KONSTRUKCE
ROVNOB
ŽNÍKU
(4 HODINY)
Konstruk ní úloha se skládá z následujících ástí: Ná rt a rozbor úlohy: V rozboru vždy p edpokládáme, že konstruk ní úloha lze sestrojit. Proto si nap íklad výsledný rovnob žník na rtneme a vyzna íme v n m barevn všechny údaje, které známe. Velmi výhodné je v ná rtu vyhledat trojúhelník, jehož vrcholy jsou sou asn vrcholy hledaného rovnob žníku. Zbývající tvrtý vrchol rovnob žníku pak získáš užitím n které vlastnosti rovnob žníku (nap . rovnob žnost prot jších stran). Do ná rtu rovn ž zazna íme všechny body, úhly, kružnice, p ímky, které k vy ešení úlohy užijeme. Ná rt je velmi d ležitou sou ástí konstruk ní úlohy, protože již v tomto kroku se úloha eší. Proto jej d láš velký a p ehledný. Do rozboru pod ná rt pak nap íklad napíšeš, jakým trojúhelníkem konstrukci za neš a jak získáš tvrtý neznámý bod rovnob žníku (pokusíš se zapsat pomocí matematické symboliky) Postup konstrukce: Zde si plánuješ sled krok p i rýsování rovnob žníku. Každý bod je zapsán pomocí matematické symboliky. M l by si již um t zapsat konstrukci kružnice, úse ky, p ímky kolmé a rovnob žné k jiné p ímce, úhlu, obrazu bodu ve st edové a osové soum rnosti. Zde Ti nabízím zápisy n kterých geometrických útvar . Zpravidla se každý zápisový krok d lí na dv ásti, mezi nimiž je st edník. P ed st edníkem píši, jaký geometrický útvar budu rýsovat, za st edníkem pak píši, co pro daný geometrický útvar platí:
AB; AB
5cm
rýsuji úse ku AB, pro kterou platí, že její délka je 5 cm
S ; S je st ed úse ky AB S; S
AB
AS
SB
jiný zápis st edu úse ky AB (znak
znamená " a sou asn " )
k ; k (S ; r 3cm) rýsuji kružnici k, která má st ed v bod S a polom r 3 cm p; p // AB rýsuji p ímku p, pro kterou platí, že je rovnob žná s úse kou AB q; q AB X q rýsuji p ímku q kolmou na úse ku AB a p ímka q prochází bodem X (bodem X vedu kolmici q na úse ku AB) ABC; X;X k S S :A O (o ) : A
ABC
45
rýsuji úhel ABC, jehož velikost je 45
p bod X dos tan u jako pr se ík kružnice k a p ímky p B ve st edové soum rnosti se st edem S je obrazem bodu A bod C B v osové soum rnosti podle osy o je obrazem bodu A bod B
Konstrukce: P i konstrukci se pokusíš sestrojit všechny rovnob žníky vyhovující zadání úlohy. Konstrukce provád j v jedné polorovin .
Záv r: Skládá se ze dvou ástí, a to ov ení správnosti ešení a po tu ešení v dané polorovin . Zpravidla bývá konstruk ní úloha ukon ena následujícím zp sobem: Rovnob žník vyhovuje zadání, dv ešení v polorovin . P íklad 1: Sestroj rovnob žník ABCD, je-li dáno: AB
6cm; AD
4cm;
BAD
80
Ná rt a rozbor:
Z ná rtu je patrné, že jsme schopni sestrojit trojúhelník ABD, protože známe délky stran AB a AD a úhlu p i vrcholu A, která ob strany svírají. Trojúhelník ABD tedy sestrojíme podle konstrukce sus. Chyb jící bod C rovnob žníku ABCD sestrojíme užitím st edové soum rnosti. Bod C je obrazem bodu A ve st edové soum rnosti se st edem S. Víš totiž, že rovnob žník je st edov soum rný útvar. Stru ný zápis rozboru (užitím matematické symboliky):
1. ABD( sus ) 2.S S : A C Postup konstrukce: 1. AB; AB
6cm
2.k ; k A; r
4cm
3. BAX ;
BAX
4.D; D
k
80
AX
5.S ; S je st ed BD 6.S S : A
C
7.rovnob žník ABCD
Poznámka 1: Postup konstrukce si lze urychlit tím, že nebudeme popisovat konstrukci trojúhelníku ABD, pouze napíšeme, podle jakého typu konstrukce jej sestrojíme. 1. ABD( sus ) 2.S ; S je st ed BD 3.S S : A
C
4.rovnob žník ABCD
Konstrukce:
Záv r: Rovnob žník vyhovuje zadání, jedno ešení v polorovin Poznámka 2: P i hledání neznámého bodu C m žeme postupovat i jinak. Využijeme skute nosti, že prot jší strany rovnob žníku jsou rovnob žné. Postup konstrukce: 1. AB; AB
6cm
2.k ; k A; r
4cm
3. BAX ;
BAX
4.D; D
k
AX
5. p; p // AB
D
6.q; q // AD
B
7.C ; C
q
p
80 p q
8.rovnob žník ABCD
Konstrukce:
Poznámka 3: Neznámý bod C lze také získat pr nik kružnic (využijeme poznatku, že prot jší strany rovnob žníku mají stejnou velikost). Postup konstrukce: 1. AB; AB
6cm
2.k ; k A; r
4cm
3. BAX ;
BAX
4.D; D
k
5.l ; l ( D; r
80
AX AB
6.m; m( B; r 7.C ; C
AD
6cm) 4cm
l m 8.rovnob žník ABCD Konstrukce:
P íklad 2: Sestroj tverec ABCD, je-li dáno: |BC| = 6 cm Ná rt a rozbor: Op t se snažíme nejprve najít trojúhelník, který je sou ástí tverce a jehož vrcholy jsou rovn ž vrcholy hledaného tverce. Podívej se na obrázek:
Hledaný trojúhelník je na obrázku vyzna en modrou barvou. Bod D lze získat nap íklad užitím st edové soum rnosti se st edem S jako obraz bodu B Stru ný zápis rozboru:
1. ABC ( sus ) 2.S ( S ) : B D
Postup konstrukce: užijeme zkrácen jší formu 1. ABC ( sus ) 2.S ; S je st ed AC 3.D; S ( S ) : B
D
4. tverec ABCD
Konstrukce:
Záv r: tverec vyhovuje, jedno ešení v polorovin Poznámka 4: Nezkrácená verze postupu konstrukce by mohla vypadat nap íklad takto: 1.BC; BC
6cm
2. CBX ;
CBX
3.k ; k B; r
6cm
90
4. A; A
BX k 5.S ; S je st ed AC 6.D; S ( S ) : B D 7. tverec ABCD P íklad 3: Sestroj tverec ABCD, je-li délka jeho úhlop í ky BD rovna 8 cm Ná rt a rozbor: užijeme vlastnosti úhlop í ek tverce – jsou stejn dlouhé, navzájem kolmé a p lí se, jejich pr se ík S leží ve st edu tverce. Zbývající body A, C leží na druhé úhlop í ce (osa úhlop í ky BD). Protože mají všechny vrcholy tverce stejnou vzdálenost od st edu S, leží zbývající body také na kružnici se st edem S a polom rem SB. Stru ný rozbor je pod obrázkem:
Postup konstrukce: 1.BD; BD
8cm
2.S ; S je st ed BD 3.o; o
BD
S
4.k ; k (S ; r
SB )
5. A, C ; A, C
o
6. tverec ABCD
Konstrukce:
o k
A; C
o( BD)
A; C
k (S; r
A; C
k
SB )
o BD
Záv r: tverec vyhovuje zadání, jedno ešení v polorovin Poznámka: kružnice k p edstavuje kružnici opsanou tverci P íklad 4: Sestroj tverec ABCD, jsou-li dány dva r zné body K, L, které jsou st edy dvou prot jších stran tverce. Ná rt a rozbor:
Na obrázku jsem znázornil krom bod K, L také body M, N; které leží na kolmici k úse ce KL. Úse ka a p ímka se protínají ve st edu S tverce.
? Jaký úhel svírají strany AB a CD tverce se spojnicí bod KL ? Pravý úhel ? Co m žeš íci o délkách úse ek KL, AD a BC ? Jsou shodné (stejn je to také s úse kami AB; MN; CD) ? Kde tedy budou ležet vrcholy tverce ABCD ? Na pr niku rovnob žných p ímek p, p´, q, q´; jejichž vzdálenost od spojnic st ed stran KL, MN je rovna nap íklad KS ? Jak se nazývá kružnice mající st ed v bod S a polom r nap íklad SL ? Je to kružnice vepsaná tverci
Postup konstrukce:
1.KL 2.S ; S je st ed KL 3. m; m KL 4.k ; k (S ; r
S
m
SK )
5.M , N ; M , N k m 6. p, p´; p, p´// MN K p, L p´ 7.q, q´; q, q´// KL M q, N q´ 8. A, B, C , D; A p´ q; B p´ q´; C 9. tverec ABCD Konstrukce:
p
q´; D
p
q
Záv r: tverec vyhovuje zadání, jedno ešení v polorovin P íklad 5: Sestrojte obdélník ABCD, je-li dáno: |AB| = 6 cm; |AC| = 10 cm Ná rt a rozbor: Op t se pokusím najít vhodný trojúhelník, který pak užitím st edové soum rnosti doplním na hledaný rovnob žník. Mohl bych nap íklad zvolit pravoúhlý trojúhelník ABC, který umím sestrojit dle konstrukce sus. Já si však tentokrát zvolil trojúhelník ASB. Dopl si délky jeho stran?
Pro zjišt ní délky strany AS užiji té vlastnosti obdélníku, která íká, že úhlop í ky obdélníku 1 1 AC .10 5 cm BS . se navzájem p lí a jsou shodné. Proto AS 2 2 Stru ný zápis rozboru:
1. ASB( sss ) 2.S ( S ) : A C 3.S ( S ) : B D Postup konstrukce:
1. AB; AB
6cm
1 AC 5cm) 2 1 3.l ; l ( B; r AC 5cm) 2 4.S ; S k l 5.C ; S (S ) : A C 6.D; S ( S ) : B D 2.k ; k ( A; r
7.Obdé ln ík ABCD Konstrukce:
Záv r: Obdélník vyhovuje, jedno zadání v polorovin P íklad 6: Sestrojte obdélník ABCD, je-li dáno:
CAB
30 ; AC
Ná rt a rozbor: Hledáme vhodný trojúhelník. Podívej se na ná rt:
6cm
? Dopo ti si chyb jící úhel p i vrcholu C v trojúhelníku ABC ? Úhel p i vrcholu C je roven 180 (30 90 ) 180 120 60 ? Podle jakého typu konstrukce sestrojíš žlutý trojúhelník ABC ? Podle konstrukce typu usu Stru ný zápis rozboru:
1. ABC (usu ) 2.S ( S ) : B D
Postup konstrukce: op t popíšeme podrobn celou konstrukci trojúhelníku ABC (je možno ji nahradit zkráceným zápisem ABC (usu ) ):
1. AC ; AC
6cm
2. CAX ;
CAX
30
3. ACY ;
ACY
60
4.B; B AX CY 5.S;S je st ed AC 6.D; S ( S ) : B D 7.Obdé ln ík ABCD Konstrukce:
Záv r: Obdélník vyhovuje, jedno ešení v polorovin P íklad 7: Sestrojte obdélník ABCD, je-li dáno: úhlop í ky obdélníku mají délku 6 cm a svírají úhel o velikosti 120º Ná rt a rozbor: op t využijeme vlastností úhlop í ek obdélník – jsou stejn dlouhé a navzájem se p lí. Dostáváš tak rovnoramenný trojúhelník ABS s rameny AS a BS.
1. ABS ( sus ) 2.S ( S ) : A C 3.S ( S ) : B D Postup konstrukce:
1. AS ; AS
3cm
2. ASX ;
ASX
3.k ; k ( S ; r 4.B; B
120
3cm)
k
SX
5.C ; S (S ) : A
C
6.D; S ( S ) : B
D
7.Obdé ln ík ABCD
Konstrukce:
Záv r: Obdélník vyhovuje zadání, jedno ešení v polorovin P íklad 8: Sestrojte obdélník ABCD, je-li dáno: KL ad st edy stran AB, BC. Ná rt a rozbor:
4cm;
ABD
75 ; kde K, L jsou po
? Co m žeš íci o spojnici KL st ed stran AB, BC a úhlop í ce AC z obrázku ? Jsou rovnob žné ? Co platí pro délku spojnice KL vzhledem k velikosti úhlop í ky AC ? Je rovna polovi ní velikosti úhlop í ky AC. Zjistíš to nap . tak, že bod K posuneš do bodu A a stejn tak bod L posuneš o stejnou vzdálenost rovnob žným sm rem do bodu S ? Co m žeš íci o trojúhelníku ASB ? Je rovnoramenný – délka ramen je rovna spojnici KL ? Vypo ti vnit ní úhel u vrcholu S ? Jeho velikost je rovna 180 (75 75 ) 30 (úhly p i základn rovnoramenného trojúhelníku jsou shodné) Ná rt s rozborem ješt jednou: nyní už postupujeme stejn jako v p íkladu 7.
1. ABS ( sus ) 2.S ( S ) : A C 3.S ( S ) : B D Postup konstrukce: užijeme tentokrát zkrácenou verzi (bez popisu konstrukce trojúhelníku ABS):
1. ASB( sus ) : AS 2.C ; S ( S ) : A C 3.D; S ( S ) : B D 4.Obdé ln ík ABCD Konstrukce:
SB
KL
4cm;
ASB
30
Záv r: Obdélník vyhovuje, jedno ešení v polorovin Poznámka: V p edchozích dvou úlohách je možné hovo it o dvou ešeních. Druhé ešení bychom dostali tak, že bychom bod A oto ili kolem bodu S do bodu B o 30º opa ným sm rem (po sm ru hodinových ru i ek) než jsme otá eli v p íkladech 7, 8 (proti sm ru hodinových ru i ek) P íklad 9: Sestrojte koso tverec ABCD, je-li dáno: AB
4cm; BD
7cm
Ná rt a rozbor: velmi jednoduchý p íklad, nejprve si najdu pomocný trojúhelník ABD, který sestrojím dle konstrukce sss, bod C získám tentokrát jako pr nik dvou rovnob žných p ímek p, q. Ty však m žeš bod C získat stejn jako v p edchozích p íkladech – užitím st edové soum rnosti.
1. ABD( sss ) 2.C p q
Postup konstrukce: 1. ABD( sss ) 2. p; p // AB
D
3.q; q // AD
B
4.C ; C
q
p
p q
5.Koso tverec ABCD
Konstrukce:
Záv r: koso tverec odpovídá zadání, jedno ešení v polorovin Poznámka: Nabízím Ti ješt jednu možnost konstrukce, která je asov nejrychlejší a nejpohodln jší (ud lám pouze postup konstrukce a konstrukci): Postup konstrukce:
1.BD; BD
7cm
2.k ; k ( B; r 4cm) 3.l ; l ( D; r 4cm) 4.A, C ; A, C k l 5.Koso tverec ABCD Konstrukce:
P íklad 10: Sestrojte koso tverec ABCD, je-li dáno: a Ná rt a rozbor:
1. ABD( sus ) 2.C p q Postup konstrukce: 1. ABD( sus ) 2. p; p // AB
D
3.q; q // AD
B
4.C ; C
q
p
p q
5.Koso tverec ABCD
AB
6cm;
DAB
135
Konstrukce:
Záv r: Koso tverec vyhovuje zadání, jedno ešení v polorovin P íklad 11: Sestrojte koso tverec ABCD, je-li dáno: e
AC
6cm; f
BD
10cm
Ná rt a rozbor: v této úloze využijeme vlastnosti úhlop í ek koso tverce – navzájem se p lí a svírají spolu pravý úhel:
1. ASB( sus ) 2.S ( S ) : A C 3.S ( S ) : B D
Postup konstrukce: 1. YSX ;
90
YSX
4. A; A
1 AC 3cm 2 1 BD 5cm 2 SX k
5.B; B
SY
2.k ; k (S ; r 3.l ; l ( S ; r
l
6.C ; S ( S ) : A
C
7.D; S ( S ) : B
D
8.Koso tverec ABCD
Konstrukce:
Záv r: Koso tverec vyhovuje zadání, jedno ešení v polorovin Poznámka: Nabízím Ti jinou možnost konstrukce, která je nejpohodln jší (ud lám pouze postup konstrukce a konstrukci): Postup konstrukce: 1. p , q; p q 2.S ; S p q 3.k ; k ( S ; r 3cm) 4.l ; l ( S ; r 5cm) 5. A, C ; A, C p k 6.B, D; B, D l q 7.Koso tvere c ABCD
asov
nejrychlejší a
Konstrukce:
P íklad 12: Sestrojte koso tverec ABCD, je-li dáno: AB
6cm; v a
4cm
Ná rt a rozbor: Známe-li stranu koso tverce a výšku na ni, není pro nás problém narýsovat p ímku, na které budou ležet zbývající body C, D koso tverce. Daná p ímka p bude s úse kou AB rovnob žná a bude od ní mít vzdálenost rovnu 4 cm (velikost výšky). Bod D pak získám jako pr nik rovnob žky p a kružnice k se st edem A a polom rem 6 cm (velikost strany koso tverce). Bod C pak získám nap . pomocí rovnob žných p ímek.
D C
p p
k ( A; r q
6cm)
Postup konstrukce:
1. AB; AB
6cm
2. p; p // AB v p, AB
va
4cm
3.k ; k ( A; r 6cm) 4.D; D p k 5.q; q // AD B q 6.C ; C p q 7.Koso tvere c ABCD Konstrukce:
Záv r: Koso tverec vyhovuje zadání, dv
ešení v polorovin (koso tverce ABCD, ABC´D´)
P íklad 13: Sestrojte koso tverec ABCD, je-li dáno: AC
8cm; v a
6cm
Ná rt a rozbor: V úloze op t využijeme vlastnosti úhlop í ek koso tverce. Pokus se odpov d t na následující otázky: ? Co platí pro úhlop í ky koso tverce ? Svírají spolu pravý úhel a navzájem se p lí ? Jaký rovinný útvar p edstavuje jedna úhlop í ka v úhlop í ce kolmá a prochází jejím st edem) ? Je to osa úhlop í ky (úse ky)
i druhé úhlop í ce (je v
i této
A práv odpov di na poslední otázku využijeme p i naší konstrukci. Podívej se na m j ná rt:
Postup konstrukce: 1. p, p´; p // p´ v( p, p´)
2. A; A
p´
3.k ; k ( A; r
AC
8cm)
4.C ; C k p 5.S ; S je st ed AC 5.o; o AC S o 6.B; B o p´ 7.D; D o p 8.Koso tverec ABCD Konstrukce:
A
p´, C
k
p ( p // p´ ve vzdálenosti v a )
B D
p´ o (osa úhlop í ky) p o
va
6cm
Záv r: Koso tverec vyhovuje zadání, dv AB2C2D2)
ešení v polorovin
P íklad 14: Sestrojte koso tverec ABCD, je-li dáno: AC
8cm;
(koso tverce AB1C1D1; BAD
80
Ná rt a rozbor: Nejd íve si na rtneme pouze to, co je dáno v zadání :
Dále jsem do ná rtu ozna il n kolik ?. Pokus se sám, pop ípad pomocí mých dotaz , si velikosti chyb jících úhl doplnit. Pokud se Ti to poda í, snadno najdeš pomocný trojúhelník, který Ti bude sloužit ke konstrukci koso tverce.
? Co platí pro vnit ní úhly ležící proti sob v rovnob žníku (úhly p i vrcholech A,C a B,D) ? Jsou shodné ? Co Ti ud lá úhlop í ka AC s vnit ními úhly p i vrcholech A, C ? Úhlop í ka AC je osou úhlu BAD a DCB, rozd lí proto vnit ní úhly p i vrcholech A, C na poloviny. ? jaká je velikost vnit ního úhlu BAC ? 1 .80 40 BAC BCD 2 ? Jaká je velikost vnit ního úhlu p i vrcholu B ? 360 2.80 200 ABC ADC 100 2 2 Výsledný ná rt a stru ný rozbor vypadá následovn :
1. ABC (usu ) 2.S ( S ) : B D Postup konstrukce:
1. AC ; AC
8cm
2. CAX ;
CAX
40
3. ACY ;
ACY
40
4.B; B AX CY 5.S ; S je st ed AC 6.D; S ( S ) : B D 7.Koso tvere c ABCD Konstrukce:
Záv r: Koso tverec vyhovuje zadání, jedno ešení v polorovin P íklad 15: Sestrojte kosodélník ABCD, je-li dáno: CD
9cm; DA
5cm;
ABC
75
Ná rt a rozbor: užijeme té vlastnosti rovnob žníku, která íká, že protilehlé vnit ní úhly rovnob žníku jsou shodné – úhel p i vrcholu D má tedy také velikost 75º.
1. ADC (sus ) 2.S ( S ) : D B Postup konstrukce: 1.DC ; DC
9cm
2.k ; k ( D; r
5cm)
3. CDX ;
CDX
4. A; A
DX
75 k
5.S ; S je st ed AC 6.B; S ( S ) : D
B
7.Kosodé ln ík ABCD
Konstrukce:
Záv r: Kosodélník vyhovuje zadání, jedno ešení v polorovin Poznámka: Jak by jsi postupoval v p edchozím p íklad , pokud by byl místo úhlu ABC zadán úhel BCD o velikosti 75º? Ná rt a rozbor:
Nejd íve si vypo ti úhel p i vrcholu D – využij p itom té vlastnosti kosodélníku, která íká, že protilehlé vnit ní úhly mají stejnou velikost a sou et všech vnit ních úhl v rovnob žníku je 360 º. 360 2.75 210 105 ADC 2 2 Dále již postupuješ stejn jako v p íkladu 15 ! Další možné ešení spo ívá v tom, že si nejprve sestrojíš pomocný trojúhelník CDB (sus) ( CD 9cm; CB AD 5cm; DCB 75 ) a bod A sestrojíš nap . užitím st edové soum rnosti.
P íklad 16: Sestrojte kosodélník ABCD, je-li dáno: AB
9cm; AC
6cm; BD
8cm
Ná rt a rozbor: pokud si uv domíš, že se v bod S úhlop í ky navzájem p lí, nebude pro Tebe problém najít pomocný trojúhelník a nap íklad užitím st edové soum rnosti kosodélník sestrojit:
1. ASB( sss ) 2.S ( S ) : A C 3.S ( S ) : B D Postup konstrukce (uvedu pouze zkrácenou formu bez popisu konstrukce trojúhelníku ASB): 1. ASB( sss ) 2.C ; S ( S ) : A
C
3.D; S (S ) : B
D
4.Kosodé ln ík ABCD
Konstrukce:
Záv r: Konstruk ní úloha nemá ešení, trojúhelník ASB nelze sestrojit (není spln na trojúhelníková nerovnost - AS BS < AB - aby byla spln na, muselo by platit AS
BS > AB ).
Poznámka: Ov , zda lze sestrojit pomocný trojúhelník ASB a tedy i kosodélník ABCD, je-li dáno: AB 9cm; AC 10cm; BD 12cm . Pokud ano, sestroj zadaný kosodélník: Ov ení: Pro strany trojúhelníku ASB ( AB musí být spln ny trojúhelníkové nerovnosti: AB AS > BS
1 AC 2
9cm; AS
5cm; BS
1 BD 2
6cm )
9+5>6
AB
BS > AS
9+6>5
AS
BS > AB
5+6>9
Konstrukce:
Záv r: Kosodélník odpovídá zadání, jedno ešení v polorovin P íklad 17: Sestrojte kosodélník ABCD, je-li dáno: AC kde S je pr se ík úhlop í ek
10cm; BD
6cm;
BSC
60 ,
Ná rt a rozbor: na rtni si obrázek a odpovídej na otázky: ? Jak nazýváme dvojice úhl CSB a ASB ? Jsou to úhly vedlejší ? Co pro vedlejší úhly platí ? Sou et jejich velikostí je 180º ? Jaká je velikost úhlu ASB ? ASB 180 60 120 ? Jakým pomocným trojúhelníkem za neš a podle jakého typu konstrukce jej sestrojíš ?Za nu pomocným trojúhelníkem ASB, který sestrojím pomocí konstrukce sus
1. ASB( sus ) 2.S ( S ) : A C 3.S ( S ) : B D Postup konstrukce: 1. XSY ; XSY 120
2.k ; k (S ; r 5cm) 3.l ; l ( S ; r 3cm) 4.A; A k SX 5.B; B l SY 6.C ; S ( S ) : A C 7.D; S ( S ) : B D 8.Kosodé ln ík ABCD Konstrukce:
Záv r: Kosodélník odpovídá zadání, jedno ešení v polorovin
P íklad 18: Sestrojte kosodélník ABCD, je-li dáno: AB Ná rt a rozbor:
1. ABC sss 2.D p q Postup konstrukce: 1. AB; AB 6cm
2.k ; k ( B; r 8cm) 3. p; p // AB v( p; AB) 4.C ; C p k 5.q; q // BC A
q
6.D; D p q 7.Kosodé ln ík ABCD Konstrukce:
va
5cm
6cm; BC
8cm; v a
5cm
Záv r: Kosodélník vyhovuje zadání, dv ABC2D2)
ešení v polorovin
P íklad 19 (obtížný): Sestrojte kosodélník ABCD, je-li dáno: CD
(kosodélníky ABC1D1, 8cm; v a
3cm; v b
6cm
Ná rt a rozbor: V této úloze si nejprve narýsujeme rovnob žky q, q´ vzdálené od sebe o 8 cm (velikost výšky na stranu b). Na p ímce q si zvolíme bod D a pomocí kružnice k ( D; r 7cm) získáme bod C. Body A, B pak získáme jako pr se íky p ímek q (q´) s p ímkou p, která je rovnob žná s úse kou CD ve vzdálenosti v a 3cm
1. D
q; C
2. A
p
Postup konstrukce: 1.q, q´; q // q´ v q, q´ 2.D; D
vb
6cm
q
3.k ; k ( D; r
DC
4.C ; C
q´
k
5. p; p // CD
8cm)
v( p, CD )
6. A; A
q
p
7.B; B
q´ p
8.Kosodé ln ík ABCD
Konstrukce:
va
3cm
q´ k ( D; r q; B
p
q´
DC
Záv r: Kosodélník odpovídá zadání, dv
ešení v polorovin (kosodélníky ABCD, AB1C1D)
CVI
ENÍ
Nejprve si zkus sám jednotlivé úlohy na rtnout, napsat postup konstrukce, narýsovat a ud lat záv r. Pokud si nebudeš v d t s n kterou úlohou rady, podívej se na ešení, které následuje za zadáním úloh. Jinak ešení použij až jako záv re nou kontrolu! V ešení je vždy napsán postup konstrukce, v p ípad t žších úloh je i ná rt s vyzna eným pomocným trojúhelníkem. Hodn št stí a zdaru!
Úloha 1: Sestroj tverec ABCD, je-li dáno: AB
4cm
Úloha 2: Sestroj tverec ABCD, je-li dáno: AC
10cm
Úloha 3: Sestroj tverec ABCD, jsou-li dány dva r zné body K, L, které jsou st edy dvou sousedních stran tverce a jejich vzdálenost je rovna 4 cm. Úloha 4: Sestroj tverec ABCD, je-li dán obvod tverce o
24cm
Úloha 5: Sestroj tverec ABCD, je-li dán sou et jeho úhlop í ek u1
u2
20cm
Úloha 6: Sestroj obdélník ABCD, je-li dáno: AB obdélníku ABCD
4cm; BC
6cm . Vypo ti obvod a obsah
Úloha 7: Sestroj obdélník ABCD, je-li dáno: CD
3cm; DB
8cm
Úloha 8: Sestroj obdélník ABCD, je-li dáno: AC úhlop í ek Úloha 9: Sestroj obdélník ABCD, je-li dáno: BD
8cm;
6cm;
Úloha 10: Sestroj obdélník ABCD, je-li dáno: AB úhlop í ek obdélníku ABCD
ABD
5cm;
Úloha 11: Sestroj koso tverec ABCD, je-li dáno: AB
100 , kde S je pr se ík
ABC
105
4cm , kde o zna í obvod
8cm; f
Úloha 14: Sestroj koso tverec ABCD, je-li dáno: BD
6cm; v
Úloha 15: Sestroj koso tverec ABCD, je-li dáno: AC
7cm;
Úloha 16: Sestroj kosodélník ABCD, je-li dáno: AB
30
28cm; v
AC
60 , kde S je pr se ík
ASB
5cm;
Úloha 12: Sestroj koso tverec ABCD, je-li dáno: o koso tverce Úloha 13: Sestroj koso tverec ABCD, je-li dáno: e
ASB
BD
12cm
8cm CDA
5,3cm; BC
70 40mm;
ABC
Úloha 17: Sestroj rovnob žník ABCD, je-li dáno: BC
7cm; AC
7cm; BD
Úloha 18: Sestroj rovnob žník ABCD, je-li dáno: AD
5cm; DC
8cm; vb
Úloha 19: Sestroj rovnob žník ABCD, je-li dáno: AB
5cm; BD
7cm;
Úloha e AC
20: 12cm; f
Sestroj BD 10cm; v a
rovnob žník 6cm
ABCD,
120
9cm 6cm
CDB
80
je-li
EŠENÍ CVI ENÍ, NÁPOV DA KE CVI ENÍM Úloha 1: P íklad podobný ukázkovému p íkladu 2
1. ABC ( sus ) : AB
BC
4cm;
ABC
90
2.S ; S je st ed AC 3.D; S ( S ) : B D 4. tverec ABCD Jedno ešení v polorovin
Úloha 2: P íklad podobný ukázkovému p íkladu 3
dáno:
1. AC; AC
10cm
2.S ; S je st ed AC 3.o; o
AC
4.k ; k (S ; r 5.B , D; B, D
S
o
SA ) o
k
6. tverec ABCD Jedno ešení v polorovin
Úloha 3: Spojnice st ed dvou sousedních stran p edstavuje st ední p í ku trojúhelníku ABC, je tedy rovnob žná s úhlop í kou tverce AC, která má dvojnásobnou velikost ( AC 8cm ). Zbytek úlohy je totožný s úlohou 2.
1. AC; AC
8cm
2.S ; S je st ed AC 3.o; o
AC
4.k ; k (S ; r 5.B , D; B, D
S
o
SA ) o
k
6. tverec ABCD Jedno ešení v polorovin
Úloha 4: Nejprve si spo teš délku strany tverce, zbytek totožný s úlohou 1: o 4.a 24 4.a 24 a 6cm 4 Jedno ešení v polorovin
Úloha 5: Víš, že se úhlop í ky navzájem p lí a mají stejnou velikost. Proto si nejprve spo teš velikost jedné úhlop í ky, zbytek úlohy je totožný s úlohou 2, 3: u1 u 2 2.u 20 20 u 10cm 2 Jedno ešení v polorovin
Úloha 6:
1. ABC ( sus ) : AB
4cm; BC
6cm;
ABC
2.S ; S je st ed AC 3.D; S ( S ) : B D 4.obdé ln ík ABCD Jedno ešení v polorovin
o o o
a b a b 2( a b ) 2(4 6) 2.10cm 20cm
S
a.b
S
4.6cm 2
S
24cm 2
Úloha 7: Úloha podobná vzorovému p íkladu 5
1.CD; CD
3cm
1 DB 4cm) 2 1 DB 4cm) 3.l ; l ( B; r 2 4.S ; S k l 5.B; S ( S ) : D B 6. A; S ( S ) : C A 2.k ; k ( A; r
7.Obdé ln ík ABCD Jedno ešení v polorovin
Úloha 8: Úloha podobná vzorovému p íkladu 7
90
1. AS ; AS 2. ASX ; 3.k ; k ( S ; r 4.B; B
1 AC 4cm 2 ASX 60 4cm)
k
SX
5.C ; S (S ) : A
C
6.D; S ( S ) : B
D
7.Obdé ln ík ABCD Jedno ešení v polorovin
Úloha 9: ešení i s vyzna eným pomocným trojúhelníkem vidíš na obrázku:
BDA
1.BD; BD
6cm
2. DBX ;
DBX
30
3. BDY ;
BDY
60
BX 4.A; A 5.S;S je st ed BD 6.C ; S ( S ) : A C
180
ABD
180
30
150
DY
7.Obdé ln ík ABCD Úloha 10: Je t eba si uv domit, že trojúhelník ASB je rovnoramenný s rameny AS, BS a základnou AB – to tedy znamená, že vnit ní úhly p i vrcholech A, B jsou shodné. Jejich velikost je: 180 100 80 SAB SBA 40 2 2
1. AB; AB
5cm
2. BAX ;
BAX
40
3. ABY ;
ABY
40
4.S ; S AX BY 5.D; S ( S ) : B D 6.C ; S ( S ) : A C 7.Obdé ln ík ABCD Jedno ešení v polorovin
Úloha 11: úloha podobná vzorovému p íkladu 10
1. ABC ( sus ) : AB
BC
5cm;
ABC
105
2. p; p // AB C p 3.q; q //¨BC A q 4.D; D p q 5.Koso tverec ABCD Jedno ešení v polorovin
Úloha 12: Nejprve si spo teme délku strany koso tverce: o 4.a 28 4.a 28 a 7cm 4
1. AB; AB
7cm
2. p; p // AB 3.k ; k ( B; r 4.C ; C p 5.q; q // BC
v ( p, AB) 7cm) k A q
v
4cm
6.D; D p q 7.Koso tverec ABCD Dv
ešení v polorovin (koso tverce ABCD a ABC1D1)
Úloha 13: Úloha podobná vzorové úloze 11 q úhlop í ky v koso tverci jsou vzájemn kolmé a p lí se
1. p , q; p 2.S ; S
p
q
3.k ; k ( S ; r 4.l ; l (S ; r
4cm) 6cm)
5. A, C ; A, C
p
k
6.B, D; B, D
l
q
7.Koso tvere c ABCD
Jedno ešení v polorovin
Úloha 14: Úloha podobná vzorové úloze 11
1. p, p´; p // p´ v( p, p´) 2.B; B p 3.k ; k ( B; r
BD
v
8cm
6cm)
4.D; D k p´ 5.S ; S je st ed BD 5.o; o BD S o 6. A; A o p 7.C ; C o p´ 8.Koso tverec ABCD Konstruk ní úloha nemá ešení, protože pr nik kružnice k a rovnob žky p´ neexistuje
? Jaká by musela být výška v, aby se bod D a tedy i koso tverec dal sestrojit ? Výška v by musela být bu 6 cm (dostali bychom jeden koso tverec ABCD) nebo by musela být menší než 6 cm (dostali bychom dva koso tverce stejn jako ve vzorovém p íkladu 13) Úkol: Sestroj koso tverec z p edchozí úlohy pro p ípad, kdy je výška rovna 4 cm Úloha 15: Úloha podobná vzorové úloze 14 Nejprve si vypo teme velikost chyb jících úhl : CDA ABC 70 BAD
BCD
DAC
DCA
360
2.70 2
1 .110 2
220 2
55
Na obrázku máš již vyzna ený pomocný trojúhelník ACD (usu):
110
1. AC ; AC
7cm
2. CAY ;
CAY
55
3. ACX ;
ACX
55
4.D; D AY 5.S ; S je st ed AC 6.B; S (S ) : D B
CX
7.Koso tverec ABCD Jedno ešení v polorovin
Úloha 16: Úloha podobná vzorovému p íkladu 15 1. AB; AB 5,3cm 2.k ; k ( B; r
40 mm
3. ABX ;
ABX
4.C ; C
BX
4cm ) 120
k
5.S ; S je st ed AC 6. D ; S ( S ) : B
D
7.Kosodé ln ík ABCD
Jedno ešení v polorovin
Úloha 17: Úloha podobná vzorovému p íkladu 16
1. BSC( sss)
BC
2.A; S ( S ) : C
A
7cm; CS
3.D; S (S ) : B D 4.Kosodélík ABCD Jedno ešení v polorovin
1 CA 2
3,5cm; BS
1 BD 2
4,5cm
Úloha 18: Úloha podobná vzorovému p íkladu 18 1. AD; AD
5cm
2.q; q // AD
v(q, AD)
3.k ; k ( D; r
DC
4.C ; C
q
k
5. p; p // CD 6.B; B
p
A
vb
6cm
8cm) p
q
7.Rovnob žník ABCD Dv
ešení v polorovin (rovnob žníky ABCD a AB´C´D)
Úloha 19: AB
1. ABD( sus )
5cm; BD
AB
7cm;
5cm; BD
CDB
7cm;
80
ABD
CDB
80
úhly st ídavé
2.S ; S je st ed BD 3.C ; S (S ) : A C 4.Rovnob žník ABCD Jedno ešení v polorovin
Úloha 20: Uv dom si, že se v bod S (pr se ík úhlop í ek) p lí také výšky na strany a, b. Na obrázku máš znázorn n pomocný trojúhelník:
1. p, p´; p // p´ v ( p, p´) 2.S ; S
1 va 2
3cm
p
1 AC 6cm 2 1 4.l ; l ( S , r BD 5cm) 2 5. A; A p´ k 6.B; B p´ l 7.C ; S ( S ) : A C 8.D; S ( S ) : B D 3.k ; k ( S ; r
9.Rovnob žník ABCD ty i ešení ve zvolené polorovin - p´ k A1 , A2 ; p´ l pomocné trojúhelníky A1 B1 S ; A1 B2 S ; A2 B1 S ; A2 B2 S .
B1 , B2 - vzniknou ty i r zné
