3. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné 3.1. Derivace Definice. Derivací funkce f v bodě c, značíme f ′ (c), nazveme limitu f (c + h) − f (c) . h→0 h
f ′ (c) = lim
Je-li limita vlastní (výsledkem je reálné číslo), mluvime o vlastní derivaci, je-li limita nevlastní (výsledkem je ∞ nebo −∞), mluvíme o nevlastní derivaci. Derivace zprava/zleva funkce f v bodě c je limita ′ (c) f+/−
=
lim
h→0+/−
f (c + h) − f (c) . h
Derivace spojité funkce je limita neurčitého typu ” 00 ”. Derivace je limita v jistém reálném bodě c. Existuje tedy, právě když existují obě jednostranné derivace, a rovnají se. ′ ′ (Pak f ′ (c) = f+ (c) = f− (c).) 44
45
3.2. Geometrický význam derivace Geometrický význam vlastní derivace pro spojitou funkci Vlastní derivace spojité funkce v bodě je rovna směrnici její tečny v tomto bodě. odvození!!! Geometrický význam vlastní i nevlastní derivace pro spojitou funkci Nemá-li funkce v nějakém bodě derivaci, znamená to, že graf má v tomto bodě ”hrot”. Má-li funkce v bodě c vlastní derivaci, pak je rovna směrnici tečny. Konkrétně je-li derivace v bodě nulová, směrnice tečny je také nulová, což znamená, že tečna je rovnoběžná s osou x. Má-li funkce v bodě nevlastní derivaci, tečna v tomto bodě je rovnoběžná s osou y.
46
3.3. Derivování podle vzorců Vzorce (derivace základních funkcí): Vzorce platí ve všech bodech, pro které mají výrazy smysl, tedy všude, kde existuje vlastní derivace dané funkce. Pokud pro nějaký bod nemá vzorec pro derivaci smysl, znamená to, že v něm neexistuje vlastní derivace. Pak musíme pro výpočet použít definici derivace a mohou nastat dva případy. Buď derivace existuje, ale je nevlastní, nebo derivace neexistuje. (xα )′ = αxα−1 pro α ∈ R (k)′ = 0 pro reálné číslo k
(x)′ = 1
(ax )′ = ax ln a pro a > 0, (ex )′ = ex (loga x)′ =
1 1 pro 0 < a 6= 1, (ln x)′ = x ln a x
(sin x)′ = cos x
(cos x)′ = − sin x
1 (tg x) = cos2 x ′
′
(arcsin x) = √
1 (cotg x) = − 2 sin x
1 1 − x2
′
1 (arctg x) = 1 + x2 ′
47
Derivace aritmetických operací Derivování reálného násobku, součtu, rozdílu, součinu a podílu dvou funkcí se řídí vzorci (f, g jsou funkce, k reálná konstanta): (k · f )′ = k · f ′ , (f ± g)′ = f ′ ± g ′ , (f · g)′ = f ′ · g + f · g ′ , µ ¶′ f f ′ · g − f · g′ = . 2 g g Derivace složené funkce Složenou fci derivujeme podle vzorce: (f (g(x)))′ = f ′ (y) · g ′ (x), kde y = g(x) 3.4. Výpočet limit, l’Hospitalovo pravidlo L’Hospitalovo pravidlo f (x) typu x→c g(x) f ′ (x) lim ′ , pokud x→c g (x)
Je-li limita lim f (x) x→c g(x)
lim
=
±∞ ” 00 ” nebo ” ±∞ ”, pak
limita vpravo existuje.
Pravidlo platí i pro jednostranné limity.
48
Na výpočet limit l’Hospitalovým pravidlem lze převést většinu neurčitých limitních typů (všechny kromě 0c pro nenulové c). Typ ”∞ − ∞”
Jde o limitu rozdílu A − B, kde lim A = ∞ a lim B = ∞. Ve většině těchto příkladů budeme začínat vytknutím jednoho ze výrazů A, B: µ
B A−B =A 1− A
¶
.
L’Hospitalovým pravidlem vypočteme lim B A = L, která je vždy typu ” ∞ ∞ ”. Pak dosadíme: µ
B lim(A − B) = lim A 1 − A
¶
= ∞(1 − L).
Výjimečně, bude- li L = 1, vyjde ”∞·(1−1)” = ”∞·0”, což je neurčitý výraz. Tyto (ojedinělé) příklady bude třeba počítat jiným způsobem.
49
Typ ”0 · (±∞)”
Součin AB, kde lim A = 0 a lim B = ±∞ lze převést na podíl, a to buď AB = BA−1 , což je výraz, jehož limita ±∞ je typu ” 00 ”, nebo AB = AB−1 typu ” ±∞ ”. V obou případech jde o výraz vhodný pro použití l’Hospitalova pravidla. (A aspoň jeden z nich půjde vypočítat.) Typy ”1±∞ ”, ”00 ”, ”∞0 ” Jde o limity exponenciálních funkcí, v jejichž funkčním předpisu je nekonstatní funkce jak v základu, tak v exponentu. Tyto výrazy převedeme na výrazy s konstantním základem e podle vzorce: B AB = eln A = eB ln A . Limitu vypočteme jako limitu složené funkce. Vnitřní funkcí je exponent B ln A, jehož limita bude typu ”0 · (±∞)” (a tudíž ji po převedení na zlomek spočteme l’Hospitalovým pravidlem). Výsledek dosadíme do vnější funkce, kterou je exponenciela o základu e.
50
Limita posloupnosti a limita funkce Pokud má funkce f limitu v nekonečnu rovnu číslu L, neboli lim f (x) = L, pak má také posloupnost (f (n)) x→∞
limitu (v nekonečnu) rovnu L, neboli lim f (n) = L. 3.5. Extrémy na množině, globální extrémy Budeme uvažovat funkci f definovanou na množině M a bod c z této množiny. Funkční hodnota funkce f v bodě c (neboli číslo f (c)) je maximum neboli největší hodnota funkce f vzhledem k množině M, jestliže pro všechna x ∈ M je f (x) ≤ f (c). Říkáme, že funkce f nabývá v bodě c svého maxima vzhledem k množině M. Číslo f (c) je minimum neboli nejmenší hodnota funkce f vzhledem k množině M, jestliže pro všechna x ∈ M je f (x) ≥ f (c). Říkáme, že funkce f nabývá v bodě c svého minima vzhledem k množině M. Extrém je maximum nebo minimum. Pokud není specifikována množina M, uvažujeme celý definiční obor funkce a hovoříme o globálních extrémech funkce.
51
Nutná podmínka extrému uvnitř množiny Je-li ve vnitřním bodě c množiny extrém (vzhledem k této množině) funkce, která má v bodě c derivaci, (je tečna nutně v tomto bodě rovnoběžná s osou x, a tudíž) je nutně derivace v tomto bodě nulová. P o z n á m k a : Nulová hodnota derivace je nutnou, ne však postačující podmínkou pro extrém. Extrémy na uzavřeném intervalu Weierstrassova věta: Funkce, která je na uzavřeném intervalu spojitá, má na tomto intervalu maximum i minimum (vzhledem k tomuto intervalu). Podezřelé body Body, ve kterých mohou nastat extrémy, nazýváme body podezřelé z extrému. Pro uzavřený interval jsou to tedy body: I) krajní body daného intervalu, II) body intervalu, v nichž neexistuje vlastní derivace, III) body intervalu, ve kterých je derivace nulová.
52
Postup stanovení extrémů spojité funkce na uzavřeném intervalu 1. krok: Stanovení bodů podezřelých z extrému: I., II., III. skupina. 2. krok: Stanovení funkčních hodnot ve všech podezřelých bodech. 3. krok: Největší z vypočtených funkčních hodnot je maximum, nejmenší je minimum dané funkce na daném uzavřeném intervalu. Extrémy na libovolném intervalu 1. krok: Stanovení podezřelých bodů: I. (jen body náležející intervalu), II., III. skupina. 2. krok: Stanovení funkčních hodnot ve všech podezřelých bodech. 3. krok: Výpočet limit funkce v krajních bodech, ktere nepatří do intervalu. 4. krok: Výběr největší a nejmenší hodnoty z vypočtených funkčních hodnot a limit. Pokud je vybraná největší (nejmenší) hodnota funkční hodnotou v nějakém bodě intervalu, jedná se o maximum (minimum). Je-li vybrána pouze z vypočtených limit, maximum (minimum) funkce vzhledem k intervalu neexistuje.
53
3.6. Vliv 1. derivace na průběh funkce, monotonie funkce, lokální extrémy Pomocí znaménka derivace lze určit monotonii funkce v intervalu. Vliv 1. derivace na průběh funkce Platí: Pokud je derivace funkce kladná v daném intervalu (tzn. v každém bodě tohoto intervalu), je funkce v tomto intervalu rostoucí. Pokud je derivace funkce záporná v daném intervalu, je funkce v tomto intervalu klesající. P o z n á m k a : Je-li funkce, která je rostoucí v intervalu (a, b), navíc spojitá v intervalu ha, b), resp. v (a, bi, resp. v ha, bi, je rostoucí v celém intervalu ha, b), resp. v (a, bi, resp. v ha, bi. Analogické pravidlo platí pro funkce klesající v daném intervalu. P o z n á m k a : Připomeňme, že všechny funkce v této kapitole jsou elementární, tudíž spojité v každém intervalu svého definičního oboru. Krajní body lze pak přidat do intervalů monotonie, jakmile je v nich funkce definovaná.
54
Lokální extrémy Funkce má v bodě c lokální maximum (minimum), má-li tam maximum (minimum) vzhledem k nějakému okolí bodu c. Funkce musí být na příslušném okolí bodu c definovaná. Je tedy bod c určitě vnitřním bodem definičního oboru funkce. Nutná podmínka lokálního extrému Má-li funkce v bodě c, ve kterém má derivaci, lokální extrém, pak je derivace funkce v bodě c nulová. P o z n á m k a : Nulová hodnota derivace je nutnou, ne však postačující podmínkou pro lokální extrém. Platí: Je-li spojitá funkce v nějakém intervalu vlevo od bodu c rostoucí a v nějakém intervalu vpravo klesající, musí být v bodě c lokální maximum, pokud je funkce vlevo klesající a vpravo rostoucí, je tam lokální minimum.
55
3.7. Vliv 2. derivace na průběh funkce, konvexita a konkavita funkce, inflexe Zderivujeme-li derivaci funkce f neboli funkci f ′ , získáme 2. derivaci funkce f , značíme ji f ′′ . Uvažujme funkci definovanou v intervalu I. Na jejím grafu zvolme dva body a veďme jimi sečnu. Pokud pro každé dva body na grafu je úsečka mezi nimi nad grafem funkce, nazýváme funkci konvexní v intervalu I , pokud je každá taková úsečka pod grafem, nazýváme funkci konkávní v intervalu I. Není-li specifikován interval I, máme na mysli celý definiční obor funkce. Platí: Pokud je 2. derivace funkce kladná (záporná) v daném intervalu, je funkce v tomto intervalu konvexní (konkávní). P o z n á m k a : Je-li funkce, která je konvexní v intervalu (a, b), navíc spojitá v intervalu ha, b), resp. v (a, bi, resp. v ha, bi, je konvexní v celém intervalu ha, b), resp. v (a, bi, resp. v ha, bi. Analogické pravidlo platí pro funkce konkávní v daném intervalu. P o z n á m k a : Všechny funkce v této kapitole jsou elementární, tudíž spojité v celém svém definičním oboru. Krajní body lze pak přidat do intervalů konvexity či konkavity, jakmile je v nich funkce definovaná.
56
Inflexe Pokud v nějakém bodě c, ve kterém je funkce spojitá a má v něm derivaci, dojde ke změně konvexní funkce v konkávní, nebo naopak, říkáme, že v bodě c nastává inflexe funkce. Bod c nebo [c; f (c)] nazýváme inflexním bodem funkce. 3.8. Průběh funkce Vyšetřit průběh funkce znamená 1) určit definiční obor funkce, 2) vypočítat limity v krajních bodech def. oboru, 3) určit nulové body a znaménka funkce (tím určíme, ve kterých intervalech je graf nad a pod osou x), 4) vypočítat vzorec pro 1. derivaci funkce a její znaménka (tím určíme intervaly monotonie funkce a z nich lokální extrémy), 5) vypočítat vzorec pro 2. derivaci funkce a její znaménka (tím určíme intervaly konvexity a konkavity funkce a z nich inflexní body), 6) načrtnout graf funkce.
