4.2. CYKLOMETRICKÉ FUNKCE
V této kapitole se dozvíte: •
jak jsou definovány cyklometrick é fu nkce a jaký je jejich vztah k funkcím goniometrickým;
•
základní vlastn osti cyk lo metrických funkcí;
•
nejdůležitější vzorce pro práci s cyklo metrický mi fun kcemi.
Klíčová slova této kapitoly: cyklometrické funkce, inverzní goinometrické funkce, arkussinus, arkuskosinus, arkustangens, arkuskotangens.
Čas potřebný k prostudování učiva kapitoly: 0 ,75 + 0 ,0 hodin y (teo rie + řešení p říkladů)
Cyklometrické funkce. Protože goniometrické funkce nejsou prosté v celém svém definičním oboru, neexistují k nim funkce inverzní. Omezíme-li se však pouze na část definičního oboru, ve které je daná goniometrická funkce prostá, můžeme k takto definované funkci přiřadit funkci inverzní, kterou pak nazýváme cyklometrickou funkcí. Používáme čtyři hlavní cyklometrické funkce. Arkussinus. Funkce y = arcsin x (čteme „arkus sinus x“) je inverzní k y = sin x pro x ∈ − π 2 , Definičním oborem je uzavřený interval −1, 1 , oborem hodnot interval − π 2 ,
π
π 2
2
.
.
Arkuskosinus. Funkce y = arccos x (čteme „arkus kosinus x“) je inverzní k y = cos x pro x ∈ 0, π . Definičním oborem je uzavřený interval −1, 1 , oborem hodnot interval 0, π . Arkustangens. Funkce y = arctg x (čteme „arkus tangens x“) je inverzní k y = tg x pro x ∈ − π 2 , Definičním oborem je celá množina R , oborem hodnot interval − π 2 ,
π
2
π
2
.
.
Arkuskotangens. Funkce y = arccotg x (čteme „arkus kotangens x“) je inverzní k y = cotg x pro x ∈ 0, π . Definičním oborem je celá množina R , oborem hodnot interval 0, π . Poznámka. a) Cyklometrické funkce jsou nazývány také inverzními goniometrickými funkcemi, ale toto vyjádření není z výše uvedených důvodů zcela přesné. b) Výraz „ arcsin x “ lze volně číst jako „úhel (doslova oblouk, lat. arcus), jehož sinus je x “. Takových úhlů je ovšem obecně nekonečně mnoho, je míněn úhel z oboru hodnot příslušné cyklometrické funkce, v našem případě z intervalu − π 2 , π 2 . Obdobně pro další cyklometrické funkce. Grafy cyklometrických funkcí. Většinu informací o definičním oboru, oboru hodnot a tvaru těchto funkcí lze jako obvykle získat z grafů, které je třeba znát zpaměti.
Vybrané vzorce pro práci cyklometrickými funkcemi. Základní identity. Přímo z definice plynou základní identity, ve kterých je ale třeba dávat pozor na jejich obor platnosti:
π π , , arccos ( cos x ) = x pro x ∈ 0, π . 2 2 sin ( arcsin x ) = x , cos ( arccos x ) = x , v obou případech pro x ∈ −1, 1 .
arcsin ( sin x ) = x pro x ∈ −
π π arctg ( tg x ) = x pro x ∈ − , , arccotg ( cotg x ) = x pro x ∈ ( 0, π ) ; 2 2 tg ( arctg x ) = x , cotg ( arccotg x ) = x , v obou případech pro x ∈ R . Funkční hodnoty v opačném argumentu. arcsin ( − x ) = − arcsin x , arccos ( − x ) = π − arccos x ; arctg ( − x ) = −arctg x , arccotg ( − x ) = π − arccotg x ; Z uvedených vzorců je zřejmé, že funkce arcsin a arctg jsou liché; funkce arccos a arccotg nejsou ani sudé ani liché, ale jejich průběh odpovídá liché funkci, posunuté ve funkčních hodnotách o π . Vztahy mezi cyklometrickými funkcemi. Vztahy platí pro všechna x , pro která jsou výrazy v rovnicích definovány: arcsin x + arccos x =
π π , arctg x + arccotg x = ; 2 2
arcsin x = arccos 1 − x 2 , arccos x = arcsin 1 − x 2 , arctg x = arccotg
1 . x
Shrnutí kapitoly: Goniometrické funkce nejsou prosté, proto k nim není možné sestrojit inverzní funkce. Vybereme-li však u dané goniometrické funkce vhodný interval, ve kterém je tato funkce prostá, pak k funkci definované pouze na tomto intervalu již existuje inverzní funkce. Takto sestroje né inverzní funkce nazýváme cyklometrické. V praxi používáme čtyři hl avní cyklometrické funkce: 1 ) arkussinus je funkce inverzní k funkci sinus v intervalu − π 2 ,
π
2
;
2 ) arkuskosinus je funkce inverzní k funkci kosinus v intervalu 0, π ; 3 ) arkustangens je funkce inverzní k funkci tangens v intervalu − π 2 ,
π
2
;
4) arkuskotangens je funkce inverzní k funkci tangens v intervalu 0, π . Vlastnosti cyklometrických funkcí, zejména definiční obory, obory hodnot, důležité body, kterými procházejí a asymptoty, lze nejlépe nahlédnout v jejich grafech, které je nutné znát zpaměti. Při práci s cyklometrickými funkcemi jsou často potřebné základní vzorce, o kterých je třeba mít přehled. Obecně se dá říci, že cyklometrické funkce nejsou v praxi tak používané jako funkce goniometrické, nicméně svůj nezastupitelný význam mají. Otázky: •
Jak se jmen ují a jak jso u definovány čtyři nejpoužívanější cykl ometrické funk ce?
•
Jaké základní vlastnosti mají f unkce ark ussinu s a arku sko sinu s? Jaký mají definiční o bor a obo r h odnot?
•
Jaké základ ní vlastn osti mají f unkce ark ustang en s a arku sk otang en s? Jaký mají definiční o bor a obo r h odnot?
•
Načrtněte zpaměti grafy všech čty ř nejpoužívanějších cyk lo metri ckých funkcí. Jakými význačnými body tyto grafy p roch ázejí?
•
Napište zpaměti zák lad ní id entity p lyno ucí p římo z d efinice cyk lo metrických funk cí. Uveďte p řesně, pro jaký obor proměnné platí!
•
Napište další důležité v zorce p ro cyklometrické funkce, které z náte. Jak v ypadají fu nkčn í hod no ty cyk lo me trických funkcí v opačném argumentu? Jaké vztahy platí mezi funkcemi arkuss inus a ark usk osinu s, resp . ark ustang ens a arkuskotan gen s?
Další zdroje: 1. POLÁK, J. Přehled středoškolské matematiky. 6. vyd. Praha: Prometheus, 1997. 2. POLÁK, J. Středoškolská matematika v úlohách I. 1. vyd. Praha: Prometheus, 1996. 3. POLÁK, J. Středoškolská matematika v úlohách II. 1. vyd. Praha: Prometheus, 1996. 4. REKTORYS, K. a spol. Přehled užité matematiky. 6. přepr. vyd. Praha: Prometheus, 1995.
ZÁVĚR:
