28
6. T H E M E T R I C S Y S T E M Dala m pidato n y a di Cong ress tahun 182 1, John Qui n c y Ada m s, presiden ke-6 A m e r i k a Seri kat, mengata ka n: masalah ukuran sudah menja d i kebutu ha n penti n g bagi tiap orang. U k u ra n turut me m b e n t u k pereko n o m i a n dan menja d i perhatian tiap keluarga. U k u ra n penti n g bagi tiap jenis pekerjaan, untu k keam a na n kepe m i l i k a n dan setiap transaksi perdaga n g a n. Pada awal jaman Bab y l o n i a n (Iran dan Irak kuno) dan Egy pt i a n (Mesir), dan tertul is di Ki tab Suci, telah ada pengu k u r a n meng g u n a k a n hasta (forearm), jari (finger) dan perputara n matahar i untu k wakt u. Untu k meng u k u r daya tam p u n g suatu wadah, mereka meng i si k a n bijibijian dan mene m u k a n vol u m e. La m a- kela m aa n bobot dan ukura n menja d i maki n ko m p l e k.
Siste m ukura n yang berla k u di US A berasal dari Inggr i s. Uk u r a n- ukura n ini berasal dari buda ya yang sangat beraga m, misal n y a berupa satuan inch, foot, dan yard. Tahu n 1790, the Frenc h Acade m y of Sciences, atas perm i n taa n pemeri n ta h Perancis, menc i p ta k a n sistem berat dan ukuran yang sederhana nam u n scienti f i c (ilmiah). Satuan vol u m e dan massa ditur u n k a n dari satuan panjan g. Ke m u d i a n dici pta k a n satuan besar dan kecil dengan meng g u n a k a n pang k at sepul u h. Penul isan satuan ukuran: Prefi x (awalan dala m bahasa Gree k (Yunani): Bi lan ga n Prefi x Si m b o l M i sal Kh us us untu k me m o r i keli patan (awalan) ko m p u t e r 10 12 tera T 1 T m = 10 12 meter 1 Tb = (1024)4 byte 9 9 10 giga G 2 Gg = 2 x 10 gram 1 Gb = (1024)3 byte 10 6 mega M 5 M m = 5 x 10 6 meter 1 M b = 1024 x 1024 byte 3 3 10 kil o k 7 kg = 7 x 10 gra m 1 kb = 1024 byte 10 2 hecto h 8 hL = 8 x 10 2 liter 10 1 deka dk atau da 6 dam = 6 x 10 1 meter 10 -1 deci d 10 dB = 10 deci Bel l = 10 x 10 -1 Bel l -2 10 centi c 150 cm = 150 x 10 -2 meter 10 -3 mi l l i m 17 m L = 17 x 10 -3 liter -6 10 micr o µ 1.2 µg = 1.2 x 10 -6 gram (Yunani:” m i u ”) -9 10 nano n 15 nm = 15 x 10 -9 meter -12 10 pico p 3 pm = 3 x 10 -12 meter -15 10 femt o f 2.5 fm = 2.5 x 10 -15 meter 10 -18 atto a 1 am = 1 x 10 -18 meter K o n v e r s i satuan ukuran: Ko n v e rs i ke satuan lain Panjan g 1 in (=inch) ≈ 2.54 cm (=centi m ete r) 1 yd (=yard) ≈ 0.914 m (=meter) 1 mi (=mile) ≈ 1.61 km (=kilo m e ter) 1 ft (=feet) ≈ 0.304878 m (=meter) Vo l u m e 1 qt (=quart) ≈0.946 L (=liter) 1 pt (=pint) ≈ 0.5 qt (=quart) 1 gal (=galon) ≈ 3.78541 2 L (=liter) M assa 1 oz (=ounce) ≈ 28 g (=gram) 1 lb (=leab) ≈ 0.454 kg (=kilog ra m) Te m p e rat u r 9 0 1 0 F (=Fahrenhei t) = × (1 C ) + 32
5 1 K (=Kel v i n) = 1 C + 273.15 0
M ate m a t i k a – Ba m b a n g Triat m a
Keba l i k a n n y a 1 cm ≈ 0.394 in 1 m ≈ 1.09 yd 1 km ≈ 0.621 mi 1 m ≈ 3.28 ft 1 L ≈ 1.057082 qt 1 qt ≈ 2 pt 1 L ≈ 0.2642 17 2 gal 1 g ≈ 0.0357 14 oz 1 kg ≈ 2.2 lb
5 × (10 F − 32) 9 1 0 C (=Celci us) = 1K − 273.15 1 0 C (=Celci us) =
29
7. A L J A B A R I
Archimedes, Newton, dan Gauss, ketiganya satu kelas dalam kemampuan matematika.
KARL FRIEDRICH GAUSS, yang disebut Pangeran Matematika, lahir di Brunswick, Jerman, tahun 1777. Ayahnya seorang buruh miskin tetapi jujur dan mau melakukan apa saja agar anaknya menjauh dari matematika. Hanya berkat kecelakaan saja Gauss menjadi ahli matematika. Kapasitas pikirannya yang luar biasa nampaknya diturunkan oleh keluarga ibunya. Sepanjang hidupnya Gauss dikenal berkat kemampuannya yang luar biasa dalam matematika. Tak ada satu orangpun dalam sejarah matematika yang bisa dibandingkan dengannya. Pada usia belum 3 tahun, Gauss mampu melihat kesalahan ayahnya dalam menghitung pembayaran gaji mingguan, dan menjelaskan hasil yang benar dari penghitungan yang panjang dan rumit. Setelah dicek ternyata Gauss benar. Pada usia 10 tahun, kejeniusan Gauss menarik perhatian ahli matematika yang masih muda bernama Bartels, yang kemudian mengajarkan pada Gauss dasar-dasar matematika sampai menarik perhatian Duke of Brunswick. Duke of Brunswick sangat tertarik dan menjadikannya murid yang dilindungi.
Pada usia 15 tahun Gauss memasuki kuliah di Caroline College in Brunswick, lalu dalam waktu singkat melakukan penelitian tentang aritmatika tingkat tinggi yang menjadikannya sebagai salah satu dari tiga besar ahli matematika dunia, setara dengan Archimedes dan Newton. Ketika lulus kuliah pada tahun 1795 pada usia 18 tahun, dia telah menemukan metode kuadrat terkecil. Dia kemudian memasuki University of Gottingen, dimana selama tiga tahun sangat produktiv dia menyelesaikan Penelitian “Pertidaksamaan Aritmatika”. Tahun 1798 dia masuk University of Helmstedt, dimana dia meraih Ph.D. dalam satu tahun. Thesis doktornya menjadi bukti pertama teori-teori dasar aljabar. Pada usia 21 / 22 dia menyelesaikan problem yang sangat terkenal. Tulisannya tentang Pertidak-samaan yang diterbitkan tahun 1801, menjadi dasar bagi teori bilangan, tapi ini hanya salah satu saja dari sumbangan pemikirannya yang sangat banyak. Sepanjang hidupnya (dia wafat pada 1855 di usia 78), dia memberikan sumbangan pemikiran besar untuk bidang astronomi, geodesi (pengukuran bumi), geometri, teori fisika (khususnya elektromagnetisme), bilangan kompleks dan fungsi kompleks. Selain dikenal sebagai peneliti teoritis, Gauss juga dikenal baik sebagai penemu telegraph elektrik pada tahun 1833. CONTOH 1.260.1 Misalkan x adalah bilangan-bilangan yang diwakili oleh {2, 4, 6}. Periksalah untuk x = berapa pernyataan x – 1 = 3 menghasilkan kesimpulan benar. JAWAB Untuk x = 2, didapatkan 2 – 1 = 1, padahal seharusnya =3. Karena 1 ≠ 3 maka pernyataan tidak benar. Untuk x = 4, didapatkan 4 – 1 = 3, memang seharusnya =3. Karena 3 = 3 maka pernyataan benar. Untuk x = 6, didapatkan 6 – 1 = 5, padahal seharusnya =3. Karena 5 ≠ 3 maka pernyataan tidak benar. Jadi pernyataan x – 1 = 3 benar hanya untuk x = 4. CONTOH 1.260.2 Misalkan x adalah bilangan-bilangan yang diwakili oleh {2, 4, 6}. Periksalah untuk x = berapa saja pernyataan x – 2 ≠ 4 menghasilkan kesimpulan benar. JAWAB Untuk x = 2, didapatkan 2 – 2 = 0, 0 memang ≠ 4, jadi pernyataan benar. Untuk x = 4, didapatkan 4 – 2 = 2, 2 memang ≠ 4, jadi pernyataan itu juga benar. Untuk x = 6, didapatkan 6 – 2 = 4, 4 ≠ 4 adalah pernyataan tidak benar. Jadi pernyataan x – 2 ≠ 4 benar hanya untuk x = 2 dan untuk x = 4.
M ate m a t i k a – Ba m b a n g Triat m a
30 CONTOH 1.260.3 Misalkan x adalah bilangan-bilangan yang diwakili oleh {2, 4, 6}. Periksalah untuk x = berapa saja pernyataan x – 1 ≥ 3 menghasilkan kesimpulan benar. JAWAB Untuk x = 2, didapatkan 2 – 1 = 1, 1 bukan ≥ 3, maka pernyataan itu tidak benar. Untuk x = 4, didapatkan 4 – 1 = 3, 3 memang ≥ 3, maka pernyataan itu benar. Untuk x = 6, didapatkan 6 – 1 = 5, 5 memang ≥ 3, maka pernyataan itu juga benar. Jadi pernyataan x – 1 ≥ 3 benar hanya untuk x = 4 dan untuk x = 6. CONTOH 1.260.4 Misalkan x adalah bilangan-bilangan yang diwakili oleh {2, 4, 6}. Periksalah untuk x = berapa saja pernyataan x + 7 < 9 menghasilkan kesimpulan benar. JAWAB Untuk x = 2, didapatkan 2 + 7 = 9, karena 9 bukan < 9, maka pernyataan di atas tidak benar. Untuk x = 4, didapatkan 4 + 7 = 11, karena 11 bukan < 9, maka pernyataan di atas tidak benar. Untuk x = 6, didapatkan 6 + 7 = 13, karena 13 bukan < 9, maka pernyataan di atas tidak juga benar. Jadi tak ada satupun dari x dalam {2, 4, 6} yang bisa mewakili sehingga pernyataan x + 7 < 9 benar. Himpunan bilangan-bilangan yang membuat pernyataan terbuka menjadi benar disebut himpunan jawaban. Dengan demikian himpunan jawaban untuk No.1.260.1 sampai No.260.4 adalah {4}, {2, 4}, {4, 6} dan { } atau Ø. CONTOH 1.261 Hasil penelitian menunjukkan bahwa hubungan antara panjang tulang paha (os femur, simbol “f”) dengan tinggi (height, simbol “H”) badan wanita dalam satuan cm mengikuti rumus berikut H = 1.95f + 72.85 Seorang polisi menemukan tulang paha wanita sepanjang 40 cm. Jika wanita yang dilaporkan hilang tingginya 120 cm, dapatkah disimpulkan bahwa tulang tadi milik wanita yang dilaporkan hilang? JAWAB Untuk f = 40, didapatkan H = 1.95(40) + 72.85 = 150.85 Karena 120 ≠ 150.85 maka sulit untuk disimpulkan bahwa tulang tadi milik wanita yang hilang. CONTOH 3.261 Temukan himpunan jawaban bagi pernyataan x + 7 < 9 jika x adalah bilangan bulat (integer). JAWAB Dalam kasus ini bilangan yang disepakati boleh mewakili x dalam x + 7 < 9 adalah bilangan bulat, yaitu {. . . , -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, . . .}. Karena 1 + 7 = 8 dan 8 < 9, maka nilai x terbesar yang boleh mewakili x dalam x + 7 < 9 adalah 1. Oleh sebab itu himpunan jawabannya adalah {. . . , -3, -2, -1, 0, 1}, yaitu seluruh bilangan bulat yang kurang atau sama dengan 1.
M ate m a t i k a – Ba m b a n g Triat m a
31
SOAL 7.1.261. Carilah himpunan bilangan bulat (integer) yang bisa mewakili x dalam persamaan / pertidak-samaan berikut: 1. x + 2 = 4 2. x + 2 ≥ 2 3. x + 4 ≤ 7 4. x – 1 < 5 5. x - 7 < 12 6. 3 + x ≠ 4 7. x – 5 = ½ 8. 2 + x ≤ x + 2 Untuk no. 9-12 Jika bilangan yang boleh mewakili x dalam persamaan/pertidak-samaan berikut adalah bilangan Riil, carilah himpunan jawabannya: 9. x-1>0 10. x + 1 <3 11. x + ½ = 0 12. x – ½ ≠ 0 CONTOH 5.282 Carilah himpunan jawaban dari persamaan 3x2 + 2 = 50. 2 JAWAB 3x = 48 x2 = 16 x = 4 atau -4 Himpunan jawabannya {4, -4} ax2 + bx + c = 0
Pola dasar persamaan kuadratik : Rumus persamaan kuadratik sbb
:
x =
− b±
a ≠ 0
b 2 − 4ac 2a
CONTOH 6.282. Carilah himpunan jawaban untuk persamaan x2 – 4x – 12 = 0 JAWAB Untuk mencari nilai-nilai a, b, dan c, kita tulis lagi persamaan dalam bentuk sbb: 1 x2 + (-4) x + (–12) = 0 lalu dibandingkan dengan 2 a x + b x + c = 0 sehingga ditemukan bahwa a = 1, b = -4, dan c = -12
x=
− (− 4) ±
= 6 atau -2.
( − 4) 2 − 4(1)(− 12) 4± = 2(1)
4± 8 12 − 4 16 + 48 4 ± 64 = = = atau 2 2 2 2 2
Jadi himpunan jawaban bagi persamaan tersebut adalah {6, -2}.
M ate m a t i k a – Ba m b a n g Triat m a
32
CONTOH 7.283. JAWAB ditemukan bahwa : a = 3, x =
− 1±
b = 1,
Carilah himpunan jawaban untuk persamaan 3x2 + x – 5 = 0 Jika dibandingkan dengan pola dasar ax2 + bx + c = 0
c = -5
lalu dimasukkan ke dalam rumus x =
− b±
b 2 − 4ac 2a
menjadi:
12 − 4(3)(− 5) − 1 ± 1 + 60 − 1 ± 61 = = 2(3) 6 6
maka himpunan jawaban {
− 1+
61 6
,
− 1 − 61 } 6
Dalam MS-Excell, “akar” dinyatakan dengan “=SQRT(bilangannya)”, sementara “membulatkan ke dua digit” dinyatakan dengan “=ROUND(bilangannya,2)” =ROUND(SQRT(61),2) menghasilkan bahwa 61 ≈ (baca: “mendekati sama dengan”) 7.81 sedangkan =ROUND((-1+7.81)/6,2) menghasilkan ≈ 1.14 sementara =ROUND((-1-7.81)/6,2) menghasilkan ≈ -1.47 maka jika dipaksakan penyederhanaan himpunan jawaban menjadi: {1.14, 1.47} dengan catatan bahwa sebenarnya { ≈ 1.14, ≈ -1.47} pada pembulatan dua digit. CONTOH 8.283. Carilah himpunan jawaban untuk persamaan 2x2 – 2x = -1 JAWAB Persamaan dimodifikasi dulu ke bentuk standar 2x2 – 2x + 1 = 0 lalu dibandingkan dengan pola dasar ax2 + bx + c = 0 sehingga ditemukan bahwa : a = 2, b = -2, c = 1 lalu dimasukkan ke dalam rumus x = x =
− (− 2) ±
− b±
b 2 − 4ac 2a
menjadi:
(− 2) 2 − 4(2)(1) 2± 4− 8 2± − 4 = = 2(2) 4 4
=
2 ± ( 4 )( − 1) 4
=
2 ± (2)( − 1) 4
− 1 adalah bilangan complex, maka dimisalkan sebagai “i”. 1 ± (1)(i ) 1± i 1+ i 1− i Dengan demikian hasilnya = = jadi himpunan jawabannya { , } 2 2 2 2 Karena
M ate m a t i k a – Ba m b a n g Triat m a
