Vzdělávací materiál vytvořený v projektu OP VK Název školy:
Gymnázium, Zábřeh, náměstí Osvobození 20
Číslo projektu:
CZ.1.07/1.5.00/34.0211
Název projektu:
Zlepšení podmínek pro výuku na gymnáziu
Číslo a název klíčové aktivity:
III/2 - Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT
Anotace Název tematické oblasti:
Integrální počet
Název učebního materiálu:
Obsah plochy omezené křivkou
Číslo učebního materiálu:
VY_32_INOVACE_M0312
Vyučovací předmět:
Matematika
Ročník:
4. ročník vyššího gymnázia
Autor:
Jaroslav Hajtmar
Datum vytvoření:
28.1.2014
Datum ověření ve výuce:
26.2.2014
Druh učebního materiálu:
prezentace
Očekávaný výstup:
Student si dělá poznámky k probíranému tématu a průběžně řeší předkládané úlohy
Metodické poznámky:
Materiál – prezentace – je určen jako osnova výkladu nového učiva resp. pro účely opakování
Obsah plochy omezené křivkou Jaroslav Hajtmar
28.1.2014
Aplikace určitého integrálu Využití určitého integrálu je velmi široké. Náš zájem bude zahrnovat: Výpočet obsahu plochy Výpočet objemu rotačního tělesa Výpočet délky křivky Výpočet povrchu rotačního tělesa Všeobecný postup při řešení geometrických úloh: Převod řešení na výpočet určitého integrálu. Výpočet určitého integrálu. Geometrická interpretace výsledku.
Převod řešení na výpočet určitého integrálu Urcˇity´ integra´l
y y
y = f (x)
x=a
x=b
x
y = f (x)
a
b B
y = g(x)
A x a
b
−c x=a
a)
y = −c
x=b
b)
Obr. 3.15: Vy´pocˇet obsahu mnozˇiny pouzˇili, aby na´m prˇipomı´nalo slovo „mı´ra“. Musı´me vsˇak jesˇteˇ rozlisˇit, zda jde o de´lku,
pro obsah křivočarého lichoběžníka ohraničeného shora grafem fu Obsah křivočarého lichoběžníka
= ana = b a osou⟨𝑎, , xintervalu x platí Nechť je funkce 𝑓 x(𝑥) 𝑏⟩ integrovatelná a nabývá pouze nezáporných hodnot. Pak pro obsah tzv. křivočarého lichoběžníka b P =zleva )dx . ohraničeného shora grafem funkce 𝑓 (𝑥), 𝑥 = 𝑎, zprava ∫ f ( xpřímkou a přímkou 𝑥 = 𝑏 a zdola osou 𝑜𝑥 platí: Důkaz:
𝑏
𝑃 = ∫ 𝑓 (𝑥) d𝑥
Tvrzení plyne z definice Riemannova určitého integrálu (definice 𝑎
Obsah křivočarého lichob. pro nekladnou funkci
Je-li funkce 𝑓 (𝑥) na intervalu ⟨𝑎, 𝑏⟩ integrovatelná a nabývá pouze záporných hodnot, pak pro obsah křivočarého lichoběžníka platí: 𝑏
𝑏
𝑃 = − ∫ 𝑓 (𝑥) d𝑥 = ∫ ∣𝑓 (𝑥)∣ d𝑥
Matematika II
𝑎
𝑎
Obr. 3.1.2. Obsah křivočarého lichoběžníka pro nekladnou funkc
Určitý integrál obecné funkce osou x kladně a části pod osou x záporně. Pokud bychom v
Je-li funkce 𝑓 (𝑥) na intervalu ⟨𝑎, 𝑏⟩ integrovatelná a nabývá na něm kladných i záporných hodnot, pak hodnota určitého integrálu neodpovídá omezené křivkou by a osou 𝑜𝑥 : celémploše intervalu, odečítaly se kladné a záporné části (obr. 3.1
Pro výpočet plochy musíme rozdělit integrační samo- f ( x Obr. 3.1.3. Obsah plochy mezi osou x ainterval grafemna funkce statné podintervaly, určit jednotlivé plochy a ty pak sečíst!
Větu 3.1.1. můžeme zobecnit na případ, kdy je obrazec
Obsah plochy omezené dvěma křivkami 3.1. Obsah rovinné oblasti
Nechť jsou funkce 𝑓 (𝑥) a 𝑔(𝑥) integrovatelné na intervalu ⟨𝑎, 𝑏⟩ a platí Důkaz: Matematika II
𝑔(𝑥) ≤ obě 𝑓 (𝑥), ∀𝑥 ∈f ( x⟨𝑎, plochajeoblasti ohraničené zdola grafem Jsou-li funkce obsah uvažovaného křivočarého ) a𝑏⟩. g ( xPak ) nezáporné, funkce 𝑔(𝑥),roven shora grafem funkce 𝑓 (𝑥), zleva přímkou = 𝑎 aplochy zprava lichoběžníka rozdílu obsahu plochy pod grafem funkce pod f ( x ) a𝑥obsahu přímkou 𝑥 = 𝑏 platí: grafem funkce g ( x ) , viz obr. 3.1.4. b 𝑏
𝑏
(𝑥)= d𝑥 P = ∫ f ( x)𝑃 dx = − ∫∫ g ( x𝑓)dx ( x) ) dd𝑥 x ∫ ( f −( x)∫− g𝑔(𝑥) 𝑎 a a𝑎 a b
b
𝑏
= ∫ (𝑓 (𝑥) − 𝑔(𝑥)) d𝑥 𝑎
Obr. 3.1.4. Obsah plochy mezi funkcemi g ( x ) a f ( x ) na intervalu < a, b >
Praktický výpočet ploch
Příklad: Vypočtěte obsah rovinného obrazce ohraničeného osou 𝑜𝑥 a křivkou 𝑦 = 6𝑥 − 𝑥 2 . Postup: Nákres Výpočet integračních mezí Výpočet obsahu plochy
Obsah a = 0 a plochy b = 6 . omezené křivkou a osou 𝒐𝒙
Obr. 3.1.5. Graf funk Hledaný obsah je
Obr. 3.1.5. Graf funk 6
6 Hledaný obsah je ⎡ 2 x3 ⎤ 2 P = ∫ (6 x − x )dx = ⎢3x − ⎥ = 108 − 2 ⋅ 36 = 36 . 33 ⎥⎦ 6 ⎢⎣⎡ 06 ⎤0 2 2 x P = ∫ (6 x − x )dx = ⎢3x − ⎥ = 108 − 2 ⋅ 36 = 36 . Příklad 3.1.2. Vypočtěte obrazce ohraničeného k ⎢⎣ obsah3 rovinného ⎥⎦ 0 0
x sin x ≥ 0 pro x ∈< 0, π > , x sin x ≤ 0 pro x ∈< π , 2π > a x s
Příklad: Vypočtěte obsah rovinného obrazce ohraničeného křivkou (obr. 3.1.6). 𝑦 = 𝑥 ⋅ sin 𝑥, osou 𝑜𝑥 a přímkami 𝑥 = 0, 𝑥 = 3𝜋 .
Obr. 3.1.6. Graf f Hledaný obsah bude sestávat ze tří částí:
Matematika II
Obsah plochy omezené křivkou a osou 𝒐𝒙
π
3.1. Obsah rovinné oblas
P = ∫ x sin x dx − 0
2π
∫
3π
x sin x dx +
π
∫
x sin x dx .
2π
Potřebnou primitivní funkci k funkci y = x sin x nalezneme metodou per partes:
∫ x sin x dx =
u′ = sin x v=x = − x cos x + ∫ cos x dx = sin x − x cos x . u = − cos x v′ = 1
Dosadíme příslušné meze: π
2π
3π
P = [sin x − x cos x ]0 − [sin x − x cos x ]π + [sin x − x cos x ]2π =
= [ 0 − π (−1) − 0 + 0] − [ 0 − 2π − 0 + π (−1)] + [ 0 − 3π (−1) − 0 + 2π ] = π + 3π + 5π = 9π . Příklad 3.1.3. Odvoďte vzorec pro výpočet obsahu kruhu o poloměru R. Řešení:
Vzorec pro výpočet obsahu kruhu jistě znáte už ze základní školy. Dosud jste však nemě
Příklad: Vypočtěte obsah rovinného obrazce ohraničeného křiv1 𝑥2 kami, které jsou grafy funkcí 𝑦 = 1+𝑥 2 a 𝑦 = 2 . Postup: Nákres obou grafů Výpočet průsečíků grafů (určíme integrační meze) Výpočet obsahu plochy užitím určitého integrálu
Řešení:
Řešení: Nákres:
Je zřejmé, že funkce y =
1 1 + x2
bude vždy kladná a největší hodnoty nabude pro
Grafem druhé funkce je parabola (obr. 3.1.8).
Matematika II
3.1. Obsah rovinné oblas
Nejprve musíme nalézt průsečíky daných křivek. Řešíme rovnici 1 x 2 průsečíků obou grafů: Výpočet 2 x2 . Po úpravě dostaneme x 4 + ohraničený x 2 − 2 = 0křivkami , tedy y( x=22 −11)( = = 2) = 0 . ax y + Obr. 3.1.8. Obrazec 2 1 𝑥 1 + x2 2 1 +Průsečíky x2 získáme řešením rovnice 1+𝑥 2 = 2 . 2 - 1522Po úpravě dostaneme 𝑥 4kořeny + 𝑥 2 −x12= = Uvedená rovnice má dva reálné −1 0, a xtedy 1 = 1 . (𝑥 − 1) ⋅ (𝑥 + 2) = 0. Rovnice má dva reálné kořeny 𝑥 = −1 a 𝑥2 = 1 (integ. meze). Podle věty 3.1.2 je obsah oblasti ohraničené1 danými křivkami roven Výpočet obsahu plochy užitím určitého integrálu: 1⎛
1⎛
x2 ⎞
1
⎡ x3 ⎤ 1 1 ⎛π 1⎞ π 1 P= ∫⎜ − ⎟ dx = 2∫ ⎜ − ⎟ dx = 2 ⎢ arctg x − ⎥ = 2 ⎜ − ⎟ = − . 2 2 ⎜ ⎜ 2 ⎠⎟ 2 ⎠⎟ 6 ⎦⎥ ⎝ 4 6⎠ 2 3 ⎣⎢ −1 ⎝ 1 + x 0 ⎝ 1+ x 0 Poznámka
x2 ⎞
Použité materiály a zdroje Petáková, RNDr. Jindra. Matematika: Příprava k maturitě a k přijímacím zkouškám na vysoké školy. Dotisk 1.vydání. Praha: Prometheus, 2003. 303 s. ISBN 8071960993. Hošková Š., Kuben J., Račková P., Integrální počet funkcí jedné proměnné [online]. 2013 [cit. 2013-04-15]. File: ip.pdf. Dostupný z WWW:
. Tomica, R. Cvičení z matematiky – I. Brno: VAAZ, 1974. Archiv autora
