Za´klady matematickej sˇtatistiky
Matematicka´ sˇtatistika – p. 1/75
´ vod do teo´rie pravdepodobnosti 1. U
Matematicka´ sˇtatistika – p. 2/75
Na´hodne´ udalosti Uvazˇujme pokus, vy´sledok ktore´ho za´visı´ od na´hode Elementa´rny jav ! je jednotlivy´ vy´sledok pokusu
Priestor elementa´rnych javov je mnozˇina vsˇetky´ch elementa´rnych udalostı´ Na´hodne´ javy A; B; C; : : : su´ l’ubovol’ne´ podmnozˇiny
Isty´ jav je jav cˇo nastane vzˇdy Nemozˇny´ jav je jav cˇo nenastane nikdy Na´hodne´ javy su´ mnozˇiny )
T S
; ; n; : : :
Matematicka´ sˇtatistika – p. 3/75
Pravdepodobnost’ Pravdepodobnost’ jeho na´hodnosti.
PfAg javu A je cˇ´ıselne´ vyjadrenie miery
Existuju´ roˆzne spoˆsoby definovania pravdepodobnosti (geometricky, sˇtatisticky, axiomaticky, klasicky, . . . ) Klasicka´ definı´cia pravdepodobnosti Elementa´rne udalosti !i su´ nedelitel’ne´ a vza´jomne sa vylucˇuju´ce Elementa´rne udalosti !i su´ rovnako mozˇne´
Pre = f!i : i = 1; 2; : : : ng platı´ !i \ !j = ; pre kazˇdu´ dvojicu roˆznych indexov i a j a f!i g = n1
P
Matematicka´ sˇtatistika – p. 4/75
Vlastnosti pravdepodobnosti Pravdepodobnost’je funkcia (na´hodne´ho javu) s nasleduju´cimi vlastnost’ami (neza´visly´mi od definı´cie): 1. 2. 3.
0 PfAg 1 Pf g = 1 PfA1 [ A2 [ [ Ang = PfA1g + PfA2g + + PfAng, ak 8i 6= j : Ai \ Aj = ;
ˇ alsˇie vlastnosti sa z nich daju´ odvodit’, napr. D 1. 2. 3.
PfAg = 1 PfAg; Pf;g = 0 PfA n Bg = PfAg PfA \ Bg PfA [ Bg = PfAg + PfBg PfA \ Bg Matematicka´ sˇtatistika – p. 5/75
Neza´vislost’a podmienena´ pravdepodobnost’ Neza´vislost’na´hodny´ch javov je jeden z najdoˆlezˇitejsˇ´ıch pojmov v pravdepodobnosti a sˇtatistike a znamena´, zˇe sa dva javy navza´jom neovplyvnˇuju´ Dva na´hodne´ javy sa nazy´vaju´ neza´visle´ ak
PfA \ Bg = PfAg:PfBg
Ovplyvnenie jedne´ho na´hodne´ho javu iny´m urcˇuje podmienena´ pravdepodobnost’ Pravdepodobnost’javu A za podmienky, zˇe jav B urcˇite
P f A \ Bg nastane sa oznacˇuje PfA=B g a platı´ PfA=B g = PfBg Matematicka´ sˇtatistika – p. 6/75
Na´hodna´ velicˇina Matematicky je vy´hodne´ na´hodne´ javy nahradit’(na´hodny´mi) cˇ´ıselny´mi hodnotami Na´hodna´ velicˇina (; ; : : : ) je zobrazenie (funkcia), ktora´ kazˇde´mu elementa´rnemu javu priradı´ cˇ´ıselnu´ hodnotu:
(!i ) = xi
Matematicka´ sˇtatistika – p. 7/75
Distribucˇna´ funkcia na´hodnej velicˇiny Pre presne´ urcˇenie na´hodnej velicˇiny potrebujeme okrem hodnoˆt xi aj pravdepodobnosti, s ktory´mi su´ tieto hodnoty nadobu´dane´ Distribucˇna´ funkcia F (x) F (x) na´hodnej velicˇiny je funkcia F (x) = f < xg, x 2 R
P
Vlastnosti distribucˇnej funkcie: 1. 2. 3.
lim F ( x ) = 0 ; lim F ( x ) = 1 x! 1 x!+1 F (x) je neklesaju´ca funkcia F (x) je v kazˇdom bode x zl’ava spojita´ funkcia, t.j. lim F (z) = F (x) z !x Matematicka´ sˇtatistika – p. 8/75
Distribucˇna´ funkcia na´hodnej velicˇiny ˇ alsˇie potrebne´ vzt’ahy: D 1.
Pf xg = zlim F ( z ) !x Pf = xg = zlim F ( z ) F ( x ) !x Pfa < bg = F (b) F (a) Pfa < < bg = F (b) zlim F ( z ) !a Pfa < bg = zlim F (z ) zlim F ( z ) !a !b Pfa bg = zlim F (z ) F (a) !b +
2.
+
3. 4.
+
5.
+
6.
+
+
Matematicka´ sˇtatistika – p. 9/75
Typy na´hodny´ch velicˇ´ın Podl’a nadobu´dany´ch hodnoˆt sa na´hodne´ velicˇiny najcˇastejsˇie delia na: diskre´tne na´hodne´ velicˇiny nadobu´daju´ce konecˇny´ alebo spocˇ´ıtatel’ny´ pocˇet hodnoˆt zadany´ch tabul’kou alebo vzorcom spojite´ na´hodne´ velicˇiny nadobu´daju´ce hodnoty z nejake´ho intervalu zada´vany´ch obycˇajne hustotou rozdelenia, neza´pornou funkciou p (x)
Matematicka´ sˇtatistika – p. 10/75
Hustota rozdelenia spojitej na´hodnej velicˇiny Na´hodna´ velicˇina sa nazy´va spojitou, ak existuje neza´porna´ funkcia p (x) p(x) taka´, zˇe F (x) =
Rx
1
p(t)dt
Uzˇitocˇne´ vzt’ahy: 1.
p(x) = F 0 (x)
2.
p(t)dt = 1
3.
+ R1
1
Pfa x < bg = Pfa x bg = Pfa < x bg = Pfa < x < bg = F (b) F (a)
Matematicka´ sˇtatistika – p. 11/75
Cˇ´ıselne´ charakteristiky na´hodny´ch velicˇ´ın Popisuju´ niektore´ za´kladne´ vlastnosti na´hodny´ch velicˇ´ın a su´ l’ahko dostupne´ Najpouzˇ´ıvanejsˇie charakteristiky su´:
E
Stredna´ hodnota na´hodnej velicˇiny je cˇ´ıslo, z okolia ktore´ho nadobu´da najpravdepodobnejsˇie svoje hodnoty
D
Rozptyl na´hodnej velicˇiny je cˇ´ıslo, ktore´ urcˇuje mieru rozpty´lenosti hodnoˆt velicˇiny okolo , odmocnina z rozptylu je smerodajna´ odchy´lka
E
Koeficient korela´cie %; % urcˇuje vza´jomny´ linea´rny vzt’ah dvoch na´hodny´ch velicˇ´ın a
Matematicka´ sˇtatistika – p. 12/75
Definı´cie strednej hodnoty a rozptylu diskre´tna n. v.
E D
pi = Pf = xi g + 1 P
spojita´ n. v.
p(x) je hustota rozdelenia +R1
E = i=1 xipi E = xp(x)dx 1 D = E( E)2 + 1 + 1 R P D = i=1 (xi E)2pi D = (x E)2p(x)dx 1
Ak g (x) je funkcia a je na´hodna´ velicˇina, tak na´hodna´ velicˇina a platı´ + 1 P
E = i=1 g(xi)pi, resp. E =
+ R1
1
= g( ) je tiezˇ
g(x)p(x)dx Matematicka´ sˇtatistika – p. 13/75
Za´kladne´ vlastnosti strednej hodnoty a rozptylu Pre l’ubovol’nu´ na´hodnu´ velicˇinu s rea´lne cˇ´ısla a, b platı´
E = m, D = 2 a
E(a + b) = a + bm; D(a + b) = b22 Sˇtandardiza´cia n. v.: = m E = 0, D = 1
Pre l’ubovol’ne´ na´hodne´ velicˇiny i , i = 1; 2; : : : n platı´
E(1 + 2 + + n) = E1 + E2 + + En
Ak su´ i neza´visle´, platı´
D(1 + 2 + + n) = D1 + D2 + + Dn E(12 n) = E1E2 En Ak naviac Ei = m, Di = 2 a = + +n +n , tak E = m; D = n 1
2
2
Matematicka´ sˇtatistika – p. 14/75
Definı´cia a za´kladne´ vlastnosti korelacˇne´ho koeficientu Koeficient korela´cie % dvoch n. v. a sa definuje vzt’ahom
E (( E )( E)) pD D %= Za´kladne´ vlastnosti:
%; = 1, j%; j 1 2. Ak = a + b , tak %; = %; . T.j. linea´rna transforma´cia 1.
nemenı´ korelacˇny´ koeficient
Matematicka´ sˇtatistika – p. 15/75
Za´kladne´ rozdelenia Diskre´tne rozdelenia Alternatı´vne rozdelenie
p 2 (0; 1) Pf = 1g = p; Pf = 0g = 1 p Pouzˇitie Ak ma´ iba dva vy´sledky: jav A bud’ nastane (s pravdepodobnost’ou p) alebo nenastane (s pravdepodobnost’ou 1 p) Parametre a vzorec
Charakteristiky
E = p;
D = p(1 p)
Matematicka´ sˇtatistika – p. 16/75
Za´kladne´ rozdelenia Diskre´tne rozdelenia Binomicke´ rozdelenie Parametre a vzorec p2 (0; 1);
Pf = kg =
n k p (1 k
n1 p)n k ; k = 0; 1; : : : n
E = np;
D = np(1 p)
Pouzˇitie Pre n neza´visly´ch rovnaky´ch pokusov, v ktory´ch jav A nastane s pravdepodobnost’ou p, n. v. urcˇuje pocˇet vy´skytov javu A v ty´chto n pokusoch Charakteristiky
Matematicka´ sˇtatistika – p. 17/75
Za´kladne´ rozdelenia Diskre´tne rozdelenia Binomicke´ rozdelenie pravdepodobnosti pi 0.4
0.15
n = 50; p = 0:65
n = 15; p = 0:25 0.12
0.3
0.09 0.2 0.06 0.1
0.03
0
0 0
3
6
9
12
15
0
10
20
30
40
50
Matematicka´ sˇtatistika – p. 18/75
Za´kladne´ rozdelenia Diskre´tne rozdelenia Poissonovo rozdelenie
> 0; t>0 ( t)k t Pft = kg = k! e ; k = 0; 1; : : : Pouzˇitie Pre sledovanie pocˇtu vy´skytov javu A za cˇas t (pocˇet Parametre a vzorec
poru´ch, obslu´h, . . . ) Charakteristiky
E = t;
D = t
Rela´cie Poissonovo rozdelenie moˆzˇe nahradit’binomicke´ ak n 1, p 1 a np
Matematicka´ sˇtatistika – p. 19/75
Za´kladne´ rozdelenia Diskre´tne rozdelenia Poissonovo rozdelenie pravdepodobnosti pi 0.2
0.2
t = 10
t = 5
0.15
0.15
0.1
0.1
0.05
0.05
0
0 0
5
10
15
20
25
0
5
10
15
20
25
Matematicka´ sˇtatistika – p. 20/75
Za´kladne´ rozdelenia Spojite´ rozdelenia Rovnomerne´ rozdelenie Parametre a hustota rozdelenia Interval I 8
0; ak x 62 I p(x) = 1 : b a ; ak x 2 I <
= ha; bi
Pouzˇitie Genera´tor na´hodny´ch cˇ´ısel Charakteristiky
E =
a+b ; 2
D = 8
(b
a)2
12
0; ak x < a F (x) = xb aa ; ak x 2 I > > : 1; ak x > b > > <
Matematicka´ sˇtatistika – p. 21/75
Za´kladne´ rozdelenia Spojite´ rozdelenia Exponencia´lne rozdelenie Parametre a hustota rozdelenia Æ>0 8 <0; ak x 0
p(x) =
:Æ e Æx ; ak x
>0
Pouzˇitie Vyjadruje dobu medzi dvoma vy´skytmi javu A (dobu zˇivotnosti, dobu obsluhy, . . . ) Charakteristiky
E = 1Æ ;
1 D = Æ 8
2
0 ; ak x < 0 F (x) = :1 e Æx ; ak x > 0 <
Matematicka´ sˇtatistika – p. 22/75
Za´kladne´ rozdelenia Spojite´ rozdelenia Exponencia´lne rozdelenie hustota rozdelenia 2
1.5
1
Æ=2 0.5
Æ=1
Æ = 0:5
0 0
2
4
6
8
Matematicka´ sˇtatistika – p. 23/75
Za´kladne´ rozdelenia Spojite´ rozdelenia Norma´lne rozdelenie Parametre a hustota rozdelenia
p(x) =
m 2 R ; 2 ( > 0)
p21 e
x m)2 2 2
(
Pouzˇitie Vyjadruje chybu pri meranı´, vy´sˇku l’udı´,. . . Charakteristiky
F (x) =
E = m; D = 2, (za ´ pis: N (m; 2 )) x m Rx
1
p21 e
t m)2 2 2 dt
(
=
R
1
2 1 p2 e 2
Sˇtandardne´ norma´lne rozdelenie (tabelovane´)
N (0; 1);
E = 0; D = 1;
d
= ( x m )
F (x) = (x) Matematicka´ sˇtatistika – p. 24/75
Za´kladne´ rozdelenia Spojite´ rozdelenia Norma´lne rozdelenie hustota rozdelenia 0.8
=1
m=0
0.6
m=
3
= 0:5
m=0 m=2
0.4
=1
0.2
=2 0 -4
-2
0
2
4
-4
-2
0
2
4
Matematicka´ sˇtatistika – p. 25/75
Tabul’ka hodnoˆt (x) — distribucˇnej funkcie N (0; 1) 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 2.0 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9 3.0 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6 3.7 3.8 3.9
0 0.5000 0.5398 0.5793 0.6179 0.6554 0.6915 0.7257 0.7580 0.7881 0.8159 0.8413 0.8643 0.8849 0.9032 0.9192 0.9332 0.9452 0.9554 0.9641 0.9713 0.9772 0.9821 0.9861 0.9893 0.9918 0.9938 0.9953 0.9965 0.9974 0.9981 0.9987 0.9990 0.9993 0.9995 0.9997 0.9998 0.9998 0.9999 0.9999 1.0000
1 0.5040 0.5438 0.5832 0.6217 0.6591 0.6950 0.7291 0.7611 0.7910 0.8186 0.8438 0.8665 0.8869 0.9049 0.9207 0.9345 0.9463 0.9564 0.9649 0.9719 0.9778 0.9826 0.9864 0.9896 0.9920 0.9940 0.9955 0.9966 0.9975 0.9982 0.9987 0.9991 0.9993 0.9995 0.9997 0.9998 0.9998 0.9999 0.9999 1.0000
2 0.5080 0.5478 0.5871 0.6255 0.6628 0.6985 0.7324 0.7642 0.7939 0.8212 0.8461 0.8686 0.8888 0.9066 0.9222 0.9357 0.9474 0.9573 0.9656 0.9726 0.9783 0.9830 0.9868 0.9898 0.9922 0.9941 0.9956 0.9967 0.9976 0.9982 0.9987 0.9991 0.9994 0.9995 0.9997 0.9998 0.9999 0.9999 0.9999 1.0000
3 0.5120 0.5517 0.5910 0.6293 0.6664 0.7019 0.7357 0.7673 0.7967 0.8238 0.8485 0.8708 0.8907 0.9082 0.9236 0.9370 0.9484 0.9582 0.9664 0.9732 0.9788 0.9834 0.9871 0.9901 0.9925 0.9943 0.9957 0.9968 0.9977 0.9983 0.9988 0.9991 0.9994 0.9996 0.9997 0.9998 0.9999 0.9999 0.9999 1.0000
4 0.5160 0.5557 0.5948 0.6331 0.6700 0.7054 0.7389 0.7704 0.7995 0.8264 0.8508 0.8729 0.8925 0.9099 0.9251 0.9382 0.9495 0.9591 0.9671 0.9738 0.9793 0.9838 0.9875 0.9904 0.9927 0.9945 0.9959 0.9969 0.9977 0.9984 0.9988 0.9992 0.9994 0.9996 0.9997 0.9998 0.9999 0.9999 0.9999 1.0000
5 0.5199 0.5596 0.5987 0.6368 0.6736 0.7088 0.7422 0.7734 0.8023 0.8289 0.8531 0.8749 0.8944 0.9115 0.9265 0.9394 0.9505 0.9599 0.9678 0.9744 0.9798 0.9842 0.9878 0.9906 0.9929 0.9946 0.9960 0.9970 0.9978 0.9984 0.9989 0.9992 0.9994 0.9996 0.9997 0.9998 0.9999 0.9999 0.9999 1.0000
6 0.5239 0.5636 0.6026 0.6406 0.6772 0.7123 0.7454 0.7764 0.8051 0.8315 0.8554 0.8770 0.8962 0.9131 0.9279 0.9406 0.9515 0.9608 0.9686 0.9750 0.9803 0.9846 0.9881 0.9909 0.9931 0.9948 0.9961 0.9971 0.9979 0.9985 0.9989 0.9992 0.9994 0.9996 0.9997 0.9998 0.9999 0.9999 0.9999 1.0000
7 0.5279 0.5675 0.6064 0.6443 0.6808 0.7157 0.7486 0.7794 0.8078 0.8340 0.8577 0.8790 0.8980 0.9147 0.9292 0.9418 0.9525 0.9616 0.9693 0.9756 0.9808 0.9850 0.9884 0.9911 0.9932 0.9949 0.9962 0.9972 0.9979 0.9985 0.9989 0.9992 0.9995 0.9996 0.9997 0.9998 0.9999 0.9999 0.9999 1.0000
N (0 1) ;
8 0.5319 0.5714 0.6103 0.6480 0.6844 0.7190 0.7517 0.7823 0.8106 0.8365 0.8599 0.8810 0.8997 0.9162 0.9306 0.9429 0.9535 0.9625 0.9699 0.9761 0.9812 0.9854 0.9887 0.9913 0.9934 0.9951 0.9963 0.9973 0.9980 0.9986 0.9990 0.9993 0.9995 0.9996 0.9997 0.9998 0.9999 0.9999 0.9999 1.0000
9 0.5359 0.5753 0.6141 0.6517 0.6879 0.7224 0.7549 0.7852 0.8133 0.8389 0.8621 0.8830 0.9015 0.9177 0.9319 0.9441 0.9545 0.9633 0.9706 0.9767 0.9817 0.9857 0.9890 0.9916 0.9936 0.9952 0.9964 0.9974 0.9981 0.9986 0.9990 0.9993 0.9995 0.9997 0.9998 0.9998 0.9999 0.9999 0.9999 1.0000
Matematicka´ sˇtatistika – p. 26/75
´ vod do matematickej sˇtatistiky 2. U
Matematicka´ sˇtatistika – p. 27/75
´ vod U V matematickej sˇtatistike sku´mame vlastnosti hromadny´ch na´hodny´ch javov na za´klade empiricky´ch u´dajov Za´kladny´m na´strojom na zist’ovanie informa´ciı´ o na´hodny´ch javoch je teo´ria pravdepodobnosti Ota´zky kladene´ sˇtatistikou: 1. Aka´ na´hodna´ velicˇina je pouzˇita´ v da´tach a ake´ su´ jej parametre? (Odhadnime jej typ rozdelenia aj jeho parametre, ktore´ nepozna´me!) 2. Ake´ u´daje ma´me k dispozı´cii? (Urobme meranie, cˇi experiment a zaregistrujme hodnoty!) 3. Ako analyzujeme a interpretujeme namerane´ u´daje? (Pouzˇime teo´riu 1. na prax 2.!) Matematicka´ sˇtatistika – p. 28/75
Na´hodny´ vy´ber a sˇtatisticky´ su´bor Na´hodny´ vy´ber (so za´kladne´ho su´boru) rozsahom n je postupnost’neza´visly´ch na´hodny´ch velicˇ´ın 1 ; 2 ; : : : n s rovnaky´m rozdelenı´m (s distribucˇnou funkciou F (x)) Sˇtatisticky´ su´bor cha´peme bud’ ako su´bor objektov alebo ako su´bor da´t, teda realiza´ciu na´hodne´ho vy´beru Za´kladny´ su´bor objektov alebo da´t je potom mnozˇina vsˇetky´ch mozˇny´ch objektov alebo hodnoˆt, ktore´ da´ta nadobu´daju´
Matematicka´ sˇtatistika – p. 29/75
Za´pis merania a jeho analy´za Sˇtatisticke´ tabul’ky Prvotna´ tabul’ka Zobrazenie vsˇetky´ch meranı´ a namerany´ch hodnoˆt jednotlivy´ch premenny´ch y1 ; y2 ; : : : yn
y1
y2
:::
yk
1 y11 y12 : : : y1k 2 y21 y22 : : : y2k .. .
.. .
.. .
..
.
.. .
n yn1 yn2 : : : ynk
Matematicka´ sˇtatistika – p. 30/75
Za´pis merania a jeho analy´za Sˇtatisticke´ tabul’ky Frekvencˇna´ tabul’ka Rozdelenie namerany´ch hodnoˆt jednej premennej do klasifikacˇny´ch tried C1 ; C2 ; : : : Cm
C1 C2 : : : Cm Pocˇetnosti n1 n2 : : : nm Triedy
Ciel’ Zı´skat’prehl’adnu´ tabul’ku o rozdelenı´ namerany´ch hodnoˆt a pripravit’da´ta pre niektore´ sˇpecia´lne sˇtatisticke´ meto´dy
Matematicka´ sˇtatistika – p. 31/75
Za´pis merania a jeho analy´za Popisna´ sˇtatistika Prvotna´ cˇ´ıselna´ analy´za Vy´berove´ charakteristiky (sˇtatistiky) T cha´peme bud’ ako funkcie na´hodny´ch velicˇ´ın 1 ; 2 ; : : : n
T
= T (1; 2 ; : : : n)
T
= T (x1; x2; : : : xn)
alebo ako funkcie ich hodnoˆt x1 ; x2 ; : : : xn zı´skany´ch realiza´ciou na´hodne´ho vy´beru V prvom prı´pade T cha´peme ako na´hodnu´ velicˇinu (teoreticka´ interpreta´cia), v druhom prı´pade ako cˇ´ıslo (prakticka´ interpreta´cia)
Matematicka´ sˇtatistika – p. 32/75
Za´pis merania a jeho analy´za Popisna´ sˇtatistika Prvotna´ cˇ´ıselna´ analy´za Za´kladne´ sˇtatistiky Sˇtatistika
Prvotna´ tabul’ka
1 n X=
Vy´berovy´ priemer X Vy´berovy´ rozptyl S 2 Vy´berovy´ koeficient korela´cie r
P xi ni n 1 P (xi
Frekvencˇna´ tabul’ka
=1
Sn2
=
n
=1
i=1
X )2
n 1 i=1 )(yi Y ) (xi X
P r= s i Pn (xi 1
X )2
P (yi n
i=1
P nixi
1 m X=
Y )2
n i=1 m 1 Sn2 = ni (xi X )2 n i=1 m ni (xi X )(yi Y ) i=1 r= m m 2 ni (xi X ) ni (yi Y )2 i=1 i=1
sP
P
P
P
Matematicka´ sˇtatistika – p. 33/75
Za´pis merania a jeho analy´za Popisna´ sˇtatistika Prvotna´ cˇ´ıselna´ analy´za Za´kladne´ sˇtatistiky Pre analy´zu rozdelenia, rozpty´lenosti hodnoˆt: Vy´berovy´ dolny´ kvartil je hodnota, vl’avo od ktorej sa nacha´dza 25% vsˇetky´ch u´dajov Vy´berovy´ media´n je hodnota, vl’avo (ale aj vpravo) od ktorej sa nacha´dza 50% vsˇetky´ch u´dajov Vy´berovy´ horny´ kvartil je hodnota, vl’avo od ktorej sa nacha´dza 75% vsˇetky´ch u´dajov
Matematicka´ sˇtatistika – p. 34/75
Za´pis merania a jeho analy´za Popisna´ sˇtatistika Prvotna´ graficka´ analy´za Histogram je graf zodpovedaju´ci frekvencˇnej tabul’ke, ktory´ obdl´zˇnikmi za´zornˇuje pocˇetnosti v jednotlivy´ch triedach n4
n5 n3 n6 n2 n1 n7 C1 C2 C3 C4 C5 C6 C7 Matematicka´ sˇtatistika – p. 35/75
Za´pis merania a jeho analy´za Popisna´ sˇtatistika Prvotna´ graficka´ analy´za Graf empirickej distribucˇnej funkcie vzt’ahom F^ (x) = n1 Nxi <x
F^ (x), ktora´ je definovana´
1
0.8 0.6 0.4 0.2 0 0
2
4
6
8 Matematicka´ sˇtatistika – p. 36/75
Za´kladne´ sˇtatisticke´ rozdelenia Norma´lne rozdelenie — skutocˇny´ za´klad Nech 1 ; 2 ; : : : n ; n+1 su´ neza´visle´ na´hodne´ velicˇiny s rozdelenı´m i N (0; 1). Hovorı´me, zˇe
2 rozdelenie s n stupnˇami vol’nosti ma´ na´hodna´ velicˇina (pı´sˇeme 2 (n)), ak = 12 + 22 + + n2 Studentovo t-rozdelenie s n stupnˇami vol’nosti ma´ na´hodna´ n+1 velicˇina (pı´sˇeme t(n)), ak = q 2 (n) n
Fisherovo F -rozdelenie s n a k stupnˇami vol’nosti ma´
2 (n) n , 2 (k) k
F (n; k)), ak = pricˇom na´hodne´ velicˇiny 2 (n) a 2 (k ) su´ neza´visle´ na´hodna´ velicˇina (pı´sˇeme
Matematicka´ sˇtatistika – p. 37/75
Grafy sˇtatisticky´ch rozdelenı´
2 rozdelenie
hustota rozdelenia pre roˆzne n 0.2
n=5
0.15
n = 10
0.1
n = 20 0.05
0 0
5
10
15
20
25
30
Matematicka´ sˇtatistika – p. 38/75
Grafy sˇtatisticky´ch rozdelenı´ Studentovo t-rozdelenie
hustota rozdelenia pre roˆzne n
0.4
N (0; 1)
0.3
0.2
n=2
0.1
n = 20
n=
0 -4
-2
0
2
5
4
Pre vel’ke´ n je t(n) N (0; 1) Matematicka´ sˇtatistika – p. 39/75
Grafy sˇtatisticky´ch rozdelenı´ Fisherovo F rozdelenie
hustota rozdelenia pre roˆzne n a k
0.8
0.8
0.6
0.6
0.4
0.4
n = 5; k = 5 n = 5; k = 10 n = 5; k = 20
0.2
n = 5; k = 5 n = 10; k = 5 n = 20; k = 5
0.2
0
0 0
1
2
3
4
5
0
1
2
3
4
5
Matematicka´ sˇtatistika – p. 40/75
Kvantily sˇtatisticky´ch rozdelenı´ Kvantilom u´rovne Æ na´hodnej velicˇiny nazy´vame cˇ´ıslo xÆ , pre ktore´ platı´ F (xÆ ) = f < xÆ g = Æ Zrejme 0 Æ Oznacˇenie:
P
1 a xÆ = F 1(Æ)
N (0; 1) 2 (n) t(n) F (n; k)
: : : :
xÆ uÆ xÆ 2Æ (n) xÆ tÆ (n) xÆ FÆ (n; k)
Ak ma´ symetricke´ rozdelenie (ak jeho hustota rozdelenia je pa´rna funkcia), tak x1 Æ = xÆ Norma´lne rozdelenie aj Studentovo t-rozdelenie su´ symetricke´ Matematicka´ sˇtatistika – p. 41/75
Tabul’ky kvantilov sˇtatisticky´ch rozdelenı´
2 -rozdelenie s n stupnˇami vol’nosti 2Æ (n) n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 40 50 60 70 80 90 100
0.005 0.00004 0.0100 0.0717 0.2070 0.4117 0.6757 0.9893 1.3444 1.7349 2.1559 2.6032 3.0738 3.5650 4.0747 4.6009 5.1422 5.6972 6.2648 6.8440 7.4338 8.0337 8.6427 9.2604 9.8862 10.5196 11.1602 11.8076 12.4613 13.1211 13.7867 20.7066 27.9907 35.5345 43.2752 51.1719 59.1963 67.3275
0.01 0.0002 0.0201 0.1148 0.2971 0.5543 0.8721 1.2390 1.6465 2.0879 2.5582 3.0535 3.5706 4.1069 4.6604 5.2294 5.8122 6.4078 7.0149 7.6327 8.2604 8.8972 9.5425 10.1957 10.8564 11.5240 12.1982 12.8785 13.5647 14.2565 14.9535 22.1642 29.7067 37.4848 45.4417 53.5401 61.7541 70.0649
0.025 0.0010 0.0506 0.2158 0.4844 0.8312 1.2373 1.6899 2.1797 2.7004 3.2470 3.8157 4.4038 5.0088 5.6287 6.2621 6.9077 7.5642 8.2307 8.9065 9.5908 10.2829 10.9823 11.6886 12.4012 13.1197 13.8439 14.5734 15.3079 16.0471 16.7908 24.4330 32.3574 40.4818 48.7576 57.1532 65.6466 74.2219
0.05 0.0039 0.1026 0.3518 0.7107 1.1455 1.6354 2.1674 2.7326 3.3251 3.9403 4.5748 5.2260 5.8919 6.5706 7.2609 7.9616 8.6718 9.3905 10.1170 10.8508 11.5913 12.3380 13.0905 13.8484 14.6114 15.3792 16.1514 16.9279 17.7084 18.4927 26.5093 34.7643 43.1880 51.7393 60.3915 69.1260 77.9295
Æ 0.95 3.8415 5.9915 7.8147 9.4877 11.0705 12.5916 14.0671 15.5073 16.9190 18.3070 19.6751 21.0261 22.3620 23.6848 24.9958 26.2962 27.5871 28.8693 30.1435 31.4104 32.6706 33.9244 35.1725 36.4150 37.6525 38.8851 40.1133 41.3371 42.5570 43.7730 55.7585 67.5048 79.0819 90.5312 101.8795 113.1453 124.3421
0.975 5.0239 7.3778 9.3484 11.1433 12.8325 14.4494 16.0128 17.5345 19.0228 20.4832 21.9201 23.3367 24.7356 26.1189 27.4884 28.8454 30.1910 31.5264 32.8523 34.1696 35.4789 36.7807 38.0756 39.3641 40.6465 41.9232 43.1945 44.4608 45.7223 46.9792 59.3417 71.4202 83.2977 95.0232 106.6286 118.1359 129.5612
0.99 6.6349 9.2103 11.3449 13.2767 15.0863 16.8119 18.4753 20.0902 21.6660 23.2092 24.7250 26.2170 27.6883 29.1412 30.5779 31.9999 33.4086 34.8053 36.1909 37.5662 38.9322 40.2894 41.6384 42.9798 44.3141 45.6417 46.9629 48.2782 49.5879 50.8922 63.6908 76.1539 88.3794 100.4251 112.3288 124.1163 135.8068
0.995 7.8794 10.5967 12.8382 14.8602 16.7496 18.5476 20.2778 21.9549 23.5893 25.1882 26.7569 28.2995 29.8195 31.3193 32.8013 34.2672 35.7184 37.1565 38.5822 39.9969 41.4011 42.7957 44.1813 45.5585 46.9278 48.2899 49.6449 50.9933 52.3355 53.6720 66.7660 79.4899 91.9518 104.2149 116.3210 128.2990 140.1695 Matematicka´ sˇtatistika – p. 42/75
Tabul’ky kvantilov sˇtatisticky´ch rozdelenı´
t-rozdelenie s n stupnˇami vol’nosti tÆ (n) n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 40 50 60 70 80 90 100
0.950 6.3138 2.9200 2.3534 2.1318 2.0150 1.9432 1.8946 1.8595 1.8331 1.8125 1.7959 1.7823 1.7709 1.7613 1.7531 1.7459 1.7396 1.7341 1.7291 1.7247 1.7207 1.7171 1.7139 1.7109 1.7081 1.7056 1.7033 1.7011 1.6991 1.6973 1.6839 1.6759 1.6706 1.6669 1.6641 1.6620 1.6602
0.975 12.7062 4.3026 3.1824 2.7764 2.5706 2.4469 2.3646 2.3060 2.2622 2.2281 2.2010 2.1788 2.1604 2.1448 2.1315 2.1199 2.1098 2.1009 2.0930 2.0860 2.0796 2.0739 2.0687 2.0639 2.0595 2.0555 2.0518 2.0484 2.0452 2.0423 2.0211 2.0086 2.0003 1.9944 1.9901 1.9867 1.9840
Æ 0.990 31.8207 6.9646 4.5407 3.7469 3.3649 3.1427 2.9979 2.8965 2.8214 2.7638 2.7181 2.6810 2.6503 2.6245 2.6025 2.5835 2.5669 2.5524 2.5395 2.5280 2.5177 2.5083 2.4999 2.4922 2.4851 2.4786 2.4727 2.4671 2.4620 2.4573 2.4233 2.4033 2.3901 2.3808 2.3739 2.3685 2.3642
0.995 63.6566 9.9249 5.8409 4.6041 4.0321 3.7074 3.4995 3.3554 3.2498 3.1693 3.1058 3.0545 3.0123 2.9768 2.9467 2.9208 2.8982 2.8784 2.8609 2.8453 2.8314 2.8188 2.8073 2.7969 2.7874 2.7787 2.7707 2.7633 2.7564 2.7500 2.7045 2.6778 2.6603 2.6479 2.6387 2.6316 2.6259 Matematicka´ sˇtatistika – p. 43/75
Tabul’ky kvantilov sˇtatisticky´ch rozdelenı´
F -rozdelenie s n a k stupnˇami vol’nosti, Æ = 0:95
FÆ(n;k) k 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
n
2 19.00 9.552 6.944 5.786 5.143 4.737 4.459 4.256 4.103 3.982 3.885 3.806 3.739 3.682 3.634 3.592 3.555 3.522 3.493 3.467 3.443 3.422 3.403 3.385 3.369 3.354 3.340 3.328 3.316
3 19.16 9.277 6.591 5.409 4.757 4.347 4.066 3.863 3.708 3.587 3.490 3.411 3.344 3.287 3.239 3.197 3.160 3.127 3.098 3.072 3.049 3.028 3.009 2.991 2.975 2.960 2.947 2.934 2.922
4 19.25 9.117 6.388 5.192 4.534 4.120 3.838 3.633 3.478 3.357 3.259 3.179 3.112 3.056 3.007 2.965 2.928 2.895 2.866 2.840 2.817 2.796 2.776 2.759 2.743 2.728 2.714 2.701 2.690
5 19.30 9.013 6.256 5.050 4.387 3.972 3.687 3.482 3.326 3.204 3.106 3.025 2.958 2.901 2.852 2.810 2.773 2.740 2.711 2.685 2.661 2.640 2.621 2.603 2.587 2.572 2.558 2.545 2.534
6 19.33 8.941 6.163 4.950 4.284 3.866 3.581 3.374 3.217 3.095 2.996 2.915 2.848 2.790 2.741 2.699 2.661 2.628 2.599 2.573 2.549 2.528 2.508 2.490 2.474 2.459 2.445 2.432 2.421
7 19.35 8.887 6.094 4.876 4.207 3.787 3.500 3.293 3.135 3.012 2.913 2.832 2.764 2.707 2.657 2.614 2.577 2.544 2.514 2.488 2.464 2.442 2.423 2.405 2.388 2.373 2.359 2.346 2.334
8 19.37 8.845 6.041 4.818 4.147 3.726 3.438 3.230 3.072 2.948 2.849 2.767 2.699 2.641 2.591 2.548 2.510 2.477 2.447 2.420 2.397 2.375 2.355 2.337 2.321 2.305 2.291 2.278 2.266
9 19.38 8.812 5.999 4.772 4.099 3.677 3.388 3.179 3.020 2.896 2.796 2.714 2.646 2.588 2.538 2.494 2.456 2.423 2.393 2.366 2.342 2.320 2.300 2.282 2.265 2.250 2.236 2.223 2.211
10 19.40 8.786 5.964 4.735 4.060 3.637 3.347 3.137 2.978 2.854 2.753 2.671 2.602 2.544 2.494 2.450 2.412 2.378 2.348 2.321 2.297 2.275 2.255 2.236 2.220 2.204 2.190 2.177 2.165
12 19.41 8.745 5.912 4.678 4.000 3.575 3.284 3.073 2.913 2.788 2.687 2.604 2.534 2.475 2.425 2.381 2.342 2.308 2.278 2.250 2.226 2.204 2.183 2.165 2.148 2.132 2.118 2.104 2.092
15 19.43 8.703 5.858 4.619 3.938 3.511 3.218 3.006 2.845 2.719 2.617 2.533 2.463 2.403 2.352 2.308 2.269 2.234 2.203 2.176 2.151 2.128 2.108 2.089 2.072 2.056 2.041 2.027 2.015
20 19.45 8.660 5.803 4.558 3.874 3.445 3.150 2.936 2.774 2.646 2.544 2.459 2.388 2.328 2.276 2.230 2.191 2.155 2.124 2.096 2.071 2.048 2.027 2.007 1.990 1.974 1.959 1.945 1.932
25 19.46 8.634 5.769 4.521 3.835 3.404 3.108 2.893 2.730 2.601 2.498 2.412 2.341 2.280 2.227 2.181 2.141 2.106 2.074 2.045 2.020 1.996 1.975 1.955 1.938 1.921 1.906 1.891 1.878
30 19.46 8.617 5.746 4.496 3.808 3.376 3.079 2.864 2.700 2.570 2.466 2.380 2.308 2.247 2.194 2.148 2.107 2.071 2.039 2.010 1.984 1.961 1.939 1.919 1.901 1.884 1.869 1.854 1.841
Matematicka´ sˇtatistika – p. 44/75
Tabul’ky kvantilov sˇtatisticky´ch rozdelenı´
F -rozdelenie s n a k stupnˇami vol’nosti, Æ = 0:975
FÆ(n;k) k 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
n
2 39.00 16.04 10.64 8.434 7.260 6.542 6.059 5.715 5.456 5.256 5.096 4.965 4.857 4.765 4.687 4.619 4.560 4.508 4.461 4.420 4.383 4.349 4.319 4.291 4.265 4.242 4.221 4.201 4.182
3 39.17 15.44 9.979 7.764 6.599 5.890 5.416 5.078 4.826 4.630 4.474 4.347 4.242 4.153 4.077 4.011 3.954 3.903 3.859 3.819 3.783 3.750 3.721 3.694 3.670 3.647 3.626 3.607 3.589
4 39.25 15.10 9.605 7.388 6.227 5.523 5.053 4.718 4.468 4.275 4.121 3.996 3.892 3.804 3.729 3.665 3.608 3.559 3.515 3.475 3.440 3.408 3.379 3.353 3.329 3.307 3.286 3.267 3.250
5 39.30 14.88 9.364 7.146 5.988 5.285 4.817 4.484 4.236 4.044 3.891 3.767 3.663 3.576 3.502 3.438 3.382 3.333 3.289 3.250 3.215 3.183 3.155 3.129 3.105 3.083 3.063 3.044 3.026
6 39.33 14.73 9.197 6.978 5.820 5.119 4.652 4.320 4.072 3.881 3.728 3.604 3.501 3.415 3.341 3.277 3.221 3.172 3.128 3.090 3.055 3.023 2.995 2.969 2.945 2.923 2.903 2.884 2.867
7 39.36 14.62 9.074 6.853 5.695 4.995 4.529 4.197 3.950 3.759 3.607 3.483 3.380 3.293 3.219 3.156 3.100 3.051 3.007 2.969 2.934 2.902 2.874 2.848 2.824 2.802 2.782 2.763 2.746
8 39.37 14.54 8.980 6.757 5.600 4.899 4.433 4.102 3.855 3.664 3.512 3.388 3.285 3.199 3.125 3.061 3.005 2.956 2.913 2.874 2.839 2.808 2.779 2.753 2.729 2.707 2.687 2.669 2.651
9 39.39 14.47 8.905 6.681 5.523 4.823 4.357 4.026 3.779 3.588 3.436 3.312 3.209 3.123 3.049 2.985 2.929 2.880 2.837 2.798 2.763 2.731 2.703 2.677 2.653 2.631 2.611 2.592 2.575
10 39.40 14.42 8.844 6.619 5.461 4.761 4.295 3.964 3.717 3.526 3.374 3.250 3.147 3.060 2.986 2.922 2.866 2.817 2.774 2.735 2.700 2.668 2.640 2.613 2.590 2.568 2.547 2.529 2.511
12 39.41 14.34 8.751 6.525 5.366 4.666 4.200 3.868 3.621 3.430 3.277 3.153 3.050 2.963 2.889 2.825 2.769 2.720 2.676 2.637 2.602 2.570 2.541 2.515 2.491 2.469 2.448 2.430 2.412
15 39.43 14.25 8.657 6.428 5.269 4.568 4.101 3.769 3.522 3.330 3.177 3.053 2.949 2.862 2.788 2.723 2.667 2.617 2.573 2.534 2.498 2.466 2.437 2.411 2.387 2.364 2.344 2.325 2.307
20 39.45 14.17 8.560 6.329 5.168 4.467 3.999 3.667 3.419 3.226 3.073 2.948 2.844 2.756 2.681 2.616 2.559 2.509 2.464 2.425 2.389 2.357 2.327 2.300 2.276 2.253 2.232 2.213 2.195
25 39.46 14.12 8.501 6.268 5.107 4.405 3.937 3.604 3.355 3.162 3.008 2.882 2.778 2.689 2.614 2.548 2.491 2.441 2.396 2.356 2.320 2.287 2.257 2.230 2.205 2.183 2.161 2.142 2.124
30 39.46 14.08 8.461 6.227 5.065 4.362 3.894 3.560 3.311 3.118 2.963 2.837 2.732 2.644 2.568 2.502 2.445 2.394 2.349 2.308 2.272 2.239 2.209 2.182 2.157 2.133 2.112 2.092 2.074
Matematicka´ sˇtatistika – p. 45/75
Tabul’ky kvantilov sˇtatisticky´ch rozdelenı´
F -rozdelenie s n a k stupnˇami vol’nosti, Æ = 0:99
FÆ(n;k) k 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
n
2 99.00 30.82 18.00 13.27 10.93 9.547 8.649 8.022 7.559 7.206 6.927 6.701 6.515 6.359 6.226 6.112 6.013 5.926 5.849 5.780 5.719 5.664 5.614 5.568 5.526 5.488 5.453 5.420 5.390
3 99.17 29.46 16.69 12.06 9.780 8.451 7.591 6.992 6.552 6.217 5.953 5.739 5.564 5.417 5.292 5.185 5.092 5.010 4.938 4.874 4.817 4.765 4.718 4.675 4.637 4.601 4.568 4.538 4.510
4 99.25 28.71 15.98 11.39 9.148 7.847 7.006 6.422 5.994 5.668 5.412 5.205 5.035 4.893 4.773 4.669 4.579 4.500 4.431 4.369 4.313 4.264 4.218 4.177 4.140 4.106 4.074 4.045 4.018
5 99.30 28.24 15.52 10.97 8.746 7.460 6.632 6.057 5.636 5.316 5.064 4.862 4.695 4.556 4.437 4.336 4.248 4.171 4.103 4.042 3.988 3.939 3.895 3.855 3.818 3.785 3.754 3.725 3.699
6 99.33 27.91 15.21 10.67 8.466 7.191 6.371 5.802 5.386 5.069 4.821 4.620 4.456 4.318 4.202 4.102 4.015 3.939 3.871 3.812 3.758 3.710 3.667 3.627 3.591 3.558 3.528 3.499 3.473
7 99.36 27.67 14.98 10.46 8.260 6.993 6.178 5.613 5.200 4.886 4.640 4.441 4.278 4.142 4.026 3.927 3.841 3.765 3.699 3.640 3.587 3.539 3.496 3.457 3.421 3.388 3.358 3.330 3.304
8 99.37 27.49 14.80 10.29 8.102 6.840 6.029 5.467 5.057 4.744 4.499 4.302 4.140 4.004 3.890 3.791 3.705 3.631 3.564 3.506 3.453 3.406 3.363 3.324 3.288 3.256 3.226 3.198 3.173
9 99.39 27.35 14.66 10.16 7.976 6.719 5.911 5.351 4.942 4.632 4.388 4.191 4.030 3.895 3.780 3.682 3.597 3.523 3.457 3.398 3.346 3.299 3.256 3.217 3.182 3.149 3.120 3.092 3.067
10 99.40 27.23 14.55 10.05 7.874 6.620 5.814 5.257 4.849 4.539 4.296 4.100 3.939 3.805 3.691 3.593 3.508 3.434 3.368 3.310 3.258 3.211 3.168 3.129 3.094 3.062 3.032 3.005 2.979
12 99.42 27.05 14.37 9.888 7.718 6.469 5.667 5.111 4.706 4.397 4.155 3.960 3.800 3.666 3.553 3.455 3.371 3.297 3.231 3.173 3.121 3.074 3.032 2.993 2.958 2.926 2.896 2.868 2.843
15 99.43 26.87 14.20 9.722 7.559 6.314 5.515 4.962 4.558 4.251 4.010 3.815 3.656 3.522 3.409 3.312 3.227 3.153 3.088 3.030 2.978 2.931 2.889 2.850 2.815 2.783 2.753 2.726 2.700
20 99.45 26.69 14.02 9.553 7.396 6.155 5.359 4.808 4.405 4.099 3.858 3.665 3.505 3.372 3.259 3.162 3.077 3.003 2.938 2.880 2.827 2.781 2.738 2.699 2.664 2.632 2.602 2.574 2.549
25 99.46 26.58 13.91 9.449 7.296 6.058 5.263 4.713 4.311 4.005 3.765 3.571 3.412 3.278 3.165 3.068 2.983 2.909 2.843 2.785 2.733 2.686 2.643 2.604 2.569 2.536 2.506 2.478 2.453
30 99.47 26.50 13.84 9.379 7.229 5.992 5.198 4.649 4.247 3.941 3.701 3.507 3.348 3.214 3.101 3.003 2.919 2.844 2.778 2.720 2.667 2.620 2.577 2.538 2.503 2.470 2.440 2.412 2.386
Matematicka´ sˇtatistika – p. 46/75
Tabul’ky kvantilov sˇtatisticky´ch rozdelenı´
F -rozdelenie s n a k stupnˇami vol’nosti, Æ = 0:995
FÆ(n;k) k 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
n
2 199.0 49.80 26.28 18.31 14.54 12.40 11.04 10.11 9.427 8.912 8.510 8.186 7.922 7.701 7.514 7.354 7.215 7.093 6.986 6.891 6.806 6.730 6.661 6.598 6.541 6.489 6.440 6.396 6.355
3 199.2 47.47 24.26 16.53 12.92 10.88 9.596 8.717 8.081 7.600 7.226 6.926 6.680 6.476 6.303 6.156 6.028 5.916 5.818 5.730 5.652 5.582 5.519 5.462 5.409 5.361 5.317 5.276 5.239
4 199.3 46.19 23.15 15.56 12.03 10.05 8.805 7.956 7.343 6.881 6.521 6.233 5.998 5.803 5.638 5.497 5.375 5.268 5.174 5.091 5.017 4.950 4.890 4.835 4.785 4.740 4.698 4.659 4.623
5 199.3 45.39 22.46 14.94 11.46 9.522 8.302 7.471 6.872 6.422 6.071 5.791 5.562 5.372 5.212 5.075 4.956 4.853 4.762 4.681 4.609 4.544 4.486 4.433 4.384 4.340 4.300 4.262 4.228
6 199.3 44.84 21.97 14.51 11.07 9.155 7.952 7.134 6.545 6.102 5.757 5.482 5.257 5.071 4.913 4.779 4.663 4.561 4.472 4.393 4.322 4.259 4.202 4.150 4.103 4.059 4.020 3.983 3.949
7 199.4 44.43 21.62 14.20 10.79 8.885 7.694 6.885 6.302 5.865 5.525 5.253 5.031 4.847 4.692 4.559 4.445 4.345 4.257 4.179 4.109 4.047 3.991 3.939 3.893 3.850 3.811 3.775 3.742
8 199.4 44.13 21.35 13.96 10.57 8.678 7.496 6.693 6.116 5.682 5.345 5.076 4.857 4.674 4.521 4.389 4.276 4.177 4.090 4.013 3.944 3.882 3.826 3.776 3.730 3.687 3.649 3.613 3.580
9 199.4 43.88 21.14 13.77 10.39 8.514 7.339 6.541 5.968 5.537 5.202 4.935 4.717 4.536 4.384 4.254 4.141 4.043 3.956 3.880 3.812 3.750 3.695 3.645 3.599 3.557 3.519 3.483 3.450
10 199.4 43.69 20.97 13.62 10.25 8.380 7.211 6.417 5.847 5.418 5.085 4.820 4.603 4.424 4.272 4.142 4.030 3.933 3.847 3.771 3.703 3.642 3.587 3.537 3.492 3.450 3.412 3.377 3.344
12 199.4 43.39 20.70 13.38 10.03 8.176 7.015 6.227 5.661 5.236 4.906 4.643 4.428 4.250 4.099 3.971 3.860 3.763 3.678 3.602 3.535 3.475 3.420 3.370 3.325 3.284 3.246 3.211 3.179
15 199.4 43.08 20.44 13.15 9.814 7.968 6.814 6.032 5.471 5.049 4.721 4.460 4.247 4.070 3.920 3.793 3.683 3.587 3.502 3.427 3.360 3.300 3.246 3.196 3.151 3.110 3.073 3.038 3.006
20 199.5 42.78 20.17 12.90 9.589 7.754 6.608 5.832 5.274 4.855 4.530 4.270 4.059 3.883 3.734 3.607 3.498 3.402 3.318 3.243 3.176 3.116 3.062 3.013 2.968 2.928 2.890 2.855 2.823
25 199.5 42.59 20.00 12.76 9.451 7.623 6.482 5.708 5.153 4.736 4.412 4.153 3.942 3.766 3.618 3.492 3.382 3.287 3.203 3.128 3.061 3.001 2.947 2.898 2.853 2.812 2.775 2.740 2.708
30 199.5 42.47 19.89 12.66 9.358 7.534 6.396 5.625 5.071 4.654 4.331 4.073 3.862 3.687 3.539 3.412 3.303 3.208 3.123 3.049 2.982 2.922 2.868 2.819 2.774 2.733 2.695 2.660 2.628
Matematicka´ sˇtatistika – p. 47/75
Za´kladna´ veta matematickej sˇtatistiky Nech x1 ; x2 ; : : : xn je na´hodny´ vy´ber zo za´kladne´ho su´boru s je jeho vy´berovy´ priemer a Sn2 rozdelenı´m N (m; 2 ) a nech X a Sn2 1 su´ jeho vy´berovy´ rozptyl. Potom na´hodne´ velicˇiny X 2 neza´visle´ a X N (m; n ), n21 Sn2 1 2 (n 1). Doˆlezˇite´ doˆsledky: 1.
X
1
mp n N (0; 1)
X m p 2. n t(n 1) Sn 1 3. Ak y1 ; y2 ; : : : ym je na´hodny´ vy´ber zo za´kladne´ho su´boru s rozdelenı´m N (m2 ; 2 ) naza´visly´ od na´hodne´ho vy´beru xi s 2 S vy´berovy´m rozptylom Sk2 1 , tak n2 1 F (n 1; k 1) Sk 1 Matematicka´ sˇtatistika – p. 48/75
3. Odhady a hypote´zy
Matematicka´ sˇtatistika – p. 49/75
Bodove´ odhady parametrov rozdelenı´ Odhadom parametra rozdelenia F (x) s 2 nazy´vame taku´ sˇtatistiku ^ = ^(x1 ; x2 ; : : : xn ) na´hodne´ho vy´beru x1 ; x2 ; : : : xn , pre ktoru´ ^ 2 Vlastnosti odhadov
E^ = ^ ^ Efektı´vnost’ D^ D pre vsˇetky nestranne´ odhady Odhady m a 2 Ak Ei = m, resp. Di = 2 , tak vy´berovy´ Nestrannost’
, resp. vy´berovy´ rozptyl Sn2 priemer X m, resp. 2
1
su´ nestranne´ odhady
Parametre norma´lneho rozdelenia nemaju´ efektı´vne odhady, ine´ho ^ = X rozdelenia vsˇak a´no, napr. pre Poissonovo Matematicka´ sˇtatistika – p. 50/75
Intervalove´ odhady parametrov rozdelenı´ Interval spol’ahlivosti je taky´ interval, ktory´ pokryje skutocˇnu´ hodnotu parametra rozdelenia F (x) so zadanou pravdepodobnost’ou – koeficientom spol’ahlivosti Typy
(^D1; 1) : Pf^D1 < g = Jednostranne´ ( 1; ^H 1) : Pf^D1 > g = Dvojstranne´ (^D2 ; ^H 2 ) : Pf^D1 < < ^H 2 g =
Matematicka´ sˇtatistika – p. 51/75
Intervalove´ odhady parametrov rozdelenı´
Dvojstranny´
Jednostranny´
Interval spol’ahlivosti pre parametre norma´lneho rozdelenia
m X 2 m X 2
^D1 t (n
1) Spn n
^H 1 X + t (n
1) Spn n
^H 2 X + t (n
1
(n 1)Sn2 1 2 (n 1)
^D2 t (n 1+ 2
(n 1)Sn2 1 21+ (n 1) 2
1
1) Spn n
1
(n 1)Sn2 1 21 (n 1)
1+ 2
1) Spn n
1
(n 1)Sn2 1 21 (n 1) 2
Matematicka´ sˇtatistika – p. 52/75
Testovanie sˇtatisticky´ch hypote´z Sˇtatisticka´ hypote´za je tvrdenie o rozdelenı´ pravdepodobnosti sku´manej na´hodnej velicˇiny, o parametroch ty´chto velicˇ´ın. . .
H0 je hypote´za, platnost’ktorej overujeme Alternatı´vna hypote´za H1 je hypote´za kladena´ oproti H0 Testujeme vzˇdy hypote´zu H0 oproti hypote´ze H1 s pouzˇitı´m testovacej sˇtatistiky T = T (x1 ; x2 ; : : : ; xn ) a kriticke´ho oboru K takto: T 62 K ) H0 nezamietame oproti H1 T 2 K ) H0 zamietame oproti H1 Nulova´ hypote´za
Matematicka´ sˇtatistika – p. 53/75
Testovanie sˇtatisticky´ch hypote´z Dvojake´ chyby pri vyhodnotenı´ testu
Chyba prve´ho druhu zamietneme H0 (T 2 K ) aj ked’ je spra´vna, hladina vy´znamnosti testu je pravdepodobnost’ tejto chyby, t.j. fT 2 K=H0 g =
P
Chyba druhe´ho druhu nezamietneme H0 (T nespra´vna
62 K ) aj ked’ je
Postup pri testovanı´: 1. 2. 3. 4. 5.
Formula´cia hypote´z H0 a H1 Vol’ba hladiny vy´znamnosti (najcˇastejsˇie 0.01, 0.05) Urcˇenie testovacej sˇtatistiky T a kriticke´ho oboru K Vy´pocˇet (vy´berovy´ch charakteristı´k a testu) Vyhodnotenie vy´sledkov (prijatie cˇi neprijatie H0 ) Matematicka´ sˇtatistika – p. 54/75
Testy parametrov norma´lneho rozdelenia Jednovy´berova´ analy´za parametrov norma´lneho rozdelenia m (t-test), resp. 2 ( 2 -test) Testovacia sˇtatistika
Tm =
X m0 Sn 1
pn, resp. T = n 1 S 2 n 2
2 0
1
Kriticky´ obor
H0 : m = m0
H1 : m>m0 H1 : m<m0 Tm >t1 (n 1) Tm < t1 (n H1 : 2 >02
H0 : 2 = 02 T > 21 2
1)
H1 : 2 <02
2 ( n 1) T < (n 1) 2
H1 : m 6= m0 jTmj >t1 (n 2
1)
H1 : 2 6= 02 T > 21 (n 1)_ T < 2 (n 1) 2
2
2
2
Matematicka´ sˇtatistika – p. 55/75
Testy parametrov norma´lneho rozdelenia Pa´rova´ analy´za parametrov norma´lneho rozdelenia Dany´ pa´rovy´ vy´ber (x1 ; y1 ); (x2 ; y2 ); : : : ; (xn ; yn ) transforma´ciou zi = xi yi , za podmienky, zˇe zi N (mx my ; 2 ) mozˇno podrobit’jednovy´berove´mu testu pre vy´ber z1 ; z2 ; : : : zn Najcˇastejsˇie sa testuje hypote´za H0 o rovnosti stredny´ch hodnoˆt
H0 : mz = mx
my = 0
Matematicka´ sˇtatistika – p. 56/75
Testy parametrov norma´lneho rozdelenia Dvojvy´berova´ analy´za parametrov norma´lneho rozdelenia m (t-test), resp. 2 (F -test) pre vy´bery x1 ; x2 ; : : : xn a
y1 ; y2 ; : : : yk Dvojvy´berovy´ t-test za predpokladu x2 = y2 Y p Testovacia sˇtatistika T = X , S +
1
1
n k
pricˇom S
2
=
(n 1)Sn2
1
2 x +(k 1)Sk
n+k
2
1
y
Kriticky´ obor
= n + k 2 H1 : mx >my H1 : mx <my H1 : mx 6= my H0 : mx = my T >t1 ( ) T < t1 ( ) jT j >t1 ( ) 2
Matematicka´ sˇtatistika – p. 57/75
Testy parametrov norma´lneho rozdelenia Dvojvy´berova´ analy´za parametrov norma´lneho rozdelenia m (t-test), resp. 2 (F -test) pre vy´bery x1 ; x2 ; : : : xn a
y1 ; y2 ; : : : yk Dvojvy´berovy´ t-test za predpokladu x2 6= y2 Testovacia sˇtatistika T = r X Y , S S 2
n
n
1
2
x+ k
k
1
y
s vol’bou
=
Sn2
1
x + Sk 2
1
y
2
n k 2 Sk2 1 y 2 Sn 1 x n k + n 1 k 1 2
Kriticky´ obor
H0 : mx = my
H1 : mx >my H1 : mx <my H1 : mx 6= my T >t1 ( ) T < t1 ( ) jT j >t1 ( ) 2
Matematicka´ sˇtatistika – p. 58/75
Testy parametrov norma´lneho rozdelenia Dvojvy´berova´ analy´za parametrov norma´lneho rozdelenia m (t-test), resp. 2 (F -test) pre vy´bery x1 ; x2 ; : : : xn a
y1 ; y2 ; : : : yk Dvojvy´berovy´ F -test o rovnosti rozptylov x2 , y2 , 2 2 2 2 H0 : max = min ; H1 : max 6= min Testovacia sˇtatistika T = SSmax , min pricˇom indexy max, resp. min su´ urcˇene´ hodnotami 2 vy´berovy´ch rozptylov: Smax = maxfSn2 1 x; Sk2 1 y g, 2 Smin = minfSn2 1 x; Sk2 1 y g, tiezˇ nmax je cˇ´ıslo n alebo k od 2
2
vy´beru s vysˇsˇ´ım rozptylom Kriticky´ obor
T > F1
2
(nmax 1; nmin 1) Matematicka´ sˇtatistika – p. 59/75
Testy dobrej zhody
2 -test dobrej zhody univerza´lny test vhodny´ pre diskre´tne aj spojite´ rozdelenia Frekvencˇna´ tabul’ka C1 n1
C2 n2
::: :::
Cm nm
Pmi
=1
ni = n
(napr. Ci =
hai ; bi ))
ma´ rozdelenie s F (x) ( obsahuje k parametrov) Pm (ni n pi ) Testovacia sˇtatistika T = i=1 n pi , kde pi = Pf 2 Ci g pi = F^(bi ) F^(ai ) ak k parametrov v musı´me odhadovat’ ako ^ (na za´klade frekvencˇnej tabul’ky) pi = F (bi ) F (ai ) ak parametre su´ zna´me, vtedy k = 0 Kriticky´ obor T > 21 (m k 1) Hypote´za H0
2
Matematicka´ sˇtatistika – p. 60/75
4. Korelacˇna´ a regresna´ analy´za
Matematicka´ sˇtatistika – p. 61/75
Korelacˇna´ analy´za Sku´manie vza´jomne´ho linea´rneho vzt’ahu medzi experimenta´lnymi da´tami – korelacˇna´ za´vislost’ Na´hodny´ vy´ber n objektov s dvoma merany´mi vlastnost’ami
(x1; y1); (x2; y2); : : : ; (xn; yn)
Pearsonov korelacˇny´ koeficient je sˇtatistika, ktora´ zodpoveda´ koeficientu korela´cie % dvoch na´hodny´ch velicˇ´ın Za´kladne´ vlastnosti (podobne ako pre %):
1. jrxy j 1 2. Cˇ´ıselna´ hodnota vyjadruje silu linea´rnej za´vislosti a znamienko indikuje sklon za´vislosti 3. Ak hodnoty x zmenı´me na a + bx a y na + dy , pricˇom znamienka b a d su´ rovnake´, tak rxy sa nezmenı´ Matematicka´ sˇtatistika – p. 62/75
Miera linea´rnosti vzt’ahu Pearsonov koeficient korela´cie a miera rozpty´lenia hodnoˆt r = 0:9
r = 0:0
r=
0:5
r = 0:5
r = 0:0
r=
0:9
Matematicka´ sˇtatistika – p. 63/75
Test korelacˇnej za´vislosti Pa´rovy´ na´hodny´ vy´ber (x1 ; y1 ); (x2 ; y2 ); : : : ; (xn ; yn ) k pa´ru na´hodny´ch velicˇ´ın (; ) s norma´lnym rozdelenı´m Test:
H0 : %; = 0, 2. = 0:01; 0:05; : : : p n 2 jrxy j 3. T = p , 2 1 rxy 4. Vy´pocˇet rxy , T , . . . 1.
H1 : %; 6= 0 K : T > t1
2
(n 2)
5. Pri zamietnutı´ hypote´zy H0 existuje sˇtatisticky vy´znamna´ linea´rna za´vislost’medzi x a y
Matematicka´ sˇtatistika – p. 64/75
Regresna´ analy´za Korelacˇna´ analy´za zistı´ prı´tomnost’linea´rnej za´vislosti medzi merany´mi da´tami x, y , regresna´ analy´za urcˇ´ı parametre a, b linea´rnej za´vislosti y = ax + b, prı´padne ich sˇtatisticky vyhodnotı´ Urcˇenie parametrov — pomocou meto´dy najmensˇ´ıch sˇtvorcov y^i = a ^ xi + ^ b
a^ a^
y^i yi
xi
n X
i=1 n X i=1
x2i + ^b
n X i=1
xi + ^b n
´ pravou: U
xi =
= a^ =
n X i=1 n X
xi yi yi
i=1 rxy Sn 1 y Sn 1 x
^b = Y a^X Matematicka´ sˇtatistika – p. 65/75
Analy´za chy´b Chyba v lineariza´cii da´t SE — su´cˇet sˇtvorcov odchy´liek merany´ch hodnoˆt od regresny´ch da´t
SE =
n P
(yi a^xi ^b) = (n 1) Sn 2
2
i=1
1y
Za´kladny´ vzt’ah linea´rnej regresie n P
(yi Y )2
i=1
ST
celkovy´ su´cˇet – neza´visı´ na modeli
= =
n P
i=1
(yi y^i)2 SE
chyba linea´rneho modelu – to, cˇo linea´rny model nevysvetl’uje
+ +
a^ Sn 2 2
n P i=1
1x
(^yi Y )2 SM
su´cˇet modelu – odchy´lky vysvetlene´ liea´rnym modelom
Kvadra´t Pearsonovho koeficientu korela´cie – vy´znamnost’ 2 rxy = SM linea´rneho modelu ST Matematicka´ sˇtatistika – p. 66/75
Bodove´ odhady parametrov linea´rnej regresie
yi — na´hodne´ velicˇiny s norma´lnym rozdelenı´m yi N (axi + b; 2 ) deterministickej premennej xi Sˇtatistiky a^ a ^b su´ nestranne´ odhady parametrov a a b, s rozdeleniami
a^ N (a; n 1 Sn 1
) , ^b N (b; n 1 x
X + n Sn x ) 2 Sˇtatistika nSE2 je nestranny´ odhad 2 , pricˇom SE (n 2) neza´visle´ od a^ a ^b 2
2
2
1
n
2
1
2
1
2
Matematicka´ sˇtatistika – p. 67/75
Analy´za parametrov linea´rnej regresie Test o sklone a regresnej priamky:
H0 : a = a0 , H1 : a 6= a0 2. = 0:01; 0:05; : : : p a ( n 2) rxy 1 a^ p 3. T = , K : jT j > t1 (n 2) 2 1 rxy 4. Vy´pocˇet Sn 1 x , Sn 1 y , a^, ^b, rxy , T , . . . 5. Prijatı´m hypote´zy H0 uzna´vame sklon urcˇeny´ cˇ´ıslom a0 Dvojstranny´ interval spol’ahlivosti s koeficientom pre sklon a 1.
0
2
a^
p1
regresnej priamky:
1 t (n
1+ 2
rxy p 2) rxy n 2 2
< a < a^
1 + t (n
1+ 2
p1
rxy p 2) rxy n 2 2
Matematicka´ sˇtatistika – p. 68/75
Analy´za parametrov linea´rnej regresie Test o posunutı´ b regresnej priamky:
H0 : b = b0 , H1 : b 6= b0 2. = 0:01; 0:05; : : : p ( n 2) rxy (^b b0 ) r n 3. T = P , K : jT j > t1 1.
x2i i=1 n
p
a^
1 rxy2
2
(n 2)
Sn 1 y , a^, ^b, rxy , T , . . . 5. Prijatı´m hypote´zy H0 uzna´vame posunutie b0 Dvojstranny´ interval spol’ahlivosti s koeficientom pre posunutie b regresnej r priamky: 4. Vy´pocˇet Sn
p1
^b a^t (n 2) rxy pnrxy2 1+ 2
2
1 x,
Pn xi
i=1
n
2
p1
rxy ^ p < b < b + a^t (n 2) rxy n 2 1+ 2
2
P xi
r n
i=1
2
n
Matematicka´ sˇtatistika – p. 69/75
Lineariza´cia nelinea´rnej za´vislosti Predpoklady
1. Body (xi ; yi ); i = 1; 2; : : : ; n sa nacha´dzaju´ „v okolı´ grafu“ zna´mej funkcie f 2. Za´vislost’medzi premenny´mi x a y sa da´ vyjadrit’ pomocou dvoch parametrov a, b: y = f (x; a; b)
Postup
1. Nakreslı´me a pospa´jame body (xi ; yi )
2. Vyberieme vhodnu´ za´vislost’ y = f (x; a; b) a transformujeme da´ta tak, aby Y = AX + B
3. Vypocˇ´ıtame rXY a otestujeme jeho vy´znamnost’
4. Pre sˇtatisticky vy´znamny´ rXY urcˇ´ıme linea´rnou regresiou koeficienty A a B urcˇuju´ce poˆvodne´ parametre a, b Matematicka´ sˇtatistika – p. 70/75
Prı´klady lineariza´cie za´vislosti Nelinea´rny model
= ln y; X = x A = a; B = ln b = ln y; X = ln x A = a; B = ln b 1 Y = ; X=x A = a; B = b y 1 Y = p ;X = x A = a; B = b y A = a; B = b Y = ey ; X = x Y = y; X = ln x A = a; B = b p Y = y; X = x A = a; B = b Y Y
= AX + B
1 y= ax + b 1 y= (ax + b)2 y = ln(ax + b) y = a ln x + b p y =a x+b
Transformovany´ model
Y
y = beax y = b xa
Transforma´cia
Matematicka´ sˇtatistika – p. 71/75
Lineariza´cia a logaritmicke´ merı´tko Mocninova´, exponencia´lna a logaritmicka´ za´vislost’a jej transforma´cia, graficky
y
Y = ln y
y = b xa y = b eax y = a ln x + b
Y = AX + B x
X = ln x
Matematicka´ sˇtatistika – p. 72/75
Lineariza´cia a logaritmicke´ merı´tko Mocninova´, exponencia´lna a logaritmicka´ za´vislost’a jej transforma´cia, graficky
y
Y = ln y
y = b xa y = b eax y = a ln x + b
Y = AX + B x
X=x
Matematicka´ sˇtatistika – p. 73/75
Lineariza´cia a logaritmicke´ merı´tko Mocninova´, exponencia´lna a logaritmicka´ za´vislost’a jej transforma´cia, graficky
y
Y =y
y = b xa y = b eax y = a ln x + b
Y = AX + B x
X = ln x
Matematicka´ sˇtatistika – p. 74/75
Vesele´ a radostne´ prı´pravy na previerky
Matematicka´ sˇtatistika – p. 75/75
