Vzdělávací materiál vytvořený v projektu OP VK Název školy:
Gymnázium, Zábřeh, náměstí Osvobození 20
Číslo projektu:
CZ.1.07/1.5.00/34.0211
Název projektu:
Zlepšení podmínek pro výuku na gymnáziu
Číslo a název klíčové aktivity:
III/2 - Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT
Anotace Název tematické oblasti:
Integrální počet
Název učebního materiálu:
Objem rotačního tělesa
Číslo učebního materiálu:
VY_32_INOVACE_M0314
Vyučovací předmět:
Matematika
Ročník:
4. ročník vyššího gymnázia
Autor:
Jaroslav Hajtmar
Datum vytvoření:
6.2.2014
Datum ověření ve výuce:
5.3.2014
Druh učebního materiálu:
prezentace
Očekávaný výstup:
Student si dělá poznámky k probíranému tématu a průběžně řeší předkládané úlohy
Metodické poznámky:
Materiál – prezentace – je určen jako osnova výkladu nového učiva resp. pro účely opakování
Objem rotačního tělesa Jaroslav Hajtmar
6.2.2014
Objem rotačního tělesa Princip: Rozřežeme těleso na „plátky“ a ty pak nahradíme vepsanými nebo opsanými válečky. Aproximace objemu tělesa závisí na charakteru funkce a na počtu vepsaných či opsaných válečků. Postupně zjemňujeme dělení intervalu – aproximace vepsanými válečky se zvětšuje, opsanými válečky se zmenšuje. Objem každého „objemového elementu“ je kladné reálné číslo. Objemové elementy (kladná čísla jako v případě aproximace obsahů ploch) sečteme pomocí určitého integrálu.
a obsah jeho pla´sˇteˇ Q.
Rozřežeme rotační těleso na „plátky“ y y = f (x)
P a
b x
O z
Obr. 3.21: Rotacˇnı´ teˇleso
element můžete si představit,Objemový že těleso krájíte na kráječi jako šunku
Obr. 3.3.2. Rozřezání tělesa na tenké plátky
Objemový element: Váleček o poloměru podstavy 𝑓 (𝜉𝑖 ) a výšce Δ𝑥𝑖 Objem elementu je: Δ𝑉𝑖 = 𝜋 ⋅ 𝑓 2 (𝜉𝑖 ) ⋅ Δ𝑥𝑖
Objem celého tělesa Přibližně roven součtu objemů jednotlivých plátků (válečků) tj: 𝑛
𝑛
𝑉 ≈ ∑ Δ𝑉𝑖 = ∑ 𝜋 ⋅ 𝑓 2 (𝜉𝑖 ) ⋅ Δ𝑥𝑖 𝑖=1
𝑖=1
Zjemňujme dělení Čím bude dělení intervalu jemnější, tím méně se bude součet objemů plátků lišit od objemu daného tělesa.
Objem definujeme jako limitu tohoto součtu pro 𝒏 → ∞, když zároveň všechny délky Δ𝒙𝒊 → 𝟎
Rotace křivočarého lichoběžníka kolem 𝒐𝒙
přímkami x = a , x = b a osou x. Rotací tohoto křivočarého
otační těleso. Naším cílem bude vypočítat objem tohoto těl
Obr. 3.3.1. Rotace křivočarého lichoběžníka
ta´rnı´ch funkcı´. Pak nezby´va´ nezˇ pouzˇ´ıt neˇjakou prˇiblizˇnou metodu — viz kapitola 5. To je naprˇ. prˇ´ıpad elipsy, kdy lze uka´zat, zˇe jejı´ de´lka je vyja´drˇena pomocı´ tzv. elipticke´ho integra´lu — viz str. 80.
Objem rotačního tělesa
Nechť je funkce 𝑓 (𝑥) spojitá a nezáporná na intervalu ⟨𝑎, 𝑏⟩. Pak roObjem rotacˇnı´ho teˇlesa a obsah pla´sˇteˇ rotacˇnı´ho teˇlesa tační těleso, které vznikne rotací křivočarého lichoběžníka ohraničeUvazˇujme spojitou neza´pornou funkci f (x), ktera´ je definovana´ na intervalu ha, bi. Ta na´m urcˇgrafem ´ı krˇivocˇary´ funkce obde´lnı´k (podgraf f ) přímkou 𝑥 = 𝑎, zprava přímkou ného shora 𝑓 (𝑥),funkce zleva y) ∈ R2osy | a 5𝑜x𝑥5 y 5 f (x)}. (3.25) 𝑥 = 𝑏 a zdola osou P𝑜𝑥=, {(x, kolem , b, má0 5objem: Jeho rotacı´ kolem osy x vznikne rotacˇnı´ teˇleso 𝑏 V — viz obr. 3.21. Povrch tohoto teˇlesa je tvorˇen pla´sˇteˇm Q a dveˇma postrannı´mi kruhy. Nas 2 ˇ´ım cı´lem je vypocˇ´ıtat objem rotacˇnı´ho teˇlesa V a obsah jeho pla´sˇteˇ Q.
𝑉 = 𝜋 ∫ 𝑓 (𝑥) d𝑥 𝑎
y
y = f (x)
P a O z
b x
a výškou v.
Odvození základních vzorců
Řešení: Úloha: Vrchol pro kuželu umístíme souřadné soustavy Ověřte základní vzorec objem kuželedos počátku podstavou o poloměru 𝑟 tak a výškou 𝑣. r x ko y = s osou x . Plášť kužele vznikne rotací přímky Návod: Umístěte do souřadné soustavy vhodně přímku, jejíž rotací v kolem osy 𝑜𝑥 na jistém intervalu vznikne požadovaný kužel.
(obr. 3.3.3).
Obr. 3.3.3. Objem ku Dosazením do vztahu z věty 3.3.1 dostaneme
Rovnice kružnice se středem v počátku
Úloha: Ověřte základní vzorec pro 2objem2koule o poloměru 𝑟 . x ∈<jejíž −r ,rotací r >. y =souřadné ± r −soustavy x , přičemž Návod: Umístěte do vhodně kružnici, kolem osy 𝑜𝑥 na jistém intervalu vznikne požadovaná koule.
R
dostaneme plášť koule.
Obr. 3.3.4. Ob
Úloha: Řešení: Vypočtěte objem tělesa, které vznikne rotací oblasti ohraničené křivkami 𝑦 = 𝑥 2 a 𝑦 = 2 − 𝑥 2 kolem osy 𝑜𝑥 .
Oblast je ohraničená dvěma parabolami, viz. obr. 3.3.
Ob
Hledaný objem dostaneme, když od objemu tělesa, jehož plášť vznikne rotací křivky
Odečtením objemů získáme požadované těleso 2
f ( x) = 2 − x
kolem osy x pro x ∈< −1,1 > , odečteme objem tělesa, které vznikne rotací
obrazce pod křivkou g ( x) = x 2 na stejném intervalu (obr. 3.3.6).
V
=
π
1
∫(
−1
2− x
)
2 2
dx
-
π
1
∫(
−1
)
2
x 2 dx
Obr. 3.3.6. Odečtení objemů dvou těles
Pro objem rotačního tělesa, které vznikne rotací oblasti ohraničené křivkami y = x 2 a
y = 2 − x 2 kolem osy x, dostaneme:
Výpočet objemu
Matematika II b
3.3 Objem rotačního tělesa b
2
2
V = π ∫ f ( x)dx − π ∫ g ( x)dx = π a
=π
a
1
∫ ⎡⎣(4 − 4 x
2
−1
4
+ x )− x
4⎤
⎦
1
∫ (2 − x
2 2
) dx − π
−1
dx = π
1
∫ (4 − 4 x
−1
1
∫ (x
2 2
) dx = π
−1
2
) dx = 4π
1
∫ ⎡⎣(2 − x
−1
1
∫ (1 − x
−1
2
) − ( x 2 ) 2 ⎤dx = ⎦
2 2
1
) dx = 8π ∫ (1 − x 2 )dx = 0
1
⎡ x3 ⎤ ⎡ 1 ⎤ 16 = 8π ⎢ x − ⎥ = 8π ⎢1 − ⎥ = π . 3 ⎦⎥ ⎣ 3⎦ 3 ⎣⎢ 0 Poznámka
Upozornění! Pro výpočet objemu rotačního tělesa, které vznikne rotací oblasti ohraničené křivkami g ( x) ≤ f ( x) kolem osy x pro x ∈< a, b > , použijeme vztah
Použité materiály a zdroje Petáková, RNDr. Jindra. Matematika: Příprava k maturitě a k přijímacím zkouškám na vysoké školy. Dotisk 1.vydání. Praha: Prometheus, 2003. 303 s. ISBN 8071960993. Hošková Š., Kuben J., Račková P., Integrální počet funkcí jedné proměnné [online]. 2013 [cit. 2013-04-15]. File: ip.pdf. Dostupný z WWW:
. Tomica, R. Cvičení z matematiky – I. Brno: VAAZ, 1974. Kreml P., Vlček J., Volný P., Krček J., Poláček J., Matematika II [online]. 2013 [cit. 2013-04-15]. Dostupné z WWW: Archiv autora
