2.4. INVERZNÍ MATICE
V této kapitole se dozvíte: •
definici inv erzní matice;
•
základní vlastnosti inverzní matice;
•
dvě základní metody výpočtu inv erzní matice;
•
definici celočíseln é mo cnin y matice.
Klíčová slova této kapitoly: inverzní matice, regulární matice, matice adjungovaná, Gaussova metoda inverze matic,.přirozená a celočíselná mocnina matice.
Čas potřebný k prostudování učiva kapitoly: 0,5 + 1,5 hodiny (teorie + řešení příkladů )
Definice. Inverzní maticí k čtvercové matici A nazýváme (pokud existuje) takovou matici A −1 stejného typu, pro kterou platí AA −1 = A −1A = E , kde E je jednotková matice. Věta. Následující výroky jsou ekvivalentní: a) Inverzní matice k matici A řádu n existuje. b) Hodnost matice A je rovna jejímu řádu, tj. h ( A ) = n . c) Determinant matice A je různý od nuly. d) Matice A je regulární. Poznámka. Vidíme, že regulární matici můžeme definovat třemi způsoby: det A ≠ 0 ⇔ h ( A ) = n ⇔ ∃A −1 . Vlastnosti inverzní matice. Věta. Pro libovolné čtvercové matice A , B téhož řádu platí:
(A )
T −1
= ( A −1 ) , det ( A −1 ) = T
1 −1 −1 = ( det A ) , ( AB ) = B −1A −1 . det A
Důkaz. Důkaz druhého vzorce na základě vlastností determinantů je velmi snadný: AA −1 = E ⇒ det AA −1 = det E ⇒ det A ⋅ det A −1 = 1 ⇒ det A −1 =
1 . det A
Cbd. Výpočet inverzní matice. Věta. Inverzní matici k regulární matici A ≡ ( aik ) řádu n lze vyjádřit ve tvaru A11 1 A12 −1 A = det A ... A1n
A21 A22 ... A2 n
... An1 ... An 2 1 T = Aik ) , ( ... ... det A ... Ann
kde Aik je algebraický doplněk prvku aik . Poznámka
Matici ( Aik ) , tj. transponované matici algebraických doplňků, se říká matice adjungovaná. T
Gaussova metoda inverze matic. K určení inverzní matice se kromě uvedeného výpočtu pomocí adjungované matice používá (zejména pro vyšší řády) tzv. Gaussovy metody. Tato metoda je založena na tom, že k inverzní matici A −1 lze přejít pomocí pouze řádkových (nebo pouze sloupcových) elementárních úprav matice A , přičemž nejprve se snažíme dostat jednotkovou matici E a pak aplikací týchž elementárních úprav ve stejném pořadí přejdeme od matice E k inverzní matici A −1 . V praxi vždy vystačíme se třemi operacemi: přičtením lineární kombinace řádků k jinému řádku, vynásobením řádku číslem různým od nuly a přehozením pořadí řádků. Pokud není možno uvedeným postupem obdržet matici E , je matice A singulární. Řešený příklad 1. Invertujte matici A =
( ). 2 −2 1 3
Řešení.
( ) , po transpozici ( ) , dále snadno spočítáme det A=2 ⋅ 3 − ( −2) ⋅1 = 8 . Tudíž A = ( ) .
1. Pomocí adjungované matice: Matice algebraických doplňků je
3 −1 2 2 −1
3 2 −1 2
1 8
3 2 −1 2
2. Gaussovou metodou: Matici A a jednotkovou matici E si napíšeme vedle sebe (do tzv. blokové matice) a elementární úpravy provádíme současně na obou maticích:
( A E) = ( ∼
(
2 −2 1 0 1 3 0 1
−8 0 −3 −2 0 −8 1 −2
)∼(
)∼(
2 −2 1 0 −2 −6 0 −2
1 0 38 0 1 −18
2 2
8 8
)∼(
2 −21 0 0 −81 −2
) = (E A ) −1
)∼(
−8 8 −4 0 0 −8 1 −2
38 ⇒A = −18 −1
)∼
. 2 8 2
8
.
Celočíselná mocnina matice. Definice. Pro čtvercovou regulární matici A a n ∈ definujeme celočíselnou mocninu takto: a) A n = AA...A , tzn. jako opakované násobení n stejných matic. n činitelů
b) A
−n
= A −1A −1...A −1 , tzn. jako opakované násobení n inverzních matic . n činitelů
c) A = E . 0
Poznámka. a) Nyní tedy máme definován symbol A m pro libovolné celé m , kladné, nulové i záporné. b) Symbol A −1 můžeme číst jako matici inverzní k matici A nebo i jako ( −1) . mocninu matice A , na základě uvedené definice je to jedno. Věta. Obdobně jako pro číselné mocniny pro čtvercovou regulární matici A a m, n ∈ Z platí: A m A n = A m+n ,
Am = A m−n . n A
Poznámka. Pozor! Některé vzorce, platné pro číselné mocniny, nelze přejímat pro maticové mocniny, zejména proto, že pro násobení matic neplatí komutativní zákon. Např. obecně může být
( AB )
n
≠ AnBn .
Shrnutí kapitoly: Inverzní maticí k dané čtvercové matici A je matice stejného typu, pro kterou platí, že součin obou matic v libovolném pořadí dává jednotkovou matici. Inverzní matici značíme A −1 . Inverzní matice existuje pouze k maticím regulárním, tzn. takovým, jejichž determinant je různý od nuly. Je třeba znát základní vlastnosti inverzní matice. Např. determinant inverzní matice je roven převrácené hodnotě determinantu původní matice; inverzní matice k součinu matic je rovna součinu inverz ních matic (činitelů) v obráceném pořadí aj. Vypočítat inverzní matici k dané matici lze dvěma základními způsoby. Prvním je výpočet pomocí adjungované matice (transponované matice algebraických doplňků), druhým je tzv. Gaussova metoda inverze matic. Pro vyšší řády je vhodnější Gaussova metoda, protože metoda pomocí adjungované matice vyžaduje výpočty determinantů. Přirozenou mocninu matice A n , kde n ∈ N , která je definována jednoduše jako n -násobný opakovaný součin matice A , můžeme nyní s využitím inverzní matice zobecnit pro libovolný celočíselný základ m ∈ Z . Pro celočíselnou mocninu matice platí některé (pozor, ne všechny!) věty jako pro číselné mocniny, např. platí vzorec A m A n = A m + n . Otázky: •
Jak je defin ována inverzní matice?
•
K jakým maticím existuje inverzní matice?
•
Uveďte zák ladní vlastnosti inverzních matic. Jak vypadá matice inverzní k matici transponov ané? Jak je to s d etermin antem inv erzní mati ce? Jak se d á vyjádřit inverzní matice k součinu matic?
•
Jaké znáte metody výpočtu inverzn í matice?
•
Formulu jte přesn ě meto du v ýpočtu inverzní matice pomocí matice adjungované. V čem tk ví její náro čno st?
•
Formulujte algoritmus Gaussovy metod y inverze matic.
•
Definujte celočíselnou mo cninu ma tice. Jak so uvisí celočíselná mo cnina matice s inverzní maticí?
Příklad 1. Vypočítete inverzní matici (do třetího řádu oběma metodami, čtvrtého řádu pouze Gaussovou metodou): −1
1 −3 −2 −1 2 −1 − 1 a) ; b) ; c) −2 1 3 ; d) −4 7 1 −1 3 2 −1 −1
−1
−1
−1 −3 −2 −2 1 3 ; 3 2 −1
−1
1 1 −1 e) 1 1 1 1 0 −1
−1
1 2 0 1 2 3 −1 2 ; f) . −1 −1 2 −3 −2 − 3 1 1
Řešení příkladů. −7 −7 −7 7 −2 1 −1 1 −1 1a) ⋅ 7 5 1 ; 1d) [ neexistuje ] ; ; 1b) ⋅ ; 1c) 2 −1 − 1 14 4 −1 −7 −11 −5 15 −15 −6 −3 −1 1 2 3 2 1 1 −9 8 1e) ⋅ 2 0 −2 ; 1f) − ⋅ . 2 3 3 −5 −3 −2 −1 1 0 0 −1 0 −1 Další zdroje: 1. POLÁK, J. Přehled středoškolské matematiky. 6. vyd. Praha: Prometheus, 1997. 2. POLÁK, J. Středoškolská matematika v úlohách I. 1. vyd. Praha: Prometheus, 1996. 3. POLÁK, J. Středoškolská matematika v úlohách II. 1. vyd. Praha: Prometheus, 1996. 4. REKTORYS, K. a spol. Přehled užité matematiky. 6. přepr. vyd. Praha: Prometheus, 1995.
ZÁVĚR: [Tady klepněte a pište]
