Einstein (6)
In de voorafgaande artikelen hebben we het gehad over tijdsdilatatie en Lorenzcontractie (tijd en lengte zijn niet absoluut maar hangen af van de snelheid tussen waarnemer en waargenomene). Tijdsduren bleken langer en lengtes juist korter te worden bij toenemende snelheid. In dit artikel willen we aandacht besteden aan het optellen van snelheden en het niet constant zijn van massa (d.w.z. weer afhankelijk van snelheid van de waarnemer t.o.v. het waargenomene) Als gedachte-experiment nemen we een trein die met een snelheid v = 3/4 c een perron passeert. In diezelfde trein beweegt een persoon zich met een snelheid u = 1/2 c (t.o.v. de trein) naar voren. Met welke snelheid ziet een perronchef nu deze persoon ? Volgens de klassieke mechanica zou dat een snelheid w = v + u zijn. Maar... v(=3/4c) + u(=1/2c) = 5/4c en... dat kan niet! Immers de lichtsnelheid c is de maximaal haalbare snelheid! Hieruit volgt al "zonneklaar" dat men snelheden niet zomaar bij elkaar mag optellen. De afleiding besparen we U maar de som van twee snelheden u en v bedraagt:
w=
u+ v 1 + uv / c 2
Indien u en v beide veel kleiner zijn dan c (wat in bijna alle gevallen ook zo is) dan is de noemer praktisch gelijk aan 1 en wordt w inderdaad u + v. Stel dat zowel u en v (bijna) gelijk zijn aan c dan wordt de noemer gelijk aan 2 en krijgen we w=c! De kans is groot dat alle relativistische formules voor tijd, lengte ( waarin we de Lorenzfactor tegenkwamen) en som van twee snelheden, nieuw voor U waren. Daarom hieronder een formule die toch wel iedereen zal kennen en die tot uitdrukking brengt dat massa (m) in feite ook een vorm van energie (E) is ter grootte van:
E = m. c 2 (afl. zie bijlage 2)
Besef wel dat deze formule twee grondslagen van het natuurwetenschappelijk denken nl: De wet van behoud van massa (Lavoisier 1789) en De Wet van behoud van energie (Robert Mayor 1840) radicaal over boord gooide ! Wat Einstein beweerde kwam neer op het feit dat massa kan verdwijnen (Totale massa voor en na de reactie dus niet gelijk) en dat daar energie voor in de plaats kan komen. Deze hoeveelheid energie kan met bovenstaande formule uitgerekend worden. We zullen U niet vermoeien met berekeningen maar als het U zou lukken bv 1 zandkorrel geheel om te zetten in energie, dan is die energie voldoende om levenslang Uw huis er mee te verwarmen! Hoe kon het dan gebeuren dat Lavoisier dacht dat bv bij een verbrandingsproces (waarbij dus energie gevormd wordt en dus massa "verloren" gaat) de massa voor en na de reactie gelijk bleef? Uit voorafgaand voorbeeld kunt U het antwoord zelf wel bedenken: Het massa verlies (ook wel massadefect genoemd) was zo gering dat dit -met de toen bestaande meetmethodenonmogelijk gemeten kon worden. Is het nu wel mogelijk bij een reactie waarbij energie gevormd wordt, het massadefect te meten en daarmee een onomstotelijk experimenteel bewijs van Einsteins uitspraak te leveren? Het antwoord is ja en wel om twee redenen. Niet alleen is de meettechniek (bij het bepalen van massa's bv) zeer sterk verbeterd, er zijn nu ook processen bekend waarbij de ontwikkelde energie vele (miljoenen) malen groter is dan die van ordinaire verbrandingsprocessen, n.l.l kernreacties. Denk maar eens aan de atoombom! Dank zij het huidige inzicht in kernreacties is het nu ook duidelijk hoe het mogelijk was dat ons aller energiebron de zon in staat geweest is om 5 miljard jaar lang zulke enorme energiehoeveelheden te produceren. En maakt U zich maar niet ongerust: onze zon kan dit nog eens 5 miljard jaar volhouden voordat hij uiteindelijk "opgebrand" zal raken waardoor onze planeet (voor zover nog niet verwoest door een of ander kernongeval) met alle leven erop een onherroepelijke vriesdood zal sterven! (Voor de betreffende reactie op de zon: zie bijlage 1)
Zoals reeds gezegd: massa is een vorm van energie. Omgekeerd kan men zeggen dat energie ook een zekere massa vertegenwoordigt. Voorwerpen met een snelheid v bezitten een kinetische energie:
E ( kin ) =
1 . m. v 2 2
Maar... dit betekent dat deeltjes (of andere voorwerpen) t.g.v. hun kinetische energie ook een grotere massa zullen hebben ! Noemen we de massa van een deeltje in ruste m( 0) dan zal de massa van een deeltje met snelheid v groter zijn en wel:
m = m0 + E kin / v 2 Uit de speciale relativiteitstheorie wisten we al dat tijdsduur en lengte relatieve begrippen waren. Nu blijkt dus ook de massa afhankelijk van zijn snelheid te zijn. Een deeltje met rustmassa m0 en snelheid v bezit in feite een massa
m=
m0 (1 − v 2 / c 2 )
Ook hier zien we weer de Lorenzfactor waarmee ook tijd en lengte bij snelheden v berekend kunnen worden! Merken we in de praktijk nu iets van deze massatoename? In het dagelijks leven zeker niet omdat snelheden v zó klein zijn t.o.v. c dat de Lorenzfactor praktisch gelijk aan 1 is. Maar in zeer krachtige deeltjesversnellers (zoals het cyclotron) bereiken deeltjes (zoals elektronen maar ook protonen en de antideeltjes ervan) snelheden welke bijna de lichtsnelheid evenaren. Bij de berekening van de energie van deze deeltjes moet men dan ook niet de fout maken om bij de formule:
E kin = voor m de rustmassa m0 in te vullen.
1 m. v 2 2
Bij een snelheid van b.v.: v= 290.000 km/s is de feitelijke massa m al zo'n 15 maal hoger dan de rustmassa m0 Dat de lichtsnelheid c nooit bereikt kan worden zal U intussen wel duidelijk zijn: bij die snelheid is de massa oneindig groot geworden! Bijlage 1. In de kern van onze zon (welke voor 95% uit waterstof bestaat) vinden, dank zij de enorm hoge druk en temperatuur) kernreacties plaats welke als totaalreactie hebben: 1
4
0
0
1
2
1
0
4 H → He + 2 e + 2 ν Hieruit blijkt dat waterstof (
1
4
H ) omgezet wordt in Helium ( He ) 2
1
en positronen (e) en neutrinos ( ν ) De massa van een waterstofkern( proton
1
H ) bedraagt 1,0078 ame
1 4
De massa van een Heliumkern ( He ) bedraagt 4,0026 ame 2
0
2
De massa van een positron ( e ) bedraagt 0,00055ame 1
Deze waarden, ingevuld in bovenstaande vergelijking, geeft aan dat de massa voor de reactie 4,0314 ame en na de reactie 4,0037 ame bedraagt. Dit is dus een massadefect van 0,027 ame t.o.v. de beginmassa of wel 0,68 %. ame Staat voor atomaire massa eenheid: Eenheid van massa voor atomen en moleculen gelijk aan 1/12 deel van de massa van een koolstof 12 atoom. dit is gelijk aan1,66033x10-27kg. Dit wil zeggen dat bij elke Kilogrammassa waterstof waaruit Helium wordt gevormd er 6,8 grammassa omgezet wordt in energie welke dus ingevuld de formule van Einstein:
E = m. c 2
6,8 ⋅ 10 − 3 ⋅ (3 ⋅ 108 ) 2 = 6,1 ⋅ 1014 J. bedraagt.
Daar 1 m3 aardgas een 'calorische" waarde heeft van 3.107 J, blijkt (na enig rekenwerk) dit dus voldoende voor de energiebehoefte van een middelgrote stad voor een geheel jaar ! Bijlage 2. Afleiding van E = m. c
2
Het enige wat we voor deze afleiding nodig hebben is het feit dat "licht" (fotonen dus) massa bezitten (Zie Einstein (2), VESTA juli'91) en dus ook een impuls p = E/c. Verder behoeven we alleen maar de wet van behoud van impuls toe te passen en het gegeven dat in een afgesloten systeem waarop van buitenaf geen krachten werken het massamiddelpunt gelijk blijft! Als gedachte experiment nemen we (in de ruimte vrij zwevende) zwarte doos met massa M, lengte l en in de linkerwand een lichtbron. (fig 1a) Op een gegeven moment produceert deze bron en lichtbundel met energie E (dus impuls E/c) welke zich naar de tegenovergestelde wand beweegt. Door zijn impuls zet deze bundel zich a.h.w. af tegen de linkerwand (vergelijk het met iemand die uit een stilliggend roeibootje springt waardoor dit bootje juist in de tegenovergestelde richting zich gaat bewegen) De doos gaat zich nu met een snelheid v naar links bewegen (zie fig 1b). Na een tijdsduur t komt de lichtbundel bij de rechterwand aan waar die door de wand geabsorbeerd wordt en waarbij de doos nu weer tot stilstand komt.(zie fig 1c)
lichtbron
I
t=0 moment waarop licht-
1a
I
bundel wordt uitgezonden
I I I 1b
I
door "afzet" van lichtbundel
I
beweegt doos zich naar links
I
(lichtbundel naar rechts)
I I 1c I I
I
t.s na uitzending treft bundel
I
tegenoverliggende wand.
I
Door deze stoot komt doos weer tot rust
I
y
I ———
I I
In die tijd t heeft de doos zich nu over een afstand y naar links verplaatst. Voor de lichtbundel geldt:
l = c.t Impuls p( licht ) = E / c
Voor de doos geldt
y = v.t Impuls P( doos ) = M ⋅ v
Volgens de wet van behoud van impuls geldt Impuls voor de reactie = impuls na de reactie
0= M⋅v+ E /c
of wel M = − E / v ⋅ c
(1)
In tijd t legt licht af (naar rechts)
l = c.t
(2a)
In tijd t legt doos af y (naar links)
y = v.t )
(2b)
Uit 2a en 2b volgt:
y /1= v / c
(2)
Het zwaartepunt blijft gelijk dus de massaverplaatsing van het licht naar rechts (ml) is gelijk aan de massaverplaatsing van de doos naar links (M.y) of wel
m ⋅ l + M ⋅ y = 0 of wel m = − M ⋅ y / l
(3)
Vul voor M de waarde - E/vc -zie (1)- in en en voor y/l de waarde v/c -zie (2)- in
m = − ( − E / v ⋅ c) ⋅ v / c = E / c 2
Of wel E = m ⋅ c
2
Verrassend niet waar?
U ziet dat U met slechts de kennis van de impuls van een lichtbundel met massa m en impuls E/c (want de wet van behoud van impuls en massamiddelpunt kende U allang) zelf tot dit resultaat had kunnen komen! (maar dan was U ook een genie als Einstein geweest !) Volgende aflevering iets over de beroemde tweelingparadox waarmee we de serie over de speciale relativiteitstheorie afsluiten.
Jaap Kuyt.
