2013. (Program Studi IPA) Disusun Sesuai Indikator Kisi-Kisi UN Disusun oleh : Pak Anang

Smart Solution TAHUN PELAJARAN 2012 2012/2013 /2013 Disusun Sesuai Indikator Kisi-Kisi UN 2013

(Program Studi IPA) IPA)

Disusun oleh :

Pak Anang

Downloaded from: terampilmatematika.blogspot.com

SMART SOLUTION dan TRIK SUPERKILAT UN Matematika SMA Program IPA Per Indikator KisiKisi-Kisi UN 2013 2013 By Pak Anang (http://pakhttp://pak-anang.blogspot.com) anang.blogspot.com) SKL 1. Menggunakan logika matematika dalam pemecahan masalah. 1. 1.

Menentukan penarikan kesimpulan dari beberapa premis.

Implikasi Kesetaraan Implikasi 0 1 2 3 ~0 5 2 3 ~2 1 ~0

Penarikan Kesimpulan Modus Ponens & Tollens

Silogisme

“implikasi” + “pernyataan” = “pernyataan”

“implikasi” + “implikasi” = “implikasi”

Coret pernyataan yang sama

Selesai Keterangan: Warning!! Jika terdapat pernyataan majemuk selain implikasi, maka ubah dulu menggunakan konsep kesetaraan implikasi. Modus Ponens dan Modus Tollens Pola penarikan kesimpulan menggunakan Modus Ponens dan Modus Tollens adalah serupa, yakni penarikan kesimpulan dari dua premis. Premis pertama adalah harus sebuah implikasi, dan premis kedua berisi pernyataan tunggal. Hasil dari penarikan kesimpulan adalah pernyataan tunggal. Contoh: Premis 1 : Jika hari ini hujan deras, maka Bona tidak keluar rumah. Premis 2 : Bona keluar rumah. Kesimpulan : Hari ini tidak hujan deras. Silogisme Penarikan kesimpulan menggunakan Silogisme adalah penarikan kesimpulan dari dua premis yang harus berupa implikasi. Hasil dari penarikan kesimpulan adalah implikasi dan bentuk setara yang lain. lain Contoh: Premis 1 : Jika cuaca hujan maka Agus pakai payung. Premis 2 : Jika Agus pakai payung maka Agus tidak basah. Kesimpulan : Jika cuaca hujan maka Agus tidak basah. = Cuaca tidak hujan atau Agus tidak basah. = Jika Agus basah maka cuaca tidak hujan. Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)


Halaman 1

1. 2.

Menentukan ingkaran atau kesetaraan dari pernyataan majemuk atau pernyataan berkuantor.

Ingkaran Pernyataan Majemuk

Pernyataan Berkuantor

“Dan, Atau”

“Jika Maka”

“Semua, Ada”

Ubah operator dan pernyataan

“dan tidak”

Ubah kuantor dan pernyataan

Selesai Keterangan: “Dan, Atau” Pola ingkaran dari pernyataan majemuk konjungsi dan disjungsi adalah sama, yaitu tukarkan operator dan ingkarkan semua pernyataannya. Contoh: Ingkaran dari

adalah:

Saya makan mie

dan

dia membeli baju

Saya tidak makan mie

atau

dia tidak membeli baju

“Jika Maka” Maka” Pola ingkaran dari pernyataan majemuk implikasi adalah “dan tidak”. Contoh: Ingkaran dari

adalah:

Jika saya lulus ujian

maka

ayah memberi hadiah

Saya lulus ujian

dan

ayah tidak memberi hadiah

“Semua, Ada” Ada” Pola ingkaran dari pernyataan berkuantor adalah sama, yaitu tukarkan operator kuantornya dan ingkarkan pernyataannya. Contoh: Ingkaran dari

adalah:

Halaman 2

Semua siswa

ikut upacara bendera pada hari Senin.

Ada siswa

tidak ikut upacara bendera pada hari Senin

Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)


Pembahasan TRIK SUPERKILAT pada contoh soal yang serupa pada UN 2012 kemarin:

1.

Diketahui premis-premis sebagai berikut: Premis 1 : Jika hari ini hujan deras, maka Bona tidak keluar rumah. Premis 2 : Bona keluar rumah. Kesimpulan yang sah dari premis-premis tersebut adalah .... Modus tollens : A. Hari ini hujan deras ABCDE 1 F GHIBDJ B. Hari ini hujan tidak deras GHIBDJ C. Hari ini hujan tidak deras atau bona tidak keluar rumah K F ABCDE Jadi kesimpulannya hari ini tidak D. Hari ini tidak hujan dan Bona tidak keluar rumah hujan deras. E. Hari ini hujan deras atau Bona tidak keluar rumah

2.

Ingkaran pernyataan “Jika semua anggota keluarga pergi, maka semua pintu rumah dikunci rapat ” adalah .... F L(MDENNOPD, 0HJNQ) 1 (M0QEPB, RQGBESQ)T 3 (MDENNOPD, 0HJNQ) U (V0QEPB, F RQGBESQ) A. Jika ada anggota rumah yang tidak pergi maka ada pintu rumah yang tidak dikunci rapat. B. Jika ada pintu rumah yang tidak dikunci rapat maka ada anggota keluarga yang tidak pergi. C. Jika semua pintu rumah ditutup rapat maka semua anggota keluarga pergi. D. Semua anggota keluarga pergi dan ada pintu rumah yang tidak dikunci rapat. E. Semua pintu rumah tidak dikunci rapat dan ada anggota keluarga yang tidak pergi.

3.

Diketahui premis-premis berikut: Premis 1 : Jika Tio kehujanan, maka Tio sakit. Premis 2 : Jika Tio sakit, maka ia demam. Kesimpulan dari kedua premis tersebut adalah .... A. Jika Tio sakit maka ia kehujanan. B. Jika Tio kehujanan maka ia demam. C. Tio kehujanan dan ia sakit. D. Tio kehujanan dan ia demam. E. Tio demam karena kehujanan.

Silogisme : ABCDE 1 WDGQP WDGQP 1 RHXDX K ABCDE 1 RHXDX Jadi kesimpulannya Jika Tio kehujanan, maka ia demam.

4.

Ingkaran pernyataan “Jika semua mahasiswa berdemonstrasi maka lalu lintas macet” adalah .... A. Mahasiswa berdemonstrasi atau lalu lintas macet. B. Mahasiswa berdemonstrasi dan lalu lintas macet. C. Semua mahasiswa berdemonstrasi dan lalu lintas tidak macet. D. Ada mahasiswa berdemonstrasi. E. Lalu lintas tidak macet.

5.

Diketahui premis-premis sebagai berikut: Premis I : “Jika Cecep lulus ujian maka saya diajak ke Bandung.” Premis II : “Jika saya diajak ke Bandung maka saya pergi ke Lembang.”

F L(MXDADWQWYD, RHXO) 1 XDSHPT 3 (MXDADWQWYD, RHXO) U F XDSHP

Kesimpulan yang sah dari premis-premis tersebut adalah .... A. Jika saya tidak pergi ke Lembang maka Cecep lulus ujian. B. Jika saya pergi ke Lembang maka Cecep lulus ujian. C. Jika Cecep lulus ujian maka saya pergi ke Lembang. D. Cecep lulus ujian dan saya pergi ke Lembang. E. Saya jadi pergi ke Lembang atau Cecep tidak lulus ujian.

6.

Silogisme : IBIBW 1 ZDERBEN ZDERBEN 1 [HX\DEN K IBIBW 1 [HX\DEN Jadi kesimpulannya Jika Cecep lulus ujian maka saya pergi ke Lembang.

Negasi dari pernyataan: “Jika semua siswa SMA mematuhi disiplin sekolah maka Roy siswa teladan”, adalah ... F L(MWQWYD, XHXDPBAQ) 1 PHIDRDET 3 (MWQWYD, XHXDPBAQ) U F PHIDRDE A. Semua siswa SMA mematuhi disiplin sekolah dan Roy bukan siswa teladan. B. Semua siswa SMA mematuhi disiplin sekolah dan Roy siswa teladan. C. Ada siswa SMA mematuhi disiplin sekolah dan Roy bukan siswa teladan. D. Ada siswa SMA mematuhi disiplin sekolah atau Roy siswa teladan. E. Jika siswa SMA disiplin maka Roy siswa teladan.



Halaman 3

Jika adik-adik butuh ’bocoran’ butir soal Ujian Nasional tahun 2013, maka adik-adik bisa download di http://pak-anang.blogspot.com/2012/11/prediksi-soal-un-matematika-sma-2013.html. Semua soal tersebut disusun sesuai kisi-kisi SKL UN tahun 2013 yang dikeluarkan secara resmi oleh BSNP tanggal 20November 2012 yang lalu. Kisi-kisi SKL UN SMA tahun 2013 untuk versi lengkap semua mata pelajaran bisa adik-adik lihat di http://pak-anang.blogspot.com/2012/11/kisi-kisi-skl-un-2013.html. Pak Anang.

Halaman 4



Smart Solution

TAHUN PELAJARAN 2012 2012/2013 /2013 Disusun Sesuai Indikator Kisi-Kisi UN 2013

(Program Studi IPA) IPA) Disusun oleh :

Pak Anang


SKL 2. Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan aturan pangkat, akar dan logaritma, fungsi fungsi aljabar sederhana, fungsi kuadrat, fungsi eksponen dan grafiknya, fungsi komposisi dan fungsi invers, sistem persamaan linear, persamaan dan pertidaksamaan kuadrat, persamaan lingkaran dan garis singgungnya, suku banyak, algoritma sisa dan teorema pembagian, pembagian, program linear, matriks dan determinan,vektor, transformasi geometri dan komposisinya, barisan dan deret, serta mampu menggunakannya dalam pemecahan masalah. 2. 1.

Menggunakan aturan pangkat, akar dan logaritma.

Pangkat

Definisi

8999:999; 63 6…63 34 5 3

“Bilangan Pokok Sama”

4 <=>?@A

untuk 3 D 0, berlaku: 3E 5 1 G 3F4 5 H

3I 6 34 5 3IJ4 =K =H

=

53

IF4

Sifat

;3 D 0

Syarat: 3]^ _ ]`V

“Kurung”

(3I )4 5 3I64

(3 6 M)4 5 34 6 M 4 = 4

NO P 5 OH ; M D 0

Pangkat Pecahan

Bentuk Akar

Definisi

“Invers Pangkat” H 3 5 M 4 Q √3 5 M

“Bentuk Akar Sama”

H H H U √3 V W √3 5 (U V W) √3 H H H U √3 X W √3 5 (U X W) √3

"Pangkat Pecahan" √3 5 3

H

T H

Haram menjadi penyebut pecahan

Rasionalisasi

“kalikan sekawan penyebut” =

=

√O

√OJ√\

Halaman 4

Sifat

5 5

=

√O

6

=

√O √O

√OJ√\

6

=H

Syarat: 3, M ] b _ ]`V

“Kurung” Y √3 5 K6H√3 H H H √3M 5 √3 6 √M

K H

ZO 5

H

=

H

√= √O

H

;M D 0

"Bentuk Akar Beda" Beda"

Untuk 3 a M, berlaku:

√3 V √M 5 Z(3 V M) V 2√3M √3 X √M 5 Z(3 V M) X 2√3M

√OF√\ √OF√\



Logaritma

Definisi

3O 5 d Q = log d 5 M

Sehingga diperoleh: 3E 5 1 Q = log 1 5 0 3G 5 3 Q = log 3 5 1 4 3 5 34 Q = log 34 5 _

Sifat

"Penjumlahan Pengurangan" Pengurangan" =

log(Md) 5 = log M V = log d

=

log N \ P 5 = log M X = log d

=

O

log M 5 _ e log M 4

Syarat: 3, U a 0 UD1

=

=

= =K

"Perbandingan" Perbandingan" log M 5 f

f ghi O

ghi =

5j

G ghi =

log M 5 = log d e \ log M 4 log M 4 5 I e = log M

=

log M 5 = log M Q 3

v ghi O

5M

Tipe soal yang sering keluar Pangkat

Menyederhanakan bentuk pangkat Bilangan pokok berupa angka, ubah ke bentuk bilangan pokok yang paling sederhana. Bilangan pokok berupa variabel, lakukan operasi pangkat tiap variabel. Contoh: Tentukan bentuk sederhana dari: l

l

2Gm e 12n p 8q

G e 6p

5 ….

Penyelesaian: l

l

2Gm e 12n p 8q

G e 6p

5 5

l

l

2Gm e (2m e 3)n p

G

(2p )q e (2 e 3)p l

l

l

2Gm e 2p e 3n s

G

G

2q e 2p e 3p l

l s G

Contoh: Tentukan bentuk sederhana dari: 243Fx M Fm dG 5 …. 63 Fm MFp d Fn

Penyelesaian: 243Fx M Fm dG 5 8 e 3 FxF(Fm) e M FmF(Fp) e dGF(Fn) 63 Fm MFp d Fn 5 83Fl Md x 8Md x 5 l 3

l G

5 2GmJpFqFp e 3nFp G

G

5 2F m e 3m 5

G

3m G

2m

G

3 m 5t u 2



Halaman 5

Bentuk Akar

Menyederhanakan Bentuk Akar Cari faktor bilangan tersebut yang dapat diakar, sehingga mendapatkan bentuk akar paling sederhana. Contoh: √72 5 √36√2 5 6√2 z z z z √54 5 √27 √2 5 3√2 Menyederhanakan bentuk akar dengan konsep Z({ V |) } ~√{| 5 √{ } √|

Pastikan bilangan di depan akar adalah harus angka 2. Jika bukan 2, maka ubahlah menjadi 2. Contoh: Y5 V √24 5 …. Penyelesaian:

Y5 V √24 5 Y5 V √4√6 5 Y5 V ~√6 5 Z(3 V 2) V 2√3 · 2 5 √3 V √2

Menyederhanakan bentuk akar dengan merasionalisasi penyebut pecahan bentuk akar Kalikan dengan 1 (pecahan yang pembilang dan penyebutnya adalah sekawan bentuk akar tersebut) Sekawan dari √3 adalah √3. Sekawan dari √3 V M adalah √3 X M. Sekawan dari √3 X M adalah √3 V M. Contoh: Bentuk sederhana dari 3√3 V √7

√7 X 2√3 adalah ….

Penyelesaian: 3√3 V √7 3√3 V √7 √7 V 2√3 3√21 V 18 V 7 V 2√21 25 V 5√21 5 6 5 5 5 X5 X √21 7 X 12 X5 √7 X 2√3 √7 X 2√3 √7 V 2√3

Logaritma

Menyederhanakan bentuk logaritma Gunakan definisi dan sifat logaritma untuk menyederhanakan logaritma. Contoh: 5 · m log 3 V m log 5 X m log 15 5 …. m log 9 Penyelesaian: 5 · m log 3 V m log 5 X m log 15 m log 3l V m log 5 X m log 15 5 m log 9 m log 9 l 3 ·5 m log t u 15 5 m log 9 m log 3q 5 m log 9 s 5 log 3q 5 s log(3m )m 5 s log 9m 5 2 · s log 9 52·1 52

Halaman 6



Menyusun bentuk logaritma menggunakan beberapa bentuk logaritma yang lain. Gunakan definisi untuk menyusun bentuk logaritma menggunakan beberapa bentuk logaritma yang lain. Contoh: Jika m log 3 5 3 dan p log 5 5 M. Nilai dari Gm log 150 5 …. Penyelesaian:

Gm

log 150 5

log 150 p log(2 · 3 · 5m ) p log 2 V p log 3 V p log 5m p log 2 V p log 3 V 2 · p log 5 5 p 5 5 p log 12 p log 2m V p log 3 log(2m · 3) 2 · p log 2 V p log 3 1 V 1 V 2M 3 5 2 3V1 1 V 1 V 2M 3 3 5 6 2 3 V 1 3 1 V 3 V 23M 5 2V3

p

Cara tersebut cukup menyita waktu kalau digunakan saat mengerjakan soal UN, karena kita harus menuliskan panjang lebar konsep definisi dan sifat logaritma. Nah, perhatikan urutan mengerjakannya: Pertama, ubah logaritma menjadi perbandingan. Kedua, faktorkan numerus kedua logaritma tersebut sehingga memuat bilangan pada logaritma yang diketahui. Ketiga, menjabarkan kedua logaritma tersebut dengan menggunakan sifat penjumlahan logaritma. Keempat, mengubah bentuk logaritma ke dalam variabel yang diketahui pada soal. Kelima, apabila masih terdapat bentuk pecahan, bulatkan dengan mengalikan KPK penyebut. Selesai.

TRIK SUPERKILAT: Perhatikan basis dan numerus pada bentuk logaritma yang diketahui. log 5 3 dan log 5 M. Ternyata bilangannya adalah 2, 3, dan 5. 5 ~

Lalu, cari bilangan yang sama.

Ternyata bilangan yang sama adalah 3.

Semua bilangan akan menjadi numerus dari bentuk logaritma yang akan menjadi acuan kita nanti, sedangkan bilangan yang sama akan menjadi basis dari logaritma tersebut. 1 3 log 5 5 M log 3 5 1

log 2 5

Cara membacanya: G Bilangan 2 pada langkah berikutnya akan disubstitusi dengan . = Bilangan 5 pada langkah berikutnya akan disubstitusi dengan b. Bilangan 3 pada langkah berikutnya akan disubstitusi dengan 1.

Perhatikan basis dan numerus pada bentuk logaritma yang ditanyakan. Ubah menjadi pecahan N ~

log

~

4IA P. O=

Faktorkan kedua bilangan tersebut dengan memperhatikan ketiga angka tadi (2, 3, dan 5). Segera substitusikan faktor dari kedua bilangan tersebut seperti cara membaca ketiga logaritma acuan tadi. Jangan lupa untuk mengubah tanda perkalian menjadi penjumlahan. 1 1 150 2 6 3 6 5 6 5 3 V 1 V M V M 3 V 1 V 2M 5 5 5 1 1 2 12 26263 V V1 V1 3 3 3 Jadi, 1 V 1 V 2M 3 ~ log 5 2 V1 3



Halaman 7


1.

Diketahui a = A. B. C. D. E.

2.

3.

1 4 16 64 96

a −2 .b.c 3 1 adalah .... , b = 2, dan c = 1. Nilai dari 2 a.b 2 .c −1 3 Fm Md p dq 1q 5 5 3M m d FG 3p M 1 p N P 2 2 1 5 1 4 54

1 b4 Diketahui a = 4, b = 2, dan c = . Nilai (a −1 ) 2 × −3 adalah .... 2 c Mq 2q FG m FG m 1 (3 ) 6 Fp 5 (4 ) 6 A. d 1 Fp N P 2 2 1 16 1 5 6 B. 16 8 4 1 1 5 C. 8 8 1 D. 16 1 E. 32 x −4 yz −2 1 1 Jika diketahui x = , y = , dan z = 2. Nilai −3 2 − 4 adalah .... 3 5 x y z Fq Fm (GFm) FqF(Fp) A. 32 5 FmF(Fq) Fp m Fq B. 60 5 FG FG m C. 100 1 FG 1 FG D. 320 5 t u t u (2)m 3 5 E. 640 53·5·4 5 60

Halaman 8



4.

Bentuk A. B. C. D. E.

5.

6.

Bentuk

3 3+ 7

dapat disederhanakan menjadi bentuk .... 7 −2 3 3√3 V √7 3√3 V √7 √7 V 2√3 − 25 − 5 21 5 6 √7 X 2√3 √7 X 2√3 √7 V 2√3 − 25 + 5 21 3√21 V 18 V 7 V 2√21 5 − 5 + 5 21 7 X 12 − 5 + 21 25 V 5√21 5 X5 − 5 − 21 5 X5 X √21

2 −2 3

☺

dapat disederhanakan menjadi bentuk ....

A. B.

2− 3 −4−3 6 −4− 6

C. D. E.

−4+ 6 4− 6 4+ 6

Bentuk A. B. C. D. E.

LOGIKA PRAKTIS: PRAKTIS: Pembilang positif semua tandanya. Sekawan penyebut juga positif semua. Pasti pembilang hasil rasionalisasi positif juga (plus plus). Lihat bentuk bilangan negatif lebih besar dari bilangan positif, artinya perkalian penyebut dengan sekawan penyebut pasti negatif. Pola jawabannya pasti negatif semua (min min). Duh, tapi sayang ada dua jawaban yang seperti kriteria tsb. (A dan E).

√2 X 2√3 √2 X √3

5

√2 X 2√3

6

√2 V √3

√2 X √3 √2 V √3 2 V √6 X 2√6 X 6 5 2X3 X4 X √6 5 X1 5 4 V √6

2 +3 5

dapat disederhanakan menjadi bentuk .... 2− 5 1 17 − 4 10 √2 V 3√5 √2 V 3√5 √2 V √5 3 5 6 X X √5 √5 √2 √2 √2 V √5 2 − 15 + 4 10 2 V √10 V 3√10 V 15 5 3 2X5 2 17 V 4√10 15 − 4 10 5 3 X3 1 1 5 17 V 4√10 − 17 − 4 10 X3 3 1 5 X 17 V 4√10 1 3 − 17 + 4 10 3

(

)

(

(

)

)

( (

) )



Halaman 9

7.

Diketahui 5 log 3 = a dan 3 log 4 = b. Nilai p 1+ a q log 15 A. log 15 5 p log 4 ab p log 15 1+ a 5 p B. log 4 1+ b p log(3 6 5) 1+ b 5 p C. log 4 1− a p log 3 V p log 5 5 ab p log 4 D. 1− a 1 1V 363 ab 5 E. M 3 1− b 3V1 5

8.

3

3M

3

24

Diketahui log 6 = p, log 2 = q. Nilai 2 p + 3q mq log 288 A. p p + 2q log 288 p 3 p + 2q p log 24p m B. log(2 6 6 ) p + 2q Q p log(2m 6 6) p p + 2q log 2p V p log 6m C. Q p 2 p + 3q log 2m V p log 6 p + 2q Q 3 · p log 2 V 2 · p log 6 D. 2 · p log 2 V p log 6 3 p + 2q 3W V 2U q + 2 p Q 2W V U E. 2 p + 3q

4

log15 = .... TRIK SUPERKILAT: Lihat bentuk logaritma. Cari angka yang sama. Paksakan angka itu menjadi basis logaritma! 1 1 l log 3 5 3 p log 5 5 bertemu 5 tulis 3 3 p log 4 5 M bertemu 4 tulis M p log 3 5 1 bertemu 3 tulis 1 Ingat tanda kali diganti tambah ya. Cara cepat ini meringkas pengerjaan ini lho! Lihat angka berwarna biru pada cara biasa di samping! Jadi, q

©« ¥ g ¨ ¥¨« ,

1 1V 15 365 3 log 15 ¡¢¢¢¢£ ¡¢¢¢¢¢¢¢¢£ ¡¢¢¢¢¢¢¢£ 5 ¬® ¬® 4 4 M

☺

log 288 = ....TRIK SUPERKILAT:

Lihat bentuk logaritma. Cari angka yang sama. Paksakan angka itu menjadi basis logaritma! p log 6 5 U bertemu 6 tulis U p log 2 5 W ° bertemu 2 tulis W p log 3 5 1 bertemu 3 tulis 1 Ingat tanda kali diganti tambah ya. Cara cepat ini meringkas pengerjaan pada kotak biru disamping lho! Lihat angka berwarna biru pada cara biasa di samping! Jadi, mq

log 288 ¡¢¢¢¢£

☺ 9.

¤¥h¦ § ii ¨©©g i ª¦ «¦© ¥§

¤¥h¦ § ii ¨©©g i ª¦ «¦© ¥§

©« ¥ g ¨ m ¥¨« ,

288 2p 6 6 3W V 2U ¡¢¢¢¢¢¢¢¢£ m ¡¢¢¢¢¢¢¢£ 5 ¬® ¬® 24 2 66 2W V U

Diketahui 2 log 3 = x, 2 log10 = y. Nilai 6 log120 = .... TRIK SUPERKILAT: Lihat bentuk logaritma. Cari angka yang sama. x + y + 2 n log 120 A. m Paksakan angka itu menjadi basis logaritma! x + 1 log 120 m log 3 5 bertemu 3 tulis m log 6 x +1 m ° log 10 5 bertemu 10 tulis m B. log(2m 6 3 6 10) m x + y + 2Q m bertemu 2 tulis 1 log 2 5 1 log(2 6 3) Ingat tanda kali diganti tambah ya. x m log 2m V m log 3 V m log 10 C. Cara cepat ini meringkas pengerjaan pada kotak biru m log 2 V m log 3 xy + 2 Q disamping lho! Lihat angka berwarna biru pada cara biasa di samping! xy + 2 2 · m log 2 V m log 3 V m log 10 D. Q m log 2 V m log 3 Jadi, x ¤¥h¦ 2VV § ii ©« ¥ 2 xy Q g ¨ ¨©©g E. 1V i ª¦ m ¥¨« , x +1 2VV 120 «¦© ¥§ 2 6 3 6 10 n

log 120 ¡¢¢¢¢£

☺

6

¡¢¢¢¢¢¢¢¢£

263

¡¢¢¢¢¢¢¢£

1V

5 ¬® ¬®


Halaman 10





Pak Anang


2. 2.

Menggunakan rumus jumlah dan hasil kali akarakar-akar persamaan kuadrat.

Persamaan Kuadrat (PK) 012 3 41 3 5 6 7 Akar-Akar PK 89 6

:;<√;> :?@A atau 8B B@

6

:;:√;> :?@A B@

Jumlah Akar-Akar PK

Hasil Kali Akar-Akar PK

;

A

89 3 8B 6 C @

89 8B 6 @

Selisih Akar-Akar PK |89 C 8B | 6

√;> :?@A @

6

√E @

Bentuk Simetri Akar-Akar PK 89 B F 8B B 6 (89 F 8B )B G 289 8B 89 B C 8B B 6 (89 3 8B )(89 C 8B )

89 H F 8B H 6 (89 F 8B )H G 3(89 8B )(89 F 8B )

89 ? F 8B ? 1 1 F 89 8B 1 1 3 B B 89 8B 89 8B F 8B 89

6 (89 B F 8B B )B G 2(89 8B )B 89 F 8B 6 89 8B 89 B 3 8B B 6 (89 8B )B 89 B F 8B B 6 89 8B



Halaman 11

Menyusun bentuk simetri akarakar-akar PK Ubah bentuk operasi aljabar dari akar-akar persamaan kuadrat sedemikian sehingga memuat rumus jumlah dan hasil kali akar-akar PK (dan rumus selisih akar-akar PK, kalau diperlukan). Berikut ini contoh bentuk simetri akar-akar PK yang sering muncul dalam soal: Jumlah Kuadrat AkarAkar-Akar PK: B B 89 3 8B 6 …. Penyelesaian: Ingat bentuk (89 3 8B )B 6 89 B 3 289 8B 3 8B B, maka diperoleh: 89 B 3 8B B 6 (1K 3 12 )B C 21K 12 Selisih Kuadrat AkarAkar-Akar PK B B 89 C 8B 6 …. Penyelesaian: Ingat bentuk (89 C 8B )B 6 89 B C 289 8B 3 8B B, maka diperoleh: 89 B C 8B B 6 (1K C 12 )B 3 21K 12 Atau ingat bentuk (89 3 8B )(89 C 8B ) 6 89 B C 89 B , maka diperoleh: 89 B C 8B B 6 (1K 3 12 )(1K C 12 ) Jumlah Pangkat Tiga AkarAkar-Akar PK 89 H 3 8B H 6 …. Penyelesaian: Ingat bentuk (89 3 8B )H 6 89 H 3 389 B 8B 3 389 8B B 3 8B H 6 89 H 3 3(89 8B )(89 3 8B ) 3 8B H maka diperoleh: 89 H 3 8B H 6 (1K 3 12 )H C 3(1K 12 )(1K 3 12 ) Jumlah Pangkat Empat AkarAkar-Akar PK: ? ? 89 3 8B 6 …. Penyelesaian: Ingat bentuk (8 B 3 8B B )B 6 89 ? 3 28 B 8 B 3 8B ? , maka diperoleh: B 89 ? 3 8B ? 6 L1K 2 3 12 2 M C 2(1K 12 )B 6 N(1K 3 12 )B C 21K 12 OB C 2(1K 12 )B Dan lainlain-lain …. Contoh: Persamaan kuadrat C28 B 3 38 C 2 6 0 memiliki akar-akar 89 dan 8B , maka nilai 89B 3 8BB 6 .... Penyelesaian: Pertama, cari jumlah dan hasil kali akar-akar persamaan kuadrat tersebut: Q 3 3 1K 3 12 6 C 6 C 6 R C2 2 S C2 1K 12 6 6 61 R C2 Kedua, cari bentuk identik dari 89B 3 8BB yang memuat bentuk 89 3 8B dan 89B 3 8BB . 89B 3 8BB 6 (1K 3 12 )B C 21K 12 H B

6 TBU C 2(1) V

6?C2 9

6?

Halaman 12



Menyusun PK Baru Diketahui:

012 3 41 3 5 6 7 adalah PK Lama 1K dan 12 adalah akar-akar PK Lama W dan X adalah akar-akar PK Baru

Cek dan perhatikan!

Apakah W dan X identik atau tidak?

Jika [ dan \ identik

Jika [ dan \ tidak identik

Cari invers akar PK Baru, X:K

Cari jumlah dan hasil kali akar PK Lama 1K 3 12 dan 1K 12

:K

cari jumlah dan hasil kali akar PK Baru W 3 X dan WX menggunakan nilai 1K 3 12 dan 1K 12

Substitusi X

ke PK Lama

Rumus PK Baru adalah RLX

:K B

:K

M 3 QLX

M3S 60

Rumus PK Baru adalah 8 B C (W 3 X)8 3 (WX) 6 0

TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS: Ditambah artinya substitusi pengurangan. Dikurangi artinya substitusi penjumlahan. Dikalikan artinya pangkat naik. Otomatis kalau dibagi maka pangkat turun. Dibalik Dibalik artinya juga dibalik. Dinegatifkan artinya koefisien Q juga dinegatifkan. Misal PK Lama adalah R8 B 3 Q8 3 S 6 0, maka: 1. PK Baru yang akar-akarnya ([ 3 a) dan (\ 3 a) R(8 C a)B 3 Q(8 C a) 3 S 6 0 2. PK Baru yang akar-akarnya ([ C a) dan (\ C a) R(8 3 a)B 3 Q(8 3 a) 3 S 6 0 3. PK Baru yang akar-akarnya (a[) dan (a\) R8 B 3 aQ8 3 a2 S 6 0 K

K

4. PK Baru yang akar-akarnya TWU dan TXU 58 B 3 Q8 3 0 6 0

5. PK Baru yang akar-akarnya (C[) dan (C\) R8 B C Q8 3 S 6 0



Halaman 13

Contoh 1: Akar-akar persamaan kuadrat 38 B C 128 3 2 6 0 adalah [ dan \. Persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya ([ 3 2) dan (\ 3 2) adalah …. Penyelesaian: Pertama, cek dan perhatikan apakah akar-akar PK Baru simetris atau tidak? Akar-akar PK Baru ([ 3 2) dan (\ 3 2), ternyata simetris. Memiliki pola yang sama, yaitu (8 3 2). Kedua, cari invers dari akar-akar PK Baru, (8 3 2). Invers dari (8 3 2) adalah (1 C 2). Ketiga, Substitusikan (1 C 2) menggantikan variabel 8 pada PK Lama: 3(1 C 2)B C 12(1 C 2) 3 2 6 0 d 3(8 B C 48 3 4) C 128 3 24 3 2 6 0 d 38 B C 128 3 12 C 128 3 24 3 2 6 0 d 38 B C 248 3 38 6 0 Jadi, PK Baru yang akar-akarnya ([ 3 2) dan (\ 3 2) adalah 38 B C 248 3 38 6 0. Contoh 2: Akar-akar persamaan kuadrat 28 B C 48 3 8 6 0 adalah [ dan \. f g Persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya g dan f adalah …. Penyelesaian: Pertama, cek dan perhatikan apakah akar-akar PK Baru simetris atau tidak? f g Akar-akar PK Baru dan , ternyata tidak simetris. Tidak memiliki pola yang sama. g f Kedua, cari jumlah dan hasil kali akar-akar PK Lama. C4 W3X6C 62 2 8 WX 6 6 4 2 Ketiga, cari jumlah dan hasil kali akarakar-akar PK Baru menggunakan nilai W 3 X dan WX . [ \ [ B 3 \B 3 6 \ [ [\ (W 3 X)B C 2WX 6 WX 2B C 2 · i 6 i 4C8 6 4 4 6C 4 6 C1 [\ 61 \[ Keempat, rumus PK Baru adalah: 8 B C (jumlah jumlah akarakar-akar PK baru)8 baru 3 hasil kali akarakar-akar PK baru 6 0 8 B C (C1)8 3 1 6 0 8B 3 8 3 1 6 0 f g

g f

Jadi, PK Baru yang akar-akarnya dan adalah 8 B 3 8 3 1 6 0.

Halaman 14



Contoh 3 Akar-akar persamaan kuadrat 28 B C 58 3 3 6 0 adalah [ dan \. Persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya ([ 3 3) dan (\ 3 3) adalah …. Penyelesaian TRIK SUPERKILAT: SUPERKILAT: Akar-akar PK Baru adalah penjumlahan dengan dua, maka PK Baru adalah substitusi dengan (8 C 3). Jadi, PK Baru adalah: 2(8 C 3)B C 5(8 C 3) 3 3 6 0 Jabarkan sendiri ya…! Contoh 4 Akar-akar persamaan kuadrat 38 B 3 128 C 1 6 0 adalah [ dan \. Persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya ([ C 2) dan (\ C 2) adalah …. Penyelesaian TRIK SUPERKILAT: SUPERKILAT: Akar-akar PK Baru adalah pengurangan pengurangan dengan dua, maka PK Baru adalah substitusi dengan (8 3 2). Jadi, PK Baru adalah: 3(8 3 2)B 3 12(8 3 2) C 1 6 0 Jabarkan sendiri ya…! Contoh 5 Akar-akar persamaan kuadrat C48 B 3 28 C 7 6 0 adalah [ dan \. Persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya 2[ dan 2\ adalah …. Penyelesaian TRIK SUPERKILAT: SUPERKILAT: Akar-akar PK Baru adalah perkalian perkalian dengan dua, maka setiap suku dikalikan dengan dua berpangkat naik, mulai dari pangkat nol. Pangkat nol nggak usah ditulis, karena jelas sama dengan 1. OK? Jadi, PK Baru adalah: C48 B (2k ) 3 28(29 ) C 7(2B ) 6 0 Jabarkan sendiri ya…! Contoh 6 Akar-akar persamaan kuadrat 78 B C 58 3 13 6 0 adalah [ dan \. f g Persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya m dan m adalah …. Penyelesaian TRIK SUPERKILAT: SUPERKILAT: Akar-akar PK Baru adalah pembagian dengan lima, maka setiap suku dikalikan dengan lima berpangkat turun, sampai pangkat nol. Pangkat nol nggak usah ditulis, karena jelas sama dengan 1. OK? Jadi, PK Baru adalah: 78 B (5m ) C 58(59 ) 3 13(5k ) 6 0 Jabarkan sendiri ya…! Contoh 6 Akar-akar persamaan kuadrat 28 B C 8 3 5 6 0 adalah [ dan \. 9 9 Persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya f dan g adalah …. Penyelesaian TRIK SUPERKILAT: SUPERKILAT: Akar-akar PK Baru adalah kebalikan dari akar-akar PK Lama, maka Tukar posisi koefisien 8 B dengan konstanta. Jadi, PK Baru adalah: 58 B C 8 3 2 6 0



Halaman 15

Contoh 7 Akar-akar persamaan kuadrat C8 B 3 28 3 4 6 0 adalah [ dan \. Persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya C[ dan C\ adalah …. Penyelesaian TRIK SUPERKILAT: SUPERKILAT: Akar-akar PK Baru adalah negatif dari akar-akar PK Lama, maka PK Baru adalah koefisien 8 dikalikan (C1). Jadi, PK Baru adalah: C8 B 3 28(C1) 3 4 6 0 C8 B C 28 3 4 6 0 Contoh 7 Akar-akar persamaan kuadrat 28 B C 58 3 3 6 0 adalah [ dan \. Persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya (2[ C 3) dan (2\ C 3) adalah …. Penyelesaian TRIK SUPERKILAT: SUPERKILAT: Akar-akar PK Baru adalah perkalian dengan dua, dilanjutkan pengurangan dengan tiga dari akar-akar PK Lama, maka PK Baru adalah suku dikalikan dengan dua berpangkat naik, mulai dari pangkat nol, dilanjutkan dengan substitusi (8 3 3). Jadi, PK Baru adalah: 28 B (2k ) C 58(29 ) 3 3(2B ) 6 0 28 B C 108 3 12 6 0 Dilanjutkan dengan substitusi (8 3 3). 2(8 3 3)B C 10(8 3 3) 3 12 6 0 Jabarkan sendiri ya…!

Halaman 16



Berlawanan

Berkebalikan

Q60

R6S

SifatSifat-Sifat AkarAkar-Akar PK Perbandingan

Selisih

oQ B 6 (o 3 1)B RS

p 6 (oR)B

Keterangan: Menggunakan Menggunakan sifatsifat-sifat akarakar-akar PK untuk menentukan bagian dari PK yang tidak diketahui. Inti dari permasalahan ini adalah melengkapkan variabel yang tidak diketahui pada PK dengan menggunakan sifat tertentu dari akar-akarnya. TRIK SUPERKILAT Sifat akar-akar persamaan kuadrat R8 B 3 Q8 3 S 6 0 yang mungkin keluar di soal: 1. 2. 3. 4.

Jika akar yang satu kelipatan o dari akar yang lain (89 6 o8B ), maka oQ B 6 (o 3 1)B RS Jika selisih akar-akarnya adalah o (|89 C 8B | 6 o), maka p 6 (oR)B Jika akar-akarnya berlawanan (89 6 C8B atau 89 3 8B 6 0), maka Q 6 0 9 Jika akar-akarnya berkebalikan T89 6 q atau 89 8B 6 1U, maka R 6 S >

Contoh: Akar-akar persamaan kuadrat 28 B 3 r8 3 16 6 0 adalah [ dan \. Jika [ 6 2\ dan [, \ positif maka nilai r 6 …. Penyelesaian: Pertama, lihat ternyata akar-akar PK tersebut adalah memiliki kelipatan tertentu. Karena [ 6 2\, maka jelas nilai o 6 2. Kedua, gunakan sifat perbandingan akar-akar PK. oQ B 6 (o 3 1)B RS d 2rB 6 (2 3 1)B · 2 · 16 d r B 6 3B · 4B d r 6 F12 Ketiga, karena akar-akarnya positif maka jumlah kedua akar tersebut juga positif, sehingga: Q 89 3 8B s 0 t C s 0 R r dC s0 2 d ru0 Sehingga pilih nilai r yang negatif. Jadi, r 6 C12.



Halaman 17


1.

Akar-akar persamaan kuadrat x 2 + ax − 4 = 0 adalah p dan q. Jika p 2 − 2 pq + q 2 = 8a, maka nilai a = x 3 y 6 CR .... x. y 6 C4 A. −8 xB C 2xy 3 y B 6 8R B. −4 t (x 3 y)B C 4xy 6 8R C. 4 d RB 3 16 6 8R D. 6 B d R C 8R 3 16 6 0 E. 8 d (R C 4)(R C 4) 6 0

2.

Persamaan 2

x1 + x 2 A. B. C. D. E.

3.

2

t

kuadrat

R64

x 2 + (m − 1) x − 5 = 0

mempunyai

akar-akar

x1

dan

x2 .

Jika

− 2 x1 x 2 = 8m, maka nilai m = .... 89B 3 8BB C 289 8B 6 8r −3 atau −7 89 3 8B 6 Cr 3 1 t (89 3 8B )B C 489 8B 6 8r (Cr 3 1)B 3 20 6 8r 89 . 8B 6 C5 d 3 atau 7 d rB C 10r 3 21 6 0 3 atau −7 (R C 3)(R C 7) 6 0 d 6 atau 14 d R C 3 6 0 atau R C 7 6 0 −6 atau −14 t R63 wR 6 7

Persamaan kuadrat x 2 + 4 px + 4 = 0 mempunyai akar-akar x1 dan x 2 . Jika x1 x 22 + x12 x 2 = 32, maka nilai p = .... 89 8BB 3 89B 8B 6 32 A. −4 t 89 8B (89 3 8B ) 6 32 89 3 8B 6 C4x B. −2 d 4(C4x) 6 32 89 . 8B 6 4 d C16x 6 32 C. 2 32 D. 4 d x6 C16 E. 8 d

x 6 C2


Halaman 18



Smart Solution

TAHUN PELAJARAN 2012 2012/2013 /2013 Disusun Sesuai Indikator Kisi-Kisi UN 2013


Pak Anang


2. 3.

Menyelesaikan masalah persamaan atau fungsi kuadrat dengan menggunakan diskriminan.

Persamaan Kuadrat (PK) 123 4 52 4 6 7 8

Diskriminan

Persamaan Kuadrat

9 7 53 : ;16

=> ? 4 @> 4 A 7 0

CD0 akar real CF0 berbeda

CE0 akar imajiner

Fungsi Kuadrat B(>) 7 => ? 4 @> 4 A

CF0 memotong

C70 kembar

C70 menyinggung

CE0 terpisah

= F 0, C E 0 definit positif

= E 0, C E 0 definit negatif

C 7 I? rasional

TRIK SUPERKILAT. Perhatikan tiga soal di bawah ini, sebenarnya tidak berbeda. Alias maksud ketiga soal itu sama persis!

“Persamaan Persamaan kuadrat M> ? 4 (M 4 2)> : M 4 4 7 0 akan memiliki dua akar real berbeda untuk nilai M 7 ….“ “Fungsi Fungsi kuadrat P 7 M> ? 4 (M 4 2)> : M 4 4 memotong sumbu X di dua titik. titik Batas-batas nilai M yang memenuhi adalah ….” “Grafik Grafik P 7 M> ? 4 (M 4 2)> : M 4 4 memotong garis T 7 8 di dua titik. titik Batas-batas nilai M yang memenuhi adalah ….”

VWIX=Y==Z [\=]I=^ _`_abaca def akar real g`hg`df U i\ZjXk [\=]I=^ _`_lmlno sumbu X di def titik g`hg`dfq r C F 0 pI=Bk[ [\=]I=^ _`_lmlno garis di def titik g`hg`df

VWIX=Y==Z [\=]I=^ _`_abaca akar real c`_gfh (7 sfme) Ui\ZjXk [\=]I=^ _`ntanooeno sumbu X di sfme titik urC70 pI=Bk[ [\=]I=^ _`ntanooeno garis di sfme titik g`hg`df

VWIX=Y==Z [\=]I=^ madfc _`_abaca akar real Ui\ZjXk [\=]I=^ madfc _`_lmlno/madfc _`ntanooeno sumbu X q r C E 0 pI=Bk[ [\=]I=^ madfc _`_lmlno/madfc _`ntanooeno garis

Soal jebakan, bila hanya ada kata Persamaan kuadrat memiliki dua akar real tanpa tambahan kata berbeda atau kembar, berarti dua akar real tersebut pasti gabungan dari dua akar real berbeda dan kembar. Jadi C D 0.



Halaman 19

Soal yang sering ditanyakan PERSAMAAN KUADRAT.

Persamaan kuadrat memiliki dua akar berbeda.

Contoh: Jika persamaan kuadrat M> ? 4 (M 4 2)> : M 4 4 7 0 akan memiliki dua akar berbeda. berbeda Batas-batas nilai p yang memenuhi adalah …. Penyelesaian: Dari persamaan kuadrat M> ? 4 (M 4 2)> : M 4 4 7 0 diperoleh: = 7 M, @ 7 (M 4 2), dan A 7 (:M 4 4)

Persamaan kuadrat memiliki dua akar berbeda, maka diskriminan C harus memenuhi C F 0 CF0r @ ? : 4=A E 0 ? w (M 4 2) : 4(M)(:M 4 4) E 0 w M? 4 4M 4 4 4 4M? : 16M E 0 w 5M? : 12M 4 4 E 0 (5M : 2)(M : 2) E 8 w 2 w M E =^=\ M F 2 5 2 w YE 3 ?

Sehingga nilai m yang memenuhi adalah Y E {.

Persamaan kuadrat memiliki akar kembar.

Contoh: Jika diketahui sebuah persamaan kuadrat > ? 4 ([ : 3)> 4 4 7 0 memiliki dua akar kembar. kembar Maka nilai [ yang memenuhi adalah …. Penyelesaian: Dari persamaan kuadrat > ? 4 ([ : 3)> 4 4 7 0 diperoleh: = 7 1, @ 7 ([ : 3), ]=Z A 7 4

Persamaan kuadrat memiliki dua akar kembar, maka diskriminan C harus memenuhi C 7 0 C70r @ ? : 4=A 7 0 ? w ([ : 3) : 4(1)(4) 7 0 ([ : 3)? : 16 7 0 w w [ ? : 6[ 4 9 : 16 7 0 w [ ? : 6[ : 7 7 0 ([ 4 1)([ : 7) 7 0 w w [ 7 :1 atau [ 7 3

Sehingga persamaan kuadrat tersebut memiliki dua akar kembar untuk nilai [ 7 :1 atau [ 7 7.

Halaman 20



Persamaan kuadrat tidak memiliki akar real (akarnya imajiner) imajiner)

Contoh: } Persamaan kuadrat > ? 4 (M 4 2)> 4 ~M 4 7 0 tidak memiliki akar real untuk nilai M 7 …. ?

?

Penyelesaian: } Dari persamaan kuadrat > ? 4 (M 4 2)> 4 ~M 4 7 0 diperoleh: ? ? 1 7 = 7 , @ 7 (M 4 2), ]=Z A 7 M 4 2 2

Persamaan kuadrat memiliki akar imajiner maka diskriminan C harus memenuhi C E 0. CE0r @ ? : 4=A E 0 1 7 w (M 4 2)? : 4 M 4 E 0 2 2 w M? 4 4M 4 4 : 2M : 7 E 0 w M? 4 2M : 3 E 0 (M 4 3)(M : 1) E 0 w w M 7 :3 =^=\ M 7 1 (MWY@\=^ Z) Daerah penyelesaian pertidaksamaan tersebut pada garis bilangan:

4

:1

:

3

4

Jadi persamaan kuadrat akan memiliki akar-akar tidak real untuk nilai :1 E M E 3.



Halaman 21

FUNGSI KUADRAT

Fungsi kuadrat memotong sumbu X di dua titik berbeda (memotong). (memotong).

Contoh: Grafik P 7 M> ? 4 (M 4 2)> : M 4 4 memotong sumbu X di dua titik. titik Batas-batas nilai p yang memenuhi adalah …. Penyelesaian: Dari fungsi kuadrat P 7 M> ? 4 (M 4 2)> : M 4 4 diperoleh: = 7 M, @ 7 (M 4 2), ]=Z A 7 (:M 4 4)

Grafik fungsi kuadrat memotong sumbu X, maka diskriminan C harus memenuhi C F 0 CF0r @ ? : 4=A E 0 ? w (M 4 2) : 4(M)(:M 4 4) E 0 w M? 4 4M 4 4 4 4M? : 16M E 0 w 5M? : 12M 4 4 E 0 (5M : 2)(M : 2) E 8 w 2 w M E =^=\ M F 2 5 2 w YE 3 ?

Sehingga nilai m yang memenuhi adalah Y E {.

Fungsi kuadrat memotong satu titik di sumbu X (menyinggung). (menyinggung).

Contoh: Grafik fungsi kuadrat B(>) 7 > ? 4 ([ : 3)> 4 4 menyinggung sumbu X pada satu titik. titik Maka nilai [ yang memenuhi adalah …. Penyelesaian: Dari fungsi kuadrat B(>) 7 > ? 4 ([ : 3)> 4 4 diperoleh: = 7 1, @ 7 ([ : 3), ]=Z A 7 4

Persamaan kuadrat memiliki dua akar kembar, maka diskriminan C harus memenuhi C 7 0 C70r @ ? : 4=A 7 0 ? w ([ : 3) : 4(1)(4) 7 0 ([ : 3)? : 16 7 0 w ? w [ : 6[ 4 9 : 16 7 0 w [ ? : 6[ : 7 7 0 ([ 4 1)([ : 7) 7 0 w w [ 7 :1 atau [ 7 3

Sehingga fungsi kuadrat tersebut menyinggung sumbu X pada satu titik untuk nilai [ 7 :1 atau [ 7 7.

Halaman 22



Fungsi kuadrat tidak memotong maupun menyinggung sumbu X. (terpisah)

Contoh: } Fungsi kuadrat P 7 > ? 4 (M 4 2)> 4 ~M 4 tidak akan menyinggung dan tidak memotong sumbu X ? ? untuk nilai M 7 …. Penyelesaian: } Dari fungsi kuadrat P 7 > ? 4 (M 4 2)> 4 ~M 4 diperoleh: ? ? 1 7 = 7 , @ 7 (M 4 2), ]=Z A 7 M 4 2 2

Persamaan kuadrat memiliki akar imajiner maka diskriminan C harus memenuhi C E 0. 1 7 C E 0 r (M 4 2)? : 4 M 4 E 0 2 2 w M? 4 4M 4 4 : 2M : 7 E 0 w M? 4 2M : 3 E 0 (M 4 3)(M : 1) E 0 w w M 7 :3 =^=\ M 7 1 (MWY@\=^ Z) Daerah penyelesaian pertidaksamaan tersebut pada garis bilangan:

4

:1

:

3

4

Jadi fungsi kuadrat tidak akan menyinggung maupun memotong sumbu X untuk untuk nilai :1 E M E 3.



Halaman 23

Fungsi kuadrat memotong garis di dua titik (memotong) memotong).

Contoh: Grafik fungsi kuadrat B(>) 7 > ? 4 @> 4 4 memotong garis P 7 3> 4 4. Nilai b yang memenuhi adalah …. Penyelesaian: Substitusikan P 7 3> 4 4 dan P 7 > ? 4 @> 4 4 r > ? 4 @> 4 4 7 3> 4 4 ? w > 4 @> 4 4 : 3> : 4 7 0 w > ? 4 (@ : 3)> 7 0

Koefisien-koefisien persamaan kuadrat = 7 1, @ 7 (@ : 3), ]=Z A 7 0

Kurva memotong garis, maka diskriminan C harus memenuhi D F 0 C 7 0 r (@ : 3)? : 4(1)(0) F 0 (@ : 3)? : 0 F 0 w (@ : 3)? F 0 w w @:3F0 w @F3

Sehingga grafik fungsi kuadrat akan memotong garis untuk nilai b F 3.

atas,, hanya kalimatnya saja yang diganti! OK? Perhatikan, soal di bawah ini masih menggunakan soal di atas

Fungsi kuadrat memotong garis di satu titik (menyinggung). (menyinggung).

Contoh: Grafik fungsi kuadrat B(>) 7 > ? 4 @> 4 4 menyinggung garis P 7 3> 4 4. Nilai b yang memenuhi adalah …. Penyelesaian: Kurva menyinggung garis, maka diskriminan C harus memenuhi C 7 0 C 7 0 r (@ : 3)? : 4(1)(0) 7 0 (@ : 3)? : 0 7 0 w (@ : 3)? 7 0 w w @:370 w @73

Sehingga grafik fungsi kuadrat akan menyinggung garis untuk nilai @ 7 3.

Fungsi kuadrat tidak memotong atau tidak menyinggung garis (terpisah) terpisah).

Contoh: Grafik fungsi kuadrat B(>) 7 > ? 4 @> 4 4 tidak memotong dan tidak menyinggung garis P 7 3> 4 4. Nilai b yang memenuhi adalah …. Penyelesaian: Kurva terpisah garis, maka diskriminan C harus memenuhi C E 0 C 7 0 r (@ : 3)? : 4(1)(0) E 0 (@ : 3)? : 0 E 0 w (@ : 3)? E 0 w w @:3E0 w @E3

Sehingga grafik fungsi kuadrat tidak akan memotong dan tidak menyinggung garis untuk nilai @ E 3.

Halaman 24




1.

2.

Persamaan kuadrat x 2 + (m − 2) x + 2m − 4 = 0 mempunyai akar-akar real, maka batas nilai m yang Akar-akar real r C D 0 memenuhi adalah .... 4 : 4 A. m ≤ 2 atau m ≥ 10 @ ? : 4=A D 0 ? 2 10 B. m ≤ −10 atau m ≥ −2 r (Y : 2) : 4 . 1 . (2Y : 4) D 0 ? w Y : 12= 4 20 D 0 C. m < 2 atau m > 10 Jadi daerah penyelesaian: (Y : 2)(Y : 10) D 0 w Y 2 atau Y D 10 D. 2 < m < 10 VWY@\=^ Z E. − 10 < m ≤ −2 Y : 2 7 0 atau Y : 10 7 0 r

Y 7 2

Y 7 10

Persamaan kuadrat 2 x 2 − 2( p − 4) x + p = 0 mempunyai dua akar real berbeda. Batas-batas nilai p yang Akar-akar real berbeda r C F 0 memenuhi adalah .... 4 : 4 A. p ≤ 2 atau p ≥ 8 @ ? : 4=A D 0 2 8 ? r 2(M : 4) : 4 . 2 . M D 0 B. p < 2 atau p > 8 4M? : 40M 4 64 D 0 Jadi daerah penyelesaian: C. p < −8 atau p > −2 w w 4(M : 2)(M : 8) D 0 M E 2 atau M F 8 D. 2 ≤ p ≤ 8 VWY@\=^ Z E. − 8 ≤ p ≤ −2 M : 2 7 0 atau M : 8 7 0 r

M 7 2

M78




Halaman 25



Pak Anang


2. 4.

Menyelesaikan masalah seharisehari-hari yang berkaitan dengan sistem persamaan linear. Ingat lagi tentang konsep determinan matriks

Determinan Matriks 1 74 :

2 8 ;

0

1 3

2 0 5 14 6 23 4

3 9 7 5 18< = 29: = 34; 6 38: 6 19; 6 24< <

Untuk lebih detil tentang determinan matriks, lihat juga SMART SOLUTION untuk SKL tentang Matriks!

Sistem Persamaan Linear Dua Variabel (SPLDV) SPLDV) Bentuk Umum SPLDV 1C D = 2C E 5 FG 1H D = 2H E 5 FI

Penyelesaian SPLDV Nilai D

Kolom D diganti!

D5

Halaman 26

F KL J G J FI KM N KL J L J NM KM

Nilai E

Kolom E diganti!

E5

NL 0N M NL J NM

FG FI 0 KL J KM



Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel (SPLT SPLTV) Bentuk Umum SPLTV 1C D = 2C E = 3C P 5 QG 1H D = 2H E = 3H P 5 QI 1R D = 2R E = 3R P 5 QS

Penyelesaian SPLTV Nilai D

Kolom D diganti!

D5

QG 7QI QS NL 7NM NU

KL KM KU KL KM KU

TL TM 7 TU TL TM 7 TU

Nilai E

Nilai P

Kolom E diganti!

E5

NL 7NM NU NL 7NM NU

QG QI QS KL KM KU

TL TM 7 TU TL TM 7 TU

Kolom P diganti!

P5

NL KL QG 7NM KM QI 7 NU KU QS NL KL TL 7NM KM TM 7 NU KU TU

Keterangan: Pada prakteknya dalam pengerjaan soal SPL, metode determinan matriks ini hanya bisa digunakan apabila matriks SPL-nya adalah berbentuk persegi. Tekniknya, gunakan metode determinan untuk menentukan salah satu variabel pada SPLDV, lalu variabel yang lain bisa diperoleh menggunakan metode substitusi.

Kenapa kok harus menggunakan determinan matriks. Karena langkah ini lebih pasti dalam menyelesaikan soal tipe UN, tanpa harus berfikir keras mencari langkah tepat untuk metode eliminasi maupun substitusi. Namun, kalian tetap harus menguasai langkah eliminasi maupun substitusi supaya paham juga langkah dasarnya. Oke?

Penyelesaian SPLDV secara online bisa dilihat pada halaman berikut: http://pak-anang.blogspot.com/2012/11/simulasi-spldv-sistem-persamaan-linear.html?spref5pdf Penyelesaian SPLDV secara online bisa dilihat pada halaman berikut: http://pak-anang.blogspot.com/2012/11/simulasi-spltv-sistem-persamaan-linear.html?spref5pdf



Halaman 27

TRIK SUPERKILAT: Untuk mencari penyelesaian SPLDV, variabel variabel yang akan dicari harus diletakkan di pojok KIRI, lalu lihat koefisien variabel yang lain! lain! Lalu kali silang, kali silang. Selesai deh. Contoh Soal: Soal:

2D 6 3E 5 1\ Penyelesaian dari SPL Z adalah …. 3D = 5E 5 11

Penyelesaian TRIK SUPERKILAT: 2D 6 3E 5 1 3D = 5E 5 11

Karena yang paling pojok kiri variabel D, maka ini berarti kita akan mencari nilai dari variabel D. Lalu pilih salah satu koefisien dari variabel E. Bebas kok! Kita boleh memilih salah satu di antara 63atau 5. 2D 6 3E 5 1 3D = 5E 5 11

Oke, misalkan kita bersepakat untuk menggunakan acuan bilangan 63, ya? 2D 6 3E 5 1 3D = 5E 5 11

Siap? Perhatikan SPLDV tersebut yang saya beri kotak berwarna merah. Hitung selisih dari kali silang tersebut. Ingat acuan awal kita adalah bilangan 63! Hasilnya adalah: 63 dikalikan silang dengan 11, dikurangi dengan 1 dikalikan silang dengan 5. (63)(11) 6 (1)(5) 5 633 6 5 5 6S_ 2D 6 3E 5 1 3D = 5E 5 11

Oke, sekarang hitung selisih perkalian silang dari bagian yang berwarna biru tersebut. Masih ingat acuan awal kita tadi? Iya, bilangan 63 adalah acuan awal dalam menghitung selisih kali silang! Hasilnya adalah: 63 dikalikan silang dengan 3, dikurangi 2 dikalikan silang dengan 5. (63)(3) 6 (2)(5) 5 69 6 10 5 6Ga Jadi, nilai variabel D adalah pembagian dari hasil selisih kali silang pertama dan kedua. D5

6S_ 52 6Ga

Selesai!

Paham, kan? Kalau mencari nilai E, gimana dong? Gampang aja. Kalau ingin menerapkan langkah TRIK SUPERKILAT yang sama, maka syaratnya apa tadi? Ya! Betul! Variabel E harus dipindah ke pojok kiri!!!!!! Sehingga SPLDV akan berubah menjadi: 63E = 2D 5 1 5E = 3D 5 11

Lalu lakukan dengan langkah yang sama seperti saat mencari variabel D di atas. Oke?

Halaman 28



Contoh 1: Pak Ali bekerja selama 6 hari dengan 4 hari di antaranya lembur mendapat upah Rp74.000,00. Pak Bisri bekerja selama 5 hari dengan 2 hari di antaranya lembur mendapat upah Rp55.000,00. Pak Ali, Pak Bisri, dan Pak Catur bekerja dengan aturan upah yang sama. Jika Pak Catur bekerja 4 hari dengan terus menerus lembur, maka upah yang akan diperoleh adalah .... Penyelesaian: Misal: D 5 hari biasa E 5 hari lembur

Maka sistem persamaan linear dari soal tersebut adalah: 6D = 4E 5 ef. ggg 5D = 2E 5 hh. ggg Ditanyakan: 4D = 4E 5 ?

Penyelesaian SPL menggunakan determinan matriks.

ef. ggg 4 0 148.000 6 220.000 672.000 D 5 hh. ggg 2 5 5 5 9.000 6 4 12 6 20 68 0 0 5 2 0

6 0 E5 5

Jadi,

ef. ggg 0 hh. ggg 5 330.000 6 370.000 5 640.000 5 5.000 6 4 12 6 20 68 0 0 5 2

4D = 4E 5 4(9.000) = 4(5.000) 5 36.000 = 20.000 5 56.000

TRIK SUPERKILAT: Dengan acuan koefisien variabel E adalah 4, maka nilai variabel E diperoleh dengan cara: “(4 dikali silang dengan 55.000) dikurangi (2 dikali silang dengan 74.000)” dibagi dengan “(4 dikali silang dengan 5) dikurangi (6 dikali silang dengan 2)”



Halaman 29

Contoh 2: Avi, Via dan Iva pergi bersama-sama ke toko buah. Avi membeli 1 kg apel, 2 kg salak, dan 2 kg kelengkeng dengan harga Rp47.000,00. Via membeli 2 kg apel, 1 kg salak, dan 3 kg kelengkeng dengan harga Rp68.500,00. Iva membeli 3 kg apel, 2 kg salak, dan 1 kg kelengkeng dengan harga Rp63.000,00. Jika Vero membeli 1 kg apel dan 1 kg kelengkeng di toko tersebut, maka berapakah yang harus dibayarkan oleh Vero? Penyelesaian: Misal: D 5 buah apel E 5 buah salak P 5 buah kelengkeng

Maka sistem persamaan linear dari soal tersebut adalah: D = 2E = 2P 5 47.000 2D = E = 3D 5 68.500 3D = 2E = P 5 63.000

Penyelesaian SPL menggunakan determinan matriks. fe. ggg 7l_. hgg D 5 lS. ggg 1 2 72 1 3 2

2 2 1 37 2 1 2 37 1

1 fe. ggg 2 72 l_. hgg 37 E 5 3 lS. ggg 1 1 2 2 72 1 37 3 2 1

1 72 P5 3

2 1 2 1 72 3

fe. ggg l_. hgg7 lS. ggg 2 2 1 37 2 1

Contoh 3: Jumlah uang Artha dan Deby adalah Rp142.000,00. Selisih uang Yanti dan uang Artha Rp4.000,00. Dua kali uang Yanti sama dengan uang Deby ditambah Rp100.000,00. Jumlah uang Artha, Deby, dan Yanti adalah …. Penyelesaian: Misal: D 5 uang Artha E 5 uang Deby P 5 uang Yanti

Perhatikan dan baca soal dengan seksama. Buat model matematikanya, jangan lupa ubah menjadi bentuk matriks ya!

Jumlah uang Artha dan Deby adalah Rp142.000,00 m D = E 5 142.000 m n = o = gp 5 GfI. ggg

Selisih uang Yanti dan uang Artha Rp4.000 m P 6 D 5 4.000 m 6n = go = p 5 f. ggg

Dua kali uang Yanti sama dengan uang Deby ditambah Rp100.000,00 m 2P 5 E = 100.000 m gn 6 o = Ip 5 Ggg. ggg

Sehingga model matematika SPLTV dari soal tersebut adalah: D = E = 0P 5 47.000 6D = 0E = D 5 68.500 0D 6 E = 2P 5 63.000 Penyelesaian SPL menggunakan determinan matriks. GfI. ggg 1 60 f. ggg 0 17 Ggg. ggg 61 2 D5 1 1 60 761 0 17 0 61 2 7

1 GfI. ggg 60 761 f. ggg 17 0 Ggg. ggg 2 E5 1 1 60 761 0 17 0 61 2

Jadi nilai D = E = P pasti ketemu deh! Halaman 30

1 1 GfI. ggg 72 0 f. ggg7 3 61 Ggg. ggg P5 1 1 60 761 0 17 0 61 2



Pembahasan TRIK SUPERKILAT pada pada contoh soal yang serupa pada UN 2012 kemarin:

1.

2.

Umur pak Andi 28 tahun lebih tua dari umur Amira. Umur bu Andi 6 tahun lebih muda dari umur pak Andi. Jika jumlah umur pak Andi, bu Andi, dan Amira 119 tahun, maka jumlah umur Amira dan bu Andi adalah .... D 5 P = 28 r P 5 D 6 28 Jadi, D = E = P 5 119 A. 86 tahun Misal E 5 D 6 6 D 5 Pak Andi r 51 = E = P 5 119 B. 74 tahun D = E = P 5 119 E 5 Bu Andi m E = P 5 119 6 51 C. 68 tahun r D = (D 6 6) = (D 6 28) 5 119 P 5 Amira m E = P 5 68 D. 64 tahun m 3D 6 34 5 119 E. 58 tahun m 3D 5 153 m

D 5 51

Umur Deksa 4 tahun lebih tua dari umur elisa. Umur elisa 3 tahun lebih tua dari umur Firda. Jika jumlah umur Deksa, Elisa dan Firda 58 tahun, jumlah umur Deksa dan Firda adalah .... A. 52 tahun 4 58=4 Jadi, 4 = 8 = 9 5 58 B. 45 tahun Misal 8 5 9 = 3 r 9 5 8 6 3 4 5 Umur Deksa r 4 = 19 = 9 5 58 C. 42 tahun 4 = 8 = 9 5 58 8 5 Umur Elisa m 4 = 9 5 58 6 19 D. 39 tahun r (8 = 4) = 8 = (8 6 3) 5 58 9 5 Umur Firda m 4 = 9 5 39 E. 35 tahun m 38 = 1 5 58 m m

38 5 57 8 5 19




Halaman 31

Smart Solution

UJIAN NASIONAL TAHUN PELAJARAN 2012/2013 Disusun Sesuai Indikator Kisi-Kisi UN 2013

Matematika SMA (Program Studi IPA)

Disusun oleh :

Pak Anang


2. 5.

Menentukan persamaan lingkaran atau garis singgung lingkaran.

Persamaan Lingkaran Persamaan Lingkaran

Bentuk Umum

(𝑥 − 𝑎)2 + (𝑦 − 𝑏)2 = 𝑟 2

𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶 = 0

dibagi (−2)

Pusat

Jari-jari

Pusat

(𝑎, 𝑏)

𝑟

(− 2 𝐴, − 2 𝐵)

1

1

Jumlah kuadrat pusat dikurangi 𝐶

Jari-jari 1

2

1

2

𝑟 = √(− 2 𝐴) + (− 2 𝐵) − 𝐶

Halaman 32



Persamaan Garis Singgung (PGS) Lingkaran PGS Lingkaran di titik (𝑥1 , 𝑦1 ) pada lingkaran

PGS Lingkaran dengan gradien 𝑚

Pangkat dua menjadi perkalian dua faktor. Pangkat satu menjadi setengah penjumlahan.

Ingat pola persamaan garis lurus 𝒚 = 𝒎𝒙 + 𝒄 Lalu perhatikan gambar berikut!

𝑑𝑖𝑔𝑎𝑛𝑡𝑖

𝑥2

→

(𝑥 − 𝑎)2

→

𝑥

→

𝑥1 𝑥


(𝑥1 − 𝑎)(𝑥 − 𝑎)


1 (𝑥 2 1

+ 𝑥)

Karena ada dua PGS Lingkaran bergradien 𝒎, maka PGS tersebut adalah 𝒚 = 𝒎𝒙 ± 𝒄 dimana 𝒄 = 𝒓√𝟏 + 𝒎𝟐

PGS lingkaran di titik (𝑥1 , 𝑦1 ) pada lingkaran pusat di (0, 0) dan jari-jari 𝑟 𝑥1 𝑥 + 𝑦1 𝑦 = 𝑟 2

PGS lingkaran di titik (𝑥1 , 𝑦1 ) pada lingkaran pusat di (0, 0) dan jari-jari 𝑟 (𝑥1 − 𝑎)(𝑥 − 𝑎) + (𝑦1 − 𝑏)(𝑦 − 𝑏) = 𝑟 2

PGS lingkaran di titik (𝑥1 , 𝑦1 ) pada lingkaran dengan bentuk umum 𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶 = 0 𝐴

PGS dengan gradien 𝑚 dari lingkaran pusat (0, 0) dan jari-jari 𝑟 𝑦 = 𝑚𝑥 ± 𝑟√1 + 𝑚2

PGS dengan gradien 𝑚 dari lingkaran pusat (𝑎, 𝑏) dan jari-jari 𝑟 (𝑦 − 𝑏) = 𝑚(𝑥 − 𝑎) ± 𝑟√1 + 𝑚2

𝐵

𝑥1 𝑥 + 𝑦1 𝑦 + 2 (𝑥1 + 𝑥) + 2 (𝑦1 + 𝑦) + 𝐶 = 0

Catatan Tambahan: Ingat juga tentang konsep jarak titik (𝑥1 , 𝑦1 ) ke garis 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐 = 0: 𝑎𝑥1 + 𝑏𝑦1 + 𝑐 𝑑=| | √𝑎2 + 𝑏 2 TRIK SUPERKILAT: PGS lingkaran pusat (𝑥1 , 𝑦1 ) jari-jari 𝑟 yang sejajar dengan garis 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐 = 0: 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 = 𝑎𝑥1 + 𝑏𝑦1 ± 𝑟√𝑎2 + 𝑏 2 PGS lingkaran pusat (𝑥1 , 𝑦1 ) jari-jari 𝑟 yang tegak lurus dengan garis 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐 = 0: 𝑏𝑥 − 𝑎𝑦 = 𝑏𝑥1 − 𝑎𝑦1 ± 𝑟√𝑎2 + 𝑏 2 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)


Halaman 33

PGS Lingkaran di titik (𝑥1 , 𝑦1 ) yang berada di luar lingkaran (𝑎, 𝑏) (0, 0)

(𝑥1 , 𝑦1 )

Titik Singgung (𝑎, 𝑏) Diperoleh PGS + Persamaan Lingkaran (dalam variabel 𝑎, 𝑏). Substitusi titik (𝑥1 , 𝑦1 ) ke PGS, lalu substitusi PGS ke persamaan lingkaran Diperoleh dua titik Singgung (𝑎1 , 𝑏1 ) dan (𝑎2 , 𝑏2 ) Substitusikan ke PGS di langkah kedua Selesai

TRIK SUPERKILAT: Cari gradien PGS tersebut menggunakan rumus PGS dengan gradien tertentu. PGS akan diperoleh dengan mensubstitusi titik di luar lingkaran tersebut dan nilai gradien. Selesai.

Halaman 34



Contoh Soal: Tentukan persamaan garis singgung lingkaran di titik (5, 5) yang menyinggung lingkaran 𝑥 2 + 𝑦 2 = 10! Penyelesaian: PGS menyinggung titik tertentu di lingkaran. Misal titik singgung tersebut (𝒂, 𝒃). Artinya titik (𝑎, 𝑏)tersebut berada baik di PGS maupun lingkaran.

(𝑎, 𝑏) (0, 0)

(5, 5)

Sehingga, diperoleh PGS lingkaran dan persamaan lingkaran dalam variabel 𝒂 dan 𝒃. Perhatikan bahwa (𝑎, 𝑏) berada di lingkaran, maka: PGS lingkaran di titik (𝑎, 𝑏) adalah 𝒂𝒙 + 𝒃𝒚 = 𝟏𝟎 Persamaan lingkaran dengan pusat (0, 0) dan melewati titik (𝑎, 𝑏) adalah 𝒂𝟐 + 𝒃𝟐 = 𝟏𝟎 Karena PGS melewati (5, 5) maka bila kita substitusikan (𝟓, 𝟓) ke PGS akan diperoleh: 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 = 10 ⇔ 5𝑎 + 5𝑏 = 10 ⇔ 𝑎+𝑏 =2 ⇔ 𝒃=2−𝑎 Dari persamaan lingkaran 𝑎2 + 𝑏 2 = 10 dan 𝑏 = 2 − 𝑎, substitusikan 𝒃 = 𝟐 − 𝒂 ke persamaan lingkaran diperoleh: 𝑎2 + (2 − 𝑎)2 = 10 ⇔ 𝑎2 + (4 − 4𝑎 + 𝑎2 ) = 10 ⇔ 2𝑎2 − 4𝑎 + 4 = 10 2 ⇔ 2𝑎 − 4𝑎 + 4 − 10 = 0 ⇔ 2𝑎2 − 4𝑎 − 6 = 0 ⇔ 𝑎2 − 2𝑎 − 3 = 0 (𝑎 + 1)(𝑎 − 3) = 0 ⇔ ⇔ 𝑎 = −1 atau 𝑎 = 3 Dari 𝑎 = −1 atau 𝑎 = 3 akan diperoleh nilai 𝑏, yaitu: 𝑎 = −1 ⇔ 𝑏 = 2 − 𝑎 = 2 + 1 = 3 𝑎 = 3 ⇔ 𝑏 = 2 − 𝑎 = 2 − 3 = −1 Jadi dua titik singgung tersebut adalah (−𝟏, 𝟑) dan (𝟑, −𝟏). Sehingga PGS lingkaran pada titik (−𝟏, 𝟑) dan (𝟑, −𝟏) adalah: −𝑥 + 3𝑦 = 10 dan 3𝑥 − 𝑦 = 10. TRIK SUPERKILAT: Lingkaran 𝑥 2 + 𝑦 2 = 10 adalah lingkaran dengan titik pusat (0, 0) dan jari-jari 𝑟 = √10. Cari nilai gradien PGS tersebut dengan mensubstitusikan titik (5, 5) dan jari-jari √10 ke dalam rumus: 𝑦 = 𝑚𝑥 ± 𝑟√1 + 𝑚2 ⇒

5 = 𝑚(5) ± √10√1 + 𝑚2

⇔ 5 − 5𝑚 = ±√10√1 + 𝑚2 (kuadratkan kedua ruas) ⇔ 25 − 50𝑚 + 25𝑚2 = 10 + 10𝑚2 ⇔ 15𝑚2 − 50𝑚 + 15 = 0 ⇔ 3𝑚2 − 10𝑚 + 3 = 0 ⇔ (3𝑚 − 1)(𝑚 − 3) = 0 1 ∴ 𝑚 = atau 𝑚 = 3 3 1

Jadi, persamaan garis singgung melalui (5 ,5) dan gradien 𝑚 = 3 𝑦 − 𝑦1 = 𝑚(𝑥 − 𝑥1 ) 1 𝑦 − 5 = (𝑥 − 5) 3 −𝑥 + 3𝒚 = 10 Persamaan garis singgung melalui (5 ,5) dan gradien 𝑚 = 3 𝑦 − 𝑦1 = 𝑚(𝑥 − 𝑥1 ) 𝑦 − 5 = 3(𝑥 − 5) 𝟑𝒙 − 𝒚 = 10



Halaman 35

Tipe Soal Sering Muncul pada Bab Lingkaran: Menentukan pusat dan jari-jari lingkaran Perhatikan pola persamaan lingkaran yang ada pada soal! Contoh: 1.

Diberikan persamaan lingkaran 𝑥 2 + 𝑦 2 = 25, maka pusat dan jari-jari lingkaran adalah …. Penyelesaian: (𝑥 − 0)2 + (𝑦 − 0)2 = 25 𝑟 2 = 25 ⇒ 𝑟 = 5

Pusat di (0, 0) dan jari-jari 5. 2.

Diberikan persamaan lingkaran (𝑥 − 3)2 + (𝑦 − 4)2 = 25, maka pusat dan jari-jari lingkaran adalah …. Penyelesaian: (𝑥 − 3)2 + (𝑦 + 4)2 = 25 𝑟 2 = 25 ⇒ 𝑟 = 5

Pusat di (3, -4) dan jari-jari 5. 3.

Diberikan persamaan lingkaran 𝑥 2 + 𝑦 2 − 2𝑥 + 4𝑥 − 20 = 0, maka pusat dan jari-jari lingkaran adalah …. Penyelesaian: 𝑥 2 + 𝑦 2 − 2𝑥 + 4𝑥 − 20 = 0 1

−2

dibagi (-2)

Maka pusat (1, −2), dan jari-jari adalah 𝑟 = √(1)2 + (−2)2 − (−20)

Halaman 36



Menentukan persamaan lingkaran Seringkali tidak diketahui jari-jari lingkaran. Misal diketahui pusat lingkaran (𝑎, 𝑏) dan lingkaran menyinggung sumbu X, maka 𝑟 = |𝑏|. Misal diketahui pusat lingkaran (𝑎, 𝑏) dan lingkaran menyinggung sumbu Y, maka 𝑟 = |𝑎|. Seringkali juga jari-jari diperoleh dengan menggunakan rumus jarak titik ke garis. Bila diketahui pusat lingkaran dan garis singgung lingkaran, maka jari-jari lingkaran adalah jarak titik pusat ke garis singgung. Contoh: 1. Persamaan lingkaran dengan pusat (5, −1) dan jari-jari 3 adalah …. Penyelesaian: Persamaan lingkaran dengan pusat (𝑎, 𝑏) dengan jari-jari 𝑟: (𝑥 − 𝑎)2 + (𝑦 − 𝑏)2 = 𝑟 2 (𝑥 − 5)2 + (𝑦 + 1)2 = 9 atau diubah ke bentuk umum persamaan lingkaran: (𝑥 − 5)2 + (𝑦 + 1)2 = 9 ⇒ 𝑥 2 − 10𝑥 + 25 + 𝑦 2 + 2𝑦 + 1 − 9 = 0 ⇔ 𝑥 2 + 𝑦 2 − 10𝑥 + 2𝑦 + 17 = 0 2. Persamaan lingkaran dengan pusat di (3, 2) yang menyinggung sumbu X adalah …. Penyelesaian: (𝑥 − 3)2 + (𝑦 − 2)2 = 22 ⇒ 𝑥 2 + 𝑦 2 − 6𝑥 − 4𝑦 + 9 = 0 3. Persamaan lingkaran dengan pusat di (−1, 2) yang menyinggung sumbu Y adalah …. Penyelesaian: (𝑥 + 1)2 + (𝑦 − 2)2 = (−1)2 ⇒ 𝑥 2 + 𝑦 2 + 2𝑥 − 4𝑦 + 4 = 0 4. Persamaan lingkaran yang berpusat di (1, 4) dan menyinggung garis 3𝑥 − 4𝑦 − 2 = 0 adalah …. Penyelesaian: Pusat (𝑥1 , 𝑦1 ) = (1, 4) Garis 3𝑥 − 4𝑦 − 2 = 0, dengan 𝑎 = 3, 𝑏 = −4, dan 𝑐 = −2. Persamaan lingkaran dengan pusat (𝑥1 , 𝑦1 ) menyinggung garis 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐 = 0 adalah: (𝑥 − 𝑎)2 + (𝑦 − 𝑏)2 = [

𝑎𝑥1 +𝑏𝑦1 +𝑐 2 √𝑎2 +𝑏 2

]

3(1) − 4(4) − 2 (𝑥 − 1) + (𝑦 − 4) = [ ⇒ ] √32 + 42 ⇔ 𝑥 2 − 2𝑥 + 1 + 𝑦 2 − 8𝑦 + 16 = 9 ⇔ 𝑥 2 + 𝑦 2 − 2𝑥 − 8𝑦 + 8 = 0 2

2

2



Halaman 37

Menentukan persamaan garis singgung lingkaran pada titik yang terletak di lingkaran. Ingat konsep PGS dapat dilihat dari bentuk persamaan lingkarannya. Pangkat dua diubah menjadi perkalian dua faktor. Pangkat satu, diubah menjadi setengah penjumlahan. Contoh: 1.

Persamaan garis singgung lingkaran 𝑥 2 + 𝑦 2 = 25 di titik (4, −3) adalah …. Penyelesaian: 𝑥1 = 4 dan 𝑦1 = −3 Ingat, ganti 𝑥 2 menjadi 𝑥1 𝑥, dan 𝑥 menjadi (

𝑥1 +𝑥 2

).

𝑥 2 + 𝑦 2 = 25 ⇒ 𝑥1 𝑥 + 𝑦1 𝑦 = 25 Sehingga persamaan garis singgungnya adalah: 4𝑥 − 3𝑦 = 25 2.

Persamaan garis singgung lingkaran (𝑥 − 1)2 + (𝑦 − 4)2 = 25 di titik (−2, 0) adalah …. Penyelesaian: 𝑥1 = −2 dan 𝑦1 = 0 Ingat, ganti 𝑥 2 menjadi 𝑥1 𝑥, dan 𝑥 menjadi (

𝑥1 +𝑥 2

).

(𝑥 − 1)2 + (𝑦 − 4)2 = 25 ⇒ (𝑥1 − 1)(𝑥 − 1) + (𝑦1 − 4)(𝑦 − 4) = 25 Sehingga persamaan garis singgungnya adalah: (−2 − 1)(𝑥 − 1) + (0 − 4)(𝑦 − 4) = 25 (−3)(𝑥 − 1) + (−4)(𝑦 − 4) = 25 ⇒ ⇔ −3𝑥 − 4𝑦 − 6 = 0 3.

Persamaan garis singgung lingkaran 𝑥 2 + 𝑦 2 − 6𝑥 + 4𝑦 − 12 = 0 di titik (7, 1) adalah …. Penyelesaian: 𝑥1 = 7 dan 𝑦1 = 1 Ingat, ganti 𝑥 2 menjadi 𝑥1 𝑥, dan 𝑥 menjadi (

𝑥1 +𝑥 2

).

𝑥2 + 𝑦2 − 6

𝑥 +4 𝑦 − 12 = 0 𝑥1 + 𝑥2 𝑦1 + 𝑦 ⇒ 𝑥1 𝑥 + 𝑦1 𝑦 − 6 ( ) + 4( ) − 12 = 0 2 2 Sehingga persamaan garis singgungnya adalah: 7𝑥 + 𝑦 − 3(7 + 𝑥) + 2(1 + 𝑦) − 12 = 0 ⇒ 4𝑥 + 3𝑦 − 31 = 0

Halaman 38



Menentukan persamaan garis singgung lingkaran pada titik yang terletak di luar lingkaran. 1.

Persamaan garis singgung lingkaran 𝑥 2 + 𝑦 2 = 9 di titik (1, 3) adalah …. Penyelesaian: TRIK SUPERKILAT: Lingkaran pusat (0, 0) dan jari-jari 𝑟 = 3. Cek apakah titik (1, 3) berada di dalam atau di luar lingkaran (?). 𝑥 2 + 𝑦 2 = 9 ⇒ (1)2 + (3)2 = 10 > 9 (maka titik berada di luar lingkaran) Gunakan rumus berikut: 𝑦 = 𝑚𝑥 ± 𝑟√1 + 𝑚2 ⇒

3 = 𝑚(1) ± 3√1 + 𝑚2

⇔ 3 − 𝑚 = ±3√1 + 𝑚2 (kuadratkan kedua ruas) ⇔ 9 − 6𝑚 + 𝑚2 = 9 + 9𝑚2 ⇔ 8𝑚2 + 6𝑚 = 0 ⇔ 2𝑚(4𝑚 + 3) = 0 3 ∴ 𝑚 = 0 atau 𝑚 = − 4 Melalui (1 ,3) dan gradien 𝑚 = 0 𝑦 − 𝑦1 = 𝑚(𝑥 − 𝑥1 ) 𝑦 − 3 = 0(𝑥 − 1) 𝑦=3 3

Melalui (1 ,3) dan gradien 𝑚 = − 4 𝑦 − 𝑦1 = 𝑚(𝑥 − 𝑥1 ) 3 𝑦 − 3 = − (𝑥 − 1) 4 4𝑦 − 12 = −3𝑥 + 3 3𝑥 + 4𝑦 = 15



Halaman 39

Menentukan persamaan garis singgung lingkaran yang sejajar atau tegak lurus terhadap sebuah garis. 1. Persamaan garis singgung lingkaran (𝑥 − 3)2 + (𝑦 + 5)2 = 80 yang sejajar dengan garis 𝑦 − 2𝑥 + 5 = 0 adalah …. Penyelesaian: Trik Superkilat: Sesuaikan sejajar apa nggak? Masukkan substitusikan pusat

PGS lingkaran pusat (𝑥1 , 𝑦1 ) jari-jari 𝑟 yang sejajar dengan garis 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐 = 0: 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 = 𝑎𝑥1 + 𝑏𝑦1 ± 𝑟√𝑎2 + 𝑏 2

± Rumus substitusikan jari-jari dan koefisien Lingkaran pusat (3, −5) dan jari-jari 𝑟 = √80 PGS yang sejajar 𝑦 − 2𝑥 + 5 = 0 adalah 𝑦 − 2𝑥 juga!!! 𝑦 − 2𝑥 = (−5) − 2(3) ± √80 √12 + (−2)2 ⇒ 𝑦 − 2𝑥 = −11 ± 20 ⇔ 𝑦 = 2𝑥 − 11 ± 20 2. Salah satu persamaan garis singgung lingkaran 𝑥 2 + 𝑦 2 − 4𝑥 − 8𝑦 + 15 = 0 yang tegak lurus garis 𝑥 + 2𝑦 = 6 adalah …. Penyelesaian: Trik Superkilat: Lingkaran pusat (2, 4) jari-jari 𝑟 = √5 PGS yang sejajar 𝑥 + 2𝑦 = 6 adalah 𝑥 + 2𝑦 harus diubah menjadi 2𝑥 − 𝑦 !!! 2𝑥 − 𝑦 = 2(2) − (4) ± √5 √(2)2 + (1)2 ⇒ 2𝑥 − 𝑦 = 0 ± 5 ⇔ 2𝑥 − 𝑦 = 5 dan 2𝑥 − 𝑦 = −5

Halaman 40




1.

Lingkaran L   x  1   y  3  9 memotong garis y  3. Garis singgung lingkaran yang melalui titik potong antara lingkaran dan garis tersebut adalah .... PGS lingkaran A. x  2 dan x  4 Memotong garis 𝑦 = 3 2 2 (𝑥1 + 𝑎)(𝑥 + 𝑎) + (𝑦1 + 𝑏)(𝑦 + 𝑏) = 𝑟 2 B. x  2 dan x  2 𝑦 = 3 ⇒ (𝑥 + 1) + (3 − 3) = 9 2 (𝑥 + 1) = 9 ⇔ C. x  2 dan x  4 ⇔ 𝑥 + 1 = ±3 (−4, 3) ⇒ (−4 + 1)(𝑥 + 1) + 0 = 9 D. x  2 dan x  4 ⇔ −3𝑥 − 3 = 9 ⇔ 𝑥 + 1 = −3 atau 𝑥 + 1 = 3 E. x  8 dan x  10 ⇔ 𝑥 = −4 ⇔ 𝑥1 = −4 𝑥2 = 2 2

TRIK SUPERKILAT: Gunakan sketsa lingkaran

2

Jadi titik potongnya di (−4, 3) dan (2, 3)

(2, 3) ⇒ (2 + 1)(𝑥 + 1) + 0 = 9 ⇔ 3𝑥 + 3 = 9 ⇔ 𝑥=2

𝑦=3

𝑥 = −4

𝑥=2




Halaman 41

Smart Solution



Disusun oleh :

Pak Anang


2. 6.

Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan teorema sisa atau teorema faktor.

Polinomial (Suku Banyak)

𝑭(𝒙) = 𝒂𝒏 𝒙𝒏 + 𝒂𝒏−𝟏 𝒙𝒏−𝟏 + 𝒂𝒏−𝟐 𝒙𝒏−𝟐 + … + 𝒂𝟏 𝒙 + 𝒂𝟎

Nilai Suku Banyak Jika diketahui 𝐹(𝑥) = 2𝑥 3 − 5𝑥 2 + 𝑥 − 3 Tentukan nilai 𝐹(𝑥) untuk 𝑥 = 3 !

Cara Biasa

Cara Horner

“Substitusi 𝒙”

“Kalikan miring-miring”

𝐹(3) = 2(3)2 − 5(3)2 + (3) − 3 = 54 − 45 + 3 − 3 =9

𝑥=3

2 −5 −1 −3 −6 3 12 2

1

4

9

Jadi 𝐹(3) = 9

Pembagian Suku Banyak Tentukan hasil bagi dan sisa dari pembagian 2𝑥 3 − 5𝑥 2 + 𝑥 − 3 oleh 𝑥 − 3!

Cara Biasa

Cara Horner

“Porogapit”

“Kalikan miring-miring”

𝟐𝒙𝟐 + 𝒙𝟐 + 4𝑥 − 𝒙−𝟑

2𝑥 3 − 5𝑥 2 + 𝑥 − 3 − 2𝑥 3 − 6𝑥 2 − 𝑥2 + 𝑥 − 𝑥 2 − 3𝑥 −

𝒙−𝟑=𝟎 𝒙=𝟑

2 −5 −1 −3 −6 3 12 𝟐

𝟏

𝟒

hasil bagi 2𝑥 2 + 𝑥 + 4

𝟗 sisa 9

− 4𝑥 − 3 − − 4𝑥 − 12 − −

Halaman 42

− 𝟗−



3 2 7 6 1

Tips mengingat konsep pembagian suku banyak! Jika 7 dibagi 2, hasilnya 3, tapi masih sisa 1. Jadi 𝟕 = 𝟐 ∙ 𝟑 + 𝟏

Yang dibagi = pembagi × hasil bagi + sisa

𝑭(𝒙) = 𝑷(𝒙) ∙ 𝑯(𝒙) + 𝑺(𝒙)

Inti permasalahannya pembagian suku banyak adalah:

Gimana kalau pembaginya adalah nol? dan

Gimana kalau sisa pembagian adalah nol?

Suku Banyak Teorema Sisa

Teorema Faktor

𝐹 (𝑥 ) = 𝑷(𝒙) ∙ 𝐻 (𝑥 ) + 𝑆(𝑥 ) 𝐹 (𝑥 ) = (𝒙 − 𝒂) ∙ 𝐻 (𝑥 ) + 𝑆(𝑥 ) 𝐹 (𝒂) = 𝟎 ∙ 𝐻 (𝒂) + 𝑆(𝒂)

𝐹 (𝑥 ) = 𝑃(𝑥 ) ∙ 𝐻 (𝑥 ) + 𝑺(𝒙) 𝐹 (𝒌) = (𝑥 − 𝒌) ∙ 𝐻 (𝒌) + 𝑺(𝒌) 𝐹 (𝒌) = (𝑥 − 𝒌) ∙ 𝐻 (𝒌) + 𝟎

𝐹 (𝒂) = 𝑆(𝒂)

𝐹 (𝑥 ) = (𝑥 − 𝑘) ∙ 𝐻 (𝑥 )

Jika suku banyak di bagi (𝑥 − 𝑎) maka sisanya adalah 𝐹(𝑎)

(𝑥 − 𝑘) adalah faktor suku banyak jika dan hanya jika 𝐹(𝑘) = 0

Artinya:

Artinya:

Jika 𝐹(𝑥) dibagi oleh (𝑥 − 𝑎) maka sisanya adalah 𝐹(𝑎) 𝑏 Jika 𝐹(𝑥) dibagi oleh (𝑎𝑥 + 𝑏) maka sisanya adalah 𝐹 (− )

Jika (𝑥 − 𝑘) adalah faktor dari 𝐹(𝑥), maka 𝐹(𝑘) = 0 Jika 𝐹(𝑘) = 0, maka (𝑥 − 𝑘) merupakan faktor dari 𝐹(𝑥)

𝑎

Derajat sisa selalu satu kurangnya dari derajat pembagi 𝐹(𝑥) dibagi (𝑥 − 𝑎) sisanya 𝑝 𝐹(𝑥) dibagi (𝑥 − 𝑎)(𝑥 − 𝑏) sisanya 𝑝𝑥 + 𝑞



Halaman 43

TRIK SUPERKILAT Contoh Soal: Tentukan sisa pembagian suku banyak 𝑥 3 − 6𝑥 − 5 oleh 𝑥 2 − 2𝑥 − 3 ! Penyelesaian: Karena 𝑥 2 − 2𝑥 − 3 bisa difaktorkan menjadi (𝑥 + 1)(𝑥 − 3), maka sisa pembagian suku banyak bisa kita cari menggunakan konsep teorema sisa. Mari kita kerjakan: 𝑓(𝑥) dibagi (𝑥 + 1), artinya sisanya adalah 𝑓(−1) = 0 𝑓(𝑥) dibagi (𝑥 − 3), artinya sisanya adalah 𝑓(3) = 4 Susun dalam susunan seperti matriks.

|

−1 3

0 | 4

Maka sisa pembagiannya adalah: (𝒔𝒆𝒍𝒊𝒔𝒊𝒉 𝒌𝒐𝒍𝒐𝒎 𝒑𝒆𝒓𝒕𝒂𝒎𝒂)𝑆(𝑥) = (𝒔𝒆𝒍𝒊𝒔𝒊𝒉 𝒌𝒐𝒍𝒐𝒎 𝒌𝒆𝒅𝒖𝒂)𝑥 + (𝒅𝒆𝒕𝒆𝒓𝒎𝒊𝒏𝒂𝒏 𝒎𝒂𝒕𝒓𝒊𝒌𝒔) (0 − 4) 𝑆(𝑥) = 𝑥+ ((−1) − (3)) ((−4) − (0)) −4 𝑆(𝑥) =

−4𝑥 +

𝑆(𝑥) =

𝑥+

(−4) 1

Jadi sisa pembagian 𝑥 3 − 6𝑥 − 5 oleh 𝑥 2 − 2𝑥 − 3 adalah 𝑥 + 1. Penyelesaian TRIK SUPERKILAT dengan cara Horner Modifikasi: Perhatikan pembagi: 𝑥 2 − 2𝑥 − 3 = 0 ⇔ 𝑥 2 = 2𝑥 + 3 Maka hasil bagi dan sisa pembagian bisa diperoleh dengan memodifikasi cara Horner menjadi: 1 −0 −6 −5 3

3

2 𝟏

2

4

𝟐

𝟏

hasil bagi 𝑥+2

6 𝟏

sisa 𝑥+1

Jadi sisa pembagian 𝑥 3 − 6𝑥 − 5 oleh 𝑥 2 − 2𝑥 − 3 adalah 𝑥 + 1.

Halaman 44



Contoh Soal: Suku banyak 𝑓(𝑥) dibagi (𝑥 + 1) sisanya 10 dan jika dibagi (2𝑥 − 3) sisanya 5. Jika suku banyak 𝑓(𝑥) dibagi (2𝑥 2 − 𝑥 − 3), sisanya adalah …. Penyelesaian: Ingat jika pembaginya berderajat 2, maka sisanya adalah suku banyak berderajat 1. Jika suku banyak 𝑓(𝑥) dibagi (2𝑥 2 − 𝑥 − 3), sisanya adalah 𝑝𝑥 + 𝑞. Ingat sisa pembagian suku banyak oleh (𝑥 − 𝑎) adalah 𝑓(𝑎). 𝑏 Dan sisa pembagian suku banyak oleh (𝑎𝑥 + 𝑏) adalah 𝑓 (− 𝑎). Mari kita kerjakan: 𝑓(𝑥) dibagi (𝑥 + 1) sisa 10, artinya 𝑓(−1) = 10 3 𝑓(𝑥) dibagi (2𝑥 − 3) sisa 5, artinya 𝑓 (2) = 5 Susun dalam susunan seperti matriks.

|

−1 3 2

10 5|

Maka sisa pembagiannya adalah: (𝒔𝒆𝒍𝒊𝒔𝒊𝒉 𝒌𝒐𝒍𝒐𝒎 𝒑𝒆𝒓𝒕𝒂𝒎𝒂)𝑆(𝑥) = (𝒔𝒆𝒍𝒊𝒔𝒊𝒉 𝒌𝒐𝒍𝒐𝒎 𝒌𝒆𝒅𝒖𝒂)𝑥 + (𝒅𝒆𝒕𝒆𝒓𝒎𝒊𝒏𝒂𝒏 𝒎𝒂𝒕𝒓𝒊𝒌𝒔) 3 (10 − 5) 𝑆(𝑥) = 𝑥+ ((−1) − ( )) ((−5) − (15)) 2 5 − 𝑆(𝑥) = 2

5𝑥 +

𝑆(𝑥) =

−2𝑥 +

(−20) 8

Jadi sisa pembagian 𝑓(𝑥) dibagi (2𝑥 2 − 𝑥 − 3) adalah −2𝑥 + 8.

Contoh TRIK SUPERKILAT yang lain masih diketik… Selalu update di http://pak-anang.blogspot.com



Halaman 45


1.

Suku banyak berderajat 3, jika dibagi x 2  x  6 bersisa 5x  2, jika dibagi x 2  2 x  3 bersisa 3x  4. Suku banyak tersebut adalah .... Misal kita pilih satu fungsi saja, A. x 3  2 x 2  x  4 TRIK SUPERKILAT: (𝑥 (5𝑥 𝑓(𝑥) dibagi + 2)(𝑥 − 3) bersisa − 2) 𝑓(−1) = 1 B. x 3  2 x 2  x  4 Artinya: 𝑓(−2) = 5(−2) − 2 = −12 Jadi, pilih diantara jawaban dimana jika disubstitusikan 𝑥 = −1 maka 𝑓(3) = 5(3) − 2 = 13 C. x 3  2 x 2  x  4 3 2 𝑓(𝑥) dibagi (𝑥 + 1)(𝑥 − 3) bersisa (3𝑥 + 4) hasilnya adalah 1. D. x  2 x  4 Dan ternyata hanya dipenuhi oleh Artinya: 𝑓(−1) = 3(−1) + 4 = 1 E. x 3  2 x 2  4 jawaban D saja. 𝑓(3) = 3(3) + 4 = 13



2.

Suku banyak berderajat 3, jika dibagi x 2  2 x  3 bersisa 3x  4, jika dibagi x 2  x  2 bersisa 2 x  3. Suku banyak tersebut adalah .... Misal kita pilih satu fungsi saja, A. x 3  x 2  2 x  1 TRIK SUPERKILAT: 3 2 (𝑥 (3𝑥 𝑓(𝑥) dibagi + 3)(𝑥 − 1) bersisa − 4) 𝑓(1) = −1 B. x  x  2 x  1 Artinya: 𝑓(−3) = 3(−3) − 4 = −13 Jadi, pilih diantara jawaban dimana 3 2 C. x  x  2 x  1 jika disubstitusikan 𝑥 = 1 maka 𝑓(1) = 3(1) − 4 = −1 3 2 D. x  2 x  x  1 𝑓(𝑥) dibagi (𝑥 + 1)(𝑥 − 2) bersisa (2𝑥 + 3) hasilnya adalah −1. 3 2 E. x  2 x  x  1 Artinya: 𝑓(−1) = 2(−1) + 3 = 1 Dan ternyata hanya dipenuhi oleh 𝑓(3) = 2(3) + 3 = 9

3.

jawaban B saja. 

Suatu suku banyak berderajat 3 jika dibagi x 2  3x  2 bersisa 4x  6 dan jika dibagi x 2  x  6 bersisa 8x  10 Suku banyak tersebut adalah .... TRIK SUPERKILAT: Misal kita pilih satu fungsi saja, A. x 3  2 x 2  3x  4 𝑓(𝑥) dibagi (𝑥 − 1)(𝑥 − 2) bersisa (4𝑥 − 6) 𝑓(1) = −2 B. x 3  3x 2  2 x  4 Artinya: 𝑓(1) = 4(1) − 6 = −2 Jadi, pilih diantara jawaban dimana C. x 3  2 x 2  3x  7 jika disubstitusikan 𝑥 = 1 maka 3 2 𝑓(2) = 4(2) − 6 = 2 D. 2 x  2 x  8x  7 (𝑥 (8𝑥 − 10) hasilnya adalah −2. E. 2 x 3  4 x 2  10x  9 𝑓(𝑥) dibagi + 2)(𝑥 − 3) bersisa Dan ternyata hanya dipenuhi oleh Artinya: 𝑓(−2) = 8(−2) − 10 = −26 𝑓(3) = 8(3) − 10 = 14

jawaban A saja. 


Halaman 46



Smart Solution



Disusun oleh :

Pak Anang


2. 7.

Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan komposisi dua fungsi atau fungsi invers.

Fungsi Komposisi Definisi 𝑓

Sifat Tidak Komutatif (𝑓 ∘ 𝑔)(𝑥) ≠ (𝑔 ∘ 𝑓)(𝑥)

𝑔

𝑥

𝑔(𝑓(𝑥)) = (𝑔 ∘ 𝑓)(𝑥)

𝑓(𝑥)

Assosiatif (𝑔 (𝑓 ∘ ∘ ℎ))(𝑥) = ((𝑓 ∘ 𝑔) ∘ ℎ)(𝑥)

𝑔∘𝑓

Identitas (𝑓 ∘ 𝐼)(𝑥) = (𝐼 ∘ 𝑓)(𝑥)

(𝑔 ∘ 𝑓)(𝑥) = 𝑔(𝑓(𝑥)) (𝑓 ∘ 𝑔)(𝑥) = 𝑓(𝑔(𝑥))

Fungsi Invers Definisi

Sifat

𝑓

“Identitas” (𝑓 ∘ 𝑓 −1 ) = (𝑓 −1 ∘ 𝑓) = 𝐼

𝑥 = 𝑓 −1 (𝑥)

𝑦 = 𝑓(𝑥)

𝑓 −1

“Invers Komposisi itu Dibalik” (𝑓 ∘ 𝑔)−1 = (𝑔−1 ∘ 𝑓 −1 ) (𝑔 ∘ 𝑓)−1 = (𝑓 −1 ∘ 𝑔−1 )

Grafik fungsi 𝑓(𝑥) dan 𝑓 simetris terhadap garis 𝑦 = 𝑥

“Penyusun Komposisi” (𝑓 ∘ 𝑔) = ℎ ⇒ 𝑓 = (ℎ ∘ 𝑔−1 ) (𝑓 ∘ 𝑔) = ℎ ⇒ 𝑔 = (𝑓 −1 ∘ ℎ)

TRIK SUPERKILAT

TRIK SUPERKILAT

“Balik Operasi, Balik Urutan”

“Hilangkan Yang Lain”

−1 (𝑥)

+ × 𝑎2 𝑎 log 𝑥

↔ ↔ ↔ ↔

− ÷ √𝑎 𝑎𝑥

(𝑓 ∘ 𝑔) = ℎ ⇒𝑓∘⏟ 𝑔 ∘ 𝒈−𝟏 = ℎ ∘ 𝒈−𝟏 𝑖𝑑𝑒𝑛𝑡𝑖𝑡𝑎𝑠

𝑓 = ℎ ∘ 𝑔−1

⇒

“Gambarkan” 𝑔

𝑓 ℎ

𝑓

=

𝑔−1 ℎ



Halaman 47

Tipe Soal yang Sering Muncul Menyusun komposisi fungsi Contoh Soal 1: Diketahui 𝑓(𝑥) = 2𝑥 − 1 dan 𝑔(𝑥) = 𝑥 2 − 5𝑥 + 2. Tentukan (𝑓 ∘ 𝑔)(𝑥) = ? Penyelesaian: (𝑓 ∘ 𝑔)(𝑥) = 𝑓(𝑔(𝑥)) = 𝑓(𝑥 2 − 5𝑥 + 2) = 2(𝑥 2 − 5𝑥 + 2) − 1 = 2𝑥 2 − 10𝑥 + 4 − 1 = 2𝑥 2 − 10𝑥 + 3 Contoh Soal 2: Diketahui 𝑓(𝑥) = 2𝑥 − 1 dan 𝑔(𝑥) = 𝑥 2 − 5𝑥 + 2. Tentukan (𝑔 ∘ 𝑓)(𝑥) = ? Penyelesaian: (𝑔 ∘ 𝑓)(𝑥) = 𝑔(𝑓(𝑥)) = 𝑔(2𝑥 − 1) = (2𝑥 − 1)2 − 5(2𝑥 − 1) + 2 = 4𝑥 2 − 4𝑥 + 1 − 10𝑥 + 5 + 2 = 4𝑥 2 − 14𝑥 + 3

Menentukan nilai komposisi fungsi Contoh Soal 1: Diketahui 𝑓(𝑥) = 2𝑥 − 1 dan 𝑔(𝑥) = 𝑥 2 − 5𝑥 + 2. Tentukan (𝑓 ∘ 𝑔)(5) = ? Penyelesaian: (𝑓 ∘ 𝑔)(𝑥) = 𝑓(𝑔(𝑥)) = 𝑓(𝑥 2 − 5𝑥 + 2) = 2(𝑥 2 − 5𝑥 + 2) − 1 = 2𝑥 2 − 10𝑥 + 4 − 1 = 2𝑥 2 − 10𝑥 + 3 Jadi, (𝑓 ∘ 𝑔)(5) = 2(5)2 − 10(5) + 3 = 50 − 50 + 3 = 3 Penyelesaian TRIK SUPERKILAT: Karena 𝑔(5) = 2, maka: 𝑓(𝑔(5)) = 𝑓(2) = 3 Contoh Soal 2: Diketahui 𝑓(𝑥) = 2𝑥 − 1 dan 𝑔(𝑥) = 𝑥 2 − 5𝑥 + 2. Tentukan (𝑔 ∘ 𝑓)(−1) = ? Penyelesaian: (𝑔 ∘ 𝑓)(𝑥) = 𝑔(𝑓(𝑥)) = 𝑔(2𝑥 − 1) = (2𝑥 − 1)2 − 5(2𝑥 − 1) + 2 = 4𝑥 2 − 4𝑥 + 1 − 10𝑥 + 5 + 2 = 4𝑥 2 − 14𝑥 + 8 Jadi, (𝑔 ∘ 𝑓)(−1) = 4(−1)2 − 14(−1) + 8 = 4 + 14 + 8 = 26 Penyelesaian TRIK SUPERKILAT: Karena 𝑓(−1) = −3, maka: 𝑔(𝑓(−1)) = 𝑔(−3) = 26

Halaman 48



Menentukan fungsi pembentuk komposisi Contoh Soal 1: Diketahui (𝑓 ∘ 𝑔)(𝑥) = 3𝑥 + 2 dan 𝑓(𝑥) = 3𝑥 − 1, maka 𝑔(𝑥) = ? Penyelesaian: (𝑓 ∘ 𝑔)(𝑥) = 3𝑥 + 2 𝑓(𝑔(𝑥)) = 3𝑥 + 2 3𝑔(𝑥) − 1 = 3𝑥 + 2 3𝑔(𝑥) = 3𝑥 + 2 + 1 3𝑔(𝑥) = 3𝑥 + 3 3𝑥 + 3 𝑔(𝑥) = 3 𝑔(𝑥) = 𝑥 + 1 Penyelesaian TRIK SUPERKILAT: Karena 𝑓 ∘ 𝑔 = ℎ, maka 𝑔 = 𝑓 −1 ∘ ℎ. Jadi 𝑔(𝑥) = 𝑓 −1 (ℎ(𝑥)), artinya substitusikan fungsi komposisi ℎ ke fungsi 𝑓 −1 . Invers akan dibahas nanti. Contoh Soal 2: Diketahui (𝑓 ∘ 𝑔)(𝑥) = 3𝑥 + 2 dan 𝑔(𝑥) = 𝑥 + 1, maka 𝑓(𝑥) = ? Penyelesaian: (𝑓 ∘ 𝑔)(𝑥) = 3𝑥 + 2 𝑓(𝑔(𝑥)) = 3𝑥 + 2 𝑓(𝑥 + 1) = 3𝑥 ⏟+2 𝑚𝑢𝑛𝑐𝑢𝑙𝑘𝑎𝑛 𝑏𝑒𝑛𝑡𝑢𝑘 (𝑥+1)

𝑓(𝑥 + 1) = 3(𝑥 + 1) − 1 𝑓(𝑥) = 3𝑥 − 1 Penyelesaian TRIK SUPERKILAT: Karena 𝑓 ∘ 𝑔 = ℎ, maka 𝑓 = ℎ ∘ 𝑔−1. Jadi 𝑓(𝑥) = ℎ(𝑔−1 (𝑥)), artinya substitusikan fungsi 𝑔−1 ke fungsi komposisi ℎ. Invers akan dibahas nanti. Contoh Soal 3: Diketahui (𝑓 ∘ 𝑔)(𝑥) = 2𝑥 2 − 10𝑥 + 3 dan 𝑓(𝑥) = 2𝑥 − 1, maka 𝑔(𝑥) = ? Penyelesaian: (𝑓 ∘ 𝑔)(𝑥) = 2𝑥 2 − 10𝑥 + 3 𝑓(𝑔(𝑥)) = 2𝑥 2 − 10𝑥 + 3 2𝑔(𝑥) − 1 = 2𝑥 2 − 10𝑥 + 3 2𝑔(𝑥) = 2𝑥 2 − 10𝑥 + 4 2𝑥 2 − 10𝑥 + 3 3𝑔(𝑥) = 2 𝑔(𝑥) = 𝑥 2 − 5𝑥 + 2 Penyelesaian TRIK SUPERKILAT: Karena 𝑓 ∘ 𝑔 = ℎ, maka 𝑔 = 𝑓 −1 ∘ ℎ. Jadi 𝑔(𝑥) = 𝑓 −1 (ℎ(𝑥)), artinya substitusikan fungsi komposisi ℎ ke fungsi 𝑓 −1 . Invers akan dibahas nanti.



Halaman 49

Contoh Soal 4: Diketahui (𝑓 ∘ 𝑔)(𝑥) = 2𝑥 2 − 10𝑥 + 3 dan 𝑔(𝑥) = 𝑥 2 − 5𝑥 + 2, maka 𝑓(𝑥) = ? Penyelesaian: (𝑓 ∘ 𝑔)(𝑥) = 2𝑥 2 − 10𝑥 + 3 𝑓(𝑔(𝑥)) = 2𝑥 2 − 10𝑥 + 3 2 𝑓(𝑥 − 5𝑥 + 2) = ⏟ 2𝑥 2 − 10𝑥 + 3 𝑚𝑢𝑛𝑐𝑢𝑙𝑘𝑎𝑛 𝑏𝑒𝑛𝑡𝑢𝑘 (𝑥 2 −5𝑥+2) 2

𝑓(𝑥 2 − 5𝑥 + 2) = 2(𝑥 − 5𝑥 + 2) − 1 𝑓(𝑥) = 2𝑥 − 1 Penyelesaian TRIK SUPERKILAT: Karena 𝑓 ∘ 𝑔 = ℎ, maka 𝑓 = ℎ ∘ 𝑔−1. Jadi 𝑓(𝑥) = ℎ(𝑔−1 (𝑥)), artinya substitusikan fungsi 𝑔−1 ke fungsi komposisi ℎ. Invers akan dibahas nanti. Contoh Soal 5: Diketahui (𝑔 ∘ 𝑓)(x) = 4𝑥 2 − 14𝑥 + 8 dan 𝑓(𝑥) = 2𝑥 − 1, maka 𝑔(𝑥) = ? Penyelesaian: (𝑔 ∘ 𝑓)(𝑥) = 4𝑥 2 − 14𝑥 + 8 𝑔(𝑓(𝑥)) = 4𝑥 2 − 14𝑥 + 8 𝑔(2𝑥 − 1) = ⏟ 𝟒𝒙𝟐 − 14𝑥 + 8 𝑚𝑢𝑛𝑐𝑢𝑙𝑘𝑎𝑛 𝑏𝑒𝑛𝑡𝑢𝑘 (2𝑥−1) 𝟐 (𝟐𝒙

𝑘𝑎𝑟𝑒𝑛𝑎 (2𝑥 − 1)2 = 4𝑥 2 − 4𝑥 + 1, 𝑚𝑎𝑘𝑎 4𝑥 2 = (2𝑥 − 1)2 + 4𝑥 − 1) 𝑘𝑎𝑟𝑒𝑛𝑎 − 5(2𝑥 − 1) = −10𝑥 + 5, 𝑚𝑎𝑘𝑎 − 10𝑥 = −5(2𝑥 − 1) − 5

𝑔(2𝑥 − 1) = − 𝟏) + 𝟒𝒙 − 𝟏 − 14𝑥 + 8 (2𝑥 𝑔(2𝑥 − 1) = − 1)2 − 𝟏𝟎𝒙 + 7 𝑔(2𝑥 − 1) = (2𝑥 − 1)2 − 𝟓(𝟐𝒙 − 𝟏) − 𝟓 + 7 𝑔(2𝑥 − 1) = (2𝑥 − 1)2 − 5(2𝑥 − 1) + 2 𝑔(𝑥) = 𝑥 2 − 5𝑥 + 2 Penyelesaian TRIK SUPERKILAT: Karena 𝑔 ∘ 𝑓 = ℎ, maka 𝑔 = ℎ ∘ 𝑓 −1. Jadi 𝑔(𝑥) = ℎ(𝑓 −1 (𝑥)), artinya substitusikan fungsi 𝑓 −1 ke fungsi komposisi ℎ. Invers akan dibahas nanti.

Halaman 50



Menentukan Invers Fungsi Contoh Soal 1: Jika 𝑓(𝑥) = 2𝑥 − 1, tentukan 𝑓 −1 (𝑥)! Penyelesaian: 𝑓(𝑥) = 2𝑥 − 1 𝑦 = 2𝑥 − 1 2𝑥 = 𝑦 + 1 𝑦+1 𝑥= 2 𝑥+1 −1 (𝑥) 𝑓 = 2 Penyelesaian TRIK SUPERKILAT: Perhatikan 𝑦 = 2𝑥 − 1, Urutan operasi yang dilakukan terhadap 𝑥 adalah: 1. Dikalikan 2 2. Dikurangi 1 Maka operasi invers adalah BALIK OPERASI DAN BALIK URUTAN: 1. Ditambah 1 2. Dibagi 2 Sehingga: 𝑓 −1 (𝑥) =

𝑥+1 2

Contoh Soal 2: Jika 𝑔(𝑥) = 𝑥 2 − 4𝑥 + 3, tentukan 𝑔−1 (𝑥)! Penyelesaian: 𝑔(𝑥) = 𝑥 2 − 4𝑥 + 3 𝑦 = 𝑥 2 − 4𝑥 + 3 𝑦 = 𝑥 2 − 4𝑥 + 4 − 1 𝑦 = (𝑥 − 2)2 − 1 (𝑥 − 2)2 = 𝑦 + 1 𝑥 − 2 = √𝑦 + 1 𝑥 = √𝑦 + 1 + 2 𝑓 −1 (𝑥) = √𝑥 + 1 + 2 Penyelesaian TRIK SUPERKILAT: 𝑔(𝑥) = 𝑥 2 − 4𝑥 + 3 ubah dulu menggunakan metode melengkapkan kuadrat sempurna, sehingga menjadi 𝑔(𝑥) = (𝑥 − 2)2 − 1. Urutan operasi yang dilakukan terhadap 𝑥 adalah: 1. Dikurangi 2 2. Dikuadratkan 3. Dikurangi 1 Maka operasi invers adalah BALIK OPERASI DAN BALIK URUTAN: 1. Ditambah 1 2. Diakar kuadrat 3. Ditambah 2 Sehingga: 𝑓 −1 (𝑥) = √𝑥 + 1 + 2



Halaman 51

Contoh Soal 3: 3𝑥 + 5 𝑓(𝑥) = 2𝑥 + 1 Tentukan 𝑓 −1 (𝑥)! Penyelesaian:

3𝑥 + 5 2𝑥 + 4 3𝑥 + 5 𝑦= 2𝑥 + 4 𝑦(2𝑥 + 4) = 3𝑥 + 5 2𝑥𝑦 + 4𝑦 = 3𝑥 + 5 2𝑥𝑦 − 3𝑥 = −4𝑦 + 5 𝑥(2𝑦 − 3) = −4𝑦 + 5 −4𝑦 + 5 𝑥= 2𝑦 − 3 −4𝑥 + 5 𝑓 −1 (𝑥) = 2𝑥 − 3 𝑓(𝑥) =

Penyelesaian TRIK SUPERKILAT: 𝑎𝑥 + 𝑏 −𝑑𝑥 + 𝑏 𝑓(𝑥) = ⇒ 𝑓 −1 (𝑥) = 𝑐𝑥 + 𝑑 𝑐𝑥 − 𝑎 Tukarkan dan ubah tanda diagonal utama. 𝑓(𝑥) =

Halaman 52

3𝑥 + 5 −4𝑥 + 5 ⇒ 𝑓 −1 (𝑥) = 2𝑥 + 4 2𝑥 − 3




1.

Diketahui fungsi f ( x)  3x  1 dan g ( x)  2 x 2  3. Komposisi fungsi ( g  f )(x)  .... A. 9 x 2  3x  1 (𝑔 ∘ 𝑓)(𝑥) = 𝑔(𝑓(𝑥)) TRIK SUPERKILAT: B. 9 x 2  6 x  3 (𝑔 ∘ 𝑓)(𝑥) artinya substitusikan 𝑓(𝑥) ke 𝑔(𝑥). = 𝑔(3𝑥 − 1) Coba ah iseng saya substitusikan 𝑥 = 0 ke 𝑓(𝑥), 2 C. 9 x 2  6 x  6 = 2(3𝑥 − 1) − 3 ternyata hasilnya 𝑓(𝑥) = −1. 2 2 = 2(9𝑥 − 6𝑥 + 1) − 3 D. 18x  12x  2 Iseng lagi ah, saya substitusikan 𝑥 = −1 ke 𝑔(𝑥), 2 = 18𝑥 − 12𝑥 + 2 − 3 E. 18x 2  12x  1 Ternyata hasilnya 𝑔(−1) = −1. 2 = 18𝑥 − 12𝑥 − 1

2.

Lalu saya substitusikan 0 ke semua pilihan jawaban. Mana yang hasilnya −1? Ternyata jawaban E saja!

Diketahui fungsi f ( x)  2 x  3 dan g ( x)  x 2  2 x  3. Komposisi fungsi ( g  f )(x)  .... TRIK SUPERKILAT: A. 2 x 2  4 x  9 (𝑔 ∘ 𝑓)(𝑥) = 𝑔(𝑓(𝑥)) (𝑔 ∘ 𝑓)(𝑥) artinya substitusikan 𝑓(𝑥) ke 𝑔(𝑥). 2 = 𝑔(2𝑥 − 3) B. 2 x  4 x  3 Coba ah iseng saya substitusikan 𝑥 = 1 ke 𝑓(𝑥), 2 (2𝑥 = − 3) + 2(2𝑥 − 3) − 3 ternyata hasilnya 𝑓(1) = −1. C. 4 x 2  6 x  18 = (4𝑥 2 − 12𝑥 + 9) + (4𝑥 − 6) − 3 Iseng lagi ah, saya substitusikan 𝑥 = −1 ke 𝑔(𝑥), 2 D. 4 x  8 x = 4𝑥 2 − 8𝑥 ternyata hasilnya 𝑔(−1) = −4. Lalu saya substitusikan 1 ke semua pilihan E. 4 x 2  8 x

jawaban. Mana yang hasilnya −4? Ternyata hanya dipenuhi oleh jawaban E saja!

3.

Diketahui fungsi f ( x)  2 x  1 dan g ( x)  x 2  4 x. Komposisi fungsi ( f  g )(x)  .... TRIK SUPERKILAT: A. 2 x 2  8x  2 (𝑓 ∘ 𝑔)(𝑥) = 𝑓(𝑔(𝑥)) (𝑓 ∘ 𝑔)(𝑥) artinya substitusikan 𝑔(𝑥) ke 𝑓(𝑥). 2 2 = 𝑓(𝑥 − 4𝑥) B. 2 x  8 x  2 Coba ah iseng saya substitusikan 𝑥 = 0 ke 𝑔(𝑥), 2 = 2(𝑥 − 4𝑥) + 1 ternyata hasilnya 𝑔(0) = 0. C. 2 x 2  8 x  1 = 2𝑥 2 − 8𝑥 + 1 Iseng lagi ah, saya substitusikan 𝑥 = 0 ke 𝑓(𝑥), 2 D. 2 x  8 x  2 ternyata hasilnya 𝑓(0) = 1. Lalu saya substitusikan 0 ke semua pilihan E. 2 x 2  8 x  1

jawaban. Mana yang hasilnya 1? Ternyata hanya dipenuhi oleh jawaban C saja!




Halaman 53

Smart Solution



Disusun oleh :

Pak Anang


2. 8.

Menyelesaikan masalah program linear.

Program Linear Definisi

Langkah Penyelesaian

Sebuah metode yang digunakan untuk memecahkan masalah yang berkaitan dengan optimasi linear (nilai optimum)

Konsep yang dibutuhkan

Pertidaksamaan Linear Dua Variabel 𝑦

𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 ≥ 𝑎𝑏

𝑥

𝒃

Sistem Pertidaksamaan Linear Dua Variabel 𝑦

𝒂

𝒃

Contoh Soal Program Linear dan Penyelesaiannya

Banyak kendaraan Luas kendaraan Biaya Parkir

Sedan (𝑥) 1 5 2.000

Bus (𝑦) 1 15 5.000

Total 300 3750

Fungsi kendalanya: 𝑥 + 𝑦 ≤ 300 𝑥 + 3𝑦 ≤ 750, bentuk sederhana 5𝑥 + 15𝑦 ≤ 3750 𝑥 ≥ 0, jumlah sedan tidak mungkin negatif 𝑦 ≥ 0, jumlah bus tidak mungkin negatif { 𝑥, 𝑦 elemen bilangan cacah.

𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 ≤ 𝑎𝑏 𝑝𝑥 + 𝑞𝑦 ≤ 𝑝𝑞 𝑥≥0 𝑦≥0

𝒑 O

Buat model matematika. Lukis grafik model matematika. Tentukan daerah penyelesaian. Cari titik pojok daerah penyelesaian. Substitusi titik pojok ke fungsi objektif. Pilih nilai optimum.

Sebuah area parkir dengan luas 3.750 m2, dan maksimal hanya dapat ditempati 300 kendaraan yang terdiri atas sedan dan bus. Jika luas sebuah sedan 5 m2 dan bus 15 m2, biaya parkir sebuah sedan dan sebuah bus adalah Rp2.000 dan Rp5.000, maka berapa jumlah sedan dan bus yang parkir supaya pendapatan parkirnya menjadi maksimal!

𝒂 O

1. 2. 3. 4. 5. 6.

𝑥

𝒒

Fungsi Objektif: 𝑓(𝑥, 𝑦) = 2.000𝑥 + 3.000𝑦 Daerah penyelesaian sistem pertidaksamaan: 𝑦

Model Matematika

𝟑𝟎𝟎

Sebuah area parkir dengan luas 3.750 m2, dan maksimal hanya dapat ditempati 300 kendaraan yang terdiri atas sedan dan bus. Jika luas sebuah sedan 5 m2 dan bus 15 m2, maka tentukanlah model matematikanya ! Banyak kendaraan Luas kendaraan

Sedan (𝑥) 1 5

Bus (𝑦) 1 15

Total 300 3750

𝑥 + 𝑦 ≤ 300 𝑥 + 3𝑦 ≤ 750, bentuk sederhana 5𝑥 + 15𝑦 ≤ 3750 𝑥 ≥ 0, jumlah sedan tidak mungkin negatif 𝑦 ≥ 0, jumlah bus tidak mungkin negatif { 𝑥, 𝑦 elemen bilangan cacah.

Halaman 54

𝟐𝟓𝟎 O

𝟑𝟎𝟎

𝟕𝟓𝟎

𝑥

Titik potong garis 𝑥 + 𝑦 = 300 dan 𝑥 + 3𝑦 = 750: 𝑥 = 225 dan 𝑦 = 75 Jadi titik pojoknya adalah: (0, 0), (300, 0), (225, 75), dan (0, 250). Uji titik pojok: (𝑥, 𝑦) 𝑓(𝑥, 𝑦) = 2.000𝑥 + 3.000𝑦 (0, 0) 2.000(0) + 3.000(0) = 0 (300, 0) 2.000(300) + 3.000(0) = 600.000 (225, 75) 2.000(225) + 3.000(75) = 675.000 (0, 250) 2.000(0) + 3.000(250) = 750.000 Jadi, pendapatan maksimal adalah Rp750.000 untuk parkir 250 bus.



TRIK SUPERKILAT: Dalam mengerjakan soal UN Matematika SMA, materi soal Program Linear memang tipe soal yang menghabiskan banyak waktu. Ya! Penyelesaian Program Linear ini membutuhkan perhitungan yang banyak dan perhitungannya harus dilakukan dengan cermat karena membutuhkan ketelitian tinggi dalam menggambar sketsa grafik, menguji titik untuk menemukan daerah penyelesaian pertidaksamaan, mencari titik potong dua garis, dan mensubstitusi titik pojok ke fungsi objektif untuk menemukan nilai optimum. Padahal waktu yang diberikan untuk setiap soal UN Matematika SMA itu hanya sekitar 3 menit saja! Penjabaran langkah dasarnya sebagai berikut: Pertama, adik-adik harus mengubah soal cerita sehingga bisa dituliskan menjadi model matematika dari beberapa fungsi kendala yang membentuk sistem pertidaksamaan linear dan sebuah fungsi objektif. Kedua, adik-adik harus menggambarkan model matematika tersebut ke dalam bidang koordinat Cartesius. Ketiga, dari gambar grafik model matematika, adik-adik harus bisa menentukan daerah penyelesaian dari fungsi kendala dalam bidang koordinat Cartesius. Keempat, daerah penyelesaian dari fungsi kendala berbentuk poligon, dimana titik-titik sudutnya adalah titik pojok. Adik-adik perlu melihat apakah ada titik pojok yang berupa titik potong dua garis yang koordinatnya perlu dicari menggunakan teknik eliminasi dan substitusi dari kedua persamaan garis tersebut. Kelima, titik-titik pojok tersebut merupakan titik ekstrim yang akan kita periksa nilai fungsi objektifnya. Terakhir, nilai terbesar dari fungsi objektif adalah nilai maksimum, sedangkan nilai terkecil dari fungsi objektif adalah nilai minimum. Nah, jika terdapat dua titik pojok yang menghasilkan nilai fungsi objektif yang sama, maka penyelesaian nilai optimum terdapat pada sepanjang ruas garis yang menghubungkan kedua titik pojok tersebut.

Perhatikan gambar di bawah: TRIK SUPERKILAT Model Matematika Grafik

Max itu YEX

Daerah Penyelesaian

Urutkan perbandingan 𝑥 ∶ 𝑦

Titik Pojok

Letak Fungsi Objektif

Substitusi Titik Pojok Nilai Optimum Nah, sebenarnya metode TRIK SUPERKILAT memotong langkah dasar sampai di model matematika saja. Metode TRIK SUPERKILAT menggunakan modifikasi dari teori gradien untuk menyelesaikan program linear. Pertama, apabila yang ditanyakan adalah nilai maksimum, maka tuliskan urutan Y-E-X. (Ingat MAX itu huruf akhirnya X, jadi yang ditulis juga harus berakhiran X). Kalau yang ditanyakan adalah nilai minimum, maka urutannya adalah X-E-Y. Kedua, urutkan nilai dari perbandingan koefisien 𝑥 dan koefisien 𝑦 dari semua fungsi kendala maupun fungsi objektif. Urutkan dari nilai yang terkecil menuju ke nilai terbesar. Terakhir lihat dimana letak perbandingan koefisien 𝑥 dan koefisien 𝑦 dari fungsi objektif.   

Jika terletak di Y, maka nilai optimal berada di sumbu Y, substitusikan 𝑥 = 0 ke fungsi di sebelahnya. Jika terletak di E, maka nilai optimal berada di perpotongan antara kedua fungsi di sebelahnya. Jika terletak di X, maka nilai optimal berada di sumbu X, substitusikan 𝑦 = 0 ke fungsi di sebelahnya.



Halaman 55

Tipe Soal yang Sering Muncul Menentukan nilai optimum fungsi objektif. Contoh Soal: Suatu perusahaan tas dan sepatu memerlukan 4 unsur A dan 6 unsur B perminggu untuk masing-masing hasil produksinya. Setiap tas memerlukan satu unsur A dan dua unsur B, setiap sepatu memerlukan dua unsur A dan dua unsur B. Bila setiap tas untungnya 3000 rupiah, setiap sepatu untungnya 2000 rupiah, maka banyak tas dan sepatu yang dihasilkan per minggu agar diperoleh untung yang maksimal adalah …. a. 2 sepatu b. 3 sepatu c. 3 tas d. 4 tas e. 2 tas dan 2 sepatu Penyelesaian: Model Matematika Tas (𝑥) 1 2 3000

Unsur A Unsur B Untung

Sepatu (𝑦) 2 2 2000

Total 4 6

Fungsi kendala: 𝑥 + 2𝑦 ≤ 4 (perbandingan koefisien 𝑥 dan 𝑦 adalah 1/2) 2𝑥 + 2𝑦 ≤ 6 (perbandingan koefisien 𝑥 dan 𝑦 adalah 1) Fungsi objektif: maks 3000𝑥 + 2000𝑦 =…. (perbandingan koefisien 𝑥 dan 𝑦 adalah 3/2) LANGSUNG MASUK KE LANGKAH TRIK SUPERKILAT: Memaksimumkan berarti Y-E-X!!!!! Sumbu 𝑌

Eliminasi

Sumbu 𝑋

Urutkan Perbandingan Koefisien X:Y Cari perbandingan koefisien 𝑥 dan 𝑦 untuk masing-masing fungsi kendala dan objektif, lalu urutkan dari kecil ke besar. Sumbu 𝑌 1/2

Eliminasi 1

Sumbu 𝑋 3/2

Eliminasi 1

Sumbu 𝑋 3/2

Letak Fungsi Objektif Perhatikan tabel tadi: Sumbu 𝑌 1/2

Karena fungsi objektif yang perbandingan koefisiennya adalah 3/2 terletak pada kolom Sumbu 𝑋, maka artinya nilai optimum adalah terletak di sumbu X untuk persamaan yang berada disebelahnya (yaitu persamaan dengan perbandingan koefisien bernilai 1) Artinya substitusikan 𝑦 = 0 untuk persamaan 2𝑥 + 2𝑦 = 6 2𝑥 + 2𝑦 = 6 2𝑥 + 2(0) = 6 𝑥=3 Jadi, agar keuntungan maksimal maka perusahaan tersebut haruslah menjual 3 tas. Jadi, dapat disimpulkan bahwa nilai maksimum keuntungan adalah Rp9.000,00. Halaman 56



Menentukan nilai optimum fungsi objektif, ada nilai perbandingan 𝒙 dan 𝒚 yang sama. Contoh Soal : Seorang anak diharuskan minum dua jenis tablet setiap hari. Tablet jenis I mengandung 5 unit vitamin A dan 3 unit vitamin B. Tablet jenis II mengandung 10 unit vitamin A dan 1 unit vitamin B. Dalam 1 hari anak tersebut memerlukan 25 unit vitamin A dan 5 unit vitamin B. Jika harga tablet I Rp4.000,00 per biji dan tablet II Rp8.000,00 per biji, pengeluaran minimum untuk pembelian tablet per hari adalah …. Penyelesaian Cara Biasa:

Model Matematika Fungsi kendala: 5𝑥 + 10𝑦 ≥ 25; 3𝑥 + 𝑦 ≥ 5; 𝑥 ≥ 0; 𝑦 ≥ 0, 𝑥, 𝑦 elemen bilangan cacah. Fungsi objektif: Minimumkan 𝑓(𝑥, 𝑦) = 4.000𝑥 + 8.000𝑦

TRIK SUPERKILAT: Tablet Tablet Jumlah Perbandingan I II koef 𝑥 dan 𝑦 Vitamin 5 10 25 1/2 A Vitamin 3 1 5 3/1 B Harga 4.000 8.000 1/2 Urutkan perbandingan dari kecil ke besar. X E Y 1/2 1/2 2/2

Kesimpulan: Perhatikan perbandingan fungsi objektif yang bernilai 1/2 terdapat di X dan E,

Grafik dan Daerah Penyelesaian Y

Di X, artinya nilai optimum diperoleh di perpotongan sumbu X dengan fungsi di dekatnya, yaitu fungsi kendala dengan perbandingan 1/2 .

5

Di E, artinya nilai optimum juga diperoleh dari hasil titik potong antara fungsi kendala dengan perbandingan 1/2 dan 3/1.

2,5 5 3

5

X

Titik Pojok Dua dari tiga titik pojok sudah bisa dilihat pada grafik yaitu (5, 0) dan (0, 5). Sementara satu titik pojok belum diketahui yaitu titik potong kedua garis. Menentukan titik potong kedua garis menggunakan metode eliminasi substitusi: 5𝑥 + 10𝑦 = 25 × 3 15𝑥 + 30𝑦 = 75 3𝑥 + 10𝑦 = 25 × 5 15𝑥 + 35𝑦 = 25 25𝑦 = 50 50 𝑦= 25 𝑦=2 Substitusi 𝑦 = 2 ke salah satu persamaan: 3𝑥 + 𝑦 = 5 3𝑥 + 2 = 5 3𝑥 = 5 − 2 3𝑥 = 3 3 𝑥= 3 𝑥=1 Jadi titik potong kedua kurva adalah di titik (1, 2) Sehingga titik pojok adalah (5, 0), (1, 2), dan (0,5) Substitusi Titik Pojok Substitusikan titik-titik pojok tersebut ke fungsi objektif untuk mencari titik manakah yang memiliki nilai objektif paling kecil. Titik pojok (𝑥, 𝑦) Fungsi objektif 𝑓(𝑥, 𝑦) = 4.000𝑥 + 8.000𝑦 4.000(5) + 8.000(0) = 20.000 + 12.000 = 20.000 (5, 0) 4.000(1) + 8.000(2) = 04.000 + 16.000 = 20.000 (1, 2) 4.000(0) + 8.000(5) = 20.000 + 40.000 = 40.000 (0, 5) Nilai Optimum Dari tabel tersebut diperoleh nilai minimum fungsi objektif 𝑓(𝑥, 𝑦) terjadi pada titik (5, 0) dan (1, 2) yaitu dengan pengeluaran sebesar Rp20.000,00.



Halaman 57


1.

Anak usia balita dianjurkan dokter untuk mengkonsumsi kalsium dan zat besi sedikitnya 60 gr dan 30 gr. Sebuah kapsul mengandung 5 gr kalsium dan 2 gr zat besi, sedangkan sebuah tablet mengandung 2 gr kalsium dan 2 gr zat besi. Jika harga sebuah kapsul Rp.1.000,00 dan harga sebuah tablet Rp.800,00, maka biaya minimum yang harus dikeluarkan untuk memenuhi kebutuhan anak balita tersebut adalah .... A. Rp12.000,00 Ternyata fungsi objektif (warna biru) berada di E. Artinya titik minimumnya berada di hasil B. Rp14.000,00 TRIK SUPERKILAT: Kapsul Tablet Jumlah Perbandingan eliminasi kedua fungsi kendala. (Gunakan metode koef 𝑥 dan 𝑦 C. Rp18.000,00 determinan matriks) 5 2 60 5/2 60 2 5 60 D. Rp24.000,00 Kalsium | | | | Zat Besi 2 2 30 2/2 30 2 = 60 = 10; 𝑦 = 2 30 = 30 = 5 𝑥 = E. Rp36.000,00 Harga 1.000 800 10/8 5 2 5 2 6 6 | | | | 2 2 2 2 Jadi nilai minimumnya adalah: 𝑓(𝑥, 𝑦) = 1.000(10) + 800(5) = Rp14.000,00

Urutkan perbandingan dari kecil ke besar. X E Y 2/2 10/8 5/2

2.

Seorang pedagang sepeda ingin membeli 25 sepeda untuk persediaan. Ia ingin membeli sepeda gunung dengan harga Rp1.500.000,00 per buah dan sepeda balap dengan harga Rp2.000.000,00 per buah. Ia merencanakan tidak akan mengeluarkan uang lebih dari Rp42.000.000,00. Jika keuntungan sebuah sepeda gunung Rp500.000,00 dan sebuah sepeda balap Rp600.000,00, maka keuntungan maksimum yang Ternyata fungsi objektif (warna biru) berada diterima pedagang adalah .... di E (titik potong atau hasil eliminasi TRIK SUPERKILAT: (harga dalam ribuan rupiah) A. Rp13.400.000,00 substitusi dua fungsi kendala) Sepeda Sepeda Jumlah Perbandingan B. Rp12.600.000,00 Gunakan metode determinan matriks gunung balap koef 𝑥 dan 𝑦 25 1 1 1 25 1/1 | | 8.000 C. Rp12.500.000,00 Jumlah 𝑥 = 42.000 2.000 = = 16; Harga 1.500 2.000 42.000 3/4 1 1 500 D. Rp10.400.000,00 Untung 500 | | 600 5/6 1.500 2.000 E. Rp8.400.000,00 Urutkan perbandingan dari kecil ke besar. 𝑥 + 𝑦 = 25 ⇒ 16 + 𝑦 = 25 ⇒ 𝑦 = 9; Y 3/4

E 5/8

Jadi nilai maksimum adalah:

X 1/1

𝑓(𝑥, 𝑦) = 500(16) + 600(9) = Rp13.400

3.

Seorang ibu hendak membuat dua jenis kue. Kue jenis I memerlukan 40 gram tepung dan 30 gram gula. Kue jenis II memerlukan 20 gram tepung dan 10 gram gula. Ibu hanya memiliki persediaan tepung sebanyak 6 kg dan gula 4 kg. jika kue jenis I dijual dengan harga Rp4.000,00 dan kue jenis II dijual dengan harga Rp1.600,00, maka pendapatan maksimum yang diperoleh ibu adalah .... Soal ini tidak ada Ternyata fungsi objektif (warna biru) berada di E A. Rp30.400,00 jawabannya, (titik potong atau hasil eliminasi substitusi dua TRIK SUPERKILAT: B. Rp48.000,00 mungkin maksudnya fungsi kendala) Kue Kue Jumlah Perbandingan pilihan jawaban A, B, C. Rp56.000,00 Gunakan metode determinan matriks jenis I jenis II koef 𝑥 dan 𝑦 6.000 20 C, D, dan E kurang 40 20 6.000 4/2 D. Rp59.200,00 Tepung | | −20.000 satu angka nol. 𝑥 = 4.000 10 = = 100; Gula 30 10 4.000 3/1 40 20 E. Rp72.000,00 Harga −200 | | 4.000

1.600

Urutkan perbandingan dari kecil ke besar.

Y 4/2

E 40/16

X 3/1

40/16

30 10 30𝑥 + 10𝑦 = 4.000 ⇒ 3.000 + 10𝑦 = 4.000 ⇒ 𝑦 = 100;

Jadi nilai maksimum adalah:

𝑓(𝑥, 𝑦) = 4.000(100) + 1.600(100) = Rp560.000


Halaman 58



Smart Solution



Disusun oleh :

Pak Anang


2. 9.

Menyelesaikan operasi matriks.

Matriks Bentuk Umum 𝐴𝑚×𝑛 = (

𝑎11 𝑎21 𝑎𝑚1

⋮

𝑎12 𝑎22 𝑎𝑚2

Operasi Aljabar Matriks 𝑎1𝑛 𝑎2𝑛 ⋮ ) 𝑎𝑚𝑛

⋯ ⋱ ⋯

Kesamaan Matriks “Elemen yang Sama, Nilainya Sama” 𝑎 ( 1

3 −2 𝑎=3 𝑏 )=( )⇒{ 1 −5 𝑏 = −2 −5

Transpose Matriks “Tukar Baris Kolom” 𝑎 𝐴=( 𝑐

𝑎 𝑏 ) ⇒ 𝐴𝑇 = ( 𝑏 𝑑

Penjumlahan Matriks 𝑐 ) 𝑑

“Jumlahkan Elemen yang Sama” 𝑎 ( 𝑐

𝑒 𝑏 )+( 𝑔 𝑑

𝑓 𝑎+𝑒 )=( ℎ 𝑐+𝑔

𝑏+𝑓 ) 𝑑+ℎ

Determinan Matriks 2 × 2 Pengurangan Matriks

“Diagonal Utama – Diagonal Samping” 𝑎 𝐴=( 𝑐

𝑏 𝑎 ) ⇒ |𝐴| = | 𝑑 𝑐

“Kurangkan Elemen yang Sama”

𝑏 | = 𝑎𝑑 − 𝑏𝑐 𝑑

Invers Matriks 2 × 2 “Pembagian Matriks”

𝑎 ( 𝑐

𝑓 𝑎−𝑒 )=( ℎ 𝑐−𝑔

𝑏−𝑓 ) 𝑑−ℎ

Perkalian Matriks dengan Skalar “Kalikan dengan Semua Elemen”

𝐴𝐴−1 = 𝐴−1 𝐴 = 𝐼 𝑎 𝐴=( 𝑐

𝑒 𝑏 )−( 𝑔 𝑑

1 𝑑 𝑏 ) ⇒ 𝐴−1 = ( 𝑑 |𝐴| −𝑐

𝑎 𝑘( 𝑐

−𝑏 ) 𝑎

𝑏 𝑘𝑎 )=( 𝑑 𝑘𝑐

𝑘𝑏 ) 𝑘𝑑

Perkalian Matriks dengan Matriks Persamaan Matriks “Dikali Invers dari Kanan atau Kiri ???”

“Syarat Harus Dipenuhi” (

)

𝑚×𝒏

−𝟏

𝐴𝐵 = 𝐶 ⇒ { 𝐴 = 𝐴𝑩 𝐵 = 𝑨−𝟏 𝐶

(

) sama

=(

)

𝑚×𝑘

“Jumlah Perkalian Elemen Baris Kolom” 𝑎 ( 𝑐

𝑏 𝑒 )( 𝑑 𝑔

𝑓 𝑎𝑒 + 𝑏𝑔 )=( ℎ 𝑐𝑒 + 𝑑𝑔



𝒏×𝑘

𝑎𝑓 + 𝑏ℎ ) 𝑐𝑓 + 𝑑ℎ

Halaman 59

TRIK SUPERKILAT: Dalam mengerjakan soal UN Matematika SMA, materi soal Matriks ini boleh dibilang yang paling mudah, asalkan menguasai betul konsep dasar dari Matriks itu sendiri. Mengapa? Karena hanya diperlukan perhitungan aljabar sederhana. Nah, untuk mempercepat proses perhitungan kita bisa menggunakan sifat-sifat dari Operasi Aljabar Matriks, Transpose Matriks, Determinan Matriks, dan Invers Matriks. Sifat Operasi Aljabar Matriks:     

𝐴+𝐵 =𝐵+𝐴 𝐴−𝐵 ≠𝐵−𝐴 𝐴 + (𝐵 + 𝐶) = (𝐴 + 𝐵) + 𝐶 𝐴(𝐵 + 𝐶) = 𝐴𝐵 + 𝐴𝐶 𝐴𝐵 ≠ 𝐵𝐴

Sifat Transpose Matriks:    

(𝐴 + 𝐵)𝑇 = 𝐴𝑇 + 𝐵𝑇 (𝐴𝑇 )𝑇 = 𝐴 (𝐴 ∙ 𝐵)𝑇 = 𝐵𝑇 ∙ 𝐴𝑇 (𝑘𝐴)𝑇 = 𝑘𝐴𝑇

Sifat Determinan Matriks:      

|𝐴𝑇 | = |𝐴| 1 |𝐴−1 | = |𝐴| |𝐴 ∙ 𝐵| = |𝐴| ∙ |𝐵| 𝐴 ∙ 𝐵 = 𝐶 ⇒ |𝐴| ∙ |𝐵| = |𝐶| |𝐶| |𝐴| ∙ |𝐵| = |𝐶| ⇒ |𝐵| = |𝐴| 1 1 −1 |(𝐴 ∙ 𝐵) | = ∙ |𝐵| |𝐴|

Sifat Invers Matriks:  

Halaman 60

𝐴𝐴−1 = 𝐴−1 𝐴 = 𝐼 (𝐴 ∙ 𝐵)−1 = 𝐵−1 ∙ 𝐴−1



Tipe Soal yang Sering Muncul Menentukan Operasi Aljabar Matriks. Contoh Soal 1:

4 𝑎 −𝑐 2 −1 3 4 𝑏 Diketahui matriks-matriks 𝐴 = ( ), 𝐵 = ( ), 𝐶 = ( ), dan 𝐷 = ( ) 𝑏 + 5 −6 1 0 0 2 −2 3 Jika 2𝐴 − 𝐵 = 𝐶𝐷 maka nilai dari 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 = …. a. −6 b. −2 c. 0 d. 1 e. 8 Penyelesaian:

−𝑐 2𝐴 − 𝐵 = 𝐶𝐷 ⇒ 2 ( 1 −2𝑐 ⇔ ( 2 ⇔

4 𝑎 2 −1 )−( )=( 𝑏 + 5 −6 0 0 4 𝑎 4 −10 )−( )=( 𝑏 + 5 −6 0 −4 −2𝑐 − 4 4 − 𝑎 −10 ( )=( −3 − 𝑏 6 −4

3 4 𝑏 )( ) 2 −2 3 −𝑏 + 9 ) 6 −𝑏 + 9 ) 6

Dengan menggunakan konsep kesamaan matriks, diperoleh: −2𝑐 − 4 = −10 ⇒ −2𝑐 = −10 + 4 ⇔ −2𝑐 = −6 ⇔ 𝑐=3 −3 − 𝑏 = −4 ⇒ −𝑏 = −4 + 3 ⇔ −𝑏 = −1 ⇔ 𝑏=1 4 − 𝑎 = −𝑏 + 9 ⇒ 4 − 𝑎 = −(1) + 9 ⇔4−𝑎 =8 ⇔ −𝑎 = 8 − 4 ⇔ −𝑎 = 4 ⇔ 𝑎 = −4 Jadi nilai 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 = (−4) + (1) + (3) =0



Halaman 61

Menentukan Determinan Matriks. Contoh Soal 1:

3 2 −3 −1 Diketahui matriks 𝐴 = ( ), dan 𝐵 = ( ). 0 5 −17 0 𝑡 𝑡 Jika 𝐴 = transpos matriks 𝐴 dan 𝐴𝑋 = 𝐵 + 𝐴 , maka determinan matriks 𝑋= …. a. −6 b. −2 c. 0 d. 1 e. 8 Penyelesaian: 𝐴𝑋 = 𝐵 + 𝐴𝑡 ⇒ 𝑋 = 𝐴−1 (𝐵 + 𝐴𝑡 ) 1 = 𝐴𝑑𝑗(𝐴)(𝐵 + 𝐴𝑡 ) |𝐴| 1 5 −2 −3 −1 3 0 = ( ) (( )+( )) −17 0 2 5 15 0 3 1 5 −2 0 −1 = ( )( ) −15 5 15 0 3 1 30 −15 = ( ) 15 −45 15 2 −1 =( ) −3 1 2 −1 Karena 𝑋 = ( ), maka determinan matriks 𝑋 adalah : −3 1 |𝑋| = | 2 −1| = 2 − 3 = −1 −3 1 Penyelesaian TRIK SUPERKILAT: Sebenarnya metode yang digunakan dalam TRIK SUPERKILAT hampir sama dengan metode Basic Concept, hanya saja kita akan menggunakan sifat determinan untuk mempermudah langkah perhitungan determinan. Perhatikan langkah yang berwarna merah atau biru di bawah ini. 𝐴𝑋 = 𝐵 + 𝐴𝑡 ⇒ |𝐴||𝑋| = |𝐵 + 𝐴𝑡 | ⇔

|𝑋| =

|𝐵+𝐴𝑡 | |𝐴|

𝐾𝑖𝑡𝑎 𝑔𝑢𝑛𝑎𝑘𝑎𝑛 𝑠𝑖𝑓𝑎𝑡 𝑑𝑒𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑎𝑛 𝑚𝑎𝑡𝑟𝑖𝑘𝑠 𝑀𝑎𝑘𝑎 𝑐𝑎𝑟𝑖 𝑙𝑒𝑏𝑖ℎ 𝑑𝑢𝑙𝑢 𝑚𝑎𝑡𝑟𝑖𝑘𝑠 (𝐵 + 𝐴𝑡 ) −3 −1 3 )+( −17 0 2 0 −1 =( ) −15 5 𝑡 𝐽𝑎𝑑𝑖, |𝐵 + 𝐴 | = −15

𝑇𝑒𝑟𝑛𝑦𝑎𝑡𝑎 𝐵 + 𝐴𝑡 = ((

⇔

|𝑋| = =

0 )) 5

|𝐵+𝐴𝑡 | |𝐴| −15 15

= −1

Halaman 62



Contoh Soal 2:

4 2 5 −3 Diketahui matriks 𝐴 = ( ), dan 𝐵 = ( ). 3 −4 2 1 Jika 𝐶𝐴 = 𝐵 dan 𝐶 −1 adalah invers matriks 𝐶 maka determinan dari matriks 𝐶 −1 = …. a. −2 b. −1 c. 1 d. 2 e. 3 Penyelesaian: 𝐶 ∙ 𝐴 = 𝐵 ⇒ 𝐶 = 𝐵 ∙ 𝐴−1 ⇔ 𝐶 −1 = (𝐵 ∙ 𝐴−1 )−1 ⇔ 𝐶 −1 = 𝐴 ∙ 𝐵−1 1 1 4 2 =( )∙ ( 3 −4 11 −2 1 4 2 1 = ( )( 11 3 −4 −2 1 0 22 = ( ) 11 11 −11 0 2 =( ) 1 −1 0 Karena 𝐶 −1 = ( 1

3 ) 5 3 ) 5

2 ), maka determinan matriks 𝐶 −1 adalah : −1

|𝐶 −1 | = |0 2 | = 0 − 2 = −2 1 −1 Penyelesaian TRIK SUPERKILAT: Sebenarnya metode yang digunakan dalam TRIK SUPERKILAT hampir sama dengan metode Basic Concept, hanya saja kita akan menggunakan sifat determinan untuk mempermudah langkah perhitungan determinan. Perhatikan langkah yang berwarna merah di bawah ini. 𝐶∙𝐴 =𝐵 ⇒ 𝐶 = 𝐵 ∙ 𝐴−1 −1 ⇔ 𝐶 = (𝐵 ∙ 𝐴−1 )−1 ⇔ 𝐶 −1 = 𝐴 ∙ 𝐵−1 |𝐴| ⇔ |𝐶 −1 | = |𝐵| −22 = 11 = −2



Halaman 63


1.

  3  1  x 5 3 y   , B =  Diketahui matriks A =   dan C =  . 9   5 1  y   3 6  8 5x   , maka nilai x  2 xy  y adalah .... Jika A + B – C =    x  4 8 5𝑥 Substitusi 𝑥 = 2 dan 𝑦 = 4 𝐴+𝐵−𝐶 = ( ) A. 8 −𝑥 −4 𝑥 + 2𝑥𝑦 + 𝑦 = 2 + 16 + 4 = 22 𝑥+6 𝑦+6 8 5𝑥 B. 12 ⇒ ( )=( ) 2−𝑦 −4 −𝑥 −4 C. 18 ⇔ 𝑥+6=8 D. 20 ∴𝑥=2 E. 22 ⇔ 2 − 𝑦 = −𝑥 ∴𝑦=4


Halaman 64



Smart Solution



Disusun oleh :

Pak Anang


2. 10.

Menyelesaikan operasi aljabar beberapa vektor dengan syarat tertentu.

Vektor Notasi Vektor

Operasi Aljabar Vektor

𝑎1 ⃗⃗ 𝑎⃗ = 𝑎1 𝑖⃗ + 𝑎2 𝑗⃗ + 𝑎3 𝑘 = (𝑎2 ) 𝑎3

Penjumlahan Vektor

𝑘𝑎1 ⃗⃗ 𝑘𝑎⃗ = 𝑘𝑎1 𝑖⃗ + 𝑘𝑎2 𝑗⃗ + 𝑘𝑎3 𝑘 = (𝑘𝑎2 ) 𝑘𝑎3

“Jumlahkan Komponen yang Sama” 𝑎1 𝑏1 𝑎1 + 𝑏1 𝑎⃗ + 𝑏⃗⃗ = (𝑎2 ) + (𝑏2 ) = (𝑎2 + 𝑏2 ) 𝑎3 𝑏3 𝑎3 + 𝑏3

𝑎1 komponen pada sumbu X 𝑎2 komponen pada sumbu Y 𝑎3 komponen pada sumbu Z

Pengurangan Vektor “Kurangkan Komponen yang Sama”

Panjang Vektor

𝑎1 𝑏1 𝑎1 − 𝑏1 ⃗⃗ 𝑎⃗ − 𝑏 = (𝑎2 ) − (𝑏2 ) = (𝑎2 − 𝑏2 ) 𝑎3 𝑏3 𝑎3 − 𝑏3

“Akar dari jumlah kuadrat” |𝑎⃗| = √𝑎1 2 + 𝑎2 2 + 𝑎3 2

Perkalian Skalar Vektor Posisi

“Dua Vektor Harus Searah” “Kalikan Komponen yang Sama”

𝐴(𝑥𝑎 , 𝑦𝑎 , 𝑧𝑎 )

𝑎⃗ ∙ 𝑏⃗⃗ = |𝑎⃗||𝑏⃗⃗| cos 𝜃 𝑎⃗ ∙ 𝑏⃗⃗ = 𝑎1 𝑏1 + 𝑎2 𝑏2 + 𝑎3 𝑏3

𝑎⃗

O

“Titik Koordinat = Komponen Vektor”

Perkalian Vektor

𝑥𝑎 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑎⃗ = (𝑦𝑎 ) 𝑂𝐴 𝑧𝑎

“Dua Vektor Harus Tegak Lurus” “Putar Komponen yang Beda” 𝑎⃗ × 𝑏⃗⃗ = |𝑎⃗||𝑏⃗⃗| sin 𝜃 𝑖⃗ 𝑎⃗ × 𝑏⃗⃗ = |𝑎1 𝑏1

Vektor Pada Dua Titik 𝐴(𝑥𝑎 , 𝑦𝑎 , 𝑧𝑎 ) −𝑎⃗

𝑏⃗⃗

𝑗⃗ 𝑎2 𝑏2

𝑘⃗⃗ 𝑎3 | 𝑏3

𝐵(𝑥𝑏 , 𝑦𝑏 , 𝑧𝑏 )

O

Pembagian Ruas Garis

“Belakang Kurangi Depan” 𝑥𝑏 − 𝑥𝑎 ⃗⃗ 𝐴𝐵 = 𝑏 − 𝑎⃗ = (𝑦𝑏 − 𝑦𝑎 ) 𝑧𝑏 − 𝑧𝑎

“Hasil Kali Silang Dibagi Jumlahnya” 𝐴(𝑥𝑎 , 𝑦𝑎 , 𝑧𝑎 ) 𝑎⃗

𝑚 𝑝⃗

𝑃(𝑥𝑝 , 𝑦𝑝 , 𝑧𝑝 ) 𝑛 𝐵(𝑥𝑏 , 𝑦𝑏 , 𝑧𝑏 )

𝑝⃗ =

𝑚𝑏⃗⃗ + 𝑛𝑎⃗ 𝑚+𝑛

𝑏⃗⃗ 𝑂



Halaman 65

Sifat Operasi Vektor:    

𝑎⃗ + 𝑏⃗⃗ = 𝑏⃗⃗ + 𝑎⃗ (𝑎⃗ + 𝑏⃗⃗) + 𝑐⃗ = 𝑎⃗ + (𝑏⃗⃗ + 𝑐⃗) 𝑎⃗ + 0 = 0 + 𝑎⃗ = 𝑎⃗ 𝑎⃗ + (−𝑎⃗) = 0

Sifat Perkalian Skalar (Perkalian Titik/Dot Product) Dua Vektor:    

𝑎⃗ ∙ 𝑏⃗⃗ = 𝑏⃗⃗ ∙ 𝑎⃗ 𝑎⃗ ∙ (𝑏⃗⃗ + 𝑐⃗) = 𝑎⃗ ∙ 𝑏⃗⃗ + 𝑎⃗ ∙ 𝑐⃗ 2 𝑎⃗ ∙ 𝑎⃗ = |𝑎⃗| 𝑎⃗ ⊥ 𝑏⃗⃗ ⇒ 𝑎⃗ ∙ 𝑏⃗⃗ = 0

Sifat Perkalian Vektor (Perkalian Silang/Cross Product) Dua Vektor:       

Halaman 66

𝑖⃗ × 𝑖⃗ = 𝑗⃗ × 𝑗⃗ = 𝑘⃗⃗ × 𝑘⃗⃗ = 0 𝑖⃗ × 𝑗⃗ = 𝑘⃗⃗ 𝑗⃗ × 𝑘⃗⃗ = 𝑖⃗ 𝑘⃗⃗ × 𝑖⃗ = 𝑗⃗ 𝑗⃗ × 𝑖⃗ = −𝑘⃗⃗ 𝑘⃗⃗ × 𝑗⃗ = −𝑖⃗ 𝑖⃗ × 𝑘⃗⃗ = −𝑗⃗



TRIK SUPERKILAT: Jabarkan

Lihat Syarat

Hitung Kalau kita membahas topik soal UN Matematika SMA tentang indikator soal operasi aljabar vektor ini, satu hal yang sering ditanyakan adalah hasil operasi perkalian titik terhadap beberapa operasi aljabar penjumlahan maupun pengurangan vektor dengan syarat ada dua vektor yang tegak lurus. Misal diketahui 𝑎⃗, 𝑏⃗⃗, dan 𝑐⃗ . Jika 𝑎⃗ ⊥ 𝑏⃗⃗, maka tentukan hasil dari (𝑎⃗ + 𝑏⃗⃗) ∙ (𝑎⃗ − 𝑐⃗)! Maka jabarkan (𝑎⃗ + 𝑏⃗⃗) ∙ (𝑎⃗ − 𝑐⃗) = 𝑎⃗ ∙ (𝑎⃗ − 𝑐⃗) + 𝑏⃗⃗ ∙ (𝑎⃗ − 𝑐⃗) ⃗⃗ ∙ 𝒂 ⃗⃗) − (𝑎⃗ ∙ 𝑐⃗) + (𝒂 ⃗⃗ ∙ ⃗𝒃⃗) − (𝑏⃗⃗ ∙ 𝑐⃗) = (𝒂 𝟐 ⃗⃗| − (𝑎⃗ ∙ 𝑐⃗) + 𝟎 − (𝑏⃗⃗ ∙ 𝑐⃗) = |𝒂

Tips dan triknya adalah, Lihat syarat,  

Bahwa kita tidak perlu menghitung hasil perkalian titik dari dua vektor yang tegak lurus. Cukup kalikan pada komponen yang sama untuk menentukan hasil perkalian skalar (perkalian titik atau dot product). Lalu perkalian titik dua vektor yang sama akan menghasilkan nilai yang sama dengan kuadrat panjang vektor tersebut.

⃗⃗). Perkalian titik dari dua vektor yang tegak lurus adalah NOL! ⃗⃗ ∙ 𝒃 Perhatikan tulisan berwarna merah (𝒂 ⃗⃗ ∙ 𝒂 ⃗⃗). Perkalian titik dari dua vektor yang sama adalah KUADRAT PANJANG VEKTOR! Perhatikan warna biru (𝒂 Lalu hitung perkalian titiknya. Masih ingat (𝑎⃗ ∙ 𝑐⃗) atau (𝑏⃗⃗ ∙ 𝑐⃗)? Perkalian titik dua vektor yang tidak tegak lurus itu KALIKAN KOMPONEN YANG SAMA! SELESAI!



Halaman 67

KESIMPULAN LOGIKA PRAKTIS: Satu hal yang unik pada operasi aljabar vektor adalah untuk penjumlahan, pengurangan dan perkalian titik, semua operasi hanya dilakukan pada KOMPONEN VEKTOR YANG SAMA.   

Kalau penjumlahan dua vektor, ya jumlahkan komponen-komponen yang sama. Jika pengurangan dua vektor, maka kurangkanlah komponen-komponen yang sama. Dan apabila perkalian titik, juga kalikan komponen-komponen yang sama.

PERBEDAAN mendasar hanya ada pada PERKALIAN SILANG, atau dikenal dengan perkalian vektor atau cross product. Triknya adalah sebagai berikut:

𝒊⃗ ⃗𝒌⃗

+

𝒋⃗

𝒊⃗ × 𝒋⃗ = ⃗𝒌⃗ Jadi kalau perkaliannya dua komponen vektor yang posisinya searah jarum jam hasilnya POSITIF komponen vektor berikutnya. ⃗⃗. 𝑖⃗ dikalikan silang dengan 𝑗⃗ maka hasilnya POSITIF 𝑘 ⃗⃗ maka hasilnya POSITIF 𝑖⃗. 𝑗⃗ dikalikan silang dengan 𝑘 ⃗⃗ 𝑘 dikalikan silang dengan 𝑖⃗ maka hasilnya POSITIF 𝑗⃗.

Sehingga, apabila dibalik arah perkalian silangnya, hasilnya NEGATIF. ⃗⃗. Contohnya yaitu apabila 𝑗⃗ dikalikan silang dengan 𝑖⃗ maka hasilnya NEGATIF 𝑘 ⃗⃗ 𝒋⃗ × 𝒊⃗ = −𝒌

Halaman 68



Tipe Soal yang Sering Muncul Menyelesaikan Operasi Perkalian Titik dengan Syarat Ada Vektor yang Tegak Lurus. Contoh Soal:

2 2 𝑘 Diketahui vektor 𝑎⃗ = (2), 𝑏⃗⃗ = (−5) dan 𝑐⃗ = ( 1 ). Jika vektor 𝑎⃗ tegak lurus dengan vektor 𝑏⃗⃗, maka 3 −1 2 tentukan nilai dari 2𝑎⃗ ∙ (𝑏⃗⃗ − 3𝑐⃗) = …. a. 0 b. 6 c. 12 d. 18 e. 24 Penyelesaian: 𝑎⃗ ⊥ 𝑏⃗⃗ ⇒ 𝑎⃗ ∙ 𝑏⃗⃗ = 0 2 𝑘 ⇔ (2) ∙ (−5) = 0 3 2 ⇔ 2𝑘 − 10 + 6 = 0 ⇔ 2𝑘 − 4 = 0 ⇔ 2𝑘 = 4 ⇔ 𝑘=2 Dengan demikian diperoleh: 2 𝑎⃗ = (2) 2 Dengan menggunakan sifat perkalian titik dua vektor, diperoleh: 𝑎⃗ ⊥ 𝑏⃗⃗ ⇒ 𝑎⃗ ∙ 𝑏⃗⃗ = 0 2 2 𝑎⃗ ∙ 𝑐⃗ = (2) ∙ ( 1 ) = (2 ∙ 2) + (2 ∙ 1) + (2 ∙ (−1)) = 4 + 2 − 2 = 4 2 −1 2𝑎 ∙ (𝑏 − 3𝑐) = 2𝑎⃗ ∙ 𝑏⃗⃗ − 2𝑎⃗ ∙ 3𝑐⃗ = 2(𝑎⃗ ∙ 𝑏⃗⃗) − 6(𝑎⃗ ∙ 𝑐⃗) = 2(0) − 6(4) = 0 + 24 = 24 Jadi nilai 2𝑎 ∙ (𝑏 − 3𝑐) = 24 Penyelesaian TRIK SUPERKILAT: ⃗⃗, maka 𝒂 ⃗⃗ = 𝟎 ⃗⃗ tegak lurus 𝒃 ⃗⃗ ∙ 𝒃 Lihat bahwa 𝒂 Jabarkan perkalian titik pada soal: ⃗⃗ ∙ ⃗𝒃⃗) − 6(𝑎⃗ ∙ 𝑐⃗) 2𝑎⃗ ∙ (𝑏⃗⃗ − 3𝑐⃗) = 𝟐(𝒂 = 𝟎 − 6(4) = −24



Halaman 69

Menyelesaikan Operasi Perkalian Titik dengan Syarat Ada Vektor yang Berlawanan. Contoh Soal:

1 2 −2 Diketahui vektor 𝑎⃗ = ( 𝑚 ), 𝑏⃗⃗ = (−3) dan 𝑐⃗ = ( 2 ). Jika vektor 𝑎⃗ berlawanan dengan vektor 𝑐⃗, maka −2 1 4 tentukan nilai dari 4𝑎⃗ ∙ (2𝑐⃗ − 𝑏⃗⃗) = …. a. −24 b. 0 c. 12 d. 48 e. 72 Penyelesaian: 𝑎⃗ berlawanan arah dengan 𝑐⃗ ⇒

𝑎⃗ = −𝑘𝑐⃗ 1 −2 ⇔ ( 𝑚 ) = −𝑘 ( 2 ) −2 4

Dari persamaan tersebut diperoleh: 1 = −𝑘(−2) ⇒ 𝑘 =

1 2

Maka, 1 𝑚 = −𝑘(2) ⇒ 𝑚 = (− ) (2) = −1 2 Dengan demikian diperoleh: 1 𝑎⃗ = (−1) −2 Dengan menggunakan sifat perkalian titik dua vektor, diperoleh: 1 2 𝑎⃗ ∙ 𝑏⃗⃗ = (−1) ∙ (−3) = (1 ∙ 2) + ((−1) ∙ (−3)) + ((−2) ∙ 1) = 2 + 3 − 2 = 3 −2 1 1 −2 𝑎⃗ ∙ 𝑐⃗ = (−1) ∙ ( 2 ) = (1 ∙ (−2)) + ((−1) ∙ 2) + ((−2) ∙ 4) = −2 − 2 − 8 = −12 −2 4 4𝑎⃗ ∙ (2𝑐⃗ − 𝑏⃗⃗) = 4𝑎⃗ ∙ 2𝑐⃗ − 4𝑎⃗ ∙ 𝑏⃗⃗ = 8(𝑎⃗ ∙ 𝑐⃗) − 4(𝑎⃗ ∙ 𝑏⃗⃗) = 8(3) − 4(−12) = 24 − (−48) = 72 Jadi nilai 4𝑎⃗ ∙ (2𝑐⃗ − 𝑏⃗⃗) = 72 Penyelesaian TRIK SUPERKILAT: Dua vektor itu berlawanan jika angkanya juga saling berlawanan dan berkelipatan. Perhatikan vektor 𝑎⃗ dan vektor 𝑐⃗ berikut: 1 −2 𝑎⃗ = ( 𝑚 ) dan 𝑐⃗ = ( 2 ) −2 4 Bandingkan kotak merah dan kotak biru. Logika praktisnya. Kalau −2 itu 1, maka 2 itu −1. Jelas bahwa 𝑚 = −1.

Halaman 70



Menyelesaikan Operasi Perkalian Titik dengan Syarat Ada Vektor yang Sama Panjang. Contoh Soal:

1 2 −2 Diketahui vektor 𝑎⃗ = ( 𝑝 ), 𝑏⃗⃗ = (−3) dan 𝑐⃗ = ( 2 ). Jika panjang vektor 𝑎⃗ sama dengan panjang vektor 1 4 −2 𝑏⃗⃗, dan 𝑝 < 0, maka tentukan nilai dari (𝑎⃗ + 𝑏⃗⃗) ∙ (𝑏⃗⃗ − 𝑐⃗) = …. a. −5 b. −3 c. 3 d. 9 e. 15 Penyelesaian: |𝑎⃗|=|𝑏⃗⃗| ⇒ √(1)2 + (𝑝)2 + (−2)2 = √(2)2 + (−3)2 + (1)2 ⇔ (1)2 + (𝑝)2 + (−2)2 = (2)2 + (−3)2 + (1)2 ⇔ 1 + 𝑝2 + 4 = 4 + 9 + 1 ⇔ 𝑝2 + 5 = 14 ⇔ 𝑝2 + 5 − 14 = 0 ⇔ 𝑝2 − 9 = 0 pembuat nol (𝑝 + 3)(𝑝 − 3) = 0 ⇔ ⇔ 𝑝 + 3 = 0 atau 𝑝 − 3 = 0 ⇔ 𝑝 = −3 atau 𝑝 = 3 Karena syarat 𝑝 > 0, maka 𝑝 = 3. 1 Dengan demikian diperoleh 𝑎⃗ = ( 3 ) −2 Dengan menggunakan sifat perkalian titik dua vektor, diperoleh: 1 2 𝑎⃗ ∙ 𝑏⃗⃗ = ( 3 ) ∙ (−3) = (1 ∙ 2) + (3 ∙ (−3)) + ((−2) ∙ 1) = 2 − 9 − 2 = −9 −2 1 1 −2 𝑎⃗ ∙ 𝑐⃗ = ( 3 ) ∙ ( 2 ) = (1 ∙ (−2)) + (3 ∙ 2) + ((−2) ∙ 4) = −2 + 6 − 8 = −4 −2 4 2 −2 𝑏⃗⃗ ∙ 𝑐⃗ = (−3) ∙ ( 2 ) = (2 ∙ (−2)) + ((−3) ∙ 2) + (1 ∙ 4) = −4 − 6 + 4 = −6 1 4 2

|𝑏⃗⃗| = (2)2 + (−3)2 + (1)2 = 4 + 9 + 1 = 14 (𝑎⃗ + 𝑏⃗⃗) ∙ (𝑏⃗⃗ − 𝑐⃗) = 𝑎⃗ ∙ 𝑏⃗⃗ − 𝑎⃗ ∙ 𝑐⃗ + 𝑏⃗⃗ ∙ 𝑏⃗⃗ − 𝑏⃗⃗ ∙ 𝑐⃗ 2

= 𝑎⃗ ∙ 𝑏⃗⃗ − 𝑎⃗ ∙ 𝑐⃗ + |𝑏⃗⃗| − 𝑏⃗⃗ ∙ 𝑐⃗ = (−9) − (−4) + 14 − (−6) = −9 + 4 + 14 + 6 = 15 Jadi nilai (𝑎⃗ + 𝑏⃗⃗) ∙ (𝑏⃗⃗ − 𝑐⃗) = 15 Penyelesaian TRIK SUPERKILAT: Dua vektor itu sama panjang jika kuadrat dari komponennya juga sama. Nah perhatikan vektor 𝑎⃗ dan 𝑏⃗⃗ 1 2 𝑎⃗ = ( 𝑚 ) dan 𝑏⃗⃗ = (−3) −2 1 Ingat pada bilangan kuadrat itu tidak masalah bilangannya positif atau negatif. Karena bilangan positif maupun negatif kalau dikuadratkan hasilnya sama. Bukti: (−2)2 = (2)2 = 4. Sekarang bandingkan bilangan pada vektor 𝑎⃗ dan 𝑏⃗⃗. Pada vektor 𝑏⃗⃗ memuat bilangan 2, 3, dan 1. Logika praktisnya. Karena vektor 𝑎⃗ sudah ada bilangan 1 dan 2, maka pasti 𝑝 = 3 (pilih yang positif sesuai syarat pada soal 𝑝 > 0). Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)


Halaman 71


1.

2  4   p          Diketahui vektor a   2  ; b    3  ; dan c    1 . Jika a   1 3  6        a  2b . 3c adalah .... Karena 𝑎⃗ ⊥ 𝑏⃗⃗ ⇒ 𝑎⃗ ∙ 𝑏⃗⃗ = 0 𝑝 4 A. 171 ⇔ ( 2 ) ∙ (−3) = 0 B. 63 −1 6 C. −63 ⇔ 4𝑝 − 6 − 6 = 0 D. −111 ⇔ 𝑝=3 E. −171



tegak lurus b , maka hasil dari

 

3−8 6 (𝑎⃗ − 2𝑏⃗⃗) ∙ (3𝑐⃗) = (2 − (−6)) ∙ (−3) 9 −1 − 12 6 −5 = ( 8 ) ∙ (−3) 9 −13 = −30 − 24 − 117 = −171

2.

Diketahui vektor a  i  x j  3 k , b  2 i  j  k , dan c  i  3 j  2 k Jika a tegak lurus b ,





maka hasil dari 2 a . b  c adalah .... A. −20 Karena 𝑎⃗ ⊥ 𝑏⃗⃗ ⇒ 𝑎⃗ ∙ 𝑏⃗⃗ = 0 1 2 B. −12 ⇔ ( ) ∙ ( −𝑥 1 )=0 C. −10 3 −1 D. −8 ⇔ 2−𝑥−3 =0 E. −1 ⇔ 𝑥 = −1

3.

2 2−1 (2𝑎⃗) ∙ (𝑏⃗⃗ − 𝑐⃗) = (2) ∙ ( 1 − 3 ) 6 −1 − 2 2 1 = (2) ∙ (−2) 6 −3 = 2 − 4 − 18 = −20

Diketahui vektor a  i  2 j  x k , b  3 i  2 j  k , dan c  2 i  j  2 k .

 a  b  .  a  c  adalah ....

maka

A. B. C. D. E.

−4 −2 0 2 4

Karena 𝑎⃗ ⊥ 𝑐⃗ ⇒

𝑎⃗ ∙ 𝑐⃗ = 0 1 2 ⇔ ( 2 ) ∙ (1) = 0 −𝑥 2 ⇔ 2 + 2 − 2𝑥 = 0 ⇔ 𝑥=2

Jika a tegak lurus c ,

1+3 1−2 (𝑎⃗ + 𝑏⃗⃗) ∙ (𝑎⃗ − 𝑐⃗) = ( 2 − 2 ) ∙ ( 2 − 1 ) −2 + 1 −2 − 2 4 −1 =( 0 )∙( 1 ) −1 −4 = −4 + 0 + 4 =0


Halaman 72



Smart Solution



Disusun oleh :

Pak Anang


2. 11.

Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan besar sudut atau nilai perbandingan trigonometri sudut antara dua vektor.

Sudut Antara Dua Vektor Diketahui

Komponen Vektor

Titik Koordinat

Panjang dan ResultanVektor

𝐴

𝑎⃗ ⃗⃗, ⃗𝒃⃗) 𝜶 = ∠(𝒂

𝐵

|𝑎⃗|

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗) ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗, 𝑩𝑪 𝜶 = ∠(𝑩𝑨

𝜶

𝐶

𝑏⃗⃗ 𝑎⃗ = 𝑎1 𝑖⃗ + 𝑎2 𝑗⃗ + 𝑎3 𝑘⃗⃗ 𝑏⃗⃗ = 𝑏1 𝑖⃗ + 𝑏2 𝑗⃗ + 𝑏3 𝑘⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑏⃗⃗ − 𝑎⃗ 𝐵𝐴 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑐⃗ − 𝑏⃗⃗ 𝐵𝐶

|𝑏⃗⃗| 2

2

2

|𝑎⃗ + 𝑏⃗⃗| = |𝑎⃗| + |𝑏⃗⃗| + 2|𝑎⃗||𝑏⃗⃗| cos 𝛼 2

2

2 |𝑎⃗ − 𝑏⃗⃗| = |𝑎⃗| + |𝑏⃗⃗| − 2|𝑎⃗||𝑏⃗⃗| cos 𝛼

Kosinus Sudut Antara Dua Vektor

Kosinus Sudut Antara Dua Vektor 2

⃗⃗ ⃗𝑎 ⃗⃗∙𝑏 cos 𝛼 = ⃗⃗ ⃗⃗||𝑏| |⃗𝑎

cos 𝛼 =

⃗⃗⃗| ⃗⃗+𝑏 |⃗𝑎

2

−(|⃗𝑎⃗⃗| +|⃗⃗⃗ 𝑏|

2

)

2|⃗𝑎⃗⃗||⃗⃗⃗ 𝑏|

atau 2

cos 𝛼 =

⃗⃗⃗| (|𝑎

2

2

⃗⃗⃗| ⃗⃗⃗−𝑏 +|⃗⃗⃗ 𝑏| )−|𝑎 ⃗⃗⃗||⃗⃗⃗ 2|𝑎 𝑏|

Besar Sudut Antara Dua Vektor “Sudut berapa yang nilai cosnya 𝒙"

cos 𝛼 = 𝑥 ⇒ 𝛼 = cos −1 (𝑥)



Halaman 73

TRIK SUPERKILAT: Tentukan dua vektor

Cek Perkalian titik

Perkalian titik = 0

Perkalian titik ≠ 0

𝛼 = 90°

Gunakan rumus cos 𝛼

Kalau kita membahas topik soal UN Matematika SMA tentang indikator soal sudut antara dua vektor, jelas bahwa satu hal yang sering ditanyakan adalah besar sudut yang dibentuk antara dua vektor. Nah, vektor yang diketahui ada tiga jenis, pertama diketahui komponen vektor, kedua diketahui vektor yang dibentuk oleh dua titik, dan yang terakhir adalah panjang atau resultan vektor. Langkah TRIK SUPERKILAT:  

Hal pertama yang harus dilakukan adalah menentukan dua vektor yang membentuk sudut 𝛼. Kedua, segera tentukan apakah perkalian titik kedua vektor tersebut nol. Jika benar, maka sudut 𝛼 pasti 90°! Kalau perkalian titiknya tidak nol, maka segera tentukan panjang kedua vektor dan gunakan rumus cos 𝛼 yang sesuai dengan kondisi soal.

Halaman 74



LOGIKA PRAKTIS Mencari Panjang Vektor dengan Tripel Pythagoras: Masih ingat tripel Pythagoras? Asyik….! Misal vektor 𝑎⃗ = 3𝑖⃗ − 4𝑗⃗ + 12𝑘⃗⃗, maka tentukan panjang vektor 𝑎⃗? Kalau menggunakan konsep dari panjang vektor, maka pengerjaan kita akan seperti berikut: |𝑎⃗| = √32 + (−4)2 + 122 = √9 + 16 + 144 = √169 = 13 Apabila kita ingat bagaimana pola bilangan pada tripel Pythagoras, maka pengerjaan kita seperti berikut: 𝑎⃗ = 𝟑𝑖⃗ − 𝟒𝑗⃗ + 𝟏𝟐𝑘⃗⃗ 3

4 5

12

(ingat tripel Pythagoras 3, 4, 5)

12

(ingat tripel Pythagoras 5, 12, 13)

13 Keterangan:    

Pertama, abaikan tanda negatif pada setiap komponen vektor. Jadi kita hanya fokus untuk melihat komponen vektor 𝑎⃗ yaitu 3, 4, 12. Karena kita ingat tripel Pythagoras 3, 4, 5. Maka 3, 4 kita sederhanakan menjadi 5. Jadi, sekarang komponen vektor semula 3, 4, 5 kini menjadi 5, 12. Nah, karena kita ingat tripel Pythagoras 5, 12, 13. Maka 5 dan 12 bisa kita sederhanakan menjadi 13. Selesai! Panjang vektor 𝑎⃗ adalah 13!

Trik Cepat Hitung Tripel Pythagoras Tripel Pythagoras yang sering muncul 3 4 5 Cara cepat menghafal bilangan tripel Pythagoras Khusus bilangan ganjil seperti 3, 5, 7, 9, dst… maka tripel Pythagorasnya adalah bilangan tersebut 5 12 13 dengan dua bilangan lain yang selisihnya satu dan jumlahnya adalah kuadrat bilangan ganjil tersebut! 7 24 25 Contoh: 9 40 41 32 = 9 maka dua bilangan berurutan yang jumlahnya 9 adalah 4 dan 5. Sehingga tripel Pythagoras yang dimulai oleh angka 3 adalah 3, 4, 5.

8

15

17

5

4

52 = 25 maka dua bilangan berurutan yang jumlahnya 25 adalah 12 dan 13, sudah pasti tripel Pythagorasnya 5, 12, 13

3

13

5

12



Halaman 75

LOGIKA PRAKTIS Mencari Panjang Vektor dengan Tripel Pythagoras Bentuk Akar: Kalau sebelumnya adalah tripel Pythagoras bentuk biasa, sekarang bagaimana tripel Pythagoras bentuk akar? Sebenarnya prinsip dasar teorema Pythagoras bisa dengan mudah menyelesaikan masalah ini. Namun, apabila mau sedikit kreatif mengembangkan imajinasi, maka ada jalan lain yang lebih menyenangkan. Apa sih Tripel Pythagoras bentuk akar itu????? Lihat konsepnya pada gambar di bawah: 𝑥

𝑎 √𝑐

𝑎 √𝑏

Misal sisi tegak lurus sebuah segitiga siku-siku adalah 𝑎√𝑏 dan 𝑎√𝑐, dan misal sisi miring segitiga siku-siku adalah 𝑥, maka nilai 𝑥 bisa ditentukan oleh: 2

2

𝑥 2 = (𝑎√𝑏) + (𝑎√𝑐) ⇒ 𝑥 = √𝑎2 𝑏 + 𝑎2 𝑐 ⇒ 𝑥 = √𝑎2 (𝑏 + 𝑐) ⇒ 𝑥 = √𝑎2 √𝑏 + 𝑐 ⇒ 𝑥 = 𝑎√𝑏 + 𝑐

Jadi jelas bahwa pola bilangan tripel Pythagoras seperti ini: Tripel Pythagoras bentuk akar 𝑎 √𝑏 𝑎 √𝑐 𝑎 √𝑏 + 𝑐

𝑎 √𝑏 + 𝑐

𝑎 √𝑐

𝑎 √𝑏 jumlahkan saja bilangan di dalam akar bilangannya harus sama, kalau nggak sama cari FPBnya

Contoh: 8 12

    

Cari FPB dari 12 dan 8. FPBnya adalah 4. Berarti jadikan bilangan pokoknya menjadi 4. Artinya 12 = 4√9 dan 8 = 4√4, Jadi sisi miring dari segitiga tersebut adalah 4√9 + 4 = 4√13

4√13

4√4

4√9

Sekarang mari cermati contoh soal panjang vektor di bawah ini! Misal vektor 𝑎⃗ = 4𝑖⃗ − 2𝑗⃗ + 6𝑘⃗⃗, maka tentukan panjang vektor 𝑎⃗? Kalau menggunakan konsep dari panjang vektor, maka pengerjaan kita akan seperti berikut: |𝑎⃗| = √42 + (−2)2 + 62 = √16 + 4 + 36 = √56 = √4√14 = 2√14 Apabila kita ingat pola bilangan pada tripel Pythagoras bentuk akar, maka pengerjaan kita seperti berikut: 𝑎⃗ = 𝟒𝑖⃗ − 𝟐𝑗⃗ + 𝟔𝑘⃗⃗ 4

2

6

𝟐√𝟒 𝟐√𝟏

𝟐√𝟗

(hanya lihat pada komponen vektor saja, abaikan tanda negatif) (FPB dari 4, 2, dan 6 adalah 2. Ubah bilangan 4, 2, 6 menjadi 2 dikali akar berapa gitu…) (jumlahkan 4 + 1 + 9)

𝟐√𝟒 + 𝟏 + 𝟗 𝟐√𝟏𝟒

Halaman 76



Tipe Soal yang Sering Muncul Menentukan sudut antara dua vektor apabila diketahui komponen dua vektor. Contoh Soal: Diketahui vektor 𝑎⃗ = 4𝑖⃗ + 2𝑗⃗ + 2𝑘⃗⃗ dan 𝑏⃗⃗ = 3𝑖⃗ + 3𝑗⃗. Besar sudut antara vektor 𝑎⃗ dan 𝑏⃗⃗ adalah …. a. 30 b. 45 c. 60 d. 90 e. 120 Penyelesaian:

4 𝑎⃗ = 4𝑖⃗ + 2𝑗⃗ + 2𝑘⃗⃗ = (2) ⇒ |𝑎⃗| = √42 + 22 + 22 = √16 + 4 + 4 = √24 = √4√6 = 2√6 2 3 𝑏⃗⃗ = 3𝑖⃗ + 3𝑗⃗ = (3) ⇒ |𝑏⃗⃗| = √32 + 32 + 02 = √9 + 9 + 0 = √18 = √9√2 = 3√2 0 Dengan demikian diperoleh: cos 𝛼 =

𝑎⃗ ∙ 𝑏⃗⃗ |𝑎⃗||𝑏⃗⃗|

4 3 (2) ∙ (3) 0 = 2 2√6 ∙ 3√2 (4)(3) + (2)(3) + (2)(0) = 6√12 12 + 6 + 0 = 6√4√3 18 = 12√3 18 √3 = × 12√3 √3 18√3 = 36 1 = √3 2 1

Jadi karena cos 𝛼 = 2 √3, maka besar sudut 𝛼 = 30° Penyelesaian TRIK SUPERKILAT: Lihat bahwa 𝑎⃗ ∙ 𝑏⃗⃗ ≠ 0, maka jelas jawaban D (90°) pasti salah! Segera cari panjang masing-masing vektor dengan Tripel Pythagoras bentuk akar: 2√4 4 ⃗⃗ 𝑎⃗ = 4𝑖⃗ + 2𝑗⃗ + 2𝑘 = (2) = (2√1) ⇒ |𝑎⃗| = 2√4 + 1 + 1 = 2√6 2 2√1 3 3√1 𝑏⃗⃗ = 3𝑖⃗ + 3𝑗⃗ = (3) = (3√1) 0 0

⇒ |𝑏⃗⃗| = 3√1 + 1 = 3√2

Lanjutkan dengan menghitung nilai cos 𝛼 menggunakan rumus: 4 3 (2) ∙ (3) 𝑎⃗ ∙ 𝑏⃗⃗ 0 = 𝑑𝑠𝑡 𝑑𝑠𝑡 𝑑𝑠𝑡 … cos 𝛼 = = 2 |𝑎⃗||𝑏⃗⃗| 2√6 ∙ 3√2



Halaman 77

Menentukan sudut antara dua vektor apabila diketahui beberapa titik koordinat. Contoh Soal: ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ dan 𝑣⃗ mewakili 𝐴𝐶 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ , Diketahui segitiga ABC dengan A(2, 1, 2), B(6, 1, 2), dan C(6, 5, 2). Jika 𝑢 ⃗⃗ mewakili 𝐴𝐵 maka sudut yang dibentuk oleh vektor 𝑢 ⃗⃗ dan 𝑣⃗ adalah … a. 30 b. 45 c. 60 d. 90 e. 120 Penyelesaian:

6 2 4 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗| = √42 + 02 + 02 = √16 + 0 + 0 = √16 = 4 𝐴𝐵 = 𝑏⃗⃗ − 𝑎⃗ = (1) − (1) = (0) ⇒ |𝐴𝐵 0 2 2 6 2 4 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ | = √42 + 42 + 02 = √16 + 16 + 0 = √32 = 4√2 𝐴𝐶 = 𝑐⃗ − 𝑎⃗ = (5) − (1) = (4) ⇒ |𝐴𝐶 2 2 0 Dengan demikian diperoleh: ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴𝐵 ∙ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴𝐶 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||𝐴𝐶 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ | |𝐴𝐵 4 4 (0) ∙ (4) 0 = 0 4 ∙ 4√2 (4)(4) + (0)(4) + (0)(0) = 16√2 16 + 0 + 0 = 16√2 16 = 16√2 1 = √2 1 √2 = × √2 √2 1 = √2 2

cos 𝛼 =

1

Jadi karena cos 𝛼 = 2 √2, maka besar sudut 𝛼 = 45° Penyelesaian TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS: ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∙ 𝐴𝐶 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ≠ 0, maka jelas jawaban D (90°) pasti salah! Lihat bahwa 𝐴𝐵 Lanjutkan segera dengan mencari panjang masing-masing vektor dengan Tripel Pythagoras bentuk akar: 6 2 4 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑏⃗⃗ − 𝑎⃗ = (1) − (1) = (0) ⇒ |𝐴𝐵 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗| = 4 (karena komponen yang lain nol) 𝐴𝐵 2 2 0 6 2 4 4√1 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ | = 4√1 + 1 = 4√2 𝐴𝐶 = 𝑐⃗ − 𝑎⃗ = (5) − (1) = (4) = (4√1) ⇒ |𝐴𝐶 2 2 0 0 serta hasil kali titik dari ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴𝐵 ∙ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴𝐶 tidak mungkin memuat bilangan bentuk akar. 1 Karena panjang 𝐴𝐶 memuat bilangan √2. Jadi feeling kita mengatakan bahwa nilai cos 𝛼 = 2 √2, dan satu1

satunya jawaban yang mengakibatkan nilai cos 𝛼 = 2 √2 adalah𝛼 = 45°.

Halaman 78



Menentukan sudut antara dua vektor apabila diketahui panjang dan resultan vektor. Contoh Soal: Diketahui|𝑎⃗| = 2, |𝑏⃗⃗| = 3, dan |𝑎⃗ + 𝑏⃗⃗| = √19. Besar sudut antara vektor 𝑎⃗ dan 𝑏⃗⃗ adalah …. a. 30 b. 45 c. 60 d. 90 e. 120 Penyelesaian: 2 2 2 Ingat |𝑎⃗ + 𝑏⃗⃗| = |𝑎⃗| + |𝑏⃗⃗| + 2|𝑎⃗||𝑏⃗⃗| cos 𝛼 Dengan demikian diperoleh: 2

2

2

|𝑎 ⃗⃗ + 𝑏⃗⃗| = |𝑎 ⃗⃗| + |𝑏⃗⃗| + 2|𝑎 ⃗⃗||⃗𝑏⃗| cos 𝛼 2

⇔ (√19) = (2)2 + (3)2 + 2(2)(3) cos 𝛼 ⇔ 19 = 4 + 9 + 12 cos 𝛼 ⇔ 19 = 13 + 12 cos 𝛼 ⇔ 19 − 13 = 12 cos 𝛼 ⇔ 6 = 12 cos 𝛼 6 ⇔ = cos 𝛼 12 1 ⇔ = cos 𝛼 2 1 ⇔ cos 𝛼 = 2 1 Jadi, karena cos 𝛼 = , maka besar sudut 𝛼 = 60° 2

Penyelesaian TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS: Ingat kalau diketahui jumlah kedua vektor maka kosinus sudut antara dua vektor adalah: 2

cos 𝛼 =

2

2

|𝑎⃗ + 𝑏⃗⃗| − (|𝑎⃗| + |𝑏⃗⃗| )

2|𝑎⃗||𝑏⃗⃗| 19 − (4 + 9) = 12 19 − 13 = 12 6 = 12 1 = 2 1

Jadi, karena cos 𝛼 = 2, maka besar sudut 𝛼 = 60°



Halaman 79


1.

 3   2        Diketahui vektor a    3  dan b    2  . Sudut antara vektor a dan b adalah ....   4  3  TRIK SUPERKILAT:     Cek dulu. Apakah hasil perkalian titiknya nol?. 𝑎⃗ ∙ 𝑏⃗⃗ A. 135° Kalau nol pasti siku-siku. cos ∠(𝑎⃗, 𝑏⃗⃗) = |𝑎||𝑏| Dan ternyata benar, perkalian titik kedua vektor B. 120° 6 + 6 − 12 sama dengan nol, jadi jawabannya pasti C. C. 90° =  √22√29 D. 60° =0 E. 45° ∴ cos 𝜃 = 0 ⇒ 𝜃 = 90°

2.

Diketahui titik A (1, 0, −2), B (2, 1, −1), C (2, 0, −3). Sudut antara vektor AB dengan AC adalah .... A. 30° ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ TRIK SUPERKILAT: 𝐴𝐵 = 𝐵 − 𝐴 = (1, 0, 1) Cek dulu. Apakah hasil perkalian titiknya nol?. B. 45° ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝐶 − 𝐴 = (1, 0, −1 𝐴𝐶 Kalau nol pasti siku-siku. C. 60° ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴𝐵 ∙ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴𝐶 Dan ternyata benar, perkalian titik kedua vektor D. 90° ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ , 𝐴𝐶 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ) = cos ∠(𝐴𝐵 sama dengan nol, jadi jawabannya pasti C. ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |𝐴𝐵 ||𝐴𝐶 | E. 120° =

1+0−1



√2√2 =0 ∴ cos 𝜃 = 0 ⇒ 𝜃 = 90°


Halaman 80



Smart Solution



Disusun oleh :

Pak Anang


2. 12.

Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan panjang proyeksi atau vektor proyeksi.

Proyeksi Vektor Proyeksi Orthogonal Vektor 𝑎⃗ pada Vektor 𝑏⃗⃗ ⃗⃗ pada vektor ⃗𝒃⃗” “Bayangan vektor 𝒂 |𝑎⃗| 𝛼 |𝑏⃗⃗|

|𝒄 ⃗⃗|

⃗⃗| Proyeksi vektor |𝑎⃗| pada vektor |𝑏⃗⃗| adalah vektor |𝒄 Perhatikan daerah arsir, pada segitiga tersebut berlaku, |𝒄 ⃗⃗| cos 𝛼 = |𝑎⃗| Sehingga, |𝑐⃗| = |𝑎⃗| cos 𝛼

Masih ingat dengan sudut antara dua vektor? 𝑎⃗ ∙ 𝑏⃗⃗ 𝑎⃗ ∙ 𝑏⃗⃗ ⃗⃗| = |𝑎⃗| cos 𝛼 = sehingga |𝒄 |𝑎⃗||𝑏⃗⃗| |𝑎⃗||𝑏⃗⃗|

Panjang Proyeksi Vektor Proyeksi skalar |𝒄 ⃗⃗| =

𝑎⃗ ∙ 𝑏⃗⃗ |𝑏⃗⃗|

Masih ingat dengan panjang vektor satuan? 𝑏⃗⃗ 𝑏⃗⃗ ⃗⃗ = |𝒄 ⃗⃗| 𝑏̂ = sehingga 𝒄 |𝑏⃗⃗| |𝑏⃗⃗|

Vektor Proyeksi Proyeksi vektor ⃗⃗ = 𝒄

𝑎⃗ ∙ 𝑏⃗⃗ 2

|𝑏⃗⃗|

𝑏⃗⃗



Halaman 81

TRIK SUPERKILAT:

Vektor Proyeksi Perhatikan dua vektor yang terkait. Proyeksi vektor apa ke vektor apa? Proyeksi vektor 𝑎⃗ pada vektor 𝑏⃗⃗

Vektor yang diproyeksikan: ⃗⃗ Vektor 𝒂

Diproyeksikan ke vektor apa? Vektor ⃗𝒃⃗

Perhatikan opsi jawaban Pilihan Ganda

Cek opsi jawaban yang merupakan kelipatan dari vektor 𝑏⃗⃗

Hanya ada satu jawaban

Lebih dari satu jawaban

SELESAI!

Lanjutkan dengan rumus

𝑎⃗ ∙ 𝑏⃗⃗ 2

|𝑏⃗⃗| Kalau kita membahas topik soal UN Matematika SMA pada indikator soal tentang proyeksi vektor, jelas bahwa satu hal yang sering ditanyakan adalah panjang proyeksi vektor atau vektor proyeksi. Nah, jika yang ditanyakan vektor proyeksi maka jawaban yang benar seharusnya adalah kelipatan dari vektor tujuan proyeksi .

dikali

𝑏⃗⃗

SELESAI

Kesimpulan Langkah TRIK SUPERKILAT:  

Perhatikan vektor tempat proyeksi vektor. Kedua, segera tentukan apakah perkalian ada opsi jawaban yang merupakan kelipatan dari vektor tersebut. Jika ada maka kemungkinan besar itulah jawaban yang benar.

Kok bisa? Buktinya apa? Perhatikan rumus vektor proyeksi orthogonal berikut: 𝑎⃗ ∙ 𝑏⃗⃗ ⃗⃗ = 𝒄 𝑏⃗⃗ = 𝑘 𝑏⃗⃗ = kelipatan 𝒌 dari ⃗𝒃⃗ 2 ⃗⃗ |𝑏| ⏟ ℎ𝑎𝑠𝑖𝑙𝑛𝑦𝑎 𝑘𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑎

Halaman 82



Tipe Soal yang Sering Muncul Menentukan panjang proyeksi vektor. Contoh Soal: Diketahui vektor 𝑎⃗ = 4𝑖⃗ + 2𝑗⃗ + 2𝑘⃗⃗ dan 𝑏⃗⃗ = 3𝑖⃗ + 3𝑗⃗. Panjang proyeksi vektor 𝑎⃗ pada vektor 𝑏⃗⃗ adalah …. 1 a. 2 √18 b. c. d. e.

√18 2√18 3√18 4√18

Penyelesaian: Dengan menggunakan konsep proyeksi vektor, maka diperoleh: |𝑐⃗| =

𝑎⃗ ∙ 𝑏⃗⃗ |𝑏⃗⃗|

4 3 (2) ∙ (3) 2 0 = √32 + 32 + 02 (4)(3) + (2)(3) + (2)(0) = √9 + 9 + 0 12 + 6 + 0 = √18 18 = √18 18 √18 = ∙ √18 √18 18 = √18 18 = √18 Jadi, panjang proyeksi vektor 𝑎⃗ pada vektor 𝑏⃗⃗ adalah √18.



Halaman 83

Menentukan vektor proyeksi. Contoh Soal 1: Diketahui vektor 𝑎⃗ = 5𝑖⃗ − 8𝑗⃗ dan 𝑏⃗⃗ = 2𝑖⃗ − 𝑗⃗ + 2𝑘⃗⃗, maka vektor proyeksi orthogonal vektor 𝑎⃗ pada 𝑏⃗⃗ adalah …. a. b. c. d. e.

𝑖⃗ − 𝑗⃗ − 2𝑘⃗⃗ 2𝑖⃗ + 4𝑗⃗ + 4𝑘⃗⃗ 2𝑖⃗ − 𝑗⃗ − 4𝑘⃗⃗ 2𝑖⃗ + 2𝑗⃗ − 𝑘⃗⃗ 4𝑖⃗ − 2𝑗⃗ + 4𝑘⃗⃗

Penyelesaian: Dengan menggunakan konsep vektor proyeksi, maka diperoleh: 𝑐⃗ =

=

𝑎⃗ ∙ 𝑏⃗⃗ 2

|𝑏⃗⃗|

𝑏⃗⃗

5 2 (−8) ∙ (−1) 2 0 (√22

+ (−1)2

+

2 22 )

(2𝑖⃗ − 𝑗⃗ + 2𝑘⃗⃗ )

(5)(2) + (−8)(−1) + (0)(2) (2𝑖⃗ − 𝑗⃗ + 2𝑘⃗⃗ ) 22 + (−1)2 + 22 10 + 8 + 0 = (2𝑖⃗ − 𝑗⃗ + 2𝑘⃗⃗ ) 4+1+4 18 = (2𝑖⃗ − 𝑗⃗ + 2𝑘⃗⃗ ) 9 = 2(2𝑖⃗ − 𝑗⃗ + 2𝑘⃗⃗ ) = 4𝑖⃗ − 2𝑗⃗ + 4𝑘⃗⃗ =

Penyelesaian TRIK SUPERKILAT: Perhatikan vektor tujuan atau sasaran proyeksi adalah vektor 𝑏⃗⃗ = 2𝑖⃗ − 𝑗⃗ + 2𝑘⃗⃗. Perhatikan opsi jawaban, yang merupakan kelipatan dari vektor 𝑏⃗⃗ = 2𝑖⃗ − 𝑗⃗ + 2𝑘⃗⃗ hanyalah jawaban E yaitu dua kalinya vektor 𝑏⃗⃗. Selesai!

Halaman 84



Contoh Soal 2: Diketahui vektor 𝑝⃗ = 𝑖⃗ − 2𝑗⃗ + 𝑘⃗⃗ dan 𝑞⃗ = 2𝑖⃗ − 2𝑗⃗ + 𝑘⃗⃗ , maka vektor proyeksi orthogonal vektor 𝑝⃗ pada 𝑞⃗ adalah …. a. 2𝑖⃗ − 2𝑗⃗ + 𝑘⃗⃗ b.

7 (2𝑖⃗ − 9

2𝑗⃗ + 𝑘⃗⃗ )

c.

1 (2𝑖⃗ − 9

2𝑗⃗ + 𝑘⃗⃗ )

d.

9 (2𝑖⃗ − 7

2𝑗⃗ + 𝑘⃗⃗ )

e.

1 (2𝑖⃗ − 2

2𝑗⃗ + 𝑘⃗⃗ )

Penyelesaian: Dengan menggunakan konsep vektor proyeksi, maka diperoleh: 𝑝⃗ ∙ 𝑞⃗ 𝑞⃗ |𝑞|2 1 2 (−2) ∙ (−2) 1 1 =

𝑐⃗ =

(√22

+ (−2)2

+

2 12 )

(2𝑖⃗ − 2𝑗⃗ + 𝑘⃗⃗ )

(1)(2) + (−2)(−2) + (1)(1) (2𝑖⃗ − 2𝑗⃗ + 𝑘⃗⃗ ) 22 + (−2)2 + 12 2+4+1 = (2𝑖⃗ − 2𝑗⃗ + 𝑘⃗⃗ ) 4+4+1 7 = (2𝑖⃗ − 2𝑗⃗ + 𝑘⃗⃗ ) 9 =

Penyelesaian TRIK SUPERKILAT: Perhatikan vektor tujuan atau sasaran proyeksi adalah vektor 𝑞⃗ = 2𝑖⃗ − 2𝑗⃗ + 𝑘⃗⃗. Perhatikan opsi jawaban, yang merupakan kelipatan dari vektor 𝑞⃗ = 2𝑖⃗ − 2𝑗⃗ + 𝑘⃗⃗ adalah semua jawaban. Jadi kerjakan dengan cara biasa saja. 



Halaman 85

Menentukan komponen vektor apabila diketahui panjang vektor proyeksinya. Contoh Soal:

2 3 Diketahui vektor 𝑎⃗ = (1) dan 𝑏⃗⃗ = ( 0 ), dan panjang proyeksi vektor 𝑎⃗ pada 𝑏⃗⃗ adalah 2. Maka nilai 2𝑥 = …. 𝑥 −4 a. b. c. d. e.

−2 −1 0 1 2

Penyelesaian: Panjang vektor proyeksi vektor 𝑎⃗ pada 𝑏⃗⃗ adalah: 𝑎⃗ ∙ 𝑏⃗⃗ |𝑐⃗| = |𝑏⃗⃗| 2 3 (1) ∙ ( 0 ) 𝑥 −4 ⇒ 2= 2 2 √3 + 0 + (−4)2 (2)(3) + (1)(0) + (𝑥)(4) ⇔ 2= √9 + 0 + 16 6 + 0 + 4𝑥 ⇔ 2= √25 4𝑥 + 6 ⇔ 2= 5 ⇔ 10 = 4𝑥 + 6 ⇔ 10 − 6 = 4𝑥 ⇔ 4 = 4𝑥 4 ⇔ =𝑥 4 ⇔ 1=𝑥 ⇔ 𝑥=1 Jadi nilai dari 2𝑥 = 2(1) = 2

Halaman 86




1.

2.

Diketahui vektor a  5i  6 j  k dan b  i  2 j  2k. Proyeksi orthogonal vektor a pada b adalah .... A.

i  2 j  2k

B.

i  2 j  2k

C.

i  2 j  2k

D.

 i  2 j  2k

E.

2i  2 j  k

Proyeksi 𝑎⃗ 𝑘𝑒 𝑏⃗⃗ = =

𝑎⃗ ∙ 𝑏⃗⃗ 𝑏⃗⃗ |𝑏|2 5 − 12 − 2

(√1 + 4 + 4) 9 = − 𝑏⃗⃗ 9 ⃗⃗ = −𝑖⃗ + 2𝑗⃗ + 2𝑘

2

𝑏⃗⃗

TRIK SUPERKILAT: Pilihan jawaban harus merupakan kelipatan dari 𝑏⃗⃗. Lihat pola tanda pada 𝑏⃗⃗ plus min min. Jadi jawaban yang mungkin saja benar adalah plus min min atau min plus plus. Dan itu hanya dipenuhi oleh pilihan jawaban D.



Proyeksi orthogonal vektor a  4i  j  3k pada b  2i  j  3k adalah .... 13 𝑎⃗ ∙ 𝑏⃗⃗ (2i  j  3k ) A. Proyeksi 𝑎⃗ 𝑘𝑒 𝑏⃗⃗ = 𝑏 14 |𝑏|2 15 8+1+9 ⃗⃗ (2i  j  3k ) B. = 2 (2𝑖⃗ + 𝑗⃗ + 3𝑘 ) 14 (√4 + 1 + 9) 8 18 ⃗⃗ ) (2i  j  3k ) C. = (2𝑖⃗ + 𝑗⃗ + 3𝑘 14 7 9 ⃗⃗ ) 9 = (2𝑖⃗ + 𝑗⃗ + 3𝑘 7 (2i  j  3k ) D. 7 E. 4i  2 j  6k




Halaman 87

Smart Solution



Disusun oleh :

Pak Anang


2. 13.

Menentukan bayangan titik atau kurva karena dua transformasi atau lebih.

Transformasi Geometri Acuan

Translasi “Pergeseran”

Pencerminan • • • • •

terhadap 𝑥 = 𝟎 terhadap 𝑦 = 𝟎 terhadap titik (0, 0) terhadap 𝑦 = ±𝑥 terhadap 𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝟎

Rotasi

Dilatasi

sebesar 𝜃 pusat 𝑶

sebesar 𝑘 pusat 𝑶

Menggunakan konsep matriks transformasi Bentuk umum

Transformasi terhadap Titik

Transformasi terhadap Kurva

“Bayangan 𝑨(𝒙, 𝒚) adalah 𝑨′ (𝒙′ , 𝒚′ )”

“Substitusikan 𝒙, 𝒚 pada fungsi kurva”

𝑥 𝑥′ ( ′ ) = 𝑀 (𝑦) 𝑦

𝑥 𝑥′ (𝑦) = 𝑀−1 ( ) 𝑦′

𝑀 = Matriks Transformasi

𝑀−1 = Invers Matriks Transformasi

Komposisi Transformasi “Ingat (𝒇 ∘ 𝒈) artinya 𝒈 dikerjakan lebih dulu daripada 𝒇” (𝑀𝑛 ∘ … ∘ 𝑀2 ∘ 𝑀1 ) merupakan komposisi transformasi 𝑀1 dilanjutkan oleh transformasi 𝑀2 dan seterusnya sampai dengan transformasi 𝑀𝑛

Halaman 88

Komposisi Dua Transformasi Titik

Komposisi Dua Transformasi Kurva

“Bayangan 𝑨(𝒙, 𝒚) adalah 𝑨′ (𝒙′ , 𝒚′ )”

“Substitusikan 𝒙, 𝒚 pada fungsi kurva”

𝑥 𝑥′ ( ′ ) = (𝑀2 ∘ 𝑀1 ) (𝑦) 𝑦

𝑥 𝑥′ (𝑦) = (𝑀2 ∘ 𝑀1 )−1 ( ) 𝑦′



Tabel Transformasi Geometri Translasi Translasi 1.

Transformasi identitas

2.

𝒂 Translasi oleh ( ) 𝒃

Pemetaan 𝐴(𝑥, 𝑦) → 𝐴(𝑥, 𝑦) →

𝐼

𝐴′(𝑥, 𝑦)

𝑎 𝑇=( ) 𝑏

𝐴′(𝑥 + 𝑎, 𝑦 + 𝑏)

Persamaan Matriks Transformasi 𝑥′ ( ) 𝑦′

=

(

𝟏 𝟎

𝟎 ) 𝟏

𝑥 (𝑦 )

𝑥′ ( ) 𝑦′

=

(

𝟏 𝟎

𝟎 ) 𝟏

𝑥 𝒂 (𝑦 ) + ( ) 𝒃

Pencerminan Pencerminan terhadap garis 𝒙 = ….

Pemetaan

1.

Pencerminan terhadap sumbu Y (𝑥 = 0)

𝐴(𝑥, 𝑦) →

2.

Pencerminan terhadap garis 𝑥 = 𝒂

𝐴(𝑥, 𝑦) →

𝑀𝑠𝑏Y 𝑀𝑥=𝒂

Pencerminan terhadap garis 𝒚 = …. Pencerminan terhadap sumbu X (𝑦 = 0)

𝐴(𝑥, 𝑦) →

4.

Pencerminan terhadap garis 𝑦 = 𝒃

𝐴(𝑥, 𝑦) →

𝑀𝑠𝑏X

𝐴′ (𝑥, 𝟐𝒃 − 𝑦)

Pemetaan

5.

Pencerminan terhadap titik asal 𝑂(0, 0)

𝐴(𝑥, 𝑦) →

6.

Pencerminan terhadap titik 𝑷(𝒂, 𝒃)

𝐴(𝑥, 𝑦) →

𝑀𝑂(0,0)

𝐴′ (−𝑥, −𝑦)

𝑀𝑷(𝒂,𝒃)

Pencerminan terhadap garis 𝒚 = ±𝒙

𝐴′ (𝟐𝒂 − 𝑥, 𝟐𝒃 − 𝑦)

Pemetaan

7.

Pencerminan terhadap 𝑦=𝑥

𝐴(𝑥, 𝑦) →

8.

Pencerminan terhadap garis 𝑦 = −𝑥

𝐴(𝑥, 𝑦) →

Pencerminan terhadap garis 𝒚 = 𝒎𝒙

10. Pencerminan terhadap garis 𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝒄 dimana 𝑚 = tan 𝜃

𝐴′(𝑥, −𝑦)

𝑀𝑦=𝒃

Pencerminan terhadap titik (…., ….)

Pencerminan terhadap garis 𝑦 = 𝑚𝑥 dimana 𝑚 = tan 𝜃

𝐴′ (𝟐𝒂 − 𝑥, 𝑦)

Pemetaan

3.

9.

𝐴′ (−𝑥, 𝑦)

𝑀𝑦=𝑥 𝑀𝑦=−𝑥

𝑀𝑦=𝑚𝑥

𝑀𝑦=𝑚𝑥+𝒄

−𝟏 = ( 𝟎

𝑥′ − 𝒂 −𝟏 ( )= ( 𝑦′ 𝟎

𝑥′ ( ) 𝑦′

𝟏 = ( 𝟎

𝑥′ 𝟏 ( ′ )= ( 𝑦 −𝒃 𝟎

𝑥′ ( ) 𝑦′

=(

=(

𝑥 𝟎 ) (𝑦 − 𝒃) −𝟏

𝟎 ) −𝟏

𝑥 (𝑦 )

𝑥−𝒂 𝟎 )( ) −𝟏 𝑦 − 𝒃

(

𝟎 𝟏

𝟎 −𝟏

𝟏 ) 𝟎

𝑥 (𝑦 )

−𝟏 ) 𝟎

𝑥 (𝑦 )


=(

𝐜𝐨𝐬 𝟐𝜽 𝐬𝐢𝐧 𝟐𝜽

𝑥′ 𝐜𝐨𝐬 𝟐𝜽 ( ′ )=( 𝑦 −𝒄 𝐬𝐢𝐧 𝟐𝜽



𝑥 (𝑦 )

𝟎 ) −𝟏

Persamaan Matriks Transformasi

𝑥′ ( ) 𝑦′

𝑥 ′ = 𝑥 cos 2𝜃 + (𝑦 − 𝒄) sin 2𝜃 𝑦 ′ = 𝑥 sin 2𝜃 − (𝑦 − 𝒄) cos 2𝜃 + 𝒄

−𝟏 𝟎

𝑥′ − 𝒂 −𝟏 ( ′ )=( 𝑦 −𝒃 𝟎

𝐴′ (−𝑦, −𝑥)

𝐴′ (𝑥′, 𝑦′)

𝑥−𝒂 𝟎 ) ( 𝑦 ) 𝟏


=

𝐴′ (𝑥′, 𝑦′)

𝑥 (𝑦 )

𝟎 ) 𝟏


𝑥′ ( ) 𝑦′

𝑥 ′ = 𝑥 cos 2𝜃 + 𝑦 sin 2𝜃 𝑦 ′ = 𝑥 sin 2𝜃 − 𝑦 cos 2𝜃

𝐴(𝑥, 𝑦) →

𝑥′ ( ) 𝑦′

𝐴′ (𝑦, 𝑥)

Pemetaan 𝐴(𝑥, 𝑦) →


𝑥 𝐬𝐢𝐧 𝟐𝜽 ) (𝑦) − 𝐜𝐨𝐬 𝟐𝜽 𝑥 𝐬𝐢𝐧 𝟐𝜽 )( ) − 𝐜𝐨𝐬 𝟐𝜽 𝑦 − 𝒄

Halaman 89

Rotasi Rotasi sebesar 𝜽 terhadap titik (…., ….) 1.

Rotasi 𝜃° berlawanan jarum jam terhadap pusat 𝑂(0, 0)

2.

Rotasi 𝜃° berlawanan jarum jam terhadap pusat 𝑷(𝒂, 𝒃)

Pemetaan 𝐴(𝑥, 𝑦) →

𝑅[𝑂,𝜃]

𝐴′ (𝑥′, 𝑦′) 𝑥 ′ = 𝑥 cos 𝜃 − 𝑦 sin 𝜃 𝑦 ′ = 𝑥 sin 𝜃 + 𝑦 cos 𝜃

𝐴(𝑥, 𝑦) →

𝑅[𝑷(𝒂,𝒃),𝜃]

𝐴′ (𝑥 ′ , 𝑦 ′ )

𝑥 ′ = (𝑥 − 𝑎) cos 𝜃 − (𝑦 − 𝒃) sin 𝜃 + 𝒂 𝑦 ′ = (𝑥 − 𝒂) sin 𝜃 + (𝑦 − 𝒃) cos 𝜃 + 𝒃


= (

𝐜𝐨𝐬 𝜽 𝐬𝐢𝐧 𝜽

𝑥′ − 𝒂 𝐜𝐨𝐬 𝜽 ( ′ )= ( 𝑦 −𝒃 𝐬𝐢𝐧 𝜽

− 𝐬𝐢𝐧 𝜽 ) 𝐜𝐨𝐬 𝜽

𝑥 (𝑦 )

𝑥−𝒂 − 𝐬𝐢𝐧 𝜽 ) (𝑦 − 𝒃 ) 𝐜𝐨𝐬 𝜽

Dilatasi Dilatasi pusat (…., ….) faktor dilatasi 𝒌 1.

Dilatasi [𝑂, 𝑘]

2.

Dilatasi [𝑷(𝒂, 𝒃), 𝑘]

Pemetaan 𝐴(𝑥, 𝑦) → 𝐴(𝑥, 𝑦) →

𝐷[𝑂,𝑘]

𝐴′ (𝑘𝑥, 𝑘𝑦)

𝐷[𝑷(𝒂,𝒃),𝑘]

𝐴′ (𝑥 ′ , 𝑦 ′ ) 𝑥 ′ = 𝑘(𝑥 − 𝑎) + 𝑎 𝑦 ′ = 𝑘(𝑦 − 𝑏) + 𝑏


= (

𝒌 𝟎

𝑥′ − 𝒂 𝒌 ( ′ )= ( 𝑦 −𝒃 𝟎

𝟎 ) 𝒌

𝑥 (𝑦 )

𝑥−𝒂 𝟎 ) (𝑦 − 𝒃 ) 𝒌

Keterangan: Transformasi terhadap titik: Masukkan titik (𝑥, 𝑦) ke matriks transformasi sehingga diperoleh titik bayangan transformasi (𝑥 ′ , 𝑦 ′ ). 𝑥 𝑥′ ( ′ ) = 𝑀 (𝑦) 𝑦 Transformasi terhadap fungsi (kurva): Substitusikan 𝑥 dan 𝑦 ke fungsi sehingga fungsi baru hasil transformasi mengandung variabel 𝑥′ dan 𝑦′. Untuk mempermudah gunakan invers matriks: 𝑥 𝑥 𝑥′ 𝑥′ ( ′ ) = 𝑀 (𝑦) ⇒ 𝑀−1 ( ′ ) = (𝑦) 𝑦 𝑦 𝑥 𝑥′ ⇔ (𝑦) = 𝑀−1 ( ′ ) 𝑦 Jika matriks transformasinya mudah diinvers menggunakan invers fungsi, maka tidak perlu menggunakan invers matriks. Mubazir.  Keterangan warna: = “Transformasi ACUAN”. = “Transformasi TURUNAN”. 𝐜𝐨𝐬 𝟐𝜽 𝐬𝐢𝐧 𝟐𝜽 ( ) = “Matriks Transformasi ACUAN” 𝐬𝐢𝐧 𝟐𝜽 − 𝐜𝐨𝐬 𝟐𝜽 𝑷(𝒂, 𝒃)

Halaman 90

= Persamaan Matriks Transformasinya perlu penyesuaian terhadap “ACUAN”.



TRIK SUPERKILAT konsep matriks transformasi untuk pencerminan, rotasi dan dilatasi. LOGIKA PRAKTIS untuk menyusun matriks transformasi ACUAN. Buat dua titik, 𝐴(1, 0) dan 𝐵(0, 1) pada bidang koordinat 𝐵(0, 1)

Transformasikan kedua titik (−1, 0)

𝐴(1, 0) (0, −1)

Tulis hasil transformasi titik ke dalam matriks kolom

Selesailah matriks transformasi kita Kalau kita membahas topik soal UN Matematika SMA pada indikator soal tentang transformasi geometri, jelas bahwa satu hal yang sering ditanyakan adalah bayangan kurva terhadap beberapa transformasi. Untuk transformasi terhadap suatu titik sepertinya peluangnya kecil untuk muncul dalam soal UN 2013 nanti. Nah, sebenarnya ada cara yang cukup mudah untuk mengingat pola matriks transformasi dari pencerminan, rotasi maupun dilatasi. Perhatikan langkah di bawah ini. Hubungan Matriks dan Transformasi 𝑎 Misalkan 𝑀 = ( 𝑐

𝑏 ) adalah matriks transformasi 𝑇, 𝑑

maka hasil dari transformasi titik 𝑨(𝟏, 𝟎) adalah: 𝑥 ′ 𝒂 𝑎 𝑏 1 ( 𝐴′) = ( )( ) = ( ) 𝒄 𝑦𝐴 𝑐 𝑑 0 dan hasil dari transformasi titik 𝑩(𝟎, 𝟏) adalah: 𝑥 ′ 𝑎 𝑏 0 𝒃 ( 𝐵 ′) = ( )( ) = ( ) 𝑦𝐵 𝑐 𝑑 1 𝒅 Sehingga proses menyusun matriks transformasi 𝑀 adalah dengan meletakkan titik 𝐴(1, 0) dan 𝐵(0, 1) pada 𝑥 ′ bidang koordinat lalu kita transformasikan. Misalkan, ( 𝐴 ′ ) adalah hasil transformasi dari titik A sedangkan 𝑦𝐴 𝑥𝐵 ′ ( ′ ) adalah hasil transformasi titik B, maka matriks transformasi tersebut adalah: 𝑦𝐵 𝒙 ′ 𝒂 𝒃 𝑀=( ) = ( 𝑨′ 𝒚𝑨 𝒄 𝒅

𝒙𝑩 ′ ) 𝒚𝑩 ′

Contohnya bagaimana?? Oke, berikut ini beberapa contoh matriks transformasi : Pencerminan terhadap sumbu Y (garis 𝒙 = 𝟎).

𝑨′ (−𝟏, 𝟎)

𝑨(𝟏, 𝟎)

Jadi matriks transformasi untuk pencerminan terhadap sumbu Y (garis 𝑥 = 0) adalah:

𝑠𝑏 Y

𝑩′(𝟎, 𝟏)

𝑠𝑏 Y

Perhatikan sumbu koordinat di samping, Untuk pencerminan terhadap sumbu Y (garis 𝑥 = 0), maka titik A akan berpindah ke samping kiri, sehingga koordinatnya menjadi 𝑨′ (−𝟏, 𝟎). sedangkan titik B tidak berpindah, tetap di B, sehingga koordinatnya tetap di 𝑩′ (𝟎, 𝟏).

𝑴𝒔𝒃𝒀 = (

−𝟏 𝟎 ) 𝟎 𝟏

Koordinat 𝑨′ (−𝟏, 𝟎)

Koordinat 𝑩′ (𝟎, 𝟏)



Halaman 91

Pencerminan terhadap sumbu X (garis 𝒚 = 𝟎).

𝑠𝑏 X

𝑨′(𝟏, 𝟎)

Perhatikan sumbu koordinat di samping, Untuk pencerminan terhadap sumbu X (garis 𝑦 = 0), maka titik A tidak akan berpindah, tetap di A, sehingga koordinatnya tetap di 𝑨′ (𝟏, 𝟎). sedangkan titik B akan berpindah ke bawah, sehingga koordinatnya menjadi 𝑩′ (𝟎, −𝟏). Jadi matriks transformasi untuk pencerminan terhadap sumbu X (garis 𝑦 = 0) adalah:

𝑩(𝟎, 𝟏)

𝑴𝒔𝒃𝑿

𝑠𝑏 X 𝑩′ (𝟎, −𝟏)

𝟏 𝟎 =( ) 𝟎 −𝟏

Koordinat 𝑨′ (𝟏, 𝟎)

Koordinat 𝑩′ (𝟎, −𝟏)

Pencerminan terhadap titik asal 𝑶(0, 0).

𝑨′ (−𝟏, 𝟎)

𝑨(𝟏, 𝟎) 𝑂(0, 0)

Perhatikan sumbu koordinat di samping, Untuk pencerminan terhadap titik asal 𝑂(0, 0), maka titik A akan berpindah ke samping kiri, sehingga koordinatnya menjadi 𝑨′ (−𝟏, 𝟎). sedangkan titik B tidak berpindah, tetap di B, sehingga koordinatnya menjadi 𝑩′ (𝟎, 𝟏). Jadi matriks transformasi untuk pencerminan terhadap titik asal 𝑂(0, 0) adalah:

−𝟏 𝟎 ) 𝟎 −𝟏

𝑩(𝟎, 𝟏)

𝑴𝑶(𝟎,𝟎) = (

𝑂(0, 0) (𝟎, −𝟏)


Koordinat 𝑩′ (𝟎, 𝟏)

Pencerminan terhadap garis 𝒚 = 𝒙. 𝑨′ (𝟎, 𝟏) 𝑨(𝟏, 𝟎)

Perhatikan sumbu koordinat di samping, Untuk pencerminan terhadap garis 𝑦 = 𝑥, maka titik A akan berpindah ke kiri atas, sehingga koordinatnya menjadi 𝑨′ (𝟎, 𝟏). dan titik B akan berpindah ke kanan bawah, sehingga koordinatnya menjadi 𝑩′ (𝟏, 𝟎).

𝑦=𝑥

Jadi matriks transformasi untuk pencerminan terhadap garis 𝑦 = 𝑥 adalah: 𝑩(𝟎, 𝟏) 𝑩′(𝟏, 𝟎) 𝑦=𝑥

𝑴𝒚=𝒙 = (

𝟎 𝟏

Koordinat 𝑨′ (𝟎, 𝟏)

Halaman 92

𝟏 ) 𝟎 Koordinat 𝑩′ (𝟏, 𝟎)



Pencerminan terhadap garis 𝒚 = −𝒙.

𝑨(𝟏, 𝟎) 𝑨′ (𝟎, −𝟏)

Perhatikan sumbu koordinat di samping, Untuk pencerminan terhadap garis 𝑦 = −𝑥, maka titik A akan berpindah ke kiri bawah, sehingga koordinatnya menjadi 𝑨′ (𝟎, −𝟏). dan titik B akan berpindah ke kiri bawah, sehingga koordinatnya menjadi 𝑩′ (−𝟏, 𝟎).

𝑦 = −𝑥

Jadi matriks transformasi untuk pencerminan terhadap garis 𝑦 = −𝑥 adalah: 𝑩(𝟎, 𝟏)

𝟎 −𝟏 ) −𝟏 𝟎

𝑴𝒚=−𝒙 = (

𝑩′(−𝟏, 𝟎) 𝑦 = −𝑥

Koordinat 𝑨′ (𝟎, −𝟏)

Koordinat 𝑩′ (−𝟏, 𝟎)

Rotasi 90° berlawanan jarum jam dengan pusat 𝑶(𝟎, 𝟎). 𝑨′ (𝟎, 𝟏) 𝑨(𝟏, 𝟎)

Perhatikan sumbu koordinat di samping, Untuk pencerminan terhadap rotasi 90° berlawanan jarum jam dengan pusat 𝑂(0, 0), maka titik A akan berpindah ke kiri atas, sehingga koordinatnya menjadi 𝑨′ (𝟎, 𝟏). dan titik B akan berpindah ke kiri bawah, sehingga koordinatnya menjadi 𝑩′ (−𝟏, 𝟎).

rotasi 90° berlawanan jarum jam

Jadi matriks transformasi rotasi 90° berlawanan jarum jam dengan pusat 𝑂(0, 0): 𝑩(𝟎, 𝟏)

𝟎 −𝟏 ) 𝟏 𝟎

𝑴𝑹(𝑶,𝟗𝟎°) = (

𝑩′(−𝟏, 𝟎)


Koordinat 𝑨′ (𝟎, 𝟏)

Koordinat 𝑩′ (𝟏, 𝟎)

Rotasi 180° berlawanan jarum jam dengan pusat 𝑶(𝟎, 𝟎).

𝑨′ (−𝟏, 𝟎)

𝑨(𝟏, 𝟎)

Perhatikan sumbu koordinat di samping, Untuk pencerminan terhadap rotasi 180° berlawanan jarum jam dengan pusat 𝑂(0, 0), maka titik A akan berpindah ke samping kiri, sehingga koordinatnya menjadi 𝑨′ (−𝟏, 𝟎). dan titik B akan berpindah ke bawah, sehingga koordinatnya menjadi 𝑩′ (𝟎, −𝟏).


Jadi matriks transformasi rotasi 180° berlawanan jarum jam dengan pusat 𝑂(0, 0): 𝑩(𝟎, 𝟏)

𝑩′(𝟎, −𝟏)

−𝟏 𝟎

𝑴𝑹(𝑶,𝟏𝟖𝟎°) = (


𝟎 ) −𝟏




Koordinat 𝑩′ (𝟎, −𝟏)

Halaman 93

Rotasi 270° berlawanan jarum jam dengan pusat 𝑶(𝟎, 𝟎). atau sama dengan Rotasi 90° searah jarum jam dengan pusat 𝑶(𝟎, 𝟎).

𝑨(𝟏, 𝟎) 𝑨′ (𝟎, −𝟏) rotasi 270° berlawanan jarum jam rotasi 90° searah jarum jam 𝑩(𝟎, 𝟏) 𝑩′(𝟏, 𝟎)

rotasi 270° berlawanan jarum jam rotasi 90° searah jarum jam

Perhatikan sumbu koordinat di samping, Untuk pencerminan terhadap rotasi 270° berlawanan jarum jam dengan pusat 𝑂(0, 0) atau sama dengan rotasi 90° searah jarum jam dengan pusat 𝑂(0, 0), maka titik A akan berpindah ke kiri bawah, sehingga koordinatnya menjadi 𝑨′ (𝟎, −𝟏). dan titik B akan berpindah kanan bawah, sehingga koordinatnya menjadi 𝑩′ (𝟏, 𝟎). Jadi matriks transformasi rotasi 270° berlawanan jarum jam dengan pusat 𝑂(0, 0) atau sama dengan rotasi 90° searah jarum jam dengan pusat 𝑂(0, 0):

𝟎 −𝟏

𝑴𝑹(𝑶,𝟐𝟕𝟎°) = 𝑴𝑹(𝑶,−𝟗𝟎°) = ( Koordinat 𝑨′ (𝟎, −𝟏)

𝟏 ) 𝟎

Koordinat 𝑩′ (𝟏, 𝟎)

Dilatasi dengan faktor skala dilatasi sebesar 𝒌 dengan pusat 𝑶(𝟎, 𝟎).

𝑨(𝟏, 𝟎)

𝑨′ (𝒌, 𝟎)

dilatasi dengan faktor skala k

Perhatikan sumbu koordinat di samping, Untuk dilatasi dengan faktor skala dilatasi sebesar 𝑘 dengan pusat 𝑂(0, 0), maka titik A berpindah sebesar faktor skala, sehingga koordinatnya menjadi 𝑨′ (𝒌, 𝟎). dan titik B berpindah sebesar faktor skala, sehingga koordinatnya menjadi 𝑩′ (𝟎, 𝒌). Jadi matriks transformasi dilatasi faktor skala dilatasi sebesar 𝑘 dan pusat 𝑂(0, 0):

𝑩′(𝟎, 𝒌) 𝑩(𝟎, 𝟏)

𝑴𝑫(𝑶,𝒌) dilatasi dengan faktor skala k

Halaman 94

𝒌 =( 𝟎

Koordinat 𝑨′ (𝒌, 𝟎)

𝟎 ) 𝒌 Koordinat 𝑩′ (𝟎, 𝒌)



Pencerminan terhadap garis 𝒚 = 𝒎𝒙, dengan 𝒎 = 𝐭𝐚𝐧 𝜽. 𝑨′ (𝐜𝐨𝐬 𝟐𝜽 , 𝐬𝐢𝐧 𝟐𝜽)

𝜽

Perhatikan sumbu koordinat di samping, Untuk pencerminan terhadap garis 𝑦 = 𝑚𝑥 dengan 𝑚 = tan 𝜃, maka titik A akan berputar sejauh 2𝜃, sehingga menjadi 𝑨′ (𝐜𝐨𝐬 𝟐𝜽, 𝐬𝐢𝐧 𝟐𝜽). dan titik B akan berputar sejauh −(90 − 2𝜃), sehingga menjadi 𝑩′ (𝐬𝐢𝐧 𝟐𝜽, −𝐜𝐨𝐬 𝟐𝜽).

𝜽 𝑨(𝟏, 𝟎)

Jadi matriks transformasi pencerminan terhadap garis 𝑦 = 𝑚𝑥 dengan 𝑚 = tan 𝜃: 𝑩(𝟎, 𝟏)

𝑴𝒚=𝒎𝒙 = ( 𝜽 𝜽

𝐜𝐨𝐬 𝟐𝜽 𝐬𝐢𝐧 𝟐𝜽

𝐬𝐢𝐧 𝟐𝜽 ) − 𝐜𝐨𝐬 𝟐𝜽

Koordinat 𝑨′ (𝐜𝐨𝐬 𝟐𝜽, 𝐬𝐢𝐧 𝟐𝜽)

𝟗𝟎° − 𝟐𝜽

𝑩′ (𝐜𝐨𝐬 (𝟗𝟎° − 𝟐𝜽), − 𝐬𝐢𝐧(𝟗𝟎° − 𝟐𝜽)) atau dengan sifat kuadran bisa diubah menjadi 𝑩′ (𝐬𝐢𝐧 𝟐𝜽, − 𝐜𝐨𝐬 𝟐𝜽)

Koordinat 𝑩′ (𝐬𝐢𝐧 𝟐𝜽, − 𝐜𝐨𝐬 𝟐𝜽)

Rotasi sebesar 𝜽 berlawanan jarum jam dengan pusat 𝑶(𝟎, 𝟎). Perhatikan sumbu koordinat di samping, Untuk pencerminan terhadap rotasi 180° berlawanan jarum jam dengan pusat 𝑂(0, 0), maka titik A akan berputar sejauh 𝜃, sehingga koordinatnya menjadi 𝑨′ (𝐜𝐨𝐬 𝜽, 𝐬𝐢𝐧 𝜽). dan titik B akan berputar sejauh 𝜃, sehingga koordinatnya menjadi 𝑩′ (−𝐬𝐢𝐧 𝜽, 𝐜𝐨𝐬 𝜽).

𝑩(𝟎, 𝟏)

𝑨′ (𝐜𝐨𝐬 𝜽 , 𝐬𝐢𝐧 𝜽) 𝑩′ (−𝐬𝐢𝐧 𝜽, 𝐜𝐨𝐬 𝜽) 𝜽

Jadi matriks transformasi rotasi 180° berlawanan jarum jam dengan pusat 𝑂(0, 0):

𝜽 𝑨(𝟏, 𝟎)

𝑴𝑹(𝑶,𝜽)

𝐜𝐨𝐬 𝜽 =( 𝐬𝐢𝐧 𝜽

−𝐬𝐢𝐧 𝜽 ) 𝐜𝐨𝐬 𝜽

Koordinat 𝑨′ (𝐜𝐨𝐬 𝜽, 𝐬𝐢𝐧 𝜽) Koordinat 𝑩′ (−𝐬𝐢𝐧 𝜽, 𝐜𝐨𝐬 𝜽)

Kesimpulan LOGIKA PRAKTIS menyusun matriks transformasi acuan: Dari semua matriks transformasi yang ada, satu hal yang penting dan yang perlu diingat adalah bagaimana konsep menyusun matriks transformasi tersebut , yaitu:  

Kolom pertama matriks transformasi adalah bayangan titik 𝑨(𝟏, 𝟎) terhadap transformasi tersebut. Kolom kedua matriks transformasi adalah bayangan titik 𝑩(𝟎, 𝟏) terhadap transformasi tersebut.

𝒂 𝑀=( 𝒄

𝒙𝑨 ′ 𝒃 )=( ′ 𝒚𝑨 𝒅

𝒙𝑩 ′ ) 𝒚𝑩 ′



Halaman 95

TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS untuk menyusun matriks transformasi TURUNAN. Masih ingat matriks transformasi acuan kita. Oke saya ingatkan lagi! Berikut ini matriks acuan kita. Semuanya yang berwarna biru memang serba nol! Ini acuan kita. Pencerminan:     

terhadap garis 𝑦 = 𝟎 (sumbu X) terhadap garis 𝑥 = 𝟎 (sumbu Y) terhadap titik (0, 0) terhadap garis 𝑦 = ±𝑥 terhadap garis 𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝟎

Rotasi 

sebesar 𝜃 berlawanan arah jarum jam dengan pusat 𝑶(𝟎, 𝟎)

Dilatasi 

faktor dilatasi 𝑘 dengan pusat 𝑶(𝟎, 𝟎)

Perhatikan yang saya tandai warna biru. Itu yang bisa berubah! Perhatikan perbedaannya dengan transformasi di bawah ini! Pencerminan:    

pencerminan terhadap garis 𝑦 = 𝒃 pencerminan terhadap garis 𝑥 = 𝒂 pencerminan terhadap titik (𝒂, 𝒃) pencerminan terhadap garis 𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝒄

Rotasi 

rotasi sebesar 𝜃 berlawanan arah jarum jam, tapi dengan pusat rotasi titik 𝑷(𝒂, 𝒃)

Dilatasi 

dilatasi dengan faktor dilatasi 𝑘, tapi dengan pusat rotasi titik 𝑷(𝒂, 𝒃)

Tidak perlu khawatir lagi, gunakan LOGIKA PRAKTIS seperti ini: Pertama, lakukan translasi supaya kembali ke posisi transformasi acuan. Misal rotasi sebesar 𝜃, kok pusatnya di titik 𝑃(𝑎, 𝑏) bukan 𝑂(0, 0)? −𝑎 Maka lakukan translasi ( ) pada titik tersebut, agar pusatnya menjadi ke 𝑂(0, 0) −𝑏 𝑥−𝑎 (𝑦 − 𝑏 ) Kedua, lakukan transformasi rotasi yang dimaksud! 𝑥−𝑎 𝑥′ ( ′ ) = 𝑀𝑅(𝑃,𝜃) (𝑦 − 𝑏) 𝑦 𝑎 Ketiga, kembalikan hasil transformasi ke posisi semula dengan mentranslasi balik yaitu 𝑇 = ( ). 𝑏 𝑥−𝑎 𝑎 𝑥′ ( ′ ) = 𝑀𝑅(𝑃,𝜃) (𝑦 − 𝑏) + ( ) 𝑏 𝑦 atau biasa ditulis dengan: (

𝑥−𝒂 𝑥′ − 𝒂 ) = 𝑀𝑅(𝑃,𝜃) (𝑦 − 𝒃) ′ 𝑦 −𝒃

Kesimpulan LOGIKA PRAKTIS menyusun matriks transformasi TURUNAN dari matriks transformasi ACUAN: Ingat bentuk matriks transformasi ACUAN, lalu lakukan translasi pada kedua variabel titik awal maupun hasil akhir, sehingga bentuk matriks transformasi TURUNAN sebagai berikut: 𝑥−𝒂 𝑥′ − 𝒂 ( ′ ) = 𝑀 (𝑦 − 𝒃) 𝑦 −𝒃

Halaman 96



𝒑 TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS untuk Transformasi pada Kurva terhadap matriks transformasi 𝑻 = ( 𝒓

𝒒 ). 𝒔

Masih ingat pengerjaan transformasi pada kurva? Asyik! Kalau transformasi sebuah titik, tinggal masukin aja ke persamaan matriks transformasi. Sedangkan apabila transformasi dilakukan pada sebuah kurva, maka perlu diinvers terlebih dahulu supaya muncul bentuk 𝑥 = … .atau 𝑦 = …. yang kemudian akan disubstitusikan ke persamaan. Nah, ini dia bentuk persamaan matriks transformasinya. 𝑥 𝑥′ (𝑦) = 𝑀−1 ( ) 𝑦′ Sekarang misal bunyi soalnya seperti ini: Diketahui persamaan 𝒂𝒙 + 𝒃𝒚 + 𝒄 = 𝟎, maka bayangan persamaan tersebut oleh transformasi yang 𝒑 𝒒 bersesuaian dengan matriks ( ) adalah …. ??? 𝒓 𝒔 𝑝 𝑞 Nah, misalkan matriks transformasi 𝑀 adalah 𝑇 = ( ) dan |𝑀| adalah determinan matriks transformasi 𝑟 𝑠 tersebut, maka persamaan matriks transformasi menjadi: 𝑥 𝑥′ (𝑦) = 𝑀−1 ( ) 𝑦′ 1 𝑥 𝑠 −𝑞 𝑥 ′ ⇒ (𝑦) = (−𝑟 𝑝 ) ( ′ ) 𝑦 |𝑀| Dari persamaan matriks tersebut diperoleh: 1 (𝑠𝑥 ′ − 𝑞𝑦 ′ ) 𝑥= |𝑀| 1 (−𝑟𝑥 ′ + 𝑝𝑦 ′ ) 𝑦= |𝑀| Substitusikan 𝑥 dan 𝑦 pada persamaan 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐 = 0, maka akan diperoleh: 1 1 (𝑠𝑥 ′ − 𝑞𝑦 ′ )] + 𝑏 [ (−𝑟𝑥 ′ + 𝑝𝑦 ′ )] + 𝑐 = 0 (kalikan semua ruas dengan |𝑀|) 𝑎[ |𝑀| |𝑀| ⇒ 𝑎(𝑠𝑥 ′ − 𝑞𝑦 ′ ) + 𝑏(−𝑟𝑥 ′ + 𝑝𝑦 ′ ) + |𝑀|𝑐 = 0 ⇔ 𝑎𝑠𝑥 ′ − 𝑎𝑞𝑦 ′ − 𝑏𝑟𝑥 ′ + 𝑏𝑝𝑦 ′ + |𝑀|𝑐 = 0 ⇔ 𝑎𝑠𝑥 ′ − 𝑏𝑟𝑥 ′ + 𝑏𝑝𝑦 ′ − 𝑎𝑞𝑦 ′ + |𝑀|𝑐 = 0 (𝑎𝑠 − 𝑏𝑟)𝑥 ′ + (𝑏𝑝 − 𝑎𝑞)𝑦 ′ + |𝑀|𝑐 = 0 ⇔ 𝑝 𝑞 ′ 𝑝 𝑞 𝑎 𝑏 ′ ⇔ | |𝑥 + | |𝑦 + | |𝑐 = 0 𝑎 𝑏 𝑎 𝑏 𝑟 𝑠 TRIK SUPERKILAT: Jadi rumus cepat untuk bayangan garis 𝒂𝑥 + 𝒃𝑦 + 𝒄 = 0 terhadap matriks transformasi 𝑇 = ( |

𝒑 𝒒 ): 𝒓 𝒔

𝒑 𝒒 𝒑 𝒒 𝒂 𝒃 |𝑥 + | |𝑦 + | |𝑐 = 0 𝒓 𝒔 𝒂 𝒃 𝒓 𝒔



Halaman 97

Tipe Soal yang Sering Muncul Menentukan bayangan transformasi tunggal terhadap sebuah titik. Contoh Soal 1:

2 Bayangan dari titik 𝐴(3, −5) oleh transformasi 𝑇 = ( ) adalah …. 3 a. (5, −8) b. (5, −2) c. (1, −2) d. (−5, 2) e. (−5, 8) Penyelesaian: Dengan menggunakan konsep translasi diperoleh: 𝑥 𝑎 𝑥′ 3 2 5 ( ′ ) = (𝑦) + ( ) = ( ) + ( ) = ( ) 𝑏 𝑦 −5 3 −2

Contoh Soal 2: Bayangan dari titik 𝐵(3, −5) oleh pencerminan terhadap garis 𝑦 = −2 adalah …. a. (5, −8) b. (5, −2) c. (1, −2) d. (−5, 2) e. (−5, 8) Penyelesaian: Dengan menggunakan konsep pencerminan maka kita harus mengembalikan ke garis acuan yaitu 𝑦 = 0 alias sumbu X, masih ingat kan matriks transformasinya?  𝑥 𝑥′ ( ′ ) = 𝑀𝑠𝑏𝑋 (𝑦 + 2) 𝑦 +2 3 𝑥′ 1 0 ⇒ ( ′ )=( )( ) 𝑦 +2 0 −1 (−5) + 2 𝑥′ 1 0 3 ⇔ ( ′ )=( )( ) 𝑦 +2 0 −1 −3 𝑥′ 0 3 ⇔ ( ′) + ( ) = ( ) 𝑦 3 2 ′ 𝑥 3 0 ⇔ ( ′) = ( ) − ( ) 𝑦 3 2 𝑥′ 3 ⇔ ( ′) = ( ) 𝑦 1 Atau menggunakan pemetaan: 𝑀𝑦=𝒃

𝐴(𝑥, 𝑦) → 𝐴′ (𝑥, 𝟐𝒃 − 𝑦) Jadi: 𝑥′ = 𝑥 = 3 𝑦 ′ = 2𝑏 − 𝑦 = 2(−2) − (−5) = −4 + 5 = 1 Jadi bayangan titik tersebut adalah 𝐵′ (3, 1) Atau menggunakan grafik. (3, 1) (3, −5)

Halaman 98

𝑦 = −2



Contoh Soal 3: Bayangan dari titik 𝐶(−2, 1) oleh rotasi sebesar 45° dengan pusat (1, 2) adalah …. a. (1 − √2, 2 − √2) b. (2 − √2, 1 − √2) c. (−1 + √2, 1 − √2) d. (2 + √2, 2 − √2) e. (1 − √2, 2 + √2) Penyelesaian: Dengan menggunakan konsep rotasi maka kita harus mengembalikan rotasi acuan dengan pusat 𝑂(0, 0) masih ingat kan matriks transformasinya?  𝑥−1 𝑥′ − 1 ) = 𝑀𝑅(𝑂,45°) ( ) 𝑦−2 𝑦′ − 2 𝑥′ − 1 cos 45° −sin 45° −2 − 1 ⇒ ( ′ )=( )( ) 𝑦 −2 1−2 sin 45° cos 45° 1 1 − √2 √2 ′ 𝑥 −1 2 ) (−3) ⇔ ( ′ ) = (2 1 1 𝑦 −2 −1 √2 √2 2 2 3 1 − + √2 √2 ′ 𝑥 −1 2 ) ⇔ ( ′) + ( ) = ( 2 3 1 𝑦 −2 − √2 − √2 2 2 𝑥′ −1 ⇔ ( ′ ) + ( ) = ( −√2 ) 𝑦 −2 −2√2 ′ 𝑥 −1 ⇔ ( ′ ) = ( −√2 ) − ( ) 𝑦 −2 −2√2 ′ 𝑥 1 − √2 ⇔ ( ′) = ( ) 𝑦 2 − 2√2 (

Contoh Soal 4: Bayangan dari titik 𝐷(4, 2) oleh dilatasi dengan faktor dilatasi −2 dan pusat (0, 5) adalah …. a. (8, 4) b. (8, 1) c. (−8, 1) d. (−8, 3) e. (−8, 11) Penyelesaian: Dengan menggunakan konsep dilatasi maka kita harus mengembalikan ke dilatasi acuan pusat 𝑂(0, 0) masih ingat kan matriks transformasinya?  𝑥 𝑥′ ) = 𝑀𝐷(𝑂,−2) (𝑦 − 5) 𝑦 −5 𝑥′ −2 0 4 ⇒ ( ′ )=( )( ) 𝑦 −5 0 −2 2 − 5 𝑥′ −2 0 4 ⇔ ( ′ )=( )( ) 𝑦 −5 0 −2 −3 𝑥′ 0 −8 ⇔ ( ′) + ( ) = ( ) 𝑦 −5 6 𝑥′ −8 0 ⇔ ( ′) = ( ) − ( ) 𝑦 6 −5 𝑥′ −8 ⇔ ( ′) = ( ) 𝑦 11 (

′



Halaman 99

Menentukan bayangan komposisi transformasi terhadap sebuah titik. Bayangan dari titik 𝐸(2, 0) oleh pencerminan terhadap sumbu X dan dilanjutkan dengan rotasi 90° terhadap titik asal 𝑂(0, 0) adalah …. a. (2, 0) b. (2, −2) c. (1, 2) d. (0, 2) e. (0, −2) Penyelesaian: Dengan menggunakan konsep komposisi transformasi maka: 𝑥 𝑥′ ( ′ ) = 𝑀𝑅(𝑂,90°) ∘ 𝑀𝑠𝑏𝑋 (𝑦) 𝑦 𝑥′ 0 −1 1 0 2 ⇒ ( ′) = ( )( )( ) 𝑦 1 0 0 −1 0 𝑥′ 0 1 2 ⇔ ( ′) = ( )( ) 𝑦 1 0 0 𝑥′ 0 ⇔ ( ′) = ( ) 𝑦 2 Penyelesaian LOGIKA PRAKTIS: Untuk mencari matriks komposisi transformasi dapat dilakukan langkah sebagai berikut: Titik A(1, 0) di transformasikan sebagai berikut: Dicerminkan oleh sumbu X dilanjutkan rotasi 90°, hasilnya 𝐴′ (0, 1)

Titik B(0, 1) ditransformasikan sebagai berikut: Dicerminkan oleh sumbu X dilanjutkan rotasi 90°, hasilnya 𝐵′ (1, 0)

Maka matriks komposisi transformasinya adalah: 0 1 𝑀=( ) 1 0 Sehingga, 𝑥 𝑥′ ( ′ ) = 𝑀 (𝑦) 𝑦 𝑥′ 0 1 2 ⇒ ( ′) = ( )( ) 𝑦 1 0 0 𝑥′ 0 ⇔ ( ′) = ( ) 𝑦 2 Selesai!

Halaman 100



Menentukan bayangan transformasi tunggal terhadap sebuah kurva. Contoh Soal 1:

2 Bayangan dari kurva 3𝑥 − 2𝑦 = 7 oleh transformasi 𝑇 = ( ) adalah …. 5 a. 3𝑥 − 2𝑦 = 3 b. 3𝑥 − 2𝑦 = 5 c. 3𝑥 − 2𝑦 = 9 d. 3𝑥 − 2𝑦 = 11 e. 3𝑥 − 2𝑦 = 23 Penyelesaian: Dengan menggunakan konsep translasi diperoleh: 𝑥 𝑎 𝑖𝑛𝑣𝑒𝑟𝑠 𝑥 𝑎 𝑥′ 𝑥′ ( ′ ) = (𝑦) + ( ) ⇒ (𝑦) = ( ′ ) − ( ) 𝑏 𝑏 𝑦 𝑦 𝑥 𝑎 𝑥′ (𝑦) = ( ′ ) − ( ) 𝑏 𝑦 𝑥 𝑥′ 2 ⇒ (𝑦) = ( ′ ) − ( ) 𝑦 5 𝑥 𝑥′ − 2 𝑥 = 𝑥′ − 2 ⇔ (𝑦) = ( ′ )⇒ 𝑦 −5 𝑦 = 𝑦′ − 5 Sehingga, substitusi nilai 𝑥 dan 𝑦 pada persamaan 3𝑥 − 2𝑦 = 7, diperoleh: ⇒ 3(𝑥 ′ − 2) − 2(𝑦 ′ − 5) = 7 ⇔ 3𝑥 ′ − 6 − 2𝑦 ′ + 10 = 7 ⇔ 3𝑥 ′ − 2𝑦 ′ + 4 = 7 ⇔ 3𝑥 ′ − 2𝑦 ′ = 7 − 4 ⇔ 3𝑥 ′ − 2𝑦 ′ = 3 Jadi persamaan bayangannya adalah 3𝑥 − 2𝑦 = 3 TRIK SUPERKILAT: 𝒂𝒙 + 𝒃𝒚 = 𝒄 → 3𝑥 − 2𝑦 = 7 →

𝒑 𝑻=(𝒒)

𝒂𝒙 + 𝒃𝒚 = 𝒄 + 𝒂𝒑 + 𝒃𝒒

2 𝑇=( ) 5

3𝑥 − 2𝑦 = 7 + 3(2) − 2(5) ⇒ 3𝑥 − 2𝑦 = 7 + 6 − 10 ⇒ 3𝑥 − 2𝑦 = 3



Halaman 101

Contoh Soal 2: Bayangan dari kurva 𝑦 = 2𝑥 2 + 3𝑥 − 1 oleh pencerminan terhadap sumbu Y adalah …. a. 𝑦 = 2𝑥 2 + 3𝑥 − 1 b. 𝑦 = −2𝑥 2 + 3𝑥 − 1 c. 𝑦 = 2𝑥 2 − 3𝑥 − 1 d. 𝑦 = −2𝑥 2 − 3𝑥 − 1 e. 𝑦 = 3𝑥 2 − 2𝑥 − 1 Penyelesaian: Dengan menggunakan konsep pencerminan terhadap sumbu Y diperoleh: 𝑥′ 𝑥 ′ = −𝑥 𝑖𝑛𝑣𝑒𝑟𝑠 𝑥 = −𝑥 ′ −1 0 𝑥 ( ′) = ( ) (𝑦) ⇒ ′ ⇒ 𝑦 𝑦 =𝑦 𝑦 = 𝑦′ 0 1 Sehingga, substitusi nilai 𝑥 dan 𝑦 pada persamaan 𝑦 = 2𝑥 2 + 3𝑥 − 1, diperoleh: ⇒ 𝑦 = 2𝑥 2 + 3𝑥 − 1 ⇔ 𝑦 ′ = 2(−𝑥 ′ )2 + 3(−𝑥 ′ ) − 1 2

⇔ 𝑦 ′ = 2𝑥 ′ − 3𝑥 ′ − 1 Jadi persamaan bayangannya adalah 𝑦 = 2𝑥 2 − 3𝑥 − 1. TRIK SUPERKILAT: Untuk transformasi pada sebuah kurva, apabila matriksnya mudah untuk diinvers maka tidak perlu menggunakan invers matriks, cukup inverskan dengan cara biasa saja. Contohnya matriks transformasi yang elemennya 0 atau 1. Gunakan invers matriks apabila matriksnya sukar untuk diinvers dengan cara biasa.

Contoh Soal 3: Bayangan dari kurva 𝑦 = 4𝑥 2 − 1 oleh pencerminan terhadap rotasi sebesar sudut 𝜃 = 𝜋 dengan pusat 𝑃(1, 2) adalah …. a. 𝑦 = −4𝑥 2 + 16𝑥 − 11 b. 𝑦 = 4𝑥 2 + 16𝑥 − 11 c. 𝑦 = −4𝑥 2 − 16𝑥 − 11 d. 𝑦 = −4𝑥 2 − 16𝑥 + 11 e. 𝑦 = 4𝑥 2 − 16𝑥 + 11 Penyelesaian: Dengan menggunakan konsep rotasi sebesar 180° terhadap pusat 𝑃(1, 2) diperoleh: (

𝑥 − 1 𝑖𝑛𝑣𝑒𝑟𝑠 𝑥 − 1 𝑥′ − 1 𝑥′ − 1 −1 0 −1 0 )=( )( )⇒ ( )=( )( ′ ) ′ 𝑦−2 𝑦 −2 0 −1 𝑦 − 2 0 −1 𝑦 − 2

𝑥−1 𝑥′ − 1 −1 0 )=( )( ′ ) 𝑦−2 0 −1 𝑦 − 2 𝑥 −𝑥 ′ + 1 −1 ⇒ (𝑦) + ( ) = ( ′ ) −𝑦 + 2 −2 𝑥 −𝑥 ′ + 1 −1 ⇔ (𝑦) = ( ′ )−( ) −𝑦 + 2 −2 ′ 𝑥 −𝑥 + 2 𝑥 = −𝑥 ′ + 2 ⇔ (𝑦) = ( ′ )⇒ −𝑦 + 4 𝑦 = −𝑦 ′ + 4 (

Sehingga, substitusi nilai 𝑥 dan 𝑦 pada persamaan = 4𝑥 2 − 1 , diperoleh: ⇒ 𝑦 = 4𝑥 2 − 1 ′ ⇔ −𝑦 + 4 = 4(−𝑥 ′ + 2)2 − 1 2 ⇔ −𝑦 ′ + 4 = 4(𝑥 ′ − 4𝑥 ′ + 4) − 1 2

⇔

−𝑦 ′ = 4𝑥 ′ − 16𝑥 ′ + 16 − 1 − 4

⇔

−𝑦 ′ = 4𝑥 ′ − 16𝑥 ′ + 11

⇔

2

2

𝑦 ′ = −4𝑥 ′ + 16𝑥 ′ − 11

Jadi persamaan bayangannya adalah 𝑦 = −4𝑥 2 + 16𝑥 − 11. Halaman 102



Contoh Soal 4: Bayangan dari kurva 2𝑦 = 6𝑥 − 1 oleh pencerminan terhadap dilatasi dengan faktor skala 2 dengan pusat 𝑃(1, 0) adalah …. a. (5, −8) b. (5, −2) c. (1, −2) d. (−5, 2) e. (−5, 8) Penyelesaian: Dengan menggunakan konsep dilatasi dengan faktor skala 2 terhadap pusat 𝑃(1, 0) diperoleh: (

1 2 0 𝑥′ − 1 𝑥−1 )= ( )( ′ ) 𝑦 𝑦 4 0 2 ′ 1 2𝑥 − 2 𝑥 −1 ⇒ (𝑦) + ( ) = ( ) 2𝑦 ′ 0 4 1 2𝑥 ′ − 2 𝑥 −1 ⇔ (𝑦) = ( ) ′ )−( 2𝑦 0 4 1 ′ 1 𝑥 − 𝑥 2) − (−1) ⇔ (𝑦) = (2 1 ′ 0 𝑦 2 1 ′ 1 1 1 𝑥 + 𝑥 = 𝑥′ + 𝑥 2) ⇒ 2 2 ⇔ (𝑦) = (2 1 ′ 1 ′ 𝑦 𝑦= 𝑦 2 2

𝑥′ − 1 2 0 𝑥 − 1 𝑖𝑛𝑣𝑒𝑟𝑠 )=( )( )⇒ 𝑦 𝑦′ 0 2

(

Sehingga, substitusi nilai 𝑥 dan 𝑦 pada persamaan 2𝑦 = 6𝑥 − 1 , diperoleh: ⇒ 2𝑦 = 6𝑥 − 1 1 1 1 ⇔ 2 ( 𝑦′) = 6 ( 𝑥′ + ) − 1 2 2 2 ⇔ 𝑦 ′ = 3𝑥 ′ + 3 − 1 ⇔ 𝑦 ′ = 3𝑥 ′ + 2 Jadi persamaan bayangannya adalah 𝑦 = 3𝑥 + 2.



Halaman 103

Contoh Soal 5:

2 −3 Bayangan dari kurva 𝑥 − 2𝑦 + 3 = 0 oleh transformasi yang bersesuaian dengan matriks ( ) adalah 1 −1 …. a. 𝑥 − 𝑦 + 3 = 0 b. 2𝑥 + 𝑦 + 3 = 0 c. 𝑥 + 𝑦 + 3 = 0 d. 𝑥 − 2𝑦 − 3 = 0 e. −𝑥 − 𝑦 + 3 = 0 Penyelesaian: Dengan menggunakan konsep matriks transformasi diperoleh: 1 −1 3 𝑥 ′ 𝑥 (𝑦) = ( )( ) 1 −1 2 𝑦 ′ 𝑥 −𝑥 ′ + 3𝑦 ′ 𝑥 = −𝑥 ′ + 3𝑦 ′ ⇒ (𝑦) = ( ′ ) ⇒ −𝑥 + 2𝑦 ′ 𝑦 = −𝑥 ′ + 2𝑦 ′

𝑥′ 2 −3 𝑥 − 1 𝑖𝑛𝑣𝑒𝑟𝑠 ( ′) = ( )( )⇒ 𝑦 𝑦 1 −1

Sehingga, substitusi nilai 𝑥 dan 𝑦 pada persamaan 2𝑦 = 6𝑥 − 1 , diperoleh: ⇒ 𝑥 − 2𝑦 + 3 = 0 ′ ′) ′ (−𝑥 ⇔ + 3𝑦 − 2(−𝑥 + 2𝑦 ′ ) + 3 = 0 ⇔ −𝑥 ′ + 3𝑦 ′ + 2𝑥 ′ − 4𝑦 ′ + 3 = 0 ⇔ −𝑥 ′ + 2𝑥 ′ + 3𝑦 ′ − 4𝑦 ′ + 3 = 0 ⇔ 𝑥′ − 𝑦′ + 3 = 0 Jadi persamaan bayangannya adalah 𝑥 − 𝑦 + 3 = 0 TRIK SUPERKILAT 𝑝 Bayangan garis 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐 = 0 terhadap matriks transformasi 𝑇 = ( 𝑟 𝑝 𝑞 𝑝 𝑞 𝑎 𝑏 | |𝑥 + | |𝑦 + | |𝑐 = 0 𝑟 𝑠 𝑎 𝑏 𝑟 𝑠

𝑞 ): 𝑠

2 −3 Bayangan garis 𝑥 − 2𝑦 + 3 = 0 terhadap matriks transformasi 𝑇 = ( ): 1 −1 1 −2 2 −3 2 −3 | |𝑥 + | |𝑦 + | |𝑐 = 0 1 −1 1 −2 1 −1 ⇒ (−1 − (−2))𝑥 + (−4 − (−3))𝑦 + (−2 − (−3))3 = 0 ⇒ 𝑥−𝑦+3=0

Halaman 104



Menentukan bayangan komposisi transformasi terhadap sebuah kurva. Contoh Soal 1: Bayangan garis 2𝑥 − 3𝑦 + 6 = 0 oleh refleksi terhadap garis 𝑦 = 𝑥 diikuti oleh rotasi dengan pusat 𝑂(0, 0) sejauh setengah putaran adalah …. a. 3𝑥 − 2𝑦 + 6 = 0 b. 2𝑥 + 3𝑦 + 6 = 0 c. −3𝑥 − 2𝑦 + 6 = 0 d. −2𝑥 + 2𝑦 + 6 = 0 e. 3𝑥 + 2𝑦 + 6 = 0 Penyelesaian: Dengan menggunakan konsep komposisi matriks transformasi diperoleh: 𝑥 𝑥′ ( ′ ) = (𝑇2 ∘ 𝑇1 ) (𝑦) 𝑦 𝑥 𝑥′ ( ′ ) = 𝑀𝑅(𝑂,180°) 𝑀𝑦=𝑥 (𝑦) 𝑦 𝑥′ −1 0 0 1 𝑥 ( ′) = ( )( )( ) 𝑦 0 −1 1 0 𝑦 𝑥′ 0 −1 𝑥 ( ′) = ( ) (𝑦) 𝑦 −1 0 −𝑦 𝑖𝑛𝑣𝑒𝑟𝑠 𝑥 = −𝑦 ′ 𝑥′ ( ) = ( )⇒ −𝑥 𝑦′ 𝑦 = −𝑥 ′ Sehingga, substitusi nilai 𝑥 dan 𝑦 pada persamaan 2𝑥 − 3𝑦 + 6 = 0 , diperoleh: ⇒ 2𝑥 − 3𝑦 + 6 = 0 ′) ⇔ 2(−𝑦 − 3(−𝑥 ′ ) + 6 = 0 ⇔ 3𝑥 ′ − 2𝑦 ′ + 6 = 0 Jadi persamaan bayangannya adalah 3𝑥 − 2𝑦 + 6 = 0 Penyelesaian LOGIKA PRAKTIS: Untuk mencari matriks komposisi transformasi dapat dilakukan langkah sebagai berikut: Titik A(1, 0) dicerminkan oleh garis 𝑦 = 𝑥 dilanjutkan rotasi 180° pusat O, hasilnya 𝐴′ (0, −1)

Titik B(0, 1) dicerminkan oleh garis 𝑦 = 𝑥 dilanjutkan rotasi 180° pusat O, hasilnya 𝐵′ (−1, 0)

Maka matriks komposisi transformasinya adalah: 0 −1 𝑀=( ) −1 0 Sehingga, 𝑥′ 0 −1 𝑥 ( ′) = ( ) (𝑦) 𝑦 −1 0 −𝑦 𝑖𝑛𝑣𝑒𝑟𝑠 𝑥 = −𝑦 ′ 𝑥′ ( ) = ( )⇒ −𝑥 𝑦′ 𝑦 = −𝑥 ′ Sehingga, substitusi nilai 𝑥 dan 𝑦 pada persamaan 2𝑥 − 3𝑦 + 6 = 0 , diperoleh: ⇒ 2𝑥 − 3𝑦 + 6 = 0 ′) ⇔ 2(−𝑦 − 3(−𝑥 ′ ) + 6 = 0 ⇔ 3𝑥 ′ − 2𝑦 ′ + 6 = 0 Jadi persamaan bayangannya adalah 3𝑥 − 2𝑦 + 6 = 0



Halaman 105

Contoh Soal 2: Bayangan garis 𝑦 = 𝑥 2 − 3𝑥 + 2 oleh pencerminan terhadap sumbu X dilanjutkan dengan dilatasi pusat 𝑂(0, 0) dan faktor skala 3 adalah …. a. 𝑥 2 − 9𝑥 − 3𝑦 + 18 = 0 b. 𝑥 2 − 9𝑥 + 3𝑦 + 18 = 0 c. 𝑥 2 − 3𝑥 + 9𝑦 + 18 = 0 d. 𝑥 2 + 9𝑥 − 3𝑦 − 18 = 0 e. 𝑥 2 − 9𝑥 − 3𝑦 − 18 = 0 Penyelesaian: Dengan menggunakan konsep komposisi matriks transformasi diperoleh: 𝑥 𝑥′ ( ′ ) = (𝑇2 ∘ 𝑇1 ) (𝑦) 𝑦 𝑥 𝑥′ ( ′ ) = 𝑀𝐷(𝑂,3) 𝑀𝑠𝑢𝑚𝑏𝑢𝑋 (𝑦) 𝑦 𝑥 𝑥′ 3 0 1 0 ( ′) = ( )( ) (𝑦) 𝑦 0 3 0 −1 ′ 𝑥 𝑥 3 0 ( ′) = ( ) (𝑦) 𝑦 0 −3 3𝑥 𝑥′ ( )=( )⇒ −3𝑦 𝑦′

𝑖𝑛𝑣𝑒𝑟𝑠

1 𝑥 = 𝑥′ 3 1 𝑦 = − 𝑦′ 3

Sehingga, substitusi nilai 𝑥 dan 𝑦 pada persamaan 𝑦 = 𝑥 2 − 3𝑥 + 2 , diperoleh: ⇒ 𝑦 = 𝑥 2 − 3𝑥 + 2 2 1 1 1 ⇔ − 𝑦′ = ( 𝑥′) − 3 ( 𝑥′) + 2 3 3 3 1 ′ 1 ′2 ⇔ − 𝑦 = 𝑥 − 𝑥 ′ + 2 (kalikan semua ruas dengan 9) 3 9 2 ⇔ −3𝑦 ′ = 𝑥 ′ − 9𝑥 ′ + 18 2

⇔ 𝑥 ′ − 9𝑥 ′ + 3𝑦 ′ + 18 = 0 Jadi persamaan bayangannya adalah 𝑥 2 − 9𝑥 + 3𝑦 + 18 = 0 Penyelesaian LOGIKA PRAKTIS: Untuk mencari matriks komposisi transformasi dapat dilakukan langkah sebagai berikut:

Titik A(1, 0) diicerminkan oleh sumbu X dilanjutkan dilatasi dengan faktor dilatasi 3 pusat O, hasilnya 𝐴′ (3, 0)

Titik B(0, 1) diicerminkan oleh sumbu X dilanjutkan dilatasi dengan faktor dilatasi 3 pusat O, hasilnya 𝐵′ (0, −3) Maka matriks komposisi transformasinya adalah: 3 0 𝑀=( ) 0 −3 Dan seterusnya, setelah komposisi matriks transformasi ketemu maka langkah selanjutnyanya sama dengan penyelesaian cara biasa di atas.

Halaman 106




1.

3 5  dilanjutkan dengan Bayangan garis x  2 y  5 bila ditransformasi dengan matriks transformasi  1 2 TIPS SUPERKILAT: pencerminan terhadap sumbu X adalah .... 𝑝 𝑞 Bayangan garis 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐 = 0 terhadap matriks transformasi 𝑇 = ( ): A. 11x  4 y  5 𝑟 𝑠 𝑝 𝑞 𝑝 𝑞 B. 4 x  2 y  5 |𝑎 𝑏| 𝑥 + |𝑎 𝑏 | 𝑦 + | 𝑟 𝑠 | 𝑐 = 0 𝑟 𝑠 C. 4 x  11y  5 𝑀𝑠𝑏 𝑥 1 0 1 0 3 5 3 5 3 5 D. 3x  5 y  5 𝑇1 = (1 2) ; 𝑇2 = (0 −1) ; 𝑇 = 𝑇2 ∘ 𝑇1 = (0 −1) (1 2) = (−1 −2) garis 𝑥 − 2𝑦 − 5 = 0 terhadap matriks transformasi T adalah : E. 3x  11y  5 Bayangan 1 −2 3 5 3 5 |

2.

|𝑥 + | 1

−2

|𝑦 + |

−1

−2

| (−5) = 0 ⇒ −4𝑥 − 11𝑦 + 5 = 0 ⇒ 4𝑥 + 11𝑦 = 5

Bayangan kurva y  3x  9 x jika dirotasi dengan pusat O (0, 0) sejauh 90° dilanjutkan dengan dilatasi dengan pusat O (0, 0) dan faktor skala 3 adalah .... 2 3 0 1 1 1 ) ; 𝑇2 = ( ) A. x  3 y 2  3 y 𝑇1 = (01 −1 𝑦 = 3𝑥 − 9𝑥 2 ⇒ (− 𝑥 ′ ) = 3 ( 𝑦 ′ ) − 9 ( 𝑦 ′ ) 0 0 3 3 3 3 0 −3 )=( ) B. x  y 2  3 y 𝑇2 ∘ 𝑇1 = (30 03) (01 −1 1 ′ 0 3 0 ′ ′2 ⇔ − 𝑥 = 𝑦 − 𝑦 (dikali − 3) 3 C. x  3 y 2  3 y 𝑥 ′ 0 −3 𝑥 2 y  3x 2  3x y  x2  3y

( ′) = ( 𝑦 3

0

) (𝑦 )

⇔ 𝑥 ′ = 3𝑦 ′ − 3𝑦′

1 𝑥 ′ = −3𝑦 ⇒ 𝑦 = − 𝑥 ′ 3 1 𝑦 ′ = 3𝑥 ⇒ 𝑥 = 𝑦 ′ 3

Bayangan kurva y  x 2  3 x  3 jika dicerminkan terhadap sumbu X dilanjutkan dengan dilatasi pusat O dan faktor skala 3 adalah .... 𝑦 = 𝑥 2 + 3𝑥 + 3 0 −1 3 0 A. x 2  9 x  3 y  27  0 𝑇1 = (1 0 ) ; 𝑇2 = (0 3) 1 1 2 1 ⇒ (− 𝑦 ′ ) = ( 𝑥) + 3 ( 𝑥 ′ ) + 3 3 0 1 0 3 0 2 𝑇 ∘ 𝑇 = ( ) ( ) = ( ) 3 3 3 B. x  9 x  3 y  27  0 2 1 0 3 0 −1 0 −3 1 ′ 1 ′2 ′ ⇔ − 𝑦 = 𝑥 + 𝑥 + 3 (dikali − 9) C. 3 x 2  9 x  y  27  0 (𝑥 ′ ) = (3 0 ) (𝑥 ) 3 9 D. E.

4.

−2

2

D. E.

3.

−1

3x 2  9 x  y  27  0

3x 2  9 x  27  0

𝑦′

0 −3

𝑦

1 𝑥 ′ = 3𝑥 ⇒ 𝑥 = 𝑥 ′ 3

⇔ −3𝑦 ′ = 𝑥 ′2 + 9𝑥 ′ + 27 ⇔ 0 = 𝑥 ′2 + 9𝑥 ′ + 3𝑦 ′ + 27

1 𝑦 ′ = −3𝑦 ⇒ 𝑦 = − 𝑦 ′ 3

Persamaan bayangan lingkaran x 2  y 2  4 bila dicerminkan terhadap garis x  2 dilanjutkan dengan TRIK SUPERKILAT:   3 −3 ( ) 𝑀𝑥=2 Bayangkan titik pusat (0, 0) translasi   adalah .... 4 (𝑥, 𝑦) → (4 − 𝑥, 𝑦) → (1 − 𝑥, 𝑦 + 4) 4 dicerminkan terhadap 𝑥 = 2,   akan berpindah ke (0, 4), 𝑥′ = 1 − 𝑥 ⇒ 𝑥 = 1 − 𝑥′ 2 2 A. x  y  2 x  8 y  13  0 𝑦 ′ = 𝑦 + 4 ⇒ 𝑦 = 𝑦′ − 4 lalu ditranslasi -3 B. C. D.

x 2  y 2  2 x  8 y  13  0

E.

x2  y2

x2  y2 x2  y2

(1 − 𝑥)2 + (𝑦 − 4)2 = 4 𝑥 2 + 𝑦2 = 4 ⇒ 2  2 x  8 y  13  0 ⇔ 𝑥 − 2𝑥 + 1 + 𝑦 2 − 8𝑥 + 16 = 4 ⇔ 𝑥 2 + 𝑦 2 − 2𝑥 − 8𝑦 + 17 = 4  2 x  8 y  13  0 2 ⇔ 𝑥 + 𝑦 2 − 2𝑥 − 8𝑦 + 17 − 4 = 0  8 x  2 y  13  0 ⇔ 𝑥 2 + 𝑦 2 − 2𝑥 − 8𝑦 + 13 = 0

satuan di sumbu X, dan 4 satuan di sumbu Y, maka titik tersebut sekarang berada di (1, 4).

Jadi persamaan lingkaran dengan pusat (1, 4) adalah jawaban A!!!




Halaman 107

Smart Solution



Disusun oleh :

Pak Anang


2. 14.

Menentukan penyelesaian pertidaksamaan eksponen atau logaritma.

Pertidaksamaan Eksponen atau Logaritma

Eksponen

Logaritma

𝑎 𝑓(𝑥)

𝑎

log 𝑓(𝑥 )

Syarat Eksponen

Syarat Logaritma

𝑎 > 0 dan 𝑎 ≠ 1 𝑓(𝑥) bebas berapapun boleh

𝑎 > 0 dan 𝑎 ≠ 1 𝑓(𝑥) > 0

Perhatikan bilangan pokoknya 𝑎 𝑓(𝑥) atau 𝑎 log 𝑓(𝑥) pasti sudah memenuhi syarat

Lebih Dari Satu

Diantara Nol dan Satu

𝑎>1

0<𝑎<1

“Tanda pertidaksamaan tetap”

“Tanda pertidaksamaan dibalik”

𝑎 𝑓(𝑥) ≥ 𝑎 𝑔(𝑥) ⇒ 𝑓(𝑥) ≥ 𝑔(𝑥) 𝑓(𝑥) 𝑔(𝑥) 𝑎 ≤𝑎 ⇒ 𝑓(𝑥) ≤ 𝑔(𝑥) 𝑎 𝑎 log 𝑓(𝑥) ≥ log 𝑔(𝑥) ⇒ 𝑓(𝑥) ≥ 𝑔(𝑥) 𝑎 log 𝑓(𝑥) ≤ 𝑎 log 𝑔(𝑥) ⇒ 𝑓(𝑥) ≤ 𝑔(𝑥)

𝑎 𝑓(𝑥) ≥ 𝑎 𝑔(𝑥) ⇒ 𝑓(𝑥) ≤ 𝑔(𝑥) 𝑓(𝑥) 𝑔(𝑥) 𝑎 ≤𝑎 ⇒ 𝑓(𝑥) ≥ 𝑔(𝑥) 𝑎 𝑎 log 𝑓(𝑥) ≥ log 𝑔(𝑥) ⇒ 𝑓(𝑥) ≤ 𝑔(𝑥) 𝑎 log 𝑓(𝑥) ≤ 𝑎 log 𝑔(𝑥) ⇒ 𝑓(𝑥) ≥ 𝑔(𝑥)

Syarat Eksponen

Syarat Logaritma

𝑓(𝑥) bebas berapapun boleh

𝑓(𝑥) > 0, 𝑔(𝑥) > 0

Halaman 108



TRIK SUPERKILAT Baca soal

Cek topik soal tentang apa?

Pertidaksamaan Eksponen

Selesaikan pertidaksamaan

Pertidaksamaan Logaritma

Selesaikan pertidaksamaan

Syarat numerus harus positif

Iriskan dalam garis bilangan

Selesai Kalau kita membahas topik soal UN Matematika SMA pada indikator soal tentang pertidaksamaan eksponen atau logaritma, mau tidak mau kita harus paham tentang bagaimana sifat perpangkatan atau logaritma itu sendiri. Lalu yang tak kalah pentingnya adalah untuk menyelesaikan pertidaksamaan logaritma, maka perlu diperhatikan juga syarat logaritma itu terdefinisi, selain bilangan pokok harus positif dan tidak boleh satu, juga harus dipenuhi syarat numerus harus positif.



Halaman 109

Tipe Soal yang Sering Muncul Menentukan penyelesaian pertidaksamaan eksponen bentuk 𝒂𝒇(𝒙) ≥ 𝒂𝒈(𝒙) . Contoh Soal: 1 𝑥+3

Himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan (8) a. −5 ≤ 𝑥 ≤ 2 b. −2 ≤ 𝑥 ≤ 5 c. 𝑥 ≤ −2 atau 𝑥 ≥ 5 d. 𝑥 ≤ −5 atau 𝑥 ≥ 2 e. 𝑥 ≥ 5

2 1 𝑥 −1

≥ (2)

adalah ….

Penyelesaian: Dengan menggunakan konsep pertidaksamaan eksponen diperoleh: 1 𝑥+3

(8)

2 1 𝑥 −1

≥ (2)

1 1 kita punya dua pilihan, yaitu mengubah dan 8 2 1 menjadi pangkat berapa atau 2 pangkat berapa 2 saya lebih memilih 2, supaya tandanya tidak berubah  konsekuensinya? 1 kalau memilih maka tanda pertidaksamaan harus dibalik, 2 sedangkan bila memilih 2 maka tanda pertidaksamaan tetap }

(2−3 )𝑥+3 ≥ (2−1 )𝑥

⇒

2 −1

2

2−3(𝑥+3) ≥ 2−1(𝑥 −1) 2 2−3𝑥−9 ≥ 2−𝑥 +1 −3𝑥 − 9 ≥ −𝑥 2 + 1 2 𝑥 − 3𝑥 − 10 ≥ 0 (𝑥 + 2)(𝑥 − 5) ≥ 0 Pembuat nol ⇒ 𝑥 + 2 = 0 atau 𝑥 − 5 = 0 ⇔ 𝑥 = −2 atau 𝑥 = 5 ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔

Periksa daerah penyelesaian pada garis bilangan, +

−

−2

+

5

Jadi himpunan penyelesaiannya adalah {𝑥|𝑥 ≤ −2 atau 𝑥 ≥ 5}.

Halaman 110



Menentukan penyelesaian pertidaksamaan eksponen bentuk 𝟐

𝑨{𝒂𝒇(𝒙) } + 𝑩{𝒂𝒇(𝒙) } + 𝑪 ≥ 𝟎 Contoh Soal 1: Himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan 32𝑥+1 − 4 . 3𝑥+2 + 34 > 0 adalah …. a. 0 < 𝑥 < 2 b. 1 < 𝑥 < 2 c. 𝑥 < 1 atau 𝑥 > 2 d. 𝑥 < 0 atau 𝑥 > 1 e. 𝑥 > 2 Penyelesaian: Dengan menggunakan konsep pertidaksamaan eksponen diperoleh: 32𝑥+1 − 4 . 3𝑥+2 + 34 > 0 (Ingat 32𝑥+1 = 32𝑥 ∙ 31 dan 3𝑥+2 = 3𝑥 ∙ 32 ) ⇒ 3 . 32𝑥 − 4 . 9 . (3𝑥 ) + 27 > 0 ⇔ 3 . (3𝑥 )2 − 36. (3𝑥 ) + 27 > 0 Misal 𝑎 = 3𝑥 ⇒ 3𝑎2 − 36𝑎 + 81 > 0 ⇔ 3(𝑎 − 3)(𝑎 − 9) > 0 Pembuat nol ∶ ⇒ 𝑎 − 3 = 0 atau 𝑎 − 9 = 0 ⇔ 𝑎 = 3 atau 𝑎 = 9 Periksa daerah penyelesaian pada garis bilangan, +

−

3

+

9

Jadi daerah penyelesaian: 𝑎 < 3 atau 𝑎 > 9 3𝑥 < 3 atau 3𝑥 > 9 𝑥 < 1 atau 𝑥 > 2 Jadi himpunan penyelesaiannya adalah {𝑥|𝑥 < 1 atau 𝑥 > 2}.



Halaman 111

Contoh Soal 2: Himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan 3𝑥 + 35−𝑥 > 36 adalah …. a. 2 < 𝑥 < 3 b. 3 < 𝑥 < 9 c. 𝑥 < 2 atau 𝑥 > 3 d. 𝑥 < 3 atau 𝑥 > 9 e. 𝑥 > 3 Penyelesaian: Dengan menggunakan konsep pertidaksamaan eksponen diperoleh: 3𝑥 + 35−𝑥 > 36 (Jadikan ruas kiri sama dengan nol) ⇒ 3𝑥 + 35−𝑥 − 36 > 0 (Ingat 35−𝑥 = 35 ∙ 3−𝑥 dan 35 = 243) 𝑥 ⇔ 3 + 243. 3−𝑥 − 36 > 0 (Kalikan semua ruas dengan 3𝑥 , supaya tidak ada bentuk 3−𝑥 ) ⇔ 3𝑥 . 3𝑥 + 243. 3−𝑥 . 3𝑥 − 36. 3𝑥 > 0 ⇔ 32𝑥 + 243 − 36. 3𝑥 > 0 ⇔ 32𝑥 − 36. 3𝑥 + 243 > 0 (3𝑥 )2 − 36. 3𝑥 + 243 > 0 ⇔ Misal 𝑎 = 3𝑥 ⇒ 𝑎2 − 36𝑎 + 243 > 0 (𝑎 − 9)(𝑎 − 27) > 0 ⇔ Pembuat nol ∶ ⇒ 𝑎 − 9 = 0 atau 𝑎 − 27 = 0 ⇔ 𝑎 = 9 atau 𝑎 = 27 Periksa daerah penyelesaian pada garis bilangan, +

−

9

+

27

Jadi daerah penyelesaian: 𝑎 < 9 atau 𝑎 > 27 3𝑥 < 3 atau 3𝑥 > 9 𝑥 < 2 atau 𝑥 > 3 Jadi himpunan penyelesaiannya adalah {𝑥|𝑥 < 2 atau 𝑥 > 3}.

Halaman 112



Menentukan penyelesaian pertidaksamaan logaritma bentuk

𝒂

𝐥𝐨𝐠 𝒇(𝒙) ≥ 𝒂 𝐥𝐨𝐠 𝒈(𝒙).

Contoh Soal 1: 1 Himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan 4 log(𝑥 2 − 𝑥) < 2 adalah …. a. 0 < 𝑥 < 1 b. 1 < 𝑥 < 2 c. 𝑥 < 0 atau 𝑥 > 1 d. −1 < 𝑥 < 0 atau 1 < 𝑥 < 2 e. 𝑥 > 1 Penyelesaian: Dengan menggunakan konsep pertidaksamaan logaritma diperoleh: 1 1 (Ingat ubah menjadi bentuk logaritma 4 log berapa ya?) 2 2 4 ⇒ log(𝑥 2 − 𝑥) < 4 log 2 ⇔ 𝑥2 − 𝑥 < 2 2 ⇔ 𝑥 −𝑥−2<0 (𝑥 + 1)(𝑥 − 2) < 0 ⇔ Pembuat nol ⇒ 𝑥 + 1 = 0 atau 𝑥 − 2 = 0 ⇔ 𝑥 = −1 atau 𝑥 = 2 4

log(𝑥 2 − 𝑥) <


+

−

−1

2

Daerah yang memenuhi adalah −1 < 𝑥 < 2 .............................................................(1) Jangan lupa!! Agar pertidaksamaan logaritma tersebut memiliki arti, maka harus memenuhi syarat yaitu numerus logaritma harus positif. (𝑥 2 − 𝑥) > 0 ⇒ 𝑥(𝑥 − 1) > 0 Pembuat nol ⇒ 𝑥 = 0 atau 𝑥 − 1 = 0 ⇔ 𝑥 = 0 atau 𝑥 = 1 Periksa daerah penyelesaian pada garis bilangan, +

−

0

+

1

Daerah yang memenuhi adalah 𝑥 < 0 atau 𝑥 > 1 ..................................................(2) Dari (1) dan (2), irisan daerah penyelesaian yang memenuhi adalah sebagai berikut:

−1

2

0

1

−1 0 1 2

Jadi himpunan penyelesaiannya adalah {𝑥|−1 < 𝑥 < 0 atau 1 < 𝑥 < 2}.



Halaman 113

Contoh Soal 2: Himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan 2 log(3 − 𝑥) + 2 log(𝑥 + 5) < 2 log(2𝑥 + 3) adalah …. a. 0 < 𝑥 < 3 b. 2 < 𝑥 < 3 c. 𝑥 < 2 atau 𝑥 > 3 d. 0 < 𝑥 < 2 atau 2 < 𝑥 < 3 e. 𝑥 > 5 Penyelesaian: Dengan menggunakan konsep pertidaksamaan logaritma diperoleh: 2

⇒ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇒ ⇔

log(3 − 𝑥) + 2 log(𝑥 + 5) < 2 log(2𝑥 + 3) 2 log(3 − 𝑥)(𝑥 + 5) < 2 log(2𝑥 + 3) (3 − 𝑥)(𝑥 + 5) < (2𝑥 + 3) −𝑥 2 − 2𝑥 + 15 < 2𝑥 + 3 𝑥 2 + 4𝑥 − 12 > 0 (𝑥 + 6)(𝑥 − 2) > 0 Pembuat nol 𝑥 + 6 = 0 atau 𝑥 − 2 = 0 𝑥 = −6 atau 𝑥 = 2


−

+

−6

2

Daerah yang memenuhi adalah 𝑥 < −6 atau 𝑥 > 2 .............................................(1) Jangan lupa!! Agar pertidaksamaan logaritma tersebut memiliki arti, maka harus memenuhi syarat yaitu numerus logaritma harus positif. ⇒ ⇔

3−𝑥 >0 −𝑥 > −3 𝑥 < 3 ..............................................................................................................................(2)

⇒

𝑥+5>0 𝑥 > −5 ..............................................................................................................................(3)

⇒ ⇔

2𝑥 + 3 > 0 2𝑥 > −3 3 𝑥 > − 2 ..........................................................................................................................(4)

Dari (1), (2), (3) dan (4), irisan daerah penyelesaian yang memenuhi adalah sebagai berikut:

−6

2

3 −5

−

3 2

2 3

Jadi himpunan penyelesaiannya adalah {𝑥| 2 < 𝑥 < 3}.

Halaman 114



Menentukan penyelesaian pertidaksamaan logaritma bentuk 𝑨{𝒂 𝐥𝐨𝐠 𝒇(𝒙)}𝟐 + 𝑩{𝒂 𝐥𝐨𝐠 𝒇(𝒙)} + 𝑪 ≥ 𝟎 Contoh Soal: Himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan 2 log 2 (𝑥 − 3) − 2 log(𝑥 − 3)3 + 2 > 0 adalah …. a. 1 < 𝑥 < 2 b. 𝑥 < 1 atau 𝑥 > 2 c. 𝑥 < 3 atau 𝑥 > 5 d. 1 < 𝑥 < 5 atau 𝑥 > 5 e. 𝑥 > 3 Penyelesaian: Dengan menggunakan konsep pertidaksamaan eksponen diperoleh: log 2 (𝑥 − 1) − 2 log(𝑥 − 1)3 + 2 > 0 (Ingat 2 log(𝑥 − 1)3 = 3. 2 log(𝑥 − 1)) ⇒ 2 log 2 (𝑥 − 1) − 3. 2 log(𝑥 − 1) + 2 > 0 ⇔ (2 log(𝑥 − 1))2 − 3. 2 log(𝑥 − 1) + 2 > 0 Misal 𝑎 = 2 log(𝑥 − 1) ⇒ 𝑎2 − 3𝑎 + 2 > 0 (𝑎 − 1)(𝑎 − 2) > 0 ⇔ Pembuat nol ∶ ⇒ 𝑎 − 1 = 0 atau 𝑎 − 2 = 0 ⇔ 𝑎=1 𝑎 = 2 2


−

1

+

2

Jadi daerah penyelesaian: 2

𝑎 < 1 atau 𝑎 > 2 log(𝑥 − 1) < 1 atau 2 log(𝑥 − 1) > 2 𝑥 − 1 < 21 atau 𝑥 − 1 > 22 𝑥 − 1 < 2 atau 𝑥 − 1 > 4 𝑥 < 2 + 1 atau 𝑥 > 4 + 1 𝑥 < 3 atau 𝑥 > 5 ................................................................ (1)

Jangan lupa!! Agar pertidaksamaan logaritma tersebut memiliki arti, maka harus memenuhi syarat yaitu numerus logaritma harus positif. ⇒

𝑥−1>0 𝑥 > 1 ................................................................................................................................(2)

Dari (1) dan (2), irisan daerah penyelesaian yang memenuhi adalah sebagai berikut:

3

5

1

1 3 5

Jadi himpunan penyelesaiannya adalah {𝑥|1 < 𝑥 < 3 atau 𝑥 > 5}.



Halaman 115


1.

Nilai x yang memenuhi pertidaksamaan 9 2 x  10.9 x  9  0 , x  R adalah .... A. x  1 atau x  9 92𝑥 − 10 . 9𝑥 + 9 > 0 + − + 𝑥 B. x  0 atau x  1 ⇒ (9 )2 − 10. (9𝑥 ) + 9 > 0 1 9 Misal 𝑎 = 9𝑥 C. x  1 atau x  2 2 ⇒ 𝑎 − 10𝑎 + 9 > 0 Jadi daerah penyelesaian: D. x  1 atau x  2 (𝑎 − 1)(𝑎 − 9) > 0 ⇔ 𝑎 < 1 atau 𝑎 > 10 E. x  1 atau x  1 𝑥 𝑥 𝑃𝑒𝑚𝑏𝑢𝑎𝑡 𝑛𝑜𝑙 ∶ ⇒ 𝑎 − 1 = 0 atau 𝑎 − 9 = 0 ⇔ 𝑎=1 𝑎 = 9

2.

Nilai x yang memenuhi pertidaksamaan 5 2 x  6.5 x 1  125  0 , x  R adalah .... A. 1  x  2 52𝑥 − 6 . 5𝑥+1 + 125 > 0 + − + B. 5  x  25 ⇒ (5𝑥 )2 − 30. (5𝑥 ) + 125 > 0 5 25 C. x  1 atau x  2 Misal 𝑎 = 5𝑥 2 ⇒ 𝑎 − 30𝑎 + 125 > 0 Jadi daerah penyelesaian: D. x  1 atau x  2 (𝑎 − 5)(𝑎 − 25) > 0 ⇔ 𝑎 < 5 atau 𝑎 > 25 E. x  5 atau x  25 𝑥 𝑥 𝑃𝑒𝑚𝑏𝑢𝑎𝑡 𝑛𝑜𝑙 ∶ ⇒ 𝑎 − 5 = 0 atau 𝑎 − 25 = 0 ⇔ 𝑎=5 𝑎 = 25

3.

5 < 5 atau 5 > 25 𝑥 < 1 atau 𝑥 > 2

Penyelesaian pertidaksamaan 2 2 x1  5.2 x1  8  0 adalah .... 22𝑥+1 − 5 . 2𝑥+1 + 8 ≥ 0 A. x  0 atau x  2 ⇒ 2(2𝑥 )2 − 10. (2𝑥 ) + 8 ≥ 0 + − + B. x  1 atau x  4 Misal 𝑎 = 2𝑥 1 4 C. x  2 atau x  4 ⇒ 2𝑎2 − 10𝑎 + 8 ≥ 0 ⇔ 2(𝑎 − 1)(𝑎 − 4) ≥ 0 D. 0  x  2 Jadi daerah penyelesaian: 𝑃𝑒𝑚𝑏𝑢𝑎𝑡 𝑛𝑜𝑙 ∶ 𝑎 ≤ 1 atau 𝑎 ≥ 4 E. 1  x  4 𝑥 𝑥 ⇒ 𝑎 − 1 = 0 atau 𝑎 − 4 = 0 ⇔ 𝑎=1 𝑎 = 4

4.

9 < 1 atau 9 > 9 𝑥 < 0 atau 𝑥 > 1

2 ≤ 1 atau 2 ≥ 4 𝑥 ≤ 0 atau 𝑥 ≥ 2

Nilai x yang memenuhi pertidaksamaan 3 2 x 1  9  28 .3 x  0, x  R adalah .... 32𝑥+1 + 9 − 28 . 3𝑥 > 0 A. x  1 atau x  2 ⇒ 3 ∙ 32𝑥 − 28 . 3𝑥 + 9 > 0 + − + B. x  1 atau x  2 Misal 𝑎 = 3𝑥 1/3 9 C. x  1 atau x  2 ⇒ 3𝑎2 − 28𝑎 + 9 > 0 (3𝑎 − 1)(𝑎 − 9) > 0 D. x  1 atau x  2 ⇔ Jadi daerah penyelesaian: 1 E. x  1 atau x  2 𝑃𝑒𝑚𝑏𝑢𝑎𝑡 𝑛𝑜𝑙 ∶ 𝑎 < atau 𝑎 > 9 ⇒ 3𝑎 − 1 = 0 atau 𝑎 − 9 = 0 1 ⇔ 𝑎= 𝑎 = 9 3

3 1 3𝑥 < atau 3𝑥 > 9 3 𝑥 < −1 atau 𝑥 > 2


Halaman 116



Smart Solution



Disusun oleh :

Pak Anang


2. 15.

Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan fungsi eksponen atau fungsi logaritma.

Fungsi Eksponen atau Logaritma

Fungsi Eksponen

Fungsi Logaritma

𝑓 (𝑥 ) = 𝑎 𝑥

𝑔(𝑥 ) = 𝑎 log 𝑥

saling invers

Syarat Fungsi Eksponen

Syarat Fungsi Logaritma

𝑎 > 0 dan 𝑎 ≠ 1 𝑥 bebas berapapun boleh

𝑎 > 0 dan 𝑎 ≠ 1 𝑥>0

Perhatikan syarat fungsi

Sifat Fungsi Eksponen

Sifat Fungsi Logaritma

Definit positif, untuk berapapun nilai 𝑥 𝑓(𝑥) selalu positif (grafik di atas sumbu X)

Logaritma terdefinisi apabila 𝑥 > 0 (grafik selalu di sebelah kanan sumbu Y)

𝒂𝟎 = 𝟏 ⇒ memotong sumbu Y di titik (0, 1)

𝒂

𝐥𝐨𝐠 𝟏 = 𝟎 ⇒ memotong sumbu X di titik (1, 0)

Tidak pernah memotong sumbu X, memiliki asimtot datar sumbu X (𝑦 = 0)

Tidak pernah memotong sumbu Y, memiliki asimtot tegak sumbu Y (𝑥 = 0)

Grafik Fungsi Logaritma

Grafik Fungsi Eksponen

𝒂>0

𝟎<𝒂<1

𝒂>0

𝟎<𝒂<1

“monoton naik”

“monoton turun”

“monoton naik”

“monoton turun”

Y

𝑓(𝑥) = 𝑎 𝑥

(0, 1) O

X

Y

(0, 1) O

Y

𝑔(𝑥) = 𝑎 log 𝑥

𝑓(𝑥) = 𝑎 𝑥 X

O (0, 1)

X

Y (0, 1) O

X

𝑔(𝑥) = 𝑎 log 𝑥



Halaman 117

TRIK SUPERKILAT menentukan persamaan fungsi jika diketahui grafik fungsinya. Lihat Grafik

Cek Jenis Grafik Fungsi

Fungsi Logaritma

Fungsi Eksponen

Perhatikan transformasi apa yang terjadi pada fungsi Logaritma atau Eksponen

Selesai Kalau kita membahas topik soal UN Matematika SMA pada indikator soal tentang grafik fungsi eksponen atau logaritma, mutlak kita harus paham tentang sifat dan aturan eksponen atau logaritma. Hal lain yang tidak kalah pentingnya adalah mengingat bagaimana transformasi yang terjadi pada sebuah fungsi. Misalkan 𝑦 = 𝑓(𝑥) adalah fungsi logaritma atau fungsi eksponen, maka transformasi yang terjadi pada grafik antara lain sebagai berikut:   

𝑦 = 𝑓(𝑥 − 𝑘), grafik digeser 𝑘 satuan ke arah kanan. 𝑦 = 𝑓(𝑥 + 𝑘), grafik digeser 𝑘 satuan ke arah kiri. 1 𝑦 = 𝑓(𝑘𝑥), grafik didilatasi dengan faktor .

Transformasi sumbu X sifatnya berlawanan.

  

𝑦 = 𝑓(𝑥) + 𝑘, grafik digeser 𝑘 satuan ke arah atas. 𝑦 = 𝑓(𝑥) − 𝑘, grafik digeser 𝑘 satuan ke arah bawah. 𝑦 = 𝑘 𝑓(𝑥), grafik didilatasi sebesar faktor 𝑘.

Transformasi sumbu Y sifatnya bersesuaian.

 

𝑦 = 𝑓(−𝑥), grafik dicerminkan terhadap sumbu X. 𝑦 = −𝑓(𝑥), grafik dicerminkan terhadap sumbu X.

𝑘

LOGIKA PRAKTIS mengingat transformasi yang terjadi pada grafik fungsi. Apabila variabel 𝑥 yang diubah-ubah, maka sifatnya berlawanan dengan yang seharusnya. Contoh: 𝑦 = 2𝑥+3 , artinya grafik 𝑦 = 2𝑥 digeser ke kiri sebesar 3 satuan. 𝑦 = 23𝑥 , artinya grafik 𝑦 = 2𝑥 diciutkan 3 kali lipat dari semula. Apabila variabel 𝑦 atau fungsinya 𝑓(𝑥) yang diubah-ubah, maka sifatnya bersesuaian dengan yang seharusnya. Contoh: 𝑦 = 2𝑥 + 3, artinya grafik 𝑦 = 2𝑥 digeser ke atas sebesar 3 satuan. 𝑦 = 3(2𝑥 ), artinya grafik 𝑦 = 2𝑥 direnggangkan 3 kali lipat dari semula. Apabila variabel 𝑥 maupun 𝑦 atau 𝑓(𝑥) dikalikan dengan negatif. Maka harus dicerminkan. 𝑦 = 2−𝑥 , artinya grafik 𝑦 = 2𝑥 dicerminkan terhadap sumbu X 𝑦 = −(2𝑥 ), artinya grafik 𝑦 = 2𝑥 dicerminkan terhadap sumbu Y.

Halaman 118



Tipe Soal yang Sering Muncul Menentukan persamaan dari grafik fungsi eksponen. Contoh Soal 1: Fungsi eksponen yang sesuai dengan grafik di samping adalah …. a. 𝑦 = 3−𝑥 − 1 1 b. 𝑦 = 3

Y

𝑥−1

1𝑥+1 c. 𝑦 = 3 2

1𝑥 d. 𝑦 = 3 + 1

e. 𝑦 =

1𝑥 −1 3

−1 O

X

Penyelesaian: Dengan menggunakan konsep grafik fungsi eksponen diperoleh persamaan umum grafik fungsi eksponen: 𝑦 = 𝑎𝑥 Grafik melalui titik (0, 0), sehingga diperoleh: 0 = 𝑎0 Dengan memandang sifat logaritma 𝑎0 ≠ 0, jelas bahwa grafik tersebut mengalami transformasi pada sumbu Y, sehingga persamaan umum grafik fungsi eksponen menjadi: 𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝐵 Grafik melalui titik (0, 0), sehingga diperoleh: 𝑦 = 𝑎 𝑥 + 𝐵 ⇒ 0 = 𝑎0 + 𝐵 ⇔ 0=1+𝐵 ⇔ 𝐵 = −1 Sehingga, persamaan grafiknya sekarang adalah 𝑦 = 𝑎 𝑥 − 1. Uji titik yang lain untuk menemukan nilai 𝑎. Grafik melalui titik (−1, 2), sehingga diperoleh: 𝑦 = 𝑎𝑥 − 1 ⇒ 2 = 𝑎−1 − 1 1 ⇔ 2= −1 𝑎 1 ⇔2+1= 𝑎 1 ⇔ 3= 𝑎 1 ⇔ 𝑎= 3 Jadi, persamaan grafiknya adalah 𝑦 =

1𝑥 − 1. 3



Halaman 119

Penyelesaian TRIK SUPERKILAT: Perhatikan grafik eksponen monoton turun berarti 0 < 𝑎 < 1. 1 Coba perhatikan jawaban pada soal, pilih jawaban yang menggunakan bilangan pokok 3. 1

Artinya 3 pangkat berapa gitu…  Jadi jawaban A jelas tidak tepat. 1𝑥

Nah, sekarang ingat grafik dari 𝑦 = 3 adalah sebagai berikut: 𝑦=

1𝑥 3

Y

1𝑥

Jadi, grafik pada soal tersebut adalah hasil pergeseran dari grafik 𝑦 = 3 ke bawah sejauh 1 satuan di sumbu Y, artinya variabel 𝑦 atau 𝑓(𝑥) harus dikurangi 1. 3

Jadi, persamaan grafik pada soal adalah 𝑦 =

(1, 0) −1 O

X

1𝑥 3

− 1.

Selesai!!

Penyelesaian LOGIKA PRAKTIS: Grafik melewati titik (−1, 2), cek 𝑓(−1) = 2 pada semua opsi jawaban: A. 𝑦 = 3−𝑥 − 1 ⇒ 𝑓(−1) = 3−1 − 1 ≠ 2 1𝑥−1 B. 𝑦 = 3

1(−1)−1 ⇒ 𝑓(−1) = 3 = 9 ⇒ 𝑓(𝑥) ≠ 2

1𝑥+1 C. 𝑦 = 3

1(−1)+1 ⇒ 𝑓(−1) = 3 = 1 ⇒ 𝑓(𝑥) ≠ 2

1𝑥 1(−1) D. 𝑦 = 3 + 1 ⇒ 𝑓(−1) = 3 + 1 = 4 ⇒ 𝑓(𝑥) ≠ 2 1𝑥 1−1 E. 𝑦 = 3 − 1 ⇒ 𝑓(−1) = 3 − 1 = 3 − 1 = 2 (Jadi inilah jawaban yang benar!)

Halaman 120



Menentukan persamaan dari grafik fungsi logaritma. Contoh Soal 1: Fungsi logaritma yang sesuai dengan grafik di samping adalah …. a. 𝑦 = 3 log 2𝑥 b. 𝑦 = 3 log(𝑥 − 2) c. 𝑦 = 3 log(𝑥 + 2) (−1, 0) d. 𝑦 = 3 log 𝑥 − 2 3 e. 𝑦 = log 𝑥 + 2

Y 2 1

O

1

7

X

Penyelesaian: Dengan menggunakan konsep grafik fungsi logaritma diperoleh persamaan umum grafik fungsi logaritma: 𝑦 = 𝑎 log 𝑥 Grafik melalui titik (−1, 0), sehingga diperoleh: 0 = 𝑎 log(−1) Dengan memandang sifat logaritma 𝑎 log 1 = 0, jelas bahwa grafik tersebut mengalami transformasi pada sumbu X, sehingga persamaan umum grafik fungsi logaritma menjadi: 𝑦 = 𝑎 log(𝑥 + 𝐴) Grafik melalui titik (−1, 0), sehingga diperoleh: 0 = 𝑎 log(−1 + 𝐴) ⇒ 𝑎0 = −1 + 𝐴 ⇔ 1 = −1 + 𝐴 ⇔1+1=𝐴 ⇔ 2=𝐴 ⇔ 𝐴=2 Sehingga persamaan grafiknya sekarang adalah 𝑦 = 𝑎 log(𝑥 + 2). Uji titik yang lain untuk menemukan nilai 𝑎. Grafik melalui titik (1, 1), sehingga diperoleh: 1 = 𝑎 log(1 + 2) ⇒ 𝑎 log 3 = 1 ⇔ 𝑎1 = 3 ⇔ 𝑎=3 Jadi, persamaan grafiknya adalah 𝑦 = 3 log(𝑥 + 2). Penyelesaian TRIK SUPERKILAT: Grafik logaritma monoton naik, berarti 𝑎 > 1. Dan ternyata tepat, nilai 𝑎 lebih dari 1. Coba perhatikan jawaban pada soal, semua menggunakan bilangan pokok 3. Artinya semuanya 3 log(𝑏𝑒𝑟𝑎𝑝𝑎 𝑔𝑖𝑡𝑢) Nah, sekarang ingat grafik dari 𝑦 = 3 log 𝑥 adalah sebagai berikut: Y

Jadi, grafik pada soal di atas adalah hasil pergeseran dari grafik 𝑦 = 3 log 𝑥 ke kiri sejauh 2 satuan di sumbu X, artinya variabel 𝑥 harus ditambah 2.

𝑦 = 3 log 𝑥

2 1

O

1

3

9

X

Jadi, persamaan grafik pada soal adalah 𝑦 = 3 log(𝑥 + 2). Selesai!!

Penyelesaian LOGIKA PRAKTIS: Grafik melewati titik (1, 1), cek 𝑓(1) = 1 pada semua opsi jawaban: A. B. C. D. E.

𝑓(𝑥) = 3 log 2𝑥 ⇒ 𝑓(1) = 3 log 2 ≠ 1 𝑓(𝑥) = 3 log(𝑥 − 2) ⇒ 𝑓(1) =3 log(−1) ≠ 1 𝑓(𝑥) = 3 log(𝑥 + 2) ⇒ 𝑓(1) =3 log 3 = 1 (Jadi inilah jawaban yang benar!) 𝑓(𝑥) = 3 log 𝑥 − 2 ⇒ 𝑓(1) =3 log 1 − 2 ≠ 1 𝑓(𝑥) = 3 log 𝑥 + 2 ⇒ 𝑓(1) =3 log 1 + 2 ≠ 1



Halaman 121


1.

Fungsi yang sesuai dengan grafik berikut adalah .... A. f ( x)  2 x 1 TRIK SUPERKILAT: Grafik tersebut adalah grafik B. f ( x)  2 x  1 C. D. E.

Y

eksponen yang didapatkan f ( x)  log x dari hasil pergeseran pada 𝑥 2 f ( x)  log( x  1)sumbu Y untuk grafik 𝑦 = 2 Jadi grafik tersebut adalah 𝑦 = f ( x)  2 x  2 2𝑥 − 1

(2, 3)

3

2

2 (1, 1)

1

 (-1, -

1

1 2

1 ) 2

2

3

X

-3 -2 -1

2.

Perhatikan gambar grafik fungsi eksponen berikut ini. Persamaan grafik fungsi pada gambar adalah .... Y A. f ( x)  3 x TRIK SUPERKILAT: x 1 10 B. f ( x)  3 Grafik tersebut adalah grafik eksponen x 1 yang didapatkan dari hasil pergeseran C. f ( x)  3 pada sumbu Y untuk grafik 𝑦 = 3𝑥 D. f ( x)  3 x  1 Jadi grafik tersebut adalah 𝑦 = 3𝑥 + 1 x E. f ( x)  3  1  4 2

-3 -2 -1 0

3.

1 2

3

X

Fungsi yang sesuai dengan grafik berikut adalah .... y A. f ( x )  2 x Y B. f ( x)  2 x 1 TRIK SUPERKILAT: C. f ( x)  3 2 x  2 Grafik tersebut adalah grafik eksponen 3 yang didapatkan dari hasil pergeseran D. f ( x)  3 x 1 pada sumbu X untuk grafik 𝑦 = 3𝑥 x2 Jadi grafik tersebut adalah 𝑦 = 3𝑥−2 1 E. f ( x)  3



x 2

4.

Fungsi yang sesuai dengan grafik berikut adalah .... Y TRIK SUPERKILAT: A. f ( x)  2 x Grafik tersebut adalah grafik eksponen B. f ( x)  2 x 1 yang didapatkan dari hasil pergeseran C. f ( x)  2 x  1 pada sumbu Y untuk grafik 𝑦 = 2𝑥 𝑥 D. f ( x)  3 x  1 Jadi grafik tersebut adalah 𝑦 = 2 + 1 3  E. f ( x)  3 x 2

3

X

(1, 3)

(0, 2)

1 -1

0

1

2 3

X

Jika adik-adik butuh ’bocoran’ butir soal Ujian Nasional tahun 2013, maka adik-adik bisa download di http://pak-anang.blogspot.com/2012/11/prediksi-soal-un-matematika-sma-2013.html. Semua soal tersebut disusun sesuai kisi-kisi SKL UN tahun 2013 yang dikeluarkan secara resmi oleh BSNP tanggal 20November 2012 yang lalu. Kisi-kisi SKL UN SMA tahun 2013 untuk versi lengkap semua mata pelajaran bisa adik-adik lihat di http://pak-anang.blogspot.com/2012/11/kisi-kisi-skl-un-2013.html. Pak Anang. Halaman 122



Smart Solution



Disusun oleh :

Pak Anang


2. 16.

Menyelesaikan masalah deret aritmetika.

Deret Aritmetika Barisan Bilangan

Deret Bilangan

𝑈1 , 𝑈2 , 𝑈3 , … , 𝑈𝑛

𝑆𝑛 = 𝑈1 + 𝑈2 + 𝑈3 + … + 𝑈𝑛

Barisan Aritmetika

Deret Aritmetika 𝑛 𝑆𝑛 = 2 (2𝑎 + (𝑛 − 1)𝑏) 𝑛 = 2 (𝑎 + 𝑈𝑛 )

𝑈𝑛 = 𝑎 + (𝑛 − 1)𝑏

Hubungan 𝑈𝑛 dan 𝑆𝑛 𝑈𝑛 = 𝑆𝑛 − 𝑆𝑛−1

Keterangan: 𝑈𝑛 𝑆𝑛 𝑎 𝑏 𝑛

= suku ke-𝑛 = jumlah 𝑛 suku pertama = suku pertama = beda = banyaknya suku



Halaman 123

TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS Hubungan antara 𝑼𝒏 dan 𝑺𝒏 , maupun beda suku barisan. Suku depan 𝑈𝑛 diintegralkan, jumlah koefisien 𝑈𝑛 dan 𝑆𝑛 harus sama.

𝑼𝒏

𝑺𝒏 Suku depan 𝑆𝑛 diturunkan, jumlah koefisien 𝑈𝑛 dan 𝑆𝑛 harus sama.

Koefisien suku depan ambil aja

Koefisien suku depan dikali dua

beda

beda

Untuk meringkas pengerjaan soal UN Matematika SMA dalam topik materi barisan dan deret aritmetika ini, maka perlu kita coba buktikan dulu TRIK SUPERKILAT yang akan kita gunakan. TRIK SUPERKILAT yang akan kita gunakan adalah sebuah penyederhanaan langkah dari penjabaran terhadap hubungan antara dua hal, yaitu 𝑈𝑛 (suku ke-𝑛), dan 𝑆𝑛 (jumlah n suku pertama). Dari definisi barisan aritmetika dan deret aritmetika diperoleh: 𝑛 𝑆𝑛 = 2 (2𝑎 + (𝑛 − 1)𝑏) 𝑈𝑛 = 𝑎 + (𝑛 − 1)𝑏 𝑛 = 2 (2𝑎 + 𝑏𝑛 − 𝑏) dan = 𝑎 + 𝑏𝑛 − 𝑏 (2𝑎−𝑏) = 𝑏𝑛 + (𝑎 − 𝑏) 𝑏 = 2 𝑛2 + 2 𝑛 Kesimpulan! Dari konsep 𝑈𝑛 = 𝑎 + (𝑛 − 1)𝑏 akan menghasilkan sebuah formula dengan bentuk 𝑈𝑛 = 𝒃𝒏 + (𝑎 − 𝑏) Lho ini kan integral!!! 𝑛

Berarti ini turunan!! 𝒃

Dari konsep 𝑆𝑛 = 2 (2𝑎 + (𝑛 − 1)𝑏) akan menghasilkan sebuah formula berbentuk 𝑆𝑛 = 𝟐 𝒏𝟐 + 𝑏

(2𝑎−𝑏) 2

𝑛

(2𝑎−𝑏)

Untuk suku pertama berlaku 𝑈1 = 𝑆1 ⇒ 𝑏 + (𝑎 − 𝑏) = 2 + 2 . Jadi, pada suku pertama dan jumlah suku pertama itu nilainya pasti sama, sehingga hal tersebut juga membuktikan bahwa jumlah koefisien baik 𝑼𝒏 maupun 𝑺𝒏 adalah sama. Beda barisan aritmetika adalah koefisien suku depan dari 𝑼𝒏 Dari konsep 𝑈𝑛 = 𝑎 + (𝑛 − 1)𝑏 akan menghasilkan sebuah formula dengan bentuk 𝑈𝑛 = 𝒃𝑛 + (𝑎 − 𝑏) Berarti beda barisan aritmetika adalah koefisien suku depan 𝑺𝒏 dikalikan 2. 𝑛 2

𝒃 𝟐

Dari konsep 𝑆𝑛 = (2𝑎 + (𝑛 − 1)𝑏) akan menghasilkan sebuah formula berbentuk 𝑆𝑛 = 𝑛2 + Halaman 124

(2𝑎−𝑏) 2

𝑛



Logika Praktis pada Tipe Soal yang Sering Muncul Menentukan 𝑺𝒏 jika diketahui 𝑼𝒏 : Jumlah 𝑛 suku pertama jika diketahui 𝑈𝑛 = 2𝑛 + 1 adalah …. Langkah logika praktis: 𝑛2 diperoleh dari integral 2𝑛. Perhatikan 𝑈𝑛 jumlah koefisiennya adalah 2 + 1 = 3, sementara 𝑆𝑛 = 𝑛2 + sesuatu. Karena jumlah koefisien 𝑆𝑛 dan 𝑈𝑛 harus sama, maka jelas sesuatunya adalah 2. Jadi 𝑆𝑛 = 𝑛2 + 2. SELESAI.

Menentukan 𝑼𝒏 jika diketahui 𝑺𝒏 : Rumus suku ke-𝑛 jika diketahui 𝑆𝑛 = 3𝑛2 + 5 adalah …. Langkah logika praktis: 6𝑛 diperoleh dari turunan 3𝑛2. Perhatikan 𝑆𝑛 jumlah koefisiennya adalah 3 + 5 = 8, sementara 𝑈𝑛 = 6𝑛 + sesuatu. Karena jumlah koefisien 𝑈𝑛 dan 𝑆𝑛 harus sama, maka jelas sesuatunya adalah 2. Jadi 𝑈𝑛 = 𝑛2 + 2. SELESAI.

Menentukan beda jika diketahui 𝑼𝒏 : Jika diketahui 𝑈𝑛 = 2𝑛 − 5, beda barisan aritmetika tersebut adalah …. Langkah logika praktis: Beda barisan aritmetika diperoleh dari koefisien depan (variabel 𝑛 pangkat terbesar), yaitu2. Koefisien tersebut ambil aja. Sehingga beda barisan aritmetika adalah 3. SELESAI.

Menentukan beda jika diketahui 𝑺𝒏 : Jika diketahui 𝑆𝑛 = 3𝑛2 + 5, beda barisan aritmetika tersebut adalah … Langkah logika praktis: Beda barisan aritmetika diperoleh dari koefisien depan (variabel 𝑛 pangkat terbesar), yaitu 3. Koefisien tersebut kalikan dua. Sehingga beda barisan aritmetika adalah 3 × 2 = 6. SELESAI.



Halaman 125

TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS Beda Barisan Aritmetika Jika diketahui dua suku pada barisan aritmetika, maka beda dari barisan aritmetika tersebut bisa ditentukan dengan: 𝑈𝑝 − 𝑈𝑞 𝑏= 𝑝−𝑞 Bukti: 𝑈𝑝 = 𝑎 + (𝑝 − 𝑛)𝑏 …………..(1) 𝑈𝑞 = 𝑎 + (𝑞 − 𝑛)𝑏 …………..(2) Dengan mengeliminasi 𝑎 pada persamaan (1) dan (2) akan diperoleh: 𝑈𝑝 = 𝑎 + (𝑝 − 𝑛)𝑏 ⇒ 𝑈𝑝 = 𝑎 + 𝑏𝑝 − 𝑛𝑏 𝑈𝑞 = 𝑎 + (𝑞 − 𝑛)𝑏 ⇒ 𝑈𝑞 = 𝑎 + 𝑏𝑞 − 𝑛𝑏 𝑈𝑝 − 𝑈𝑞 𝑈𝑝 − 𝑈𝑞 = (𝑝 − 𝑞)𝑏 ⇒ 𝑏= 𝑝−𝑞

Menentukan beda jika diketahui dua suku dari barisan aritmetika: Jika diketahui 𝑈7 = 19 dan 𝑈10 = 28, beda barisan aritmetika tersebut adalah 𝑏 =

28−19 10−7

9

= 3 = 3.

Langkah logika praktis: Beda adalah suku besar kurangi suku kecil, lalu hasilnya dibagi dengan selisih indeks suku besar dikurangi indeks suku kecil. Atau Selisih suku dibagi selisih indeks suku. SELESAI.

Menentukan suku ke-𝐧 jika diketahui dua suku dari barisan aritmetika: Jika diketahui 𝑈3 = 24 dan 𝑈8 = 54, tentukan suku ke-15 dari barisan tersebut! Langkah logika praktis: Suku ke 15 adalah suku ke-8 ditambah 7 beda lagi. Jadi, 𝑈15 = 𝑈8 + 7𝑏 = 54 + 7 (

SELESAI.

Halaman 126

54−24 ) 8−3

= 54 + 7(6) = 54 + 42 = 96



Menentukan suku ke-𝐧 jika diketahui dua suku dari barisan aritmetika dan selisih indeksnya sama: Jika diketahui 𝑈3 = 24 dan 𝑈8 = 54, tentukan suku ke-13 dari barisan tersebut! Langkah logika praktis: Perhatikan, suku-suku pada soal, suku ke-3, suku ke-8 dan suku ke-13. Bukankah indeks suku barisan tersebut selisihnya sama? 13 − 8 = 8 − 3, yaitu sama-sama berselisih 5. Ingat kalau selisih indeks suku barisan tersebut sama maka selisihnya suku tersebut juga sama! Suku ke 13 adalah suku ke-8 ditambah selisih suku ke-8 dan suku ke-3. Jadi, 𝑈15 = 𝑈8 + 𝑈8 − 𝑈3 = 54 + (54 − 24) = 54 + 30 = 84 Atau 24 ke 54 itu ditambah 30, maka 54 ditambah 30 lagi sama dengan 84. SELESAI.

Menentukan suku ke-𝐧 jika diketahui dua suku dari barisan aritmetika dan selisih indeksnya berkelipatan. Jika diketahui 𝑈2 = 15 dan 𝑈5 = 45, tentukan suku ke-14 dari barisan tersebut! Langkah logika praktis: Perhatikan, suku-suku pada soal, suku ke-2, suku ke-5 dan suku ke-14. Bukankah indeks suku barisan tersebut berkelipatan? Selisih dari 14 − 5 adalah 9, sementara itu selisih 5 − 2 adalah 3. Jadi 9 dibagi 3 itu adalah 3. Ingat kalau selisih indeks suku barisan tersebut 3 kali lebih besar maka selisihnya suku tersebut juga 3 kali lebih besar! Suku ke 14 adalah suku ke-5 ditambah tiga kali selisih suku ke-5 dan suku ke-2. Jadi, 𝑈14 = 𝑈5 + 3 (𝑈5 − 𝑈2 ) = 45 + 3(45 − 15) = 45 + 90 = 135 SELESAI.

Menyimpulkan makna dari jumlah beberapa suku. Jika diketahui 𝑈1 + 𝑈5 + 𝑈6 = 45, tentukan suku ke-4 dari barisan tersebut! Langkah logika praktis: Perhatikan, ada tiga suku. Suku-suku pada soal adalah suku ke-1, suku ke-5 dan suku ke-6. Bukankah indeks suku barisan tersebut bisa dibagi tiga? Kenapa dibagi tiga? Ya sebanyak jumlah suku tadi! 1+5+6 =4 3 Ya udah berarti suku ke empat adalah rata-rata dari jumlah ketiga suku tersebut. Jadi, 𝑈4 = =

(𝑈1 +𝑈5 +𝑈6 ) 45 3

3

= 15 SELESAI.



Halaman 127


1.

Jumlah n suku pertama deret aritmetika dinyatakan dengan Sn = 2n2 + 4n. Suku ke-9 dari aritmetika tersebut adalah .... TRIK SUPERKILAT 1: TRIK SUPERKILAT 2: A. 30 𝑈 = 𝑆 − 𝑆 𝑆𝑛 = 2𝑛2 + 4𝑛 ⇒ 𝑈𝑛 = 4𝑛 + 2 9 9 8 B. 34 2 2) = 2(9 − 8 + 4(9 − 8) 𝑈9 = 4𝑛 + 2 C. 38 = 2(17) + 4 = 4(9) + 2 D. 42 = 38 = 36 + 2 E. 46 = 38 

deret



2.

Jumlah n suku pertama deret aritmetika dinyatakan dengan S n  n 2  3n. Suku ke-20 deret aritmetika tersebut adalah .... TRIK SUPERKILAT 1: TRIK SUPERKILAT 2: A. 30 𝑈20 = 𝑆20 − 𝑆19 𝑆𝑛 = 𝑛2 + 3𝑛 ⇒ 𝑈𝑛 = 2𝑛 + 2 B. 34 2 2 𝑈9 = 2𝑛 + 2 = (20 − 19 ) + 3(20 − 19) C. 38 = 39 + 3 = 2(20) + 2 D. 42 = 42 = 40 + 2 E. 46 = 42



3.



Jumlah n suku pertama deret aritmetika dinyatakan dengan S n  aritmetika tersebut adalah .... A. 49 TRIK SUPERKILAT 1: 1 𝑈10 = 𝑆10 − 𝑆9 B. 47 5 3 2 = (102 − 92 ) + (10 − 9) 2 2 C. 35 95 3 = + 1 2 2 D. 33 = 49 2  E. 29

4.

dari deret

TRIK SUPERKILAT 2: 5 3 𝑆𝑛 = 𝑛2 + 𝑛 ⇒ 𝑈𝑛 = 5𝑛 − 1 2 2 𝑈9 = 5𝑛 − 1 = 5(10) − 1 = 50 − 1 = 49



Jumlah n suku pertama deret aritmetika dinyatakan dengan S n  n 2  5n. Suku ke-20 dari deret aritmetika tersebut adalah .... A. 44 TRIK SUPERKILAT 1: TRIK SUPERKILAT 2: B. 44 𝑈20 = 𝑆20 − 𝑆19 𝑆𝑛 = 𝑛2 + 5𝑛 ⇒ 𝑈𝑛 = 2𝑛 + 4 2 2 C. 40 𝑈9 = 2𝑛 + 4 = (20 − 19 ) + 5(20 − 19) = 39 + 5 = 2(20) + 4 D. 38 = 44 = 40 + 4 E. 36



5.

5 2 3 n  n. Suku ke-10 2 2

= 44



Keuntungan seorang pedagang bertambah setiap bulan dengan jumlah yang sama. Jika keuntungan pada bulan pertama sebesar Rp46.000,00 dan pertambahan keuntungan setiap bulan Rp18.000,00 maka jumlah keuntungan sampai bulan ke-12 adalah .... 𝑎 = 𝑅𝑝46.000,00 A. Rp1.740.000,00 𝑏 = 𝑅𝑝18.000,00 B. Rp1.750.000,00 𝑆12 = ? C. Rp1.840.000,00 𝑛 𝑆𝑛 = (2𝑎 + (𝑛 − 1)𝑏) D. Rp1.950.000,00 2 E. Rp2.000.000,00 12 (2(46) + (11)18) dalam ribuan rupiah 2 = 6(92 + 198) = 6(290) = 1.740

𝑆12 =

TRIK SUPERKILAT: 𝑈𝑛 = 18.000𝑛 + 28.000 ⇒ 𝑆𝑛 = 9.000𝑛2 + 37.000𝑛 𝑆12 = 9.000(12)2 + 37.000(12) = 9.000(144) + 444.000 = 1.296.000 + 444.000 = 1.740.000

 Halaman 128



6.

Harminingsih bekerja di perusahaan dengan kontrak selama 10 tahun dengan gaji awal Rp.1.600.000,00. Setiap tahun Harminingsih mendapat kenaikan gaji berkala sebesar Rp200.000,00. Total seluruh gaji yang diterima Harminingsih hingga menyelesaikan kontrak kerja adalah .... A. Rp25.800.000,00 𝑎 = 𝑅𝑝1.600.000,00 𝑛 𝑆𝑛 = (2𝑎 + (𝑛 − 1)𝑏) B. Rp25.200.000,00 𝑏 = 𝑅𝑝200.000,00 2 10 C. Rp25.000.000,00 𝑆10 = ? (2(1.600) + (9)200) dalam ribuan rupiah 𝑆10 = 2 D. Rp18.800.000,00 = 5(3.200 + 1.800) E. Rp18.000.000,00 = 5(5.000) = Rp25.000

7.

Sebuah pabrik memproduksi barang jenis A pada tahun pertama sebesar 1.960 unit. Tiap tahun produksi turun sebesar 120 unit sampai tahun ke-16. Total seluruh produksi yang dicapai sampai tahun ke-16 adalah .... 𝑛 𝑎 = 1.960 A. 45.760 𝑆𝑛 = (2𝑎 + (𝑛 − 1)𝑏) 2 𝑏 = −120 B. 45.000 16 𝑆16 = ? C. 16.960 𝑆16 = (2(1.960) + (15)(−120)) 2 D. 16.000 = 8(3.920 − 1.800) E. 19.760 = 8(2.120) = 16.960




Halaman 129

Smart Solution



Disusun oleh :

Pak Anang


2. 17.

Menyelesaikan masalah deret geometri.

Deret Geometri Barisan Bilangan

Deret Bilangan

𝑈1 , 𝑈2 , 𝑈3 , … , 𝑈𝑛

𝑆𝑛 = 𝑈1 + 𝑈2 + 𝑈3 + … + 𝑈𝑛

Barisan Geometri

Deret Geometri 𝑎(𝑟𝑛 −1) , |𝑟| > 1 𝑟−1 𝑎(1−𝑟𝑛) 𝑆𝑛 = 1−𝑟 , |𝑟| < 1

𝑈𝑛 = 𝑎𝑟 𝑛−1

𝑆𝑛 =

Deret Geometri Tak Hingga 𝑆∞ =

𝑎 𝑟−1

Hubungan 𝑈𝑛 dan 𝑆𝑛 𝑈𝑛 = 𝑆𝑛 − 𝑆𝑛−1

Keterangan: 𝑈𝑛 𝑆𝑛 𝑆∞ 𝑎 𝑟 𝑛

Halaman 130

= suku ke-𝑛 = jumlah 𝑛 suku pertama = jumlah deret geometri tak hingga = suku pertama = rasio = banyaknya suku



TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS Rasio Barisan Geometri Jika diketahui dua suku pada barisan geometri, maka rasio dari barisan geometri tersebut bisa ditentukan dengan: 𝑟=

𝑈𝑝 √ 𝑈𝑞

𝑝−𝑞

Bukti: 𝑈𝑝 = 𝑎𝑟 𝑛−𝑝 …………..(1) 𝑈𝑞 = 𝑎𝑟 𝑛−𝑞 …………..(2) Dengan membagi pada persamaan (1) dan (2) akan diperoleh: 𝑈𝑝 𝑎𝑟 𝑛−𝑝 𝑈𝑝 = 𝑛−𝑞 ⇒ = 𝑟 (𝑛−𝑝)−(𝑛−𝑞) 𝑈𝑞 𝑎𝑟 𝑈𝑞 𝑈𝑝 ⇔ = 𝑟 −(𝑝−𝑞) 𝑈𝑞 𝑈𝑞 ⇔ = 𝑟 𝑝−𝑞 𝑈𝑝 ⇔ 𝑟=

𝑝−𝑞

√

𝑈𝑝 𝑈𝑞

Jika jarak antar dua suku barisan geometri itu sama, maka rasio antar dua suku barisan tersebut juga sama. Jika jarak indeks antar dua suku barisan sama,

𝑼𝟐

𝑼𝟓

𝑼𝟖

Maka rasio antar dua suku suku barisan juga sama. Bukti: Dari rumus suku ke-n 𝑈𝑛 = 𝑎𝑟 𝑛−1 diperoleh: 𝑈2 = 𝑎𝑟 𝑈5 = 𝑎𝑟 4 𝑈8 = 𝑎𝑟 7 𝑈

Rasio 𝑈5 dan 𝑈2 adalah 𝑈5 = 2

Rasio 𝑈8 dan 𝑈5 adalah

𝑈8 𝑈5

=

𝑎𝑟 4 𝑎𝑟 𝑎𝑟 7 𝑎𝑟 4

= 𝑟3 = 𝑟3

Terbukti bahwa jika selisih indeks antar dua suku sama, maka rasio antar dua suku tersebut juga sama.



Halaman 131

Logika Praktis pada Tipe Soal yang Sering Muncul Menentukan rasio jika diketahui dua suku dari barisan geometri: Jika diketahui 𝑈3 = 16 dan 𝑈7 = 256, rasio barisan geometri tersebut adalah …. Langkah logika praktis: 𝑟=

𝑈7 4 256 4 √ =√ = √16 = 2 𝑈3 16

7−3

Rasio adalah hasil pembagian suku besar dengan suku kecil, lalu hasilnya diakar pangkat selisih indeks suku besar dikurangi indeks suku kecil. Atau Pembagian suku diakar pangkat selisih indeks suku. SELESAI.

Menentukan suku ke-𝐧 jika diketahui dua suku dari barisan geometri: Jika diketahui 𝑈3 = 16 dan 𝑈7 = 256, tentukan suku ke-9 dari barisan tersebut! Langkah logika praktis: Suku ke 9 adalah suku ke-7 dikalikan rasio pangkat 2. 𝑟=

𝑈7 4 256 4 √ =√ = √16 = 2 𝑈3 16

7−3

Jadi, 𝑈9 = 𝑈7 × 𝑟 2 = 256 × 22 = 256 × 4 = 1024 SELESAI.

Menentukan suku ke-𝐧 jika diketahui dua suku dari barisan geometri dan selisih indeksnya sama: Jika diketahui 𝑈2 = 6 dan 𝑈4 = 24, tentukan suku ke-6 dari barisan tersebut! Langkah logika praktis: Perhatikan, suku-suku pada soal, suku ke-2, suku ke-4 dan suku ke-6. Bukankah indeks suku barisan tersebut selisihnya sama? 6 − 4 = 4 − 2, yaitu sama-sama berselisih 2. Ingat kalau selisih indeks suku barisan tersebut sama maka rasio suku tersebut juga sama! Suku ke 4 adalah suku ke-2 ditambah rasio suku ke-4 dan suku ke-2. 𝑈 Jadi, 𝑈6 = 𝑈4 × 4 =

𝑈2 24 24 × 6

= 96 Atau

6 ke 24 itu dikali 4, maka 24 dikali 4 lagi sama dengan 96. SELESAI.

Halaman 132



Menentukan suku ke-𝐧 jika diketahui dua suku dari barisan geometri dan selisih indeksnya berkelipatan. Jika diketahui 𝑈2 = 4 dan 𝑈5 = 12, tentukan suku ke-11 dari barisan tersebut! Langkah logika praktis: Perhatikan, suku-suku pada soal, suku ke-2, suku ke-5 dan suku ke-11. Bukankah indeks suku barisan tersebut berkelipatan? Selisih dari 11 − 5 adalah 6, sementara itu selisih 5 − 2 adalah 3. Ingat kalau selisih indeks suku barisan tersebut 2 kali lebih besar maka rasio suku tersebut adalah pangkat 2 lebih besar! Suku ke 14 adalah suku ke-5 dikali pangkat tiga dari rasio suku ke-5 dan suku ke-2. 2

𝑈

Jadi, 𝑈14 = 𝑈5 × (𝑈5 ) 2

12 2 4 2

= 45 × 3 ( ) = 45 × 3(3) = 45 × 27 = 1215 SELESAI.



Halaman 133

TRIK SUPERKILAT deret geometri tak hingga 𝑝

Apabila yang ditanyakan adalah lintasan bola yang jatuh dengan rasio pemantulan 𝑞 maka lintasan yang ditempuh bola sampai berhenti adalah sebagai berikut: 𝑆∞ = 𝑎 (

𝑞+𝑝 ) 𝑞−𝑝

Bukti: Perhatikan gambar lintasan bola berikut:

dst …

Mari kita ringkas rumus deret geometri tak hingga berikut: Untuk lintasan bola ke bawah dimulai dengan 𝑎, sedang untuk lintasan ke atas dimulai oleh 𝑎𝑟, sehingga diperoleh rumus panjang seluruh lintasan bola: 𝑎 𝑎𝑟 𝑎(1 + 𝑟) 𝑆∞ = + = 1−𝑟 1−𝑟 1−𝑟 𝑝

Misal 𝑟 = , maka diperoleh: 𝑞 𝑝 𝑞+𝑝 𝑎 (1 + 𝑞 ) 𝑎 ( 𝑞 ) 𝑞+𝑝 𝑞 𝑞+𝑝 𝑆∞ = 𝑝 = 𝑞 − 𝑝 = 𝑎 ( 𝑞 ) (𝑞 − 𝑝) = 𝑎 (𝑞 − 𝑝) 1− 𝑞 𝑞 (𝑞 + 𝑝) Jadi, 𝑆∞ = 𝑎 (𝑞 − 𝑝)

Logika Praktis pada Tipe Soal yang Sering Muncul Aplikasi jumlah deret geometri tak hingga. 2

Sebuah bola dijatuhkan dari ketinggian 10 m dan memantul kembali dengan ketinggian dari ketinggian 3 sebelumnya. Maka panjang lintasan yang dilalui bola sampai berhenti adalah …. Langkah logika praktis: 𝑞

2

Misal 𝑟 = 𝑝 = 3, maka 𝑝 = 2 dan 𝑞 = 3; Ketinggian awal bola, 𝑎 = 10 m. (𝑞 + 𝑝) Jadi, 𝑆∞ = 𝑎 (𝑞 − 𝑝) (3 + 2) = 10 (3 − 2) = 10 ∙ 5 = 50 m SELESAI.

Halaman 134




1.

Barisan geometri dengan suku ke-5 adalah adalah .... A. 27 B. 9 1 C. 27 1 D. 81 1 E. 243

1 1 dan rasio  , maka suku ke-9 barisan geometri tersebut 3 3

1 = 𝑎𝑟 4 3 1 𝑟 = 3 𝑈9 = ? 𝑈5 =

1 1 4 1 1 𝑈9 = 𝑎𝑟 8 = (𝑎𝑟 4 )𝑟 4 = ( ) ( ) = 5 = 3 3 3 243

2.

Barisan geometri dengan U 7  384 dan rasio = 2. Suku ke-10 barisan tersebut adalah .... A. 1.920 𝑈7 = 𝑎𝑟 6 = 384 B. 3.072 𝑟 = 2 C. 4.052 𝑈10 = ? D. 4.608 𝑈10 = 𝑎𝑟 9 = (𝑎𝑟 6 )𝑟 3 = 384(2)3 = 384 ∙ 8 = 3.072 E. 6.144

3.

Suku ke-tiga dan suku ke-tujuh suatu deret geometri berturut-turut 16 dan 256. Jumlah tujuh suku pertama deret tersebut adalah .... 𝑎(𝑟 7 − 1) A. 500 𝑈3 = 16 = 𝑎𝑟 2 𝑆 = 7 𝑟−1 B. 504 𝑈7 = 256 = 𝑎𝑟 6 4(128 − 1) 𝑆 = ? C. 508 7 = 6 2−1 D. 512 𝑈7 = 256 ⇒ 𝑎𝑟 = 16 ⇒ 𝑟 4 = 16 ⇒ 𝑟 = 2 = 4(127) 2 𝑈 16 𝑎𝑟 E. 516 3 = 508 2 𝑈3 = 16 ⇒ 𝑎𝑟 = 16 ⇒ 4𝑎 = 16 ⇒ 𝑎 = 4




Halaman 135

Smart Solution



Disusun oleh :

Pak Anang


SKL 3. Memahami sifat atau geometri dalam menentukan kedudukan titik, garis, dan bidang, jarak dan sudut. 3. 1.

Menghitung jarak dan sudut antara dua objek (titik, garis dan bidang) di ruang.

Dimensi Tiga Garis Tegak Lurus Bidang jika garis tersebut ⊥ setiap garis pada bidang “minimal dua garis saja”

𝜶

Jarak Titik dan “Sesuatu”

Sudut

Selain Titik dan “Sesuatu” Syarat keduanya harus sejajar

Jarak Titik dan Titik

Jarak Garis dan Garis

Sudut Garis dan Garis

“berupa garis lurus”

“harus tegak lurus”

“sudut terkecil”

𝜽

Jarak Titik dan Garis

Jarak Garis dan Bidang

Sudut Garis dan Bidang



“sudut garis dengan proyeksinya”

𝜽 𝜶

𝜶

𝜶

Jarak Titik dan Bidang

Jarak Bidang dan Bidang

Sudut Bidang dan Bidang



“sudut dua garis ⊥ garis potong” 𝜶

𝜶

𝜶

𝜽 𝜶

Halaman 136

𝜶

𝜷

𝜷

𝜷



TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS Dimensi Tiga

H

G

Pada kubus ABCD.EFGH berlaku: Misal sisi kubus adalah 𝑎 cm,

P E

Akan diperoleh diagonal-diagonal kubus sebagai berikut: Diagonal sisi kubus 𝑨𝑪 = 𝒂√𝟐 cm. Diagonal ruang kubus adalah 𝑬𝑪 = 𝒂√𝟑 cm.

F

D

Misal titik potong diagonal sisi alas adalah O dan titik potong diagonal sisi atas adalah P, maka akan diperoleh panjang ruas garis berikut: 𝒂 Ruas garis 𝑶𝑮 = 𝑨𝑷 = 𝟐 √𝟔 cm. Serta akan diperoleh 𝐸𝐶 ⊥ 𝑂𝐺 dan 𝑂𝐺 ∥ 𝐴𝑃.

C O

A

B H

G

P

E

G

P E

F

Q

Q R R D

C

A

O A

B

O

C

Perhatikan penampang bidang diagonal ACGE, nah kita bisa mengamati pada diagonal ruang EC, terbagi menjadi tiga bagian yang sama panjang yaitu: 𝟏 𝟏 𝑬𝑸 = 𝑸𝑹 = 𝑹𝑪 = 𝑬𝑪 = 𝒂√𝟑 cm. 𝟑 𝟑

Oke, untuk menghindari hanya sekadar menghafal pola dari ruas garis istimewa pada kubus seperti garis diagonal, garis yang menghubungkan titik potong diagonal sisi dengan titik sudut sisi di depannya, dan pola dari garis diagonal ruang yang terbagi adil tiga bagian, maka Pak Anang tidak menyarankan untuk menghafalnya. Yah syukur-syukur kalau bisa hafal karena terbiasa mengerjakan, itu lebih baik. Namun, alangkah lebih bijak bila adik-adik mampu menguasai teorema Pythagoras plus tripel Pythagorasnya. Masih ingat pembahasan SMART SOLUTION tripel Pythagoras pada bab Vektor? Di halaman selanjutkan akan dibahas tentang TRIPEL PYTHAGORAS!



Halaman 137

LOGIKA PRAKTIS Tripel Pythagoras: Masih ingat tripel Pythagoras? Asyik….! Pola tripel Pythagoras ini penting bila adik-adik ingin cepat menyelesaikan konsep Pythagoras pada segitiga siku-siku, tanpa harus memakan banyak waktu. Gunakan logika praktis dari pengembangan konsep dasar yang telah adik-adik dapatkan di sekolah. Oke kita mulai trik menghafalnya dulu….

𝑐

𝑎

Pada gambar di samping, adik-adik tentu sudah hafal konsep Pythagoras berikut: 𝑐 2 = 𝑎2 + 𝑏 2 , dengan catatan pada gambar tersebut sisi 𝑎 adalah sisi terpendek! Seumpama diubah menjadi 𝑎2 = 𝑐 2 − 𝑏 2 , ‘kan ya nggak papa to ya? Hehe… Sama aja!

𝑏

Perhatikan: 𝑎2 = 𝑐 2 − 𝑏 2 ⇒ 𝑎2 = (𝑐 + 𝑏) (𝑐 ⏟ − 𝑏) carilah bilangan yang selisihnya satu

Jadi disini kita mencari dua bilangan 𝑏, 𝑐 yang selisihnya satu dan jumlah kedua bilangan harus sama dengan kuadrat sisi terpendek! Ini hanya berlaku untuk sisi terpendek ganjil, yaitu 3, 5, 7, 9, dst. Trik Cepat Hitung Tripel Pythagoras Tripel Pythagoras yang sering muncul 3 4 5 Cara cepat menghafal bilangan tripel Pythagoras Khusus bilangan ganjil seperti 3, 5, 7, 9, dst… maka tripel Pythagorasnya adalah bilangan tersebut 5 12 13 dengan dua bilangan lain yang selisihnya satu dan jumlahnya adalah kuadrat bilangan ganjil tersebut! 7 24 25 Contoh: 9 40 41 32 = 9 maka dua bilangan berurutan yang jumlahnya 9 adalah 4 dan 5. Sehingga tripel Pythagoras yang dimulai oleh angka 3 adalah 3, 4, 5.

8

15

17

5

4

52 = 25 maka dua bilangan berurutan yang jumlahnya 25 adalah 12 dan 13, sudah pasti tripel Pythagorasnya 5, 12, 13

3

13

5

12

Pola dasar tripel Pythagoras tersebut juga berlaku untuk kelipatannya. Contoh: Maka, untuk menentukan sisi miring, cari FPB dari 10 dan 24 yaitu 2. 5 Coret semua sisi dengan dibagi 2. Maka akan ditemukan pola dasar dari 𝑥 10 tripel Pythagoras yaitu 5, 12, 13. Jadi, sisi miringnya adalah 2 × 13 = 26 cm. 2412 Selesai!

Halaman 138



LOGIKA PRAKTIS Tripel Pythagoras Bentuk Akar: Kalau sebelumnya adalah tripel Pythagoras bentuk biasa, sekarang bagaimana tripel Pythagoras bentuk akar? Sebenarnya prinsip dasar teorema Pythagoras bisa dengan mudah menyelesaikan masalah ini. Namun, apabila mau sedikit kreatif mengembangkan imajinasi, maka ada jalan lain yang lebih menyenangkan. Apa sih Tripel Pythagoras bentuk akar itu????? Lihat konsepnya pada gambar di bawah: 𝑥

𝑎 √𝑐

𝑎 √𝑏

Misal sisi tegak lurus sebuah segitiga siku-siku adalah 𝑎√𝑏 dan 𝑎√𝑐, dan misal sisi miring segitiga siku-siku adalah 𝑥, maka nilai 𝑥 bisa ditentukan oleh: 2

2

𝑥 2 = (𝑎√𝑏) + (𝑎√𝑐) ⇒ 𝑥 = √𝑎2 𝑏 + 𝑎2 𝑐 ⇒ 𝑥 = √𝑎2 (𝑏 + 𝑐) ⇒ 𝑥 = √𝑎2 √𝑏 + 𝑐 ⇒ 𝑥 = 𝑎√𝑏 + 𝑐

Jadi jelas bahwa pola bilangan tripel Pythagoras seperti ini: Tripel Pythagoras bentuk akar 𝑎 √𝑏 𝑎 √𝑐 𝑎 √𝑏 + 𝑐

𝑎 √𝑏 + 𝑐

𝑎 √𝑐

𝑎 √𝑏 jumlahkan saja bilangan di dalam akar bilangannya harus sama, kalau nggak sama cari FPBnya

Contoh: 8 12

    

Cari FPB dari 12 dan 8. FPBnya adalah 4. Berarti jadikan bilangan pokoknya menjadi 4. Artinya 12 = 4√9 dan 8 = 4√4, Jadi sisi miring dari segitiga tersebut adalah 4√9 + 4 = 4√13

4√13

4√4

4√9

Penerapan Tripel Pythagoras bentuk akar pada Dimensi Tiga Masih ingat ruas garis AP dan OG pada kubus tadi? Nih gambarnya lihat di bawah: H

G P

E

1

Perhatikan ∆𝐴𝐸𝑃, 𝐴𝐸 = 𝑎 cm dan 𝐸𝑃 = 2 𝑎√2 cm, maka: F

E 1 𝑎√4 2

D

C

1

P

𝐴𝐸 = 𝑎 cm = 2 𝑎√4 cm. 1

𝐸𝑃 = 2 𝑎√2 cm Jelas bahwa panjang 1 𝐴𝑃 = 𝑎√6 cm. 2

A

O A

1 𝑎√2 2

B



Halaman 139

KESIMPULAN TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS Dimensi Tiga: Pada soal UN mengenai dimensi tiga, untuk mencari jarak, hal pertama yang harus dilakukan adalah membuat garis bantu sehingga bisa diperoleh sebuah segitiga. Dan kebanyakan bisa diselesaikan dengan menerapkan konsep tripel Pythagoras dan konsep Kesebangunan kelas IX SMP. Sedangkan untuk mencari sudut, hal pertama yang harus dilakukan adalah mencari titik perpotongan antara kedua objek lalu membuat garis bantu sehingga bisa diperoleh sebuah segitiga. Dan kebanyakan bisa diselesaikan dengan menerapkan konsep tripel Pythagoras, Aturan Sinus dan Kosinus dan konsep Kesebangunan kelas IX SMP. Trik Superkilat yang lainnya masih akan dipublish nanti…. :) Terus kunjungi http://pak-anang.blogspot.com …..

Halaman 140




1. H F

E P′ D A

B

12 cm

Panjang rusuk kubus ABCD.EFGH adalah 12 cm. Jika P titik tengah CG, maka jarak titik P P′ BP dan PH sama panjang, karena BP dan PH adalah garis P dengan garis HB adalah .... 6√5 cm miring dari segitiga siku-siku dengan sisi 12 cm dan 6 cm. G 6 cm A. 8 5 cm BP dan PH siku-siku karena BP dan PH berada pada dua B 6√5 cm P sisi yang saling tegak lurus (BCGF dan EFGH). C B. 6 5 cm B 12 cm P BH adalah diagonal ruang, BH = 12√3 cm. PP′ = √BP2 − BP′ 2 C. 6 3 cm PB = √BC2 + PC2 2 2 Segitiga BPH adalah segitiga sama kaki. Sehingga proyeksi = √122 + 62 = √(6√5) − (6√3) C D. 6 2 cm P (titik P′) tepat berada di tengah-tengah BH. Jadi panjang = √144 + 36 = √180 − 108 12 cm E. BP ′ = PH = 6√3 cm. 6 cm = √180 = √72 = 6√5 cm

Jarak titik P ke garis HB adalah panjang PP′ .

= 6√2 cm

TRIK SUPERKILAT: Perhatikan garis PP’. Garis tersebut sejajar dengan AC, dimana AC adalah diagonal sisi. 𝐴𝐶 = 12√2 cm Tapi panjangnya PP’ cuma separuh dari AC. Jadi, 𝑃𝑃 ′ =

2. H F

E

E′

D A

P

BB

8 cm

1 12√2 = 6√2 cm 2

Pada kubus ABCD.EFGH, panjang rusuk 8 cm. Jarak titik E dengan bidang BGD adalah .... E Jarak titik ke bidang adalah jarak titik ke proyeksi titik pada bidang. 1 A. cm 3 Buat bidang yang melewati E dan tegak lurus bidang BDG, bidang G 3 tersebut adalah bidang diagonal ACGE. 8 cm 2 Cari proyeksi titik E pada garis potong kedua bidang (GP) dengan B. 3 cm membuat garis yang melewati E dan tegak lurus bidang BDG. 3 A P 4√2 cm 4 Proyeksi titik E pada bidang BDG adalah E ′ . C. 3 cm C EP = √EA2 + AP2 Sehingga jarak titik E ke bidang BDG adalah jarak E ke E’. 3 8 cm 2 2 √ 8 Perhatikan segitiga EGP, segitiga tersebut segitiga samakaki, karena = 8 + (4√2) 3 cm D. EP = GP = 4√6 cm. Sedangkan EG adalah diagonal sisi, EG = 8√2 cm. = √64 + 32 3 = √96 P′ 16 E G Perhatikan sudut EGP E. 3 cm = √16√6 𝐸𝐸 ′ 𝑃𝑃 ′ = 4√6 cm 3 sin ∠𝐸𝐺𝑃 = = E′ A

TRIK SUPERKILAT:

P

𝐸𝐺 𝐺𝑃 𝑃𝑃 ′ ∙ 𝐸𝐺 𝐺𝑃 8 = × 8√2 4√6 16 = √3 cm 3

⇒ 𝐸𝐸 ′ = C

Perhatikan bidang diagonal ACGE P′ E G

E′ A

P

C

EC adalah diagonal ruang, sehingga 𝐸𝐶 = 8√3 cm Jadi, 2 2 16 𝐸𝐸 ′ = 𝐸𝐶 = 8√3 = √3 cm 3 3 3



Halaman 141

3.

Diketahui limas segi empat beraturan P.QRST. Dengan rusuk alas 3 cm dan rusuk tegak 3 2 cm. Tangen sudut antara garis PT dan alas QRST adalah .... 1 P Alas limas bentuknya persegi dengan sisi 3 cm. A. 3 3 Diagonal sisi alas limas adalah TR dan QS. TR = QS = 3√2 cm. 2 B. 3√2 cm Proyeksi titik P pada bidang QRST adalah di P ′ . Dimana P ′ terletak di perpotongan kedua diagonal alas. 3 C.

2 2 2 3

D. E.

T

S 3 cm

P′ Q

3 cm P

3√2 cm

T

4.

P′ 3 √2 cm 2

Karena pada bidang PRT terdapat segitiga siku-siku PTP’, maka akan lebih mudah menemukan tangen ∠PTR menggunakan segitiga siku-siku tersebut. (∠PTR = ∠PTP’)

2 2 3 9 27 3√3 3 PP ′ = √PT 2 − TP ′ 2 = √(3√2) − ( √2) = √18 − = √ = = √6 cm 2 2 2 2 √2 Tangen sudut antara garis PT dan alas QRST adalah: 3 PP ′ 2 √6 ̅̅̅̅, QRST) = tan ∠(PT = = √3 TP ′ 3 √2 2

Diketahui limas beraturan T.ABCD dengan rusuk alas 2 cm dan rusuk tegak 3 cm. Nilai tangen sudut antara garis TD dan bidang alas ABCD adalah .... T Alas limas bentuknya persegi dengan sisi 2 cm. 1 A. 2 4 Diagonal sisi alas limas adalah AC dan BD. AC = BD = 2√2 cm. √3 cm 1 Proyeksi titik T pada bidang ABCD adalah di T. Dimana T ′ terletak 2 B. di perpotongan kedua diagonal alas. 2 Jadi sudut antara garis TD dan alas ABCD adalah sudut yang 2 D C. 2 dibentuk oleh garis TD dengan DB (∠TDB). C 3 Karena pada bidang TBD terdapat segitiga siku-siku TDT’, maka 2 cm T′ 2 D. akan lebih mudah menemukan tangen ∠TDB menggunakan A B segitiga siku-siku tersebut. (∠TDB = ∠TDT’) 2 cm E. 2 2 T √3 cm

D

5.

R

Jadi sudut antara garis PT dan alas QRST adalah sudut yang dibentuk oleh garis PT dengan TR (∠PTR).

2

2

TT ′ = √TD2 − DT ′ 2 = √(√3) − (√2) = √3 − 2 = 1 cm Tangen sudut antara garis TD dan alas ABCD adalah: TT ′ 1 1 ̅̅̅̅, ABCD) = tan ∠(TD = = √2 DT ′ √2 2

√2 cm

T′

Diketahui limas segitiga beraturan T.ABC dengan rusuk 6 cm. Nilai kosinus sudut antara garis TC dan bidang ABC adalah .... T T TD = √TB2 − BD2 1 Alas limas bentuknya segitiga A. 3 6 cm = √(6)2 − (3)2 dengan sisi 6 cm. Dan semua 6 = √27 6 cm sisi limas adalah segitiga sama 3√3 cm 1 6 cm sisi dengan rusuk 6 cm. A 2 B. = 3√3 cm D 3 Perhatikan jika T’ adalah B D 3 cm T’ 1 proyeksi T pada alas ABC B C. 3 C 6 cm dan D adalah titik tengah 3 AB, maka CD adalah ruas 1 garis yang melewati T’. TC2 + DC2 − TD2 2 D. ̅̅̅̅, ABC) = cos ∠(TC 2 T Perhatikan segitiga CDT, karena TT’ 2 ∙ TC ∙ DC 2 2 2 tegak lurus CD, maka bidang CDT 1 6 + (3√3) − (3√3) 3 tegak lurus bidang ABC. E. = 6 cm 3√3 cm 2 ∙ 6 ∙ (3√3) 2 Karena TC berada di CDT dan CDT tegak lurus ABC, maka sudut yang dibentuk oleh garis TC dan bidang ABC adalah sudut antara garis TC dan ruas garis CD.

Halaman 142

3√3 cm D C

=

36

36√3 1 = √3 3



6.

Kubus ABCD.EFGH memiliki rusuk 4 cm. Sudut antara AE dan bidang AFH adalah  . Nilai sin  = .... AP = √AE2 + EP 2 2√2 cm P 1 G H E Kubus rusuk 4 cm. A. 2 2 P 2 = √(4)2 + (2√2) F E EG adalah diagonal sisi, 4 cm 1 maka EG = 4√2 cm. = √16 + 8 3 B. = √24 2 Karena P perpotongan D C = 2√6 cm diagonal sisi atas, maka 1 4 cm 1 A C. 3 𝐸𝑃 = 𝐸𝐺 ⇒ 𝐸𝑃 = 2√2 cm 2 3 A B 4 cm Jika sudut antara AE dan AFH adalah 2 𝛼 dan ∆𝐴𝐹𝐸 siku-siku di 𝐸, maka 2 D. Perhatikan garis AE dan bidang AFH yang berwarna 3 𝑠𝑖𝑠𝑖 𝑑𝑖𝑑𝑒𝑝𝑎𝑛 𝑠𝑢𝑑𝑢𝑡 𝐸𝑃 biru, sudut yang dibentuk oleh garis AE dan AFH bisa sin 𝛼 = ⇒ sin 𝛼 = 3 𝑠𝑖𝑠𝑖 𝑚𝑖𝑟𝑖𝑛𝑔 𝐴𝑃 3 dicari lewat bidang segitiga yang berwarna biru. E. 2√2 4 = =

2√6 1

√3 1 = √3 3




Halaman 143

Smart Solution



Disusun oleh :

Pak Anang


Pengantar Konsep Dasar Trigonometri

Segitiga Siku-Siku dan Teorema Pythagoras Teorema Pythagoras 𝑐

𝑎

𝑏

𝑐 2 = 𝑎2 + 𝑏 2

Tripel Pythagoras 3 4 5 5 12 13 7 24 25 9 40 41 dst …

8 15 17 20 21 29

Teorema Pythagoras “Bentuk Akar” 𝑎√𝑏 + 𝑐

𝑎√𝑏

𝑎 √𝑐

Tripel Pythagoras “Bentuk Akar” 𝑎√𝑏

Halaman 144

𝑎√𝑐

𝑎√𝑏 + 𝑐



Definisi Perbandingan Trigonometri Segitiga Siku-Siku sisi Miring

sisi Depan

sudut 𝜽 sisi Samping

Sinus mi

Kosinus mi

de

𝜽

𝜽

sisi depan

sin 𝜃 = sisi miring

Tangen de 𝜽

sa

cos 𝜃 =

sisi samping sisi miring

sa sisi depan

tan 𝜃 = sisi samping

DEMI SIN, SAMI COS, DESA TAN

Identitas Trigonometri Kebalikan

Perbandingan

1 cos 𝑥 1 csc 𝑥 = sin 𝑥 1 cot 𝑥 = tan 𝑥

tan 𝐴 = cos 𝐴

sec 𝑥 =

Pythagoras 𝑐

sin 𝐴

𝜽 TAN A adalah SINA DIPERKOSA

𝑎

𝑏

Ingat teorema Phytagoras: 𝑎2 + 𝑏 2 = 𝑐 2 𝑎2 𝑏 2 𝑐 2 ⇒ + = 𝑐2 𝑐2 𝑐2 𝑎 2 𝑏 2 ⇔( ) +( ) =1 𝑐 𝑐

SEC = SEper Cos

Jadi,

dibagi 𝐬𝐢𝐧𝟐 𝒙

dibagi 𝐜𝐨𝐬 𝟐 𝒙

sin2 𝑥 + cos 2 𝑥 = tan2 𝑥 + 1



1

1

= sec 2 𝑥

+ cot 2 𝑥 = csc 2 𝑥

Halaman 145

Nilai Perbandingan Trigonometri Sudut Istimewa Kuadran I Segitiga Sama Sisi

Persegi

Segitiga Tripel Pythagoras

60°

60°

5

1

2

2

60°

2

“Sudut 45°”

“Sudut diapit sisi 5 dan 3 adalah 53°”

45°

30°

2

4

1

“Sudut 30° dan 60°”

1

√3

3 37°

45°

4

1

1

Sudut Istimewa Kuadran I sin 30° =

1 2

√3 cos 30° = 2 tan 30° =

√3 1

sin 60° =

√3 2

tan 60° =

Sudut Istimewa Pythagoras

sin 45° =

1 cos 60° = 2

cos 45° =

1

tan 45° =

√3

𝟏

53°

5

√2

60°

3

1 √2 1 √2 1 1

𝟏

sin 37° =

3 5

sin 53° =

4 5

cos 37° =

4 5

cos 53° =

3 5

tan 37° =

3 4

tan 53° =

4 3

Trik Menghafalkan Cepat , urutannya 𝟐 √𝟎 s/d 𝟐 √𝟒

Trik Menghafal, gambarkan segitiga 3 4 5.

Tabel Nilai Trigonometri

Tabel Nilai Trigonometri

Halaman 146

0°

1 √𝟎 2

30°

1 √𝟏 2

45°

1 √𝟐 2

60°

1 √𝟑 2

90°

1 √𝟒 2

𝐜𝐨𝐬 𝜽

𝐭𝐚𝐧 𝜽

sina diperkosa

𝐬𝐢𝐧 𝜽

dibalik

𝜽

𝜽

𝐬𝐢𝐧 𝜽

𝐜𝐨𝐬 𝜽

𝐭𝐚𝐧 𝜽

37°

3 5

4 5

3 4

53°

4 5

3 5

4 3



Nilai Perbandingan Trigonometri Tabel Nilai Trigonometri 𝐬𝐢𝐧 𝜽

𝐜𝐨𝐬 𝜽

𝐭𝐚𝐧 𝜽

0°

0

1

0

30°

1 2

1 √3 2

1 √3 3

45°

1 √2 2

1 √2 2

1

60°

1 √3 2

1 2

√3

90°

1

0

−

Kuadran

Relasi Sudut

Periodisasi

90°

Periksa Sudut

sin 𝑥 = sin(□ + 𝑛 ∙ 𝟑𝟔𝟎°)

sin +

Semua +

Kuadran II

Kuadran III

Kuadran IV

0° 360°

Pilih Acuan

cos 𝑥 = cos(□ + 𝑛 ∙ 𝟑𝟔𝟎°)

cos +

270°

SEMUA SINdikat TANgan KOSong

Genap 180° ± α 360° − α

Ganjil 90° ± 𝛼 270° ± 𝛼

Fungsi Tetap

Fungsi Berubah sin ↔ cos tan ↔ cot

360°

(−𝑥)

𝑥

tan 𝑥 = tan(□ + 𝑛 ∙ 𝟏𝟖𝟎°) 𝑥

Grafik sin 𝛼

(180° − 𝑥)

𝑥

Kuadran I

180°

tan +

𝜽

dimana 𝑛 bilangan bulat

Persamaan Trigonometri Cek Kuadran Tanda ±

sin 𝑥 = sin 𝛼 ⇒ 𝑥 = □ + 𝑛 ∙ 𝟑𝟔𝟎°

cos 𝛼

(180° − 𝛼)

𝛼

Selesai

cos 𝑥 = cos 𝛼 ⇒ 𝑥 = □ + 𝑛 ∙ 𝟑𝟔𝟎° 360°

Relasi Sudut Negatif

tan 𝛼 360°

(−𝛼)

𝛼

tan 𝑥 = tan 𝛼 ⇒ 𝑥 = □ + 𝑛 ∙ 𝟏𝟖𝟎°

sin(−𝛼) = − sin 𝛼 cos(−𝛼) = cos 𝛼 tan(−𝛼) = − tan 𝛼



𝛼 dimana 𝑛 bilangan bulat

Halaman 147

Nilai Perbandingan Trigonometri Diperoleh dari sudut pada segitiga siku-siku

Kalau segitiganya nggak siku-siku. Gimana? 𝐴 𝑐 𝐵

𝑎 adalah sisi di depan sudut 𝐴 𝑏 adalah sisi di depan sudut 𝐵 𝑐 adalah sisi di depan sudut 𝐶

𝑏 𝐶

𝑎

Aturan Sinus dan Aturan Kosinus Aturan Sinus

Aturan Kosinus

“Ada pasangan sudut–sisi yang berhadapan”

“Diketahui dan ditanyakan 3 sisi dan 1 sudut”

? 𝐵

𝑐

𝑏 𝐶

𝑏

𝐴

𝑐

?

𝐵

?

𝑐

𝑏

𝑏

𝑎

?

sisi – sudut – sudut

sisi – sisi – sudut

sisi – sudut – sisi

sisi – sisi – sisi

(diketahui satu sisi dan dua sudut)

(diketahui dua sisi dan satu sudut di depannya)

(diketahui dua sisi dan sudut yang diapitnya)

(diketahui ketiga sisi segitiga)

𝑎2 = 𝑏 2 + 𝑐 2 − 2𝑏𝑐 cos 𝐴

𝑎 𝑏 𝑐 = = sin 𝐴 sin 𝐵 sin 𝐶

⇒ cos 𝐴 =

𝑏 2 + 𝑐 2 − 𝑎2 2𝑏𝑐

Luas Segitiga 𝐴 𝐶

𝐵

𝑎

𝑎

alas – tinggi


1 𝐿 = (𝑎 × 𝑡) 2

1 𝐿 = 𝑎𝑏 sin 𝐶 2

sin 𝐶 =

𝑡 𝑏

⇒ 𝑡 = 𝑏 sin 𝐶

Halaman 148

𝑐

𝑏

𝑡

𝑎

𝐶

satu sisi dan semua sudut 𝐿=

1 𝑎2 sin 𝐵 sin 𝐶 2 sin 𝐴

𝑏 𝑎

sisi – sisi – sisi 𝐿 = √𝑠(𝑠 − 𝑎)(𝑠 − 𝑏)(𝑠 − 𝑐) 1

dimana 𝑠 = (𝑎 + 𝑏 + 𝑐) 2

a b = sin A sin B 𝑎 sin 𝐵 ⇒𝑏= sin 𝐴



Luas Segitiga 𝑏 𝐶

𝑎

sisi – sudut – sisi 𝐿=

1 𝑎𝑏 sin 𝐶 2

Luas Segi-n Beraturan Misal segidelapan beraturan. Maka segidelapan beraturan tersusun atas delapan segitiga sama kaki. Masing-masing segitiga memiliki sudut pusat sebesar

360° 8

= 45°.

Sehingga luas segidelapan beraturan adalah delapan kali luas segitiga tersebut.

𝑟

𝑟

Luas dan Keliling Segi-n Beraturan

360° 𝑛

𝑟

sudut pusat =

𝑟

𝟑𝟔𝟎° 𝒏

1 360° 𝐿 = 𝑛 ∙ 𝑟 2 sin ( ) 2 𝑛

𝐾 = 𝑛𝑟√2 (1 − cos (

360° 𝑛

))



Halaman 149

Trigonometri Kelas XI IPA Jumlah dan Selisih Dua Sudut Alat Bukti: Lingkaran satuan dan 3 buah juring masing-masing bersudut 𝐴, 𝐵, dan (– 𝐵). 𝑅 𝑅

𝑂

𝐵 𝐴

Diperoleh dua segitiga yaitu, ∆𝑃𝑂𝑅 dan ∆𝑆𝑂𝑄 dengan ∠𝑃𝑂𝑅 = ∠𝑆𝑂𝑄 sehingga, 𝑃𝑅 = 𝑆𝑄

𝑄 −𝐵

𝑃 𝑆

𝑂

𝑃 𝑄

Dengan membuktikan 𝑃𝑅 = 𝑆𝑄, diperoleh: 𝐜𝐨𝐬(𝑨 + 𝑩) = 𝐜𝐨𝐬 𝑨 𝐜𝐨𝐬 𝑩 − 𝐬𝐢𝐧 𝑨 𝐬𝐢𝐧 𝑩

𝑂 𝑆

𝐜𝐨𝐬(𝑨 − 𝑩) diperoleh dengan sifat relasi sudut negatif 𝐜𝐨𝐬(𝑨 + (−𝑩)) 𝐬𝐢𝐧(𝑨 + 𝑩) dan 𝐬𝐢𝐧(𝑨 − 𝑩) diperoleh dengan sifat relasi sudut kuadran I

Jumlah dan Selisih Dua Sudut sin(𝐴 ± 𝐵) = sin 𝐴 cos 𝐵 ± cos 𝐴 sin 𝐵 cos(𝐴 ± 𝐵) = cos 𝐴 cos 𝐵 ∓ sin 𝐴 sin 𝐵

Substitusi 𝑩 = 𝑨 𝐬𝐢𝐧(𝑨 + 𝑨) = 𝐬𝐢𝐧 𝟐𝑨 𝐜𝐨𝐬(𝑨 + 𝑨) = 𝐜𝐨𝐬 𝟐𝑨

Eliminasi 𝐬𝐢𝐧(𝑨 + 𝑩) dengan 𝐬𝐢𝐧(𝑨 − 𝑩) 𝐜𝐨𝐬(𝑨 + 𝑩) dengan 𝐜𝐨𝐬(𝑨 − 𝑩)

Trigonometri Sudut Rangkap

Jumlah, Selisih dan Perkalian

Sudut Rangkap Sinus Sin 2𝐴 = 2 sin 𝐴 cos 𝐴

cos 2𝐴 = cos2 𝐴 − sin2 𝐴

Substitusi identitas trigonometri 𝐬𝐢𝐧𝟐 𝑨 + 𝐜𝐨𝐬 𝟐 𝑨 = 𝟏

Sudut Rangkap Kosinus Yang Lain Sinus Kuadrat cos 2𝐴 = 1 − 2 sin2 𝐴

1 ⊖ 2

𝑆+𝑆

2𝑆𝐶

𝑆−𝑆

2𝐶𝑆

𝐶+𝐶

2𝐶𝐶

𝐶 −𝐶

−2𝑆𝑆

⊕ ⊖

Kosinus Kuadrat

cos 2𝐴 = 2 cos2 𝐴 − 1

Trigonometri Setengah Sudut Sinus Setengah Sudut

Kosinus Setengah Sudut

1 − cos 2𝐴 sin 𝐴 = √ 2

1 + cos 2𝐴 cos 𝐴 = √ 2

Halaman 150

1 ⊕ 2

Sudut Rangkap Kosinus

Khusus untuk tan(𝐴 ± 𝐵), tangen sudut rangkap dan tangen setengah sudut, cukup gunakan sifat identitas “TAN A = SINA DIPERKOSA”



TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS Pengantar Trigonometri. Modul Pengantar Trigonometri ini adalah suplemen untuk modul TRIK SUPERKILAT dan SMART SOLUTION UN Matematika SMA 2013. Mengingat materi Trigonometri memerlukan penguasaan konsep dasar yang kuat pada setiap pokok bahasan. Pada survey yang dilakukan kepada siswa SMA menunjukkan bahwa materi Trigonometri dan Dimensi Tiga adalah topik materi yang paling menakutkan di kalangan siswa. Jadi, tidak ada salahnya apabila pada pokok bahasan Trigonometri ini diberikan suplemen materi pengantar Trigonometri sebagai penguat penguasaan konsep dasar Trigonometri… Untuk sementara hanya konsep trigonometri kelas X dan XI IPA yang dibahas. Trik Superkilat Cara Mudah Menghafal Rumus Trigonometri kelas X dan XI IPA yang lainnya masih akan dilanjutkan dan dipublish segera…. :) Kunjungi laman http://pak-anang.blogspot.com/2013/01/smart-solution-un-matematika-sma-2013_11.html untuk mengunduh update materi SMART SOLUTION Pengantar Trigonometri ini… :)




Halaman 151

Smart Solution



Disusun oleh :

Pak Anang


SKL 4. Menggunakan perbandingan, fungsi, persamaan, identitas, dan rumus trigonometri dalam pemecahan masalah. 4. 1.

Menyelesaikan masalah geometri dengan menggunakan aturan sinus atau kosinus.

Nilai Perbandingan Trigonometri Diperoleh dari sudut pada segitiga siku-siku

Kalau segitiganya nggak siku-siku. Gimana? 𝐴 𝑐 𝐵

𝑎 adalah sisi di depan sudut 𝐴 𝑏 adalah sisi di depan sudut 𝐵 𝑐 adalah sisi di depan sudut 𝐶

𝑏 𝐶

𝑎

Aturan Sinus dan Kosinus Aturan Sinus

Aturan Kosinus

“Ada dua pasangan sudut–sisi yang berhadapan”

“Diketahui dan ditanyakan 3 sisi dan 1 sudut”

? 𝐵

𝑐

𝑏 𝐶

𝑏

𝐴

𝑐

?

𝐵

?

𝑐

𝑏

𝑏

𝑎

?

sisi – sudut – sudut

sisi – sisi – sudut


sisi – sisi – sisi

(diketahui satu sisi dan dua sudut)

(diketahui dua sisi dan satu sudut di depannya)

(diketahui dua sisi dan sudut yang diapitnya)

(diketahui ketiga sisi segitiga)

𝑎2 = 𝑏 2 + 𝑐 2 − 2𝑏𝑐 cos 𝐴

𝑎 𝑏 𝑐 = = sin 𝐴 sin 𝐵 sin 𝐶

⇒ cos 𝐴 =

𝑏 2 + 𝑐 2 − 𝑎2 2𝑏𝑐

Luas Segitiga 𝐴 𝐶

𝐵

𝑎

𝑎

alas – tinggi


1 𝐿 = (𝑎 × 𝑡) 2


sin 𝐶 =

𝑡 𝑏

⇒ 𝑡 = 𝑏 sin 𝐶

Halaman 152

𝑐

𝑏

𝑡

𝑎

𝐶



𝑏 𝑎



a b = sin A sin B 𝑎 sin 𝐵 ⇒𝑏= sin 𝐴



Luas Segitiga 𝑏 𝐶

𝑎

sisi – sudut – sisi 𝐿=

1 𝑎𝑏 sin 𝐶 2

Luas Segi-n Beraturan Misal segidelapan beraturan. Maka segidelapan beraturan tersusun atas delapan segitiga sama kaki. Masing-masing segitiga memiliki sudut pusat sebesar

360° 8

= 45°.

Sehingga luas segidelapan beraturan adalah delapan kali luas segitiga tersebut.

𝑟

𝑟

Luas dan Keliling Segi-n Beraturan

360° 𝑛

𝑟

sudut pusat =

𝑟

𝟑𝟔𝟎° 𝒏

1 360° 𝐿 = 𝑛 ∙ 𝑟 2 sin ( ) 2 𝑛

𝐾 = 𝑛𝑟√2 (1 − cos (

360° 𝑛

))



Halaman 153

LOGIKA PRAKTIS Aturan Sinus dan Aturan Kosinus: Segitiga punya tiga unsur atau komponen penyusun, yaitu 3 sisi dan 3 sudut. Untuk menyelesaikan masalah segitiga dengan aturan sinus atau kosinus maka perlu diperhatikan acuan sebagai berikut: Komponen yang diketahui dan ditanyakan dari segitiga adalah 3 sisi dan 1 sudut, maka penyelesaiannya adalah harus menggunakan aturan kosinus. Komponen yang diketahui dan ditanyakan dari segitiga adalah 2 sisi dan 2 sudut, maka penyelesaiannya adalah: -

Jika masing-masing sisi dan sudut saling berhadapan, maka harus menggunakan aturan sinus. Jika masing-masing sisi dan sudut tidak saling berhadapan, maka periksa dulu apakah: o Diketahui dua sudut, maka penyelesaiannya harus mencari sudut ketiga dulu menggunakan sifat sudut segitiga 180°, dan dilanjutkan menggunakan aturan sinus. o Diketahui satu sudut, maka penyelesaiannya bisa menggunakan aturan kosinus untuk mencari satu sisi yang lain, lalu dilanjutkan dengan aturan sinus. (Atau apabila ada satu pasangan sisi sudut yang berhadapan, bisa menggunakan aturan sinus dulu untuk menentukan pasangan sudut yang lain, lalu menggunakan sifat sudut segitiga 180°)

Atau bisa digambarkan seperti berikut:

Periksa jumlah komponen yang diketahui dan ditanyakan

3 sisi dan 1 sudut

2 sisi dan 2 sudut

Periksa! Apakah kedua pasangan sisi dan sudut tersebut saling berhadapan

Gunakan aturan kosinus

Halaman 154

Saling berhadapan

Ada yang tidak berhadapan

Gunakan aturan sinus

Periksa! Berapa jumlah sudut yang diketahui

Dua sudut

Satu sudut

Cari sudut ketiga, lalu gunakan aturan sinus

Gunakan aturan kosinus dilanjutkan dengan aturan sinus



Tipe Soal yang Sering Muncul Menentukan unsur atau komponen segitiga menggunakan aturan sinus atau kosinus. Contoh Soal: Diberikan segi empat ABCD seperti gambar di bawah! Panjang BC adalah …. 10√2 cm B a. 4√2 cm A 60° b. 6√2 cm c. 7√3 cm 30° 45° d. 5√6 cm D C e. 7√6 cm Penyelesaian: Pertama kita mempertimbangkan apakah kita akan menggunakan aturan sinus atau aturan kosinus. Lalu pada segitiga yang mana kita akan menerapkan aturan sinus atau kosinus tersebut. Perhatikan gambar, terlihat ada dua segitiga. 1. ∆𝐴𝐵𝐶 dengan diketahui 1 sisi dan 1 sudut. 2. ∆𝐴𝐶𝐷 dengan diketahui 1 sisi dan 2 sudut. Nah, ternyata ∆𝐴𝐵𝐶 tidak bisa kita terapkan aturan sinus atau kosinus, karena aturan sinus dan kosinus bisa digunakan jika minimal diketahui 3 atau lebih unsur atau komponen dari segitiga! Sekarang amati ∆𝐴𝐶𝐷 ternyata sudah diketahui 3 komponen segitiga, sehingga agar ∆𝐴𝐵𝐶 tepat diketahui minimal 3 komponen maka kita harus mencari panjang 𝑨𝑪 terlebih dahulu. Perhatikan ∆𝐴𝐶𝐷, Diketahui 1 sisi dan 2 sudut, ditanyakan 1 sisi 𝐴𝐶. (2 sisi dan 2 sudut) Periksa apakah kedua pasang sisi dan sudut saling berhadapan? Ya! Maka pada ∆𝑨𝑪𝑫 berlaku aturan sinus:

A

? D

30°

45°

C

𝐴𝐶 𝐴𝐷 𝐴𝐷 = ⇒ 𝐴𝐶 = × sin 𝐷 sin 𝐷 sin 𝐶 sin 𝐶 10 = × sin 30° sin 45° 10 1 = × 1 2 2 √2 10 = √2 10 √2 (rasionalisasi penyebut bentuk akar) = × √2 √2 10√2 = 2 = 5√2 cm

Nah, sekarang perhatikan ∆𝐴𝐵𝐶, 10√2 cm B A 60°

Diketahui 2 sisi dan 1 sudut, ditanyakan 1 sisi 𝐵𝐶. (3 sisi dan 1 sudut) Pasti berlaku aturan kosinus pada ∆𝑨𝑩𝑪:

?

5√2 cm

𝐵𝐶 2 = 𝐴𝐵2 + 𝐴𝐶 2 − 2 𝐴𝐵 𝐴𝐶 cos 𝐴 2

2

= (10√2) + (5√2) − 2(10√2)(5√2) cos 60 1 = 200 + 50 − 200 ∙ 2 = 250 − 100 = 150 cm

C

Jadi, 𝐵𝐶 = √150 = √25√6 = 5√6 cm Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)


Halaman 155

Menentukan luas segi-n beraturan. Contoh Soal: Luas segi-12 beraturan dengan panjang jari-jari lingkaran luar 8 cm adalah …. a. 192 cm2 b. 172 cm2 c. 162 cm2 d. 148 cm2 e. 144 cm2 Penyelesaian: Ingat luas segitiga:

𝑏 𝐶

𝑎

sisi – sudut – sisi 1 𝐿 = 𝑎𝑏 sin 𝐶 2

Segi-12 beraturan terdiri atas 12 segitiga yang kongruen, jadi kita cukup mencari luas salah satu segitiga penyusun segi-12 beraturan tersebut.

O 𝜃 8 A

8 B

Perhatikan ∆𝐴𝑂𝐵, 1 𝐿∆𝐴𝑂𝐵 = 𝑂𝐴 𝑂𝐵 sin ∠𝐴𝑂𝐵 2 1 = ∙ 8 ∙ 8 ∙ sin 30° 2 1 = 32 ∙ 2 = 16 cm2 Jadi, luas segi-12 beraturan adalah: 𝐿𝑠𝑒𝑔𝑖−12 𝑏𝑒𝑟𝑎𝑡𝑢𝑟𝑎𝑛 = 12 × 𝐿∆𝐴𝑂𝐵 = 12 ∙ 16 = 192 cm2

Penyelesaian TRIK SUPERKILAT: Ingat luas segi-n beraturan dengan jari-jari lingkaran luar 𝑟 adalah: 1 360° 1 𝐿𝑠𝑒𝑔𝑖−𝑛 𝑏𝑒𝑟𝑎𝑡𝑢𝑟𝑎𝑛 = 𝑛 ∙ 𝑟 2 sin = 12 ∙ ∙ 82 ∙ sin 30° = 192 cm2 2 𝑛 2

Halaman 156



Menentukan keliling segi-n beraturan. Contoh Soal: Keliling segi-12 beraturan dengan panjang jari-jari lingkaran luar 8 cm adalah …. a. 96√2 + √3 cm b. 96√2 − √3 cm c. 8√2 + √3 cm d. 8√2 − √3 cm e. √128 − √3 cm Penyelesaian: Segi-12 beraturan terdiri atas 12 segitiga yang kongruen, jadi kita cukup mencari panjang keliling pada salah satu segitiga penyusun segi-12 beraturan tersebut, yaitu panjang sisi 𝐴𝐵. Perhatikan ∆𝐴𝑂𝐵, Diketahui 2 sisi dan 1 sudut ditanyakan 1 sisi 𝐴𝐵. (3 sisi dan 1 sudut) Pasti berlaku aturan kosinus: 𝐴𝐵2 = 𝑟 2 + 𝑟 2 − 2 𝑟 𝑟 cos 𝜃 = (8)2 + (8)2 − 2(8)(8) cos 30 1 = 64 + 64 − 128 ∙ √3 2 = 128 − 64√3 cm

O 𝜃 𝑟=8 A

𝑟=8 B

Jadi, 𝐴𝐵 = √128 − 64√3 cm

Sehingga, keliling segi-12 beraturan adalah 𝐾𝑠𝑒𝑔𝑖−12 𝑏𝑒𝑟𝑎𝑡𝑢𝑟𝑎𝑛 = 12 × 𝐴𝐵 = 12√128 − 64√3 cm = 12 × √64√2 − √3 cm = 12 × 8√2 − √3 cm = 96√2 − √3 cm Penyelesaian TRIK SUPERKILAT: Ingat keliling segi-n beraturan dengan jari-jari lingkaran luar 𝑟 adalah: 1 𝐾𝑠𝑒𝑔𝑖−𝑛 𝑏𝑒𝑟𝑎𝑡𝑢𝑟𝑎𝑛 = 𝑛𝑟√2(1 − cos 𝜃) = 12 ∙ 8 ∙ √2 (1 − √3) = 96√2 − √3 cm 2



Halaman 157

Menentukan volume bangun ruang menggunakan aturan sinus atau kosinus. D

Contoh Soal: Diberikan prisma tegak segitiga ABC.DEF dengan panjang rusuk 𝐴𝐵 = 6 cm, 𝐵𝐶 = 3√7 cm, dan 𝐴𝐶 = 3 cm. Tinggi prisma adalah 20 cm. Volume prisma adalah …. a. 55√2 cm3 b. 60√2 cm3 c. 75√3 cm3 d. 90√3 cm3 e. 120√3 cm3

E

A

C

B

Penyelesaian: Perhatikan prisma tegak segitiga ABC.DEF berikut: D

F

F

E

A

C

B

Perhatikan ∆𝐴𝐵𝐶, A

3 cm

C

6 cm 3√7 cm

B

Ingat lagi tentang luas segitiga, 𝐴 𝑐

𝑏

𝑡 𝐶

𝑎

𝑎

alas – tinggi


1 𝐿 = (𝑎 × 𝑡) 2


𝐵

𝑎

𝐶



𝑏 𝑎



Ternyata kita bisa menggunakan rumus 𝐿 = √𝑠(𝑠 − 𝑎)(𝑠 − 𝑏)(𝑠 − 𝑐). Yang jadi masalah adalah ada sisi yang memuat bentuk akar. Repot deh perkaliannya nanti. 1

Pilih saja rumus luas segitiga yang 𝐿 = 2 𝑎𝑏 sin 𝐶, dengan catatan kita harus tahu salah satu sudut dari segitiga tersebut. Akan dicari salah satu sudut segitiga (misalkan ∠𝐵), dengan diketahui 3 sisi segitiga. (3 sisi dan 1 sudut) Pasti berlaku aturan kosinus, yaitu: 𝐴𝐶 2 = 𝐴𝐵2 + 𝐵𝐶 2 − 2 𝐴𝐵 𝐵𝐶 cos 𝐴𝐵

Halaman 158



Sehingga, 𝐴𝐶 2 = 𝐴𝐵2 + 𝐵𝐶 2 − 2 𝐴𝐵 𝐵𝐶 cos 𝐵 ⇒ cos 𝐵 = = = = = Jadi,

𝐴𝐵2 + 𝐵𝐶 2 − 𝐴𝐶 2 2 ∙ 𝐴𝐵 ∙ 𝐴𝐶 2 2 (6) + (3√7) − (3)2 2(6)(3√7) 36 + 63 − 9 36√7 90 36√7 5 2√7

5

cos 𝐵 =

2√7

Nilai kosinus tersebut bisa dinyatakan pada segitiga siku-siku berikut,

2√7

√3

B 5

Sehingga akan diperoleh nilai sinus dari ∠𝐵, √3 sin 𝐵 = 2√7 1

Dari nilai sinus ∠𝐵 dan panjang sisi 𝐴𝐵 dan 𝐵𝐶 dan rumus luas segitiga 𝐿 = 2 𝑎𝑏 sin 𝐶 diperoleh luas segitiga 𝐴𝐵𝐶, yaitu: 1 𝐿∆𝐴𝐵𝐶 = 𝐴𝐵 𝐵𝐶 sin ∠𝐵 2 1 √3 = (6)(3√7) ( ) 2 2√7 =

9 2

√3 cm2

Jadi, volum prisma tersebut adalah: 𝑉 = 𝐿𝑎 × 𝑡 = 𝐿∆𝐴𝐵𝐶 × 𝑡 9 = √3 × 20 2 = 90√3 cm3



Halaman 159


1.

Diketahui segienam beraturan. Jika jari-jari lingkaran luar segienam beraturan adalah 10 satuan, maka luas segienam beraturan tersebut adalah .... 𝑛 360° TRIK SUPERKILAT: A. 150 satuan luas 𝐿𝑠𝑒𝑔𝑖−𝑛 = 𝑟 2 sin Karena bangunnya adalah segienam, berarti 2 𝑛 B. 150 2 satuan luas 6 360° sudut pusatnya 60°, sementara jari-jari ⇒ 𝐿𝑠𝑒𝑔𝑖−6 = (10)2 sin lingkaran luar adalah bilangan bulat tanpa 150 3 C. satuan luas 2 6 bentuk akar, jadi jawabannya pasti memuat = 3 ∙ 100 ∙ sin 60° D. 300 satuan luas 1 √3 yang berasal dari nilai sin 60°. Dari sini = 300 ∙ √3 E. 300 2 satuan luas 2 tanpa menghitung kita akan tahu bahwa jawaban yang benar hanya C saja.

= 150√3

2.

Panjang jari-jari lingkaran luar segidelapan beraturan adalah 6 cm. keliling segidelapan tersebut adalah .... A. 06 2  2 cm

𝑥 = √𝑟 2 + 𝑟 2 − 2 ∙ 𝑟 ∙ 𝑟 ∙ cos

B. 12 2  2 cm C. 36 2  2 cm 6

6

𝐾𝑠𝑒𝑔𝑖−𝑛 = 𝑛 ∙ 𝑥 = 𝑛 ∙ (√𝑟 2 + 𝑟 2 − 2 ∙ 𝑟 ∙ 𝑟 ∙ cos

D. 48 2  2 cm E.

𝑥

360° 𝑛 360° 360° ) = 𝑛 ∙ (√2𝑟 2 (1 − cos )) 𝑛 𝑛

1

72 2  2 cm ⇒ 𝐾𝑠𝑒𝑔𝑖−8 = 8 ∙ 6 (√2 (1 − 2 √2) ) = 48√2 − √2 cm

3.

Luas segi-12 beraturan adalah 192 cm2. Keliling segi-12 beraturan tersebut adalah .... A. 96 2  3 cm B. 96 2  3 cm C. 8 2  3 cm 8

8

D. 8 2  3 cm E.

128  3 cm

𝑥

4.

1 2𝜋 𝐿 = 12 ∙ ∙ 𝑟 2 ∙ sin ( ) ⇒ 192 = 3𝑟 2 ⇒ 𝑟 2 = 64 ⇒ 𝑟 = 8 cm 2 12 𝑥 = √𝑟 2 + 𝑟 2 − 2 ∙ 𝑟 ∙ 𝑟 ∙ cos

360° 𝑛

𝐾𝑠𝑒𝑔𝑖−𝑛 = 𝑛 ∙ 𝑥 = 𝑛 ∙ (√𝑟 2 + 𝑟 2 − 2 ∙ 𝑟 ∙ 𝑟 ∙ cos

360° 360° )) ) = 𝑛 ∙ (√2𝑟 2 (1 − cos 𝑛 𝑛

1 ⇒ 𝐾𝑠𝑒𝑔𝑖−8 = 12 ∙ 6 (√2 (1 − √3) ) 2 = 96√2 − √3 cm

Keliling suatu segienam beraturan adalah 72 cm. Luas segienam tersebut adalah .... 𝑛 360° TRIK SUPERKILAT: A. 432 3 cm Karena bangun 𝐿𝑠𝑒𝑔𝑖−𝑛 = 𝑟 2 sin Karena segienam, berarti sudut segienam, maka 2 𝑛 B. 432 cm pusatnya 60°, sementara jari-jari segitiga yang 6 360° lingkaran luar adalah bilangan ⇒ 𝐿𝑠𝑒𝑔𝑖−6 = (12)2 sin terbentuk adalah C. 216 3 cm bulat tanpa bentuk akar, jadi 2 6 D. E.

216 2 cm 12 216 cm

segitiga sama sisi.

12 Akibatnya semua sisi segitiga adalah 12 cm.

12

= 3 ∙ 144 ∙ sin 60° 1 = 432 ∙ √3 2 = 216√3 cm2

jawabannya pasti memuat √3 yang berasal dari nilai sin 60°. Dari sini tanpa menghitung kita akan tahu bahwa jawaban yang benar hanya A atau C saja.


Halaman 160



Smart Solution



Disusun oleh :

Pak Anang


4. 2.

Menyelesaikan persamaan trigonometri.

Nilai Perbandingan Trigonometri Tabel Nilai Trigonometri 𝐬𝐢𝐧 𝜽

𝐜𝐨𝐬 𝜽

𝐭𝐚𝐧 𝜽

0°

0

1

0

30°

1 2

1 √3 2

1 √3 3

45°

1 √2 2

1 √2 2

1

60°

1 √3 2

1 2

√3

90°

1

0

−

Kuadran

Relasi Sudut

Periodisasi

90°

Periksa Sudut

sin 𝑥 = sin(□ + 𝑛 ∙ 𝟑𝟔𝟎°)

sin +

Semua +

Kuadran II

Kuadran III

Kuadran IV

0° 360°

Pilih Acuan

cos 𝑥 = cos(□ + 𝑛 ∙ 𝟑𝟔𝟎°)

cos +

270°

SEMUA SINdikat TANgan KOSong

Genap 180° ± α 360° − α

Ganjil 90° ± 𝛼 270° ± 𝛼

Fungsi Tetap

Fungsi Berubah sin ↔ cos tan ↔ cot

360°

(−𝑥)

𝑥

tan 𝑥 = tan(□ + 𝑛 ∙ 𝟏𝟖𝟎°) 𝑥

Grafik sin 𝛼

(180° − 𝑥)

𝑥

Kuadran I

180°

tan +

𝜽

Cek Kuadran Tanda ±

dimana 𝑛 bilangan bulat

Persamaan Trigonometri sin 𝑥 = sin 𝛼 ⇒ 𝑥 = □ + 𝑛 ∙ 𝟑𝟔𝟎°

cos 𝛼

(180° − 𝛼)

𝛼

Selesai

cos 𝑥 = cos 𝛼 ⇒ 𝑥 = □ + 𝑛 ∙ 𝟑𝟔𝟎° 360°

Relasi Sudut Negatif

tan 𝛼 360°

(−𝛼)

𝛼

tan 𝑥 = tan 𝛼 ⇒ 𝑥 = □ + 𝑛 ∙ 𝟏𝟖𝟎°

sin(−𝛼) = − sin 𝛼 cos(−𝛼) = cos 𝛼 tan(−𝛼) = − tan 𝛼



𝛼 dimana 𝑛 bilangan bulat Halaman 161

LOGIKA PRAKTIS Pengerjaan Persamaan Trigonometri:

Persamaan Trigonometri Sederhana sin 𝑥 = sin 𝛼 ⇒ 𝑥 = □ + 𝑛 ∙ 𝟑𝟔𝟎°

Peta konsep di samping bisa diterjemahkan sebagai berikut: o Jika ada persamaan sin 𝑥 = sin 𝛼, maka penyelesaiannya adalah: 𝑥1 = 𝛼 + 𝑛 ∙ 360° 𝑥2 = (180° − 𝛼) + 𝑛 ∙ 360°

(180° − 𝛼)

𝛼

cos 𝑥 = cos 𝛼 ⇒ 𝑥 = □ + 𝑛 ∙ 𝟑𝟔𝟎° (−𝛼)

𝛼

o Jika ada persamaan cos x = cos α, maka penyelesaiannya adalah: x1 = 𝛼 + 𝑛 ∙ 360° x2 = (−α) + n ∙ 360°

tan 𝑥 = tan 𝛼 ⇒ 𝑥 = □ + 𝑛 ∙ 𝟏𝟖𝟎°

o Jika ada persamaan tan x = tan α, maka penyelesaiannya adalah:

𝛼 dimana 𝑛 bilangan bulat

x = 𝛼 + 𝑛 ∙ 180°

Nah, proses menentukan persamaan trigonometri sederhana adalah melalui manipulasi aljabar menggunakan identitas trigonometri pada persamaan awal pada soal. Jadi logika praktisnya bisa tergambar dalam diagram di bawah: Misal ditanyakan tentukan himpunan penyelesaian dari: Persamaan Awal pada Soal

Manipulasi Aljabar Identitas Trigonometri

Diperoleh Persamaan Trigonometri Sederhana

sin 𝑥 = sin 𝛼

cos 𝑥 = cos 𝛼

cos 4𝑥 − cos 2𝑥 = −1 ⇒ (2 cos 2 2𝑥 − 1) − cos 2𝑥 = −1 ⇔ 2 cos 2 2𝑥 − cos 2𝑥 − 1 = −1 ⇔ 2 cos 2 2𝑥 − cos 2𝑥 = 0 ⇔ cos 2𝑥 (2 cos 2𝑥 − 1) = 0

⇔ cos 2𝑥 = 0 atau cos 2𝑥 =

1 2

tan 𝑥 = tan 𝛼

Cari Himpunan Penyelesaian

Jadi, untuk cos 2𝑥 = 0 = cos 90°, maka 2𝑥1 = 90° + 𝑛 ∙ 360° ⇒ 𝑥1 = 45° + 𝑛 ∙ 180° 2𝑥2 = −90° + 𝑛 ∙ 360° ⇒ 𝑥2 = −45° + 𝑛 ∙ 180° 1

Jadi, untuk cos 2𝑥 = = cos 60°, maka 2 2𝑥1 = 60° + 𝑛 ∙ 360° ⇒ 𝑥1 = 30° + 𝑛 ∙ 180° 2𝑥2 = −60° + 𝑛 ∙ 360° ⇒ 𝑥2 = −30° + 𝑛 ∙ 180° Dst… dst…. Sehingga akan diperoleh himpunan nilai 𝑥 yang memenuhi persamaan trigonometri tersebut.

Halaman 162



LOGIKA PRAKTIS Menyusun Rumus Persamaan Trigonometri dengan Panduan Grafik Trigonometri: Inti permasalahan tentang persamaan trigonometri adalah menemukan sudut-sudut yang menghasilkan suatu nilai perbandingan trigonometri. Sudut-sudut tersebut berulang untuk periode tertentu.

Grafik periode

360°

Misalnya, berapa saja sih sudut yang dapat menghasilkan nilai sinus sama dengan 1?

periode

Pernyataan di atas bisa dituliskan dalam bentuk: 360°

sin 𝑥 = 1 = sin 90° ⇒ 𝑥 = 90° Nah, karena sudah hafal tabel nilai trigonometri dan paham tentang konsep dasar perbandingan trigonometri, maka bisa ditentukan nilai sinus sama dengan 1 dipenuhi oleh sin 90°.

periode

360°

Daerah kuadran bernilai positif

Padahal, fungsi sinus memiliki grafik yang berulang-ulang sesuai periodenya masing-masing. Sehingga, untuk nilai sinus sama dengan 1 tidak hanya dipenuhi oleh sudut 90°. Namun, masih banyak lagi sudut yang menghasilkan nilai sinus sama dengan 1.

Bagaimana cara mudah menyusun rumus perbandingan trigonometrinya? Perhatikan gambar di atas. Grafik sinus berulang-ulang naik turun, seperti huruf “S” tidur terbalik. Berulang-ulangnya setiap 360°. “ “ Sekarang perhatikan grafiknya, nilai awal grafik sinus di kuadran I adalah positif. Nilai sinus akan kembali positif di kuadran II. Jadi,

sin 𝑥 = sin 𝛼 ⇒ 𝑥 = □ + 𝑛 ∙ 𝟑𝟔𝟎° 𝛼

(180° − 𝛼)

Grafik kosinus berulang-ulang turun naik seperti huruf “C” tidur. Berulang-ulangnya setiap 360°. “ “ Sekarang perhatikan grafiknya, nilai awal grafik kosinus di kuadran I adalah positif. Nilai kosinus akan kembali positif di kuadran IV. (karena grafiknya simetris terhadap sumbu Y, maka kuadran sebelah kiri kuadran I juga positif, kan ya?). Jadi, cos 𝑥 = cos 𝛼 ⇒ 𝑥 = □ + 𝑛 ∙ 𝟑𝟔𝟎° (−𝛼)

𝛼

Grafik tangen berulang-ulang naik terputus-putus. Berulang setiap 180°. Sekarang perhatikan grafiknya, nilai positif hanya di kuadran I dan berulang-ulang setiap 180°. Jadi, tan 𝑥 = tan 𝛼 ⇒ 𝑥 = □ + 𝑛 ∙ 𝟏𝟖𝟎° 𝛼



Halaman 163

Tipe Soal yang Sering Muncul Menentukan himpunan penyelesaian dari persamaan trigonometri. Contoh Soal: Himpunan penyelesaian dari cos 4𝑥 − cos 2𝑥 = −1 ; 0 ≤ 𝑥 ≤ 360° adalah …. a. {30°, 45°, 135°, 150°, 210°, 225°, 315°, 330°} b. {30°, 60°, 135°, 180°, 210°, 225°, 300°, 330°} c. {0°, 30°, 135°, 150°, 210°, 225°, 300°, 330°} d. {30°, 45°, 120°, 135°, 210°, 225°, 300°} e. {30°, 45°, 135°, 150°, 240°, 225°, 315°} Penyelesaian: cos 4𝑥 − cos 2𝑥 = −1 ⇒ (2 cos 2𝑥 − 1) − cos 2𝑥 = −1 ⇔ 2 cos2 2𝑥 − cos 2𝑥 − 1 = −1 ⇔ 2 cos2 2𝑥 − cos 2𝑥 = 0 ⇔ cos 2𝑥 (2 cos 2𝑥 − 1) = 0 2

1

⇔ cos 2𝑥 = 0 atau cos 2𝑥 = 2 Jadi, untuk cos 2𝑥 = 0 = cos 90°, maka 2𝑥1 = 90° + 𝑛 ∙ 360° ⇒ 𝑥1 = 45° + 𝑛 ∙ 180° untuk 𝑛 = 0 ⇒ 𝑥 = 45° untuk 𝑛 = 1 ⇒ 𝑥 = 225° 2𝑥2 = −90° + 𝑛 ∙ 360° ⇒ 𝑥2 = −45° + 𝑛 ∙ 180° untuk 𝑛 = 1 ⇒ 𝑥 = 225° untuk 𝑛 = 2 ⇒ 𝑥 = 315° 1

Jadi, untuk cos 2𝑥 = 2 = cos 60°, maka 2𝑥1 = 60° + 𝑛 ∙ 360° ⇒ 𝑥1 = 30° + 𝑛 ∙ 180° untuk 𝑛 = 0 ⇒ 𝑥 = 30° untuk 𝑛 = 1 ⇒ 𝑥 = 210° 2𝑥2 = −60° + 𝑛 ∙ 360° ⇒ 𝑥1 = −30° + 𝑛 ∙ 180° untuk 𝑛 = 1 ⇒ 𝑥 = 150° untuk 𝑛 = 2 ⇒ 𝑥 = 330° Sehingga himpunan penyelesaian adalah {30°, 45°, 135°, 150°, 210°, 225°, 315°, 330°}.

Halaman 164




1.

Himpunan penyelesaian persamaan cos2x  2 cos x  1; 0  x  2π adalah .... 𝜋 cos 2𝑥 − 2 cos 𝑥 = −1 1 3 cos 𝑥 = 0 = cos A. {0, π, π, 2π } ⇒ (2 cos 2 𝑥 − 1) − 2 cos 𝑥 + 1 = 0 2 2 2 Penyelesaiannya: ⇔ 2 cos 2 𝑥 − 2 cos 𝑥 = 0 𝜋 1 2 𝑥 = ± + 𝑘 ∙ 2𝜋 2 cos 𝑥 (cos 𝑥 − 1) = 0 B. {0, π, π, 2π } ⇔ 2 ⇔ 2 cos 𝑥 = 0 atau cos 𝑥 − 1 = 0 2 3 𝜋 1) 𝑥 = + 𝑘 ∙ 2𝜋 ⇔ cos 𝑥 = 0 cos 𝑥 = 1 2 1 3 𝜋 C. {0, π, π, π, } = 2 2 2 1 2 cos 𝑥 = 1 = cos 0 D. {0, π, π } Penyelesaiannya: 2 3 𝑥 = 0 + 𝑘 ∙ 2𝜋 1 E. {0, π, π } 3) 𝑥 = 0 + 𝑘 ∙ 2𝜋 2 = 0, 2𝜋

𝜋

2) 𝑥 = − + 𝑘 ∙ 2𝜋 3

2

= 𝜋 2

Jadi jawabannya sebenarnya tidak ada karena untuk interval 0 < 𝑥 < 2𝜋 𝜋 3 maka yang memenuhi hanya { , 𝜋} 2 2

𝜋 3

Jika intervalnya diubah 0 ≤ 𝑥 ≤ 2𝜋, maka penyelesaiannya {0, , 𝜋, 2𝜋} 2 2

2.

Himpunan penyelesaian persamaan cos4x  3sin 2x  1 ; 0  x  180 adalah .... 1 cos 4𝑥 + 3 sin 𝑥 = −1 A. {120, 150} sin 2𝑥 = − = − sin 30° = sin(−30°) 2 2 (1 − 2 sin 2𝑥) + 3 sin 2𝑥 + 1 = 0 B. {150, 165}⇒ 1 2 ⇔ −2 sin 2𝑥 + 3 sin 2𝑥 + 2 = 0 sin 2𝑥 = − = − sin 150° = sin(−150°) 2 C. {30, 150} ⇔ (−sin 2𝑥 + 2)(2 sin 2𝑥 + 1) = 0 Penyelesaiannya: D. {30, 165} ⇔ − sin 2𝑥 + 2 = 0 atau 2 sin 2𝑥 + 1 = 0 1 1) 𝑥 = −30° + 𝑘 ∙ 360° 2) 𝑥 = −150° + 𝑘 ∙ 360° sin 2𝑥 = − E. {15, 105} ⇔ sin 2𝑥 = 2 (mustahil) = −15° + 𝑘 ∙ 180° = −75° + 𝑘 ∙ 180° 2

= 165°

= 105°

Soal ini tidak ada jawabannya, mungkin maksudnya pilihan jawaban B bukan 150°, tapi salah ketik. Seharusnya 105°.

3.

Himpunan penyelesaian persamaan cos 2 x  2 sin x  1 ; 0  x  2 π adalah .... cos 2𝑥 − 2 sin 𝑥 = 1 3π sin 𝑥 = 0 = sin 0 = sin 𝜋 A. {0, π, , 2π} ⇒ (1 − 2 sin2 𝑥) − 2 sin 2𝑥 − 1 = 0 3𝜋 sin 𝑥 = −1 = sin 2 ⇔ −2 sin2 𝑥 − 2 sin 𝑥 = 0 2 Penyelesaiannya: 4π ⇔ −2 sin 𝑥 (sin 𝑥 + 1) = 0 B. {0, π, , 2π} ⇔ −2 sin 𝑥 = 0 atau sin 𝑥 + 1 = 0 3 ⇔ sin 𝑥 = 0 sin 𝑥 = −1 1) 𝑥 = 0 + 𝑘 ∙ 2𝜋 2) 2 =0 C. {0, π, π, 2π} 3 TRIK SUPERKILAT: D. {0, π, 2π} 3𝜋 Satu-satunya jawaban yang tidak memuat 3) 𝑥 = + 𝑘 ∙ 2𝜋 2 3π 2𝜋 adalah E. Perhatikan batas yang 3𝜋 E. {0, π, } = diminta soal. 2𝜋 tidak diikutkan.  2 2



𝑥 = 𝜋 + 𝑘 ∙ 2𝜋 =𝜋

Halaman 165

4.

Himpunan penyelesaian persamaan cos2x  3 cos x  2  0 untuk 0  x  2π adalah .... 1 𝜋 cos 2𝑥 − 3 cos 𝑥 + 2 = 0  π 3  cos 𝑥 = = cos 2 A. 0, , π, 2π  ⇒ (2 cos 𝑥 − 1) − 3 cos 𝑥 + 2 = 0 2 3  2 2  ⇔ Penyelesaiannya: 2 cos 2 𝑥 − 3 cos 𝑥 + 1 = 0 𝜋 (2 cos 𝑥 − 1)(cos 𝑥 − 1) = 0  π 5  ⇔ 𝑥 = ± + 𝑘 ∙ 2𝜋 B. 0, , π, 2π  ⇔ 2 cos 𝑥 − 1 = 0 atau cos 𝑥 − 1 = 0 3 𝜋 𝜋  3 3  1 1) 𝑥 = + 𝑘 ∙ 2𝜋 2) 𝑥 = − 3 + 𝑘 ∙ 2𝜋 3 ⇔ cos 𝑥 = cos 𝑥 = 1 𝜋  π 3  5 2 = = 𝜋 C. 0, , π, 2π  3 3 3 2   cos 𝑥 = 1 = cos 0 2   π D. 0, , π, π  Penyelesaiannya: 3   2 𝑥 = 0 + 𝑘 ∙ 2𝜋  π  E. 0, , π, 2π  3) 𝑥 = 0 + 𝑘 ∙ 2𝜋  2  = 0, 2𝜋 Jadi jawabannya sebenarnya tidak ada karena untuk interval 0 ≤ 𝑥 < 2𝜋 𝜋 5 maka yang memenuhi hanya {0, , 𝜋} 3 3

𝜋 5

Jika intervalnya diubah 0 ≤ 𝑥 ≤ 2𝜋, maka penyelesaiannya {0, , 𝜋, 2𝜋} 3 3


Halaman 166



Smart Solution



Disusun oleh :

Pak Anang


4. 3.

Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan nilai perbandingan trigonometri yang menggunakan rumus jumlah dan selisih sinus, kosinus dan tangent serta jumlah dan selisih dua sudut.

Trigonometri Kelas XI IPA Jumlah dan Selisih Dua Sudut Alat Bukti: Lingkaran satuan dan 3 buah juring masing-masing bersudut 𝐴, 𝐵, dan (– 𝐵). 𝑅 𝑅

𝑂

𝐵 𝐴

Diperoleh dua segitiga yaitu, ∆𝑃𝑂𝑅 dan ∆𝑆𝑂𝑄 dengan ∠𝑃𝑂𝑅 = ∠𝑆𝑂𝑄 sehingga, 𝑃𝑅 = 𝑆𝑄

𝑄 −𝐵

𝑃 𝑆

𝑂

𝑃 𝑄

Dengan membuktikan 𝑃𝑅 = 𝑆𝑄, diperoleh: 𝐜𝐨𝐬(𝑨 + 𝑩) = 𝐜𝐨𝐬 𝑨 𝐜𝐨𝐬 𝑩 − 𝐬𝐢𝐧 𝑨 𝐬𝐢𝐧 𝑩

𝑂 𝑆

𝐜𝐨𝐬(𝑨 − 𝑩) diperoleh dengan sifat relasi sudut negatif 𝐜𝐨𝐬(𝑨 + (−𝑩)) 𝐬𝐢𝐧(𝑨 + 𝑩) dan 𝐬𝐢𝐧(𝑨 − 𝑩) diperoleh dengan sifat relasi sudut kuadran I

Jumlah dan Selisih Dua Sudut sin(𝐴 ± 𝐵) = sin 𝐴 cos 𝐵 ± cos 𝐴 sin 𝐵 cos(𝐴 ± 𝐵) = cos 𝐴 cos 𝐵 ∓ sin 𝐴 sin 𝐵


Eliminasi 𝐬𝐢𝐧(𝑨 + 𝑩) dengan 𝐬𝐢𝐧(𝑨 − 𝑩) 𝐜𝐨𝐬(𝑨 + 𝑩) dengan 𝐜𝐨𝐬(𝑨 − 𝑩)

Trigonometri Sudut Rangkap

Jumlah, Selisih dan Perkalian

Sudut Rangkap Sinus Sin 2𝐴 = 2 sin 𝐴 cos 𝐴

Sudut Rangkap Kosinus cos 2𝐴 = cos2 𝐴 − sin2 𝐴



1 ⊕ 2

1 ⊖ 2

𝑆+𝑆

2𝑆𝐶

𝑆−𝑆

2𝐶𝑆

𝐶+𝐶

2𝐶𝐶

𝐶 −𝐶

−2𝑆𝑆

⊕ ⊖

Kosinus Kuadrat

cos 2𝐴 = 2 cos2 𝐴 − 1



1 − cos 2𝐴 sin 𝐴 = √ 2

1 + cos 2𝐴 cos 𝐴 = √ 2

Khusus untuk tan(𝐴 ± 𝐵), tangen sudut rangkap dan tangen setengah sudut, cukup gunakan sifat identitas “TAN A = SINA DIPERKOSA”



Halaman 167

TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS Cara Menghafal Rumus Trigonometri Jumlah Selisih Dua Sudut. Intisari dari masalah tentang jumlah selisih sinus kosinus tangen serta masalah tentang jumlah selisih dua sudut adalah kita harus memahami bagaimana konsep awal dari cos(𝐴 + 𝐵). Begitu konsep awal ini dipahami, maka dengan menggunakan konsep-konsep dasar trigonometri di kelas X, maka semua konsep tentang trigonometri di kelas XI IPA akan segera muncul satu-persatu dengan sendirinya. Untuk mendampingi pemahaman konsep dasar yang sudah diperoleh lewat pembelajaran di sekolah, kali ini Pak Anang akan membagikan konsep LOGIKA PRAKTIS dalam menyusun rumus jumlah selisih dua sudut sebagai berikut: Konsep awal yang harus diingat adalah sin(𝐴 ± 𝐵) dan cos(𝐴 ± 𝐵). sin(𝐴 ± 𝐵) = sin 𝐴 cos 𝐵 ± cos 𝐴 sin 𝐵 cos(𝐴 ± 𝐵) = cos 𝐴 cos 𝐵 ∓ sin 𝐴 sin 𝐵 Perhatikan, untuk sin(𝐴 ± 𝐵), diawali huruf “S”, yang secara kreatif imajinatif dimaknai dengan: Keterangan: Selang-seling diambil dari bahasa Jawa, artinya adalah pola yang selalu bergantian.

 SELANG-SELING  SIN  SAMA

“SELANG-SELING” dimulai dari SIN

𝐬𝐢𝐧(𝑨 ± 𝑩) SAMA tanda plus minusnya

Keterangan: Kalau cos(𝐴 ± 𝐵) berarti kebalikannya.  SELANG-SELING diawali SIN >< Kembar diawali COS  SAMA >< BERBEDA

Tanda SAMA

sin(𝐴 + 𝐵) = sin 𝐴 cos 𝐵 + cos 𝐴 sin 𝐵 sin(𝐴 − 𝐵) = sin 𝐴 cos 𝐵 − cos 𝐴 sin 𝐵 Dimulai dari SIN “SELANG-SELING”, bergantian SIN COS lalu COS SIN Jadi, untuk cos(𝐴 ± 𝐵) tinggal membalik konsep menghafal rumus sin(𝐴 ± 𝐵) di atas.  Tidak SELANG-SELING (KEMBAR)  Bukan SIN (Jadi, dimulai dari cos)  Tidak SAMA (Tanda plus minus berbeda) Tanda BEDA

cos(𝐴 + 𝐵) = cos 𝐴 cos 𝐵 − sin 𝐴 sin 𝐵 cos(𝐴 − 𝐵) = cos 𝐴 cos 𝐵 + sin 𝐴 sin 𝐵 Dimulai dari COS KEMBAR, bergantian COS COS lalu SIN SIN Halaman 168



TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS Cara Menghafal Rumus Trigonometri Sudut Rangkap. Masih ingat dengan konsep rumus jumlah sudut sinus kosinus pada halaman sebelumnya……?? sin(𝐴 + 𝐵) = sin 𝐴 cos 𝐵 + cos 𝐴 sin 𝐵 dan cos(𝐴 + 𝐵) = cos 𝐴 cos 𝐵 − sin 𝐴 sin 𝐵 Asyik…. Nah, konsep kedua yang harus melekat kuat di otak adalah tentang sin 2𝐴 dan cos 2𝐴, diperoleh dari rumus sin(𝐴 + 𝐵) dan cos(𝐴 + 𝐵) dengan mengganti 𝐵 = 𝐴. sin(𝐴 + 𝐵) dan cos(𝐴 + 𝐵)

Ganti 𝐵 = 𝐴

sin 2𝐴 dan cos 2𝐴 Konsep untuk mendapatkan sin 2𝐴 adalah:

sin(𝐴 + 𝐵) = sin 𝐴 cos 𝐵 + cos 𝐴 sin 𝐵 sin(𝐴 + 𝐴) = sin 𝐴 cos 𝐴 + cos 𝐴 sin 𝐴 sin 2𝐴 = 2 sin 𝐴 cos 𝐴 Konsep untuk mendapatkan cos 2𝐴 adalah:

cos(𝐴 + 𝐵) = cos 𝐴 cos 𝐵 − sin 𝐴 sin 𝐵 cos(𝐴 + 𝐴) = cos 𝐴 cos 𝐴 − sin 𝐴 sin 𝐴 cos 2𝐴 =

cos2 𝐴 −

sin2 𝐴

Jadi,

sin 2𝐴 = 2 sin 𝐴 cos 𝐴 cos 2𝐴 = cos2 𝑥 − sin2 𝑥



Halaman 169

TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS Cara Menghafal Rumus Kosinus Sudut Rangkap yang Lain. Masih ingat dengan konsep rumus kosinus sudut rangkap pada halaman sebelumnya……?? cos 2𝐴 = cos 2 𝐴 − sin2 𝐴 Asyik…. Nah, konsep ketiga yang harus melekat kuat di otak adalah tentang rumus cos 2𝐴 yang lainnya. Rumus kosinus sudut rangkap yang lain diperoleh dari cos 2𝐴 dengan mensubstitusikan identitas trigonometri Pythagoras. cos 2𝐴 = cos 2 𝐴 − sin2 𝐴 Substitusi sin2 𝐴 + cos2 𝐴 = 1

cos 2𝐴 = 2 cos 2 𝐴 − 1

cos 2𝐴 = 1 − 2 sin2 𝐴

Konsep untuk mendapatkan cos 2𝐴 = 2 cos2 𝐴 − 1 adalah:

cos 2𝐴 = cos 2 𝐴 −

sin2 𝐴

cos 2𝐴 = cos 2 𝐴 − (1 − cos 2 𝐴)

sin2 𝐴 + cos 2 𝐴 = 1 ⇒ sin2 𝐴 = 1 − cos2 𝐴

cos 2𝐴 = 2 cos 2 𝐴 − 1 Konsep untuk mendapatkan cos 2𝐴 = 1 − 2 sin2 𝐴 adalah:

cos 2 𝐴

cos 2𝐴 =

− sin2 𝐴

cos 2𝐴 = (1 − sin2 𝐴) − sin2 𝐴

sin2 𝐴 + cos 2 𝐴 = 1 ⇒ cos 2 𝐴 = 1 − sin2 𝐴

cos 2𝐴 = 1 − 2 sin2 𝐴 TRIK SUPERKILAT cara menghafalkannya adalah: Perhatikan selalu ada angka 1, selalu ada 2sin2 atau 2cos2. Polanya selalu bentuk pengurangan.

cos 2𝐴 = 𝑪 𝑰

cos 2𝐴 = 2 𝐜os2 𝐴 − 𝟏

cos 2𝐴 = 𝑰 𝑺

cos 2𝐴 = 𝟏 − 2 𝐬in2 𝐴

cos 2𝐴 = 𝑪 𝑰 𝑺 Keterangan TRIK SUPERKILAT:  Ingat posisi huruf alfabet, posisi C lebih awal dari S.  Gunakan singkatan CIS, jadi cos 2𝐴 memiliki dua bentuk lain, yaitu CI dan IS.

Halaman 170



TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS Cara Menghafal Rumus Trigonometri Setengah Sudut. Masih ingat dengan konsep rumus kosinus sudut rangkap Pythagoras pada halaman sebelumnya……?? cos 2𝐴 = 2 cos 2 𝐴 − 1 cos 2𝐴 = 1 − 2 sin2 𝐴 Asyik…. Nah, konsep keempat yang harus melekat kuat di otak adalah tentang rumus trigonometri setengah sudut. Rumus trigonometri setengah sudut diperoleh dari konsep “cos 2𝐴 Pythagoras”. Pak Anang menyebut rumus cos 2𝐴 Pythagoras untuk dua konsep atau rumus di atas. “cos 2𝐴 Pythagoras”

cos 2𝐴 = 2 cos 2 𝐴 − 1

cos 2𝐴 = 1 − 2 sin2 𝐴

Invers, “pindah ruas” sampai diperoleh cos 𝐴 dan sin 𝐴

1 + cos 2𝐴 cos 𝐴 = √ 2

1 − cos 2𝐴 sin 𝐴 = √ 2

Konsep rumus trigonometri sudut setengah tersebut SEBENARNYA TIDAK PERLU DIHAFAL………! Kenapa? Karena sebenarnya yang perlu diingat dan dihafal adalah perubahan dari konsep “cos 2𝐴 Pythagoras” menjadi konsep trigonometri sudut setengah hanya mengalami proses invers, alias “pindah ruas” saja. Kesimpulannya, RUMUSNYA TIDAK BERUBAH MAKNA, HANYA BERUBAH FORMASI SAJA…..!!!!! Jadi, misalkan lupa rumus trigonometri setengah sudut tidak jadi masalah, asalkan ingat pola di bawah ini: Konsep trigonometri sudut setengah Diketahui sudut rangkap, ditanya setengah sudut.

cos 2𝐴 = 2 cos2 𝐴 − 1

Konsep trigonometri sudut setengah Diketahui sudut rangkap, ditanya setengah sudut.

dan

Konsep trigonometri sudut rangkap Diketahui suatu sudut, ditanya sudut rangkapnya.

cos 2𝐴 = 1 − 2 sin2 𝐴 Konsep trigonometri sudut rangkap Diketahui suatu sudut, ditanya sudut rangkapnya.

LOGIKA PRAKTIS cara menghafalkannya adalah: Perhatikan selalu ada angka 1, selalu ada angka 2, selalu ada cos2A. Polanya selalu bentuk akar.

+ 1 + cos 2𝐴 cos 2𝐴 = 2 cos 2 𝐴 − 1 ⇒ cos 𝐴 = √ 2 1 − cos 2𝐴 cos 2𝐴 = 1 − 2 sin2 𝐴 ⇒ sin 𝐴 = √ 2

Keterangan TRIK SUPERKILAT:  Dihasilkan dari invers konsep “cos 2𝐴 Pythagoras”  Tanda plus minus dilihat dari tanda koefisien trigonometri.



Halaman 171

TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS Cara Menghafal Rumus Jumlah, Selisih, dan Perkalian Trigonometri. Masih ingat dengan konsep rumus jumlah sudut sinus kosinus pada TRIK SUPERKILAT paling awal tadi……?? sin(𝐴 ± 𝐵) = sin 𝐴 cos 𝐵 ± cos 𝐴 sin 𝐵 dan cos(𝐴 ± 𝐵) = cos 𝐴 cos 𝐵 ∓ sin 𝐴 sin 𝐵 Asyik…. Nah, konsep kelima yang harus melekat kuat di otak adalah tentang rumus trigonometri jumlah dan selisih sinus kosinus perkalian sinus kosinus. Konsep rumus ini diperoleh dengan mengeliminasi komponen yang sama pada sin(𝐴 + 𝐵) dan sin(𝐴 − 𝐵) serta mengeliminasi komponen yang sama pada cos(𝐴 + 𝐵) dan cos(𝐴 − 𝐵). Trigonometri Jumlah dan Selisih Dua Sudut sin(𝐴 ± 𝐵)

cos(𝐴 ± 𝐵)

Eliminasi sin(𝐴 + 𝐵) dengan sin(𝐴 − 𝐵)

Eliminasi cos(𝐴 + 𝐵) dengan cos(𝐴 − 𝐵)

sin(𝐴 + 𝐵) sin(𝐴 − 𝐵)

sin(𝐴 + 𝐵) sin(𝐴 − 𝐵)

+

2 sin 𝐴 cos 𝐵

2 cos 𝐴 sin 𝐵

cos(𝐴 + 𝐵) cos(𝐴 − 𝐵)

−

2 cos 𝐴 cos 𝐵

cos(𝐴 + 𝐵) cos(𝐴 − 𝐵)

+

2 sin 𝐴 sin 𝐵

−

Substitusi

(𝐴 + 𝐵) = 𝛼 (𝐴 − 𝐵) = 𝛽 2𝐴 = (𝛼 + 𝛽) 𝑨=

sin 𝛼 sin 𝛽 1

1

2

2

(𝐴 + 𝐵) = 𝛼 (𝐴 − 𝐵) = 𝛽

+

2𝐵 = (𝛼 − 𝛽)

dibagi 2

+ 𝜷)

𝑩=

sin 𝛼 sin 𝛽

+

2 sin (𝛼 + 𝛽) cos (𝛼 − 𝛽)

𝟏 (𝜶 𝟐

(𝑨 + 𝑩) = 𝜶 (𝑨 − 𝑩) = 𝜷

1

1

2

2

𝟏 (𝜶 𝟐

−

1

1

2

2

dibagi 2

− 𝜷)

cos 𝛼 cos 𝛽

2 cos (𝛼 + 𝛽) sin (𝛼 − 𝛽)

−

cos 𝛼 cos 𝛽

+

2 cos (𝛼 + 𝛽) cos (𝛼 − 𝛽)

1

1

2

2

−

2 sin (𝛼 + 𝛽) sin (𝛼 − 𝛽)

LOGIKA PRAKTIS cara membacanya: Keterangan cara membaca TRIK SUPERKILAT: 1 ⊕ 2

1 ⊖ 2

𝑆+𝑆

2𝑆𝐶

𝑆−𝑆

2𝐶𝑆

𝐶 +𝐶

2𝐶𝐶

𝐶 −𝐶

−2𝑆𝑆

⊕ ⊖ Halaman 172

S adalah sin dan C adalah cos.

𝐬𝐢𝐧(𝑨 + 𝑩) + 𝐬𝐢𝐧(𝑨 − 𝑩) = 𝟐 𝐬𝐢𝐧 𝑨 𝐜𝐨𝐬 𝑩 1 ⊕ 2

S+S 𝐴

𝐵

1 ⊖ 2

=

(𝐴 + 𝐵)

2SC

1 (𝐴 + 𝐵) 2

S+S

1 (𝐴 − 𝐵) 2

𝟏

𝟏

𝟐

𝟐

𝐴

(𝐴 − 𝐵)

=

𝐵

2SC

⊕ ⊖

𝐬𝐢𝐧 𝑨 + 𝐬𝐢𝐧 𝑩 = 𝟐 𝐬𝐢𝐧 (𝑨 + 𝑩) 𝐜𝐨𝐬 (𝑨 − 𝑩)



LOGIKA PRAKTIS cara menyusun rumus jumlah, selisih dan perkalian trigonometri: 1 ⊕ 2

1 ⊖ 2

𝑆+𝑆

2𝑆𝐶

𝑆−𝑆

2𝐶𝑆

𝐶 +𝐶

2𝐶𝐶

𝐶 −𝐶

−2𝑆𝑆

⊕ ⊖

Keterangan cara menyusun TRIK SUPERKILAT: Masih ingat dengan rumus jumlah dua sudut trigonometri kan? sin(𝐴 + 𝐵) = sin 𝐴 cos 𝐵 + cos 𝐴 sin 𝐵 cos(𝐴 + 𝐵) = cos 𝐴 cos 𝐵 − sin 𝐴 sin 𝐵 Ditulis ulang dengan singkat sebagai berikut: 𝑆+= 𝑆𝐶 + 𝐶𝑆 𝐶+= 𝐶𝐶 − 𝑆𝑆 Lihat ruas kiri ada 𝑆 + dan 𝐶 +, Ini yang ditulis di kolom kiri dengan membubuhkan tanda + dan − bergantian. Tanda + dan − ini diperoleh dari proses eliminasi. Jadi, urutannya adalah 𝑆 + 𝑆, lalu 𝑆 − 𝑆, dan 𝐶 + 𝐶 lalu 𝐶 − 𝐶. 𝑆+𝑆 𝑆−𝑆 𝐶+𝐶 𝐶−𝐶 Lalu perhatikan ruas kanan, ada berturut-turut adalah 𝑆𝐶, 𝐶𝑆, 𝐶𝐶, dan – 𝑆𝑆. Itulah yang ditulis urut dari atas ke bawah dengan membubuhkan angka 2. Angka 2 tersebut diperoleh dari hasil eliminasi. 2𝑆𝐶 2𝐶𝑆 2𝐶𝐶 −2𝑆𝑆 Nah, lalu dikonstruksi seperti pada TRIK SUPERKILAT menjadi bagan di bawah ini: 1 1 ⊕ 2⊖ 2 𝑆+𝑆

2𝑆𝐶

𝑆−𝑆

2𝐶𝑆

𝐶+𝐶

2𝐶𝐶

𝐶−𝐶

−2𝑆𝑆 ⊕ ⊖

Perhatikan cara membacanya: tanda ⊕ dibaca (𝐴 + 𝐵) dan tanda ⊖ dibaca (𝐴 − 𝐵) 1 1 ⊕ ⊖ 2 2

𝑆+𝑆→

⊕⊖

𝑆+𝑆←

𝟏

𝟏

𝟐

𝟐

2𝑆𝐶

dibaca:

𝐬𝐢𝐧 𝑨 + 𝐬𝐢𝐧 𝑩 = 𝟐 𝐬𝐢𝐧 (𝑨 + 𝑩) 𝐜𝐨𝐬 (𝑨 − 𝑩)

2𝑆𝐶

dibaca:

𝟐 𝐬𝐢𝐧 𝑨 𝐜𝐨𝐬 𝑩 = 𝐬𝐢𝐧(𝑨 + 𝑩) + 𝐬𝐢𝐧(𝑨 − 𝑩)

JEMBATAN KELEDAI untuk menghafalkan rumus jumlah selisih dan perkalian trigonometri: Sayang ditambah sayang menjadi dua-duanya sangat cinta. Sayang dikurangi sayang menjadi dua-duanya cintanya sirna. Cinta ditambah cinta menjadi dua-duanya cinta-cintaan. Cinta dikurangi cinta menjadi aduh…. dua-duanya sayangnya sirna. Keterangan: kata aduh dimaknai sebagai tanda negatif (−).



Halaman 173

TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS Rumus Jumlah Selisih Dua Sudut, Jumlah Selisih atau Perkalian untuk Tangen. Nah, konsep keenam atau konsep terakhir yang harus melekat kuat di otak adalah tentang rumus jumlah selisih dua sudut untuk tangen, dilanjutkan dengan tangen sudut rangkap, tangen setengah sudut. Khusus untuk tangen sebenarnya jika lupa rumusnya, cukup ingat aja sifat perbandingan untuk tangen, yaitu: “TAN A adalah SINA DIPERKOSA” atau dituliskan sebagai: 𝐭𝐚𝐧 𝑨 =

𝐬𝐢𝐧 𝑨 𝐜𝐨𝐬 𝑨

Sehingga, 1 sin(𝐴 + 𝐵) sin 𝐴 cos 𝐵 + cos 𝐴 sin 𝐵 cos 𝐴 cos 𝐵 tan(𝐴 + 𝐵) = ⇒ tan(𝐴 + 𝐵) = × 1 cos(𝐴 + 𝐵) cos 𝐴 cos 𝐵 − sin 𝐴 sin 𝐵 cos 𝐴 cos 𝐵 sin 𝐴 cos 𝐵 cos 𝐴 sin 𝐵 cos 𝐴 cos 𝐵 + cos 𝐴 cos 𝐵 = cos 𝐴 cos 𝐵 sin 𝐴 sin 𝐵 cos 𝐴 cos 𝐵 − cos 𝐴 cos 𝐵 sin 𝐴 sin 𝐵 cos 𝐴 + cos 𝐵 = sin 𝐴 sin 𝐵 1 − cos 𝐴 cos 𝐵 tan 𝐴 + tan 𝐵 = 1 − tan 𝐴 tan 𝐵 Jadi, tan(𝐴 ± 𝐵) =

tan 𝐴 ± tan 𝐵 1 ∓ tan 𝐴 tan 𝐵

Sehingga jika 𝐵 = 𝐴, akan diperoleh: tan(𝐴 + 𝐴) =

tan 𝐴 + tan 𝐴 2 tan 𝐴 ⇒ tan 2𝐴 = 1 − tan 𝐴 tan 𝐴 1 − tan2 𝐴

Tangen setengah sudut diperoleh dari rumus sinus dan kosinus setengah sudut: 1 − cos 2𝐴 sin 𝐴 = √ 2 1 + cos 2𝐴 cos 𝐴 = √ 2 }

1 − cos 2𝐴 sin 𝐴 √ 1 − cos 2𝐴 2 1 − cos 2𝐴 2 tan 𝐴 = = =√ ×√ =√ cos 𝐴 2 1 + cos 2𝐴 1 + cos 2𝐴 √1 + cos 2𝐴 2

Jadi, 1 − cos 2𝐴 tan 𝐴 = √ 1 + cos 2𝐴

Halaman 174



Rumus Khusus untuk Tangen Khusus untuk tan(𝐴 ± 𝐵), tangen sudut rangkap dan tangen setengah sudut, cukup gunakan sifat identitas “TAN A = SINA DIPERKOSA”

Jumlah dan Selisih Dua Sudut

Jumlah dan Selisih Dua Sudut Tangen

sin(𝐴 ± 𝐵) = sin 𝐴 cos 𝐵 ± cos 𝐴 sin 𝐵 cos(𝐴 ± 𝐵) = cos 𝐴 cos 𝐵 ∓ sin 𝐴 sin 𝐵

tan(𝐴 ± 𝐵) = cos(𝐴±𝐵) = 1∓tan 𝐴 tan 𝐵


Trigonometri Sudut Rangkap Sudut Rangkap Sinus Sin 2𝐴 = 2 sin 𝐴 cos 𝐴

Sudut Rangkap Kosinus cos 2𝐴 = cos2 𝐴 − sin2 𝐴

sin(𝐴±𝐵)

tan 𝐴±tan 𝐵

Substitusi 𝑩 = 𝑨 𝐭𝐚𝐧(𝑨 + 𝑨) = 𝐭𝐚𝐧 𝟐𝑨

Tangen Sudut Rangkap tan 2𝐴 =

2 tan 𝐴 1 − tan2 𝐴



Kosinus Kuadrat

cos 2𝐴 = 2 cos2 𝐴 − 1



1 − cos 2𝐴 sin 𝐴 = √ 2

1 + cos 2𝐴 cos 𝐴 = √ 2

Tangen Setengah Sudut Tangen Setengah Sudut tan 𝐴 =

sin 𝐴 1 − cos 2𝐴 =√ cos 𝐴 1 + cos 2𝐴

TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS yang lain akan segera diupdate dan dipublish…. Jadi, kunjungi selalu laman web http://pak-anang.blogspot.com untuk melihat update terbaru TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS nya.



Halaman 175

Tipe Soal yang Sering Muncul Menggunakan rumus jumlah atau selisih dua sudut. Contoh Soal: Diketahui dari sin 75° + cos 75° adalah …. 1 a. 4 √6 b.

1 √2 2

c.

1 √3 2

d. 1 e.

1 √6 2

Penyelesaian: Ingat, sin(𝐴 + 𝐵) = sin 𝐴 cos 𝐵 + cos 𝐴 sin 𝐵 dan cos(𝐴 + 𝐵) = cos 𝐴 cos 𝐵 − sin 𝐴 sin 𝐵. Perhatikan juga bahwa 75° = (45° + 30°). Sehingga, sin 75° + cos 75° = sin(45° + 30°) + cos(45° + 30°) = (sin 45° cos 30° + cos 45° sin 30°) + (cos 45° cos 30° − sin 45° sin 30°) 1 1 1 1 1 1 1 1 = ( √2 ∙ √3 + √2 ∙ ) + ( √2 ∙ √3 − √2 ∙ ) 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 = √6 + √6 4 4 1 = √6 2 Cara lain untuk soal ini menggunakan TRIK SUPERKILAT ada di halaman 184.

Halaman 176



Menggunakan rumus jumlah atau selisih dua sudut jika diketahui perbandingan trigonometri dari dua sudut tersebut. Contoh Soal 1: 4 Diketahui sin 𝐴 = dan sin 𝐵 = a.

5

117 − 125

7 , 25

dengan 𝐴 sudut lancip dan 𝐵 sudut tumpul. Nilai dari cos(𝐴 − 𝐵) = ….

100

b. − 125 75

c. − 125 44

d. − 125 21

e. − 25 Penyelesaian: Ingat, jika diketahui sebuah nilai perbandingan trigonometri, maka perbandingan trigonometri yang lain bisa ditemukan menggunakan alat bantu segitiga siku-siku. 4 5

Segitiga siku-siku untuk menyatakan sin 𝐴 = adalah: (Ingat 𝐴 adalah sudut lancip) 3

5

Sehingga, cos 𝐴 = 5

4

𝐴 3 7

Segitiga siku-siku untuk menyatakan sin 𝐵 = 25 adalah: (Ingat 𝐵 adalah sudut tumpul) 25 𝐵

Jadi,

7

Sehingga, cos 𝐵 = −

24 (Ingat nilai cos sudut tumpul adalah negatif) 25

24

cos(𝐴 − 𝐵) = cos 𝐴 cos 𝐵 + sin 𝐴 sin 𝐵 =

3 5

=− =−

∙ (− 72 125 44

24 25 +

4

)+ ∙ 28

7

5 25

125

125



Halaman 177

Contoh Soal 2: 4 12 Pada segitiga 𝐴𝐵𝐶 lancip, diketahui cos 𝐴 = 5 dan sin 𝐵 = 13, maka sin 𝐶 = …. a.

20 65

b.

36 65

c.

56 65

d.

60 65

e.

63 65

Penyelesaian: Ingat, jika diketahui sebuah nilai perbandingan trigonometri, maka perbandingan trigonometri yang lain bisa ditemukan menggunakan alat bantu segitiga siku-siku. 4

Segitiga siku-siku untuk menyatakan cos 𝐴 = 5 adalah: (Ingat 𝐴 adalah sudut lancip) 5

3

3

Sehingga, sin 𝐴 = 5

𝐴 4 12

Segitiga siku-siku untuk menyatakan sin 𝐵 = 13 adalah: (Ingat 𝐵 adalah sudut lancip)

5

13

𝐵

12

Sehingga, cos 𝐵 = 13

5

Ingat, besar sudut dalam segitiga 𝐴𝐵𝐶 = 180°. ⇔ 𝐴 + 𝐵 + 𝐶 = 180° ⇔ 𝐶 = 180 − (𝐴 + 𝐵) Sehingga, sin 𝐶 = sin(180° − (𝐴 + 𝐵)) (Ingat sifat relasi sudut antar kuadran sin(180° − 𝛼) = sin 𝛼) ⇔ sin 𝐶 = sin(𝐴 + 𝐵) Jadi,

sin 𝐶 = sin(𝐴 + 𝐵) = sin 𝐴 cos 𝐵 + cos 𝐴 sin 𝐵 =

3

∙

5

+

5 13 15 48 = + 65 65 63 = 65

Halaman 178

4 12 ∙ 5 13



Menggunakan rumus jumlah atau selisih dua sudut jika diketahui pola rumusnya. Contoh Soal: Nilai sin 45° cos 15° + cos 45° sin 15° sama dengan …. 1 a. 2

b.

1 √2 2

c.

1 √3 2

d.

1 √6 2

e.

1 √3 3

Penyelesaian: Ingat, sin 𝐴 cos 𝐵 + cos 𝐴 sin 𝐵 = sin(𝐴 + 𝐵) Sehingga,

1 sin 45° cos 15° + cos 45° sin 15° = sin(45° + 15°) = sin 60° = √3 2



Halaman 179

Menggunakan rumus jumlah atau selisih dua sudut untuk menentukan salah satu komponen rumusnya. Contoh Soal: 1 Diketahui 𝑝 dan 𝑞 adalah sudut lancip dan 𝑝 − 𝑞 = 30°. Jika cos 𝑝 sin 𝑞 = , maka nilai dari sin 𝑝 cos 𝑞 = …. a.

1 6

b.

2 6

c.

3 6

d.

4 6

e.

5 6

6

Penyelesaian: Lihat pada soal, diketahui selisih dua sudut 𝑝 − 𝑞, dan salah satu komponen dari rumus jumlah atau selisih dua sudut yakni cos 𝑝 sin 𝑞. Dengan melihat bahwa yang diketahui komponen perkalian SELANG-SELING, maka rumus yang digunakan adalah sin(𝑝 − 𝑞). Jadi,

sin(𝑝 − 𝑞) = sin 𝑝 cos 𝑞 − cos 𝑝 sin 𝑞 1 ⇒ sin 30° = sin 𝑝 cos 𝑞 − 6 1 1 ⇔ = sin 𝑝 cos 𝑞 − 2 6 1 1 ⇔ + = sin 𝑝 cos 𝑞 2 6 3 1 ⇔ + = sin 𝑝 cos 𝑞 6 6 4 ⇔ = sin 𝑝 cos 𝑞 6

Halaman 180



Menentukan rumus jumlah atau selisih dua sudut untuk menentukan salah satu komponen rumusnya Contoh Soal: 𝜋 1 Diketahui (𝐴 + 𝐵) = dan sin 𝐴 sin 𝐵 = . Nilai dari cos(𝐴 − 𝐵) = …. 3 4 a. −1 1

b. − 2 c.

1 2

d.

3 4

e. 1 Penyelesaian: Lihat pada soal, diketahui jumlah dua sudut 𝐴 + 𝐵, dan salah satu komponen dari rumus jumlah atau selisih dua sudut yakni sin 𝐴 sin 𝐵. Dengan melihat bahwa yang diketahui komponen perkalian KEMBAR, maka rumus yang digunakan adalah cos(𝐴 + 𝐵). Sehingga untuk mencari nilai cos(𝐴 − 𝐵) maka harus komplit terlebih dahulu komponen dari rumusnya, SIN SIN udah ada, tinggal COS COS yang belum ada. Nilai COS COS dicari menggunakan rumus cos(𝐴 − 𝐵): cos(𝐴 + 𝐵) = cos 𝐴 cos 𝐵 − sin 𝐴 sin 𝐵 𝜋 1 ⇒ cos = cos 𝐴 cos 𝐵 − 3 4 1 1 ⇔ = cos 𝐴 cos 𝐵 − 2 4 1 1 ⇔ + = cos 𝐴 cos 𝐵 2 4 2 1 ⇔ + = cos 𝐴 cos 𝐵 4 4 3 ⇔ = cos 𝐴 cos 𝐵 4 Jadi, cos(𝐴 − 𝐵) = cos 𝐴 cos 𝐵 + sin 𝐴 sin 𝐵 3 1 = + 4 4 =1



Halaman 181

Menggunakan rumus perkalian sinus kosinus. Contoh Soal: cos 10° Nilai dari cos 40° cos 50° adalah …. a. 3 b. 2 c. 1 1 d. e.

2 1 4

Penyelesaian: Sudut yang digunakan pada soal bukan sudut istimewa. Pada soal terdapat perkalian antara COS dengan COS, maka berlaku konsep perkalian dua kosinus. Jadi,

cos 10° cos 10° (munculkan bentuk 2 cos 𝐴 cos 𝐵 = cos(𝐴 + 𝐵) + cos(𝐴 − 𝐵)) = cos 40° cos 50° 1 × 2 cos 40° cos 50° 2 cos 10° 1 2 = (dibagi = dikali ) 1 2 1 (cos(40° + 50°) + cos(40° − 50°)) 2× cos 10° 2 = × (ingat relasi sudut negatif, cos(−𝛼) = cos 𝛼) cos 90° + cos(−10°) 1 2 cos 10° = 0 + cos 10° 2 cos 10° = cos 10° =2

Halaman 182



Menggunakan rumus jumlah atau selisih sinus kosinus. Contoh Soal: Nilai dari cos 195° + cos 105° adalah …. 1 a. √6 2 b.

1 √3 2

c.

1 √2 2

d. 0 1

e. − 2 √6 Penyelesaian: 1 1 Ingat cos 𝐴 + cos 𝐵 = 2 cos 2 (𝐴 + 𝐵) cos 2 (𝐴 − 𝐵) Jadi,

1 1 cos 195° + cos 105° = 2 cos (195° + 105°) cos (195° − 105°) 2 2 1 1 = 2 cos (300°) cos (90°) 2 2 = 2 cos 150° cos 45° 1 1 = 2 (− √3) ( √2) 2 2 1 = − √6 2



Halaman 183

TRIK SUPERKILAT Memanipulasi rumus sin + cos atau sin – cos menggunakan relasi sudut antar kuadran. Contoh Soal: Nilai dari sin 75° + cos 75° adalah …. 1 a. 4 √6 b.

1 √2 2

c.

1 √3 2

d. 1 e.

1 √6 2

Penyelesaian: Ingat, nggak ada rumus jadi untuk sinus ditambah kosinus. Yang ada hanyalah sin + sin, sin − sin, cos + cos, dan cos − cos. Nah, supaya bisa menggunakan rumus jumlah selisih sinus kosinus, maka gunakan relasi sudut antar kuadran untuk mengubah sin + cos, menjadi sin + sin atau cos + cos. Ingat, sin(90° − 𝛼) = cos 𝛼 atau cos(90° − 𝛼) = sin 𝛼. Jadi,

sin 75° + cos 75° = sin 75° + cos(90° − 15°) = sin 75° + sin 15° 1 1 = 2 sin (75° + 15°) cos (75° − 15°) 2 2 1 1 = 2 sin (90°) cos (60°) 2 2 = 2 sin 45° cos 30° 1 1 = 2 ( √2) ( √3) 2 2 1 = √6 2

Kunjungi selalu laman web http://pak-anang.blogspot.com untuk melihat update TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS terbarunya.

Halaman 184




1.

Diketahui α  β  A. 1 3 B. 4 1 C. 2 1 D. 4 E. 0

2.

π 1 dan sin α  sin β  dengan α dan β merupakan sudut lancip. Nilai cos(α  β)  .... 3 4 cos(𝛼 − 𝛽) = cos 𝛼 cos 𝛽 + sin 𝛼 sin 𝛽 (diketahui dari soal sin 𝛼 ∙ sin 𝛽 =

⇒

1 2

= cos 𝛼 cos 𝛽 +

⇔ cos 𝛼 cos 𝛽 =

1

1

1 4

𝜋

dan 𝛼 − 𝛽 = ) 3

4

4

cos(𝛼 + 𝛽) = cos 𝛼 cos 𝛽 − sin 𝛼 sin 𝛽 1

1

4

4

⇒ cos(𝛼 + 𝛽) = − ⇔ cos(𝛼 + 𝛽) = 0

Diketahui nilai sin α  cos β 

3 1 dan sin (α  β)  untuk 0  α  180 dan 0  β  90. 5 5

Nilai sin (α  β)  .... 1 3 sin(𝛼 − 𝛽) = sin 𝛼 cos 𝛽 − cos 𝛼 sin 𝛽 (diketahui dari soal sin 𝛼 ∙ cos 𝛽 = dan sin(𝛼 − 𝛽) = ) 3 5 5 A.  3 1 5 ⇒ = − cos 𝛼 sin 𝛽 5 5 2 2 ⇔ cos 𝛼 sin 𝛽 = − B.  5 5 1 sin(𝛼 + 𝛽) = sin 𝛼 cos 𝛽 + cos 𝛼 sin 𝛽 C.  5 ⇒ sin(𝛼 + 𝛽) = 1 + (− 2) 5 5 1 1 D. ⇔ sin(𝛼 + 𝛽) = − 5 5 3 E. 5

3.

Diketahui sin α  A. B. C. D. E.

4.

3 56 sin 𝛼 = 5 5 3 65 4 𝛼 48 ⇒ cos 𝛼 = 5 4 65 36 65 sin(𝛼 + 𝛽) = sin 𝛼 cos 𝛽 + cos 𝛼 sin 𝛽 20 ⇒ sin(𝛼 + 𝛽) = 3 ∙ 12 + 4 ∙ 5 5 13 5 13 65 36 20 ⇔ sin(𝛼 + 𝛽) = + 65 65 16 56 ⇔ sin(𝛼 + 𝛽) = 65 65

Jika A  B  1 4 1 B. 2 3 C. 4 D. 1 5 E. 4

A.

12 3 ( dan  sudut lancip) . Nilai sin (α  β)  .... dan cos   13 5

12 13 5 ⇒ sin 𝛽 = 13 cos 𝛽 =

13

5

𝛽 12

π 5 dan cos A cos B  , maka cos(A B)  .... 5 𝜋 3 8 cos(𝐴 + 𝐵) = cos 𝐴 cos 𝐵 − sin 𝐴 sin 𝐵 (diketahui dari soal cos 𝐴 cos 𝐵 = dan 𝛼 + 𝛽 = ) 8 3 ⇒

1 2

5

= − sin 𝐴 sin 𝐵

⇔ sin 𝐴 sin 𝐵 =

8 1 8

cos(𝐴 − 𝐵) = cos 𝐴 cos 𝐵 + sin 𝐴 sin 𝐵 5

1

8 6

8 3

8

4

⇒ cos(𝐴 − 𝐵) = + ⇔ cos(𝐴 − 𝐵) = =



Halaman 185

5.

Nilai dari sin 75  sin 165 adalah .... 𝐴+𝐵 𝐴−𝐵 1 A. 2 sin 𝐴 − sin 𝐵 = 2 cos ( ) sin ( ) 2 2 4 75° + 165° 75° − 165° 1 ⇒ sin 75° − sin 165° = 2 cos ( ) sin ( ) B. 3 2 2 4 = 2 cos 120° sin(−45°) (ingat sin(−𝑥) = − sin 𝑥) 1 = −2 cos 120° sin 45° C. 6 = −2 cos(180° − 60°) sin 45° (ingat cos(180° − 𝑥) = − cos 𝑥) 4 = −2 (−cos 60°) sin 45° 1 = 2 cos 60° sin 45 D. 2 1 1 2 = 2 ∙ ∙ √2 1 2 2 E. 6 1 2 = √2 2


Halaman 186



Smart Solution



Disusun oleh :

Pak Anang


SKL 5. Memahami konsep limit, turunan dan integral dari fungsi aljabar dan fungsi trigonometri, serta mampu menerapkannya dalam pemecahan masalah. 5. 1.

Menghitung nilai limit fungsi aljabar dan fungsi trigonometri.

Limit Aljabar Bentuk Umum

lim 𝑓(𝑥)

𝑥→𝑎

Limit 𝑥 → 𝑎

Limit 𝑥 → ∞ 𝟎 𝟎

“Jika 𝒇(𝒂) terdefinisi”

“Jika 𝒇(𝒂) = ”

lim 𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑎)

𝑓(𝑥) diubah sehingga 0 pembuat nilai hilang.

𝑥→𝑎

𝟏 ∞

“ itu mendekati nol” lim

𝑥→∞

0

1 =0 𝑥𝑛

Pemfaktoran

Dikali Sekawan Akar

Dibagi Variabel Pangkat Tertinggi

(𝑥 − 𝑎)𝑃(𝑥) 𝑓(𝑥) = lim 𝑥→𝑎 𝑔(𝑥) 𝑥→𝑎 (𝑥 − 𝑎)𝑄(𝑥)

√2𝑥 − 2 𝑥→2 2𝑥 − 4

3𝑥 2 − 2𝑥 + 4 𝑥→∞ 5𝑥 2 + 9𝑥 − 3

Sehingga hilanglah pembuat (𝑥−𝑎) 0 nilai , yaitu (𝑥−𝑎)

Bentuk limit tersebut memuat bentuk akar yaitu √2𝑥 − 2, yang bentuk sekawannya √2𝑥 + 2.

Nilai limit di atas adalah bentuk tak tentu , ∞ bagilah semua suku pembilang dan penyebut dengan variabel pangkat tertinggi, yaitu 𝑥 2 ,

√2𝑥 − 2 √2𝑥 + 2 × 𝑥→2 2𝑥 − 4 √2𝑥 + 2 (2𝑥 − 4) ⇒ lim 𝑥→2 (2𝑥 − 4)(√2𝑥 + 4)

3𝑥2 2𝑥 4 2 − 2 + 𝑥2 ⇒ lim 𝑥 2 𝑥 𝑥→∞ 5𝑥 9𝑥 3 + 2− 2 𝑥2 𝑥 𝑥

lim

0

𝑃(𝑥) 𝑥→𝑎 𝑄(𝑥) 𝑃(𝑎) ⇒ 𝑄(𝑎) ⇒ lim

lim

lim

∞

⇒ lim

⇒ lim

3−0+0 +0−0

𝑥→2 5

Sehingga hilanglah pembuat 0 2𝑥−4 nilai , yaitu 0

⇒

2𝑥−4

Dikali Sekawan Akar

Aturan L’Hôpital

lim √2𝑥 2 + 3𝑥 − 1 − √2𝑥 2 − 𝑥 + 5

“Diturunkan” 𝑓(𝑥) 𝑓′(𝑥) lim = lim 𝑥→𝑎 𝑔(𝑥) 𝑥→𝑎 𝑔′(𝑥)

3 5

𝑥→∞

Nilai limit adalah bentuk tak tentu ∞ − ∞, kalikan dengan bentuk sekawan akar. lim √2𝑥 2 + 3𝑥 − 1 − √2𝑥 2 − 𝑥 + 5 ×

𝑥→∞

√2𝑥 2 + 3𝑥 − 1 + √2𝑥 2 − 𝑥 + 5 √2𝑥 2 + 3𝑥 − 1 + √2𝑥 2 − 𝑥 + 5

Setelah itu lanjutkan dengan membagi variabel pangkat tertinggi.



Halaman 187

Limit Trigonometri Sinus dan Tangen

Kosinus “Jahat”

“Coret Sinta”

“Hapus Kosinus”

sin 𝑥 𝑥 = lim =1 𝑥→0 𝑥 𝑥→0 sin 𝑥 lim

1 =1 𝑥→0 cos 𝑥

lim cos 𝑥 = lim

𝑥→0

tan 𝑥 𝑥 = lim =1 𝑥→0 𝑥 𝑥→0 tan 𝑥 lim

lim cos 𝑎𝑥 = lim

𝑥→0

1

𝑥→0 cos 𝑎𝑥

=1

sin 𝑥 tan 𝑥 = lim =1 𝑥→0 tan 𝑥 𝑥→0 sin 𝑥 lim

sin 𝑥 tan 𝑥 = lim =1 𝑥→0 sin 𝑥 𝑥→0 tan 𝑥 lim

Kosinus “Baik” adalah Kosinus yang menyebabkan nilai limit menjadi 0.

sin 𝑎𝑥 𝑎𝑥 𝑎 lim = lim = 𝑥→0 𝑏𝑥 𝑥→0 sin 𝑏𝑥 𝑏 tan 𝑎𝑥 𝑎𝑥 𝑎 = lim = 𝑥→0 𝑏𝑥 𝑥→0 tan 𝑏𝑥 𝑏 lim

Ingat lagi identitas trigonometri 1 1 − cos 2𝑥 = 2 sin2 𝑥 2 1 − cos2 𝑥 = sin2 𝑥

sin 𝑎𝑥 tan 𝑎𝑥 𝑎 lim = lim = 𝑥→0 tan 𝑏𝑥 𝑥→0 sin 𝑏𝑥 𝑏 sin 𝑎𝑥 tan 𝑎𝑥 𝑎 = lim = 𝑥→0 sin 𝑏𝑥 𝑥→0 tan 𝑏𝑥 𝑏 lim

Kosinus “Baik” “Ubah Kosinus” 1 1 1 2 sin2 𝑥 sin 𝑥 sin 𝑥 𝟏 − 𝐜𝐨𝐬 𝒙 2 2 2 lim = lim = lim 2 ∙ ∙ 𝑥→0 𝑥→0 𝑥→0 𝑥2 𝑥2 𝑥 𝑥 1 1 1 −2 sin2 𝑥 sin 𝑥 sin 𝑥 𝐜𝐨𝐬 𝒙 − 𝟏 2 2 2 lim = lim = lim −2 ∙ ∙ 𝑥→0 𝑥→0 𝑥→0 𝑥2 𝑥2 𝑥 𝑥 1 1 1 2 sin2 𝑎𝑥 sin 𝑎𝑥 sin 𝑎𝑥 𝟏 − 𝐜𝐨𝐬 𝒂𝒙 2 2 2 lim = lim = lim 2 ∙ ∙ 𝑥→0 𝑥→0 𝑥→0 𝑥2 𝑥2 𝑥 𝑥 1 1 1 −2 sin2 𝑎𝑥 sin 𝑎𝑥 sin 𝑎𝑥 𝐜𝐨𝐬 𝒂𝒙 − 𝟏 2 2 2 lim = lim = lim −2 ∙ ∙ 𝑥→0 𝑥→0 𝑥→0 𝑥2 𝑥2 𝑥 𝑥 1 1 2 sin2 𝑏𝑥 − 2 sin2 𝑎𝑥 𝐜𝐨𝐬 𝒂𝒙 − 𝐜𝐨𝐬 𝒃𝒙 2 2 lim = lim = dst dst … 𝑥→0 𝑥→0 𝑥2 𝑥2 lim

𝑥→0

𝟏 − 𝐜𝐨𝐬 𝟐 𝒙 sin2 𝑥 sin 𝑥 sin 𝑥 = lim = lim ∙ 2 2 𝑥→0 𝑥→0 𝑥 𝑥 𝑥 𝑥

𝐜𝐨𝐬 𝟐 𝒙 − 𝟏 − sin2 𝑥 sin 𝑥 sin 𝑥 = lim = lim − ∙ 𝑥→0 𝑥→0 𝑥→0 𝑥2 𝑥2 𝑥 𝑥 lim

𝟏 − 𝐜𝐨𝐬 𝟐 𝒂𝒙 sin2 𝑎𝑥 sin 𝑎𝑥 sin 𝑎𝑥 = lim = lim ∙ 2 𝑥→0 𝑥→0 𝑥→0 𝑥 𝑥2 𝑥 𝑥 lim

𝐜𝐨𝐬 𝟐 𝒂𝒙 − 𝟏 − sin2 𝑎𝑥 sin 𝑎𝑥 sin 𝑎𝑥 = lim = lim − ∙ 2 𝑥→0 𝑥→0 𝑥→0 𝑥 𝑥2 𝑥 𝑥 lim

𝐜𝐨𝐬 𝟐 𝒂𝒙 − 𝐜𝐨𝐬 𝟐 𝒃𝒙 sin2 𝑏𝑥 − sin2 𝑎𝑥 = lim = dst dst … 2 𝑥→0 𝑥→0 𝑥 𝑥2 lim

dst … dst …

Halaman 188



LOGIKA PRAKTIS Pengerjaan Limit. Secara umum proses mengerjakan soal limit adalah sebagai berikut:

lim 𝑓(𝑥)

𝑥→𝑎

Substitusi 𝑥 = 𝑎 ke 𝑓(𝑥)

Periksa Hasilnya?

Bentuk tertentu 𝑎 0 𝑘 ( , = 0, = ∞) 𝑏 𝑘 0

Ubah

Bentuk tak tentu 0 ∞ ( , , ∞ − ∞, … ) 0 ∞

Selesai



Halaman 189

TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS Limit Aljabar Menggunakan Aturan L’Hopital (Turunan). 0

Cara cepat untuk menyelesaikan limit aljabar yang menghasilkan bentuk tak tentu 0 adalah dengan menggunakan aturan L’Hopital, yaitu mencari turunan dari pembilang dan penyebut. Lalu langkah berikutnya adalah disubstitusikan limitnya ke fungsi. Selesai. Contoh: 2𝑥 2 − 7𝑥 + 6 0 = 𝑥→2 4𝑥 − 8 0 lim

Sehingga, diturunkan

2𝑥 2 − 7𝑥 + 6 4𝑥 − 7 4(2) − 7 8 − 7 1 = lim = = = 𝑥→2 𝑥→2 4𝑥 − 8 4 4 4 4 lim

disubstitusikan diturunkan

Halaman 190



Asal Muasal TRIK SUPERKILAT Limit Aljabar Menggunakan Modifikasi Aturan L’Hopital (Turunan Modifikasi). Perhatikan misalkan kita hendak mencari penyelesaian dari: 𝑛

𝑛

√𝑓(𝑥) − √𝑔(𝑥) lim = …. 𝑥→𝑎 ℎ(𝑥) 0

Bentuk limit tersebut menghasilkan suatu nilai tak tentu yaitu 0. Jadi kesimpulannya adalah: 𝑛

𝑛

√𝑓(𝑥) − √𝑔(𝑥) 0 lim = 𝑥→𝑎 ℎ(𝑥) 0

𝑛

𝑛

𝑛

𝑛

√𝑓(𝑥) − √𝑔(𝑥) = 0 ⇒ √𝑓(𝑥) = √𝑔(𝑥) ℎ(𝑥) = 0

⇒ untuk 𝑥 → 𝑎 {

Maka, penyelesaiannya bisa menggunakan aturan L’Hopital, meskipun cukup panjang karena fungsi yang dilimitkan masih memuat bentuk akar. Sehingga dengan menggunakan aturan L’Hopital: 𝑑 𝑛 𝑛 𝑛 [ √𝑓(𝑥) − √𝑔(𝑥)] √𝑓(𝑥) − √𝑔(𝑥) 𝑑𝑥 lim = lim 𝑑 𝑥→𝑎 𝑥→𝑎 ℎ(𝑥) [ℎ(𝑥)] 𝑑𝑥 1 𝑑 𝑛 𝑑 (ingat ( √𝑓(𝑥)) = (𝑓(𝑥))𝑛 ) 𝑑𝑥 𝑑𝑥 𝑛

(sehingga

1 𝑑 𝑛 1 −1 ( √𝑓(𝑥)) = (𝑓(𝑥))𝑛 ∙ 𝑓 ′ (𝑥) = 𝑑𝑥 𝑛

𝑓 ′ (𝑥) 𝑛

= lim

𝑛−1

𝑛( √𝑓(𝑥))

𝑥→𝑎

−

𝑔′ (𝑥)

𝑓 ′ (𝑥) 𝑛∙

𝑛−1 (𝑓(𝑥)) 𝑛

=

𝑓 ′ (𝑥) 𝑛

𝑛−1 )

𝑛( √𝑓(𝑥))

𝑛−1

𝑛

𝑛( √𝑔(𝑥)) ′ ℎ (𝑥) 𝑛

𝑛

(ingat untuk 𝑥 → 𝑎 berlaku √𝑓(𝑥) = √𝑔(𝑥)) 𝑓 ′ (𝑥) 𝑛

= lim

𝑛( √𝑓(𝑥))

𝑥→𝑎

=(

Pangkat Akar

𝑛−1

−

𝑔′ (𝑥) 𝑛

1

𝑛−1 ) × (lim 𝑛 𝑥→𝑎 𝑛( √𝑓(𝑥))

Nilai Akar

𝑛−1

𝑛( √𝑓(𝑥)) ′ ℎ (𝑥)

Pangkat Akar − 1

(keluarkan

1 𝑛

𝑛−1

𝑛( √𝑓(𝑥))

dari kedua ruas)

𝑓 ′ (𝑥) − 𝑔′ (𝑥) ) ℎ′ (𝑥)

Aturan L’Hopital, tapi tanpa tanda akar

Jadi, kesimpulannya jadilah sebuah TRIK SUPERKILAT, yang Pak Anang beri nama, TURUNAN MODIFIKASI. Mengapa? Karena prinsipnya sama dengan proses mencari nilai limit dengan menggunakan aturan L’Hopital, yakni dengan mencari turunan pembilang dan penyebut. Namun, TRIK SUPERKILAT tidak menggunakan tanda akar, dan hasilnya nanti harus dikalikan dengan “sesuatu”. Sesuatu itu adalah, pangkat×(nilai akar)pangkat-1 yang harus diletakkan terbalik dengan letak akar semula.



Halaman 191

TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS Limit Aljabar Menggunakan Modifikasi Aturan L’Hopital (Turunan Modifikasi). 0

Cara cepat untuk menyelesaikan limit aljabar yang memuat bentuk akar dan menghasilkan bentuk tak tentu 0 adalah dengan menggunakan modifikasi aturan L’Hopital, yaitu memodifikasi cara mencari turunan dari pembilang atau penyebut bentuk akar. Lalu langkah berikutnya adalah disubstitusikan limitnya ke fungsi. Selesai. 0

Soal Limit 𝑥 → 𝑎 bentuk 0 yang memuat bentuk akar

Perhatikan tiga hal

Pangkat Akar

Nilai Akar

Buang Tanda Akar, Ganti dengan Kurung

Letak Akar

Turunkan Pembilang Penyebut (Aturan L’Hopital)

Kalikan dengan “Sesuatu” Keterangan TRIK SUPERKILAT:

Selesai!

Dikalikan sesuatu, maksudnya dikalikan dengan: pangkat×(nilai akar)pangkat-1 yang letaknya berkebalikan dengan letak akar.

Misal soalnya adalah sebagai berikut: lim

𝑥→2

√3𝑥 + 3 − √5𝑥 − 1 0 = 𝑥2 − 4 0

Maka tiga hal yang harus segera diperhatikan pada soal adalah:

√3𝑥 + 3 − √5𝑥 − 1 0 = 𝑥→2 𝑥2 − 4 0 lim

Periksa akar pangkat berapa?

𝟐

⇒√

⇒ akar pangkat "𝟐"

√3𝑥 + 3 − √5𝑥 − 1 0 = 𝑥→2 𝑥2 − 4 0 lim

Periksa nilai dari akar pada soal.

⇒ √𝟑𝒙 + 𝟑 = √𝟑(𝟐) + 𝟑 = √𝟗 = "𝟑"

Lihat letak akar! Kalau di atas tulis di bawah. Kalau di bawah tulis di atas.

√3𝑥 + 3 − √5𝑥 − 1 0 = 𝑥→2 𝑥2 − 4 0

Apa yang ditulis?

⇒ akar berada di atas ⇒ tulis di bawah 𝟏 ⇒ pangkat × (nilai akar)pangkat−𝟏

pangkat × (nilai akar)pangkat−1

Halaman 192

lim



Nah sekarang praktek mengerjakan soalnya: Tentukan nilai dari: √3𝑥 + 3 − √5𝑥 − 1 = …. 𝑥→2 𝑥2 − 4 lim

Perhatikan soal!

√3𝑥 + 3 − √5𝑥 − 1 𝑥→2 𝑥2 − 4

Buang tanda akar! Ganti akar dengan tanda kurung

(3𝑥 + 3) − (5𝑥 − 1) 𝑥→2 𝑥2 − 4

lim

lim

𝑑 [(3𝑥 + 3) − (5𝑥 − 1)] 𝑑𝑥 lim 𝑑 2 𝑥→2 [𝑥 − 4] 𝑑𝑥

Gunakan aturan L’Hopital! Mencari turunan dari pembilang dan penyebut

⇒ 𝐥𝐢𝐦 𝒙→𝟐

𝟑−𝟓 −𝟐 −𝟐 −𝟐 = 𝐥𝐢𝐦 = = 𝒙→𝟐 𝟐𝒙 𝟐𝒙 𝟐(𝟐) 𝟒

−2 1 × 4 pangkat×(nilai akar)pangkat-1

Masih ingat apa yang ditulis? Pangkat = 2 Nilai Akar = 3 Letak Akar = di atas

⇒

−𝟐 𝟏 −𝟐 𝟏 𝟏 × = × =− 𝟐−𝟏 𝟒 𝟐 ∙ (𝟑) 𝟒 𝟔 𝟏𝟐

1 √3𝑥 + 3 − √5𝑥 − 1 =− 2 𝑥→2 𝑥 −4 12

Selesai…!!!!

∴ lim

Contoh Pengerjaan TRIK SUPERKILAT Modifikasi Aturan L’Hopital Versi Lebih Singkat: Tentukan nilai dari: √2𝑥 + 1 − √4𝑥 − 3 = …. 𝑥→2 5𝑥 − 15 lim

Sehingga,

Keterangan TRIK SUPERKILAT: Dikalikan “sesuatu”

Diturunkan tanpa tanda akar

Dikalikan sesuatu, maksudnya dikalikan dengan: pangkat×(nilai akar)pangkat-1 yang letaknya berkebalikan dengan letak akar.

2−4 1 −2 1 1 1 √2𝑥 + 1 − √4𝑥 − 3 = lim × = × =− = − √5 𝑥→2 𝑥→2 5 5𝑥 − 10 5 25 2√5 2√5 5√5 lim

Diturunkan tanpa tanda akar



Halaman 193

TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS Limit Aljabar Menuju Tak Hingga dengan Membagi Variabel Pangkat Tertinggi. Cara cepat untuk menyelesaikan limit aljabar menuju tak hingga dengan membagi variabel pangkat tertinggi adalah dengan membandingkan pangkat variabel pada pembilang dan penyebut. Selesai. Soal Limit 𝑥 → ∞ bentuk

∞ ∞

Bentuk umum 𝑎1 𝑥 𝑚 + 𝑎2 𝑥 𝑚−1 + 𝑎3 𝑥 𝑚−2 + … + 𝑎𝑚 𝑥→∞ 𝑏1 𝑥 𝑛 + 𝑏2 𝑥 𝑛−1 + 𝑏3 𝑥 𝑛−2 + … + 𝑎𝑛 lim

Bandingkan pangkat terbesar dari pembilang dan penyebut

𝑚<𝑛

Nilai limit = 0

𝑚=𝑛

Nilai limit =

𝑚>𝑛

𝑎1 𝑏1

Nilai limit = ∞

LOGIKA PRAKTIS menghafalkan: Ingat, kecil ⇒ 0, besar ⇒ ∞

Kalau pangkat terbesar di bawah berarti nol. Bawah itu KEEEECIIIILLLL…. Kalau pangkat tertinggi di atas berarti tak hingga. Atas itu BEESAAAARRR…. Jika pangkat tertinggi ada di atas dan di bawah, maka lihat koefisiennya saja. Selesai!

Misal soalnya adalah sebagai berikut: 5𝑥 3 + 2𝑥 − 15 = …. 𝑥→∞ 2𝑥 4 − 3𝑥 2 + 1 lim

Kalau pangkat terbesar di bawah berarti nol. Bawah itu KEEEECIIIILLLL…. Jadi nilai limitnya sama dengan nol.

Maka satu yang harus segera diperhatikan pada soal adalah pangkat terbesar ada di bawah….. Berarti KEEECIIIIILLLLL…. Sehingga nilai limitnya adalah 0 (nol). Perbandingan koefisien bertanda positif

2𝑥 3 + 5𝑥 2 + 7 = …. 𝑥→∞ 3𝑥 2 + 13𝑥 + 5 lim

Kalau pangkat terbesar di atas berarti tak hingga. Atas itu BEEESAAARR…. Jadi nilai limitnya sama dengan positif tak hingga, perbandingannya positif..

Maka satu yang harus segera diperhatikan pada soal adalah pangkat terbesar ada di atas….. Berarti BEEESAAAARRRRRR…. Sehingga nilai limitnya adalah +∞ (positif tak terhingga).

4𝑥 3 + 5𝑥 − 21 = …. 𝑥→∞ 3𝑥 3 + 7𝑥 2 − 4 lim

Kalau pangkat terbesar di atas dan di bawah berarti nilai limitnya adalah hasil 4

pembagian koefisien yang memuat variabel pangkat tertinggi, yaitu . 3

Apabila pangkat terbesar ada di atas dan di bawah, maka nilai limitnya adalah hasil pembagian koefisien variabel pangkat tertinggi tersebut. Halaman 194



TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS Limit Aljabar Menuju Tak Hingga dengan Mengalikan Bentuk Sekawan Akar. Cara cepat untuk menyelesaikan limit aljabar menuju tak hingga dengan mengalikan bentuk sekawan akar adalah membandingkan koefisien suku derajat dua dan suku derajat satu di dalam tanda akar. Selesai. Soal Limit 𝑥 → ∞ bentuk ∞ − ∞

Bentuk umum lim √𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 − √𝑝𝑥 2 + 𝑞𝑥 + 𝑟

𝑥→∞

Bandingkan koefisien suku derajat dua di dalam tanda akar

𝑎<𝑝

𝑎=𝑝

Nilai limit = −∞

𝑎>𝑝

Nilai limit =

𝑏−𝑝 2 √𝑎

Nilai limit = +∞

LOGIKA PRAKTIS menghafalkan:

Ingat, akar tanda positif ⇒ +∞, akar tanda negatif ⇒ −∞ Kalau koefisien terbesar di akar bertanda positif. Maka nilai limit POSITIF TAK HINGGA…. Kalau koefisien terbesar di akar bertanda negatif. Maka nilai limit NEGATIF TAK HINGGA…. Jika koefisien tertinggi sama pada kedua bentuk akar, maka gunakan rumusnya. Selesai!

Misal soalnya adalah sebagai berikut: Kalau koefisien terbesar ada di akar bertanda positif. Maka nilai limit adalah POSITIF TAK HINGGAAAAAAA….

lim √2𝑥 2 + 3𝑥 − 4 − √𝑥 2 − 7𝑥 − 1 = ….

𝑥→∞

Maka satu yang harus segera diperhatikan pada soal adalah koefisien terbesar ada di akar bertanda positif. Sehingga nilai limitnya adalah +∞ (positif tak hingga).

Kalau koefisien terbesar ada di akar bertanda negatif. Maka nilai limit adalah NEGATIF TAK HINGGAAAAAAA….

lim √𝑥 2 + 3𝑥 − 4 − √2𝑥 2 − 7𝑥 − 1 = ….

𝑥→∞

Maka satu yang harus segera diperhatikan pada soal adalah koefisien terbesar ada di akar bertanda positif. Sehingga nilai limitnya adalah −∞ (negatif tak hingga). 𝑎 Kalau koefisien terbesar ada di kedua bentuk akar.

lim √2𝑥 2 + 3𝑥 − 4 − √2𝑥 2 − 7𝑥 − 1 = ….

Maka nilai limit adalah

𝑥→∞

𝑏−𝑝

𝑏−𝑝 2√𝑎

….

Maka satu yang harus segera diperhatikan pada soal adalah koefisien terbesar ada di kedua bentuk akar. 𝑏−𝑝 3−(−7) 10 5 5 Sehingga nilai limitnya adalah = = = = √2 2√𝑎

2√2

2√2

√2

2



Halaman 195

TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS Limit Trigonometri Menggunakan Aturan Sinta Coret. Cara cepat untuk menyelesaikan limit trigonometri yang memuat bentuk sinus atau tangen dan menghasilkan 0 bentuk tak tentu 0 adalah dengan mencoret sinus dan tangen sehingga tinggal menyisakan sudutnya saja. Lalu langkah berikutnya adalah mencoret variabel yang sama pada pembilang dan penyebut. Selesai. 0

Soal Limit Fungsi Trigonometri 𝑥 → 0 bentuk 0

Jika limit memuat bentuk sin atau tan, maka coret sin atau tan. Lalu sederhanakan bentuk yang tersisa.

lim

𝑥→0

sin 𝑥 𝑥 = lim =1 𝑥→0 𝑥 sin 𝑥

lim

𝑥→0

sin 𝑎𝑥 𝑎𝑥 𝑎 = lim = 𝑥→0 𝑏𝑥 sin 𝑏𝑥 𝑏

lim

tan 𝑥 𝑥 = lim =1 𝑥→0 𝑥 𝑥→0 tan 𝑥

tan 𝑎𝑥 𝑎𝑥 𝑎 = lim = 𝑥→0 𝑏𝑥 𝑥→0 tan 𝑏𝑥 𝑏

lim

sin 𝑥 tan 𝑥 = lim =1 𝑥→0 tan 𝑥 𝑥→0 sin 𝑥

sin 𝑎𝑥 tan 𝑎𝑥 𝑎 = lim = 𝑥→0 tan 𝑏𝑥 𝑥→0 sin 𝑏𝑥 𝑏

sin 𝑥 tan 𝑥 = lim =1 𝑥→0 sin 𝑥 𝑥→0 tan 𝑥

sin 𝑎𝑥 tan 𝑎𝑥 𝑎 = lim = 𝑥→0 sin 𝑏𝑥 𝑥→0 tan 𝑏𝑥 𝑏

lim

lim lim

lim

Contoh Soal 𝑥 sin 2𝑥 1∙2 2 = = 𝑥→0 5𝑥 tan 3𝑥 3 ∙ 5 15 lim

Coret sin dan tan, sederhanakan bentuk tersisa! Selesai! 5𝑥 sin2 2𝑥 5𝑥 sin 2𝑥 sin 2𝑥 5 ∙ 2 ∙ 2 20 = lim = = 2 𝑥→0 3𝑥 tan 𝑥 𝑥→0 3 𝑥 𝑥 tan 𝑥 3 3 lim

Coret sin dan tan, sederhanakan bentuk tersisa! Selesai! 5𝑥 2 tan 3𝑥 5𝑥 5𝑥 tan 3𝑥 5 ∙ 5 ∙ 3 75 = lim = = 3 𝑥→0 sin 2𝑥 𝑥→0 sin 2𝑥 sin 2𝑥 sin 2𝑥 2∙2∙2 8 lim

Coret sin dan tan, sederhanakan bentuk tersisa! Selesai! sin 3𝑥 + tan 6𝑥 3𝑥 + 6𝑥 9𝑥 9 = lim = lim = 𝑥→0 𝑥→0 𝑥→0 4𝑥 4𝑥 4𝑥 4 lim

Coret sin dan tan, sederhanakan bentuk tersisa! Selesai! 5𝑥 2 5𝑥 2 5𝑥 2 5 = lim = lim 2 = 𝑥→0 𝑥(tan 7𝑥 − sin 3𝑥) 𝑥→0 𝑥(7𝑥 − 3𝑥) 𝑥→0 4𝑥 4 lim

Coret sin dan tan, sederhanakan bentuk tersisa! Selesai! Halaman 196



TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS Limit Trigonometri Menggunakan Aturan Hapus Kosinus. Cara cepat untuk menyelesaikan limit trigonometri yang memuat bentuk kosinus “jahat” dan menghasilkan 0 bentuk tak tentu 0 adalah dengan menghapus fungsi kosinus yang bernilai 1. Lalu langkah berikutnya adalah mencoret variabel yang sama pada pembilang dan penyebut. Selesai. 0


Jika limit memuat bentuk cos “jahat”, maka hapus cos. Lalu sederhanakan bentuk yang tersisa.

lim cos 𝑥 = lim

𝑥→0

1

𝑥→0 cos 𝑥

=1

1 =1 𝑥→0 cos 𝑎𝑥

lim cos 𝑎𝑥 = lim

𝑥→0

Contoh Soal cos 𝑥 1 1 = lim = = ∞ 𝑥→0 𝑥 𝑥→0 𝑥 0 lim

Hapus cos, sederhanakan bentuk tersisa! Selesai! 3𝑥 = lim 3𝑥 = 0 𝑥→0 cos 7𝑥 𝑥→0 lim

Hapus cos, sederhanakan bentuk tersisa! Selesai! 2𝑥 cos 5𝑥 2𝑥 2 2 = lim = lim = 𝑥→0 3 sin 𝑥 𝑥→0 3 sin 𝑥 𝑥→0 3 3 lim

Hapus cos, sederhanakan bentuk tersisa! Selesai! sin 3𝑥 + 𝑥 cos 2𝑥 3𝑥 + 𝑥 4𝑥 4 4 = lim lim = lim = 𝑥→0 tan 5𝑥 cos 7𝑥 𝑥→0 5𝑥 𝑥→0 5𝑥 𝑥→0 5 5 lim

Hapus cos, sederhanakan bentuk tersisa! Selesai! 2𝑥 2 cos 𝑥 2𝑥 𝑥 2 2 = lim = lim = 𝑥→0 𝑥 sin 3𝑥 𝑥→0 𝑥 3𝑥 𝑥→0 3 3 lim

Hapus cos, sederhanakan bentuk tersisa! Selesai!

lim

3𝑥 cos 2𝑥

𝑥→0 𝑥 cos 2 5𝑥

= lim

𝑥→0

3𝑥 3 = lim = 3 𝑥→0 𝑥 1

Hapus cos, sederhanakan bentuk tersisa! Selesai!



Halaman 197

TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS Limit Trigonometri Menggunakan Aturan Ubah Kosinus. Cara cepat untuk menyelesaikan limit trigonometri yang memuat bentuk kosinus “baik” dan menghasilkan 0 bentuk tak tentu 0 adalah dengan mengubah fungsi kosinus yang menyebabkan nilai limit menjadi 0 dengan menggunakan sifat identitas trigonometri. Lalu langkah berikutnya adalah mencoret variabel yang sama pada pembilang dan penyebut. Selesai. 0


Jika limit memuat bentuk cos “baik”, maka ubah cos. Lalu sederhanakan bentuk yang tersisa.

𝟏 𝒂𝒙 𝒂𝒙 1 𝟏 − 𝐜𝐨𝐬 𝒂𝒙 𝟐 lim = lim = 𝑎2 𝑥→0 𝑥→0 𝑥2 𝑥2 2 𝟏 − 𝟐 𝒂𝒙 𝒂𝒙 𝐜𝐨𝐬 𝒂𝒙 − 𝟏 1 lim = lim = − 𝑎2 2 2 𝑥→0 𝑥→0 𝑥 𝑥 2 𝟏 𝟏 𝒃𝒙 𝒃𝒙 − 𝟐 𝒂𝒙 𝒂𝒙 1 𝐜𝐨𝐬 𝒂𝒙 − 𝐜𝐨𝐬 𝒃𝒙 𝟐 lim = lim = (𝑏 2 − 𝑎2 ) 𝑥→0 𝑥→0 𝑥2 𝑥2 2 𝟏 − 𝐜𝐨𝐬 𝟐 𝒂𝒙 𝒂𝒙 𝒂𝒙 lim = lim = 𝑎2 𝑥→0 𝑥→0 𝑥 2 𝑥2 𝐜𝐨𝐬 𝟐 𝒂𝒙 − 𝟏 − 𝒂𝒙 𝒂𝒙 lim = lim = − 𝑎2 𝑥→0 𝑥→0 𝑥2 𝑥2 𝐜𝐨𝐬 𝟐 𝒂𝒙 − 𝐜𝐨𝐬 𝟐 𝒃𝒙 𝒃𝒙 𝒃𝒙 − 𝒂𝒙 𝒂𝒙 = lim = (𝑏 2 − 𝑎2 ) 2 𝑥→0 𝑥→0 𝑥 𝑥2 lim

Contoh Soal 𝟏 𝟐𝒙 𝟐𝒙 𝟏 − 𝐜𝐨𝐬 𝟐𝒙 2 2 lim = lim 𝟐 = lim = 2 𝑥→0 𝑥→0 3 𝑥 𝑥 𝑥→0 3 3𝑥 3 Ubah cos, sederhanakan bentuk tersisa! Selesai! 𝟏 − 𝐜𝐨𝐬 𝟐 𝟐𝒙 𝟐𝒙 𝟐𝒙 2∙2 4 4 = lim = lim = lim = 2 𝑥→0 𝑥→0 3 𝑥 𝑥 𝑥→0 3 𝑥→0 3 3𝑥 3 lim

Ubah cos, sederhanakan bentuk tersisa! Selesai!

Penjelasan detailnya langkah-langkah TRIK SUPERKILAT beserta contoh-contoh soal akan segera dilanjutkan di http://pak-anang.blogspot.com. :) Jadi pastikan untuk selalu mengunjungi laman web berikut: http://pak-anang.blogspot.com/2013/01/smart-solution-un-matematika-sma-2013_23.html untuk mengecek dan mengunduh update versi terbaru terbaru TRIK SUPERKILAT UN Matematika SMA 2013 pada bab Limit Fungsi Aljabar dan Limit Fungsi Trigonometri ini…. Halaman 198




1.

Nilai lim

x 0

A. B. C. D. E.

5x

 .... 3 9 x 5𝑥 5𝑥 3 + √9 + 𝑥 −30 lim = lim × 𝑥→0 3 − √9 + 𝑥 𝑥→0 3 − √9 + 𝑥 3 + √9 + 𝑥 −27 5𝑥 ∙ (3 + √9 + 𝑥) 15 = lim 𝑥→0 9 − (9 + 𝑥) 30 5𝑥 ∙ (3 + √9 + 𝑥) 36 = lim

TRIK SUPERKILAT: 5𝑥 5 2∙3 lim = ∙ = −30 𝑥→0 3 − √9 + 𝑥 −1 1

𝑥→0 −𝑥 = lim −5 ∙ (3 + √9 + 𝑥) 𝑥→0

= −5 ∙ (3 + √9) = −5 ∙ 6 = −30

2.

Nilai lim

x 1

A. B. C. D. E.

1 x

 .... 2 x3 1−𝑥 1−𝑥 2 + √𝑥 + 3 8 lim = lim × 𝑥→1 2 − √𝑥 + 3 𝑥→1 2 − √𝑥 + 3 2 + √𝑥 + 3 4 (1 − 𝑥) ∙ (2 + √𝑥 + 3) 0 = lim 𝑥→1 4 − (𝑥 + 3) −4 (1 − 𝑥) ∙ (2 + √𝑥 + 3) −8 = lim

TRIK SUPERKILAT: 1−𝑥 −1 2 ∙ 2 lim = ∙ =4 𝑥→1 2 − √𝑥 + 3 −1 1

(1 − 𝑥)

𝑥→1

= lim(2 + √𝑥 + 3) 𝑥→1

= 2 + √1 + 3 = 2 + √4 =2+2 =4

3.

2  x 1 2 − √𝑥 + 1  .... lim 𝑥→1 𝑥−3 x 3 x3 1 A.  4 1 B.  2 C. 1 D. 2 E. 4

Nilai lim

= lim

𝑥→3

= lim

2 − √𝑥 + 1 2 + √𝑥 + 1 × 𝑥−3 2 + √𝑥 + 1 4 − (𝑥 + 1)

𝑥→3 (𝑥

= lim

𝑥→3 (𝑥

= lim

𝑥→3 (2

=

− 3) ∙ (2 + √𝑥 + 1) (3 − 𝑥)

TRIK SUPERKILAT: 2 − √𝑥 + 1 −1 1 1 lim = ∙ =− 𝑥→3 𝑥−3 1 2∙2 4

− 3) ∙ (2 + √𝑥 + 1) −1 + √𝑥 + 1)

−1 2 + √4 1 4

=−



Halaman 199

4.

1 − cos 2𝑥 1 − (1 − 2 sin2 𝑥) 1  cos 2 x lim = lim  ....𝑥→0 𝑥→0 𝑥 tan 2𝑥 𝑥 tan 2𝑥 x 0 x tan 2 x 2 sin2 𝑥 A. −2 = lim 𝑥→0 𝑥 tan 2𝑥 B. −1 2 sin 𝑥 sin 𝑥 𝑥 2𝑥 = lim ∙ ∙ C. 0 𝑥→0 𝑥 tan 2𝑥 𝑥 2𝑥 D. 1 sin 𝑥 sin 𝑥 2𝑥 𝑥 = lim 2 ∙ ∙ ∙ ∙ E. 2 𝑥→0 𝑥 𝑥 tan 2𝑥 2𝑥

Nilai lim

=2∙1∙1∙1∙

5.

TRIK SUPERKILAT: 1 1 − cos 2𝑥 2 ∙ 2 ∙ 2 lim = =1 𝑥→0 𝑥 tan 2𝑥 1∙2

1 =1 2

(1 − 2 sin2 2𝑥) − 1 cos 4𝑥 − 1 cos 4 x  1 TRIK SUPERKILAT: lim = lim  ....𝑥→0 𝑥→0 𝑥 tan 2𝑥 𝑥 tan 2𝑥 x 0 x tan 2 x 1 cos 4𝑥 − 1 − 2 ∙ 4 ∙ 4 −2 sin2 2𝑥 A. 4 lim = = lim 𝑥→0 𝑥 tan 2𝑥 1∙2 𝑥→0 𝑥 tan 2𝑥 B. 2 = −4 −2 sin 2𝑥 sin 2𝑥 2𝑥 2𝑥 = lim ∙ ∙ C. −1 𝑥→0 𝑥 tan 2𝑥 2𝑥 2𝑥 D. −2 sin 2𝑥 sin 2𝑥 2𝑥 2𝑥 = lim −2 ∙ ∙ ∙ ∙ E. −4 𝑥→0 2𝑥 2𝑥 tan 2𝑥 𝑥

Nilai lim

= −2 ∙ 1 ∙ 1 ∙ 1 ∙ 2 = −4


Halaman 200



Smart Solution



Disusun oleh :

Pak Anang


5. 2.

Menyelesaikan soal aplikasi turunan fungsi.

Turunan Fungsi

Simbol 𝑓 ′ (𝑥) = 𝑦 ′ =

Definisi

𝑑𝑦 𝑑 = (𝑓(𝑥)) 𝑑𝑥 𝑑𝑥

𝑓(𝑥 + ℎ) − 𝑓(𝑥) ℎ→0 ℎ

𝑓 ′ (𝑥) = lim

dengan catatan limit ini ada

Turunan Fungsi Aljabar

Turunan Fungsi Trigonometri

𝑓(𝑥) = 𝑐 → 𝑛 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 →

𝑓 ′ (𝑥) = 0 𝑓 ′ (𝑥) = 𝑛. 𝑎𝑥 𝑛−1

Sifat: 𝑓(𝑥) = 𝑘𝑢 → 𝑓(𝑥) = 𝑢 ± 𝑣 → 𝑓(𝑥) = 𝑢 ∙ 𝑣 →

𝑓 ′ (𝑥) = 𝑘𝑢′ 𝑓 ′ (𝑥) = 𝑢′ ± 𝑣 ′ 𝑓 ′ (𝑥) = 𝑢′ 𝑣 + 𝑢𝑣 ′

𝑢 𝑓(𝑥) = 𝑣

→

𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑢) →

𝐬𝐢𝐧 𝒙 𝐜𝐨𝐬 𝒙 − 𝐬𝐢𝐧 𝒙 − 𝐜𝐨𝐬 𝒙 𝑓 ′ (𝑥) = sec 2 𝑥 𝑓 ′ (𝑥) = − csc 2 𝑥 𝑓 ′ (𝑥) = sec 𝑥 tan 𝑥 𝑓 ′ (𝑥) = − csc 𝑥 cot 𝑥

𝑓(𝑥) = tan 𝑥 → 𝑓(𝑥) = cot 𝑥 → 𝑓(𝑥) = sec 𝑥 → 𝑓(𝑥) = csc 𝑥 →

𝑢′𝑣−𝑢𝑣′ 𝑣2 ′ (𝑥) ′ (𝑢) 𝑓 =𝑓 ∙ 𝑢′ 𝑓 ′ (𝑥) =

Aplikasi Turunan Fungsi Gradien Garis Singgung Kurva 𝑦 = 𝑓 (𝑥 ) di titik 𝑥 = 𝑎

Persamaan Garis Singgung di titik (𝑥1 , 𝑦1 )

𝑚 = 𝑓 ′ (𝑎)

𝑦 − 𝑦1 = 𝑚(𝑥 − 𝑥1 )

Gradien garis singgung digunakan untuk melihat naik atau turunnya sebuah grafik fungsi.

Grafik Fungsi 𝑓 Naik

Grafik Fungsi 𝑓 Tidak Naik dan Tidak Turun

Grafik Fungsi 𝑓 Turun

𝑓 ′ (𝑎) > 0

𝑓 ′ (𝑎) = 0

𝑓 ′ (𝑎) < 0

Titik dimana grafik fungsi 𝑓 tidak naik atau tidak turun disebut titik stasioner.

Titik Maksimum

Titik Belok

Titik Minimum

“naik – stasioner – turun”

“naik – stasioner – naik” atau “turun – stasioner – turun”

“turun – stasioner – naik”



Halaman 201

LOGIKA PRAKTIS Turunan Fungsi Trigonometri. Secara umum turunan fungsi trigonometri sederhana bisa digambarkan pada diagram berikut:

𝒇(𝒙) = 𝒂𝒙𝒏 → 𝒇′ (𝒙) = 𝒏 ∙ 𝒂𝒙𝒏−𝟏 𝒏 ∙ 𝒂𝒙𝒏

𝒏 ∙ 𝒂𝒙𝒏−𝟏

Proses mencari turunan fungsi 𝑎𝑥 𝑛 : 1. Kalikan pangkatnya dengan fungsi! 2. Kurangi satu pangkatnya! 3. Selesai!

Halaman 202



LOGIKA PRAKTIS Turunan Fungsi Trigonometri Dasar Sinus Kosinus. Secara umum turunan fungsi trigonometri sederhana bisa digambarkan pada diagram berikut: Cara membacanya: 𝑦 = sin 𝑥 →

𝐬𝐢𝐧 𝒙 𝐜𝐨𝐬 𝒙 − 𝐬𝐢𝐧 𝒙 − 𝐜𝐨𝐬 𝒙

𝑦′ = cos 𝑥

𝑦 = cos 𝑥

→

𝑦′ = −sin 𝑥

𝑦 = −sin 𝑥

→

𝑦′ = −cos 𝑥

𝑦 = −cos 𝑥

→

𝑦′ = sin 𝑥

Jadi turunannya sinus adalah kosinus. Turunannya kosinus adalah negatif sinus. KONSEP DASAR Turunan Fungsi Trigonometri Dasar Selain Sinus Kosinus. Untuk turunan fungsi trigonometri yang lain diperoleh dengan menggunakan sifat turunan fungsi pembagian: 𝑢 𝑢′ 𝑣 − 𝑢𝑣 ′ 𝑦= → 𝑦′ = 𝑣 𝑣2 Contohnya bagaimana turunan dari fungsi tan 𝑥? ⇒ 𝑦 = tan 𝑥 = ⇒ 𝑦′ =

′ sin 𝑥 → 𝑢 = sin 𝑥 ⇒ 𝑢 ′ = cos 𝑥 𝑣 = cos 𝑥 ⇒ 𝑣 = − sin 𝑥 cos 𝑥

𝑢′ 𝑣 − 𝑢𝑣 ′ cos 𝑥 cos 𝑥 − sin 𝑥 (− sin 𝑥) cos2 𝑥 + sin2 𝑥 1 = = = = sec 2 𝑥 2 2 2 𝑣 cos 𝑥 cos 𝑥 cos 2 𝑥

Jadi, 𝑦 = tan 𝑥 → 𝑦 ′ = sec 2 𝑥. Silahkan temukan sendiri turunan fungsi cot 𝑥 , sec 𝑥 , dan csc 𝑥 menggunakan aturan dan sifat tersebut!!! LOGIKA PRAKTIS Cara Menghafalkan Turunan Fungsi Trigonometri Dasar Selain Sinus Kosinus.

𝒚 = 𝐭𝐚𝐧 𝒙 𝒚 = 𝐜𝐨𝐭 𝒙 }⇒ 𝒚 = 𝐬𝐞𝐜 𝒙 𝒚 = 𝐜𝐬𝐜 𝒙 ⇓

turunan dari fungsi yang berawalan huruf c selalu negatif fungsi berawalan huruf c hanya kumpul dengan yang berawalan c juga 𝐭𝐚𝐧 𝒙 dan 𝐜𝐨𝐭 𝒙 turunannya kembar

tan 𝑥

cot 𝑥

sec 𝑥

csc 𝑥

□𝟐

□𝟐

Cara membacanya: 𝑦 = tan 𝑥 → 𝑦 = cot 𝑥 → 𝑦 = sec 𝑥 → 𝑦 = csc 𝑥 →

𝑦′ 𝑦′ 𝑦′ 𝑦′

= sec 2 𝑥 = − csc 2 𝑥 = sec 𝑥 tan 𝑥 = − csc 𝑥 cot 𝑥

Tips membaca LOGIKA PRAKTIS:

□𝟐

Turunannya tan 𝑥 adalah sec 2 𝑥. Turunannya cot 𝑥 adalah – csc 2 𝑥.

Turunannya sec 𝑥 adalah sec 𝑥 tan 𝑥 Turunannya csc 𝑥 adalah − csc 𝑥 cot 𝑥



Halaman 203

TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS Aplikasi Turunan Fungsi (Persamaan Garis Singgung Kurva). Kurva 𝑓(𝑥)

Tentukan turunan 𝑓(𝑥) yaitu 𝑓 ′ (𝑥)

Gradien Garis Singgung Kurva di 𝑥 = 𝑎 adalah

Persamaan Garis Lurus melewati titik (𝑥1 , 𝑦1 ) dengan gradien 𝑚 adalah:

𝑚 = 𝑓 ′ (𝑎)

𝑦 − 𝑦1 = 𝑚(𝑥 − 𝑥1 )

Gradien Garis Singgung Kurva 𝑓(𝑥) di titik (𝑥1 , 𝑦1 ) dengan gradien 𝑚 adalah: (𝑦 − 𝑦1 ) = 𝑚(𝑥 − 𝑥1 ) Contoh Soal: Diketahui ℎ adalah garis singgung kurva 𝑦 = 𝑥 3 − 4𝑥 2 + 2𝑥 − 3 pada titik (1, −4). Titik potong garis ℎ dengan sumbu X adalah …. a. b. c. d.

(−3,0) (−2,0) (−1,0) 1 (− , 0) 2 1 3

e. (− , 0) Pembahasan: Diketahui kurva 𝑓(𝑥) yaitu: 𝑓(𝑥) = 𝑥 3 − 4𝑥 2 + 2𝑥 − 3 ⇒ 𝑓 ′ (𝑥) = 3𝑥 2 − 8𝑥 + 2 Gradien garis singgung kurva di 𝑥 = 1 adalah: 𝑚 = 𝑓 ′ (𝑥) ⇒ 𝑚 = 𝑓 ′ (1) = 3(1)2 − 8(1) + 2 =3−8+2 = −3 Persamaan garis singgung kurva di titik (1, −4) dengan gradien 𝑚 = −3 adalah: 𝑦 − 𝑦1 = 𝑚(𝑥 − 𝑥1 ) ⇒ 𝑦 − (−4) = −3(𝑥 − 1) ⇔ 𝑦 + 4 = −3𝑥 + 3 ⇔ 𝑦 = −3𝑥 + 3 − 4 ⇔ 𝑦 = −3𝑥 − 1 Jadi garis ℎ adalah 𝑦 = −3𝑥 − 1. Titik potong garis ℎ terhadap sumbu X terjadi saat 𝑦 = 0, sehingga: 𝑦 = 0 ⇒ 0 = −3𝑥 − 1 ⇔ 3𝑥 = −1 1 ⇔ 𝑥=− 3 1

Jadi, titik potong garis ℎ terhadap sumbu X adalah (− 3 , 0). Halaman 204



TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS Aplikasi Turunan Fungsi. Hubungan antara Jarak (𝒔), Kecepatan (𝒗), dan Percepatan (𝒂). *) Jika ada soal tentang hubungan antara jarak, kecepatan, dan percepatan pada gerak maka konsep berikut bisa membantu kita dalam mengerjakan soal tersebut:

𝒔 𝒗 𝒂

turun

Turun artinya turunan fungsi. Sehingga cara membacanya seperti ini:

turun

𝑑𝑠

Fungsi 𝑣 adalah turunan dari fungsi 𝑠. atau dinotasikan 𝑣 = 𝑑𝑡 = 𝑠 ′ (𝑡) Fungsi 𝑎 adalah turunan dari fungsi 𝑣. atau dinotasikan 𝑎 =

𝑑𝑣 𝑑𝑡

= 𝑣 ′ (𝑡)

*) Dikutip dari SMART SOLUTION UN Fisika SMA 2013 SKL 2.1 Kinematika Gerak

(http://pak-anang.blogspot.com/2012/12/smart-solution-un-fisika-sma-2013-skl.html)

Contoh Soal: Suatu peluru ditembakan ke atas. Jika tinggi ℎ meter setelah 𝑡 detik dirumuskan dengan ℎ(𝑡) = 120𝑡 − 5𝑡 2 , maka tinggi maksimum yang dicapai peluru tersebut adalah …. meter. a. b. c. d. e.

270 320 670 720 770

Pembahasan: Fungsi yang menyatakan ketinggian peluru adalah ℎ(𝑡). Fungsi yang menyatakan kecepatan peluru adalah 𝑣(𝑡). Hubungan antara dua fungsi tersebut adalah: 𝑑 𝑑 𝑣(𝑡) = (ℎ(𝑡)) ⇒ 𝑣(𝑡) = (120𝑡 − 5𝑡 2 ) 𝑑𝑡 𝑑𝑡 ∴ 𝑣(𝑡) = 120 − 10𝑡 Suatu peluru dikatakan telah berada di titik tertinggi apabila kecepatannya sama dengan nol. 𝑣(𝑡) = 0 ⇒ 120 − 10𝑡 = 0 ⇔ −10𝑡 = −120 −120 ⇔ 𝑡= −10 ∴ 𝑡 = 12 s Sehingga tinggi maksimum akan dicapai saat 𝑡 = 12 s, yaitu ℎ(𝑡) = 120𝑡 − 5𝑡 2 ⇒ ℎ(2) = 120(12) − 5(12)2 = 1440 − 720 = 720 m Jadi tinggi maksimum peluru adalah 720 m.



Halaman 205

TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS Aplikasi Turunan Fungsi (Fungsi Naik dan Fungsi Turun). Kurva 𝑓(𝑥)

Tentukan turunan 𝑓(𝑥) yaitu 𝑓 ′ (𝑥)

Halaman 206



TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS Aplikasi Turunan Fungsi (Titik Stasioner). TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS Aplikasi Turunan Fungsi (Masalah Maksimum Minimum). TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS Aplikasi Turunan Fungsi (Penerapan Maksimum Minimum). Penjelasan detailnya langkah-langkah TRIK SUPERKILAT beserta contoh-contoh soal akan segera dilanjutkan di http://pak-anang.blogspot.com. :) Jadi pastikan untuk selalu mengunjungi laman web berikut: http://pak-anang.blogspot.com/2013/01/smart-solution-un-matematika-sma-2013_29.html untuk mengecek dan mengunduh update versi terbaru terbaru TRIK SUPERKILAT UN Matematika SMA 2013 pada bab Aplikasi Turunan Fungsi ini….



Halaman 207


1.

Suatu perusahaan memproduksi x unit barang, dengan biaya (4 x 2  8 x  24 ) dalam ribu rupiah untuk tiap unit. Jika barang tersebut terjual habis dengan harga Rp40.000,00 tiap unit, maka keuntungan maksimum yang diperoleh perusahaan tersebut adalah .... Karena 𝑥 mewakili jumlah barang, A. Rp16.000,00 𝑈(𝑥) = 40𝑥 − (4𝑥 2 − 8𝑥 + 24)𝑥 = −4𝑥 3 + 8𝑥 2 +′ 16𝑥 𝑈(𝑥)akan maksimum untuk 𝑥 yang memenuhi 𝑈 (𝑥) = 0 tidak mungkin negatif sehingga B. Rp32.000,00 ⇒ 𝑈 ′ (𝑥) = 0 yang memenuhi hanya 𝑥 = 2 C. Rp48.000,00 ⇔ −12𝑥 2 + 16𝑥 + 16 = 0 (dibagi − 4) Substitusikan 𝑥 = 2 ke 𝑈(𝑥), D. Rp52.000,00 ⇔ 3𝑥 2 − 4𝑥 − 4 = 0 diperoleh: E. Rp64.000,00 ⇔ (3𝑥 + 2)(𝑥 − 2) = 0 𝑈(𝑥) = −4(2)3 + 8(2)2 + 16(2) ⇔

2.

𝑥=−

2 atau 𝑥 = 2 3

= −32 + 32 + 32 = 32

Suatu perusahaan memproduksi x unit barang, dengan biaya 5 x 2  10 x  30  dalam ribuan rupiah untuk tiap unit. Jika barang tersebut terjual habis dengan harga Rp50.000,00 tiap unit, maka keuntungan maksimum yang diperoleh perusahaan tersebut adalah .... A. Rp10.000,00 𝑈(𝑥) = 50𝑥 − (5𝑥 2 − 10𝑥 + 30)𝑥 = −5𝑥 3 + 10𝑥′2 + 20𝑥 Karena 𝑥 mewakili jumlah barang, maksimum untuk 𝑥 yang memenuhi 𝑈 (𝑥) = 0 tidak mungkin negatif sehingga B. Rp20.000,00 𝑈(𝑥)akan ⇒ 𝑈 ′ (𝑥) = 0 yang memenuhi hanya 𝑥 = 2 C. Rp30.000,00 ⇔ −15𝑥 2 + 20𝑥 + 20 = 0 (dibagi − 5) Substitusikan 𝑥 = 2 ke 𝑈(𝑥), D. Rp40.000,00 ⇔ 3𝑥 2 − 4𝑥 − 4 = 0 diperoleh: E. Rp50.000,00 ⇔ (3𝑥 + 2)(𝑥 − 2) = 0 𝑈(𝑥) = −5(2)3 + 10(2)2 + 20(2) ⇔

𝑥=−

2 atau 𝑥 = 2 3

= −40 + 40 + 40 = Rp40


Halaman 208



Smart Solution



Disusun oleh :

Pak Anang


5. 3.

Menentukan integral tak tentu dan integral tertentu fungsi aljabar dan fungsi trigonometri.

Integral Tak Tentu Definisi “Kebalikan Proses Turunan”

𝐹 (𝑥 ) Integral

Turunan

𝑓(𝑥 ) 𝐹 ′ (𝑥) = 𝑓(𝑥) ⇒ ∫ 𝑓(𝑥) ⅆ𝑥 = 𝐹(𝑥) + 𝐶

Integral Fungsi Aljabar

Integral Fungsi Trigonometri 𝐬𝐢𝐧 𝒙 𝐜𝐨𝐬 𝒙 − 𝐬𝐢𝐧 𝒙 − 𝐜𝐨𝐬 𝒙

1

∫ 𝑥 𝑛 ⅆ𝑥 = 𝑛+1 𝑥 𝑛+1 + 𝐶 𝑎

∫ 𝑎𝑥 𝑛 ⅆ𝑥 = 𝑛+1 𝑥 𝑛+1 + 𝐶 Sifat:

∫ sec 2 𝑥 ⅆ𝑥 ∫ csc 2 𝑥 ⅆ𝑥 ∫ sec 𝑥 tan 𝑥 ⅆ𝑥 ∫ csc 𝑥 cot 𝑥 ⅆ𝑥

∫ ⅆ[𝑓(𝑥)] = 𝑓(𝑥) + 𝑐 ∫ 𝑘 ∙ 𝑓(𝑥) ⅆ𝑥 = 𝑘∫ 𝑓(𝑥) ⅆ𝑥 ∫ [𝑓(𝑥) ± 𝑔(𝑥)] ⅆ𝑥 = ∫ 𝑓(𝑥) ⅆ𝑥 ± ∫ 𝑔(𝑥) ⅆ𝑥

= − tan 𝑥 + 𝐶 = −cot 𝑥 + 𝐶 = −sec 𝑥 + 𝐶 = −csc 𝑥 + 𝐶

Integral Tertentu Definisi 𝑏 𝑏 ∫ 𝑓(𝑥) ⅆ𝑥 = 𝐹(𝑥) | = 𝐹(𝑏) − 𝐹(𝑎) 𝑎 𝑎



Halaman 213

Teknik Integral Aljabar Integral Langsung “Jika sesuai dengan Rumus Dasar” harus dalam bentuk pangkat

∫ □𝑛 ⅆ □ =

1

𝑛+1 □ +𝐶 𝑛+1

harus sama

∫ [𝑓(𝑥 ) ± 𝑔(𝑥 )] ⅆ𝑥 = …. boleh dalam bentuk penjumlahan atau pengurangan

tidak boleh perkalian pembagian!!!!!

∫ [𝑓(𝑥 ) × 𝑔(𝑥 )] ⅆ𝑥 = …. 𝑓 (𝑥 ) ∫[ ] ⅆ𝑥 = …. 𝑔(𝑥 )

Jika tidak bisa diintegralkan secara langsung, maka bisa menggunakan salah satu dari metode berikut:

Diubah ∫ √𝑥 ⅆ𝑥 Bentuk pangkat belum terlihat!!! 1

Substitusi ∫

5 𝑥2

ⅆ𝑥

Bentuk pangkat belum terlihat!!!

∫ 𝑥 2 ⅆ𝑥

∫ 5𝑥 −2 ⅆ𝑥

∫ 𝑥(𝑥 + 3) ⅆ𝑥

∫ (𝑥 + 1)2 ⅆ𝑥

Nggak boleh dalam bentuk perkalian!!!

Nggak boleh dalam bentuk perkalian!!!

∫ (𝑥 2 + 3𝑥) ⅆ𝑥

∫ (𝑥 2 + 2𝑥 + 1) ⅆ𝑥

Parsial

∫ 3𝑥(𝟐𝒙𝟐 + 𝟏)5 ⅆ𝒙

∫ 3𝑥 2 (𝟐𝒙𝟐 + 𝟏)5 ⅆ𝒙

Fungsi integran dan operator masih belum sama


harus sama

harus sama

∫ 3𝑥(𝟐𝒙𝟐 + 𝟏)5

ⅆ(𝟐𝒙𝟐 + 𝟏) 4𝑥

turunan

∫ 3𝑥 2 (𝟐𝒙𝟐 + 𝟏)5

Sederhanakan! Nggak boleh muncul variabel 𝒙

ⅆ(𝟐𝒙𝟐 + 𝟏) turunan 4𝑥

Sederhanakan! Tetapi masih muncul variabel 𝒙 Perbedaan mendasar antara teknik integral substitusi dengan teknik integral parsial.

dan lain-lain …

∫ 𝑢 ⅆ𝑣 = 𝑢𝑣 − ∫ 𝑣 ⅆ𝑢 Halaman 214



LOGIKA PRAKTIS Integral Fungsi Aljabar. Secara umum integral fungsi aljabar sederhana bisa digambarkan pada diagram berikut:

𝒂

𝒇(𝒙) = 𝒂𝒙𝒏 → 𝑭(𝒙) = 𝒂𝒙𝒏

𝒏+𝟏

𝒙𝒏+𝟏 + 𝑪 𝒂

𝒂𝒙𝒏+𝟏

𝒏+𝟏

𝒙𝒏+𝟏

Proses mencari integral fungsi 𝑎𝑥 𝑛 terhadap 𝑥: 1. 2. 3. 4.

Tambah satu pangkatnya! Bagi koefisien dengan bilangan hasil langkah pertama! Tambahkan dengan konstanta 𝐶. Selesai!

TRIK SUPERKILAT Integral Fungsi Aljabar Pangkat Pecahan. Sebagaimana sudah kita ketahui bersama, bahwa konsep dasar integral adalah sebagai berikut: Lho ini kan saling berkebalikan? 

𝒇(𝒙) = 𝒙𝒏 → 𝑭(𝒙) =

𝟏 𝒏+𝟏

𝒙𝒏+𝟏 + 𝑪

Nah, seringkali kita kesulitan mengerjakan integral dengan langkah pasti dan yakin apabila bertemu dengan bentuk pangkat pecahan. Misalnya, 3

3

Ingat konsep ∫ 𝑘𝑓(𝑥) ⅆ𝑥 = 𝑘∫ 𝑓(𝑥) ⅆ𝑥 ∫ 2𝑥 2 ⅆ𝑥 = 2 ∫ 𝑥 2 ⅆ𝑥 ( ) alias buang semua konstanta keluar integral 2 5 = 2 ∙ 𝑥2 + 𝐶 5 4 52 = 𝑥 +𝐶 5 Sesuai konsep integral, pangkatnya kan harus ditambah 1! 3 5 Pangkat 2 ditambah 1 menjadi berapa? 2, kan? 5

2

Mudah saja, balik angka menjadi . 2 5 Jadi, 3 5 2 2

2 ∫ 𝑥 ⅆ𝑥 = 𝑥 + 𝐶 5 Lho ini kan saling berkebalikan? 



Halaman 215

Teknik Integral Trigonometri Integral Langsung “Jika sesuai konsep 6 Turunan Trigonometri” ∫ sin □ ⅆ□ = − cos □ + 𝐶 ∫ cos □ ⅆ□ = − sin □ + 𝐶 2 ∫ sec □ ⅆ□ = − tan □ + 𝐶 ∫ csc 2 □ ⅆ□ = −cot □ + 𝐶 ∫ sec □ tan □ ⅆ□ = −sec □ + 𝐶 ∫ csc □ cot □ ⅆ□ = −csc □ + 𝐶

∫ [𝑓(𝑥 ) ± 𝑔(𝑥 )] ⅆ𝑥 boleh dalam bentuk penjumlahan atau pengurangan

Jika tidak bisa diintegralkan secara langsung, maka bisa menggunakan salah satu dari metode berikut:

Diubah

Substitusi

∫ tan2 𝑥 ⅆ𝑥

∫ cot 2 𝑥 ⅆ𝑥

Adanya konsep integral 𝐬𝐞𝐜𝟐 𝒙 !!!

Adanya konsep integral 𝐜𝐬𝐜 𝟐 𝒙 !!!

∫ (sec 2 𝑥 − 1) ⅆ𝑥

∫ (csc 2 𝑥 − 1) ⅆ𝑥

∫ sin 𝑚𝑥 cos 𝑛𝑥 ⅆ𝑥 ∫ cos 𝑚𝑥 cos 𝑛𝑥 ⅆ𝑥 ∫ sin 𝑚𝑥 sin 𝑛𝑥 ⅆ𝑥

∫ sin2 𝑥 ⅆ𝑥 ∫ cos 2 𝑥 ⅆ𝑥 dst …

Diubah menjadi bentuk perjumlahan

Sin Cos berpangkat genap harus diubah!

Ingat Rumus Perkalian ke penjumlahan

Ingat Rumus Sin Cos setengah sudut

𝑆+𝑆 2𝑆𝐶 𝑆−𝑆 2𝐶𝑆 𝐶+𝐶 2𝐶𝐶 𝐶 − 𝐶 − 2𝑆𝑆

sin2 𝑥 = − cos 2𝑥

⊕ ⊖

1

1

2 1

2 1

cos2 𝑥 = + cos 2𝑥 2

2

4

Jadi, ∫ sin 𝑥 ⅆ𝑥 juga diubah menjadi ∫ sin2 𝑥 sin2 𝑥 ⅆ𝑥

Parsial

∫ 2𝑥 sin(𝟑𝒙𝟐 + 𝟐) ⅆ𝒙

∫ 2𝑥 2 sin(𝟑𝒙𝟐 + 𝟐) ⅆ𝒙



harus sama

harus sama

∫ 2𝑥 sin(𝟑𝒙𝟐 + 𝟐)

ⅆ(𝟑𝒙𝟐 + 𝟐) turunan 6𝑥


∫ 2𝑥 2 sin(𝟑𝒙𝟐 + 𝟐)

ⅆ(𝟑𝒙𝟐 + 𝟐) turunan 6𝑥

Sederhanakan! Tetapi masih muncul variabel 𝒙

∫ 𝐬𝐢𝐧3 𝑥 cos 𝑥 ⅆ𝒙


∫ 𝑢 ⅆ𝑣 = 𝑢𝑣 − ∫ 𝑣 ⅆ𝑢

harus sama

dan lain-lain … ∫ 𝐬𝐢𝐧3 𝑥 cos 𝑥

ⅆ(𝐬𝐢𝐧 𝒙) cos 𝑥

turunan


Halaman 216



LOGIKA PRAKTIS Integral Fungsi Trigonometri Dasar Sinus Kosinus. Secara umum integral fungsi trigonometri sederhana bisa digambarkan pada diagram berikut: Cara membacanya: ∫ −sin 𝑥 ⅆ𝑥 = − cos 𝑥 + 𝐶

𝐬𝐢𝐧 𝒙 𝐜𝐨𝐬 𝒙 − 𝐬𝐢𝐧 𝒙 − 𝐜𝐨𝐬 𝒙

∫ −cos 𝑥 ⅆ𝑥 = − sin 𝑥 + 𝐶 ∫ −sin 𝑥 ⅆ𝑥 = − cos 𝑥 + 𝐶 ∫ −cos 𝑥 ⅆ𝑥 = − sin 𝑥 + 𝐶

Jadi integralnya sinus adalah negatif kosinus. Integralnya kosinus adalah sinus. KONSEP DASAR Integral Fungsi Trigonometri Dasar Selain Sinus Kosinus. Dasar dari konsep integral fungsi trigonometri selain sinus kosinus adalah harus paham dan hafal turunan dari fungsi trigonometri. *) Perhatikan konsep berikut:

tan 𝑥

cot 𝑥

sec 𝑥

csc 𝑥

□𝟐

□𝟐

Cara membacanya: 𝑦 = tan 𝑥 → 𝑦 = cot 𝑥 → 𝑦 = sec 𝑥 → 𝑦 = csc 𝑥 →

𝑦′ 𝑦′ 𝑦′ 𝑦′

= sec 2 𝑥 = − csc 2 𝑥 = sec 𝑥 tan 𝑥 = − csc 𝑥 cot 𝑥

*) Dikutip dari SMART SOLUTION UN Matematika SMA 2013 SKL 5.2 Aplikasi Turunan Fungsi, Halaman 203 (http://pak-anang.blogspot.com/2013/01/smart-solution-un-matematika-sma-2013_29.html)

Jadi, dengan melihat bahwa integral adalah lawan dari proses turunan, diperoleh konsep berikut: ∫ sec 2 𝑥 ⅆ𝑥 ∫ csc 2 𝑥 ⅆ𝑥 ∫ sec 𝑥 tan 𝑥 ⅆ𝑥 ∫ csc 𝑥 cot 𝑥 ⅆ𝑥

= − tan 𝑥 + 𝐶 = −cot 𝑥 + 𝐶 = −sec 𝑥 + 𝐶 = −csc 𝑥 + 𝐶



Halaman 217

Tips dan Trik Integral Trigonometri Intinya pada integral trigonometri harus menguasai bagaimana konsep trigonometri serta bagaimanakah sifat turunan dari fungsi trigonometri. OK! Disamping itu, harus menguasai bagaimana konsep identitas trigonometri yang pernah Pak Anang tulis pada Modul SMART SOLUTION UN Matematika SMA 2013 pada SKL 4 Pengantar Trigonometri di laman web berikut: http://pak-anang.blogspot.com/2013/01/smart-solution-un-matematika-sma-2013_11.html Rumus Identitas Trigonometri yang sering digunakan dalam integral adalah: Rumus identitas trigonometri sin2 𝑥 + cos 2 𝑥 = 1 tan2 𝑥 + 1 = sec 2 𝑥 1 + cot 2 𝑥 = csc 2 𝑥 1 1 sin2 𝑥 = − cos 2𝑥 2 2 1 1 cos2 𝑥 = + cos 2𝑥 2 2 sin 2𝑥 = 2 sin 𝑥 cos 𝑥 Rumus perkalian trigonometri 1 sin 𝑥 cos 𝑦 = [sin(𝑥 + 𝑦) + sin(𝑥 − 𝑦)] 2 1 cos 𝑥 sin 𝑦 = [sin(𝑥 + 𝑦) − sin(𝑥 − 𝑦)] 2 1 cos 𝑥 cos 𝑦 = [cos(𝑥 + 𝑦) + cos(𝑥 − 𝑦)] 2 1 sin 𝑥 sin 𝑦 = − [cos(𝑥 + 𝑦) − cos(𝑥 − 𝑦)] 2 Apabila ada integral yang memuat fungsi trigonometri pangkat 𝑛 dan memuat fungsi turunannya maka bisa dituliskan konsep integral substitusinya sebagai berikut: 1 ∫ sin𝑛 𝑥 (cos 𝑥) ⅆ𝑥 = sin𝑛+1 𝑥 + 𝐶 𝑛+1 1 ∫ cos𝑛 𝑥 (sin 𝑥) ⅆ𝑥 = − cos 𝑛+1 𝑥 + 𝐶 𝑛+1 1 ∫ tan𝑛 𝑥 (sec 2 𝑥) ⅆ𝑥 = tan𝑛+1 𝑥 + 𝐶 𝑛+1 1 ∫ cot 𝑛 𝑥 (csc 2 𝑥) ⅆ𝑥 = − cot 𝑛+1 𝑥 + 𝐶 𝑛+1 1 ∫ sec 𝑛 𝑥 (sec 𝑥 tan 𝑥) ⅆ𝑥 = sec 𝑛+1 𝑥 + 𝐶 𝑛+1 1 ∫ csc 𝑛 𝑥 (csc 𝑥 cot 𝑥) ⅆ𝑥 = − csc 𝑛+1 𝑥 + 𝐶 𝑛+1

Halaman 218



TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS Teknik Integral dengan Mengubah Bentuk Integral. Seringkali dalam pengerjaan integral kita bertemu dengan integral yang bentuk integralnya “sedikit berbeda” dari konsep dasar, namun sebenarnya apabila kita mau mengubahnya terlebih dahulu menggunakan sifat-sifat aljabar maupun sifat identitas trigonometri, bentuk integral tersebut bisa kembali sesuai dengan konsep dasar. Seperti telah diketahui bahwa untuk integral fungsi aljabar harus dalam bentuk pangkat dan variabel fungsi integral dengan operator harus sama. Bentuk integral yang diperbolehkan adalah penjumlahan atau pengurangan. TITIK! Sementara untuk integral fungsi trigonometri harus memenuhi sifat 6 turunan fungsi trigonometri, serta bentuk yang diperbolehkan adalah penjumlahan atau pengurangan. Serta perkecualian untuk bentuk perkalian tertentu yang bisa diubah menjadi penjumlahan pengurangan lewat rumus perkalian ke penjumlahan trigonometri. TITIK! Berikut ini adalah beberapa contoh penyelesaian integral dengan cara mengubah bentuk integral: Contoh Soal 1: Hasil dari 5

∫ 3 √𝑥 2 ⅆ𝑥 = …. Pembahasan: Soal tersebut adalah soal dimana ada integral tapi masih berbentuk akar. Ubah bentuk akar menjadi bentuk pangkat pecahan dong! 5

5

𝑚

𝑛

∫ 3 √𝑥 2 ⅆ𝑥 = 3 ∫ √𝑥 2 ⅆ𝑥 (Ingat √𝑥 𝑚 = 𝑥 𝑛 ) 2

𝑚

= 3 ∫ 𝑥 5 ⅆ𝑥 (Ingat ∫ 𝑥 𝑛 ⅆ𝑥 = 5 7 = 3 ∙ 𝑥5 + 𝐶 7 15 75 = 𝑥 +𝐶 7

𝑚+𝑛 𝑛 𝑥 𝑛 + 𝐶 atau TRIK SUPERKILAT di halaman 215) 𝑚+𝑛

Contoh Soal 2: Hasil dari 2 ∫ 3 ⅆ𝑥 = …. 5𝑥 Pembahasan: Soal tersebut adalah soal dimana ada integral tapi masih ada variabel berpangkat menjadi penyebut. Ubah bentuk tersebut bentuk pangkat negatif dong! ∫

2 1 ⅆ𝑥 = (Ingat 𝑛 = 𝑥 −𝑛 ) 3 5𝑥 𝑥 2 −3 = ∫ 𝑥 ⅆ𝑥 5 2 = ∫ 𝑥 −3 ⅆ𝑥 5 2 1 −2 = ∙ 𝑥 +𝐶 5 −2 1 = − 𝑥 −2 + 𝐶 5 1 =− 2+𝐶 5𝑥



Halaman 219

Contoh Soal 3: Hasil dari 1 ∫ ⅆ𝑥 = …. 𝑥 Pembahasan: Soal tersebut adalah soal dimana ada integral tapi masih dalam bentuk pembagian. Ubah bentuk tersebut menjadi bentuk pangkat negatif dong! 1 1 ∫ ⅆ𝑥 = (Ingat 𝑛 = 𝑥 −𝑛 ) 𝑥 𝑥 = ∫ 𝑥 −1 ⅆ𝑥 1 = 𝑥 −0 + 𝐶 0 = tidak terdefinisi Lho kok tidak terdefinisi???????? Ya! Khusus ∫ 𝑥 𝑛 ⅆ𝑥 apabila 𝑛 = −1 maka penyelesaiannya tidak menggunakan konsep dasar integral. Jadi, ∫ 𝑥 −1 ⅆ𝑥 ≠

1 𝑥 −1+1 + 𝐶 −1 + 1

tetapi menggunakan rumus: 1 ∫ 𝑥 −1 ⅆ𝑥 = ∫ ⅆ𝑥 = ln|𝑥| + 𝐶 𝑥

Halaman 220



Contoh Soal 5: Hasil dari ∫ 𝑥 2 (3𝑥 − 5) ⅆ𝑥 = …. Pembahasan: Soal tersebut adalah soal dimana ada integral tapi masih dalam bentuk perkalian. Ubah bentuk perkalian menjadi penjumlahan atau pengurangan dong! Dengan mengalikan secara distributif! ∫ 𝑥 2 (3𝑥 − 5) ⅆ𝑥 = ∫(3𝑥 3 − 5𝑥 2 ) ⅆ𝑥 (Ingat ∫(𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥)) ⅆ𝑥 = ∫ 𝑓(𝑥) ⅆ𝑥 + ∫ 𝑔(𝑥) ⅆ𝑥 ) = ∫ 3𝑥 3 ⅆ𝑥 − ∫ 5𝑥 2 ⅆ𝑥 3 5 = 𝑥4 − 𝑥3 + 𝐶 4 3

Contoh Soal 6: Hasil dari ∫(2𝑥 − 3)2 ⅆ𝑥 = …. Pembahasan: Soal tersebut adalah soal dimana ada integral tapi masih dalam bentuk pangkat 𝑛 atau dalam bentuk perkalian sebanyak 𝑛 faktor sebagaimana sifat dari pangkat itu sendiri yaitu 𝑎𝑛 = ⏟ 𝑎 × 𝑎 × 𝑎 × … × 𝑎. 𝑠𝑒𝑏𝑎𝑛𝑦𝑎𝑘 𝑛 𝑓𝑎𝑘𝑡𝑜𝑟

Ubah bentuk tersebut menjadi penjumlahan atu pengurangan dong! Dengan mengalikan sebanyak 𝑛 faktor! ∫(2𝑥 − 3)2 ⅆ𝑥 = ∫(2𝑥 − 3)(2𝑥 − 3) ⅆ𝑥

(Ingat (𝑎 + 𝑏)2 = 𝑎2 + 2𝑎𝑏 + 𝑏 2 )

= ∫(4𝑥 2 − 12𝑥 + 9) ⅆ𝑥 4 = 𝑥 3 − 6𝑥 2 + 9𝑥 + 𝐶 3

Contoh Soal 7: Hasil dari 4𝑥 5 − 3𝑥 3 ∫ ⅆ𝑥 = …. 2𝑥 2 Pembahasan: Soal tersebut adalah soal dimana ada integral tapi masih dalam bentuk pembagian. Ubah bentuk tersebut menjadi penjumlahan dong! Dengan menyederhanakannya dulu, tentunya….. ∫

4𝑥 5 − 3𝑥 3 4𝑥 5 3𝑥 3 ⅆ𝑥 = ∫ − ( ) ⅆ𝑥 2𝑥 2 2𝑥 2 2𝑥 2 3 = ∫ (2𝑥 3 − 𝑥) ⅆ𝑥 2 3 = ∫ 2𝑥 3 ⅆ𝑥 − ∫ 𝑥 ⅆ𝑥 2 2 3 1 = 𝑥4 − ∙ 𝑥2 + 𝐶 4 2 2 1 4 3 2 = 𝑥 − 𝑥 +𝐶 2 4

(Ingat

𝑎+𝑏 𝑎 𝑏 = + ) 𝑐 𝑐 𝑐

3 Menyelesaikan bentuk ∫ 𝑥 ⅆ𝑥 yang paling mudah adalah 2 3 3 3 1 ∫ 𝑥 ⅆ𝑥 = ∫ 𝑥 ⅆ𝑥 = ∙ 𝑥 2 + 𝐶 ( ) 2 2 2 2



Halaman 221

Contoh Soal 8: Hasil dari ∫(3 + tan2 𝑥) ⅆ𝑥 = …. Pembahasan: Soal tersebut adalah soal dimana ada integral tapi masih ada bentuk bukan turunan fungsi trigonometri dasar. Bentuk tan2 𝑥 bukanlah 6 turunan fungsi trigonometri dasar. Jadi ∫ tan2 𝑥 ⅆ𝑥 tidak bisa dikerjakan langsung. Padahal konsep dasar integral trigonometri yang ada hanyalah ∫ sec 2 𝑥 ⅆ𝑥 = tan 𝑥 + 𝐶. Ubah bentuk tan2 𝑥 menjadi bentuk sec 2 𝑥 dong! Ya! Dengan menggunakan identitas trigonometri berikut: tan2 𝑥 + 1 = sec 2 𝑥 ⇒ tan2 𝑥 = sec 2 𝑥 − 1 ∫(3 + tan2 𝑥) ⅆ𝑥 = (Ingat tan2 𝑥 = sec 2 𝑥 − 1) = ∫(3 + (sec 2 𝑥 − 1)) ⅆ𝑥 = ∫(2 + sec 2 𝑥) ⅆ𝑥 = ∫ 2 ⅆ𝑥 + ∫ sec 2 𝑥 ⅆ𝑥 = 2𝑥 + tan 𝑥 + 𝑐 Contoh Soal 9: Hasil dari ∫(2 cot 2 𝑥 − 5) ⅆ𝑥 = …. Pembahasan: Soal tersebut adalah soal dimana ada integral tapi masih ada bentuk bukan turunan fungsi trigonometri dasar. Bentuk cot 2 𝑥 bukanlah 6 turunan fungsi trigonometri dasar. Jadi ∫ cot 2 𝑥 ⅆ𝑥 tidak bisa dikerjakan langsung. Padahal konsep dasar integral trigonometri yang ada hanyalah ∫ csc 2 𝑥 ⅆ𝑥 = −cot 𝑥 + 𝐶. Ubah bentuk tan2 𝑥 menjadi bentuk sec 2 𝑥 dong! Ya! Dengan menggunakan identitas trigonometri berikut: 1 + cot 2 𝑥 = csc 2 𝑥 ⇒ cot 2 𝑥 = csc 2 𝑥 − 1 ∫(2 cot 2 𝑥 − 5) ⅆ𝑥 = (Ingat cot 2 𝑥 = csc 2 𝑥 − 1) = ∫(2(csc 2 𝑥 − 1) − 5) ⅆ𝑥 = ∫(2 csc 2 𝑥 − 7) ⅆ𝑥 = ∫ 2 csc 2 𝑥 ⅆ𝑥 − ∫ 7 ⅆ𝑥 = 2 ∫ csc 2 𝑥 ⅆ𝑥 − 7𝑥 + 𝑐 = 2(− cot 𝑥) − 7𝑥 + 𝑐 = −2 cot 𝑥 − 7𝑥 + 𝑐

Halaman 222



Contoh Soal 10: Hasil dari ∫ sin 3𝑥 cos 𝑥 ⅆ𝑥 = …. Pembahasan: Soal tersebut adalah soal dimana ada integral tapi masih ada bentuk perkalian fungsi trigonometri. Ubah bentuk perkalian menjadi penjumlahan atau pengurangan dong! Ya! Dengan menggunakan salah satu dari identitas trigonometri berikut: Rumus perkalian trigonometri 1 sin 𝑥 cos 𝑦 = [sin(𝑥 + 𝑦) + sin(𝑥 − 𝑦)] 2 1 cos 𝑥 sin 𝑦 = [sin(𝑥 + 𝑦) − sin(𝑥 − 𝑦)] 2 1 cos 𝑥 cos 𝑦 = [cos(𝑥 + 𝑦) + cos(𝑥 − 𝑦)] 2 1 sin 𝑥 sin 𝑦 = − [cos(𝑥 + 𝑦) − cos(𝑥 − 𝑦)] 2 Jadi,

1 ∫ sin 3𝑥 cos 𝑥 ⅆ𝑥 = ∫ [sin(3𝑥 + 𝑥) + sin(3𝑥 − 𝑥)] ⅆ𝑥 2 1 = ∫ (sin 4𝑥 + sin 2𝑥) ⅆ𝑥 2 1 1 = ∫ ( sin 4𝑥 + sin 2𝑥) ⅆ𝑥 2 2 1 1 = ∫ sin 4𝑥 ⅆ𝑥 + ∫ sin 2𝑥 ⅆ𝑥 2 2 1 1 = ∫ sin 4𝑥 ⅆ𝑥 + ∫ sin 2𝑥 ⅆ𝑥 2⏟ 2⏟ Karena fungsi sudut dan operator integral tidak sama. Sudut sinus 4𝑥 dan 2𝑥, sementara operator integralnya ⅆ𝑥. Maka proses perhitungannya dilanjutkan dengan teknik integral substitusi! Yang akan dibahas pada bagian selanjutnya.OK!



Halaman 223

Contoh Soal 10: Hasil dari ∫ sin2 𝑥 ⅆ𝑥 = …. Pembahasan: Soal tersebut adalah soal dimana ada integral tapi masih dalam bentuk pangkat 𝑛 atau dalam bentuk perkalian sebanyak 𝑛 faktor sebagaimana sifat dari pangkat itu sendiri yaitu 𝑎𝑛 = ⏟ 𝑎 × 𝑎 × 𝑎 × … × 𝑎. Ubah bentuk tersebut menjadi penjumlahan atu pengurangan dong!

𝑠𝑒𝑏𝑎𝑛𝑦𝑎𝑘 𝑛 𝑓𝑎𝑘𝑡𝑜𝑟

Ya! Jika pangkat 𝑛 adalah pangkat bilangan genap menggunakan salah satu dari identitas trigonometri berikut: Rumus identitas trigonometri 1 1 sin2 𝑥 = − cos 2𝑥 2 2 1 1 cos2 𝑥 = + cos 2𝑥 2 2 Jadi,

1 1 ∫ sin2 𝑥 ⅆ𝑥 = ∫ ( − cos 2𝑥) ⅆ𝑥 2 2 1 1 = ∫ ⅆ𝑥 − ∫ cos 2𝑥 ⅆ𝑥 2 2 1 1 = 𝑥 − ∫ cos 2𝑥 ⅆ𝑥 2 2⏟ Karena fungsi sudut dan operator integral tidak sama. Sudut kosinus 2𝑥, sementara operator integralnya ⅆ𝑥. Maka proses perhitungannya dilanjutkan dengan teknik integral substitusi! Yang akan dibahas pada bagian selanjutnya.OK!

Contoh Soal 10: Hasil dari ∫ sin3 𝑥 ⅆ𝑥 = …. Pembahasan: Soal tersebut adalah soal dimana ada integral tapi masih dalam bentuk pangkat 𝑛 atau dalam bentuk perkalian sebanyak 𝑛 faktor sebagaimana sifat dari pangkat itu sendiri yaitu 𝑎𝑛 = ⏟ 𝑎 × 𝑎 × 𝑎 × … × 𝑎. Ubah bentuk tersebut menjadi penjumlahan atu pengurangan dong!

𝑠𝑒𝑏𝑎𝑛𝑦𝑎𝑘 𝑛 𝑓𝑎𝑘𝑡𝑜𝑟

Ya! Jika pangkat 𝑛 adalah pangkat bilangan ganjil menggunakan salah satu dari identitas trigonometri berikut: Rumus identitas trigonometri sin2 𝑥 = 1 − cos 2 𝑥 cos2 𝑥 = 1 − sin2 𝑥 Jadi, ∫ sin3 𝑥 ⅆ𝑥 = ∫ sin2 𝑥 sin 𝑥 ⅆ𝑥 = ∫(1 − cos2 𝑥) sin 𝑥 ⅆ𝑥 = ∫(sin 𝑥 − cos2 𝑥 sin 𝑥) ⅆ𝑥 = ∫ sin 𝑥 ⅆ𝑥 − ∫ cos2 𝑥 sin 𝑥 ⅆ𝑥 ⏟ Karena fungsi integran dan operator integral tidak sama. Fungsi integran cos2 𝑥 sin 𝑥 , sementara operator integralnya ⅆ𝑥. Maka proses perhitungannya dilanjutkan dengan teknik integral substitusi! Yang akan dibahas pada bagian selanjutnya.OK!

Halaman 224



LOGIKA PRAKTIS Teknik Integral Substitusi. Ingat Lagi Ya!!!!!! Konsep Dasar Integral harus dalam bentuk pangkat

∫ □𝑛 ⅆ □ =

1

𝑛+1 □ +𝐶 𝑛+1

harus sama

Bentuk dan Tipe Soal Integral Menggunakan

Teknik Integral Substitusi harus dalam bentuk pangkat

∫ □𝑛 ⅆ ∆ belum sama

Gantilah operator integral dengan fungsi yang disubstitusi.

Tentukan turunan operator integral tersebut dan letakkan menjadi penyebut.

Periksa! Apakah hasil bagi fungsi yang lain dengan turunan operator integral masih memuat variabel 𝑥?

Tidak! Nggak ada variabel 𝑥 lagi!

Ya! Masih menyisakan variabel 𝑥!

Integral Substitusi

Integral Parsial

Teknik Tabulasi



Halaman 225

TRIK SUPERKILAT Teknik Integral Substitusi. Perhatikan konsepnya: ⅆ 2 (𝑥 + 4𝑥 − 9) = (2𝑥 + 4) ⇒ ⅆ𝑥

ⅆ(𝑥 2 + 4𝑥 − 9) = (2𝑥 + 4) ⅆ𝑥

ⅆ(𝑥 2 + 4𝑥 − 9) = ⅆ𝑥 (2𝑥 + 4) ⅆ(𝑥 2 + 4𝑥 − 9) ⇔ ⅆ𝑥 = (2𝑥 + 4) ⇔

Jadi ⅆ𝑥 pada soal bisa diganti dengan

turunannya

𝑑(𝑓(𝑥)) 𝑓′ (𝑥)

Atau dalam kalimat bisa diartikan sebagai berikut: Jadi, ⅆ𝑥 dapat diganti dengan sebuah fungsi permisalan dibagi oleh turunan fungsi tersebut! Contoh: ∫(3𝑥 − 5)10000000000000 ⅆ𝒙 = ∫(3𝑥 − 5)10000000000000

∫ sin(4𝑥) ⅆ𝒙 = ∫ sin(4𝑥)

ⅆ(𝟑𝒙 − 𝟓) turunannya 𝟑

ⅆ(𝟒𝒙) turunannya 𝟒

∫ 3𝑥 cos(2𝑥 2 ) ⅆ𝒙 = ∫ 3𝑥 cos(2𝑥 2 )

ⅆ(𝟐𝒙𝟐 ) turunannya 𝟒𝒙

dan lain-lain ….. Nah intisari dari teknik integral substitusi adalah mengupayakan agar turunan fungsi yang disubstitusi bisa membagi habis variabel pada fungsi lain yang tidak disubstitusi. Contohnya: ∫ 3𝑥 cos(2𝑥 2 ) ⅆ𝑥 = ∫ 3𝑥 cos(2𝑥 2 )

ⅆ(2𝑥 2 ) 3𝑥 3 3 = ∫ cos(2𝑥 2 ) ⅆ(2𝑥 2 ) = ∫ cos(2𝑥 2 ) ⅆ(2𝑥 2 ) = ∫ cos □ ⅆ□ 4𝑥 4𝑥 4 4

Pokoknya variabel 𝑥 harus hilang!!!

Hore!!!!! Variabel 𝑥 udah hilang!!!!

Hore!!!!!! Sudah sama!!!!

Kalau hilang berarti integral substitusi. Kalau enggak hilang berarti integral parsial.

Halaman 226



Contoh Soal 1: Hasil dari ∫(𝑥 − 3)(𝑥 2 − 6𝑥 + 1)−3 ⅆ𝑥 = …. 1

a. − 8 (𝑥 2 − 6𝑥 + 1)−4 + 𝐶 1

b. − 4 (𝑥 2 − 6𝑥 + 1)−4 + 𝐶 c.

1 2

− (𝑥 2 − 6𝑥 + 1)−4 + 𝐶 1

d. − 4 (𝑥 2 − 6𝑥 + 1)−2 + 𝐶 1

e. − 2 (𝑥 2 − 6𝑥 + 1)−2 + 𝐶 Pembahasan: Perhatikan soal, −3

∫(𝑥 − 3)(𝒙𝟐 − 𝟔𝒙 + 𝟏)

ⅆ𝒙

belum sama Mari kita coba cek, apakah integral tersebut bisa diselesaikan menggunakan teknik integral substitusi ataukah teknik integral parsial. Ganti operator integral

−3

∫(𝑥 − 3)(𝒙𝟐 − 𝟔𝒙 + 𝟏)

𝟐 −3 ⅆ(𝒙

ⅆ𝒙 ⇒ ∫(𝑥 − 3)(𝒙𝟐 − 𝟔𝒙 + 𝟏)

− 𝟔𝒙 + 𝟏) (𝟐𝒙 − 𝟔)

turunannya

Periksa hasilnya, apakah masih menyisakan variabel 𝒙?

Periksa, apakah hasil

Ternyata hasil dari

(𝑥−3) (2𝑥−6)

(𝑥−3)

tidak menyisakan variabel 𝑥?

=

1

, dan kita sudah tidak menemukan variabel 𝑥 yang tersisa. (2𝑥−6) 2 Maka, penyelesaian integral tersebut adalah menggunakan teknik integral substitusi. Langkah penyelesaian selengkapnya adalah sebagai berikut: 1

ⅆ(𝑥 2 − 6𝑥 + 1) (2𝑥 − 6) 2

1 1 (Ingat ∫ □𝑛 ⅆ𝑥 = ∫ □𝑛 ⅆ𝑥) 2 2 𝟏 1 = ∫(𝑥 2 − 6𝑥 + 1)−3 ⅆ(𝑥 2 − 6𝑥 + 1) (Ingat ∫ □𝑛 ⅆ𝑥 = □𝑛+1 + 𝐶) 𝟐 𝑛+1 1 𝟏 (𝒙𝟐 − 𝟔𝒙 + 𝟏)(−𝟑)+𝟏 + 𝐶 = ∙ 2 ((−𝟑) + 𝟏) 1 1 (𝑥 2 − 6𝑥 + 1)−2 + 𝐶 = ∙ 2 (−2) 1 = − (𝑥 2 − 6𝑥 + 1)−2 + 𝐶 4

∫(𝑥 − 3)(𝑥 2 − 6𝑥 + 1)−3 ⅆ𝑥 = ∫(𝑥 − 3)(𝑥 2 − 6𝑥 + 1)−3



Halaman 227

Contoh Soal 2: Hasil dari ∫ 6𝑥√3𝑥 2 + 5 ⅆ𝑥 = …. a.

2 (6𝑥 2 3

+ 5)√6𝑥2 + 5 + 𝐶

b.

2 (3𝑥 2 3

+ 5)√3𝑥2 + 5 + 𝐶

c.

2 (𝑥 2 3

+ 5)√𝑥2 + 5 + 𝐶

d.

3 (𝑥 2 2

+ 5)√𝑥2 + 5 + 𝐶

e.

3 (3𝑥 2 2

+ 5)√3𝑥2 + 5 + 𝐶

Pembahasan: Langkah penyelesaian selengkapnya adalah sebagai berikut: ∫ 6𝑥√3𝑥 2 + 5 ⅆ𝑥 = Tanda akar diubah menjadi bentuk pangkat dulu!OK! 1

(Ingat ∫ √□ ⅆ𝑥 = ∫ □2 ⅆ𝑥) 1

= ∫ 6𝑥(3𝑥 2 + 5)2 ⅆ𝑥 (Samakan dulu operator integralnya ) 1

= ∫ 6𝑥(3𝑥 2 + 5)2 1

ⅆ(3𝑥 2 + 5) 6𝑥

= ∫(3𝑥 2 + 5)2 ⅆ(3𝑥 2 + 5) (Ingat ∫ □𝑛 ⅆ𝑥 = 𝟏

=

𝟏 +𝟏

(𝟑𝒙𝟐 + 𝟓)𝟐

𝟏 (𝟐 + 𝟏) 3 1 = 3 (3𝑥 2 + 5)2 + 𝐶

1 □𝑛+1 + 𝐶) 𝑛+1

+𝐶

2

3 2 = (3𝑥 2 + 5)2 + 𝐶 3 1 2 1+ = (3𝑥 2 + 5) 2 + 𝐶 (Ingat sifat pangkat 𝑎𝑚+𝑛 = 𝑎𝑚 ∙ 𝑎𝑛 ) 3 1 2 = (3𝑥 2 + 5)(3𝑥 2 + 5)2 + 𝐶 3 2 = (3𝑥 2 + 5)√3𝑥 2 + 5 + 𝐶 3

Halaman 228



Contoh Soal 3: Hasil dari 3 ∫ ⅆ𝑥 = …. 2𝑥 − 5 Pembahasan: Langkah penyelesaian selengkapnya adalah sebagai berikut: ∫

3 1 ⅆ𝑥 = 3 ∫ ⅆ𝑥 = 3 ∫(2𝑥 − 5)−1 ⅆ𝑥 (Samakan dulu operator integralnya) 2𝑥 − 5 2𝑥 − 5 ⅆ(2𝑥 − 5) = 3 ∫(2𝑥 − 5)−1 2 3 = ∫(2𝑥 − 5)−1 ⅆ(2𝑥 − 5) (Buang semua konstanta keluar integral) 2 3 = ln|2𝑥 − 5| + 𝐶 2

Contoh Soal 4: Hasil dari 3𝑥 − 1 ∫ 2 ⅆ𝑥 = …. 𝑥 −𝑥 Pembahasan: Langkah penyelesaian selengkapnya adalah sebagai berikut: ∫

3𝑥 − 1 3𝑥 𝑓(𝑥) 𝐴 𝐶 ⅆ𝑥 = ∫ ⅆ𝑥 (Ingat = + ) 2 𝑥 −𝑥 𝑥(𝑥 − 1) 𝑔(𝑥)ℎ(𝑥) 𝑔(𝑥) ℎ(𝑥) 3𝑥 − 1 𝐴 𝐵 = + 𝑥(𝑥 − 1) 𝑥 (𝑥 − 1) 3𝑥 − 1 𝐴(𝑥 − 1) 𝐵𝑥 ⇒ = + 𝑥(𝑥 − 1) 𝑥(𝑥 − 1) 𝑥(𝑥 − 1) 3𝑥 − 1 𝐴(𝑥 − 1) + 𝐵𝑥 ⇔ = 𝐴+𝐵 =3 } 𝐴 = 1 dan 𝐵 = 2 𝑥(𝑥 − 1) 𝑥(𝑥 − 1) 𝐴=1 3𝑥 − 1 𝐴𝑥 − 𝐴 + 𝐵𝑥 ⇔ = 𝑥(𝑥 − 1) 𝑥(𝑥 − 1) (𝐴 3𝑥 − 1 + 𝐵)𝑥 − 𝐴 ⇔ = 𝑥(𝑥 − 1) 𝑥(𝑥 − 1) } ⇔ 3𝑥 − 1 = (𝐴 + 𝐵)𝑥 − 𝐴

3𝑥 − 1 𝐴 𝐵 ⅆ𝑥 = ∫ + ⅆ𝑥 (Ingat, dari perhitungan di atas ternyata 𝐴 = 1 dan 𝐵 = 2) 2 𝑥 −𝑥 𝑥 (𝑥 − 1) 3𝑥 − 1 1 2 ⇔∫ 2 ⅆ𝑥 = ∫ + ⅆ𝑥 𝑥 −𝑥 𝑥 (𝑥 − 1) 1 2 = ∫ ⅆ𝑥 + ∫ ⅆ𝑥 (𝑥 − 1) 𝑥 2 ⅆ(𝑥 − 1) = ln|𝑥| + ∫ +𝐶 (𝑥 − 1) 1 1 = ln|𝑥| + 2 ∫ ⅆ(𝑥 − 1) + 𝐶 (𝑥 − 1) = ln|𝑥| + 2 ln|𝑥 − 1| + 𝐶 ⇒∫



Halaman 229

Contoh Soal 5: Hasil dari ∫ sin(4𝑥 − 𝜋) ⅆ𝑥 = …. Pembahasan: Soal tersebut adalah soal dimana ada integral dari fungsi trigonometri yang sudutnya tidak sama dengan operator integralnya. Maksudnya? Perhatikan sudut fungsi sinus yaitu (4𝑥 − 𝜋). Padahal operator integralnya adalah ⅆ𝑥. Artinya fungsi sinus tersebut diintegralkan terhadap variabel 𝑥. Maka langkah penyelesaiannya adalah mensubstitusi operator integralnya agar sesuai dengan sudut fungsi trigonometrinya. Langkah penyelesaian selengkapnya adalah sebagai berikut: ∫ sin(4𝑥 − 𝜋) ⅆ𝑥 = (Samakan dulu operator integralnya ) ⅆ(4𝑥 − 𝜋) 4 Ternyata tidak ada variabel 𝑥 tersisa. Jadi benar bahwa kita memilih langkah integral substitusi bukan integral parsial. 1 = ∫ sin(4𝑥 − 𝜋) ⅆ(4𝑥 − 𝜋) (Ingat ∫ sin □ ⅆ□ = − cos □ + 𝐶) 4 1 = ∙ (− cos(4𝑥 − 𝜋)) + 𝐶 4 1 = − cos(4𝑥 − 𝜋) + 𝐶 4 = ∫ sin(4𝑥 − 𝜋)

Halaman 230



Contoh Soal 5: Hasil dari ∫ sin3 𝑥 cos 𝑥 ⅆ𝑥 = …. Pembahasan: Soal tersebut adalah soal dimana ada integral dari fungsi trigonometri beserta turunannya. Maksudnya? Masih ingat dengan 6 turunan fungsi trigonometri kan? 𝑓(𝑥) = sin 𝑥 → 𝑓 ′ (𝑥) = cos 𝑥 𝑓(𝑥) = cos 𝑥 → 𝑓 ′ (𝑥) = − sin 𝑥 𝑓(𝑥) = tan 𝑥 → 𝑓 ′ (𝑥) = sec 2 𝑥 𝑓(𝑥) = cot 𝑥 → 𝑓 ′ (𝑥) = − csc 2 𝑥 𝑓(𝑥) = sec 𝑥 → 𝑓 ′ (𝑥) = sec 𝑥 tan 𝑥 𝑓(𝑥) = csc 𝑥 → 𝑓 ′ (𝑥) = − csc 𝑥 cot 𝑥 Coba lihat dan amati 6 fungsi trigonometri dan turunannya di atas. Apabila ada integral yang memuat fungsi trigonometri pangkat 𝑛 dan memuat fungsi turunannya maka bisa dituliskan konsep integral substitusinya sebagai berikut: 1 ∫ sin𝑛 𝑥 (cos 𝑥) ⅆ𝑥 = sin𝑛+1 𝑥 + 𝐶 𝑛+1 1 ∫ cos𝑛 𝑥 (sin 𝑥) ⅆ𝑥 = − cos 𝑛+1 𝑥 + 𝐶 𝑛+1 1 ∫ tan𝑛 𝑥 (sec 2 𝑥) ⅆ𝑥 = tan𝑛+1 𝑥 + 𝐶 𝑛+1 1 ∫ cot 𝑛 𝑥 (csc 2 𝑥) ⅆ𝑥 = − cot 𝑛+1 𝑥 + 𝐶 𝑛+1 1 ∫ sec 𝑛 𝑥 (sec 𝑥 tan 𝑥) ⅆ𝑥 = sec 𝑛+1 𝑥 + 𝐶 𝑛+1 1 ∫ csc 𝑛 𝑥 (csc 𝑥 cot 𝑥) ⅆ𝑥 = − csc 𝑛+1 𝑥 + 𝐶 𝑛+1 Jadi ∫ sin3 𝑥 cos 𝑥 ⅆ𝑥 bisa diselesaikan menggunakan teknik integral substitusi. Dengan mengganti operator integral dari yang semula ⅆ𝑥 menjadi ⅆ(sin 𝑥). Langkah penyelesaian selengkapnya adalah sebagai berikut: ∫ sin3 𝑥 cos 𝑥 ⅆ𝑥 = (Samakan dulu operator integralnya ) = ∫ sin3 𝑥 cos 𝑥

ⅆ(sin 𝑥) cos 𝑥

= ∫ sin3 𝑥 ⅆ(sin 𝑥)

(Ingat ∫ sin𝑛 □ ⅆ(sin □) =

1 = sin4 𝑥 + 𝐶 4

1 sin𝑛+1 □ + 𝐶) 𝑛+1



Halaman 231

Contoh Soal 6: Hasil dari ∫ sin3 𝑥 ⅆ𝑥 = …. Pembahasan: Integral sin atau cos berpangkat ganjil arah penyelesaiannya selalu ke bentuk integral berikut: 1 ∫ sin𝑛 𝑥 (cos 𝑥) ⅆ𝑥 = sin𝑛+1 𝑥 + 𝐶 𝑛+1 1 ∫ cos𝑛 𝑥 (sin 𝑥) ⅆ𝑥 = − cos 𝑛+1 𝑥 + 𝐶 𝑛+1 Jadi, selalu disisakan satu fungsi sin atau cos berpangkat 1. Misalnya ∫ sin3 𝑥 ⅆ𝑥, maka harus diubah supaya ada suku fungsi integran yang menjadi ∫ cos 2 𝑥 sin 𝑥. Konsep identitas trigonometri yang selalu digunakan jika bertemu sin atau cos pangkat ganjil adalah: sin2 𝑥 + cos2 𝑥 = 1 Langkah penyelesaian selengkapnya adalah sebagai berikut: ∫ sin3 𝑥 ⅆ𝑥 = (Untuk soal integral sin atau cos pangkat ganjil selalu sisakan sin atau cos pangkat 1) Jadi ubah dulu sin𝑛 𝑥 = sin𝑛−1 𝑥 sin 𝑥 = ∫ sin2 𝑥 sin 𝑥 ⅆ𝑥 = ∫(1 − cos 2 𝑥) sin 𝑥 ⅆ𝑥

(Ingat sin2 𝑥 + cos2 𝑥 = 1 ⇒ sin2 𝑥 = 1 − cos 2 𝑥)

= ∫(sin 𝑥 − cos 2 𝑥 sin 𝑥) ⅆ𝑥

(Ingat ∫ 𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥) ⅆ𝑥 = ∫ 𝑓(𝑥) ⅆ𝑥 + ∫ 𝑔(𝑥) ⅆ𝑥)

= ∫ sin 𝑥 ⅆ𝑥 − ∫ cos2 𝑥 sin 𝑥 ⅆ𝑥 = − cos 𝑥 − ∫ cos2 𝑥 sin 𝑥

(Penyelesaian ∫ cos 2 𝑥 sin 𝑥 ⅆ𝑥 lihat Contoh Soal 4)

ⅆ(cos 𝑥) 1 (Ingat ∫ cos𝑛 □ ⅆ(cos □) = cos 𝑛+1 □ + 𝐶) − sin 𝑥 𝑛+1

= − cos 𝑥 + ∫ cos2 𝑥 ⅆ(cos 𝑥) 1 = − cos 𝑥 + cos3 𝑥 + 𝐶 3 Penyelesaian TRIK SUPERKILAT: Langkah penyelesaian TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTISnya bisa dilihat nanti pada Suplemen Modul SMART SOLUTION UN Matematika SMA 2013 pada SKL 5 tentang PENGAYAAN INTEGRAL TRIGONOMETRI pada laman web berikut: http://pak-anang.blogspot.com/2013/02/smart-solution-un-matematika-sma-2013_12.html !! Jadi selalu tunggu update terbarunya ya!!!

Halaman 232



LOGIKA PRAKTIS Teknik Integral Parsial. Ingat Lagi Ya!!!!!! Konsep Dasar Integral harus dalam bentuk pangkat

∫ □𝑛 ⅆ □ =

1

𝑛+1 □ +𝐶 𝑛+1

harus sama

Bentuk dan Tipe Soal Integral Menggunakan

Teknik Integral Parsial atau

Metode Tabulasi harus dalam bentuk pangkat

∫ □𝑛 ⅆ ∆ belum sama

Gantilah operator integral dengan fungsi yang disubstitusi.

Tentukan turunan operator integral tersebut dan letakkan menjadi penyebut.

Periksa! Apakah hasil bagi fungsi yang lain dengan turunan operator integral masih memuat variabel 𝑥?

Tidak! Nggak ada variabel 𝑥 lagi!

Ya! Masih menyisakan variabel 𝑥!

Integral Substitusi

Integral Parsial

Teknik Tabulasi Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)


Halaman 233

Contoh Soal 1: Hasil dari ∫ 𝑥√𝑥 + 1 ⅆ𝑥 = …. a.

2 (𝑥 5

2 3

b.

2 (3𝑥 2 15

+ 𝑥 − 2)√𝑥 + 1 + 𝐶

c.

2 (3𝑥 2 15

+ 𝑥 + 4)√𝑥 + 1 + 𝐶

d.

2 (3𝑥 2 15

− 𝑥 − 2)√𝑥 + 1 + 𝐶

e.

2 (𝑥 2 5

+ 1)√𝑥 + 1 − (𝑥 + 1)2 √𝑥 + 1 + 𝐶

+ 𝑥 − 2)√𝑥 + 1 + 𝐶

Pembahasan: Perhatikan soal, ubah dulu tanda akar menjadi bentuk pangkat, 1

∫ 𝑥√𝑥 + 1 ⅆ𝑥 = ∫ 𝑥(𝒙 + 𝟏)2 ⅆ𝒙 belum sama Mari kita coba cek, apakah integral tersebut bisa diselesaikan menggunakan teknik integral substitusi ataukah teknik integral parsial. Ganti operator integral 1

1

∫ 𝑥(𝒙 + 𝟏)2 ⅆ𝒙 ⇒ ∫ 𝑥 (𝒙 + 𝟏)2

ⅆ(𝒙 + 𝟏) turunannya 𝟏

Periksa hasilnya, apakah masih menyisakan variabel 𝒙?

Periksa, apakah hasil Ternyata hasil dari

𝑥 1

tidak menyisakan variabel 𝑥?

𝑥

= 𝑥 , dan kita masih menemukan variabel 𝑥 yang tersisa. 1 Maka, penyelesaian integral tersebut adalah menggunakan teknik integral parsial. 1

∫ 𝑥(𝑥 + 1)2 ⅆ𝑥 = (Ingat integral parsial ∫ 𝒖 ⅆ𝒗 = 𝒖𝒗 − ∫ 𝒗 ⅆ𝒖) ⅆ𝑢 =1 ⅆ𝑥 ⇔ ⅆ𝒖 = ⅆ𝑥

Misal 𝒖 = 𝑥 ⇒

1

1

1

Maka ⅆ𝒗 = (𝑥 + 1)2 ⅆ𝑥 ⇒ ∫ ⅆ𝑣 = ∫ (𝑥 + 1)2 ⅆ𝑥 3 2 ⇔ 𝒗 = (𝑥 + 1)2 3

⇒ ∫ 𝑥(𝑥 + 1)2 ⅆ𝑥 = 𝒖𝒗 − ∫ 𝒗 ⅆ𝒖 𝟑 𝟑 𝟐 𝟐 = 𝒙 ∙ (𝒙 + 𝟏)𝟐 − ∫ (𝒙 + 𝟏)𝟐 ⅆ𝒙 𝟑 𝟑 3 3 2 2 ⅆ (𝑥 + 1) 2 = 𝑥(𝑥 + 1) − ∫(𝑥 + 1)2 3 3 1 3 5 2 2 2 2 2 = 𝑥(𝑥 + 1) − ∙ (𝑥 + 1) + 𝐶 3 3 5 3 5 1 2 4 2 = 𝑥(𝑥 + 1) − (𝑥 + 1)2 + 𝐶 (keluarkan FPB-nya (𝑥 + 1)2 ) 3 15 3 2 4 2 (𝑥 + 1)] + 𝐶 = (𝑥 + 1) [ 𝑥 − 3 15 1 6 4 = (𝑥 + 1)2 (𝑥 + 1) ( 𝑥 − ) + 𝐶 15 15 1 2 = (𝑥 + 1)2 (𝑥 + 1) (3𝑥 − 2) + 𝐶 15 1 2 (3𝑥 = − 2)(𝑥 + 1)(𝑥 + 1)2 + 𝐶 15 1 2 (3𝑥 2 + 𝑥 − 2)(𝑥 + 1)2 + 𝐶 = 15 2 (3𝑥 2 + 𝑥 − 2)√𝑥 + 1 + 𝐶 = 15

Halaman 234



Contoh Soal 2a: Hasil dari ∫(𝑥 2 + 1) cos 𝑥 ⅆ𝑥 = …. a. 𝑥 2 sin 𝑥 + 2𝑥 cos 𝑥 + 𝐶 b. (𝑥 2 − 1) sin 𝑥 + 2𝑥 cos 𝑥 + 𝐶 c.

(𝑥 2 + 3) sin 𝑥 − 2𝑥 cos 𝑥 + 𝐶

d. 2𝑥 2 cos 𝑥 + 2𝑥 2 sin 𝑥 + 𝐶 e. 2𝑥 sin 𝑥 − (𝑥 2 − 1) cos 𝑥 + 𝐶 Pembahasan: Langkah penyelesaian selengkapnya adalah sebagai berikut: (𝑥 2 + 1) ⏟ ∫⏟ cos 𝑥 ⅆ𝑥 = (Ingat integral parsial ∫ 𝒖 ⅆ𝒗 = 𝒖𝒗 − ∫ 𝒗 ⅆ𝒖) 𝒖 ⅆ𝒗 ⅆ𝑢 Misal 𝒖 = 2𝑥 ⇒ =2 ⅆ𝑥 ⇔ ⅆ𝒖 = 2 ⅆ𝑥 Maka ⅆ𝒗 = cos 𝑥 ⅆ𝑥 ⇒ ∫ ⅆ𝑣 = ∫ cos 𝑥 ⅆ𝑥 ⇔ 𝒗 = sin 𝑥 ⇒ ∫(𝑥 2 + 1) cos 𝑥 ⅆ𝑥 = 𝒖𝒗 − ∫ 𝒗 ⅆ𝒖 = (𝒙𝟐 + 𝟏) ∙ 𝐬𝐢𝐧 𝒙 − ∫ 𝐬𝐢𝐧 𝒙 ∙ 𝟐𝒙 ⅆ𝒙 = (𝑥 2 + 1) sin 𝑥 − ∫ 2𝑥 sin 𝑥 ⅆ𝑥 (Bentuk ∫ 2𝑥 sin 𝑥 ⅆ𝑥 diselesaikan menggunakan teknik integral parsial) ⇒ ∫(𝑥 2 + 1) cos 𝑥 ⅆ𝑥 = (𝑥 2 + 1) sin 𝑥 − ∫ 2𝑥 ⏟⏟ sin 𝑥 ⅆ𝑥 𝒖 ⅆ𝒗 ⅆ𝑢 Misal 𝒖 = 2𝑥 ⇒ =2 ⅆ𝑥 ⇔ ⅆ𝒖 = 2 ⅆ𝑥 Maka ⅆ𝒗 = sin 𝑥 ⅆ𝑥 ⇒ ∫ ⅆ𝑣 = ∫ sin 𝑥 ⅆ𝑥 ⇔ 𝒗 = − cos 𝑥 ⇒ ∫(𝑥 2 + 1) cos 𝑥 ⅆ𝑥 = (𝑥 2 + 1) sin 𝑥 − [𝒖𝒗 − ∫ 𝒗 ⅆ𝒖] + 𝐶1 = (𝑥 2 + 1) sin 𝑥 − [2𝑥 ∙ (− cos 𝑥) − ∫ (−cos 𝑥) ∙ 2 ⅆ𝑥 + 𝐶2 ] + 𝐶1 = (𝑥 2 + 1) sin 𝑥 − [(−2𝑥 cos 𝑥) + ∫ 2 cos 𝑥 ⅆ𝑥 + 𝐶2 ] + 𝐶1 = (𝑥 2 + 1) sin 𝑥 − [(−2𝑥 cos 𝑥) + 2 sin 𝑥 + 𝐶2 ] + 𝐶1 = (𝑥 2 + 1) sin 𝑥 + 2𝑥 cos 𝑥 − 2 sin 𝑥 + ⏟ 𝐶2 + 𝐶1 (𝑥 2

𝑪𝟏 +𝑪𝟐 =𝑪

= + 1) sin 𝑥 − 2 sin 𝑥 + 2𝑥 cos 𝑥 + 𝐶 = (𝑥 2 + 1 − 2) sin 𝑥 + 2𝑥 cos 𝑥 + 𝐶 = (𝑥 2 − 1) sin 𝑥 + 2𝑥 cos 𝑥 + 𝐶 Menyelesaikan integral dengan teknik integral parsial bisa juga dilakukan menggunakan metode tabulasi. Langkah penyelesaian integral parsial dengan metode tabulasi adalah memisah bagian yang mudah diturunkan hingga nol, dan bagian yang rumit. Penyelesaian metode tabulasi untuk soal ini ada di halaman berikutnya!



Halaman 235

TRIK SUPERKILAT Teknik Integral Parsial Menggunakan Metode Tabulasi. Contoh Soal 2b: Hasil dari ∫(𝑥 2 + 1) cos 𝑥 d𝑥 = …. a. 𝑥 2 sin 𝑥 + 2𝑥 cos 𝑥 + 𝐶 b. (𝑥 2 − 1) sin 𝑥 + 2𝑥 cos 𝑥 + 𝐶 c.

(𝑥 2 + 3) sin 𝑥 − 2𝑥 cos 𝑥 + 𝐶

d. 2𝑥 2 cos 𝑥 + 2𝑥 2 sin 𝑥 + 𝐶 e. 2𝑥 sin 𝑥 − (𝑥 2 − 1) cos 𝑥 + 𝐶 Pembahasan TRIK SUPERKILAT Integral Parsial menggunakan Metode Tabulasi: Langkah penyelesaian integral parsial dengan menggunakan metode tabulasi : Buat tabel dengan dua kolom. Isi kolom kiri dengan turunan bagian yang mudah secara terus-menerus hingga turunannya sama dengan nol. Isi kolom kanan dengan integral bagian yang rumit secara terus-menerus sebanyak baris kolom kiri. Kalikan kolom kiri dan kanan dengan arah menyerong serta kalikan juga dengan tanda plus minus bergantian. Ingat! Selalu diawali oleh tanda plus!! Selesai!

∫ (𝑥 ⏟𝑥 ⅆ𝑥 = (Pisahkan bagian yang mudah diturunkan hingga nol dengan bagian yang rumit) ⏟ 2 + 1) cos mudah rumit Kolom Kiri (Turunkan)

Kolom Kanan (Integralkan)

(𝑥 2 + 1)

cos 𝑥

2𝑥

sin 𝑥

2

− cos 𝑥

0

− sin 𝑥

⊕ ⊖

(𝑥 2 + 1) sin 𝑥

⊕

−2 sin 𝑥

2𝑥 cos 𝑥

∫(𝑥 2 + 1) cos 𝑥 d𝑥 = (𝑥 2 + 1) sin 𝑥 + 2𝑥 cos 𝑥 − 2 sin 𝑥 + 𝐶 = (𝑥 2 + 1) sin 𝑥 − 2 sin 𝑥 + 2𝑥 cos 𝑥 + 𝐶 = (𝑥 2 + 1 − 2) sin 𝑥 + 2𝑥 cos 𝑥 + 𝐶 = (𝑥 2 − 1) sin 𝑥 + 2𝑥 cos 𝑥 + 𝐶 Penyelesaian menggunakan teknik integral parsial ada di halaman sebelumnya. Coba bandingkan hasilnya! Halaman 236



TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS Teknik Integral Trigonometri. TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS Teknik Integral Trigonometri yaitu tentang:  

bagaimana cara praktis menguasai konsep integral fungsi trigonometri; ciri-ciri soal integral fungsi trigonometri yang bisa diselesaikan dengan integral langsung atau hanya bisa diselesaikan menggunakan teknik integral substitusi maupun teknik integral parsial.

Semuanya bisa dilihat nanti pada Suplemen Modul SMART SOLUTION UN Matematika SMA 2013 pada SKL 5 tentang PENGAYAAN INTEGRAL TRIGONOMETRI pada laman web berikut http://pak-anang.blogspot.com/2013/02/smart-solution-un-matematika-sma-2013_12.html !! Jadi selalu tunggu update terbarunya ya!!! TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS Teknik Integral Substitusi Trigonometri. Sepertinya untuk soal integral UN Matematika SMA 2013 nanti tidak akan muncul soal yang harus dikerjakan dengan teknik integral substitusi trigonometri, yaitu fungsi-fungsi yang memuat bentuk √𝑎 − 𝑢2 , √𝑎 + 𝑢2 , dan √𝑢2 − 𝑎. Namun untuk TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS Teknik Integral Substitusi Trigonometri juga bisa dilihat nanti pada Suplemen Modul SMART SOLUTION UN Matematika SMA 2013 pada SKL 5 tentang PENGAYAAN INTEGRAL TRIGONOMETRI pada laman web berikut http://pak-anang.blogspot.com/2013/02/smart-solution-un-matematika-sma-2013_12.html !! Jadi selalu tunggu update terbarunya ya!!!



Halaman 237

TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS Cara Cepat Menyelesaikan Integral Tertentu. Perhatikan konsep dasar dari Integral Tertentu 𝑏 𝑏 ∫ 𝑓(𝑥) ⅆ𝑥 = 𝐹(𝑥) | = 𝐹(𝑏) − 𝐹(𝑎) 𝑎 𝑎 Contoh Soal 1: Hasil dari 4

∫ (6𝑥 2 − 8𝑥 + 3) ⅆ𝑥 = …. 2

a. 96 b. 108 c.

112

d. 116 e. 128 Pembahasan: Langkah penyelesaian selengkapnya adalah sebagai berikut: 4

∫

(6𝑥 2

2

4 1 2 − 𝑥 + 3) ⅆ𝑥 = [2𝑥 − 𝑥 + 3𝑥] 2 2 1 1 = (2(4)3 − (4)2 + 3(4)) − (2(2)3 − (2)2 + 3(2)) 2 2 1 1 = (2 ∙ 64 − ∙ 16 + 12) − (2 ∙ 8 − ∙ 4 + 6) 2 2 = (128 − 8 + 12) − (16 − 2 + 6) = (132) − (20) = 112 3

Penyelesaian TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS: Langkah penyelesaian TRIK SUPERKILAT hanya mengubah cara perhitungan supaya menjadi lebih sederhana menggunakan kebalikan dari sifat distributif, yakni mengumpulkan faktor yang sama dalam perhitungan. 1 2

Misal 𝐹(𝑥) = 2𝑥 3 − 𝑥 2 + 3𝑥 1 2

1 2

Maka, 𝐹(𝑏) − 𝐹(𝑎) = (2(4)3 − (4)2 + 3(4)) − (2(2)3 − (2)2 + 3(2)) 1

1

= 2(4)3 − 2 (4)2 + 3(4) − 2(2)3 + 2 (2)2 − 3(2) 1 2

1 2

= 2(4)3 − 2(2)3 − (4)2 + (2)2 + 3(4) − 3(2) 1

(43 − 23 ) − ⏟ (42 − 22 ) + 3 ⏟ (4 − 2) = 2⏟ 2 selisihnya 𝑥 3

4

∫ 2

(6𝑥 2

selisihnya 𝑥 2

selisihnya 𝑥

4 1 2 − 𝑥 + 3) ⅆ𝑥 = [2𝑥 − 𝑥 + 3𝑥] 2 2 1 = 2(43 − 23 ) − (42 − 22 ) + 3(4 − 2) 2 1 = 2(64 − 8) − (16 − 4) + 3(2) 2 1 = 2(56) − (12) + 3(2) 2 = 112 − 6 + 6 = 112 3

Catatan: TRIK SUPERKILAT Integral tertentu ini hanya berlaku apabila fungsi integrannya adalah fungsi aljabar. Halaman 238



Penjelasan detailnya langkah-langkah TRIK SUPERKILAT beserta contoh-contoh soal akan segera dilanjutkan di http://pak-anang.blogspot.com. :) Jadi pastikan untuk selalu mengunjungi laman web berikut: http://pak-anang.blogspot.com/2013/02/smart-solution-un-matematika-sma-2013.html untuk mengecek dan mengunduh update versi terbaru terbaru TRIK SUPERKILAT UN Matematika SMA 2013 pada bab Integral ini….



Halaman 239


1.

Hasil dari A. B. C. D. E.

2.

B. C. D. E.


4.

3x  1

2

 2x  7 1

dx  ....



7



C





C





C



3 3x 2  2 x  7 1

4 3x 2  2 x  7 1 6 3x 2  2 x  7 1

6

6

6





C





C

12 3x 2  2 x  7 1 12 3x 2  2 x  7

6

7

∫

3𝑥 − 1 ⅆ(3𝑥 2 − 2𝑥 + 7) 2 −7 ⅆ𝑥 = ∫(3𝑥 − 1)(3𝑥 − 2𝑥 + 7) (3𝑥 2 − 2𝑥 + 7)7 (6𝑥 − 2) 1 2 −7 2 = ∫(3𝑥 − 2𝑥 + 7) ⅆ(3𝑥 − 2𝑥 + 7) 2 1 1 = ∙ (− ) (3𝑥 2 − 2𝑥 + 7)−6 + C 2 6 −1 = +C 2 12(3𝑥 − 2𝑥 + 7)6

Hasil dari  3x 3x 2  1 dx  .... A.

3.

 3x


Halaman 240

2 1 ⅆ(3𝑥 2 + 1)  (3x 2  1) 3x 2  1  C ∫ 3𝑥 √3𝑥 2 + 1 ⅆ𝑥 = ∫ 3𝑥(3𝑥 2 + 1)2 3 6𝑥 1 1 1 2 2 = ∫(3𝑥 2 + 1)2 ⅆ(3𝑥 2 + 1)  (3x  1) 3x  1  C 2 2 3 1 2 1 = ∙ ∙ (3𝑥 2 + 1)2 + C 2 2 2 3 (3x  1) 3x  1  C 1 3 = (3𝑥 2 + 1)√3𝑥 2 + 1 + C 3 1 (3x 2  1) 3x 2  1  C 2 2 (3x 2  1) 3x 2  1  C 3

 4 x  34 x

2





9

 6 x  9 dx  ....



10 1 4x 2  6x  9  C 10 1 2 x  320  C 15 1 2 x  320  C 20 10 1 4x 2  6x  9  C 20 10 1 4x 2  6x  9  C 30











2x 2 7

37 7 66 3 67 7 77 6 72 6

2 x 2 x

 5

3

5 C



2 x

3

5

2 x

3

2 x 2 x

3



C

5



C

3

5



C

3

5



C

7

6

2

7

ⅆ(4𝑥 2 + 6𝑥 − 9) 8𝑥 + 6

1 9 = ∫(4𝑥2 + 6𝑥 − 9) ⅆ(4𝑥2 + 6𝑥 − 9) 2 1 1 10 = ∙ ∙ (4𝑥2 + 6𝑥 − 9) + C 2 10 1 10 = (4𝑥2 + 6𝑥 − 9) + C 20

dx  ....

3

5

∫(4𝑥 + 3)(4𝑥 2 + 6𝑥 − 9)9 ⅆ𝑥 = ∫(4𝑥 + 3)(4𝑥 2 + 6𝑥 − 9)9

2𝑥 2 2𝑥 2 ⅆ(2𝑥 3 − 5) ∫7 ⅆ𝑥 = ∫ 7 2 √(2𝑥 3 − 5)5 √(2𝑥 3 − 5)5 (6𝑥 ) 5 1 = ∫(2𝑥 3 − 5)−7 ⅆ(2𝑥 3 − 5) 3 2 1 7 = ∙ (2𝑥 3 − 5)7 + C 3 2 77 = √(2𝑥 3 − 5)2 + C 6



 4 x 2

5.

Nilai dari

2

1

A. B. C. D. E.

2 2 4 1 ∫ (4𝑥 2 − 𝑥 + 5) ⅆ𝑥 = [ 𝑥 3 − 𝑥 2 + 5𝑥] 3 2 1 1 4 1 4 1 = ( (2)3 − (2)2 + 5(2)) − ( (1)3 − (1)2 + 5(1)) 3 2 3 2 32 4 1 = ( − 2 + 10) − ( − + 5) 3 3 2 56 35 = − 3 6 112 − 35 = 6 77 = 6

33 6 44 6 55 6 65 6 77 6

 x



4

6.

Nilai dari

 2 x  2 dx  ....

2

4

1

A. B. C. D. E. Nilai dari

 3x 6 10 13 16 22

2

Nilai dari

0

 2 x

B. C. D. E.

1 3 1 27 2 1 37 3 1 37 2 1 51 2 27



3

2

2

0

3

3

∫ (3𝑥2 − 3𝑥 + 7) ⅆ𝑥 = [𝑥3 − 𝑥2 + 7𝑥] = ((2)3 − (2)2 + 7(2)) − ((0)3 − (0)2 + 7(0))

1

A.

1

 3x  7 dx  ....

2

2 = (8 − 6 + 14) − (0)

2

= 16

3

8.

1

= 12

0

A. B. C. D. E.

4

1

2 3 2 3 2 3 2 12 ∫ (𝑥 − 2𝑥 + 2) ⅆ𝑥 = [3 𝑥 − 𝑥 + 2𝑥]1 = (3 (4) − (4) + 2(4)) − (3 (1) − (1) + 2(1)) 1 14 64 1 = ( − 16 + 8) − ( − 1 + 2) 16 3 3 64 1 18 = −8− −1 3 3 20

2

7.



 x  5 dx  ....

2



 4 x  3 dx  ....

2 3 2 ∫ (2𝑥2 + 4𝑥 − 3) ⅆ𝑥 = [ 𝑥3 + 2𝑥2 + 3𝑥] 3 0 1 2 3 2 = ( (3) + 2(3)2 + 3(3)) − ( (1)3 + 2(1)2 + 3(1)) 3 3

18 2 = ( + 18 + 9) − ( + 2 + 3) 3 3

18 2 = ( + 27) − ( + 5) 3 3 18 2 = 27 − 5 + − 3 3 16 = 22 + 3 1 = 22 + 5 3 1 = 27 3



Halaman 241

1 π 2

9.

Nilai dari

 2 sin 2 x  3 cos x  dx  .... 0

A. B. C. D. E.

−5 −1 0 1 2

𝜋 2

1

∫ (2 sin 2𝑥 − 3 cos 𝑥) ⅆ𝑥 = [− cos 2𝑥 − 3 sin 𝑥]20 0

𝜋

1 = (− cos 𝜋 − 3 sin 𝜋) − (− cos 0 − 3 sin 0) 2 = (1 − 3) − (−1 − 0) = −2 + 1 = −1

1 π 2

10. Nilai dari

 3 sin 2 x  cos x  dx  .... 0

A. B. C. D. E.

−2 −1 0 1 2

1

1 𝜋 2

𝜋 2 3 ∫ (3 sin 2𝑥 − cos 𝑥) ⅆ𝑥 = [− cos 2𝑥 − sin 𝑥] 2 0 0 3 1 3 = (− cos 𝜋 − sin 𝜋) − (− cos 0 − sin 0) 2 2 2 3 3 = (− − 1) − (− − 0) 2 2 =2

π 2

11. Nilai dari  sin(2 x   ) dx  .... 0

A. B. C. D. E.

−2 −1 0 2 4

𝜋 2

𝜋

TRIK SUPERKILAT:

2 1 ∫ sin(2𝑥 − 𝜋) ⅆ𝑥 = [− cos(2𝑥 − 𝜋)] 2 0 0 1 1 = (− cos 0) − (− cos(−𝜋)) 2 2 1 1 = (− ) − ( ) 2 2 =1

𝜋 2

𝜋 2

∫ sin(2𝑥 − 𝜋) ⅆ𝑥 = ∫ − sin(2𝑥) ⅆ𝑥 0

0

𝜋

2 1 = [ cos(2𝑥)] 2 0 =1

1 π 3

12. Nilai dari

 (sin 2 x  3 cos x) dx  .... 0

A. B. C. D. E.

3 4 3 4 1 4 2 4 3 4

1 𝜋 3

1

𝜋 3 1 ∫ (sin 2𝑥 + 3 cos 𝑥) ⅆ𝑥 = [− cos 2𝑥 + 3 sin 𝑥] 2 2 3 0 0 1 1 = (− cos 240° + 3 sin 60°) − (− cos 0° + 3 sin 0°) 2 2 3 3 1 1 3 1 = (− (− ) + √3) − (− + 0) 2 2 2 2 1 3 1 1 2 3 = + √3 + 4 2 2 3 3 1 2 3 = + √3 4 2 3 = (1 + 2√2) 1 2 3 4

  

  


Halaman 242



Smart Solution



Disusun oleh :

Pak Anang


5. 4.

Menghitung luas daerah dan volume benda putar dengan menggunakan integral.

Aplikasi Integral Luas Daerah

Volume Benda Putar

Luas Daerah Dibatasi Kurva

Diputar Mengelilingi Sumbu X 𝑦

𝑦

𝑦 𝑦 = 𝑓(𝑥)

𝑥=𝑎

𝑦 = 𝑓(𝑥) 𝑏

𝑥=𝑏

𝑥

2

𝑉 = 𝜋 ∫(𝑓(𝑥)) 𝑑𝑥

𝑥

𝑎

𝑥 𝑥=𝑎

𝑥=𝑏

𝑦 = 𝑓(𝑥)

𝑥=𝑎

𝑥=𝑏

𝑏

𝑏

𝐿 = − ∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥

𝐿 = ∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥

𝑎

𝑎

Diputar Mengelilingi Sumbu Y 𝑦

𝑦

𝑥 = 𝑓(𝑦) 𝑦

𝑥 = 𝑓(𝑦)

𝑥 = 𝑓(𝑦)

𝑦=𝑐

𝑦=𝑐

𝑥

𝑑

𝑦=𝑑

𝑦=𝑑

𝑦=𝑑

2

𝑉 = 𝜋 ∫(𝑓(𝑦)) 𝑑𝑦 𝑦=𝑐

𝑥

𝑐

𝑥

𝑑

𝑑

𝐿 = − ∫ 𝑓(𝑦) 𝑑𝑦

𝐿 = ∫ 𝑓(𝑦) 𝑑𝑦

𝑐

𝑐

Volume Benda Antara Dua Kurva 𝑦 𝑦1 = 𝑓(𝑥)

𝑦

𝑦2 = 𝑔(𝑥)

𝑦 = 𝑓(𝑥) 𝑥

𝑥

𝑥=𝑐 𝑥=𝑏 𝑥=𝑎

𝑏

𝑥=𝑎

𝑐

𝐿 = − ∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 + ∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 𝑎

𝑥=𝑏

𝑏 2

𝑏

2

𝑉 = 𝜋 ∫ [(𝑓(𝑥)) − (𝑔(𝑥)) ] 𝑑𝑥 𝑎

𝑦

Luas Daerah Dibatasi Dua Kurva 𝑦

𝑦

𝑦1 = 𝑓(𝑥)

𝑥2 = 𝑔(𝑦)

𝑥2 = 𝑔(𝑦)

𝑥1 = 𝑓(𝑦) 𝑦=𝑑

𝑥1 = 𝑓(𝑦) 𝑦=𝑑

𝑦2 = 𝑔(𝑥) 𝑦=𝑐

𝑦=𝑐

𝑥

𝑥 𝑥=𝑎

𝑏

𝑑

𝐿 = ∫[𝑓(𝑥) − 𝑔(𝑥)] 𝑑𝑥 𝑎

Halaman 270

𝑥

𝑥=𝑏

𝐿 = ∫[𝑓(𝑦) − 𝑔(𝑦)] 𝑑𝑦 𝑐

𝑑 2

2

𝑉 = 𝜋 ∫ [(𝑓(𝑥)) − (𝑔(𝑥)) ] 𝑑𝑥 𝑐



TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS Aplikasi Integral (Luas Daerah)

Luas Daerah

Dibatasi Dua Kurva

Diketahui Lebar dan Tinggi Y

Garis Memotong Kurva di Titik Puncak Y

Tinggi

Tinggi

X

X

Lebar

𝐿=

Lebar

2 × Lebar × Tinggi 3

𝐿=

1 × Lebar × Tinggi 6

1 𝐿𝑘𝑒𝑐𝑖𝑙 = 𝑎𝑏 3 Y 𝑏

𝐿=

𝐷√𝐷 6𝑎2

𝐷 = 𝑏 2 − 4𝑎𝑐 adalah nilai diskriminan persamaan kuadrat: 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0. Persamaan kuadrat tersebut diperoleh dari persekutuan kedua kurva.

1 𝐿𝑘𝑒𝑐𝑖𝑙 = 𝑎𝑏 6 Y

(𝑎 , 𝑏)

𝑎

𝑏

X

2 𝐿𝑏𝑒𝑠𝑎𝑟 = 𝑎𝑏 3



(𝑎 , 𝑏)

𝑎

X

1 𝐿𝑏𝑒𝑠𝑎𝑟 = 𝑎𝑏 2

Halaman 271

Contoh Soal 1a: Luas daerah yang dibatasi parabola 𝑦 = 8 − 𝑥 2 dan garis 𝑦 = 2𝑥 adalah .... a. 36 satuan luas 1 3

b. 41 satuan luas c.

2 3

41 satuan luas

d. 46 satuan luas 2

e. 46 3 satuan luas Pembahasan: Sketsa grafik dari soal adalah sebagai berikut: Y 𝑦1 = 2𝑥

X 𝑦2 = 8 − 𝑥 2

Titik potong parabola dengan garis adalah: 𝑦1 = 𝑦2 ⇒ 2𝑥 = 8 − 𝑥 2 ⇔ 2𝑥 − (8 − 𝑥 2 ) = 0 ⇔ 2𝑥 − 8 + 𝑥 2 = 0 ⇔ 𝑥 2 + 2𝑥 − 8 = 0 (𝑥 + 4)(𝑥 − 2) = 0 ⇔ ⇔ 𝑥 + 4 = 0 atau 𝑥 − 2 = 0 ⇔ 𝑥 = −4 atau 𝑥 = 2

Jadi titik potong parabola dengan garis adalah di titik 𝑥 = −4 dan 𝑥 = 2. Titik potong tersebut merupakan batas integrasi untuk mencari luas daerah. Jadi rumus integral untuk mencari luas daerah adalah sebagai berikut: 2

𝐿 = ∫ [𝑓(𝑥) − 𝑔(𝑥)] 𝑑𝑥 −4

Nah, sekarang kita menentukan 𝑓(𝑥) dan 𝑔(𝑥). Pada interval batas integrasi −4 ≤ 𝑥 ≤ 2, berlaku 𝑓(𝑥) ≥ 𝑔(𝑥). Maka dengan melihat sketsa grafik, jelas terlihat bahwa: 𝑓(𝑥) = 8 − 𝑥 2 dan 𝑔(𝑥) = 2𝑥 Sehingga rumus integral untuk mencari luas daerah adalah sebagai berikut: 2

𝐿 = ∫ [(8 − 𝑥 2 ) − (2𝑥)] 𝑑𝑥 −4

Oke, sekarang kita hitung luasnya menggunakan konsep integral tertentu. 2

𝐿 = ∫ [(8 − 𝑥 2 ) − (2𝑥)] 𝑑𝑥 −4 2

= ∫ (−𝑥 2 − 2𝑥 + 8) 𝑑𝑥 −4

2 1 = [− 𝑥 3 − 𝑥 2 + 8𝑥] 3 −4 1 1 = (− (2)3 − (2)2 + 8(2)) + (− (−4)3 − (−4)2 + 8(−4)) 3 3 8 64 = (− − 4 + 16) − ( − 16 − 32) 3 3 −8 − 12 + 48 64 − 48 − 96 =( )−( ) 3 3 28 80 = − (− ) 3 3 28 80 = + 3 3 108 = 3 = 36 satuan luas

Halaman 272



Contoh Soal 1b: Luas daerah yang dibatasi parabola 𝑦 = 8 − 𝑥 2 dan garis 𝑦 = 2𝑥 adalah .... a. 36 satuan luas 1 3

b. 41 satuan luas c.

2 3

41 satuan luas

d. 46 satuan luas 2

e. 46 3 satuan luas Pembahasan TRIK SUPERKILAT: Langkahnya seperti cara mencari titik potong atau titik persekutuan kedua kurva. Titik potong parabola dengan garis adalah: 𝑦1 = 𝑦2 ⇒ 2𝑥 = 8 − 𝑥 2 ⇔ 2𝑥 − (8 − 𝑥 2 ) = 0 ⇔ 2𝑥 − 8 + 𝑥 2 = 0 ⇔ 𝑥 2 + 2𝑥 − 8 = 0 (𝑥 + 4)(𝑥 − 2) = 0 ⇔ ⇔ 𝑥 + 4 = 0 atau 𝑥 − 2 = 0 ⇔ 𝑥 = −4 atau 𝑥 = 2

Stop sampai sini aja. Persamaan kuadrat ini yang akan dicari nilai diskriminannya.

Dari persamaan kuadrat 𝑥 2 + 2𝑥 − 8 = 0, diperoleh nilai diskriminan: 𝐷 = 𝑏 2 − 4𝑎𝑐 ⇒ 𝐷 = (2)2 − 4(1)(−8) = 4 + 32 = 36 Sehingga luas daerah bisa dihitung menggunakan rumus cepat berikut: 𝐷√𝐷 36√36 36 × 6 𝐿= = = = 36 satuan luas 6𝑎2 6(1)2 6



Halaman 273

Contoh Soal 2a: Luas daerah yang dibatasi kurva 𝑦 = 𝑥 2 , 𝑦 = 𝑥 + 2 , sumbu Y di kuadran I adalah .... a.

2 satuan luas 3

b.

4 satuan luas 3

c.

6 satuan luas 3

d.

8 satuan luas 3

e.

10 satuan luas 3

Pembahasan: Sketsa grafik dari soal adalah sebagai berikut: Y 𝑦1 = 𝑥 2

𝑦2 = 𝑥 + 2

X

Titik potong parabola dengan garis adalah: 𝑦1 = 𝑦2 ⇒ 𝑥2 = 𝑥 + 2 ⇔ 𝑥 2 − (𝑥 + 2) = 0 ⇔ 𝑥2 − 𝑥 − 2 = 0 (𝑥 + 1)(𝑥 − 2) = 0 ⇔ ⇔ 𝑥 + 1 = 0 atau 𝑥 − 2 = 0 ⇔ 𝑥 = −1 atau 𝑥 = 2

Jadi titik potong parabola dengan garis adalah di titik 𝑥 = −1 dan 𝑥 = 2. Batas integrasi untuk mencari luas daerah adalah garis 𝑥 = 0 dan 𝑥 = 2. Jadi rumus integral untuk mencari luas daerah adalah sebagai berikut: 2

𝐿 = ∫ [𝑓(𝑥) − 𝑔(𝑥)] 𝑑𝑥 0

Nah, sekarang kita menentukan 𝑓(𝑥) dan 𝑔(𝑥). Pada interval batas integrasi 0 ≤ 𝑥 ≤ 2, berlaku 𝑓(𝑥) ≥ 𝑔(𝑥). Maka dengan melihat sketsa grafik, jelas terlihat bahwa: 𝑓(𝑥) = 𝑥 + 2 dan 𝑔(𝑥) = 𝑥 2 Sehingga rumus integral untuk mencari luas daerah adalah sebagai berikut: 2

𝐿 = ∫ [(𝑥 + 2) − (𝑥 2 )] 𝑑𝑥 0

Oke, sekarang kita hitung luasnya menggunakan konsep integral tertentu. 2

𝐿 = ∫ [(𝑥 + 2) − (𝑥 2 )] 𝑑𝑥 0 2

= ∫ (−𝑥 2 + 𝑥 + 2) 𝑑𝑥 0

2 1 3 1 2 = [− 𝑥 + 𝑥 + 2𝑥] 3 2 0 1 1 1 1 = (− (2)3 + (2)2 + 2(2)) + (− (0)3 + (0)2 + 2(0)) 3 2 3 2 8 = (− + 2 + 4) − (0) 3 −8 + 6 + 12 = 3 10 = satuan luas 3

Halaman 274



Contoh Soal 2b: Luas daerah yang dibatasi kurva 𝑦 = 𝑥 2 , 𝑦 = 𝑥 + 2 , sumbu Y di kuadran I adalah .... a.

2 satuan luas 3

b.

4 satuan luas 3

c.

6 satuan luas 3

d.

8 satuan luas 3

e.

10 satuan luas 3

Pembahasan TRIK SUPERKILAT: Sketsa grafik dari soal adalah sebagai berikut: Y 𝑦1 = 𝑥 2

𝑦2 = 𝑥 + 2 4 2

X

2

Titik potong parabola dengan garis adalah: 𝑦1 = 𝑦2 ⇒ 𝑥2 = 𝑥 + 2 ⇔ 𝑥 2 − (𝑥 + 2) = 0 ⇔ 𝑥2 − 𝑥 − 2 = 0 (𝑥 + 1)(𝑥 − 2) = 0 ⇔ ⇔ 𝑥 + 1 = 0 atau 𝑥 − 2 = 0 ⇔ 𝑥 = −1 atau 𝑥 = 2

Jadi, kita bisa menggunakan TRIK SUPERKILAT untuk menyelesaikan soal tersebut, dengan langkah berikut: Y

Y

4 2

X

2

=

Y

4 2 2

X

−

4 2 2

X

2

{Luas daerah arsir} = {3 luas segiempat, alas 2 dan tinggi 4} – {luas segitiga, alas 2 dan tinggi 4 − 2 = 2} 2 𝐿𝑎𝑟𝑠𝑖𝑟 = 𝐿□ − 𝐿∆ 3 2 1 = (2)(4) − (2)(2) 3 2 16 = −2 3 16 − 6 = 3 10 = satuan luas 3 Penjelasan detailnya langkah-langkah TRIK SUPERKILAT beserta contoh-contoh soal akan segera dilanjutkan di http://pak-anang.blogspot.com. :) Jadi pastikan untuk selalu mengunjungi laman web berikut: http://pak-anang.blogspot.com/2013/02/smart-solution-un-matematika-sma-2013_20.html untuk mengecek dan mengunduh update versi terbaru terbaru TRIK SUPERKILAT UN Matematika SMA 2013 pada bab Aplikasi Integral ini….



Halaman 275

TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS Aplikasi Integral (Volume Benda Putar)

Volume Benda Putar

Dibatasi Kurva dan Garis Sumbu

X

𝐿=

𝐷 2 √𝐷 𝜋 30𝑎3

𝐷 = 𝑏 2 − 4𝑎𝑐 adalah nilai diskriminan persamaan kuadrat: 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0. Persamaan kuadrat tersebut adalah persamaan kurva pada soal.

Halaman 276



Contoh Soal 1a: Volume benda putar yang dibatasi oleh kurva 𝑦 = 𝑥 2 − 2𝑥 dan sumbu Y diputar mengelilingi sumbu X adalah .... a.

8 𝜋 satuan volume 15

b.


c.


d.


e.


Pembahasan: Sketsa grafik dari soal adalah sebagai berikut: Y

𝑦 = 𝑥 2 − 2𝑥

X

Titik potong parabola dengan sumbu X adalah: 𝑦=0 ⇒ 𝑥 2 − 2𝑥 = 0 ⇔ 𝑥(𝑥 − 2) = 0 ⇔ 𝑥 = 0 atau 𝑥 − 2 = 0 ⇔ 𝑥 = 0 atau 𝑥 = 2

Jadi titik potong parabola dengan garis adalah di titik 𝑥 = 0 dan 𝑥 = 2. Titik potong tersebut merupakan batas integrasi untuk mencari volume benda putar. Jadi rumus integral untuk mencari volume benda putar adalah sebagai berikut: 2

𝐿 = 𝜋 ∫ [𝑓(𝑥)]2 𝑑𝑥 0

Nah, karena hanya dibatasi sebuah kurva maka jelas bahwa: 𝑓(𝑥) = 𝑥 2 − 2𝑥 Sehingga rumus integral untuk mencari volume benda putar adalah sebagai berikut: 2

𝐿 = 𝜋 ∫ [(𝑥 2 − 2𝑥)]2 𝑑𝑥 0

Oke, sekarang kita hitung volumenya menggunakan konsep integral tertentu. 2

𝐿 = 𝜋 ∫ [(𝑥 2 − 2𝑥)]2 𝑑𝑥 0 2

= 𝜋 ∫ (𝑥 4 − 4𝑥 3 + 4𝑥 2 ) 𝑑𝑥 0

1 5 4 3 2 4 = 𝜋[ 𝑥 −𝑥 + 𝑥 ] 5 3 0 1 4 1 4 = 𝜋 [( (2)5 − (2)4 + (2)3 ) + ( (0)5 − (0)4 + (0)3 )] 5 3 5 3 32 32 = 𝜋 [( − 16 + ) − (0)] 5 3 96 − 240 + 160 = 𝜋[ ] 15 16 = 𝜋 satuan volume 15



Halaman 277

Contoh Soal 1b: Volume benda putar yang dibatasi oleh kurva 𝑦 = 𝑥 2 − 2𝑥 dan sumbu Y diputar mengelilingi sumbu X adalah .... a.


b.


c.


d.


e.


Pembahasan TRIK SUPERKILAT: Langkahnya seperti cara mencari titik potong atau titik persekutuan kurva dengan sumbu putar. Titik potong parabola dengan garis adalah: 𝑦=0 ⇒ 𝑥 2 − 2𝑥 = 0 ⇔ 𝑥(𝑥 − 2) = 0 ⇔ 𝑥 = 0 atau 𝑥 − 2 = 0 ⇔ 𝑥 = 0 atau 𝑥 = 2

Stop sampai sini aja. Persamaan kuadrat ini yang akan dicari nilai diskriminannya.

Dari persamaan kuadrat 𝑥 2 − 2𝑥 = 0, diperoleh nilai diskriminan: 𝐷 = 𝑏 2 − 4𝑎𝑐 ⇒ 𝐷 = (2)2 − 4(1)(0) =4 Sehingga volume benda putar bisa dihitung menggunakan rumus cepat berikut: (4)2 √4 𝐷 2 √𝐷 16 × 2 16 𝐿= 𝜋 = 𝜋= 𝜋= 𝜋 satuan volume. 3 3 30𝑎 30(1) 15 15 30

Penjelasan detailnya langkah-langkah TRIK SUPERKILAT beserta contoh-contoh soal akan segera dilanjutkan di http://pak-anang.blogspot.com. :) Jadi pastikan untuk selalu mengunjungi laman web berikut: http://pak-anang.blogspot.com/2013/02/smart-solution-un-matematika-sma-2013_20.html untuk mengecek dan mengunduh update versi terbaru terbaru TRIK SUPERKILAT UN Matematika SMA 2013 pada bab Aplikasi Integral ini….

Halaman 278




Luas daerah yang dibatasi oleh kurva y  x 2  4 x  3 dan y  3  x adalah .... Luas daerah diarsir: Y TRIK SUPERKILAT: 41 𝑏 A. satuan luas 𝑦1 = 𝑦2 𝐿 = ∫ 𝑦1 − 𝑦2 𝑑𝑥 6 ⇒ 𝑥 2 − 4𝑥 + 3 = 3 − 𝑥 2 𝑎 𝑦 = 𝑥 − 4𝑥 + 3 19 3 ⇔ 𝑥 2 − 3𝑥 = 0 B. satuan luas = ∫ (3 − 𝑥) − (𝑥 2 − 4𝑥 + 3) 𝑑𝑥 2 3 𝐽𝑎𝑑𝑖 𝐷 = 𝑏 − 4𝑎𝑐 = 9 0 9 3 C. satuan luas 𝐷√𝐷 9√9 (−𝑥 2 + 3𝑥) 𝑑𝑥 = ∫ 𝐿= = 2 0 6𝑎2 6 ∙ 12 3 3 8 27 1 3 D. satuan luas = = [− 𝑥 3 + 𝑥 2 ] 6 3 3 2 0 9 1 3 1 3 11 X 3 = satuan luas E. 1 3 = (− (3) + (3)2 ) − (− (0)3 + (0)2 ) satuan luas 2 3 2 3 2 6  27

1.

= (−9 +

𝑦 =3−𝑥

=

2

) − (0)

9 satuan luas 2

Luas daerah yang dibatasi oleh kurva y  x 2  3 x  4 dan y  1  x adalah .... TRIK SUPERKILAT: Luas daerah diarsir: Y TRIK SUPERKILAT: 2 2 𝑏 Pembahasan masih dilanjutkan dan akan diupdate A. satuan luas 𝑦 = 𝑥 + 3𝑥 + 4 𝑦1 = 𝑦2 𝐿 = ∫setiap 𝑦1 − 𝑦2saat. 𝑑𝑥 Temukan update terbarunya dan selalu 3 𝑎 ⇒ 𝑥 2 + 3𝑥 + 4 = 1 − 𝑥 −1 kunjungi http://pak-anang.blogspot.com 4 4 = ∫ (1 − 𝑥) − (𝑥 2 + 3𝑥 + 4) 𝑑𝑥 ⇔ 𝑥 2 + 4𝑥 + 3 = 0 B. satuan luas  −3 2 −1 3 𝐽𝑎𝑑𝑖 𝐷 = 𝑏 2 − 4𝑎𝑐 = 4 = ∫ (−𝑥 2 − 4𝑥 − 3) 𝑑𝑥 1 7 −3 X C. satuan luas −1 𝐷√𝐷 4√4 1 -1 -3 𝐿= = 4 = [− 𝑥 3 − 2𝑥 2 − 3𝑥] 2 𝑦 = 1 − 𝑥 6𝑎 6∙1 3 −3 8 8 1 1 3 D. satuan luas = (− (−1) − 2(−1)2 − 3(−1)) − (− (−3)3 − 2(−3)2 − 3(−3)) = 3 3 6 3 1 4 = ( − 2 + 3) − (9 − 18 + 9) = satuan luas E. 15 satuan luas 3 3 4 3 = satuan luas 

2.

3

Luas daerah yang dibatasi oleh kurva y  x 2  4 x  3 dan y  x  1 adalah .... Luas daerah diarsir: 41 𝑏 A. satuan luas TRIK SUPERKILAT: 𝐿 = ∫ 𝑦1 − 𝑦2 𝑑𝑥 2 𝑦 = 𝑥 − 4𝑥 + 3 6 𝑎 𝑦1 = 𝑦2 4 Y 2 19 ⇒ 𝑥 − 4𝑥 + 3 = 𝑥 − 1 = ∫ (𝑥 − 1) − (𝑥 2 − 4𝑥 + 3) 𝑑𝑥 B. satuan luas 1 ⇔ 𝑥 2 − 5𝑥 + 4 = 0 4 3 = ∫ (−𝑥 2 + 5𝑥 − 4) 𝑑𝑥 2 𝐽𝑎𝑑𝑖 𝐷 = 𝑏 − 4𝑎𝑐 = 9 3 9 1 C. satuan luas 4 1 5 2 𝐷√𝐷 9√9 = [− 𝑥 3 + 𝑥 2 − 4𝑥] 3 2 1 𝐿= = 8 6𝑎2 6 ∙ 12 X 1 5 1 5 D. satuan luas -1 1 3 4 = (− (4)3 + (4)2 − 4(4)) − (− (1)3 + (1)2 − 4(1)) 27 3 2 3 2 3 = 6 64 80 1 5 𝑦 =𝑥−1 11 = (− + − 16) − (− + − 4) 9 satuan luas 3 2 3 2 = satuan luas E. 6 9 2

3.

=



2

satuan luas



Halaman 279

4.

Volume benda putar yang terjadi bila daerah yang dibatasi oleh kurva y  x 2 dan y  4 x  3 diputar 360° Volume benda putar mengelilingi sumbu X adalah .... 𝑏 3 Y 𝑉 = 𝜋 ∫ 𝑦12 − 𝑦22 𝑑𝑥 = 𝜋 ∫ (4𝑥 − 3)2 − (𝑥 2 )2 𝑑𝑥 2 11 𝑎 1 A. 13 π satuan volume 𝑦 = 𝑥 3 15 = 𝜋 ∫ (4𝑥 − 3)2 − (𝑥 2 )2 𝑑𝑥 1 4 3 B. 13 π satuan volume = 𝜋 ∫ (−𝑥 4 + 16𝑥 2 − 24𝑥 + 9) 𝑑𝑥 15 𝒚 1 3 𝟐 1 16 = 𝒙 11 = [− 𝑥 5 + 𝑥 3 − 12𝑥 2 + 9𝑥] C. 12 π satuan volume − 𝟒𝒙 + 𝟑 5 3 1 15 1 16 5 3 2 = (− (3) + (3) − 12(3) + 9(3)) 5 3 7 D. 12 π satuan volume 1 16 − (− (1)5 + (1)3 − 12(1)2 + 9(1)) 15 5 3 X 4 1 3 243 E. 12 π satuan volume = (− + 144 − 108 + 27) 5 15 1 16 − (− + − 12 + 9) 5 3 216 32 = ( )−( ) 15 15 184 4 = = 12 satuan volume 15 5

𝑦 = 4𝑥 − 3

5.

6.

2 Volume benda putar yang terjadi𝒚 untuk = 𝟑 − 𝒙 daerah yang dibatasi oleh kurva y   x dan y  2 x diputar mengelilingi sumbu X sejauh 360° adalah .... Volume benda putar 𝑏 2 Y 11 2 2 (−𝑥 2 )2 − (−2𝑥)2 𝑑𝑥 𝑉 = 𝜋 ∫ 𝑦 − 𝑦 𝑑𝑥 = − 𝜋 ∫ A. 3 π satuan volume 𝑦 = −2𝑥 1 2 𝑎 0 15 2 4 2 = − 𝜋 ∫ (𝑥 4 − 4𝑥 2 ) 𝑑𝑥 B. 4 π satuan volume X 0 15 𝒚= 𝟑−𝒙 1 5 4 3 2 4 = −𝜋 [ 𝑥 − 𝑥 ] C. 6 π satuan volume 5 3 0 15 1 4 1 4 -4 5 = −𝜋 [( (2) − (2)3 ) − ( (0)5 − (0)3 )] 6 5 3 5 3 D. 6 π satuan volume 32 32 15 𝑦 = −𝑥 2 = −𝜋 ( − ) 5 3 1 E. 17 π satuan volume 96 − 160 = −𝜋 ( ) 15 15

𝒚 = 𝒙𝟐 − 𝟒𝒙 + 𝟑

=

64 4 𝜋 = 4 𝜋 satuan volume 15 15

Volume benda putar yang terjadi untuk daerah yang dibatasi oleh kurva y  x 2 dengan y  2 x diputar Volume benda putar mengelilingi sumbu X sejauh 360° adalah .... 𝑏 2 A. 2π satuan volume 𝑦 = 𝑥 2 Y 𝑉 = 𝜋 ∫ 𝑦12 − 𝑦22 𝑑𝑥 = − 𝜋 ∫ (2𝑥)2 − (𝑥 2 )2 𝑑𝑥 1 𝑎 0 B. 3 π satuan volume 4 2 15 = − 𝜋 ∫ (4𝑥 2 − 𝑥 4 ) 𝑑𝑥 0 4 𝒚= 𝟑−𝒙 C. 4 π satuan volume 4 3 1 5 2 15 = −𝜋 [ 𝑥 − 𝑥 ] 3 5 0 X 4 2 4 1 4 1 D. 12 π satuan volume = −𝜋 [( (2)3 − (2)5 ) − ( (0)3 − (0)5 )] 15 3 5 3 5 𝑦 = 2𝑥 32 32 2 = −𝜋 ( − ) E. 14 π satuan volume 5 3 15 𝒚 = 𝒙𝟐 − 𝟒𝒙 + 𝟑

96 − 160 = −𝜋 ( ) 15 64 4 = 𝜋 = 4 𝜋 satuan volume 15 15


Halaman 280



Smart Solution



Disusun oleh :

Pak Anang


SKL 6. Mengolah, menyajikan dan menafsirkan data, serta mampu memahami kaidah pencacahan, permutasi, kombinasi, peluang kejadian dan mampu menerapkannya dalam pemecahan masalah. 6. 1.

Menghitung ukuran pemusatan atau ukuran letak dari data dalam bentuk tabel, diagram, atau grafik.

Membaca Data Diagram 600 400

200 0

2008 2009 2010 2011 2012 Tahun

Histogram

Poligon Frekuensi

13

14

14

11

12

12

7

8

Banyak Siswa

10

6

6 4

3

10 8 6 4

0

60-64

42

2

0

40-44

2

55-59

3 7 13 11 6

0

50-54

40 – 44 45 – 49 50 – 54 55 – 59 60 – 64

200

2008 2009 2010 2011 2012 Tahun

45-49

Banyak Siswa Banyak Siswa

Berat (kg)

400

Berat (kg)

−0,5 Tepi Bawah 59,5

62

Tabel Distribusi Frekuensi

600

57

500 400 600 750 650

800

52

2008 2009 2010 2011 2012

800

47

Banyak Siswa

Grafik Banyak Siswa

Tahun

Banyak Siswa

Tabel

Berat (kg)

Batas Bawah 60

Batas Atas 64 1 (60+64) 2

+0,5 Tepi Atas 64,5

Nilai Tengah Kelas 62 (64,5 − 59,5)

Keterangan:

Pada kelas interval 60 – 64, 60 adalah batas bawah. 64 adalah batas atas.

Panjang Interval Kelas 5 Pada kelas interval 60 – 64, 60 − 0,5 = 59,5 adalah tepi bawah. 64 + 0,5 = 64,5 adalah tepi atas.

Pada kelas interval 60 – 64, 64,5 − 69,5 = 5 adalah panjang interval kelas. 1 (60 + 64) = 62 adalah nilai tengah kelas 2



Halaman 281

Histogram dan Poligon Frekuensi Histogram Kelas Interval

Nilai Tepi Kelas

Nilai Tengah Kelas

“Lebar histogram menyatakan kelas interval”

“Batas histogram menyatakan tepi atas dan tepi bawah kelas”

“Titik tengah histogram adalah nilai tengah kelas”

3

6 4

3

4

0

0

3

60-64

42

0 55-59

2

50-54

2

Berat (kg)

Berat (kg)

6

6

2

45-49

7

8

62

4

6

57

6

8

10

52

6

10

7

11

12

47

8

Banyak Siswa

7

13

14

11

12

10

40-44

Banyak Siswa

12

13

14

11

Banyak Siswa

13

14

Berat (kg)

Poligon Frekuensi Poligon Frekuensi “Titik tengah histogram dihubungkan dengan garis” 14

Banyak Siswa

12 10 8 6 4 2

62

57

52

47

42

0

Berat (kg)

Halaman 282



Distribusi Kumulatif dan Ogive Distribusi Kumulatif Tabel Distribusi Frekuensi

Tabel Distribusi Frekuensi Kumulatif Kurang Dari

Tabel Distribusi Frekuensi Kumulatif Lebih Dari

“Kurang dari Tepi Atas”

“Lebih dari Tepi Bawah”

Berat (kg)

Banyak Siswa

Berat (kg)

Cara mencari 𝑓𝑘 ≤

40 – 44 45 – 49 50 – 54 55 – 59 60 – 64

3 7 13 11 6

≤ 44,5 ≤ 49,5 ≤ 54,5 ≤ 59,5 ≤ 64,5

3 3+7 3+7+13 3+7+13+11 3+7+13+11+13

𝑓𝑘 ≤

Berat (kg)

Cara mencari 𝑓𝑘 ≥

3 10 23 34 40

≥ 39,5 ≥ 44,5 ≥ 49,5 ≥ 54,5 ≥ 59,5

6+11+13+7+3 6+11+13+7 6+11+13 6+11 6

𝑓𝑘 ≥

40 37 30 17 6

Ogive Positif

Ogive Negatif

“Ogive Naik”

“Ogive Turun”

45 40 35 30 25 20 15 10 5 0

Frekuensi Kunulatif

Frekuensi Kunulatif

Ogive

45 40 35 30 25 20 15 10 5 0

Berat (kg)

Berat (kg)

Manfaat dan Kegunaan Digunakan untuk menentukan ukuran letak seperti Median, Kuartil, Desil, maupun Persentil Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)


Halaman 283

Ukuran Pemusatan Data Tunggal Mean

Median

Modus

“Jumlah nilai dibagi banyak data”

“Nilai tengah data terurut”

“Data paling sering muncul”

𝑀𝑒 = 𝑥𝑛+1 , untuk 𝑛 ganjil

Modus dari data berikut 7, 4, 8, 5, 3, 8, 6, 5, 5, 3 adalah:

Rata-rata dari 2, 5, 6, 3, 5, 4, 7, 8 adalah:

Nilai tengah dari data 6, 9, 3, 9, 4 adalah:

Frekuensi dari setiap data:

Rata-rata adalah jumlah nilai dibagi dengan banyaknya data.

Terdapat 5 buah data (𝑛 = 5), artinya jumlah data ganjil.

Hitung jumlah dari semua data lalu bagi dengan banyaknya data.

Jangan lupa, data harus diurutkan terlebih dahulu dari kecil ke besar.

∑𝑥𝑖 𝑥̅ = 𝑛 2+5+6+3+5+4+7+8 = 8 40 = 8 =5

3, 4, 6, 9, 9

𝑥̅ =

∑𝑥𝑖 𝑛

2

∑𝑑𝑖 𝑛 dimana, 𝑑𝑖 = (𝑥𝑖 − 𝑥̅𝑠 ) 𝑥̅𝑠 = rataan sementara

Misal kita memilih nilai rata-rata sementara adalah 𝑥̅𝑠 = 5, maka 𝑑𝑖 = 𝑥𝑖 − 5. Artinya semua data dikurangi 5. Sehingga nilai rata-ratanya adalah: 𝑥𝑖 𝑑𝑖

2 −3

5 0

6 1

3 −2

5 0

4 −1

7 2

Halaman 284

= 𝑥6

2

5 3

6 1

7 1

8 2

Atau dengan mengurutkan data: 3, 3, 4, 5, 5, 5, 6, 7, 8, 8


2

= 𝑥3 =6

2

2

Frekuensi dari setiap data: Data Frekuensi

+1

2

, untuk 𝑛 genap

Nilai tengah dari data 7, 2, 9, 8, 5, 4 adalah: Terdapat 6 buah data (𝑛 = 6), artinya jumlah data genap.

4 1

5 1

6 3

7 1

8 3

9 1

Atau dengan mengurutkan data: 4, 5, 6, 6, 6, 7, 8, 8, 8, 9 Perhatikan, karena data 6 dan 8 sama-sama muncul 3 kali, maka modus = 6 dan 8

Jangan lupa, data harus diurutkan terlebih dahulu dari kecil ke besar.


2, 4, 5, 7, 8, 9

Frekuensi dari setiap data:

Median adalah rata-rata kedua bilangan ini

8 3

𝑥𝑛 + 𝑥𝑛 𝑀𝑒 =

∑𝑑𝑖 𝑥̅ = 𝑥̅𝑠 + 𝑛 −3 + 1 − 2 − 1 + 2 + 3 = 5+ 8 0 = 5+ 8 = 5+0 =5

4 1

𝑀𝑒 = 𝑥5+1

𝑀𝑒 =

Rata-rata dari 2, 5, 6, 3, 5, 4, 7, 8 adalah:

3 2

Karena data 5 muncul 3 kali, maka nilai modus = 5

𝑥𝑛 + 𝑥𝑛

𝑥̅ = 𝑥̅𝑠 +

Data Frekuensi

2

2

2 𝑥3 + 𝑥4 = 2 5+7 = 2 12 = 2 =6

+1

Data Frekuensi

4 2

5 2

6 2

7 2

8 2

Atau dengan mengurutkan data: 4, 4, 5, 5, 6, 6, 7, 7, 8, 8 Karena data seimbang, semua data sama-sama muncul sebanyak 2 kali, maka modus tidak ada.



Ukuran Pemusatan Data Berkelompok Mean

Median

Modus

“Jumlah nilai dibagi banyak data”

“Nilai tengah data terurut”

“Data paling sering muncul”

1 𝑛 − 𝑓𝑘 𝑀𝑒 = 𝑇𝑏 + (2 )∙𝑝 𝑓𝑀𝑒

𝑎 𝑀𝑜 = 𝑇𝑏 + ( )∙𝑝 𝑎+𝑏

𝑥̅ =

∑𝑓𝑖 𝑥𝑖 ∑𝑓𝑖

Data

𝒇𝒊

𝑥𝑖

𝒇𝒊 𝒙𝒊

40 – 44 45 – 49 50 – 54 55 – 59 60 – 64

3 7 13 11 6

42 47 52 57 62

126 329 676 627 372

Jumlah

40

𝑥̅ =

2130

∑𝒇𝒊 𝒙𝒊 𝟐𝟏𝟑𝟎 = ∑𝒇𝒊 𝟒𝟎 10 = 53 40 = 53,25

∑𝑓𝑖 𝑑𝑖 𝑥̅ = 𝑥̅𝑠 + ∑𝑓𝑖 dimana, 𝑑𝑖 = (𝑥𝑖 − 𝑥̅𝑠 ) 𝑥̅𝑠 = rataan sementara

𝒇𝒊 3 7 13 11 6

Misal 𝑥̅𝑠 = 52, maka 𝑑𝑖 = (𝑥𝑖 − 52). 𝒇𝒊 𝒅𝒊 𝑥𝑖 𝒅𝒊 42 47 52 57 62

40 𝑥̅ = 𝑥̅𝑠 +

−10 −5 0 5 10

−30 −35 0 55 60

Jumlah

50

∑𝒇𝒊 𝒅𝒊 𝟓𝟎 = 52 + ∑𝒇𝒊 𝟒𝟎 = 52 + 1,25 = 53,25

Data

𝒇𝒊

Data

𝒇𝒌 ≤

40 – 44 45 – 49 50 – 54 55 – 59 60 – 64

3 7 13 11 6

≤ 44,5 ≤ 𝟒𝟗, 𝟓 ≤ 54,5 ≤ 59,5 ≤ 64,5

3 10 23 34 40

Jumlah

40

Data

𝒇𝒊

40 – 44 45 – 49 50 – 54 55 – 59 60 – 64

3 7 13 11 6

𝒂 = 𝟏𝟑 − 𝟕 = 𝟔

𝒃 = 𝟏𝟑 − 𝟏𝟏 = 𝟐

Modus terletak pada kelas interval yang memuat data dengan jumlah frekuensi terbesar.

Jumlah data sebanyak 𝒏 = 𝟒𝟎, 𝟏 sehingga diperoleh 𝟐 𝒏 = 𝟐𝟎.

Data dengan jumlah frekuensi terbesar yaitu sebanyak 13 data terletak pada kelas interval ke-3.

Median terletak pada kelas interval yang memuat data ke-20, yaitu kelas ke-3.

Jadi, letak kelas modus yaitu pada kelas interval 50 – 54, dengan panjang interval 5.

Jadi, letak kelas median yaitu pada kelas interval 50 – 54, dengan panjang interval 5, serta memiliki frekuensi 13 dan nilai tepi bawahnya 49,5.

Selisih frekuensi kelas modus terhadap kelas interval sebelumnya adalah 𝒂 = 𝟏𝟑 − 𝟕 = 𝟔.

Sehingga, frekuensi kumulatif kurang dari 49,5 adalah 10.

Selisih frekuensi kelas modus terhadap kelas interval sesudahnya adalah 𝒃 = 𝟏𝟑 − 𝟏𝟏 = 𝟐.

𝟏 𝒏 − 𝒇𝒌 𝑀𝑒 = 𝑇𝑏 + (𝟐 )∙𝒑 𝒇𝑴𝒆 𝟐𝟎 − 𝟏𝟎 = 𝟒𝟗, 𝟓 + ( )∙𝟓 𝟏𝟑 50 = 49,5 + 13 = 49,5 + 3,85 = 53,35

𝒂 𝑀𝑜 = 𝑇𝑏 + ( )∙𝒑 𝒂+𝒃 𝟔 = 49,5 + ( )∙𝟓 𝟔+𝟐 30 = 49,5 + 8 = 49,5 + 3,75 = 53,25



Halaman 285

Ukuran Letak Data Berkelompok Quartil

Desil

Persentil

“Membagi 4 bagian sama besar dari data terurut”



𝑖 𝑛 − 𝑓𝑘 4 𝑄𝑖 = 𝑇𝑏 + ( )∙𝑝 𝑓𝑄

𝑖 𝑛 − 𝑓𝑘 10 𝐷𝑖 = 𝑇𝑏 + ( )∙𝑝 𝑓𝐷

𝑖 𝑛 − 𝑓𝑘 100 𝑃𝑖 = 𝑇𝑏 + ( )∙𝑝 𝑓𝑃

𝑖

𝑖

𝑖

Data

𝒇𝒊

Data

𝒇𝒌 ≤

Data

𝒇𝒊

Data

𝒇𝒌 ≤

Data

𝒇𝒊

Data

𝒇𝒌 ≤

40 – 44 45 – 49 50 – 54 55 – 59 60 – 64

3 7 13 11 6

≤ 44,5 ≤ 49,5 ≤ 𝟓𝟒, 𝟓 ≤ 59,5 ≤ 64,5

3 10 23 34 40

40 – 44 45 – 49 50 – 54 55 – 59 60 – 64

3 7 13 11 6

≤ 44,5 ≤ 49,5 ≤ 𝟓𝟒, 𝟓 ≤ 59,5 ≤ 64,5

3 10 23 34 40

40 – 44 45 – 49 50 – 54 55 – 59 60 – 64

3 7 13 11 6

≤ 44,5 ≤ 49,5 ≤ 𝟓𝟒, 𝟓 ≤ 59,5 ≤ 64,5

3 10 23 34 40

Jumlah

40

Jumlah

40

Jumlah

40

Misal ditanyakan nilai 𝑄3 = ?

Misal ditanyakan nilai 𝐷7 = ?

Misal ditanyakan nilai 𝑃75 = ?

Jumlah data sebanyak 𝒏 = 𝟒𝟎, 𝟑 sehingga diperoleh 𝟒 𝒏 = 𝟑𝟎.

Jumlah data sebanyak 𝒏 = 𝟒𝟎, 𝟕 sehingga diperoleh 𝟏𝟎 𝒏 = 𝟐𝟖.

Jumlah data sebanyak 𝒏 = 𝟒𝟎, 𝟕𝟓 sehingga diperoleh 𝟏𝟎𝟎 𝒏 = 𝟑𝟎.

𝑄3 terletak pada kelas interval yang memuat data ke-30, yaitu kelas ke-4.

𝐷7 terletak pada kelas interval yang memuat data ke-28, yaitu kelas ke-4.

𝑃75 terletak pada kelas interval yang memuat data ke-30, yaitu kelas ke-4.

Jadi, letak kelas 𝑄3 yaitu pada kelas interval 55 – 59, dengan panjang interval 5, serta memiliki frekuensi 11 dan nilai tepi bawahnya 54,5.

Jadi, letak kelas 𝐷7 yaitu pada kelas interval 55 – 59, dengan panjang interval 5, serta memiliki frekuensi 11 dan nilai tepi bawahnya 54,5.

Jadi, letak kelas 𝑃75 yaitu pada kelas interval 55 – 59, dengan panjang interval 5, serta memiliki frekuensi 11 dan nilai tepi bawahnya 54,5.




𝟑 𝒏 − 𝒇𝒌 𝑄3 = 𝑇𝑏 + (𝟒 )∙𝒑 𝒇𝑸

𝟕 𝒏 − 𝒇𝒌 𝟏𝟎 𝐷7 = 𝑇𝑏 + ( )∙𝒑 𝒇𝑫

𝟑

𝟑𝟎 − 𝟐𝟑 = 𝟓𝟒, 𝟓 + ( )∙𝟓 𝟏𝟏 35 = 54,5 + 11 = 54,5 + 3,18 = 57,68

Halaman 286

𝟕

𝟐𝟖 − 𝟐𝟑 = 𝟓𝟒, 𝟓 + ( )∙𝟓 𝟏𝟏 25 = 54,5 + 11 = 54,5 + 2,27 = 56,77

𝑃75

𝟕𝟓 𝒏 − 𝒇𝒌 𝟏𝟎𝟎 = 𝑇𝑏 + ( )∙𝒑 𝒇𝑷𝟕𝟓 𝟑𝟎 − 𝟐𝟑 )∙𝟓 𝟏𝟏 35 = 54,5 + 11 = 54,5 + 3,18 = 57,68 = 𝟓𝟒, 𝟓 + (



TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS Statistika (Mean data berkelompok) Cara cepat dan memahami ukuran pemusatan data adalah memahami terlebih dahulu konsep dasar dari mean. Mean atau nilai rata-rata diperoleh dengan menjumlahkan semua nilai lalu dibagi dengan banyaknya data. Ada 3 cara mencari mean (nilai rata-rata):

Mean

Metode Deviasi

Sistem Kode

“Menggunakan data sesungguhnya”

“Menggunakan selisih data terhadap rata-rata sementara”

“Menggunakan sistem kode”

𝑥̅ =

∑𝑓𝑖 𝑥𝑖 ∑𝑓𝑖

𝑥̅ = 𝑥̅𝑠 +

∑𝑓𝑖 𝑑𝑖 ∑𝑓𝑖

∑𝑓𝑖 𝑢𝑖 𝑥̅ = 𝑥̅𝑠 + ( )∙𝑝 ∑𝑓𝑖

Misal 𝑥̅𝑠 = 52, maka 𝑑𝑖 = (𝑥𝑖 − 52).

Misal 𝑥̅𝑠 = 52, maka (𝑥𝑖 − 52) 𝑢𝑖 = 𝑝 Bagi semua nilai 𝑑𝑖 dengan panjang interval kelas.

Semua data dikurangi dengan rata-rata dugaan.

Data

𝒇𝒊

𝑥𝑖

𝒇𝒊 𝒙𝒊

𝒇𝒊

𝑥𝑖

𝒅𝒊

𝒇𝒊 𝒅𝒊

𝒇𝒊

𝑥𝑖

𝒖𝒊

𝒇𝒊 𝒖𝒊

40 – 44 45 – 49 50 – 54 55 – 59 60 – 64

3 7 13 11 6

42 47 52 57 62

126 329 676 627 372

3 7 13 11 6

42 47 52 57 62

−10 −5 0 5 10

−30 −35 0 55 60

3 7 13 11 6

42 47 52 57 62

−2 −1 0 1 2

−6 −7 0 11 12

Jumlah

40

2130

40

Jumlah

50

40

Jumlah

10

𝑥̅ =

∑𝒇𝒊 𝒙𝒊 𝟐𝟏𝟑𝟎 = ∑𝒇𝒊 𝟒𝟎 10 = 53 40 = 53,25

𝑥̅ = 𝑥̅𝑠 +

∑𝒇𝒊 𝒅𝒊 𝟓𝟎 = 52 + ∑𝒇𝒊 𝟒𝟎 = 52 + 1,25 = 53,25

𝑥̅ = 𝑥̅𝑠 +



∑𝒇𝒊 𝒖𝒊 𝟏𝟎 ∙ 𝒑 = 52 + ∙𝟓 ∑𝒇𝒊 𝟒𝟎 𝟓𝟎 = 52 + 𝟒𝟎 = 52 + 1,25 = 53,25

Halaman 287

TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS Statistika (Modus data berkelompok) Untuk data berbentuk tabel, letak modus adalah kelas interval data dengan frekuensi terbanyak, Atau untuk data berbentuk histogram, letak modus adalah kelas interval dengan batang yang paling tinggi. Perhatikan tabel distribusi frekuensi dan histogram berikut:


10

7

8

6

6

3

4 2

60-64

55-59

0

50-54

3 7 13 11 6

11

12

45-49

40 – 44 45 – 49 50 – 54 55 – 59 60 – 64

13

14

40-44


Berat (kg)

Histogram

Berat (kg)

Nah, konsep modus adalah perpotongan dari dua garis berikut pada histogram:


10

7

8

6

6

3

4 2

Berat (kg)

Perhatikan, karena ∠𝐵𝐹𝐴 = ∠𝐷𝐹𝐶 dan ∠𝐴𝐵𝐹 = ∠𝐶𝐹𝐷, maka ∆𝐴𝐹𝐵 sebangun dengan ∆𝐶𝐹𝐷. Sehingga diperoleh perbandingan: 𝐹𝐸 𝐹𝐺 𝑥 𝑝−𝑥 = ⇒ = 𝐴𝐵 𝐶𝐷 𝑎 𝑏 ⇔ 𝑏𝑥 = 𝑎(𝑝 − 𝑥) ⇔ 𝑏𝑥 = 𝑎𝑝 − 𝑎𝑥 ⇔ 𝑎𝑥 + 𝑏𝑥 = 𝑎𝑝 ⇔ (𝑎 + 𝑏)𝑥 = 𝑎𝑝 𝑎 ⇔ 𝑥=( )𝑝 𝑎+𝑏 Jadi, nilai modus adalah: 𝑀𝑜 = 𝑇𝑏 + 𝑥 𝑎 𝑀𝑜 = 𝑇𝑏 + ( )𝑝 𝑎+𝑏 Halaman 288

𝐵

𝒑

Letak Modus

TRIK SUPERKILAT: Jadi, untuk mengingat rumus modus gunakan cara ini:

𝐶 𝐹

𝐸

60-64

55-59

0

50-54

3 7 13 11 6

11

12

45-49

40 – 44 45 – 49 50 – 54 55 – 59 60 – 64

13

14

40-44


Berat (kg)

Histogram

𝐺 𝐷

𝒂

𝒃

𝒂

𝑀𝑜 = 𝑇𝑏 + (𝒂+𝒃) 𝑝 𝒂 = selisih dengan kelas di atasnya 𝒃 = selisih dengan kelas di bawahnya

𝐴

𝑇𝑏

Catatan: Biasanya tabel distribusi frekuensi disusun dari data terkecil ke terbesar.

𝒙 𝑀𝑜



TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS Statistika (Median data berkelompok) Median adalah nilai tengah dari data terurut, maka otomatis kita harus mengurutkan data terlebih dahulu. Pada data berkelompok, untuk mengurutkan data dapat dilakukan dengan membuat tabel distribusi frekuensi kumulatif kurang dari. Dan secara grafik juga bisa ditentukan dengan menggambar kurva ogive positif. Perhatikan tabel distribusi frekuensi, frekuensi kumulatif kurang dari, dan ogive positif di bawah ini:

Frekuensi Kumulatif Kurang Dari

Ogive Positif


“Ogive naik”

Berat (kg)

Banyak Siswa

Berat (kg)


40 – 44 45 – 49 50 – 54 55 – 59 60 – 64

3 7 13 11 6

≤ 44,5 ≤ 49,5 ≤ 54,5 ≤ 59,5 ≤ 64,5

3 3+7 3+7+13 3+7+13+11 3+7+13+11+13

𝑓𝑘 ≤

3 10 23 34 40

Frekuensi Kunulatif


45 40 35 30 25 20 15 10 5 0

Berat (kg) 1

Misalkan terdapat data sebanyak 𝑛 buah, maka letak median adalah pada data ke - 2 𝑛. 1

Karena banyakya data adalah 40 buah, maka data ke – 2 𝑛 adalah terletak pada urutan ke-20.

Frekuensi Kumulatif Kurang Dari

Ogive Positif


“Ogive naik”

Berat (kg)

Banyak Siswa

Berat (kg)


40 – 44 45 – 49 50 – 54 55 – 59 60 – 64

3 7 13 11 6

≤ 44,5 ≤ 49,5 ≤ 54,5 ≤ 59,5 ≤ 64,5

3 3+7 3+7+13 3+7+13+11 3+7+13+11+13

𝑓𝑘 ≤

3 10 23 34 40

Frekuensi Kunulatif


45 40 35 30 25 20 15 10 5 0

Letak Median

𝟏 𝑛 𝟐

𝟏 𝑛 𝟐

Berat (kg)

Penjelasan detailnya langkah-langkah TRIK SUPERKILAT beserta contoh-contoh soal akan segera dilanjutkan di http://pak-anang.blogspot.com. :) Jadi pastikan untuk selalu mengunjungi laman web berikut: http://pak-anang.blogspot.com/2013/03/smart-solution-un-matematika-sma-2013.html untuk mengecek dan mengunduh update versi terbaru terbaru TRIK SUPERKILAT UN Matematika SMA 2013 pada bab Statistik (Ukuran Pemusatan atau Ukuran Letak) ini….



Halaman 289


1.

Data yang diberikan dalam tabel frekuensi sebagai berikut: Kelas Frekuensi 20 – 29 3 30 – 39 7 40 – 49 8 50 – 59 12 60 – 69 9 70 – 79 6 80 − 89 5 Nilai modus dari data pada tabel adalah .... 40 A. 49,5  𝑑1 = 12 − 8 = 4 7 𝑑2 = 12 − 9 = 3 36 𝑇𝑏 = 50 − 0,5 = 49,5 B. 49,5  𝑖 = 10 7 𝑑1 36 𝑀𝑜 = 𝑇𝑏 + ∙𝑖 C. 49,5  𝑑1 + 𝑑2 7 4 40 = 49,5 + ∙ 10 4+3 D. 49,5  40 7 = 49,5 + 7 48 E. 49,5  7 H


Halaman 290



Smart Solution



Disusun oleh :

Pak Anang


6. 2.

Menyelesaikan masalah sehari-hari dengan menggunakan kaidah pencacahan, permutasi atau kombinasi.

Kaidah Pencacahan Aturan Perkalian Banyak cara memilih unsur pertama

Banyak cara memilih unsur kedua

Banyak cara memilih kedua unsur sekaligus

𝑚

𝑛

𝑚×𝑛

Faktorial “Perkalian Bilangan Urut” 𝑛! = 𝑛 × (𝑛 − 1) × (𝑛 − 2) × … × 3 × 2 × 1 Catatan: 1! = 1 dan 0! = 1

Banyak cara menyusun 𝒓 buah unsur dari keseluruhan 𝒏 buah unsur

Permutasi

Kombinasi

“Perhatikan Urutan”

“Urutan Tidak Diperhatikan”

𝑛 𝑃𝑟

=

𝑛! (𝑛 − 𝑟)!

Catatan: 𝑟 ≤ 𝑛

𝑛 𝐶𝑟

=

𝑛! 𝑟! (𝑛 − 𝑟)!

Catatan: 𝑟 ≤ 𝑛

Permutasi Ada Unsur Sama “Ada 𝒌 unsur yang sama, ada 𝓵 unsur yang sama, dan 𝒎 unsur yang sama” 𝑛 𝑃(𝑘,ℓ,𝑚)

=

𝑛! 𝑘! ℓ! 𝑚!

Catatan: 𝑘 + ℓ + 𝑚 ≤ 𝑛

Permutasi Siklis

𝑛 𝐶𝑟

=

𝑛 𝑃𝑟

𝑟!

Kombinasi adalah permutasi tanpa memperhatikan urutan obyek. Jadi, rumus kombinasi diperoleh dari permutasi 𝑟 unsur dari 𝑛 unsur namun karena hasil permutasi tersebut urutan tidak diperhatikan maka dianggap hasil permutasi tersebut ada 𝑟 unsur yang sama.

“Posisi Melingkar” 𝑃𝑠𝑖𝑘𝑙𝑖𝑠 = (𝑛 − 1)! Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)


Halaman 303

TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS Menyusun Rumus Permutasi. Cara paling mudah untuk menyusun rumus permutasi adalah menggunakan definisi aslinya. Di sekolah mungkin adik-adik diberikan rumus permutasi seperti dituliskan pada halaman sebelumnya, yaitu: 𝑛 𝑃𝑟

=

𝑛! (𝑛 − 𝑟)!

Padahal, definisi asli dari permutasi adalah sebagai berikut: 𝑛 𝑃𝑟

= 𝑛 × (𝑛 − 1) × (𝑛 − 2) × … × (𝑛 − 𝑟 + 1)

Rumus tersebut adalah pengembangan dari aturan perkalian dalam menyusun banyak 𝑟 unsur berbeda yang bisa dibuat dari 𝑛 unsur. Misalnya saja, menyusun 3 unsur berbeda dari 5 unsur yang diberikan. Maka kita akan membuat 3 kotak sebagai berikut: Pada kotak pertama bisa diisi 5 unsur. Pada kotak kedua bisa diisi 4 unsur, karena 1 unsur sudah diisikan pada kotak pertama. Pada kotak ketiga bisa diisi 3 unsur, karena 2 unsur sudah diisikan pada kotak pertama dan kedua. Sehingga dari aturan perkalian diperoleh banyaknya cara menyusun 3 unsur berbeda dari 5 unsur adalah: 5 × 4 × 3 = 60 cara. Dari sini jelas bahwa rumus permutasi 3 unsur berbeda dari 5 unsur adalah: 5 × 4 × 3 = “perkalian mundur dimulai dari bilangan 5 sebanyak 3 faktor” Jadi bisa disimpulkan bahwa: 𝒏 𝑷𝒓

= “𝐩𝐞𝐫𝐤𝐚𝐥𝐢𝐚𝐧 𝐦𝐮𝐧𝐝𝐮𝐫 𝐝𝐢𝐦𝐮𝐥𝐚𝐢 𝐝𝐚𝐫𝐢 𝐛𝐢𝐥𝐚𝐧𝐠𝐚𝐧 𝒏 𝐬𝐞𝐛𝐚𝐧𝐲𝐚𝐤 𝒓 𝐟𝐚𝐤𝐭𝐨𝐫”

Sehingga dengan mudah kita hitung nilai permutasi berikut: 15 𝑃4

= 15 × 14 × 13 × 12 (perkalian mundur 4 angka terakhir dari 15) 𝑃 10 3 = 10 × 9 × 8 (perkalian mundur 3 angka terakhir dari 10) 7 𝑃2 = 8 × 7 (perkalian mundur 2 angka terakhir dari 7) 5 𝑃2 = 5 × 4 (perkalian mundur 2 angka terakhir dari 5) Dst… dst… dst… Atau bila soalnya berbentuk kalimat seperti berikut: Di suatu kelas terdapat 12 siswa. Banyak cara memilih ketua, wakil ketua, dan sekretaris dari 12 siswa dalam suatu kelas tersebut adalah sebanyak …. cara. Karena kita menyusun 3 siswa dari keseluruhan 12 siswa dengan memperhatikan urutan, maka digunakan konsep permutasi 12 𝑃3. Sehingga banyak cara memilihnya ada sebanyak: 12 𝑃3 = 12 × 11 × 10 = 1320 cara (perkalian mundur 3 angka terakhir dari 12) Mudah bukan?! 

Halaman 304



TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS Menyusun Rumus Kombinasi. Cara paling mudah untuk menyusun rumus kombinasi adalah menggunakan definisi aslinya. Di sekolah mungkin adik-adik diberikan rumus kombinasi seperti dituliskan pada halaman sebelumnya, yaitu: 𝑛 𝐶𝑟

=

𝑛! 𝑟! (𝑛 − 𝑟)!

Padahal, definisi asli dari permutasi adalah sebagai berikut: 𝑛 𝐶𝑟

=

𝑛 𝐶𝑟

𝑟!

Penjelasannya sebagai berikut:

Kombinasi adalah permutasi tanpa memperhatikan urutan obyek. Jadi, rumus kombinasi diperoleh dari permutasi 𝑟 unsur dari 𝑛 unsur, namun karena hasil permutasi tersebut urutan tidak diperhatikan, maka dianggap hasil permutasi tersebut ada 𝑟 unsur yang sama.

Jadi bisa disimpulkan bahwa: 𝒏 𝑪𝒓

=“

(𝐩𝐞𝐫𝐤𝐚𝐥𝐢𝐚𝐧 𝐦𝐮𝐧𝐝𝐮𝐫 𝐝𝐢𝐦𝐮𝐥𝐚𝐢 𝐝𝐚𝐫𝐢 𝐛𝐢𝐥𝐚𝐧𝐠𝐚𝐧 𝒏 𝐬𝐞𝐛𝐚𝐧𝐲𝐚𝐤 𝒓 𝐟𝐚𝐤𝐭𝐨𝐫) ” (𝐩𝐞𝐫𝐤𝐚𝐥𝐢𝐚𝐧 𝐦𝐚𝐣𝐮 𝐝𝐢𝐦𝐮𝐥𝐚𝐢 𝐝𝐚𝐫𝐢 𝐛𝐢𝐥𝐚𝐧𝐠𝐚𝐧 𝟏 𝐬𝐞𝐛𝐚𝐧𝐲𝐚𝐤 𝒓 𝐟𝐚𝐤𝐭𝐨𝐫)

Sehingga dengan mudah kita hitung nilai permutasi berikut: 15 𝐶4

=

15 × 14 × 13 × 12 perkalian mundur 4 angka terakhir dari 15 ( ) 1×2×3×4 perkalian maju 4 angka terdepan

10 𝐶3

=

10 × 9 × 8 perkalian mundur 3 angka terakhir dari 10 ( ) 1×2×3 perkalian maju 3 angka terdepan

7 𝐶2

=

8 × 7 perkalian mundur 2 angka terakhir dari 7 ( ) 1×2 perkalian maju 2 angka terdepan

Dst… dst… dst… Atau bila soalnya berbentuk kalimat seperti berikut: Di suatu kelas terdapat 12 siswa. Banyak cara memilih 3 siswa dari 12 siswa dalam suatu kelas tersebut adalah sebanyak …. cara. Karena kita menyusun 3 siswa dari keseluruhan 12 siswa dengan tanpa memperhatikan urutan, maka digunakan konsep kombinasi 12 𝐶3 . Sehingga banyak cara memilihnya ada sebanyak: 2 12 𝐶3 =

12 × 11 × 10 perkalian mundur 2 angka terakhir dari 15 = 220 cara ( ) 1×2×3 perkalian maju 2 angka terdepan

Mudah bukan?!  Khusus untuk Kombinasi berlaku sifat berikut: 𝒏 𝑪𝒓

= 𝒏 𝑪(𝒏−𝒓)

10 𝐶7

= 10 𝐶3 =

Jadi,

10 × 9 × 8 perkalian mundur 3 angka terakhir dari 10 ( ) 1×2×3 perkalian maju 3 angka terdepan



Halaman 305

Tipe Soal yang Sering Muncul Menentukan kaidah pencacahan menggunakan aturan perkalian. Contoh Soal 1: Dari angka-angka: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 akan disusun suatu bilangan yang terdiri dari 3 angka yang boleh berulang. Banyak bilangan yang dapat disusun adalah …. Penyelesaian: Karena bilangan yang akan disusun terdiri dari 3 angka, maka terdapat aturan sebagai berikut:  Angka ratusan : dapat dipilih sebanyak 7 cara, yaitu diisi dengan angka 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7.  Angka puluhan : dapat dipilih sebanyak 7 cara, yaitu diisi dengan angka 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7.  Angka satuan : dapat dipilih sebanyak 7 cara, yaitu diisi dengan angka 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Sehingga bisa dinyatakan dalam tabel sebagai berikut: Angka Ratusan

Angka Puluhan

Angka Satuan

7

7

7

Jadi banyaknya bilangan yang terdiri atas 3 angka boleh berulang adalah: 7 × 7 × 7 = 343 buah. Contoh Soal 2: Dari angka-angka: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 akan disusun suatu bilangan yang terdiri dari 3 angka yang boleh berulang. Banyak bilangan yang dapat disusun adalah …. Penyelesaian: Karena bilangan yang akan disusun terdiri dari 3 angka, maka terdapat aturan sebagai berikut:  Angka ratusan : dapat dipilih sebanyak 6 cara, yaitu diisi dengan angka 1, 2, 3, 4, 5, 6, karena tidak mungkin ada angka ratusan 0. Biasanya bilangan 012 hanya ditulis 12 gitu aja.   Angka puluhan : dapat dipilih sebanyak 7 cara, yaitu diisi dengan angka 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6.  Angka satuan : dapat dipilih sebanyak 7 cara, yaitu diisi dengan angka 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6. Sehingga bisa dinyatakan dalam tabel sebagai berikut: Angka Ratusan

Angka Puluhan

Angka Satuan

6

7

7

Jadi banyaknya bilangan yang terdiri atas 3 angka boleh berulang adalah: 6 × 7 × 7 = 294 buah.

Halaman 306



Contoh Soal 3: Dari angka-angka: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 akan disusun suatu bilangan genap yang terdiri dari 3 angka yang boleh berulang. Banyak bilangan yang dapat disusun adalah …. Penyelesaian: Karena bilangan yang akan disusun terdiri dari 3 angka, maka terdapat aturan sebagai berikut:  Angka satuan : karena ada syarat bilangan harus genap maka angka satuan hanya dapat dipilih sebanyak 4 cara saja, yaitu diisi dengan angka 0, 2, 4, 6.  Angka puluhan : dapat dipilih 7 angka, yaitu angka 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6.  Angka ratusan : dapat dipilih sebanyak 6 cara, yaitu diisi dengan angka 1, 2, 3, 4, 5, 6, karena tidak mungkin ada angka ratusan 0. Biasanya bilangan 012 hanya ditulis 12 gitu aja.  Sehingga bisa dinyatakan dalam tabel sebagai berikut: Angka Ratusan

Angka Puluhan

Angka Satuan

6

7

4

Jadi banyaknya bilangan terdiri atas 3 angka boleh berulang lebih dari 320 adalah: 6 × 7 × 4 = 168 buah. Contoh Soal 4: Dari angka-angka: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 akan disusun suatu bilangan ganjil yang terdiri dari 3 angka yang boleh berulang. Banyak bilangan yang dapat disusun adalah …. Penyelesaian: Karena bilangan yang akan disusun terdiri dari 3 angka, maka terdapat aturan sebagai berikut:  Angka satuan : karena ada syarat bilangan harus ganjil maka angka satuan hanya dapat dipilih sebanyak 3 cara saja, yaitu diisi dengan angka 1, 3, 5.  Angka puluhan : dapat dipilih 7 angka, yaitu angka 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6.  Angka ratusan : dapat dipilih sebanyak 6 cara, yaitu diisi dengan angka 1, 2, 3, 4, 5, 6, karena tidak mungkin ada angka ratusan 0. Biasanya bilangan 012 hanya ditulis 12 gitu aja.  Sehingga bisa dinyatakan dalam tabel sebagai berikut: Angka Ratusan

Angka Puluhan

Angka Satuan

6

7

3

Jadi banyaknya bilangan terdiri atas 3 angka boleh berulang lebih dari 320 adalah: 6 × 7 × 3 = 126 buah.



Halaman 307

Contoh Soal 5: Dari angka-angka: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 akan disusun suatu bilangan yang terdiri dari 3 angka yang boleh berulang. Banyak bilangan yang dapat disusun lebih dari 300 adalah …. Penyelesaian: Karena bilangan yang akan disusun terdiri dari 3 angka lebih dari 300, maka terdapat aturan sebagai berikut:  Angka ratusan : karena ada syarat harus lebih dari 300 maka angka ratusan hanya dapat dipilih sebanyak 4 cara, yaitu diisi dengan angka 3, 4, 5, 6.  Angka puluhan : dapat dipilih sebanyak 7 cara, yaitu dapat diisi dengan angka 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6.  Angka satuan : dapat dipilih sebanyak 7 cara, yaitu dapat diisi dengan angka 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6. Angka Ratusan

Angka Puluhan

Angka Satuan

4

7

7

Jadi banyaknya bilangan terdiri atas 3 angka boleh berulang lebih dari 300 adalah: 4 × 7 × 7 = 196 buah. Contoh Soal 6: Dari angka-angka: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 akan disusun suatu bilangan yang terdiri dari 3 angka yang boleh berulang. Banyak bilangan yang dapat disusun lebih dari 320 adalah …. Penyelesaian: Bilangan lebih dari 320, artinya kita harus memecah menjadi dua bagian, yaitu: - Bilangan ratusan dengan angka ratusan 3, yang bilangan puluhannya harus lebih dari 20. - Bilangan ratusan dengan angka ratusan selain 3. Untuk bilangan ratusan dengan angka ratusan 3, yang bilangan puluhannya harus lebih dari 20. maka terdapat aturan sebagai berikut:  Angka ratusan : angka ratusan hanya dapat dipilih sebanyak 1 cara saja, yaitu diisi angka 3 saja.  Angka puluhan : dapat dipilih sebanyak 5 cara saja, yaitu dapat diisi dengan angka 2, 3, 4, 5, 6.  Angka satuan : dapat dipilih sebanyak 7 cara, yaitu dapat diisi dengan angka 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6. Angka Ratusan

Angka Puluhan

Angka Satuan

1

5

7

Untuk bilangan ratusan dengan angka ratusan selain 3, maka terdapat aturan sebagai berikut:  Angka ratusan : dapat dipilih sebanyak 3 cara saja, yaitu diisi dengan angka 4, 5, dan 6 saja.  Angka puluhan : dapat dipilih sebanyak 7 cara, yaitu dapat diisi dengan angka 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6.  Angka satuan : dapat dipilih sebanyak 7 cara, yaitu dapat diisi dengan angka 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6. Angka Ratusan

Angka Puluhan

Angka Satuan

3

7

7

Jadi banyaknya bilangan terdiri atas 3 angka boleh berulang lebih dari 320 adalah: (1 × 5 × 7) + (3 × 7 × 7) = 35 + 147 = 182 buah.

Halaman 308



Contoh Soal 7: Dari angka-angka: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 akan disusun suatu bilangan yang terdiri dari 3 angka dengan tidak angka yang boleh berulang. Banyak bilangan yang dapat disusun adalah …. Penyelesaian: Karena bilangan yang akan disusun terdiri dari 3 angka, maka terdapat aturan sebagai berikut:  Angka ratusan : dapat dipilih sebanyak 7 cara, yaitu diisi dengan angka 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Misal kita pilih angka 1 sebagai angka ratusan.  Angka puluhan : angka puluhan hanya dapat diisi dengan angka selain angka 1 yang sudah digunakan sebagai angka ratusan. Jadi angka puluhan hanya dapat dipilih sebanyak 6 cara, yaitu diisi dengan angka 2, 3, 4, 5, 6, 7. Misal kita pilih angka 2 sebagai angka puluhan.  Angka satuan : angka satuan hanya dapat diisi dengan angka selain angka 1 yang sudah digunakan sebagai angka ratusan, dan angka 2 yang digunakan sebagai angka puluhan. Jadi angka satuan hanya dapat dipilih sebanyak 5 cara, yaitu diisi dengan angka 3, 4, 5, 6, 7 saja. Sehingga bisa dinyatakan dalam tabel sebagai berikut: Angka Ratusan

Angka Puluhan

Angka Satuan

7

6

5

Jadi banyaknya bilangan yang terdiri atas 3 angka tidak boleh berulang adalah: 7 × 6 × 5 = 210 buah. Contoh Soal 8: Dari angka-angka: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 akan disusun suatu bilangan yang terdiri dari 3 angka dengan tidak angka yang boleh berulang. Banyak bilangan yang dapat disusun adalah …. Penyelesaian: Karena bilangan yang akan disusun terdiri dari 3 angka, maka terdapat aturan sebagai berikut:  Angka ratusan : dapat dipilih sebanyak 6 cara, yaitu diisi dengan angka 1, 2, 3, 4, 5, 6, karena tidak mungkin ada angka ratusan 0. Biasanya bilangan 012 hanya ditulis 12 gitu aja.  Misal kita pilih angka 1 sebagai angka ratusan  Angka puluhan : angka puluhan hanya dapat diisi dengan angka selain angka 1 yang sudah digunakan sebagai angka ratusan. Jadi angka puluhan hanya dapat dipilih sebanyak 6 cara, yaitu diisi dengan angka 0, 2, 3, 4, 5, 6. Misal kita pilih angka 2 sebagai angka puluhan.  Angka satuan : angka satuan hanya dapat diisi dengan angka selain angka 1 yang sudah digunakan sebagai angka ratusan, dan angka 2 yang digunakan sebagai angka puluhan. Jadi angka satuan hanya dapat dipilih sebanyak 5 cara, yaitu diisi dengan angka 0, 3, 4, 5, 6 saja. Sehingga bisa dinyatakan dalam tabel sebagai berikut: Angka Ratusan

Angka Puluhan

Angka Satuan

6

6

5

Jadi banyaknya bilangan yang terdiri atas 3 angka tidak boleh berulang adalah: 6 × 6 × 5 = 180 buah.



Halaman 309

Contoh Soal 9: Dari angka-angka: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 akan disusun suatu bilangan genap yang terdiri dari 3 angka dengan tidak angka yang boleh berulang. Banyak bilangan yang dapat disusun adalah …. Penyelesaian: Bilangan genap dan tersedia angka 0 (nol), artinya kita harus memecah menjadi dua bagian, yaitu: - Bilangan genap dengan angka 0 (nol) berada di posisi angka satuan. - Bilangan genap dengan angka genap selain 0 (nol) berada di posisi angka satuan. Untuk bilangan genap dengan angka 0 (nol) berada di posisi angka satuan, maka terdapat aturan sebagai berikut:  Angka satuan : karena angka satuan sudah pasti 0 (nol) maka angka satuan hanya dapat dipilih sebanyak 1 cara saja, yaitu diisi dengan angka 0 saja.  Angka puluhan : dapat dipilih 6 angka, yaitu angka 1, 2, 3, 4, 5, 6. Misal kita pilih angka 1 sebagai angka puluhan.  Angka ratusan : angka ratusan hanya dapat diisi dengan angka selain angka 0 yang sudah digunakan sebagai angka satuan, dan angka 1 yang digunakan sebagai angka puluhan. Jadi angka satuan hanya dapat dipilih sebanyak 5 cara, yaitu diisi dengan angka 2, 3, 4, 5, 6 saja. Angka Ratusan

Angka Puluhan

Angka Satuan

1

6

5

Untuk bilangan genap dengan angka genap selain 0 (nol) berada di posisi angka satuan, maka terdapat aturan sebagai berikut:  Angka satuan : karena angka satuan sudah pasti angka bukan 0 (nol) maka angka satuan hanya dapat dipilih sebanyak 3 cara saja, yaitu diisi dengan angka 2, 4, 6 saja. Misal kita pilih angka 2 sebagai angka satuan.  Angka ratusan : angka ratusan hanya dapat diisi dengan angka selain angka 2 yang sudah digunakan sebagai angka satuan, dan jangan lupa angka 0 tidak boleh berada di angka ratusan. sehingga untuk angka ratusan dapat dipilih sebanyak 5 cara, yaitu angka 1, 3, 4, 5, 6. Misal kita pilih angka 1 sebagai angka ratusan.  Angka puluhan : angka puluhan hanya dapat diisi dengan angka selain angka 2 yang sudah digunakan sebagai angka satuan, dan angka 1 yang digunakan sebagai angka ratusan. Jadi angka puluhan hanya dapat dipilih sebanyak 5 cara, yaitu diisi dengan angka 0, 3, 4, 5, 6 saja. Angka Ratusan

Angka Puluhan

Angka Satuan

3

5

5

Jadi banyaknya bilangan genap terdiri atas 3 angka tidak boleh berulang adalah: (1 × 6 × 5) + (3 × 5 × 5) = 30 + 75 = 105 buah.

Halaman 310



Contoh Soal 10: Dari angka-angka: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 akan disusun suatu bilangan ganjil yang terdiri dari 3 angka dengan tidak angka yang boleh berulang. Banyak bilangan yang dapat disusun adalah …. Penyelesaian: Karena bilangan yang akan disusun terdiri dari 3 angka, maka terdapat aturan sebagai berikut:  Angka satuan : karena ada syarat bilangan harus ganjil maka angka satuan hanya dapat dipilih sebanyak 3 cara saja, yaitu diisi dengan angka 1, 3, 5. Misal kita pilih angka 1 sebagai angka satuan.  Angka ratusan : angka ratusan hanya dapat diisi dengan angka selain angka 1 yang sudah digunakan sebagai angka satuan, dan jangan lupa angka 0 tidak boleh berada di angka ratusan. sehingga untuk angka ratusan dapat dipilih sebanyak 5 cara, yaitu angka 2, 3, 4, 5, 6. Misal kita pilih angka 2 sebagai angka ratusan.  Angka puluhan : angka puluhan hanya dapat diisi dengan angka selain angka 1 yang sudah digunakan sebagai angka satuan, dan angka 2 yang digunakan sebagai angka ratusan. Jadi angka puluhan hanya dapat dipilih sebanyak 5 cara, yaitu diisi dengan angka 0, 3, 4, 5, 6 saja. Sehingga bisa dinyatakan dalam tabel sebagai berikut: Angka Ratusan

Angka Puluhan

Angka Satuan

3

5

5

Jadi banyaknya bilangan ganjil terdiri atas 3 angka tidak boleh berulang adalah: 3 × 5 × 5 = 75 buah.



Halaman 311

Menentukan kaidah pencacahan menggunakan permutasi. Contoh Soal 1: Berapa banyak cara menempatkan 7 orang duduk dalam satu baris dalam urutan yang berbeda? Penyelesaian: Banyak urutan adalah bisa ditentukan menggunakan permutasi karena urutan posisi duduk diperhatikan. Sehingga 𝐴𝐵 ≠ 𝐵𝐴. Maka banyaknya posisi duduk adalah sebanyak 7 orang diambil sekaligus semuanya. Tujuh orang disusun secara permutasi sebanyak 7 orang. 7! 7! 7! = = = 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 5040 7 𝑃7 = (7 − 7)! 0! 1 Penyelesaian TRIK SUPERKILAT: 𝒏 𝑷𝒓

= “𝐩𝐞𝐫𝐤𝐚𝐥𝐢𝐚𝐧 𝐦𝐮𝐧𝐝𝐮𝐫 𝐝𝐢𝐦𝐮𝐥𝐚𝐢 𝐝𝐚𝐫𝐢 𝐛𝐢𝐥𝐚𝐧𝐠𝐚𝐧 𝒏 𝐬𝐞𝐛𝐚𝐧𝐲𝐚𝐤 𝒓 𝐟𝐚𝐤𝐭𝐨𝐫”

7 permutasi 7, bisa diartikan perkalian 7 angka terakhir dari 7. 7 𝑃7 = 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 5040 Contoh Soal 2: Dari keseluruhan 7 orang ada berapa banyak cara menempatkan orang duduk dalam satu baris yang terdiri dari 4 kursi dalam urutan yang berbeda? Penyelesaian: Banyak urutan adalah bisa ditentukan menggunakan permutasi karena urutan posisi duduk diperhatikan. Sehingga 𝐴𝐵 ≠ 𝐵𝐴. Maka banyaknya posisi duduk adalah mengambil 4 orang dari total 7 orang secara permutasi. Tujuh orang disusun secara permutasi sebanyak 4 orang. 7! 7! 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = = = 7 × 6 × 5 × 4 = 840 7 𝑃4 = (7 − 4)! 3! 3×2×1 Penyelesaian TRIK SUPERKILAT: 7 permutasi 4, bisa diartikan perkalian 4 angka terakhir dari 7. 7 𝑃4 = 7 × 6 × 5 × 4 = 840 Contoh Soal 3: Ada 12 orang calon pengurus OSIS, akan dipilih 3 orang untuk menduduki posisi ketua, wakil ketua, dan sekretaris. Ada berapa banyak cara menyusun pengurus OSIS tersebut? Penyelesaian: Banyak urutan adalah bisa ditentukan menggunakan permutasi karena urutan posisi jabatan pengurus diperhatikan. Sehingga 𝐴𝐵 ≠ 𝐵𝐴. Maka banyaknya posisi duduk adalah mengambil 3 orang dari keseluruhan 12 orang secara permutasi. Dua belas orang disusun secara permutasi sebanyak 3 orang. 12! 12! 12 × 11 × 10 × 9 × 8 × 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = = = 12 × 11 × 10 = 1320 12 𝑃3 = (12 − 3)! 9! 9×8×7×6×5×4×3×2×1 Penyelesaian TRIK SUPERKILAT: 12 permutasi 3, bisa diartikan perkalian 3 angka terakhir dari 12. 12 𝑃3 = 12 × 11 × 10 = 1320

Halaman 312



Menentukan kaidah pencacahan menggunakan permutasi dengan ada unsur yang sama. Contoh Soal 1: Berapa banyak cara menyusun kata berlainan dari kata MATEMATIKA? Penyelesaian: Elemen penyusun kata MATEMATIKA adalah M, A, T, E, M, A, T, I, K, A. Maka banyaknya elemen adalah: 𝑛 = 10 Banyak elemen huruf yang sama adalah: - Huruf M ada sebanyak 2 buah, jadi 𝑘 = 2. - Huruf A ada sebanyak 3 buah, jadi ℓ = 3. - Huruf T ada sebanyak 2 buah, jadi 𝑚 = 2. Jadi banyaknya kata berbeda yang bisa disusun adalah: 10! 10 × 9 × 8 × 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = = 151.200 kata 10 𝑃(2,3,2) = 2! 3! 2! 2×1×3×2×1×2×1

Contoh Soal 2: Dalam suatu rak buku terdapat 5 buku Biologi, dan 4 buku Matematika serta 1 buah buku Fisika. Bukubuku tersebut akan disusun dengan ditumpuk dari bawah ke atas. Ada berapa banyak cara berbeda dalam menyusun buku tersebut? Penyelesaian: Elemen penyusun ada 5 buku Biologi, 4 buku Matematika, serta 1 buah buku Fisika. Maka banyaknya elemen adalah: 𝑛 = 10 Banyak elemen huruf yang sama adalah: - Buku Biologi ada sebanyak 5 buah, jadi 𝑘 = 5. - Buku Matematika ada sebanyak 4 buah, jadi ℓ = 4. Jadi banyaknya susunan berbeda dari buku yang bisa disusun adalah: 10! 10 × 9 × 8 × 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = = 1.260 cara 10 𝑃(5,4) = 5! 4! 5×4×3×2×1×4×3×2×1

Contoh Soal 3: Ada 3 bendera merah, 1 bendera biru, dan 1 bendera hijau. Bendera-bendera tersebut akan digantung secara vertikal, maka ada berapa banyak cara menyusun bendera tersebut secara berbeda? Penyelesaian: Elemen penyusun ada 3 bendera merah, 1 bendera biru, dan 1 bendera hijau. Maka banyaknya elemen adalah: 𝑛 = 5 Banyak elemen huruf yang sama adalah: - Bendera merah ada sebanyak 3 buah, jadi 𝑘 = 3. Jadi banyaknya susunan berbeda dari bendera yang bisa disusun adalah: 5! 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = = 20 cara 5 𝑃(3) = 3! 3×2×1



Halaman 313

Menentukan kaidah pencacahan menggunakan permutasi siklis. Contoh Soal 1: Tentukan ada berapa banyak cara mengatur posisi duduk 5 orang mengelilingi meja berbentuk lingkaran! Penyelesaian: Mengatur 7 orang duduk secara melingkar, 𝑛 = 5. Berarti kita gunakan permutasi siklis. 𝑃𝑠𝑖𝑘𝑙𝑖𝑠 = (5 − 1)! = 4! = 4 × 3 × 2 × 1 = 24 cara

Contoh Soal 2: Berapa cara 10 orang dapat duduk mengelilingi meja bundar apabila ada 2 orang yang harus duduk secara berdekatan? Penyelesaian: Karena ada 2 orang harus duduk berdekatan, berarti 2 orang ini kita anggap menjadi satu kesatuan. Sementara banyak cara menyusun 2 orang yang duduk saling berdekatan sebanyak 2!. Nah, karena 2 orang dianggap menjadi satu, maka dari total 10 orang kini tinggal 9 orang yang akan diatur duduk secara melingkar. Mengatur 9 orang duduk secara melingkar, 𝑛 = 9. Berarti kita gunakan permutasi siklis. 𝑃𝑠𝑖𝑘𝑙𝑖𝑠 = (9 − 1)! = 8! Jadi banyaknya cara menyusun 10 orang duduk melingkar apabila ada 2 orang yang harus duduk bersebelahan: 𝑃 = 𝑃𝑠𝑖𝑘𝑙𝑖𝑠 × 2! = 8! 2! = 8 × 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 × 2 × 1 = 80.640 cara Contoh Soal 3: Ada 4 orang siswa kelas X, 3 orang siswa kelas XI, dan 2 orang siswa kelas XII akan berunding duduk mengelilingi meja bundar. Berapa banyak cara duduk apabila siswa satu kelas harus duduk bersebelahan. Penyelesaian: Nah, yang ditanyakan oleh soal adalah banyak cara menyusun 3 kelompok kelas yang akan diatur duduk secara melingkar. Berarti kita gunakan permutasi siklis. 𝑃𝑠𝑖𝑘𝑙𝑖𝑠 = (3 − 1)! = 2! Sementara banyaknya cara menyusun posisi duduk siswa kelas X adalah sebanyak 4 𝑃4 = 4!. Sementara banyaknya cara menyusun posisi duduk siswa kelas XI adalah sebanyak 3 𝑃3 = 3!. Sementara banyaknya cara menyusun posisi duduk siswa kelas XII adalah sebanyak 2 𝑃2 = 2!. Jadi banyaknya cara menyusun siswa duduk melingkar apabila ada siswa satu kelas harus duduk bersebelahan: 𝑃 = 𝑃𝑠𝑖𝑘𝑙𝑖𝑠 × 4! × 3! × 2! = 2! × 4! × 3! × 2! = 576 cara

Halaman 314



Menentukan kaidah pencacahan menggunakan kombinasi. Contoh Soal 1: Dari keseluruhan 7 orang ada berapa banyak cara memilih 4 orang untuk dijadikan pengurus RT? Penyelesaian: Banyak urutan adalah bisa ditentukan menggunakan kombinasi karena urutan posisi duduk tidak diperhatikan. Sehingga 𝐴𝐵 = 𝐵𝐴. Maka banyaknya cara memilih adalah memilih 4 orang dari total 7 orang secara kombinasi Tujuh orang dipilih secara kombinasi sebanyak 4 orang. 7! 7! 7×6×5×4×3×2×1 7×6×5 = = = = 35 7 𝐶4 = (7 − 4)! 4! 3! 4! 3 × 2 × 1 × 4 × 3 × 2 × 1 3 × 2 × 1 Penyelesaian TRIK SUPERKILAT: 𝒏 𝑪𝒓

=“

(𝐩𝐞𝐫𝐤𝐚𝐥𝐢𝐚𝐧 𝐦𝐮𝐧𝐝𝐮𝐫 𝐝𝐢𝐦𝐮𝐥𝐚𝐢 𝐝𝐚𝐫𝐢 𝐛𝐢𝐥𝐚𝐧𝐠𝐚𝐧 𝒏 𝐬𝐞𝐛𝐚𝐧𝐲𝐚𝐤 𝒓 𝐟𝐚𝐤𝐭𝐨𝐫) ” (𝐩𝐞𝐫𝐤𝐚𝐥𝐢𝐚𝐧 𝐦𝐚𝐣𝐮 𝐝𝐢𝐦𝐮𝐥𝐚𝐢 𝐝𝐚𝐫𝐢 𝐛𝐢𝐥𝐚𝐧𝐠𝐚𝐧 𝟏 𝐬𝐞𝐛𝐚𝐧𝐲𝐚𝐤 𝒓 𝐟𝐚𝐤𝐭𝐨𝐫)

7 kombinasi 4, bisa diartikan perkalian 4 angka terakhir dari 7 dibagi perkalian 4 angka awal. 7×6×5×4 = 35 7 𝐶4 = 4×3×2×1 Contoh Soal 2: Ada 12 orang siswa yang telah mendaftar, akan dipilih 3 orang untuk menjadi pengurus OSIS. Ada berapa banyak cara menyusun pengurus OSIS tersebut? Penyelesaian: Banyak urutan adalah bisa ditentukan menggunakan kombinasi karena urutan posisi jabatan pengurus tidak diperhatikan. Sehingga 𝐴𝐵 = 𝐵𝐴. Maka banyaknya posisi duduk adalah mengambil 3 orang dari keseluruhan 12 orang secara permutasi. Dua belas orang disusun secara permutasi sebanyak 3 orang. 12! 12! 12 × 11 × 10 × 9 × 8 × 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = = 12 𝐶3 = (12 − 3)! 3! 9! 3! 9×8×7×6×5×4×3×2×1×3×2×1 12 × 11 × 10 = 3×2×1 = 220 Penyelesaian TRIK SUPERKILAT: 12 kombinasi 3, bisa diartikan perkalian 3 angka terakhir dari 12 dibagi perkalian 3 angka awal. 12 × 11 × 10 = 1320 12 𝐶3 = 3×2×1

Penjelasan detailnya langkah-langkah TRIK SUPERKILAT beserta contoh-contoh soal akan segera dilanjutkan di http://pak-anang.blogspot.com. :) Jadi pastikan untuk selalu mengunjungi laman web berikut: http://pak-anang.blogspot.com/2013/03/smart-solution-un-matematika-sma-2013_31.html untuk mengecek dan mengunduh update versi terbaru terbaru TRIK SUPERKILAT UN Matematika SMA 2013 pada bab Kaidah Pencacahan (Aturan Perkalian, Permutasi, dan Kombinasi) ini….



Halaman 315


1.

Bilangan terdiri dari 4 angka disusun dari angka-angka 1, 2, 3, 5, 6, dan 7. Banyak susunan bilangan dengan angka-angka yang berlainan (angka-angkanya tidak boleh berulang) adalah .... A. 20 Permutasi 4 angka dari 6 angka: 6! 6! 6 ∙ 5 ∙ 4 ∙ 3 ∙ 2 ∙ 1 B. 40 6𝑃4 = = = = 6 ∙ 5 ∙ 4 ∙ 3 = 360 (6 − 4)! 2! 2∙1 C. 80 D. 120 E. 360 Bisa juga dikerjakan dengan menggunakan aturan perkalian, banyaknya bilangan berbeda yang bisa dibentuk adalah: 𝑛 = 6 × 5 × 4 × 3 = 360 bilangan

2.

Banyak susunan kata yang dpat dibentuk dari kata ”WIYATA” adalah .... A. 360 kata Permutasi 6 unsur dari dengan ada 2 unsur yang sama, yakni huruf A: B. 180 kata 6! 6 ∙ 5 ∙ 4 ∙ 3 ∙ 2 ∙ 1 = = 360 kata C. 90 kata 2! 2∙1 D. 60 kata E. 30 kata


Halaman 316



Smart Solution



Disusun oleh :

Pak Anang


6. 3.

Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan peluang suatu kejadian.

Peluang Kejadian Ruang Sampel

Banyaknya Kejadian

“semua kejadian yang mungkin”

“kejadian yang ditanyakan di soal”

𝑛(𝑆)

𝑛(𝐴)

Peluang Kejadian “banyak kejadian dibagi banyak ruang sampel” 𝑃(𝐴) =

𝑛(𝐴) 𝑛(𝑆)

0 ≤ 𝑃(𝐴) ≤ 1

↓

mustahil

↓

pasti

Peluang Kejadian Komplemen “peluang tidak terjadinya A” 𝑃(𝐴) + 𝑃(𝐴)𝐶 = 1 𝑃(𝐴)𝐶 = 1 − 𝑃(𝐴)𝐶

Frekuensi Harapan “banyak kejadian dalam 𝒏 kali percobaan” 𝑓ℎ (𝐴) = 𝑛 × 𝑃(𝐴)



Halaman 317

Peluang Kejadian Majemuk Peluang Gabungan Dua Kejadian

Peluang Dua Kejadian Bersyarat

“Peluang Kejadian A atau B A dan B mungkin terjadi bersama”

“Peluang Kejadian A dan B dengan syarat B telah terjadi"

𝑃(𝐴 ∪ 𝐵) = 𝑃(𝐴) + 𝑃(𝐵) − 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) catatan: 𝐴 ∩ 𝐵 ≠ ∅

𝑃(𝐴|𝐵) =

𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) 𝑃(𝐵)

“Peluang Kejadian A dan B dengan syarat A telah terjadi”

Peluang Dua Kejadian Saling Lepas

𝑃(𝐵|𝐴) =

𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) 𝑃(𝐴)

“Peluang Kejadian A atau B A dan B tidak mungkin terjadi bersama” 𝑃(𝐴 ∪ 𝐵) = 𝑃(𝐴) + 𝑃(𝐵) − 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) catatan: 𝐴 ∩ 𝐵 = ∅

Peluang Dua Kejadian Saling Bebas ”Peluang Kejadian A dan B yang tidak saling mempengaruhi” 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) = 𝑃(𝐴) × 𝑃(𝐵)

Halaman 318



KONSEP DASAR Menyusun Ruang Sampel. Pada soal UN Matematika SMA beberapa tahun terakhir, materi peluang yang sering ditanyakan adalah menentukan peluang kejadian pada: -

pelemparan dua buah dadu, pelemparan beberapa mata uang koin, pengambilan beberapa bola yang diletakkan dalam sebuah kotak dengan atau tanpa pengembalian, pengambilan beberapa kartu pada kartu bridge atau kartu remi.

Cara menyusun ruang sampel ada berbagai macam cara, diantaranya adalah: -

diagram pohon tabel mendaftar anggota

Contoh: Menyusun ruang sampel untuk percobaan pelemparan dua dadu. Menggunakan tabel. Dadu 2

1

2

3

4

5

6

1

(1,1)

(1,2)

(1,3)

(1,4)

(1,5)

(1,6)

2

(2,1)

(2,2)

(2,3)

(2,4)

(2,5)

(2,6)

3

(3,1)

(3,2)

(3,3)

(3,4)

(3,5)

(3,6)

4

(4,1)

(4,2)

(4,3)

(4,4)

(4,5)

(4,6)

5

(5,1)

(5,2)

(5,3)

(5,4)

(5,5)

(5,6)

6

(6,1)

(6,2)

(6,3)

(6,4)

(6,5)

(6,6)

Dadu 1

Menggunakan diagram pohon. Dadu 1

1

2

3

Dadu 2

Hasilnya

1 2 3 4 5 6

(1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6)

1 2 3 4 5 6

(2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6)

1 2 3 4 5 6

(3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6)

1 2 3 4 5 6

(4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6)

1 2 3 4 5 6

(5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6)

1 2 3 4 5 6

(6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6)

Awal 4

5

6



Halaman 319

Menyusun ruang sampel untuk pelemparan dua mata uang koin. Menggunakan tabel. Koin 2

A

G

A

(A,A)

(A,G)

G

(G,A)

(G,G)

Koin 1

Menggunakan diagram pohon. Koin 1

Dadu 2

Hasilnya

A

(A,A)

G

(A,G)

A

(G,A)

G

(G,G)

A

Awal

G

Menyusun ruang sampel untuk satu set kartu bridge atau kartu remi.

Dalam satu set kartu bridge atau kartu remi terdapat 52 kartu (tanpa kartu joker).

Halaman 320



TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS Menemukan Kejadian Tertentu pada Ruang Sampel Pelemparan Beberapa Koin. Contoh Soal: Dalam pelemparan dua koin tentukan peluang paling banyak muncul satu angka! Penyelesaian: Nah, kejadian paling sedikit muncul satu angka bisa diartikan sebagai berikut: -

muncul 1 angka, 1 gambar. muncul 2 angka (dua-duanya angka). Koin 2

𝑆 = kejadian pelemparan dua koin secara bersama-sama 𝑆 = {(𝐴, 𝐴), (𝐴, 𝐺), (𝐺, 𝐴), (𝐺, 𝐺)} 𝑛(𝑆) = 4

A

G

A

(A,A)

(A,G)

G

(G,A)

(G,G)

Koin 1

𝐴 = kejadian muncul paling sedikit 1 angka 𝐴 = {(𝐴, 𝐴), (𝐴, 𝐺), (𝐺, 𝐴)} 𝑛(𝐴) = 3

Maka peluang kejadian muncul paling sedikit satu angka adalah: 𝑛(𝐴) 3 𝑃(𝐴) = = 𝑛(𝑆) 4 Menyusun TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS: Perhatikan pada tabel ruang sampel tersebut: Banyak kejadian muncul 0 angka = 1 kejadian Banyak kejadian muncul 1 angka = 2 kejadian Banyak kejadian muncul 2 angka = 1 kejadian Pada perluasan soal ini untuk pelemparan 3 koin akan menghasilkan ruang sampel sebagai berikut: Banyak kejadian muncul 0 angka = 1 kejadian Banyak kejadian muncul 1 angka = 3 kejadian Banyak kejadian muncul 2 angka = 3 kejadian Banyak kejadian muncul 3 angka = 1 kejadian Ingat? Bentuk barisan bilangan berikut: 1 1 1 1

1 2

3 4

1 3

6

1 4

1

Nah,ternyata TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS untuk menyusun banyak kejadian tertentu pada pelemparan beberapa koin adalah menggunakan bilangan segitiga pascal atau di SMA dikenal sebagai konsep binomial newton, yang tentunya sudah kita kuasai. Contoh TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS: Ruang sampel pada pelemparan 3 koin secara praktis bisa dinyatakan dalam penjabaran bentuk aljabar berikut: (𝐴 + 𝐺)3 = 𝐴3 + 3𝐴2 𝐺 + 3𝐴𝐺 2 + 𝐺 3 1 kejadian muncul 3 angka, 3 kejadian muncul 2 angka dan 1 gambar,

3 kejadian muncul 1 angka dan 2 gambar,

1 kejadian muncul 3 gambar.



Halaman 321

TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS Jumlah Dua Mata Dadu pada Ruang Sampel Pelemparan Dua Dadu. Contoh Soal: Pada pelemparan dua dadu secara bersama-sama, tentukan peluang munculnya dua dadu berjumlah 9! Penyelesaian: 𝑛(𝑆) = 36 𝐴 = kejadian muncul dua dadu berjumlah 9 𝐴 = {(3,6), (4,5), (5,4), (6,3)} 𝑛(𝐴) = 4 Maka peluang kejadian muncul dua dadu berjumlah 9 adalah: 𝑛(𝐴) 4 𝑃(𝐴) = = 𝑛(𝑆) 36 Penyelesaian TRIK SUPERKILAT:

Menghafal banyak kejadian jumlah angka pada pelemparan dua mata dadu: Jumlah angka pada dua dadu Banyaknya kejadian

2 1

3 2

4 3

5 4

6 5

7 6

8 5

9 4

10 3

11 2

12 1

Nah, sekarang coba perhatikan dengan jeli tabel dari ruang sampel pelemparan dua dadu berikut: Dadu 2

Jumlah Dua Mata Dadu

Dadu 1 1

1

2

3

4

5

6

(1,1)

(1,2)

(1,3)

(1,4)

(1,5)

(1,6)

2

(2,1)

(2,2)

(2,3)

(2,4)

(2,5)

(2,6)

3

(3,1)

(3,2)

(3,3)

(3,4)

(3,5)

(3,6)

4

(4,1)

(4,2)

(4,3)

(4,4)

(4,5)

(4,6)

5

(5,1)

(5,2)

(5,3)

(5,4)

(5,5)

(5,6)

6

(6,1)

(6,2)

(6,3)

(6,4)

(6,5)

(6,6)

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

1+1

1+2

1+3

1+4

1+5

1+6

2+6

3+6

4+6

5+6

6+6

2+1

2+1

2+1

2+4

2+5

3+5

4+5

5+5

6+5

3+1

3+1

3+3

3+4

4+4

5+4

6+4

4+1

4+2

4+3

5+3

6+3

5+1

5+2

6+2

Kejadian yang mungkin terjadi

6+1 Banyaknya Kejadian

1

2

3

4

5

6

5

4

3

2

1

Jadi kesimpulan TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS adalah sebagai berikut: Jumlah terkecil dua mata dadu adalah 2 dan jumlah terbesar adalah 12. Jumlah angka pada dua dadu Banyaknya kejadian

2 1

3 2

4 3

5 4

6 5

naik dari 1 sampai 6

Halaman 322

7 6

8 5

9 4

10 11 12 3 2 1

lalu turun dari 6 ke 1 lagi 



TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS Pengambilan Beberapa Kelereng di dalam Sebuah Kotak. Penjelasan detailnya langkah-langkah TRIK SUPERKILAT beserta contoh-contoh soal akan segera dilanjutkan di http://pak-anang.blogspot.com. :) Jadi pastikan untuk selalu mengunjungi laman web berikut: http://pak-anang.blogspot.com/2013/04/smart-solution-un-matematika-sma-2013.html untuk mengecek dan mengunduh update versi terbaru terbaru TRIK SUPERKILAT UN Matematika SMA 2013 pada bab Peluang Kejadian ini….



Halaman 323


1.

Dua buah dadu dilempar undi bersama-sama satu kali. Peluang muncul mata dadu berjumlah 5 atau 7 adalah .... 1 A. 1 2 3 4 5 6 S = kejadian melempar dua mata dadu 9 1 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 n(S) = 36 1 2 2,1 2,2 2,3 2,4 2,5 2,6 B. 3 3,1 3,2 3,3 3,4 3,5 3,6 A = kejadian muncul mata dadu 5 6 4 4,1 4,2 4,3 4,4 4,5 4,6 n(A) = 4 5 5 5,1 5,2 5,3 5,4 5,5 5,6 C. 6 6,1 6,2 6,3 6,4 6,5 6,6 B = kejadian muncul mata dadu 7 18 n(B) = 6 2 D. Peluang muncul mata dadu berjumlah 5 atau 7: 3 𝑃(𝐴 ∪ 𝐵) = 𝑃(𝐴) + 𝑃(𝐵) 5 𝑛(𝐴) 𝑛(𝐵) E. = + 9 𝑛(𝑆) 𝑛(𝑆) 4 6 + 36 36 10 = 36 5 = 18 =

𝐓𝐑𝐈𝐊 𝐒𝐔𝐏𝐄𝐑𝐊𝐈𝐋𝐀𝐓: Menghafal banyak kejadian jumlah angka pada pelemparan dua mata dadu: Jumlah angka pada dua dadu Banyaknya kejadian

2.

2 1

3 2

4 3

5 4

6 5

7 6

8 5

9 4

10 3

11 2

12 1

Dalam kotak terdapat 3 kelereng merah dan 4 kelereng putih, kemudian diambil 3 kelereng sekaligus secara acak. Peluang terambil paling sedikit 2 kelereng putih adalah .... 3 S = kejadian mengambil 3 kelereng sekaligus dari 7 kelereng A. 7! 7∙6∙5 35 n(S) = 7 C3 = = = 35 (7 − 3)! 3! 3 ∙ 2 ∙ 1 4 B. 35 A = kejadian terambil 2 kelereng putih dari pengambilan 3 kelereng sekaligus 4! 3! 4∙3 3 7 n(A) = 4 C2 ∙ 3 C1 = ∙ = ∙ = 18 C. (4 − 2)! 2! (3 − 1)! 1! 2 ∙ 1 1 35 dari pengambilan 3 kelereng sekaligus 12 B = kejadian terambil 34!kelereng putih 3! D. 35 n(B) = 4 C3 ∙ 3 C0 = (4 − 3)! 3! ∙ (3 − 0)! 0! = 4 ∙ 1 = 4 22 Peluang terambil paling sedikit 2 kelereng putih dari pengambilan 3 kelereng sekaligus: E. 𝑛(𝐴) 𝑛(𝐵) 18 4 22 35 𝑃(𝐴 ∪ 𝐵) = 𝑃(𝐴) + 𝑃(𝐵) =

𝑛(𝑆)

+

𝑛(𝑆)

=

35

+

35

=

35


Halaman 324



2013. (Program Studi IPA) Disusun Sesuai Indikator Kisi-Kisi UN Disusun oleh : Pak Anang

Recommend Documents