4. Umorovací počet _____________________________________________________________________________________
4.UMOROVACÍ POČET Umorovací počet študuje metódy splácania dlhodobých pôžičiek, úverov, hypoték a pod. Umorovanie je proces, vyskytujúci sa pri splácaní úrokovanej pôžičky (dlžník musí vrátiť veriteľovi požičanú sumu a aj úroky z tejto sumy). 4.1. Klasifikácia pôžičiek Nedeliteľné pôžičky – 1 dlžník a 1 veriteľ Deliteľné pôžičky
– dlžník si požičiava sumu od viacerých veriteľov
Ekonomická analýza dlhodobých pôžičiek: 1. vypracovanie plánov splácania pôžičiek (umorovací plán určuje, koľko z pravidelnej splátky pripadá na zúročenie zvyšku dlhu, koľko na umorenie dlhu a koľko je zvyšok dlhu po zaplatení splátky), 2. zhodnotenie umorovacieho plánu pre dlžníka, 3. určenie výnosnosti, efektívnosti pôžičky pre veriteľa. Poznámka. Bod 2. a 3. si môžu navzájom protirečiť, čo je výhodné pre veriteľa, nemusí byť výhodné pre dlžníka a naopak. 25
4. Umorovací počet _____________________________________________________________________________________
Typy pôžičiek : 1. pôžičky bez záväzného splácania – úrokové dlžoby: dlžník
(zvyčajne
štát)
spláca
veriteľovi
v určených
termínoch dohodnuté úroky, má právo kedykoľvek vykúpiť pôžičku. Pôžičku uvažujeme ako večnú rentu. 2. pôžičky s povinným platením v dohodnutom termíne: dlžník vráti pôžičku naraz v uvažovanom termíne, okrem toho
spláca
úroky
pravidelne
v určených
časových
intervaloch alebo na konci splatnosti pôžičky 3. pôžičky s postupným splácaním v niekoľkých periodických termínoch, po častiach. Označenia, ktoré budeme používať v umorovacom počte : D - veľkosť pôžičky (alebo celková suma dlhu) Dp - zostatok dlhu na konci p-tej periódy umorovania Qp - umorovacia splátka na konci p-tej periódy g - úroková sadzba pôžičky za 1 periódu – dohodnuté úroky z 1 p.j. dlhu splatné na konci každej periódy up - úroky zo zostatku dlhu na konci p-tej periódy Ap - anuita splatná na konci p-tej periódy, t.j. celková platba na konci p-tej periódy, zahrňujúca úroky zo zostatku dlhu a umorovaciu splátku 26
4. Umorovací počet _____________________________________________________________________________________
4.2. Splatenie pôžičky jednorázovou splátkou
Dlžník sa zaväzuje vrátiť veriteľovi dlh v určenom termíne a okrem toho spláca dohodnuté úroky. Dlžník obvykle založí v banke zabezpečovací (rezervný) fond , na ktorý ukladá pravidelné platby tak, aby sa mu v dohodnutom termíne naakumulovala potrebná suma. Periodické platby dlžníka budú obsahovať 2 zložky: •
platbu do zabezpečovacieho fondu
•
výplatu úrokov z pôžičky
Túto periodickú platbu nazývame anuita alebo termínovaná splátka, označenie Ap resp. A, ak sú anuity rovnaké. Označenia : a - periodická splátka, určená na vytvorenie zabezpečovacieho fondu i - úrokovacia sadzba za 1 periódu (použité na zabezpečovací fond) j - nominálna úroková sadzba m - počet konverzií za rok n - počet rokov potrebných na splatenie dlhu p - počet ročných splátok do zabezpečovacieho fondu
27
4. Umorovací počet _____________________________________________________________________________________
Predpoklad 1: Časová perióda pre platbu do fondu a úrokovanie pôžičky je rovnaká, a to 1 rok, platby do fondu a platby úrokov z pôžičky sa vykonávajú na konci roka ( p = m = 1) , predpokladajme, že všetky anuity sú rovnaké Ap = A pre p = 1, 2, K , n . Potom: A = Dg + a , kde Dg sú úroky vyplácané veriteľovi.
Predpoklad 2: Platby do fondu sú konštantné, t. j. a je konštanta. Tvoria teda polehotnú rentu s parametrami R = a , i , n , S n = D . Veľkosť splátky renty pre a :
a = D⋅
i
(1 + i ) − 1 n
,
po dosadení za a dostávame anuitu: A = Dg + D
i
(1 + i )n − 1
28
4. Umorovací počet _____________________________________________________________________________________
Príklad 4.1. Dlh v sume 50 000 p.j. je vydaný pri 4%-nej ročnej úrokovej miere a musí byť vrátený o 6 rokov. Treba vytvoriť zabezpečovací fond na našetrenie tejto sumy. Banka poskytuje 5%-ný ročný úrok. Zostavte umorovací plán, za predpokladu, že ročné splátky do fondu sú konštantné. Riešenie: D = 50 000 , g = 0,04 , n = 6 , i = 0,05 a = D⋅
i
(1 + i )n − 1
a = 50 000 ⋅
A = Dg + D ⋅
0,05
(1,05) − 1 6
= 7 350,87
i
(1 + i )n − 1
A = 50 000 × 0,04 + 7 350,87 = 9 350,87 142 4 43 4 2 000
Rok
T 1 2 3 4 5 6 Súčet
Úroky na pôžičku Veľkosť splátky do fondu Dg a
2000 2000 2000 2000 2000 2000 12 000
Celková ročná splátka A
7 350,87 7 350,87 7 350,87 7 350,87 7 350,87 7 350,87 44 105,22
9 350,87 9 350,87 9 350,87 9 350,87 9 350,87 9 350,87 56 105,22 Tab. 1
29
Zúročená splátka fondu
a (1 + i ) n− t 9 381,78 8 935,03 8 509,55 8 104,33 7 718,41 7 350,87 49 999,98
4. Umorovací počet _____________________________________________________________________________________
Z posledného riadku v tabuľke vidíme, že dlžník zaplatí celkovo 56 105,22 p.j., z čoho 12 000 p.j. ide na splatenie úroku z pôžičky a 44 105,22 p.j. na vytvorenie fondu, ktorý po 6-tich rokoch poskytne sumu, rovnajúcu sa veľkosti dlhu. Poznámka. Pre dlžníka je výhodnejšie, keď g < i . V tomto prípade totiž dlžník na vytvorenie fondu dostáva väčšie úroky, než aké sám platí za pôžičku.
Predpoklad 3. Uvažujme všeobecnejší prípad, keď p ≠ 1, m ≠ 1, p je počet ročných platieb do fondu, m je počet ročných konverzií do fondu. Pre výpočet veľkosti splátky renty dostaneme
Sn = D , R = a , m p
j 1 + − 1 m a=D , mn j 1 + − 1 m kde n je počet rokov splácania pôžičky.
30
4. Umorovací počet _____________________________________________________________________________________
Príklad 4.2. Dlh v sume 50 000 p.j. je vydaný pri 4%-nej ročnej úrokovej miere a musí byť vrátený o 6 rokov. Treba vytvoriť zabezpečovací fond na našetrenie tejto sumy. Banka poskytuje polročný úrok pri 5%-nej nominálnej úrokovej miere. Zostavte umorovací plán za predpokladu, že polročné splátky do fondu sú konštantné. Riešenie: D = 50 000 &, g = 0,04 &, n = 6 &, j = 0,05 &, m = 2 &, p = 2 1
0,05 1 + −1 2 a = 50 000 = 3 624,36 12 0,05 1 + −1 2 Perióda
t 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 súčet
Úroky na pôžičku Dg
0 2000 0 2000 0 2000 0 2000 0 2000 0 2000 12 000
Veľkosť splátky do fondu a
Celková ročná splátka
3 624,36 3 624,36 3 624,36 3 624,36 3 624,36 3 624,36 3 624,36 3 624,36 3 624,36 3 624,36 3 624,36 3 624,36 43 492,28
3 624,36 5 624,36 3 624,36 5 624,36 3 624,36 5 624,36 3 624,36 5 624,36 3 624,36 5 624,36 3 624,36 5 624,36 55 492,282
A
Tab. 2 31
Zúročená splátka fondu ( mn −t )
j a 1 + m 4 755,47 4 639,48 4 526,32 4 415,93 4 308,22 4 203,14 4 100,63 4 000,61 3 903,04 3 807,84 3 714,97 3 624,36 50 000,00
4. Umorovací počet _____________________________________________________________________________________
4.3. Pôžičky s postupným splácaním. Pravidlá umorovania Je zrejmé, že zabezpečovací fond má pre dlžníka význam, ak platí g ≤ i . Ak takéto podmienky nemá, hľadá iné formy platenia pôžičky a úrokov, najmä metódu postupného splácania pôžičky.
Uvedieme tri metódy:
M1.
anuitné umorovanie – splácanie pôžičky rovnakými periodickými splátkami
Ap = A , p = 1, K , n
M2.
splátkové umorovanie – splácanie pôžičky rovnakými umorovacími splátkami
Q p = Q , p = 1, K , n
M3.
premenlivé periodické splátky
32
