METODE NUMERIK
JURUSAN TEKNIK SIPIL FAKULTAS TEKNIK UNIVERSITAS BRAWIJAYA 7/4/2012
SUGENG2010 Copyright 1996-98 © Dale Carnegie & Associates, Inc.
1
Kesalahan (ERROR): Selisih antara nilai perkiraan dengan
nilai eksak(nilai sesungguhnya)
Jika ã adalah nilai perkiraan (nilai pendekatan) a adalah nilai eksak
Maka kesalahan atau error adalah :
ε=ã - a atau
ã=a+ε nilai pendekatan = nilai eksak + kesalahan
sedangkan Kesalahan adalah
Relatif (εr)
Perbandingan antara kesalahan terhadap nilai eksak ~
εr =
a a
a a
error nilai eksak
Contoh soal :
Pada saat mengukur panjang sebuah jembatan dan sebuah paku masingmasing 9999cm dan 9cm,jika nilai eksak masing-masing adalah 10000cm dan 10cm,hitunglah kesalahan relatif yang terjadi!
εjembatan=10000 – 9999 =1cm εpaku = 10 –9 = 1 cm
maka : εr jembatan = εr paku =
1 0.01% 10000 1 10% 10
Soal 2 Berdasarkan deret Maclaurin : ex = x 2 x3 xn 1 x
2!
3!
.........
n!
Hitung e0,5,jika nilai eksak e0,5=1,648721271
Penyelesaian :
Jika kita melakukan pendekatan dengan hanya menggunakan dua suku pertama maka: ex=1+x e0,5=1+0,5 = 1,5
εr
1,648721271 1,5 1,648721271
9,02%
Akar persamaan NonLinear Pada matematika Rekayasa sering kali kita harus menentukan akar-akar persamaan sebuah fungsi yang berbentuk f(x)=0,jika dilakukan pendekatan nilai x=s maka f(s)=0 dengan f adalah fungsi yang diberikan dan s adalah nilai pendekatan. Formula yang memberikan nilai-nilai eksak untuk menjawab masalah numerik akan terjadi jika permasalahan yang ada adalah masalah sederhana.
Pada beberapa kondisi maka diperlukan metode iterasi agar didapatkan hasil pendekatan yang mendekati nilai eksak. Jadi untuk menentukan nilai x tersebut dilakukan tahap demi tahap mulai x0,x1,x2,x3,x4……..
diatas dari
Yang perlu dicatat adalah persamaan harus disusun ulang menjadi bentuk f(x) = 0
cara yang umum digunakan untuk memecahkan akarakar persamaan Non Linier adalah dengan menggunakan metode :
Bisection Newton Raphson Modified Newton Raphson Secant
Bisection Method Algoritma penyelesaian: • Tetapkan nilai awal xn dan xn+1 dengan syarat f(xn) x f(xn+1) < 0
• Hitung:
xr
xn
xn
1
2
• Hitung harga f(xr).Jika,
f(xr) x f(xn) > 0 maka xn = xr f(xr) x f(xn) < 0 maka xn+1 = xr • Hitung kesalahan
xn
xn
1
xn
1
Contoh: Carilah nilai x yang memenuhi persamaan tan x = 1/x dengan metode bisection
Jawab: Susun ulang persamaan menjadi x tan x – 1 = 0 Sehingga f(x) = x tan x – 1 xn = 0,5 f(xn) = -0.72685
Dicoba nilai awal :
xn+1 = 1 f(xn+1) = 0,55741 x r = (0,5 + 1 ) / 2 = 0,75 f(xr) = -0,3013 Karena f(xn) x f(xr) > 0 maka xn = 0,75 Cek error:
xn
1
xn
xn
1 0,75 1
0,25
Ulangi langkah di atas sampai error mendekati nol
Newton-Raphson Method Algoritma penyelesaian: • Tetapkan nilai awal x = xn • Hitung:
xn
1
• Cek kesalahan:
xn
f ( xn ) f ' ( xn ) xn
xn
1
xn
1
• Jika kesalahan > toleransi, ulangi langkah di atas sampai dengan kesalahan dalam batas toleransi
Contoh Soal : Tentukan besarnya akar positif dari persamaan berikut :
X3 + √3(x2) - 2x =2√3 JAWABAN : Dengan menggunakan Formula Newton :
x
( n 1)
x
n
f ( x ( n) ) f ' (x
( n)
)
f(x)= x3 + √3(x2) – 2x - 2√3 = 0
f’(x)= 3x2 + 2√3(x) - 2 coba x(0) = 1,7 f(x0) = 3,0545 f’(x0)= 12,559 coba x(1) = 1,46 f(x1) = 0,42 f’(x1)= 9,452
coba x(2) = 1,4 f(x2) = -0,125 f’(x2)= 8,73
x
(1)
x
0
f ' ( x ( 0) )
x ( 2)
x1
(3)
2
x
x
f ( x ( 0) )
3,0545 1,7 1,46 12,559
f ( x (1) ) 0,42 1,46 1,4 (1) f '(x ) 9,452
f ( x ( 2) ) f '(x
( 2)
)
( 0,125) 1,4 8,73
karena x(2) = x(3) maka proses iterasi sudah selesai.
1,4
Jika dianggap bahwa akar persamaannya adalah x = 1,4, maka jika disubtitusikan ke dalam persamaan semula :
f(x) = x3 + √3(x2) – 2x - 2√3 = 0 f(1,4) = (1,4)3 + √3(1,4)2 – 2(1,4) - 2√3 f(1,4) = - 0,125 ~ 0 Catatan : tingkat ketelitian adalah satu angka di belakang koma
Demikian juga jika akan menyelesaikan dua buah persamaan dengan dua variabel yang tidak diketahui :
f1 (x1,x2) = 0 f2 (x1,x2) = 0 Maka dengan cara yang sama Metode Newton dapat ditulis sebagai berikut
x1
x2
( n 1)
( n 1)
x1
x2
(n)
(n)
(n)
(n)
( n 1)
(n)
f1 ( x1 , x2 ) (n) (n) f1 ( x1 , x2 ) x1 f 2 ( x1 (n f 2 ( x1
, x2 1) (n) , x2 ) x2
Solusi eksak : x1 = -1 x2= 1
2x1 – x2 = -3 x1 – 2x2 = -3 f1(x1,x2) = 2x1 – x2 + 3 f2(x1,x2) = x1 – 2x2 + 3
f1 ( x1 , x 2 ) x1
2
f 2 ( x1 , x 2 ) x2 x1
( n 1)
x2
( n 1)
x1
2 ( n)
x2
(n)
2 x1( n ) x1( n
1)
x2 ( n ) 2 2 x2 ( n ) 2
3 3
Untuk mencoba awal digunakan : x1(0) = x2(0) = 0 dan ω = 1,maka :
x1 (1) = -(3/2),x2(1) = (3/4) x1(2) = -(9/8),x2(2) = (15/16) x1(3) = -(33/32),x2(3) = (63/64), dst Sehingga sampai didapat
x1(n+1) = x1(n) = -1 konvergen x2(n+1) = x2(n) = 1
Modified Newton-Raphson Method Untuk sistem persamaan yang panjang, penghitungan nilai turuan yang terus menerus akan menyebabkan proses hitungan dalam iterasi cukup lama.
Modifikasi metode Newton-Raphson dilakukan dengan mengambil nilai turunan pada iterasi pertama untuk digunakan pada setiap iterasi berikutnya Misal diambil nilai awal x = x0 mak proses iterasi menjadi:
xn
1
xn
f ( xn ) f ' ( x0 )
Contoh: Carilah nilai x yang memenuhi persamaan tan x = 1/x dengan metode modified newton-raphson
Jawab: Susun ulang persamaan menjadi x tan x – 1 = 0 Sehingga f(x) = x tan x – 1 dan f’(x) = tan x + x sec 2 x x0 = 1 f(x0) = 0,55741
Dicoba nilai awal :
f’(x0) = 4,98293 Proses iterasi selanjutnya menggunakan persamaan
xn
1
xn
xn tan xn 1 4,98293
Secant Method Algoritma penyelesaian: • Tetapkan nilai awal xn-1 dan xn • Hitung:
xn
1
xn
f ( xn )( xn xn 1 ) f ( xn ) f ( xn 1 )
• Hitung kesalahan:
xn
xn
1
xn
1
• Jika ε > toleransi, maka xn = xn+1 dan xn-1 = xn ulangi langkah di atas sampai dengan akar persamaan x = xn
Contoh: Carilah nilai x yang memenuhi persamaan tan x = 1/x dengan metode secant
Jawab: Susun ulang persamaan menjadi x tan x – 1 = 0 Sehingga f(x) = x tan x – 1 Dicoba nilai awal :
xn = 1 dan xn -1 =1,1
Proses iterasi selanjutnya menggunakan persamaan
xn
1
xn
xn xn 1 xn tan xn 1 xn tan xn 1 xn 1 tan xn 1 1
stop
