4. OBYČEJNÉ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE

ˇ 4. OBYCEJNÉ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE Arnošt Žídek, Iveta Cholevová FBI VŠB-TUO

28. bˇrezna 2014

Arnošt Žídek, Iveta Cholevová

ˇ 4. OBYCEJNÉ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE

4.1. Základní pojmy

Definice 4.1. Rovnice tvaru F (x, y , y 0 , y 00 , . . . , y (n) ) = 0 se nazývá obyˇcejná diferenciální rovnice n-tého ˇrádu a vyjadˇruje vztah mezi neznámou funkcí y = f (x) a jejími derivacemi do ˇrádu n. ˇ Definice 4.2. Rádem diferenciální rovnice nazýváme ˇrád nejvyšší derivace hledané funkce v dané rovnici. ˇ Definice 4.3. Rešením diferenciální rovnice nazýváme každou funkci, která vyhovuje dané rovnici. Definice 4.4. Graf konkrétního ˇrešení se nazývá integrální kˇrivka.















Druhy ˇrešení diferenciální rovnice n-tého ˇrádu

ˇ Mejme obyˇcejnou diferenciální rovnici n-tého ˇrádu ve tvaru F (x, y , y 0 , y 00 , . . . , y (n) ) = 0.

1

Obecným ˇrešením diferenciální rovnice nazýváme funkci, která muže ˚ být v implicitním tvaru φ(x, y , C1 , C2 , . . . , Cn ) = 0 nebo explicitním tvaru ˇ y = ϕ(x, C1 , C2 , . . . , Cn ). Císla C1 , C2 , . . . , Cn jsou obecné integraˇcní konstanty.

2

Partikulárním ˇrešením diferenciální rovnice nazýváme ˇrešení, které dostaneme z obecného, jestliže za konstanty dosadíme urˇcitá reálná cˇ ísla nebo když všechny konstanty vypoˇcteme z daných podmínek, tzv. ˇ ˇ (Cauchyho) úlohy. pocáte cní

3

Singulárním ˇrešením diferenciální rovnice nazýváme takové ˇrešení rovnice, které není obsaženo v obecném ˇrešení, i když za konstanty C1 , C2 , . . . , Cn dosadíme jakákoli cˇ ísla.





1


2


3






1


2


3





Pˇríklad 4.1. Urˇcete obecné ˇrešení diferenciální rovnice y 00 = x. Urˇcete partikulární ˇrešení diferenciální rovnice y 00 = x za podmínky y (0) = 0, y 0 (0) = 10. ˇ Rešte diferenciální rovnici (y − x)y 0 = (y − x) sin x. V našem kurzu se budeme zabývat pouze obecným a partikulárním ˇrešením diferenciálních rovnic.















4.2. Diferenciální rovnice prvního ˇrádu

Diferenciální rovnice prvního ˇrádu má tvar F (x, y , y 0 ) = 0 nebo y 0 = f (x, y ) . ˇ Obecné rˇešení: funkce jedné promenné v explicitním tvaru y = φ(x, C) nebo implicitneˇ φ(x, y , C) = 0. Graficky je ˇrešením systém integrálních kˇrivek. Volbou za konstantu C dostáváme konkrétní integrální kˇrivku. Pˇríklad 4.2. Urˇcete systém integrálních kˇrivek diferenciální rovnice y 0 = 2x a partikulární ˇrešení pˇri poˇcáteˇcní podmínce y (1) = 2.















4.3. Separovatelná diferenciální rovnice

Definice 4.5. Diferenciální rovnice ve tvaru P(x) + Q(y )y 0 = 0 se nazývá separovatelná diferenciální rovnice. Separovatelná diferenciální rovnice se cˇ asto píše ve tvaru P(x)dx + Q(y )dy = 0. ˇ 4.1. Necht’ P(x), Q(y ) jsou Veta Potom každé ˇrešení R spojité funkce. R separovatelné rovnice má tvar P(x)dx + Q(y )dy = C. ˇ Poznámka Vypoˇcítané obecné ˇrešení nekdy upravujeme, zejména když integrací vznikla logaritmická funkce. Integraˇcní konstantu cˇ asto uvažujeme ve tvaru ln C.




Definice 4.5. Diferenciální rovnice ve tvaru P(x) + Q(y )y 0 = 0 se nazývá separovatelná diferenciální rovnice. Separovatelná diferenciální rovnice se cˇ asto píše ve tvaru P(x)dx + Q(y )dy = 0. ˇ 4.1. Necht’ P(x), Q(y ) jsou Veta Potom každé ˇrešení R spojité funkce. R separovatelné rovnice má tvar P(x)dx + Q(y )dy = C. ˇ Poznámka Vypoˇcítané obecné ˇrešení nekdy upravujeme, zejména když integrací vznikla logaritmická funkce. Integraˇcní konstantu cˇ asto uvažujeme ve tvaru ln C.




Pˇríklad 4.3. Urˇcete obecné ˇrešení diferenciální rovnice x 2 + 1 + y 0 cos y = 0. Urˇcete obecné ˇrešení diferenciální rovnice 1 − y 2 − 2xyy 0 = 0. Urˇcete partikulární ˇrešení diferenciální rovnice y 0 + y cotg x = 0 za podmínky y ( π2 ) = 1.











4.4. Homogenní diferenciální rovnice

ˇ Definice 4.6. Necht’ je dána funkce dvou promenných f (x, y ). Tuto funkci ˇ jestliže pro ni platí nazýváme homogenní funkcí k -tého stupne, f (tx, ty ) = t k f (x, y ). ˇ zda jsou homogenní funkce: Pˇríklad 4.4. Zjistete, f (x, y ) = x 3 + xy 2 , f (x, y ) = x 2 + y . Definice 4.7. Diferenciální rovnici ve tvaru M(x, y )dx + N(x, y )dy = 0 nazýváme homogenní diferenciální rovnicí, jestliže M(x, y ), N(x, y ) jsou ˇ homogenní funkce stejného stupne. ˇ i ve tvaru y 0 = Poznámka Homogenní rovnici mužeme ˚ videt F (x, y ), G(x, y ) jsou homogenní funkce, nebo y 0 = f ( yx ).


F (x,y ) , G(x,y )


kde




F (x,y ) , G(x,y )


kde




F (x,y ) , G(x,y )


kde




F (x,y ) , G(x,y )


kde


ˇ Rešení: Homogenní diferenciální rovnici ˇrešíme substitucí. Zavádíme novou funkci z=

y x

⇒

y = zx

⇒

y 0 = z 0 x + z.

Po dosazení dostaneme rovnici pro neznámou funkci z(x), která je separovatelná. Po vyˇrešení rovnice a nalezení obecného ˇrešení ˇ podíl z = yx a dopoˇcítáme. separovatelné rovnice dosadíme zpet Pˇríklad 4.5. Urˇcete obecné ˇrešení diferenciálních rovnic: xy 0 = y ln y0 =

y , x

2xy . x 2 −y 2





y x

⇒

y = zx

⇒

y 0 = z 0 x + z.


y , x

2xy . x 2 −y 2





y x

⇒

y = zx

⇒

y 0 = z 0 x + z.


y , x

2xy . x 2 −y 2



4.5. Lineární diferenciální rovnice 1. ˇrádu

Definice 4.8. Lineární diferenciální rovnicí 1. ˇrádu nazýváme rovnici tvaru ˇ y 0 + p(x)y = q(x) , kde p(x), q(x) jsou spojité funkce promenné x na intervalu I. Je-li q(x) = 0, pak rovnici y 0 + p(x)y = 0 nazýváme zkrácenou lineární diferenciální rovnicí 1. ˇrádu.



Postup ˇrešení - metoda variace konstanty 1

2

3

4

ˇ Rešíme zkrácenou rovnici, která je vždy rovnicí R separovatelnou a ˇrešení napíšeme ve tvaru y = Cu(x), kde u(x) = e− p(x)dx . ˇ (variaci) konstanty C na funkci Ve funkci y = Cu(x) provedeme zmenu ˇ C(x) promenné x a obecné ˇrešení hledáme ve tvaru y = C(x)u(x). Dosazením funkce y = C(x)u(x) a její derivace y 0 = C 0 (x)u(x) + C(x)u 0 (x) do zadané lineární diferenciální rovnice ˇ získáme rovnici pro derivaci neznámé funkce C 0 (x). Cleny obsahující C(x) se vzájemneˇ odeˇctou. Integrujeme a vypoˇcítanou funkci C(x) dosadíme do ˇrešení zkrácené rovnice. Výsledkem je obecné ˇrešení lineární diferenciální rovnice.

Pˇríklad 4.6. Urˇcete obecné ˇrešení rovnice (1 + x 2 )y 0 − 2xy = (1 + x 2 )2 . Urˇcete obecné ˇrešení rovnice xy 0 − 3y = x 2 . Urˇcete partikulární ˇrešení rovnice 12 y 0 − xy = x pˇri poˇcáteˇcní podmínce y (0) = 7. Urˇcete partikulární ˇrešení rovnice y 0 − y tg x = cos1 x pˇri poˇcáteˇcní podmínce y (0) = 0. Arnošt Žídek, Iveta Cholevová



2

3

4





2

3

4





2

3

4





2

3

4





2

3

4





2

3

4





2

3

4




4.6. Lineární diferenciální rovnice 2. ˇrádu s konstantními koeficienty

Definice 4.9. Lineární diferenciální rovnicí 2. ˇrádu s konstantními koeficienty nazýváme rovnici ve tvaru a2 y 00 + a1 y 0 + a0 y = f (x) , kde a2 , a1 , a0 jsou konstanty a funkce f (x) je spojitá na intervalu I. Je-li f (x) = 0, mluvíme o zkrácené lineární diferenciální rovnicí 2. ˇrádu s konstantními koeficienty.



4.6. Lineární diferenciální rovnice 2. ˇrádu s konstantními koeficienty

Definice 4.9. Lineární diferenciální rovnicí 2. ˇrádu s konstantními koeficienty nazýváme rovnici ve tvaru a2 y 00 + a1 y 0 + a0 y = f (x) , kde a2 , a1 , a0 jsou konstanty a funkce f (x) je spojitá na intervalu I. Je-li f (x) = 0, mluvíme o zkrácené lineární diferenciální rovnicí 2. ˇrádu s konstantními koeficienty.



ˇ Rešení zkrácené lineární diferenciální rovnice 2. ˇrádu

Definice 4.10. Algebraickou rovnici a2 k 2 + a1 k + a0 = 0 nazýváme charakteristickou rovnicí zkrácené lineární diferenciální rovnice. ˇ 4.2. Necht’ zkrácená lineární diferenciální rovnice a2 y 00 + a1 y 0 + a0 y = 0 Veta má charakteristickou rovnici a2 k 2 + a1 k + a0 = 0, jejíž koˇreny jsou k1 , k2 . Pak obecné ˇrešení zkrácené diferenciální rovnice je ve tvaru: 1

y = C1 ek1 x + C2 ek2 x , jestliže k1 , k2 jsou reálné ruzné ˚ koˇreny,

2

y = C1 ekx + C2 xekx , jestliže k = k1 = k2 je dvojnásobný reálný koˇren,

3

y = eax (C1 cos bx + C2 sin bx), jestliže k1 , k2 jsou komplexneˇ sdružená cˇ ísla k1,2 = a ± ib.

Pˇríklad 4.7. Urˇcete obecné ˇrešení rovnice y 00 − y 0 − 6y = 0, y 00 − 4y 0 + 4y = 0, y 00 + 6y 0 + 13y = 0.






2


3








2


3








2


3





ˇ Rešení úplné lineární diferenciální rovnice 2. ˇrádu

ˇ 4.3. Obecné ˇrešení rovnice a2 y 00 + a1 y 0 + a0 y = f (x) lze psát ve tvaru Veta y = y0 + yˆ , kde y0 je obecné ˇrešení zkrácené rovnice a yˆ (x) je partikulární ˇrešení úplné rovnice pˇríslušné pravé straneˇ f (x). Poznámka Tvar partikulárního ˇrešení yˆ (x) závisí na funkci f (x) a na koˇrenech charakteristické rovnice.



ˇ Rešení úplné lineární diferenciální rovnice 2. ˇrádu

ˇ 4.3. Obecné ˇrešení rovnice a2 y 00 + a1 y 0 + a0 y = f (x) lze psát ve tvaru Veta y = y0 + yˆ , kde y0 je obecné ˇrešení zkrácené rovnice a yˆ (x) je partikulární ˇrešení úplné rovnice pˇríslušné pravé straneˇ f (x). Poznámka Tvar partikulárního ˇrešení yˆ (x) závisí na funkci f (x) a na koˇrenech charakteristické rovnice.



Speciální pˇrípady:

1. funkce f (x) = P(x) je polynom n-tého stupneˇ

1

Pokud cˇ íslo p = 0 není koˇrenem charakteristické rovnice, pak partikulární ˇrešení je yˆ = Q(x) .

2

Je-li cˇ íslo p = 0 r -násobným (r = 1, 2) koˇrenem charakteristické rovnice, pak partikulární ˇrešení je yˆ = x r Q(x) .

ˇ Funkce Q(x) = A0 x n + A1 x n−1 + A2 x n−2 + · · · + An je polynom n-tého stupne. Koeficienty A0 , A1 , A2 , . . . , An vypoˇcteme po dosazení partikulárního ˇrešení yˆ a jeho derivací yˆ 0 , yˆ 00 do dané rovnice a porovnáním koeficientu˚ u mocnin x. Pˇríklad 4.8. Urˇcete obecné ˇrešení rovnice y 00 + y 0 − 2y = 6x 2 , y 00 + 3y 0 = 9x.




1. funkce f (x) = P(x) je polynom n-tého stupneˇ

1

Pokud cˇ íslo p = 0 není koˇrenem charakteristické rovnice, pak partikulární ˇrešení je yˆ = Q(x) .

2

Je-li cˇ íslo p = 0 r -násobným (r = 1, 2) koˇrenem charakteristické rovnice, pak partikulární ˇrešení je yˆ = x r Q(x) .

ˇ Funkce Q(x) = A0 x n + A1 x n−1 + A2 x n−2 + · · · + An je polynom n-tého stupne. Koeficienty A0 , A1 , A2 , . . . , An vypoˇcteme po dosazení partikulárního ˇrešení yˆ a jeho derivací yˆ 0 , yˆ 00 do dané rovnice a porovnáním koeficientu˚ u mocnin x. Pˇríklad 4.8. Urˇcete obecné ˇrešení rovnice y 00 + y 0 − 2y = 6x 2 , y 00 + 3y 0 = 9x.




2. funkce f (x) = mepx , kde m, p jsou konstanty

1

Není-li cˇ íslo p koˇrenem charakteristické rovnice, pak partikulární ˇrešení má tvar yˆ = Aepx .

2

Je-li cˇ íslo p koˇrenem charakteristické rovnice s násobností r = 1, 2, pak partikulární ˇrešení má tvar yˆ = Ax r epx .

Konstantu A vypoˇcteme po dosazení partikulárního ˇrešení yˆ a jeho derivací yˆ 0 , yˆ 00 do dané rovnice. Pˇríklad 4.9. Urˇcete obecné ˇrešení rovnice y 00 − 2y 0 + y = e−x , y 00 − y = e−x .




2. funkce f (x) = mepx , kde m, p jsou konstanty

1

Není-li cˇ íslo p koˇrenem charakteristické rovnice, pak partikulární ˇrešení má tvar yˆ = Aepx .

2

Je-li cˇ íslo p koˇrenem charakteristické rovnice s násobností r = 1, 2, pak partikulární ˇrešení má tvar yˆ = Ax r epx .

Konstantu A vypoˇcteme po dosazení partikulárního ˇrešení yˆ a jeho derivací yˆ 0 , yˆ 00 do dané rovnice. Pˇríklad 4.9. Urˇcete obecné ˇrešení rovnice y 00 − 2y 0 + y = e−x , y 00 − y = e−x .




3. funkce f (x) = m cos qx + n sin qx, kde m, n, q jsou konstanty

1

Není-li cˇ íslo qi komplexním koˇrenem charakteristické rovnice, pak yˆ = A cos qx + B sin qx .

2

Je-li cˇ íslo qi komplexním koˇrenem charakteristické rovnice, pak yˆ = x(A cos qx + B sin qx) .

Podobneˇ jako v pˇredchozích situacích urˇcíme konstanty A, B po dosazení partikulárního ˇrešení yˆ a jeho derivací yˆ 0 , yˆ 00 do dané rovnice porovnáním koeficientu˚ u cˇ lenu˚ cos qx, sin qx. Pˇríklad 4.10. Urˇcete obecné ˇrešení rovnice y 00 − 3y 0 + 2y = 5 sin 2x, y 00 + y = 4 cos x − 2 sin x.




3. funkce f (x) = m cos qx + n sin qx, kde m, n, q jsou konstanty

1

Není-li cˇ íslo qi komplexním koˇrenem charakteristické rovnice, pak yˆ = A cos qx + B sin qx .

2

Je-li cˇ íslo qi komplexním koˇrenem charakteristické rovnice, pak yˆ = x(A cos qx + B sin qx) .

Podobneˇ jako v pˇredchozích situacích urˇcíme konstanty A, B po dosazení partikulárního ˇrešení yˆ a jeho derivací yˆ 0 , yˆ 00 do dané rovnice porovnáním koeficientu˚ u cˇ lenu˚ cos qx, sin qx. Pˇríklad 4.10. Urˇcete obecné ˇrešení rovnice y 00 − 3y 0 + 2y = 5 sin 2x, y 00 + y = 4 cos x − 2 sin x.



4. OBYČEJNÉ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE

Recommend Documents