5.
Výpočty s využitím vztahů mezi stavovými veličinami ideálního plynu
Ze zkušenosti víme, že objem plynu - na rozdíl od objemu pevné látky nebo kapaliny - je vymezen prostorem, v němž je plyn uzavřen. Přítomnost plynu v nádobě se projevuje tlakem na její stěny. Zde pomineme závislost tlaku na souřadnici délky ve směru gravitačního působení Země. V nízké nádobě, která je v klidu, je tlak na stěny všude stejný a závisí na třech veličinách, kterými jsou látkové množství plynu nebo jeho hmotnost, objem prostoru, ve kterém je plyn uzavřen a teplota. Lze-li kromě měření tlaku měnit a sledovat objem nádoby (například je-li nádobou válec s posuvným pístem), teplotu plynu (zahříváním či chlazením) a množství plynu (vypouštěním z nádoby či napouštěním do nádoby), lze se také pokusně přesvědčit o tom, že určitému nastavení uvedených tří veličin odpovídá vždy stejný tlak, bez ohledu na to, jaký byl průběh jejich změn. Říkáme, že množstvím, objemem a teplotou je určen stav plynu a tlak plynu závisí jen na jeho stavu, nikoliv na cestě, kterou bylo určitého stavu dosaženo, neboli tlak plynu je stavovou funkcí jeho množství, objemu a teploty. Také se lze pokusně přesvědčit, že tlakem a kterýmikoliv dvěma ze tří zbývajících veličin je jednoznačně určena poslední z nich. (Například, jsou-li dány tlak, množství a teplota, můžeme v libovolném pořadí vypouštět nebo napouštět plyn do nádoby, chladit nebo zahřívat nádobu s plynem a měnit objem nádoby - ve všech případech, kdy dosáhneme daného množství, teploty a tlaku plynu v nádobě, bude mít objem stejnou velikost.) Z toho vyplývá, že také tlak je stavová veličina plynu a kterákoliv z uvedených čtyř stavových veličin plynu je jednoznačně určena ostatními třemi, je jejich stavovou funkcí. Matematický vztah mezi stavovými veličinami plynu se nazývá stavová rovnice plynu. Stavovou rovnici plynu lze odvodit ze vztahů platných mezi jeho dvěma stavovými veličinami při konstantních zbývajících dvou stavových veličinách. Při pokusném zjišťování příslušných závislostí se ukázalo, že závislosti nalezené pro různé plyny se se zvyšováním teploty a se snižováním tlaku sbližují a při dostatečně vysokých teplotách a nepříliš vysokých tlacích se vzájemně liší tak málo, že při řešení mnoha problémů v praxi lze používat stejné přibližné vztahy pro různé plyny. Jako užitečné se dále ukázalo zavést pojem ideálního plynu jakožto plynu, který by se těmito vztahy řídil naprosto přesně. Z uvedených vztahů je nejdéle známý Boyleův zákon, podle kterého je součin tlaku a objemu plynu při konstantní teplotě a při konstantním látkovém množství konstantní, tedy platí vztah PV = C (t, n)
(51)
kde P je tlak plynu, V je jeho objem a C(t,n) je konstanta úměrnosti platná pro teplotu t a látkové množství n. Při konstantním tlaku a konstantním látkovém množství plynu platí Gay-Lussacův zákon, podle něhož se objem plynu lineárně zvyšuje s teplotou. Tuto závislost vyjadřuje rovnice V = V (0°C, P, n ) ⋅ (1 + α 0 t )
(52)
kde t je Celsiova teplota, tj teplota měřená pomocí Celsiovy stupnice, jejíž jednotkou je stupeň Celsia, který se označuje °C, V(0°C, P, n) je objem plynu při teplotě 0°C, tlaku P a látkovém množství n, a α0 je izobarický koeficient teplotní roztažnosti extrapolovaný na nulový tlak. Pro veličinu α0 byla u řady plynů shodně nalezena hodnota 3,661 0 ⋅ 10-3 °C-1, spíše si však zapamatujeme její obrácenou hodnotu, pro kterou platí: 1
α0
= 273,15°C
(53)
Rovnici (52) můžeme přepsat ve tvaru 1 V = V (0°C, P, n) ⋅
α0
+t
1
α0
= V (0°C, P, n) ⋅
273,15°C + t 273,15°C
(54)
Podle této rovnice by tedy měl být objem plynu při teplotě –273,15°C nulový. To ovšem u reálných plynů neodpovídá skutečnosti. Rozdíly mezi naměřenými a z Gay-Lussacova zákona vypočítanými objemy reálných plynů mohou být při dostatečně vysokých teplotách, zejména při současně nízkých tlacích, z praktického hlediska zanedbatelné, avšak se snižováním teploty se tyto rozdíly zvětšují. Ideální plyn, tedy plyn, který existuje jen v naší představě, má při teplotě –273,15°C nulový objem. Při ještě nižší teplotě by měl podle rovnice (54) záporný objem, což však nemá fyzikální smysl. Výhodným se nyní stává zavedení nové teplotní stupnice s nulou nastavenou na teplotu, při které je objem ideálního plynu nulový. Teplota měřená pomocí této stupnice se nazývá termodynamická teplota nebo absolutní teplota a označuje se symbolem T. 29
Jednotka termodynamické teploty je shodná s jednotkou teploty, tedy stupněm Celsia, avšak dodržuje se konvence, že pro termodynamickou teplotu se tato jednotka nazývá kelvin a označuje se K. Termodynamická teplota je jednou ze základních jednotek soustavy SI a kelvin je její základní jednotkou. Slovně uvedený vztah mezi termodynamickou a Celsiovou teplotou vyjadřuje rovnice T t = 273,15 + K °C
(55)
ze které plyne t=
T °C − 273,15°C K
(56)
Po dosazení do rovnice (54) za t z rovnice (56) dostáváme V = V (0°C, P, n) ⋅
T °C − 273,15°C T K = V (0°C, P, n) ⋅ 273,15°C 273,15 K
273,15°C +
Termodynamická teplota 273,15 K (které odpovídá teplota 0°C) se nazývá normální teplota a označuje se T0. Poslední rovnici můžeme přepsat ve tvaru V = V (T0 , P, n) ⋅
T T0
(57)
Sledováním závislosti tlaku plynu na teplotě při konstantním objemu a konstantním látkovém množství zjistíme, že při nízkých tlacích platí Charlesův zákon, podle něhož je tlak konstantního množství plynu při konstantním objemu lineární funkcí teploty, kterou lze zapsat ve tvaru P = P(T0 , V , n) ⋅
T T0
(58)
kde P(T0, V, n) je tlak při normální teplotě, objemu V a látkovém množství n. Hlavní jednotkou tlaku v soustavě SI je pascal (1 Pa = 1 kg m-1 s-2). Jednotkou síly v soustavě SI je newton (1 N = 1 kg m s-2), tedy platí 1 Pa = 1 N m-2. V praxi se setkáváme ještě s dalšími jednotkami tlaku, z nichž nejčastější jsou bar (symbol bar), torr (symbol torr) nazývaný také milimetr rtuťového sloupce (mmHg), fyzikální atmosféra (symbol atm) a atmosféra (někdy nazývaná technická atmosféra, symbol at) čili kilopond na centimetr čtvereční (symbol kp cm-2, kp je symbol zastaralé jednotky síly zvané kilopond.). Tyto jednotky lze navzájem převádět pomocí těchto vztahů: 1 bar = 105 Pa 1 torr = 133,322 Pa 1 atm = 760 torr = 1,01325 ⋅ 105 Pa 1 at = 1 kp cm-2 = 9,807 ⋅ 104 Pa Tlak o velikosti 101 325 Pa se nazývá normální tlak a bude nadále označován P0. K odvození vztahu mezi objemem, teplotou a tlakem plynu při konstantním látkovém množství stačí kterékoliv dva z uvedených tří zákonů – Boyleova, Gay-Lussacova a Charlesova- tedy kterékoliv dvě z rovnic (51), (57) a (58) a odvozený vztah je vždy stejný (zákony jsou spolu konzistentní) a můžeme jej napsat ve tvaru V = F (n ) ⋅
T P
(59)
kde F(n) je konstanta platná pro látkové množství n. Jestliže plyn vyplňující určitou nádobu má ve všech místech stejný tlak a stejnou teplotu, jsou jeho látkové množství a hmotnost rozloženy rovnoměrně v celé nádobě. Kdybychom tedy takovou nádobu vyplněnou plynem rozdělili přepážkou, rozdělili bychom látkové množství (nebo hmotnost) plynu ve stejném poměru jako objem nádoby. Objem plynu je tedy přímo úměrný jeho látkovému množství nebo hmotnosti; říkáme, že je extenzívní veličinou. Tuto vlastnost objemu plynu vyjádříme vztahem V = nVm
(60) 30
ve kterém konstanta úměrnosti Vm se nazývá molový objem. Spojením vztahů (59) a (60) dostaneme rovnici PVm F (n) = T n
Protože výraz na levé straně této rovnice není funkcí n, výraz na její pravé straně také není funkcí n a protože není ani funkcí P, Vm nebo T, je konstantou. Rovnici přepíšeme do tvaru PVm =R T
(61)
kde R je plynová konstanta, která je jednou z přírodních konstant. Její hodnota je 8,314 410 kg m2 s-2 K-1 mol-1. Protože kg m2 s-2 je jednotkou energie, která má v soustavě SI speciální název joule a značku J, můžeme psát R = 8,314 410 J K-1 mol-1. Spojením rovnic (61) a (60) pak dostaneme stavovou rovnici ideálního plynu PV=nRT
(62)
Vyjádříme-li n z rovnice (15) resp. z rovnice (8) dostaneme stavovou rovnici ideálního plynu ve tvaru PV =
m RT M
(63)
R NT NA
(64)
respektive ve tvaru PV =
Poměr plynové konstanty k Avogadrově konstantě se nazývá Boltzmannova konstanta, jejíž definiční vztah tedy je kB =
R = 1,380 662 ⋅10 − 23 J K -1 NA
(65)
Zavedením Boltzmannovy konstanty přepíšeme stavovou rovnici (64) na tvar PV = k B NT
(66)
Normální teplotě a normálnímu tlaku odpovídá normální objem V0. Normální objem ideálního plynu vztažený na množství 1 mol je přírodní konstanta nazývaná normální molový objem, nadále bude označován Vm 0 a jeho hodnota je 2,241 383 ⋅ 10-2 m3 mol-1, tedy 22,413 83 dm3 mol-1. Normální teplota, normální tlak a normální molový objem představují normální podmínky. Z rovnice (61) vyplývá, že plynovou konstantu můžeme vypočítat, známe-li hodnoty P, Vm a T jediného, libovolně zvoleného stavu, normální podmínky nevyjímaje, tedy platí: R=
P0 Vm 0 T0
Pro počet molekul z rovnic (64) a (66) plyne: N=
N A PV PV ⋅ = R T k BT
(67)
To znamená, že považujeme-li stavovou rovnici za platnou pro různé plyny, platí Avogadrův zákon, podle něhož stejné objemy různých plynů za týchž podmínek obsahují stejný počet molekul. Na skutečnosti, že teplota látek se zvyšuje dodáváním energie – například těleso pohybující se v plynu ztrácí kinetickou energii a zvyšuje se teplota plynu i tělesa – je založena kinetická teorie. Podle ní jsou teplota i tlak pouze vnějším projevem pohybu molekul. Přitom teplota je mírou střední kinetické energie translačního pohybu molekul a tlak je střední síla, jíž působí molekuly, narážející na stěnu nádoby, na každou jednotku její plochy. Nejjednodušší představa (model) plynu v kinetické teorii vychází z předpokladu, že se molekuly chovají jako tuhé koule, které na sebe nepůsobí žádnými přitažlivými ani odpudivými silami s výjimkou vzájemných srážek, kdy se jedna druhé dotknou a odrazí se. Žádný směr pohybu molekul není preferován. Absolutní hodnoty rychlosti molekul jsou různé a mohou nabývat hodnot od 0 do ∞. Kromě toho se předpokládá, že objem zaujatý molekulami samými lze ve srovnání s celkovým objemem plynu zanedbat. Tento model se nazývá dokonalý plyn.
31
Ze zákonů klasické mechaniky pro dokonalý plyn s molekulami o shodné hmotnosti ma platí vztah PV =
N ma v 2 3
(68)
kde je v 2 je střední hodnota čtverců rychlostí molekul. Protože pro střední translační energii molekuly platí Ek =
1 ma v 2 2
(69)
můžeme rovnici (68) přepsat na tvar PV =
2 NE k 3
(70)
Ze spojení této rovnice s rovnicí (67) vyplývá závěr, že teplota je funkcí toliko kinetické energie a tato funkce má tvar T=
2 NA 2 E ⋅ Ek = ⋅ k 3 R 3 kB
(71)
Zároveň je zřejmé, že teplota je veličina statistická, definovatelná pouze pro velké soubory částic. Pro střední kvadratickou rychlost, která je definována výrazem v kv = v 2
(72)
dostaneme spojením s rovnicemi (69) a (71) vztah v kv =
3RT = N A ma
3k BT ma
(73)
Ze spojení rovnice (15), kterou je definována molová hmotnost, s rovnicemi (3) a (17) plyne vztah
NAma = M a vztah (73) tedy můžeme přepsat na tvar v kv =
5.1
3RT M
(74)
Výpočty objemu
Příklad 23 Jaký objem zaujímá 0,5 g vodíku při teplotě -500C tlaku 760 torr? Řešení Objem plynu vyjádříme z rovnice (63): V =
mRT MP
Výpočet se usnadní, jestliže zadané veličiny vyjádříme v hlavních jednotkách soustavy SI a do vzorce dosadíme jen jejich numerické hodnoty. Výsledné bezrozměrné číslo pak odpovídá poměru vypočítané veličiny k její hlavní jednotce v soustavě SI. m = 0,5 g ⋅
kg = 5 ⋅ 10 − 4 kg 10 3 g
t T = 273,15 + K = (273,15 - 50) K = 223,15 K ° C 32
M = 2,016 g mol-1 ⋅
kg = 2,016 ⋅ 10 - 3 kg mol-1 10 3 g
P = 760 torr = 101 325 Pa
5 ⋅ 10 −4 ⋅ 8,314 ⋅ 223,15 V = = 4,54 ⋅ 10 −3 3 m 2,016 ⋅ 10 −3 ⋅ 101 325
V = 4,54 ⋅ 10-3 m3 = 4,54 dm3 Vodík zaujímá objem 4,54 dm3. Příklad 24
Pohlcením amoniaku v 1000 g vody vznikl jeho 10 %ní roztok. Vypočítejte objem amoniaku a) za normálních podmínek, b) při teplotě 200C a tlaku 760 torr. Řešení Budiž amoniak složka 1 a voda složka 2. Z rovnice (23) odvodíme vztah pro hmotnost amoniaku a vypočítáme ji. w1 =
m1 wm 0,1 ⋅ 1000 g ⇒ w1m2 + w1m1 = m1 ⇒ m1 = 1 2 = = 111,11 g m1 + m2 1 − w1 1 − 0,1
Z rovnice (15) vyjádříme látkové množství amoniaku a vypočítáme je. n1 =
m1 111,11 g = = 6,524 mol M 1 17,031 g mol-1
a) Pro výpočet objemu plynu za normálních podmínek není potřeba použít stavovou rovnici, jednodušší je použít k výpočtu rovnice (60). V0 = n1 ⋅ Vm 0 = 6,524 mol ⋅ 22,41 dm3 mol-1 = 146,2 dm3 Objem amoniaku za normálních podmínek je 146,2 dm3. b) Ze stavové rovnice (62) vyjádříme objem plynu. V =
n1 RT P
Teplotu a tlak vyjádříme pomocí základních jednotek soustavy SI: T = (273 + 20) K = 293 K P = 760 torr ⋅
133,3 Pa = 1,013 ⋅ 10 5 Pa 1 torr
Z toho plyne: 6,524 ⋅ 8,314 ⋅ 293 V = = 0,156 9 3 m 1,013 ⋅ 10 5
tedy V = 0,156 9 m3 = 156,9 l Objem amoniaku za daných podmínek je 156,9 l.
33
Úlohy
103. Jaký objem a jakou hmotnost má 1⋅1020 molekul vodíku a) za normálních podmínek, b) při teplotě 20°C a tlaku 740 torr? 104. Jaký objem má 2,1 kg dusíku a) za normálních podmínek, b) při teplotě 18°C a tlaku 750 torr? 105. Jaký objem zaujímá 1,5 mol plynu a) za normálních podmínek b) při tlaku 1,2 kp cm-1a teplotě 18°C ? 106. Jaký je objem 10 g kyslíku a) za normálních podmínek, b) při teplotě 25°C a tlaku 10 kp cm-2. 107. Jaký je objem 25 g dusíku a) za normálních podmínek, b) při teplotě 20°C a tlaku 1 000 Pa? 108. Určete objem 1,5 kmol oxidu uhličitého a) za normálních podmínek , b) při tlaku 1,1⋅105 Pa a teplotě 18°C. 109. Určete, jaký je objem 16 g kyslíku, je-li jeho teplota 20°C a tlak a) 1 000 torr, b) 1 at, c) 10 kp cm-2, d) 1 000 Pa.
5.2
Výpočty tlaku
Příklad 25
Pod jakým tlakem v atmosférách, s přesností na dvě platné číslice, je 4,8 kg argonu ve 20 litrové láhvi při teplotě 20°C ? Řešení Tlak vyjádříme z rovnice (63): P=
mRT MV
Veličiny potřebné pro výpočet vyjádříme v základních jednotkách soustavy SI resp. v jednotkách složených jen ze základních jednotek soustavy SI: T = (273 + 20) K = 293 K
M = 39,95 g mol-1 = 39,95 ⋅ 10-3 kg mol-1 = 3,995 ⋅ 10-2 kg mol-1 V = 20 l = 20 ⋅ 10-3 m3 = 2 ⋅ 10-2 m3 Z toho plyne: 4,8 ⋅ 8,314 ⋅ 293 P = = 1,463 ⋅ 10 7 Pa 3,995 ⋅ 10 − 2 ⋅ 2 ⋅ 10 − 2
tedy P = 1,463 ⋅ 10 7 Pa ⋅
1 at = 150 at 9,807 ⋅ 10 4 Pa
Tlak argonu je 150 at. 34
Úlohy
110. Určete tlak 0,1 kmol oxidu siřičitého, je-li při teplotě 10°C jeho objem 1 m3. Tlak uveďte v pascalech, torrech a technických atmosférách. 111. Jaký tlak v kp cm-2 a v torrech má 142,8 kg kyslíku při teplotě 10°C a objemu 100 m3 ?
5.3
Výpočty molové hmotnosti
Příklad 26
V prostoru o objemu 150 cm3 je za normálních podmínek obsaženo 0,29 g plynu. Určete jeho molovou hmotnost. Řešení Pro normální podmínky má rovnice (60) tvar V0 = nVm0 kde V0 je objem za normálních podmínek. Z této rovnice pro n dostaneme
n=
V0 = Vm0
1 dm 3 1 000 cm 3 = 6,693 44 ⋅ 10 −3 mol 22,41 dm 3 mol -1
150 cm 3 ⋅
Z rovnice (r9 15) pak dostaneme molovou hmotnost M=
0,29 g m = = 43,33 g mol -1 n 6,693 44 ⋅ 10 -3 mol
Plyn má molovou hmotnost 43,33 g mol-1. Příklad 27
Plyn má hmotnost 2,8 g. Při teplotě 23°C a tlaku 754 torr zaujímá objem 1,557 l. Vypočítejte jeho molovou hmotnost. Řešení Z rovnice (63) pro M dostaneme M=
mRT PV
Dané veličiny vyjádříme v základních jednotkách soustavy SI resp. v jednotkách složených jen ze základních jednotek soustavy SI: m = 2,8 g = 0,002 8 kg T = (273 + 23) K = 296 K P = 754 torr ⋅
V = 1,557 l ⋅
133,3 Pa = 1,005 ⋅ 10 5 Pa 1 torr
1m3 = 1,557 ⋅ 10 −3 m 3 1 000 l
Z toho plyne 0,002 8 ⋅ 8,314 ⋅ 296 M = = 0,044 03 -1 kg mol 1,005 ⋅10 5 ⋅1,557 ⋅10 −3
35
tedy M = 0,044 03 kg mol-1 = 44,03 g mol-1 Plyn má molovou hmotnost 44,03 g mol-1. Úlohy
112. Jaká je molová hmotnost plynu, jehož hmotnost je 5,73 g při objemu 7,5 l za normálních podmínek? 113. Vypočítejte molovou hmotnost plynné látky, víte-li, že 500 ml této látky má při teplotě 20°C a tlaku 770 torr hmotnost 1,584 g. 114. Jaká je molová hmotnost plynu, jestliže v množství 0,315 g zaujímá objem 250 ml při teplotě 22°C a tlaku 768 torr ? 115. Vypařením 0,67 g sloučeniny při teplotě 91°C a tlaku 728 torr vzniklo 175 cm3 plynu. Vypočítejte molovou hmotnost této sloučeniny. 116. Plyn zaujímající objem 1 dm3 při teplotě 25°C a tlaku 742 torr má hmotnost 1,711 g. Vypočítejte jeho molovou hmotnost.
5.4
Výpočty látkového množství, počtu molekul a hmotnosti
Příklad 28
Kolik molekul plynu je v prostoru o objemu 1 cm3 a) za normálních podmínek, b) po vyevakuování na 1⋅10-6 torr při 300°C ? Řešení a) Budiž V0 objem plynu za normálních podmínek. Ze spojení rovnice (60) s rovnicí (17) dostaneme
N=
N AV0 = Vm0
dm 3 1 000 cm 3 = 2,688 ⋅ 1019 -1
6,022 ⋅ 10 23 mol -1 ⋅ 1 cm 3 ⋅ 22,41 dm 3 mol
V 1 cm3 je za normálních podmínek 2,688 ⋅ 1019 molekul plynu. b) Dané stavové veličiny vyjádříme pomocí jednotek složených jen ze základních jednotek soustavy SI: P = 1 ⋅ 10 −6 torr ⋅ V = 1 cm 3 ⋅
133,3 Pa = 1,333 ⋅ 10 − 4 Pa torr
m3 = 1 ⋅ 10 -6 m 3 1 ⋅ 10 6 cm 3
T = (273 + 300) K = 573 K Z rovnice (67) dostaneme počet molekul N=
N A PV 6,022 ⋅10 23 1,333 ⋅10 −4 ⋅1 ⋅10 −6 ⋅ = ⋅ = 1,685 ⋅1010 R T 8,314 573
Za daných podmínek je v 1 cm3 1,685 ⋅ 1010 molekul plynu.
36
Příklad 29
Jaká je hmotnost 0,9 l acetylenu při teplotě 30°C a tlaku 781 torr ? Řešení Z rovnice (63) plyne m=
PVM RT
Dané veličiny vyjádříme pomocí jednotek složených jen ze základních jednotek soustavy SI: P = 781 torr ⋅
V = 0,9 l ⋅
133,3 Pa = 1,041 ⋅ 10 5 Pa torr
m3 = 9 ⋅ 10 − 4 m 3 1 000 l
M = 26,04 g mol -1 ⋅
kg = 2,604 ⋅ 10 − 2 kg mol -1 1 000 g
T = (273 + 30) K = 303 K Z toho plyne m 1,041 ⋅ 10 5 ⋅ 9 ⋅ 10 −4 ⋅ 2,604 ⋅ 10 −2 = = 9,69 ⋅ 10 − 4 kg 8,314 ⋅ 303
tedy m = 9,69⋅10-4 kg = 0,969 g Acetylen má hmotnost 0,969 g. Úlohy
117. Kolik molekul obsahuje 1 m3 helia při teplotě –19°C a tlaku 700 torr ? 118. Kolik molekul dusíku zůstane v prostoru o objemu 1 cm3 evakuovaném při teplotě 0°C na tlak 1⋅10-6 torr ? 119. Kolik molekul je obsaženo v 1 cm3 prostoru evakuovaného na 1⋅10-6 torr při -200C ? 120. Vypočítejte, jaká je hmotnost 1 m3 vzduchu při tlaku 1,25 at a teplotě 17°C, je-li průměrná molová hmotnost vzduchu 28,95 g mol-1 . 121. V 1000 g vody bylo rozpuštěno 100 dm3 amoniaku, jehož objem byl měřen při teplotě 25°C a tlaku 730 torr. Vypočítejte a) procentovou koncentraci amoniaku v roztoku, b) molaritu vzniklého roztoku, je-li jeho hustota 0,973 g ml-1. 122. V nádobě o objemu 2 dm3 je kyslík při teplotě 23°C a tlaku 777 torr. Vypočítejte hmotnost tohoto množství kyslíku. 123. Vypočítejte, kolik gramů činí hmotnost 1 dm3 oxidu uhelnatého a) za normálních podmínek, b) při teplotě 10°C a tlaku 760 torr. 124. Vypočítejte, jaká je hmotnost 1 m3 dusíku v kilogramech a) za normálních podmínek, b) při teplotě 100°C a tlaku 760 torr, c) při teplotě –100°C a tlaku 760 torr. 125. Vypočítejte hmotnost 1 dm3 plynu v gramech při tlaku 740 torr a teplotě 20°C, když plyn je a) vodík, b) kyslík, c) dusík, d) oxid uhelnatý, e) sulfan, f) oxid siřičitý, g) chlor. 126. Ve 20 litrové tlakové láhvi je kyslík pod tlakem 150 kp cm-2 při teplotě 20°C. Vypočítejte hmotnost kyslíku. 37
127. Tlaková láhev obsahu 40 l naplněná kyslíkem má hmotnost 78,73 kg. Kyslík v láhvi má při teplotě 20°C tlak 150 at. Jakou má hmotnost prázdná tlaková láhev ? 128. Jaká je hmotnost 100 m3 kyslíku za normálních podmínek ?
5.5
Stechiometrické výpočty s využitím Avogadrova zákona
Příklad 30
Kolik litrů oxidu uhličitého vznikne spálením 5 l propanu, jsou-li objemy obou plynů měřeny za stejných podmínek ? Řešení Spalování propanu je reakce propanu s kyslíkem, při které vznikají oxid uhličitý a voda. Z obou reaktantů pouze propan a z obou produktů pouze oxid uhličitý obsahují uhlík. Tím je dáno, že z jedné molekuly propanu vzniknou tři molekuly oxidu uhličitého. Není třeba sestavovat úplnou chemickou rovnici. C3H8
3 CO2
Podle Avogadrova zákona platí vztah VCO 2 N CO 2 3 = = VC 3H 8 N C3 H 8 1
ze kterého dostaneme pro VCO 2 dostaneme VCO 2 = 3 ⋅ VC3H8 = 3 ⋅ 5 l = 15 l
Spálením 5 l propanu vznikne 15 l oxidu uhličitého. Úlohy
129. Jaký objem kyslíku je potřeba ke spálení 10 dm3 ethanu na vodu a oxid uhličitý ? Objemy obou plynů jsou měřeny za stejných podmínek. 130. Z kolika litrů butanu a z kolika litrů kyslíku vznikne 28 l oxidu uhličitého, jestliže uvažujeme objemy všech plynů za stejných podmínek ? 131. V jakých objemových poměrech se sloučí páry benzenu s kyslíkem při spalování benzenu na oxid uhličitý a vodu ?
5.6
Stechiometrické výpočty, při kterých nelze využít Avogadrova zákona
Příklad 31
Vypočítejte hmotnost kyslíku, který vznikne rozkladem 100 g chlorečnanu draselného. Jaký bude objem vzniklého kyslíku a) za normálních podmínek, b) při teplotě 25°C a tlaku 756 torr ? Řešení Vyjdeme z chemické rovnice 2 KClO3
2 KCl + 3 O2
38
Ze vztahu (40) plyne rovnice vyjadřující vztah mezi rozloženým množstvím chlorečnanu a množstvím vzniklého kyslíku: nKClO3 nO = 2 2 3
Z rovnice (15) plyne pro látkové množství chlorečnanu nKClO3 =
mKClO3 M KClO3
a pro látkové množství kyslíku nO2 =
mO 2 M O2
Spojením těchto rovnic pro hmotnotnost kyslíku dostaneme vztah mO2 =
3 mKClO3 ⋅ M O2 3 ⋅ 100 g ⋅ 31,998 g mol -1 = = 39,17 g 2 M KClO3 2 ⋅ 122,552 g mol -1
Rozkladem 100 g chlorečnanu draselného vznikne 39,17 g kyslíku. a) Objem kyslíku za normálních podmínek V0 vypočítáme z rovnice (60), po zavedení výše uvedeného výrazu pro nO2 : V0 = nO2 Vm0 =
mO 2 39,17 g ⋅ Vm0 = ⋅ 22,41 dm 3 mol -1 = 27,43 dm 3 M O2 31,998g mol -1
Kyslík bude mít za normálních podmínek objem 27,43 dm3. b) Z rovnice (63) plyne vztah V =
mO2 RT PM O2
Všechny veličiny v tomto vztahu vyjádříme v jednotkách složených výhradně ze základních jednotek SI: T = (273 + 25) K = 298 K P = 756 torr ⋅
133,3 Pa = 1,008 ⋅ 10 5 Pa torr
Pak platí V 39,17 ⋅ 8,314 ⋅ 298 = = 3,009 ⋅ 10 − 2 3 m 1,008 ⋅ 105 ⋅ 31,998
tedy V = 3,009⋅10-2 m3 = 30,09 dm3 Za podmínek ad b) bude objem kyslíku 3,009⋅10-2 m3, tj. 30,09 dm3. Příklad 32
Úplným spálením směsi methanu a ethanu vzniklo 8,96 dm3 oxidu uhličitého (měřeno za normálních podmínek) a 12,6 g vody. V jakém molovém poměru byly zastoupeny oba uhlovodíky ve směsi ?
39
Řešení Spalování uhlovodíků vyjádříme chemickými rovnicemi: CH4 + 2 O2 C2H6 +
7 O2 2
CO2 + 2 H2O 2 CO2 + 3 H2O
Pro usnadnění budiž methan látka A, ethan látka B, oxid uhličitý látka C a voda látka D. Zavedeme symboly veličin: mD
-
celková hmotnost vzniklé vody
MD
-
molová hmotnost vody
nA
-
látkové množství spáleného methanu
nB
-
látkové množství spáleného ethanu
nC
-
celkové látkové množství oxidu uhličitého
nC,A
-
látkové množství oxidu uhličitého vzniklého spálením methanu
nC,B
-
látkové množství oxidu uhličitého vzniklého spálením ethanu
nD
-
celkové látkové množství vzniklé vody
nD,A
-
látkové množství vody vzniklé spálením methanu
nD,B
-
látkové množství vody vzniklé spálením ethanu
V0C
-
celkový objem vzniklého oxidu uhličitého za normálních podmínek
Pro celkové látkové množství oxidu uhličitého dostaneme z rovnice (60) nC =
V0C 8,96 dm 3 = = 0,40 mol Vm0 22,41 dm 3 mol -1
a pro celkové látkové množství vzniklé vody dostaneme z rovnice (15) nD =
12,6 g mD = = 0,70 mol M D 18,015 g mol -1
Na základě chemické rovnice hoření methanu platí podle rovnice (40) n A n C,A n D,A = = 1 1 2
tedy nC,A = nA a nD,A = 2 nA Analogicky na základě chemické rovnice hoření ethanu dostaneme vztahy nC,B = 2 nB a nD,B = 3 nB Pro celková látková množství vzniklých produktů musí platit nC = nC,A + nC,B respektive nD = nD,A + nD,B
40
Dosazením prve odvozených výrazů pro nC,A , nC,B , nD,A a nD,B do posledních dvou vztahů dostaneme rovnice nC = nA + 2 nB a nD = 2 nA + 3 nB jejichž simultánním řešením dostaneme nA = -3 nC + 2 nD = -3 ⋅ 0,40 mol + 2 ⋅ 0,70 mol = 0,20 mol a nB = 2 nC - nD = 2 ⋅ 0,40 mol - 0,70 mol = 0,10 mol Ve výchozí směsi bylo 0,20 mol methanu a 0,10 mol ethanu. Tyto uhlovodíky tedy byly v molovém poměru 2:1. Úlohy
132. Kolik litrů kyslíku se uvolní katalytickým rozkladem 100 g 20 %ního peroxidu vodíku, bude-li objem měřen při teplotě 0 °C a tlaku 101,325 kPa ? 133. Jaký bude objem vodíku připraveného rozpuštěním 5,0 g zinku v kyselině chlorovodíkové, jestliže bude měřen při teplotě 25 °C a tlaku 5·104 Pa ? 134. Vypočítejte objem oxidu uhličitého (za předpokladu, že se chová jako ideální plyn), který vznikl spálením 7,265 g butanu (C4H10) při teplotě 1230 °C a tlaku 1 250 mbar. 135. Jaký objem kyslíku za normálních podmínek se spotřebuje ke spálení 250 g směsi methanolu a ethanolu v molovém poměru 1:1 ? 136. Reakci s vodou bylo podrobeno 20,0 g acetylidu vápenatého. Vypočítejte tlak připraveného acetylenu za předpokladu jeho ideálního chování, jestliže při 20 °C zaujímal objem 5,78 l. 137. Tepelným rozkladem 10 g chlorečnanu draselného byl připraven kyslík, který při teplotě 293,15 K zaujímal objem 2,53 dm3. Za předpokladu, že se chová jako ideální plyn, vypočítejte jeho objem v pascalech, barech, torrech, atmosférách a fyzikálních atmosférách. 138. Spálením směsi methanolu a ethanolu vzniklo 3,36 l oxidu uhličitého (měřeno za normálních podmínek) a 4,32 g vody. V jakém molovém poměru byly zastoupeny oba alkoholy ? 139. Vypočítejte hmotnost vápníku, jehož reakcí s vodou připravený vodík za normálních podmínek zaujímal objem 55,9 l.
41
