8. Elementární funkce I. Exponenciální funkce Definice: Pro komplexní hodnoty z definujeme exponenciální funkci předpisem ∞ X zk (♠) ez = . k! k=0 Vlastnosti exponenciální funkce: a) řada (♠) konverguje absolutně v C ; b) pro z = x + jy je (♠♠)
ez = ex (cos y + j sin y);
c) je ez 6= 0; d) je e−z = (ez )−1 = e−x (cos y − j sin y); e) je ez1 +z2 = ez1 .ez2 ; f) je |ez | = ex = eRe z ; g) funkce je periodická s periodou 2πj, tedy ez+2kπj = ez pro celé k; h) funkce je holomorfní v C a (ez )0 = ez , z ∈ C . II. Goniometrické funkce 1. Funkce sinus a kosinus jsou pro komplexní hodnoty z ∈ C definovány vztahy (♣)
sin z =
1 jz 1 jz e − e−jz , cos z = e + e−jz . 2j 2
Vlastnosti funkcí sinus a kosinus: a) je sin z =
∞ X (−1)k z 2k+1 k=0
(2k + 1)!
, cos z =
∞ X (−1)k z 2k k=0
(2k)!
b) funkce jsou holomorfní v C a (sin z)0 = cos z, (cos z)0 = − sin z; 65
, z ∈ C;
c) funkce jsou periodické s periodou 2π, tedy sin (z + 2kπ) = sin z a cos (z + 2kπ) = cos z, k ∈ Z ; d) je sin (x + jy) = sin x cosh y + j cos x sinh y, cos (x + jy) = cos x cosh y − j sin x sinh y; e) pro nulové body platí: sin z = 0 ⇔ z = kπ, cos z = 0 ⇔ z =
π + kπ, k ∈ Z ; 2
f) je sin2 z + cos2 z = 1. 2. Funkce tangens a kotangens jsou pro komplexní hodnoty definovány vztahy tg z =
sin z ejz − e−jz e2jz − 1 π = = , z 6= + kπ; jz −jz 2jz cos z j(e + e ) j(e + 1) 2
cotg z =
cos z j(ejz + e−jz ) j(e2jz + 1) = jz = , z 6= kπ; sin z e − e−jz e2jz − 1
Vlastnosti funkcí tangens a kotangens: a) funkce jsou holomorfní na celém definičním oboru a (tg z)0 =
1 1 , (cotg z)0 = − 2 ; 2 cos z sin z
b) funkce jsou periodické s periodou π, tedy tg (z + kπ) = tg z a cotg (z + kπ) = cotg z, k ∈ Z ; c) tg z.cotg z = 1. III. Hyperbolické funkce 3. Funkce hyperbolický sinus a kosinus jsou pro komplexní hodnoty z ∈ C definovány vztahy (♥)
sinh z =
1 z 1 z e − e−z , cosh z = e + e−z . 2 2
66
Vlastnosti funkcí hyperbolický sinus a kosinus: a) je sinh z =
∞ X k=0
∞ X z 2k z 2k+1 , cosh z = , z ∈ C; (2k + 1)! (2k)! k=0
b) funkce jsou holomorfní v C a (sinh z)0 = cosh z, (cosh z)0 = sinh z; c) funkce jsou periodické s periodou 2πj, tedy sinh (z + 2kπj) = sinh z a cosh (z + 2kπj) = cosh z; d) je sinh (x + jy) = sinh x cos y + jcosh x sin y, cosh (x + jy) = cosh x cos y + jsinh x sin y; e) pro nulové body platí: sinh z = 0 ⇔ z = kπj, cos z = 0 ⇔ z =
πj + kπj, k ∈ Z ; 2
f) je cosh 2 z − sinh 2 z = 1. g) sin z = −jsinh (jz), sin jz = jsinh z;
cos z = cosh (jz), cos (jz) = cosh z.
4. Funkce hyperbolický tangens a kotangens jsou pro komplexní hodnoty definovány vztahy tgh z =
sinh z ez − e−z e2z − 1 πj = z = , z 6= + kπj; −z 2z cosh z e +e e +1 2
cotgh z =
cosh z ez + e−z e2z + 1 = z = , z 6= kπj; sinh z e − e−z e2z − 1
Vlastnosti funkcí hyperbolický tangens a kotangens: 67
a) funkce jsou holomorfní na celém definičním oboru a (tgh z)0 =
1 1 0 ; 2 , (cotg z) = − cosh z sinh 2 z
b) funkce jsou periodické s periodou πj, tedy tgh (z + kπj) = tgh z a cotgh (z + kπj) = cotgh z; c) tgh z.cotgh z = 1. 9. Inverzní funkce Definice: Je-li f : G → C prostá funkce, pak funkci f −1 , která je definována předpisem w = f −1 (z) ⇔ z = f (w), z ∈ Hf, w ∈ Df, nazýváme inverzní funkcí k funkci f. Věta. Pro funkci a funkci inverzní platí: Df = Hf −1 , Hf = Df −1 , (f −1 )−1 = f, f (f −1 (z)) = z, z ∈ Hf, f −1 (f (z)) = z, z ∈ Df. Mnohoznačné funkce V případě funkcí komplexní proměnné uvažujeme zobecnění inverzní funkce i pro případy, kdy funkce f není prostá. Pak má rovnice w = f (z) jako řešení vzor f −1 (w) = {z; w = f (z), z ∈ Df }, který je množinou několika hodnot. Takové přiřazení považujeme také za funkci, kterou nazýváme mnohoznačnou funkcí. Definice: Je-li f : G → C komplexní funkcí, pak inverzní funkcí k funkci f nazýváme funkci f −1 , která je definovaná předpisem f −1 (z) = {w; z = f (w), w ∈ Df, z ∈ Hf }. V případě, že f −1 (z) obsahuje více hodnot, mluvíme o mnohoznačné funkci. Pokud provedeme v množině f −1 (z) výběr jediné hodnoty, dostaneme jednoznačnou funkci, kterou nazýváme jednoznačnou větví mnohoznačné funkce f −1 . 68
Poznámka: Mnohoznačnou funkci a její jednoznačné větve označujeme stejným symbolem. Rozlišujeme je tak, že u mnohoznačné funkce je první písmeno velké a u jednoznačné větve malé. Např. Arg, arg, argα . IV. Odmocnina Je-li z = |z|(cos ϕ+j sin ϕ) komplexní číslo zapsané v goniometrickém tvaru, pak rovnice z = wn ⇔ w =
q n
|z| cos
ϕ + 2kπ n
+ j sin
ϕ + 2kπ n
má n různých řešní pro 0 ≤ k ≤ n − 1. Tato řešení jsou hodnotami n . Nazýváme ji n-tou n−značné funkce, která je inverzní k funkci z = w√ √ odmocninou a značíme ji w = n z. Pro z = 0 je n 0 = 0 a odmocnina má jedinou hodnotu. Věta. O derivaci inverzní funkce. Je-li f : G → C prostá a holomorfní funkce v oblasti G, kde f 0 (z) 6= 0, pak je inverzní funkce v oblasti f −1 (G) holomorfní a (f −1 (w))0 =
1 f 0 (z)
, w = f (z), z ∈ G.
Příklad. Pro z 6= 0 je (z n )0 = nz n−1 6= 0. Je √ w = zn ⇔ z = n w a tedy
√ ( n w)0 =
1 1 −1 1 1 wn . = n−1 = n−1 n nz nw n
V. Logaritmus je definován jako inverzní funkce k exponenciální funkci. Protože je vždy ez 6= 0, pak definujeme logaritmickou funkci předpisem () w = Ln z ⇔ z = ew , z 6= 0. Vzorec pro hodnotu logaritmu Pro z 6= 0 je logaritmus mnohoznačnou funkcí a Ln z = ln |z| + jArg z = ln |z| + j(arg z + 2kπ), k ∈ Z . 69
Funkci ln z = ln |z| + jarg z nazýváme hlavní hodnotou logaritmu. Jednoznačné větve logaritmu ln α z = ln |z| + jarg α z jsou holomorfní funkce v oblasti {z; z 6= 0, α − π < arg z < α + π} a je: (ln α z)0 =
1 1 1 = w = . (ew )0 e z
VI. Cyklometrické funkce dostaneme jako inverzní funkce ke goniometrickým funkcím. Odvodíme si jejich vyjádření jako množinu řešení odpovídajících rovnic, ale nebudeme hledat, kde mají jednoznačné větve. Vzorce pro derivace jsou shodné s jejich vyjádřením v případě reálné proměnné. 5. Funkce arkussinus je inverzní k funkci sinus a platí: w = Arcsin z ⇔ z = sin w. Dostaneme
w = Arcsin z = −jLn jz ±
p
1 − z2 , z ∈ C .
6. Funkce arkuskosinus je inverzní k funkci kosinus a platí: w = Arccos z ⇔ z = cos w. Dostaneme
w = Arccos z = −jLn z ±
p
z2 − 1 , z ∈ C .
7. Funkce arkustangens je inverzní k funkci tangens a platí: w = Arctg z ⇔ z = tg w.
70
Dostaneme
j j+z w = Arctg z = Ln , z 6= ±j. 2 j−z
8. Funkce arkuskotangens je inverzní k funkci kotangens a platí: w = Arccotg z ⇔ z = cotg w. Dostaneme
j z−j w = Arccotg z = Ln , z 6= ±j. 2 z+j
VII. Hyperbolometrické funkce dostaneme jako inverzní funkce k hyperbolickým funkcím. Odvodíme si jejich vyjádření jako množinu řešení odpovídajících rovnic, ale nebudeme hledat, kde mají jednoznačné větve. Vzorce pro derivace jsou shodné s jejich vyjádřením v případě reálné proměnné. 9. Funkce argument hyperbolického sinu je inverzní k funkci hyperbolický sinus a platí: w = Argsinh z ⇔ z = sinh w. Dostaneme
w = Argsinh z = Ln z ±
p
1 + z2 , z ∈ C .
10. Funkce argument hyperbolického kosinu je inverzní k funkci hyperbolický kosinus a platí: w = Argcosh z ⇔ z = cosh w. Dostaneme
w = Argcosh z = Ln z ±
p
z2 − 1 , z ∈ C .
11. Funkce argument hyperbolické tangenty je inverzní k funkci hyperbolický tangens a platí: w = Argtgh z ⇔ z = tgh w. 71
Dostaneme
1 1+z w = Argtgh z = Ln , z 6= ±1. 2 1−z
12. Funkce argument hyperbolické kotangenty je inverzní k funkci hyperbolický kotangens a platí: w = Argcotgh z ⇔ z = cotgh w. Dostaneme
z+1 1 , z 6= ±1. w = Argcotgh z = Ln 2 z−1
72
