cvičící Ing. Jana Fenclová
5. cvičení 4ST201_řešení Obsah: ☺ ☺
Informace o 1. průběžném testu Pravděpodobnostní rozdělení 1.část
Vysoká škola ekonomická
VŠE kurz 4ST201
1
Ing. Jana Fenclová
1. Průběžný test •
Termín: pátek 26.3. v 11:00 hod. a v 12:45 v průběhu cvičení
•
Doba: cca 30 minut
•
Obsah: Popisná statistika, Pravděpodobnost, Náhodné veličiny, Pravděpodobnostní rozdělení
•
Forma: Příklady budou formou těch, které jsme počítaly na cvičeních a které jsou na webu jako nepovinné příklady k procvičení.
•
Celkem budou 3 příklady
•
Možno používat: SAS, PC, vzorce k předmětu, tabulky, kalkulačky.
•
Není dovoleno: konzultovat s kolegou, s přítelem na telefonu, s jinými materiály.
•
Co za to:
20 bodů 2
VŠE kurz 4ST201
Ing. Jana Fenclová
Co je třeba znát a už znáte ☺ : • Z minulého cvičení VÍME, že náhodné veličiny máme diskrétní a spojité, dle hodnot, kterých veličina nabývá. – X = Počet zajíců, které vytáhne kouzelník z klobouku » x = 0, 1, 2, 3, …… Diskrétní – X = Doba strávená ve frontě na oběd (v minutách) » x = < 0, 60 > Spojitá • Náhodné veličiny můžeme popsat pomocí: – Distribuční funkcí (diskrétní i spojité) – Pravděpodobnost, že náhodná veličina X nabude hodnoty menší nebo rovné x. – Pravděpodobnostní funkcí (diskrétní) – Pravděpodobnost, že náhodná veličina X nabude hodnoty rovné x. – Hustotou pravděpodobnosti (spojité) • Souhrnné informace o náhodných veličinách nám udávají jejich charakteristiky: střední hodnota E(X) a rozptyl D(X).
3
VŠE kurz 4ST201
Ing. Jana Fenclová
Pár slov úvodem: Pravděpodobnostní rozdělení se používají jako pravděpodobnostní modely při popisu konkrétních věcných problémů. Mezi nejčastěji používanými pravděpodobnostní rozdělení/modely patří následující, které dnes a příště budeme probírat. Důležité je uvědomit si pokaždé jaký problém řešíme a jaké parametry o daném problému víme. Poté nalezneme správné pravděpodobností rozdělení, kterým získáme výsledek ☺
4
VŠE kurz 4ST201
Ing. Jana Fenclová
Binomické rozdělení • Provádíme-li n nezávislých pokusů s pravděpodobnostní úspěchu π, má počet úspěchů, dosažených v těchto pokusech binomické rozdělení Bi(n,π). • Parametry n………………počet nezávislých pokusů π………………pravděpodobnost úspěchu • Pravděpodobnostní funkce:
n P ( x ) = * π x ( 1 − π ) n−πx x
• Střední hodnota: E(X)=n* π • Rozptyl: D(X)=n* π*(1- π)
5
VŠE kurz 4ST201
Ing. Jana Fenclová
Příklad 5.1. – Binomické rozdělení V závěrečném testu ze statistiky je 5 teoretických otázek, kde si student vybírá u každé jednu ze čtyř nabízených variant. Jaká je pravděpodobnost, že student, který se nepřipraví a bude odpovídat náhodně: 1.Bude mít alespoň jednu otázku dobře 2.Bude mít dobře všech 5 otázek 3.Bude mít dobře právě 2 otázky 4.Určete pravděpodobnost těchto jevů, pokud je student schopen na 100% vyloučit jednu ze špatných odpovědí u každé otázky!
6
VŠE kurz 4ST201
Ing. Jana Fenclová
Řešení příkladu 5.1. X ~ Bi (5;0,25) P( X > 0) = 1 − P(0) = 1 − 0,755 = 0,7626 5 P( X = 5) = ∗ 0,255 ∗ 0,750 = 0,255 = 0,001 5 5 P( X = 2) = ∗ 0,252 ∗ 0,753 = 10 ∗ 0,252 ∗ 0,753 = 0,2637 2 X ~ Bi (5;0,33) P ( X > 0) = 1 − P (0) = 1 − 0,66 5 = 0,8683 5 P ( X = 5) = ∗ 0,335 ∗ 0,66 0 = 0,004 5 5 P ( X = 2) = ∗ 0,33 2 ∗ 0,66 3 = 0,3292 2 7
VŠE kurz 4ST201
Ing. Jana Fenclová
Příklad 5.2. – Binomické rozdělení Vrátíme se opět ke kostkám, kde již umíte vypočítat tyto pravděpodobnosti, nyní je vypočítejte pomocí binomického rozdělení: •Jaká je pravděpodobnost, že 1.Při hodu čtyřmi kostkami nepadne ani jedna šestka 2.Při hodu čtyřmi kostkami padnou právě dvě šestky 3.Při hodu šesti kostkami padnou alespoň dvě šestky 4.Při hodu šesti kostkami padne nejvýše jedno liché číslo 5.Při hodu šesti kostkami padnou právě tři čísla dělitelná třemi. 8
VŠE kurz 4ST201
Ing. Jana Fenclová
Řešení příkladu 5.2. X ~ Bi(4;1/ 6) _ P( X = 0) = (5 / 6) = 0,4823 4
4 2 2 X ~ Bi(4;1/ 6) _ P( X = 2) = ∗ (1/ 6) ∗ (5 / 6) = 0,1157 2 6 6 1 5 X ~ Bi(6;1/ 6) _ P( X ≥ 2) = 1− P(0) − P(1) = 1− (5 / 6) − ∗ (1/ 6) ∗(5 / 6) = 0,2632 1 6 6 1 5 X ~ Bi(6;1/ 2) _ P( X ≤ 1) = P(0) + P(1) = (1/ 2) + ∗(1/ 2) ∗ (1/ 2) = 0,1093 1 6 3 3 X ~ Bi(6;1/ 3) _ P( X = 3) = ∗(1/ 3) ∗ (2 / 3) = 0,2195 3
9
VŠE kurz 4ST201
Ing. Jana Fenclová
Hypergeometrické rozdělení • Provádíme-li výběr bez vracení konečného souboru N objektů z nichž M má uvažovanou vlastnost, pak počet objektů s danou vlastností mezi n vybranými má hypergeometrické rozdělení Hy(N,M,n). • Parametry: N……Velikost souboru M……počet objektů s uvažovanou vlastností n…….velikost výběru • Pravděpodobností funkce: n* M
• Střední hodnota: E ( X ) = N n* M M N −n • Rozptyl: D( X ) =
n
M N − M * x n − x P( x ) = N n x
* 1− * N N −1 10
VŠE kurz 4ST201
Ing. Jana Fenclová
Příklad 5.3. – Hypergeometrické rozdělení Nyní se opět podíváme na karetní balíček. Vypočítejte pomocí hypergeometrického rozdělení pravděpodobnost, že při výběrů z balíčku 32 karet bude: 1.
Mezi dvěma vybranými kartami nebude eso
2.
Mezi třemi vybranými kartami bude právě jedno eso
3.
Mezi čtyřmi vybranými kartami budou právě dvě esa
4.
Určete střední hodnotu náhodné veličiny, kterou je počet es v šesti vybraných kartách.
5.
Určete střední hodnotu počtu es v šesti vybraných kartách, pokud po vytažení každou kartu opět vrátíme zpět do balíčku.
11
VŠE kurz 4ST201
Ing. Jana Fenclová
Řešení příkladu 5.3. 4 28 0 ∗ 2 = 0 , 7621 X ~ Hy (32 , 4 , 2 ) _ P ( X = 0 ) = 32 2 4 28 1 ∗ 2 = 0 , 3048 X ~ Hy (32 , 4 , 3 ) _ P ( X = 1 ) = 32 3 4 28 2 ∗ 2 = 0 , 0631 X ~ Hy (32 , 4 , 4 ) _ P ( X = 2 ) = 32 4 nM 6∗4 = = 0 , 75 N 32 X ~ Bi (6 ,1 / 8 ) _ E ( X ) = n ∗ π = 6 ∗ 1 / 8 = 0 , 75
X ~ Hy (32 , 4 , 6 ) _ E ( X ) =
12
VŠE kurz 4ST201
Ing. Jana Fenclová
Poissonovo rozdělení • Vyskytují-li se určité jevy náhodně rozptýlené v časem nebo prostoru, má počet výskytů takových jevů v konečném časovém intervalu (nebo omezeném prostoru) Poissonovo rozdělení Po(λ). • Parametry: λ……..počet jevů připadajících v průměru na daný interval • Pravděpodobnostní funkce:
P( X ) = e
−λ
*
λx x!
• Střední hodnota: E(X)= λ • Rozptyl: D(X)= λ
13
VŠE kurz 4ST201
Ing. Jana Fenclová
Příklad 5.4. – Poissonovo rozdělení Předpokládejme, že průměrný počet papírových draků, které uvidí návštěvník parku na podzim během jednoho dne je 5. Určete pravděpodobnost těchto jevů:
1.Návštěvník během jednoho dne uvidí alespoň jednoho draka 2.Návštěvník uvidí během jednoho dne právě pět draků 3.Návštěvník uvidí během jednoho dne více než zmiňovaných pět draků 4.Návštěvník uvidí draka už během první poloviny dne
14
VŠE kurz 4ST201
Ing. Jana Fenclová
Řešení příkladu 5.4. X ~ Po(5) _ P( X > 0 ) = 1 − P(0 ) = 1 − e −5 ∗
50 = 1 − 0,0067 = 0,9933 0!
55 = 0,1755 5! X ~ Po(5) _ P( X > 5) = 1 − P(0 ) − P(1) − P(2) − P(3) − P(4) − P(5) = = 1 − hodnoty _ dle _ tabulek = 1 − 0,0067 − 0,033 − 0,0842 − 0,1404 − X ~ Po(5) _ P( X = 5) = e −5 ∗
− 0,1755 − 0,1755 = 0,384 X ~ Po(2,5) _ P( X > 0) = 1 − P(0) = 1 − e − 2,5 ∗
2,50 = 0,9179 0!
15
VŠE kurz 4ST201
Ing. Jana Fenclová
A nyní pár příkladů k procvičování. U každého se zamyslete nad tím, jakým rozdělením jej budeme počítat. Co nestihneme na cvičení, si sami dopočítejte doma, výsledky budou na webu v prezentaci s řešením.
16
VŠE kurz 4ST201
Ing. Jana Fenclová
Příklady další… Příklad 5.6.: Semena rostlin určitého druhu jsou znečištěna malým množstvím plevele. Je známo, že na jednotku plochy vyrostou po osetí v průměru čtyři rostliny plevele. Vypočítejte pravděpodobnost, že na dané jednotce plochy:
1.
Nebude žádný plevel …..0,0183
2.
Vyrostou nejvýše tři rostliny plevele…..0,4335 (tabulky)
3.
Vyroste aspoň pět, ale nejvýše sedm rostlin plevele…..0,32
17
VŠE kurz 4ST201
Ing. Jana Fenclová
… a další …. Příklad 5.7.:
Pravděpodobnost, že v porodnici narozené dítě bude chlapec je 0,515. Jaká je pravděpodobnost, že mezi pěti v porodnici po sobě narozenými dětmi budou:
1.
První tři děvčata a další dva chlapci …..0,03026
2.
Právě tři děvčata? ….. 0,30258
18
VŠE kurz 4ST201
Ing. Jana Fenclová
… a další ☺ Příklad 5.8.: V osudí je 20 míčků zelených a 30 modrých. Náhodně vybereme 10 míčků. Jaká je pravděpodobnost, že mezi vybranými míčky bude právě pět modrých, jestliže:
1.
Vybíráme s vracením….0,2007
2.
Vybíráme bez vracení…..0,2151
19
VŠE kurz 4ST201
Ing. Jana Fenclová
Příští cvičení píšeme první test. Určitě si propočítejte všechny příklady z prezentací! Jako dalším vzorovým materiálem jsou příklady v Aplikacích a nepovinné příklady na webu. Pokud budete mít jakýkoliv problém či otázku, můžete diskutovat na fóru. Budu vám držet palce!
20
