4.6.3 Příhradové konstrukce

4.6.3 Příhradové konstrukce Forth Bridge (1890) 2529 m

Akashi Kaikyō Bridge (1998) 3911 m

"Forth rail bridge head-on-panorama josh-von-staudach" by Josh von Staudach - Own work. "The Forth Bridge seen from South Queensferry" by Kim Traynor - Own work. By Fotograf: Marcus Tschaut (Self-photographed) Licensed under Creative Commons Attribution-Share Alike 3.0 via Wikimedia Commons

© Petr Kabele 2005-2013

Základní předpoklady • konstrukce je vytvořena z přímých prutů • pruty jsou navzájem pospojovány v bodech =>styčnících • vzájemné spojení prutů se ve všech styčnících se předpokládá kloubové • soustava je podepřena jen vnějšími vazbami, které zabraňují pouze posunu, a to výhradně ve styčnících


Příhrady: - prostorové - rovinné: všechny pruty leží v jedné rovině zatížení působí ve stejné rovině Zatížení: -styčníkové

vznikají pouze osové = normálové síly (konstantní po délce prutu) -mimostyčníkové – pro výpočet osových sil v ostatních prutech lze převést na ekvivalentní zatížení do styčníků l1 l2 F 1

Fr1

Fr2 1

F=Fr1+Fr2 -Fl1= -Fr2(l1+l2) Pozor: prut 1 namáhán i ohybem!! © Petr Kabele 2005-2013

Schématické zakreslování příhradových konstrukcí • zakreslujeme pouze pruty • každý průsečík prutů považujeme za styčník f

6

g

7

h

5

f 8

9

10

11

12

2

c

3

d

4

7

h 8

9

e b

g

5

13

a 1

6 10

11

12

13

a

e 1

b

2

c

3

d

4

• křížení prutů, které nejsou navzájem spojené, označíme obloučkem


Statická určitost rovinných příhradových soustav • jednotlivé styčníky pokládáme za hmotné body a na pruty soustavy pohlížíme jako na vnitřní vazby- kyvné pruty • každý styčník (bod) má 2 stupně volnosti • každý prut odebírá soustavě 1 st. volnosti f

6

g

7

h

5

8 9

10

11

12

13

a

e 1

b

2

c

3

d

4

sn= p + rext – n·2 sn… stupeň statické neurčitosti soustavy n… počet styčníků p… počet prutů rext… počet odebraných stupňů volnosti vnějšími vazbami © Petr Kabele 2005-2013

• posouzení vnějšího podepření rovinná příhradová soustava má minimálně 3 stupně volnosti (min. 3 styčníky spojené 3 pruty ... m = 3) aby vnější vazby zamezily přemístění konstrukce, musí odebírat soustavě nejméně 3 stupně volnosti (rext ≥ 3) • statická/kinematická určitost příhradové soustavy Stupně volnosti sn = 0 (m = r) a rext ≥ 3 a není výjimkový případ sn > 0 (m < r) a rext ≥ 3 a není výjimkový případ sn < 0 (m > r) a/nebo rext < 3 a/nebo výjimkový případ

Podepření staticky

Podepření kinematicky

Pozn.

určité

určité

kce. vč. všech jejích částí pevně podepřena

neurčité

přeurčité

kce. vč. všech jejích částí pevně podepřena

přeurčité

neurčité

kce. nebo její část může samovolně změnit polohu © Petr Kabele 2005-2013

• výjimkový případ podepření: přestože počet vnějších vazeb i prutů příhrady je dostatečný k odebrání všech stupňů volnosti konstrukce (r ≥ m, rext ≥ 3) , jejich nevhodné uspořádání nezabraňuje skutečným či nekonečně malým posunům/pootočením konstrukce nebo její části


Posuďte statickou určitost zadané příhradové konstrukce f

6

g

7

h

5

sn = 13.1 + (2+1) – 8.2 = 16 – 16 = 0

8 9

10

11

12

13

a

e 1

b

2

f

6

5

c

3

g

10

12

11

j

9

d

7

h

15 14 13

staticky i kinematicky určitá kce

4

17

sn = 19.1 + (2+1) – 10.2 = 22 – 20 = 2 8

19 16

k 18

a

e 1

b

f

2

c

6

3

g

d

7

h

5

sn = 13.1 + (2+2) – 8.2 = 17 – 16 = 1

8 9

10

11

12

13

a

e 1

b

2

c

2x staticky neurčitá/kinematicky přeurčitá kce

4

3

d

4

1x staticky neurčitá/kinematicky přeurčitá kce


Poznámka: •Tři příhradové pruty navzájem propojené do trojúhelníka tvoří soustavu se třemi nepodepřenými stupni volnosti (sn= 3·1 – 3·2 = – 3) - v podstatě tvoří tuhou desku.

=

=

• Ze základního trojúhelníka lze vytvořit složitější soustavu se třemi nepodepřenými stupni volnosti (tuhou desku) připojením dalších styčníku (hmotných bodů) vždy pomocí dvou příhradových prutů, např.

sn= 3·1 – 3·2 = – 3

sn= 5·1 – 4·2 = – 3

sn= 7·1 – 5·2 = – 3

sn= 9·1 – 6·2 = – 3


• Příhradovou soustavu si pak lze představit jako složenou soustavu sestavenou z tuhých desek a můžeme počítat

sn = v + rext – d·3 d… počet desek v… počet stupňů volnosti odebraných vnitřními vazbami (klouby, kyvné pruty, …) rext… počet stupňů volnosti odebraných vnějšími vazbami

Př. f

5

g

6

h

4

sn = 12·1 + (2+2) – 8·2 = 16 – 16 = 0

7 8

9

10

11

12

a

e 1

b

c

2

d

3

f 8

a

9

10

11

12

e

sn = 2 + (2+2) – 2·3 =6–6=0


Výjimkové případy f

6

5

10

g 12

9 11

7 15

8

14 13

j

sn = (16·1) + (2) – (9 ·2) = 18 – 18 = 0

h 16

a

e 1

b

2

c

f

3

g

d

6

4

h

5

sn = 12 ·1 + (2+2) – 8 ·2 = 16 – 16 = 0

7 8

9

10

11

12

a

e 1

b

2

c

8

3

10

a

sn = 0 avšak rext = 2 ≤ 3 ⇒ soustava se může volně pootáčet kolem bodu a

11

d

4

sn = 0 a rext = 4 ≥ 3 avšak det[D] = 0 ⇒ soustava je výjimkovým případem

12

e c


Řešení vnějších reakcí a prutových sil: obecná metoda styčných bodů • Příhradová soustava je staticky určitá. • Příhradová soustava je řešena jako složená soustava sestavená z hmotných bodů. • Účinek vnějších vazeb se nahradí odpovídajícími nezávislými složkami reakcí. • Účinek vnitřních vazeb (příhradových prutů) se nahradí prutovými (osovými/normálovými) silami Ni tak, že kladná síla odpovídá taženému prutu.


• Má-li být celá příhradová soustava v rovnováze, musí být v rovnováze i každý styčník (hmotný bod) soustavy. • V každém styčníku sestavíme 2 silové podmínky rovnováhy. • Podmínky rovnováhy všech styčníků (n hmotných bodů) stačí k určení všech prutových sil (p) i všech nezávislých složek vnějších reakcí (rext): 2n = p + rext obecně soustava 2n rovnic


Př 1:


Zjednodušení (zjednodušená metoda styčných bodů): •použijeme princip obecné metody styčných bodů •řešení provádíme postupně tak, že řešíme vždy 2 rovnice pro 2 neznámé (ve dvojném styčníku) Dvojným styčníkem se nazývá styčník, ve kterém působí (kromě známých sil) právě 2 neznámé osové síly, případně složky reakcí

Použití zjednodušené metody styčných bodů vyžaduje, aby v řešené příhradové soustavě byl alespoň jeden dvojný styčník. U většiny příhradových soustav na počátku řešení dvojný styčník neexistuje, proto se provádějí postupy, pomocí kterých se dvojný styčník vytvoří: • U celé řady příhradových soustav se dvojný styčník získá tak, že z podmínek rovnováhy soustavy jako celku se určí vnější reakce. • Použitím další metody řešení - metody průsečné.


Zvláštní typy styčníků Np = Nr

Nq = Ns

Nq

Nr

Nr = 0 Nq j

j

Np

Ns

Np = Nr

Nq = 0

Nq = 0

Nr

Nq = 0

Np = Nr

Nq

Nq j

Np

j

Nr

Np

Nr


Řešení vnějších reakcí a prutových sil: průsečná metoda • Má-li být celá příhradová soustava v rovnováze, musí být v rovnováze i každá její část • Postup řešení: - U řešené příhradové soustavy musí být určeno vnější zatížení a vypočteny nutné vnější reakce. - Soustavu rozdělíme řezem na 2 samostatné části tak, aby proťal právě 3 pruty - Účinek přerušených prutů nahradíme neznámými prutovými silami - Ze tří statických podmínek rovnováhy na jedné části vyřešíme 3 neznámé prutové síly. 15 kN xg 10 kN

15 kN

zg

II N8

I Az

1,5 + 2,5 2

N8 I

Ax

1,5

→ − N 5 − N 2 − N8 ⋅

e N5 f

a

b 5 kN

↓ − N8 ⋅

II

N2 N2 c

d

2,5 1,5 + 2,5 2

2

2

=0

+ 15 + D = 0

∩ 2,5 N 5 − 2 D = 0

D © Petr Kabele 2005-2013

Obvyklé použití: • Kontrola výpočtu osových sil • Výpočet vybraných sil • Startovací metoda pro jiné způsoby řešení Poznámka: • Řez lze vést i tak, že přeruší n>3 prutů, z nichž n-1 se protíná v jediném bodě (přidružený momentový střed) 1 N1=... a • Potom lze vypočítat sílu ve zbývajícím prutu z momentové podmínky k přidruženému momentovému středu. (momentová podmínka k nevlastnímu bodu (→ ∞) přechází v součtovou podmínku) © Petr Kabele 2005-2013

Př 2.

15 kN 10 kN

15 kN e 5

f 2,5 m

4 7

8

9

6

a 1

b

5 kN 2m

2 1,5 m

c

3

d

2m

sn = 9 + (2+1) - 2.6 = 12 – 12 = 0


15 kN

15 kN e 5

10 kN

f 2,5 m

4 7

8

9

6

a 1

b

5 kN 2m

15 kN xg 10 kN zg

N4

e N5 f

N7

Ax

3

d

2m

N6 N9

l4=l6=3.20156 m l8= 2.91548 m

2.5

N6

N8

N1 N1 b

Az

1,5 m

c

15 kN

N8

N4

2

N2 N2 c N3 N3

5 kN

2

d

D

1.5

Ax= -10 kN Az= -13,637 kN D = -21,363 kN

2

OSOVÁ SÍLA Np HODNOTA [kN]

N1

N2

N3

20,91

20,909

17,09

N4

N5

N6

-17,467 -17,091 -27,361

N7 5

N8

N9

-7,4187 6,3625 © Petr Kabele 2005-2013

Př. 3: Pro zadanou příhradovou konstrukci posuďte statickou určitost a vypočítejte a) všechny vnější reakce b) osové síly v prutech 12, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21 a 22. V obrázku zakreslete uvažované směry a orientace reakcí a osových sil. Vždy napište podmínky rovnováhy , ze kterých při výpočtu vycházíte. Výsledné reakce vykreslete do zvláštního obrázku. U každé vypočtené prutové síly určete, zda je tahová či tlaková.

sn = 22 + 2·2 - 13 ·2 = 0 Konstrukce je staticky i kinematicky určitá.


a) Vnější reakce

Konstrukce je vně staticky neurčitá. Tvoří ji však 2 tuhé desky vnitřně spojené kloubem ... uspořádání trojkloubového rámu. Tx

Tz

Tx Tz Sx

Rx Rz

Sz © Petr Kabele 2005-2013

9

9

(kN)

Tz

Tx

t Tx I.

Rx

9

Tz

5 5

II.

Sx

b Rz

Sz I.


b) Osové síly v prutech 12, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21 a 22.


Výpočet začneme od nejjednodušších prutů:

Sx Sz


Pruty 17, 18, 19: průsečná metoda

c d Sx

Sz


e

f

Prut 20 ... dvojný styčník d:

c d Sx

Sz

Pruty 16 a 15 ... dvojný styčník e:

Prut 12 ... styčník f: © Petr Kabele 2005-2013

Výsledky:

(kN) + tah - tlak © Petr Kabele 2005-2013

Tento dokument je určen výhradně jako doplněk k přednáškám z předmětu Stavební mechanika 1 pro studenty Stavební fakulty ČVUT v Praze. Dokument je průběžně doplňován, opravován a aktualizován a i přes veškerou snahu autora může obsahovat nepřesnosti a chyby. Připraveno s použitím materiálů poskytnutých doc. Ing. Michalem Polákem, CSc.

Datum poslední revize: 10.12.2013 © Petr Kabele 2005-2013

4.6.3 Příhradové konstrukce

Recommend Documents