4. VIZSZINTES ALAPPONTOK MEGHATÁROZÁSA

111

4. VIZSZINTES ALAPPONTOK MEGHATÁROZÁSA

Alappontok telepítésének célja, hogy a létesítendő építmények, ipartelepek, vonalas létesítmények geodéziai munkálatainak elvégzéséhez – tervezés, kivitelezés, ellenőrzés – megfelelő pontosságú vízszintes, és magasságipont-hálózat álljon rendelkezésre. A vízszintes alappontok meghatározásakor ismeretlen pont koordinátáit határozzuk meg az ismert pontok koordinátái és a mérési eredményeink alapján. Ismert pontok azok a pontok, amelyek terepen megtalálhatók, és koordinátákkal rendelkeznek. Ismeretlen pontok azok, amelyek a terepen már megtalálhatók, vagy újonnan telepítjük, de koordinátákkal még nem rendelkeznek. Hazánkban első-, másod-, harmad-, negyed-, és ötödrendű háromszögelési hálózatokat alakítottak ki. Az első három a felsőrendű, míg a két utóbbi az alsórendű háromszögelési hálózat. Az alsórendű alappontok helyének kiválasztásakor a legfontosabb szempont, hogy azok a részletméréseket, kitűzéseket és az építés közbeni geodéziai méréseket közvetlenül kiszolgálják. Az alappontokat a létesítendő iparterületek, vonalas létesítmények méreteitől, a terepadottságoktól és az elvégzendő feladatoktól függően telepítjük. Az alappontokat mindig állandósítjuk, a korábban leírtak szerint. A létesítendő alapponthálózat csatlakozhat az országos hálózathoz, de ha erre nincs igény vagy lehetőség, akkor lehet önálló, ún. helyi koordináta-rendszerben kialakított hálózat. Az alappontok meghatározásának módszerei: • háromszögelés, • pontkapcsolás, • sokszögelés.

4.1. Háromszögelés Az országos felső- és alsórendű háromszögelési hálózatok kialakítása és létesítése a 3. fejezetben leírtak szerint történik.

112

VIZSZINTES ALAPPONTOK MEGHATÁROZÁSA

4.2. Pontkapcsolások A pontkapcsolás egy vagy több új alappont koordinátáinak meghatározása szögméréssel vagy távolságméréssel, két vagy több ismert (koordinátás) alappont alapján. A meghatározandó P pontot úgy kell telepíteni, hogy az jól látható legyen az ismert (A és B) pontokról, és a háromszög belső szögei lehetőség szerint közel egyformák legyenek (4.1. ábra). A meghatározandó pont kitűzésekor vázlatot készítünk, amin feltüntetjük az új pont alappontokhoz viszonyított helyzetét, és a biztosításához, beméréséhez szükséges távolságokat. Pontkapcsolások: • előmetszés, • oldalmetszés, • ívmetszés, • hátrametszés, • kisháromszögelés.

4.2.1. Előmetszés Előmetszés során az ismeretlen (P) pont koordinátáit határozzuk meg ismert pontok (A és B) koordinátáinak, és az azokon végzett szögmérési eredmények ismeretében (4.1. ábra). +x

P γ ║ ║

+x

+x δ’AP α A

δ’AB

β

B δ’BP δ’BA +y

4.1. ábra. Előmetszés belső szögekkel Két eset lehetséges: az egyik, amikor az ismert pontokon az egyes irányok által bezárt belső szögeket (α, β) szögméréssel határozzuk meg, ez az előmetszés belső szögekkel. A másik megoldás, amikor a két ismert ponton tájékozó irányokat mé-

PONTKAPCSOLÁSOK

113

rünk, és ezekből vezetjük le az új pontra menő tájékozott irányértékeket (δ’AP, δ’BP), ez az előmetszés tájékozott irányértékekkel.

Előmetszés belső szögekkel Az ismeretlen (P) pont kitűzése, és a kitűzési vázlat elkészítése után az ismert (A és B) pontokon két távcsőállásban szöget (α és β) mérünk (4.1. ábra). Az ismert pontok koordinátái, és a mért szögek alapján határozzuk meg a P pont koordinátáit. Irányszögek és távolság számítása: dAB = arc tg

yB - yA , xB - xA

δBA = δAB ± 180°,

AB = ^ yB - yAh2 + ^ xB - xAh2 .

Az α, és a β szögek ismeretében számoljuk a γ szöget: γ = 180 – (α + β). Az AP és a BP oldalak hosszának számítása szinusztétellel történik: AB : AP = sin γ : sin β, amiből AP = AB $

sin b , sin c

AB : BP = sin γ : sin α, amiből BP = AB $ sin a . sin c A δ’AP, δ’BP tájékozott irányértékeket az irányszögekből (δAB, δBA) és a mért szögekből (α, β) számoljuk a P pont helyzetének megfelelően. A tájékozott irányértékek számítása, a 4.1. ábra alapján: δ’AP = δAB – α,

illetve δ’BP = δBA + β.

A P pont koordinátáinak számítása az A pontból, a koordinátaszámítás alapképletével: yP = yA + AP · sin δ’AP, xP = xA + AP · cos δ’AP. A P pont koordinátáinak számítása a B pontból (ellenőrzés): yP = yB + BP · sin δ’BP, xP = xB + BP · cos δ’BP.

114


Előmetszés tájékozott irányértékekkel Ebben az esetben a két ismert ponton (A, B) végzett iránymérés tájékozása után számoljuk az új pontra menő tájékozott irányértékeket (δ’AP, δ’BP), majd az oldalhosszak segítségével határozzuk meg a P pont koordinátáit. A pontosság fokozása érdekében – ha arra lehetőség van – célszerű több tájékozási irányt mérni (4.2. ábra).

Lim 0 vo busz ná s a

║

+x ║

+x

δAB

A

α

sz bu sa m i L on á 0v

δ’BP zB B l β BP lBA

zA lAB

+x

lAP

δ’AP δBA γ P

γ +y

4.2. ábra. Előmetszés tájékozott irányértékekkel Irányszögek és távolság számítása: dAB = arc tg

yB - yA , δBA = δAB  180, xB - xA

AB = ^ yB - yAh2 + ^ xB - xAh2 .

Tájékozási szögek számítása: zA = δAB – lAB,

illetve z B = δBA – lBA.

A tájékozott irányértékek számítása: δ’AP = zA + lAP,

illetve δ’BP = z B + lBP.

A háromszög belső szögeinek számítása a 4.2. ábra alapján: α = δ’AP – δAB, ellenőrzés:

β = δBA – δ’BP,

γ = δ’BP – δ’AP,

α + β + γ = 180

Ezután a számítás megegyezik a belsőszöges előmetszés számításával.

PONTKAPCSOLÁSOK

115

4.2.2. Oldalmetszés Oldalmetszésnél az egyik ismert ponton (A) iránymérést vagy szögmérést, az ismeretlen N ponton szögmérést végzünk. Oldalmetszést akkor alkalmazunk, ha a másik ismeret pont (B) megközelíthetetlen pl. templomtorony, gyárkémény stb. (4.3. ábra).

Lim 0 vo busz ná s a

║

+x ║

+x

δ’AN

sz bu sa m i L on á 0v

δ’NB N

zN γ lNB

lNA

zA lAN

+x

δNA

α

lAB δAB

A

β B

β +y

4.3. ábra. Oldalmetszés Az ismert adatok és a mérési eredmények alapján határozzuk meg az N pont koordinátáit. Irányszög és távolság számítása: dAB = arc tg

yB - yA , xB - xA

AB = ^ yB - yAh2 + ^ xB - xAh2 .

A tájékozási szögek számítása: zA = δAB – lAB,

δ’AN = zA + lAN,

z N = δ’NA – lNA,

δ’NA = δ’AN  180,

δ’NB = z N + lNB.

A háromszög belső szögeinek számítása a 4.3. ábra szerint: α = δAB – δ’AN, ellenőrzés:

β = –δ’NB – δAB,

γ = δ’NA – δ’NB,

α + β + γ = 180


116


4.2.3. Ívmetszés Ívmetszésnél az ismeretlen (N) pont koordinátáit az AN, BN távolságok segítségével határozzuk meg, az ismert (A és B) alappontokra támaszkodva (4.4. ábra). +x

N γ ║

+x δ’ AN

a

b δAB

α A

║

+x β

tAB

B

δ’BN

δBA +y

4.4. ábra. Ívmetszés Irányszögek és távolság számítása: dAB = arc tg

yB - yA , xB - xA

δBA = δAB  180,

tAB = ^ yB - yAh2 + ^ xB - xAh2 .

A háromszög belső szögeinek számítása koszinusztétellel: a2 = tAB2 + b2 + 2 $ b $ tAB $ cos a , amiből cos a =

tAB2 + b2 - a2 2 $ b $ tAB ,

b2 = tAB2 + a2 + 2 $ a $ tAB $ cos b , amiből cos b =

tAB2 + a2 - b2 2 $ b $ tAB


4.2.4. Hátrametszés Az előbbi pontkapcsolásoknál legalább két ponton kellett szögmérést vagy iránymérést végezni. A hátrametszés lehetőséget nyújt arra, hogy egyetlen, az ismeretlen N ponton létesített műszerállásból határozzuk meg e pontnak a koordinátáit, ha legalább három irányozható ismert pont (A, B, C) rendelkezésre áll (4.5. ábra). A korszerű mérőállomásokban a „Szabad álláspont meghatározása” funkcióval e módszer segítségével határozzuk meg az álláspont koordinátáit.

PONTKAPCSOLÁSOK

117

B β

A

α

γ

ζ

C

η

N

4.5. ábra. Hátrametszés Hátrametszés alkalmazásakor ügyelni kell arra, hogy a meghatározandó N pont ne legyen a veszélyes körön, vagy annak közelében. (Az N pont ne legyen rajta az A, B és C pontok köré írható körön). Ebben az esetben az NABC négyszög körbeírt négyszög, ahol a szemben lévő szögek összege 180, így a feladat nem oldható meg (4.6. ábra). A 4.7. ábrán az A, B és C pontokat összekötő egyenesek a síkot hét részre osztják, ezek közül a vonalkázott síkrészek (1, 3, 5, 7) nem tartalmazzák a veszélyes kört. A nem vonalkázott síkrészre eső pontok helyét – annak érdekében, hogy a veszélyes körhöz nehogy túlságosan közel essenek – nagy körültekintéssel kell kijelölni. Ha esetleg mégis e térségbe kerül az új pont, akkor a veszélyes körön kívül egy segédpontot jelölünk ki, és erre támaszkodva határozzuk meg a korábban kijelölt N pont koordinátáit. 3 B

B 2

β A

γ

α

C

4 7

ζ N

1

η ζ

A

η N

4.6. ábra. A veszélyes kör

C

5

6

4.7. ábra. Az N pont veszélyes helyei

118


4.2.5. Kisháromszögelés Kisháromszögeléskor két ismert alappontra (A és B) és mérési eredményekre támaszkodva határozzuk meg az ismeretlen M pont koordinátáit (4.8. ábra). Az M pont kijelölése és állandósítása után teodolittal mindhárom ponton (A, B és M) két távcsőállásban szöget mérünk. +x

M γ ║ ║

+x

+x δ’AM δAB

β

α A

B δ’BM

δBA +y

4.8. ábra. Kisháromszögelés A szögmérési eredményekből (α’, β’, γ’) számoljuk az ω szögzáró hibát. ω = 180 – (α’ + β’ + γ’) A szögmérést egyenlő súlyúnak tekintve az ω szögzáró hibát három részre osztva rendeljük a mért szögekhez: α = α’ + ~ , 3

β = β’ + ~ , 3

γ = γ’ + ~ . 3

A továbbiakban a számítás menete azonos a 4.2.1. fejezetben ismertetett „Előmetszés belső szögekkel” feladatnál leírtakkal.

4.3. Sokszögelés Az előző fejezetekben tárgyalt pontmeghatározási módok (pontkapcsolások, ívmetszés) csupán egy ismeretlen pont koordinátáinak meghatározására irányultak. Ezek a pontok egyrészt további újabb ismeretlen pontok meghatározásához nyújthatnak segítséget, másrészt e pontokról poláris felmérés, vagy poláris kitűzés végezhető.

SOKSZÖGELÉS

119

Az ötödrendű pontok átlagos távolsága 1–1,5 km, ez rendszerint nem elegendő sűrűségű a részletpontok felméréséhez vagy kitűzéséhez. A további alappontsűrítés nem háromszögeléssel (pontkapcsolással) történik, hanem ún. sokszögeléssel, ekkor az alappontok távolsága 100–150 m lesz. A sokszögvonal a telepített sokszögpontokat összekötő törtvonal, ahol az egyes oldalakat a sokszögoldalnak, és az oldalak egymással bezárt szögét törésszögnek nevezzük, melyek értékét haladási irány szerinti bal oldalon kell meghatározni (4.9. ábra). Törésszög

Haladási irány β1 1

A

Sokszögoldal

β2

B

2

4.9. ábra. Sokszögvonal A sokszögvonal a megvalósítandó létesítmény közvetlen közelében, ismert alappontok között létesül. A sokszögvonal létesítésének célja, hogy az egyes oldalakról derékszögű koordináta-mérést, vagy kitűzést végezzünk. Igény szerint a sokszögpontokról poláris felmérés, illetve kitűzés is végezhető. A sokszögvonal lehet fő- vagy melléksokszögvonal. A fősokszögvonal háromszögelési pontból indul ki, és háromszögelési ponthoz csatlakozik. A melléksokszögvonal egyik, vagy mindkét végpontja korábban meghatározott sokszögpont. A sokszögvonal kialakítását, alakját tekintve lehet zárt, vagy nyújtott sokszögvonal. A zárt sokszögvonal önmagába záródó, szabálytalan területek felmérési, vagy kitűzési sokszöghálózata. Előnye, hogy ellenőrzési lehetőség adódik szögmérésre és hosszmérésre is, de pontatlan mérés esetén a zárt sokszögvonal elcsavarodhat, ezért ritkán alkalmazzuk. A nyújtott sokszögvonal a megvalósítandó létesítmény közelében halad, amelyről az érintett terület felmérése, majd a tervezett létesítmény építéséhez szükséges kitűzések elvégezhetők. A sokszögvonal pontjainak kitűzéskor az alábbi szempontokat kell figyelembe venni: • a sokszögvonal a tervezett létesítmény közelében haladjon, • a sokszögvonal nyújtott, vagyis a törésszögek közel 180-osak legyenek, • a sokszögoldalak hosszai közel egyformák legyenek (100–150 m), • a pontok egymásról láthatók legyenek, és azokon teodolittal fel lehessen állni, • jó mérőpálya álljon rendelkezésre (hosszmérés, felmérés, kitűzés).


120

A sokszögpontokat ideiglenesen facövekkel jelöljük meg, majd ezt követően a pontokat földalatti jellel ellátva állandósítjuk, a korábban megismertek szerint. Az állandósított pontokat meglévő létesítményekhez bemérjük, ennek hiányában őrpontokat helyezünk el, s pontvázlatot készítünk. A pontokat a kitűzés sorrendjében 1-től kezdődően számozással látjuk el, amit jól látható helyen, vagy a pont mellett elhelyezett zsindelyen tüntetünk fel. A sokszögoldalak törésszögeit teodolittal két távcsőállásban való méréssel határozzuk meg, minden esetben az elhelyezett pontjelek (kitűzőrúd) alját megirányozva. A pontosság fokozása érdekében célszerű kényszerközpontosító berendezést használni. A sokszögoldalak oldalhosszait oda-vissza méréssel határozzuk meg, majd azokat a magasságkülönbség ismeretében vízszintesre redukáljuk. A sokszögvonal a szögmérési és a hosszmérési hiba kiegyenlítése tekintetében lehet: • kettősen tájékozott sokszögvonal, • egyszeresen tájékozott sokszögvonal, • beillesztett sokszögvonal, • önálló sokszögvonal.

4.3.1. Kettősen tájékozott sokszögvonal Kettősen tájékozott a sokszögvonal (4.10. ábra), ha annak kezdő- és végpontja ismert alappont (yA, xA, yB, xB), és ezeken meghatározzuk a kezdő- és a záróoldalak tájékozó iránnyal (AC, BD) bezárt szögeit (β0, βn). D

+x

δBD

δAC

δ’12 δ’A1

β0 A

t A1 Δy1

β1 1

t 12

β2 2

δ’23

t 23

Δy2 Δy3 ΔyB – ΔyA

β3 3

t 3B

βn B

Δy4

4.10. ábra. Kettősen tájékozott sokszögvonal

Δx4 Δx3 Δx2 Δx1

Δx B – ΔxA

δ’3B C

+y

SOKSZÖGELÉS

121

A kiinduló adatok (A, B, C és D koordinátái) és a mérési eredmények (β0 … βn, tA1 … t3B) ismeretében számoljuk a sokszögpontok koordinátáit. Tájékozó irányok irányszögeinek számítása: dAC = arc tg

yC - yA , xC - xA

dBD = arc tg

yD - yB . xD - xB

Sokszögvonal tájékozott irányértékének számítási elve: A sokszögvonal oldalainak tájékozott irányértékét az előző oldal tájékozott irányértéke, és a haladási irány szerinti bal oldalon mért szög ismeretében számoljuk (4.11. ábra). Haladási irány

δ’34 β δ’23 3

δ’23

δ’32

2

4

+x

+x

4.11. ábra. Sokszögvonal tájékozott irányértékének számítása A 34 oldal tájékozott irányértéke: δ’34 = δ’32 + β. A δ’32 tájékozott irányérték a haladási irány szerinti 23 egyenes ellentétes tájékozott irányértéke: δ’32 = δ’23 – 180. Behelyettesítve: δ’34 = δ’23 – 180 + β. Amennyiben δ’23 tájékozott irányérték kisebb, mint 180, akkor a szöghöz hozzáadunk 360-ot.

122


Ennek értelmében: δ’34 = δ’23 + 360 – 180 + β = δ’23 + 180 + β. Tehát a 34 sokszögoldal tájékozott irányértéke: δ’34 = δ’23  180 + β. Egy sokszögoldal tájékozott irányértékét úgy számoljuk ki, hogy az előző oldal tájékozott irányértékéből levonunk, vagy ahhoz hozzáadunk 180°-ot, majd a kapott szögértékhez hozzáadjuk a mért törésszöget. Amennyiben az így kapott szögérték nagyobb 360°-nál, akkor még levonunk 360°-ot. Következő lépésként a szögmérésből adódó Δφ szögzáróhibát számoljuk a tájékozó irányokból és szögmérési eredményekből. Az első oldal előzetes tájékozott irányértékét {δ’A1} megkaphatjuk egy egyszerű öszszeadással (4.10. ábra): {δ’A1} = δAC + β0. Az első tájékozott irányérték számításánál a 180-ot figyelmen kívül hagyjuk, mert a kezdőirány, a δAC irányszög a haladási iránnyal ellentétes irányú. A továbbiakban a 180-ot számításba vesszük. Az összes többi oldal előzetes tájékozott irányértéke az előző oldalból számítható: {δ’12} = {δ’A1} ± 180º + β1, {δ’23} = {δ’12 } ± 180º + β2, … {δBD} = {δ’3B} ± 180º + βn. A záróoldal előzetes irányszögének {δBD} meghatározásához nem feltétlenül szükséges a fenti időigényes számításokat elvégezni. A mért szögek összegzésével számolhatjuk a záróoldal előzetes irányszögét {δBD} az alábbi összefüggéssel: {δBD} = δA1 + Σβ – (n – 1) · 180º – k · 360, ahol Σβ a mért szögek összege, n a mért szögek száma, k pedig tetszőleges egész szám annak érdekében, hogy a végeredmény 0º és 360º között legyen. Ez az előzetes irányszög {δBD} a mérési hibák miatt nem egyezik meg a koordinátákból számítható δBD irányszöggel. A kettő különbségét nevezzük szögzáróhibának: Δφ = δBD – {δBD}.

SOKSZÖGELÉS

123

Amennyiben a szögzáróhiba kisebb a megengedettnél, akkor a szögmérés jónak tekinthető, ellenkező esetben a szögmérést meg kell ismételni. A megengedett szögzáróhiba értékei: • szabatos sokszögelés fősokszögvonalban Δφ = 40 + 2 · n •

mellékszögvonalban Δφ = 55 + 2 · n

• belterületi sokszögelés fősokszögvonalban Δφ = 55 + 2,5 · n •


• külterületi sokszögelés fősokszögvonalban Δφ = 70 + 3,5 · n •


A képletekben n a mért szögek száma, a Δφ szögzáróhibát pedig másodpercben kapjuk. A jelentkező Δφ szögzáróhibát a mért szögekre egyforma arányban osztjuk el, mert a sokszög oldalai közel egyforma hosszúságúak, így a szögmérés egyenlő súlyúnak tekinthető. A szögzáróhiba elosztása: (β0) = β0 +

D{ , n

(β1) = β1 +

D{ , n

(β2) = β2 +

D{ , n

(β3) = β3 +

D{ , n

(βn) = βn +

D{ . n

A sokszögoldalak tájékozott irányértékeinek számítása a kiegyenlített (β) szögértékek ismeretében: δ’A1 = δAC + (β0), δ’12 = δ’A1 + (β1)  180, δ’23 = δ’12 + (β2)  180, δ’3B = δ’23 + (β3)  180. Ellenőrzés:

δBD = δ’23 + (βn)  180.

124


Az oldalvetületek számítása a koordinátszámítás alapképletével: y1 = tA1 · sin δ’A1,

x1 = tA1 · cos δ’A1,

y2 = t12 · sin δ’12,

x2 = t12 · cos δ’12,

y3 = t23 · sin δ’23,

x3 = t23 · cos δ’23,

y4 = t3B · sin δ3B,

x4 = t3B · cos δ’3B.

A sokszögoldalak y és x irányú oldalvetületei összegének (Σy, Σx) meg kell egyeznie a sokszögvonal végponti és kezdőponti koordinátáinak különbségével (yB – yA, xB – xA). Az ettől való eltérés az y irányú és az x irányú hosszhiba, amelyből számítható a vonalas záróhiba (d). A vonalas záróhiba számítása: dy = (yB – yA) – Σy, d=

dx = (xB – xA) – Σx,

dy2 + dx2 .

Amennyiben a vonalas záróhiba (d) kisebb a megengedettnél, akkor a hosszmérés jónak tekinthető, és a jelentkező hiba elosztható, ellenkező esetben a hosszmérést meg kell ismételni. A vonalas záróhiba megengedett értékei • szabatos sokszögelés fősokszögvonalban: dcm = 6 + 1,5 · T, • belterületi sokszögelés fősokszögvonalban: dcm = 10 + 2,5 · T, • külterületi sokszögelés fősokszögvonalban: dcm = 14 + 3,5 · T, ahol a T a sokszögvonal hossza 100 m-es egységben. A vonalas záróhiba dy és a dx vetületetit a számított oldalvetületek között a sokszögvonal oldalhosszainak arányában osztjuk el. A vonalas záróhiba elosztása az előzetesen számított oldalvetületek között: dy Rt d (y2) = y2 + y Rt d (y3) = y3 + y Rt d (y4) = y4 + y Rt (y1) = y1 +

· tA1,

(x1) = x1 + dx · tA1, Rt

· t12,

(x2) = x2 + dx · t12, Rt

· t23,

(x3) = x3 + dx · t23, Rt

· t3B,

(x4) = x4 + dx · t3B. Rt

A fenti összefüggésekben a Σt a sokszögvonal oldalhosszainak összege.

SOKSZÖGELÉS

125

A sokszögpontok koordinátáinak számítása: y1 = yA + (y1),

x1 = xA + (x1),

y2 = y1 + (y2),

x2 = x1 + (x2),

y3 = y2 + (y3),

x3 = x2 + (x3).

A számítás pontosságára nézve ellenőrzés, hogy végül a sokszögvonal zárópontjának (B) koordinátáit kell eredményül kapni: yB = y3 + (y4),

xB = x3 + (x4)

4.3.2. Egyszeresen tájékozott sokszögvonal A sokszögvonal egyszeresen tájékozott, ha ismert a kezdő- és a végpont koordinátája (yA, xA, yB, xB), de csak a kezdőponton tudunk tájékozó irányt meghatározni (4.12. ábra). +x

C

δ’2B

δAC

δ’12 δ’A1

β0 A

β1

t A1

1

β2

t 12

2

t 2B

B

+y

4.12. ábra. Egyszeresen tájékozott sokszögvonal Az egyszeresen tájékozott sokszögvonal esetében szögzáróhibát nem tudunk számolni. A mérés közben elkövetett szöghiba a hosszmérés hibájával együtt jelentkezik, ezért a megengedett vonalas záróhiba 20%-kal nagyobb, mint a kettősen tájékozott sokszögvonal esetében. A sokszögpontok koordinátáinak számítása, a szögzáróhiba számításától, és elosztásától eltekintve megegyezik a kettősen tájékozott sokszögpontok koordinátáinak számításával.


126

4.3.3. Beillesztett sokszögvonal Ebben az esetben a sokszögvonal ismert alappontból indul, és ismert alappontban végződik, azonban a tájékozó szöget nem tudjuk meghatározni. Ilyen sokszögvonal a gyakorlatban olyan helyen fordul elő, ahol a korábban telepített alappontok ugyan rendelkezésre állnak, de ezekről más ismert alappont nem irányozható meg, pl. beépítettség, erdő miatt, vagy bányában. A sokszögpontok koordinátáinak meghatározásához a kezdő sokszögoldal (A1’) irányszögét (δA1’) pl. grafikusan meghatározzuk (4.13. ábra). +x B δA1’ δA1

β1 1

β2 ω

2

B’

1’

A

2’

4.13. ábra. Beillesztett sökszögvonal

+y

Ezzel a felvett irányszöggel és a mérési eredményekkel (szög és távolság) számoljuk az ún. előzetes oldalvetületeket, majd a δAB’ irányszöget. A kezdő- és a végpont tényleges δAB irányszöge, és az előzetes δAB’ irányszög különbsége alapján számolható az ω elcsavarodási szög: ω = δAB – δAB’. Az ω szög értékével (ami lehet  előjelű) javítva a kezdőoldal felvett δA1’ irányszögét, δA1 = δA1’ + ω, mint végleges kezdő irányszöggel számoljuk a sokszögpontok koordinátáit, a korábbiakban megismert összefüggések alapján.

4.3.4. Önálló sokszögvonal A sokszögvonal teljesen önálló, ha a kezdőpontok koordinátái (yA, xA) és a kezdőoldal irányszöge (δA1) is szabadon felvett értékek. Ebben az esetben sem a szögmérésre,

SOKSZÖGELÉS

127

sem a távolságmérésre nincs ellenőrzési lehetőség. Ilyen sokszögvonal telepítésekor célszerű a szög- és a távolságmérést két fordulóban elvégezni, és a sokszögpontok koordinátáit ezek középértékével számolni.

4.3.5. A mérésekben elkövetett durva hibák megkeresése A sokszögvonal szögeinek és távolságainak mérésekor durva hibát is követhetünk el. Durva hibának nevezzük azt a hibát, amely lényegesen felülmúlja a használt eszközzel (teodolit, mérőszalag) és módszerrel végrehajtott mérésben elérhető pontosságot. Durva hibát követünk el a szögmérésben, ha pl. tévesen olvassuk le a szögértéket, vagy a szöget rosszul írjuk be a jegyzőkönyvbe. Hosszmérésnél durva hiba, ha rosszul számoljuk meg a szalagfektetések számát, vagy tévesen olvassuk le a méter értéket. A durva hiba oka általában a figyelmetlenség, ami gondos munkával kiküszöbölhető, s ha észrevettük, akkor a mérést azonnal ismételjük meg. Ha a szögzáróhiba vagy a vonalas záróhiba lényegesen nagyobb a megengedett értéknél, akkor valószínű, hogy a mérés során durva hibát követtünk el, aminek a helyét szerencsés esetben meg tudjuk határozni. A szögmérésben elkövetett durva hiba helye akkor valószínűsíthető, ha a hibát csak egy szögmérésnél követtünk el. A durva hiba helye számítással vagy szerkesztéssel határozható meg.

Szerkesztéssel is meghatározható a durva hiba helye oly módon, hogy a sokszögvonalat tetszőleges méretarányban felrakjuk egy rajzlapra a kezdő- és a végpontból kiindulva. A durva hibát ott követtük el, ahol a két felszerkesztett sokszögvonal metszi egymást (4.14. ábra) +x 3

1 A

Δ 1’

2

B

Δ 3’ B’

A’

+y

4.14. ábra. Szögmérésben elkövetett durva hiba meghatározása szerkesztéssel

a 3–3’, illetve B–B’ pont nincs felcserélve?

Számítással történő hibakereséskor a sokszögvonal pontjainak koordinátáit a mérési eredmények alapján, a hibák szétosztása nélkül, a kezdőpont, és a végpont felől is kiszámítjuk. A durva hibát annál a pontnál követtük el, ahol a két számításból közel egyenlő koordinátát kapunk.


128

A hosszmérésben elkövetett durva hiba is csak akkor valószínűsíthető számítással, vagy szerkesztéssel, ha a hibát egy oldal hosszmérésénél követtük el. Számítással történő hibakeresésékor a mért oldalhosszakkal kiszámoljuk a vonalas záróhibát, és annak irányszögét. A hosszmérési hibát annál az oldalnál követtük el, amelynek irányszöge megközelítőleg egyezik a vonalas záróhiba irányszögével. A durva hiba szerkesztéssel történő meghatározásakor a kezdő- és a végpont felől kiindulva a mérési eredmények alapján felrakjuk a sokszögvonalat. Abban az oldalban követtük el a hosszmérési durva hibát, amelyik oldal a szerkesztésnél egybe esik (4.15. ábra). +x 1

Δ 3

A 1’

2

3’

A’ Δ

B B’

2’ +y

4.15. ábra. Hosszmérésben elkövetett durva hiba meghatározása

4.4. Térbeli előmetszés Mint ahogy azt az előző fejezetből megismerhettük, a nyomvonalas létesítmények kivitelezéshez szükséges, hogy megfelelő számú alappont legyen az építési területen, illetve annak környékén. A legcélszerűbb az, ha az adott alappont rendelkezik vízszintes és magassági koordinátákkal is. Olyan mérési és számítási eljárásra van tehát szükség, amely a lehető legkevesebb többletmunkával biztosítja mindkét értelmű koordináta kinyerését. Ezenkívül szavatolni kell a meghatározott koordináta megbízhatóságát is. A megbízhatóságot akkor tudjuk garantálni a legegyszerűbben, ha olyan mérési eljárást választunk, amelyben keletkeznek ún. fölös mérések. Ez azt jelenti, hogy több mérési eredményünk van, mint amennyi minimálisan szükséges a pont koordinátáinak meghatározásához, így ugyanannak a pontnak a koordinátáit többféle, egymástól független adathalmazból is ki lehet számítani. A pont meghatározásához szükségesek vízszintes és magassági mérések eredményei. A legegyszerűbben ezeket irány- és távméréssel lehet megkapni. A végeredményként kapott új pont 3-dimenziós pont.

TÉRBELI ELŐMETSZÉS

129

Tekintsük először a legegyszerűbb térbeli meghatározást. Ekkor vízszintes értelmű előmetszést és az alappontokról trigonometriai magasságmérést hajtunk végre. Ekkor olyan alappontokra van szükségünk, amelyek maguk is 3-dimenziósak. A trigonometriai magasságmérés mindegyik ponton való elvégzése a magassági koordináta meghatározására kellő számú fölös mérést ad. Minden mérésből meghatározva az új pont előzetes magasságát, majd a kapott előzetes magasságokat közepelve megkapjuk az új pont végleges magassági koordinátáját. Fontosabb kérdés az, hogy két előmetszés mikor tekintendő egymástól függetlennek (4.16., 4.17. ábra). Ha egy háromszögben ismertek az A és B pont koordinátái, és ezen a két ponton megmérjük a háromszög α (A pontnál fekvő) és β (B pontnál fekvő) belső szögeit, akkor a háromszög harmadik, P pontjának koordinátái számíthatók. Ha találunk még két olyan alappontot (C-t és D-t), ahol ugyancsak megmérjük a belső szögeket, akkor a háromszög harmadik, P pontjának koordinátái számíthatók. A trigonometriai magasságmérés számítását az I. kötet, az előmetszés számítását pedig az előző fejezetek tartalmazzák részletesen. C γ

A α P

δ D

β B

4.16. ábra. Két, egymástól független előmetszés A α P

β B

δ ε F

4.17. ábra. Egymástól részben független előmetszés

130


A mai korszerű műszerekkel azonban már lehetőség van a közvetlen koordinátameghatározásokra, jelentősen megkönnyítve a mérést és lecsökkentve a mérési időt anélkül, hogy fölös mérések vesznének el. Ezt a következők támasztják alá: A térbeli előmetszéssel általános esetben két térbeli irány által meghatározott metszéspontnak új koordinátáit határozzuk meg. A síkbeli egyenesek metszéspontjával a 3. fejezetben foglalkoztunk. Feltételezzük, hogy ha a méréseink hibátlanok, akkor a két egyenes metszéseként egyetlen pontot kell, hogy kapjuk. A méréseink – mint ahogy azt már ismertettük – minden esetben hibákkal terheltek, ezért a térbeli előmetszés eredményeként nem egyetlen pontot, hanem egy térbeli ellipszoidot kapunk, amely tartalmazza a térbeli pontot is. Az ellipszoid nagysága függ a térbeli egyenesek által bezárt szögek nagyságától, más szóval a térbeli geometriától. Egy irányt két szögértékkel adhatunk meg (4.18. ábra): az irány vízszintes vetületének tájékozott irányértékével (δ) és a zenitszöggel (z). A tájékozott irányérték megmutatja, hogy a térbeli egyenes milyen szöget zár be a térbeli koordináta-rendszer +x tengelyével, a zenitszög pedig azt mutatja meg, hogy a térbeli egyenes mekkora szöget zár be a +z tengellyel. Ez a két adat egymástól független. A térbeli egyenes egyértelmű meghatározásához meg kell adni a három koordináta (x, y, z) egyikét, valamint az egyenes irányát. +z Zenitszög Térbeli irány P z +x

δ Tájékozott irányérték Vízszintes vetület

P’

+y

4.18. ábra. Térbeli egyenes összetevői Térbeli előmetszésnél (4.19. ábra) két adott koordinátájú ponton kell megmérni a zenitszögeket, valamint szükségünk van két tájékozott irányértékre. Ezekből az adatokból egyértelműen meghatározható az új térbeli pont három koordinátája. Fontos megjegyezni, hogy ebben az esetben is van már egy fölös mérésünk, hiszen három ismeretlenünk (x, y, z) mellé rendelkezünk négy mérési eredménnyel.

TÉRBELI ELŐMETSZÉS

131

+z

A zA

+x B B’

zB

A’

δAP

δBP

P

+y P’

4.19. ábra. Térbeli előmetszés elve

A járművek alakváltozását mérjük? Nem jobb így: „különböző pályák járművek okozta erőhatások miatt bekövetkező alakváltozásának”?

Két térbeli egyenes azonban nem biztos, hogy egy pontban metszi egymást. Ennek okai lehetnek az adott pontok koordinátáiban lévő hibák, vagy – mint ahogy már említettük – mérési hibák. Ekkor a két térbeli egyenes kitérő helyzetű, a keresett pont a két kitérő egyenes normál transzverzálisán van. Normál transzverzális alatt olyan térbeli egyenest értünk, amely mindkét kitérő térbeli egyenesre merőleges. Hogy pontosan hol, azt a két térbeli egyenes egymáshoz viszonyított súlya határozza meg. Mivel a fent ismertetett eset fölös mérést is tartalmaz, ezért az új pont koordinátáinak számításához kiegyenlítés szükséges. Térbeli egyenesek metszéspontja matematikailag meghatározható fölös mérés nélkül is, azonban ezeket a megoldásokat a geodéziában nem alkalmazzuk. Ekkor az egyik ponton mérünk zenitszöget és tájékozott irányértéket, a másik ismert ponton pedig csak tájékozott irányértéket. Ebben az esetben a keresett pont egy térbeli egyenes és egy függőleges sík döféspontjaként jön létre. A másik lehetséges megoldás szerint az egyik ponton szintén megmérjük mind a zenitszöget, mind a tájékozott irányértéket, a másik adott ponton pedig csak zenitszöget mérünk. A keresett pont a térbeli egyenes és egy kúp döféspontja. A térbeli előmetszésnek számos gyakorlati alkalmazása van. Térbeli alapponthálózatok esetében újabb alappontok meghatározására, és azoknak a meglévő hálózatba való beillesztésére szolgál. Az útépítéshez köthető alkalmazás a különböző járművek erőhatásokra bekövetkező alakváltozásának mérése. Ezeket a méréseket az ún. ipari mérőrendszerekkel végzik el.

132


Ellenőrző kérdések 1. Melyek az alappont-sűrítési eljárások? 2. Milyen pontkapcsolásokat ismer? 3. Hasonlítsa össze a kisháromszögelési és a hátrametszési pontkapcsolási módszereket. 4. Ismertesse a sokszögvonal-típusokat! 5. Hasonlítsa össze a sokszögvonal-típusokat a mérési hibák elosztása szerint. 6. Milyen hibákat lehet kimutatni és elosztani a kettősen tájékozott sokszögvonalnál? 7. Hogyan határozzuk meg a beillesztett sokszögvonalnál az elcsavarodási szöget? 8. Hogy keressük meg a szög- és távolságmérésben elkövetett durva hibát?

4. VIZSZINTES ALAPPONTOK MEGHATÁROZÁSA

Recommend Documents