25

12. Determinanty

12. Determinanty – p. 1/25

Determinanty 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9.

Induktivní definice determinantu Determinant a antisymetrické formy Výpoˇcet hodnoty determinantu Determinant souˇcinu matic Rozvoj determinantu podle prvk˚u libovolného ˇrádku Adjungovaná a inverzní matice Determinant transponované matice Determinant jako funkce sloupc˚u Cramerovy vzorce pro ˇrešení soustav


12.1 Induktivní definice determinantu Budeme ˇrešit soustavu a11 x1 + a12 x2 = b1 a21 x1 + a22 x2 = b2



Úpravami, které nepoužívají dˇelení, dostaneme b1 a11 a12 b1 a11 a12 7→ a21 a22 b2 a22 r1 − a12 r2 a11 a22 − a12 a21 0 b1 a22 − a12 b2



Úpravami, které nepoužívají dˇelení, dostaneme b1 a11 a12 b1 a11 a12 7→ a21 a22 b2 a22 r1 − a12 r2 a11 a22 − a12 a21 0 b1 a22 − a12 b2 a11 a12 b1 a11 a12 b1 7→ a21 a22 b2 a11 r2 − a21 r1 0 a11 a22 − a12 a21 a11 b2 − b1 a21



Úpravami, které nepoužívají dˇelení, dostaneme b1 a11 a12 b1 a11 a12 7→ a21 a22 b2 a22 r1 − a12 r2 a11 a22 − a12 a21 0 b1 a22 − a12 b2 a11 a12 b1 a11 a12 b1 7→ a21 a22 b2 a11 r2 − a21 r1 0 a11 a22 − a12 a21 a11 b2 − b1 a21 odkud pro a11 a22 − a12 a21 6= 0 dostaneme b1 a22 − a12 b2 x1 = , a11 a22 − a12 a21

a11 b2 − b1 a21 x2 = . a11 a22 − a12 a21 12. Determinanty – p. 3/25

12.1 Induktivní definice determinantu Nyní si všimnˇeme, že cˇ itatele i jmenovatele lze vyjádˇrit pomocí jedné funkce matice: a b a b = ad − bc. = det c d c d


12.1 Induktivní definice determinantu Nyní si všimnˇeme, že cˇ itatele i jmenovatele lze vyjádˇrit pomocí jedné funkce matice: a b a b = ad − bc. = det c d c d ˇ Rešení soustavy lze zapsat za pomocí tohoto oznaˇcení ve tvaru b1 a12 a11 b1 b2 a22 a21 b2 x1 = , x2 = d d


12.1 Induktivní definice determinantu Nyní si všimnˇeme, že cˇ itatele i jmenovatele lze vyjádˇrit pomocí jedné funkce matice: a b a b = ad − bc. = det c d c d ˇ Rešení soustavy lze zapsat za pomocí tohoto oznaˇcení ve tvaru b1 a12 a11 b1 b2 a22 a21 b2 x1 = , x2 = d d kde a11 a12 d = a11 a22 − a12 a21 = a21 a22


12.1 Induktivní definice determinantu Nyní si všimnˇeme, že cˇ itatele i jmenovatele lze vyjádˇrit pomocí jedné funkce matice: a b a b = ad − bc. = det c d c d ˇ Rešení soustavy lze zapsat za pomocí tohoto oznaˇcení ve tvaru b1 a12 a11 b1 b2 a22 a21 b2 x1 = , x2 = d d kde a11 a12 d = a11 a22 − a12 a21 = a21 a22 Tyto vzorce se dají zobecnit na ˇrešení soustav n rovnic o n neznámých.


12.1 Induktivní definice determinantu D EFINICE 1 Pro kaˇzdou cˇ tvercovou matici A = [aij ], necht’ MA ij znaˇc´ı matici, která vznikne vyˇskrtnut´ım jej´ıho i-tého ˇra´ dku a j-tého sloupce. Matice MA yvá minor maij se naz´ tice A pˇr´ısluˇsný k dvojici index˚u (i, j).


12.1 Induktivní definice determinantu D EFINICE 1 Pro kaˇzdou cˇ tvercovou matici A = [aij ], necht’ MA ij znaˇc´ı matici, která vznikne vyˇskrtnut´ım jej´ıho i-tého ˇra´ dku a j-tého sloupce. Matice MA yvá minor maij se naz´ tice A pˇr´ısluˇsný k dvojici index˚u (i, j). P Rˇ Í KLAD 1 

1 2 3



   A= 4 5 6  , 7 8 9

MA 12



=

4 6 7 9



. 12. Determinanty – p. 5/25

12.1 Induktivní definice determinantu D EFINICE 2 Necht’ A = [aij ] je cˇ tvercová matice ˇra´ du n s reálnými nebo komplexn´ımi prvky. Determinant matice A je cˇ´ıslo, které znaˇc´ıme det A nebo |A| a vypoˇcteme jej podle následuj´ıc´ıch pravidel:


12.1 Induktivní definice determinantu D EFINICE 2 Necht’ A = [aij ] je cˇ tvercová matice ˇra´ du n s reálnými nebo komplexn´ımi prvky. Determinant matice A je cˇ´ıslo, které znaˇc´ıme det A nebo |A| a vypoˇcteme jej podle následuj´ıc´ıch pravidel: D1 Je-li n = 1, pak det A = det [a11 ] = a11 .


12.1 Induktivní definice determinantu D EFINICE 2 Necht’ A = [aij ] je cˇ tvercová matice ˇra´ du n s reálnými nebo komplexn´ımi prvky. Determinant matice A je cˇ´ıslo, které znaˇc´ıme det A nebo |A| a vypoˇcteme jej podle následuj´ıc´ıch pravidel: D1 Je-li n = 1, pak det A = det [a11 ] = a11 . D2 Pˇredpokládejme, zˇ e n > 1 a zˇ e um´ıme urˇcit determinant libovolné cˇ tvercové matice ˇra´ du n − 1. Pak A A A det A = a11 M11 − a12 M12 + a13 M13 − . . . A n+1 · · · +(−1) a1n M1n 12. Determinanty – p. 6/25

12.1 Induktivní definice determinantu D EFINICE 2 Necht’ A = [aij ] je cˇ tvercová matice ˇra´ du n s reálnými nebo komplexn´ımi prvky. Determinant matice A je cˇ´ıslo, které znaˇc´ıme det A nebo |A| a vypoˇcteme jej podle následuj´ıc´ıch pravidel: D1 Je-li n = 1, pak det A = det [a11 ] = a11 . D2 Pˇredpokládejme, zˇ e n > 1 a zˇ e um´ıme urˇcit determinant libovolné cˇ tvercové matice ˇra´ du n − 1. Pak A A A det A = a11 M11 − a12 M12 + a13 M13 − . . . A n+1 · · · +(−1) a1n M1n

Determinant matice je tedy funkce prvk˚u matice, která je definována explicitnˇe pro n = 1 a pro n > 1 je definována pomocí pravidla, které definuje determinant matice ˇrádu n pomocí determinant˚u ˇrádu n − 1.


12.1 Induktivní definice determinantu P Rˇ Í KLAD 2 1 2 3 −1 2 1 −1 2 = 1 2 1 −1 2 1

1 2 1 −1 − 2 + 3 = −1 1 −1 2

= 1 (−1|1| − 2|2|) − 2 (1|1| − 2| − 1|) + 3 (1|2| − (−1)| − 1|) = = 1 · (−5) − 2 · 3 + 3 · 1 = −8.


12.1 Induktivní definice determinantu P Rˇ Í KLAD 2 1 2 3 −1 2 1 −1 2 = 1 2 1 −1 2 1

1 2 1 −1 − 2 + 3 = −1 1 −1 2

= 1 (−1|1| − 2|2|) − 2 (1|1| − 2| − 1|) + 3 (1|2| − (−1)| − 1|) = = 1 · (−5) − 2 · 3 + 3 · 1 = −8.

P Rˇ Í KLAD l11 0 l21 l22 . .. .. . l n1 ln2

3 ... ... ... ...

0 0 .. . lnn

= l11

l22 0 . . . l32 l33 . . . .. . . .. . . . ln2 ln3 . . .

Odtud speciálnˇe plyne det I = 1.

0 0 .. . lnn

= · · · = l11 · · · lnn . 12. Determinanty – p. 7/25

12.1 Induktivní definice determinantu Definujme algebraický doplnˇek matice A pˇríslušný k dvojici index˚u (i, j) pˇredpisem A i+j Aij = (−1) Mij . Vzorec D2 lze pak pˇrepsat ve tvaru

det A = a11 A11 + · · · + a1n A1n .



det A = a11 A11 + · · · + a1n A1n . Determinant matice n-tého ˇrádu poˇcítaný podle pravidla D2 vyžaduje vyˇcíslení souˇctu n souˇcin˚u cˇ ísel a determinant˚u matic ˇrádu n − 1. Použijeme-li pravidlo D2 na determinanty ˇrádu n − 1, dostaneme, že vyˇcíslení determinantu matice n-tého ˇrádu vyžaduje vyˇcíslení souˇctu n(n − 1) souˇcin˚u dvou cˇ ísel a determinant˚u ˇrádu n − 2. Opakováním tohoto postupu zjistíme, že vyˇcíslení determinantu matice n-tého ˇrádu vyžaduje n! sˇcítanc˚u tvoˇrených souˇciny n cˇ ísel, tj. celkem (n − 1)n! souˇcin˚u. 12. Determinanty – p. 8/25


det A = a11 A11 + · · · + a1n A1n . Determinant matice n-tého ˇrádu poˇcítaný podle pravidla D2 vyžaduje vyˇcíslení souˇctu n souˇcin˚u cˇ ísel a determinant˚u matic ˇrádu n − 1. Použijeme-li pravidlo D2 na determinanty ˇrádu n − 1, dostaneme, že vyˇcíslení determinantu matice n-tého ˇrádu vyžaduje vyˇcíslení souˇctu n(n − 1) souˇcin˚u dvou cˇ ísel a determinant˚u ˇrádu n − 2. Opakováním tohoto postupu zjistíme, že vyˇcíslení determinantu matice n-tého ˇrádu vyžaduje n! sˇcítanc˚u tvoˇrených souˇciny n cˇ ísel, tj. celkem (n − 1)n! souˇcin˚u.

Existují efektivnˇejší postupy výpoˇctu determinant˚u.


12.2 Determinant a antisymetrické formy L EMMA 1 Necht’ A = [aij ] a B = [bij ] jsou cˇ tvercové matice, které se liˇs´ı nanejvýsˇ v prvn´ım ˇra´ dku, a α je libovolný skalár. Pak αrA rA + rB 1 1 = α det A, 1 = det A + det B. ∗ ∗


12.2 Determinant a antisymetrické formy L EMMA 1 Necht’ A = [aij ] a B = [bij ] jsou cˇ tvercové matice, které se liˇs´ı nanejvýsˇ v prvn´ım ˇra´ dku, a α je libovolný skalár. Pak αrA rA + rB 1 1 = α det A, 1 = det A + det B. ∗ ∗ ˚ D UKAZ : αrA 1 ∗

11 αa a21 = . .. an1

... ... .. . ...

αa1n a2n .. . ann

= αa11 A11 + · · · + αa1n A1n = α det A


12.2 Determinant a antisymetrické formy L EMMA 1 Necht’ A = [aij ] a B = [bij ] jsou cˇ tvercové matice, které se liˇs´ı nanejvýsˇ v prvn´ım ˇra´ dku, a α je libovolný skalár. Pak αrA rA + rB 1 1 = α det A, 1 = det A + det B. ∗ ∗ ˚ D UKAZ : αrA 1 ∗

αa1n 11 . . . αa a21 . . . a2n = . .. .. .. . . an1 . . . ann a11a+ b11 .. .. .. B 21 rA 1 + r1 = .. .. ∗ . . an1 ...

= αa11 A11 + · · · + αa1n A1n = α det A a1n + b1n a2n .. . ann

=

= (a11 + b11 )A11 + · · · + (a1n + b1n )A1n =

= (a11 A11 + · · · + a1n A1n ) + (b11 A11 + · · · + b1n A1n ) = det A + det B. 12. Determinanty – p. 9/25

12.2 Determinant a antisymetrické formy L EMMA 2 Necht’ A=[aij ] je cˇ tvercová matice ˇra´ du n ≥ 2. Pak A A r2 r1 A det A = rA = − r1 . 2 ∗ ∗


12.2 Determinant a antisymetrické formy L EMMA 2 Necht’ A=[aij ] je cˇ tvercová matice ˇra´ du n ≥ 2. Pak A A r2 r1 A det A = rA = − r1 . 2 ∗ ∗ ˚ D UKAZ : Pro n = 2 platí A r a11 a12 1A = r2 a21 a22 =

= a11 a22 − a12 a21

rA = −(a21 a12 − a22 a11 ) = − 2A r1

.


12.2 Determinant a antisymetrické formy L EMMA 2 Necht’ A=[aij ] je cˇ tvercová matice ˇra´ du n ≥ 2. Pak A A r2 r1 A det A = rA = − r1 . 2 ∗ ∗ ˚ D UKAZ : Pro n = 2 platí A r a11 a12 1A = r2 a21 a22 =

= a11 a22 − a12 a21

rA = −(a21 a12 − a22 a11 ) = − 2A r1

.

D˚ukaz pro obecnˇejší pˇrípad se provede rozepsáním determinant˚u minor˚u v D2 a vhodnou úpravou. Úplný d˚ukaz je však komplikovaný.


12.2 Determinant a antisymetrické formy ˇ V ETA 1 Necht’ A = [aij ] je cˇ tvercová matice ˇra´ du n ≥ 2 a necht’ B = [bij ] je matice, která vznikla z matice A vzájemnou výmˇenou i-tého a j-tého ˇra´ dku. Pak ∗ ∗ A A rj i ri i = − det B. = − ∗ det A = ∗ rA j rA j i j ∗ ∗


12.2 Determinant a antisymetrické formy ˇ V ETA 1 Necht’ A = [aij ] je cˇ tvercová matice ˇra´ du n ≥ 2 a necht’ B = [bij ] je matice, která vznikla z matice A vzájemnou výmˇenou i-tého a j-tého ˇra´ dku. Pak ∗ ∗ A A rj i ri i = − det B. = − ∗ det A = ∗ rA j rA j i j ∗ ∗

˚ D UKAZ : D˚ukaz se provádí pomocí matematické indukce s využitím Lemma 2. Viz literatura.


12.2 Determinant a antisymetrické formy ˇ V ETA 2 Necht’ A a B jsou cˇ tvercové matice, které maj´ı stejné ˇra´ dky s výjimkou k-tého. Pak pro libovolné α plat´ı ∗ ∗ A B A k αrk = α det A, k rk + rk = det A + det B. ∗ ∗



˚ D UKAZ : D˚ukaz se provádí pomocí matematické indukce s využitím Lemma 1 a Vˇety 1. Viz literatura.



˚ D UKAZ : D˚ukaz se provádí pomocí matematické indukce s využitím Lemma 1 a Vˇety 1. Viz literatura.

Vˇety 1. a 2. m˚užeme shrnout tvrzením, že determinant je antisymetrická bilineární forma libovolné dvojice rˇádk˚u matice.


12.2 Determinant a antisymetrické formy ˚ D USLEDEK : Necht’ A je libovolná cˇ tvercová matice:



1. Má-li A dva stejné ˇrádky, pak det A = 0.



1. Má-li A dva stejné ˇrádky, pak det A = 0. 2. Má-li A nulový ˇrádek, pak det A = 0.



1. Má-li A dva stejné ˇrádky, pak det A = 0. 2. Má-li A nulový ˇrádek, pak det A = 0. 3. Je-li B cˇ tvercová matice, která má stejné ˇrádky jako A s výjimkou k-tého, a A A rB = r + αr k k l ,

k 6= l,

pak det A = det B.



1. Má-li A dva stejné ˇrádky, pak det A = 0. 2. Má-li A nulový ˇrádek, pak det A = 0. 3. Je-li B cˇ tvercová matice, která má stejné ˇrádky jako A s výjimkou k-tého, a A A rB = r + αr k k l ,

k 6= l,

pak det A = det B. 4. Jsou-li ˇrádky A lineárnˇe závislé, pak det A = 0.


12.3 Výpoˇcet hodnoty determinantu Elementární ˇrádkové úpravy ovlivˇnují velmi jednoduše hodnotu determinantu.


12.3 Výpoˇcet hodnoty determinantu Elementární ˇrádkové úpravy ovlivˇnují velmi jednoduše hodnotu determinantu. 1. Vzájemná výmˇena dvou ˇrádk˚u zmˇení znaménko determinantu


12.3 Výpoˇcet hodnoty determinantu Elementární ˇrádkové úpravy ovlivˇnují velmi jednoduše hodnotu determinantu. 1. Vzájemná výmˇena dvou ˇrádk˚u zmˇení znaménko determinantu 2. Vynásobení ˇrádku skalárem vynásobí tímto skalárem determinant


12.3 Výpoˇcet hodnoty determinantu Elementární ˇrádkové úpravy ovlivˇnují velmi jednoduše hodnotu determinantu. 1. Vzájemná výmˇena dvou ˇrádk˚u zmˇení znaménko determinantu 2. Vynásobení ˇrádku skalárem vynásobí tímto skalárem determinant 3. Pˇriˇctení násobku nˇekterého ˇrádku k jinému hodnotu determinantu nezmˇení


12.3 Výpoˇcet hodnoty determinantu Elementární ˇrádkové úpravy ovlivˇnují velmi jednoduše hodnotu determinantu. 1. Vzájemná výmˇena dvou ˇrádk˚u zmˇení znaménko determinantu 2. Vynásobení ˇrádku skalárem vynásobí tímto skalárem determinant 3. Pˇriˇctení násobku nˇekterého ˇrádku k jinému hodnotu determinantu nezmˇení Elementární ˇrádkové úpravy matice proto m˚užeme využít k pˇrevodu matice na speciální tvar vhodný pro výpoˇcet determinantu. Pro nás je to prozatím dolní trojúhelníková matice, jejíž determinant je podle pˇríkladu 3 roven souˇcinu diagonálních prvk˚u. 12. Determinanty – p. 14/25

12.3 Výpoˇcet hodnoty determinantu P Rˇ Í KLAD 4 6 3 3 2 +r 1 3 +2r 8 2 2 0 2 3 = 3 1 3 1 −1 −6 = 2 4 3

−3r2 6 3 0 0 0 0 = 2 4 1 = 3 1 −1 −1 0 0 1 0 = 2 · (−6) · 1 · (−1) = 12 1 −1


12.3 Výpoˇcet hodnoty determinantu P Rˇ Í KLAD 4 6 3 3 2 +r 1 3 +2r 8 2 2 0 2 3 = 3 1 3 1 −1 −6 = 2 4 3 P Rˇ Í KLAD 0 1 1 1 0 1 1 1 0

5 r = − 3 r2 = −

−3r2 6 3 0 0 0 0 = 2 4 1 = 3 1 −1 −1 0 0 1 0 = 2 · (−6) · 1 · (−1) = 12 1 −1

−1 1 0 0 1 1 −r3 1 1 0 = − 1 1 0 1 0 1 1 0 1 −2 0 0 1 1 0 = −(−2) · 1 · 1 = 2 1 0 1

−r2 =


12.4 Determinant souˇcinu matic ˇ V ETA 3 Necht’ A a B jsou cˇ tvercové matice ˇra´ du n. Pak det(AB) = det A · det B.


12.5 Rozvoj determinantu podle libovolného rˇ ádku ˇ V ETA 4 Jestliˇze A = [aij ] je cˇ tvercová matice ˇra´ du n > 1, pak pro libovolný index k plat´ı det A = ak1 Ak1 + · · · + akn Akn .


12.5 Rozvoj determinantu podle libovolného rˇ ádku ˇ V ETA 4 Jestliˇze A = [aij ] je cˇ tvercová matice ˇra´ du n > 1, pak pro libovolný index k plat´ı det A = ak1 Ak1 + · · · + akn Akn . ˚ D USLEDEK : Necht’ A = [aij ] je cˇ tvercová matice ˇrádu n > 1.

1. Jsou-li k, l dva r˚uzné indexy ˇrádk˚u matice A, pak ak1 Al1 + · · · + akn Aln = 0. 2. Je-li A trojúhelníková matice, pak det A = a11 · · · ann .


12.6 Adjungovaná a inverzní matice D EFINICE 3 Necht’ A je libovolná cˇ tvercová matice ˇra´ du n > 1. Pak e k matici A je cˇ tvercová matice adjungovaná matice A stejného ˇra´ du definovaná pˇredpisem # " A11 . . . An1 .. . . e = . .. . A . . A1n . . . Ann


12.6 Adjungovaná a inverzní matice D EFINICE 3 Necht’ A je libovolná cˇ tvercová matice ˇra´ du n > 1. Pak e k matici A je cˇ tvercová matice adjungovaná matice A stejného ˇra´ du definovaná pˇredpisem # " A11 . . . An1 .. . . e = . .. . A . . A1n . . . Ann

P Rˇ Í KLAD 6 Pro matici   3 2 1 2  A= 2 0 3 1 −1

je





−2 3 4 e =  8 −6 −4  . A 2 3 −4 12. Determinanty – p. 18/25

12.6 Adjungovaná a inverzní matice P Rˇ Í KLAD 6 Pokraˇcován´ı Opravdu 2 0 2 2 = −2, A12 = − = −(−2 − 6) = 8, A11 = 1 −1 3 −1 2 0 2 1 = −(−2 − 1) = 3, A13 = = 2, A21 = − 1 −1 3 1 3 1 3 2 = −3 − 3 = −6, A23 = − = 3, A22 = 3 1 3 −1 2 1 3 1 = 4, A32 = − = −4, A31 = 2 2 0 2 3 2 = −4. A33 = 2 0 12. Determinanty – p. 19/25

12.6 Adjungovaná a inverzní matice ˇ V ETA 5 Necht’ A je cˇ tvercová regulárn´ı matice ˇra´ du n > 1. Pak det A 6= 0 a −1

A

1 e = A. det A


12.6 Adjungovaná a inverzní matice P Rˇ Í KLAD 7 Pro matici A definovanou v Pˇr´ıkladu 6 dostaneme      −1 1 1 −2 3 4 − 61 3 2 1 4 3 1    2   1 1  2  =  2 0  8 −6 −4  =  3 − 2 − 3  . 12 1 1 1 2 3 −4 − 3 1 −1 6 4 3



˚ D USLEDEK : Matice A je regulární, právˇe když det A 6= 0.



˚ D USLEDEK : Matice A je regulární, právˇe když det A 6= 0. ˚ D UKAZ : Je-li A singulární, pak má závislé ˇrádky, takže podle d˚usledku 4 vˇet 1 a 2 platí det A = 0. Obrácené tvrzení plyne z vˇety 5.


12.7 Determinant transponované matice ˇ V ETA 6 Necht’ A je cˇ tvercová matice. Pak det A⊤ = det A.


12.7 Determinant transponované matice ˇ V ETA 6 Necht’ A je cˇ tvercová matice. Pak det A⊤ = det A. ˚ D UKAZ : Každou permutaˇcní matici P vyjádˇrit ve tvaru P = P1 · · · Pk souˇcinu elementárních permutaˇcních matic Pi , které jsou symetrické, takže P⊤ = Pk · · · P1 a det P⊤ = |Pk | · · · |P1 | = det P.


12.7 Determinant transponované matice ˇ V ETA 6 Necht’ A je cˇ tvercová matice. Pak det A⊤ = det A. ˚ D UKAZ : Každou permutaˇcní matici P vyjádˇrit ve tvaru P = P1 · · · Pk souˇcinu elementárních permutaˇcních matic Pi , které jsou symetrické, takže P⊤ = Pk · · · P1 a det P⊤ = |Pk | · · · |P1 | = det P. Jelikož transponování nemˇení diagonálu matice a determinant trojúhelníkové matice je roven souˇcinu jejích diagonálních prvk˚u, platí tvrzení také pro každou trojúhelníkovou matici.


12.7 Determinant transponované matice ˇ V ETA 6 Necht’ A je cˇ tvercová matice. Pak det A⊤ = det A. ˚ D UKAZ : Každou permutaˇcní matici P vyjádˇrit ve tvaru P = P1 · · · Pk souˇcinu elementárních permutaˇcních matic Pi , které jsou symetrické, takže P⊤ = Pk · · · P1 a det P⊤ = |Pk | · · · |P1 | = det P. Jelikož transponování nemˇení diagonálu matice a determinant trojúhelníkové matice je roven souˇcinu jejích diagonálních prvk˚u, platí tvrzení také pro každou trojúhelníkovou matici. Jestliže je A obecná cˇ tvercová matice, pak podle vˇety o LUP rozkladu existují dolní trojúhelníková matice L, horní trojúhelníková matice U a permutaˇcní matice P tak, že A = LUP.


12.7 Determinant transponované matice ˇ V ETA 6 Necht’ A je cˇ tvercová matice. Pak det A⊤ = det A. ˚ D UKAZ : Každou permutaˇcní matici P vyjádˇrit ve tvaru P = P1 · · · Pk souˇcinu elementárních permutaˇcních matic Pi , které jsou symetrické, takže P⊤ = Pk · · · P1 a det P⊤ = |Pk | · · · |P1 | = det P. Jelikož transponování nemˇení diagonálu matice a determinant trojúhelníkové matice je roven souˇcinu jejích diagonálních prvk˚u, platí tvrzení také pro každou trojúhelníkovou matici. Jestliže je A obecná cˇ tvercová matice, pak podle vˇety o LUP rozkladu existují dolní trojúhelníková matice L, horní trojúhelníková matice U a permutaˇcní matice P tak, že A = LUP. S použitím vˇety o souˇcinu determinant˚u odtud plyne

det A⊤ = det(P⊤ U⊤ L⊤ ) = |P⊤ ||U⊤ ||L⊤ | = |L||U||P| = det(LUP) = det A. 12. Determinanty – p. 22/25

12.8 Determinant jako funkce sloupcu˚ Z vˇety 6 vyplývá, že determinant považovaný za funkci sloupc˚u má stejné vlastnosti jako determinant považovaný za funkci ˇrádk˚u. Napˇríklad determinant je antisymetrická bilineární forma libovolné dvojice sloupc˚u matice.


12.8 Determinant jako funkce sloupcu˚ Z vˇety 6 vyplývá, že determinant považovaný za funkci sloupc˚u má stejné vlastnosti jako determinant považovaný za funkci ˇrádk˚u. Napˇríklad determinant je antisymetrická bilineární forma libovolné dvojice sloupc˚u matice. ˇ V ETA 7 Necht’ A je cˇ tvercová matice ˇra´ du n > 1. Pak pro i = 1, . . . , n plat´ı det A = a1i A1i + · · · + ani Ani .


12.9 Cramerovy vzorce Použijeme-li vzorec pro inverzní matici k ˇrešení soustavy Ax = b s regulární cˇ tvercovou maticí A ˇrádu n > 1, dostaneme pro složky xi ˇrešení x vzorce


12.9 Cramerovy vzorce Použijeme-li vzorec pro inverzní matici k ˇrešení soustavy Ax = b s regulární cˇ tvercovou maticí A ˇrádu n > 1, dostaneme pro složky xi ˇrešení x vzorce −1 1 (A1i b1 + · · · + Ani bn ). xi = A b i = det A


12.9 Cramerovy vzorce Použijeme-li vzorec pro inverzní matici k ˇrešení soustavy Ax = b s regulární cˇ tvercovou maticí A ˇrádu n > 1, dostaneme pro složky xi ˇrešení x vzorce −1 1 (A1i b1 + · · · + Ani bn ). xi = A b i = det A Minory pˇríslušné k prvk˚um i-tého sloupce neobsahují prvky i-tého sloupce, a proto m˚užeme výraz v kulaté závorce považovat za rozvoj determinantu podle i-tého sloupce matice


12.9 Cramerovy vzorce Použijeme-li vzorec pro inverzní matici k ˇrešení soustavy Ax = b s regulární cˇ tvercovou maticí A ˇrádu n > 1, dostaneme pro složky xi ˇrešení x vzorce −1 1 (A1i b1 + · · · + Ani bn ). xi = A b i = det A Minory pˇríslušné k prvk˚um i-tého sloupce neobsahují prvky i-tého sloupce, a proto m˚užeme výraz v kulaté závorce považovat za rozvoj determinantu podle i-tého sloupce matice i i b A A A A Ai = [ ∗ b ∗ ] = s1 . . . si−1 b si+1 . . . sn , která vznikne z A zámˇenou i-tého sloupce za b.


12.9 Cramerovy vzorce Použijeme-li vzorec pro inverzní matici k ˇrešení soustavy Ax = b s regulární cˇ tvercovou maticí A ˇrádu n > 1, dostaneme pro složky xi ˇrešení x vzorce −1 1 (A1i b1 + · · · + Ani bn ). xi = A b i = det A Minory pˇríslušné k prvk˚um i-tého sloupce neobsahují prvky i-tého sloupce, a proto m˚užeme výraz v kulaté závorce považovat za rozvoj determinantu podle i-tého sloupce matice i i b A A A A Ai = [ ∗ b ∗ ] = s1 . . . si−1 b si+1 . . . sn , která vznikne z A zámˇenou i-tého sloupce za b. Výrazy

det Abi xi = , det A se nazývají Cramerovy vzorce.

i = 1, . . . , n 12. Determinanty – p. 24/25

12.9 Cramerovy vzorce P Rˇ Í KLAD 8 Pomoc´ı Cramerových vzorc˚u najdˇete ˇreˇsen´ı soustavy 3x1 2x1 3x1

+

2x2

−

x2

+ + −

x3 2x3 x3

= = =

6 0 0



+

2x2

−

x2

+ + −

x3 2x3 x3

= = =

6 0 0

Rˇ E Sˇ ENÍ : Postupnˇe vypoˇcteme determinant matice soustavy 3 2 1 2 0 2 = 20 |A| = 3 −1 −1



+

2x2

−

x2

+ + −

x3 2x3 x3

= = =

6 0 0


a cˇ itatele Cramerových vzorc˚u 6 3 6 2 1 0 2 = 12, |Ab2 | = 2 0 |Ab1 | = 0 0 −1 −1 3 0

3 1 2 = 48, |Ab3 | = 2 3 −1

2 6 0 0 = −12 −1 0



+

2x2

−

x2

+ + −

x3 2x3 x3

= = =

6 0 0


a cˇ itatele Cramerových vzorc˚u 6 3 6 2 1 0 2 = 12, |Ab2 | = 2 0 |Ab1 | = 0 0 −1 −1 3 0 Odtud

3 |Ab1 | x1 = = , det A 5

3 1 2 = 48, |Ab3 | = 2 3 −1

|Ab2 | 12 x2 = = , det A 5

2 6 0 0 = −12 −1 0

|Ab3 | 3 x3 = =− . det A 5 12. Determinanty – p. 25/25

25

Recommend Documents