39

LPC ˇ ´ Jan Cernock´ y UPGM FIT VUT Brno, [email protected]

FIT VUT Brno

LPC

ˇ ´ Jan Cernock´ y, UPGM FIT VUT Brno

1/39

Pl´ an • signálový model artikulaˇcn´ıho traktu. • proˇc lineárn´ı predikce. • odhad koeficient˚ u filtru (aneb posuˇ nte si své signály!) • Levinson-Durbin • Spektráln´ı hustota výkonu (PSD) pomoc´ı LPC. • Parametry odvozené z LPC.

LPC


2/39

Opakov´ an´ı – tvorba ˇreˇ ci a jej´ı model

LPC


3/39

buzen´ı

- model

hlasivek

model - hlasov´ eho traktu

model - vyzaˇrov´ an´ı zvuku

ˇreˇc

-

s(n)

C´ıl: Chceme odhadnout parametry tohoto modelu. Tato pˇredn´ aˇska se bude zab´ yvat filtrem.

LPC


4/39

Model artikulaˇ cn´ıho traktu

buzen´ı

- model hlasivek

LPC

model - hlasov´ eho traktu


model - vyzaˇrov´ an´ı zvuku

ˇreˇc

-

s(n)

5/39

Hlasivky doln´ı propusˇt 2. ˇrádu, lomová frekvence okolo 100 Hz: G(z) =

LPC


1 −cTs −1 2

[1 − e

z

]

(1)

6/39

Hlasov´ y trakt kaskáda malých dvojp´ olových rezonátor˚ u odpov´ıdaj´ıc´ıch formant˚ um.

resonator 1

...

resonator 2

resonator k

Pro k formant˚ u Fi s ˇs´ıˇrkami pásem Bi : V (z) =

1 K Y

(2)

[1 − 2e−αi Ts cos βi Ts z −1 + e−2αi Ts z −2 ]

i=1

kde parametry αi a βi jsou urˇceny polohou a ˇs´ıˇrkou pásma formant˚ u.

LPC


7/39

Model vyzaˇrov´ an´ı zvuku L(z) = 1 − z −1

(3)

coˇz je horn´ı propusˇt.

LPC


8/39

Dohromady . . . H(z) = G(z)V (z)L(z) = 1 − z −1

= (1 − e−cTs z −1 )2

K Y

(4)

[1 − 2e−αi Ts cos βi Ts z −1 + e−2αi Ts z −2 ]

i=1

ˇ Clen cTs → 0, proto m˚ uˇzeme krátit ˇcitatele i jmenovatele o jeden ˇclen 1 − z −1 . Celkový model je tedy celop´ olov´ y (obsahuje jen jmenovatele – ˇcistý IIR filtr). Bˇeˇzný zápis: H(z) = 1+

1 P X

=

1 , A(z)

(5)

ai z −i

i=1

kde polynom A(z) = 1 + a1 z −1 + a2 z −2 + · · · + aP z −P má ˇrád P = 2k + 1 (k je poˇcet formant˚ u). Za uˇziteˇcný poˇcet pokládáme k=4 ˇci 5, proto vol´ıme ˇcasto P =10 (pro Fs =8 kHz). Pro vyˇsˇs´ı vzorkovac´ı frekvence vol´ıme P vyˇsˇs´ı (napˇr. 16), abychom postihli i vf. ˇcást spektra. LPC


9/39

Urˇ cen´ı parametr˚ u modelu pomoc´ı line´ arn´ı predikce (LP) Tvorba ˇreˇci s t´ımto filtrem:

generátor buzen´ı

buzen´ı-²¯ U(z)

x ±° 6

H(z)=1/A(z)

ˇreˇcS(z)

G n-tý vzorek ˇreˇci je tedy dán: s(n) = Gu(n) −

P X

ai s(n − i)

(6)

i=1

Parametry (koeficienty) filtru ai jsou ovˇsem nezn´ am´ e a mus´ıme je odhadnout, odbornˇe identifikovat (system identification). LPC


10/39

Urˇ cen´ı parametr˚ u filtru M˚ uˇzeme zkonstruovat tzv. inverzn´ı filtr A⋆ (z) s koeficienty αi :

Gu(n)-

1/A(z)

neznáme

-

A*(z)

e(n)-

m˚ uˇzeme mˇenit

Ukazuje se, ˇze v pˇr´ıpadˇe stacionárn´ıho signálu s(n) jsou koeficienty ai identifikovány pomoc´ı koeficient˚ u αi , je-li minimalizována energie signálu na výstupu e(n): E{e2 (n)}. “krout´ıme parametry filtru tak dlouho, dokud nen´ı energie signálu na výstupu minimáln´ı. . . ”

LPC


11/39

Proˇ c “line´ arn´ı predikce” ? Pˇredpokláme, ˇze E{e2 (n)} je jiˇz minimalizována, tedy ˇze A⋆ (z) = A(z) a budeme tedy pouˇz´ıvat pouze oznaˇcen´ı koeficient˚ u ai . A(z) m˚ uˇzeme (trochu podivnˇe – jako kdyˇz se levou rukou drbete za pravým uchem. . . ) zapsat jako: A(z) = 1 − [1 − A(z)] (7) a tedy:

s(n)

e(n) A(z)

=

s(n)

+ -

+

e(n) ~ s(n)

1-A(z) Signál s˜(n) je dán lineárn´ı kombinac´ı nˇekolika pˇredchoz´ıch vzork˚ u, povaˇzujeme jej za pˇredpovˇedˇ skuteˇcného vzorku s(n): s˜(n) = −

P X

ai s(n − i)

(8)

i=1

LPC


12/39

Chyba predikce je dána jako rozd´ıl skuteˇcné a pˇredpovˇezené hodnoty: e(n) = s(n) − s˜(n) = s(n) − [−

P X

ai s(n − i)] = s(n) +

i=1

P X

ai s(n − i).

(9)

i=1

ˇ ım lepˇs´ı predikce, t´ım menˇs´ı chyba. C´

V rovinˇe z: E(z) = S(z)A(z)

(10)

Výhody z´ıskán´ı parametr˚ u touto metodou: • je-li αi = ai , je chyba predikce rovna buzen´ı (m˚ uˇzeme se tedy dostat ke vstupu do hlasového traktu bez skalpelu). • urˇcen´ı koeficient˚ u pomoc´ı LP vede k soustavˇe snadno ˇreˇsitelných lineárn´ıch rovnic.

LPC


13/39

ˇ sen´ı Reˇ V této etapˇe ˇreˇsen´ı zat´ım zámˇernˇe nezmiˇ nujeme, kolik vzork˚ u vstupn´ıho signálu máme k disposici, sumy jsou tedy zat´ım bez mez´ı. Nenormalizovaná energie chyby predikce je dána: X E= e2 (n) (11) n

Tento výraz je tˇreba minimalizovat. Vyjádˇr´ıme jej pomoc´ı signálu s(n) (známá veliˇcina) a neznámých koeficient˚ u ai . Pro nalezen´ı minima budeme parciálnˇe derivovat podle kaˇzdého ai , derivace poloˇz´ıme rovny nule: ) ( P X X δ = 0 (12) [s(n) + ai s(n − i)]2 δaj n i=1 X

2[s(n) +

n

X

s(n)s(n − j) +

n

LPC


P X

ai s(n − i)]s(n − j)

= 0

(13)

= 0.

(14)

i=1

P X i=1

ai

X

s(n − i)s(n − j)

n

(15) 14/39

Oznaˇc´ıme: X

s(n − i)s(n − j) = φ(i, j),

(16)

ai φ(i, j) = −φ(0, j) pro 1 ≤ j ≤ P

(17)

n

pak P X i=1

Coˇz je soustava lineárn´ıch rovnic: φ(1, 1)a1 + φ(2, 1)a2 +

···

+φ(P, 1)aP = −φ(0, 1)

φ(1, 2)a1 + φ(2, 2)a2 +

··· .. .

+φ(P, 2)aP = −φ(0, 2)

(18)

φ(1, P )a1 + φ(2, P )a2 + · · · +φ(P, P )aP = −φ(0, P ),

LPC


15/39

V´ ypoˇ cet φ(·, ·) Koeficienty odhadujeme na rámci o délce N vzork˚ u. Dvˇe metody liˇs´ıc´ı se v tom, jak nahl´ıˇz´ıme na signál vnˇe rámce (tedy pro vzorky n < 0 a n > N − 1):

LPC


16/39

Kovarianˇ cn´ı metoda: signál vnˇe rámce je nezn´ am´ y: se vzorky mimo [0, N − 1] nemohu poˇc´ıtat, ani kdyˇz je tam signál zpoˇzdˇen.

0

i

j

s[n]

N−1

0

i+2 j+2 s[n]

N−1

forbidden s[n−i]

forbidden s[n−i]

s[n−j] overlap for computing


⇒φ(i, j) a φ(i + const, j + const) NEJSOU stejné (máme pokaˇzdé jiný poˇcet vzork˚ u) mus´ı se ˇreˇsit plná soustava lineárn´ıch rovnic. Sloˇzité, kovarianˇcn´ı metoda nav´ıc vede k nestabiln´ımu filtru 1/A(z). LPC


17/39

Korelaˇ cn´ı metoda: signál vnˇe rámce je povaˇzován za zn´ am´ y, ale nulov´ y – mohu s n´ım poˇc´ıtat.

0

i

j

s[n]

N−1

0

i+2 j+2 s[n]

N−1

allowed s[n−i]

allowed s[n−i]



⇒φ(i, j) a φ(i + const, j + const) JSOU stejné (pokaˇzdé stejné vzorky) - soustava rovnic se nám bude dobˇre poˇc´ıtat, protoˇze na diagonálách budou stejné hodnoty: napˇr. φ(2, 1) = φ(3, 2) = φ(4, 3) = · · · LPC


18/39

Proˇ c jsou φ autokorelaˇ cn´ı koeficienty Odhad autokorelaˇcn´ıch koeficient˚ u (bez normalizace) pro signál o délce N pro kladné k, viz Signály a systémy, Náhodné procesy II.: http://www.fit.vutbr.cz/~cernocky/sig R(k) =

NX −1−k

s(n)s(n + k)

n=0

Korelaˇcn´ı koeficienty “udáváj´ı podobnost signálu samotného se sebou, kdyˇz ho posuneme o k vzork˚ u”

0

s[n]

−k

s[n−k]

N−1 N−1−k

overlap for computing LPC


19/39

Situace pro φ(i, j) a φ(j, i):

0

i

j

s[n]

N−1

0

j

i s[n]

N−1

allowed s[n−i]

allowed s[n−i]



⇒ pokaˇzdé poˇc´ıtáme se stejnými vzorku ⇒ oba dva jsou rovny autokorelaˇcn´ımu koeficientu R(|i − j|). To je fajn, protoˇze matice bude nav´ıc jeˇstˇe symetrická. Matici, která je symetrická a má na diagonálách stejné prvky, se ˇr´ıká T¨ oplitzova.

LPC


20/39

V´ ysledn´ a soustava rovnic pro koeficienty a1 . . . aP R(0)a1 + R(1)a2 +

· · · +R(P − 1)aP = −R(1)

R(1)a1 + R(0)a2 +

· · · +R(P − 2)aP = −R(2) .. .

R(P − 1)a1 + R(P − 2)a2 + · · ·

LPC


(19)

+R(0)aP = −R(P ),

21/39

Energie chyby predikce Bez odvozen´ı . . . pomoc´ı LPC m˚ uˇzeme dostat i následuj´ıc´ı vzoreˇcek pro výpoˇcet nenormalizovan´ e energie chyby predikce: E=

N +P X−1 n=0

e2 (n) = R(0) +

P X

ai R(i)

(20)

i=1

Pokud má bud´ıc´ı signál normovanou energii rovnu 1 — napˇr. b´ılý ˇsum s rozptylem 1 nebo N −1 1 X 2 pulsy, kde u (n) = 1, pak, abychom dostali tutéˇz energii jako s(n), mus´ıme N n=0 nastavit gain (zes´ılen´ı) filtru na: # " P X E 1 2 G = ai R(i) . (21) = R(0) + N N i=1 . . . bude se nám hodit pˇri k´ odován´ı. LPC


22/39

Levinson–Durbin Jelikoˇz je matice R symetrická a T¨ oplitzova (vˇsechny prvky na diagonálách jsou stejné), dá se k ˇreˇsen´ı soustavy 19 pouˇz´ıt rychlý algoritmus Levinsona a Durbina: E (0) ki (i)

ai

(i)

LPC

= R(0) 

(22)

= − R(i) +

i−1 X

(i−1)

aj

j=1

= ki

(i−1)

(i−1)

aj

= aj

E (i)

= (1 − ki2 )E (i−1)


+ ki ai−j



R(i − j) /E (i−1)

pro 1 ≤ j ≤ i − 1

(23) (24) (25) (26)

23/39

Levinson-Durbin II. (i)

• Postupnˇe avyˇsujeme ˇrád prediktoru (sloupce následuj´ıc´ı tabulky). aj je j-tý koeficient prediktoru ˇrádu i: (1)

a1

···

a1

(3)

···

a2

(3)

··· .. .

a3 .. .

a1

(2)

a2

a2

(P )

(3)

(2)

a1

a3

(P ) (P )

(27)

(P )

aP

LPC


24/39

• podle pr˚ ubˇehu energie chyby predikce E(i) v závislosti na ˇrádu prediktoru lze optimalizovat tento ˇrád:

E

(i)

P Zvyˇsován´ı ˇrádu prediktoru nad “lom” funkce jiˇz nepˇrináˇs´ı témˇeˇr ˇzádné zlepˇsen´ı energie chyby.

LPC


25/39

Odhad spektr´ aln´ı hustoty v´ ykonu (PSD) pomoc´ı modelu LPC Prozat´ım jsme PSD odhadovali pomoc´ı DFT (obsahovala i “jemnou” sloˇzku zp˚ usobenou násobky frekvence základn´ıho t´ onu). PSD se dá ale odhadnout i pomoc´ı frekvenˇcn´ı charakteristiky filtru 1/A(z): ¯ ¯ ¯ G ¯2 ˆ LP C = ¯ ¯ G (28) ¯ A(z) ¯ j2πf , z=e kde f je normovaná frekvence f =

F . Po dosazen´ı: Fs G2

ˆ LP C = ¯ G ¯2 P ¯ ¯ X ¯ ¯ ai e−j2πf i ¯ ¯1 + ¯ ¯

(29)

i=1

Na této spektráln´ı hustotˇe výkonu se daj´ı dobˇre rozeznat formanty, protoˇze je eliminován vliv základn´ıho t´ onu (a tedy jemná struktura spektra, která se opakuje s F0 ). LPC


26/39

Pˇr´ıklad: odhad spek. hustoty z´ıskaný pomoc´ı DFT a LPC na znˇelém a neznˇelém rámci. 12000

2000

10000

1500

8000 1000 6000 500

unvoiced

voiced

4000

2000

0

0

−500

−2000 −1000 −4000 −1500

−6000

−8000

0

20

40

60

80 samples

100

120

140

−2000

160

200

0

20

40

60

80 samples

100

120

140

160

3500

4000

160

180 140 160 120

PSD−unvoiced

PSD−voiced

140

120

100

100 80 80 60 60

40

0

LPC

500

1000

1500

2000 frequency [Hz]

2500

3000


3500

4000

40

0

500

1000

1500

2000 frequency [Hz]

2500

3000

27/39

Srovn´ an´ı spektrogram˚ u Dlouhodobý spektrogram specgram(s,256,8000,hamming(256),200); 4000

3500

3000

2500

2000

1500

1000

500

0 0

LPC

0.2

0.4


0.6

0.8

1

1.2

28/39

Krátkodobý spektrogram specgram(s,256,8000,hamming(50)); 4000

3500

3000

2500

2000

1500

1000

500

0 0

LPC

0.2

0.4


0.6

0.8

1

1.2

29/39

LPC spektrogram 3500

3000

2500

2000

1500

1000

500

0

LPC

0

0.2

0.4


0.6

0.8

1

1.2

30/39

Parametry odvozen´ e z LPC koeficient˚ u Proˇc ? Koeficienty filtru ai jsou dobré na filtrován´ı, ale to je tak vˇsechno: ˇ • Spatnˇ e se kvantuj´ı (velká citlivost stability filtru na pˇresnost kvantizace, nejsou omezeny: ai ∈< −∞, +∞ >.) • Jsou tvrdˇe korelovány – ˇspatné pro rozpoznáván´ı zaloˇzené na HMM. • Vzdálenost dvou vektor˚ u koeficient˚ u ai nemá nic spoleˇcného s podobnost´ı nebo nepodobnost´ı ˇreˇcových rámc˚ u – ˇspatné i pro rozpoznáván´ı zaloˇzené na pˇr´ımém srovnáván´ı parametr˚ u (DTW) ⇒ bylo by nˇeco lepˇs´ıho ???

LPC


31/39

PARCOR

(i)

• Mezivýsledky Levinsona-Durbina: koeficienty ki = ai se oznaˇcuj´ı jako koeficienty odrazu nebo také koeficienty PARCOR (partial correlation). • Plat´ı pro nˇe: ki ∈< −1, 1 >. Jsou tedy vhodnˇejˇs´ı pro k´ odován´ı neˇz ai . • Sady koeficient˚ u ai a ki se jedna na druhou daj´ı jednoduˇse pˇrevést.

LPC


32/39

V´ alcov´ y model hlasov´ eho traktu hlasový trakt m˚ uˇzeme fyzikálnˇe modelovat pomoc´ı válcových sekc´ı o stejné délce, avˇsak o r˚ uzných pr˚ umˇerech (a t´ım i pr˚ uˇrezech):

A [cm 2]

0

LPC


l [cm]

33/39

Vztah v´ alcov´ eho modelu s LPC pomˇer sousedn´ıch sekc´ı: 1 + km Am−1 = (30) Am 1 − km pro m = P, P − 1, . . . , 1. Plocha AP je fiktivn´ı – skuteˇcnou velikost neznáme, poloˇz´ıme Am−1 jsou pak pomˇery ploch – area ratios (AR). Pouˇz´ıvanˇejˇs´ı jsou tedy AP = 1. Hodnoty Am logaritmické pomˇery ploch – log area ratios (LAR): gm

Am−1 1 + km = log = log Am 1 − km

(31)

Výhoda gm oproti ki je v lineárn´ı citlivosti spektra na hodnoty. Je moˇzné pouˇz´ıt lineárn´ı kvantifikátor hodnot gm . U ki je spektrum silnˇe citlivé na hodnoty ki → 0.

LPC


34/39

LSF ˇ ci LSP Line Spectrum Frequencies (LSF) nebo také Line Spectrum Pairs (LSP), jsou odvozeny z koˇren˚ u dvou polynom˚ u: M (z) = A(z) − z −(P +1) A(z −1 ) Q(z) = A(z) + z

−(P +1)

A(z

−1

(32)

).

Pomoc´ı koˇren˚ u se daj´ı zapsat: M (z)

=

(1 − z

−1

)

Y

(1 − 2z −1 cos ωi + z −2 )

i=2,4,...,P

Q(z) =

(1 + z

−1

)

Y

(1 − 2z

−1

cos ωi + z

−2

).

(33)

i=1,3,...,P −1

kde ω je normovaná kruhová krekvence ω = 2πf (f je normovaná “obyˇcejná” frekvence). Line spectral frequencies fi jsou v intervalu (0,0.5) a jsou seˇrazeny vzestupnˇe: 0 < f1 < f2 < . . . < fP −1 LPC


1 < fP < . 2

(34) 35/39

Pouˇzijeme-li LSFs pro pˇrenos (jsou kvantovány), m˚ uˇzeme v dekodéru otestovat správné dek´ odován´ı tak, ˇze zkontrolujeme jejich ˇrazen´ı. 25

20

15

10

5

0

0

LPC

500

1000

1500


2000

2500

3000

3500

4000

36/39

LPC-cepstrum Cepstráln´ı koeficienty jsme poˇc´ıtali pomoc´ı DFT. Je také moˇzno urˇcit pomoc´ı spektráln´ı hustoty výkonu z´ıskané odhadem pomoc´ı LPC: ¯ ¯ ¯ G ¯2 ˆ LP C (f ) = ¯ ¯ G (35) ¯ A(z) ¯ j2πf , z=e kde G je gain “syntezaˇcn´ıho” filtru a A(z) je polynom ˇrádu P . V tomto pˇr´ıpadˇe hovoˇr´ıme o LPC-cepstru (LPCC): ˆ LP C (f )] c(n) = F −1 [ln G (36) Daj´ı se odvodit následuj´ıc´ı vlastnosti LPC-cepstráln´ıch koeficient˚ u: c(0) = ln G2 .

(37)

Nultý LPC-cepstráln´ı koeficient tedy nese informaci o energii daného ˇreˇcového rámce.

LPC


37/39

Dalˇs´ı koeficienty lze vypoˇc´ıtat z LPC koeficient˚ u pomoc´ı rekurentn´ıch vztah˚ u: n−1

1X kck an−k c(n) = −an − n k=1 n−1 1X kck an−k c(n) = − n

pro 1 ≤ n ≤ P (38) pro

n>P

k=1

⇒ velmi jednoduchý pˇrevod.

LPC


38/39

Pouˇ zit´ı LPCC koeficient˚ u • LPCC koeficienty jsou jednou z parametrisac´ı pouˇz´ıvaných v rozpoznávaˇc´ıch ˇreˇci. Jejich výhodou je, ˇze jednotlivé koeficienty jsou ménˇe korelovány neˇz napˇr´ıklad LPC koeficienty ai , v rozpoznávaˇc´ıch postavených na skrytých Markovových modelech (hidden Markov models – HMM) se obejdeme bez plných kovarianˇcn´ıch matic Σ a vystaˇc´ıme s vektory rozptyl˚ u. V´ıce v kapitole o rozpozáván´ı pomoc´ı HMM. • pomoc´ı dvou sad LPCC koeficient˚ u m˚ uˇzeme jednoduˇse spoˇc´ıtat logaritmickou spektráln´ı vzdálenost (logarithmic spectral distance) mezi dvˇema ˇreˇcovými rámci (nepˇr´ıjemná definice s integrálem pˇrejde na prostou Euklidovu vzdálenost dvou vektor˚ u LPCC).

LPC


39/39

39

Recommend Documents