Fizikai olimpiász 52. évfolyam 2010/2011-es tanév
B kategória
A kerületi forduló feladatai (további információk a http://fpv.uniza.sk/fo honlapokon találhatók)
1. A Föld mágneses pajzsa Ivo Čáp A Napból kibocsájtott töltött részecskéktől (a napszéltől) a Földet a saját mágneses tere védi. A jelenségről elképzelést alkothatunk a következő leegyszerűsített feladat segítségével. Tételezzük fel, hogy a elektromos töltésű tömegű részecskék sebességgel repülnek a Föld felé a Nap és a Föld középpontját összekötő egyenes mentén. Az egyszerűség kedvéért
B–1 ábra
tételezzük fel a mágneses tér indukciója (ahogyan a B–1 ábra mutatja), merőleges a Napot és Földet összekötő egyenesre, valamint az ábra síkjára. A mágneses tér indukciója vektor mennyiség, amely = 10 távolságba terjed ki az űrbe ( a Föld sugara). A mágneses indukció nagysága ebben a tartományban = 5,0 nT. a) Határozzák meg a mágneses térbe belépő részecskék pályájának alakját! Határozzák meg a pálya görbületének sugarát a pálya azon pontjában, ahol a részecske belép a mágneses térbe! (4 pont) b) Határozzák meg, mekkora sebességgel nem érik el a részecskék a Föld felszínét! Határozzák meg, mekkora az a legkisebb távolság, amire a részecskék megközelítik a Föld felszínét! A feladatnak ebben a részében ne vegyék számításba a gravitációs erőket! (4 pont) c) Határozzák meg a részecskére ható gravitációs erő és mágneses tértől származó erő nagyságának arányát a pálya azon pontjában, ahol a részecske legközelebb van a Földhöz (feltételezve, hogy olyan pályáról van szó, ahol a részecske nem ütközik a Föld felszínébe)! Elfogadható a feladat előző pontjában tett feltételezés, hogy a gravitációs erő hatása elhanyagolható? (2 pont) A feladatot oldják meg általánosan, majd a következő értékekkel i) az elektronok sebessége = 1,2 ⋅ 10 m ⋅ s , tömege = 9,1 ⋅ 10 kg, elektromos töltése = −1,6 ⋅ 10 C, ii) a protonok sebessége ! = 4,0 ⋅ 10# m ⋅ s , tömege = 1,67 ⋅ 10!% kg, töltése = +1,6 ⋅ 10 C. A gravitációs állandó ' = 6,67 ⋅ 10 N ⋅ m! ⋅ kg ! , a Föld tömege ) = 6,0 ⋅ 10!* kg, sugara pedig = 6,4 ⋅ 10 m. Megjegyzés: A gravitációs tér hatását a részecskék mozgására ne vegyék figyelembe!
2. Henger, dugattyú és centrifuga Ľubomír Konrád A centrifugában van egy henger, belsejében egy vékony tömegű dugattyúval. A henger belső keresztmetszete +, és a tengelye merőleges a centrifuga függőleges forgástengelyére (lásd a B–2 ábrát). A dugattyú két egyforma hosszúságú kamrára osztja a henger belsejét.
B–2 ábra
A centrifuga bekapcsolása előtt a dugattyú , távolságban van a forgástengelytől, és ekkor a kamrákban egyforma -. nyomású lvegő van. Amikor a centrifuga forogni kezd / szögsebességgel, a dugattyú egy új helyzetben állapodik meg, amely Δ, távolsággal tolódik el az eredeti nyugalmi állapothoz viszonyítva. a) Határozzák meg a centrifuga 1 fordulatszámát, amelynél a dugattyú relatív elmozdulása 2 = Δ,/! Az 1. fordulatszámot 2 = 10 %-ra fejezzék ki másodpercenkénti fordulatszámmal! (6pont) b) Tételezzék fel, hogy a centrifuga fordulatszáma akkora, hogy 2 ≪ 1. Bizonyítsák be, hogy a dugattyú Δ, elmozdulása kifejezhető a Δ, ≈ 7/! összefüggéssel! Határozzák meg a 7 állandó értékét! (4 pont) A feladatot oldják meg általánosan, majd a következő értékekre: , = 10 cm, + = 2,0 cm! , = 25 mg, = 50 mm, -. = 100 kPa. Megjegyzés: Mialatt a dugattyú felveszi nyugalmi állapotát, elegendő idő telik el ahhoz, hogy a rendszerben kiegyenlítődjön a hőmérséklet. A gáz állapotváltozásairól tételezzék fel, hogy izotermikus! A gázra ható centrifugális erőt ne vegyék figyelembe!
3. Barométer Milan Grendel Jancsi otthon nézegette a falon lógó barométert (aneroidot), amelynek kerek számlapja van és torrban mutatja a légnyomást. Amikor átszámította a barométer által mutatott értéket hektopascalra, és összehasonlította a híradóban Jancsi helyzetére megadott értékkel, kiderült, hogy a két érték eltér egymástól. A barométer mutatóját – a hátoldalán található állító gomb segítségével – átállította a hírekben bemondott értékre. A rákövetkező napokban azonban arra lett figyelmes, hogy az értékek megint eltérnek a hírekben bemondott értékektől. Megtudta, hogy a hírekben bemondott adatok az ún. redukált nyomás – a tengerszint magasságra és 0 °C hőmérsékletű légkörre átszámított nyomás – függetlenül a légkör valódi hőmérsékletétől. Térkép és digitális magasságmérő segítségével meghatározta, hogy a barométer tengerszint feletti magassága ℎ = 356 m. a) Határozzák meg a torr és hPa nyomás egységek közötti átszámítási tényezőt, ha tudjuk, hogy a normális légnyomás -=. = 760 torr akkora nyomásnak felel meg, mint amekkora nyomást 760 mm magas higanyoszlop hoz létre A = 9,81 m ⋅ s! nehézségi gyorsulásnál! (2 pont)! b) Határozzák meg mekkora nyomás értéket kell a barométeren Jancsinak beállítania, ha a TV-hírekben bemondott redukált nyomás Jancsi helyzetére -= = 1 025 hPa, és a légkör hőmérséklete valóban D = 0 °C! Az eredményt torr-ban adják meg!(4 pont) c) Mekkora, a tengerszint magasságára átszámított, -=! nyomásnak felel meg a barométer által mért -! = 750 torr nyomás, ha Jancsi barométere helyesen van beállítva az adott helyre, és a légkör hőmérséklete D! = 25 °C? A nyomást fejezzék ki hPa-ban! Mekkora értékkel tér el ez az érték a hírekben megadott redukált nyomástól? (4 pont) A feladatot oldják meg általánosan, majd a megadott értékekre. A száraz levegő fajlagos gázállandója H = I /) = 287 J ⋅ K ⋅ LA ( I az univerzális gázállandó, ) pedig a móltömeg), a nehézségi gyorsulás A = 9,81 m ⋅ s ! és a higany sűrűsége MNO = 13,5 g ⋅ cm . A feladatban fellépő magasságtartományban feltételezhetjük, hogy a légkör homogén, ami azt jelenti, hogy a levegő sűrűsége nem változik. Tételezzék fel, hogy az adott magasságtartományban a nehézségi gyorsulás sem változik!
4. Az ingák Ľubomír Konrád Egy vékony homogén rúd, amelynek lineáris sűrűsége (az egységi hosszra eső tömege) P = 1,34 g ⋅ cm , az egyik végén fel van függesztve. A felfüggesztése körül szabad ingó mozgást végezhet, amelynek lengésideje Q. = 1,00 s (lásd a B–3 ábrát). a) Határozzák meg a rúd R hosszát és tömegét! (4 pont) A rúd alsó végére egy kisméretű = 300 g tömegű nehezéket függesztünk. b) Határozzák meg az így kialakított inga Q lengésidejét! Számítsák ki mekkora relatív hibát követünk el, ha a számításban elhanyagoljuk a rúd tömegét!(3 pont) c) Határozzák meg a forgás tengelyétől mért S távolságot, ahová a kisméretű nehezéket elhelyezve az így kialakított inga lengésideje megint Q. lesz! (3 pont)
B–3 ábra
A feladatot oldják meg általánosan, majd a következő értékekre: = 0,30 kg, a nehézszégi gyorsulás A = 9,81 m ⋅ s! ! Tételezzék fel, hogy az ingák csak kis szögben lengenek ki (T ≪ 1 rad)! Útbaigazítás: amennyiben T ≪ 1 rad , érvényesek a következő közelítő egyenlőségek sin T ≈ tan T ≈ T és cos T ≈ 1 (a T szöget itt radiánokban kell számítani). A megoldásnál felhasználhatók az egyenletek matematikai hasonlósága azzal az egyenlettel, amely a L merevségű rúgóra függesztett tömegű test rezgését írja le, ahol a rezgésidő Q = 2WX⁄L . Egy tömegű, R hosszúságú homogén rúd tehetetlenségi nyomatéka (a rúd végén áthaladó a lengés síkjára merőleges forgástengelyre számítva) Z = R ! ⁄3 . Egy tömegű tömegpont (amely R távolságban leng a forgástengelytől) tehetetlenségi nyomatéka R ! .
Fizikai Olimpiász – 52. évfolyam – a B kategória 2. fordulójának feladatai
A feladatok szerzői: Ivo Čáp (1), Ľubomír Konrád (2) és (4), Milan Grandel (3) Bírálat: Ľubomír Mucha, Mária Kladivová Kiadta: Iuventa – Szlovák Fiatalság Intézete, Bratislava, 2011 Slovenská komisia Fyzikálnej olympiády, 2011 Translation Teleki Aba; 2011
