Studiewijzer Calculus 1 voor Bouwkunde (2DB80) cursus 2011/2012 Inleiding In de cursus Calculus 1 voor Bouwkunde (2DB80) wordt gebruikt het boek Calculus, Early T ranscendental F unctions, Robert T. Smith, Roland B. Minton, fourth edition, Mc Graw Hill, 2012. In deze studiewijzer is per week een overzicht gegeven van achtereenvolgens: * de stof uit het boek die op college wordt behandeld * belangrijke begrippen hieruit * de opgaven voor de instructies. De colleges Calculus 1 voor de eerstejaars studenten worden gegeven door: Dr. A.G. van Asch (tel. 2810, e-mail
[email protected]) onder de code 2DB80. De colleges worden op dinsdag gegeven, en de instructies vinden op donderdag plaats. Het is de bedoeling dat de leerstof voorafgaand aan de instructies bestudeerd wordt. Ook is het raadzaam alvast naar de instructie-opgaven te kijken, en daar eventueel vooraf al mee te oefenen. De nadruk in met name het eerste deel van het vak Calculus 1 zal liggen op het verwerven van kennis en vaardigheden met betrekking tot een aantal elementaire wiskundige zaken. Zeker in het begin kan daardoor de indruk gewekt worden dat onderwerpen uit het VWO programma herhaald worden. Inhoudelijk is dat op een aantal punten ook zo, maar de werkwijze is wel verschillend. Er zal dieper worden ingegaan op tal van onderwerpen uit de school-wiskunde, en op verschillende plaatsen zullen er nieuwe aspecten aan worden toegevoegd.
Wiskundige vaardigheden Op het college en de instructies wordt uitgegaan van bepaalde rekenvaardigheden en het paraat hebben van formules. Dit wordt apart schriftelijk getoetst in de Ingangstoets wiskundige vaardigheden (2DA70) in de eerst collegeweek. Bij de vaststelling van 1
het eindcijfer voor het vak Calculus 1 zal het resultaat van deze Ingangstoets voor 10% meetellen. Er is een herkansing in week 8. Hieronder volgen wat suggesties voor het eventueel bijspijkeren van wiskundige basisvaardigheden. • Op de website van WISTU/e: http://www.wistue.nl/ kan geoefend worden met de soort opgaven die ook tijdens de Ingangstoets gevraagd worden. • Indien er een achterstand of deficiëntie is, kan het dictaat “Rekenvaardigheden” aanschaft worden bij de dictaten verkoop. Hierin staan veel relevante formules en opgaven. • Verder is het boek: “Basisboek Wiskunde” (tweede editie) van Jan van de Craats en Rob Bosch (ISBN 978-90-430-1673-5) aan te bevelen. In het verlengde hiervan is ook het boek “Vervolgboek Wiskunde” van Jan van de Craats (ISBN 978-90-430-1619-3) zeer goed bruikbaar. • Tenslotte is het ook mogelijk om mee te doen aan het project Telmme op de website (bij voorkeur met de browser Firefox): http://www.telmme.nl/ Om aan de cursus te kunnen deelnemen, moet men zich wel eerst aanmelden. Zie linksboven: "Create new account". Per email komt er dan een bevestiging. Vervolgens bij TU/e courses aanklikken: "Calculus voor Bouwkunde (NL)"
2
Tentaminering Het semester bestaat uit twee kwartielen. Na het eerste kwartiel vindt er een deeltentamen van 1.5 uur plaats over het eerste deel van de leerstof. Dit deeltentamen gaat over de volgende paragrafen (voor zover behandeld): Chapter 0: 0.1, 0.3, 0.4, 0.5 Chapter 1: 1.2 t/m 1.5 Chapter 2: 2.1 t/m 2.7 Na het tweede kwartiel is er een tentamen van 3 uur over de gehele stof. Dit tentamen bestaat uit een duidelijk onderscheiden A-deel over de stof van het deeltentamen (in feite te beschouwen als herkansing van dit deeltentamen), en een B-deel over de resterende stof. Voor elk van de twee delen wordt een cijfer gegeven. Studenten kunnen op grond van een goed resultaat bij het deeltentamen er voor kiezen deel A niet te maken, en al hun tijd aan deel B te besteden. Voor deel A wordt dan het cijfer van het deeltentamen ingevuld. Als iemand zowel het deeltentamen als deel A van het afsluitende tentamen doet wordt het hoogste resultaat gebruikt bij het vaststellen van het eindcijfer. Na het eerste kwartiel van het tweede semester vindt er een herkansing van Calculus 1 plaats. Deze herkansing is een ongedeeld tentamen over de gehele stof. Het resultaat van het deeltentamen telt dan niet meer mee, het resultaat van de Ingangstoets wel. Het eindcijfer na afloop van het semester wordt als volgt vastgesteld: 0.1×resultaat Ingangstoets + 0.4×resultaat 2XB80 (of deel A) + 0.5×resultaat deel B, afgerond op een geheel getal. Bij de herkansing speelt het resultaat van de ingangstoets opnieuw mee, en wordt het eindcijfer als volgt bepaald: 0.1×resultaat Ingangstoets + 0.9×resultaat 2DB80, afgerond op een geheel getal. Schema tentaminering voor het vak Calculus 1 voor B, cursus 2010/2011: In kwartiel 1: Ingangstoets wiskundige vaardigheden in week 1, code 2DA70, tijdsduur 1 uur (herkansing in week 8) Na kwartiel 1: deeltentamen Calculus 1 voor B, code 2XB80, tijdsduur 1.5 uur. Na kwartiel 2: tentamen Calculus 1 voor B, code 2DB80, tijdsduur 3 uur. Na kwartiel 3: tentamen Calculus 1 voor B, code 2DB80, tijdsduur 3 uur. Tijdens de (deel)tentamens zal het gebruik van een rekenmachine, laptop of formulekaart niet toegestaan zijn. Geef je tijdig op voor (deel)tentamens! Als je je niet hebt opgegeven wordt eventueel werk dat je inlevert niet nagekeken. 3
Tijdschema Kwartiel 1, week 1 Leerstof: § 0.1 (tot Example 1.20) Onderwerpen: • Ongelijkheden, absolute waarde, oplossen van ongelijkheden. • Vergelijkingen van rechte lijnen. • Definitie functie, polynoomfuncties, rationale functies. • Grafiek van een functie. Zelfstudie. Bestudeer de op college behandelde stof. Instructie-opgaven: § 0.1 : 12, 15, 19, 23, 25, 31, 46, 47 Extra opgaven: Los de volgende ongelijkheden op. 1. 4 − 3x < 6 2. −2 < 2 − 2x < 3 3. x2 − x − 6 < 0 4. |3 − x| < 1 5.
x+2 >0 x−2
6.
−8x <0 (x + 1)3
4
Kwartiel 1, week 2 Leerstof: § 0.1 (vanaf Example 1.20) § 0.4 (tot The Inverse Trigonometric Functions, met uitzondering van de functies sec, csc, cot) Onderwerpen: • Nulpunten van een kwadratische vergelijking. • Nulpunten van een derdegraadsvergelijking indien een factor uitgedeeld kan worden. • De functies sinus, cosinus en tangens. • Periodiciteit van deze functies. • Verband tussen sin x en cos x, sin2 x + cos2 x = 1. • Somformules, herschrijven van sommen van sinussen en cosinussen. Zelfstudie. Bestudeer de op college behandelde stof. Instructie-opgaven: § 0.1 : 66, 67, 68, 72 § 0.4 : 33, 34, 47, 48, 53, 55 Extra opgave: Los de volgende vergelijkingen op: 1. cos2 x + cos x = 0 2. sin2 x + cos x − 1 = 0 3. 2 cos2 x + 3 sin x − 3 = 0 Antwoorden 1. x = 21 π + kπ, x = π + 2kπ 2. x = 12 π + kπ, x = 2kπ 3. x = 16 π + 2kπ, x = 56 π + 2kπ, x = 12 π + 2kπ 5
Kwartiel 1, week 3 Leerstof: § 0.5 (met uitzondering van Examples 5.11 en 5.14) Extra: Oplossen van vergelijkingen met hyperbolische functies. Onderwerpen: • Rekenregels voor exponenten, de exponentiële functie, het getal e. • Grafieken van e-machten, de logaritmische functie, de natuurlijke logaritme. • Vergelijkingen met logaritmen. • Rekenregels voor logaritmen. • De hyperbolische functies. Zelfstudie. Bestudeer de op college behandelde stof. Instructie-opgaven: § 0.5 : 27, 31, 33, 38, 44, 45, 49, 50 Extra opgave: Los de volgende vergelijkingen op. 1. sinh x = 2 2. sinh x = y 3. tanh x =
1 2
4. 5 cosh x − 3 sinh x = 5 5. cosh x − 2 tanh x = 0
Antwoorden 6
√ 1. x = ln 2 + 5 p 2. x = ln y + y 2 + 1 3. x = 21 ln 3 4. x = 0, x = ln 4 √ 5. x = ln 1 + 2
7
Kwartiel 1, week 4 Leerstof: § 0.3 § 0.4 (vanaf The Inverse Trigonometric Functions, met uitzondering van sec−1 ) Onderwerpen: • De inverse van een functie. • De inverse van de functies sinus, cosinus en tangens. • Vereenvoudigen van uitdrukkingen met arcsin, arccos en arctan. Zelfstudie. Bestudeer de op college behandelde stof. Instructie-opgaven: § 0.3 : 11, 13, 18 § 0.4 : 37, 38, 39, 40, 42, 58, 61
8
Kwartiel 1, week 5 Leerstof: § 1.2 § 1.3 § 1.4 (tot The Method of Bisections, niet Examples 4.2, 4.3 en 4.8) § 1.5 Onderwerpen: sin x = 1. x→0 x • Het berekenen van limieten, rekenregels, insluitstelling. • Het begrip limiet, eenzijdige limiet, lim
• Continuïteit in een punt en op een interval, discontinuïteiten, continuïteit van sommen, producten en quotienten van continue functies, de tussenwaardestelling. • Oneindige limieten en limieten in oneindig. • Limieten van rationale functies, verticale en horizontale asymptoten. Zelfstudie. Bestudeer de op college behandelde stof. Instructie-opgaven: § 1.3 : 4, 7, 8, 9, 11, 13, 23, 29, 31, 37, 38 § 1.4 : 19, 21, 26, 37 § 1.5 : 1, 6, 9, 15, 20, 23b Extra opgaven: x3 + 5x2 + 1 1. Bepaal de limiet: lim −x−2 . 2+x+1 x→∞ x √ 2. Bepaal de limiet: lim x x2 + 3 − x
x→∞
Antwoorden 1. 2 2.
3 2
9
Kwartiel 1, week 6 Leerstof: § 2.1 Zelf doen! Herhaling VWO-stof. § 2.2 (tot "Numerical Differentiation") § 2.3 (met uitzondering van het bewijs van Theorem 3.1 (Power rule) op blz. 146/147) § 2.4 Onderwerpen: • Herhaling differentiequotiënt, raaklijn, richtingscoëfficiënt. • De afgeleide van een functie in een punt, differentiëren van functies, differentieerbaarheid impliceert continuïteit. • Berekenen van afgeleiden, rekenregels voor som, verschil en product met een constante. • Productregel, quotiëntregel. Zelfstudie. Bestudeer de op college behandelde stof. Instructie-opgaven: § 2.2 : 6, 10, 11 § 2.3 : 12, 17, 19, 29 § 2.4 : 3, 6, 7, 33, 35
10
Kwartiel 1, week 7 Leerstof: § 2.5 § 2.6 (niet de functies sec, csc en cot, dus alles uitdrukken in sin, cos en tan) § 2.7 Onderwerpen: • De kettingregel. • Een tweetal standaardlimieten voor sin en cos, de afgeleiden van sin, cos en tan. • De afgeleiden van sommen, producten, quotiënten en samengestelde functies waarin goniometrische functies voorkomen. • Afgeleiden van exponentiële- en logaritmische functies. Zelfstudie. Bestudeer de op college behandelde stof. Instructie-opgaven: § 2.5 : 1, 5b, 8b, 17 § 2.6 : 2, 5, 7, 11, 13 § 2.7 : 2, 3, 7, 14, 16, 17, 21
11
Kwartiel 2, week 1 Leerstof: § 3.6 § 2.8 (niet de afgeleiden van de functies arcsec, arccsc, arccot) Onderwerpen: • Functieonderzoek en het schetsen van grafieken van functies. • Impliciet differentiëren, differentiëren van vergelijkingen voor het verkrijgen van relaties tussen afgeleiden. • De afgeleiden van arcsin, arccos en arctan. Zelfstudie. Bestudeer de op college behandelde stof. Instructie-opgaven: § 3.6 : 3, 6, 18, 37 § 2.8 : 3, 5, 11, 13, 29, 31
12
Kwartiel 2, week 2 Leerstof: Appendix Onderwerpen: • Parametervoorstelling van een kromme. • Kromming, kromtestraal. Zelfstudie. Bestudeer de op college behandelde stof. Instructie-opgaven: § 5 Appendix: opgaven 1, 2, 3, 4, 5
13
Kwartiel 2, week 3 Leerstof: § 9.6 Onderwerpen: • Kegelsneden: parabolen, ellipsen en hyperbolen. • Richtlijn van een kegelsnede. • Brandpunt van een kegelsnede. • Asymptoten van een hyperbool. Zelfstudie. Bestudeer de op college behandelde stof en maak de volgende opgaven: § 9.6 : 1, 5, 9 Instructie-opgaven: § 9.6 : 14, 15, 17, 25, 27, 30, 33, 35
14
Kwartiel 2, week 4 Leerstof: § 4.1 § 4.3 § 4.4 Onderwerpen: • Primitieve. • Riemann som. • Bepaalde integraal. • Gemiddelde waarde van een functie. Zelfstudie. Bestudeer de op college behandelde stof en maak de volgende opgaven: § 4.1 : 5, 6, 7, 9 § 4.3 : 1, 3 § 4.4 : 15, 17, 20 Instructie-opgaven: § 4.1 : 11, 17, 20, 21, 25, 26, 28 § 4.4 : 27, 28
15
Kwartiel 2, week 5 Leerstof: § 4.5 § 4.6 Onderwerpen: • Hoofdstelling van de integraalrekening. • Substitutiemethode. Zelfstudie. Bestudeer de op college behandelde stof en maak de volgende opgaven: § 4.5 : 3, 5, 8, 25 § 4.6 : 1, 4, 31 Instructie-opgaven: § 4.5 : 15, 17, 27, 31 § 4.6 : 9, 13, 15, 27, 34, 38
16
Kwartiel 2, week 6 Leerstof: § 6.1 § 6.2 (niet Example 2.6 op blz. 456) Onderwerpen: • partiële integratie Zelfstudie. Bestudeer de op college behandelde stof en maak de volgende opgaven: § 6.1 : 9, 17, 29 § 6.2 : 1, 3, 5 Instructie-opgaven: § 6.1 : 13, 16, 31, 37 § 6.2 : 14, 19, 41, 44
17
Kwartiel 2, week 7 Leerstof: § 6.3 (niet examples 3.6 t/m 3.10) § 6.4 Onderwerpen: • Goniometrische substituties. • Integralen van rationale functies. Zelfstudie Bestudeer de op college behandelde stof en maak de volgende opgaven: § 6.3 : 1, 5, 8 § 6.4 : 1, 3, 5 Instructie-opgaven: § 6.3 : 2, 17, 19, 25 § 6.4 : 10, 11, 21, 23, 31 De opgaven over goniometrische substituties uit § 6.3 zijn niet erg geschikt; daarom enkele extra opgaven over dit onderwerp: √
Z
√ 1 + x2 dx x4
3
1. Bepaal 1 1 2
Z 2. Bepaal 1 2
Z 3. Bepaal
√
√
3
2
√
2 + x2 √ dx 1 − x2
x2 dx 1 − 4x2
Antwoorden: √ √ 8 1. 23 2 − 27 3 √ 5 1 2. 24 π − 8 3 + 14 √ 3. − 18 x 1 − 4x2 +
1 16
arcsin(2x) + C 18
Appendix: Kromming 1
Inleiding
De begrippen kromming en kromtestraal worden in het boek Calculus behandeld in hoofdstuk 11. Daar worden deze begrippen echter algemeen voor ruimtelijke krommen behandeld. Wij beperken ons tot het eenvoudiger geval van een vlakke kromme, en leiden eerst een formule voor de kromming af voor het geval de kromme in parametervoorstelling is gegeven. Daarna bekijken we het speciale geval dat de kromme een deel is van de grafiek y = f (x). De begrippen kromming en kromtestraal spelen bijvoorbeeld een rol bij het beschrijven van de doorbuiging van balken.
2
Kromming van een geparametriseerde kromme in het vlak
Veronderstel dat een kromme in het vlak gegeven is door een parametervoorstelling x = x (t) y = y (t) In een punt P = (x (t) , y (t)) van de kromme maakt de raakljn een hoek ϕ met de x-as, en in het punt Q = (x (t + ∆t) , y (t + ∆t)) is dit ϕ + ∆ϕ. De lengte van de kromme tussen P en Q noemen we ∆s. (zie figuur 1) DEFINITIE 2.1 De kromming in punt P is ∆ϕ . κ = lim ∆t→0 ∆s We bepalen nu een uitdrukking voor deze kromming in termen van de coördinaat-functies x (t) en y (t) . 0 dy y 0 (t) y (t) Uit tan (ϕ) = = 0 volgt ϕ = arctan , waarbij we aannemen dat x0 (t) 6= 0. dx x (t) x0 (t) Met behulp van de afgeleide van de functie arctan en de kettingregel volgt dan dϕ = dt
1 1+
y 0 (t) x0 (t)
2
x0 (t) y 00 (t) − x00 (t) y 0 (t) x0 (t) y 00 (t) − x00 (t) y 0 (t) = x0 (t)2 x0 (t)2 + y 0 (t)2
19
y
D f P f
D s
Q f + D f x
Figuur 1: Berekening van de kromming
s 2 2 q ∆s ∆x ∆y 2 2 Voor ∆s geldt ∆s ≈ (∆x) + (∆y) , dus ≈ + . Hieruit volgt dat ∆t ∆t ∆t q ds = x0 (t)2 + y 0 (t)2 . We combineren deze beide uitkomsten op de volgende manier: dt dϕ ds −1 ∆ϕ 1 ∆ϕ = lim κ = lim . = ∆t→0 ∆s ∆t→0 ∆t ∆s dt dt ∆t Hieruit volgt dus dat κ=
|x0 (t) y 00 (t) − x00 (t) y 0 (t)| . 3 2 2 2 0 0 x (t) + y (t)
Voorbeeld 2.1 De cirkel met als middelpunt de oorsprong en straal R wordt gegeven door de vergelijking x2 + y 2 = R2 . Deze cirkel wordt ook gegeven door parametervoorstelling x = R cos t , 0 ≤ t ≤ 2π . y = R sin t De kromming is gelijk aan κ =
1 . De kromming is dus voor ieder punt op de cirkel gelijk. R
x2 y 2 Voorbeeld 2.2 De ellips met vergelijking 2 + 2 = 1, (a 6= b) kunnen we parametriseren a b als x = a cos t , 0 ≤ t ≤ 2π . y = b sin t 20
Figuur 2: Kromtestraal ρ.
De kromming is gelijk aan κ(t) =
ab
3 . (a2 sin (t) + b2 cos2 (t)) 2 Nu is κ0 (t) = 0 als 2(a2 − b2 ) sin(t) cos(t) = 0, dus als sin(t) = 0 of als cos(t) = 0, dus als t = 0, 21 π, π, 32 π. Een tekenoverzicht laat nu zien dat als a > b het maximum wordt aangenomen als t = 0, π, d.w.z. in de punten (±a, 0) van de ellips. Als a < b wordt het maximum aangenomen als t = 12 π, 32 π, d.w.z in de punten (0, ±b) van de ellips.
3
2
Kromtestraal
Zoals we in voorbeeld ?? hebben gezien heeft een cirkel in ieder punt dezelfde kromming en deze kromming is gelijk aan de inverse van de straal. Meer algemeen leidt dit tot (zie figuur 2) DEFINITIE 3.1 De kromtestraal in punt P van een kromme is de straal van de cirkel door punt P welke raakt aan de kromme en waarvan de kromming gelijk aan de kromming in punt P . De kromtestraal in punt P is dus de inverse van de kromming in punt P ; notatie ρ =
4
1 . κ
Kromming van de grafiek van een functie
Als we de grafiek van een functie y = f (x) bekijken en hiervan de kromming willen berekenen dan is dit een bijzonder geval van het voorgaande. 21
In dit geval kunnen we als parametrisering nemen
x=x y = f (x)
De formule voor de kromming wordt nu κ=
|f 00 (x)| 1 + f 0 (x)2
23
Voorbeeld 4.1 Een functie f (x) = ax + b heeft als grafiek een rechte lijn. De kromming is zoals te verwachten gelijk aan 0. Voorbeeld 4.2 Voor de parabool y = x2 wordt de kromming gegeven door κ =
2 3
(1 + 4x2 ) 2 De kromming is dus afhankelijk van de plaats op de parabool. De kromming is maximaal als 1 + 4x2 zo klein mogelijk is, d.w.z. als x = 0.
5
Opgaven 1. Bepaal in de volgende gevallen de kromming van de gegeven krommen in de aangegeven punten (a) y = x3 in het punt (2, 8) . (b) y = cosh x in het punt (0, 1) . (c) y = sin x in het punt (π, 0) en in het punt x=t−1 (d) in het punt (1, 11) . y = t2 + 2t + 3
1 π, 1 2
.
2. Bepaal in elk van de volgende gevallen in welke punten van de gegeven krommen de kromming maximaal is. (a) y = sin x (b) y = x2 + x. x = 5 cos t (c) y = 3 sin t 3. Gegeven is de kromme y = A (x3 − 1) + B (x − 1) + x. Bepaal de waarden van A en B zó dat de raaklijn in het punt (1, 1) horizontaal loopt, en de kromming in dit punt gelijk is aan 12. 4. Bepaal de kromming van de kromme x3 + y 3 + 2x2 − 4y + 3x = 0 in het punt (0, 0) . 5. Bepaal de kromming van de kromme x2 cos y + ye−x = 1 in het punt (0, 1) . 22
.
Antwoorden 12 √ 145 145 (b) 1
1. (a)
(c) 0 en 1 2 √ (d) 37 37 2. (a) x = 21 π + kπ (b) x = − 21 (c) t = 0 of t = π, dus de punten (x, y) = (5, 0) en (x, y) = (−5, 0) 3. A = 2, B = −7 of A = −2, B = 5 4.
64 125
5.
2 cos 1 − 1 √ 2 2
23
