A9 Př. 1. Je dána rovnice sin x − x + 2 = 0. • Najděte interval délky 1, v němž leží kořen rovnice. • Metodou půlení intervalů tento interval zužte až na interval délky 0,25. • Pak kořen najděte s přesností ε = 0,001 Newtonovou metodou (podmínky konvergence ověřovat nemusíte). Počítejte v radiánech, ne ve stupních! Řešení: Rovnici lze upravit na sin x = x − 2. Nakreslíme-li do jednoho obrázku grafy funkcí y = sin x a y = x − 2, vidíme, že kořen leží v intervalu h2, 3i.
1
xk+1 = xk −
x –1
1
Půlení intervalů: a b s f (a) f (b) f (s) 2 3 2,5 + − + 2,5 3 2,75 + − − 2,5 2,75 + − Kořen je v intervalu h2,5; 2,75i. Newtonova metoda:
2
3
sin xk − xk + 2 cos xk − 1
Zvolíme-li např. x0 = 2,5: x1 = 2,555 x2 = 2,554 x3 = 2,554
–1 y
–2
Kořen je přibližně 2,554. Př. 2. Gauss-Seidelovou metodou řešte soustavu rovnic 10x + 2y − z = 25 3x + 20y − 4z = −10 −2x + y − 8z = 15 Ověřte, že je splněna podmínka konvergence metody – rozepište! Vyjděte z bodu (x0 , y0 , z0 ) = (0; 0; 0) a proveďte 2 kroky. Řešení: Podmínka konvergence je splněna, protože matice soustavy je řádkově diagonálně dominantní: |10| > |2| + | − 1|,
|20| > |3| + | − 4|,
Budeme dosazovat do iteračních vztahů 1 (25 − 2yk + zk ) xk+1 = 10 1 yk+1 = 20 (−10 − 3xk+1 + 4zk ) zk+1 = − 81 (15 + 2xk+1 − yk+1 )
| − 8| > | − 2| + |1|. Vyjde: k xk yk zk 0 0 0 0 1 2,5 -0,875 -2,6094 2 2,4141 -1,3840 -2,6515
Př. 3. Jsou uzly x0 = −2, x1 = 0, x2 = 2, x3 = 3 ekvidistantní? Najděte Newtonův interpolační polynom s těmito uzly, který aproximuje funkci f (x) =
x3 . x2 + 1
Řešení: Uzly nejsou ekvidistantní, rozestup mezi x2 a x3 je jiný než např. mezi x1 a x2 . Musíme proto použít obecný tvar Newtonova interpolačního polynomu. Tabulka poměrných diferencí: xi -2
− 85
0 2 3
fi = −1,6 0
8 5 27 10
= 1,6
4 5 4 5 11 10
= 0,8 = 0,8
0 1 10
1 50
= 0,02
= 0,1
= 1,1
= 2,7
Interpolační polynom: P3 (x) = −1,6 + 0,8(x + 2) + 0,02(x + 2)x(x − 2)
B9 Př. 1. Je dána rovnice 2ex + x − 4 = 0. • Najděte interval délky 1, v němž leží kořen rovnice. • Metodou půlení intervalů tento interval zužte až na interval délky 0,25. • Pak kořen najděte s přesností ε = 0,001 Newtonovou metodou (podmínky konvergence ověřovat nemusíte). Řešení: . Rovnici lze upravit na ex = −x+4 2 Nakreslíme-li do jednoho obrázku grafy funkcí y = ex a y = (−x + 4)/2, vidíme, že kořen leží v intervalu h0, 1i. 5
Půlení intervalů: a b s f (a) f (b) f (s) 0 1 0,5 − + − 0,5 1 0,75 − + + 0,5 0,75 − + Kořen je v intervalu h0,5; 0,75i. Newtonova metoda:
4
xk+1 = xk − 3
2exk + xk − 4 2exk + 1
Zvolíme-li např. x0 = 0,5:
y 2
x1 = 0,547 x2 = 0,546 x3 = 0,546
1
–2
–1
0
1
2
3
4
x
Kořen je přibližně 0,546.
Př. 2. Jacobiho metodou řešte soustavu rovnic 10x − 3y + 2z = 35 −2x + 8y − z = −16 5x − 2y − 20z = 30 Ověřte, že je splněna podmínka konvergence metody – rozepište! Vyjděte z bodu (x0 , y0 , z0 ) = (2; −2; −1) a proveďte 2 kroky. Řešení: Podmínka konvergence je splněna, protože matice soustavy je řádkově diagonálně dominantní: |10| > | − 3| + |2|,
|8| > | − 2| + | − 1|,
Budeme dosazovat do iteračních vztahů 1 (35 + 3yk − 2zk ) xk+1 = 10 1 yk+1 = 8 (−16 + 2xk + zk ) 1 zk+1 = − 20 (30 − 5xk + 2yk )
| − 20| > |5| + | − 2|. Vyjde: k xk yk zk 0 2 -2 -1 1 3,1 -1,625 -0,8 2 3,1725 -1,325 -0,5625
Př. 3. Jsou uzly x0 = −1, x1 = 0, x2 = 1, x3 = 3 ekvidistantní? Najděte Newtonův interpolační polynom s těmito uzly, který aproximuje funkci f (x) =
x2
x . − 10
Řešení: Uzly nejsou ekvidistantní, rozestup mezi x2 a x3 je jiný než např. mezi x1 a x2 . Musíme proto použít obecný tvar Newtonova interpolačního polynomu. Tabulka poměrných diferencí: xi -1 0 1 3
fi . = 0,1111
. . − 19 = −0,1111 0 − 19 = −0,1111 . . 0 − 19 = −0,1111 − 49 = −0,4444 . . − 19 = −0,1111 − 13 = −1,4444 9 1 9
−3
Interpolační polynom: P3 (x) =
1 9
− 19 (x + 1) − 91 (x + 1)x(x − 1)
C9 Př. 1. Je dána rovnice sin x + x − 2 = 0. • Najděte interval délky 1, v němž leží kořen rovnice. • Metodou půlení intervalů tento interval zužte až na interval délky 0,25. • Pak kořen najděte s přesností ε = 0,001 Newtonovou metodou (podmínky konvergence ověřovat nemusíte). Počítejte v radiánech, ne ve stupních! Řešení: Rovnici lze upravit na sin x = −x + 2. Nakreslíme-li do jednoho obrázku grafy funkcí y = sin x a y = −x + 2, vidíme, že kořen leží v intervalu h1, 2i.
2
Půlení intervalů: a b s f (a) f (b) f (s) 1 2 1,5 − + + 1 1,5 1,25 − + + 1 1,25 − + Kořen je v intervalu h1; 1,25i. Newtonova metoda: xk+1 = xk −
y 1
sin xk + xk − 2 cos xk + 1
Zvolíme-li např. x0 = 1: 0
–1
1
2
x1 = 1,103 x2 = 1,106 x3 = 1,106
3
x
–1
Kořen je přibližně 1,106. Př. 2. Gauss-Seidelovou metodou řešte soustavu rovnic 20x − 2y + z = 40 4x − 10y = 25 x − 2y + 5z = −20 Ověřte, že je splněna podmínka konvergence metody – rozepište! Vyjděte z bodu (x0 , y0 , z0 ) = (0; 0; 0) a proveďte 2 kroky. Řešení: Podmínka konvergence je splněna, protože matice soustavy je řádkově diagonálně dominantní: |20| > | − 2| + |1|,
| − 10| > |4| + |0|,
Budeme dosazovat do iteračních vztahů 1 (40 + 2yk − zk ) xk+1 = 20 1 yk+1 = − 10 (25 − 4xk+1 ) zk+1 = 15 (−20 − xk+1 + 2yk+1 )
|5| > |1| + | − 2|. Vyjde: k xk 0 0 1 2 2 2,084
yk zk 0 0 -1,7 -5,08 -1,6664 -5,0837
Př. 3. Jsou uzly x0 = −1, x1 = 0, x2 = 1, x3 = 4 ekvidistantní? Najděte Newtonův interpolační polynom s těmito uzly, který aproximuje funkci f (x) =
x3 . x2 + 4
Řešení: Uzly nejsou ekvidistantní, rozestup mezi x2 a x3 je jiný než např. mezi x1 a x2 . Musíme proto použít obecný tvar Newtonova interpolačního polynomu. Tabulka poměrných diferencí: xi -1
− 15
0 1 4
fi = −0,2 0
1 5 16 5
= 0,2
1 5 1 5
= 0,2 = 0,2
0 1 5
1 25
= 0,04
= 0,2
1
= 3,2
Interpolační polynom: P3 (x) = −0,2 + 0,2(x + 1) + 0,04(x + 1)x(x − 1)
D9 Př. 1. Je dána rovnice ex − 2x − 4 = 0. • Najděte interval délky 1, v němž leží záporný kořen rovnice. • Metodou půlení intervalů tento interval zužte až na interval délky 0,25. • Pak kořen najděte s přesností ε = 0,001 Newtonovou metodou (podmínky konvergence ověřovat nemusíte). Řešení: Rovnici lze upravit na ex = 2x + 4. Nakreslíme-li do jednoho obrázku grafy funkcí y = ex a y = 2x + 4, vidíme, že záporný kořen leží v intervalu h−2, −1i. 5
4
Půlení intervalů: a b s f (a) -2 -1 -1,5 + -2 -1,5 -1,75 + -2 -1,75 + Kořen je v intervalu h−2; Newtonova metoda: xk+1 = xk −
3
f (b) f (s) − − − − − −1,75i.
exk − 2xk − 4 exk − 2
y
Zvolíme-li např. x0 = 0,5:
2
x1 = −1,927 x2 = −1,927
1
Kořen je přibližně -1,927. –2
–1
1
2 x
Př. 2. Jacobiho metodou řešte soustavu rovnic 5x + y − 2z = −15 3x − 20y + 4z = 40 2x − y + 10z = 30 Ověřte, že je splněna podmínka konvergence metody – rozepište! Vyjděte z bodu (x0 , y0 , z0 ) = (−3; −2; 3) a proveďte 2 kroky. Řešení: Podmínka konvergence je splněna, protože matice soustavy je řádkově diagonálně dominantní: |5| > |1| + | − 2|,
| − 20| > |3| + |4|,
Budeme dosazovat do iteračních vztahů xk+1 = 15 (−15 − yk + 2zk ) 1 yk+1 = − 20 (40 − 3xk − 4zk ) 1 zk+1 = 10 (30 − 2xk + yk )
|10| > |2| + | − 1|. Vyjde: k xk yk zk 0 -3 -2 3 1 -1,4 -1,85 3,4 2 -1,27 -1,53 3,095
Př. 3. Jsou uzly x0 = −2, x1 = 0, x2 = 2, x3 = 3 ekvidistantní? Najděte Newtonův interpolační polynom s těmito uzly, který aproximuje funkci f (x) =
x2
x . +1
Řešení: Uzly nejsou ekvidistantní, rozestup mezi x2 a x3 je jiný než např. mezi x1 a x2 . Musíme proto použít obecný tvar Newtonova interpolačního polynomu. Tabulka poměrných diferencí: xi -2
− 25
0 2 3
fi = −0,4 0
2 5 3 10
= 0,4
1 5 1 5 1 − 10
= 0,2
0
= 0,2
1 − 10 = −0,1
1 = −0,02 − 50
= −0,1
= 0,3
Interpolační polynom: P3 (x) = −0,4 + 0,2(x + 2) − 0,02(x + 2)x(x − 2)
A 10 Př. 1. Je dána rovnice ex + 2x − 6 = 0. • Najděte interval délky 1, v němž leží kořen rovnice. • Metodou půlení intervalů tento interval zužte až na interval délky 0,25. • Pak kořen najděte s přesností ε = 0,001 Newtonovou metodou (podmínky konvergence ověřovat nemusíte). Řešení: Rovnici lze upravit na ex = −2x + 6. Nakreslíme-li do jednoho obrázku grafy funkcí y = ex a y = −2x + 6, vidíme, že kořen leží v intervalu h1, 2i. 6
5
Půlení intervalů: a b s f (a) f (b) f (s) 1 2 1,5 − + + 1 1,5 1,25 − + − 1,25 1,5 − + Kořen je v intervalu h1, 25; 1,5i. Newtonova metoda:
4
xk+1 = xk −
y 3
exk + 2xk − 6 exk + 2
Zvolíme-li např. x0 = 1,25: x1 = 1,252 x2 = 1,252
2
1
Kořen je přibližně 1,252. –2
–1
0
1
2
3
x
Př. 2. Jacobiho metodou řešte soustavu rovnic 20x − 2y + z = 40 4x − 10y = 25 x − 2y + 5z = −20 Ověřte, že je splněna podmínka konvergence metody – rozepište! Vyjděte z bodu (x0 , y0 , z0 ) = (2; −2; −4) a proveďte 2 kroky. Řešení: Podmínka konvergence je splněna, protože matice soustavy je řádkově diagonálně dominantní: |20| > | − 2| + |1|,
| − 10| > |4| + |0|,
Budeme dosazovat do iteračních vztahů 1 xk+1 = 20 (40 + 2yk − zk ) 1 yk+1 = − 10 (25 − 4xk ) zk+1 = 15 (−20 − xk + 2yk )
|5| > |1| + | − 2|. Vyjde: k xk yk zk 0 2 -2 -4 1 2 -1,7 -5,2 2 2,09 -1,7 -5,08
Př. 3. Jsou uzly x0 = −1, x1 = 0, x2 = 1, x3 = 3 ekvidistantní? Najděte Newtonův interpolační polynom s těmito uzly, který aproximuje funkci f (x) =
x2
x . +1
Řešení: Uzly nejsou ekvidistantní, rozestup mezi x2 a x3 je jiný než např. mezi x1 a x2 . Musíme proto použít obecný tvar Newtonova interpolačního polynomu. Tabulka poměrných diferencí: xi -1
− 12
0 1 3
fi = −0,5 0
1 2 3 10
= 0,5
1 2 1 2 1 − 10
= 0,5
0
= 0,5
− 51 = −0,2
1 = −0,05 − 20
= −0,1
= 0,3
Interpolační polynom: P3 (x) = −0,5 + 0,5(x + 1) − 0,05(x + 1)x(x − 1)
B 10 Př. 1. Je dána rovnice sin x − 2x + 4 = 0. • Najděte interval délky 1, v němž leží kořen rovnice. • Metodou půlení intervalů tento interval zužte až na interval délky 0,25. • Pak kořen najděte s přesností ε = 0,001 Newtonovou metodou (podmínky konvergence ověřovat nemusíte). Počítejte v radiánech, ne ve stupních! Řešení: Rovnici lze upravit na sin x = 2x − 4. Nakreslíme-li do jednoho obrázku grafy funkcí y = sin x a y = 2x − 4, vidíme, že kořen leží v intervalu h2, 3i. 1
–1
1
x 2
3
4
Půlení intervalů: a b s f (a) f (b) f (s) 2 3 2,5 + − − 2 2,5 2,25 + − + 2,25 2,5 + − Kořen je v intervalu h2, 25; 2,5i. Newtonova metoda:
0
xk+1 = xk −
sin xk − 2xk + 4 cos xk − 2
–1
Zvolíme-li např. x0 = 2,25: –2
x1 = 2,356 x2 = 2,354 x3 = 2,354
y
–3
Kořen je přibližně 2,354.
–4
Př. 2. Gauss-Seidelovou metodou řešte soustavu rovnic 5x + y − 2z = −15 3x − 20y + 4z = 40 2x − y + 10z = 30 Ověřte, že je splněna podmínka konvergence metody – rozepište! Vyjděte z bodu (x0 , y0 , z0 ) = (0; 0; 0) a proveďte 2 kroky. Řešení: Podmínka konvergence je splněna, protože matice soustavy je řádkově diagonálně dominantní: |5| > |1| + | − 2|,
| − 20| > |3| + |4|,
Budeme dosazovat do iteračních vztahů xk+1 = 51 (−15 − yk + 2zk ) 1 yk+1 = − 20 (40 − 3xk+1 − 4zk ) 1 zk+1 = 10 (30 − 2xk+1 + yk+1 )
|10| > |2| + | − 1|. Vyjde: k xk yk zk 0 0 0 0 1 -3 -2,45 3,355 2 -1,168 -1,5042 3,0832
Př. 3. Jsou uzly x0 = −1, x1 = 0, x2 = 1, x3 = 4 ekvidistantní? Najděte Newtonův interpolační polynom s těmito uzly, který aproximuje funkci f (x) =
x2
x . +4
Řešení: Uzly nejsou ekvidistantní, rozestup mezi x2 a x3 je jiný než např. mezi x1 a x2 . Musíme proto použít obecný tvar Newtonova interpolačního polynomu. Tabulka poměrných diferencí: xi -1
− 15
0 1 4
fi = −0,2 0
1 5 1 5
= 0,2
1 5 1 5
= 0,2
0
1 = −0,01 − 100
1 = 0,2 − 20 = −0,05
0
= 0,2
Interpolační polynom: P3 (x) = −0,2 + 0,2(x + 1) − 0,01(x + 1)x(x − 1)
C 10 Př. 1. Je dána rovnice 2ex − x − 4 = 0. • Najděte interval délky 1, v němž leží kladný kořen rovnice. • Metodou půlení intervalů tento interval zužte až na interval délky 0,25. • Pak kořen najděte s přesností ε = 0,001 Newtonovou metodou (podmínky konvergence ověřovat nemusíte). Řešení: Rovnici lze upravit na ex = x+4 . 2 Nakreslíme-li do jednoho obrázku grafy funkcí y = ex a y = (x + 4)/2, vidíme, že kořen leží v intervalu h0, 1i (nebo h0,5; 1,5i ). 4
xk+1 = xk −
3
2
Půlení intervalů: a b s f (a) f (b) f (s) 0 1 0,5 − + − 0,5 1 0,75 − + − 0,75 1 − + Kořen je v intervalu h0, 75; 1i. Newtonova metoda:
Zvolíme-li např. x0 = 1:
y
x1 = 0,902 x2 = 0,895 x3 = 0,895
1
–4
–3
–2
–1
0
2exk − xk − 4 2exk − 1
1
x
2
Kořen je přibližně 0,895.
Př. 2. Jacobiho metodou řešte soustavu rovnic 10x + 2y − z = 25 3x + 20y − 4z = −10 −2x + y − 8z = 15 Ověřte, že je splněna podmínka konvergence metody – rozepište! Vyjděte z bodu (x0 , y0 , z0 ) = (2; −1; −2) a proveďte 2 kroky. Řešení: Podmínka konvergence je splněna, protože matice soustavy je řádkově diagonálně dominantní: |10| > |2| + | − 1|,
|20| > |3| + | − 4|,
Budeme dosazovat do iteračních vztahů 1 (25 − 2yk + zk ) xk+1 = 10 1 yk+1 = 20 (−10 − 3xk + 4zk ) zk+1 = − 18 (15 + 2xk − yk )
| − 8| > | − 2| + |1|. Vyjde: k xk yk zk 0 2 -1 -2 1 2,5 -1,2 -2,5 2 2,49 -1,375 -2,65
Př. 3. Jsou uzly x0 = −2, x1 = 0, x2 = 2, x3 = 3 ekvidistantní? Najděte Newtonův interpolační polynom s těmito uzly, který aproximuje funkci f (x) =
x2
x . − 10
Řešení: Uzly nejsou ekvidistantní, rozestup mezi x2 a x3 je jiný než např. mezi x1 a x2 . Musíme proto použít obecný tvar Newtonova interpolačního polynomu. Tabulka poměrných diferencí: xi -2
1 3
0 2 3
− 13
fi . = 0,3333
. . − 61 = −0,1667 0 − 16 = −0,1667 . . − 61 = −0,1667 − 56 = −0,8333
0 . = −0,3333 − 38 = −2,6667 −3
Interpolační polynom: P3 (x) =
1 3
− 16 (x + 2) − 61 (x + 2)x(x − 2)
D 10 Př. 1. Je dána rovnice sin x + 2x − 4 = 0. • Najděte interval délky 1, v němž leží kořen rovnice. • Metodou půlení intervalů tento interval zužte až na interval délky 0,25. • Pak kořen najděte s přesností ε = 0,001 Newtonovou metodou (podmínky konvergence ověřovat nemusíte). Počítejte v radiánech, ne ve stupních! Řešení: Rovnici lze upravit na sin x = −2x + 4. Nakreslíme-li do jednoho obrázku grafy funkcí y = sin x a y = −2x + 4, vidíme, že kořen leží v intervalu h1, 2i. 4
3
Půlení intervalů: a b s f (a) f (b) f (s) 1 2 1,5 − + − 1,5 2 1,75 − + + 1,5 1,75 − + Kořen je v intervalu h1, 5; 1,75i. Newtonova metoda: xk+1 = xk −
y 2
sin xk + 2xk − 4 cos xk + 2
Zvolíme-li např. x0 = 1,5: 1
–1
0
x1 = 1,501 x2 = 1,501 1
2
3
4
x
Kořen je přibližně 1,501.
–1
Př. 2. Gauss-Seidelovou metodou řešte soustavu rovnic 10x − 3y + 2z = 35 −2x + 8y − z = −16 5x − 2y − 20z = 30 Ověřte, že je splněna podmínka konvergence metody – rozepište! Vyjděte z bodu (x0 , y0 , z0 ) = (0; 0; 0) a proveďte 2 kroky. Řešení: Podmínka konvergence je splněna, protože matice soustavy je řádkově diagonálně dominantní: |10| > | − 3| + |2|,
|8| > | − 2| + | − 1|,
Budeme dosazovat do iteračních vztahů 1 (35 + 3yk − 2zk ) xk+1 = 10 yk+1 = 18 (−16 + 2xk+1 + zk ) 1 zk+1 = − 20 (30 − 5xk+1 + 2yk+1 )
| − 20| > |5| + | − 2|. Vyjde: k xk yk zk 0 0 0 0 1 3,5 -1,125 -0,5125 2 3,265 -1,2478 -0,5590
Př. 3. Jsou uzly x0 = −1, x1 = 0, x2 = 1, x3 = 3 ekvidistantní? Najděte Newtonův interpolační polynom s těmito uzly, který aproximuje funkci f (x) =
x3 . x2 + 1
Řešení: Uzly nejsou ekvidistantní, rozestup mezi x2 a x3 je jiný než např. mezi x1 a x2 . Musíme proto použít obecný tvar Newtonova interpolačního polynomu. Tabulka poměrných diferencí: xi -1
− 12
0 1 3
fi = −0,5 0
1 2 27 10
= 0,5
1 2 1 2 11 10
= 0,5 = 0,5
0 1 5
1 20
= 0,05
= 0,2
= 1,1
= 2,7
Interpolační polynom: P3 (x) = −0,5 + 0,5(x + 1) + 0,05(x + 1)x(x − 1)
