´ cEN´ ´ STUDIUM OTAˇ I TUHEHO Tˇ eLESA ´ ´IKOVA ´ TEREZA ZABOJN
´ kol 1. Pracovn´ı u (1) Zmˇeˇrte momenty setrvaˇcnosti kv´adru vzhledem k hlavn´ım os´am setrvaˇcnosti. (2) Urˇcete sloˇzky jednotkov´eho vektoru ve smˇeru zadan´e obecn´e osy rotace kv´adru v souˇradn´e soustavˇe dan´e hlavn´ımi osami setrvaˇcnosti. (3) Vypoˇc´ıtejte moment setrvaˇcnosti kv´adru vzhledem k zadan´e obecn´e ose rotace. V´ ysledek ovˇeˇrte mˇeˇren´ım. (4) Mˇernˇe ovˇeˇrte Steinerovu vˇetu. 2. Teorie 2.1. metoda torzn´ıch kmit˚ u. Pro mˇeˇren´ı momentu setrvaˇcnosti kolem osy proch´azej´ıc´ı tˇeˇziˇstˇem lze pouˇz´ıt metodu torzn´ıch kmit˚ u. Spoˇc´ıv´a v upevnˇen´ı tˇelesa na torzn´ı z´avˇes. Pˇri vych´ ylen´ı z rovnov´ aˇzn´e polohy zaˇcne tˇeleso torznˇe kmitat s periodou T : q I (1) T = 2π D kde D je direkˇcn´ı moment vl´ akna a I je moment setrvaˇcnosti tˇelesa kolem osy proch´ azej´ıc´ı z´ avˇesem. Nech´ ame - li na stejn´em z´avˇesu kmitat tˇeleso o zn´am´em momentu setrvaˇcnosti IT Pak dostaneme moment setrvaˇcnosti prvn´ıho tˇelesa z pomˇeru period T perioda prvn´ıho tˇelesa TT (perioda tˇelesa s momentem setrvaˇcnosti IT ): 2 (2) I = TT 2 IT T Jako referenˇcn´ı tˇeleso byl pouˇzit v´alec, pro kter´ y plat´ı: (3) IT = 12 M R2 Aby nebyla deformace z´ avˇesu v krutu plastick´a, mus´ı b´ yt v´ ychylky menˇs´ı neˇz 90◦ 2.2. momenty setrvaˇ cnosti vzhledem k r˚ uzn´ ym os´ am. Oznaˇcme momenty setrvaˇcnosti tˇelesa vzhledem k hlavn´ım os´am Ix = Ia Iy = Ib Iz = Ic Pak Moment setrvaˇcnosti I vzheledm k ose proch´azej´ıc´ı tˇeˇziˇstˇem m˚ uˇzeme vyj´adˇrit jako: (4) I = vx2 Ix + vy2 Iy + vz2 Iz Kde vx vy vz jsou sloˇzky jednotkov´eho vektoru v souˇradn´e soustavˇe spojen´e s hlavn´ımi osami tˇelesa. V pˇr´ıpadˇe, ˇze chceme urˇcit moment setrvaˇcnosti podle tˇelesov´e u ´hlopˇr´ıˇcky kv´adru, budou sloˇzky vektoru v (vx je rovnobˇeˇzn´e s a,vy je rovnobˇeˇzn´e s b,vz je rovnobˇeˇzn´e s c ): b c a (5) vx = √a2 +b vy = √a2 +b vz = √a2 +b 2 +c2 2 +c2 2 +c2 1
2
´ ´IKOVA ´ TEREZA ZABOJN
2.3. Steinerova vˇ eta. K ovˇeˇren´ı platnosti Steinerovy vˇety m˚ uˇzeme pouˇz´ıt tyˇce, kterou nejprve nech´ a me k´ y vat jako fyzick´ e kyvadllo, pro kter´ e plat´ ı: q I (6) T = 2π mgd Kde m je hmotnost tyˇce, I je jej´ı moment setrvaˇcosti g je m´ıstn´ı t´ıhov´e zrychlen´ı a d je vzd´alenost stˇredu tyˇce (tˇeˇziˇstˇe) od osy ot´aˇcen´ı. Steinerova vˇeta ud´ av´ a vztah mezi momenty setrvaˇcnosti kolem dvou rovnobˇeˇzn´ ych os, z nichˇz jedna proch´ az´ı tˇeˇziˇstˇem (kolem n´ı je moment setrvaˇcnosti I0 ) (7) I0 = I − md2 Pokud bude moment I0 zmˇeˇren metodou nez´avislou na rovnici (6) a z´ aroveˇ n bude spolu s momentem I splˇ novat Steinerovu vˇetu, bude jej´ı platnost ovˇeˇrena. I0 lze zmˇeˇrit pomoc´ı vztahu (2). Pokud on´ım tˇelesem s momentem setrvaˇcnosti IT bude v´ alec, pak plat´ı: T2 2 (8) I0 = 2T 2 MR T Kde M je hmotnost v´ alce, R je jeho polomˇer a TT je perioda torzn´ıch kmit˚ u v´ alce a T je perioda torzn´ıch kmit˚ u tyˇce. Teoretick´ a ˇc´ ast byla zpracov´ana dle [1]. ˇr ˇen´ı 3. Me 3.1. Moment setrvaˇ cnosti kv´ adru. Rozmˇery kv´adru a, b, c i rozmˇery v´alce R (polomˇer), byly mˇeˇreny ˇsuplerou a mikrometrem (mˇeˇren´ı zaznamen´ano v tabulce1). a = (127, 70 ± 0, 05) mm b = (63, 83 ± 0, 02)mm c = (19, 06 ± 0, 1)mm 2R = (108, 06 ± 0, 14)mm Hmotnost v´ alce byla mˇeˇrena na digit´aln´ıch vah´ach. M = (911, 1 ± 0, 1)g Tabulka 1. Mˇeˇren´ı rozmˇer˚ u kv´adru a mm 127,67 127,64 127,77 127,71
b mm 63,81 63,83 63,86 63,83
c 2R mm mm 19,01 108,2 19,05 107,97 19,21 107,93 18,95 107,93 108,31 108,02
Na ruˇcn´ıch stopk´ ach bylo mˇeˇreno vˇzdy 5 period torzn´ıch kmit˚ u kolem kaˇzd´e z os kv´adru a kolem tˇelesov´e u ´hlopˇr´ıˇcky. Mˇeˇren´ı najdete v tabulce2. Chyby byly urˇceny jako smˇerodatn´e odchylky.T0 je perioda v´ alce torznˇe kmitaj´ıc´ıho kolem osy kolm´e na podstavu a proch´azej´ıc´ı tˇeˇziˇstˇem, T1 je perioda kv´ adru kolem osy rovnobˇeˇzn´e s rozmˇerem c, T2 je perioda kv´ adru kolem osy rovnobˇeˇzn´e s rozmˇerem b, T3 je perioda kv´adru kolem tˇelesov´e u ´hlopˇr´ıˇcky, T4 je
´ cEN´I TUHEHO ´ STUDIUM OTAˇ Tˇ eLESA
3
perioda kv´adru kolem osy rovnobˇeˇzn´e s rozmˇerem a. T0 = (10, 93 ± 0, 03)s T1 = (11, 70 ± 0, 05)s T2 = (10, 52 ± 0, 06)s T3 = (6, 97 ± 0, 07)s T4 = (5, 78 ± 0, 07)s Tabulka 2. Mˇeˇren´ı period 5T0 s 54,38 54,67 54,76 54,77 54,82 54,59 54,79 54,67 54,38 54,45
5T1 s 57,86 58,32 58,55 58,59 58,88 58,85 58,46 58,56 58,46 58,39
5T2 s 52,44 52,46 53,19 52,30 52,51 52,77 52,26 52,49 52,51 52,96
5T3 s 34,35 34,96 35,31 34,51 35,19 35,06 34,28 35,25 34,81 34,81
5T4 s 29,14 28,72 28,96 28,80 28,58 28,47 29,02 28,64 29,05 29,73
Moment sestrvaˇcnosti v´ alce dle(3) IT = (1330 ± 3)10−3 kgm2 Moment setrvaˇcnosti kv´ adru kolem os proch´azej´ıc´ıch tˇeˇziˇstˇem a rovnobˇeˇzn´ ych s jednotliv´ ymi rozmˇery a,b,c a u-tˇelesov´ au ´hlopˇr´ıˇcka: I1 = Ic = (1, 524 ± 0, 016)10−3 kgm2 I2 = Ib = (1, 231 ± 0, 016)10−3 kgm2 I3 = Iu = (0, 541 ± 0, 011)10−3 kgm2 I4 = Ia = (0, 372 ± 0, 009)10−3 kgm2 Dle vzorce (4) a (5) m˚ uˇzeme spoˇc´ıtat Iu : Iu−spoctene = (0, 561 ± 0, 015)10−3 kgm2 3.2. Mˇ ern´ e ovˇ eˇ ren´ı Steinerovy vˇ ety. Vzd´alenost tˇeˇziˇstˇe tyˇce d od osy ot´aˇcen´ı (pˇri k´ yv´an´ı kolem bˇritu jako fyzick´e kyvadlo) byla mˇeˇrena ˇsuplerou a hmotnost tyˇce m byla mˇeˇrena na digit´ aln´ıch vah´ ach. d = (157 ± 1)mm m = (288, 7 ± 0, 1)g Pˇri k´ yv´an´ı tyˇce jako fyzick´e kyvadlo bylo mˇeˇreno vˇzdy 10 period, pˇri torzn´ıch kmitech period 5. Mˇeˇren´ı je zaznamen´ ano v tabulce 3.
4
´ ´IKOVA ´ TEREZA ZABOJN
Tabulka 3. Mˇeˇren´ı torzn´ı periody tyˇce Ttor a periody tyˇce jako fyzick´eho kyvadla Tkyv 5Ttor 10Tkyv s s 80,12 9,47 80,20 9,45 79,98 9,40 80,12 9,23 79,52 9,51 79,89 9,42 80,05 9,41 80,06 9,40 80,11 9,37 80,08 9,53
Ttor = (16, 00 ± 0, 04)s Tkyv = (0, 942 ± 0, 008)s Z Ttor vypoˇc´ıt´ ame pomoc´ı vzorce (2) moment setrvaˇcnosti tyˇce: Itor = (2, 85 ± 0, 02)10−3 kgm2 Z Tkyv dle vzorce (6) vypoˇc´ıt´ ame Ikyv (za g byla dosazov´ana hodnota pro prahu g = 9, 810): −3 Ikyv = (10, 0 ± 0, 2)10 kgm2 Tyto dva momenty setrvaˇcnosti spolu souvis´ı skrz Steinerovu vˇetu, kterou ovˇeˇr´ıme tak, ˇze porovn´ ame spoˇctenou hodnotu Itor = I0 s jeho nameˇrenou hodnotou I0spoctene = (2, 9 ± 0, 3)10−3 kgm2
4. Diskuse Platnost Steinerovy vˇety byla ovˇeˇrena, protoˇze spoˇcten´ı I0 a nameˇren´e Itor se v r´ amci chyby shoduj´ı. Velk´ a chyba u spoˇcten´eho I0 je zps˚ usobena hlavnˇe velkou chybu pˇri mˇeˇren´ı d Toto mˇeˇren´ı by bylo moˇzno zpˇresnit pouˇzit´ım jehly, kter´a by se zabodla do stˇredu z´avitu a o kterou by se opˇrel jeden bˇrit ˇsuplery. Nic podobn´eho jehle ovˇsem nebylo k dispozici, tud´ıˇz byla ˇsuplera pouze pˇriloˇzena tak, aby se jeden bˇrit pˇrekr´ yval se stˇredem z´avitu (m´ıstem, kde by se mˇelo nach´ azet tˇeˇziˇstˇe tyˇce). Rozmˇer d byl mˇeˇren pouze na jedn´e stranˇe tyˇce, dr´ y bude pˇredpokl´ ad´ am v r´ amci chyby stejn´ y, nebot’ tyˇc, zavˇeˇsen´a ve stˇredu, byla vyv´aˇzen´ a. T´eˇz namˇeˇren´ y moment setrvaˇcnosti v´alce v˚ uˇci tˇelesov´e u ´hlopˇr´ıˇcce a jeho spoˇcten´a hodnota se v r´ amci chyby shoduj´ı. Ot´ azkou je, zda pˇredpoklad, ˇze hlavn´ı osy tˇelesa jsou rovnobˇeˇzn´e s rozmˇery a,b,c je pravdiv´ y. Pokud by tˇeleso bylo nehomogenn´ı, tyto hlavn´ı osy by byly jinak poloˇzen´e.
´ cEN´I TUHEHO ´ STUDIUM OTAˇ Tˇ eLESA
5
´ ve ˇr 5. Za Byly zˇemˇreny momenty setrvaˇcnosti ”kv´adru”kolem hlavn´ıch os. I1 = Ic = (1, 524 ± 0, 016)10−3 kgm2 I2 = Ib = (1, 231 ± 0, 016)10−3 kgm2 I4 = Ia = (0, 372 ± 0, 009)10−3 kgm2 A kolem tˇelesov´e u ´hlopˇr´ıˇcky, kdy se namˇeˇren´a hodnota shoduje v r´amci chyby s hodnotou vypoˇctenou s pˇredchoz´ıch tˇr´ı moment˚ u: I3 = Iu = (0, 541 ± 0, 011)10−3 kgm2 Iu−spoctene = (0, 561 ± 0, 015)10−3 kgm2 Byla mˇernˇe ovˇeˇrena Steinerova vˇeta pomoc´ı porovn´an´ı namˇeˇren´eho I0 a spoˇcten´eho I0 z momentu setrvaˇcnosti kolem osy neproch´azej´ıc´ı tˇeˇziˇstˇem, ale posunut´e o vz´alenost d. Itor = I0−namerene = (2, 85 ± 0, 02)10−3 kgm2 I0−spoctene = (2, 9 ± 0, 3)10−3 kgm2 6. Literatura [1] Studijn´ı text k fyzik´ aln´ımu praktiku 1: http://physics.mff.cuni.cz/vyuka/zfp/txt 117.pdf
