5. Hőtranszport. Hőátvitel

Transzportfolyamatok…

5. Hőtranszport. Hőátvitel Nagyon sok ipari, sőt laboratóriumi szinten végbemenő folyamat hőátvitellel történik. A hőátvitel különböző közegek közti hőenergia átadását jelenti. A hőátvitel hajtóereje a hőmérséklet különbség. A termodinamika második főtétele értelmében a magasabb hőmérsékletű közeg hőjének egy részét átadja az alacsonyabb hőmérsékletű közegnek. Másképp fogalmazva, a hő spontán módon soha se képes hidegebb közegből a melegebb közegbe átmenni. Míg a termodinamika egyensúlyi hőátalakulási folyamatokat tárgyal, a hőátvitel dinamikus folyamatokkal fogalakozik, ahol egy bizonyos paraméterekkel rendelkező hőenergia más paraméterű hőenergiává alakul át. Mennyiségileg a hőátvitel az energia megmaradás törvényének megfelelően történik, vagyis zárt rendszerek esetén a leadott energia egyenlő a felvett energiával: Qleadott  Q felvett (5.1) Tehát egy zárt rendszerben, stacionárius állapotok között, a melegebb közeg által leadott hőmennyiség egyenlő a hidegebb közeg által felvett hőmennyiséggel. Amikor valamilyen transzformáció lép fel - fizikai, kémiai vagy biológiai - mely energiát bocsát ki vagy elnyel, akkor a mérlegbe be kell venni a forrás vagy nyelés tagot is. Ha a rendszer termodinamikailag nem zárt, akkor fellép a külvilággal való energiacsere. Ilyenkor a leadott hőmennyiség egyenlő a felvett és a környezettel cserélt hőmennyiség összegének értékével: (5.2) Qleadott  Q felvett  Qcserélt Mint ismeretes, a hőátvitel lényege nem az egyensúlyi állapot megteremtése, hanem a hőgradiens állandósítása a folyamat alatt. A hőmérséklet, lévén egy skaláris paraméter, instacionárius állapotban az időtől és helytől függ, míg stacionárius állapotban csak a helytől függ, vagyis: (5.3a és b) T  f ( x, y, z, t ); T  f ' ( x, y, z) Ezeket az összefüggéseket hőmérséklettéri egyenleteknek is nevezzük. Bármely közegben, ahol minden pontra felírható a stacionárius vagy az instacionárius hőmérséklet függvény, találunk olyan pontokat, melyeknek hőmérsékletük megegyezik. Ezek a pontok egy úgynevezett izoterm felületet határoznak meg. Az ilyen felületen a t időpontban a részecskék hőmérséklete ugyanaz. Két izoterma között hőmérséklet különbség áll be. A hőmérséklet különbség és a távolság aránya akkor a legnagyobb, amikor a két izotermát összekötő egyenes (lásd az 5.1. ábrát) merőleges a viszonyított izotermára, vagyis:

T  T      l max . l 

(5.4)

105

Hőtranszport A hőmérséklet különbség és a normáltávolság arányának a határértékét hőmérséklet gradiensnek nevezzük:

T T  l 0 l l  lim

P3

A hőmérséklet gradiens egy vektoriális mennyiség, amelyet felírhatunk még:

P2 l2

P1

l3

ln

T + T

(5. 5)

gradT  

P0

T     e ,0   l  

T  T  T  i j k  T x y z

(5.6) A pozitív előjelű gradiens hőmérsékletnövekedésnek, a negatív előjelű hőmérséklet 5.1. ábra. Két izoterma között fellépő csökkenésnek felel meg. A grad T hőmérséklet változás (Gavrilă-2000). SI mértékegysége K/m. Az egységnyi időben átadott hőmennyiséget hőáramnak nevezzük. Ez felírható:  Q dQ (5.7) Q  lim  ; J/s  W t 0 t dt Stacionárius rendszerben a hőáram konstans, ami azt jelenti, hogy:

T



Q átlag 

Q , t

J/s  W

(5.8)

Egységnyi idő alatt, egységnyi felületen átvitt hőmennyiséget hőáramsűrűségnek nevezzük, azaz: 

d Q d  dQ  d 2Q J  W  (5. 9) q  ,     dA dA  dt  dAdt m 2s  m 2  Stacionárius helyzetben a közepes hőáram-sűrűséggel dolgozunk, vagyis:

q

Q J W , 2 ( 2) A  t m s m

(5.10)

5.1. A hőátadás mechanizmusai A hőátadás három mechanizmusa ismert, éspedig: - a hővezetés; - a hőáramlás vagy hőkonvekció; 106

Transzportfolyamatok… - a hősugárzás. A hővezetés esetében a hőátvitel az anyagon belül, a test részecskéinek helyváltoztatása nélkül megy végbe. A test közvetlen érintkező részecskéi atomok, molekulák, ionok stb.- hőmozgásuk következményeként adják egymásnak az energiát. Míg a gázok esetében molekulákkal és atomokkal találkozunk, a szilárd testeknél atomok, ionok és molekulák kapcsolódnak be a hővezetésbe. A folyadékoknál is ionok, atomok és molekulák vesznek részt a hővezetésben. A magasabb energiával rendelkező elemi részecske átadja a kinetikai energiájának egy részét az alacsonyabb hővel rendelkezőnek. A fluidumok esetén a hővezetést túlszárnyalja a hőáramlás, vagy más szóval a hőkonvekció. Itt a hő a fluidum makroszkopikus részének áramlása következtében terjed. Tehát a mozgó fluidum részecskéi szállítják a hőt. Mint bizonyított tény, a folyadékok esetében a vezetés csak nagyon vékony, „stagnáló” rétegben érvényesül (   1 mm ). A réteg növekedésével bekövetkezik a természetes szabad áramlás, melynek hajtóereje a hőmérséklet különbségen alapuló sűrűség különbség. Mivel a meleg fluidum sűrűsége kisebb, mint a hidegé, az archimédeszi felhajtóerő érvényesülése következtében a melegebb fluidum felfelé áramlik, magával szállítva a hőenergiát is. Ez a természetes konvekció elég lassú folyamat, épp ezért az ipari berendezésekben nagyobb jelentőséggel bír a kényszer konvekció, amikor a fluidum mozgását külső behatással hozzák létre (szivattyú, kompresszor, ventillátor stb.). Ebben az esetben a hő nagyobb része nem részecskéről részecskére terjed, hanem a részecskéket egy konvekciós áramlat ragadja magával, anyag és hőáramlás együttesen lép fel. A hőátvitel egy harmadik mechanizmusa a hősugárzás, amikor a hőenergiát elektromágneses hullámok viszik egyik közegből a másikba. A forró test elektromágneses hullámokat bocsát ki. Egy másik felülettel való ütközéskor a hullámok energiájának egy része elnyelődik, elősegítve a közeg felmelegedését. A hőhullám a látható hullámok infravörös sávján túli (0,8 μ m) hullámhossznak felel meg. A hősugárzás nem csak szilárd testek között lép fel, hanem a folyadékok és gázok is képesek hősugár kibocsátására és elnyelésére. A szilárd anyagokhoz képest a gázok csak meghatározott hullámhosszú sugarakat képesek elnyelni. Egyes gázok átengedik a hősugarak jelentős részét, mások ellenben elnyelik. A széndioxid, metán, kéndioxid stb. jó hőelnyelők, ezeknek tulajdonítják a melegház effektus jelenségét is.

107

Hőtranszport

5.2. Hővezetés A hővezetés alapegyenlete a Fourier I törvénye, miszerint az A felületre merőleges irányú hővezetéssel átvitt hőáram arányos a hőmérséklet gradienssel és a felület méretével: 

Q    A

dT , J/s  W dx

(5.11)

A negatív előjel arra utal, hogy a hőátadás a hőmérséklet csökkenés irányában történik. Ha a hőáram sűrűséget vesszük figyelembe felírható:

q   

dT , J/m 2s  W/m 2 dx

(5.12)

Egy homogén izotrop közeg esetén, ahol a hőmérséklet térben változó, Fourier egyenlete felírható mind a három irányba:

q x  

T T , q y   , x y

Összegezve:

q  qx  q y  qz    (

q z  

T z

T T T   )    T x y z

(5.13a,b,c)

(5.14)

5.2.1. Hővezetési tényező Az összefüggésben szerepel a hővezetési tényező, mely a közegre jellemző tulajdonság. Jele  , mértékegysége az SI ben W/(mK). A hővezetési tényező azt mutatja, hogy egységnyi hőátadó felületen időegység alatt 1 K/m gradiens hatásra mennyi hő áramlik át a felületre merőleges irányba. Mint a fizikából már ismert, a fémes szerkezetre jellemző a jó hővezető képesség. Az ezüst, a réz és a nemesfémek jó hővezetők. Az ötvözetek már rosszabb hővezetők, mint a tiszta fémek. A nem-fémek közül a grafit jó hővezető. A folyadékok és a gázok rosszabbul vezetik a hőt, mind a szilárd anyagok többsége. A fémek jó hővezető képességét rontják a felületükön lévő lerakodások és stagnáló rétegek. Akár milyen rossz hővezető is lenne egy anyag, a hővezetési tényező értéke nem éri el a nullát. A technikában, sok esetben jó, máskor rossz hővezetési anyagokra van szükség. Hőátadáskor a jó, hőmegtartáskor, szigetelőként rossz hővezető képességű anyagokat keresünk. Néhány anyag hővezetési tényezőjét az 5.1. táblázat tartalmazza. A műszaki számítások esetén a hővezetési együtthatókat a mérésekre alapozott összefüggések, táblázatok vagy grafikonok segítségével határozzuk meg. Gázok esetén a hővezetési együttható értékét Maxwell összefüggésével számítjuk: 108

Transzportfolyamatok… 5.1. táblázat. Különböző anyagok hővezetési tényezője 293 K hőmérsékleten (Horoba-2001). Anyag Anyag  , W/(mK)  , W/(mK) Sárgaréz Szénacél Savállóacél Vízkő

394 50 25 0,4-2,4

Olajhártya Folyadékok Levegő, vízgőz Gázok

0,1 0,1-0,7 0,02-0,055 0,006-0,16

    cv  , W/(mK)

(5.15)

ahol:  - a molekulák közötti kölcsönhatást tükröző állandó, cv - az állandó térfogaton mért fajhő, J/(kgK),  - a dinamikai viszkozitási tényező, Pa.s. Figyelembe véve a k adiabatikus tényezőt ( k 



cp cV

), a  értéke felírható:

9k  5 4

(5.16)

Mivel az ugyanazon atomszámot tartalmazó gázmolekulák esetében a k értéke majdnem ugyanaz, a  értékei megadhatók a molekulák atomszámától függően, vagyis: egyatomos gáznál 2,52, kétatomos gáznál 1,909 és háromatomos gáznál 1,75. A hőmérséklet befolyását a hővezetési tényező értékére az (5.17) összefüggés írja le:

273  C  T    0   T C C 

3/ 2

, W/mK

(5.17)

ahol a 0 és a C értékeit az 5.2. táblázat tartalmazza. 5.2. táblázat. A 0 és a C értékei néhány gáz esetében (Gavrilă-2000). Gáz

0 , W/mK

C, K

Gáz

0 , W/mK

C, K

Hidrogén Nitrogén Levegő Oxigén

0,1594 0,0243 0,0234 0,0234

94 102 122 144

Széndioxid Ammónia Kéndioxid Klór

0,0215 0,0200 0,0077 0,0072

156 626 396 351

Gázelegyek esetén ugyancsak Maxwell összefüggését használjuk, ahol a fajhőt és a viszkozitást az elegyre határoztuk meg. Míg a fajhő esetén az additivitás alkalmazzuk, az elegy viszkozitását az alábbi összefüggéssel számítjuk:

elegy

 x   x  i

i

M iTki

i

i

(5.18)

M iTki

i

109

Hőtranszport ahol az xi az i-dik komponens móltörtje, i - az i-edik komponens viszkozitása, Pa.s, Tki - a kritikus hőmérséklet, K, M i - az i komponens móltömege, kg/mol. A folyadékok esetén a hővezetési tényező a hőmérséklet és a nyomás függvénye. A víz és a glicerin kivételével a folyadékok hővezetési tényezője csökken a hőmérséklet növekedésével. A vizes oldatok hővezető képessége kisebb, mint a vízzé, és csökken a koncentráció növekedésével. A folyadékok hővezetési tényezőjét Weber megközelítő összefüggésével is meghatározhatjuk: (5.19)   k  c p    3  / M , W/(mK) ahol: k - a folyadék asszociációs fokát kifejező állandó (az erősen asszociált folyadékoknál a k értéke 2,58.10-8, gyengén vagy egyáltalán nem asszociált folyadékok esetén 4,22.10-8), c p - az állandó nyomáson mért fajhő, J/(kg K),  - a folyadék sűrűsége, kg/m3, M - a móltömeg, kg/mol. Nagyon rossz elektromos vezetőképességű folyadékok esetén a hővezetési tényezőt Bridgemann összefüggésével számítjuk: R   (5.20) vh   , W/(mK) N M   ahol: R - a gázállandó, J/mol K, N - az Avogadro szám, 6,023.1023 mol-1, vh - a

 3

3

folyadékban mért hang sebessége, m/s,  - sűrűség, kg/m3, M- móltömeg, kg/mol. A szilárd testek hővezetési tényezője függ a közeg anyagi minőségétől és annak makroszkopikus alkatától. A tényező értékét figyelembe véve, beszélhetünk:  hővezető anyagokról:   8,7  458 W/(mK) ;  hőszigetelő anyagokról:   0,02  0,12 W/(mK) ;  tűzálló anyagokról:   0,6  3,5 W/(mK) . Nedves hőszigetelő anyagok esetén a hővezetési tényező értéke nagyobb, mint a száraz anyag és nedvesség hővezetési tényezőjének arányos összege. Porózus anyagok esetén a hővezetési tényező értéke csökken a porozitás növekedésével, tartva a pórusokba foglalt gáz hővezetési tényezőjének értéke felé. A porózus anyagok hővezetési tényezőjét az (5.21) összefüggéssel számítjuk:

 3 p    1  1   2    sz p  ef  sz   3sz  1   1    2    p  sz  110

(5.21)

Transzportfolyamatok… ahol: ef - a porózus anyag hővezetési tényezője,W/(mK), sz - a szilárd anyag hővezetési tényezője, W/(mK),  p - a pórusokat kitöltő anyag hővezetési tényezője, W/(mK),  - az anyag porozitása. A hővezetési tényező értéke lineárisan függ a hőmérséklettől az (5.22) és (5.23) összefüggések szerint: (5.22) T  0  b  T (5.23) T  0 1    T  ahol a b illetve a  tényezők értéke függ az anyag minőségétől. A fémek esetében a Wiedemann, Franz-Lorenz összefüggés szerint a hővezetési és elektromos vezetési tényező kőzött arányosság mutatható fel:   nL (5.24) el  T ahol az nL - a Lorenz szám, T - hőmérséklet, K, el - elektromos vezetőképesség. A fémek hővezető képessége csökken a szennyeződések arányának növekedésével. Az ötvözetek hővezető képessége kisebb, mint az őket alkotó fémekké. A hőmérséklet befolyását az (5.25) és az (5.26) összefüggések írják le: (5.25)   0 (1  k1T  k2T 2 )

  0 (1  k1T )

(5.26)

Az 5.3. táblázat néhány szilárd anyag hővezetési együtthatóját tünteti fel. 5.2.2. Fajhő. Közepes fajhő Az előbbi összefüggésekben szerepel egy a közegre jellemző tulajdonság, a fajhő. Mint ismert, a melegítéskor átvett hő a belső energia és az állandó nyomáson vett térfogat növelését okozza, vagyis:

dQ  dU  d ( pV )  dQ  dU  pdV

(5.27)

Ha a térfogatváltozás nulla, akkor az állandó térfogatra felírható:

1  dQ  1  dU  cV       n  dT V n  dT V

(5.28)

Ha a melegítést állandó nyomáson végezzük, akkor felírható az állandó nyomáson mért fajhő:

1  dQ  1  dU  pdV  1  dU  cp           n  dT  p n  dT  n  dT  P 1  d (U  pV )  1  dH        n dT  p n  dT  p 111

 dV   p    dT  p  (5.29)

Hőtranszport 5.3. táblázat. Szilárd anyagok hővezetési együtthatói (Gavrilă-2000).  , W/(mK) Hőmérséklet Anyag Hőmérséklet  , W/(mK) K K Azbeszt 293 0,15-0,21 Sárgaréz 303 113 Beton 293-353 1,28 Alumínium 373 207 Tégla 293-313 0,69-0,81 Ezüst 373 416 Bükkfa 283-314 0,23-0,21 Bronz 313 189 Fenyőfa 293 0,17-0,35 Kadmium 291 94 Száraz homok 293 0,35-0,81 Réz 373 378 Parafa 293 0,04-0,05 Öntött vas 373 49 Polisztirén 293 0,04 Grafit 373 151 Poliuretán 293 0,04 Nikkel 373 59 Fűrészpor 293 0,07-0,09 Acél 291 45 Üveg 293 0,07 Nemesacél 293 16 Salak gyapot 298 0,07 Ólom 373 23 Üveg gyapot 298 0,02-0,07 Ón 373 59 Salak 298 0,22-0,29 Cink 373 110 Anyag

A fajhő értéke függ az anyag minőségétől, halmazállapotától és a hőmérséklettől. Attól függően, hogy mire vonatkoztatjuk a hőmennyiség változást, beszélhetünk moláris fajhőről (SI mértékegysége J/(molK)), vagy ha tömegre viszonyítva fejezzük ki, mint általában szokás, fajhőről (SI mértékegysége J/(kgK)). A hőmérséklet befolyását a fajhőre a következő összefüggés írja le: c p (vagy cv )  a  bT  cT 2  .... (5.30) Kristályszerkezetű, 40 g/mol atomtömeg feletti szilárd anyagok esetén, a DulongPetit szabály szerint, az atomgrammra viszonyított fajhő értéke 26 J/(mol K). Kopp szabálya szerint a vegyületek moláris fajhőjét úgy kapjuk meg, ha összeadjuk az abban szereplő atomok fajhőjét. A 5.4 táblázat a Kopp szabálynak megfelelő atomfajhőt tartalmazza. 5.4. táblázat. Néhány elem grammatomra viszonyított fajhője (Pavlov-1978). Elem C H B Si O F P S Többi C, J/gramm atom K 7,5 9,6 11,3 15,9 16,8 20,9 22,6 22,6 26,0

A fajhő meghatározására méréseket alkalmazunk. Különböző technikával mért fajhőket tartalmaznak a kézikönyvek, szakkönyvek vagy speciális táblázatok. Ezekből nyújt példát az 5.5. táblázat. A fajhő megadható egy bizonyos konstans hőmérsékleten, vagy egy meghatározott intervallumban. Ebben az esetben átlagos vagy közepes fajhőről beszélünk. Mint ismert, ennek értelmezésére a közeg kalorimetriai egyenletét alkalmazhatjuk:

dQ  c  n  dT

(5.31)

112

Transzportfolyamatok… ahol n- az anyagmennyiség, mol, c - a moláris fajhő, J/mol K, dT - a hőmérséklet intervallum. A T1 és T2 hőmérséklet közt felvett hőmennyiséget a következőképp számítjuk: T2

T2

Q   ncdT  n  cdT T1

(5.32)

T1

Bevezetve a közepes fajhőt, a felvett hőmennyiséget kiszámíthatjuk még: 

T2



Q  n  cTT12   dT  n  cTT12 (T2  T1 )

(5.33)

T1

A két összefüggésből felírható a közepes fajhő meghatározása: T2 T2





Q  n   cdT  n  c (T2  T1 )  c  T2 T1

T2 T1

T1

 cdT

T1

(5.34)

T2  T1

Ha ismert a c-T összefüggés, akkor az integrálást megoldhatjuk, analitikus vagy grafikus módon. A fajhő és a közepes fajhő közötti különbséget az 5.2. ábra illusztrálja. 5.5. táblázat. Néhány szilárd anyag fajhője (Pavlov-1978). Hőmérséklet Fajhő, Anyag Hőmérséklet, Fajhő, K K c , J/kgK c , J/kgK

Anyag

p

Alumínium Ólom Vas Szén Réz Acél Öntöttvas Kén Kvarc Parafin

273-373 273-373 273-373 273-373 273-373 293 293 293 273-373 273-373

949 130 465 795 389 447 540 720 783 2100

p

Azbeszt Hamu Aszfalt Beton Jég Üveg Fa Tégla Koksz Agyag

293 293 293 293 293 293 293 293 293 293

800 800 920 880 2060 774 2380 840 840 880

Ideális gázok esetén egy mólra felírható a következő gáztörvény:

pV  RT . Ezt behelyettesítve az állandó nyomáson meghatározott fajhő összefüggésébe, következik:

cp 

dU dV dU p  p dT dT dT

RT ) P  c  R  c c  R V p V dT

d(

113

(5.35)

Hőtranszport Ismerve a gázok belső energiáját, kiszámítható az állandó nyomásra vagy állandó térfogatra viszonyított fajhő. Ezek változnak a gáz szerkezetének bonyolultságától, mint ahogy az 5.6 táblázat is tükrözi.

c T2

C 

C

CT1 T2

 cdT

T1

T1

T2

T

5.2. ábra. A valós fajhő és a közepes fajhő közötti összefüggés. 5.6. táblázat. Az ideális gázok belső energiájának, állandó nyomáson, állandó térfogaton mért fajhőjének és adiabatikus tényezőjének változása az atomok számának függvényében (Bratu-1984). Fizikai mennyiség Belső energia Állandó térfogaton mért fajhő Állandó nyomáson mért fajhő Adiabatikus tényező

Jele

M.E.

U

J/mol J/molK

cV cp

k

cp

Egyatomos 12,6 T 12,6

Értéke Kétatomos 20,9 T 20,9

Háromatomos 25,2 T 25,2

J/mol K

20,9

29,3

33,5

-

1,67

1,4

1,33

cV

Valós gázok esetén a fajhő függ a gázmolekula bonyolultságától. Analóg szerkezetű gázmolekuláknak hasonló a fajhője. Az ideális gázoktól eltérően, ahol a fajhő független a hőmérséklettől, a valós gázok esetén a fajhő függ, úgy a hőmérséklettől, mint a nyomástól. A hőmérséklettől való függést általában polinom alakban, a nyomástól való függést diagramm formában adjuk meg. A legismertebb hőmérséklet függvények: 114

Transzportfolyamatok…

c p  a  bT  cT 2  ...vagy

c p  a'b' t  c' / T  ....

(5.36 a és b)

Az együtthatókat táblázatba foglalva adják meg, mint ahogy a 5.7. táblázat néhány példája is illusztrálja. 5.7. táblázat. Néhány közismert gáz állandó nyomáson mért fajhője, J/mol K (Bratu-1984). Gáz

A polinom együtthatóinak az értékei a 103b 106 c

Egyatomos Kétatomos Nitrogén, oxigén, Szénmonoxid, nitrogénoxid, klór-, jód- és brómhidrogén Fluorhidrogén, hidrogén Háromatomos Víz Széndioxid, kéndioxid Négyatomos Ammónia Ötatomos Metán

Megjegyzés

20,74

0

0

Hőmérséklet intervallum -

28,31

2,54

0,54

273-2473

1,5

28,68

1,17

0,92

273-2473

1,5

34,41 32,29

0,724 22,2

5,4 -3,48

273-2473 273-2473

1,5 2,5

28,05

26,4

0

273-773

1,5

24,71

40,2

0

173-473

5

Megbízha tóság, % -

A nyomás hatását a moláris fajhőre diagramok segítségével határozzuk meg. Ilyen például a 5.3. ábrán bemutatott diagram, amelyen a c p  c*p különbség olvasható le a redukált nyomás függvényében. 5.1. Gyakorlat. Számítsuk ki a 373 K hőmérsékletű és 6,99 MPa nyomású széndioxid fajhőjét. Ismert a széndioxid kritikus nyomása Pkr=7,39 MPa és a kritikus hőmérséklete, Tkr=304,35 K. Megoldás: Kiszámítjuk a redukált nyomást és a redukált hőmérsékletet: P 6,99 T 373 pR    0,945 TR    1,23 Pkr 7,39 Tkr 304,34 Az 5.3. grafikonról leolvassuk a

c p  c*p különbséget, vagyis c p  c*p =14,65

J/molK értéket. A széndioxid moláris fajhője normál nyomáson és 373 K hőmérsékleten kiszámítható a 5.7. táblázat adataiból, vagyis:

c*p  37,04  20,1  103  373  3,48  106  3732  40 J/(molK) Ismerve a

c*p -t kiszámítjuk a c p értékét, vagyis:

c p  40  14,65  54,65 J/(mol K)

115

Hőtranszport A közepes moláris fajhőt a gázok esetében is az entalpia értékéből számítjuk ki, vagyis az entalpia különbséget osztjuk a hőmérséklet különbséggel:

c mp

T2 T



H 2  H1 T2  T1

(5.37)

Az entalpiakülönbséget táblázatból vagy diagramokból olvassuk ki.

5.3. ábra. A fajhő a redukált nyomás(Pr) és redukált hőmérséklet (Tr) függvényében (Bratu-1984). Gázkeverékek esetén a valós vagy közepes moláris fajhőt az additivitás szabályával határozzuk meg: n

c p   xi c pi , J/molK

(5.38)

i 1

ahol az xi az i- edik komponens móltörtje. A folyadékok vagy oldatok fajhőjét mérésekre alapozva határozzuk meg. Vizes oldatoknál, mikor az oldott anyag töménysége kevesebb, mint 20%, a megközelítő fajhőt az (5.39) vagy az (5.40) összefüggések egyikével határozzuk meg: 

c p   xi c pi i

(5.39)

c p  c pvíz (1  116

 % Ai ) 100

(5.40)

Transzportfolyamatok… 

ahol: Ai az oldott komponens jele, x i - az i - edik komponens tömegtörtje, %Aiaz i dik komponens % -a. Amikor az oldat koncentrációja nagyobb a 20%-nál, akkor a következő összefüggést alkalmazzuk:

c p  c pvíz (1 

 % Ai )  c 100

poldottanyag

% Ai 100

(5.41)

Amikor nincs mérési adatunk, akkor a vegyületek fajhőjét az atomok fajhője segítségével számíthatjuk ki, alkalmazva a következő összefüggést: M  c  n1C1  n2C2  ...  niCi (5.42)

 i

ahol: M - a vegyület móltömege, kg/mol, c - a vegyület fajhője, J/(kg K), CI- az atomok fajhője, J/ (atomgram K) (lásd az 5.8. táblázatot), ni- a vegyületben szereplő i dik elem száma. 5.8. táblázat. Néhány atom fajhője, J/( atom g K) (Bratu-1984). Elem Fajhő Elem Fajhő C 11,7 F 29,30 H 18,00 P 31,00 B 19,70 S 31,00 Si 24,30 Többi 33,50 O 25,10 5.2.3. Stacionárius hővezetés Stacionárius hővezetésről beszélünk akkor, amikor a hőmérséklet időbeli változása nulla, vagyis az izoterm felületen áthaladó hőáram konstans. 5.2.3.1 A stacionárius hővezetés alapegyenlete Legyen egy izoterm, mozdulatlan, izotrop, forrásnélküli elemi térfogat, melyben hőátadást végzünk vezetéses mechanizmussal (lásd az 5.4. ábrát, ahol 

Q q  , vagyis A



Q  A  q ).

Írjuk fel a hőmérleget a dV=dxdydz elemi térfogatra: 







Q felhalm.  Qváltozás  Qbe  Q ki Az időegység alatt összefüggés írja le: 

Q felhalm.  m  c p

(5.43)

felhalmozódott

 T dQ t

hőmennyiséget

a

következő (5.44)

117

Hőtranszport ahol: m- az egységnyi térfogat tömege, kg, cp - az állandónyomáson vett fajhő, J/(kg K), T - a hőmérsékletváltozás, K/s. t q z  dz  dydx z

q y  dy  dydx

q x  dx  dydz

q x  dydz

dz

x

dy dx y

q y  dzdx

q z  dydx

5.4. ábra. Hővezetés elemi térfogatú testben. Az (5.44) összefüggés felírható: 

Q felhalm.  m  c p

T T T   V  c p    dxdydz  c p t t t

(5.45)

Most írjuk fel a kocka hat felületén belépett, illetve kilépett hőmennyiségeket: x irány 

Q x   A

T T   dydz x x

(5.46)



 Qx T   T  Q x  dx  Qx  dx   dydz     dx dydz x x x  x  

(5.47)

Innen felirható a különbség: 

 Qx  2T Q x  Q x  dx  dx   2 dxdydz x x 



y irány 118

(5.48)

Transzportfolyamatok… 

Q y   A

T T   dxdz y y 



Q y  dy  Qy 



 Qy y

dy  

(5.49)

T   T  dxdz     dy dxdz y y  y 

(5.50)

A két hőáram különbsége pedig: 





Q y  Q y  dy  z irány 

Q z   A

Qy y

dy  

 2T dxdydz y 2

T T   dxdy z z 

(5.52)



 Qz T   T   Qz  dz   dxdy     dz dxdy z z z  z 



Q z  dz

(5.51)

(5.53)

A z irányú hőáram különbsége pedig: 





Q z  Q z  dz

Qz  2T  dz   2 dxdydz z z

(5.54)

Összegezve, felírható: 







dQ  d Q x  d Q y  d Q z   (

 2T  2T  2T   )dxdydz  x 2 y 2 z 2

 2T  2T  2T   ( 2  2  2 )dV x y z

(5.55)

A Laplace operatort bevezetve a következő összefüggést kapjuk: 

dQ   (

 2T  2T  2T  2  2 )dV     2TdV , J/s 2 x y z

(5.56)

Behelyettesítve az (5.44) összefüggésbe következik:

T  2T  2T  2T   cp dV   ( 2  2  2 )dV t x y z Elosztva a   c p  dV -el a kővetkező összefüggést irhatjuk fel:

   cp

(

 2T  2T  2T T  2  2) 2 t x y z 119

(5.57)

(5.58)

Hőtranszport Bevezetve a hődiffúziós tényezőt ( a 

   cp

) az (5.58) összefüggés

felírható:

 2T  2T  2T T (5.59)  2  2) 2  t x y z Ezt az összefüggést nevezzük Fourier alapegyenletének. Ha az elemi térfogatban hőforrás is van, akkor ezt is figyelembe véve felírhatjuk az általánosított Fourier egyenletet: a(









Q felhalm.  Q be  Q ki  Q forrás / nyelés



(5.60)

vagyis:

   c pT t



  T    T    T     z  x    y   q forr / nyel . x  x  y  y  z  z 

(5.61)

Gyakorlati számításoknál, forrás hiányában és a közeg tulajdonságait állandónak véve, vagy a középértékkel dolgozva, az (5.59) összefüggést alkalmazzuk. Stacionárius állapotban, forrás hiányában, amikor a tulajdonságokat a hőmérséklettől függetlennek vesszük, felírható: (5.62) a2T  0  Ezt az egyenletet több egyedi esetre is megoldhatjuk.  T1 T2 qx

x1

5.2.3.2. Hővezetés sík falon keresztül Legyen egy  - vastagságú síkfal, melynek anyagi tulajdonsága a  hővezetési tényező. A fal belső hőmérséklete T1, külső hőmérséklete T2. Felírva a hővezetési egyenletet az x irányba (lásd az 5.5. ábrát) következik:

x2

5.5. ábra. Hővezetés homogén síkfalon.

 2T 0 x 2

(5.63)

dT  k1 dx

(5.64)

Az első integrálás után felírható:

Ahonnan a második integrálással megkapjuk a hőmérséklet-távolság összefüggést, vagyis: (5.65) T  k1 x  k2

120

Transzportfolyamatok… Az (5.65) összefüggés leírja, hogy a  vastagságú falon a hőmérsékletváltozás lineáris, ha a hővezetési tényező állandó. A két integrálási állandót a peremfeltételek segítségével határozzuk meg, éspedig:

ha x  0 akkor T  T1,

x 

ha

akkor T  T2

Behelyettesítve, következik:

T1  k1  0  k2  T2  k1  k2

(5.66)

Innen: k2  T1 , míg k1  Tehát: T 

T2  T1



dT T T  1 2 dx 

x  T1

(5.67 és 5.68)

vagy T  T1  T1  T2 

x



(5.69)

A falon áthaladt hőáram értékét pedig a Fourier egyenlet integrálásával kapjuk meg: 

 

T2

0

T1



Q dx  AdT   Qdx  A  dT  Q 

 AT1  T2  

(5.70)

Innen felírható a hőáramsűrűség értéke is: 

Q  q   T1  T2 , W/m 2 A 

(5.71)

Az x falvastagságra pedig:

q



x

T1  Tx ,

W/m 2

(5.72)

Stacionárius állapotba a fal bármely vékony x szeletére felírható:

q  q1x  q2 x 

  (T1  T2 )  (T1  Tx )  x

(5.73)

Innen kifejezhető a Tx értéke, vagyis:

Tx  T1 

x



(T1  T2 )

(5.74)

Ez az összefüggés megfelel a (5.69) összefüggésnek, ahol a T-t Tx -el helyettesítettük. 5.2.3.3. Stacionárius hővezetés többrétegű síkfalon Legyen egy n rétegű síkfal (lásd a 5.6. ábrát), amelynek rétegeinek mérete, 1........ n , anyagainak hővezetési tényezői, 1.......n . A belső hőmérséklet T0, a külső Tn és a rétegek hőmérséklet különbsége Ti . Az össz hőmérséklet különbség pedig:

121

Hőtranszport

T  T0  Tn   Ti

(5.75)

i

Írjuk fel a stacionárius körülmények közötti hőáramsűrűség egyenletét az n rétegre:  1  T1  2 T2  ...  n Tn  q (5.76) 1 2 n

2

n





n

Tn

Ttotal

T2

T1

1

T0

Tn-1

T2

T1

q Tn

5.6. ábra. Hővezetés többrétegű síkfalon. Kifejezve a hőmérsékletkülönbségeket, a következő összefüggéseket kapjuk:

T1  T0  T1  q

1   ; T2  T1  T2  q 2 ;....Tn  Tn 1  Tn  q n 1 2 n

(5.77)

Összeadva a hőmérsékletkülönbségeket, felírható:

T0  Tn  q(

n   1  2   ...  n )  q i 1 2 n i 1 i

(5.78)

Innen következik:

q

1

 1  2   ...  n 1  2 n

T0  Tn 

Vagy a hőáramra felírva: 122

(5.79)

Transzportfolyamatok… 

Q

1

1  2    ...  n 1 2 n

Jelöljük a

T0  Tn   A

1

 1  2   ...  n 1 2 n

(5.80)

 K -val. Most felírható:



Q  K  A  T0  Tn , W illetve: q  K  T0  Tn , W/m 2

(5.81 és 82) A K nem más, mint az össz hővezetési tényező, melynek mértékegysége W/(m2K). Ennek a fordítottja a hőellenállás:

1   Rt   i , m2 K/W K i i

(5.83)

Ezt a hőellenállást véve figyelembe a hővezetési áramsűrűség összefüggése a kővetkező alakot ölti:

q

T , W/m 2 R

(5.84)

Ha a hővezetési áramsűrűség helyett elektromos áramsűrűséget írunk, a hőmérsékletkülönbség helyett pedig elektromos potenciált, akkor a következő összefüggést kapjuk:

i

U Relek

 V  ,  A/m2  Ω  m  m 

(5.85)

Innen látható, hogy a hővezetés és az elektromos áramvezetés analóg módon írható le. 5.2. Gyakorlat: Milyen vastagságú hőszigetelés szükséges ahhoz, hogy a 427 K belső hőmérséklettel működő készülék külső falhőmérséklete ne haladja túl a 313 K. A rendelkezésre álló anyag az üvegvatta melynek hővezetési tényezője 0,05 W/(mK). Megoldás A környezeti hőmérsékletet 293 K-nek számítva, meghatározzuk a hőáramsűrűséget: q   k v T fal  Tk  9,7  0,07T  T fal  TK 









 9,7  0,07313  293313  293  222 W/m 2 Ismerve a hő-áramsűrűséget, felírható:

q

sz Tbelso  Tfal     sz Tbelso  Tfal   0,05 427  313  25,6 103 m  q 222

123

Hőtranszport 5.2.3.4. Stacionárius hővezetés hengeres falon keresztül Hengeres falon való hőátadás nagyon elterjedt úgy a vegyipari, mint a vele rokon ipari berendezésekben. Legyen egy hengeres fal, melynek külső átmérője re=R, belső átmérője ri=r. A sugaraknak megfelelő hőmérséklet T1 illetve T2. Vegyünk egy dr vastagságú elemi csőfalat (lásd az 5.7. ábrát), s írjuk fel az ezen áthaladt hőáramot:

r

e

T+

dT

Te

T

r+d r r

Ti

ri

5.7. ábra. Hővezetés hengeres falon. 

Q    A

dT dT    2rL dr dr

Integrálva következik: T2  R dr Q  2L  dT  r r T1 2   L   T1  T2   2  L   T1  T2  Q R D ln ln r d Ha beszorozzuk a nevezőt és számlálót (R-r) következik: 



Q

2   L   Rr 2R  2r  T1  T2   L   T1  T2   R R  r ( R  r ) ln R ln r r 124

(5.86)

(5.87)

Transzportfolyamatok…

T 1   2 (5.88) r ln 1 2 ahol: 1 ,  2 - a hengeres felület belső illetve külső kerülete, m, r - a falvastagság, m, T - a hőmérséklet különbség, K.   2 Jelölve  átlag   m  1 (5.89), 1 ln 2 

Az (5.88) összefüggés felírható: 

Q

T m , W r

(5.89)

Az (5.87)-es összefüggés segítségével felírható az 1 m csőhosszra viszonyított hőáram: 

Q 2    q  T1  T2 , R L ln r

W m

(5.90)

Ugyancsak az (5.87)-os összefüggés segítségével felírható az rx távolságra lévő falrész hőmérséklete: 

r Q Tx  T1  ln x 2    L r

(5.91)

2    LT1  T2  R  ln Q r r r Tx  T1  ln x  T1  ln x  2     L r 2  L r T T r  T1  1 2 ln x r ln R r

(5.92)

Behelyettesítve a (5.90) összefüggés szerinti hőáramot, következik:

Mint az (5.92)-as összefüggés is leírja, egy hengeres fal belsejében a hőmérséklet logaritmikus görbe szerint változik. Sok esetben a (5.87)-es összefüggés helyett a síkfalra érvényes egyenletet használjuk, ahol a falvastagság R-r, és a felületet a következő összefüggéssel írjuk le: 

A  2 r L

(5.93)

Tehát:

125

Hőtranszport 

 2   L  r Q  AT1  T2    T1  T2   Rr 

(5.94)

Az (5.87)-es és (5.94)-as összefüggésből felírható: 

 2   L  r 2   L Rr Q  T1  T2    T1  T2   r  R Rr ln R ln r r 

(5.95)

Az (5.95) összefüggés az úgynevezett logaritmikus rádiuszt határozza meg. Ha a közepes logaritmikus rádiuszt a számtani értékkel helyettesítjük, akkor az R/r=2 nél 4 % hibát követünk el, míg R/r=1,4 nél csak 1 %-ot. Vékony falú csövek esetén a logaritmikus rádiusz helyett alkalmazható a számtani átalag, vagyis: 

r

1 R  r  2

(5.96)

5.2.3.5. Stacionárius hővezetés többrétegű hengeres falon Legyen egy n számú, az 5.8. ábrának megfelelő, különböző minőségű anyagokból készült, koncentrikus rétegekből felépített hengeres fal, melynek belső hőmérséklete T1, külső hőmérséklete Tn+1. Minden rétegnek megfelel

rn rn

-1

T n -1

Tn

T2

r3

T1

r2

r1

5.8. ábra. Hővezetés többrétegű hengeres fal esetében. 126

Transzportfolyamatok…

Ti hőmérséklet különbség, az össz hőmérsékletkülönbség pedig: T  T1  Tn1

(5.97)

Stacionárius állapotban a hőáramsűrűség értéke állandó, tehát: 

Q q1  q 2  q3  ....q n  L

(5.98)

Figyelembe véve az (5.90)-es összefüggést, felírható: 2  1 T1  T2  q1  r ln 2 r1 2  2 T2  T3  q2  r ln 3 r2 2   (5.100) qi  Ti  Ti 1  r 1  1 ln ri

(5.99)

(5.101)

2  n Tn  Tn 1  r ln n 1 rn Kifejezve innen a hőmérséklet különbségeket felírható: qn 

(5.102)

q r ln 2 2  1 r1 q r Ti  Ti 1  ln i 1 2  i ri q r Tn  Tn 1  ln n 1 2  n rn

T1  T2 

(5.103) (5.104) (5.105)

Összeadva a hőmérséklet különbségeket következik:

T1  Tn 1

r r   r2 ln i 1 ln n 1   ln q  r1 ri rn  q  T   ...   ...  2  1 i n  2    

 i

ln

ri 1 ri

i

(5.106)

Innen megkapjuk az egységnyi hosszra vonatkoztatott hőáram sűrűséget és a hőáram értékét, vagyis:

127

Hőtranszport

q

  T1  Tn 1 

(5.107)

r ln i 1 r i 2 i i    L  T1  Tn 1  Q r ln i 1 r i 2 i i

(5.108)

5.2.4. Instacionárius hővezetés Az instacionárius hővezetéskor mind a hőáram mint a hőmérséklet időben változik. Ezt az állapotot a Fourier egyenlet írja le, vagyis a derékszögű koordináta rendszerben az (5.109)-es, hengeres koordináta rendszerben pedig az (5.110)-es összefüggés.

T (5.109)  a 2T t T  2T 1 T 1  2T  2T (5.110)  a( 2    ) t r r r 2  2 z 2 r ahol: az r – a henger sugara, m,  - a hőátadás iránya és a henger

tengelye által meghatározott szög, z – a henger hossztengelye. Az egyenletek megoldásánál határ és peremfeltételeket használunk. A kezdeti feltétel általában azt fejezi ki, hogy a kiindulási pillanatban a test hőmérséklete minden pontban azonos. A hőátadás vagy hőfelvétel esetén két szélsőséges helyzettel találkozunk: - a test belső ellenállása elhanyagolható; - a test felületi ellenállása hanyagolható el. Az első eset olyan testek hűtését vagy fűtését írja le, amelyeknek jó hővezető képességük van, és fajlagos felületük nagy. A t pillanatban a test hőmérsékletét az (5.111) összefüggés irja le:

T  Tk (5.111)  exp(  Bi  Fo  G) T0  Tk ahol: T , T0 , Tk - a pillanatnyi, a kezdeti és a környezeti hőmérséklet, K, a L Bi - Biot-szám, vagyis: Bi  , Fo- a Fourier-szám, vagyis: Fo  2 , Gl test 128

Transzportfolyamatok…

Al   a l , mely lehet 1, a végtelen nagy lemeznél, 2, a V

geometriai tényező,

végtelen hosszú hengernél, 3, a kocka és gömb alakú testeknél. A kritériumokban szereplő fizikai mennyiségek pedig:  - a testet körülvevő közeg hőkonvekciós tényezője, W/(m2K), l - a test félvastagságának mérete, m, a - a hődiffuzivitási tényező, m2/s,  - a test hővezetési együtthatója, W/(mK), A - a test felülete, m2, 

V - a test térfogata, m3, a - a test fajlagos felülete, m2/m3,  - a hőátadás ideje, s. Az olyan testek esetében, amikor a felületi hőellenállás nagyon kicsi, a felületi hőmérséklet konstans és egyenlő a testet körülvevő közeg hőmérsékletével, a test középpontjában levő pont (z=0) hőmérsékletének időbeli változását a következő összefüggés írja le:

 n 2 at  1  n    sin  z  exp   2  , n=1,2,3, T0  T f  i n  L  2  l   T  Tf

4

(5.112)

Az iparban gyakori eset egy vékony falú tartályban tárolt folyadék felmelegítése vagy lehűtése. A hűtési idő meghatározására két egyszerűsítést alkalmazunk: - a fal hőtároló hatása elhanyagolható, - a folyadék hőmérséklete a tartályban állandóan kiegyenlítődik (ez meg is valósítható keveréssel). Legyen a kezdeti időpontban a tartályban lévő folyadék hőmérséklete T0. A tartályt körülvevő tér hőmérséklete Tk. A t időpontban a környezet feletti hőmérséklet értéke:   T  Tk (5.113) Elemi időegység alatt a tartály A felületén a K hőátviteli tényezővel távozó hőmennyiség: (5.114)  Gc p dT  Gc p d  Wd  K  A    dt Szétválasztva a változókat és integrálva, következik: 

 0

d





KA t  dt W 0

(5.115)

Innen:

ln

 KA  T  Tk  KA   t   Exp  t 0 W 0 T0  Tk  W 

(5.116)

ahol W - a tartály hőkapacitása vagy másképp mondva vízértéke (W/K). Innen kiszámítható a hűtési idő:

129

Hőtranszport

t

W T0  Tk ln KA T  Tk

(5.117)

A henger vagy gömb alakú testek lehűlésének számítására alkalmas a Baehr nomogram (lásd az 5.9. ábrát). A nomogram abszcisszája a Bi-szám ( Bi  D / test ), a középső vonalsereg pedig a Fourier szám ( Fo  a  t ), D2 míg a jobboldali vonalsereg a kezdeti illetve a lehűlés utáni, környezet hőmérséklet feletti hömérséklet aránya. A nomogram hosszú (H/D-nagy), rövid (H/D-kicsi) hengeres testre és gömbre egyúttal alkalmazható.

5.9. ábra. A Baehr féle nomogram (Fonyó-2004). 5.3. Gyakorlat: Alkalmazzuk a Baehr módszer megközelítő nomogramját és számítsuk ki egy vajas hordó lehűlési idejét, ha ismertek a következő adatok: - a hordó átmérője, D  0,36 m , a hordó magassága, H  0,6 m , a vaj kezdeti hőmérséklete, T0  295 K , a hűtőkamra hőmérséklete, Tk  272 K , a vaj hővezetési tényezője,   0,14 W/mK , a vaj fajhője,

c p  2300 J/kgK , a vaj sűrűsége,   950 kg/m 3 , a hőátviteli tényező értéke,   9,3 W/m 2 K , a végső hőmérséklet, T  276 K. Megoldás: Kiszámítjuk a geometriai arányt és a hődiffúziós tényezőt:  0,14 H 0,6   6,4110 8 m 2 / s   1,67 a  c p  950  2300 D 0,36 Kiszámítjuk a Bi-számot:

130

Transzportfolyamatok… Bi 

  D 9.3  0,36   23,91  0,14

Kiszámítjuk a kezdeti, illetve a végső környezeti hőmérséklet feletti hőmérsékletet:

k  T0  Tk  295  272  23 K; 0  T  Tk  276  272  4 K

Kiszámítjuk a hűtés utáni és a hűtés előtti környezeti hőmérséklet feletti hőmérséklet arányt: 0 4   0,1739  0,174  23 Felvisszük a nomogramra a Bi=24-nek megfelelő értéket. Innen merőleges vonalat húzunk, amíg metsszük a H/D=1,67-nek megfelelő görbét, megkapva a B pontot. A kapott ponton keresztül húzunk egy vízszintes vonalat, amíg elérjük a jobboldalon a végtelen nagy Bi-számnak megfelelő ordinátán a C pontot. A jobboldali számsoron felvisszük a megfelelő  0 arányt, megkapva a D pontot, összekötjük a D és C pontokat  egy egyenessel, és a Fo-számnak megfelelő számsoron megkapjuk az F pontot. Leolvassuk a Fo értékét, melyből kiszámítjuk a hűtési időt:

t

D 2 Fo 0,362  0,1   202184 s  56,16 óra a 6,41 108

5.3. Konvekciós hőátadás



Mint láttuk, a konvekciós hőáram-sűrűség, a hősűrűség C p T

 és az

elmozdulási sebesség w szorzata, vagyis: dQ d (mc pT ) d (V  c pT ) Adl qk     ( c pT ) (5.118) Adt Adt Adt Adt m J J  c pT  w,  kg3 kgK K   2   s m s  m A konvekciós vagy más szóval a vándorlásos hőáramsűrűség (qk) a tömeg áramlásával együtt valósul meg. A konvekciós hőátadás tehát valamely sík vagy görbe fal mentén áramló közeg hőátadását vizsgálja. Tapasztalatból tudjuk, hogy a forró test hamarabb hűl le, ha azt levegő árammal hűtjük. Ugyancsak közismert az is, hogy a fázisváltozással történő hőcsere hatásosabb, mint a fázisváltozás nélküli. Egy faltól eltávozó, vagy a falhoz áramló hőáramát ( Q ) az u.n. Newton 

féle lehűlési törvénnyel írjuk le:  dQ (5.119) Q  A T ft  T fal dt ahol:  - a hőátadási tényező, W/(m2K), A - a hőáramra merőleges átadási felület, m2, T ft - a főtömeg hőmérséklete, K, T fal - a fal hőmérséklete, K.





131

Hőtranszport A hőátadási tényező azt a hőmennyiséget jelenti, amelyet egységnyi felületen, időegység alatt, 1 K hőmérsékletkülönbség mellett lead vagy felvesz a fluidum. A hőátadási tényező értéke függ a fluidum anyagi tulajdonágától, a fázis változástól, az áramlási feltételektől és a rendszer geometriájától. A kondenzációs vagy forrási hőátadási tényező értéke nagyobb, mint a fázisváltozás nélkülié. A konvekciós hőátadás leírására nagy hatással volt a Prandtl féle film valóság Tfal elmélet, miszerint a hőátadás összes ellenállását a határréteg foglalja modell magába. Ha a hő a szilárd felületről halad a fluidumba (5.10. ábra), vagy a fluidumból halad a szilárd felületre, a kialakult határrétegben csakis vezetéses transzport áll fenn. Mivel a határréteg az összes ellenállást magába foglalja, a Tfőtömeg hőátadást meghatározó sebesség is itt alakul ki. Mint az 5.10. ábra is jól illusztrálja, a Prandtl modell által  javasolt hőmérsékletváltozás elég jól 5.10. ábra. A konvekciós hőátadás megközelíti a valóságos hőmérsékletfilmelmélete. változást. A  vastagságú határrétegen a hőátadási mechanizmus, konduktív lévén, felírható: 

Q

 AT ft  T fal  

(5.120)

Az (5.119) és az (5.120) összefüggésből következik, hogy:



 1  , illetve  R    

(5.121)

Eszerint, a film hő ellenállása a hőátadási tényező fordítottja. Ez a tényező magába foglalja a rétegre ható összes anyagi, geometriai és hidrodinamikai befolyásokat. Mivel ezek felbecsülése elég sok akadályba ütközik, a tényező meghatározására méréseket alkalmazunk. Tervezésnél a tényező értékét a kísérleti modellek segítségével meghatározott értékek figyelembe vételével, a hőátadási differenciálegyenletből kiinduló, vagy dimenzió analízisre alapozott kriteriális összefüggések segítségével becslik. 5.3.1. A konvekciós hőátadás differenciálegyenlete, a FourierKirchhoff egyenlet Képzeljünk el egy elemi térfogatot melynek mind a három irányában 





(lásd a 5.11. ábrát) a megfelelő felületeken (dydz, dydx és dzdx) a Qx , Q y , Qz 132

Transzportfolyamatok… 





illetve a Q xdx , Q y  dy , Q z  dz hő áramlik. Legyen a rendszer stacionárius, tehát időtől független, és anyag akkumulációmentes. Írjuk fel a hőmérleget a három irányba. 

Q z  dz z



Q y  dy





Q x  dx

Qx dz

x

dy dx y



Qy 

Qz

5.11. ábra. Az áramlásban lévő elemi térfogat hőcseréje. Az x irányba belépő anyagáram lévén wx dydz , ez a következő hőmennyiséget hozza magával: 

Q x    c p  T  wx dydz  Az

x

irányba

(5.122a) kilépő

anyagmennyiség

áramsűrűsége

wx   T       wx  x dx  és hőmérséklete T  x dx  lévén felírható ennek a     hőárama:  ( wx )   T   Q x  dx  c p  wx  dx  T  dx dzdy x x   

(5.122b)

Elvégezve a műveleteket és elhanyagolva a nagyon kis magasabb rendű differenciálszorzatokat felírható:  T   ( wx ) Q x  dx  c p wxTdydz  c p T  ( wx )  dxdzdy x x  

133

(5.122c)

Hőtranszport Az x irányú hőáram változást tehát a következő összefüggés írja le:   T    ( wx ) Q x  dx  Q x  c p wxTdydz  c p T  ( wx )  dxdzdy x x   (5.123) T    ( wx )  c p wxTdydz  c p T  ( wx )  dV x x  

Felírható az összes hőáram változás az x, y és z irányban:       ( wx )  ( w y )  ( wz )  d Q  d Q x  d Q y  d Q z  c pT     dV   x  y  z   (5.124)  T T T   c p wx   w y   wz   dV x y z  

Figyelembe véve a stacionárius áramlásra jellemző feltételeket, vagyis az anyag

akkumuláció

nulla

(

wx   w y  wz     0) x y z

és

a

hő



akkumuláció hiányát, miszerint a fluidum által felvett d Q hőmennyiséget vezetéses mechanizmussal kapja a külső tértől    2T  2T  2T  2  2  2 d Q   ( y z  x

 dV ), a következő összefüggést kapjuk: 

  2T  2T  2T   T T T  c p wx   w y   wz   dV     2  2  2 dV (5.125a) x y z  y z    x Ezt az összefüggést még felírhatjuk:

wx

T T T   wy  wz  x y z   c p

  2T  2T  2T   2  2  2  y z   x

vagy, figyelembe véve a hő diffúziós tényezőt ( a 



  cp

(5.125b)

), akkor felírható:

  2T  2T  2T  T T T wx  wy  wz  a 2  2  2   a 2T x y z y z   x

(5.126)

Ez az összefüggés Fourier-Kirchhoff egyenleteként ismert és a stacionárius állapotú mozgásban lévő fluidum hőmérsékletének a disztribúcióját írja le. Az instacionárius áramlásban lévő fluidum esetén a következő összefüggést kapjuk: 134

Transzportfolyamatok…

  2T  2T  2T   T T T T  (5.127)   c p   wx  wy  wz      2  2  2   t  x  y  z  x  y  z     Mivel az első tag zárójelében a hőmérséklet szubsztanciális differenciálhányadosa található, az (5.127)-as összefüggést fel lehet írni:

  2T  2T  2T  DT   cp     2  2  2  dt y z   x

vagy

DT  a 2T dt

(5.128)

5.3.2. A hőátadás kriteriális egyenlete Akárcsak az impulzus mérleg esetén, a hőátadásra is felírható az általános mérleg, miszerint az időegységben történt hőváltozás (akkumuláció vagy fogyás) a konvektív, vezetéses, átadásos hőátbocsátásnak és a forrás/nyelés összege, vagyis:

 Idődőbeli  változás   konvekció  vezetés   átadás    forrás / nyelés   

(5.129)

Ismerve, hogy a hősűrűség nem más, mint a c p T szorzat, a konvekciós hőáramsűrűség,

c pTw

a

szorzat,

vezetéses

 a  grad c T   gradT , az átadási hőáram,  a T

hőáram,



p

és a forrás/nyelés,

pedig rH , felírható a hő mérlegegyenlete:   c pT  div( c pTw)  div  a  grad ( c pT )   a T  r ( /  H ) (5.130) t vagy:   c pT  div( c pTw)  div   grad (T )   a T  r ( /  H ) (5.130a) t















ahol: a - a hődiffúziós tényező, m2/s, a - az egységnyi térfogatra viszonyított felület, m2/m3, r - az egységnyi térfogatra viszonyított transzformációs sebesség, kmol/(m3 s), H - a forrás illetve a nyelés entalpia változása (transzformációs hő), J/mol. Ha elhanyagoljuk a forrás/nyelés tagot, akkor a három koordinátára a kővetkező összefüggést kapjuk:

135

Hőtranszport

         

c pT    c pTwx   a  2 c pT    a T t

x

x 2

t

y

y

t

z

z 2

c pT    c pTwy   a  2 c pT    a T

(5.131)

2

c pT    c pTwz   a  2 c pT    a T

A konduktív hőátadási tényező egzakt módon való meghatározása feltételezi a tömeg-mérlegegyenlet, a három impulzus mérlegegyenlet és a hő mérlegegyenlet együttes megoldását. Az öt ismeretlent ( wx , w y , wz , T , p ) tartalmazó egyenletrendszer megoldása különböző egyszerűsítési és peremfeltételek közt már több mint 2 évszázad próbálkozását vette igénybe. A konvektív hőátadás gyakorlati megoldása itt is hasonlóságelmélet alkalmazásával lehetséges. Ennek lényege, hogy a differenciálegyenletet dimenziómentes mennyiségeknek az összefüggésére vezetjük vissza. A kriteriális egyenlet levezetésére a (5.131) egyenletrendszerből indulunk ki. Stacionárius állapotban ( c pT   0 ), figyelembe véve csak az x irányt, a következő t összefüggést kapjuk:

 c p Tw x

a

 2 c pT  x 2



  a T

(5.132)

ML ML2 K 3 2 Mint látható a tagok dimenziója : L T MT K  ML1T  3 . L Átírva az egyenletet az L hosszra, következik:

c pTw L

a

c pT 2

L



T L

(5.133)

A kapott egyenlet most már a hőátadás dimenziónális összefüggése, ahol a baloldal a konvekciót, a jobb oldal első tagja a hővezetést, a második tagja a hőátadást írja le. Elosztva a hővezetésnek megfelelő taggal, a következő dimenziómentes számokat kapjuk:

c pTw L

a

c pT



wL  Pe, vagyis a Peclet szám a

L2 136

(5.134)

Transzportfolyamatok…

T L  L  L  Nu , vagyis a Nusselt szám c T ac p  a p2 L



(5.135)

Mint látható, a Pecle szám a konvektív és a vezetéses hőáramok arányát, míg a Nu-szám az átadás és a vezetéses hőáramok arányát fejezi ki. A csőben való áramláskor az L karakterisztikus hosszúság a csőátmérő, a síklap mellett való áramláskor, pedig a síklap szélessége. Az összefüggésben szereplő  a fluidum hővezetési tényezője. A konvektív hőátadást leíró kriteriális összefüggés, pedig: (5.136) f (Pe, Nu)  0 A két dimenziómentes szám azomban nem fejezi ki a stacionárius hőátadás képét, mert az egyik dimenziómentes szám sem tartalmazza az áramlás jellemzését. Az áramlásra jellemző dimenziómentes szám az impulzus mérlegegyenletből adódik. Ez nem más, mint a Re-szám. A mérnöki gyakorlatban a Pe szám helyett a Pe/Re számmal dolgoznak, amely nem más, mint egy újabb dimenziómentes szám, a Prandtl szám: wL wL   cp Pe   Pe   a    Pr, vagy  a    Pr  szám (5.137)  Re wL a a Re wL     c p A Pr-szám két fizikai mennyiség aránya ( a ), tehát az anyag dimenziónélküli jellemzője. Gázok esetében értéke 0,67 és 1 között mozog (0,67 az egyatomos, 0,74 a kétatomos, 0,80 a háromatomos és 1 a négyatomos gázmolekuláknál), míg a folyadékoknál nagyon változó értéke van. A Pr-szám bevezetésével a hőkonvekciót leíró összefüggés:

Nu  f (Re, Pr,

L1 L2 , ....) L0 L0

(5.138)

Gyakorlati tapasztalatokból ismert, hogy a konvektív hőátadást a következő tényezők befolyásolják: - a fluidum anyagi tulajdonságai, éspedig a  - sűrűség, kg/m3  dinamikai viszkozitás, Pa.s  - hőátadási tényező, W/(m2K),  hővezetési tényező, W/(mK), c p - fajhő, J/(KgK),  V gT - a köbös

-

hőtágulási tényező, K-1, gravitációs gyorsulás, m/s2 és a hőmérséklet különbség, K, szorzata a műveleti paraméterek, éspedig a w - az áramló közeg sebessége, m/s, L - a karakterisztikus hossz, m, l - a berendezés hossza/mérete, m, T - a hőmérséklet, K.

137

Hőtranszport Az  V gT szorzat, mint befolyásoló tényező onnan származik, hogy szabad áramláskor a fluidumot kizárólag a sűrűségkülönbség hozza mozgásba, és így a felhajtó erő arányos az  V gT szorzattal, mely a hőmérséklet sűrűségre való hatását fejezi ki:

  0 (5.139)   V T ,  ahol az  V a köbös hőtágulási tényező. Ahhoz, hogy alkalmazhassuk a  -tételt, ismerni kell a konvekciót

befolyásoló változók dimenzióit. Ezeket az 5.9. táblázat tartalmazza. 5.9. táblázat. A hőkonvekciót befolyásoló változók dimenziói. Változó Sűrűség Dinamikai viszkozitás Hővezetési tényező Hőátadási tényező Fajhő

Jelölése

Dimenziója ML-3 ML-1T-1

   

cp w L l  V gT

Sebesség Karakterisztikus hossz Geometriai hossz Köbös hőtágulás gravitáció és a hőmérsékletkülönbség szorzat

MLT-3 θ -1 MT-3 θ -1 L2T-2 θ -1

SI - mértékegysége kg/m3 Pa.s W/mK (kgms-3 K-1) W/m2K (kgs-3K-1) J/kgK (m2s-2K-1)

LT-1 L L LT-2

m/s m m m/s2

Ahogy a táblázatból is látható, a 9 változó dimenziójának kifejezésére 4 alapmennyiséget használtunk (M, L, T, θ ). A Buckingham-féle  -tétel szerint a 9 változó és a 4 alapmennyiség 5 dimenziómentes számot definiál. A tényezők hatványszorzata:

   a   b   c  d  c p V gT  w h Li  l k e

f

(5.140)

Behelyettesítve a dimenziókat következik: a

b

c

 M   M   M   LM   3     3   3   L   LT   T θ   T θ 

d

e

 L2   L   L  i k  2   2    L L T θ T  T f

h

(5.141)

Ha az alapmennyiségeket vesszük figyelembe, akkor felírható:

  L3abd2ef h ik Ma bcdT b3c3d2e2f hθcde (5.142)

Ahhoz, hogy  dimenzió mentes legyen a négy alapmennyiség kitevője zérus kell legyen, vagyis: 138

Transzportfolyamatok…

 3a  b  d  2e  f  h  i  k  0 a  b  c  d  0    b  3c  3d  2e  2 f  h  0  c  d  e  0

(5.143)

Megtartva a c, e, f, h, k kitevőket és a többit ezek függvényében kifejezve következik: d  c  e b  3c  3(c  e)  2e  2 f  h  e  2 f  h   c  a  b  d  a  (e  2 f  h)  (c  e)  c  a  2 f  h  e  e  a  2 f  h  3(2 f  h)  (e  2 f  h)  (c  e)  2e  f  h  i  k  0  i  3 f  h  c  k (5.144) Behelyettesítve az (5.140)-es összefüggésbe, következik:

   2 f  h e2 f h c ce c p V gT  w h L3 f hck l k e

f

(5.145)

Rendezve kitevők szerint, a következő összefüggést kapjuk:

 L      

c

 c p   

  

e

  V gT 2 L3    2     

f

h

 wL   l         L

k

(5.146)

Behelyettesítve a dimenziómentes számokat, felírható: k

l   Nu Pr Gr Re   (5.147)  L  gT 2 L3 ahol a V törtet a Grashof számnak nevezzük. Ez a szám a 2 c

e

f

h

térfogategységre eső felhajtóerő és a belső súrlódási erő viszonyát fejezi ki. A Re és a Fr számokkal kifejezve a következő összefüggést kapjuk: 2

 wL    2   Re  2 L3 L3  Gr  V T    T  g   T  gV T V V w2 Fr 2 2 gL

(5.148)

Természetes áramlás esetén, amikor a Gr-szám fejezi ki a felhajtóerőt a Re-szám elhanyagolható, míg a kényszerkonvekció esetén a Gr-számot hanyagoljuk el a Re-számmal szemben. Sok esetben a geometriai arányt kifejező tag elhanyagolható, hisz a hőátadásban kisebb szerepe van, mint az impulzusátadásban. A legtöbb kriteriális összefüggés a következő alakban van megadva:

139

Hőtranszport

l Nu  a Re Pr   L n m Nu  a Re Pr n

p

m

(5.149)

(5.150) A kriteriális egyenletekben szerepelhetnek más járulékos dimenzió nélküli kifejezések, mint például a főtömeg és a fal viszkozitásának az

   stb.  fal  

aránya  

A konvekciós hőátadási tényező értékét az (5.150) típusú összefüggések segítségével határozzuk meg. Ahhoz hogy az összefüggés alkalmazható legyen a gyakorlati számításokban, szükséges az együtthatók és a kitevők ismerete. Ezek kísérleti úton határozhatók meg. Eleinte megelégedtek empirikus képletekkel, melyeket a fontosabb anyagokra (víz, vízgőz, levegő, alkoholok, hűtőfolyadékok stb.) határoztak meg. A hasonlósági elmélet bevezetésével a hőátadási hasonlósági kritériumok általánosan használható képletekhez vezettek. A geometriai tér, a konvekció minősége (kényszer vagy szabad) és a fázis változás az összefüggés alakját változtathatja. Épp ezért a kriteriális összefüggések alkalmazása megköveteli a megfelelő kiválasztást és a geometriai hasonlóság figyelembe vételét. A kriteriális egyenletet csak abban a helyzetben használjuk, ha figyelembe vettünk mindenféle hasonlóságot !!!. Tehát, az  értéket a Nu-szám segítségével határozzuk meg (   Nu



L

). A Nu-

számot kifejező összefüggésben pedig több dimenzió mentes szám lehet a hőátadásban szereplő kritériumok közül: [Reynolds-szám ( Re  wd ), a Prandtl wL szám ( Pr   ), a Peclet-szám ( Pe  Re Pr  ), a Grashof-szám a a  gL3T  gL3T ), a Rayleigh-szám ( ( Gr  V 2 ), Stanton-szám Ra  Gr Pr  V a  Nu Nu a ( St  ), Fourier-szám ( Fo  at ) és Biot-szám ( Bi  L )].   Pe RePr c p sz L2 5.3.3. Hőátadás szabad konvekcióval A szabad konvekciós hőátadást, általában a Gr.Pr szorzat határozza meg.  Függőleges fal mentén az  meghatározására a következő összefüggéseket használjuk: (5.151) Nu  0,55  Ra 0, 24 , ha Ra=1700...108 és 140

Transzportfolyamatok…

Nu  0,13  Ra 0,33 , ha Ra nagyobb, mint 108.

(5.152)  Vízszintes cső esetén (a jellemző méret a cső külső átmérője, 3 9 d k ) a 10 …10 Ra szám közötti intervallumban a

Nu  0,55  Ra 0, 25

(5.153) összefüggést használjuk. A közeg tulajdonságait a film átlag-hőmérsékletén számítjuk. 5.3.4. Hőátadás kényszerkonvekcióval A csőben fellépő  konvekciós tényező értékét az áramlás jelégétől függően határozzuk meg: - lamináris áramláskor, amikor Re-szám kisebb mint 2300 akkor:

Nu  C  Pe

0, 23

d     L

0,5

(5.154)

ahol: d - a csőátmérő, L- a csőhossz, C=15 a fűtésnél és C=11,5 a hűtésnél. Ha Pe

d  0,1 , akkor a kővetkező összefüggés ajánlott: L

    Nu  3,66   fal  

0 ,14

(5.155)

Nagyon rövid csőre, pedig:

 d Nu  1,62 Pe   L

0, 33

(5.156)

Lamináris csőben fellépő áramlásra alkalmazható az általánosabb Hausen képlet: 0 ,8    d 0,19 Pe     L      Nu  3,66  (5.157) 0 , 467     fal   d 1  0,117 Pe     L   Abban az esetben, mikor: Gr  4ReNu , akkor a következő összefüggést

használjuk:

 d Nu  1,4 Re   L

0, 4

Pr

0 , 33

 Pr     Pr   fal 

0 , 25

ahol a tulajdonságokat a közeg átlaghőmérsékletén számítjuk.

141

(5.158)

Hőtranszport

d    15 , akkor az (5.159) összefüggést használjuk: L (5.159) Nu  4  4 Pr Prfal

Ha Re Pr 5 / 6 

Abban az esetben, amikor a szabadáramlás kitevő, vagyis Gr  4ReNu , akkor az 5.12. ábra segítségével határozzuk meg a hőátadási tényezőt. Itt a Nuszám kiszámítására az (5.158) összefüggést alkalmazzuk.

Nu

Re.Pr.(d/L)

5.12. ábra. Hőátadás lamináris áramláskor (Gavrilă-2000): 1- függőlegescső ugyanolyan irányú a szabad és kényszer áramlás, 2 - vizszintes cső, 3 - függőleges cső, ellenirányú szabad illetve a kényszeráramlás, AA- a szabadáramlás elhanyagolható. Átmeneti áramlás esetén ( 2300  Re  10000 és 0,5  Pr  500 ) a kővetkező összefüggés javasolt:

  d  2 / 3  0,75     Nu  0,037 1     Re  180 Pr 0, 42    L   fal     





0 ,14

(5.160)

Ugyancsak itt alkalmazható a Re=10000 környékén a (5.161)-es összefüggés: (5.161) Nu  0,008  Re0,9 Pr0, 43 Jobb megközelítést kapunk a 5.13. ábra alkalmazásával, ahol a Re értéknek megfelelő értéket olvassuk le. Ebből, utólag számítjuk az  értékét. Nu

 Pr   Pr 0, 43   Pr   fal 

0 , 25

142

Transzportfolyamatok… Turbulens áramlás esetén alkalmazható a Kutateladze egyenlete (5.162), vagy az általánosított (5.163) egyenlet szerinti összefüggés.

  d 0,66  Nu  0,0231     Re 0,8 Pr 0, 4 fT   L  

(5.162)

ahol az fT korrekciós tényező értékeit az 5.10. táblázat tartalmazza.

Nu  0,021    Re Pr 0 ,8

0 , 43

 Pr     Pr  fal  

0 , 25

(5.163)

5.10. táblázat. Az fT korrekciós tényező értékei. Közeg Gáz, fűtés Gáz, hűtés

T

fT

T

0, 55

fal

1,27  0,27T fal T 

Közeg Folyadék, fűtés

fT

Pr Pr  Pr Pr 

0, 06

fal

Folyadék, hűtés

0, 25

fal

Ahol a T - a közeg közepes hőmérséklete és Tfal - a fal hőmérséklete.

Nu  Pr   Pr 0,43    Pr p   

0 , 25

Re.10-3

5.13. ábra. Az  értékének meghatározása átmeneti áramláskor (Gavrilă-2000). Az  korrekciós szám a cső átmérőjének és hosszának befolyását fejezi ki. Értékeit az 5.11 táblázat tartalmazza. Az (5.163) összefüggésben a közeg tulajdonságait a közepes hőmérsékleten vesszük, míg a karakterisztikus hosszúság az egyenértékű átmérő. Ha a közeg víz, akkor a következő összefüggéssel számolunk:

  20401  0,015  0,9  tviz  0,1  t fal  143

w0,87 d 0,18

(5.164)

Hőtranszport ahol: t viz , t fal - a víz illetve a fal hőmérséklete, 0C, w - a víz sebessége, m/s, d - a belső átmérő, m,  - a víz hőátadási együtthatója, W/m2K. 5.11. táblázat. Az  korrekciós szám értékei (Gavrilă-2000). Re

L/d 10 1,23 1,18 1,13 1,10 1,05

10000 20000 50000 100000 1000000

20 1,13 1,10 1,08 1,06 1,03

30 1,07 1,05 1,04 1,03 1,02

40 1,03 1,02 1,02 1,02 1,01

50 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00

Más folyadék esetén a következő összefüggéssel számolhatunk:

  2040  C  1  0,015  0,9  tviz  0,1  t fal 

w0,87 d 0,18

(5.165)

ahol a C értékeit néhány folyadékra az 5.12. táblázat tartalmazza. 5.12. táblázat. A C tényező értékei (Pavlov-1978). Folyadék Alkohol Benzol Glicerin

C 0,31 0,31 0,03

Folyadék Növényolaj Petróleum Telitett sólé

C 0,05 0,23 0,72

Gázok esetén az (5.163)-as összefüggés egyszerűbb változatát alkalmazzuk: (5.166) Nu  0,021 C    Re0,8 ahol a C értéke a gázminőségétől függ (levegő esetén a C=0,018). A kígyócső esetében az egyenes csőre kapott értékeket beszorozzuk az (5.167) összefüggéssel számított értékkel:

x  1 1,775 d

(5.167)

R

ahol a d a kígyócső belsőátmérője és az R a kígyócső görbületi sugara. A csőre bizonyos szögben áramló közeg esetén a következő általános összefüggést alkalmazzuk (Pavlov-1978):

  Nu  C  f  Re m Pr n  Pr  Pr fal  

0 , 25

(5.168)

ahol a C, m és n értékeit az 5.13 táblázat, míg a beesési szögtől függő f értékeit az 5.14. táblázat tartalmazza. Síklap hosszában áramló közegre, ha az áramlás jellege lamináris ( Re  6000, Pr  0,6...500 ), akkor a következő összefüggést alkalmazzuk.

Nu  0,663  Re0,5 Pr0,33

(5.169) 144

Transzportfolyamatok… Ha az áramlás turbulens ( Re  500000  10.000.000, Pr  0,5...500 ), akkor becslésre az (5.170) összefüggés alkalmazható: (5.170) Nu  0,037  Re0,8 Pr0, 43 Mindkét esetben a jellemző méret az áramlás menti síklap hossza. Ha a falra és a főtömegre számított Pr értékek különbözőek, akkor mindkét esetben a



számított értékeket beszorozzuk a Pr Prfal



0, 25

értékkel.

Levegő esetén az összefüggés egyszerűbb formájú:

Nu  0,032  Re0,8

(5.171)

5.13. táblázat. A C, m és n tényezők értékei Re 5 000 1000…200000 200000…2000000

C 0,5 0,25 0,023

m 0,5 0,6 0,8

n 0,38 0,38 0,37

5.14. táblázat. Az f korrekciós tényező értékei az áramlási szög függvényében. Szög, 0 f

90 1,0

70 0,99

60 0,95

50 0,86

40 0,75

30 0,63

20 0,5

A folyadékok függőleges felületeken való áramlása esetén a következő összefüggéseket alkalmazzuk: Lamináris áramláskor ( Re  2000 )



Nu  0,67  Gr 2 Pr3 Re



0,111

(5.172a)

Turbulens áramláskor (Re > 2000)

Nu  0,67  Gr Pr Re

0,333

(5.172b) Mindkét összefüggés esetén a folyadék tulajdonságát a közepes hőmérsékleten számítjuk, a karakterisztikus méret a felület magassága. A Reszámban az egyenértékű átmérőt használjuk. Egyetlen gömb körüláramlása esetén a következő összefüggést használjuk: (5.173a) Nu  0,37  Re0,6 Pr0,33 Kis gömbökkel töltött ágy esetén, pedig: Nu  0,53  Re0,7 Pr0,3 (5.173b) Mindkét összefüggésben a jellemző méret a gömb átmérő. 5.4 Gyakorlat: Határozzuk meg a csőköteges hőcserélőben felmelegedő víz hőátadási tényezőjének értékét tudva, hogy a csövek átmérője 40x2,5 mm, a csövek hossza 2 m, a víz átlagos hőmérséklete 323 K, a csőfal átlagos hőmérséklete 363 K és a víz sebessége a 1 m/s. Megoldás: A hőátadási tényező értékét a következő összefüggés írja le:

145

Hőtranszport  Pr   d  Nu   0,021  Re0,8 Pr 0, 43  Pr    fal 

0 , 25

Először kiolvassuk a táblázatból a víz tulajdonságait, majd kiszámítjuk a Re szám értékét és utána, a Nu szám segítségével, a hőátadási tényező értékét. Az 323 K hőmérsékletű víz tulajdonságai:

  988 kg/m3 ,   0,54910 -3 Pa  s

  0,648 W/(mK), Pr  3,54

A 363 K falhőmérsékletnek megfelelő Pr-szám pedig 1,95. Behelyettesítve, felírható:

Nu  0,021  Re Pr 0 ,8

0, 43

 Pr     Pr  fal  

0 , 25

0 ,8

 988  1  0,035   3,54   0,021  1    3,540, 43   0,000549   1,95 

0, 25

 290

Innen:



Nu   290  0,648   5369 W/(m2 K) d 0,035

5.3.5. Instacionárius konvektiv hőátvitel Instacionaris hőátvitelről akkor beszélünk, amikor a hőátviteli folyamat időben pontról-pontra változik. Az instacionárius hőátvitel hőmérleg egyenletében a lokális megváltozás tagja mellett az átadási tagot is figyelembe vesszük. A forrás és a konvektív tag elhanyagolásával a következő

egyenletet kapjuk az x irányra:   c pT  2 c pT a   a T t x 2









(5.174)

Ebből felírhatjuk a következő dimenzionális kifejezést:

 c pT   c pT   T     a 2      t   L   L

(5.175)

 c p T  ), a kővetkező 2  L  

Végig osztva a hővezetésnek megfelelő taggal ( a összefüggést kapjuk:

 c pT     t  1  c pT  a 2   L 

 T  L   c pT  a 2   L 

(5.176)

146

Transzportfolyamatok… Az első tagot felírhatjuk még:

ac pT / L2

c pT / t



at  Fo L2

(5.177)

A harmadik tag, pedig felírható:

 T  L  L   L    Bi sz  ac pT  ac p  L2   

(5.178)

A Fourier-szám a hődiffúzivitás, a felmelegedési vagy lehűlési idő (t) szorzata osztva a test mértani méretének négyzetével, míg a Biot-szám, látszólag azonos a Nusselt számmal, de attól azonban különbözik, hisz a benne szereplő hővezetési tényező nem a fluidumra, hanem a szilárd testre vonatkozik. A Biszám nem más, mint hőátadási tényező és a hővezetési tényező aránya beszorozva a karakterisztikus hosszal.

147