Deret Harmonik Wono Setya Budhi
October 16, 2014
Wono Setya Budhi
Deret Harmonik
October 16, 2014
1 / 20
Deret Harmonik
Deret Harmonik 1
Misalkan kita mempunyai barisan {fn }n∞=1 dengan fn =
Wono Setya Budhi
Deret Harmonik
1 n
October 16, 2014
2 / 20
Deret Harmonik
Deret Harmonik 1 2
Misalkan kita mempunyai barisan {fn }n∞=1 dengan fn = Selanjutnya, buat barisan baru
1 n
n
H (n ) =
1 k k =1
∑
dengan n = 1, 2, 3, . . .. Barisan ini disebut deret (barisan yang dibuat dengan cara khusus).
Wono Setya Budhi
Deret Harmonik
October 16, 2014
2 / 20
Deret Harmonik
Deret Harmonik 1 2
Misalkan kita mempunyai barisan {fn }n∞=1 dengan fn = Selanjutnya, buat barisan baru
1 n
n
H (n ) =
3
1 k k =1
∑
dengan n = 1, 2, 3, . . .. Barisan ini disebut deret (barisan yang dibuat dengan cara khusus). Nilai barisan ini akan membesar. Salah satu melihat ini 1 1 1 1 1 1 1 1 1+ + + + + + + + +... 2 3 4 5 6 7 8 9 1 1 1 1 1 1 1 1 ≥ 1+ + + + + + + + +... 2 4 4 8 8 8 8 16
Wono Setya Budhi
Deret Harmonik
October 16, 2014
2 / 20
Deret Harmonik
Deret Harmonik 1 2
Misalkan kita mempunyai barisan {fn }n∞=1 dengan fn = Selanjutnya, buat barisan baru
1 n
n
H (n ) =
3
4
1 k k =1
∑
dengan n = 1, 2, 3, . . .. Barisan ini disebut deret (barisan yang dibuat dengan cara khusus). Nilai barisan ini akan membesar. Salah satu melihat ini 1 1 1 1 1 1 1 1 1+ + + + + + + + +... 2 3 4 5 6 7 8 9 1 1 1 1 1 1 1 1 ≥ 1+ + + + + + + + +... 2 4 4 8 8 8 8 16 Saat ini kita akan melihat order dari cara deret ini membesar dengan membandingkan fungsi f (x ) dengan lim f (x ) = ∞ dan lim [H (n ) − f (n )] = c
x →∞
Wono Setya c Budhi dengan konstanta.
n→∞
Deret Harmonik
October 16, 2014
2 / 20
Deret Harmonik
Deret Harmonik
% Kita akan melihat ukuran membesarnya N=40 H(1)=1 for i=2:N H(i)=H(i-1)+1/i; end plot(H,’+r’)
Wono Setya Budhi
Deret Harmonik
October 16, 2014
3 / 20
Deret Harmonik
Deret Harmonik
4.5
4
3.5
3
2.5
2
1.5
1
1
0
5
10
15
20
25
30
35
40
Pernah melihat fungsi seperti ini? Wono Setya Budhi
Deret Harmonik
October 16, 2014
4 / 20
Deret Harmonik
Deret Harmonik
4.5
4
3.5
3
2.5
2
1.5
1
1
0
5
10
15
20
25
30
35
40
Fungsi dengan bentuk seperti di atas f (x ) = f (x ) = x r dengan 0 < r < 1.
Wono Setya Budhi
Deret Harmonik
√
x, f (x ) = ln x atau
October 16, 2014
5 / 20
Deret Harmonik
Deret Harmonik
7 6
y=
5
√
x
4 3
y = log x
2 1 0 −1 −2
Wono Setya Budhi
0
5
10
15
20
25
Deret Harmonik
30
35
40
October 16, 2014
6 / 20
Deret Harmonik
Deret Harmonik
1
Berdasarkan grafik tersebut, kita melihat bahwa ada perbedaan yang ”konstan” terhadap y = ln (x ).
Wono Setya Budhi
Deret Harmonik
October 16, 2014
7 / 20
Deret Harmonik
Deret Harmonik
1
Berdasarkan grafik tersebut, kita melihat bahwa ada perbedaan yang ”konstan” terhadap y = ln (x ).
2
Apakah ini benar?
Wono Setya Budhi
Deret Harmonik
October 16, 2014
7 / 20
Deret Harmonik
Deret Harmonik
1
Berdasarkan grafik tersebut, kita melihat bahwa ada perbedaan yang ”konstan” terhadap y = ln (x ).
2
Apakah ini benar?
3
Kita akan menguji dengan melihat barisan C (n ) = H (n ) − ln n
c (n ) = H (n ) − ln (n + 1)
dengan n sangat besar
Wono Setya Budhi
Deret Harmonik
October 16, 2014
7 / 20
Deret Harmonik
Deret Harmonik
x=linspace(1,40,40); plot(x,H(x)-log(x),’b’,’LineWidth’,2) text(’Interpreter’,’latex’,... ’String’,’$y=H(n)-\log n$’,... ’Position’,[10 H(10)-log(10)],... ’FontSize’,16) plot(x,H(x)-log(x+1),’g’,’LineWidth’,2) text(’Interpreter’,’latex’,... ’String’,’$y=H(n)-\log (n+1)$’,... ’Position’,[10 H(10)-log(10+1)],... ’FontSize’,16)
Wono Setya Budhi
Deret Harmonik
October 16, 2014
8 / 20
Deret Harmonik
Deret Harmonik
1
0.9
0.8
0.7
0.6
y = H(n) − log n
0.5
y = H(n) − log(n + 1)
0.4
0
Wono Setya Budhi
5
10
15
20
25
Deret Harmonik
30
35
40
October 16, 2014
9 / 20
Deret Harmonik
Deret Harmonik
1
Karena C (n ) = H (n ) − log (n ) monoton turun dan c (n ) = H (n ) − log (n + 1) monoton naik, dan C (n ) 6 = c (n ) untuk setiap n, dugaan kita lim H (n ) − log (n )
n→∞
ada
Wono Setya Budhi
Deret Harmonik
October 16, 2014
10 / 20
Deret Harmonik
Deret Harmonik 1 y=H(n)−log (n+1) 1 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0
Wono Setya Budhi
1
2
3
Deret Harmonik
4
5
6
October 16, 2014
11 / 20
Deret Harmonik
Deret Harmonik 1 y=H(n)−log (n+1) 1 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0
1
2
3
4
5
6
2
c (5) = H (5) − ln (5 + 1)
= H ( 5) − Wono Setya Budhi
Deret Harmonik
Z 5+ 1 1 1
x
dx October 16, 2014
11 / 20
Deret Harmonik
Deret Harmonik 1 y=H(n)−log n 1.6 1.4 1.2 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0
Wono Setya Budhi
1
2
3
Deret Harmonik
4
5
6
October 16, 2014
12 / 20
Deret Harmonik
Deret Harmonik 1 y=H(n)−log n 1.6 1.4 1.2 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0
1
2
3
4
5
6
2
c (5) = H (5) − ln (5)
= H ( 5) − Wono Setya Budhi
Deret Harmonik
Z 6 2
1 dx x −1 October 16, 2014
12 / 20
Deret Harmonik
Deret Harmonik 1
Perhatikan bahwa C (n ) − c (n ) = H (n ) − ln (n ) − H (n ) + ln (n + 1) 1 = ln 1 + n
Wono Setya Budhi
Deret Harmonik
October 16, 2014
13 / 20
Deret Harmonik
Deret Harmonik 1
2
Perhatikan bahwa C (n ) − c (n ) = H (n ) − ln (n ) − H (n ) + ln (n + 1) 1 = ln 1 + n Jika n → ∞, limn→∞ ln 1 + n1 = 0, maka
lim {C (n ) − c (n )} = 0 atau lim C (n ) = lim c (n ) = C
n→∞
n→∞
n→∞
yang sudah diketemukan oleh Euler (1707-1783) 1 1 1 C = lim 1 + + + . . . + − ln n n→∞ 2 3 n
Wono Setya Budhi
Deret Harmonik
October 16, 2014
13 / 20
Deret Harmonik
Deret Harmonik
1
Apakah kita dapat mengenali sisa 1+
Wono Setya Budhi
1 1 1 + + . . . + − ln n 2 3 n
Deret Harmonik
October 16, 2014
14 / 20
Deret Harmonik
Deret Harmonik
1
Bandingkan H (n ) dengan
Wono Setya Budhi
√
n,
√ 3
n,
√ 4
Deret Harmonik
n, . . .
October 16, 2014
15 / 20
Deret Harmonik
Deret Harmonik
√
√ 3
√ 4
1
Bandingkan H (n ) dengan
2
Selidiki apa yang terjadi dengan H (2n ) − H (n ) jika n → ∞. Apakah anda mengenalinya?
Wono Setya Budhi
n,
n,
Deret Harmonik
n, . . .
October 16, 2014
15 / 20
Deret Harmonik
Deret Harmonik
√
√ 3
√ 4
1
Bandingkan H (n ) dengan
2
Selidiki apa yang terjadi dengan H (2n ) − H (n ) jika n → ∞. Apakah anda mengenalinya? Selidiki juga dengan H 2k n − H (n )
3
Wono Setya Budhi
n,
n,
Deret Harmonik
n, . . .
October 16, 2014
15 / 20
Deret Harmonik
Deret Harmonik
√
√ 3
√ 4
1
Bandingkan H (n ) dengan
2
Selidiki apa yang terjadi dengan H (2n ) − H (n ) jika n → ∞. Apakah anda mengenalinya? Selidiki juga dengan H 2k n − H (n )
3 4
n,
n,
n, . . .
Misalkan n mempunyai nilai tetap, selidiki apa yang terjadi dengan k H 2 n . Tentu nilainya juga akan membesar. Bagaimana ukuran membesarnya? Carilah suatu fungsi yang dapat digunakan sebagai ukuran.
Wono Setya Budhi
Deret Harmonik
October 16, 2014
15 / 20
Deret Harmonik
Deret Harmonik
Misalkan J (n ) merupakan bilangan bulat yang tidak lebih kecil dari Hn 1
Hitung J (2n ) − J (n ) dengan n = 1, 2, . . . , N dengan N cukup besar. Kesimpulan yang bisa diperoleh?
Wono Setya Budhi
Deret Harmonik
October 16, 2014
16 / 20
Deret Harmonik
Deret Harmonik
Misalkan J (n ) merupakan bilangan bulat yang tidak lebih kecil dari Hn 1
Hitung J (2n ) − J (n ) dengan n = 1, 2, . . . , N dengan N cukup besar. Kesimpulan yang bisa diperoleh?
2
Tentukan kemungkinan nilai
Wono Setya Budhi
m n
jika J (m ) = J (n ) + 1?
Deret Harmonik
October 16, 2014
16 / 20
Deret Harmonik
Deret Harmonik
Misalkan J (n ) merupakan bilangan bulat yang tidak lebih kecil dari Hn 1
Hitung J (2n ) − J (n ) dengan n = 1, 2, . . . , N dengan N cukup besar. Kesimpulan yang bisa diperoleh?
2
Tentukan kemungkinan nilai
3
Misalkan n bilangan terbesar sehingga J (n ) = m, untuk L m +1 m = 1, 2, . . . , 30. Tuliskan ini sebagai L (m ). Hitung (L(m) ) . Carilah suatu kesimpulan mengenai hasil ini?
Wono Setya Budhi
m n
jika J (m ) = J (n ) + 1?
Deret Harmonik
October 16, 2014
16 / 20
Deret Harmonik
Deret Harmonik
Misalkan J (n ) merupakan bilangan bulat yang tidak lebih kecil dari Hn 1
Hitung J (2n ) − J (n ) dengan n = 1, 2, . . . , N dengan N cukup besar. Kesimpulan yang bisa diperoleh?
2
Tentukan kemungkinan nilai
3
Misalkan n bilangan terbesar sehingga J (n ) = m, untuk L m +1 m = 1, 2, . . . , 30. Tuliskan ini sebagai L (m ). Hitung (L(m) ) . Carilah suatu kesimpulan mengenai hasil ini?
4
Tentukan order dari L (m ) jika m membesar tanpa batas. Sekali lagi, tentukan order membesarnya H (n ).
Wono Setya Budhi
m n
jika J (m ) = J (n ) + 1?
Deret Harmonik
October 16, 2014
16 / 20
Deret Harmonik
Deret Harmonik 1
Bagaimana dengan deret ∞
∑ (−1)
n +1
n =1
1 n
Apakah konvergen? Apakah anda mengenalinya?
Wono Setya Budhi
Deret Harmonik
October 16, 2014
17 / 20
Deret Harmonik
Deret Harmonik 1
Bagaimana dengan deret ∞
∑ (−1)
n +1
n =1
2
1 n
Apakah konvergen? Apakah anda mengenalinya? Bagaimana dengan deret 1+
1 1 1 1 1 − + + − +... 2 3 4 5 6
Apakah deret konvergen? Apakah anda mengenalinya?
Wono Setya Budhi
Deret Harmonik
October 16, 2014
17 / 20
Deret Harmonik
Deret Harmonik 1
Bagaimana dengan deret ∞
∑ (−1)
n +1
n =1
2
Apakah konvergen? Apakah anda mengenalinya? Bagaimana dengan deret 1+
3
1 n
1 1 1 1 1 − + + − +... 2 3 4 5 6
Apakah deret konvergen? Apakah anda mengenalinya? Bagaimana dengan deret 1+
1 1 1 1 1 − + + − +... 3 2 5 7 4
Apakah deret konvergen? Apakah anda mengenalinya? Wono Setya Budhi
Deret Harmonik
October 16, 2014
17 / 20
Deret Harmonik
Deret Harmonik
1
Kita mengetahui bahwa deret 1 1 1 xn = 1 + √ + √ + . . . + √ n 2 3 divergen. Selidiki order divergensinya.
Wono Setya Budhi
Deret Harmonik
October 16, 2014
18 / 20
Deret Harmonik
Deret Harmonik
1
Kita mengetahui bahwa deret 1 1 1 xn = 1 + √ + √ + . . . + √ n 2 3 divergen. Selidiki order divergensinya.
2
Carilah an = f (n ) sehingga yn = xn − an konvergen!
Wono Setya Budhi
Deret Harmonik
October 16, 2014
18 / 20
Deret Harmonik
Deret Harmonik
1
Kita mengetahui bahwa deret 1 1 1 xn = 1 + √ + √ + . . . + √ n 2 3 divergen. Selidiki order divergensinya.
2 3
Carilah an = f (n ) sehingga yn = xn − an konvergen! Kalau perlu carilah an lebih dari satu.
Wono Setya Budhi
Deret Harmonik
October 16, 2014
18 / 20
Deret Harmonik
Deret Harmonik
1
Kita mengetahui bahwa deret 1 1 1 xn = 1 + √ + √ + . . . + √ n 2 3 divergen. Selidiki order divergensinya.
2 3 4
Carilah an = f (n ) sehingga yn = xn − an konvergen! Kalau perlu carilah an lebih dari satu. Ingat saat 1 +
Wono Setya Budhi
1 2
+ 13 + 14 + . . ., kita memperoleh f (x ) = ln x.
Deret Harmonik
October 16, 2014
18 / 20
Deret Harmonik
Deret Harmonik
1
Kita mengetahui bahwa deret 1 1 1 +√ +...+ √ xn = 1 + √ 3 3 3 n 2 3 divergen. Selidiki order konvergensinya.
Wono Setya Budhi
Deret Harmonik
October 16, 2014
19 / 20
Deret Harmonik
Deret Harmonik
1
Kita mengetahui bahwa deret 1 1 1 +√ +...+ √ xn = 1 + √ 3 3 3 n 2 3 divergen. Selidiki order konvergensinya.
2
Carilah an = f (n ) sehingga yn = xn − an konvergen!
Wono Setya Budhi
Deret Harmonik
October 16, 2014
19 / 20
Deret Harmonik
Deret Harmonik
1
Kita mengetahui bahwa deret 1 1 1 +√ +...+ √ xn = 1 + √ 3 3 3 n 2 3 divergen. Selidiki order konvergensinya.
2 3
Carilah an = f (n ) sehingga yn = xn − an konvergen! Kalau perlu carilah an lebih dari satu.
Wono Setya Budhi
Deret Harmonik
October 16, 2014
19 / 20
Deret Harmonik
Deret Harmonik
1
Selidiki ke konvergenan 1+
Wono Setya Budhi
1 1 + 2 +... 2 2 3
Deret Harmonik
October 16, 2014
20 / 20
Deret Harmonik
Deret Harmonik
1
2
Selidiki ke konvergenan 1+
1 1 + 2 +... 2 2 3
1+
1 1 + 3 +... 3 2 3
Selidiki ke konvergenan
Wono Setya Budhi
Deret Harmonik
October 16, 2014
20 / 20
Deret Harmonik
Deret Harmonik
1
2
3
Selidiki ke konvergenan 1+
1 1 + 2 +... 2 2 3
1+
1 1 + 3 +... 3 2 3
1+
1 1 + 4 +... 4 2 3
Selidiki ke konvergenan
Selidiki ke konvergenan
Wono Setya Budhi
Deret Harmonik
October 16, 2014
20 / 20
