7. DIFERENCIÁLNÍ POČET FUNKCÍ DVOU PROMĚNNÝCH Definiční oblasti Úlohy k samostatnému řešení... 83

Sbírka úloh z matematiky

7.

7. Diferenciální počet funkcí více proměnných

DIFERENCIÁLNÍ POČET FUNKCÍ DVOU PROMĚNNÝCH ........................... 83

7.1.

Definiční oblasti ............................................................................................................ 83 Úlohy k samostatnému řešení............................................................................................ 83

7.2.

Parciální derivace......................................................................................................... 83 Úlohy k samostatnému řešení............................................................................................ 83

7.3.

Tečná rovina a normála............................................................................................... 84 Úlohy k samostatnému řešení............................................................................................ 84

7.4.

Lokální extrémy, vázané extrémy............................................................................... 85 Úlohy k samostatnému řešení............................................................................................ 85 Výsledky úloh k samostatnému řešení .............................................................................. 87

- 82 -



7. DIFERENCIÁLNÍ POČET FUNKCÍ DVOU PROMĚNNÝCH 7.1. Definiční oblasti Úlohy k samostatnému řešení

1. Určete definiční obor funkce: a) z = x − y − 3 x − y , c) z = ln ( 2 − x ) + arccos 2 y , e) z =

⎛ x+4⎞ x + 2y − arctg ⎜ ⎟, 4 ⎝ y −1 ⎠

g) z = 9 − x 2 − y 2 − 9 , i) z = ln ( 2 + x + y ) − ln ( 2 − x + y ) , k) z = x − y , 2

2

b) z = arcsin ( x 2 + y 2 − 4 ) , d) z = x 2 + y 2 − 4 ,

4 − x2 − y 2 , 1 − x2 − y 2 xy h) z = arcsin , 2

f) z =

j) z = e l)

1+ x2 − y

,

x2 − 4 . y2 −1

z=

Výsledky úloh k samostatnému řešení

7.2. Parciální derivace Úlohy k samostatnému řešení

2. Vypočítejte první parciální derivace: a) z = 4 x + 5 y − 3 , c) z = x 2 y 3 + 4 xy 2 − 4 x , x+ y e) z = , y−x x −1 g) z = , 1− y

1 + y, x d) z = 3x 2 − 2 xy + y 2 xy ,

b) z =

f) z = x 3 + 3 y 2 + xy − 7 ,

(

h) z = xy + x + y

). 2

Výsledky úloh k samostatnému řešení 3. Vypočítejte první parciální derivace: a) z = y sin x , y c) z = tg , x x e) z = arcsin , y 1 − arctg x , g) z = arctg y

b) z = sin x cos y , d) z = 3sin xy + y 2 cotg ( y − x ) , f) z = arccos x 2 + y 2 ,

(

)

h) z = sin x 2 + 1 + y .

Výsledky úloh k samostatnému řešení - 83 -



4. Vypočítejte první parciální derivace: x2 − y 2

a) z = e

y

c) z = 2 x , e) z =

d) z = ln

x xy e , y

g) z = ln

)

(

b) z = ln x + x 2 − y 2 ,

,

4 − xy 4 + xy

,

f) z = x 2 + y 2 ln ( x + y ) ,

x + y2 −1 y + x2 − 1

h) z = 3

,

x+ y x− y

.

Výsledky úloh k samostatnému řešení 5. Vypočítejte první parciální derivace: a) z = y sin x + y ,

(

)

⎛ x⎞ c) z = y tg ⎜ x + ⎟ , y⎠ ⎝ ⎛ x⎞ e) z = x arcsin ⎜ y − ⎟ , y⎠ ⎝ g) z =

arctg x , arctg y

b) z = sin ( x 2 − 2 y ) cos y , d) z = 3sin x cotg ( y + 3x ) ,

(

)

f) z = y + 1 − x 2 arccos x , h) z = 2 x + y sin x 2 .

Výsledky úloh k samostatnému řešení 6. Vypočítejte druhé parciální derivace: a) z = 4 x 2 y + 5 y 2 x − 3 , c) z = sin ( xy ) , e) z =

y+x , y−x

g) z = arcsin

y +1 + y 2 + x2 , 2 x d) z = 3x3 − 2 x 2 y + y 4 ,

b) z =

f) z = ln x 2 + y 2 , x , y

h) z = xy + x + y .


7.3. Tečná rovina a normála Úlohy k samostatnému řešení

7. Napište rovnici tečné roviny a normály funkce v bodě: a) z = x 2 y 3 + 4 xy 2 − 4 x, T = [1, −1, ?] , b) z = 2 x + y 2 − x 2 , T = [3,5,?] , c) z = ln

1− x + y , T = [ −1,1,?] , 1+ x + y - 84 -



⎡π π ⎤ d) z = x sin ( x + y ) , T = ⎢ , ,? ⎥ , ⎣4 4 ⎦ e) z = arctg (1 − xy ) , T = [ 2,1,?] ,

f) z = x 2 + 3 y 2 + 2 y − 8, T = [ 2,1,?] , g) z = 25 − x 2 − y 2 − 9, T = [ −4,5,?] , ⎡π π ⎤ h) z = sin ( 2 x + 3 y ) , T ⎢ , ,? ⎥ , ⎣2 3 ⎦ 2 i) z = x − 2 x y + 3 y − 4, T [1, 4,?] ,

j) z = ln ( x 2 + y 2 ) , T [1, 0,?] ,

x k) z = arccotg , T [1,1,?] , y sin x − sin y ⎡ π ⎤ l) z = , T = ⎢ 0, , ? ⎥ . cos y − cos x ⎣ 3 ⎦ Výsledky úloh k samostatnému řešení 8. Napište rovnici tečné roviny plochy, která rovnoběžná s danou rovinou, určete bod dotyku: a) z = 6 x 3 y − 2 xy 2 + 7 x − 8 y − 2, α : 23x − 6 y − z + 8 = 0 , b) z = xe y − cos y + 3, α : x + 2 y − z + 6 = 0 , c) z = x y 2 + x − 6 y + 3, α : 23 x − 16 y − 6 z + 7 = 0 , d) z = 3x 2 y − 2 y 3 + 7 xy − 5 y − 4, α :12 x − 2 y − z + 8 = 0 , e) z = ln ( x − 2 y + 6 ) , α : x − 2 y − z = 0 , f) z =

x+ y , α : 4 x − 5 y + 3z − 2 = 0 . x− y

Výsledky úloh k samostatnému řešení 7.4. Lokální extrémy, vázané extrémy Úlohy k samostatnému řešení

9. Určete lokální extrémy funkce: a) z = 4 x 2 + 5 y 2 − 12 x + 15 y + 6 , c) z = e x + y ( x 2 + y 2 ) ,

e) z = 4 − x 3 + x 2 y − 3 y 2 + 20 y , g) z = x3 − 4 xy + y 2 + 4 x + 1 , i) z = ( x 2 − 1)( y 2 − 4 ) ,

k) z = ln ( x 2 + y 2 + 2 x − 4 y + 14 ) ,

b) z = 3 x 2 − 4 xy + 6 x + 4 y 2 − 4 y + 9 , d) z = 3 y 3 − 6 xy + y 2 + 3 , 1 1 − , x y h) z = ln ( xy ) − 4 x − 9 y ,

f) z = 4 x − y +

j)

z = x y − x2 − y + 6 x + 5 ,

l) z = e y − x ( x 2 + y 2 ) .

Výsledky úloh k samostatnému řešení - 85 -



10. Nalezněte vázané extrémy funkce při daných podmínkách: a) z = x 2 + 3xy − y 2 , podm. x + y = 3 , b) z = x + y , podm. xy = 1 , c) z = 4 ln y − x, podm. y = x 2 , d) z = sin ( y + 1) + cos x, podm. y − x = −1 , e) z = 4 x + xy − 5 y, podm. x − y = 4 , 1 f) z = 4 x ( y 2 − 2 y + 4 ) , podm. xy = , 4 2 4 2 g) z = 2 x + x − y − 3 y + 1, podm. y = x , h) z = ln ( x + y ) , podm. xy = 1 . Výsledky úloh k samostatnému řešení

- 86 -




1. a)

b) y

y

y=x

4

2

2

x +y =5

2

3

2

1

2

-4

-3

-2

-1

0

2

x +y =3

1

1

2

3

4

-2

x

0

-1

1

2

x

-1 -1

-2

-3 -2

-4

c)

d) y y

3

2 1.5 1

2

y=

0.5

1 2

x=2

1

2

-3 -2

0

-1

-0.5 -1

1

2

-2

0

-1

2

x +y =4 1

2

3

x

x

-1

1 y= 2

-2

-1.5 -3 -2 -2.5

e)

f) y

y

4

2

2

2

x +y =4

3

1 2

1 -2

y=1 -3

-2

-1

0

1

2

3

-1

0

x

-1 -1

-2

1

1 y= - x 2 -2

-3

- 87 -

2

2

x +y =1

2

x



g)

h) y 7

y

4

6 5

3

4

y=3

3

x=-3 -7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

2

1

2

3

4

y=

2

x=3

1 0

2 y= x

2 x

1

5

6

7

-4

x

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

x

2

3

4

x

2

3

4

x

-1 -1

-2 -3

-2

y=-3

-4

-3

-5 -6

-4

-7

i)

j) y

y

6

4

5

3

y=-x-2

2

y=x +1

4

y=x-2

2

3

1

2 -4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

x

1

-1

-2

-4

-3

-2

-1

0

1

-1

-3

-2

-4

-3

k)

l) y y

y=-x

4

y=x

4

x=-2

3

3

x=2

2 2 1

y=1

1 -4 -4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

-3

-2

-1

0

1

x

-1 -1 -2 -2 -3 -3 -4 -4

- 88 -

y=-1


b) z′x = −

2. a) z ′x = 4, z ′y = 5 ; y2 y

d) z ′x = 6 x − 2 y + f) z ′x =


2 x

, z ′y = −2 x +

3x 2 + y

, z ′y =

2 x + 3 y + xy − 7 3

1 1 , z ′y = ; 2 x 2 y

2

c) z′x = 2 xy 3 + 4 y 2 − 4, z′y = 3x 2 y 2 + 8 xy ;

5 y xy ; 2

e) z ′x =

6y + x 2

⎛ ⎞ 1 h) z ′x = 2 xy + x + y ⎜ y + ⎟ , z ′y = 2 xy + x + y ⎜ 2 x + y ⎟⎠ ⎝

(

)

(

3. a) z ′x = y cos x, z ′y = sin x ; c) z ′x =

−y x 2 cos 2

y x

, z ′y =

d) z ′x = 3 y cos xy + 1

e) z ′x =

y −x 2

g) z ′x = −

2

1 x cos 2

y x

−2 x

( y − x)

2

;

1 x −1 ; , z ′y = 2 1− y (1 − y )

⎞ 1 ⎟. x + y ⎟⎠

y2 y2 ′ ; = + − − z x xy y y x , 3 cos 2 cotg ( ) y sin 2 ( y − x ) sin 2 ( y − x )

, z ′y =

(

−x y y −x 2

2

x

; f) z ′x =

)

x +y 2

(

x x2 − y 2

e

x2 − y 2

, z ′y =

−y x2 − y2

b) z′x =

⎛ x ⎜1 + 2 2 ⎜ 2 x+ x − y ⎝ x − y2

c) z ′x =

− y xy 1 xy ′ 2 ln 2, z = 2 ln 2 ; y x2 x

e) z′x =

1 xy x x2 e + xe xy , z ′y = − 2 e xy + e xy ; y y y

f) z ′x =

⎝

, z ′y =

;

y

h) z′x = 2 x cos x 2 + 1 + y , z ′y = cos x 2 + 1 + y

1

e

2

2

, z ′y =

y x +y 2

;

;

⎛ y ⎜1 − 2 ⎜ x − y2 ⎝

⎞ ⎟; ⎟ ⎠

−4 , z ′y = x (16 − xy )

x2 + y 2 ln ( x + y ) + ; x+ y x2 + y2

- 89 -

1 − x2 − y2

1 . 1+ y

d) z ′x =

y

2

;

)2

x2 − y 2

1− x − y

2

⎞ 1 ⎟ , z ′y = ⎟ x + x2 − y2 ⎠

x2 + y 2 ln ( x + y ) + , z ′y = x+ y x2 + y 2 x

⎛

) ⎜⎜ x + 2

2

b) z ′x = cos x cos y , z ′y = − sin x sin y ;

1 1 , z ′y = − 2 x (1 + x ) 2 y (1 + y ) arctg 2

4. a) z ′x =

( y − x)

g) z ′x =

;

2 x + 3 y + xy − 7 3

2y

−4 ; y (16 − xy )


y x2 −1 − x y 2 − 1 −1

g) z′x =

)(

(

x2 −1 x + y 2 −1 y + x2 − 1 −2 y

h) z′x = z ′x =


( x − y)

2

3

x+ y x− y

ln 3, z′y =

2x

( x − y)

3

2

)

, z′y =

x+ y x− y

y x2 − 1 − x y 2 − 1 + 1

)(

(

x 2 − 1 x + y 2 − 1 y + x 2 −1

)

;

ln 3 .

sin x 2 sin x 2 . + 2 x 2 x + y cos x 2 , z ′y = 2x + y 2 2x + y

(

5. a) z ′x =

)

y cos x + y , z ′y =

(

sin x + y

) + cos ( x + y ) ; 2

2 y

b) z ′x = 2 x cos ( x 2 − 2 y ) cos y, z ′y = −2 cos ( x 2 − 2 y ) cos y − sin ( x 2 − 2 y ) sin y ; c) z′x =

⎛ 1⎞ ⎛ ⎛ x⎞ x⎞ 1 ⎜1 + ⎟ , z′y = tg ⎜ x + ⎟ + ⎜− ⎟ ; y⎠ y⎠ x⎞⎝ x⎞⎝ y⎠ 2⎛ 2⎛ ⎝ cos ⎜ x + ⎟ cos ⎜ x + ⎟ y⎠ y⎠ ⎝ ⎝ y

d) z′x = 3cos x cotg ( y + 3x ) − ⎛ x⎞ e) z ′x = arcsin ⎜ y − ⎟ − y⎠ ⎝ f) z ′x =

y − x arccos x 1 − x2

9sin x 3sin x , z′y = − 2 ; sin ( y + 3x ) sin ( y + 3x ) 2

x y − ( y − x) 2

2

2

, z ′y =

x ( y2 + x) y y − ( y − x) 2

2

1 arctg x , z ′y = − 2 x (1 + x ) arctg y 2 y (1 + y ) arctg 2

h) z ′x =



b) z′′xx =

z′′yy =

6 ( y + 1) x

4

+

y2

x2 + y 2 ( x2 + y 2 )

x2 x +y 2

2

(x

2

;

+ 1, z ′y = arccos x ;

g) z ′x =

z ′x =

2

+y

2

)

;

y

;

6. a) z ′′xx = 8 y , z ′′xy = 8 x + 10 y , z ′′yy = 10 x ; z ′′xy =

,

c) z ′′xx = − y 2 sin xy ,

d) z ′′xx = 12 x − 4 y , z ′′xy = −4 x , z′′yy = 12 y 2 ; e) z ′′xx =

- 90 -

−2 xy − , 3 x x2 + y 2 ( x2 + y 2 )

z′′yy = − x 2 sin xy ;

z ′′xy = cos xy − xy sin xy ,

4y

( y − x)

3

, z ′′xy =

−2 y − 2 x

( y − x)

3

, z ′′yy =

4x

( y − x)

3

;


f) z ′′xx = z ′′xy =

y 2 − x2

(x

2

+y

)

2 2

z ′′xy =

,

−y

y 2 − x2 ( y 2 − x2 )

z ′′xy = 1 −


(x

−2 xy 2

, z ′′yy =

+y

)

2 2

z ′′yy =

,

x y 2 y 2 − x2

+

(y

x2 − y2

(x

2

+y

)

2 2

x

2

− x2 ) y 2 − x2

x

g) z ′′xx =

;

y −x 2

; h) z ′′xx = −

2

( y 2 − x2 )

,

1 , 4( y + x) y + x

1 1 , z ′′yy = − . 4( y + x) y + x 4 ( y + x) y + x

7. a) τ : 2 x + 5 y + z + 4 = 0 , n : x = 1 − 2t , y = −1 − 5t , z = −1 − t , t ∈ R ; b) τ : 5 x + 5 y − 4 z = 0 , n : x = 3 + 5t , y = 5 + 5t , z = 10 − 4t , t ∈ R ; c) τ : 4 x + 2 y + 3 z + 2 − 3ln 3 = 0 , n : x = −1 + 4t , y = 1 + 2t , z = ln 3 + 3t , t ∈ R ; d) τ : x − z = 0 , n : x = e) τ : x + 2 y + 2 z − 4 +

π 4

π 2

+ t, y =

π 4

,z=

π 4

− t, t ∈ R ;

= 0 , n : x = 2 + t , y = 1 + 2t , z = −

π 4

+ 2t , t ∈ R ;

f) τ : 2 x + 4 y − z − 7 = 0 , n : x = 2 + 2t , y = 1 + 4t , z = 1 − t , t ∈ R ; g) τ :16 x − 15 y − 12 z + 127 = 0 , n : x = −4 + 16t , y = 5 − 15t , z = −1 − 12t , t ∈ R ; h) τ : 2 x + 3 y − z − 2π = 0 , n : x =

π 2

+ 2t , y =

π 3

+ 3t , z = −t , t ∈ R ,

i) τ : −4 x + 5 y − 2 z − 6 = 0 , n : x = 1 − 4t , y = 4 + 5t , z = 5 − 2t , t ∈ R ; j) τ : 2 x − z − 2 = 0 , n : x = 1 + 2t , y = 0, z = −t , t ∈ R ; k) τ : − x + y − 2 z + l) τ : 2 x + 2 y + z −

π 2

= 0 , n : x = 1 − t, y = 1 + t, z =

π 4

− 2t , t ∈ R ;

2π π − 3 = 0 , n : x = 2t , y = + 2t , z = 3 + t , t ∈ R . 3 3

8. a) τ : 23x − 6 y − z − 16 = 0, T = [1,1,1] ;

b) τ : x + 2 y − z + 6 = 0, T = [ 2, 0, 4] ;

c) τ : 23x − 16 y − 6 z − 47 = 0, T = [5, 2, 6] ;

d) τ :12 x − 2 y − z − 12 = 0, T = [1,1, −2] ;

e) τ : x − 2 y − z + 5 = 0, T = [3, 4, 0] ; f) τ : 4 x − 5 y + 3z − 2 = 0, T = [5, 4,3] . ⎡ 3 3 57 ⎤ 9. a) ⎢ , − , − ⎥ lokální minimum; b) [ −1, 0, 6] lokální minimum; c) [ 0, 0, 0] lokální 4⎦ ⎣2 2

minimum, ⎡⎣ −1, −1, 2e −2 ⎤⎦ není extrém;

;

d) [ 0, 0,3] není extrém;

e) [ 4, 6, 48] lokální

⎡ 10 ⎤ ⎡ 15 ⎤ ⎡ 1 ⎤ ⎡1 ⎤ maximum, ⎢0, ⎥ není extrém, ⎢5, ⎥ není extrém; f) ⎢ ,1⎥ není extrém, ⎢ − , −1⎥ není ⎣ 3⎦ ⎣ 2⎦ ⎣ 2 ⎦ ⎣2 ⎦

- 91 -



⎡1 ⎡ 1 ⎤ ⎤ extrém, ⎢ , −1, 6 ⎥ lokální minimum, ⎢ − ,1, −6 ⎥ lokální maximum; ⎣2 ⎦ ⎣ 2 ⎦

minimum,

⎡ 2 4⎤ ⎢⎣ − 3 , − 3 ⎥⎦ není

g) [ 2, 4,1] lokální

⎡1 1 ⎤ h) ⎢ , , −2 − ln 36 ⎥ lokální ⎣4 9 ⎦

extrém;

maximum;

i) [ 0, 0, 4] lokální maximum, [1, 2] není extrém, [ −1, 2] není extrém, [ −1, −2] není extrém,

[ −1, −2] není

extrém;

j) [ 4, 4,17] lokální maximum;

k) [ −1, 2, 0] lokální minimum;

l) [ 0, 0, 0] lokální minimum, [1, −1] není extrém. ⎡5 1⎤ 10. a) ⎢ , ⎥ lok. max. ; ⎣2 2⎦

1⎤ ⎡ 1⎤ ⎡ b) ⎢ 2, ⎥ lok. min., ⎢ −2, − ⎥ lok. max. ; 2⎦ ⎣ 2⎦ ⎣

π ⎤ π ⎤ ⎡π ⎡π d) ⎢ + 2kπ , − 1⎥ lok. max., ⎢ + ( 2k + 1) π , − 1⎥ lok. min. ; 4 ⎦ 4 ⎦ ⎣4 ⎣4

c) [8, 64] lok. max. ; ⎡5 3⎤ e) ⎢ , − ⎥ lok. min. ; ⎣2 2⎦

⎡1 ⎤ ⎡ 1 ⎤ f) ⎢ , 2 ⎥ lok. min., ⎢ − , −2 ⎥ lok. max. ; g) [1,1] lok. min. ; h) [1,1] lok. min. . ⎣8 ⎦ ⎣ 8 ⎦

- 92 -

7. DIFERENCIÁLNÍ POČET FUNKCÍ DVOU PROMĚNNÝCH Definiční oblasti Úlohy k samostatnému řešení... 83

Recommend Documents