Valószín½uségszámítás és matematikai statisztika Mihálykóné Orbán Éva Matematika Tanszék
MOE (PE MIK)
MMAM143VB
1 / 34
Valószín½uségi változók számérték½u jellemz½oi
1
várható érték
2
szórásnégyzet/szórás
3
módusz
4
medián
5
kovariancia, korrelációs együttható
MOE (PE MIK)
MMAM143VB
2 / 34
A várható érték de…níciója
De…níció Legyen ξ diszkrét eloszlású valószín½uségi változó, ξ : ξ várható értékén az
x1 x2 x3 . . p1 p2 p3 . .
∞
E (ξ ) =
∑ xi
pi
i =1 ∞
összeget értjük, amennyiben a ∑ jxi j pi végtelen sor konvergens. i =1
MOE (PE MIK)
MMAM143VB
3 / 34
A várható érték de…níciója
ξ:
∞
x1 x2 x3 p1 p2 p3
, E (ξ ) = ∑ xi pi i =1
Megjegyzés Véges sok lehetséges érték esetén a várható érték egy véges tagszámú összeg, amelynek végessége automatikusan biztosított. ∞
∞
i =1
i =1
∑ jxi j pi végessége miatt ∑ xi pi = E (ξ ) véges.
E (ξ ) helyett M (ξ ) jelölés is használatos.
MOE (PE MIK)
MMAM143VB
4 / 34
A várható érték de…níciója De…níció Legyen ξ folytonos eloszlású valószín½uségi változó f s½ur½uségfüggvénnyel. ξ várható értékén az E (ξ ) =
Z∞
x f (x )dx
∞
improprius integrált értjük, amennyiben a
Z∞
∞
integrál konvergens.
jx j f (x )dx improprius
Megjegyzés Z∞
∞
jx j f (x ) dx végessége miatt E (ξ ) is véges. MOE (PE MIK)
MMAM143VB
5 / 34
A várható érték tulajdonságai i) Legyenek ξ, η v.v.-k, a, b, c 2 R 1
Ha ξ és η azonos eloszlásúak, akkor a várható értékük is megegyezik.
2
Ha 0
3
E (ξ + η ) = E (ξ ) + E (η )
4
E (c ξ ) = c E ( ξ )
ξ, akkor 0
E (ξ )
Következmények: 5
Ha ξ = c
6
E (a ξ + b ) = a E ( ξ ) + b
7
Ha a
ξ
b, akkor a
E (ξ )
8
Ha ξ
η, akkor E (ξ )
E (η )
MOE (PE MIK)
1 valószín½uséggel, akkor E (ξ ) = c b
MMAM143VB
6 / 34
A várható érték tulajdonságai ii) 9
Ha ξ 1 , ξ 2 , ..., ξ n azonos eloszlású valószín½uségi változók, E (ξ 1 ) = . . . E (ξ n ) = m, akkor ! n
E
∑ ξi
=n m,
i =1
10
11
továbbá
0
n
1
ξi B i∑ =1 C C EB @ n A=m.
Ha ξ és η v.v.-k függetlenek, akkor
E (ξ η ) = E (ξ ) E (η ) .
MOE (PE MIK)
MMAM143VB
7 / 34
A várható érték tulajdonságai iii)
12
Ha ξ diszkrét eloszlású valószín½uségi változó, ξ : g : R ! R függvény, amire g (ξ ) értelmes, akkor
x1 x2 x3 p1 p2 p3
,
∞
E (g (ξ )) =
∑ g (xi )
pi
i =1
feltéve, hogy ∑i∞=1 jg (xi )j pi konvergens. Speciálisan, g (x ) = x 2 esetén E (ξ 2 ) =
∞
∑ xi2
pi
i =1
MOE (PE MIK)
MMAM143VB
8 / 34
A várható érték tulajdonságai iv) 13
Ha ξ folytonos eloszlású valószín½uségi változó f s½ur½uségfüggvénnyel, g : R ! R függvény, amire g (ξ ) értelmes, akkor E (g (ξ )) =
Z∞
g (x ) f (x )dx
∞
feltéve, hogy
R∞
∞
jg (x )j f (x )dx integrál konvergens.
Speciálisan, g (x ) = x 2 esetén 2
E (ξ ) =
Z∞
x 2 f (x )dx
∞
MOE (PE MIK)
MMAM143VB
9 / 34
A várható érték tulajdonságai v) Állítás Ha E (ξ 2 ) létezik, akkor E (ξ ) is létezik.
R∞ Bizonyítás (folytonos eloszlású v.v. esetén) E (ξ ) = ∞ xf (x )dx, R∞ lézetéséhez kell: jx j f (x )dx végessége R∞ R∞ 1 R1 R∞ x f ( x ) dx = x f ( x ) dx + x f ( x ) dx + j j j j j j jx j f (x )dx R ∞1 2 R1 ∞ R∞ 2 1 R ∞1 2 x f (x )dx + 1 f (x )dx + 1 x f (x )dx 1 + ∞ x f (x )dx = ∞ 1 + E (ξ 2 )
Állítás Ha E (ξ 2 ) létezik, akkor E ((ξ
c )2 ) akkor minimális, ha c = E (ξ ).
Bizonyítás E ((ξ c )2 ) = E (ξ 2 ) 2cE (ξ ) + c 2 , ez c másodfokú függvénye, akkor minimális, ha 2E (ξ ) = 2c, azaz c=E (ξ ). MOE (PE MIK)
MMAM143VB
10 / 34
A szórásnégyzet, szórás de…níciója ξ valószín½uségi változó.
De…níció ξ szórásnégyzetén a D 2 (ξ ) = E (ξ E (ξ ))2 számot értjük, amennyiben ez a várható érték létezik, tehát véges.
De…níció ξ szórásán a D (ξ ) =
p
D 2 (ξ ) =
r
E (ξ
E (ξ ))2
számot értjük.
Megjegyzés (ξ E (ξ ))2 nemnegatív, ezért a várható értéke is az, vagyis a gyökvonás elvégezhet½o. MOE (PE MIK)
MMAM143VB
11 / 34
A szórásnégyzet, szórás tulajdonságai i)
1
2
Ha két valószín½uségi változó eloszlása megegyezik, akkor a szórásnégyzetük és szórásuk is megegyezik. q 2 2 D 2 (ξ ) = E (ξ 2 ) (E (ξ )) , D (ξ ) = E (ξ 2 ) (E (ξ ))
E (ξ 2 ) számolási módját megadtuk a várható érték tulajdonságai között.
3
Ha ξ = c 1 valószín½uséggel, akkor D 2 (ξ ) = 0 = D (ξ ).
4
Ha D 2 (ξ ) = 0 = D (ξ ), akkor P (ξ = c ) = 1.
5
D 2 (a ξ + b ) = a2 D 2 ( ξ ), D (a ξ + b ) = ja j D ( ξ )
MOE (PE MIK)
MMAM143VB
12 / 34
A szórásnégyzet, szórás tulajdonságai ii) 6
Ha ξ és η függetlenek, akkor D 2 ( ξ + η ) = D 2 ( ξ ) + D 2 ( η ). Figyelem! D (ξ + η )6=D (ξ ) + D (η )!
7
Ha ξ 1 , ξ 2 , . . . , ξ n független, azonos eloszlású valószín½uségi változók, közös szórásnégyzetük D 2 (ξ 1 ) = . . . = D 2 (ξ n ) = σ2 akkor D2
n
∑ ξi
i =1
továbbá
n
D
∑ ξi
i =1
MOE (PE MIK)
= n D 2 ( ξ 1 ) = n σ2 ,
=
p
n D (ξ 1 ) =
MMAM143VB
p
n σ
13 / 34
A szórásnégyzet, szórás tulajdonságai iii)
8
Ha ξ 1 , ξ 2 , . . . , ξ n független azonos eloszlású valószín½uségi változók, D (ξ 1 ) = . . . = D (ξ n ) = σ, akkor D2
∑ni=1 ξ i n
=
D
∑ni=1 ξ i n
σ =p n
továbbá
MOE (PE MIK)
MMAM143VB
σ2 , n
14 / 34
Módusz De…níció Legyen ξ diszkrét eloszlású valószín½uségi változó. ξ móduszán azt a lehetséges értékét értjük, amihez tartozó valószín½uség maximális a lehetséges értékekhez tartozó valószín½uségek között, azaz x1 x2 x3 ξ: jelöléssel ξ módusza xi , ha pi pj p1 p2 p3 minden j = 1, 2, ... esetén.
Megjegyzés ξ módusza nem feltétlenül egyértelm½u (többes módusz, multimodális eloszlás).
Megjegyzés Egy valószín½uségi változó felveszi a móduszát. MOE (PE MIK)
MMAM143VB
15 / 34
Módusz
De…níció Legyen ξ folytonos eloszlású valószín½uségi változó f s½ur½uségfüggvénnyel. ξ móduszán f lokális maximumhelyeit értjük.
Megjegyzés ξ módusza nem feltétlenül egyértelm½u (multimodális eloszlás).
MOE (PE MIK)
MMAM143VB
16 / 34
Módusz példa 1 7
f (x ) =
x
e
+ x3 e 0
x
2
3
ha x 0 különben
módusz: 0, 2.879
y 0.20
0.15
0.10
0.05
0.00 0
1
MOE (PE MIK)
4
5
MMAM143VB
6
7
8
9
10
x
17 / 34
Medián i)
De…níció Legyen ξ v.v. ξ mediánján azt az x értéket értjük, amire P (ξ és P (ξ x ) 0.5
x)
0.5,
Állítás A folytonos eloszlású ξ mediánja az x érték, ha F (x ) = 0.5. Bizonyítás P (ξ x ) = P (ξ < x ) = F (x ) 0.5, P (ξ x ) = 1 F (x ) 0.5, 0.5 F (x ) ) F (x ) = 0.5.
MOE (PE MIK)
MMAM143VB
18 / 34
Medián példa
F (x ) =
(
x2 1 x 2 +1
0
ha 1 x különben
F(x)
medián: 1.73
1.0 0.8 0.6 0.4 0.2
-5
F (x ) =
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
x
p x2 1 = 0.5, x 2 = 3, x = 3 = 1.73 2 x +1
MOE (PE MIK)
MMAM143VB
19 / 34
Medián ii)
Állítás Ha ξ diszkrét eloszlású és F (x ) 6= 0.5, akkor ξ mediánja az az x érték, amelynél F átugorja a 0.5 szintet. Bizonyítás P (ξ x ) 0.5 ) F (x ) 0.5, P (ξ x ) = F (x ) + P (ξ = x ) = lim F (u ) u !x +
MOE (PE MIK)
MMAM143VB
0.5
20 / 34
Medián példa
8 > > <
0 1/3 F (x ) = 2/3 > > : 1
ha x 2 ha 2<x 1 ha 1 < x 5 ha 5 < x
ξ:
2 1 5 1/3 1/3 1/3
medián: 1
F(x) 1.0 0.8 0.6 0.4 0.2
-5
-4
-3
MOE (PE MIK)
-2
-1
0
1
2
3
MMAM143VB
4
5
6
7
8
9
10
x
21 / 34
Medián
Állítás Ha ξ eloszlásfüggvénye F (x ) = 0.5 a < x
b esetén, akkor ξ mediánja az a+b (a, b ] intervallum minden pontja. Hagyományosan -t szokták 2 alkalmazni a statisztikai számolásokhoz.
MOE (PE MIK)
MMAM143VB
22 / 34
Medián F (x ) =
8 <
0 ha x 2 1/2 ha 2<x : 1 ha 5 < x
5
ξ:
2 5 1/2 1/2
2 +5 2
medián:
= 1.5
F(x) 1.0 0.8 0.6 0.4 0.2
-5
-4
-3
MOE (PE MIK)
-2
-1
0
1
2
3
MMAM143VB
4
5
6
7
8
9
10
x
23 / 34
Kovariancia
Legyen ξ , η v.v (egydimenziósak) E (ξ ), E (η ) léteznek
De…níció ξ és η kovarianciáján a cov (ξ, η ) = E ((ξ értéket értjük, ha létezik.
E (ξ )) (η
E (η ))) várható
Megjegyzés cov (ξ, η ) = cov (η, ξ ) Megjegyzés cov (ξ, ξ ) = E ((ξ
MOE (PE MIK)
E (ξ )) (ξ
E (ξ ))) =D 2 (ξ )
MMAM143VB
24 / 34
Kovariancia tulajdonságai
1
cov (ξ, η ) = cov (ξ
2
cov (cξ + a, d η + b ) = cdcov (ξ, η )
3
cov (cξ + a, cξ + a) = c 2 D 2 (ξ )
4
Ha ξ = const, akkor cov (ξ, η ) = 0.
5
cov (ξ, η ) = E (ξ η ) E (ξ ) E (η )) mivel cov (ξ, η ) = E ((ξ E (ξ )) (η E (η ))) = E (ξ η ξ E (η ) E (ξ ) η ) + E (ξ )E (η ))
6
Ha E(ξ ) = 0, akkor cov (ξ, η ) = E (ξ η )
7
Ha ξ és η függetlenek, akkor cov (ξ, η ) = 0.
MOE (PE MIK)
E ( ξ ), η
E (η ))
MMAM143VB
25 / 34
Feltétel a kovariancia létezésére Állítás Ha E (ξ 2 ) és E (η 2 ) létezik, akkor cov (ξ, η ) is létezik és jcov (ξ, η )j D (ξ ) D (η ).Egyenl½oség akkor és csak akkor áll fenn, ha ξ = aη + b vagy η = cξ + d. Bizonyítás ξ = q ξ E ( ξ ), η = η E (ξ 2 ) E (η 2 ) jE (ξ η )j
E (η ),belátjuk, hogy
Tekintsük az 0 E ((ξ λη )2 ) = E (ξ 2 ) 2λE (ξ η ) + λ2 E (η 2 ) 2 Ha E (η ) > 0, akkor ez λ másodfokú függvénye, nemnegativitás miatt diszkrimináns nem lehet pozitív. q 2
4(E (ξ η )) 4E (ξ 2 ) E (η 2 ) 0 ! jE (ξ η )j E ( ξ 2 ) E ( η 2 ). egyenl½oség akkor áll fenn, ha a diszkrimináns 0, azaz E ((ξ λη )2 ) = 0, azaz ξ λη = 0 (1 valószín½uséggel) 2 Ha E (η ) = 0, akkor η 2 = 0, azaz η = E (η ) azaz η = 0 ξ + E (ξ ) MOE (PE MIK)
MMAM143VB
26 / 34
Kovariancia tulajdonságai iii) Állítás Ha ξ, η amikre cov (ξ, η ) =0 ; ξ e´ s η függetlenek. Bizonyítás Példát mutatunk, amikor cov (ξ, η ) =0, de ξ e´ s η NEM függetlenek. Legyen ξ s½ur½uségfüggvénye f(x)=0.5 ha -1 x 1,egyébként 0, η = ξ 2 . Ekkor ξ és η nem függetlenek, mert P(ξ < 0.5, η < 0.25) = P ([ 0.5, 0.5)) = 0.5 6=P(ξ < 0.5) P (η < 0.25) = 0.75 0.5. cov (ξ, η ) = E (ξη ) E (ξ )E (η ). R1 E (ξη ) = E (ξ 3 ) = 1 x 3 21 dx = 0. E (ξ ) = 0, E (ξ )E (η ) = 0, cov (ξ, η ) = 0.
Állítás D2 (ξ + η ) = D 2 (ξ ) + D 2 (η ) + 2cov (ξ, η ) MOE (PE MIK)
MMAM143VB
27 / 34
Korrelációs együttható De…níció ξ , η v.v (egydimenziósak) D (ξ ), D (η ) véges, D (ξ ) 6= 0, D (η ) 6= 0.ξ , η cov (ξ,η ) korrelációs együtthatóján a r (ξ, η ) = D (ξ ) D (η ) hányadost értjük.
Megjegyzés Ha D (ξ ) = 0, akkor ξ = E (ξ ) 1 valószín½uséggel, cov (ξ, η ) = 0, r(ξ, η ) = 0 megállapodás szerint. Állítás jr (ξ, η )j
1, egyenl½oség pontosan akkor, ha lineáris kapcsolat áll fenn a kett½o v.v között.
Állítás Ha ξ , η függetlenek, akkor r (ξ, η ) = 0.
ÁllításMOE
(PE MIK)
MMAM143VB
28 / 34
Feladat
1
Elgurítunk egy szabályos kockát. Legyen ξ a gurítás értéke. Adja meg ξ várható értékét és szórását!
2
Kétszer elgurítunk egy szabályos kockát.Legyen ξ a két gurítás összege. Adja meg ξ várható értékét és szórását!
3
Tízszer elgurítunk egy szabályos kockát.Legyen ξ a tíz gurítás összege. Adja meg ξ várható értékét és szórását!
MOE (PE MIK)
MMAM143VB
29 / 34
Feladat
4
Egységnyi id½o alatt egy gépre érkez½o vírusos …le-ok száma olyan ξ valószín½uségi változó, amelynek lehetséges értékei 0,1 2, valamint p 5 2 várható értéke 3 , szórása 3 . 1 2
3
4
5
Adja meg ξ eloszlását! Ha az egyes id½oegységek alatt érkez½o …le-ok száma független val. változók, akkor adja meg 2 id½oegység alatt összesen érkez½o vírusos …le-ok számának eloszlását! Ha az egyes id½oegységek alatt érkez½o …le-ok száma független val. változók,akkor adja meg 15 id½oegység alatt összesen érkez½o vírusos …le-ok számának várható értékét és szórását! Hány id½oegység alatt érkez½o vírusos …le-ok számának várható értéke 40? Hány id½oegység alatt érkez½o vírusos …le-ok számának szórása 20?
MOE (PE MIK)
MMAM143VB
30 / 34
Feladat
5
Legyen ξ s½ur½uségfüggvénye f(x)= 1 2 3 4
Számolja Számolja Számolja Számolja
MOE (PE MIK)
c ha 1 x 10 0 különben
ki 1ξ várható értékét és szórását! ki sin ξ várható értékét és szórását! ki exp ξ várható értékét és szórását! ki lnξ várható értékét !
MMAM143VB
31 / 34
Feladatok Diszkrét-folytonos kapcsolat
6
Egy gép javítási ideje olyan valószín½uségi változó, amelynek 3 x (4 x ) ha 0 x 4 s½ur½uségfüggvénye f(x)= 32 0 különben 1 2 3
4
5
Mennyi a gép javíási idejének várható értéke és szórása? Mennyi a valószín½usége, hogy a javítási id½o 1 óra és 2 óra közé esik? Ha minden megkezdett órát teljesen ki…zettetnek, akkor mennyi a valószín½usége, hogy legalább 3 órát ki kell …zetni? Ha minden megkezdett órát teljesen ki…zettetnek, akkor mennyi a ki…zettetett órák számának vártható értéke és szórása? Hogyan járunk jobban, ha folytonos alapon számláztatunk 10000 Ft-os rezsióradíjjal vagy teljes óra alapon 9000 Ft rezsióradíjjal?
MOE (PE MIK)
MMAM143VB
32 / 34
Feladatok
7
Egy ξ v.v s½ur½uségfüggvénye f(x)= 1 2 3
3 32
x (4
x ) ha 0 x 0 különben
4
1 várható értékét! Számolja ki ξ + 1 Számolja ki exp(-ξ ) várható értékét! Számolja ki ln(ξ + 10 ) várható értékét!
MOE (PE MIK)
MMAM143VB
33 / 34
Feladatok
8
9
1 ha 0 x 1 ., η = ξ 2 . 0 különben Határozza meg cov (ξ, η ) és r (ξ, η ) értékét! Legyen ξ s½ur½uségfüggvénye f(x)=
Legyen ξ s½ur½uségfüggvénye f(x)=
exp( x ) ha 0 0 különben
x
, η = ξ2
Határozza meg cov (ξ, η ) értékét! 10
1 x
ha e x e 2 , η = ξ2 0 különben Határozza meg cov (ξ, η ) és r (ξ, η ) értékét!
Legyen ξ s½ur½uségfüggvénye f(x)=
MOE (PE MIK)
MMAM143VB
34 / 34
