4 VÝPOČET PROVOZNÍCH A PORUCHOVÝCH STAVŮ V ES POMOCÍ PC – USTÁLENÉ STAVY Bc. Jan Veleba ZÁPADOČESKÁ UNIVERZITA V PLZNI Fakulta elektrotechnická Katedra elektroenergetiky a ekologie
1. Úvod Elektrizační soustava (ES) je soubor energetických zařízení pro výrobu, přenos, rozvod, akumulaci a spotřebu elektrické energie. Svým správným fungováním musí zajistit zásobování obyvatelstva elektrickou energií v požadovaném čase, množství a místě, dále pak v požadované kvalitě při požadované spolehlivosti a s co nejvyšší hospodárností. K zajištění těchto požadavků je potřebná znalost napěťových poměrů v každém uzlu, větvi a fázi řešené sítě v provozních i poruchovém stavu. V této práci je proto nastíněn matematický popis uvedeného problému spolu s metodami výpočtu hledaných poměrů v řešené síti. V praxi je nezbytné se touto složitou problematikou zabývat, neboť znalost těchto poměrů je klíčová např. pro provedení analýzy záložních režimů provozu ES nebo analýzy budoucího rozšiřování ES. 2. Náhradní schéma elektrického vedení Elektrické vedení je nejčastěji modelováno pomocí dvojbranu tvaru Π-článku – viz. Obr. 1. Tento dvojbran umožňuje snadnější formulování rovnic popisující chod soustavy.
Obr. 1: Náhradní schéma elektrického vedení Podélné prvky náhradního schématu vedení jsou tvořeny rezistancí Rik a induktivní reaktancí Xik, příčné prvky obsahují svod Gik0 a kapacitní susceptanci Bik0. Pro podélnou a příčnou admitanci pak platí: - pro podélnou větev mezi uzly i a k: Y ik =
Rik X 1 1 = = − j 2 ik 2 2 2 Z ik Rik + jX ik Rik + X ik Rik + X ik
(1)
- pro příčnou větev mezi uzlem a společným pólem (zemí)
Y ik 0 = Gik 0 + jBik 0
(2)
3. Řešení chodu soustavy Pod pojmem „chod soustavy“ je vyjadřována vzájemná závislost mezi konfigurací sítě, dodávanými a odebíranými výkony a napěťovými poměry v řešené soustavě. Pojem „chod soustavy“ tedy popisuje chování ES za provozních i poruchových stavů dané sítě. Při popisu chodu soustavy se vždy vychází z platnosti Kirchhoffových zákonů a z Ohmova zákona. V praxi se před použitím metody smyčkových proudů preferuje metoda uzlových napětí, která má celou řadu výhod a je vhodnější pro aplikace počítačů. Při výpočtu chodu soustavy jsou uvažovány celkem 4 základních typy uzlů sítě: - PQ uzel (odběrový) – definován výkony P, Q – nejvíce zastoupeny v řešené síti - PU uzel – určen výkonem P a velikostí napětí U – respektuje připojení elektrárny - QU uzel (kompenzační) – definován výkonem Q a velikostí napětí U – respektuje připojení kompenzačního prostředku. - Referenční uzel – určen velikostí napětí U i jejím úhlem ϑ . Právě jeden uzel řešené sítě musí být zadán jako referenční pro jednoznačné nalezení hledaného řešení. Velikost úhlu je často volena nulová. Minimum vstupních dat pro řešení chodu soustavy zahrnuje impedance, resp. admitance všech elementů sítě (vedení, transformátorů, tlumivek, kondenzátorů, apod.), činné výkony v uzlech PQ a PU, jalové výkony v uzlech PQ a QU, velikosti napětí v PU a QU uzlech, a velikost a úhel napětí v referenčním uzlu. Mezi požadované výstupy řešení chodu soustavy patří pro každý uzel řešené sítě velikost a úhel napětí (U, ϑ ) a injektovaný činný a jalový výkon, dále pak větvové výkonové toky ve všech větvích řešené sítě vč. určení činných ztrát, a celkové ztráty v soustavě. Při řešení chodu soustavy pak jako neznámé vystupují komplexní uzlová napětí a proudy. Uzlové proudy (injektované) mají buď znaménko „+“ vstupují-li do uzlu (zdroj), nebo znaménko „-“ vytékají-li z uzlu (spotřebič). Stejná znaménková dohoda pak platí i pro injektované uzlové výkony. Metodou uzlových napětí pro matematický popis ES dostáváme soustavu rovnic (3): I = A ⋅U
kde: I
(3)
- sloupcový vektor injektovaných proudů do uzlů sítě
U
- sloupcový vektor sdružených napětí v jednotlivých uzlech (neznámé)
A
- čtvercová uzlová admitanční matice
Pro proud injektovaný obecně do uzlu i při znalosti hodnoty uzlového sdruženého napětí a výkonů injektovaných do tohoto uzlu pak platí následující vzorec: Ii =
Pi − jQi 3U
(4)
* i
Pro jednotlivé prvky admitanční matice A platí tyto vztahy: n
(
A ii = ∑ Y ik 0 + Y ik k =1 k ≠i
A ik = −Y ik
) (5)
Admitanční matice A plně popisuje pasivní část elektrické sítě v provozním stavu. Je čtvercová řádu n (n – počet uzlů řešené sítě) a její prvky jsou obecně komplexní čísla. Pokud popisuje soustavu složenou pouze z vedení, pak je navíc symetrická. Pro uzly sítě, které nejsou spojeny vedením, je příslušný prvek admitanční matice nulový. Jelikož jsou elektrické sítě často provozovány jako paprskové, je pak admitanční matice tzv. řídká. Jak již bylo řečeno, úkolem je vyřešit soustavu (3) a vypočítat velikosti a úhly všech uzlových sdružených napětí řešené soustavy. Vzhledem k tomu, že tyto neznámé jsou také součástí injektovaných proudů, jedná se o soustavu n nelineárních algebraických rovnic s komplexními koeficienty. Pro její vyřešení nelze použít analytický postup výpočtu a tudíž je potřeba použít jednu ze dvou dále uvedených numerických metod. 4. Aplikace numerických metod V praxi se nejčastěji pro výpočet chodu soustavy používá Gauss-Seidelova a NewtonRapsonova metoda. Obě tyto metody se liší použitým matematickým aparátem, mají svá specifika a také jisté výhody a nevýhody jejich použití. Pomocí Gauss-Seidelovy metody lze vypočítat hledané uzlové napětí v uzlu i v obecné p-té iteraci numerického postupu podle následujícího vzorce: Ui
( p)
=
1 A ii
i −1 n ⎡ Pi − jQi ( p) ( p −1) ⎤ ⎢ * ( p −1) − A i1U 1 − ∑ A ik U k − ∑ A ik U k ⎥ k =2 k = i +1 ⎣⎢ U i ⎦⎥
(6)
Tento vzorec platí pouze pro případ sítě, kde je referenční uzlem uzel „1“. Tento vzorec se použije přímo pro výpočet uzlových napětí ve všech PQ uzlech. U PU uzlů je potřeba nejprve spočítat jalový výkon podle vztahu (7) a poté teprve použít vzorec (6) k výpočtu uzlových napětí, resp. pouze úhlu uzlového napětí. 3I i
( p −1)
=
n
∑A
ik
Uk
k = i +1
→
Qi
( p −1)
{
= Im U i
( p −1)
3I i
* ( p −1)
}
(7)
V případě použití Newton-Rapsonovy metody je výpočet komplikovanější. Přesto díky velké rychlosti konvergence k hledanému řešení je tato metoda vhodná pro řešení velmi rozlehlých sítí. Na začátku numerického postupu nejprve dochází k výpočtu úbytků činného a jalového výkonu podle vztahu (8): n
ΔPi = Pi − U i ∑ U k (Gik cos ϑik + Bik sin ϑik ) k =1
n
ΔQi = Qi − U i ∑ U k (Gik sin ϑik − Bik cos ϑik )
(8)
k =1
Algoritmus řešení chodu soustavy pomocí Newton-Rapsonovy metody pak vypadá takto: ⎡ΔP ( p −1) ⎤ ⎡ H ( p −1) ⎢ ( p −1) ⎥ = ⎢ ( p −1) ⎢⎣ΔQ ⎥⎦ ⎣ J
( p −1) ⎡ Δϑ ( p ) ⎤ ⎤ N ( p) ⎥ ⎢ ( p −1) ⎥ ⋅ ΔU L ⎦ ⎢⎣ U ( p −1) ⎥⎦
(9)
Matice na pravé straně soustavy (9) je tzv. Jacobiho matice, jejíž jednotlivé prvky se vypočítají – viz. (10): pro i = k : ∂ΔPi 2 H ii = − = − Qi + BiiU i ∂υ i
(
N ii = −U i J ii = −
pro i ≠ k : ∂ΔPi H ik = − = U iU k (Gik sin υ ik − Bik cosυ ik ) ∂υ k
)
∂ΔPi 2 = Pi + GiiU i ∂U i
N ik = −U k
∂ΔQi 2 = Pi − GiiU i ∂υ i
Lii = −U i
J ik = −
∂ΔPi = U k U i (Gik cosυ ik + Bik sin υ ik ) ∂U k
(10)
∂ΔQi = −U iU k (Gik cosυ ik + Bik sin υ ik ) = − N ik ∂υ k
∂ΔQi ∂ΔQi 2 = − BiiU i + Qi Lik = −U k = U k U i (Gik sin υ ik − Bik cosυ ik ) = H ik ∂U i ∂U k
Soustava (9) obsahuje vždy 2 rovnice pro každý PQ uzel, 1 rovnici pro každý PU a každý QU uzel a neobsahuje žádnou pro referenční uzel. Neznámými v soustavě (9) jsou opět velikosti napětí U a fáze ϑ pro všechny uzly řešené soustavy, přičemž počet rovnic soustavy (9) je vždy roven počtu neznámých. Vlastnosti, výhody a nevýhody použití jednotlivých numerických metod jsou shrnuty v tabulce Tab. 1. Gauss-Seidelova metoda (G-S)
Newton-Rapsonova metoda (N-R)
+ jednoduchý matematický výpočet (žádné matice, derivace, apod.) + jistá konvergence k hledanému řešení
+ pouze práce s reálnými čísly, také jednodušší vývojový diagram metody + malý počet iterací k nalezení řešení
- při výpočtu pracujeme s komplexními čísly + kratší doba výpočtu, vhodný pro velké sítě - velký počet iterací k nalezení řešení
+ k hledanému řešení se jde nekratší cestou
- delší doba výpočtu, zvláště u velkých sítí
- dosti složitý algoritmus výpočtu, matice, derivace, součtové funkce, apod.
Tab. 1: Porovnání vlastností G-S a N-R metody 5. Výpočet větvových výkonových toků a ztrát Při znalosti sdružených uzlových napětí řešené sítě lze např. vypočítat větvové výkonové toky a činné ztráty v jednotlivých větvích soustavy. Pro toky činného a jalového výkonu tekoucí od uzlu i k uzlu k platí vztah (11). Pik = (Gik + Gik 0 )U i − Gik U iU k cos(ϑi − ϑ k ) − Bik U iU k sin (ϑi − ϑ k ) 2
Qik = −(Bik + Bik 0 )U i + Bik U iU k cos(ϑi − ϑ k ) − Gik U iU k sin (ϑi − ϑ k ) 2
(11)
Výpočet činných ztrát na vedení mezi uzly i a k pak probíhá podle následného vztahu:
(
)
ΔPik = (Gik + Gik 0 ) U i + U k − 2Gik U iU k cos(ϑi − ϑk ) 2
2
(12)
6. Řešení poruchových stavů v ES Výskyt poruchového stavu v ES je nežádoucí, neboť se neprojevuje pouze v místě svého vzniku, nýbrž zasahuje celou síť. Poruchový stav se navíc v ES chová jako nesymetrie, čímž nám dále výpočet poruchy výrazně komplikuje. Pro popis ES v provozním stavu se jako vhodná ukázala uzlová admitanční matice A . V bezporuchových stavech plně popisuje danou elektrizační soustavu, avšak v poruchových stavech nezohledňuje vznik nesymetrie v síti. Proto hlavní součástí algoritmu pro řešení poruchového stavu v ES je vytvoření uzlových admitančních matic pro souslednou, zpětnou a ne(1)
( 2)
(0)
točivou souměrnou složkovou soustavu - A , A , A . Jejich inverzí získáváme uzlové im(1)
pedanční matice Z , Z
( 2)
,Z
( 0)
, které jsou pro další výpočty vhodnější.
V oblasti poruchových stavů byl uvažován vznik pouze příčných poruch, tedy jednofázový zkrat (jednofázové zemní spojení), dvoufázový zkrat bez země, dvoufázový zemní zkrat (dvoufázové zemní spojení) a trojfázový symetrický zkrat. Při výpočtu je v daném časovém okamžiku uvažován vznik pouze jedné příčné poruchy v jednom uzlu řešené soustavy. U výpočtu poruchového stavu ES byl kladen důraz na vliv poruchy na chování celé elektrické sítě. Proto byl pro tento výpočet použit princip superpozice – viz. Obr. 2. Na Obr. 2a) je znázorněna souměrná trojfázová ES, v jejímž jednom místě (uzel q) je příčná nesouměrnost. Napěťové poměry ve všech fázích a uzlech této soustavy jsou neznámými, které je nutno vypočítat. Tato soustava je aktivní, tudíž obsahuje všechny zdroje napájecího napětí.
Obr. 2: Rozklad sítě s poruchou v uzlu q pomocí superpozice Podstatou principu superpozice je rozklad původní sítě ad a) na síť aktivní ad b) - tu můžeme vypočítat např. postupem uvedeným v oblasti provozních stavů - a síť pasivní ad c). Aktivní síť ad b) je shodná s ad a) v předporuchovém stavu. Pasivní síť ad c) již ale neobsahuje žádné zdroje napájecího napětí či odběry, jediným zdrojem napětí jsou fázová napětí v uzlu s poruchou (uzel q). Po vyřešení sítí ad b) a ad c) a sečtením jejich napětí pro příslušné uzly a fáze získáme hledané řešení původní elektrizační soustavy ad a). Matematicky lze tento postup popsat takto: U
(v )
=U
(f)
+Z
(c )
⋅I
(v )
(c)
(13)
Po vypočtení vektoru U je nakonec provedena transformace maticí F (matice Fortescue), čímž jsou získána hledaná uzlová napětí v jednotlivých fázích původní ES ad a).
7. Výpočtový PC program V rámci této práce jsem vytvořil výpočtový PC program pro výpočet provozních a poruchových ustálených stavů ES. Důraz jsem kladl zejména na tři základní vlastnosti, které by tento vytvořený program měl mít. V první řadě se jedná o jeho snadné uživatelské ovládání. Jelikož je celý program vytvořen pod portfóliem programu Matlab, byla pro splnění tohoto požadavku použita knihovna GUI v Matlabu, která umožňuje vytvoření uživatelského rozhraní pro ovládání programu. Druhou základní vlastností je transparentnost a přehledné zobrazování číselných i grafických výstupů. Tato vlastnost je také zachována díky možnosti ukládání výsledků a jiných výstupů do textového souboru nebo m-filu Matlabu, dále pak možným vygenerováním obrázků s grafickými výstupy samotného programu ve formátu JPEG. Třetím požadavkem bylo zajistit variabilitu programu, tedy možnost aplikace programu na široké spektrum řešených úloh. Vytvořený program nemá vytvořeno pouze výchozí schéma sítě, u kterého by se jen obměňovaly některé hodnoty jako např. parametry vedení, délky vedení, injektované výkony nebo hodnota referenčního napětí. Naopak je zde vytvořen systém zadávání vstupních parametrů, který je svým způsobem složitější na zadávání, ale postihuje obecnost zadání řešené úlohy. Proto je tento program vhodný stejně tak pro řešení sítě o dvou uzlech jako sítě o dvou stovkách uzlů. Nyní k praktickému použití programu. Po spuštění hlavního spouštěcího programu je vytvořeno jednoduché uživatelské rozhraní – viz. Obr. 3.
Obr. 3: Základní uživatelské rozhraní programu Jednoduchou volbou se přistoupí k samotnému výpočtu dané ES – viz. Obr. 4. Po načtení souborů se vstupními daty, zvolením numerické metody pro řešenou úlohu a výběrem grafického výstupu programu je spuštěn hlavní výpočtový program, který provede analýzu řešené sítě.
Obr. 4: Výpočet dané elektrizační soustavy Při vykreslování schématu sítě dojde k zobrazení dané konfigurace sítě tak, jak byla nadefinována v souborech se vstupními daty. U každého uzlu dojde k vykreslení injektovaného činného a jalového výkonu, dále pak velikosti napětí ve voltech a úhlu napětí v radiánech. Nakonec jsou znázorněny výkonové toky v síti - modře toky činného výkonu, červeně toky jalového výkonu. V případě nepřehledného vykreslení hodnot v obrázku je možné kliknutím myši obrázek přiblížit či oddálit. Při volbě vykreslení velikosti nebo úhlu napětí dojde k vykreslení grafu se znázorněným iteračním průběhem zvolené numerické metody (viz. Obr. 5). Lze pak snadno ověřit, zda je zaručena konvergence hledaných výsledků.
Obr. 5: Iterační průběh G-S metody pro danou úlohu
Pro snadnou archivaci takto získaných výsledků lze provést volbou Start/Uložit vypočtená data, nebo Start/Uložit graf, uložení ať už grafických výstupů do obrázku JPEG nebo číselných výstupů do přehledné tabulky v txt souboru nebo v m-filu. Obdobným způsobem probíhá obsluha programu při řešení poruchových stavů. 8. Závěr V této práci byly představeny postupy a algoritmy k výpočtu provozních a poruchových ustálených stavů ES. V provozních stavech byl ukázán matematický model ES s využitím uzlové admitanční matice A a pro následné numerické řešení byly použity dvě metody: Gauss-Seidelova a Newton-Rapsonova. V poruchových stavech byl představen kompletní postup analýzy ES, v jejímž jednom uzlu vznikla obecná příčná porucha. Jednou ze stěžejních částí této práce bylo vytvoření PC výpočtového programu v Matlabu (verze 7.0) pro výpočet provozních i poruchových ustálených stavů ES. Stávající verze programu provádí výpočty pro ES tvořenou pouze vedeními a transformátory, přičemž uzly řešené sítě jsou definovány pouze jako PQ uzly. Tento výpočtový program lze samozřejmě dále zdokonalit a to v mnoha směrech: v budoucnu lze do programu zahrnout výpočty generátorů a kompenzačních zařízení. S tím souvisí také rozšíření algoritmu výpočtu o PU a QU uzly, které zatím nebyly do algoritmu včleněny. V provozních stavech by bylo možné program rozšířit i o další možné výstupy, jako např. výpočet činných ztrát na jednotlivých vedeních či fázových větvových proudů. Sestavený výpočtový program lze v budoucnu díky své snadné obsluze využít pro výukové účely. Další možnost využití programu souvisí ale také s rozšířením o řešení provozních a poruchových přechodových dějů ES pro hlubší analýzu dynamických procesů v síti. Touto cestou se s největší pravděpodobností bude vytvořený program rozvíjet. 9. Seznam literatury [1] Mertlová, J., Hejtmánková, P., Tajtl, T.: Teorie přenosu a rozvodu elektrické energie. Plzeň, 2004 [2] Reiss, L., Malý, K., Pavlíček, Z.: Teoretická elektroenergetika II. Bratislava, 1971 [3] Hájek, J.: Přechodné jevy v elektrizačních soustavách. Plzeň, 1983 [4] Mertlová, J.: Elektrické stanice a vedení. Plzeň, 1984 [5] Požar, H.: Visokonaponska rasklopna postrojenja. Zagreb, 1967 [6] Štroblová, M.: Elektroenergetika – podklady pro cvičení. Plzeň, 1998 [7] ČSN EN 60909-0. Zkratové proudy v trojfázových střídavých soustavách – Část 0: Výpočet proudů. Praha, 2002 [8] www.cez.cz [9] www.ceps.cz
