5. elıadás 2013. március 22. Portfólió-optimalizálás
Alapfeladat
Cél: minél nagyobb várható hozam elérése De: közben a kockázat legyen minél kisebb Kompromisszum: elvárt hozamot érje el a várható érték
Kockázat
Lehetséges mérıszámok:
D VaR cVar stb
Elvárt tulajdonságok:
Homogenitás: R(aX)=aR(X) Szubadditivitás (konvexitás): R(wX+(1-w)Y)≤wR(X)+(1-w)R(Y) Ezt a VaR nem teljesíti
Feltételek
Elvárt hozam: µ Portfólió: w, elemszáma: N, hozamok vektora:y. A portfólió kockázata:
∑
(egyszerőbb jelölés: R(w), ha nem félreérthetı) Π a megengedett portfóliók halmaza
N R wiYi i =1
Π≥0, ha tilos a shortolás
E(Yi)=µi Az adott idıhorizonton elvárt átlagos hozam: µ
Az optimalizálás feladata min R( w) w∈Π
N
∑ E (w Y ) = µ i i
i =1
N
∑w
i
=1
i =1
A portfóliók összessége Az adott µ hozamszinthez tartozó hatékony portfóliót keressük
Gyakorlati problémák
Nem ismert a hozamok eloszlása, de még az eloszlás paraméterei (várható érték, szórás) sem A paraméterbecslések eltérnek az elméleti értéküktıl, így a kapott optimum is eltér a valóditól
Adatok, becslések
xit: i = 1, 2, …,N, t = 1, 2, …,T. N részvény, T idıszak T 1 ˆ i = ∑ xit µ A hozamok becslése: T t =1 Kovariancia mátrix becslése: σ ij =
1 T −1
T
∑ (x
it
(
− µˆ i ) x jt − µˆ j
)
t =1
Portfólió szórásnégyzetének becslése: N
σ ( w) = 2
N
∑∑ w w σˆ i
i =1 j =1
j
ij
A becslés tulajdonságai
A becsült kockázati mértékre kapott becsült optimális portfólió eltér a valódi optimumtól
A súlyok véletlen hibával terheltek A kockázat magasabb lesz a valódi optimum kockázatánál Kérdés: mekkora ez az eltérés? Ha van elképzelésünk az eloszlásokról, akkor szimulálhatunk adatokat
Szimuláció
T hosszú adatsort generáltunk A szimulációból becsült portfólió: ŵ*. (A valódi optimum: w*.) R ( wˆ *) q0 = R ( w*) a becsült és a tényleges optimum hányadosa q0≥1, megmutatja, hogy mekkora a kockázatnövekedés a becslési hiba miatt q0 is valószínőségi változó, tehát a jellemzıi (várható érték, szórás) a legfontosabbak
Példa
N
Tegyük fel, hogy a szórásnégyzet minimumát keressük A feltétel:
min
w∈R n
ij wi w j
i =1 j =1
∑w
i
∑σ
A megoldás: w*i =
∑∑σ N
N
N
N
j =1 N
=1
i =1
−1 ij
∑∑σ
−1 jk
j =1 k =1
q0 tulajdonságai Legyen N/T konstans és N∞. Ekkor D(q0)0, q0E(q0).
q0 eloszlása különbözı N értékekre. N/T=0,5
q0 tulajdonságai • Ha N konstans és T csökken, akkor q0 várható értéke és szórása is nı
• Ha N/T>1, a feladat nem oldható meg, mert a kovarianciamátrix nem invertálható •Ha N
q0~(1-N/T)-1/2, függetlenül a várható értékektıl és szórásoktól
Gyakorlati alkalmazás
Ha tehát N elég nagy (általában N>100 már elég), akkor a hiba becsülhetı q0~(1-N/T)-1/2 Ebbıl kiszámolható az adott hibához tartozó szükséges mintaelemszám: T=N/(1-1/q02) Például N=100, q0=1,2 esetén T=328, N-ben lineárisan nı
Korlátok
De kisebb hibatőrés, hosszabb (aggregált) hozamok esetén jóval hosszabb adatsor kellhet Viszont ilyen idıtávon a stacionaritás biztosan nem teljesül Tehát a portfólióválasztási probléma megoldása még az alkalmazott idealizált feltevések mellett is jelentıs instabilitást mutat
A becsült súlyok
Ha nem csak a kockázatot, hanem magukat a súlyokat tekintjük, a helyzet még rosszabb, az ingadozás tipikusan több száz százalék Tehát ez a feladat szinte reménytelen
Más modellek
Az eredmények hasonlóak akkor is, ha nem az iid modellben minimalizáljuk a szórást adott hozam mellett, hanem Átlagos abszolút eltérést minimalizálunk Az illesztett ARCH (GARCH) folyamatok szórását minimalizáljuk Ha az eloszlás szélén alapul a kockázati mérték (VaR, ES) már a becslés sem mindig létezik (még akkor sem, ha van optimium). De belátható, hogy létezik az r=N/T hányadosnak egy kritikus értéke: rc, ami alatt aszimptotikusan 1 valószínőséggel, felette pedig 0 valószínőséggel van megoldás.
Lehetıségek a stabilizálásra
Kovariancia alapú becsléseknél a hiba a kovariancia-mátrix becslési hibájából adódik Szőrési módszerek alkalmzhatóak Lényegük: a kovariancia-mátrix felbontásán alapulnak
Egy kis ismétlés
Pozitív definit, szimetrikus mátrix sajátértékei pozitívak, sajátvektorok: ortogonálisak (korrelálatlanok). Szórásnégyzetük éppen a sajátérték Elnevezés: bázisportfóliók, Tetszıleges portfólió felírható a bázisportfóliók lineáris kombinációjaként A portfólió szórásnégyzete is a bázisok szórásnégyzetének megfelelı lineáris kombinációja
Gyakorlati megfigyelések
A hozamok empirikus kovarianciamátrixának tipikusan egy nagy sajátértéke van Az ehhez tartozó bázisportfólió döntıen pozitív elemekbıl áll Azaz ez a kollektív ingadozás Elméleti háttér: Frobenius-Perron tétel. Eszerint pozitív elemekbıl álló pozitív definit mátrix esetén a legnagyobb sajátérték egyszeres és a megfelelı sajátvektor elemei pozitívak Bár az emprikus kovarianciamátrix nem minden eleme feltétlenül pozitív, döntı többségük az, és a tétel ekkor is érvényben marad
További sajátértékek
A spektrum 90-95%-át alkotó közepes sajátértékek a szektorális hatásoknak felelnek meg Lényeges információt hordoznak Nem könnyő belılük a szektorok konkrét elıllítása A maradék (tipikusan a sajátértékek 90-95%-a) a zaj, ez már alig hordoz információt A szőrések lényege, hogy ezt a zajt elnyomják, különös tekintettel arra, hogy az inverz mátrix sajátértékei az eredetinek a reciprokai
Fıkomponensanalízis
Keressük azt az alacsonyabb dimenziós alteret, ami a variabilitás jelentıs részéért felelıs Ha k dimenziós az altér, akkor a k legnagyobb sajátértékhez tartozó sajátvektor lesz a bázisa A további sajátértékek helyett pedig vegyük az átlagukat. Az új kovarianciamátrix tehát k
σ ij =
∑ l =1
N
λl vi(l ) v (jl ) + λ
∑v
( l ) (l ) i vj
l = k +1
ahol λ1≥…≥λN a sajátértékek, v(1),…v(N) pedig a hozzátartozó sajátvektor
Megjegyzések
Az eredeti és a szőrt kovarianciamátrix fıátlója (azaz a szórásnégyzetek) azonosak, a szőrés csak a kovarianciákra vonatkozik A legkisebb sajátértékek nagyobbak lettek Gyakran célszerő a fıkomponensanalízist a korrelációs mátrixra elvégezni (a kovarianciamátrix helyett) A fıkomponensek számát nem mindig lehet egyértelmően meghatározni. Ekkor érdemes lehet a zajra a Wishart eloszlást illeszteni, és azt a komponenst már a fıkomponensek közé sorolni, ahol már nem fogadható el az illeszkedés
A szőrés hatása a portfólió optimalizálásra
A feladat T
Portfólió optimalizálás és regresszió
A szokásos N-1 változós regresszió, ahol a legkisebb négyzetes hibát adó együtthatót keressük, éppen megfelel a portfólióoptimalizálás feladatának (azért N-1 változós, mert az N-edik súly nem választható meg szabadon a súlyösszegre vonatkozó feltétel miatt) A regressziós feladatra kidolgozott módszertan átvihetı a portfólióáoptimalizálásra
LASSO módszer
LASSO=least absolute shrinkage and selection operator L1-regularizációs módszer: az együttható vektor (portfólió súlyok) L1 normájára vonatkozó feltétel mellett optimalizál. N Tipikus megvalósítás: λ ∑ | wi | hozzáadása a célfüggvényhez i =1 λ szabályozza a regularizáció erısségét, megválasztása nem triviális
Az eredmények
A súlyok tipikusan kevésbé ingadoznak Sok 0 értékő súly is megjelenik Kérdés, hogy ezzel nem csak elfedıdike a bizonytalanság (ha például hol itt, hol ott 0 a súly) Vannak további regularizációs lehetıségek is Faktormodellek is használhatóak
Hivatkozások
Dowd, K.-Blake, D.: After VaR. The theory and estimation of quantile-based risk measures. The Journal of Risk and Insurance, 2006, Vol. 73, No. 2, 193-229 Varga-Haszonits I.: Kockázati Mértékek Instabilitása (PhD értekezés, ELTE, 2009)
