PÍKLADY K 2.PP Z U3/2 I. Slovní úlohy o pohybu 1. Z p°ístavi²t¥ A se vydaly po proudu sou£asn¥ lo¤ a vor. Lo¤ urazila 96 km po proudu, vydala se ihned zp¥t a vrátila se do A za 14 hodin. Najd¥te vlastní rychlost lodi a rychlost proudu, jestliºe víte, ºe lo¤ a vor se potkaly na zpáte£ní cest¥ lodi ve vzdálenosti 24 km od A. 2. Letadlo letí po p°ímé dráze z A do B. B¥hem cesty je nuceno sníºit rychlost na v km/h, £ímº se jeho p°ílet do B zpozdí o t1 minut. Podruhé je op¥t nuceno pro protivítr zpomalit na rychlost v km/h, tentokrát v²ak o d km dále od A neº v prvním p°ípad¥; následkem toho se zpozdí o t2 minut. Najd¥te p·vodní rychlost letadla. 3. Dva cyklisté vyjeli sou£asn¥ z místa A do B. Jedou navzájem r·znými, ale konstantními rychlostmi. Jakmile dojedou do B, ihned se vracejí touº rychlostí do A a tam op¥t obracejí. První cyklista p°edjel druhého a na zpáte£ní cest¥ do A ho potkal ve vzdálenosti a km od B. Po obrátce v A potkal druhého cyklistu v k -tin¥ vzdálenosti z A do B. Najd¥te vzdálenost z A do B. 4. Z bod· A a B si sou£asn¥ vy²li naproti dva chodci. Po setkání pokra£oval první v cest¥ do B, zatímco druhý se oto£il a dal se také na cestu do B. Do²el tam o t hodin d°íve neº první. Jeho rychlost je k -násobkem rychlosti prvního chodce. Jak dlouho ²li, neº se poprvé setkali? II. Slovní úlohy o sm¥sích 1. Do ²esti litr· vody o teplot¥ 15◦ C máme nalít teplej²í vodu tak, aby výsledná teplota vody byla v¥t²í neº 30◦ C a men²í neº 40◦ C. a) Kolik litr· vody o teplot¥ 50◦ C je pot°eba p°ilít? b) Jakou teplotu musí mít 10 litr· p°ilévané vody? 2. Z cisterny napln¥né lihem byla vylita £ást lihu a dopln¥na vodou. Potom bylo z cisterny vylito stejné mnoºství sm¥si. V nádrºi z·stalo 49 litr· £istého lihu. Objem cisterny je 64 litr·. Kolik lihu bylo vylito poprvé a kolik podruhé? 3. Nádoba o objemu 8l je napln¥na vzduchem obsahujícím 16% kyslíku. Z nádoby je vypu²t¥no n¥jaké mnoºství vzduchu a dopln¥no stejným mnoºstvím dusíku. Pak je op¥t vypu²t¥n vzduch z nádoby a zase je dopln¥n dusík. Jde o stejná mnoºství vzduchu £i dusíku jako v prvním p°ípad¥. Bylo zji²t¥no, ºe v takto získaném vzduchu je 9% kyslíku. Ur£ete kolik litr· vzduchu se z nádoby vypou²t¥lo? III. Slovní úlohy o práci 1. Kdyby d¥lník plnil denní normu, pak by do stanoveného dne vyrobil 540 sou£ástek. První £ty°i dny plnil normu. Pak pouºitím nové technologie vyrobil kaºdý den o 12 sou£ástek více a tak jiº dva dny p°ed stanoveným termínem vyrobil o tolik sou£ástek více, kolik jich m¥l podle normy vyrobit za jeden den. Ur£ete kolik sou£ástek m¥l d¥lník podle normy denn¥ vyrobit. 2. Dv¥ písa°ky m¥ly provést jistou práci. Druhá z nich za£ala pracovat o hodinu pozd¥ji neº první. Za 9 t°i hodiny poté, co první za£ala psát, jim zbývalo napsat je²t¥ 20 z celkového mnoºství. Kdyº bylo v²e hotovo, ukázalo se, ºe ob¥ písa°ky ud¥lali stejné mnoºství práce. Za jak dlouho by kaºdá z nich mohla (sama) zvládnout celou práci? 3. B¥hem osmihodinového pracovního dne vysázel jeden ze saze£· o t°i novinové strany více neº druhý. Poté co se za£aly pouºívat nové stroje, díky kterým se doba sázení jedné novinové strany zkrátila o 8 minut pro kaºdého ze saze£·, vysázel první o p¥t stran více neº druhý. Jak dlouho trvalo vysázet jednu stranu kaºdému ze saze£· na starém stroji?
1
IV. Jednoduché optimaliza£ní úlohy 1. Ze závod· A, B se vozí zboºí do odbyti²´ K, L, M. Ze závodu A m·ºeme denn¥ odvézt nejvý²e 14 kus· výrobk·, ze závodu v B nejvý²e 16 kus· výrobk·. Do odbyti²t¥ K je t°eba dodat 9 výrobk·, do L 10 výrobk· a do M 11 výrobk·. Náklady na p°epravu 1 výrobku ze závod· A, B do odbyti²´ K, L, M jsou dány v tabulce. A B
K 11 5
L 4 4
M 5 7
Vy°e²te uvedený dopravní problém, tj. sestavte takový plán rozvozu výrobk·, aby byly p°epravní náklady co nejmen²í. 2. P°edpokládejme, ºe hov¥zí maso obsahuje 10% tuku a 90% bílkovin, zatímco vep°ové obsahuje 40% tuku a 60% bílkovin. V plánovaném nákupu masa má být alespo¬ 0,2 kg tuku a alespo¬ 1 kg bílkovin. Máme moºnost koupit hov¥zí za 87,50 K£ za 1 kg a vep°ové za 105 K£ za 1 kg. Kolik jakého masa koupit, aby byl nákup co nejlevn¥j²í? Kolik takový nákup bude stát? 3. Výrobní druºstvo vyrábí d°ev¥né hra£ky vlá£ky, autí£ka a zají£ky. istý zisk z výroby vlá£ku je 400 K£, z autí£ka 150 K£ a zajíce 100 K£. Na základ¥ výrobních podmínek a objednávek obchodu je t°eba p°i sestavování m¥sí£ního plánu výroby dodrºet následující podmínky: a) vyrobí se maximáln¥ 1000 hra£ek b) zajíc· a aut se vyrobí nejmén¥ po 200 c) zajíc· se vyrobí maximáln¥ 400 a aut maximáln¥ 500, ale dohromady více neº 500 Kolik £eho se má vyrobit, aby druºstvo p°i spln¥ní uvedených podmínek m¥lo co nejv¥t²í zisk? Ur£ete tento zisk. V. Konstruk£ní úlohy s parametrem 1. Sestrojte 4ABC, jestliºe ta , tb jsou t¥ºnice na strany a, b a β = 60◦ je velikost úhlu |∠ABC|. 2. Sestrojte 4ABC, je-li dáno: va , γ = 60◦ , r, kde r je polom¥r kruºnice opsané. 3. Sestrojte 4ABC, je-li dáno: a = 5cm, β , tc . 4. Sestrojte rovnob¥ºník ABCD, jsou-li dány délky jeho stran a = |AB| = 6cm, b a velikost úhlu sev°eného úhlop°í£kami ϕ = |< ) ASB| = 65◦ , kde S je st°ed rovnob¥ºníku.
Výsledky: I. Slovní úlohy o pohybu 60dv t 1. lo¤ 14km/h, vor 2km/h; 2. v(t2 −t ; 3. 2ak ; 4. k−1 . 1 )+60d II. Slovní úlohy o sm¥sích 1. a) 4,5 aº 15 litr·, b) 39◦ C aº 55◦ ; 2. Nejprve bylo vylito 8 a pak 7 litr· lihu; 3. 2 l vzduchu se vypou²tí III. Slovní úlohy o práci 1. 36 sou£ástek za den; 2. první písa°ka 10h, druhá 8h. 3. 12h a 15h; IV. Jednoduché optimaliza£ní úlohy K L M 1. A 0 3 11 ; 0 B 9 7 2. nákup za 110 K£ se bude sestávat z 0,93 kg hov¥zího a 0,27 kg vep°ového; 3. max. zisk (265 000 K£) p°i výrob¥ 500 vlak·, 300 aut a 200 zajíc·. V. Konstruk£ní úlohy s parametrem Výsledky uvedeny v £ásti EENÍ.
2
P°íklady vybrány z: • Antonov, N. P. et al.: Sbornik zada£ po mat¥matike predlogav²ichsa na vstupit¥lnych ekzamenach v vuzy, Moskva 1951. • Barybin, K. S. Isakov, A. K.: Sbornik zada£ po mat¥matike. [Posobije dlja u£it¥lej 810 klassov]. Moskva 1952. • Cechlárová, K.: Dve úlohy o optimálnej preprave. Matematické obzory, zv. 41, str. 5762, 1994. • Hecht, T. Sklenáriková, Z.: Metódy rie²enia matematických úloh, SPN Bratislava 1992. • Lidskij, V. B.: Úlohy z elementární matematiky, Praha 1965. • Odvárko, O. a kol.: Metody °e²ení matematických úloh, SPN Praha 1990. • Polák, J.: St°edo²kolská matematika v úlohách II. Prometheus Praha 1999. • Smida, J. et al.: Matematika pro I. ro£ník gymnázií. SPN, Praha 1989.
[email protected]
Za upozorn¥ní na chyby p°edem d¥kuji.
3
EENÍ I. Slovní úlohy o pohybu 1.
A
lo¤
96km
tL doba plavby lodi (14h) tV doba plavby voru vL vlastní rychlost lodi (bez proudu) vV rychlost voru, zárove¬ je to rychlost proudu
72km
vor
24km
setkání lodi a voru (vyjád°eno rovností £asu, ve kterém se setkaly): 24 vV
(doba plavby lodi po proudu doba plavby lodi :
96 vL +vV
=
96 vL +vV
;
+
72 vL −vV
(1)
doba plavby proti proudu
tL =
96 vL +vV
+
96 vL −vV
= 14
24 vV
−1
96 vL −vV
)
(2)
e²íme soustavu rovnic (1), (2): 96 vL +vV
+
72 vL −vV
=
96 vL +vV
+
96 vL −vV
= 14
12 vL −vV
=7−
| ←-
(1) (2)
12 vV
12vV = 7(vL − vV )vV − 12(vL − vV ) vL = 96 vL +vV
+
2 7vV 7vV −12
96 vL −vV
(3)
= 14
2 96vL = 7(vL − vV2 ) h³ ´2 i 2 2 7vV 7vV = 7 7vV −12 − vV2 | dosazeno za vL z (3) 96 7vV −12
vV = 2 vL = 14 Lo¤ má vlastní rychlost 14km/h, proud uná²í vor rychlostí 2km/h.
2.
standardní doba letu 1. zpoºd¥ní 2. zpoºd¥ní
w=?
s = w.t
th t1 60 h t2 60 h
s1 w
1.let (vyjád°ení £asu) 2.let (vyjád°ení £asu)
s1 +d w d w
P·vodní rychlost letadla £inila
60dv v(t2 −t1 )+60d
km/h. 4
−
+
s−s1 v s−s1 −d v
+
=t+ =t+
t1 60 t2 60
−t1 = t260 t2 −t1 = 60d + v1 60dv w = v(t2 −t km/h 1 )+60d d v 1 w
3. 1.setkání 2.setkání
s+a v1 s 2s+ k v1
= =
s−a v2 s+s k−1 k v2
v2 v1
=
s−a s+a
v2 v1
=
1+ k−1 k 1 2+ k
s−a s+a
1+ k−1
= 2+ k1 k .. . s = 2ak km
Místa A, B jsou od sebe vzdálena 2ak km.
4. chodec z A dorazí do B za £as chodec z B dorazí do B za £as
s1 +ks1 v1 ks1 2 kv1 = vs22 s1 v1 (k
+ 1) − 2 vs11 = t τ (k + 1) − 2τ = t τ (k − 1) = t t τ = k−1 h
v2 = kv1 s2 ⇒ s2 = ks1 setkání v £ase τ : vs11 = vs22 = kv 1 t Poprvé se chodci setkali za k−1 hodin.
II. Slovní úlohy o sm¥sích 1. Pro tekutinu vzniklou smíchání dvou (stejných) tekutin, které mají r·znou teplotu platí:
m1 · c · t1 + m2 · c · t2 = (m1 + m2 ) · c · t m1 · t1 + m2 · t2 = (m1 + m2 ) · t (m hmotnost, t teplota, c m¥rná tepelná kapacita tekutiny) kg m1 = % · V = 1 000 m3 · 0, 006m3 hmotnost vody
t1 = 15◦ teplota vody a)
30◦ < t < 40◦ m2 =? t2 = 50◦
m1 t1 + m2 t2 = (m1 + m2 )t 90 + 50m2 = (m2 + 6)t
30 < t < 40 30(m2 + 6) < t(m2 + 6) < 40(m2 + 6) 30m2 + 180 < 90 + 50m2 < 40m2 + 240 30m2 + 90 < 50m2 < 40m2 + 150 . & 20m2 > 90 10m2 < 150 m2 > 4, 5 m2 < 15 m2 ∈ (4, 5, 15)kg
b)
30◦ < t < 40◦ m2 =? t2 = 50◦
m1 t1 + m2 t2 = (m1 + m2 )t 90 + 10t2 = 16t 45 + 5t2 = 8t
⇒ V = (4, 5, 15) l
30 < t < 40 240 < 8t < 320 240 < 45 + 5t2 < 320 48 < 9 + t2 < 64 39 < t2 < 55 t2 ∈ (39, 55)◦ C
5
Pro výslednou teplotu t ∈ (30, 40)◦ C musíme p°ilít: a) více neº 4,5l, ale mén¥ neº 15l vody o teplot¥ 50◦ ; b) 10l vody teplej²í neº 39◦ C, ale chladn¥j²í neº 55◦ C.
2. cisterna 64 l lihu 1. odlití
odlito x l lihu p°ilito x l vody
⇒ nádrº ⇒
2. odlití
odlito x l sm¥si
⇒ nádrº odlito nádrº
15 = x(1 +
64 − x l lihu 64−x 64 % sm¥s lihu 64 − x l sm¥si x 64−x 64 l lihu 64 − x − x 64−x 64 l lihu = 49 l lihu (podle zadání)
64−x 64 )
První °e²ení (120 l) nemá smysl (nem·ºe být odlito více lihu, neº je objem nádrºe). Poprvé bylo odlito 8 l lihu, podruhé x 64−x 64 = 7 l lihu.
64.15 = −x2 + 128x x1,2 = 128±112 2 x1 = 120 l x2 = 8 l
3. nádoba 8 l vzduchu kyslík tvo°í 16% x mnoºství vzduchu, které se upou²tí a nahrazuje N2
1. vypu²t¥ní x l vzduchu ⇒
unikne x8 16% O2 v nádob¥ zbude 8−x 8 16% O2
2. vypu²t¥ní x l vzduchu ⇒
unikne x8 8−x 8 16% O2 8−x v nádob¥ zbude 8−x 8 8 16% = O2 dle zadání má být rovno 9% O2
2 ( 8−x 8 ) 16 = 9
x2 − 16x + 64 = 36
První °e²ení (14 l) nemá smysl (v nádob¥ je pouze 8 l vzduchu). Vypou²tí se 2 l vzduchu.
x1,2 = 16±12 2 x1 = 14 l x2 = 2 l
III. Slovní úlohy o práci 1. denní norma x sou£ástek vyrobených sou£ástek 540
=⇒
stanovený termín bude za
540 x
dn·
4 dny plnil normu =⇒ vyrobil b¥hem nich 4x sou£ástek 2 dny p°ed stanoveným termínem, tj. po 540 x − 2, dnech m¥l vyrobeno 540 + x sou£ástek 540 x − 2 − 4 dn· vyráb¥l denn¥ x + 12 sou£ástek
4x + ( 540 x − 6)(x + 12) = x + 540 x2 + 24x − 2 160 = 0 x12 = Denní norma byla 36 sou£ástek. 6
−24±96 2
= 36
2. 1. písa°ka 2. písa°ka
celá práce za t1 hodin 1 t1 práce za 1 hodinu celá práce za t2 hodin 1 t2 práce za 1 hodinu 3 t1 t t1 t t1
1. písa°ka pracuje 3h, 2. písa°ka 2 h 2. práci dokon£í za t h 3. kaºdá z písa°ek ud¥lala stejné mnoºství práce t t−1 t1 + t2 = 1 t t1
=
9 + t22 = 1 − 20 + t−1 t2 = 1 celá práce = t−1 t2
t−1 t2
| se£tením p°edchozích vztah·
2t = t1
| ode£tením druhého vztahu od prvního
2(t − 1) = t2 t2 = t1 − 2 3 t1
+
2 t2
=
11 20
|20t1 (t1 − 2)
.. .
11t21 − 122t1 + 120 = 0 t11,2 =
122±98 22
t11 = 10h ⇒ t2 = 8h t 12 =
12 11
⇒ t2 = − 10 12
První písa°ka by práci ud¥lala za 10 hodin, druhá za 8 hodin.
3. starý stroj
1. 2. 1. 2.
saze£ saze£ saze£ saze£
za 8 hodin za 8 hodin 1 stranu 1 stranu
nový stroj
1. saze£ 1 stranu 2. saze£ 1 stranu 1. saze£ za 1 hodinu za 8 hodin 2. saze£ za 1 hodinu za 8 hodin
x + 3 strany x stran 8 za x+3 hodiny 8 za x hodiny 8 8 x+3 − 60 hodiny 8 8 x − 60 hodiny 1 8 8 x+3 − 60 1 (∗) 1 1 x+3 − 60 1 8 8 x − 60 1 (∗∗) 1 1 x − 60
za za
Podle zadání platí, ºe rozdíl mezi (∗) a (∗∗) je p¥t stran.
1 x+3
1 −
1 60
−
1 x
1 −
1 60
=5 .. .
x2 − 117x + 60.21 = 0 x1,2 = 117±93 2 x1 = 105 x2 = 12 První ko°en 105 kvadratické rovnice ne°e²í úlohu, nebo´ by byl po£et stran vysázený na novém stroji záporný. Druhý saze£ vysází na starém stroji za osmihodinový pracovní den 24 stran, první 27 stran.
7
IV. Jednoduché optimaliza£ní úlohy 1. Vytvo°me plán rozvozu. Údaje v tabulce udávají po£et výrobk·, které se mají odvézt z A, B do K, L, M K L M A x y 14 − x − y B 9 − x 10 − y 16 − (9 − x) − (10 − y) Po£et výrobk· je nezáporné £íslo, dostáváme tedy podmínky: x ≥ 0, y ≥ 0, 14 − x − y ≥ 0, 9 − x ≥ 0, 10 − y ≥ 0, −3 + x + y ≥ 0 Je pot°eba minimalizovat funkci: f (x, y) = 11x + 4y + 5(14 − x − y) + 5(9 − x) + 4(10 − y) + 7(−3 + x + y) = 134 + 8x + 2y Vý²e uvedené podmínky omezují v rovin¥ oblast (viz obr.). árkovan¥ jsou vyzna£eny p°ímky rovnob¥ºné s p°ímkou 8x+2y = 0. ím jsou tyto p°ímky vzdálen¥j²í od po£átku soustavy sou°adnic, tím v¥t²í hodnoty dávají po dosazení za x a y . Vzhledem k tomu, ºe hledáme minimum na funkce f (x, y) na oblasti D de nované nazna£enými podmínkami, zvolíme £árkovanou p°ímku nejblíºe po£átku, která má netriviální pr·nik s D. Takovou p°ímkou je p°ímka procházející bodem [0,3]. V tomto bod¥ nabývá f minimální hodnoty 140, která p°edstavuje náklady.
Plán rozvozu výrobk· tedy m·ºeme charakterizovat tabulkou
A B
K 0 9
L 3 7
M 11 0
2. hov¥zí vep°ové
tuk 10% 40%
bílkoviny 90% 60%
cena (K£) 87,5 105
P°edpokládejme, ºe koupíme x kg hov¥zího a y kg vep°ového. Aby byly spln¥ny podmínky uvedené v zadání, musí maso obsahovat dostate£né mnoºství: (a) tuku ⇒ 0, 1x + 0, 4y ≥ 0, 2 ⇒ y ≥ − x4 + 12 (b) bílkovin ⇒ 0, 9x + 0, 6y ≥ 1 ⇒ y ≥ − 32 x + 53 Z°ejm¥ také musí platit: (c) x ≥ 0 (d) y ≥ 0 Funkce, kterou máme minimalizovat, je funkce náklad·: f (x, y) = x.87, 5 + y.105
8
Podmínky (a) − (d) omezují v rovin¥ oblast D. árkovan¥ jsou vyzna£eny p°ímky rovnob¥ºné s p°ímkou 87, 5x + 105y = 0. Na oblasti D je funkce f (x, y) minimální v bod¥ B .
B je pr·se£íkem p°ímek: 0, 1x + 0, 4y = 0, 2, 0, 9x + 0, 6y = 1 0, 1x + 0, 4y = 0, 2 0, 9x + 0, 6y = 1
5 3
3y = 0, 8 4 y= 15 14 x= 15 Funk£ní hodnota v bod¥ B , tj. cena nákupu podle bodu B , je 109 32 K£.
0
2
Nejlevn¥j²í nákup, který spl¬uje poºadavky na mnoºství tuku a bílkovin, po°ídíme za p°ibliºn¥ 110 K£, p°i£emº koupíme asi 0,93 kg hov¥zího a 0,27 kg vep°ového.
3. vlá£ky za 400 K£ podmínka (a) V + A + Z ≤ 1000 auta 150 K£ (b) Z ≥ 200; A ≥ 200 zajíci 100 K£ (c) Z ≤ 400; A ≤ 500; Z + A ≥ 500 ⇒ V ≤ 500 Budeme hledat maximum funkce f = 400V + 150A + 100Z = · · · = 400000 − 250A − 300Z , která p°edstavuje zisk, na mnoºin¥ D de nované podmínkami (a) − (c). Hledejme maximum funkce f jinak, neº tomu bylo v p°edchozích p°íkladech; f (A, Z) = 400000 − 250A − 300Z lze chápat jako obecný tvar roviny. Vzhledem k tomu, ºe rovina nemá nikde boule, m·ºe mít extrém na oblasti D jedin¥ v n¥kterém z vrchol· mnohoúhelníku P QRST . Posta£í proto sou°adnice t¥chto bod· dosadit do f . Bod [A, Z], ve kterém je hodnota f (A, Z) nejv¥t²í, ur£uje nejvýhodn¥j²í výrobu. Dokonce není pot°eba po£ítat funk£ní hodnoty ve v²ech p¥ti bodech P, Q, , R , S, T , uváºíme-li, ºe f = 400000 − 250A − 300Z nabývá tím v¥t²í hodnoty, £ím je A a Z men²í.
f (P ) = 400000 − 250.200 − 300.300 = 260000 f (Q) = 400000 − 250.300 − 300.200 = 265000 Nejv¥t²ího zisku druºstvo dosáhne, kdyº vyrobí 300 aut, 200 zajíc· a 500 vlak·. Tím si zajistí zisk 265 tis. K£.
9
V. Konstruk£ní úlohy s parametry 1. ta , tb , β = 60◦ , 4ABC =? Postup konstrukce 1. ASA ; |ASA | = ta
Ná£rtek
2. O, T ; O st°ed ASA , T t¥ºi²t¥ 4 3. k; k = {X; |< ) AXSA | = β = 60◦ } (ekvigonála úse£ky ASA ) 4. l; l(T, r = 2/3tb ) 5. k ∩ l = {B} 7−→
6. C; {C} =BSA ∩ m(SA , r = |SA B|) 7. dopln¥ní na 4ABC Konstrukce
Diskuse e²itelnost úlohy a po£et jejích °e²ení závisí na existenci a po£tu bod· B , tj. po£tu pr·se£ík· mnoºiny k s l.
O
1. l ∩ k = {} nastane, kdyº je polom¥r kruºnice l moc malý: 23 tb < 13 ta moc velký: 23 tb > |ST | + |SA|
B
2. l ∩ k 6= {}
(a) l a k se protnou 1× (α) 23 tb ≥ 31 ta ∧ 23 tb ≤ 23 ta (β) 32 tb = |ST | + |SA| (b) l a k se protnou 2× 2 2 3 tb > 3 ta ∧
2 3 tb
< |ST | + |SA|
Výpo£et |ST | a |SA|: |< ) ASO| polovina st°edového úhlu |<) ASSA | = 2|< ) ABSA | = 120◦ |AO| |AS|
= sin (<) ASO)
|AS| = |OT | = |SO| :
ta √2 = √ta3 2 3 ta ta ta 1 2 |ASA | − |SA T | = 2 − 3 = 6 |AO| ) ASO) ⇒ |SO| = t2a √13 |SO| = tg (<
⇓ |ST |2 = |OT |2 + |SO|2 1 + |ST |2 = t2a ( 36
1 12 )
|ST | = 13 ta
10
Záv¥r:
=
t√ a 2 3
ta , t b ta ≥ 2tb √ tb > t2a (1 + 3) ta < 2tb ∧ ta ≥ tb √ ta < tb ∧ tb < t2a√ (1 + 3) tb = t2a (1 + 3)
|Pa,b | 0 0 1 2 1
2. γ = 60◦ , va , r, 4ABC =? Ná£rtek
Postup konstrukce 1. k; k = (S; r) 2. A; A ∈ k (A je na k zvolen libovoln¥) 7−→
3. SX; <) ASX = 2 · γ = 120◦ (< ) ASB je st°edový úhel p°íslu²ný men²ímu ob_
_
louku AB , v¥t²í oblouk AB⊂ k je proto £ástí mnoºiny, ze které je úse£ku AB vid¥t pod úhlem γ .) 7−→
4. B; k ∩ SX= {B} 5. τAB ; τ Thaletova kruºnice nad AB 6. l; l = (A, r = va ) ◦
Konstrukce (pro γ = 60 , r = 4 j , va = 6, 5 j )
7. P ; P ∈ τAB ∩ l _
8. C; C ∈ m ∩ AB , kde m je kolmice na AP , _
AB je v¥t²í oblouk kruºnice k 9. dopln¥ní na 4ABC
Diskuse e²itelnost úlohy a po£et °e²ení závisí na existenci bodu P , tj. paty vý²ky na stranu a, která se podle ←→
_
postupu konstrukce dostane jako pr·se£ík τAB a l(A, va ), a na pr·se£íku BP a v¥t²ího oblouku AB (bez A, B ). 1. τAB ∩ l = {}, kdyº va > |AB| (vý²ka je moc dlouhá) 2. τAB ∩ l 6= {}, (a) τAB a l se protnou 1×, kdyº va = |AB|; spole£ným bodem je P = B
7−→
7−→
(b) τAB a l se protnou 2×, kdyº va < |AB|; spole£nými body jsou P1 ∈ABS , P2 ∈ op ABS ←→
_
←→
_
←→
_
←→
_
(α) BP1 ∩ AB6= {} ∧ BP2 ∩ AB6= {}, kdyº <) SBP2 > 90◦ (β) BP1 ∩ AB6= {} ∧ BP2 ∩ AB= {}, kdyº < ) SBP2 ≤ 90◦ Výpo£ty |AB|:
|AB| = c c/2 r = sin γ √ |AB| = 2r sin γ = r 3
11
←→
<) SBP2 = 90◦ , tj. BP2 je te£nou v B ke kruºnici k <) SBP2 = 90◦ ⇒ SB||AP , nebo´ AP je vý²ka na stranu a, pak platí va −r r
= cos(π − 2γ)
va − r = −r cos(2γ) va = r[1 − cos(2γ)] = r 23 <) SBP2 = < ) SBA + <) ABP2 = π2 − γ + <) ABP2 < 90◦ ⇒ <) ABP2 < 60◦ Ozna£me w = r[1 − cos(2γ)] = 32 r velikost vý²ky na stranu a, kdyº <) SBP2 = 90◦ , tj. <) ABP2 = 60◦ , pak vý²ka va na stranu a v trojúhelníku 4ABP2 , kde <) ABP2 < 60◦ , je men²í neº w. r, va√ va > r 3 √ va = r 3 √ 3 2 r < va < r 3 va ≤ 32 r
|Pr,va | 0 1 2 1
3. a = 5 cm, tc , β , 4ABC =? Ná£rtek
Postup konstrukce 1. BC; |BC| = a = 5 cm 7−→
2. BX, < ) CBX = β 3. k; k = (C; r = tc ) 7−→
4. k ∩ BX= {SC } 5. A; SC : B 7−→ A 6. dopln¥ní na 4ABC Konstrukce (pro β = 55◦ , tc = 4, 5 j , a = 5 j )
Diskuse e²itelnost úlohy a po£et jejích °e²ení závisí na 7−→
existenci bodu SC , tj. pr·se£íku k a BX . 1. β ∈ (90◦ , 180◦ )
7−→
úloha má 0, nebo 1 °e²ení podle toho, zda k protne BX . 7−→
7−→
pro r = tc ≤ a je pr·nik k ∩ BX= {}, resp. k ∩ BX= {B}. Úloha tedy nemá °e²ení. 7−→
pro r = tc > a vºdy existuje SC ∈BX , a tedy i A. 2. β = 90◦ úloha má 0, nebo 1 °e²ení. (Diskuse prob¥hne podobn¥ jako v (1.)) 3. β ∈ (0◦ , 90◦ ) úloha nemá °e²ení pro tc < v(C, BX) úloha má 1 °e²ení pro tc = v(C, BX) ∨ tc ≥ a úloha má 2 °e²ení pro tc > v(C, BX) ∧ tc < a Výpo£et v(C, BX)
v(C, BX) = sin β a v(C, BX) = 5sin β
12
β, tc 0◦ < β < 90◦ ∧ tc < 5sin β 0◦ < β < 90◦ ∧ tc = 5sin β 0◦ < β < 90◦ ∧ tc ≥ 5 ◦ 0 < β < 90◦ ∧ tc > 5sin β ∧ 5 > tc 90◦ ≤ β < 180◦ ∧ tc ≤ 5 90◦ ≤ β < 180◦ ∧ tc > 5
|Pβ,c | 0 1 1 2 0 1
4. a = |AB| = 6cm, b, ϕ = |<) ASB| = 65◦ , rovnob¥ºník ABCD=? Postup
Ná£rtek
1. AB; |AB| = a = 6cm 2. k; k = {X; |<) AXB| = ϕ = 65◦ }, k je mn. bod·, ze které je vid¥t AB pod úhlem 65◦ 3. l; l(M, r = b/2), M je st°ed AB 4. S; k ∩ l = {S} 5. m; m(B, r = b) 7−→
6. C; AS ∩ m = {C} 7. D; st°ed. soum. se st°edem S : B 7−→ D 8. dopln¥ní na rovnob¥ºník ABCD Diskuse: Existence a po£et °e²ení úlohy je závislý na existenci a po£tu spole£ných bod· kruºnice l a mnoºiny k .
Konstrukce
1. l ∩ k = {}, kdyº je polom¥r l moc malý, tj. 2b ≤ a2 moc velký, tj. 2b > |M O| + |BO| V tomto p°ípad¥ úloha nemá ºádné °e²ení. 2. l ∩ k 6= {}, kdyº a2 < 2b ≤ |M O| + |BO|. a b 2 < 2 < |M O| + |BO|, pak k a l mají 2 spole£né body a úloha má 2 °e²ení b 2 = |M O| + |BO|, pak k a l mají 1 spole£ný body a úloha má 1 °e²ení Výpo£et |M O|, |BO|: |M B| |BO|
|M B| |M O|
= sin ϕ
|BO| =
|M B| sin ϕ
=
3 sin 65◦
= tg ϕ
|M O| =
b b≤6 6 < b < sin665◦ (1 + cos 65◦ ) b= b>
6 sin 65◦ (1 6 sin 65◦ (1
+ cos 65◦ ) ◦
+ cos 65 )
13
|M B| tg ϕ
=
|Pb | 0 2 1 0
3 tg 65◦
