2012 es tanév, 2. félév)

Feladatok az 1. Geometria gyakorlathoz Geometria 1 haladó szint (2011/2012–es tanév, 2. félév)

1)

Az euklideszi síkon adva van két egyenlő sugarú kör k1 és k2 , amelyek az M, N pontokban metszik egymást. Jelölje r a két kör sugarát. Az M ponttal, mint centrummal, vegyünk egy olyan ̺ sugarú k3 kört, amelyre fennáll ̺ < r. A k3 körnek a k1 , k2 körökkel vett metszéspontjai közül válasszunk két pontot A–t és B–t oly módon, hogy ezek az M N egyenes egyazon oldalára essenek. Bizonyítsuk be, hogy az N, A, B pontok kollineárisak.

2)

A síkon legyen adott egy ABC△ derékszögű háromszög (γ = 90◦ ). Vegyük azt a négyzetet, amelynek az egyik oldala az AB átfogó és amelyik nem tartalmazza az ABC△ háromszöget. Jelölje Q ezen négyzet középpontját. Bizonyítsuk be, hogy a CQ félegyenes felezi a γ szöget.

3)

A síkon legyen adva van két kör k1 és k2 , amelyek az M, N pontokban metszik egymást. Az M, N pontokon át húzzunk egy–egy szelőegyenest. Ezen szelőknek a k1 körrel vett további metszéspontjai legyenek A1 és B1 , a k2 körrel vett további metszéspontjai pedig legyenek A2 és B2 . Igazoljuk, hogy az A1 B1 és A2 B2 egyenesek párhuzamosak.

4) A síkon vegyünk olyan k1 , k2 , k3 és k4 köröket, melyek bármelyike a másik három közül két–két körrel érintkezik kívülről. A k1 és k2 körök érintési pontját jelölje A, k2 és k3 érintkezési pontját jelölje B, k3 és k4 érintési pontját jelölje C, végül a k4 és k1 körök érintési pontját jelölje D. Igazoljuk, hogy van olyan kör, amely áthalad az A, B, C, D pontokon. 5)

Egy négyszög esetében középvonalon két szemközti oldal felezőpontját összekötő szakaszt értünk. Igazoljuk, hogy egy négyszög középvonalai a felezőpontjukban metszik egymást.

6)

Adva van a síkban egy ABCD négyszög. A BC oldal felezőpontja legyen E, az AD oldal felezőpontja pedig legyen F . Bizonyítsuk be, hogy fennáll az EF ≤ 21 AB + CD egyenlőtlenség.

7)

A síkon legyen adott két pont O1 és O2 . Vegyük a síkban azon centrális tükrözéseket, amelyek középpontjai ezen O1 és O2 pontok. Igazoljuk, hogy a két tükrözés szorzataként (vagyis azok egymás után való végrehajtásával) egy eltolást kapunk.

8) Mutassuk meg, hogy egy háromszöget egyértelműen meghatározza a három oldalfelező pont, vagyis azok ismeretében a háromszög megszerkeszthető. Igazoljuk, hogy a négy oldalfelező pont viszont nem határozza meg egyértelműen a négyszöget. 9)

A síkban adva vannak egy ötszög oldalainak a felezőpontjai. Szerkesszük meg ezen pontokból az ötszöget.

10)

A síkban adva van egy A csúcsú konvex szög és annak belsejében egy P pont. Szerkesszünk egy a P ponton áthaladó olyan egyenest, amely a szögből megadott kerületű háromszöget metsz le.

Feladatok a 2. Geometria gyakorlathoz Geometria 1 haladó szint (2011/2012–es tanév, 2. félév)

1)

Bizonyítsuk be, hogy amennyiben egy A (A 6= ∅) alakzatnak van legalább két szimmetriacentruma, akkor az A alakzat nem lehet korlátos, továbbá A–nak végtelen sok szimmetriacentruma van.

2)

A térben vegyünk két egyenest, melyeket jelöljön g és h. Vegyük az összes olyan szakaszt, amelyek egyik végpontja a g egyenesre, a másik végpontja pedig h–ra esik. Mi lesz ezen szakaszok felezőpontjainak mértani helye akkor, ha a két egyenes párhuzamos, metsző, illetve kitérő.

3)

Mutassuk meg, hogy két síkbeli tengelyes tükrözés szorzata vagy egy eltolás, vagy pedig egy elforgatás.

4) Egy síkon legyen adva egy ABC△ hegyesszögű háromszög, továbbá a BC oldalon egy D pont. Ha a CA oldalon veszünk egy E pontot és az AB oldalon egy F pontot, akkor azt mondjuk, hogy DEF △ az egyik beírt háromszöge az ABC△ háromszögnek. Rögzített D pont mellett miként kell megválasztani az E, F pontokat ahhoz, hogy a DEF △ háromszög kerülete minimális legyen? 5)* Egy síkon legyen adva egy ABC△ hegyesszögű háromszög. Legyenek ezen háromszög magasságvonalainak a talppontjai A1 , B1 és C1 . Bizonyítsuk be, hogy amennyiben vesszük az ABC△ beírt háromszögeit, akkor azok között A1 B1 C1 △ adja a minimális kerületű háromszöget. (Ezt nevezik Fagnano–féle feladatnak.) 6)

A síkon adva egy DCE∠ szög, továbbá adott egy h (h > 0) távolság. Vegyünk a CD száron egy A pontot és a CE száron egy B pontot azon feltétellel, hogy a C–től mért távolságaikkal fennáll CA + CB = h. Bizonyítsuk be, hogy van a síkban egy olyan P pont, amelyen az összes így nyert AB szakasz felezőmerőlegese áthalad.

7)

Vegyünk egy ABC△ háromszöget, ahol az oldalakra igaz a < b. A C csúcsnál lévő külső szög szögfelezője messe el az AB egyenest az M pontban. Mutassuk meg, hogy fennáll az AM : BM = b : a összefüggés.

8)

Ha egy síkban adva van két kör, akkor egy H pontot a körök hasonlósági pontjának mondunk, ha van olyan H centrumú középpontos hasonlóság, amely az első kört a másodikba viszi. Vegyünk olyan k1 és k2 köröket, ahol O1 O2 = 9 és a körsugarak értéke r1 = 5, r2 = 2. Határozzuk meg a hasonlósági pontok O1 –től mért távolságát.

9)

Egy körön adva van egy körív, melynek végpontjai A és B. Tekintsük a körív egy P pontját és abban a kör e érintőjét. Az A, B pontokból az e–hez húzott merőleges szakaszok talppontja legyen A1 és B1 , a P pontból az AB húrhoz húzott merőleges szakasz talppontja legyen P1 . Igazoljuk, hogy teljesül (P P1 )2 = AA1 · BB1 .

10) Tekintsünk egy ABCD húrnégyszöget. Vezessük be az a = AB, b = BC, c = CD, d = DA és e = AC, f = BD jelöléseket. Bizonyítsuk be, hogy fennáll az ac + bd = ef egyenlőség (Ptolemaiosz tétele a húrnégyszögre). 2


1)

A síkban adva van egy O centrumú, r sugarú kör. Vegyünk egy síkbeli P pontot és ezen át egy olyan egyenest, amely az M1 , M2 pontokban metszi a kört. Hasonló háromszögek alkalmazásával bizonyítsuk be, hogy fennáll a P M1 ·P M2 = |OP 2 −r2 | összefüggés.

2)

Adva van egy ABC△ háromszög. A háromszög köré írható kör centrumát jelölje O, a magasságpontot M , a súlypontot pedig S. Hasonlósági transzformációval igazoljuk, hogy az S súlypont harmadolja az OM szakaszt. (Az O, S, M pontokra illeszkedő egyenest mondjuk az ABC△ háromszög Euler–egyenesének.)

3)

Legyen adva a térben egy σ sík és egy ABC△ derékszögű háromszög (γ = 90◦ ), amelynek AC oldala párhuzamos a σ síkkal. Vegyük az A, B, C pontoknak a σ síkra eső A′ , B ′ , C ′ vetületi pontjait. Igazoljuk, hogy az A′ B ′ C ′ △ vetületi háromszög is derékszögű.

4)

Az euklideszi térben adva van egy ABCDM szabályos √ négyoldalú gúla, melynek ABCD alaplapja egy négyzet és az alapélek hossza a = 4 3. Az M csúcs rajta van az alapnégyzet O középpontján át az alaplap síkjára állított merőlegesen. Ismert továbbá, hogy az ABM △ és BCM △ oldallapok hajlásszöge 120◦ . Határozzuk meg a gúla M csúcsba befutó éleinek hosszát (b =?).

5)

Tekintsünk egy ABCD parallelogrammát, amelynél az oldalak hossza a és b, az átlók hossza pedig e és f . Igazoljuk, hogy fennáll a 2 a2 + 2 b2 = e2 + f 2 összefüggés.

6)

Tekintsünk egy ABC△ háromszöget. A háromszög oldalainak hossza legyen a, b és c, a súlyvonalak hossza pedig legyen sa , sb és sc . Bizonyítsuk be, hogy teljesül 3 2 s2a + s2b + s2c = a + b2 + c 2 . 4

7)

Az euklideszi síkon legyen adott két kör k1 és k2 , melyek kívülről érintik egymást. A körök sugarának értéke ismert r1 = 9 és r2 = 4. Tekintsük a két kör közös külső érintőinek egyikét és azon az E1 , E2 érintési pontokat. Határozzuk meg az érintési pontok távolságát. Számítsuk ki annak a körnek a sugarát, amely érinti a k1 , k2 köröket és a közös külső érintőt is.

8)

Egy = 90◦ ) ismert az átfogó hossza c = √ ABC△ derékszögű háromszögben (ahol γ √ 4 6 és a C csúcshoz tartozó szögfelező fc = 2 2. Határozzuk meg az a, b befogók hosszát.

9)

Tekintsünk egy olyan ABC△ háromszöget, amely szögeire teljesül α = 2 β. Bizonyítsuk be, hogy ezen háromszög oldalaira fennáll az a2 = b2 + b c összefüggés.

10)

Egy ABC△ háromszögnél ismerjük az ma , mb , mc magasságokat. Szerkesszük meg a háromszöget.

3


1)

Legyenek a és b olyan vektorok, amelyek nem párhuzamosak egymással és egyenlő hosszúságúak (vagyis kak = kbk). Mutassuk meg, hogy ekkor az a + b és a − b vektorok merőlegesek egymásra.

2)

Rögzítsünk a térben egy O pontot. Tekintsünk egy AB szakaszt és valamely m, n pozitív egész számokat. Vegyük az AB szakaszon azt a P pontot, amelyre teljesül −→ −→ −−→ az AP : P B = m : n összefüggés. Fejezzük ki az OP helyvektort az OA, OB vektorok lineáris kombinációjaként.

3)

Tekintsünk az euklideszi térben egy ABC△ háromszöget és egy O pontot. Mutassuk meg, hogy az ABC△ háromszög S súlypontjának helyvektorára fennáll −→ 1 −→ −−→ −→ OS = 3 (OA + OB + OC).

4)

Legyen adott egy ABCD tetraéder. Ha vesszük az egyik csúcs és a szemközti lap súlypontjának az összekötő szakaszát, akkor azt a tetraéder egyik súlyvonalának mondjuk. Helyvektorok alkalmazásával bizonyítsuk be, hogy a tetraéder négy súlyvonala egyazon pontra illeszkedik és ez a pont negyedeli a súlyvonalakat.

5)

Vegyünk a síkban egy tetszőleges ABC△ háromszöget. Ennek AC és BC oldalaira kifelé szerkesszük meg az ACP △ és BCQ△ szabályos háromszögeket. A CP szakasz felezőpontját jelölje E, a CQ szakasz felezőpontját F , az AB szakasz felezőpontját pedig C1 . Vektorok alkalmazásával igazoljuk, hogy az EF C1 △ háromszög szabályos.

6) A síkban legyen adott egy ABC△ háromszög. Ennek mindhárom oldalára kifelé állítsunk egy–egy szabályos háromszöget. Tekintsük azt a háromszöget, melynek csúcsai azonosak az oldalakra állított szabályos háromszögek középpontjaival. Igazoljuk, hogy ez a háromszög szabályos (Napóleon tétele). 7) A térben adva van három lineárisan összefüggő vektor, melyeknek egy e1 , e2 , e3 bázisra vonatkozó koordinátái a következők: a(1, −2, 1), b(1, 3, −2), c(1, y, 10). Határozzuk meg a c vektor hiányzó koordinátáját. 8)

A térben van négy vektor, melyek koordinátái a következők: a(2, −1, 1), b(−1, 3, 0), c(1, 0, 7) és d(9, −9, 10). Állítsuk elő a d vektort az a, b, c vektorok lineáris kombinációjaként. Határozzuk meg az ebben szereplő együtthatókat.

9)

Legyen adott egy ABCD parallelogramma. Ennek BC és CD oldalán vegyük azon −−→ −−→ −−→ −−→ M és N pontokat, melyekre fennáll BM = 21 BC és DN = 31 DC. Jelölje P az AM és BN szakaszok metszéspontját. Vektorokat alkalmazva döntsük el, hogy a P pont milyen arányban osztja az AM és BN szakaszokat (AP : P M =?, BP : P N =?).

10)

A síkban legyen adott egy olyan ABC△ háromszög, ahol b < c. Vegyünk egy h hosszt, amelyre fennáll h < b. A BA és CA oldalakon jelöljük ki azon M és N pontokat, melyekre igaz BM = h és CN = h. Jelöljék F és E a BC, M N szakaszok felezőpontjait. Bizonyítsuk be, hogy az EF szakasz párhuzamos a háromszög A csúcsbeli szögfelezőjével. 4

Feladatok az 5. Geometria gyakorlathoz Geometria 1 haladó szint (2011/2012–es tanév, 2. félév)

Amennyiben a szabad vektorok V terének vesszük egy i, j, k bázisát, akkor a továbbiakban mindig feltesszük, hogy ez a bázis ortonormált. 1)

Legyenek α, β és γ olyan 0 és π közé eső valós számok, amelyek különböznek π2 –től és melyekre fennáll α + β + γ = π. Mutassuk meg, hogy ekkor teljesül a tg α + tg β + tg γ = tg α · tg β · tg γ összefüggés.

2)

Legyen α egy tetszőleges valós szám és n egy pozitív egész szám, amelyre fennáll n ≥ 2. Bizonyítsuk be, hogy igazak a Pn−1 2π + . . . + cos α + (n − 1) 2π = 0, = 0, cos α + cos α + 2π k=0 sin α + k · n n n összefüggések. Utalás: Használjuk ki, hogy egy n–oldalú szabályos sokszög külső szögeinek mértéke (2π)/n.

3)

Tekintsük azon a és b vektorokat, melyeknél az i, j, k ortonormált bázisra vonatkozó koordináták a (2, −1, 2) és b (6, 2, 3). Adjunk meg egy olyan vektort, amely az a, b vektorokkal azonos szöget zár be és előáll a két vektor lineáris kombinációjaként.

4)

A szabad vektorok terében vegyük az a = 4 i − 4 j − 7 k és b = −3 i + 12 j + 3 k vektorokat. Határozzuk meg a két vektor hajlásszögét.

5)

Tekintsük azon a és b vektorokat, melyeknél az ortonormált bázisra vonatkozó koordináták a (6, −3, 12) és b (−3, 5, 8). Bontsuk fel a b vektort az a–val párhuzamos és az a–ra merőleges összetevők öszegére (b = bp + bm ). Határozzuk meg a bp , bm vektorok koordinátáit.

6)

2 2 2 Legyenek x, y, z olyan √ valós számok, melyekre √ igaz x + y + z ≤ 2. Igazoljuk, hogy ezekkel teljesül −2 7 ≤ 2x − 3y + z ≤ 2 7 .

7)

Legyenek adva az O, A, B, C térbeli pontok. Igazoljuk, hogy a pontok által meghatározott irányított szakaszok vektoraira fennáll az −→ −−→ −−→ −→ −→ −→ OA · BC + OB · CA + OC · AB = 0 összefüggés.

8)

Tekintsünk egy ABC△ szabályos háromszöget. Vegyük a háromszög köré írható k kört és annak egy P pontját. Vektorok skaláris szorzását alkalmazva igazoljuk, hogy a P A2 + P B 2 + P C 2 összeg értéke nem függ a P köri pont megválasztásától.

9)

Legyenek a és b olyan a 0–tól különböző vektorok, amelyek esetében az a + 3b merőleges a 7a − 5b vektorra, továbbá az a − 4b, 7a − 2b vektorok is merőlegesek egymásra. Bizonyítsuk be, hogy ekkor az a, b vektorok hajlásszöge 60◦ .

10) Tekintsünk egy tetszőleges négyszöget, melynél az oldalak hossza a, b, c, d, az átlók hossza pedig e, f . Jelölje h az átlók felezőpontjainak a távolságát. Vektorok alkalmazásával igazoljuk, hogy fennáll a2 + b2 + c2 + d2 = e2 + f 2 + 4 h2 . (Használjuk ki, hogy három élvektor már meghatározza a négyszöget.)

5

Feladatok a Geometria gyakorlathoz, 6. feladatsor Geometria 1 haladó szint (2011/2012–es tanév, 2. félév)

A koordinátageometriai feladatok során feltesszük, hogy az euklideszi térben rögzítve van egy (O, i, j, k) Descartes–féle koordináta–rendszer. 1)

Adva van egy ABC△ háromszög, amelynél a csúcsok térbeli koordinátái A(2, 1, 0), B(4, 3, −3) és C(1, −1, 6). Határozzuk meg a háromszög területét.

2)

Az euklideszi térben adva van egy g egyenes, amely áthalad egy A ponton és párhuzamos egy v (v 6= 0) vektorral. Tekintsünk egy tetszőleges P pontot. Mutas−→ kv × AP k suk meg, hogy a P pont g egyenestől mért távolságára teljesül d(g, P ) = . kvk

3)

Tekintsünk egy konvex poliédert és annak egy lapját. A laphoz tartozó területvektoron azt a vektort értjük, amely merőleges a lap síkjára, a poliéderből kifelé mutat és hossza egyenlő a lap területével. Igazoljuk, hogy egy tetraéder négy lapvektorának összege azonos a 0 nullvektorral.

4)

Adva van egy tetraéder, amelynél a négy csúcs koordinátái A(2, 3, 1), B(4, 1, −2), C(6, 3, 7) és D(−5, −4, 8). Határozzuk meg a tetraéder térfogatát és a D csúcshoz tartozó magasságot. Utalás: A tetraéder térfogata egyhatoda az AB, AC és AD élek által kifeszített parallelepipedon térfogatának.

5)

Adva van három lineárisan független vektor a, b és c. Jelöljük V –vel az általuk kifeszített parallelepipedon térfogatát. Tekintsük továbbá azt a parallelepipedont, melyet a 2a + 3b + 4c, a − b + c és 2a + 4b − c vektorok feszítenek ki, és jelölje Vˆ ennek térfogatát. Határozzuk meg a Vˆ /V hányados értékét.

6)

Legyen adott három vektor a, b és c, melyek lineárisan függetlenek, vagyis egy bázisát képezik a szabad vektorok V terének. Alkalmazzuk az [a, b, c] jelölést a három vektor vegyes szorzatára a szokványos (a × b)·c jelölés helyett. Tekintsünk egy tetszőleges v vektort. Bizonyítsuk be, hogy fennáll v=

[v, b, c] [a, v, c] [a, b, v] a+ b+ c. [a, b, c] [a, b, c] [a, b, c]

7)

Adva van négy vektor a, b, c és d. Bizonyítsuk be, hogy teljesül az a·c a·d egyenlőség. (Az összefüggés jobb oldalán egy 2 × 2–es (a × b) · (c × d) = b·c b·d mátrix determinánsa szerepel.)

8)

Adva van egy ABCD parallelogramma, ahol két csúcs koordinátái ismertek A(2, 4, 5) −−→ és B(3, 4, −2). Tudjuk továbbá, hogy az A csúcsnál lévő szög α = 30◦ , az AD élvektor √ egyirányú a v (1, y, −2) vektorral és AD = 3 6. Határozzuk meg a C, D csúcsok koordinátáit az y < 0 esetben.

9) Vegyük azt az ABCD szabályos tetraédert, amelynél az egyik lapon lévő csúcsok koordinátái ismertek A (0, 1, 3), B (4, 2, 2) és C (1, 2, −1). Határozzuk meg a szabályos tetraéder D csúcsának a koordinátáit. 6


A kitűzött feladatoknál feltesszük, hogy a tekintett síkon, illetve a térben rögzítve van egy derékszögű koordináta–rendszer. 1) A koordináta–rendszerrel ellátott síkban adva van egy ABCD rombusz, melynél ismert két szomszédos csúcs A(3, −1) és B(4, 7). A rombusz AC átlója párhuzamos a 2x + y = 0 egyenletű egyenessel. Határozzuk meg a C, D csúcsok koordinátáit. 2) Tekintsük a síkban a C (6, 7) pontot és az 5x−12y−24 = 0 egyenlettel leírt e egyenest. Határozzuk meg azon kör normálegyenletét, melynek centruma a C pont és amely érinti az e egyenest. (A megoldáshoz nem szükséges az érintési pont meghatározása.) 3)

Adott a síkban egy kör, amelynek az egyenlete x2 + y 2 − 8x + 4y − 5 = 0. Határozzuk meg a P (−1, 8) pontból a körhöz húzott érintőegyenesek egyenletét és az érintési pontok koordinátáit.

4)

A síkban adva van két egyenes, amelyek nem párhuzamosak egymással és az y tengellyel. Az egyenesek meredekségét jelölje m1 és m2 . Fejezzük ki az m1 , m2 értékekből a két egyenes hajlásszögét (cos ϕ =?).

5)

Tekintsük a térben a 3x + y − 4z + 10 = 0 egyenletű síkot és a C(8, 6, −3) pontot. Határozzuk meg azon C centrumú gömb egyenletét, amely érinti az adott síkot, továbbá adjuk meg az érintési pont koordinátáit.

6)

A térben tekintsük azt az ABCD tetraédert, amelynél a csúcspontok koordinátái A (1, 3, 2), B(5, 4, 5), C(1, 1, −2) és D (4, −3, 8). Határozzuk meg annak az ABC△ lappal párhuzamos síknak az egyenletét, amely egy t = 4 területű háromszögben metszi el a tetraédert.

7) A térben adva van két kitérő helyzetű egyenes, amelyek paraméteres egyenletrendszere x = −6 + 2t, y = 10 − 3t, z = 1 + t, illetve x = 3 − 3τ, y = 9 + 6τ, z = −3 − τ . Határozzuk meg a két egyenes normális transzverzálisának a paraméteres egyenletrendszerét. 8)

Adva van a térben egy σ sík, melynek egyenlete 5x + 3y − z − 21 = 0. Vegyük azt az e egyenest, amelynek paraméteres egyenletrendszere x = −5 + 3t, y = −8 + 7t, z = t (t ∈ R). Határozzuk meg az e egyenes σ síkra eső merőleges vetületének az egyenletét.

9)

Adva van egy ABCDM szabályos négyzetes gúla, amelynek M (9, 4, 1) csúcsa ismert. Az ABCD négyzet benne van a 2x + y + 2z + 3 = 0 egyenletű síkban és az egyik alaplapi csúcspont A(xA , 1, −8). Határozzuk meg a négyzetes gúla összes csúcspontjának a koordinátáit.

7


Feltesszük, hogy a tekintett síkon adva van egy derékszögű koordináta–rendszer. 1)

A síkban vegyünk egy AB szakaszt, amelynek hossza a + b (a ≥ b > 0). A szakaszon tekintsük azt a P pontot, amelyre fennáll AP = b és P B = a. Mozgassuk ezt a szakaszt a síkban oly módon, hogy az A végpont mindig az x tengelyre, a B pont pedig mindig az y tengelyre essen. Bizonyítsuk be, hogy a mozgatás során a P pont egy ellipszist ír le.

2)

Tekintsünk két egymást metsző síkot σ–t és π–t, melyek hajlásszöge α. Vegyünk a σ síkban egy k kört, melynek sugara a. Koordinátageometriai eszközökkel igazoljuk, hogy α 6= 90◦ esetén a k körnek a π síkra eső merőleges vetülete egy ellipszis, amelynél a nagytengelyhossz 2a és a kis féltengely hossza b = a cos α.

3)

A síkban legyen adva egy C középpontú k kör és egy g egyenes, amelynek a körrel nincs közös pontja. Tekintsük a sík összes olyan körét, amely kívülről érinti a k kört, továbbá érinti a g egyenest is. Milyen alakzatot (vagy más szóval mértani helyet) képeznek ezen körök centrumai?

4)

A síkban legyen adva egy C középpontú k kör és annak belsejében egy D pont. Tekintsük a sík összes olyan körét, amely áthalad D–n és érinti a k kört. Milyen alakzatot alkotnak ezen körök centrumai?

5)

A síkban adva van egy C centrumú k kör és azon kívül egy D pont. Tekintsük a síkban az összes olyan kört, amely áthalad D–n és érinti a k kört. Milyen alakzatot képeznek ezen körök középpontjai? q Legyen q egy rögzített pozitív valós szám. Igazoljuk, hogy az y − = 0 egyenlettel x leírt alakzat egy hiperbola. (Vegyünk egy megfelelő koordináta–rendszert a síkon.)

6) 7)

A síkban adva van két parabola, melyek vezéregyenesei v1 , v2 , továbbá fókuszpontjai F1 és F2 . Igazoljuk, hogy van olyan hasonlósági transzformáció, amely az első parabolát a másodikba viszi.

8)

A σ síkban adva van egy derékszögű koordináta–rendszer. Tekintsük azon k1 , k2 köröket, amelyek egyenlete x2 + y 2 − 16 = 0 és x2 − 4x + y 2 = 0. Mi lesz azon σ–beli pontok mértani helye, melyek köré írható olyan kör, amely belülről érinti a k1 kört és kívülről érinti k2 –t?

9)

A síkban adva van egy hiperbola, amelynek fókuszpontjai F1 és F2 , a tengelypontjai pedig A1 és A2 . Legyen P a hiperbola egy olyan pontja, amely nincs rajta az hF1 , F2 i egyenesen. Tekintsük az F1 F2 P △ háromszöget. Bizonyítsuk be, hogy az F1 F2 P △ beírt köre áthalad az A1 , A2 tengelypontok egyikén.

10) A σ síkban legyen adott egy v egyenes és egy arra nem illeszkedő F pont. Vegyünk egy ε pozitív számot, és tekintsük az A = { P ∈ σ | F P = ε · d(v, P ) } alakzatot. Koordinátageometriai módszerekkel bizonyítsuk be, hogy az A alakzat ε < 1 esetén egy ellipszis, ε > 1 esetén pedig egy hiperbola. 8


A koordinátageometriai feladatnál feltesszük, hogy a térben adva van egy O kezdőpontú derékszögű koordináta–rendszer. 1)

Az O centrumú r sugarú G(O, r) gömbfelületen legyen adott két pont A és B. Milyen alakzatot alkotnak azon gömbi pontok, melyeknek az A, B pontoktól mért gömbi távolsága egyenlő? Ha A és B nem átellenesek, akkor melyek azok a gömbi főkörök, amelyek derékszögben metszik az A, B pontokon átmenő főkört?

2)

Igazoljuk, hogy egy ABC△G gömbi háromszögben a nagyobb oldallal szemközti szög a nagyobb (vagyis ha fennáll a > b, akkor α > β teljesül).

3) A G(O, 4) gömbfelületen adva van egy olyan ABC△G gömbháromszög, melynek szögei α = π/3, β = π/4 és γ = π/2. Határozzuk meg az a oldal hosszát. 4)

A G(O, r) gömbfelületen legyen adva egy olyan ABC△G gömbháromszög, amelyben c a b π γ = . Igazoljuk, hogy ekkor fennáll cos = cos cos = ctg α ctg β. 2 r r r

5)

A G(O, 1) gömbfelületen adva van egy olyan ABC△G gömbháromszög, ahol a = π/6, b = π/4 és α = π/4. Határozzuk meg a gömbháromszögre vonatkozó másik három geometriai adatot (β =?, c =?, γ =?).

6) Az ABC△G gömbháromszögben egy csúcsot a szemközti oldal felezőpontjával összekötő gömbi főkörívet a gömbháromszög egyik súlyvonalának nevezzük. Bizonyítsuk be, hogy a gömbháromszög súlyvonalai egyazon pontban metszik egymást. 7)

Igazoljuk, hogy egy ABC△G gömbháromszögnek két szöge derékszög akkor és csak akkor, ha két oldalszöge derékszög.

8)

A G(O, 3) gömbfelületen tekintsük az A(2, −1, 2), B(2, 2, −1), C(0, 0, 3) csúcsokkal meghatározott ABC△G gömbháromszöget. Adjuk meg azt a 3 hosszúságú vektort, amely O–ból az A, B, C csúcsokon átmenő kör centrumának az irányába mutat.

9)

A G(O, r) gömbfelület és egy O csúcsú négyélű konvex szöglettartomány metszetét gömbi négyszögnek mondjuk. Bizonyítsuk be, hogy amennyiben van olyan kör, amely áthalad az ABCD gömbi négyszög csúcsain, akkor a gömbi szögekre fennáll α + γ = β + δ.

10) Ismeretes, hogy az r sugarú gömb felszíne 4r2 π, és ebből már adódik, hogy az r sugarú gömbön vett α szögű gömbkétszög felszíne 2r2 α. Ennek ismeretében igazoljuk, hogy a G(O, r) gömbfelületen vett ABC△G gömbháromszög felszínére igaz az F = r2 (α + β + γ − π) formula.

9

I. Zh. dolgozat Geometria 1 haladó szint (2011/2012–es tanév, 2. félév)

2012. március 19. 1)

Az euklideszi térben adva van egy ABCD tetraéder (más szóval egy háromoldalú gúla), melynek ABC△ alaplapja egy szabályos háromszög és az alapélek hossza a = 15. A D csúcsba befutó élek hossza megegyezik, továbbá ezen élek egyenesei az ABC△ alaplap síkjával 30◦ –os szöget zárnak be. Határozzuk meg a tetraéder D csúcsba befutó éleinek hosszát (b =?).

2)

A síkon vegyünk egy O centrumú, r sugarú kört és abban egy körcikket, amely kisebb egy félkörnél. A körcikket határoló körív végpontjai legyenek A és B. Tekintsük a körcikkbe írt kört, amely érinti az OA, OB szakaszokat és a körívet. Jelölje ̺ a beírt kör sugarát és legyen a az AB húrhossz fele (tehát 2a = AB). Bizonyítsuk be, 1 1 1 hogy igaz az = + összefüggés. ̺ a r

3)

Egy síkban adva van két egymást nem metsző kör k1 és k2 , ahol a középpontok távolsága O1 O2 = 13. Azon közös érintőnél, melynek a két kör egyazon oldalára esik, az érintési pontok távolsága E1 E2 = 12. Egy olyan√közös érintőnél, amely elválasztja a két kört, az érintési pontok távolsága F1 F2 = 2 22. Határozzuk meg a körök sugarait (r1 =?, r2 =?).

4)

Az euklideszi síkon tekintsünk egy ABC△ háromszöget. Jelölje r a háromszög köré írható kör sugarát és ma az a = BC oldalhoz tartozó magasságot. Bizonyítsuk be, hogy fennáll a 2 r ma = b c egyenlőség.

5) Adva van a síkban egy ABCDEF általános hatszög. A hatszög oldalainak felezőpontjai sorrendben legyenek P1 , P2 , P3 , P4 , P5 , P6 . Igazoljuk, hogy a P1 P3 P5 △ és P2 P4 P6 △ háromszögek súlypontja megegyezik. 6)

Egy ABC△ háromszög oldalai ismertek a = BC = 6, b = CA = 4, c = AB = 5. Vegyük az A csúcsból kiinduló AF súlyvonalat és a C csúcsbeli CT szögfelezőt. Jelölje P a súlyvonal és a szögfelező metszéspontját. Határozzuk meg, hogy a P metszéspont milyen arányban osztja a szakaszokat (AP : AF =?, CP : CT =?).

A feladatok pontértéke sorrendben: 8p + 8p + 8p + 9p + 8p + 9p.

A két Zárthelyi dolgozaton egyaránt 50–50 pontot lehet maximálisan szerezni. A két dolgozaton elért összpontszám alapján fogjuk majd meghatározni a gyakorlati jegyet. A gyakorlati jegy megszerzéséhez legalább 30 pontot kell. 10


2012. március 21. 1) A térben adva van egy ABCDM szabályos négyoldalú gúla, √ melynek ABCD alaplapja egy négyzet. Az M csúcsba befutó élek hossza b = 3 5, továbbá az oldallapok síkjainak az alaplap síkjával bezárt szöge ϕ = 60◦ . Határozzuk meg az alaplapi élek hosszát (a =?). 2)

Tekintsünk egy ABC△ háromszöget és a köré írt k kört. Az A csúcsból kiinduló szögfelező félegyenes a BC oldalt messe a T pontban, a k kört pedig az M pontban. Bizonyítsuk be, hogy fennáll a BM 2 = AM · T M összefüggés.

3)

Adva van a síkban egy olyan ABC△ derékszögű háromszög (γ = 90◦ ), amelynél a köré írt kör sugara r = 8, 5 és a háromszögbe írt kör sugara ̺ = 3. Határozzuk meg a derékszögű háromszög befogóinak hosszát (a =?, b =?).

4) Tekintsünk egy ABC△ hegyesszögű háromszöget, melynek magasságvonalai legyenek az AA1 , BB1 és CC1 szakaszok. Bizonyítsuk be, hogy az A1 A félegyenes felezi a C1 A1 B1 ∠ szöget. 5) Adva van a síkban egy ABCDEF általános hatszög. A hatszög oldalainak felezőpontjai sorrendben legyenek P1 , P2 , P3 , P4 , P5 , P6 . Igazoljuk, hogy fennáll −−→ −−→ −−→ P1 P2 + P3 P4 + P5 P6 = 0. 6) A térben adva vannak az O, A, B, C pontok, amelyek nincsenek egy síkon. Bizonyítsuk be, hogy amennyiben a tér egy P pontja rajta van az A, B, C pontok síkján, −→ −→ −−→ −→ akkor az OP = α OA + β OB + γ OC lineáris kombinációban szereplő együtthatókra teljesül α + β + γ = 1.


A két Zárthelyi dolgozaton egyaránt 50–50 pontot lehet maximálisan szerezni. A két dolgozaton elért összpontszám alapján fogjuk majd meghatározni a gyakorlati jegyet. A gyakorlati jegy megszerzéséhez legalább 30 pontot kell.

11


2012. március 21. 1)

√ Vegyünk egy síkot és abban egy r = 5 2 sugarú kört. Irjunk a körbe egy ABCD négyzetet. Ezt követően az AB húrral lemetszett körszeletbe írjunk egy olyan A1 B1 C1 D1 négyzetet, melynek A1 B1 oldala az AB szakaszon van, a C1 , D1 csúcsok pedig a köríven vannak. Számítsuk ki a kis négyzet oldalainak hosszát (A1 B1 =?).

2)

Adva van a síkban egy ABC△ egyenlő szárú háromszög, ahol AB = AC. Vegyük az AB oldal felező merőlegesét, amely a P pontban metszi el a BC oldal egyenesét. Bizonyítsuk be, hogy az AB oldal mértani közepe a BC és BP hosszaknak (azaz fennáll AB 2 = BC · BP ).

3)

Vegyünk egy ABCD trapézt, amelynél az AB és CD oldalegyenesek párhuzamosak egymással, továbbá a B, C csúcsoknál lévő szög derékszög. Az oldalak hosszai legyenek a = AB, b = BC, c = CD, d = DA. Bizonyítsuk be, hogy amennyiben a 1 1 1 1 trapézba lehet kört írni, akkor fennáll az = + egyenlőség. b 2 a c

4)

Egy síkban adva van két kör k1 és k2 , melyek az M, N pontokban metszik egymást. Az M ponton át vegyünk olyan a, b szelőegyeneseket, melyek tengelyesen szimmetrikusak az hM, N i egyenesre. Az M pont mellett az a szelő messe a k1 , k2 köröket az A1 , A2 pontokban, a b egyenes pedig a B1 , B2 pontokban. Bizonyítsuk be, hogy fennáll A1 A2 = B1 B2 .

5)

Vegyünk egy parallelepipedont, ahol az egyik lap csúcsai sorrendben A, B, C és D, továbbá a szemköztes lap csúcsai E, F, G és H. A B, D, E pontokon átmenő sík és az AG testátló metszéspontját jelölje P . Vektorok alkalmazásával igazoljuk, hogy ez a P pont az AG szakasz egyik harmadolópontja.

6) A síkban adva van egy ABC△ háromszög. Vegyük a síkban a BCLM és ACP Q négyzeteket, melyek a háromszögön kívül vannak. A négyzetek középpontjai legyenek O1 , O2 , az AB oldal felezőpontja legyen C1 , az LP szakasz felezőpontja pedig F . Bizonyítsuk be, hogy a C1 O1 F O2 négyszög egy négyzet.


A két Zárthelyi dolgozaton egyaránt 50–50 pontot lehet maximálisan szerezni. A két dolgozaton elért összpontszám alapján fogjuk majd meghatározni a gyakorlati jegyet. A gyakorlati jegy megszerzéséhez legalább 30 pontot kell. 12

II. Zh. dolgozat Geometria 1 haladó szint (2011/2012–es tanév, 2. félév)

2012. május 9. A dolgozat koordinátageometriai feladatainál feltesszük, hogy a térben rögzítve van egy (O, i, j, k) Descartes–féle koordináta–rendszer. 1)

Adva van egy ABCD tetraéder, ahol a csúcspontok Descartes–féle koordinátái A (1, 3, 0), B (4, 5, −2), C (1, 1, 4) és D (9, 4, −6). Határozzuk meg a tetraéder térfogatát és a tetraéder D csúcshoz tartozó magasságát (V =?, m =?), továbbá adjuk meg az ABC△ háromszöget tartalmazó sík egyenletét.

2) A térben adva van két kitérő helyzetű egyenes, amelyek paraméteres egyenletrendszere x = −7−2t, y = 5+t, z = 7+3t, illetve x = 7−4τ, y = −10+τ, z = τ . Határozzuk meg a két egyenes normális transzverzálisának a paraméteres egyenletrendszerét. 3) Tekintsük a térben azt az ABCD rombuszt, amelynél ismertek az A (−2, 1, 1), B (4, 1, 7) −−→ csúcspont–koordináták és az A csúcsbeli szög α = 60◦ . Az AD élvektor azonos irányú a v(−1, 1, z) vektorral. Határozzuk meg z értékét és a C, D pontok koordinátáit. 4)

A szabad vektorok terében legyenek adva az a, b, c és u, v, w tetszőleges vektorok. Jelölje [a, b, c] az első három vektor vegyes szorzatát és au az a, u vektorok skaláris szorzatát. Bizonyítsuk be, hogy fennáll az au av aw [a, b, c] · [u, v, w] = bu bv bw cu cv cw

egyenlőség. (Az összefüggés jobb oldalán egy 3×3–as mátrix determinánsa szerepel.)

5)

A síkban adva van egy AB szakasz és egy azzal párhuzamos e egyenes. A C pont haladjon végig az e egyenesen, és vegyük az így nyert ABC△ háromszögek magasságpontjait. Bizonyítsuk be, hogy a háromszögek magasságpontjai egy kúpszeletet írnak le, és adjuk meg ezen görbe típusát.

A feladatok pontértéke sorrendben: 8p + 10p + 10p + 10p + 12p.

A gyakorlati jegy megszerzéséhez legalább 30 pontot kell elérni a két dolgozatból. Az összpontszám alapján az alábbiak szerint határozzuk meg a gyakorlati jegyet. 30–44 pont elégséges(2), 45–59 pont közepes(3), 60–74 pont jó(4), 75–100 pont jeles(5) 13



Adva van egy ABCD tetraéder, ahol a csúcspontok Descartes–féle koordinátái A (−2, 1, 3), B (2, 3, 0), C (1, 5, −2) és D (3, 1, 11). Határozzuk meg a tetraéder térfogatát és a tetraéder D csúcshoz tartozó magasságát (V =?, m =?), továbbá adjuk meg az ABC△ háromszöget tartalmazó sík egyenletét.

2)

A térben adva van egy g egyenes, amelynek paraméteres előállítása x = 9 + t, y = −12 − 4t, z = 6 + t, továbbá egy sík, amelynek egyenlete x + by − 2z = 0. Az egyenes és a sík hajlásszöge 45◦ . Határozzuk meg a b (b > 0) együttható értékét, továbbá a g egyenes síkra eső vetületének az egyenletrendszerét.

3)

Adva van egy ABCDM szabályos négyoldalú gúla, ahol két átellenes csúcspont A(−3, 1, 2) és C(4, yC , −2) ismert. Az ABCD alapnégyzet benne van a √ 4x − 8y − z + 22 = 0 egyenletű síkban és a gúla magasságára fennáll m = 2 2 AB. Határozzuk meg a gúla másik három csúcsának a koordinátáit.

4)

Egy síkban adva van három nem kollineáris pont A, B és C. Vegyük a sík egy tetszőleges P pontját és az AP 2 + BP 2 + CP 2 összeget. Döntsük el, hogy a sík mely P pontja esetében lesz minimális ez az összeg. (A megoldást indokolni kell.)

5)

A síkban legyen adva egy ellipszis, amelynek fókuszpontjai F1 és F2 , a tengelypontjai pedig A1 és A2 . Legyen P az ellipszis egy olyan pontja, amely nincs rajta az hF1 , F2 i egyenesen. Tekintsük az F1 F2 P △ háromszöget. Bizonyítsuk be, hogy az F1 F2 P △ háromszögnek az F1 P oldalhoz hozzáírt köre áthalad az A1 tengelyponton.


A gyakorlati jegy megszerzéséhez legalább 30 pontot kell elérni a két dolgozatból. Az összpontszám alapján az alábbiak szerint határozzuk meg a gyakorlati jegyet. 30–44 pont elégséges(2), 45–59 pont közepes(3), 60–74 pont jó(4), 75–100 pont jeles(5)



Adva van egy ABCD tetraéder, ahol a csúcspontok koordinátái A (0, 3, 1), B (4, 4, 0), C (−4, 6, 6) és D (8, 5, 5). Határozzuk meg a tetraéder térfogatát, továbbá azon sík egyenletét, amely párhuzamos az ABC△ lap síkjával és a tetraédert egy t = 3 területű háromszögben metszi.

2) A térben adva van két kitérő helyzetű egyenes, amelyek paraméteres egyenletrendszere x = −6 + 5t, y = −7 + 3t, z = 4 − t, illetve x = 1 + 2τ, y = 2 + 3τ, z = −11 + 5τ . Határozzuk meg a két egyenes normális transzverzálisának a paraméteres egyenletrendszerét. 3)

Adva van egy egyenlő szárú ABC△ háromszög (AC = BC), amelyet tartalmaz az 5x + 7y + z − 10 = 0 egyenletű sík. Két csúcspont ismert A(−4, 5, −5) és B(6, −2, z), a C csúcsnál lévő szög γ = 120◦ . Számítsuk ki a C csúcspont koordinátáit. (Mindkét megoldást adjuk meg.)

4)

A térben adva van egy olyan OABC tetraéder, amelynél az OA, OB és OC élek páronként merőlegesek egymásra. Az O csúccsal szemközti ABC△ lap területét jelölje tO , az A csúccsal szemközti OBC△ lap területét jelölje tA , a B csúccsal szemközti OCA△ lap területét jelölje tB , végül a C csúccsal szemközti OAB△ lap területét jelölje tC . Vektorok alkalmazásával bizonyítsuk be, hogy fennáll a t2O = t2A + t2B + t2C összefüggés.

5)

A síkban adva van két egymást metsző egyenes e és f , amelyek nem merőlegesek egymásra. Emellett adva van még egy h (h > 0) pozitív valós szám. Tekintsük a síkban a H = { P ∈ σ | d(e, P )2 + d(f, P )2 = h2 } alakzatot. Koordinátageometriai eszközökkel igazoljuk, hogy ez a H alakzat egy ellipszis.


A gyakorlati jegy megszerzéséhez legalább 30 pontot kell elérni a két dolgozatból. Az összpontszám alapján az alábbiak szerint határozzuk meg a gyakorlati jegyet. 30–44 pont elégséges(2), 45–59 pont közepes(3), 60–74 pont jó(4), 75–100 pont jeles(5)

2012 es tanév, 2. félév)

Recommend Documents