A matematika természete – a természet matematikája
A Bevezetés bevezetése: mi és a minket körülvevő világ „Földtől eloldja az eget a hajnal s tiszta, lágy szavára a bogarak, a gyerekek kipörögnek a napvilágra; a levegőben semmi pára, a csilló könnyűség lebeg! Az éjjel rászálltak a fákra, mint kis lepkék, a levelek. Kék, piros, sárga, összekent képeket láttam álmaimban és úgy éreztem, ez a rend – egy szálló porszem el nem hibbant. Most homályként száll tagjaimban álmom s a vas világ a rend. Nappal hold kél bennem s ha kinn van az éj – egy nap süt idebent. .................. Akár egy halom hasított fa, hever egymáson a világ, szorítja, nyomja, összefogja egyik dolog a másikát s így mindenik determinált. Csak ami nincs, annak van bokra, csak ami lesz, az a virág, ami van, széthull darabokra.”
Platóni testek: (az öt szabályos poliéder): – tetraéder – hexaéder – oktaéder – dodekaéder – ikozaéder
(tűz) (föld) (levegő) (világmindenség alakja) (víz)
(József Attila: Eszmélet /részlet/) szabályszerűségek a világ leírása ezek segítségével a matematika, mint megannyi szakterület segédeszköze vegyészet, mérnöki – de nemcsak: mathéma = tudomány (görög) ? csillagászat, földrajz – de nemcsak: geológia, botanika, orvostudomány – de: festészet, szobrászat, költészet, zene (!)
Bevezetés szabályszerűségek – a rendkívül széles skála ? : osztódás, hópelyhek, növények, idomok, bolygók, csigaház, páfrány, növekedés! kis majom-nagy majom, kis párduc-nagy párduc a matematika ezek leírására ? sorozatok ? 0 1 2 3 4 5 idő múlása 1 2 4 8 16 32 osztódás 0 1 1 2 3 5 Fibonacci ? 1 φ φ2 φ3 φ4 φ5 Lucas ? " számok ? p q π Ludolph-féle szám ? (Ludolph van Ceulen, 1550-1617; 35 tizedesjegyig számolta ki a π-t, de maga a „π” elnevezés csak 1739 óta Euler javaslatára) előállítása: • Wallis 1659, végtelen szorzatként: π 2⋅2 4⋅4 6⋅6 2 n ⋅ 2n 2
=
⋅ ⋅ ⋅ ...... 1⋅ 3 3 ⋅ 5 5 ⋅ 7 (2n − 1) ⋅ (2n + 1)
• Leibniz 1673, végtelen összegként: π 1 1 1 1 n +1 4
e
=1−
3
+
5
−
7
± ...... + (−1)
⋅
(2n − 1)
Euler-féle szám ? ⎛ n →∞⎝
1⎞ n⎠
a
b
előállítása: e = lim ⎜1 + ⎟ φ " φ=1,618033989 előállítása:
n
n
(érd:
1 1⎞ ⎛ = lim ⎜1 − ⎟ ) → ∞ n e n⎠ ⎝
b a+b = a b b 1+ b = b 1 b2 − b −1 = 0
Előadás 1. A Fibonacci-sorozat Leonardo Pisano Fibonacci, 1170-1250: Itáliából az arab világba került, megismerte az arab kultúrát és tudományokat; sokat foglalkozott az arab matematikával. A sorozat rekurzív képlete:
a1=1
a2=1
an= an-2 · an-1
nyulak ? " 1 1 +
2 1 3
1 2
1
3 2 5
5 3 8
8 5 13
minden n-edik tag osztható n-nel: 1 1
2 1
3 2
4 3
Bizonyítás:
5 5
6 8
7 13
8 21
(an osztója an –nek; a|b a osztója b-nek)
an|an
n n+1 n+2 n+3 n+4 n+5 an an+1 (an+an+1) (an+2an+1) (2an+3an+1) (3an+5an+1)
lépcső Lépcsőn felfelé haladva, egyszerre csak egy vagy két lépcsőfokot lépve hányféleképpen juthatunk fel az n-edik lépcsőfokra? (Ahol állunk, az az 1-es lépcső.) 6.
5. 4. 3. 2. 1. 1
2
3
5
8
fa növekedése (nyulak ) „Hány pár nyúl származhat egyetlen pártól, ha két hónap alatt válnak ivarérettekké, és minden hónapban születik egy pár nyúl?”
1
2
3
5
8
13
„ugyanaz kicsiben, mint nagyban” (fraktálok) önhasonlóság: a sorozat definíciójából következik a számtani sorozat szintén, DE! p-függő a mértani sorozat szintén, DE! q-függő egy (arányossági) tényező írja le őket több is létezik belőlük nem önhasonlóak, hanem p/q-hasonlóak (Megjegyzés: az an= an-2 · an-1 sorozat: 1 2
0
2 2
1
3 2
1
4 2
2
5 2
3
6 2
5
7 2
8
8 2
13
nem „teljesen” önhasonló, 2 alapú ettől eltekintve igen Fibonacci-sorozat)
önhasonlóság
nagyon gyakori a természetben (kis majom – nagy majom) növények szárán a rügyek, levelek, ágak elhelyezkedése NEM VÉLETLEN, DE! A Fibonacci-sorozaton túl (de vele mégis összhangban) más is leírja a jelenséget ?
a sorozat egymást követő tagjának hányadosai φ-hez tartanak " számok φ ? 2. Az aranymetszés és a Lucas-sorozat aφ előállítása , elnevezése: (90 évvel ezelőtt M. Barr javaslatára:) Pheidiasz-ról
φ −1 =
1
az egyetlen (!) ilyen szám
φ
arany négyszög logaritmikus spirális az egyetlen olyan spirális, amely nem változtatja az alakját, miközben növekszik napraforgó (34 spirális fordul az egyik, 55 a másik irányba; kisebb esetekben 21/34 vagy 13/21; de ilyen pl. a dália is), csigaház az aranymetszés és a Fibonacci-sorozat Mértani sorozat: a második tagtól kezdve bármely elem az előtte lévő és őt követő elem mértani középarányosa. Másképpen fogalmazva: a középső elem négyzete a vele közvetlenül szomszédos elemek szorzatával egyenlő. A Fibonacci-sorozat esetén: a sorozat bármely elemének a négyzete (a másodiktól kezdve) a szomszédos elemek szorzatánál egyel kisebb vagy egyel nagyobb. n
an
1 2 3 4 5 6
1 1 2 3 5 8
1 1 4 9 25 64
a Lucas-sorozat rekurzív módon képezhető, de mértani is egyben: b a+b = a b
φ=
1
φ
+1
b = φ =: q a ⋅φ
φ 2 =1+φ φ3 =φ +φ2
stb...
3. Fraktálok definíció ? önhasonló alakzatok „ugyanaz kicsiben, mint nagyban” a nem egész dimenziójú alakzatok
1
2
3
fa-fraktál , csigaház, hópehely, növekedés (!) bolygók mozgása Pascal-háromszög ? genetika: allélok ?
Mellékletek
1. A hang Az emberi érzékelés olyan természetű, hogy az egymás után megszólaló hangokat akkor érzi azonos távolságra egymástól, ha az alaphangok aránya, és nem a különbsége egyezik meg. Több egyszerre megszólaló hang lehet konszonáns vagy disszonáns (kellemes vagy kellemetlen benyomást keltenek együtt). Két hang akkor konszonáns, ha a hangközük kis egész számok arányával írható le. Abszolút konszonáns: Teljes konszonancia: Közepesen konszonáns: Konszonáns még (3 hang):
oktáv kvint kvart nagy terc nagy szext a dúr a moll
2:1 3:2 4:3 5:4 5:3 5 3 1 : : és 4 2 6 3 1 : : hármashangzat. 5 2
2. Az e és 1/e előállítása 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1,E+06
2 2,25 2,3704 2,4414 2,4883 2,5216 2,5465 2,5658 2,5812 2,5937 2,6042 2,613 2,6206 2,6272 2,71828
0 0,25 0,2963 0,3164 0,3277 0,3349 0,3399 0,3436 0,3464 0,3487 0,3505 0,3520 0,3533 0,3543 0,367879
3. A Fibonacci-sorozat egymást követő tagjának hányadosai φ-hez tartanak 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89
1 2 1,5 1,6667 1,6 1,625 1,6154 1,6190 1,6176 1,6182
4. A Lucas-sorozat 0
φ 1 φ 2 φ 3 φ 4 φ 5 φ 6 φ 7 φ 8 φ 9 φ 10 φ
1 1,61803 2,61803 4,23607 6,8541 11,0902 17,9443 29,0344 46,9787 76,0132 122,992
5. Allélok: AaBbCc × AaBbCc
ABC
AABBCC AABBCc AABbCC AABbCc AaBBCC AaBBCc AaBbCC AaBbCc
ABc
AABBCc
AbC
AaBBcc
AaBbCc
AaBbcc
AABbCC AABbCc AAbbCC AAbbCc
AaBbCC AaBbCc
AabbCC
AabbCc
Abc
AABbCc
AaBbCc
AaBbcc
AabbCc
Aabbcc
aBC
AaBBCC AaBBCc AaBbCC AaBbCc
aaBBCC aaBBCc
aaBbCC
aaBbCc
aBc
AaBBCc
AaBBcc
AaBbCc
AaBbcc
aaBBCc
aaBBcc
aaBbCc
aaBbcc
abC
AaBbCC AaBbCc
AabbCC
AabbCc
aaBbCC
aaBbCc
aabbCC
aabbCc
abc
AaBbCc
AabbCc
Aabbcc
aaBbCc
aaBbcc
aabbCc
aabbcc
magas magas magas magas alacsony alacsony alacsony alacsony
Minőség zöld zöld sárga sárga zöld zöld sárga sárga
sima ráncos sima ráncos sima ráncos sima ráncos
Darab 27 9 9 3 9 3 3 1
A a B b C c
AABBcc
AABbcc
AaBbcc
AABbCc
AAbbCc
magas növekedésű alacsony zöld hüvelyű sárga sima héjú ráncos
A, B, C: domináns allél a, b, c: recesszív allél
AABbcc
Aabbcc
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8.
AaBBCc
6. Fraktálok
7. Az aranymetszés térgeometriája
A legkülönlegesebb kapcsolat az ikoza- és az oktaéder között figyelhető meg. Az oktaéder egy ikozaédert rejt magában oly módon, hogyha az oktaéder éleinek aranymetsző pontjait összekötjük egy ikozaédert kapunk eredményül.
Hogy hogyan lehetséges ez, egyből előtűnik, ha a két test „vázát” vesszük szemügyre. Ha három aranytéglalapot speciális helyzetbe állítunk, azaz egymásra merőleges és egymást metsző helyzetbe hozunk, a kapott „kereszt” éppen egy ikozaédert eredményez.
Ebből a „vázból” pedig úgy jutunk el az oktaéder „vázáig”, hogy a téglalapokat négyzetekké egészítjük ki. Az aranytéglalap és a köré írható négyzet úgy helyezkednek el egymáshoz képest, hogy a négyzet oldalainak megfelelő aranymetsző pontjai határozzák meg a téglalap csúcspontjait. Ebből a tényből, valamint abból, hogy a három egymást metsző négyzet egy oktaédert határoz meg, egyértelműen következik, hogy az oktaéder éleinek aranymetsző pontjai egy ikozaéder csúcspontjai lesznek.
De vajon mi köze mindehhez a dodekaédernek? Ez a „triumvirátus” benne is megtalálható, csak még jobban elrejtve. A dodekaéder és az ikozaéder között egy különleges kapcsolat van. Ez a két test egymásnak duálisa, ami azt jelenti, hogy az egyik lapközéppontjai a másik csúcspontjait határozzák meg. Tehát az ikozaéder csúcspontjai egy dodekaéder lapközéppontjait határozzák meg, ami azt jelenti, hogy a három aranytéglalap csúcsai ezúttal egy dodekaéder lapközéppontjaival egyeznek meg:
23 80 85 68
12 0 68 0 30 60 11 62 8
13 6 81 6 38 76
15 3
96 9 71 5
10 01
16 17
13 6 15 3
68 0 81 6 96 9
23 80 30 60 38 76
43 68 61 88 85 68 11 62 8
18 50 56 38 4 8 27 13 2
18 20
13 65
56 0
45 5
36 4
28 6
12 0
10 5
91
78
66
15
14
13
12
11
10
9
8
12 31 75 37 82 58 6 4 2
10 01
55
45
36
30 03
22 0
16 5
12 0
80 08
71 5
49 5
33 0
19 92 43 44 37 75 8 8 8
20 02
12 87
79 2
50 05
17 16
11 48 24 92 44 62 31 37 0 0 0 8
7
6
30 03
28
21
5
64 35
84
56
15
4
3
2
1
12 43 75 24 87 75 58 31 0 8 2 0
21 0
12 6
35
10
6
3
1
34 32
46 2
25 2
70
20
10
4
1
64 35
92 4
46 2
12 6
35
15
5
1
19 31 11 50 44 82 44 38 4 8 0 8
17 16
79 2
21 0
56
21
6
1
30 03
12 87
33 0
84
12 0
16 5 49 5
28
7
1
36
8
1
45
9
1
50 05
80 08
22 0
28 6
20 02
55
10
11 66
1
1
27 12 18 13 37 56 2 4 6
13 65
36 4
78
12
1
30 03
61 88
18 20
45 5
91
13
1
43 68
56 0
10 5
14
15
16
17
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
8. Pascal-háromszög
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
1 2 3 4 5 6 7 8 9 # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # #
1 3 6 # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # #
1 4 # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # #
1 5 # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # #
1 6 # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # #
1 7 # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # #
1 8 # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # #
1 9 # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # #
1 # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # #
1 # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # #
1 # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # #
1 # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # #
1 # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # #
1 # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # #
1 # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # #
1 # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # #
1 # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # #
1 # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # #
1 # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # #
1 # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # #
1 # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # #
1 # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # #
1 # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # #
1 # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # #
1 # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # #
1 # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # #
1 # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # #
1 # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # #
1 # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # #
1 # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # #
1 # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # #
1 # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # #
1 # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # #
1 # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # #
1 # # # # # # # # # # # # # # # # # # # #
1 # # # # # # # # # # # # # # # # # # #
1 # # # # # # # # # # # # # # # # # #
1 # # # # # # # # # # # # # # # # #
1 # # # # # # # # # # # # # # # #
1 # # # # # # # # # # # # # # #
1 # # # # # # # # # # # # # #
1 # # # # # # # # # # # # #
1 # # # # # # # # # # # #
1 # # # # # # # # # # #
1 # # # # # # # # # #
1 # # # # # # # # #
1 # # # # # # # #
1 # # # # # # #
1 # # # # # #
1 # # # # #
1 # # # #
1 1 1 1 # # # # # #
A matematika természete – a természet matematikája
π 2
π 4
=
2⋅2 4⋅4 6⋅6 2n ⋅ 2n ⋅ ⋅ ⋅ ...... 1⋅ 3 3 ⋅ 5 5 ⋅ 7 ( 2n − 1) ⋅ (2n + 1)
=1−
Wallis
1 1 1 1 + − ± ...... + (−1) n +1 ⋅ 3 5 7 (2n − 1)
1⎞ ⎛ e = lim ⎜1 + ⎟ n → ∞⎝ n⎠
Leibniz b a+b = a b
n
A matematika természete – a természet matematikája
π 2
π 4
=
2⋅2 4⋅4 6⋅6 2n ⋅ 2n ⋅ ...... ⋅ ⋅ 1⋅ 3 3 ⋅ 5 5 ⋅ 7 (2n − 1) ⋅ (2n + 1)
=1−
Wallis
1 1 1 1 + − ± ...... + (−1) n +1 ⋅ 3 5 7 (2n − 1)
1⎞ ⎛ e = lim ⎜1 + ⎟ n →∞ ⎝ n⎠
Leibniz b a+b = a b
n
b 1+ b = b 1
b 1+ b = b 1
b2 − b −1 = 0
A Fibonacci-sorozat és a Lucas-sorozat
A Fibonacci-sorozat és a Lucas-sorozat 0
1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89
1 2 1,5 1,6667 1,6 1,625 1,6154 1,6190 1,6176 1,6182
b2 − b −1 = 0
φ 1 φ 2 φ 3 φ 4 φ 5 φ 6 φ 7 φ 8 φ 9 φ 10 φ
1 1,61803 2,61803 4,23607 6,8541 11,0902 17,9443 29,0344 46,9787 76,0132 122,992
0
1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89
1 2 1,5 1,6667 1,6 1,625 1,6154 1,6190 1,6176 1,6182
φ 1 φ 2 φ 3 φ 4 φ 5 φ 6 φ 7 φ 8 φ 9 φ 10 φ
1 1,61803 2,61803 4,23607 6,8541 11,0902 17,9443 29,0344 46,9787 76,0132 122,992
1
2
3
5
8
13
5.
1
2
3
5
8
6.
13
5.
4.
6.
4.
3.
3.
2.
2.
1.
1. 1
2
3
5
8
1
2
3
5
8
