5 1:12 page i #1

i

i

“Modul*prak.*TPD” — 2013/1/5 — 1:12 — page i — #1

i

i

i

i i

i

i

i

“Modul*prak.*TPD” — 2013/1/5 — 1:12 — page ii — #2

i

i

Modul Praktikum

TEORI PERSAMAAN DIFERENSIAL

Zahnur Magister Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Syiah Kuala Nopember 2012

i

i i

i

i

i

“Modul*prak.*TPD” — 2013/1/5 — 1:12 — page iii — #3

i

i

i

i i

i

i

i

“Modul*prak.*TPD” — 2013/1/5 — 1:12 — page iv — #4

i

i

Kata Pengantar Bismillahirrahmanirahim. Puji syukur kami panjatkan kepada Allah SWT, yang telah melimpahkan rahmat-Nya kepada kami sehingga dapat merampungkan Modul Praktikum Teori Persamaan Differensial ini, dan salam keselamatan kami haturkan kepada junjungan kita Rasulullah Muhammad SAW, yang telah membawa risalah yang mengantarkan kita pada kemajuan ilmu pengetahuan. Tujuan dari penulisan Modul Praktikum ini adalah untuk penuntun praktikum yang dibutuhkan oleh mahasiswa peserta perkuliahan Teori Persamaan Differensial sehingga dapat menunjang proses pembelajaran mata kuliah ini. Hal ini dirasakan penting mengingat mata kuliah ini cukup abstak dan literatur yang tersedia umumnya dalam bahasa Inggris. Modul Modul Praktikum ini terdiri dari 8 bab dengan rincian sebagai berikut: Nilai Eigen dan Vektor Eigen, Sistem Persamaan Diferensial, Persamaan Differensial Orde Pertama, Penyelesaian Persamaan Differensial, Potret Phase, Linierisasi, ......... . Setiap modul memuat............ Pada akhir Bab terdapat soal-soal latihan yang dimaksudkan sebagai sarana untuk melatih mahasiswa mendemontrasikan pemahaman konsep-konsep yang telah dipelajari. Walaupun sangat singkat dan belum lengkap, Modul Praktikum ini diharapkan dapat memberi gambaran umum mengenai struktur dasar grup dan perluasannya.

i

i i

i

i

i

“Modul*prak.*TPD” — 2013/1/5 — 1:12 — page v — #5

i

i

Banyak masukan yang diberikan oleh rekan-rekan staf pengajar di Program Studi Matematika FMIPA Universitas Syiah Kuala untuk menyempurnakan Modul Buku Ajar ini. Untuk itu pada kesempatan ini kami haturkan terima kasih kepada semua rekan-rekan staf pengajar dan karyawan di Prgram Studi Matematika FMIPA Unsyiah. Modul Praktikum ini masih jauh dari sempurna, oleh karena itu, kami sangat mengharapkan saran dan kritik yang konstruktif bagi penyempurnaan Modul Praktikum ini di masa yang akan datang. Semoga Modul Praktikum ini dapat bermanfaat bagi terciptanya proses belajar mengajar yang lebih efektif dan efisien di lingkungan Program Studi Matematika khususnya dan di lingkungan FMIPA Unsyiah pada umumnya. Banda Aceh, September 2012 Penyusun

i

i i

i

i

i

“Modul*prak.*TPD” — 2013/1/5 — 1:12 — page vi — #6

i

i

Daftar Isi Kata Pengantar 1

2

3

4

Nilai Eigen dan Vektor Eigen 1.1 Tujuan . . . . . . . . . . 1.2 Dasar Teori . . . . . . . 1.3 Praktikum . . . . . . . . 1.4 Latihan . . . . . . . . .

iv

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

1 1 1 3 5

Sistem Persamaan Diferensial 2.1 Tujuan . . . . . . . . . . . 2.2 Dasar Teori . . . . . . . . 2.3 Praktikum . . . . . . . . . 2.4 Latihan . . . . . . . . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

6 6 6 10 12

Persamaan Differensial Orde Pertama 3.1 Tujuan . . . . . . . . . . . . . . . 3.2 Dasar Teori . . . . . . . . . . . . 3.2.1 Medan arah . . . . . . . . 3.2.2 Fungsi dfield7 . . . . . . 3.2.3 Titik tetap dan solusi tetap 3.3 Praktikum . . . . . . . . . . . . . 3.4 Latihan . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

13 13 13 13 14 14 15 19

Penyelesaian Persamaan Differensial 4.1 Tujuan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2 Dasar Teori . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.1 Solusi eksplisit persamaan differensial 4.2.2 Solusi numerik persamaan differensial 4.3 Praktikum . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

20 20 20 20 21 22

i

i i

i

i

i

“Modul*prak.*TPD” — 2013/1/5 — 1:12 — page vii — #7

i

4.4 5

6

7

8

4.3.1 Penyelesaian secara eksplisit . . . . . . . . . . 4.3.2 Penyelesaian secara numerik . . . . . . . . . . Latihan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Potret Phase 5.1 Tujuan . . . . . . . . . . . 5.2 Dasar Teori . . . . . . . . 5.2.1 Sistem autonomous 5.2.2 Potret fase . . . . . 5.2.3 Fungsi pplane7 . . 5.3 Praktikum . . . . . . . . . 5.4 Latihan . . . . . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

Linierisasi 6.1 Tujuan . . . . . . . . . . . . . 6.2 Dasar Teori . . . . . . . . . . 6.2.1 Sistem autonomous . . 6.2.2 Linierisasi di titik tetap 6.2.3 Arti Linierisasi . . . . 6.3 Praktikum . . . . . . . . . . . 6.4 Latihan . . . . . . . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

Sistem Dinamik 7.1 Tujuan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.2 Dasar Teori . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.2.1 Pengertian sistem dinamik . . . . . . 7.3 Praktikum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.3.1 Menggunakan MATDS . . . . . . . . 7.3.2 Menggunakan perangkat lunak Phaser 7.4 Latihan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Kestabilan Lyapunov 8.1 Tujuan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.2 Dasar Teori . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.2.1 Pengertian kestabilan Lyapunov . . 8.2.2 Kestabilan untuk sistem outonomus 8.3 Praktikum . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.4 Latihan . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . .

i

22 26 27

. . . . . . .

28 28 28 28 29 30 30 33

. . . . . . .

35 35 35 35 36 37 37 42

. . . . . . .

43 43 43 43 45 45 48 51

. . . . . .

52 52 52 52 54 55 58

i

i i

i

i

i

“Modul*prak.*TPD” — 2013/1/5 — 1:12 — page 1 — #8

i

i

Modul Praktikum 1 Nilai Eigen dan Vektor Eigen 1.1

Tujuan

1. menghitung nilai eigen dan vektor eigen menggunakan fungsi built-in di MATLAB 2. memeriksa sifat-sifat dari nilai eigen dan vektor eigen

1.2

Dasar Teori

Prasyarat: 1. Konsep dasar matriks dan sifat-sifat, determinan, reduksi baris dan penyelesaian sistem persamaan. 2. Konsep dasar untuk nilai eigen, vektor eigen dan diagonalisasi. Definisi nilai eigen dan vektor eigen Untuk matriks Anxn , suatu bilangan real λ disebut nilai eigen dari matriks A jika terdapat sebuah vektor taknol x di Rn sedemikian sehingga Ax = λx. Vektor x disebut vektor eigen yang bersesuaian dengan nilai eigen λ . Persamaan Ax = λx ekuivalen dengan persamaan (A − λI)x = 0, sehingga semua yang berikut ini adalah ekuivalen: 1. λ adalah nilai eigen dari A. 2. (A − λI)x = 0 memiliki solusi tak trivial.

i

i i

i

i

i


i

1.2. Dasar Teori

i

2

3. A − λI adalah singular. 4. det(A − λI) = 0. Vektor eigen untuk λ adalah solusi taknol x untuk persamaan (A − λI)x = 0. Vektor-vektor ini bersama-sama dengan vektor 0 disebut ruang eigen yang bersesuaian dengan nilai eigen λ. Ekspresi det(A − λI) adalah suku banyak berderajat n disebut suku banyak karakteristik dari A. Dengan sifat 4, nilai eigen adalah akar-akar dari persamaan karakteristik det(A − λI). Menentukan nilai eigen dan vektor eigen dengan MATLAB: Di dalam MATLAB kita dapat menemukan suku banyak karakteristik dari matriks A dengan mengetikkan poly(A). Jika A adalah matriks berukuran n × n,poly(A) adalah vektor baris dengan n + 1 elemen yang merupakan koefisien-koefisien dari suku banyak karakteristik. Perintah roots(C) menghitung akar-akar dari suku banyak yang mana keofisiennya adalah elemen dari vekor C. Jadi, roots(poly(A)) akan menghasilkan nilai eigen dari A dalam vektor kolom. Untuk mendapatkan vektor eigen yang bersesuaian dengan setiap nilai eigen, kita perlu mencari solusi taknol x dari (A − λI)x = 0. Salah satu cara yang dapat dilakukan di dalam MATLAB adalah dengan menggunakan fungsi rref(A − λI) dan kemudian gunakan eliminasi Gauss-Jordan untuk mendapatkan solusi umumnya. Vektor eigen yang besesuaian dengan nilai eigen tertentu adalah tidak unik. Metode kedua untuk menentukan nilai eigen dan vektor eigen di dalam MATLAB adalah dengan menggunakan fungsi eig. Untuk suatu matriks Anxn , eig(A) akan menghasilkan n × 1 vektor kolom dimana elemen-elemennya adalah nilai eigen dari A. Perintah MATLAB dalam bentuk [V D] = eig(A) menghitung vektor eigen dan nilai eigen dari A sekaligus. V adalah matriks dimana vektor-vektor kolomnya adalah vektor eigen dari matriks A dan D adalah matriks diagonal dimana elemen-elemen pada diagonalnya adalah nilai eigen dari A. Kolom ke-i dari V, V (:, i) adalah vektor eigen yang bersesuaian dengan nilai eigen D(i, i). Diagonalisasi matriks Suatu matriks bujur sangkar dikatakan dapat didigonalisasi jka terdapat sebuah matriks C sedemikian sehingga C−1 AC adalah matriks diagonal.

i

i i

i

i

i


i

1.3. Praktikum

i

3

Suatu teorema penting dalam aljabar linear menyatakan bahwa jika A adalah matriks berukuran n × n maka A dapat didiagonalisasi jika dan hanya jika matriks tersebut memiliki n buah vektor eigen yang bebas linear. Matriks C yang memuat n buah vektor eigen yang bebas linear dapat digunakan dengan cara serupa pada C−1 AC untuk memperoleh matriks diagonal D, yang mana akan memuat nilai eigen pada diagonalnya. Di dalam MATLAB, kita dapat menentukan apakah suatu matriks A dapat didiagonalisasi dengab menggunakan perintah [V D] = eig(A). Selanjutnya jika rank(V) adalah n, maka n kolom dari V adalah bebas linear sehingga matriks A dapat didiagonalisasi dan matriks diagonalnya adalah D = V −1 AV .

1.3

Praktikum

Berikut ini adalah sesi MATLAB untuk menentukan nilai eigen dan vektor eigen untuk matriks   3 2 −2  −3 −1 3  1 2 0 Langkah-langkahnya adalah sebagai berikut: 1. Memasukkan elemen-elemen matriks A >> A = [3 2 -2; -3 -1 3; 1 2 0] A = 3 2 -2 -3 -1 3 1 2 0 2. Menghitung akar-akar dari persamaan karakteristik det(A − λI) = 0 >> roots(poly(A)) ans = -1.0000 2.0000 1.0000 3. Gunakan fungsi rref untuk mendapatkan solusi (A − 2I)x = 0

i

i i

i

i

i


i

1.3. Praktikum

i

4

>> rref(A-2*eye(3)) ans = 1 0 0 0 1 -1 0 0 0 4. Gunakan fungsi rref untuk mendapatkan solusi (A − 1I)x = 0 >> rref(A-1*eye(3)) ans = 1 0 -1 0 1 0 0 0 0 5. Gunakan fungsi rref untuk mendapatkan solusi (A − (−1)I)x = 0 >> rref(A-(-1)*eye(3)) ans = 1 0 -1 0 1 1 0 0 0 Selanjutnya akan dicari solusi umum masing-masing (A − λI)x = 0. Bentuk eselon baris tereduksi untuk memberikan solusi umum  A − 2I   0 0 untuk (A − 2I)x = 0 yaitu x =  r  = r  1  , yang merupakan r 1 vektor eigen yang bersesuaian dengan nilai eigen λ = 2.  Dengan  cara yang sama, dapat ditentukan juga vektor-vektor  eigen  1 1 s  0  yang bersesuaian dengan nilai eigen λ = 1 dan t  −1  1 1 yang bersesuaian dengan nilai eigen λ = −1. Menghitung nilai eigen dengan menggunakan fungsi eig >> eig(A) ans = -1.0000 1.0000 2.0000

i

i i

i

i

i


i

i

5

1.4. Latihan

Bentuk ini memberikan vektor eigen dalam V dan nilai eigen dalam matriks D. Kolom dari V adalah vektor eigen dengan norma 1. >> [V D]=eig(A) V = -0.5774 0.7071 0.5774 0.0000 -0.5774 0.7071

0.0000 0.7071 0.7071

D = -1.0000 0 0

0 0 2.0000

1.4

0 1.0000 0

Latihan

Tentukan nilai eigen dan vektor eigen dari matriks   6.5 7 10.5 1.  −6 −9 18  1.5 3 7.5   3 −2 0 2.  2 −2 0  0 1 1   0 14 0 0 0 0 0 0 0  1 0 1 1 0 0 0 0 0    4  0 1 04 04 1 0 0 0 0    4 4   1 1 1 0 0 0 0 0 0   4 4 4   3.  0 0 14 41 0 41 0 14 0     0 0 0 0 14 0 0 0 14     0 0 0 14 0 0 0 41 0     0 0 0 0 14 0 14 0 14  0 0 0 0 0 41 0 14 14

i

i i

i

i

i


i

i

Modul Praktikum 2 Sistem Persamaan Diferensial 2.1

Tujuan

1. menyelesaikan sistem persamaan linier dengan koefisien konstanta real dengan MATLAB

2.2

Dasar Teori

Prasyarat: 1. Sistem persamaan diferensial dan penelesaiannya. 2. Konsep nilai eigen, vektor eigen dan aplikasinya dalam menyelesaikan sistem persamaan diferensial linier. Sistem persamaan diferensial orde pertama Perhatikan bentuk umum sistem persamaan diferensial orde pertama 0

x1 = F1 (t, x1 , x2 , · · · , xn ) 0

x2 = F2 (t, x1 , x2 , · · · , xn ) .. . . = .. 0 xn = Fn (t, x1 , x2 , · · · , xn )

i

i i

i

i

i


i

i

7

2.2. Dasar Teori

Sistem di atas banyak muncul dalam aplikasi antara lain dalam studi sistem massa pegas. Sistem persamaan diferensial orde pertama juga muncul dalam studi persamaan diferensial tingkat tinggi. Suatu persamaan diferensial tingkat tinggi 0

00

y(n) = F(t, y, y , y , · · · , y(n−1) ) dapat dirubah menjadi sistem persamaan diferensial orde pertama dengan memisalkan 0

x1 = y, x2 = y , · · · , xn = y(n−1) . Sistem yang diperoleh adalah 0

x1 = x2 0

x2 = x3 .. . . = .. 0 xn−1 = xn 0

xn = F(t, x1 , x2 , · · · , xn ) Sistem persamaan diferensial linier orde pertama Perhatikan sistem linier 0

x1 = a11 (t)x1 + a12 (t)x2 + · · · + a1n (t)xn + b1 (t) 0 x2 = a21 (t)x1 + a22 (t)x2 + · · · + a2n (t)xn + b2 (t) .. . 0

xn = an1 (t)x1 + an2 (t)x2 + · · · + ann (t)xn + bn (t) Kita dapat tuliskan sistem di atas dengan notasi matriks 0

X = A(t)X + B(t), dimana

   X(t) =  

x1 (t) x2 (t) .. . xn (t)





   

  B(t) =  

b1 (t) b2 (t) .. .

    

bn (t)

i

i i

i

i

i


i

8

2.2. Dasar Teori dan

i



 a11 (t) a12 (t) · · · a1n (t)  .. ..  .. A(t) =  ... . . .  an1 (t) an2 (t) · · · ann (t)

Jika X(1) , X(2) , · · · , X(n) adalah solusi-solusi fundamental yang bebas linier maka dari sistem homogen (B=0), maka solusi umum sistem homogen adalah n X Ci X(i) . X= i=1

Jika X p adalah solusi khususnya maka solusi umum dari sistem adalah X=

n X

Ci X(i) + X p .

i=1

Selanjutnya, perhatikan sistem linier homogen 0

X = AX dimana

(2.1)



 a11 a12 · · · a1n  .. . . .  A =  ... . ..  . an1 an2 · · · ann

adalah matriks berukuran n × n dengan antri-entri konstanta real. Kita akan mencari solusi taknol dalam bentuk X(t) = ξert . Kita temukan bahwa X(t) adalah solusi dari (2.1) jika dan hanya jika Aξ = rξ, yaitu jika dan hanya jika r adalah nilai eigen dari A dan ξ adalah vektor eigen yang bersesuaian dengan r. Dalam mencari himpunan solusi fundamental, kita harus memperhatikan tiga kasus yang mungkin terjadi. Kasus I: A memiliki nilai eigen real yang berbeda. Misalkan r1 , r2 , · · · , rn adalah nilai-nilai eigen yang berbeda dari A dan ξ(1) , ξ(2) , · · · , ξ(n) adalah vektor-vektor eigen yang bersesuaian dengan

i

i i

i

i

i


i

i

9

2.2. Dasar Teori nilai eigen, maka X(1) (t) = ξ(1) er1t , · · · , X(n) (t) = ξ(n) ernt

adalah himpunan solusi fundamental dari sistem (2.1), dan solusi umumnya adalah X(t) = c1 ξ(1) er1t + · · · + cn ξ(1) er1t . Kasus II: A memiliki nilai eigen yang berbeda tetapi beberapa adalah bilangan kompleks. Andaikan r bilangan kompleks dan ξ adalah vektor eigen dengan entri-entri bilangan kompleks. Jika X(1) (t) = ξert adalah solusi maka konjugetnya yaitu X(2) (t) = ξert juga merupakan solusi. Jadi kita dapat menemukan dua solusi sistem (2.1) yang bersesuaian dengan r dan r dengan mengambil bagian real dan imajiner dari X(1) (t) atau X(2) (t). Dengan menuliskan ξ = a + ib dimana a dan b adalah bilangan real, dan r = λ + iµ dimana λ dan µ adalah bilangan real maka diperoleh X(1) (t) = (a + ib)e(λ+iµ)t = (a + ib)ert (cos λt + i sin µt) = ert (a cos µt − b sin µt) + iert (a sin µt + b cos µt) Jadi fungsi-fungsi vektor u(t) = ert (a cos µt − b sin µt) v(t) = ert (a sin µt + b cos µt) adalah solusi-solusi real untuk sistem (2.1). Kasus III: A memiliki nilai eigen real yang berulang. Kita batasi untuk pengulangan dua kali. Andaikan r = ρ dengan pengulangan dua kali. Akan terdapat dua kemungkinan dalam menemukan vektor eigen yang bersesuaian dengan ρ. Jika kita dapat menemukan dua vektor eigen ξ(1) dan ξ(2) yang bersesuaian dengan rho bebas linier maka solusi X(1) (t) = ξ(1) eρt dan X(2) (t) = ξ(2) eρt membentuk himpunan solusi fundamental. Jika kita hanya dapat menemukan hanya satu vektor eigen ξ yang bebas linier yang bersesuaian dengan ρ maka

i

i i

i

i

i


i

i

10

2.3. Praktikum solusi fundamental sistem (2.1) diberikan oleh X(1) (t) = ξeρt dan X(2) (t) = ξteρt + ηeρt , dimana η memenuhi (A − ρI)η = ξ.

Vektor η disebut generalisasi vektor eigen dari A untuk nilai eigen ρ.

2.3

Praktikum

Berikut ini adalah sesi MATLAB untuk menentukan solusi umum sistem persamaan diferensial linier orde pertama. Contoh 1. Perhatikan sistem   3 −2 0 0 x =  2 −2 0  x (2.2) 0 1 1 1. Kita akan masukkan entri-entri matriks ke MATLAB. >> A=[3 -2 0; 2 -2 0; 0 1 1] A = 3 -2 0 2 -2 0 0 1 1 2. Mencari nilai eigen dan vektor eigen dengan perintah: >> [V D]=eig(sym(A)) V = [ -1, [ -2, [ 1,

0, 0, 1,

2] 1] 1]

D = [ -1,

0,

0]

i

i i

i

i

i


i

11

2.3. Praktikum [ [

0, 0,

1, 0,

i

0] 2]

Bandingkan dengan perintah >> [V D]=eig(A) Output kedua dari matriks D memuat nilai eigen −1, 1, 2 pada diagonalnya. Untuk setiap nilai eigen, bersesuaian dengan kolom pada matriks V adalah vektor eigennya. Jadi kita peroleh pasangan nilai eigen dan vektor eigennya yaitu:   −1 r1 = −1, ξ(1) =  −2  , 1   0 (2)  0 , r2 = 1, ξ = 1   2 r3 = 2, ξ(3) =  1  . 1 3. Himpunan solusi fundamentalnya adalah       −1 0 2 (1) −t (2) t (3)      −2 e , X (t) = 0 e , X (t) = 2  e2t . X (t) = 1 1 1 Solusi umum sistem (2.2) adalah       2 0 −1 −t t      x(t) = c1 −2 e + c2 0 e + c3 2  e2t . 1 1 1 4. Andaikan sistem (2.2) adalah masalah nilai awal dengan nilai awal   3  5 . x(0) = 0

i

i i

i

i

i


i

i

12

2.4. Latihan

Maka konstanta c1 , c2 dan c3 harus memenuhi            −1 0 2 3 −1 0 2 c1            c2 = 5  c1 −2 +c2 0 +c3 2 = −2 0 2 1 1 1 c3 0 1 1 1 Selesaikan sistem di atas untuk memperoleh c1 , c2 dan c3 . >> b=[3; 5; 0] b = 3 5 0 >> c=V\b c = -7/3 2 1/3 Jadi diperoleh c1 = −7/3, c2 = 2 masalah nilai awal sistem (2.2) adalah    −1 7 x(t) = −  −2  e−t + 2  3 1

2.4

dan c3 = 1/3, sehingga solusi    0 2 1 0  et +  2  e2t . 3 1 1

Latihan

Tentukan solusi umum sistem persamaan diferensial linier orde pertama berikut ini: 0 3 −2 1. x = x 4 −1 0 3 −4 2. x = x 1 −1

i

i i

i

i

i


i

i

Modul Praktikum 3 Persamaan Differensial Orde Pertama 3.1

Tujuan

1. menggambar medan arah dari suatu persamaan differensial 2. menentukan titik tetap, solusi tetap dan plot kurvanya

3.2

Dasar Teori

Prasyarat: 1. Konsep dasar persamaan differensial orde pertama 2. Konsep dasar medan arah, titik tetap dan solusi tetap

3.2.1

Medan arah

Persamaan differensial orde pertama memiliki bentuk 0

x = f (t, x). Untuk menyelesaikan persamaan ini kita harus menemukan fungsi x(t) sedemikian sehingga x(t) = f (t, x(t)), untuk semua t.

i

i i

i

i

i


i

i

14

3.2. Dasar Teori

Hal ini berarti pada setiap titik (t, x(t)) pada grafik x, grafik harus memiliki gradien f (t, x(t)). Jadi pada setiap titik (t, x), bilangan f (t, x) menyatakan gradien dari kurva solusi yang melalui titik ini. Kita menarik ruas garis pada setiap titik (t, x) dengan gradien (t, x). Koleksi dari ruas garis ini disebut garis medan arah (direction line field).

3.2.2

Fungsi dfield7

Fungsi dfield7 adalah suatu tool interaktif untuk mempelajari persamaan differensial orde pertama. Fungsi dfield7 ditulis oleh John C. Polking dari Rice University. Ketika fungsi dfield7 dieksekusi, dfield7 akan membuka sebuah window dimana user dapat memasukkan persamaan differensial, parameter dan nilai-nilainya serta pengaturan tampilan gambar yang dihasilkan. Selain itu juga terdapat pilihan menu yang memungkinkan user merubah beberapa parameter. Fungsi dfield7 mengharuskan input persamaan differensial dalam bentuk normal (normal form) yaitu turunan dari fungsi dinyatakan sebagai fungsi dari variabel bebas dan variabel takbebas. Fungsi dfield7 juga menerima input dalam bentuk persamaan differensial dengan nilai awal (atau disebut masalah nilai awal (initial value problem)) 0

x = f (t, x), x(t0 ) = x0 .

3.2.3

Titik tetap dan solusi tetap

Perhatikan masalah nilai awal 0

x = f (t, x), x(t0 ) = x0 . dimana fungsi f (t, x) dalam bentuk autonomous yaitu tidak bergantung pada variabel t. Suatu solusi dalam bentuk x(t) = c disebut solusi tetap (equilibrium solution) dan titik x = c disebut titik tetap (equilibrium point). Solusi dari masalah nilai awal adakalanya konvergen menuju ke solusi tetap tetapi adakalanya divergen dari solusi tetap. Definisi berikut memberikan kestabilan dari titik tetap. Definisi 3.1 Andaikan x(t) = c adalah solusi tetap. Jika semua kurva solusi x(t) yang dimulai cukup dekat dengan x = c sedemikian sehingga

i

i i

i

i

i


i

i

15

3.3. Praktikum

limt→∞ x(t) = c kita katakan x = c adalah stabil tetap (stable equilibrium). Definisi 3.2 Andaikan x(t) = c adalah solusi tetap. Jika semua kurva solusi x(t) yang dimulai cukup dekat dengan x = c sedemikian sehingga x(t) divergen dari c kita katakan x = c adalah takstabil tetap (unstable equilibrium).

3.3

Praktikum

Untuk menggunakan fungsi dfield7 ketikkan dfield7 pada prompt MATLAB. Selanjutnya MATLAB akan menampilkan window seperti berikut ini.

Gambar: Tampilan window pertama dari fungsi dfield7 0

Perhatikan bahwa persamaan x = x2 − t (default) telah dimasukkan di dalam edit box dengan judul "The differential equation". Juga terdapat edit box untuk variabel bebas dan beberapa parameter termasuk batasan display masing-masing. Di bagian bawahnya terdapat tiga buah button yang diberi label dengan "Quit", "Revert", dan "Proceed". Selanjutnya tekan button "Proceed" maka beberapa detik kemudian akan muncul window berikut yang merupakan medan arah dari persamaan differensial.

i

i i

i

i

i


i

i

16

3.3. Praktikum

0

Gambar: Tampilan medan arah dari x = x2 − t Selanjutnya tempatkan kursor pada suatu titik pada tampilan medan arah, katakan titik (t0 , x0 ) lalu klik kiri maka akan terbentuk sebuah 0 kurva. Kurva ini adalah kurva solusi untuk masalah nilai awal dari x = x2 − t, x(t0 ) = x0 . Perhatikan gambar berikut.

0

Gambar: Solusi dari x = x2 − t, x(t0 ) = x0 Selanjutnya coba klik di beberapa titik lainnya, maka kita mempe0 roleh sustu famili dari masalah nilai awal x = x2 − t, x(t0 ) = x0 .

i

i i

i

i

i


i

i

17

3.3. Praktikum

0

Gambar: Beberapa solusi dari x = x2 − t, x(t0 ) = x0 Kita dapat merubah tampilan gambar dengan merubah beberapa parameter melalui menu. Sebagai contoh, jika ingin tampilan medan arah dari bentuk garis menjadi panah, pada menu Options pilih Window settings. lalu klik radio button Arrows maka tampilan medan arah akan menjadi seperti berikut ini.

0

Gambar: Tampilan medan arah dari x = x2 − t dalam bentuk panah Selanjutnya, kita akan mencoba menganalisa secara kualitatif arah untuk model populasi. Misalkan P(t) menyatakan populasi bakteri pada

i

i i

i

i

i


i

3.3. Praktikum

i

18

waktu t (diukur dalam juta). Andaikan model untuk P dalam persamaan differensial adalah dP = rP(1 − P/K). dt Misalkan diambil nilai untuk parameter r = 0.5 dan K = 10 serta populasi pada t0 = 0 adalah P(0) = 1. Bagaimana kondisi populasi untuk waktu yang cukup lama? Untuk menganalisa model tersebut, pertama kita coba gambarkan medan arah untuk persamaan differensial tersebut. Masukkan persamaan differensial, parameter beserta niilai-nilainya pada masing-masing kotak edit di window dfield7. Tekan button Proceed, maka akan ditampilkan medan arah seperti berikut.

Gambar: Tampilan medan arah dari P0 = rP(1 − P/K) Dengan membuat beberapa solusi untuk nilai awal yang berbeda, kita dapat lihat bahwa untuk semua P > 0, solusinya akan menuju 10 bila t meningkat. Hal ini sebenarnya mudah untuk dianalisis yaitu dengan memperhatikan sisi kanan dari persamaan yang merupakan bentuk kuadratik dalam P. P akan meningkat dalam selang 0 < K < 10. Dari hasil plot grafik, kita dapat simpulkan bahwa P = 10 adalah titik tatap dari persamaan differensial dan solusi x(t) = 10 adalah stabil ttetap. Berikut ini adalah beberapa solusi dari persamaan differensial untuk model populasi.

i

i i

i

i

i


i

3.4. Latihan

i

19

Gambar: Beberapa solusi dari P0 = rP(1 − P/K).

3.4

Latihan

Gambarkan beberapa solusi dari persamaan differensial berikut 0

1. y = y2 − t 2 0

2. y = 2ty/(1 + y2 ) 0

3. x + x sint = cost

i

i i

i

i

i


i

i

Modul Praktikum 4 Penyelesaian Persamaan Differensial 4.1

Tujuan

1. menyelesaiakan persamaan differensial secara eksplisit menggunakan fungsi built-in di MATLAB 2. menyelesaiakan persamaan differensial secara numerik menggunakan fungsi built-in di MATLAB

4.2

Dasar Teori

Prasyarat: 1. Penyelesaian umum persamaan differensial 2. Masalah nilai awal persamaan differensial

4.2.1

Solusi eksplisit persamaan differensial

MATLAB memiliki fungsi library yang dapat digunakan untuk mencari solusi umum atau solusi eksplisit dari persamaan differensial. Fungsi tersebut adalah dsolve(). Fungsi dsolve(’pers1’,’pers2’, ...) menerima input persamaan simbolik yang merepresentasikan persamaan differensial dan kondisi awal. Beberapa persamaan atau kondisi awal

i

i i

i

i

i


i

4.2. Dasar Teori

i

21

dapat dikelompokkan secara bersama-sama dalam input tunggal pada argumennya dengan cara dipisahkan oleh koma. Secara default, variabel bebasnya adalah 0t 0 . Variabel bebas dapat diubah dari 0t 0 menjadi variabel lainnya dengan memasukkan variabel tersebut sebagai input terakhir pada argumennya. Huruf 0 D0 menyatakan operator differensial yaitu pendifferensialan terhadap variabel bebasnya (d/dt). Huruf 0 D0 yang di ikuti oleh sebuah angka menyatakan pengulangan pendifferensialan. Sebagai contoh, D2 menyatakan d 2 /dt 2 . Sebarang karakter setelah operator differensial ini dianggap sebagai variabel tak bebas. Sebagai contoh, D3y menyatakan turunan ketiga dari y(t). Jadi perlu diperhatikan bahwa nama variabel pada input argumennya tidak boleh memuat huruf "D". Pada masalah nilai awal, kondisi awal seperti 0 y(a) = b0 ditulis sebagai 0 Dy(a) = b0 dimana y adalah variabel bebas dan a dan b adalah konstanta. Fungsi dsolve() dapat digunakan untuk menyelesaikan hampir semua persamaan differensial yang dapat diselesaikan dengan metode standar seperti yang dipelajari pada perkuliahan persamaan differensia biasa, baik berbentuk linier maupun nonlinier. Argumen dari dsolve dapat berupa persamaan differensial orde pertama, orde kedua maupun orde n serta dalam bentuk sistem persamaan differensial.

4.2.2

Solusi numerik persamaan differensial

Ketika kita tidak dapat menemukan solusi eksplisit dari persamaan differensial, sebagai alternatifnya kita dapat menggunakan metode numerik. Dengan metode numerik kita hanya dapat menyelesaikan persamaan differensial dengan nilai awal (masalah nilai awal). Hal ini mirip seperti pada kalkulus dimana jika kita tidak dapat menemukan antiturunan dalam bentuk fungsi elementer lalu beralih ke penyelesaian numerik untuk integral tertentu. MATLAB memiliki sejumlah tool untuk menyelesaikan secara numerik persamaan differensial, seperti ode23, ode45, ode113, ode15s, ode23s, ode23t, ode23tb dan ode15i. Sekarang kita akan fokus pada fungsi built-in ode45, yaitu suatu fungsi yang mana mengimplementasikan metode Runge-Kutta orde 4 dan 5. Fungsi ode45 adalah suatu fungsi untuk menyelesaiakan persamaan differensial non-stiff dengan order medium. Format penggunaannya adalah

i

i i

i

i

i


i

i

22

4.3. Praktikum

[t,x]=ode45(fungsi,domain,kondisi awal). Fungsi ode45 menghasilkan dua vektor kolom, pertama dengan nilai t (variabel bebas) dan yang kedua dengan nilai y (variabel tak bebas). Karena t dan y adalah vektor dimana komponen-komponennya saling terkait, kita dapat memplotkannya dengan perintah plot(x,y).

4.3 4.3.1

Praktikum Penyelesaian secara eksplisit

Persamaan differensial orde pertama Perhatikan persamaan differensial orde pertama x˙ = tx.

(4.1)

Dengan menggunakan fungsi dsolve(), diperoleh solusi umum persamaan differensial >> x=dsolve(’Dx=t*x’,’t’) x = C1*exp(t^2/2) Jika persamaan (4.1) adalah masalah nilai awal, katakan nilai awalnya adalah x(1) = 1, maka solusinya dapat dicari dengan perintah >> x=dsolve(’Dx=t*x’,’x(1)=1’,’t’) x = exp(t^2/2)/exp(1)^(1/2) Jika kita ingin menggambarkan kurva solusi masalah nilai awal, dapat kita lakukan dengan perintah-perintah berikut: >> t = linspace(0,1,20); >> xt = eval(vectorize(x)); >> plot(t,xt) atau secara sederhana menggunakan perintah >> ezplot(x) Berikut ini adalah gambar kurva dari persamaan differensial di atas.

i

i i

i

i

i


i

23

4.3. Praktikum

Kurva plot(t,xt)

i

Kurva ezplot(x)

Gambar: Kurva untuk masalah nilai awal x˙ = tx x(1) = 1 Persamaan differensial orde dua atau lebih Andaikan kita ingin menyelesaikan dan memplot solusi dari persamaan differensial orde dua berikut ini y00 (x) + 8y0 (x) + 2y(x) = cos(x); y(0) = 0, y0 (0) = 1.

(4.2)

Dengan mengetikkan perintah-perintah berikut, diperoleh solusi dan plot kurva solusinya. >> pd=’D2y + 8*Dy + 2*y = cos(x)’; >> nil=’y(0)=0, Dy(0)=1’; >> y=dsolve(pd,nil,’x’) y = (14^(1/2)*exp(4*x - 14^(1/2)*x)*exp(x*(14^(1/2) - 4)) *(sin(x) - cos(x)*(14^(1/2) - 4))) /(28*((14^(1/2) - 4)^2 + 1)) - (98*14^(1/2) + 378)/(exp(x*(14^(1/2) + 4))*(868*14^(1/2) + 3136)) - (14^(1/2)*exp(4*x + 14^(1/2)*x)*(sin(x) + cos(x)*(14^(1/2) + 4))) /(28*exp(x*(14^(1/2) + 4))*((14^(1/2) + 4)^2 + 1)) - (exp(x*(14^(1/2) - 4))*(98*14^(1/2) - 378))

i

i i

i

i

i


i

i

24

4.3. Praktikum /(868*14^(1/2) - 3136) >> ezplot(y) Kurva solusinya adalah

Gambar: Kurva untuk masalah nilai awal y(0) = 0, y0 (0) = 1.

y00 (x) + 8y0 (x) + 2y(x) = cos(x);

Sistem Persamaan differensial Andaikan kita ingin menyelesaikan dan memplot solusi dari sistem tiga persamaan differensial berikut ini x0 (t) = x(t) + 2y(t) − 5z(t) y0 (t) = x(t) + z(t) z0 (t) = 4x(t) − 4y(t) + 5z(t)

(4.3)

Pertama sekali kita dapat menemukan solusi umum dengan cara sebagai beikut >> [x,y,z]=dsolve(’Dx=x+2*y-z’,’Dy=x+z’,’Dz=4*x-4*y+5*z’) x = - (C1*exp(t))/2 - (C2*exp(2*t))/2 - (C3*exp(3*t))/4 y = (C1*exp(t))/2 + (C2*exp(2*t))/4 + (C3*exp(3*t))/4

i

i i

i

i

i


i

i

25

4.3. Praktikum z = C1*exp(t) + C2*exp(2*t) + C3*exp(3*t)

Jika sistem (4.3) adalah masalah nilai nilai awal dengan nilai awalnya adalah x(0) = 1, y(0) = 2 z(0) = 3 maka solusinya adalah >> [x,y,z]=dsolve(’Dx=x+2*y-z’,’Dy=x+z’, ’Dz=4*x-4*y+5*z’,’x(0)=1,y(0)=2,z(0)=3’) x = 6*exp(2*t) - (5*exp(3*t))/2 - (5*exp(t))/2 y = (5*exp(3*t))/2 - 3*exp(2*t) + (5*exp(t))/2 z = 10*exp(3*t) - 12*exp(2*t) + 5*exp(t) Akhirnya, memplotkan solusi ini dapat dilakukan dengan >> >> >> >> >>

t=linspace(0,1,25); xx=eval(vectorize(x)); yy=eval(vectorize(y)); zz=eval(vectorize(z)); plot(t,xx,t,yy,t,zz) Kurva solusinya adalah

Gambar: Kurva solusi untuk sistem

i

i i

i

i

i


i

26

4.3. Praktikum

4.3.2

i

Penyelesaian secara numerik

Menggunakan fungsi inline Andaikan kita ingin menyelesaikan persamaan differensial orde pertama dy = xy2 + y; y(0) = 1 (4.4) dx pada interval x ∈ [0, 0.5]. Untuk sebarang persamaan differensial dalam bentuk y0 = f (x, y), kita dapat mulai dengan mendefinisikan fungsi f (x, y). Untuk persamaan tunggal, kita dapat definisikan f (x, y) sebagai sebuah fungsi inline. indexfungsi!inline >> f=inline(’x*y^2+y’) f = Inline function: f(x,y) = x*y^2+y >> [x,y]=ode45(f,[0 0.6],1); >> plot(x,y) Fungsi ode45 menghasilkan dua vektor kolom, pertama dengan nilai t (variabel bebas) dan yang kedua dengan nilai y (variabel tak bebas). Karena t dan y adalah vektor dimana komponen-komponennya saling terkait, kita dapat memplotkannya dengan perintah plot(x,y). Berikut plot untuk masalah nilai awal (4.4).

Gambar: Kurva untuk masalah nilai awal

dy dx

= xy2 + y; y(0) = 1

i

i i

i

i

i


i

i

27

4.4. Latihan

Menggunakan M-file Alternatif lain untuk menyelesaikan masalah nilai awal (4.4) adalah dengan mendefinisikan f (x, y) sebagai fungsi M-file fode.m. function fsode = fode(x,y) fsode=x*y^2+y; Pada kasus ini, kita hanya perlu merubah perintah ode45 dengan menambahkan pointer @ untuk mengidikasikan M-file. [x,y]=ode45(@fode,[0 0.6],1); >> plot(x,y)

4.4

Latihan

1. Cari solusi dari persamaan differensial berikut dan plotkan solusinya 0

(a) y = −2y + 2 cost sint; y(0) = 5. Coba juga untuk nilai awal y(0) = −5, y(0) = 0. 0

(b) y + 4y = 2 cost + sin 4t; y(0) = 5. Coba juga untuk nilai awal y(0) = −5, y(0) = 0. 0

(c) y + 4y = t 2 ; (d) x

0

y(0) = 0.

= cost − x3 ;

x(0) = 0.

0

(e) x + x + x3 = cos2 t; y(0) = 0. 00

0

0

(f) yy − (y )2 − y2 = 0; y(0) = 1, ; y (0) = −1. 2. Cari solusi dari sistem persamaan differensial berikut dan plotkan solusinya 0

0

0

0

(a) x1 = x2 dan x2 = (1 − x12 )x2 − x1 , dengan x1 (0) = 0, x2 (0) = 0 pada interval [0, 10]. (b) x1 = x2 dan x2 = −25x1 +2 sin 4t, dengan x1 (0) = 0, x2 (0) = 2 pada interval [0, 2π]. 0

0

(c) x1 = (x2 +x1 /5)(1−x12 ) dan x2 = −x1 (1−x22 ), dengan x1 (0) = 0.8, x2 (0) = 0 pada interval [0, 30].

i

i i

i

i

i


i

i

Modul Praktikum 5 Potret Phase 5.1

Tujuan

1. menggambar potret fase dari suatu sistem persamaan differensial 2. menganalisa kestabilan dari titik kritis pada bidang fase

5.2

Dasar Teori

Prasyarat: 1. Penyelesaian umum sistem persamaan differensial 2. Potret fase dari sistem persamaan differensial

5.2.1

Sistem autonomous

Suatu sistem persamaan differensiaql berbentuk 0

x = f (t, x, y) 0 y = g(t, x, y)

(5.1)

dimana variabel bebas t biasanya menyatakan waktu disebut sistem planar (planar system). Jika fungsi-fungsi f dan g bebas dari waktu t yaitu tidak secara eksplisit melibatkan t maka sistem (5.1) dapat ditulis

i

i i

i

i

i


i

i

29

5.2. Dasar Teori menjadi

0

x = f (x, y) 0 y = g(x, y)

(5.2)

Suatu sistem berbentuk (5.2) disebut sistem otonomus (autonomous system) Sistem (5.1) dapat ditulis sebagai persamaan vektor

x y

0

=

0

x 0 y

=

f (t, [x, y]T ) g(t, [x, y]T )

.

(5.3)

0

Jika kita misalkan x = [x, y]T , maka x = [x0 , y0 ]T dan sistem (5.3) dapat ditulis menjadi f (t, x) 0 x = . (5.4) g(t, x) Kemudian jika kita definisikan F(t, x) = [ f (t, x), g(t, x)]T maka persamaan (5.4) menjadi x0 = F(t, x) (5.5) Jika sistem adalah otonomus maka persamaan (5.5) dapat ditulis sebagai x0 = F(x)

(5.6)

Jadi, untuk sistem otonomus medan vektor yang sama merepresentasikan semua vektor tangen yang mungkin untuk kurva-kurva solusi untuk semua nilai t.

5.2.2

Potret fase

Solusi dari sistem (5.1) dapat diplot dalam suatu bidang xy. Titik (x(t), y(t)) untuk t ∈ I menelusuri sebuah kurva yang disebut trayektori atau orbit dari penyelesaian (5.1) di bidang fase. Pasangan (x, y) disebut fase dari sistem dan bidang xy disebut bidang fase. Gambar dari semua trayektori dari suatu sistem disebut potret fase (phase potrait) dari sistem. Karena medan arah pada sistem (5.1) berubah bilamana t berubah, mengakibatkan sistem menjadi sulit untuk divisualisasi sehingga menjadi tidak terlalu berguna. Sekarang kita perhatikan sistem taklinier

i

i i

i

i

i


i

5.3. Praktikum

i

30

otonomus berbentuk x0 = ax + by + F(x, y), y0 = cx + dy + G(x, y)

(5.7)

Potret fase dari sistem (5.7) hampir seluruhnya tergantung pada akarakar dari persamaan karakteristik dari matriks a b . c d Teorema berikut memberikan sifat-sifat dari sistem (5.7) untuk titik kritis (0, 0). Teorema 5.1 Titik kritis (0, 0) dari sistem (5.7) merupakan 1. sebuah simpul jika λ1 dan λ2 real, berbeda dan bertanda sama; 2. sebuah pelana jika λ1 dan λ2 real dan berlawanan tanda; 3. sebuah fokus jika λ1 dan λ2 kompleks sekawan tetapi bukan imajiner murni; 4. sebuah fokus atau pusat jika λ1 dan λ2 imajiner sejati.

5.2.3

Fungsi pplane7

Fungsi pplane7 adalah suatu tool interaktif untuk mempelajari sistem otonomus planar dari persamaan differensial. Ketika fungsi pplane7 dieksekusi, sebuah window setup pplane7 dibuka. User dapat memasukkan persamaan differensial, parameter, jenis medan arah dan ukuran tampilan display gambar. Sama seperti fungsi dfield7, fungsi pplane7 juga ditulis oleh John C. Polking dari Rice University.

5.3

Praktikum

Untuk menggunakan fungsi pplane7, ketikkan pplane7 pada prompt MATLAB. Selanjutnya MATLAB akan menampilkan window seperti berikut ini:

i

i i

i

i

i


i

i

31

5.3. Praktikum

Gambar: Tampilan awal window setup pplane7 Terlihat bahwa pada window setup pplane7 sudah memuat default suatu sistem persamaan differensial beserta setting dari tampilan display dan jenis medan arahnya. Fungsi pplane7 menyediakan beberapa sistem persamaan differensial lainnya yang dapat dipilih melalui menu Galery. Misalkan kita pilih sistem persamaan differensial untuk gerak pendulum. Persamaan differensial untuk gerak pendulum adalah mL

d2θ dθ = −mg sin(θ) − c 2 dt dt

dimana θ adalah sudut yang terbentuk antara pendulum dengan garis vertikal, L adalah panjang lengan pendulum, g adalah percepatan gravitasi dan c adalah konstanta perlambatan.

Gambar: Memilih sistem persamaan differensial pada menu Galery

i

i i

i

i

i


i

5.3. Praktikum

i

32

Berikut tampilan window setup pplane7 untuk pilihan pendulum. Perhatikan gambar berikut.

Gambar: Tampilan window setup pplane7 untuk pendulum Selanjutnya tekan button "Proceed" maka beberapa akan muncul window berikut yang merupakan medan arah dari sistem persamaan differensial untuk pendulum.

Gambar: Tampilan medan arah untuk pendulum Selanjutnya tempatkan kursor pada suatu titik pada tampilan medan arah, katakan titik (x0 , y0 ) lalu klik kiri maka akan terbentuk sebuah ku-

i

i i

i

i

i


i

i

33

5.4. Latihan

rva. Kurva ini adalah kurva trayektori atau orbit dari sistem persamaan differensial untuk pendulum. Perhatikan gambar berikut.

Gambar: Potret fase untuk gerak pendulum

5.4

Latihan

1. Buatlah gambar potret fase dari sistem linear (a) x0 = −2x + y, y0 = x − 2y. (b) x0 = 3x − 2y, y0 = 2x − 2y. (c) x0 = −2x, y0 = −2y. (d) x0 = −x, y0 = −x − y. (e) x0 = −x + y, y0 = −x − y. (f) x0 = y, y0 = −x. 2. Tentukan apakah titik kritis (0, 0) merupakan titik simpul, pelana, fokus atau pusat, dan gambarkan potret fasenya. (a) x0 = x, y0 = 3y. (b) x0 = −x, y0 = −3y. (c) x0 = x, y0 = −y.

i

i i

i

i

i


i

5.4. Latihan

i

34

(d) x0 = −x, y0 = y.

i

i i

i

i

i


i

i

Modul Praktikum 6 Linierisasi 6.1

Tujuan

1. menghampiri solusi sistem persamaan differensial taklinier dengan metode linierisasi 2. menganalisa solusi hampiran dari linierisasi

6.2

Dasar Teori

Prasyarat: 1. Sistem persamaan differensial taklinier dan solusinya 2. Matriks Jacobian

6.2.1

Sistem autonomous

Pada umumnya masalah yang muncul di dalam dunia nyata adalah tidak linier, dan bahkan dalam banyak kasus sistem tak linier tidak dapat diselesaikan karena belum tersedianya metode untuk menyelesaikannya. Ketika dihadapkan dengan masalah tidak linier, kita biasanya cukup puas dengan solusi hampiran. Salah satu metode untuk mendapatkan solusi hampiran adalah linierisasi (linierization). Linierisasi adalah suatu cara menghampiri kelakuan dari sistem tak linier dengan suatu sistem linier.

i

i i

i

i

i


i

i

36

6.2. Dasar Teori

Dalam modul ini kita hanya akan fokus pada sistem dengan dua persamaan differensial, tetapi teknik-teknik yang digunakan di sini juga dapat digunakan untuk sistem yang lebih besar. Suatu sistem dua persamaan differensial autonomus orde pertama mempunyai bentuk dx = f (x, y) dt (6.1) dy = g(x, y). dt Solusi tetap terhadap sistem (6.1) disebut solusi tetap (equilibria). Solusi tersebut harus memenuhi persamaan f (x∗ , y∗ ) = 0 g(x∗ , y∗ ) = 0.

6.2.2

(6.2)

Linierisasi di titik tetap

Linierisasi di suatu titik tetap pada suatu sistem persamaan differensial dapat dilakukan dengan mengganti f (x, y) dan g(x, y) pada (6.1) dengan hampiran linier di dekat (x∗ , y∗ ), sehingga diperoleh dx = f (x∗ , y∗ ) + fx (x∗ , y∗ )(x − x∗ ) + fy (x∗ , y∗ )(y − y∗ ) dt dy = g(x∗ , y∗ ) + gx (x∗ , y∗ )(x − x∗ ) + gy (x∗ , y∗ )(y − y∗ ) dt

(6.3)

Jika (x∗ , y∗ ) adalah suatu titik tetap (equilibrium point) dari (6.1), maka kita peroleh f (x∗ , y∗ ) = 0 dan g(x∗ , y∗ ) = 0. Selanjutnya kita definisikan koordinat baru yang relatif terhadap (x∗ , y∗ ) yaitu u = x − x∗ , v = y − y∗ . Dalam koordinat (u, v), titik tetapnya adalah pada titik asalnya. Karena x∗ dan y∗ adalah konstanta, du dx dv dy kita peroleh = dan = . Jadi sistem (6.1) dapat dihampiri dt dt dt dt dengan du = fx (x∗ , y∗ )u + fy (x∗ , y∗ )v dt (6.4) dv ∗ ∗ ∗ ∗ = gx (x , y )u + gy (x , y )v dt Sistem (6.4) adalah linierisasi dari sistem (6.1) pada (x∗ , y∗ ). Dengan

i

i i

i

i

i


i

37

6.3. Praktikum mendefinisikan ~u =

i

u , kita dapat menuliskan sistem (6.4) sebagai v d~u = J~u, dt

dimana

J=

fx (x∗ , y∗ ) fy (x∗ , y∗ ) gx (x∗ , y∗ ) gy (x∗ , y∗ )

(6.5) (6.6)

disebut matriks Jacobian.

6.2.3

Arti Linierisasi

Persamaan (6.5) adalah pendekatan linier untuk sistem (6.1) tetapi seberapa "baik" hampirannya. Jika bagian real dari kedua nilai eigen adalah taknol, maka kelaluan dari sistem (6.1) dekat dengan (x∗ , y∗ ) secara kualitatif sama dengan kelakuan dari hampiran linier persamaan (6.5).

6.3

Praktikum

Perhatikan sistem persamaan differensial dx = 3x − y2 dt dy = sin y − x dt

(6.7)

dimana sistem tersebut memiliki dua titik tetap, dan salah satunya adalah (0, 0). Potret phase dari sistem (6.7) adalah (gunakan fungsi pplane7)

i

i i

i

i

i


i

i

38

6.3. Praktikum

Gambar: Potret phase untuk sistem (6.7) Matriks Jacobiannya adalah fx (x∗ , y∗ ) fy (x∗ , y∗ ) 3 −2y J= = gx (x∗ , y∗ ) gy (x∗ , y∗ ) −1 cos y dan pada titik (0, 0), matriks Jacobiannya adalah 3 0 J= −1 1

(6.8)

(6.9)

Nilai eigen dari persamaan (6.9) adalah λ1 = 1 dan λ2 = 3. Karena kedua nilai eigen adalah positif dan berbeda dapat disimpulkan bahwa titik asal dari sistem linierisasi adalah titik simpul tak stabil. Dengan menggunakan MATLAB, solusi di atas dapat dilakukan sebagai berikut. >> syms x y; >> J=jacobian([3*x-x^2;sin(y)-x],[x,y]) J = [ 3 - 2*x, 0] [ -1, cos(y)]

i

i i

i

i

i


i

i

39

6.3. Praktikum >> J0=subs(J,{x,y},{0,0}) J0 = 3 0 -1 1 >> eig(J0) ans = 1 3 Potret phase untuk sistem linierisasi adalah sebagai berikut.

Gambar: Potret phase untuk sistem linierisasi Terlihat bahwa pada linierisasi di dekat (0, 0) memberikan hampiran yang baik untuk sistem taklinier (6.7). Perhatikan sistem persamaan differensial dx = 2x − y − x2 dt dy = x − 2y + x2 dt

(6.10)

dimana sistem tersebut memiliki dua titik tetap,yaitu (0, 0) dan (1, 1).

i

i i

i

i

i


i

6.3. Praktikum Matriks Jacobiannya adalah fx (x∗ , y∗ ) fy (x∗ , y∗ ) 2 − 2x −1 J= = gx (x∗ , y∗ ) gy (x∗ , y∗ ) 1 −2 + 2y Pada titik (0, 0) matriks Jacobiannya adalah 2 −1 J= 1 −2

i

40

(6.11)

(6.12)

√ Nilai eigen dari persamaan (6.12) adalah λ = − 3 dan λ2 = 1 √ 3. Karena nilai-nilai eigen adalah real dan berbeda tanda dapat disimpulkan bahwa titik asal dari sistem linierisasi adalah titik pelana. Solusi dengan menggunakan MATLAB, >> syms x y; >> J=jacobian([2*x-y-x^2;x-2*y+x^2],[x,y]) J = [ 2 - 2*x, -1] [ 2*x + 1, -2] >> J0=subs(J,{x,y},{0,0}) J0 = 2 -1 1 -2 >> eig(J0) ans = 1.7321 -1.7321 Potret phase dari sistem asal(6.10) adalah

i

i i

i

i

i


i

6.3. Praktikum

i

41

Gambar: Potret phase untuk sistem (6.10) Potret phase untuk sistem linierisasi adalah sebagai berikut.

Gambar: Potret phase untuk sistem linierisasi

i

i i

i

i

i


i

6.4. Latihan

6.4

i

42

Latihan

Lakukan linierisasi dari sistem tak linier berikut. Cari dimana titik tetapnya dan tentukan apakah titik tersebut titik simpul, pelana, fokus atau pusat, dan gambarkan potret phasenya. 1. x0 = (2 + x)(y − x), y0 = (4 − x)(y + x). 2. x0 = x − x2 − xy, y0 = 3y − xy − 2y2 . 3. x0 = 1 − y, y0 = x2 − y2 . 4. x0 = (1 + x) sin y, y0 = 1 − x − cos y. 5. x0 = y + x(1 − x2 − y2 ), y0 = x − y + y(x2 + y2 ). 6. x0 = y, y0 = x + 2x3 .

i

i i

i

i

i


i

i

Modul Praktikum 7 Sistem Dinamik 7.1

Tujuan

1. menggunakaan tool-tool pada paket aplikasi sistem dinamik 2. mengenal perangkat lunak phaser

7.2

Dasar Teori

Prasyarat: 1. Konsep sistem dinamik 2. Paket aplikasi MATDS dan Phaser

7.2.1

Pengertian sistem dinamik

Sebuah sistem disebut sistem dinamik (dynamical system) jika output yang sekarang tergantung pada input sebelumnya. Jika output sekarang hanya bergantung pada input saat ini, sistem ini dikenal sebagai sistem statik (static system). Output dari sistem statik tetap sama jika input tidak berubah. Outputnya berubah hanya ketika inputnya berubah. Dalam sistem dinamik, output berubah bersamaan dengan perubahan waktu jika sistem tidak dalam keadaan kesetimbangan. Contoh sistem dinamik antara lain model matematika yang menggambarkan ayunan pendulum, aliran air di dalam pipa, jumlah ikan yang dapat dipanen pada suatu waktu di danau.

i

i i

i

i

i


i

i

44

7.2. Dasar Teori

Dalam mempelajari sistem dinamik, kita sering menemukan perilaku sistem yang disebut sebagai chaos dan bifurkasi. Chaos adalah studi yang mempelajari perilaku sistem dinamik yang sangat sensitif terhadap kondisi awal. Perbedaan kecil dalam kondisi awal (seperti yang disebabkan oleh kesalahan pembulatan dalam perhitungan numerik) dapat menghasilkan hasil yang beragam untuk sistem dinamik tersebut. Bifurkasi (bifurcation) adalah studi matematika dari perubahan struktur kualitatif atau topologi dari sebuah keluarga kurva tertentu. Bifurkasi yang terjadi ketika perubahan kecil pada nilai parameter (parameter bifurkasi) dari sistem menyebabkan perubahan ’kualitatif’ atau topologi mendadak dalam perilakunya. Bifurkasi dapat terjadi pada sistem kontinu maupun sistem diskrit. Nama "bifurkasi" pertama kali diperkenalkan oleh Henri Poincaré pada 1885. Berikut ini adalah pemetaan sistem persamaan differensial menurut linearitas dan banyaknya variabel yang terlibat. (Sumber: Steven H. Strogatz, Nonlinear Dynamics And Chaos, Perseus Books Publishing, New York, 1994.) Number of variables

...

ci'i"

n =l

c

iil

Growth, decay, or equilibrium

� Linear

Exponential growth RC circuit Radioactive decay

n

..

n;:::3

2

n»

Oscillations Linear oscillator Mass and spring RLC circuit

Collective phenomena Civil engineering, structures Electrical engineering

Elasticity

Solid-state physics

Wave oquations

Molecular dynamics

Electromagnetism (Maxwell)

Eqnilibrium statistical

Quantum mechanics

e..... �

(Schrodinger, Heisenberg, Dirac) Heat and diffusion

<1) j:1 ''';

Acoustics

.......

The frontier

S

z

Nonlinear

Waves and patterns

Coupled harmonic oscillators

mechanics

J

Continuum

1

Chaos Fixed points

Pendulum

Strange attractors (Lorenz)

Bifurcations

Anharmonic oscillators

Overdamped systems,

Limit cycles

3-body problem (Poincare)

Biological oscillators

Chemical kinetics

relaxational dynamics Logistic equation for single species

(neurons, heart cells) Predator-prey cycles Nonlinear electronics (van der Pol, Josephson)

Iterated maps (Feigenbaum) Fractals (Mandelbrot) Forced nonlinear oscillators (Levinson, Smale)

I

Practical uses of chaos

Quantum chaos?

1-

Viscous fluids

Spatio-temporal complexity Coupled nonlinear oscillators

Nonlinear waves (shocks, solitons)

Lasers, nonlinear optics

Plasmas

Nonequilibrium statistical

Earthquakes

mechanics Nonlinear solid-state physics (semiconductors) Josephson arrays

General relativity (Einstein) Quantum field theory Reaction-diffusion, biological and chemical waves

Heart cell synchronization

Fibrillation

Neural networks

Epilepsy

Immune system

Turbulent fluids (Navier-Stokes)

Ecosystems

Life

Economics

Gambar:Pemetaan sistem persamaan differensial

i

i i

i

i

i


i

7.3. Praktikum

7.3 7.3.1

i

45

Praktikum Menggunakan MATDS

MATDS adalah program berbasis MATLAB untuk menginvestigasi suatu sistem dinamik. MATDS merupakan paket grafis untuk studi numerik secara interaktif sistem dinamik. MATDS diciptakan oleh Vasiliy Govorukhin dari Rostov State University, Rusia. Instalasi dan mulai MATDS Untuk menginstal paket MATDS, anda perlu membuat direktori MATDS, meng-copy file matds.zip ke direktori ini dan menjalankan unzip. Ini menciptakan subdirektori dari MATDS dengan semua file yang diperlukan. MATDS direktori harus menjadi direktori kerja dan untuk memulai MATDS, ketikkan "matds" pada window MATLAB. Struktur direktori MATDS: • temp - direktori kerja untuk file sementara. • maths - direktori untuk bagian matematika dari MATDS. • system - direktori untuk file sistem dinamik. • gui - direktori untuk bagian GUI dan pelayanan MATDS. Main menu dan window Berikut tampilan window menu ketika MATDS dipanggil

i

i i

i

i

i


i

i

46

7.3. Praktikum

Gambar: Main menu dan window Output dari hasil Berikut ini secara berurutan plot output untuk 2 dimensi dan 3 dimensi.

Gambar: 2D output window

i

i i

i

i

i


i

i

47

7.3. Praktikum

Gambar: 3D output window Mendefinisikan sistem dinamik Kita dapat mendefinisikan dan mengedit model sistem dinamik kita sendiri.

Gambar:Menu langkah pertama dari definisi sistem

i

i i

i

i

i


i

i

48

7.3. Praktikum

Gambar: Menu untuk mengedit sistem (langkah kedua definisi)

Gambar: 2D dan 3D output

7.3.2

Menggunakan perangkat lunak Phaser

Phaser menyediakan lingkungan komputasi yang powerful khusus dibuat untuk simulasi grafis dan numerik dari persamaan diferensial dan persamaan beda untuk sistem linier dan sistem chaos. Phaser telah dirancang untuk memenuhi kebutuhan berbagai macam pengguna seperti mahasiswa, instruktur, ataupun peneliti. Untuk versi 3.0,

i

i i

i

i

i


i

7.3. Praktikum

i

49

Phase ditulis dengan bahasa pemrograman Java sehingga Phaser dapat digunakan pada berbagai platform. Berikut langkah-langkah menggunakan Phaser.


i

i i

i

i

i


i

7.3. Praktikum

i

50


i

i i

i

i

i


i

7.4. Latihan

i

51



7.4

Latihan

1. x0 = (2 + x)(y − x), y0 = (4 − x)(y + x). 2. x0 = x − x2 − xy, y0 = 3y − xy − 2y2 . 3. x0 = 1 − y, y0 = x2 − y2 . 4. x0 = (1 + x) sin y, y0 = 1 − x − cos y. 5. x0 = y + x(1 − x2 − y2 ), y0 = x − y + y(x2 + y2 ). 6. x0 = y, y0 = x + 2x3 .

i

i i

i

i

i


i

i

Modul Praktikum 8 Kestabilan Lyapunov 8.1

Tujuan

1. menggunakaan tool-tool pada paket aplikasi sistem dinamik 2. mengenal perangkat lunak phaser

8.2

Dasar Teori

Prasyarat: 1. Konsep sistem dinamik 2. Paket aplikasi MATDS dan Phaser

8.2.1

Pengertian kestabilan Lyapunov

Misalkan kita nyatakan x sebagai variabel keadaan dari sistem dinamik, yang dapat dinyatakan secara umum oleh persamaan differensial x˙ =

dx = f (x). dt

Misalkan x = 0 menjadi titik tetap, kita akan menganalisis stabilitas sekitar 0.

i

i i

i

i

i


i

i

53

8.2. Dasar Teori

Definisi 8.1 (Stabil) Suatu sistem disebut stabil dengan titik tetap x = 0 jika dan hanya jika ∀ε > 0, ∃δ > 0 sehingga jika kx(0)k ≤ δ, maka kx(t)k ≤ ε, ∀t. Definisi 8.2 (Stabil asimtotik) Suatu sistem disebut stabil asimtotik jika ∃δ > 0 sehingga jika kx(0)k ≤ δ, maka x(t) → 0 bilamana t → ∞. Definisi 8.3 (Global dan stabil asimtotik) Suatu sistem disebut global dan stabil asimtotik jika x(t) → 0 bilamana t → ∞. Dengan kata lain, sistem ini global dan stabil asimtotik untuk setiap nilai awal x. Lyapunov menunjukkan bahwa selama kita bisa menemukan suatu fungsi kontinu yang differensiabel V (x) ≥ 0 dan memenuhi beberapa kondisi lainnya, maka sistem akan stabil. Teorema 8.1 (Kondisi kestabilan) Jika fungsi Lyapunov V (x) ada dan ˙ = dV ≤ 0, V dt maka sistem adalah stabil. Teorema 8.2 (Kondisi kestabilan asimtotik) Jika fungsi Lyapunov V (x) ada dan dV V˙ = < 0, dt

i

i i

i

i

i


i

i

54

8.2. Dasar Teori maka sistem adalah stabil asimtotik. Teorema 8.3 (Kondisi kestabilan global dan asimtotik) Jika fungsi Lyapunov V (x) ada dan dV < 0, V˙ = dt dan V (x) secara radikal tak terbatas yaitu V (x) → ∞ jika kxk → ∞. maka sistem adalah global dan stabil asimtotik.

Selanjutnya, misalkan diberikan suatu sistem dinamik dan sebuah fungsi V . Kita dapat nyatakan ∂V dx V˙ (x) = ∂x dt = ∇V · f (x)  =

8.2.2

h

∂V dx1

∂V dx2

···

∂V dxn

i

 f1 (x)  ..   .  fn (x)

Kestabilan untuk sistem outonomus

Sebuah matriks persegi P adalah definit positif jika xT Px > 0 untuk semua vektor kolom taknol x. Matriks P adalah definit negatif jika xT Px < 0 untuk semua vektor kolom taknol x. Selanjutnya matriks P disebut semidefinite positif jika xT Px ≥ 0 dan semidefinit negatif jika xT Px ≤ 0 untuk semua vektor kolom taknol x. Jika P adalah matriks definit positif maka semua nilai eigennya adalah positif dan jika P adalah matriks definit negatif maka semua nilai eigennya adalah negatif. Jika matriks P adalah definit positif maka −P adalah matriks definit negatif.

i

i i

i

i

i


i

i

55

8.3. Praktikum Suatu sistem dinamik dalam bentuk x˙ = Ax

adalah stabil asimtotik jika dan hanya jika untuk sebarang matriks definit positif Q terdapat matriks definit positif simetrik P yang memenuhi persamaan Lyapunov AT P + PA = −Q.

8.3

Praktikum

Tentukan kestabilan dari sistem x˙ = Ax dimana 0 1 A= . −6 −5 Untuk menyelesaikannya, pilih matriks Q adalah matriks satuan, yaitu 1 0 Q= . 0 1 Selanjutnya misalkan matriks P=

p11 p12 p21 p22

.

AT P + PA = −Q. 0 −6 p11 p12 p11 p12 0 1 −1 0 + = . p21 p22 p21 p22 −6 −5 0 −1 1 −5 −12p12 −6p22 + p11 − 5p12 −1 0 = . −6p22 + p11 − 5p12 2p12 − 10p22 0 −1      0 12 0 p11 1  1 −5 −6   p12  =  0  . 0 −2 10 p22 1

i

i i

i

i

i


i

i

56

8.3. Praktikum Diselesaikan sehingga diperoleh p12 = 1/12; p22 = 7/60; p11 = 67/60. Jadi diperoleh 67/60 1/12 1.1167 0.0833 P= = . 1/12 7/60 10.0833 0.1167

Selanjutnya, cari nilai eigen dari matriks P, diperoleh λ1 = 0.1098 dan λ2 = 1.1236. Solusi menggunakan MATLAB: >> A=[0 1;-6 -5] A = 0 1 -6 -5 >> Q=eye(2) Q = 1 0 0 1 >> P=lyap(A,Q) P = 0.5333 -0.5000

-0.5000 0.7000

>> eig(P) ans = 0.1098 1.1236 Terlihat bahwa matriks P tidak sama dengan cara manual, tetapi sebenarnya kedua-duanya menghasilkan nilai eigen yang sama. Untuk mendapatkan matriks P seperti yang diperoleh secara manual, dapat dilakukan dengan perintah berikut: >> P=lyap(A’,Q) P =

i

i i

i

i

i


i

57

8.3. Praktikum 1.1167 0.0833

i

0.0833 0.1167

>> eig(P) ans = 0.1098 1.1236 Berikut ini adalah contoh fungsi Lyapunov: >> >> >> >> >>

x=[-4:.04:4]; y=x; [X,Y]=meshgrid(x,y); z=X.^2 + Y.^2; mesh(X,Y,z)

Gambar: Fungsi Lyapunov kuadratik V (x) = x2 + y2 . >> x=[-4:.04:4]; >> y=x; > [X,Y]=meshgrid(x,y); >> z=(1-cos(X))+(Y.^2)/2; > meshc(X,Y,z)

i

i i

i

i

i


i

8.4. Latihan

i

58

Gambar: Fungsi Lyapunov V (x) = (1 − cos x) + y2 /2.

8.4

Latihan

1. x0 = (2 + x)(y − x), y0 = (4 − x)(y + x). 2. x0 = x − x2 − xy, y0 = 3y − xy − 2y2 . 3. x0 = 1 − y, y0 = x2 − y2 . 4. x0 = (1 + x) sin y, y0 = 1 − x − cos y. 5. x0 = y + x(1 − x2 − y2 ), y0 = x − y + y(x2 + y2 ). 6. x0 = y, y0 = x + 2x3 .

i

i i

i

i

i


i

i

Indeks bidang fase, 29 fase, 29 fungsi dfield7, 14 dsolve, 20 eval, 22 ezplot, 22 ode45, 21 pplane7, 30 vectorize, 22 garis medan arah, 14 orbit, 29 potret fase, 29 sistem otonomus, 29 sistem planar, 28 solusi tetap, 14 titik tetap, 14 trayektori, 29

i

i i

i

5 1:12 page i #1

Recommend Documents