7. HATÁROZATLAN INTEGRÁL 7.1 Definíció és alapintegrálok Definíció. Legyen f : I → R adott függvény (I ⊂ R egy intervallum). A F : I → R függvényt a f függvény primitív függvényének nevezzük I-n, ha F differenciálható I-n, F 0 (x) = f (x) (x ∈ I). Példa. Ha f (x) = sin x akkor F (x) = − cos x + c (x ∈ R). Állítás. Ha F a f függvény primitív függvénye I-n, akkor G(x) = F (x) + c
(x ∈ I, c ∈ R konstans)
is primitív függvénye f -nek, és fordítva, f minden primitív függvénye F (x) + c alakú. Bizonyítás. G primitív függvény mert G0 (x) = F 0 (x) + c0 = F 0 (x) = f (x). Fordítva, ha F, G a f függvény primitív függvényei, akkor (G(x) − F (x))0 = f (x) − f (x) = 0
(x ∈ I)
amiből G(x) − F (x) = c =konstans, ha x ∈ I. és
¤
összes primitív függvényeinek halmazát f határozatlan integráljának nevezzük, RDefiníció. Egy f függvény R f (x) dx-szel, vagy f -fel jelöljük. Azaz
Z f (x) dx = { F (x) + c : c ∈ R, F a f egy primitív függvénye },
amit egyszerűen úgy írunk, hogy
Z f (x) dx = F (x) + c (c ∈ R).
A legfontosabb elemi függvények differenciálási szabályaiból kapjuk az alapintegrálokat: Z ex dx = ex + c Z ax dx =
ax +c ln a
(x ∈ R, 1 6= a > 0)
xα dx =
xα+1 +c α+1
(x > 0, −1 6= α ∈ R)
Z Z
(x ∈ R)
1 dx = ln |x| + c x
(x > 0 vagy x < 0) 1
2
Z xn dx =
xn+1 +c n+1
(x ∈ R, n = 0, 1, . . . )
Z sin x dx = − cos x + c
(x ∈ R)
cos x dx = sin x + c
(x ∈ R)
1 dx = tg x + c cos2 x
(kπ −
1 dx = −ctg x + c sin2 x
(kπ < x < (k + 1)π, k ∈ Z)
Z Z Z Z √
1 dx = arcsin x + c 1 − x2
π π < x < kπ + , k ∈ Z) 2 2
(|x| < 1)
Z
1 dx = arctg x + c 1 + x2 Bizonyítás. Például az utolsó képlet igazolása:
(x ∈ R)
(arctg x + c)0 =
1 , 1 + x2
a többi hasonlóan, differenciálással igazolható. 7.2 Integrálási szabályok Ha f, g-nek van primitív függvénye, akkor f + g, cf (c ∈ R)-nek is van, és Z Z Z (f + g) = f + g Z
Z (cf ) = c
f.
Ez következik abból, hogy összeg tagonként differenciálható, és konstans kiemelhető a differenciálás jele elé. A szorzat differenciálási szabályából kapjuk a parciális integrálás szabályát: ha f, g differenciálhatók és f g 0 -nek van primitív függvénye, akkor f 0 g-nek is van primitív függvénye, és Z Z 0 f g = f g − f g0 ugyanis
¶0 µ Z f g − f g 0 = f 0 g + f g 0 − f g 0 = f 0 g.
Az összetett függvény differenciálási szabályából kapjuk a helyettesítéses integrálás szabályát: ha f -nek van primitív függvénye I-n, g : J → I differenciálható a J intervallumon, akkor (f ◦ g) · g 0 -nek is van primitív függvénye J-n és µZ ¶ Z 0 (f ◦ g) · g = f ◦g vagy
Z
Z f (g(x)) g 0 (x) dx =
f (u)du|u=g(x) .
3
Ugyanis, ha
R
f (u)du = F (u), akkor a jobboldali függvény deriváltja ¶0 µZ 0 f (u)du|u=g(x) = (F (g(x))) = F 0 (g(x))g 0 (x) = f (g(x))g 0 (x),
és ezt kellett igazolni. A szabály másik alakja: ha f : I → R, g : J → I differenciálható a J intervallumon, g 0 (x) 6= 0 (x ∈ J) és (f ◦ g) · g 0 -nek van primitív függvénye, akkor f -nek is van primitív függvénye I-n és Z Z f = ((f ◦ g) · g 0 ) ◦ g −1 vagy
Z
Z f (g(u))g 0 (u) du|u=g−1 (x) .
f (x) dx =
R Ugyanis, ha f (g(u))g 0 (u) du = F (u), akkor a jobboldali függvény deriváltja az inverz függvény differenciálási szabálya alapján µZ ¶0 ¡ ¡ ¢¢0 ¡ ¢¡ ¢0 0 f (g(u))g (u) du|u=g−1 (x) = F g −1 (x) = F 0 g −1 (x) g −1 (x) ¡ ¢ = f (x)g 0 g −1 (x)
1 = f (x), g 0 (g −1 (x))
és ezt kellett igazolni. f (x) = xα választással kapjuk, hogy Z gα g0 Z
g0 g
=
g α+1 + c (α 6= −1) α+1
= ln |g| + c
Utóbbi képlet felhasználásával kapjuk, hogy Z Z (cos x)0 tg x dx = − dx = − ln | cos x| + c cos x Z Z (sin x)0 ctg x dx = dx = ln | sin x| + c sin x Egy másik fontos speciális eset a lineáris helyettesítés: ha f primitív függvénye F, a 6= 0, b ∈ R akkor Z Z 1 1 f (ax + b) dx = f (u) du|u=ax+b = F (ax + b) + c. a a Ennek felhasználásával (vagy differenciálással) lehet igazolni a következő képleteket, melyek kiegészítik az alapintegrálok táblázatát: Z 1 x √ (|x| < a) dx = arcsin + c 2 2 a a −x Z ¯ ¯ p 1 ¯ ¯ √ dx = ln ¯x + x2 ± a2 ¯ + c (x ∈ R vagy |x| > a) x2 ± a2 Z 1 x 1 dx = arctg + c (x ∈ R) 2 2 a +x a a ¯ ¯ Z ¯x − a¯ 1 1 ¯ ¯+c dx = ln (|x| < a vagy |x| > a) x2 − a2 2a ¯ x + a ¯ ahol a > 0 konstans.
4
7.3 Elemien integrálható függvények osztályai Definíció. Egy függvényt elemien integrálhatónak nevezünk, ha primitív függvénye elemi. Nem minden elemi függvény ilyen: például ismeretes, hogy Z Z 2 e(x ) dx, sin(x2 ) dx,
Z
x dx sin x
nem elemi függvények. 1. Parciálisan integrálható függvények Ha P (x) = an xn + an−1 xn−1 + · · · + a1 x + a0 x
(a0 , a1 , . . . , an ∈ R) polinom, akkor
P (x)e
parciálisan integrálható
f 0 (x) = ex , g(x) = P (x)
választással
P (x) sin x
parciálisan integrálható
f 0 (x) = sin x, g(x) = P (x)
választással
P (x) cos x
parciálisan integrálható
f 0 (x) = cos x, g(x) = P (x)
választással
P (x) ln x
parciálisan integrálható
f 0 (x) = P (x), g(x) = ln x
választással
P (x) arcsin x
parciálisan integrálható
f 0 (x) = P (x), g(x) = arcsin x
választással
P (x)arctg x
parciálisan integrálható
f 0 (x) = P (x), g(x) = arctg x
választással.
Hasonlóan parciálisan integráljuk az ex sin x,
sinn x,
ex cos x,
cosn x
függvényeket. Az integrálás eredménye elemi függvény. Példa.
Z
Z ln x dx =
1 · ln x dx
1 amiből f 0 (x) = 1, g(x) = ln x választással f (x) = x, g 0 (x) = így x Z Z 1 ln x dx = x ln x − x dx = x ln x − x + c. x 2. Racionális törtfüggvények integrálása. A két polinom hányadosaként előállítható függvényeket racionális törtfüggvényeknek nevezzük. Ezek mindig elemien integrálhatók. Az integrálás lépései: a) Ha a számláló fokszáma nagyobb vagy egyenlő a nevező fokszámánál, akkor osztás után a tört egy polinom és egy olyan racionális tört összege lesz, ahol a számláló fokszáma kisebb a nevező fokszámánál. Mivel egy polinomot könnyen integrálhatunk, így feltehetjük, hogy f (x) =
P (x) Q(x)
ahol P, Q polinomok, és P fokszáma kisebb mint Q fokszáma. b) A nevezőt szorzattá alakítjuk, ezáltal a Q nevező (x − a)k és (x2 + px + q)l alakú tényezők szorzataként írható fel, ahol a másodfokú kifejezés diszkriminánsa p2 − 4q < 0, k, l ∈ N. c) f -et parciális törtek összegére bontjuk fel : a nevező (x − a)k faktorának megfelelő parciális törtek: A1 A2 Ak + + ··· + 2 x − a (x − a) (x − a)k ahol A1 , . . . , Ak alkalmas konstansok.
5
Az (x2 + px + q)l faktornak megfelelő parciális törtek: B l x + Cl B1 x + C1 B 2 x + C2 + ··· + 2 + x2 + px + q (x2 + px + q)2 (x + px + q)l ahol B1 , C1 , . . . Bl , Cl alkalmas konstansok. Az Ai , (i = 1, . . . , k), Bj , Cj (j = 1, . . . , l) konstansokat az együtthatók összehasonlításával, vagy alkalmas értékek helyettesítésével kapott lineáris egyenletrendszerből határozzuk meg. d) Integráljuk a parciális törteket: Ai Z +c ha i 6= 1 Ai (1 − i)(x − a)i−1 dx = (x − a)i A ln |x − a| + c ha i = 1 i
A második típusú parciális törtek integrálása: a Bx + C B (2x + p) = + 2 x + px + q 2 x2 + px + q ³
Bp C− 2 Ãr
p ´2 x+ + 2
p2 q− 4
!2
felbontás alapján p Bp x+ C− Bx + C B 2 2 2 + c. arctg r = ln(x + px + q) + r x2 + px + q 2 p2 p2 q− q− 4 4 Ha a nevezőbenR (x2 + px + q)k (k > 1) szerepel akkor először a számlálóból leválasztjuk a lineáris tagot (e tag integrálását az g −k g 0 -re vonatkozó képlet alapján végezzük el), majd a k tól függő Z 1 Ik = dx 2 (x + px + q)k Z
integrált egy (parciális integrálással kapott) rekurziós képlet segítségével határozzuk meg. 8. HATÁROZOTT INTEGRÁL 8.1 Az integrál definíciója és alaptulajdonságai Definíció. Legyen [a, b] ⊂ R egy zárt intervallum. A P = { xi : a = x0 < x1 < · · · < xn = b }
(n ∈ N)
ponthalmazt az [a, b] intervallum egy felosztásának nevezzük. xi az i-edik osztópont, [xi−1 , xi ] az i-edik intervallum, xi − xi−1 az i-edik intervallum hossza, a kP k = max (xi − xi−1 ) 1≤i≤n
számot a P felosztás finomságának nevezzük. Definíció. Legyen f : [a, b] → R egy korlátos függvény, P az [a, b] egy felosztása, ti ∈ [xi−1 , xi ] (i = 1, . . . , n) közbenső értékek. Az n X s(f, P, t) = f (ti )(xi − xi−1 ) i=1
összeget az f függvény P felosztáshoz és t = (t1 , . . . , tn ) közbenső érték rendszerhez tartozó integrálközelítő összegének nevezzük. s(f, P, t) geometriai jelentése : a felosztás és a közbenső értékek által meghatározott téglalapok területének (előjeles) összege, ami annál jobban közelíti a görbe alatti (előjeles) területet minél finomabb a felosztás.
6
Definíció. [a Riemann integrálhatóság és Riemann integrál definíciója] Az f : [a, b] → R korlátos függvényt Riemann integrálhatónak nevezzük [a, b]-n, ha van olyan I ∈ R szám, hogy bármely ε > 0-hoz létezik olyan δ(ε), hogy (1)
|s(f, P, t) − I| < ε
ha kP k < δ(ε)
bármely t = (t1 , . . . , tn ) közbenső érték rendszer mellett teljesül. Az I számot az f függvény [a, b]-n vett Riemann integráljának nevezzük és
Rb
f (x) dx vagy
a
Rb
f -fel jelöljük.
a
Az [a, b]-n Riemann integrálható függvények osztályát R[a, b]-vel fogjuk jelölni.
(1)-gyel egy (új típusú) határértéket definiáltunk, így az integrál definícióját egyszerűen Zb I=
f (x) dx := lim s(f, P, t)
ahol s(f, P, t) =
kP k→0
n X
f (ti )(xi − xi−1 )
i=1
a
alakban is írhatjuk (ahol természetesen meg kell mondani, hogy f, P, ti , t mit jelentenek). Az
Rb
f (x) dx geometriai jelentése: az x = a, x = b, y = 0 egyenesek és az y = f (x) függvény gráfja által
a
meghatározott síkidom előjeles területe (az x tengely alatti részt az integrál negatív előjellel számolja). Példa. Legyen f (x) = c=konstans ha x ∈ [a, b]. Ekkor bármely P felosztás esetén s(f, P, t) =
n X
c(xi − xi−1 ) = c
i=1
így
Rb
n X (xi − xi−1 ) = c(b − a) i=1
c dx = c(b − a).
a
Tétel. [az integrál alaptulajdonságai] Ha f, g : [a, b] → R, f, g ∈ R[a, b], akkor bármely c ∈ R és bármely a < d < b mellett Zb f + g ∈ R[a, b]
és
Zb (f + g) =
a
f+ a
Zb cf ∈ R[a, b]
és
(cf ) = c
f, a
Zb és
ha f (x) ≤ g(x) (x ∈ [a, b])
g, a
Zb
a
f ∈ R[a, d], f ∈ R[d, b]
Zb
Zd f
=
f+
a
a
Zb
Zb
akkor
f
≤
a
Zb f, d
g, a
Zb ha m = inf
x∈[a,b]
f (x), M = sup f (x) x∈[a,b]
akkor
m(b − a) ≤
f ≤ M (b − a). a
A fenti tulajdonságokat rendre, az integrál (függvény szerinti) additivitásának, homogenitásának, (intervallum szerinti) additivitásának, monotonitásának nevezzük, az utolsó állítás az integrálszámítás középértéktétele melyet egy másik alakban is megfogalmazunk.
7
Bizonyítás. Ha f, g : [a, b] → R, f, g ∈ R[a, b], P az [a, b] egy felosztása, ti ∈ [xi−1 , xi ], t = (t1 , . . . , tn ) akkor könnyű ellenőrizni, hogy az integrálközelítő összegekre érvényesek az s(f + g, P, t) s(cf, P, t)
= s(f, P, t) + s(g, P, t) = cs(f, P, t)
ha c ∈ R
s(f, P, t)
= s(f[a,d] , P[a,d] , t[a,d] ) + s(f[d,b] , P[d,b] , t[d,b] )
ha a < d < b, d a P osztópontja
s(f, P, t)
≤ s(g, P, t)
ha f (x) ≤ g(x) (x ∈ [a, b])
m(b − a)
≤ s(f, P, t) ≤ M (b − a)
ha m = inf
x∈[a,b]
f (x), M = sup f (x) x∈[a,b]
tulajdonságok, ahol f[a,d] , P[a,d] , t[a,d] az f függvény, P felosztás, t közbenső értékrendszer leszűkítése az [a, d] intervallumra. E tulajdonságokból kP k → 0 határátmenettel adódik a tétel állítása. ¤ Tétel. [az integrálszámítás középértéktétele] Legyen f : [a, b] → R Riemann integrálható [a, b]-n, akkor Zb m(b − a) ≤
f ≤ M (b − a), a
ahol m = inf
x∈[a,b]
f (x),
M = sup f (x). x∈[a,b]
Ha f folytonos [a, b]-n akkor van olyan ξ ∈ [a, b] melyre 1 f (ξ) = b−a
(2)
Zb f (x) dx. a
Bizonyítás. Csak a folytonos függvényekre vonatkozó állítást kell igazolni. Mivel 1 m≤ b−a
Zb f (x) dx ≤ M a
és folytonos függvény felvesz minden (közbenső) értéket [m, M ]-ben így van ξ ∈ [a, b] melyre (2) teljesül.
¤
Az integrálhatóság analitikus kritériuma a Tétel. [Lebesgue-féle integrálhatósági kritérium] Az f : [a, b] → R korlátos függvény akkor és csakis akkor Riemann integrálható [a, b]-n, ha f egy Lebesgue szerint nullmértékű halmaztól eltekintve folytonos. Definíció. Egy E ⊂ R halmazt akkor nevezünk Lebesgue szerint nullmértékűnek, ha bármely ε > 0-hoz van olyan ]an , bn [ (n ∈ N) intervallumsorozat mely lefedi E-t és melynek összhosszúsága kisebb mint ε azaz E⊂
∞ [
]an , bn [ és
n=1
∞ X
(bn − an ) < ε.
n=1
Bizonyítás. Ld. pl. Szőkefalvi, Valós függvények és függvénysorok, Tankönyvkiadó, Bp., 1977.
¤
Állítás.Minden E megszámlálható halmaz (Lebesgue szerint) nullmértékű. Bizonyítás. Ugyanis, ha E = { xi ∈ R : i = 1, . . . , n } véges halmaz, akkor mindegyik xi pontot egy ε/n-nél kisebb hosszúságú nyílt intervallummal lefedve az intervallumok uniója lefedi E-t és összhossza kisebb mint ε. Ha E = { xi ∈ R : i =∈ N } megszámlálhatóan végtelen halmaz, akkor minden i ∈ N mellett az xi pontot egy ε/2n -nél kisebb hosszúságú nyílt intervallummal lefedve az intervallumok uniója lefedi E-t és összhossza
8
kisebb mint ∞ ε X ε 2 = 2n 1− i=1
1 2
= ε. ¤
Így Lebesgue tételéből következik, hogy egy pontsorozat kivételével folytonos függvény integrálható. Lebesgue tételével könnyű igazolni, hogy ha f, g ∈ R[a, b] akkor f g, f 2 , |f | ∈ R[a, b] és ha van olyan k > 0 hogy |g(x)| ≥ k ha x ∈ [a, b] akkor f /g ∈ R[a, b] is teljesül. Továbbá fennáll a ¯ ¯ b ¯ Zb ¯Z ¯ ¯ ¯ ¯ (3) ¯ f (x) dx¯ ≤ |f (x)| dx ¯ ¯ a
a
egyenlőtlenség. Ennek igazolása: a −|f (x)| ≤ f (x) ≤ |f (x)| egyenlőtlenséget integrálva Zb −
Zb |f (x)| dx =
a
Zb (−|f (x)| dx ≤
a
Zb f (x) dx ≤
a
|f (x)| dx a
amiből az abszolút érték tulajdonságai miatt (3) következik. 8.3 Az integrál kiszámítása, Newton-Leibniz formula Definíció. Legyen f ∈ R[a, b], akkor a Z T (x) =
x
f (t) dt (x ∈ [a, b]) a
függvényt f területmérő függvényének nevezzük. Tétel. [a területmérő függvény tulajdonságai] Ha f ∈ R[a, b], és T az f területmérő függvénye,akkor (a) T folytonos [a, b]-n, (b) ha f folytonos x0 ∈ [a, b]-ben, akkor T differenciálható x0 -ban, és T 0 (x0 ) = f (x0 ). Bizonyítás. (a) Először kiegészítjük az integrál definícióját. Legyen Za
Za f (x) dx := 0,
a
Zb f (x) dx := −
f (x) dx
ha
a < b.
a
b
Tegyük fel, hogy |f (x)| ≤ M (x ∈ I) ahol I = [a, b] (vagy b < a esetén) I = [b, a], akkor érvényes az ¯Z ¯ ¯ b ¯ ¯ ¯ f (x) dx¯ ≤ M |b − a| ¯ ¯ a ¯ egyenlőtlenség. Az egyszerűség kedvéért tegyük fel, hogy x > x0 akkor ¯Z x ¯ ¯Z x ¯ Z x0 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ |T (x) − T (x0 )| = ¯ f (t) dt − f (t) dt¯ = ¯ f (t) dt¯¯ ≤ M |x − x0 | < ε a
a
x0
ahol |f (x)| ≤ M (x ∈ [a, b]), s ez éppen f folytonosságát jelenti.
ha
|x − x0 | < δ(ε) = ε/M
9
(b) Ismét legyen x > x0 akkor ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ Z x Z x Z x ¯ T (x) − T (x0 ) ¯ ¯ 1 ¯ ¯ 1 ¯ 1 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ) = f (t) dt − f (x ) dt = (f (t) − f (x )) dt − f (x 0 ¯ 0 0 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ x − x0 x − x0 x0 x − x0 x0 x − x0 x0 ≤
1 x − x0
Z
x
|f (t) − f (x0 )| dt < x0
1 ε(x − x0 ) = ε x − x0
ha
|x − x0 | < δ(ε),
mivel az x0 -beli folytonosság miatt |f (t) − f (x0 )| < ε ha t ∈ [x0 , x] és |x − x0 | < δ(ε). Így T (x) − T (x0 ) → f (x0 ) ha x → x0 , amiből T 0 (x0 ) = f (x0 ). x − x0 A bizonyítás x < x0 esetén hasonló.
¤
Következmény. Minden folytonos függvénynek van primitív függvénye, ti. a területmérő függvénye. Tétel. [Newton-Leibniz formula] Tegyük fel, hogy f : [a, b] → R folytonos [a, b]-n, és F : [a, b] → R a f egy primitív függvénye [a, b]-n, akkor Zb b
f (x) dx = F (b) − F (a) = [F (x)]a . a
Rx Bizonyítás. Láttuk, hogy T (x) = a f (t) dt a f primitív függvénye, így F felírható F (x) = T (x)+c alakban, ahol c ∈ R alkalmas konstans. Mivel f (a) = T (a) + c = c, így Zb f (x) dx = T (b) = F (b) − c = F (b) − F (a). a
¤ Megjegyzés. A Newton-Leibniz formula akkor is érvényes, ha f ∈ R[a, b], F : [a, b] → R folytonos [a, b]-n, és F 0 (x) = f (x) (x ∈]a, b[). Példa. Z 1 1 1 dx = [arctg x]0 = arctg 1 − arctg 0 = π/4. 2 1 + x 0 Tétel. [parciális integrálás határozott integrálra] Ha f, g : [a, b] → R folytonosan differenciálhatók [a, b]-n, akkor Zb Zb b f 0 (x)g(x) dx = [f (x)g(x)]a − f (x)g 0 (x) dx a
a
ahol
b [f (x)g(x)]a
= f (b)g(b) − f (a)g(a).
Bizonyítás. Legyen F (x) =
Rx
f 0 (t)g(t) dt − f (x)g(x) + f (a)g(a) +
a
Rx
f (t)g 0 (t) dt (x ∈ [a, b]), akkor F 0 (x) =
a
0 (x ∈ [a, b]), F (a) = 0 így F (x) = 0 (x ∈ [a, b]) speciálisan F (b) = F (a) = 0 és ez éppen a bizonyítandó állítás. ¤ Tétel. [helyettesítéses integrálás határozott integrálra] Ha g : [a, b] → [c, d] folytonosan differenciálhatók [a, b]-n, f : [c, d] → R folytonos [c, d]-n, akkor Zb
g(b) Z f (g(x)) g (x) dx = f (u) du. 0
a
g(a)
10
Bizonyítás. Legyen F (x) =
Rx
f (g(t)) g 0 (t) dt−
a
g(x) R
f (u) du (x ∈ [a, b]), akkor F 0 (x) = 0 (x ∈ [a, b]), F (a) = 0
g(a)
így F (x) = 0 (x ∈ [a, b]) speciálisan F (b) = F (a) = 0 és ez éppen a bizonyítandó állítás.
¤
8.4 Improprius integrál A Riemann integrált korlátos (zárt) intervallumon értelmezett korlátos függvényekre definiáltuk. Most kiterjesztjük a definíciót végtelen (nem korlátos) intervallumok és nem korlátos függvények esetére is. 1. Integrál végtelen intervallumokon. Definíciók. Legyen f :] − ∞, b] → R, b ∈ R és tegyük fel, hogy minden t < b mellett f ∈ R[t, b], akkor Zb
Zb f (x) dx := lim
f (x) dx
t→−∞
−∞
t
Rb
feltéve, hogy a jobboldali határérték véges. Ekkor azt mondjuk, hogy az
f (x) dx improprius integrál kon-
−∞
vergens, ellenkező esetben (amikor a jobboldali határérték nem létezik, vagy létezik de végtelen) divergens. Legyen f : [a, ∞[→ R, a ∈ R és tegyük fel, hogy minden a < t mellett f ∈ R[a, t], akkor Z∞
Zt f (x) dx := lim
f (x) dx
t→∞
a
a
R∞
feltéve, hogy a jobboldali határérték véges. Ekkor azt mondjuk, hogy az
f (x) dx improprius integrál konver-
a
gens, ellenkező esetben (amikor a jobboldali határérték nem létezik, vagy létezik de végtelen) divergens. Végül, ha f :] − ∞, ∞[→ R, és minden s < t, s, t ∈ R mellett f ∈ R[s, t], akkor tetszőleges c ∈ R mellett R∞ Rc R∞ f (x) dx : = f (x) dx + f (x) dx −∞
−∞
= lim
c
Rc
s→−∞ s
f (x) dx + lim
Rt
t→∞ c
f (x) dx
feltéve, hogy mindkét jobboldali határérték véges. Ekkor azt mondjuk, hogy az
R∞
f (x) dx improprius integrál
−∞
konvergens, ellenkező esetben (amikor a jobboldali határértékek közül legalább az egyik nem létezik, vagy létezik de végtelen) divergens. 2. Nem korlátos függvények integrálása. Definíciók. Legyen f : [a, b] → R, a, b ∈ R és tegyük fel, hogy f nem korlátos [a, b]-n, de minden a < t < b mellett f ∈ R[t, b], (így f korlátos [t, b]-n!), akkor Zb
Zb f (x) dx := lim
f (x) dx
t→a+0
a
t
feltéve, hogy a jobboldali határérték véges. Ekkor azt mondjuk, hogy az
Rb a
f (x) dx improprius integrál konver-
gens, ellenkező esetben (amikor a jobboldali határérték nem létezik, vagy létezik de végtelen) divergens.
11
Legyen f : [a, b] → R, a, b ∈ R és tegyük fel, hogy f nem korlátos [a, b]-n, de minden a < t < b mellett f ∈ R[a, t], (így f korlátos [a, t]-n!), akkor Zb
Zt f (x) dx := lim
f (x) dx
t→b−0
a
a
feltéve, hogy a jobboldali határérték véges. Ekkor azt mondjuk, hogy az
Rb
f (x) dx improprius integrál konver-
a
gens, ellenkező esetben (amikor a jobboldali határérték nem létezik, vagy létezik de végtelen) divergens. Végül, ha f : [a, b] → R, a, b ∈ R, és f nem korlátos [a, b]-n, de van olyan c, a < c < b hogy minden a < s < c < t < b mellett f ∈ R[a, s], f ∈ R[t, b] (így f korlátos [a, s]-n és [t, b]-n, azaz f a c pont egy környezetében nem korlátos!), akkor Rb
f (x) dx :
a
=
Rc
Rb
f (x) dx +
a
= lim
f (x) dx
c
Rs
s→c−0 a
f (x) dx + lim
Rb
t→c+0 t
f (x) dx
feltéve, hogy mindkét jobboldali határérték véges. Ekkor azt mondjuk, hogy az
Rb
f (x) dx improprius integrál
a
konvergens, ellenkező esetben (amikor a jobboldali határértékek közül legalább az egyik nem létezik, vagy létezik de végtelen) divergens. Megjegyzések. 1. A Riemann integrál definíciója segítségével könnyen belátható, hogy a Riemann integrál (beleértve az improprius integrált is) értéke nem változik, ha a függvény értékét véges sok pontban megváltoztatjuk. Ezért a nem korlátos függvények (improprius) integráljának pl. az (első) definíciójában (amikor f az a végpont egy környezetében nem korlátos) mindegy, hogy a kiinduló f függvény az a pontban definiálva van vagy sem, mert utóbbi esetben f (a)-t tetszőlegesen értelmezve az integrál nem változik. Mi mindhárom definíció esetében feltételeztük, hogy f értelmezve van abban a pontban, melynek környezetében f nem korlátos. Improprius integrálra példaként tekintsük az Z1 0
dx xp
integrált, ahol p > 0 adott konstans. 1 Az f (x) = p függvény p > 0 esetén ugyan nincs értelmezve az x = 0 pontban, de az előző megjegyzés alapján x e függvény értelmezési tartományát kiterjeszthetjük az x = 0 pontra is, és ott tetszőlegesen, pl. az f (0) = 0 definícióval értelmezve, az (improprius) integrál (konvergenciája), értéke nem változik. Mivel függvényünk nem korlátos x = 0 egy környezetében, így · −p+1 ¸1 x 1 1 lim ha p 6= 1 Z Z dx t→0+0 −p + 1 t dx = lim = t→0+0 xp xp 1 t 0 lim [ln x]t ha p = 1 t→0+0
=
µ lim
t→0+0
1 t1−p − 1−p 1−p
lim (ln 1 − ln t)
t→0+0
¶
ha p 6= 1 = ha p = 1
1 1−p
ha p < 1
+∞
ha p ≥ 1.
A fenti improprius integrál ezért akkor és csakis akkor konvergens, ha 0 < p < 1 és ekkor az integrál értéke
1 1−p .
12
p ≤ 0 esetén az integrandust x−p alakba írva láthatjuk, hogy az folytonos [0, 1]-en, így, ekkor integrálunk 1 közönséges (nem improprius!) Riemann integrál, értéke ugyanaz mint előbb: 1−p . 2. A definiciókban tárgyalt két eset egy improprius integrálban is felléphet. Pl. az Z∞ dx √ (x + 3) x − 1 1
improprius integrált az Z∞
Z2 =
1
felbontást használva az Z∞ 1
dx √ = lim (x + 3) x − 1 t→1+0
Z2 t
Z∞ +
1
2
dx √ + lim (x + 3) x − 1 t→∞
Zt 2
dx √ (x + 3) x − 1
segítségével számolhatjuk ki. Mivel Z √ dx √ = ( x − 1 = t helyettesítéssel, x = t2 + 1, dx = 2t dt) (x + 3) x − 1 Z =
2t dt = (t2 + 4)t
Z
2 dt t = arctg = arctg t2 + 4 2
√
x−1 + C, 2
így Z∞ 1
dx √ (x + 3) x − 1
√ √ √ √ ¶ ¶ µ µ 2−1 t−1 t−1 2−1 − arctg + lim arctg − arctg = lim arctg t→∞ t→1+0 2 2 2 2 µ ¶ µ ¶ 1 π 1 π = arctg − arctg 0 + − arctg = . 2 2 2 2
8.5 Kettős integrál Definíciók. Legyen D = [a, b] × [c, d] egy téglalap, és Px Py
= { xi : a = x0 < x1 < · · · < xm = b }, = { yj : c = y0 < y1 < · · · < yn = d }
az [a, b], [c, d] intervallumok felosztásai, akkor a P = Px × Py = { (xi , yj ) : i = 0, 1, . . . , m; j = 0, 1, . . . , n } pontrendszert a D egy felosztásának nevezzük, Dij = [xi−1 , xi ] × [yj−1 , yj ] (i = 0, 1, . . . , m; j = 0, 1, . . . , n) a felosztás téglalapjai q kP k = max (xi − xi−1 )2 + (yj − yj−1 )2 1≤i≤m,1≤j≤n
a felosztás finomsága (a Dij téglalapok átlói hosszának a maximuma). Legyen f : D → R korlátos függvény a D téglalapon, P a D egy felosztása, (si , tj ) ∈ Dij közbenső pontok, v = ((s1 , t1 ), (s1 .t2 ), . . . , (sm , tn )) a közbenső pontok rendszere/vektora. Az s(f, P, v) =
m X n X i=1 j=1
f (si , tj )m(Dij )
13
összeget, ahol m(Dij ) = (xi − xi−1 )(yj − yj−1 ) a Dij téglalap területe (mértéke), az f függvény P felosztáshoz és v közbenső pontrendszerhez tartozó integrálközelítő összegének nevezzük. s(f, P, v) geometriai jelentése : a felosztás és a közbenső értékek által meghatározott hasábok térfogatának (előjeles) összege, ami annál jobban közelíti az f által meghatározott felület alatti (előjeles) térfogatot, minél finomabb a felosztás. Definíció. [kettős Riemann integrál definíciója] Az f : D → R korlátos függvényt Riemann integrálhatónak nevezzük a D téglalapon, ha van olyan I ∈ R szám, hogy bármely ε > 0-hoz létezik olyan δ(ε), hogy (4)
|s(f, P, v) − I| < ε
ha kP k < δ(ε)
bármely v = ((s1 , t1 ), (s1 .t2 ), . . . , (sm , tn )) közbenső pontrendszer mellett teljesül. ZZ ZZ Az I számot az f függvény D-n vett Riemann integráljának nevezzük és f (x, y) dxdy vagy f -fel D
jelöljük. Azt is írhatjuk, hogy ZZ I= f (x, y) dxdy := lim s(f, P, v) kP k→0
ahol s(f, P, v) =
m X n X
D
f (si , tj )(xi − xi−1 )(yj − yj−1 )
i=1 j=1
D
és a limesz jelentése (4)-gyel van definiálva. A kettős integrál tulajdonságai, hasonlóak az egyváltozós integrál tulajdonságaihoz, integrálható függvények összege, konstansszorosa is integrálható, és az összeg integrálja a tagok integráljainek összege, konstans szorzó kiemelhető az integráljel elé. Tétel. [kettős integrál kiszámítása] Legyen f : D → R folytonos a D = [a, b] × [c, d] téglalapon, akkor f integrálható D-n és ZZ Zb Zd f (x, y) dxdy = f (x, y) dy dx a
D
vagy
c
ZZ Zd Zb f (x, y) dxdy = f (x, y) dx dy. c
D
s
Amint a tételből leolvasható, a kettős integrál kiszámítása ismételt (iterált) integrálással történik, a sorrend (az hogy először x szerint másodszor y szerint integrálunk, vagy fordítva) nem számít. Ha D nem téglalap, hanem pl. D = { (x, y) : a ≤ x ≤ b, ϕ1 (x) ≤ y ≤ ϕ2 (x) } (rajzoljon ábrát!) által megadott (un. elsőfajú normáltartomány, melyet az x = a, x = b egyenesek és az y = ϕ1 (x), y = ϕ2 (x) (x ∈ [a, b] görbék határolnak, ahol ϕ1 , ϕ2 : [a, b] → R adott folytonos függvények, úgy, hogy ϕ1 (x) ≤ ϕ2 (x) ha x ∈ [a, b]), akkor, válasszuk c, d-t úgy, hogy D ⊂ [a, b] × [c, d] teljesüljön. Legyen f (x, y) ha (x, y) ∈ D f ∗ (x, y) := 0 ha (x, y) ∈ [a, b] × [c, d] \ D ekkor az integrál definíciója:
ZZ
ZZ f ∗ (x, y) dxdy.
f (x, y) dxdy := D
[a,b]×[c,d]
Felhasználva a a kiszámításra vonatkozó tételt f folytonosságát feltételezve kapjuk, hogy ZZ Zb Zd f (x, y) dxdy = f ∗ (x, y) dy dx. D
a
c
14
Mivel ϕZ1 (x)
Zd ∗
f (x, y) dy = c
ϕZ2 (x) ∗
f (x, y) dy + c
Zd ∗
f ∗ (x, y) dy
f (x, y) dy + ϕ1 (x)
ϕ2 (x)
és a jobboldali első és harmadik integrál integrandusa zérus, a második integrál integrandusa f, ezért ϕZ2 (x)
Zd ∗
f (x, y) dy = c
f (x, y) dy ϕ1 (x)
és végül ZZ
Zb f (x, y) dxdy = a
D
ϕZ2 (x)
f (x, y) dy dx.
ϕ1 (x)
Hasonóan, ha az integrációs tartomány D = { (x, y) : c ≤ y ≤ d, ψ1 (y) ≤ x ≤ ψ2 (y) } (rajzoljon ábrát!) által megadott (un. másodfajú normáltartomány, melyet az y = c, y = d egyenesek és az x = ψ1 (y), x = ψ2 (y) (y ∈ [c, d] görbék határolnak, ahol ψ1 , ψ2 : [c, d] → R adott folytonos függvények, úgy, hogy ψ1 (y) ≤ ψ2 (y) ha y ∈ [c, d]), akkor, f folytonosságát feltételezve, az integrált ZZ Zd ψZ2 (y) f (x, y) dxdy = f (x, y) dx dy c
D
ψ1 (y)
képlet segítségével számolhatjuk ki. Példák. 1. Legyen D = [0, 1] × [2, 5] akkor ZZ
Z1 2
(x y + 3x) dxdy
Z5
=
D
Z1 ·
(x y + 3x) dy dx = 2
¸y=5 dx y=2
0
2
Z1 µ
¶ · ¸1 21x2 21x3 9x2 21 9 + 9x dx = + = + = 8. 2 6 2 0 6 2
= 0
0
x2 y 2 + 3xy 2
Számítsuk ki most ugyanezt az integrált a fordított sorrendben való integrálással! ZZ
Z5 2
(x y + 3x) dxdy
2
D
Z5 µ = 2
Z5 ·
(x y + 3x) dx dy =
=
Z1 2
0
y 3 + 3 2
2
¶
·
y2 3y dy = + 6 2
x3 y 3x2 + 3 2
¸5
2. Legyen most D = { (x, y) : 0 ≤ x ≤ 1, x2 ≤ y ≤
= 2
√
¸x=1 dy x=0
21 9 + = 8. 6 2
x}
15
(rajzoljon ábrát!) és f (x, y) = x2 y 3 , akkor √ ZZ Z1 Z x Z1 · 2 4 ¸y=√x x y (x2 y 3 ) dxdy = (x2 y 3 ) dy dx = dx 4 y=x2 0
D
Z1 µ = 0
0
x2
x10 x4 − 4 4
¶
·
x11 x5 dx = − 20 44
¸1 = 0
1 1 6 − = . 20 44 220
Hasonlóan definiálhatjuk egy f : D → R függvény hármas integrálját a D = [a, b] × [c, d] × [e, g] téglatesten, a
ZZZ f (x, y, z) dxdydz := lim
kP k→0
D
p m X n X X
f (si , tj , uk )m(Dijk )
i=1 j=1 k=1
határértékkel, ahol m(Dijk ) a felosztás Dijk téglatestének térfogata, (si , tj , uk ) ∈ Dijk közbenső pontok. A hármasintegrál tulajdonságai, kiszámítása hasonlóak a kettős integráléhoz.
