5. FOLYTONOSSÁG, HATÁRÉRTÉK

Szilágyi T.: Analízis

V. Folytonosság, határérték

63

5. FOLYTONOSSÁG, HATÁRÉRTÉK Egy f függvény folytonossága valamely u ∈ D(f ) helyen els® közelítésben azt jelenti, hogy az f (u) helyettesítési érték tetsz®leges pontossággal közelíthet® az f függvénynek az u-hoz eléggé közeli helyeken felvett értékeivel. Az pedig, hogy az f függvény határértéke az u helyen v -vel egyenl® ismét csak els® közelítésben azt jelenti, hogy v közelíthet® tetsz®leges pontossággal az f függvénynek az u-hoz eléggé közeli és u-tól különböz® helyeken felvett értékeivel. Ahhoz, hogy a tetsz®leges pontossággal és az eléggé közeli kifejezéseket pontosabbá tudjuk tenni, szükségünk lesz a környezetek és a pontozott környezetek fogalmára. S®t, annak érdekében, hogy bal és jobb oldali folytonosságról, továbbá bal és jobb oldali határértékr®l is tudjunk beszélni, bevezetjük még a bal és jobb oldali könyezetek, illetve pontozott környezetek fogalmát is. Annak pontos körülírása céljából, hogy egyáltalán mely pontokban vethet® fel a függvényhatárérték létezésének kérdése, szükségünk lesz valós számhalmazok torlódási pontjainak fogalmára. Ilyen pont (ahol egy függvénynek létezhet határértéke, vagyis a fenti u), lehet a −∞, vagy a +∞ is, miként a függvény határértéke, a fenti v is, ez magyarázza azt, hogy miért lesz szó a fejezet bevezet® szakaszában a −∞ és a +∞ környezeteir®l is.

5.1. Környezetek, torlódási pontok 5.1. Deníció. Ha u valós szám és r pozitív szám, akkor az u szám r sugarú bal oldali környezetén,

r sugarú jobb oldali környezetén, r sugarú bal oldali pontozott környezetén, r sugarú jobb oldali pontozott környezetén, illetve r sugarú pontozott környezetén rendre a B− (u, r) := (u − r, u], B+ (u, r) := [u, u + r), B˙ − (u, r) := (u − r, u), B˙ + (u, r) := (u, u + r), ˙ intervallumot, illetve a B(u, r) := (u − r, u + r) \ {u} halmazt értjük.

5.2. Deníció. Tetsz®leges r pozitív szám esetén a −∞ r sugarú környezetén, r sugarú pon-

tozott környezetén és r sugarú jobb oldali pontozott környezetén egyaránt a (−∞, −1/r) intervallumot, a +∞ r sugarú környezetén, r sugarú pontozott környezetén és r sugarú bal oldali pontozott környezetén egyaránt az (1/r, +∞) intervallumot értjük, legyen továbbá B˙ − (−∞, r) := B˙ + (+∞, r) := ∅.

5.3. Deníció. u ∈ R pontozott környezetén olyan valós számhalmazt értünk, amely megegyezik az u

valamekkora sugarú pontozott környezetével. Hasonló értelemben beszélünk tetsz®leges u ∈ R ∪{−∞} jobb oldali, és tetsz®leges u ∈ R ∪ {+∞} bal oldali pontozott környezeteir®l is.

˙ ˙ 5.4. Megjegyzés. Vegyük észre, hogy tetsz®leges u ∈ R és 0 < r ≤ R esetén B(u, r) ⊂ B(u, R), és hasonlót állíthatunk a bal és a jobb oldali pontozott környezetekr®l is. Érdemes megjegyezni továbbá azt is, hogy bármely w és v (w < v ) R-beli elemekhez található olyan r pozitív szám, melyre minden (x, y) ∈ B(w, r) × B(v, r) esetén x < y . Például    |w − v|/2, ha w ∈ R és v ∈ R;  1, ha w ∈ / R és v ∈ / R; r := 1/(|w| + 1), ha w ∈ R és v ∈ / R;    1/(|v| + 1), ha v ∈ R és w ∈ / R.

5.5. Deníció. Legyen H ⊂ R; az R halmaznak azokat az elemeit nevezzük a H számhalmaz tor-

lódási pontjainak, amelyeknek minden egyes pontozott környezete tartalmaz H -beli számot. Hasonlóan, az R halmaznak azokat az elemeit nevezzük a H halmaz bal (jobb) oldali torlódási pontjainak,



64

amelyeknek minden egyes bal (jobb) oldali pontozott környezete tartalmaz H -beli számot. A H halmaz torlódási pontjainak halmazát H 0 -vel, bal (jobb) oldali torlódási pontjainak halmazát H−0 -vel (H+0 -vel) jelöljük.

5.6. Példa. Tetsz®leges pozitív egész M esetén (Z ∩ (M, +∞))0 = (Z ∩ (M, +∞))0− = {+∞}; Q0 = (R \ Q)0 = R; ha a nem-elfajuló I intervallum bal végpontja a, jobb végpontja b, akkor I 0 = [a, b]. A következ® tétel a torlódási pontok különféle jellemzéseit sorolja fel.

5.7. Tétel. Tetsz®leges H ⊂ R és u ∈ R esetén a következ® állítások egymással egyenérték¶ek:

˙ 1. u ∈ H 0 , 2. minden egyes r pozitív szám esetén H ∩ B(u, r) végtelen halmaz, 3. vagy minden r pozitív szám esetén H ∩ B˙ − (u, r) végtelen halmaz, vagy minden r pozitív szám esetén H ∩ B˙ + (u, r) végtelen halmaz, 4. u ∈ H−0 ∪ H+0 , 5. van olyan u-hoz tartó szigorúan monoton számsorozat, melynek minden tagja H -ban van, 6. van olyan u-hoz tartó számsorozat, melynek minden tagja H -nak u-tól különböz® eleme. ˙ Bizonyítás. 1.⇒2. Tegyük fel, hogy van olyan R pozitív szám, melyre X := H ∩ B(u, R) véges

nemüres halmaz, és bizonyítsuk be, hogy ekkor u-nak van olyan pontozott környezete, amely egyetlen H -beli elemet sem tartalmaz. Ez u ∈ R esetén az r := min{|x−u|}x∈X sugarú pontozott környezetére, u = −∞ esetén a (−∞, min X), u = +∞ esetén a (max X, +∞) intervallumra biztosan teljesül. ˙ ˙ Mindhárom állítás abból következik, hogy ha u ∈ R és 0 < r ≤ R, akkor B(u, r) ⊂ B(u, R), a második állításban r := −1/ min X , a harmadikban r := 1/ max X . 2.⇒3. Indirekt úton okoskodunk: tegyük fel, hogy van olyan r− és r+ pozitív szám, hogy H -nak mind a B˙ − (u, r− ), mind a B˙ + (u, r+ ) pontozott egyoldali környezetben csak véges számú eleme van. Ekkor ˙ viszont bevezetve az r := min{r− , r+ } jelölést a H ∩ B(u, r) = (H ∩ B˙ − (u, r)) ∪ (H ∩ B˙ + (u, r)) halmaz is véges, ami ellentmond a 2. állításnak. 3.⇒4. Evidens, hogy ha a 3. állítás els® része teljesül, akkor u ∈ H−0 , ha a második teljesül, akkor u ∈ H+0 . 4.⇒5. Tegyük fel, hogy u ∈ H−0 , ekkor u vagy valós szám, vagy +∞. Deniáljuk az (yn ) sorozatot az el®bbi esetben az yn := u − 1/n, az utóbbi esetben az yn := n utasítással. Most olyan szigorúan monoton növ® (xn ) sorozatot értelmezünk (éspedig rekurzióval), melyre minden n esetén xn ∈ H ∩ (yn , u). Legyen x1 a H ∩ (y1 , u) halmaz tetsz®leges eleme, és ha valamely pozitív egész n mellett az x1 , . . . , xn számokat már értelmeztük, éspedig úgy, hogy egyrészt szigorúan növeked® sorozatot alkossanak, másrészt minden k ∈ 1, n esetén xk ∈ H ∩ (yk , u) legyen, akkor xn+1 legyen a H nak tetsz®leges olyan eleme, amely benne van a (max{xn , yn }, u) nyílt intervallumban (ilyen elem tényleg van, hiszen ez az intervallum bal oldali pontozott környezete u-nak és u bal oldali torlódási pontja H -nak). A közrefogási elvb®l, illetve a +∞-hez tartó sorozatokra vonatkozó összehasonlító kritériumból következik, hogy lim(xn ) = u. A másik esetben, vagyis ha u jobb oldali torlódási pontja H -nak, hasonlóan konstruálható olyan u-hoz tartó szigorúan fogyó számsorozat, melynek minden tagja H -ban van: ezúttal u ∈ R vagy u = −∞ és yn := u + 1/n, illetve yn := −n. 5.⇒6. Ha egy (xn ) számsorozat szigorúan monoton és az m-edik tagja egyenl® u-val, akkor u ∈ R, és u nem lehet a határértéke ennek a sorozatnak, hiszen n > m esetén |xn − u| ≥ ε := |xm+1 − xm |. Tehát ha egy sorozat szigorúan monoton és határértéke u, akkor minden tagja u-tól különböz®. 6.⇒1. Legyen r tetsz®leges pozitív szám és (xn ) olyan u-hoz tartó sorozat, melynek a tagjai H -nak u-tól különböz® elemei. A határérték deníciójából következik (u = −∞ és u = +∞ esetén is!), hogy ˙ valamely pozitív egész M küszöbindext®l kezdve minden n-re xn ∈ B(u, r), tehát xn ∈ H ∩ B(u, r).



65

5.8. Állítás. Egy H számhalmaznak akkor és csakis akkor van torlódási pontja, ha H végtelen halmaz.

Bizonyítás. Ha H -nak van torlódási pontja, akkor az el®z® tétel 1.⇒2. része szerint H -nak van

végtelen részhalmaza, így maga a H halmaz is végtelen. Ha H végtelen és alulról (felülr®l) nem korlátos, akkor biztosan torlódási pontja a −∞ (a +∞). Ha H korlátos végtelen számhalmaz, akkor egyszer¶ rekurzióval megadható olyan injektív sorozat, melynek értékkészlete részhalmaza a H -nak: Legyen x1 a H halmaz tetsz®leges eleme (H nem üres, hiszen végtelen halmaz); ha valamely pozitív egész n esetén már értelmezettek a H halmaz páronként különböz® x1 , · · · , xn elemei, akkor az X := H \ {x1 , · · · , xn } halmaz nem lehet az üres halmaz, hiszen akkor H nem végtelen halmaz volna, hanem n elem¶; ennek az X halmaznak tetsz®leges elemét xn+1 -nek nevezve az x1 , · · · , xn+1 elemek továbbra is páronként különböz® H -beli elemek. Az ilyen rekurzióval értelmezett (xn ) sorozat szükségképpen injektív, hiszen ha egy pozitív egész n és egy nála nagyobb m egész esetén xn = xm volna, akkor az x1 , · · · , xm elemek nem volnának páronként különböz®k. Továbbá egy ilyen (xn ) sorozat szükségképpen korlátos: H bármely alsó, illetve fels® korlátja egyúttal a sorozatnak is alsó, illetve fels® korlátja. A Bolzano Weierstrass-tétel szerint egy ilyen sorozatnak van konvergens részsorozata. Ha u a határértéke egy konvergens részsorozatnak, akkor u ∈ H 0 , hiszen a határérték deníciója szerint az u szám bármely környezetében van a (rész)sorozatnak egynél több (végtelen sok) tagja, ezek elemei a H halmaznak, de az injektivitás miatt közülük legfeljebb egy lehet egyenl® az u-val. Az alábbi, bizonyítás nélkül közölt állítások bizonyítása nem okozhat gondot az Olvasó számára.

5.9. Állítás. Legyen H ⊂ R és u az R-nak −∞-nél nagyobb (+∞-nél kisebb) eleme. Ekkor a

következ® két-két állítás egymással egyenérték¶: 1. u bal oldali (jobb oldali) torlódási pontja a H nak, 2. u torlódási pontja a H ∩ (−∞, u) (H ∩ (u, +∞)) halmaznak.

5.10. Állítás. Ha H ⊂ K ⊂ R, akkor H 0 ⊂ K 0 , H−0 ⊂ K−0 és H+0 ⊂ K+0 . 5.11. Állítás. Ha A ⊂ R és B ⊂ R, akkor (A ∪ B)0 = A0 ∪ B 0 . 5.12. Állítás. Bármely H ⊂ R és bármely véges V ⊂ R esetén (H ∪ V )0 = (H \ V )0 = H 0 .

5.2. A folytonosság fogalma 5.13. Deníció. Legyen f egyváltozós valós függvény és u ∈ D(f ). Az a kijelentés, hogy f folytonos az u helyen (vagy u folytonossági helye az f függvénynek), azt jelenti, hogy minden pozitív ε számhoz található olyan pozitív δ , hogy minden x ∈ D(f ) ∩ B(u, δ) esetén |f (x) − f (u)| < ε. Az a kijelentés pedig, hogy f -nek szakadása van az u helyen (vagy u szakadási helye az f függvénynek), azt jelenti, hogy f nem folytonos az u helyen. Roppant egyszer¶en belátható a fenti deníciónak néhány további állítással való egyenérték¶sége:

5.14. Állítás. Tetsz®leges egyváltozós f függvény és u ∈ D(f ) esetén a következ® kijelentések

egymással egyenérték¶ek: 1. f folytonos az u helyen, 2. minden pozitív ε számhoz található olyan ˙ pozitív δ , hogy minden x ∈ D(f ) ∩ B(u, δ) esetén |f (x) − f (u)| < ε, 3. minden pozitív ε számhoz található az u számnak olyan U környezete, melyre minden x ∈ D(f ) ∩ U esetén f (x) ∈ B(f (u), ε).

5.15. Deníció. Egy egyváltozós valós függvényt akkor nevezünk folytonosnak, ha az értelmezési tartományának minden egyes pontjában folytonos.



66

Közvetlenül a deníció alapján evidens, hogy a konstans függvények tetsz®leges értelmezési tartomány mellett folytonosak (0 < ε miatt ε választásától függetlenül akármelyik pozitív szám alkalmas a δ szerepére). Újabb példák folytonos függvényre a pozitív egész kitev®j¶, valamint az 1/q kitev®j¶ (q pozitív egész) hatványfüggvények:

5.16. Állítás. Tetsz®leges pozitív egész m szám mellett az idm függvény (vagyis az egész R-en értelmezett x 7→ xm függvény) folytonos.

Bizonyítás. Legyen u ∈ R és ε ∈ R + . Minthogy minden x ∈ B(u, 1) esetén |x| ≤ |u| + 1, s így ¯ ¯m−1 m−1 ¯ ¯X X ¯ ¯ |x|k |u|m−1−k ≤ |x − u| · m · (|u| + 1)m−1 , xk um−1−k ¯ ≤ |x − u| · |xm − um | = |x − u| · ¯ ¯ ¯ k=0

k=0

az 1 és az ε/(m · (|u| + 1)m−1 ) számok közül a kisebbik játszhatja a δ szerepét.

5.17. Állítás. Minden pozitív egész q esetén az id1/q függvény (vagyis páratlan q esetén √ az egész R-

en értelmezett, páros q esetén pedig a nemnegatív számok halmazán értelmezett x 7→ folytonos.

q

x függvény)

Bizonyítás. I. El®ször a 0 helyen való folytonosságot bizonyítjuk. Legyen ε tetsz®leges pozitív

szám; az id1/q függvény szigorúan monoton növ®, ezért páratlan q esetén a (−εq , εq ) intervallumot a (−ε, +ε) intervallumba, páros q esetén a [0, εq ) intervallumot a [0, ε) intervallumba vagyis mindkét esetben az értelmezési tartomány és a B(0, εq ) környezet közös részét a B(0, ε) környezetbe képezi. II. Ha u pozitív szám és x ∈ B(u, u), akkor

√ √ |x − u| |x − u| | q x − q u| = Pq−1 √ k √ q−1−k ≤ √ q−1 < ε, q q ( q u) k=0 ( x) ( u) √ q−1 ha |x − u| < min{u, ε · ( q u) } =: δ . III. Ha q páratlan, u negatív és ε pozitív, akkor a függvényünknek a −u helyen való és a II. részben már bizonyított folytonossága alapján választva a δ pozitív számot, a függvényünk páratlan voltából következik, hogy minden x ∈ B(u, δ) esetén √ √ √ √ | q x − q u| = | q −x − q −u| < ε, amit bizonyítani kellett.

5.18. Állítás. Az alábbi formulával értelmezett f : R → R függvény folytonos a 0 helyen: ½

f (x) :=

x · sin(1/x), ha x 6= 0 0, ha x = 0

Bizonyítás. Legyen ε ∈ R + és δ := ε. Minthogy a szinusz függvény értékkészlete része a [−1, 1]

˙ δ) esetén intervallumnak, minden x ∈ B(0,

|f (x) − f (0)| = |x| · | sin(1/x)| ≤ |x| < ε, és persze a 0 = |f (0) − f (0)| szám is kisebb, mint ε.

5.19. Állítás. A 0 pont szakadási pontja a szignum függvénynek.



67

Bizonyítás. Ha ε ∈ (0, 1], akkor nincs olyan δ pozitív szám, melyre minden x ∈ B(0, δ) esetén

|sgn(x) − 0| < ε ≤ 1 volna, hiszen mindegyik ilyen környezetben van 0-tól különböz® szám, de a 0 az egyetlen olyan szám, amely kielégíti az egyenl®tlenséget.

5.20. Állítás. A Dirichlet-függvény egyetlen pontban sem folytonos. Bizonyítás. Minden számnak minden egyes környezetében van racionális szám is és irracionális

szám is, tehát minden u ∈ R és δ ∈ R + esetén van olyan x ∈ B(u, δ), ahol a Dirichlet-függvény helyettesítési értéke pontosan 1-gyel tér el az u-beli helyettesítési értékt®l. Ebb®l következik, hogy az (0, 1]-beli ε hibakorlátokhoz nem található olyan δ , amilyennek az u-beli folytonosság deníciója szerint kellene léteznie.

5.21. Deníció (egy oldali folytonosság). Legyen f egyváltozós valós függvény és u ∈ D(f ).

Az f függvényr®l akkor mondjuk, hogy balról (jobbról) folytonos az u helyen, ha minden egyes ε pozitív számhoz található olyan δ pozitív szám, hogy minden x ∈ D(f ) ∩ (u − δ, u] esetén (minden x ∈ D(f ) ∩ [u, u + δ) esetén) |f (x) − f (u)| < ε. A következ® állítások (igen egyszer¶) bizonyítását a Kedves Olvasóra bízzuk.

5.22. Állítás (a folytonosság megfogalmazása az egy oldali folytonosság segítségével).

Egy egyváltozós valós függvény pontosan akkor folytonos az értelmezési tartományának egy pontjában, ha ott balról is és jobbról is folytonos.

5.23. Állítás (az egy oldali folytonosság megfogalmazása a folytonosság segítségével).

Legyen f egyváltozós valós függvény és u ∈ D(f ). f pontosan akkor balról (jobbról) folytonos az u helyen, ha az f |D(f )∩(−∞,u] függvény (az f |D(f )∩[u,+∞) függvény) folytonos az u helyen.

5.24. Állítás (folytonosság és egy oldali folytonosság). Legyen f egyváltozós valós függvény

és u ∈ D(f ). f pontosan akkor folytonos az u helyen, ha mind az f |D(f )∩(−∞,u] , mind az f |D(f )∩[u,+∞) függvény folytonos az u helyen, másszóval u pontosan akkor szakadási pontja az f függvénynek, ha az f |D(f )∩(−∞,u] és f |D(f )∩[u,+∞) függvények közül legalább az egyiknek szakadási pontja.

5.3. Függvény határértéke, folytonosság és határérték kapcsolata 5.25. Deníció (függvényhatárérték). Legyen f egyváltozós valós függvény, u torlódási pontja

D(f )-nek és v ∈ R. Az a kijelentés, hogy f határértéke az u helyen v -vel egyenl®, a következ®t ˙ jelenti: minden pozitív ε számhoz található olyan pozitív δ , amelyre minden x ∈ D(f ) ∩ B(u, δ) esetén f (x) ∈ B(v, ε).

5.26. Megjegyzés. Egy f -nek egy u ∈ D(f )0 helyen legfeljebb egy határértéke lehet. Ha ugyanis

w is, és a nála nagyobb v is határértéke volna f -nek az u helyen, akkor véve egy olyan r pozitív számot, amelyre B(w, r) ∩ B(v, r) = ∅ (lásd a +∞ és a −∞ környezeteinek bevezetése után tett Megjegyzést), akkor ehhez az ε := r számhoz is található volna olyan δw , illetve δv pozitív szám, ˙ ˙ hogy minden x ∈ D(f ) ∩ B(u, δw ) esetén f (x) ∈ B(w, r) és minden x ∈ D(f ) ∩ B(u, δv ) esetén ˙ f (x) ∈ B(v, r) volna, ezért a δ := min{δw , δv } jelöléssel minden x ∈ D(f ) ∩ B(u, δ) esetén f (x) ∈ B(w, r) ∩ B(v, r) = ∅ volna.



68

Annak a ténynek a jelölésére, hogy az f függvény határértéke az u helyen v , a limx→u f (x) = v és a limu f = v , illetve kiemelt formulákban a

lim f (x) = v,

x→u

lim f = v u

jelsorozatok egyikét használjuk de természetesen az x helyett más bet¶ is használható. Hasonlóan értelmezhet® a bal és a jobb oldali határérték fogalma is:

5.27. Deníció (egy oldali határértékek). Legyen f egyváltozós valós függvény, u bal (jobb) oldali torlódási pontja D(f )-nek és v ∈ R. Az a kijelentés, hogy az f függvény bal (jobb) oldali határértéke az u helyen v -vel egyenl®, a következ®t jelenti: minden pozitív ε számhoz található olyan pozitív δ , amelyre minden x ∈ D(f ) ∩ B˙ − (u, δ) (x ∈ D(f ) ∩ B˙ + (u, δ)) esetén f (x) ∈ B(v, ε).

Annak jelölésére, hogy f bal oldali határértéke az u helyen v -vel egyenl®, a limx→u− f (x) = v , limu− f = v , limx→u−0 f (x) = v , vagy limu−0 f = v , illetve kiemelt formulákban a

lim f (x) = v,

x→u−

lim f = v; u−

lim f (x) = v,

x→u−0

lim f = v u−0

jelsorozatokat szokás használni (mi az els® kett®t-kett®t fogjuk); jobb oldali határérték esetén a mínusz jel helyére a plusz jel kerül. A határérték és az egy oldali határértékek fogalma közötti kapcsolatokat illet®en a következ®ket állíthatjuk (ezek bizonyítását az Olvasóra bízzuk):

5.28. Állítás (az egy oldali határérték lesz¶kített függvény határértéke). Legyen u bal

(jobb) oldali torlódási pontja az f függvény értelmezési tartományának és v ∈ R; ekkor a következ® két kijelentés egymással egyenérték¶: 1. limx→u− f (x) = v , (limx→u+ f (x) = v ), 2. az f |(−∞,u)∩D(f ) (f |(u,+∞)∩D(f ) ) függvény határértéke az u helyen v -vel egyenl®.

5.29. Állítás (kapcsolatok az egy oldali limesz(ek) és a limesz között). I. Ha u ∈ D(f )0− ∩

D(f )0+ és limx→u− f (x) = limx→u+ f (x) = v , akkor limx→u f (x) = v , II. ha limx→u f (x) = v és u ∈ D(f )0− (u ∈ D(f )0+ ), akkor limx→u− f (x) = v (limx→u+ f (x) = v ), III. ha u ∈ D(f )0− \ D(f )0+ (u ∈ D(f )0+ \ D(f )0− ) és v ∈ R, akkor az a kijelentés, hogy f határértéke az u helyen egyenl® v -vel, egyenérték¶ azzal, hogy f bal (jobb) oldali határértéke az u helyen egyenl® v -vel. Minthogy a sorozatok is egyváltozós valós függvények, és sorozatokkal kapcsolatban is beszéltünk határértékr®l, kellemetlen lenne, ha a kétféle határérték-fogalom között nem lenne meg az összhang. A következ® tétel eloszlatja az ezzel kapcsolatos esetleges aggodalmakat (vegyük gyelembe azt is, hogy az 5.6. Példa szerint egy sorozat értelmezési tartományának egyetlen torlódási pontja a +∞, s emiatt a határérték létezésének kérdése csak a +∞ helyen vethet® fel).

5.30. Tétel (sorozat határértéke mint függvényhatárérték). Legyen (an ) valós számsorozat és v ∈ R; ekkor a következ® két kijelentés egymással egyenérték¶: 1. lim(an ) = v , 2. az (an ) függvény határértéke (az imént bevezetett értelemben) a +∞ helyen v -vel egyenl®. Bizonyítás. Nyilvánvaló, hogy lim(an ) = v deníciója v = ±∞ esetén is fogalmazható

úgy, hogy minden pozitív ε számhoz létezik olyan M pozitív egész, melyre minden M -nél nagyobb n esetén an ∈ B(v, ε). De minthogy az M -nél nagyobb egészek halmaza megegyezik a sorozat értelmezési tartományának és a B(+∞, 1/M ) környezetnek a metszetével, az el®bbi állítás ugyanazt fejezi ki, mint a tételben megfogalmazott 2. állítás.



69

5.31. Deníció. Legyen u ∈ H ⊂ R; ekkor az a kijelentés, hogy u izolált pontja a H halmaznak,

azt jelenti, hogy létezik olyan r pozitív szám, melyre H ∩ B(u, r) = {u}, míg az, hogy u nem-izolált pontja H -nak, azt jelenti, hogy u ∈ H ∩ H 0 .

5.32. Megjegyzés. Összehasonlítva az izolált pont denícióját a torlódási pont deníciójával,

látható, hogy tetsz®leges H ⊂ R számhalmaz izolált pontjainak halmaza egyenl® a H \ H 0 halmazzal, tehát H azon pontjainak halmaza, amelyek nem izolált pontjai a H -nak, azonos H nem-izolált pontjainak halmazával (H \ (H \ H 0 ) = H ∩ H 0 ).

5.33. Tétel (a folytonosság jellemzése a határérték segítségével). Tetsz®leges

egyváltozós valós f függvény és u ∈ D(f ) esetén a következ® két kijelentés egymással egyenérték¶: 1. f folytonos az u helyen; 2. u izolált pontja D(f )-nek, vagy u ∈ D(f )0 és limx→u f (x) = f (u).

Bizonyítás. 1.⇒2. Ha u nem izolált pontja D(f )-nek, akkor a tétel el®tt tett megjegyzés szerint

u ∈ D(f )0 és az u-beli folytonosság deníciója szerint minden pozitív ε számhoz található olyan ˙ pozitív δ , melyre minden x ∈ D(f ) ∩ B(u, δ) esetén |f (x) − f (u)| < ε, azaz f (x) ∈ B(f (u), ε). 2.⇒1. Ha van olyan r pozitív szám, amelyre D(f ) ∩ B(u, r) = {u} és ε tetsz®leges pozitív szám, akkor minden x ∈ D(f ) ∩ B(u, r) esetén, azaz x = u esetén 0 = |f (x) − f (u)| < ε. Ha pedig u ∈ D(f ) ∩ D(f )0 , akkor a határérték deníciója szerint minden pozitív ε számhoz található olyan ˙ pozitív δ , melyre minden x ∈ D(f ) ∩ B(u, δ) esetén f (x) ∈ B(f (u), ε), azaz |f (x) − f (u)| < ε. Az egyváltozós valós függvény értelmezési tartományának egy eleme pontosan akkor szakadási pontja a függvénynek, ha ott a függvény nem folytonos, így az el®bbi tétellel egyenérték¶ az alábbi is:

5.34. Tétel (a szakadási pontok jellemzése). Az f függvény értelmezési tartományának egy u eleme pontosan akkor szakadási pontja f -nek, ha u torlódási pontja az értelmezési tartománynak és az f (u) szám nem határértéke f -nek az u helyen. 5.35. Tétel (a véges függvényhatárérték jellemzése a folytonosság segítségével). Legyen

az u valós szám torlódási pontja az f függvény értelmezési tartományának és legyen v is valós szám. Ekkor a következ® két kijelentés egymással egyenérték¶: 1. limx→u f (x) = v ; 2. az ½ f (x), ha x ∈ D(f ) \ {u}, F (x) := v, ha x = u formulával értelmezett F : D(f ) ∪ {u} → R függvény folytonos az u helyen.

Bizonyítás. Mindkét kijelentés azt jelenti, hogy minden pozitív ε számhoz található olyan δ , ˙ melyre minden x ∈ D(f ) ∩ B(u, δ) esetén |f (x) − v| < ε, hiszen u minden egyes pontozott környezetének ugyanaz a metszete a D(f ) halmazzal, mint a D(F ) halmazzal és egy ilyen metszethalmaz minden egyes x elemére f (x) = F (x).

5.4. Átviteli elvek, sorozatfolytonosság és a Cauchy-féle feltétel Most olyan szükséges és elégséges feltételeket fogunk megismerni, amelyek a függvény folytonosságának, illetve határértékének fogalmát a sorozat határértéke fogalmának segítségével ragadják meg, utána a sorozatok véges határértékének létezésére vonatkozó Cauchy-féle feltétel általánosításáról lesz szó. Az els® tételben szerepl® 1. és 2. állítások egyenérték¶ségét kimondó tételt szokták a határértékre vonatkozó els® átviteli elvnek nevezni.



70

5.36. Tétel. Legyen u torlódási pontja az egyváltozós valós f függvény értelmezési tartományának

és v ∈ R; ekkor a következ® három kijelentés egymással egyenérték¶: 1. limu f = v , 2. minden olyan u-hoz tartó (xn ) sorozatra, melynek tagjai D(f )-nek u-tól különböz® elemei, v = lim(f (xn )), 3. minden olyan u-hoz tartó szigorúan monoton (xn ) sorozatra, melynek tagjai D(f )-ben vannak, v = lim(f (xn )).

Bizonyítás. 1.⇒2. Legyen (xn ) olyan u-hoz tartó sorozat, melynek minden tagja D(f )-nek u-tól

különböz® eleme és legyen ε tetsz®leges pozitív szám. Az 1. állítás alapján válasszunk olyan δ pozitív ˙ számot, melyre minden x ∈ D(f ) ∩ B(u, δ) esetén f (x) ∈ B(v, ε), majd egy olyan küszöbindexet, amelyt®l kezdve minden n-re xn ∈ B(u, δ). Ekkor δ választása és xn 6= u miatt ugyanett®l a küszöbindext®l kezdve minden n-re f (xn ) ∈ B(v, ε). 2.⇒3. Legyen (xn ) olyan u-hoz tartó szigorúan monoton sorozat, melynek minden tagja benne van f értelmezési tartományában. Egyszer¶ indirekt okoskodás mutatja, hogy minden n-re xn 6= u: ha valamely m pozitív egész esetén xm = u volna, akkor egyrészt u mindenképpen valós szám volna, másrészt a sorozat szigorú monoton növekedése [csökkenése] miatt a sorozat m+1-nél nagyobb index¶ tagjai nagyobbak [kisebbek] volnának xm+1 -nél, vagyis nem lennének benne az u szám ε := |xm − xm+1 | sugarú környezetében, így az ε hibakorláthoz nem lehetne találni megfelel® küszöbindexet. Ezek szerint a (xn ) sorozatról a 2. állítás alapján állíthatjuk, hogy a hozzá tartozó függvényértéksorozat határértéke v . 3.⇒1. Azt mutatjuk meg, hogy az 1. állítás tagadásából következik a 3. állítás tagadása: Ha v nem volna határértéke f -nek az u helyen, akkor volna olyan ε pozitív szám, melyre minden δ pozitív ˙ számhoz létezne a D(f ) ∩ B(u, δ) halmazban az f (x) ∈ / B(v, ε) feltételnek eleget tev® x, azaz bevezetve a H := f −1 [R \ B(v, ε)] (= {x ∈ D(f ) : f (x) ∈ / B(v, ε)})

jelölést u torlódási pontja lenne a H halmaznak, azaz (lásd a torlódási pontok jellemzéseir®l szóló tétel 1. és 5. állításának egyenérték¶ségét) létezne olyan u-hoz tartó szigorúan monoton (xn ) sorozat, melynek minden tagja a H halmazban van, ezért v nem lehet határértéke az (f (xn )) sorozatnak (a szóban forgó ε pozitív számhoz nem található olyan küszöbindex, melyt®l kezdve minden n-re f (xn ) benne volna a B(v, ε) környezetben). A következ® tételben szerepl® 1. és 2. állítások egyenérték¶ségét kimondó tételt szokták a folytonosságra vonatkozó átviteli elvnek nevezni.

5.37. Tétel. Legyen f egyváltozós valós függvény és u ∈ D(f ). Ekkor a következ® három kijelentés

egymással egyenérték¶: 1. f folytonos az u helyen, 2. minden olyan u-hoz tartó (xn ) sorozatra, melynek tagjai D(f )-ben vannak, lim(f (xn )) = f (u), 3. minden olyan szigorúan monoton u-hoz tartó (xn ) sorozatra, melynek minden tagja eleme az értelmezési tartománynak, f (u) = lim(f (xn )).

Bizonyítás. 1.⇒2. Legyen (xn ) olyan u-hoz tartó sorozat, melynek tagjai D(f )-ben vannak és

legyen ε tetsz®leges pozitív szám. Válasszunk 1. alapján egy olyan δ pozitív számot, melyre minden x ∈ D(f ) ∩ B(u, δ) esetén f (x) ∈ B(f (u), ε), majd lim(xn ) = u alapján egy olyan M küszöbindexet, melyt®l kezdve minden n-re xn ∈ B(u, δ). Ekkor ugyanett®l a küszöbindext®l kezdve minden n-re xn ∈ D(f ) ∩ B(u, δ), ezért f (xn ) ∈ B(f (u), ε). 2.⇒3. Nyilvánvaló. 3.⇒1. Tegyük fel, hogy f nem folytonos az u helyen, bizonyítjuk, hogy ekkor a 3. állítás sem teljesülhet. Az el®z® szakasz utolsó el®tti tétele (5.34.) szerint u torlódási pontja az értelmezési tartománynak és f (u) nem határértéke az f függvénynek. Az el®z® tétel alapján ebb®l következik egy olyan u-hoz tartó szigorúan monoton (xn ) sorozat létezése, melynek minden tagja D(f )-ben van, s melyre f (u) nem határértéke az (f (xn )) sorozatnak.



71

5.38. Deníció (sorozatfolytonosság (szekvenciális folytonosság)). Legyen f egyváltozós

valós függvény és u ∈ D(f ). Azt, hogy az (f, u) párra teljesül a most bizonyított tételben szerepl® 2. állítás, úgy szokták rövidebben fogalmazni, hogy f az u pontban sorozatfolytonos (vagy szekvenciálisan folytonos). Ha f az értelmezési tartományának minden pontjában sorozatfolytonos, akkor sorozatfolytonosnak, vagy szekvenciálisan folytonosnak nevezik.

5.39. Példák. Szögezzük le, hogy az el®z® fejezetben néhány függvényr®l már bizonyítottuk a sorozatfolytonosságot, vagyis a folytonosságot (s®t, egyes esetekben a tételt azonosító rövid címben használtuk is már a szekvenciális folytonosság kifejezést). Melyek voltak ezek a függvények?

1. Az abszolútérték-függvény: bármely valós u esetén minden u-hoz konvergáló sorozat abszolút értéke konvergál |u|-hez, 2. az 1/id függvény, azaz a nullától különböz® valós számok halmazán értelmezett x 7→ 1/x függvény: ha egy sorozat minden tagja nullától különböz®, és tart egy nullától különböz® u számhoz, akkor a reciproka tart 1/u-hoz, 3. minden 1-nál nagyobb q egész esetén a q -adik gyök függvény: ha xn → u, továbbá páros q √ √ q q esetén u ≥ 0 és minden n-re xn ≥ 0, akkor xn → u, 4. az exponenciális függvények, de mindezek el®tt említhettük volna még a konstans függvényeket is. Van továbbá néhány olyan függvény, amelynek a sorozatfolytonossága könnyen következik az el®z® fejezet tételeib®l, állításaiból, például a racionális kitev®j¶ hatványfüggvényeké és a hiperbolikus függvényeké. Egyváltozós valós függvény valamely pontban vett határértékének létezésére is lehet adni sorozatokkal megfogalmazott szükséges és elégséges feltételt:

5.40. Tétel (a határértékre vonatkozó második átviteli elv). Legyen u torlódási pontja az

f függvény értelmezési tartományának. Ekkor a következ® két kijelentés egymással egyenérték¶: 1. létezik a limu f , 2. minden olyan u-hoz tartó (xn ) sorozatra, melynek tagjai D(f )-nek u-tól különböz® elemei, az (f (xn )) sorozatnak is van határértéke.

Bizonyítás. Az 1.⇒2. állítás a határértékre vonatkozó els® átviteli elv 1.⇒2. részéb®l következik

(v := limu f ). 2.⇒1. Elég azt bizonyítani, hogy a lim(f (xn )) határérték minden egyes u-hoz tartó (xn ) ∈ + (D(f ) \ {u})Z sorozat esetén ugyanaz lesz, hiszen ekkor az (f (xn )) sorozatok közös v határértékére alkalmazható lesz a határértékre vonatkozó els® átviteli elv 2.⇒1. része. Legyen tehát (xn ) és (yn ) két olyan u-hoz tartó sorozat, melyeknek minden egyes tagja D(f )-nek u-tól különböz® eleme és (zn ) a z2k−1 := xk , z2k := yk utasításokkal értelmezett összefésült sorozat. Ez utóbbi sorozat határértéke szintén u, hiszen ha n ≥ M esetén xn ∈ B(u, ε) és yn ∈ B(u, ε), akkor n ≥ 2M esetén zn ∈ B(u, ε). Továbbá minden n-re zn ∈ D(f ) \ {u}, így a 2. állítás szerint az (f (zn )) sorozatnak is van határértéke, márpedig mind az (f (xn )), mind az (f (yn )) sorozat részsorozata az (f (zn )) sorozatnak, ezért ezeknek is van határértéke, éspedig mind a kett® megegyezik a lim(f (zn )) határértékkel.

5.41. Tétel (a véges függvényhatárérték Cauchy-féle feltétele). Legyen u torlódási pontja az f függvény értelmezési tartományának, ekkor a következ® két kijelentés egymással egyenérték¶: 1. létezik a limu f határérték és ez véges, 2. minden egyes ε pozitív számhoz található olyan δ pozitív ˙ szám, hogy a D(f ) ∩ B(u, δ) halmazból vett x, y számokra |f (x) − f (y)| < ε.



72

Bizonyítás. 1.⇒2. Legyen ε tetsz®leges, δ pedig olyan pozitív szám, hogy minden x ∈ D(f ) ∩ ˙ B(u, δ) esetén teljesüljön az |f (x)−limu f | < ε/2 egyenl®tlenség. Ekkor a háromszög-egyenl®tlenség˙ b®l következik, hogy ha mind az x, mind az y szám eleme a D(f ) ∩ B(u, δ) halmaznak, akkor |f (x) − f (y)| ≤ |f (x) − lim f | + | lim f − f (y)| < ε. u

u

2.⇒1. Az el®z® tétel 2.⇒1. részét fogjuk alkalmazni. El®ször azt bizonyítjuk, hogy tetsz®leges olyan u-hoz tartó (xn ) sorozatra, melynek minden tagja D(f )-nek u-tól különböz® eleme, az (f (xn )) sorozat konvergens, azaz teljesíti a sorozatokra vonatkozó Cauchy-féle feltételt. Legyen tehát ε tetsz®leges pozitív szám, válasszunk hozzá olyan δ pozitív számot, amilyennek a létezését a 2. állítás garantálja, majd ehhez egy olyan M küszöbindexet, ˙ amelyt®l kezdve minden n-re xn ∈ B(u, δ). Ha m ≥ M és n ≥ M , akkor xm is és xn is eleme a ˙ D(f ) ∩ B(u, δ) halmaznak, így δ választása alapján |f (xm ) − f (xn )| < ε. Az el®z® tételb®l következik, hogy létezik a limu f határérték, jelöljük ezt v -vel, az els® átviteli elvb®l pedig az, hogy ez a v egyenl® az el®z® bekezdésben vizsgált (f (xn )) alakú sorozatok határértékével. S minthogy az utóbbi sorozatok konvergensek, v valóban véges.

5.5. Folyonosság, határérték, alapm¶veletek Emlékeztetünk rá, hogy egyváltozós valós függvények összegét, különbségét, szorzatát és hányadosát a bevezet® fejezet végén értelmeztük.

5.42. Tétel (folytonosság és az alapm¶veletek). Tegyük fel, hogy f és g folytonos az u ∈

D(f ) ∩ D(g) helyen; I. ekkor f + g , f − g és f · g is folytonos az u helyen, II. ha továbbá g(u) 6= 0, akkor f /g is folytonos az u helyen.

Bizonyítás. I. A folytonosságra vonatkozó átviteli elvet (5.37.) alkalmazzuk. Legyen (xn ) olyan

u-hoz tartó sorozat, melynek minden egyes tagja benne van a D(f ) ∩ D(g) halmazban. Ekkor a 5.37. Tétel 1.⇒2. állítása szerint lim(f (xn )) = f (u) és lim(g(xn )) = g(u), tehát az f (u) + g(u) szám egyenl® e két sorozat összegének határértékével, azaz (f + g)(u) = lim((f + g)(xn )), és hasonló mondható a különbségr®l és a szorzatról is. II. Az I. rész bizonyításához képest csak annyi az eltérés, hogy az u-hoz tartó (xn ) sorozatot most + a (D(f /g))Z halmazból kell választanunk, így nem csak a g(u), hanem minden egyes n-re a g(xn ) szám is nullától különböz®, ezért µ µ ¶ ¶ f f (u) f (xn ) f (u) = = lim = lim (xn ) , g g(u) g(xn ) g tehát f /g -re is alkalmazható a 5.37. Tétel 2.⇒1. állítása.

5.43. Következmény. Minden racionális törtfüggvény folytonos. Az el®z® tételéhez hasonló az összeg, különbség, szorzat és hányados határértékér®l szóló tételek bizonyítása, csak ezúttal nem a folytonosságra, hanem a határértékre vonatkozó (els®) átviteli elvet kell használni, úgyhogy ezeket a bizonyításokat mell®zzük, viszont az eredményeket összefoglaljuk kétféle módon is. El®ször az alábbi táblázat segítségével:



73

5.44. Tétel (határérték és az alapm¶veletek). Ha f és g egyváltozós valós függvények, h az f +g , f −g , f ·g és f /g függvények egyike, u torlódási pontja a h függvény értelmezési tartományának és léteznek a limu f =: a, limu g =: b határértékek, akkor attól függ®en, hogy a és b −∞, negatív szám, nulla, pozitív szám, vagy +∞, a h függvény u-beli határértékér®l a következ®t lehet állítani (a négy részre osztott rubrikák mindegyikében a bal fels® sarok tartalma vonatkozik az összegfüggvényre, a jobb fels® saroké a különbségfüggvényre, a bal alsóé, illetve a jobb alsóé a szorzat- illetve a hányadosfüggvényre; a kérd®jellel jelölt esetekben semmi általános érvény¶t nem lehet állítani): a = limu f

= −∞

∈ (−∞, 0)

=0

∈ (0, +∞)

= +∞

b = limu g = −∞ ∈ (−∞, 0) =0 ∈ (0, +∞) = +∞

−∞ +∞ −∞ +∞ −∞ ? −∞ −∞ ? −∞

? ? −∞ +∞ −∞ ? −∞ −∞ −∞ ?

−∞ +∞ a+b a·c a+b a·c a+b a·c +∞ −∞

+∞ 0 a−b a/b a−b ? a−b a/b −∞ 0

−∞ ? a+b a·c a+b a·c a+b a·c +∞ ?

+∞ 0 a−b 0 a−b ? a−b 0 −∞ 0

−∞ −∞ a+b a·c a+b a·c a+b a·c +∞ +∞

+∞ 0 a−b a/b a−b ? a−b a/b −∞ 0

? −∞ +∞ −∞ +∞ ? +∞ +∞ +∞ +∞

+∞ ? +∞ −∞ +∞ ? +∞ +∞ ? ?

Vagyis a táblázat tartalma tömören megfogalmazva: ha ∗ a négy alapm¶velet egyike, h = f ∗ g és R-ban elvégezhet® az a ∗ b m¶velet, akkor limu h = a ∗ b. A téma lezárásaképpen azt a kijelentést pontosítjuk, hogy a h függvény határértékér®l a kérd®jellel jelölt esetek egyikében sem lehet semmi általános érvény¶t állítani. Ezzel kapcsolatban a következ®ket lehet bizonyítani: 1. tetsz®leges u ∈ R esetén mind a 17 esetben adható példa olyan f és g függvényre, hogy a hozzájuk tartozó h függvénynek nem létezik határértéke az u helyen; 2. ha u ∈ R, (a, b, ∗) ∈ R × {−∞, 0, +∞} × {+, −, ·, /} a kérd®jeles hármasok egyike és v attól a két megszorítástól eltekintve, hogy az a = b ∈ / R, ∗ = / esetben nem lehet nullánál kisebb és a −a = b ∈ / R, ∗ = / esetben nem lehet nullánál nagyobb az R tetsz®leges eleme, akkor van olyan f és g függvény, amelyekre limu f = a, limu g = b és limu f ∗ g = v . E példák konstruálását feltétlenül tanácsolom minden Kedves Olvasónak.

5.6. Folytonosság, határérték, kompozíció 5.45. Tétel (a kompozíció folytonossága egy pontban). Ha a g függvény folytonos az u ∈ D(g) helyen, v := g(u) ∈ D(f ) és f folytonos a v helyen, akkor f ◦ g folytonos az u helyen.

Bizonyítás. Legyen ε tetsz®leges pozitív szám; f folytonos a v helyen, azért van olyan pozitív

r szám, melyre minden y ∈ D(f ) ∩ B(v, r) esetén |f (y) − f (v)| < ε. g folytonos az u helyen így ehhez az r számhoz (is) található olyan δ pozitív szám, melyre minden x ∈ D(g) ∩ B(u, δ) esetén g(x) ∈ B(v, r). Legyen mármost x ∈ D(f ◦ g) ∩ B(u, δ), ekkor g(x) eleme egyrészt D(f ◦ g) deníciója szerint D(f )-nek, másrészt δ választása szerint B(v, r)-nek is, ezért r választása alapján állíthatjuk, hogy |f (g(x)) − f (g(u))| < ε.

5.46. Következmény (a kompozíció folytonossága). Két folytonos függvény kompozíciója foly-

tonos feltéve persze, hogy létezik a kompozíciójuk.



74

Amit most az összetett függvény határértékér®l bizonyítunk, tekinthet® akár négy tételnek is, de talán pontosabb, ha úgy fogalmazunk, hogy két tétel és az egyiknek két következménye az ismétlések elkerülése végett egy tételben fogalmazva:

5.47. Tétel (a kompozíció határértéke egy pontban). Legyenek f és g egyváltozós valós függvények, u torlódási pontja az f ◦ g függvény értelmezési tartományának, és tegyük fel, hogy létezik a limu g =: v határérték. Ha továbbá I. v ∈ D(f ), f folytonos a v helyen és w := f (v), vagy ˙ II. létezik olyan r pozitív szám, melyre minden x ∈ B(u, r) ∩ D(f ◦ g) esetén g(x) 6= v , v ∈ D(f )0 és létezik a limv f =: w, vagy III. v ∈ D(f )0 \ D(f ) és létezik a limv f =: w, vagy IV. g injektív, v ∈ D(f )0 és létezik a limv f =: w, akkor létezik a limu f ◦ g határérték is és egyenl® w-vel. Bizonyítás. Legyen ε tetsz®leges pozitív szám. Mind a négy esetben létezik olyan δ0 pozitív szám,

˙ melyre minden y ∈ D(f )∩ B(v, δ0 ) esetén f (y) ∈ B(w, ε), s®t, az I. esetben ezt még az y = v számról is állíthatjuk. Abból, hogy limu g = v , következik egy olyan δ pozitív szám létezése, melyre minden ˙ x ∈ D(g) ∩ B(u, δ) esetén g(x) ∈ B(v, δ0 ). ˙ Az I. esetben tetsz®leges x ∈ D(f ◦g)∩ B(u, δ) esetén g(x) ∈ D(f )∩B(v, δ0 ), ezért f (g(x)) ∈ B(w, ε). A II. esetben vegyük az összetett függvény értelemzési tartományának tetsz®leges olyan x elemét, ˙ amely benne van az u középpontú min{r, δ} sugarú pontozott környezetben is, akkor g(x) ∈ B(v, δ0 )∩ D(f ), s emiatt f (g(x)) ∈ B(w, ε). A III. eset visszavezethet® a II. esetre: legyen r := δ (lásd az összetett függvény értelmezési tartományának denícióját). A IV. esetben a II. állítás szerint elég egy olyan r pozitív szám létezését bizonyítanunk, melyre ˙ minden x ∈ D(g) ∩ B(u, r) esetén g(x) 6= v . g injektivitása miatt azoknak az u-tól különböz® x0 ∈ D(g) valós számoknak a száma, amelyekre g(x0 ) = v , 0 vagy 1. Ha egyáltalán nincs ilyen x0 , akkor az el®bbi állítás minden egyes r pozitív számra teljesül, ha pedig egy ilyen van, akkor az r számot u ∈ R esetén választhatjuk |x0 − u|-nak, u ∈ / R esetén például az |x0 | + 1 szám reciprokának.

5.48. Megjegyzés. A III.-ban szerepl® v ∈ D(f )0 \D(f ) feltétel biztosan teljesül akkor, ha v = −∞ és D(f ) alulról nem korlátos, vagy ha v = +∞ és D(f ) felülr®l nem korlátos.

5.7. Folytonosság, határérték, rendezés 5.49. Tétel (a folytonos függvény lokális el®jeltartása). Ha az u ∈ D(f ) helyen az f függvény folytonos, és ott a helyettesítési értéke pozitív (negatív), akkor van olyan δ pozitív szám, melyre minden x ∈ D(f ) ∩ B(u, δ) esetén f (x) > 0 (f (x) < 0).

Bizonyítás. Válasszuk a δ számot a folytonosság deníciója alapján az ε := |f (u)| hibakorláthoz. Vegyük észre, hogy az alábbi tétel egy speciális esetével már találkoztunk a sorozatoknál.

5.50. Tétel (függvényhatárérték és rendezés). Legyen H ⊂ R, u ∈ H 0 , f : H → R, g : H → R

és tegyük fel, hogy léteznek a limu f =: v és limu g =: w határértékek. ˙ I. Ha w < v , akkor létezik olyan δ pozitív szám, melyre minden x ∈ H ∩ B(u, δ) esetén g(x) < f (x); ˙ II. ha létezik olyan r pozitív szám, melyre minden x ∈ H ∩ B(u, r) esetén f (x) ≤ g(x), akkor v ≤ w.



75

Bizonyítás. I. Legyen ε olyan pozitív szám, melyre minden (z, y) ∈ B(w, ε) × B(v, ε) esetén

˙ z < y (lásd az 5.4. Megjegyzést) és δ olyan pozitív szám, melyre minden x ∈ H ∩ B(u, δ) esetén f (x) ∈ B(v, ε) és g(x) ∈ B(w, ε). ˙ II. Ha w < v volna, akkor a tétel I. része szerint létezne olyan δ , melyre minden x ∈ H ∩ B(u, δ) esetén g(x) < f (x) volna, de ez azon x ∈ H számok esetén, melyek az u elem min{r, δ} sugarú pontozott környezetében is benne vannak, ellentmondásra vezet: ezeknek ki kellene elégíteniük mind az f (x) ≤ g(x), mind a g(x) < f (x) egyenl®tlenséget.

Házi feladatként fogalmazzuk meg és bizonyítsuk be az azonos számhalmazon értelmezett három függvényr®l szóló közrefogási elvet (rend®relvet), továbbá a +∞-hez tartó (−∞-hez tartó) függvényekr®l szóló összehasonlító kritériumot.

5.8. Monoton függvények bal és jobb oldali határértékei Most a monoton sorozatok határértékének létezésér®l szóló tétel(eke)t általánosítjuk:

5.51. Tétel. Legyen f egyváltozós valós monoton függvény.

I. Tegyük fel, hogy b := sup D(f ) ∈ / D(f ), ekkor ½ sup R(f ), ha f monoton növ®, lim f = inf R(f ), ha f monoton fogyó; b II. tegyük fel, hogy a := inf D(f ) ∈ / D(f ), ekkor ½ inf R(f ), ha f monoton növ®, lim f = sup R(f ), ha f monoton fogyó. a

Bizonyítás. I. Legyen f monoton növ®, ε tesz®leges pozitív szám, és jelöljük y -nal a B(sup R(f ), ε)

környezet bal végpontját. Ez a szám kisebb, mint sup R(f ), ezért van olyan z ∈ D(f ), melyre f (z) > y , s így f monoton növ® volta miatt minden x ∈ D(f ) ∩ (z, b) esetén y < f (z) ≤ f (x) ≤ sup R(f ), vagyis ezen x számokra f (x) ∈ B(sup R(f ), ε). És minthogy a D(f ) ∩ (z, b) halmaz tartalmazza b egy pontozott környezetének D(f )-fel való metszetét, f (bal oldali) határértéke a b helyen valóban sup R(f ). A további három állítás bizonyítása hasonlóan történhet.

5.52. Megjegyzés. A tétel I. állításából nem csak a korlátos monoton sorozatok konvergenciájáról szóló tétel következik, hanem az is, hogy ha egy nem korlátos sorozat monoton növ® (fogyó), akkor határértéke +∞ (−∞). 5.53. Tétel (monoton függvény egy oldali határértékei). Legyen g egyváltozós valós monoton függvény. I. Tegyük fel, hogy b ∈ D(g)0− , ekkor ½ sup R(g|D(g)∩(−∞,b) ), ha g monoton növ®, lim g = inf R(g|D(g)∩(−∞,b) ), ha g monoton fogyó, b− ha ráadásul a b ∈ D(g) feltétel is teljesül, akkor ez a határérték véges, éspedig növeked® g esetén nem nagyobb, fogyó g esetén nem kisebb g(b)-nél. II. Tegyük fel, hogy a ∈ D(g)0+ , ekkor ½ inf R(g|D(g)∩(a,+∞) ), ha g monoton növ®, lim g = sup R(g|D(g)∩(a,+∞) ), ha g monoton fogyó, a+



76

ha ráadásul az a ∈ D(g) feltétel is teljesül, akkor ez a határérték véges, éspedig növeked® g esetén nem kisebb, fogyó g esetén nem nagyobb g(a)-nál. III. Tegyük fel, hogy u ∈ D(g)0− ∩ D(g)0+ , ekkor ½ ≤ limu+ g, ha g monoton növ®, lim g ≥ limu+ g, ha g monoton fogyó, u− és mindkét egy oldali határérték véges; ha ráadásul az u ∈ D(g) feltétel is teljesül, akkor a bal és jobb oldali határértékek közrefogják a g(u) számot.

Bizonyítás. Az 5.28. Állítás alapján mondhatjuk, hogy I. és II. is következik az el®z® tételb®l, ha

azt az f := g|D(g)∩(−∞,b) , illetve az f := g|D(g)∩(a,+∞) függvényre alkalmazzuk; ha létezik a g(b), vagy a g(a) helyettesítési érték, akkor az fels®, illetve alsó korlátja annak a számhalmaznak, amelyiknek a legkisebb fels®, illetve a legnagyobb alsó korlátja a szóban forgó határérték. III. Az R(g|D(g)∩(−∞,u) ) és R(g|D(g)∩(u,+∞) ) halmazok közül monoton növ® g esetén az el®bbit A-nak, az utóbbit B -nek nevezve, monoton fogyó g esetén az el®bbit B -nek és az utóbbit A-nak nevezve, (A, B) olyan halmazpár, amely g monotonitása miatt eleget tesz a módosított Dedekindaxióma feltételeinek, s ezért R 3 sup A ≤ inf B ∈ R. Ebb®l, a már bizonyított I. és II. állítást az a := b := u szereposztással alkalmazva, éppen a bizonyítandó egyenl®tlenségeket kapjuk.

5.9. A szakadási pontok osztályozása A 5.34. Tétel szerint egy egyváltozós valós függvény szakadási helyeinek halmaza a függvény értelmezési tartományának azokból az elemeib®l áll, amelyek torlódási pontjai is az értelmezési tartománynak, s amelyekben a függvény határértéke vagy nem létezik, vagy létezik ugyan, de nem egyenl® az ottani helyettesítési értékkel. Az utóbbi pontok halmaza akár még egyszer ketté bontható az alapján, hogy a határérték véges, vagy végtelen, ezzel lényegében már meg is kaptuk az alábbi tétel bizonyítását:

5.54. Tétel (a szakadási pontok osztályozása az egy oldali határértékek segítségével).

Egy u ∈ D(f ) szám pontosan akkor szakadási pontja az f függvénynek, ha a következ® hat állítás közül legalább az egyik teljesül: 1. u ∈ D(f )0− és nem létezik a limu− f határérték, 2. u ∈ D(f )0− és létezik a limu− f ∈ / R, 0 3. u ∈ D(f )− és létezik a limu− f ∈ R \ {f (u)}, 4. u ∈ D(f )0+ és nem létezik a limu+ f határérték, / R, 5. u ∈ D(f )0+ és létezik a limu+ f ∈ 0 6. u ∈ D(f )+ és létezik a limu+ f ∈ R \ {f (u)}.

Bizonyítás. Az 5.24. Állítás szerint u pontosan akkor szakadási pontja f -nek, ha az f |D(f )∩(−∞,u] , f |D(f )∩[u,+∞) lesz¶kítések közül legalább az egyiknek szakadási pontja. Márpedig ha gyelembe vesszük a jelen tétel kimondása el®tt idézett 5.34. Tételt, továbbá azt, hogy u pontosan akkor torlódási pontja a D(f ) ∩ (−∞, u], illetve a D(f ) ∩ [u, +∞) halmaznak, ha bal oldali, illetve jobb oldali torlódási pontja a D(f )-nek, akkor azt kapjuk, hogy egyrészt u pontosan akkor szakadási pontja az f |D(f )∩(−∞,u] lesz¶kítésnek, ha a tételben felsorolt hat állítás közül az els® három egyike igaz, másrészt u pontosan akkor szakadási pontja az f |D(f )∩[u,+∞) lesz¶kítésnek, ha a másik három állítás egyike igaz.



77

5.55. Példa. Ha u := 0 és f : R → R olyan függvény, amelyre minden x ∈ R \ {0} esetén

I. f (x) = sin 1/x, akkor teljesül a fenti 1. és 4. állítás; II. f (x) = 1/x, akkor teljesül a fenti 2. és 5. állítás; végül tipikus példa olyan szituációra, amikor teljesül a 3. és a 6. állítás: u := 0, és f a szignum függvény.

5.56. Deníció (a szakadási pontok fajtái). Ha f egyváltozós valós függvény, u ∈ D(f ) ∩

D(f )0− ∩ D(f )0+ , f -nek az u helyen a bal és jobb oldali határértéke egyaránt létezik és véges, de egymástól különböz®k, akkor azt mondjuk, hogy f -nek ugrása van az u helyen. Ha u ∈ D(f )0 , létezik és véges az f határértéke az u helyen, de nem egyenl® az f (u) számmal, akkor azt mondjuk, hogy f -nek megszüntethet® szakadása van az u helyen. Ha f -nek ugrása, vagy megszüntethet® szakadása van az u helyen, akkor azt mondjuk, hogy f -nek els®fajú szakadása van az u helyen, vagy azt, hogy u els®fajú szakadási pontja az f függvénynek. Ha f -nek szakadása van az u helyen, de u nem els®fajú szakadási pontja f -nek, akkor azt mondjuk, hogy u másodfajú szakadási pontja az f -nek (vagy azt, hogy f -nek másodfajú szakadása van az u helyen).

5.57. Tétel (a másodfajú szakadási pontok jellemzése). Legyen u ∈ D(f ); ekkor a következ® két állítás egymással egyenérték¶: a) f -nek másodfajú szakadása van az u helyen, b) az el®z® tételben szerepl® 1., 2., 4., 5. állítások közül legalább az egyik teljesül.

Bizonyítás. a)⇒b) Lévén u szakadási pontja f -nek, nem lehet izolált pontja H := D(f )-nek, vagyis vagy u ∈ H−0 ∩ H+0 , vagy u ∈ H−0 \ H+0 , vagy u ∈ H+0 \ H−0 . Ezt a három esetet külön-külön tárgyaljuk, pontosabban csak az els® kett®t, hiszen a harmadik eset ugyanúgy vizsgálható, mint a második. Legyen tehát el®ször u ∈ H−0 ∩ H+0 . Ha a két egy oldali határérték közül legfeljebb az egyik létezik, akkor teljesül az 1., vagy a 4. állítás, ha mind a kett® létezik, de legalább az egyik nem véges, akkor teljesül a 2., vagy az 5. állítás. Az nem lehetséges, hogy mind a kett® létezzen és véges legyen, hiszen abban az esetben ez a két határérték vagy különbözne egyástól, ekkor f -nek ugrása lenne az u helyen, vagy egyenl®k lennének egymással, ekkor f -nek az u helyen megszüntethet® szakadása lenne, vagy folytonos lenne az u helyen. Tegyük fel most, hogy u ∈ H−0 \ H+0 . Ekkor f -nek nem lehet az u helyen véges bal oldali határértéke, mert akkor ott vagy megszüntethet® szakadása lenne, vagy folytonos lenne. Tehát vagy nem létezik a bal oldali határértéke az u helyen (1.), vagy létezik de nem véges (2.). b)⇒a) Azt bizonyítjuk, hogy ha az f -nek az u helyen akár ugrása van, akár megszüntethet® szakadása, akkor az el®z® tételben szerepl® 1., 2., 4., 5. állítások egyike sem teljesülhet. Most is célszer¶ külön-külön vizsgálni a három esetet, ahogy azt a bizonyítás a)⇒b) részében tettük, pontosabban most is elég a második és a harmadik eset közül az egyiket tárgyalni. Az els® eset evidens: ha u ∈ H−0 ∩ H+0 , és akár ugrása, akár megszüntethet® szakadása van f -nek az u helyen, létezik és véges mind a bal, mind a jobb oldali határértéke ezen a helyen. Ha például u ∈ H−0 \ H+0 , akkor f -nek nem lehet ugrása, csak megszüntethet® szakadása, ha ez a helyzet, akkor a bal oldali határérték létezik és véges, emiatt mind az 1., mind a 2. állítás hamis; a 4. és 5. pedig amiatt hamis, hogy most u ∈ / H+0 .

5.10. A monoton függvények szakadási helyei 5.58. Tétel. Monoton függvény minden szakadási pontja els®fajú. Bizonyítás. Legyen u szakadási pontja a monoton g függvénynek. Azt bizonyítjuk, hogy g -nek ugrása, illetve megszüntethet® szakadása van az u helyen attól függ®en, hogy u eleme a D(g)0− ∩D(g)0+ halmaznak, vagy nem eleme.



78

Tegyük fel tehát el®ször azt, hogy u ∈ D(g)0− ∩D(g)0+ . Az el®z® szakasz utolsó tétele szerint a g függvény u-beli bal és jobb oldali határértéke egyaránt létezik és véges, továbbá e két határérték közrefogja a g(u) számot. Ezek szerint, ha e két határérték egyenl® lenne egymással, akkor a helyettesítési értékkel is egyenl®k lennének, vagyis g folytonos lenne az u helyen. Tegyük fel most azt, hogy u ∈ / D(g)0− ∩ D(g)0+ . Azaz, minthogy szakadási pontról van szó, u vagy bal oldali torlódási pontja az értelmezési tartománynak és izolált pontja a D(g) ∩ [u, +∞) halmaznak, vagy jobb oldali torlódási pontja D(g)-nek és izolált pontja a D(g) ∩ (−∞, u] halmaznak. Az el®z® szakasz második tételéb®l következik, hogy az els® esetben a bal, a második esetben a jobb oldali határérték létezik és véges; ez persze mindkét esetben határértéke g -nek az u helyen (5.29.III.), így ezúttal valóban megszüntethet® szakadásról van szó. Bizonyítás nélkül említjük azt a következményt, hogy bármely monoton függvény szakadási pontjainak halmaza megszámlálható. Bizonyítunk viszont egy másik következményt, mely szerint a monoton függvényeknek egy igen fontos speciális esetben egyetlen szakadási helyük sem lehet:

5.59. Tétel. Intervallumon értelmezett szigorúan monoton függvény inverze folytonos. Bizonyítás. Ha az f : I → R függvény g inverzér®l akarjuk bizonyítani annak folytonosságát

valamely u ∈ D(g) = R(f ) helyen, és például f növeked®, akkor nyilván g is ilyen, hiszen ha g(v) ≥ g(w), akkor v = f (g(v)) ≥ f (g(w)) = w. Tegyük fel, hogy g nem folytonos az u helyen. Ebb®l arra fogunk következtetni, hogy I = R(g) nem intervallum. Az indirekt feltevés szerint tehát g nem folytonos balról, vagy nem folytonos jobbról. Elég az els® esettel foglalkozni, mert a másik teljesen hasonlóan tárgyalható. Ezek szerint u bal oldali torlódási pontja g értelmezési tartományának, létezik a limu− g =: v és v < g(u) (5.34., 5.53.). g értékkészletének van v -nél nem nagyobb eleme: g értelmezési tartományának minden egyes u-nál kisebb x elemére g(x) ilyen, természetesen g(u) ∈ R(g), tehát ha R(g) intervallum lenne, akkor (v, g(u)) ⊂ R(g) lenne. Ezzel szemben (v, g(u)) ∩ R(g) = ∅, hiszen ha az I -nek egy x eleme kisebb mint u, akkor g(x) ≤ v (lásd az 5.53. tételt), ha pedig x ≥ u, akkor g(x) ≥ g(u). Szigorúan monoton fogyó függvény esetén a tétel hasonlóan bizonyítható.

5.11. Néhány nevezetes határérték El®ször a monoton függvények egy oldali határértékeir®l szóló tételek (5.51. és 5.53.) néhány egyszer¶ következményét soroljuk fel:

lim ch = lim sh = lim arch = lim arsh = +∞, +∞

+∞

+∞

+∞

lim th = lim cth = 1, +∞

+∞

lim th = −1, −∞

∀c ∈ (0, 1)

∀c ∈ (1, +∞)

∀c ∈ (1, +∞) lim expc = 0, +∞

lim expc = 0, −∞

lim expc = lim logc = +∞, +∞

és

∀c ∈ (0, 1)

+∞

lim logc = −∞, +∞

lim expc = +∞, −∞

5.60. Tétel. Ha p ∈ R + , q ∈ R + , c ∈ R + \ {1} és a ∈ (1, +∞), akkor I. limx→+∞ x1/x = 1, tq logc s = 0, III. lim = 0, IV. lim tp logc t = 0, V. lim tt = 1. t→+∞ at t→0+ t→0+ s→+∞ sp

II. lim

Bizonyítás. I. Legyen ε tetsz®leges pozitív szám; bizonyítjuk egy olyan K pozitív szám létezését,

melyre minden x ∈ (K, +∞) esetén x1/x ∈ (1 − ε, 1 + ε). Lévén x ≥ 1 esetén x1/x ≥ 1, ehhez elég a √ n következ® két állítást igazolni: a) lim( n + 1) = 1, s így van olyan K pozitív egész, amelyt®l kezdve



79

√ minden n-re n n + 1 < 1 + ε, b) ha x > K , akkor x1/x ≤ ([x] + 1)1/[x] (ekkor ugyanis a vizsgált √ függvényünknek a K -nál nagyobb helyeken felvett értékei felülr®l becsülhet®k az ( n n) sorozat olyan tagjával, amely kisebb, mint 1 + ε). Az a) állítás bizonyítása céljából induljunk ki abból, ´ hogy ³q √ √ n n n n+1 lim( 2) = 1, ezért az azonosan 1 sorozat és az ( 2) sorozat által közrefogott sorozat n √ határértéke is 1, tehát ha ez utóbbi sorozatot megszorozzuk a szintén 1-hez tartó ( n n) sorozattal, akkor ismét 1-hez tartó sorozatot kell kapnunk. b) bizonyítása céljából el®bb az 1-nél nagyobb alapú exponenciális függvények monoton növ® voltát, majd a pozitív kitev®j¶ hatványfüggvények monoton növ® voltát használhatjuk: x1/x ≤ x1/[x] ≤ ([x] + 1)1/[x] . II. A logc folytonos az 1 helyen, így a kompozíció határértékér®l szóló els® tételünk és az imént bizonyított I. állítás szerint limx→+∞ logc x1/x = limx→+∞ (1/x) logc x = logc 1 = 0. Ebb®l, az 5.47.III. Tételb®l, és abból a tényb®l, hogy lim+∞ idp = +∞, következik, hogy

lim +∞

logc ◦ idp = 0, id

ezért ez utóbbi függvény 1/p-szeresének a határértéke a +∞ helyen szintén nulla. III. Alkalmazzuk az el®z® állítást a p := 1/q , c := a szereposztással, majd újra az 5.47.III. Tételt, ezúttal arra a kompozícióra, amelyet az s 7→ (loga s)/(s1/q ) küls®, és az expa bels® függvényb®l képezünk, ekkor azt kapjuk, hogy t = 0, lim t→+∞ (at )1/q ha most ez utóbbi függvényb®l mint bels® függvényb®l, és az idq küls® függvényb®l képezünk újabb kompozíciót, és az 5.47.I. Tételt alkalmazzuk, akkor éppen azt kapjuk, hogy limt→+∞ tq /at = 0. IV. elég a vizsgált függvény (−1)-szeresér®l bizonyítani, hogy a határértéke a 0 helyen (jobbról) 0-val egyenl®; de ez a függvény a II. állításban szerepelt függvénynek, mint küls® függvénynek, és a pozitív számok halmazán értelmezett t 7→ 1/t függvénynek, mint bels® függvénynek a kompozíciója, az utóbbi határértéke a 0 helyen +∞, ezért ismét az 5.47.III. tételre támaszkodhatunk. V. Az imént is használt bels® függvénynek ezúttal az x 7→ x1/x küls® függvénnyel képezve a kompozícióját, ismét 5.47.III.-ból kapjuk, hogy µ ¶t 1 1 lim = lim t = 1, t→0+ t→0+ t t tehát ez utóbbi függvény reciprokának határértéke is 1.

5.61. Tétel. I. limx→+∞ (1 + 1/x)x = e, II. limx→−∞ (1 + 1/x)x = e, III. limt→0 (1 + t)1/t = e. Bizonyítás. I. Minden 1-nél nagyobb x szám teljesíti az µ 1+

1 [x] + 1

¶[x]

µ ¶[x] B) µ ¶x C) µ ¶[x]+1 D) µ ¶[x]+1 1 1 1 1 ≤ 1+ ≤ 1+ ≤ 1+ ≤ 1+ x x x [x]

A)

feltételeket: a B) és C) egyenl®tlenségeket az 1 + 1/x alapú exponenciális függvény monoton növ® volta miatt, A)-t az [x] kitev®j¶, D)-t pedig az [x] + 1 kitev®j¶ hatványfüggvény monoton növ® volta miatt. Legyen ε tetsz®leges pozitív szám; nyilván elég olyan M pozitív egész létezését igazolni, amelyt®l kezdve minden n-re µ ¶n µ ¶n+1 1 1 < 1+ < e + ε, e−ε< 1+ n+1 n



80

ami következik abból, hogy limn→∞ (1 + 1/(n + 1))n = limn→∞ (1 + 1/n)n+1 = e, hiszen ekkor x > M esetén az [x] szám M -nél nem kisebb pozitív egész. Az közismert, hogy limn→∞ (1 + 1/n)n+1 = e, ebb®l kapjuk, hogy limn→∞ (1 + 1/(n + 1))n+2 = e, ez utóbbi sorozatot beszorozva az 1-hez tartó n 7→ ((n+1)/(n+2))2 sorozattal, kapjuk az n 7→ (1+1/(n+1))n sorozatot, tehát ennek a határértéke is e. II. Az imént bizonyított I. állításból következik, hogy az µ ¶x+1 µ µ ¶x µ ¶¶ x+1 x+1 x+1 + R 3 x 7→ = ; x x x függvény +∞-ben vett határértéke e-vel egyenl®, ezért ugyanez mondható az µ ¶t µ ¶−t µ ¶−t t t−1 1 (1, +∞) 3 t 7→ = = 1+ , t−1 t −t függvényr®l is, így az utóbbiból, mint küls® függvényb®l, és a (−∞, −1) 3 x 7→ −x bels® függvényb®l képezett kompozíció határértéke a −∞ helyen szintén e (5.47.III). III. 5.28. 2.⇒1. és 5.29.I. miatt elég a (−1, 0) intervallumon, illetve a pozitív számok halmazán értelmezett t 7→ (1 + t)1/t függvényekr®l külön-külön bizonyítani, hogy határértékük a 0 helyen e-vel egyenl®. Ez a két állítás II.-b®l, illetve I.-b®l következik és persze ismét a kompozíció határértékér®l szóló 5.47.III. Tételb®l: az el®bbi esetben a II.-ben szerepl® (küls®) függvénynek a (−1, 0) 3 t 7→ 1/t, az utóbbi esetben az I.-ben szerepl® (küls®) függvénynek az R + 3 t 7→ 1/t bels® függvénnyel képezhetjük a kompozícióját.

5.62. Tétel. Ha 1 6= c ∈ R + , a ∈ R + és u ∈ R, akkor I. limt→0 (1/t) logc (1 + t) = logc e = 1/ ln c, logc x − logc a 1 cx − 1 cx − cu = , III. lim = ln c, IV. lim = cu · ln c. x→a x→0 x→u x − u x−a a · ln c x

II. lim

Bizonyítás. I. A vizsgált függvény a(z e helyen folytonos) logc küls® függvényb®l és az el®z® tétel

III. állításában szerepelt bels® függvényb®l képezett kompozíció, ezért határértéke a 0 helyen valóban logc e. II. Ez az állítás 5.47.IV.-b®l következik: képezzük az I. állításban szerepl® (küls®) függvénynek a kompozícióját az (injektív) x 7→ x/a − 1 bels® függvénnyel, majd szorozzuk meg ezt a kompozíciót 1/a-val! III. I.-b®l következik, hogy limt→0 (t/ logc (t+1)) = ln c, ha ebb®l a (küls®) függvényb®l és az x 7→ cx −1 bels® függvényb®l képezünk kompozíciót, akkor éppen a vizsgált függvényt kapjuk, a bels® függvény injektív, és határértéke a 0 helyen 0, így ismét alkalmazható az 5.47.IV. Tétel. IV. Újra az 5.47.IV. Tételt alkalmazzuk: ezúttal a III. állításban szerepl® függvény legyen a küls® függvény és az x 7→ x − u függvény a bels® függvény, végül szorozzuk meg a kompozíciót a cu számmal.

5.12. Az x 7→ (f (x))g(x) alakú függvények határértékei 5.63. Tétel. Legyen H ⊂ R, u ∈ H 0 , f : H → R + , g : H → R, és tegyük fel, hogy létezik a

limu f =: A és a limu g =: K határérték. Ekkor

lim (f (x))g(x)

x→u

 K  A , ha (A, K) ∈ R + × R, 0, ha (A, K) ∈ ([0, 1) × {+∞}) ∪ ({0} × R + ) ∪ ((1, +∞] × {−∞}) ∪ ({+∞} × (−∞, 0)), =  +∞, ha (A, K) ∈ ((1, +∞] × {+∞}) ∪ ({+∞} × R + ) ∪ ([0, 1) × {−∞}) ∪ ({0} × (−∞, 0)).



81

Bizonyítás. Minden x ∈ H esetén (f (x))g(x) = eg(x)·ln(f (x)) . Ha A pozitív szám és K valós szám, akkor az 5.47.I. Tételt alkalmazhatjuk, éspedig kétszer: el®ször az ln ◦f kompozícióra, másodszor az exp küls® és a g · (ln ◦f ) bels® függvény kompozíciójára. A további állítások olyan esetekre vonatkoznak, amikor a kitev® határértéke −∞, illetve +∞, ekkor a 5.47.III. Tétel alkalmazható. A részletek végiggondolását a Kedves Olvasóra bízzuk.

5.64. Megjegyzés. Az el®z® tétel az (A, K) ∈ {0, +∞} × {0} és az (A, K) ∈ {1} × {−∞, +∞} esetre vonatkozóan semmit sem állított. Az utóbbi esetben sokszor bizonyul hasznosnak az alábbi tétel:

5.65. Tétel. Legyen H ⊂ R, u ∈ H 0 , f : H → R + , g : H → R, limu f = 1, végül tegyük fel, hogy

létezik a limx→u (f (x) − 1)g(x) =: β határérték. Ekkor  0, ha β = −∞,  g(x) eβ , ha β ∈ R, lim (f (x)) = lim exp = x→u β  +∞, ha β = +∞.

Bizonyítás. Az el®z® szakasz utolsó tétele szerint limt→1 (ln t)/(t − 1) = 1, másszóval (lásd a 5.35. Tételt) az

  ln t , ha t ∈ R + \ {1}, F (t) := t−1  1, ha t = 1

utasítással értelmezett F : R + → R függvény folytonos az 1 helyen. F deníciójából következik, hogy minden x ∈ H esetén ln f (x) = (f (x) − 1) F (f (x)), ezért

(f (x))g(x) = e[g(x)(f (x)−1)]·F (f (x)) . A tétel egyik feltétele szerint a szögletes zárójelek között lév® els® tényez® határértéke β , az 5.47.I. Tétel szerint a második tényez® határértéke 1, így a kitev® határértéke β . Innen β ∈ R esetén az 5.47.I., β ∈ / R esetén 5.47.III. alapján állíthatjuk, hogy a vizsgált függvény határértéke megegyezik az exponenciális függvénynek a β helyen vett határértékével.

5.66. Példa. Legyenek a, b és c pozitív számok, ekkor ¶1 ax + bx + cx x √ 3 lim = a · b · c. x→0 3 Bizonyítás. Valóban, felhasználva az el®z® szakaszban bizonyított egyik nevezetes határértéket, · x ¸ · ¸ a + bx + cx 1 1 ax − 1 bx − 1 cx − 1 lim − 1 · = lim · + + = x→0 3 x x→0 3 x x x ³√ ´ 1 3 · [ln a + ln b + ln c] = ln a · b · c =: β, 3 így alkalmazható az el®z® tétel. µ

5.67. Megjegyzés (a hatványközép tart a mértani középhez, ha a kitev® tart 0-hoz).

Az el®z® példában szerepl® függvénynek az x helyen vett helyettesítési értékét az a, b, c számok x kitev®j¶ hatványközepének szokták nevezni. Az 1 kitev®j¶ hatványközép a számtani közép, a 2 kitev®j¶ a négyzetes közép, a −1 kitev®j¶ pedig a harmonikus közép. Azt igazoltuk tehát, hogy a hatványközepek tartanak a mértani középhez, ha a hatványközép kitev®je tart a nullához. Könnyen meggondolható, hogy mindezt három pozitív szám helyett akárhány pozitív számra is el lehet mondani, és hasonlóan lehet bizonyítani.



82

5.13. Intervallumon értelmezett folytonos függvények Ennek a szakasznak az els® tétele Bolzano, a második pedig Weierstrass nevéhez f¶z®dik. Miel®tt kimondanánk Bolzano tételét, vezessük be a következ® jelölést: tetsz®leges nemüres H ⊂ R esetén legyen C(H) a H halmazon értelmezett folytonos valós függvények halmaza. Ha a H számhalmaz jelölésére szolgáló szimbólum maga is zárójellel kezd®dik és végz®dik, akkor a küls® kerek zárójeleket elhagyjuk: C[a, b], C[a, b) stb.

5.68. Tétel (Bolzano tétele). Legyenek a és b valós számok, a < b.

I. Ha egy folytonos vesz fel, akkor az (a, b) II. Ha f ∈ C[a, b], f (b) < y < f (a), akkor

g : [a, b] → R függvény az a helyen negatív, a b helyen pedig pozitív értéket intervallumban valahol felveszi a nulla értéket is. f (a) 6= f (b), és y olyan valós szám, amelyre vagy f (a) < y < f (b), vagy van olyan x ∈ (a, b), amelyre f (x) = y .

Bizonyítás. I. Tegyük fel, hogy g minden értéke nullától különböz®. A g függvény lokálisan

el®jeltartó az a és a b helyen, ezért van olyan δ pozitív szám, melyre minden x ∈ [a, a + δ) esetén g(x) < 0, és minden x ∈ (b − δ, b] esetén g(x) > 0. Emiatt a

H := {x ∈ [a, b] : g(x) < 0} halmaz nemüres (lévén [a, a + δ) ⊂ H ), és

u := sup H ∈ [a + δ, b − δ]. g az u helyen is lokálisan el®jeltartó, így van olyan r pozitív szám, melyre egyrészt (u − r, u + r) ⊂ (a, b), másrészt g az (u − r, u + r) intervallumon állandó el®jel¶. H deníciója, u deníciója, illetve a fels® határ deníciója szerint a g függvény helyettesítési értéke az (u − r, u] intervallumnak legalább egy pontjában negatív, így az el®z® mondatban mondottak szerint az (u−r, u+r) intervallum minden pontjában negatív. Ebb®l viszont megkapjuk a kívánt ellentmondást: u < u + r ≤ sup H = u. II. Indirekt úton okoskodunk: Tegyük fel, hogy nincs olyan x ∈ (a, b), következésképpen olyan x ∈ [a, b] sem, ahol f értéke éppen y -nal egyenl®. Legyen g az [a, b] intervallumon értelmezett x 7→ f (x) − y , illetve x 7→ y − f (x) függvény, attól függ®en, hogy f (a) és f (b) közül az el®bbi, vagy az utóbbi a kisebb. Ez a függvény persze szintén folytonos, az indirekt feltevésb®l kifolyólag minden értéke 0-tól különböz®, továbbá g(a) < 0 < g(b). Erre a g függvényre alkalmazva az I. állítást, éppen azt kapjuk, amit bizonyítani kellett.

5.69. Tétel (Weierstrass tétele). Ha f ∈ C[a, b], akkor f -nek van legkisebb és legnagyobb értéke (következésképpen korlátos).

Bizonyítás. Azt bizonyítjuk, hogy f -nek van legnagyobb értéke, vagyis van olyan u ∈ [a, b], melyre

f (u) = sup R(f ) =: v . A másik állítás bizonyítása hasonlóan történhet, vagy akár az els® állítás következményének is tekinthet® (abból, hogy a szintén folytonos −f függvénynek van legnagyobb értéke, következik, hogy f -nek van legkisebb értéke). Minden pozitív egész n esetén mondhatjuk, hogy a B(v, 1/n) intervallum bal végpontja kisebb, mint v , ez tehát nem fels® korlátja f értékkészletének, így van olyan xn ∈ [a, b], melyre f (xn ) ∈ B(v, 1/n), mindebb®l kövekezik, hogy az f (xn ) sorozat határértéke v , hiszen v = +∞ esetén az (n) sorozat alulról, v ∈ R esetén a (v − 1/n) sorozat alulról, a (v + 1/n) sorozat felülr®l becsüli. A Bolzano Weierstrass-tétel szerint az (xn ) sorozat egy (xnk ) részsorozata konvergál egy u valós számhoz. A konvergencia és a rendezés közötti kapcsolatokról szóló tétel szerint u ∈ [a, b]. f folytonos az u helyen, ezért alkalmazható az átviteli elv: az f (xnk ) sorozat határértéke f (u). De ennek a sorozatnak a határértéke v -vel is egyenl®,



83

mert lim(f (xn )) = v : ez v = +∞ esetén következik például a kompozíció határértékér®l szóló tétel harmadik állításából (ld. 5.47.III.), de egy számsorozatnak csak egy határértéke lehet, így v = f (u).

5.70. Tétel. Ha ∅ 6= I ⊂ R intervallum és f ∈ C(I), akkor R(f ) intervallum; ha I = [a, b] zárt intervallum, akkor R(f ) is zárt intervallum.

Bizonyítás. Vezessük be az A := inf R(f ), B := sup R(f ) jelöléseket. R(f )-ben nincs sem A-nál

kisebb, sem B -nél nagyobb elem, ezért ha igazoljuk, hogy (A, B) ⊂ R(f ), azzal bizonyítva lesz, hogy R(f ) olyan (nyílt, félig nyílt, vagy zárt) intervallum, melynek végpontjai A és B . Legyen tehát y ∈ (A, B), az alsó és a fels® határ deníciója szerint I -nek van egy-egy olyan eleme, ahol f értéke y -nál kisebb, illetve y -nál nagyobb, másszóval I -ben van olyan a és b, melyekre egyrészt a < b, másrészt y az f (a) és f (b) számok között van. Ezek után Bolzano tételéb®l következik, hogy y eleme az f |[a,b] függvény értékkészletének, tehát még inkább R(f )-nek. Ha I = [a, b], akkor Weierstrass imént bizonyított tétele szerint R(f ) nem lehet sem nyílt, sem félig nyílt intervallum.

5.14. Egyenletes folytonosság, Lipschitz-feltétel Két olyan függvénytulajdonsággal ismerkedünk meg most röviden, amelyek midegyikéb®l következik a folytonosság.

5.71. Deníció. Legyen f egyváltozós valós függvény; ezt akkor nevezzük egyenletesen folytonosnak,

ha minden egyes ε pozitív számhoz található olyan r pozitív szám, hogy az |x − y| < r feltételnek eleget tev® (x, y) ∈ D(f ) × D(f ) párok mindegyikére |f (x) − f (y)| < ε. Egy függvény egyenletes folytonossága tehát azt jelenti, hogy egyrészt ez a függvény folytonos, másrészt az y -beli folytonosság deníciójában szerepl® δ szám minden egyes ε esetén megválasztható úgy, hogy az egyszerre minden y ∈ D(f ) számhoz jó legyen. Néhány példa folytonos, de nem egyenletesen folytonos függvényre: R 3 x 7→ x2 , R + 3 x 7→ 1/x, R 3 x 7→ cos(x2 ), (0, 1) 3 x 7→ cos(1/x). Mind a négy f függvényhez megadható ugyanis (xn , yn ) pároknak olyan sorozata, melyekre egyrészt lim(yn −xn ) = 0, másrészt minden n pozitív egész esetén |f (yn )−f (xn )| ≥ 1, vagyis az ε = 1 hibakorláthoz nem található olyan r szám, amilyen az egyenletes folytonosság deníciójában szerepel. Ilyen (xn , yn ) párok a négy függvény esetében rendre: µ ¶ µ ¶ p √ √ √ 1 1 1 1 ( n + 1, n), , , ( π · (n + 1), π · n), , . n+1 n (n + 1) · π n · π Az alábbi tételb®l (Heine tételéb®l) az derül ki, hogy ha zárt intervallumon értelmezett függvényekre szorítkozunk, akkor a folytonos függvények osztálya nem b®vebb az egyenletesen folytonos függvények osztályánál.

5.72. Tétel. Ha a és b valós számok, a < b és f ∈ C[a, b], akkor f egyenletesen folytonos. Bizonyítás. Indirekt: tegyül fel, hogy vannak olyan a és b valós számok, a < b, hogy valamely f ∈ C[a, b] függvény nem egyenletesen folytonos. Legyen ε olyan pozitív szám, melyhez minden pozitív r esetén található egymástól r-nél kisebb távolságra két olyan [a, b]-beli szám, hogy az ezekhez tartozó függvényértékek eltérése legalább ε. Ekkor tehát minden pozitív egész n-hez is található [a, b]-ben olyan xn és yn , melyekre |xn − yn | < 1/n és |f (xn − f (yn )| ≥ ε. Ismét alkalmazhatjuk a



84

Bolzano Weierstrass-tételt: létezik olyan (nk ) indexsorozat és olyan u ∈ [a, b], hogy limk→∞ xnk = u. Ekkor az k 7→ ynk sorozat határértéke is u, azaz k 7→ |ynk − u| nullsorozat, mert nemnegatív tagú és felülr®l becsüli a k 7→ |ynk − xnk |(≤ 1/nk ≤ 1/k) és a k 7→ |xnk − u| nullsorozatok összege. Az f függvény folytonos az u helyen, ezért van olyan δ , hogy minden x ∈ [a, b] ∩ B(u, δ) esetén |f (x) − f (u)| < ε/2. Abból viszont, hogy az (xnk ) és (ynk ) sorozatok határértéke u, következik egy olyan küszöbindex létezése, amelyt®l kezdve minden k -ra xnk is, ynk is δ -nál kisebb távolságra van u-tól, a k ilyen értékeire tehát

ε ≤ |f (xnk ) − f (ynk )| ≤ |f (xnk ) − f (u)| + |f (u) − f (ynk )| <

ε ε + = ε, 2 2

tehát megkaptuk az ellentmondást.

5.73. Deníció. Egy egyváltozós valós függvényr®l akkor mondjuk, hogy Lipschitz-feltételnek tesz

eleget, ha van olyan nemnegatív L szám, melyre minden (x, y) ∈ D(f ) × D(f ) esetén |f (x) − f (y)| ≤ L · |x − y|. Könnyen látható, hogy a Lipschitz-feltételnek eleget tev® függvények egyenletesen folytonosak (ha L > 0, akkor r := ε/L, ha L = 0, akkor r tetsz®leges lehet). Példa olyan egyenletesen folytonos függvényre, amely nem tesz eleget a Lipschitz-feltételnek, a négyzetgyökfüggvény. Valóban, az egyenletes folytonosság bizonyítása céljából legyen ε tetsz®leges pozitív szám és alkalmazzuk Heine tételét a [0, 1] intervallumon értelmezett négyzetgyökfüggvényre: van olyan r1 pozitív szám, melyre az

x ∈ [0, 1], y ∈ [0, 1], |y − x| < r1 √ √ feltételeknek eleget tev® (x, y) párok mindegyike kielégíti a | y− x| < ε egyenl®tlenséget. Ekkor az r := min{r1 , ε} szám olyan lesz, amilyet keresünk, hiszen ha a nemnegatív x, y számok nagyobbika √ √ 1-nél nagyobb, akkor a y , x számok nagyobbika is 1-nél nagyobb, ezért ekkor |y − x| < r esetén √ |y − x| √ √ < |y − x| < r ≤ ε. | y − x| = √ y+ x Ha a négyzetgyökfüggvény eleget tenne a Lipschitz-feltételnek, akkor lenne olyan pozitív L szám, melyre minden nemnegatív x és y szám teljesítené a √ √ | y − x| ≤ L · |y − x| egyenl®tlenséget; speciálisan minden pozitív y szám és az x = 0 szám is, amib®l átrendezéssel az a képtelenség adódna, hogy nincs olyan pozitív y szám, amely kisebb az 1/L2 számnál.

Szilágyi T.:Analízis

VI. Dierenciálszámítás

85

6. DIFFERENCIÁLSZÁMÍTÁS 6.1. A dierenciálhatóság és a derivált fogalma 6.1. Deníció (különbségi hányados). Legyen f egyváltozós valós függvény és u ∈ D(f ). A D(f ) \ {u} halmazon értelmezett

x 7→ Kuf (x) :=

f (x) − f (u) x−u

függvényt az f függvény u ponthoz tartozó különbségihányados-függvényének nevezzük.

6.2. Deníció (derivált, dierenciálhatóság egy pontban). Ha u eleme is, torlódási pontja is az f függvény értelmezési tartományának (vagyis ha u nem-izolált eleme D(f )-nek) és létezik a lim Kuf = lim u

x→u

f (x) − f (u) x−u

határérték, akkor ezt a határértéket az f függvény u-beli deriváltjának, vagy dierenciálhányadosának nevezzük és az f 0 (u) szimbólummal jelöljük. Ha ráadásul ez a határérték véges, akkor azt mondjuk, hogy az f függvény dierenciálható (vagy deriválható) az u helyen. A derivált fogalmának bevezetését els®sorban a zika és a geometria igényelte. Ezzel kapcsolatban érdemes végiggondolni a következ® két megjegyzést.

6.3. Megjegyzés (a derivált geometriai jelentése). Egyszer¶ ábra készítésével könnyen meggy®z®dhetünk arról, hogy a Kuf (x) szám a függvénygrakon (x, f (x)) és (u, f (u)) pontjain áthaladó (szel®) egyenes iránytangensével egyenl®. A függvénygrakonhoz annak (u, f (u)) pontjában húzott érint® egyenesen kézenfekv® azt az egyenest érteni, amely egyrészt áthalad ezen a ponton, másrészt f 0 (u) ∈ R esetén iránytangense f 0 (u)-vel egyenl®, f 0 (u) ∈ / R esetén pedig az y -tengellyel párhuzamos. 6.4. Megjegyzés (pillanatnyi sebesség, mint derivált). Tegyük fel, hogy egy szabadesést végz®

tömegpontnak valamely vízszintes síktól számított el®jeles távolsága a t id®pontban f (t) := h− 21 · g ·t2 (h adott valós szám). Ennek a tömegpontnak az u és t(6= u) id®pontok által meghatározott id®intervallumra vonatkozó (el®jeles) átlagsebessége éppen a Kuf (t) = − g2 · (t + u) számmal egyenl®. A tömegpontnak az u id®pontban vett pillanatnyi sebességén kézenfekv® a limu Kuf = −g · u = f 0 (u) számot érteni. Hasonló a helyzet általában is akkor, ha a tömegpont egyenesvonalú mozgást végez: azt az egyenest, melyen a mozgását végzi, számegyenesnek képzelve, a tömegpont helye minden egyes t id®pontban egyetlen f (t) számmal azonosítható, a [t, u], illetve [u, t] id®intervallumra vonatkozó átlagsebességen most is a Kuf (t) számot, az u id®ponthoz tartozó pillanatnyi sebességen most is az f 0 (u) számot értik feltéve persze, hogy az utóbbi létezik. Ez a gondolatmenet még tovább általánosítható: ha egy zikai mennyiség id®ben változik, de minden egyes t id®pontban egyetlen f (t) számmal adható meg, akkor e zikai mennyiség változásának pillanatnyi sebességét hasonlóan értelmezhetjük.

6.5. Példa (a konstans függvények dierenciálhatósága). Ha f tetsz®leges számhalmazon

értelmezett konstans függvény és u ∈ D(f ) ∩ D(f )0 , akkor lévén a Kuf függvény azonosan nulla f dierenciálható az u helyen és f 0 (u) = 0.



86

6.6. Példa (a pozitív egész kitev®j¶ hatványfüggvények dierenciálhatósága). Bármely

n pozitív egész és u ∈ R esetén az idn függvény dierenciálható az u helyen és ott a deriváltja n · un−1 -nel egyenl®, hiszen az n−1

xn − un X k n−1−k = x 7→ x ·u x−u k=0 különbségihányados-függvény olyan n-tagú összeg, amelynek minden egyes tagja tart az un−1 számhoz.

6.7. Példa (az expc és logc függvények dierenciálhatósága). Az el®z® fejezet Néhány ne-

vezetes határérték cím¶ szakaszában bizonyítottak szerint (lásd az 5.62. Tételt) minden 1-t®l különböz® c pozitív szám, minden a ∈ R + és minden u ∈ R esetén az expc függvény dierenciálható az u helyen, ott a deriváltja ln c · cu , továbbá a logc függvény dierenciálható az a helyen és ott a deriváltja (1/ ln c) · (1/a).

6.8. Deníció (bal és jobb oldali derivált, ill. dierenciálhatóság). Legyen f egyváltozós

valós függvény és u ∈ D(f )∩D(f )0− [u ∈ D(f )∩D(f )0+ ]. Ha az f |D(f )∩(−∞,u] [illetve az f |D(f )∩[u,+∞) ] függvénynek van deriváltja az u helyen, akkor azt az f függvény u helyen vett bal [jobb] oldali deriváltjának nevezzük és az f−0 (u) [f+0 (u)] szimbólummal jelöljük; ha az f függvénynek az u helyen van bal [jobb] oldali deriváltja és az véges, akkor azt mondjuk, hogy f balról [jobbról] dierenciálható az u helyen.

Kuf

Evidens, hogy az f−0 (u) bal oldali [f+0 (u) jobb oldali] derivált létezése ugyanazt jelenti, mint a függvény u helyen vett bal [jobb] oldali határértékének létezése.

6.9. Deníció (dierenciálható függvény). Ha az f függvény értelmezési tartományának nincs

izolált pontja (D(f ) ⊂ D(f )0 ) és f az értelmezési tartományának minden egyes pontjában dierenciálható, akkor f -et röviden dierenciálhatónak nevezzük. Egy függvény valamely pontban vett deriváltjának a jelölése azt sugallja, hogy azt egy másik függvénynek az adott pontban vett helyettesítési értékeként szokás felfogni.

6.10. Deníció (derivált függvény). Ha egy f függvény értelmezési tartományának van legalább

egy olyan nem-izolált pontja, melyben f -nek van deriváltja, akkor az összes ilyen pontok H halmazán értelmezhetjük az f 0 : H → R függvényt, az f függvény tágabb értelemben vett derivált függvényét. Ha olyan pontja is van D(f )-nek, melyben f dierenciálható, akkor f derivált függvényén az f 0 függvénynek az {x ∈ D(f 0 ) : f 0 (x) ∈ R halmazra való lesz¶kítését értjük. Hasonlóan értelmezhet® a (tágabb értelemben vett) bal oldali és jobb oldali derivált függvény is.

6.11. Tétel (adott pontbeli dierenciálhatóság ekvivalens megfogalmazásai). Legyen

f egyváltozós valós függvény, u ∈ D(f ) ∩ D(f )0 és A ∈ R; ekkor a következ® négy kijelentés egymással egyenérték¶: 1. f dierenciálható az u helyen és f 0 (u) = A, 2.

f (x) − f (u) − A · (x − u) = 0, x→u x−u

3.

f (x) − f (u) − A · (x − u) = 0, x→u |x − u|

lim

lim

4. van olyan Cuf : D(f ) → R függvény, amely folytonos az u helyen, ott a helyettesítési értéke A, s amelyre minden x ∈ D(f ) esetén

f (x) − f (u) = Cuf (x) · (x − u).



87

Bizonyítás. Az, hogy a Kuf különbségihányados-függvény határértéke létezik és A-val egyenl®,

egyenérték¶ azzal, hogy az x 7→ Kuf (x) − A függvény határértéke az u helyen 0, hiszen egy y számra vonatkozóan y ∈ B(A, ε) és y − A ∈ B(0, ε) egyaránt azt jelenti, hogy |y − A| < ε. Ezzel az 1. és 2. kijelentések egyenérték¶ségét igazoltuk. A 2. és 3. állítások egyenérték¶sége abból a két tényb®l következik, hogy egyrészt egy függvény határértéke valamely u helyen pontosan akkor 0, ha ott az abszolútértékének a határértéke 0 (|y−0| = ||y| − 0|), másrészt a 2.-ben, illetve 3.-ban szerepl® függvényeknek ugyanaz az abszolútértéke. 1.⇒4. Az el®z® fejezet 5.35. Tételét az (f, v) := (Kuf , A) párra alkalmazva kapjuk, hogy a Kuf függvénynek az a D(f )-re való kiterjesztése, amely az u helyen az A értéket veszi fel, folytonos az u helyen. Ez a függvény (és csakis ez) játszhatja Cuf szerepét. 4.⇒1. Az el®z® fejezet 5.35. Tételének ezúttal a másik felét (a 2.⇒1. állítását) alkalmazhatjuk.

6.12. Megjegyzés. A 4. állításra a továbbiakban mint a dierenciálhatóság Carathéodory-féle

deníciójára fogunk hivatkozni. A 3. állításnak csak annyi lesz a szerepe, hogy motivációul fog szolgálni a többváltozós függvények dierenciálhatósága fogalmának bevezetésénél, míg a 2. állítás csupán arra szolgált, hogy (még) könnyebbé tegye az 1. és 3. állítások egyenérték¶ségének bizonyítását.

6.13. Tétel (a folytonosság, mint a dierenciálhatóság szükséges feltétele). Ha f die-

renciálható az értelmezési tartományának egy nem-izolált pontjában, akkor ott folytonos is.

Bizonyítás. Felhasználva az el®z® tétel 1.⇒4. állítását, az f függvény el®állítható a konstans

tehát folytonos x 7→ f (u), és az u helyen szintén folytonos x 7→ Cuf (x) · (x − u) függvény összegeként.

6.14. Megjegyzés (a folytonosság nem elegend® a dierenciálhatósághoz). A tétel meg-

fordítása nem igaz. Például az abszolútérték-függvény folytonos a 0 helyen (miként minden más helyen is, lásd az el®z® fejezetben a 5.39/1. példát), de a 0 ponthoz tartozó különbségihányadosfüggvényének nincs határértéke a 0 helyen, hiszen ha lenne, akkor az ott a bal és a jobb oldali határértékével is egyenl® lenne, viszont ez az utóbbi két határérték nem egyenl® egymással: az el®bbi −1, az utóbbi +1. Megjegyezzük továbbá, hogy ismeretesek példák olyan folytonos f : R → R függvényre is, amelyek egyetlen pontban sem dierenciálhatók.

6.2. Dierenciálhatóság és az alapm¶veletek 6.15. Tétel (az összeg, a különbség és a szorzat dierenciálási szabálya). Legyenek f és g

egyváltozós függvények, u a D(f ) ∩ D(g) halmaz nem-izolált pontja, továbbá tegyük fel, hogy mind az f , mind a g függvény dierenciálható az u helyen. Ekkor I. f + g dierenciálható az u helyen és (f + g)0 (u) = f 0 (u) + g 0 (u), II. f − g dierenciálható az u helyen és (f − g)0 (u) = f 0 (u) − g 0 (u), III. f · g dierenciálható az u helyen és (f · g)0 (u) = f 0 (u) · g(u) + f (u) · g 0 (u).

Bizonyítás. A dierenciálhatóság Carathéodory-féle deníciójából következik, hogy a D(f )∩D(g) halmaz minden egyes x eleme esetén (1)

f (x) = f (u) + Cuf (x) · (x − u)

és (2)

g(x) = g(u) + Cug (x) · (x − u),



88

továbbá

f 0 (u) = Cuf (u) és g 0 (u) = Cug (u).

(3)

Ezek után I., illetve II. bizonyítása céljából nem kell mást tenni, mint el®ször összeadni az (1), (2) egyenleteket, illetve kivonni (1)-b®l (2)-t, másodszor bevezetni az x 7→ Cuf (x) + Cug (x) =: Cuf +g (x), illetve az x 7→ Cuf (x) − Cug (x) =: Cuf −g (x) függvényt, konstatálni, hogy ez folytonos az u helyen (két ilyen függvény összege, illetve különbsége), végül még egyszer hivatkozni a dierenciálhatóság Carathéodory-féle deníciójára és (3)-ra. III. Szorozzuk össze egymással az (1) és (2) egyenleteket; a jobb oldalon hajtsuk végre a tagonkénti szorzást, majd emeljünk ki három tagból (x − u)-t: £ ¤ (4) f (x) · g(x) = f (u) · g(u) + Cuf (x) · g(u) + f (u) · Cug (x) + Cuf (x) · Cug (x) · (x − u) · (x − u) Legyen Cuf g az a függvény, amely a D(f ) ∩ D(g) halmaz minden egyes x eleméhez hozzárendeli a (4) egyenlet jobb oldalán, a szögletes zárójelek között lév® számot. Ez a függvény folytonos az u helyen, hiszen három ilyen függvény összege, helyettesítési értéke az u helyen f 0 (u) · g(u) + f (u) · g 0 (u)-val egyenl®, tehát ismét a dierenciálhatóság Carathéodory-féle deníciójára hivatkozhatunk.

6.16. Tétel (a hányados dierenciálási szabálya). Tegyük fel, hogy az egyváltozós f és g füg-

gvények dierenciálhatók egy olyan u pontban, amely az f /g függvény értelmezési tartományának nem-izolált pontja. Ekkor f /g is dierenciálható az u helyen és µ ¶0 f f 0 (u) · g(u) − f (u) · g 0 (u) . (5) (u) = g (g(u))2

Bizonyítás. Ismét a dierenciálhatóság Carathéodory-féle deníciójára támaszkodhatunk. Az f /g függvény értelmezési tartományának minden egyes x elemére

f (x) f (u) f (x) · g(u) − f (u) · g(x) [f (x) − f (u)] · g(u) − f (u) · [g(x) − g(u)] − = = = g(x) g(u) g(x) · g(u) g(x) · g(u) =

Cuf (x) · g(u) − f (u) · Cug (x) · (x − u), g(x) · g(u)

tehát kézenfekv® bevezetni a

Cuf /g (x) :=

Cuf (x) · g(u) − f (u) · Cug (x) g(x) · g(u)

jelölést. A 6.11. Tétel alapján már csak két dolgot kell megállapítanunk err®l a függvényr®l; el®ször: ez a függvény folytonos az u helyen (g dierenciálhatóságából következik g és Cug folytonossága az u helyen, f dierenciálhatóságából pedig a Cuf függvényé), másodszor: a helyettesítési értéke az u helyen (5) jobb oldalával egyenl®.

6.17. Megjegyzés. Ennek a szakasznak a tételeib®l a 6.5, 6.6. Példák felhasználásával adódik, hogy

minden racionális törtfüggvény dierenciálható.



89

6.3. A kompozíció és az inverz függvény dierenciálhatósága 6.18. Tétel (az összetett függvény dierenciálási szabálya). Legyenek f és g egyváltozós

valós függvények, v a D(f ), u a D(f ◦ g) halmaz nem-izolált pontja és tegyük fel, hogy v = g(u). Ha f dierenciálható a v helyen és g dierenciálható az u helyen, akkor f ◦ g is dierenciálható az u helyen, és (f ◦ g)0 (u) = f 0 (v) · g 0 (u).

Bizonyítás. Ismét a dierenciálhatóság Carathéodory-féle denícióját fogjuk használni. Ha x a D(f ◦ g) halmaz tetsz®leges eleme, akkor

f (g(x)) − f (g(u)) = Cvf (g(x))[g(x) − g(u)] = Cvf (g(x))Cug (x)(x − u), tehát ha bevezetjük a Cuf ◦g (x) := Cvf (g(x))Cug (x) deníciót, akkor az 6.11. Tétel alapján err®l a Cuf ◦g függvényr®l két dolgot kell bizonyítani: 1. folytonos az u helyen, 2. helyettesítési értéke az u helyen f 0 (v) · g 0 (u). A két állítás közül az el®bbinek a bizonyítása céljából a 6.13, 6.11. tételekre kell hivatkoznunk, továbbá a(z egy-egy pontban) folytonos függvények kompozíciójáról, illetve szorzatáról tanultakra, míg az utóbbi a 6.11. tételb®l következik.

6.19. Állítás (a hatványfüggvények deriválhatósága a pozitív helyeken). Ha α ∈ R és u ∈

R + , akkor az idα függvény dierenciálható az u helyen, és ott a deriváltja α · uα−1 -nel egyenl®.

Bizonyítás. Alkalmazzuk a most bizonyított tételt az f := exp, g(x) := α · ln x szereposztással: idα = f ◦ g dierenciálható és deriváltja az u helyen exp(α · ln u) · (α/u) = uα · (α/u) = α · uα−1 .

6.20. Megjegyzés. Könnyen igazolható, hogy az idα függvénynek minden nemnegatív α kitev® es-

etén van deriváltja a 0 helyen is, éspedig α = 0 és α > 1 esetén 0, α ∈ (0, 1) esetén +∞, míg α = 1 esetén 1.

6.21. Tétel (az inverz függvény deriválási szabálya). Legyen I nem-elfajuló intervallum, g :

I → R folytonos, szigorúan monoton függvény, tegyük fel, hogy egy v ∈ I helyen létezik a g 0 (v) derivált, végül vezessük be az u := g(v) és az f := g −1 jelöléseket. Ekkor az f 0 (u) derivált is létezik, éspedig  1   , ha g 0 (v) ∈ R \ {0},  0   g (v) 0, ha g 0 (v) ∈ / R, f 0 (u) =  0  +∞, ha g (v) = 0 és g szigorúan monoton növ®,    −∞, ha g 0 (v) = 0 és g szigorúan monoton fogyó.

Bizonyítás. Az el®z® fejezet 5.70. Tétele szerint J := R(g) = D(f ) intervallum; minthogy g nem konstans, J nem-elfajuló, így J ⊂ J 0 (lásd 5.6.-t), következésképpen u ∈ J 0 . Az el®z® fejezet 5.59. Tétele szerint f is folytonos, így f (u) = limu f . És minthogy minden x ∈ J \ {u} esetén

f (x) − f (u) = x−u

1 1 1 , = = g x−u g(f (x)) − g(f (u)) Kv (f (x)) f (x) − f (u) f (x) − f (u)

azaz Kuf = (1/Kvg ) ◦ f , a kompozíció határértékér®l szóló tételünk IV. állítása szerint elég azt bizonyítani, hogy az 1/Kvg függvény határértéke a v helyen a négy esetben rendre 1/g 0 (v), 0, +∞, illetve −∞. E négy állítás közül az els® kett® közvetlenül az el®z® fejezet 5.44. Tételéb®l következik. A harmadik és a negyedik állítás bizonyítása céljából csupán azt kell meggondolnunk, hogy egyrészt



90

a Kvg függvény minden értéke növ® g esetén pozitív, csökken® g esetén negatív, másrészt növeked® g függvény esetében a 0 < Kvg (y) < ε egyenl®tlenség-pár egyenérték¶ az 1/ε < 1/Kvg (y) egyenl®tlenséggel, míg csökken® g esetén a −ε < Kvg (y) < 0 egyenl®tlenség-pár egyenérték¶ az 1/Kvg (y) < −1/ε egyenl®tlenséggel.

6.22. Tétel (a hiperbolikus függvények deriváltjai). A hiperbolikus függvények dierenciálhatók; minden u ∈ R esetén I. sh0 (u) = ch u, II. ch0 (u) = sh u, III. th0 (u) = 1/ch2 u; IV. minden 0-tól különböz® u ∈ R esetén cth0 (u) = −1/sh2 u. Bizonyítás. A 6.18. Tétel szerint az x 7→ e−x függvény dierenciálható és a deriváltja az u helyen −e−u . Ebb®l, a 6.15. Tételb®l, és az exp0 (u) = eu egyenl®ségb®l következik az I. és a II. állítás. Az utóbbiakból III. és IV. úgy következik, hogy el®ször alkalmazzuk az (sh, ch), illetve a (ch, sh) függvénypárra a hányados dierenciálhatóságáról szóló tételt, majd az így nyert formula egyszer¶bbé tétele céljából a ch2 x−sh2 x = 1 azonosságot. Eltekintve attól, hogy az arch függvény az 1 helyen nem dierenciálható, a hiperbolikus függvények inverze is dierenciálható az értelmezési tartományuk minden egyes pontjában:

6.23. Tétel (az area függvények deriváltjai). I. Minden valós u és minden 1-nél nagyobb x

esetén

arsh0 (u) = √

1 , 1 + u2

arch0 (x) = √

1 x2

−1

;

II. arch0 (1) = +∞, III. minden u ∈ (−1, 1) és minden x ∈ R \ [−1, 1] esetén

arth0 (u) =

1 , 1 − u2

ar cth0 (x) =

1 . 1 − x2

Bizonyítás. A 6.21. Tételt alkalmazzuk, éspedig egymás után ötször.

I. El®ször a g := sh, v := arsh u szereposztással: q √ 1 = ch(arsh u) = 1 + sh2 (arsh u) = 1 + u2 , 0 arsh (u) majd térjünk át reciprokokra; másodszor a g := ch |[1,+∞) , v := arch x szereposztással: q √ 1 = sh(arch x) = ch2 (arch x) − 1 = x2 − 1. 0 arch (x) II. Harmadszor a g := ch |[1,+∞) , v := 0 szereposztással (most a g szigorúan monoton növ® és g 0 (v) = 0). III. Negyedszer legyen g := th és v := arth u:

1 1 = 2 (arth u) = 1 − th2 (arth u) = 1 − u2 , 0 arth (u) ch az utolsó el®tti egyenl®séget úgy kaptuk, hogy a ch2 v − sh2 v = 1 egyenletb®l kifejeztük 1/ ch2 v -t. Végül legyen g := cth és v := ar cth u:

1 1 = − 2 (ar cth u) = 1 − cth2 (ar cth u) = 1 − u2 , 0 ar cth (u) sh ezúttal a ch2 v − sh2 v = 1 egyenletb®l nem az 1/ ch2 v -t, hanem a −1/ sh2 v -t fejeztük ki.



91

6.4. Lokális (szigorú) monotonitás, a széls®érték szükséges feltétele A következ® fogalmakat els®sorban azért vezetjük be, hogy a dierenciálható függvények monotonitásának vizsgálata során tegyenek jó szolgálatot.

6.24. Deníció (lokális (szigorú) növekedés és fogyás). Legyen f egyváltozós valós függvény

és u ∈ D(f ) ∩ D(f )0 . Azt mondjuk, hogy f az u pontban lokálisan a) növ®, b) fogyó, c) szigorúan ˙ növ®, d) szigorúan fogyó, ha van olyan δ pozitív szám, amelyre minden x ∈ D(f ) ∩ B(u, δ) esetén a f Ku (x) helyettesítési érték a) nemnegatív, b) nempozitív, c) pozitív, d) negatív.

6.25. Megjegyzés. A szorzás, illetve osztás el®jelszabályaiból következik, hogy az iménti denícióban a δ számra vonatkozóan megfogalmazott feltétel egyenérték¶ azzal, hogy minden olyan u-nál ˙ kisebb x és u-nál nagyobb y számra, amelyek benne vannak a D(f ) ∩ B(u, δ) halmazban, teljesülnek az a) esetben az f (x) ≤ f (u) ≤ f (y), a b) esetben az f (x) ≥ f (u) ≥ f (y), a c) esetben az f (x) < f (u) < f (y), végül a d) esetben az f (x) > f (u) > f (y) egyenl®tlenségek. Hasonlóképpen világos, hogy ha f monoton növ®, monoton fogyó, szigorúan monoton növ®, illetve szigorúan monoton fogyó, akkor minden egyes u ∈ D(f ) ∩ D(f )0 pontban lokálisan is ilyen. Viszont abból, hogy egy f függvény egy u pontban lokálisan szigorúan növ®, nem következik, hogy volna az u pontnak olyan K környezete, amelyre az f |K függvény monoton volna. Legyen például u := 0 és f az a függvény, amely a 0-hoz a 0-t, a 0-tól különböz® x számokhoz az x3 · (2 + sin x1 ) számot rendeli hozzá. Könnyen belátható, hogy ez a függvény a 0 pontban lokálisan szigorúan növ®. Azt, hogy ez a függvény a 0 szám egyetlen környezetében sem monoton növ®, a következ® szakasz els® tételének felhasználásával lehet igazolni: például azt lehet igazolni, hogy minden pozitív egész n esetén megadható olyan δn pozitív szám, hogy az xn := 1/(2nπ) szám δn sugarú környezetében minden x-re f 0 (x) < 0, s emiatt az f függvénynek a B(xn , δn ) intervallumra való lesz¶kítése szigorúan monoton fogyó. 6.26. Tétel (dierenciálható függvény lokális monotonitásának feltételei). Legyen f egyváltozós valós függvény, u ∈ D(f ) ∩ D(f )0 , és tegyük fel, hogy f -nek van deriváltja az u helyen. I. Ha f az u helyen lokálisan növ® [fogyó], akkor f 0 (u) ≥ 0 [f 0 (u) ≤ 0]; II. ha f 0 (u) > 0 [f 0 (u) < 0], akkor f az u pontban lokálisan szigorúan növ® [fogyó].

Bizonyítás. Mind a négy állítás közvetlen következménye az el®z® fejezet 5.50. Tételének. 6.27. Deníció (lokális, illetve abszolút széls®értékek). Legyen f egyváltozós valós függvény és u ∈ D(f ). Az a kijelentés, hogy az f függvénynek az u helyen lokális minimuma [maximuma] van, a következ®t jelenti: van olyan δ pozitív szám, melyre minden x ∈ D(f ) ∩ B(u, δ) esetén f (x) ≥ f (u) [f (x) ≤ f (u)]. Az a kijelentés, hogy f -nek az u helyen abszolút minimuma [maximuma] van, azt jelenti, hogy minden x ∈ D(f ) esetén f (x) ≥ f (u) [f (x) ≤ f (u)]. Az a kijelentés, hogy az f függvénynek az u helyen abszolút [lokális] széls®értéke van, azt jelenti, hogy f -nek az u helyen abszolút [lokális] minimuma, vagy maximuma van. 6.28. Tétel (a lokális széls®érték els®rend¶ szükséges feltétele). Ha az f függvénynek lokális széls®értéke van egy u ∈ D(f ) ∩ D(f )0− ∩ D(f )0+ pontban és ott van deriváltja, akkor f 0 (u) = 0.

Bizonyítás. Ha f 0 (u) 6= 0 volna, akkor az el®z® tétel II. állítása szerint f az u pontban lokálisan

szigorúan növ®, vagy fogyó volna, de akkor f az u pont minden egyes környezetében felvenne f (u)-nál kisebb, és f (u)-nál nagyobb értékeket is.

6.29. Deníció. Legyen H valós számokból álló halmaz. Egy u valós számról akkor mondjuk, hogy

bels® pontja a H számhalmaznak, ha létezik olyan δ pozitív szám, melyre B(u, δ) ⊂ H . H bels® pontjainak halmazát az int(H) jelsorozattal jelöljük.



92

6.30. Példa. Könnyen belátható, hogy int(Q) = int(R\Q) = ∅; továbbá, hogy ha I olyan nem-elfajuló intervallum, amelynek bal végpontja α, jobb végpontja β , akkor int(I) = (α, β).

6.31. Megjegyzés. Evidens, hogy ha u ∈ int(H), akkor u ∈ H ∩ H−0 ∩ H+0 . Az el®z® tételt szinte

kizárólag olyankor alkalmazzuk, amikor teljesül az u ∈ int(D(f )) feltétel. Emiatt a tankönyvek (és jegyzetek) szinte mindegyikében úgy fogalmazzák a tételt, hogy az u ∈ D(f ) ∩ D(f )0− ∩ D(f )0+ feltételt ezzel az er®sebb feltétellel helyettesítik. S®t, sokan vannak, akik a lokális széls®érték deníciójában is megkövetelik a fentieken túlmen®en a B(u, δ) ⊂ D(f ) feltétel teljesülését. Itt jegyezzük meg, hogy a tankönyvek többségében már a dierenciálhatóság deníciójában (s az utána következ® tételek mindegyikében) is kikötik az u ∈ int(D(f )) feltétel teljesülését. A legutóbb bizonyított tételben a lokális széls®értéknek valóban csak szükséges feltételét adtuk, másszóval az f 0 (u) = 0 feltétel valóban nem elegend® ahhoz, hogy f -nek az u helyen lokális széls®értéke legyen. Egyszer¶ ellenpélda: f := id3 , u = 0. Ráadásul léteznek olyan dierenciálható f : R → R függvények is, amelyeknek a deriváltja például az u = 0 helyen nulla, de a 0 pont nem lokális széls®értékhelye sem az f |(−∞,0] , sem az f |[0,+∞) lesz¶kítésnek. Egy ilyen függvény például az, amelyik a nullához a nullát, tetsz®leges nullától különböz® x valós számhoz pedig az x2 · sin(1/x)-t rendeli hozzá.

6.5. Intervallumon értelmezett (szigorúan) monoton függvények 6.32. Tétel. Legyen I nem-elfajuló intervallum és f : I → R. I. Ha f az I intervallum minden

egyes pontjában lokálisan szigorúan növ® [fogyó], akkor f szigorúan monoton növ® [fogyó], II. ha f -nek az I intervallum minden egyes pontjában van deriváltja és ez a derivált az I minden pontjában nagyobb, mint nulla [kisebb, mint nulla], akkor f szigorúan monoton növ® [fogyó].

Bizonyítás. 6.26.II. miatt elég az I. állítást bizonyítani. Indirekt úton okoskodunk: tegyük fel

tehát, hogy a0 ∈ I , b0 ∈ I , a0 < b0 és f (a0 ) ≥ f (b0 ). Az alábbi rekurzióval (intervallumfelezésel) megadunk egy olyan ([an , bn ]) intervallumsorozatot, melyre minden n ∈ Z+ esetén

[an , bn ] ⊂ [an−1 , bn−1 ],

bn − an = 2−n · (b0 − a0 )

és

f (an ) ≥ f (bn ) :

ha n akár 0-val egyenl®, akár olyan pozitív egésszel, melyre teljesül ez a három feltétel, és cn := (an + bn )/2, akkor az [an+1 , bn+1 ] intervallum legyen egyenl® az [an , cn ], illetve a [cn , bn ] intervallummal attól függ®en, hogy f (cn ) ≤ f (an ), vagy f (cn ) > f (an ). Ez az intervallum mindkét esetben részhalmaza az [an , bn ] intervallumnak és fele olyan hosszú, továbbá mindkét esetben evidens az is, hogy f (an+1 ) ≥ f (bn+1 ). A Cantor-féle közösponttétel szerint az [an , bn ] intervallumoknak egyetlen közös elemük van. Ha ezt u-val jelöljük, akkor [a0 , b0 ] ⊂ I miatt persze u ∈ I . f az u pontban lokálisan szigorúan növ®, ezért vehetünk egy olyan δ pozitív számot, melyre igaz az, hogy minden olyan u-nál kisebb x és u-nál nagyobb y számokra, melyek benne vannak az I ∩ B(u, δ) intervallumban, f (x) < f (u) < f (y), a ((bn − an )/2n ) sorozat nullához tartása miatt pedig vehetünk egy olyan pozitív egész m-et, melyre bm − am < δ . δ választása miatt f (am ) < f (bm ) (ha am < u, akkor x := am , ha bm > u, akkor y := bm ), holott az intervallumsorozatot úgy konstruáltuk, hogy minden pozitív egész n-re az f (an ) ≥ f (bn ) egyenl®tlenség teljesüljön. A szigorúan monoton fogyó esetre a bizonyítás teljesen hasonlóan történhet (vagy úgy is végezhet®, hogy a −f függvényre alkalmazzuk a már bizonyítottakat). Most kissé élesítjük az el®z® tétel II. állítását:

6.33. Tétel (A szigorú monotonitás gyengébb elégséges feltétele). Legyen J nem-elfajuló

intervallum, f ∈ C(J), tegyük fel, hogy f -nek minden x ∈ int(J) pontban létezik deriváltja és az nagyobb, mint nulla [kisebb, mint nulla]. Ekkor f szigorúan monoton növ® [fogyó].



93

Bizonyítás. Ismét csak a szigorúan monoton növ® esettel foglalkozunk. Felhasználva az el®z®

tételt, már csak két dolgot kell bizonyítanunk: 1. ha a := inf J ∈ J , akkor minden x ∈ int(J) esetén f (a) < f (x), 2. ha b := sup J ∈ J , akkor minden y ∈ int(J) esetén f (y) < f (b). 1. Indirekt úton okoskodunk: ha lenne olyan x ∈ int(J), amelyre f (x) ≤ f (a) volna, akkor az el®z® tétel szerint (azt a g := f |int(J) függvényre alkalmazva) az (a, x) intervallumban volna olyan szám is, ahol f értéke kisebb volna, mint f (x), ezért felhasználva az el®z® fejezet 5.51. Tételét

f (a) = lim f = lim g = inf R(g) < f (a) a

a

adódna. A 2. állítás bizonyítása hasonlóan történhet, ezúttal persze az imént említett 5.51. Tételnek nem a II., hanem az I. állítását kell használni.

6.34. Tétel (a dierenciálható monoton függvények jellemzése). Legyen J nem-elfajuló intervallum, f ∈ C(J), és tegyük fel, hogy f -nek int(J) minden pontjában van deriváltja. Ekkor a következ® két kijelentés egymással egyenérték¶: 1. f monoton növ® [fogyó], 2. minden x ∈ int(J) esetén f 0 (x) ≥ 0 [f 0 (x) ≤ 0]. Bizonyítás. 1.⇒2. Ez a 6.26. Tételb®l és az azt megel®z® Megjegyzés els® mondatából következik. 2.⇒1. Indirekt úton okoskodunk, csak a monoton növ® esetet részletezzük. Ha volna olyan a ∈ J és olyan a-nál nagyobb b ∈ J , melyekre f (b) < f (a) volna, akkor bevezetve a

g : [a, b] → R,

x 7→ f (x) +

f (a) − f (b) · (x − a) b−a

függvényt, ez folytonos volna, (a, b) minden pontjában létezne deriváltja és minden

x ∈ (a, b)

esetén

g 0 (x) = f 0 (x) +

f (a) − f (b) >0 b−a

volna (erre f 0 (x) = +∞ esetén is lehet következtetni például abból, hogy a Kxg függvény a Kxf (b) függvénynek az összege), erre a függvényre tehát alkalmazható függvénynek és a konstans f (a)−f b−a volna az el®z® tétel, így ez a függvény szigorúan monoton növ® volna, ami ellentmond annak, hogy g(a) = g(b) = f (a).

6.35. Tétel (a konstans függvények jellemzése). Legyen J nem-elfajuló intervallum és f : J → R. Ekkor a következ® két állítás egymással egyenérték¶: 1. f konstans, 2. f ∈ C(J), int(J) minden pontjában van deriváltja és minden x ∈ int(J) esetén f 0 (x) = 0. Bizonyítás. Az 1.⇒2. állítás a korábban tett megjegyzéseinkb®l, vagy akár a derivált deníciójából is könnyen következik. 2.⇒1. Az el®z® tétel szerint f monoton növ® és monoton fogyó, tehát konstans.

6.36. Tétel (a dierenciálható szigorúan monoton függvények jellemzése). Legyen J nemelfajuló intervallum, f ∈ C(J) és f |int(J) dierenciálható. Ekkor a következ® két állítás egymással egyenérték¶: 1. f szigorúan monoton növ® [fogyó], 2. minden x ∈ int(J) esetén létezik az f 0 (x) és az nemnegatív [nempozitív], továbbá nincs olyan (a, b) ⊂ J intervallum, melyre minden x ∈ (a, b) esetén f 0 (x) = 0 volna.



94

Bizonyítás. Ismét csak a szigorúan monoton növ® esetet részletezzük.

1.⇒2. Láttuk (6.34.), hogy már a monoton növekedésb®l is következik a deriváltak nemnegativitása. Ha lenne olyan (a, b) ⊂ J , melynek minden egyes x pontjára f 0 (x) = 0 teljesülne, akkor az el®z® tétel szerint f egy ilyen intervallumon konstans volna, ami ellentmond a szigorú monotonitásnak. 2.⇒1. Ismét az 6.34. Tételb®l következik, hogy f monoton növ®. Ha nem lenne szigorúan növ®, akkor lenne J -ben olyan a és b, melyekre a < b és f (a) = f (b) teljesülne, s®t (a monoton növekedést ismét kihasználva) f az (a, b) intervallumon konstans volna, következésképpen (6.35.) minden x ∈ (a, b) esetén f 0 (x) = 0 volna.

6.37. Tétel (az abszolút széls®érték els®rend¶ elégséges feltétele). Legyen I nem-elfajuló

intervallum, u ∈ int(I) = (a, b), f ∈ C(I), f -nek van deriváltja az (a, b) \ {u} halmaz minden pontjában, végül minden x ∈ (a, u) esetén f 0 (x) ≤ 0 [f 0 (x) ≥ 0] és minden x ∈ (u, b) esetén f 0 (x) ≥ 0 [f 0 (x) ≤ 0]. Ekkor az f függvénynek az u helyen abszolút minimuma [maximuma] van.

Bizonyítás. Ismét csak az els® változatot részletezzük: A 6.34. Tétel szerint f -nek a J ∩ (−∞, u] intervallumra való lesz¶kítése monoton fogyó, a J ∩ [u, +∞) intervallumra való lesz¶kítése pedig monoton növ®, így minden x ∈ J esetén f (u) ≤ f (x).

6.6. A trigonometrikus függvények A koszinusz- és a szinuszfüggvény deniálására és néhány alapvet® tulajdonságának igazolására a középiskolában geometriai módszereket szoktak használni. Ennek a tárgyalásmódnak egy precízebb változata tanulmányozható például Császár Ákos Valós Analízis cím¶ tankönyvének I.4.54. szakaszában (ez az I. kötet 138. oldalán kezd®dik és a 142. oldalán fejez®dik be). A koszinusz- és a szinuszfüggvény néhány ismert tulajdonságából most összeállítunk egy olyan minimális elemszámú feltételrendszert, amely elvileg alkalmas a (cos, sin) függvénypár deniálására. Ez a feltételrendszer (C, S) ∈ RR × RR függvénypárokra vonatkozik, és az alábbi négy feltételt tartalmazza: (a) ∀x ∈ R C 2 (x) + S 2 (x) = 1,

(b) ∀(x, y) ∈ R2

C(x + y) = C(x)C(y) − S(x)S(y),

(c) ∀(x, y) ∈ R

S(x + y) = S(x)C(y) + C(x)S(y),

(d) ∃r ∈ R +

∀x ∈ (0, r)

2

0 < C(x)

és

0 < S(x) < x < S(x)/C(x).

Az a tény, hogy létezik olyan függvénypár, amelyik teljesíti ezt a négy feltételt, szinte közismertnek nevezhet® (miként az is, hogy a legkisebb olyan r pozitív szám, amellyel a (d) feltétel teljesül, π/2-vel egyenl®). Geometriai eszközökkel történ® bizonyítása megtalálható az imént említett könyvrészletben, de ismert több geometriamentes bizonyítása is. Lényegesen sz¶kebb körben ismert viszont, hogy a (C, S) = (cos, sin) pár az egyetlen ilyen függvénypár. Az err®l szóló tételt egy segédtétellel készítjük el®:

6.38. Lemma. Ha egy (C, S) ∈ RR × RR függvénypár teljesíti a fenti (a), (b), (c), (d) feltételeket,

akkor az alábbiakat is teljesíti: (e) C(0) = 1, S(0) = 0, (f ) C páros, S páratlan függvény, (g) bármely (u, v) valós számpárra ¶ µ ¶ µ ¶ µ ¶ µ v−u v+u v−u v+u S és S(v) − S(u) = 2C S , C(v) − C(u) = −2S 2 2 2 2 (h) C folytonos a 0 helyen, (i) S dierenciálható a 0 helyen és S 0 (0) = 1, (j) C is, S is folytonos függvény, (k) C is, S is dierenciálható függvény, minden u ∈ R esetén C 0 (u) = −S(u), és S 0 (u) = C(u).



95

Bizonyítás. (e) Ha (b)-t és (a)-t az x := y := 0 szereposztással alkalmazzuk, azt kapjuk, hogy a

k := C(0) szám a 2 id2 − id −1 polinomfüggvény egyik gyöke, vagyis k = 1 vagy k = −1/2. Indirekt úton folytatjuk: tegyük fel, hogy k = −1/2. Ebb®l és (a)-ból (x = 0) azt kapjuk, hogy S(0) 6= 0, így a (c)-b®l az x := y := 0 szereposztással adódó S(0) = 2S(0)C(0) egyenlet mindkét oldalát eloszthatjuk az S(0) számmal, tehát azt kapjuk, hogy −1 = 2k = 1. k = 1-b®l és (a)-ból persze rögtön következik, hogy S(0) = 0. (f) Minden valós x számra (a)

(b)

(e)

[C(x)−C(−x)]2 +[S(x)+S(−x)]2 = 2−2C(x)C(−x)+2S(x)S(−x) = 2−2C(−x+x) = 2−2C(0) = 0. (g) A középiskolában megismert módon az x := (v + u)/2, y := ±(v − u)/2 szereposztásokkal kaphatjuk (b)-b®l az els®, (c)-b®l a második azonosságot. (h) Ha az imént bizonyított azonosságok közül az els®t olyan (u, v) párokra alkalmazzuk, amelyek teljesítik a 0 ≤ u < v < δ egyenl®tlenségeket, akkor arra következtethetünk, hogy C szigorúan monoton fogyó a [0, δ) intervallumon, hiszen ilyen (u, v) párok esetén (v + u)/2 és (v − u)/2 egyaránt benne van a (0, δ) intervallumban, így (d) miatt S értéke ezeken a helyeken pozitív. Ennek a lesz¶kített függvénynek a monotonitása miatt C -nek létezik a 0 helyen a jobb oldali határértéke. A C függvény páros volta miatt ez az A jobb oldali határérték egyszersmind a határértéke is a C függvénynek, így azt kell bizonyítanunk, hogy A = 1. (d)-b®l következik, hogy A nem lehet negatív, ezért elég azt igazolni, hogy A ∈ {−1/2, 1}, vagyis elég azt igazolni, hogy A gyöke a 2 id2 − id −1 polinomfüggvénynek. A második és a harmadik szakasz egyszer¶ tételeib®l következik, hogy az x 7→ 2C 2 (x) − C(2x) − 1 függvény határértéke a 0 helyen 2A2 − A − 1, viszont a (b) és (a) feltételek szerint (y := x) ez az azonosan nulla függvény, így határértéke 0. (i) Legyen ε tetsz®leges pozitív szám. A C függvény 0-beli folytonossága miatt vehetünk egy olyan δ ∈ (0, r] pozitív számot, melyre minden x ∈ (0, δ) esetén 1 − ε < C(x) ≤ 1. Ezek után a (d) feltételb®l következik, hogy ezekre az x számokra

1 − ε < C(x) <

S(x) < 1, x

végül az S/ id függvény páros voltából következik (lásd (f)-t), hogy ezek az egyenl®tlenségek akkor is teljesülnek, ha x ∈ (−δ, 0). (j) S páratlan, így (d)-b®l következik, hogy minden x ∈ (−r, r) esetén |S(x)| ≤ |x|. Legyen u ∈ R, ε ∈ R + , és legyen v az u középpontú, min{r, ε} környezet tetsz®leges eleme. Ekkor felhasználva egyrészt a (g) azonosságokat, másrészt azt, hogy (a) következtében mind a C , mind az S függvény értékkészlete rész a [−1, 1] intervallumnak ¯ µ ¶¯ ¯ µ ¶¯ ¯ ¯ ¯ ¯ v − u v + u ¯ · ¯S ¯ ≤ |v − u| < ε, |C(v) − C(u)| = 2 ¯¯S ¯ ¯ ¯ 2 2 ¯ µ ¶¯ ¯ µ ¶¯ ¯ v + u ¯¯ ¯¯ v − u ¯¯ ¯ |S(v) − S(u)| = 2 ¯C ¯ · ¯S ¯ ≤ |v − u| < ε. 2 2 (k) Ismét a (g) azonosságokat alkalmazzuk.

µ

x−u S C(x) − C(u) 2 =− x−u x−u 2

¶ µ ·S

x+u 2

¶ ,

itt a jobb oldal els® tényez®jének határértéke az u helyen 1, hiszen ez az S/ id küls®, és az injektív x 7→ (x − u)/2 bels® függvény kompozíciója és a bels® függvény határértéke az u helyen 0, a második



96

tényez®é S(u), mert ez a folytonos S küls®, és az x 7→ (x + u)/2 bels® függvény kompozíciója és a bels® függvény határértéke az u helyen u-val egyenl®. µ ¶ x−u µ ¶ S x+u S(x) − S(u) 2 ·C = , x−u x−u 2 2 itt a jobb oldal els® tényez®jének határértéke az u helyen 1, hiszen ez az S/ id küls®, és az (injektív) x 7→ (x − u)/2 bels® függvény kompozíciója és a bels® függvény határértéke az u helyen 0, a második tényez®é C(u), mert ez a (folytonos) C küls® és az injektív x 7→ (x + u)/2 bels® függvény kompozíciója, és a bels® függvény határértéke az u helyen u-val egyenl®.

6.39. Tétel (a (cos, sin) függvénypárra vonatkozó unicitási tétel). Ha a (Ci , Si ) ∈ RR × RR függvénypárok (i=1,2) teljesítik a fenti (a), (b), (c), (d) feltételeket, akkor C1 = C2 és S1 = S2 .

Bizonyítás. Azt kell bizonyítani, hogy az f (x) := [C1 (x) − C2 (x)]2 + [S1 (x) − S2 (x)]2 utasítással értelmezett f : R → R függvény azonosan nulla. Az imént bizonyított lemma felhasználásával kapjuk, hogy f dierenciálható és f (0) = 0, ezért 6.35. szerint elég azt bizonyítani, hogy minden u ∈ R esetén f 0 (u) = 0. Ez viszont könnyen következik a most igazolt lemmából és a korábban bizonyított dierenciálási szabályokból:

f 0 (u) = −2[C1 (u) − C2 (u)][S1 (u) − S2 (u)] + 2[S1 (u) − S2 (u)][C1 (u) − C2 (u)] = 0.

6.40. Megjegyzés. Ha a (cos, sin) függvénypárt be tudjuk vezetni geometriai eszközök használata

nélkül, akkor ugyanez elmondható a π számról is: ehhez csak azt kell bizonyítani a koszinuszfüggvényr®l, hogy van legkisebb pozitív gyöke, ennek kétszeresét nevezhetjük π -nek.

6.41. Tétel. Ha a (C, S) ∈ RR × RR függvénypár teljesíti a fenti (a), (b), (c), (d) feltételeket, akkor

(l) a C függvény értékkészletében van negatív szám, (m) a C függvénynek van legkisebb pozitív gyöke.

Bizonyítás. (l) Indirekt úton okoskodunk: tegyük fel, hogy i := inf R(C) ≥ 0, legyen ε tetsz®leges

pozitív szám, u pedig olyan valós szám, melyre 0 ≤ i ≤ C(u) ≤ i + ε. Ekkor (b)-b®l, (a)-ból és az inmum deníciójából következik, hogy i ≤ C(2u) = 2C 2 (u)−1 ≤ 2(i+ε)2 −1. Az ε 7→ 2(i+ε)2 −i−1 polinomfüggvény folytonossága miatt, éspedig a 0-beli el®jeltartása miatt ebb®l azt kapjuk, hogy 0 ≤ 2i2 − i − 1 = (2i + 1)(i − 1), tehát (tekintettel az indirekt feltevésre) i ≥ 1, ebb®l R(C) ⊂ [−1, 1] miatt adódik, hogy C az azonosan 1 függvény, így (a) miatt S az azonosan nulla függvény, ami ellentmond (d)-nek. (m) C tehát legalább egy helyen negatív értéket vesz fel, és az el®z® lemma szerint páros folytonos függvény. A páros volta miatt van olyan pozitív szám, ahol a helyettesítési értéke negatív, a folytonossága, a szintén az el®z® lemmában bizonyított C(0) = 1 egyenl®ség, és Bolzano tétele miatt tehát olyan pozitív szám is van, ahol C helyettesítési értéke nulla. A (d) feltételb®l következik, hogy C pozitív gyökhelyei halmazának p inmuma nem kisebb r-nél, ezért p > 0. Az inmum deníciója szerint C -nek a p szám minden egyes (jobb oldali) környezetében van gyöke, ami C(p) 6= 0 esetén a folytonos függvény lokális el®jeltartása miatt (5.49.) elképzelhetetlen volna, p tehát a C függvény legkisebb pozitív gyöke. Ha már tudjuk, hogy a koszinuszfüggvénynek van legkisebb pozitív gyökhelye, akkor könny¶ megadni a negatív számok halmazának, a {0} halmaznak, és a pozitív számok halmazának a cos,



97

illetve a sin függvény szerinti teljes inverz képét, könny¶ bizonyítani e két függvény további szimmetriatulajdonságait, 2π szerinti periodicitását, továbbá a tangens- és a kotangensfüggvénynek a középiskolából ismert tulajdonságait, könny¶ megadni a trigonometrikus függvények (szigorú) monotonitási intervallumait, az utóbbi alapján be lehet vezetni az arkuszfüggvényeket:

arccos := (cos |[0,π] )−1 ,

arcsin := (sin |[−π/2,π/2] )−1 ,

arctg := (tg |(−π/2,π/2) )−1 ,

arcctg := (ctg |(0,π) )−1 ,

melyeket kissé pongyola szóhasználattal a trigonometrikus függvények inverzeinek szoktak nevezni. E számos apró állítás helyett most már csak egy dolgot nézünk meg részletesen, azt, hogy mit lehet állítani dierenciálhatóság szempontjából a tangens és a kotangens függvényr®l, továbbá a trigonometrikus függvények inverzeir®l:

6.42. Tétel. A tangens- és a kotangensfüggvény dierenciálható, minden u ∈ D(tg), illetve u ∈ D(ctg) esetén tg0 (u) = 1/ cos2 u és ctg0 (u) = −1/ sin2 u.

Bizonyítás. A 6.16. Tételb®l és az el®z® lemmából következik a dierenciálhatóság ténye és a két formula érvényessége is:

cos2 u + sin2 u 1 = , 2 cos u cos2 u − sin2 u − cos2 u 1 ctg0 (u) = =− 2 . 2 sin u sin u tg0 (u) =

6.43. Állítás. Az arcsin és arccos függvények minden u ∈ (−1, 1) pontban dierenciálhatók, arcsin0 (u) = √

1 = − arccos0 (u), 1 − u2

továbbá arcsin0 (−1) = arcsin0 (1) = +∞ és arccos0 (−1) = arccos0 (1) = −∞.

Bizonyítás. Alkalmazzuk az inverz deriváltjáról szóló tételt (6.21.) a g := sin |[−π/2,π/2] , és a

g := cos |[0,π] függvényre, legyen el®ször v := arcsin u, illetve v := arccos u, másodszor v := −1, harmadszor v := 1. Minthogy a cos függvény a [−π/2, π/2] intervallumon és a sin függvény a [0, π] intervallumon csak nemnegatív értékeket vesz fel, p p √ 1 2 2 = 1 − sin v = 1 − (sin(arcsin u)) 1 − u2 , = cos v = arcsin0 (u)

illetve

p √ √ 1 2v = − 2 = − 1 − u2 , = − sin v = − 1 − cos 1 − (cos(arccos u)) arccos0 (u) innen reciprokokra áttérve adódik az els® két állítás. A végpontokban vett deriváltakra vonatkozó állítások közvetlenül következnek a 6.21. Tételb®l, hiszen a sin |[−π/2,π/2] függvény szigorúan monoton növ®, deriváltja a két végpontban nulla, a cos |[0,π] függvény szigorúan monoton fogyó és a deriváltja a két végpontban nulla.

6.44. Megjegyzés. Hasonlóan bizonyíthatók a következ® állítások is (a bizonyításokat a Kedves

Olvasó feltétlenül gondolja végig): minden u ∈ R esetén arctg0 (u) =

1 = −arcctg0 (u). 1 + u2



98

6.7. Középértéktételek I. 6.45. Tétel (Darboux tételének speciális esete). Ha g : [a, b] → R dierenciálható és g 0 (a) <

0 < g 0 (b), akkor van olyan u ∈ (a, b), amelyre g 0 (u) = 0.

Bizonyítás. g dierenciálható, ezért folytonos is az [a, b] intervallumon, így Weierstrass tétele

szerint van legkisebb értéke. Sem g(a), sem g(b) nem lehet g legkisebb értéke; g(a) azért nem lehet, mert g 0 (a) < 0 miatt g az a pontban lokálisan szigorúan fogyó, g(b) azért nem lehet, mert g 0 (b) > 0 miatt g a b helyen lokálisan szigorúan növ®. Így tehát az (a, b) = int[a, b] intervallumban található olyan u szám, melyre g(u) a g függvény legkisebb értéke. A (lokális) széls®érték els®rend¶ szükséges feltétele (6.28.) szerint minden ilyen u kielégíti a g 0 (u) = 0 egyenletet.

6.46. Tétel (Darboux tétele). Ha az f : [a, b] → R dierenciálható függvényre és az y valós számra teljesülnek vagy az f 0 (a) < y < f 0 (b), vagy az f 0 (b) < y < f 0 (a) egyenl®tlenségek, akkor található olyan u ∈ (a, b), melyre f 0 (u) = y .

Bizonyítás. Értelmezzük a g : [a, b] → R függvényt az els® egyenl®tlenség-pár teljesülése esetén az

x 7→ f (x)−y ·x, a másik esetben az x 7→ y ·x−f (x) hozzárendeléssel. g is dierenciálható, hiszen két ilyen függvény összege, g 0 (x) az els® esetben minden x ∈ [a, b] esetén az f 0 (x) − y , a második esetben az y − f 0 (x) számmal egyenl®. Ezek szerint az f -re és y -ra vonatkozó feltételekb®l következnek az g 0 (a) < 0 < g 0 (b) egyenl®tlenségek, míg a bizonyítandó állítás egyenérték¶ azzal, hogy a g 0 (u) = 0 egyenletnek létezik u ∈ (a, b) megoldása, így tételünk az el®z® tétel következménye.

6.47. Lemma. Ha egy nyílt intervallumon értelmezett dierenciálható függvény deriváltja egyetlen

pontban sem nulla, akkor ez a függvény szigorúan monoton.

Bizonyítás. Elég azt igazolni, hogy a derivált vagy minden pontban negatív, vagy minden pontban

pozitív (6.32). Ez azért van így, mert a logikailag elképzelhet® harmadik eset, hogy tudniillik olyan pont is van, ahol a derivált negatív, meg olyan is, amelyben a derivált pozitív, Darboux tétele szerint nem következhet be: ha ugyanis létezne az intervallumban két ilyan szám, a kisebbiket aval, nagyobbikat b-vel jelölve, a függvényünknek az [a, b] intervallumra való lesz¶kítésére lehetne alkalmazni Darboux tételét, s azt kapnánk, hogy a derivált értéke valahol mégis nulla lenne.

6.48. Tétel (általánosított Rolle-tétel). Ha egy nyílt intervallumon értelmezett dierenciálható függvénynek az intervallum mindkét végpontjában van határértéke és ezek a határértékek egyenl®k egymással, akkor a függvény deriváltja az intervallum legalább egy pontjában nulla.

Bizonyítás. Indirekt úton okoskodunk. Ha a derivált értéke egyetlen pontban sem volna nulla, akkor az imént bizonyított lemma szerint függvényünk monoton lenne. A monotonitásból következik az, hogy a két végpontbeli határérték a függvény értékkészletének alsó, illetve fels® határa (lásd az el®z® fejezet 5.51. Tételét), viszont a szigorú monotonitás miatt függvényünk nem konstans, így értékkészletének alsó határa nem lehet egyenl® a fels® határával.

6.49. Tétel (Rolle tétele). Ha egy zárt intervallumon értelmezett folytonos függvény az intervallum végpontjaiban azonos értékeket vesz fel, és az intervallum bels® pontjaiban dierenciálható, akkor deriváltjának értéke legalább egy (bels®) pontban nulla.



99

Bizonyítás. Sz¶kítsük le függvényünket az intervallum bels® pontjainak halmazára. Erre a

lesz¶kített függvényre alkalmazható az el®z® tétel, hiszen egyrészt a végpontokban fennálló folytonosság miatt ott létezik a határérték is, és az egyenl® a helyettesítési értékkel, másrészt az eredeti függvény határértékének létezése és valamely A számmal való egyenl®sége is egyenérték¶ a lesz¶kített függvény határértékének létezésével és az A számmal való megegyezésével, meg a bels® pontokban feltételezett dierenciálhatóság is egyenérték¶ a lesz¶kített függvény dierenciálhatóságával. Ha a lesz¶kített függvény deriváltja egy pontban nulla, akkor ott az eredeti függvényé is nulla.

6.50. Tétel (a Lagrange-féle középértéktétel). Ha az f ∈ C[a, b] függvény dierenciálható a

nyílt (a, b) intervallum minden egyes pontjában, akkor van olyan w ∈ (a, b), melyre f 0 (w) egyenl® a z := [f (b) − f (a)]/(b − a) hányadossal.

Bizonyítás. Az [a, b] intervallumon értelmezett x 7→ f (x) − f (a) − z · (x − a) =: ϕ(x) függvényre alkalmazható Rolle tétele, hiszen ez a függvény (a, b) pontjaiban dierenciálható, a két végpontban folytonos (az f függvény is ilyen, a polinomfüggvények is ilyenek, továbbá két ilyen függvény összege is ilyen) és mindkét végpontban a 0 értéket veszi fel. Rolle tétele szerint tehát van az (a, b) intervallumban olyan w szám, amelyre 0 = ϕ0 (w) = f 0 (w) − z .

6.51. Megjegyzés. A most bizonyított tétel állításának szemléletes tartalma: a függvény grakonjának van olyan érint®je, amely párhuzamos a grakon két végpontján áthaladó (szel®) egyenessel. 6.52. Megjegyzés. Evidens, hogy az alábbi tételb®l speciális esetként adódik a Lagrange-féle középértéktétel (g := id), a Lagrange-féle középértéktételb®l pedig Rolle tétele.

6.53. Tétel (a Cauchy-féle középértéktétel). Ha mind az f , mind a g függvény az [a, b] intervallumon értelmezett folytonos, a bels® pontokban dierenciálható függvény, továbbá minden egyes x ∈ (a, b) esetén g 0 (x) 6= 0, akkor I. g(b) − g(a) 6= 0, II. van olyan v ∈ (a, b), amelyre

f (b) − f (a) f 0 (w) = 0 . g(b) − g(a) g (w)

Bizonyítás. I. Ha g(b) = g(a) volna, akkor Rolle tétele szerint volna olyan x ∈ (a, b), amelyre g 0 (x) = 0 volna. II. A bizonyítandó egyenl®séget a nevez®kkel való átszorzás, majd egy oldalra rendezés után (f (b) − f (a)) · g 0 (w) − (g(b) − g(a)) · f 0 (w) = 0 alakra hozhatjuk, ez adhatja azt az ötletet, hogy vezessük be a

h : [a, b] → R

x 7→ (f (b) − f (a)) · g(x) − (g(b) − g(a)) · f (x)

függvényt, és próbáljuk erre alkalmazni Rolle tételét. A valamely pontban folytonos, illetve dierenciálható függvények konstansszorosa is, összege is folytonos, illetve dierenciálható ugyanebben a pontban, ezért h ∈ C[a, b], h dierenciálható a nyílt (a, b) intervallum pontjaiban és minden x ∈ (a, b) esetén h0 (x) = (f (b) − f (a)) · g 0 (x) − (g(b) − g(a)) · f 0 (x), vagyis olyan (a, b)-beli w szám létezését kell bizonyítanunk, amelyre h0 (w) = 0. Ez valóban következik Rolle tételéb®l, hiszen amint az egyszer¶ számolással ellen®rizhet® h(b) = h(a)(= f (b)g(a) − f (a)g(b)). Ha az iménti bizonyításban a b-beli, illetve a-beli helyettesítési értékeket az ottani határértékekkel helyettesítjük, és Rolle tétele helyett az általánosított Rolle-tételre hivatkozunk, akkor éppen az alábbi tétel bizonyítását kapjuk:



100

6.54. Tétel (az általánosított Cauchy-féle középértéktétel). Legyen −∞ ≤ a < b ≤ +∞, f

és g az (a, b) intervallumon értelmezett olyan dierenciálható függvények, melyeknek létezik és véges a határértéke mind az a, mind a b pontban, végül tegyük fel, hogy g deriváltja az (a, b) intervallum egyetlen pontjában sem nulla. Ekkor I. limb g − lima g 6= 0; II. van olyan w ∈ (a, b), melyre

limb f − lima f = g 0 (w). limb g − lima g

6.8. Kritikus határértékek A határértékek és az algebrai m¶veletek kapcsolatáról szóló szakaszban két nullához tartó függvény hányadosáról semmi általános érvény¶t nem tudtunk állítani, s hasonló volt a helyzet a ±∞-hez tartó függvények hányadosa esetén is. A dierenciálszámítás eszközeinek birtokában viszont már tudunk bizonyítani néhány hasznos állítást ebben a témakörben. Ezek közül az els®nek (melyet gyenge L'Hôpital-szabály-nak fogunk nevezni) a bizonyításához elegend® a dierenciálhatóság denícióját használni:

6.55. Tétel. Legyen u a H számhalmaz nem-izolált pontja, f és g egyaránt a H halmazon értelmezett, és az u pontban dierenciálható függvény, tegyük fel továbbá, hogy f (u) = g(u) = 0 6= g 0 (u). Ekkor az f /g függvénynek van határértéke az u pontban, és ez f 0 (u)/g 0 (u)-val egyenl®.

Bizonyítás. g 0 (u) 6= 0 miatt van olyan r pozitív szám, hogy g értéke egyetlen olyan H -beli x helyen

sem nulla, melyre 0 < |x − u| < r (6.26.II.). A továbbiakban csak ilyen x számokra szorítkozva, egyszer¶sítsük az f (x)/g(x) törtet x − u-val, és használjuk fel az f (u) = g(u) = 0 feltételt:

f (x) K f (x) , = ug g(x) Ku (x) az utóbbi tört számlálója, illetve nevez®je tart az f 0 (u), illetve a g 0 (u) számhoz, az utóbbi nullától különböz®, ezért a hányados határértéke e két szám hányadosával egyenl®. Nem ilyen egyszer¶ a helyzet, ha az a pont, amelyben a határértéket keressük, nincs benne az értelmezési tartományban, vagy benne van ugyan, de ott a függvényeink nem dierenciálhatók. Ilyen esetekben is el®fordulhat azonban, hogy az alábbi tétel segítségével meg tudjuk határozni a hányados határértékét:

6.56. Tétel (az 1. L'Hôpital-szabály). Legyen I nyílt intervallum, u pedig ennek vagy eleme, vagy végpontja (azaz u ∈ I 0 ), F és G az I \ {u} halmazon értelmezett olyan dierenciálható függvények, melyeknek a határértéke az u helyen nulla. Ha van olyan pozitív r szám, melyre minden ˙ x ∈ I ∩ B(u, r) esetén G0 (x) 6= 0 , és létezik a limu F 0 /G0 =: v , akkor u torlódási pontja az F/G függvény értelmezési tartományának, és ott e függvény határértéke v -vel egyenl®. ˙ Bizonyítás. El®ször azt bizonyítjuk, hogy az I ∩ B(u, r) halmazon a G függvény nem veszi fel

a nulla értéket. Ha u végpontja az I intervallumnak, akkor ez a metszethalmaz egy olyan (a, b) nyílt intervallum, melynek egyik végpontja u. Ha lenne G-nek egy (a, b)-beli z gyökhelye, akkor G határértéke is nulla lenne a z helyen (hiszen G itt folytonos), de akkor J -vel jelölve azt a nyílt intervallumot, melynek végpontjai u és z a G|J függvényé is, tehát a G|J függvény teljesítené az általánosított Rolle-tétel feltételeit, holott a deriváltjának nincs gyökhelye. Ha u bels® pontja ˙ I -nek, akkor az I ∩ B(u, r) halmaz két diszjunkt nyílt intervallum uniója, de mindkét intervallumról elmondható mindaz, amit az imént az (a, b) intervallumról elmondtunk. ˙ Minthogy u torlódási pontja az I ∩ B(u, r) halmaznak, még inkább torlódási pontja a b®vebb D(F/G) halmaznak. Az F/G határértékére vonatkozó állítás bizonyítása céljából legyen ε tetsz®leges



101

˙ pozitív szám, δ ∈ (0, r) pedig olyan szám, melyre minden w ∈ I ∩ B(u, δ) esetén F 0 (w)/G0 (w) ∈ ˙ B(v, ε). Ezek után elég azt igazolni, hogy minden x ∈ I ∩ B(u, δ) esetén F (x)/G(x) ∈ B(v, ε), ehhez ˙ ˙ pedig azt, hogy minden x ∈ I ∩ B(u, δ) számhoz található olyan w ∈ I ∩ B(u, δ), melyre F (x)/G(x) = 0 0 ˙ F (w)/G (w). Legyen tehát x ∈ I ∩ B(u, δ) és jelöljük J -vel azt a nyílt intervallumot, amelynek ˙ végpontjai u és x. Ez a J részhalmaza az I ∩ B(u, δ) halmaznak, az (F |J , G|J ) függvénypár teljesíti az általánosított Cauchy-féle középértéktétel feltételeit, hiszen a lesz¶kített függvények határértékei az x pontban megegyeznek a lesz¶kítés nélküli függvények ottani helyettesítési értékeivel, az u pontban pedig nullával. E középértéktétel szerint tehát valóban létezik olyan w, amilyennek a létezését állítottuk.

6.57. Tétel (a 2. L'Hôpital-szabály). Legyen I nyílt intervallum, u pedig ennek vagy eleme, vagy

végpontja (azaz u ∈ I 0 ), legyenek F és G az I \{u} halmazon értelmezett dierenciálható függvények. Ha a |G| függvény határértéke az u helyen +∞, van olyan pozitív r szám, melyre minden x ∈ ˙ I ∩ B(u, r) esetén G0 (x) 6= 0 , és létezik a limu F 0 /G0 =: v , akkor u torlódási pontja az F/G függvény értelmezési tartományának, és ott e függvény határértéke v -vel egyenl®.

Bizonyítás. Elég a következ® két állítást bizonyítani: 1. Ha u nem bal végpontja az I inter-

vallumnak, akkor egy bal oldali pontozott környezetében a G függvény értéke mindenütt nullától különböz®, és az F/G függvény bal oldali határértéke az u helyen v ; 2. Ha u nem jobb végpontja az I intervallumnak, akkor egy jobb oldali pontozott környezetében a G függvény értéke mindenütt nullától különböz®, és az F/G függvény jobb oldali határértéke az u helyen v . 1. A G függvénynek az I ∩ B˙ − (u, r) nyílt intervallumra való lesz¶kítése szigorúan monoton, mert a deriváltja minden pontban nullától különböz® (lásd az általánosított Rolle-tétel el®tt bizonyított 6.47. Lemmát), ezért az u helyen van határértéke (5.51.), ez csakis +∞ vagy −∞ lehet, mert a |G| függvény határértéke az u helyen +∞. Ebb®l következik egy olyan p ∈ (0, r] szám létezése, melyre minden x ∈ I ∩ B˙ − (u, p) esetén G(x) 6= 0. Ezek után elég az F/G függvénynek az I ∩ B˙ − (u, p) intervallumra való lesz¶kítésével foglalkozni, err®l bizonyítani, hogy határértéke az u helyen v . Ezt az el®z® fejezet 5.36. Tételének felhasználásával tesszük: azt igazoljuk, hogy ha az u-hoz tartó szigorúan monoton (növ®) (xn ) sorozat minden tagja az I ∩ B˙ − (u, p) intervallumban van, akkor lim(F (xn )/G(xn )) = v . Minthogy a (G(xn )) sorozat szigorúan monoton és határértéke +∞ vagy −∞, Stolz tétele szerint elég azt bizonyítani, hogy

F (xn+1 ) − F (xn ) = v. n→∞ G(xn+1 ) − G(xn ) lim

Ebb®l a célból alkalmazzuk a Cauchy-féle középértéktételt minden n pozitív egész esetén az F , G függvényeknek arra a lesz¶kítésére, melyeknek az értelmezési tartománya az [xn , xn+1 ] intervallum. Így kapunk egy olyan (wn ) sorozatot, melyre minden n esetén xn < wn < xn+1 < wn+1 < u (tehát ez is u-hoz tartó szigorúan monoton növ® sorozat) és

F 0 (wn ) F (xn+1 ) − F (xn ) = 0 . G(xn+1 ) − G(xn ) G (wn ) És minthogy a jobb oldalon álló sorozat határértéke az el®z® fejezet 5.36. Tétele szerint v , a bizonyítás elején megfogalmazott 1. állítás igazolását befejeztük. A 2. állítás bizonyítása hasonlóan végezhet®: bal oldali pontozott környezetek helyett jobb oldaliakkal, illetve szigorúan növ® sorozatok helyett szigorúan fogyó sorozatokkal, stb. (S®t, valójában a 2. állítás az 1. állítás következményének is tekinthet®.)



102

6.9. Többször dierenciálható függvények Emlékeztetünk rá, hogy a derivált függvény, és a tágabb értelemben vett derivált függvény fogalmát a fejezet elején értelmeztük (6.10). Ennek ellenére, hogy a Kedves Olvasót megkíméljük a sok lapozástól, itt is idézzük a deníciót:

6.58. Deníció. Ha f egyváltozós valós függvény, és H := {x ∈ D(f )|x ∈ D(f ) ∩ D(f )0 ∃f 0 (x) ∈

R} 6= ∅, akkor a H halmazon értelmezett x 7→ f 0 (x) függvényt az f függvény tágabb értelemben vett

(els®) derivált függvényének nevezzük, és f 0 -vel jelöljük. f derivált függvénye az f 0 függvénynek az a lesz¶kítése, amelynek értelmezési tartománya a {x ∈ H : f 0 (x) ∈ R} halmaz.

6.59. Megjegyzés. Ezek szerint az egyváltozós valós f függvény pontosan akkor dierenciálható, ha a derivált függvénye az f egész értelmezési tartományán értelmezett.

Egyváltozós valós függvények magasabb rend¶ deriváltjait és ezek tágabb értelemben vett kiterjesztéseit rekurzív módon értelmezzük:

6.60. Deníció. Legyen f egyváltozós valós függvény és n olyan pozitív egész, amelyre értelmezett az

f függvénynek az f (n) : D(f ) ⊃→ R tágabb értelemben vett n-edik deriváltfüggvénye (valójában n = 1, 2, és 3 esetén az f (1) , f (2) , f (3) jelölések helyett inkább az f 0 , f 00 , f 000 jelöléseket szokás használni), és ennek lesz¶kítéseként az f n-edik derivált függvénye. Ha az utóbbinak létezik tágabb értelemben vett derivált függvénye, akkor azt az f tágabb értelemben vett n + 1-edik derivált függvényének is nevezzük, f (n+1) -gyel jelöljük, és az f (n+1) (u) helyettesítési értéket az f függvény u pontban vett n + 1-edik deriváltjának is nevezzük, ha az n-edik derivált függvénynek van derivált függvénye, akkor azt az f függvény n+1-edik derivált függvényének nevezzük. Az a kijelentés, hogy f az u helyen n-szer dierenciálható, azt jelenti, hogy u eleme az n-edik derivált függvény értelmezési tartományának, azaz eleme az f (n) függvény értelmezési tartományának és f (n) (u) ∈ R, az pedig, hogy f a H halmazon nszer dierenciálható, azt jelenti, hogy f a H halmaz minden egyes pontjában n-szer dierenciálható, speciálisan abban az esetben, ha az utóbbi kijelentés H := D(f ) mellett teljesül, az f függvényt röviden n-szer dierenciálhatónak nevezzük. Végezetül állapodjunk meg abban is, hogy f nulladik deriváltján magát az f függvényt értjük, s az a kijelentés, hogy f az u pontban (a H halmazon) nullaszor dierenciálható, jelentse azt, hogy u eleme (H része) f értelmezési tartományának.

6.61. Deníció (végtelen sokszor dierenciálható függvény). Az a kijelentés, hogy az f

függvény végtelen sokszor dierenciálható az u pontban, illetve a H(⊂ D(f )) halmazon, azt jelenti, hogy f minden pozitív egész n esetén n-szer dierenciálható az u pontban, illetve a H halmazon. A H = D(f ) esetben most is kimaradhat a mondatból az, hogy a D(f ) halmazon.

6.62. Feladat. Bizonyítandó, hogy az alábbi függvények mindegyike végtelen sokszor dierenciál-

ható: a racionális törtfüggvények, az exponenciális függvények, a logaritmusfüggvények, a pozitív számok halmazán értelmezett hatványfüggvények, bármely hatványfüggvénynek a pozitív számok halmazára való lesz¶kítése, cos, sin, tg, ctg, arctg, arcctg, arccos |(−1,1) , arcsin |(−1,1) , ch, sh, th, cth, arch |(1,+∞) , arsh, arth, ar cth.

6.63. Feladat. Ha n pozitív egész, f és g ugyanazon a számhalmazon értelmezett egyváltozós valós

függvények, és mindkét függvény n-szer dierenciálható az u pontban, akkor f +g is, f g is, és minden valós c szám esetén cf is n-szer dierenciálható az u helyen, továbbá n µ ¶ X n (i) (n) (n) (n) (n) (f + g) (u) = f (u) + g (u), (f g) (u) = f (u)g (n−i) (u), (cf )(n) (u) = cf (n) (u). i i=0 Általánosítsuk az összegre vonatkozó állítást több tagú összegre is!



103

6.64. Megjegyzés. A szorzat n-edik deriváltjára vonatkozó formulát Leibniz-formulának szokták nevezni, teljes indukcióval történ® bizonyítását elvégezhetjük pédául úgy, hogy a binomiális tétel teljes indukciós bizonyítását másoljuk. A hatványfüggvények deriválási szabályának alkalmazásával igen könnyen oldható meg az alábbi

6.65. Feladat. Legyen u tetsz®leges valós szám, k pozitív egész, és f : R → R az a függvény, amely minden egyes valós x-hez az (x − u)k számot rendeli. Bizonyítandó, hogy ekkor minden i ∈ 0, k − 1 esetén f (i) (u) = 0; f (k) (u) = k!, továbbá ha x tetsz®leges valós szám, akkor az f (i) (x) derivált minden k -nál nagyobb i egész esetén nullával, i = k esetén pedig k!-sal egyenl®. 6.66. Deníció (n-edrendben kicsi függvény). Legyen n nemnegatív egész, f egyváltozós valós

függvény és u ∈ R torlódási pontja f értelmezési tartományának. Ekkor az a kijelentés, hogy f az u helyen n-edrendben kicsi, azt jelenti, hogy

f (x) = 0. x→u (x − u)n lim

6.67. Tétel. Legyen n pozitív egész, f olyan egyváltozós valós függvény, amely egy u pont valamely

környezetében n − 1-szer, és az u helyen n-szer dierenciálható, végül tegyük fel, hogy minden n-nél nem nagyobb nemnegatív k egész esetén f (k) (u) = 0. Ekkor f az u helyen n-edrendben kicsi.

Bizonyítás. n szerinti teljes indukciót alkalmazunk. Ha n = 1, akkor az állítás az u-beli derivált deníciójából következik. Legyen n olyan pozitív egész, melyre az állítás igaz és f olyan egyváltozós valós függvény, amely egy u pont valamely U környezetében n-szer, és az u pontban n + 1-szer dierenciálható. Ekkor az f 0 függvényre alkalmazható az indukciós feltevés, ezért f 0 az u helyen n-edrendben kicsi. Legyen ε tetsz®leges pozitív szám, δ pedig olyan pozitív szám, amelyre minden ˙ t ∈ B(u, δ) esetén t ∈ U és ¯ 0 ¯ ¯ f (t) ¯ ¯ ¯ ¯ (t − u)n ¯ < ε.

˙ Ezek után elég azt igazolni, hogy minden x ∈ B(u, δ) esetén ¯ ¯ ¯ f (x) ¯ ¯ ¯ ¯ (x − u)n+1 ¯ < ε. ˙ Legyen tehát x ∈ B(u, δ), Ix az az intervallum, melynek végpontjai u és x, és alkalmazzuk a Lagrangeféle középértéktételt f -nek Ix -re való lesz¶kítésére: az Ix intervallum belsejében található olyan cx , melyre f (x) = f 0 (cx ), x−u ˙ ˙ s amely persze I \ {u} ⊂ B(u, δ) miatt benne van a B(u, δ) pontozott környezetben, ezért felhasználva azt is, hogy cx az u és x pontok között van, s ennélfogva |cx − u|/|x − u| < 1, ¯ ¯ ¯ ¯ 0 ¯ ¯ 0 ¯¯ ¯ ¯ n¯ ¯ f (cx ) ¯ ¯ cx − u ¯n ¯ ¯ f (x) ¯ ¯ f (cx ) ¯ f (x) (c − u) 1 x ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯¯ ¯ ¯ ¯ (x − u)n+1 ¯= ¯ x − u (x − u)n ¯ = ¯ (cx − u)n · (x − u)n ¯ = ¯ (cx − u)n ¯ ¯ x − u ¯ < ε adódik.



104

6.10. A lokális Taylor-formula és következményei 6.68. Deníció (Taylor-polinomok). Ha n nemnegatív egész, az egyváltozós valós f függvény nszer dierenciálható az u pontban (ez n = 0 esetén csak annyit jelentsen, hogy értelmezett az u pontban) és i ∈ 0, n, akkor az f függvény u ponthoz tartozó n-edik Taylor-polinomja a f Tu,n (x)

:=

n X f (k) (u)

k!

k=0

(x − u)k

f hozzárendeléssel értelmezett Tu,n polinomfüggvény.

6.69. Állítás. Az iménti denícióban megfogalmazott feltételek mellett minden i ∈ 0, n esetén f (i) (Tu,n ) (u) = f (i) (u).

Bizonyítás. Lásd a 6.65., 6.63. feladatokat. 6.70. Megjegyzés. A következ® szakaszban (6.82) megmutatjuk, hogy a legfeljebb n-edfokú polinomfüggf vények között Tu,n az egyetlen olyan p polinomfüggvény, amelyre teljesül az, hogy p(i) (u) = f (i) (u).

∀ i ∈ 0, n

6.71. Tétel (lokális Taylor-formula két változatban). Legyen n pozitív egész és tegyük fel,

hogy az egyváltozós valós f függvény az u pont egy környezetében n − 1-szer, az u pontban pedig n-szer dierenciálható. Ekkor f f (x) − Tu,n (x) lim =0 x→u (x − u)n

és

f f (x) − Tu,n−1 (x) 1 lim = f (n) (u). n x→u (x − u) n!

f Bizonyítás. 6.63. és 6.65. szerint az f −Tu,n függvényre alkalmazható az el®z® szakasz tétele, tehát

ez a függvény az u helyen n-edrendben kicsi. A tétel második állítása egyenérték¶ az els®vel, hiszen egyenérték¶ azzal, hogy az f (x) f (x) − Tu,n−1 1 − f (n) (u) x 7→ n (x − u) n!

függvény határértéke az u helyen nulla, viszont ez utóbbi függvény azonos az f f (x) − Tu,n (x) x 7→ (x − u)n

függvénnyel (szorozzuk és osszuk a második tagot (x − u)n -nel, majd hozzunk közös nevez®re).

6.72. Deníció. Ha n pozitív egész, u ∈ R, f egyváltozós valós függvény, és minden i ∈ 0, n − 1

f (i) = 0, akkor azt mondjuk, hogy u az f függvénynek legalább n-szeres gyök(hely)e. Ha ráadásul létezik az f n-edik deriváltja is az u helyen, de az már nem nulla, akkor azt mondjuk, hogy u az f -nek pontosan n-szeres gyök(hely)e.

A szakasz további tételeiben a valamely pontban többször dierenciálható függvény lokális viselkedését vizsgáljuk, a szóban forgó pont a derivált, vagy a második derivált többszörös gyökhelye lesz.

6.73. Tétel. Legyen n pozitív egész, az f függvény valamely u pont egy környezetében n − 1-szer,

magában az u pontban n-szer dierenciálható, végül tegyük fel, hogy minden i ∈ 1, n − 1 esetén f (i) (u) = 0.



105

1. Ha f -nek lokális széls®értéke van az u helyen és n páratlan, akkor f (n) (u) = 0. 2. Ha f -nek lokális minimuma [maximuma] van az u helyen és n páros, akkor f (n) (u) ≥ 0 [f (n) (u) ≤ 0]. 3. Ha n páros és f (n) (u) > 0 [f (n) (u) < 0, akkor f -nek az u helyen lokális minimuma [maximuma] van.

Bizonyítás. A lokális Taylor-formula szerint f (x) − f (u) . x→u (x − u)n

f (n) (u) = n! lim

Mindegyik állítás az 5.50. Tétel egyszer¶ következménye: 1. Az említett tétel az x 7→ (n!)(f (x) − f (u))/(x − u)n függvénynek mind a D(f ) ∩ (−∞, u), mind a D(f ) ∩ (u, +∞) halmazra való lesz¶kítésére alkalmazható, ebb®l azt kapjuk, hogy e két függvény egyikének határértéke az u helyen nemnegatív, a másikáé nempozitív, de minthogy mindkét (egy oldali) határértéknek meg kell egyeznie a lesz¶kítés nélküli függvény határértékével, az f (n) (u) számmal, az csak nulla lehet. 2. Az x 7→ (n!)(f (x) − f (u))/(x − u)n függvénynek az u egy pontozott környezetében felvett értékei nemnegatívak [nempozitívak], ezért az u-beli határértékér®l is ugyanez mondható. 3. Az imént is vizsgált függvényr®l ezúttal azt tudjuk, hogy u-beli határértéke pozitív [negatív], ebb®l következik, hogy az u egy pontozott környezetében felvett értékei is ugyanilyen el®jel¶ek. És minthogy közben a tört nevez®je e pontozott környezet minden pontjában pozitív, a tört el®jele megegyezik a számláló el®jelével.

6.74. Tétel. Legyen n pozitív egész, az f függvény valamely u pont egy környezetében n − 1-szer,

magában az u pontban n-szer dierenciálható, végül tegyük fel, hogy minden i ∈ 1, n − 1 esetén f (i) (u) = 0. 1. Ha f lokálisan növ® [fogyó] az u pontban és n páratlan, akkor f (n) (u) ≥ 0 [f (n) (u) ≤ 0]. 2. Ha f lokálisan növ® [fogyó] az u pontban és n páros, akkor f (n) (u) = 0. 3. Ha n páratlan és f (n) (u) > 0 [f (n) (u) < 0], akkor f az u helyen lokálisan szigorúan növ® [fogyó].

Bizonyítás vázlata. A lokális Taylor-formula szerint f

(n)

f f (x) − Tu,n−1 (x) f (x) − f (u) 1 1 (u) = n! lim = n! lim . x→u x→u x−u (x − u)n−1 x−u (x − u)n−1

Innent®l kezdve az el®z® bizonyítás lényegében szó szerint másolható.

6.75. Deníció. Tegyük fel, hogy az f függvény dierenciálható az u ∈ int D(f ) pontban. Az u f pontról akkor mondjuk, hogy inexiós pontja az f -nek, ha az f −Tu,1 függvény az u pontban szigorúan növ® vagy szigorúan fogyó



106

f 6.76. Megjegyzés. Minthogy a ϕ := f − Tu,1 függvény az u helyen a 0 értéket veszi fel, e függvény

szigorúan növ®, illetve fogyó volta egy olyan pozitív r szám létezésével egyenérték¶, melyre egyrészt B(u, r) ⊂ D(f ), másrészt a u − r < x < u < y < u + r feltételeknek eleget tev® (x, y) párok mindegyikére f f f (x) < Tu,1 (x) és f (y) > Tu,1 ,

illetve

f f (x) > Tu,1 (x) és

f f (y) < Tu,1 .

Arról van szó tehát, hogy f grakonja az (u, f (u)) pontban átmetszi az e pontban a grakonhoz húzott érint®t.

6.77. Tétel. Legyen n 1-nél nagyobb egész, f az u pont egy környezetében n − 1-szer, magában az u pontban n-szer dierenciálható, továbbá tegyük fel, hogy minden i ∈ 2, n − 1 esetén f (i) (u) = 0. 1. Ha u inexiós pontja az f -nek és n páros, akkor f (n) (u) = 0, 2. Ha n páratlan és f (n) (u) 6= 0, akkor u inexiós pontja az f -nek.

Bizonyítás. A lokális Taylor-formula, illetve a tétel utolsó feltétele szerint f

(n)

f f (x) − Tu,n−1 (x) 1 1 f (x) − f (u) − f 0 (u)(x − u) (u) = n! lim = n! lim . n−1 x→u x→u x−u (x − u) x−u (x − u)n−1

1. Az inexiós pont deníciójából következik, hogy az utolsó limx→u jelet követ® szorzat els® tényez®jének el®jele u egy pontozott környezetén belül állandó és nem nulla, a második tényez® viszont az u helyen el®jelet vált, így a szorzat határértékének létezéséb®l, illetve ennek ama következményéb®l, hogy a bal oldali határérték megegyezik a jobb oldali határértékkel, azt kapjuk, hogy ez a határérték nulla. 2. u egy pontozott környezetén belül minden x-re

sgn

f (x) − f (u) − f 0 (u)(x − u) f (x) − f (u) − f 0 (u)(x − u) 1 f (n) (u) = sgn = sgn x−u x−u (x − u)n−1 n!

(az els® egyenl®séghez csak az kellett, hogy n − 1 páros, a másodikhoz az el®z® fejezet 5.50. tétele), f tehát az f − Tu,1 függvény az u pontban lokálisan szigorúan növ®, illetve fogyó attól függ®en, hogy (n) f (u) pozitív, vagy negatív.

6.11. Középértéktételek II. 6.78. Tétel (n-edrend¶ általánosított Rolle-tétel). Legyen n pozitív egész, ϕ nyílt intervallu-

mon értelmezett n-szer dierenciálható függvény és v ∈ R az intervallum egyik végpontja. Tegyük fel egyrészt azt, hogy ϕ-nek az intervallum mindkét végpontjában létezik határértéke és ez a két határérték egyenl® egymással, másrészt azt, hogy minden egyes k ∈ 1, n − 1 esetén limv ϕ(k) = 0. Ekkor az intervallumban van olyan pont, ahol ϕ n-edik deriváltja nullával egyenl®.

Bizonyítás. n szerinti teljes indukcióval. Az n = 1 esetet már bizonyítottuk (általánosított Rolle-

tétel). Legyen n olyan pozitív egész, amelyre igaz a tétel, h : (a, b) → R pedig olyan n + 1-szer dierenciálható függvény, melynek a két végpontban létezik határértéke, lima h = limb h, továbbá amelyre v = a vagy v = b, és minden k ∈ 1, n esetén limv h(k) = 0. Az általánosított Rolle-tétel szerint van olyan u ∈ (a, b), ahol h deriváltja nulla. Legyen ϕ a h0 függvénynek az a lesz¶kítése, melynek értelmezési tartománya az u és v végpontok által meghatározott I nyílt intervallum. Ez a



107

függvény nyilván n-szer dierenciálható, minden k ∈ 0, n esetén limv ϕ(k) = 0, továbbá limu ϕ = 0. Az utóbbit azért állíthatjuk, mert h0 az u helyen n-szer tehát legalább egyszer dierenciálható, ezért ott folytonos is, és (lévén u nem-izolált pontja az (a, b) intervallumnak) így 0 = h0 (u) = limu h0 = limu h0 |I = limu (h|I )0 = limu ϕ. Erre a függvényre tehát alkalmazható az indukciós feltétel: az I intervallum valamely pontjában az n-edik deriváltja nulla, ezért a h függvény n+1-edik deriváltja ebben a pontban nulla.

6.79. Tétel (n-edrend¶ általánosított Cauchy-féle középértéktétel). Legyen az (a, b) nyílt intervallum egyik végpontja v ∈ R, n pozitív egész, F és G (a, b)-n értelmezett n-szer dierenciálhatófüggvények; tegyük fel egyrészt azt, hogy mind az F , mind a G határértéke mind az a, mind a b pontban létezik és véges, másrészt azt, hogy minden k ∈ 1, n − 1 esetén limv F (k) = limv G(k) = 0, végül azt, hogy a G(n) függvény értéke sehol sem nulla. Ekkor limb G − lima G 6= 0, és létezik olyan w ∈ (a, b), melyre limb F − lima F F (n) (w) = (n) . limb G − lima G G (w) Bizonyítás. Ha d := limb G − lima G = 0 lenne, akkor limb G = lima G lenne, így az el®z® tétel szerint G(n) értéke valahol nulla lenne. A tétel másik állítása úgy is fogalmazható, hogy van olyan w ∈ (a, b), ahol a c := limb F − lima F jelöléssel a

ϕ := c · G − d · F függvény n-edik deriváltja a nulla értéket veszi fel. Ez az el®z® tételb®l következik, hiszen ϕ is nszer dierenciálható, minden k ∈ 1, n esetén limv ϕ(k) = c limv G(k) − d limv F (k) = 0, és egyszer¶ számolással igazolható, hogy lima ϕ = limb ϕ(= limb F · lima G − limb G · lima F ).

6.80. Tétel (Taylor-formula Lagrange-féle maradéktaggal). Ha n pozitív egész, I ⊂ R nyílt intervallum, v ∈ I és f : I → R n-szer dierenciálhatófüggvény, akkor minden v -t®l különböz® I -beli x számhoz található x és v között olyan w szám, amelyre f (n) (w) (x − v)n . n! Bizonyítás. Rögzítsünk egy x ∈ I \{v} számot, x és v közül a kisebbiket jelöljük a-val, a nagyobbif kat b-vel. Az el®z® tételt fogjuk alkalmazni az (a, b) intervallumon az x 7→ f (x) − Tv,n−1 (x) hozzárendeléssel értelmezett F , és az x 7→ (x − v)n /n! hozzárendeléssel értelmezett G függvényre. f n-szer dierenciálható, a polinomfüggvények pedig végtelen sokszor, ezért F n-szer, G végtelen sokszor dierenciálható. Ugyancsak f n-szer dierenciálható voltából kapjuk, hogy az f (k) függvény minden k ∈ 0, n − 1 esetén folytonos, ezért a v helyen van határértéke és ez megegyezik a határértékével. Ebb®l, a hatványfüggvények dierenciálási szabályából, és egyéb egyszer¶ dierenciálási szabályokból következik, hogy F és G teljesíti az el®z® tétel feltételeit, s®t, a limv F (k) = limv G(k) = 0 feltételt még k = 0-ra is teljesítik. Az utóbbi észrevétel felhasználásával azt kapjuk, hogy f f (x) − Tv,n−1 (x) =

limt→x F (t) F (x) limb F − lima F = = , limb G − lima G limt→x G(t) G(x) f és minthogy G(n) az azonosan 1 függvény, továbbá a Tv,n−1 polinomfüggvény fokszáma kisebb, mint f (n) (n) n, következésképp (f − Tv,n−1 ) = f , az el®z® tételb®l éppen az adódik, amit állítottunk. f Taylor-polinom az f függvényt a v Míg a lokális Taylor-formula arról szól, hogyan közelíti a Tv,n pont közelében egy-egy rögzített n esetén, a legutóbbi tétel segítségével jónéhány esetben azt is lehet f (x) sorozat konvergál az bizonyítani, hogy rögzített, és esetleg v -t®l távol lév® x pontra az n 7→ Tv,n f (x) számhoz. Lássunk erre a szituációra néhány példát!



108

6.81. Tétel. Minden valós x szám esetén x

1. e =

∞ X xk k=0

k!

,

2.

∞ X

x2k cos x = , (−1) (2k)! k=0 n

3.

sin x =

∞ X k=0

(−1)n

x2k+1 . (2k + 1)!

Bizonyítás vázlata. Ha x = 0, akkor az egyenl®ség mindhárom esetben nyilvánvaló. Legyen tehát

a továbbiakban x tetsz®leges 0-tól különböz® valós szám és igazoljuk, hogy a részletösszeg-sorozat konvergál ex -hez, cos x-hez, illetve sin x-hez. A Lagange-maradéktagos Taylor-formula szerint (v := 0, f := exp, f := cos, illetve f := sin) minden pozitív egész n-hez található x és 0 között olyan wn , yn , illetve zn , amelyre ¯ ¯ n−1 ¯ ¯ ewn |x|n |x|n ¯ x X xk ¯ exp ≤ e|x| , ¯ = |ex − T0,n−1 (x)| = ¯e − ¯ k! ¯ n! n! k=0

¯ ¯ n−1 ¯ 2k ¯ X | cos(2n) (yn )||x|2n x |x|2n ¯ ¯ cos (−1)k (x)| = ≤ , ¯cos x − ¯ = | cos x − T0,2n−1 ¯ (2k)! ¯ (2n)! (2n)! k=0 ¯ ¯ n−1 ¯ 2k+1 ¯ X x |x|2n | sin(2n) (zn )||x|2n ¯ ¯ sin ≤ . (−1)k (x)| = ¯ = | sin x − T0,2n−1 ¯sin x − ¯ (2k + 1)! ¯ (2n)! (2n)! k=0

Most térünk rá annak a Taylor-polinomok deniálása után tett 6.70. megjegyzésnek a bizonyítására, amely az ottanihoz képest kissé általánosabban így fogalmazható:

6.82. Állítás. Bármely valós u-hoz, bármely nemnegatív egész n-hez, és bármely n + 1 tagú valós (c0 , c1 , . . . , cn ) sorozathoz legfeljebb egy olyan legfeljebb n-edfokú p polinomfüggvény található, melyre minden k ∈ 0, n esetén p(k) (u) = ck .

Bizonyítás. Tegyük fel, hogy van legalább két ilyen polinomfüggvény és a különbségüket jelöljük g -

vel. Ekkor tehát g nem azonosan nulla, legfeljebb n-edfokú polinomfüggvény, melyre minden k ∈ 0, n esetén g (k) (u) = 0. Azt ugyan az algebrából is lehet tudni, hogy ilyen polinom(függvény) nem létezik, de most ezt a következ®képpen is bizonyíthatjuk: lévén g legfeljebb n-edfokú polinomfüggvény, az n + 1-edik derivált függvénye az azonosan nulla függvény, tehát ha x tetsz®leges u-tól különböz® valós szám, akkor x és u között van olyan v valós szám, melyre g g(x) = g(x) − Tu,n (x) =

g (n+1) (v) (x − u)n+1 = 0. (n + 1)!

6.12. Konvex függvények Emlékeztetünk rá, hogy a konvex, a konkáv, a szigorúan konvex, és a szigorúan konkáv függvény fogalmát az 1. fejezet végén értelmeztük.

6.83. Megjegyzés. Nyilvánvaló, hogy mind a konvex, mind a konkáv függvény denícióját fogalmazhatjuk úgy is, hogy a benne szerepl® egyenl®tlenséget minden I -beli a, b, és [0, 1]-beli t esetére követeljük meg. Hasonlóan, mind a szigorúan konvex, mind a szigorúan konkáv függvény denícióját fogalmazhatjuk úgy is, hogy a benne szerepl® egyenl®tlenséget az a ∈ I , b ∈ I \ {a}, t ∈ (0, 1) feltételeknek eleget tev® (a, b, t) hármasokra követeljük meg.



109

Csak a konvex és a szigorúan konvex függvényekre vonatkozó tételeket fogjuk megfogalmazni, házi feladat az összes tétel átfogalmazása konkáv, illetve szigorúan konkáv függvényekre. Ezt a feladatot minden egyes konkrét esetben roppant egyszer¶vé teszi az a tény, hogy egy (egyváltozós) valós függvény pontosan akkor konkáv, ha a (−1)-szerese konvex, illetve pontosan akkor szigorúan konkáv, ha (−1)-szerese szigorúan konvex.

6.84. Tétel (a konvex függvények néhány jellemzése). A nemelfajuló I ⊂ R intervallumon

értelmezett valós érték¶ f függvényre vonatkozóan az alábbi kijelentések egymással egyenérték¶ek: 1. f konvex, 2. minden I -beli szigorúan monoton növ® (a, b, c) hármasra Kaf (b) ≤ Kaf (c) ≤ Kbf (c), 3. minden v ∈ I esetén a Kvf különbségihányados-függvény monoton növ®, 4. minden I -beli szigorúan monoton növ® (u, v, w) hármasra Kvf (u) ≤ Kvf (w), 5. ha n 1-nél nagyobb egész, x1 , x2 , . . . xn ∈ I és a (0, 1)-beli t1 , t2 , . . . tn számok összege 1, akkor

f (t1 x1 + t2 x2 + · · · + tn xn ) ≤ t1 f (x1 ) + t2 f (x2 ) + · · · + tn f (xn ).

Bizonyítás. 1.⇒2. Minthogy b=

c−b b−a ·a + · c, b−a c−a

b−a ∈ [0, 1] c−a

f konvexitása miatt f (b) ≤

és

c−b b−a = 1− , c−a c−a

c−b b−a f (a) + f (c) . c−a c−a

Ennek az egyenl®tlenségnek az átrendezésével megkaphatjuk mind a Kaf (b) ≤ Kaf (c), mind a Kaf (c) ≤ Kbf (c) egyenl®tlenséget: ha ugyanis el®ször mindkét oldalból kivonjuk f (a)-t, majd mindkét elosztjuk b − a-val, akkor kapjuk az els®t, ha pedig mindkét oldalból f (c)-t vonunk ki, majd mindkét oldalt (a negatív) b − c számmal osztjuk, akkor kapjuk a másodikat. 2.⇒3. Igazolni kell, hogy ha x és y egyaránt I -nek v -t®l különböz® eleme és x < y , akkor Kvf (x) ≤ Kvf f (y). Aszerint, hogy v hol helyezkedik el x-hez és y -hoz képest, három esetet különböztetünk meg, de persze a bizonyítandó egyenl®tlenség mindhárom esetben a 2. állításból következik. Ha a v < x < y , akkor (a, b, c) := (v, x, y), ha x < v < y , akkor (a, b, c) := (x, v, y), ha pedig x < y < v , akkor (a, b, c) := (x, y, v) a szereposztás, a második esetben egyszer, a harmadik esetben kétszer kell alkalmazni azt az egyszer¶ észrevételt, hogy Ksf (t) = Ktf (s). 3.⇒4. Nyilvánvaló. 4.⇒1. Ha két tetsz®leges I -beli elem közül a kisebbiket u-val, a nagyobbikat w-vel jelöljük, t pedig tetsz®leges (0, 1)-beli szám, akkor a v := (1 − t)u + tw ∈ (u, w), tehát a feltétel szerint

f (w) − f (v) f (u) − f (v) ≤ . u−v w−v Ha innen kifejezzük f (v)-t, akkor azt kapjuk, hogy

f (v) ≤

w−v v−u · f (u) + · f (w), w−u w−u

végül ebb®l v deníciójának felhasználásával azt, hogy

f ((1 − t)u + tw) ≤ (1 − t)f (u) + tf (w).



110

1.⇒4. n szerinti teljes indukciót alkalmazunk. Minthogy n = 2 esetén a 4. állítás szóról szóra megegyezik az 1. állítással, rátérhetünk az indukciós lépésre. Ha minden k ∈ 1, n + 1 esetén xk ∈ I és tk ∈ (0, 1), továbbá t1 + t2 + . . . tn+1 = 1, akkor Ã n ! Ã ! n X X tk f tk xk + tn+1 xn+1 = f (1 − tn+1 ) xk + tn+1 xn+1 ≤ 1 − tn+1 k=1

k=1

≤ (1 − tn+1 )f

Ã n X k=1

≤ (1 − tn+1 )

n X k=1

tk xk 1 − tn+1

! + tn+1 f (xn+1 ) ≤

n+1 X tk f (xk ) + tn+1 f (xn+1 ) = tk f (xk ). 1 − tn+1 k=1

Az els® egyenl®tlenség a konvexitás deníciójából következik, a második az indukciós feltételb®l: az indukciós feltételt az I -beli, illetve (0, 1)-beli n tagú µ ¶ tk (xk ), (k ∈ 1, n) 1 − tn+1 sorozatokra alkalmaztuk.

6.85. Megjegyzés. A tétel utolsó állításában szerepl® egyenl®tlenséget Jensen-egyenl®tlenségnek

nevezik.

6.86. Deníció. Ha n pozitív egész, P x1 , . . . xn valós számok, t1 , . . . tn pedig olyan nemnegatív számok, amelyek összege 1, akkor a konvex (lineáris) kombinációja.

n k=1 tk xk

összegr®l azt mondjuk, hogy az az x1 , . . . xn számok

Az iménti bizonyítás másolásával kapható az alábbi tétel bizonyítása.

6.87. Tétel (a szigorúan konvex függvények néhány jellemzése). A nemelfajuló I ⊂ R in-

tervallumon értelmezett valós érték¶ f függvényre vonatkozóan az alábbi kijelentések egymással egyenérték¶ek: 1. f szigorúan konvex, 2. minden I -beli szigorúan monoton növ® (a, b, c) hármasra Kaf (b) < Kaf (c) < Kbf (c), 3. minden v ∈ I esetén a Kvf különbségihányados-függvény szigorúan monoton növ®, 4. minden I -beli szigorúan monoton növ® (u, v, w) hármasra Kvf (u) < Kvf (w), 5. ha n 1-nél nagyobb egész, az I -beli x1 , x2 , . . . xn számok között van két különböz®, és a (0, 1)-beli t1 , t2 , . . . tn számok összege 1, akkor

f (t1 x1 + t2 x2 + · · · + tn xn ) < t1 f (x1 ) + t2 f (x2 ) + · · · + tn f (xn ).

6.88. Tétel. Legyen az I ⊂ R nemelfajuló intervallum bal végpontja a, jobb végpontja b, továbbá f : I → R konvex függvény. Ekkor I. f -nek az I ∩ (a, b] intervallum minden pontjában van bal oldali deriváltja, II. az f -nek az I ∩ [a, b) intervallum minden pontjában van jobb oldali deriváltja, III. f az (a, b) intervallum minden pontjában balról is, jobbról is dierenciálható, továbbá minden (a, b)-beli v pontban f−0 (v) ≤ f+0 (v), IV. mind az f−0 , mind az f+0 függvény monoton növ® az (a, b) intervallumon, V. f az (a, b) intervallum minden pontjában folytonos.



111

Bizonyítás. I.-II. A 6.84. tétel szerint mindegyik különbségihányados-függvénye monoton növ®,

ezért létezik egy oldali határértéke minden olyan pontban, ahol a létezésének kérdése egyáltalán felvethet®. III. Legyen v ∈ (a, b), jelöljük a Kvf függvény (a, v)-re, illetve (v, b)-re való lesz¶kítésének értékkészletét A-val, illetve B -vel. A Kvf függvény monoton növ® volta miatt bármely a ∈ A és b ∈ B esetén a ≤ b, vagyis B minden eleme fels® korlátja A-nak és A minden eleme alsó korlátja B -nek. Ismét a monoton függvény egy oldali határértékér®l szóló tétel szerint f−0 (v) = sup A és f+0 (v) = inf B , az el®bb mondottakból következ®en minden b ∈ B esetén sup A ≤ b, vagyis sup A alsó korlátja B -nek, ezért nem nagyobb, mint inf B . IV. A III. állítás miatt most már elég annyit bizonyítani, hogy ha a < u < w < b, akkor f+0 (u) ≤ f−0 (w). Ez ismét a monoton függvény egy oldali határértékeir®l szóló tételb®l következik:

f+0 (u) ≤ Ku (w) = Kw (u) ≤ f−0 (w) . V. A III. állítás szerint f az (a, b) intervallum minden pontjában balról is, jobbról is dierenciálható, ezért az (a, b) intervallum minden pontjában balról is, jobbról is folytonos, de ez éppen azt jelenti, hogy az (a, b) intervallum minden pontjában folytonos.

6.89. Megjegyzés. Igazolható, hogy ha egy f : (a, b) → R függvényre teljesülnek a III.-IV. állítások, akkor f konvex.

6.90. Tétel (a dierenciálható konvex függvények jellemzései). Legyen az I ⊂ R nemelfa-

juló intervallum bal végpontja a, jobb végpontja b, továbbá f : I → R olyan folytonos függvény, amely dierenciálható az (a, b) intervallum minden pontjában. Ekkor az alábbi kijelentések egymással egyenérték¶ek: 1. f konvex, 2. f 0 monoton növ® az (a, b) intervallumon, 3. ha v ∈ I , f dierenciálható a v pontban és x ∈ I \ {v}, akkor f (x). f (x) ≥ Tv,1

Bizonyítás. 1.⇒2. Az el®z® tétel szerint az f 0 = f+0 függvény monoton növ® az (a, b) intervallu-

mon. 2.⇒3. A Lagrange-féle középértéktétel szerint x és v között található olyan w szám, melyre f (x) − f (v) = f 0 (w)(x − v), ezért gyelembe véve, hogy x − v és w − v azonos el®jel¶ek

f (x) − f (v) − f 0 (v)(x − v) = f 0 (w)(x − v) − f 0 (v)(x − v) = [f 0 (w) − f 0 (v)](x − v) ≥ 0. 3.⇒2. Legyen a < u < w < b, igazoljuk, hogy f 0 (u) ≤ f 0 (w). A 3. állítást el®ször az (x, v) := (w, u), másodszor az (x, v) := (u, w) szereposztással alkalmazva, majd az így adódó két egyenl®tlenséget összeadva ezt kapjuk:

0 ≥ f 0 (u)(w − u) + f 0 (w)(u − w),

azaz

f 0 (u)(w − u) ≤ f 0 (w)(w − u).

2.⇒1. f konvex voltára a konvex függvények jellemzéseir®l szóló tétel 4.⇒1. részének felhasználásával következtetünk. Vegyünk tehát egy I -beli számokból alkotott tetsz®leges szigorúan növ® (u, v, w) hármast. A Lagrange-féle középértéktételb®l és f 0 monoton növ® voltából következik, hogy alkalmas s ∈ (u, v) és t ∈ (v, w) számokkal Kvf (u) = f 0 (s) ≤ f 0 (t) = Kvf (w).

6.91. Tétel (a dierenciálható szigorúan konvex függvények jellemzései). Legyen az I ⊂

R nemelfajuló intervallum bal végpontja a, jobb végpontja b, továbbá f : I → R olyan folytonos függ-

vény, amely dierenciálható az (a, b) intervallum minden pontjában. Ekkor az alábbi kijelentések egymással egyenérték¶ek: 1. f szigorúan konvex, 2. f 0 szigorúan monoton növ® az (a, b) intervallumon, 3. ha v ∈ I , f dierenciálható a v pontban és x ∈ I \ {v}, akkor f f (x) > Tv,1 (x).



112

6.92. Következmény (a kétszer dierenciálható (szigorúan) konvex függvények). Legyen

az I ⊂ R nemelfajuló intervallum, f : I → R olyan folytonos függvény, amely kétszer dierenciálható az I intervallum minden bels® pontjában. Ekkor a következ® két kijelentés egymással egyenérték¶: 1. f konvex, 2. f második deriváltja az I intervallum minden bels® pontjában nemnegatív értéket vesz fel. Az alábbi kijelentések szintén egymással egyenérték¶ek: 1. f szigorúan konvex, 2. f második deriváltja az I intervallum minden bels® pontjában nemnegatív értéket vesz fel, és I -nek nincs olyan nyílt részintervalluma, amelyen f ” azonosan nulla volna. Az utóbbi állítás felhasználásával egyszer¶ számolással ellen®rizhet®, hogy az alábbi függvények mindegyike szigorúan konvex: az összes exponenciális függvény, az 1-nél kisebb alapú logaritmusfüggvények, az id · ln függvény, akármelyik 1-nél nagyobb kitev®j¶ hatványfüggvénynek a nemnegatív számok halmazára való lesz¶kítése, akármelyik negatív kitev®j¶ hatványfüggvénynek a pozitív számok halmazára való lesz¶kítése, a ch függvény, a sh |[0,+∞) , a th |(−∞,0] , minden k egész esetén a szinusz függvény lesz¶kítése a [(2k − 1)π, 2kπ] intervallumra és a koszinusz függvény lesz¶kítése a [(2k + 1/2)π, (2k + 3/2)π] intervallumra, stb. Hasonlóan, szigorúan konkáv például az összes 1nél nagyobb alapú logaritmusfüggvény, és mindazon hatványfüggvényeknek a nemnegatív számok halmazára való lesz¶kítése, amelyeknek a kitev®je a (0, 1) intervallumban van (így például a négyzetgyökfüggvény). Felsoroljuk az el®z® bekezdésben mondottak néhány egyszer¶ következményét. Az alábbi tételek közül az els®ben az exponenciális függvény szigorú konvexitását, a másodikban a hatványfüggvények (lesz¶kítésének) szigorúan konvex, illetve szigorúan konkáv voltát használjuk.

6.93. Tétel (súlyozott mértani, illetve számtani közép). Ha n 1-nél nagyobb egész, minden

k ∈ 1, n esetén az ak , bk , tk számok mindegyike pozitív, t1 + t2 + . . . + tn = 1, továbbá mind az 1/t 1/t a1 , . . . , an , mind a b1 1 , . . . , bn n számok között van két különböz®, akkor I.

II.

n Y

atkk

<

n X

k=1

k=1

n Y

n X

bk <

k=1

tk ak , 1 t

tk bkk .

k=1

Bizonyítás. I. Legyen minden k ∈ 1, n esetén xk := ln ak . Az ln függvény injektív volta miatt az xk számok között is van két különböz®. ! Ã n n n n n n Y Y X X X Y tk exk = tk a k , atkk = (exk )tk = etk xk = exp tk xk < k=1

k=1

k=1

k=1

k=1

k=1

az egyenl®tlenség az exponenciális függvény szigorú konvexitása miatt teljesül, az egyenl®ségek pedig xk deníciója, illetve a hatványozás azonosságai miatt. 1 t

II. Legyen ak := bkk és alkalmazzuk az I. állítást.

6.94. Megjegyzés. Az I. egyenl®tlenség bal, illetve jobb oldalán lév® számokat az a1 , . . . , an számok

t1 , . . . , tn súlyokkal képezett súlyozott mértani, illetve számtani közepének szokták nevezni; a t1 = · · · = tn = 1/n esetben megkapjuk a közönséges mértani, illetve számtani közepet.

6.95. Megjegyzés. Az el®z® tétel bizonyításából kiolvasható, hogy az ottani I. egyenl®tlenség egyenérték¶ az exponenciális függvény szigorú konvexitásával: a következtetés iránya könnyen megfordítható, vagyis az I. egyenl®tlenségb®l következik az exponenciális függvényre vonatkozó Jensenegyenl®tlenség.



113

6.96. Tétel. I. Ha x 1-t®l különböz® pozitív szám, α ∈ R \ [0, 1] és β ∈ (0, 1), akkor 1 + α(x − 1) < xα

xβ < 1 + β(x − 1)

és

II. Ha n 1-nél nagyobb egész, minden k ∈ 1, n esetén az ak számok mindegyike pozitív, továbbá az a1 , . . . , an számok között van két különböz®, akkor a nullától különböz® számok halmazán értelmezett

Ã x 7→

n

1X x a n k=1 k

! x1 =: f (x)

függvény szigorúan monoton növ®.

Bizonyítás. I. Bármely negatív kitev®j¶, és bármely 1-nél nagyobb kitev®j¶ hatványfüggvény

lesz¶kítése a pozitív számok halmazára szigorúan konvex, továbbá bármely (0, 1)-beli kitev®j¶ hatványfüggvény lesz¶kítése a nemnegatív számok halmazára szigorúan konkáv, azaz a (−1)-szerese szigorúan konvex. Ebb®l, és a dierenciálható szigorúan konvex függvények jellemzésér®l szóló tétel 1.⇒3. részéb®l következik a két egyenl®tlenség. II. Azt kell bizonyítanunk, hogy ha a nullától különböz® u és v számok közül v a nagyobb, akkor

Ã

n 1X u a n k=1 k

! u1

Ã <

n 1X v a n k=1 k

! v1 .

Ha v pozitív, akkor ez egyenérték¶ azzal, amit úgy kapunk, hogy mindkét oldalt v -edik hatványra emeljük: ! uv Ã n n 1X u 1 X u uv ak (ak ) , < n n k=1

k=1

az utóbbi pedig negatív u esetén a negatív (v/u) kitev®j¶ hatványfüggvény R + -ra való lesz¶kítésének, pozitív u esetén az 1-nél nagyobb kitev®j¶ hatványfüggvény R + -ra való lesz¶kítésének szigorú konvexitásából következik. Ha v negatív, akkor megint mindkét oldalt v -edik hatványra emelve

Ã

n

1X u a n k=1 k

! uv

n

1 X u uv > (a ) , n k=1 k

adódik, ekkor v/u ∈ (0, 1), így az utóbbi egyenl®tlenség a (0, 1)-beli kitev®j¶ hatványfüggvény R + -ra való lesz¶kítésének szigorúan konkáv voltából következik. Természetesen mindhárom alkalommal kihasználtuk azt, hogy ha az ak számok között van két különböz®, akkor az auk számok között is van ez abból következik, hogy az u kitev®j¶ hatványfüggvény a pozitív számok halmazán szigorúan monoton, tehát injektív.

6.97. Megjegyzés. Vegyük észre, hogy az els® állításnak azzal a speciális esetével, amikor α 1-nél nagyobb egész, Bernoulli-egyenl®tlenség néven az els® fejezetben, míg a második állításban szerepl® hatványközepekkel az el®z® fejezetben (és feltehet®en az els® féléves gyakorlatokon is) már találkoztunk (f (x) az a1 , . . . , an számok x kitev®j¶, vagy x-edik hatványközepe).

5. FOLYTONOSSÁG, HATÁRÉRTÉK

Recommend Documents