4.1.3 Bepalen van de resulterende kracht Tweede wet van Newton Dynamische krachtwerking

Inhoudsopgave 1 Beschrijven van bewegingen met vectoren.......................................................................................3 1.1 De plaatsvector..........................................................................................................................3 1.2 Beweging...................................................................................................................................4 1.3 Verplaatsingsvector...................................................................................................................4 1.4 De snelheidsvector.....................................................................................................................5 1.4.1 Gemiddelde snelheidsvector..............................................................................................5 1.4.2 Ogenblikkelijke snelheidsvector °.....................................................................................5 1.5 De versnellingsvector................................................................................................................6 1.5.1 De gemiddelde versnellingsvector.....................................................................................6 1.5.2 De ogenblikkelijke versnellingsvector °............................................................................6 1.5.3 Tangentiële en normaalversnelling °..................................................................................7 1.6 Oefeningen ................................................................................................................................8 1.6.1 Voorbeelden.......................................................................................................................8 1.6.2 Opgaves............................................................................................................................10 2 Eéndimensionale bewegingen.........................................................................................................11 2.1 Eenparig rechtlijnige bewegingen (ERB)................................................................................11 2.1.1 Definitie...........................................................................................................................11 2.1.2 Coördinaten......................................................................................................................12 2.1.3 Diagrammen.....................................................................................................................12 2.2 Eenparig veranderlijke rechtlijnige bewegingen (EVRB).......................................................13 2.2.1 Definitie...........................................................................................................................13 2.2.2 Coördinaten en bewegingsvergelijkingen........................................................................14 2.2.3 Diagrammen.....................................................................................................................15 2.3 Toepassing : de verticale worp................................................................................................16 2.3.1 Beschrijving van de beweging.........................................................................................16 2.3.2 Berekenen van maximale hoogte.....................................................................................17 2.3.3 Berekenen van snelheid bij terugkeren op beginpositie...................................................17 2.4 Oefeningen...............................................................................................................................18 2.4.1 Voorbeelden.....................................................................................................................18 2.4.2 Opgaves............................................................................................................................22 3 Tweedimensionale bewegingen.......................................................................................................24 3.1 Het onafhankelijkheidsprincipe...............................................................................................24 3.2 De horizontale worp.................................................................................................................24 3.2.1 Beschrijving van de beweging.........................................................................................24 3.2.2 Berekenen van de dracht..................................................................................................25 3.3 De projectielbeweging (schuine worp)....................................................................................26 3.3.1 Beschrijving van de beweging.........................................................................................26 3.3.2 De bewegingsvergelijkingen............................................................................................27 3.3.3 Berekenen van de dracht..................................................................................................28 3.4 Oefeningen...............................................................................................................................28 3.4.1 Voorbeelden.....................................................................................................................28 3.4.2 Opgaven...........................................................................................................................31 4 De wetten van Newton....................................................................................................................32 4.1 Eerste wet van Newton............................................................................................................32 4.1.1 Traagheidsbeginsel...........................................................................................................32 4.1.2 Het concept kracht...........................................................................................................32 1

4.1.3 Bepalen van de resulterende kracht.................................................................................33 4.2 Tweede wet van Newton..........................................................................................................36 4.2.1 Dynamische krachtwerking..............................................................................................36 4.2.2 Tangentiële en normaalkracht..........................................................................................37 4.3 Derde wet van Newton – Actie en reactie...............................................................................37 4.4 Voorbeelden van krachten.......................................................................................................38 4.4.1 Zwaartekracht nabij het aardoppervlak............................................................................38 4.4.2 Gewicht............................................................................................................................38 4.4.3 Normaalkracht..................................................................................................................38 4.4.4 Spankracht........................................................................................................................39 4.4.5 Veerkracht........................................................................................................................39 4.4.6 Wrijvingskracht tussen contactoppervlakken..................................................................40 4.4.7 Wrijvingskracht in een middenstof..................................................................................43 4.5 Oefeningen...............................................................................................................................46 4.5.1 Algemene werkwijze........................................................................................................46 4.5.2 Voorbeelden.....................................................................................................................46 4.5.3 Opgaves............................................................................................................................52 5 De universele wet van gravitatie.....................................................................................................54 5.1 Historische ontwikkeling.........................................................................................................54 5.1.1 Mesopotamiërs.................................................................................................................54 5.1.2 Griekse astronomie in de oudheid....................................................................................55 5.1.3 Ptolemaeus.......................................................................................................................55 5.1.4 De Middeleeuwen............................................................................................................57 5.1.5 Copernicus.......................................................................................................................57 5.1.6 Het conflict Galileï vs. de katholieke kerk.......................................................................58 5.2 De wetten van Kepler voor planeetbewegingen......................................................................59 5.3 De universele gravitatiewet van Newton.................................................................................61 5.4 Oefeningen...............................................................................................................................64 6 Arbeid en Energie............................................................................................................................65 6.1 Arbeid......................................................................................................................................65 6.1.1 Arbeid geleverd door een constante kracht......................................................................65 6.1.2 Arbeid geleverd door niet constante krachten..................................................................65 6.1.3 Vermogen.........................................................................................................................65 6.2 Kinetische energie....................................................................................................................65 6.3 Potentiële energie.....................................................................................................................65 6.3.1 Conservatieve krachten....................................................................................................65 6.3.2 Arbeid-energie theorema voor conservatieve krachten....................................................65 6.4 Behoud van energie.................................................................................................................65 6.4.1 Arbeid-energie theorema met niet-conservatieve krachten..............................................65 6.4.2 Equivalentie van massa en energie..................................................................................65 6.5 Oefeningen...............................................................................................................................65

2

1 Beschrijven van bewegingen met vectoren

1 Beschrijven van bewegingen met vectoren 1.1

De plaatsvector De positie van je huis ten opzichte van het punt waar je je nu bevindt kan aangegeven door te zeggen : “mijn huis bevindt zich ten opzichte van waar ik nu sta exact vijf kilometer naar het noord-westen”. Je geeft een •

aangrijpingspunt (“waar ik nu sta”),

•

een grootte (“vijf kilometer”)

•

een zin en een richting (“naar het noordwesten”).

Wat je eigenlijk doet is de positie beschrijven met behulp van een vector.

Afbeelding 1: Plaatsvector van een voorwerp.

De positie van een voorwerp ten opzichte van een waarnemer kan beschreven worden door middel van een vector. Deze vector noemen we plaats- of positievector van het voorwerp ten opzichte van de waarnemer. r . We noteren de plaatsvector als  Als we een orthonormaal assenstelsel invoeren met de waarnemer in de oorsprong, kunnen we de plaatsvector beschrijven met behulp van coördinaten. In deze cursus gaan we ons beperken tot bewegingen in één vlak, dus volstaat het ons te beperken tot twee assen (X,Y) en bijgevolg ook twee coördinaten.

Afbeelding 2: Coördinaten van een plaatsvector.

Zij ex en ey eenheidsvectoren in resp. de richting van de X-as en de Y-as. Dan kan de plaatsvector van een voorwerp geschreven worden als :

r =x⋅ex  y⋅ey r = x , y

Het koppel reële getallen (x,y) zijn dan de coördinaten van het voorwerp met r . plaatsvector  Hoeveel coördinaten heb je nodig als je de positie van een voorwerp wil beschrijven in de ruimte in plaats van in een vlak ? Hebben de coördinaten een eenheid ? Indien ja, welke ?

3


1.2

Beweging Een voorwerp is in beweging ten opzichte van een waarnemer als het voorwerp op verschillende tijdstippen een verschillende positie inneemt. Als we de positie beschrijven met behulp van een plaatsvector, kunnen we bijgevolg zeggen dat een voorwerp in beweging is, als het op verschillende tijdstippen een verschillende plaatsvector heeft. De plaatsvector is met andere woorden een functie van de tijd. We noteren de plaatsvector van het voorwerp op een r t . tijdstip t als  De verzameling van alle plaatsvectoren ingenomen door het voorwerp in een zeker tijdsinterval, noemen we de baan van het voorwerp. Als de plaatsvector wijzigt in functie van de tijd, dan zullen ook de coördinaten wijzigen in functie van de tijd. We noteren de coördinaten van het voorwerp een tijdstip t als

r t= x t  , y t 

1.3

Afbeelding 3: Plaatsvectoren op verschillende tijdstippen van een voorwerp in beweging.

Verplaatsingsvector Beschouw een voorwerp in beweging. Op tijdstip r t 0 . Op een later t0 is zijn plaatsvector r t 1 . tijdstip t1 is zijn plaatsvector  We definiëren nu de verplaatsingsvector in het tijdsinterval  t=t 1−t 0 als

 r

 r =r t 1−r t 0  We kunnen ook werken met coördinaten: zij r t 0= x t 0  , y t 0  en r t 1= x t 1 , y t 1 , Afbeelding 4: De verplaatsingsvector

dan worden de coördinaten verplaatsingsvector gegeven door :

van

de

 r = x ,  y  r = x t 1 −x t 0  , y t 1 − y t 0

Hoe kan je, als de coördinaten kent van het begin- en eindpunt, de afstand berekenen waarover het voorwerp verplaatst is ? Wat is de eenheid van de coördinaten van de verplaatsingsvector ? Is deze afstand hetzelfde als de afgelegde weg ∆ s ?

4


1.4

De snelheidsvector

1.4.1

Gemiddelde snelheidsvector

Als een voorwerp zich gedurende een tijdsinterval  t=t 1−t 0 heeft verplaatst langs een verplaatsingsvector  r =r t 1−r t 0  , dan definiëren we de gemiddelde snelheidsvector gedurende dat tijdsinterval als :

 r t r t −r t 0  vm = 1 t 1 −t 0 vm=

Afbeelding 5: De gemiddelde snelheidsvector

Merk op dat de gemiddelde snelheidsvector steeds dezelfde zin en richting heeft als de verplaatsingsvector. De coördinaten van de snelheidsvector worden gegeven door

vm =v m , x , v m , y  x  y vm= ,  t t x t 1− x t 2 y t 1 − y t 2  vm = ,  t 1−t 2 t 1 −t 2 Wat is de eenheid van de coördinaten van de gemiddelde snelheidsvector ? De gemiddelde afstand waarover het voorwerp per tijdseenheid verplaatst wordt, wordt gegeven door de grootte van de gemiddelde snelheidsvector :

∥vm∥=  v 2x v 2y ∥ r∥ ∥vm∥= t Verwar de snelheidsvector niet met de baansnelheid

v=

s uit de cursus van t

het vierde jaar ! Wat zijn de verschillen ?

1.4.2

Ogenblikkelijke snelheidsvector °

De snelheidsvector gedurende een gegeven tijdsinterval blijft bij realistische bewegingen niet constant, maar wisselt continu. Om een beweging exact te v t moeten kennen. beschrijven, zou je op elk moment de snelheidsvector  We definiëren de ogenblikkelijke snelheidsvector als de gemiddelde snelheidsvector over een oneindig klein tijdsinterval.

v t=lim t  0

r t t−r t t

Op bijstaande figuur zien we hoe de richting van de gemiddelde snelheidsvector meer en meer de raaklijn aan de baan benadert, als we tijdsinterval verkleinen. De ogenblikkelijke snelheidsvector is steeds rakend aan de baan.

5


Afbeelding 6: Afleiding van de ogenblikkelijke snelheidsvector.

1.5

De versnellingsvector

1.5.1

De gemiddelde versnellingsvector

Als de snelheid niet constant blijft, kunnen we een gemiddelde v t o de snelheid op tijdstip t0, en versnellingsvector definiëren als volgt: zij  v t 1 de snelheid op tijdstip t1, dan is de gemiddelde versnellingsvector gegeven door :

v am=  t v t 1−v t 0  am = t 1−t 0 De coördinaten van de gemiddelde versnellingsvector worden gegeven door :

am = a m , x , a m , y  vx vy am = ,  t t v t −v x t 2  v y t 1−v y t 2 am = x 1 ,  t 1−t 2 t 1−t 2 Wat is de eenheid van de coördinaten van de gemiddelde versnellingsvector ?

1.5.2

De ogenblikkelijke versnellingsvector °

Net zoals de snelheidsvector gedurende een tijdsinterval niet constant hoeft te blijven, is dit ook het geval met de versnellingsvector. Analoog als de ogenblikkelijke snelheidsvector definiëren we de ogenblikkelijke versnellingsvector als de gemiddelde versnellingsvector over een oneindig klein tijdsinterval :

a t =lim t  0

v t t−v t t

6


Afbeelding 7: Plaats-, ogenblikkelijke snelheids-, en versnellingsvector op drie verschillende tijdstippen.

Als we in wat volgt spreken over “de snelheid”, bedoelen we daar altijd de ogenblikkelijke snelheid mee, tenzij expliciet anders vernoemd.

1.5.3

Tangentiële en normaalversnelling °

Men kan de ogenblikkelijke versnellingsvector a t  ontbinden in  ●

een component evenwijdig met de ogenblikkelijke snelheidsvector, ook wel de tangentiële (rakend aan de baan) component at t of genoemd

●

en een component loodrecht op de ogenblikkelijke snelheidsvector, de normaalcomponent an t  genoemd.

Zo dat

Afbeelding 8: ontbinding in tangentiële en normaalcomponent.

at tan t=a t  .

De tangentiële versnelling is verantwoordelijk voor de wijziging in grootte van de snelheidsvector. De normale component is verantwoordelijk voor de wijziging van richting van de snelheidsvector. Kan de grootte van de snelheidsvector constant versnellingsvector niet de nulvector is ? Verklaar !

blijven

terwijl

de

7


1.6

Oefeningen

1.6.1 a

Voorbeelden Voorbeeld 1

Een boot vertrekt vanaf de kade en vaart gedurende 15 minuten met een gemiddelde snelheidsvector gegeven door v1=3

m m , 4  , wijzigt zijn koers, en s s

vaart dan gedurende 30 minuten met een snelheidsvector gegeven door

v2 =−2

m m , 3  . Bereken de afstand tussen zijn vertrekpunt en zijn positie na s s

15 minuten en na 45 minuten. Gegevens : We kiezen de oorsprong van ons assenstelsel in het vertrekpunt, en kiezen als begintijdstip t0 = 0s.

t 0=0 s , t 1 =900 s ,t 2=2700 s r t 0=0 m , 0 m m m v1=3 , 4  s s m m v2=−2 , 3  s s Oplossing : We bepalen eerst de positie op t1 :

 r = v1⋅ t r1= v1⋅ t  x t 1 , y t 1= v m , x ,1⋅t 1−t 0 , v m , y,1⋅t 1−t 0  m m  x t 1 , y t 1 =3 ⋅900 s ,5 ⋅900 s  s s  x t 1  , y t 1 =2700m , 3600m De afstand tussen het vertrekpunt en de positie op t1 wordt gegeven door :

∥r t 1 ∥=  x 2 t 1  y 2 t 1 ∥r t 1∥= 2700 m23600 m2 ∥r t 1 ∥=4500 m b

Voorbeeld 2 De beweging van een voorwerp wordt beschreven vergelijkingen :  r t= x t=5⋅t3, y t =−4⋅t 2t .

door

volgende

●

Bepaal de positie van het voorwerp na 2s en na 4 s.

●

Bereken de verplaatsingsvector en de afstand waarover het voorwerp verplaatst is tussen 2s en 4s.

8

1 Beschrijven van bewegingen met vectoren ●

Bereken de gemiddelde snelheidsvector tussen 2s en 4s. Bepaal eveneens de grootte van de gemiddelde snelheidsvector.

Gegeven :

t 0=0s , t 1=2s , t 3 =4s x t=5⋅t3 y t =−4⋅t 2t ¿ Gevraagd

r t 1 , r t 2 , r , vm ,∥vm∥ Oplossing

r t 1= x t 1 , y t 1 m m 2 m r t 1= x t=5 ⋅t3 m , y t=−4 2⋅t t  s s s m m m r 2 s= x t=5 ⋅2 s3 m , y t=−4 2⋅2 s22 s  s s s r  2 s = x t =13 m , y t=−12 m analoog :

r 4 s = x t =23 m , y t =−60 m Berekenen we de verplaatsingsvector :

 r =r 4s−r  2s  r = x 4s− x 2s , y  4s− y 2s  r =10m ,−48m De afstand waarover voorwerp verplaatst is

∥ r ∥=  x 2 y 2 2 2 ∥ r ∥= 10 m −48 m  ∥ r ∥=49,03 m De gemiddelde snelheidsvector

 r t x  y vm= ,  t t m m vm =5 ,−24  s s vm =

De grootte van de gemiddelde snelheidsvector

∥vm∥= v 2x v 2y



m 2 m 2  −24  s s m ∥vm∥=24,52 s

∥vm∥= 5

9


1.6.2

Opgaves 1. Een voorwerp bevindt zich op tijdstip t0 in een positie met coördinaten (3m,4m). 5 s later bevindt het voorwerp zich in een positie met coördinaten (5m,2m). Maak een schets van de posities en bereken de coördinaten van de verplaatsingsvector en de gemiddelde snelheidsvector. Bereken eveneens over welke afstand het voorwerp verplaatst is. 2. Bepaal de coördinaten van de positie op t = 0 s, t = 3 s en t = 6 s van een voorwerp waarvan de bewegingsvergelijking gegeven wordt door (x(t) = t + 2, y(t) = -2t + 5). Maak eveneens een schets. Welke figuur beschrijft de baan ? Bepaal de gemiddelde snelheidsvector gedurende de eerste drie seconden, tussen 3 s en 6 s, en tussen 0 s en 6 s . Wat kan je concluderen ? 3. Een voertuig vertrekt vanuit een beginpositie met coördinaten (3m, 3m) en moet naar een eindpositie met coördinaten (18m, -12m). Bereken de gemiddelde snelheidsvector waarmee het voertuig moet bewegen wil het 5 minuten na zijn vertrek op de eindpositie aankomen.

10

2 Eéndimensionale bewegingen

2 Eéndimensionale bewegingen 2.1

Eenparig rechtlijnige bewegingen (ERB)

2.1.1

Definitie

Een éénparig rechtlijnige beweging (ERB) is een beweging waarbij de v constant is. snelheidsvector  Als

v constant is, dan geldt voor elk tijdsinterval ∆t : r v=   t  r =v⋅ t

Waarmee de plaatsvector op een willekeurig moment t gegeven wordt door :

r t =r0v⋅ t r t= r0v⋅t−t 0 met

r0 de plaatsvector op begintijdstip t0.

Afbeelding 9: Alle posities ingenomen door een voorwerp dat een ERB beschrijft liggen op één rechte.

De vergelijking die de plaatsvector geeft op een willekeurig tijdstip t, noemen we de positie-vergelijking. Bij een dergelijke beweging is de baan een rechte, nl. de richting van de snelheidsvector. Tevens volgt uit bovenstaande vergelijkingen :

∥ r ∥=∥v∥⋅ t of de afstand waarover het voorwerp dat een eenparig rechtlijnige beweging uitvoert verplaatst is, is recht evenredig met het tijdsverloop.

11


2.1.2

Coördinaten

Als we een coördinatenstelsel invoeren om een ERB te beschrijven, kiezen we meestal de X-as volgens de richting van de snelheidsvector (en dus in de richting van de baan). Op deze manier kan de beweging volledig beschreven worden met behulp van één (X-)coördinaat. De Y-coördinaat is dan op elk ogenblik gelijk aan nul, en laten we verder buiten beschouwing.

Afbeelding 10: Door de X-as in de bewegingsrichting te kiezen, vereenvoudigen we de beschrijving van een ERB aanzienlijk.

De positievergelijking in coördinaten wordt dan :

r t= x t= x 0v x⋅t−t 0  , y t=0 Of kortweg :

x t =x 0v x⋅t−t 0  Hoe ziet de beweging eruit als vx negatief is ? Hoe kan je deze beweging vergelijken met de eenparige beweging die je vorig jaar gezien hebt ?

2.1.3 a

Diagrammen x,t -diagram

Met behulp van bovenstaande vergelijking kunnen we de x-coördinaat uitzetten als functie van de tijd in een x,t-diagram. Net als bij het s,t diagram dat je vorig jaar gezien hebt, zet je bij het x,t-diagram altijd de tijd op de horizontale as, en de positie op de verticale as. Het x,t-diagram van een ERB is een schuine rechte. Hoe kan je uit het x,t -diagram de snelheid aflezen ? Hoe ziet het x,t diagram eruit als vx negatief is ?

Afbeelding 11: x,t diagram van een ERB

12


b

Vx,t - diagram Bij een ERB is de snelheidsvector constant, en bijgevolg zijn ook de coördinaten van snelheidsvector constant. Het vx, t-diagram is dus een horizontale rechte. Hoe ziet het vx,t-diagram eruit als de vx negatief is ? Hoe kan je uit het vx,t diagram de afgelegde weg aflezen ?

Afbeelding 12: vx,t diagram van een ERB

2.2

Eenparig veranderlijke rechtlijnige bewegingen (EVRB)

2.2.1

Definitie

Een éénparig veranderlijke beweging (EVRB) is een beweging waarbij ● de versnellingsvector constant is, ● de richting van de versnellingsvector gelijk is aan de richting van de snelheidsvector. De beweging is éénparig versneld als de versnellings- en snelheidsvector dezelfde zin hebben. De beweging is éénparig vertraagd als de versnellings- en de snelheidsvector tegengestelde zin hebben.

Afbeelding 13: Plaats-, snelheids-, en versnellingsvector bij een EVRB.Merk op dat de richting van de snelheids- en de versnellingsvector gelijk lopen op elk tijdstip.

13


Als

a constant is, geldt op elk ogenblik t :   v a = t  v = a⋅ t

waardoor de snelheidsvector op een gegeven tijdstip t gegeven wordt door :

a⋅ t v t=v0  v t= v0a⋅t−t 0  De vergelijking die de snelheidsvector geeft op een willekeurig tijdstip t, noemen we de snelheidsvergelijking. Vermits de richting van de snelheidsvector niet wijzigt, wijzigt ook de richting van de baan niet. De baan van een voorwerp dat een EVRB beschrijft is bijgevolg een rechte. De plaatsvector bepalen is echter niet meer zo eenvoudig, en daarvoor gaan we direct over op coördinaten.

2.2.2

Coördinaten en bewegingsvergelijkingen

Net zoals bij de ERB kiezen we de X-as volgens de bewegingsrichting. Omdat de beweging rechtlijnig is, zal de Y-coördinaat niet wijzigen en die laten we bijgevolg buiten beschouwing.

Afbeelding 14: Een EVRB langs de X-as

De snelheidsvergelijking in coördinaten wordt :

v x t=v x ,0 a x⋅t−t 0 We gaan nu proberen een vergelijking op te stellen om de x-coördinaat op een willekeurig tijdstip t te bepalen. Uit de definitie van gemiddelde snelheid volgt dat

x t =x 0v m , x t ⋅t−t 0 met de gemiddelde snelheid na een tijd t. Vermits uit de snelheidsvergelijking volgt dat vx een lineair aangroeiende grootheid is, kunnen we de gemiddelde snelheid berekenen als volgt :

v m , x t=

v 0, x v x t  2

waardoor

v 0, x v x t  ⋅t−t 0 2 v v a ⋅t−t 0  x t =x 0 0, x x ,0 x ⋅t−t 0 2 1 x t =x 0v 0, x⋅t−t 0  a x⋅t−t 0 2 2 x t =x 0

Deze laaste uitdrukking geeft de x-coördinaat op tijdstip t van een voorwerp dat een EVRB beschrijft met beginsnelheid v0, vertrekkende op positie x0, en is de

14


positievergelijking van de EVRB. Samengevat : De bewegingsvergelijkingen van een voorwerp dat een EVRB beschrijft zijn bijgevolg :

a x t=a x =const. v x t=v 0, x a x⋅t−t 0 1 2 x t =x 0v 0, x⋅t−t 0  a x⋅t−t 0  2 Merk op dat als de versnelling nul is, bovenstaande vergelijkingen identiek zijn aan de bewegingsvergelijkingen van een ERB.

2.2.3 a

Diagrammen a,t -diagram

Bij een eenparig veranderlijke beweging is de versnelling bij definitie een constante. Het a,t-diagram is bijgevolg een horizontale rechte. Hiernaast is de grafiek afgebeeld van een eenparig versnelde beweging. Wat wordt dit diagram in geval van een eenparig vertraagde beweging ? b

v,t-diagram

Afbeelding 15: a,t -diagram van een eenparig versnelde beweging.

We zien in de bewegingsvergelijkingen dat de snelheid lineair toe- of afneemt met de tijd. Het v,t – diagram is bijgevolg een schuine rechte. Hieronder is het v,t – diagram afgebeeld voor zowel een versnelde, als een vertraagde beweging.

Afbeelding 16: v,t - diagram van een eenparig versnelde beweging.

Afbeelding 17: v,t - diagram van een eenparig vertraagde beweging.

Hoe kan je in het v,t -diagram de afgelegde weg aflezen ? Is de beweging voorgesteld in afbeelding 17 de hele tijd vertraagd ? Zo nee,

15


wanneer dan niet meer ? c

x,t – diagram Uit de bewegingsvergelijkingen volgt dat de grafiek die de positie x geeft in functie van de tijd t een parabool is (kwadratische vergelijking). We moeten echter wel een onderscheid maken tussen een versnelde en een vertraagde beweging. In onderstaande figuur is het x,t-diagram weergegeven voor beide gevallen.

Afbeelding 18: x,t diagram voor een EVRB, zowel voor een versnelde (links) als voor een vertraagde (rechts) beweging.

Hoe lees je af in het x,t-diagram van de vertraagde beweging waar de snelheid nul wordt ? In welk gedeelte, in het diagram van de vertraagde beweging, is de beweging effectief “vertraagd” ? Welke beweging hebben we in het andere gedeelte ?

2.3

Toepassing : de verticale worp

2.3.1

Beschrijving van de beweging

Een verticale worp definiëren als de beweging beschreven door een voorwerp dat loodrecht omhoog gegooid wordt met een beginsnelheid v0, vanop een beginhoogte y0. Het is een eendimensionale beweging, en we kiezen de Y-as volgens de bewegingsrichting, met zin naar boven (volgens de zin van de beginsnelheid) toe. Eens het voorwerp de hand verlaten heeft, werkt enkel de zwaartekracht op het voorwerp, en zal het voorwerp eenparig vertragen met

a y =−g=−9,81

m 2 s

16


We verwaarlozen hierbij eventuele wrijving. Het voorwerp zal een maximale hoogte (top) bereiken, om dan eenparig versneld weer terug te keren naar zijn beginhoogte (en eventueel verder te vallen). We willen nu drie zaken berekenen :

2.3.2

●

Wat is de maximaal bereikte hoogte ?

●

Hoelang duurt het tot het voorwerp terug op beginhoogte is ?

●

Wat is de snelheidscomponent terugkeer op beginhoogte ?

bij

Berekenen van maximale hoogte

De verticale worp is een EVRB met beginsnelheid v0 en versnelling a = -g. De bewegingsvergelijkingen worden bijgevolg : Afbeelding 19: Beginsituatie bij verticale worp : positie, snelheid en versnelling.

v y t=v 0−g⋅t 1 y t= y 0 v 0⋅t− g⋅t 2 2

Op maximale hoogte is de snelheid van het voorwerp 0 m/s. Hiermee kunnen we het tijdstip t1 berekenen waarop het voorwerp de maximale hoogte bereikt.

m s m v 0− g t 1=0 s v0 t 1= g v y t 1=0

De maximale hoogte is de positie op het moment dat de snelheid nul wordt.

y max = y t 1  1 y max = y 0v 0⋅t 1 − g⋅t 2 2 v0 1 v0 2 y max = y 0v 0⋅ − g⋅  g 2 g 2 1 v0 y max = y 0 2 g 2.3.3

Berekenen van snelheid bij terugkeren op beginpositie

Noemen we t2 het tijdstip waarop het voorwerp terug is op zijn beginpositie. Met andere woorden :

y t 2 = y 0 1 y 0= y 0v 0⋅t 2− g⋅t 22 2 1 v 0⋅t 2− g⋅t 22=0 2 17


Dit is een vierkantswortelvergelijking met twee oplossingen, namelijk

2v t 2= 0 (reken zelf na !). g

t 2=0 s of

Hoe moet je die twee oplossingen interpreteren ? We zien dat het twee keer zo lang duurt om terug op beginhoogte te komen, dan dat het duurt om maximale hoogte te bereiken. De snelheid bij terugkeer op beginhoogte wordt dan gegeven door

v t 2 =v 0−g⋅t 2 2v 0 v t 2 =v 0− g⋅  g v t 2 =−v 0 De snelheid bij terugkeer op beginhoogte is bijgevolg gelijk in grootte aan de beginsnelheid, maar tegengesteld gericht.

2.4

Oefeningen

2.4.1 a


Opgave : Een trein rijdt tegen 72 km/h over een recht stuk spoorweg naar het station toe. 200 m voor het perron begint te trein te remmen. Met welke vertraging moet de trein remmen om aan het perron tot stilstand te komen ? Tekening : Een dergelijke oefening begin je altijd met een tekening, waarin je een schets maakt van de situatie, en alle relevante grootheden en parameters aanduidt en benoemt. De artistieke waarde van de schets is van geen belang, wél de duidelijkheid en volledigheid waarmee het je kan helpen het gevraagde te berekenen.

Afbeelding 20: Schets bij voorbeeld 1 Op de figuur staan aangeduid : ●

De situatie op het moment t0 dat de trein begint te remmen, met aanduiding van beginsnelheid en vertraging.

●

De situatie op het moment t1 dat de trein stilstaat (snelheid is nul).

●

Een X -as met aanduiding van de oorsprong.

Eens de schets gemaakt, kan je die gebruiken om zoveel mogelijk gegevens te noteren.

18

2 Eéndimensionale bewegingen Dikwijls zullen er een aantal gegevens opduiken die niet letterlijk in de opgave staan, maar die door bvb. keuze van het assenstelsel naar voor zullen komen.

Gegevens:

t 0=0 s

m s x t 1=2,00⋅10 2 m

m s x 0=x t 0 =0 m

v 0 =2,00⋅10 1

v t 1 =0

Merk op dat we de gegevens overzichtelijk gerangschikt hebben in twee kolommen, één met de gegevens betreffende de beginsituatie, één met de gegevens betreffende de eindsituatie.

Gevraagd : Noteer altijd expliciet het gevraagde, zodat je duidelijk weet wàt je aan het zoeken bent.

a=? Oplossing : Het vraagstuk is duidelijk een toepassing van een eenparig vertraagde beweging. We vertrekken bijgevolg van de bewegingsvergelijkingen van een eenparig vertraagde beweging, en zullen bekijken over welke grootheden we beschikken en welke onbekenden we zullen moeten bepalen.

v t 1 =v 0a⋅t 1=0

m s

1 x t 1 =v 0⋅t 1 a⋅t 12 2 In bovenstaande vergelijkingen zijn alle grootheden waarvan gegeven is dat ze nul zijn al weggelaten. Als we de gegevens vergelijken, is het duidelijk dat we met twee onbekenden zitten, nl. t1 en a. We hebben echter ook twee vergelijkingen, dus in theorie zou dit perfect oplosbaar moeten zijn. We gebruiken nu de eerste vergelijking om t1 te elimineren in de tweede vergelijking, en zo a te bepalen.

t 1=−

v0 a

Invullen in de tweede vergelijking geeft :

v0 1 v 2  a⋅− 0  a 2 a 2 1v x t 1 =− 0 2 a 2 1 v0 a=− 2 x t 1 

x t 1=v 0⋅−

We hebben nu algebraïsch het gevraagde in functie van het gegeven bepaald. Het is ten zeerste belangrijk dat je eerst alles zo ver mogelijk algebraïsch uitwerkt vooraleer je cijfers gaat invullen !!! Dit vermijdt rekenfouten, is overzichtelijker, en geeft veel duidelijker de gevolgde redenering weer. Het maakt het ook veel gemakkelijker een eventuele fout op te sporen, mocht je je ergens vergist hebben en niet het gewenste resultaat bekomen. Eens je het gevraagde hebt in functie van het gegeven, kan je de gegevens invullen en het resultaat berekenen. Zet bij elke stap van je berekeningen ook je eenheden ! Als je eenheden niet kloppen, ben je al zeker dat je ergens een reken- of redeneerfout gemaakt hebt !

19


m 2  s a= 2 2⋅2,00⋅10 m 2 2 m −4,00⋅10 2 s a= 2 4,00⋅10 m m a=−1 2 s − 2,00⋅101

Ten slotte formuleer je een korte, maar duidelijke antwoordzin :

Antwoord: De trein moet afremmen met een vertraging van b

−1

m 2 s

Voorbeeld 2 Een politiewagen rijdt tegen 90 km/h over een recht stuk autosnelweg, als hij gepasseerd wordt door een hardrijder die voorbijraast met een snelheid van 160 km/h. Op het moment dat de hardrijder hem passeert, versnelt de politiewagen met 2,00 m/s². Als de hardrijder tegen dezelfde snelheid blijft rijden,hoe lang zal het duren vooraleer de politiewagen de hardrijder inhaalt, en welke afstand is daarbij afgelegd ? Tekening :

Afbeelding 21: schets bij voorbeeld 2

Gegevens :

t 0 =0 s x A t 0= x B t 0 =0 m m v 0, A=2,50⋅101 s m v 0, B =4,44⋅10 1 =v B t s m a A=2,00 2 s

x A t 1= x B t 1  1

v B t 1=4,44⋅10

m s

20


Gevraagd :

t 1=? ; x A t 1=? Oplossing :

x A t 1= x B t 1  1 v 0, A⋅t 1 a A t 12=v 0, B⋅t 1 2 1 t 1⋅[ v 0, A−v 0, B  a A t 1]=0 2 Oplossen naar t1 geeft

t 1=0 s of

t 1=

2v 0, B −v 0, A  aA

De eerste oplossing is het beginstijdstip, de tweede oplossing is het moment waarop de politieauto de snelheidsovertreder inhaalt. Vullen we de gegevens in :

m m −2,50⋅10 1  s s m 2,00 2 s t 1=1,94⋅101 s

2⋅4,44⋅10 1 t 1=

Berekenen we nu de afgelegde weg :

m x A t 1=x B t 1=4,44⋅10 1 ⋅1,94⋅101 s s 2 x A t 1=8,61⋅10 m Antwoord : De politieauto haalt de hardrijder in na 19,4 s, en ze hebben dan 861 m afgelegd.

21


2.4.2

Opgaves 1. Een auto rijdt tegen een snelheid van 60,0 km/h. Op een bepaald ogenblik begint hij te versnellen zodat in de 30,0 s nadien een afstand van 1400 m afgelegd wordt. a) Bereken de grootte van de versnelling. b) Hoe groot is de snelheid van de auto na die 30,0 s ? 2. Een voorwerp, dat eenparig veranderlijk rechtlijnig beweegt, bevindt zich op t = 0 s in een punt 30 m links van de waarnemer. Het heeft een beginsnelheid van 20 m/s weg van de waarnemer en een versnelling van 4,0 m/s² naar de waarnemer toe. a) Wanneer is zijn snelheid 0 m/s ? b) Waar bevindt het zich dan ? c) Wanneer is de beweging vertraagd, en wanneer is ze versneld ? 3. Een auto rijdt tegen 90 km/h op een autobaan, als de bestuurder plots 300 m verder een file opmerkt. Met welke vertraging moet de bestuurder remmen om een botsing te vermijden a) Als de auto's in de file stilstaan ? b) Als de auto's stapvoets rijden tegen 15 km/h ? 4. Een trein rijdt tegen 120 km/h, als de treinbestuurder het signaal krijgt dat er 1000 m voor hem een andere trein rijdt, met een snelheid van 90 km/h. In welke mate moet hij zijn trein vertragen, wil hij op 200 m achter de voorliggende trein de weg vervolgen ? 5. Het snelheidsdiagram van een racewagen op een recht gedeelte van zijn parcours vertoont een verloop zoals aangegeven in afbeelding 22. Bepaal: a) De gemiddelde snelheid gedurende die 8 s. b) De positieverandering gedurende die 8 s.

Afbeelding 22: Grafiek oefening 5

6. De grafiek stelt de snelheidscomponent voor van een puntmassa die beweegt langs de x-as. Op welke tijdstippen is de puntmassa het verst verwijderd van zijn positie op tijdstip t = 0 s ? a) t = 2 s; b) t = 3 s; c) t = 4 s; d) t = 2 s en t = 4 s; Afbeelding 23: grafiek bij oefening 6

e) geen van bovenstaande, het is op t = ______ s

22


7. Een tennisspeler gooit een tennisbal zo hard als hij kan op de grond. We verwaarlozen de wrijving met de lucht. Van de versnelling a van de bal nadat de speler hem heeft los gelaten kun je zeggen dat : a) De grootte van de versnelling a van de bal voor het stuiten op de grond is groter dan g en is na het stuiten op de grond kleiner dan g. b) De grootte van de versnelling a van de bal voor het stuiten op de grond is groter dan g en is na het stuiten op de grond gelijk aan g. c) De grootte van de versnelling a van de bal is zowel voor het stuiten op de grond als na het stuiten op de grond gelijk aan g. d) De grootte van de versnelling a van de bal voor het stuiten op de grond gelijk aan g maar is na het stuiten op de grond afhankelijk van de hardheid van de grond. 8. Een pijl wordt verticaal van de grond omhoog geschoten en bereikt na 2,5 s het hoogste punt. Bereken de startsnelheid en de bereikte hoogte. 9. Uit een punt 45,0 m boven de begane grond wordt een steen van 0,30 kg verticaal omhooggeworpen met een snelheid van 42,0 m/s. Bereken: a) De door het lichaam bereikte hoogte boven de grond; b) De tijd nodig om de grond te bereiken; c) De snelheid bij het bereiken van de grond. 10.Vanop een 300 m hoge mast valt een steen vrij naar beneden. Op hetzelfde ogenblik, dat de steen in vrije val vertrekt, werpt iemand een tweede steen verticaal de lucht in met een beginsnelheid van 60,0 m/s. a) Op welke hoogte passeren de stenen elkaar ? b) Bereken de snelheid van beiden als ze elkaar passeren.

23

3 Tweedimensionale bewegingen

3 Tweedimensionale bewegingen 3.1

Het onafhankelijkheidsprincipe We houden twee gelijke voorwerpen op dezelfde hoogte boven de grond. Eén voorwerp laten we recht naar beneden vallen, tegelijkertijd gooien we het andere horizontaal weg. Welke van de twee voorwerpen zal het eerste op de grond komen ? Wat we waarnemen is een voorbeeld van het onafhankelijkheidsprincipe. De horizontale beweging heeft geen invloed op de verticale beweging. Beide voorwerpen komen tegelijkertijd op de grond. In formele bewoording onafhankelijkheidsprincipe :

luidt

het

Wanneer een voorwerp tegelijkertijd onderworpen is aan twee bewegingen, dan is zijn positie na een bepaald tijdsverloop dezelfde als wanneer die twee bewegingen, telkens gedurende hetzelfde tijdsverloop, na elkaar en onafhankelijk van elkaar gebeuren.

Afbeelding 24: Stroboscopische opname van een voorwerp in vrije van en een voorwerp dat tegelijkertijd horizontaal wordt weggeschoten. (Bron : Physics -Serway)

Of anders geformuleerd : Twee of meer bewegingen die tegelijkertijd plaatsgrijpen, blijven hun volledige uitwerking behouden.

3.2

De horizontale worp

3.2.1


Een eerste toepassing die we bekijken is de horizontale worp. Bij een horizontale worp lanceren we een voorwerp horizontaal met een beginsnelheid v0 vanop een hoogte y0. Eens gelanceerd, zal het voorwerp onder invloed van de zwaartekracht naar beneden bewegen, terwijl het door zijn horizontale snelheid eveneens verder zal bewegen. De horizontale worp is de samenstelling van een valbeweging en een eenparig rechtlijnige beweging. Om de beweging te beschrijven kiezen we X-as evenwijdig met de grond, en de Y-as zo dat deze door de beginpositie loopt. Dit geeft als beginsituatie :

Afbeelding 25: De horizontale worp is een samenstelling van een eenparig rechtlijnige beweging en een valbeweging.

24


x t 0=0 y t 0= y 0 De horizontale worp is een samenstelling van een eenparig rechtlijnige beweging in horizontale richting en een valbeweging in verticale richting. Dit geeft als positievergelijkingen :

x t=v 0⋅t 1 y t= y 0 − g t 2 2 Door t te elimineren krijgen we de vergelijking van de baan in het x,y-vlak :

x v0 1 x2 y= y 0− g 2 2 v0 t=

Dit is de vergelijking van een parabool. De baan die het voorwerp zal beschrijven zal dus parabolisch zijn.

Afbeelding 26: Baan van een voorwerp dat horizontale worp beschrijft.

3.2.2

Berekenen van de dracht

De afstand die het voorwerp in horizontale richting zal afleggen vooraleer de grond te raken (ook wel dracht genoemd), kunnen we eveneens bepalen uit de bewegingsvergelijkingen. Allereerst berekenen we de tijd t1 nodig om vanop beginhoogte tot op de grond te komen. Dan bekijken we welke afstand gedurende die tijd is afgelegd in horizontale richting, en we hebben de dracht ! Op t1 raakt het voorwerp de grond. Dan is bijgevolg :

y t 1 =0 m 1 y 0− g t 21 =0 m 2 2 y0 t 1= g



De dracht is de afstand gedurende die tijd afgelegd in horizontale richting :

25


x t 1=v 0 t 1 x t 1=v 0

3.3



2 y0 g

De projectielbeweging (schuine worp)

3.3.1


Onder een schuine worp verstaan we een voorwerp dat gelanceerd wordt met een beginsnelheid v0, onder een zekere hoek α met de horizontale, vanop een hoogte y0. Om de berekeningen enigszins te vereenvoudigen, veronderstellen we dat we vertrekken vanop de begane grond, en dat bijgevolg y0 = 0m. We kunnen de initiële snelheidsvector ontbinden in een horizontale en een verticale component :

v0= v0, x v0, y waarbij

v 0, x =v 0 cos  v 0, y =v 0 sin  Eens het projectiel gelanceerd, is het in verticale richting onderhevig aan de valversnelling. (aan welke versnelling is het onderhevig in horizontale richting ?). We kunnen de projectielbeweging bijgevolg beschouwen als een samenstelling van een eenparig rechtlijnige beweging in de horizontale richting en een verticale worp.

Afbeelding 27: ontbinding van de initiële snelheidsvector in componenten.

Afbeelding 28: De schuine worp is een samenstelling van een ERB en een verticale worp.

26


3.3.2

De bewegingsvergelijkingen

De projectielbeweging kan ontbonden worden in een ERB in horizontale richting en een verticale worp. De snelheidsvergelijkingen worden dus :

v x t =v 0, x v y t =v 0, y − g t En de positievergelijkingen :

x t=v 0, x t 1 y t=v 0, y t− g t 2 2 Wat worden deze vergelijkingen als we vertrekken van op een beginhoogte y0 in plaats de begane grond ?

Afbeelding 29: Evolutie van de snelheidsvector bij een schuine worp. Kan je ook overal de versnellingsvector bijtekenen ?

Als we uit bovenstaande vergelijkingen vergelijking van de baan :

t elimineren, verkrijgen

we

de

x v 0, x 1 g 2 x− x 2 v 0, x 2

t= y=

v 0, y v 0, x

Dit is de vergelijking van een parabool. De baan die het voorwerp zal beschrijven zal dus parabolisch zijn.

27


3.3.3

Berekenen van de dracht

Gebruik makend van het onafhankelijkheidsprincipe, berekenen we eerst de tijd nodig om terug op de grond te raken, en met dat resultaat berekenen we de afstand die in die tijd in horizontale richting is afgelegd. We noemen t1 het tijdstip waarop het projectiel de grond raakt. Dan is :

y t 1 =0 1 v 0, y t 1− g t 21 =0 m 2 1 t 1 v 0, y − g t 1 =0 m 2 Hieruit volgt dat ofwel

t 1=0 s ofwel

t 1=2

v 0, y g

Het laatste resultaat is van belang voor het berekenen van de dracht. (Wat betekent het eerste resultaat ?) De dracht bepalen we dan :

v 0, x v 0, y g 2 v 0 sin  cos  x t 1=2 g 2 v sin 2  x t 1 = 0 g x t 1 =2

Voor welke hoek is de dracht maximaal ? Oefening : toon aan dat de maximaal bereikte hoogte gegeven wordt door 2 2 1 v 0 sin  y max = 2 g

3.4

Oefeningen

3.4.1 a


Opgave : Een kogel wordt in horizontale richting met een snelheid van 800 m/s afgeschoten op een schietschijf die zich op 100 m afstand bevindt. Als de schutter precies op de roos mikt, over welke afstand is de kogel afgezakt als hij de schijf treft ? Tekening :

28


Gegevens :

m s x t 0 =0 m y t 0=0 m

v 0=800

x t 1=100 m

Gevraagd :

y t 1=? Oplossing : Het gaat hier duidelijk over een horizontale worp. Gebruik makend van de bewegingsvergelijkingen berekenen we eerst t1, waaruit y(t1) zal volgen.

x t 1=v 0 t 1 x t 1  t1 = v0 Met dit resultaat :

1 y t 1=− g t 21 2 2 1  x t 1  y t 1=− g 2 v02 Invullen van gegevens levert :

1 m 100 m2 y t 1=− 9,81 2 2 s m 2 800  s −2 y t 1 =7,66⋅10 m Antwoord : De kogel zal 7,66 cm gezakt zijn. b

Voorbeeld 2 Opgave Een projectiel wordt met een beginsnelheid van 350 m/s onder een hoek van 30° met de horizontale afgeschoten. Hoelang duurt het tot het projectiel terug de grond raakt en welke afstand heeft het dan overbrugd ? Tekening : Gegevens :

29


m s x t 0 =0 m y t 0=0 m =30 °

v 0=350

y t 1=0 m

Gevraagd :

t 1 =? x t 1=? Oplossing : Het tijdstip waarop het bewegingsvergelijkingen :

projectiel

de

grond

raakt

halen

we

uit

de

y t 1 =0 1 v 0, y t 1− g t 21 =0 m 2 1 t 1 v 0, y − g t 1 =0 m 2 Hieruit volgt

t 1=2

v 0, y 2 v 0 sin  = g g

Gegevens invullen levert :

m 2⋅350 ⋅sin 30 °  s t 1= m 9,81 2 s t 1=3,56⋅101 s Hiermee bepalen we dan de overbrugde afstand :

x t 1 =v 0 cos ⋅t 1 m x t 1=350 cos30 ° ⋅3,56⋅101 s s x t 1 =1,08⋅104 m Antwoord : Het projectiel zal neerkomen na 35,6 s en zal 10,8 km overbrugd hebben.

30


3.4.2

Opgaven 1. Iemand tracht loodrecht een 300 m brede rivier over te zwemmen met een snelheid van 1,00 m/s. Als de stroomsnelheid 1,50 m/s is, in welke tijd bereikt hij dan de overzijde en hoe ver zal hij afgedreven zijn ? Construeer de snelheidsvector en bereken de grootte van de resulterende snelheid. 2. Een stuntman rijdt met zijn auto over een horizontale weg naar een kloof toe. De kloof is 10 m breed, en de overkant ligt 3 m lager. Welke snelheid moet de wagen ten minste bezitten opdat de stunt zou slagen ? 3. Vanop een toren wordt een steen horizontaal weggegooid met een snelheid van 10 m/s. Hij komt op de grond terecht, 50 m van de toren verwijderd. Bereken de hoogte van de toren (luchtweerstand verwaarlozen). 4. Een auto gaat aan het slippen op een weg met een snelheidsbeperking van 50 km/h en rijdt door een brugleuning boven een rivier. Hij komt 5,2 m lager in het water terecht en blijft gedeeltelijk boven water uitsteken. De politie doet opmetingen en stelt vast dat de auto 22 m ver van de brug terecht gekomen is. Hoe groot was zijn snelheid ten minste ? Was die in werkelijkheid groter of kleiner ? 5. Vanaf een rots aan de rand van een meer, schiet men een kogel horizontaal af. De rots bevindt zich op 19,6 m boven het wateroppervlak. De kogel komt 2500 m verder in het water terecht. Bereken de snelheid waarmee de kogel is afgevuurd. 6. Uit een tuinsproeier die gericht is onder een hoek van 60° met de horizontale stroomt het water met een beginsnelheid van 25 m/s. Bereken hoe ver de sproeier reikt. 7. Een speerwerper gooit de speer weg van op schouderhoogte (1,80 m) met een beginsnelheid van 12 m/s onder een hoek van 45°. Wat is de maximaal bereikte hoogte en hoe ver komt de speer terecht ? 8. Een oorlogsbodem heeft een vijandelijk schip ontdekt aan de andere kant van een eiland, dat pal tussen hen ligt. De afstand tussen de twee boten bedraagt 15 km. De hoogste heuveltop op het eiland ligt 1120 m boven zeeniveau, en ligt juist op de verbindingslijn tussen beide schepen. Onder welke hoek moet de kanonnier zijn kanonnen richten om het vijandelijk schip te raken, als hij weet dat de snelheid van de granaten bij het verlaten van de loop 550 m/s bedraagt ?

31

4 De wetten van Newton

4 De wetten van Newton Om de notaties enigszins te vereenvoudigen spreken we af dat we de grootte van een vector noteren met hetzelfde symbool als de vector, maar zonder pijltje erboven. Zo is ● ●

4.1

 de krachtvector, en F F de grootte van die krachtvector.

Eerste wet van Newton

4.1.1

Traagheidsbeginsel

Dit beginsel ken je nog uit de cursus van het 4e jaar. We herhalen het kort : Een object in rust blijft uit zichzelf rust. Eenmaal in beweging, zal een object uit zichzelf deze beweging eenparig rechtlijnig verder zetten.

4.1.2

Het concept kracht

Volgens het traagheidsbeginsel kan een voorwerp zijn bewegingstoestand niet zelf wijzigen. Om vanuit rust in beweging te komen, om te versnellen of te vertragen, of om tot stilstand te komen, moet er bijgevolg een externe oorzaak zijn. Een dergelijke externe oorzaak noemen we een kracht. Is het zo dat op een voorwerp dat eenparig rechtlijnig beweegt of in rust is, geen krachten inwerken ? Nee, verre van, op een voorwerp in rust kunnen meerdere krachten werkzaam zijn, maar ze zullen elkaars effecten opheffen. We kunnen het traagheidsbeginsel dan ook herformuleren als : Een voorwerp is in rust of beweegt volgens een eenparig rechtlijnige beweging, als en slechts als de resultante van de inwerkende krachten de nulvector is.

FR =∑ F i = 0

Afbeelding 30: Een vliegtuig kan slechts éénparig rechtlijnig vliegen, als de som van alle inwerkende krachten (welke zijn dat ?) de nulvactor is. (bron : www.nasa.org)

32


4.1.3

Bepalen van de resulterende kracht

Krachten zijn vectoren, je kan niet zomaar de groottes optellen om dan tot de resulterende kracht te komen.

F 1 F 2 is niet hetzelfde als

F 1F 2 ! Wat is het verschil ?

Je hebt vorig jaar al een aantal technieken gezien om de resulterende kracht FR = F1 F2 van twee inwerkende krachten F 1 en F 2 te bepalen: ●

F 1 en F 2 dezelfde richting en zin hebben, dan heeft FR = F1 F2 eveneens dezelfde richting en zin, en is F R =F 1 F 2 .

Als

Afbeelding 31: Samenstellen van krachten met zelfde zin en richting. ●

F 1 en F 2 dezelfde richting maar tegengestelde zin hebben, FR = F1 F2 eveneens dezelfde richting, de zin van de dan heeft grootste kracht en is F R =∣F 1 −F 2∣ . Als

Afbeelding 32: Samenstellen van krachten met zelfde richting, maar tegengestelde zin. ●

F 1 en F 2 verschillende richtingen hebben, kon je de Als parallellogramregel toepassen, en op grafische wijze de resultante bepalen.

Afbeelding 33: Samenstellen van krachten met verschillende zin en richting.

Het grafisch bepalen van de resulterende kracht zou nogal omslachtig kunnen worden als we bvb. de resultante van twee krachten met groottes van resp. 53 N en 76 N willen bepalen, die een hoek insluiten van 23°. We kunnen dergelijk probleem oplossen door de krachten te ontbinden volgens componenten langs de X- en de Y-as.

33


Veronderstel dat we twee krachten richting en zin, en dat we de resultante

F 1 en F 2 hebben met verschillende FR = F1 F2 moeten berekenen.

Afbeelding 34: We moeten de resultante berekenen van twee krachten die een willekeurige hoek insluiten.

Ontbinden we beide krachten in componenten volgens X- en Y-as :

F1= F1, x  F1, y F 2= F2, x  F2, y Zij α de hoek zijn :

F 1 van met de X-as, en β de hoek van F 1,x = F 1 cos  en F 1, y =F 1 sin 

Afbeelding 35: Ontbinding van de eerste kracht in componenten volgens X en Y as.

F 2 met de X-as, dan

F 2, x =F 2 cos  F 2, y =F 2 sin 

Afbeelding 36: Ontbinding van de tweede kracht in componenten volgens X en Y as.

Nu is

FR= F1 F2 FR = F1, x  F1, y  F2, x  F2, y FR= FR , x  FR , y

34


Waarbij Vermits

F1, x en

FR , x = F1,x  F2, x en FR , y = F1, y  F2, y F2, x dezelfde zin en richting hebben, geldt er : F R , x =F 1, x F 2, x= F 1 cos F 2 cos 

en analoog :

F R , y = F 1, y  F 2, y =F 1 sin F 2 sin  De grootte van

FR

bepalen we met behulp van de regel van Pythagoras :

F R = F 2R , x  F 2R , y De hoek die maakt met de X-as (en die de zin en richting bepaalt) halen we uit :

tan =

F R, y . F R ,x

Afbeelding 37: Bepalen van de resulterende kracht uit de componenten van samenstellende krachten.

Laten we dit bij wijze van voorbeeld toepassen op het hierboven vermelde probleem : de resultante van twee krachten met groottes van resp. 53 N en 76 N bepalen, die een hoek insluiten van 23° De keuze van de X-as kan het probleem al een pak vereenvoudigen. In dit geval kiezen we de X-as evenwijdig met F 1 . De hoek α van as is dan 23°.

F 1 met de X-as is bijgevolg 0°, de hoek β van

F 2 met de X-

F 1 in componenten : F 1, x =F 1 cos =53 N cos 0 ° =53 N F 1, y =F 1 sin =53 N sin 0 ° =0 N

Ontbinding van

Ontbinding van in componenten :

F 2, x =F 2 cos =76 N cos 23° =69,96 N F 2, y =F 2 sin =76 N sin 23 ° =29,70 N Bepalen van de componenten van de resulterende kracht :

35


F R , x =F 1,x  F 2, x =5,30⋅101 N 6,70⋅101 N =1,20⋅102 N F R , y = F 1, y F 2, y =0 N 2,97⋅101 N =2,97⋅101 N De grootte van de resulterende kracht :

F R =1,20⋅10 2 N 22,97⋅101 N 2=1,23⋅102 N De hoek van de resultante met de X-as :

tan =

4.2

F R , y 2,97⋅101 N = =2,47⋅10−1 F R , x 1,20⋅102 N ⇔ =13° 54 '

Tweede wet van Newton

4.2.1

Dynamische krachtwerking

De tweede wet van Newton, ook gekend als het principe van de dynamische krachtwerking, ken je eveneens nog van vorig jaar : Een kracht uitgeoefend op een massa veroorzaakt een versnelling. Bij constant gehouden massa is de grootte van de versnelling recht evenredig met de grootte van de inwerkende kracht. Bij verschillende massa's, onderworpen aan éénzelfde kracht, is de grootte van de versnelling omgekeerd evenredig met de massa. Kracht en versnellingsvector hebben zelfde zin en richting. Samengevat :

 =m⋅a F

Afbeelding 38: Eenzelfde kracht veroorzaakt een kleinere versnelling bij een grotere massa.

36


4.2.2

Tangentiële en normaalkracht

De link tussen kracht en versnelling zorgt ervoor dat we een kracht, net als een versnelling, kunnen ontbinden in ●

een component evenwijdig met de ogenblikkelijke snelheidsvector, ook wel de tangentiële (rakend aan  t of genoemd de baan) component F

●

en een component loodrecht op de ogenblikkelijke snelheidsvector, F n de normaalcomponent genoemd.

Afbeelding 39: Ontbinding van kracht in tangentiële en normaalcomponent.

F t Fn =  F .

Zo dat

De tangentiële component is de oorzaak van de wijziging in grootte van de snelheidsvector van de massa. De normale component is de oorzaak van de wijziging van richting van de snelheidsvector van de massa.

4.3

Derde wet van Newton – Actie en reactie Twee personen staan elk op een karretje. Ze zijn verbonden door een touw. Wat gebeurt er als persoon A aan het touw trekt en zo een kracht uitoefent op B ? Wat gebeurt er als je op een karretje staat, en je oefent een kracht uit op de muur ? Beide gevallen zijn illustraties van de 3e wet van Newton, ook bekend als het principe van actie en reactie : Als voorwerp A op voorwerp B een kracht uitoefent, dan zal B op A een kracht uitoefenen zodat

 F A B= F B  A

Afbeelding 40: Actie en reactie

Onthou : ●

Krachten komen voor in paren.

●

Actie- en reactiekracht werken gelijktijdig in.

●

Actie – en reactiekracht grijpen aan op verschillende lichamen

●

De actie – en reactiekracht zijn gelijk in grootte, hebben dezelfde richting, maar tegengestelde zin.

37


4.4

Voorbeelden van krachten

4.4.1

Zwaartekracht nabij het aardoppervlak

Je weet al uit de cursussen van vorige jaren dat in de dichte nabijheid van het aardoppervlak de kracht waarmee de aarde een voorwerp aantrekt, constant is. ●

Het aangrijpingspunt is zwaartepunt van het voorwerp;

het

●

De richting is aardoppervlak;

het

●

de zin is gericht aardoppervlak toe;

●

de grootte is

loodrecht

op

naar

het

F z =m g . Vectorieel :

F z =m g .

4.4.2

Afbeelding 41: Zwaartekracht in de buurt van het aardoppervlak.

Gewicht

De term gewicht kan verwarrend zijn, omdat veelal in de dagdagelijkse spreektaal, gewicht synoniem is voor massa (“ik weeg 80 kg”). In de fysica is “gewicht” nochtans duidelijk gedefinieerd : Het gewicht van een lichaam is de kracht die dat voorwerp uitoefent op een steunvlak of ophangpunt, onder invloed van de zwaartekracht. Gewicht is in geval van steunvlak altijd gericht loodrecht op het steunvlak, of, in geval van ophangpunt, van het ophangpunt naar het voorwerp toe. Gewicht wordt aangeduid als

FG .

Let op ! Gewicht is dus niet hetzelfde als zwaartekracht !!! Wat zijn de verschillen ? En ook al kan de grootte van het gewicht gelijk zijn aan de grootte van de zwaartekracht, dit is niet altijd het geval (zie voorbeeldoefeningen) ! In welke eenheid druk je gewicht uit ? Afbeelding 42: Wat meet een weegschaal eigenlijk ? Waar ligt het aangrijpingspunt van het gewicht van de vrouw ?

4.4.3

Is “gewichtloos” zwaartekracht” ?

synoniem

Kan je gewichtloos zijn aardoppervlak ? Hoe ?

op

voor 1

m

“geen

boven

het

Normaalkracht

Een lichaam oefent onder invloed van de zwaartekracht een kracht uit op een steunvlak. Uit de derde wet van Newton volgt dan dat het steunvlak een even grote, maar tegengesteld gerichte kracht uitoefent op het lichaam.

38


Deze kracht, uitgeoefend door een steunvlak op een lichaam, noemen we een normaalkracht. We noteren een normaalkracht als F . N

Gewicht en normaalkracht zijn dus een actie-reactie paar. Ze zijn altijd gelijk in grootte, maar zijn tegengesteld gericht en grijpen aan op verschillende lichamen. De normaalkracht is dus altijd gericht loodrecht op het steunvlak. Velen zijn, doordat het veelvuldig het geval was in oefeningen vorige jaren, ervan overtuigd dat F N =F Z =m g . Dit is echter alleen

Afbeelding 43: Het actie-reactiepaar gewicht en normaalkracht.

4.4.4

zo in specifieke situaties ! Welke ?

Spankracht

Beschouw een touw (dat we voor onze doelstellingen als massaloos en onuitrekbaar veronderstellen) dat vastgemaakt is aan een voorwerp. Als we aan het touw trekken (dus een kracht uitoefenen op het touw), dan wordt die kracht via het touw getransfereerd naar het voorwerp. Een kracht die via een touw (of ketting...) uitgeoefend wordt op een voorwerp, noemen we spankracht. We

noteren

een

spankracht

met

FT 4.4.5

Afbeelding 44: Een kracht kan door een touw getransfereerd worden.

Veerkracht

Veerkracht ken je nog uit de cursussen van vorige jaren : De grootte van de kracht uitgeoefend door een veer op een lichaam, is recht evenredig met de afstand waarover de veer wordt uitgerokken (of ingeduwd). Dit staat bekend als de wet van Hooke :

F v =k⋅ x of vectorieel :

F v =k⋅ r

39


Afbeelding 45: Kracht van een veer die over afstand ∆x is uitgerokken

4.4.6 a

Wrijvingskracht tussen contactoppervlakken Algemene bespreking

Wanneer een lichaam beweegt over een ruw oppervlak, ondervindt het een weerstand tegen de beweging : wrijvingskracht. Wrijvingskrachten zijn zeer belangrijk in het dagdagelijkse leven : zij staan ons toe rond te wandelen, zorgen ervoor dat wielen voertuigen laten bewegen en bochten laten nemen, ... Vorig jaar heb je al wrijvingskrachten besproken die inwerken op een bewegend voorwerp. Nu breiden we dat uit door ook wrijvingskrachten in beschouwing te nemen die werken op statische voorwerpen. Beschouw nu een blok op een horizontaal, ruw oppervlak. Als we een kleine kracht uitoefenen op het blok in horizontale richting, dan blijft het blok gewoon liggen. De kracht die het blok verhindert in beweging te komen noemen we de statische wrijvingskracht Fw , s . We kunnen de uitgeoefende kracht beetje bij beetje vergroten, en zolang het blok stationair blijft geldt er

F w , s=F of vectorieel

 Fw , s=− F De statische wrijvingskracht uitgeoefende kracht vergroot !

wordt

dus

groter,

naarmate

de

Blijven we de uitgeoefende kracht vergroten, dan zal het blok op een gegeven moment in beweging schieten. Wanneer het blok net niet in beweging schiet, is de statische wrijvingskracht maximaal. Als de uitgeoefende kracht groter wordt dan de maximale statische wrijvingskracht, dan zal het blok in beweging schieten en versnellen. Er kan experimenteel aangetoond worden dat de maximale statische wrijvingskracht recht evenredig is met de normaalkracht. De evenredigheidsconstante noemen we de statische wrijvingscoëfficiënt s .

F w , s , MAX = s F N Eens het blok in beweging is, blijft de wrijvingskracht constant, ongeacht de op het blok uitgeoefende kracht. De wrijvingskracht die werkt op een bewegend voorwerp noemen we de kinetische wrijvingskracht. De kinetische wrijvingskracht zal iets kleiner zijn dan de maximale statische wrijvingskracht.

40


Zoals je al weet van vorig jaar, is de kinetische wrijvingskracht eveneens recht evenredig met de normaalkracht, en is de richting van de wrijvingskracht altijd tegengesteld aan de bewegingsrichting. De evenredigheidsconstante noemen we de kinetische wrijvingscoëfficiënt k .

F w , k =k F N

Afbeelding 46: Wrijvingskracht in kinetisch en statisch gebied. In het statisch gebied is de wrijvingskracht gelijk aan de uitgeoefende kracht, in het kinetisch gebied is de wrijvingskracht constant.

s

k

Staal op staal

0,74

0,57

Aluminium op staal

0,61

0,47

Koper op staal

0,53

0,36

Rubber op droog asfalt

1,0

0,8

Rubber op nat asfalt

0,8

0,4

Hout op hout

0,25-0,5

0,2

Glas op glas

0,94

0,4

0,14

0,1

-

0,04

0,15

0,06

0,1

0,03

Gevernist sneeuw.

hout

op

natte

Gevernist hout op droge sneeuw. Metaal op metaal, smeermiddel. Ijs op ijs

met

41

4 De wetten van Newton Menselijke gewrichten

0,01

0,003

De grootte van de wrijvingscoëfficiënten is afhankelijk van de materialen. In bovenstaande tabel vind je een aantal voorbeelden van wrijvingscoëfficiënten. Waarom is het zinloos “de wrijvingscoëfficiënt van ijzer” te vragen ? b

Toepassing : bepalen van minimale remafstand We gaan nu proberen de minimale remafstand te berekenen van een auto met massa m, die rijdt op een horizontaal wegdek met een snelheid v0 en bruusk moet remmen. De chauffeur duwt zijn rempedaal volledig in, zodat de wielen helemaal blokkeren, en de auto tot stilstand zal komen door de wrijving tussen banden en wegdek. De kinetische wrijvingscoëfficiënt tussen banden en wegdek is gegeven door µk. De op de auto inwerkende krachten zijn aangegeven op de figuur hiernaast.

Afbeelding 47: Krachten inwerkend op een remmende auto.

We kiezen de X-as evenwijdig met het wegdek, en de oorsprong op het punt waarop de chauffeur begint te remmen. We berekenen nu de afstand die de chauffeur aflegt vooraleer helemaal tot stilstand te komen.

Allereerst bepalen we de versnelling a waarmee de auto afremt. Ontbinden van de krachten volgens X- en Y-as levert :

X :−F W , k =m a x Y : F N −F Z =0 Met wat we weten over zwaartekracht en kinetische wrijving wordt dit :

X :−k F N =ma Y : F N =m g Waaruit :

a x =−k g De versnelling waarmee de auto vertraagt is constant, we kunnen bijgevolg de bewegingsvergelijkingen gebruiken van een EVRB.

v t=v 0 −k g t 1 x t =v 0 t− k g t 2 2 Noemen we het tijdstip waarop de auto stilstaat t1. Hieruit volgt :

42


v t 1 =0

m s

v 0−k g t 1=0 t 1=

m s

v0 k g

Dit invullen in de positie-vergelijking :

1 2 x t 1 =v 0 t 1− k g t 1 2 v 20 v0 2 1 x t 1= −  g   k g 2 k k g 2 1 v0 x t 1 = 2 k g De remafstand is recht evenredig met het kwadraat van de snelheid, en omgekeerd evenredig met de kinetische wrijvingscoëfficiënt tussen banden en wegdek. Welk voertuig heeft de grootste minimale remafstand, personenwagen of een volgeladen grote vrachtwagen ?

een

kleine

Waarom is de minimale remafstand groter op nat wegdek dan op droog wegdek ?

Remafstand bij droog en nat wegdek

30 50

Snelheid (km/h)

70 90 120 150 0

50

100

150

200

250

Remafstand (m) Afbeelding 48: Remafstanden voor verschillende snelheden onder verschillende weeromstandigheden.

4.4.7 a

Wrijvingskracht in een middenstof Algemene bespreking

In

vorige

paragraaf

hebben

we

wrijvingskrachten

besproken

tussen

43


contactoppervlakken. We hebben gezien dat voor een bewegend voorwerp, deze kracht als constant beschouwd kan worden. Nu bekijken we wat er gebeurt als een voorwerp beweegt door een middenstof, zij het een vloeistof of een gas. Je hebt al gemerkt dat hoe sneller je fietst, des te meer kracht je moet zetten om nog een beetje sneller te gaan. Je weet ook uit ervaring dat tegenwind fietsen moeilijker is dan fietsen op een windvrije dag. Fietsen met een strak wielrennerspak aan, gaat ook aanmerkelijk vlotter dan met een wijd openstaande jas aan. Als je beweegt door een middenstof, ervaar je eveneens een weerstand tegen je beweging. Er werkt een wrijvingskracht. Maar in tegenstelling tot de wrijvingskracht tussen contactoppervlakken, wordt de wrijvingskracht sterker naarmate je sneller beweegt. We beperken ons nu tot wrijving in lucht, de luchtweerstand. De studie van de het gedrag van een voorwerp dat zich beweegt in gas is de aërodynamica, in een vloeistof spreken we over hydrodynamica.

Afbeelding 49: De weerstandscoëfficiënt van een voorwerp kan bepaald worden met behulp van een windtunnel.

Experimenteel kunnen we vaststellen dat de luchtweerstand van een groot voorwerp afhankelijk is van ●

de dichtheid ρ van het medium. Op grote hoogte gaat de luchtweerstand aanmerkelijk kleiner zijn dan op lage hoogte;

●

het oppervlak A bewegingsrichting ;

●

het kwadraat van de snelheid v waarmee de lucht over het voorwerp stroomt (dit is de som van de windsnelheid en de snelheid van het voorwerp).

●

de vorm van het voorwerp, gekwantificeerd met behulp van de weerstandscoëfficënt Cd (ook wel “drag coefficient” genoemd).

van

het

bewegend

voorwerp

loodrecht

op

de

Samengevat :

1 2 F w = C d  Av 2 Voorwerp

Cd

Mens (rechtstaand)

1 – 1,3

fietser

0,9

personenwagen

0,4 – 0,5

44


b

sportwagen

0,3 – 0,4

Humvee

0,57

straaljager

0,02 – 0,04

Boeing 747

0,031

Toepassing : vrije val met luchtweerstand Beschouw een voorwerp dat in vrije val wordt losgelaten vanuit rust vanop een hoogte h in lucht. Op het voorwerp werken twee krachten, de zwaartekracht en de luchtweerstand. De resulterende kracht is dus :

FR= Fw  FZ F R=F w −F Z 1 F R = C d  A v 2−m g 2 Naarmate het voorwerp onder invloed van de zwaartekracht een steeds grotere snelheid verkrijgen, waardoor de luchtweerstand steeds groter zal worden. Op de duur zal de luchtweerstand even groot worden als de zwaartekracht, en zal de netto resulterende kracht 0 N zijn.

Inwerkende krachten bij val met luchtweerstand 1000

F (N)

800 600

Fw

400

Fz

200

Afbeelding 51: Inwerkende krachten bij vrije val met luchtweerstand.

0 0

10

20

30

v (m/s)

Afbeelding 50: Evloutie van krachten bij vrije val met luchtweerstand.

Uiteindelijk zal het voorwerp een eenparige beweging uitvoeren, waarvan we de snelheid vt kunnen berekenen als volgt :

F R=0 N 1 C d  Av t2−m g=0 N 2 2m g vt = Cd A



Deze snelheid wordt ook wel eindsnelheid of terminale snelheid (“terminal velocity”) genoemd. Waarom is de eindsnelheid met parachute aanmerkelijk kleiner dan zonder ?

45


4.5

Oefeningen

4.5.1

Algemene werkwijze

Het volgende recept is specifiek voor het oplossen van vraagstukken mechanica, en kan gebruikt worden bij alle problemen die een toepassing vragen van de wetten van Newton. 1. Begin altijd met een eenvoudige, overzichtelijke tekening te maken van de gegeven situatie. 2. Haal uit de tekening dàt object(of objecten) dat van belang is voor de oefening, bvb. het object waarvan je de beweging moet analyseren. 3. Voor elk object van belang teken je nu een zogenaamd “vrij-lichaam” diagram. Dit is een schema waarbij je het voorwerp tot één punt herleid, en alle krachten tekent die aangrijpen op het voorwerp. Je bepaalt de inwerkende krachten uit de gegevens en door alle actie-reactie paren in beschouwing te nemen. 4. Bepaal een X- en een Y-as voor elk object, en bepaal de componenten van alle aangrijpende krachten langs deze assen. 5. Pas nu de eerste (als het voorwerp niet onderhevig is aan een versnelling) of tweede wet van Newton (als er wel een versnelling is) toe, zowel op de componenten in de X-richting als in de Y-richting.

∑ F x , i=m a x ∑ F y , i=m a y 6. Bekijk wat gevraagd is, duid aan wat gegeven is, vul eventueel aan met andere (gegeven) vergelijkingen, en los op naar de onbekenden. Denk eraan dat je evenveel vergelijkingen nodig hebt als onbekenden. 7. Evalueer je uitkomsten ! Kloppen de eenheden, heeft mijn uitkomst zin, is ze “fysisch verantwoord”? We zullen dit recept toepassen op een aantal voorbeelden, en dan kan je zelf aan de slag.

4.5.2 a


Opgave : Een massa van 200 g hangt aan een touw en wordt van de muur weggeduwd door een horizontaal staafje zodat het touw een hoek van 40° vormt met de muur. Bereken de kracht uitgeoefend door het touw op de massa en door het staafje op de massa. Tekeningen : Uit de algemene schets kunnen we afleiden dat volgende krachten inwerken op het touw :

46


Afbeelding 52: Algemene schets en vrij lichaamdiagram ●

de zwaartekracht, gericht recht omlaag ;

●

de spankracht van het touw, gericht volgens het touw (welke hoek maakt de spankracht met de horizonale ? )

●

de kracht uitgeoefend door de staaf op de massa, horizontaal gericht (volgens de staaf).

Gegegeven :

m=2,00⋅10−1 kg =40 ° Voorwerp is in rust, dus

 =0 FZ  FT  F STAAF Gevraagd :

F T , F STAAF Oplossing : We ontbinden alle krachten in componenten volgens X en Y as :

F Z , x =m g cos−90 ° =0 N F Z , y =m g sin −90 ° =−m g F T , x =F T cos 130 ° F T , y =F T sin 130 °

F STAAF , x =F STAAF cos 0 °= F STAAF F STAAF , y = F STAAF sin 0 °=0 N

We passen de eerste wet van Newton toe op de componenten :

X : F Z , x F T , x F STAAF , x =0 N Y : F Z , y F T , y F STAAF , y =0 N Invullen geeft :

X : F T cos 130 ° F STAAF =0 N Y : F T sin 130 °−mg=0 N Uit de onderste vergelijking halen we de spankracht :

F T=

m⋅g 2,00⋅10−1 kg⋅9,81 m/s² = =2,56 N sin 130 ° sin 130 °

Invullen in de eerste vergelijking geeft :

47


F Staaf =−F T cos 130 ° =−2,56 N cos 130 ° =1,65 N Antwoord : De spankracht bedraagt 2,56 N en de staaf oefent een kracht uit van 1,65 N. b

Voorbeeld 2 Opgave : Een massa van 30 kg glijdt met een versnelling van 1 m/s² van een helling die een hoek van 45° maakt met de horizontale. Bereken de wrijvingskracht en de wrijvingscoëfficient. Tekening :

Afbeelding 53: Algemene schets en vrij-lichaam diagram.

Bij het vrij-lichaamsdiagram van het blok, kiezen we de X-as deze keer niet evenwijdig met de horizontale, maar volgens de bewegingsrichting. De voordelen zijn duidelijk: twee van de drie krachten vallen samen met een as, dat maakt dat we maar voor één kracht een hoek in rekening moeten brengen. Gegeven :

m=30 kg m a=1 2 s =45° Gevraagd :

k , F w Oplossing : Ontbinden van de krachten volgens X en Y as :

F N , x =F N cos 90° =0 N F N , y =F N sin 90 ° =F N

F w , x = F w cos 180 ° =−F w F w , y = F w sin 180 °=0 N

2 F z , x =m g cos −45 ° =  m g 2 − 2 F z , y =m g sin −45 ° = mg 2 Volgens de X-as hebben we een versnelling a, volgens de Y-as is er geen versnelling. Toepassen van de 2e wet van Newton :

48


X : F N , x F w , x F z , x =m a Y : F N , y  F w , y F z , y =0 N Bovenstaande invullen

2 X :−F w   m g =m a 2  2 m g=0 N Y : F N− 2 Uit de eerste vergelijking halen we :

2 F w =  m g −m a 2  2 m m F w = ⋅30 kg⋅9,81 2 −30 kg⋅1 2 2 s s F w =1,78⋅102 N Uit de studie van de wrijvingskrachten weten we :

FW =k FN De wrijvingskracht hebben we hierboven berekend, de normaalkracht vinden we uit de vergelijking van de componenten langs de Y-as.

2 F N=  m g 2 Dit invullen geeft

Fw 2 m g 2 1,78⋅102 N

k =

k =

 2⋅30 kg⋅9,81 m 2 k =0,86

s2

Antwoord : De wrijvingskracht is 1,78⋅102 N , en de wrijvingscoëfficient tussen blok en oppervlak bedraagt 0,85.

c

Voorbeeld 3 Opgave : Twee wagentjes zijn onderling verbonden met een touw, waarvan de massa verwaarloosbaar is en waarvan we veronderstellen dat het onuitrekbaar is. De massa van het voorste karretje is 4 kg, dat van het achterste 6 kg. Bereken de versnelling van het systeem en de spankracht in het touw als op het voorste wagentje een aandrijfkracht werkt van 60 N (wrijving verwaarlozen). Tekening :

49


Afbeelding 54: Algemene schets en vrij lichaamdiagram van beide karretjes.

Gegeven :

m1=4 kg m 2=6 kg F =60 N Gevraagd :

a ,FT Oplossing :

 ' T zijn een actie-reactiepaar (het eerste karretje De spankrachten FT en F trekt even hard aan het tweede karretje dan het tweede aan het eerste), dus FT = FT' . Om het gevraagde te berekenen, moeten we enkel de beweging in de X-richting beschouwen, en doen dit voor beide karretjes. X-richting karretje 1:

F −F T =m1⋅a

1

X-richting karretje 2:

F T =m2⋅a

2

Door substitutie van (2) in (1) kunnen we a berekenen:

F −m2⋅a=m1⋅a F = m1m2 ⋅a F a= m1m2 60 N a= =6 m/s² 6 kg 4 kg En hebben we a, dan kunnen we met (2) de spankracht berekenen:

F T =6 kg⋅6 m/s² =36 N Antwoord :

50


Het systeem versnelt met een versnelling van 6 m/s². De spankracht in het touw is 36 N

51


4.5.3

Opgaves 1. Een warmeluchtbalon weegt 2000 N. In de lucht ondervindt hij een opwaartse stuwkracht van 2510 N. De westenwind oefent een horizontale kracht uit van 80 N. Teken de krachten en bepaal de resultante. Bepaal ook de hoek tussen de resulterende kracht en de horizontale. 2. Gegeven zijn drie gelijke krachten van 200 N. De eerste is horizontaal, de tweede maakt een hoek van 90° met de eerste en de derde een hoek van 135° met de eerste. Teken de krachten en bereken de resultante. Bepaal ook de hoek met de horizontale. 3. Twee arbeiders trekken een boom om. Hiervoor oefenen ze elk een kracht van 320 N uit. Ze gebruiken hiervoor touwen van 20 m, en ze staan 20 m uit elkaar. Maak een tekening en bereken hoe groot de kracht is die de boom ondervindt. 4. Een massa van 30 kg ligt in rust op een helling van 40°. Teken alle krachten en bepaal de krachtcomponenten evenwijdig aan de helling en loodrecht op de helling. Als je weet dat de massa onder deze hoek net niet naar beneden begint te glijden, kan je dan de statische wrijvingscoëfficiënt tussen massa en oppervlak bepalen ? 5. Jan trekt een slede met massa 100 kg over de sneeuw. Om de snelheid constant te houden moet hij een kracht van 600 N uitoefenen. Deze kracht maakt een hoek van 50° met de horizontale. Bereken de wrijvingskracht en de dynamische wrijvingscoëfficiënt. Welke kracht zou Jan moeten uitoefenen om de slede een versnelling te geven van 1 m/s² ? 6. Tarzan laat zich langs een liaan naar beneden glijden. Pech, hij weegt 980 N en de liaan breekt bij een kracht van 755 N. Toch slaagt hij erin naar beneden te glijden zonder dat de liaan breekt. Jij ook ? 7. Jan trekt een slede voort met een massa van 100 kg waardoor een versnelling ontstaat van 0,4 m/s². Het touw maakt een hoek van 50° met de horizontale. Hoe groot is de uitgeoefende kracht als : a) De wrijving mag verwaarloost worden. b) De wrijvingskracht 80 N is. 8. Welk gewicht zal een persoon van 70 kg in een lift uitoefenen op een weegschaal, geplaatst in die lift, als de lift a) naar beneden versnelt met een versnelling van 1 m/s², b) naar beneden beweegt met een constante snelheid van 5m/s, c) naar beneden beweegt maar afremt met een versnelling van 1 m/s². 9. Je staat in een stijgende lift met een koffer in de hand. In rust weegt de koffer 200 N. Op een bepaald moment ervaar je dat de koffer schijnbaar slechts 150 N weegt. Verklaar, reken uit. 10.Een eekhoorn glijdt over een zeer gladde tafel met zijn voorpootjes vol nootjes. Plots bemerkt hij de rand van de tafel. Wat kan hij doen om niet van de tafel te vallen ? 11.Hoe groot is de spankracht in het touw in onderstaande opstelling als er (a) geen wrijving en (b) als de kinetische wrijvingscoëfficiënt gelijk is aan 0,2 ? Verder gegeven : m1 is 5 kg en m2 is 3 kg.

52


12.Bereken de spankracht in beide touwen in onderstaande opstelling, als gegeven is dat m1 = 5 kg , m2 = 3 kg en m3 = 0,5 kg.

13.Bereken de spankracht in het touw en de versnelling van het hele onderstaande systeem. Gegeven is dat m1 = 3 kg , m2 = 5 kg en F = 200 N.

53

5 De universele wet van gravitatie

5 De universele wet van gravitatie 5.1

Historische ontwikkeling De prehistorische mens had al grote regelmaat vertonen : schijngestelaten van de maan, verdwijnen van sterrebeelden zonnewende en equinox, ...

door dat de verschijnselen aan de hemel een de opkomst en ondergang van de zon, de de stand van de planeten, het verschijnen en met de seizoenen, de opeenvolgingen van

Sinds zijn verschijnen heeft de mens naar boven gekeken en proberen begrijpen. We bekijken nu de evolutie van het beeld dat de mens had van het heelal, en hoe hij dat beeld probeerde te verklaren, tot aan de Isaac Newton, die al die verschijnselen kon verklaren met één eenvoudige wet. Hoewel zij uiteindelijk niet in staat bleek om àlle hemelverschijnselen te verklaren (daar was het wachten tot Einstein's algemene relativiteitstheorie...) getuigt het feit dat deze wet tot op heden nog steeds de basis vormt voor de berekeningen van vluchtplannen voor interplanetaire sondes, planeetbewegingen en bewegingen van sterren in melkwegstelsels, van haar grote sterkte.

5.1.1

Mesopotamiërs

De Mesopotamiërs waren de eersten die systematische waarnemingen deden vanop speciaal gebouwde observatoria, de ziggurats. Dit waren piramide-vormige torens, met zeven verdiepingen, waar elke verdieping symbool stond voor één van de gekende “zwervende” hemelobjecten (Zon, Maan, Mercurius, Venus, Mars, Jupiter, Saturnus). Afbeelding 55: Een ziggurat. Let op de zeven verdiepingen die staan voor de zeven gekende hemellichamen.

Zij bundelden en archiveerden hun observaties, en waren de eersten die met behulp van een wiskundig systeem de standen der planeten voorspelden, en “almanacs” creëerden, die de stand der planeten aangaven op verschillende dagen. Zij waren ook de eersten die praktisch gebruik maakten van hun observaties : door jarenlange ervaring konden zij perfect duiden wanneer overstromingen dreigden bij springtij, wat de beste periodes waren om bepaalde gewassen te zaaien, ... Zij probeerden dit gebruik door te trekken, en aan de hand van de stand der sterren en planeten voorspellingen te maken over natuurrampen, oorlogen en persoonlijke gebeurtenissen. Dit gebruik, gekend als astrologie, houdt tot vandaag hardnekkig stand. Astrologie is een duidelijk voorbeeld van pseudowetenschap, waar men met behulp van berekeningen en ingewikkelde diagrammen een zekere geloofwaardigheid probeert te handhaven, maar tot op heden is er nog geen enkel bewijs geleverd dat astrologie effectief betrouwbare voorspellingen oplevert.

54


5.1.2

Griekse astronomie in de oudheid

Wat de Mesopotamiërs niet deden, was een fysieke verklaring proberen geven voor de waargenomen verschijnselen. De Griekse filosofen waren de eersten die probeerden met logica en wiskunde een verklaring te geven waarom de verschijnselen die specifieke regelmaat hadden. We zetten hier een aantal namen en hun verwezenlijkingen op het gebied van astronomie op een rijtje : a

Afbeelding 56: Het model van Pythagoras, met de "tegen-aarde".

b

Pythagoras Pythagoras was de eerste waar we het idee terugvinden dat de Aarde niet vlak is, maar bolvormig. Daarnaast plaatste Pythagoras de Aarde niet in het centrum van het universum, maar veronderstelde hij dat de Aarde op een cirkelvormige beweging rond een groot centraal vuur, dat echter niet waargenomen kon worden omdat het constant werd afgeschermd door een “tegen-Aarde”.

Aristoteles Verwierp het idee van een “tegen-Aarde”, en argumenteerde dat de Aarde niet kon bewegen rond het midden van het universum, omdat dan de stand der sterren zou moeten wijzigen naarmate de aarde verschillende posities op zijn cirkelbaan inneemt. Bijgevolg was de Aarde het centrum van het universum (geocentrisme). Deze redenering hield geen rekening met de extreem grote afstand tussen Aarde en sterren, welke de Grieken nog niet kenden.

c

Erathostenes Erathostenes was een Griekse geleerde uit Alexandrië en de eerste die een schatting maakte over de grootte van de Aarde. Zijn schatting was gezien zijn meetmethode zéér accuraat (tot op 10%).

d

Hipparchus Hipparchus was de eerste die een catalogus samenstelde van de helderheid van meer dan 800 sterren, en ontdekte dat de as van de aarde zelf een rotatiebeweging (precessie) uitvoert.

5.1.3

Ptolemaeus

De grootste verdienste van Ptolemaeus (Alexandrië, 2e eeuw NC) was het bundelen van de kennis die de voorbije eeuwen vergaard was in één compleet systeem dat de beweging der planeten accuraat kon voorspellen door gebruik te maken van een combinatie van cirkelbanen. Het systeem was zo krachtig, dat het 14 eeuwen later nog steeds in gebruik was, tot Copernicus met zijn heliocentrisch model een grondige vereenvoudiging doorvoerde. a

De retrograde beweging Het was in de Oudheid al duidelijk dat de beweging van de hemellichamen niet

55


verklaard kon worden door ze een zuiver cirkelvormige beweging rond de Aarde te laten beschrijven. Zo vertoonde de planeet Mars een vreemde neiging om periodiek in tegengestelde richting te bewegen (een retrograde beweging...).

Afbeelding 58: Verklaring van de retrograde beweging door middel van epicycli. Afbeelding 57: De retrograde van beweging van Mars ten opzichte van de vaste sterren.

Ptolemaeus loste dit op door epicycli te introduceren, kleine cirkelbanen waarvan het middelpunt een grote cirkelbaan (deferent) volgt. Hiermee kon de retrograde beweging verklaard worden, met behoud van de cirkelbanen en het geocentrisme.

b

Het geocentrisch model van het zonnestelsel Ptolemaeus creëerde, gebruik makend van de epicycles, een model dat de beweging van alle planeten, de maan en de zon beschreef en de stand van alle hemellichamen met relatief grote nauwkeurigheid kon voorspellen. In het model van Ptolemaeus bleef de Aarde, in navolging van Aristoteles, centraal (geocentrisme). Hieronder vind je een afbeelding van het geheel. Let op de centrale positie van de Aarde en de epicycli bij de banen van de verschillende planeten.

56


Afbeelding 59: Het geocentrisch model van Ptolemaeus.

5.1.4

De Middeleeuwen

In de vroege Middeleeuwen ging in Europa bijna alle astronomische kennis verloren, en werd de Aarde weer een platte schijf. In de islamitische wereld beleefde de astronomie echter een grote bloei. Vele sterren zijn nog gekend onder hun Arabische naam : Alcor, Mizar, Betelgeuze, ... Zij conserveerden en verfijnden het werk van de Grieken, zonder echter aan de basis iets te wijzigen. Door de kruistochten kwam deze kennis weer terug naar Europa, waar zij Afbeelding 60: Wereldkaart uit de 11e eeuw. de astronomie weer een nieuwe impuls gaf. Aan het begin van de Renaissance stond het niveau van de Europese astronomie weer daar waar Ptolemaeus het had achtergelaten.

5.1.5

Copernicus

Op het hoogtepunt van de Renaissance was de astronomie met rasse schreden vooruit gegaan: de waarnemingstechnieken kenden een enorme vooruitgang,

57


door de boekdrukkunst werd kennis en informatie verspreid, ... Eén van de astronomen in die tijd, Nicolas Copernicus (1473 - 1543), boog zich over twee duidelijke pijnpunten van het geocentrisch model van Ptolemaeus : ●

Enerzijds was er het feit dat de waarnemingen, gedaan met de nieuwste methodes, een afwijking lieten zien met de voorspellingen uit het model van Ptolemaeus,

●

anderzijds wilde Copernicus terug naar een systeem met eenvoudige, cirkelvormige banen.

De meest elegante oplossing lag voor de hand : Als de Zon in het middelpunt van het universum zou staan, en de Aarde rond de Zon zou draaien, net als de andere planeten, dan verkregen we een véél eenvoudiger model, dat eveneens de retrograde beweging kon verklaren, zonder epicycli !

Afbeelding 61: Heliocentrisch model van Copernicus.

Afbeelding 62: retrograde beweging verklaart in het heliocentrisch model : dit verschijnsel treedt op als één planeet een andere "inhaalt".

Het feit dat de Aarde zijn centrale plaats in het universum kwijt was, accepteerde hij in ruil voor de grotere eenvoud en elegantie van zijn model. Hoewel een groot aantal geleerden uit die tijd zéér enthousiast was over het idee, waren een aantal machtige instanties dat allesbehalve.

5.1.6

Het conflict Galileï vs. de katholieke kerk

Galileo Galileï (1564-1642) kan in het algemeen beschouwd worden als de vader van de moderne astronomie. Hij was de eerste die waarnemingen deed met behulp van een telescoop. Met behulp van dit instrument ontdekte hij de schijngestalten van Venus, bracht de kraters van de maan in kaart, ontdekte dat de zon vlekken heeft die verschenen en verdwenen met een zekere regelmaat, zag dat Jupiter minstens 4 manen heeft, en nam als eerste de ringen van Saturnus waar (hoewel het feit dat het effectief ringen waren pas in 1656 door Christiaan Huygens werd bevestigd).

58


Afbeelding 64: Galileo Galileï

Afbeelding 65: Een replica van een telescoop uit de tijd van Galileï. Afbeelding 63: Studie van de schijngestalten van de maan door Galileï.

Op grond van zijn waarnemingen kwam Galileï tot de conclusie dat het model van Copernicus een betere beschrijving gaf van het universum dat Ptolemaeus. Deze conclusie bracht hem in direct conflict met de kerk, ook al beweerde Galileï dat zijn beweringen “zuiver hypothetisch van aard waren”. De manier waarop hij het heliocentrisme verdedigde in zijn boek Dialogo di Galileo Galilei sopra i due Massimi Sistemi del Mondo Tolemaico e Copernicano was moeilijk anders te interpreteren dan dat hij het systeem van Copernicus radicaal ondersteunde.

Afbeelding 66: Voorpagina van het controversiële boek van Galileï.

Hij werd door de inquisitie gedwongen zijn standpunt publiekelijk in te trekken, hetgeen hij onder bedreiging van de brandstapel ook deed, hij werd in de kerkelijke ban geslagen en onder huisarrest geplaatst, en zijn boek kwam op de index van verboden boeken terecht.

Pas in 1835 werd zijn boek van de index gehaald, en maar in 1992 werd de kerkelijke ban op Galileï opgehoffen en werd hij door de katholieke kerk in ere hersteld.

5.2

De wetten van Kepler voor planeetbewegingen Hoewel het beeld van Copernicus meer en meer aanhang begon te vinden onder de intelligentsia, was het in de 17e eeuw nog allesbehalve aanvaard, en woedden er felle discussies over de aard van het universum. De Deense astronoom Tycho Brahe koesterde de in die tijd revolutionaire overtuiging dat als je het universum wil begrijpen, je het eerst zo goed mogelijk moet observeren (een principe dat ook Galileï huldigde).

59


Het was echter zijn leerling Johannes Kepler (1571-1630), die na de dood van Brahe zijn catalogi met waarnemingen erfde, die de volgende grote stap zou zetten. Na jarenlang nauwgezet bestuderen en verbeteren van de waarnemingen van Brahe, kwam Kepler tot de ontdekking dat het model van Copernicus niet helemaal klopte. In zijn werk Astronomia Nova van 1609 publiceert hij zijn eerste twee wetten van planeetbeweging : Eerste wet : Planeten bewegen op een ellipsvormige baan, met de zon in één van de brandpunten.

Afbeelding 67: Planeten bewegen op ellipsvormige baan, met zon in brandpunt.

Afbeelding 68: Voor elk punt P van een ellips geldt dat de som van de afstanden d1 en d2 tussen de brandpunten F1 en F2 en het punt P, steeds constant is.

Dit was een nadrukkelijke breuk met het verleden, waar om filosofische redenen geëist werd dat de planeten op cirkelvormige banen bewogen. Tweede wet (perkenwet) In gelijke tijdsintervallen bestrijkt de verbindingslijn planeet-zon gelijke oppervlakken.

Afbeelding 69: De tijd om van P1 naar P2 te gaan is dezelfde als om van P3 naar P4 te gaan. Het gearceerde oppervlak is in beide gevallen gelijk.

Een planeet beweegt dus niet altijd even snel op zijn baan. In het aphelion (het punt de baan het verst van de zon) van is de baansnelheid aanmerkelijk kleiner dat in het perihelion (het punt de baan het dichtst bij de zon).

60


Derde wet : Het kwadraat van de omlooptijd van een planeet rond de zon is recht evenredig met de derde macht van de halve grote as van de ellipsbaan.

T 2 ∝ a3 Anders gezegd : De

verhouding

T2 =k z is 3 a

constant

voor

alle

planeten

van

het

zonnestelsel. Voor ons zonnestelsel wordt die constante gegeven door −19

k z=3⋅10

s2 3 . m

Deze wet werd maar gepubliceerd 9 jaar na de eerste twee, in het werk “Harmonices Mundi Libri V”. Met deze drie relatief eenvoudige wetten was Kepler in staat om de bewegingen van de planeten in het zonnestelsel perfect te verklaren en te voorspellen.

5.3

De universele gravitatiewet van Newton Kepler had nu ontdekt hoe planeten rond de zon bewegen, maar niemand wist wat de planeten op hun banen doet bewegen... (in die tijd waren sommigen ervan overtuigd dat planeten rond de zon bewogen omdat zij voortgeduwd werden door engelen met fladderende vleugels). Newton (en voor hem Galileï) had al het geniale inzicht gehad dat beweging geen oorzaak diende te hebben. Een lichaam zal uit zichzelf steeds eenparig rechtlijnig bewegen. Er is wel een kracht nodig om een voorwerp te laten afwijken van die rechte lijn. Als je een steen aan een touw wil laten rondslingeren, moet je een kracht uitoefenen op het touw, en hoe zwaarder de massa, des te groter de kracht die je moet uitoefenen. Toegepast op de planeten, is de kracht die een planeet rond de zon laat bewegen geen kracht rond de zon, maar naar de zon toe. De tweede wet van Kepler is een direct gevolg van het feit dat de kracht steeds gericht moet zijn naar de zon toe. Uit de derde wet van Kepler volgt dat hoe verder een planeet van de zon staat, des te zwakker de kracht uitgeoefend door de zon. Met een geweldige zin voor generalisatie, zag Newton eveneens in dat de kracht die

Afbeelding 70: De kracht die een appel van een boom naar beneden laat vallen is dezelfde die de planeten op hun baan houdt.

61


de maan rond de Aarde houdt, de dingen op aarde naar het oppervlak toe laat bewegen, de manen van Jupiter rond die planeet houdt, en de kracht die de planeten rond de zon doet draaien, één en hetzelfde fenomeen is. Hij formuleerde de universele wet van gravitatie als volgt : Twee massa's

m1 en

m2 trekken elkaar aan met een kracht

●

die aangrijpt in hun resp. zwaartepunten

●

met als richting de verbindingslijn tussen hun zwaartepunten

●

met de zin zo dat de kracht naar het ander lichaam toe gericht is (aantrekkend)

●

waarvan de grootte recht evenredig is met het product van beide massa's, en omgekeerd evenredig met het kwadraat van hun onderlinge afstand r 12 :

F z =G

m1⋅m2 2

r 12

Waarbij G de universele gravitatieconstante is : −11

G=6,67⋅10

Nm2 2 kg

Afbeelding 71: Twee massa's trekken elkaar aan met de grootte van de kracht recht evenredig met elk van de massa's, en omgekeerd evenredig met hun onderlinge afstand.

Deze wet is strikt gezien alleen van toepassing op puntmassa's en sferisch symmetrische massa's. Voor niet-sferisch symmetrische lichamen moet rekening gehouden worden met de effectieve massadistributie. Dit valt echter buiten de scope van deze cursus. De zwaartekracht is al bij al een zeer zwakke kracht (de zwakste van de vier fundamentele natuurkrachten), maar niettemin is zij op kosmische schaal overheersend: de zwaartekracht is verantwoordelijk voor stervorming, laat planeten vormen (kan je verklaren waarom zijn sterren en planeten bolvormig zijn ?) ligt aan de basis van de kernfusie in het binnenste van sterren (zoals onze zon!) waardoor zich zwaardere elementen dan waterstof hebben kunnen vormen , zorgt ervoor dat sterren zich gaan groeperen in sterrenstelsels, zorgt er met andere woorden voor dat het universum eruit ziet zoals wij het

62


waarnemen.

Afbeelding 72: De pleijaden of zevengesternte, een cluster op 440 lichtjaar van de Aarde, waar nieuwe sterren gevormd worden. De felblauwe sterren zijn jonge sterren gevormd de laatste 100 miljoen jaar.

Afbeelding 73: De Virgo-cluster, een verzameling sterrenstelsels op 60 miljoen lichtjaar van onze melkweg. Elk van de grotere stippen is een melkwegstel dat verscheidene miljarden sterren telt.

63


5.4

Oefeningen 1. Een jongen met massa 95 kg en een meisje met massa 75 kg (ze dragen een ruimtepak) zweven in de ruimte op 1 m van elkaar. Bereken hun onderlinge aantrekkingskracht, en bereken met welke versnelling ze naar elkaar toe zweven. Wat merk je op ? Is deze versnelling constant ? Verklaar ! 2. Bereken (bij benadering) de massa van de aarde als je weet dat de straal van de aarde gemiddeld 6360 km is. 3. Je kan de baan van de aarde bij benadering als cirkelvormig beschouwen. Bereken de afstand Aarde – Zon. 4. Bereken de aantrekkingskracht die de Zon uitoefent op de Aarde als je weet dat de massa van de zon 2.1030 kg bedraagt. 5. Bereken de valversnelling aan het oppervlak van een planeet waarvan de straal twee maal groter is dan de straal van de aarde, en de massa drie maal die van de aarde. 6. De valversnelling op de maan is zes maal kleiner dan die op aarde. Bereken de massa van de maan als je weet dat de straal van de maan gelijk is aan 1740 km. 7. Twee sterren met respectievelijke massa's M en 4M bevinden zich op een afstand d van elkaar. Op hun verbindingslijn is er een derde massa. Opdat op deze massa geen resulterende kracht zou inwerken moet : a) b) c) d)

d 4 d d 2= 4 d1 1 = d2 4 d d 1= 3 d 1=

waarbij d1 de afstand is tot de lichtste ster, en d 2 de afstand tot de zwaarste ster.

64

6 Arbeid en Energie

6 Arbeid en Energie 6.1

Arbeid

6.1.1

Arbeid geleverd door een constante kracht

In de cursus van het 3e en 4e jaar wordt arbeid als volgt gedefinieerd : Als een kracht met grootte F inwerkt op een voorwerp, en dat voorwerp wordt verplaatst over een afstand ∆x, dan wordt de arbeid W geleverd door F op het voorwerp gegeven door :

W =F⋅ x De eenheid van arbeid is de Joule ( 1 J =1 N⋅1 m ) 1 J is de arbeid geleverd door een kracht met grootte 1 N die een voorwerp verplaatst over een afstand van 1 m. De bovenstaande definitie is alleen geldig als de richting en zin van de kracht dezelfde zijn als die van de verplaatsing !

Afbeelding 74: Als de kracht een hoek maakt met de verplaatsing, levert alleen de component evenwijdig met de verplaatsing arbeid op het voorwerp.

Hebben kracht en verplaatsing verschillende richting en zin, dan levert alléén de component van de kracht evenwijdig met de verplaatsing arbeid. Kiezen we de X-as volgens de bewegingsrichting, dan wordt :

W =F x  x W =F cos   x met α de hoek tussen

 en de X-as (verplaatsingsrichting). F

Hieruit volgt dat we de geleverde arbeid ook kunnen schrijven als het vectorieel product van kracht en verplaatsingsvector :

 ⋅ r W =F Merk op dat W zowel positief als negatief kan zijn. ●

Is W positief, dan levert de kracht arbeid op het voorwerp.

●

Is W negatief, dan ontrekt de kracht arbeid aan het voorwerp (slorpt op).

65

6 Arbeid en Energie

6.1.2 a

Arbeid geleverd door niet constante krachten Algemeen

 constant is. In de praktijk Bovenstaande beschouwingen zijn enkel geldig als F is dit zelden het geval. Om de arbeid geleverd door een niet constante kracht te berekenen, grijpen we even terug naar de arbeid geleverd door een constante kracht. Beschouw een kracht met grootte F die een verplaatsing ∆x veroorzaakt. Gedurende de hele verplaatsing blijft F constant. Als we de grafiek bekijken van F in functie van de positie x, dan kunnen we uit de grafiek geleverde arbeid W =F⋅ x aflezen als het oppervlak onder de rechte lijn (zie ook afbeelding 75). Afbeelding 75: De arbeid geleverd door een constante kracht kan afgeleid worden uit het oppervlak onder het F,x-diagram.

Beschouw nu een kracht die varieert met de positie, zoals in onderstaande grafiek. Hoe kunnen we nu W berekenen bij

verplaatsing van x0 naar x1 ? We kunnen dat doen door de verplaatsing ∆x op te splitsen in kleine deelverplaatsingen ∆x1, ∆x2, ∆x3, ... zodat

 x= x 1 x 2 x 3... Als we de deelverplaatsingen klein genoeg nemen, kunnen we de kracht F gedurende elke kleine deelverplaatsing als constant beschouwen.

Afbeelding 76: Grafiek van een niet-constante kracht. In het i-e deelinterval is dan de kracht Fi, en we kunnen de arbeid geleverd door de kracht bij de i-e deelverplaatsing berekenen door

 W i=F i  xi De totale arbeid berekenen we deelverplaatsingen op te tellen :

dan

door

alle

∆W

over

alle

W =∑i  W i=∑i F i  x i Grafisch zien we dat we de totale arbeid verkrijgen door de oppervlakte van alle rechthoekjes in onderstaande grafiek op te tellen.

66

6 Arbeid en Energie

Afbeelding 77: Berekenen van arbeid door op te splitsen in deelverplaatsingen.

Het verkregen resultaat wordt steeds nauwkeuriger als we de deelverplaatsingen kleiner en kleiner maken. Maken we de deelintervallen oneindig klein, dan zien we dat de som van de oppervlakken van alle rechthoekjes gelijk wordt aan het oppervlak onder de kromme. Een dergelijke som noemen we een integraal. Je zal in de lessen wiskunde van het 6e jaar dit nog uitgebreid zien, voorlopig kan je je beperken door te onthouden dat de arbeid geleverd door een niet constante kracht gegeven wordt door het oppervlak onder het F,x-diagram.

Afbeelding 78: De arbeid geleverd door een niet-constante kracht is eveneens het oppervlak onder het F,x diagram.

b

Toepassing: arbeid geleverd door veerkracht. Beschouw een massa m verbonden met een veer met veerkonstante kv. Welke arbeid levert de veer op de massa als we de veer uitrekken vanuit evenwicht over een afstand ∆x ? We weten dat de door de veer op de massa uitgeoefende kracht recht evenredig is met de uitrekking, maar tegengesteld gericht (wet van Hooke).

F =−k v  x− x0 =−k v  x met x0 de positie in geval de veer niet uitgerokken wordt...

67

6 Arbeid en Energie

De grafiek van F in functie van x is weergegeven in onderstaande grafiek.

Afbeelding 79: Kracht uitgeoefend door veer op een massa in functie van de positie. Het oppervlak van het gearceerde deel geeft de arbeid weer.

De arbeid geleverd door de veerkracht bij uitrekking over ∆x, is de oppervlakte onder die grafiek (gearceerd deel). De geleverde arbeid is bijgevolg :

1 W = F⋅ x 2 1 W =− k v  x2 2 Wat wordt dit als we de veer indrukken over een afstand ∆x ?

6.1.3

Vermogen

Het vermogen van een kracht wordt gedefinieerd als de arbeid die per tijdseenheid geleverd wordt. Verricht een kracht F gedurende een tijd ∆t een arbeid ∆W op een voorwerp, dan wordt het gemiddeld vermogen gedurende dat tijdsinterval gedefinieerd als :

P m=

W t

waaruit

P m=

6.2

  r F⋅ = F⋅vm t

Energie De energie van een voorwerp wordt gedefinieerd als de mogelijkheid van dat voorwerp om arbeid te leveren op een ander voorwerp. Je kent al verschillende vormen van energie, zoals warmte, chemische energie, stralingsenergie, elektrische energie, die eigenlijk terug te brengen zijn tot twee categorieën : ●

kinetische energie, bewegingstoestand.

of

de

energie

die

voortkomt

uit

de

68

6 Arbeid en Energie ●

6.2.1

potentiële energie, of de energie die voortkomt uit de positie.

Kinetische energie

Beschouw een voorwerp, met massa m dat beweegt met snelheid v0. We berekenen nu de arbeid die nodig is om het voorwerp te versnellen van v0 naar v1. Om de bewegingstoestand te wijzigen is een kracht F nodig die inwerkt gedurende een tijd ∆t. Gedurende die tijd legt het voorwerp een afstand ∆x af. De arbeid door de kracht geleverd op het voorwerp wordt berekenen we als volgt :

W =F  x W =m a  x v −v v v W =m 1 0 1 0  t t 2 1 1 2 W = m v 1− m v 20 2 2 Definiëren we de kinetische energie Ek van een voorwerp met massa m dat beweegt met een snelheid v als

1 2 E k = mv , 2 dan kunnen we zeggen dat de arbeid nodig om de bewegingstoestand van een voorwerp met massa m te wijzigen, gelijk is aan het verschil in kinetische energie tussen eindtoestand en begintoestand :

W =E k ,1 −E k ,0 1 1 W = m v 21− m v 20 2 2 De nodige arbeid is bijgevolg alleen afhankelijk van de bewegingstoestand in het begin en op het eind.

6.2.2

Potentiële energie

De voorbije jaren heb je al grondig kennis gemaakt met de potentiële energie van een massa op een hoogte h in de nabijheid van het aardoppervlak. Deze werd gegeven door

E p =m g h Een lichaam kan echter ook op veel andere manieren potentiële energie bezitten: denk bv. aan een opgespannen veer, een lading in een elektrisch veld, We gaan dit concept nu veralgemenen. a

Conservatieve krachten Wil een lichaam potentiële energie bezitten moet er één of meerdere conservatieve krachten op inwerken. Een kracht is conservatief als de arbeid geleverd door de kracht onafhankelijk is van de gevolgde weg, met andere woorden enkel afhankelijk is van de begin- en eindpositie. We verduidelijken dit met een voorbeeld.

69

6 Arbeid en Energie

Afbeelding 80: Een voorwerp kan onder invloed van de zwaartekracht zowel naar beneden vallen (van A naar B) als glijden over de twee hellingen langs C. In beide gevallen is de arbeid verricht door de zwaartekracht gelijk.

Beschouw een massa m die van punt A naar punt B beweegt door toedoen van de zwaartekracht. Dat gebeuren door gewoon naar omlaag te vallen, of door te glijden langs twee hellende vlakken, en eerst van A naar B' te glijden, en dan van B' naar B. We tonen nu aan dat de arbeid geleverd door de zwaartekracht in beide gevallen gelijk is, dat het met andere woorden niet uitmaakt welke weg we volgen. In het geval dat de massa valt van A naar B, wordt de arbeid gegeven

door

W=F  y W =mg∣AB∣ W =mgh met h het hoogteverschil tussen A en B. In het tweede geval glijdt de massa eerst van A naar C, dan van C naar B. De totaal geleverde arbeid is dan :

W =W A ⇒C W C ⇒ B Veronderstel dat de helling AC een hoek α maakt met de horizontale. De hoek tussen Fz en de bewegingsrichting is dan 90° - α. De geleverde arbeid wordt dan :

W A⇒ C =mg cos90 ° −∣ AC ∣ W A ⇒ C =mg sin ∣AC ∣ W A⇒ C =mg∣ AC '∣ Veronderstel dat de helling B'B een hoek β maakt met de horizontale. De hoek tussen Fz en de bewegingsrichting is dan 90° − β. De geleverde arbeid wordt dan :

W C ⇒ B =mg cos 90° −∣CB∣ W C ⇒ B=mg sin ∣CB∣ W C ⇒ B=mg∣C ' B∣ De totale arbeid wordt dan gegeven door :

W =W A⇒ C W C ⇒ B W =mg∣ AC '∣mg ∣C ' B∣ W =mgh We zien dat in beide gevallen de arbeid gelijk is. De arbeid geleverd door de

70

6 Arbeid en Energie

de zwaartekracht nabij het aardoppervlak is dus niet afhankelijk van de gevolgde weg. De zwaartekracht nabij het aardoppervlak is een conservatieve kracht. (dit kan veralgemeend worden naar de zwaartekracht tout court. Het bewijs hiervan valt buiten de scope van de cursus...). Als de massa eerst naar beneden zou glijden langs de hellingen, en dan naar boven getakeld wordt, dan is de totale arbeid verricht door de zwaartekracht gelijk aan nul (bewijs dit als oefening !). Dit illustreert een andere eigenschap van conservatieve krachten : De arbeid geleverd door conservatieve krachten langs een gesloten lus is altijd nul. Voorbeelden van conservatieve krachten zijn: ●

de zwaartekracht;

●

de veerkracht;

●

de elektro-magnetische wisselwerking

Een voorbeeld van een niet-conservatieve kracht is de wrijvingskracht. b

Arbeid-energie theorema voor conservatieve krachten Werkt op een voorwerp een conservatieve kracht in, dan bezit het voorwerp potentiële energie. We definiëren de potentiële energie van een voorwerp in positie P ten opzichte van een referentiepunt O, als de arbeid die verricht wordt door de conservatieve kracht bij verplaatsing van P naar O. Merk op dat potentiële energie afhangt van de keuze van het referentiepunt. Het verschil in potentiële energie is hiervan echter onafhankelijk. Verplaatsen we een voorwerp van positie A naar B, dan wordt de arbeid geleverd door de conservatieve krachten gegeven door :

W con=E p , A−E p , B We bewijzen dit als volgt : De arbeid geleverd door een conservatieve kracht om het voorwerp van A naar B te verplaatsen is dezelfde als deze als we het voorwerp eerst van A naar O verplaatsen, en dan van O naar B.

W A⇒ B=W A ⇒O W O ⇒ B Nu geldt er dat

W O ⇒ B =−W B ⇒O Dus :

Afbeelding 81: De arbeid geleverd om van A naar B te gaan is dezelfde als deze om eerst van A naar O te gaan, dan van O naar B, als de inwerkende krachten conservatief zijn.

W A⇒ B=W A ⇒O −W B ⇒O Per definitie is dan :

W con=E p , A−E p , B Werken er alleen conservatieve krachten op het voorwerp, dan is dit de

71

6 Arbeid en Energie

totale arbeid geleverd op het voorwerp. Dan geldt er :

W =E p , A −E p , B Wijzigt hierbij de snelheid van het voorwerp van vA naar vB, dan geldt eveneens :

W =E k , B −E k , A Uit beide bovenstaande betrekkingen volgt dan :

E k , B− E k , A=E p , A −E p , B  E k =− E p waaruit

E k , A E p , A=E k , B E p , B Definiëren de totale energie E als de som van de kinetische en de potentiële energie, dan geldt er als er enkel conservatieve krachten inwerken op een voorwerp :

E A=E B Indien er enkel conservatieve krachten inwerken op een voorwerp, dan blijft de totale energie van het voorwerp constant. Kinetische energie kan omgezet worden in potentiële energie, en omgekeerd. Het voorwerp verliest geen energie aan de omgeving, de inwerkende krachten behouden (conserveren) al zijn energie. Werken er meerdere conservatieve krachten in op het voorwerp, dan kan met elke inwerkende conservatieve kracht een potentiële energie geassocieerd worden. De totale potentiële energie is dan de som van elk van deze potentiële energieën :

E p =∑ E p ,i

c

Potentiële energie in het zwaarteveld nabij het aardoppervlak Beschouw een massa m op een punt P op een hoogte h boven een referentiepunt O. Op deze massa werkt de zwaartekracht. Doordat de zwaartekracht een conservatieve kracht is, verkrijgt de massa hierdoor potentiële energie ten opzichte van O. We kunnen deze als volgt berekenen : de arbeid geleverd door de zwaartekracht bij verplaatsing van P naar O wordt gegeven door

W =mgh Per definitie is dit dan ook de potentiële energie van een massa m op hoogte h boven het referentiepunt :

E p =mgh Dit is de gekende formule van vorig jaar. d

Potentiële energie van een massa verbonden met een veer Een massa m vastgemaakt aan een veer met veerconstante kv die is uitgerokken over een afstand ∆x bezit eveneens potentiële energie ten opzichte van de evenwichtsstand O (de positie als de veer niet uitgerokken is...). Per definitie is de potentiële energie de arbeid verricht door de veerkracht bij

72

6 Arbeid en Energie

verplaatsing van punt A (uitgerokken toestand) naar punt O. Deze arbeid kunnen we aflezen uit de grafiek die Fv geeft als functie van de uitrekking :

1 E p = F v − x 2 1 E p = k v  x2 2

Afbeelding 82: De potentiële energie van een massa m aan een veer die over een afstand ∆x is uitgerokken, bepaal je door de arbeid te berekenen die de veerkracht verricht bij verplaatsing van uitgerokken naar niet-uitgerokken toestand.

6.3

Behoud van energie

6.3.1

Arbeid-energie theorema met niet-conservatieve krachten

Beschouw een voorwerp met massa m, waarop een aantal conservatieve en een aantal niet conservatieve krachten werken. Als het voorwerp verplaatst wordt van A naar B, en de snelheid wijzigt daarbij van vA naar vB, dan geldt voor de totale op het voorwerp verrichte arbeid :

W =E k , B −E k , A 1 1 W = m v 2B − mv 2A 2 2 Deze totale arbeid is de som van arbeid verricht door de conservatieve krachten W con en de arbeid verricht door de niet-conservatieve krachten W nc :

W =W conW nc Voor de arbeid verricht door de conservatieve krachten geldt er :

73

6 Arbeid en Energie

W con=E p , A−E p , B Combinatie van het bovenstaande geeft :

1 1 2 2 mv B− m v A=E p , A −E p , BW nc 2 2 wat ook geschreven kan worden als :

1 1 2 2 m v A E p , A= m v B E p , BW nc 2 2 E A=E BW nc W nc =E A−E B Met andere woorden : De arbeid verricht door de niet-conservatieve krachten is het verschil in totale mechanische energie van het voorwerp. Waar is dit verschil in energie naartoe ? De energie die het voorwerp kwijt is, is niet “verdwenen”, maar afgestaan aan de omgeving. Dit kan door arbeid te verrichten op andere voorwerpen, of in de vorm van warmte (de afgestane energie is de extra kinetische energie van de luchtmoleculen), of als straling, ... De totale energie van het universum blijft op deze manier constant. We kunnen geen energie bijmaken of laten verdwijnen. Energie heeft wel de onomkeerbare neiging om steeds meer en meer verspreid te raken.

6.3.2

Equivalentie van massa en energie°

Albert Einstein toonde met de speciale relativeitstheorie aan dat massa en energie equivalent zijn, met zijn beroemde formule

E=mc2 We komen hier nog uitgebreid op terug in de cursus nucleaire fysica in het zesde jaar. Voorlopig onthouden we dat, als we hiermee rekening houden, dit als volgt in bovenstaande vergelijking moet toegevoegd worden :

1 1 2 2 2 2 m v A E p , AmA c = m v B E p , BmB c W nc 2 2 waarbij mA de massa is in toestand A, en mB de massa in toestand B. Indien er geen massa wordt omgezet in een andere energievorm, en m A = mB, dan vallen beide termen weg, en krijgen we de vergelijking uit bovenstaande paragraaf.

74

6 Arbeid en Energie

6.4

Oefeningen 1. Welk vermogen moet de motor van een vliegtuigje met een massa van 1250 kg ontwikkelen, om het toestel te laten opstijgen vanop een startbaan met een lengte van 600 m, als je weet dat de snelheid van het toestel minstens 120 km/h moet zijn, en dat het toestel vertrekt vanuit rust aan het begin van de startbaan ? Je hoeft geen rekening te houden met luchtweerstand... 2. Gedurende 2 s werkt op een voorwerp met massa 24 kg een kracht die 48 J arbeid verricht. Hoe groot is die kracht ? 3. Een kracht van 6 N werkt gedurende 4 s in op een massa van 12 kg. Bereken de geleverde arbeid en het gegenereerd vermogen. 4. Bij een ballistische demonstratie vuurt een FBI-agent een kogel van 55 g horizontaal in een hoop zand. De beginsnelheid van de kogel is 350 m/s en hij komt tot rust na 18 cm. Hoe groot is de gemiddelde kracht die het zand op de kogel uitoefende ? 5. Een blok met massa 25 kg vertrekt vanuit rust en glijdt van een gladde helling (zonder wrijving) met lengte 50m naar beneden. De helling maakt een hoek van 25° met de horizontale. Bereken de snelheid beneden aan de helling. Eens beneden, glijdt het blok verder over een ruw horizontaal oppervlak en komt na 15 m tot stilstand. Bereken de wrijvingscoëfficiënt tussen het blok en het ruwe oppervlak. Op welke afstand zou het blok tot stilstand komen indien het op de helling al een wrijvingskracht van 25 N ondervindt ? 6. Een helling is 20 m lang en maakt een hoek van 30° met de horizontale. Van bovenaan de helling glijdt vanuit rust een blok met massa 50 kg naar beneden. Bereken de snelheid van het blok beneden aan de helling. Eens beneden glijdt het verder over een ruw oppervlak. De wrijvingscoëfficient tussen blok en oppervlak is 0,75. Na 5 m botst het blok tegen een veer met veerconstante kv = 1500 Nm-1. Hoever wordt de veer ingedrukt ? Hoeveel procent van zijn energie is het blok kwijtgeraakt ? 7. Een blok van 4 kg heeft een beginsnelheid van 8 m/s aan de voet van een helling die een hoek van 30° maakt met de horizontale. Welke afstand zal het blok langs de helling afleggen eer het tot rust komt a) als er geen wrijving is ? b) als de kinetische wrijvingscoëfficiënt tussen blok en oppervlak is 0,9 bedraagt ? 8. Een blok van 50 kg tegen een veer geplaatst met krachtconstante 15000 Nm-1 die 50 cm is ingedrukt. De veer wordt losgelaten en het blok schiet weg. Bereken de snelheid waarmee het blok wordt weggeschoten. Na een horizontaal stuk van vijf meter glijdt het blok een helling omhoog. Bereken de afstand die het blok over de helling aflegt alvorens tot stilstand te komen, als je weet dat de helling een hoek maakt van 30° met de horizontale, a) als de wrijving verwaarloosbaar is; b) als de wrijvingscoëfficient tussen blok en oppervlak op het horizontale stuk 0,75 bedraagt.

75

4.1.3 Bepalen van de resulterende kracht Tweede wet van Newton Dynamische krachtwerking

Recommend Documents