MaSES- synchronní motory
3. Matematický model synchronního motoru 3.1 Matematický model synchronního motoru s budicím vinutím, vyniklými póly a s tlumicím vinutím s uvažováním elektromagnetických dějů Při sestavování matematického modelu synchronního motoru se vychází z podobných zjednodušujících předpokladů jako tomu bylo u asynchronního motoru. Předpokládá se: a) Průběh magnetické indukce ve vzduchové mezeře a tedy i indukovaného napětí je sinusový, přičemž je obecně uvažován rotor s vyniklými póly, tj. s různou magnetickou vodivostí v podélném a příčném směru b) Zavedení jednoho náhradního obvodu tlumiče v každé ose (D a Q) c) Ztráty v železe jsou zanedbány d) Odpory a indukčnosti jsou stejné ve všech statorových fázích a jsou konstantní, tj. zanedbávají se: - změny odporů statoru a rotoru na teplotě - nasycení magnetického obvodu - hysteréze magnetického obvodu - změny odporů a indukčností na kmitočtu (skinefekt) Rovněž činný odpor a indukčnost napájecího zařízení (napájecí síť, měnič, přívody atd.) se při řešení přechodných dějů obvykle zanedbávají. Napěťové rovnice a rovnice pro magnetické spřažené toky je vhodné řešit v souřadné soustavě (d, q) pevně svázané s rotorem. Vhodnost řešení synchronního motoru v souřadné soustavě (d, q) vyplývá z faktu, že zatímco trojfázový stator je symetrický, rotor je nesymetrický - nachází se na něm budicí vinutí protékané stejnosměrným budicím proudem, (resp. permanentní magnety – viz další kapitola) a vinutí tlumicí, které je spojené nakrátko (odpovídá kleci as. motoru) a které má obecně různé parametry v ose D a Q - viz obr. 3.1.
LqQ = LQq Rs
id
ud
Lq
Ld RD
iD
LdD = LDd LD
Rf uf
if Lf
Ldf= Lfd
LQ
iq
iQ
Rs
RQ
LfD = LDf uq
Obr. 3.1. Vazby mezi vinutími v podélné a příčné ose synchronního stroje Napěťové rovnice statoru po transformaci (pro stator synchronního motoru platí stejná rovnice jako pro stator asynchronního motoru) do soustavy (d, q), dostaneme dosazením za ωk=ω . 1
MaSES- synchronní motory
Celkové řešení matematického modelu synchronního motoru vč. nesymetrického napájení je znázorněno v blokovém schématu na obr. 3.2., z něhož se vychází při simulaci.
ua ub uc
uα T3/2 (T3/3)
uβ
T2/2
uo
ud
id
uq
iq
SM
uf
T2/2
Me
ω
ML
ia
iα
1 p
T2/3
iβ
(T3/3)
io
θ
ib ic
Obr. 3.2. Blokové schéma řešení synchronního motoru V případě symetrického napájení (v tomto případě je součet okamžitých hodnot fázových napětí v každém okamžiku roven nule) se neuplatní veličiny pro nulovou složku. Význam veličin v obrázku: uf … budicí napětí (field) rotoru Me… moment (elektromagnetický) motoru ML… moment (load) zátěže ω … otáčky rotoru θ … úhel natočení rotoru Možnost realizace vstupní transformace pro symetrické harmonické napájení: V tomto případě můžeme buď použít obecné blokové schéma dle obr. 3.2., anebo provést úpravu dle následujících vztahů. Fázová napětí vyjádříme takto:
usa = U m cosθ s
2π usb = U m cosθ s − 3
2π usc = U m cos θ s + 3
kde θs je úhel prostorového vektoru napětí vzhledem k ose α (viz obr. 3.)
θs =
t
∫ ω dt s
0
β
q
us
ωs
uq
θs
ω
d
ud
θ α
Obr. 3.3. Zobrazení prostorového vektoru napětí v souřadných soustavách
2
MaSES- synchronní motory s
u s = usα + jusβ = U m e
jϑ s
t t = U m (cosθ s + j sin θ s ) = U m cos ∫ ω s dt + j sin ∫ ω s dt 0 0
z toho t t usα = U m cosθ s = U m cos ∫ ω s dt usβ = U m sin θ s = U m sin ∫ ω s dt 0 0 Pro prostorový vektor napětí zapsaný v rotorovém souřadném systému platí
u s = ud + juq = u s e − jθ = U m e jθ s e − jθ = U m e j (θ s −θ ) = r
s
t t = U m [cos(θ s − θ ) + j sin(θ s − θ )] = U m cos ∫ (ω s − ω )dt + j sin ∫ (ω s − ω )dt 0 0 a tedy t
t
ud = U m cos ∫ (ω s − ω )dt
uq = U m sin ∫ (ω s − ω )dt
0
0
Na základě výše uvedených vztahů můžeme nakreslit následující blokové schéma: ωs
1 p
θ s- θ
ud
cos
X
sin
X
uq
Um
uf
SM
id
iα
iq
T2/2 iβ
Me
ω
ML
1 p
θ
ia T2/3
ib ic
Obr.3.4. Blokové schéma řešení synchronního motoru při symetrickém harmonickém napájení V uvedeném rozboru je uvažováno s obecně proměnlivou frekvencí napájecího napětí ωs. V případě ωs = konst. je
t
∫ ω dt = ω t s
s
0
3.2 Modelování a simulace synchronního motoru s permanentními magnety s uvažováním elektromagnetických dějů V současné době nabývají stále více na významu střídavé regulační pohony se synchronními motory, u nichž je budicí vinutí nahrazeno permanentními magnety. Použitím nových magnetických materiálů na bázi sloučenin samarium-kobalt (SmCO5 resp. SmCO17 ) a neodym-bor-železo (NdBFe) byly vyvinuty synchronní motory s výkonem řádově stovek kilowattů . Přesto je ovšem zatím zřejmě největší využití těchto motorů v oblasti servomechanismů robotů a manipulátorů, přičemž u těchto aplikací jsou nejčastější výkony do několika kW. Pohony s těmito servomotory jsou v zahraniční literatuře označovány jako Brushless A. C. Motor Servodrives neboli bezkartáčové servopohony. Rovněž se lze setkat s označením 3
MaSES- synchronní motory
PMSM (Permanent Magnet Synchronous Motor), ikdyž tento název je poněkud obecnější, protože se někdy používá i pro EC motory popsané v následující kapitole. Stator je běžný, třífázový, stejně jako u asynchronního nebo klasického synchronního motoru s vinutým rotorem. Rotor je tvořen permanentní magnety (nejčastěji ze vzácných zemin), přičemž tvar magnetické indukce ve vzduchové mezeře a tedy i indukovaného napětí je harmonický, sinusový. Statorové vinutí, které je zapojeno do hvězdy, je napájeno harmonickými proudy, což zabezpečuje rovnoměrný chod motoru bez momentových pulzací. K napájení motoru se používá napěťový střídač osazený nejčastěji IGBT tranzistory se zpětnými diodami. Střídač pracuje nejčastěji s pulzně šířkovou modulací. Pro řízení je nutno co nejpřesněji znát informaci o okamžité poloze a rychlosti motoru. Z tohoto důvodu je motor vybaven resolverem nebo inkrementálním čidlem. V porovnání se stejnosměrnými mají bezkartáčové servomotory tyto výhody: - malé rozměry a moment setrvačnosti - velké, běžně až 6-ti násobné proudové a momentové přetížení v dynamických stavech - vysoká životnost a provozní spolehlivost - minimální nároky na údržbu Zjednodušující předpoklady při modelování a simulaci: -
-
Průběh magnetické indukce ve vzduchové mezeře a tedy i indukovaného napětí je sinusový, přičemž je obecně uvažován rotor s vyniklými póly, tj. s různou magnetickou vodivostí v podélném a příčném směru Parametry (R, L) stroje jsou konstantní a stejné ve všech třech fázích Ztráty v železe jsou zanedbány Tlumicí vinutí na rotoru není provedeno a rovněž se zanedbávají tlumicí účinky materiálu rotoru Nulový vodič není připojen
Řešení rovnic modelu je vhodné provádět v souřadné soustavě (d, q) spojené s rotorem stroje, stejně jako u synchronního stroje s budicím vinutím. Volba proměnných: -vstupní proměnné...........ud, uq, ML -stavové proměnné...........id , iq , Ωm -výstupní proměnné..........id , iq , Ωm , Me, event. Ψd, Ψq Pro magnetická spřažení na základě uvedených zjednodušení platí:
Ψ d = Ldid + Ψ f
(3.2-1)
Ψ q = Lqiq
(3.2-2)
Napěťové rovnice obecného synchronního stroje upravíme s použitím výše uvedených vztahů na následující tvar ud = Rsid +
d ( Ld id + Ψ f ) dΨ d di − ωΨ q = Rsid + − ωLqiq = Rsid + Ld d − ωLq iq dt dt dt 4
(3.2-3)
MaSES- synchronní motory
uq = Rsiq +
dΨ q dt
+ ωΨ d = Rsiq + Lq
diq dt
+ ω ( Ld id + Ψ f )
(3.2-4)
Z nich pak určíme derivace stavových veličin, což jsou statorové proudy. Po Laplaceově transformaci dostaneme
pI d =
1 (U d − Rs I d + ωLq I q ) Ld
(3.2-5)
pI q =
1 (U q − Rs I q − ωLd I d − ωΨ f ) Lq
(3.2-6)
Maticový zápis stavových rovnic pak vypadá následovně (jedná se o nelineární systém):
I d p = Iq
− −
Rs Ld
ωLd Lq
ωLq
Ld Rs − Lq
Id I + q
1 Ld 0
0 U d 1 U q − ωΨ f Lq
(3.2-7, 8)
z pohybové rovnice získáme derivaci třetí stavové proměnné - mechanické rychlosti
pΩ m =
1 ( Me - M L ) Jc
(3.2-9)
elektrická rychlost ω = p Ωm
(3.2-10)
Elektromagnetický moment stroje 3 3 M e = p ( Ψ diq - Ψ qid ) = p Ψ f +( Ld -Lq )id iq 2 2
[
]
(3.2-11)
Pokud Ld=Lq (stroj s hladkým rotorem ), pak se rovnice pro moment zjednoduší na tvar
Me =
3 p Ψ f iq 2
(3.2-12)
Tento vztah nám udává, že moment stroje je dán součinem kolmé (momentové) složky prostorového vektoru statorového proudu a konstantního budicího magnetického toku (spřažení) Ψ f , který je dán pouze permanentními magnety a nikoliv výsledným tokem ovlivněným statorovým proudem. Tato skutečnost umožňuje navrhnout poměrně jednoduchou regulační strukturu (viz následující kapitolu), ve které nemusíme zjišťovat velikost a polohu celkového (výsledného) magnetického spřaženého toku, ale stačí se orientovat pouze na polohu rotoru stroje. Výše uvedeným vztahům odpovídá blokové schéma na obr. 3.5.
5
MaSES- synchronní motory
Rs
Ud +
1 Ld
1 p
Id
ψd
+
Ld
X
ML
+
ψf
+
X
X
Me 3 p 2
1 Ωm pJ c
X Uq
+
1 Lq
1 p
Iq
Rs
ψq
Lq
ω
p
Obr. 3.5. Blokové schéma synchronního motoru s permanentními magnety Začlenění tohoto modelu do celkového modelu stroje z pohledu statorových veličin se provede dle obr. 3.2.
3.3 Matematický model synchronního motoru se zanedbáním elektromagnetických dějů Následující matematický model platí pro harmonické napájení, resp. pro základní harmonickou. Dle [viz mechatronické systémy] platí pro elektromagnetický moment Me =
U U if U2 p sin θ L+ ( X d -X q ) sin 2θ L ω s X d 2 Xd Xq 3
efektivní hodnota fázového statorového napájecího napětí U = U m / 2 reaktance v podélném a příčném směru X d = ω s Ld kde ωs je elektrická synchronní rychlost
X q = ω s Lq
ωs = 2π fs
p je počet polpárů Uif ...efektivní fázová hodnota indukovaného napětí, je úměrné magnetomotorickému napětí Ff (budicímu proudu if, resp. Ψf u motoru s permanentními magnety) a rychlosti U if = ω sΨ fef
Výše uvedený vztah pro elektromagnetický moment stroje lze tedy zapsat jako: M e = F1 (ω s , p p , U ,Ψ bef , Ld , Lq ) sin θ L+F2 (ω s , p p , U , Ld , Lq ) sin 2θ L
Pohybová rovnice
M e - M L = Jc
dΩ m dt
6
MaSES- synchronní motory
elektrická rychlost rotoru ω = p Ωm Na základě uvedených vztahů lze nakreslit následující blokové schéma sin
ωs U
Ψfef ωs
1 p
Ωom
ML
X
Me
θL
1 pJ c
ωs U
ω
F1
2
F2
Ωm
X
sin p
Obr. 3.6 Blokové schéma synchronního motoru se zanedbáním elektromagnetických dějů Poznámka: Výše uvedený model platí pro obecný synchronní motor:
• s budicím vinutím, permanentními magnety anebo reluktanční motor (zde Uif=0) • s vyniklými póly nebo s hladkým rotorem (zde Xd= Xq)
7
