Val´ osz´ın˝ us´ egsz´ am´ıt´ as feladatok Klasszikus val´ osz´ın˝ us´egi mez˝ o 1. Mekkora a val´osz´ın˝ us´ege, hogy kock´aval hatszor dobva mind a 6 sz´am el˝ofordul? Mekkora a val´osz´ın˝ us´ege, hogy 12-szer dobva mind a 6 sz´am pontosan k´etszer fordul el˝o? 2. Egy fi´okban 10 egyforma p´ar keszty˝ u van. Tal´alomra kivesz¨ unk 4 darabot. Mekkora a val´osz´ın˝ us´ege, ´ ha a p´arok k¨ hogy lesz k¨ozt¨ uk egy p´ar? Es ul¨onb¨oz˝oek? 3. Egyes vid´ekeken a k¨ovetkez˝o n´epszok´as j´arja: az elad´osorban lev˝o l´anyok kimennek a r´etre, egyik¨ uk 6 f˝ usz´ alat vesz a kez´ebe, u ´gy, hogy alul-fel¨ ul csak a f˝ usz´alak v´egei l´atszanak. Egy t´arsa alul-fel¨ ul p´aros´aval ¨osszek¨oti a v´egeket. Ha ez´altal egy ¨osszef¨ ugg˝o l´anc keletkezik, a hiedelem szerint a l´any m´eg abban az ´evben f´erjhez megy. Mekkora ennek a val´osz´ın˝ us´ege? 4. K´et kock´aval dobunk. Mekkora a val´ osz´ın˝ us´ege, hogy az ¨osszeg 7? 5. De M´er´e lovag feladata: mi a val´osz´ın˝ ubb, hogy egy kock´aval 4-szer dobva legal´abb egyszer dobunk hatost, vagy hogy k´et kock´aval 24-szer dobva legal´abb egyszer dupla hatost? Geometriai val´ osz´ın˝ us´eg 6. Buffon probl´em´aja: egy egys´egnyi hossz´ u t˝ ut v´eletlenszer˝ uen ledobunk a s´ıkra, ahol a szomsz´edaikt´ol egys´egnyi t´avols´agra lev˝o p´arhuzamos egyenesekb˝ol ´all´o r´acs van. Mekkora a val´osz´ın˝ us´ege, hogy a t˝ u egyetlen vonalat sem metsz? 7. N´egyzeth´ al´os pap´ırra a n´egyzetek oldal´aval megegyez˝o hossz´ us´ag´ u t˝ ut dobunk. Mekkora a val´osz´ın˝ us´ege, hogy a t˝ u egyetlen vonalat sem metsz? 8. Bertrand-paradoxon: Mekkora a val´osz´ın˝ us´ege, hogy ha egy k¨orben v´eletlenszer˝ uen v´alasztunk egy h´ urt, az nagyobb lesz, mint a k¨orbe ´ırhat´o szab´alyos h´aromsz¨og oldala? (”v´eletlenszer˝ uen” – a h´ urt jellemezhetj¨ uk a k¨oz´eppontj´aval, egyik v´egpontj´aval, ill. a k¨or k¨oz´eppontj´at´ol val´o t´avols´ag´aval.) 9. A (0; 1) intervallumb´ol h´arom sz´amot v´alasztunk v´eletlenszer˝ uen. Mekkora a val´osz´ın˝ us´ege, hogy ezek egy h´aromsz¨og oldalhosszai? 10. Egy p´alc´at v´eletlenszer˝ uen, k´et t¨or´essel h´arom r´eszre t¨or¨ unk. Mi annak a val´osz´ın˝ us´ege, hogy a darabokb´ol h´aromsz¨oget lehet ¨ossze´all´ıtani? 11. * Egy p´alc´at v´eletlenszer˝ uen kett´et¨or¨ unk, azt´an a hosszabbik r´eszt ism´et kett´et¨orj¨ uk. Mekkora val´osz´ın˝ us´ege, hogy a darabokb´ol h´aromsz¨oget lehet ¨ossze´all´ıtani? 12. Egy 2 oldalhossz´ us´ag´ u n´egyzetben v´eletlenszer˝ uen v´alasztunk egy pontot. Mekkora a val´osz´ın˝ us´ege, hogy az oldalakt´ol m´ert t´avols´againak n´egyzet¨osszege kisebb, mint 6? 13. Egy k¨or¨ on v´eletlenszer˝ uen v´alasztunk h´arom pontot. Mekkora annak a val´osz´ın˝ us´ege, hogy az ´altaluk meghat´ arozott h´aromsz¨og tartalmazza a k¨or k¨oz´eppontj´at? 14. * Egy k¨or¨on v´eletlenszer˝ uen v´alasztunk n pontot (n ≥ 3) pontot. Mekkora annak a val´osz´ın˝ us´ege, hogy az ´altaluk meghat´arozott n-sz¨og tartalmazza a k¨or k¨oz´eppontj´at? 15. ** Most a k¨or belsej´eben v´alasztunk n pontot. Mekkora annak a val´osz´ın˝ us´ege, hogy a konvex burok tartalmazza a k¨or k¨oz´eppontj´at? 16. d hossz´ us´ag´ u szakaszt v´eletlenszer˝ uen ledobunk a s´ıkra. Mekkora az x-tengelyre es˝o vet¨ ulet´enek a v´arhat´o ´ert´eke? 17. a, b oldal´ u t´eglalapot dobunk. Mekkora a vet¨ ulet hossz´anak a v´arhat´o ´ert´eke? 18. * Konvex idomot dobunk. Mekkora a vet¨ ulet hossz´anak a v´arhat´o ´ert´eke? 19. * Egy k¨orben felvesz¨ unk k´et pontot v´eletlenszer˝ uen, majd a szakasz, mint ´atm´er˝o f¨ol´e k¨ort emel¨ unk. Mekkora annak a val´osz´ın˝ us´ege, hogy a k´et k¨orvonal nem metszi egym´ast? 20. Egy h´aromsz¨og oldalai a, b ´es c. Mekkora a val´osz´ın˝ us´ege, hogy egy tal´alomra v´alasztott pontnak az oldalakt´ol m´ert t´avols´agaib´ol h´aromsz¨og alkothat´o? Mekkora ez szab´alyos h´aromsz¨og eset´en? Milyen h´aromsz¨ ogre lesz ez a legnagyobb? 21. A g¨ombfel¨ uleten v´eletlenszer˝ uen v´alasztott pontot levet´ıtj¨ uk az egyik ´atm´er˝ore. Milyen eloszl´as´ u a vet¨ ulet? 1
22. H´arom sz´amot vesz¨ unk v´eletlenszer˝ uen a (0, 1) intervallumb´ol. Mekkora a val´osz´ın˝ us´ege, hogy ezek egy hegyessz¨ og˝ u h´aromsz¨og oldalai? Lott´ oval kapcsolatos feladatok. 23. Ugyanazokkal a sz´amokkal j´atszunk minden h´eten. Melyiknek nagyobb a val´osz´ın˝ us´ege: els˝o h´eten legal´abb kettes¨ unk lesz, vagy h´arom ´evig nem nyer¨ unk semmit? 24. Mi a tal´alatok sz´am´anak eloszl´asa? 25. Mi a legkisebb/legnagyobb/nagys´ag szerint k¨oz´eps˝o lott´osz´am eloszl´asa? 26. Mi a range (max − min) eloszl´asa? 27. Addig lott´ozunk ugyanazzal az ¨ot sz´ammal, am´ıg ¨ot¨os¨ unk nem lesz. Mi a legval´osz´ın˝ ubb, hogy ez h´anyadik h´eten k¨ovetkezik be? Alapok. 28. Fejezz¨ uk ki az A1 , A2 , . . . , An esem´enyek seg´ıts´eg´evel azt az esem´enyt, hogy k¨oz¨ ul¨ uk pontosan k (legal´abb k) k¨ovetkezik be. 29. Sz´am´ıtsuk ki P (A ∩ B) − P (A)P (B) minim´alis ´es maxim´alis ´ert´ek´et, ahol A ´es B tetsz˝oleges esem´enyek lehetnek. 30. * Sz´am´ıtsuk ki P (A1 ∩ . . . ∩ An ) − P (A1 ) · · · P (An ) minim´alis ´es maxim´alis ´ert´ek´et, ahol A1 , . . . , An tetsz˝ oleges esem´enyek lehetnek. 31. Legyen A ◦ B az az esem´eny, hogy A ´es B k¨oz¨ ul pontosan egy k¨ovetkezik be. a) Bizony´ıtsuk be, hogy ez a m˝ uvelet asszociat´ıv. b) Mi a szeml´eletes jelent´ese A1 ◦ A2 ◦ · · · ◦ An -nek? c) Bizony´ıtsuk be, hogy P (A1 ◦ A2 ◦ · ·X · ◦ An ) = S1 − 2S2 + 4S3 + . . . + (−2)n−1 Sn , ahol Sk = P (Ai1 ∩ . . . ∩ Aik ) . 1≤i1 <...
32. * Legyenek A1 , . . . , An tetsz˝oleges, pozit´ us´eg˝ u esem´ ıv val´osz´ın˝ enyek. Mutassuk meg, hogy n n Y 1 X P (Ai ∩ Aj ) ≥ 1. n j=1 P (Ai )P (Aj ) i=1 Szita-formul´ ak 33. Legyenek A1 , . . . , An tetsz˝oleges esem´enyek, jel¨olje N , hogy h´any teljes¨ ul k¨oz¨ ul¨ uk. Mutassuk meg, hogy µ ¶ n−k X i+k−1 P (N ≥ k) = (−1)i Sk+i . i i=0 34. Mutassuk meg, hogy az el˝oz˝o feladatban a jobb oldalon ´all´o szumma r´eszlet¨osszegei felv´altva als´o, ill. fels˝o becsl´est adnak, aszerint, hogy az utols´o tag el˝ojele negat´ıv vagy pozit´ıv. 35. R´enyi-f´ele gr´af-szita. Legyenek A1 , . . . , An tetsz˝oleges esem´enyek, ´es legyen G az {1, 2, . . . , n} pontokon megadott egyszer˝ u gr´af. Jel¨olje Sk∗ , ill. Sk∗∗ az Sk ¨osszeg olyan m´odos´ıt´asait, hogy csak azokat a P (Ai1 ∩ . . . ∩ Aik ) tagokat adjuk ¨ossze, amelyekre {i1 , . . . , ik } nem tartalmazza a G gr´af egy ´el´et sem (Sk∗ ), ill. legfeljebb egy ´elt tartalmaz (Sk∗∗ ). Mutassuk meg, hogy ∗∗ ∗∗ 1 − S1∗∗ + S2∗ − S3∗∗ + S4∗ − . . . − S2k−1 ≤ P (N = 0) ≤ 1 − S1∗ + S2∗∗ − S3∗ + . . . + S2k . ¡n¢ 36. Legyenek A1 , . . . , An tetsz˝oleges esem´enyek. Mutassuk meg, hogy az Sk / k , k = 0, 1, . . . , n sorozat monoton fogy´o ´es konvex. 37. Egy urn´aban n sz´amozott c´edula van. Addig h´ uzunk visszatev´essel, am´ıg mindegyiket legal´abb egyszer nem l´attuk. Mennyi a val´osz´ın˝ us´ege, hogy pontosan k h´ uz´asra lesz sz¨ uks´eg? 38. Egy csokol´ad´egy´arban minden doboz desszertbe 12 f´ele rekl´amc´edula k¨oz¨ ul egyet-egyet tesznek. Aki ¨osszegy˝ ujti ´es bek¨ uldi mind a 12 f´el´et, jutalmat kap. Mennyi a val´osz´ın˝ us´ege, hogy ´eppen k dobozzal kell v´as´ arolnunk ahhoz, hogy mindegyik fajta c´edul´ab´ol legyen legal´abb egy p´eld´anyunk? 39. N goly´ot sz´etosztunk M urn´aba, mindegyiket a t¨obbit˝ol f¨ uggetlen¨ ul egyforma es´ellyel tessz¨ uk b´armelyik urn´aba. Mi az u ¨resen maradt urn´ak sz´am´anak eloszl´asa? 2
40. n ember k¨oz¨ott tal´alomra kiosztjuk a n´evjegyeiket. Mekkora a val´osz´ın˝ us´ege, hogy pontosan k ember kapja a saj´atj´at? Hov´a tart ez a val´osz´ın˝ us´eg, ha k r¨ogz´ıtett ´es n → ∞? 41. n elem egy v´eletlen permut´aci´oj´aban mi az m hossz´ us´ag´ u ciklusok sz´am´anak eloszl´asa? Mi a hat´areloszl´as, ha n → ∞? 42. Az 1, 2, . . . , n sz´amok k¨oz¨ ul k´et sz´amot v´alasztunk v´eletlenszer˝ uen. Legyen pn annak a val´osz´ın˝ us´ege, hogy relat´ıv pr´ımek. Hat´arozzuk meg pn hat´ar´ert´ek´et, ha n → ∞. Mi a helyzet, ha k sz´amot v´alasztunk, ´es pn annak a val´osz´ın˝ us´ege, hogy p´aronk´ent relat´ıv pr´ımek? Felt´eteles val´ osz´ın˝ us´eg, teljes val´ osz´ın˝ us´eg t´etele, Bayes-t´etel 43. H´arom k´artyalapunk van: egyiknek mindk´et oldala piros, egy m´asiknak mindk´et oldala k´ek, a harmadiknak pedig egyik oldala k´ek, a m´asik piros. Kih´ uzunk egyet k¨oz¨ ul¨ uk ´es valamelyik lapj´aval felfel´e az asztalra tessz¨ uk. Piros lapot l´atunk. Mekkora a val´osz´ın˝ us´ege, hogy a m´asik lap is piros? 44. Egy fontos irat egyforma es´ellyel lehet otthon ´es a munkahely¨ unk¨on. Ut´obbi esetben az ´ır´oasztalunk 9 fi´okj´ anak valamelyik´eben van. M´ar 8 fi´okot ´atn´ezt¨ unk, azokban nem volt. Mekkora a val´osz´ın˝ us´ege, hogy az utols´o fi´okban van? 45. Sz´az kocka k¨oz¨ ul 99 szab´alyos, egy pedig szab´alytalan, ennek mindegyik oldal´an hatos van. Tal´alomra kivesz¨ unk egy kock´at ´es h´aromszor feldobjuk. Mindh´aromszor hatos j¨on ki. Mekkora a val´osz´ın˝ us´ege, hogy a szab´alytalan kock´aval dobtunk? 46. A f˝on¨ok¨ot egy adott napon keres˝o telefonok sz´ama λ param´eter˝ u Poisson eloszl´as´ u. A titk´arn˝o minden h´ıv´ast a t¨obbit˝ol f¨ uggetlen¨ ul p val´osz´ın˝ us´eggel kapcsol be. Milyen az eloszl´asa a f˝on¨okh¨oz bekapcsolt h´ıv´asok sz´am´anak? 47. Egy berendez´est sokkszer˝ u hat´asok ´ernek, amelyek k¨ovetkezt´eben el˝obb-ut´obb t¨onkremegy. A t¨onkremen´eshez vezet˝o sokkok sz´ama p param´eter˝ u geometriai eloszl´as´ u. A karbantart´ok minden egyes sokkr´ol ˝ milyennek l´atj´ak a t¨onkremen´eshez vezet˝o sokkok csak c val´osz´ın˝ us´eggel szereznek tudom´ast. Ok sz´am´anak eloszl´as´at? 48. Egy gy´arban a selejt val´osz´ın˝ us´ege minden egyes term´ekn´el p. A min˝os´egellen˝or r val´osz´ın˝ us´eggel veszi ´eszre a selejtet. Mekkora a val´osz´ın˝ us´ege, hogy egy term´ek, amely ´atcs´ uszott a min˝os´egellen˝orz´esen, m´egis selejtes? 49. n + 1 urn´ank van, 0-t´ol n-ig sz´amozva. Az i-edik urn´aban i piros ´es n − i feh´er goly´o van. Tal´alomra v´alasztunk egy urn´at, majd abb´ol k-szor h´ uzunk visszatev´essel. a) Mekkora a val´osz´ın˝ us´ege, hogy mind a k kih´ uzott goly´o piros? b) Mekkora a val´osz´ın˝ us´ege, hogy ha mind a k h´ uz´asn´al piros goly´ot kaptunk, akkor a k¨ovetkez˝o, k + 1-edik h´ uz´asra is piros goly´o j¨on? 50. T¨onkremen´esi feladat. Ketten fej-vagy-´ır´ast j´atszanak egy szab´alyos ´erm´evel. Ha fej, az els˝o j´at´ekos fizet egy forintot a m´asiknak, ha ´ır´as j¨on ki, ford´ıtva. Az els˝o j´at´ekosnak eredetileg k, a m´asiknak m forintja van. Addig j´atszanak, am´ıg valamelyik¨ uk az ¨osszes p´enz´et el nem veszti. Mennyi a val´osz´ın˝ us´ege, hogy ez az els˝o j´at´ekos lesz? 51. * Mekkor´ ak a t¨onkremen´esi val´osz´ın˝ us´egek szab´alytalan ´erme eset´en (azaz amikor P (fej) = p)? 52. Egyszer˝ u szimmetrikus bolyong´asn´al jel¨olje ξn , hogy h´anyszor j´arunk az n pontban, miel˝ott el˝osz¨or visszat´er¨ unk az orig´oba. Sz´am´ıtsuk ki ξn eloszl´as´at, v´arhat´o ´ert´ek´et ´es sz´or´as´at. ´ ´ 53. Akos ´es B´alint egy dob´okock´at dob´alnak. Ha a dob´as 1 vagy 2, Akos nyer, ha 6, B´alint nyer ´es a j´at´ek ´ be is fejez˝odik, a t¨obbi fajta dob´asn´al pedig folytat´odik. Mekkora a val´osz´ın˝ us´ege, hogy a j´at´ek Akos nyer´es´evel fejez˝odik be? 54. K¨orbever˝o futamok. K´et fej-´ır´as sorozat k¨oz¨ ul azt nevezz¨ uk jobbnak, amelyikre 1/2-n´el nagyobb annak a val´osz´ın˝ us´ege, hogy egy szab´alyos ´erm´et dob´alva hamarabb k¨ovetkezik be, mint a m´asik. Mutassuk meg, hogy F F I-n´el jobb IF F , IF F -n´el jobb IIF , IIF -n´el jobb F II ´es v´eg¨ ul F II-n´el jobb F F I, vagyis ez a ”rendez´es” nem tranzit´ıv. ´ 55. Akos ´es B´alint egy olyan ´erm´et dob´alnak, amelyn´el a fej val´osz´ın˝ us´ege 1/3. Ha el˝obb lesz egym´as ut´an ´ k´et fej, mint k´et ´ır´as, Akos nyer, ellenkez˝o esetben B´alint. ´ a) Mekkora val´osz´ın˝ us´eggel nyer Akos? 3
b) Mekkora a j´at´ek befejez˝od´es´ehez sz¨ uks´eges dob´asok sz´am´anak v´arhat´o ´ert´eke? ´ ´ 56. Akos ´es B´alint egy p´enzdarabot dob´alnak. Akos a F F I, B´alint az II futamra v´ar. Mekkora a ´ val´ osz´ın˝ us´ege, hogy Akos sorozata k¨ovetkezik be el˝obb? (szimmetrikus ´erm´ere trivi´alis, de oldjuk meg nem szimmetrikusra is) Tov´ abbi elemi feladatok 57. Egy kock´aval addig dobunk, am´ıg hatost nem kapunk. a) Mekkora a val´osz´ın˝ us´ege, hogy ek¨ozben dobunk egyest? b) Mekkora a val´osz´ın˝ us´ege, hogy ek¨ozben dobunk egyest, de kettest nem? ´ 58. Akos feldob egy szab´alyos ´erm´et n-szer, B´alint n + 1-szer. Mekkora a val´osz´ın˝ us´ege, hogy B´alint t¨obb fejet dob? 59. Osztozkod´asi probl´ema. Ketten fej-vagy-´ır´ast j´atszanak egy szab´alyos ´erm´evel. Mindketten betesznek egy bizonyos ¨osszeget ´es a t´etet az fogja nyerni, akinek el˝obb lesz 10 tal´alata. A j´at´ekot abba kell hagyniuk, amikor az els˝o j´at´ekos 7-szer, a m´asodik pedig 8-szor tal´alt. Milyen ar´anyban ossz´ak fel egym´as k¨oz¨ott a t´etet? 60. Banach professzor szenved´elyes doh´anyos volt. Mindk´et zseb´eben egy-egy doboz gyuf´at tartott, amelyekben eredetileg n sz´al gyufa volt. Minden r´agy´ ujt´asn´al tal´alomra ny´ ult a bal vagy a jobb zseb´ebe. Mekkora a val´osz´ın˝ us´ege, hogy amikor el˝osz¨or t¨ort´ent meg, hogy az el˝ovett gyuf´asdoboz u ¨res volt, a m´asik doboz m´eg pontosan k sz´al gyuf´at tartalmazott? Mely k-ra maxim´alis ez a val´osz´ın˝ us´eg? 61. Feldobunk egy ´erm´et, ha fejet kapunk, akkor m´eg k´etszer dobunk, ha pedig ´ır´ast, akkor m´eg egyszer. Mi lesz az esem´enyt´er? Mi a dobott fejek sz´am´anak eloszl´asa, ha az ´erme szab´alyos? 62. P´olya-f´ele urnamodell. Egy urn´aban a piros ´es b feh´er goly´o van. Minden h´ uz´as ut´an a goly´ot visszatessz¨ uk ´es m´eg c ugyanolyan sz´ın˝ u goly´ot tesz¨ unk az urn´aba. Mekkora val´osz´ın˝ us´ege, hogy n h´ uz´asb´ol k-szor kapunk piros goly´ot? 63. Az igazs´agos ´ıt´elkez´es paradoxona. Egy ¨otf˝os b´ır´oi test¨ ulet t¨obbs´egi d¨ont´essel alkot v´elem´enyt a v´adlott b˝ un¨ oss´eg´er˝ol. A b´ır´ak k¨oz¨ ul ketten 0,05-0,05 val´osz´ın˝ us´eggel, ketten 0,1-0,1 val´osz´ın˝ us´eggel t´evednek, az ¨ot¨odik pedig 0,2 val´osz´ın˝ us´eggel hoz rossz d¨ont´est. a) Ha egym´ast´ol f¨ uggetlen¨ ul ´ıt´elkeznek, mekkora a val´osz´ın˝ us´ege, hogy a t¨obbs´egi d¨ont´es helyes? b) A legnagyobb val´osz´ın˝ us´eggel t´eved˝o b´ır´o feladja f¨ uggetlens´eg´et ´es ezut´an mindig ugyan´ ugy szavaz, mint az egyik legbiztosabb t´arsa. Mennyivel n˝o a helyes t¨obbs´egi d¨ont´es val´osz´ın˝ us´ege? 64. K´et l¨ov´esz felv´altva l˝o egy c´elt´abl´ara. Mindketten 21 − 12 val´osz´ın˝ us´eggel tal´alnak. Mekkora a val´ osz´ın˝ u´ ha a tal´alati val´osz´ın˝ s´ege, hogy a kezd˝o tal´al el˝osz¨or? Es us´egek p1 , ill. p2 ? 65. K´et labdar´ ug´ocsapat, A ´es B p´aros sok m´erk˝oz´est j´atszik egym´assal. Minden meccset eld¨ontenek (pl. tizenegyesr´ ug´asokkal). Az A csapat nyer´esi val´osz´ın˝ us´ege 0,45. Az a csapat nyeri a kup´at, amelyik t¨obb m´erk˝oz´est nyert meg. H´any m´erk˝oz´es eset´en legnagyobb az A csapat es´elye a kupa megnyer´es´ere? Igaze, hogy mivel a j´at´ek az A csapat r´esz´ere kedvez˝otlen, az a legjobb neki, ha ¨osszesen csak k´et m´erk˝oz´est j´atszanak? 66. H´arom dob´okock´ara a k¨ovetkez˝o sz´amok vannak ´ırva: A: 1,4,4,4,4,4; B: 2,2,2,5,5,5; C: 3,3,3,3,3,6. ´ Akos v´alaszthat egy kock´at, majd a marad´ekb´ol B´alint is. Ezut´an feldobj´ak kock´aikat ´es az nyer, aki ´ nagyobbat dobott. Igaz-e, hogy a j´at´ek Akosnak kedvez˝o, hiszen kiv´alaszthatja a legjobb kock´at? 67. Melyik a binomi´alis, a Poisson, a negat´ıv binomi´alis eloszl´as maxim´alis tagja? 68. A ZH-n ¨ot feladat volt. A hallgat´ok minden feladatot egym´ast´ol ´es a t¨obbiekt˝ol f¨ uggetlen¨ ul p val´ osz´ın˝ us´eggel tudnak megoldani. Egyik¨ uk azonban, ha a feladatot nem tudja megoldani, pusk´azni kezd a k´et szomsz´edj´ ar´ol. Mekkora a val´osz´ın˝ us´ege, hogy a pusk´az´o legal´abb h´arom feladatot ¨on´all´oan oldott meg, ha mind az ¨otre adott be megold´ast? 69. Egy kock´at sz´azszor feldobunk. Mekkora a val´osz´ın˝ us´ege, hogy az ¨osszeg oszthat´o hattal? 70. * ,,Ki nevet a v´eg´en” j´at´ekban egy sz´amozott mez˝okb˝ol ´all´o t´abl´an annyi mez˝ot l´ep¨ unk el˝ore, ah´anyat a dob´okock´aval dobunk. A 0-´as mez˝ob˝ol indulunk. Jel¨olje pn annak a val´osz´ın˝ us´eg´et, hogy r´al´ep¨ unk az n-es mez˝ore. Sz´am´ıtsuk ki pn hat´ar´ert´ek´et, ha n → ∞. 4
71. * Egy sz¨ocske vad´aszter¨ ulete 10 f˝ usz´ al. Minden m´asodpercben ´atugrik egy m´asik f˝ usz´alra, egyforma val´osz´ın˝ us´eggel v´alasztva az ¨osszes t¨obbi k¨oz¨ ul. Mekkora a val´osz´ın˝ us´ege, hogy n ugr´as ut´an ism´et a kiindul´asi f˝ usz´alon tart´ozkodik? 72. Egy p´aros m´erk˝oz´esben az egyik j´at´ekos minden j´atszm´aban ugyanakkora val´osz´ın˝ us´eggel gy˝ozi le az ¨ ellenfel´et. Osszesen n j´atszm´at j´atszanak, ebb˝ol k-t az egyik napon, (n − k)-t a m´asikon (1 ≤ k ≤ n). J´at´ekosunk k¨ ul¨ond´ıjat kap, ha valamlyik napon k´etszer egym´as ut´an nyer. Milyen k eset´en lesz a k¨ ul¨ond´ıj val´ osz´ın˝ us´ege a legnagyobb, illetve a legkisebb? 73. Mutassuk meg, hogy az A1 , A2 , . . . , An esem´enyek pontosan akkor f¨ uggetlenek, ha P (Aε11 ∩ . . . ∩ Aεnn ) = ε1 εn n P (A1 ) . . . P (An ) teljes¨ ul, minden (ε1 , . . . , εn ) ∈ {0, 1} v´alaszt´asra, ahol A1 = A ´es A0 = A. 74. Mutassuk meg, hogy a fenti 2n egyenl˝os´eg k¨oz¨ ul elhagyhat´o az az n + 1, amelyben ε1 + . . . + εn ≤ 1. 75. * Pr´ob´aljuk meghat´arozni, melyik n + 1 egyenl˝os´eg hagyhat´o el. 76. Az 1, 2, . . . , n sz´amokat egym´as ut´an, visszatev´es n´elk¨ ul kih´ uzzuk egy kalapb´ol. Jel¨olje ri az i-ediknek h´ uzott sz´am relat´ıv rangj´at, vagyis azt, hogy az addig kih´ uzottak k¨oz¨ott nagys´ag szerint n¨ovekv˝o sorrendben h´anyadik helyen ´all. Mutassuk meg, hogy az r1 , r2 , . . . , rn val´osz´ın˝ us´egi v´altoz´ok f¨ uggetlenek, ´es ri az 1, 2, . . . , i ´ert´ekeket 1i − 1i val´osz´ın˝ us´eggel veszi fel. 77. A kalifa abban a jutalomban r´eszes´ıti Szindb´adot, hogy v´alaszthat egyet az uralkod´o n szebbn´el szebb h¨olgyet tartalmaz´o h´arem´eb˝ol. A h¨olgyek v´eletlenszer˝ u sorrendben, egyes´evel vonulnak el Szindb´ad el˝ott, aki b´armikor kiv´alaszthatja az ´eppen ´erkez˝ot, de ha egy h¨olgy m´ar elment, nem lehet visszah´ıvni. (Tegy¨ uk fel, hogy Szindb´ad egy´ertelm˝ u sz´eps´egsorrendet tud meg´allap´ıtani a m´ar l´atott h¨olgyek k¨oz¨ott.) Szindb´ad azt a strat´egi´et v´alasztja, hogy el˝osz¨or elenged k h¨olgyet, majd az ezut´an ´erkez˝ok k¨oz¨ ul azt v´alasztja, amelyik szebb az ¨osszes kor´abbiakn´al. a) Mekkora annak a val´osz´ın˝ us´ege, hogy ilyen m´odon siker¨ ul a legszebbet v´alasztania? b) Mely k-ra a legnagyobb ez a val´osz´ın˝ us´eg? 78. * Mi az optim´alis strat´egia? 79. * Egyszer˝ u szimmetrikus bolyong´asban mi lesz az els˝o 2n l´ep´ese sor´an a pozit´ıv oldalon t¨olt¨ ott id˝o eloszl´asa, ha azzal a felt´etellel n´ezz¨ uk, hogy a 2n-edik l´ep´esben visszat´er¨ unk az orig´oba? 80. n elem v´eletlen permut´aci´oj´aban ´ırjuk fel az inverzi´ok sz´am´anak a gener´atorf¨ uggv´eny´et. V´ arhat´ o ´ert´ek, sz´ or´ asn´egyzet 81. Egy dob´okock´at sz´azszor feldobunk. Sz´am´ıtsuk ki a p´aros dob´asok ¨osszeg´enek v´arhat´o ´ert´ek´et ´es sz´or´asn´egyzet´et. 82. Egy urn´aban 6 c´edula van. K´et c´edul´an 0, k´et m´asikon 1, az utols´o kett˝on pedig 5 ´all. 10-szer h´ uzunk visszatev´essel. Jel¨olje X a kih´ uzott c´edul´akon ´all´o sz´amok szorzat´at. Adjuk meg X v´arhat´o ´ert´ek´et. Kisz´am´ıthatjuk X eloszl´as´at is. 83. n urn´ank van, 1-t˝ol n-ig sz´amozva. Az i-edik urn´aban i piros ´es n + 1 − i feh´er goly´o van. Tal´alomra v´alasztunk egy urn´at, majd abb´ol addig h´ uzunk visszatev´essel, am´ıg piros goly´ot nem kapunk. Mekkora a sz¨ uks´eges h´ uz´asok sz´am´anak v´arhat´o ´ert´eke? 84. Egy urn´aban n sz´amozott c´edula van. Addig h´ uzunk visszatev´essel, am´ıg mindegyiket legal´abb egyszer nem l´attuk. Mekkora a sz¨ uks´eges h´ uz´ asok sz´am´anak v´arhat´o ´ert´eke? 85. Egy csokol´ad´egy´arban minden doboz desszertbe 20 f´ele rekl´amc´edula k¨oz¨ ul egyet-egyet tesznek. 20 dobozzal v´as´arolunk. Mekkora a benn¨ uk tal´alt k¨ ul¨onb¨oz˝o fajta c´edul´ak sz´am´anak v´arhat´o ´ert´eke ´es sz´or´asn´egyzete? 86. N goly´ot sz´etosztunk M urn´aba, mindegyiket a t¨obbit˝ol f¨ uggetlen¨ ul egyforma es´ellyel tessz¨ uk b´armelyik urn´aba. Mi az u ¨resen maradt urn´ak sz´am´anak v´arhat´o ´ert´eke ´es sz´or´asn´egyzete? 87. n ember k¨oz¨ott tal´alomra kiosztjuk a n´evjegyeiket. Mekkora a saj´at n´evjegy¨ uket kap´o emberek sz´am´anak v´arhat´ o ´ert´eke ´es sz´or´asn´egyzete? 88. n elem v´eletlen permut´aci´oj´aban mekkora az m hossz´ us´ag´ u ciklusok sz´am´anak v´arhat´o ´ert´eke ´es sz´or´asn´egyzete? 89. n elem v´eletlen permut´aci´oj´aban mekkora az inverzi´ok sz´am´anak v´arhat´o ´ert´eke ´es sz´or´asn´egyzete? 5
90. Sz´am´ıtsuk ki indik´atorokra bont´assal a hipergeometrikus eloszl´as v´arhat´o ´ert´ek´et ´es sz´or´asn´egyzet´et. 91. Egy ´erm´en´el a fej val´osz´ın˝ us´ege p. Az ´erm´evel dob´alva mekkora az els˝o, ill. a m´asodik azonos jelekb˝ol ´all´o dob´assorozat (futam) hossz´anak a v´arhat´o ´ert´eke ´es sz´or´asn´egyzete? 92. K´et (egyenk´ent n k´arty´ab´ol ´all´o) egyforma csomag k´arty´at ¨osszekever¨ unk. Jel¨lje X, hogy h´anyszot van k´et egyforma k´artya egym´as mellett. Sz´am´ıtsuk ki Xn v´arhat´o ´ert´ek´et, sz´or´asn´egyzet´et ´es gener´atorf¨ uggv´eny´et. 93. Egy kock´aval addig dobunk, am´ıg egym´as ut´an k´et hatost nem kapunk. Mekkora a sz¨ uks´eges dob´asok ´ ha k egym´as ut´ani hatosra v´arunk? sz´am´anak v´arhat´o ´ert´eke? Es 94. T¨onkremen´esi feladat. Ketten fej-vagy-´ır´ast j´atszanak egy szab´alyos p´enzdarabbal. Ha fej, az els˝o j´at´ekos fizet egy forintot a m´asiknak, ha ´ır´as j¨on ki, ford´ıtva. Az els˝o j´at´ekosnak eredetileg k, a m´asiknak m forintja volt. Addig j´atszanak, am´ıg valamelyik¨ uk az ¨osszes p´enz´et el nem vesz´ıti. Mekkora az ehhez sz¨ uks´eges partik sz´am´anak a v´arhat´o ´ert´eke? 95. Fej vagy ´ır´ast j´atszunk egy szab´alyos ´erm´evel: ha fejet dobunk, megnyerj¨ uk a t´etet, ha ´ır´ast, elvesz´ıtj¨ uk. Amikor le¨ ul¨ unk j´atszani, 1 pet´akunk van ´es az a c´elunk, hogy 5 pet´akot gy˝ ujts¨ unk. ”Mer´esz strat´egi´aval” j´atszunk, azaz mindig feltessz¨ uk az ¨osszes p´enz¨ unket, kiv´eve, ha m´ar kevesebb is el´eg lenne a c´elunk el´er´es´ehez. ´ a) Mekkora val´osz´ın˝ us´eggel ´erj¨ uk el a c´elunkat? Atlagosan h´any j´atszm´aban vesz¨ unk r´eszt? b) V´alaszoljunk a k´erd´esekre ”´ovatos strat´egia” eset´en is, azaz, ha minden j´atszm´aban csak 1 pet´akot tesz¨ unk fel. ´ 96. Erm´evel addig dobunk, am´ıg a F F IF sorozat meg nem jelenik. Mekkora az ehhez sz¨ uks´eges dob´asok sz´am´anak v´arhat´o ´ert´eke? 97. Egy urn´aban 9 c´edula van, 1-t˝ol 9-ig megsz´amozva. Addig h´ uzunk visszatev´essel, am´ıg 4-n´el nagyobb sz´amot nem kapunk. Hat´arozzuk meg a kih´ uzott sz´amok ¨osszeg´enek v´arhat´o ´ert´ek´et. ´ 98. Egy 100 oldalas magyar nyelv˝ u k¨onyv lapjai ¨osszekeveredtek a 90 oldalas angol ford´ıt´as´a´eval. Atlapozva az imm´ar 190 oldalas k¨onyvet, azt figyelj¨ uk meg, hogy h´anyszor k¨ovetkezett angol oldal ut´an magyar vagy magyar ut´an angol. Legyen ez a sz´am X. Adjuk meg X v´arhat´o ´ert´ek´et ´es sz´or´asn´egyzet´et. 99. Egy gy¨ um¨olcs¨osben rendk´ıv¨ ul elszaporodtak a k´artev˝ok. Egy gy¨ um¨olcsben lev˝o kukacok sz´ama Poisson eloszl´as´ u val´osz´ın˝ us´egi v´altoz´onak tekinthet˝o, a param´eter = 2. Egy permetez´es sor´an minden egyes kukac a t¨obbit˝ol f¨ uggetlen¨ ul 0,75 val´osz´ın˝ us´eggel pusztult el. A permetez´es ut´an leszed¨ unk 5 gy¨ um¨olcs¨ot. a) Mekkora a val´osz´ın˝ us´ege, hogy legal´abb 2 kukacos van k¨ozt¨ uk? b) Mennyi az ¨ot gy¨ um¨olcsben ¨osszesen lev˝o kukacok sz´am´anak v´arhat´o ´ert´eke? c) Jel¨olje X azon gy¨ um¨olcs¨ok sz´am´ at (az ¨otb˝ol), amelyekben van kukac. E(X) =? 100. Egy oszt´alyban 10 tanul´o egy-egy dob´okock´at dob´al, mindegyik¨ uk addig, am´ıg hatost nem kap. a) Mekkora a val´osz´ın˝ us´ege, hogy mindenkinek legal´abb k´etszer kell dobnia? b) Mennyi a t´ız tanul´o ´altal ¨osszesen v´egzett dob´asok sz´am´anak v´arhat´o ´ert´eke? c) Jel¨olje X azon tanul´ok sz´am´at, akik els˝ore dobtak hatost. E(X) =? 101. * Egy urn´aban a piros ´es b feh´er goly´o van. Egyes´evel, visszatev´es n´elk¨ ul kih´ uzzuk ˝oket ´es minden h´ uz´as el˝ott tippelhet¨ unk. Optim´alis strat´egia eset´en mekkora a tal´alatok sz´am´anak v´arhat´o ´ert´eke? Ha ´altal´anosan nem megy, hat´arozzuk meg a = b = 5-re. 102. Legyenek A1¡, A¢2 , . . . An f¨ uggetlen esem´enyek, jel¨olje N , hogy h´any teljes¨ ul k¨oz¨ ul¨ uk. Mutassuk meg, hogy Sk = E Nk . 103. Legyenek A1 , A2 , . . . f¨ uggetlen esem´enyek, jel¨olje N , hogy h´any teljes¨ ul k¨oz¨ ul¨ uk. Mutassuk meg, hogy N nem lehet Poisson-eloszl´as´ u. 104. Legyen minden n-re Nn f¨ uggetlen indik´atorok ¨osszege. Tegy¨ uk fel, hogy n → ∞ eset´en E(Nn ) → λ ´es D2 (Nn ) → λ, ahol 0 < λ < ∞. Mutassuk meg, hogy ekkor Nn hat´areloszl´asa λ param´eter˝ u Poisson. Egy¨ uttes eloszl´ as, korrel´ aci´ os egy¨ utthat´ o. 105. Egy harminck´et lapos magyar k´artyacsomagb´ol a 4 ´asz ´es a 4 kir´aly van a kez¨ unkben. Ebb˝ol v´alasztunk 2 lapot visszatev´es n´elk¨ ul. Jel¨olje X a kapott piros sz´ın˝ u, Y pedig a z¨old sz´ın˝ u lapok sz´am´at. Sz´am´ıtsuk ki X ´es Y v´arhat´o ´ert´ek´et, sz´or´as´at ´es az R(X, Y ) korrel´aci´os egy¨ utthat´ot. 6
106. K´et a) b) c) d)
kock´at feldobunk. Jel¨olje X a kisebb, Y pedig a nagyobb dob´as eredm´eny´et. ´Irjuk fel X ´es Y eloszl´as´at ´es az egy¨ uttes eloszl´asukat. Sz´am´ıtsuk ki X ´es Y v´arhat´o ´ert´ek´et. Sz´am´ıtsuk ki R(X, Y )-t. Sz´am´ıtsuk ki az a)-t ´es b)-t k kock´ara is.
107. X1 , X2 , . . . f¨ uggetlen, azonos eloszl´as´ u, v´eges sz´or´as´ u val´osz´ın˝ us´egi v´altoz´ok. Legyen k < m < n, sz´am´ıtsuk ki X1 + . . . + Xm ´es Xk + . . . + Xn korrel´aci´os egy¨ utthat´oj´at. 108. Sz´am´ıtsuk ki R(I(A), I(B))-t. Mutassuk meg, hogy a k´et indik´ator pontosan akkor korrel´alatlan, ha a megfelel˝o esem´enyek f¨ uggetlenek. 109. Legyenek (X1 , Y1 ), . . . , (Xn , Yn ) f¨ uggetlen, azonos eloszl´as´ u, v´eges sz´or´as´ u vektorok. Jel¨olje SX = X1 + . . . + Xn , SY = Y1 + . . . + Yn . Mutassuk meg, hogy R(SX , SY ) = R(X1 , Y1 ). 110. Egy k´ıs´erletnek k kimenetele van, ezek rendre p1 , p2 , . . . , pk val´osz´ın˝ us´eg˝ uek. A k´ıs´erletet n-szer elv´egezz¨ uk, egym´ast´ol f¨ uggetlen¨ ul. Jel¨olje az i-edik kimenetel bek¨ovetkez´eseinek a sz´am´at Xi . Milyen eloszl´as´ u ´ az (X1 , X2 , . . . , Xk ) vektor? Sz´amoljuk ki Xi ´es Xj korrel´aci´os egy¨ ´ Xi ? Es u tthat´ o j´ a t. ( Utmutat´ a s: ¡ ¢ XY = 12 (X + Y )2 − X 2 − Y 2 , vagy pedig haszn´aljuk az el˝oz˝o k´et feladat eredm´eny´et. 111. X ´es Y f¨ uggetlenek ´es λ, ill. µ param´eter˝ u Poisson-eloszl´as´ uak. Sz´am´ıtsuk ki X + Y ´es XY korrel´aci´os egy¨ utthat´ oj´at. 112. Az X1 , X2 , . . . (v´egtelen sok) val´osz´ın˝ us´egi v´altoz´ok mindegyike 1 sz´or´as´ u ´es b´armely kett˝onek ugyanakkora (r) a korrel´aci´os egy¨ utthat´oja. Sz´am´ıtsuk ki X1 + . . . + Xn sz´or´asn´egyzet´et. Mutassuk meg, hogy r ≥ 0. Tov´ abbi feladatok 113. Egyszer˝ us´eget ´es √ u szimmetrikus bolyong´asban sz´am´ıtsuk ki a P (M2n ≥ k | S2n = 0) felt´eteles val´osz´ın˝ M2n / 2n felt´eteles hat´areloszl´as´at az S2n = 0 felt´etel mellett. 114. Tekints¨ unk olyan bolyong´ast, ahol P (Xi = 1) = p > 21 . Sz´am´ıtsuk ki az 1 pont els˝o el´er´es´enek a v´arhat´o ´ert´ek´et, E(ν1 )-et. 115. Adott v´eletlen sz´am´ u goly´o, ¨osszesen X darab (X nemnegat´ıv eg´esz ´ert´ek˝ u val´osz´ın˝ us´egi v´altoz´o). Ezeket egym´ast´ol f¨ uggetlen¨ ul p val´osz´ın˝ us´eggel pirosra ´es q = 1 − p val´osz´ın˝ us´eggel k´ekre sz´ınezz¨ uk. Jel¨olje Y ´es Z a kapott piros, illetve k´ek goly´ok sz´am´at. a) Tegy¨ uk fel, hogy X λ param´eter˝ u Poisson-eloszl´as´ u. Mutassuk meg, hogy Y ´es Z f¨ uggetlenek ´es eloszl´asuk rendre pλ, illetve qλ param´eter˝ u Poisson. b) Mutassuk meg, hogy ha Y ´es Z minden p ∈ (0, 1) eset´en f¨ uggetlenek, akkor X Poisson-eloszl´as´ u. c) Mutassuk meg, hogy ha Y ´es Z egyetlen p ∈ (0, 1) eset´en is f¨ uggetlenek, akkor X Poisson-eloszl´as´ u. 116. Gr´afon val´o bolyong´asn´al az elnyel˝od´eshez sz¨ uks´eges l´ep´esek sz´am´at jel¨olje N . Legyen Gi (z) az N gener´atorf¨ uggv´enye, felt´eve, hogy az i a ´ llapotb´ o l indulunk (ha i nyel˝o, legyen gi (z) = 1). Ekkor minden P i bels˝o ´allapot eset´en gi (z) = j pij gj (z)z. 117. Egy szab´alytalan ´erm´evel, amellyel a fejdob´as val´osz´ın˝ us´ege p, addig dobunk, am´ıg k egym´as ut´ani dob´as eredm´enye mind fej nem lesz. ´Irjuk fel az ehhez sz¨ uks´eges dob´asok sz´am´anak gener´atorf¨ uggv´eny´et. 118. Egyszer˝ u szimmetrikus bolyong´asn´al legyen Tn = inf{k : |Sk | = n}. Sz´am´ıtsuk ki Tn gener´atorf¨ uggv´eny´et. 119. Egy szab´alyos ´erm´evel addig dobunk, am´ıg mind a fejekb˝ol, mind az ´ır´asokb´ol legal´ √abb k darabot nem kapunk. Jel¨olje νk az ehhez sz¨ uks´eges dob´asok sz´am´at. Sz´am´ıtsuk ki (νk − 2k)/ 2k hat´areloszl´as´at, amint k → ∞. 120. Legyenek X1 , X2 , . . . f¨ uggetlen, azonos eloszl´as´ u, µ > 0 v´arhat´o ´ert´ek˝ u ´es σ sz´or´as´ u nemnegat´ıv val´osz´ın˝ us´egi³v´altoz´ok. ´Legyen Sn = X1 + . . . + Xn , ´es t > 0 eset´en N (t) = max{k ≥ 0 : Sk ≤ t}. Sz´am´ıtsuk ki √1t N (t) − µt hat´areloszl´as´at, amint t → ∞. 121. Sz´am´ıtsuk ki a k¨ovetkez˝o hat´ar´ert´eket: lim e−n n→∞
n X nk . k!
k=0
7
√ 122. Legyen Xn n param´eter˝ u Poisson-eloszl´as´ u val´osz´ın˝ us´egi v´altoz´o. Sz´am´ıtsuk ki (Xn −n)/ n hat´areloszl´a s´at, amint n → ∞. 123. Legyen Xn n rend˝ u, p param´eter˝ u negat´ıv binomi´alis eloszl´as´ u val´osz´ın˝ us´egi v´altoz´o. Sz´am´ıtsuk ki pXn − n p hat´areloszl´as´at, amint n → ∞. n(1 − p) 124. Legyen f : [0, 1] → R korl´atos f¨ uggv´eny. Mutassuk meg val´osz´ın˝ us´egsz´am´ıt´asi eszk¨oz¨okkel, hogy a pn (x) n ¡ ¢ ¡ ¢ P n k k n−k = polinomsorozat f minden x folytonoss´agi pontj´aban az f (x) sz´amhoz tart. k f n x (1 − x) k=0
Eloszl´ asf¨ uggv´eny, s˝ ur˝ us´egf¨ uggv´eny. 125. ´Irjuk fel k´et esem´eny indik´atorainak egy¨ uttes eloszl´asf¨ uggv´eny´et. 126. Legyen X 1 param´eter˝ u exponenci´alis eloszl´as´ u val´osz´ın˝ us´egi v´altoz´o. Adjuk meg |X − 2| eloszl´asf¨ uggv´eny´et, s˝ ur˝ us´egf¨ uggv´eny´et ´es v´arhat´o ´ert´ek´et. Norm´ alis eloszl´ as. 127. Az X val´osz´ın˝ us´egi v´altoz´o N (3; 22 ) eloszl´as´ u. Hat´arozzuk meg a P (−2 < X < 1) ´es a P (0, 1 < |X|) val´ osz´ın˝ us´eget. 128. Becs¨ ulj¨ uk meg annak a val´osz´ın˝ us´eg´et, hogy 100 kockadob´as ¨osszege t¨obb, mint 400. (Markov-egyenl˝otlens´eggel, Csebisevvel ´es norm´alis k¨ozel´ıt´essel) 129. Becs¨ ulj¨ uk meg annak a val´osz´ın˝ us´eg´et, hogy 1000 ´ermedob´asb´ol a fejek relat´ıv gyakoris´aga legal´abb 0,6 a) Markov-egyenl˝otlens´eggel, b) Csebisev-egyenl˝otlens´eggel (szimmetriamegfontol´assal a fel´ ¡ ere cs¨o¢kkenthet˝o a becsl´es). c) Sz´am´ıtsuk ki Binom(1000; 0,5) eloszl´as´ u X eset´en az E (3/2)X v´arhat´o ´ert´eket, ennek alapj´an becs¨ ulj¨ unk Markovval. 130. Budapesten meg akarj´ak ´allap´ıtani, hogy a doh´anyosok mekkora ar´anyban fordulnak el˝o. Ehhez megk´erdeznek n egy´ent u ´gy, hogy minden v´alaszt´asn´al mindenki ugyanakkora es´ellyel j¨ohet sz´oba (visszatev´eses mintav´etel). Milyen nagyra kell az n-et v´alasztani, hogy a megk´erdezettek k¨oz¨ott a doh´anyosok ar´anya legal´abb 0,95 val´osz´ın˝ us´eggel 0,005-n´el nem nagyobb hib´aval k¨ozel´ıtse meg a doh´anyosok val´odi ar´any´at? a) Csebisev-egyenl˝otlens´eggel, b) norm´alis k¨ozel´ıt´essel. 131. Egy v´aros napi energiafogyaszt´asa (MWh-ban m´erve) k¨ozel´ıt˝oleg 500 v´arhat´o ´ert´ek˝ u norm´alis eloszl´as´ u val´osz´ın˝ us´egi v´altoz´o. Az elektromos m˝ uvek egy nap max. 700 MWh ´aramot tud szolg´altatni. Mennyi az energiafogyaszt´as sz´or´asa, ha 0,01 annak az es´elye, hogy ez a mennyis´eg nem elegend˝o?
8
