´zis karakterisztika ´ val A hisztere jellemzett rendszerek ´ es a ´rsza ´ m´ıta ´ s kapcsolata numerikus te ´Irta:
´ s, Ph.D Dr. Kuczmann Miklo egyetemi docens ´lt doktor c´ımre pa ´lya ´zik aki a habilita ˝szaki tudoma ´nyok tudoma ´nyteru ¨leten Mu ´nyok tudoma ´nya ´gban Informatikai tudoma a ´chenyi Istva ´n Egyetem Sze ˝szaki Tudoma ´nyi Kara ´n Mu
´n Egyetem, Mu ˝szaki Tudoma ´nyi Kar Sz´ echenyi Istva ´ ¨ ki Int´ Jedlik Anyos G´ ep´ esz-, Informatikai ´ es Villamosm´ erno ezet ´vko ¨ zl´ ´gneses Terek Laborato ´ rium Ta esi Tansz´ ek, Elektroma ˝ Gyor 2010
Tartalomjegyz´ ek 1. Bevezet˝ o 1.1. A kutat´as el˝ozm´enye . . . . . 1.2. A kutat´as tervezett c´elkit˝ uz´ese 1.3. A dolgozat fel´ep´ıt´ese . . . . . 1.4. Publik´aci´ok . . . . . . . . . . 1.5. K¨osz¨onetnyilv´an´ıt´as . . . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
2. Irodalmi ´ attekint´ es 2.1. A hiszter´ezis oper´ator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.1. A skal´ar Preisach-modell . . . . . . . . . . . . . 2.1.2. A vektor Preisach-modell . . . . . . . . . . . . . 2.2. A m´agneses hiszter´ezis karakterisztika m´er´ese . . . . . 2.2.1. A skal´ar karakterisztika . . . . . . . . . . . . . . 2.2.2. A vektor karakterisztika . . . . . . . . . . . . . 2.3. Elektrodinamikai rendszerek numerikus anal´ızise . . . . 2.3.1. A Maxwell-egyenletek . . . . . . . . . . . . . . 2.3.2. Potenci´alformalizmusok . . . . . . . . . . . . . 2.3.3. A s´ ulyozott marad´ek elve, a v´egeselem-m´odszer 2.3.4. A nemlinearit´as figyelembe v´etele . . . . . . . . 3. A hiszer´ ezis jelens´ eg´ enek vizsg´ alata 3.1. A skal´ar hiszter´ezis karakterisztika . . . . . . . . 3.1.1. A jelens´eg m´er´es u ´ tj´an t¨ort´en˝o vizsg´alata 3.1.2. A modell bemutat´asa . . . . . . . . . . . 3.1.3. A modell verifik´aci´oja . . . . . . . . . . . 3.2. A vektor hiszter´ezis karakterisztika . . . . . . . 3.2.1. A jelens´eg m´er´es u ´ tj´an t¨ort´en˝o vizsg´alata 3.2.2. A modell bemutat´asa . . . . . . . . . . . 3.2.3. A modell identifik´aci´oja . . . . . . . . . 3.2.4. A modell verifik´aci´oja . . . . . . . . . . . 3.3. A tudom´anyos eredm´enyek ¨osszefoglal´asa . . . . I
. . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
. . . . .
. . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
. . . . .
. . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
. . . . .
. . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
. . . . .
. . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
. . . . .
. . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
. . . . .
. . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
. . . . .
. . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
. . . . .
. . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
. . . . .
. . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
. . . . .
1 1 2 4 4 7
. . . . . . . . . . .
8 8 9 12 14 14 15 18 19 20 26 32
. . . . . . . . . .
33 33 33 37 40 41 41 47 48 50 52
Kuczmann Mikl´os
Habilit´aci´os disszert´aci´o
2010
4. A hiszter´ ezis karakterisztika illeszt´ ese numerikus technik´ akhoz 4.1. A fixpontos technika r¨ovid bemutat´asa . . . . . . . . . . . . . . . 4.2. A polariz´aci´os formula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3. A polariz´aci´os formula alkalmaz´asa a potenci´alformalizmusokban . 4.4. A nemline´aris formalizmusok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4.1. A direkt karakterisztika alkalmaz´asa . . . . . . . . . . . . 4.4.2. Az inverz karakterisztika alkalmaz´asa . . . . . . . . . . . . 4.5. A T~ 0 potenci´al k¨ozel´ıt´ese ´elmenti v´egeselemekkel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.6. A tudom´anyos eredm´enyek ¨osszefoglal´asa . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . .
54 55 56 58 60 60 62
. . . . . . . .
63 64
. . . . . .
. . . . . .
5. A v´ egeselem-m´ odszer alkalmaz´ asa a villamosm´ ern¨ oki tervez´ esben 5.1. Line´aris ¨orv´eny´aram´ u feladat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2. A skal´ar hiszter´ezis m´er´es´ere alkalmas elrendez´es numerikus anal´ızise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3. Nemline´aris statikus m´agneses t´er sz´am´ıt´asa . . . . . . . . . . . . . . 5.3.1. A 10-es sz´am´ u T.E.A.M. tesztfeladat . . . . . . . . . . . . . . 5.3.2. A 13-as sz´am´ u T.E.A.M. tesztfeladat . . . . . . . . . . . . . . 5.3.3. A 24-es sz´am´ u T.E.A.M. tesztfeladat . . . . . . . . . . . . . . 5.4. A vektor hiszter´ezis m´er´es´ere alkalmas elrendez´es numerikus anal´ızise tervez´ese . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.4.1. A szimul´aci´ok fontosabb adatai . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.4.2. A szimul´aci´os eredm´enyek bemutat´asa . . . . . . . . . . . . . 5.5. A tudom´anyos eredm´enyek ¨osszefoglal´asa . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . .
. . . . . . . . . . . . ´es . . . . . . . .
66 67 70 71 71 73 74 76 76 77 83
6. Az u ´j tudom´ anyos eredm´ enyek ¨ osszefoglal´ asa
84
7. Tov´ abbi kutat´ asi feladatok
87
A. A m´ er´ esek sor´ an haszn´ alt eszk¨ oz¨ ok A.1. A m´er´esi adatgy˝ ujt˝o rendszer . . . . . . A.2. A LabVIEW . . . . . . . . . . . . . . . . A.3. A m´er´est vez´erl˝o program . . . . . . . . A.4. A m´er´esek sor´an haszn´alt egy´eb eszk¨oz¨ok
. . . .
88 89 90 90 93
B. Az izotr´ op vektormodell identifik´ aci´ oja B.1. Az Everett-f¨ uggv´eny diszkretiz´al´asa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . B.2. Az identifik´aci´o els˝o l´ep´ese . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . B.3. Az identifik´aci´o m´asodik l´ep´ese . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
96 96 97 99
II
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
Kuczmann Mikl´os
Habilit´aci´os disszert´aci´o
2010
C. Potenci´ alformalizmusok ´ es gyenge alakjaik C.1. A Φ-formalizmus . . . . . . . . . . . . . . . . ~ C.2. A k¨ot¨ott A-formalizmus . . . . . . . . . . . . ~ C.3. A szabad A-formalizmus . . . . . . . . . . . . ~ , Φ − Φ-formalizmus . . . . . . . . C.4. A k¨ot¨ott T ~ , Φ − Φ-formalizmus . . . . . . . . C.5. A szabad T ~ V − A-formalizmus ~ C.6. A k¨ot¨ott A, . . . . . . . . ~ ~ C.7. A szabad A, V − A-formalizmus . . . . . . . . ~ , Φ − A-formalizmus ~ C.8. A k¨ot¨ott T . . . . . . . . ~ ~ C.9. A szabad T , Φ − A-formalizmus . . . . . . . . ~ ,Φ− A ~ − Φ-formalizmus . . . . . . C.10.A k¨ot¨ott T ~ ,Φ− A ~ − Φ-formalizmus . . . . . C.11.A szabad T ~ V − Φ-formalizmus . . . . . . . . C.12.A k¨ot¨ott A, ~ V − Φ-formalizmus . . . . . . . . C.13.A szabad A, ~ V −A ~ − Φ-formalizmus . . . . . C.14.A k¨ot¨ott A, ~ V −A ~ − Φ-formalizmus . . . . . C.15.A szabad A, C.16.A Maxwell-egyenletek kontrakt´ıv tulajdons´aga
102 103 103 104 104 106 107 109 110 111 113 115 117 118 119 121 123
D. A potenci´ alf¨ uggv´ enyek k¨ ozel´ıt´ ese D.1. Egydimenzi´os csom´oponti formaf¨ uggv´enyek . . D.2. K´etdimenzi´os csom´oponti formaf¨ uggv´enyek h´aromsz¨ogelem felett . . . . . . . . . . . . . . D.3. H´aromdimenzi´os csom´oponti formaf¨ uggv´enyek tetra´eder eset´en . . . . . . . . . . . . . . . . . D.4. Az ´elmenti formaf¨ uggv´enyek . . . . . . . . . .
III
. . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . .
124 . . . . . . . . . . . . . . . 124 . . . . . . . . . . . . . . . 127 . . . . . . . . . . . . . . . 133 . . . . . . . . . . . . . . . 138
1. fejezet Bevezet˝ o 1.1.
A kutat´ as el˝ ozm´ enye
A dolgozat k¨oz´eppontj´aban a ferrom´agneses hiszter´ezis karakterisztika m´er´ese, modellez´ese ´es villamosm´ern¨oki gyakorlatban t¨ort´en˝o alkalmaz´asa ´all. A hiszter´ezis karakterisztik´aval jellemzett rendszer egy bonyolult nemline´aris ´es t¨obb´ert´ek˝ u kapcsolatot realiz´al a rendszer ´altal modellezett m´ern¨oki objektum bemeneti ´es kimeneti jele k¨oz¨ott. Ferrom´agneses anyagok eset´en a m´agneses t´erer˝oss´eg ´es a m´agneses indukci´o k¨oz¨ott fenn´all´o kapcsolatot kell modellezni. A matematikai ´es a villamosm´ern¨oki, valamint az informatikai alkalmaz´asok szempontj´ab´ol a modell egy fekete doboz, amelynek bemenete ´es kimenete k¨oz¨ott a kapcsolatot a hiszter´ezismodell ´ırja le. A m´agneses anyagok viselked´es´enek le´ır´asa ugyanis t¨obbf´elek´epp is megtehet˝o. A fizikusok sz´am´ara ´erdekes lehet az anyag belsej´eben lej´atsz´od´o mikrom´agneses hat´asok vizsg´alata, azok modellez´ese; matematikailag a hiszter´ezis egy bonyolult nemline´aris oper´ator; villamosm´ern¨oki oldalr´ol pedig egy eszk¨oz, amellyel a bonyolult bemenet-kimenet kapcsolat le´ırhat´o, s a modell tervez˝o rendszerekhez illeszthet˝o. A dolgozatban ezen ut´obbi szempont szerint foglalkozom a hiszter´ezis modellez´es´evel. A modell fel´ep´ıt´es´ehez, identifik´aci´oj´ahoz ´es valid´aci´oj´ahoz elengedhetetlen a jelens´eg laborat´oriumi k¨or¨ ulm´enyek k¨oz¨ott t¨ort´en˝o vizsg´alata. A sz´amomra fontos makroszk´opikus kapcsolat a m´agneses t´erer˝oss´eg ´es a m´agneses indukci´o k¨oz¨ott sz´amos j´ol ismert elj´ar´assal vizsg´alhat´o. A skal´ar hiszter´ezis karakterisztika felv´etel´ere egyik elterjedten alkalmazott m´er´esi elj´ar´as toroid alak´ u tekercset alkalmaz. Munk´am sor´an ´en is a toroid transzform´atort alkalmaztam. A szabv´anyban (IEC 404-2) is r¨ogz´ıtett Epstein-keret is a skal´ar karakterisztika vizsg´alat´ara alkalmas. Skal´ar karakterisztika eset´en a felt´etelez´es az, hogy a m´agneses t´erer˝oss´eg ´es a m´agneses indukci´o egym´assal p´arhuzamosak. Ez azonban sz´amos gyakorlatban el˝ofordul´o elrendez´es eset´en nem igaz. A legt¨obb, ipari k¨or¨ ulm´enyek k¨oz¨ott el˝ofordul´o probl´ema bonyolult alakzatokat tartalmaz. P´eld´aul a villamos g´epek hornyaiban a geometria miatt a m´agneses t´erer˝oss´eg ´es a m´agneses indukci´o k¨oz¨ott nagyon bonyolult kapcsolat ´all fenn, az E-I lemezekb˝ol fel´ep´ıtett transzform´atorok sarkokat tartalmaznak, ahol a kialakul´o m´agneses t´er ir´anya megv´altozik k¨ovetve a vasmag alakj´at. Minden elrendez´es alapvet˝oen h´aromdimenzi´os, ahol a m´agneses t´er alakul´asa nehezen sz´am´ıthat´o. Ezen okok vezettek el az u ´ n. vektori´alis hiszter´ezis karakterisztika m´er´es´ehez ´es modellez´es´ehez. Az ut´obbi ´evekben sz´amos m´er´esi elrendez´es k´esz¨ ult a jelens´eg vizsg´alat´ara a legk¨ ul¨onf´el´ebb alak´ u pr´obatestekkel, ´es m´er´esi technik´akkal. A m´er´esi elj´ar´asok k¨oz¨ ul egyet ´en is meg´ep´ıtettem, melynek tervez´ese ´es 1
Kuczmann Mikl´os
Habilit´aci´os disszert´aci´o
2010
anal´ızise sor´an a korszer˝ u tervez˝o technik´akat alkalmaztam, s amelyet a dolgozatban r´eszletesen bemutatok. A hiszter´ezis jelens´eg´enek modellez´ese is t¨obb m´odszerrel v´egezhet˝o. A Stoner– Wohlfarth-modell egy m´agneses r´eszecske viselked´es´et ´ırja le ´es a r´eszecsk´ere fel´ırhat´o energia minimaliz´al´as´ab´ol indul el. Alkalmas a skal´ar jelens´eg ´es a vektori´alis viselked´es modellez´es´ere is, ´es a m´agneses r´eszecsk´ek sokas´ag´ab´ol fel´ep´ıtett rendszer bonyolultabb folyamatok le´ır´as´ara is haszn´alhat´o. A Jiles–Atherton-modell egy param´agneses momentum viselked´es´enek le´ır´as´ab´ol indult el, s sz´amos m´odos´ıt´as ut´an alkalmass´a tett´ek a ferrom´agneses hiszter´ezis modellez´es´ere is. A Preisach-f´ele hiszter´ezismodell tal´an a legelterjedtebben alkalmazott technika a villamosm´ern¨oki alkalmaz´asok vil´ag´aban, magam is ezen modellt haszn´alom a munk´am sor´an. Ezeken k´ıv¨ ul sz´amos egyszer˝ ubb modell is l´etezik, mint p´eld´aul a Rayleigh-modell, a Fr¨olich-modell, a Duhem-modell, alkalmaznak egyszer˝ u f¨ uggv´enyekb˝ol fel´ep´ıtett modelleket is. Az alkalmaz´as, az el´erni k´ıv´ant pontoss´ag, az identifik´aci´o, a sz´am´ıt´asi sebess´eg, mind befoly´asolja a megfelel˝o modell kiv´alaszt´as´at. A villamosm´ern¨oki gyakorlatban a numerikus t´ersz´am´ıt´ast ig´enyl˝o probl´em´ak megold´asa, a k¨ ul¨onf´ele eszk¨oz¨ok tervez´ese ´es anal´ızise a Maxwell-egyenletek valamely numerikus m´odszerrel t¨ort´en˝o megold´as´an alapszanak. A Maxwell-egyenletek rendszere az elektrom´agneses t´er v´altoz´oira fel´ırt parci´alis differenci´alegyenletek, vagy integr´alegyenletek, amelyek minden elektrom´agneses t´ersz´am´ıt´ast ig´enyl˝o feladat megold´as´ara alkalmasak. Potenci´alok bevezet´es´evel kevesebb ismeretlent tartalmaz´o parci´alis differenci´alegyenletek form´aj´aban ´ırhat´ok fel a megoldand´o egyenletek. A sz´amos numerikus technika k¨oz¨ ul a dolgozatban a v´egeselem-m´odszert alkalmazom, melynek l´enyege abban ´all, hogy a vizsg´alt tartom´anyt egyszer˝ u alakzatokra bontjuk fel, amelyekre egyszer˝ u egyenletek ´ırhat´ok fel, v´eg¨ ul ezen egyszer˝ u egyenletek ¨osszes´ıt´es´evel a probl´ema egy k¨ozel´ıt˝o megold´asa ´all el˝o. A v´egeselem-m´odszer a s´ ulyozott marad´ek elv´enek gyenge alakj´ara ´ep¨ ul, s a Galjorkin-elj´ar´ast alkalmazza. A v´egeselem-m´odszer a diszkretiz´al´as eredm´enyek´epp a parci´alis differenci´alegyenleteket algebrai egyenletek rendszer´ev´e transzform´alja. Amennyiben a konstit´ uci´os rel´aci´o nemline´aris, ahogy az a hiszter´ezis karakterisztika figyelembe v´etelekor is fenn´all, u ´ gy a nemline´aris parci´alis differenci´alegyenleteket alkalmas, konvergens nemline´aris egyenletrendszer-megold´oval kell ¨osszekapcsolni. A dolgozatban a fixpontos technik´aval foglalkozom.
1.2.
A kutat´ as tervezett c´ elkit˝ uz´ ese
Munk´am sor´an egy k¨onnyen alkalmazhat´o, egyszer˝ uen identifik´alhat´o, gyors ´es pontos hiszter´ezismodell megalkot´asa az egyik c´el, amihez eddigi tapasztalataim alapj´an a Preisach-f´ele hiszter´ezismodell a legalkalmasabb. Villamosm´ern¨oki alkalmaz´asi szempontb´ol nagyon l´enyeges a gyors ´es pontos m˝ uk¨od´es. El˝obbi megc´elozhat´o a l´epcs˝osg¨orbe alkalmas t´arol´as´aval ´es kezel´es´evel, amely p´arhuzamos m˝ uk¨od´est is lehet˝ov´e kell, hogy tegyen, ugyanis arra kell gondolnom, hogy a modellt numerikus t´erszimul´aci´oba is illeszteni k´ıv´anom. V´egeselem-m´odszer eset´en a vizsg´alt geometria meghat´arozott pontjaiban nagysz´am´ u hiszter´ezismodell futtat´as´ara van sz¨ uks´eg, ´es emiatt az implement´al´as rendk´ıv¨ ul l´enyeges. A sebess´eg u ´ gy is n¨ovelhet˝o, hogy az Everett-f¨ uggv´enyt alkalmazom a modell kimenet´enek sz´am´ıt´asa sor´an. A pontos modell a megfelel˝o identifik´aci´oval el´erhet˝o. Identifik´aci´ohoz a koncentrikus g¨orb´ekb˝ol kiindulva az Everett-f¨ uggv´enyt c´elszer˝ u alkalmazni. Mindez term´eszetesen a vektori´alis hiszter´ezismodell eset´eben is el˝ony¨os lesz, 2
Kuczmann Mikl´os
Habilit´aci´os disszert´aci´o
2010
hiszen a vektormodell kimenet´et sz´amos skal´armodell szuperpoz´ıci´oja adja. A numerikus t´erszimul´aci´oba t¨ort´en˝o illeszt´es szempontj´ab´ol nagyon fontosnak ´ıt´elem, hogy a modell v´altoztat´as n´elk¨ ul alkalmas legyen a direkt karakterisztika ´es az inverz karakterisztika modellez´es´ere. Ezt az Everett-f¨ uggv´eny identifik´aci´oja sor´an lehet megval´os´ıtani. A vektori´alis hiszter´ezismodell ´es identifik´aci´oj´anak a´tdolgoz´as´ara biztosan sz¨ uks´eg van, mivel a Preisach-modell eml´ıtett kiterjeszt´ese forg´o m´agneses t´er modellez´es´ere nem t¨ok´eletesen alkalmas. Emiatt a Ph.D disszert´aci´omban k¨oz¨olt technika ´atdolgoz´asa k´ezenfekv˝o. A m´er´esek sor´an a j´ol bev´alt toroid alak´ u pr´obatestet k´ıv´anom alkalmazni az ugyancsak j´ol bev´alt National Instruments m´er´esi adatgy˝ ujt˝o k¨ornyezetben. A m´ert jelek esetemben mindig periodikusak, de sok esetben a m´ert jelek eddigi tapasztalataim alapj´an nagyon zajosak. A periodicit´ast kihaszn´alva egy olyan Fourier-sorfejt´esen alapul´o digit´alis sz˝ ur´esi technik´at k´ıv´anok kifejleszteni, amely a megl´ev˝o eszk¨oz¨okkel kidolgozhat´o. A sz˝ ur´es a vektori´alis m´er´esek sor´an m´eg fontosabb, mert a m´er˝otekercsek a leveg˝oben helyezkednek el, aminek eredm´enyek´epp a m´ert induk´alt fesz¨ ults´eg amplit´ ud´oja nagyon kicsi. Sok esetben sz¨ uks´eg van a m´agneses indukci´o id˝of¨ uggv´eny´enek el˝o´ır´as´ara, ami csakis szab´alyoz´as u ´ tj´an ´all´ıthat´o el˝o. Ki kell dolgoznom teh´at egy hat´ekony ´es robusztus szab´alyoz´asi rendszert, amely ezt az el˝ore nem ismert nemline´aris rendszert szab´alyozni k´epes. A vektori´alis hiszter´ezis karakterisztika m´er´es´ere a laborat´oriumomban is k¨onnyed´en meg´ep´ıthet˝o elrendez´est k´ıv´anom megval´os´ıtani, amely egy villamos g´ep ´atalak´ıt´as´at ig´enyli, s amely k¨or alak´ u pr´obatest vizsg´alat´ara szor´ıtkozik. M´ern¨oki munka l´ev´en, a m´er´esek elv´egz´ese sor´an rendk´ıv¨ ul fontosnak tartom, hogy a m´er´eseket a saj´at magam ´altal ¨ossze´all´ıtott m´er´esi elrendez´essel magam v´egezzem el, hiszen ´ıgy a munka minden egyes f´azis´at j´ol megismerem ´es ellen˝orizhetem, ami az esetleges hib´ak jav´ıt´asa, illetve u ´ j ¨otletek implement´al´asa sor´an el˝onyt jelent. A m´er´esek elv´egz´ese sor´an a m´er´esi eredm´enyeket pontr´ol-pontra ellen˝orizni ´es analiz´alni k´ıv´anom a v´egeselem-m´odszeren alapul´o tervez˝o rendszerrel. Ebben a f´azisban ellen˝orizni ´es igazolni szeretn´em az irodalomb´ol ismeretes m´er´esi elvek alapjait, s ezek ´altal a saj´at m´er´esi elrendez´esem is t¨ok´eletes´ıteni tudom. A Maxwell-egyenletekb˝ol kiindulva a line´aris statikus m´agneses t´er ´es a line´aris ¨orv´eny´aram´ u t´er sz´am´ıt´as´ara alkalmas potenci´alformalizmusok az irodalomb´ol rendelkez´esre ´allnak. Ezek nagyon apr´ol´ekos ¨ossze´all´ıt´asa, ¨osszegy˝ ujt´ese oktat´asi szempontb´ol is rendk´ıv¨ ul fontos. Tudom´asom szerint az elm´ ult id˝oszakban ilyen jelleg˝ u ¨osszefoglal´o munka nem jelent meg, s ezt a hi´anyt p´otolni igyekszem munk´am ¨osszefoglal´as´aval. Ehhez u ´ jat u ´ gy k´ıv´anok adni, hogy a formalizmusokban bevezetem a nemline´aris hiszter´ezis karakterisztika kezel´es´ere alkalmas polariz´aci´os formul´at. Ez´altal minden formalizmus alkalmas lehet a nemlinearit´as kezel´es´ere, s a kapott nemline´aris parci´alis differenci´alegyenleteket valamilyen nemline´aris egyenletrendszerek megold´as´ara alkalmas technik´aval meg lehet oldani. Munk´am sor´an a fixpontos technika r´eszleteinek k´ıv´anok ut´anaj´arni, s azt a v´egeselem-m´odszerben implement´alni. Szeretn´em a polariz´aci´os formula minden v´alfaj´at minden potenci´alformalizmussal egy¨ uttesen alkalmazni an´elk¨ ul, hogy a modell kimeneti jel´enek ismeret´eben tov´abbi iter´aci´os l´ep´esekre legyen sz¨ uks´eg a modell bemenet´enek meghat´aroz´as´ara. A kidolgozott m´odszerek akkor m˝ uk¨odnek hat´ekonyan, ha azok alkalmazhat´ok a m´ern¨oki tervez´esben. Ennek igazol´as´ara sz´amos feladatot meg szeretn´ek oldani. Ezek egy r´esze nemzetk¨ozileg ki´ırt tesztfeladat, m´asik r´esze pedig saj´at m´er´esi eredm´enyeim ´es a numerikus m´odszerek eredm´enyeinek ¨osszevet´ese lesz.
3
Kuczmann Mikl´os
1.3.
Habilit´aci´os disszert´aci´o
2010
A dolgozat fel´ ep´ıt´ ese
A dolgozat m´asodik fejezete az ´altalam is m˝ uvelt tudom´anyter¨ ulet irodalmi ¨osszefoglal´as´at tartalmazza, ahol le´ırom az ´altalam is felhaszn´alt elm´eleti ´es gyakorlati ismereteket. A tov´abbi munk´am ezen ismeretanyagra ´ep¨ ul. Bemutatom a Preisach-modell alap¨otlet´et, fel´ep´ıt´es´et, m˝ uk¨od´es´et ´es vektori´alis kiterjeszt´es´et. Bevezetem a Maxwellegyenletek differenci´alis alakj´at, a potenci´alokat ´es a potenci´alformalizmusokat, amelyek alkalmasak a statikus m´agneses t´er ´es az ¨orv´eny´aram´ u t´er sz´am´ıt´as´ara. Bemutatom a munk´am sor´an haszn´alt v´egeselem-m´odszert is, ´es r¨oviden utalok a nemlinearit´as kezel´es´ere. A harmadik fejezetben a hiszter´ezis jelens´eg´enek vizsg´alat´ara f´okusz´alok, amely egyben munk´am f˝o t´em´aja. Bemutatom a skal´ar hiszter´ezis karakterisztika m´er´es´ere alkalmas m´er´esi elrendez´est, a megval´os´ıtott sz˝ ur´esi ´es szab´alyoz´asi technik´akat. R´eszletezem a skal´ar Preisach-modell implement´al´as´at, amely nagym´ert´ekben befoly´asolja a numerikus m´odszerekben t¨ort´en˝o alkalmaz´as´at, s elv´egzem a modell implement´al´as´at saj´at m´er´eseim alapj´an. A modell m˝ uk¨od´es´enek helyess´eg´et is saj´at m´er´esi eredm´enyeimre alapozva teszem. Ezut´an mutatom be a vektori´alis hiszter´ezis karakterisztika m´er´es´ere alkalmas elrendez´est, valamint a vektori´alis Preisach-modell fel´ep´ıt´es´et, identifik´aci´oj´at ´es verifik´aci´oj´at. A negyedik fejezetben a hiszter´ezis modellek numerikus t´erszimul´aci´os elj´ar´asokba t¨ort´en˝o illeszt´es´et mutatom be. A v´alasztott m´odszer a biztos konvergenci´aval b´ır´o fixpontos technika. A nemlinearit´ast a polariz´aci´os formul´aval lineariz´altam, s az ´ıgy el˝o´all´o probl´em´at a fixpontos iter´aci´os elj´ar´assal oldottam meg. A fejezetben bemutatom az ¨osszes lehets´eges formalizmust. Az ¨ot¨odik fejezet hat v´alogatott feladat megold´as´at tartalmazza, amelyben igazolom a kidolgozott elj´ar´asok alkalmazhat´os´ag´at. A vektori´alis hiszter´ezis m´er´es´ere alkalmas m´er˝oberendez´es behat´o numerikus anal´ızise nemcsak a m´er´es tervez´ese sor´an ny´ ujtott seg´ıts´eget, hanem igazolni tudtam a szenzorok elhelyez´es´enek helyess´eg´et, s a kidolgozott vektormodell alkalmazhat´os´ag´at. A befejez˝o k´et fejezetben ¨osszefoglalom a dolgozat eredm´enyeit, s tov´abbi megv´alaszol´asra v´ar´o k´erd´eseket fogalmazok meg, melyekkel a j¨ov˝oben foglalkozni k´ıv´anok. Terjedelmi okok miatt sz´amos eredm´enyt f¨ uggel´ek form´aj´aban k¨ozl¨ok. A dolgozatot a felhaszn´alt irodalom jegyz´eke z´arja. A dolgozatot LATEX sz¨ovegszerkeszt˝ovel k´esz´ıtettem.
1.4.
Publik´ aci´ ok
A dolgozat a k¨ovetkez˝o t´ız legfontosabbnak ´ıt´elt publik´aci´omra ´ep¨ ul, melyek r¨ovid bemutat´o le´ır´as´at is k¨ozl¨om: (i ) M. Kuczmann, A. Iv´anyi, Finite Element Method in Magnetics, Akad´emiai Kiad´o, Budapest, 2008, ISBN: 978 963 05 8649 8, p. 310. A Magyar Tudom´anyos Akad´emia Akad´emiai Kiad´oja ´altal N´ıv´od´ıjban r´eszes´ıtett alkot´as 2009-ben, a ”2008. ´ev Kiemelked˝o Szellemi Alkot´asa” d´ıj nyertes k¨onyve a P´ecsi Tudom´anyegyetemen, ´es a Sz´echenyi Istv´an Egyetem ´altal is Publik´aci´os N´ıv´od´ıjjal jutalmazott alkot´as 2009-ben. A 310 oldalas angol nyelv˝ u szakk¨onyv tartalma a jelen dolgozat teljes terjedelm´et v´egigk´ıs´eri. A szakk¨onyv ugyanis 4
Kuczmann Mikl´os
Habilit´aci´os disszert´aci´o
2010
bemutatja az elektrom´agneses t´erszimul´aci´oban haszn´alatos formalizmusokat, a s´ ulyozott marad´ek elv´et, a v´egeselem-m´odszert, a ferrom´agneses hiszter´ezis modellez´es´et ´es a modell numerikus t´erszimul´aci´oba t¨ort´en˝o illeszt´es´et, valamint sz´amos p´eld´at. A k¨onyvben nagyon r´eszletesen vezettem le az egyes ¨osszef¨ ugg´eseket, emiatt a szakspecifikus oktat´asban is hasznos. A dolgozat a vektori´alis hiszter´ezis karakterisztika m´er´es´eben ´es modellez´es´eben mutat ehhez k´epest u ´ jat, s sz´amos u ´j feladatot oldottam meg a k¨onyv megjelen´ese ´ota. (ii ) M. Kuczmann, Fourier transform and controlling of flux in scalar hysteresis measurement, Physica B, vol. 403, 2008, pp. 410-413 (IF=0,822). A cikkben bemutatom a skal´ar hiszter´ezis karakterisztika m´er´esekor jelentkez˝o zajos jelek sz˝ ur´esi technik´aj´at, amikor a m´ert jeleket Fourier-sorba fejtem, majd a megfelel˝o harmonikusokat digit´alis sz˝ ur˝o seg´ıts´eg´evel elimin´alom. Ez´altal t¨ok´eletes zajsz˝ ur´es ´erhet˝o el szoftveres u ´ ton, mivel a m˝ uveleteket a LabVIEW programcsomag keret´en bel¨ ul a National Instruments m´er´esi adatgy˝ ujt˝o rendszer´et felhaszn´alva v´egeztem el. A cikkben bemutatom azt a szab´alyoz´asi elj´ar´ast is, amelynek seg´ıts´eg´evel tetsz˝oleges id˝obeli lefut´as´ u m´agneses indukci´o nyerhet˝o. A sz˝ ur´es ´es a szab´alyoz´as egy¨ uttes alkalmaz´as´aval nagyon gyorsan ´es hat´ekonyan lehet a skal´ar hiszter´ezis modellek identifik´aci´oj´ahoz sz¨ uks´eges tan´ıt´asi adatsort el˝o´all´ıtani. Mindezt a 3. fejezetben r´eszletezem. (iii ) M. Kuczmann, Measurement and simulation of vector hysteresis characteristics, IEEE Transactions on Magnetics, vol. 45, no. 11, 2009, pp. 5188-5191 (IF=1,129). A cikkben az el˝oz˝o pontban t´argyalt munka folytat´asak´ent r¨oviden bemutatom a vektori´alis hiszter´ezis karakterisztika m´er´es´ere alkalmas elrendez´est, valamint a (ii) pontban bemutatott sz˝ ur´esi elj´ar´as ´es szab´alyoz´asi rendszer tov´abbfejleszt´es´et. C´elom volt, hogy a LabVIEW rendszerben kidolgozott elj´ar´asok alkalmasak legyenek a k´etdimenzi´os vektori´alis hiszter´ezis viselked´es´enek vizsg´alat´ara is. A cikkben bemutatom a vektori´alis Preisach-modell fel´ep´ıt´es´et, identifik´aci´oj´at ´es verifik´aci´oj´at. T´argyalom a m´er´esi elrendez´es numerikus anal´ızis´et is. A cikk eredm´enyeit szint´en a 3. fejezetben t´argyalom r´eszletesen, tov´abb´a a 4. ´es az 5. fejezetben is felhaszn´alom az itt el´ert eredm´enyeket. (iv ) M. Kuczmann, Numerical analysis of a 2D vector hysteresis measurement system under construction, Journal of Electrical Engineering, vol.57, no.8/S, Bratislava, ISSN: 1335-3632, 2006, pp. 44-47. Ezen cikk a vektori´alis hiszter´ezis m´er´es´ere alkalmas elrendez´es meg´ep´ıt´ese el˝ott az egyik els˝o munk´am az elrendez´es m˝ uk¨od´es´enek vizsg´alat´ara, ´es puszt´an elm´eleti eredm´enyeket tartalmaz. Ebben sz´amos eredm´eny utalt arra, hogy a m´er´esi elrendez´es helyesen fog m˝ uk¨odni. A munka sor´an a Preisach-modellt alkalmaztam, s ezen szimul´aci´os eredm´enyek ind´ıtott´ak el a modell (iii) cikkben bemutatott m´odos´ıt´as´at is. Az eredm´enyeket az 5. fejezetben r´eszletezem. (v ) M. Kuczmann, Simulation of a vector hysteresis measurement system taking hysteresis into account by the vector Preisach model, Physica B, vol. 403, 2008, pp. 433-436 (IF=0,822).
5
Kuczmann Mikl´os
Habilit´aci´os disszert´aci´o
2010
Ez a munka a (iv) pontban bemutatott eredm´enyek valid´al´as´ara szolg´al egy m´asik potenci´alformalizmus alkalmaz´as´aval, s az eredm´enyeket szint´en az 5. fejezetben mutatom be. (vi ) M. Kuczmann, Identification of the 2D vector Preisach hysteresis model, COMPEL, elfogadott cikk, megjelen´es alatt, 2010 (IF=0,441). Ebben a cikkben alkalmam ny´ılt a (iii)-ban r¨oviden ¨osszefoglalt eredm´enyek b˝ovebb kifejt´es´ere. Itt a m´er´es, a sz˝ ur´esi technika, a szab´alyoz´as ´es a modell v´egeselemes tervez´esben t¨ort´en˝o alkalmaz´asa letisztult, minden r´eszletre kiterjedt, hiszen ez az egyik legut´obbi munk´am ebben a t´em´aban. Ezen eredm´enyek visszak¨osz¨onnek a 3. ´es az 5. fejezetben. (vii ) M. Kuczmann, L. Stoleriu, Anisotropic vector Preisach model, Journal of Advanced Research in Physics, elfogadott cikk, 2010. Ebben a cikkben a vektori´alis hiszter´ezis karakterisztika egy jav´ıt´asa szerepel, amikor a modellt alkalmass´a tettem az egytengely˝ u anizotr´opi´aval b´ır´o ferrom´agneses anyagok modellez´es´ere. Az eredm´enyek a 3. fejezetben olvashat´ok b˝ovebben. (viii ) M. Kuczmann, Nodal and edge finite element analysis of eddy current field problems, Przeglad Elektrotechniczny, vol. 84, no. 12, 2008, pp. 194-197. A cikk a csom´oponti ´es az ´elmenti v´egeselemek alkalmaz´as´at mutatja be ¨orv´eny´aram´ u probl´em´ak megold´asa kapcs´an. A cikkben r¨oviden bemutatom a kiindul´asi egyenleteket, a formalizmusokat ´es egy nemzetk¨ozileg ki´ırt tesztfeladatot is megoldottam a m´odszerek valid´al´asa c´elj´ab´ol. Ezen eredm´enyek adj´ak r´eszben a 4. ´es az 5. fejezet mondanival´oj´at. (ix ) M. Kuczmann, Nodal and vector finite elements in static and eddy current field problems, Pollack Periodica, vol. 3, no. 2, 2008, pp.85-96. Ebben a cikkben a (viii) munk´ahoz hasonl´o t´em´aval foglalkoztam, de b˝ovebben, r´eszletesebben be tudtam mutatni a numerikus m´odszereket. Ebben a cikkben statikus m´agneses t´er sz´am´ıt´as´aval is foglalkoztam, s tov´abbi nemzetk¨ozileg ki´ırt probl´em´akat oldottam meg. Az eredm´enyek a 4. ´es az 5. fejezetben olvashat´ok. (x ) M. Kuczmann, Newton-Raphson method in the polarization technique to solve nonlinear static magnetic field problems, IEEE Transactions on Magnetics, vol. 46, no. 3, 2010, pp. 875-879 (IF=1,129). Ebben a cikkben nemline´aris probl´em´ak numerikus anal´ızis´evel foglalkozom. A probl´em´ak megold´asa sor´an a polariz´aci´os formul´at alkalmaztam a nemline´aris karakterisztika lineariz´al´as´ara ´es a fixpontos m´odszert az ´ıgy nyert egyenletrendszer megold´as´ara. A cikk eredm´enyeit a 4. ´es az 5. fejezetben fejtem ki b˝ovebben. Az (i) munka mellett ebben az ´ır´asban k¨oz¨oltem a 4. fejezetben bemutat´asra ker¨ ul˝o tech~ nik´at, amely alkalmas a T 0 ´aram-vektorpotenci´al sz´am´ıt´as´ara a modern ´elmenti v´egeselemek felhaszn´al´as´aval. Ebben a cikkben foglalkoztam a Newton–Raphsonelj´ar´as numerikus t´ersz´am´ıt´asi probl´em´akban t¨ort´en˝o alkalmaz´as´aval is, de ezen eredm´enyek nem r´eszei jelen dolgozatnak.
6
Kuczmann Mikl´os
1.5.
Habilit´aci´os disszert´aci´o
2010
K¨ osz¨ onetnyilv´ an´ıt´ as
Ez´ uton is szeretn´em megk¨osz¨onni Iv´anyi Am´alia professzorasszonynak (P´ecsi Tudom´anyegyetem, Pollack Mih´aly M˝ uszaki Kar, M˝ uszaki Informatika Tansz´ek) azt a buzd´ıt´ast ´es t´amogat´ast, ami a jelen dolgozat meg´ır´as´ahoz vezetett. K¨osz¨onetem fejezem ki Borb´ely G´abor tansz´ekvezet˝o docens u ´ rnak, aki lehet˝ov´e tette sz´amomra a nyugodt, elm´ely¨ ult munk´at a Sz´echenyi Istv´an Egyetem T´avk¨ozl´esi Tansz´ek´en. K¨osz¨on¨om az Egyetem vezet´es´enek a kutat´asaim sor´an ny´ ujtott t´amogat´ast a Kutat´asi F˝oir´anyok p´aly´azatok (15-3002-51 2007-ben, 15-3210-02 2008-ban, 2009-ben ´es 2010-ben) ´es a Posztdoktori Kutat´asi p´aly´azatok (15-3002-57 2007-ben, 15-3210-02 2008-ban) kapcs´an. Jelen habilit´aci´os dolgozat m´elt´o lez´ar´asa a Magyar Tudom´anyos Akad´emia Bolyai J´anos Kutat´asi ¨oszt¨ond´ıj´anak (BO/00064/06), amit h´arom ´evre nyertem el ´es kiv´al´o min˝os´ıt´essel z´artam, s k¨osz¨onetem fejezem ki az Orsz´agos Tudom´anyos Kutat´asi Alap posztdoktori t´amogat´as´a´ert (OTKA PD 73242), melynek z´ar´asa szint´en a 2010-es ´evben t¨ort´enik. A k´etoldal´ u korm´anyk¨ozi Tudom´anyos ´es Technol´ogiai egyezm´eny (OMFB-00725/2008, RO-46/2007) keret´en bel¨ ul a rom´aniai Iasi v´aros´aban tal´alhat´o Alexandru I. Cuza Egyetem Fizika Tansz´ek´enek egy koll´eg´aj´aval, Laurentiu Stoleriu professzorral k¨oz¨os munka a (vii) sorsz´am´ u publik´aci´o, aminek keret´en bel¨ ul elindult egy k¨oz¨os kutat´as a hiszter´ezis karakterisztika t´emak¨or´eben. A szombathelyi sz´ekhely˝ u EPCOS Kft. t¨obb alkalommal is t´amogatta munk´am, ezt ez´ uton is szeretn´em megk¨osz¨onni. K¨onyvem meg´ır´asa sor´an ´ori´asi seg´ıts´eget kaptam B´ır´o Oszk´ar professzor u ´ rt´ol (Institut f¨ ur Grundlagen und Theorie der Elektrotechnik, Technische Universit¨at Graz, Ausztria), aki sok esetben volt seg´ıts´egemre az egyes potenci´alformalizmusok meg´ert´ese sor´an, s a k¨onyv b´ır´al´ojak´ent nagyban hozz´aj´arult a sikerhez. K¨osz¨on¨om a m´asik lektor Kis P´eter adjunktus (Budapesti M˝ uszaki ´es Gazdas´agtudom´anyi Egyetem, Automatiz´al´asi ´es Alkalmazott Informatikai Tansz´ek) seg´ıts´eg´et ´es hasznos tan´acsait, valamint azt, hogy sok esetben egy¨ utt dolgoztunk egy-egy probl´em´an. K¨osz¨onetem fejezem ki azon lelkes hallgat´oimnak, akik mellettem, velem dolgozva f´aradhatatlanul m˝ uvelik ezt a nem k¨onny˝ u tudom´anyter¨ uletet. K¨osz¨on¨om F¨ uzi J´anos koll´eg´am (K¨ozponti Fizikai Kutat´o Int´ezet, Szil´ardtestfizikai ´es Optikai Kutat´oint´ezet) ´es M´esz´aros Istv´an docens u ´ r (Budapesti M˝ uszaki ´es Gazdas´agtudom´anyi Egyetem, Anyagtudom´any ´es Technol´ogia Tansz´ek) m´er´es´ek sor´an ny´ ujtott seg´ıts´eg´et ´es a konzult´aci´okat. V´eg¨ ul, de nem utols´o sorban k¨osz¨on¨om feles´egem, L´ıvia, ´es Anna l´anyom mindennapos t´amogat´as´at ´es a meg´ert´est, hogy rengeteg id˝ot t¨olt¨ottem a sz´am´ıt´og´ep el˝ott.
7
2. fejezet Irodalmi ´ attekint´ es Ebben a fejezetben az irodalomra hivatkozva ¨osszefoglalom azon ismeretanyagot, amelyre a tov´abbi fejezetek ´ep¨ ulnek. Bevezetem a hiszter´ezis oper´ator fogalm´at, r¨oviden bemutatom a skal´ar ´es a vektori´alis Preisach-modellt, majd a szok´asos m´er´esi elrendez´eseket. Bevezetem az ´altalam haszn´alt Maxwell-egyenleteket ´es a line´aris probl´em´ak megold´as´ara alkalmas k¨ ul¨onf´ele potenci´alformalizmusokat, valamint r¨oviden bemutatom a v´egeselem-m´odszert, v´eg¨ ul utalok a nemlinearit´as kezel´es´ere.
2.1.
A hiszter´ ezis oper´ ator
A rendszerelm´elet nyelv´en fogalmazva defini´alhat´o a 2.1 ´abr´an l´athat´o jel´atalak´ıt´o, vagy rendszer, amely a bemenet´ere ´erkez˝o bemeneti u(t) jelet f (t) jell´e alak´ıtja, ahol f (t) a rendszer kimeneti jele [1–3]. Az ´abr´an a jelen dolgozatban is t´argyalt hiszter´ezises jelleg˝ u bemenet-kimenet kapcsolat is l´athat´o [4–9]. A bemenet ´es a kimenet kapcsolat´at a rendszer modellje valamely matematikai formalizmussal egy´ertelm˝ uen megadja, azaz f (t) = Γ{u(t)}
(2.1)
alakban defini´alhat´o a rendszert reprezent´al´o modell.
2.1. ´abra. A hiszter´ezis oper´ator ´es egy karakterisztik´aja Ha a bemeneti u(t) jel ´es a kimeneti f (t) jel kapcsolata nemline´aris ´es t¨obb´ert´ek˝ u, tov´abb´a a kimeneti jel t0 id˝opillanatban felvett ´ert´eke a bemeneti- ´es a kimeneti jel t ≤ t0 , valamint t < t0 id˝opontbeli ´ert´ekeit˝ol, azaz a rendszer el˝o´elet´et˝ol is f¨ ugg, akkor besz´el¨ unk hiszter´ezissel b´ır´o rendszerr˝ol [4–9]. Az ilym´odon defini´alt rendszer mem´ori´aval rendelkezik. A 2.1 ´abr´an a kis nyilak reprezent´alj´ak a kimeneti jel v´altoz´as´anak ir´any´at, 8
Kuczmann Mikl´os
Habilit´aci´os disszert´aci´o
2010
s l´athat´o, hogy a kimeneti jel ´ert´eke f¨ ugg a rendszer el˝o´elet´et˝ol, azaz ugyanazon bemeneti jel mellett a v´alaszjel k¨ ul¨onb¨oz˝o lehet, att´ol f¨ ug˝oen, hogy a rendszer milyen ´allapotban van. A hiszter´ezis jelleg˝ u viselked´es a tudom´anyos ´elet sz´amos ter¨ ulet´en megjelenik [4– 20]. A bemeneti u(t) jel ´es a kimeneti f (t) jel defini´al´as´aval k¨ ul¨onf´ele szakter¨ uletek hiszter´ezises jelens´egei t´argyalhat´ok ugyanazon matematikai appar´atus felhaszn´al´as´aval. A k¨ovetkez˝okben a teljess´eg ig´enye n´elk¨ ul p´ar jellegzetes p´eld´at hozok a jelens´eg soksz´ın˝ us´eg´enek igazol´as´ara. A villamosm´ern¨oki szakter¨ uleten legfontosabb ´es legismertebb ilyen rendszer a ferrom´agneses hiszter´ezissel jellemzett rendszer (pl. transzform´atorok, villamos g´epek vasteste), amikor u(t) a H(t) m´agneses t´erer˝oss´eg ´es f (t) a B(t) m´agneses indukci´o. Ennek ford´ıtottja is el˝ofordul, ami az u ´ n. inverz hiszter´ezis modellre vezet. Az elektronik´aban a k¨ ul¨onf´ele triggerek, kompar´atorok is hiszter´ezises viselked´essel b´ırnak [9, 21, 22]. Mechanik´aban el˝ofordul´o hiszter´ezis p´eld´aul, amikor a nemline´aris rendszer u(t) bemeneti jele az er˝o ´es f (t) az elmozdul´as, a fesz¨ ults´eg vagy a deform´aci´o. P´eld´aul a s´ url´od´as miatt a megh´ uzott test csak k´es˝obb reag´al a r´a hat´o er˝ore, bizonyos anyagok megny´ ul´as´anak modellez´ese pedig hiszter´ezis jelens´eg´enek figyelembev´etel´et k´ıv´anhatja meg. Klasszikus p´elda a m´agneses t´erbe helyezett, f´emb˝ol k´esz¨ ult inga mozg´as´anak le´ır´asa is [9, 20]. Ha egy anyag fagy´aspontja ´es olvad´aspontja k¨ ul¨onb¨oz˝o, akkor a k´et pont k¨oz¨otti ´allapot (szil´ard vagy foly´ekony) f¨ ugg az el˝o´elett˝ol. A k¨ozgazdas´agtudom´any ter¨ ulet´en is fellelhet˝o a hiszter´ezis. P´eld´aul valamely term´ek export´al´as´anak elind´ıt´asa el˝ott fontos l´ep´eseket kell megtenni, a munka nagy odafigyel´est ig´enyel. Ha a term´ek sikeres, akkor az export felfuttat´asa ut´an t´ ul nagy odafigyel´es nem sz¨ uks´eges. L´etezik modell a munkan´elk¨ ulis´eg modellez´es´ere is [9]. Grafikus fel¨ uletek fejleszt´ese eset´en is megjelent a hiszter´ezis fogalma. Ha p´eld´aul egy men¨ usor egy elem´et kinyitjuk, s a men¨ usoron hagyjuk az eg´er kurzor´at, akkor kis id˝o eltelt´evel a teljes men¨ u megny´ılik. Ugyanez ´erhet˝o el egy ism´etelt kattint´assal, azaz az el˝o´elett˝ol f¨ ugg a men¨ usor viselked´ese. Ez figyelhet˝o meg p´eld´aul a Microsoft Word 2003 sz¨ovegszerkeszt˝o alkalmaz´asban is [23]. N´eh´any esetben a bemeneti jel nem skal´arf¨ uggv´eny, hanem vektorf¨ uggv´eny. A kimenet is hasonl´ok´epp lehet vektorf¨ uggv´eny. Ebben az esetben k´et vektorf¨ uggv´eny k¨oz¨ott kell kapcsolatot kialak´ıtani, ami a vektori´alis hiszter´ezis oper´ator bevezet´es´et k´ıv´anja meg, ~ (t) = Γ{~ ~ u(t)}, f
(2.2)
am´ıg a (2.1) ´altal defini´alt oper´ator egy skal´ar hiszter´ezis oper´ator. Jelen dolgozatban a villamosm´ern¨oki szempontb´ol l´enyeges ferrom´agneses hiszter´ezis jelens´eg´et tartom szem el˝ott, s a Preisach-f´ele hiszter´ezismodellt haszn´alom [4–20].
2.1.1.
A skal´ ar Preisach-modell
A Preisach-modell els˝o v´altozata a [24] cikkben jelent meg, amely egy intuit´ıv modellt ad a ferrom´agneses anyagokban lej´atsz´od´o folyamatok egy lehets´eges le´ır´as´ara. A modell az´ota rengeteg v´altoz´ason ment kereszt¨ ul, melynek eredm´enyek´epp m´ara egy matematikai modell ´all rendelkez´esre a hiszter´ezis jelens´eg´enek ´altal´anos le´ır´as´ara. Azaz a Preisach-modell nem csup´an a ferrom´agneses hiszter´ezis le´ır´as´ara alkalmas, hanem egy
9
Kuczmann Mikl´os
Habilit´aci´os disszert´aci´o
2010
´altal´anos modell [4–10, 25–64]. Jelen fejezetben a skal´ar modell irodalomb´ol ismert ´es ´altalam is haszn´alt tulajdons´agait mutatom be. A Preisach-modell kimenet´et v´egtelen sz´am´ u rel´e-t´ıpus´ u karakterisztik´aval rendelkez˝o rendszer v´alasz´anak s´ ulyozott ¨osszegek´ent, azaz szuperpoz´ıci´ojak´ent lehet el˝o´all´ıtani az ZZ f (t) = Γ{u(t)} = µ(α, β) γˆ (α, β) u(t) dα dβ (2.3) α≥β
formula alapj´an, ahol Γ{·} jel¨oli a skal´ar hiszter´ezis oper´atort. A rel´e-t´ıpus´ u karakterisztika (hiszteron) j´ol ismert jellege a 2.2 ´abr´an l´athat´o, melynek a felkapcsol´asi ´ert´ek´et α, lekapcsol´asi ´ert´ek´et β jel¨oli, ´es α ≥ β. A karakterisztika bemeneti jele sok esetben valamely ´ert´ekkel (pl. a bemeneti jel maxim´alis ´ert´ek´evel) normaliz´alt. Kimenete csup´an k´et ´ert´eket vehet fel, γˆ(α, β) = ±1. A 2.2 ´abra mutatja azt a hiszteronok p´arhuzamos kapcsol´as´ab´ol ´all´o p´arhuzamos rendszert is, amely a (2.3) ¨osszef¨ ugg´est hivatott reprezent´alni. A µ(α, β) u ´ n. Preisach-eloszl´asf¨ uggv´eny az egyes hiszteronok kimenet´et s´ ulyozza. Az eloszl´asf¨ uggv´eny m´er´esi adatok alapj´an identifik´alhat´o.
2.2. ´abra. A rel´e-t´ıpus´ u karakterisztika ´es a bel˝ole fel´ep´ıtett p´arhuzamos rendszer Az egyes hiszteronok α ´es β ´ert´ekei m´as ´es m´as ´ert´ekeket vesznek fel a fenti p´arhuzamos rendszer egyes ´agaiban. Ennek egyszer˝ u le´ır´as´ara dolgozt´ak ki az u ´ n. Preisach-h´aromsz¨oget (l. 2.3 ´abra). A Preisach-h´aromsz¨og az a tartom´any, amelyre igaz az α ≥ β felt´etel, azaz az a tart´o, amely felett a (2.3) ´altal defini´alt integr´al´ast el kell v´egezni. A Preisach-h´aromsz¨og¨on a rendszer el˝o´elet´et az L(t) l´epcs˝osg¨orbe reprezent´alja, amely balr´ol jobb ir´anyba mozog, ha a rendszer bemeneti jele n¨ovekszik, s fentr˝ol lefel´e, ha a bemeneti jel cs¨okken. A l´epcs˝osg¨orbe bemeneti jelnek megfelel˝o mozg´asa kapcsolja fel vagy le az egyes α ´es β ´ert´ekekkel reprezent´alt hiszteronokat. Alaphelyzetben a l´epcs˝osg¨orbe egy egyenes, amely a (0, 0) ´es (+1, −1) pontokat k¨oti ¨ossze az α − β s´ıkon, kett´ev´alasztva ez´altal a h´aromsz¨oget. A l´epcs˝ok sarkai a bemeneti jelben l´ev˝o maximum ´es minimum ´ert´ekeknek megfelel˝oen alakulnak ki, azaz a l´epcs˝osg¨orbe seg´ıts´eg´evel a rendszer bemenet´ere ´erkez˝o jel m´ ultb´eli ´ert´ekei t´arol´odnak, vagyis a mem´ori´at realiz´alja. A 2.3 ´abr´an a l´epcs˝osg¨orbe kialakul´asa a karakterisztika ismeret´eben nyomon k¨ovethet˝o. A (2.3) kett˝os integr´al ki´ert´ekel´ese meglehet˝osen id˝oig´enyes m˝ uvelet. Ezen okn´al fogva c´elszer˝ ubb haszn´alni az E(α, β) Everett-f¨ uggv´enyt, ami a µ(α, β) ismeret´eben a
10
Kuczmann Mikl´os
Habilit´aci´os disszert´aci´o
2010
2.3. ´abra. A Preisach-h´aromsz¨og ´es a hozz´a tartoz´o karakterisztika jellege k¨ovetkez˝ok´epp sz´am´ıthat´o: ZZ E(α, β) = µ(α0 , β 0 ) dα0dβ 0 ,
(2.4)
α≥β
azaz µ(α, β) =
∂2 E(α, β). ∂α ∂β
(2.5)
Az Everett-f¨ uggv´eny ismeret´eben a hiszter´ezis modell kimenete sokkal takar´ekosabban el˝o´all´ıthat´o, mint a (2.3) kett˝os integr´allal. Felhaszn´alva a (2.4) defin´ıci´os formul´at a (2.3) ¨osszef¨ ugg´esben, a k¨ovetkez˝o ¨osszeg ad´odik: f (t) = −E(α0 , β0 ) + 2
K X k=1
[E(αk , βk−1) − E(αk , βk )] ,
(2.6)
ahol K jel¨oli a l´epcs˝osg¨orbe ´altal t´arolt sarkok sz´am´at. Az Everett-f¨ uggv´eny m´asik nagy el˝onye, hogy k¨ozvetlen kapcsolatban ´all a m´er´esi eredm´enyekkel. Az u ´ n. els˝orend˝ u visszat´er˝o g¨orb´ek seg´ıts´eg´evel az Everett-f¨ uggv´eny fel´ep´ıthet˝o az E(α, β) =
fα − fα,β , 2
(2.7)
ahol az fα ´es fα,β ´ert´ekek ´ertelmez´ese a 2.4 ´abr´an l´athat´o. Az (α, fα) pont az els˝orend˝ u visszat´er˝o g¨orbe kezd˝opontja, amikoris a visszat´er˝o g¨orbe a f˝ohurokr´ol elindul, α teh´at r¨ogz´ıtett. A (β, fα,β ) pont pedig a visszat´er˝o g¨orb´en β ´ert´ek´enek megfelel˝oen v´andorol. Ez´altal az Everett-f¨ uggv´eny r¨ogz´ıtett α mellett minden β ´ert´ekre sz´am´ıthat´o. Ugyanez elv´egezhet˝o a koncentrikus minor g¨orb´ek seg´ıts´eg´evel is, de ekkor egy koncentrikus g¨orb´en, s nem a visszat´er˝o g¨orb´en mozog a k´erd´eses (β, fα,β ) pont, ahogy az a 2.5 ´abr´an is l´athat´o. A koncentrikus g¨orb´ek m´er´ese bizonyos esetekben egyszer˝ ubb. Egy ilyen m´er´esi sor ´es a bel˝ole sz´am´ıtott Everett-f¨ uggv´eny a 2.6 ´abr´an l´athat´o m´agneses hiszter´ezis karakterisztika eset´en. Megjegyzem, hogy az ´altalam haszn´alt modell bemenete ´es kimenete mindig normaliz´alt. 11
Kuczmann Mikl´os
Habilit´aci´os disszert´aci´o
2010
2.4. ´abra. Az Everett-f¨ uggv´eny fel´ep´ıthet˝o az els˝orend˝ u visszat´er˝o g¨orb´ek alapj´an
2.5. ´abra. Az Everett-f¨ uggv´eny fel´ep´ıthet˝o a koncentrikus g¨orb´ek alapj´an 2 1 1 E(α,β)
B[T]
0.75 0
0.5 0.25
−1
0 1 0.5
−2 −1
−0.5
0 H[A/m]
0.5
0 β −0.5
1 x 10
4
−1 −1
−0.5
0.5
0
1
α
2.6. ´abra. M´ert koncentrikus g¨orb´ek ´es az Everett-f¨ uggv´eny
2.1.2.
A vektor Preisach-modell
A vektor Preisach-modell legt¨obbet hivatkozott megval´os´ıt´asa a skal´ar modell Mayergoyz ´altal bevezetett –a 2.7 ´abr´an l´athat´o– ´altal´anos´ıt´asa a k´etdimenzi´os s´ıkban [4,6, 12
Kuczmann Mikl´os
Habilit´aci´os disszert´aci´o
2010
y
~ u
~ey ϑu
x
~ex ~eϕ
uϕ
ϕ
2.7. ´abra. A k´etdimenzi´os vektormodellben defini´alt ir´anyok ´ertelmez´es´ehez 9,10,25,63–78]. Ebben a fejezetben a cit´alt irodalomra hivatkozva mutatom be a vektor modell legfontosabb tulajdons´agait. Az ´altal´anos´ıt´as l´enyege abban ´all, hogy a vektori´alis kimenetet v´egtelen sz´am´ u skal´armodell szuperpoz´ıci´ojak´ent lehet sz´am´ıtani, azaz Z π/2 ~ ~ u(t)} = ~eϕ Γϕ {~eϕ · u ~ (t)} dϕ. f (t) = Γ{~ (2.8) −π/2
Felhaszn´ava a (2.3) ¨osszef¨ ugg´est, a k¨ovetkez˝o formula ad´odik: Z Z Z π/2 ~ (t) = ~eϕ ~ (t)) dα dβ dϕ. f µ(α, β, ϕ) γˆ (α, β) (~eϕ · u
(2.9)
α≥β
−π/2
~ (t) skal´arszorzat szerint ´all el˝o, ami a beAz egyes skal´armodellek bemenete az ~eϕ · u ~ (t) vektor ϕ ir´anyban es˝o vet¨ meneti u ulete. Itt µ(α, β, ϕ) jel¨oli a vektormodellt k´epez˝o skal´armodellek eloszl´asf¨ uggv´eny´et, amely anizotr´op modell eset´en ir´anyf¨ ugg˝o, az egyszer˝ ubb izotr´op esetben azonban ir´anyt´ol f¨ uggetlen. K´ezenfekv˝o, hogy az egyes ir´anyokban futtatand´o skal´aris modellek kett˝os integr´alja kiv´althat´o az Everett-f¨ uggv´eny seg´ıts´eg´evel, s minden ir´any ment´en haszn´alhat´o a (2.6) ¨osszeg. A Γϕ {·} oper´atorban szerepl˝o eloszl´asf¨ uggv´eny vagy Everett-f¨ uggv´eny az identifik´aci´o sor´an hat´arozhat´o meg. Itt az Everett-f¨ uggv´enyt haszn´alom sz´amos, m´ar eml´ıtett el˝ony¨os tulajdons´aga miatt. Az identifik´aci´o alapj´at jelent˝o integr´alegyenlet formul´aja anizotr´op ´es izotr´op esetben a k¨ovetkez˝o: Z π/2 F (α, β, ϕ) = cos ψ E(α cos ψ, β cos ψ, ψ + ϕ) dψ, (2.10) −π/2
illetve F (α, β) =
Z
π/2
cos ϕ E(α cos ϕ, β cos ϕ) dϕ. −π/2
13
(2.11)
Kuczmann Mikl´os
Habilit´aci´os disszert´aci´o
2010
Itt F (α, β, ϕ) ´es F (α, β) jel¨oli a m´er´esi eredm´enyekb˝ol ismert Everett-f¨ uggv´enyeket, a k´erd´eses E(α, β, ϕ) ´es E(α, β) Everett-f¨ uggv´eny pedig az integranduszban szerepel. Anizotr´op esetben a ψ integr´al´asi v´altoz´o a ϕ sz¨og ´altal defini´alt ir´anyt´ol m´erend˝o f´azist jel¨oli. Az identifik´aci´o sor´an teh´at integr´alegyenletet kell megoldani, amely ebben az esetben csak numerikusan oldhat´o meg. A vektor Preisach-modell egy fontos ´altal´anos´ıt´asa ´erhet˝o el a k¨ovetkez˝o m´odon: Z Z Z π/2 ~ (t) = ~eϕ f µ(α, β, ϕ) γˆ (α, β) [|~ u(t)| ξ(ϑu (t) − ϕ)] dα dβ dϕ, (2.12) −π/2
α≥β
azaz az egyes ir´anyokban sz´am´ıtott vet¨ uletek meghat´aroz´as´at lehet m´odos´ıtani. Itt ϑu (t) jel¨oli a bemeneti vektor x-tengellyel bez´art sz¨og´et (l. 2.7 ´abra). A modellben szerepl˝o ξ(ϑu (t) − ϕ) f¨ uggv´eny cos(ϑu (t) − ϕ) f¨ uggv´eny szerinti v´alaszt´asa mellett az eredeti (2.9) modell ´all el˝o. El˝ony¨os azonban a k¨ovetkez˝o v´alaszt´as: ξ(ϑu (t) − ϕ) = sign{cos(ϑu (t) − ϕ)} cos1/w (ϑu (t) − ϕ),
(2.13)
ahol w egy param´eter, amely tipikusan cirkul´arisan polariz´alt m´er´esi adatok alapj´an identifik´alhat´o. Tapasztalatok szerint ez a m´odos´ıt´as j´o szolg´alatot tesz, ha az izotr´op anyag olyan anizotr´opi´aval b´ır, amely k¨ ul¨on¨osen cirkul´arisan polariz´alt m´er´esek sor´an figyelhet˝o meg.
2.2.
A m´ agneses hiszter´ ezis karakterisztika m´ er´ ese
A dolgozatban a rendk´ıv¨ ul szerte´agaz´o el˝ofordul´asi ´es alkalmaz´asi ter¨ ulet k¨oz¨ ul a villamosm´ern¨oki szakm´ahoz k¨ozel´all´o m´agneses hiszter´ezis jelens´eg´evel, m´er´es´evel, szimul´aci´oj´aval ´es alkalmaz´as´aval foglalkozom. Nagy jelent˝os´ege van a l´agym´agneses anyagoknak, amelyek permeabilit´asa nagy, hiszter´ezis vesztes´ege ´es koercit´ıv t´erer˝oss´ege pedig kicsi. L´agym´agneses anyagokb´ol ´ep´ıtik a transzform´atorokat, a motorok ´es villamos g´epek jelent˝os r´esz´et. Jelen fejezet az irodalomb´ol ismeretes legfontosabb m´er´esi elj´ar´asokat ´es alapelveket mutatom be r¨oviden, utalva a vonatkoz´o irodalomra.
2.2.1.
A skal´ ar karakterisztika
A skal´ar hiszter´ezis karakterisztika m´er´ese sor´an felt´etelezz¨ uk, hogy a pr´obatestben ~ m´agneses t´erer˝oss´eg vektor ´es B ~ m´agneses (de legal´abb a m´er´es hely´en) kialakul´o H indukci´o vektor egym´assal p´arhuzamos, azaz ir´anyukt´ol eltekinthet¨ unk, s a c´el a k¨oz¨ott¨ uk fenn´all´o skal´ar jelleg˝ u kapcsolat felv´etele. Hiszter´ezis karakterisztika m´er´esekor c´elszer˝ u t¨orekedni a z´art m´agneses k¨or fel´ep´ıt´es´ere, vagy eleve olyan alak´ u pr´obatestet kell alkalmazni, amely z´art [9]. Az egyik leggyakrabban alkalmazott m´er´esi ¨ossze´all´ıt´as toroid alak´ u pr´obatestet tartalmaz [9, 79, 80]. A dolgozat 3.1. fejezete egy ´altalam ´ep´ıtett m´er´esi elrendez´est mutat be, ez´ert itt csak egy r¨ovid bevezet´esre szor´ıtkozom. A toroid transzform´ator ´arammal ´atj´art primer tekercse adja a m´agneses anyag gerjeszt´es´et, s v´alasz´at a nyitott szekunder tekercsen m´erhet˝o induk´alt fesz¨ ults´egb˝ol lehet meghat´arozni. Nagy el˝onye, hogy a toroid alak´ u pr´obatest nem tartalmaz l´egr´est, azaz a m´agnesk¨or z´art, tov´abb´a a geometri´ab´ol ad´odik, hogy a sz´ort m´agneses fluxus elhanyagolhat´o. Ennek eredm´enyek´epp 14
Kuczmann Mikl´os
Habilit´aci´os disszert´aci´o
2010
a m´agneses t´erer˝oss´eg az ´aramb´ol k¨ozvetlen¨ ul sz´am´ıthat´o. H´atr´anya viszont, hogy a k¨ ul¨onf´ele anyagokb´ol k´esz¨ ult pr´obatesteket k¨ ul¨on-k¨ ul¨on kell tekerccsel ell´atni. A m´asik etalonnak sz´am´ıt´o m´er´estechnikai elj´ar´as a 2.8 ´abr´an l´athat´o u ´ n. Epsteinkeret alkalmaz´asa [9,80–85] (IEC Standard Ref. No. 404-2, 1996 [9,25,83]). Az Epsteinkeret n´egy oldala 30 mm sz´eles, 280 − 305 mm hossz´ us´ag´ u lemezekb˝ol ´ep¨ ul fel, melyeket a sarkokn´al ´atlapol´assal kell ¨osszeilleszteni. A sarkok hat´as´at elhanyagolj´ak. A n´egy keret mindegyik´en gerjeszt˝o tekercs van, melyek ´arama gerjeszti az elektrom´agneses teret a lemezeken bel¨ ul. A n´egy egyforma tekercset term´eszetesen egym´assal sorba kell kapcsolni. A m´agneses indukci´o a pr´obatestek k¨or´e helyezett tekerccsel m´erhet˝o, a m´agneses t´erer˝oss´eg pedig a gerjeszt˝o ´aram alapj´an sz´am´ıthat´o. A keret nagy el˝onye, hogy k¨ ul¨onf´ele anyagok viszonylag gyorsan cser´elhet˝ok, tov´abb´a a kereskedelemben szabv´anyos´ıtott m´er´esi ¨ossze´all´ıt´asok beszerezhet˝ok.
2.8. ´abra. Az Epstein-keret [84] L´eteznek olyan m´er´esi elrendez´esek is, amelyek a pr´obatestek m´eg gyorsabb cser´ej´et teszik lehet˝ov´e. Ilyen p´eld´aul az U-alak´ u, nagy permeabilit´as´ u j´armot tartalmaz´o ¨ossze´all´ıt´as ´es ennek k¨ ul¨onb¨oz˝o v´altozatai [9, 80, 81, 86–88]. Az U-alak´ u j´arom gerjeszt˝o tekercse hozza l´etre a m´agneses teret. A j´arom szabadon ´all´o v´egeire lehet r´ahelyezni a pr´obatestet, azaz a pr´obatest z´arja a m´agnesk¨ort.
2.2.2.
A vektor karakterisztika
~ m´agneses A vektori´alis hiszter´ezis karakterisztika m´er´ese sor´an a pr´obatestben a H ~ t´erer˝oss´eg vektor ´es a B m´agneses indukci´o vektor k¨oz¨otti kapcsolat felv´etele a c´el. Erre szint´en t¨obbf´ele elrendez´es haszn´alatos. A vektori´alis hiszter´ezis m´er´esekor f˝ok´ent v´ekony lemezekb˝ol k´esz¨ ult pr´obatestek vizsg´alata a c´el. Az Epstein-keret alkalmas a vizsg´alni k´ıv´ant anyag karakterisztik´aj´anak felv´etel´ere [9, 85, 89, 90]. Az Epstein-kerettel alapvet˝oen skal´ar karakterisztik´at lehet m´erni, de ak´ar anizotr´op anyagb´ol k´esz¨ ult lemez viselked´ese is felt´erk´epezhet˝o vele, ha a keret a 2.9 ´abr´an l´athat´o m´odon kiv´agott lemezekb˝ol ´ep¨ ul fel. Ebben az esetben minden ir´anyb´ol megfelel˝o sz´am´ u lemezre van sz¨ uks´eg, a m´er´es teh´at id˝oig´enyes. Az izotr´op anyagoknak is 15
Kuczmann Mikl´os
Habilit´aci´os disszert´aci´o
2010
van n´emi anizotr´op viselked´ese, mert a lemezeket hengerel´essel gy´artj´ak, majd h˝okezelik, ennek ellen´ere a hengerel´es ir´any´aban az anyagot kis m´ert´ekben k¨onnyebb m´agnesezni, mint a hengerel´esre mer˝oleges ir´anyban.
2.9. ´abra. Lemezek k´esz´ıt´ese Epstein-kerethez Az Epstein-keret eset´eben teh´at a felt´etelez´es az, hogy a m´agneses t´erer˝oss´eg ´es a m´agneses indukci´o vektorai egym´assal p´arhuzamosak. Ezen okn´al fogva kezdtek el foglalkozni m´as m´er´esi elrendez´esekkel, melyek k¨ ul¨onf´ele alak´ u pr´obatestet haszn´alva alkalmasak arra, hogy a m´agneses t´erer˝oss´eg ´es a m´agneses indukci´o alakul´as´at pontosabban meg tudj´ak hat´arozni [9, 90]. H´arom jellegzetes alak terjedt el: n´egysz¨og, hatsz¨og, k¨or. A n´egysz¨og alak´ u pr´obatestben lej´atsz´od´o folyamatok vizsg´alat´ara m´ar a kereskedelemben is kaphat´o berendez´es l´etezik [25,85,88–106], amely alkalmas line´aris ´es cirkul´arisan polariz´alt m´agneses t´er el˝o´all´ıt´as´ara ´es m´er´es´ere. A pr´obatesthez a 2.10(a) ´abr´an l´athat´o m´odon v´ekony l´egr´esen kereszt¨ ul kapcsol´odik a k´et, egym´asra mer˝oleges j´arom m´agneses tere, melyeket egy-egy tekercs gerjeszt. A j´armokat k¨ ul¨on m´agnesk¨or z´arja. Az x ´es az y ir´any´ u m´agneses teret gerjeszt˝o tekercsek k´et-k´et, egym´assal sorosan kapcsolt tekercsb˝ol ´allnak. A m´er´esek elv´egz´es´ehez k´et f¨ uggetlen, vez´erelhet˝o gener´ator sz¨ uks´eges. A m´agneses indukci´o vektor k´et ortogon´alis komponens´enek m´er´ese k´et egym´asra mer˝oleges tekerccsel t¨ort´enik, amelyeket a pr´obatestbe f´ urt kis ´atm´er˝oj˝ u lyukakon kereszt¨ ul lehet ´atvezetni. A minta fel¨ ulet´en a m´agneses t´erer˝oss´eg vektor k´et komponens´enek m´er´ese a pr´obatestre helyezett tekercsekkel t¨ort´enik. Az eml´ıtett elrendez´es a 2.10(b) ´abr´an l´athat´o [92]. M´asik lehet˝os´eg a hatsz¨og alak´ u pr´obatest alkalmaz´asa [25, 107], amelyet ´altal´aban nagyobb m´eret˝ u pr´obatestek vizsg´alat´ara alkalmaznak. Emiatt alkalmas anizotr´op anyagok karakterisztik´aj´anak m´er´es´ere is. A m´er´es elve hasonl´o a fentiekhez, de h´aromf´azis´ u gerjeszt´est alkalmaznak, hiszen a hatsz¨og alak´ u pr´obatesthez h´arom j´arom csatlakozik. A dolgozat 3.2. fejezet´eben a k¨or alak´ u pr´obatest vizsg´alat´ara alkalmas m´er´esi elrendez´essel r´eszletesen foglalkozom [89, 93, 108–112], ez´ert itt erre nem t´erek ki. A m´er´es elve a fentiekkel azonos, de az elrendez´es l´enyegesen olcs´obb, mert egy villamos motorb´ol kialak´ıthat´o. A vektori´alis hiszter´ezis m´er´es´ere alkalmas elrendez´esek sarkalatos pontja a m´agneses t´erer˝oss´eg vektor´anak vagy a m´agneses indukci´o vektor´anak szab´alyoz´asa. Szab´alyoz´asra az´ert van sz¨ uks´ege, mert az ´arammal egyik mennyis´eg sincs egyszer˝ u, k¨ozvetlen kapcsolatban, azaz el˝ore defini´alt lefut´as´ u m´agneses t´erer˝oss´eg vagy m´agneses indukci´o el´er´ese csak visszacsatol´as r´ev´en ´erhet˝o el [80, 89, 90, 102, 105, 106, 110, 113–115]. A szab´alyoz´as 16
Kuczmann Mikl´os
Habilit´aci´os disszert´aci´o
(a) Sematikus v´azlat
(b) Egy megval´os´ıtott elrendez´es [92]
2.10. ´abra. N´egysz¨og alak´ u pr´obatestet tartalmaz´o m´er´esi ¨ossze´all´ıt´as
17
2010
Kuczmann Mikl´os
Habilit´aci´os disszert´aci´o
2010
neh´ezs´ege abban ´all, hogy a nemline´aris szab´alyozand´o rendszer gerjeszt´es-v´alasz kapcsolata nem ismert. Ezen okn´al fogva sok esetben becsl´est is alkalmaznak a berendez´es modellj´enek param´eterinek meghat´aroz´as´ara [113, 114], de a c´el a legegyszer˝ ubb proporcion´alis szab´alyoz´oval is el´erhet˝o. Ezen m´er´esek sor´an kulcsk´erd´es, hogy a minta lehet˝o legnagyobb r´esz´en homog´en legyen a m´agneses t´er alakul´asa [89,90,98–102,105,112,116]. A m´agneses t´erer˝oss´eg ´es a m´agneses indukci´o tekercsekkel t¨ort´en˝o m´er´ese a pr´obatest k¨ozep´en t¨ort´enik, ´altal´aban 20 mm × 20 mm-es fel¨ uleten. Numerikus anal´ızis ´altal ismert, hogy a t´er homogenit´asa n¨ovelhet˝o az´altal, hogy a pr´obatest ´es a gerjeszt˝o j´arom k¨oz¨ott l´egr´es van [98,100,103,112, 116]. M´asik lehet˝os´eg, hogy a pr´obatest f¨ol´e ugyanolyan anyagb´ol k´esz¨ ult ´arny´ekol´o lapot helyeznek. Ez a megold´as k´etdimenzi´os line´aris v´egeselem-m´odszerrel t¨ort´en˝o tervez´es eredm´enyek´epp sz¨ uletett [98, 100, 112, 116]. A m´agneses indukci´o m´er´ese tekercs seg´ıts´eg´evel t¨ort´enik. A tekercs Epstein-keret eset´eben k¨orbeveszi az anyag teljes keresztmetszet´et, a t¨obbi esetben a pr´obatestbe kis ´atm´er˝oj˝ u lyukakon kereszt¨ ul lehet vezetni a m´er˝otekercset. A legt¨obb esetben a m´agneses t´erer˝oss´eg m´er´ese is tekercsek seg´ıts´eg´evel t¨ort´enik, amelyet a pr´obatest fel¨ ulet´ere kell helyezni. A c´el a minta fel¨ ulet´en a m´agneses t´erer˝oss´eg m´er´ese. A szenzorok kalibr´aci´oja rendk´ıv¨ ul fontos ezekben az esetekben [85,87,89,97,98,100–103,105,117,118]. Sok helyen u ´ n. Rogowski–Chattock-tekercset, vagy Hall-szenzort alkalmaznak a m´agneses t´erer˝oss´eg m´er´es´ere [88–90, 106]. K¨ ul¨onf´ele villamos berendez´esek korszer˝ u tervez´ese sz´am´ıt´og´epen fut´o szoftverekkel lehets´eges, amelyek valamely numerikus technik´at alkalmaznak. A tervez´es sor´an a legjobb anyagokat, a legmegfelel˝obb elrendez´eseket kell a tervez˝onek optimaliz´aci´o u ´ tj´an kiv´alasztania. Ez rendk´ıv¨ ul id˝oig´enyes ´es nagy sz´am´ıt´asi kapacit´ast k´ıv´an´o feladat, amikor a k¨ ul¨onf´ele anyagok tulajdons´agair´ol inform´aci´ot csak m´er´es u ´ tj´an lehet szerezni. Transzform´atorok ´es villamos g´epek sz´am´ıt´asa, tervez´ese sor´an a fenti elj´ar´asok megb´ızhat´os´aga, az eredm´enyek reproduk´alhat´os´aga rendk´ıv¨ ul fontos, amely nagym´ert´ekben befoly´asolja a sz´am´ıt´as kimenet´et, hiszen a numerikus anal´ızis sor´an a haszn´alt modellek identifik´aci´oja a m´er´esek alapj´an lehets´eges [89–91,94,119]. Ez´ert nagyon fontos a numerikus technik´ak ´es a gyakorlati m´er´esek p´arhuzamos alkalmaz´asa. A vektor hiszter´ezis m´er´es´ere alkalmas eszk¨oz¨ok f˝o tervez´esi eszk¨oze a v´egeselemm´odszer [88, 89, 108, 109, 112, 116]. A tervez´es c´elja alkalmas szenzorrendszer, pr´obatest, gerjeszt´es, stb. optimaliz´al´asa ´es analiz´al´asa. A numerikus technik´ak tov´abbi nagy el˝onye a m´er´essel szemben, hogy lehet˝os´eg ny´ılik bepillantani a t´erv´altoz´ok alakul´as´ara olyan helyeken, ahol a m´er´es gyakorlatilag lehetetlen.
2.3.
Elektrodinamikai rendszerek numerikus anal´ızise
Az elektrodinamika alapegyenleteib˝ol, azaz a Maxwell-egyenletekb˝ol kiindulva olyan bonyolult rendszerek behat´obb vizsg´alata ´es tervez´ese lehets´eges, mint p´eld´aul a transzform´atorok, k¨ ul¨onf´ele motorok ´es villamos g´epek, m´er˝oberendez´esek, antenn´ak, cs˝ot´apvonalak ´es u ¨ regrezon´atorok, stb. [25, 120–138]. A probl´em´at le´ır´o Maxwell-egyenletek ´es az alkalmas peremfelt´etelek ismeret´eben a potenci´alf¨ uggv´eny megv´alaszt´asa ut´an a vizsg´alat t´argy´at k´epez˝o feladatk¨or parci´alis differenci´alegyenletei el˝o´all´ıthat´ok. Ezen parci´alis differenci´alegyenletek ´es peremfelt´etelek jellemzik a vizsg´alt rendszert, azaz rendszerjellemz˝o f¨ uggv´enynek is felfoghatjuk ezen egyenleteket. Az ´eletben fellelhet˝o ¨osszes probl´ema alapj´aban v´eve folytonos idej˝ u bemeneti jelre 18
Kuczmann Mikl´os
Habilit´aci´os disszert´aci´o
2010
folytonos idej˝ u kimeneti jellel reag´al, azaz a k¨orvonalazott rendszerek t´ ulnyom´o t¨obbs´ege folytonos idej˝ u, anal´og rendszer [1–3]. A jelen dolgozatban t´argyalt elektrodinamikai rendszerek gerjeszt´es-v´alasz kapcsolata rendk´ıv¨ ul bonyolult parci´alis differenci´alegyenletekb˝ol ´es peremfelt´etelekb˝ol ´all´o egyenletrendszer, amelyek sz´am´ıt´og´eppel t¨ort´en˝o megold´asa csakis az egyenletek diszkretiz´al´as´aval lehets´eges [130, 134, 135, 137, 139–145]. A t´erbeli diszkretiz´al´as t¨obbf´ele m´odon megoldhat´o, a dolgozatban a legn´epszer˝ ubb, s legdinamikusabban fejl˝od˝o v´egeselem-m´odszerre szor´ıtkozom [130,131,133–135,137,139–150], azonban a k¨oz¨olt egyenletek megold´asa m´as numerikus technik´akkal is elv´egezhet˝ok. Az id˝obeli diszkretiz´al´as Euler h´atral´ep˝o m´odszere, vagy a Crank–Nicolson-s´ema szerint egyszer˝ u, ´es ezen technik´ak stabil megold´asra vezetnek [25, 137, 145]. A folytonos idej˝ u rendszerek gerjeszt´es-v´alasz kapcsolat´at alkalmas diszkretiz´al´assal teh´at diszkr´et idej˝ u rendszerr´e lehet alak´ıtani. Hangs´ ulyozom, hogy a diszkretiz´al´as t´erben is megt¨ort´enik. A Maxwell-egyenletekb˝ol potenci´alok v´alaszt´as´aval teh´at parci´alis differenci´alegyenletek ´ırhat´ok fel, melyek t´erbeli ´es id˝obeli diszkretiz´al´as´aval algebrai egyenletek kaphat´ok. Az algebrai egyenletek megold´asa pedig a potenci´alok egy k¨ozel´ıt´es´et szolg´altatja, vagyis numerikus technik´aval mindig egy k¨ozel´ıt´es kaphat´o. Analitikusan ugyanis csak nagyon kev´es, egyszer˝ u geometri´aval b´ır´o feladat oldhat´o meg. A dolgozatban nemline´aris elektrodinamikai rendszerekkel foglalkozom, amikor a m´agneses t´erer˝oss´eg ´es a m´agneses indukci´o k¨oz¨ott fenn´all´o konstit´ uci´os rel´aci´o nemline´aris, s˝ot, hiszter´ezissel jellemzett. Ezen bevezet˝o fejezet a line´aris elektrodinamikai rendszerek irodalomb´ol ismert le´ır´as´ara, a v´egeselem-m´odszer bemutat´as´ara, valamint a nemline´aris feladatok pontos megfogalmaz´as´ara koncentr´al.
2.3.1.
A Maxwell-egyenletek
A dolgozatban haszn´alt numerikus technika, a v´egeselem-m´odszer, a Maxwell-egyen~ r , t) m´agneses t´erer˝oss´eg, az E(~ ~ r , t) elektroletek differenci´alis alakj´ab´ol indul ki. A H(~ ~ r , t) m´agneses indukci´o, a J ~ (~r , t) ´arams˝ mos t´erer˝oss´eg, a B(~ ur˝ us´eg mellett a k¨ovetkez˝o egyenletekr˝ol van sz´o: ~ r , t) = J ~ (~r , t), ∇ × H(~
(2.14)
~ ~ r , t) = − ∂ B(~r , t) , ∇ × E(~ ∂t ~ r, t) = 0, ∇ · B(~
(2.15) (2.16)
~ r, t) = H {H(~ ~ r, t)}, vagy H(~ ~ r , t) = B{B(~ ~ r, t)}, B(~ ~ 0 (~r , t), a tekercsben, J ~ r , t) = 0, a leveg˝oben, J(~ ~ σ E(~r, t), az ¨orv´eny´aramtartom´anyban.
(2.17) (2.18)
~ 0 (~r , t) pedig az elektrom´agneses teret Ut´obbi egyenletben a σ az anyag vezet˝ok´epess´ege, J gerjeszt˝o ´arams˝ ur˝ us´eg. Munk´am sor´an olyan feladatokat oldottam meg, amelyekben a gerjeszt˝o tekercs ´arams˝ ur˝ us´ege az alacsony frekvencia miatt el˝o´ırhat´o. A H {·} ´es B{·} ~ r , t) = µ0 H(~ ~ r , t), vagy oper´atorok az anyag karakterisztik´aj´at ´ırj´ak le. Leveg˝oben a B(~ ~ ~ a H(~r , t) = ν0 B(~r , t) konstit´ uci´os egyenletekre egyszer˝ us˝odnek, ´es µ0 = 1/ν0 a leveg˝o permeabilit´asa. Line´aris ´es izotr´op karakterisztik´aj´ u m´agneses anyagok eset´eben ezen ~ r , t) = µ0 µr H(~ ~ r , t), vagy a H(~ ~ r , t) = ν0 νr B(~ ~ r, t) ¨osszef¨ egyenletek form´aja a B(~ ugg´es 19
Kuczmann Mikl´os
Habilit´aci´os disszert´aci´o
2010
szerint alakul, ahol µr = 1/νr az anyag relat´ıv permeabilit´asa. Ezen kapcsolatnak sz´amos ´ egy´eb form´aja ismeretes az irodalomban. Altal´ anos esetben azonban a karakterisztika valamely hiszter´ezis modell ´altal reprezent´alt nemline´aris kapcsolatot jellemez, amelyet sok esetben (l´agym´agneses anyagok) egy´ert´ek˝ u nemlinearit´assal ´ırnak le. A (2.14) egyenlet (Amp´ere-t¨orv´eny) azt mondja ki, hogy o¨rv´enyes m´agneses t´er ´arams˝ ur˝ us´eg eredm´enyek´epp j¨on l´etre. Ezen ´arams˝ ur˝ us´eg a (2.18) szerint lehet a vezet˝o~ ~ r , t) ben (tekercs) foly´o ´aram J 0 (~r , t) s˝ ur˝ us´ege, vagy ´epp a vezet˝o anyagban kialakul´o σ E(~ ¨orv´eny´aram. A (2.15) egyenlet a Faraday-f´ele indukci´ot¨orv´eny, amely azt mondja ki, hogy az id˝oben v´altoz´o m´agneses t´er ¨orv´enyes elektromos teret kelt, amely a vezet˝o anyagokban l´etrehozza az ¨orv´eny´aramokat. A (2.16) pedig a m´agneses t´er forr´asmentess´eg´ere utal´o egyenlet. Munk´am sor´an f˝oleg statikus m´agneses t´er ´es ¨orv´eny´aram´ u probl´em´akkal foglalkoztam, emiatt a fenti egyenletekben az eltol´asi ´aramot elhanyagoltam, s a k¨oz¨olt egyenletek az ¨orv´eny´aram´ u probl´em´ak le´ır´as´ara alkalmasak. Statikus m´agneses t´er probl´em´ak eset´en az ¨orv´eny´aram hat´asa elhanyagolhat´o, azaz a (2.15) egyenlet elhagyhat´o, ahogy a (2.18) rel´aci´o utols´o tagja is. A Maxwell-egyenletek a t´erjellemz˝ok k¨oz¨otti kapcsolatokat adj´ak meg, azonban k¨ ul¨onf´ele k¨ozeghat´ar- ´es peremfelt´etelt kell megfogalmazni, hogy azok egy´ertelm˝ uen ´ırj´ak le az adott probl´em´akat. K´et k¨ ul¨onb¨oz˝o k¨ozeggel kit¨olt¨ott t´erfogat hat´ar´an k¨ozeghat´ar felt´eteleket kell megfogalmazni, amely az elektromos t´erer˝oss´eg ´es a m´agneses t´erer˝oss´eg tangenci´alis komponens´enek, valamint a m´agneses indukci´o ´es az ´arams˝ ur˝ us´eg norm´alis komponens´enek folytonoss´ag´at jelenti. A m´agneses t´erer˝oss´eg tangenci´alis komponense ~ r , t) fel¨ akkor nem folytonos, ha a k¨ozeghat´aron K(~ uleti ´aram folyik. A peremfelt´etel a probl´ema tartom´any´at lez´ar´o peremeken el˝o´ırt felt´etelekben mer¨ ul ki, amely a fenti tangenci´alis ´es norm´alis komponensekre ad el˝o´ır´ast, amelyeknek teljes¨ ulni kell. Ezen felt´eteleket a k¨ovetkez˝okben r´eszletesen kifejtem. A k¨ovetkez˝okben az egyszer˝ ubb ´ır´asm´od ´erdek´eben a vektorf¨ uggv´enyek argumentum´at, azaz az (~r , t) jel¨ol´est elhagyom.
2.3.2.
Potenci´ alformalizmusok
A Maxwell-egyenletek ´altal´anos megold´asa potenci´alok bevezet´es´evel lehets´eges, amelynek eredm´enyek´epp az ismeretlenek (a t´erjellemz˝ok) sz´ama cs¨okkenthet˝o, s mindez a potenci´alokra fel´ırhat´o parci´alis differenci´alegyenletek megold´as´ara vezet. A potenci´alok ismeret´eben a t´erjellemz˝ok, s egy´eb adatok term´eszetesen sz´am´ıthat´ok. Alapvet˝oen skal´arpotenci´al, vagy vektorpotenci´al alkalmazhat´o a megfogalmazott probl´em´ak le´ır´as´ara, melyek elliptikus, valamint parabolikus t´ıpus´ u parci´alis differenci´alegyenletekre vezetnek. A k¨ovetkez˝okben a legfontosabb potenci´alok bemutat´as´ara szor´ıtkozom, amikor a probl´ema line´aris [64,121–131,133–135,137–140,144,151–184]. Erre ´ep´ıtve azt´an a 4. fejezetben bemutatom a nemlinearit´as figyelembe v´etel´enek egy lehets´eges m´odozat´at. Statikus m´ agneses t´ er A statikus m´agneses t´er probl´em´ak ´altal´anos fel´ep´ıt´ese a 2.11 ´abr´an l´athat´o. A m´agneses teret a tekercs ´arama gerjeszti, amely a leveg˝ovel kit¨olt¨ott Ω0 tartom´anyban helyezkedik el, s van egy tartom´any (Ωm ), amelyet line´aris m´agneses anyag t¨olt ki. ´ Altal´ anosan az Ωm tartom´anyt ferrom´agneses anyag t¨olti ki, melynek karakterisztik´aja 20
Kuczmann Mikl´os
Habilit´aci´os disszert´aci´o
2010
nemline´aris, s hiszter´ezissel jellemzett. Ez a 4. fejezetben ker¨ ul bemutat´asra. A Γm0 ~ ·n ~ = −b (b a fikt´ıv m´agneses t¨olt´esek fel¨ jel¨oli a k¨ozeghat´art, a ΓB peremen a B uleti s˝ ur˝ us´ege, amely szimmetrias´ık eset´eben z´erus, egy´ebk´ent sz´am´ıthat´o), a ΓH peremen ~ ×n ~ felt´etel kell teljes¨ ~ =K ~ norm´alvektor a 2.11 ´abra szerint a pedig a H ulj¨on. Az n k´erd´eses tartom´anyb´ol kifel´e mutat. ΓB
leveg˝o ΓH
i
µ0
~ n
~m n
Γm0 m´agneses anyag
~0 n Ωm
ΓH
ΓB
~ B ~ H, Γm0
µr ΓB
Ω0 ΓB
2.11. ´abra. Statikus m´agneses t´er feladat sematikus rajza A statikus m´agneses t´er alapvet˝oen a m´agneses skal´arpotenci´allal, illetve a m´agneses vektorpotenci´allal sz´am´ıthat´o. Itt a legfontosabb ¨osszef¨ ugg´esekre mutatok r´a. A m´ agneses skal´ arpotenci´ al. A m´agneses t´erer˝oss´eg felbonthat´o egy rot´aci´oval b´ır´o ´es egy rot´aci´omentes komponensre, azaz ~ =T ~0+H ~ m, H
(2.19)
ahol ~0 =J ~ 0, ∇×T
~ m = ~0. ´es ∇ × H
(2.20)
~ 0 ´aram-vektorpotenci´al a µ0 perEz a dekompoz´ıci´o kiel´eg´ıti a (2.14) egyenletet. A T meabilit´as´ u k¨ozegben sz´am´ıtott m´agneses t´erer˝oss´eggel egyezik meg, amely t¨obbf´elek´epp ~ 0 ´arams˝ sz´am´ıthat´o az ismert J ur˝ us´egb˝ol, azaz ismertnek tekinthet˝o [135,137]. A rot´aci´omentes komponens el˝o´all´ıthat´o egy Φ skal´arpotenci´al (m´agneses skal´arpotenci´al) negat´ıv gradiensek´ent, azaz ~ m = −∇Φ, H
(2.21)
vagyis a m´agneses t´erer˝oss´eg alakja az al´abbi: ~ =T ~ 0 − ∇Φ, H
az Ω0 ∪ Ωm
tartom´anyon.
(2.22)
Ezen potenci´alformalizmusnak ´es a line´aris anyagmodellnek megfelel˝o Laplace–Poisson-egyenlet a (2.16) egyenletb˝ol az al´abbi: ~ 0 ), ∇ · (µ∇Φ) = ∇ · (µT
az Ω0 ∪ Ωm 21
tartom´anyon,
(2.23)
Kuczmann Mikl´os
Habilit´aci´os disszert´aci´o
2010
ahol µ = µ0 az Ω0 , ´es µ = µ0 µr az Ωm tartom´anyban. A feladatk¨orh¨oz a k¨ovetkez˝o Dirichelt-t´ıpus´ u, illetve Neumann-t´ıpus´ u peremfelt´etelek tartoznak: Φ = Φ0 ,
a ΓH
peremen,
~ 0 − µ∇Φ) · n ~ = −b, (µT
(2.24)
a ΓB
peremen,
(2.25)
ahol a Φ0 konstans a skal´arpotenci´al gradiense tangenci´alis komponens´enek vonalmenti integr´al´as´aval sz´am´ıthat´o. ~ 0 ´aramA fenti potenci´alt reduk´alt m´agneses skal´arpotenci´alnak is nevezik, mert a T vektorpotenci´al tartalmazza a gerjeszt´es hat´as´at. Sok esetben (pl. m´agneses p´olusok ~ = −∇Ψ sz´am´ıt´asakor) alkalmazhat´o a teljes m´agneses skal´arpotenci´al, melyet a H egyenlet defini´al, ekkor ugyanis az ´arams˝ ur˝ us´eg a vizsg´alt tartom´anyban z´erus. L´etezik m´eg a k´et skal´arpotenci´al kombin´aci´oja, az u ´ n. Φ − Ψ-formalizmus. ~ m´agneses vektorpotenci´al a (2.16) egyenlet A m´ agneses vektorpotenci´ al. Az A alapj´an vezethet˝o be a ~ =∇×A ~ B
(2.26)
¨osszef¨ ugg´es szerint, amely az Ω0 ∪ Ωm tartom´anyban ´erv´enyes. A fenti kifejez´es a (2.14) egyenlet ´es a line´aris konstit´ uci´os rel´aci´o szerint a k¨ovetkez˝o line´aris parci´alis differenci´alegyenletre vezet: ~ − ∇(ν∇ · A) ~ =J ~ 0, ∇ × (ν∇ × A)
az Ω0 ∪ Ωm
tartom´anyon.
(2.27)
A ν param´eter a permeabilit´as reciproka, amely 1/µ0 az Ω0 , ´es 1/(µ0 µr ) az Ωm tartom´anyban. Az egyenlet bal oldal´anak m´asodik tagja a m´agneses vektorpotenci´al diver~ =0 genci´aj´anak megv´alaszt´asa eredm´enyek´epp ker¨ ult az egyenletbe, ugyanis itt a ∇ · A Coulomb-m´ert´eket c´elszer˝ u alkalmazni. Az egyenlethez a k¨ovetkez˝o peremfelt´etelek tartoznak: ~ ×n ~ ~ = K, (ν∇ × A)
a ΓH
peremen,
(2.28)
~ ·n ~ = 0, a ΓH peremen, A ~ =α ~ ×A ~ , a ΓB peremen, n
~ = 0, ν∇ · A
a ΓB
(2.29) (2.30)
peremen,
(2.31)
~ a ∇·α ~ = b ¨osszef¨ ahol α ugg´es alapj´an sz´am´ıthat´o. A (2.27)-(2.31) egyenletek ´altal ~ defini´alt formalizmus a m´ert´ekkel ell´atott A-formalizmus. Ezt k¨ot¨ott formalizmusnak is h´ıvj´ak. Alkalmas numerikus technik´aval, s felhaszn´alva a (2.20) ¨osszef¨ ugg´es els˝o egyenlet´et, ~ a k¨ovetkez˝o u ´ n. szabad A-formalizmus kaphat´o: ~ =∇×T ~ 0, ∇ × (ν∇ × A) ~ ×n ~ = K, (ν∇ × A) ~ =α ~ ×A ~, n
a ΓB
az Ω0 ∪ Ωm
a ΓH
peremen,
peremen.
tartom´anyon,
(2.32) (2.33)
(2.34) ~ L´etezik a skal´arpotenci´al ´es a vektorpotenci´al kombin´aci´ojak´ent eredm´enyezett A−Φformalizmus is, melynek c´elja az ismeretlenek cs¨okkent´ese. 22
Kuczmann Mikl´os
Habilit´aci´os disszert´aci´o
2010
¨ eny´ Orv´ aram´ u t´ er Az ¨orv´eny´aram´ u t´er probl´em´ak ´altal´anos fel´ep´ıt´ese a 2.12 ´abr´an l´athat´o. A m´agneses teret ebben az esetben is a tekercs ´arama gerjeszti, amely a leveg˝ovel kit¨olt¨ott Ωn tartom´anyban helyezkedik el, s az Ωc tartom´anyt vezet˝o anyag t¨olti ki, amely esetleg m´eg ~ ¨orv´eny´aram ´altal keltett H ~e m´agnesezhet˝o is. Ebben a tartom´anyban j¨on l´etre a σ E m´agneses t´er, amely visszahat az azt l´etrehoz´o m´agneses t´erre. A Γnc fel¨ ulet v´alasztja el a k´et tartom´anyt, ahol a k¨ozeghat´ar felt´eteleknek teljes¨ ulni kell, a ΓB peremen a ~ ×n ~ ×n ~ a ΓHc peremen a H ~ ·n ~ = ~0, a ΓE peremen ~ = K, ~ = −b, a ΓHn peremen a H B ~ ·n ~ ×n ~ = 0, ~ = ~0 felt´etel kell teljes¨ pedig az E ulj¨on. Bel´athat´o, hogy a ΓHc peremen a J ~ ·n ~ = 0 felt´etel is teljes¨ a ΓE peremen pedig a B ul. ΓB
leveg˝o Γ Hn ~ n
i(t)
µ0 Γnc vezet˝o tartom´any ~ σE σ Ωc
Γ Hc
~c n
Ωn
~e H
µr
ΓB
~ B ~ H,
~n n
Γnc ΓB
ΓE
¨ eny´aram´ 2.12. ´abra. Orv´ u probl´ema sematikus rajza Ebben a fejezetben csak az Ωc tartom´anyban kialakul´o elektrom´agneses t´er sz´am´ıt´as´aval foglalkozom, a k¨ovetkez˝o fejezetben pedig az itt ¨osszefoglalt formalizmusokat csatolom a leveg˝o tartom´any´aban kialakul´o statikus m´agneses t´er formalizmusaival. ~ Az ¨orv´eny´aram´ u tartom´any sz´am´ıt´asa is t¨obbf´elek´epp lehets´eges. Alapvet˝oen a T ~ ´aram-vektorpotenci´al kieg´esz´ıtve a Φ reduk´alt m´agneses skal´arpotenci´allal, ´es az A m´agneses vektorpotenci´al a V elektromos skal´arpotenci´allal alkalmazhat´o. Ebben a fejezetben a legfontosabb ¨osszef¨ ugg´esekre utalok. Az a ´ram-vektorpotenci´ al ´ es a m´ agneses skal´ arpotenci´ al. Az ¨orv´eny´aram for~ ´aramr´asmentess´ege a folytonoss´agi egyenlet szerint j´ol ismert ¨osszef¨ ugg´es, amelyb˝ol a T ~ = 0 ¨osszef¨ vektorpotenci´al sz´armaztathat´o, azaz a ∇ · J ugg´es szerint a ~ = ∇×T ~, J
az Ωc
tartom´anyon
(2.35)
bevezethet˝o. A (2.14) Amp´ere-f´ele gerjeszt´esi t¨orv´eny alapj´an a m´agneses t´erer˝oss´eg alakja az al´abbi: ~ =T ~0+T ~ − ∇Φ, H
az Ωc
tartom´anyon,
(2.36)
~ 0 tag ahol a Φ a fentiekben m´ar bemutatott reduk´alt m´agneses skal´arpotenci´al. A T ~ −∇Φ ¨osszef¨ hozz´aad´asa a T ugg´eshez numerikus szempontb´ol el˝ony¨os, s megtehet˝o, hiszen az ¨orv´eny´aram´ u tartom´anyban a forr´as´aram z´erus. 23
Kuczmann Mikl´os
Habilit´aci´os disszert´aci´o
2010
Az elektromos t´erer˝oss´eg a (2.18) egyenlet utols´o ¨osszef¨ ugg´ese szerint teh´at a k¨ovetkez˝o m´odon sz´am´ıthat´o az ´aram-vektorpotenci´alb´ol: ~ = 1∇ × T ~, E σ
az Ωc
tartom´anyon.
(2.37)
A (2.15) Faraday-t¨orv´enybe, a (2.16) egyenletbe, ´es a peremfelt´etelekbe helyettes´ıtve ~ , Φ-formalizmust: az al´abbi egyenletrendszer defini´alja a T ∇×
1 ~ ∇×T σ
+µ
~ ~0 ∂T ∂Φ ∂T − µ∇ = −µ , ∂t ∂t ∂t
~ − µo ∇Φ) = −∇ · (µT ~ 0 ), ∇ · (µT
~ ×n ~ = ~0, T
az Ωc
az Ωc
tartom´anyon,
peremen,
a ΓHc
Φ = Φ0 , a ΓHc peremen, 1 ~ ~ = ~0, a ΓE ∇×T ×n σ
~ 0 + µT ~ − µ∇Φ) · n ~ = 0, (µT
tartom´anyon,
(2.38) (2.39) (2.40) (2.41)
peremen, a ΓE
(2.42)
peremen.
(2.43)
~ = 0 Coulomb-m´ert´ek egyel˝ore nem szerepel, azaz a Ebben a formalizmusban a ∇ · T fenti szabad formalizmust alkalmas numerikus technik´aval kell realiz´alni. A Coulomb-m´ert´eket is mag´aba foglal´o k¨ot¨ott formalizmus egyenletei az al´abbiak: ∇×
1 ~ ∇×T σ
−∇
1 ~ ∇·T σ
~ − µ∇Φ) = −∇ · (µT ~ 0 ), ∇ · (µT ~ ×n ~ = ~0, T Φ = Φ0 ,
tartom´anyon,
(2.45) (2.46) (2.47)
peremen,
(2.48)
a ΓE
(2.49)
~ 0 + µT ~ − µ∇Φ) · n ~ = 0, (µT a ΓE
az Ωc
peremen,
1 ~ = 0, a ΓHc ∇·T σ 1 ~ ×n ~ = ~0, ∇×T σ ~ ·n ~ = 0, T
~ ~0 ∂T ∂Φ ∂T − µ∇ = −µ , (2.44) ∂t ∂t ∂t az Ωc tartom´anyon,
peremen,
a ΓHc
a ΓHc
+µ
peremen, a ΓE
peremen,
peremen.
(2.50) (2.51)
24
Kuczmann Mikl´os
Habilit´aci´os disszert´aci´o
2010
A m´ agneses vektorpotenci´ al ´ es az elektromos skal´ arpotenci´ al. A m´agneses vektorpotenci´al a m´agneses indukci´o forr´asmentess´eg´eb˝ol vezethet˝o le, miszerint ~ = ∇ × A, ~ B
az Ωc
tartom´anyon.
(2.52)
A m´asodik Maxwell-egyenlet alapj´an az elektromos t´erer˝oss´eg is defini´alhat´o, ~ ~ = − ∂ A − ∇V, E ∂t
az Ωc
tartom´anyon,
(2.53)
ahol V az elektromos skal´arpotenci´al. Az Amp´ere-f´ele gerjeszt´esi t¨orv´eny ´es az ¨orv´eny´aram forr´asmentess´ege szolg´altatja a fel´ırhat´o parci´alis differenci´alegyenleteket, melyeket a peremfelt´etelek eg´esz´ıtenek ki az al´abbi m´odon: ~ ~ + σ ∂ A + σ∇V = ~0, az Ωc tartom´anyon, ∇ × (ν∇ × A) ∂t ! ~ ∂A + σ∇V = 0, az Ωc tartom´anyon, −∇ · σ ∂t ~ × n = 0, (ν∇ × A)
a ΓHc
peremen,
~ ∂A ~ − σ∇V · n ~ = 0, a ΓHc ·n ∂t ~ = ~0, a ΓE peremen, ~ ×A n −σ
V = V0 ,
a ΓE
peremen,
(2.54)
(2.55) (2.56) (2.57) (2.58)
peremen.
(2.59)
Itt V0 ´ert´eke konstans. Ezen szabad formalizmus a Coulomb-m´ert´eket nem foglalja mag´aba, de alkalmas numerikus technik´aval megoldhat´o. A Coulomb-m´ert´eket is tartalmaz´o k¨ot¨ott formalizmus a k¨ovetkez˝o egyenletek ´altal defini´alt: ~ ~ − ∇(ν∇ · A) ~ + σ ∂ A + σ∇V = ~0, az Ωc ∇ × (ν∇ × A) ∂t ! ~ ∂A −∇ · σ + σ∇V = 0, az Ωc tartom´anyon, ∂t ~ ×n ~ = ~0, a ΓHc peremen, (ν∇ × A) ! ~ ∂A ~ = 0, a ΓHc peremen, + σ∇V · n − σ ∂t ~ ·n ~ = 0, A
~ = ~0, ~ ×A n V = V0 ,
(2.61) (2.62) (2.63)
a ΓHc
peremen,
(2.64)
a ΓE
peremen,
(2.65)
a ΓE
~ = 0, ν∇ · A
tartom´anyon, (2.60)
peremen,
a ΓE
(2.66)
peremen.
(2.67) 25
Kuczmann Mikl´os
Habilit´aci´os disszert´aci´o
2010
Csatolt probl´ em´ ak A 2.12 ´abra szerint az ¨orv´eny´aram´ u tartom´anyt egy ¨orv´eny´aramt´ol mentes tartom´any ~ , Φ-alakban megfogalmazott formaveszi k¨or¨ ul. Az ¨orv´eny´aram´ u tartom´anyt vagy a T ~ V -formalizmus ´ırja le. A leveg˝oben lej´atsz´od´o statikus m´agneses t´er lizmus, vagy az A, ~ vektorpotenci´al alkalmazhat´o. A kapcsol´od´o le´ır´as´ara a Φ skal´arpotenci´al, vagy az A Γnc k¨ozeghat´aron a k¨ ul¨onf´ele formalizmusokat csatolni kell egym´ashoz, s ezen a fel¨ uleten a m´agneses t´erer˝oss´eg tangenci´alis komponense, valamint a m´agneses indukci´o norm´alis ir´any´ u komponense folytonos kell legyen. A csatol´as a legk¨ ul¨onf´el´ebb formalizmusokat ∗ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ,Φ − A ~ − Φ, A, ~ V − Φ, eredm´enyezheti: T , Φ − Φ, A, V − A, A − A, T , Φ − A, T ~ V −A ~ − Φ. Minden egyes formalizmusnak lehet k¨ot¨ott ´es szabad kivitele. A, Az egyes potenci´alformalizmusok levezet´ese ´es bemutat´asa rendk´ıv¨ ul hosszadalmas, ez´ert azokat a C. f¨ uggel´ekben foglalom ¨ossze.
2.3.3.
A s´ ulyozott marad´ ek elve, a v´ egeselem-m´ odszer
Az el˝oz˝o fejezetben bemutatott, ´es a tov´abbiakban bemutat´asra ker¨ ul˝o elliptikus ´es parabolikus t´ıpus´ u parci´alis differenci´alegyenletek k¨ozel´ıt˝o megold´asa t¨obbek k¨oz¨ott a s´ ulyozott marad´ek elv alapj´an lehets´eges [25, 121, 122, 126, 130, 131, 133, 135, 137, 145, 151, 176, 185–190]. A s´ ulyozott marad´ek elv k¨or´en bel¨ ul h´arom f˝o csoportba sorolhat´ok a k¨ ul¨onf´ele m´odszerek, ahogy az a 2.13 ´abr´an is l´athat´o. Ezek k¨oz¨ ul csak a gyenge alakkal, a Galjorkin-technik´aval, ´es ezen bel¨ ul a v´egeselem-m´odszerrel foglalkozom [121, 122, 130, 131, 133–135, 137, 139, 140, 142–144, 146, 151, 191, 192]. A v´egeselemm´odszer (Finite Element Method, FEM) a legn´epszer˝ ubb ´es a legelterjedtebben alkalmazott numerikus technika parci´alis differenci´alegyenletek k¨ozel´ıt˝o megold´as´ara. A s´ ulyozott marad´ek elv l´enyege abban ´all, hogy nem t¨orekszik sem a parci´alis differenci´alegyenletek, sem a peremfelt´etelek t¨ok´eletes kiel´eg´ıt´es´ere, hanem a parci´alis differenci´alegyenletek ´es a peremfelt´etelek marad´ek´anak egy tetsz˝oleges s´ ulyf¨ uggv´ennyel vett u ´ n. bels˝o szorzat´at teszi z´erussal egyenl˝ov´e, s ennek a s´ ulyozott marad´eknak a megold´asa szolg´altatja a probl´ema megold´as´anak egy lehets´eges k¨ozel´ıt´es´et. A bels˝o szorzatban szerepl˝o integr´al´as v´altozatlan form´aban t¨ort´en˝o alkalmaz´asa a direkt alakot eredm´enyezi. Amennyiben a szorzatf¨ uggv´enyre vonatkoz´o integr´al´asi t´etel ker¨ ul alkalmaz´asra, u ´ gy a gyenge alak nyerhet˝o, melynek eredm´enyek´epp a deriv´al´as rendje eggyel cs¨okken. A harmadik alak pedig az inverz alak. A s´ ulyf¨ uggv´eny tetsz˝olegesen megv´alaszthat´o. Az u ´ n. Galjorkin-elj´ar´as kapcs´an a s´ ulyf¨ uggv´enyt ´es a potenci´alokat k¨ozel´ıt˝o f¨ uggv´enyt azonosnak kell v´alasztani, s ez´ uton lehet eljutni a v´egeselem-m´odszerhez is. Megjegyzem, hogy a v´egeselem-m´odszer a Dirichlet-t´ıpus´ u peremfelt´eteleket t¨ok´eletesen, m´ıg a Neumannt´ıpus´ u peremfelt´eteleket a t´erbeli diszkretiz´al´as finoms´ag´at´ol f¨ ugg˝oen, k¨ozel´ıt˝oleg el´eg´ıti ki. Az egyes potenci´alformul´ak gyenge alakj´anak ¨osszefoglal´as´at a C. f¨ uggel´ekben k¨ozl¨om a terjedelem miatt. A v´ egeselem-m´ odszer ´ attekint´ ese A v´egeselem-m´odszer teh´at egy numerikus technika parci´alis differenci´alegyenletek k¨ozel´ıt˝o megold´as´ara, melynek l´enyege, hogy a megoldand´o probl´ema geometri´aj´at egyszer˝ u geometri´aj´ u elemek seg´ıts´eg´evel diszkretiz´alva, azokon egyszer˝ u egyenleteket fel´ırva
26
Kuczmann Mikl´os
Habilit´aci´os disszert´aci´o
2010
Direkt alak
V´eges differenci´ ak m´ odszere
Bubnov–Galjorkinm´ odszer
Gyenge alak
´ Alt. gyenge alak
V´egeselem-m´odszer
Inverz alak
Peremelemm´ odszer
Trefftz-m´ odszer
2.13. ´abra. A numerikus t´ersz´am´ıt´asi elj´ar´asok f˝obb csoportjai lehet a feladatot megoldani. Munk´am sor´an a COMSOL Multiphysics szoftvert alkalmaztam, amely kiv´al´oan alkalmas a gyenge alakkal megfogalmazott probl´em´ak kezel´es´ere [193, 194]. A v´egeselem-m´odszer l´ep´esei a 2.14 ´abr´an l´athat´ok. Az els˝o l´ep´es a helyes modell megalkot´asa, ami ´all egyr´eszt a vizsg´alt geometria CAD-rendszerben (Computer Aided Design, CAD, azaz sz´am´ıt´og´eppel t¨ort´en˝o tervez´es) t¨ort´en˝o lek´epez´es´eb˝ol, m´asr´eszt a megfelel˝o fizikai k´epb˝ol kiindulva, a megoldand´o parci´alis differenci´alegyenletek ´es peremfelt´etelek fel´ır´as´ab´ol. Ebben a l´ep´esben kell kidolgozni a diszkretiz´al´as eredm´enyek´epp kapott megoldand´o egyenleteket is, amelyek a s´ ulyozott marad´ek elvnek megfelel˝oen line´aris, vagy nemline´aris algebrai egyenletek. Az el˝ofeldolgoz´asi f´azisban a feladat a k¨ ul¨onf´ele anyagi jellemz˝ok ´es a gerjeszt´es pontos defini´al´asa, valamint a geometria v´egeselemes r´accsal t¨ort´en˝o diszkretiz´al´asa. A v´egeselem egyszer˝ u geometriai alakzat, k´et dimenz´oban p´eld´aul h´aromsz¨og (2.15(a) ´abra) ´es n´egysz¨og (2.15(b) ´abra), h´arom dimenzi´oban pedig tetra´eder (2.16(a) ´abra) ´es hexa´eder (2.16(b) ´abra) a legelterjedtebben alkalmazott forma, amelyekkel egy geometria egyszer˝ u szab´alyokkal felbonthat´o. Az ´ıgy el˝o´all´o h´al´o defini´alja a megoldand´o egyenletrendszert is, ugyanis a h´al´o csom´opontjaiban vagy a h´al´o ´elei ment´en helyezkednek el az ismeretlen potenci´al k¨ozel´ıt´es´ere haszn´alt polinomok egy¨ utthat´oi. El˝obbi esetben 27
Kuczmann Mikl´os
Habilit´aci´os disszert´aci´o
2010
A modell specifik´aci´oja El˝ ofeldolgoz´as
Adatok
Nemline´aris iter´aci´o / Id˝ol´ep´es
Modell optimaliz´al´asa
V´egeselemes h´al´o Sz´ am´ıt´as
Elemegyenlet Asszembl´al´as Megold´as
Ut´ofeldolgoz´as
2.14. ´abra. A szimul´aci´o l´ep´esei v´egeselem-m´odszer eset´en csom´oponti, ut´obbi esetben vektori´alis vagy ´elelemes k¨ozel´ıt´esr˝ol besz´el¨ unk. Ezut´an a s´ ulyozott marad´ek elv gyenge alakj´ara t´amaszkodva az egyetlen v´egeselemre fel´ırhat´o lok´alis egyenletek (elemegyenlet) alapj´an fel kell ´ep´ıteni a megoldand´o glob´alis egyenletrendszert. Ez az u ´ n. asszembl´al´as, amikor ciklusban v´egig kell menni valamennyi v´egeselemen, s a megfelel˝o egyenletek egy¨ utthat´oit a megfelel˝o helyre hozz´a kell adni. Ennek eredm´enye egy nagym´eret˝ u, ritka (sparse) m´atrix, mivel nagyon kev´es eleme k¨ ul¨onb¨ozik z´erust´ol. A megold´o algoritmus szempontj´ab´ol sok esetben c´elszer˝ u szimmetrikus m´atrixot gener´alni, amennyiben az lehets´eges. Az egyenletrendszer megold´as´ara sz´amos algoritmus l´etezik. A sz´am´ıt´asi ciklust k¨ ul¨onb¨oz˝o bemeneti felt´etelek mellett ism´etelni kell az id˝of¨ ugg˝o ¨orv´eny´aram´ u probl´em´ak id˝otartom´anyban t¨ort´en˝o megold´asa eset´en, m´ıg a nemline´aris egyenletrendszer megold´asa iter´aci´ot is ig´enyel. y
y 3
3 4
´el
´el
2 1
csom´opont
2 1
x
(a) H´ aromsz¨ og
csom´opont (b) N´egysz¨og
2.15. ´abra. Tipikus v´egeselemek a k´etdimenzi´os x − y s´ıkon 28
x
Kuczmann Mikl´os
Habilit´aci´os disszert´aci´o
z
2010
z 4
y
8 y
5
7
6 3 1
3
4
1 ´el 2
´el
csom´opont
2
csom´opont
x
x
(b) Hexa´eder
(a) Tetra´eder
2.16. ´abra. Tipikus v´egeselemek h´arom dimenzi´oban Az egyenletrendszer megold´asa ut´an a k¨ozel´ıt˝o potenci´alf¨ uggv´eny ismeret´eben gyakorlatilag az ¨osszes k´erd´eses mennyis´eg sz´am´ıthat´o. Ez az ut´ofeldolgoz´asi f´azis. A szimul´aci´os eredm´enyek birtok´aban a modell jav´ıthat´o, a v´egeselemes ´es id˝obeli diszkretiz´al´as finom´ıthat´o, azaz a modell j´os´aga iterat´ıvan n¨ovelhet˝o. A potenci´ alok k¨ ozel´ıt´ ese A numerikus m´odszerek a megoldand´o probl´em´ak egy k¨ozel´ıt´es´et szolg´altatj´ak. V´egeselem-m´odszer eset´en a parci´alis differenci´alegyenletekben szerepl˝o potenci´alokat a v´egeselemekre fel´ırt polinomok seg´ıts´eg´evel lehet k¨ozel´ıteni, amelyeket formaf¨ uggv´enyeknek is neveznek. Ebben a fejezetben az approxim´aci´o l´enyeg´et foglalom ¨ossze. A skal´ar s´ ulyf¨ uggv´enyt (vektor-skal´ar f¨ uggv´eny) ´es az approxim´aci´o sor´an alkalmazott k¨ozel´ıt˝o formaf¨ uggv´enyt a tov´abbiakban N = N(~r ) jel¨oli, a vektor s´ ulyf¨ uggv´enyt (vektor~ ~ vektor f¨ ugv´eny) ´es k¨ozel´ıt˝o formaf¨ uggv´enyt pedig W = W (~r ). A Φ = Φ(~r ) vagy Φ = Φ(~r , t) reprezentat´ıv skal´ar potenci´alf¨ uggv´enyek m sz´am´ u line´arisan f¨ uggetlen f¨ uggv´eny line´aris kombin´aci´oj´aval approxim´alhat´ok: Φ ' Φa = ΦD +
m X
Ni Φi ,
(2.68)
i=1
ahol Φa jel¨oli a Φ potenci´al k¨ozel´ıt´es´et. Az Ni = Ni (~r ) az approxim´aci´o formaf¨ uggv´enye, Φi = Φi (t) pedig az ismeretlen egy¨ utthat´okat jel¨oli (statikus esetben ezek term´eszetesen id˝ot˝ol f¨ uggetlenek). A fenti k¨ozel´ıt´es els˝o tagja a Dirichlet-f´ele peremfelt´etelek kiel´eg´ıt´es´et hivatott biztos´ıtani, ΦD = g,
a ΓD
peremen,
(2.69)
ahol g egy el˝ore megadott ´ert´ek. Ennek k¨ovetkezm´enye, hogy a ΓD peremen a m´asodik ¨osszeg minden tagja z´erus kell legyen, azaz teljes¨ ulnie kell az Ni = 0,
a ΓD
peremen (∀i, i = 1, · · · , m)
felt´etelnek. 29
(2.70)
Kuczmann Mikl´os
Habilit´aci´os disszert´aci´o
2010
~ = A(~ ~ r ) vagy A ~ = A(~ ~ r , t) reprezentat´ıv vektor potenci´alf¨ Az A uggv´enyek k sz´am´ u line´arisan f¨ uggetlen formaf¨ uggv´eny seg´ıts´eg´evel k¨ozel´ıthet˝ok a k¨ovetkez˝o m´odon: ~ 'A ~a=A ~D+ A
k X
~ j Aj . W
(2.71)
j=1
~ a jel¨oli az A ~ vektorf¨ ~ j = W ~ j (~r ) az approxim´aci´o Itt A uggv´eny approxim´aci´oj´at, a W formaf¨ uggv´eny´et, Aj = Aj (t) pedig az ismeretlen egy¨ utthat´okat, amelyek statikus esetben nem f¨ uggenek az id˝ot˝ol. Az els˝o tag a Dirichlet-t´ıpus´ u peremfelt´etelek pontos ~ kiel´eg´ıt´es´ere szolg´al, azaz ismert G vektorv´altoz´o, vagy ismert G skal´arv´altoz´o mellett az al´abbi felt´etelek valamelyik´et el´eg´ıti ki: ~ D = G, ~ ~ ×A n
~D ·n ~ = G, vagy A
a ΓD
peremen.
(2.72)
Ennek k¨ovetkezm´enye, hogy a ΓD peremen a formaf¨ uggv´eny a k¨ovetkez˝o felt´etelek egyik´et kell teljes´ıtse: ~ j = ~0, ~ ×W n
~ j ·n ~ = 0, vagy W
a ΓD
peremen (∀j, j = 1, · · · , k). (2.73)
A formaf¨ uggv´ enyek A skal´arpotenci´alok csom´oponti v´egeselemekkel k¨ozel´ıthet˝ok, m´ıg a vektorpotenci´alok approxim´alhat´ok ak´ar csom´oponti, ak´ar ´elelemek (vektorelemek) seg´ıts´eg´evel. A csom´oponti elemek alkalmaz´asa sor´an az Ni formaf¨ uggv´enyek seg´ıts´eg´evel kell k¨ozel´ıteni a potenci´alokat, s az ismeretlenek a v´egeselemes h´al´o csom´opontjaihoz kapcsol´odnak. ~ j formaf¨ Az ´elmenti v´egeselemek eset´en a W uggv´enyekb˝ol ´es az ´elekhez rendelt ismeretlenekb˝ol ´all el˝o a k¨ozel´ıt˝o potenci´al. A k¨ozel´ıt˝o formaf¨ uggv´enyek egyszer˝ u folytonos polinomokb´ol ´ep¨ ulnek fel, melyek tart´oja egyetlen v´egeselem. A formaf¨ uggv´enyek a k¨ovetkez˝o tulajdons´agokkal b´ırnak [133]: (i ) Minden formaf¨ uggv´eny a teljes probl´emat´er felett ´ertelmezett; (ii ) Minden csom´oponti formaf¨ uggv´eny egyetlen csom´oponthoz, s minden ´elmenti vektor-formaf¨ uggv´eny egyetlen ´elhez tartozik; (iii ) Minden csom´oponti f¨ uggv´eny azon v´egeselemeken k¨ ul¨onb¨ozik null´at´ol, amelyek ´erintkeznek annak csom´opontj´aval, s minden vektorf¨ uggv´eny csak azon v´egeselemeken nem nulla, amelyekhez az ´el tartozik; (iv ) A csom´oponti f¨ uggv´eny ´ert´eke egys´egnyi az adott csom´opontban, s minden m´as csom´opontba z´erus. A vektorf¨ uggv´eny vonalmenti integr´alja az adott ´el ment´en egys´egnyi, az ¨osszes t¨obbi ´el ment´en pedig z´erus; (v ) A formaf¨ uggv´enyek line´arisan f¨ uggetlenek. A v´egeselem-m´odszerrel sz´am´ıtott k¨ozel´ıt˝o megold´as pontoss´aga alapvet˝oen h´arom m´odon jav´ıthat´o. A v´egeselemek sz´am´at n¨ovelve, vagyis a felbont´ast finom´ıtva az u ´ n. h-FEM nyerhet˝o. A k¨ozel´ıt˝o polinomok foksz´am´anak n¨ovel´ese a p-FEM -et eredm´enyezi, m´ıg a kett˝o alkalmas kombin´aci´oja a hp-FEM.
30
Kuczmann Mikl´os
Habilit´aci´os disszert´aci´o
2010
A csom´ oponti formaf¨ uggv´ enyek. Skal´arf¨ uggv´enyek approxim´aci´oja a (2.68) ¨osszef¨ ugg´es szerint lehets´eges. V´egeselem-m´odszer eset´eben az Ni = Ni (~r ) b´azisf¨ uggv´enyeket csom´oponti formaf¨ uggv´enyeknek h´ıvj´ak. A formaf¨ uggv´enyek tulajdons´agai alapj´an a csom´oponti formaf¨ uggv´enyek az al´abbi ¨osszef¨ ugg´es szerint defini´alhat´ok: 1, az i-edik csom´opontban, (2.74) Ni = 0, b´armely m´as csom´opontban. Az ´altalam haszn´alt csom´oponti formaf¨ uggv´enyek jellegzetes alakjait, ¨osszef¨ ugg´eseit a D. f¨ uggel´ekben foglalom ¨ossze. A csom´oponti formaf¨ uggv´enyek seg´ıts´eg´evel vektorpotenci´alok k¨ozel´ıt´ese is lehets´eges, hab´ar u ´ jabban az u ´ n. ´elmenti formaf¨ uggv´enyek alkalmaz´asa h´od´ıt. A reprezentat´ıv ~ ~ A = A(~r , t) potenci´alf¨ uggv´eny h´aromdimenzi´os esetben h´arom komponens seg´ıts´eg´evel ´ırhat´o fel az al´abbi m´odon: ~ = Ax~ex + Ay~ey + Az~ez A
(2.75)
ahol ~ex , ~ey ´es ~ez az x, y ´es z ir´anyokba mutat´o egys´egvektorok, az Ax = Ax (~r , t), ~ az Ay = Ay (~r , t), ´es az Az = Az (~r, t) f¨ uggv´enyek pedig ezen h´arom ir´anyban az A vektorpotenci´al ortogon´alis komponensei. K´ezenfekv˝o az al´abbi k¨ozel´ıt´es: ~ ' A =
m X
Ni (Ax,i ~ex + Ay,i ~ey + Az,i ~ez )
i=1
m X
Ni Ax,i ~ex +
i=1
m X i=1
Ni Ay,i ~ey +
m X
(2.76) Ni Az,i ~ez ,
i=1
azaz az egyes komponenseket k¨ ul¨on-k¨ ul¨on lehet csom´oponti formaf¨ uggv´enyekkel k¨ozel´ıteni. A kutat´asok eredm´enyek´epp kider¨ ult azonban, hogy a vektorpotenci´alok ily m´odon t¨ort´en˝o k¨ozel´ıt´ese sz´amos numerikus probl´em´at okoz. A Coulomb-m´ert´ek el˝o´ır´as´ara k¨ ul¨on¨os gondot kell ford´ıtani, k¨ ul¨onben az iterat´ıv m´odszerek sok esetben nem konvergensek, mivel az el˝o´all´o algebrai egyenletrendszernek v´egtelen sok megold´asa van. A Coulomb-m´ert´ekkel egy´ertelm˝ uv´e tett k¨ot¨ott formalizmust csom´oponti v´egeselemm´odszerrel szok´as megoldani. A m´asik l´enyeges probl´ema, hogy nagy permeabilit´as´ u k¨ozeg ´es kis permeabilit´as´ u k¨ozeg hat´ar´an (vas/leveg˝o hat´ar) a megold´as nem helyes. Itt k¨ ul¨on felt´etelt kell gener´alni a k¨ozeghat´aron, ami azonban nem k¨ovetkezik az egyenletekb˝ol, de az ´elmenti formaf¨ uggv´enyek ir´any´aba mutat. A probl´ema ugyanis abban ´all, hogy a csom´oponti formaf¨ uggv´eny folytonos, azaz a m´agneses vektorpotenci´al norm´alis ir´any´ u komponense is ´es tangenci´alis ir´any´ u komponense is folytonos. A eredm´enyek viszont azt mutatj´ak, hogy vas/leveg˝o hat´aron a norm´alis ir´any´ u komponens nem folytonos. Az ´ elmenti formaf¨ uggv´ enyek. Az ´elmenti formaf¨ uggv´enyek a fenti probl´em´ak vizs~ g´alat´anak eredm´enyek´ent alakultak ki. A W j ´elmenti formaf¨ uggv´enyek seg´ıts´eg´evel az ~ A reprezentat´ıv vektorpotenci´al a k¨ovetkez˝o m´odon k¨ozel´ıthet˝o: ~ ' A
k X
~ j Aj . W
(2.77)
j=1
31
Kuczmann Mikl´os
Habilit´aci´os disszert´aci´o
~ j ´elmenti formaf¨ AW uggv´eny defin´ıci´oja az al´abbi: Z ~ = 1, a j-edik ´el ment´en, ~ j · dl W 0, b´armely m´as ´el ment´en, l
2010
(2.78)
azaz a formaf¨ uggv´eny ´elmenti vonalintegr´alja a j-edik ´el ment´en egys´egnyi, s az ¨osszes ~ j vektor formaf¨ t¨obbi ´el ment´en nulla. Ez azt jelenti, hogy a W uggv´enynek tangenci´alis komponense csak a j-edik ´el ment´en van, az ¨osszes t¨obbi ´elre pedig mer˝oleges. H´aromdimenzi´os esetben nemcsak a j-t˝ol k¨ ul¨onb¨oz˝o ´elekre mer˝oleges a formaf¨ uggv´eny, hanem minden olyan oldalra is, amely a j-edik ´ellel nincs kapcsolatban. Ha k´et v´egeselemnek van k¨oz¨os ´ele, akkor ezen az ´elen az approxim´alt potenci´alf¨ uggv´eny tangenci´alis komponense folytonos, m´ıg norm´alis komponense nem felt´etlen¨ ul az. Megjegyzem, hogy a szabad formalizmust ezen ´elmenti formaf¨ uggv´enyekkel jellemzett vektori´alis v´egeselem-m´odszerrel szok´as megoldani. Az ´altalam haszn´alt ´elmenti formaf¨ uggv´enyek jellegzetes alakjait, ¨osszef¨ ugg´eseit a D. f¨ uggel´ekben foglalom ¨ossze.
2.3.4.
A nemlinearit´ as figyelembe v´ etele
Munk´am f˝o c´elja a kidolgozott hiszter´ezis modellek ´es a k¨ ul¨onf´ele potenci´alformalizmusok ¨osszekapcsol´asa alkalmas numerikus technik´aval. Az ´ıgy el˝o´all´o, a hiszter´ezis karakterisztika beilleszt´es´ere is alkalmas elj´ar´as kidolgoz´asa bonyolults´aga ´es g´epig´enye miatt ma is a kutat´asok k¨oz´eppontj´aban ´all. Kutat´asom a [64, 137, 145, 191, 195–214] m˝ uveken alapul, amelyek a fixpontos elj´ar´ast helyezik el˝ot´erbe a nemline´aris egyenletrendszer megold´as´ara. A Maxwell-egyenletekb˝ol levezethet˝o potenci´alformalizmusok ´es a hiszter´ezis karakterisztika lineariz´al´as´ara alkalmas polariz´aci´os formula alkalmas ¨osszekapcsol´asa konvergens iter´aci´os elj´ar´ashoz vezet, amely kiv´al´oan alkalmas bonyolult h´aromdimenzi´os probl´em´ak megold´as´ara. Eredm´enyeim a 4. fejezetben foglalom ¨ossze.
32
3. fejezet A hiszer´ ezis jelens´ eg´ enek vizsg´ alata 3.1.
A skal´ ar hiszter´ ezis karakterisztika
3.1.1.
A jelens´ eg m´ er´ es u ´ tj´ an t¨ ort´ en˝ o vizsg´ alata
A m´ er´ esi elrendez´ es bemutat´ asa Az ´altalam meg´ep´ıtett, a skal´ar hiszter´ezis karakterisztika m´er´es´ere alkalmas elrendez´es blokkv´azlata a 3.1 ´abr´an l´athat´o. A 2.2. fejezetben m´ar ismertettem, hogy ~ ez a m´er´esi ¨ossze´all´ıt´as kihaszn´alja, hogy egy toroid alak´ u pr´obatesten bel¨ ul a H(t) ~ m´agneses t´erer˝oss´eg vektor ´es a B(t) m´agneses indukci´o vektor egym´assal minden pontban p´arhuzamos. A toroid keresztmetszet´en ´athalad´o H(t) ´es B(t) t´erjellemz˝ok ´atlaga m´erhet˝o, s ezen k´et skal´ar id˝obeli v´altoz´asa ´ırja le a m´agneses anyag viselked´es´et.
3.1. ´abra. A realiz´alt skal´ar hiszter´ezis m´er´es´ere alkalmas elrendez´es blokkv´azlata A karakterisztika m´er´ese sor´an a toroid Np = 134 menetsz´am´ u primer tekercs´et el˝ore defini´alt id˝of¨ uggv´eny˝ u i(t) ´arammal lehet gerjeszteni, aminek hat´as´ara a transzform´ator Ns = 248 menetsz´am´ u szekunder tekercs´eben u(t) fesz¨ ults´eg induk´al´odik. Az ´aram ´es az induk´alt fesz¨ ults´eg id˝of¨ uggv´enye m´erhet˝o a sz´am´ıt´og´epbe helyezett National Instru33
Kuczmann Mikl´os
Habilit´aci´os disszert´aci´o
2010
ments m´er´esi adatgy˝ ujt˝o (Data Acquisition, NI-DAQ) k´artya seg´ıts´eg´evel. Az ´aram jelalakj´at ugyanezen k´arty´an kereszt¨ ul lehet a gener´atorhoz eljuttatni. A sz´am´ıt´og´epen fut´o, ´altalam LabVIEW k¨ornyezetben kifejlesztett elj´ar´ascsomag vez´erli a teljes m´er´est, szab´alyozza az ´aramgener´atort, m´eri ´es feldolgozza a bej¨ov˝o jeleket, valamint megjelen´ıti a m´er´esi eredm´enyeket. A m´er´esek sor´an felhaszn´alt eszk¨oz¨ok r´eszletes bemutat´asa az A. f¨ uggel´ekben tekinthet˝o meg. A m´agneses t´erer˝oss´eg ´atlagos ´ert´eke a toroidon bel¨ ul Amp´ere t¨orv´enye ´ertelm´eben a k¨ovetkez˝o ¨osszef¨ ugg´es szerint sz´am´ıthat´o: H(t) ∼ =
Np i(t) , l
(3.1)
ahol l = 157 mm a toroid k¨ozepes hossza. A m´agneses indukci´o Faraday t¨orv´enye szerint az induk´alt fesz¨ ults´eg ismeret´eben sz´am´ıthat´o: Z t 1 u(τ ) dτ, (3.2) B(t) = B0 + S Ns 0 ahol S = 320 mm2 a toroid keresztmetszete, B0 pedig konstans. A skal´ar m´er´esek sor´an egy C19 szerkezeti ac´elb´ol k´esz¨ ult pr´obatest karakterisztik´aj´at vizsg´altam, amely egy l´agym´agneses anyag, azaz karakterisztik´aja keskeny, vagyis a karakterisztika ´altal k¨ozbez´art ter¨ ulet, k¨ovetkez´esk´epp a vesztes´eg is kicsi. A koercit´ıv t´erer˝oss´eg szint´en kicsi. A m´er´eseket alacsony frekvenci´an v´egeztem el az ¨orv´eny´aramok elhanyagolhat´os´aga v´egett, azaz a frekvenciaf¨ ugg´est nem vizsg´altam, s ´ıgy a modell is kv´azistatikus k¨ozel´ıt´est val´os´ıt meg. Zajsz˝ ur´ es A m´er´esek sor´an kapott hiszter´ezis karakterisztika meglehet˝osen zajos, amely k¨ ul¨on¨osen kicsiny gerjeszt´esek mellett sz´amottev˝o. Megfigyel´eseim szerint a zaj id˝obeli ´atlaga pozit´ıv, ami az integr´al´as eredm´enyek´epp kapott B(t) jelben egyre n¨ovekv˝o offszetet jelent. Tapasztalataim szerint ez a zaj a hardver k¨ ul¨onb¨oz˝o be´all´ıt´asai mellett sem elimin´alhat´o, ez´ert a 3.2 ´abr´an l´athat´o, nagyon hat´ekony szoftveres megold´ast dolgoztam ki LabVIEW k¨ornyezetben, amely Fourier-transzform´aci´on ´es digit´alis sz˝ ur´esen alapul. Els˝o l´ep´esben a m´ert ´aramjelet ´es fesz¨ ults´egjelet a LabVIEW FFT (Fast Fourier Transform) blokkj´aval Fourier-transzform´alni kell, majd a nem k´ıv´ant harmonikusokat egy LabVIEW-ban implement´alt digit´alis sz˝ ur˝o seg´ıts´eg´evel elimin´alni lehet. Ez egyszer˝ uen annyit jelent, hogy az amplit´ ud´ospektrum megfelel˝o elemeit z´erussal beszoroztam. V´egezet¨ ul a sz˝ urt spektrumot vissza kell transzform´alni az id˝otartom´anyba. A 3.3(a) ´abr´an egy zajos induk´alt fesz¨ ults´eg amplit´ ud´ospektrum´anak egy r´eszlete l´athat´o (egy nagy´ıtott intervallumot mutat a 3.3(b) ´abra). Az ´abr´akon j´ol l´athat´o, hogy a hasznos jel spektruma mellett minden frekvencia k´epviselteti mag´at valamekkora amplit´ ud´oval. Ezen nem k´ıv´ant komponenseket kell z´erussal beszorozni a sz˝ ur´es sor´an. A 3.4(a) ´abr´ab´ol kit˝ unik, hogy a zajos m´er´esi eredm´enyekb˝ol sz´am´ıtott m´agneses t´erer˝oss´eg ´es az integr´al´as u ´ tj´an sz´am´ıtott m´agneses indukci´o is zajos, ut´obbi id˝oben n¨ovekv˝o offszettel is terhelt. A sz˝ ur´es eredm´enyek´epp kapott karakterisztika azonban mindezekt˝ol mentes (3.4(b) ´abra).
34
Kuczmann Mikl´os
Habilit´aci´os disszert´aci´o
2010
1
0,75
0,75 |Uk(jω)| [mV]
1
0,5
k
|U (jω)| [mV]
3.2. ´abra. A LabVIEW k¨ornyezetben implement´alt sz˝ ur´esi elj´ar´as
0,25
0,5
0,25
0 0
250
500 k
750
0 0
1000
(a) Az amplit´ ud´ ospektrum
50
100 k
150
200
(b) Egy nagy´ıtott intervallum
1
1
0.5
0.5 B [T]
B [T]
3.3. ´abra. P´elda a m´ert induk´alt fesz¨ ults´eg amplit´ ud´ospektrum´ara
0
−0.5
−1 −1000
0
−0.5
−500
0 H [A/m]
500
−1 −1000
1000
(a) Zajsz˝ ur´es el˝ ott
−500
0 H [A/m]
500
(b) Zajsz˝ ur´es ut´an
3.4. ´abra. A m´ert ´es a sz˝ ur´essel kapott karakterisztika
35
1000
Kuczmann Mikl´os
Habilit´aci´os disszert´aci´o
2010
A szab´ alyoz´ o algoritmus A m´agneses indukci´o id˝of¨ uggv´eny´enek szab´alyoz´asa t¨obb szempontb´ol is fontos. Skal´ar hiszter´ezis m´er´ese eset´en az ´aram ´es a m´agneses t´erer˝oss´eg a (3.1) ¨osszef¨ ugg´esnek megfelel˝oen egym´assal ar´anyosan alakulnak, ha a pr´obatest toroid alak´ u. Ha a karakterisztika a k¨ony¨ok ´es a koercit´ıv t´erer˝oss´eg k¨orny´ek´en nagyon gyorsan v´altozik, akkor az gyors indukci´ov´altoz´ast jelent, ami t¨ uskeszer˝ u induk´alt fesz¨ ults´eget okoz a szekunder tekercs kapcsain. Ezeket a t¨ usk´eket azonban neh´ez m´erni, ugyanis nagyon sok mintav´etelez´esi pont sz¨ uks´eges a pontos ´es megism´etelhet˝o m´er´esekhez. Mindemellett a gyors fluxusv´altoz´as Faraday t¨orv´eny´enek megfelel˝oen nagy ¨orv´eny´aramokat is induk´al a pr´obatestben, ami meghamis´ıtja a statikus karakterisztika m´er´es´enek eredm´enyeit. Ezen okokn´al fogva c´elszer˝ u a nagy fluxusv´altoz´asi sebess´eget cs¨okkenti oly m´odon, hogy a szekunder tekercs kapcsain m´erhet˝o induk´alt fesz¨ ults´eg id˝of¨ uggv´eny´et ´ırjuk el˝o p´eld´aul szinuszos lefut´as´ ura, vagy a vele kapcsolatban ´all´o m´agneses indukci´o id˝of¨ uggv´eny´et. Az ezt megval´os´ıt´o proporcion´alis t´ıpus´ u szab´alyoz´o algoritmus az al´abbi: 1. Inicializ´al´as: szinuszos lefut´as´ u ´aramjellel indul a m´er´es; 2. A m´agneses t´erer˝oss´eg ´es a m´agneses indukci´o m´er´ese a fenti sz˝ ur´esi technik´aval; 3. A B(t) m´ert ´es a Bref (t) el˝ore defini´alt m´agneses indukci´o id˝of¨ uggv´eny´enek ¨osszehasonl´ıt´asa, ami egy ∆B(t) hibaf¨ uggv´enyt eredm´enyez, ∆B(t) = B(t) − Bref (t);
(3.3)
4. Az ´aramjel megv´altoztat´asa a ∆i(t) = P ∆B(t) jellel, ami egy proporcion´alis szab´alyoz´ot defini´al (0 < P < 1, [P ] = A ); T 5. Ha |∆B(t)| ´atlaga nem ´eri el a k´ıv´ant ´ert´eket visszal´ep´es a 2. pontra, egy´ebk´ent a m´er´es v´eget ´er. Itt jegyzem meg, hogy a vektori´alis hiszter´ezis m´er´ese sor´an a szab´alyoz´as m´eg nagyobb szerepet kap. A fenti algoritmussal tetsz˝oleges id˝obeli lefut´as´ u indukci´o el´erhet˝o. A 3.5(a) ´abr´an egy koncentrikus hurok ment´en kialakul´o minor hurkok l´athat´ok, amelyek h˝ uen k¨ovetik azt a j´ol ismert t´enyt, hogy a minor hurkok reverzibilis permeabilit´asa a m´agneses indukci´o n¨ovel´es´evel cs¨okken [4]. A 3.5(b) ´abra magasabb rend˝ u minor hurkok m´er´es´ere mutat eredm´enyt. A 3.6(a) ´abr´an a Bref (t) = 0.463 cos(ωt + 36.33◦ ) + 0.234 cos(3ωt − 89.6◦ ) (3.4) +0.141 cos(5ωt + 148.03◦) T
¨osszef¨ ugg´esnek, m´ıg a 3.6(b) ´abr´an a Bref (t) = 0.67 cos(ωt + 16.6◦ ) + 0.072 cos(17ωt + 163.8◦ ) +0.034 cos(19ωt − 177◦ ) T
(3.5)
formul´anak megfelel˝o id˝of¨ uggv´enyek szerint alakul´o m´er´esi eredm´enyek l´athat´ok f = 5 Hz ´es f = 50 Hz frekvenci´an. Ezen m´er´esi eredm´enyek j´ol illusztr´alj´ak a nagyon egyszer˝ u algoritmus robusztuss´ag´at. 36
Habilit´aci´os disszert´aci´o
1.5
1.5
0.75
0.75 B [T]
B [T]
Kuczmann Mikl´os
0
−0.75
2010
0
−0.75
−1.5 −2000
−1000
0 H [A/m]
1000
−1.5 −2500
2000
(a) Els˝orend˝ u minor hurkok
−1250
0 H [A/m]
1250
2500
(b) Magasabb rend˝ u minor g¨ orb´ek
1.5
1.5
0.75
0.75 B [T]
B [T]
3.5. ´abra. Minor hurkok m´er´ese
0
−0.75
−1.5 −1
0
−0.75
−0.5
0 H [A/m]
0.5
−1.5 −1
1 x 10
4
(a) A (3.4) jelhez tartoz´o karakterisztika
−0.5
0 H [A/m]
0.5
1 x 10
4
(b) A (3.5) jelhez tartoz´o karakterisztika
3.6. ´abra. Magasabb rend˝ u minor hurkok m´er´ese k¨ ul¨onb¨oz˝o frekvenci´akon
3.1.2.
A modell bemutat´ asa
A tov´abbiakban ´att´erek a m´agneses hiszter´ezis karakterisztika oper´ator´anak szok´asos jel¨ol´es´ere, azaz vagy a B(t) = H {H(t)} direkt karakterisztik´at, vagy a H(t) = B{B(t)} inverz karakterisztik´at fogom haszn´alni a 2.1. fejezetben haszn´alt Γ{·} ´altal´anos jel¨ol´es helyett. Az oper´ator vektori´alis hiszter´ezis modellez´ese eset´en term´eszetesen k´et vektor ~ ~ ~ ~ k¨oz¨ott ad kapcsolatot, azaz B(t) = H {H(t)}, illetve H(t) = B{B(t)}. Munk´am sor´an a Preisach-f´ele hiszter´ezis modellt alkalmaztam, melynek ´altalam is haszn´alt tulajdons´agait a 2. fejezetben bemutattam. A modell implement´al´asa sor´an k´et fontos szempontot tartottam szem el˝ott: egyszer˝ u identifik´aci´o, amely k¨ozvetlen¨ ul a m´er´esi eredm´enyekhez kapcsol´odik; valamint gyors m˝ uk¨od´es, ami a m´ern¨oki alkalmaz´as szempontj´ab´ol rendk´ıv¨ ul fontos. A modell fel´ep´ıt´ese sor´an az Everett-f¨ uggv´enyt alkalmaztam, amely j´ol illeszkedik az elv´egzett m´er´esek eredm´enyeihez. A m´er´es sor´an egyszer˝ ubb a koncentrikus g¨orb´ek felv´etele, ezen okn´al fogva a 2.5 ´abr´an felv´azolt m´odon hat´aroztam meg az Everettf¨ uggv´enyt. Az Everett-f¨ uggv´eny approxim´aci´oj´at harmadfok´ u spline interpol´aci´oval v´egeztem.
37
Kuczmann Mikl´os
Habilit´aci´os disszert´aci´o
2010
Az Everett-f¨ uggv´eny m´asik nagy el˝onye, hogy seg´ıts´eg´evel a modell kimenet´enek sz´am´ıt´asa sor´an nem kell integr´al´ast v´egezni, hanem a (2.6) ¨osszef¨ ugg´est lehet alkalmazni. A k¨ovetkez˝okben bemutat´asra ker¨ ul˝o algoritmus a l´epcs˝osg¨orbe olyan t´arol´as´at alkalmazza, amely alkalmass´a teszi a modellt p´arhuzamos m´odon t¨ort´en˝o realiz´al´asra. Mindezt MATLAB k¨ornyezetben implement´altam, a szoftver alapm˝ uveleteit el˝ony¨osen kihaszn´alva. A p´arhuzamos´ıthat´os´ag az alkalmaz´as szempontj´ab´ol rendk´ıv¨ ul fontos. A m´agnesez´esi folyamatokat c´elszer˝ u a t = 0 id˝opillanatban lem´agnesezett ´allapotb´ol ind´ıtani, amikor H(0) = 0 ´es B(0) = 0. Itt az inverz modell m˝ uk¨od´es´et mutatom be, mert a vektormodell inverz alakban m˝ uk¨odik, a direkt modell m˝ uk¨od´ese pedig az itt le´ırtakkal anal´og.
(a) Az els˝o m´agnesez´esi g¨ orbe
(b) A visszat´er˝o g¨ orbe
3.7. ´abra. Az illusztr´aci´o els˝o ´es m´asodik l´ep´ese Ha a m´agneses indukci´o n˝o, akkor a m´agneses t´erer˝oss´eg az els˝o m´agnesez´esi g¨orb´enek megfelel˝oen alakul, ´es a l´epcs˝osg¨orbe balr´ol jobbra halad, ahogy az a 3.7(a) ´abr´an l´athat´o. Az ´abr´an szaggatott vonal jelzi a lem´agnesezett ´allapotnak megfelel˝o l´epcs˝osg¨orb´et, ami k´et egyenl˝o nagys´ag´ u ter¨ uletre osztja a h´aromsz¨oget. Ha a m´agneses indukci´o ezut´an cs¨okken, akkor egy koncentrikus g¨orb´enek megfelel˝o visszat´er´esi g¨orb´en halad a m´agnesez´esi folyamat. Ezt illusztr´alja a 3.7(b) ´abra. Az ´abr´an megjel¨oltem a h´aromsz¨og¨on ´ertelmezett l´epcs˝ofokot ´es a neki megfelel˝o elt´arolt, illetve felhaszn´alt pontot az α = β egyenes ment´en. A l´epcs˝osg¨orbe egy v´ızszintes szakasza ekkor fentr˝ol lefel´e halad egyre n¨ovelve a negat´ıv el˝ojellel rendelkez˝o hiszteronok ter¨ ulet´et, mi´altal a 38
Kuczmann Mikl´os
Habilit´aci´os disszert´aci´o
2010
m´agneses t´erer˝oss´eg is cs¨okken. A 0-val jelzett pont az els˝o pont, amit a mem´ori´aban t´arolni kell ´es ami az els˝o l´epcs˝ofokot jelenti. Ennek koordin´at´ai: (α0 , β0 = −α0 ). Nem sz¨ uks´eges azonban mindk´et ´ert´ek t´arol´asa. Az α = β egyenesen ugyanis alkalmas algoritmussal ezt egyetlen adat t´arol´as´aval meg lehet tenni, azaz L = {α0 }. Ekkor a m´agneses t´erer˝oss´eg a k¨ovetkez˝ok´epp sz´am´ıthat´o (2.6) alapj´an: H(t) = Hmax (−E(α0 , β0 ) + 2 [E(α1 , β0 ) − E(α1 , β1 )])
(3.6)
ahol β0 = −α0 az L list´aban t´arolt egyetlen ´ert´ek, valamint α1 = α0 ´es β1 = B(t)/Bmax . A Hmax ´es Bmax ´ert´ekek a technikai szatur´aci´ohoz tartoz´o maxim´alis m´agneses t´erer˝oss´eg ´es indukci´o ´ert´ekek, melyekkel a modell bemenete ´es kimenete normaliz´alhat´o. A β1 teh´at ebben a l´ep´esben cs¨okken, s mozgatja a l´epcs˝osg¨orb´et. Ha a m´agneses indukci´o el´ern´e a −α0 Bmax ´ert´eket, akkor az L list´ab´ol t¨or¨olni kell az α0 ´ert´eket, s vissza kell t´erni az els˝o m´agnesez´esi g¨orb´ere.
(a) Egy minor hurok nyit´asa
(b) Harmadrend˝ u minor hurok nyit´asa
3.8. ´abra. Az illusztr´aci´o harmadik ´es negyedik l´ep´ese A 3.8(a) ´abra szerint az 1 pontban a modell bemenete n˝o, s egy minor hurok alakul ki. Ennek eredm´enyek´epp a l´epcs˝osg¨orbe egy f¨ ugg˝oleges szakasza balr´ol jobbra halad, s kialakult egy u ´ jabb l´epcs˝ofok, amit t´arolni kell, azaz az L lista a k¨ovetkez˝o m´odon gyarapszik: L = {β1 , α0 }. Itt β1 a m´asodik, 1-gyel jelzett l´epcs˝ofok koordin´at´aja. Ebben az esetben a kimenet sz´am´ıt´asa a H(t) = Hmax (−E(α0 , β0 ) + 2 [E(α1 , β0 ) − E(α1 , β1 ) + E(α2 , β1 ) − E(α2 , β2 )]) (3.7) 39
Kuczmann Mikl´os
Habilit´aci´os disszert´aci´o
2010
¨osszef¨ ugg´esnek megfelel˝oen alakul. Itt α2 = B(t)/Bmax , ami v´altozik, az utols´o tag pedig az Everett-f¨ uggv´eny defin´ıci´oja miatt z´erus. Ha a bemeneti jel ´ert´eke el´eri az L list´aban t´arolt α0 -nak megfelel˝o ´ert´eket, akkor a lista mindk´et elem´et t¨or¨olni kell. Ebben az esetben a minor hurok bez´arul. Ha a 2-vel jelzett pontban a m´agneses indukci´o cs¨okken, akkor egy magasabb rend˝ u minor hurok alakul ki, s ahogy a 3.8(b) ´abr´an l´athat´o, a l´epcs˝osg¨orbe egy v´ızszintes szakasza lefel´e mozog. A 2-vel jelzett pont beker¨ ul az L list´aba, azaz L = {β1 , α2 , α0 }. Ha a bemeneti jel addig cs¨okken, hogy el´erje az 1 pontot, akkor a kialakult minor hurok bez´arul, s a lista 1 ´es 2 jelz´es˝ u eleme t¨orl˝odik. M´as sz´oval a modell ´allapota visszat´er a 3.7(b) ´abr´an felt¨ untetett ´allapothoz. Az L lista teh´at dinamikusan v´altozik att´ol f¨ ugg˝oen, hogy a modell bemenete hogy alakul.
3.1.3.
A modell verifik´ aci´ oja
1.4
1800
0.7
1350 3
w [J/m ]
B [T]
A 3.9(a) ´abra mutatja a m´er´esek ´altal kapott koncentrikus g¨orb´ek ´es a szimul´aci´o eredm´enyeinek ¨osszehasonl´ıt´as´at. A k´et eredm´eny gyakorlatilag megegyezik, ahogy ezt a 3.9(b) ´abr´an felv´azolt ¨osszehasonl´ıt´as is mutatja, ami a hiszter´ezis ´altal hat´arolt ter¨ ulet alakul´as´at ´abr´azolja az indukci´o f¨ uggv´eny´eben. Ez a j´o egyez´es a modell fel´ep´ıt´ese r´ev´en v´arhat´o is volt.
0
450
−0.7
−1.4 −2000
900
−1000
0 H [A/m]
1000
0 0.2
2000
(a) A m´ert ´es szimul´alt hurkok
0.5
0.8 B [T]
1.1
1.4
(b) A hiszter´ezishurok alatti ter¨ ulet
3.9. ´abra. M´ert ´es szimul´alt koncentrikus g¨orb´ek ¨osszevet´ese (m´er´es: –, szimul´aci´o: ◦) A 3.10 ´abr´an egy m´ert ´es szimul´alt magasabb rend˝ u minorg¨orbe alakul´asa l´athat´o. A k´et g¨orbe jellege azonos, azonban n´emi k¨ ul¨onbs´eg tapasztalhat´o a m´er´es ´es a szimul´aci´o k¨oz¨ott. Ugyanezen k¨ ul¨onbs´eg fellelhet˝o az ¨osszes m´ert minorg¨orbe kapcs´an. Ennek oka az, hogy a modell statikus modell, azaz a bemeneti jel v´altoz´asi sebess´eg´et nem veszi figyelembe. A modell kimenete a 3.9(a) ´abr´an l´athat´o k¨ uls˝o g¨orbe alakj´anak megfelel˝oen alakul, a minor g¨orb´ek pedig ezen bel¨ ul jelennek meg. A m´er´es ehhez k´epest kicsit sz´elesebb. Ez a k¨ ul¨onbs´eg azzal magyar´azhat´o, hogy a m´er´eshez haszn´alt toroid keresztmetszete kell˝oen nagy ahhoz, hogy az f = 1 Hz-es frekvenci´an v´egzett m´er´est a kialakul´o ¨orv´eny´aramok m´ar m´odos´ıts´ak. A 3.11 ´abr´an l´athat´o, hogy a k¨ ul¨onf´ele minorhurkok m´er´es´ehez haszn´alt g¨orbe v´altoz´asi sebess´ege nagyobb, mint az identifik´aci´ohoz haszn´alt szinuszos lefut´as´ u jel´e ugyanazon m˝ uk¨od´esi frekvencia mellett. 40
Kuczmann Mikl´os
Habilit´aci´os disszert´aci´o
2010
1.4 Mért görbe Szimuláció
B [T]
0.7
0
−0.7
−1.4 −2000
−1000
0 H [A/m]
1000
2000
3.10. ´abra. M´ert ´es szimul´alt minor hurkok ¨osszevet´ese 1.4
B [T]
0.7
0
−0.7 Szinuszos B(t) Minorhurok
−1.4 0
0.25
0.5 t [s]
0.75
1
3.11. ´abra. A minorhurkok m´er´eshez haszn´alt jel gyorsabban v´altozik, mint az identifik´aci´ohoz haszn´alt jel´e
3.2.
A vektor hiszter´ ezis karakterisztika
3.2.1.
A jelens´ eg m´ er´ es u ´ tj´ an t¨ ort´ en˝ o vizsg´ alata
A m´ er´ esi elrendez´ es bemutat´ asa A kutat´omunka sor´an a 3.12 ´abr´an l´athat´o u ´ n. RRSST rendszert ´ep´ıtettem, amely alkalmas a vektori´alis hiszter´ezis jelens´eg´enek m´er´es´ere. Az RRSST a Round shaped Rotational Single Sheet Tester elnevez´esb˝ol sz´armazik, azaz egy olyan forg´o m´agneses t´er el˝o´all´ıt´as´ara alkalmas eszk¨oz, amelybe k¨or alak´ u pr´obatestet lehet helyezni. Az elrendez´es lelke egy ´atalak´ıtott villamos g´ep, melynek forg´or´esz´et elt´avol´ıtottam, s tekercsrendszer´et lecser´eltem. A forg´or´esz hely´en lehet elhelyezni a k¨or alak´ u, maximum 41
Kuczmann Mikl´os
Habilit´aci´os disszert´aci´o
2010
3.12. ´abra. A realiz´alt vektori´alis hiszter´ezis m´er´es´ere alkalmas elrendez´es blokkv´azlata 80 mm ´atm´er˝oj˝ u pr´obatestet, melynek vastags´aga 1 mm (l. m´eg 3.13 ´abra). A pr´obatest ez esetben is l´agym´agneses anyagb´ol k´esz¨ ult. Az ´all´or´esz ´es a pr´obatest k¨oz¨ott 1 mm-es l´egr´es van, mert a pr´obatest ´atm´er˝oje 78 mm (l. 3.14 ´abra). A h´aromf´azis´ u tekercsel´est k´etf´azis´ ura cser´eltem, melynek speci´alis kialak´ıt´asa (3.15 ´abra) biztos´ıtja, hogy a motor belsej´eben homog´en m´agneses t´er alakul ki. A berendez´esen bel¨ ul kialakul´o m´agneses t´er el˝o´all´ıt´as´at k´et, egym´ast´ol f¨ uggetlen¨ ul vez´erelhet˝o ´aramgener´ator szolg´altatja, melyek ~ ´arama sz´am´ıt´og´ep seg´ıts´eg´evel szab´alyozhat´o. A pr´obatestben l´etrej¨ov˝o H(t) m´agneses ~ t´erer˝oss´eg ´es B(t) m´agneses indukci´o m´er´es´ere alkalmas szenzorok jel´et szint´en a sz´am´ıt´og´epbe helyezett National Instruments m´er˝ok´artya gy˝ ujti ¨ossze. Ebben az esetben is a sz´am´ıt´og´epen fut´o, ´altalam LabVIEW k¨ornyezetben kifejlesztett elj´ar´ascsomag fel¨ ugyeli a m´er´est. A m´er´esek sor´an felhaszn´alt eszk¨oz¨ok r´eszletes bemutat´asa az A. f¨ uggel´ekben tekinthet˝o meg.
3.13. ´abra. A m´er´esi elrendez´es, a pr´obatest ´es a szenzorok elhelyez´ese A m´agneses t´erer˝oss´eg ortogon´alis komponenseit m´er˝o szenzor n´egy tekercsb˝ol ´all, melyb˝ol kett˝o-kett˝o m´eri az x ´es y komponensek ´ert´ek´et a k¨ovetkez˝o m´odon. A m´agneses t´erer˝oss´eg tangenci´alis komponense folytonos k´et k¨ ul¨onb¨oz˝o anyaggal kit¨olt¨ott k¨ozeg hat´ar´an, azaz a pr´obatest felsz´ın´en, s a pr´obatest felsz´ın´evel p´arhuzamos komponenst kell m´erni. K¨ozvetlen¨ ul a pr´obatest felsz´ın´en azonban tekercs seg´ıts´eg´evel nem lehet m´er´est v´egezni. V´egeselemes szimul´aci´ok seg´ıts´eg´evel igazoltam, hogy a pr´obatest felsz´ın´ehez k¨ozel a m´agneses t´erer˝oss´eg a pr´obatestt˝ol t´avolodva k¨ozel line´arisan v´altozik. Ha 42
Kuczmann Mikl´os
Habilit´aci´os disszert´aci´o
2010
3.14. ´abra. A pr´obatest ´es a B-tekercsek m´eretei
3.15. ´abra. A speci´alis tekercsrendszer a menetsz´amokkal teh´at k´et m´er´esi eredm´eny rendelkez´esre ´all, akkor egy egyenes egyenlet´eb˝ol a m´agneses t´erer˝oss´eg a pr´obatest felsz´ın´en egyszer˝ u line´aris extrapol´aci´oval sz´am´ıthat´o [87, 89]. Az x komponens m´er´es´ere szolg´al´o k´et tekercs menetsz´ama NHx,1 = 810 illetve NHx,2 = 820, az y komponenset m´er˝o k´et tekercs menetsz´ama pedig NHy,1 = 800 ´es NHy,2 = 820. Az egyes tekercsek hat´asos keresztmetszet´et szolenoiddal valamint Helmholtz-tekerccsel t¨ort´en˝o kalibr´aci´oval hat´aroztam meg (l. A. f¨ uggel´ek), ezek a k¨o−5 2 vetkez˝ok: SHx,1 = 3,12764 · 10 m , SHx,2 = SHy,1 = SHy,2 = 2,93842 · 10−5 m2 . Az egyes tekercsek ´altal m´ert m´agneses t´erer˝oss´eg ´ert´eke a Z t 1 u(τ ) dτ (3.8) H(t) = H0 + S N µ0 0 ¨osszef¨ ugg´es szerint sz´am´ıthat´o, ahol H0 az integr´al´asi konstans, S ´es N a fent eml´ıtett a v´akuum permeabilit´asa, u(t) pedig az hat´asos fel¨ ulet ´es menetsz´am, µ0 = 4π · 10−7 H m egyes tekercsek ´altal m´ert induk´alt fesz¨ ults´eg. A fenti integr´al´as teh´at n´egy m´agneses t´erer˝oss´eg id˝of¨ uggv´enyt ad. Az egyes tekercsek fel¨ ulett˝ol m´ert t´avols´aga a k¨ovetkez˝o: zHx,1 = 9,85 mm, zHx,2 = 2,25 mm, zHy,1 = 7,25 mm, zHy,2 = 4,75 mm. Ezen adatok, 43
Kuczmann Mikl´os
Habilit´aci´os disszert´aci´o
2010
valamint a m´er´esi eredm´enyek birtok´aban a m´agneses t´erer˝oss´eg k´et komponense line´aris extrapol´aci´oval sz´am´ıthat´o, azaz Hx (t) =
Hx,2(t) zHx,1 − Hx,1 (t) zHx,2 , zHx,1 − zHx,2
(3.9)
Hy (t) =
Hy,2 (t) zHy,1 − Hy,1 (t) zHy,2 , zHy,1 − zHy,2
(3.10)
´es
amit a 3.16 ´abra illusztr´al, ´es H1 = Hx,1 (t), H2 = Hx,2 (t), z1 = zHx,1 , z2 = zHx,2 a Hx (t) sz´am´ıt´asa sor´an, valamint H1 = Hy,1 (t), H2 = Hy,2 (t), z1 = zHy,1 , z2 = zHy,2 a Hy (t) komponens meghat´aroz´asakor. A n´egy tekercs elrendez´ese a 3.13 ´abr´an is l´athat´o.
3.16. ´abra. A k´et H-szenzor elhelyezked´ese A m´agneses indukci´o k´et ortogon´alis komponens´et egy-egy tekercs m´eri, amelyek a pr´obatestbe f´ urt kicsiny lyukakon kereszt¨ ul f˝ uzhet˝ok ´at. A k´et tekercs elhelyezked´es´et uk pedig a 3.14 ´abra mutatja. Ezek menetsz´ama NBx = NBy = 20, keresztmetszet¨ −5 2 SBx = SBy = 2 · 10 m . Az ´altaluk m´ert m´agneses indukci´o komponensek a k¨ovetkez˝o ¨osszef¨ ugg´essel sz´am´ıthat´ok: Z t 1 B(t) = B0 + u(τ ) dτ, (3.11) SN 0 ahol B0 az integr´al´asi konstans, S ´es N pedig a fenti keresztmetszeti ´es menetsz´am adatok. Zajsz˝ ur´ es A (3.8) ´es (3.11) integr´alokb´ol l´athat´o, hogy mind a m´ agneses t´erer˝oss´eg, mind a m´agneses indukci´o meghat´aroz´asa induk´alt fesz¨ ults´eg m´er´es´ere vezethet˝o vissza. El˝obbi jele k¨ ul¨on¨osen zajos, ut´obbi ´ert´eke viszont k¨onnyebben m´erhet˝o, de ´erz´ekelhet˝o zajjal terhelt. A m´agneses t´erer˝oss´eghez tartoz´o induk´alt fesz¨ ults´eget a pr´obatest felett a leveg˝oben elhelyezett tekercs m´eri, leveg˝oben viszont nagyon kicsi a fluxusv´altoz´as, s a m´er˝oszenzor m´eretei sem t´ ul nagyok. Emiatt a zaj sokkal nagyobb m´ert´ekben jelentkezik, gyakorlatilag a jel a zajban elveszik (l. A.6 ´abra). A m´agneses indukci´o meghat´aroz´as´ahoz m´ert induk´alt fesz¨ ults´eg a nagy permeabilit´as´ u pr´obatestben kialakul´o fluxusv´altoz´as eredm´enye, amely sokkal k´enyelmesebben m´erhet˝o, de a zaj hasonl´o eredm´enyeket sz¨ ul (id˝oben n¨ovekv˝o offszet), mint a skal´ar hiszter´ezis m´er´esekor. Ezen probl´em´ak a skal´ar hiszter´ezis m´er´esekor is haszn´alt Fourier-transzform´aci´on ´es digit´alis sz˝ ur´esi technik´an alapul´o elj´ar´assal nagyon hat´ekonyan feloldhat´ok. Ebben az esetben azonban hat csatorna jel´et kell sz˝ urni, de a technika ugyanaz. 44
Kuczmann Mikl´os
Habilit´aci´os disszert´aci´o
2010
A szab´ alyoz´ o algoritmus A gerjeszt˝o ´aramokat szab´alyoz´oval kell hangolni u ´ gy, hogy k¨ozben a m´agneses indukci´o vektor vagy a m´agneses t´erer˝oss´eg vektor k´et ortogon´alis komponens´enek id˝of¨ uggv´enye el˝ore defini´alt id˝obeli lefut´as´ u legyen. Vektori´alis hiszter´ezis karakterisztika m´er´ese sor´an ugyanis sem a m´agneses t´erer˝oss´eg sem a m´agneses indukci´o nincs olyan egyszer˝ u kapcsolatban egym´assal mint ahogy a skal´aris esetben. A szab´alyoz´ast megval´os´ıt´o proporcion´alis t´ıpus´ u szab´alyoz´o algoritmus al´abb bemutatott form´aja mindezt automatikusan megval´os´ıtja. A szab´alyoz´o l´ep´esei a k¨ovetkez˝ok (3.17 ´abra): 1. Inicializ´al´as: szinuszos lefut´as´ u ´aramjelekkel indul a m´er´es, azaz ix (t) ´es iy (t) cs´ ucs´ert´eke, frekvenci´aja ´es f´azisa megadhat´o; 2. A m´agneses t´erer˝oss´eg ´es a m´agneses indukci´o m´er´ese a fenti sz˝ ur´esi technik´aval; ~ ~ ref (t) el˝ore defini´alt m´agneses indukci´o id˝of¨ 3. A B(t) m´ert ´es a B uggv´eny´enek ¨ossze~ hasonl´ıt´asa, ami egy ∆B(t) hibaf¨ uggv´enyt eredm´enyez, amelynek itt term´eszetesen k´et komponense van, ~ ~ ~ ref (t); ∆B(t) = B(t) −B
(3.12)
~ 4. A k´et ´aramjel megv´altoztat´asa a P ∆B(t) jelekkel, ami egy proporcion´alis szaA b´alyoz´ot defini´al (0 < P < 1, [P ] = T ); ~ 5. Ha |∆B(t)| ´atlaga nem ´eri el a k´ıv´ant ´ert´eket visszal´ep´es a 2. pontra. ~ ref (t) trajekt´oria is el´erhet˝o. Ugyanezen algoritmussal tetsz˝oleges H
3.17. ´abra. A m´er˝orendszer szab´alyoz´asa visszacsatol´assal Az x ´es az ortogon´alis y ir´anyban m´ert hiszter´ezis karakterisztik´ak a 3.18 ´abr´an l´athat´ok. A m´er´es sor´an a m´agneses indukci´o id˝of¨ uggv´eny´et szab´alyoztam oly m´odon, hogy az szinuszos id˝obeli lefut´as´ u legyen. Az ´abr´ab´ol kit˝ unik, hogy ugyanazon m´agneses indukci´o´ert´ekhez az y ir´anyban nagyobb m´agneses t´erer˝oss´eg sz¨ uks´egeltetik, azaz a vizsg´alt anyag az y ir´anyban kis m´ert´ekben nehezebben m´agnesezhet˝o, mint az x ir´anyban. Megjegyzem, hogy az anyag a gy´art´o szerint izotr´op, de a vizsg´alat t´argy´at k´epez˝o pr´obatest lemeze hengerel´essel k´esz¨ ult, s a hengerel´es ir´anya egybeesik az x tengely ir´any´aval. A gy´art´asi technol´ogi´ab´ol ered˝o kicsiny anizotr´opia j´ol ´erz´ekelhet˝o a m´er´es 45
Habilit´aci´os disszert´aci´o
1.8
1.8
0.9
0.9 B [T]
B [T]
Kuczmann Mikl´os
0
y
x
0
−0.9
2010
−0.9
−1.8 −1
−0.5
0 H [A/m]
0.5
−1.8 −1
1 x 10
x
−0.5
4
0 H [A/m]
0.5
1 x 10
y
4
1
0.5
0.5 F (α,β)
1
0
y
0
x
F (α,β)
3.18. ´abra. Az x ´es az y ir´anyban m´ert hiszter´ezis karakterisztik´ak
−0.5
−0.5
−1 1
−1 1 0.5 β
0 −0.5 −1 −1
−0.5
0
0.5
0.5
1
β
α
0 −0.5 −1 −1
−0.5
0
0.5
1
α
3.19. ´abra. Az x ´es az y ir´anyban m´ert Everett-f¨ uggv´enyek sor´an [95, 215, 216]. A m´ert koncentrikus g¨orb´ekb˝ol sz´armaztatott Everett-f¨ uggv´enyek a 3.19 ´abr´an l´athat´ok. Az elv´egzett m´er´esekb˝ol a k¨ovetkez˝o k¨ovetkeztet´est lehet levonni. A m´ert hiszter´ezis karakterisztik´ak π szerint periodikusan ism´etl˝odnek amid˝on a gerjeszt´es ir´any´at elforgatjuk az x tengelyhez k´epest, tov´abb´a az x tengelyre szimmetrikusak. Mindezek term´eszetesen az Everett-f¨ uggv´enyekre is igazak: F (α, β, ϕ + π) = F (α, β, ϕ),
(3.13)
F (α, β, −ϕ) = F (α, β, ϕ).
(3.14)
Ezen k´et felt´etelt az q F (α, β, ϕ) = Fx2 (α, β) cos2 ϕ + Fy2 (α, β) sin2 ϕ
(3.15)
interpol´aci´os f¨ uggv´eny kiel´eg´ıti, s tapasztalatok szerint a kism´ert´ek˝ u anizotr´opi´aval b´ır´o Everett-f¨ uggv´enyek m´er´esi ir´anyt´ol val´o f¨ ugg´es´et kiv´al´oan kezeli. A szab´alyoz´o megfelel˝o m˝ uk¨od´es´et bizony´ıtja a 3.20(a) ´abr´an l´athat´o bonyolult m´agneses indukci´o szab´alyoz´assal t¨ort´en˝o el´er´ese, melyre a rendszer v´alasza, azaz a m´agneses t´erer˝oss´eg a 3.20(b) ´abr´an l´athat´o. A kidolgozott vektormodell valid´aci´oja sor´an tov´abbi m´er´esi eredm´enyeket is bemutatok (l. 3.2.4. fejezet). 46
Habilit´aci´os disszert´aci´o
1.2
1200
0.6
600 H [A/m]
0
2010
0
y
y
B [T]
Kuczmann Mikl´os
−0.6
−600
−1.2 −1.2
−0.6
0 B [T]
0.6
−1200 −1200
1.2
x
−600
0 H [A/m]
600
1200
x
(a) A m´agneses indukci´ o
(b) A m´agneses t´erer˝oss´eg
3.20. ´abra. Bonyolult m´agneses indukci´o trajekt´ori´ara adott m´agneses t´erer˝oss´eg
3.2.2.
A modell bemutat´ asa
A vektori´alis hiszter´ezis modell ´ep´ıt˝ok¨ove a 3.1. fejezetben bemutatott skal´ar Preisachmodell. A vektormodell ugyanis skal´armodellek szuperpoz´ıci´ojak´ent ´ep´ıthet˝o fel a k¨ovetkez˝o m´odon (l. 2.7 ´abra a 2.1. fejezetben): Z π/2 Z π/2 ~ ~eϕ Hϕ (t) dϕ = ~eϕ B{Bϕ (t)} dϕ. H(t) = (3.16) −π/2
−π/2
A fenti integr´alkifejez´es szerint a vektormodell kimenet´et a k´etdimenzi´os s´ıkban ´ertelmezett [−π/2, · · · , π/2] intervallumban egyenletesen az ~eϕ egys´egvektor ´altal defini´alt ir´anyokban egy-egy skal´armodellt futtatva, azok kimenet´et vektori´alisan ¨osszegezve kapjuk meg. Jelen dolgozat f˝o t´em´aja a k´etdimenzi´os vektormodell, ez´ert itt csak erre f´okusz´alok. Ezen ¨osszef¨ ugg´est sz´am´ıt´og´epre vinni a ∼ ~ H(t) =
n X
~eϕi B{Bϕi (t)} ∆ϕ
(3.17)
i=1
k¨ozel´ıt´essel lehet, ahol ϕi = −
π i−1 + π, 2 n
i = 1, · · · , n,
(3.18)
a [−π/2, · · · , π/2] intervallumban ekvidiszt´ansan felvett ir´anyokat adja meg az ~eϕi egys´egvektorral, azaz n sz´am´ u skal´armodell sz¨ uks´eges a vektormodell fel´all´ıt´as´ahoz. A klasszikus vektormodell eset´en –ahogy azt a 2.1. fejezetben is bemutattam– az ~ egyes skal´armodellek bemenete a vektormodell bemenet´ere adott B(t) vektor ~eϕ ir´any´aba es˝o vet¨ ulete, azaz ~ Bϕi (t) = |B(t)| cos(ϑB − ϕi ) = Bx (t) cos ϕi + By (t) sin ϕi ,
(3.19)
~ ahol Bx (t) ´es By (t) a B(t) vektor k´et ortogon´alis komponense. Ehelyett azonban c´elszer˝ u alkalmazni a k¨ovetkez˝o vet¨ uletk´epz´esi m´odot: Bϕi (t) = Bx (t) sign(cos ϕi ) | cos ϕi |1/w + By (t) sign (sin ϕi )| sin ϕi |1/w . 47
(3.20)
Kuczmann Mikl´os
Habilit´aci´os disszert´aci´o
2010
Amennyiben a w param´eter ´ert´eke 1, akkor a klasszikus modellt kapjuk vissza. A w param´eter seg´ıts´eg´evel lehet˝os´eg ny´ılik a cirkul´arisan polariz´alt eredm´enyek pontosabb szimul´aci´oj´ara, w = 1 eset´en ugyanis a bemenet ´es a kimenet hasonl´o jelleg szerint alakul. Ekkor a bemeneti jel cirkul´aris, ´es a kimeneti jel is cirkul´aris, hab´ar k¨ozt¨ uk f´azisk´esleltet´es tapasztalhat´o. M´er´esi eredm´enyek viszont azt mutatj´ak, hogy szab´alyozott cirkul´arisan polariz´alt indukci´o mellett a m´agneses t´erer˝oss´eg nem k¨or alakot vesz fel, hanem bizonyos ir´anyokban kisebb-nagyobb m´ert´ekben elt´er att´ol. Az elt´er´es m´ert´eke az anyag gy´art´asi folyamata sor´an szerzett anizotr´opi´aj´at´ol f¨ ugg. Az eml´ıtett jelens´egre a 3.2.4. fejezetben mutatok m´er´esi eredm´enyeket. A fenti ¨osszef¨ ugg´est izotr´op modell eset´ere dolgozt´ak ki, ahogy azt az irodalmi ¨osszefoglal´oban is k¨oz¨oltem. Itt ennek egy egytengely˝ u anizotr´opi´aval b´ır´o anyag modellez´es´ere alkalmas ´altal´anos´ıt´as´aval foglalkozom.
3.2.3.
A modell identifik´ aci´ oja
A m´er´esi eredm´enyekkel is al´at´amasztott (3.13) periodicit´asi- ´es (3.14) szimmetriafelt´etelez´esb˝ol kiindulva a m´ert Everett-f¨ uggv´enyek Fourier-sorba fejt´ese k´ezenfekv˝o. A Fourier-sorral val´o approxim´aci´o lehet˝ov´e teszi a m´ert Everett-f¨ uggv´eny a m´er´es ir´any´at´ol val´o f¨ ugg´es´enek elimin´al´as´at, mi´altal a modell identifik´aci´oja egyszer˝ us¨odik. A k¨ovetkez˝o sorfejt´es alkalmazhat´o: X F (α, β, ϕ) = Fm (α, β) cos(2mϕ), (3.21) m
ahol az Fm (α, β) Fourier-egy¨ utthat´ok a m´er´esi eredm´enyekb˝ol meghat´arozhat´ok. Az F0 (α, β) ´alland´o ¨osszetev˝o az Z 2 π/2 F0 (α, β) = F (α, β, ϕ) dϕ π 0 ! (3.22) n−1 X π ∆ϕ ∼ F (α, β, 0) + F α, β, +2 F (α, β, ϕj ) = π 2 j=1 defin´ıci´os formula alapj´an sz´am´ıthat´o, azt trap´ezm´odszerrel k¨ozel´ıtve. A harmonikus komponensek defin´ıci´os ¨osszef¨ ugg´ese szint´en a trap´ezszab´allyal approxim´alhat´o: 4 Fm (α, β) = π
Z
π/2
F (α, β, ϕ) cos(2mϕ) dϕ 0
2∆ϕ ∼ = π
! n−1 X π F (α, β, ϕj ) cos(2mϕj ) . F (α, β, 0) + (−1)m F α, β, +2 2 j=1
(3.23)
Az ´alland´o ¨osszetev˝o ´es az alapharmonikus ¨osszege, azaz az F (α, β, ϕ) ∼ = F0 (α, β) + F1 (α, β) cos(2ϕ)
(3.24)
k¨ozel´ıt´es 5·10−4 nagys´agrend˝ u relat´ıv hib´aval approxim´alja a m´er´esi eredm´enyeket. Ezen k´et harmonikus komponens is egy-egy Everett-f¨ uggv´enyt defini´al, melyek a 3.21 ´abr´an l´athat´ok. 48
Habilit´aci´os disszert´aci´o
0.04
0.5
0.02 F (α,β)
1
2010
0
1
0
0
F (α,β)
Kuczmann Mikl´os
−0.5
−0.02
−1 1
−0.04 1 0.5 β
0 −0.5 −1 −1
−0.5
0
0.5
0.5
1
β
α
0 −0.5 −1 −1
−0.5
0
0.5
1
α
3.21. ´abra. A Fourier-sorfejt´es eredm´enyek´epp kapott F0 (α, β) ´es F1 (α, β) Everettf¨ uggv´enyek Bel´athat´o, hogy az egyes ir´anyokban az ismeretlen Everett-f¨ uggv´enyek hasonl´ok´epp Fourier-sorba fejthet˝ok, s hogy E(α, β, ϕ) ∼ = E0 (α, β) + E1 (α, β) cos(2ϕ)
(3.25)
alakban el˝o´all´ıthat´ok. Ez nagym´ert´ekben megk¨onny´ıti az identifik´aci´ot. Az identifik´aci´o alapja ugyanis a bevezet˝oben ismertetett F (α, β) =
Z
π/2
cos ϕ E(α cos ϕ, β cos ϕ) dϕ
(3.26)
−π/2
¨osszef¨ ugg´es, amely izotr´op esetben ´erv´enyes, s az egyes harmonikusok k¨oz¨ott a k¨ovetkez˝o alak´ u kapcsolat ´all fenn: Fm (α, β) =
Z
π/2
cos ϕ cos(2mϕ)Em (α cos1/w ϕ, β cos1/w ϕ) dϕ,
(3.27)
−π/2
amely tartalmazza az u ´ j w param´etert is. Az identifik´aci´o neh´ezs´ege abban ´all, hogy az ismeretlen Everett-f¨ uggv´eny az integranduszon bel¨ ul szerepel. Az identifik´aci´os algoritmus a B. f¨ uggel´ekben tal´alhat´o, ahol r´eszletesen bemutatom az izotr´op esetre vonatkoz´o elj´ar´ast, amelyben a w param´etert is alkalmazom. A fenti ¨osszef¨ ugg´esb˝ol l´athat´o, hogy a cos(2mϕ) az m ´ert´ek´et˝ol f¨ ugg˝oen v´altozik. Ez azonban elvi neh´ezs´eget nem okoz az algoritmus alkalmaz´asa sor´an, hiszen a jobb oldalon nem az E(α cos1/w ϕ, β cos1/w ϕ) integrandusszal kell sz´amolni, hanem a cos(2mϕ)Em (α cos1/w ϕ, β cos1/w ϕ) b˝ov´ıtett taggal. A (3.27) integr´alegyenlet tetsz˝oleges w mellett megoldhat´o, amelynek kapcsolata van a m´er´esi eredm´enyekkel, megjegyzem ugyanakkor, hogy a param´eter ´ert´eke ´altal´aban nem sokkal nagyobb 1-n´el. Fontos megjegyeznem, hogy a w param´eter kapcs´an t¨obb lehet˝os´eg is felmer¨ ul az identifik´aci´o sor´an. Lehet˝os´eg van arra, hogy minden m ´ert´ekhez ugyanazon w tartozz´ek, vagy ellenkez˝oleg, minden m-hez k¨ ul¨onb¨oz˝o wm tartozz´ek. Az identifik´aci´os algoritmus v´egezet¨ ul a k¨ovetkez˝o: 1. Az algoritmus w = 1-gyel (wm = 1) indul; 49
Kuczmann Mikl´os
Habilit´aci´os disszert´aci´o
2010
2. Az Em (α, β) Fourier-egy¨ utthat´ok meghat´aroz´asa a (3.27) integr´alegyenletnek megfelel˝oen; 3. Cirkul´arisan polariz´alt m´er´esi eredm´enyekkel gerjesztve a vektormodellt a w (vagy wm ) param´eterek meghat´arozhat´ok a Nelder-Mead szimplex m´odszer seg´ıts´eg´evel; 4. Amennyiben a m´er´esi eredm´enyek ´es a szimul´aci´os adatok k¨ozti elt´er´es nem megfelel˝o, az algoritmus a 2. l´ep´est˝ol kezdve u ´ jabb iter´aci´oval folytatd´odik. Az identifik´aci´o mind¨ossze p´ar percet vesz ig´enybe. A k´etdimenzi´os vektormodell fel´ep´ıt´ese sor´an n = 28 ir´anyt haszn´altam. Az optimaliz´aci´o eredm´enyek´epp kapott modellparam´eterek az al´abbiak, ha az egyes Fourieregy¨ utthat´ok meghat´aroz´asa sor´an k¨ ul¨onb¨oz˝o w param´etert haszn´altam: w0 = 1,1070, ´es w1 = 1,1786. Ha mindk´et Fourier-egy¨ utthat´o eset´eben ugyanazon w param´etert haszn´alom, akkor w0 = w1 = 1,1076 az identifik´aci´os algoritmus eredm´enye. Ezen eredm´enyekb˝ol l´athat´o, hogy a w1 param´eter m´odos´ıt´asa nem sokban befoly´asolja a szimul´aci´os eredm´enyeket, ami a 3.22 ´abra kapcs´an vil´agos, hiszen az E1 (α, β) f¨ uggv´eny k´et nagys´agrenddel kisebb, mint az E0 (α, β) Everett-f¨ uggv´eny. Ha az anizotr´op jelleg jobban ´erz´ekelhet˝o lenne, a k¨ ul¨onbs´eg is nagyobb lenne, hiszen a k´et Fourier-egy¨ utthat´o k¨ ul¨onb¨oz˝o s´ ullyal vesz r´eszt az ir´anyf¨ ugg´es modellez´es´eben.
−3
6
0.1
3 E (α,β)
0.2
−0.1
−3
−0.2 1
−6 1 0.5 β
0 −0.5 −1 −1
3.22. ´abra. egy¨ uthat´ok
3.2.4.
0
1
0
0
E (α,β)
x 10
−0.5
0
0.5
0.5
1
β
α
0 −0.5 −1 −1
−0.5
0
0.5
1
α
Az identifik´aci´o eredm´enyek´epp kapott E0 (α, β) ´es E1 (α, β) Fourier-
A modell verifik´ aci´ oja
A 3.23(a) ´es a 3.23(b) ´abr´akon l´athat´o, hogy az x ´es az y ir´anyban m´ert ´es sz´am´ıtott karakterisztik´ak j´o egyez´est mutatnak. Az is l´athat´o, hogy az egyes ir´anyokban a karakterisztik´ak nem azonosak az anyag anizotr´opi´aj´anak megfelel˝oen. Ez a jellegzetes viselked´es izotr´op anyagmodellel nem ´ırhat´o le ilyen j´o egyez´essel. A 3.24 ´abr´an az ´oramutat´o j´ar´as´aval ellent´etes ir´ anyban forgatott m´agneses indukci´o eredm´enyek´epp kialakul´o m´agneses t´erer˝oss´eg vektor´anak trajekt´ori´aja l´athat´o. Itt is j´ol kivehet˝o, hogy az y ir´anyban a m´agneses t´erer˝oss´eg ´ert´eke kism´ert´ekben nagyobb, hab´ar a m´agneses indukci´o vektora k¨ort ´ır el. Az ´oramutat´o j´ar´as´aval egyez˝o ir´any´ u forgat´as eredm´enyek´epp kapott m´er´esi adatok ezeknek az y tengelyre vett t¨ uk¨ork´epei. 50
Kuczmann Mikl´os
Habilit´aci´os disszert´aci´o
2010
1.6
1.6
0.8
0.8 B [T]
0
−0.8
−1.6 −2000
0
y
x
B [T]
A 3.25(a) ´abra bonyolultabb trajekt´ori´at mutat, amely ment´en a m´agneses indukci´o vektor´anak v´egpontja szab´alyoz´as r´ev´en v´egigfut. A trajekt´oria az alapharmonikus mellett magasabb harmonikust is tartalmaz, amelynek k¨ovetkezt´eben alakul ki a ±45◦ -os ´es a ±135◦ -os ir´anyokban egy-egy lesz´ıv´as. A m´agneses t´erer˝oss´eg vektora szint´en bonyolult p´aly´at ´ır le, ahogy az a 3.25(b) ´abr´an is l´athat´o. A modell kimenete kis hib´aval ugyan, de h˝ uen k¨oveti a m´ert m´agneses t´erer˝oss´eg alakul´as´at. A pr´obatest anizotr´op viselked´ese itt is megmutatkozik, hiszen a kimenet az x ir´anyban kiss´e lap´ıtott.
−0.8
−1000
0 1000 H [A/m]
−1.6 −2000
2000
−1000
x
0 1000 H [A/m]
2000
y
(a) Az x ir´ any
(b) Az y ir´ any
3.23. ´abra. Az x ´es az y ir´anyban m´ert ´es szimul´alt koncentrikus g¨orb´ek ¨osszehasonl´ıt´asa (m´er´es: –, sz´am´ıtott: · · · ) 6000
Hy [A/m]
3000
0
−3000
−6000 −6000
−3000
0 3000 H [A/m]
6000
x
3.24. ´abra. A forg´o m´agneses t´erben m´ert ´es szimul´alt eredm´enyek ¨osszehasonl´ıt´asa (m´er´es: –, sz´am´ıtott: − −)
51
Habilit´aci´os disszert´aci´o
1.6
1600
0.8
800 H [A]/m
0
2010
0
y
y
B [T]
Kuczmann Mikl´os
−0.8
−1.6 −1.6
−800
−0.8
0 B [T]
0.8
−1600 −1600
1.6
x
−800
0 H [A]/m
800
1600
x
(a) A m´agneses indukci´ o
(b) A m´ert ´es szimul´alt m´agneses t´erer˝oss´eg
3.25. ´abra. Bonyolult m´agneses indukci´o trajekt´ori´ara adott m´agneses t´erer˝oss´eg (m´er´es: –, sz´am´ıtott: − −)
3.3.
A tudom´ anyos eredm´ enyek ¨ osszefoglal´ asa
1. T´ ezis A skal´ar hiszter´ezis karakterisztika m´er´es´enek egyszer˝ us´ıt´ese, jav´ıt´asa ´es a m´er´esi adatok eredm´enyesebb felhaszn´al´asa c´elj´ab´ol olyan Fourier-transzform´aci´on ´es digit´alis sz˝ ur´esi technik´an alapul´o elj´ar´ast implement´altam, amely l´enyegesen el˝oseg´ıti a hiszter´ezismodellek identifik´aci´oj´at. A kidolgozott szab´alyoz´oval tetsz˝oleges id˝obeli lefut´as´ u m´agneses indukci´o el˝o´all´ıthat´o. A javasolt technik´ak a bonyolultabb vektori´alis hiszter´ezis karakterisztika m´er´ese sor´an m´eg nagyobb jelent˝os´eggel b´ırnak, mivel a m´ert jelek sokkal zajosabbak. A m´er´esi adatok alapj´an realiz´altam a Preisach-f´ele hiszter´ezismodell egy, a m´ern¨oki szimul´aci´okban rendk´ıv¨ ul el˝ony¨osen alkalmazhat´o verzi´oj´at, amely kis fut´asi ideje mellett nagy pontoss´aggal b´ır. A gyors fut´asi id˝ot a l´epcs˝osg¨orbe alkalmas szervez´es´evel ´es p´arhuzamos kezel´es´evel, a pontoss´agot pedig az Everett-f¨ uggv´eny spline technik´an alapul´o k¨ozel´ıt´es´evel biztos´ıtottam. Kidolgoztam az izotr´op ´es az anizotr´op vektor Preisach-modell egy ´altal´anos´ıt´as´at, amely alkalmas a forg´o m´agnesez´esi folyamatok m´eg pontosabb le´ır´as´ara, a modellek identifik´aci´oj´ara pedig elj´ar´ast javasoltam. Az egyes modellek elemz´es´en t´ ul a modellek saj´at m´er´esi eredm´enyekkel t¨ort´en˝o ¨osszevet´es´evel igazoltam elm´eleti eredm´enyeim helyess´eg´et. 1.a A skal´ar hiszter´ezis karakterisztika m´er´es´ere egy automatiz´alt m´er´esi elrendez´est dolgoztam ki, amely a k¨ ul¨onf´ele hiszter´ezismodellek identifik´aci´oj´ahoz sz¨ uks´eges tan´ıt´asi mintahalmazt felveszi. A zajjal terhelt m´ert jelekb˝ol a zavar´o ¨osszetev˝oket egy Fourier-transzform´aci´on ´es digit´alis elveken megval´os´ıtott sz˝ ur´esi technik´aval t¨ok´eletesen elimin´altam. Az el˝ore defini´alt jelalak´ u m´agneses indukci´o el´er´es´ere egy proporcion´alis szab´alyoz´o elj´ar´ast implement´altam, amelynek robusztuss´ag´at nagym´ert´ekben befoly´asolja a sz˝ ur´es sikeress´ege. 1.b A skal´ar hiszter´ezis karakterisztika modellez´es´ere a frekvenciaf¨ uggetlen Preisachmodellt alkalmaztam oly m´odon implement´alva, hogy az gyors ´es pontos legyen a m´ern¨oki szimul´aci´okban. A megval´os´ıtott modell k´epes kihaszn´alni a mai p´arhuzamos sz´am´ıt´astechnika el˝onyeit. A modell fel´all´ıt´asa sor´an az Everett-f¨ uggv´enyt 52
Kuczmann Mikl´os
Habilit´aci´os disszert´aci´o
2010
identifik´altam, ami t¨ok´eletes egyez´est biztos´ıt a m´ert ´es a szimul´alt eredm´enyek k¨oz¨ott. 1.c Kidolgoztam a vektori´alis hiszter´ezis karakterisztika m´er´es´ere alkalmas automatiz´alt m´er´esi elrendez´est, amely alkalmas a kialakul´o m´agneses t´er r¨ogz´ıt´es´ere egy k¨or alak´ u pr´obatestben. Realiz´altam a m´er´esek pontos elv´egz´es´ehez sz¨ uks´eges szenzorokat. A szenzorok jele ebben a m´er´esben gyakorlatilag elveszik a k¨ornyezeti zajban, emiatt a skal´ar m´er´esn´el kidolgozott sz˝ ur´esi technika itt m´eg nagyobb jelent˝os´eg˝ u volt. A vektori´alis m´er´esek sor´an nemcsak a m´agneses indukci´o, de a m´agneses t´erer˝oss´eg el˝o´ırt jelalakja is csak szab´alyoz´assal ´erhet˝o el. Ezen okn´al fogva ´altal´anos´ıtottam a skal´ar m´er´esn´el alkalmazott proporcion´alis szab´alyoz´ot. Az ´altalam implement´alt m´er´esi elrendez´es kiv´al´oan alkalmas a vektori´alis karakterisztika felv´etel´ere, s a vektori´alis hiszter´ezis modellek identifik´aci´oj´ahoz sz¨ uks´eges mint´ak el˝o´all´ıt´as´ara. 1.d A klasszikus izotr´op vektori´alis Preisach-hiszer´ezismodellt ´altal´anos´ıtottam oly m´odon, hogy egy u ´ j param´eter bevezet´es´evel az alkalmas legyen a forg´o m´agnesez´esi folyamatok pontosabb le´ır´as´ara. Az izotr´op modell identifik´aci´oj´ara ´altalam kor´abban kidolgozott elj´ar´ast ennek megfelel˝oen m´odos´ıtottam. A klasszikus anizotr´op vektori´alis Preisach-hiszer´ezismodellt pedig ´altal´anos´ıtottam oly m´odon, hogy az alkalmas legyen az egytengely˝ u anizotr´opia kezel´es´ere u ´gy, hogy a forg´o m´agnesez´esi folyamatok sor´an tapasztalhat´o jelens´egek le´ır´asa m´eg pontosabb legyen. Ezt a m´ert Everett-f¨ uggv´enyek Fourier-sorba fejt´es´evel ´ertem el, s az izotr´op modellre alkalmazhat´o identifik´aci´os technik´at tudtam alkalmazni, de ebben az esetben t¨obb param´etert kell a forg´o m´agnesez´esi folyamatok alapj´an identifik´alni. A modellek kimeneti jel´et saj´at m´er´esi eredm´enyekkel vetettem o¨ssze, ami igazolta elm´eleti eredm´enyeim helyess´eg´et.
53
4. fejezet A hiszter´ ezis karakterisztika illeszt´ ese numerikus technik´ akhoz A 3. fejezetben egy nagyon hat´ekony, a m´er´esi eredm´enyek alapj´an viszonylag egyszer˝ uen identifik´alhat´o, ´es a m´ern¨oki sz´am´ıt´asokban kiv´al´oan alkalmazhat´o hiszter´ezis modellt dolgoztam ki. A bevezet˝oben r¨oviden felv´azoltam a line´aris statikus m´agneses t´er ´es a line´aris ¨orv´eny´aram´ u t´er sz´am´ıt´as´ara alkalmas potenci´alformalizmusokat. Ebben a fejezetben a m´agnesez´esi karakterisztika modellez´es´ere alkalmas elj´ar´asokat ´es a numerikus t´ersz´am´ıt´ast kapcsolom ¨ossze egy stabil, konvergens ´es egyszer˝ uen implement´alhat´o technik´aval, a fixpontos m´odszerrel. A fixpontos technika az egyik legelterjedtebben alkalmazott m´odszer olyan nemline´aris numerikus t´erszimul´aci´ot ig´enyl˝o probl´em´ak megold´as´ara, amelyekben a nemlinearit´as bonyolult, hiszter´ezis jelleg˝ u karakterisztika ´altal defini´alt. A fixpontos m´odszernek sz´amos el˝onye van: (i ) Tetsz˝oleges monoton, Lipschitz-folytonos nemlinearit´as mellett bizony´ıtottan konvergens technika, ´es a nemline´aris karakterisztika inflexi´os pontot is tartalmazhat, ahogy a hiszter´ezis g¨orbe is; (ii ) A karakterisztika nem kell, hogy sima f¨ uggv´eny legyen, szakaszonk´ent line´aris f¨ uggv´eny is alkalmazhat´o; (iii ) Tetsz˝oleges kiindul´asi ´ert´ekb˝ol ind´ıthat´o; (iv ) A diszkretiz´aci´o eredm´enyek´epp fel´ırt egyenletrendszer jobb oldala m´odosul az iter´aci´os l´ep´esek sor´an, a bal oldalon ´all´o m´atrixot csak egyszer kell felt¨olteni. A m´odszer h´atr´anya, hogy rendk´ıv¨ ul lass´ u a konvergenci´aja, vagyis a nemline´aris elektrodinamikai probl´em´ak megold´asa id˝oig´enyes. A fixpontos m´odszer alkalmaz´as´ahoz a nemline´aris konstit´ uci´os rel´aci´ot a polariz´aci´os formul´anak megfelel˝oen fel kell bontani egy line´aris komponensre, amely a modell bemeneti v´altoz´oj´anak line´aris f¨ uggv´enye, ´es egy nemline´aris tagra, amely a karakterisztik´at´ol f¨ ugg, s amely a fixpontos nemline´aris iter´aci´o eredm´enyek´epp sz´am´ıthat´o. A nemline´aris egyenletrendszert ´ıgy teh´at lineariz´alni lehet, amit azt´an iterat´ıv m´odon kell megoldani. ~ 0 ´aram-vektorpotenci´al sz´am´ıt´as´ara alkalmas, ´altalam A fejezet v´eg´en mutatom be a T kidolgozott szabad potenci´alformalizmust, amely ´elmenti v´egeselemekkel implement´alhat´o, s amely alkalmas a modern szabad formalizmusokban t¨ort´en˝o alkalmaz´asra. 54
Kuczmann Mikl´os
4.1.
Habilit´aci´os disszert´aci´o
2010
A fixpontos technika r¨ ovid bemutat´ asa
A fixpontos m´odszer a nemline´aris egyenletekb˝ol ´all´o egyenletrendszer x = f(x)
(4.1)
alakban fel´ırt formul´aj´at iterat´ıvan oldja meg a szukcessz´ıv approxim´aci´onak, azaz az x(n) = f(x(n−1) )
(4.2)
iter´aci´osorozatnak megfelel˝oen, ahol az n-edik iter´aci´o eredm´enye f¨ ugg az (n − 1)-edik iter´aci´os l´ep´es eredm´eny´et˝ol, x az ismeretleneket tartalmaz´o oszlopvektor, f(·) pedig a nemline´aris lek´epez´es fixpontos alakja. A fixpontos technika a 4.1 ´abr´an l´athat´o egyismeretlenes esetben akkor konverg´al a c = f (c) fixponthoz, azaz az x = f (x) egyenlet megold´as´ahoz, ha tal´alhat´o olyan I intervallum, ahol az y = f (x) f¨ uggv´eny deiv´altja nem nagyobb, mint az y = x f¨ uggv´eny deriv´altja, azaz, ha teljes¨ ul a df (x) (4.3) dx < 1
felt´etel. Ekkor az x(n+1) = f (x(n) ) iter´aci´os sorozat tetsz˝oleges x0 ∈ I pontb´ol ind´ıthat´o ´es n = 0, 1, 2 · · · . A 4.1 ´abr´ab´ol az is kit˝ unik, hogy min´el laposabb az f (x) f¨ uggv´eny, azaz a deriv´altja min´el k¨ozelebb van a null´ahoz, a konvergencia ann´al gyorsabb. ´ Altal´ anosan a (4.3) felt´etel a k¨ovetkez˝o m´odon fogalmazhat´o meg: |f (x1 ) − f (x2 )| < 1, |x1 − x2 |
∀ x1 , x2 ∈ I.
(4.4)
Az ut´obbi formula alapj´an a kontrakci´o defin´ıci´oja is fel´ırhat´o: |f (x1 ) − f (x2 )| ≤ q|x1 − x2 |,
∀ x1 , x2 ∈ I,
(4.5)
y
y=x
y = f (x)
c = f (c)
c · ·x·2 x1
x0
x
4.1. ´abra. Kontrakt´ıv lek´epez´es eset´en a fixpontos m´odszer a c = f (c) fixponthoz konverg´al 55
Kuczmann Mikl´os
Habilit´aci´os disszert´aci´o
2010
´es 0 < q < 1. Amennyiben ez a felt´etel teljes¨ ul, u ´ gy az f (x) f¨ uggv´enyt kontrakt´ıv lek´epez´esnek, vagy kontrakci´onak h´ıvjuk, mert az cs¨okkenti az x1 ´es x2 pontok k¨oz¨otti t´avols´agot. A kontrakt´ıv lek´epez´es konvergens x(n+1) = f (x(n) ) (n ≥ 0) iterat´ıv elj´ar´ast eredm´enyez, amely az x = f (x) egyenlet megold´as´ahoz konverg´al. A 4.2 ´abra egy divergens iter´aci´os sorozatot mutat, amikor a kontrakci´o felt´etele nem teljes¨ ul. y
y = f (x) y=x
c = f (c)
c
x0
x1
x
4.2. ´abra. Amennyiben az y = f (x) lek´epez´es nem kontrakt´ıv, u ´ gy az iter´aci´o divergens Tetsz˝oleges F (x) = 0 alak´ u egyenlet ´atalak´ıthat´o az x = f (x) alakra a k¨ovetkez˝o m´odon: xn+1 = xn − λF (xn ) ≡ f (xn ),
n = 0, 1, · · · ,
(4.6)
ahol a λ param´eter alkalmas megv´alaszt´as´aval az f (x) f¨ uggv´eny kontrakt´ıv, azaz a konvergencia biztos´ıthat´o.
4.2.
A polariz´ aci´ os formula
A m´agneses indukci´o a 4.3 ´abr´an l´athat´o m´odon felbonthat´o egy line´aris ´es egy nemline´aris komponens ¨osszeg´ere: ~ = µH ~ + R, ~ B
(4.7)
ahol µ konstans, azaz az els˝o tag line´aris ´es a m´agneses t´erer˝oss´eg f¨ uggv´enye, tov´abb´a ~ az R komponens rejti mag´aban a nemlinearit´ast, ami a karakterisztik´at´ol f¨ ugg. A µ term´eszetesen lehet tenzor is, ha anizotr´op a karakterisztika, de ebben a dolgozatban a tenzor elemei ekkor is konstans ´ert´ekek. Ezt a formul´at az ~ =B ~ − µH ~ R
(4.8)
alakban is fel lehet ´ırni. Ebb˝ol kiindulva k´et lehet˝os´eg is k´ın´alkozik. t´erer˝oss´eg inverz hiszter´ezis karakterisztik´aval t¨ort´en˝o kifejez´ese az ~ =B ~ − µB{B} ~ = f ~ {B} ~ R BR
A m´agneses (4.9)
56
Kuczmann Mikl´os
Habilit´aci´os disszert´aci´o
2010
4.3. ´abra. A m´agneses indukci´o felbonthat´o egy line´aris ´es egy nemline´aris komponens ¨osszeg´ere formul´at eredm´enyezi, ami alakilag megegyezik a (4.6) egyenlettel, s amely a µ alkalmas megv´alaszt´asa mellett kontrakt´ıv lek´epez´es. A m´asik lehet˝os´eg a direkt karakterisztika alkalmaz´asa, vagyis ~ = H {H} ~ − µH ~ = f ~ {H}. ~ R HR
(4.10)
A (4.9) egyenletb˝ol kiindulva bel´athat´o, hogy µ optim´alis ´ert´eke, amely glob´alisan konvergens iter´aci´os s´em´at eredm´enyez, az al´abbi: µo =
2 µmax µmin , µmax + µmin
(4.11)
ahol µmax ´es µmin a direkt karakterisztika meredeks´eg´enek a maxim´alis ´es a minim´alis ´ert´eke. Ekkor a (4.9) lek´epez´es kontrakci´o. A (4.10) o¨sszef¨ ugg´es szerint fel´ırt lek´epez´esben szerepl˝o µ param´eter optim´alis ´ert´ek´et a fejezet v´eg´en k¨ozl¨om. Ha a karakterisztika anizotr´op, akkor mindh´arom ir´anyban k¨ ul¨on-k¨ ul¨on meg kell hat´arozni µo ´ert´ek´et, s ezen ´ert´ekek adj´ak a permeabilit´as tenzor´anak diagon´alis elemeit. Ha a karakterisztika izotr´op, akkor mindh´arom ir´anyban ugyanazon optim´alis ´ert´ek ad´odik. Az indexben szerepl˝o 0 o0 bet˝ u az optim´alis ´ert´ekre utal. A m´agneses t´erer˝oss´eg a fentiekkel anal´og m´odon fel´ırhat´o a k¨ovetkez˝o alakban: ~ = νB ~ + ~I, H
(4.12)
ahol ν konstans ´es ~I nemline´aris. Ez az ¨osszeg ´atrendezhet˝o az ~I = H ~ − νB ~
(4.13)
alakra, ahonnan szint´en k´et formula ´ırhat´o fel. A direkt karakterisztik´at alkalmazva: ~I = H ~ − νH {H} ~ = f ~ {H}. ~ HI
(4.14) 57
Kuczmann Mikl´os
Habilit´aci´os disszert´aci´o
2010
Ez a formula alakilag megegyezik a (4.6) egyenlettel, s alkalmas a ν param´eter optim´alis ´ert´ek´enek meghat´aroz´as´ara. Bel´athat´o ugyanis, hogy a (4.14) lek´epez´es kontrakt´ıv, ha νo =
2 νmax νmin , νmax + νmin
(4.15)
s ennek eredm´enyek´epp az iter´aci´os s´ema glob´alisan konvergens. Itt νmax ´es νmin az inverz karakterisztika meredeks´eg´enek maxim´alis ´es minim´alis ´ert´eke. A m´asik lehet˝os´eg az inverz karakterisztika alkalmaz´asa a (4.13) ¨osszef¨ ugg´esben, azaz ~I = B{B} ~ − νB ~ = f ~ {B}, ~ BI
(4.16)
~ amely a (4.9) ¨osszef¨ ugg´esb˝ol is sz´armaztathat´o ν = 1/µ-vel val´o beszorz´assal ´es ~I = −ν R helyettes´ıt´essel. Az alkamas optim´alis ν ´ert´ek ´ıgy (4.11) reciprokak´ent hat´arozhat´o meg, νo =
νmax + νmin , 2
(4.17)
hiszen νmax = 1/µmin ´es νmin = 1/µmax . Ennek anal´ogi´aj´ara a (4.10) ¨osszef¨ ugg´esben szerepl˝o µ param´eter optim´alis ´ert´eke µo =
µmax + µmin . 2
(4.18)
A µo ´es νo ´ert´ekek meghat´aroz´asa ´es alkalmaz´asa egym´assal teh´at teljesen anal´og. Az ~ R vektor sz´am´ıthat´o (4.9) vagy (4.10) alapj´an, mik¨ozben µ optim´alis ´ert´eke (4.11) vagy ~ az inverz karakterisztika ´es a direkt karakterisztika (4.18) szerint ´all´ıthat´o be. Azaz R alapj´an is sz´am´ıthat´o m´as-m´as optim´alis permeabilit´as ´ert´ekkel. Ugyanez mondhat´o el az ~I vektor eset´eben is. Mindent ¨osszegezve ¨osszesen n´egy lehets´eges iter´aci´os s´ema adhat´o meg, amelyeket a 4.4. fejezetben foglalom ¨ossze.
4.3.
A polariz´ aci´ os formula alkalmaz´ asa a potenci´ alformalizmusokban
A bevezet˝oben bemutatott Maxwell-egyenletekben szerepl˝o (2.17) konstit´ uci´os rel´aci´ok mindegyike fel´ırhat´o teh´at egy-egy ¨osszeg form´aj´aban a (4.7), vagy a (4.12) polariz´aci´os formula szerint. Az el˝oz˝o fejezetben megmutattam, hogy a polariz´aci´os formul´aban szerepl˝o param´eterek alkalmas megv´alaszt´as´aval a lek´epez´es kontrakt´ıv, ami a fixpontos iter´aci´os s´ema szempontj´ab´ol rendk´ıv¨ ul fontos, hiszen ´ıgy lesz a s´ema konvergens. A polariz´aci´os formula Maxwell-egyenletekbe t¨ort´en˝o helyettes´ıt´ese a bevezet˝oben bemutatott potenci´alok ´altal k¨ ul¨onf´ele formalizmusokat eredm´enyez a nemline´aris elektrom´agneses t´er sz´am´ıt´as´ara. Az ´aram-vektorpotenci´al ´es a m´agneses skal´arpotenci´al seg´ıts´eg´evel a m´agneses t´er~ =T ~0+T ~ − ∇Φ alakban. Ezen ¨osszef¨ er˝oss´eg kifejezhet˝o a H ugg´es (4.7) polariz´aci´os formul´aba t¨ort´en˝o helyettes´ıt´ese a m´agneses indukci´o k¨ovetkez˝o kifejez´es´et szolg´altatja: ~ = µH ~ +R ~ = µ(T ~0+T ~ − ∇Φ) + R. ~ B 58
(4.19)
Kuczmann Mikl´os
Habilit´aci´os disszert´aci´o
2010
~ hi´anyzik a fel´ıTerm´eszetesen a nemline´aris ¨orv´eny´aramokt´ol mentes tartom´anyban T r´asban. A fenti kifejez´est a Maxwell-egyenletekbe helyettes´ıtve, s azokat megoldva a m´agneses t´erer˝oss´eg sz´am´ıthat´o k¨ozvetlen¨ ul, de a m´agneses indukci´o is k¨ozel´ıthet˝o a 4.4. fejezetben javasolt m´odon, azaz ~ = M {R}, ~ H
~ = M {R}, ~ illetve B
(4.20)
itt az M {·} oper´ator jel¨oli a Maxwell-egyenletek valamely potenci´alformalizmussal t¨or~ ezut´an a (4.10), a B ~ pedig a (4.9) egyenletbe helyettes´ıthet˝o, t´en˝o reprezent´al´as´at. A H aminek eredm´enye egy-egy fixpontos alakban fel´ırhat´o egyenlet, ~ = f ~ {M {R}}, ~ R HR
~ = f ~ {M {R}}. ~ illetve R BR
(4.21)
Fontos megjegyezni, hogy a fixpontos iter´aci´o alatt a gerjeszt´es ´es a peremfelt´etelek nem ~ ´ert´eke m´odosul minden l´ep´esben. A fixpontos iter´aci´os l´ep´eseknek v´altoznak, csup´an R fizikai tartalma nincs. ~ m´agneses vektorpotenci´al seg´ıts´eg´evel a B ~ m´agneses indukci´o kifejezhet˝o a j´ol Az A ~ = ∇×A ~ ¨osszef¨ ismert B ugg´es alapj´an, amit a (4.12) alakba helyettes´ıtve a m´agneses t´erer˝oss´eg fel´ırhat´o: ~ = νB ~ + ~I = ν∇ × A ~ + ~I. H
(4.22)
A fenti kifejez´est a Maxwell-egyenletekbe helyettes´ıtve, s azokat megoldva a m´agneses indukci´o k¨ozvetlen¨ ul sz´am´ıthat´o, a m´agneses t´erer˝oss´eg pedig a 4.4. fejezetben javasolt m´odon k¨ozel´ıthet˝o, s ´ıgy ~ = M {~I}, B
~ = M {~I}. illetve H
(4.23)
~ ezut´an a (4.16), a H ~ pedig a (4.14) egyenletbe helyettes´ıthet˝o, aminek eredm´enye AB egy-egy fixpontos alakban fel´ırhat´o egyenlet, ~I = f ~ {M {~I}}, BI
~ illetve ~I = fH ~ I {M {I}}.
(4.24)
A (4.21) els˝o kifejez´ese ´altal defini´alt fixpontos iter´aci´os s´ema teh´at akkor konvergens, ha teljes¨ ul az ~ ~ ~ ~ ||fH ~ R {M {R1 }} − fH ~ R {M {R2 }}|| ≤ q||R1 − R2 ||
(4.25)
~ 1, R ~ 2 -re. Hasonl´o felt´etel ´ırhat´o fel a (4.21) m´asodik s´em´aj´ara, ´es kontrakci´os felt´etel ∀R a (4.24) mindk´et s´em´aj´ara. Az itt szerepl˝o || · || norma a bels˝o szorzat n´egyzetgy¨ok´et jel¨oli, sZ sZ √ ||x|| = < x, x > = x · x dΩ = |x|2 dΩ. (4.26) Ω
Ω
Ismeretes, hogy a Maxwell-egyenletek az al´abbi tulajdons´aggal b´ırnak (l. C. f¨ uggel´ek): ~ 1 } − M {R ~ 2 }|| ≤ ||R ~ 1 − R2 ||, ||M {R 59
~ 1, R ~ 2. ∀R
(4.27)
Kuczmann Mikl´os
Habilit´aci´os disszert´aci´o
2010
Ugyanez ´ırhat´o fel az ~I v´altoz´oval is. Az el˝oz˝o fejezet alapj´an ismert tov´abb´a, hogy az fH es fB atorok kontarkci´ok, aminek k¨ovetkezt´eben a ~ R {·}, fH ~ I {·}, fB ~ R {·} ´ ~ I {·} oper´ (4.25) felt´etel biztosan teljes¨ ul, azaz a (4.21) ´es a (4.24) s´em´ak ´altal defini´alt iter´aci´os elj´ar´asok konvergensek. A line´aris konstit´ uci´os egyenletekt˝ol a polariz´aci´os alak form´alisan mind¨ossze egy addit´ıv tagban k¨ ul¨onb¨ozik, amely addit´ıv tag minden olyan egyenletben megjelenik, ~ ~ el˝ofordult ´es az adott tartom´any nemline´aris karakterisztik´aval b´ır. amelyben B vagy H Ezek alapj´an kidolgoztam az ¨osszes potenci´alformalizmus parci´alis differenci´alegyenlet´et ´es a hozz´a tartoz´o peremfelt´eteleket, s az egyes formalizmusok gyenge alakj´at. A potenci´alformalizmusokat ´es a gyenge alakokat terjedelm¨ uk miatt a C. f¨ uggel´ekben k¨ozl¨om.
4.4.
A nemline´ aris formalizmusok
4.4.1.
A direkt karakterisztika alkalmaz´ asa
~ m´agneses t´erer˝oss´eg, s kimenete a B ~ A direkt karakterisztika bemeneti jele a H m´agneses indukci´o. K´ezenfekv˝o teh´at a direkt karakterisztik´at a Φ-formalizmussal, ~ , Φ-formalizmus valamely v´alfaj´aval ¨osszekapcsolni, hiszen ekkor a m´agneses vagy a T t´erer˝oss´eg az els˝odleges v´altoz´o a ~ =T ~ 0 − ∇Φ, H
(4.28)
vagy a ~ =T ~0+T ~ − ∇Φ H
(4.29)
¨osszef¨ ugg´esnek megfelel˝oen. A polariz´aci´os formul´anak k¨osz¨onhet˝oen azonban a direkt karakterisztika olyan for~ m´agneses indukci´o az els˝odleges v´altoz´o. Ebben malizmussal is alkalmazhat´o, amikor a B ~ = ∇×A ~ ¨osszef¨ ~ m´agneses vektorpotenci´alra ´ep¨ az esetben a B ugg´es szerint az A ul a formalizmus. Sok esetben a direkt modellt alkalmazz´ak inverz alakban oly m´odon, hogy alkalmas algoritmussal (legt¨obb esetben a regula falsi algoritmussal) a formaliz~ m´agneses indukci´ohoz (ami a modell kimenete) tartoz´o H ~ m´agneses musb´ol kiad´od´o B t´erer˝oss´eget keresik meg. Ez rendk´ıv¨ ul id˝oig´enyes m˝ uvelet, mert minden iter´aci´os l´ep´esben regula falsi iter´aci´ot is futtatni kell a megfelel˝o bemenet-kimenet p´ar megkeres´es´ehez. Az itt bemutat´asra ker¨ ul˝o elj´ar´as sokkal hat´ekonyabb. S´ ema a m´ agneses t´ erer˝ oss´ egre ´ ep´ıtve Az algoritmus l´ep´esei a µo =
µmax + µmin 2
(4.30)
optim´alis permeabilit´ast alkalmazva a k¨ovetkez˝ok´epp foglalhat´o ¨ossze. Az iter´aci´o tet~ (0) ´ert´ekkel ind´ıthat´o, s az n-edik l´ep´esben a k¨ovetkez˝ok t¨ort´ennek (n > 0): sz˝oleges R ~ (n) m´agneses t´erer˝oss´eg ´ert´ek´enek meghat´aroz´asa az alkalmazott formalizmus (i ) A H ~ (n−1) -re ´ep¨ ~ (n) = M {R ~ (n−1) }; seg´ıts´eg´evel, amely az R ul, azaz, H 60
Kuczmann Mikl´os
Habilit´aci´os disszert´aci´o
2010
(n)
~ (ii ) A B m´agneses fluxus vektor a direkt modell futtat´as´aval hat´arozhat´o meg, azaz (n) ~ ~ (n) }; B = H {H ~ nemline´aris rezidu´al ´ert´eke jav´ıthat´o az (iii ) Az R ~ (n) = B ~ (n) − µo H ~ (n) = H {H ~ (n) } − µo H ~ (n) R
(4.31)
¨osszef¨ ugg´esnek megfelel˝oen; (iv ) Az (i)–(iii) l´ep´eseket addig kell ism´etelni, am´ıg az elj´ar´as nem konverg´al. Az iter´aci´os technika le´all´asi felt´etele az al´abbi: ~ ||R
(n)
~ (n−1) || < ε, −R
(4.32)
ahol ε k¨ usz¨ob egy kell˝oen kis ´ert´ek. S´ ema a m´ agneses indukci´ ora ´ ep´ıtve (0) Az iter´aci´o tetsz˝oleges ~I ´ert´ekb˝ol ind´ıthat´o. Az n-edik iter´aci´os l´ep´es (n > 0) a k¨ovetkez˝okb˝ol ´all:
~ (i ) A B
(n)
m´agneses indukci´o a Maxwell-egyenletek alapj´an sz´am´ıthat´o az (n−1)-edik ~ (n) = M {~I (n−1) }; l´ep´esbeli ´ert´ekekre t´amaszkodva, B
~ (n) m´agneses t´erer˝oss´eg a k¨ovetkez˝o m´odon becs¨ (ii ) A H ulhet˝o: ~ (n) = νo B ~ (n) + ~I (n−1) ; H (iii ) Az ~I
(n)
(4.33)
nemline´aris rezidu´al a direkt modell seg´ıts´eg´evel jav´ıthat´o:
~I (n) = H ~ (n) − νo H {H ~ (n) };
(4.34)
(iv ) Az (i)–(iii) l´ep´eseket addig kell ism´etelni, am´ıg az (n) (n−1) ||~I − ~I || < ε
(4.35)
krit´erium alkalmas ε k¨ usz¨ob mellett nem teljes¨ ul. Az algoritmusban az optim´alis ν a k¨ovetkez˝o formul´aval sz´am´ıtand´o: νo =
2 νmax νmin . νmax + νmin
(4.36)
61
Kuczmann Mikl´os
4.4.2.
Habilit´aci´os disszert´aci´o
2010
Az inverz karakterisztika alkalmaz´ asa
Sok esetben azonban nem a direkt, hanem az inverz karakterisztika ´all rendelkez´esre, mint ahogy a jelen dolgozatban is. Ekkor a m´agneses vektorpotenci´alon alapul´o technik´at lehet alkalmazni, mert az a m´agneses indukci´ot szolg´altatja. ~ m´agneses indukci´o, s kimenete a H ~ Az inverz karakterisztika bemeneti jele a B ~ m´agneses vektorpom´agneses t´erer˝oss´eg. K´ezenfekv˝o teh´at az inverz karakterisztika A tenci´allal t¨ort´en˝o alkalmaz´asa, mivel ekkor a m´agneses indukci´o az els˝odleges v´altoz´o a ~ =∇×A ~ B
(4.37)
¨osszef¨ ugg´esnek megfelel˝oen. A polariz´aci´os formul´anak k¨osz¨onhet˝oen azonban az inverz karakterisztika olyan for~ m´agneses t´erer˝oss´eg az els˝odleges v´altoz´o. malizmussal is alkalmazhat´o, amikor a H ~ ´aram-vektorpotenci´alra Ezek a formalizmusok a Φ m´agneses skal´arpotenci´alra, illetve a T ´ep¨ ulnek. Ekkor sok esetben az inverz modellt alkalmazz´ak oly m´odon, hogy alkalmas al~ m´agneses t´erer˝oss´eghez tartoz´o B ~ m´agneses indukci´ot keresik meg. Ez goritmussal a H azonban az el˝oz˝o fejezetben eml´ıtett okok miatt rendk´ıv¨ ul id˝oig´enyes, az itt bemutat´asra ker¨ ul˝o elj´ar´as sokkal hat´ekonyabb. S´ ema a m´ agneses indukci´ ora ´ ep´ıtve (0) Az iter´aci´o tetsz˝oleges ~I ´ert´ekb˝ol ind´ıthat´o, az n-edik iter´aci´os l´ep´es (n > 0) a k¨ovetkez˝oket foglalja mag´aban:
~ (n) m´agneses indukci´o a Maxwell-egyenletek alapj´an az (n − 1)-edik l´ep´esre (i ) A B ~ (n) = M {~I (n−1) }; t´amaszkodva sz´am´ıthat´o, B ~ (n) m´agneses t´erer˝oss´eg a H ~ (n) = B{B ~ (n) } oper´ator szerint az inverz modellel (ii ) A H sz´am´ıthat´o; (iii ) Az ~I
(n)
nemline´aris rezidu´al a k¨ovetkez˝o m´odon jav´ıthat´o:
~I (n) = H ~ (n) − νo B ~ (n) = B{B ~ (n) } − νo B ~ (n) ;
(4.38)
(iv ) Az (i)–(iii) l´ep´eseket addig kell ism´etelni, am´ıg az (n) (n−1) ||~I − ~I || < ε
(4.39)
krit´erium alkalmas ε k¨ usz¨ob mellett nem teljes¨ ul. Itt az optim´alis ν ´ert´ek a k¨ovetkez˝o: νo =
νmax + νmin . 2
(4.40)
62
Kuczmann Mikl´os
Habilit´aci´os disszert´aci´o
2010
S´ ema a m´ agneses t´ erer˝ oss´ egre ´ ep´ıtve Ebben az esetben: µo =
2 µmax µmin . µmax + µmin
(4.41)
~ (0) ´ert´ekb˝ol ind´ıthat´o, az n-edik iter´aci´os l´ep´es (n > 0) a Az iter´aci´o tetsz˝oleges R k¨ovetkez˝oket foglalja mag´aban: ~ (n) m´agneses t´erer˝oss´eg a Maxwell-egyenletek alapj´an sz´am´ıthat´o, s az ered(i ) A H ~ (n) = M {R ~ (n−1) }; m´eny az (n − 1)-edik l´ep´esben kapott eredm´enyt˝ol f¨ ugg, H ~ (n) m´agneses indukci´o (ii ) A B ~ (n) = µo H ~ (n) + R ~ (n−1) B
(4.42)
~ (n) = B{B ~ (n) }; becsl´ese ut´an lehet futtatni az inverz modellt, H ~ (n) nemline´aris rezidu´al a k¨ovetkez˝o m´odon jav´ıthat´o: (iii ) Az R ~ (n) = B ~ (n) − µo B{B ~ (n) }; R
(4.43)
(iv ) Az (i)–(iii) l´ep´eseket addig kell ism´etelni, am´ıg az ~ ||R
(n)
~ −R
(n−1)
|| < ε
(4.44)
krit´erium alkalmas ε k¨ usz¨ob mellett nem teljes¨ ul.
4.5.
A T~ 0 potenci´ al k¨ ozel´ıt´ ese ´ elmenti v´ egeselemekkel
A T~ 0 ´aram-vektorpotenci´al sz´am´ıt´as´ara kidolgoztam egy szabad formalizmust, s a potenci´al k¨ozel´ıt´es´ere ´elmenti v´egeselemeket haszn´altam [137]. A formalizmus gyenge ~ alakja fel´ırhat´o, s az A-formalizmushoz hasonl´o algoritmus haszn´alhat´o a sz´am´ıt´ashoz. ~ A T 0 ´aram-vektorpotenci´al meghat´arozhat´o a k¨ovetkez˝o funkcion´al minimaliz´al´as´aval: Z 2 ~ ~ ~ (4.45) F {T 0 } = ∇ × T 0 − J 0 dΩ, Ω
amely ekvivalens a
~0 =J ~ 0, ∇×T
az Ω tartom´anyon
(4.46)
~ 0 -t defini´alja. A funkcion´al minima´erv´enyes parci´alis differenci´alegyenlettel, amely a T liz´al´asa sor´an a k¨ovetkez˝o peremfelt´eteleket is figyelembe kell venni: ~0×n ~ = ~0, T
a ΓH
peremen,
(4.47) 63
Kuczmann Mikl´os ~0·n ~ = 0, T
Habilit´aci´os disszert´aci´o a ΓB
peremen.
2010 (4.48)
A funkcion´al els˝o vari´aci´oj´ab´ol [25,137] kiindulva a k¨ovetkez˝o parci´alis differenci´alegyenlet ´es a hozz´a kapcsol´od´o peremfelt´etelek kaphat´ok: ~0 =∇×J ~ 0, ∇×∇×T ~0×n ~ = ~0, T
~0·n ~ = 0, T
a ΓH a ΓB
az Ω tartom´anyon, peremen,
(4.49) (4.50)
peremen.
(4.51)
Ez egy perem´ert´ek-feladat, amelynek gyenge alakja levezethet˝o ´es a probl´ema v´egeselemm´odszerrel megoldhat´o. A javasolt technika el˝onye, hogy szabad formalizmus, ami ´elmenti v´egeselemekkel megoldhat´o, s k¨onnyed´en implement´alhat´o olyan szabad formalizmust is t´amogat´o v´egeselemes k¨ornyezetben, amely alkalmas a vektorpotenci´allal t¨ort´en˝o sz´am´ıt´asokra. A java~ 0 ´aram-vektorpotenci´al ´elmenti v´esolt szabad formalizmus m´asik nagy el˝onye, hogy a T geselemekkel reprezent´alhat´o, amely j´ol illeszkedik a modern szabad formalizmusokhoz.
4.6.
A tudom´ anyos eredm´ enyek ¨ osszefoglal´ asa
2. T´ ezis A kidolgozott Preisach-f´ele hiszter´ezismodelleket a polariz´aci´os formul´at haszn´alva numerikus t´erszimul´aci´ot alkalmaz´o elj´ar´asba illesztettem. A polariz´aci´os formul´aval lineariz´altam a nemline´aris karakterisztik´at, a line´aris tag meredeks´eg´enek alkalmas megv´alaszt´as´aval pedig kontrakt´ıv lek´epez´est nyertem, amely a Maxwell-egyenleteken kereszt¨ ul bizony´ıtottan konvergens fixpontos iter´aci´os s´em´ara vezet. Kidolgoztam az ¨osszes statikus m´agneses t´er ´es ¨orv´eny´aram´ u t´er sz´am´ıt´as´ara alkalmas potenci´alformalizmus nemline´aris hiszter´ezis figyelembev´etel´ere alkalmas alakj´at, s kidolgoztam az egyes formalizmusok gyenge alakj´at is, amelyek a v´egeselem-m´odszerben is alkalmazhat´ok. A formalizmusok alkalmasak m´as numerikus m´odszerben t¨ort´en˝o implement´al´asra is. A polariz´aci´os formula k´et alakj´at ´es az egyes formalizmusok els˝odleges v´altoz´oj´at alapul v´eve kidolgoztam az ¨osszes lehets´eges vari´aci´ot, ahogy a formalizmusok ´es a direkt, vagy inverz alakban implement´alt hiszter´ezismodellek ¨osszekapcsolhat´ok. Ezen t´ezishez kapcsol´od´oan olyan u ´ j szabad formalizmust alkalmaz´o perem´ert´ek-feladatot dolgoztam ki ~ 0 ´aram-vektorpotenci´al meghat´aroz´as´ara, amely j´ol illeszkedik a modern vektori´alis aT v´egeselem-m´odszerhez. 2.a Kidolgoztam a polariz´aci´os formula mindk´et lehets´eges alakj´at, amelyek alkalmasak a direkt ´es az inverz hiszter´ezis karakterisztik´aval reprezent´alt anyagok modellj´enek lineariz´al´as´ara. Az ily m´odon lineariz´alt karakterisztik´at ¨osszekapcsoltam az egyes potenci´alokkal, mi´altal ¨osszefoglaltam az ¨osszes lehets´eges formalizmust, amely alkalmas nemline´aris statikus ´es ¨orv´eny´aram´ u m´agneses t´er sz´am´ıt´as´ara. K¨ ul¨onv´alasztottam a m´ert´ekkel ell´atott k¨ot¨ott formalizmus ´es a m´ert´ek n´elk¨ uli szabad formalizmus egyenleteit, ´es megadtam azok gyenge alakj´at. A gyenge alak k¨ozvetlen¨ ul alkalmas a v´egeselem-m´odszerben t¨ort´en˝o realiz´al´asra. Mindez ¨osszesen n´egy lehets´eges m´odszert eredm´enyez, amelyek mentesek a tov´abbi bels˝o iter´aci´okt´ol, mi´altal a fut´asi id˝o jelent˝osen reduk´alhat´o. 64
Kuczmann Mikl´os
Habilit´aci´os disszert´aci´o
2010
2.b Olyan u ´ j perem´ert´ek-feladatot fogalmaztam meg, amely egy szabad formalizmus ~ 0 ´aram-vektorpotenci´al el˝o´all´ıt´as´ara, ´es a gyenge alakkeret´eben alkalmas a T ban megfogalmazhat´o probl´ema megold´asak´ent meghat´arozhat´o vektorpotenci´al k¨ozvetlen¨ ul kapcsol´odhat a modern ´elmenti v´egeselem-m´odszerhez.
65
5. fejezet A v´ egeselem-m´ odszer alkalmaz´ asa a villamosm´ ern¨ oki tervez´ esben Ebben a fejezetben a dolgozatban bemutatott formalizmusok ´es numerikus m´odszerek alkalmazhat´os´ag´at igazolom bonyolultabb probl´em´ak megold´asa kapcs´an. A fejezet ¨ot olyan feladatot tartalmaz, amelyek r´av´ıl´ag´ıtanak egy-egy l´enyeges momentumra. Minden egyes p´eld´at a v´egeselem-m´odszerrel oldottam meg. A p´eld´ak kidolgoz´as´ara a COMSOL Multiphysics [193, 194] v´egeselemes szoftver f¨ uggv´enyeit alkalmaztam a MATLAB programrendszerben [217]. Az els˝o feladat egy h´aromdimenzi´os line´aris ¨orv´eny´aram´ u T.E.A.M. feladat (Testing Electromagnetic Analysis Methods, International Compumag Society), amely egy t¨obbsz¨or¨osen ¨osszef¨ ugg˝o ¨orv´eny´aram´ u tartom´anyt tartalmaz, s emiatt alkalmas a dolgozatban bemutatott k¨ ul¨onf´ele potenci´alformalizmusok sz¨ uks´egess´eg´enek bemutat´as´ara. M´asodik feladatk´ent a 3.1. fejezetben bemutatott skal´ar hiszter´ezis karakterisztika felv´etel´ere alkalmas m´er´esi elrendez´es numerikus szimul´aci´oj´at k¨ozl¨om. A toroid transzform´ator tengelyszimmetrikus volta miatt ez egy k´etdimenzi´os nemline´aris feladat, s amely alkalmas az ¨orv´eny´aramok m´er´esekre gyakorolt hat´as´anak, valamint a frekvenciaf¨ uggetlen modell hi´anyoss´againak bemutat´as´ara is. A hiszter´ezis modellez´es´ere a skal´ar Preisach-modellt haszn´altam. A harmadik pont h´arom statikus, h´aromdimenzi´os, nemline´aris feladat megold´as´at mutatja be, amelyek mindegyike T.E.A.M. feladat. A probl´em´ak megold´as´ara a dolgozatban bemutatott formalizmusokat alkalmaztam a fixpontos technik´aval megoldva azokat. A dolgozatot z´ar´o feladat a 3.2. fejezetben bemutatott vektori´alis hiszter´ezis karakterisztika m´er´es´ere alkalmas berendez´es sz´am´ıt´og´eppel t´amogatott tervez´ese ´es anal´ızise. A v´egeselemes anal´ızis sz´amos tervez´esi k´erd´esre megadta a v´alaszt, a numerikus eredm´enyek ´es a megval´os´ıtott m´er´estechnikai eszk¨oz egy¨ uttesen vezetett el a kidolgozott vektori´alis Preisach-modell megalkot´as´ahoz.
66
Kuczmann Mikl´os
5.1.
Habilit´aci´os disszert´aci´o
2010
Line´ aris ¨ orv´ eny´ aram´ u feladat
Az 5.1 ´abr´an l´athat´o 7-es sorsz´am´ u T.E.A.M. feladat egy line´aris ¨orv´eny´aram´ u probl´ema [169,178,179,218–229]. A kit˝ uz¨ott feladat egy alum´ınium lapot tartalmaz, melynek 7 vezet˝ok´epess´ege σ = 3.526 · 10 S/m. Az alum´ınium lapban egy lyuk tal´alhat´o. Az elektrom´agneses teret egy tekercs gerjeszti (2742 AM, amper-menet), amely az alum´ınium lap felett helyezkedik el, s a gerjeszt´es frekvenci´aja f = 50 Hz, valamint f = 200 Hz. Az ¨orv´eny´aram´ u tartom´anyban tal´alhat´o lyuk miatt a feladat egy t¨obbsz¨or¨osen ¨osszef¨ ugg˝o tartom´any vizsg´alata.
5.1. ´abra. A 7-es sz´am´ u T.E.A.M. feladat: alum´ınium lap a tekercs alatt A szinuszos gerjeszt´es ´es a line´aris feladat egy¨ uttese indokolja a Maxwell-egyenletek ´es a potenci´alformalizmusok komplex formalizmussal [2, 3, 135] t¨ort´en˝o fel´ır´as´at ´es alkalmaz´as´at. Ez´altal a stacion´arius v´alasz sz´am´ıthat´o, amely eredm´enyek m´er´esi adatokkal is ¨osszevethet˝ok. A feladatot a legk¨ ul¨onf´el´ebb formalizmusokkal oldottam meg ugyanazon v´egeselemes h´al´o mellett. A v´egeselemes felbont´as 8604 tetra´edert tartalmaz, de harmadfok´ u k¨ozel´ıt´est. A p´elda j´ol mutatja, hogy t¨obbsz¨or¨osen ¨osszef¨ ugg˝o tartom´any eset´en a sz´am´ıtott
~ V − A-formalizmussal ~ (a) A,
~ , Φ − Φ-formalizmussal (b) T
5.2. ´abra. Az ¨orv´eny´aram komplex cs´ ucs´anak val´os r´esze f = 50 Hz frekvenci´an 67
Kuczmann Mikl´os
Habilit´aci´os disszert´aci´o
2010
5.1. t´abl´azat. A k¨ ul¨onf´ele potenci´alformalizmusok viselked´ese M´odszer ~ V A, ~ V A, ~ V A, ~ V A,
~ nod´alis − A, ~ nod´alis − A, ~ ´elmenti − A, ~ ´elmenti − A, ~ − Φ, nod´alis −A ~ − Φ, nod´alis −A ~ − Φ, ´elmenti −A ~ − Φ, ´elmenti −A
~ V A, ~ V A, ~ V A, ~ V A, ~ , Φ − Φ, nod´alis T ~ , Φ − Φ, nod´alis T ~ , Φ − Φ, ´elmenti T ~ , Φ − Φ, ´elmenti T ~ ,Φ− A ~ − Φ, nod´alis T ~ ,Φ− A ~ − Φ, nod´alis T ~ ,Φ−A ~ − Φ, ´elmenti T ~ ,Φ−A ~ − Φ, ´elmenti T ? ~ − A, ~ ´elmenti A ? ~ − A, ~ ´elmenti A ? ~ −A ~ − Φ, ´elmenti A ? ~ −A ~ − Φ, ´elmenti A
Frekvencia [Hz] 50 200 50 200 50 200 50 200 50 200 50 200 50 200 50 200 50 200 50 200
Ismeretlenek sz´ama 122020 122020 132344 132344 55554 55554 58377 58377 53204 53204 55949 55949 53422 53422 55999 55999 128952 128952 54147 54147
Iter´aci´osz´am 532 857 132 132 980 9995 185 180 50 60 216 277 47 44 2353 1092 405 301 436 328
Sz´am´ıt´asi id˝o [sec] 1924 2454 616 616 1450 9919 259 255 319 345 278 355 340 325 2409 1171 1598 1213 456 384
elektrom´agneses t´er helytelen, ha a leveg˝oben csak a Φ potenci´alt alkalmazzuk. Az etalon ~ V − A-formalizmussal ~ megold´as az A, sz´am´ıtott, amelynek eredm´enye az 5.2(a) ´abr´an ~ V − Φl´athat´o. Az 5.2(b) ´abr´an a helytelen megold´ast rajzoltam fel, amelyet az A, ~ , Φ − Φ-formalizmussal lehet el´erni. Az el˝obbi esetben az ¨orformalizmussal vagy a T v´eny´aramok k¨orbefolynak a lyuk k¨or¨ ul, m´ıg a m´agneses skal´arpotenci´allal sz´am´ıtott esetekben nem. Ezen okn´al fogva alakultak ki a k¨ ul¨onf´ele bonyolultabb formalizmusok. A ~ , Φ − Φ-formalizmus eset´en a lyuk kit¨olthet˝o vezet˝o k¨ozeggel, melynek vezet˝ok´epess´ege T nagys´agrendekkel kisebb, mint az alum´ınium vezet˝ok´epess´ege. Ekkor ezen formalizmus is helyes eredm´enyt szolg´altat. Az egyes formalizmusok ´altalam tapasztalt jellemz˝oit (iter´aci´osz´am ´es fut´asi id˝o egy AMD Athlon 64 X2 Dual Core Processor 4600+ 2,41 GHz sz´am´ıt´og´epen, amelyben 4GByte RAM van) az 5.1. t´abl´azatban foglaltam ¨ossze. Ebb˝ol kit˝ unik, hogy a m´agneses vektorpotenci´alt alkalmaz´o technik´ak ´elmenti v´egeselemekkel felgyors´ıthat´ok, m´ıg az ´aram-vektorpotenci´al a csom´oponti k¨ozel´ıt´essel ig´enyel kevesebb l´ep´essz´amot. Az 5.3 ´abr´an a m´ert ´es szimul´alt eredm´enyek ¨osszehasonl´ıt´asa l´athat´o. Az (a)(d) ´abr´akon a m´agneses indukci´o z ir´any´ u komponense, az (e)-(h) ´abr´akon pedig az ¨orv´eny´aram y ir´any´ u komponense l´athat´o. Az eredm´enyek gyakorlatilag megegyeznek. A Bz m´er´ese az x = 0, · · · , 288 mm, y = 72 mm ´es y = 144 mm vonal ment´en t¨ort´ent z = 34 mm magass´agban. A Jy m´er´ese pedig az x = 0, · · · , 288 mm, y = 72 mm, z = 0 mm ´es z = 19 mm vonal ment´en.
68
Habilit´aci´os disszert´aci´o
9
6
6 B [mT]
9
Mérés, y=72mm Nodális Élmenti Mérés, y=144m Nodális Élmenti
0
−3 0
75
150 x [mm]
225
75
150 x [mm]
225
300
(b) A, V − A-formalizmus, f = 200 Hz 9
6
6 B [mT]
9
3
z
3 Mérés, y=72mm Nodális Élmenti Mérés, y=144m Nodális Élmenti
0
−3 0
75
150 x [mm]
225
−3 0
300
75
150 x [mm]
225
300
(d) A, V − A − Φ-formalizmus, f = 200 Hz
6
2
Mérés, y=72mm Nodális Élmenti Mérés, y=144m Nodális Élmenti
0
(c) A, V − A− Φ-formalizmus, f = 50 Hz
6
x 10
5
x 10
2.5 2
2
J [A/m ]
1 J [A/m ]
Mérés, y=72mm Nodális Élmenti Mérés, y=144m Nodális Élmenti
−3 0
300
z
B [mT]
3
0
(a) A, V − A-formalizmus, f = 50 Hz
0
y
y
0 Mérés, z=19mm Nodális Élmenti Mérés, z=0mm Nodális Élmenti
−1
−2 0
75
150 x [mm]
225
−5 0
300
75
150 x [mm]
225
300
(f) T , Φ − Φ-formalizmus, f = 200 Hz
6
2
Mérés, z=19mm Nodális Élmenti Mérés, z=0mm Nodális Élmenti
−2.5
(e) T , Φ − Φ-formalizmus, f = 50 Hz
6
x 10
5
x 10
2.5 2
2
J [A/m ]
1 J [A/m ]
2010
z
3
z
B [mT]
Kuczmann Mikl´os
0
y
y
0
−1
−2 0
Mérés, z=19mm Nodális Élmenti Mérés, z=0mm Nodális Élmenti
75
150 x [mm]
−2.5
225
−5 0
300
(g) T , Φ − A − Φ-formalizmus, f = 50 Hz
Mérés, z=19mm Nodális Élmenti Mérés, z=0mm Nodális Élmenti
75
150 x [mm]
225
300
(h) T , Φ−A−Φ-formalizmus, f = 200 Hz
5.3. ´abra. A m´agneses indukci´o z komponens´enek ´es az ¨orv´eny´aram y komponens´enek eredm´enyei a k¨ ul¨onb¨oz˝o formalizmusokkal sz´am´ıtva
69
Kuczmann Mikl´os
5.2.
Habilit´aci´os disszert´aci´o
2010
A skal´ ar hiszter´ ezis m´ er´ es´ ere alkalmas elrendez´ es numerikus anal´ızise
Ebben a fejezetben a 3.1 ´abr´an l´athat´o m´er´esi elrendez´es szimul´aci´oj´at mutatom be. A szimul´aci´o sor´an az 5.4(a) ´abr´an l´athat´o m´ert koncentrikus g¨orb´ek alapj´an az 5.4(b) ´abr´an felv´azolt Everett-f¨ uggv´enyt alkalmaztam az inverz Preisach-modell fel´all´ıt´as´ahoz [230]. 4000 1 2000 E(α,β)
H [A/m]
0.5 0
0 −0.5
−2000
−1 1 0.5 0
−4000 −1.4
−0.7
0 B [T]
0.7
α
1.4
(a) A m´ert koncentrikus g¨ orb´ek
−0.5 −1 1
0.5
0
−0.5
−1
β
(b) Az Everett-f¨ uggv´eny
5.4. ´abra. A szimul´aci´oban haszn´alt karakterisztika
1.6
1.6
0.8
0.8 B [T]
B [T]
A tengelyszimmetrikus k´etdimenzi´os probl´ema megold´as´ara a m´agneses vektorpotenci´alt alkalmaztam, s a nemline´aris feladatot a fixpontos m´odszerrel oldottam meg. A skal´ar karakterisztika alkalmazhat´o, hiszen a m´agneses t´erer˝oss´egnek ´es a m´agneses indukci´onak csak ϕ ir´any´ u komponense van. A m´agneses t´erer˝oss´eget az ´aramb´ol, a m´agneses indukci´ot pedig a toroid fel¨ ulet´ere ´atlagolva sz´am´ıtottam. A m´er´esi ´es szimul´aci´os eredm´enyek alacsony frekvenci´an szinte megegyeznek, mert az ¨orv´eny´aramok hat´asa elhanyagolhat´o. A modellt f = 5 Hz frekvenci´an m´ert karakterisztik´ab´ol identifik´altam. A frekvenciaf¨ uggetlen modellt magasabb frekvenci´an alkalmazva az 5.5(a) ´abr´an l´athat´o eredm´enyt kaptam. Az ¨orv´eny´aramok hat´asa miatt a
0
−0.8
−1.6 −4000
0
−0.8
−2000
0 H [A/m]
2000
−1.6 −4000
4000
(a) A frekvenciaf¨ uggetlen modell alapj´an
−2000
0 H [A/m]
2000
4000
(b) A kiterjesztett modell alapj´an
5.5. ´abra. M´ert ´es szimul´alt minor hurkok ¨osszevet´ese, f = 50 Hz 70
Kuczmann Mikl´os
Habilit´aci´os disszert´aci´o
2010
m´ert m´agneses t´erer˝oss´eg ´ert´eke nagyobb ugyanazon indukci´o mellett, ami azt mutatja, hogy a Maxwell-egyenletekb˝ol sz´armaz´o ¨orv´eny´aram´ u vesztes´eg nem elegend˝o a magasabb frekvenci´an t¨ort´en˝o szimul´aci´okhoz. Ezen okn´al fogva extra vesztes´egb˝ol sz´armaz´o t´erer˝oss´eget szok´as hozz´aadni a frekvenciaf¨ uggetlen modell kimenet´ehez, amelynek ´ert´eke m´er´esek alapj´an identifik´alhat´o. A [231] cikk alapj´an kiterjesztett modell eredm´enye az 5.5(b) ´abr´an l´athat´o. A frekvenciaf¨ ugg˝o modell vizsg´alat´aval csak ´erint˝olegesen foglalkoztam ezen feladat megold´asa sor´an, ez´ert ezen eredm´enyek nem ker¨ ultek bele a dolgozatba.
5.3.
Nemline´ aris statikus m´ agneses t´ er sz´ am´ıt´ asa
Ebben a fejezetben h´arom T.E.A.M. tesztfeladat megold´as´at mutatom be [137, 159, 164, 166, 232–235]. Mindh´arom esetben az 5.6 ´abr´an l´athat´o nemline´aris karakterisztik´at haszn´altam, amely a 13-as sz´am´ u tesztfeladatb´ol sz´armazik. A 10-es ´es a 24-es sz´am´ u feladatok m´odos´ıtott verzi´oja tal´alhat´o ebben a fejezetben, mert a c´elom az egyes formalizmusok ¨osszevet´ese volt. A gerjeszt´es mindh´arom esetben egyen´aram´ u. 2
B [T]
1.5
1
0.5
0 0
2000
4000 H [A/m]
6000
8000
5.6. ´abra. A feladatokban haszn´alt nemline´aris karakterisztika
5.3.1.
A 10-es sz´ am´ u T.E.A.M. tesztfeladat
A szimul´aci´o sor´an az 5.7(a) ´abr´an l´athat´o feladat nyolcad´at oldottam csak meg, az elrendez´es szimmetri´aj´ab´ol ad´od´oan. A v´ekony lemezekben a tekercs ´altal gerjesztett m´agneses t´er j¨on l´etre, s a feladat ennek vizsg´alata. A szimul´aci´ot elv´egeztem egy ritka ´es egy s˝ ur˝ u v´egeselemes h´al´on (l. 5.7(b) ´abra). A ritka h´al´o 8413 tetra´edert tartalmaz, amelynek eredm´enyek´epp az ismeretlenek sz´ama 12850, 57278, ´es 43539 a Φ-formalizmus, ~ a nod´alis, valamint az ´elmenti A-formalizmus eset´en. A s˝ ur˝ u h´al´o 55037 v´egeselemb˝ol ´all, ami 77130, 358076, ´es 273582 ismeretlent gener´al ugyanazon formalizmusok eset´en. Az 5.2. t´abl´azatban a fixpontos technika iter´aci´os l´ep´essz´am´at ´es az ehhez sz¨ uks´eges id˝ot a m´ar eml´ıtett AMD Athlon sz´am´ıt´og´epet haszn´alva foglaltam ¨ossze a s˝ ur˝ u h´al´o futtat´asi eredm´enyeit bemutatva. 71
Kuczmann Mikl´os
Habilit´aci´os disszert´aci´o
2010
(a) A tesztfeladat geometri´aja
(b) A v´egeselemes feloszt´as egy r´eszlete
5.7. ´abra. A 10-es sz´am´ u T.E.A.M. tesztfeladat: m´agnesezhet˝o lemezek egy tekercs k¨or¨ ul Az 5.8(a) ´abr´an a m´agneses indukci´o alakul´asa l´athat´o a lemez ment´en k´et k¨ ul¨onb¨oz˝o gerjeszt˝o´aram mellett. Az egyes formalizmusok gyakorlatilag ugyanazon eredm´enyekre vezetnek. Az 5.8(b) ´abr´an a v´ızszintes lemez alatt a leveg˝oben l´etrej¨ov˝o m´agneses indukci´o alakul´asa l´athat´o. A k¨ot¨ott vektorpotenci´al formalizmusa adja ugyanazon h´al´o mellett a leggyeng´ebb megold´ast. Az 5.3. t´abl´azatban ¨osszefoglaltam a [164] irodalomb´ol ismert m´er´esi eredm´enyeket ´es az ´altalam sz´am´ıtott adatokat. Az els˝o m´er´esi eredm´eny a k¨oz´eps˝o f¨ ugg˝oleges lemez k¨ozep´er˝ol,a m´asodik a v´ızszintes lemez k¨ozep´er˝ol, a harmadik pedig a sz´els˝o f¨ ugg˝oleges lemez k¨ozep´er˝ol sz´armazik, amikor a gerjeszt˝o ´aram ´ert´eke a 913,68 AM-nek felel meg. Mindh´arom formalizmus kiv´al´oan teljes´ıtett. 5.2. t´abl´azat. A szimul´aci´os technik´ak eredm´enyei Formalizmus Φ ~ elmenti A-´ ~ A-csom´ oponti
L´ep´essz´am 9 9 15
72
Id˝o[sec] 332 3007 2778
Kuczmann Mikl´os
Habilit´aci´os disszert´aci´o
2
2010
0.04
1.6
Φ A−vektor A−nodális
0.03
3000AM
1.2
0.8
0.4 A
|B| [T]
|B| [T]
3000AM 913,68AM
0.01
Φ A−vektor A−nodális
B
C
0.02
913,68AM
0 E
D
F
(a) A m´agneses indukci´ o abszol´ ut ´ert´eke a lemez (b) A m´agneses indukci´o abszol´ ut ´ert´eke a ment´en v´ızszintes lemez alatt
5.8. ´abra. Az egyes formalizmusok ¨osszehasonl´ıt´asa 5.3. t´abl´azat. Szimul´aci´os eredm´enyek M´ert Φ ~ elmenti A-´ ~ A-csom´ oponti
5.3.2.
1.67 1.7041 1.6997 1.6891
0.94 0.9595 0.9532 0.9372
1.14 1.1861 1.1804 1.1489
A 13-as sz´ am´ u T.E.A.M. tesztfeladat
Ez a feladat csup´an a lemezek elhelyez´es´eben k¨ ul¨onb¨ozik az el˝oz˝ot˝ol. Az 5.9(a) ´abra az elrendez´es geometri´aj´at, az 5.9(b) ´abra pedig a haszn´alt v´egeselemes felbont´ast mutatja (147018 tetra´eder, s az ismeretlenek sz´ama 198632, 937306, ´es 694143 a m´agneses skal´arpotenci´alt, a szabad ´es a k¨ot¨ott m´agneses vektorpotenci´alt alkalmazva). Az 5.10(a) ´abra ´es az 5.10(b) ´abra az egyes formalizmusok ´altal eredm´enyezett m´agneses indukci´o ´ert´ek´et mutatja a lemezek ment´en ´es a v´ızszintes lemez alatt. El˝obbit m´er´esi eredm´enyekkel is ¨ossze tudtam hasonl´ıtani. Az egyes formalizmusok enn´el a feladatn´al is nagyon hasonl´o eredm´enyeket szolg´altatnak. A szimul´aci´ok sor´an feljegyzett l´ep´essz´amot ´es a fut´ashoz sz¨ uks´eges id˝ot az 5.4. t´abl´azatban foglaltam ¨ossze. 5.4. t´abl´azat. A szimul´aci´os technik´ak eredm´enyei Formalizmus Φ ~ A-´elmenti ~ A-csom´oponti
L´ep´essz´am 14 7 8
Id˝o[sec] 1364 24016 4346
A 10-es ´es a 13-as feladat geometri´aj´ab´ol ad´od´oan a k¨oz´eps˝o lemezben az 5.11(a) ´abr´an ´es az 5.11(b) ´abr´an l´athat´o vektorok szerint alakul a m´agneses indukci´o.
73
Kuczmann Mikl´os
Habilit´aci´os disszert´aci´o
2010
(a) A tesztfeladat geometri´aja
(b) A v´egeselemes r´eszlete
diszkretiz´al´as
egy
5.9. ´abra. A 13-as sz´am´ u T.E.A.M. tesztfeladat: m´agnesezhet˝o lemezek egy tekercs k¨or¨ ul 1.6
0.8
0.4
0 A
Φ A−vektor A−nodális
0.03 |B| [T]
1.2 |B| [T]
0.04
Φ A−vektor A−nodális Mérés
0.02
0.01
B
C
0 E
D
F
(a) A m´agneses indukci´ o abszol´ ut ´ert´eke a lemez (b) A m´agneses indukci´o abszol´ ut ´ert´eke a ment´en v´ızszintes lemez alatt
5.10. ´abra. Az egyes formalizmusok ¨osszehasonl´ıt´asa
5.3.3.
A 24-es sz´ am´ u T.E.A.M. tesztfeladat
Ez a feladat az eredeti 24-es feladat m´odos´ıt´asa, amelynek geometri´aja az 5.12 ´abr´an l´athat´o. Ez egy villamos g´ep, amelynek forg´or´esze az a´br´an is l´athat´o poz´ıci´oban ´all. A v´egeselemes h´al´o 39060 tetra´eder elemb˝ol ´all, ami 55825 ´es 256530 ismeretlent gener´al a m´agneses skal´arpotenci´al ´es a szabad m´agneses vektorpotenci´al eset´en. Az 5.12 ´abr´an
74
Habilit´aci´os disszert´aci´o
80
80
60
60 z [mm]
z [mm]
Kuczmann Mikl´os
40
20
2010
40
20
0 0
7.5
15 y [mm]
22.5
0
30
0
7.5
(a) T.E.A.M. 10
15 y [mm]
22.5
30
(b) T.E.A.M. 13
5.11. ´abra. A m´agneses indukci´o alakul´asa a k¨oz´eps˝o f¨ ugg˝oleges lemezben bejel¨olt vonal ment´en mindk´et formalizmussal sz´am´ıtottam a m´agneses indukci´o ´ert´ek´et. Ezek ¨osszehasonl´ıt´asa l´athat´o az 5.13 ´abr´an. A k´et eredm´eny nagyon j´o egyez´ese ebben a feladatban is igazolja a formalizmusok alkalmazhat´os´ag´at.
5.12. ´abra. A m´agneses indukci´o alakul´asa a villamos g´ep belsej´eben
2
Φ A−vector
|B|[T]
1.5
1
0.5
0 0
125
250 Position
375
500
5.13. ´abra. A k´et formalizmus ´altal sz´am´ıtott indukci´o ¨osszehasonl´ıt´asa
75
Kuczmann Mikl´os
5.4.
Habilit´aci´os disszert´aci´o
2010
A vektor hiszter´ ezis m´ er´ es´ ere alkalmas elrendez´ es numerikus anal´ızise ´ es tervez´ ese
Ebben a fejezetben a 3.12 ´abr´an l´athat´o m´er´esi elrendez´es numerikus anal´ızis´et ´es a m´er´es ¨ossze´all´ıt´asa sor´an v´egzett, a tervez´est ´es a m´er´es meg´ep´ıt´es´et seg´ıt˝o sz´am´ıt´asok ´es szimul´aci´ok eredm´enyeit foglalom ¨ossze. A 3. fejezetben bemutatott v´egleges m´er´esi elrendez´es sz´amos jav´ıt´as eredm´enye, itt ezen l´ep´esek v´egeselem-m´odszerrel t¨ort´en˝o t´amogat´as´ara f´okusz´alok a [137, 236–243] publik´aci´oim alapj´an. F˝o tervez´esi k´erd´es, hogy a m´er´es sor´an a gerjeszt´es, a pr´obatest ´es a szenzorok elhelyezked´ese milyen legyen, azaz milyen m´odon lehet pontos k´epet kapni a m´agneses t´erer˝oss´eg ´es a m´agneses indukci´o alakul´as´ar´ol a m´er´es sor´an, s milyen t´enyez˝ok befoly´asolj´ak a m´er´esi eredm´enyeket. Ez egyr´eszt abban ´all, hogy meg lehessen hat´arozni, hogy a pr´obatesten bel¨ ul mekkora az a lehet˝o legnagyobb ter¨ ulet, ahol a kialakul´o t´erjellemz˝ok a m´er´esi frekvenci´an k¨ozel homog´en teret adnak, tov´abb´a, hogy a pr´obatest felsz´ın´ehez k¨ozel milyen a m´agneses t´erer˝oss´eg v´altoz´asa. El˝obbi ugyanis befoly´asolja az alkalmazand´o szenzorok m´eret´et, ut´obbi pedig a m´agneses t´erer˝oss´eg m´er´esi technik´aj´at. A m´agneses t´erer˝oss´eg felv´etele kritikus pontja a m´er´esnek. Fontos k´erd´es az alkalmazott frekvencia megv´alaszt´asa is. Alacsony frekvenci´an, szab´alyoz´ast is alkalmazva, a m´er´esi id˝o nagyon megn˝ohet, m´ıg nagy frekvenci´an az o¨rv´eny´aramok befoly´asolhatj´ak ´ a statikus karakterisztika felv´etel´enek pontoss´ag´at. Erdekes k´erd´es a speci´alisan erre a c´elra kidolgozott gerjeszt˝o tekercsrendszer is, amely az ´atalak´ıtott motoron bel¨ ul homog´en m´agneses t´er gerjeszt´es´ere alkalmas. Azon k´erd´esek, amelyek a pr´obatesten bel¨ ul kialakul´o elektrom´agneses t´er ismeret´eben v´alaszolhat´ok meg, csak numerikus anal´ızissel vizsg´alhat´ok, s a kapott eredm´enyek m´er´esekkel valid´alhat´ok. Nagyon fontos teh´at a m´er´esek ´es a numerikus szimul´aci´ok egyens´ ulya, hogy azok egym´ast kieg´esz´ıts´ek a munka sor´an. A numerikus anal´ızist t¨obb m´odon is elv´egeztem. El˝osz¨or egy nemline´aris ¨orv´eny´aram´ u feladatot oldottam meg egy felt´etelezett izotr´op vektor hiszter´ezis karakterisztik´aval, amib˝ol k´epet kaptam az elrendez´es f˝obb tulajdons´agair´ol, majd a m´er´esek alapj´an identifik´alt modellekkel is v´egeztem sz´am´ıt´asokat. Ut´obbi sz´am´ıt´asok sor´an az alacsony frekvencia miatt statikus nemline´aris m´agneses t´er szimul´aci´oj´aval foglalkoztam. A m´er´esek ´es szimul´aci´ok egy¨ utt t¨ok´eletes´ıtett´ek a m´er´esi elrendez´est, s a dolgozatban bemutatott v´egs˝o modell is ezen munka eredm´enyek´epp sz¨ uletett meg.
5.4.1.
A szimul´ aci´ ok fontosabb adatai
A villamos g´ep ´all´or´esze lemezelt, emiatt ebben a tartom´anyban az ¨orv´eny´aramok hat´as´at minden szimul´aci´oban elhanyagoltam. Az ´all´or´esz z ir´any´ u m´eretei sokkal nagyobbak, mint a pr´obatest vastags´aga, emiatt az ´all´or´esz nemline´aris karakterisztik´aj´at elhanyagoltam, hiszem a benne kialakul´o m´agneses indukci´o sokkal kisebb, aminek k¨ovetkezt´eben az ´all´or´eszben lej´atsz´od´o m´agnesez´esi folyamatok a karakterisztika line´aris szakasz´an t¨ort´ennek. A felt´etelezett relat´ıv permeabilit´as µr = 4000. A pr´obatestet ¨orv´eny´aram´ u sz´am´ıt´asok sor´an ¨orv´eny´aram´ u tartom´anyk´ent vettem figyelembe, σ = 2 · 106 S/m vezet˝ok´epess´eget felt´etelezve. A pr´obatesten bel¨ ul el˝osz¨or izotr´op vektori´alis karakterisztik´at t´eteleztem fel, amelynek x ir´any´ u komponense p´eldak´ent az 5.14 ´abr´an l´athat´o, k´es˝obb az identifik´aci´o u ´ tj´an nyert karakterisztik´aval is v´egeztem sz´am´ıt´asokat. 76
Kuczmann Mikl´os
Habilit´aci´os disszert´aci´o
2010
4 µH
o x
2 Bx [T]
Rx
0
−2 µ
H
max x
−4 −2000
−1000
0 1000 Hx [A/m]
2000
5.14. ´abra. A hiszter´ezis karakterisztika, valamint a µo Hx ´es Rx komponensek jelent´ese A szimul´aci´ot a kutat´as sor´an t¨obb potenci´alformalizmussal is elv´egeztem. A line´aris anal´ızis sor´an, amikor a motor belsej´eben kialakul´o homog´en t´er vizsg´alat´at v´egeztem a pr´obatest n´elk¨ ul, akkor a Φ-formalizmust alkalmaztam. Ezekben a sz´am´ıt´asokban ´es m´er´esekben vizsg´altam az ´all´or´esz modellj´et. A Φ-formalizmust a viszonylag kev´es ¨ eny´aram´ ismeretlen miatt alkalmaztam nemline´aris sz´am´ıt´asokban is. Orv´ u sz´am´ıt´asok ∗ ~ ~ ~ sor´an az A − A ´es a T , Φ − Φ m´odszerekkel dolgoztam. Az elrendez´est az 5.15 ´abr´an l´athat´o m´odon az x − y s´ıkban h´aromsz¨og alak´ u v´egeselemekkel diszkretiz´altam, s az ´ıgy el˝o´all´o k´etdimenzi´os v´egeselemes h´al´ot a z ir´anyban kiterjesztettem. ´Igy prizma alak´ u h´aromdimenzi´os elemeket kaptam. Az ¨orv´eny´aram´ u sz´am´ıt´asok sor´an a behatol´asi m´elys´eg eredm´enyekre gyakorolt hat´asa miatt a pr´obatesten bel¨ ul h´arom r´eteg van.
5.4.2.
A szimul´ aci´ os eredm´ enyek bemutat´ asa
~ 0 ´aram-vektorpoA szimul´aci´o els˝o l´ep´ese a k´et tekercs ´aram´anak megfeleltethet˝o T tenci´al sz´am´ıt´asa k¨ ul¨on-k¨ ul¨on, amelyek approxim´aci´oj´at nulladfok´ u ´es els˝ofok´ u ´elmenti ~0 v´egeselemekkel is elv´egeztem. K´et tekercs van, emiatt mindk´et tekercs ´altal gener´alt T sz´am´ıt´as´ara sz¨ uks´eg van, az ered˝o t´er pedig szuperpoz´ıci´oval sz´am´ıthat´o. Az 5.16 ´abr´an ennek x ´es y ir´any´ u komponense l´athat´o a szabad t´erben (az ´abr´an felt¨ untettem a motor hornyait is). Az ´abr´akb´ol kit˝ unik, hogy a speci´alisan kialak´ıtott tekercselrendez´es val´oban alkalmas a motoron bel¨ ul a homog´en m´agneses t´er gener´al´as´ara. A k´et f¨ uggetlen ´aram id˝obeli lefut´asa szab´alyoz´as n´elk¨ ul az al´abbiak szerint alakul: ix (t) = Ix sin(ωt + α),
´es iy (t) = Iy sin(ωt + β).
(5.1)
A sz´am´ıt´asokat f = 5 Hz, f = 50 Hz ´es f = 500 Hz frekvenci´an v´egeztem el (a k¨orfrekvencia ω = 2πf ), s az ´aram cs´ ucs´ert´eke Ix = Iy = 1 A volt. Az α ´es β f´azisok pedig be´all´ıthat´ok att´ol f¨ ugg˝oen, hogy line´arisan vagy cirkul´arisan polariz´alt m´agneses t´er szimul´aci´oja a c´el.
77
Kuczmann Mikl´os
Habilit´aci´os disszert´aci´o
2010
5.15. ´abra. A k´etdimenzi´os v´egeselemes h´al´o, amely a h´aromdimenzi´os prizmaelemek alapj´at k´epezi Az 5.17 ´abr´an a m´agneses t´erer˝oss´eget el˝osz¨or az x ir´anyba n¨oveltem az ´aram n¨ovel´es´evel, majd az ´aram amplit´ ud´oj´at konstansnak tartva, az ´oramutat´o j´ar´as´aval ellent´etes ir´anyba k¨orbeforgattam a m´agneses teret. Az ´abr´akon a pr´obatest k¨oz´eppontj´aban (x = y = z = 0) lej´atsz´od´o folyamatok l´athat´ok a stacion´arius a´llapotban. Az ´abr´ab´ol kit˝ unik, hogy az ¨orv´eny´aramok hat´asa csak az f = 500 Hz frekvenci´an sz´amottev˝o, azaz a kisebb frekvenci´akon, ahol a m´er´eseket is v´egeztem, az ¨orv´eny´aram elhanyagolhat´o, ´es az elrendez´es alkalmas a statikus karakterisztika felv´etel´ere. A m´er´eseket v´eg¨ ul az f = 5 Hz frekvenci´an v´egeztem. A hiszter´ezis karakterisztika hat´asa is ´erz´ekelhet˝o, mert f´azisk¨ ul¨onbs´eg tapasztalhat´o a m´agneses t´erer˝oss´eg ´es a m´agneses indukci´o k¨oz¨ott (l. m´eg 5.18 ´abra). Mindk´et trajekt´oria k¨or alak´ u, amit azonban a m´er´esek megc´afoltak. Ez vezetett el a kidolgozott modell megalkot´as´ahoz. Az 5.19 ´abr´an a n¨ovekv˝o frekvencia hat´as´ara kialakul´o ´aramkiszor´ıt´asi jelens´eg egyre ~ ´arams˝ nagyobb m´ert´ekben ´erezteti hat´as´at. A J ur˝ us´eg a frekvencia n¨ovel´es´evel egyre jobban kiszorul a pr´obatest felsz´ın´enek ir´any´aba, aminek hat´as´ara a kialakul´o elektrom´agneses t´er is m´odosul. L´athat´o, hogy alacsony frekvenci´an a m´agneses indukci´o nagys´aga konstans a pr´obatesten bel¨ ul, de nagyobb frekvenci´an ez nem igaz. Az 5.20 ´abra a m´agneses t´erer˝oss´eg trajekt´ori´aj´at mutatja cirkul´arisan polariz´alt m´agneses t´er eset´en. A m´agneses t´erer˝oss´eg m´er´es´ere ´altal´aban egy 20 mm × 20 mm m´eret˝ u szenzort haszn´alnak, ahogy azt a 3. fejezetben m´ar bemutattam. A c´el a min´el nagyobb homog´en ter¨ ulet el´er´ese, ahol a szenzor ´altal ´atlagolt m´ert t´erjellemz˝ok megegyeznek a ter¨ ulet b´armely pontj´aban m´erhet˝o ´ert´ekkel. Az 5.20 ´abr´an mm-ben felt¨ untetett koordin´at´ak azt mutatj´ak, hogy a 20 mm × 20 mm m´eret˝ u szenzor helyes v´alaszt´asnak bizonyult, de enn´el nagyobb m´eret csak akkor alkalmazhat´o, ha a pr´obatest is nagyobb. Az 5.21 ´abra ugyanezt hivatott igazolni, de ebben az esetben line´arisan polariz´alt m´agneses t´erer˝oss´eg el˝o´all´ıt´asa a c´el. A (38 mm, 0 mm) ´es a (0 mm, 38 mm) koordin´at´aj´ u pontokban sz´am´ıtott ´ert´ekek nagy m´ert´ekben elt´ernek a pr´obatest k¨ozep´en m´ert ´ert´ekekt˝ol. 78
Kuczmann Mikl´os
Habilit´aci´os disszert´aci´o
2010
~ 0 ´aram-vektorpotenci´al x ´es y komponense 5.16. ´abra. A T 400
2 H
H /200 [A/m], B [T]
H
y
0 H
x
−200
−400 1
10
19 Minták
B
1
y
200
y
Hx [A/m], Hy [A/m]
5Hz 50Hz 500Hz
28
0
−1
−2 −2
36
−1 0 1 Hx/200 [A/m], Bx [T]
2
5.17. ´abra. A m´agneses t´erer˝oss´eg ortogon´alis x ´es y komponenseinek alakul´asa az id˝o f¨ uggv´eny´eben, valamint a t´erjellemz˝ok trajekt´ori´aja az x = y = z = 0 pontban
79
Habilit´aci´os disszert´aci´o
40
40
20
20 y [mm]
y [mm]
Kuczmann Mikl´os
0
−20
2010
0
−20
−40 −40
−20
0 x [mm]
20
−40 −40
40
−20
0 x [mm]
20
40
5.18. ´abra. A m´agneses t´erer˝oss´eg (bal oldal) ´es a m´agneses indukci´o (jobb oldal) vektorainak alakul´asa cirkul´arisan polariz´alt m´agnesez´esi folyamat egy id˝opillanat´aban 6
3
x 10
2 5 Hz 50 Hz 500 Hz
1.5 B [T]
2
J [A/m ]
2.25
1
y
x
1.5
0.75
0.5
0 0
0.125
0.25 z [mm]
0.375
DC 5 Hz 50 Hz 500 Hz
0 0
0.5
0.125
0.25 z [mm]
0.375
0.5
5.19. ´abra. Az ´aramkiszor´ıt´as hat´asa n¨ovekv˝o frekvencia eset´en n˝o 400 0,0 20,0 38,0 0,20 0,38 14,14 27,27
0
y
H [A/m]
200
−200
−400 −400
−200
0 Hx [A/m]
200
400
5.20. ´abra. Cirkul´arisan polariz´alt gerjeszt´es, a m´agneses t´erer˝oss´eg alakul´asa a pr´obatest k¨ ul¨onb¨oz˝o pontjaiban Az 5.22(a) ´abr´an a m´agneses t´erer˝oss´eg k´et komponense abszol´ ut ´ert´ek´enek alakul´asa l´athat´o a pr´obatest felsz´ın´ere mer˝oleges z ir´anyban a pr´obatestt˝ol t´avolodva. Az ´abr´an felt¨ untettem egy-egy lehets´eges line´aris interpol´aci´ot is, amely bizony´ıtja a 3. fejezetben bemutatott line´aris extrapol´aci´on alapul´o m´er´esi technika alkalmazhat´os´ag´at. 80
Kuczmann Mikl´os
Habilit´aci´os disszert´aci´o
2010
800
H [A/m]
400
y
0 0,0 20,0 38,0 0,20 0,38 14,14 27,27
−400 −800 −800
−400
0 400 H [A/m]
800
x
5.21. ´abra. Line´arisan polariz´alt gerjeszt´es, a m´agneses t´erer˝oss´eg alakul´asa a pr´obatest k¨ ul¨onb¨oz˝o pontjaiban Az 5.22(b) ´abra alapj´an k¨ ul¨onb¨oz˝o nagys´ag´ u gerjeszt´es mellett is alkalmazhat´o a line´aris extrapol´aci´os technika. 1200
6000
900
4500 47z+270
H [A/m]
88z+240
1.0 T
3000
y
600
x
y
H , H [A/m]
1.4 T
0.6 T
H
x
1500
H
300
y
0.2 T
H −interp x
H −interp y
0 0
2.5
5 z [mm]
7.5
0 0
10
(a) Line´aris polariz´ aci´ o
7.5
15 z [mm]
22.5
30
(b) Cirkul´aris polariz´aci´ o
5.22. ´abra. A m´agneses t´erer˝oss´eg j´o k¨ozel´ıt´essel line´arisan n˝o a pr´obatest felett Az 5.23 ´abr´an a m´ert cirkul´arisan polariz´alt m´agneses indukci´o trajekt´ori´aja l´athat´o folytonos vonallal, amint azt szab´alyoz´assal siker¨ ult el´erni. A szab´alyoz´as eredm´enyek´epp kapott ´aramjelet haszn´altam azt´an a szimul´aci´o sor´an. A pr´obatest k¨oz´eppontj´aban sz´am´ıtott m´agneses indukci´o (pontsorral ´abr´azolva) ´es a szimul´alt szenzor ´altal ´atlagolt indukci´o (k¨or¨okkel ´abr´azolva) gyakorlatilag ugyanaz, s mindk´et ´ert´ek nagyon j´o egyez´est mutat a m´er´esi eredm´enyekkel. Az 5.24 ´abr´an a m´ert ´es szimul´alt m´agneses t´erer˝oss´egek trajekt´ori´aja l´athat´o. Ebben van n´emi elt´er´es. A szimul´aci´ot ugyanis az izotr´op karakterisztik´aval v´egeztem, amikor egyetlen w param´etert haszn´altam. Ezut´an ker¨ ult sor a 3. fejezetben bemutatott egytengely˝ u anizotr´opi´aval b´ır´o modell kidolgoz´as´ara, amely pontosabb szimul´aci´ot tesz lehet˝ov´e.
81
Kuczmann Mikl´os
Habilit´aci´os disszert´aci´o
2010
2 1.8T
1.4T 1.0T
1
y
B [T]
0.6T
0
−1
−2 −2
−1
0 B [T]
1
2
x
5.23. ´abra. A m´ert ´es szimul´alt m´agneses indukci´o ´ert´ekek ¨osszevet´ese 2000 Szimulált Mért
Hy [A/m]
1000
0
−1000
−2000 −2000
−1000
0 1000 Hx [A/m]
2000
4
2.2
x 10
Szimulált Mért
Hy [A/m]
1.1
0
−1.1
−2.2 −2.2
−1.1
0 H [A/m] x
1.1
2.2 4 x 10
5.24. ´abra. A m´ert ´es szimul´alt m´agneses t´erer˝oss´eg ´ert´ekek ¨osszevet´ese
82
Kuczmann Mikl´os
5.5.
Habilit´aci´os disszert´aci´o
2010
A tudom´ anyos eredm´ enyek ¨ osszefoglal´ asa
3. T´ ezis Elv´egeztem a kidolgozott line´aris ´es nemline´aris statikus ´es ¨orv´eny´aram´ u probl´em´ak megold´as´ara alkalmas potenci´alformalizmusok behat´o anal´ızis´et k¨ ul¨onf´ele probl´em´ak megold´as´anak el˝o´all´ıt´asa ´es elemz´ese sor´an. Az egyes formalizmusokat alkalmazva implement´altam a fixpontos iter´aci´os s´em´at, mik¨ozben a nemlinearit´ast a polariz´aci´os formul´aval kezeltem. Megvizsg´altam a k¨ot¨ott formalizmus ´altal eredm´enyezett csom´oponti elemekkel t¨ort´en˝o k¨ozel´ıt´est ´es ¨osszevetettem azt az ´elmenti v´egeselemekkel t¨ort´en˝o approxim´aci´oval mind line´aris, mind nemline´aris esetben. A realiz´alt m´er´esi elrendez´esek tervez´ese ´es valid´al´asa kapcs´an igazoltam a kidolgozott skal´ar ´es vektori´alis Preisach-f´ele hiszter´ezis modellek alkalmazhat´os´ag´at a villamosm´ern¨oki tervez˝o elj´ar´asokban. 3.a Megvizsg´altam a t¨obbsz¨or¨osen ¨osszef¨ ugg˝o ¨orv´eny´aramtartom´anyt tartalmaz´o feladatok megold´asa sor´an felmer¨ ul˝o probl´em´at, amikor a nemvezet˝o tartom´anyban a m´agneses skal´arpotenci´al ´ırja le a m´agneses teret, s r´eszletesen megvizsg´altam ´es elemeztem az egyes formalizmusok viselked´es´et. A kutat´asok azt igazolt´ak, ~ ´es a k¨ot¨ott T ~ potenci´alon alapul´o formalizmusok szolg´altatj´ak hogy a szabad A leggyorsabban a megold´ast. 3.b A toroid transzform´ator modellez´es´evel ´es a szimul´aci´os eredm´enyek saj´at m´er´esi adatokkal t¨ort´en˝o ¨osszevet´es´evel igazoltam, hogy a frekvenciaf¨ uggetlen hiszter´ezis modell ¨orv´eny´aram´ u probl´em´ak eset´en nem ad teljesen pontos eredm´enyt, azaz a Maxwell-egyenletekb˝ol sz´am´ıthat´o ¨orv´eny´aramok okozta vesztes´egek csup´an a teljes vesztes´eg egy r´esz´et modellezik. M´er´esi eredm´enyekkel is al´at´amasztott nemzetk¨ozileg ki´ırt feladatokat is megoldva realiz´altam az egyes formalizmusok fixpontos technik´aval t¨ort´en˝o ¨osszekapcsol´as´at. 3.c Igazoltam, hogy a kidolgozott numerikus t´erszimul´aci´o hat´ekonyan alkalmazhat´o a villamosm´ern¨oki tervez˝o munk´aban. A vektori´alis hiszter´ezis felv´etel´ere alkalmas m´er´esi ¨ossze´all´ıt´as numerikus anal´ızis´evel igazoltam, hogy az ´altalam haszn´alt m´er´esi frekvenci´an a frekvenciaf¨ uggetlen modell alkalmazhat´o, valamint, hogy a m´er´eseket v´egz˝o H-szenzorok elhelyez´ese optim´alis, s a m´agneses t´erer˝oss´eg fel¨ uletmenti komponens´enek sz´am´ıt´asa a line´aris extrapol´aci´oval val´oban helyes.
83
6. fejezet Az u ´j tudom´ anyos eredm´ enyek ¨ osszefoglal´ asa V´eg¨ ul ¨osszefoglalom a dolgozatban bemutatott u ´ j tudom´anyos eredm´enyeim. 1. T´ ezis A skal´ar hiszter´ezis karakterisztika m´er´es´enek egyszer˝ us´ıt´ese, jav´ıt´asa ´es a m´er´esi adatok eredm´enyesebb felhaszn´al´asa c´elj´ab´ol olyan Fourier-transzform´aci´on ´es digit´alis sz˝ ur´esi technik´an alapul´o elj´ar´ast implement´altam, amely l´enyegesen el˝oseg´ıti a hiszter´ezismodellek identifik´aci´oj´at. A kidolgozott szab´alyoz´oval tetsz˝oleges id˝obeli lefut´as´ u m´agneses indukci´o el˝o´all´ıthat´o. A javasolt technik´ak a bonyolultabb vektori´alis hiszter´ezis karakterisztika m´er´ese sor´an m´eg nagyobb jelent˝os´eggel b´ırnak, mivel a m´ert jelek sokkal zajosabbak. A m´er´esi adatok alapj´an realiz´altam a Preisach-f´ele hiszter´ezismodell egy, a m´ern¨oki szimul´aci´okban rendk´ıv¨ ul el˝ony¨osen alkalmazhat´o verzi´oj´at, amely kis fut´asi ideje mellett nagy pontoss´aggal b´ır. A gyors fut´asi id˝ot a l´epcs˝osg¨orbe alkalmas szervez´es´evel ´es p´arhuzamos kezel´es´evel, a pontoss´agot pedig az Everett-f¨ uggv´eny spline technik´an alapul´o k¨ozel´ıt´es´evel biztos´ıtottam. Kidolgoztam az izotr´op ´es az anizotr´op vektor Preisach-modell egy ´altal´anos´ıt´as´at, amely alkalmas a forg´o m´agnesez´esi folyamatok m´eg pontosabb le´ır´as´ara, a modellek identifik´aci´oj´ara pedig elj´ar´ast javasoltam. Az egyes modellek elemz´es´en t´ ul a modellek saj´at m´er´esi eredm´enyekkel t¨ort´en˝o ¨osszevet´es´evel igazoltam elm´eleti eredm´enyeim helyess´eg´et. 1.a A skal´ar hiszter´ezis karakterisztika m´er´es´ere egy automatiz´alt m´er´esi elrendez´est dolgoztam ki, amely a k¨ ul¨onf´ele hiszter´ezismodellek identifik´aci´oj´ahoz sz¨ uks´eges tan´ıt´asi mintahalmazt felveszi. A zajjal terhelt m´ert jelekb˝ol a zavar´o ¨osszetev˝oket egy Fourier-transzform´aci´on ´es digit´alis elveken megval´os´ıtott sz˝ ur´esi technik´aval t¨ok´eletesen elimin´altam. Az el˝ore defini´alt jelalak´ u m´agneses indukci´o el´er´es´ere egy proporcion´alis szab´alyoz´o elj´ar´ast implement´altam, amelynek robusztuss´ag´at nagym´ert´ekben befoly´asolja a sz˝ ur´es sikeress´ege. 1.b A skal´ar hiszter´ezis karakterisztika modellez´es´ere a frekvenciaf¨ uggetlen Preisachmodellt alkalmaztam oly m´odon implement´alva, hogy az gyors ´es pontos legyen a m´ern¨oki szimul´aci´okban. A megval´os´ıtott modell k´epes kihaszn´alni a mai p´arhuzamos sz´am´ıt´astechnika el˝onyeit. A modell fel´all´ıt´asa sor´an az Everett-f¨ uggv´enyt identifik´altam, ami t¨ok´eletes egyez´est biztos´ıt a m´ert ´es a szimul´alt eredm´enyek k¨oz¨ott. 84
Kuczmann Mikl´os
Habilit´aci´os disszert´aci´o
2010
1.c Kidolgoztam a vektori´alis hiszter´ezis karakterisztika m´er´es´ere alkalmas automatiz´alt m´er´esi elrendez´est, amely alkalmas a kialakul´o m´agneses t´er r¨ogz´ıt´es´ere egy k¨or alak´ u pr´obatestben. Realiz´altam a m´er´esek pontos elv´egz´es´ehez sz¨ uks´eges szenzorokat. A szenzorok jele ebben a m´er´esben gyakorlatilag elveszik a k¨ornyezeti zajban, emiatt a skal´ar m´er´esn´el kidolgozott sz˝ ur´esi technika itt m´eg nagyobb jelent˝os´eg˝ u volt. A vektori´alis m´er´esek sor´an nemcsak a m´agneses indukci´o, de a m´agneses t´erer˝oss´eg el˝o´ırt jelalakja is csak szab´alyoz´assal ´erhet˝o el. Ezen okn´al fogva ´altal´anos´ıtottam a skal´ar m´er´esn´el alkalmazott proporcion´alis szab´alyoz´ot. Az ´altalam implement´alt m´er´esi elrendez´es kiv´al´oan alkalmas a vektori´alis karakterisztika felv´etel´ere, s a vektori´alis hiszter´ezis modellek identifik´aci´oj´ahoz sz¨ uks´eges mint´ak el˝o´all´ıt´as´ara. 1.d A klasszikus izotr´op vektori´alis Preisach-hiszer´ezismodellt ´altal´anos´ıtottam oly m´odon, hogy egy u ´ j param´eter bevezet´es´evel az alkalmas legyen a forg´o m´agnesez´esi folyamatok pontosabb le´ır´as´ara. Az izotr´op modell identifik´aci´oj´ara ´altalam kor´abban kidolgozott elj´ar´ast ennek megfelel˝oen m´odos´ıtottam. A klasszikus anizotr´op vektori´alis Preisach-hiszer´ezismodellt pedig ´altal´anos´ıtottam oly m´odon, hogy az alkalmas legyen az egytengely˝ u anizotr´opia kezel´es´ere u ´gy, hogy a forg´o m´agnesez´esi folyamatok sor´an tapasztalhat´o jelens´egek le´ır´asa m´eg pontosabb legyen. Ezt a m´ert Everett-f¨ uggv´enyek Fourier-sorba fejt´es´evel ´ertem el, s az izotr´op modellre alkalmazhat´o identifik´aci´os technik´at tudtam alkalmazni, de ebben az esetben t¨obb param´etert kell a forg´o m´agnesez´esi folyamatok alapj´an identifik´alni. A modellek kimeneti jel´et saj´at m´er´esi eredm´enyekkel vetettem o¨ssze, ami igazolta elm´eleti eredm´enyeim helyess´eg´et. 2. T´ ezis A kidolgozott Preisach-f´ele hiszter´ezismodelleket a polariz´aci´os formul´at haszn´alva numerikus t´erszimul´aci´ot alkalmaz´o elj´ar´asba illesztettem. A polariz´aci´os formul´aval lineariz´altam a nemline´aris karakterisztik´at, a line´aris tag meredeks´eg´enek alkalmas megv´alaszt´as´aval pedig kontrakt´ıv lek´epez´est nyertem, amely a Maxwell-egyenleteken kereszt¨ ul bizony´ıtottan konvergens fixpontos iter´aci´os s´em´ara vezet. Kidolgoztam az ¨osszes statikus m´agneses t´er ´es ¨orv´eny´aram´ u t´er sz´am´ıt´as´ara alkalmas potenci´alformalizmus nemline´aris hiszter´ezis figyelembev´etel´ere alkalmas alakj´at, s kidolgoztam az egyes formalizmusok gyenge alakj´at is, amelyek a v´egeselem-m´odszerben is alkalmazhat´ok. A formalizmusok alkalmasak m´as numerikus m´odszerben t¨ort´en˝o implement´al´asra is. A polariz´aci´os formula k´et alakj´at ´es az egyes formalizmusok els˝odleges v´altoz´oj´at alapul v´eve kidolgoztam az ¨osszes lehets´eges vari´aci´ot, ahogy a formalizmusok ´es a direkt, vagy inverz alakban implement´alt hiszter´ezismodellek ¨osszekapcsolhat´ok. Ezen t´ezishez kapcsol´od´oan olyan u ´ j szabad formalizmust alkalmaz´o perem´ert´ek-feladatot dolgoztam ki ~ 0 ´aram-vektorpotenci´al meghat´aroz´as´ara, amely j´ol illeszkedik a modern vektori´alis aT v´egeselem-m´odszerhez. 2.a Kidolgoztam a polariz´aci´os formula mindk´et lehets´eges alakj´at, amelyek alkalmasak a direkt ´es az inverz hiszter´ezis karakterisztik´aval reprezent´alt anyagok modellj´enek lineariz´al´as´ara. Az ily m´odon lineariz´alt karakterisztik´at ¨osszekapcsoltam az egyes potenci´alokkal, mi´altal ¨osszefoglaltam az ¨osszes lehets´eges formalizmust, amely alkalmas nemline´aris statikus ´es ¨orv´eny´aram´ u m´agneses t´er sz´am´ıt´as´ara. K¨ ul¨onv´alasztottam a m´ert´ekkel ell´atott k¨ot¨ott formalizmus ´es a m´ert´ek n´elk¨ uli szabad formalizmus egyenleteit, ´es megadtam azok gyenge alakj´at. A gyenge alak 85
Kuczmann Mikl´os
Habilit´aci´os disszert´aci´o
2010
k¨ozvetlen¨ ul alkalmas a v´egeselem-m´odszerben t¨ort´en˝o realiz´al´asra. Mindez ¨osszesen n´egy lehets´eges m´odszert eredm´enyez, amelyek mentesek a tov´abbi bels˝o iter´aci´okt´ol, mi´altal a fut´asi id˝o jelent˝osen reduk´alhat´o. 2.b Olyan u ´ j perem´ert´ek-feladatot fogalmaztam meg, amely egy szabad formalizmus ~ 0 ´aram-vektorpotenci´al el˝o´all´ıt´as´ara, ´es a gyenge alakkeret´eben alkalmas a T ban megfogalmazhat´o probl´ema megold´asak´ent meghat´arozhat´o vektorpotenci´al k¨ozvetlen¨ ul kapcsol´odhat a modern ´elmenti v´egeselem-m´odszerhez. 3. T´ ezis Elv´egeztem a kidolgozott line´aris ´es nemline´aris statikus ´es ¨orv´eny´aram´ u probl´em´ak megold´as´ara alkalmas potenci´alformalizmusok behat´o anal´ızis´et k¨ ul¨onf´ele probl´em´ak megold´as´anak el˝o´all´ıt´asa ´es elemz´ese sor´an. Az egyes formalizmusokat alkalmazva implement´altam a fixpontos iter´aci´os s´em´at, mik¨ozben a nemlinearit´ast a polariz´aci´os formul´aval kezeltem. Megvizsg´altam a k¨ot¨ott formalizmus ´altal eredm´enyezett csom´oponti elemekkel t¨ort´en˝o k¨ozel´ıt´est ´es ¨osszevetettem azt az ´elmenti v´egeselemekkel t¨ort´en˝o approxim´aci´oval mind line´aris, mind nemline´aris esetben. A realiz´alt m´er´esi elrendez´esek tervez´ese ´es valid´al´asa kapcs´an igazoltam a kidolgozott skal´ar ´es vektori´alis Preisach-f´ele hiszter´ezis modellek alkalmazhat´os´ag´at a villamosm´ern¨oki tervez˝o elj´ar´asokban. 3.a Megvizsg´altam a t¨obbsz¨or¨osen ¨osszef¨ ugg˝o ¨orv´eny´aramtartom´anyt tartalmaz´o feladatok megold´asa sor´an felmer¨ ul˝o probl´em´at, amikor a nemvezet˝o tartom´anyban a m´agneses skal´arpotenci´al ´ırja le a m´agneses teret, s r´eszletesen megvizsg´altam ´es elemeztem az egyes formalizmusok viselked´es´et. A kutat´asok azt igazolt´ak, ~ ´es a k¨ot¨ott T ~ potenci´alon alapul´o formalizmusok szolg´altatj´ak hogy a szabad A leggyorsabban a megold´ast. 3.b A toroid transzform´ator modellez´es´evel ´es a szimul´aci´os eredm´enyek saj´at m´er´esi adatokkal t¨ort´en˝o ¨osszevet´es´evel igazoltam, hogy a frekvenciaf¨ uggetlen hiszter´ezis modell ¨orv´eny´aram´ u probl´em´ak eset´en nem ad teljesen pontos eredm´enyt, azaz a Maxwell-egyenletekb˝ol sz´am´ıthat´o ¨orv´eny´aramok okozta vesztes´egek csup´an a teljes vesztes´eg egy r´esz´et modellezik. M´er´esi eredm´enyekkel is al´at´amasztott nemzetk¨ozileg ki´ırt feladatokat is megoldva realiz´altam az egyes formalizmusok fixpontos technik´aval t¨ort´en˝o ¨osszekapcsol´as´at. 3.c Igazoltam, hogy a kidolgozott numerikus t´erszimul´aci´o hat´ekonyan alkalmazhat´o a villamosm´ern¨oki tervez˝o munk´aban. A vektori´alis hiszter´ezis felv´etel´ere alkalmas m´er´esi ¨ossze´all´ıt´as numerikus anal´ızis´evel igazoltam, hogy az ´altalam haszn´alt m´er´esi frekvenci´an a frekvenciaf¨ uggetlen modell alkalmazhat´o, valamint, hogy a m´er´eseket v´egz˝o H-szenzorok elhelyez´ese optim´alis, s a m´agneses t´erer˝oss´eg fel¨ uletmenti komponens´enek sz´am´ıt´asa a line´aris extrapol´aci´oval val´oban helyes.
86
7. fejezet Tov´ abbi kutat´ asi feladatok A habilit´aci´os dolgozat f˝o t´em´aja a hiszter´ezis karakterisztika m´er´ese ´es modellez´ese, valamint a kidolgozott modellek numerikus t´erszimul´aci´oba, jelen esetben a v´egeselemm´odszerbe t¨ort´en˝o illeszt´ese volt. A skal´ar karakterisztika m´er´ese sor´an a toroid transzform´atort alkalmaztam, de nem vizsg´altam m´as m´er´estechnikai megold´asokat, mint p´eld´aul a bevezet˝o fejezetben eml´ıtett I alak´ u lemezek vizsg´alat´ara alkalmas Epstein-keretet. A vektori´alis hiszter´ezis karakterisztika m´er´es´ere egy saj´at magam ´altal ´ep´ıtett m´er´esi elrendez´est haszn´altam, amelynek tervez´ese sor´an az irodalmi ismeretanyagra t´amaszkodva saj´at v´egeselemes tervez˝o elj´ar´assal is al´at´amasztva v´egeztem el az eszk¨oz megval´os´ıt´as´at. A m´er´esi eredm´enyek birtok´aban implement´altam a Preisach-f´ele hiszter´ezismodellt ´es annak k´etdimenzi´os kiterjeszt´es´et mind izotr´op, mind anizotr´op esetre. A modellek identifik´aci´oj´ara elj´ar´ast is javasoltam, a modellek viselked´es´enek helyess´eg´et pedig saj´at m´er´esi eredm´enyeim ´altal valid´altam ´es igazoltam. Nem vizsg´altam azonban a frekvenciaf¨ ugg´es modellez´es´enek lehet˝os´egeit, ez egy rendk´ıv¨ ul izgalmas ´es ´ıg´eretes ter¨ ulet, de t´ ulmutat jelen vizsg´alatok keret´en. A skal´ar karakterisztika kiterjeszt´ese frekvenciaf¨ ugg˝o esetre nem bonyolult, az irodalomban sz´amos megold´as olvashat´o. A vektori´alis modell kiterjeszt´ese azonban m´eg nem megoldott, a probl´ema m´er´esek ´altal sem k¨orbej´art. Azaz a frekvenciaf¨ ugg´es vizsg´alata ´es modellez´ese tov´abbra is nyitott k´erd´es, s ugyanakkor gyakorlati szempontb´ol is fontos. A v´egeselem-m´odszer a s´ ulyozott marad´ek elv gyenge alakj´anak megold´as´ara alkalmas technika a Galjorkin-elj´ar´asnak megfelel˝oen. Ennek kapcs´an megvizsg´altam a Maxwellegyenletekb˝ol levezethet˝o k¨ ul¨onf´ele potenci´alformalizmusokat, s azokat kiterjesztettem a nemlinearit´as figyelembe v´etel´ere a polariz´aci´os formul´an kereszt¨ ul. Az ´ıgy el˝o´all´o egyenletek megold´as´ara a fixpontos technik´at alkalmaztam, amely bizony´ıtottan konvergens a polariz´aci´os formul´aban szerepl˝o line´aris tag meredeks´eg´enek alkalmas megv´alaszt´asa mellett. A m´odszer nagy h´atr´anya a lass´ u konvergencia. Ezen okn´al fogva c´elszer˝ u foglalkozni a Newton–Raphson-elj´ar´assal, hiszen a Newton–Raphson-m´odszer nemline´aris, hiszter´ezis karakterisztik´at is tartalmaz´o elektrodinamikai rendszerek modellez´es´ere m´eg nem elterjedt. Egyszer˝ u karakterisztik´ak kezel´es´ere alkalmasak a kereskedelemben is beszerezhet˝o szoftverek, de bonyolultabb nemlinearit´as kezel´ese ma is nyitott k´erd´es. A m´asik nagyon ´ıg´eretes ir´any a numerikus szimul´aci´ok gyors´ıt´as´anak ter¨ ulet´en a m´odszerek p´arhuzamos´ıthat´os´agi k´erd´eseinek vizsg´alata a k¨ ul¨onb¨oz˝o dom´en dekompoz´ıci´os technik´akon, vagy az elj´ar´asok p´arhuzamos´ıt´as´an kereszt¨ ul. Mindez el˝ony¨osen kihaszn´aln´a a mai modern sz´am´ıt´astechnikai h´atteret.
87
A. F¨ uggel´ ek A m´ er´ esek sor´ an haszn´ alt eszk¨ oz¨ ok A 3.1 valamint a 3.12 ´abr´an blokkv´azlatukkal bemutatott rendszerek a Sz´echenyi Istv´an Egyetem T´avk¨ozl´esi Tansz´ek´enek Elektrom´agneses Terek Laborat´orium´aban ´altalam meg´ep´ıtett v´altozatai az A.1 valamint az A.2 ´abr´an l´athat´ok. A f´enyk´epeken l´athat´o a m´er´est fel¨ ugyel˝o sz´am´ıt´og´ep, a rajta fut´o program kezel˝oi fel¨ ulete, az ´aramgener´atorok, a csatlakoz´osor, a toroid tekercs valamint az ´atalak´ıtott villamos motor.
A.1. ´abra. A skal´aris hiszter´ezis m´er´es´ere alkalmas m´er´esi elrendez´es f´enyk´epe A m´er´esek sor´an a National Instruments c´eg ´altal gy´artott m´er´esi adatgy˝ ujt˝o rendszert haszn´altam. A m´er´esek sz´am´ıt´og´eppel t¨ort´en˝o fel¨ ugyelet´et, a gener´atorok vez´erl´es´et, a m´ert jelek ¨osszegy˝ ujt´es´et, feldolgoz´as´at ´es megjelen´ıt´es´et a LabVIEW 8 fejleszt˝oi k¨ornyezetben ´altalam kifejlesztett programrendszerrel v´egeztem, amely ugyanezen 88
Kuczmann Mikl´os
Habilit´aci´os disszert´aci´o
2010
A.2. ´abra. A vektori´alis hiszter´ezis m´er´es´ere alkalmas m´er´esi elrendez´es f´enyk´epe c´eg term´eke. Itt ezen rendszer r¨ovid bemutat´as´ara szor´ıtkozom. Bemutatom tov´abb´a a m´er´esn´el felh´aszn´alt k¨ ul¨onf´ele eszk¨oz¨oket is.
A.1.
A m´ er´ esi adatgy˝ ujt˝ o rendszer
A m´er´esek sor´an az u ´ n. M-sz´eri´aba tartoz´o t¨obbfunkci´os NI PCI-6251 m´er´esi adatgy˝ ujt˝o k´arty´at (Data Acquisition Card, NI-DAQ Card) haszn´altam, amely a sz´am´ıt´og´epbe ´ep´ıthet˝o (l. A.3 ´abra). Ez a k´artya alkalmas a vektori´alis hiszter´ezis m´er´es´ere is, mert k´et f¨ uggetlen anal´og kimenete van, amelyekkel k´et ´aramgener´ator vez´erelhet˝o. A kimeneti fesz¨ ults´eg a ±10 V-os tartom´anyba eshet, azaz ±10 V ´ert´ekekhez tartozik a minim´alis ´es a maxim´alis ´aram, ´es az ´aramgener´ator k¨oveti az anal´og kimeneten gener´alt jelform´at. A k´artya nyolc anal´og bemenettel rendelkezik, melyek a ±10 V hat´arok k¨oz¨ott k´epes fesz¨ ults´egjelet m´erni, azonban ez a hat´ar szoftver´ uton cs¨okkenthet˝o. A k´artya maxim´alis mintav´etelez´esi sebess´ege 1 MSample/s. A 16 bites anal´og-digit´alis ´atalak´ıt´o pontoss´aga ebben a m´er´esi k¨ornyezetben elegend˝onek bizonyult. Mind a jelgener´al´as, mind a m´ert jelek feldolgoz´asa szoftveresen v´egezhet˝o. Az ´aramgener´atorok ir´any´aba vitt jeleket ´es a m´ert jeleket koaxi´alis m´er˝ok´abeleken tov´abb´ıtottam. A m´er˝ok´artya ´es a rendszer k¨oz¨otti kapcsolatot az A.4 ´abr´an l´athat´o CB-68LP csatlakoz´opanel ´es a hozz´a csatlakoz´o ´arny´ekolt m´er˝ok´abel biztos´ıtotta. A csatlakoz´opanel ezen kivitele nem ´arny´ekolt.
89
Kuczmann Mikl´os
Habilit´aci´os disszert´aci´o
2010
A.3. ´abra. Az NI PCI-6251 m´er˝ok´artya f´enyk´epe
A.4. ´abra. A CB-68LP csatlakoz´opanel ´es az ´arny´ekolt k´abel f´enyk´epe
A.2.
A LabVIEW
Munk´am sor´an a LabVIEW 8 Full Development System rendszert haszn´altam a m´er´esek sz´am´ıt´og´eppel t¨ort´en˝o elv´egz´es´ere. A LabVIEW (Laboratory Virtual Instrument Engineering Workbench) egy olyan programcsomag, mellyel virtu´alis m˝ uszereket (virtual instruments, vi) lehet l´etrehozni, s vel¨ uk a legk¨ ul¨onf´el´ebb m´er´estechnikai m˝ uveleteket v´egrehajtani. A fenti m´er˝ok´artya a LabVIEW f¨ uggv´enyeivel vez´erelhet˝o, a m´er˝ok´artya ´altal m´ert jelek szint´en LabVIEW-ban implement´alt elj´ar´asokkal feldolgozhat´ok. A m´er´esekhez grafikus, felhaszn´al´obar´at kezel˝oi fel¨ ulet fejleszthet˝o, amellyel a m´er´esek elv´egz´ese k´enyelmes. Ilyen fel¨ uletet mutat az A.5. ´es az A.6 ´abra, ahol a skal´ar ´es a vektori´alis hiszter´ezis m´er´es´ere kifejlesztett programok l´athat´ok.
A.3.
A m´ er´ est vez´ erl˝ o program
A gerjeszt˝o ´aram amplit´ ud´oja, kezd˝of´azisa, frekvenci´aja, s jelalakja a kifejlesztett szoftverek grafikus fel¨ ulet´en be´all´ıthat´o. A gerjeszt˝o ´aram jele azonban m´as szoftverrel is (pl. MATLAB) el˝o´all´ıthat´o ´es LabVIEW f¨ uggv´enyek seg´ıts´eg´evel beolvashat´o. Ezt c´elszer˝ uen bonyolult jelek eset´en ´erdemes haszn´alni. A m´er˝ok´artya kimenet´ere ezen ´aramjel kapcsolhat´o, amely azt´an ennek megfelel˝oen vez´erli az ´aramgener´atort. Skal´aris hiszter´ezis 90
Kuczmann Mikl´os
Habilit´aci´os disszert´aci´o
2010
A.5. ´abra. A skal´ar hiszter´ezis karakterisztika m´er´es´ere kifejlesztett grafikus fel¨ ulet m´er´ese eset´en egyetlen gener´ator sz¨ uls´eges a m´er´esek elv´egz´es´ehez, vektori´alis hiszter´ezis felv´etele eset´en term´eszetesen k´et ´aramjelet kell szimult´an gener´alni, s k´et f¨ uggetlen ´aramgener´atort vez´erelni, azonban az eml´ıtett m´er´esi adatgy˝ ujt˝o k´artya k´et anal´og kimenettel rendelkezik. A m´er´es nyolc f¨ uggetlen bemeneti csatorn´an lehets´eges szimult´an. A m´ert jeleket LabVIEW f¨ uggv´enyek seg´ıts´eg´evel k´enyelmesen fel lehet dolgozni, rajtuk a legk¨ ul¨onf´el´ebb m˝ uveleteket el lehet v´egezni (alapm˝ uveletek mellett integr´al´as, deriv´al´as, Fourier-transzform´aci´o, sz˝ ur´es, stb.), s az eredm´enyeket megjelen´ıteni, vagy az adatokat kimenteni a tov´abbi felhaszn´al´as c´elj´ab´ol. Skal´ar hiszter´ezis m´er´esekor csup´an k´et jelet kell m´erni, az ´aramjelet ´es az induk´alt fesz¨ ults´eget, vektori´alis hiszter´ezis m´er´ese eset´en hat szenzor jel´et sz¨ uks´eges m´erni (n´egy szenzor a m´agneses t´erer˝oss´eg meghat´aroz´as´ara, tov´abbi kett˝o pedig a m´agneses indukci´o m´er´es´ere szolg´al). Az anal´og bemeneti csatorn´ak ´altal szimult´an m´ert jeleket a m´er˝ok´artya mintav´etelezi ´es kvant´alja. A mintav´etelez´esi frekvencia szoftveresen ´all´ıthat´o, s ´ıgy a Rate =
Sample f Period
(A.1)
´ert´ek adja meg az egy m´asodperc alatt m´ert mint´ak sz´am´at, s ezt szimult´an csatorn´ank´ent Sample ´ert´ek az egy peri´oduson bel¨ ul m´erni k´ıv´ant mint´ak sz´ama, ´es f kell megtenni. A Period a m´ert jel frekvenci´aja. A m´er´es ´es a jelgener´al´as sor´an ugyanazon Rate ´ert´eket c´elszer˝ u haszn´alni. A kvant´al´as minden esetben 16 biten t¨ort´enik, de a m´erend˝o intervallum maximuma ´es minimuma be´all´ıthat´o, mi´altal a felbontott tartom´any szab´alyozhat´o. 91
Kuczmann Mikl´os
Habilit´aci´os disszert´aci´o
2010
A.6. ´abra. A vektori´alis hiszter´ezis karakterisztika m´er´es´ere kifejlesztett grafikus fel¨ ulet Az A.5 ´abra bal fels˝o sark´aban a m´ert ´aramjel ´es az induk´alt fesz¨ ults´eg l´athat´o. Ut´obbi kis m´ert´ekben zajjal terhelt, amely azonban a dolgozatban bemutatott elj´ar´assal sz˝ urhet˝o, s v´eg¨ ul csak a hasznos jel az, amib˝ol a karakterisztika fel´ep¨ ul. A jobb oldali k´et diagram a m´agneses t´erer˝oss´eg ´es a m´agneses indukci´o id˝obeli lefut´as´at ´abr´azolja, s bal oldalon a kialakul´o hiszter´ezis karakterisztika l´athat´o. A jobb als´o sarokban felrajzoltam az ´aram ´es az induk´alt fesz¨ ults´eg jel´enek amplit´ ud´ospektrum´at is. Az A.6 ´abra bal fels˝o diagramja mutatja azon induk´alt fesz¨ ults´egek id˝of¨ uggv´eny´et, amelyekb˝ol a m´agneses t´erer˝oss´eg sz´am´ıthat´o. L´athat´o, hogy a m´ert jelek rendk´ıv¨ ul zajosak, a m´ert jelek gyakorlatilag elvesznek a zaj mellett. A dolgozatban bemutatott sz˝ ur´esi elj´ar´as azonban a nem k´ıv´ant zajt t¨ok´eletesen sz˝ uri. A diagramon a sz˝ ur´es eredm´enyek´epp kapott jelek is l´athat´ok. A diagram alatt a n´egy H-szenzor jel´eb˝ol sz´am´ıtott m´agneses t´erer˝oss´eg ´ert´ekek l´athat´ok, amelyekb˝ol a t´erer˝oss´eg k´et komponense azt´an extrapol´aci´oval sz´am´ıthat´o. Ez a diagram ez´ert mutat hat jelet. A k¨oz´eps˝o oszlopban a fels˝o diagram a m´agneses indukci´o k´et komponens´enek megfelel˝o induk´alt fesz¨ ults´eget mutatja, alatta pedig a bel˝ol¨ uk sz´am´ıtott komponensek l´athat´ok. A zaj itt nem annyira sz´amottev˝o, de sz˝ ur´ese jelent˝os m´ert´ekben jav´ıtja a m´er´esi eredm´enyeket. Az als´o k´et diagram a vektori´alis hiszter´ezis karakterisztika k´et ortogon´alis vet¨ ulet´et ´abr´azolja, azaz a Hx − Bx ´es Hy − By karakterisztik´akat. V´eg¨ ul a jobb oldali k´et ´abra a m´agneses t´erer˝oss´eg ´es a m´agneses indukci´o vektor´anak trajekt´ori´aj´at mutatja. Itt p´eldak´epp egy szab´alyoz´as eredm´enyek´ent kapott ´allapot l´athat´o, amikor a m´agneses indukci´o maxim´alis ´ert´eke 1 T ´es cirkul´arisan polariz´alt az ´oramutat´o j´ar´as´aval ellent´etes ir´anyban.
92
Kuczmann Mikl´os
A.4.
Habilit´aci´os disszert´aci´o
2010
A m´ er´ esek sor´ an haszn´ alt egy´ eb eszk¨ oz¨ ok
A haszn´alt ´aramgener´atorok egyike az A.7 ´abr´an l´athat´o. A gener´ator a sz´am´ıt´og´epbe helyezett m´er˝ok´arty´aval vez´erelhet˝o, azaz egy fesz¨ ults´egvez´erelt ´aramgener´atorr´ol van sz´o. A gener´ator maximum 30 A cs´ ucs´ert´ek˝ u ´aramot k´epes l´etrehozni mik¨ozben a maxim´alis kapocsfesz¨ ults´ege 150 V. Az ´aramgener´atort speci´alisan nagy induktivit´as´ u rendszerek gerjeszt´es´ere fejlesztett¨ uk ki.
A.7. ´abra. Az egyik ´aramgener´ator f´enyk´epe A m´agneses t´erer˝oss´eg m´er´es´ere alkalmas n´egy szenzort egy-egy 0,5 mm vastags´ag´ u 2 ulet˝ u bakelit lapra tekercseltem fel (l. A.8(a) ´abra). A m´agneses 20 × 20 mm ter¨ t´erer˝oss´eg x komponens´enek m´er´es´ere szolg´al´o k´et tekercs menetsz´ama NHx,1 = 810 ´es NHx,2 = 820, az y komponenset m´er˝o k´et tekercs menetsz´ama pedig NHy,1 = 800 ´es NHy,2 = 820, ami 6-7 r´eteget jelent (l. A.8(b) ´abra). A n´egy tekercsb˝ol kett˝o (az als´o ´es a fels˝o) m´eri a m´agneses t´erer˝oss´eg x komponens´et, a m´asik kett˝o pedig az ortogon´alis y komponenset. Az ¨ossze´all´ıt´as az A.9 ´abr´an l´athat´o.
(a) A bakelit lapok
(b) A H-tekercsek
A.8. ´abra. A H-szenzorok fel´ep´ıt´ese 93
Kuczmann Mikl´os
Habilit´aci´os disszert´aci´o
2010
A.9. ´abra. A n´egy tekercset egym´asra helyezve ´ep¨ ul fel a m´agneses t´erer˝oss´eg m´er´es´ere alkalmas szenzor A m´agneses t´erer˝oss´eg m´er´es´ere szolg´al´o n´egy szenzor hat´asos keresztmetszet´et k´etf´elek´epp is identifik´altam egy LabVIEW-ban implement´alt program seg´ıts´eg´evel. A (3.8) ¨osszef¨ ugg´esben szerepl˝o hat´asos keresztmetszet m´er´essel t¨ort´en˝o meghat´aroz´asa az´ert sz¨ uks´eges, mert a bakelit lapra t¨obb r´etegben tekertem fel a vezet´eket, mi´altal a keresztmetszet nem vehet˝o a bakelit lap keresztmetszet´evel egyenl˝onek. A hat´asos keresztmetszet azonban szolenoid tekerccsel (A.10 ´abra) ´es Helmholtz-tekerccsel (A.11 ´abra) identifik´alhat´o. Kor´abbi m´er´esek tapasztalataib´ol ismeretes, hogy a haszn´alt szolenoid hossztengely´enek k¨oz´eps˝o r´esz´en a m´agneses t´erer˝oss´eg sz´am´ıthat´o a H(t) =
Nsz i(t) l
(A.2)
¨osszef¨ ugg´essel, ahol Nsz = 305 a szolenoid tekercs menetsz´ama, ´es l = 340 mm a hossza (r = 50 mm a szolenoid sugara). A tekercsen ´atfoly´o i(t) ´aram id˝of¨ uggv´enye ismert. A szolenoid tengely´enek k¨oz´eps˝o r´esz´en teh´at a H(t) m´agneses t´erer˝oss´eg ismert, s ´ıgy (3.8) alapj´an, a Z t 1 H(t) = H0 + u(τ ) dτ (A.3) S N µ0 0 ¨osszef¨ ugg´est felhaszn´alva a szolenoidba helyezett tekercs ismeretlen S keresztmetszete meghat´arozhat´o. Ugyanezen m´odszert lehet haszn´alni a Helmholtz-tekercs eset´en is, ahol a Helmholtztekercs tekercseinek k¨oz¨os tengely´en a k¨oz´eppontban a m´agneses t´erer˝oss´eg a k¨ovetkez˝ok´epp sz´am´ıthat´o: 23 NH i(t) 4 , (A.4) H(t) = 5 R ahol NH = 150 az egyes tekercsek menetsz´ama, ´es R = 0,2 m. 94
Kuczmann Mikl´os
Habilit´aci´os disszert´aci´o
A.10. ´abra. A szolenoid tekercs
A.11. ´abra. A Helmholtz-tekercs
95
2010
B. F¨ uggel´ ek Az izotr´ op vektormodell identifik´ aci´ oja Ebben a f¨ uggel´ekben a vektor hiszter´ezis modell identifik´aci´oj´anak ´altalam kidolgozott algoritmus´at k¨ozl¨om. Az identifik´aci´o a k¨ovetkez˝o integr´alegyenleten alapul: Z π/2 F (α, β) = cos ϕ E(α cos1/w ϕ, β cos1/w ϕ) dϕ, (B.1) −π/2
ahol F (α, β) a m´er´esi eredm´enyek alapj´an el˝o´all´ıtott Everett-f¨ uggv´eny, ´es az ismeretlen E(α, β) Everett-f¨ uggv´eny az integranduszban szerepel. A ϕ sz¨og az x tengellyel bez´art sz¨oget jel¨oli, w pedig egy param´eter, amelyet a forg´o m´agneses t´errel t¨ort´en˝o gerjeszt´esb˝ol sz´armaz´o m´er´esi eredm´enyek alapj´an lehet identifik´alni. A (B.1) egyenlettel megfogalmazott identifik´aci´os probl´ema tetsz˝oleges w param´eter mellett megval´os´ıthat´o. Megjegyzem ugyanakkor, hogy ezen param´eter ´ert´eke pozit´ıv ´es nagys´agrendileg 10n´el nem nagyobb. Az identifik´aci´os algoritmus c´elja teh´at az E(α, β) Everett-f¨ uggv´eny meghat´aroz´asa.
B.1.
Az Everett-f¨ uggv´ eny diszkretiz´ al´ asa
A (B.1) egyenlet numerikus megold´asa sor´an annak egy diszkretiz´alt v´altozat´at lehet haszn´alni: n X cos ϕi E(αk cos1/w ϕi , βl cos1/w ϕi ) ∆ϕ. (B.2) F (αk , βl ) ∼ = i=1
Az Everett-f¨ uggv´enyt (N + 1) × (N + 1) diszkr´et pontra felosztva az 2 N +1 1 2 N +1 1 αk = k− − , βl = −l + N 2 N N 2 N
(B.3)
pontokban t¨ort´enik az identifik´aci´o. Itt teh´at k, l = 1, · · · , N + 1 ´es N p´aros eg´esz sz´am. A ϕ ∈ [−π/2, · · · , π/2] integr´al´asi tartom´anyt a k¨ovetkez˝o m´odon lehet egyszer˝ uen felbontani n sz´am´ u r´eszintervallumra: π i−1 π, i = 1, · · · , n. (B.4) ϕi = − + 2 n A tov´abbiakban a ∆ϕ = π/n konstanst elhagyom. 96
Kuczmann Mikl´os
B.2.
Habilit´aci´os disszert´aci´o
2010
Az identifik´ aci´ o els˝ o l´ ep´ ese
A β param´etert null´anak v´alasztva a (B.1) egyenlet a k¨ovetkez˝o alakra egyszer˝ us¨odik: Z π/2 F (α, 0) = cos ϕ E(α cos1/w ϕ, 0) dϕ, (B.5) −π/2
azaz az ismeretlen Everett-f¨ uggv´enynek van olyan r´esze, amely csak az egyik v´altoz´ot´ol f¨ ugg. Ez az α ≥ 0 ´es β = 0 ¨osszef¨ ugg´esek szerinti szakasz. A fenti egyenlet diszkreiz´alt alakja a k¨ovetkez˝o: F (αk , 0) ∼ =
n X
cos ϕi E(αk cos1/w ϕi , 0).
(B.6)
i=1
Itt k = N/2 + 1, · · · , N + 1, valamint l = N/2 + 1. Ez az ¨osszef¨ ugg´es k´et r´eszre bonthat´o a B.1 ´abr´anak megfelel˝oen. Az i1 = 1, · · · , n1 pontokhoz tartoz´o E(αk cos1/w ϕi1 , 0) ´ert´ekek az ismert E(αj−1 , 0) ´es E(αj , 0) ´ert´ekek alapj´an interpol´aci´oval meghat´arozhat´ok. Az i2 = 1, · · · , n2 pontok viszont az ismeretlen E(αk , 0) ´ert´ekt˝ol f¨ uggenek. Azaz F (αk , 0) ∼ =
n1 X
cos ϕi1 E(αk cos1/w ϕi1 , 0) +
i1 =1
E(αj−1, 0)
n2 X
cos ϕi2 E(αk cos1/w ϕi2 , 0).
(B.7)
i2 =1
E(αj , 0)
E(αk−1, 0)
E(αk , 0)
αk αk−1 . . . 1 . . . n2 αk cos1/w ϕi2
αj−1 αj . . . n1 1 ... αk cos1/w ϕi1
α
B.1. ´abra. Az els˝o l´ep´es illusztr´al´as´ahoz, amikor α ≥ 0 ´es β = 0 A B.1 ´abr´ar´ol leolvashat´o, hogy amennyiben az αj−1 < αk cos1/w ϕi1 ≤ αj ,
´es αj−1 < αj ≤ αk−1
(B.8)
felt´etelek teljes¨ ulnek, akkor az (αj−1, E(αj−1 , 0)) ´es (αj , E(αj , 0)) ´ert´ekek k¨oz¨otti line´aris interpol´aci´oval E(αk cos1/w ϕi1 , 0) egyszer˝ uen kifejezhet˝o, hiszen E(αk cos1/w ϕi1 , 0) − E(αj−1 , 0) E(αj , 0) − E(αj−1 , 0) = . αj − αj−1 αk cos1/w ϕi1 − αj−1
(B.9)
Ut´obbi egyenl˝os´egb˝ol a keresett ´ert´ek a k¨ovetkez˝o formula alapj´an kaphat´o meg: E(αk cos1/w ϕi1 , 0) = E(αj−1 , 0) +
αk cos1/w ϕi1 − αj−1 [E(αj , 0) − E(αj−1, 0)] . (B.10) αj − αj−1
Hasonl´o ¨osszef¨ ugg´es vezethet˝o le amennyiben az αk−1 < αk cos1/w ϕi2 ≤ αk
(B.11) 97
Kuczmann Mikl´os
Habilit´aci´os disszert´aci´o
2010
felt´etel teljes¨ ul (l. B.1 ´abra). Alkalmazva az E(αk , 0) − E(αk−1 , 0) E(αk cos1/w ϕi2 , 0) − E(αk−1 , 0) = αk − αk−1 αk cos1/w ϕi2 − αk−1
(B.12)
ar´anyp´art az E(αk cos1/w ϕi2 , 0) = E(αk−1 , 0) +
αk cos1/w ϕi2 − αk−1 [E(αk , 0) − E(αk−1 , 0)] (B.13) αk − αk−1
kifejez´es kaphat´o. Az E(αk , 0) az egyetlen ismeretlen ´ert´ek, amely ebben az ¨osszef¨ ugg´esben tal´alhat´o. A (B.10) ´es a (B.13) ¨osszef¨ ugg´esek (B.7)-be t¨ort´en˝o visszahelyettes´ıt´es´evel az al´abbi kifejez´es nyerhet˝o: n1 X
αk cos1/w ϕi1 − αj−1 F (αk , 0) = cos ϕi1 E(αj−1 , 0) + E(αj , 0) − E(αj−1 , 0) αj − αj−1 i1 =1 +E(αk−1 , 0) (1 + bk ) c1 − ak c2 + E(αk , 0) ak c2 − bk c1 , (B.14) ahol ak =
αk , αk − αk−1
bk =
αk−1 , αk − αk−1
(B.15)
´es c1 =
n2 X
i2 =1
cos ϕi2 ,
c2 =
n2 X
cos ϕi2 cos1/w ϕi2 .
(B.16)
i2 =1
Innen E(αk , 0) kifejezhet˝o. Hasonl´o ¨osszef¨ ugg´esek vezethet˝ok le az α = −β egyenes ment´en. Ekkor a k ´es l indexek a k = l = N/2 + 1, · · · , N + 1 ´ert´ekeket veszik fel. Ha αj−1 = βj−1 < αk cos1/w ϕi1 = βl cos1/w ϕi1 ≤ αj = βj ,
(B.17)
αj−1 = βj−1 < αj = βj ≤ αk−1 = βk−1 ,
(B.18)
´es
akkor
Ha
E(αk cos1/w ϕi1 , βl cos1/w ϕi1 ) = E(αj−1 , βj−1) q p 2 2 αk2 cos2/w ϕi1 + βl2 cos2/w ϕi1 − αj−1 + βj−1 q q + 2 2 2 2 + βj−1 αj + βj − αj−1 × E(αj , βj ) − E(αj−1 , βj−1) . αk−1 = βk−1 < αk cos1/w ϕi2 = βl cos1/w ϕi2 ≤ αk = βk , 98
(B.19)
(B.20)
Kuczmann Mikl´os
Habilit´aci´os disszert´aci´o
2010
akkor E(αk cos1/w ϕi2 , βl cos1/w ϕi2 ) = E(αk−1 , βl−1 ) q p 2 2 2 2 2/w 2/w αk cos ϕi2 + βl cos ϕi2 − αk−1 + βl−1 q + p 2 2 αk2 + βl2 − αk−1 + βl−1 × E(αk , βl ) − E(αk−1 , βl−1 ) .
(B.21)
Itt E(αk , βl ) az egyetlen ismeretlen, amely kifejezhet˝o a (B.19) ´es a (B.21) ¨osszef¨ ugg´esek (B.2) egyenletbe t¨ort´en˝o visszahelyettes´ıt´ese ut´an. Az els˝o l´ep´es a B.2 ´abr´an n´egyzettel jelzett pontokban gener´al ´ert´ekeket. Az identifik´aci´o m´asodik l´ep´ese ezen ´ert´ekekre ´ep´ıt.
1111 0000 0000 1111 0000 1111 0000 1111 0000 1111 0000 1111 00001111 1111 0000
(α1 , β1 ) (αk−1 , βl )
0
...
(α2 , β2 ) (αk , βl−1 )
.
Ismeretlen
..
(α3 , β3 )
..
0 Ismert
.
β
0 0
(αk , βl )
111 000 000 111 00011 111 00 00 11
0
0 0
... α
...
.. .
..
...
.
...
..
.
0
...
0
B.2. ´abra. Illusztr´aci´o az identifik´aci´o m´asodik l´ep´es´ehez (a n´egyzettel jel¨olt pontok az els˝o l´ep´es eredm´enyek´epp ismertek)
B.3.
Az identifik´ aci´ o m´ asodik l´ ep´ ese
Az α − β s´ıkot a B.2 ´abr´an l´athat´o m´odon h´aromsz¨ogek seg´ıts´eg´evel felosztva, ´es a h´aromsz¨ogeken line´aris interpol´aci´ot alkalmazva tetsz˝oleges (αk cos1/w ϕ, βl cos1/w ϕ) koordin´at´ahoz tartoz´o ´ert´ek kifejezhet˝o. Az α − β s´ıkon k´etfajta h´aromsz¨og lelhet˝o fel. Az i1 = 1, · · · , n1 pontokhoz tartoz´o E(αk cos1/w ϕi1 , βl cos1/w ϕi1 ) ´ert´ekek olyan h´aromsz¨ogre esnek, melynek h´arom pontj´aban m´ar meghat´arozott ´ert´ekek vannak (ismert h´aromsz¨og), m´ıg az i2 = 1, · · · , n2 pontok 99
Kuczmann Mikl´os
Habilit´aci´os disszert´aci´o
2010
az ismeretlen E(αk , βl ) ´ert´ekt˝ol f¨ uggenek (ismeretlen h´aromsz¨og). Azaz (B.2) k´et r´eszre bonthat´o az al´abbi m´odon: F (αk , βl ) ∼ = +
n1 X
i1 =1 n2 X
cos ϕi1 E(αk cos1/w ϕi1 , βl cos1/w ϕi1 ) (B.22) cos ϕi2 E(αk cos
1/w
1/w
ϕi2 , βl cos
ϕi2 ).
i2 =1
Ha α > 0, β < 0, ´es β > −α azaz k = l + 1, · · · , N + 1, ´es l = N/2 + 2, · · · , N + 1,
(B.23)
tov´abb´a az (αk cos1/w ϕi1 , βl cos1/w ϕi1 ) koordin´at´aj´ u pont olyan h´aromsz¨ogre esik, amelynek mindh´arom pontj´aban ismert az Everett-f¨ uggv´eny ´ert´eke, akkor a h´aromsz¨og felett ´ertelmezett line´aris interpol´aci´o a k¨ovetkez˝o determin´ans seg´ıts´eg´evel ´ırhat´o fel: αk cos1/w ϕi1 − α1 βl cos1/w ϕi1 − β1 E − E1 = 0, (B.24) − α β − β E − E α 2 1 2 1 2 1 0 β2 − β1 E3 − E1
ahol (α1 , β1 , E1 ), (α2 , β2 , E2 ) ´es (α3 , β3 , E3 ) a h´arom pont koordin´at´aja ´es a koordin´at´akhoz tartoz´o Everett-f¨ uggv´eny ´ert´ekek, azaz E = E(αk cos1/w ϕi1 , βl cos1/w ϕi1 ), tov´abb´a E1 = E(α1 , β1 ), E2 = E(α2 , β2 ) valamint E3 = E(α3 , β3 ). A h´aromsz¨ogek elhelyezked´ese miatt itt α3 = α1 ´es β3 = β2 . A determin´anst kifejtve az E(αk cos1/w ϕi1 , βl cos1/w ϕi1 ) kifejez´ese a k¨ovetkez˝ok´epp ´ırhat´o: (βl cos1/w ϕi1 − βl )(E3 − E1 ) β2 − β1 1/w (αk cos ϕi1 − αk−1)(E3 − E2 ) . − (α2 − α1 )
E(αk cos1/w ϕi1 , βl cos1/w ϕi1 ) = E1 +
(B.25)
A m´asik lehet˝os´eg, hogy az (αk cos1/w ϕi2 , βl cos1/w ϕi2 ) koordin´at´anak megfelel˝o pont olyan h´aromsz¨ogre esik, amelynek egyik pontja az (αk , βl ) koordin´at´anak felel meg. A h´arom pont, amelyre a line´aris interpol´aci´ot defini´al´o determin´ans fel´ep´ıthet˝o teh´at a k¨ovetkez˝o: (αk−1 , βl , E1 ), (αk , βl , E2 ) ´es (αk , βl−1 , E3 ), azaz αk cos ϕi2 − αk−1 βl cos ϕi2 − βl E − E1 αk − αk−1 0 E2 − E1 = 0. (B.26) αk − αk−1 βl−1 − βl E3 − E1
Itt E = E(αk cos1/w ϕi2 , βl cos1/w ϕi2 ), E1 = E(αk−1, βl ), E2 = E(αk , βl ), valamint E3 = E(αk , βl−1 ). A determin´ans kifejt´ese ut´an a keresett E(αk cos1/w ϕi2 , βl cos1/w ϕi2 ) kifejezhet˝o: (αk cos1/w ϕi2 − αk−1)(E2 − E1 ) (αk − αk−1 ) 1/w (βl cos ϕi2 − βl )(E2 − E3 ) − . (βl−1 − βl )
E(αk cos1/w ϕi2 , βl cos1/w ϕi2 ) = E1 +
100
(B.27)
Kuczmann Mikl´os
Habilit´aci´os disszert´aci´o
2010
Ebben a kifejez´esben E2 az ismeretlen. A (B.25) ´es a (B.27) kifejez´esek (B.22)-be t¨ort´en˝o helyettes´ıt´ese ut´an E2 b´armely k ´es l ´ert´ekek mellett meghat´arozhat´o. Ha α > 0 ´es β > 0 (k = N + 3 − l, · · · , N + 1, l = N/2, · · · , 1), hasonl´o elj´ar´as alkalmazhat´o, de a h´aromsz¨ogek a v´ızszintes tengelyre t¨ ukr¨ozve ´ertelmezend˝ok, ´es ´ıgy az indexel´es is megv´altozik. Az Everett-f¨ uggv´eny az α = −β egyenletnek megfelel˝o egyenesre szimmetrikus, azaz az identifik´aci´o sor´an elegend˝o az Everett-f¨ uggv´eny fel´et meghat´arozni.
101
C. F¨ uggel´ ek Potenci´ alformalizmusok ´ es gyenge alakjaik A bevezet˝oben (a 2.3.2. fejezetben) bemutattam a statikus m´agneses t´er egyenleteit, valamint az ¨orv´eny´aram´ u t´er egyenleteit, ´es azon formalizmusokat, amelyek ezen probl´em´ak megold´as´ara szolg´alnak, amennyiben a k¨ozeg line´aris. Csatolt probl´em´aval akkor ´allunk szemben, ha az ¨orv´eny´aram´ u Ωc tartom´anyt nem vezet˝o k¨ozeg (p´eld´aul leveg˝o) veszi k¨or¨ ul, aminek jele Ωn . Ekkor a k´et k¨ozeget elv´alaszt´o Γnc hat´arfel¨ uleten a m´agneses t´erer˝oss´eg tangenci´alis komponens´enek, valamint a m´agneses indukci´o norm´alis ir´any´ u komponens´enek a folytonoss´ag´at is biztos´ıtani kell. Bizonyos esetekben az ¨orv´eny´aram norm´alis ir´any´ u komponens´et is el˝o kell ´ırni z´erusnak. Tov´abbi felt´etelek ad´odnak a k¨ot¨ott formalizmus eset´en a Coulomb-m´ert´ek implicit m´odon t¨ort´en˝o el˝o´ır´asa miatt. Ebben a f¨ uggel´ekben a [137] irodalom alapj´an ¨osszefoglalom az egyes potenci´alformalizmusok egyenleteit ´es azok v´egeselem-m´odszerben alkalmazhat´o gyenge alakjait. Az egyenletek mindegyike nemline´aris m´agnesez´esi karakterisztika figyelembev´etel´ere is alkalmas, amikor az Ωc ¨orv´eny´aram´ u tartom´anyt kit¨olt˝o k¨ozeg nemline´aris karakterisztik´aval b´ır. A nemline´aris karakterisztik´at a 4. fejezetben bemutatott polariz´aci´os formula alapj´an lineariz´altam. A k¨oz¨olt egyenletek k¨onnyed´en ´at´ırhat´ok line´aris konstit´ uci´os egyenletek eset´ere is, mert a µo , vagy νo optim´alis permeabilit´ast, vagy annak reciprok´at le kell cser´elni a vizsg´alat t´argy´at k´epez˝o anyag permeabilit´as´anak megfelel˝o ´ert´ekre, ~ = ~0, vagy ~I = ~0 helyettes´ıt´est tov´abb´a a nemline´aris reziduumokat el kell hagyni, azaz R kell alkalmazni. A statikus m´agneses t´er sz´am´ıthat´o a Φ m´agneses skal´arpotenci´al seg´ıts´eg´evel, vagy ~ az A m´agneses vektorpotenci´al alkalmaz´as´aval. A vektorpotenci´alb´ol kiindulva k¨ot¨ott ´es szabad formalizmus is megfogalmazhat´o. ~ , Φ-alakban megfogalmazott formalizmus, vagy Az ¨orv´eny´aram´ u tartom´anyt vagy a T ~ V -formalizmus ´ırja le. A leveg˝oben lej´atsz´od´o statikus m´agneses t´er le´ır´as´ara az A, ~ vektorpotenci´al alkalmazhat´o. A kapcsol´od´o teh´at a Φ skal´arpotenci´al, vagy az A Γnc k¨ozeghat´aron a k¨ ul¨onf´ele formalizmusokat csatolni kell egym´ashoz. A csatol´as a ~ , Φ − Φ, A, ~ V − A, ~ A ~ ∗ − A, ~ T ~ , Φ − A, ~ legk¨ ul¨onf´el´ebb formalizmusokat eredm´enyezheti: T ~ ~ ~ ~ ~ T , Φ − A − Φ, A, V − Φ, A, V − A − Φ. Minden egyes formalizmusnak lehet k¨ot¨ott ´es szabad kivitele. Megjegyzem, hogy a k¨ot¨ott formalizmus csom´oponti formaf¨ uggv´enyek, a szabad formalizmus pedig ´elmenti formaf¨ uggv´enyek seg´ıts´eg´evel realiz´alhat´o. A gyenge alakok r´eszletes levezet´ese a [137] k¨onyvben fellelhet˝o. 102
Kuczmann Mikl´os
C.1.
Habilit´aci´os disszert´aci´o
2010
A Φ-formalizmus
Ezen potenci´alformalizmus a k¨ovetkez˝o egyenletekkel ´ırhat´o le: ~ 0 ) + ∇ · R, ~ ∇ · (µo∇Φ) = ∇ · (µo T Φ = Φ0 ,
a ΓH
az Ωm
tartom´anyon,
(C.1)
peremen,
~ 0 − µo ∇Φ + R) ~ ·n ~ = −b, (µoT
(C.2) a ΓB
peremen.
(C.3)
~ = ~0. Leveg˝oben, az Ω0 tartom´anyban µo = µ0 helyettes´ıtend˝o ´es R A Φ-formalizmus gyenge alakj´at a k¨ovetkez˝o egyenlet defini´alja: Z Z Z Z ~ ~ µo ∇Nk · ∇Φa dΩ = µo ∇Nk · T 0,a dΩ + ∇Nk · Ra dΩ + Ω
Ω
Ω
Nk b dΓ, (C.4)
ΓB
´es Nk = 0,
a ΓH
peremen.
(C.5)
A gyenge alakot minden esetben a k¨ozel´ıt˝o potenci´alf¨ uggv´enyre ´ırom fel.
C.2.
~ A k¨ ot¨ ott A-formalizmus
A statikus m´agneses t´er a k¨ovetkez˝o egyenletek megold´as´aval sz´am´ıthat´o: ~ − ∇(νo ∇ · A) ~ =J ~ 0 − ∇ × ~I, ∇ × (νo ∇ × A) ~ + ~I) × n ~ ~ = K, (νo ∇ × A
~ ·n ~ = 0, A
a ΓH
~ =α ~ ×A ~, n
~ = 0, νo ∇ · A
a ΓH
az Ωm
tartom´anyon,
peremen,
peremen,
(C.6) (C.7) (C.8)
a ΓB
peremen,
(C.9)
a ΓB
peremen.
(C.10)
Leveg˝oben, az Ω0 tartom´anyban νo = 1/µ0 helyettes´ıtend˝o ´es ~I = ~0. Ezen formalizmus gyenge alakja a k¨ovetkez˝o: Z h i ~ k ) · (∇ × A ~ a ) + νo ∇ · W ~ k∇·A ~ a dΩ νo (∇ × W ZΩ Z Z ~ ~ ~ ~ ~ k ) · ~I a dΩ, = W k · J 0 dΩ + W k · K dΓ − (∇ × W Ω
ΓH
(C.11)
Ω
ahol ~ k = ~0, ~ ×W n
a ΓB
peremen,
(C.12)
´es ~ k·n ~ = 0, W
a ΓH
peremen.
(C.13)
103
Kuczmann Mikl´os
C.3.
Habilit´aci´os disszert´aci´o
2010
~ A szabad A-formalizmus
A szabad formalizmus egyenletei a k¨ovetkez˝ok: ~ =∇×T ~ 0 − ∇ × ~I, ∇ × (νo ∇ × A) ~ + ~I) × n ~ ~ = K, (νo ∇ × A
~ =α ~ ×A ~, n
a ΓB
a ΓH
az Ωm
tartom´anyon,
peremen,
(C.14) (C.15)
peremen.
(C.16)
Leveg˝oben, az Ω0 tartom´anyban νo = 1/µ0 helyettes´ıtend˝o ´es ~I = ~0. A gyenge alak a k¨ovetkez˝o: Z Z ~ ~ ~ k) · T ~ 0,a dΩ νo (∇ × W k ) · (∇ × Aa )dΩ = (∇ × W Ω Ω Z ~ k ) · ~I a dΩ, − (∇ × W
(C.17)
Ω
ahol ~ k = ~0, ~ ×W n
a ΓB
peremen.
(C.18)
~ 0,a k¨ozel´ıt˝o ´aram-vektorpotenci´al megv´alaszthat´o u AT ´gy, hogy ~ 0,a × n ~ ~ = K, T
a ΓH
peremen,
(C.19)
ami kism´ert´ekben egyszer˝ us´ıti a gyenge alak jobb oldal´at.
C.4.
~ , Φ − Φ-formalizmus A k¨ ot¨ ott T
~ = T ~0 +T ~ − ∇Φ ¨osszef¨ A m´agneses t´erer˝oss´eg a H ugg´es szerint alakul az Ωc tar~ ~ tom´anyban, m´ıg H = T 0 − ∇Φ szerint az Ωn tartom´anyban. A Φ m´agneses skal´arpo~ 0 ´aram-vektorpotenci´al tangenci´alis komponense a tenci´al folytonos, csak´ ugy mint a T ~ ×n ~ = ~0 felt´etelt kell el˝o´ırni a Γnc hat´arfel¨ teljes Ωc ∪ Ωn tartom´anyon, s ´ıgy a T uleten, ~ ~ ~ folytonoss´aga teljes¨ hogy a H × n ulj¨on. A J ¨orv´eny´aram norm´alis ir´any´ u komponense ~ ´aram-vektorpotenci´al bevezet´ese ´es tangenci´alis komponens´enek el˝o´ır´asa miatt auaT tomatikusan z´erus ´ert´ek˝ u a Γnc hat´aron. A m´agneses indukci´o norm´alis ir´any´ u kom~ ponens´enek folytonoss´aga Neumann-t´ıpus´ u felt´etellel ´ırhat´o el˝o, ahogy a T divergenciamentess´eg´et biztos´ıt´o felt´etel is. Az egyenletek ´ıgy a k¨ovetkez˝ok: ∇×
1 ~ ∇×T σ
−∇
1 ~ ∇·T σ
~ ~0 ∂T ∂Φ ∂T − µo ∇ = −µo ∂t ∂t ∂t ~ ∂R − , az Ωc tartom´anyon, ∂t +µo
~ − µo ∇Φ) = −∇ · (µoT ~ 0 ) − ∇ · R, ~ ∇ · (µoT ~ 0 ), −∇ · (µ∇Φ) = −∇ · (µT
az Ωn
az Ωc
tartom´anyon,
104
tartom´anyon,
(C.20)
(C.21) (C.22)
Kuczmann Mikl´os
Habilit´aci´os disszert´aci´o
~ ×n ~ = ~0, T
peremen,
a ΓHc
(C.23)
Φ = Φ0 , a ΓHc peremen, 1 ~ = 0, a ΓHc peremen, ∇·T σ Φ = Φ0 , a ΓHn peremen, 1 ~ ×n ~ = ~0, a ΓE peremen, ∇×T σ ~ 0 + µo T ~ − µo ∇Φ + R) ~ ·n ~ = 0, (µoT ~ ·n ~ = 0, T
a ΓE
a ΓE
(C.24) (C.25) (C.26) (C.27) peremen,
peremen,
~ 0 − µ∇Φ) · n ~ = −b, (µT
2010
(C.28) (C.29)
a ΓB
peremen,
(C.30)
Φ folytonos a Γnc
peremen,
(C.31)
~ ×n ~ c = ~0, T
peremen,
(C.32)
a Γnc
~ 0 − µ∇Φ) · n ~ 0 + µo T ~ − µo ∇Φ + R) ~ ·n ~ n + (µo T ~ c = 0, a Γnc peremen, (C.33) (µT 1 ~ = 0, a Γnc peremen. ∇·T (C.34) σ A Coulomb-m´ert´ekkel ell´atott formalizmus gyenge alakja a k¨ovetkez˝o k´et egyenlettel ´ırhat´o le: Z 1 1 ~ ~ ~ ~ ∇ × W k · (∇ × T a ) + ∇ · W k ∇ · T a dΩ σ Ωc σ # Z " ~a ∂ T ∂Φ a ~ k· ~ k·∇ µo W + dΩ = − µo W (C.35) ∂t ∂t Ωc Z Z ~ ~ 0,a ∂T ~ k · ∂ Ra dΩ, ~ W dΩ − µo W k · − ∂t ∂t Ωc Ωc Z Z ~a ∂Φa ∂Φa ∂T µo ∇Nk · ∇ µ∇Nk · ∇ µo ∇Nk · dΩ + dΩ + dΩ − ∂t ∂t ∂t Ωc Ωn Ωc Z Z ~ 0,a ~ 0,a ∂T ∂T µo ∇Nk · µ∇Nk · = dΩ + dΩ ∂t ∂t Ωc Ωn Z Z ~a ∂R ∂b ∇Nk · + dΩ. Nk dΓ + ∂t ∂t ΓB Ωc
(C.36)
~ k·n ~ = 0, W
(C.37)
Z
Itt a formaf¨ uggv´enyek a k¨ovetkez˝o felt´eteleket el´eg´ıtik ki: a ΓE
peremen,
´es ~ k×n ~ = 0, W
a ΓHc ∪ Γnc
peremen,
(C.38)
tov´abb´a Nk = 0,
a ΓHc ∪ ΓHn
peremen.
(C.39) 105
Kuczmann Mikl´os
Habilit´aci´os disszert´aci´o
2010
~ , Φ − Φ-formalizmus A szabad T
C.5.
Az egyenletek a k¨ot¨ott formalizmus egyenleteihez hasonl´oan alakulnak, de az ´aramvektorpotenci´al forr´asmentess´ege el˝o´ır´as´anak hi´anya miatt nincsenek extra peremfelt´etelek. A megoldand´o egyenletek teh´at az al´abbiak: ~ ~ 1 ~ + µo ∂ T − µo ∇ ∂Φ = −µo ∂ T 0 ∇× ∇×T σ ∂t ∂t ∂t (C.40) ~ ∂R , az Ωc tartom´anyon, − ∂t ~ − µo ∇Φ) = −∇ · (µoT ~ 0 ) − ∇ · R, ~ ∇ · (µoT az Ωc tartom´anyon, (C.41) ~ 0 ), az Ωn −∇ · (µ∇Φ) = −∇ · (µT ~ ×n ~ = ~0, a ΓHc peremen, T Φ = Φ0 ,
a ΓHc
tartom´anyon,
(C.43)
peremen,
Φ = Φ0 , a ΓHn peremen, 1 ~ ~ = ~0, a ΓE peremen, ∇×T ×n σ ~ 0 + µo T ~ − µo ∇Φ + R) ~ ·n ~ = 0, a ΓE (µoT
~ 0 − µ∇Φ) · n ~ = −b, (µT
a ΓB
(C.42)
(C.44) (C.45) (C.46) peremen,
peremen,
(C.47) (C.48)
Φ folytonos a Γnc peremen, (C.49) ~ ×n ~ c = ~0, a Γnc peremen, T (C.50) ~ 0 − µ∇Φ) · n ~ 0 + µo T ~ − µo ∇Φ + R) ~ ·n ~ n + (µo T ~ c = 0, a Γnc peremen. (C.51) (µT
´es
A szabad formalizmus gyenge alakja a k¨ovetkez˝o k´et egyenlettel ´ırhat´o le: # Z " ~a 1 ∂ T ∂Φ ~ k ) · (∇ × T ~ a ) + µo W ~ k· ~ k · ∇ a dΩ = (∇ × W − µo W σ ∂t ∂t Ωc Z Z ~ ~ 0,a ∂T ~ k · ∂ Ra dΩ, ~ W dΩ − µo W k · − ∂t ∂t Ωc Ωc
(C.52)
Z Z ~a ∂T ∂Φa ∂Φa µo ∇Nk · µo ∇Nk · ∇ µ∇Nk · ∇ − dΩ + dΩ + dΩ ∂t ∂t ∂t Ωc Ωn Ωc Z Z ~ 0,a ~ 0,a ∂T ∂T µo ∇Nk · µ∇Nk · = dΩ + dΩ ∂t ∂t Ωc Ωn Z Z ~a ∂R ∂b ∇Nk · + dΩ, Nk dΓ + ∂t ∂t ΓB Ωc
(C.53)
~ k×n ~ = 0, W
(C.54)
Z
ahol a ΓHc ∪ Γnc
peremen,
´es Nk = 0,
a ΓHc ∪ ΓHn
peremen.
(C.55) 106
Kuczmann Mikl´os
C.6.
Habilit´aci´os disszert´aci´o
2010
~ V − A-formalizmus ~ A k¨ ot¨ ott A,
~ m´agneses vektorpotenci´al folytonos a teljes Ωc ∪Ωn tartom´anyon. A tangenci´alis Az A komponens folytonoss´aga biztos´ıtja a m´agneses indukci´o norm´alis komponens´enek folytonoss´ag´at. A m´agneses t´erer˝oss´eg tangenci´alis ir´any´ u komponens´enek folytonoss´aga Neumann-t´ıpus´ u hat´arfelt´etel el˝o´ır´as´aval lehets´eges, ak´arcsak az ¨orv´eny´aram norm´alis komponens´enek elt˝ un´es´et biztos´ıt´o felt´etel ugyanezen k¨ozeghat´aron. Az utols´o egyenlet a Coulomb-m´ert´ek el˝o´ır´as´anak formul´aj´ab´ol ad´odik. Az ´ıgy el˝o´all´o egyenletrendszer a k¨ovetkez˝o: ~ ∂A ~ − ∇(νo ∇ · A)+σ ~ ∇ × (νo ∇ × A) + σ∇V = ∂t −∇ × ~I, az Ωc tartom´anyon, ! ~ ∂A + σ∇V = 0, az Ωc tartom´anyon, −∇ · σ ∂t ~ − ∇(ν∇ · A) ~ =J ~ 0, ∇ × (ν∇ × A)
az Ωn
tartom´anyon,
~ + ~I) × n ~ = ~0, a ΓHc peremen, (νo ∇ × A ! ~ ∂A ~ = 0, a ΓHc peremen, − σ + σ∇V · n ∂t
~ ·n ~ = 0, A
a ΓHc
~ ·n ~ = 0, A
~ = ~0, ~ ×A n
V = V0 ,
~ =α ~ ×A ~, n
~ = 0, ν∇ · A
(C.58)
(C.60) (C.61)
peremen,
a ΓHn
(C.62)
a ΓHn
peremen,
(C.63)
a ΓE
peremen,
(C.64)
a ΓE
~ = 0, νo ∇ · A
(C.57)
(C.59)
peremen,
~ ×n ~ ~ = K, (ν∇ × A)
(C.56)
peremen,
(C.65)
a ΓE
peremen,
(C.66)
a ΓB
peremen,
(C.67)
a ΓB
peremen,
(C.68)
~ +n ~ = ~0, ~c ×A ~n ×A n
~ ·n ~ ·n ~c +A ~ n = 0, A
a Γnc a Γnc
peremen,
(C.69)
peremen,
(C.70)
~ + ~I) × n ~ ×n ~ c + (ν∇ × A) ~ n = ~0, a Γnc (νo ∇ × A ! ~ ∂A ~ c = 0, a Γnc peremen, + σ∇V · n − σ ∂t
~ n ~ n ~ c + (ν∇ · A) ~ n = ~0, (νo ∇ · A)
a Γnc
107
peremen.
peremen,
(C.71) (C.72) (C.73)
Kuczmann Mikl´os
Habilit´aci´os disszert´aci´o
~ V − A-formalizmus ~ A k¨ot¨ott A, gyenge alakja az al´abbi: Z h i ~ ~ ~ ~ νo (∇ × W k ) · (∇ × Aa ) + νo ∇ · W k ∇ · Aa dΩ Ωc ! Z ~a ∂ A ∂v a ~ k· σ W + dΩ + σ∇ ∂t ∂t Ωc Z h i ~ ~ ~ ~ ν(∇ × W k ) · (∇ × Aa ) + ν∇ · W k ∇ · Aa dΩ + Ωn Z Z Z ~ k ) · ~I a dΩ, ~ ~ ~ ~ (∇ × W W k · K dΓ − W k · J 0 dΩ + = Z
Ωc
∇Nk ·
(C.74)
Ωc
ΓHn
Ωn
2010
~a ∂A ∂va σ + σ∇ ∂t ∂t
!
dΩ = 0.
(C.75)
A formaf¨ uggv´enyekre az al´abbi felt´etelek kell, hogy teljes¨ uljenek: ~ k = ~0, ~ ×W n
a ΓE ∪ ΓB
peremen,
(C.76)
~ k·n ~ = 0, W
a ΓHc ∪ ΓHn
peremen,
(C.77)
´es
valamint Nk = 0,
a ΓE
peremen.
(C.78)
A V = V (~r , t) elektromos skal´arpotenci´al helyett a v = v(~r, t) f¨ uggv´enyt c´elszer˝ u bevezetni, mert ´ıgy a kialakul´o egyenletrendszer szimmetrikus lesz, Z t v= V (~r, τ ) dτ, (C.79) −∞
azaz V =
∂v . ∂t
(C.80)
Ezt a technik´at a tov´abbi formalizmusok gyenge alakj´anak konstru´al´asa sor´an is c´elszer˝ u haszn´alni. Megjegyzem, hogy a (C.70) felt´etelt vas/leveg˝o hat´ar eset´en, ahol a permeabilit´as hirtelen megv´altozik, el kell hagyni, mert a formalizmus a´ltal adott megold´as a vas/leveg˝o hat´ar k¨orny´ek´en nem helyes. Ez azt jelenti, hogy az Ωc ´es az Ωn tartom´anyban k¨ ul¨onk¨ ul¨on kell defini´alni egy-egy m´agneses vektorpotenci´alt, s a Γnc hat´aron a norm´alis ir´any´ u komponens ugr´as´at enged´elyezni kell. Ez azonban a Coulomb-m´ert´ek teljes¨ ul´es´et csorb´ıtja a k¨ozeghat´aron. M´asik, korszer˝ ubb technika a k¨ovetkez˝okben bemutat´asra ker¨ ul˝o szabad formalizmus alkalmaz´asa.
108
Kuczmann Mikl´os
Habilit´aci´os disszert´aci´o
2010
~ V − A-formalizmus ~ A szabad A,
C.7.
Az al´abbi egyenletek abban k¨ ul¨onb¨oznek az el˝oz˝o fejezetben megfogalmazott egyenletekt˝ol, hogy nem tartalmazz´ak a Coulomb-m´ert´ek el˝o´ır´as´ab´ol sz´armaz´o tagokat ´es ~ 0 ´aram-vektorpotenci´allal kell reprefelt´eteleket, ugyanakkor a forr´as´aram-s˝ ur˝ us´eget a T zent´alni, ~ ~ + σ ∂ A + σ∇V = −∇ × ~I, az Ωc ∇ × (νo ∇ × A) ∂t ! ~ ∂A −∇ · σ + σ∇V = 0, az Ωc tartom´anyon, ∂t ~ =∇×T ~ 0, ∇ × (ν∇ × A)
az Ωn
tartom´anyon,
(C.82)
tartom´anyon,
(C.83)
~ + ~I) × n ~ = ~0, a ΓHc peremen, (νo ∇ × A ! ~ ∂A ~ = 0, a ΓHc peremen, − σ + σ∇V · n ∂t
~ ×n ~ ~ = K, (ν∇ × A) ~ = ~0, ~ ×A n
V = V0 ,
a ΓE
a ΓE
~ =α ~ ×A ~, n
(C.84) (C.85)
peremen,
a ΓHn
(C.86)
peremen,
(C.87)
peremen,
a ΓB
~ +n ~ = ~0, ~c ×A ~n ×A n
(C.81)
(C.88)
peremen, a Γnc
(C.89) peremen,
(C.90)
~ + ~I) × n ~ ×n ~ c + (ν∇ × A) ~ n = ~0, a Γnc (νo ∇ × A ! ~ ∂A ~ c = 0, a Γnc peremen. + σ∇V · n − σ ∂t
peremen,
(C.91) (C.92)
A formalizmus gyenge alakja az al´abbi: Z
Ωc
+
Z
Ωn
=
Z
~ k ) · (∇ × A ~ a )dΩ + νo (∇ × W
Ωc
Ωc
~ k· W
~a ∂A ∂va σ + σ∇ ∂t ∂t
~ k ) · (∇ × A ~ a )dΩ ν(∇ × W Z ~ k ) · ~I a dΓ, ~ ~ (∇ × W (∇ × W k ) · T 0,a dΩ −
∇Nk ·
!
dΩ (C.93)
Ωc
Ωc ∪Ωn
Z
Z
~a ∂va ∂A + σ∇ σ ∂t ∂t
!
dΩ = 0,
(C.94)
ahol ~ k = ~0, ~ ×W n
a ΓE ∪ ΓB
peremen,
109
(C.95)
Kuczmann Mikl´os
Habilit´aci´os disszert´aci´o
2010
´es Nk = 0,
a ΓE
peremen.
(C.96)
~ 0 ´aram-vektorpotenci´al a teljes Ωc ∪ Ωn tartom´anyra Ebben a formalizmusban a T kiterjeszthet˝o annak defin´ıci´oja miatt. Ez´altal a gyenge alak egyszer˝ us¨odik. Ha az Ωc tartom´any vezet˝ok´epess´ege konstans, akkor a V skal´arpotenci´al elhagyhat´o, ~ ∗ − A-formalizmus. ~ s vele minden olyan egyenlet, amelyben a V szerepel. Ez az u ´ n. A
C.8.
~ , Φ − A-formalizmus ~ A k¨ ot¨ ott T
~ , Φ − Φ-formalizmus nem alkalmas t¨obbsz¨or¨osen ¨osszef¨ A T ugg˝o ¨orv´eny´aram´ u tartom´anyt tartalmaz´o feladatok megold´as´ara. Ezen okn´al fogva az Ωn tartom´anyban a Φ ~ potenci´alt c´elszer˝ u lecser´elni A-ra, ami term´eszetesen m´odos´ıtja a k¨ozeghat´ar-felt´eteleket is. A m´agneses indukci´o norm´alis ir´any´ u komponens´enek ´es a m´agneses t´erer˝oss´eg tangenci´alis ir´any´ u komponens´enek folytonoss´aga, valamint az ¨orv´eny´aram norm´alis ir´any´ u komponens´enek elt˝ un´ese Neumann-t´ıpus´ u hat´arfelt´etel el˝o´ır´as´aval lehets´eges. Megjegyzem, hogy a Γnc k¨ozeghat´ar itt az egyes tartom´anyok pereme is. V´eg¨ ul az al´abbi egyenletek nyerhet˝ok: ~ 1 1 ∂T ∂Φ ~ ~ ∇× ∇ × T −∇ ∇ · T + µo − µo ∇ σ σ ∂t ∂t (C.97) ~ ~ 0 ∂R ∂T − , az Ωc tartom´anyon, = − µo ∂t ∂t ~ − µo ∇Φ) = −∇ · (µoT ~ 0 ) − ∇ · R, ~ ∇ · (µoT ~ − ∇(ν∇ · A) ~ =J ~ 0, ∇ × (ν∇ × A) ~ ×n ~ = ~0, T Φ = Φ0 ,
a ΓHc
a ΓHc
az Ωn
az Ωc
tartom´anyon,
tartom´anyon,
(C.99)
peremen,
(C.100)
peremen,
(C.101)
1 ~ = 0, a ΓHc peremen, ∇·T σ ~ ×n ~ ~ = K, (ν∇ × A) a ΓHn peremen,
(C.102) (C.103)
~ ·n ~ = 0, a ΓHn peremen, A 1 ~ ×n ~ = ~0, a ΓE peremen, ∇×T σ
~ 0 + µo T ~ − µo ∇Φ + R) ~ ·n ~ = 0, (µoT
~ ·n ~ = 0, T
~ =α ~ ×A ~, n
~ = 0, ν∇ · A
a ΓE
(C.98)
a ΓE
(C.104) (C.105) peremen,
(C.106)
peremen,
(C.107)
a ΓB
peremen,
(C.108)
a ΓB
peremen,
(C.109)
~0+T ~ − ∇Φ) × n ~ ×n ~ c + (ν∇ × A) ~ n = ~0, (T
a Γnc
~ 0 + µo T ~ − µo ∇Φ + R) ~ ·n ~ ·n ~ c + (∇ × A) ~ n = 0, (µoT 110
peremen, a Γnc
(C.110)
peremen, (C.111)
Kuczmann Mikl´os
Habilit´aci´os disszert´aci´o
~ ·n ~ c = 0, a Γnc peremen, T ~ ∂A 1 ~ ×n ~c − ~ n = ~0, ∇×T ×n σ ∂t ~ = 0, ν∇ · A
a Γnc
2010 (C.112)
a Γnc
peremen,
peremen.
(C.113) (C.114)
~ ,Φ−A ~ − Φ-formalizmus (l. C.10. fejezet) A gyenge alak h´arom egyenlete a k¨ot¨ott T egyenleteib˝ol egyszer˝ us´ıt´essel nyerhet˝o: Z 1 1 ~ k ) · (∇ × T ~ a) + ∇ · W ~ k∇·T ~ a dΩ (∇ × W σ Ωc σ # Z " ~a ∂ T ∂Φ ~ k· ~ k · ∇ a dΩ µo W + − µo W ∂t ∂t Ωc ! (C.115) Z ~a ∂ A ~ k· ~A W − ×n dΓ = ~ ∂t Γnc Z Z ~ 0,a ~ ∂T ~ ~ k · ∂ Ra dΩ, µo W k · − W dΩ − ∂t ∂t Ωc Ωc Z ~a ∂T ∂Φa µo ∇Nk · − µo ∇Nk · ∇ dΩ + dΩ ∂t ∂t Ωc Ωc ! Z ~a ∂A ~A ·n Nk ∇ × − ~ dΓ ∂t Γnc Z Z ~ 0,a ~a ∂T ∂R µo ∇Nk · = ∇Nk · dΩ + dΩ, ∂t ∂t Ωc Ωc ! # Z " ~a ~a ∂ A ∂ A ~ k∇· ~ k) · ∇ × + ν∇ · W dΩ ν(∇ × W − ∂t ∂t Ωn Z Z ~a ∂T ∂Φa ~ ~ k) · n ~A ~A − · (W k × n (∇ × W ~ )dΓ − ~ dΓ = Γnc ∂t Γnc ∂t Z Z ~0 ~ ∂ J ~ k· ~ k · ∂ K dΓ W W dΩ − − ∂t ∂t Ωn ΓHn ! Z Z ~ ∂Φa ~ ~ ~ k · ∂ T 0,a × n ~A W − W k · dl. dΓ + ~ ∂t ∂t Γnc C Z
C.9.
(C.116)
(C.117)
~ , Φ − A-formalizmus ~ A szabad T
A megoldand´o egyenletrendszer a fentiek alapj´an ´ertelemszer˝ u: ∇×
1 ~ ∇×T σ
+ µo
~ ∂T ∂Φ −µo ∇ = ∂t ∂t ~ ~ 0 ∂R ∂T − , −µo ∂t ∂t 111
(C.118) az Ωc
tartom´anyon,
Kuczmann Mikl´os
Habilit´aci´os disszert´aci´o
~ − µo ∇Φ) = −∇ · (µoT ~ 0 ) − ∇ · R, ~ ∇ · (µoT ~ =∇×T ~ 0, ∇ × (ν∇ × A) ~ ×n ~ = ~0, T Φ = Φ0 ,
a ΓHc
a ΓHc
az Ωn
tartom´anyon,
tartom´anyon,
(C.121)
peremen,
(C.122) peremen,
(C.123)
peremen,
(C.124)
~ 0 + µo T ~ − µo ∇Φ + R) ~ ·n ~ = 0, (µoT a ΓB
(C.119) (C.120)
peremen,
~ ×n ~ ~ = K, (ν∇ × A) a ΓHn 1 ~ ×n ~ = ~0, a ΓE ∇×T σ
~ =α ~ ×A ~, n
az Ωc
2010
a ΓE
peremen,
(C.125)
peremen,
(C.126)
~0+T ~ − ∇Φ) × n ~ ×n ~ c + (ν∇ × A) ~ n = ~0, (T
a Γnc
peremen,
~ 0 + µo T ~ − µo ∇Φ + R) ~ ·n ~ ·n ~ c + (∇ × A) ~ n = ~0, a Γnc (µoT ~ ∂A 1 ~ ×n ~c − ~ n = ~0, a Γnc peremen. ∇×T ×n σ ∂t
(C.127)
peremen, (C.128) (C.129)
~ ,Φ−A ~ − Φ-formalizmus (l. C.11. fejezet) A gyenge alak h´arom egyenlete a szabad T egyenleteib˝ol egyszer˝ us´ıt´essel nyerhet˝o: # Z " ~a ∂ T ∂Φ 1 ~ k ) · (∇ × T ~ a ) + µo W ~ k· ~ k · ∇ a dΩ (∇ × W − µo W ∂t ∂t Ωc σ ! Z ~ ~ k · ∂ Aa × n (C.130) ~A W − dΓ = ~ ∂t Γnc Z Z ~ ~ 0,a ∂T ~ k · ∂ Ra dΩ, ~ W dΩ − µo W k · − ∂t ∂t Ωc Ωc Z ~a ∂T ∂Φa µo ∇Nk · ∇ µo ∇Nk · dΩ + dΩ − ∂t ∂t Ωc Ωc ! Z ~a ∂A ~A Nk ∇ × − ·n ~ dΓ ∂t Γnc Z Z ~ 0,a ~a ∂T ∂R µo ∇Nk · = ∇Nk · dΩ + dΩ, ∂t ∂t Ωc Ωc ! Z Z ~a ~a ∂ A ∂T ~ ~ k ×n ~A ν(∇ × W k ) · ∇ × dΩ − − · (W ~ )dΓ ∂t ∂t Γnc Ωn Z ∂Φa ~ k) · n ~A (∇ × W − ~ dΓ = ∂t Γnc Z Z ~ 0,a ∂T ∂Φa ~ ~ ~ (∇ × W k ) · − W k · dl. dΩ − ∂t Ωn C ∂t Z
112
(C.131)
(C.132)
Kuczmann Mikl´os
C.10.
Habilit´aci´os disszert´aci´o
2010
~ ,Φ − A ~ − Φ-formalizmus A k¨ ot¨ ott T
~ , Φ − A-formalizmus ~ A T alkalmaz´asa sor´an az Ωn ¨orv´eny´aramokt´ol mentes tarto~ m´anyban az A m´agneses vektorpotenci´al nem el˝ony¨os abb´ol a szempontb´ol, hogy a vektorpotenci´al h´arom ismeretlennel b´ır. Gazdas´agosabb az Ωn tartom´any egy r´esz´en a vektorpotenci´al helyett a skal´arpotenci´al alkalmaz´asa, hiszen az egyetlen ismeretlen. Az ´ıgy el˝o´all´o felbont´as l´athat´o a C.1 ´abr´an, ahol az egyes tartom´anyok ´es peremek jel¨ol´ese is l´athat´o. ~ n
ΓBΦ µ = µ0 ~c n ~ 0 = ~0 J ΓncΦ
Γ HΦ
ΩΦ ~ 0 = ~0 J
~ 0 6= ~0 J
~c n ~Φ n
~ n
Γ Hc
ΓncΦ
~c n ΓA,Φ ~
ΩA ~
Ωc
Ωc
ΓE
ΓncA~ µ = µ0 µr vagy B{·}
ΓncA~
~ 0 6= ~0 J
Γ Hc
ΓE ΓBA~
ΓHA~
~ C.1. ´abra. T¨obbsz¨or¨osen ¨osszef¨ ugg˝o tartom´any eset´en a leveg˝oben gazdas´agos az A vektorpotenci´al mellett a Φ skal´arpotenci´al alkalmaz´asa A feladat ´ıgy az al´abbi egyenletek megold´asa: ~ ∂T ∂Φ 1 1 ~ ~ ∇ × T −∇ ∇ · T + µo − µo ∇ = ∇× σ σ ∂t ∂t ~ 0 ∂R ~ ∂T −µo − , az Ωc tartom´anyon, ∂t ∂t ~ − µo ∇Φ) = −∇ · (µoT ~ 0 ) − ∇ · R, ~ ∇ · (µoT ~ 0 ), −∇ · (µ∇Φ) = −∇ · (µT
az ΩnΦ
~ − ∇(ν∇ · A) ~ =J ~ 0, ∇ × (ν∇ × A) ~ ×n ~ = ~0, T
a ΓHc
az Ωc
tartom´anyon,
tartom´anyon,
az ΩnA~
peremen,
tartom´anyon,
(C.133)
(C.134) (C.135) (C.136) (C.137)
Φ = Φ0 , a ΓHc peremen, 1 ~ = 0, a ΓHc peremen, ∇·T σ ~ ×n ~ ~ = K, (ν∇ × A) a ΓHA~ peremen, 113
(C.138) (C.139) (C.140)
Kuczmann Mikl´os ~ ·n ~ = 0, A
Habilit´aci´os disszert´aci´o a ΓHA~
peremen,
Φ = Φ0 , a ΓHΦ peremen, 1 ~ ~ = ~0, a ΓE ∇×T ×n σ
(C.141) (C.142) peremen,
~ 0 + µo T ~ − µo ∇Φ + R) ~ ·n ~ = 0, (µoT
~ ·n ~ = 0, T
a ΓE
2010
(C.143)
a ΓE
peremen,
(C.144)
peremen,
(C.145)
~ =α ~ ×A ~, n
a ΓBA~
peremen,
(C.146)
~ = 0, ν∇ · A
a ΓBA~
peremen,
(C.147)
~ 0 − µ∇Φ) · n ~ = −b, (µT
a ΓBΦ
peremen,
(C.148)
Φ folytonos a ΓncΦ
peremen,
(C.149)
~ ×n ~ c = ~0, T
peremen,
(C.150)
a ΓncΦ
~ 0 −µ∇Φ)· n ~ 0 + µo T ~ −µo ∇Φ + R) ~ ·n ~ Φ + (µo T ~ c = 0, a ΓncΦ peremen, (C.151) (µT 1 ~ = 0, a Γnc peremen, ∇·T Φ σ ~0+T ~ − ∇Φ) × n ~ ×n ~ ~ c + (ν∇ × A) ~A (T ~ = 0,
(C.152) a ΓncA~
peremen,
(C.153)
~ 0 + µo T ~ − µo ∇Φ + R) ~ ·n ~ ·n ~ c + (∇ × A) ~A (µoT peremen, ~ = 0, a ΓncA ~
(C.154)
~ ·n ~ c = 0, a ΓncA~ peremen, T ~ 1 ∂A ~ ×n ~ ~c − ~A ∇×T ×n ~ = 0, σ ∂t
(C.155)
~ = 0, ν∇ · A
a ΓncA~
a ΓncA~
peremen,
~ 0 − µ∇Φ) · n ~ ·n ~ Φ + (∇ × A) ~A (µT ~ = 0, a ΓA,Φ ~
(C.156) (C.157)
~ 0 − ∇Φ) × n ~ ×n ~ ~ Φ + (ν∇ × A) ~A (T ~ = 0, ~ ·n ~A A ~ = 0,
peremen,
a ΓA,Φ ~ a ΓA,Φ ~
peremen, peremen,
peremen.
(C.158) (C.159) (C.160)
A gyenge alak h´arom egyenlete a k¨ovtkez˝o m´odon foglalhat´o ¨ossze: Z 1 1 ~ k ) · (∇ × T ~ a) + ∇ · W ~ k∇·T ~ a dΩ (∇ × W σ Ωc σ # Z " ~a ∂ T ∂Φ a ~ k· ~ k·∇ µo W dΩ + − µo W ∂t ∂t Ωc ! Z ~a ∂ A ~ k· ~A − W ×n dΓ = ~ ∂t Γnc ~ A Z Z ~ 0,a ~ ∂ T ~ k· ~ k · ∂ Ra dΩ, µo W W dΩ − − ∂t ∂t Ωc Ωc
114
(C.161)
Kuczmann Mikl´os
Habilit´aci´os disszert´aci´o
2010
Z ~a ∂T ∂Φa µo ∇Nk · − µo ∇Nk · ∇ dΩ + dΩ ∂t ∂t Ωc Ωc ! Z Z ~a ∂Φa ∂A ~A ·n µ∇Nk · ∇ + dΩ − Nk ∇ × ~ dΓ ∂t ∂t ΩnΦ Γnc ~ ∪ΓA,Φ ~ A Z Z ~ 0,a ~ ∂T ∂ T 0,a µ∇Nk · dΩ + dΩ µo ∇Nk · = ∂t ∂t ΩnΦ Ωc Z Z ~a ∂b ∂R Nk dΓ + + ∇Nk · dΩ, ∂t ∂t ΓBΦ Ωc " ! # Z ~a ~a ∂ A ∂ A ~ k) · ∇ × ~ k∇· − ν(∇ × W + ν∇ · W dΩ ∂t ∂t Ωn ~ A Z Z ~a ∂Φa ∂T ~ k×n ~ k) · n ~A ~A · (W (∇ × W − ~ ) dΓ − ~ dΓ = ∂t Γnc ~ ∪ΓA,Φ Γnc ~ ∂t ~ A A Z Z ~0 ~ ∂ J ~ k· ~ k · ∂ K dΓ − W W dΩ − ∂t ∂t Ωn ~ ΓH ~ A A ! Z Z ~ 0,a ∂Φa ~ ∂ T ~ ~ k· ~A W k · dl. − ×n dΓ + W ~ ∂t ∂t Γnc ~ ∪ΓA,Φ C ~ Z
(C.162)
(C.163)
A
Ebben a formalizmusban a k¨ovetkez˝o felt´eteleket kell kiel´eg´ıts´ek a formaf¨ uggv´enyek: ~ k×n ~ = ~0, W
a ΓHc ∪ ΓncΦ ∪ ΓBA~
peremen,
(C.164)
´es ~ k·n ~ = 0, W
a ΓE ∪ ΓncA~ ∪ ΓHA~ ∪ ΓA,Φ ~
peremen,
(C.165)
valamint Nk = 0,
C.11.
a ΓHc ∪ ΓHΦ
peremen.
(C.166)
~ ,Φ − A ~ − Φ-formalizmus A szabad T
A szabad formalizmus egyenletei az al´abbiak: ~ 1 ∂T ∂Φ ~ ∇× ∇ × T + µo −µo ∇ = σ ∂t ∂t ~ 0 ∂R ~ ∂T −µo − , az Ωc ∂t ∂t ~ − µo ∇Φ) = −∇ · (µoT ~ 0 ) − ∇ · R, ~ ∇ · (µoT ~ 0 ), −∇ · (µ∇Φ) = −∇ · (µT
~ =∇×T ~ 0, ∇ × (ν∇ × A) ~ ×n ~ = ~0, T
a ΓHc
az ΩnΦ az ΩnA~
(C.167) tartom´anyon,
az Ωc
tartom´anyon, tartom´anyon,
peremen,
tartom´anyon,
(C.168) (C.169) (C.170) (C.171)
115
Kuczmann Mikl´os Φ = Φ0 ,
Habilit´aci´os disszert´aci´o
a ΓHc
peremen,
~ ×n ~ ~ = K, (ν∇ × A)
a ΓHA~
Φ = Φ0 , a ΓHΦ peremen, 1 ~ ×n ~ = ~0, a ΓE ∇×T σ
(C.172) peremen,
a ΓBA~
~ 0 − µ∇Φ) · n ~ = −b, (µT
(C.173) (C.174)
peremen,
~ 0 + µo T ~ − µo ∇Φ + R) ~ ·n ~ = 0, (µoT
~ =α ~ ×A ~, n
2010
(C.175)
a ΓE
peremen,
(C.176)
peremen, a ΓBΦ
(C.177) peremen,
(C.178)
Φ folytonos a ΓncΦ
peremen,
(C.179)
~ ×n ~ = ~0, T
peremen,
(C.180)
a ΓncΦ
~ 0 −µ∇Φ) · n ~ 0 + µo T ~ −µo ∇Φ + R) ~ ·n ~ n + (µo T ~ c = 0, a ΓncΦ peremen, (C.181) (µT
~0+T ~ − ∇Φ) × n ~ ×n ~ ~ c + (ν∇ × A) ~A (T ~ = 0,
a ΓncA~
peremen,
~ 0 + µo T ~ − µo ∇Φ + R) ~ ·n ~ ·n ~ c + (∇ × A) ~A (µoT peremen, ~ = 0, a ΓncA ~ ~ 1 ∂A ~ ×n ~ ~c − ~A ∇×T ×n a ΓncA~ peremen, ~ = 0, σ ∂t ~ 0 − ∇Φ) × n ~ ×n ~ ~ Φ + (ν∇ × A) ~A (T ~ = 0,
~ 0 − µ∇Φ) · n ~ ·n ~ Φ + (∇ × A) ~A (µT ~ = 0,
a ΓA,Φ ~ a ΓA,Φ ~
peremen, peremen.
A gyenge alak a k¨ovetkez˝o egyenletekkel ´ırhat´o le: # Z " ~a 1 ∂ T ∂Φ ~ k ) · (∇ × T ~ a ) + µo W ~ k· ~ k · ∇ a dΩ (∇ × W − µo W ∂t ∂t Ωc σ ! Z Z ~ ~ ~ k · ∂ Aa × n ~ k · ∂ T 0,a dΩ ~A − W µo W dΓ = − ~ ∂t ∂t Γnc ~ Ωc A Z ~ ~ k · ∂ Ra dΩ, W − ∂t Ωc
(C.182) (C.183) (C.184) (C.185) (C.186)
(C.187)
Z Z ~a ∂T ∂Φa ∂Φa µo ∇Nk · µo ∇Nk · ∇ µ∇Nk · ∇ − dΩ + dΩ + dΩ ∂t ∂t ∂t Ωc Ωc ΩnΦ ! Z ~a ∂A ~A − Nk ∇ × ·n ~ dΓ ∂t Γnc ~ ∪ΓA,Φ ~ A (C.188) Z Z Z ~ 0,a ~ 0,a ∂b ∂T ∂T Nk dΓ µ∇Nk · dΩ + dΩ + µo ∇Nk · = ∂t ∂t ∂t ΩnΦ ΓBΦ Ωc Z ~a ∂R ∇Nk · + dΩ, ∂t Ωc Z
116
Kuczmann Mikl´os
Habilit´aci´os disszert´aci´o
2010
! ~a ∂ A ~ k) · ∇ × − ν(∇ × W dΩ ∂t Ωn ~ A Z Z ~a ∂Φa ∂T ~ ~ k) · n ~A ~A · (W k × n (∇ × W − ~ )dΓ − ~ dΓ = ∂t ∂t Γnc ~ ∪ΓA,Φ Γnc ~ ~ A A Z Z ~ ∂Φa ~ ~ ~ k ) · ∂ T 0,a dΩ + − (∇ × W W k · dl. ∂t Ωn ~ CH ∂t Z
(C.189)
A
Ebben a formalizmusban a k¨ovetkez˝o felt´eteleket kell kiel´eg´ıts´ek a formaf¨ uggv´enyek: ~ k×n ~ = ~0, W
a ΓHc ∪ ΓncΦ ∪ ΓBA~
peremen,
(C.190)
valamint Nk = 0,
C.12.
a ΓHc ∪ ΓHΦ
peremen.
(C.191)
~ V − Φ-formalizmus A k¨ ot¨ ott A,
~ V −Φ-formalizmus az A, ~ V − A-formalizmus ~ Az A, el˝ony¨os m´odos´ıt´asa, aminek c´elja, ~ potenci´al Φ-re t¨ort´en˝o cser´ej´evel cs¨okkenthet˝o. A csere hogy az ismeretlenek sz´ama az A az Ωn tartom´anyt ´erinti. Ez a m´odos´ıt´as term´eszetesen megjelenik a hat´arfelt´etelek teljes´ıt´es´eben is. A k¨ovetkez˝o egyenletekr˝ol van sz´o: ~ ∂A + σ∇V = ∂t −∇ × ~I, az Ωc
~ − ∇(νo ∇ · A)+σ ~ ∇ × (νo ∇ × A)
−∇ ·
!
~ ∂A σ + σ∇V ∂t
(C.192) tartom´anyon,
= 0,
az Ωc
tartom´anyon,
(C.193)
~ 0 ), −∇ · (µ∇Φ) = −∇ · (µT
az Ωn
tartom´anyon,
(C.194)
~ + ~I) × n ~ = ~0, a ΓHc peremen, (νo ∇ × A ! ~ ∂A ~ = 0, a ΓHc peremen, + σ∇V · n − σ ∂t
~ ·n ~ = 0, A Φ = Φ0 ,
~ = ~0, ~ ×A n V = V0 ,
~ = 0, νo ∇ · A
(C.197)
peremen,
a ΓE
a ΓE
(C.196)
peremen,
a ΓHc a ΓHn
(C.195)
(C.198)
peremen,
(C.199)
peremen,
a ΓE
~ 0 − µ∇Φ) · n ~ = −b, (µT
(C.200)
peremen, a ΓB
(C.201) peremen,
~ + ~I) × n ~ 0 − ∇Φ) × n ~ c + (T ~ n = ~0, (νo ∇ × A
~ ·n ~ 0 − µ∇Φ) · n ~ c + (µT ~ n = 0, (∇ × A)
117
(C.202) a Γnc
a Γnc
peremen,
peremen,
(C.203) (C.204)
Kuczmann Mikl´os
Habilit´aci´os disszert´aci´o
~ ∂A − σ + σ∇V ∂t ~ ·n ~ c = 0, A
!
~ c = 0, ·n
a Γnc
a Γnc
2010
peremen,
(C.205)
peremen.
(C.206)
~ V −A ~ − Φ-formalizmus (l. A gyenge alak h´arom egyenletb˝ol ´all, amelyek a k¨ot¨ott A, C.14. fejezet) egyszer˝ us´ıt´es´enek is felfoghat´ok: Z h i ~ ~ ~ ~ νo (∇ × W k ) · (∇ × Aa ) + νo ∇ · W k ∇ · Aa dΩ Ωc ! Z Z ~a ∂v ∂ A a ~ k) · n ~ ~A (C.207) Φa (∇ × W dΩ + + σ∇ Wk · σ + ~ dΓ ∂t ∂t Γnc Ωc Z Z Z ~ ~ k ) · ~I a dΩ, ~ ~ ~ ~A (∇ × W W k · (T 0,a × n Φ0 W k · dl − = ~ )dΓ + C
Γnc
Ωc
! ~a ∂A ∂va ∇Nk · σ dΩ = 0, + σ∇ ∂t ∂t Ωc Z Z ~ ·n ~A Nk (∇ × A) µ∇Nk · ∇Φa dΩ + − ~ dΓ = Γnc Ωn Z Z ~ µ∇Nk · T 0,a dΩ − Nk b dΓ. − Z
(C.209)
ΓB
Ωn
C.13.
(C.208)
~ V − Φ-formalizmus A szabad A,
Ez a formalizmus az el˝oz˝o technika m´ert´ekkel el nem l´atott verzi´oja, melynek egyenletei az al´abbiak szerint alakulnak: ~ ~ + σ ∂ A + σ∇V = −∇ × ~I, az Ωc ∇ × (νo ∇ × A) ∂t ! ~ ∂A −∇ · σ + σ∇V = 0, az Ωc tartom´anyon, ∂t ~ 0 ), −∇ · (µ∇Φ) = −∇ · (µT
az Ωn
tartom´anyon,
(C.211)
tartom´anyon,
(C.212)
~ + ~I) × n ~ = ~0, a ΓHc peremen, (νo ∇ × A ! ~ ∂A ~ = 0, a ΓHc peremen, + σ∇V · n − σ ∂t
Φ = Φ0 ,
a ΓHn
~ = ~0, ~ ×A n V = V0 ,
a ΓE
(C.213) (C.214)
peremen,
a ΓE
(C.215)
peremen,
(C.216)
peremen,
~ 0 − µ∇Φ) · n ~ = −b, (µT
a ΓB
(C.210)
(C.217) peremen,
~ + ~I) × n ~ 0 − ∇Φ) × n ~ c + (T ~ n = ~0, (νo ∇ × A 118
(C.218) a Γnc
peremen,
(C.219)
Kuczmann Mikl´os
Habilit´aci´os disszert´aci´o
~ ·n ~ 0 − µ∇Φ) · n ~ c + (µT ~ n = 0, a Γnc peremen, (∇ × A) ! ~ ∂A ~ c = 0, a Γnc peremen. − σ + σ∇V · n ∂t
2010 (C.220) (C.221)
~ V −A ~ − Φ-formalizmus A gyenge alak h´arom egyenletb˝ol ´all, amelyek a szabad A, (l. C.15. fejezet) egyszer˝ us´ıt´es´enek is felfoghat´ok: ! Z Z ~a ∂ A ∂v a ~ k· σ ~ k ) · (∇ × A)dΩ ~ W νo (∇ × W + dΩ + σ∇ ∂t ∂t Ωc Ωc (C.222) Z Z Z ~ − ~ k ) · ~I a dΩ, ~ k) · n ~ k · dl ~A (∇ × W Φa (∇ × W Φ0 W + ~ dΓ = C
ΓncΦ
Ωc
! ~a ∂A ∂va dΩ = 0, ∇Nk · σ + σ∇ ∂t ∂t Ωc Z Z ~ a) · n ~A − µ∇Nk · ∇Φa dΩ + Nk (∇ × A ~ dΓ = Ωn Γnc Z Z ~ 0,a dΩ − µ∇Nk · T Nk b dΓ. − Z
(C.224)
ΓB
Ωn
C.14.
(C.223)
~ V −A ~ − Φ-formalizmus A k¨ ot¨ ott A,
~ V − Φ-formalizmus t¨obbsz¨or¨osen ¨osszef¨ Az A, ugg˝o ¨orv´eny´aramtartom´any eset´en nem ~ vektorpotenci´alt az Ωn taralkalmazhat´o. Ezen okn´al fogva c´elszer˝ u bevezetni az A tom´any egy r´esz´en u ´ gy, hogy ez´altal a t¨obbsz¨or¨osen ¨osszef¨ ugg˝o tartom´any a skal´arpoten~ V −A ~ − Φci´al szempontj´ab´ol egyszeresen ¨osszef¨ ugg˝o legyen. Ez eredm´enyezi ezen A, formalizmust, melynek egyenletei az al´abbiak: ~ ∂A ~ − ∇(νo ∇ · A)+σ ~ ∇ × (νo ∇ × A) + σ∇V = ∂t −∇ × ~I, az Ωc tartom´anyon, ! ~ ∂A + σ∇V = 0, az Ωc tartom´anyon, −∇ · σ ∂t ~ − ∇(ν∇ · A) ~ =J ~ 0, ∇ × (ν∇ × A) ~ 0 ), −∇ · (µ∇Φ) = −∇ · (µT
az ΩnA~
az ΩnΦ
tartom´anyon,
tartom´anyon,
~ + ~I) × n ~ = ~0, a ΓHc peremen, (νo ∇ × A ! ~ ∂A ~ = 0, a ΓHc peremen, − σ + σ∇V · n ∂t ~ ·n ~ = 0, A
a ΓHc
~ ×n ~ ~ = K, (ν∇ × A)
peremen, a ΓHA~
(C.225)
(C.226) (C.227) (C.228) (C.229) (C.230) (C.231)
peremen, 119
(C.232)
Kuczmann Mikl´os ~ ·n ~ = 0, A Φ = Φ0 ,
a ΓHA~ a ΓHΦ
~ = ~0, ~ ×A n V = V0 ,
Habilit´aci´os disszert´aci´o
~ = 0, νo ∇ · A
peremen,
(C.233)
peremen,
a ΓE
a ΓE
2010
(C.234)
peremen,
(C.235)
peremen,
a ΓE
(C.236)
peremen,
(C.237)
~ =α ~ ×A ~, n
a ΓBA~
peremen,
(C.238)
~ = 0, ν∇ · A
a ΓBA~
peremen,
(C.239)
~ 0 − µ∇Φ) · n ~ = −b, (µT
a ΓBΦ
peremen,
~ + ~I) × n ~ ×n ~ ~ c + (ν∇ × A) ~A (νo ∇ × A ~ = 0,
(C.240) a ΓncA~
peremen,
(C.241)
~ nc + (ν∇ · A)~ ~ n ~ = ~0, a Γnc (νo ∇ · A)~ peremen, ~ A A ! ~ ∂A ~ c = 0, a ΓncA~ peremen, + σ∇V · n − σ ∂t
(C.242)
~ +n ~ = ~0, ~c ×A ~n ×A n
(C.244)
~ ·n ~ ·n ~c +A ~ n = 0, A
a ΓncA~ a ΓncA~
peremen, peremen,
(C.245)
~ + ~I) × n ~ 0 − ∇Φ) × n ~ c + (T ~ Φ = ~0, (νo ∇ × A
a ΓncΦ
~ ·n ~ ~A ~ Φ = 0, a ΓncΦ (∇ × A) ~ + (µT 0 − µ∇Φ) · n ! ~ ∂A ~ c = 0, a ΓncΦ peremen, − σ + σ∇V · n ∂t ~ ·n ~ c = 0, A
a ΓncΦ
peremen,
(C.246) (C.247) (C.248) (C.249)
~ ·n ~ ~A ~ Φ = 0, (∇ × A) ~ + (µT 0 − µ∇Φ) · n a ΓA,Φ ~
peremen,
peremen,
~ ×n ~ ~A ~ Φ = ~0, (ν∇ × A) ~ + (T 0 − ∇Φ) × n ~ ·n ~A A ~ = 0,
(C.243)
peremen.
a ΓA,Φ ~ a ΓA,Φ ~
peremen, peremen,
(C.250) (C.251) (C.252)
120
Kuczmann Mikl´os
Habilit´aci´os disszert´aci´o
2010
Ezen potenci´alformalizmus gyenge alakja a k¨ovetkez˝o h´arom egyenletben foglalhat´o ¨ossze: Z h i ~ ~ ~ ~ νo (∇ × W k ) · (∇ × Aa ) + νo ∇ · W k ∇ · Aa dΩ Ωc ! Z ~a ∂ A ∂v a ~ k· σ W + dΩ + σ∇ ∂t ∂t Ωc Z h i ~ ~ ~ ~ + ν(∇ × W k ) · (∇ × A) + ν∇ · W k ∇ · Aa dΩ Ωn ~
A
+ = + −
Z
Z Z
Z
ΓncΦ ∪ΓA,Φ ~
~ k·J ~ 0 dΩ + W
Ωn ~
A
ΓncΦ ∪ΓA,Φ ~
Ωc
~ k) · n ~A Φa (∇ × W ~ dΓ Z
~ k · KdΓ ~ W
ΓH ~
A
~ k · (T ~ 0,a × n ~A W ~ )dΓ +
~a ∂va ∂A + σ∇ ∇Nk · σ ∂t ∂t Ωc Z Z µ∇Nk · ∇Φa dΩ + − ΩnΦ
!
C
~ ~ k · dl Φ0 W
dΩ = 0,
ΓncΦ ∪ΓA,Φ ~
ΩnΦ
−
Z
~ k ) · ~I a dΩ, (∇ × W
Z
Z
(C.253)
~ 0,a dΩ − µ∇Nk · T
Z
(C.254)
~ a) · n ~A Nk (∇ × A ~ dΓ =
(C.255)
Nk b dΓ,
ΓBΦ
ahol ~ k×n ~ = ~0, W
a ΓE ∪ ΓBA~
peremen,
(C.256)
´es ~ k·n ~ = 0, W
a ΓHc ∪ ΓncΦ ∪ ΓHA~ ∪ ΓA,Φ ~
peremen,
(C.257)
valamint Nk = 0,
C.15.
a ΓE ∪ ΓHΦ
peremen.
(C.258)
~ V −A ~ − Φ-formalizmus A szabad A,
A fenti k¨ot¨ott formalizmus alapj´an a szabad formalizmus egyenletei a k¨ovetkez˝ok´epp ´ırhat´ok fel: ~ ~ + σ ∂ A + σ∇V = −∇ × ~I, ∇ × (νo ∇ × A) ∂t
121
az Ωc
tartom´anyon,
(C.259)
Kuczmann Mikl´os
Habilit´aci´os disszert´aci´o !
~ ∂A σ + σ∇V ∂t
−∇ ·
= 0,
~ =∇×T ~ 0, ∇ × (ν∇ × A)
az Ωc a ΩnA~
~ 0 ), −∇ · (µ∇Φ) = −∇ · (µT
2010
tartom´anyon,
(C.260)
tartom´anyon,
(C.261)
az ΩnΦ
tartom´anyon,
(C.262)
~ + ~I) × n ~ = ~0, a ΓHc peremen, (νo ∇ × A ! ~ ∂A ~ = 0, a ΓHc peremen, + σ∇V · n − σ ∂t
(C.263)
~ ×n ~ ~ = K, (ν∇ × A)
(C.265)
Φ = Φ0 ,
a ΓHΦ
~ = ~0, ~ ×A n V = V0 ,
~ =α ~ ×A ~, n
peremen,
peremen,
a ΓE
a ΓE
a ΓHA~
(C.264)
(C.266)
peremen,
(C.267)
peremen,
a ΓBA~
(C.268)
peremen,
~ 0 − µ∇Φ) · n ~ = −b, (µT
a ΓBΦ
(C.269) peremen,
(C.270)
~ + ~I) × n ~ ×n ~ ~ c + (ν∇ × A) ~A (νo ∇ × A a ΓncA~ ~ = 0, ! ~ ∂A ~ c = 0, a ΓncA~ peremen, + σ∇V · n − σ ∂t ~ +n ~ = ~0, ~c ×A ~n ×A n
a ΓncA~
peremen,
(C.272)
peremen,
~ + ~I) × n ~ 0 − ∇Φ) × n ~ c + (T ~ Φ = ~0, (νo ∇ × A
(C.273) a ΓncΦ
~ ·n ~ ~A ~ Φ = 0, a ΓncΦ (∇ × A) ~ + (µT 0 − µ∇Φ) · n ! ~ ∂A ~ c = 0, a ΓncΦ peremen, − σ + σ∇V · n ∂t ~ ×n ~ ~A ~ Φ = ~0, (ν∇ × A) ~ + (T 0 − ∇Φ) × n ~ ·n ~ ~A ~ Φ = 0, (∇ × A) ~ + µ(T 0 − ∇Φ) · n
(C.271)
peremen,
(C.274) (C.275) (C.276)
a ΓA,Φ ~ a ΓA,Φ ~
peremen,
peremen,
(C.277)
peremen.
(C.278)
A gyenge alak h´arom egyenlete a v´eg¨ ul k¨ovetkez˝o: Z
Ωc
+
Z
~ k ) · (∇ × A ~ a )dΩ + νo (∇ × W
Ωn ~
+
Z
A
+
C
Ωc
~ k· W
~a ∂va ∂A + σ∇ σ ∂t ∂t
~ k ) · (∇ × A ~ a )dΩ ν(∇ × W
ΓncΦ ∪ΓA,Φ ~
Z
Z
~ k) · n ~A Φa (∇ × W ~ dΓ =
~ k · dl ~ − Φ0 W
Z
Ωc
Z
122
dΩ
(C.279)
Ωn ~
~ k ) · ~I a dΩ, (∇ × W
!
A
~ k) · T ~ 0,a dΩ (∇ × W
Kuczmann Mikl´os
Habilit´aci´os disszert´aci´o
~a ∂A ∂va ∇Nk · σ + σ∇ ∂t ∂t Ωc Z Z − µ∇Nk · ∇Φa dΩ + Z
ΩnΦ
− ahol
Z
ΩnΦ
dΩ = 0,
ΓncΦ ∪ΓA,Φ ~
~ 0,a dΩ − µ∇Nk · T
~ k×n ~ = ~0, W
valamint
Nk = 0,
C.16.
!
Z
(C.280)
(C.281)
Nk b dΓ,
ΓBΦ
a ΓE ∪ ΓBA~
a ΓE ∪ ΓHΦ
~ a) · n ~A Nk (∇ × A ~ dΓ =
2010
peremen,
peremen.
(C.282) (C.283)
A Maxwell-egyenletek kontrakt´ıv tulajdons´ aga
Ebben a pontban a (4.27) ¨osszef¨ ugg´es igazol´as´at mutatom be, amikor a polariz´aci´os ~ ~ ~ formula a B = µH + R ¨osszef¨ ugg´es szerint alakul. A bizony´ıtand´o ¨osszef¨ ugg´es az al´abbi: ~ 1 } − M {R ~ 2 }|| ≤ ||R ~1−R ~ 2 ||, ∀ R ~ 1, R ~ 2. ||M {R (C.284)
~ 1, B ~ 1, R ~ 1 ), ´es (H ~ 2, B ~ 2, R ~ 2 ) k´et k¨ Legyen (H ul¨onb¨oz˝o m´agneses t´er reprezent´ansa ugyanazon peremfelt´etelek ´es gerjeszt´es eset´en. A Maxwell-egyenletek megold´asa egy´ertelm˝ u, azaz a k´et megold´as k¨ ul¨onbs´ege ki kell el´eg´ıtse a k¨ovetkez˝o ¨osszef¨ ugg´est: Z ~ d, H ~ d >= ~d·H ~ d dΩ = 0,
~d=H ~ 1−H ~ 2 ´es B ~d=B ~1−B ~ 2 . A bels˝o szorzat ´at´ırhat´o a k¨ovetkez˝o alakban: ahol H ~ d , ν(B ~ d−R ~ d ) >=< B ~ d, ν B ~d>−
= 0,
~d=R ~1−R ~ 2 , azaz ahol ν = 1/µ ´es R ~ d, νB ~ d >=< B ~ d, ν R ~d>.
(C.287)
~ , ~y >| ≤ ||~ |< x x|| ||~y||
(C.288)
Az Schwartz-egyenl˝otlens´eg alapj´an ´ırhat´o, hogy ~ d, νR ~ d > ≤ ||B ~ d || ||ν R ~ d ||.
(C.289)
ak´arcsak a ~ d || ≤ ||ν R ~ d || ||ν B
(C.291)
~ d, νR ~ d > bels˝o szorzat biztosan pozit´ıv, hiszen A (C.286) ¨osszef¨ ugg´esben szerepl˝o < B ~ d, νB ~ d > biztosan pozit´ıv. A k¨ovetkez˝o egyenl˝otlens´eg emiatt biztos´ıtott: ≡ ||B ~ d || ||ν B ~ d || ≤ ||B ~ d || ||ν R ~ d ||,
¨osszef¨ ugg´es, amit a k¨ovetkez˝o alakban is ´ırhatunk: ~1−B ~ 2 )|| ≤ ||ν(R ~1−R ~ 2 )||. ||ν(B
A H = νB + I alak´ u polariz´aci´os formula eset´en a bizony´ıt´as anal´og. 123
(C.292)
D. F¨ uggel´ ek A potenci´ alf¨ uggv´ enyek k¨ ozel´ıt´ ese A bevezet˝o 2.3.3. fejezetben bemutattam, hogy a Maxwell-egyenletekb˝ol levezethet˝o parci´alis differenci´alegyenletekben vagy skal´ar ´ert´ek˝ u potenci´alok, vagy vektorpotenci´alok szerepelnek. El˝obbihez a Φ m´agneses skal´arpotenci´al, vagy a V elektromos ~ ´aram-vektorpotenci´al, vagy az A ~ m´agneses vektorskal´arpotenci´al, ut´obbihoz pedig a T potenci´al tartozik. Ezen f¨ uggel´ekben bemutatom az ´altalam haszn´alt k¨ ul¨onb¨oz˝o formaf¨ uggv´enyeket, azok matematikai alakj´at ´es jellemz˝oit. Kit´erek a k¨ ul¨onf´ele csom´oponti formaf¨ uggv´enyekre ´es az ´elmenti vektorf¨ uggv´enyekre is. Az irodalomb´ol a csom´oponti formaf¨ uggv´enyek j´ol ismertek, mert azok alakultak ki kor´abban. Az ´elmenti formaf¨ uggv´enyek viszonylag u ´ jak, s tudom´asom szerint magyar nyelven ilyen jelleg˝ u o¨sszefoglal´as m´eg nem jelent meg. Ez´ert is ´ereztem fontosnak ezen f¨ uggel´ek r´eszletes kidolgoz´as´at.
D.1.
Egydimenzi´ os csom´ oponti formaf¨ uggv´ enyek
Az egydimenzi´os line´aris formaf¨ uggv´eny alakja rendk´ıv¨ ul egyszer˝ u, az egyenes egyenlete szerint alakul (D.1 ´abra): x2 − x x − x1 N1 (x) = , ´es N2 (x) = , (D.1) x2 − x1 x2 − x1 ahol x1 ´es x2 az egydimenz´os v´egeselem k´et v´egpontj´anak koordin´at´ai, az egydimenzi´os v´egeselem ugyanis egy vonal. N1 (x)
N2 (x)
1
x1
x2
D.1. ´abra. Az N1 (x) ´es N2 (x) formaf¨ uggv´enyek egy dimenzi´oban Ha a k¨ozel´ıt˝o potenci´alf¨ uggv´eny ´ert´eke az x1 ´es x2 koordin´at´aj´ u pontokban ismert, akkor a potenci´alf¨ uggv´eny a v´egeselemen bel¨ ul tetsz˝oleges x koordin´at´aj´ u pontban sz´am´ıthat´o a defin´ıci´o ´ertelm´eben (l. D.2 ´abra ´es x1 ≤ x ≤ x2 ): x − x1 x2 − x Φ1 + Φ2 . (D.2) Φa = N1 (x) Φ1 + N2 (x) Φ2 = x2 − x1 x2 − x1 124
Kuczmann Mikl´os
Habilit´aci´os disszert´aci´o
2010
Ez term´eszetesen igaz b´armely m´asik v´egeselem felett, p´eld´aul ha x2 ≤ x ≤ x3 , akkor Φa = N1 (x) Φ2 + N2 (x) Φ3 =
x3 − x x − x2 Φ2 + Φ3 . x3 − x2 x3 − x2
(D.3)
Az N1 ´es N2 f¨ uggv´enyeket ekkor el kell tolni az aktu´alis v´egeselemre. A k¨ozel´ıt˝o potenci´alf¨ uggv´eny a teljes tartom´anyon folytonos. A k¨ozel´ıt´es hib´aja cs¨okkenthet˝o a v´egeselemek sz´am´anak n¨ovel´es´evel, azaz a v´egeselemek hossz´anak cs¨okkent´es´evel. K¨ ul¨on¨osen azon helyeken c´elszer˝ u a finom´ıt´ast elv´egezni, ahol a potenci´alf¨ uggv´eny gyorsan v´altozik, mint p´eld´aul a D.2 ´abr´an az x3 ´es x4 pontok k¨oz¨ott. Sok esetben c´elszer˝ u a k¨ozel´ıt˝o polinom foksz´am´anak n¨ovel´ese. Φ1
Φ4 Φ2 N1 (x)
N2 (x)
Φ3
1
x1
x2
x3
x4
D.2. ´abra. A potenci´alf¨ uggv´eny approxim´aci´oja line´aris f¨ uggv´enyek ´altal A foksz´am n¨ovel´es´ere a Lagrange-f´ele interpol´aci´os polinomok alkalmaz´asa a legelterjedtebben alkalmazott m´odszer. A polinom defin´ıci´oja az al´abbi: Ni (x) =
m Y
x − xj . x i − xj j=1, j6=i
(D.4)
A polinom foksz´ama m − 1. Az Ni (x) polinom ´ert´eke az i-edik csom´opontban egys´egnyi, a t¨obbi csom´opontban pedig z´erus. Itt a m´asodfok´ u ´es a harmadfok´ u polinomokat mutatom be. A m´asodfok´ u k¨ozel´ıt˝o polinomok fel´all´ıt´as´ahoz h´arom pontra van sz¨ uks´eg, s ´ıgy h´arom f¨ uggv´eny defini´alhat´o, ahogy az a D.3 ´abr´an is l´athat´o. A h´arom Ni = Ni (x) f¨ uggv´eny a k¨ovetkez˝o (m = 3): N1 =
(x − x2 )(x − x3 ) , (x1 − x2 )(x1 − x3 )
(D.5)
N2 =
(x − x1 )(x − x3 ) , (x2 − x1 )(x2 − x3 )
(D.6)
(x − x1 )(x − x2 ) , (x3 − x1 )(x3 − x2 ) ahol az x3 koordin´at´aj´ u pont az elem k¨ozep´en helyezkedik el, N3 =
x3 =
x1 + x2 . 2
(D.7)
(D.8) 125
Kuczmann Mikl´os
Habilit´aci´os disszert´aci´o N3 (x)
N1 (x)
2010
N2 (x)
1
x1
x2
x3
D.3. ´abra. Az N1 (x), N2 (x) ´es N3 (x) m´asodfok´ u formaf¨ uggv´enyek egy dimenzi´oban A harmadfok´ u Ni = Ni (x) formaf¨ uggv´enyek a k¨ovetkez˝ok szerint ´ep´ıthet˝ok fel: N1 =
(x − x2 )(x − x3 )(x − x4 ) , (x1 − x2 )(x1 − x3 )(x1 − x4 )
(D.9)
N2 =
(x − x1 )(x − x3 )(x − x4 ) , (x2 − x1 )(x2 − x3 )(x2 − x4 )
(D.10)
N3 = N4 =
(x − x1 )(x − x2 )(x − x4 ) , (x3 − x1 )(x3 − x2 )(x3 − x4 )
(D.11)
(x − x1 )(x − x2 )(x − x3 ) , (x4 − x1 )(x4 − x2 )(x4 − x3 )
(D.12)
ahol az x3 ´es x4 pontok az elemen bel¨ ul a k¨ovetkez˝o koordin´at´ak ´altal defini´alt: x3 =
1(x1 + x2 ) , 3
x4 =
2(x1 + x2 ) . 3
(D.13)
A f¨ uggv´enyek a D.4 ´abr´an l´athat´ok. N3 (x)
N4 (x) N2 (x)
1
N1 (x) x1
x3
x4
x2
D.4. ´abra. A harmadfok´ u formaf¨ uggv´enyek egy dimenzi´oban, N1 (x), N2 (x), N3 (x) ´es N4 (x) A D.5 ´abr´an l´athat´o kvadratikus k¨ozel´ıt´es ugyanazon v´egeselemes felbont´as mellett pontosabb megold´ast szolg´altat, mint a D.2 ´abr´an l´athat´o els˝ofok´ u approxim´aci´o.
126
Kuczmann Mikl´os
Habilit´aci´os disszert´aci´o
Φ1
2010 Φ4
Φ2
Φ3
x1
x2
x3
x4
D.5. ´abra. A potenci´alf¨ uggv´eny approxim´aci´oja m´asodfok´ u f¨ uggv´enyek ´altal
D.2.
K´ etdimenzi´ os csom´ oponti formaf¨ uggv´ enyek h´ aromsz¨ ogelem felett
Munk´am sor´an h´aromsz¨ogelemeket haszn´altam a k´etdimenzi´os probl´em´ak diszkretiz´al´as´ara. A line´aris formaf¨ uggv´enyek az u ´ n. baricentrikus koordin´at´ak alapj´an ´ep´ıthet˝ok fel, amely a ter¨ uletf¨ uggv´enyek defin´ıci´oj´an alapszik. A h´aromsz¨og ∆ ter¨ ulete az al´abbi m´odon sz´am´ıthat´o: 1 x1 y1 1 (D.14) ∆ = 1 x2 y2 , 2 1 x3 y3 ahol (x1 , y1 ), (x2 , y2 ) ´es (x3 , y3 ) jel¨oli a h´aromsz¨og h´arom csom´opontj´anak koordin´at´ait. A h´aromsz¨og csom´opontjainak sorsz´amai az ´oramutat´o j´ar´as´aval ellent´etes ir´anyba kell, hogy n¨ovekedjenek, mert a (D.14) determin´ans ekkor ad pozit´ıv eredm´enyt. A D.6. ´abr´an a ter¨ uletf¨ uggv´enyek defin´ıci´oja ´ertelmezhet˝o. Az (x, y) koordin´at´aj´ u pont a h´aromsz¨oget h´arom kisebb h´aromsz¨ogre bontja, melyek ter¨ ulete a 1 x y 1 x1 y1 1 x1 y1 1 1 1 ∆1 = 1 x2 y2 , ∆2 = 1 x y , ∆3 = 1 x2 y2 (D.15) 2 2 2 1 x3 y3 1 x3 y3 1 x y ¨osszef¨ ugg´esek szerint sz´am´ıthat´o. Ezen ter¨ uletek nyilv´anval´oan f¨ uggenek az x ´es y koordin´at´akt´ol. Az Li = Li (x, y) u ´ n. baricentrikus koordin´at´ak a k¨ovetkez˝ok´epp defini´alhat´ok: Li =
∆i , ∆
i = 1, 2, 3.
(D.16)
H´arom line´aris Ni = Ni (x, y) formaf¨ uggv´eny defini´alhat´o a h´aromsz¨og felett: Ni = Li ,
i = 1, 2, 3.
(D.17)
Az Ni formaf¨ uggv´eny ´ert´eke az i-edik csom´opontban egys´egnyi, a m´asik k´et csom´opontban pedig nulla. Mindez az Li baricentrikus koordin´at´ak defin´ıci´oj´ab´ol k¨ovetkezik, tov´abb´a a h´arom formaf¨ uggv´eny line´aris f¨ uggetlen. 127
Kuczmann Mikl´os
Habilit´aci´os disszert´aci´o
2010
(x3 , y3 )
∆2
∆1
(x, y)
∆3
(x2 , y2 )
(x1 , y1 ) D.6. ´abra. A h´aromsz¨og ter¨ uletf¨ uggv´enyeihez Az Ni (i = 1, 2, 3) line´aris b´azisf¨ uggv´enyek line´arisan cs¨okkennek az i-edik csom´opontt´ol a szemben l´ev˝o ´el ir´any´aban, ugyanis a ∆i /∆ h´anyados az (x, y) koordin´at´aj´ u pont t´avols´ag´at m´eri az i-edik csom´oponttal szemben l´ev˝o ´elre mer˝oleges egyenes ment´en, ahogy az a D.7 ´abr´an is l´athat´o az i = 1 esetre. ∆1 /∆ = 0 ∆1 /∆ = 0.25
(x3 , y3 )
∆1 /∆ = 0.5
∆1
∆1 /∆ = 0.75 ∆1 /∆ = 1
(x, y)
(x2 , y2 ) (x1 , y1 )
D.7. ´abra. A ∆i /∆ h´anyados az (x, y) koordin´at´aj´ u pont t´avols´ag´at m´eri az i-edik csom´oponttal szembenl´ev˝o ´elre mer˝oleges egyenes ment´en (itt i = 1) A h´arom line´aris formaf¨ uggv´eny alakul´as´at a D.8 ´abra mutatja. Amennyiben a numerikus technika ´altal a k¨ozel´ıtend˝o potenci´al a h´aromsz¨og cs´ ucspontjaiban ismert, u ´ gy line´aris approxim´aci´oval a h´aromsz¨og¨on bel¨ ul tetsz˝oleges pontban ki lehet sz´am´ıtani a potenci´al ´ert´ek´et. Az els˝o deriv´altak azonban konstans ´ert´eket adnak, ~ = −∇Φ), vagy rot´aci´ok´epz´essel (B ~ = ∇×A) ~ azaz a potenci´alokb´ol gradiensk´epz´essel (H sz´am´ıtott t´erjellemz˝ok egy-egy h´aromsz¨og felett konstans ´ert´ek˝ uek. Sok esetben enn´el pontosabb megold´asra van sz¨ uks´eg, amely a v´egeselemes h´al´o s˝ ur´ıt´ese mellett magasabb foksz´am´ u polinomok alkalmaz´as´aval ´erhet˝o el. Magasabb foksz´am´ u k¨ozel´ıt´es a (D.16) ¨osszef¨ ugg´es ´altal bevezetett baricentrikus koordin´at´ak seg´ıts´eg´evel lehets´eges.
128
Kuczmann Mikl´os
Habilit´aci´os disszert´aci´o
2010
(x3 , y3)
(x3 , y3 ) 1
1
(x2 , y2) (x1 , y1)
(x2 , y2 ) (x1 , y1 )
(a) N1 (x, y)
(b) N2 (x, y)
1
(x3 , y3 )
(x2 , y2 ) (x1 , y1 ) (c) N3 (x, y)
D.8. ´abra. A h´arom line´aris formaf¨ uggv´eny a h´aromsz¨og felett Egy n-edfok´ u polinom az ¨osszes xp y q t´ıpus´ u szorzatot kell, hogy tartalmazza, mik¨ozben 0 ≤ p + q ≤ n is teljes¨ ul. Mindezt k¨onnyen ´erthet˝o form´aban a Pascal-h´aromsz¨og reprezent´alja: 1 x y x2
xy
x3
x2 y
y2 xy 2
y3
···
A Pascal-h´aromsz¨og els˝o sora a nulladfok´ u polinomot adja, az els˝o sor ´es a m´asodik sor az els˝ofok´ u polinom lehets´eges elemeit tartalmazza, ´es ´ıgy tov´abb, azaz egy n-edfok´ u polinom m=
(n + 1)(n + 2) 2
(D.18)
sz´am´ u komponensb˝ol ´ep¨ ul fel (m = 1, m = 3, m = 6 ´es m = 10 komponens alkotja rendre a nulladfok´ u, az els˝ofok´ u, a m´asodfok´ u ´es a harmadfok´ u polinomokat). Mindez azt is jelenti, hogy m sz´am´ u pont sz¨ uks´eges a polinomok fel´ır´as´ahoz, azaz a h´aromsz¨og¨on bel¨ ul m sz´am´ u pontot kell kiv´alasztani. 129
Kuczmann Mikl´os
Habilit´aci´os disszert´aci´o
2010
Az n-edfok´ u polinom a k¨ovetkez˝o s´ema szerint ´ep´ıthet˝o fel: Ni = PIn (L1 ) PJn (L2 ) PKn (L3 ),
ahol I + J + K = n.
(D.19)
Az I, J ´es K term´eszetes sz´amok egy s´em´at adnak, amely a h´aromsz¨og¨on ´ertelmezett pontokat hivatottak megjel¨olni. A s´ema (I, J, K) alakban a D.9 ´abr´an, a D.10 ´abr´an ´es a D.11 ´abr´an l´athat´o a line´aris, a kvadratikus ´es a harmadfok´ u k¨ozel´ıt´esek eset´eben. Fontos megjegyezni, hogy n > 2 eset´en a h´aromsz¨og¨on bel¨ ul is keletkezik pont, nemcsak az ´elek ment´en. 3 : (0, 0, 1)
2 : (0, 1, 0) 1 : (1, 0, 0) D.9. ´abra. Sz´amoz´asi s´ema n = 1 eset´en 3 : (0, 0, 2) 5 : (0, 1, 1) 6 : (1, 0, 1) 2 : (0, 2, 0) 4 : (1, 1, 0) 1 : (2, 0, 0) D.10. ´abra. Sz´amoz´asi s´ema n = 2 eset´en 3 : (0, 0, 3) 7 : (0, 1, 2)
8 : (1, 0, 2)
10 : (1, 1, 1) 6 : (0, 2, 1) 9 : (2, 0, 1)
1 : (3, 0, 0)
2 : (0, 3, 0) 5 : (1, 2, 0) 4 : (2, 1, 0)
D.11. ´abra. Sz´amoz´asi s´ema n = 3 eset´en A PIn (L1 ), PJn (L2 ) ´es PKn (L3 ) polinomok defin´ıci´oja az al´abbi: PIn (L1 )
=
I−1 Y n L1 − p p=0
I −p
I−1
1 Y (n L1 − p), = I! p=0 130
ha I > 0,
(D.20)
Kuczmann Mikl´os
PJn (L2 ) =
J−1 Y p=0
PKn (L3 )
=
J−1 1 Y n L2 − p (n L2 − p), = J −p J! p=0
K−1 Y p=0
´es
Habilit´aci´os disszert´aci´o
K−1 n L3 − p 1 Y (n L3 − p), = K−p K! p=0
ha J > 0,
ha K > 0,
P0n = 1.
2010
(D.21)
(D.22)
(D.23)
Ha n = 1, akkor m = 3, azaz (D.9 ´abra) N1 = P11 (L1 ) P01(L2 ) P01(L3 ) = L1 ,
(D.24)
N2 = P01 (L1 ) P11(L2 ) P01(L3 ) = L2 ,
(D.25)
N3 = P01 (L1 ) P01(L2 ) P11(L3 ) = L3 ,
(D.26)
mivel P11(Li )
=
1−1 Y 1 Li − p p=0
1−p
= Li .
(D.27)
Ha n = 2, akkor m = 6, s ´ıgy (D.10 ´abra) N1 = P22 (L1 ) P02(L2 ) P02(L3 ) = L1 (2 L1 − 1),
(D.28)
N2 = P02 (L1 ) P22(L2 ) P02(L3 ) = L2 (2 L2 − 1),
(D.29)
N3 = P02 (L1 ) P02(L2 ) P22(L3 ) = L3 (2 L3 − 1),
(D.30)
N4 = P12 (L1 ) P12(L2 ) P02(L3 ) = 4 L1 L2 ,
(D.31)
N5 = P02 (L1 ) P12(L2 ) P12(L3 ) = 4 L2 L3 ,
(D.32)
N6 = P12 (L1 ) P02(L2 ) P12(L3 ) = 4 L1 L3 ,
(D.33)
mivel P12(Li )
=
1−1 Y 2 Li − p p=0
1−p
= 2 Li ,
(D.34)
´es P22(Li )
=
2−1 Y 2 Li − p p=0
2−p
=
2 Li 2 Li − 1 = Li (2 Li − 1). 2 1
(D.35)
A D.12 ´abr´an az N1 ´es N4 formaf¨ uggv´enyek l´athat´ok. A t¨obbi formaf¨ uggv´eny alakja hasonl´o, elforgat´assal k¨onnyen megkaphat´o. V´egezet¨ ul, ha n = 3, akkor m = 10, ´es a k¨ovetkez˝o formaf¨ uggv´enyek ´ırhat´ok fel: 1 N1 = P33 (L1 ) P03(L2 ) P03(L3 ) = L1 (3 L1 − 1)(3 L1 − 2), 2 131
(D.36)
Kuczmann Mikl´os
Habilit´aci´os disszert´aci´o
2010
(x3 , y3)
(x3 , y3)
1
1 (x2 , y2)
(x1 , y1)
(x2 , y2) (x1 , y1)
(a) N1 (x, y)
(b) N4 (x, y)
D.12. ´abra. Az N1 (x, y) ´es N4 (x, y) formaf¨ uggv´enyek alakja 1 N2 = P03 (L1 ) P33(L2 ) P03(L3 ) = L2 (3 L2 − 1)(3 L2 − 2), 2 1 N3 = P03 (L1 ) P03(L2 ) P33(L3 ) = L3 (3 L3 − 1)(3 L3 − 2), 2 9 N4 = P23 (L1 ) P13(L2 ) P03(L3 ) = L1 (3 L1 − 1)L2 , 2 9 N5 = P13 (L1 ) P23(L2 ) P03(L3 ) = L2 (3 L2 − 1)L1 , 2 9 N6 = P03 (L1 ) P23(L2 ) P13(L3 ) = L2 (3 L2 − 1)L3 , 2 9 N7 = P03 (L1 ) P13(L2 ) P23(L3 ) = L3 (3 L3 − 1)L2 , 2 9 N8 = P13 (L1 ) P03(L2 ) P23(L3 ) = L3 (3 L3 − 1)L1 , 2 9 N9 = P23 (L1 ) P03(L2 ) P13(L3 ) = L1 (3 L1 − 1)L3 , 2 3 3 3 N10 = P1 (L1 ) P1 (L2 ) P1 (L3 ) = 27 L1 L2 L3 ,
(D.37) (D.38) (D.39) (D.40) (D.41) (D.42) (D.43) (D.44) (D.45)
mivel P13(Li )
=
1−1 Y 3 Li − p p=0
P23(Li )
=
2−1 Y 3 Li − p p=0
P33(Li )
=
1−p
2−p
3−1 Y 3 Li − p p=0
3−p
= 3 Li ,
(D.46)
=
3 Li 3 Li − 1 3 = Li (3 Li − 1), 2 1 2
(D.47)
=
3 Li 3 Li − 1 3 Li − 2 1 = Li (3 Li − 1)(3 Li − 2). 3 2 1 2
(D.48)
A D.13 ´abr´an p´eldak´ent az N1 ´es az N5 formaf¨ uggv´enyek l´athat´ok. A t¨obbi formaf¨ uggv´eny alakul´asa elforgat´assal elk´epezelhet˝o.
132
Kuczmann Mikl´os
Habilit´aci´os disszert´aci´o (x3 , y3)
2010 (x3 , y3) 1
1
(x2 , y2) (x1 , y1)
(x2 , y2) (x1 , y1)
(a) N1 (x, y)
(b) N5 (x, y)
D.13. ´abra. Az N1 (x, y) ´es N5 (x, y) harmadfok´ u formaf¨ uggv´enyek alakul´asa
D.3.
H´ aromdimenzi´ os csom´ oponti formaf¨ uggv´ enyek tetra´ eder eset´ en
Munk´am sor´an tetra´ederelemeket haszn´altam a h´aromdimenzi´os geometri´ak t´erbeli diszkretiz´al´as´ahoz, ez´ert itt csak ezen v´egeselemre szor´ıtkozom. A h´aromdimenzi´os formaf¨ uggv´enyek a k´etdimenzi´os formaf¨ uggv´enyekhez hasonl´o m´odon ´ep´ıthet˝ok fel: itt is a baricentrikus koordin´at´ak seg´ıts´eg´evel lehet elindulni. A tetra´eder t´erfogata az al´abbi determin´ans seg´ıts´eg´evel sz´am´ıthat´o: x4 − x1 y4 − y1 z4 − z1 1 (D.49) V = x4 − x2 y4 − y2 z4 − z2 , 6 x4 − x3 y4 − y3 z4 − z3
ahol az (x1 , y1 , z1 ), az (x2 , y2 , z2 ), az (x3 , y3, z3 ) ´es az (x4 , y4 , z4 ) koordin´at´aj´ u pontok hat´arozz´ak meg a tetra´eder elhelyezked´es´et a t´erben. A determin´ans akkor ad pozit´ıv ´ert´eket, ha a sorsz´amoz´as a D.14 ´abra szerint alakul. A ter¨ uletf¨ uggv´enyek anal´ogi´aj´ara t´erfogatf¨ uggv´enyek is defini´alhat´ok az (x, y, z) ponthoz: x4 − x y4 − y z4 − z 1 V1 = x4 − x2 y4 − y2 z4 − z2 , (D.50) 6 x4 − x3 y4 − y3 z4 − z3 x4 − x1 y4 − y1 z4 − z1 1 (D.51) V2 = x4 − x y4 − y z4 − z , 6 x4 − x3 y4 − y3 z4 − z3 x4 − x1 y4 − y1 z4 − z1 1 V3 = x4 − x2 y4 − y2 z4 − z2 , (D.52) 6 x4 − x y4 − y z4 − z x − x1 y − y1 z − z1 1 (D.53) V4 = x − x2 y − y2 z − z2 . 6 x − x3 y − y3 z − z3 Az Li = Li (x, y, z) baricentrikus koordin´at´ak a k¨ovetkez˝o m´odon defini´alhat´ok: Li =
Vi , V
i = 1, 2, 3, 4.
(D.54) 133
Kuczmann Mikl´os
Habilit´aci´os disszert´aci´o
2010
(x4 , y4 , z4 ) (x, y, z)
(x3 , y3 , z3 ) (x1 , y1 , z1 )
V1
(x4 , y4, z4 )
(x2 , y2 , z2 ) (x, y, z)
V2
(x4 , y4 , z4 ) (x, y, z)
(x3 , y3, z3 ) (x1 , y1, z1 )
V3
(x3 , y3 , z3 )
(x1 , y1 , z1 )
(x2 , y2, z2 ) (x4 , y4, z4 ) (x, y, z)
V4
(x2 , y2 , z2 ) (x4 , y4 , z4 ) (x, y, z)
(x3 , y3, z3 ) (x1 , y1, z1 )
(x3 , y3 , z3 )
(x1 , y1 , z1 )
(x2 , y2, z2 )
(x2 , y2 , z2 )
D.14. ´abra. A t´erfogatf¨ uggv´enyek ´ertelmez´es´ehez N´egy, line´arisan f¨ uggetlen line´aris formaf¨ uggv´eny ´ertelmezhet˝o a h´aromsz¨og felett fel´ırhat´o formaf¨ uggv´enyek anal´ogi´aj´ara: Ni = Li ,
i = 1, 2, 3, 4.
(D.55)
Az Ni = Ni (x, y, z) formaf¨ uggv´eny az i-edik csom´opontban egys´egnyi, a m´asik h´arom csom´opontban viszont z´erus, s az i-edik csom´opontt´ol a m´asik h´arom csom´opont ir´any´aba line´arisan cs¨okken az ´ert´eke. A D.15 ´abr´an is l´athat´o, hogy a Vi /V h´anyados az (x, y, z) koordin´at´aj´ u pont t´avols´ag´at m´eri az i-edik csom´oponttal szembenl´ev˝o oldalra mer˝oleges egyenes ment´en. A magasabbfok´ u polinomok a h´aromsz¨og felett ´ertelemezett magasabbfok´ u polinomok fel´all´ıt´as´anak anal´ogi´aj´ara ´ep´ıthet˝ok fel. Kiindul´asul az L1 , L2 , L3 ´es L4 baricentrikus koordin´at´akat lehet alkalmazni. Egy n-edfok´ u polinom kell, hogy tartalmazza 134
Kuczmann Mikl´os
Habilit´aci´os disszert´aci´o
2010
(x4 , y4 , z4 ) (x, y, z) Vi /V = 1
(x3 , y3 , z3 ) (x1 , y1 , z1 )
Vi /V = 0.75 Vi /V = 0.5 Vi /V = 0.25 Vi /V = 0
(x2 , y2 , z2 ) D.15. ´abra. A Vi /V h´anyados az (x, y, z) pont t´avols´ag´at m´eri az i-edik csom´oponttal szembenl´ev˝o oldalt´ol (itt i = 3) az ¨osszes xp y q z r t´ıpus´ u polinomot, ahol 0 ≤ p + q + r ≤ n, s ´ıgy egy n-edfok´ u polinom pontosan m=
(n + 1)(n + 2)(n + 3) 6
(D.56)
sz´am´ u tag ¨osszegek´ent ´ırhat´o fel. P´eld´aul m = 1, m = 4, m = 10 ´es m = 20, ha rendre a nulladfok´ u, az els˝ofok´ u, a m´asodfok´ u ´es a harmadfok´ u polinomok fel´ır´asa a c´el. Ez azt is jelenti, hogy a tetra´ederen bel¨ ul m sz´am´ u pontot kell felvenni egy adott foksz´am´ u polinom fel´ır´as´ahoz. A magasabbfok´ u formaf¨ uggv´eny a k¨ovetkez˝o m´odon ´all´ıthat´o el˝o: Ni = PIn (L1 ) PJn (L2 ) PKn (L3 ) PLn (L4 ),
ahol I + J + K + L = n.
(D.57)
Az I, J, K ´es L indexek a k´etdimenzi´os esethez hasonl´oan sorsz´amoz´asi s´em´at adnak a formaf¨ uggv´enyek gener´al´asa sor´an. A D.16 ´abr´an az n = 1, a D.17 ´abr´an az n = 2, a D.18 ´abr´an pedig az n = 3 foksz´am´ u esetre vonatkoz´o s´ema l´athat´o. n n n A PI (L1 ), PJ (L2 ), PK (L3 ) ´es PLn (L4 ) polinomok a (D.20)–(D.23) egyenletek szerint sz´am´ıtand´ok. Ha n = 1, akkor m = 4, azaz (D.16 ´abra) N1 = P11 (L1 ) P01(L2 ) P01(L3 ) P01 (L4 ) = L1 ,
(D.58)
N2 = P01 (L1 ) P11(L2 ) P01(L3 ) P01 (L4 ) = L2 ,
(D.59)
N3 = P01 (L1 ) P01(L2 ) P11(L3 ) P01 (L4 ) = L3 ,
(D.60)
N4 = P01 (L1 ) P01(L2 ) P01(L3 ) P11 (L4 ) = L4 .
(D.61)
Ha n = 2, akkor m = 10, azaz (D.17 ´abra) N1 = P22 (L1 ) P02(L2 ) P02(L3 ) P02 (L4 ) = L1 (2 L1 − 1),
(D.62)
N2 = P02 (L1 ) P22(L2 ) P02(L3 ) P02 (L4 ) = L2 (2 L2 − 1),
(D.63)
N3 = P02 (L1 ) P02(L2 ) P22(L3 ) P02 (L4 ) = L3 (2 L3 − 1),
N4 = P02 (L1 ) P02(L2 ) P02(L3 ) P22 (L4 ) = L4 (2 L4 − 1), 135
(D.64) (D.65)
Kuczmann Mikl´os
Habilit´aci´os disszert´aci´o
2010
4 : (0, 0, 0, 1)
3 : (0, 0, 1, 0) 1 : (1, 0, 0, 0)
2 : (0, 1, 0, 0) D.16. ´abra. Sz´amoz´asi s´ema n = 1 eset´en 4 : (0, 0, 0, 2) 9 : (0, 0, 1, 1)
8 : (1, 0, 0, 1)
7 : (1, 0, 1, 0)
3 : (0, 0, 2, 0) 10 : (0, 1, 0, 1)
1 : (2, 0, 0, 0)
6 : (0, 1, 1, 0)
5 : (1, 1, 0, 0) 2 : (0, 2, 0, 0)
D.17. ´abra. Sz´amoz´asi s´ema n = 2 eset´en N5 = P12 (L1 ) P12(L2 ) P02(L3 ) P02 (L4 ) = 4 L1 L2 ,
(D.66)
N6 = P02 (L1 ) P12(L2 ) P12(L3 ) P02 (L4 ) = 4 L2 L3 ,
(D.67)
N7 = P12 (L1 ) P02(L2 ) P12(L3 ) P02 (L4 ) = 4 L1 L3 ,
(D.68)
N8 = P12 (L1 ) P02(L2 ) P02(L3 ) P12 (L4 ) = 4 L1 L4 ,
(D.69)
N9 = P02 (L1 ) P02(L2 ) P12(L3 ) P12 (L4 ) = 4 L3 L4 ,
(D.70)
N10 =
P02(L1 ) P12 (L2 ) P02 (L3 ) P12 (L4 )
= 4 L2 L4 .
(D.71)
V´eg¨ ul, ha n = 3, akkor az m = 20 formaf¨ uggv´eny a k¨ovetkez˝ok szerint alakul (D.18 ´abra): 1 N1 = P33 (L1 ) P03(L2 ) P03(L3 ) P03 (L4 ) = L1 (3 L1 − 1)(3 L1 − 2), 2 1 N2 = P03 (L1 ) P33(L2 ) P03(L3 ) P03 (L4 ) = L2 (3 L2 − 1)(3 L2 − 2), 2 1 N3 = P03 (L1 ) P03(L2 ) P33(L3 ) P03 (L4 ) = L3 (3 L3 − 1)(3 L3 − 2), 2 1 N4 = P03 (L1 ) P03(L2 ) P03(L3 ) P33 (L4 ) = L4 (3 L4 − 1)(3 L4 − 2), 2 136
(D.72) (D.73) (D.74) (D.75)
Kuczmann Mikl´os
Habilit´aci´os disszert´aci´o
2010
9 N5 = P23 (L1 ) P13(L2 ) P03(L3 ) P03 (L4 ) = L1 (3 L1 − 1)L2 , 2 9 N6 = P13 (L1 ) P23(L2 ) P03(L3 ) P03 (L4 ) = L2 (3 L2 − 1)L1 , 2 9 N7 = P03 (L1 ) P23(L2 ) P13(L3 ) P03 (L4 ) = L2 (3 L2 − 1)L3 , 2 9 N8 = P03 (L1 ) P13(L2 ) P23(L3 ) P03 (L4 ) = L3 (3 L3 − 1)L2 , 2 9 N9 = P13 (L1 ) P03(L2 ) P23(L3 ) P03 (L4 ) = L3 (3 L3 − 1)L1 , 2 9 N10 = P23(L1 ) P03 (L2 ) P13 (L3 ) P03 (L4 ) = L1 (3 L1 − 1)L3 , 2 9 N11 = P13(L1 ) P03 (L2 ) P03 (L3 ) P23 (L4 ) = L4 (3 L4 − 1)L1 , 2 9 N12 = P23(L1 ) P03 (L2 ) P03 (L3 ) P13 (L4 ) = L1 (3 L1 − 1)L4 , 2 9 N13 = P03(L1 ) P13 (L2 ) P03 (L3 ) P23 (L4 ) = L4 (3 L4 − 1)L2 , 2 9 N14 = P03(L1 ) P23 (L2 ) P03 (L3 ) P13 (L4 ) = L2 (3 L2 − 1)L4 , 2 9 N15 = P03(L1 ) P03 (L2 ) P13 (L3 ) P23 (L4 ) = L4 (3 L4 − 1)L3 , 2 9 N16 = P03(L1 ) P03 (L2 ) P23 (L3 ) P13 (L4 ) = L3 (3 L3 − 1)L4 , 2 N17 = P13(L1 ) P13 (L2 ) P13 (L3 ) P03 (L4 ) = 27 L1 L2 L3 ,
(D.88)
N18 = P13(L1 ) P13 (L2 ) P03 (L3 ) P13 (L4 ) = 27 L1 L2 L4 ,
(D.89)
N19 = P13(L1 ) P03 (L2 ) P13 (L3 ) P13 (L4 ) = 27 L1 L3 L4 ,
(D.90)
N20 = P03(L1 ) P13 (L2 ) P13 (L3 ) P13 (L4 ) = 27 L2 L3 L4 .
(D.91)
4 : (0, 0, 0, 3) 16 : (0, 0, 1, 2)
12 : (1, 0, 0, 2) 11 : (2, 0, 0, 1) 18 : (1, 1, 0, 1) 1 : (3, 0, 0, 0)
15 : (0, 0, 2, 1) 19 : (1, 0, 1, 1) 9 : (1, 0, 2, 0) 3 : (0, 0, 3, 0) 20 : (0, 1, 1, 1) 10 : (2, 0, 1, 0)
14 : (0, 1, 0, 2)
13 : (0, 2, 0, 1)
8 : (0, 1, 2, 0)
5 : (2, 1, 0, 0) 7 : (0, 2, 1, 0)
6 : (1, 2, 0, 0)
17 : (1, 1, 1, 0) 2 : (0, 3, 0, 0)
D.18. ´abra. Sz´amoz´asi s´ema n = 3 eset´en
137
(D.76) (D.77) (D.78) (D.79) (D.80) (D.81) (D.82) (D.83) (D.84) (D.85) (D.86) (D.87)
Kuczmann Mikl´os
D.4.
Habilit´aci´os disszert´aci´o
2010
Az ´ elmenti formaf¨ uggv´ enyek
Az ´elmenti formaf¨ uggv´enyek vektor-vektor f¨ uggv´enyek. A ~ ij = w ~ ij (~r ) = Li ∇Lj − Lj ∇Li w
(D.92)
f¨ uggv´eny az ´elmenti formaf¨ uggv´enyek egyik legelterjedtebben alkalmazott ´ep´ıt˝ok¨ove. Ezen f¨ uggv´eny mind k´et dimenzi´oban, mind h´arom dimenzi´oban alkalmazhat´o, ´es Li a baricentrikus koordin´at´akat jel¨oli, tov´abb´a az ´el az i-edik csom´opontb´ol a j-edik csom´opontba mutat, ahogy az a D.19 ´abr´an ´es a D.20 ´abr´an l´athat´o. (x3 , y3 ) l2 l3 (x2 , y2 ) l1 (x1 , y1 ) D.19. ´abra. Az ´elek ´es a lok´alis ir´anyok a h´aromsz¨og¨on (x4 , y4 , z4 ) l6
l4 l3 (x1 , y1 , z1 ) l1
l5
(x3 , y3 , z3 ) l2
(x2 , y2 , z2 ) D.20. ´abra. Az ´elek ´es a lok´alis ir´anyok a tetra´ederen
138
Kuczmann Mikl´os
Habilit´aci´os disszert´aci´o
2010
~ ij vektor-vektor f¨ Aw uggv´eny az al´abbi tulajdons´agokkal b´ır, amely alkalmass´a teszi vektori´alis formaf¨ uggv´eny el˝o´all´ıt´as´ara. (i ) Jel¨olje ~eij az i-edik csom´opontb´ol a j-edik csom´opontba mutat´o ´el menti egys´egvektort. Ekkor ~eij · w ~ ij =
1 , lij
(D.93)
~ ij f¨ ahol lij az {i, j} ´el hossza. Ezen ¨osszef¨ ugg´es azt jelenti, hogy a w uggv´enynek konstans tangenci´alis komponense van az {i, j} ´el ment´en.
Az Li ´es az Lj f¨ uggv´enyek line´arisan v´altoznak az i-edik ´es a j-edik csom´opont k¨oz¨ott, k¨ovetkez´esk´epp ~eij · ∇Li = −1/lij ´es ~eij · ∇Lj = 1/lij , ´es ~eij · w ~ ij = Li
1 1 Li + Lj 1 + Lj = = , lij lij lij lij
(D.94)
mivel Li + Lj = 1 az {i, j} ´elen; (ii ) H´aromsz¨og elemen az Li f¨ uggv´eny line´arisan cs¨okken az i-edik csom´opontt´ol a vele szemben l´ev˝o {j, k} ´el ir´any´aba (l. p´eld´aul az N1 f¨ uggv´enyt a D.8 ´abr´an, amikor i = 1, j = 2, k = 3), azaz a ∇Li vektor mer˝oleges erre az ´elre, ´es Li ´ert´eke ugyanitt ~ ij vektor-vektor f¨ z´erus. Emiatt a w uggv´eny mer˝oleges a {j, k} ´elre, azaz ~ ij = −Lj ∇Li , w
a {j, k} ´el ment´en,
(D.95)
~ ij vektor hossza cs¨okken a j-edik csom´opontt´ol a k-adik csom´opont fel´e. ´es a w Az Lj f¨ uggv´eny a j-edik csom´opontban egys´egnyi, ´es a vele ellent´etes {k, i} ´el ir´any´aba line´arisan cs¨okken (p´eld´aul az N2 f¨ uggv´eny a D.8 ´abr´an), azaz a ∇Lj ~ ij minden¨ vektor mer˝oleges a {k, i} ´elre, s ugyanitt Lj = 0. Emiatt w utt mer˝oleges a {k, i} ´elre, azaz wij = Li ∇Lj ,
a {k, i} ´el ment´en,
(D.96)
´es a vektor hossza line´arisan cs¨okken az i-edik csom´opont fel˝ol a k-adik csom´opontig. ~ ij vektorEzen ¨osszef¨ ugg´es az (i) pontban le´ırtakkal egy¨ utt azt jelenti, hogy a w vektor f¨ uggv´enynek csak az {i, j} ´el ment´en van tangenci´alis komponense, ´es mer˝oleges a m´asik k´et ´elre. ~ ij vektor-vektor f¨ H´aromdimenzi´os esetben, tetra´eder elem mellett a w uggv´enynek csak az {i, j} ´el ment´en van tangenci´alis komponense, az ¨osszes t¨obbi ´elre pedig mer˝oleges; (iii ) A w ij vektor-vektor f¨ uggv´eny divergenciamentes, mivel ~ ij =∇·(Li∇Lj −Lj ∇Li ) = ∇·(Li∇Lj ) − ∇ · (Lj ∇Li ) ∇·w =∇Li ·∇Lj + Li ∇·∇Lj − ∇Lj ·∇Li − Lj ∇·∇Li = 0.
(D.97)
Az Li ´es Lj f¨ uggv´enyek line´arisak, melyek gradiense konstans, s a konstans divergenci´aja z´erus. Emiatt a m´asodik ´es a negyedik tag kiesik. Az els˝o ´es a harmadik ~ ij = 0; tag pedig egyenl˝o. K¨ovetkez´esk´epp ∇ · w 139
Kuczmann Mikl´os
Habilit´aci´os disszert´aci´o
2010
~ ij vektor-vektor f¨ (iv ) A w uggv´ey rot´aci´oja konstans, ugyanis ~ ij =∇×(Li ∇Lj −Lj ∇Li ) = ∇·(Li∇Lj )−∇·(Lj ∇Li ) ∇× w =Li ∇×∇Lj −∇Lj ×∇Li −Lj ∇×∇Li + ∇Li ×∇Lj =2∇Li × ∇Lj .
(D.98)
El˝osz¨or a h´aromsz¨og elemen ´ertelmezett ´elmenti formaf¨ uggv´enyeket mutatom be, amelyek a (D.92) ¨osszef¨ ugg´es szerint alakulnak, azaz ~ 1 = l1 (N1 ∇N2 − N2 ∇N1 )δ1 , W
(D.99)
~ 2 = l2 (N2 ∇N3 − N3 ∇N2 )δ2 , W
(D.100)
~ 3 = l3 (N3 ∇N1 − N1 ∇N3 )δ3 . W
(D.101)
Itt li (D.19 ´abra) jel¨oli az i-edik ´el hossz´at, s ezen szorz´o a formaf¨ uggv´eny normaliz´al´as´ara ~ szolg´al a (D.93) eredm´enynek megfelel˝oen. A W i (i = 1, 2, 3) ´elmenti formaf¨ uggv´enynek csak az i-edik ´el ment´en van tangenci´alis komponense, m´ıg a m´asik k´et ´elre mer˝oleges, ahogy az a D.21(a)-D.21(c) ´abr´akon is l´atszik. Az ´elmenti formaf¨ uggv´enynek teh´at nagys´aga ´es ir´anya is van. A δi ´ert´eke ±1, ami az ´el ir´any´at´ol f¨ ugg, hogy a lok´alis ir´any megegyezik, vagy ´epp ellent´etes a glob´alis ir´annyal. Ezen ´elmenti formaf¨ uggv´enyeket nulladrend˝ u formaf¨ uggv´enyeknek szok´as nevezni, annak ellen´ere, hogy a formaf¨ uggv´eny nagys´aga nem konstans. ~ ij vektor-vektor f¨ Aw uggv´eny alkalmas magasabbfok´ u ´elmenti formaf¨ uggv´eny el˝o´all´ıt´as´ara is. Itt a [130, 137] irodalomban ¨osszefoglalt technik´at mutatom be, amelyet a COMSOL Multiphysics szoftverben is implement´altak. Ehhez el˝osz¨or egy sorsz´amoz´asi s´em´at kell fel´all´ıtani, amely nagyon hasonl´o a csom´oponti formaf¨ uggv´enyek eset´eben ~ ij vektorbemutatott s´em´ahoz, a magasabbfok´ u ´elmenti formaf¨ uggv´enyek ugyanis a w vektor f¨ uggv´eny ´es a Lagrange-f´ele interpol´aci´os f¨ uggv´enyek szorzat´ab´ol ´ep´ıthet˝o fel. Az els˝orend˝ u formaf¨ uggv´enyek sorsz´amoz´asi s´em´aja az {1, 2} ´el ment´en a D.22 ´abr´an, a {2, 3} ´el ment´en a D.23 ´abr´an, s v´eg¨ ul a {3, 1} ´el ment´en a D.24 ´abr´an l´athat´o, ami megegyezik a harmadfok´ u csom´oponti formaf¨ uggv´enyek sorsz´amoz´asi s´em´aj´aval. M´asodfok´ u formaf¨ uggv´enyek eset´en a s´ema a D.25 ´abr´an, a D.26 ´abr´an, valamint a D.27 ´abr´an l´athat´o rendre az {1, 2}, a {2, 3}, valamint a {3, 1} ´elekre vonatkoz´oan. Ez a sorsz´amoz´asi ¨ s´ema a negyedfok´ u csom´oponti formaf¨ uggv´eny sorsz´amoz´asi s´em´aj´aval azonos. Osszefoglalva, az n-edfok´ u ´elmenti formaf¨ uggv´eny sorsz´amoz´asi s´em´aja az (n + 2)-edfok´ u csom´oponti formaf¨ uggv´eny sorsz´amoz´asi s´em´aj´aval egyezik meg. Ez a glob´alis (I, J, K) sorsz´amoz´as a ”nagy” h´aromsz¨og¨on. A felt¨ untetett ”kicsi” h´aromsz¨ogek adj´ak az nedfok´ u ´elmenti formaf¨ uggv´enyek (i, j, k) lok´alis sorsz´amoz´as´at, amelyek val´oban az nedfok´ u s´em´aknak felelnek meg. Megjegyzem, hogy a COMSOL Multiphysics szoftverben az n = 0, n = 1 ´es n = 2 ´ert´ekekhez tartoz´o formaf¨ uggv´enyeket nevezik rendre line´aris, kvadratikus ´es harmadfok´ u vektori´alis formaf¨ uggv´enyeknek. ~ ab vektor-vektor f¨ Aw uggv´eny, amely az a pontb´ol a b pontba mutat´o ´elhez tartozik, beszorozhat´o egy Lagrange-f´ele interpol´aci´os polinommal az al´abbi m´odon: ~ IJK = αIJK P n (l1 ) P n(l2 ) P n (l3 ) w ~ ab , W ab ab i j k
(D.102)
ahol n a foksz´am, tov´abb´a az i, j, k ´ert´ekekre igaz, hogy i+j +k = n (l. kis h´aromsz¨ogek IJK a D.22.-D.27 ´abr´akon), az αab pedig a formaf¨ uggv´eny normaliz´al´as´ara szolg´al. 140
Kuczmann Mikl´os
Habilit´aci´os disszert´aci´o
2010
3 2.5 2
l
3
y
l
2
1.5 1 l
1
0.5 0
0.5
1 x
1.5
2
~ 1 formaf¨ (a) A W uggv´eny 3 2.5 2
l
3
y
l2 1.5 1 l1
0.5 0
0.5
1 x
1.5
2
~ 2 formaf¨ (b) A W uggv´eny 3 2.5 2
l
3
y
l2 1.5 1 0.5 0
l1 0.5
1 x
1.5
2
~ 3 formaf¨ (c) A W uggv´eny
D.21. ´abra. H´aromsz¨og elemen ´ertelmezett ´elmenti formaf¨ uggv´enyek Ha n = 0, akkor a kiindul´asi vektor-vektor f¨ uggv´eny nyerhet˝o, mert Pm0 (·) = 1 ´es α = lab . Jel¨olje a kis h´aromsz¨og baricentrikus koordin´at´ait l1 , l2 ´es l3 . A lok´alis ´es glob´alis sorsz´amoz´asi s´ema k¨oz¨otti transzform´aci´o az al´abbi: i = I − 1, i = I,
j = J − 1,
j = J − 1,
i = I − 1,
j = J,
k = K,
az {1, 2} ´elen,
(D.103)
k = K − 1,
a {2, 3} ´elen,
(D.104)
k = K − 1,
a {3, 1} ´elen.
(D.105)
141
Kuczmann Mikl´os
Habilit´aci´os disszert´aci´o
2010 (0, 0, 1)
(0, 0, 3) (0, 1, 2)
(1, 0, 2)
(0, 1, 0)
(0, 2, 1) (1, 0, 0)
(1, 1, 1) (2, 0, 1)
(3, 0, 0)
(2, 1, 0)
(1, 2, 0)
(0, 3, 0)
D.22. ´abra. Sorsz´amoz´asi s´ema az els˝orend˝ u ´elmenti formaf¨ uggv´enyhez az {1, 2} ´el ment´en (0, 0, 1)
(0, 0, 3) (0, 1, 2)
(1, 0, 2)
(0, 1, 0)
(0, 2, 1) (1, 0, 0) (2, 0, 1)
(3, 0, 0)
(1, 1, 1) (2, 1, 0)
(1, 2, 0)
(0, 3, 0)
D.23. ´abra. Sorsz´amoz´asi s´ema az els˝orend˝ u ´elmenti formaf¨ uggv´enyhez az {2, 3} ´el ment´en (0, 0, 1)
(0, 0, 3) (0, 1, 2)
(1, 0, 2)
(0, 1, 0)
(0, 2, 1) (2, 0, 1)
(3, 0, 0)
(1, 0, 0)
(1, 1, 1) (2, 1, 0)
(1, 2, 0)
(0, 3, 0)
D.24. ´abra. Sorsz´amoz´asi s´ema az els˝orend˝ u ´elmenti formaf¨ uggv´enyhez az {3, 1} ´el ment´en A lok´alis ´es glob´alis baricentrikus koordin´at´ak k¨oz¨ott az l1 = L1
n+2 , n
l2 = L2
n+2 1 − , n n
l3 = L3
n+2 1 − n n
(D.106)
kapcsolatok ´allnak fent, aminek eredm´enyek´epp a (D.102) ¨osszef¨ ugg´es a k¨ovetkez˝o m´odon
142
Kuczmann Mikl´os
Habilit´aci´os disszert´aci´o (0, 0, 4) (0, 1, 3)
(1, 0, 3)
020 200
211
011
101
(0, 3, 1)
121
(3, 0, 1)
002
(0, 2, 2)
112
(2, 0, 2)
2010
110
(0, 4, 0) (1, 3, 0) (2, 2, 0) (4, 0, 0)(3, 1, 0) D.25. ´abra. Sorsz´amoz´asi s´ema a m´asodrend˝ u ´elmenti formaf¨ uggv´enyhez az {1, 2} ´el ment´en (0, 0, 4) (0, 1, 3) (1, 0, 3)
(3, 0, 1)
(0, 2, 2)
112
(2, 0, 2)
(0, 3, 1) 121 211
(0, 4, 0) (1, 3, 0) (2, 2, 0) (4, 0, 0)(3, 1, 0) D.26. ´abra. Sorsz´amoz´asi s´ema a m´asodrend˝ u ´elmenti formaf¨ uggv´enyhez az {2, 3} ´el ment´en (0, 0, 4) (0, 1, 3) (1, 0, 3)
(3, 0, 1)
(0, 2, 2)
112
(2, 0, 2)
(0, 3, 1) 121 211
(0, 4, 0) (1, 3, 0) (2, 2, 0) (4, 0, 0)(3, 1, 0) D.27. ´abra. Sorsz´amoz´asi s´ema a m´asodrend˝ u ´elmenti formaf¨ uggv´enyhez az {3, 1} ´el ment´en ´ırhat´o fel (az egyszer˝ us´eg kedv´e´ert ´alljon itt az {ab} = {23} eset): IJK n + 2 n + 2 1 IJK n n ~ W = α23 PI L1 PJ−1 L2 − 23 n n n n+2 1 n ~ 23 . PK−1 L3 w − n n
143
(D.107)
Kuczmann Mikl´os
Habilit´aci´os disszert´aci´o
2010
A (D.20) ¨osszef¨ ugg´esnek megfelel˝oen a Lagrange-polinomok a k¨ovetkez˝o m´odon ´ırhat´ok fel: I−1 n+2 1 Y n+2 n PI L1 = n L1 −p n I! p=0 n (D.108) I−1 Y 1 = [(n + 2)L1 − p] = PIn+2 (L1 ) , if I > 0, I! p=0 ´es n PJ−1
J−2 Y n + 2 1 1 n+2 1 = n L2 −p − − L2 n n (J − 1)! p=0 n n J−2
Y 1 = [(n + 2)L2 − 1 − p] (J − 1)! p=0 J−2 Y 1 1 = (n + 2) L2 − −p (J − 1)! p=0 n+2 1 n+2 =PJ−1 L2 − , if J > 1. n+2
(D.109)
A Silvester-polinom seg´ıts´eg´evel a fentiek egyszer˝ us´ıthet˝ok, ahol SJn+2 (L2 )
=
n+2 PJ−1
L2 −
1 n+2
J−1 Y 1 = [(n + 2)L2 − p] . (J − 1)! p=0
(D.110)
¨ Osszefoglalva, a magasabbfok´ u ´elmenti formaf¨ uggv´enyek az al´abbi m´odon ´all´ıthat´ok el˝o a Lagrange-f´ele, valamint a Silvester-f´ele polinomok seg´ıts´eg´evel: ~ IJK = αIJK S n+2 (L1 ) S n+2 (L2 ) P n+2(L3 ) w ~ 12 , W 12 12 I J K
(D.111)
~ IJK = αIJK P n+2(L1 ) S n+2(L2 ) S n+2 (L3 ) w ~ 23 , W 23 23 I J K
(D.112)
~ IJK = αIJK S n+2 (L1 ) P n+2(L2 ) S n+2 (L3 ) w ~ 31 . W 31 31 I J K
(D.113)
P0n (·) = 1,
(D.114)
Itt ´es S1n (·) = 1.
~ IJK formaf¨ Az α param´etert u ´ gy kell megv´alasztani, hogy a W uggv´eny {a, b} ´elre vett ab vonalmenti integr´alja egys´egnyi legyen. Az n-edfok´ u ´elmenti formaf¨ uggv´enyek sz´ama k = (n + 1)(n + 3).
(D.115)
Az els˝ofok´ u formaf¨ uggv´enyek teh´at a k¨ovetkez˝ok´epp foglalhat´ok ¨ossze (l. D.28 ´abra): 120 ~ 1 =W ~ 120 = α120 S 3 (L1 ) S 3 (L2 ) P 3(L3 ) w ~ 12 = α12 ~ 12 , W (3 L2 − 1) w 12 12 1 2 0
144
(D.116)
Kuczmann Mikl´os
Habilit´aci´os disszert´aci´o
3
3
2.5
2.5
2
l3
l3
2
l2
y
y
l2 1.5
1.5
1
1 l1
0.5 0
0.5
1 x
1.5
l1
0.5 0
2
0.5
~ 1=W ~ 120 (a) W 12 3
2.5
2.5 l3
2
1.5
1.5
1
1 l1 1 x
1.5
l1
0.5 0
2
0.5
~ 4=W ~ 012 (c) W 23 3
2.5
2.5 l
l2
1.5
1.5
1
1 l1 1 x
2
1.5
3
y
y
l2
0.5
1.5
l
2
3
0.5 0
1 x
~ 5=W ~ 021 (d) W 23
3
2
2
l
y
y
2
0.5
1.5
l3
2 l
0.5 0
1 x
~ 2=W ~ 210 (b) W 12
3
2
2010
l1
0.5 0
2
0.5
~ 6=W ~ 102 (e) W 31
1 x
1.5
2
~ 7=W ~ 201 (f) W 31
3
3 l
2
2.5 l
l3
2
l
y
3
y
2
2.5
1.5
2
1.5
1
1 l
1
l 0.5 0
1
0.5
1 x
1.5
0.5 0
2
~ 3=W ~ 111 (g) W 12
0.5
1 x
1.5
2
~ 8=W ~ 111 (h) W 31
D.28. ´abra. Az els˝ofok´ u ´elmenti formaf¨ uggv´enyek, n = 1, k = 8
145
Kuczmann Mikl´os
Habilit´aci´os disszert´aci´o
210 ~ 2 =W ~ 210 = α210 S 3 (L1 ) S 3 (L2 ) P 3(L3 ) w ~ 12 = α12 ~ 12 , W (3 L1 − 1) w 12 12 2 1 0
2010
(D.117)
111 ~ 3 =W ~ 111 = α111 S 3 (L1 ) S 3 (L2 ) P 3(L3 ) w ~ 12 = α12 ~ 12 , W 3 L3 w 12 12 1 1 1
(D.118)
012 ~ 4 =W ~ 012 = α012 P 3(L1 ) S 3 (L2 ) S 3(L3 ) w ~ 23 = α23 ~ 23 , W (3 L3 − 1) w 23 23 0 1 2
(D.119)
021 ~ 5 =W ~ 021 = α021 P 3(L1 ) S 3 (L2 ) S 3(L3 ) w ~ 23 = α23 ~ 23 , W (3 L2 − 1) w 23 23 0 2 1
102 ~ 6 =W ~ 102 = α102 S 3 (L1 ) P 3 (L2 ) S 3(L3 ) w ~ 31 = α31 ~ 31 , W (3 L3 − 1) w 31 31 1 0 2
201 ~ 7 =W ~ 201 = α201 S 3 (L1 ) P 3 (L2 ) S 3(L3 ) w ~ 31 = α31 ~ 31 , W (3 L1 − 1) w 31 31 2 0 1
111 ~ 8 =W ~ 111 = α111 S 3 (L1 ) P 3 (L2 ) S 3(L3 ) w ~ 31 = α31 ~ 31 . W 3 L2 w 31 31 1 1 1
(D.120) (D.121) (D.122) (D.123)
A m´asodfok´ u formaf¨ uggv´enyek a k¨ovetkez˝ok´epp ´ırhat´ok fel: ~ 1=W ~ 310 = α310 S 4 (L1 ) S 4 (L2 ) P 4(L3 ) w ~ 12 W 12 12 3 1 0 310 1 ~ 12 , (4 L1 − 1)(4 L1 − 2) w = α12 2
(D.124)
~ 2=W ~ 220 = α220 S 4 (L1 ) S 4 (L2 ) P 4(L3 ) w ~ 12 W 12 12 2 2 0 220 ~ 12 , = α12 (4 L1 − 1)(4 L2 − 1) w
(D.125)
~ 3=W ~ 130 = α130 S 4 (L1 ) S 4 (L2 ) P 4(L3 ) w ~ 12 W 0 12 12 1 3 130 1 ~ 12 , (4 L2 − 1)(4 L2 − 2) w = α12 2
(D.126)
~ 4=W ~ 211 = α211 S 4 (L1 ) S 4 (L2 ) P 4(L3 ) w ~ 12 W 12 12 2 1 1 211 ~ 12 , = α12 (4 L1 − 1)4 L3 w
(D.127)
~ 5=W ~ 121 = α121 S 4 (L1 ) S 4 (L2 ) P 4(L3 ) w ~ 12 W 12 12 1 2 1 121 ~ 12 , = α12 (4 L2 − 1)4 L3 w
(D.128)
~ 6=W ~ 031 = α031 P 4 (L1 ) S 4 (L2 ) S 4(L3 ) w ~ 23 W 23 23 0 3 1 031 1 ~ 23 , = α23 (4 L2 − 1)(4 L2 − 2) w 2
(D.129)
~ 7=W ~ 022 = α022 P 4 (L1 ) S 4 (L2 ) S 4(L3 ) w ~ 23 W 23 23 0 2 2 022 ~ 23 , = α23 (4 L2 − 1)(4 L3 − 1) w
(D.130)
~ 8=W ~ 013 = α013 P 4 (L1 ) S 4 (L2 ) S 4(L3 ) w ~ 23 W 23 23 0 1 3 013 1 ~ 23 , = α23 (4 L3 − 1)(4 L3 − 2) w 2
(D.131)
~ 9=W ~ 121 = α121 P 4 (L1 ) S 4 (L2 ) S 4(L3 ) w ~ 23 W 23 23 1 2 1 121 ~ 23 , = α23 (4 L1 )(4 L2 − 1) w
(D.132)
~ 10 = W ~ 112 = α112 P 4 (L1 ) S 4 (L2 ) S 4 (L3 ) w ~ 23 W 23 23 1 1 2 112 ~ 23 , = α23 (4 L1 )(4 L3 − 1) w
146
(D.133)
Kuczmann Mikl´os
Habilit´aci´os disszert´aci´o
~ 11 = W ~ 103 = α103 S 4 (L1 ) P 4(L2 ) S 4 (L3 ) w ~ 31 W 31 31 1 0 3 103 1 ~ 31 , = α31 (4 L3 − 1)(4 L3 − 2) w 2 ~ 12 = W ~ 202 = α202 S 4 (L1 ) P 4(L2 ) S 4 (L3 ) w ~ 31 W 31
=
31 2 202 α31 (4 L1
0
2
~ 31 , − 1)(4 L3 − 1) w
2010
(D.134)
(D.135)
~ 13 = W ~ 301 = α301 S 4 (L1 ) P 4(L2 ) S 4 (L3 ) w ~ 31 W 31 31 3 0 1 301 1 ~ 31 , (4 L1 − 1)(4 L1 − 2) w = α31 2
(D.136)
~ 14 = W ~ 112 = α112 S 4 (L1 ) P 4(L2 ) S 4 (L3 ) w ~ 31 W 31 31 1 1 2 112 ~ 31 , = α31 (4 L2 )(4 L3 − 1) w
(D.137)
~ 15 = W ~ 211 = α211 S 4 (L1 ) P 4(L2 ) S 4 (L3 ) w ~ 31 W 31 31 2 1 1 211 ~ 31 . = α31 (4 L2 )(4 L1 − 1) w
(D.138)
~ 1 = l1 (N1 ∇N2 − N2 ∇N1 )δ1 , W
(D.139)
~ 2 = l2 (N2 ∇N3 − N3 ∇N2 )δ2 , W
(D.140)
A D.29 ´abr´an l´athat´ok az egyes formaf¨ uggv´enyek alakul´asa. A tetra´eder eset´eben fel´ırhat´o formaf¨ uggv´enyek a h´aromsz¨ogre felv´azolt eredm´enyek kiterjeszt´ese. A h´aromdimenzi´os nulladfok´ u formaf¨ uggv´enyek az al´abbiak:
~ 3 = l3 (N3 ∇N1 − N1 ∇N3 )δ3 , W
(D.141)
~ 4 = l4 (N1 ∇N4 − N4 ∇N1 )δ4 , W
(D.142)
~ 5 = l5 (N2 ∇N4 − N4 ∇N2 )δ5 , W
(D.143)
~ 6 = l6 (N3 ∇N4 − N4 ∇N3 )δ6 . W
(D.144)
Itt li az egyes ´elek hossz´at jelenti, ahogy az a D.20 ´abr´an is l´athat´o. A δi ´ert´eke ebben az esetben is ±1, ami az ´el ir´any´at´ol f¨ ugg, hogy a lok´alis ir´any megegyezik, vagy ´epp ellent´etes a glob´alis ir´annyal. A lok´alis ir´any´ıt´as a D.20 ´abr´an is l´athat´o. A tetra´ederen ´ertelmezett n-edfok´ u ´elmenti formaf¨ uggv´enyek a h´aromsz¨og¨on ´ertelmezett formaf¨ uggv´enyek anal´ogi´aj´ara ´ep´ıthet˝ok fel, azaz az (n + 2)-edfok´ u csom´oponti formaf¨ uggv´enyeket kell alkalmazni, s a k¨ovetkez˝o egyenletek nyerhet˝ok: ~ IJKL = αIJKL S n+2 (L1 ) S n+2 (L2 ) P n+2(L3 ) P n+2 (L4 ) w ~ 12 , W 12 12 I J K L
(D.145)
~ IJKL = αIJKL P n+2(L1 ) S n+2(L2 ) S n+2 (L3 ) P n+2 (L4 ) w ~ 23 , W 23 23 I J K L
(D.146)
~ IJKL = αIJKL S n+2 (L1 ) P n+2(L2 ) S n+2 (L3 ) P n+2 (L4 ) w ~ 31 , W 31 31 I J K L
(D.147)
~ IJKL = αIJKL S n+2 (L1 ) P n+2(L2 ) P n+2(L3 ) S n+2 (L4 ) w ~ 14 , W 14 14 I J K L
(D.148)
~ IJKL = αIJKL P n+2(L1 ) S n+2(L2 ) P n+2(L3 ) S n+2 (L4 ) w ~ 24 , W 24 24 I J K L
(D.149)
~ IJKL = αIJKL P n+2(L1 ) P n+2(L2 ) S n+2(L3 ) S n+2 (L4 ) w ~ 34 . W 34 34 I J K L
(D.150)
147
Kuczmann Mikl´os
Habilit´aci´os disszert´aci´o
3
3
2.5
2.5
2
l
2010
l
2
3
3
l
y
y
l
2
2
1.5
1.5
1
1 l
l
1
0.5 0
0.5
1 x
1.5
1
0.5 0
2
0.5
~ 1=W ~ 310 (a) W 12 3
2.5
2.5 l
3
l
y
y
2
2
1.5
1.5
1
1 l
l
1
0.5
1 x
1.5
1
0.5 0
2
0.5
~ 3=W ~ 130 (c) W 12 3
2
l
2
3
l
0.5 0
1.5
~ 2=W ~ 220 (b) W 12
3
2
1 x
1 x
1.5
2
~ 4=W ~ 211 (d) W 12 3
l
3
l
2.5
2.5
2
y
2
y
2
1.5
1
1
0.5 0
l1
l1 0.5
1 x
l2
l3
1.5
1.5
0.5 0
2
~ 5=W ~ 121 (e) W 12
0.5
1 x
1.5
2
~ 10 = W ~ 112 (f) W 23
D.29. ´abra. A m´asodfok´ u ´elmenti formaf¨ uggv´enyek, n = 2, k = 15 Az n-edfok´ u formaf¨ uggv´enyek sz´ama pedig k=
(n + 1)(n + 3)(n + 4) . 2
(D.151)
~ 2100 , P´eld´aul, ha n = 1, akkor a k¨ovetkez˝o formaf¨ uggv´enyek defini´alhat´ok: W 12 0210 0120 1020 2010 2001 1002 0201 0102 0021 0012 ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ W 23 , W 23 , W 31 , W 31 , W 14 , W 14 , W 24 , W 24 , W 34 , W 34 , ~ 1110 , W ~ 1011 , W ~ 1011 , W ~ 0111 , W ~ 0111 , W ~ 1101 , W ~ 1101 . W 31 14 34 23 24 12 24
148
~ 1200 , W 12 1110 ~ W 12 ,
Irodalomjegyz´ ek [1] Schnell L. (szerk.). Jelek ´es rendszerek m´er´estechnik´aja. M˝ uszaki K¨onyvkiad´o, Budapest, 1985. [2] Fodor Gy. Jelek, rendszerek ´es h´al´ozatok. M˝ uegyetemi Kiad´o, Budapest, 1998. [3] Kuczmann M. Jelek ´es rendszerek. Universitas, Gy˝or, 2005. [4] Iv´anyi A. Hysteresis Models in Electromagnetic Computation. Akad´emiai Kiad´o, Budapest, 1997. [5] Della Torre E. Magnetic Hysteresis. IEEE Press, New York, 1999. [6] Mayergoyz I. D. Mathematical Models of Hysteresis. Springer-Verlag, New York, 1991. [7] Mayergoyz I. D. Mathematical model of hysteresis. IEEE Transactions on Magnetics, 22:603–608, 1986. [8] Krasnoselskii M. A., Pokrovskii A. V. Systems with Hysteresis. Nauka, Moszkva, 1983. [9] Bertotti G., Mayergoyz I. D. The Science of Hysteresis. Academic Press, 2006. [10] Iv´anyi A. (szerk.). Preisach Memorial Book. Akad´emiai Kiad´o, Budapest, 2005. [11] Bozorth R. M. Ferromagnetism. D. Van Nostrand Co. Princeton, New Jersey, 1951. [12] Jiles D. C. Introduction to Magnetism and Magnetic Material. Chapman and Hall, London, 1991. [13] Bertotti G. Hysteresis in Magnetism. Academic Press, 1998. [14] Chikazumi S. Physics of Magnetism. John Wiley and Sons, New York, 1964. [15] Kronm¨ uller H., Parkin S. Handbook of Magnetism and Advanced Magnetic Materials I. John Wiley and Sons, 2007. [16] Kronm¨ uller H., Parkin S. Handbook of Magnetism and Advanced Magnetic Materials II. John Wiley and Sons, 2007. [17] Kronm¨ uller H., Parkin S. Handbook of Magnetism and Advanced Magnetic Materials III. John Wiley and Sons, 2007. i
Kuczmann Mikl´os
Habilit´aci´os disszert´aci´o
2010
[18] Kronm¨ uller H., Parkin S. Handbook of Magnetism and Advanced Magnetic Materials IV. John Wiley and Sons, 2007. [19] Kronm¨ uller H., Parkin S. Handbook of Magnetism and Advanced Magnetic Materials V. John Wiley and Sons, 2007. [20] Proh´aszka J. Anyagtudom´any. Tank¨oknyvkiad´o, Budapest, 1993. [21] Hainzmann J., Varga S., Zoltai J. Tank¨onyvkiad´o, Budapest, 2000.
Elektronikus ´aramk¨or¨ok.
Nemzeti
[22] Borb´ely G. Elektronika I-II. Sz´echenyi Istv´an Egyetem, HEFOP, Gy˝or, 2006. [23] http://www.microsoft.com. ¨ [24] Preisach F. Z. Uber die magnetische nachwirkung. Zeitschrift f¨ ur Physik, 94:277– 302, 1935. [25] Iv´anyi A. Magnetic Field Computation with R-functions. Akad´emiai Kiad´o, Budapest, 1998. [26] Papusoi C., Stancu A. Anhysteretic remanent susceptibility and the moving Preisach model. IEEE Transactions on Magnetics, 29:77–81, 1993. [27] K´ad´ar Gy., Della Torre E. Hysteresis modeling: I. noncongruency. IEEE Transactions on Magnetics, MAG-23:2820–2822, 1987. [28] K´ad´ar Gy., Della Torre E. Determination of the bilinear product Preisach function. Journal of Applied Physics, 63:3001–3003, 1988. [29] Della Torre E., K´ad´ar Gy. Hysteresis modeling: II. accommodation. IEEE Transactions on Magnetics, MAG-23:2823–2825, 1987. [30] F¨ uzi J. Computationally efficient rate dependent hysteresis model. COMPEL-The international journal for computation and mathematics in electrical and electronic engineering, 18:445–457, 1999. [31] F¨ uzi J., Iv´anyi A., Szab´o Zs. Preisach model with continuous output in electrical circuit analysis. Journal of Electrical Engineering, Bratislava, Slovakia, 48:18–21, 1997. [32] F¨ uzi J., Sz´ekely Gy., Szab´o Zs. Experimental construction of classical Preisach model. Proceedings of the 8th IGTE Symposium, Graz, Ausztria, 1998. szeptember 21-24, pp. 452–457. [33] F¨ uzi J. Parameter identification in Preisach model to fit major loop data. Applied Electromagnetics and Computational Technology, IOS Press, pp. 77–82, 1997. [34] F¨ uzi J. Mathematical Models of Magnetic Hysteresis and Their Implementation in Computer Codes Modelling Electromagnetic Systems. PhD t´ezis, Transilvania University, Brass´o, Rom´ania, 1997.
ii
Kuczmann Mikl´os
Habilit´aci´os disszert´aci´o
2010
[35] Mayergoyz I. D., Friedman G. Generalized Preisach model of hysteresis. IEEE Transactions on Magnetics, 24:212–217, 1988. [36] Woodward J. G., Della Torre E. Particle interaction in magnetic recording tapes. Journal of Applied Physics, 31:56–62, 1960. [37] Rado G. T., Folen V. J. Determination of molecular field coefficients in ferromagnets. Journal of Applied Physics, 31:62–68, 1960. [38] Della Torre E. Effect of interaction on the magnetization of single-domain particles. IEEE Transactions on Audio and Electroacustics, 14:86–93, 1966. [39] Everett D. H., Whitton W. I. A general approach to hysteresis, part I. Transactions on Faraday Society, 48:749–757, 1952. [40] Everett D. H., Smith F. W. A general approach to hysteresis, part II. Transactions on Faraday Society, 50:187–197, 1954. [41] Everett D. H. A general approach to hysteresis, Part III. Transactions on Faraday Society, 50:1077–1096, 1954. [42] Everett D. H. A general approach to hysteresis, Part IV. Transactions on Faraday Society, 51:1551–1557, 1955. [43] Atherton D. L., Szpunar B., Szpunar J. A. A new approach to Preisach diagrams. IEEE Transactions on Magnetics, 23:1856–1865, 1987. [44] Mayergoyz I. D., Friedman G. On the integral equation of the vector Preisach hysteresis model. IEEE Transactions on Magnetics, 23:2638–2640, 1987. [45] Cardelli E., Della Torre E., Pinzaglia E. Identifying the Preisach function for soft magnetic materials. IEEE Transactions on Magnetics, 39:1341–1344, 2003. [46] Henze O., Rucker W. M. Application of Preisach model on a real existent material. Proceedings of the 9th IGTE Symposium, Graz, Ausztria, 2000. szeptember 11-13, pp. 380–384. [47] Henze O., Rucker W. M. Identification procedures of Preisach model. IEEE Transactions on Magnetics, 38:833–836, 2002. [48] F¨ uzi J. Analytical approximation of Preisach distribution functions. IEEE Transactions on Magnetics, 39:1357–1360, 2003. [49] Dupr´e L. R., Bottuasco O., Chiampi M., Fiorillo F., Lo Bue M., Melkebeek J., Repetto M., Rauch M. Dynamic Preisach modelling of ferromagnetic laminations under distorted flux excitation. IEEE Transactions on Magnetics, 34:1231–1233, 1998. [50] Della Torre E., Oti J., K´ad´ar Gy. Preisach modeling and reversible magnetization. IEEE Transactions on Magnetics, 26:3052–3058, 1990. [51] Wiesen K., Charap S. H. A better scalar Preisach algorithm. IEEE Transactions on Magnetics, 24:2491–2493, 1988. iii
Kuczmann Mikl´os
Habilit´aci´os disszert´aci´o
2010
[52] Bertotti G. Dynamic generalization of the scalar Preisach model of hysteresis. IEEE Transactions on Magnetics, 28:2599–2601, 1992. [53] Della Torre E., Yanik L., Yarimbiyik A. E., Donahue M. J. Differential equation model for accommodation magnetization. IEEE Transactions on Magnetics, 40:1499–1505, 2004. [54] F¨ uzi J. Features of two rate-dependent hysteresis models. Physica B, 306:137–142, 2001. [55] Philips D. A., Delinc´e F. Practical use of the Preisach model from measurement to finite elements. IEEE Transactions on Magnetics, 29:2383–2385, 1993. [56] Cardelli E., Della Torre E., Ban G. Experimental determination of Preisach distribution functions in magnetic cores. Physica B, 275:262–269, 2000. [57] Vajda F., Della Torre E. Modeling ∆m curves using the complete-movinghysteresis model. IEEE Transactions on Magnetics, 31:1809–1812, 1995. [58] Szab´o Zs. Preisach functions leading to closed form permeability. Physica B, 372:61–67, 2006. [59] Szab´o Zs., Tugyi I., K´ad´ar Gy., F¨ uzi J. Identification procedures for scalar Preisach model. Physica B, 343:142–147, 2004. [60] Schiffer A., Iv´anyi A. Preisach distribution function approximation with wavelet interpolation technique. Physica B, 372:101–105, 2006. [61] Sj¨ostr¨om M. Preisach modelling: Symmetry implementation and frequency analysis (online: http://infoscience.epfl.ch/record/52269, utols´o l´atogat´as: 2010. augusztus 25). Technical Report, 1998. [62] Kozek M., Gross B. Identification and inversion of magnetic hysteresis for sinusoidal magnetization. iJOE International Journal on Online Engineering (online: http://www.i-joe.org, utols´o l´atogat´as: 2010. augusztus 25), 1(1):1–10, 2005. [63] Szab´o Zs. Hysteresis Models of Elementary Operators and Integral Equations. PhD t´ezis, Budapesti M˝ uszaki ´es Gazdas´agtudom´anyi Egyetem, 2002. [64] Kuczmann M. Neural Network Based Vector Hysteresis Model and the Nondestructive Testing Method. PhD t´ezis, Budapesti M˝ uszaki ´es Gazdas´agtudom´anyi Egyetem, 2005. [65] Mayergoyz I. D., Friedman G. Isotropic vector Preisach model of hysteresis. Journal of Applied Physics, 61:4022–4024, 1987. [66] Mayergoyz I. D. Vector Preisach hysteresis models. Journal of Applied Physics, 63:2995–3000, 1988. [67] Mayergoyz I. D., Friedman G. Identification problem for 3-D anisotropic Preisach model of vector hysteresis. IEEE Transactions on Magnetics, 24:2928–2930, 1988.
iv
Kuczmann Mikl´os
Habilit´aci´os disszert´aci´o
2010
[68] Della Torre E., K´ad´ar Gy. Vector Preisach and the moving model. Journal of Applied Physics, 63:3004–3006, 1988. [69] Fallah E., Moghani J. S. A new identification and implementation procedure for the isotropic vector Preisach model. IEEE Transactions on Magnetics, 44(1):37–40, 2008. [70] Matsuo T. Rotational saturation properties of isotropic vector hysteresis models using vectorized stop and play hysterons. IEEE Transactions on Magnetics, 44(11):3185–3188, 2008. [71] Cardelli E., Della Torre E., Pinzaglia E. Using the reduced Preisach vector model to predict the cut angle influence in Si–Fe steels. IEEE Transactions on Magnetics, 41(5):1560–1563, 2005. [72] Cardelli E., Della Torre E., Pinzaglia E. Modeling of laminas of magnetic iron with a reduced vector Preisach model. Physica B, 343:171–176, 2004. [73] Mayergoyz I. D., Adly A. A. A new isotropic vector Preisach–type model of hysteresis and its idedntification. IEEE Transactions on Magnetics, 29(6):2377–2379, 1993. [74] Mayergoyz I. D., Adly A. A. A new vector Preisach–type model of hysteresis. Journal of Applied Physics, 73(10):5824–5826, 1993. [75] Adly A. A. Numerical implementation and testing of new vector isotropic Preisach– type models. IEEE Transactions on Magnetics, 30(6):4383–4385, 1994. [76] Bottauscio O., Chiarabaglio D., Ragusa C., Chiampi M., Repetto M. Analysis of isotropic materials with vector hysteresis. IEEE Transactions on Magnetics, 34(4):1258–1260, 1998. [77] Dlala E., Belahcen A., Fonteyn K., Belkasim M. Improving loss properties of the Mayergoyz vector hysteresis model. IEEE Transactions on Magnetics, 46(3):918– 924, 2010. [78] Ragusa C., Repetto M. Accurate analysis of magnetic devices with anisotropic vector hysteresis. Physica B, 275(4):92–98, 2000. [79] Caltun O., Andrei P., Stancu A. Initial permeability, hysteresis and total losses measurements. Analele Stiintifice Ale Universita Al. I. Cuza Din Iasi, XLVXLVI:56–60, 1999-2000. [80] Zurek S., Marketos P., Meydan T., Moses A. J. Use of novel adaptive digital feedback for magnetic measurements under controlled magnetizing conditions. IEEE Transactions on Magnetics, 41(11):4242–4249, 2005. [81] http://www.walkerscientific.com/Products/Product Lines/ Magnetic Analysis/Hysteresisgraphs/MaterialGeometries.pdf (utols´o l´atogat´as: 2010. augusztus 25).
v
Kuczmann Mikl´os
Habilit´aci´os disszert´aci´o
2010
[82] Automatic Hysteresisgraph Speeds Accurate Analysis of Soft Magnetic Materials (online: http://walkerscientific.com/buck.pdf. utols´o l´atogat´as: 2010. augusztus 25.). [83] Antonelli E., Cardelli E., Faba A. Epstein frame: How and when it can be really representative about the magnetic behavior of laminated magnetic steels. IEEE Transactions on Magnetics, 41(5):1516–1519, 2005. [84] Mthombeni L. T., Pillay P., Strnat R. A new Epstein frame for lamination core loss measurements at high frequencies and high flux densities. IEEE Transactions on Energy Conversion, 22(3):614–620, 2007. [85] Sievert J. Determination of AC magnetic power loss of electrical steel sheet: Present status and trends. IEEE Transactions on Magnetics, MAG-20(5):1702– 1707, 1984. [86] Nakata T., Takahashi N., Kawase Y., Nakano M., Miura M., Sievert J. D. Numerical analysis and experimental study of the error of magnetic field strength measurments with single sheet testers. IEEE Transactions on Magnetics, MAG22(5):400–402, 1986. [87] Nakata T., Kawase Y., Nakano M. Improvement of measuring accuracy of magnetic field strength in single sheet testers by using two H coils. IEEE Transactions on Magnetics, MAG-23(5):2596–2598, 1987. [88] Sievert J. Recent advances in the one- and two-dimensional magnetic measurement technique for electrical sheet steel. IEEE Transactions on Magnetics, 26(5):2553– 2558, 1990. [89] Guo Y. G., Zhu J. G., Zhong J. J., Lu H., Jin J. X. Measurement and modeling of rotational core losses of soft magnetic materials used in electrical machines: a review. IEEE Transactions on Magnetics, 44(2):279–291, 2008. [90] Enokizono M. (szerk.). Two-Dimensional Magnetic Measurement and its Properties. Japan Society of Applied Electromagnetics, 1992. [91] Shimoji H., Enokizono M., Todaka T. Iron loss and magnetic fields analysis of permanent magnet motors by improved finite element method with ES model. IEEE Transactions on Magnetics, 37(5):3526–3529, 2001. [92] http://www.iti.iwatsu.co.jp/en/products/sy/bh ana e.html 2010. augusztus 25).
(utols´o
l´atogat´as:
[93] Gorican V., Hamler A., Jesenik M., Stumberger B., Trlep M. Unreliable determination of vector B in 2-D SST. Journal of Magnetism and Magnetic Materials, 254-255:130–132, 2003. [94] Zhu J. G., Ramsden V. S. Improved formulations for rotational core losses in rotating electrical machines. IEEE Transactions on Magnetics, 34(4):2234–2242, 1998.
vi
Kuczmann Mikl´os
Habilit´aci´os disszert´aci´o
2010
[95] Guo Y. G., Zhu J. G., Zhong J. J. Measurement and modelling of magnetic properties of soft magnetic composite material under 2D vector magnetization. Journal of Magnetism and Magnetic Materials, 302:14–19, 2006. [96] Enokizono M., Suzuki T., Sievert J. D. Measurement of dynamic magnetostriction under rotating magnetic field. IEEE Transactions on Magnetics, 26(5):2067–2069, 1990. [97] Enokizono M., Suzuki T., Sievert J. D., Xu J. Rotational power loss of silicon steel sheet. IEEE Transactions on Magnetics, 26(5):2562–2564, 1990. [98] Makaveev D., Rauch M., Wulf M., Melkebeek J. Accurate field strength measurement in rotational single sheet tester. Journal of Magnetism and Magnetic Materials, 215-216:673–676, 2000. [99] Makaveev D., Rauch M., Wulf M., Melkebeek J. Accurate field strength measurement in rotational single sheet testers. Journal of Magnetism and Magnetic Materials, 215-216:673–676, 2000. [100] Makaveev D., Wulf M., Gyselinck J., Maes J., Dupr´e L., Melkebeek J. Measurement system for 2D magnetic properties of electrical steel sheets: Design and performance. 6th International Workshop on 12-Dimensional Magnetic Measurement and Testing, Bad Gastein, Ausztria, 2000. szeptember 20-21, pp. 48–55. [101] Zhu J. G., Ramsden V. S. Two dimensional measurement of magnetic field and core loss using a square specimen tester. IEEE Transactions on Magnetics, 29(6):2995– 2997, 1993. [102] Zhong J. J., Zhu J. G., Guo Y. G., Lin Z. W. Improved measurement with 2D rotating fluxes considering the effect of internal field. IEEE Transactions on Magnetics, 41(10):3709–3711, 2005. [103] Brix W., Hempel K. A., Schulte F. J. Improved method for the investigation of the rotational magnetization process in electrical steel sheet. IEEE Transactions on Magnetics, MAG-20(5):1708–1710, 1984. [104] Enokizono M., Tanabe I. Studies on a new simplified rotational loss tester. IEEE Transactions on Magnetics, 33(5):4020–4022, 1997. [105] Zhong J. J. Measurement and Modeling of Magnetic Properties of Materials with Rotating Fluxes. PhD t´ezis, Sydney M˝ uszaki Egyetem, Ausztr´alia, 2002. [106] Salz W. A two-dimensional measuring equipment for electric steel. IEEE Transactions on Magnetics, 30(3):1253–1257, 1994. [107] Hasenzagl A., Wieser B., Pf¨ utzner H. Novel 3-phase excited single sheet tester for rotational magnetization. Journal of Magnetism and Magnetic Materials, 160:180– 182, 1996. [108] Cardelli E., Faba A. Vector hysteresis measurements via a single disk tester. Physica B, 372:143–146, 2006. vii
Kuczmann Mikl´os
Habilit´aci´os disszert´aci´o
2010
[109] Gorican V., Hamler A., Hribernik B., Jesenik M., Trlep M. 2-D measurements of magnetic properties using a round RSST. 6th International Workshop on 12Dimensional Magnetic Measurement and Testing, Bad Gastein, Ausztria, 2000. szeptember 20-21, pp. 66–75, 20-21 September, 2000. [110] Ragusa C., Fiorillo F. A three-phase single sheet tester with digital control of flux loci based on the contraction mapping principle. Journal of Magnetism and Magnetic Materials, 304:568–570, 2006. [111] Lancarotte M. S., Penteado A. de A. Improving the magnetizing device design of the single sheet tester of two-dimensional properties. Journal of Magnetism and Magnetic Materials, 269:346–351, 2004. [112] Jesenik M., Gorican V., Trlep M., Hamler A., Stumberger B. Field homogeneity in a two-phase round rotational single sheet tester with one and both side shields. Journal of Magnetism and Magnetic Materials, 254-255:247–249, 2003. [113] Makaveev D., Maes J., Melkebeek J. Controlled circular magnetization of electrical steel in rotational single sheet testers. IEEE Transactions on Magnetics, 37(4):2740–2742, 2001. [114] Makaveev D., Maes J., Melkebeek J. Waveform control algorithm for rotational single sheet testers using system identification techniques. Journal of Applied Physics, 87(9):5983–5985, 2000. [115] Zurek S., Marketos P., Meydan T. Control of arbitrary waveforms by means of adaptive digital feedback algorithm. Przeglad Elektrotechniczny, 80(2):122–125, 2004. [116] Makaveev D., Wulf M., Melkebeek J. Field homogeneity in a two-phase rotational single sheet tester with square samples. Journal of Magnetism and Magnetic Materials, 196-197:937–939, 1999. [117] Zhong J. J., Zhu J. G., Lin Z. W., Guo Y. G., Sievert J. D. Improved measurement of magnetic properties with 3D magnetic fluxes. Journal of Magnetism and Magnetic Materials, 290-291:1567–1570, 2005. [118] Maeda Y., Todaka T., Shimoji H., Enokizono M., Sievert J. An evaluation method of cross-type H-coil angle for accurate two-dimensional vector magnetic measurement. Journal of Magnetism and Magnetic Materials, 304:564–567, 2006. [119] Enokizono M. Vector magnetic property and magnetic characteristic analysis by vector magneto-hysteretic ES model. IEEE Transactions on Magnetics, 45(3):1148–1151, 2009. [120] Maxwell J. C. A Treatise on Electricity and Magnetism. Macmillen and Co, London, 1873. [121] Iv´anyi A. Folytonos ´es diszkr´et szimul´aci´ok az elektrodinamik´ aban. Akad´emiai Kiad´o, Budapest, 2003. [122] Bossavit A. Computational Electromagnetism. Academic Press, Boston, 1998. viii
Kuczmann Mikl´os
Habilit´aci´os disszert´aci´o
2010
[123] Stratton J. A. Electromagnetic Theory. McGraw Hill, London, 1941. [124] Jackson J. D. Classical Electrodynamics. J. Wiley, New York, 1962. [125] Smythe W. R. Static and Dynamic Electricity. McGraw Hill, London, 1968. [126] Binns K. J., Lawrenson P. J., Trowbridge C. W. The Analytical and Numerical Solution of Electric and Magnetic Fields. J. Wiley, New York, 1992. [127] Fodor Gy. Elm´eleti Elektrotechnika. Tank¨onyvkiad´o, Budapest, 1979. [128] Fodor Gy. Elektrom´agneses terek. M˝ uegyetemi Kiad´o, 1996. [129] Simonyi K., Zombory L. Elm´eleti villamoss´agtan. M˝ uszaki K¨onyvkiad´o, Budapest, 2000. [130] Jin J. The Finite Element Method in Electromagnetics. John Wiley and Sons, New York, 2002. [131] B´ır´o O., Richter K. R. CAD in electromagnetism. in Series Advances in Electronics and Electron Physics, Academic Press, New York, 82, 1991. [132] Standeisky I. Elektrodinamika. Universitas, Gy˝or, 2006. [133] Luomi J. Finite Element Methods for Electrical Machines (Egyetemi jegyzet). Chalmers University of Technology, G¨oteborg, 1993. [134] Koltai M., Zombory L. Elektrom´agneses terek g´epi anal´ızise. M˝ uszaki K¨onyvkiad´o, Budapest, 1979. [135] B´ır´o O. Potenci´alf¨ uggv´enyek ¨orv´eny´aramterek v´egeselem-anal´ızis´eben, DSc disszert´aci´o. Magyar Tudom´anyos Akad´emia, 2003. [136] Iv´anyi A. R-Functions in Electromagnetism (Technical Report No. TUB-TR-93EE08). Budapesti M˝ uszaki ´es Gazdas´agtudom´anyi Egyetem, 1993. [137] Kuczmann M., Iv´anyi A. The Finite Element Method in Magnetics. Akad´emiai Kiad´o, Budapest, 2008. [138] Lonngren K. E., Savov S. V. Fundamentals of Electromagnetics with Matlab. SciTech Publishing Inc., 2005. [139] Silvester P. P., Ferrari R. L. Finite Elements for Electrical Engineers. Cambridge University Press, Cambridge, 1983. [140] Pepper D. W., Heinrich J. C. The Finite Element Method. Taylor and Francis Group, New York, 2006. [141] Zimmerman W. B. J. Multiphysics Modelling with Finite Element Method. World Scientific Publishing Co., 2006. [142] Zienkiewicz O. C., Taylor R. The Finite Element Method. McGraw-Hill, Maidenhead, 1991. ix
Kuczmann Mikl´os
Habilit´aci´os disszert´aci´o
2010
[143] Bojt´ar I., G´asp´ar Zs. V´egeselem-m´odszer ´ep´ıt˝om´ern¨ok¨oknek. TERC, Budapest, 2003. [144] Schwarz H. R. Methode der Finiten Elemente. B.G. Teubner, Stuttgart, 1991. [145] Bronstein I. N., Szemengyajev K. A., Musiol G., M¨ uhlig H. Matematikai k´ezik¨onyv. TypoTEX Kiad´o, Budapest, 2000. [146] Popper Gy. A v´egeselem-m´odszer matematikai alapjai. M˝ uszaki K¨onyvkiad´o, Budapest, 1985. ´ [147] Egert J. A v´egeselem-m´odszer mechanikai alapjai. Universitas, Gy˝or, 2007. [148] P´aczelt I. A v´egeselem-m´odszer alapjai. Miskolci Egyetem, Miskolc, 1993. [149] Szab´o B. A. Finite Element Analysis. Wiley, New York, 1991. [150] Kov´acs M., Scharle P. A v´egeselem-m´odszer egyszer˝ u elemei ´es elemcsal´adjai. M˝ uszaki K¨onyvkiad´o, Budapest, 1985. [151] B´ır´o O. Edge element formulations of eddy current problems. Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, 169(3):391–405, 1999. [152] Liu Y., Bondeson A., Bergstr¨om R., Larson M.G., Samuelsson K. Methods for computing eddy currents in laminated materials using edge elements. Proceedings of the 10th IGTE Symposium, Graz, Ausztria, 2002. szeptember 16-18, pp. 351– 356. [153] Hano M., Miyamura T., Hotta M. Finite element eddy current analysis by novel mixed-order vector elements. International Journal of Applied Electromagnetics and Mechanics, 14:19–22, 2001/2002. [154] Yioultsis T. V., Tsiboukis T. D. Multiparametric vector finite elements: a systematic approach to the construction of three-dimensional, higher order, tangential vector shape functions. IEEE Transactions on Magnetics, 32:1389–1392, 1996. [155] Yioultsis T. V., Tsiboukis T. D. Development and implementation of second and third order vector finite elements in various 3-D electromagnetic field problems. IEEE Transactions on Magnetics, 33:1812–1815, 1997. [156] Yioultsis T. V., Kantartzis N. V., Antonopoulos C. S., Tsiboukis T. D. A fully explicit Whitney element - time domain scheme with higher order vector finite elements for three-dimensional high frequency problems. IEEE Transactions on Magnetics, 34:3288–3291, 1998. [157] Tsuboi H., Tanaka M., Seshima N. Finite element method for eddy current analysis taking account of arbitrary line source currents. Proceedings of the 11th IGTE Symposium, Graz, Ausztria, 2004. szeptember 12-15, pp. 47–51. [158] Nakata T., Takahashi N., Fujiwara K., Okada Y. Improvements of the T − Ω method for 3-D eddy current analysis. IEEE Transactions on Magnetics, 24:94– 97, 1988. x
Kuczmann Mikl´os
Habilit´aci´os disszert´aci´o
2010
[159] Nakata T. (szerk.). 3-D electromagnetic field analysis. COMPEL-The international journal for computation and mathematics in electrical and electronic engineering, 9:263–274, 1990. [160] Nakata T., Takahashi N., Fujiwara K., Imai T. Effects of permeability of magnetic materials on errors of the T −Ω method. IEEE Transactions on Magnetics, 26:698– 701, 1990. [161] B´ır´o O., Preis K., Vrisk G., Richter K. R. Computation of 3-D magnetostatic fields using a reduced scalar potential. IEEE Transactions on Magnetics, 29:1329–1332, 1993. [162] Simkin J., Trowbridge C. W. Three-dimensional nonlinear electromagnetic field computation, using scalar potentials. IEE Proc., 127:368–374, 1980. [163] Simkin J., Trowbridge C. W. On the use of the total scalar potential in the numerical solution of field prolems in electromagnetics. International Journal for Numerical Methods in Engineering, 14:423–440, 1979. [164] Preis K., Bardi I., B´ır´o O., Magele C., Renhart W., Richter K. R., Vrisk G. Numerical analysis of 3D magnetostatic fields. IEEE Transactions on Magnetics, 27:3798–3803, 1991. [165] Webb J. P., Forghani B. A single scalar potential method for 3D magnetostatics using edge element. IEEE Transactions on Magnetics, 25:4126–4128, 1989. [166] Preis K., B´ardi I., B´ır´o O., Magele C., Vrisk G., Richter K. R. Different finite element formulations of 3D magnetostatic field. IEEE Transactions on Magnetics, 28:1056–1059, 1992. [167] B´ır´o O., Preis K. On the use of the magnetic vector potential in the finite element analysis of three-dimensional eddy currents. IEEE Transactions on Magnetics, 25:3145–3159, 1989. [168] B´ır´o O., Preis K., Richter K. R. On the use of the magnetic vector potential in the nodal and edge finite element analysis of 3D magnetostatic problems. IEEE Transactions on Magnetics, 32:651–654, 1996. [169] B´ır´o O., Preis K. Finite element analysis of 3-D eddy currents. IEEE Transactions on Magnetics, 26:418–423, 1990. [170] Preis K., B´ardi I., B´ır´o O., Magele C., Renhart W., Richter K. R., Vrisk G. Numerical analysis of 3D magnetostatic fields. IEEE Transactions on Magnetics, 27:3798–3803, 1991. [171] B´ır´o O., Preis K., Vrisk G., Richter K. R., Ticar I. Computation of 3-D magnetostatic fields using a reduced scalar potential. IEEE Transactions on Magnetics, 29:1329–1332, 1993. [172] Ren Z., Ida N. Derivation of various dual formulations in magnetostatics via error based energy approach. IEEE Transactions on Magnetics, 35:1167–1170, 1999. xi
Kuczmann Mikl´os
Habilit´aci´os disszert´aci´o
2010
[173] Demerdash N. A., Nehl T. W., Fouad F. A. Finite element formulation and analysis of three dimensional magnetic field problems. IEEE Transactions on Magnetics, 16:1092–1094, 1980. [174] Coulomb J. L. Finite element three dimensional magnetic field computation. IEEE Transactions on Magnetics, 17:3241–3246, 1981. [175] Kamerai A. K. Calculation of transient 3D eddy current using edge elements. IEEE Transactions on Magnetics, 26:466–469, 1990. [176] Ziarani A. K., Konrad A. Galerkin’s method and the variational procedure. IEEE Transactions on Magnetics, 38:190–199, 2002. [177] Costabel M., Dauge M. Weighted regularization of Maxwell equations in polyhedral domains. IRMAR Technical Report, Rennes, France, pp. 1–26, 2001. [178] Kameari A. K. Three dimensional eddy current calculation using edge elements for magnetic vector potential. Journal of Applied Electromagnetic in Material, pp. 225–236, 1989. [179] Rodger D., Eastham J. F. Multiply connected regions in the A − Φ threedimensional eddy current formulation. IEE Proc. A 134/1, pp. 58–66, 1987. [180] Mohammed O. A., Xiaodi Z., Uler F. G. An iterative technique for 3D eddy current computations by finite elements and scalar potential. COMPEL-The international journal for computation and mathematics in electrical and electronic engineering, 9:17–20, 1990. [181] Drago G., Molfino P., Nervi M., Orlando R. A., Sabbi G. L. A symmetric undifferentiated fully gauged T , Ψ − A − Ψ formulation. IEEE Transactions on Magnetics, 31:1352–1355, 1995. [182] Kameari A. K. Calculation of transient 3D eddy currents using edge elements. IEEE Transactions on Magnetics, 26:466–469, 1990. [183] Kaltenbacher M., Reitzinger S. Appropriate finite-element formulations for 3D electromagnetic-field problems. IEEE Transactions on Magnetics, 38:513–516, 2002. [184] Tran T. S., Meunier G., Labie P., Aime J. Comparison of FEM-PEEC coupled method and finite-element method. IEEE Transactions on Magnetics, 46(4):996– 999, 2010. [185] Brebbia C. A. The Boundary Element Method for Engineers. Pentech Press, London, 1980. [186] Forsythe G. E., Wason W. Finite Difference Method for Partial Differential Equations. J. Wiley, New York, 1960. [187] Taflove A. Computational Electromagnetics, The Finite-Difference Time-Domain Method. Artech House, 1995.
xii
Kuczmann Mikl´os
Habilit´aci´os disszert´aci´o
2010
[188] Gibson W. C. The Method of Moments in Electromagnetics. Chapman Hall/CRC, 2008. [189] Harrington R. F. Field Computation by Moment Methods. IEEE Press Series on Electromagnetic Waves, 1993. [190] Garg R. Analytical and Computational Methods in Electromagnetics. Artech House, 2008. [191] Kis P. Jiles-Atherton Model Implementation to Edge Finite Element Method. PhD t´ezis, Budapesti M˝ uszaki ´es Gazdas´agtudom´anyi Egyetem, 2007. [192] Gyim´othy Sz. Adapt´ıv automatikus h´al´ogener´al´as a v´egeselem m´odszerhez. PhD t´ezis, Budapesti M˝ uszaki ´es Gazdas´agtudom´anyi Egyetem, 2003. [193] www.comsol.com. [194] COMSOL. COMSOL Multiphysics User’s Guide. COMSOL AB, 2007. [195] Katzenelson J., Seitelman L. H. An iterative method for solution of networks of nonlinear monotone resistors. IEEE Transactions on Circuit Theory, pp. 397–407, 1966. [196] Hantila I. F. A method of solving stationary magnetic field in non-linear me´ ´ dia. Revue Roumaine Des Sciences Techniques, Electrotechnique et Energ´ etique, Bukarest, 20:397–407, 1975. [197] Hantila I. F. A method based on the components of polarization for solving station´ ary fields problems. Revue Roumaine Des Sciences Techniques, Electrotechnique ´ et Energ´ etique, Bukarest, 28:121–126, 1983. [198] Hantila I. F. Mathematical model of the relation between B and H for non-linear ´ ´ media. Revue Roumaine Des Sciences Techniques, Electrotechnique et Energ´ etique, Bukarest, 19:429–448, 1974. [199] Hantila I. F., Grama G. An overrelaxation method for the computation of the fixed point of a contractive mapping. Revue Roumaine Des Sciences Techniques, ´ ´ Electrotechnique et Energ´ etique, Bukarest, 27:395–398, 1974. [200] Hantila I. F., Tugulea C., Drosu O., Cranganu Cr., Leuca T. Fixed point methods for electromagnetic field computation. 3rd International Conference on Renewable Sources and Environmental Electro-Technologies, Felix-Spa, Rom´ania, pp. 11–17, 2000. [201] Ifrim C. Numerical method for transient non-linear diffusion problems. Proceedings of the 11th IGTE Symposium, Graz, Ausztria, 2004. szeptember 12-15, pp. 161– 165. [202] Peterson W. Fixed-point technique in computing nonlinear eddy current problems. COMPEL-The international journal for computation and mathematics in electrical and electronic engineering, 22:231–252, 2003.
xiii
Kuczmann Mikl´os
Habilit´aci´os disszert´aci´o
2010
[203] Dupre L.R., Bottuascio O., Chiampi M., Repetto M., Melkebeek J. Modeling of electromagnetic phenomena in soft magnetic materials under unidirectional time periodic flux excitation. IEEE Transactions on Magnetics, 35:4171–4184, 1999. [204] Chiampi M., Negro A. L., Tartaglia M. A finite element method to compute threedimensional magnetic field distribution in transformer cores. IEEE Transactions on Magnetics, MAG-16:1413–1419, 1980. [205] Bottuascio O., Chiampi M., Ragusa C. Transient analysis of hysteretic field problems using fixed point technique. IEEE Transactions on Magnetics, 39:1179–1182, 2003. [206] Ossart F., Ionita V. Convergence de la m´ethode du point fixe modifi´ee pour le calcul de champ magn´etique avec hyst´er´esis. The European Physical Journal, Applied Physics, 5:63–69, 1999. [207] Chiampi M., Chiarabaglio D., Repetto M. A Jiles-Atherton and fixed-point combined technique for time periodic magnetic field problems with hysteresis. IEEE Transactions on Magnetics, 31(6):4306–4309, 1995. [208] Saitz J. Newton-Raphson method and fixed-point technique in finite element computation of magnetic field problems in media with hysteresis. IEEE Transactions on Magnetics, 35(3):1398–1401, 1999. [209] Henrotte F., Nicolet A., Delinc´e F., Genon A., Legros Pr. W. Modeling of ferromagnetic materials in 2D finite element problems using Preisach’s model. IEEE Transactions on Magnetics, 28(5):2614–2616, 1992. [210] Agarwall P., Mechan M., O’Reage D. Fixed Point Theory and Applications. Cambridge University Press, 2001. [211] Bahvalov N. Sz. A g´epi matematika numerikus m´odszerei. M˝ uszaki K¨onyvkiad´o, Budapest, 1977. [212] Chiampi M., Ragusa C., Repetto M. Strategies for accelerating convergence in nonlinear fixed point method solutions. Proceedings of the 7th International IGTE Symposium, Graz, Ausztria, 1996. szeptember 23-26, pp. 245–250. [213] Dlala E., Belahcen A., Arkkio A. Locally convergent fixed-point method for solving time-stepping nonlinear field problems. IEEE Transactions on Magnetics, 43(11):3969–3975, 2007. [214] Petersen B. E. The Picard iteration. http://oregonstate.edu/∼peterseb (utols´ o l´atogat´as: 2010. augusztus 25.), 2007. [215] Hou C. K., Lee S. Effect of rolling strain on the loss separation and permeability of lamination steels. IEEE Transactions on Magnetics, 30(2):212–216, 1994. [216] Helerea E., Oltean I. D., Sangeorzan L., Antonoaie M., Stanulet D. Anisotropic properties of non-oriented Fe-Si sheets under sinusoidal conditions. Optimization of Electric and Electronic Equipments, OPTIM, Brass´o, Rom´ania, 1996. m´ ajus 15-17, pp. 251–260. xiv
Kuczmann Mikl´os
Habilit´aci´os disszert´aci´o
2010
[217] Stoyan G. (szerk.). Matlab - friss´ıtett kiad´as. TypoTex Kiad´o, 2005. [218] Fujiwara K., Nakata T. Results for benchmark problem 7. COMPEL-The international journal for computation and mathematics in electrical and electronic engineering, 9:137–154, 1990. [219] Nakata T., Nakano M., Fujiwara K., Kayada T. Effects of the construction of yokes on the accuracy of a single sheet tester. Proceedings of the 9th Soft Magnetic Materials Conference, El Escorial, Spanyolorsz´ag, 1989. szeptember, 1989. [220] 1988 TEAM Workshops, Test Problems. [221] 1986 International Electromagnetic Workshops, Test Problems. [222] Mohammed O. A., Xiaodi Z., Uler F. G. An iterative technique for 3D eddy current computations by finite elements and scalar potential. COMPEL-The international journal for computation and mathematics in electrical and electronic engineering, 9:17–20, 1990. [223] Bercovier M., Pironneau O. Error estimation for finite element method solution of the Stokes problem in the primitive variables. Journal of Numerical Mathematics, 33:211–223, 1979. [224] Hano M. Finite element analysis of dielectric-loaded waveguides. IEEE Transactions on Magnetics, 20:1275–1279, 1984. [225] Albanese R., Rubinacci G. Solution of three dimensional eddy current problems by integral and differential methods. IEEE Transactions on Magnetics, 24:98–101, 1988. [226] Emson C. R. I. Summary of TEAM workshop test problem 5, 7 and 11 using the package CARMEN. COMPEL-The international journal for computation and mathematics in electrical and electronic engineering, 9:191–196, 1990. [227] Bouillault F., Ren Z., Razek A. Calculation of eddy currents in an asymmetrical conductor with a hole. COMPEL-The international journal for computation and mathematics in electrical and electronic engineering, 9:227–229, 1990. [228] Emson C. R. I., Simkin J. An optimal method for 3-D eddy currents. IEEE Transactions on Magnetics, 29:2450–2452, 1983. [229] Nakata T., Takahashi N., Fujiwara K., Shiraki Y. Comparison of different finite elements for 3-D eddy current analysis. IEEE Transactions on Magnetics, MAG26, 2, 1990. [230] Kuczmann M. Dynamic Preisach hysteresis model. Journal of Applied Research in Physics (online: http://stoner.phys.uaic.ro/jarp/index.php/jarp, utols´o l´atogat´ as: 2010. augusztus 25.), 1(1), 2010. [231] Zirka S. E., Moroz Y. I., Marketos P., Moses A. J. Viscosity-based magnetodynamic model of soft magnetic materials. IEEE Transactions on Magnetics, 42(9):2121– 2132, 2006. xv
Kuczmann Mikl´os
Habilit´aci´os disszert´aci´o
2010
[232] Nakata T., Fujiwara K. Summary of results for benchmark problem 10 (steel plates around a coil). European TEAM Workshop and International Seminar on Electromagnetic Analysis, Oxford, 1990. [233] Nakata T., Fujiwara K. Summary of results for benchmark problem 13 (3-D nonlinear magnetostatic model). COMPEL-The international journal for computation and mathematics in electrical and electronic engineering, 10:231–252, 1992. [234] Allen N., Rodger D. Description of team workshop problem 24: Nonlinear timetransient rotational test rig. http://www.compumag.co.uk/ (utols´o l´atogat´as: 2010. augusztus 25.). [235] Kuczmann M. Using the NewtonRaphson method in the polarization technique to solve nonlinear static magnetic field problems. IEEE Transactions on Magnetics, 46(3):875–879, 2010. [236] Kuczmann M. Finite element simulation of a RRSST system under investigation. Proceedings of the 12th International IGTE Symposium, Graz, Ausztria, 2006. szeptember 17-20, P2-13. [237] Kuczmann M. Numerical analysis of a 2D vector hysteresis measurement system under construction. Journal of Electrical Engineering, 57:44–47, 2006. [238] Kuczmann M. Design of a 2D RRSST system by FEM and the T , Φ − Φ potential formulation. Pollack Periodica, 3:67–80, 2008. [239] Kuczmann M. Numerical analysis of a 2D vector hysteresis measurement system. Pollack Periodica, 2:17–26, 2007. [240] Kuczmann M. Analysis of a vector hysteresis measurement system. Journal of Optoelectronics and Advanced Materials, 10(7):1823–1827, 2008. [241] Kuczmann M. Measurement and simulation of vector hysteresis characteristics. IEEE Transactions on Magnetics, 45(11):5188–5191, 2009. [242] Kuczmann M. Identification of the 2D vector Preisach hysteresis model (megjelen´es alatt). COMPEL-The international journal for computation and mathematics in electrical and electronic engineering, 2010. [243] Kuczmann M. Vector hysteresis measurement and simulation. Przeglad Elektrotechniczny, (12):92–95, 2009.
xvi
