8. Pénzügyi termékek és árazásuk

8. Pénzügyi termékek és árazásuk A fejezet három nagyobb részre tagolódik. Az első rész az értékpapírok általános ismertétését, csoportosítását tartalmazza. A második rész az árazásba vezeti be az ovlasót. A harmadik rész a kötvények és részvények ráazásának lényegsebb kérdéseit mtuatja be. AZ ÉRTÉKPAPÍROK Az értékpapír jogi definíciója alapján egyoldalú és feltétlen kötelezettségvállalás a kibocsátó részéről. Egy kicsit egyszerűbb értelmezés szerint értékpapír az, amelyet a vonatkozó törvények (A tőkepiacokról szóló törvény valamint a Ptk.) hatálya alatt bocsátanak ki – vagyis amelyek a fenti elvet képviselő törvényi szabályozásnak megfelelnek. A régebbi törvényi szabályozás kitért az értékpapírok fizikai formátumára, de az úgynevezett dematerializáció folyamata a fizikai forma egyeduralmát nem hogy megszüntette, de teljesen háttérbe is szorította. Az értékpapíroknak egy alternatív jogi definíciója szerint: az értékpapír valamilyen vagyonnal kapcsolatos jogot megtestesítő forgalomképes okirat vagy számlán megjelenő összeg, illetve elektronikus jel. A makrogazdasági összefüggések rendszerében az értékpapírok közvetítő szerepet töltenek be a megtakarítók és beruházók között. Az értékpapír ezért közgazdasági a definíció szerint a különböző időpontbeli pénzek cseréjének eszköze (pl. ha értékpapírt vásárolunk, akkor jövőbeli pénzt vásárolunk meg jelenbeli pénzünkért). Az értékpapírpiacok akkor működnek gyorsan, olcsón és hatékonyan, ha ott az adásvétel tárgyai, az értékpapírok "szabványosítottak" – azonos jogokat biztosítanak. Ekkor ugyanis a piac szereplői könnyen át tudják tekinteni a piacot, gyorsan és olcsón információhoz juthatnak, így könnyen megérthetik az értékpapírműveletekkel kapcsolatos kockázatot és nyerési lehetőségeket. A sztenderdizáció oka a költségek csökkentése: az értékpapírok vásárlói keresési, információgyűjtési költségeket csökkentenek, a kibocsátók nagymennyiségben tudják kibocsátani azonos papírjaikat, amivel a kibocsátás költségét tudják csökkenteni. Mindez az úgynevezett értékpapír-sorozatok, a tulajdonosaiknak azonos jogokat biztosító papírok együttesének kialakulásához vezettek. Az értékpapíroknak számtalan fajtája, változata alakult ki, sokszor országonként is eltérő fejlődési pályát leírva. Csoportosításuknak többféle szempontja lehet. a) Az értékpapírban foglalt jog szerint vannak pénzkövetelést, részesedést és valamely áruval kapcsolatos jogot megtestesítő papírok. A pénzkövetelést megtestesítő értékpapírnak az a jellemzője, hogy az egyik fél elismeri valamely másik féllel szemben annak követelését és vállalja, hogy azt meghatározott időben és módon, az értékpapírban foglalt feltételeknek megfelelően (azt jogilag is jól körülhatárolható és kikényszeríthető formában) ki fogja egyenlíteni. Tipikus fajtái: a váltó, a csekk, az adósságlevél, az adóskötelezvény, a kötvény stb. Ide sorolható a befektetési jegy is. A részesedési jogot (tagságot) megtestesítő értékpapír azt igazolja, hogy tulajdonosa valamely vállalkozás alaptőkéjéhez járult hozzá, és befektetett pénze után jogosult a kiosztásra kerülő nyereség arányos részére (az osztalékra). Formailag társtulajdonosi jogokat testesít meg. Fontos vonása, hogy tulajdonosa nem vonhatja ki vagyonát a vállalkozásból. Az ilyen értékpapírok alaptípusa a részvény, bányarészjegy stb. Hasonló jellegűek az ún. kis számú társtulajdonos jogait megtestesítő értékpapírok. Ezek tulajdonosai azonban (a részvényeseknél kisebb számuk miatt) szélesebb körű jogokat élvezhetnek, mint a részvényesek. Ide tartoznak a részvételi jegyek, a befektetési bizonylatok stb. A részesedési jogot biztosító papírok a jogok szélesebb körét biztosítják. Ezek egyik része a vagyoni jellegű jogok (osztalék, a társaság felszámolása esetén a maradványértékre való jog, későbbi kibocsátásokban elővételi jog). A jogok másik csoportja a tagsági jog – a társaság életében, döntéshozatalában (részvénytársaságoknál tipikusan a közgyűlésen való szavazással) való részvétel joga. A jogok harmadik csoportja az ún. kisebbségi jogok – a közgyűlés összehívásának joga, a határozatok bíróság előtt megtámadásának joga. A befektetési jegyek érdekessége, hogy bizonyos szempontból részesedési jogokat is megtestesítenek, hiszen a befektetési alap résztulajdonosaként jogosultak a társaság eredményes működéséből a rájuk jutó részre. Ezt a 90-es években az osztalék szóval hasonló tartalmú, kizárólag a befektetési jegyeknél használt kifejezéssel

ép

1

„hozam”-ként, az újabb időszakban a befektetési jegyek árfolyam-emelkedésén keresztül tudják realizálni. A befektetési jegyek ugyanakkor a tagsági jogokat, a társaság döntéseinek befolyásolási jogát nem adják meg, azt egy külön szervezet, a befektetési alap alapkezelője kizárólagosan végzi. Az áruval kapcsolatos tulajdonjogokat megtestesítő értékpapírok valamely áru feletti rendelkezési jogot biztosítanak tulajdonosuknak. E kategóriába soroljuk a jelzálog-bejegyzéseket, hajórakleveleket, a közraktárjegyet a hozzá tartozó zálogjeggyel Egy másfajta értelmezés szerint a lényegi kérdés az, milyen jogviszonyban áll egymással a kibocsátó és az értékpapír tulajdonosa. Tulajdonosi jogviszonyt testesítenek meg a részesedést és az árura jogot biztosító papírok közül a hajóraklevél és a közraktárjegy. Hitelezői jogviszonyt testesítenek meg a kötvények, a váltó, az állampapírok – az ilyen értékpapíroknál a kibocsátó a hitelezett összeg és annak kamatai visszafizetésére vállal kötelezettséget. Jogi szempontból fontos az a felosztás, amelyből kiderül, hogy az értékpapír birtokosa milyen minőségben jogosult a jogok gyakorlására; ez határozza meg ugyanis az értékpapír átruházásának módját. Az átruházási lehetőség szerint bemutatóra, névre és rendeletre szóló értékpapírokat különböztetünk meg. Az átruházási lehetőségnek nagyobb jelentősége volt akkor, amikor az értékpapírok kizárólag materiális formában léteztek. – de a csekknél, váltónál, zártkörű részvénytársaság részvényeinél a forgatás módja továbbra is fontos maradt. Magyarországon 2003. január 1-től a nyilvános részvénytársaságok részvényeit már csak dematerializált formában lehet kibocsátani, úgyhogy a forgatás fizikai módja szerinti megkülönböztetés lényegét vesztette. Ugyanakkor a névre és bemutatóra szóló különbség abból a szempontból lényeges maradt, hogy követni lehessen az értékpapírok tulajdonosi változását – az EU ebből a szempontból is szorgalmazta az értékpapírok dematerializációját. Fizikai formátum esetén a bemutatóra szóló értékpapír birtokosa élvezi a papírban foglalt összes jogot. Az ilyen papír átruházása egyszerű átadással történik, amelynek révén valamennyi jog átszáll az új birtokosra. Az értékpapírok közül a kötvények és a részvények nagy része bemutatóra szól. A névre szóló értékpapír (régi elnevezéssel rektapapír) mindig egy meghatározott személy nevére szól, így az értékpapírhoz kapcsolódó jogok egyszerű átadással nem idegeníthetők el. Ahhoz, hogy az ilyen papír más tulajdonába jusson, lelépési (átruházási) nyilatkozat szükséges; ezt cedálásnak (cesszió-nak) nevezzük. A cedálás időigényessége miatt a névre szóló értékpapír forgalomképessége lényegesen kisebb, mint a bemutatóra szólóé. A legtöbb – még az eredetileg bemutatóra szóló papír is – átalakítható névre szólóvá. Az értékpapírok hozama szerint vannak nem kamatozó, fix kamatozású, változó hozamú és átmeneti fajták. A formailag nem kamatozó értékpapírok diszkonttal kerülnek értékesítésre; ide tartozik a váltó és néhány kötvényfajta, pl. az elemi (kamatszelvény nélküli) kötvény. A fix kamatozású értékpapírok általában hitelezői jogokat testesítenek meg. Az értékpapír adósa előre meghatározott, mindig ugyanakkora, a névértékre vonatkozó nominális (névleges) kamatlábnak megfelelő összeget biztosít a hitelező számára. Tipikus fajtája a kötvény klasszikus formája (pl. a fix kamatozású államkölcsön-kötvény). Ezt az első két formát az angolszász piacokon „fixed income secuities”-ként, azaz fix hozamú értékpapírokként ismerik. A változó hozamú értékpapírok (osztalékpapírok) arra jogosítják fel birtokosukat, hogy a vállalkozás hasznából befektetett tőkéjük nagyságának (értékpapírjuk névértékének) megfelelően részesedjenek (ha a vállalkozásnak haszna van). Fő típusa a részvény. Vannak olyan változó hozamú papírok is, amelynek birtokosai nemcsak a részesedésre formálnak jogot, hanem a vállalkozás esetleges veszteségei egy részének pótlására is kötelezettséget vállalnak. Ilyen volt pl. a bányarészjegy. Az átmeneti formák egyrészt a fix kamatozású értékpapírok (elsősorban a kötvények) kötött feltételeinek oldására, másrészt a változó hozamú papírok kockázatának mérséklésére jöttek létre. Annyiban átmeneti formák, hogy vagy a rendszeres pénzáramlásuk jelent változó kifizetést, de a lejárati kifizetésük fixált (például változó kamatozású kötvények), vagy a lejáratkori kifizetésük változó értékű, de a rendszeres pénzáramlás tagjuk fixált (pl. elsőbbségi osztalékot fizető részvények). További formáik az átváltható kötvény, az elsőbbségi részvények és az opciós értékpapírok. Különösen az utóbbi néhány évtized termékeny az új termékek létrejöttében, s a formák gazdagodása még ma is tart.

ép

2

Lejárat szerint az értékpapírok lehetnek: • Rövid lejáratúak (egy évnél nem hosszabb futamidővel); tipikus fajtája a váltó, pl. Magyarországon a kincstárjegy, a kereskedelmi kötvény, de ide tartoznak a betétjegyek, letéti jegyek egyes fajtái is. • Középlejáratúak: ide sorolják pl. az 1-5 éves lejáratú kötvényeket. Magyarországon például az államkötvények túlnyomó része öt évnél rövidebb lejáratú. • Hosszú lejáratúak: ide tartoznak az 5 évnél hosszabb lejáratú kötvények, valamint a jelzáloglevelek. A hosszú lejáratú kötvények tipikus fajtája az államkötvény. • Vannak lejárat nélküli értékpapírok, ezek közé tartozik a részvény és néhány örökjáradékos kötvényfajta, a nyíltvégű befektetési jegy és Magyarországon a szövetkezeti üzletrész is. Az értékpapír megjelenését tekintve lehet egyedi és sorozatpapír. Egyedi értékpapír például a váltó, a csekk vagy a közraktári jegy. A sorozatban kibocsátott papír a kibocsátásából eredő jogokat és kötelezettségeket több azonos, egyenértékű részre (névértékre, címletre) osztva testesíti meg. Ilyen papír például a részvény vagy a kötvény. A sorozatpapírok előállíthatók nyomdai úton okiratként vagy dematerializált értékpapírként. A fizikai (nyomdai) úton előállított értékpapírokkal kapcsolatos gondok megoldását szolgálja az immobilizáció és a dematerializáció. Az immobilizáció azt jelenti, hogy az értékpapírt csak egyetlen összevont címletben nyomtatják ki, egyetlen piaci szereplő sem igényli a papír tényleges birtokbavételét. A dematerializációnál az értékpapír elveszti okirat jellegét, csak az értékpapír-számlán jelenik meg, elektronikus úton rögzítik és továbbítják. Forgalomképesség szempontjából vannak közforgalomra szánt papírok (nyilvános kibocsátás – csak a sorozatpapírok lehetnek ezek), és vannak zárt körben, nem nyilvánosan forgalomba hozott papírok (zártkörű vagy ún. magánkibocsátás). Nyilvános kibocsátás során adott korlátozások mellett bárki vásárolhat az értékpapírból. Zártkörű kibocsátás esetén a befektetők szűk köre vásárolhat csak az adott papírból. Forgalomképtelen a névre szóló csekk és az aranyrészvény. A másodlagos forgalom színtere szerint különböztetjük meg a tőzsdén vagy annak valamely szegmensén jegyzett papírokat, és a nem szervezett forgalomba kerülő (tőzsdén kívüli, vagy OTC – Over the Counter – piacon szereplő) papírokat. A Budapesti Értéktőzsde szabályzata a tőzsdére bevezetett részvényeknek két csoportját különbözteti meg, a jegyzett A (nagyvállalatok) és B (jellemzően középvállalatok) kategóriát. Az értékpapírok kibocsátója szerint vannak: • Állampapírok. A magyar gyakorlatban az egy évnél rövidebb lejáratúak a kincstárjegyek (diszkontkincstárjegyek és kamatozó kincstárjegyek) valamint az egy évnél hosszabb lejáratúak az államkötvények. A mai magyar gyakorlatban a központi költségvetés által kibocsátott államkötvényekkel egyező visszafizetési garanciák vonatkoznak az elkülönített célalapok, a társadalombiztosítás és az önkormányzatok által kibocsátott kötvényekre is. • Pénzintézetek által kibocsátott értékpapírok • Társaságok, gazdálkodó szervezetek által kibocsátott értékpapírok • Magánszemélyek, akik váltót bocsáthatnak ki. Az általános csoportosítás után nézzük meg a legfontosabb értékpapírok jellemzőit! A részvény A részvény tagsági jogokat megtestesítő értékpapír, amelyet részvénytársaságok alapításakor vagy alaptőkéjük emelésekor bocsátanak ki, és a vállalat jegyzett tőkéjének meghatározott – a névértéknek megfelelő – hányadát testesíti meg. A részvény megvásárlója (a részvényes) pénzét véglegesen a vállalat rendelkezésére bocsátotta, azt visszaváltani nem tudja, csak másnak eladni. A részvényes részvényei alapján részesedik a társaság eredményéből, ezt az összeget osztaléknak nevezzük. A részvény névértéke a jegyzett tőke (alaptőke) bizonyos hányadát képviseli, ez szerepel a társaság könyveiben. A részvények névértékének és darabszámának szorzata a részvénytársaság jegyzett tőkéjét adja. A névértéknek ezen kívül nincs más lényeges funkciója, a névértéknek tehát gyakorlati, piaci jelentősége

ép

3

nincsen. A részvény kibocsátása – és a későbbiekben forgalmazása – a névértéktől eltérő árfolyamon történik. A kibocsátási árfolyam nem lehet alacsonyabb a névértéknél. A részvény bemutatóra vagy névre szólhat, ezek a részvény típusai. Az egyes részvénytípusokon belül különféle részvényfajtákat különböztet meg a magyar jog: törzsrészvény, elsőbbségi részvények, kamatozó részvény és dolgozói részvény. Törzsrészvénynek tekinthetők azok a részvények, amelyek alapértelmezésben biztosítják a részvényesi jogokat. Egy részvénytársaság részvényei általában azonos tagsági jogokat biztosítanak, de vannak olyan fajtái, ahol a tagsági jogok eltérnek. Ez azt jelenti, hogy valamiben a részvényes előnyt élvez, viszont ennek fejében le kell mondania a többi részvényest megillető jog valamelyikéről. Ezek az elsőbbségi részvények, amelyek a következő osztályokba sorolhatók: Az osztalékelsőbbségi részvények tulajdonosai elsőbbséget élveznek a közönséges részvények tulajdonosaival szemben az osztalék kifizetésekor. Osztalékot az adózás utáni eredményből és az eredménytartalékból lehet fizetni. Az elsőbbbségi részvényeseknek ki kell fizetni az osztalékot, ha a vállalatnak pozitív az adózás utáni eredménye, és ez fedezetet nyújt az elsőbbségi részvényesek kifizetésére. Az így garantált osztalék természetesen kisebb (gyakran előre rögzített mértékű vagy összegű), mint a rendes osztalék. A likvidációs hányadhoz fűződő elsőbbségi jogot biztosító részvény végelszámoláskor jelent előnyt a részvényesnek, amikor a részvénytársaság jogutód nélkül megszűnik, és vagyonát felosztják a részvényesek között. További részvényfajta az előző két jogot együttesen biztosító elsőbbségi részvény. Van olyan elsőbbségi részvény, amely a zártkörű részvénytársaság részvényeire biztosít elővásárlási jogot. A szavazatelsőbbségi részvény a szavazati jogban biztosít elsőbbséget. Ennek jogi megoldása úgy néz ki, hogy bizonyos sorozatokat kevesebb részvényes alkot – ha a társaság meghatározott döntéseihez a sorozatok mindegyikében, külön-külön többségi támogató álláspont szükséges, akkor a kisebb sorozatú papírok tulajdonosai részarányuknál nagyobb beleszólási jogot kapnak a társaság életébe. Szélsőséges esetben egyetlen részvény alkot egy sorozatot, és így tulajdonosa meg is vétózhatja a társaság döntéseit – ezt, az általában az állam kezében lévő részvényfajtát vétórészvénynek vagy aranyrészvénynek is nevezik. (Mivel ez a megoldás nem EU-konform, a magyarországi nagyvállalatokra is feladatként vár még az aranyrészvények átalakítása.) Az első három részvényfajta esetében elképzelhető, hogy tulajdonosai korlátozott szavazati joggal rendelkeznek. Az elsőbbségi részvények névértékének együttes összege nem haladhatja meg a részvénytársaság jegyzett tőkéjének felét. Egy részvényfajtához tartozó részvényeknek mindig azonos címletűeknek kell lenniük. A címletek általában kis összegekre szólnak (pl. 1 dollár, 100 forint). Egy részvényfajtán, illetve részvényosztályon belül több részvénysorozat is kibocsátható, amely az azonos típusú, tartalmú és mértékű tagsági jogokat megtestesítő részvényeket tartalmazza. A korlátozottan forgalomképes (csak a társaság munkavállalói gyakorolhatják a tulajdonosi jogokat) részvény tipikus fajtája a dolgozói részvény, amely ingyenesen vagy kedvezményes áron szerezhető meg. A dolgozói részvény névre szól, és csak a vállalat dolgozói, illetve nyugdíjasai között lehet átruházni. A dolgozói részvény birtokosát éppúgy megilleti az osztalék- és szavazati jog, mint a közönséges részvény birtokosát. A dolgozó munkaviszonyának megszűnése (kivéve a nyugdíjazást) és halála esetén a társaságnak elővételi joga van a részvényre piaci árfolyamon, de legalább névértéken. Ilyen papírt a társaság csak a jegyzett tőkén felüli vagyonából (tőketartalék) bocsáthat ki a jegyzett tőke emelésével, legfeljebb a felemelt jegyzett tőke 15%-áig. Szélsőséges esetként a részvénytársaság megszerezheti saját részvényeit, de ezekhez sem szavazati jog, sem osztalékra való jog nem tartozik. Saját részvényt csak a jegyzett tőkén felüli vagyonból lehet venni és legfeljebb egy évig lehet birtokolni – ezen időszak alatt vagy újra el kell adni a papírokat, vagy ezeket a részvényeket meg kell semmisíteni és össznévértékükkel csökkenteni kell a társaság jegyzett tőkéjét. A saját részvények névértékének összege nem haladhatja meg a jegyzett tőke 10%-át. A saját részvény nem külön részvényfajta, de a társaságok piaci értékelésekor lényeges tudni, hogy az összesen kibocsátott részvényből

ép

4

mennyi van a társaság saját tulajdonában, és mennyi a forgalomban lévő, azaz külső tulajdonosoknál lévő papírok mennyisége. Az alaptőke csökkentése során előfordulhat, hogy a részvényesnek csak az alaptőkében való részesedési joga szűnik meg, de az osztalékkövetelési joga megmarad. Ilyenkor számára élvezeti jegyet bocsátanak ki. A részvényhez hasonlatosak pl. a hitelszövetkezetek részjegyei, amelyeknél a befektetések (kihelyezések) utáni bevételt osztják fel arányosan a betétesek között. A részvény tulajdonosa (birtokosa) a részvényes. A részvényes egyetlen kötelezettsége a társasággal szemben a lejegyzett részvények értékének befizetése (nálunk a bejegyzéstől számított egy éven belül), de erre csak a társaság kötelezheti őt, a társaság hitelezői nem. A részvényes csak a befizetett tőke erejéig felelős a társaság kötelezettségeiért. A részvényes felelőssége tehát korlátolt és közvetett. Ne feledjük, hogy a részvényesek követelése maradékra szóló követelés, a követeléskielégítési sorrendben ő az utolsó. A részvényest értékpapírja révén vagyoni és tagsági jogok, valamint kisebbségi jogok illetik meg. Vagyoni jogok: a részvénytársaság vagyona a részvényeseké, de a részvénytársaság azoktól elkülönült egységként működik. A vagyoni jog háromféleképpen nyilvánul meg: Amíg a társaság fennáll, addig a részvényes jogosult a vállalakozás éves tiszta nyereségének egy bizonyos hányadára, az osztalékra. Az osztalék nagyságát a közgyűlés állapítja meg évente (erre a részvénytársaság igazgatósága tesz javaslatot). Az egy részvényre jutó osztalékot a részvénytársaság mindig a névértékhez viszonyítva, százalékos formában teszi közzé, az éves jelentés (mérleg, eredménykimutatás) adataival együtt. Az osztalék kifizetésének rendjét az alapszabály tartalmazza: rendszerint az osztalékszelvény ellenében történik és meghatározott időtartam (pl. 1 év) alatt érvényesíthető. A részvénytulajdonosok jövedelme a részvénytársaság működésének eredményességétől függ. Részvényt ugyan általában nem a magas osztalék reményében vásárolnak, de az osztalék stabil (esetleg növekvő) szintje fontos feltétele a részvényárfolyamok hosszabb távú növekedésének. A részvénytársaság felszámolásakor a részvényesek a felosztandó vagyon egy bizonyos hányadára, az ún. likvidációs hányadra (más elnevezéssel maradványértékre vagy felszámolási hányadra) tarthatnak igényt. A vagyoni jog harmadik vonatkozása lehet jegyzési elsőbbség. Ennek értelmében a részvényes addigi részesedése arányában jogosult az alaptőke emelése esetén újabb részvények, részesedési jegyek vagy haszonélvezeti jegyek vásárlására, előre meghatározott feltételek mellett, amit az alapszabály rögzít. Ezt a jogot fel kell tüntetni a részvényen, ha azt nyomdai úton előállították. A tagsági jogok közül a legfontosabb a részvénytársaság ügyeiben való részvétel joga: a részvényes részt vehet a részvénytársaság évi közgyűlésén és ott gyakorolhatja szavazati és beleszólási jogát (indítványt tehet, felvilágosítást kérhet, észrevételt tehet) személyesen vagy képviselő útján. A szavazati jog a részvények névértékével arányos, azaz rendes körülmények között egy részvény egy szavazatot testesít meg. Ezen kívül joga van a közgyűlési határozatok megtámadására, valamint az ellenőrzésre. A megtámadó joggal akkor élhet, ha a közgyűlési határozat ellenkezik a törvénnyel vagy az alapszabállyal. A megtámadó jog csak akkor nem illeti meg a részvényest, ha előzőleg a törvénysértő határozat mellett szavazott. A kártérítésre irányuló jogot az alapítók, a felügyelő bizottsági tagok és az igazgatók ellen lehet gyakorolni. Mellékjogok: jog a részvénykönyvbe való bejegyzésre, részvényokirat kiállítására, jóhiszeműen felvett osztalék megtartására, a betét felemelése ellen való tiltakozásra. A kisebbségi jogok főleg a kisrészvényesek érdekeit védik, a jegyzett tőke egytizedét képviselő részvényeseket illetik meg. Ide tartozik az Igazgatótanácsba tag delegálásának joga, a megvizsgáló jog, a közgyűlés összehívására vonatkozó jog és a közgyűlés napirendjének meghatározására vonatkozó jog. A kötvény A kötvény – klasszikus formájában – fix kamatozású, általában hosszabb (Magyarországon: egy évnél hosszabb) lejáratú értékpapír. A kötvény kibocsátója arra kötelezi magát, hogy előre meghatározott időpontban (időpontokban) a kötvény névértékének megfelelő összeget visszafizeti és addig az esedékes kamatokat kifizeti (vagy az ígért szolgáltatást teljesíti). A kötvény tehát hitelviszonyt bizonyító értékpapír, tulajdonosát sem valóságosan, sem formálisan nem teszi társtulajdonossá (szemben a részvénnyel), így nem is jogosít a kibocsátó cég ügyeiben való részvételre.

ép

5

A kötvény rendszerint a kölcsön teljes összegénél kisebb címletekben kerül kibocsátásra. A kötvényen alapuló követelés nem évül el. Az egyes kötvénykonstrukciók a visszafizetés idejében és ütemezésében, valamint a kamatfizetés módjában különböznek. A kötvény kibocsátója kötelezettséget vállal a névérték visszafizetésére. E visszafizetési kötelezettsége alól úgy "mentesülhet", ha a – számára kedvezőnek ítélt (névérték alatti) – piaci árfolyamon még a törlesztés határnapja előtt visszavásárolja kötvényét a piacon. A törlesztés – számítási szempontokból – legegyszerűbb módja, ha minden kötvénytulajdonos egy összegben a lejáratkor kapja vissza pénzét. Ezt végtörlesztéses, vagy az angol terminológia alapján „vanilla” konstrukciónak nevezik. Az egyenletes törlesztés a kibocsátó szempontjából kétféleképpen történhet: minden kötvénytulajdonos minden törlesztési időpontban megkapja az arányos törlesztőrészletet; vagy minden törlesztési időpontban kisorsolják – a törlesztési tervnek megfelelően –, hogy milyen sorszámú kötvényeket fizetnek vissza egy összegben. Mindkét megoldásnál gyakori, hogy az egyenletes törlesztés nem közvetlenül a kibocsátás után kezdődik meg, hanem egy meghatározott hosszúságú, ún. türelmi idő után. A kötvénykibocsátó egyenletes teherviselésének sajátos fajtáját jelenti az annuitás, amelynél nem az egyes törlesztő-részletek nagysága állandó, hanem a törlesztő-részletek és az esedékes kamatok együttes összege (az úgynevezett fizetőrészlet vagy cashflow) változatlan minden évben. A kötvényszelvényre járó kamat kétféle módon osztható fel: kamatozó kötvény esetén minden kötvénytulajdonos megkapja a kötvény névértékének megfelelő kamatot; nyereménykötvény esetén a kölcsön előre meghatározott kamatozásának megfelelő összeget nyereményként sorsolják ki a kötvénytulajdonosok között. A kamat fizethető évente vagy félévente, előre meghatározott időpontban. A magyar állampapírok 2001. óta évente fizetik a kamatokat. A kamat összegét meghatározó, a kibocsátáskor meghirdetett névleges kamatláb a hagyományos kötvényformánál az egész lejárati idő (futamidő) alatt változatlan marad (rögzített kamatozás). A fix kamatozású kötvények másik fajtájánál a kamatok sorozata előre meghatározott, de az egyes évek névleges kamatlábai eltérhetnek egymástól. Vannak a lejárati idő alatt módosítható kamatlábú (változó kamatozású) kötvények is. Kibocsátásakor rögzítik a változtatás gyakoriságát és néha maximális mértékét is. Míg a fix kamatozású kötvények rendszeres, és főleg rögzített összegű jövedelmet biztosítanak tulajdonosuknak, a változó kamatozásúaké a kötvényes kapott kamata a piaci kamatlábak változásának függvényében változik. Ezért viszont a tőzsdei árfolyamuk sokkal kevésbé érzékeny a kamatlábak változására, mint a fix kamatozásúaké. A kötvénykibocsátó a kamatláb mértékének megállapításánál (akár fix, akár változó kamatozásról beszélünk) a piac feltételeit veszi figyelembe. A kamatlábnak akkor van igazán jelentősége, ha a kibocsátás névértéken történik. A kibocsátó számára ugyanis alacsony terhet jelenthet pl. egy magas prémiummal (jóval a névérték fölött) kibocsátott, magas névleges kamatozású kötvény. A kötvények esetében alapértelmezésnek az alábbi konstrukciót tekintjük: • végtörlesztés, • évenkénti kamatfizetés, • fix és rögzített kamatozás. Az újabb formák közül az egyik a rögzített kamatozás meghagyása mellett bizonyos előjogokat biztosít a tulajdonosának (átváltható kötvények, opciós kötvények), a másik csoportba tartozó fajtáknál pedig a kamatozás rögzítettségét oldották fel (változó kamatozású kötvények). Az átváltható kötvény a rendes fix kamatozáson felül olyan lehetőséget biztosít birtokosának, hogy meghatározott határidőn (ún. csereidőszakon) belül választhat: vagy beváltja kötvényeit névértéken a vállalkozás részvényeire, vagy megtartja, s így később a törlesztéskor pénzét visszakapja. Az ilyen kötvény a piacon rendes kötvényként viselkedik. Az átváltható kötvény kamatlábának alacsonyabbnak kell lennie az átváltási jogot nem biztosító kötvények kamatlábánál, hiszen ez a fajta többletjogot biztosít tulajdonosának. Másfelől pedig az átváltásra kínált részvények árfolyamának meg kell haladnia az átváltható kötvény

ép

6

névértékét. Ez a kötvényforma olyan vállalatok pótlólagos tőkeszerzési lehetősége, amelyek új termékekkel szeretnének megjelenni a piacon, de annak gyártásához nincs elegendő pénzük. Ezért inkább vállalják, hogy a kibocsátott kötvények révén szerzett kölcsöntőkét a vállalkozás sikere esetén részvénytőkévé (saját tőkévé) alakítják. Ezért az átváltható kötvény kibocsátása egyben feltételes jegyzett-tőkeemelést is jelent. A hagyományos kötvénykibocsátásnál e formának azért lehet nagyobb sikere, mert a befektető a kötvény kamatát, majd később a befektetését is megkaphatja; vagy ha a vállalkozás sikeres, az előre rögzített átváltási feltételek mellett juthat magasabb értékű papírhoz. Persze az ilyen kötvények kibocsátása – éppen előnyei miatt – általában nem a széles közönségnek szól, hanem főleg régebbi részvényeseknek vagy intézményi kibocsátóknak. Magyarországon átváltható kötvény a társaság jegyzett tőkéje 50%-áig bocsátható ki. Az átváltható kötvényekhez hasonló konstrukció az opciós kötvény, amely tulajdonosa számára rendszeres, a rögzített kamatlábnak megfelelő éves kamatot hoz, ezen felül biztosítja azt a jogot, hogy a kibocsátó társaság részvényét (esetleg más értékpapírját) meghatározott időn belül, előre meghatározott árfolyamon megvásárolhatja. Az opciós kötvények kamatlába általában alacsonyabb, árfolyama viszont magasabb a normál kötvényekénél. Ellentétben az átváltható kötvénnyel, ez a kötvényfajta nem érinti a társaság jegyzett tőkéjét. Az elemi vagy kamatszelvény nélküli kötvény (zero coupon bond) is a rögzített kamatlábú kötvények újabb formája, bár formailag nem kamatozik. Éppen az a lényege, hogy a kibocsátó elvileg nem fizet, így a hitelező nem kap kamatot, tehát nincsen adóztatható kamatjövedelme. A kibocsátás mélyen a névérték alatt (akár 40 százalékon) történik, a visszafizetés viszont névértéken, az időszak végén egy összegben. A kibocsátási árfolyamot diszkontálással számítják ki, piaci kamatláb alapján. Az elemi kötvények először a nemzetközi kötvénypiacokon terjedtek el, főleg adóügyi okokból, az egyes országok eltérő adózási szokásainak kihasználására. Ma már betörtek a nemzeti kötvénypiacokra is. A részvény és a kötvény összehasonlítása A kötvénykibocsátás előnyei a kibocsátó szempontjából: • az így szerzett tőke költsége (kamata) pontosan meghatározott, és • általában alacsonyabb is, mint a részvény vagy az elsőbbségi részvény kibocsátása útján szerzett tőke költsége, • a kötvényes nem vesz részt a vállalat irányításában, • a kötvényesített kölcsön kamatát (is) az adózás előtti nyereségből lehet kifizetni, így az adóalap csökkentésén keresztül adómegtakarítást eredményezhet, • a vállalat tőkeszerkezete rugalmasabb lehet, ha a kölcsön feltételei közé felveszik a kölcsön idő előtti visszafizetésének lehetőségét. A kibocsátó számára a kötvénykibocsátással való tőkeszerzés hátrányos, mert • fix terhet jelent a vállalat számára, ami kockázatos abban az esetben, ha a vállalat jövedelmei ingadoznak (lehetséges, hogy a vállalat nem képes teljesíteni a fix kötelezettségeket), • a kötvényadósságnak rögzített lejárata van, amikorra biztosítani kell a törlesztés pénzügyi fedezetét, • a hosszú lejáratú adósság hosszú időre szóló elkötelezettséget jelent, ami kamatláb-kockázatot hordoz magában, • a hosszú lejáratú hitelviszony esetén a vállalat a gazdálkodásának szigorúbb megkötéseit kénytelen vállalni, mint rövid lejáratú hitel igénybevétele esetén, • a hosszú lejáratú kölcsön igénybevételének van egy felső határa: a vállalat eladósodási rátája nem léphet túl egy szokványos arányt (ez országonként lényegesen eltérhet). A kötvény a befektető szempontjából előnyös, mert • birtokosának elsőbbséget biztosít a jövedelem felosztásánál és a vállalat felszámolásánál, • a kötvénybirtokos kötvényszelvényeire minden évben (egyszer vagy többször) megkapja az előre meghatározott időpontban a kamatot, vagy • az egész lejárati idő után a kamatos kamattal növelt névértéket, • minden törlesztési időpontban megkapja az arányos tőketörlesztő-részletet,

ép

7

•

az átváltható kötvény a fix kamatozáson felül olyan lehetőséget kínál birtokosának, hogy meghatározott határidőn belül választhat: vagy beváltja kötvényeit névértékben a vállalkozás részvényeire, vagy megtartja, s így később pénzét visszakapja. A kötvény a befektető szempontjából hátrányos, mert • nem szólhat bele a társaság gazdálkodásába, • kapott kamata a vállalati befektető számára az adózás előtti eredményét növeli, • ha a kibocsátónak joga van az értékpapír idő előtti visszavásárlására, ez számára eladási kötelezettséget jelent, • a kötvény kamatlába jellemzően alacsonyabb hozamot biztosít, mint a részvények pénzáramlása A jelzáloglevél A jelzáloglevél hosszú lejáratú, átruházható értékpapír, szólhat névre vagy bemutatóra, általában sorozatban bocsátják ki. A jelzáloglevél jelzáloghitelekben megtestesülő követelésekre vonatkozó vagy azokkal fedezett követelés. Rendes fedezete a jelzáloghitelből eredő tőkekövetelés és az arra járó kamat. A jelzáloglevél lényegét ezért úgy is megfogalmazhatjuk, hogy az a jelzáloghitelből származó pénzáramlásra, vagyis annak adósságszolgálatára vonatkozó követelés. Nevezik jelzálog-alapú kötvénynek is (mortgage bond), hiszen jelzálog-részesedést testesít meg. Ne keverjük azonban össze a jelzálog-fedezetű kötvénnyel (mortgagebacked securities), amelynek maga a jelzálog az alapja. Közforgalmú értékpapír, tehát a tőzsdei forgalomban is szerepelhet. Csak az erre feljogosított pénzintézetek, a jelzálog-hitelintézetek (jelzálogbankok) bocsáthatják ki. Kibocsátásával a banknak az a célja, hogy megszerezze a jelzáloghitelekhez szükséges forrást. A folyamatnak az a lényege, hogy a jelzálogbank hitelt nyújt valamely ingatlan tulajdonosának, a hiteleket összegyűjti (pool-ba gyűjti), a követelést értékpapírba foglalja (ezért természetesen a bankot terheli az értékpapírban foglalt kötelezettség), és ezt a piacon értékesíti (ez a jelzáloglevél). Tehát a jelzáloglevél vásárlója kölcsönt nyújt az ingatlan tulajdonosának a jelzáloglevél névértéke erejéig. Ugyanakkor a kontinentális – és így a magyar – jelzáloglevél-piacon a jelzálogbank garanciát nyújt az értékpapír tulajdonosának a hitel vissazfizetésére.

A jelzáloglevél fedezete a jelzáloghitel fedezetéül szolgáló ingatlan és a kibocsátó pénzintézet erre elkülönített vagyonrésze. Ezekről a kibocsátónak szigorú fedezetnyilvántartást kell vezetnie. A fedezetet a kibocsátó esetleges felszámolásakor nem lehet másra felhasználni, csak a jelzáloglevélbirtokosok igényeinek kielégítésére. Ezért minősül ez az értékpapír az egyik legbiztonságosabb befektetési formának, egyben ez a jellegzetessége más hitelpapírokkal szemben. Magyarországon 1997. óta van újra lehetőség jelzáloglevél kibocsátására. A befektetési jegy A befektetési jegy a befektetési alapok által sorozatban kibocsátott értékpapír, amelynek vásárlója a befektetési alap résztulajdonosává válik. A befektetési alap jogi személyiséggel rendelkező vagyontömeg, amely a befektetési jegyek eladásából származó tőkéjét értékpapírokba vagy ingatlanokba fekteti, mégpedig úgy, hogy ennek révén kisebb kockázatú, biztosabb hozamot érjen el, mintha a befektető egyedi papírokat vásárolt volna. A befektetést a befektetési alapkezelő végzi. A befektetési alap célja a kisbefektetők számára elérhetővé tenni a tőkepiacot, ezt a befektetési jegy kis címletezése segíti elő. A befektetési jegyek általános jellemzői eltérnek aszerint, hogy nyíltvégű vagy zártvégű alap bocsátotta ki azokat. A nyíltvégű befektetési alap jegyei bármikor visszaválthatók, a nyíltvégű alap tőkéje folyamatosan változhat. A nyíltvégű befektetési alap határozatlan időre jön létre, vagyis lejárat nélküli papír – tulajdonosa döntésétől függ a tényleges futamidő, amikor kívánja, az alapkezelő által választott fogalmazó visszaváltja befektetési jegyét. A zártvégű befektetési alap jegyeit csak az alap megszűnésekor váltja vissza az alap kezelője, hiszen a zártvégű alapokat előre meghatározott időszakra, állandó nagyságú tőkével hozzák létre. Eltérően alakulhat a kétféle befektetési jegy árfolyama is. Nyíltvégű alap esetén az alapkezelő az adott napi, egy befektetési jegyre jutó nettó eszközérték alapján állapítja meg a papír árfolyamát. Zártvégű alapnál a kereslet-kínálat alapján alakul ki az árfolyam, így eltérhet az egy befektetési jegyre jutó nettó eszközértéktől.

ép

8

A befektetési jegy hozama az egy befektetési jegyre jutó nettó eszközérték a hozam felosztásának időpontjában.

A TŐZSDEI BEVEZETÉS A nyilvánosan és sorozatpapírok egyben tőzsdeképes értékpapírok is. Tőzsdére az értékpapírok sorozatonként, és a teljes sorozattal vezethetőek be. Egy nem sorozatban kibocsátott értékpapír esetében a tőzsdei bevezetésnek nincsen értelme, a tőzsde által biztosított likviditásra akkor van szükség, ha nagymennyiségű, azonos papírok forgalmát kell biztosítani. A tőzsdei bevezetés további előzetes feltétele, hogy a papírokat elvileg bárki megvásárolhassa, azaz nyilvános kibocsátás keretében kerüljön a piacra. A tőzsdei bevezetés további feltétele, hogy mind a kibocsátó, mind a tőzsde szempontjainak megfeleljen a papír tőzsdei jelenléte. A tőzsde gyakorlatilag két szempontot vizsgál: - a papír megfelelő likviditással, forgalommal fog-e rendelkezni; - biztosított lesz-e a kibocsátó részéről a megfelelő információszolgáltatás. A megfelelő likviditás feltétele, hogy a papír nagymennyiségben legyen olyan személyek kezében, akik időről időre kereskednének vele. Ezt kétféle feltétellel szokták vizsgálni: - Mekkora az értékpapír-sorozat teljes tőkeértéke, kapitalizációja (egy papír árának és a sorozatban szerepelő darabszámnak a szorzata). - Mekkora az úgynevezett közkézhányad (angolul: free float), azaz a „szabad pakett”, amely kistulajdonosok, vagyis nem stratégiai befektetők kezében van, és így könnyebben megmozdul, értékesíthető. A magyar szabályozás szerint közkéznek minősül az egyenként 5%-nál kisebb tulajdoni hányaddal rendelkező tulajdonosok köre. A közkézhányad ezen befektetők összesített részaránya, amely a Budapesti Értéktőzsde szabályzata szerint a jegyzett A kategóriában minimum 2 milliárd Ft-ot kell, hogy kitegyen.. A tőzsdére bevezetett részvények esetében szigorú információnyújtási kötelezettségek állnak fent – egyrészt a rendszeres, másrészt a rendkívüli információnyújtás kötelezettsége. Minden nyilvánosan kibocsátott részvény esetében fennáll a kibocsátó rendkívüli információnyújtási kötelezettsége, hogyha bármilyen olyan információval rendelkezik, amely értékpapírjai tulajdonosainak vagyoni helyzetét befolyásolja, azt köteles nyilvánosságra hozni (például, ha tervezett eredménye jelentősen megváltozik, ha elnyer egy versenytárgyalást stb.). Nyilvános részvénykibocsátás esetén évente publikálni kell a társaság mérlegét és eredményét. Ez a kötelezettség kiegészül tőzsdei bevezetés esetén azzal is, hogy negyedévente úgynevezett gyorsjelentést kell leadni az éppen lezárult időszak eredményhelyzetéről. Az információnyújtási kötelezettség teljesítését a PSzÁF és a BÉT is ellenőrzi, elmaradását szankcionálja, végső esetben az értékpapír kivezetésével az Értéktőzsdéről. A bevezetéshez az is szükséges, hogy a kibocsátó, azaz a társaság tulajdonosai a bevezetés mellett döntsenek. A tőzsdei bevezetés ugyanis nemcsak előnyökkel, komolyan megfontolandó hátrányokkal is jár. Lássuk ezeket! A tőzsdei bevezetés előnyei • Növekszik a papír likviditása. Ez lényeges szempont a társaság tulajdonosai és potenciális új tulajdonosai szempontjából, ugyanis a nagyobb likviditás azt jelenti, hogy ha majd ki akarnak szállni a papírból, könnyebben, kis árveszteséggel fogják tudni megtenni. A nagyobb likviditás a papír árát is megemeli.

ép

9

•

• •

A tőzsdei forgalmazás reklámértékű. A parketten a magyarországi társaságok elenyésző kisebbsége, jellemzően 30-50 cég forog. A tőzsdén forgó cégek neve így kiemelt figyelmet kap, még az áresések híre is reklámértékkel bír, hiszen beszélnek cégről. A társaság gazdálkodása a bevezetési követelmények miatt jobban átlátható, megbízhatóbb partnernek, befektetési célpontnak számít. A fenti előnyök miatt egy esetleges további kibocsátás során a kibocsátó nagyobb eséllyel tud sikeres kibocsátást végrehajtani, illetve magasabb árat elérni.

A tőzsdei bevezetés hátrányai • Először is a tőzsdei bevezetés és jelenlét pénzbe kerül. A bevezetés egyszeri díja, illetve a forgalomban tartás évenként jelentkező díjtétele mind költséggel jár – ezek értéke a bevezetendő értékpapír-sorozat névértékétől függ. • A tőzsdei jelenléttel összefüggő nagyobb likviditás nem mindig előnyös. Ha a papír likvidebb, könnyebb meghatározó tulajdonrészt vásárolni, azaz felvásárolni a céget, és ez az eddigi meghatározó tulajdonos szándékaival ellenkezhet. • A tőzsdei jelenlét hírértéke nem mindig előnyös a cég szempontjából. A rossz hírek is gyorsabban terjednek, ha tőzsdén szereplő cégről van szó – sőt, elképzelhető, hogy a piaci és operatív folyamatok eltérnek egymástól. Lehet például, hogy adott társaság üzemi tevékenységével semmilyen probléma sem merült fel, a tőzsdén azonban eladási hullám söpört végig, vagy egy pénzügyi válság hatásai érték el, és a papír ára úgy esik a felére, hogy ennek semmilyen fundamentális oka nincsen. • A tőzsdei információnyújtás, a nagyobb átláthatóság, transzparencia hátrányokkal is jár. Egyrészt a versenytársak jobban átlátják a társaság pénzügyi, jövedelmezőségi, hatékonysági helyzetét. Másrészt a rendkívüli információnyújtási kötelezettség gyakran sértheti az üzleti titok követelményeit, a készülő szerződések, megállapodások nyilvánosságra hozatala is sértheti a társaság üzleti pozícióját. Nem tőzsdeképes értékpapírok A közraktári jegy a közraktár időrendben vezetett letétkönyvének szelvényrésze, amely két összefüggő, de egymástól szétválasztható részből áll. Egyik része az árujegy, amely tulajdonjogot, az áru feletti rendelkezés jogát testesíti meg. Másik a zálogjegy, amely a közraktárban elhelyezett áru ellenében felvett kölcsön és járulékai mértékéig zálogjogot ad. Az áru- és zálogjegy együtt és külön-külön is átruházható értékpapír. A közraktárban elhelyezett áru és az áruval fedezett követelés ún. hátirattal átruházható. A zálogjegy birtokosa az árutulajdonos jogát korlátozza. A tulajdonos ugyanis csak akkor rendelkezik szabadon árujával, ha a felvett kölcsönt visszafizette vagy letétbe helyezte, amit a két jegy együttes birtoklása bizonyít. A betétjegy tulajdonképpen nagy összegű határidős bankbetét, amely átruházható. Olyan értékpapír, amelyet pénzintézetek (az USA-ban: nagyvállalatok is) bocsáthatnak ki forrásaik bővítésére. A bankbetéttől az különbözteti meg, hogy forgalomképes, így likviditása nagyobb a bankbetétekénél. Nincs kamatveszteség, éppen a forgalomképességből következően. Általában kiterjedt másodlagos piaca van. A lejáratban és a kamat nagyságában a kibocsátó és a vásárló állapodnak meg. A betétjegyek lejárata piaconként változó. Az USA-ban pl. 14 nap és 12 hónap között változik, általában a befektető likviditási igénye szabja meg. Az eurobetétjegyek lejárata 30 naptól 5 évig terjed. A betétjegy a rövid lejáratú pénzpiaci papírok és a hosszabb lejáratú tőkepiaci értékpapírok közötti rés áthidalására jött létre. Az élvezeti jegy olyan értékpapír, amely a részvénytársaság vagyonában való részesedés és tőketartozás létesítése nélkül biztosít igényt a részvénytársasággal szemben rendszeres (többnyire évenkénti) teljesítésre. Ez lehet előre meghatározott összegű (vagy százalékban kifejezett), de lehet a részvénytársaság hasznából való részesedés is. Rendszerint az alaptőke csökkentése során bevont részvények helyett adják a részvényesnek kárpótlásul. Ilyenkor az alaptőkében való részesedési joga megszűnik, de az osztalékkövetelési joga megmarad. Az élvezeti jegyet nem szabályozza a kereskedelmi törvény, az magánjogi jogviszonyt hoz létre.

ép 10

KAMATSZÁMÍTÁS, DISZKONTÁLÁS Pénzáramlás Pénzáramlás alatt azt értjük, hogy egy adott időszak során az egyes szereplőktől vagy szereplőkhöz milyen nagyságú és irányú pénzmozgás történik. A pénzáramlás jele: C (cashflow). A fentiek alapján a pénzáramlást a következőkkel jellemezhetjük: • A pénzáramlást egy adott szereplő (például eladó) vagy egy adott eszköz (például kötvény) szempontjából vizsgáljuk. • Az említett szereplő vagy eszköz szempontjából a pénzáramlásnak van iránya, azaz pozitív vagy negatív nagysága. A továbbiakban megkülönböztetünk: o pénzbeáramlást, vagy cash-inflow-t, azaz a szereplő számára pozitív, kapott pénzösszeget; o pénzkiáramlást, vagy cash-outflow-t, azaz a szereplő számára negatív, kifizetett pénzösszeget. (Szokás a pénzáramlást úgy is definiálni, hogy adott időszakra egy szereplő szempontjából a pénzbeáramlások és pénzkiáramlások egyenlege, összessége.) • A pénzáramlás flow kategória, azaz adott időpillanatban nem értelmezhető nagysága, csak adott időszakaszra. A t-dik időszak pénzáramlását Ct-vel jelöljük. A gyakorlati számításoknál általában bonyolítja a helyzetet, ha a pénzáramlást egy folytonos folyamatként fogjuk fel. Egyszerűsítésként az egyes időszakok pénzáramlását az adott időszakok végéhez szokták rendelni. A Ct jelölés alapértelmezésként tehát azt jelöli, hogy a t-dik időszakban, az időszak végéig C összegű pénzáramlás érkezett be. • A pénzáramlás abszolút nagyságú pénz mozgását jelenti, vagyis a mértékegysége pénzegység (forint, dollár). Alapértelmezésben a pénzáramláson a ténylegesen gazdát cserélt, inflációval nem korrigált összeget, vagyis a nominális pénzösszeget szokás érteni. (Van értelme ugyanis a reálnagyságnak, azaz az időszak során elszenvedett inflációval korrigált pénzáramlások kiszámításának is, de ezt az alaphelyzettől való eltérésként kezeljük.) • A gazdasági szereplők számára a ténylegesen megkapott pénzáramlások relevánsok. Minden cashflow elemet, így a fizetendő adókat, vagy a járulékos költségeket, kiadásokat is figyelembe veszik, amikor azt nézik, hogy mekkora pénzáramlásra számíthatnak egy adott eszköz tartásával. Az adófizetés előtti cashflowt bruttó pénzáramlásnak, az adófizetés utánit nettó pénzáramlásnak nevezzük. Az értékelésnél a nettó pénzáramlásból indulunk ki, ezt tekintjük alapértelmezésnek. (Általában az adók kérdését figyelmen kívül hagyjuk, feltételezésünk szerint a pénzáramlás már tartalmazza ezek hatását.) • Az előzetes tervezések során nem az események (például cashflow-k) tényleges értékével, hanem a becsült, várható értékével számolunk. Az utólagos elemzéseknél már rendelkezésre áll a tényleges, realizált (például cashflow) adat. Szokás az előzetesen várható adatokat ex ante, az utólagos, tényleges adatokat ex post értékeknek nevezni. Eredmény és kamat Az eredmény fogalmát más feltételezések mellett definiálja a számvitel, a pénzügyek és a mikroökonómia. A pénzügyek szempontjából a pénzáramlások játszanak kulcsszerepet, és az eredményt is ezek segítségével definiáljuk. Eredmény alatt több, kijelölt időszak pénzáramlásának egyenlegét értjük. Jelölése általában: π Ct Π=

∑ t

Ez a definíció nem egyezik meg a számvitel eredmény-definícióival, ahol azok az adott számviteli és adózási törvényeknek megfelelően kalkulált valamilyen eredmény kategóriát jelentenek. Az eredmény nem veszi figyelembe a pénz időértékét, így a piaci szereplők önmagában a nyereség alapján nem tudnak döntéseket hozni. A befektetések értékelésénél a későbbiekben a különböző időpontokban esedékes pénzáramlásokat közvetlenül nem adhatjuk össze. A nyereséghez hasonló fogalom a kamat (jelölése: K). A kamatot a kölcsönadott pénz áraként, vagy kifejezetten a hitelviszonyt megtestesítő befektetések eredményeként szokták definiálni.

ép 11

Hozam és kamatláb A hozam a befektetett tőke egységére adott időszakasz alatt jutó nyereség. Jelölése: r. (Rate of return.) r=

Nyereség ∏ = Befektetett vagyon értéke C 0

A hozam jellemzői: • Először is azt kell tisztáznunk, hogy a hozam relatív kategória, vagyis nagysága nem abszolút pénzértékben, hanem a befektetett tőke értékében, például %-os formában fejezhető ki. A hozam értékét tizedes tört alakban is kifejezhetjük, például a 20%-os hozam az r = 0,2 módon is megadható. • A hozam is előjeles érték. Negatív nyereségből negatív hozamot fogunk elérni. Sőt, a hozam szempontjából elméleti minimum értéket sem tudunk meghatározni, hiszen befektetett pénzünk többszörösét is el tudjuk veszteni egy kockázatos vállalkozás során. • Alapesetben a hozamot nominális pénzáramlásokra számolják, vagyis nominális hozamot adnak meg. A reálhozamok kiszámításának is van ugyan létjogosultsága, de külön fel kell hívni a figyelmet, ha ilyet számolunk. A reálhozam számításakor az eltelt idő alatti inflációval korrigáljuk a nominális hozamot. • A hozam alapértelmezésben nettó, azaz adózás utáni nagyság, amit a nettó nyereségből számolhatunk ki. Bruttó hozamnak nevezzük a mindenfajta jövedelem-adó fizetése előtti, nettó hozamnak a jövedelemadók fizetése után maradó hozamot. • A hozam is flow típusú mutató, azaz definiálni kell, mely időszak alatt értük el. A hozam realizálásának időtartamát általában kétféle időszakra szokás megadni: o vagy a befektetési időre, azaz a befektetés és realizálás közti teljes időszakra; o vagy egy sztenderd időszakra, azaz egy évre. A sztenderd időszak választásának az oka a könnyebb összehasonlíthatóság. A hozamot alapértelmezésben egy évre adjuk meg A kamatláb a hozamhoz hasonló fogalom. A kamatláb jele k. A kamatláb és a hozam közös vonása, hogy a kamatláb is • relatív kategória, • nominális összegekből számolják, • a hitelnyújtó szempontjából a nettó, adózás utáni kamatláb az érdekes, • adott időszakaszra (alapesetben egy évre) értelmezett nagyság. A kamatláb és a hozam eltérései: • kamatlábat csak hitelviszonyt megtestesítő ügyletekre használnak, míg hozamot minden fajta befektetésre, • a hitelfelvevőt a bruttó kamatláb érdekli, • a kamatláb esetében nem a nyereség, hanem a fizetett vagy kapott kamat szerepel a hányados számlálójában, • a kamatláb esetében csak a hitelösszeg (tőketartozás; jele: H) szerepel a hányados nevezőjében, nem a teljes befektetett tőke értéke. • A gyakorlatban a kamatszámítás és hozamszámítás terén eltérően kezelik a lejárat előtt megkapott pénzek újrabefektethetőségét. A különböző időpontokban esedékes pénzáramlások összehasonlításához a különböző időpontokban esedékes pénzáramlásokat azonos időpontra kell átszámítani. Ezt megtehetjük • jövőérték-számítással vagy • jelenérték-számítással. A kétféle műveletet azok "iránya" különbözteti meg, vagyis az, hogy melyik időpontra vonatkozóan számítjuk ki a pénzáramlás értékét.

ép 12

Ha a jelenbeli pénznek akarjuk kiszámítani annak valamilyen jövőbeli időszakra az értékét, akkor kamatszámításról vagy jövőérték-számításról beszélünk. Ha adott jövőbeli pénznagyságból szeretnénk következtetni annak mai (jelenbeli) vagy tetszőlegesen kiválasztott t0 időpontbeli értékére, akkor diszkontálást vagy jelenérték-számítást végzünk. A jelenbeli és jövőbeli időpont között eltelt idő bármilyen hosszúságú lehet, ezt egyszerűen befektetési, vagy hitelviszonyt megtestesítő ügyleteknél kamatozási időtartamnak nevezzük. Egy évre vonatkozó kamatszámítások Pénzünk jelenbeli és jövőbeli értékének meghatározásakor négy paramétert különböztetünk meg: • a jelenbeni pénznagyságot, • a jövőbeni pénznagyságot, • az időtartam hosszát, • és a hozamot. A fenti négy paraméter közül, ha három ismert, a negyedik kiszámolható. Az időtartam hosszát alapesetként években mérjük – most külön nem kívánjuk meghatározni értékét, hanem adottnak, egységnyinek tekintjük. Egy évre a használt képletek: C1 = C0 * (1+r) C0 = C1 / (1+r) r = C1 / C0 – 1 1. példa: Egy bonyolult örökösödési ügy befejezésekor, várhatóan egy év múlva, 3 MFt fogja a markunkat ütni. Családtagjaink azt ajánlják, hogy egy összegben most kifizetnek, 2,5 MFt-ot kapnék. I pénzeinket 10%-os hozammal fektetnénk be. Mekkora a 2,5 MFt jövőértéke, mekkora lenne a korrekt mai járandóság, hány százalékos hozammal hiteleztek nekünk a többiek? Megoldás: C1 = C0 * (1+r) = 2,5 * 1,1 = 2,75 MFt a betét jövőértéke. C0 = Ct / (1+r) = 3 / 1,1 = 2,73 MFt a járandóság jelenértéke. r = Ct / C0 – 1 = 3 / 2,5 – 1 = 20% a kapott hitel hozama.

Kamatszámítási módszerek Kétfajta kamatszámítási (jövőérték-számítási) módszerről beszélhetünk: • az egyszerű kamatszámításról • és a kamatos kamatszámításról. Egyszerű kamatszámítás Egyszerű kamatszámítás esetén a megkapott kamatokat nem fektetik be újra, a megkapott kamatok tovább nem kamatozódnak, a tőke az idő lineáris függvénye. Az egyszerű kamatozás jellemzői: • A megkapott kamatokat nem adják az alapösszeghez. • A megkapott kamatok után nem jár újabb kamat. • Az az alapösszeg, amire a kamatot számítják végig állandó. • Ha a kamatláb állandó, akkor a betét összege lineáris függvény szerint nő. Azt lehet összefoglalóan mondani, hogy egyszerű kamatozás esetén nem számolunk az időközben megkapott pénzek újrabefektetésével. Az egyszerű kamatszámítást szokták még lineáris vagy névleges kamatszámításnak is nevezni. Az egyszerű kamatszámításnál használt névleges kamatlábat k-val jelöljük. Az egyszerű kamatszámítás képlete: Ct = C0 + C0 ⋅ k ⋅ t = C0 ⋅ (1 + k ⋅ t) Megjegyzés: A gyakorlatban általában éven túl nem alkalmazzák az egyszerű kamatszámítást.

ép 13

Kamatos kamatszámítás Kamatos kamatszámítás esetében a megkapott kamatokat a befektetők újra befektetik, így a betétösszeg egy hatványkitevős (exponenciális) függvény szerint nő. Azt az időtartamot, amilyen időszakonként a pénzek újrabefektetését értelmezzük, kamatozási (vagy újrabefektetési) periódusnak nevezzük. A kamatozási periódus alapesetben egy év. A kamatos kamatszámítás jellemzői: • A megkapott kamatokat az alapösszeghez adják, amelyek így tovább kamatozódnak. • A megkapott kamatok után újabb kamat jár. • Az az alapösszeg, amire a kamatot számítják, a megkapott kamatok értékével állandó (exponenciális) ütemben nő. • Ha a kamatláb állandó, akkor a betétösszeg exponenciálisan emelkedik. Összefoglalva azt mondhatjuk, hogy a kamatos kamatszámítási módszer filozófiája az, hogy a megkapott pénzek újrabefektethetőek. A kamatos kamatozású befektetés kamatlábát szokták effektív kamatlábnak, hozamnak, exponenciális kamatlábnak is nevezni, és r-rel jelölik. A hozam megadása mindig csak adott (alapesetben éves) kamatozási periódus mellett képzelhető el. ahol r az egy időszakra jutó hozam értéke. A kamatos kamatszámítás képlete: Ct = C0(1+r)t 1. ábra Egyszerű és kamatos kamatozás r = 10%-os kamatláb mellettű

Ct

121 110 100

1

2

t

Fazakas Gergely 2009.09.14.

A KF(t;r) kamattényező azt mutatja meg, hogy hányszorosára nő a kezdő tőke értéke a kamatozás teljes időtartama alatt. Nagysága az éves kamatláb nagyságától és az időszak hosszától függ. Bármelyik nő, a kamattényező értéke nő, vagyis azoknak monoton növekvő függvénye. Használatát megkönnyíti, hogy táblázatokat készítettek különböző évekre és kamatlábakra. A kamattényező néhány nevezetes értéke: • ha zérus a kamatláb, akkor bármilyen lejáratra a kamattényező értéke 1. (KF(n; 0) = 1) • ha a nulladik időpontban vagyunk, bármilyen kamatláb mellett a kamattényező értéke 1. (KF(0; r) = 1) végtelen hosszú futamidő esetén bármilyen, nullánál nagyobb kamatláb esetén a kamattényező értéke végtelen. (KF( ∞ ; r) = ∞ )

ép 14

•

végtelen nagy kamatláb esetén bármilyen, nullánál hosszabb futamidő esetén a kamattényező értéke végtelen. (KF(t; ∞ ) = ∞ ) (A végtelen kamatlábat csak mint elvi értéket kezeljük.) Magyarázatra szorul, hogy éven belül a kamatos kamatozású módszer miért ad kisebb betétértéket az egyszerű kamatozásúnál? Erre kétféle magyarázatot adhatunk: 1. Egyszerű kamatozásnál nem feltételezzük a megkapott pénzek újrabefektetését. Tehát ha például 10% az éves kamatláb, akkor fél évre adhatunk 5%-ot, hiszen úgysem fektetik be újra. Kamatos kamatozás esetén viszont fél évre 5%-ot nem lehet kifizetni, hiszen feltételezésünk az, hogy a megkapott pénzeket újrabefekteti, márpedig akkor 1,05 ⋅ 1,05 = 1,1025-szeresre növelné betétesünk egy év alatt a pénzét – márpedig mi csak 10%-os éves tőkenövekményt kívántunk megengedni. 2. Számítsuk ki, mekkora féléves hozamot engednénk meg ügyfelünknek! Jelöljük a fél évre jutó, még ismeretlen hozamot rh-val. Szándékunk az, hogy a féléves befektetések kétszeri megismétlésével egy év alatt pontosan 10%-os éves hozamot érjen le befektetőnk. (1+rh)2 = 1 + réves rh =

1 + réves -1 = 4,88% < 5%, ami az egyszerű kamatozás alapján járt volna.

A kamatos kamatszámítás magasabb betétértéket ad, mint az egyszerű kamatszámítás, ha t hosszabb a kamatozási periódusnál. A kamatos kamatszámítás alacsonyabb betétértéket ad, mint az egyszerű kamatszámítás, ha t Vegyük észre, hogy ugyanazt a kamatos kamatozású görbét jelöljük, csak két különböző pontját ragadjuk meg, ha • az éves kamatfizetési periódusra jutó 10%-os hozamot, • a féléves kamatfizetési periódusra jutó 4,88%-os hozamot • vagy a kétéves kamatfizetési periódusra jutó 21%-os hozamot adjuk meg. A fenti megadási módok egyenértékűek. A fentieknél gyakrabban is történhet kamatfizetés, akár hetente, naponta, óránként, sőt pillanatonként. Ez utóbbit már folytonos kamatozásnak nevezhetjük, s csak elméletileg képzelhető el. Értékét viszont jól közelíti a naponkénti kamatozás. Alapszámítások egy évtől eltérő időtartamra A különböző időpontbeli pénzek átszámításánál alapértelmezés a hozamok használata. Ez azt jelenti, hogy alapértelmezésben az átszámítási képlet az alábbi formátumú: Ct = C0(1+r)t Ha a négy paraméter közül három ismert, a negyedik segítségükkel kiszámítható. A jövőérték-számítással (kamatszámítással) már foglalkoztunk, most lássuk a másik három paramétert. Diszkontálás Ha C0 ismeretlen, jelenérték-számításról van szó. A fenti egyenletet a következő formára rendezzük: C0 = PV =

Ct (1 + r ) t

míg a jövőérték-számításnál explicite adott, hogy mekkora az adott konstrukció hozama, addig a jelenértékszámításnál bonyolultabb a helyzet. A számítás elvégzéséhez más, hasonló befektetésekkel, lehetőségekkel elérhető hozamot kell megbecsüljük, és a vizsgált lehetőség pénzáramlását az ezen a piacon általában elérhető hozammal kell diszkontálni. A piacon más, hasonló (hasonló kockázatú, futamidejű, likviditású stb.) befektetésekkel (vagy hitelfelvétellel), az úgynevezett alternatív lehetőségekkel elérhető hozamot piaci hozamnak (a hétköznapi életben gyakran piaci kamatlábnak) nevezzük Az

1 szorzótényezőt az r és t paraméterek melletti diszkonttényezőnek vagy diszkontfaktornak (1 + r) t

nevezzük. A diszkontfaktor jele: DF(t; r). DF(t; r) =

C 1 = 0 t Ct (1 + r) ép 15

A diszkontfaktor segítségével felírva a jelenérték-számítást: PV = Ct · DF(t; r) A diszkonttényező is az idő és a kamatláb függvényében változik, de mindkettővel ellentétes irányban. Értékének alakulása azt fejezi ki, hogy a pénz időértéke egyre csökken, vagyis minél később kapjuk meg, illetve kell kifizetnünk ugyanazt az összeget, és minél magasabb ezalatt a kamatláb, annál kevesebbet ér ez a pénz mai pénzben kifejezve. A diszkonttényező tehát a kamatláb és az idő monoton csökkenő függvénye. A diszkonttényező néhány nevezetes értéke: • ha a piaci kamatláb nulla, akkor a jövőbeli és jelenbeli pénz értéke megegyezik, azaz DF(t; 0%) = 1, • ha a mai időpontban vagyunk, akkor a diszkontfaktor értéke szintén 1, hiszen a jövőbeli és a jelenbeli időpont megegyezik, azaz DF(0; r) = 1 • ha a piaci kamatláb végtelen (mint elméleti határérték), akkor jövőbeli pénzünk mai értéke nulla azaz DF(t; ∞ ) = 0, • ha a jövőbeli időszak végtelen, pozitív piaci hozam esetén pénzünk jelenértéke szintén nulla, azaz DF( ∞ ; r) = 0.

2. ábra Diszkonttényező alakulása különböző elvárt hozamok mellett n

Cn=(1+r)

Cn 1 DF(n=10;5%)=0,614

DF(n=10;6%)=0,558 DF(n=10;7%)=0,508 0

n=10

n

t Belső megtérülési ráta számítása A Ct = C0(1+r)t (1.6) egyenletben ezúttal r ismeretlen. Az ismeretlen hozamot IRR-rel (Internal Rate of Return, belső megtérülési ráta) jelölve az egyenletünk: IRR =

t

Ct -1 C0

Az IRR értéke alapján egy • befektetést elfogadunk, ha az IRR értéke magasabb, mint a piaci alternatív hozam (r), o elvetünk, ha az IRR értéke alacsonyabb, mint a piaci alternatív hozam, • hitelt elfogadunk, ha az IRR értéke alacsonyabb, mint a piaci alternatív hozam,

ép 16

o elvetünk, ha az IRR értéke magasabb, mint a piaci alternatív hozam. Diszkontált megtérülési idő számítása A Ct = C0(1+r)t egyenletben ezúttal t ismeretlen. t-re rendezve az egyenletet, a (diszkontált értelmű) megtérülési időt kapjuk. A diszkontált megtérülési idő jele: DT (vagy a Discounted Payback.Period lapján DPP). DT =

ln(C t / C 0 ) ln(1 + r )

ahol ln a természetes alapú logaritmus jele. Az alábbi táblázat összefoglalja a négyféle alapműveletet: Számítási Ismeretlen Ismeretlen probléma paraméter paraméter jelölése JövőértékCt FVt számítás (Kamatszámítás) JelenértékPV0 C0 számítás (Diszkontálás) Belső kamatláb r IRR (belső megtérülési ráta számítása Megtérülési t időtartam számítás

DT

Ismert paraméterek C0, t, r

Képlet FVt = C0 ⋅ KF(t;r) = C0 ⋅ (1 + r)t

Ct, t, r

PV = Ct ⋅ DF(t;r) = Ct / (1 + r)t

Ct, C0, t

C0/Ct=DF(t;IRR=?) IRR =

Ct, C0, r

t

Ct −1 C0

Ct/C0 = DF(t=?; r) DT =

ln(C t / C 0 ) ln(1 + r )

1. táblázat A négyféle pénzügyi alapművelet 2. példa Idős nagynénénk 2 MFt-ot bíz ránk, hogy tehetségünk szerint kamatoztassuk. Mi azt ígérjük neki, hogy nem a piaci 8%-os hozammal fogjuk befektetni, hanem 4 év múlva a pénz dupláját fizetjük neki vissza. A piaci viszonyok mellett mekkora összegre számíthatna négy év múlva, mekkora összeget kellett volna elhelyeznie, ha ugyanúgy 4 MFt-ot szeretne visszakapni, hány évig kellene várnia, hogy a pénze megduplázódjon, illetve hány százalékos hozammal fektetünk be mi? Megoldás: FVt = C0 ⋅ KF(t;r) = C0 ⋅ (1 + r)t = 2,72 (MFt) PV = Ct ⋅ DF(t;r) = Ct / (1 + r)t = 4 / 1,084 = 2,94 (MFt) DT = IRR =

ln(C t / C 0 ) = 0,693 / 0,077 = 9 (év) ln(1 + r ) t

Ct −1 = C0

4

4 − 1 = 18,92% 2

Kamatszámítási problémák a gyakorlatban A mai magyar szóhasználatban - a „kamatláb” kifejezés • éven belül egyszerű kamatozást (ha t < 1 év →k), • éven túl kamatos kamatozást (ha t > 1 év→r), • éven túli befektetéseknél a törtévekre szintén egyszerű kamatlábat (k) takar, - a hozam kifejezés mindig kamatos kamatozást jelent (mindig r, t értékétől függetlenül), - a névleges kamatláb mindig egyszerű kamatozást fed (mindig k, t értékétől függetlenül).

ép 17

Megjegyezzük ugyanakkor, hogy bármilyen futamidő esetén általában logikusabb az újrabefektetési lehetőségeket feltételezni, és ez esetben a befektetési, hitelezési gyakorlatban a hozamszámításnak van nagyobb létjogosultsága.

Bankbetétek kamatszámítása A kamatszámítást a gyakorlatban általában napokra végzik, ennél rövidebb időegység ritka. A napi kamatszámítás lineáris kamatszámítás, az egy napra jutó időarányos kamat meghatározását jelenti. A bankok gyakorlatában problémát az éven belüli kamatszámítás jelenthet. Különbséget az okoz, hogy az éven belüli futamidőre jutó kamat kiszámításakor hogyan számítják a ténylegesen eltelt hónapok napjainak számát, és hány naposnak tekintik az évet. Az 1 napra jutó kamatot számíthatják a k/360 vagy k/365 képlet szerint. A hónap napjait pedig tekinthetik 30-nak vagy számolhatnak a ténylegesen eltelt napok számával. A kamatnapok kiszámításánál megkülönböztetik a pontos, az angol, a német és a francia gyakorlatot. • A pontos módszer szerint egy év 365 vagy 366 napos, egy hónapot pedig a ténylegesen eltelt napok számával azonosítják. • Az angol módszer szerint egy év mindig 365 napos, tehát nem számol szökő februárral. A magyar gyakorlatban angol módszerrel számolják a kötvények, állampapírok kamatát. • A francia módszer szerint egy év mindig 360 napos, az eltelt hónapokat pedig 28, 30 vagy 31 naposnak tekintik (nem kalkulálnak szökő februárral). A magyar gyakorlatban francia módszerrel számolják például a hitelek, bankgaranciák és gyakran a bankbetétek értékét. • A német módszer szerint egy hónap mindig 30 napos, egy év pedig 360 napos. A magyar gyakorlatban ezzel a módszerrel számítják a fogyasztói hitelek, lakás-, autó- egyéb tartós fogyasztási cikkek megfelelő törlesztő-részleteit. Az Európai Unióban törekvések vannak arra, hogy az Európa különböző részein használt, eltérő kamatszámítási módszerek egységessé váljanak. A betétesek érdekében egységesíti a Pénzügyi Szervezetek Állami Felügyelete (PSZÁF) a különféle napokkal számított kamatlábakat. 1997 márciusában vezették be az Egységesített betéti kamatláb mutatót (EBKM)-et, a Teljes hiteldíj mutatót (THM-et) és a kötvényekre vonatkozó Egységes hozam mutatót (EHM). Az EBKM Az EBKM • 365 napra számítja át az éves névleges kamatlábakat, • éven belül lineáris kamatszámítást alkalmaz, • éven túl pedig kamatos kamatszámítást. • Ezen kívül az elszámolt kamatot korrigálja a fizetendő díjakkal, jutalékokkal. A THM A nyújtott hitelek kamatlábát az EBKM-hez hasonló mutatószám, a Teljes hiteldíj mutató (THM) sztenderdizálja. A THM annyiban tér el az EBKM-től, hogy a THM értékét • a nyújtott fogyasztói hitelekre (autó, tartós fogyasztási cikkek, személyi hitelek) kell megadni, • a futamidőtől függetlenül értékét mindig kamatos kamatozással kell kiszámítani. A THM kiszámításánál is be kell építeni a pénzáramlásokba a járulékos tételeket (költségeket, jutalékokat, díjakat). Áttérés névleges kamatlábról tényleges (effektív) kamatlábra Ha a kamatelszámolás gyakrabban történik mint egy év, vagyis a kamatperiódus hossza rövidebb egy évnél, kérdés, hogy hogyan hasonlíthatók össze a különböző kamatperiódusú kamatlábak. Az összehasonlítás alapelve az, hogy az egyéves hozamokat hasonlítjuk össze, vagyis az egy évtől eltérő kamatperiódusú

ép 18

befektetéseknek is ki kell számolnunk az éves hozamát. Eltérő kamatperiódus esetén az éves hozam kiszámításával tudjuk a különböző konstrukciókat összehasonlítani. Az átszámításnál alapfeltételezés a hasonló feltételek melletti újrabefektethetőség. Legyen m az egy év alatti kamatperiódusok száma, és legyen t a tőkésítési periódus hossza, vagyis hogy az adott konstrukcióban mennyi időnként történik a tőkésítés. (Másképpen: m =

1 ) t

Átszámításra szolgáló képletünk ezek alapján: r = (1+k/m)m-1 3. példa. Egy betét éves névleges kamatlába 12%. Mekkora az elérhető hozama, ha évente, félévente, negyedévente, havonta van kamatfizetése, és a megkapott kamatok hasonló konstrukcióba újra befektethetőek? Megoldás: A használt képlet: r = (1+k/m)m–1 Éves tőkésítéssel a hozam: 12% Féléves tőkésítéssel a hozam: r = (1+0,12/2)2–1 = 12,36% Negyedéves tőkésítéssel a hozam: r = (1+0,12/42)4–1 = 12,55% Havi tőkésítéssel a hozam: r = (1+0,12/12)12–1 = 12,68% Mint már említettük, alapértelmezésként éves kamatlábat adnak meg és a kamatfizetési periódus is egy év. „Névleges kamatláb” megadásánál mindig időarányos kamatszámításra gondolunk, tehát ebben az esetben mindig a tényleges kamatfizetési periódus segítségével kell éves hozamhoz jussunk. Ha „hozam”-ról beszélünk, akkor alapesetben éves hozamot adnak meg. Ha ettől eltérő időszakra adják meg a hozam értékét (például a hozam félévre 6%) akkor az összehasonlítás kedvéért éves periódusra ugyanúgy kell áttérni, mint egyszerű kamatozás esetén (jelen esetben 1,062 – 1 =12,36%-os éves hozamot számíthatunk.) „Kamatláb” megadása esetén éven belül egyszerű, éven túl kamatos kamatozást feltételezünk. Az m értékét minden határon túl növelve jutunk el a folytonos kamatozás fogalmához. lim (1+

k m k ) = e = 1+r (1.16) m

m→ ∞ ahol e ≈ 2,71828, az Euler-féle szám, a természetes logaritmus alapszáma. A gyakorlatban a naponkénti tőkésítés jól közelíti a folytonos kamatfizetést. A folytonos kamatszámítással a névleges kamatozásról teljesen áttértünk az exponenciális kamatszámításra. A folytonos kamatszámításnál minden pillanatban kamatos kamattal növekszik a betétünk értéke. Egyenértékű, ha azt mondjuk, hogy egy betét • névleges kamatlába k, de ezt folytonosan tőkésíti, vagy ha • hozama ek-1 Áttérés tényleges (effektív) kamatlábról névleges kamatlábra Az átszámítást nyilván nemcsak a névleges kamatlábról a tényleges kamatlábra lehet megtenni, hanem fordítva is. Ez esetben a kérdés az, hogy adott hozamot adott kamatfizetési periódus mellett hány százalékos névleges kamatlábbal lehet elérni. Az (1.15)-öt megismételjük, és átrendezzük k-ra rt = (1+k/m)m-1 k = (tt (1 + rt ) − 1)m

(1.17)

A kamatozási periódus hosszát egészen addig csökkenthetjük, amíg a folytonos kamatozáshoz jutunk. A folytonos kamatozás képletéből a megfelelő névleges kamatláb meghatározása az alábbi módon történik: (1.16) alapján r = ek –1 Ebből k-t a természetes alapú logaritmus (ln) segítségével tudjuk kifejezni: k = ln(1+r)

ép 19

Ezt a k kamatlábat új névvel, a logaritmikus kamatlábbal (vagy logaritmikus hozammal, vagy még másképp kamatintenzitással) nevezzük el, és i-vel jelöljük. k = i = ln(1+r) Úgy értelmezzük, hogy éves i folytonos kamatláb megfelel (ei–1) kamatlábú, évente egyszer történő kamatfizetésnek. Azt mutatja meg i értéke, hogy hány százalék éves névleges kamatlábon kell meghirdetni egy folytonos kamatozású betéti konstrukciót, hogy az adott r = (ei–1) nagyságú éves hozamnak feleljen meg. A folytonos kamatozás t időszakra kiterjesztett értéke (folytonos kamattényező):

Ct = eti C0

3. ábra Adott éves névleges kamatlábhoz tartozó effektív kamatlábak

re ek – 1

(adott k)

m 1 4. ábra Adott éves effektív kamatlábhoz szükséges névleges kamatláb k

(adott re)

i

kamatintenzitás

m 1 Nominális hozam, reálhozam Eddig – kimondatlanul – minden kamatlábat és hozamot nominális értelemben vettünk. A reálhozamot (vagy reálkamatlábat) úgy kapjuk meg, ha annak nominálértéket korrigáljuk az infláció mértékével (pi) a következő összefüggés szerint:

ép 20

rreál =

1 + rnom r − pi -1 = nom 1 + pi 1 + pi

A második képlet számlálójából jól látható, hogy ha az infláció üteme és a reálkamatláb elegendően alacsony, akkor a reálkamatláb jól közelíthető az rreál ≈ rnom – pi összefüggéssel. Megjegyzendő, hogy pozitív infláció esetén a közelítő képlet mindig felülbecsli a pontos számítás értékét. Bruttó hozam, nettó hozam A befektetőket alapvetően az érdekli, hogy mekkora a hozamnak az a része, amely végleg náluk marad. Ha nyereségük után adót is kell fizetniük, akkor az adózás utáni hozam lesz számukra lényeges. Ha egy befektetés jelenértékét akarjuk kiszámítani, akkor a befektetés pénzáramlásait a megfelelő elvárt hozammal kell diszkontálnunk. A pénzáramlások tárgyalásánál tisztáztuk, hogy a piaci szereplők számára az adózás utáni, tiszta pénzáramlások a fontosak. Az adófizetésekkel éppúgy korrigálnunk kell a pénzáramlásokat, mint más kiadásainkkal. Így magától értetődik, hogy az adózás utáni pénzeinket az adózás utáni hozamokkal kell diszkontálnunk. Az adózás előtti hozamokat bruttó hozamoknak (rB), az adózás utáni hozamokat nettó hozamoknak (rN) nevezzük. Az alapértelmezés szerint a nettó hozamokkal kalkulálunk Ha a bruttó hozamokból levonjuk a megfelelő jövedelemadók értékét, eredményül a nettó hozamot kapjuk. A megfelelő adókulcsok jelölésére a T megfelelő indexszel ellátott jelét alkalmazzuk. Milyen jövedelemadók játszanak szerepet? (Zárójelben az adott adónemek adókulcsának jelölése.) • A vállalat nyereségadója (Tcompany = Tc). • A magánszemélyek jövedelemadója (Tpersonal = Tp). Illetve a tőkejövedelmek adói: • Az árfolyam-nyereségadó (Tpg). • Az osztalékadó (TDIV). • A kamatadó (Tk). Ha befektetésünket csak egyféle jövedelemadó sújtja, és ennek a jövedelemadónak az adókulcsát T-vel jelölve a nettó hozam kiszámítási képlete: rN = rB (1 – T) Amennyiben egynél több adót kell egymásután, kifizetnünk, úgy, hogy a már adózott jövedelmet adóztatják tovább, az adók hatása egymáshoz szorzódik. (1 − Ti ) rN = rB

∏ i

Nettó jelenérték A piaci szereplőket valójában az érdekli, hogy egy-egy tranzakciójuk mennyivel növeli vagyonukat. Egy tranzakció nettó jelenértéke (Net Present Value, NPV) azt mutatja meg, hogy az adott ügylet mennyivel növeli a szereplő vagyonának értékét. Ha a tranzakció • befektetés, akkor a NPV azt méri, hogy az eszköz mennyivel ér többet, mint amennyiért megvettük, azaz NPVbefektetés = PVeszköz – C0. • hitelfelvétel, akkor az NPV azt méri, hogy a megkapott hitel mennyivel ér többet, mint a későbbi törlesztések, azaz NPVhitelfelvétel = C0 – PVtörlesztések. A kétféle tranzakciót összefoglalva azt mondhatjuk, hogy az NPV a pozitív és negatív pénzáramlások jelenértékének egyenlege: NPV = PV (+Ci) + PV (-Ci) =

Ct

∑ (1 + r ) t

t

t

ép 21

A HOZAMGÖRBE A befektetésekkel kapcsolatban definiáljunk néhány lényeges időtartamot. • Egy befektetés eredeti futamideje (te) a kibocsátástól lejáratig tartó időszak. • Már kibocsátott befektetésekre a jelen pillanattól a lejáratig hátralévő időt külön szokták definiálni a hátralévő futamidő elnevezéssel. • Egy kamatozó befektetés kamatozási időtartama az az időszak, amennyi időre a kamat jár. • Egy befektetés esetében újrabefektetési periódusa az az időtáv, amilyen időszakonként a pénzek újrabefektetésére lehetőség van. (Újrabefektetni vagy mi tudunk, ha pénzeinket kifizették, vagy a kibocsátó, ha a keletkezett nyereségünket újrabefekteti, további új eszközt bocsát ki számunkra. Pl. az osztalékból további új részvényt ad, a kamatot tőkésíti stb.). • Szűkebben értelmezve a befektetéseket, egy kamatozó befektetés kamatozási periódusa az az időtartam, amilyen időszakonként kifizetik vagy tőkésítik a megkapott kamatokat. • Egy befektetés lekötési időtartama az az időszak, amin belül a befektetett tőkéből csak többletköltségek, veszteségek árán tudunk pénzáramlást visszakapni. • A befektetési időtartam nem az eszközhöz, hanem az adott piaci szereplőhöz köthető – milyen időtartamon á tartja az adott eszközt. Belső megtérülési ráta Az átlagos hozam vagy belső megtérülési ráta (IRR) egy vagy több időszak pénzáramlásának az átlagos hozamát jelenti. Alapvető különbséget jelent, hogy a kifejezést • két- vagy • több tagból álló pénzáramlásokra értelmezzük. Az IRR-értékek kiszámításának akkor lesz különösen jelentősége, ha a befektetés kettőnél több pénzáramlásból áll. Ekkor a befektetés átlagos hozama az a hozamérték, amellyel ha a befektetés pénzáramlásait az egyes évekhez tartozó hozamok helyett diszkontáljuk, az eredeti jelenértéket kapjuk vissza. Ez másképp azt is jelenti, hogyha ismerjük a kezdeti befektetési összeget is, akkor az egyes hozamok sorozata helyébe az IRR-t helyettesítve NPV = 0-t kapunk. Egy t időszakig tartó befektetés éves átlagos hozamát IRRt-vel jelöljük. Vegyük észre, hogy azonos kibocsátótól származó, azonos futamidejű és minden más szempontból is azonos befektetéseknek is eltérő lehet az IRR-jük – amennyiben az egyes időpontokban más és más szerkezetű pénzáramlásokat biztosítanak. A hozamgörbék típusai Befektetőnket az árazásnál az érdekli, hogy milyen hátralévő idő múlva érkeznek meg pénzáramlásai. A hozamok és a befektetések hátralévő futamideje közötti kapcsolatot a kamatlábak lejárati szerkezete szemlélteti. Ha a különböző hátralévő futamidejű, de egyéb feltételeiben azonos befektetésekhez tartozó éves hozamokat (effektív kamatlábakat) ábrázoljuk a hátralévő futamidő függvényében, akkor a hozamgörbéhez jutunk. • Alapértelmezésben a hozamgörbe a prompt hozamok szerkezetét ábrázolja. A prompt hozamokat a jelenben kezdődő, és a jövőben egy adott időpontban pénzáramlást adó befektetésekre használjuk. Jelölésükre az 0rt vagy egyszerűbben az rt jelölést alkalmazzuk, ahol t a futamidőt jelenti, alapértelmezésben évben kifejezve. Az árazásban ennek a hozamfajtának van a legnagyobb jelentősége, hiszen a befektetők az egyes befektetéseik adott lejáratú pénzáramlásait a prompt hozamok ismeretében közvetlenül tudják jelenértékre átszámítani. • A gyakorlatban az állampapírokkal kapcsolatban gyakran az IRR-hozamfüggvényt ábrázolják (pl. az Államadósság Kezelő Központ). Egyes állampapírok pénzáramlásaiból egyszerűbb az IRR-k értékeit kiszámolni, de más cashflow-szerkezetű papírok értékeléséhez az IRR-hozamgörbe közvetlenül nem alkalmazható. (Lásd 2.5. példa.) Normális körülmények között (azaz stabil inflációs várakozások esetén) általában annál magasabb éves hozamot várnak el a befektetők, minél hosszabb a hátralévő futamidő, minél hosszabb időre akarják

ép 22

pénzüket befektetni. Ezt a tényt a hosszabb lejárat miatt megnövekvő kockázattal magyarázhatjuk. Ezt másképpen likviditás-preferencia elvnek nevezhetjük: a befektetők a likvidebb, rövidebb ideig tartó befektetéseket hajlandóak alacsonyabb várható hozammal is megvalósítani. 5. ábra Normális hozamgörbe Éves hozam

Hátralévő futamidő

Általában a futamidők hosszabbodásával emelkednek az elvárt hozamok, de nem egyenes arányban, hanem egyre csökkenő mértékekben. Ennek az az oka, hogy viszonylag rövid (pl. 1 hónapos) futamidőnél még viszonylag nagy különbséget jelent, hogy mondjuk egy hónappal megnöveljük a futamidőt, ez tehát relatíve nagy hozamkülönbséget okozhat. Egy tízéves befektetésnél a plusz egy hónap futamidő nem játszik akkora szerepet, a hozamgörbe ilyen lejárati időknél szinte már vízszintes. Csökkenő inflációs várakozások mellett elképzelhető csökkenő (inverz, negatív) hozamgörbe, illetve púpos hozamgörbe is. Ha hosszabb távra kívánunk befektetni, vagy rövidebb futamidejű befektetést választunk, de az abból származó pénzt újra be kell fektessük, vagy hosszabb távút, amit nem kell megújítanunk. Ha a piac arra számít, hogy a rövidebb futamidejű befektetéseket egyre alacsonyabb hozamok mellett tudjuk csak megújítani, akkor megérheti hosszabb befektetéseket alacsonyabb hozam mellett is megvalósítani, mint a rövidebb lejáratú befektetések hozama. Azt az elvet, hogy a jövőben várható hozamok alakulása befolyásolja a prompt hozamok értékét, várakozási elméletként is szokták A negatív hozamgörbénél a lejárati idők növekedésével az elérhető hozamok egyre csökkennek, púpos hozamgörbe esetében rövidebb lejáratokon nőnek, a hosszabbakon csökkennek az elérhető hozamok. Ha a nominális hozamokból elkülönítjük a várható infláció nagyságát, a reálhozamokhoz jutunk – a reálhozamok görbéje általában emelkedő. Elképzelhető azonban, hogy a befektetők nem az infláció stagnálására vagy csökkenésére, hanem emelkedésére számítanak. Ilyenkor a hozamgörbe a normálisnál jóval meredekebben emelkedik, a hosszabb lejáratok a nagyon nagy bizonytalanság miatt pedig el is tűnhetnek a piacról, mivel egy gyorsuló inflációs időszakban senki nem szeret 2-3 évnél hosszabb távú befektetést vállalni. (Például Magyarországon az 199091-es vagy az 1994-95-ös időszak.) 6. ábra Emelkedő inflációs időszakban a hozamgörbe alakja Éves hozam

Hátralévő futamidő

Még egy hozamgörbe-típust kell megemlítenünk. A gyakorlatban azzal az (általában ki sem mondott) egyszerűsítéssel éltünk, hogy minden lejáratra, minden futamidőre azonos éves hozamokat tételeztünk fel. Ezt vízszintes hozamgörbének nevezzük.

ép 23

A valóságban persze soha nem fordul elő, hogy minden lejárathoz (tehát például egy egynapos befektetéshez éppúgy, mint egy tíz éveshez) ugyanakkora éves elvárt hozam tartozzon. Hogy mégis élünk a vízszintes hozamgörbe feltételezésével, annak az az oka, hogy az állandó hozamok alkalmazása esetén egyszerűbb képleteket és számításokat használhatunk. Mérlegelni kell azonban a gyakorlati számításoknál, hogy az egyszerűsítésekkel okozott számítási hiba (például egy meredeken emelkedő inflációs időszakban) mekkora torzítást okozhat. JÁRADÉK-SZÁMÍTÁS A pénzáramlás-sorozatok értéke Már akkor sem volt egyszerű eldöntenünk, hogy mit válasszunk a felajánlott befektetési lehetőségek közül, ha azok közül mindegyiket egyetlen jövőbeli pénzáramlás jelentette. Nyilván még nagyobb a dilemma, ha különböző időpontokban esedékes pénzáramlások, ún. pénzáramlás-sorozat jelenti egy-egy befektetés jövedelmét, és ezek közül kell kiválasztani a számunkra leginkább kedvezőt. Márpedig a gyakorlatban a leggyakrabban ilyen helyzetekkel kerülünk szembe. Egy pénzáramlás-sorozat értéke az egyes pénzáramlások jelenértékének összege: n

n Ct = C t ⋅ DF (t ; rt ) ∑ ∑ t t =1 (1 + rt ) t =1

PV (C1; C2; ...Cn) = PV (C1) + PV (C2) + ... PV (Cn) =

Ha adott valamely pénzáramlás-sorozat mai (vagy későbbi időpontbeli) piaci ára (árfolyama), a befektetés NPV-je alapján meg tudjuk mondani, érdemes-e „elcserélni” a mai pénzt a jövőbeli pénzáramlás-sorozatért. Speciális pénzáramlás-sorozatok (járadékok) Gyakran előfordul, hogy évente azonos nagyságú összegeket kell kifizetnünk (pl. hiteltörlesztésnél), vagy azonos összegeket kapunk (pl. évjáradék). A rendszeres időközönként azonos nagyságú vagy matematikai szabályossággal változó pénzáramlások sorozata a járadék. Az évente esedékes járadék az évjáradék Matematikai szempontból nem teszünk különbséget, akár negatív, akár pozitív pénzáramlás-sorozatról van szó, járadékszámítást fogunk alkalmazni, a végeredmény az előjelektől függően értelemszerűen pozitív vagy negatív nagyság is lehet. Ha egy-egy időszakban pozitív és negatív pénzáramlások egyaránt felmerülnek, akkor a pénzbeáramlások és pénzkiáramlások adott időszakra kiszámolt egyenlegét, vagyis a nettó pénzáramlást tekintjük. Az esedékes pénzáramlás a járadéktag, a két járadéktag között eltelt idő a járadékköz Ha a pénzáramlás-sorozat az idők végezetéig esedékes, akkor örökjáradékról, ha csak egy meghatározott időszak alatt, akkor annuitásról beszélünk. Az is elképzelhető, hogy ezek az évente esedékes összegek szabályosan évente azonos mértékben nőnek. Ezek a növekvő tagú járadékok. A járadékszámításnál is számos, különböző értelmezési lehetőséget biztosító feltételezéssel élhetünk. Ezek közül az alábbiakat tekintjük alapértelmezéseknek: Járadékokkal kapcsolatos alapértelmezések: a) A járadéktagok nagysága állandó. b) A járadékköz nagysága egy év. c) A következő járadéktag egy időszak (egy év) múlva esedékes. Továbbá, már a járadék értékelésével kapcsolatos feltételezés: d) A hozamgörbe vízszintes Örökjáradék Az örökjáradék olyan pénzáramlás-sorozat, amely végtelen hosszan tart. Szokásos értelmezéseink (a járadéktagok állandóak, a járadékköz egy év, a következő kifizetés a következő időszak végén esedékes, a hozamgörbe vízszintes) alapértelmezésben érvényben maradnak. PV (örökjáradék) =

C1 C2 Cn + +…+ 2 (1 + r ) (1 + r ) (1 + r ) n

n→ ∞

ép 24

Mivel n a végtelenbe tart, ennek a sorozatnak az összegzése fárasztó dolognak tűnik. Felhasználva, hogy minden pénzáramlás-tag állandó, ez egy olyan mértani sor, amelyben minden tag az előző tag szerese (a sorozat hányadosa

1 (1 + r )

C 1 , az első tag értéke . Mivel r pozitív érték, így minden tag (1 + r ) (1 + r )

kisebb a megelőzőnél, így a sorozat tagjai nullához tartanak, azaz a sorozat konvergens*, valamilyen határértékhez* tart – azaz összegképletet tudunk meghatározni rá. Egy ilyen mértani sor összegképlete: PV(örökjáradék) =

C1 Ci = r r

Figyelem! A fenti képlettel csak akkor határozhatjuk meg egy örökjáradék értékét, ha az első járadékra az első időszak végén (egy járadékköz múlva) számíthatunk. Minden egyéb esetben az összegező képletet a megfelelő diszkont- vagy kamattényező segítségével korrigálnunk kell. A fejezet további részében egy nagyobb földterület eladását szeretnénk megoldani. A földterület évente 10e Ft nettó pénzáramlást biztosít az idők végezetéig.Aki nem a földet szeretné megvenni, az a közeli Bankban hasonló kockázattal tud pénzeket elhelyezni. A Bankban lejárattól függetlenül évi 10%-os kamatlábat kínálnak. A földterület értéke a fenti képlet alapján: PV(örökjáradék) =

C1 10 = = 100 (eFt) r 0,1

b) Nézzük az árazás egy másik levezetését! A megfogalmazás szerint a föld megvétele és a Bankba való befektetés hasonló kockázatú és a két lehetőség egyéb paramétereiben is egymás alternatívái. A 10%-os betéti kamatláb tehát az, amiről lemondunk, ha cserébe a földterület megvásárlást választjuk. Tegyük a két befektetést egyenértékűvé! Bankbetét Négyszögletű Kerekerdő Befektetés Betét értéke = C0 Vételár = PV Futamidő Végtelen Végtelen Éves elvárt hozam 10% (a fair kamatláb) = 10% (az alternatív hozam) = r k = r (hiszen évente kifizetik) Éves járadék Ci = 10e Ft Kamat = k ⋅ C0= 10% ⋅ C0 Kockázat és egyéb jellemzők azonos 2. táblázat Az örökjáradék értékének levezetése egy bankbetét segítségével Azt tudjuk, hogy a vételár akkor egyenlő, ha az éves járadék is az. Az éves járadék sorát megismételve, behelyettesítve C0 = PV és r = k egyenlőséget ezt kapjuk: r ⋅ PV = Ci és ezt átrendezve ismét visszakapjuk a fenti egyenletet: PV =

Ci r

4. példa Egy olyan legelőt szeretnénk megvásárolni, mely minden évben nyár végén 10e Ft-os jövedelmet biztosít – az első pénzáramlást egy év múlva fogjuk megkapni. Az elvárt hozam évi 6%. Mekkora a terület elméleti ára? Megoldás: PV = C / r = 10 / 0,06 = 166,7 (eFt) Egyenletes ütemben növekvő örökjáradék Az egyenletes ütemben növekvő tagú örökjáradék olyan pénzáramlás-sorozat, amelynél a járadéktagok állandó (g) ütemben növekednek és a sorozat a végtelenig tart. Az, hogy a járadéktagok egyenletes ütemben növekednek, azt jelenti, hogy minden tag az előző tag (1+g)-szerese. Ha a növekedési ütem negatív, például –5%, ez azt jelenti, hogy a következő tag az előző értékének 0,95-szerese. Az egyenletes ütemben növekvő örökjáradék összegképlete is hasonló módon vezethető le, mint az örökjáradéké, összegképlete:

ép 25

PV =

C1 r−g

4. példa folytatása: Ha például a földdel megszerezhető járadék az első évben 10e Ft, de az a további években évi 6%-kal növekszik, akkor a reális vételár: PV =

C1 10 = = 250 (e Ft) r − g 0,1 − 0,06

Érdemes megjegyezni, hogy ahogyan minden befektetésnél alapértelmezésünk volt, hogy most fektetünk be és a következő időszakban kapjuk az első kifizetést, úgy az összegképletben is az első időszaki pénzáramlás a viszonyítási alap. (Ha a betétes összehasonlításba belegondolunk, most azt mondhatjuk, hogy nem 10%-os elvesztett hozammal diszkontálunk, hanem ebből g nagyság, azaz évi 6% kompenzálódik a növekedési ütemnek köszönhetően, és csak (r - g) nagyságú „kamatláb” amennyit az erdő választásával a betéten évente elbukunk.) Az összegképlet levezetésénél már hangsúlyoztuk, hogy egy végtelen mértani sornak csak akkor van véges összege, ha tagjai csökkennek. Egy növekvő tagú járadéksor jelenértéke esetében az egymásután következő kifizetések jelenértékei egymás

1+ g -szeresei. Akkor tartanak a tagok jelenértékei nullához, ha r > g. Az 1+ r

összegképlet tehát csak akkor használható, ha a növekedési ütem szigorúan kisebb (már az egyenlőség sem engedhető meg) az elvárt hozamnál. Annuitás 4. példa folytatása: Kiderül, hogy a földből származó éves bevételek stagnálni fognak. Viszont tudomásunkra jut, hogy bevételre csak az első nyolc évben számíthatunk, a 9. évtől kezdődően előreláthatóan nem lesz bevételünk. Mekkora így a föld értéke? Az annuitás véges időtartamra szóló járadék. Értékét legkönnyebben két örökjáradék különbségeként tudjuk felírni: 7.. ábra Annuitás örökjáradékok különbségeként ábrázolva

Örökjáradék t = 1-től Örökjáradék t = n + 1-től Annuitás t = 1-től n-ig

t 0 1

n

Az annuitás értéke a két örökjáradék jelenértékeinek különbsége.

ép 26

PV (annuitás) = ahol az

1

r

(1-

1 1 1 1 C C C = (1) = C (1) n n r r (1 + r ) r (1 + r ) r (1 + r ) n

1 ) kifejezés 1 Ft annuitás jelenértékét fejezi ki, ezért annuitástényezőnek nevezzük, és (1 + r ) n

AF(t; r)-rel jelöljük. Az n időszak alatt időszakonként esedékes C Ft jelenértéke: PV = C ⋅AF(t; r) 4. példa folytatásának megoldása: A fenti erdő értéke ez alapján: PV(annuitás) =

1 1 10 C )= (1) = 100 ⋅ 0,5335 = 53,35 (e Ft) (1n (1,1)8 r (1 + r ) 0,1

Vagy az annuitástáblázat felhasználásával: PV = C ⋅AF(t; r) = 10 ⋅ 5,335 = 53,35 (e Ft)

Nevezetes annuitás értékek: AF(n; 0%) = n AF(0; r) = 0 AF(∞; r) =

1 = PV (1 Ft örökjáradéka) r

AF(1; r) = DF(1; r) Minél hosszabb az annuitás időtartama, azaz minél nagyobb n értéke, annál nagyobb az annuitástényező értéke. Viszont minél nagyobb r értéke, annál többet veszítünk a jövőben megkapott pénzeink értékéből, és így egyre kisebb az annuitás jelenértéke. Az annuitás-számítás tipikusan a hiteltörlesztéseknél fordul elő. KÖTVÉNYEK ÁRAZÁSA A diszkontpapírok kibocsátása névérték alatt történik, és a visszafizetendő névérték és a vételi (kibocsátási) árfolyam különbsége teremtheti meg a két pénzáramlás egyenértékűségét. Ha a befektető lejáratig megtartja a diszkontpapírt, nyeresége a névérték és a vételi árfolyam különbözete. Ha a diszkontpapír több éves futamidejű, akkor ebből a különbözetből a hozamgörbéknél már említett átlagos éves hozamot számíthatjuk ki. Háromféle diszkontpapír árazását említjük, bár ezek a papírok jellegükben alapvetően különböznek egymástól. Számítási szempontból azonban csak abban térnek el, hogy lejáratuk éven túli vagy éven belüli, illetve utóbbinál aszerint is, hogy ki a kibocsátójuk. Az éven túli lejáratú diszkontpapír tipikus fajtája az elemi kötvény. A rövid lejáratúak egyike a rövid lejáratú állampapír (diszkont-kincstárjegy), a másik a nem állami kibocsátású váltó. Az elemi kötvény diszkontpapír, vásárlója egyetlen jövőbeli pénzáramlásra számíthat, a lejáratkor, a névérték visszafizetésére. Ez a kötvény formailag nem kamatozik, nincs kamatjövedelme, éves névleges kamatlábát 0%-nak tekinthetjük. Ezért kamatszelvény nélküli kötvénynek (zéró kuponnak) is nevezik. A kötvény kibocsátása mélyen névérték alatt történik. Hozama kizárólag árfolyamnyereségből származik. A neve azért elemi, mert elemi kötvényekből a különböző jogokat nem tartalmazó többi kötvényvariáció felépíthető. Az elemi kötvény elméleti árfolyama mind a piaci kamatlábbal, mind a hátralévő futamidővel fordítottan arányos. Az elvárt hozam növekedésével a kötvény árfolyama csökken, a hátralévő futamidő csökkenésével a kötvény árfolyama nő. PV =

N = N · DF(n, r) (1 + r ) n

ahol n = az elemi kötvény hátralévő futamideje, N = az elemi kötvény névértéke,

ép 27

r = az n éves befektetés éves elvárt hozama. Megjegyzés: Bár Magyarországon nincs, de a nemzetközi forgalomban van egy évnél hosszabb lejáratú diszkontkötvény is. A diszkont-kincstárjegy rövid lejáratú (maximum 1 éves futamidejű) állampapír, amely csak futamidejében tér el az elemi kötvénytől, számítási szempontból azonosak. PV =

N n

(1 + r ) 365 Megjegyzés: diszkont-kincstárjegyeket a fenti képlettől eltérő módszerrel is szoktak árazni. PV =

N (1 + k * n / 360)

Ezzel a képlet az egyszerű kamatozás képletét, és nem 365, hanem 360 napos éves használ – így ugyanakkora éves kamatláb esetén alacsonyabb árfolyamot ad, mint a fenti képlet. A váltó is olyan értékpapír (a diszkontálásnál találkoztunk fogalmával), amelyre lejáratakor a névértéket fizetik a birtokosának, s addig nincs kamatfizetés. Lejárata egy év vagy annál rövidebb. Amikor kibocsátják és névértékét meghatározzák, abban kifejezésre jut az áruügylet ellenértékén felül a kereskedelmi hitel futamidejére jutó kamat is, hiszen a váltó egyúttal a kereskedelmi hitelezés eszköze is. A váltó áraásának meghatározását nevezzük leszámítolásnak. További fontos művelet a viszontleszámítolás, amely azt jelenti, hogy a leszámítolással megvásárolt váltót megvásárolja egy másik bank (rendszerint a jegybank), miután levonta az esedékességig járó kamatot (ez a rediszkont). A kötvény árfolyama A kötvényből származó pénzáramlás a kibocsátó hiteltörlesztése és kamatfizetése. Amikor a befektető megvásárolja a kötvényt, mai pénzét olyan jövőbeli pénzáramlásra cseréli el, amely a hiteltörlesztés és a kamatok összegéből áll. A kötvény elméleti (számított) árfolyama (PV) a még be nem váltott kamat- és tőketörlesztő-szelvények diszkontált értékeinek az összege: n Ct PV = ∑ –––––– = Σ Ct DF(t,r) t=1 (1+r)t ahol: n = a hátralévő futamidő Ct = a t-edik évi pénzáramlás r = a kötvénytől elvárt hozam, ha a hozamgörbe vízszintes (ezt a továbbiakban is mindig feltételezzük, s csak az esetleges eltérést jelezzük külön). A kötvények árazásánál a már eddig használt alapfeltételezések (éves kamatfizetés, fix kamatozás, végtörlesztés) mellé még két feltételezéssel fogunk élni: • a hozamgörbe vízszintes, azaz minden lejáratra azonos elvárt hozammal kalkulálunk, • most közvetlenül kamatfizetés után (vagy pontosan a kibocsátás időpontjában) vagyunk, azaz a következő kifizetés egy év múlva esedékes. Természetesen az alapfeltevésektől el lehet térni, de akkor ezt az eltérést külön definiálni kell – eltérő definíció hiányában az alapértelmezést tekintjük érvényesnek. Az árfolyam meghatározása során figyelni kell arra, hogy a már beváltott kamat- és tőketörlesztőszelvények, azaz a múltbeli kifizetések, nem befolyásolják a kötvény árfolyamát. Vagyis nem fizetünk azért a múltbeli pénzáramlásért, ami a kötvény korábbi tulajdonosának járt. Az árazás során csak azzal a jövőbeli pénzáramlással számolunk, amely a kötvény megvásárlásával a mienk lesz.

ép 28

A piaci árfolyam (P0, P1 stb.) – mint jeleztük – eltérhet az elméleti árfolyamtól, a papír számított jelenértékétől (PV). A piaci árfolyam és az elméleti árfolyam különböző kategóriák. A piaci árfolyam a keresleti-kínálati viszonyokat is tükrözi. Az elméleti árfolyam a kötvény pénzáramlásának „belső értéke” (jelenértéke). Ha a kötvény piaci árfolyama nagyobb, mint az elméleti árfolyam, akkor a kötvény felülértékelt, ha a kötvény piaci árfolyama kisebb, mint az elméleti árfolyam, akkor a kötvény alulértékelt. A hitelpapírok árfolyamát általában százalékos formában adjuk meg, mégpedig a névérték százalékában. 5. példa: Mekkora az árfolyama az alábbi kötvénynek: a kötvény hátralévő futamideje két év, kamatlába 8% és a piaci elvárt hozam 10%. Most közvetlenül kamatfizetés után vagyunk. Megoldás: A kötvény árfolyama, ahogy fent meghatároztuk már: PV = 8 / 1,1 + 108 / 1,12 = 96,53% Ha meggondoljuk, az eredmény logikus: 100%-nál alacsonyabb árfolyamot kellett kapnunk. A kötvény kamatlába csupán 8%, míg a piacon a hasonló kockázatú papíroktól 10%-os hozamot várunk. Így névértéken nem lehet majd eladni a papírt, csak az alatti árfolyamon. A 8. példa folytatása: Mekkora lesz a kötvény várható árfolyama egy év múlva, közvetlenül az adott évi kamatok kifizetése előtt, ha a piacon az elvárt hozam továbbra is 10%? Megoldás: a kötvény hátralévő pénzáramlása továbbra is két tagból áll, csak rövidebb a hátralévő futamidő. PV = 8 + 108 / 1,1 = 106,12% Miért magasabb ezúttal az árfolyam 100%-nál, jóllehet a kötvény által biztosított kamatláb továbbra is alacsonyabb a piaci hozamnál? Azért, mert most nem közvetlenül kamatfizetés után vagyunk, hanem már egy év eltelt az utolsó kamatfizetés óta – azaz a kötvény árában felhalmozódott kamat is található. A kötvény elméleti árfolyamának kiszámítása során a kötvény bruttó árfolyamát határozzuk meg. A kötvény nettó (tiszta) árfolyama a bruttó árfolyam és az utolsó kamatfizetés óta felhalmozódott kamat különbsége. A kötvény nettó és bruttó árfolyama közvetlenül a kamatfizetés után megegyezik, közvetlenül a kamatfizetés előtt pedig éppen a kamatszelvény összegével tér el (lásd az ábrát). Természetesen a bruttó árfolyam a kötvény kereskedési árfolyama, hiszen a kamatszelvények beváltására a kötvény birtokosa jogosult. Nettó árfolyam (%) = Bruttó árfolyam (%) – Felhalmozódott időarányos kamat (%) Felhalmozódott kamat = k (%)·

Utolsó kamatfizetés óta eltelt napok száma 365

8. ábra A kamat halmozódása az utolsó kamatfizetés óta eltelt idő függvényében

Éves kamat Felhalmozódott kamat Utolsó kamatfizetés

0. év

Következő kamatfizetés

Utolsó kamatfizetés óta eltelt idő

Példa folytatása: Határozzuk meg mindkét időpontra a fenti kötvény nettó árfolyamát is! Megoldás: Kezdetkor: Nettó árfolyam = Bruttó árfolyam, mert nincs felhalmozódott kamat, azaz Nettó árfolyam = 96,53% Első évben: Bruttó árfolyam: 106,12% Felhalmozódott kamat: 8% * 1 = 8% Nettó árfolyam: 106,12% – 8% = 98,12%

ép 29

Mi magyarázza, hogy a kezdeti 96,53%-os nettó árfolyamhoz képest egy évvel később már 98,12% a nettó árfolyam? A választ a kötvények ár-konvergencia elvéből kapjuk meg. A nettó árfolyam segítségével pontosítani tudjuk a kötvény kamatlába és a piaci hozam közti reláció, valamint a kötvény ára közti kapcsolatot. Ha a piacon az elvárt hozam magasabb, mint a kötvény kamatlába, akkor a piaci nettó árfolyam alacsonyabb 100%-nál – a bruttó árfolyam magasabb is lehet 100%-nál, a felhalmozódott kamat függvényében. Ha a piacon az elvárt hozam alacsonyabb, mint a kötvény kamatlába, akkor a piaci nettó árfolyam magasabb 100%-nál – a bruttó árfolyam pedig ennél is magasabb lehet a felhalmozódott kamat függvényében. A lejárat felé közeledve a kötvény nettó árfolyama mindig 100%-hoz tart. Például, ha a kötvény kamatlába alacsonyabb, mint a piacon az elvárt hozam (és ez az elvárt hozam végig állandó), akkor a nettó árfolyam végig 100% alatt marad, de alulról közelíti a 100%-ot. (Gondoljuk meg, ez logikus is: egy „rossz” kötvényben ülni két évet rosszabb dolog, mint csak egy évig ülni benne – vagyis a két éves várakozást mélyebb diszkonttal kell, hogy értékelje a piac. A lejárat napján a kötvény nettó árfolyama 100% lesz, míg a bruttó árfolyam (100+k)%. A kötvényárfolyam kamatláb-érzékenysége A kötvény elméleti árfolyama alapvetően a kamatláb (elvárt hozam) függvénye (meg persze a pénzáramlásaié). Emelkedésével a fix kamatozású kötvény árfolyama csökken. A kamatláb csökkenésével a fix kamatozású kötvény árfolyama nő. A kötvényárfolyam konvergencia tulajdonsága azt jelenti, hogy a kötvény nettó árfolyama a lejárathoz közeledve a névértékhez közelít. Minden fix kamatozású kötvény elvárt hozama és árfolyama között inverz a kapcsolat, azonban a különböző kötvénykonstrukciók árfolyama eltérő mértékben változik a hozam változásának hatására. Ennek a mértéknek a számszerű meghatározására használjuk a kötvényárfolyam kamatláb-érzékenységét (volatilitás, VOL), amely azt mutatja meg, hogy a kamatláb 1 százalékpontos változása hány százalékkal változtatja meg az értékpapír árfolyamát. Ezt a kötvény hátralévő átlagidejéből (átlagos futamidejéből, duration-jéből, DUR) lehet kiszámítani, ami nem más, mint a kötvény effektív (tényleges) lejárata, azaz a kötvényből származó pénzáramlások lejáratának súlyozott átlaga. A súlyoknak azt kell kifejezniük ki, hogy az adott időpont pénzáramlása hány százalékkal járult hozzá a kötvény elméleti (bruttó) árfolyamához, ezért a súlyok az egyes pénzáramlások arányai a kötvényárfolyamban. VOL = ∆P / P0 = –DUR / (1+ r)

Ct n ( 1 + r )t PV (C t ) =∑ ·t DUR = ∑ t ⋅ n Ct PV t =1 t =1 ∑ ( 1 + r )t t =1 n

6. példa: mekkora az átlagideje és kamatláb-érzékenysége egy olyan kötvénynek, amelyiknek két év a lejárata, évi 10% kamatot fizet, miközben a piacon az elvárt hozam évi 20%? Megoldás: Nézzük az alábbi táblázatot: év kifizetés 1 10 2 110 összesen

PV 8,33 76,39 84,72

PV * t 8,33 152,78 161,11

2. ábra A kötvény volatilitásához használt számítások A kötvény árfolyama tehát 84,72. Átlagideje: 161,11 / 84,72 = 1,90 (év). (Kicsit kevesebb, mint két év az átlagos várakozási idő, hiszen egy kisebb összeget egy év múlva is fizet.) Volatilitása: –DUR / (1+ r) = -1,9 / 1,2 = -1,58, azaz egy százalékpontos hozamemelkedésre körülbelül 1,58%-os áreséssel reagál a kötvény.

ép 30

Ezt le is ellenőrizhetjük, ha a hozamot az induló 20%-os szintről 1%-*ponttal magasabbra, azaz 21%-ra emeljük. A papír ára ekkor: PV = 10 / 1,21 + 110 / 1,212 = 83,40 Az árfolyamváltozás százalékos nagysága: 83,40 / 84,72 = 98,44% Az árfolyamváltozás nagysága tehát 1,56%. A kötvény átlagidejét három tényező befolyásolja: • a lejáratig hátralévő idő (n), • a kötvény pénzáramlása (Ct) és • a befektetők kötvénytől elvárt hozama (r). A kötvény átlagidejére vonatkozóan tehetünk néhány hasznos megállapítást: • Az elemi kötvény és a kamatos kamatozású kötvény hátralévő átlagos futamideje megegyezik a lejáratig hátralévő futamidővel. • A kamatszelvényes vagy rész-tőketörlesztésű kötvény hátralévő átlagos futamideje kisebb mint az azonos futamidejű elemi kötvény hátralévő átlagos futamideje. • Azonos lejárat esetén annak a kötvénynek magasabb a hátralévő átlagos futamideje, amelynek nagyobb pénzáramlása esik a lejárat végére. • Két azonos futamidejű kamatszelvényes kötvény közül az alacsonyabb névleges kamatlábúnak nagyobb a hátralévő átlagos futamideje. • Azonos névleges kamatozású kötvények hátralévő átlagos futamideje a lejáratig hátralévő idő csökkenésével nem monoton csökken. • Két azonos futamidejű és névleges kamatlábú kötvény közül annak nagyobb a hátralévő átlagos futamideje, amelyiknek kisebb az elvárt hozama. A kötvény hozama. A kötvény vásárlója – mint láttuk – két forrásból számíthat hozamra: a kötvény kamatából és a várható árfolyam-nyereségből. A gyakorlatban többféle hozammutatót használnak. A kötvény éves névleges kamatlába (k) a fennálló névérték százalékában fejezi ki az éves kamatfizetés nagyságát. A névleges kamatláb akkor egyezik meg a ténylegesen realizált hozammal, ha a befektető a kötvényt kibocsátáskor névértéken vette, és lejáratig megtartja. Minden egyéb esetben az árfolyamnyereség vagy -veszteség is szerepet kap a hozamban. A kötvény szelvényhozama (coupon yield, CY) az éves kamatfizetést a kötvény piaci nettó árfolyamához viszonyítja. A kötvény lejáratig számított hozama vagy belső megtérülési rátája (IRR) az az átlagos éves hozam, amelyet a kötvény akkor biztosít, ha lejáratig megtartjuk. A magyar szabályozásban a kötvényekkel kereskedő befektetési vállalkozásoknak (brókercégeknek) kötelességük az venni vagy eladni kívánt kötvények adott eladási / vételi árfolyamhoz tartozó belső megtérülési rátáját közölni ügyfeleikkel. Ezt a magyar terminológiában egységesített értékpapír hozammutatónak (EHM-nek), az angol szóhasználatban YTMnek (yield to maturity) nevezik, és ez tulajdonképpen a kötvény belső megtérülési rátája. A három fenti hozam között egyszerű reláció figyelhető meg. Ha a kötvény kamatlába nagyobb, mint a piaci elvárt hozam, akkor a papír nettó árfolyama 100% felett lesz. Tehát a kötvény szelvényhozama kisebb lesz a névleges kamatlábánál. Ha most a 100%-nál magasabb nettó árfolyamon megvesszük, a lejáratig tartva árfolyamveszteséget fogunk elszenvedni vele, hiszen lejáratkor csak névértéken tudjuk visszaváltani (a kamatokat nem számítva). Ez esetben viszont a lejáratig számított teljes hozama (EHM). Emiatt a kötvény megtérülési rátája még a szelvényhozamánál is alacsonyabb lesz, azaz k > CY > EHM Ha a kamatláb kisebb, mint a piaci elvárt hozam, a teljes gondolatmenetünk fordított és a reláció is megfordul, azaz EHM > CY > k 7. példa: Egy kötvény hátralévő futamideje egy év, kamatlába 8% a piaci elvárt hozam 10%, és most közvetlenül kamatfizetés után vagyunk. A kötvény bruttó árfolyama, ahogy fent meghatároztuk már: 108 / 1,1 = 98,18

ép 31

Mivel most közvetlenül kamatkifizetés után vagyunk, ez egyben a nettó árfolyama is. A kötvény szelvényhozama: CY = 8 / 98,18 = 8,15% A kötvény lejáratig számított hozama: 10% EHM = 10% > CY = 8,15% > k = 8%

A RÉSZVÉNY ÁRFOLYAMA ÉS HOZAMA A részvények árazásánál is ugyanazt az alapvető elvet követjük, mint a többi pénzügyi eszköznél: a részvény árfolyamát a részvénytől várható pénzáramlások jelenértékeként határozzuk meg. A feladatot tehát ugyanúgy három lépésben fogjuk elvégezni, mint eddig: 1. Megbecsüljük a részvény várható pénzáramlásait. 2. Megbecsüljük az adott eszköz (részvény) értékeléséhez a piacon elfogadható, elvárt hozamokat. 3. Elvégezzük a jelenértékszámítás (diszkontálás) műveletét. A részvényes gyakorlatilag kétféle pénzáramlásra számíthat: • osztalékra és • eladáskor az eladási árfolyamra (a felszámolási hányad gyakorlati jelentősége elhanyagolható). Egy részvény pénzáramlásainak előrejelzésében nagyobb a bizonytalanság, mint egy kötvénynél. Ez alapvetően két okra vezethető vissza: • A részvény pénzáramlása jóval kockázatosabb (bizonytalanabb), mint a kötvényé, mivel nem előre rögzített pénzáramlásokról van szó. • A részvénynek nincs futamideje, szemben a hitelpapírok rögzített lejárati idejével. A hosszabb futamidő nagyobb bizonytalanságot is jelent. Ezért is van az, hogy a részvények árfolyamánál általában jóval nagyobbak az árfolyamkilengések, mint a kötvények árfolyamánál. Tekintsünk át néhány lényeges jelölést és fogalmat: • A részvény t-edik időszaki árfolyamát Pt–vel jelöljük. • A részvény t-edik időszaki osztalékát DIVt (dividend) jelöli. (A gyakorlatban egy adott üzleti év osztalékát a rákövetkező évben fizetik ki.) • A részvény t-edik időpontbeli egy részvényre jutó nyereségét EPSt-vel (Earning per Share) jelöljük. DIVt = EPSt , ha a részvénytársaság összes eredményét osztalékként kifizetik. • Az osztalékfizetést követően a részvényárfolyamok nagyjából a kifizetett osztaléknak megfelelő forintösszeggel csökkennek, hiszen az osztalék összege kikerült a vállalattól. Ezért megkülönböztetjük az osztalékfizetés előtti és az utáni árfolyamot (hasonlóan a kötvények bruttó és nettó árfolyamához)::a közvetlenül az osztalékfizetés előtti árfolyam Pcum div, az osztalékot közvetlenül követő árfolyamot Pex div jelöli.. A részvény elméleti árfolyama A részvény elméleti árfolyamát – mint bármely más pénzügyi eszköz árát – pénzáramlásainak jelenértékével határozzuk meg. A továbbiakban azt is feltételezzük, hogy az egyes évekre vonatkozó elvárt hozamok azonosak. Az időtávot nagyon hosszú szakaszig tekintve minden évben számíthatunk osztalékra és az utolsó évben az eladási árfolyamra: PV0 =

DIV3 DIVn Pn DIV1 DIV2 + + + ... + + 2 3 n 1 + r (1 + r ) (1 + r ) (1 + r ) (1 + r ) n

Ha n értékét minden határon túl növeljük, azaz n tart a végtelenbe, akkor az utolsó tag jelenértéke a nullához fog közelíteni. Ez azt jelenti, hogy a pénzáramlás-sorozat utolsó eleme, az n-edik évi eladási árfolyam már nem játszik szerepet a részvény árfolyamában, hiszen jelenértéke zérus lesz. Ennek az az oka, hogy – a végtelenig szemlélve – egyetlen egy befektetésnek sem növekedhet nagyobb éves ütemben az árfolyama, mint a tőle elvárható hozam, vagyis a kifejezés nevezője gyorsabban növekszik, mint ahogy évről évre az ár növekedne. A fenti képletben

lim =

Pn = 0, (1 + r ) n

(n → ∞ )

ép 32

a részvény elméleti árfolyama hosszú távon a várható osztalékok végtelen sorozatának jelenértéke:

PV0

n

DIVt =∑ t t =1 (1 + r ) Az árazásban segítséget jelenthet, ha az osztalékok valamilyen járadék formáját veszik fel, valamilyen szabályos pénzáramlás-sorozathoz közelítenek, mert akkor valamilyen örökjáradék képlettel közelíthető értékük. Általában a valóságtól nem túlságosan elrugaszkodott feltételezés, ha úgy tekintjük, hogy nagyon hosszú távon az éves osztalékok sorozata egy egyenletes ütemben növekvő örökjáradék kifizetéseihez hasonlítanak, azaz évről évre adott g ütemben növekszik az osztalékok nagysága. Ekkor a részvény elméleti árfolyama a fenti képletet továbbfejlesztve, az egyenletes ütemben növekvő örökjáradék számítási képlete alapján: n

PV0 =

DIVt

∑ (1 + r ) t =1

t

=

DIV1 r−g

Az osztalék egyenletes ütemben növekvő örökjáradék jellegét kihasználó részvény-árazási modellt Gordonmodellnek nevezik. 8. példa: Egy részvény idén 100 Ft osztalékot már kifizetett, jövőre 5%-kal nagyobb osztalékot fog fizetni, és ezt a növekedési ütemet nagyon hosszú távon át tartani tudja majd. Mekkora a részvény elméleti árfolyama, ha tőle a piacon 10%-os hozamot várnak el? Megoldás: A Gordon-modellt lehet használni: PV = DIV1 / (r – g) = 105 / (0,10 – 0,05) = 2100 Ft. A kérdésfeltevés gyakran nem az, hogy mekkora a részvény elméleti árfolyama, hanem az, hogy adott részvényárfolyam mellett mekkora a részvénytől elvárt hozam. Feltesszük, hogy • adott a következő évben várható osztalék (DIV1). • az osztalék növekedési üteme állandó, és ismert a nagysága (g). • a részvény tényleges árfolyama megegyezik az osztalékok jelenértékével, azaz az elméleti árfolyammal (P0 = PV0).

DIV1 átrendezzük r-re, valamint a P0 = PV helyettesítést is elvégezzük, akkor r−g DIV1 +g a részvénytől elvárt hozam: r = P0 Ha a Gordon-képletet: PV0 =

A részvénytől elvárt hozamot tehát két részre lehet bontani: • az osztalékhozamra (dy, a dividend yield szó rövidítéseként) • és az osztalékok növekedési ütemére (g). Vegyük észre, hogyha a piacon más paraméterek nem változnak, például az elvárt hozam, infláció, a befektetők elvárásai is azonosak, akkor a részvény árfolyama is az osztalék növekedési ütemével egyező módon emelkedik. A részvénytől elvárt hozamot alkotó két összetevőt így az osztalékhozamra és a részvény árfolyam növekedési ütemére tudjuk szétbontani. A részvényárfolyam is két részből áll: • A részvénytársaság növekedésmentes értéke. A növekedésmentesség mögött az az elméleti feltevés húzódik, hogy a vállalat egész megtermelt eredményét osztalékként kiosztja, tehát minden évre DIV = EPS. Ha a vállalat és annak eredménye nem növekszik, akkor minden évben ugyanakkora eredményt fog elérni, ezt mind osztalékként kifizeti, azaz a fizetett osztalék egy örökjáradék lesz, melynek értéke:

EPS1 r

•

PV0 =

•

A növekedési lehetőségek értéke, tehát annak a ténynek a pozitív vagy negatív (!) értéke, hogy a társaság ténylegesen mégsem a teljes eredményét osztja ki osztalékként, hanem az adott osztalék-

ép 33

politikának megfelelő eredményhányadot a cégben tartja, és ebből növekszik. A növekedési lehetőségek értékének jelölése: PVGO. Mindezek alapján adott osztalékpolitika mellett egy részvény elméleti árfolyama: PV0 =

EPS1 + PVGO r

Például a fenti részvény következő éves eredménye 150 Ft, amelynek a 70%-át képezi a 105 Ft-os osztalék-kifizetés. Mekkora a részvény árában a növekedési lehetőségek értéke, ha a részvénytől elvárt hozam évi 10%? Megoldás: a fentiekben 2100 Ft-nak számoltuk ki a részvény elméleti árfolyamát. A növekedésmentes érték: EPS1 / r = 150 / 0,1 = 1500 (Ft) A növekedési lehetőségek értéke a két ár közötti különbség: 2100 Ft – 1500 Ft = 600 Ft A részvénytársaságnak tehát megéri a növekedés. Ezt – amint a későbbiekben majd látni fogjuk – azzal lehet magyarázni, hogy a társaság jövedelmezősége magasabb, mint a piacon a hasonló befektetésektől elvárt hozama, azaz megéri a társaságban benthagyni a pénzt, és nem osztalékként kivenni. A részvénytársaságokról megszerezhető kereskedési információk A részvény árfolyamának kiszámításához szükséges információkat a részvénytársaság működési adatai jelentik. Az összefüggések szemléletes bemutatásához egy magyar tőzsdei részvénytársaság nyilvános adataihoz fordulunk. A fontosabb gazdasági újságok folyamatosan közlik a Budapesti Értéktőzsdére bevezetett részvények és azok kibocsátóinak adatait. A Napi Gazdaságban vagy a Világgazdaságban például három nagy részre oszlik az információs táblázat. Az első részben az adott tőzsdenap részvényforgalmára vonatkozó adatok kapnak helyet. A második rész a múltbeli, fontosabb kereskedési információkat tartalmazza. A harmadik rész a részvényárfolyamok elemzéséhez felhasználható, a gazdasági beszámolókból származó fundamentális adatokat (gazdasági háttéradatokat) tartalmazza, amelyekből a legfontosabb pénzügyi mutatószámok képezhetőek. Az adatokat az Egis példája alapján fogjuk áttekinteni (a Napi Gazdaság 2009. szeptember 25-i száma a 2009. szeptember 24-i árfolyamokat közli, lásd a következő oldalon). Napi kereskedési információk Részvények. Ebben az oszlopban nem részvénytársaságok szerepelnek, hanem részvénysorozatok. (Értékpapír-sorozat az azonos tulajdonosi jogokat megtestesítő értékpapírok együttese.) Egy társaságnak több részvénysorozata is lehet. A tőzsdére egyébként csak részvénysorozatonként, és csak teljes részvénysorozattal lehet részvényeket bevezetni. Záróár: az utolsó kereskedési időpont árfolyama. A BÉT gyakorlatában 16.30-tól egy ötperces záró szakaszt tartanak, amikor folyamatosan kereskedni nem lehet, hanem csak az ajánlatokat gyűjtik. Az összegyűlt eladási és vételi ajánlatokat 16.35 és 16.36 között, véletlenszerű időpontban lezárják, és az addig beérkezett ajánlatok alapján állapítják meg a részvény záró árfolyamát. Az Egis esetében az adott napi záróárfolyam 19.850 Ft volt, ami 100 Ft-tal, azaz 0,5%-kal magasabb, mint az előző nap 19.750 Ft-os záróára. Nyitó-, minimum-, maximum-, átlagárfolyam: az aznapi első, legalacsonyabb árfolyamon, legmagasabb árfolyamon illetve az összes aznap kötött üzlet átlagos (forgalommal súlyozott) árfolyama. Kötések száma: Hány darab adásvételi ügylet született aznap erre a részvényre. Forgalom darabszáma: Hány darab alapcímlet-értékű részvény cserélt gazdát. Árfolyamérték: A forgalom teljes értéke.

ép 34

Az adott nap az Egis esetében a 249.189.265 Ft-os összforgalmat a 12.638 darabszámmal elosztva megkapjuk a 19.717 Ft-os átlagárat. Múltbeli kereskedési információk A következő négy oszlop az elmúlt hosszabb időszak kereskedési adatait mutatja. A legutóbbi forgalom időpontja az A kategóriás részvényeknél jellemzően az előző nap, ahonnan a mai záró ár viszonyításához felhasznált záró árfolyamot vesszük. Elmúlt 12 hónap minimális és maximális árfolyama. Az előző 365 nap üzletkötései közül a legalacsonyabb és legmagasabb árfolyamú – vagyis elképzelhető, hogy csak egyetlen üzletkötés erejéig volt ekkora a részvény ára. Fundamentális információk A részvények névértéke (Ft), alapcímlete. Egy részvény tehát ekkora hányaddal járul hozzá a társaság teljes alaptőkéjéhez. Az Egis esetében a névérték 1000 Ft. Teljes alaptőke (Ft). Az alaptőke a részvénytársaság összes részvényei névértékének összege. A gyakorlatban szinte szinonímájaként használják a jegyzett tőke kifejezést is. Az Egis alaptőkéje 7785,72 M Ft. Ebből adódik, hogy az Egis összes részvényének száma:

Darabszám =

Alaptőla 7785,72 MFt = = 7785,72edb Névérték 1000 Ft

Tőzsdére bevezetett részvények száma (db). Ez az adat az adott (tőzsdére bevezetett) értékpapír-sorozat darabszámát mutatja. Az Egis esetében a tőzsdére bevezetett részvények darabszáma 7.785.715 db – azaz megegyezik az összes darabszámmal. Ez másképp azt jelenti, hogy a tőzsdére bevezetett sorozaton kívül más sorozattal a társaság nem rendelkezik. Utolsó előtti évi (2007. évi) adózott (nettó) eredmény (MFt). Az Egis eredménye 9.192 MFt. Előző évi (2008. évi) adózott eredmény ( MFt). Az Egis eredménye 16.792 MFt. Megjegyzés: A tőzsdei társaságoknak minden negyedévben az adott negyedév lezárultát követő 45. napon kell gyorsjelentésüket publikálniuk. Az év végi adatok esetében ez február 15-ét jelenti, legkésőbb ekkor publikálják a cégek az előző év még nem végleges (nem auditált) eredményét, ettől kezdve szerepel az újság „előző évi eredmény” rovatában. Előző évi (2008. évi) egy részvényre jutó eredmény (Ft/db). A részvényenkénti eredmény az adott év adózás utáni eredményének és a részvények számának hányadosa. Gyakran használják az angol elnevezést, illetve rövidítést is: Earning per Share, EPS. Az Egis adata: 2157 Ft/db. A mutató értékét ellenőrizni is tudjuk:: EPS =

16.792 MFt = 2157 Ft / db 7.785.715db

ép 35

P/E-ráta. A P/E ráta az angol Price per Earning hányados, vagyis az Árfolyam/Eredmény hányados rövidítése. A számlálóban a napi záróárat, a nevezőben az EPS mutató értékét, vagyis az egy részvényre jutó adózott eredmény nagyságát szerepeltetjük. Az Egis adata: P/E =

19.850 Ft = 9,2 A táblázatban szereplő 9 ennek kerekített értéke. 2157 Ft

A befektetés elemzésének szempontból általában a következő éves várható eredményadatot szükséges megbecsülnünk, azaz a P0 / EPS1 képlet alapján számolnunk. Nagyon durva becslésként a tárgyévi eredményadatot hozzá felhasználhatjuk. P/E =

P0 P0 ⇒ EPS1 EPS 0

Utolsó kifizetett (2008. évi eredmény után járó, 2009-ben kifizetett) osztalék (Ft). Az Egis 2009-ben 120 Ft osztalékot fizetett. Milyen részvényt keresnénk befektetésre első megközelítésben? Amelyiknek alacsony, vagy amelyiknek magas a P/E rátája? A logikus válasz az, hogy minél alacsonyabb P/E rátájú cég papírját érdemes megvenni, hiszen ezeknél egy forintnyi évenkénti nyereséget alacsonyabb árért lehet megszerezni. Az Egis P/E rátája például 9, azaz minden egyes forint éves nyereségért 9 forintos mai árat kell kifizetni, míg az EHEP hasonló mutatója 181, egy sor cégnél pedig nem is érdemes kiszámolni, hiszen negatív az egy részvényre jutó eredményük. Ha mindenki az alacsonyabb P/E rátájú részvényeket keresi, akkor nem lehetnének ekkora különbségek a mutatók között. Ha például mindenki fantáziát látna az olcsó (alacsony P/E rátájú) részvényekben, akkor mindenki ezt venné, ezzel az árát felhajtanák. Mivel a részvény nyeresége közben nem változik, P/E rátája az átlagos szintre emelkedhetne. Ha a másik részvényt túl drágának találnák a befektetők, mindenki eladná, ezzel az ára és P/E rátája is csökkenne az átlagos szintig. Miért lehet átlagosan vonzó befektetés mindkét részvény? Magyarázat: Nagyobb a P/E ráta értéke, ha azonos egy részvényre jutó nyereség mellett a befektetők nagyobb összeget hajlandók egy részvényért adni. A pillanatnyi eredmény mellett a befektetők még két tényezőt áraznak: • milyen növekedési lehetőségeket látnak a cégben, mennyire várható a jelenlegi eredmény jelentős növekedése, • mekkora a cég kockázata, mennyire biztonságos vagy kockázatos, nagy ingadozású pénzáramlások várhatóak-e a részvényeitől. A növekedésen belül két tényező szokta az árfolyamon keresztül a P/E ráta értékét befolyásolni: Alapvető összefüggés, hogy magas a P/E ráta, ha a mostani, szerényebb EPS-értékkel szemben hosszútávon látnak növekedési lehetőséget a cégben. • A gyakorlati számításoknál további adalék a növekedés hatásához, hogy a P/E ráta objektív meghatározásához általában a tárgyévi (esetleg az előző évi) eredmény EPS-adata áll rendelkezésre. Ezzel szemben a következő évi EPS várható értéke befolyásolja a részvény árát, növeli a P/E ráta értékét, ha a mostani alacsonyabb EPS-értékhez képest a következő évben magasabb EPS-t várnak, azaz rövidtávon növekedésre számítanak. • A kockázaton belüli lehetséges hatótényezők: • Mennyire kockázatos a társaság üzleti tevékenysége (eszközoldala). • Mennyire kockázatos a társaság finanszírozása (forrás oldala). Egy jobban eladósodott társaság részvényesei nagyobb kockázatnak vannak kitéve, hiszen a megtermelt eredményből fix kamatot kell fizetniük, így a részvényeseknek maradó eredményhányad jobban ingadozik, mint egy tisztán saját tőkéből finanszírozott társaságé. • Mennyire kockázatos a társaság részvényeivel való kereskedés, mennyire likvid a részvény piaca. (Nyilván a adott esetben a Borsodchem likviditása a Synergonéval összevetve nem jelent kockázati tényezőt.) A P/E ráta önmagában nem minősíti a céget. Hiszen, ha a P/E magas, az jelentheti azt, hogy a befektetők

ép 36

• •

jó növekedési lehetőségeket látnak, biztosnak ítélik a nyereséget (alacsony kockázat), ezért alacsonyabb hozammal is beérik. Összességében adott EPS-t relatíve magas részvényárral jutalmaznak. Az alacsony P/E pedig ezeknek éppen az ellenkezőjét jelentheti. • Rosszak a növekedési lehetőségek, • Nagyon kockázatosnak ítélik a nyereséget (magas kockázat), ezért csak magasabb hozammal érik be. Összességében adott EPS-t relatíve alacsony árral értékelnek csak. További fundamentális mutatók Számítsunk ki néhány hasznos mutatót a meglévő adatokból!. Kapitalizáció (tőkeérték): Azt mutatja meg, hogy mennyit ér a vállalat, azaz mennyiért lehetne a vállalatot (összes részvényét) megvásárolni. Kapitalizáció = Részvények darabszáma · Egy részvény árfolyama. Az Egis esetében: Kapitalizáció = 7,786 M db * 19.850 Ft = 154,55 Md Ft. A társaságot tehát 154,55 Md Ft-ért lehetett volna 2009. szeptember 24-én megvenni, ha ezen a 19.850 Ft-os áron mindenki eladta volna részvényét. A kapitalizációt a saját tőke piaci értékének egyik becsléseként is felfoghatjuk. Sajáttőke–arányos nyereség (Sajáttőke-arányos eredmény): (Return on Equity, ROE): Az adózás utáni eredmény és a saját tőke hányadosa. Ezúttal a sajáttőke piaci értékét tudjuk számításához felhasználni. ROE =

Adózás utáni eredmény = 16,792 Md Ft / 154,55 Md Ft = 10,9%. Saját toke

Ezt az értéket végül is az egy részvényre vonatkozó adatokkal is meg tudjuk határozni, feltételezve, hogy a társaságnak csak egyféle részvénysorozata (vagyis csak egyféle részvény árfolyam) létezik. Az Egis egy részvényére számítva: ROE =

Egy részvényre jutó eredmény = Egy részvény árfolyama

2157 Ft / 19.850 Ft = 10,9% A sajáttőke–arányos nyereség az egyik legjobban hasznosítható vállalati jövedelmezőségi mutatószám, egyfajta vállalati hozamot mutat. (A részvényvásárlók minden egyes Egis részvénybe fektetett forintra 10,9 fillér nyereséget kapnak.) Megjegyzés: A sajáttőke-arányos nyereség kiszámításánál is az alapértelmezés az, hogy mostani befektetésünkért cserébe a jövőben (egy év múlva) kapunk jövedelmeket. Elemzési célból tehát a mostani részvényárhoz a következő éves EPS-adatot kellene viszonyítanunk. A gyakorlatban azonban az

EPS 0 EPS1 helyett gyakran a képlettel számolnak. Ex post, az időben visszafele kalkulálva, P0 P0 használhatjuk az EPS0-t a tényleges (már realizált) jövedelmezőség kiszámításához. Ekkor a tárgyévi EPS adatot az egy évvel ezelőtti árfolyamhoz viszonyítjuk, és az elmúlt év ténylegesen realizált ROE értékét kapjuk meg. Osztalék–kifizetési ráta: Megmutatja, hogy az adózás előtti eredmény hány százalékát osztják ki osztalékként (a maradékot, a fel nem osztott eredményt a vállalat újra befekteti, további eszközöket vásárol belőle.) Az osztalék-kifizetési rátát az angol Dividend Payout ratio elnevezés alapján dp–vel jelöljük. A mutató képlete: dp =

DIVt Egy részvényre jutó osztalék = Egy részvényre jutó eredmény EPS t

Az Egis esetében a 2008-as év 120 Ft-os osztalékát 2157 Ft-nyi EPS-ből fizettük. dp = 120 Ft / 2157 Ft = 5,56%. Újrabefektetési ráta (plowback ratio, pb): Azt mutatja meg, hogy a vállalat a megtermelt adózás előtti eredményének hány százalékát nem osztja fel, hány százalékát fekteti vissza a vállalkozásba. Az előzőek alapján logikusan ez 1–dp, hiszen amit nem fizet ki osztalékként az eredményből, azt mind visszaforgatja a vállalatba. Az Egis újrabefektetési rátája: pb = 100% - 5,56% = 94,44% Osztalékhozam (dy): Az osztalékhozam is jövedelmezőségi mutatószám, azt mutatja meg, hogy a befektetett tőkének hány százalékát kapja vissza osztalékként a befektető.

ép 37

Kiszámítása a már ismert képlet alapján: dy =

Egy részvényre jutó osztalék Egy részvény árfolyama

Az Egis esetében: 120 Ft / 19.850 Ft = 0,6%. Megjegyzés: Ismét csak a tárgyévi befektetéshez a következő éves jövedelmet, vagyis a pillanatnyi árfolyamra a következő éves osztalékot érdemes vetíteni. Elemzéshez tehát a dy =

DIV1 formában P0

javasolt a mutatót alkalmazni. A várható piaci hozamokhoz képest az osztalékhozam általában igen szerény mértékű. Ennek az az oka, hogy a vállalat a megtermelt eredmény egy részét visszaforgatja a vállalatba, vagyis a ki nem fizetett eredményrésszel is az osztalékok későbbi növekedésének teremti meg a lehetőségét, és a magasabb árfolyam-növekedési ütem kárpótol az alacsonyabb osztalékhozamért. A növekedési ütem becslése Honnan származik azonban a részvényárfolyamok és az osztalékok növekedési üteme? Ezt a következő fogjuk az Egis adataival végigvezetni. A következő ábra A vállalat fel nem osztott eredménye – az Egis adataival. 9.. ábra A részvény növekedési üteme az Egis adatainak segítségével

dp=5,56%

Osztalék

Adó utáni eredmény ROE =10,9%

1.év

Saját tőke

1-dp=94,44%

Újrabefektetett eredmény

16,79 Md 154,55 Md Elemzésünk a vállalat saját tőkéjéből indul ki. Ezt az összeget a részvényeseknek be kell fektetniük, hogy a Md vállalat jövedelmet tudjon termelni. A saját tőke tényleges értékének a piaci értéket 6,0423 kell tekintenünk, vagyis azt az értéket, amennyiért a vállalat (illetve annak eszközállománya) ténylegesen megvehető lenne. A könyv szerinti tőkeérték helyett tehát a kapitalizációt vagy tőkeértéket kell kiszámítanunk, amit az előbb már úgyis megtettünk. A tőkeértéket reprezentálja az első kör. Megjegyzés: Bizonyára sokakban felmerült, hogy tényleges befektetett összegként a vállalati saját tőke értéke helyett a teljes mérlegfőösszeggel kellene számolnunk. Eszerint a logika szerint mindegy, hogy hitelből vagy saját forrásból valósítjuk meg a beruházásokat: az a lényeg, hogy eszközöket kell vásárolnunk, eszközökbe kell fektetnünk, amelyek később jövedelmet hoznak. A modell csak a meglévő, belső sajáttőkével elérhető növekedést illusztrálja – a külső idegen vagy további saját tőke bevonásától eltekintünk. Az ábrán a második kör azt mutatja meg, hogy a saját tőke befektetésével mekkora éves nyereséget tudott a vállalat előállítani. Az adózás utáni, tiszta nyereségre van szükségünk, amit a vállalat további beruházásokra vagy osztalék fizetésére tud felhasználni. A kettő hányadosa (a sajáttőke–arányos nyereség a kapitalizációra vetítve): a 2008-as év ROE értékét adja. A megtermelt pénzáramlással (eredménnyel) a vállalat alapvetően két dolgot tehet:

ép 38

• osztalékot fizet, • nem osztja fel az eredményt, hanem újra befekteti a vállalatba. Ezt a két lehetőséget szimbolizálja a 7.1. ábrán a két utolsó kör. Újrabefektetésre ezek után az Egisnél 16.792 Md Ft * 94,44% = 15,858 Md Ft maradt. 10. ábra A hosszú távon fenntartható növekedési ütem – az Egis adataival

E

Eredmény Osztalék

E

Újrabefektetés

Bázisév

Tárgyév

Most nézzük meg a vállalat következő éves adatait! Feltételezésünk szerint egyéb okból nem változik meg a vállalat vagyona – nem emelik meg a tőkéjét és nem is szállítják le, valamint eszközei értéke sem változik meg hirtelen. Ekkor a vállalat a következő évet az újrabefektetett tőkével megnövelt vagyonértékkel tudja elkezdeni. A fenti. ábrán a sajáttőke értékének köre melletti kis fül a visszaforgatott eredmény nagyságát jelenti: az előző évi 154,55 Md forintnyi sajáttőkét további 15,858 Md forinttal növeltük. Megjegyzés: Amennyiben • a vállalat negatív eredményt ér el, és/vagy • több osztalékot fizet, mint az elért eredménye azt meglévő sajáttőkéje (számvitelileg az eredménytartaléka) csökkenése árán teheti meg. Ebben az esetben a visszaforgatott eredmény (köre) nem pozitív, hanem negatív nagyság – azaz a tőkemozgás nyila nem előrefele, hanem visszafele mutat: a tőkefelhasználás miatt nem növekszik, hanem helyette csökken a tőke értéke. Ha a vállalat jövedelmezősége (sajáttőke–arányos nyereség) változatlan marad, akkor az adózás utáni eredmény nagysága is arányosan emelkedni fog. Ha változatlan a cég osztalékpolitikája, akkor a nagyobb eredményből valamivel több jut osztalék kifizetésére, és a nagyobb visszaforgatott eredménynek köszönhetően további beruházásokra is. Tehát az osztalékfizetés és az újrabefektetett eredmény nagysága is arányosan növekedni fog. A harmadik év adatsorában a sajáttőke–arányos nyereség még tovább fog növekedni: a második év újrabefektetett eredménye is hozzáadódik a saját tőke addigi értékéhez, és a növekedés hasonlóképpen megint csak végiggyűrűzik a kör-soron. Nem nehéz elképzelni, hogy állandó jövedelmezőség (ROE) és állandó osztalékpolitika (dp) mellett állandó ütemű növekedéssel nőnek a vállalati adatok körei. De mekkora az éves növekedési ütem? Az ábrára lefordítva a kérdést: hány százalék a saját tőke nagy köréhez viszonyítva az újrabefektetett tőke kis köre? Ez az eddigiekből következik: • a saját tőkéhez képest az eredmény ROE–szeresre lett kicsinyítve, • az adózás utáni eredményből az újrabefektetett tőke pedig az újrabefektetési rátának (1–osztalékfizetési ráta, azaz 1–dp) megfelelő szorzással számítható ki.

ép 39

Az újrabefektetett tőke aránya a saját tőkéhez képest – vagyis a fenntartható növekedési ütem – e fenti két arányszám szorzatával határozható meg: Fenntartható növekedési ütem g = ROE · (1 – dp) Az Egis-nél a g = 10,9%· 94,44% = 10,3% Ez a most kiszámolt növekedési ütem változatlan paraméterek esetén igaz • a saját tőke értékére, • az adózás utáni eredmény nagyságára, • a kifizethető osztalék összegére, • az évről évre újra befektethető tőke értékére. Ez a növekedési ütem becslés, ezért sokféle becslési hibát rejthet magában: • Rövid távon ennél magasabb vagy alacsonyabb növekedés is elképzelhető, például rendkívüli (akár kedvező, akár kedvezőtlen) események miatt. Ezért is szokás ezt a hosszú távon (átlagosan) fenntartható növekedési ütemnek nevezni. • Hosszú távon is csak akkor tartható ez a növekedési ütem, ha a vállalat stabil jövedelmezőséggel és osztalékpolitikával rendelkezik – márpedig a vállalati ROE és dp érték hosszú távon nem tekinthető állandónak. Célszerű tehát a növekedési ütem becsléséhez hosszú távú jövedelmezőségi és osztalék-kifizetési adatokat felhasználni, és az így kapott g értéket hosszú távra becsült, átlagos értéknek felfogni. Most már azt is megfogalmazhatjuk, mikor pozitív a növekedési lehetőségek, a PVGO értéke. Ha a részvény várható sajáttőke-arányos eredménye nagyobb, mint a részvénytől elvárt piaci hozam, akkor a növekedés értékteremtő, azaz megéri a növekedés, pozitív a PVGO értéke.

ép 40