Matematika
Kamila Hasilová
Matematika
1/34
Obsah
1
Úvod
2
GEM
3
Lineární algebra
4
Vektory
Matematika
2/34
Úvod
Zkouška
• písemná, termíny budou vˇcas vypsány na Intranetu UO • obsah: teoretická a praktická cˇ ást • hodnocení: max. 100 bodu˚ body hodnocení
[100, 90] A
(90, 80] B
(80, 70] C
(70, 60] D
(60, 50] E
(50, 0] F
• v pˇrípadeˇ nerozhodného výsledku muže ˚ být zkoušející
požadováno ústní dozkoušení • jakýkoliv pokus o podvod bude mít za následek hodnocení F
a propadnutí termínu
Matematika
4/34
Úvod
Materiály • knihy/skripta • Mouˇcka, J., Rádl, P. Matematika pro studenty ekonomie. Praha: Grada 2010. • Mouˇcka, J. Sbírka úloh z lineární algebry. Vyškov: VVŠ PV, 2001. • Šotová, J. Diferenciální poˇcet funkcí jedné promenné. ˇ [CD-ROM]. Brno: Univerzita obrany, 2005.
ˇ • Moodle – kurz Matematika (Rízení a použití ozbrojených sil) https://moodle.unob.cz/course/view.php?id=643 • http://k101.unob.cz/~hasilova → Výuka
[email protected] • Matematické výpoˇcty online
http://um.mendelu.cz/maw-html/menu.php Wolfram Alpha http://www.wolframalpha.com Matematika
5/34
GEM
Úloha ze statiky Máme tˇri závaží, jedno má hmotnost 2 kg. Chceme zjistit hmotnost ˇ zbylých dvou. Experiment s metrovou tyˇcí vedl k temto rovnovážným stavum: ˚
40h + 15c = 100 25c = 50 + 50h
Matematika
7/34
GEM
Gaussova eliminaˇcní metoda – GEM
15c 25c 3c c c 3c c
+ − + − − + −
c
−
40h 50h 8h 2h 2h 8h 2h 14h 2h h
c h
Matematika
= = = = = = = = = = = =
100 50 20 2 2 20 2 14 2 1 4 1
R1 : 5 R2 : 25 R1 ↔ R2
R2 − 3R1 R2 : 14 R1 + 2R2
c 15 25 3 1 1 3 1 0 1 0 1 0
h 40 −50 8 −2 −2 8 −2 14 −2 1 0 1
100 50 20 2 2 20 2 14 2 1 4 1
8/34
GEM
ˇ ERO
Elementární ˇrádkové operace • vynásobení rovnice (ˇrádku) nenulovým cˇ íslem
pˇr. R1 : 5 =
1 5
· R1
• výmena ˇ dvou rovnic (ˇrádku) ˚
pˇr. R1 ↔ R2 • pˇriˇctení násobku ˇrádku k jinému ˇrádku
pˇr. R1 − 2R2 = R1 + (−2) · R2 • vynechání nulového ˇrádku
(rovnice 0 = 0 nenese informaci)
Matematika
9/34
GEM
Úloha z chemie Je dána chemická reakce1 αC7 H8 + βHNO3 −→ γC7 H5 O6 N3 + δH2 O.
C:
7α = 7γ
H:
8α + β = 5γ + 2δ
N:
β = 3γ
O:
1
3β = 6γ + δ
α 7 8 0 0
β 0 1 1 3
γ −7 −5 −3 −6
δ 0 −2 0 −1
0 0 0 0
ˇ to nezkoušejte doma! Je to neúplná rovnice, radeji
Matematika
10/34
GEM
GEM
7 8 0 0 1 8 ∼ 0 0 1 0 ∼ 0 0 Matematika
0 1 1 3 0 1 1 3 0 1 1 3
−7 0 0 −5 −2 0 −3 0 0 −6 −1 0 −1 0 0 −5 −2 0 −3 0 0 −6 −1 0 −1 0 0 3 −2 0 −3 0 0 −6 −1 0
R1 : 7
R2 − 8R1
R3 − R2 R4 − 3R2 11/34
GEM
GEM
1 0 ∼ 0 0 1 0 ∼ 0 0 1 0 ∼ 0 0
Matematika
0 −1 0 0 1 3 −2 0 0 −6 2 0 R3 /(−2) R4 /(−5) 0 −15 5 0 0 −1 0 0 1 3 −2 0 0 3 −1 0 R4 − R3 0 3 −1 0 0 −1 0 0 1 3 −2 0 0 3 −1 0 0 0 0 0 12/34
GEM
GEM 1 0 −1 0 0 3 −2 0 ∼ 0 1 0 0 3 −1 0
α − γ = 0,
→
β + 3γ − 2δ = 0, 3γ − δ = 0.
ˇ ˇ Rešení soustavy dostaneme zpetným dosazováním δ = p ( je to volný parametr ), p γ= , 3 p β = 2p − 3 = p, 3 p α= . 3 ˇ Rešení obvykle zapisujeme jako uspoˇrádaný celek p p (α, β, γ, δ) = ( , p, , p), p ∈ R. 3 3 Matematika
13/34
Lineární algebra
ˇ Císelné obory • Pˇrirozená cˇ ísla: N = {1, 2, 3, . . .}, pˇríp. N0 = N ∪ {0}. • Celá cˇ ísla: Z = {. . . , −2, −1, 0, 1, 2, . . .}. • Racionální cˇ ísla: Q = {q = nz : z ∈ Z, n ∈ N}.
ˇ Císla, která nejsou racionální, tj. nelze je vyjádˇrit jako podíl celého a pˇrirozeného cˇ ísla, nazýváme iracionální a znaˇcíme I.
• Reálná cˇ ísla: R = Q ∪ I.
K reálným cˇ íslum ˚ lze jednoznaˇcneˇ pˇriˇradit všechny body nekoneˇcné pˇrímky (ˇcíselné osy) podle jejich vzdálenosti od poˇcátku. • Komplexní cˇ ísla: C = {z = a + bi : a, b ∈ R, i 2 = −1}.
Komplexním cˇ íslem z nazýváme uspoˇrádanou dvojici reálných cˇ ísel [a, b] a píšeme z = [a, b] = a + bi. ˇ Císlu a ˇríkáme reálná cˇ ást komplexního cˇ ísla z (a = Re z), cˇ íslu b imaginární cˇ ást komplexního cˇ ísla z (b = Im z). Matematika
15/34
Lineární algebra
Lineární kombinace Lineární kombinací prvku˚ x1 , x2 , . . . , xn je výraz a1 x1 + a2 x2 + · · · + an xn , kde cˇ ísla a1 , . . . , an ∈ R se nazývají koeficienty. ˇ Lineární rovnice v promenných x1 , x2 , . . . , xn má tvar a1 x1 + a2 x2 + · · · + an xn = b, kde b ∈ R. Uspoˇrádaná n-tice (s1 , . . . , sn ) ∈ Rn se nazývá rˇešením rovnice a1 x1 + a2 x2 + · · · + an xn = b, jestliže po dosazení platí uvedená rovnost.
Matematika
16/34
Lineární algebra
Soustava lineárních rovnic Necht’ aij ∈ R, bi ∈ R pro i = 1, . . . , m a j = 1, . . . , n, soustavou m lineárních rovnic o n neznámých x1 , . . . , xn rozumíme a11 x1 + a12 x2 + · · · + a1n xn = b1 , a21 x1 + a22 x2 + · · · + a2n xn = b2 , .. .
(1)
am1 x1 + am2 x2 + · · · + amn xn = bm . ˇ Rešením soustavy lineárních rovnic (1) rozumíme uspoˇrádanou ntici reálných cˇ ísel (s1 , s2 , . . . , sn ), po jejichž dosazení za neznámé x1 , x2 , . . . , xn (v tomto poˇradí) do soustavy lineárních rovnic dostaneme ve všech rovnicích identity. Je-li b1 = b2 = · · · = bm = 0, mluvíme o homogenní SLR, v opaˇcném pˇrípadeˇ jde o nehomogenní SLR. Matematika
17/34
Lineární algebra
Soustava lineárních rovnic
Statika: nehomogenní soustava 15c + 40h = 100, 25c − 50h = 50. ˇ Rešení: (c, h) = (4, 1).
Chemie: homogenní soustava 7α − 7γ = 0, 8α + β − 5γ − 2δ = 0, β − 3γ = 0, 3β − 6γ − δ = 0. ˇ Rešení: ( p3 , p, p3 , p), p ∈ R.
Matematika
18/34
Lineární algebra
Soustava lineárních rovnic
Soustavou lineárních rovnic v redukovaném (schodovitém) tvaru rozumíme soustavu upravenou pomocí elementárních úprav. Schematicky mužeme ˚ redukovanou soustavu zobrazit následovneˇ
+
+ +
+ +
+ +
+ + +
+ + +
= = = =
, , , .
Vedoucí prvky () každého ˇrádku se nazývají pivoty.
Matematika
19/34
Vektory
Vektory
ˇ kolem nás lze rozdelit ˇ do dvou Veliˇciny, kterými popisujeme svet skupin: • Skalární veliˇciny (skaláry)
– jsou plneˇ urˇceny jediným cˇ íselným údajem udávajícím jejich velikost pˇr. teplota, hmotnost, množství apod. • Vektorové veliˇciny (vektory)
– k jejich popisu je tˇreba více cˇ ísel v urˇceném poˇradí ˇ poloha (souˇradnice), barevný pˇr. rychlost, síla (velikost a smer), odstín (souˇradnice RGB, CMYK) apod.
Matematika
21/34
Vektory
Vektory Uspoˇrádanou n-tici reálných cˇ ísel v1 , v2 , . . . , vn v1 v2 v = . ∈ Rn .. vn ˇ nazveme (reálným) vektorem. Císlo n nazýváme délkou vektoru v a cˇ ísla v1 , v2 , . . . , vn složky vektoru v. ˇ Pozn. Vektory se v literatuˇre nekdy zapisují do ˇrádku, tj. v = (v1 , v2 , . . . , vn ). Dále se místo tuˇcného písmena používá, zejména pˇri psaní rukou, šipka nad písmenem ~v nebo podtržení v . Matematika
22/34
Vektory
Operace s vektory Vektory mužeme ˚ • sˇcítat (pokud jsou stejné délky) u1 + v1 v1 u1 u2 v2 u2 + v2 u+v= . + . = . . . . . . . vn
un
un + vn
• násobit cˇ íslem, a ∈ R,
v1 a · v1 v2 a · v2 a·v=a· . = . .. .. vn
a · vn
• kombinovat, a, b ∈ R, u, v ∈ Rn ,
a·u+b·v Matematika
23/34
Vektory
Operace s vektory
Matematika
24/34
Vektory
Speciální vektory Vektor
0 0 o = . .. 0
ˇ v + o = v a pro a ∈ R: a · o = o. nazýváme nulový vektor. Platí pro nej: Vektor −v = −1 · v nazveme opaˇcným vektorem k vektoru v. Platí v + (−v) = v − v = o. Je-li vektor v sloupcový vektor, pak ˇrádkový vektor vT nazýváme transponovaným vektorem k vektoru v.
Matematika
25/34
Vektory
Skalární souˇcin Pro vektory u = (u1 , u2 , . . . , un )T a v = (v1 , v2 , . . . , vn )T definujeme skalární souˇcin hu, vi = u1 v1 + u2 v2 + · · · + un vn .
−3 −1 Pˇríklad Skalární souˇcin vektoru˚ u = 7 a v = 5 je roven −2 4 hu, vi = (−3) · (−1) + 7 · 5 + (−2) · 4 = 3 + 35 − 8 = 30.
Matematika
26/34
Vektory
Norma
Pro vektor u = (u1 , u2 , . . . , un )T ∈ Rn definujeme jeho velikost (normu) následovneˇ q p kuk = u12 + u22 + · · · + un2 = hu, ui
Pˇríklad Velikost vektoru v = (−1, 5, 4)T je q √ √ . kvk = (−1)2 + 52 + 42 = 1 + 25 + 8 = 34 = 5,83.
Matematika
27/34
Vektory
Lineární (vektorový) prostor ˇ Množinu všech n-rozmerných vektoru˚ spoleˇcneˇ s operacemi sˇcítání vektoru˚ a násobení vektoru cˇ íslem nazýváme lineární (vektorový) prostor. Lineární prostor V je uzavˇrený na lineární kombinace svých prvku, ˚ tj. pro u, v ∈ V , a, b ∈ R platí a · u + b · v ∈ V . ˇ pro vektory u, v, w ∈ V a skaláry a, b ∈ R platí Podrobneji: 1
u + v = v + u,
5
(a + b) · u = a · u + b · u,
2
(u + v) + w = u + (v + w),
6
a · (u + v) = a · u + a · v,
3
nulový vektor: u + o = u,
7
(a · b) · u = a · (b · u),
4
opaˇcný vektor: u + (−u) = o,
8
jednotka: 1 · u = u.
Lineární prostor obsahuje lineární kombinace svých prvku, ˚ odtud jeho název. Matematika
28/34
Vektory
Pˇríklady lineárních prostoru˚ Prostor polynomu˚ stupneˇ nejvýše 2 s prvky p(x) = ax 2 + bx + c, pˇr.
x 2 , −2x + 1,
40x 2 − 13,
kde
a, b, c ∈ R
...
Prostor nekoneˇcných posloupností s prvky {an }∞ n=1 , kde an znaˇcí n-tý cˇ len posloupnosti, 1 1 1 1 1 pˇr. = , , , , . . . , {n} = {1, 2, 3, 4, . . . }, n 2 2 4 8 16 n o n−1 = {1, − 21 , 3, − 41 , . . . }, . . . (−1)n−1 n(−1)
Matematika
29/34
Vektory
Pˇríklady lineárních prostoru˚ Prostor tabulek o dvou ˇrádcích a tˇrech sloupcích s reálnými prvky a b c , kde a, b, c, d, e, f ∈ R d e f −1 3 5 3 2 1 √ , pˇr. , ... 0 0 −8 1,5 −10 3 ˇ je budeme nazývat matice typu 2 × 3 → pozdeji Prostor pˇrímek, které prochází poˇcátkem soustavy souˇradnic s prvky kde k ∈ R √ y = − 10x, y = 15 x,
y = kx, pˇr.
y = 2x,
Matematika
y = −3,21x,
...
30/34
Vektory
Lineární kombinace vektoru˚ Necht’ v1 , v2 , . . . , vm ∈ Rn a c1 , c2 , . . . , cm ∈ R. Vektor w = c1 v1 + c2 v2 + · · · + cm vm =
m X
ci vi
i=1
nazýváme lineární kombinací vektoru˚ v1 , v2 , . . . , vm . Pˇríklad Vektor w = (−1, 5, 4)T je lineární kombinací vektoru˚ u = (1, 2, 3)T a v = (−3, 1, −2)T , protože platí 1 −3 2 · 1 + (−3) −1 2u + v = 2 2 + 1 = 2 · 2 + 1 = 5 = w 3 −2 2 · 3 + (−2) 4
Matematika
31/34
Vektory
Lineární nezávislost ˇ Rekneme, že vektory v1 , v2 , . . . , vm ∈ Rn jsou lineárneˇ nezávislé, pokud rovnost m X ci vi = o i=1
nastane pouze pro c1 = c2 = · · · = cm = 0. V opaˇcném pˇrípadeˇ jsou vektory lineárneˇ závislé. Vektory v1 , v2 , . . . , vm ∈ Rn jsou zcela jisteˇ závislé, když • je mezi nimi nulový vektor, • jsou mezi nimi alesponˇ dva vektory stejné, • jeden z vektoru˚ je násobkem jiného, • m > n.
Matematika
32/34
Vektory
Lineární nezávislost ˇ Pˇríklad Rozhodnete, zda jsou vektory u = (−3, 1, −2)T , w = (−1, 5, 4)T lineárneˇ nezávislé. c1 u + c2 v + c3 w = o,
(1, 2, 3)T , v
=
c1 =?, c2 =?, c3 =?
• Když c1 = c2 = c3 = 0, pak jsou vektory lineárneˇ nezávislé. • Když alesponˇ jedno ci je nenulové, pak jsou vektory lineárneˇ
závislé. 1 −3 −1 0 1 −3 −1 5 c1 2 + c2 1 + c3 5 = 0 −→ 2 1 3 −2 4 0 3 −2 4
Matematika
33/34
Vektory
Lineární nezávislost
1 −3 −1 2 1 5 R2 − 2R1 R3 − 3R1 3 −2 4 1 −3 −1 7 ∼ 0 7 0 7 7 R3 − R2 1 −3 −1 1 ∼ 0 1 0 0 0
Matematika
c1 − 3c2 − c3 = 0 c2 + c3 = 0 ˇ Rešení (−2p, −p, p), p ∈ R. Napˇr. pro p = 1 je −2u − v + w = o, tedy vektory jsou lineárneˇ závislé.
34/34
