , RVa , µVa )

és a Lebesgue-tétel alapján Z  Va

€

€

lim Ψ ◦ −ε−1 k ha − εk

k→∞

ŠŠ‹

((div(f ))

◦ Ω∩Va )

dµVa =

dµVa =

485

19.2. A GAUSSOSZTROGRADSZKIJ-TÉTEL ALAPFORMÁJA

Z €

= lim

k→∞

€

Ψ ◦ −ε−1 k ha − εk

ŠŠ

((div(f ))

◦ Ω∩Va )

dµVa .

Va

Legyen most k ∈ N rögzítve. Az Ω ∩ Va halmazon nyilvánvalóan fennállnak a €

€

Ψ ◦ −ε−1 k ha − εk €€

€€

€€

€

€

Ψ ◦ −ε−1 k ha − εk

= div egyenl®ségek.

((div(f ))

Ψ ◦ −ε−1 k ha − εk

= div = div

ŠŠ

€€

ŠŠ Š

€

€

= Ψ ◦ −ε−1 k ha − εk

€

€

€

€

€

f + ε−1 (DΨ) ◦ −ε−1 k k ha − εk

€

ŠŠ Š

€

€

f + ε−1 ψ ◦ −ε−1 k k ha − εk €

ŠŠ Š◦

ŠŠ

f − grad Ψ ◦ −ε−1 k ha − εk

ŠŠ Š

Ψ ◦ −ε−1 k ha − εk

€

◦ Ω∩Va )

€

ŠŠ

ŠŠ

div(f ) =

ŠŠ

Š

f =

(grad(h)a f ) =

(grad(h)a f )

ŠŠ

Jelölje Ψ ◦ −ε−1 a Ψ ◦ −ε−1 εk f : Ω ∩ Va → E függvény f k ha − εk k ha − €€ € ŠŠ Š◦ 0-val vett kiterjesztését Va -ra. Állítjuk, hogy a Ψ ◦ −ε−1 h − ε függvény f a k k folytonosan dierenciálható, továbbá ez a függvény kompakt tartójú. Legyen ugyanis €€ € ŠŠ Š◦ −1 x ∈ [ Ψ ◦ −εk ha − εk f 6= 0]. Ekkor x ∈ Ω ∩ Va olyan pont, hogy x ∈ [f 6= € Š 0] ⊆ supp(f ) ⊆ Va , és Ψ −ε−1 h (x) − ε 6= 0, tehát x ∈ [ha < −ε2k ] ⊆ [ha ≤ −ε2k ]. a k k De a [ha ≤ −ε2k ] halmaz zárt a Va nyílt halmazban, ezért van olyan H ⊆ E zárt halmaz, hogy [ha ≤ −ε2k ] = H ∩ Va . Tehát x ∈ (H ∩ Va ) ∩ supp(f €€€ € ) = H ∩ supp(f ŠŠ Š◦)Š, −1 ugyanakkor H ∩supp(f ) kompakt halmaz E -ben. Ezért supp Ψ ◦ −εk ha − εk f €€ € ŠŠ Š◦ kompakt halmaz és része H ∩ supp(f )-nek. Világos, hogy Ψ ◦ −ε−1 h − ε f =0 a k k a Va \ (H ∩ supp(f )) nyílt halmazon, ezért ez a függvény itt folytonosan dierenciálható. Ugyanakkor H ∩ supp(f )€€⊆ H€ ∩ Va ⊆ [haŠŠ ≤Š −ε2k€] ⊆ €[ha < 0] = ŠŠΩ ∩ Va , és az ◦ Ω∩Va halmazon fennáll a Ψ ◦ −ε−1 f = Ψ ◦ −ε−1 f egyenl®ség, k ha − εk k ha − εk továbbá itt a jobb oldalon álló függvény folytonosan dierenciálható Ω Va -n. A €€ € ŠŠ Š∩ ◦ −1 folytonos dierenciálhatóság lokalitása alapján a Ψ ◦ −εk ha − εk f : Va → E függvény Ezért az (I) állításból következik, hogy €€€ € folytonosan ŠŠ dierenciálható. Š◦ Š div Ψ ◦ −ε−1 h − ε f : V → R kompakt tartójú folytonosan dierenciálható a k a k függvény és Z

div

€€€

€

Ψ ◦ −ε−1 k ha − εk

ŠŠ Š◦ Š

f

dµVa = 0.

Va

Ebb®l kapjuk, hogy Z €

€

Ψ ◦ −ε−1 k ha − εk

ŠŠ

((div(f ))

◦ Ω∩Va )

dµVa =

Va

= ε−1 k

Z €

€

ψ ◦ −ε−1 k ha − εk

Va

ŠŠ

(grad(h)a fa ) dµVa ,

486

19. GAUSSOSZTROGRADSZKIJ-TÉTEL

ahol fa jelöli az f |Ω∩Va : Ω ∩ Va → E függvény 0-val vett kiterjesztését Va -ra. Most felhasználjuk azt, hogy a Φa : Ua ×] − δa , δa [→ Va függvény paraméterezése a Va nyílt, n-dimenziós, C1 -osztályú részsokaságnak, ezért Z €

€

ψ ◦ −ε−1 k ha −εk

ŠŠ

(grad(h)a fa ) dµVa =

Va

Z

€

=

€

Š

Š

ψ ◦ −εk−1 ha − εk ◦ Φa ((grad(h)a fa ) ◦ Φa ) modg (Φa )d (µn−1 ⊗µ1 ) .

Ua ×]−δa ,δa [

Kihasználva azt, hogy (p, w) ∈ Ua ×] − δa , δa [ esetén ha (Φa (p, w)) = w, továbbá

(modg (Φa )) (p, w) =

(modgw (Φa (·, w))) (p) , k(grad(h)a )(Φa )(p, w)k

kapjuk, hogy Z

€

€

Š

Š

ψ ◦ −ε−1 k ha − εk ◦ Φa ((grad(h)a fa ) ◦ Φa ) modg (Φa ) d (µn−1 ⊗µ1 ) =

Ua ×]−δa ,δa [

Z

ψ(−ε−1 k w−εk )

= Ua ×]−δa ,δa [

(grad(h)a fa ) (Φa (p, w)) (modgw (Φa (·, w))) (p) dp dw. k(grad(h)a )(Φa (p, w))k

Ebben az integrálban helyettesítést hajtunk végre a ™

–

δa δa σ : Ua × −εk − , −εk + → Ua ×] − δa , δa [; εk εk

(p, t) 7→ (p, −εk t − ε2k )

1

-dieomorzmussal, – amelyre nyilvánvalóan teljesül az, hogy minden (p, t) ∈ Ua × δa δa −εk − , −εk + esetén |det(Dσ)|(p, t) = εk . Azt kapjuk, hogy εk εk

C ™

Z

ψ(−ε−1 k w−εk )

Ua ×]−δa ,δa [

(grad(h)a fa ) (Φa (p, w)) (modgw (Φa (·, w))) (p) dp dw = k(grad(h)a )(Φa (p, w))k Z

= εk

Rn−1 ×R

ψ(t)ϕ(p, −εk t − ε2k ) dp dt,

ahol ϕ : Rn−1 × R → R az a függvény, amelyre (p, w) ∈ Rn−1 × R esetén

ϕ(p, w) :=

(grad(h)a fa ) (Φa (p, w)) (modgw (Φa (·, w))) (p), k(grad(h)a )(Φa (p, w))k

487

19.2. A GAUSSOSZTROGRADSZKIJ-TÉTEL ALAPFORMÁJA

ha (p, w) ∈ Ua ×] − δa , δa [, és ϕ(p, w) := 0 egyébként. Tehát eljutottunk oda, hogy Z

Z

div(f ) dµΩ = lim

k→∞

Ω

Rn−1 ×R

ψ(t)ϕ(p, −εk t − ε2k ) dp dt.

Nyilvánvaló, hogy a ϕ függvény kompakt tartójú és supp(ϕ) ⊆ Ua ×] − δa , δa [, mert ha −1

K ⊆ Va olyan kompakt halmaz E -ben, hogy [fa 6= 0] ⊆ K , akkor [ϕ 6= 0] ⊆ Φ a hKi. Továbbá ϕ folytonos is, az Ua ×] − δa , δa [ nyílt halmazon nyilvánvalóan folytonos, hiszen ezen folytonos függvények kompozíciójával egyenl®, továbbá ϕ az (Rn−1 × R) \ supp(ϕ) halmazon is folytonos, mert ez tartalmazza az (Rn−1 × R) \ (Ua ×] − δa , δa [) halmazt, és ez utóbbi halmazon ϕ = 0. Ezért minden (p, t) ∈ Ua × R esetén lim ϕ(p, −εk t − ε2k ) =

k→∞

(grad(h)a fa ) (Φa (p, 0)) (modg0 (Φa (·, 0))) (p), k(grad(h)a )(Φa (p, 0))k

és természetesen (p, t) ∈ (Rn−1 \ Ua ) × R esetén lim ϕ(p, −εk t − ε2k ) = 0. A Φa (·, 0) : k→∞

Ua → ∂Ω függvény paraméterezése a ∂Ω C1 -osztályú hiperfelületnek, továbbá a kimen® normálvektor-mez® értelmezése alapján minden Ua 3 p-re n∂Ω (Φa (p, 0)) =

(grad(h)a )(Φa (p, 0)) , k(grad(h)a )(Φa (p, 0))k

tehát minden (p, t) ∈ Ua × R párra €

Š

lim ϕ(p, −εk t − ε2k ) = (n∂Ω f ) (Φa (p, 0)) modg∂Ω (Φa (·, 0)) (p),

k→∞

ahol g∂Ω jelöli az E skalárszorzása által meghatározott Riemann-metrikát ∂Ω felett. Ebb®l a Lebesgue-Fubini tétel alkalmazásával nyerjük, hogy Z

Z

div(f ) dµΩ = Ω

Ua ×

„ Z

= hiszen

R

Z

R

Ž„

Z

ψ(t)dt

€

R

Š

ψ(t) (n∂Ω f ) (Φa (p, 0)) modg∂Ω (Φa (·, 0)) (p) dp dt = Ž

(n∂Ω |f ) (Φa (p, 0))(modg∂Ω (Φa (·, 0)))(p)dp Ua

Z

=

(n∂Ω |f ) dµ∂Ω ,

∂Ω

ψ(t) dt = 1 és [(n∂Ω f ) 6= 0] ⊆ (∂Ω) ∩ Va = Im(Φa (·, 0)).

(III) Áttérünk az általános eset bizonyítására. Ha a ∈ Ω ∩ supp(f ), akkor van olyan Va nyílt környezete a-nak E -ben, hogy Va ⊆ Ω. Ha a ∈ supp(f ) \ Ω, akkor (∂irr Ω) ∩ supp(f ) = ∅ miatt a ∈ (∂Ω) ∩ supp(f ), ezért van olyan Va nyílt környezete anak E -ben, amelyhez létezik olyan (ha , Ua , δa , Φa ) négyes, amelyre teljesülnek a bizonyítás (II) részének elején megfogalmazott a), b), c) és d) állítások. Ezért a kiválasztási axióma

488

19. GAUSSOSZTROGRADSZKIJ-TÉTEL

alkalmazásával vehetünk olyan (Va )a∈supp(f ) rendszert, hogy  ha a ∈ Ω ∩ supp(f ), akkor Va olyan nyílt környezete a-nak E -ben, hogy Va ⊆ Ω;  ha a ∈ supp(f ) \ Ω, akkor Va olyan nyílt környezete a-nak E -ben, hogy létezik olyan (ha , Ua , δa , Φa ) négyes, amelyre teljesülnek a bizonyítás (II) részének elején megfogalmazott a), b), c) és d) állítások. A supp(f ) halmaz kompaktsága miatt létezik olyan A ⊆ supp(f ) véges halmaz, hogy [ Va . Az E (n-dimenziós, C1 -osztályú) sokaságra vonatkozó egységosztássupp(f ) ⊆ a∈A

tétel alapján vehetünk olyan (ϕa )a∈A rendszert, hogy minden a ∈ A esetén ϕa : E → R folytonosan " # dierenciálható függvény, 0 ≤ ϕa ≤ 1, supp(ϕa ) ⊆ Va , és supp(f ) ⊆ X

a∈A

ϕa = 1 (valamint

természetesen

X

a∈A

ϕa ≤ 1 is feltehet®, de ezt most nem használjuk ki). Ekkor

f=

X a∈A

ϕa f =

X

X

ϕa f +

a∈A∩Ω

ϕa f.

a∈A\Ω

Ha a ∈ A ∩ Ω, akkor supp(ϕa f ) ⊆ supp(ϕa ) ⊆ Va ⊆ Ω, ezért (n∂Ω ϕa f ) = 0 ∈ LR1 (∂Ω, R∂Ω , µ∂Ω ), és az (I) alapján div(ϕa f ) : Ω → R kompakt tartójú folytonos függvény, így div(ϕa f ) ∈ LR1 (Ω, RΩ , µΩ ), és Z

Z

(n∂Ω ϕa f ) dµ∂Ω .

div(ϕa f ) dµΩ = 0 = Ω

∂Ω

Ha a ∈ A \ Ω, akkor supp(ϕa f ) ⊆ supp(ϕa ) ⊆ Va , és Va olyan nyílt környezete a-nak E -ben, hogy létezik olyan (ha , Ua , δa , Φa ) négyes, amelyre teljesülnek a bizonyítás (II) részének elején megfogalmazott a), b), c) és d) állítások, ezért a (II) alapján

div(ϕa f ) ∈ LR1 (Ω, RΩ , µΩ ), továbbá

(n∂Ω ϕa f ) ∈ LR1 (∂Ω, R∂Ω , µ∂Ω ),

Z

Z

(n∂Ω ϕa f ) dµ∂Ω ,

div(ϕa f ) dµΩ = Ω

∂Ω

és itt általában egyik integrál értéke sen nulla. Ebb®l következik, hogy

(n∂Ω f ) = n∂Ω =

X a∈A\Ω

X a∈A

!

ϕa f

=

X a∈A

(n∂Ω ϕa f ) =

(n∂Ω ϕa f ) ∈ LR1 (∂Ω, R∂Ω , µ∂Ω ),

ugyanakkor div(ϕa f ) ∈ LR1 (Ω, RΩ , µΩ ) az f -re vonatkozó hipotézis szerint teljesül, továbbá ! Z Z Z

div(f ) dµΩ = Ω

div Ω

X

a∈A

ϕa f

dµΩ =

X

a∈A Ω

div(ϕa f ) dµΩ =

19.3. FOLYTONOSAN DIFFERENCIÁLHATÓ FÜGGVÉNYEK TEREI

=

X Z a∈A ∂Ω

Z

(n∂Ω ϕa f ) dµ∂Ω =

n∂Ω

X a∈A

∂Ω

!

ϕa f

489

Z

dµ∂Ω =

(n∂Ω f ) dµ∂Ω , ∂Ω

amit bizonyítani kellett. 

19.3.

Folytonosan dierenciálható függvények terei

Most bevezetjük a parciális dierenciálegyenletek klasszikus elméletében leggyakrabban el®forduló folytonosan dierenciálható függvények tereit. Ehhez emlékeztetünk arra, hogy ha E , F normált terek és U ⊆ E nyílt halmaz, valamint r ∈ N vagy r = ∞, akkor Cr (U ; F ) jelöli az r-szer folytonosan dierenciálható U → F függvények halmazát (VII. fejezet, 5. pont), továbbá f ∈ Cr (U ; F ) esetén minden k ≤ r természetes számra Dk f jelöli az f függvény k -adik deriváltfüggvényét, ami U → Lks (E k ; F ) folytonos függvény, ahol Lks (E k ; F ) az E k → F szimmetrikus folytonos k -lineáris operátorok normált tere.

19.3.1. Jelölés. Legyen E normált tér, Ω ⊆ E nyílt halmaz és F normált tér. Ha r ∈ N

vagy r = ∞, akkor Cr (Ω; F ) jelöli azon f : Ω → F függvények halmazát, amelyekhez létezik olyan U ⊆ E nyílt halmaz és olyan f˜ ∈ Cr (U ; F ), hogy Ω ⊆ U és f˜|Ω = f . Ha r, s ∈ N vagy r = ∞ vagy s = ∞, akkor

C(r,s) (Ω; F ) := {f ∈ Cr (Ω; F ) | f |Ω ∈ Cs (Ω; F )}, (r,s)

C0

(Ω; F ) := {f ∈ C(r,s) (Ω; F ) | f kompakt tartójú}.

Természetesen C(r,0) (Ω; F ) = Cr (Ω; F ) és nyilvánvaló, hogy C(0,s) (Ω; F ) = {f ∈ C (Ω; F )|f |Ω ∈ Cs (Ω; F )}, tehát a GaussOsztrogradszkij-tétel alapformájában szerepl® (0,1) f függvényre vonatkozó feltétel úgy is megfogalmazható, hogy f ∈ C0 (Ω; E), ∂irr Ω ∩ supp(f ) = ∅ és div(f ) ∈ LR1 (Ω, RΩ , µΩ ).

Nyilvánvaló, hogy ha r, s, r0 , s0 ∈ N, vagy r = ∞, vagy s = ∞, vagy r0 = ∞, vagy 0 0 (r0 ,s0 ) s0 = ∞, akkor r ≤ r0 és s ≤ s0 esetén C(r ,s ) (Ω; F ) ⊆ C(r,s) (Ω; F ) és C0 (Ω; F ) ⊆ (r,s) C0 (Ω; F ). Az is triviális, hogy

C(r,s) (Ω; F ) = C(r,0) (Ω; F ) ∩ C(0,s) (Ω; F ), (r,s)

C0

(r,0)

(Ω; F ) = C0

(0,s)

(Ω; F ) ∩ C0

(Ω; F ).

Könnyen látható, hogy ha E normált tér, Ω ⊆ E nyílt halmaz, F normált tér, r, s ∈ N vagy r = ∞ vagy s = ∞, akkor C(r,s) (Ω; F ) lineáris altere az F (Ω; F ) függvénytérnek, (r,s) és C0 (Ω; F ) lineáris altere a C(r,s) (Ω; F ) függvénytérnek.

490

19. GAUSSOSZTROGRADSZKIJ-TÉTEL

19.3.2. Állítás. Legyen E normált tér, Ω ⊆ E nyílt halmaz és F normált tér. Ha r ∈ N,

akkor minden f ∈ Cr (Ω; F ) függvényhez és k ≤ r természetes számhoz egyértelm¶en létezik olyan Dk f : Ω → Lk (E k ; F ) folytonos függvény, amelyre teljesül az, hogy minden U ⊆ E nyílt halmazra és minden f ∈ Cr (U ; F ) függvényre: ha Ω ⊆ U és f = f |Ω , akkor Dk f = (Dk f )|Ω .

Bizonyítás. Az állítás nyilvánvalóan következik abból, hogy ha f1 , f2 : E  F olyan Cr -osztályú függvények, amelyekre Ω ⊆ Dom(f1 ) ∩ Dom(f2 ), és f1 |Ω = f = f2 |Ω , akkor f1 = f2 az Ω nyílt halmazon, így minden k ≤ r természetes számra a magasabb rend¶ folytonos dierenciálhatóság lokalitása alapján Dk f1 = Dk f2 az Ω halmazon, tehát a Dk f1 és Dk f2 deriváltfüggvények folytonossága miatt Dk f1 = Dk f2 az Ω halmazon is.  Speciálisan, ha E euklidészi tér, Ω ⊆ E nyílt halmaz és f ∈ C1 (Ω; R), akkor az el®z® állítás alapján jól értelmezett a Df : Ω → E 0 függvény; ekkor értelmezhet® a

grad(f ) := JE−1 ◦ Df : Ω → E kiterjesztett gradiens-függvény is, ahol JE az E valós Hilbert-tér által meghatározott E → E 0 kanonikus leképezés. Természetesen ekkor a grad(f ) függvény a grad(f )-nek folytonos kiterjesztése Ω-ról Ω-ra.

19.4.

Green-formulák

19.4.1. Állítás. (Green-formulák) Legyen E euklidészi tér, Ω ⊆ E reguláris határú, relatív kompakt nyílt halmaz és p ∈ C1 (Ω; R).

a) Ha u ∈ C(1,2) (Ω; R) olyan, hogy div(p.grad(u)) ∈ LR1 (Ω, RΩ , µΩ ), és v ∈ C1 (Ω; R), akkor Z

Z

v · div(p.grad(u)) dµΩ = Ω

Z

v.(grad(u)|n∂Ω ).p dµ∂Ω − ∂Ω

p.(grad(v)|grad(u)) dµΩ Ω

teljesül (aszimmetrikus Green-formula). b) Ha u, v ∈ C(1,2) (Ω; R) olyan függvények, hogy div(p.grad(u)), div(p.grad(v)) ∈ LR1 (Ω, RΩ , µΩ ), akkor Z

(u.div(p.grad(v)) − v.div(p.grad(u))) dµΩ = Ω

Z

=

(u.(grad(v)|n∂Ω ) − v.(grad(u)|n∂Ω )).p dµ∂Ω ∂Ω

teljesül (szimmetrikus Green-formula).

19.5. ALKALMAZÁS: ELLIPTIKUS PEREMÉRTÉKPROBLÉMA MEGOLDÁSÁNAK UNICITÁSA

491

Bizonyítás. a) A v : Ω → R függvény folytonos és korlátos, valamint a hipotézis szerint div(p.grad(u))∈LR1 (Ω, RΩ , µΩ ), amib®l kapjuk, hogy v.div(p.grad(u)) ∈ LR1 (Ω, RΩ , µΩ ). Másfel®l, p.(grad(v)|grad(u)) : Ω→R olyan függvény, amelynek p.(grad(v)|grad(u)) egy folytonos kiterjesztése az Ω kompakt halmazra, ezért a p.(grad(v)|grad(u)) függvény is integrálható µΩ szerint. Ugyanakkor

div(v.(p.grad(u))) = v.div(p.grad(u)) + p.(grad(v)|grad(u)) teljesül az Ω halmazon, ezért div(v.(p.grad(u))) ∈ LR1 (Ω, RΩ , µΩ ). A simasági feltevések miatt v.(p.grad(u))∈C(0,1) (Ω; E), tehát a GaussOsztrogradszkij-tétel alapformáját alkalmazhatjuk erre a függvényre. Azt kapjuk, hogy Z

Z

v.(n∂Ω |grad(u)).p dµ∂Ω =

div(v.(p.grad(u))) dµΩ = Ω

∂Ω

Z

=

Z

v.div(p.grad(u)) dµΩ + Ω

p.(grad(v)|grad(u)) dµΩ , Ω

amit bizonyítani kellett. b) Ha a b) feltételei teljesülnek, akkor v ∈ C1 (Ω; R) és u ∈ C(1,2) (Ω; R) olyan függvények, amelyekre div(p.grad(u)) ∈ LR1 (Ω, RΩ , µΩ ), továbbá u ∈ C1 (Ω; R) és v ∈ C(1,2) (Ω; R) olyan függvények, amelyekre div(p.grad(v)) ∈ LR1 (Ω, RΩ , µΩ ). Ezért az a) alapján felírható az aszimmetrikus Green-formula a (v, u) és (u, v) függvénypárra. Ha ezt a két formulát kivonjuk egymásból, akkor a szimmetrikus Green-formulát kapjuk. 

19.5.

Alkalmazás: Elliptikus peremértékprobléma megoldásának unicitása

A Green-formulák alkalmazásaként bebizonyítunk egy unicitás-tételt a másodrend¶ elliptikus parciális dierenciálegyenletek elméletéb®l.

19.5.1. Tétel. Legyen E euklidészi tér, Ω ⊆ E reguláris határú, relatív kompakt,

összefügg® nyílt halmaz, továbbá p ∈ C1 (Ω; R), q ∈ C (Ω; R), f ∈ C (Ω; R) és α, β, γ ∈ C (∂Ω; R). Feltesszük, hogy minden x ∈ Ω esetén p(x) > 0, q(x) ≥ 0, továbbá minden x ∈ ∂Ω pontra α(x)β(x) ≥ 0 (vagyis α és β a ∂Ω minden pontjában egyforma el®jel¶), és [β = 0] ⊆ [α 6= 0].

a) Ha q nem azonosan nulla, akkor legfeljebb egy olyan u ∈ C(1,2) (Ω; R) függvény létezik, amelyre −div(p.grad(u)) + q.u = f az Ω halmazon,

492

19. GAUSSOSZTROGRADSZKIJ-TÉTEL

α.u + β.(grad(u)|n∂Ω ) = γ a ∂Ω halmazon. b) Ha u1 , u2 ∈ C(1,2) (Ω; R) olyan függvények, hogy

−div(p.grad(u1 )) = f = −div(p.grad(u2 )) az Ω halmazon, α.u1 + β.(grad(u1 )|n∂Ω ) = γ = α.u2 + β.(grad(u2 )|n∂Ω ) a ∂Ω halmazon, akkor az u1 − u2 : Ω → R függvény állandó. Bizonyítás. Legyenek u1 , u2 ∈ C(1,2) (Ω; R) olyan függvények, amelyekre

−div(p.grad(u1 )) + q.u1 = f = −div(p.grad(u2 )) + q.u2 az Ω halmazon, α.u1 + β.(grad(u1 )|n∂Ω ) = γ = α.u2 + β.(grad(u2 )|n∂Ω ) a ∂Ω halmazon. Ekkor u := u1 − u2 ∈ C(1,2) (Ω; R) olyan függvény, amelyre

−div(p.grad(u)) + q.u = 0 az Ω halmazon, α.u + β.(grad(u)|n∂Ω ) = 0 a ∂Ω halmazon. Azt kell megmutatni, hogy az u függvény állandó, és ha q nem azonosan nulla, akkor u = 0. Ehhez az (u, u) függvénypárra felírjuk az aszimmetrikus Green-formulát: Z

Z

Z

u.(n∂Ω |grad(u)).p dµ∂Ω −

u · div(p.grad(u)) dµΩ = Ω

p.kgrad(u)k2 dµΩ ,

Ω

∂Ω

és kihasználjuk azt, hogy div(p.grad(u)) = q.u az Ω halmazon, továbbá ‚ Œ gyelembe α .u, míg a vesszük azt, hogy a [β 6= 0] ⊆ ∂Ω halmazon (n∂Ω |grad(u)) = − β [β = 0] ⊆ [α 6= 0] ⊆ ∂Ω halmazon u = 0. Azt kapjuk, hogy Z

Z ‚

2

q.u dµΩ = − Ω

‚

∂Ω

α β

Œ◦

.u2 .p dµ∂Ω −

Z

p.kgrad(u)k2 dµΩ ,

Ω

Œ

α α ◦ ahol jelöli az : [β 6= 0] → R függvény 0-val vett kiterjesztését ∂Ω-ra. A bal β β oldalon álló integrál integrandusa pozitív függvény, mert q ≥ 0 az Ω halmazon, ezért az integrál is pozitív. A jobb álló integrálok integrandusai szintén pozitívak, mert ‚ oldalon Œ α ◦ p ≥ 0 az Ω halmazon és ≥ 0 a ∂Ω halmazon. Ebb®l következik, hogy β Z

2

Z ‚

q.u dµΩ = 0, Ω

∂Ω

α β

Œ◦

2

Z

.u .p dµ∂Ω = 0, Ω

p.kgrad(u)k2 dµΩ = 0,

19.6. A GAUSSOSZTROGRADSZKIJ-TÉTEL ÁLTALÁNOSÍTÁSAIRÓL

493

 ◦

így q.u2 = 0 az Ω halmazon µΩ -majdnem mindenütt, és αβ .u2 .p = 0 a ∂Ω halmazon µ∂Ω -majdnem mindenütt, valamint p.kgrad(u)k2 = 0 az Ω halmazon µΩ -majdnem mindenütt. A feltevés szerint minden Ω 3 x-re p(x) > 0, ezért a harmadik egyenl®ségb®l kapjuk, hogy kgrad(u)k2 = 0 az Ω halmazon µΩ -majdnem mindenütt. A grad(u) függvény folytonossága miatt ebb®l következik, hogy grad(u) = 0 az Ω halmazon. Az Ω összefügg®sége alapján az u|Ω : Ω → R függvény állandó, tehát az egyenl®ségek folytatásának elvét alkalmazva kapjuk, hogy az u : Ω → R függvény is állandó. A q.u2 függvény folytonos az Ω halmazon, ezért q.u2 = 0. Ha tehát x ∈ Ω olyan pont, hogy q(x) 6= 0, akkor u(x) = 0, ezért u = 0. Ha viszont q = 0, akkor csak arra következtethetünk, hogy u állandó. 

19.6.

A GaussOsztrogradszkij-tétel általánosításairól

A GaussOsztrogradszkij-tétel alapformájában szerepl® Ω nyílt halmazra és f vektormez®re feltettük azt, hogy (∂irr Ω)∩supp(f ) = ∅. Ez automatikusan teljesül akkor, ha ∂irr Ω = ∅, vagyis ha Ω reguláris határú. Másfel®l, a gyakorlatban sokszor el®fordulnak nem reguláris határú nyílt halmazok és olyan vektormez®k, amelyekre teljesülnek a GaussOsztrogradszkij-tétel alapformájában megfogalmazott feltételek, kivéve azt, hogy (∂irr Ω) ∩ supp(f ) = ∅. Ezért szükség van a GaussOsztrogradszkij-tétel általánosítására olyan esetben, amikor (∂irr Ω) ∩ supp(f ) 6= ∅. Többféle általánosítás létezik; ezek egyike a következ®.

19.6.1. Tétel. (GaussOsztrogradszkij-tétel) Legyen E euklidészi tér, Ω ⊆ E nyílt halmaz, és (ϕn )n∈N olyan függvénysorozat, hogy minden N 3 n-re ϕn : E → R folytonosan dierenciálható függvény, ∂irr Ω ⊆ Int([ϕn = 1]), 0 ≤ ϕn ≤ 1 és lim ϕn = χ∂irr Ω . n→∞

(0,1) C0 (Ω; E)

a) Ha f ∈ olyan függvény, hogy div(f ) : Ω → R µΩ -integrálható és (f |n∂Ω ) : ∂Ω → R µ∂Ω -integrálható függvény, akkor minden N 3 n-re a (grad(ϕn )|f ) függvény Ω-ra vett lesz¶kítése µΩ -integrálható, továbbá Z

lim

Z

(grad(ϕn )|f ) dµΩ =

n→∞ Ω

Z

div(f ) dµΩ − Ω

(n∂Ω |f ) dµ∂Ω . ∂Ω

b) Ha a (ϕn )n∈N függvénysorozatra teljesül az is, hogy

lim

Z ∗

n→∞

kgrad (ϕn |Ω )k dµΩ = 0,

Ω (0,1)

akkor minden f ∈ C0 (Ω; E) függvényre: ha div(f ) : Ω → R µΩ -integrálható és (n∂Ω |f ) : ∂Ω → R µ∂Ω -integrálható függvény, akkor Z

Z

div(f ) dµΩ = Ω

(n∂Ω |f ) dµ∂Ω ∂Ω

494

19. GAUSSOSZTROGRADSZKIJ-TÉTEL

(függetlenül attól, hogy (∂irr Ω) ∩ supp(f ) üres-e vagy sem).

Bizonyítás. Ha a) igaz és teljesülnek a b) feltételei, akkor minden n ∈ N esetén Z

Ω

(grad(ϕn )|f ) ‚

dµΩ

Z

≤

ŒZ

≤ sup kf (x)k x∈Ω

ezért fennállnak a Z

Ω ∗

kgrad (ϕn |Ω ) k dµΩ ,

Ω

Z

div(f ) dµΩ − Ω

|(grad(ϕn )|f )| dµΩ ≤

Z

(f |n∂Ω ) dµ∂Ω = lim

(grad(ϕn )|f ) dµΩ = 0

n→∞ Ω

∂Ω

egyenl®ségek. Tehát elegend® az a) állítást igazolni. (0,1)

Legyen f ∈ C0 (Ω; E) olyan függvény, hogy div(f ) : Ω → R µΩ -integrálható és (n∂Ω |f ) : (0,1) ∂Ω → R µ∂Ω -integrálható függvény. Ha n ∈ N, akkor az (1 − ϕn ).f ∈ C0 (Ω; E) függvényre teljesülnek a GaussOsztrogradszkij-tétel alapformájának feltételei. Valóban, [(1 − ϕn ).f 6= 0] ⊆ supp(f ) \ Int([ϕn = 1]), és itt a jobb oldalon olyan kompakt halmaz áll, amely nem metszi az ∂irr Ω halmazt, tehát a supp((1 − ϕn ).f ) halmaz is kompakt és nem metszi ∂irr Ω-t. Ugyanakkor minden n ∈ N esetén a div(f ) függvénnyel együtt ϕn .div(f ) is integrálható µΩ szerint, mert ϕn korlátos és µΩ -mérhet® (IX. fejezet, 8. pont, 2. gyakorlat). Megmutatjuk, hogy n ∈ N esetén a (grad(ϕn )|f ) függvény Ω-ra vett lesz¶kítése µΩ inetgrálható. Világos, hogy ez az Ω-n értelmezett függvény folytonos és kompakt tartójú, ezért létezik olyan ψn : E → R kompakt tartójú folytonos függvény, amely ennek kiterjesztése (Függelék, 3. pont, Tietze-tétel lokálisan kompakt terekre). Ezért ha u : Rdim(E) → E tetsz®leges lineáris bijekció, akkor a ψn ◦ u : Rdim(E) → R függvény kompakt tartójú, folytonos, és kiterjesztése a (grad(ϕn )|f ) ◦ u függvénynek. Ekkor a IX. fejezet 1. pontjának eredményei alapján következik, hogy a (grad(ϕn )|f ) ◦ u függvény −1 u hΩi halmazra vett lesz¶kítése µdim(E) -integrálható, tehát a (grad(ϕn )|f ) függvény Ω-ra vett lesz¶kítése µΩ -integrálható. Az el®z®ekb®l kapjuk, hogy n ∈ N esetén a div((1 − ϕn ).f ) : Ω → R függvény µΩ -integrálható, hiszen

div((1 − ϕn ).f ) = div(f ) − ϕn .div(f ) − (grad(ϕn )|f ), és az egyenl®ség jobb oldalán álló függvények µΩ -integrálhatók. Tehát minden n ∈ N esetén (1 − ϕn ).f olyan függvény, amelyre teljesülnek a GaussOsztrogradszkij-tétel alapformájának feltételei. Továbbá, minden N 3 n-re Z

Z

div(f ) dµΩ − Ω

Z

ϕn .div(f ) dµΩ − Ω

(grad(ϕn )|f ) dµΩ = Ω

19.6. A GAUSSOSZTROGRADSZKIJ-TÉTEL ÁLTALÁNOSÍTÁSAIRÓL

495

Z

Z

=

div((1 − ϕn ).f ) dµΩ = Ω

∂Ω

Z

=

(n∂Ω |(1 − ϕn ).f ) dµ∂Ω = Z

(n∂Ω |f ) dµ∂Ω − ∂Ω

ϕn .(n∂Ω |f ) dµ∂Ω , ∂Ω

ahol kihasználtuk azt, hogy a feltevés alapján a (n∂Ω |f ) : ∂Ω → R függvény µ∂Ω integrálható. Ebb®l következik, hogy n ∈ N esetén Z

Z

div(f ) dµΩ − Ω

Z

=

∂Ω

Z

(grad(ϕn )|f ) dµΩ + Ω

(n∂Ω |f ) dµ∂Ω = Z

ϕn .div(f ) dµΩ − Ω

ϕn .(n∂Ω |f ) dµ∂Ω . ∂Ω

A lim ϕn = χ∂irr Ω feltétel, valamint Ω ∩ (∂irr Ω) = ∅ és (∂Ω) ∩ (∂irr Ω) = ∅ miatt n→∞ lim (ϕn .div(f )) = 0 az Ω halmazon, és n→∞ lim (ϕn .(n∂Ω |f )) = 0 a ∂Ω halmazon. n→∞ Ugyanakkor n ∈ N esetén |ϕn .div(f )| ≤ |div(f )| az Ω halmazon, és |ϕn .(n∂Ω |f )| ≤ |(n∂Ω |f )| a ∂Ω halmazon; továbbá az f -re vonatkozó integrálhatósági feltételek alapján Z ∗

|div(f )| dµΩ < +∞,

Ω

Z ∗

|(n∂Ω |f )| dµ∂Ω < +∞.

∂Ω

Ezért a Lebesgue-tételb®l kapjuk, hogy Z

lim

Z

ϕn .div(f ) dµΩ = 0,

n→∞ Ω

Ebb®l azonnal következik, hogy Z

lim n→∞

lim

n→∞ ∂Ω

ϕn .(n∂Ω |f ) dµ∂Ω = 0.

Z

(grad(ϕn )|f ) dµΩ = Ω

Z

div(f ) dµΩ − Ω

(n∂Ω |f ) dµ∂Ω , ∂Ω

amit bizonyítani kellett.  Figyeljük meg, hogy az el®z® tétel b) részében az (f |n∂Ω ) : ∂Ω → R uxuss¶r¶ség µ∂Ω -integrálhatósága hipotézisként szerepel, míg a GaussOsztrogradszkij-tétel alapformájában (a többi feltétel alapján) ezt bizonyítani lehetett! Megmutatható, hogy minden H ⊆ E zárt halmazhoz létezik olyan (ϕn )n∈N függvénysorozat, hogy minden N 3 n-re ϕn : E → R C∞ -osztályú függvény, H ⊆ Int([ϕn = 1]), 0 ≤ ϕn ≤ 1 és n→∞ lim ϕn = χH . De ha Ω ⊆ E nyílt halmaz, akkor a ∂irr Ω zárt halmazhoz nem szükségképpen választható meg a (ϕn )n∈N fügvénysorozat úgy, hogy (az Z ∗

el®z® feltételek mellett) még lim

n→∞ Ω

kgrad (ϕn |Ω )k dµΩ = 0 is teljesüljön. Kiderül, hogy

ilyen tulajdonságú (ϕn )n∈N függvénysorozat létezése a ∂irr Ω irreguláris határ "analitikus geometriai szerkezetén" múlik. A pontos állítások megtalálhatók a [10] könyvben.