UJIAN AKHIR SEMESTER GENAP 2014/2015 Mata Kuliah : Metode Kuantitatif dalam Bisnis Soal 1 Solusi Grafis Linear Programming (20 poin) PT Tambi memiliki 20 hektar tanah perkebunan di lereng gunung Sindoro yang ditanami kentang dan kembang kol. Perusahaan itu memperkerjakan buruh dengan jumlah jam kerja maksimal 300 jam. Agar tidak terkena hama tanaman, PT Tambi menggunakan 800 ton pupuk dan memiliki perjanjian dengan perusahaan angkutan untuk mengirimkan hasil panen maksimal 12 hektar kentang dan maksimal 8 hektar kembang kol. Satu hektar tanaman kentang memerlukan 25 jam buruh dan 20 ton pupuk, sementara satu hektar kembang kol memerlukan 10 jam buruh dan 50 ton pupuk. Laba dari satu hektar kentang adalah Rp 5.000.000 dan laba dari satu hektar kembang kol Rp 6.000.000 PT Tambi ingin mengetahui berapa hektar tanahnya yang harus ditanami kentang dan berapa hektar untuk kembang kol agar dapat memaksimalkan laba. Diminta : 1. Buatlah model linear programming dari permasalahan di atas (10 poin) 2. Tentukan solusi optimal dengan bantuan grafik (10 poin) JAWAB: 1.
Maximize Z : 5.000.000𝑥! + 6.000.000𝑥! Subject to 𝑥! + 𝑥! ≤ 20 25𝑥! + 10𝑥! ≤ 300 20𝑥! + 50𝑥! ≤ 800 𝑥! ≤ 12 𝑥! ≤ 8
2
2.
Grafik :
A B C
Maximize Z : 5.000.000𝑥! + 6.000.000𝑥! A : 𝑥! = 0 ; 𝑥! = 8, profit : 48.000.000 B : 𝑥! = 8 25𝑥! + 10𝑥! = 300 25𝑥! + 80 = 300 25𝑥! = 220 𝑥! = 8,8 profit : 44.000.000 + 48.000.000 = 92.000 C : 𝑥! = 12 ; 𝑥! = 0, profit : 60.000.000 Posisi optimal adalah di titik B, ketika 𝑥! = 8,8 dan 𝑥! = 8
3
Soal 2 Modelling Integer Programming (15 poin) PT Penerbit Cinta memiliki 4 cabang yang ada di Jakarta, Bandung, Semarang dan Yogyakarta. Perusahaan memiliki 38 tenaga penjualan yang akan ditempatkan pada 4 cabang tersebut. Berikut ini adalah jumlah penjualan buku (dalam unit) untuk setiap tenaga penjualan setiap tahunnya untuk masing-masing cabang : Jakarta
100.000
Bandung
60.000
Semarang
50.000
Yogyakarta
75.000
Biaya yang dikeluarkan oleh perusahaan untuk satu tenaga penjualan berbeda-beda untuk setiap cabang. Berikut ini adalah tabel yang menyajikan biaya per tenaga penjualan setiap tahunnya untuk keempat cabang yang ada. Jakarta
Rp 45.000.000
Bandung
Rp 38.000.000
Semarang
Rp 30.000.000
Yogyakarta
Rp 32.000.000
Anggaran yang ditetapkan oleh manajemen untuk seluruh tenaga bagian penjualan per tahunnya adalah Rp 1.200.000.000. Untuk optimalisasi penjualan pada setiap cabang, maka perusahaan menetapkan bahwa setiap cabang minimal memiliki 6 orang tenaga bagian penjualan. Perusahaan ingin mengetahui berapa jumlah tenaga bagian penjualan yang akan ditempatkan pada setiap cabang untuk memaksimalkan penjualan buku dalam unit. Diminta : Formulasikan model integer programming untuk permasalahan di atas.
4
JAWAB : Maximize Z : 100.000𝑥! + 60.000𝑥! + 50.000𝑥! + 75.000𝑥! Subject to : 45.000.000𝑥! + 38.000.000𝑥! + 30.000.000𝑥! + 32.000.000𝑥! ≤ 1.200.000.000 𝑥! + 𝑥! + 𝑥! + 𝑥! ≤ 38 𝑥! ≥ 6 𝑎𝑛𝑑 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑔𝑒𝑟 𝑥! ≥ 6 𝑎𝑛𝑑 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑔𝑒𝑟 𝑥! ≥ 6 𝑎𝑛𝑑 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑔𝑒𝑟 𝑥! ≥ 6 𝑎𝑛𝑑 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑔𝑒𝑟 Soal 3 Goal Programming (20 poin) PT Mitra sebuah pengelola kawasan industri memiliki dana sebesar Rp 2.400 juta untuk melakukan ekspansi pembangunan fasilitas di kawasan industri yang dimiliki. Perusahaan memiliki alternatif untuk membangun ruko, pabrik, perkantoran dan apartemen. Berikut adalah biaya, kebutuhan lahan, permintaan pelanggan, dan jumlah pekerja yang dibutuhkan untuk melakukan pembangunan masing-masing fasilitas tersebut Fasilitas
Biaya (juta)
Permintaan
Laba
Tanah (hektar)
Pekerja
Perkantoran
320
7
50
4
15
Apartemen
96
10
10
8
30
Ruko
60
8
7
3
5
Pabrik
160
12
20
5
10
Tanah yang tersedia untuk pembangunan fasilitas tersebut adalah 50 hektar. Perusahaan menetapkan beberapa tujuan berikut ini: 1. Perusahaan harus menggunakan seluruh dana yang dimiliki sebab dana tersebut adalah dana pinjaman yang oleh krediturnya disepakati untuk perluasan usaha. 2. Saat ini perusahaan memiliki 100 pekerja, sehingga minimal 100 orang harus dipekerjakan.
5
3. Perusahaan sangat sulit untuk menambah luas tanah yang digunakan untuk pembangunan fasilitas tersebut. 4. Perusahaan ingin memenuhi seluruh permintaan pelanggan tetapi juga memperhatikan laba yang bisa diperoleh. 5. Tambahan dan pembangunan hanya dimungkinkan sebesar Rp 600 juta. Diminta : Formulasikan goal programmning dari permasalahan tersebut JAWAB : Minimize P1d1- , P2d2- , P3d3+ , 50P4d4- , 10P4d5- , 7P4d6- , 20P4d7- , P5d8Subject
to:
1. 320𝑥! + 96𝑥! + 60𝑥! + 160𝑥! + 𝑑!! − 𝑑!! = 2400 2. 15𝑥! + 30𝑥! + 5𝑥! + 10𝑥! + 𝑑!! − 𝑑!! = 100 3. 4𝑥! + 8𝑥! + 3𝑥! + 5𝑥! + 𝑑!! − 𝑑!! = 50 4. 𝑥! + 𝑑!! − 𝑑!! =7 𝑥! + 𝑑!! − 𝑑!! = 10 𝑥! + 𝑑!! − 𝑑!! = 8 𝑥! + 𝑑!! − 𝑑!! = 12 5. 𝑑!! + 𝑑!! = 600 𝒙𝒊 , 𝒅𝒊 ≥ 𝟎
6
