A függvénysorozatok olyanok, mint a valós számsorozatok, csak éppen a tagjai nem valós számok,

l.ch

FÜGGVÉNYSOROZATOK, FÜGGVÉNYSOROK, HATVÁNYSOROK

Itt egy függvénysorozat:

f n ( x)  x n

A függvénysorozatok olyanok, mint a valós számsorozatok, csak éppen a tagjai nem valós számok, hanem függvények,

f1 ( x)  x ; f 2 ( x)  x 2 ; f3 ( x)  x3 ; f 4 ( x)  x 4 ; f5 ( x)  x5 és így tovább.

Nézzük meg ennek a függvénysorozatnak néhány tagját a [0,1] intervallumon.

Ha az

f n ( x)  x n

f n ( x)  x n függvénysorozatban x-et

rögzítjük mondjuk 0,5-nek, akkor az

f n (0,5)  0,5n valós számsorozatot kapjuk. Ha x-et 0,8-nak rögzítjük, akkor pedig az

f n (0,8)  0,8n sorozatot kapjuk. Bárhogy is rögzítjük az x-et, ily módon mindig egy valós számsorozatot kapunk. Ha 0  x  1 akkor ezek a sorozatok szépen nullához fognak tartani, mert ugye

mateking.hu q  1 esetén q n  0

0

Az

0,5

0,8

1

f n ( x)  x n függvénysorozat határértéke tehát 0  x  1 esetén nulla, míg x  1 esetén 1.

Ez a határérték tulajdonképpen egy függvény ami a [0;1) intervallumon a konstans nulla, míg

f n ( x)  x n függvénysorozat határérték-függvényének, rövidebben határfüggvényének, vagy másként limeszfüggvényének nevezzük és F (x) -el jelöljük. 1-ben egy.

Az így keletkező függvényt az

A limeszfüggvény bármely

x0 pontban azt az értéket veszi föl, amely az f n ( x0 ) sorozat határértéke. Ha egy adott x0 -ban f n ( x0 ) nem konvergens, akkor ott a határfüggvény nincs értelmezve. Ha az f n (x) függvénysorozat egy intervallum minden pontjában konvergens, akkor azt mondjuk, hogy f n (x) pontonként konvergens ezen az intervallumon, és így létezik határfüggvénye az intervallum minden pontjában. Ezt a fajta konvergenciát pontonkénti konvergenciának nevezzük. A definíció a következő:

bmbmnb f n (x) függvénysorozat pontonként konvergens az I intervallumon és határfüggvénye F (x) , ha minden x eleme I esetén minden   0 -ra létezik olyan n0 küszöbindex, hogy minden

DEFINÍCIÓ: Az

n  n0 esetén f n ( x)  F ( x)   .

1

Az

f n (x) függvénysorozat pontonként konvergens az I intervallumon, ha az intervallumban lévő

összes x-re az

f n (x) , mint valós számsorozat konvergens. Nézzünk meg egy másik példát is!

Itt van mondjuk az

f n ( x)  n x függvénysorozatot a [0,6] intervallumon.

A függvénysorozat tagjai

f1( x)  x ; f 2 ( x)  x ; f3 ( x)  3 x ; f 4 ( x)  4 x és így tovább.

Mi lehet ennek a függvénysorozatnak a határfüggvénye?

f n ( x)  n x Ha visszaemlékszünk arra, hogy

an  n a  1 akkor világos, hogy az

f n ( x)  n x függvénysorozat határfüggvénye a (0;6] intervallumon az F ( x)  1 .

Az ábrán remekül látszik, hogy a (0;6] intervallum minden pontjában a határérték egy, mint ahogy az is látszik, hogy x  0 -ban ez a határérték nulla, és emiatt itt mindegyik függvénygörbe erősen elhajlik.

mateking.hu 0

1

6

Eddigi példáinkban a határfüggvény nem folytonos függvény. Valamelyik végpontban ugyanis más értéket vesz föl, mint az összes többi helyen. Ennek oka abban keresendő, hogy a függvénygörbék mindkét esetben valamelyik végénél erősen elhajlanak a határfüggvénytől, tehát nem egyenletesen tartanak hozzá a teljes intervallumon.

Az

f n ( x)  x n esetében az elhajlás x  1 -nél , míg az f n ( x)  n x függvénysorozatnál x  0 -ban

látható. Amit ezek a rajzok sugallnak, azt hamarosan definícióban is ki fogjuk mondani. Nevezetesen azt, hogy a pontonkénti konvergenciánál van egy erősebb konvergencia is, egy olyan konvergencia, ahol a függvénygörbék egyenletesen tartanak a limeszfüggvényhez és ezért a limeszfüggvény folytonos. Ezt a fajta konvergenciát egyenletes konvergenciának nevezzük. Az egyenletes konvergencia definíciója élénken emlékeztet a pontonkénti konvergencia definíciójára, egyetlen aprócska eltérés van csak köztük. Ez az eltérés viszont döntő fontosságú.

DEFINÍCIÓ: Az

f n (x) függvénysorozat egyenletesen konvergens az I intervallumon és határfüggvénye F (x) , ha minden   0 -ra minden x eleme I esetén létezik olyan

n0 küszöbindex, hogy minden n  n0 esetén f n ( x)  F ( x)   .

2

A kétféle konvergencia közötti döntő különbséget az jelenti, hogy az egyenletes konvergenciánál minden   0 -ra van egy közös n0 , ami minden x-re jó, míg a pontonkénti konvergencia esetén minden x-re külön n0 van. Tehát minden x-re van ugyan

n0 , de nem ugyanaz az n0 és emiatt néhol

felgyorsulhat, néhol pedig nagyon lelassulhat a konvergencia, ami miatt a határfüggvény szétszakad. Ez a helyzet például az f n ( x)  arctg (nx) függvénysorozat esetében is.

f n ( x)  arctg (nx) Ábránkon látszik, hogy a határfüggvény x  0 esetén a konstans  / 2 , míg x  0 -ra a konstans   / 2 tehát a limeszfüggvény a nullában kettészakad. Ahogy a nullához mindinkább közeli x-eket veszünk, úgy egyre lassabbá válik a határfüggvényhez való konvergencia, a függvénygörbék mind jobban elhajlanak a  / 2 -nél illetve   / 2 -nél húzott egyenesektől. Egyenletes konvergenciánál ilyesmi nem fordulhat elő.

 /2

 / 2

mateking.hu Az f n ( x)  x 2 / n függvénysorozat egyenletesen

konvergens bármely korlátos intervallumon, így az ábránkon szereplő [–6;6] intervallumon is, és határfüggvénye az F ( x)  0 .

f n ( x) 

x2 n

A rajzból jól látszik, hogy a függvénysorozat tagfüggvényei a vizsgált intervallum végpontjaiban vannak legtávolabb az F ( x)  0 határfüggvénytől, de ez a távolság ott is tart nullához. Van tehát az egész intervallumon közös n0 . Ha ugyanis

n0 -t úgy választjuk meg, hogy az



f n ( x)  F ( x) különbség x  6 vagy x  6 esetén

is  -nál kisebb legyen nos, akkor garantált, hogy minden más x-re is ez a különbség  -nál kisebb lesz.

bmbmnb Ahogyan a valós számsorozatoknál a sorozat tagjait összeadva egy végtelen sort kapunk, úgy a függvénysorozatoknál a tagfüggvények összeadásával függvénysorok keletkeznek.

A

 fn (x) függvénysor konvergens az I intervallumon, ha minden

x0 eleme I -re a

 fn ( x0 )

valós végtelen sor konvergens.

3

Van a függvénysoroknak egy speciális fajtája, amikor a függvénysor tagjai hatványfüggvények. Ezeket a függvénysorokat hatványsoroknak nevezzük.

A

 an ( x  x0 )n

függvénysort hatványsornak nevezzük, ahol

x0 a hatványsor középpontja, an

pedig valós (vagy komplex) számsorozat. A valós (vagy komplex) számoknak azon halmazát, ahol a

 an ( x  x0 )n

hatványsor konvergens, konvergencia-intervallumnak, vagy konvergencia halmaznak

nevezzük.

A hatványsor az x0 helyen biztosan konvergens, tehát a konvergencia halmaz sosem üres halmaz, és mindenképpen tartalmazza a hatványsor középpontját. A kérdés, hogy vajon x0-on kívül még mely x-ek tartoznak a konvergencia-halmazba.

konvergencia tartomány

x0

konvergencia sugár

A

 an ( x  x0 )n

hatványsor konvergencia tartománya

x0 -nak az a nyílt maximális környezete,

mateking.hu amire a sor konvergens.

A konvergencia tartomány meghatározásához a végtelen soroknál megismert gyök-kritériumot alkalmazva kapjuk azt a nevezetes tételt, ami Cauchy-Hadamard tétel néven van forgalomban.

A

 an ( x  x0 )n

hatványsor konvergencia-tartománya az

komplexben azok az x komplex számok, amelyekre

x0  R; x0  R intervallum, vagy

x  x0  R ahol R a konvergencia-sugár és:

R   , ha lim sup n an  0 R  1 / S , ha lim sup n an  S és S pozitív valós szám R  0 , ha lim sup n an   A hatványsor konvergencia-tartománya minden esetben x0-nak egy környezete, így az mindig szimmetrikus. A konvergencia-tartomány azonban nem feltétlenül az a legbővebb halmaz, ahol a hatványsor konvergens, mert definiálásából adódóan mindig egy nyílt intervallum, (vagy komplexben nyílt környezet) a sor pedig konvergens lehet még az intervallum valamely, vagy esetleg mindkét végpontjában is (komplexben a környezet bármely határpontjában is). Ezen kívül bmbmnb máshol viszont biztosan nem. A konvergencia halmaz tehát valós számok esetében négyféle lehet. Vagy éppen megegyezik a konvergencia tartománnyal, ami mindkét végén nyílt intervallum, vagy benne van még annak bal végpontja, vagy benne van a jobb végpontja, vagy mindkettő végpontja. Nézzünk mindegyikre példákat. Igazán remek példákat fogunk nézni, de a nagyobb élvezet kedvéért érdemes kicsit visszaemlékezni a végtelen sorokra.

4

1. A sor a konvergencia-tartomány mindkét végpontjában konvergens. Példa:

1  n2  xn

1  n  1

1

n

n

2

–1

0

2

1

2. A sor a konvergencia-tartomány jobb végpontjában konvergens, a bal végpontban divergens. Példa:

  1

1

1   1 n  x n n

n –1

0

n

1 n

1

3. A sor a konvergencia-tartomány bal végpontjában konvergens, a jobb végpontban divergens. Példa:

1

nx

n

  1

n

1 n

1

n

mateking.hu –1

0

1

4. A sor a konvergencia-tartomány mindkét végpontjában divergens. Példa:

x

n

 1

1

n

–1

0

1

bmbmnb

5