PROBABILITAS 02/10/2013
Dr. Vita Ratnasari, M.Si
Dalam menghadapi persoalan-persoalan yang TIDAK PASTI diperlukan suatu ukuran untuk menyatakan tingkat KEPASTIAN atau KETIDAKPASTIAN kejadian tsb.
02/10/2013
Definisi / pengertian dasar probabilitas 1.
2.
3.
Sample space / ruang sampel: (S) ialah himpunan semua hasil yang mungkin dari suatu kejadian.
Event / kejadian: (A) ialah himpunan bagian dari ruang sampel. Komplemen suatu kejadian A terhadap S: (A’ ) ialah himpunan semua unsur S yang tidak termasuk A. 02/10/2013
4. A intersection B / Irisan dua kejadian A dan B: (AB) ialah kejadian yang unsurnya termasuk dalam A dan B. 5. A union B / Gabungan dua kejadian A dan B: (AB) ialah kejadian yang mengandung semua unsur yang termasuk A atau B atau keduanya.
02/10/2013
AUB S B
A
02/10/2013
S A
B
S A
B
A∩B
A∩B=Ǿ 02/10/2013
A ⊂B S
B A
02/10/2013
Ac S
A
02/10/2013
contoh 1. Tentukan sample space dari berat badan mahasiswa. 2. Dalam proses inspeksi terhadap produk eternit yang pecah, setiap 10 lembar eternit diambil 3 lembar untuk untuk diperiksa sebagai sampel. Kemudian diidentifikasi eternit yang pecah. Tentukan sample spacenya. 3. Tentukan himpunan kejadian untuk A jika 3 eternit pecah. 4. Tentukan himpunan kejadian untuk B jika 2 eternit pecah. 02/10/2013
Solusi 1. X = Berat badan mahasiswa S = { 40 x 80 } 2. P = pecah, T = tidak pecah S = { PPP, PPT, PTP, TPP, PTT, TPT, PTT, TTT } 3. A = { PPP } 4. B = { PPT, PTP, TPP }
02/10/2013
1.
2. 3. 4.
5. 6. 7.
8.
A= A=A A $· A $· 6 6· $· · $ (A % · %· $· (A % · %· $· 02/10/2013
1. Nilai probabilitas dari suatu event A, ditulis P(A) didefinisikan sedemikian hingga : 0 P(A) 1 2. P(A) = 0, jika A tidak mungkin terjadi 3. P(A) = 1, jika A pasti terjadi Dimana : n( A) P( A) n( S )
4.
P A B P A P B P A B 02/10/2013
Menghitung jumlah kejadian yang terjadi 1.
2.
Bila suatu operasi dapat dilakukan n1 cara, dan bila untuk tiap cara ini operasi kedua dapat dikerjakan dengan n2 cara, maka kedua operasi itu dapat dikerjakan bersama-sama dengan n1n2 cara. Bila suatu operasi dapat dilakukan n1 cara, dan bila untuk setiap cara ini operasi kedua dapat dikerjakan dengan n2 cara, dan bila untuk setiap kedua cara operasi tersebut operasi ketiga dapat dikerjakan dengan n3 cara, dan seterusnya, maka deretan k operasi dapat dikerjakan dengan n1n2 . . . nk cara. 02/10/2013
3. Permutasi ialah suatu susunan yang dapat dibentuk dari satu kumpulan benda yang diambil sebagian atau seluruhnya, dimana: Urutan diperhatikan Pengulangan tidak diijinkan n! n Pr (n r )! 02/10/2013
4. Kombinasi suatu susunan yang dapat dibentuk dari satu kumpulan benda yang diambil sebagian atau seluruhnya, dimana: Urutan tidak diperhatikan Pengulangan tidak diijinkan n! n Cr r! (n r )! 02/10/2013
Soal 1.
Bila ada 7 dasi, 5 baju dan 4 celana, ada berapa macam baju ± dasi ± celana yang berlainan ?
2.
Dari empat orang staf direksi sebuah perusahaan, misalkan si A, B, C dan D. Hendak dipilih seorang sebagai direktur utama dan seorang lagi sebagai direktur umum. Berapa kejadian yang mungkin terjadi ?
3. Dari empat orang staf pembukuan pada sebuah perusahaan, misalkan mereka si R, S, T dan U. Hendak ditetapkan dua orang sebagai anggota tim pengusut manipulasi, keduanya akan mempunyai kedudukan yang sama dalam tim. Berapa kejadian yang mungkin terjadi ? 02/10/2013
solusi 1.
2.
7 x 5 x 4 = 140 pasangan baju ²dasi ²celana berlainan. 4! P 12 (4 2)! 4 2
Terdapat 12 kemungkinan susunan antara direktur utama dan direktur umum. 3.
C 24
4! 6 2! (4 2)!
Terdapat 6 kemunginan susunan anggota tim pengusut manipulasi. 02/10/2013
4. Dari 4 pria dan 5 wanita, berapa banyak panitia yang beranggotakan 3 orang dapat dibuat: a. Tanpa aturan berdasarkan jenis kelamin b. Dengan 1 pria dan 2 wanita c. Dengan 2 pria dan 1 wanita bila pria tertentu harus termasuk dalam panitia.
02/10/2013
a.
C39
b.
4 C1
c.
5 C2
C13 C15
02/10/2013
5. Suatu perusahaan merekrut 3 sarjana dan dua sarjana muda. Tetapi yang masuk dalam test wawancara ada 7 sarjana dan 8 sarjana muda, dimana mereka mempunyai skor nilai yang sama. Berapa kemungkinan kelima staf baru yang akan terpilih?
02/10/2013
6. Di kota ´685$%$<$µ ada 5 supplier yang melayani penjualan alat-alat perkantoran. Tentukan ada berapa macam cara jika sebuah toko yang berada di Jalan Dinoyo akan memilih 3 dari 5 supplier tersebut ?
02/10/2013
Peluang (Probabilitas) Suatu Kejadian Peluang suatu kejadian A adalah jumlah peluang semua titik sampel dalam kejadian A. Contoh : Pelemparan sebuah dadu S = {1,2,3,4,5,6}
A : kejadian muncul mata dadu ganjil {1,3,5} maka : P( A) n( A) 3 1 n( S ) 6 2 S .2
A .1 .3 .5
.4 .6
02/10/2013
1. Nilai probabilitas dari suatu event A, ditulis P(A) didefinisikan sedemikian hingga : 0 P(A) 1 2. P(A) = 0, jika A tidak mungkin terjadi 3. P(A) = 1, jika A pasti terjadi Dimana : n( A) P( A) n( S )
4.
P A B P A P B P A B 02/10/2013
Beberapa Hukum Dasar Probabilitas Hukum PENJUMLAHAN (gabungan atau UNION)
P(AB) = P(A) + P(B) ²P(AB)
Bila A1, A2«$ n adalah kejadian-kejadian yang saling terpisah, maka
S
P(A1 A2 « An) = P(A1) + P(A2 «3 $ n)
A
B
tidak terpisah
S
A
B
terpisah
02/10/2013
Hukum Dasar Probabilitas (cont ...) 1.
2. 3. 4.
5. 6. 7.
8.
A= A=A A $· A $· 6 6· $· · $ (A % · %· $· (A % · %· $· 02/10/2013
Peluang Bersyarat (Conditional Probability) Peluang suatu kejadian dapat tergantung atas terjadi atau tidak terjadinya kejadian lainnya. Jika terdapat ketergantungan, maka peluang yang bersangkutan disebut sebagai Peluang Bersyarat. P( A B) P( B A) P( A)
, bila P(A) > 0
Peluang B terjadi jika diketahui A terjadi. 02/10/2013
Kejadian Bebas Dua kejadian A dan B bebas jika dan hanya jika P( B A) P( B)
dan
P( A B) P( A)
sehingga : P( A B) P( A) P( B) 02/10/2013
Soal 1. Peluang suatu penerbangan yang telah terjadwal teratur berangkat tepat waktu P(B) = 0.83. Peluang sampai tepat waktu P(S) = 0.82. Peluang berangkat dan sampai tepat waktu 0.78. . a. Cari peluang bahwa pesawat sampai tepat waktu bila diketahui berangkat tepat waktu. b. Cari peluang bahwa pesawat berangkat tepat waktu bila diketahui sampai tepat waktu. 02/10/2013
Solusi
a.
b.
P S B P B S
P S B P B
P S B PS
0.78 0.94 0.83 0.78 0.95 0.82
02/10/2013
2. Pada suatu percobaan untuk meneliti pengaruh hipertensi pada kebiasaan merokok, dikumpulkan data yang menyangkut 180 orang.
Hipertensi Tidak hipertensi
Bukan perokok 21 48
Perokok sedang 36 26
Perokok berat 30 19
87 93
69
62
49
180
02/10/2013
Bila seseorang diambil secara acak dari kelompok ini, carilah peluang bahwa orang itu: a. Menderita hipertensi, bila diketahui dia perokok berat. b. Bukan perokok, bila diketahui dia tidak menderita hipertensi 02/10/2013
a.
b.
P H PB
P BP TH
P H PB P PB
30 180 0.6122 49 180
P BP TH P TH
48 180 0.5161 93 180
PROBABILITAS IBMT 2013 02/10/2013
3. Suatu survey terhadap pembaca majalah dilakukan dan menghasilkan: berita
Jenis majalah sport
lainnya
< 30 th 30 ± 40 th 41 ± 50 th
12 10 11
10 7 8
1 3 5
23 20 24
> 50 th
14 47
6 31
13 22
33 100
02/10/2013
a.
Hitung probabilitas seorang pembaca berusia 30 tahun atau lebih.
b.
Hitung probabilitas seorang pembaca adalah pembaca majalah sport bila diket usianya di bawah 50 th
c.
Hitung probabilitas seorang pembaca berusia diatas 40 th bila diketahui ia pembaca majalah sport. 02/10/2013
Teorema Bayes
Misalkan kejadian B1, B2« Bk merupakan suatu sekatan ruang sample S dengan P(Bi untuk i = 1,2, .. , k. Misalkan A suatu kejadian sembarang dalam S. Maka: PBr PA Br PBr A k PBr A k PBi A PBi PA Bi i 1
Untuk U
i 1
«N 02/10/2013
Soal 1. Suatu pabrik memiliki 5 mesin masing-masing berproduksi 15 %, 15%, 15%, 20% dan 35%. Dari mesin I diketahui ada 2 % produk cacat, dari mesin 2 ada 1%, mesin 3 ada 3%, mesin 4 tak ada yang cacat, mesin 5 ada 5% yang cacat. a. Berapa probabilitas cacat di seluruh pabrik? b. Bila suatu produk cacat ditemukan, berapa probabilitas bahwa ia berasal dari: mesin 5? 02/10/2013
a. P C P C M1 P C M 2 P C M3 P C M 4 P C M 5 *P C M 1 P (C M 1) P (M 1) 0.02 0.15
P( M 5 C ) 0.35 0.05 b. P M 5 C P(C ) P(C )
02/10/2013
2. Suatu perusahaan besar menggunakan 3 hotel
sebagai tempat menginap para langganannya. Dari pengalaman yang lalu diketahui bahwa 20% langganannya di hotel A, 50% di hotel B dan 30% di hotel C. Bila 5% kamar mandi di hotel A tidak berfungsi dengan baik, 4% di hotel B dan 8% di hotel C. a. Berapa peluang seorang langganan mendapat kamar yang kamar mandinya tidak baik ? b. Jika seseorang mendapat kamar mandi yang tidak baik berapa peluang ia di tempatkan di hotel A ? 02/10/2013
