5 havo

Wiskunde A voor 4/5 havo Deel 1 Versie 2013

Samensteller

© 2013 Het auteursrecht op dit lesmateriaal berust bij Stichting Math4All. Math4All is derhalve de rechthebbende zoals bedoeld in de hieronder vermelde creative commons licentie. Het lesmateriaal is met zorg samengesteld en getest. Stichting Math4All aanvaart geen enkele aansprakelijkheid voor onjuistheden en/of onvolledigheden in de module. Ook aanvaarden ze geen enkele aansprakelijkheid voor enige schade, voortkomend uit (het gebruik van) dit lesmateriaal Voor deze module geldt een Creative Commons Naamsvermelding-Niet-commercieel 3.0 Nederland Licentie. (zie http://creativecommons.org/licenses/by/3.0). Dit lesmateriaal is open, gratis en vrij toegankelijk lesmateriaal afkomstig van www.math4all.nl en is speciaal ontwikkeld voor het vak wiskunde in het voortgezet onderwijs. Het lesmateriaal op de website www.math4all.nl is afgestemd op kerndoelen wiskunde, tussendoelen wiskunde en eindtermen voor de vakken wiskunde A, B en C. Dit lesmateriaal is mediumneutraal ontwikkeld en op diverse manieren te bekijken en te gebruiken. Voor informatie en vragen kunt u contact opnemen via [email protected]. Ook houden we ons altijd aanbevolen voor suggesties, verbeteringen en/of aanvullingen.

Inhoud Voorwoord 1

3

Tabellen en grafieken

5

1.1

Tabellen

1.2

Procenten

16

1.3

Grafieken

24

1.4

Waarden toevoegen

1.5

Grafieken combineren/vergelijken

1.6

Totaalbeeld

2

6

34

Werken met formules

57

2.1

Formules gebruiken

2.2

Grafieken maken

2.3

Vergelijkingen

73

2.4

Ongelijkheden

79

2.5

Meerdere variabelen

2.6

Totaalbeeld

3

42

50

58 66

85

92

Lineaire verbanden

97

3.1

Recht evenredig

98

3.2

Lineaire functies

104

3.3

Lineaire modellen

3.4

Lineaire vergelijkingen en ongelijkheden

3.5

Totaalbeeld

4

110

Exponentiële verbanden

4.1

Exponentiële groei

4.2

Rekenen met machten

4.3

Reële exponenten

4.4

Exponentiële functies

4.5

Logaritmische schalen

4.6

Totaalbeeld

5

Machtsfuncties

131

132 140

146 152 158

166 173

5.1

Evenredig met een macht

5.2

Werken met machten

5.3

Omgekeerd evenredig

5.4

Lineair gebroken functies

5.5

Totaalbeeld

200

Veranderingen

205

6.1

In grafieken

206

6.2

Differentiequotiënt

6.3

Totaalbeeld

6

Register

118

124

174

181 187 194

213

220

227

STICHTING MATH4ALL

3 OKTOBER 2013

PAGINA 1

PAGINA 2

STICHTING MATH4ALL

3 OKTOBER 2013

Voorwoord Het lesmateraal in dit boek is gebaseerd op het materiaal dat je kunt vinden op de website www.math4all.nl. In de tekst staan dan ook regelmatig verwijzingen naar die website. Waar je precies moet zijn op die website kun je zien in de kopregel van iedere pagina. Bij bestudering van het lesmateriaal kom je in de tekst ook aanwijzingen tegen. Je ziet dan bijvoorbeeld in de tekst: Bekijk eerst: www.math4all.nl > 1/2 HAVO/VWO > Afstanden > Toepassen Je kunt met de muis elk deel van de wereld bekijken en er op inzoomen. Als zo’n aanwijzing in een opgave staat, kun je die opgave waarschijnlijk alleen maar maken als je inderdaad op de website hebt gekeken. Ieder hoofdstuk bestaat uit een aantal paragrafen en wordt steeds afgesloten met een paragraaf Totaalbeeld waar de leerstof wordt samengevat en/of herhaald. Iedere paragraaf is ingedeeld in vaste rubrieken die houvast geven bij de bestudering van het lesmateriaal. > > > > >

Verkennen Uitleg Theorie en Voorbeelden Verwerken Toepassen

Indien er in het lesmateriaal wordt verwezen naar werkbladen dan kun je deze terugvinden op de website.

STICHTING MATH4ALL

3 OKTOBER 2013

PAGINA 3

PAGINA 4

STICHTING MATH4ALL

3 OKTOBER 2013

1

Tabellen en grafieken

Tabellen

6

Procenten

16

Grafieken

24

Waarden toevoegen

34

Grafieken combineren/vergelijken Totaalbeeld

50

42

1.1

Tabellen

Inleiding Tabellen kom je overal tegen. Sla maar eens een krant op, bekijk het TV-journaal, of lesmateriaal van veel andere vakken. Een geweldige bron voor allerei tabellen is bijvoorbeeld het Centraal Bureau voor de Statistiek, het CBS. Het gaat er steeds om informatie in getallen beknopt en overzichtelijk weer te geven. Maar je moet er wel zorgvuldig en kritisch mee om leren gaan... In dit onderdeel bekijk je verschillende soorten tabellen en leer je ze interpreteren.

Je leert in dit onderwerp > soorten tabellen herkennen; > het verschil tussen absolute en relatieve gegevens herkennen; > tabellen interpreteren. Voorkennis > in een tabel een kolom van een rij onderscheiden; > een beetje verstandig rekenen.

Verkennen Opgave 1 Via internet kun je tabellen zoeken. Google helpt je natuurlijk, maar de sites van de meeste instanties en/of bedrijven kun je gemakkelijk zelf vinden. a

Ga naar www.cbs.nl (de site van het CBS) en zoek een tabel met het verloop van de bevolking van Nederland in de jaren 1900 - heden.

b

Zoek de bonus/malus-regeling bij de autoverzekering van de ANWB, via www.anwb.nl. Wat betekent ‘bonus/malus-regeling’ en hoe werkt die tabel?

c

Het spoorboekje is een grote tabel. Tegenwoordig werk je meer met www.ov9292.nl. Hoe zit het spoorboekje daarin verwerkt?

d

Je hebt nu een paar tabellen bekeken, er zijn twee soorten: tabellen met onderzoeksgegevens en tabellen waarin tarieven, tijdstippen, manieren van werken beknopt zijn aangegeven. Geef van elk van de bovengenoemde tabellen aan tot welke soort ze behoren. Zoek nog een paar tabellen van elke soort.

PAGINA 6

STICHTING MATH4ALL

3 OKTOBER 2013

WISKUNDE A TWEEDE FASE HAVO > FORMULES EN GRAFIEKEN > TABELLEN EN GRAFIEKEN

Uitleg

In dit Excel-bestand Gemeentelijke afvalstoffen (bron: CBS) zie je hoeveel afval door de Nederlandse gemeenten per jaar wordt ingezameld. De jaren (jaartallen) staan in de derde rij, per jaartal is er een kolom waarin de onderzoeksgegevens staan: > in de rijen 4,5 en 6 vind je afval dat de gemeentelijke diensten zelf produceren in duizenden tonnen per jaar (1 ton = 1000 kg); > in de rijen 7 t/m 13 vind je het afval dat door huishoudens wordt geproduceerd. Elke rij met onderzoeksgegevens is een bepaalde categorie afvalstoffen. Op de CBS-site kun je deze tabel met toelichting terugvinden. Een heel ander soort tabel is de treinplanner van de NS. Ga je naar de NS-site, dan kun je meteen invoeren van waar naar waar je wilt treinen. Je krijgt een stukje van die grote tabel die vroeger ‘Spoorboekje’ heette en een tabelletje met prijzen. Kennelijk zijn er twee soorten tabellen: > tabellen met onderzoeksgegevens, zoals die van de gemeentelijke afvalstoffen (en vrijwel alle CBS-tabellen); > tabellen waarin tarieven, tijdstippen, werkenwijzen beknopt zijn aangegeven, zoals het ‘Spoorboekje’ en de ‘bonus/malus-regeling’ van een autoverzekering. Hoewel tabellen bedoeld zijn om de zaak overzichtelijker te maken moet je ze goed interpreteren. En vaak roept dat nogal wat vragen op...

Opgave 2 In de Uitleg op pagina 7 zie je de tabel van de gemeentelijke afvalstoffen in de loop van de jaren. Deze tabel komt van de site van het C.B.S. (Centraal Bureau voor de Statistiek). Neem het jaar 1993 en ga uit van 16 mln inwoners in Nederland. Het gemeentelijk afval van de reinigingsdiensten en overig afval komt boven op het afval van de huishoudens. a

Hoeveel kg afval produceerden de gemeentes in Nederland samen dat jaar?

b

Met hoeveel kg was de afvalproductie van de gemeentes in Nederland in 2000 toegenomen?

c

Met hoeveel kg was de afvalproductie van de gemeentes in Nederland in 2006 afgenomen ten opzichte van die in het jaar 2000?

STICHTING MATH4ALL

3 OKTOBER 2013

PAGINA 7


Opgave 3 Met de NS-treinplanner kun je een treinreis tussen twee stations plannen en de kosten berekenen. Hier zie je een geplande treinreis.

a

Om welke treinreis gaat het hier? Geef ook de vertrektijd en de aankomsttijd.

b

Hoe vaak moet je overstappen? Hoeveel bedraagt de geplande overstaptijd in totaal?

c

Hoeveel kost een enkele reis, vol tarief?

d

Met de auto is de afstand tussen deze twee stations ongeveer 150 km. Op die dag was de benzineprijs van €1,45. Stel je voor dat je een auto hebt die per liter benzine 12 km rijdt (gemiddeld). Laat door berekening zien wat het goedkoopst is, tussen deze twee stations met de auto of met de trein reizen.

PAGINA 8

STICHTING MATH4ALL

3 OKTOBER 2013


Theorie en voorbeelden Een tabel is een getallenoverzicht in rijen en kolommen. Hier hebben de kolommen een opschrift, evenals de tabel zelf. De kolommen 1 en 2 bevatten absolute getallen. Kolom 3 bevat relatieve getallen, het gaat daar om de verhouding mannen/vrouwen. Met behulp van die tabel kun je uitrekenen hoeveel mannen en hoeveel vrouwen er in een bepaald jaar in D woonden. Er zijn twee soorten tabellen: > tabellen met onderzoeksgegevens, zoals deze; > tabellen waarin tarieven, tijdstippen, werkwijzen beknopt zijn aangegeven, zoals de tarieven van bijvoorbeeld TPG-post, de vertrektijden van de NS en berekeningstabellen van de premie van een verzekering. Hoewel tabellen bedoeld zijn om de zaak overzichtelijker te maken moet je ze goed kunnen interpreteren. En vaak roept dat nogal wat vragen op...

Voorbeeld 1 De tabel in de theorie geeft informatie over de bevolking van D. Het is een tabel met onderzoeksgegevens. De opschriften per kolom geven de aard van de getallen weer. > Hoeveel mannen telde D in 2006? > Hoe groot was de oppervlakte van D in 2006? > Waaraan zie je dat D toen is uitgebreid met een stuk landelijk gebied en hoe groot was de uitbreiding? > Per 100 vrouwen waren er 98,1 mannen, dus 198,1 personen: 79266 /198,1 = 400,13 . Dus waren er 98,1 × 400,13 = 39253 mannen. > In 2006 waren er 79266 mensen in D en 493 mensen per km2. Dus had D uit een grondgebied van 72966 /493 = 160,783 km2. > In 2005 waren er 68004 mensen in D en 572 mensen per km2. Dus had D toen een grondgebied van 68004 /572 = 118,888 km2. In 2006 is er een gebied van 41,895 km2 bijgekomen met zo’n 11000 inwoners (hoeveel precies weet je niet). In dat extra gebied was het aantal mensen per km2 veel lager dan in D.

Opgave 4 Bekijk Voorbeeld 1 op pagina 9. Je ziet een tabel met gegevens over de bevolking van D. a

Wat betekenen de getallen in de derde kolom?

b

Hoeveel inwoners telde D in 2000? Hoeveel mannen en hoeveel vrouwen?

c

Hoe groot was de oppervlakte van D in 2000? Laat je berekening zien.

d

Klopt de bevolkingsdichtheid in 2001 met de oppervlakte van D in 2000?

STICHTING MATH4ALL

3 OKTOBER 2013

PAGINA 9


e

Bekijk nog even de berekening van de toename van de oppervlakte van D in 2006. Waarom weet je niet precies hoeveel mensen er dat jaar als gevolg van de uitbreiding van D zijn bijgekomen?

f

Hoeveel bedroeg de bevolkingsdichtheid in het uitbreidingsgebied maximaal?

Voorbeeld 2 Ga naar de NS treinplanner via www.ns.nl. Plan een treinreis van Deventer naar Delft. Je krijgt een stuk van de reistijdentabel en de tarieven tabel. > Hoeveel tijd ben je onderweg? Hoeveel kost een retour (tweede klas en vol tarief)? > Je wilt vandaag heen en weer van station Deventer naar station Delft. Wat is voordeliger, een rit met de auto of een rit met de trein? Bereken het verschil in kosten zo goed mogelijk met b.v. Routeplanner ANWB. Je bent 2 uur en 9 minuten onderweg. De prijs van een enkele reis tweede klas vol tarief is €34,20. De rit met de auto bepaal je met de routeplanner: Map24 geeft 151 km (snelste route). De benzinekosten schat je op basis van de actuele benzineprijs en het verbruik van de auto. Met een benzineprijs van €1,40 per L en een verbruik van 1 L op 12 km kost elke km met de auto ongeveer 11,7 cent. Deze rit kost daarom €17,67 alleen aan benzine. Heen en weer is €35,34. Reken je alleen de benzinekosten, dan nog kun je beter met de trein...

Opgave 5 Bekijk Voorbeeld 2 op pagina 10 over de treinplanner van de NS. Er wordt een berekening gedaan waarin de kosten van vervoer per trein en per auto worden vergeleken. a

Laat zien waarom elke km per auto bij deze benzineprijs en deze aanname over het verbruik 11,7 cent kost.

b

Zijn dat de totale autokosten? Welke kosten worden niet gerekend?

c

Als je alleen van station Deventer naar station Delft wilt (enkele reis dus), wat is dan voordeliger?

Voorbeeld 3 De ANWB biedt een autoverzekering aan. Hier vind je de bonus/malus-regeling voor de berekening van de premie voor deze autoverzekering. Ga uit van een basispremie van €1000. Een beginnende automobilist start op trede 4. Als je deze autoverzekering per 1 januari 2002 hebt afgesloten, hoeveel premie betaal je dan in 2008 als je in 2006 twee keer een schade hebt geclaimd? Hoeveel verschil maakt het als je beide schades niet claimt?

PAGINA 10

STICHTING MATH4ALL

3 OKTOBER 2013


In 2002 zit je op trede 4. Ga na dat je in 2006 dus op trede 8 zit. Je claimt twee schades, dus je zakt naar trede 3 in 2007. In 2008 zit je dan weer op trede 4 en betaal je (met 35% korting) €650. Zonder claim zou je in 2008 op trede 10 zitten en (met 70% korting) €300 betalen, dat is 350 euro minder. Maar het verschil is nog veel groter, want in 2007 heb je 800 euro betaald en zonder claimen zou dat 350 euro zijn geweest. Dat scheelt nog eens 450 euro. En ook in de jaren na 2008 betaal je meer dan zonder claimen: in 2009 betaal je 300 euro meer, in 2010 ook 300 euro, in 2011 nog 250 euro, enzovoorts. Pas in 2016 ben je op de maximale no-claim-korting. Ga na dat je in totaal €2150 meer betaalt door te claimen.

Opgave 6 In Voorbeeld 3 op pagina 10 tref je de bonus/malus regeling bij een autoverzekering van de ANWB aan. Je hebt deze verzekering afgesloten op 1 januari 2002. a

Hoeveel betaal je in 2008 als je geen schade hebt geclaimd in de tussenliggende jaren?

b

Hoeveel premie heb je dan in totaal betaald?

c

In 2008 claim je vanwege een schadegeval €1800. Hoeveel kost je die schadeclaim uiteindelijk?

STICHTING MATH4ALL

3 OKTOBER 2013

PAGINA 11


Opgave 7 In een kruistabel zet je twee grootheden tegen elkaar uit. Bijvoorbeeld het geslacht en de manier waarop je naar school komt. Stel je bijvoorbeeld voor dat in een klas van 30 leerlingen in 4 havo wordt gevraagd aan te geven hoe ze naar school gaan: lopend, fietsend of anders. Van de 17 meisjes komen er 4 lopen en vullen er 6 de categorie "anders" in. Van de jongens vullen er 5 "fietsend" in. In totaal zijn er 7 leerlingen die "lopend" invullen. a

Vul de gegevens uit de tekst hierboven op de juiste plaatsen in de tabel in.

b

Maak nu de tabel verder af.

c

Hoeveel jongens gaan er in die klas lopend naar school?

d

Welk deel van de leerlingen die naar school fietsen bestaat uit meisjes?

Verwerken Opgave 8 Hier zie je een tabel van het Centraal Bureau voor de Statistiek uit 2009.

a

Waarover gaat deze tabel?

b

Hoeveel rijen met aantallen leerlingen zijn er?

c

Waaraan kun je zien dat vanaf 2002-’03 het speciaal voortgezet onderwijs is opgegaan in het voortgezet onderwijs en het speciaal onderwijs? Noem minstens twee zaken die je in de tabel aantreft.

d

Hoe groot was een school voor voortgezet onderwijs gemiddeld in 2002-’03? En in 2007-’08?

e

Hoeveel universiteiten telt Nederland? Bereken het gemiddelde aantal studenten per universiteit zowel in 2000-’01 als in 2007-’08. Wat valt op?

PAGINA 12

STICHTING MATH4ALL

3 OKTOBER 2013


f

Het aantal hbo-studenten lijkt niet erg hard gestegen in de periode 2000-’01 tot en met 2007-’08. Laat met een berekening zien dat het gemiddelde aantal studenten per instelling echter wel sterk is gestegen.

Opgave 9 Op 27 november 2009 was dit de stand in de Jupiler-league. Dit is de competitie van de eerste divisie in het profvoetbal. Afkortingen: GS = gespeelde wedstrijden, WI = winst, GL = gelijk, VL = verlies, PT = punten, V = doelpunten voor, T = doelpunten tegen.

a

Welke ploeg staat bovenaan? Hoeveel punten heeft deze ploeg behaald? In hoeveel gespeelde wedstrijden?

b

Laat zien dat het puntenaantal inderdaad overeen komt met de gewonnen, verloren en gelijk gespeelde wedstrijden. Hoeveel punten krijgt een ploeg bij winst? En bij gelijk spel?

c

Hoeveel doelpunten zijn er deze competitie in totaal gescoord tot en met deze speelronde?

d

De Graafschap staat boven Cambuur - Leeuwarden hoewel ze beide evenveel punten hebben. Dat heeft te maken met het doelsaldo. Wat wordt daar onder verstaan? Laat met een berekening zien dat inderdaad de volgorde juist is.

e

Je zou bij ploegen met evenveel punten ook naar het doelgemiddelde kunnen kijken. De voetbalbond stelt: "Onder doelgemiddelde wordt verstaan het getal, dat wordt verkregen bij deling van het aantal doelpunten tegen op het aantal voor." Zou dit van invloed zijn geweest op de rangorde?

STICHTING MATH4ALL

3 OKTOBER 2013

PAGINA 13


Opgave 10 Een bioloog wil weten welke invloed de grootte van het broedsel (het aantal jonge vogels) heeft op de hoeveelheid voedsel die elk jong krijgt. Hij doet waarnemingen bij nestelende koolmezen. In de tabel staan zijn gegevens.

a

Vooraf vermoedde de bioloog dat hoe groter het broedsel, hoe kleiner de hoeveelheid voedsel per jong zou zijn. Komt dat vermoeden uit? Kun je er een verklaring voor bedenken?

b

De totale hoeveelheid voedsel die de oudervogels aandragen is niet bij elke broedselgrootte even groot. Beschrijf wat er precies gebeurt.

c

De groei van de jonge vogels is echter bij elke broedselgrootte vrijwel hetzelfde. Kun je daar een verklaring voor bedenken? In de vakliteratuur vindt de bioloog deze gegevens over de warmteproductie van de jonge vogels.

d

Vormen deze gegevens een afdoende verklaring voor de vrijwel constante groei van de jonge vogels?

Opgave 11 Bij een onderzoek naar kleurenblindheid zijn 12000 proefpersonen aan een test onderworpen. Van de 6500 mannen die aan het onderzoek deelnamen waren er 612 kleurenblind, bij de vrouwen bleken er slechts 53 kleurenblind te zijn. a

Vul de gegevens uit de tekst hierboven op de juiste plaatsen in de kruistabel in.

b

Welk deel van de mannen is kleurenblind?

c

Welk deel van de kleurenblinden is vrouwelijk?

PAGINA 14

STICHTING MATH4ALL

3 OKTOBER 2013


Testen Opgave 12 Je ziet hier een tabel van het aantal Nederlanders in de loop van de jaren. Deze tabel is afkomstig van de website van het C.B.S.

a

Laat zien dat het aantal mannen en het aantal vrouwen in overeenstemming is met de totale bevolking.

b

De totale bevolkingsgroei kun je niet afleiden uit het verloop van de totale bevolking. Heb je daarvoor een verklaring?

c

Reken voor het jaar 2000 het getal dat hoort bij ‘Totale bevolkingsgroei, relatief’ na.

d

Laat voor het jaar 2000 zien dat het getal dat staat bij ‘Geboorteoverschot’ klopt met de rest van de tabel.

e

Bereken de oppervlakte van Nederland in het jaar 2000. Is die oppervlakte gedurende de jaren 1950 tot 2008 constant gebleven? Geef een verklaring.

Opgave 13 Veel Nederlanders gaan naar het buitenland op vakantie. Bij bestemmingen verder weg (zoals Italië) wordt dan soms van het vliegtuig gebruik gemaakt, maar ook wel van de bus of de trein of de eigen auto. In 2008 gingen werden 18458000 vakanties naar het buitenland geboekt. Daarvan waren er 1015000 met bestemming Italië. Er werden 6355000 vliegvakanties geboekt waarvan slechts 1 /20 deel een bestemming in Italië kende. Verder waren er 38200 touringcarreizen naar Italië geboekt, dat is een kwart van het totaal aantal touringcarreizen dat jaar. a

Vul met de gegevens uit de tekst hierboven de kruistabel in.

b

Welk deel van de Italiëgangers in 2008 nam deel aan een touringcarreis?

STICHTING MATH4ALL

3 OKTOBER 2013

PAGINA 15

1.2

Procenten

Inleiding In veel tabellen komen procenten voor. ‘Pour cent’ betekent per honderd, dus één van elke honderd, dus 1/100 deel. Met procenten rekenen is daarom rekenen met honderdsten: 045% 45 = 100 = 0,45. En 45% ergens van uitrekenen komt neer op vermenigvuldigen met 0,45. Het werken met procenten is al heel oud, zelfs de Oude Grieken kenden al het werken ‘per honderd’. Het teken voor procenten is echter nog niet heel oud en vermoedelijk ontstaan uit de afkorting p.c. (pour cent). Je leert in dit onderwerp > opnieuw rekenen met procenten; > werken met indexcijers. Voorkennis > werken met tabellen, tabellen maken en interpreteren; > werken met procenten in eenvoudige situaties.

Verkennen Opgave 1 Een zelfstandige zonder personeel is iemand die een bedrijf heeft en zijn diensten of zijn artikelen te koop aanbiedt, maar geen personeel heeft. Zo iemand hoeft geen BTW (belasting toegevoegde waarde) te betalen over zaken die hij voor zijn bedrijfsuitvoering nodig heeft. Stel hij koopt een laptop om de boekhouding mee te doen voor €745,00 inclusief BTW. Het BTW-tarief daarop is 21% van de prijs van deze laptop. Hoeveel bedraagt die prijs dus?

Uitleg De consumenten prijsindex alle huishoudens (CPI) die het CBS berekent geeft de gemiddelde prijsverandering weer van goederen en diensten die huishoudens aanschaffen. De CPI is een voorbeeld van het werken met procenten. Het jaar 2000 is het indexjaar, de totale prijs van de 1600 artikelen en diensten waarvan het CBS de prijsontwikkeling volgt wordt aan het begin van het jaar 2000 op 100 gesteld, zeg maar 100% genoemd. Vervolgens wordt berekend hoeveel die totale prijs aan het begin van een ander jaar is en uitgerekend met hoeveel procent hij is gestegen of gedaald t.o.v. de prijs in 2000. Dat is het indexcijfer voor dat jaar. Je ziet dat voor 2006 het indexcijfer 114,4 bedraagt. De prijzen zijn dus gemiddeld voor de consument met 14,4% gestegen t.o.v. die in 2000.

PAGINA 16

STICHTING MATH4ALL

3 OKTOBER 2013


De prijsstijging t.o.v. 2005 reken je zo uit: de toename is 114,4 − 113,1 = 1,3 en dat is het

1,3 113,1

deel

van 113,1. Uit deze deling komt ongeveer 0,011 en dat is 1,1%. De prijsstijging t.o.v. 2005 is daarom 1,1%. In de tabel heet dit de jaarmutatie. 114,1−111,2 De prijsstijging t.o.v. 2004 is ≈ 0,0288 ≈ 2,9%. 111,2

Opgave 2 Bekijk de tabel van de consumenten prijsindex in de Uitleg op pagina 16. a

Welk jaar is het indexjaar? En wat betekent dat?

b

Hoeveel bedraagt het indexcijfer voor 2004? Met hoeveel zijn de prijzen dus gestegen ten opzicht van 2000?

c

Met hoeveel zijn de prijzen in 2004 gestegen ten opzichte van 2003?

d

Met hoeveel zijn de prijzen in 2004 gestegen ten opzichte van 2002?

Opgave 3 Stel je voor dat in 2007 de jaarmutatie van de consumenten prijsindex 1,6 bedroeg. a

Welk indexcijfer krijgt 2007 dan?

b

Met hoeveel procent zijn de prijzen in 2007 gestegen ten opzichte van het indexjaar 2000?

Theorie en voorbeelden Het Franse ‘pour cent’ betekent ‘per honderd’, dus 1 procent is 1 per 100. 1 1 Dat wordt dus 100 deel van het totaal. Je schrijft: 1% = 100 = 0,01. En 12% van 500 is

12 100

deel van 500. Dat is 0,12 × 500 = 60.

> Hoeveel procent is 24 van 65? Antwoord:

24 60

≈ 0,369 = 36,9%.

> Het getal 24 neemt toe tot 27, met hoeveel procent is dat? Antwoord:

27−24 24

= 0,125 = 12,5%.

> Het getal 24 neemt toe met 6%, hoeveel wordt het? Antwoord: 24 × 1,06 = 25,44. > Het getal 24 neemt af met 6%, hoeveel wordt het? Antwoord: 24 × 0,94 = 22,56. > Het getal 24 is 6% van het geheel, hoeveel is dat geheel? Antwoord: 0,06 × geheel = 24, dus het geheel is

24 0,06

= 400.

> Een getal neemt met 6% toe tot 60, welk getal is dat? Antwoord: getal × 1,06 = 60, dus het getal is

STICHTING MATH4ALL

3 OKTOBER 2013

60 1,06

≈ 56,60.

PAGINA 17


Voorbeeld 1 Een winkelier doet zijn oude voorraad in de uitverkoop. Hij geeft 40% korting op de prijs ex.BTW. Het geldende BTW-tarief is 21%. De stereoset die jij wilt hebben kost nu €250,00. Hoeveel bedroeg de oorspronkelijke prijs (ex.BTW)? Noem de oorspronkelijke prijs u�, dan is de prijs met 40% korting: u� × 0,6. Daar komt 21% BTW bij, de prijs wordt danu� × 0,6 × 1,21 = 250. Dus moet je 250 delen door 1,21 en vervolgens door 0,6. De oorspronkelijk prijs was €344,35.

Opgave 4 Bekijk de Theorie op pagina 17. Schrijf als percentage: a

0,25 = ...

b

0,375 = ...

c

0,001 = ...

d

3,14 = ...

Opgave 5 Bereken: a

24% van 150

b

11% van 2150

c

3,4% van 15600

d

0,4% van 530

Opgave 6 Hoeveel procent is

b

1 4 1 8

c

5 van de 40

d

12 50

e

8 van de 25

f

11 500

a

deel deel

deel

deel

Opgave 7 Waarom is 1 /3 deel niet precies 33%? Is het meer of minder dan 33%?

PAGINA 18

STICHTING MATH4ALL

3 OKTOBER 2013


Opgave 8 Bereken telkens de nieuwe prijs, of het nieuwe bedrag. a

Je koopt een fiets van €650 met 12,5% korting.

b

De contributie van de tafeltennisclub is €120 per jaar. Hij wordt met 5% verhoogd.

c

Sinds 1960 is de prijs van de benzine met ongeveer 110% gestegen. Toen kostte 1 L benzine €0,54.

Opgave 9 Je haalt van een bedrag eerst 10% af en doet er dan weer 10% van het nieuwe bedrag bij. Laat met een berekening zien of je weer hetzelfde bedrag hebt gekregen.

Opgave 10 Bekijk Voorbeeld 1 op pagina 18 over berekening van de BTW. a

De BTW op een fiets die €650,00 kost (dus zonder BTW) is 21% van de prijs. Hoeveel betaal je voor deze fiets inclusief BTW?

b

Je koopt een nieuw I-Pod Classic met 25% korting voor €185,00. Hoeveel kostte deze I-Pod oorspronkelijk ex.BTW?

Voorbeeld 2 Hier zie je de ontwikkeling van de consumenten prijsindex vanaf het jaar 2000. Dit jaar is het indexjaar, de prijs van een artikel is in dat jaar op 100% gesteld. > In 2006 kostte een brood €1,50. Hoeveel kostte dit brood in 2000? > In 2006 kostte een brood €1,50. Hoeveel kostte dit brood in 2003? > De jaarmutatie geeft de procentuele toename t.o.v. het voorgaande jaar weer weer. Als bij 2000 een jaarmutatie van 5,6 zou horen, wat is dan het indexcijfer van 1999? > Stel: prijs in 2000 is u�, dan 1,144 × u� = 1,50. Dus u� = 1,50 1,144

≈ 1,31. De prijs in 2000 was dus 1,31 euro. 114,4

1,50

> Stel: prijs in 2003 is u�, dan 109,9 × u� = 1,50. Dus u� = 114,4 ≈ 1,44 De prijs in 2003 was dus 1,44 euro. 100 > Als u� het indexcijfer van 1999 is, dan is 1,056 − u� = 100 En dus is u� = 1,056 ≈ 94,7

Opgave 11 In Voorbeeld 2 op pagina 19 wordt opnieuw met indexcijfers gerekend. a

Hoeveel betaal je in 2006 voor een pak melk dat in 2000 nog €0,80 kostte?

b

Hoeveel betaal je in 2006 voor een pak melk als dit in 2004 nog €1,05 kostte?

c

Als 2004 het indexjaar wordt, welke prijsindex krijgt 2006 dan? En 2000?

STICHTING MATH4ALL

3 OKTOBER 2013

PAGINA 19


Voorbeeld 3 De Gasunie is de Nederlandse producent van aardgas. Ooit was al ons gas om te koken en het huis te verwarmen afkomstig van de Gasunie, maar tegenwoordig wordt ook gas uit het buitenland gekocht. In 2005 bedroeg de binnenlandse afzet via de Gasunie 38,7 miljard m3 en dat was 63% van het binnenlands verbruik. Zie ook www.energie.nl. Hoeveel aardgas voor binnenlands verbruik kwam van andere leveranciers? Noem de totale hoeveelheid aardgas A, dan is 0,63 × 𝐴 = 38,7 mld m3. Dus 𝐴 =

38,7 0,63

≈ 61,4 mld m3.

De hoeveelheid aardgas voor binnenlands van andere leveranciers was dus 61,4 − 38,6 = 22,7 mld m3.

Opgave 12 In Voorbeeld 3 op pagina 20 reken je vanuit een gegeven percentage het oorspronkelijke bedrag weer terug. a

Als 85% van een bepaald bedrag €70,00 is, hoeveel is dan dit bedrag?

b

Als je 20% korting krijgt en je moet nog €55,00 betalen, hoeveel was dan de oorspronkelijke prijs?

Verwerken Opgave 13 Marianne is met haar vriendin Anneke aan het winkelen. Op een gegeven moment komen ze langs een winkel met enorme aanbiedingen die ze meteen binnenstormen.

a

Marianne ziet een trui van €49,98. Wat gaat die trui kosten met deze korting?

b

Anneke koopt twee spijkerbroeken met winkelprijs €51,75. Wat betaalt ze daarvoor?

c

Marianne ziet een blouse waarop 20% korting staat. De winkelprijs is €33,50 en ze moet er €27,00 voor betalen. Klopt het kortingspercentage wel?

Opgave 14 Je hebt op 1 januari 2009 een bedrag van €1000 op een rekening bij een bepaalde bank gezet. Je doet er verder niets mee, je krijgt alleen jaarlijks 3,5% rente van de bank. a

Hoeveel geld heb je dan op 1 januari 2010?

b

En hoeveel op 1 januari 2011?

c

Heb je elk jaar evenveel rente in euro’s gerekend? Hoe komt dat?

PAGINA 20

STICHTING MATH4ALL

3 OKTOBER 2013


Opgave 15 Op een stereo-installatie krijg je 40% korting. Je moet echter wel 21% BTW betalen. Er zijn nu twee mogelijkheden: > De winkelier rekent eerst de prijs met koring uit en telt er vervolgens de BTW bij. > De winkelier telt eerst de BTW bij de prijs op en trekt er dan 40% korting af. Laat met een berekening zien wat voor jou het voordeligst is en hoeveel het scheelt.

Opgave 16 Een leren bureaustoel van €295 kun je kopen voor €200. Hoeveel procent korting krijg je?

Opgave 17 Een pak hagelslag van 250 gram kost €1,75. De fabrikant doet de volgende aanbieding: 20% meer voor dezelfde prijs. Hoeveel korting krijg je dan?

Opgave 18 Het water van de Rijn verspreidt zich als het Nederland binnenkomt over meerdere rivierarmen. Eerst gaat 65% naar de Waal en 35% van het water naar de Nederrijn. En vervolgens splitst de Nederrijn zich vlak voor Arnhem en gaat 60% van het water naar de Lek en 40% naar de IJssel. a

Hoeveel procent van het Rijnwater komt in het IJsselmeer terecht?

b

Hoeveel procent van het Rijnwater komt via de Lek in de Noordzee terecht?

c

In het Ruhrgebied wordt het water van de Rijn vervuild doordat er een bepaalde hoeveelheid kleurstof wordt geloosd. Onderzoekers schatten dat 640 kg van die kleurstof in de IJssel terecht is gekomen. Hoeveel kg kleurstof is er geloosd?

STICHTING MATH4ALL

3 OKTOBER 2013

PAGINA 21


Opgave 19 De tabel geeft informatie over de bevolking en de oppervlakte van het Indonesisch eilandenrijk in 1980. Er ontbreken getallen.

a

Hoeveel mensen telde Indonesië in 1980 in totaal? Geef je antwoord in miljoenen nauwkeurig.

b

Hoe groot was toen de oppervlakte van alle Indonesische eilanden samen?

c

Bereken de getallen die in de tabel ontbreken.

d

De bevolkingsdichtheid is het aantal mensen per km2. Op welk van de met name genoemde eilanden is de bevolkingsdichtheid het grootst?

e

Bereken de bevolkingsdichtheid van geheel Indonesië.

Testen Opgave 20 Bereken: a

12% van 364 is ...

b

162 is ongeveer ...% van 364

c

364 is 54% van ...

d

364 neemt toe tot 432, dat is een toename van ...%

e

364 neemt met 6% toe tot ...

f

364 neemt af met 6% tot ...

g

364 neemt af tot 320, dat is een afname van ...%.

Opgave 21 In Nederland hebben we in 2008 zo’n 2360 km aan autosnelweg, in België is dat 1763 km. Nederland kent 56,8 km snelweg per 1000 km2. a

Hoeveel procent kilometer snelweg heeft Nederland meer dan België?

b

Hoeveel procent kilometer snelweg heeft België minder dan Nederland?

c

Hoe groot is de oppervlakte van Nederland?

d

Neem aan dat een autosnelweg gemiddeld ongeveer 20 m breed is (een rijstrook is 3,50 m breed). Hoeveel procent van Nederland is autosnelweg?

PAGINA 22

STICHTING MATH4ALL

3 OKTOBER 2013


e

België heeft de grootste snelwegdichtheid van de Europese Unie. België heeft een oppervlakte van 30528 km2. Hoeveel km snelweg per 1000 km2 heeft België?

f

Hoeveel procent is de landoppervlakte van Nederland groter dan die van België?

g

Stel dat Nederland er in de periode 2009 - 2011 zo’n 6% km snelweg bij krijgt. Hoeveel km snelweg heeft Nederland dan in 2012?

h

Stel dat in België het aantal km snelweg in 2009 toeneemt tot 1940 km. Met hoeveel procent neemt het aantal km snelweg daar dan toe?

Opgave 22 Je koopt een fiets met 40% korting voor €550,00, inclusief BTW. Hoeveel kostte die fiets zonder korting en ex.BTW?

STICHTING MATH4ALL

3 OKTOBER 2013

PAGINA 23

1.3

Grafieken

Inleiding Het woord ‘grafiek’ wordt wel voor elke soort getekende voorstelling van gegevens gebruikt. Hier gaat het alleen om grafieken die horen bij tabellen met twee variabelen: bijvoorbeeld van het aantal mensen in een bepaalde gemeente afhankelijk van de tijd (het jaartal). Een grafiek laat dan het verloop van de bevolking van die gemeente heel duidelijk zien, duidelijker vaak dan een tabel. Er zijn verschillende soorten grafieken, belangrijk is welke soort grafiek je wanneer gebruikt. En verder hebben grafieken eigenschappen zoals dalend en stijgend. Die moet je leren herkennen... Je leert in dit onderwerp > grafieken gebruiken om gegevens overzichtelijk te presenteren; > soorten grafieken onderscheiden; > eigenschappen van grafieken herkennen. Voorkennis > een grafiek tekenen bij een tabel; > werken met procenten.

Verkennen Opgave 1 Via internet kun je grafieken zoeken. Ga naar Google en zoek afbeeldingen bij het trefwoord ‘grafiek’. Bekijk de figuren die je nu voor je neus krijgt. a

Meld bij elke figuur of het om een grafiek gaat zoals in de inleiding bedoeld of om een (staaf-, lijn-, of cirkel-)diagram of om nog wat anders...

b

Probeer bij elke grafiek vast te stellen waar hij over gaat, bijvoorbeeld tussen welke variabelen hij het verband beschrijft.

Uitleg Op de website www.getij.nl van het Ministerie van Verkeer en Waterstaat vind je bij ‘Getijvoorspellingen’ de waterstanden voor de komende dagen op verschillende locaties in Nederland en op de Noordzee. Je ziet er grafieken zoals deze. Er is sprake van twee variabelen: de hoogte van het water t.o.v. NAP (Normaal Amsterdams Peil) is uitgezet tegen de tijd in uren. Op de verticale as vind je de variabele u�u�u�u�u�u�u�u�u�u� (in cm), op de horizontale as staat de variabele u�u�u�u� (in uren). De grafiek stijgt en daalt afwisselend. De waterstand is > stijgend als hij toeneemt met de tijd en > dalend als hij afneemt met de tijd;

PAGINA 24

STICHTING MATH4ALL

3 OKTOBER 2013


> maximaal als hij overgaat van stijgend naar dalend (hoogwater of vloed) en > minimaal als hij overgaat van dalend in stijgend (laagwater of eb). Zoek steeds de bijpassende tijden in de grafiek op. Omdat de waterstand voortdurend verandert is er sprake van een vloeiend lopende grafiek. De waterstanden variëren tussen hoogwater en laagwater met een periode van ongeveer 6,25 uur. Tussen twee opeenvolgende tijdstippen van hoogwater zit ongeveer 12,5 uur en hetzelfde geldt voor twee opeenvolgende tijdstippen van laagwater. Zo’n grafiek die zichzelf (ongeveer) herhaalt noem je periodiek.

Opgave 2 Bekijk de grafiek van de waterstanden in de Uitleg op pagina 24. a

Tussen welke tijdstippen is de grafiek stijgend?

b

Geef de tijden waarop de waterstand maximaal is (hoogwater). Hoe hoog staat het water dan?

c

Geef ook de tijden waarop de waterstand minimaal is (laagwater). Hoe hoog staat het water dan?

Opgave 3 De grafiek van de waterstanden wordt in de Uitleg op pagina 24 periodiek genoemd. a

Om de hoeveel tijd herhaalt zich de waterstand (ongeveer)?

b

Stel dat deze grafiek geldt voor 10 mei 2008. Op welke tijdstippen was het dan hoogwater op 12 mei 2008?

c

Kun je bedenken waarom deze grafiek niet zuiver periodiek zal zijn?

STICHTING MATH4ALL

3 OKTOBER 2013

PAGINA 25


Theorie en voorbeelden Bij een tabel met twee variabelen kun je een grafiek maken (bijvoorbeeld m.b.v. Excel). Bijvoorbeeld bij een CBS-tabel van de Nederlandse bevolking komen de twee variabelen u�u�u�u� (jaartal) en u�u�u�u�u�u�𝑁u�u�u�u�u�u�u�u�u�u�u� (× 1000) voor. Hierbij hangt u�u�u�u�u�u�𝑁u�u�u�u�u�u�u�u�u�u�u� af van u�u�u�u�. Je maakt er daarom een grafiek bij met op de horizontale as de variabele u�u�u�u� en op de verticale as de afhankelijk variabele u�u�u�u�u�u�𝑁u�u�u�u�u�u�u�u�u�u�u�. Bij de assen zet je de namen van die variabelen als bijschriften. Ook gebruik je maatstreepjes met getallen. Laat je die weg, dan weet je de betekenis van de as en/of de gebruikte eenheid niet. Soms krijgt een grafiek nog een grafiektitel mee. Er zijn verschillende soorten grafieken: > bij een lijngrafiek verbind je de punten die bij de tabel horen met dunne lijnstukjes omdat je de tussenwaarden niet weet; > bij een vloeiende grafiek verbind je de punten die bij de tabel horen met een kromme lijn omdat je aan kunt nemen of weet dat de tussenwaarden zonder grote sprongen toenemen of afnemen; > bij een trapgrafiek ga je er van uit dat de afhankelijk variabele sprongsgewijs verandert.

Grafieken hebben bepaalde eigenschappen... Een (vloeiende) grafiek is > stijgend als de afhankelijk variabele toeneemt; > dalend als de afhankelijk variabele afneemt. De grafiek heeft > een maximum als hij overgaat van stijgend naar dalend; > een minimum als hij overgaat van dalend in stijgend. Ook in randpunten zit vaak een maximum of een minimum. Je noemt de maxima en de minima wel extremen of uiterste waarden.

PAGINA 26

STICHTING MATH4ALL

3 OKTOBER 2013


Soms varieert de afhankelijk variabele met een vaste periode. Zo’n grafiek die zichzelf (ongeveer) herhaalt noem je periodiek. Deze grafiek van een normale hartslag is daarvan een voorbeeld. De periode is hier ongeveer 0,8 seconden. Dat betekent een frequentie van 75 hartslagen per minuut.

Voorbeeld 1 Hier zie je een tabel van de bevolking van Deventer. Het u�u�u�u�u�u�u�u�u�u�u�u� hangt af van de u�u�u�u� (jaartal). Maak een bijpassende grafiek. Neem u�u�u�u�u�u�u�u�u�u�u�u� in honderdtallen. Welke soort grafiek maak je en waarom? In de loop van 2004 is de gemeente Deventer uitgebreid. Hoe zie je dat in de grafiek? Maak eerst een nieuwe tabel met u�u�u�u�u�u�u�u�u�u�u�u�u�u� in honderdtallen. Zet dan de punten uit die nieuwe tabel in een assenstelsel en verbind ze. Je kunt daarvoor bijvoorbeeld Excel inschakelen.

Er is gekozen voor een lijngrafiek omdat de tussenwaarde niet bekend zijn. Hier past ook wel een vloeiende grafiek bij, want er zullen waarschijnlijk geen rare uitschieters zijn gedurende een jaar. Zelfs een trapgrafiek is te verdedigen, je baseert je dan uitsluitend op de tellingen van 1-1-20XX en neemt dat als waarde voor een heel jaar. De uitbreiding van de gemeente is terug te vinden in de snelle stijging tussen de punten bij 2004 en 2005. Die stijging heeft in de loop van 2004 plaatsgevonden, kennelijk nam het aantal personen toen sneller toe vanwege de gebiedsuitbreiding.

STICHTING MATH4ALL

3 OKTOBER 2013

PAGINA 27


Opgave 4 Bekijk de Theorie op pagina 26 en Voorbeeld 1 op pagina 27. Je ziet hier een tabel van het aantal Nederlanders in de loop van de jaren. Deze tabel is afkomstig van de website van het C.B.S.

a

Maak een grafiek van het aantal inwoners van Nederland in de loop van de jaren.

b

Welke twee variabelen heb je tegen elkaar uitgezet? Welke van beide variabelen is de afhankelijk variabele? Hoe zie je dat aan de grafiek?

c

Waarom kun je eigenlijk geen vloeiende grafiek maken?

d

Wat is het voordeel van een grafiek boven een tabel? Zijn er ook nadelen?

Opgave 5 Gebruik de tabel van de vorige opgave. Je bekijkt nu de rijen‘Levendgeborenen’, ‘Overledenen’ en‘Geboorteoverschot’. a

Teken de drie grafieken van deze variabelen uitgezet tegen de tijd (in jaren) in één figuur.

b

Waarom noem je de grafiek van‘Geboorteoverschot’ wel de verschilgrafiek van de andere twee?

c

In welke periode is de grafiek van‘Geboorteoverschot’ stijgend?

d

Wat betekent het dat het geboorteoverschot in Nederland dalend is?

Voorbeeld 2 De TPG-tarieven voor de brievenbuspost binnenland zijn in 2007: > > > >

van van van van

0 tot en met 20 gram: €0,44 20 tot en met 50 gram: €0,88 50 tot en met 100 gram: €1,32 100 tot en met 250 gram: €1,76

Het tarief 𝑇 is is afhankelijk van het gewicht g. Maak een bijpassende grafiek. De bijpassende grafiek moet nu een trapgrafiek zijn. Je ziet hem hier. Let goed op de open rondjes. Die zorgen er voor dat er overal precies één uitkomst is. Bijvoorbeeld bij een brief van 50 gram betaal je 88 cent en niet €1,32. Een brief van meer dan 250 gram bestaat kennelijk niet, dan is het een pakket.

PAGINA 28

STICHTING MATH4ALL

3 OKTOBER 2013


Opgave 6 In Voorbeeld 2 op pagina 28 vind je de grafiek van de TPG-tarieven voor brievenbuspost in 2007. a

Hoe zwaar is brievenbuspost op zijn hoogst?

b

Waarom moet de grafiek een trapgrafiek zijn?

c

Hoeveel betaal je voor een brief van 100 gram?

d

Hoe zwaar is een brief als er 88 cent aan postzegels op moet?

e

Wat kun je beter doen: twee brieven van 45 gram die naar hetzelfde adres moeten afzonderlijk versturen of samen (als één brief) versturen?

Voorbeeld 3 Deze grafiek geeft de snelheid aan van iemand die vanaf huis met zijn scooter naar school gaat. Je ziet dat zij de eerste halve minuut gemiddeld 20 km/h (km per uur) rijdt. Hoeveel km legt zij die eerste halve minuut af? Teken een grafiek van de afgelegde afstand afhankelijk van de tijd.

De eerste halve minuut rijdt zij gemiddeld 20 km/h = 1 1 3 km/min. In die halve minuut legt ze 6 km af. 2

Daarna rijdt ze 3,5 minuten met 40 km/h = 3 km/min. 1 Ze legt dan elke halve minuut 3 km af. Nu kun je een tabel maken voor de eerste vier minuten. De volgende halve minuut rijdt ze gemiddeld weer met 1 20 km/h = 3 km/min. En dan staat ze een minuut stil. Zo kun je je tabel en je grafiek voortzetten en afmaken. 2

Ga na, dat er in totaal 4 3 km wordt afgelegd.

Opgave 7 Je ziet hier de grafieken van twee wielrenners die een wedstrijd over 120 km rijden. Het is een individuele tijdrit, dus ze starten na elkaar. Bekijk eventueel eerst Voorbeeld 3 op pagina 29. a

Welke van beide wielrenners startte het snelst? Hoe zie je dat aan de grafiek?

b

Hoeveel bedroeg de gemiddelde snelheid van renner A het eerste uur ongeveer? En gerekend over de gehele rit?

c

Welk stuk van de route gaan ze bergop? Licht je antwoord toe.

d

Wie van beiden is de beste klimmer?

STICHTING MATH4ALL

3 OKTOBER 2013

PAGINA 29


e

Op welk moment fietsen beiden even snel?

f

Wie wint de tijdrit?

g

Waarom hebben deze grafieken geen dalende stukken?

Opgave 8 In de Theorie op pagina 26 kom je ook een periodieke grafiek tegen. Op de intensive care van een ziekenhuis bewaakt men met hartbewakingsapparatuur de hartfunctie van patiënten. Hier zie je een grafische weergave van de hartslag van een patiënt. De hartslag van een mens wordt gewoonlijk uitgedrukt in het aantal slagen per minuut. a

Wat is het aantal hartslagen van deze patiënt per minuut?

b

Hoe groot is de hartslagfrequentie per seconde?

c

De grafiek herhaalt zich steeds. Hoe groot is de periode van dit periodieke verschijnsel?

d

Iemand die een zware lichamelijke inspanning heeft geleverd, heeft kort daarna meestal een verhoogde hartslagfrequentie. Hoe zal de grafiek van deze persoon eruit zien na een zware lichamelijke inspanning?

Verwerken Opgave 9 De tabel geeft het aantal dodelijke ongelukken ten gevolge van branden in de periode 1950 t/m 1982 in de Verenigde Staten weer. a

Teken een geschikte grafiek bij de eerste twee kolommen. Leg uit welke soort grafiek je hebt gekozen en waarom.

b

Welke variabele is de afhankelijk variabele?

c

Kun je een conclusie trekken omtrent het aantal doden ten gevolge van brand? Waar heb je dan meer aan, de tabel of de grafiek?

d

Waarom is ook de derde kolom nodig om te concluderen dat maatregelen voor brandpreventie na 1980 succes begonnen af te werpen?

e

Schat met behulp van deze tabel het aantal inwoners van de Verenigde Staten in 1982.

PAGINA 30

STICHTING MATH4ALL

3 OKTOBER 2013


Opgave 10 Download en print de schoolartsenkaart voor meisjes. Een uitdrukking als P10 bij een grafiek op deze kaart betekent dat 100% van de meisjes daar onder zit. a

Welke twee variabelen worden er in het onderste deel van deze kaart tegen elkaar uitgezet?

b

Welke twee variabelen worden er in het bovenste deel van de kaart tegen elkaar uitgezet?

c

Waarom staan er op deze kaart al grafieken voorgedrukt? Welke betekenis hebben ze?

d

Hoe kun je met behulp van deze schoolartsenkaart de lengte en het gewicht voorspellen van een vrouw van 20 jaar?

e

Je ziet in de tabel de gegevens van Marleen van Straaten. Haar lengte is steeds op haar verjaardag gemeten. Teken haar twee groeigrafieken op de schoolartsenkaart.

f

Is Marleen lang voor haar leeftijd? En hoe zit het met haar gewicht?

Opgave 11 Als je een glazen vaas onder een gelijkmatig stromende kraan houdt, zie je de waterspiegel in de vaas stijgen. Je ziet hieronder vier vazen met dezelfde hoogte, maar met een verschillende vorm. Verder zie je vier grafieken waarin de waterhoogte ℎ (in cm) is uitgezet tegen de tijd u� (in seconden).

a

Waarom zijn dit allemaal vloeiend lopende grafieken?

b

Welke grafiek hoort bij welke vaas?

c

Teken de grafieken van ℎ afhankelijk van u� als het water twee keer zo snel stroomt.

STICHTING MATH4ALL

3 OKTOBER 2013

PAGINA 31


Opgave 12 De hoeveelheid kooldioxide (CO2) en de hoeveelheid zuurstof in de lucht (O2) worden onder andere in balans gehouden doordat de planten op Aarde kooldioxide omzetten in zuurstof. Deze grafieken laten dat zien.

a

Hoe groot is de periode van beide grafieken?

b

Waarom daalt de hoeveelheid CO2 in de atmosfeer in de periode mei t/m augustus?

c

Hoeveel cm3 CO2 zat er in 1990 per m3 minimaal in de atmosfeer? En hoeveel maximaal?

d

De maxima van de bovenste grafiek komen overeen met de minima van de onderste grafiek en andersom. Verklaar dat.

e

In de grafiek is een dalende tendens zichtbaar voor wat betreft de verhouding zuurstof/stikstof in de atmosfeer. Teken een trendlijn die dit weergeeft.

f

Teken ook een trendlijn voor de kooldioxidegrafiek. Hangen beide trendlijnen met elkaar samen?

g

Voorspel het gehalte kooldioxide in januari 2010 als deze trend zich voortzet.

PAGINA 32

STICHTING MATH4ALL

3 OKTOBER 2013


Testen Opgave 13 In deze tabel vind je de levensverwachting van mannen en vrouwen bij hun geboorte in de tweede helft van de vorige eeuw.

a

Teken de twee bijbehorende grafieken in één figuur.

b

Hoe heb je de punten die horen bij waarden uit de tabel met elkaar verbonden? Motiveer je keuze.

c

In een bepaalde periode is het verschil tussen de levensverwachting bij mannen en bij vrouwen sterk toegenomen. In welke periode was dat?

d

Kun je redenen geven voor de toenemende levensverwachting bij vrouwen?

e

Waarom veranderde de levensverwachting bij mannen in de periode 1950 - 1970 niet veel en die van vrouwen wel, denk je?

Opgave 14 Deze grafieken geven het temperatuurverloop van het aardoppervlak, de lucht en het water op een zonnige voorjaardag in Nederland weer. a

Leg uit hoe je aan de grafieken kunt zien dat het om een zonnige voorjaarsdag in Nederland gaat.

b

Hoeveel bedroeg de maximale temperatuur van de atmosfeer die dag? Op welk tijdstip werd die temperatuur bereikt?

c

Op bepaalde delen van de dag was het die dag zo bewolkt dat de temperatuur van de lucht daalde. Welke delen van de dag waren dat?

d

Wat warmt het snelst op: aarde, lucht of water? Hoe zie je dat aan de grafieken?

e

Wat houdt de temperatuur het beste vast: aarde, lucht of water? Hoe zie je dat aan de grafieken?

f

De volgende dag is het dicht bewolkt. Maak een schets van het verloop van de drie grafieken op die dag.

g

Leg uit waarom deze temperatuurgrafieken wel een vaste periode hebben, maar er toch geen sprake is van een zuiver periodiek verschijnsel.

h

Is er sprake van trend?

STICHTING MATH4ALL

3 OKTOBER 2013

PAGINA 33

1.4

Waarden toevoegen

Inleiding Grafieken en tabellen worden vooral gemaakt om het verloop van een bepaalde variabele afhankelijk van bijvoorbeeld de tijd duidelijk in beeld te krijgen. En waarom wil men dat? Om voorspellingen te kunnen doen, of tussenliggende waarden te kunnen vaststellen. Het gaat dus vrijwel altijd om het toevoegen van nieuwe waarden op grond van het verloop in de tabel of de grafiek. Maar zoiets kun je niet zomaar doen... Je gebruikt de regelmaat die je aantreft, de eigenschappen van de grafieken... Je leert in dit onderwerp > grafieken gebruiken om waarden toe te voegen in tabellen, interpoleren en extrapoleren; > waarden toevoegen in periodieke grafieken; > waarden aflezen in bundels grafieken. Voorkennis > grafieken tekenen en de eigenschappen van grafieken herkennen; > de periode in een zich herhalende grafiek herkennen.

Verkennen Opgave 1 Hier zie je een tabel van de bevolking van Deventer. Het u�u�u�u�u�u�u�u�u�u�u�u� hangt af van de u�u�u�u� (jaartal). Je kunt de tabel of een bijpassende grafiek gebruiken om de bevolking op tussenliggende of toekomstige tijdstippen te voorspellen. a

Hoeveel mensen telde Deventer op 1 juli 2002 ongeveer?

b

Waarom kun je het aantal mensen op 1 juli 2004 heel moeilijk schatten?

c

Schat het aantal mensen in Deventer op 1 januari 2020.

PAGINA 34

STICHTING MATH4ALL

3 OKTOBER 2013


Uitleg Uit de Wikipedia: ‘De huisstofmijt (Dermatophagoides pteronyssinus) is een haast onzichtbaar kleine (ca. 0,3 mm) mijt die in huisstof leeft, met name in matrassen, kussens, gestoffeerd meubilair, tapijt en op beschimmelde muren. De huisstofmijt komt overal ter wereld voor, in alle klimaten, behalve op grote hoogte waar hij zich moeilijk kan voortplanten. Hij gedijt het beste bij ongeveer 25 graden Celsius en een luchtvochtigheid van 50-75%.’

Je ziet hier grafieken van het aantal huisstofmijten dat ontstaat uit een kleine beginpopulatie bij de juiste leefomstandigheden. Elke grafiek beschrijft het aantal mijten uitgezet tegen de tijd in dagen, steeds bij een andere temperatuur. Dit is een grafiekenbundel, de getekende punten zijn de echte meetpunten. Hiermee kun je: > Schatten dat het aantal mijten na 55 dagen bij een temperatuur van 25°C ongeveer 256 bedraagt, terwijl dit bij een temperatuur van 21°C slechts ongeveer 92 is. Je doet dit door af te lezen van de rechte lijnstukjes tussen twee meetpunten. Je spreekt dan van interpoleren tussen twee punten. > Schatten dat het aantal mijten na 75 dagen bij een temperatuur van 25°C ongeveer 347 bedraagt, terwijl dit bij een temperatuur van 21°C slechts ongeveer 154 is. Je doet dit door de rechte lijnstukjes van de laatste twee meetpunten door te trekken. Je spreekt dan van extrapoleren. > Schatten dat het aantal mijten na 55 dagen bij een temperatuur van 23°C vermoedelijk ongeveer evenveel zal zijn als bij een temperatuur van 28,5°C.

Opgave 2 Bekijk de grafieken van het aantal huisstofmijten in de Uitleg op pagina 35. a

Controleer de schatting van het aantal mijten bij een temperatuur van 21°C na 55 dagen.

b

Controleer de schatting van het aantal mijten bij een temperatuur van 25°C na 75 dagen.

STICHTING MATH4ALL

3 OKTOBER 2013

PAGINA 35


c

Wat is het verschil tussen interpoleren en extrapoleren?

d

Schat het aantal mijten na 55 dagen bij een temperatuur van 23°C. Leg uit dat dit aantal vermoedelijk overeen komt met dat bij een temperatuur van 28,5°C.

Opgave 3 Bekijk de grafieken van het aantal huisstofmijten nog eens. a

Hoeveel huisstofmijten waren er bij het begin van het onderzoek naar hun groei?

b

Hoeveel zijn er na 40 dagen bij een temperatuur van 21°C? Met hoeveel procent is het aantal dus in die 40 dagen toegenomen?

c

Beantwoord dezelfde vragen als bij b maar nu bij een temperatuur van 20°C.

d

Schets de grafiek van de groei van huisstofmijten bij 20°C.

e

Waarom kun je de grafiek bij 26°C niet tekenen op grond van de gegeven grafieken alleen?

Theorie en voorbeelden Veel grafieken horen bij tabellen met metingen. Hoe je de meetpunten verbindt, blijft een keuze. Bij een lijngrafiek trek je er rechte lijnstukken tussen, soms een vloeiende kromme. Waarden die niet in de tabel voorkomen, kun je alleen schatten: > interpoleren is het schatten van punten tussen twee meetpunten, vaak doe je dit door er een lijnstukje tussen te trekken en dan af te lezen (halverwege 2002 waren er ongeveer 870.000 personen); > extrapoleren is het schatten van punten buiten het gebied met meetpunten, vaak doe je dit door een lijnstukje tussen de twee voorgaande (of de twee opvolgende) meetpunten te verlengen en dan af te lezen (begin 2008 ongeveer 968.000 personen). Soms heb je te maken met meerdere grafieken die bij dezelfde variabelen op de assen horen. Dat is een grafiekenbundel. Ook daarin kun je waarden aflezen die niet in de tabellen voorkomen, zelfs in het gebied tussen twee grafieken.

PAGINA 36

STICHTING MATH4ALL

3 OKTOBER 2013


Voorbeeld 1 Je ziet hier een grafiek van het aantal Nederlanders (×1000) uitgezet tegen het jaartal. Schat door interpoleren het aantal Nederlanders in 1925. Schat door extrapoleren het aantal Nederlanders in 2020. Er zijn al rechte lijnstukjes getrokken tussen de meetpunten. Je zoekt 1925 op de horizontale as en leest af: ongeveer 7500, dus 7,5 mln Nederlanders. Om het aantal Nederlanders in 2020 te kunnen bepalen verleng je het lijnstukje behorende bij de laatste twee meetpunten. Ga na, dat je dan ongeveer 17500 afleest bij 2020, dus ongeveer 17,5 mln Nederlanders.

Opgave 4 Bekijk de grafiek van de bevolking van Nederland in Voorbeeld 1 op pagina 37. a

Schat het aantal Nederlanders in 1986 met behulp van de grafiek.

b

Denk je dat het antwoord bij a betrouwbaar is? Geef een toelichting.

c

Schat het aantal Nederlanders in 1945 met behulp van de grafiek. Waarom kan deze uitkomst wel eens erg onbetrouwbaar zijn?

d

Schat het aantal Nederlanders in 2020. Leg uit hoe je te werk bent gegaan.

Voorbeeld 2 Je ziet hier een bundel grafieken van de watertemperatuur (in °C) afhankelijk van het tijdstip op de dag. Er is gemeten in een groot meer op een tropische dag. De watertemperatuur loopt in de loop van de ochtend al behoorlijk op. Maar het is niet op elke diepte even warm. Hoe warm is het om 13:00 uur op 1 m diepte? Waarom heeft extrapoleren naar 15:00 uur niet veel zin? Om 13:00 uur is het op 0 m diepte ongeveer 27,5 graden. Om 13:00 uur is het op 2 m diepte ongeveer 23 graden. Op 1 m diepte zal het op dat tijdstip daar ongeveer 25,5°C zijn. Het heeft weinig zin om de watertemperatuur voorbij de 14:00 uur te extrapoleren, want daarna gaat de zon weer zakken en zal de opwarming niet meer zo sterk zijn, hoewel hij nog wel even door gaat...

STICHTING MATH4ALL

3 OKTOBER 2013

PAGINA 37


Opgave 5 Gebruik de grafieken van de watertemperatuur uit Voorbeeld 2 op pagina 37. a

Hoe warm is het water om 11:00 uur op 3 m diepte?

b

Waarom gaat loopt de grafiek bij een diepte van 0 m tussen 6 en 10 uur steiler dan de andere twee grafieken?

c

En waarom is dit na 10 uur niet meer het geval?

d

Kun je iets zeggen over de grafieken na 14 uur?

Voorbeeld 3 Op www.getij.nl vind je bij ‘Getijvoorspellingen’ de waterstanden voor de komende dagen op verschillende locaties in Nederland en op de Noordzee. Deze grafiek van de waterstanden in Harlingen was er op zeker moment te vinden. Als je nu de waterstand om 14:00 uur de volgende dag wilt weten, hoe ga je dan te werk?

Omdat de waterstand periodiek is, heeft extrapoleren door het eind van de grafiek door te trekken geen enkele zin. Nu maak je gebruik van de periode van de grafiek. De waterstand kent een periode van ongeveer 12 uur en 20 minuten. Je kunt dat in de grafiek ook zien... Dit betekent dat de grafiek om de 12 uur en 20 minuten (ongeveer) dezelfde waterstand aangeeft. De waterhoogte om 14:00 uur de volgende dag is daarom hetzelfde als die om 01:40 uur de volgende dag. En ook hetzelfde als die op 13:20 uur van deze dag. En die waterstand kun je uit de grafiek aflezen. (De waterstand is wel erg afhankelijk van het weer, van wind en regen, dus heel erg betrouwbaar is deze schatting niet.)

PAGINA 38

STICHTING MATH4ALL

3 OKTOBER 2013


Opgave 6 In Voorbeeld 3 op pagina 38 vind je de grafiek van de waterstanden bij Harlingen. Dit is een periodieke grafiek. a

Voorspel de waterstand om 14:00 uur van de volgende dag. Bekijk in het voorbeeld hoe je dat kunt doen.

b

Hoe hoog is de waterstand twee dagen later om 14:00?

c

Waarom zijn deze antwoorden toch alleen maar schattingen?

Verwerken Opgave 7 Bekijk nog eens de schoolartsenkaart voor meisjes. De P50-lijn geeft de lengte aan van een gemiddeld meisje. a

Schat door grafisch interpoleren de lengte van een gemiddeld meisje van 15 jaar en 3 maanden.

b

Marleen van Straaten is op haar dertiende verjaardag 164 cm en op haar veertiende verjaardag is ze 168 cm. Voorspel hoe lang ze op haar twintigste zal zijn door gebruik te maken van de groeigrafieken.

c

Waarom is extrapoleren met behulp van een rechte lijn door beide punten hier onzinnig?

d

Voorspel hoe zwaar Marleen op haar twintigste zal zijn.

Opgave 8 De tabel geeft het aantal werkelozen in een bepaalde stad weer. De aantallen werkelozen zijn afgerond op honderdtallen. tijd

mrt’04 mei’04 jul’04

sep’04 nov’04 jan’05 mrt’05 mei’05 jul’05

sep’05

aantal 10700 11400 11100 10300 10000 10700 11900 12600 12300 11500 a

Maak een grafiek van deze werkloosheidscijfers.

b

Hoe kun je aan de grafiek zien dat er bij werkloosheid sprake is van seizoensinvloeden?

c

Ga er van uit dat deze trend zich voortzet. Voorspel nu het aantal werklozen in deze stad in januari 2014.

d

Hoeveel werklozen waren er volgens deze trend in maart 2008?

STICHTING MATH4ALL

3 OKTOBER 2013

PAGINA 39


Opgave 9 In de grafiek hiernaast staat het aantal lokale telefoongesprekken per persoon per jaar uitgezet tegen het aantal poststukken per persoon per jaar in de Verenigde Staten. a

Na een aanvankelijke daling stijgt de grafiek van het aantal lokale telefoongesprekken per persoon per jaar voortdurend, behalve in twee jaren. Welke jaren zijn dat?

b

Is het totaal aantal lokale telefoongesprekken die jaren ook niet gestegen? Verklaar je antwoord.

c

In welke periodes daalde het aantal poststukken per persoon per jaar?

d

Bepaal door extrapoleren het aantal lokale telefoongesprekken en het aantal poststukken per persoon per jaar in het jaar 2000 in de Verenigde Staten. Licht toe hoe je te werk gaat.

Opgave 10 De Body Mass Index (BMI) geeft aan of mensen van boven de 16 jaar op hun juiste gewicht zitten (20 < BMI ≤ 25), matig overgewicht hebben (25 < BMI ≤ 30), of te zwaar (BMI > 30) of te licht (BMI ≤ 20) zijn. Met deze grafieken kun je de BMI bepalen. a

Schat de BMI van iemand die 18 jaar is, 1,90 m lang is en 90 kg weegt.

b

Hoe zwaar moet iemand van meer dan 16 jaar zijn als hij 1,80 m lang is en een gezond gewicht wil hebben? Geef de ondergrens en de bovengrens.

c

Schets de grafiek die hoort bij een BMI van 23.

d

Waarom gelden deze grafieken voor de BMI alleen voor mensen boven de 16 jaar, denk je?

e

Als je 1,80 m lang bent, hangt je BMI alleen af van je gewicht. Teken de grafiek van de BMI afhankelijk van het gewicht.

PAGINA 40

STICHTING MATH4ALL

3 OKTOBER 2013


Testen Opgave 11 Deze tabel geeft het aantal inwoners en het aantal woningen in een bepaalde gemeente weer. jaar

1980

aantal inwoners

11220 13910 14730 14990

aantal woningen 2800

1990

4000

1995

4400

2000

4800

a

Maak een grafiek van het aantal inwoners in de periode van 1980 - 2000. Maak ook een grafiek van het aantal woningen in die periode.

b

Bereken door interpoleren het aantal inwoners in 1985 en het aantal inwoners in 1998.

c

Bereken door interpoleren het aantal woningen in die jaren.

d

Bereken door extrapoleren het aantal inwoners in 2008 en het aantal woningen in 2008.

e

Maak een grafiek van het aantal inwoners per woning in de periode van 1980 - 2000. Wat valt op?

f

Bereken door extrapoleren het aantal inwoners per woning in 2008. Dat kan op twee manieren; ga na of de antwoorden met elkaar overeen komen.

Opgave 12 In deze grafiek is sprake van een duidelijke trend. Het aantal fazanten in dit gebied neemt gestadig toe. a

Waaraan kun je zien dat het aantal fazanten onderhevig is aan seizoensinvloeden?

b

Waaruit blijkt de trend?

c

Bepaal het aantal fazanten in juni 2006 als deze trend zich voortzet. Leg uit hoe je te werk gaat

STICHTING MATH4ALL

3 OKTOBER 2013

PAGINA 41

1.5

Grafieken combineren/vergelijken

Inleiding Regelmatig heb je te maken met meerdere grafieken in één figuur. Soms zet je bijvoorbeeld op de verticale as zowel de kosten als de opbrengst uit tegen het aantal verkochte exemplaren. Dan kan het interessant zijn om naar het snijpunt van beide grafieken te kijken, daar begin je winst te maken... Ook kun je een afzonderlijke winstgrafiek maken door opbrengst en kosten van elkaar af te trekken. Je leert in dit onderwerp > grafieken vergelijken en snijpunten aflezen en interpreteren; > werken met somgrafiek en verschilgrafiek; > grafieken schakelen. Voorkennis > grafieken tekenen en de eigenschappen van grafieken herkennen; > waarden uit grafieken aflezen.

Verkennen Opgave 1

Je ziet hier in één figuur de opbrengst en de kosten van een fabrikant bij de verkoop van een bepaald artikel. a

Het snijpunt van beide grafieken wordt wel ‘break-even-point’ genoemd. Begrijp je waarom?

b

Teken de grafiek van de winst uitgezet tegen de verkochte hoeveelheid.

PAGINA 42

STICHTING MATH4ALL

3 OKTOBER 2013


Uitleg De grafieken bij Verkennen 1 op pagina 42 laten de u�u�u�u�u�u�u�u�u� en de u�u�u�u�u�u� in k€ (duizenden Euro) zien bij de verkoop van een bepaald artikel. Beide grafieken ontstaan vanuit tabellen, zowel de opbrengst als de kosten hangen af van het aantal verkochte exemplaren (×1000). Ze staan daarom in één figuur. Het snijpunt van beide grafiek heeft een duidelijke betekenis: dan zijn opbrengst en kosten gelijk. De bijbehorende waarde van het aantal verkochte exemplaren kun je aflezen: ongeveer 22.000. Bij een verkoop van 22.000 of meer is er sprake van winst. Je kunt hiermee ook de grafiek maken van de u�u�u�u�u�: je trekt dan opbrengst en kosten van elkaar af. De verschilgrafiek van u�u�u�u�u�u�u�u�u� en u�u�u�u�u�u� is de winstgrafiek. Je ziet ook nu dat de winst pas positief is bij een verkoop van 22.000 artikelen of meer.

Opgave 2 In de Uitleg op pagina 43 zie je de grafieken van de opbrengst, de kosten en de winst bij de verkoop van een bepaald artikel. Hier zie je tabellen van de opbrengst en de kosten.

a

Laat zien hoe tabel voor de winstgrafiek uit de voorgaande twee tabellen kan ontstaan.

b

Kun je het snijpunt van beide grafieken met deze tabellen nauwkeuriger benaderen? Zo ja, laat zien hoe dan.

STICHTING MATH4ALL

3 OKTOBER 2013

PAGINA 43


Theorie en voorbeelden Soms heb je te maken met meerdere grafieken. Kun je twee variabelen uitdrukken in dezelfde eenheden en hangen beide van dezelfde variabele af, dan kun je de bijbehorende grafieken in één figuur tekenen. Zie Voorbeeld 1 op pagina 44. > In een snijpunt van beide grafieken hebben de twee variabelen op de verticale as dezelfde waarde. > Je maakt een somgrafiek door steeds bij elkaar passende uitkomsten op te tellen. > Je maakt een verschilgrafiek door steeds bij elkaar passende uitkomsten van elkaar af te trekken. Heb je te maken met twee grafieken waarbij in de éne grafiek een variabele u� afhangt van u� en in de andere u� weer afhangt van t, dan kun je deze variabelen schakelen: bij een waarde van u� vind je een waarde van u� en dan daarbij weer een passende waarde van y. Zie Voorbeeld 2 op pagina 45.

Voorbeeld 1 In deze grafieken van twee hardlopers kun je zien hoe beiden de Coopertest (12 minuten hardlopen) afleggen. Elk rondje van 400 m wordt hun tijd geklokt, het gaat om het afleggen van een zo groot mogelijke afstand.

> Hoeveel minuten ligt loper B voor op loper A? > Wie van beiden levert de beste prestatie? > Maak een bijpassende verschilgrafiek. De snijpunten van beide grafieken kun je aflezen (schatten): (1500; 7,50) en (2250; 11,00). Loper B ligt voor als hij minder tijd nodig heeft voor dezelfde afstand als loper A, dus van 7,5 minuten tot 11 minuten, dat is ongeveer 3,5 minuten. Loper A levert de beste prestatie: hij loopt 2554 m in 12 minuten (zie tabel). De verschilgrafiek maak je door eerst een verschiltabel en daarvan een grafiek te maken.

PAGINA 44

STICHTING MATH4ALL

3 OKTOBER 2013


Opgave 3 Bekijk de grafieken van twee hardlopers in Voorbeeld 1 op pagina 44. a

Controleer nog even de afgelezen snijpunten van beide grafieken.

b

Maak nu zelf een verschiltabel en een verschilgrafiek.

c

Op welke plaatsen gaat je verschilgrafiek door de horizontale as? En wat betekent dit?

Voorbeeld 2 Beide grafieken geven informatie over een bergwandeling. De variabele u�u�u�u� geeft het aantal minuten na het begin van de wandeling.

> Hoeveel bedraagt de temperatuur na 80 minuten lopen? > Hoeveel bedraagt het temperatuursverschil tussen begin en eind van de wandeling? Na 80 minuten lopen zit de wandelaar op 500 m hoogte. In de tweede grafiek zie je dat de temperatuur op die hoogte ongeveer 17°C is. Op deze manier schakel je de drie variabelen tijd → hoogte → temperatuur. Aan het begin van de wandeling zit je op ongeveer 150 m hoogte, de temperatuur is dan ongeveer 19°C. Aan het einde van de wandeling zit je op 800 m hoogte, de temperatuur is dan ongeveer 15°C. Het temperatuursverschil is daarom ongeveer 4°C.

Opgave 4 Gebruik de grafieken bij de bergwandeling uit Voorbeeld 2 op pagina 45. a

Hoeveel bedraagt de temperatuur na 40 minuten lopen?

b

Hoeveel bedraagt de temperatuur na 100 minuten lopen?

c

Op welke twee momenten is de temperatuur hetzelfde als na 60 minuten lopen?

d

Hoeveel bedraagt het temperatuursverschil tussen het warmste en het koudste moment van de wandeling?

STICHTING MATH4ALL

3 OKTOBER 2013

PAGINA 45


Voorbeeld 3 In deze grafiek zie je hoe binnen een groot bedrijf het aantal werknemers terugloopt, terwijl (o.a. door automatisering) de omzet per werknemer per jaar stijgt. Beide grafieken snijden elkaar. Leg uit waarom dit snijpunt geen enkele betekenis heeft en bereken de totale omzet van het bedrijf in dat jaar. Er zijn twee verschillende verticale assen: op de linker as lees je het aantal werknemers af, op de rechter as de omzet per werknemer per jaar (in duizenden euro). In het punt waar beide grafieken elkaar lijken te snijden (in 2003 dus) is het aantal werknemers ongeveer 18350 en de omzet p.w.p.j. ongeveer €82500. Deze uitkomsten zijn totaal verschillend. Wel kun je zo gemakkelijk de totale jaaromzet van het bedrijf uitrekenen...

Opgave 5 In Voorbeeld 3 op pagina 46 vind je twee grafieken die het aantal werknemers en de omzet van een bedrijf beschrijven. a

Waarom heeft het snijpunt van beide grafieken geen betekenis?

b

Hoeveel bedraagt de totale jaaromzet in 2003?

c

Hoeveel bedraagt de totale jaaromzet in 2006?

d

Betekent de daling van het aantal werknemers ook een daling van de omzet? En hoe zit het waarschijnlijk met de winst?

Verwerken Opgave 6 Onder het migratiesaldo wordt het verschil verstaan tussen het aantal mensen dat naar Nederland immigreert en het aantal mensen dat uit Nederland emigreert. In de grafiek vind je gegevens over de migratie van Marokkanen en Turken van en naar Nederland in de periode 1980 - 1991. a

Welke betekenis hebben de snijpunten van de grafieken van ‘immigratie’ en ‘emigratie’ bij dezelfde bevolkingsgroep?

b

Welke betekenis hebben de snijpunten van de twee immigratiegrafieken?

PAGINA 46

STICHTING MATH4ALL

3 OKTOBER 2013


c

Welke van deze beide bevolkingsgroepen kende in een deel van deze periode een negatief migratiesaldo?

d

Kun je op grond daarvan zeggen dat deze bevolkingsgroep in Nederland in aantal achteruit ging?

e

Opvallend is het feit dat in de jaren 1982 - 1984 de immigratie veel lager is dan in de andere jaren en de emigratie juist wat hoger is. Geef daar redenen voor.

f

Teken de grafiek van het migratiesaldo van de Turken.

g

In welk jaar daalt dit migratiesaldo het sterkst?

Opgave 7 Je ziet hier de grafieken van twee wielrenners die deelnemen aan een tijdrit. De grafieken zijn zo getekend dat het lijkt alsof beiden tegelijk zijn gestart (bij een tijdrit is dat niet zo). a

Welke betekenis hebben de snijpunten van beide grafieken?

b

Gedurende welke periode ligt renner A voor op renner B?

c

Op welke momenten fietsen beide renners even snel?

Opgave 8 Deze grafieken laten zien hoeveel exemplaren u� (in duizendtallen) een bepaald bedrijf van een zeker artikel heeft verkocht en hoeveel winst 𝑊 (in duizenden euro) het daarbij heeft gemaakt. u� is uitgezet tegen de tijd u� in maanden na de introductie van dit artikel.

a

Hoeveel exemplaren zijn er na 4 maanden verkocht? En hoeveel winst is daarop gemaakt?

b

Tot welk aantal verkochte exemplaren werd er nog geen winst gemaakt?

c

Na hoeveel maanden werd er voor het eerst winst gemaakt?

d

Maak een tabel van de winst 𝑊 (in duizenden euro) afhankelijk van de tijd u� in maanden.

STICHTING MATH4ALL

3 OKTOBER 2013

PAGINA 47


Opgave 9 Bekijk nog eens de schoolartsenkaart voor meisjes. Door de twee P50-grafieken te schakelen, kun je de grafiek maken van het gewicht afhankelijk van de leeftijd van een gemiddeld meisje. Leg uit hoe je dan te werk moet gaan en teken die grafiek.

Opgave 10 Deze figuur laat zien hoe in de vorige eeuw in de U.S.A. de paarden en muilzels als trekdieren werden vervangen door tractoren. a

De grafieken hebben een snijpunt. Heeft dat enige betekenis? Licht je antwoord toe.

b

Op welk moment waren er evenveel tractoren als paarden en muilezels?

Testen Opgave 11 Twee atleten A en B deden mee aan een halve triathlon: 3 km zwemmen, 75 km fietsen en 24 km lopen. Hun gemiddelde snelheden waren: Atleet A: zwemmen 3 km/h; fietsen 30 km/h; lopen 12 km/h. Atleet B: zwemmen 4 km/h; fietsen 25 km/h; lopen 16 km/h. a

Teken in één figuur bijpassende grafieken.

b

Wie van beiden was het eerst bij de finish? Hoeveel minuten was hij op de ander voor?

c

Hebben de snijpunten van deze grafieken betekenis?

d

Kun je de vraag wie na 3 uur voor lag beantwoorden? Leg uit.

e

Bereken van beiden de gemiddelde snelheid over deze halve triathlon.

Opgave 12 In deze figuur vind je grafieken van de bevolkingsgroei, het migratiesaldo en het geboorteoverschot in een bepaalde regio in de periode 1946 - 1985. a

Welk verband is er tussen deze drie grafieken?

b

Er zijn twee jaren waarin het geboorteoverschot en de bevolkingsgroei gelijk zijn. Welke jaren zijn dat? Wat betekent dat voor het migratiesaldo?

c

Wat betekent een bevolkingsgroei van 0 voor het migratiesaldo en het geboorteoverschot? In welke jaren is dat het geval?

d

In welke periode is het geboorteoverschot vrijwel constant? Wat betekent dat voor de grafieken van het migratiesaldo en de bevolkingsgroei?

PAGINA 48

STICHTING MATH4ALL

3 OKTOBER 2013


Opgave 13 De winst 𝑊 op een bepaald artikel hangt af van de prijs per stuk u� en de hoeveelheid u� die wordt verkocht. De grafieken geven het verband tussen 𝑊, u� en u� weer.

Teken een grafiek van 𝑊 uitgezet tegen u�.

STICHTING MATH4ALL

3 OKTOBER 2013

PAGINA 49

1.6

Totaalbeeld

Samenvatten Je moet nu voor jezelf een overzicht zien te krijgen over het onderwerp Tabellen en grafieken. Een eigen samenvatting maken is nuttig.

Begrippenlijst > tabel, rij en kolom — opschriften — absolute en relatieve getallen > procent — percentage > variabelen en eenheden — afhankelijk variabele — grafiek — maatstreepjes en — vloeiende grafiek, lijngrafiek, trapgrafiek > interpoleren en extrapoleren — grafiekenbundel > snijpunt van twee grafieken — somgrafiek en verschilgrafiek — geschakelde grafiek

bijschriften

Activiteitenlijst > > > > >

soorten tabellen onderscheiden rekenen met procenten indexcijfers gebruiken soorten grafieken onderscheiden weten wanneer je welke soort grafiek toepast waarden toevoegen door inter(extra)poleren waarden bepalen in een grafiekenbundel snijpunten aflezen som(verschil)grafiek maken grafieken en tabellen schakelen

Achtergronden

> www.math4all.nl > Math4All > 4/5 HAVO A > Totaalbeeld > Achtergronden

PAGINA 50

STICHTING MATH4ALL

3 OKTOBER 2013


Testen Opgave 1 Deze figuur beschrijft de vermoedelijke ontwikkeling van de wereldbevolking in acht grote regio’s. (Opmerking: De Sovjet-Unie bestaat niet meer, deze regio omvat de landen die vroeger tot de Sovjet-Unie behoorden.) a

Hoeveel procent van de wereldbevolking bestond in 2000 uit Europeanen?

b

En hoeveel is dat percentage in 2100 volgens deze grafieken?

c

In welk jaar is het aantal Europeanen maximaal?

d

Welke regio vertoont de sterkste stijging en in welke periode gebeurt dat?

e

In welke regio is sprake van daling en in welke periode gebeurt dat?

f

Welke regio vertoont nagenoeg geen verandering? Wat betekent dat voor hun aandeel in de totale wereldbevolking?

g

Bepaal door interpoleren het aantal mensen in Zuidelijk Azië in 2010.

h

De somgrafiek van Noord-Amerika en Latijns Amerika geeft de bevolkingsontwikkeling van heel Amerika weer. Teken die somgrafiek.

STICHTING MATH4ALL

3 OKTOBER 2013

PAGINA 51


Opgave 2

a

Deze grafiek toont de gemiddelde maandelijkse telefoonrekening in de Verenigde Staten voor normale lokale telefoongesprekken van onbeperkte duur, belasting wel inbegrepen, telefoonapparatuur niet tussen 1940 en 1990. De tarieven zijn voortdurend gedaald, met uitzondering van stijgingen in de periode direct voordat AT&T zich van plaatselijke Bell-bedrijven moest ontdoen. Hoe hoog was in 1940 in de V.S. de gemiddelde maandelijkse telefoonrekening?

b

Wat wordt bedoeld met ‘In dollars van 1988’ bij de bovenste grafiek?

c

Waar ligt het snijpunt van beide grafieken? Welk jaartal hoort daar bij? Waarom is dat zo?

d

Hierboven staat: “De tarieven zijn voortdurend gedaald...”. Kun je dat op grond van deze grafieken concluderen? Verklaar je antwoord.

e

Met hoeveel procent is de waarde van de dollar voor de Amerikaan gedaald in de periode van 1940-1988?

Opgave 3 Opvallend is de verdeling van geboortetijdstippen over een etmaal zoals je die in deze grafieken ziet. Het gaat hierbij alleen om spontane (dus niet kunstmatig opgewekte) bevallingen.

a

Wat is de periode van beide grafieken?

b

Hoeveel eerstgeborenen heeft de onderzoekster ongeveer bij haar onderzoek betrokken?

c

Welk opvallende verschil is er tussen beide grafieken? Kun je dat verklaren?

d

In de grafiek van alle geborenen zijn ook de gegevens van de eerstgeborenen verwerkt. Maak zelf een grafiek van alle niet-eerstgeborenen. Is deze grafiek ook periodiek?

e

Hoeveel is het gemiddelde aantal spontaan geborenen per uur?

f

Hoeveel is het gemiddelde aantal spontaan eerstgeborenen per uur?

PAGINA 52

STICHTING MATH4ALL

3 OKTOBER 2013


Opgave 4 In 2008 liep Haile Gebreselassie de marathon in een tijd van 2 uur, 3 minuten en 59 seconden. Hij vestigde daarmee een nieuw wereldrecord op die afstand (42,195 km). In datzelfde jaar liep Usain Bolt de 100 m in 9,69 seconden. a

Hoe snel liep Gebreselassie zijn marathon gemiddeld? (Geef je antwoord in km/h in drie decimalen nauwkeurig.)

b

Hoe snel liep Bolt zijn 100 m gemiddeld? (Geef je antwoord in km/h in drie decimalen nauwkeurig.)

c

Hoeveel procent liep Bolt sneller dan Gebreselassie?

Toepassen Opgave 5: Daglengte De daglengte varieert door het jaar heen als gevolg van de periodiek veranderende tijden van zonsopkomst en zonsondergang. Van die tijden van zonsopkomst en zonsondergang bestaan nauwkeurige tabellen. Via meteopagina.nl vind je een tabel met zonsopkomst en zonsondergang in De Bilt. Bekijk ook deze zonnecalculator. Deze tabel met tijden van zonsopkomst en - ondergang is een sterk vereenvoudigde versie van de tabel van meteopagina.nl met de bijbehorende grafieken. Alle tijden zijn gemeten op de eerste van de maand. De grafiek van de daglengte is de verschilgrafiek van beide. Die kun je nu zelf maken. Alle tijden zijn in uren in M.E.T. (Midden-Europese Tijd), dus het gebruik van de zomertijd is uit de tabel weggewerkt. a

Teken bijbehorende grafieken van zonsopkomst en -ondergang. Welke periode hebben al deze grafieken?

b

Wat verandert er aan deze grafieken als je wel met de zomertijd rekening houdt?

c

Teken ook de grafiek van de daglengte.

d

Op welke data zijn de daglengtes minimaal? En wanneer maximaal?

STICHTING MATH4ALL

3 OKTOBER 2013

PAGINA 53


Examen Opgave 6: Weerbeleving Aan bezoekers van het Nederlandse strand is op een aantal dagen gevraagd hoe zij het weer beoordelen. Omdat dagen met neerslag door vrijwel iedereen als onaangenaam worden ervaren, heeft men zich bij de enquête beperkt tot droge dagen. Factoren die dan een rol spelen zijn onder andere: temperatuur, (mate van) bewolking en windsnelheid. Dit onderzoek heeft geleid tot een diagram met waarderingscijfers.

a

Bij welke temperatuur kun je de waarderingscijfers rechtstreeks uit de figuur aflezen, hoef je er dus geen correctie bij te tellen?

b

In het zomerseizoen spreek je van een recreatiedag als het waarderingscijfer 7 of hoger is. Op een dag is het 20 graden, half bewolkt en is de windsnelheid 20 km/h. Is dit een recreatiedag?

c

Het weerbericht luidt: licht tot half bewolkt (2 achtste tot 4 achtste), windsnelheid 15 tot 25 km/h. Hoe hoog moet de temperatuur zijn, wil je met zekerheid kunnen spreken van een recreatiedag?

d

De kromme lijnen die bij de waarderingscijfers horen lopen in de hoek links onder bijna horizontaal. Welke conclusie kun je daaruit trekken?

Opgave 7: Parkeeronderzoek Eén van de methoden om inzicht te verkrijgen in aantallen parkeringen en parkeerduren in een bepaald gebied is het middel van kentekenonderzoek. Met vaste tussenpozen (het waarnemingsinterval) worden daarbij de kentekens van de geparkeerde auto’s geregistreerd. Het aantal achtereenvolgende malen dat een auto is geregistreerd (registratiefrequentie) levert een schatting op van de parkeerduur per auto, terwijl het aantal verschillende auto’s dat is geregistreerd een schatting oplevert van het aantal parkeringen. Zo’n parkeeronderzoek is gehouden te Heerlen en resultaten daarvan staan in de tabel. Frequentieverdeling van het aantal achtereenvolgende malen dat geparkeerde auto’s zijn geregistreerd: > Waarnemingsinterval: 60 min. > Eerste waarneming: 9:30 uur. > Laatste waarneming: 17:30 uur. > Parkeerterrein open: 8:30-18:30 uur. Van 1804 auto’s is de registratiefrequentie 2. De geschatte parkeerduur van elk van die auto’s (bij die parkering) is 120 minuten. De werkelijke parkeerduur kan natuurlijk korter of langer zijn.

PAGINA 54

STICHTING MATH4ALL

3 OKTOBER 2013


Registratiefrequentie Aantal auto’s Geschatte parkeerduur (in min.) 1

5247

60

2

1804

120

3

753

180

4

359

240

5

287

300

6

443

360

7

290

420

8

165

480

9

115

540

totaal 9463

gemiddeld 133

a

Hoe lang is de werkelijke parkeerduur op zijn hoogst?

b

In de tabel staat dat het gemiddeld van de geschatte parkeerduur 133 minuten is. Leg uit hoe je dat gemiddeld met de overige gegevens uit de tabel kunt uitrekenen.

c

Deze onderzoeksmethode levert een schatting van de gemiddelde parkeerduur per auto op die hoger is dan de werkelijke gemiddelde parkeerduur per auto. Leg uit wat daarvan de oorzaak kan zijn.

Opgave 8: Troebeling en doorzicht De kwaliteit van het water in recreatieplassen wordt regelmatig gecontroleerd. Als er veel zwemmers zijn, wordt het water na verloop van tijd troebel. De troebeling wordt gemeten in een zekere eenheid, genaamd FTE. Er bestaat een verband tussen de troebeling en het doorzicht (hoe diep je nog kunt zien). Dat verband is hier grafisch weergegeven. Het doorzicht is daarbij uitgedrukt in meters.

a

De troebeling neemt toe van 15 FTE tot 20 FTE. Hoeveel cm neemt het doorzicht af?

b

Als je op twee plekken eenzelfde waarde vindt voor de toename van de troebeling, wil dat dan ook zeggen dat de afname van het doorzicht op beide plekken dezelfde waarde heeft? Licht je antwoord toe.

c

Op zekere dag is het doorzicht ieder uur gemeten. Hoeveel FTE is de troebeling om 18:00 uur? Geef in de grafieken aan hoe je aan je antwoord gekomen bent.

d

Op welk uur van de dag bereikt de troebeling de hoogste waarde? Licht je antwoord toe.

STICHTING MATH4ALL

3 OKTOBER 2013

PAGINA 55

5 havo

Recommend Documents